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<!DOCTYPE html> <html lang="en"> <head> <meta content="text/html; charset=utf-8" http-equiv="content-type"/> <title>Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths</title>  <meta content="width=device-width, initial-scale=1, shrink-to-fit=no" name="viewport"/> <link href="https://cdn.jsdelivr.net/npm/bootstrap@5.3.0/dist/css/bootstrap.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/ar5iv.0.7.9.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/ar5iv-fonts.0.7.9.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/latexml_styles.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/bootstrap@5.3.0/dist/js/bootstrap.bundle.min.js"></script> <script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/html2canvas/1.3.3/html2canvas.min.js"></script> <script src="/static/browse/0.3.4/js/addons_new.js"></script> <script src="/static/browse/0.3.4/js/feedbackOverlay.js"></script> <base href="/html/2503.11479v1/"/></head> <body> <nav class="ltx_page_navbar"> <nav class="ltx_TOC"> <ol class="ltx_toclist"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S1" title="In Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">1 </span>Introduction</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S2" title="In Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">2 </span>Concepts</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S2.SS1" title="In 2 Concepts ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">2.1 </span>Piecewise-Deterministic Markov Processes</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S2.SS2" title="In 2 Concepts ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">2.2 </span>Kinetic Methods for MCMC Sampling</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S2.SS3" title="In 2 Concepts ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">2.3 </span>Hamiltonian Monte Carlo, and the No U-Turn Criterion</span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S3" title="In Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3 </span>Practical Simulation of PDMPs through Metropolis Adjustment</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S3.SS1" title="In 3 Practical Simulation of PDMPs through Metropolis Adjustment ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3.1 </span>Time-reversal and skew-reversibility</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S3.SS2" title="In 3 Practical Simulation of PDMPs through Metropolis Adjustment ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3.2 </span>Path space</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S3.SS3" title="In 3 Practical Simulation of PDMPs through Metropolis Adjustment ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3.3 </span>Approximation of a PDMP</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_subsection"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_paragraph"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S3.SS3.SSS0.Px1" title="In 3.3 Approximation of a PDMP ‣ 3 Practical Simulation of PDMPs through Metropolis Adjustment ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_title">Piecewise constant approximation</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_paragraph"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S3.SS3.SSS0.Px2" title="In 3.3 Approximation of a PDMP ‣ 3 Practical Simulation of PDMPs through Metropolis Adjustment ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_title">Piecewise linear approximation</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_paragraph"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S3.SS3.SSS0.Px3" title="In 3.3 Approximation of a PDMP ‣ 3 Practical Simulation of PDMPs through Metropolis Adjustment ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_title">Local adaptation of the step size</span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S3.SS4" title="In 3 Practical Simulation of PDMPs through Metropolis Adjustment ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3.4 </span>Metropolis-Adjustment of PDMP Discretisations</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S3.SS5" title="In 3 Practical Simulation of PDMPs through Metropolis Adjustment ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3.5 </span>BPS and ZigZag</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_subsection"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsubsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S3.SS5.SSS1" title="In 3.5 BPS and ZigZag ‣ 3 Practical Simulation of PDMPs through Metropolis Adjustment ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3.5.1 </span>BPS</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsubsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S3.SS5.SSS2" title="In 3.5 BPS and ZigZag ‣ 3 Practical Simulation of PDMPs through Metropolis Adjustment ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3.5.2 </span>Zig-Zag process</span></a></li> </ol> </li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S4" title="In Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">4 </span>Refreshing PDMP velocities using a stopping criterion</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S4.SS1" title="In 4 Refreshing PDMP velocities using a stopping criterion ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">4.1 </span>Stopping criterion</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S4.SS2" title="In 4 Refreshing PDMP velocities using a stopping criterion ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">4.2 </span>Algorithm</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S4.SS3" title="In 4 Refreshing PDMP velocities using a stopping criterion ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">4.3 </span>Proof of proposition <span class="ltx_text ltx_ref_tag">7</span></span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S5" title="In Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">5 </span>Doubly-Adaptive PDMP Samplers</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S6" title="In Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">6 </span>Experiments</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S6.SS1" title="In 6 Experiments ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">6.1 </span>Dimensionality scaling</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_subsection"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsubsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S6.SS1.SSS1" title="In 6.1 Dimensionality scaling ‣ 6 Experiments ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">6.1.1 </span>Exact BPS-NUTS</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsubsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S6.SS1.SSS2" title="In 6.1 Dimensionality scaling ‣ 6 Experiments ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">6.1.2 </span>BPS-NUTS with no step-size adaptivity</span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S6.SS2" title="In 6 Experiments ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">6.2 </span>Funnel distribution</span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S7" title="In Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">7 </span>Discussion</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_appendix"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#A1" title="In Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">A </span>Technical lemma</span></a></li> </ol></nav> </nav> <div class="ltx_page_main"> <div class="ltx_page_content"> <article class="ltx_document ltx_authors_1line"> <h1 class="ltx_title ltx_title_document">Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths</h1> <div class="ltx_authors"> <span class="ltx_creator ltx_role_author"> <span class="ltx_personname">A. Chevallier </span><span class="ltx_author_notes"> <span class="ltx_contact ltx_role_affiliation">Université de Strasbourg </span></span></span> <span class="ltx_creator ltx_role_author"> <span class="ltx_personname">S. Power </span><span class="ltx_author_notes"> <span class="ltx_contact ltx_role_affiliation">University of Bristol </span></span></span> <span class="ltx_creator ltx_role_author"> <span class="ltx_personname">M. Sutton </span><span class="ltx_author_notes"> <span class="ltx_contact ltx_role_affiliation">Queensland University of Technology </span></span></span> </div> <div class="ltx_abstract"> <h6 class="ltx_title ltx_title_abstract">Abstract</h6> <p class="ltx_p" id="id1.id1">Piecewise-Deterministic Markov Processes (PDMPs) hold significant promise for sampling from complex probability distributions. However, their practical implementation is hindered by the need to compute model-specific bounds. Conversely, while Hamiltonian Monte Carlo (HMC) offers a generally efficient approach to sampling, its inability to adaptively tune step sizes impedes its performance when sampling complex distributions like funnels.</p> <p class="ltx_p" id="id2.id2">To address these limitations, we introduce three innovative concepts: (a) a Metropolis-adjusted approximation for PDMP simulation that eliminates the need for explicit bounds without compromising the invariant measure, (b) an adaptive step size mechanism compatible with the Metropolis correction, and (c) a No U-Turn Sampler (NUTS)-inspired scheme for dynamically selecting path lengths in PDMPs. These three ideas can be seamlessly integrated into a single, ‘doubly-adaptive’ PDMP sampler with favourable robustness and efficiency properties.</p> </div> <section class="ltx_section" id="S1"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">1 </span>Introduction</h2> <div class="ltx_para" id="S1.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.p1.1">Sampling from complex probability distributions is a fundamental task in Bayesian statistics. Piecewise Deterministic Markov Processes (PDMPs) have emerged as a promising class of methods for this task, with various compelling theoretical and practical features <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#bib.bib1" title="">1</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#bib.bib2" title="">2</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#bib.bib3" title="">3</a>]</cite>. However, despite their promise, the practical implementation of PDMP-based sampling methods has been hindered by the inherent computational complexities involved in simulating these processes. Existing implementations tend to rely on some combination of i) a priori analytical computations, ii) a priori quantitative knowledge of bounds and/or shape constraints on the target measure <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#bib.bib4" title="">4</a>]</cite>, and iii) the use of heuristic approximations, introducing a bias which is not necessarily addressed directly <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#bib.bib5" title="">5</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#bib.bib6" title="">6</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#bib.bib7" title="">7</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#bib.bib8" title="">8</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#bib.bib9" title="">9</a>]</cite>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p2"> <p class="ltx_p" id="S1.p2.1">Mainstream PDMP samplers are velocity-based algorithms, a class which also encompasses Hamiltonian Monte Carlo (HMC) <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#bib.bib10" title="">10</a>]</cite>, Underdamped Langevin Monte Carlo (uLMC) <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#bib.bib11" title="">11</a>]</cite>, and others. These algorithms have broadly demonstrated their effectiveness in Bayesian sampling and make use of cleverly-designed kinetic dynamical systems as a means to navigate complex state spaces, whether deterministic, diffusive, piecewise-deterministic, or otherwise. A recurrent challenge for such methods is to design suitable protocols for updating the velocity variable over time, whether through discrete or continuous refreshment mechanisms.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p3"> <p class="ltx_p" id="S1.p3.4">In the context of Hamiltonian Monte Carlo in particular, the No-U-Turn Sampler (NUTS) has emerged as a solution to this challenge. The core idea of the NUTS mechanism is to adaptively determine the integration time by terminating trajectories when they start to retrace their steps <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#bib.bib12" title="">12</a>]</cite>. While HMC-NUTS has been a substantial development <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#bib.bib13" title="">13</a>]</cite> for the practical adoption of HMC in the Bayesian community, the algorithm is not without limitations. A notable drawback is its lack of local adaptivity in choosing the step size, which can impact the efficiency of exploring target distributions, particularly those with spatial heterogeneity of conditioning. Indeed, HMC relies on a Metropolis correction which imposes that if a transition from <math alttext="x" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p3.1.m1.1"><semantics id="S1.p3.1.m1.1a"><mi id="S1.p3.1.m1.1.1" xref="S1.p3.1.m1.1.1.cmml">x</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p3.1.m1.1b"><ci id="S1.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p3.1.m1.1.1">𝑥</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p3.1.m1.1c">x</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p3.1.m1.1d">italic_x</annotation></semantics></math> to <math alttext="y" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p3.2.m2.1"><semantics id="S1.p3.2.m2.1a"><mi id="S1.p3.2.m2.1.1" xref="S1.p3.2.m2.1.1.cmml">y</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p3.2.m2.1b"><ci id="S1.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.p3.2.m2.1.1">𝑦</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p3.2.m2.1c">y</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p3.2.m2.1d">italic_y</annotation></semantics></math> is possible, then the reverse transition from <math alttext="y" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p3.3.m3.1"><semantics id="S1.p3.3.m3.1a"><mi id="S1.p3.3.m3.1.1" xref="S1.p3.3.m3.1.1.cmml">y</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p3.3.m3.1b"><ci id="S1.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S1.p3.3.m3.1.1">𝑦</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p3.3.m3.1c">y</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p3.3.m3.1d">italic_y</annotation></semantics></math> to <math alttext="x" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p3.4.m4.1"><semantics id="S1.p3.4.m4.1a"><mi id="S1.p3.4.m4.1.1" xref="S1.p3.4.m4.1.1.cmml">x</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p3.4.m4.1b"><ci id="S1.p3.4.m4.1.1.cmml" xref="S1.p3.4.m4.1.1">𝑥</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p3.4.m4.1c">x</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p3.4.m4.1d">italic_x</annotation></semantics></math> must also be valid, which makes a naive local adaptation of the step-size impossible. However, recent advances have introduced strategies to enable adaptive step sizing while preserving the Metropolis correction. One approach incorporates the step size into the state space of the Markov chain itself <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#bib.bib14" title="">14</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#bib.bib15" title="">15</a>]</cite>, while another leverages delayed rejection techniques <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#bib.bib16" title="">16</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#bib.bib17" title="">17</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#bib.bib18" title="">18</a>]</cite>. In all of these methods, the step size remains constant throughout a single HMC iteration but is adapted between iterations, differing from the naive adaptation where the step size varies at each leapfrog step.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p4"> <p class="ltx_p" id="S1.p4.1">In this paper, we introduce three novel algorithms that make PDMP-based sampling both practical and robust.</p> <ol class="ltx_enumerate" id="S1.I1"> <li class="ltx_item" id="S1.I1.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">1.</span> <div class="ltx_para" id="S1.I1.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.I1.i1.p1.1">Our first innovation is a ‘Metropolized’ treatment of PDMPs, which enables the use of numerical approximations in PDMP simulation without introducing additional bias. Moreover, our particular framing has the significant advantage of interfacing gracefully with local adaptivity in the selection of step-sizes and other computational hyperparameters.</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S1.I1.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">2.</span> <div class="ltx_para" id="S1.I1.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.I1.i2.p1.1">The second innovation is to extend the use of the NUTS criterion to (exact) PDMPs, addressing the refreshment challenge specific to this class of processes. This method is not confined to the No-U-Turn criterion and can accommodate alternative criteria for adaptivity, making it a versatile addition to the PDMP sampling toolkit.</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S1.I1.i3" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">3.</span> <div class="ltx_para" id="S1.I1.i3.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.I1.i3.p1.1">Finally, our third innovation combines the strengths of the previous developments into a comprehensive framework for the practical deployment of PDMP samplers—without requiring a priori knowledge of bounds or introducing bias, where <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="S1.I1.i3.p1.1.1">both</em> the step size and the iteration-specific path length are adapted locally. This combined approach provides a robust and practical solution for a wide range of complex target distributions.</p> </div> </li> </ol> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p5"> <p class="ltx_p" id="S1.p5.1">In a series of empirical experiments, we demonstrate the superior robustness and performance of our algorithms in comparison to HMC. Notably, our experiments show that our algorithms outperform HMC, particularly in challenging scenarios such as the Funnel distribution proposed by Radford Neal <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#bib.bib19" title="">19</a>]</cite>. In general, we expect our algorithms to excel (in relative terms) when dealing with complex state spaces characterized by multiple spatial lengthscales.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p6"> <p class="ltx_p" id="S1.p6.1">The paper is organized as follows. The next section introduces key concepts, including PDMP samplers, HMC, and the No-U-Turn Sampler. Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S3" title="3 Practical Simulation of PDMPs through Metropolis Adjustment ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a> discusses the Metropolization of approximate PDMP samplers, while Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S4" title="4 Refreshing PDMP velocities using a stopping criterion ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a> presents a stopping criterion for determining path length in exact PDMP samplers. Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S5" title="5 Doubly-Adaptive PDMP Samplers ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a> integrates these ideas, introducing a Metropolized PDMP approximation with locally adaptive step size and path length. Finally, Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S6" title="6 Experiments ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6</span></a> showcases numerical experiments and the paper concludes with a discussion in Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S7" title="7 Discussion ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7</span></a>.</p> </div> <div class="ltx_pagination ltx_role_newpage"></div> </section> <section class="ltx_section" id="S2"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">2 </span>Concepts</h2> <section class="ltx_subsection" id="S2.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">2.1 </span>Piecewise-Deterministic Markov Processes</h3> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p1.1">Piecewise-deterministic Markov processes (PDMPs) are a class of algorithms for Markov chain Monte Carlo (MCMC) sampling. They are defined as continuous-time stochastic processes which evolve in a piecewise-deterministic manner, in the sense that the process i) moves along deterministic trajectories until ii) a random event occurs, at which point iii) the process jumps to a new state.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p2.3">Concretely, PDMPs are characterised by three natural properties: i) the driving deterministic motion, as described by a vector field <math alttext="\phi" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p2.1.m1.1"><semantics id="S2.SS1.p2.1.m1.1a"><mi id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml">ϕ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p2.1.m1.1b"><ci id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1">italic-ϕ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p2.1.m1.1c">\phi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p2.1.m1.1d">italic_ϕ</annotation></semantics></math>, ii) the event rate <math alttext="\lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p2.2.m2.1"><semantics id="S2.SS1.p2.2.m2.1a"><mi id="S2.SS1.p2.2.m2.1.1" xref="S2.SS1.p2.2.m2.1.1.cmml">λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p2.2.m2.1b"><ci id="S2.SS1.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.2.m2.1.1">𝜆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p2.2.m2.1c">\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p2.2.m2.1d">italic_λ</annotation></semantics></math>, which designates the local probability of a jump occurring at a given location, and iii) the jump kernel <math alttext="Q" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p2.3.m3.1"><semantics id="S2.SS1.p2.3.m3.1a"><mi id="S2.SS1.p2.3.m3.1.1" xref="S2.SS1.p2.3.m3.1.1.cmml">Q</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p2.3.m3.1b"><ci id="S2.SS1.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.3.m3.1.1">𝑄</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p2.3.m3.1c">Q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p2.3.m3.1d">italic_Q</annotation></semantics></math>, which determines the law of where the process jumps to, given an event at a given location.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p3"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p3.1">Practical simulation of PDMPs then reduces to i) solving the ODE corresponding to the deterministic motion, ii) simulating event times, and iii) simulating the jumps which occur at the jump times. For most PDMPs of practical interest, the process is designed so that i) and iii) are trivially solvable, and so the main challenges arise in solving ii), i.e. simulating event times. For ‘exact’ implementations of PDMPs, this requires bounds on the value of the jump rate <math alttext="\lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p3.1.m1.1"><semantics id="S2.SS1.p3.1.m1.1a"><mi id="S2.SS1.p3.1.m1.1.1" xref="S2.SS1.p3.1.m1.1.1.cmml">λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p3.1.m1.1b"><ci id="S2.SS1.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.1.m1.1.1">𝜆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p3.1.m1.1c">\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p3.1.m1.1d">italic_λ</annotation></semantics></math> along the path of the process, which typically requires a priori analytical knowledge about the size, shape, or other characteristics of the target measure. This represents a substantial bottleneck for the general-purpose adoption of PDMPs.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p4"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p4.1">While a number of approximate solutions have been proposed <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#bib.bib5" title="">5</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#bib.bib6" title="">6</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#bib.bib7" title="">7</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#bib.bib8" title="">8</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#bib.bib9" title="">9</a>]</cite> and have shown reasonable practical performance, in this work we focus on strategies which are <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.SS1.p4.1.1">asymptotically exact</span>, i.e. the invariant measure of the simulated process is precisely the probability measure of interest. We pursue this in the interests of simplicity and composability, noting that it i) sidesteps the thorny technical issue of bias control and estimation, and ii) enables the straightforward nesting of resulting algorithms within other Monte Carlo pipelines, mitigating the possibility of biases and errors propagating along a workflow.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S2.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">2.2 </span>Kinetic Methods for MCMC Sampling</h3> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p1.3">Many ‘first-generation’ methods for MCMC sampling on Euclidean spaces are based around the simple notion of simulating some physical motion of a ‘simple’ particle <math alttext="x\in\mathbb{R}^{d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.SS2.p1.1.m1.1a"><mrow id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.2" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.1" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.3" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml">d</mi></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.1.m1.1b"><apply id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1"><in id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.1"></in><ci id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.2">𝑥</ci><apply id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.3.2">ℝ</ci><ci id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.3.3">𝑑</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.1.m1.1c">x\in\mathbb{R}^{d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.1.m1.1d">italic_x ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, stochastic, deterministic, or otherwise, so that the law of <math alttext="x" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.2.m2.1"><semantics id="S2.SS2.p1.2.m2.1a"><mi id="S2.SS2.p1.2.m2.1.1" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.cmml">x</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.2.m2.1b"><ci id="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.1">𝑥</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.2.m2.1c">x</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.2.m2.1d">italic_x</annotation></semantics></math> eventually tends to the measure of interest, <math alttext="\pi" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.3.m3.1"><semantics id="S2.SS2.p1.3.m3.1a"><mi id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.cmml">π</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.3.m3.1b"><ci id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1">𝜋</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.3.m3.1c">\pi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.3.m3.1d">italic_π</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.p2"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p2.6">A substantial practical innovation in subsequent generations has been to instead simulate the motion of a ‘kinetic’ particle <math alttext="\left(x,v\right)\in\mathbb{R}^{d}\times\mathbb{R}^{d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.1.m1.2"><semantics id="S2.SS2.p2.1.m1.2a"><mrow id="S2.SS2.p2.1.m1.2.3" xref="S2.SS2.p2.1.m1.2.3.cmml"><mrow id="S2.SS2.p2.1.m1.2.3.2.2" xref="S2.SS2.p2.1.m1.2.3.2.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p2.1.m1.2.3.2.2.1" xref="S2.SS2.p2.1.m1.2.3.2.1.cmml">(</mo><mi id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S2.SS2.p2.1.m1.2.3.2.2.2" xref="S2.SS2.p2.1.m1.2.3.2.1.cmml">,</mo><mi id="S2.SS2.p2.1.m1.2.2" xref="S2.SS2.p2.1.m1.2.2.cmml">v</mi><mo id="S2.SS2.p2.1.m1.2.3.2.2.3" xref="S2.SS2.p2.1.m1.2.3.2.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.SS2.p2.1.m1.2.3.1" xref="S2.SS2.p2.1.m1.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="S2.SS2.p2.1.m1.2.3.3" xref="S2.SS2.p2.1.m1.2.3.3.cmml"><msup id="S2.SS2.p2.1.m1.2.3.3.2" xref="S2.SS2.p2.1.m1.2.3.3.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.1.m1.2.3.3.2.2" xref="S2.SS2.p2.1.m1.2.3.3.2.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S2.SS2.p2.1.m1.2.3.3.2.3" xref="S2.SS2.p2.1.m1.2.3.3.2.3.cmml">d</mi></msup><mo id="S2.SS2.p2.1.m1.2.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.SS2.p2.1.m1.2.3.3.1.cmml">×</mo><msup id="S2.SS2.p2.1.m1.2.3.3.3" xref="S2.SS2.p2.1.m1.2.3.3.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.1.m1.2.3.3.3.2" xref="S2.SS2.p2.1.m1.2.3.3.3.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S2.SS2.p2.1.m1.2.3.3.3.3" xref="S2.SS2.p2.1.m1.2.3.3.3.3.cmml">d</mi></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.1.m1.2b"><apply id="S2.SS2.p2.1.m1.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.2.3"><in id="S2.SS2.p2.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.2.3.1"></in><interval closure="open" id="S2.SS2.p2.1.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.2.3.2.2"><ci id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1">𝑥</ci><ci id="S2.SS2.p2.1.m1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.2.2">𝑣</ci></interval><apply id="S2.SS2.p2.1.m1.2.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.2.3.3"><times id="S2.SS2.p2.1.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.2.3.3.1"></times><apply id="S2.SS2.p2.1.m1.2.3.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.1.m1.2.3.3.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.2.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.1.m1.2.3.3.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.2.3.3.2.2">ℝ</ci><ci id="S2.SS2.p2.1.m1.2.3.3.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.2.3.3.2.3">𝑑</ci></apply><apply id="S2.SS2.p2.1.m1.2.3.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.2.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.1.m1.2.3.3.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.2.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.1.m1.2.3.3.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.2.3.3.3.2">ℝ</ci><ci id="S2.SS2.p2.1.m1.2.3.3.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.2.3.3.3.3">𝑑</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.1.m1.2c">\left(x,v\right)\in\mathbb{R}^{d}\times\mathbb{R}^{d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.1.m1.2d">( italic_x , italic_v ) ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT × blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, i.e. a particle with both a position and a velocity. In a suitable limit, one typically specifies the process such that the law of <math alttext="\left(x,v\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.2.m2.2"><semantics id="S2.SS2.p2.2.m2.2a"><mrow id="S2.SS2.p2.2.m2.2.3.2" xref="S2.SS2.p2.2.m2.2.3.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p2.2.m2.2.3.2.1" xref="S2.SS2.p2.2.m2.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.SS2.p2.2.m2.1.1" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.cmml">x</mi><mo id="S2.SS2.p2.2.m2.2.3.2.2" xref="S2.SS2.p2.2.m2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.SS2.p2.2.m2.2.2" xref="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.cmml">v</mi><mo id="S2.SS2.p2.2.m2.2.3.2.3" xref="S2.SS2.p2.2.m2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.2.m2.2b"><interval closure="open" id="S2.SS2.p2.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.2.3.2"><ci id="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.1">𝑥</ci><ci id="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.2.2">𝑣</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.2.m2.2c">\left(x,v\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.2.m2.2d">( italic_x , italic_v )</annotation></semantics></math> asymptotically tends to <math alttext="\pi\otimes\psi" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.3.m3.1"><semantics id="S2.SS2.p2.3.m3.1a"><mrow id="S2.SS2.p2.3.m3.1.1" xref="S2.SS2.p2.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.3.m3.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.3.m3.1.1.2.cmml">π</mi><mo id="S2.SS2.p2.3.m3.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.SS2.p2.3.m3.1.1.1.cmml">⊗</mo><mi id="S2.SS2.p2.3.m3.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.3.m3.1.1.3.cmml">ψ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.3.m3.1b"><apply id="S2.SS2.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m3.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS2.p2.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m3.1.1.1">tensor-product</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m3.1.1.2">𝜋</ci><ci id="S2.SS2.p2.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m3.1.1.3">𝜓</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.3.m3.1c">\pi\otimes\psi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.3.m3.1d">italic_π ⊗ italic_ψ</annotation></semantics></math> for some simple law <math alttext="\psi" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.4.m4.1"><semantics id="S2.SS2.p2.4.m4.1a"><mi id="S2.SS2.p2.4.m4.1.1" xref="S2.SS2.p2.4.m4.1.1.cmml">ψ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.4.m4.1b"><ci id="S2.SS2.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.4.m4.1.1">𝜓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.4.m4.1c">\psi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.4.m4.1d">italic_ψ</annotation></semantics></math>, often e.g. a standard Gaussian. For kinetic systems, the dynamics are generally specified such that position <math alttext="x" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.5.m5.1"><semantics id="S2.SS2.p2.5.m5.1a"><mi id="S2.SS2.p2.5.m5.1.1" xref="S2.SS2.p2.5.m5.1.1.cmml">x</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.5.m5.1b"><ci id="S2.SS2.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.5.m5.1.1">𝑥</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.5.m5.1c">x</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.5.m5.1d">italic_x</annotation></semantics></math> moves in the direction of the velocity <math alttext="v" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.6.m6.1"><semantics id="S2.SS2.p2.6.m6.1a"><mi id="S2.SS2.p2.6.m6.1.1" xref="S2.SS2.p2.6.m6.1.1.cmml">v</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.6.m6.1b"><ci id="S2.SS2.p2.6.m6.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.6.m6.1.1">𝑣</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.6.m6.1c">v</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.6.m6.1d">italic_v</annotation></semantics></math>. As such, the creative freedom in designing kinetic MCMC algorithms arises in how the velocity changes over time, whether through diffusion <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#bib.bib11" title="">11</a>]</cite>, through a combination of deterministic motion with discrete refreshment <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#bib.bib10" title="">10</a>]</cite>, or other approaches. In various distinct settings, it has been observed that well-designed ‘kinetic’ processes can have vastly improved convergence properties relative to their ‘simple’ counterparts, both in theory and in practice. This has thus motivated substantial interest in the topic from all sides.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.p3"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p3.3">Hand-in-hand with this potential for improved convergence properties, a consistently-observed feature of various kinetic MCMC methods is that tuning of algorithmic hyperparameters requires particular care. In particular, for the sake of ergodicity, many such methods include some notion of ‘refreshment’ of the velocity, wherein the position <math alttext="x" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p3.1.m1.1"><semantics id="S2.SS2.p3.1.m1.1a"><mi id="S2.SS2.p3.1.m1.1.1" xref="S2.SS2.p3.1.m1.1.1.cmml">x</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p3.1.m1.1b"><ci id="S2.SS2.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.1.1">𝑥</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p3.1.m1.1c">x</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p3.1.m1.1d">italic_x</annotation></semantics></math> is held fixed, and the velocity <math alttext="v" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p3.2.m2.1"><semantics id="S2.SS2.p3.2.m2.1a"><mi id="S2.SS2.p3.2.m2.1.1" xref="S2.SS2.p3.2.m2.1.1.cmml">v</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p3.2.m2.1b"><ci id="S2.SS2.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.1.1">𝑣</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p3.2.m2.1c">v</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p3.2.m2.1d">italic_v</annotation></semantics></math> is blended (either fully or partially) with a fresh sample from <math alttext="\psi" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p3.3.m3.1"><semantics id="S2.SS2.p3.3.m3.1a"><mi id="S2.SS2.p3.3.m3.1.1" xref="S2.SS2.p3.3.m3.1.1.cmml">ψ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p3.3.m3.1b"><ci id="S2.SS2.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.3.m3.1.1">𝜓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p3.3.m3.1c">\psi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p3.3.m3.1d">italic_ψ</annotation></semantics></math>. While simple in principle, the practitioner must decide both i) how frequently such refreshments should occur and ii) how aggressively these refreshments should alter the velocity.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S2.SS3"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">2.3 </span>Hamiltonian Monte Carlo, and the No U-Turn Criterion</h3> <div class="ltx_para" id="S2.SS3.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.p1.3">The pre-eminent example of a kinetic MCMC procedure is arguably the Hamiltonian Monte Carlo (HMC) algorithm <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#bib.bib10" title="">10</a>]</cite>. Given a kinetic particle <math alttext="\left(x,v\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.1.m1.2"><semantics id="S2.SS3.p1.1.m1.2a"><mrow id="S2.SS3.p1.1.m1.2.3.2" xref="S2.SS3.p1.1.m1.2.3.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.1.m1.2.3.2.1" xref="S2.SS3.p1.1.m1.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S2.SS3.p1.1.m1.2.3.2.2" xref="S2.SS3.p1.1.m1.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.SS3.p1.1.m1.2.2" xref="S2.SS3.p1.1.m1.2.2.cmml">v</mi><mo id="S2.SS3.p1.1.m1.2.3.2.3" xref="S2.SS3.p1.1.m1.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.1.m1.2b"><interval closure="open" id="S2.SS3.p1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.1.m1.2.3.2"><ci id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1">𝑥</ci><ci id="S2.SS3.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.1.m1.2.2">𝑣</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.1.m1.2c">\left(x,v\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.1.m1.2d">( italic_x , italic_v )</annotation></semantics></math>, HMC generates proposal moves by numerically simulating Hamiltonian dynamics with respect to the Hamiltonian function <math alttext="H\left(x,v\right)=-\log\pi\left(x\right)+\frac{1}{2}\left|v\right|^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.2.m2.4"><semantics id="S2.SS3.p1.2.m2.4a"><mrow id="S2.SS3.p1.2.m2.4.5" xref="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.cmml"><mrow id="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.2" xref="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.2.2" xref="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.2.2.cmml">H</mi><mo id="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.2.1" xref="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.2.3.2" xref="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.2.3.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.2.3.2.1" xref="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.SS3.p1.2.m2.1.1" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.cmml">x</mi><mo id="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.2.3.2.2" xref="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.SS3.p1.2.m2.2.2" xref="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.cmml">v</mi><mo id="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.2.3.2.3" xref="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.1" xref="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3" xref="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.cmml"><mrow id="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.2" xref="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.2.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.2a" rspace="0.167em" xref="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.2.cmml">−</mo><mrow id="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.2.2" xref="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.2.2.cmml"><mrow id="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.2.2.2" xref="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.2.2.2.1" xref="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.2.2.2.1.cmml">log</mi><mo id="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.2.2.2a" lspace="0.167em" xref="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.2.2.2.cmml">⁡</mo><mi id="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.2.2.2.2" xref="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.2.2.2.2.cmml">π</mi></mrow><mo id="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.2.2.1" xref="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.2.2.3.2" xref="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.2.2.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.2.2.3.2.1" xref="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS3.p1.2.m2.3.3" xref="S2.SS3.p1.2.m2.3.3.cmml">x</mi><mo id="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.2.2.3.2.2" xref="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.1" xref="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.3" xref="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.3.cmml"><mfrac id="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.3.2" xref="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.3.2.cmml"><mn id="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.3.2.2" xref="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.3.2.2.cmml">1</mn><mn id="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.3.2.3" xref="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.3.1" xref="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.3.3" xref="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.3.3.cmml"><mrow id="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.3.3.2.2" xref="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.3.3.2.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.3.3.2.2.1" xref="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.3.3.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="S2.SS3.p1.2.m2.4.4" xref="S2.SS3.p1.2.m2.4.4.cmml">v</mi><mo id="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.3.3.2.2.2" xref="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.3.3.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.3.3.3" xref="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.2.m2.4b"><apply id="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.4.5"><eq id="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.1"></eq><apply id="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.2"><times id="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.2.1"></times><ci id="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.2.2">𝐻</ci><interval closure="open" id="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.2.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.2.3.2"><ci id="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.1">𝑥</ci><ci id="S2.SS3.p1.2.m2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.2.2">𝑣</ci></interval></apply><apply id="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3"><plus id="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.1"></plus><apply id="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.2"><minus id="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.2"></minus><apply id="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.2.2"><times id="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.2.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.2.2.1"></times><apply id="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.2.2.2"><log id="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.2.2.2.1"></log><ci id="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.2.2.2.2">𝜋</ci></apply><ci id="S2.SS3.p1.2.m2.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.3.3">𝑥</ci></apply></apply><apply id="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.3"><times id="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.3.1"></times><apply id="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.3.2"><divide id="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.3.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.3.2"></divide><cn id="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.3.2.2">1</cn><cn id="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.3.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.3.3">superscript</csymbol><apply id="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.3.3.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.3.3.2.2"><abs id="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.3.3.2.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.3.3.2.2.1"></abs><ci id="S2.SS3.p1.2.m2.4.4.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.4.4">𝑣</ci></apply><cn id="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p1.2.m2.4.5.3.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.2.m2.4c">H\left(x,v\right)=-\log\pi\left(x\right)+\frac{1}{2}\left|v\right|^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.2.m2.4d">italic_H ( italic_x , italic_v ) = - roman_log italic_π ( italic_x ) + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG | italic_v | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, and then accepting or rejecting the proposed move with a suitable Metropolis adjustment step. These moves are interleaved with ‘full refreshments’ of the velocity, i.e. drawing <math alttext="v\sim\psi=\mathcal{N}\left(0,I_{d}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.3.m3.2"><semantics id="S2.SS3.p1.3.m3.2a"><mrow id="S2.SS3.p1.3.m3.2.2" xref="S2.SS3.p1.3.m3.2.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.3.m3.2.2.3" xref="S2.SS3.p1.3.m3.2.2.3.cmml">v</mi><mo id="S2.SS3.p1.3.m3.2.2.4" xref="S2.SS3.p1.3.m3.2.2.4.cmml">∼</mo><mi id="S2.SS3.p1.3.m3.2.2.5" xref="S2.SS3.p1.3.m3.2.2.5.cmml">ψ</mi><mo id="S2.SS3.p1.3.m3.2.2.6" xref="S2.SS3.p1.3.m3.2.2.6.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS3.p1.3.m3.2.2.1" xref="S2.SS3.p1.3.m3.2.2.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS3.p1.3.m3.2.2.1.3" xref="S2.SS3.p1.3.m3.2.2.1.3.cmml">𝒩</mi><mo id="S2.SS3.p1.3.m3.2.2.1.2" xref="S2.SS3.p1.3.m3.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p1.3.m3.2.2.1.1.1" xref="S2.SS3.p1.3.m3.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.3.m3.2.2.1.1.1.2" xref="S2.SS3.p1.3.m3.2.2.1.1.2.cmml">(</mo><mn id="S2.SS3.p1.3.m3.1.1" xref="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.cmml">0</mn><mo id="S2.SS3.p1.3.m3.2.2.1.1.1.3" xref="S2.SS3.p1.3.m3.2.2.1.1.2.cmml">,</mo><msub id="S2.SS3.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.2" xref="S2.SS3.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.2.cmml">I</mi><mi id="S2.SS3.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.3" xref="S2.SS3.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.3.cmml">d</mi></msub><mo id="S2.SS3.p1.3.m3.2.2.1.1.1.4" xref="S2.SS3.p1.3.m3.2.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.3.m3.2b"><apply id="S2.SS3.p1.3.m3.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m3.2.2"><and id="S2.SS3.p1.3.m3.2.2a.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m3.2.2"></and><apply id="S2.SS3.p1.3.m3.2.2b.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m3.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS3.p1.3.m3.2.2.4.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m3.2.2.4">similar-to</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.3.m3.2.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m3.2.2.3">𝑣</ci><ci id="S2.SS3.p1.3.m3.2.2.5.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m3.2.2.5">𝜓</ci></apply><apply id="S2.SS3.p1.3.m3.2.2c.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m3.2.2"><eq id="S2.SS3.p1.3.m3.2.2.6.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m3.2.2.6"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S2.SS3.p1.3.m3.2.2.5.cmml" id="S2.SS3.p1.3.m3.2.2d.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m3.2.2"></share><apply id="S2.SS3.p1.3.m3.2.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m3.2.2.1"><times id="S2.SS3.p1.3.m3.2.2.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m3.2.2.1.2"></times><ci id="S2.SS3.p1.3.m3.2.2.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m3.2.2.1.3">𝒩</ci><interval closure="open" id="S2.SS3.p1.3.m3.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m3.2.2.1.1.1"><cn id="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p1.3.m3.1.1">0</cn><apply id="S2.SS3.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.2">𝐼</ci><ci id="S2.SS3.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.3">𝑑</ci></apply></interval></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.3.m3.2c">v\sim\psi=\mathcal{N}\left(0,I_{d}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.3.m3.2d">italic_v ∼ italic_ψ = caligraphic_N ( 0 , italic_I start_POSTSUBSCRIPT italic_d end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> independently of the current state. See <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#bib.bib10" title="">10</a>]</cite> and <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#bib.bib20" title="">20</a>]</cite> for a nice review.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS3.p2"> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.p2.1">From a tuning perspective, one key decision in HMC is how long of a dynamical trajectory to simulate before making the accept-reject decision. For too short a trajectory, the process loses the benefits its kinetic character, sacrificing potential improvements in convergence behaviour. On the other hand, the simulation of longer trajectories incurs a higher computational cost and eventually admits diminishing returns with respect to mixing behavior. Some strategies have been proposed (e.g. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#bib.bib21" title="">21</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#bib.bib22" title="">22</a>]</cite>) for tuning the trajectory length in an online fashion, but these typically focused on ‘global’ strategies, i.e. using a single trajectory length, uniformly with respect to the starting position.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS3.p3"> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.p3.1">A substantial innovation was the No U-Turn Criterion <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#bib.bib12" title="">12</a>]</cite>, which proposed an automated procedure for adaptively determining a quasi-optimal trajectory length on an instance-by-instance basis. This enables the algorithm to develop long trajectories in challenging parts of the state space, while falling back to shorter trajectories in more regular regions. Roughly speaking, the algorithm proceeds by generating the Hamiltonian trajectory both forwards <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.SS3.p3.1.1">and</span> backwards in time from the initial state, growing it outwards until the trajectory begins to ‘double back’ on itself, committing a ‘U-Turn’ of sorts. Once this happens, the trajectory is fixed, and the next state is drawn from the full collection of states generated along the trajectory, according to a suitable discrete distribution. The resulting MCMC algorithm is known as the No U-Turn Sampler (NUTS), a version of which is the basis of the MCMC engine of the Stan Probabilistic Programming Languages. By publicly presenting a well-engineered version of this automatically-adapted and self-tuning sampler, Stan has arguably enabled HMC to become the de facto algorithm of choice for general-purposed Bayesian posterior simulation in the current era.</p> </div> <div class="ltx_pagination ltx_role_newpage"></div> </section> </section> <section class="ltx_section" id="S3"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">3 </span>Practical Simulation of PDMPs through Metropolis Adjustment</h2> <div class="ltx_para" id="S3.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.p1.4">In this section, we show how to use the approximation of a PDMP as a Metropolis proposal. To achieve a high acceptance rate for a Metropolis proposal transitioning from state <math alttext="x" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.p1.1.m1.1a"><mi id="S3.p1.1.m1.1.1" xref="S3.p1.1.m1.1.1.cmml">x</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.1.m1.1b"><ci id="S3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.p1.1.m1.1.1">𝑥</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.1.m1.1c">x</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.1.m1.1d">italic_x</annotation></semantics></math> to state <math alttext="y" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.p1.2.m2.1a"><mi id="S3.p1.2.m2.1.1" xref="S3.p1.2.m2.1.1.cmml">y</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.2.m2.1b"><ci id="S3.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.p1.2.m2.1.1">𝑦</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.2.m2.1c">y</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.2.m2.1d">italic_y</annotation></semantics></math>, there must be a corresponding proposal allowing the reverse transition from <math alttext="y" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.3.m3.1"><semantics id="S3.p1.3.m3.1a"><mi id="S3.p1.3.m3.1.1" xref="S3.p1.3.m3.1.1.cmml">y</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.3.m3.1b"><ci id="S3.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.p1.3.m3.1.1">𝑦</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.3.m3.1c">y</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.3.m3.1d">italic_y</annotation></semantics></math> to <math alttext="x" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.4.m4.1"><semantics id="S3.p1.4.m4.1a"><mi id="S3.p1.4.m4.1.1" xref="S3.p1.4.m4.1.1.cmml">x</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.4.m4.1b"><ci id="S3.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.p1.4.m4.1.1">𝑥</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.4.m4.1c">x</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.4.m4.1d">italic_x</annotation></semantics></math>. To accomplish this, we use the <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.p1.4.1">time-reversal</span> since it exhibits skew-reversibility properties.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.p2.1">Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S3.SS1" title="3.1 Time-reversal and skew-reversibility ‣ 3 Practical Simulation of PDMPs through Metropolis Adjustment ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3.1</span></a> defines what the <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.p2.1.1">time-reversal</span> process is for a given PDMP, and establishes a skew-reversibility property for the exact process. Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S3.SS2" title="3.2 Path space ‣ 3 Practical Simulation of PDMPs through Metropolis Adjustment ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3.2</span></a> rigorously introduces path spaces for PDMP and defines relevant probability measures on said spaces. Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S3.SS3" title="3.3 Approximation of a PDMP ‣ 3 Practical Simulation of PDMPs through Metropolis Adjustment ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3.3</span></a> details the construction of the PDMP approximation. Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S3.SS4" title="3.4 Metropolis-Adjustment of PDMP Discretisations ‣ 3 Practical Simulation of PDMPs through Metropolis Adjustment ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3.4</span></a> then shows how to build the Metropolis adjustment for the approximated process.</p> </div> <section class="ltx_subsection" id="S3.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">3.1 </span>Time-reversal and skew-reversibility</h3> <div class="ltx_para" id="S3.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p1.9">The time-reversal of the process <math alttext="Z_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p1.1.m1.1a"><msub id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2.cmml">Z</mi><mi id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2">𝑍</ci><ci id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.1.m1.1c">Z_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.1.m1.1d">italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> on <math alttext="[0,T]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.2.m2.2"><semantics id="S3.SS1.p1.2.m2.2a"><mrow id="S3.SS1.p1.2.m2.2.3.2" xref="S3.SS1.p1.2.m2.2.3.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.2.m2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.2.m2.2.3.1.cmml">[</mo><mn id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.SS1.p1.2.m2.2.3.2.2" xref="S3.SS1.p1.2.m2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS1.p1.2.m2.2.2" xref="S3.SS1.p1.2.m2.2.2.cmml">T</mi><mo id="S3.SS1.p1.2.m2.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.2.m2.2.3.1.cmml">]</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.2.m2.2b"><interval closure="closed" id="S3.SS1.p1.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m2.2.3.2"><cn id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1">0</cn><ci id="S3.SS1.p1.2.m2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m2.2.2">𝑇</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.2.m2.2c">[0,T]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.2.m2.2d">[ 0 , italic_T ]</annotation></semantics></math> is defined as <math alttext="Z_{T-t}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.3.m3.1"><semantics id="S3.SS1.p1.3.m3.1a"><msub id="S3.SS1.p1.3.m3.1.1" xref="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.2.cmml">Z</mi><mrow id="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.3.2.cmml">T</mi><mo id="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.3.1" xref="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.3.1.cmml">−</mo><mi id="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.3.3" xref="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.3.m3.1b"><apply id="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.2">𝑍</ci><apply id="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.3"><minus id="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.3.1"></minus><ci id="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.3.2">𝑇</ci><ci id="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.3.m3.1c">Z_{T-t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.3.m3.1d">italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_T - italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> for <math alttext="t\in[0,T]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.4.m4.2"><semantics id="S3.SS1.p1.4.m4.2a"><mrow id="S3.SS1.p1.4.m4.2.3" xref="S3.SS1.p1.4.m4.2.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.4.m4.2.3.2" xref="S3.SS1.p1.4.m4.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S3.SS1.p1.4.m4.2.3.1" xref="S3.SS1.p1.4.m4.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.SS1.p1.4.m4.2.3.3.2" xref="S3.SS1.p1.4.m4.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.4.m4.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.4.m4.2.3.3.1.cmml">[</mo><mn id="S3.SS1.p1.4.m4.1.1" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.SS1.p1.4.m4.2.3.3.2.2" xref="S3.SS1.p1.4.m4.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS1.p1.4.m4.2.2" xref="S3.SS1.p1.4.m4.2.2.cmml">T</mi><mo id="S3.SS1.p1.4.m4.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.4.m4.2.3.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.4.m4.2b"><apply id="S3.SS1.p1.4.m4.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.2.3"><in id="S3.SS1.p1.4.m4.2.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.2.3.1"></in><ci id="S3.SS1.p1.4.m4.2.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.2.3.2">𝑡</ci><interval closure="closed" id="S3.SS1.p1.4.m4.2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.2.3.3.2"><cn id="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.1">0</cn><ci id="S3.SS1.p1.4.m4.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.2.2">𝑇</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.4.m4.2c">t\in[0,T]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.4.m4.2d">italic_t ∈ [ 0 , italic_T ]</annotation></semantics></math>. It has been shown <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#bib.bib23" title="">23</a>]</cite> that the time-reversed process over <math alttext="[0,T]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.5.m5.2"><semantics id="S3.SS1.p1.5.m5.2a"><mrow id="S3.SS1.p1.5.m5.2.3.2" xref="S3.SS1.p1.5.m5.2.3.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.5.m5.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.5.m5.2.3.1.cmml">[</mo><mn id="S3.SS1.p1.5.m5.1.1" xref="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.SS1.p1.5.m5.2.3.2.2" xref="S3.SS1.p1.5.m5.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS1.p1.5.m5.2.2" xref="S3.SS1.p1.5.m5.2.2.cmml">T</mi><mo id="S3.SS1.p1.5.m5.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.5.m5.2.3.1.cmml">]</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.5.m5.2b"><interval closure="closed" id="S3.SS1.p1.5.m5.2.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m5.2.3.2"><cn id="S3.SS1.p1.5.m5.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p1.5.m5.1.1">0</cn><ci id="S3.SS1.p1.5.m5.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m5.2.2">𝑇</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.5.m5.2c">[0,T]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.5.m5.2d">[ 0 , italic_T ]</annotation></semantics></math> is also a PDMP, whose characteristics can be identified more-or-less explicitly; we write <math alttext="\lambda^{r}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.6.m6.1"><semantics id="S3.SS1.p1.6.m6.1a"><msup id="S3.SS1.p1.6.m6.1.1" xref="S3.SS1.p1.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.6.m6.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.6.m6.1.1.2.cmml">λ</mi><mi id="S3.SS1.p1.6.m6.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.6.m6.1.1.3.cmml">r</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.6.m6.1b"><apply id="S3.SS1.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.6.m6.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.6.m6.1.1.2">𝜆</ci><ci id="S3.SS1.p1.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.6.m6.1.1.3">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.6.m6.1c">\lambda^{r}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.6.m6.1d">italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="Q^{r}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.7.m7.1"><semantics id="S3.SS1.p1.7.m7.1a"><msup id="S3.SS1.p1.7.m7.1.1" xref="S3.SS1.p1.7.m7.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.7.m7.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.7.m7.1.1.2.cmml">Q</mi><mi id="S3.SS1.p1.7.m7.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.7.m7.1.1.3.cmml">r</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.7.m7.1b"><apply id="S3.SS1.p1.7.m7.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.7.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.7.m7.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.7.m7.1.1.2">𝑄</ci><ci id="S3.SS1.p1.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.7.m7.1.1.3">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.7.m7.1c">Q^{r}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.7.m7.1d">italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> for its jump rate and jump kernel. The general construction of the reverse process, that is <math alttext="\lambda^{r}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.8.m8.1"><semantics id="S3.SS1.p1.8.m8.1a"><msup id="S3.SS1.p1.8.m8.1.1" xref="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.2.cmml">λ</mi><mi id="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.3.cmml">r</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.8.m8.1b"><apply id="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.8.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.8.m8.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.2">𝜆</ci><ci id="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.8.m8.1.1.3">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.8.m8.1c">\lambda^{r}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.8.m8.1d">italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="Q^{r}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.9.m9.1"><semantics id="S3.SS1.p1.9.m9.1a"><msup id="S3.SS1.p1.9.m9.1.1" xref="S3.SS1.p1.9.m9.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.9.m9.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.9.m9.1.1.2.cmml">Q</mi><mi id="S3.SS1.p1.9.m9.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.9.m9.1.1.3.cmml">r</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.9.m9.1b"><apply id="S3.SS1.p1.9.m9.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.9.m9.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.9.m9.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.9.m9.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.9.m9.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.9.m9.1.1.2">𝑄</ci><ci id="S3.SS1.p1.9.m9.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.9.m9.1.1.3">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.9.m9.1c">Q^{r}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.9.m9.1d">italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, can be found in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#bib.bib23" title="">23</a>]</cite>. We give here a special case that applies to both Bouncy Particle Sampler and Zig-Zag.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_proposition" id="Thmproposition1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmproposition1.1.1.1">Proposition 1</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmproposition1.2.2"> </span>(Practical time-reversal)<span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmproposition1.3.3">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmproposition1.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmproposition1.p1.6"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmproposition1.p1.6.6">Assuming that <math alttext="Z_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.1a"><msub id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmproposition1.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmproposition1.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">Z</mi><mi id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmproposition1.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmproposition1.p1.1.1.m1.1.1.2">𝑍</ci><ci id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmproposition1.p1.1.1.m1.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.1c">Z_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.1d">italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is a PDMP with deterministic flow <math alttext="\phi_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1a"><msub id="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">ϕ</mi><mi id="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml">t</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.1.2">italic-ϕ</ci><ci id="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1c">\phi_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1d">italic_ϕ start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, jump rate <math alttext="\lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.1"><semantics id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.1a"><mi id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1.cmml">λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.1b"><ci id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1">𝜆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.1c">\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.1d">italic_λ</annotation></semantics></math> and jump kernel <math alttext="Q(z,\cdot)=\delta_{F(z)}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.3"><semantics id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.3a"><mrow id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.3.4" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.3.4.cmml"><mrow id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.3.4.2" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.3.4.2.cmml"><mi id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.3.4.2.2" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.3.4.2.2.cmml">Q</mi><mo id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.3.4.2.1" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.3.4.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.3.4.2.3.2" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.3.4.2.3.1.cmml"><mo id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.3.4.2.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.3.4.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.2.2" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.2.2.cmml">z</mi><mo id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.3.4.2.3.2.2" rspace="0em" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.3.4.2.3.1.cmml">,</mo><mo id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.3.3" lspace="0em" rspace="0em" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.3.3.cmml">⋅</mo><mo id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.3.4.2.3.2.3" stretchy="false" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.3.4.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.3.4.1" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.3.4.1.cmml">=</mo><msub id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.3.4.3" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.3.4.3.cmml"><mi id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.3.4.3.2" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.3.4.3.2.cmml">δ</mi><mrow id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.1.1.1" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml"><mi id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.1.1.1.3" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.1.1.1.3.cmml">F</mi><mo id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.1.1.1.2" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.1.1.1.4.2" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml"><mo id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.1.1.1.1" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.cmml">z</mi><mo id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.3b"><apply id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.3.4.cmml" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.3.4"><eq id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.3.4.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.3.4.1"></eq><apply id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.3.4.2.cmml" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.3.4.2"><times id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.3.4.2.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.3.4.2.1"></times><ci id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.3.4.2.2.cmml" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.3.4.2.2">𝑄</ci><interval closure="open" id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.3.4.2.3.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.3.4.2.3.2"><ci id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.2.2.cmml" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.2.2">𝑧</ci><ci id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.3.3.cmml" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.3.3">⋅</ci></interval></apply><apply id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.3.4.3.cmml" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.3.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.3.4.3.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.3.4.3">subscript</csymbol><ci id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.3.4.3.2.cmml" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.3.4.3.2">𝛿</ci><apply id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.1.1.1"><times id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.1.1.1.2.cmml" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.1.1.1.2"></times><ci id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.1.1.1.3.cmml" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.1.1.1.3">𝐹</ci><ci id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.1.1.1.1">𝑧</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.3c">Q(z,\cdot)=\delta_{F(z)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.3d">italic_Q ( italic_z , ⋅ ) = italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_F ( italic_z ) end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> where <math alttext="F" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition1.p1.5.5.m5.1"><semantics id="Thmproposition1.p1.5.5.m5.1a"><mi id="Thmproposition1.p1.5.5.m5.1.1" xref="Thmproposition1.p1.5.5.m5.1.1.cmml">F</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition1.p1.5.5.m5.1b"><ci id="Thmproposition1.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.5.5.m5.1.1">𝐹</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition1.p1.5.5.m5.1c">F</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition1.p1.5.5.m5.1d">italic_F</annotation></semantics></math> is an injection leaving the Lebesgue measure invariant, and that <math alttext="\mu" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition1.p1.6.6.m6.1"><semantics id="Thmproposition1.p1.6.6.m6.1a"><mi id="Thmproposition1.p1.6.6.m6.1.1" xref="Thmproposition1.p1.6.6.m6.1.1.cmml">μ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition1.p1.6.6.m6.1b"><ci id="Thmproposition1.p1.6.6.m6.1.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.6.6.m6.1.1">𝜇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition1.p1.6.6.m6.1c">\mu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition1.p1.6.6.m6.1d">italic_μ</annotation></semantics></math> is an invariant distribution with a density, the time-reversal is the following PDMP:</span></p> <ol class="ltx_enumerate" id="S3.I1"> <li class="ltx_item" id="S3.I1.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">1.</span> <div class="ltx_para" id="S3.I1.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I1.i1.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I1.i1.p1.1.1">Reverse deterministic flow, i.e. </span><math alttext="\phi_{{rev},t}=\phi_{t}^{-1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2"><semantics id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2a"><mrow id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.cmml"><msub id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.2" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.2.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.2.2" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.2.2.cmml">ϕ</mi><mrow id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2.2.2" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mrow id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.1" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.1.2" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.1.2.cmml">r</mi><mo id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.1.3" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.1.3.cmml">e</mi><mo id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1a" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.1.4" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.1.4.cmml">v</mi></mrow><mo id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.2" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.1" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.1.cmml">=</mo><msubsup id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.2.2" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.2.2.cmml">ϕ</mi><mi id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.2.3" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.2.3.cmml">t</mi><mrow id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.3" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.3.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.3a" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.3.cmml">−</mo><mn id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.3.2" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2b"><apply id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3"><eq id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.1"></eq><apply id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.2.2">italic-ϕ</ci><list id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2.2.2"><apply id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.1"><times id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1"></times><ci id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.1.2">𝑟</ci><ci id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.1.3">𝑒</ci><ci id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.1.4.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.1.4">𝑣</ci></apply><ci id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1">𝑡</ci></list></apply><apply id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3">superscript</csymbol><apply id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.2.2">italic-ϕ</ci><ci id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.2.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.3"><minus id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.3.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.3"></minus><cn id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.3.2">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2c">\phi_{{rev},t}=\phi_{t}^{-1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2d">italic_ϕ start_POSTSUBSCRIPT italic_r italic_e italic_v , italic_t end_POSTSUBSCRIPT = italic_ϕ start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I1.i1.p1.1.2"></span></p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S3.I1.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">2.</span> <div class="ltx_para" id="S3.I1.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I1.i2.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I1.i2.p1.1.1">Jump rate density </span><math alttext="\lambda_{rev}(z)=\lambda(F^{-1}(z))\mu(F^{-1}(z))|J_{F^{-1}}(z)|" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i2.p1.1.m1.7"><semantics id="S3.I1.i2.p1.1.m1.7a"><mrow id="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.cmml"><mrow id="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.5" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.5.cmml"><msub id="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.5.2" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.5.2.cmml"><mi id="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.5.2.2" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.5.2.2.cmml">λ</mi><mrow id="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.5.2.3" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.5.2.3.cmml"><mi id="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.5.2.3.2" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.5.2.3.2.cmml">r</mi><mo id="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.5.2.3.1" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.5.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.5.2.3.3" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.5.2.3.3.cmml">e</mi><mo id="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.5.2.3.1a" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.5.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.5.2.3.4" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.5.2.3.4.cmml">v</mi></mrow></msub><mo id="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.5.1" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.5.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.5.3.2" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.5.cmml"><mo id="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.5.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.5.cmml">(</mo><mi id="S3.I1.i2.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.1.1.cmml">z</mi><mo id="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.5.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.5.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.4" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.4.cmml">=</mo><mrow id="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.3" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.3.cmml"><mi id="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.3.5" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.3.5.cmml">λ</mi><mo id="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.3.4" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.i2.p1.1.m1.5.5.1.1.1" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.I1.i2.p1.1.m1.5.5.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.I1.i2.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.I1.i2.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.2" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.I1.i2.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml">F</mi><mrow id="S3.I1.i2.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.3" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S3.I1.i2.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.3a" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="S3.I1.i2.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S3.I1.i2.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.i2.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.3.2" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.I1.i2.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.cmml">z</mi><mo id="S3.I1.i2.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2" 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xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.2.2.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.2.2.1.1.2.3.2" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.2.2.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.2.2.1.1.1" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.2.2.1.1.3.2" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.2.2.1.1.cmml"><mo id="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.2.2.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.2.2.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.I1.i2.p1.1.m1.3.3" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.3.3.cmml">z</mi><mo id="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.2.2.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.3.4c" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.3.3.1" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.3.3.2.cmml"><mo id="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.3.3.1.2" stretchy="false" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.3.3.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.3.3.1.1" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.3.3.1.1.cmml"><msub id="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.3.3.1.1.2" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.3.3.1.1.2.cmml"><mi id="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.3.3.1.1.2.2" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.3.3.1.1.2.2.cmml">J</mi><msup id="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.3.3.1.1.2.3" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.3.3.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.3.3.1.1.2.3.2" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.3.3.1.1.2.3.2.cmml">F</mi><mrow id="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.3.3.1.1.2.3.3" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.3.3.1.1.2.3.3.cmml"><mo id="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.3.3.1.1.2.3.3a" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.3.3.1.1.2.3.3.cmml">−</mo><mn id="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.3.3.1.1.2.3.3.2" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.3.3.1.1.2.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup></msub><mo id="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.3.3.1.1.1" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.3.3.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.3.3.1.1.3.2" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.3.3.1.1.cmml"><mo 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xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.2.2.1.1.1"></times><apply id="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.2.2.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.2.2.1.1.2.2">𝐹</ci><apply id="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.2.2.1.1.2.3"><minus id="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.2.2.1.1.2.3"></minus><cn id="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.2.2.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.2.2.1.1.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="S3.I1.i2.p1.1.m1.3.3.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.3.3">𝑧</ci></apply><apply id="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.3.3.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.3.3.1"><abs id="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.3.3.2.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.3.3.1.2"></abs><apply id="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.3.3.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.3.3.1.1"><times id="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.3.3.1.1.1"></times><apply id="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.3.3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.3.3.1.1.2.2">𝐽</ci><apply id="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.3.3.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.3.3.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.3.3.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.3.3.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.3.3.1.1.2.3.2">𝐹</ci><apply id="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.3.3.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.3.3.1.1.2.3.3"><minus id="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.3.3.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.3.3.1.1.2.3.3"></minus><cn id="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.3.3.1.1.2.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.3.3.1.1.2.3.3.2">1</cn></apply></apply></apply><ci id="S3.I1.i2.p1.1.m1.4.4.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.4.4">𝑧</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i2.p1.1.m1.7c">\lambda_{rev}(z)=\lambda(F^{-1}(z))\mu(F^{-1}(z))|J_{F^{-1}}(z)|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i2.p1.1.m1.7d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_r italic_e italic_v end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z ) = italic_λ ( italic_F start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_z ) ) italic_μ ( italic_F start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_z ) ) | italic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_F start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z ) |</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I1.i2.p1.1.2"></span></p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S3.I1.i3" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">3.</span> <div class="ltx_para" id="S3.I1.i3.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I1.i3.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I1.i3.p1.1.1">Jump Kernel </span><math alttext="Q_{rev}(z,\cdot)=\delta_{F^{-1}(z)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i3.p1.1.m1.3"><semantics id="S3.I1.i3.p1.1.m1.3a"><mrow id="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.4" xref="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.4.cmml"><mrow id="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.4.2" xref="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.4.2.cmml"><msub id="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.4.2.2" xref="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.4.2.2.cmml"><mi id="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.4.2.2.2" xref="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.4.2.2.2.cmml">Q</mi><mrow id="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.4.2.2.3" xref="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.4.2.2.3.cmml"><mi id="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.4.2.2.3.2" xref="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.4.2.2.3.2.cmml">r</mi><mo id="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.4.2.2.3.1" xref="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.4.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.4.2.2.3.3" xref="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.4.2.2.3.3.cmml">e</mi><mo id="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.4.2.2.3.1a" xref="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.4.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.4.2.2.3.4" xref="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.4.2.2.3.4.cmml">v</mi></mrow></msub><mo id="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.4.2.1" xref="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.4.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.4.2.3.2" xref="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.4.2.3.1.cmml"><mo id="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.4.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.4.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.I1.i3.p1.1.m1.2.2" xref="S3.I1.i3.p1.1.m1.2.2.cmml">z</mi><mo id="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.4.2.3.2.2" rspace="0em" xref="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.4.2.3.1.cmml">,</mo><mo id="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.3" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.3.cmml">⋅</mo><mo id="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.4.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.4.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.4.1" xref="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.4.1.cmml">=</mo><msub id="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.4.3" xref="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.4.3.cmml"><mi id="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.4.3.2" xref="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.4.3.2.cmml">δ</mi><mrow 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id="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.4.cmml" xref="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.4"><eq id="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.4.1.cmml" xref="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.4.1"></eq><apply id="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.4.2.cmml" xref="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.4.2"><times id="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.4.2.1.cmml" xref="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.4.2.1"></times><apply id="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.4.2.2.cmml" xref="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.4.2.2.1.cmml" xref="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.4.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.4.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.4.2.2.2">𝑄</ci><apply id="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.4.2.2.3.cmml" xref="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.4.2.2.3"><times id="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.4.2.2.3.1.cmml" xref="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.4.2.2.3.1"></times><ci id="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.4.2.2.3.2.cmml" xref="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.4.2.2.3.2">𝑟</ci><ci id="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.4.2.2.3.3.cmml" xref="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.4.2.2.3.3">𝑒</ci><ci id="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.4.2.2.3.4.cmml" xref="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.4.2.2.3.4">𝑣</ci></apply></apply><interval closure="open" id="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.4.2.3.1.cmml" xref="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.4.2.3.2"><ci id="S3.I1.i3.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.I1.i3.p1.1.m1.2.2">𝑧</ci><ci id="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.3.cmml" xref="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.3">⋅</ci></interval></apply><apply id="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.4.3.cmml" xref="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.4.3.1.cmml" xref="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.4.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.4.3.2.cmml" xref="S3.I1.i3.p1.1.m1.3.4.3.2">𝛿</ci><apply id="S3.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1"><times id="S3.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.3.2">𝐹</ci><apply id="S3.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.3.3"><minus id="S3.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.3.3"></minus><cn id="S3.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.3.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="S3.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.1">𝑧</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i3.p1.1.m1.3c">Q_{rev}(z,\cdot)=\delta_{F^{-1}(z)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i3.p1.1.m1.3d">italic_Q start_POSTSUBSCRIPT italic_r italic_e italic_v end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z , ⋅ ) = italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_F start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_z ) end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I1.i3.p1.1.2">.</span></p> </div> </li> </ol> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p2.9">Let <math alttext="W" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.1.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p2.1.m1.1a"><mi id="S3.SS1.p2.1.m1.1.1" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml">W</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.1.m1.1b"><ci id="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.1">𝑊</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.1.m1.1c">W</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.1.m1.1d">italic_W</annotation></semantics></math> be the path space of the PDMP on <math alttext="[0,T]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.2.m2.2"><semantics id="S3.SS1.p2.2.m2.2a"><mrow id="S3.SS1.p2.2.m2.2.3.2" xref="S3.SS1.p2.2.m2.2.3.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p2.2.m2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.2.m2.2.3.1.cmml">[</mo><mn id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.SS1.p2.2.m2.2.3.2.2" xref="S3.SS1.p2.2.m2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS1.p2.2.m2.2.2" xref="S3.SS1.p2.2.m2.2.2.cmml">T</mi><mo id="S3.SS1.p2.2.m2.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.2.m2.2.3.1.cmml">]</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.2.m2.2b"><interval closure="closed" id="S3.SS1.p2.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.2.m2.2.3.2"><cn id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1">0</cn><ci id="S3.SS1.p2.2.m2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.2.m2.2.2">𝑇</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.2.m2.2c">[0,T]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.2.m2.2d">[ 0 , italic_T ]</annotation></semantics></math> and <math alttext="W^{r}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.3.m3.1"><semantics id="S3.SS1.p2.3.m3.1a"><msup id="S3.SS1.p2.3.m3.1.1" xref="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.2" xref="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.2.cmml">W</mi><mi id="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.3" xref="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.3.cmml">r</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.3.m3.1b"><apply id="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m3.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.2">𝑊</ci><ci id="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.3">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.3.m3.1c">W^{r}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.3.m3.1d">italic_W start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> be the path space of the reversed PDMP on <math alttext="[0,T]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.4.m4.2"><semantics id="S3.SS1.p2.4.m4.2a"><mrow id="S3.SS1.p2.4.m4.2.3.2" xref="S3.SS1.p2.4.m4.2.3.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p2.4.m4.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.4.m4.2.3.1.cmml">[</mo><mn id="S3.SS1.p2.4.m4.1.1" xref="S3.SS1.p2.4.m4.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.SS1.p2.4.m4.2.3.2.2" xref="S3.SS1.p2.4.m4.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS1.p2.4.m4.2.2" xref="S3.SS1.p2.4.m4.2.2.cmml">T</mi><mo id="S3.SS1.p2.4.m4.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.4.m4.2.3.1.cmml">]</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.4.m4.2b"><interval closure="closed" id="S3.SS1.p2.4.m4.2.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.4.m4.2.3.2"><cn id="S3.SS1.p2.4.m4.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p2.4.m4.1.1">0</cn><ci id="S3.SS1.p2.4.m4.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.4.m4.2.2">𝑇</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.4.m4.2c">[0,T]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.4.m4.2d">[ 0 , italic_T ]</annotation></semantics></math>. The space <math alttext="W" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.5.m5.1"><semantics id="S3.SS1.p2.5.m5.1a"><mi id="S3.SS1.p2.5.m5.1.1" xref="S3.SS1.p2.5.m5.1.1.cmml">W</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.5.m5.1b"><ci id="S3.SS1.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m5.1.1">𝑊</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.5.m5.1c">W</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.5.m5.1d">italic_W</annotation></semantics></math> is endowed with the probability <math alttext="P" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.6.m6.1"><semantics id="S3.SS1.p2.6.m6.1a"><mi id="S3.SS1.p2.6.m6.1.1" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.cmml">P</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.6.m6.1b"><ci id="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.1">𝑃</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.6.m6.1c">P</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.6.m6.1d">italic_P</annotation></semantics></math> induced by the PDMP, and <math alttext="W^{r}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.7.m7.1"><semantics id="S3.SS1.p2.7.m7.1a"><msup id="S3.SS1.p2.7.m7.1.1" xref="S3.SS1.p2.7.m7.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.7.m7.1.1.2" xref="S3.SS1.p2.7.m7.1.1.2.cmml">W</mi><mi id="S3.SS1.p2.7.m7.1.1.3" xref="S3.SS1.p2.7.m7.1.1.3.cmml">r</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.7.m7.1b"><apply id="S3.SS1.p2.7.m7.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.7.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.7.m7.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p2.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.7.m7.1.1.2">𝑊</ci><ci id="S3.SS1.p2.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.7.m7.1.1.3">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.7.m7.1c">W^{r}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.7.m7.1d">italic_W start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is endowed with <math alttext="P^{r}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.8.m8.1"><semantics id="S3.SS1.p2.8.m8.1a"><msup id="S3.SS1.p2.8.m8.1.1" xref="S3.SS1.p2.8.m8.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.8.m8.1.1.2" xref="S3.SS1.p2.8.m8.1.1.2.cmml">P</mi><mi id="S3.SS1.p2.8.m8.1.1.3" xref="S3.SS1.p2.8.m8.1.1.3.cmml">r</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.8.m8.1b"><apply id="S3.SS1.p2.8.m8.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m8.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p2.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m8.1.1.2">𝑃</ci><ci id="S3.SS1.p2.8.m8.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m8.1.1.3">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.8.m8.1c">P^{r}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.8.m8.1d">italic_P start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, the probability associated with the reverse process. These path spaces will be studied in depth in the next section. We define the map <math alttext="R" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.9.m9.1"><semantics id="S3.SS1.p2.9.m9.1a"><mi id="S3.SS1.p2.9.m9.1.1" xref="S3.SS1.p2.9.m9.1.1.cmml">R</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.9.m9.1b"><ci id="S3.SS1.p2.9.m9.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.9.m9.1.1">𝑅</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.9.m9.1c">R</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.9.m9.1d">italic_R</annotation></semantics></math> that reverses a path:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx1"> <tbody id="S3.Ex1"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle R:W" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex1.m1.1"><semantics id="S3.Ex1.m1.1a"><mrow id="S3.Ex1.m1.1.1" xref="S3.Ex1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex1.m1.1.1.2" xref="S3.Ex1.m1.1.1.2.cmml">R</mi><mo id="S3.Ex1.m1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.cmml">:</mo><mi id="S3.Ex1.m1.1.1.3" xref="S3.Ex1.m1.1.1.3.cmml">W</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex1.m1.1b"><apply id="S3.Ex1.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1"><ci id="S3.Ex1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1">:</ci><ci id="S3.Ex1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.2">𝑅</ci><ci id="S3.Ex1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.3">𝑊</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex1.m1.1c">\displaystyle R:W</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex1.m1.1d">italic_R : italic_W</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\to W^{r}." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex1.m2.1"><semantics id="S3.Ex1.m2.1a"><mrow id="S3.Ex1.m2.1.1.1" xref="S3.Ex1.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex1.m2.1.1.1.1" xref="S3.Ex1.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex1.m2.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex1.m2.1.1.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S3.Ex1.m2.1.1.1.1.1" stretchy="false" xref="S3.Ex1.m2.1.1.1.1.1.cmml">→</mo><msup id="S3.Ex1.m2.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex1.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex1.m2.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex1.m2.1.1.1.1.3.2.cmml">W</mi><mi id="S3.Ex1.m2.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex1.m2.1.1.1.1.3.3.cmml">r</mi></msup></mrow><mo id="S3.Ex1.m2.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex1.m2.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex1.m2.1b"><apply id="S3.Ex1.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex1.m2.1.1.1"><ci id="S3.Ex1.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex1.m2.1.1.1.1.1">→</ci><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex1.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex1.m2.1.1.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S3.Ex1.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex1.m2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex1.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex1.m2.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex1.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex1.m2.1.1.1.1.3.2">𝑊</ci><ci id="S3.Ex1.m2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex1.m2.1.1.1.1.3.3">𝑟</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex1.m2.1c">\displaystyle\to W^{r}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex1.m2.1d">→ italic_W start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p2.10">By definition of the time-reversed process, for any <math alttext="A\subset W" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.10.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p2.10.m1.1a"><mrow id="S3.SS1.p2.10.m1.1.1" xref="S3.SS1.p2.10.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.10.m1.1.1.2" xref="S3.SS1.p2.10.m1.1.1.2.cmml">A</mi><mo id="S3.SS1.p2.10.m1.1.1.1" xref="S3.SS1.p2.10.m1.1.1.1.cmml">⊂</mo><mi id="S3.SS1.p2.10.m1.1.1.3" xref="S3.SS1.p2.10.m1.1.1.3.cmml">W</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.10.m1.1b"><apply id="S3.SS1.p2.10.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.10.m1.1.1"><subset id="S3.SS1.p2.10.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.10.m1.1.1.1"></subset><ci id="S3.SS1.p2.10.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.10.m1.1.1.2">𝐴</ci><ci id="S3.SS1.p2.10.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.10.m1.1.1.3">𝑊</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.10.m1.1c">A\subset W</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.10.m1.1d">italic_A ⊂ italic_W</annotation></semantics></math>:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E1"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="P(A)=P^{r}(R(A))." class="ltx_Math" display="block" id="S3.E1.m1.3"><semantics id="S3.E1.m1.3a"><mrow id="S3.E1.m1.3.3.1" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.E1.m1.3.3.1.1" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.E1.m1.3.3.1.1.3" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.2.cmml">P</mi><mo id="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.1" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.3.2" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mo id="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S3.E1.m1.1.1" xref="S3.E1.m1.1.1.cmml">A</mi><mo id="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E1.m1.3.3.1.1.2" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.E1.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.cmml"><msup id="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.3.2" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml">P</mi><mi id="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.3.3" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml">r</mi></msup><mo id="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">R</mi><mo id="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E1.m1.2.2" xref="S3.E1.m1.2.2.cmml">A</mi><mo id="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E1.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E1.m1.3b"><apply id="S3.E1.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E1.m1.3.3.1"><eq id="S3.E1.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.2"></eq><apply id="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.3"><times id="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.1"></times><ci id="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.2">𝑃</ci><ci id="S3.E1.m1.1.1.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1">𝐴</ci></apply><apply id="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.1"><times id="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.3.2">𝑃</ci><ci id="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.3.3">𝑟</ci></apply><apply id="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1"><times id="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2">𝑅</ci><ci id="S3.E1.m1.2.2.cmml" xref="S3.E1.m1.2.2">𝐴</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E1.m1.3c">P(A)=P^{r}(R(A)).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E1.m1.3d">italic_P ( italic_A ) = italic_P start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_R ( italic_A ) ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(1)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_proposition" id="Thmproposition2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmproposition2.1.1.1">Proposition 2</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmproposition2.2.2"> </span>(skew-reversibility)<span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmproposition2.3.3">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmproposition2.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmproposition2.p1.4"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmproposition2.p1.4.4">For a fixed <math alttext="T>0" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition2.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmproposition2.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">></mo><mn id="Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition2.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1"><gt id="Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1.1"></gt><ci id="Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1.2">𝑇</ci><cn id="Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition2.p1.1.1.m1.1c">T>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition2.p1.1.1.m1.1d">italic_T > 0</annotation></semantics></math>, we define the Markov kernel <math alttext="q" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition2.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmproposition2.p1.2.2.m2.1a"><mi id="Thmproposition2.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmproposition2.p1.2.2.m2.1.1.cmml">q</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition2.p1.2.2.m2.1b"><ci id="Thmproposition2.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmproposition2.p1.2.2.m2.1.1">𝑞</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition2.p1.2.2.m2.1c">q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition2.p1.2.2.m2.1d">italic_q</annotation></semantics></math> on <math alttext="E\times\{-1,1\}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition2.p1.3.3.m3.2"><semantics id="Thmproposition2.p1.3.3.m3.2a"><mrow id="Thmproposition2.p1.3.3.m3.2.2" xref="Thmproposition2.p1.3.3.m3.2.2.cmml"><mi id="Thmproposition2.p1.3.3.m3.2.2.3" xref="Thmproposition2.p1.3.3.m3.2.2.3.cmml">E</mi><mo id="Thmproposition2.p1.3.3.m3.2.2.2" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Thmproposition2.p1.3.3.m3.2.2.2.cmml">×</mo><mrow id="Thmproposition2.p1.3.3.m3.2.2.1.1" xref="Thmproposition2.p1.3.3.m3.2.2.1.2.cmml"><mo id="Thmproposition2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmproposition2.p1.3.3.m3.2.2.1.2.cmml">{</mo><mrow id="Thmproposition2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1" xref="Thmproposition2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="Thmproposition2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1a" xref="Thmproposition2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="Thmproposition2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2" xref="Thmproposition2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="Thmproposition2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.3" xref="Thmproposition2.p1.3.3.m3.2.2.1.2.cmml">,</mo><mn id="Thmproposition2.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmproposition2.p1.3.3.m3.1.1.cmml">1</mn><mo id="Thmproposition2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="Thmproposition2.p1.3.3.m3.2.2.1.2.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition2.p1.3.3.m3.2b"><apply id="Thmproposition2.p1.3.3.m3.2.2.cmml" xref="Thmproposition2.p1.3.3.m3.2.2"><times id="Thmproposition2.p1.3.3.m3.2.2.2.cmml" xref="Thmproposition2.p1.3.3.m3.2.2.2"></times><ci id="Thmproposition2.p1.3.3.m3.2.2.3.cmml" xref="Thmproposition2.p1.3.3.m3.2.2.3">𝐸</ci><set id="Thmproposition2.p1.3.3.m3.2.2.1.2.cmml" xref="Thmproposition2.p1.3.3.m3.2.2.1.1"><apply id="Thmproposition2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.cmml" xref="Thmproposition2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1"><minus id="Thmproposition2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="Thmproposition2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1"></minus><cn id="Thmproposition2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="Thmproposition2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2">1</cn></apply><cn id="Thmproposition2.p1.3.3.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="Thmproposition2.p1.3.3.m3.1.1">1</cn></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition2.p1.3.3.m3.2c">E\times\{-1,1\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition2.p1.3.3.m3.2d">italic_E × { - 1 , 1 }</annotation></semantics></math> with the following steps starting from <math alttext="(z,\gamma)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition2.p1.4.4.m4.2"><semantics id="Thmproposition2.p1.4.4.m4.2a"><mrow id="Thmproposition2.p1.4.4.m4.2.3.2" xref="Thmproposition2.p1.4.4.m4.2.3.1.cmml"><mo id="Thmproposition2.p1.4.4.m4.2.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmproposition2.p1.4.4.m4.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="Thmproposition2.p1.4.4.m4.1.1" xref="Thmproposition2.p1.4.4.m4.1.1.cmml">z</mi><mo id="Thmproposition2.p1.4.4.m4.2.3.2.2" xref="Thmproposition2.p1.4.4.m4.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmproposition2.p1.4.4.m4.2.2" xref="Thmproposition2.p1.4.4.m4.2.2.cmml">γ</mi><mo id="Thmproposition2.p1.4.4.m4.2.3.2.3" stretchy="false" xref="Thmproposition2.p1.4.4.m4.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition2.p1.4.4.m4.2b"><interval closure="open" id="Thmproposition2.p1.4.4.m4.2.3.1.cmml" xref="Thmproposition2.p1.4.4.m4.2.3.2"><ci id="Thmproposition2.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmproposition2.p1.4.4.m4.1.1">𝑧</ci><ci id="Thmproposition2.p1.4.4.m4.2.2.cmml" xref="Thmproposition2.p1.4.4.m4.2.2">𝛾</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition2.p1.4.4.m4.2c">(z,\gamma)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition2.p1.4.4.m4.2d">( italic_z , italic_γ )</annotation></semantics></math>:</span></p> <ol class="ltx_enumerate" id="S3.I2"> <li class="ltx_item" id="S3.I2.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">1.</span> <div class="ltx_para" id="S3.I2.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I2.i1.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I2.i1.p1.3.1">if </span><math alttext="\gamma=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1a"><mrow id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.2.cmml">γ</mi><mo id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.1" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1"><eq id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.2">𝛾</ci><cn id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1c">\gamma=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1d">italic_γ = 1</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I2.i1.p1.3.2">, follow the PDMP forward in time starting from </span><math alttext="z" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I2.i1.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.I2.i1.p1.2.m2.1a"><mi id="S3.I2.i1.p1.2.m2.1.1" xref="S3.I2.i1.p1.2.m2.1.1.cmml">z</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I2.i1.p1.2.m2.1b"><ci id="S3.I2.i1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.2.m2.1.1">𝑧</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I2.i1.p1.2.m2.1c">z</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I2.i1.p1.2.m2.1d">italic_z</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I2.i1.p1.3.3"> and return </span><math alttext="(z_{T},-\gamma)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I2.i1.p1.3.m3.2"><semantics id="S3.I2.i1.p1.3.m3.2a"><mrow id="S3.I2.i1.p1.3.m3.2.2.2" xref="S3.I2.i1.p1.3.m3.2.2.3.cmml"><mo id="S3.I2.i1.p1.3.m3.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.I2.i1.p1.3.m3.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S3.I2.i1.p1.3.m3.1.1.1.1" xref="S3.I2.i1.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I2.i1.p1.3.m3.1.1.1.1.2" xref="S3.I2.i1.p1.3.m3.1.1.1.1.2.cmml">z</mi><mi id="S3.I2.i1.p1.3.m3.1.1.1.1.3" xref="S3.I2.i1.p1.3.m3.1.1.1.1.3.cmml">T</mi></msub><mo id="S3.I2.i1.p1.3.m3.2.2.2.4" xref="S3.I2.i1.p1.3.m3.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S3.I2.i1.p1.3.m3.2.2.2.2" xref="S3.I2.i1.p1.3.m3.2.2.2.2.cmml"><mo id="S3.I2.i1.p1.3.m3.2.2.2.2a" xref="S3.I2.i1.p1.3.m3.2.2.2.2.cmml">−</mo><mi id="S3.I2.i1.p1.3.m3.2.2.2.2.2" xref="S3.I2.i1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.cmml">γ</mi></mrow><mo id="S3.I2.i1.p1.3.m3.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.I2.i1.p1.3.m3.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I2.i1.p1.3.m3.2b"><interval closure="open" id="S3.I2.i1.p1.3.m3.2.2.3.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.3.m3.2.2.2"><apply id="S3.I2.i1.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.3.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.3.m3.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I2.i1.p1.3.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.3.m3.1.1.1.1.2">𝑧</ci><ci id="S3.I2.i1.p1.3.m3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.3.m3.1.1.1.1.3">𝑇</ci></apply><apply id="S3.I2.i1.p1.3.m3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.3.m3.2.2.2.2"><minus id="S3.I2.i1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.3.m3.2.2.2.2"></minus><ci id="S3.I2.i1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.3.m3.2.2.2.2.2">𝛾</ci></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I2.i1.p1.3.m3.2c">(z_{T},-\gamma)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I2.i1.p1.3.m3.2d">( italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_T end_POSTSUBSCRIPT , - italic_γ )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I2.i1.p1.3.4">,</span></p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S3.I2.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">2.</span> <div class="ltx_para" id="S3.I2.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I2.i2.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I2.i2.p1.3.1">if </span><math alttext="\gamma=-1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1a"><mrow id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.2.cmml">γ</mi><mo id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3a" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1"><eq id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.2">𝛾</ci><apply id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3"><minus id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3"></minus><cn id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1c">\gamma=-1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1d">italic_γ = - 1</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I2.i2.p1.3.2">, follow the PDMP backward in time starting from </span><math alttext="z" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I2.i2.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.I2.i2.p1.2.m2.1a"><mi id="S3.I2.i2.p1.2.m2.1.1" xref="S3.I2.i2.p1.2.m2.1.1.cmml">z</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I2.i2.p1.2.m2.1b"><ci id="S3.I2.i2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.2.m2.1.1">𝑧</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I2.i2.p1.2.m2.1c">z</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I2.i2.p1.2.m2.1d">italic_z</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I2.i2.p1.3.3"> and return </span><math alttext="(z^{r}_{T},-\gamma)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I2.i2.p1.3.m3.2"><semantics id="S3.I2.i2.p1.3.m3.2a"><mrow id="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.3.cmml"><mo id="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.3.cmml">(</mo><msubsup id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.2.2" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.2.2.cmml">z</mi><mi id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.3" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.3.cmml">T</mi><mi id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.2.3" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.2.3.cmml">r</mi></msubsup><mo id="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.4" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.2" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.2.cmml"><mo id="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.2a" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.2.cmml">−</mo><mi id="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.2.2" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.2.2.cmml">γ</mi></mrow><mo id="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I2.i2.p1.3.m3.2b"><interval closure="open" id="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.3.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2"><apply id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.2.2">𝑧</ci><ci id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.2.3">𝑟</ci></apply><ci id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.3">𝑇</ci></apply><apply id="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.2"><minus id="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.2"></minus><ci id="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.2.2">𝛾</ci></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I2.i2.p1.3.m3.2c">(z^{r}_{T},-\gamma)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I2.i2.p1.3.m3.2d">( italic_z start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_T end_POSTSUBSCRIPT , - italic_γ )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I2.i2.p1.3.4">.</span></p> </div> </li> </ol> <p class="ltx_p" id="Thmproposition2.p1.9"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmproposition2.p1.9.5">If the PDMP admits <math alttext="\mu" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition2.p1.5.1.m1.1"><semantics id="Thmproposition2.p1.5.1.m1.1a"><mi id="Thmproposition2.p1.5.1.m1.1.1" xref="Thmproposition2.p1.5.1.m1.1.1.cmml">μ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition2.p1.5.1.m1.1b"><ci id="Thmproposition2.p1.5.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmproposition2.p1.5.1.m1.1.1">𝜇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition2.p1.5.1.m1.1c">\mu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition2.p1.5.1.m1.1d">italic_μ</annotation></semantics></math> as an invariant distribution, then <math alttext="q" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition2.p1.6.2.m2.1"><semantics id="Thmproposition2.p1.6.2.m2.1a"><mi id="Thmproposition2.p1.6.2.m2.1.1" xref="Thmproposition2.p1.6.2.m2.1.1.cmml">q</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition2.p1.6.2.m2.1b"><ci id="Thmproposition2.p1.6.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmproposition2.p1.6.2.m2.1.1">𝑞</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition2.p1.6.2.m2.1c">q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition2.p1.6.2.m2.1d">italic_q</annotation></semantics></math> satisfies detailed balance with respect to the product measure of <math alttext="\mu" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition2.p1.7.3.m3.1"><semantics id="Thmproposition2.p1.7.3.m3.1a"><mi id="Thmproposition2.p1.7.3.m3.1.1" xref="Thmproposition2.p1.7.3.m3.1.1.cmml">μ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition2.p1.7.3.m3.1b"><ci id="Thmproposition2.p1.7.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmproposition2.p1.7.3.m3.1.1">𝜇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition2.p1.7.3.m3.1c">\mu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition2.p1.7.3.m3.1d">italic_μ</annotation></semantics></math> and the uniform measure on <math alttext="\{-1,1\}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition2.p1.8.4.m4.2"><semantics id="Thmproposition2.p1.8.4.m4.2a"><mrow id="Thmproposition2.p1.8.4.m4.2.2.1" xref="Thmproposition2.p1.8.4.m4.2.2.2.cmml"><mo id="Thmproposition2.p1.8.4.m4.2.2.1.2" stretchy="false" xref="Thmproposition2.p1.8.4.m4.2.2.2.cmml">{</mo><mrow id="Thmproposition2.p1.8.4.m4.2.2.1.1" xref="Thmproposition2.p1.8.4.m4.2.2.1.1.cmml"><mo id="Thmproposition2.p1.8.4.m4.2.2.1.1a" xref="Thmproposition2.p1.8.4.m4.2.2.1.1.cmml">−</mo><mn id="Thmproposition2.p1.8.4.m4.2.2.1.1.2" xref="Thmproposition2.p1.8.4.m4.2.2.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="Thmproposition2.p1.8.4.m4.2.2.1.3" xref="Thmproposition2.p1.8.4.m4.2.2.2.cmml">,</mo><mn id="Thmproposition2.p1.8.4.m4.1.1" xref="Thmproposition2.p1.8.4.m4.1.1.cmml">1</mn><mo id="Thmproposition2.p1.8.4.m4.2.2.1.4" stretchy="false" xref="Thmproposition2.p1.8.4.m4.2.2.2.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition2.p1.8.4.m4.2b"><set id="Thmproposition2.p1.8.4.m4.2.2.2.cmml" xref="Thmproposition2.p1.8.4.m4.2.2.1"><apply id="Thmproposition2.p1.8.4.m4.2.2.1.1.cmml" xref="Thmproposition2.p1.8.4.m4.2.2.1.1"><minus id="Thmproposition2.p1.8.4.m4.2.2.1.1.1.cmml" xref="Thmproposition2.p1.8.4.m4.2.2.1.1"></minus><cn id="Thmproposition2.p1.8.4.m4.2.2.1.1.2.cmml" type="integer" xref="Thmproposition2.p1.8.4.m4.2.2.1.1.2">1</cn></apply><cn id="Thmproposition2.p1.8.4.m4.1.1.cmml" type="integer" xref="Thmproposition2.p1.8.4.m4.1.1">1</cn></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition2.p1.8.4.m4.2c">\{-1,1\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition2.p1.8.4.m4.2d">{ - 1 , 1 }</annotation></semantics></math>. Consequently, <math alttext="q" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition2.p1.9.5.m5.1"><semantics id="Thmproposition2.p1.9.5.m5.1a"><mi id="Thmproposition2.p1.9.5.m5.1.1" xref="Thmproposition2.p1.9.5.m5.1.1.cmml">q</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition2.p1.9.5.m5.1b"><ci id="Thmproposition2.p1.9.5.m5.1.1.cmml" xref="Thmproposition2.p1.9.5.m5.1.1">𝑞</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition2.p1.9.5.m5.1c">q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition2.p1.9.5.m5.1d">italic_q</annotation></semantics></math> leaves this product measure invariant.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S3.SS1.2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="S3.SS1.1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.1.p1.4">The probability <math alttext="P_{\text{prod}}(A^{\prime}\times B^{\prime})=\int_{A^{\prime}}\mu(z)q(B^{% \prime}|(z,\gamma))dzd\gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5"><semantics id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5a"><mrow id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.cmml"><mrow id="S3.SS1.1.p1.1.m1.4.4.1" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.4.4.1.cmml"><msub id="S3.SS1.1.p1.1.m1.4.4.1.3" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.4.4.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.1.p1.1.m1.4.4.1.3.2" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.4.4.1.3.2.cmml">P</mi><mtext id="S3.SS1.1.p1.1.m1.4.4.1.3.3" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.4.4.1.3.3a.cmml">prod</mtext></msub><mo id="S3.SS1.1.p1.1.m1.4.4.1.2" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS1.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.SS1.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS1.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.2.2" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml">A</mi><mo id="S3.SS1.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.2.3" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.SS1.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">×</mo><msup id="S3.SS1.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml">B</mi><mo id="S3.SS1.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.3" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow><mo id="S3.SS1.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.3" rspace="0.111em" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.cmml"><msub id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.2" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.2.cmml"><mo id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.2.2" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.2.2.cmml">∫</mo><msup id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.2.3" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.2.3.2" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.2.3.2.cmml">A</mi><mo id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.2.3.3" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.2.3.3.cmml">′</mo></msup></msub><mrow id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.cmml"><mi id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.3" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.3.cmml">μ</mi><mo id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.2" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.4.2" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.cmml"><mo id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS1.1.p1.1.m1.1.1" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.1.1.cmml">z</mi><mo id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.2a" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.5" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.5.cmml">q</mi><mo id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.2b" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.1.1" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.1.1.1" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.2" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.2.cmml">B</mi><mo id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.3" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo fence="false" id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.1.1.1.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS1.1.p1.1.m1.2.2" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.2.2.cmml">z</mi><mo id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS1.1.p1.1.m1.3.3" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.3.3.cmml">γ</mi><mo id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.1.1.1.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.1.1.1.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.2c" lspace="0em" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.6" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.6.cmml"><mo id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.6.1" rspace="0em" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.6.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.6.2" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.6.2.cmml">z</mi></mrow><mo id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.2d" lspace="0em" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.7" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.7.cmml"><mo id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.7.1" rspace="0em" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.7.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.7.2" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.7.2.cmml">γ</mi></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5b"><apply id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5"><eq id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.3.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.3"></eq><apply id="S3.SS1.1.p1.1.m1.4.4.1.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.4.4.1"><times id="S3.SS1.1.p1.1.m1.4.4.1.2.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.4.4.1.2"></times><apply id="S3.SS1.1.p1.1.m1.4.4.1.3.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.4.4.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.1.p1.1.m1.4.4.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.4.4.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.1.p1.1.m1.4.4.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.4.4.1.3.2">𝑃</ci><ci id="S3.SS1.1.p1.1.m1.4.4.1.3.3a.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.4.4.1.3.3"><mtext id="S3.SS1.1.p1.1.m1.4.4.1.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.4.4.1.3.3">prod</mtext></ci></apply><apply id="S3.SS1.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1"><times id="S3.SS1.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.SS1.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.2.2">𝐴</ci><ci id="S3.SS1.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.2.3">′</ci></apply><apply id="S3.SS1.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.2">𝐵</ci><ci id="S3.SS1.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.3">′</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2"><apply id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.2.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.2.1.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.2">subscript</csymbol><int id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.2.2"></int><apply id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.2.3.2">𝐴</ci><ci id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.2.3.3.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.2.3.3">′</ci></apply></apply><apply id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1"><times id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.2.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.2"></times><ci id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.3.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.3">𝜇</ci><ci id="S3.SS1.1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.1.1">𝑧</ci><ci id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.5.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.5">𝑞</ci><apply id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><apply id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.2">𝐵</ci><ci id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.3">′</ci></apply><interval closure="open" id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.1.1.1.3.2"><ci id="S3.SS1.1.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.2.2">𝑧</ci><ci id="S3.SS1.1.p1.1.m1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.3.3">𝛾</ci></interval></apply><apply id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.6.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.6"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.6.1.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.6.1">differential-d</csymbol><ci id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.6.2.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.6.2">𝑧</ci></apply><apply id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.7.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.7"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.7.1.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.7.1">differential-d</csymbol><ci id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.7.2.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.5.5.2.1.7.2">𝛾</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5c">P_{\text{prod}}(A^{\prime}\times B^{\prime})=\int_{A^{\prime}}\mu(z)q(B^{% \prime}|(z,\gamma))dzd\gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.1.p1.1.m1.5d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT prod end_POSTSUBSCRIPT ( italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT × italic_B start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) = ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_μ ( italic_z ) italic_q ( italic_B start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT | ( italic_z , italic_γ ) ) italic_d italic_z italic_d italic_γ</annotation></semantics></math> defined as starting from <math alttext="A^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.1.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.SS1.1.p1.2.m2.1a"><msup id="S3.SS1.1.p1.2.m2.1.1" xref="S3.SS1.1.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.1.p1.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS1.1.p1.2.m2.1.1.2.cmml">A</mi><mo id="S3.SS1.1.p1.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS1.1.p1.2.m2.1.1.3.cmml">′</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.1.p1.2.m2.1b"><apply id="S3.SS1.1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.1.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.2.m2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.1.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.2.m2.1.1.2">𝐴</ci><ci id="S3.SS1.1.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.2.m2.1.1.3">′</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.1.p1.2.m2.1c">A^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.1.p1.2.m2.1d">italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and ending in <math alttext="B^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.1.p1.3.m3.1"><semantics id="S3.SS1.1.p1.3.m3.1a"><msup id="S3.SS1.1.p1.3.m3.1.1" xref="S3.SS1.1.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.1.p1.3.m3.1.1.2" xref="S3.SS1.1.p1.3.m3.1.1.2.cmml">B</mi><mo id="S3.SS1.1.p1.3.m3.1.1.3" xref="S3.SS1.1.p1.3.m3.1.1.3.cmml">′</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.1.p1.3.m3.1b"><apply id="S3.SS1.1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.1.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.3.m3.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.1.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.3.m3.1.1.2">𝐵</ci><ci id="S3.SS1.1.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.3.m3.1.1.3">′</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.1.p1.3.m3.1c">B^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.1.p1.3.m3.1d">italic_B start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> defines a joint probability on the product space <math alttext="E\times\{-1,1\}\times E\times\{-1,1\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.1.p1.4.m4.4"><semantics id="S3.SS1.1.p1.4.m4.4a"><mrow id="S3.SS1.1.p1.4.m4.4.4" xref="S3.SS1.1.p1.4.m4.4.4.cmml"><mi id="S3.SS1.1.p1.4.m4.4.4.4" xref="S3.SS1.1.p1.4.m4.4.4.4.cmml">E</mi><mo id="S3.SS1.1.p1.4.m4.4.4.3" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.SS1.1.p1.4.m4.4.4.3.cmml">×</mo><mrow id="S3.SS1.1.p1.4.m4.3.3.1.1" xref="S3.SS1.1.p1.4.m4.3.3.1.2.cmml"><mo id="S3.SS1.1.p1.4.m4.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.1.p1.4.m4.3.3.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S3.SS1.1.p1.4.m4.3.3.1.1.1" xref="S3.SS1.1.p1.4.m4.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.1.p1.4.m4.3.3.1.1.1a" xref="S3.SS1.1.p1.4.m4.3.3.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S3.SS1.1.p1.4.m4.3.3.1.1.1.2" xref="S3.SS1.1.p1.4.m4.3.3.1.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.SS1.1.p1.4.m4.3.3.1.1.3" xref="S3.SS1.1.p1.4.m4.3.3.1.2.cmml">,</mo><mn id="S3.SS1.1.p1.4.m4.1.1" xref="S3.SS1.1.p1.4.m4.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.SS1.1.p1.4.m4.3.3.1.1.4" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S3.SS1.1.p1.4.m4.3.3.1.2.cmml">}</mo></mrow><mo id="S3.SS1.1.p1.4.m4.4.4.3a" rspace="0.222em" xref="S3.SS1.1.p1.4.m4.4.4.3.cmml">×</mo><mi id="S3.SS1.1.p1.4.m4.4.4.5" xref="S3.SS1.1.p1.4.m4.4.4.5.cmml">E</mi><mo id="S3.SS1.1.p1.4.m4.4.4.3b" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.SS1.1.p1.4.m4.4.4.3.cmml">×</mo><mrow id="S3.SS1.1.p1.4.m4.4.4.2.1" xref="S3.SS1.1.p1.4.m4.4.4.2.2.cmml"><mo id="S3.SS1.1.p1.4.m4.4.4.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.1.p1.4.m4.4.4.2.2.cmml">{</mo><mrow id="S3.SS1.1.p1.4.m4.4.4.2.1.1" xref="S3.SS1.1.p1.4.m4.4.4.2.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.1.p1.4.m4.4.4.2.1.1a" xref="S3.SS1.1.p1.4.m4.4.4.2.1.1.cmml">−</mo><mn id="S3.SS1.1.p1.4.m4.4.4.2.1.1.2" xref="S3.SS1.1.p1.4.m4.4.4.2.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.SS1.1.p1.4.m4.4.4.2.1.3" xref="S3.SS1.1.p1.4.m4.4.4.2.2.cmml">,</mo><mn id="S3.SS1.1.p1.4.m4.2.2" xref="S3.SS1.1.p1.4.m4.2.2.cmml">1</mn><mo id="S3.SS1.1.p1.4.m4.4.4.2.1.4" stretchy="false" xref="S3.SS1.1.p1.4.m4.4.4.2.2.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.1.p1.4.m4.4b"><apply id="S3.SS1.1.p1.4.m4.4.4.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.4.m4.4.4"><times id="S3.SS1.1.p1.4.m4.4.4.3.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.4.m4.4.4.3"></times><ci id="S3.SS1.1.p1.4.m4.4.4.4.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.4.m4.4.4.4">𝐸</ci><set id="S3.SS1.1.p1.4.m4.3.3.1.2.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.4.m4.3.3.1.1"><apply id="S3.SS1.1.p1.4.m4.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.4.m4.3.3.1.1.1"><minus id="S3.SS1.1.p1.4.m4.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.4.m4.3.3.1.1.1"></minus><cn id="S3.SS1.1.p1.4.m4.3.3.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.1.p1.4.m4.3.3.1.1.1.2">1</cn></apply><cn id="S3.SS1.1.p1.4.m4.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.1.p1.4.m4.1.1">1</cn></set><ci id="S3.SS1.1.p1.4.m4.4.4.5.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.4.m4.4.4.5">𝐸</ci><set id="S3.SS1.1.p1.4.m4.4.4.2.2.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.4.m4.4.4.2.1"><apply id="S3.SS1.1.p1.4.m4.4.4.2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.4.m4.4.4.2.1.1"><minus id="S3.SS1.1.p1.4.m4.4.4.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.4.m4.4.4.2.1.1"></minus><cn id="S3.SS1.1.p1.4.m4.4.4.2.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.1.p1.4.m4.4.4.2.1.1.2">1</cn></apply><cn id="S3.SS1.1.p1.4.m4.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.1.p1.4.m4.2.2">1</cn></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.1.p1.4.m4.4c">E\times\{-1,1\}\times E\times\{-1,1\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.1.p1.4.m4.4d">italic_E × { - 1 , 1 } × italic_E × { - 1 , 1 }</annotation></semantics></math>. The detailed balanced condition can be stated as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex2"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="P_{\text{\text{prod}}}(A^{\prime}\times B^{\prime})=P_{\text{prod}}(B^{\prime}% \times A^{\prime})" class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex2.m1.2"><semantics id="S3.Ex2.m1.2a"><mrow id="S3.Ex2.m1.2.2" xref="S3.Ex2.m1.2.2.cmml"><mrow id="S3.Ex2.m1.1.1.1" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex2.m1.1.1.1.3" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.3.2.cmml">P</mi><mtext id="S3.Ex2.m1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.3.3a.cmml">prod</mtext></msub><mo id="S3.Ex2.m1.1.1.1.2" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">A</mi><mo id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">×</mo><msup id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">B</mi><mo id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow><mo id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex2.m1.2.2.3" xref="S3.Ex2.m1.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex2.m1.2.2.2" xref="S3.Ex2.m1.2.2.2.cmml"><msub id="S3.Ex2.m1.2.2.2.3" xref="S3.Ex2.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.2.2.2.3.2" xref="S3.Ex2.m1.2.2.2.3.2.cmml">P</mi><mtext id="S3.Ex2.m1.2.2.2.3.3" xref="S3.Ex2.m1.2.2.2.3.3a.cmml">prod</mtext></msub><mo id="S3.Ex2.m1.2.2.2.2" xref="S3.Ex2.m1.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex2.m1.2.2.2.1.1" xref="S3.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex2.m1.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><msup id="S3.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">B</mi><mo id="S3.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml">×</mo><msup id="S3.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">A</mi><mo id="S3.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow><mo id="S3.Ex2.m1.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex2.m1.2b"><apply id="S3.Ex2.m1.2.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.2.2"><eq id="S3.Ex2.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.2.2.3"></eq><apply id="S3.Ex2.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1"><times id="S3.Ex2.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex2.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex2.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex2.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.3.2">𝑃</ci><ci id="S3.Ex2.m1.1.1.1.3.3a.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.3.3"><mtext id="S3.Ex2.m1.1.1.1.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.3.3">prod</mtext></ci></apply><apply id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐴</ci><ci id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">′</ci></apply><apply id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐵</ci><ci id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">′</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex2.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.2.2.2"><times id="S3.Ex2.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.2.2.2.2"></times><apply id="S3.Ex2.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex2.m1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex2.m1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.2.2.2.3.2">𝑃</ci><ci id="S3.Ex2.m1.2.2.2.3.3a.cmml" xref="S3.Ex2.m1.2.2.2.3.3"><mtext id="S3.Ex2.m1.2.2.2.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.Ex2.m1.2.2.2.3.3">prod</mtext></ci></apply><apply id="S3.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.2.2.2.1.1"><times id="S3.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.1"></times><apply id="S3.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.2.2">𝐵</ci><ci id="S3.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.2.3">′</ci></apply><apply id="S3.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.3.2">𝐴</ci><ci id="S3.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.2.2.2.1.1.1.3.3">′</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex2.m1.2c">P_{\text{\text{prod}}}(A^{\prime}\times B^{\prime})=P_{\text{prod}}(B^{\prime}% \times A^{\prime})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex2.m1.2d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT prod end_POSTSUBSCRIPT ( italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT × italic_B start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) = italic_P start_POSTSUBSCRIPT prod end_POSTSUBSCRIPT ( italic_B start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT × italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.1.p1.6">for any <math alttext="A^{\prime},B^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.1.p1.5.m1.2"><semantics id="S3.SS1.1.p1.5.m1.2a"><mrow id="S3.SS1.1.p1.5.m1.2.2.2" xref="S3.SS1.1.p1.5.m1.2.2.3.cmml"><msup id="S3.SS1.1.p1.5.m1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.1.p1.5.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.1.p1.5.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.1.p1.5.m1.1.1.1.1.2.cmml">A</mi><mo id="S3.SS1.1.p1.5.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS1.1.p1.5.m1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.SS1.1.p1.5.m1.2.2.2.3" xref="S3.SS1.1.p1.5.m1.2.2.3.cmml">,</mo><msup id="S3.SS1.1.p1.5.m1.2.2.2.2" xref="S3.SS1.1.p1.5.m1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS1.1.p1.5.m1.2.2.2.2.2" xref="S3.SS1.1.p1.5.m1.2.2.2.2.2.cmml">B</mi><mo id="S3.SS1.1.p1.5.m1.2.2.2.2.3" xref="S3.SS1.1.p1.5.m1.2.2.2.2.3.cmml">′</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.1.p1.5.m1.2b"><list id="S3.SS1.1.p1.5.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.5.m1.2.2.2"><apply id="S3.SS1.1.p1.5.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.5.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.5.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.1.p1.5.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.5.m1.1.1.1.1.2">𝐴</ci><ci id="S3.SS1.1.p1.5.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.5.m1.1.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S3.SS1.1.p1.5.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.5.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.1.p1.5.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.5.m1.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.1.p1.5.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.5.m1.2.2.2.2.2">𝐵</ci><ci id="S3.SS1.1.p1.5.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.5.m1.2.2.2.2.3">′</ci></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.1.p1.5.m1.2c">A^{\prime},B^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.1.p1.5.m1.2d">italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_B start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> subsets of <math alttext="E\times\{-1,1\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.1.p1.6.m2.2"><semantics id="S3.SS1.1.p1.6.m2.2a"><mrow id="S3.SS1.1.p1.6.m2.2.2" xref="S3.SS1.1.p1.6.m2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS1.1.p1.6.m2.2.2.3" xref="S3.SS1.1.p1.6.m2.2.2.3.cmml">E</mi><mo id="S3.SS1.1.p1.6.m2.2.2.2" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.SS1.1.p1.6.m2.2.2.2.cmml">×</mo><mrow id="S3.SS1.1.p1.6.m2.2.2.1.1" xref="S3.SS1.1.p1.6.m2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.SS1.1.p1.6.m2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.1.p1.6.m2.2.2.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S3.SS1.1.p1.6.m2.2.2.1.1.1" xref="S3.SS1.1.p1.6.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.1.p1.6.m2.2.2.1.1.1a" xref="S3.SS1.1.p1.6.m2.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S3.SS1.1.p1.6.m2.2.2.1.1.1.2" xref="S3.SS1.1.p1.6.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.SS1.1.p1.6.m2.2.2.1.1.3" xref="S3.SS1.1.p1.6.m2.2.2.1.2.cmml">,</mo><mn id="S3.SS1.1.p1.6.m2.1.1" xref="S3.SS1.1.p1.6.m2.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.SS1.1.p1.6.m2.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.SS1.1.p1.6.m2.2.2.1.2.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.1.p1.6.m2.2b"><apply id="S3.SS1.1.p1.6.m2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.6.m2.2.2"><times id="S3.SS1.1.p1.6.m2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.6.m2.2.2.2"></times><ci id="S3.SS1.1.p1.6.m2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.6.m2.2.2.3">𝐸</ci><set id="S3.SS1.1.p1.6.m2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.6.m2.2.2.1.1"><apply id="S3.SS1.1.p1.6.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.6.m2.2.2.1.1.1"><minus id="S3.SS1.1.p1.6.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.6.m2.2.2.1.1.1"></minus><cn id="S3.SS1.1.p1.6.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.1.p1.6.m2.2.2.1.1.1.2">1</cn></apply><cn id="S3.SS1.1.p1.6.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.1.p1.6.m2.1.1">1</cn></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.1.p1.6.m2.2c">E\times\{-1,1\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.1.p1.6.m2.2d">italic_E × { - 1 , 1 }</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS1.2.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.2.p2.8">Let <math alttext="A" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.2.p2.1.m1.1"><semantics id="S3.SS1.2.p2.1.m1.1a"><mi id="S3.SS1.2.p2.1.m1.1.1" xref="S3.SS1.2.p2.1.m1.1.1.cmml">A</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.2.p2.1.m1.1b"><ci id="S3.SS1.2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.1.m1.1.1">𝐴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.2.p2.1.m1.1c">A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.2.p2.1.m1.1d">italic_A</annotation></semantics></math> and <math alttext="B" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.2.p2.2.m2.1"><semantics id="S3.SS1.2.p2.2.m2.1a"><mi id="S3.SS1.2.p2.2.m2.1.1" xref="S3.SS1.2.p2.2.m2.1.1.cmml">B</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.2.p2.2.m2.1b"><ci id="S3.SS1.2.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.2.m2.1.1">𝐵</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.2.p2.2.m2.1c">B</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.2.p2.2.m2.1d">italic_B</annotation></semantics></math> be subsets of <math alttext="E" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.2.p2.3.m3.1"><semantics id="S3.SS1.2.p2.3.m3.1a"><mi id="S3.SS1.2.p2.3.m3.1.1" xref="S3.SS1.2.p2.3.m3.1.1.cmml">E</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.2.p2.3.m3.1b"><ci id="S3.SS1.2.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.3.m3.1.1">𝐸</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.2.p2.3.m3.1c">E</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.2.p2.3.m3.1d">italic_E</annotation></semantics></math>. Let <math alttext="P" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.2.p2.4.m4.1"><semantics id="S3.SS1.2.p2.4.m4.1a"><mi id="S3.SS1.2.p2.4.m4.1.1" xref="S3.SS1.2.p2.4.m4.1.1.cmml">P</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.2.p2.4.m4.1b"><ci id="S3.SS1.2.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.4.m4.1.1">𝑃</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.2.p2.4.m4.1c">P</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.2.p2.4.m4.1d">italic_P</annotation></semantics></math> and <math alttext="P^{r}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.2.p2.5.m5.1"><semantics id="S3.SS1.2.p2.5.m5.1a"><msup id="S3.SS1.2.p2.5.m5.1.1" xref="S3.SS1.2.p2.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.2.p2.5.m5.1.1.2" xref="S3.SS1.2.p2.5.m5.1.1.2.cmml">P</mi><mi id="S3.SS1.2.p2.5.m5.1.1.3" xref="S3.SS1.2.p2.5.m5.1.1.3.cmml">r</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.2.p2.5.m5.1b"><apply id="S3.SS1.2.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.2.p2.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.5.m5.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.2.p2.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.5.m5.1.1.2">𝑃</ci><ci id="S3.SS1.2.p2.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.5.m5.1.1.3">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.2.p2.5.m5.1c">P^{r}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.2.p2.5.m5.1d">italic_P start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> be the distributions on path spaces associated to the PDMP at equilibrium, that is for any <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.2.p2.6.m6.1"><semantics id="S3.SS1.2.p2.6.m6.1a"><mi id="S3.SS1.2.p2.6.m6.1.1" xref="S3.SS1.2.p2.6.m6.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.2.p2.6.m6.1b"><ci id="S3.SS1.2.p2.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.6.m6.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.2.p2.6.m6.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.2.p2.6.m6.1d">italic_t</annotation></semantics></math>, the law of <math alttext="Z_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.2.p2.7.m7.1"><semantics id="S3.SS1.2.p2.7.m7.1a"><msub id="S3.SS1.2.p2.7.m7.1.1" xref="S3.SS1.2.p2.7.m7.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.2.p2.7.m7.1.1.2" xref="S3.SS1.2.p2.7.m7.1.1.2.cmml">Z</mi><mi id="S3.SS1.2.p2.7.m7.1.1.3" xref="S3.SS1.2.p2.7.m7.1.1.3.cmml">t</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.2.p2.7.m7.1b"><apply id="S3.SS1.2.p2.7.m7.1.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.7.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.2.p2.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.7.m7.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.2.p2.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.7.m7.1.1.2">𝑍</ci><ci id="S3.SS1.2.p2.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.7.m7.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.2.p2.7.m7.1c">Z_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.2.p2.7.m7.1d">italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is <math alttext="\mu" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.2.p2.8.m8.1"><semantics id="S3.SS1.2.p2.8.m8.1a"><mi id="S3.SS1.2.p2.8.m8.1.1" xref="S3.SS1.2.p2.8.m8.1.1.cmml">μ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.2.p2.8.m8.1b"><ci id="S3.SS1.2.p2.8.m8.1.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.8.m8.1.1">𝜇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.2.p2.8.m8.1c">\mu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.2.p2.8.m8.1d">italic_μ</annotation></semantics></math>. First,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex3"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\int_{A}q(B\times\{\gamma\}|(z,\gamma))\mu(z)dz=0=\int_{B}q(A\times\{\gamma\}|% (z,\gamma))\mu(z)dz," class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex3.m1.9"><semantics id="S3.Ex3.m1.9a"><mrow id="S3.Ex3.m1.9.9.1" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.2" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.2.3.cmml">A</mi></msub><mrow id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.3.cmml">q</mi><mo id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">B</mi><mo id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">×</mo><mrow id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">{</mo><mi id="S3.Ex3.m1.1.1" xref="S3.Ex3.m1.1.1.cmml">γ</mi><mo id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><mo fence="false" id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex3.m1.2.2" xref="S3.Ex3.m1.2.2.cmml">z</mi><mo id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex3.m1.3.3" xref="S3.Ex3.m1.3.3.cmml">γ</mi><mo id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.2a" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.4.cmml">μ</mi><mo id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.2b" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.5.2" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex3.m1.4.4" xref="S3.Ex3.m1.4.4.cmml">z</mi><mo id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.2c" lspace="0em" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.6" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.6.cmml"><mo id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.6.1" rspace="0em" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.6.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.6.2" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.6.2.cmml">z</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.4" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.4.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.5" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.5.cmml">0</mn><mo id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.6" rspace="0.111em" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.6.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.cmml"><msub id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.2" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.2.cmml"><mo id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.2.3.cmml">B</mi></msub><mrow id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.cmml"><mi id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.3" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.3.cmml">q</mi><mo id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.2" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml">A</mi><mo id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml">×</mo><mrow id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml">{</mo><mi id="S3.Ex3.m1.5.5" xref="S3.Ex3.m1.5.5.cmml">γ</mi><mo id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><mo fence="false" id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex3.m1.6.6" xref="S3.Ex3.m1.6.6.cmml">z</mi><mo id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex3.m1.7.7" xref="S3.Ex3.m1.7.7.cmml">γ</mi><mo id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.2a" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.4" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.4.cmml">μ</mi><mo id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.2b" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.5.2" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.cmml"><mo id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.5.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex3.m1.8.8" xref="S3.Ex3.m1.8.8.cmml">z</mi><mo id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.5.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.2c" lspace="0em" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.6" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.6.cmml"><mo id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.6.1" rspace="0em" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.6.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.6.2" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.6.2.cmml">z</mi></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex3.m1.9.9.1.2" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex3.m1.9b"><apply id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1"><and id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1a.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1"></and><apply id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1b.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1"><eq id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.4"></eq><apply id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1"><apply id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.2">subscript</csymbol><int id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.2.2"></int><ci id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.2.3">𝐴</ci></apply><apply id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1"><times id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.3">𝑞</ci><apply id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><apply id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐵</ci><set id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2"><ci id="S3.Ex3.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.1.1">𝛾</ci></set></apply><interval closure="open" id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="S3.Ex3.m1.2.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.2.2">𝑧</ci><ci id="S3.Ex3.m1.3.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3">𝛾</ci></interval></apply><ci id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.4">𝜇</ci><ci id="S3.Ex3.m1.4.4.cmml" xref="S3.Ex3.m1.4.4">𝑧</ci><apply id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.6.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.6"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.6.1">differential-d</csymbol><ci id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.6.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.1.1.6.2">𝑧</ci></apply></apply></apply><cn id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.5.cmml" type="integer" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.5">0</cn></apply><apply id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1c.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1"><eq id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.6.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.6"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S3.Ex3.m1.9.9.1.1.5.cmml" id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1d.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1"></share><apply id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2"><apply id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.2">subscript</csymbol><int id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.2.2"></int><ci id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.2.3">𝐵</ci></apply><apply id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1"><times id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.2"></times><ci id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.3">𝑞</ci><apply id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><apply id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.2"><times id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.2.2">𝐴</ci><set id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.2.3.2"><ci id="S3.Ex3.m1.5.5.cmml" xref="S3.Ex3.m1.5.5">𝛾</ci></set></apply><interval closure="open" id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.3.2"><ci id="S3.Ex3.m1.6.6.cmml" xref="S3.Ex3.m1.6.6">𝑧</ci><ci id="S3.Ex3.m1.7.7.cmml" xref="S3.Ex3.m1.7.7">𝛾</ci></interval></apply><ci id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.4.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.4">𝜇</ci><ci id="S3.Ex3.m1.8.8.cmml" xref="S3.Ex3.m1.8.8">𝑧</ci><apply id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.6.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.6"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.6.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.6.1">differential-d</csymbol><ci id="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.6.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.1.1.2.1.6.2">𝑧</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex3.m1.9c">\int_{A}q(B\times\{\gamma\}|(z,\gamma))\mu(z)dz=0=\int_{B}q(A\times\{\gamma\}|% (z,\gamma))\mu(z)dz,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex3.m1.9d">∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_A end_POSTSUBSCRIPT italic_q ( italic_B × { italic_γ } | ( italic_z , italic_γ ) ) italic_μ ( italic_z ) italic_d italic_z = 0 = ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_B end_POSTSUBSCRIPT italic_q ( italic_A × { italic_γ } | ( italic_z , italic_γ ) ) italic_μ ( italic_z ) italic_d italic_z ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.2.p2.10">as <math alttext="\gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.2.p2.9.m1.1"><semantics id="S3.SS1.2.p2.9.m1.1a"><mi id="S3.SS1.2.p2.9.m1.1.1" xref="S3.SS1.2.p2.9.m1.1.1.cmml">γ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.2.p2.9.m1.1b"><ci id="S3.SS1.2.p2.9.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.9.m1.1.1">𝛾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.2.p2.9.m1.1c">\gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.2.p2.9.m1.1d">italic_γ</annotation></semantics></math> was not flipped. In other words, <math alttext="P_{\text{prod}}(A\times\{\gamma\}\times B\times\{\gamma\})=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.2.p2.10.m2.3"><semantics id="S3.SS1.2.p2.10.m2.3a"><mrow id="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3" xref="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.cmml"><mrow id="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.1" xref="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.1.cmml"><msub id="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.1.3" xref="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.1.3.2" xref="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.1.3.2.cmml">P</mi><mtext id="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.1.3.3" xref="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.1.3.3a.cmml">prod</mtext></msub><mo id="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.1.2" xref="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.1.1.1" xref="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.1.1.1.1" xref="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml">A</mi><mo id="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.1.1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml">×</mo><mrow id="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml">{</mo><mi id="S3.SS1.2.p2.10.m2.1.1" xref="S3.SS1.2.p2.10.m2.1.1.cmml">γ</mi><mo id="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.2" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml">}</mo></mrow><mo id="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.1.1.1.1.1a" rspace="0.222em" xref="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml">×</mo><mi id="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.1.1.1.1.4" xref="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.1.1.1.1.4.cmml">B</mi><mo id="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.1.1.1.1.1b" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml">×</mo><mrow id="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.1.1.1.1.5.2" xref="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.1.1.1.1.5.1.cmml"><mo id="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.1.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.1.1.1.1.5.1.cmml">{</mo><mi id="S3.SS1.2.p2.10.m2.2.2" xref="S3.SS1.2.p2.10.m2.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.1.1.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.1.1.1.1.5.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.2" xref="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.2.cmml">=</mo><mn id="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.3" xref="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.2.p2.10.m2.3b"><apply id="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3"><eq id="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.2.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.2"></eq><apply id="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.1"><times id="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.1.2.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.1.2"></times><apply id="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.1.3.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.1.3.2">𝑃</ci><ci id="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.1.3.3a.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.1.3.3"><mtext id="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.1.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.1.3.3">prod</mtext></ci></apply><apply id="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.1.1.1"><times id="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.1.1.1.1.2">𝐴</ci><set id="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.1.1.1.1.3.2"><ci id="S3.SS1.2.p2.10.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.10.m2.1.1">𝛾</ci></set><ci id="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.1.1.1.1.4">𝐵</ci><set id="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.1.1.1.1.5.2"><ci id="S3.SS1.2.p2.10.m2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.10.m2.2.2">𝛾</ci></set></apply></apply><cn id="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.2.p2.10.m2.3.3.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.2.p2.10.m2.3c">P_{\text{prod}}(A\times\{\gamma\}\times B\times\{\gamma\})=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.2.p2.10.m2.3d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT prod end_POSTSUBSCRIPT ( italic_A × { italic_γ } × italic_B × { italic_γ } ) = 0</annotation></semantics></math>, and so is the reverse. Second, using (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S3.E1" title="In 3.1 Time-reversal and skew-reversibility ‣ 3 Practical Simulation of PDMPs through Metropolis Adjustment ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>) we get:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx2"> <tbody id="S3.Ex4"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\int_{A}q(B\times\{-1\}|(z,1))\mu(z)dz" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex4.m1.4"><semantics id="S3.Ex4.m1.4a"><mrow id="S3.Ex4.m1.4.4" xref="S3.Ex4.m1.4.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex4.m1.4.4.2" xref="S3.Ex4.m1.4.4.2.cmml"><msub id="S3.Ex4.m1.4.4.2a" xref="S3.Ex4.m1.4.4.2.cmml"><mo id="S3.Ex4.m1.4.4.2.2" xref="S3.Ex4.m1.4.4.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.Ex4.m1.4.4.2.3" xref="S3.Ex4.m1.4.4.2.3.cmml">A</mi></msub></mstyle><mrow id="S3.Ex4.m1.4.4.1" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.4.4.1.3" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.3.cmml">q</mi><mo id="S3.Ex4.m1.4.4.1.2" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml">B</mi><mo id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">×</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow></mrow><mo fence="false" id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">|</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex4.m1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.1.1.cmml">z</mi><mo id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mn id="S3.Ex4.m1.2.2" xref="S3.Ex4.m1.2.2.cmml">1</mn><mo id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex4.m1.4.4.1.2a" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex4.m1.4.4.1.4" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.4.cmml">μ</mi><mo id="S3.Ex4.m1.4.4.1.2b" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.4.4.1.5.2" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.cmml"><mo id="S3.Ex4.m1.4.4.1.5.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex4.m1.3.3" xref="S3.Ex4.m1.3.3.cmml">z</mi><mo id="S3.Ex4.m1.4.4.1.5.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex4.m1.4.4.1.2c" lspace="0em" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.4.4.1.6" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.6.cmml"><mo id="S3.Ex4.m1.4.4.1.6.1" rspace="0em" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.6.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.Ex4.m1.4.4.1.6.2" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.6.2.cmml">z</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex4.m1.4b"><apply id="S3.Ex4.m1.4.4.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4"><apply id="S3.Ex4.m1.4.4.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex4.m1.4.4.2.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.2">subscript</csymbol><int id="S3.Ex4.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.2.2"></int><ci id="S3.Ex4.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.2.3">𝐴</ci></apply><apply id="S3.Ex4.m1.4.4.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1"><times id="S3.Ex4.m1.4.4.1.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.2"></times><ci id="S3.Ex4.m1.4.4.1.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.3">𝑞</ci><apply id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.2">conditional</csymbol><apply id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.3">𝐵</ci><set id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn></apply></set></apply><interval closure="open" id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.2"><ci id="S3.Ex4.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1">𝑧</ci><cn id="S3.Ex4.m1.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex4.m1.2.2">1</cn></interval></apply><ci id="S3.Ex4.m1.4.4.1.4.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.4">𝜇</ci><ci id="S3.Ex4.m1.3.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.3.3">𝑧</ci><apply id="S3.Ex4.m1.4.4.1.6.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.6"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex4.m1.4.4.1.6.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.6.1">differential-d</csymbol><ci id="S3.Ex4.m1.4.4.1.6.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.6.2">𝑧</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex4.m1.4c">\displaystyle\int_{A}q(B\times\{-1\}|(z,1))\mu(z)dz</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex4.m1.4d">∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_A end_POSTSUBSCRIPT italic_q ( italic_B × { - 1 } | ( italic_z , 1 ) ) italic_μ ( italic_z ) italic_d italic_z</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=P(\{w\in W|w_{0}\in A,w_{T}\in B\})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex4.m2.1"><semantics id="S3.Ex4.m2.1a"><mrow id="S3.Ex4.m2.1.1" xref="S3.Ex4.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex4.m2.1.1.3" xref="S3.Ex4.m2.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S3.Ex4.m2.1.1.2" xref="S3.Ex4.m2.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex4.m2.1.1.1" xref="S3.Ex4.m2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex4.m2.1.1.1.3" xref="S3.Ex4.m2.1.1.1.3.cmml">P</mi><mo id="S3.Ex4.m2.1.1.1.2" xref="S3.Ex4.m2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">{</mo><mrow id="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">w</mi><mo id="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">W</mi></mrow><mo id="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.2.4" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mrow id="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2" xref="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml">w</mi><mn id="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3" xref="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml">A</mi></mrow><mo id="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><msub id="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">w</mi><mi id="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">T</mi></msub><mo id="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1" xref="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml">∈</mo><mi id="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">B</mi></mrow></mrow><mo id="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">}</mo></mrow><mo id="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex4.m2.1b"><apply id="S3.Ex4.m2.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m2.1.1"><eq id="S3.Ex4.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex4.m2.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex4.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex4.m2.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S3.Ex4.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m2.1.1.1"><times id="S3.Ex4.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex4.m2.1.1.1.2"></times><ci id="S3.Ex4.m2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex4.m2.1.1.1.3">𝑃</ci><apply id="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.2.3">conditional-set</csymbol><apply id="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1"><in id="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></in><ci id="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑤</ci><ci id="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑊</ci></apply><apply id="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.3a.cmml" xref="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1"><in id="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1"></in><apply id="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2">𝑤</ci><cn id="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3">0</cn></apply><ci id="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3">𝐴</ci></apply><apply id="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2"><in id="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1"></in><apply id="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2">𝑤</ci><ci id="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3">𝑇</ci></apply><ci id="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3">𝐵</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex4.m2.1c">\displaystyle=P(\{w\in W|w_{0}\in A,w_{T}\in B\})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex4.m2.1d">= italic_P ( { italic_w ∈ italic_W | italic_w start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ∈ italic_A , italic_w start_POSTSUBSCRIPT italic_T end_POSTSUBSCRIPT ∈ italic_B } )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex5"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=P^{r}(\{w^{r}\in W^{r}|w^{r}_{0}\in B,w^{r}_{T}\in A\})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex5.m1.1"><semantics id="S3.Ex5.m1.1a"><mrow id="S3.Ex5.m1.1.1" xref="S3.Ex5.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.1.1.3" xref="S3.Ex5.m1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S3.Ex5.m1.1.1.2" xref="S3.Ex5.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex5.m1.1.1.1" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.Ex5.m1.1.1.1.3" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.3.2.cmml">P</mi><mi id="S3.Ex5.m1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.3.3.cmml">r</mi></msup><mo id="S3.Ex5.m1.1.1.1.2" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">{</mo><mrow id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">w</mi><mi id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">r</mi></msup><mo id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">W</mi><mi id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">r</mi></msup></mrow><mo id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.4" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mrow id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><msubsup id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.cmml">w</mi><mn id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml">0</mn><mi id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.cmml">r</mi></msubsup><mo id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml">B</mi></mrow><mo id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><msubsup id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml">w</mi><mi id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">T</mi><mi id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.cmml">r</mi></msubsup><mo id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml">∈</mo><mi id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">A</mi></mrow></mrow><mo id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">}</mo></mrow><mo id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex5.m1.1b"><apply id="S3.Ex5.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1"><eq id="S3.Ex5.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex5.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S3.Ex5.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1"><times id="S3.Ex5.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex5.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex5.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.3.2">𝑃</ci><ci id="S3.Ex5.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.3.3">𝑟</ci></apply><apply id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">conditional-set</csymbol><apply id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><in id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></in><apply id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑤</ci><ci id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑟</ci></apply><apply id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑊</ci><ci id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" 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id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3">𝑇</ci></apply><ci id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3">𝐴</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex5.m1.1c">\displaystyle=P^{r}(\{w^{r}\in W^{r}|w^{r}_{0}\in B,w^{r}_{T}\in A\})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex5.m1.1d">= italic_P start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ( { italic_w start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ∈ italic_W start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT | italic_w start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ∈ italic_B , italic_w start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_T end_POSTSUBSCRIPT ∈ italic_A } )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex6"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\int_{B}q(A\times\{1\}|(z,-1))\mu(z)dz." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex6.m1.4"><semantics id="S3.Ex6.m1.4a"><mrow id="S3.Ex6.m1.4.4.1" xref="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex6.m1.4.4.1.1" xref="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.3" xref="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.2" xref="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1" xref="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.2.cmml"><msub id="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.2a" xref="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.2.3.cmml">B</mi></msub></mstyle><mrow 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xref="S3.Ex6.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><mo fence="false" id="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">|</mo><mrow id="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex6.m1.2.2" xref="S3.Ex6.m1.2.2.cmml">z</mi><mo id="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.2a" xref="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.4.cmml">μ</mi><mo id="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.2b" xref="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.5.2" xref="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex6.m1.3.3" xref="S3.Ex6.m1.3.3.cmml">z</mi><mo id="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.2c" lspace="0em" xref="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.6" xref="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.6.cmml"><mo id="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.6.1" rspace="0em" xref="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.6.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.6.2" xref="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.6.2.cmml">z</mi></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex6.m1.4.4.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex6.m1.4b"><apply id="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.4.4.1"><eq id="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1"><apply id="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.2">subscript</csymbol><int id="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.2.2"></int><ci id="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.2.3">𝐵</ci></apply><apply id="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1"><times id="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.3">𝑞</ci><apply id="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2">conditional</csymbol><apply id="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐴</ci><set id="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2"><cn id="S3.Ex6.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.Ex6.m1.1.1">1</cn></set></apply><interval closure="open" id="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><ci id="S3.Ex6.m1.2.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.2.2">𝑧</ci><apply id="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn></apply></interval></apply><ci id="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.4">𝜇</ci><ci id="S3.Ex6.m1.3.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3">𝑧</ci><apply id="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.6.cmml" xref="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.6"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.6.1">differential-d</csymbol><ci id="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.6.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.6.2">𝑧</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex6.m1.4c">\displaystyle=\int_{B}q(A\times\{1\}|(z,-1))\mu(z)dz.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex6.m1.4d">= ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_B end_POSTSUBSCRIPT italic_q ( italic_A × { 1 } | ( italic_z , - 1 ) ) italic_μ ( italic_z ) italic_d italic_z .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.2.p2.18">In other word, <math alttext="P_{\text{prod}}(A\times\{1\}\times B\times\{-1\})=P_{\text{prod}}(B\times\{-1% \}\times A\times\{1\})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.2.p2.11.m1.4"><semantics id="S3.SS1.2.p2.11.m1.4a"><mrow id="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.cmml"><mrow id="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.cmml"><msub id="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.3" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.3.2" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.3.2.cmml">P</mi><mtext id="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.3.3" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.3.3a.cmml">prod</mtext></msub><mo id="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.2" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">A</mi><mo id="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.1.1.1.2" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">×</mo><mrow id="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.1.1.1.4.2" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.1.1.1.4.1.cmml"><mo id="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.1.1.1.4.1.cmml">{</mo><mn id="S3.SS1.2.p2.11.m1.1.1" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.1.1.1.4.2.2" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.1.1.1.4.1.cmml">}</mo></mrow><mo id="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.1.1.1.2a" rspace="0.222em" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">×</mo><mi id="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.1.1.1.5" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.1.1.1.5.cmml">B</mi><mo id="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.1.1.1.2b" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">×</mo><mrow id="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.3" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.cmml"><msub id="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.3" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.3.2" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.3.2.cmml">P</mi><mtext id="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.3.3" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.3.3a.cmml">prod</mtext></msub><mo id="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.2" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.1.1" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.1.1.1" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.1.1.1.3" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.1.1.1.3.cmml">B</mi><mo id="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.1.1.1.2" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.1.1.1.2.cmml">×</mo><mrow id="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.1.1.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.3" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.1.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><mo id="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.1.1.1.2a" rspace="0.222em" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.1.1.1.2.cmml">×</mo><mi id="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.1.1.1.4" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.1.1.1.4.cmml">A</mi><mo id="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.1.1.1.2b" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.1.1.1.2.cmml">×</mo><mrow id="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.1.1.1.5.2" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.1.1.1.5.1.cmml"><mo id="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.1.1.1.5.1.cmml">{</mo><mn id="S3.SS1.2.p2.11.m1.2.2" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.2.2.cmml">1</mn><mo id="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.1.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.1.1.1.5.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.2.p2.11.m1.4b"><apply id="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4"><eq id="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.3.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.3"></eq><apply id="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1"><times id="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.2"></times><apply id="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.3.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.3.2">𝑃</ci><ci id="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.3.3a.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.3.3"><mtext id="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.3.3">prod</mtext></ci></apply><apply id="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.1.1"><times id="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.1.1.1.3">𝐴</ci><set id="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.1.1.1.4.2"><cn id="S3.SS1.2.p2.11.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.1.1">1</cn></set><ci id="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.1.1.1.5.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.1.1.1.5">𝐵</ci><set id="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"><apply id="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn></apply></set></apply></apply><apply id="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2"><times id="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.2"></times><apply id="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.3.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.3.2.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.3.2">𝑃</ci><ci id="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.3.3a.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.3.3"><mtext id="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.3.3">prod</mtext></ci></apply><apply id="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.1.1"><times id="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.1.1.1.2"></times><ci id="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.1.1.1.3">𝐵</ci><set id="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1"><apply id="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.2">1</cn></apply></set><ci id="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.1.1.1.4.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.1.1.1.4">𝐴</ci><set id="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.1.1.1.5.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.11.m1.4.4.2.1.1.1.5.2"><cn id="S3.SS1.2.p2.11.m1.2.2.cmml" type="integer" 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A similar reasoning can be made to prove that <math alttext="P_{\text{prod}}(A\times\{\gamma\}\times B\times\{-\gamma\})=P_{\text{prod}}(B% \times\{-\gamma\}\times A\times\{\gamma\})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.2.p2.12.m2.4"><semantics id="S3.SS1.2.p2.12.m2.4a"><mrow id="S3.SS1.2.p2.12.m2.4.4" xref="S3.SS1.2.p2.12.m2.4.4.cmml"><mrow id="S3.SS1.2.p2.12.m2.3.3.1" xref="S3.SS1.2.p2.12.m2.3.3.1.cmml"><msub id="S3.SS1.2.p2.12.m2.3.3.1.3" xref="S3.SS1.2.p2.12.m2.3.3.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.2.p2.12.m2.3.3.1.3.2" xref="S3.SS1.2.p2.12.m2.3.3.1.3.2.cmml">P</mi><mtext id="S3.SS1.2.p2.12.m2.3.3.1.3.3" xref="S3.SS1.2.p2.12.m2.3.3.1.3.3a.cmml">prod</mtext></msub><mo id="S3.SS1.2.p2.12.m2.3.3.1.2" xref="S3.SS1.2.p2.12.m2.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.2.p2.12.m2.3.3.1.1.1" xref="S3.SS1.2.p2.12.m2.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.2.p2.12.m2.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.2.p2.12.m2.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS1.2.p2.12.m2.3.3.1.1.1.1" 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id="S3.SS1.2.p2.12.m2.4.4.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.2.p2.12.m2.4.4.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.2.p2.12.m2.4.4.2.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.SS1.2.p2.12.m2.4.4.2.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S3.SS1.2.p2.12.m2.4.4.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.2.p2.12.m2.4.4.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">γ</mi></mrow><mo id="S3.SS1.2.p2.12.m2.4.4.2.1.1.1.1.1.3" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S3.SS1.2.p2.12.m2.4.4.2.1.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><mo id="S3.SS1.2.p2.12.m2.4.4.2.1.1.1.2a" rspace="0.222em" xref="S3.SS1.2.p2.12.m2.4.4.2.1.1.1.2.cmml">×</mo><mi id="S3.SS1.2.p2.12.m2.4.4.2.1.1.1.4" xref="S3.SS1.2.p2.12.m2.4.4.2.1.1.1.4.cmml">A</mi><mo id="S3.SS1.2.p2.12.m2.4.4.2.1.1.1.2b" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.SS1.2.p2.12.m2.4.4.2.1.1.1.2.cmml">×</mo><mrow id="S3.SS1.2.p2.12.m2.4.4.2.1.1.1.5.2" xref="S3.SS1.2.p2.12.m2.4.4.2.1.1.1.5.1.cmml"><mo id="S3.SS1.2.p2.12.m2.4.4.2.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.2.p2.12.m2.4.4.2.1.1.1.5.1.cmml">{</mo><mi id="S3.SS1.2.p2.12.m2.2.2" xref="S3.SS1.2.p2.12.m2.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S3.SS1.2.p2.12.m2.4.4.2.1.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.2.p2.12.m2.4.4.2.1.1.1.5.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS1.2.p2.12.m2.4.4.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.2.p2.12.m2.4.4.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.2.p2.12.m2.4b"><apply id="S3.SS1.2.p2.12.m2.4.4.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.12.m2.4.4"><eq id="S3.SS1.2.p2.12.m2.4.4.3.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.12.m2.4.4.3"></eq><apply id="S3.SS1.2.p2.12.m2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.12.m2.3.3.1"><times id="S3.SS1.2.p2.12.m2.3.3.1.2.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.12.m2.3.3.1.2"></times><apply id="S3.SS1.2.p2.12.m2.3.3.1.3.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.12.m2.3.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.2.p2.12.m2.3.3.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.12.m2.3.3.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.2.p2.12.m2.3.3.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.12.m2.3.3.1.3.2">𝑃</ci><ci id="S3.SS1.2.p2.12.m2.3.3.1.3.3a.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.12.m2.3.3.1.3.3"><mtext id="S3.SS1.2.p2.12.m2.3.3.1.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS1.2.p2.12.m2.3.3.1.3.3">prod</mtext></ci></apply><apply id="S3.SS1.2.p2.12.m2.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.12.m2.3.3.1.1.1"><times id="S3.SS1.2.p2.12.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.12.m2.3.3.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.SS1.2.p2.12.m2.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.12.m2.3.3.1.1.1.1.3">𝐴</ci><set id="S3.SS1.2.p2.12.m2.3.3.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.12.m2.3.3.1.1.1.1.4.2"><ci id="S3.SS1.2.p2.12.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.12.m2.1.1">𝛾</ci></set><ci id="S3.SS1.2.p2.12.m2.3.3.1.1.1.1.5.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.12.m2.3.3.1.1.1.1.5">𝐵</ci><set id="S3.SS1.2.p2.12.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.12.m2.3.3.1.1.1.1.1.1"><apply id="S3.SS1.2.p2.12.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.12.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.SS1.2.p2.12.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.12.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S3.SS1.2.p2.12.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.12.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2">𝛾</ci></apply></set></apply></apply><apply id="S3.SS1.2.p2.12.m2.4.4.2.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.12.m2.4.4.2"><times id="S3.SS1.2.p2.12.m2.4.4.2.2.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.12.m2.4.4.2.2"></times><apply id="S3.SS1.2.p2.12.m2.4.4.2.3.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.12.m2.4.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.2.p2.12.m2.4.4.2.3.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.12.m2.4.4.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.2.p2.12.m2.4.4.2.3.2.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.12.m2.4.4.2.3.2">𝑃</ci><ci id="S3.SS1.2.p2.12.m2.4.4.2.3.3a.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.12.m2.4.4.2.3.3"><mtext id="S3.SS1.2.p2.12.m2.4.4.2.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS1.2.p2.12.m2.4.4.2.3.3">prod</mtext></ci></apply><apply id="S3.SS1.2.p2.12.m2.4.4.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.12.m2.4.4.2.1.1"><times id="S3.SS1.2.p2.12.m2.4.4.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.12.m2.4.4.2.1.1.1.2"></times><ci id="S3.SS1.2.p2.12.m2.4.4.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.12.m2.4.4.2.1.1.1.3">𝐵</ci><set id="S3.SS1.2.p2.12.m2.4.4.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.12.m2.4.4.2.1.1.1.1.1"><apply id="S3.SS1.2.p2.12.m2.4.4.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.12.m2.4.4.2.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.SS1.2.p2.12.m2.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.12.m2.4.4.2.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S3.SS1.2.p2.12.m2.4.4.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.12.m2.4.4.2.1.1.1.1.1.1.2">𝛾</ci></apply></set><ci id="S3.SS1.2.p2.12.m2.4.4.2.1.1.1.4.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.12.m2.4.4.2.1.1.1.4">𝐴</ci><set id="S3.SS1.2.p2.12.m2.4.4.2.1.1.1.5.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.12.m2.4.4.2.1.1.1.5.2"><ci id="S3.SS1.2.p2.12.m2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.12.m2.2.2">𝛾</ci></set></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.2.p2.12.m2.4c">P_{\text{prod}}(A\times\{\gamma\}\times B\times\{-\gamma\})=P_{\text{prod}}(B% \times\{-\gamma\}\times A\times\{\gamma\})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.2.p2.12.m2.4d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT prod end_POSTSUBSCRIPT ( italic_A × { italic_γ } × italic_B × { - italic_γ } ) = italic_P start_POSTSUBSCRIPT prod end_POSTSUBSCRIPT ( italic_B × { - italic_γ } × italic_A × { italic_γ } )</annotation></semantics></math> for <math alttext="\gamma\in\{-1,1\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.2.p2.13.m3.2"><semantics id="S3.SS1.2.p2.13.m3.2a"><mrow id="S3.SS1.2.p2.13.m3.2.2" xref="S3.SS1.2.p2.13.m3.2.2.cmml"><mi id="S3.SS1.2.p2.13.m3.2.2.3" xref="S3.SS1.2.p2.13.m3.2.2.3.cmml">γ</mi><mo id="S3.SS1.2.p2.13.m3.2.2.2" xref="S3.SS1.2.p2.13.m3.2.2.2.cmml">∈</mo><mrow id="S3.SS1.2.p2.13.m3.2.2.1.1" xref="S3.SS1.2.p2.13.m3.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.SS1.2.p2.13.m3.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.2.p2.13.m3.2.2.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S3.SS1.2.p2.13.m3.2.2.1.1.1" xref="S3.SS1.2.p2.13.m3.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.2.p2.13.m3.2.2.1.1.1a" xref="S3.SS1.2.p2.13.m3.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S3.SS1.2.p2.13.m3.2.2.1.1.1.2" xref="S3.SS1.2.p2.13.m3.2.2.1.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.SS1.2.p2.13.m3.2.2.1.1.3" xref="S3.SS1.2.p2.13.m3.2.2.1.2.cmml">,</mo><mn id="S3.SS1.2.p2.13.m3.1.1" xref="S3.SS1.2.p2.13.m3.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.SS1.2.p2.13.m3.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.SS1.2.p2.13.m3.2.2.1.2.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.2.p2.13.m3.2b"><apply id="S3.SS1.2.p2.13.m3.2.2.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.13.m3.2.2"><in id="S3.SS1.2.p2.13.m3.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.13.m3.2.2.2"></in><ci id="S3.SS1.2.p2.13.m3.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.13.m3.2.2.3">𝛾</ci><set id="S3.SS1.2.p2.13.m3.2.2.1.2.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.13.m3.2.2.1.1"><apply id="S3.SS1.2.p2.13.m3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.13.m3.2.2.1.1.1"><minus id="S3.SS1.2.p2.13.m3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.13.m3.2.2.1.1.1"></minus><cn id="S3.SS1.2.p2.13.m3.2.2.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.2.p2.13.m3.2.2.1.1.1.2">1</cn></apply><cn id="S3.SS1.2.p2.13.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.2.p2.13.m3.1.1">1</cn></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.2.p2.13.m3.2c">\gamma\in\{-1,1\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.2.p2.13.m3.2d">italic_γ ∈ { - 1 , 1 }</annotation></semantics></math>. Since any <math alttext="A^{\prime}=A_{1}\times\{1\}\cup A_{2}\times\{-1\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.2.p2.14.m4.2"><semantics id="S3.SS1.2.p2.14.m4.2a"><mrow id="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2" xref="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.cmml"><msup id="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.3" xref="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.3.2" xref="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.3.2.cmml">A</mi><mo id="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.3.3" xref="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.3.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.2" xref="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1" xref="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.cmml"><mrow id="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.3" xref="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.3.cmml"><msub id="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.3.2" xref="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.3.2.cmml"><mi id="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.3.2.2" xref="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.3.2.2.cmml">A</mi><mn id="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.3.2.3" xref="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.3.1.cmml">×</mo><mrow id="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.3.3.2" xref="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.3.3.1.cmml"><mo id="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.3.3.1.cmml">{</mo><mn id="S3.SS1.2.p2.14.m4.1.1" xref="S3.SS1.2.p2.14.m4.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.3.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.2" xref="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.2.cmml">∪</mo><mrow id="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.1" xref="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.1.cmml"><msub id="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.1.3" xref="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.1.3.2" xref="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.1.3.2.cmml">A</mi><mn id="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.1.3.3" xref="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.1.2" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.1.2.cmml">×</mo><mrow id="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.1.1.1" xref="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.1.1.1.1a" xref="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.2.p2.14.m4.2b"><apply id="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2"><eq id="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.2"></eq><apply id="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.3.2">𝐴</ci><ci id="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.3.3.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.3.3">′</ci></apply><apply id="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1"><union id="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.2.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.2"></union><apply id="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.3.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.3"><times id="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.3.1"></times><apply id="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.3.2.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.3.2.2.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.3.2.2">𝐴</ci><cn id="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.3.2.3">1</cn></apply><set id="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.3.3.2"><cn id="S3.SS1.2.p2.14.m4.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.2.p2.14.m4.1.1">1</cn></set></apply><apply id="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.1"><times id="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.1.2"></times><apply id="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.1.3.2">𝐴</ci><cn id="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.1.3.3">2</cn></apply><set id="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.1.1.1"><apply id="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.1.1.1.1"><minus id="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.2.p2.14.m4.2.2.1.1.1.1.1.2">1</cn></apply></set></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.2.p2.14.m4.2c">A^{\prime}=A_{1}\times\{1\}\cup A_{2}\times\{-1\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.2.p2.14.m4.2d">italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT = italic_A start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT × { 1 } ∪ italic_A start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT × { - 1 }</annotation></semantics></math>, and the same goes for <math alttext="B^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.2.p2.15.m5.1"><semantics id="S3.SS1.2.p2.15.m5.1a"><msup id="S3.SS1.2.p2.15.m5.1.1" xref="S3.SS1.2.p2.15.m5.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.2.p2.15.m5.1.1.2" xref="S3.SS1.2.p2.15.m5.1.1.2.cmml">B</mi><mo id="S3.SS1.2.p2.15.m5.1.1.3" xref="S3.SS1.2.p2.15.m5.1.1.3.cmml">′</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.2.p2.15.m5.1b"><apply id="S3.SS1.2.p2.15.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.15.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.2.p2.15.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.15.m5.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.2.p2.15.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.15.m5.1.1.2">𝐵</ci><ci id="S3.SS1.2.p2.15.m5.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.15.m5.1.1.3">′</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.2.p2.15.m5.1c">B^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.2.p2.15.m5.1d">italic_B start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="P_{\text{prod}}(A^{\prime}\times B^{\prime})=P_{\text{prod}}(B^{\prime}\times A% ^{\prime})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.2.p2.16.m6.2"><semantics id="S3.SS1.2.p2.16.m6.2a"><mrow id="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.cmml"><mrow id="S3.SS1.2.p2.16.m6.1.1.1" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.1.1.1.cmml"><msub id="S3.SS1.2.p2.16.m6.1.1.1.3" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.2.p2.16.m6.1.1.1.3.2" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.1.1.1.3.2.cmml">P</mi><mtext id="S3.SS1.2.p2.16.m6.1.1.1.3.3" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.1.1.1.3.3a.cmml">prod</mtext></msub><mo id="S3.SS1.2.p2.16.m6.1.1.1.2" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.2.p2.16.m6.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.2.p2.16.m6.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS1.2.p2.16.m6.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.SS1.2.p2.16.m6.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS1.2.p2.16.m6.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">A</mi><mo id="S3.SS1.2.p2.16.m6.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.SS1.2.p2.16.m6.1.1.1.1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">×</mo><msup id="S3.SS1.2.p2.16.m6.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.2.p2.16.m6.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">B</mi><mo id="S3.SS1.2.p2.16.m6.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow><mo id="S3.SS1.2.p2.16.m6.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.3" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.2" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.2.cmml"><msub id="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.2.3" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.2.3.2" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.2.3.2.cmml">P</mi><mtext id="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.2.3.3" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.2.3.3a.cmml">prod</mtext></msub><mo id="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.2.2" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.2.1.1" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.2.1.1.1" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.2.1.1.1.cmml"><msup id="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.2.1.1.1.2" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">B</mi><mo id="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.2.1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.2.1.1.1.1.cmml">×</mo><msup id="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.2.1.1.1.3" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">A</mi><mo id="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow><mo id="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.2.p2.16.m6.2b"><apply id="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2"><eq id="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.3"></eq><apply id="S3.SS1.2.p2.16.m6.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.1.1.1"><times id="S3.SS1.2.p2.16.m6.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.1.1.1.2"></times><apply id="S3.SS1.2.p2.16.m6.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.2.p2.16.m6.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.2.p2.16.m6.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.1.1.1.3.2">𝑃</ci><ci id="S3.SS1.2.p2.16.m6.1.1.1.3.3a.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.1.1.1.3.3"><mtext id="S3.SS1.2.p2.16.m6.1.1.1.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.1.1.1.3.3">prod</mtext></ci></apply><apply id="S3.SS1.2.p2.16.m6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.1.1.1.1.1"><times id="S3.SS1.2.p2.16.m6.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.SS1.2.p2.16.m6.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.2.p2.16.m6.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.2.p2.16.m6.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐴</ci><ci id="S3.SS1.2.p2.16.m6.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.1.1.1.1.1.1.2.3">′</ci></apply><apply id="S3.SS1.2.p2.16.m6.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.2.p2.16.m6.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.2.p2.16.m6.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐵</ci><ci id="S3.SS1.2.p2.16.m6.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.1.1.1.1.1.1.3.3">′</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.2"><times id="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.2.2"></times><apply id="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.2.3.2">𝑃</ci><ci id="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.2.3.3a.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.2.3.3"><mtext id="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.2.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.2.3.3">prod</mtext></ci></apply><apply id="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.2.1.1"><times id="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.2.1.1.1.1"></times><apply id="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.2.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.2.1.1.1.2.2">𝐵</ci><ci id="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.2.1.1.1.2.3">′</ci></apply><apply id="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.2.1.1.1.3.2">𝐴</ci><ci id="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.16.m6.2.2.2.1.1.1.3.3">′</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.2.p2.16.m6.2c">P_{\text{prod}}(A^{\prime}\times B^{\prime})=P_{\text{prod}}(B^{\prime}\times A% ^{\prime})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.2.p2.16.m6.2d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT prod end_POSTSUBSCRIPT ( italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT × italic_B start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) = italic_P start_POSTSUBSCRIPT prod end_POSTSUBSCRIPT ( italic_B start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT × italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> for any <math alttext="A^{\prime},B^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.2.p2.17.m7.2"><semantics id="S3.SS1.2.p2.17.m7.2a"><mrow id="S3.SS1.2.p2.17.m7.2.2.2" xref="S3.SS1.2.p2.17.m7.2.2.3.cmml"><msup id="S3.SS1.2.p2.17.m7.1.1.1.1" xref="S3.SS1.2.p2.17.m7.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.2.p2.17.m7.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.2.p2.17.m7.1.1.1.1.2.cmml">A</mi><mo id="S3.SS1.2.p2.17.m7.1.1.1.1.3" xref="S3.SS1.2.p2.17.m7.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.SS1.2.p2.17.m7.2.2.2.3" xref="S3.SS1.2.p2.17.m7.2.2.3.cmml">,</mo><msup id="S3.SS1.2.p2.17.m7.2.2.2.2" xref="S3.SS1.2.p2.17.m7.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS1.2.p2.17.m7.2.2.2.2.2" xref="S3.SS1.2.p2.17.m7.2.2.2.2.2.cmml">B</mi><mo id="S3.SS1.2.p2.17.m7.2.2.2.2.3" xref="S3.SS1.2.p2.17.m7.2.2.2.2.3.cmml">′</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.2.p2.17.m7.2b"><list id="S3.SS1.2.p2.17.m7.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.17.m7.2.2.2"><apply id="S3.SS1.2.p2.17.m7.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.17.m7.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.2.p2.17.m7.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.17.m7.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.2.p2.17.m7.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.17.m7.1.1.1.1.2">𝐴</ci><ci id="S3.SS1.2.p2.17.m7.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.17.m7.1.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S3.SS1.2.p2.17.m7.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.17.m7.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.2.p2.17.m7.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.17.m7.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.2.p2.17.m7.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.17.m7.2.2.2.2.2">𝐵</ci><ci id="S3.SS1.2.p2.17.m7.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.17.m7.2.2.2.2.3">′</ci></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.2.p2.17.m7.2c">A^{\prime},B^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.2.p2.17.m7.2d">italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_B start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> in <math alttext="E\times\{-1,1\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.2.p2.18.m8.2"><semantics id="S3.SS1.2.p2.18.m8.2a"><mrow id="S3.SS1.2.p2.18.m8.2.2" xref="S3.SS1.2.p2.18.m8.2.2.cmml"><mi id="S3.SS1.2.p2.18.m8.2.2.3" xref="S3.SS1.2.p2.18.m8.2.2.3.cmml">E</mi><mo id="S3.SS1.2.p2.18.m8.2.2.2" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.SS1.2.p2.18.m8.2.2.2.cmml">×</mo><mrow id="S3.SS1.2.p2.18.m8.2.2.1.1" xref="S3.SS1.2.p2.18.m8.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.SS1.2.p2.18.m8.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.2.p2.18.m8.2.2.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S3.SS1.2.p2.18.m8.2.2.1.1.1" xref="S3.SS1.2.p2.18.m8.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.2.p2.18.m8.2.2.1.1.1a" xref="S3.SS1.2.p2.18.m8.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S3.SS1.2.p2.18.m8.2.2.1.1.1.2" xref="S3.SS1.2.p2.18.m8.2.2.1.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.SS1.2.p2.18.m8.2.2.1.1.3" xref="S3.SS1.2.p2.18.m8.2.2.1.2.cmml">,</mo><mn id="S3.SS1.2.p2.18.m8.1.1" xref="S3.SS1.2.p2.18.m8.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.SS1.2.p2.18.m8.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.SS1.2.p2.18.m8.2.2.1.2.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.2.p2.18.m8.2b"><apply id="S3.SS1.2.p2.18.m8.2.2.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.18.m8.2.2"><times id="S3.SS1.2.p2.18.m8.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.18.m8.2.2.2"></times><ci id="S3.SS1.2.p2.18.m8.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.18.m8.2.2.3">𝐸</ci><set id="S3.SS1.2.p2.18.m8.2.2.1.2.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.18.m8.2.2.1.1"><apply id="S3.SS1.2.p2.18.m8.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.18.m8.2.2.1.1.1"><minus id="S3.SS1.2.p2.18.m8.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.2.p2.18.m8.2.2.1.1.1"></minus><cn id="S3.SS1.2.p2.18.m8.2.2.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.2.p2.18.m8.2.2.1.1.1.2">1</cn></apply><cn id="S3.SS1.2.p2.18.m8.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.2.p2.18.m8.1.1">1</cn></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.2.p2.18.m8.2c">E\times\{-1,1\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.2.p2.18.m8.2d">italic_E × { - 1 , 1 }</annotation></semantics></math>, which concludes the proof. ∎</p> </div> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S3.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">3.2 </span>Path space</h3> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p1.2">The previous section naturally leads us to search for a Metropolis correction when using an approximated PDMP process as the proposal <math alttext="q" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p1.1.m1.1a"><mi id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml">q</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p1.1.m1.1b"><ci id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1">𝑞</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p1.1.m1.1c">q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p1.1.m1.1d">italic_q</annotation></semantics></math>. However, computing such a correction usually requires <math alttext="q" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.SS2.p1.2.m2.1a"><mi id="S3.SS2.p1.2.m2.1.1" xref="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.cmml">q</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p1.2.m2.1b"><ci id="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.2.m2.1.1">𝑞</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p1.2.m2.1c">q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p1.2.m2.1d">italic_q</annotation></semantics></math> to have a density with respect to some base measure. To that end, it is crucial to precisely define what the path space is, and the probability measure with which it is equipped.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p2.6">The path of a piecewise deterministic Markov process (PDMP) <math alttext="(Z_{t})_{t\in[0,T]}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.1.m1.3"><semantics id="S3.SS2.p2.1.m1.3a"><msub id="S3.SS2.p2.1.m1.3.3" xref="S3.SS2.p2.1.m1.3.3.cmml"><mrow id="S3.SS2.p2.1.m1.3.3.1.1" xref="S3.SS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p2.1.m1.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.SS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.SS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">Z</mi><mi id="S3.SS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S3.SS2.p2.1.m1.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.SS2.p2.1.m1.2.2.2" xref="S3.SS2.p2.1.m1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.1.m1.2.2.2.4" xref="S3.SS2.p2.1.m1.2.2.2.4.cmml">t</mi><mo id="S3.SS2.p2.1.m1.2.2.2.3" xref="S3.SS2.p2.1.m1.2.2.2.3.cmml">∈</mo><mrow id="S3.SS2.p2.1.m1.2.2.2.5.2" xref="S3.SS2.p2.1.m1.2.2.2.5.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p2.1.m1.2.2.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.1.m1.2.2.2.5.1.cmml">[</mo><mn id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.SS2.p2.1.m1.2.2.2.5.2.2" xref="S3.SS2.p2.1.m1.2.2.2.5.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.p2.1.m1.2.2.2.2" xref="S3.SS2.p2.1.m1.2.2.2.2.cmml">T</mi><mo id="S3.SS2.p2.1.m1.2.2.2.5.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.1.m1.2.2.2.5.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.1.m1.3b"><apply id="S3.SS2.p2.1.m1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.1.m1.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.3.3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1.2">𝑍</ci><ci id="S3.SS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1.3">𝑡</ci></apply><apply id="S3.SS2.p2.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.2.2.2"><in id="S3.SS2.p2.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.2.2.2.3"></in><ci id="S3.SS2.p2.1.m1.2.2.2.4.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.2.2.2.4">𝑡</ci><interval closure="closed" id="S3.SS2.p2.1.m1.2.2.2.5.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.2.2.2.5.2"><cn id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1">0</cn><ci id="S3.SS2.p2.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.2.2.2.2">𝑇</ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.1.m1.3c">(Z_{t})_{t\in[0,T]}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.1.m1.3d">( italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_t ∈ [ 0 , italic_T ] end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is fully determined by its <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.SS2.p2.6.1">skeleton</span>, which consists of the initial state <math alttext="Z_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.2.m2.1"><semantics id="S3.SS2.p2.2.m2.1a"><msub id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.2.cmml">Z</mi><mn id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.2.m2.1b"><apply id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.2">𝑍</ci><cn id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.2.m2.1c">Z_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.2.m2.1d">italic_Z start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, the event times <math alttext="\tau_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.3.m3.1"><semantics id="S3.SS2.p2.3.m3.1a"><msub id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.2" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.2.cmml">τ</mi><mi id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.3.m3.1b"><apply id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.2">𝜏</ci><ci id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.3.m3.1c">\tau_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.3.m3.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, and the state of the process immediately after each jump <math alttext="Z_{\tau_{i}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.4.m4.1"><semantics id="S3.SS2.p2.4.m4.1a"><msub id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.2" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.2.cmml">Z</mi><msub id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.3.2.cmml">τ</mi><mi id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.4.m4.1b"><apply id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.2">𝑍</ci><apply id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.3.2">𝜏</ci><ci id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.4.m4.1c">Z_{\tau_{i}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.4.m4.1d">italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Therefore, for a PDMP on state space <math alttext="E" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.5.m5.1"><semantics id="S3.SS2.p2.5.m5.1a"><mi id="S3.SS2.p2.5.m5.1.1" xref="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.cmml">E</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.5.m5.1b"><ci id="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.5.m5.1.1">𝐸</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.5.m5.1c">E</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.5.m5.1d">italic_E</annotation></semantics></math> with canonical measure <math alttext="\lambda_{E}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.6.m6.1"><semantics id="S3.SS2.p2.6.m6.1a"><msub id="S3.SS2.p2.6.m6.1.1" xref="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.2" xref="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.2.cmml">λ</mi><mi id="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.3.cmml">E</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.6.m6.1b"><apply id="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.6.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.2">𝜆</ci><ci id="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.3">𝐸</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.6.m6.1c">\lambda_{E}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.6.m6.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, its path space can be expressed as:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex7"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="E\times\bigcup_{k\in\mathbb{N}}\left(]0,T[\times E\right)^{k}," class="ltx_math_unparsed" display="block" id="S3.Ex7.m1.1"><semantics id="S3.Ex7.m1.1a"><mrow id="S3.Ex7.m1.1b"><mi id="S3.Ex7.m1.1.1">E</mi><mo id="S3.Ex7.m1.1.2" lspace="0.222em" rspace="0.055em">×</mo><munder id="S3.Ex7.m1.1.3"><mo id="S3.Ex7.m1.1.3.2" movablelimits="false" rspace="0em">⋃</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.1.3.3"><mi id="S3.Ex7.m1.1.3.3.2">k</mi><mo id="S3.Ex7.m1.1.3.3.1">∈</mo><mi id="S3.Ex7.m1.1.3.3.3">ℕ</mi></mrow></munder><mrow id="S3.Ex7.m1.1.4"><mo id="S3.Ex7.m1.1.4.1">(</mo><mo id="S3.Ex7.m1.1.4.2" stretchy="false">]</mo></mrow><mn id="S3.Ex7.m1.1.5">0</mn><mo id="S3.Ex7.m1.1.6">,</mo><mi id="S3.Ex7.m1.1.7">T</mi><msup id="S3.Ex7.m1.1.8"><mrow id="S3.Ex7.m1.1.8.2"><mo id="S3.Ex7.m1.1.8.2.1" stretchy="false">[</mo><mo id="S3.Ex7.m1.1.8.2.2" lspace="0em" rspace="0.222em">×</mo><mi id="S3.Ex7.m1.1.8.2.3">E</mi><mo id="S3.Ex7.m1.1.8.2.4">)</mo></mrow><mi id="S3.Ex7.m1.1.8.3">k</mi></msup><mo id="S3.Ex7.m1.1.9">,</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex7.m1.1c">E\times\bigcup_{k\in\mathbb{N}}\left(]0,T[\times E\right)^{k},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex7.m1.1d">italic_E × ⋃ start_POSTSUBSCRIPT italic_k ∈ blackboard_N end_POSTSUBSCRIPT ( ] 0 , italic_T [ × italic_E ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p2.10">where <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.7.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p2.7.m1.1a"><mi id="S3.SS2.p2.7.m1.1.1" xref="S3.SS2.p2.7.m1.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.7.m1.1b"><ci id="S3.SS2.p2.7.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.7.m1.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.7.m1.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.7.m1.1d">italic_k</annotation></semantics></math> is the number of jumps in a given path. This space is endowed with the canonical product measure. However, if the jump kernel <math alttext="Q" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.8.m2.1"><semantics id="S3.SS2.p2.8.m2.1a"><mi id="S3.SS2.p2.8.m2.1.1" xref="S3.SS2.p2.8.m2.1.1.cmml">Q</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.8.m2.1b"><ci id="S3.SS2.p2.8.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m2.1.1">𝑄</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.8.m2.1c">Q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.8.m2.1d">italic_Q</annotation></semantics></math> does not possess a density with respect to the canonical measure of <math alttext="E" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.9.m3.1"><semantics id="S3.SS2.p2.9.m3.1a"><mi id="S3.SS2.p2.9.m3.1.1" xref="S3.SS2.p2.9.m3.1.1.cmml">E</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.9.m3.1b"><ci id="S3.SS2.p2.9.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.9.m3.1.1">𝐸</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.9.m3.1c">E</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.9.m3.1d">italic_E</annotation></semantics></math>, then the probability on <math alttext="W" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.10.m4.1"><semantics id="S3.SS2.p2.10.m4.1a"><mi id="S3.SS2.p2.10.m4.1.1" xref="S3.SS2.p2.10.m4.1.1.cmml">W</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.10.m4.1b"><ci id="S3.SS2.p2.10.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.10.m4.1.1">𝑊</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.10.m4.1c">W</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.10.m4.1d">italic_W</annotation></semantics></math> induced by the PDMP does not have a density with respect to the canonical product measure.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_assumption" id="Thmassumption1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmassumption1.1.1.1">Assumption 1</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmassumption1.2.2"> </span>(Jump kernel parametrisation)<span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmassumption1.3.3">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmassumption1.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmassumption1.p1.11"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmassumption1.p1.11.11">There exists a space <math alttext="V" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.1a"><mi id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.1.1.cmml">V</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.1b"><ci id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.1.1">𝑉</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.1c">V</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.1d">italic_V</annotation></semantics></math> with a canonical measure <math alttext="\lambda_{V}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmassumption1.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmassumption1.p1.2.2.m2.1a"><msub id="Thmassumption1.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmassumption1.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmassumption1.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="Thmassumption1.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">λ</mi><mi id="Thmassumption1.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="Thmassumption1.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml">V</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmassumption1.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmassumption1.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmassumption1.p1.2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmassumption1.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmassumption1.p1.2.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmassumption1.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmassumption1.p1.2.2.m2.1.1.2">𝜆</ci><ci id="Thmassumption1.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmassumption1.p1.2.2.m2.1.1.3">𝑉</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmassumption1.p1.2.2.m2.1c">\lambda_{V}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmassumption1.p1.2.2.m2.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_V end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> such that for each <math alttext="x\in E" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmassumption1.p1.3.3.m3.1"><semantics id="Thmassumption1.p1.3.3.m3.1a"><mrow id="Thmassumption1.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmassumption1.p1.3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="Thmassumption1.p1.3.3.m3.1.1.2" xref="Thmassumption1.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="Thmassumption1.p1.3.3.m3.1.1.1" xref="Thmassumption1.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="Thmassumption1.p1.3.3.m3.1.1.3" xref="Thmassumption1.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml">E</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmassumption1.p1.3.3.m3.1b"><apply id="Thmassumption1.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmassumption1.p1.3.3.m3.1.1"><in id="Thmassumption1.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Thmassumption1.p1.3.3.m3.1.1.1"></in><ci id="Thmassumption1.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="Thmassumption1.p1.3.3.m3.1.1.2">𝑥</ci><ci id="Thmassumption1.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="Thmassumption1.p1.3.3.m3.1.1.3">𝐸</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmassumption1.p1.3.3.m3.1c">x\in E</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmassumption1.p1.3.3.m3.1d">italic_x ∈ italic_E</annotation></semantics></math>, <math alttext="Q(\cdot|x)" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="Thmassumption1.p1.4.4.m4.1"><semantics id="Thmassumption1.p1.4.4.m4.1a"><mrow id="Thmassumption1.p1.4.4.m4.1b"><mi id="Thmassumption1.p1.4.4.m4.1.1">Q</mi><mrow id="Thmassumption1.p1.4.4.m4.1.2"><mo id="Thmassumption1.p1.4.4.m4.1.2.1" stretchy="false">(</mo><mo id="Thmassumption1.p1.4.4.m4.1.2.2" lspace="0em" rspace="0em">⋅</mo><mo fence="false" id="Thmassumption1.p1.4.4.m4.1.2.3" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><mi id="Thmassumption1.p1.4.4.m4.1.2.4">x</mi><mo id="Thmassumption1.p1.4.4.m4.1.2.5" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmassumption1.p1.4.4.m4.1c">Q(\cdot|x)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmassumption1.p1.4.4.m4.1d">italic_Q ( ⋅ | italic_x )</annotation></semantics></math> is the pushforward of a probability density <math alttext="\nu_{x}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmassumption1.p1.5.5.m5.1"><semantics id="Thmassumption1.p1.5.5.m5.1a"><msub id="Thmassumption1.p1.5.5.m5.1.1" xref="Thmassumption1.p1.5.5.m5.1.1.cmml"><mi id="Thmassumption1.p1.5.5.m5.1.1.2" xref="Thmassumption1.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml">ν</mi><mi id="Thmassumption1.p1.5.5.m5.1.1.3" xref="Thmassumption1.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml">x</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmassumption1.p1.5.5.m5.1b"><apply id="Thmassumption1.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="Thmassumption1.p1.5.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmassumption1.p1.5.5.m5.1.1.1.cmml" xref="Thmassumption1.p1.5.5.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmassumption1.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml" xref="Thmassumption1.p1.5.5.m5.1.1.2">𝜈</ci><ci id="Thmassumption1.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml" xref="Thmassumption1.p1.5.5.m5.1.1.3">𝑥</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmassumption1.p1.5.5.m5.1c">\nu_{x}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmassumption1.p1.5.5.m5.1d">italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> on <math alttext="V" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmassumption1.p1.6.6.m6.1"><semantics id="Thmassumption1.p1.6.6.m6.1a"><mi id="Thmassumption1.p1.6.6.m6.1.1" xref="Thmassumption1.p1.6.6.m6.1.1.cmml">V</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmassumption1.p1.6.6.m6.1b"><ci id="Thmassumption1.p1.6.6.m6.1.1.cmml" xref="Thmassumption1.p1.6.6.m6.1.1">𝑉</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmassumption1.p1.6.6.m6.1c">V</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmassumption1.p1.6.6.m6.1d">italic_V</annotation></semantics></math> by an injection <math alttext="\xi_{x}:V\mapsto E" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmassumption1.p1.7.7.m7.1"><semantics id="Thmassumption1.p1.7.7.m7.1a"><mrow id="Thmassumption1.p1.7.7.m7.1.1" xref="Thmassumption1.p1.7.7.m7.1.1.cmml"><msub id="Thmassumption1.p1.7.7.m7.1.1.2" xref="Thmassumption1.p1.7.7.m7.1.1.2.cmml"><mi id="Thmassumption1.p1.7.7.m7.1.1.2.2" xref="Thmassumption1.p1.7.7.m7.1.1.2.2.cmml">ξ</mi><mi id="Thmassumption1.p1.7.7.m7.1.1.2.3" xref="Thmassumption1.p1.7.7.m7.1.1.2.3.cmml">x</mi></msub><mo id="Thmassumption1.p1.7.7.m7.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="Thmassumption1.p1.7.7.m7.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="Thmassumption1.p1.7.7.m7.1.1.3" xref="Thmassumption1.p1.7.7.m7.1.1.3.cmml"><mi id="Thmassumption1.p1.7.7.m7.1.1.3.2" xref="Thmassumption1.p1.7.7.m7.1.1.3.2.cmml">V</mi><mo id="Thmassumption1.p1.7.7.m7.1.1.3.1" stretchy="false" xref="Thmassumption1.p1.7.7.m7.1.1.3.1.cmml">↦</mo><mi id="Thmassumption1.p1.7.7.m7.1.1.3.3" xref="Thmassumption1.p1.7.7.m7.1.1.3.3.cmml">E</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmassumption1.p1.7.7.m7.1b"><apply id="Thmassumption1.p1.7.7.m7.1.1.cmml" xref="Thmassumption1.p1.7.7.m7.1.1"><ci id="Thmassumption1.p1.7.7.m7.1.1.1.cmml" xref="Thmassumption1.p1.7.7.m7.1.1.1">:</ci><apply id="Thmassumption1.p1.7.7.m7.1.1.2.cmml" xref="Thmassumption1.p1.7.7.m7.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmassumption1.p1.7.7.m7.1.1.2.1.cmml" xref="Thmassumption1.p1.7.7.m7.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmassumption1.p1.7.7.m7.1.1.2.2.cmml" xref="Thmassumption1.p1.7.7.m7.1.1.2.2">𝜉</ci><ci id="Thmassumption1.p1.7.7.m7.1.1.2.3.cmml" xref="Thmassumption1.p1.7.7.m7.1.1.2.3">𝑥</ci></apply><apply id="Thmassumption1.p1.7.7.m7.1.1.3.cmml" xref="Thmassumption1.p1.7.7.m7.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="Thmassumption1.p1.7.7.m7.1.1.3.1.cmml" xref="Thmassumption1.p1.7.7.m7.1.1.3.1">maps-to</csymbol><ci id="Thmassumption1.p1.7.7.m7.1.1.3.2.cmml" xref="Thmassumption1.p1.7.7.m7.1.1.3.2">𝑉</ci><ci id="Thmassumption1.p1.7.7.m7.1.1.3.3.cmml" xref="Thmassumption1.p1.7.7.m7.1.1.3.3">𝐸</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmassumption1.p1.7.7.m7.1c">\xi_{x}:V\mapsto E</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmassumption1.p1.7.7.m7.1d">italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT : italic_V ↦ italic_E</annotation></semantics></math>. In other words, drawing a sample from <math alttext="Q(\cdot|x)" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="Thmassumption1.p1.8.8.m8.1"><semantics id="Thmassumption1.p1.8.8.m8.1a"><mrow id="Thmassumption1.p1.8.8.m8.1b"><mi id="Thmassumption1.p1.8.8.m8.1.1">Q</mi><mrow id="Thmassumption1.p1.8.8.m8.1.2"><mo id="Thmassumption1.p1.8.8.m8.1.2.1" stretchy="false">(</mo><mo id="Thmassumption1.p1.8.8.m8.1.2.2" lspace="0em" rspace="0em">⋅</mo><mo fence="false" id="Thmassumption1.p1.8.8.m8.1.2.3" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><mi id="Thmassumption1.p1.8.8.m8.1.2.4">x</mi><mo id="Thmassumption1.p1.8.8.m8.1.2.5" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmassumption1.p1.8.8.m8.1c">Q(\cdot|x)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmassumption1.p1.8.8.m8.1d">italic_Q ( ⋅ | italic_x )</annotation></semantics></math> is equivalent to drawing a sample on <math alttext="V" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmassumption1.p1.9.9.m9.1"><semantics id="Thmassumption1.p1.9.9.m9.1a"><mi id="Thmassumption1.p1.9.9.m9.1.1" xref="Thmassumption1.p1.9.9.m9.1.1.cmml">V</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmassumption1.p1.9.9.m9.1b"><ci id="Thmassumption1.p1.9.9.m9.1.1.cmml" xref="Thmassumption1.p1.9.9.m9.1.1">𝑉</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmassumption1.p1.9.9.m9.1c">V</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmassumption1.p1.9.9.m9.1d">italic_V</annotation></semantics></math> from <math alttext="\nu_{x}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmassumption1.p1.10.10.m10.1"><semantics id="Thmassumption1.p1.10.10.m10.1a"><msub id="Thmassumption1.p1.10.10.m10.1.1" xref="Thmassumption1.p1.10.10.m10.1.1.cmml"><mi id="Thmassumption1.p1.10.10.m10.1.1.2" xref="Thmassumption1.p1.10.10.m10.1.1.2.cmml">ν</mi><mi id="Thmassumption1.p1.10.10.m10.1.1.3" xref="Thmassumption1.p1.10.10.m10.1.1.3.cmml">x</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmassumption1.p1.10.10.m10.1b"><apply id="Thmassumption1.p1.10.10.m10.1.1.cmml" xref="Thmassumption1.p1.10.10.m10.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmassumption1.p1.10.10.m10.1.1.1.cmml" xref="Thmassumption1.p1.10.10.m10.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmassumption1.p1.10.10.m10.1.1.2.cmml" xref="Thmassumption1.p1.10.10.m10.1.1.2">𝜈</ci><ci id="Thmassumption1.p1.10.10.m10.1.1.3.cmml" xref="Thmassumption1.p1.10.10.m10.1.1.3">𝑥</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmassumption1.p1.10.10.m10.1c">\nu_{x}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmassumption1.p1.10.10.m10.1d">italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> then applying <math alttext="\xi_{x}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmassumption1.p1.11.11.m11.1"><semantics id="Thmassumption1.p1.11.11.m11.1a"><msub id="Thmassumption1.p1.11.11.m11.1.1" xref="Thmassumption1.p1.11.11.m11.1.1.cmml"><mi id="Thmassumption1.p1.11.11.m11.1.1.2" xref="Thmassumption1.p1.11.11.m11.1.1.2.cmml">ξ</mi><mi id="Thmassumption1.p1.11.11.m11.1.1.3" xref="Thmassumption1.p1.11.11.m11.1.1.3.cmml">x</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmassumption1.p1.11.11.m11.1b"><apply id="Thmassumption1.p1.11.11.m11.1.1.cmml" xref="Thmassumption1.p1.11.11.m11.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmassumption1.p1.11.11.m11.1.1.1.cmml" xref="Thmassumption1.p1.11.11.m11.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmassumption1.p1.11.11.m11.1.1.2.cmml" xref="Thmassumption1.p1.11.11.m11.1.1.2">𝜉</ci><ci id="Thmassumption1.p1.11.11.m11.1.1.3.cmml" xref="Thmassumption1.p1.11.11.m11.1.1.3">𝑥</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmassumption1.p1.11.11.m11.1c">\xi_{x}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmassumption1.p1.11.11.m11.1d">italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p3"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p3.3">This assumption is true for the usual PDMP samplers such as BPS and ZigZag. Under this assumption, the path space can be defined as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E2"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="W=E\times\bigcup_{k\in\mathbb{N}}\left(]0,T[\times V\right)^{k}." class="ltx_math_unparsed" display="block" id="S3.E2.m1.1"><semantics id="S3.E2.m1.1a"><mrow id="S3.E2.m1.1b"><mi id="S3.E2.m1.1.1">W</mi><mo id="S3.E2.m1.1.2">=</mo><mi id="S3.E2.m1.1.3">E</mi><mo id="S3.E2.m1.1.4" lspace="0.222em" rspace="0.055em">×</mo><munder id="S3.E2.m1.1.5"><mo id="S3.E2.m1.1.5.2" movablelimits="false" rspace="0em">⋃</mo><mrow id="S3.E2.m1.1.5.3"><mi id="S3.E2.m1.1.5.3.2">k</mi><mo id="S3.E2.m1.1.5.3.1">∈</mo><mi id="S3.E2.m1.1.5.3.3">ℕ</mi></mrow></munder><mrow id="S3.E2.m1.1.6"><mo id="S3.E2.m1.1.6.1">(</mo><mo id="S3.E2.m1.1.6.2" stretchy="false">]</mo></mrow><mn id="S3.E2.m1.1.7">0</mn><mo id="S3.E2.m1.1.8">,</mo><mi id="S3.E2.m1.1.9">T</mi><msup id="S3.E2.m1.1.10"><mrow id="S3.E2.m1.1.10.2"><mo id="S3.E2.m1.1.10.2.1" stretchy="false">[</mo><mo id="S3.E2.m1.1.10.2.2" lspace="0em" rspace="0.222em">×</mo><mi id="S3.E2.m1.1.10.2.3">V</mi><mo id="S3.E2.m1.1.10.2.4">)</mo></mrow><mi id="S3.E2.m1.1.10.3">k</mi></msup><mo id="S3.E2.m1.1.11" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E2.m1.1c">W=E\times\bigcup_{k\in\mathbb{N}}\left(]0,T[\times V\right)^{k}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E2.m1.1d">italic_W = italic_E × ⋃ start_POSTSUBSCRIPT italic_k ∈ blackboard_N end_POSTSUBSCRIPT ( ] 0 , italic_T [ × italic_V ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(2)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p3.2">The canonical measure <math alttext="\lambda_{W}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p3.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p3.1.m1.1a"><msub id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.2.cmml">λ</mi><mi id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.3.cmml">W</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p3.1.m1.1b"><apply id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.2">𝜆</ci><ci id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.3">𝑊</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p3.1.m1.1c">\lambda_{W}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p3.1.m1.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_W end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> on <math alttext="W" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p3.2.m2.1"><semantics id="S3.SS2.p3.2.m2.1a"><mi id="S3.SS2.p3.2.m2.1.1" xref="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.cmml">W</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p3.2.m2.1b"><ci id="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.2.m2.1.1">𝑊</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p3.2.m2.1c">W</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p3.2.m2.1d">italic_W</annotation></semantics></math> is defined as the product measure.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_proposition" id="Thmproposition3"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmproposition3.1.1.1">Proposition 3</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmproposition3.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmproposition3.p1"> <ol class="ltx_enumerate" id="S3.I3"> <li class="ltx_item" id="S3.I3.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">1.</span> <div class="ltx_para" id="S3.I3.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I3.i1.p1.5"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I3.i1.p1.5.1">The distribution </span><math alttext="P" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i1.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.I3.i1.p1.1.m1.1a"><mi id="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.cmml">P</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i1.p1.1.m1.1b"><ci id="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1">𝑃</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i1.p1.1.m1.1c">P</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i1.p1.1.m1.1d">italic_P</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I3.i1.p1.5.2"> on the path space </span><math alttext="W" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i1.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.I3.i1.p1.2.m2.1a"><mi id="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.1" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.1.cmml">W</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i1.p1.2.m2.1b"><ci id="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.1">𝑊</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i1.p1.2.m2.1c">W</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i1.p1.2.m2.1d">italic_W</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I3.i1.p1.5.3">, corresponding to the PDMP </span><math alttext="(Z_{t})_{t\in[0,T]}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i1.p1.3.m3.3"><semantics id="S3.I3.i1.p1.3.m3.3a"><msub id="S3.I3.i1.p1.3.m3.3.3" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.3.3.cmml"><mrow id="S3.I3.i1.p1.3.m3.3.3.1.1" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S3.I3.i1.p1.3.m3.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.I3.i1.p1.3.m3.3.3.1.1.1" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I3.i1.p1.3.m3.3.3.1.1.1.2" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.3.3.1.1.1.2.cmml">Z</mi><mi id="S3.I3.i1.p1.3.m3.3.3.1.1.1.3" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.3.3.1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S3.I3.i1.p1.3.m3.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.I3.i1.p1.3.m3.2.2.2" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.2.2.2.cmml"><mi id="S3.I3.i1.p1.3.m3.2.2.2.4" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.2.2.2.4.cmml">t</mi><mo id="S3.I3.i1.p1.3.m3.2.2.2.3" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.2.2.2.3.cmml">∈</mo><mrow id="S3.I3.i1.p1.3.m3.2.2.2.5.2" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.2.2.2.5.1.cmml"><mo id="S3.I3.i1.p1.3.m3.2.2.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.2.2.2.5.1.cmml">[</mo><mn id="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1.1.1" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.I3.i1.p1.3.m3.2.2.2.5.2.2" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.2.2.2.5.1.cmml">,</mo><mi id="S3.I3.i1.p1.3.m3.2.2.2.2" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.2.2.2.2.cmml">T</mi><mo id="S3.I3.i1.p1.3.m3.2.2.2.5.2.3" stretchy="false" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.2.2.2.5.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i1.p1.3.m3.3b"><apply id="S3.I3.i1.p1.3.m3.3.3.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.i1.p1.3.m3.3.3.2.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.3.3">subscript</csymbol><apply id="S3.I3.i1.p1.3.m3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.i1.p1.3.m3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.3.3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I3.i1.p1.3.m3.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.3.3.1.1.1.2">𝑍</ci><ci id="S3.I3.i1.p1.3.m3.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.3.3.1.1.1.3">𝑡</ci></apply><apply id="S3.I3.i1.p1.3.m3.2.2.2.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.2.2.2"><in id="S3.I3.i1.p1.3.m3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.2.2.2.3"></in><ci id="S3.I3.i1.p1.3.m3.2.2.2.4.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.2.2.2.4">𝑡</ci><interval closure="closed" id="S3.I3.i1.p1.3.m3.2.2.2.5.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.2.2.2.5.2"><cn id="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1.1.1">0</cn><ci id="S3.I3.i1.p1.3.m3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.2.2.2.2">𝑇</ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i1.p1.3.m3.3c">(Z_{t})_{t\in[0,T]}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i1.p1.3.m3.3d">( italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_t ∈ [ 0 , italic_T ] end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I3.i1.p1.5.4">, is absolutely continuous with respect to the canonical measure </span><math alttext="\lambda_{W}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i1.p1.4.m4.1"><semantics id="S3.I3.i1.p1.4.m4.1a"><msub id="S3.I3.i1.p1.4.m4.1.1" xref="S3.I3.i1.p1.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.I3.i1.p1.4.m4.1.1.2" xref="S3.I3.i1.p1.4.m4.1.1.2.cmml">λ</mi><mi id="S3.I3.i1.p1.4.m4.1.1.3" xref="S3.I3.i1.p1.4.m4.1.1.3.cmml">W</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i1.p1.4.m4.1b"><apply id="S3.I3.i1.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.i1.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I3.i1.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.4.m4.1.1.2">𝜆</ci><ci id="S3.I3.i1.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.4.m4.1.1.3">𝑊</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i1.p1.4.m4.1c">\lambda_{W}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i1.p1.4.m4.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_W end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I3.i1.p1.5.5"> on </span><math alttext="W" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i1.p1.5.m5.1"><semantics id="S3.I3.i1.p1.5.m5.1a"><mi id="S3.I3.i1.p1.5.m5.1.1" xref="S3.I3.i1.p1.5.m5.1.1.cmml">W</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i1.p1.5.m5.1b"><ci id="S3.I3.i1.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.5.m5.1.1">𝑊</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i1.p1.5.m5.1c">W</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i1.p1.5.m5.1d">italic_W</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I3.i1.p1.5.6">.</span></p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S3.I3.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">2.</span> <div class="ltx_para" id="S3.I3.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I3.i2.p1.4"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I3.i2.p1.4.1">In particular, this implies that </span><math alttext="P" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i2.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.I3.i2.p1.1.m1.1a"><mi id="S3.I3.i2.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.1.1.cmml">P</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i2.p1.1.m1.1b"><ci id="S3.I3.i2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.1.1">𝑃</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i2.p1.1.m1.1c">P</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i2.p1.1.m1.1d">italic_P</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I3.i2.p1.4.2"> admits a density </span><math alttext="p" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i2.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.I3.i2.p1.2.m2.1a"><mi id="S3.I3.i2.p1.2.m2.1.1" xref="S3.I3.i2.p1.2.m2.1.1.cmml">p</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i2.p1.2.m2.1b"><ci id="S3.I3.i2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.2.m2.1.1">𝑝</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i2.p1.2.m2.1c">p</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i2.p1.2.m2.1d">italic_p</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I3.i2.p1.4.3"> with respect to </span><math alttext="\lambda_{W}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i2.p1.3.m3.1"><semantics id="S3.I3.i2.p1.3.m3.1a"><msub id="S3.I3.i2.p1.3.m3.1.1" xref="S3.I3.i2.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.I3.i2.p1.3.m3.1.1.2" xref="S3.I3.i2.p1.3.m3.1.1.2.cmml">λ</mi><mi id="S3.I3.i2.p1.3.m3.1.1.3" xref="S3.I3.i2.p1.3.m3.1.1.3.cmml">W</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i2.p1.3.m3.1b"><apply id="S3.I3.i2.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.i2.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I3.i2.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.3.m3.1.1.2">𝜆</ci><ci id="S3.I3.i2.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.3.m3.1.1.3">𝑊</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i2.p1.3.m3.1c">\lambda_{W}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i2.p1.3.m3.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_W end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I3.i2.p1.4.4">. Furthermore, for a given path, the density </span><math alttext="p((z_{0},(\tau_{1},v_{1}),...,(\tau_{k},v_{k})))" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i2.p1.4.m4.2"><semantics id="S3.I3.i2.p1.4.m4.2a"><mrow id="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2" xref="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.cmml"><mi id="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.3" xref="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.3.cmml">p</mi><mo id="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.2" xref="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1" xref="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.cmml"><mo id="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.cmml">(</mo><mrow id="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3" xref="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.4.cmml"><mo id="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.4" stretchy="false" xref="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.4.cmml">(</mo><msub id="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">z</mi><mn id="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.5" xref="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.4.cmml">,</mo><mrow id="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.1.1" xref="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.1.1.2" xref="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml">τ</mi><mn id="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.1.1.3" xref="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.2.4" xref="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">v</mi><mn id="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.6" xref="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.4.cmml">,</mo><mi id="S3.I3.i2.p1.4.m4.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.I3.i2.p1.4.m4.1.1.cmml">…</mi><mo id="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.7" xref="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.4.cmml">,</mo><mrow id="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.2" xref="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml"><mo id="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml">(</mo><msub id="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.1.1" xref="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.1.1.cmml"><mi id="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.1.1.2" xref="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.1.1.2.cmml">τ</mi><mi id="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.1.1.3" xref="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.2.4" xref="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml">,</mo><msub id="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.2.2" xref="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.2.2.cmml"><mi id="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.2.2.2" xref="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml">v</mi><mi id="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.2.2.3" xref="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.2.5" stretchy="false" xref="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.8" stretchy="false" xref="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.4.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i2.p1.4.m4.2b"><apply id="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2"><times id="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.2.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.2"></times><ci id="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.3.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.3">𝑝</ci><vector id="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.4.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3"><apply id="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.2">𝑧</ci><cn id="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply><interval closure="open" id="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.2"><apply id="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.1.1.2">𝜏</ci><cn id="S3.I3.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" 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id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.4" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">z</mi><mn id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.4a" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.4.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.6" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.6.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.6.2" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.6.2.cmml">e</mi><mrow id="S3.Ex8.m1.1.1.1" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex8.m1.1.1.1a" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.2" 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xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Φ</mi><mi id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">z</mi><mi id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.2a" lspace="0em" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mo id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.4.1" rspace="0em" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.4.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">t</mi></mrow></mrow></mrow></mrow></msup><mo id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.4b" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.3" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.3.cmml"><munderover id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.3.3" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.3.3.cmml"><mo id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.3.3.2.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.3.3.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.3.3.2.3" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.3.3.2.3.2" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.3.3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.3.3.2.3.1" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.3.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.3.3.2.3.3" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.3.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.3.3.3.cmml">k</mi></munderover><mrow id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.4" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.4.cmml">λ</mi><mo id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.2.cmml">Φ</mi><mrow id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.cmml"><msub id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">τ</mi><mi id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.1.cmml">−</mo><msub id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">τ</mi><mrow id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3.3.2" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3.3.1" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3.3.3" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow></msub><mo id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">z</mi><mrow id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.3a" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.5" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.5.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.5.2" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.5.2.cmml">e</mi><mrow id="S3.Ex8.m1.2.2.1" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.cmml"><mo id="S3.Ex8.m1.2.2.1a" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.2.cmml"><msubsup id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.2a" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml">∫</mo><mn id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml">0</mn><mrow id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.2.3" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.2.3.cmml"><msub id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.2.3.2.2" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.2.3.2.2.cmml">τ</mi><mi id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.2.3.2.3" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.2.3.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.2.3.1" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.2.3.1.cmml">−</mo><msub id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.2.3.3.2" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.2.3.3.2.cmml">τ</mi><mrow id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.2.3.3.3" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.2.3.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.2.3.3.3.2" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.2.3.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.2.3.3.3.1" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.2.3.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.2.3.3.3.3" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.2.3.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow></msubsup></mstyle><mrow id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">λ</mi><mo id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Φ</mi><mi id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">z</mi><mrow id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.2a" lspace="0em" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.4" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.4.cmml"><mo id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.4.1" rspace="0em" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.4.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.4.2" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.4.2.cmml">t</mi></mrow></mrow></mrow></mrow></msup><mo id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.3b" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.6" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.6.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.6.2" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.6.2.cmml">ν</mi><mrow id="S3.Ex8.m1.3.3.1" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.cmml"><msub id="S3.Ex8.m1.3.3.1.3" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.3.3.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.3.2.cmml">Φ</mi><mrow id="S3.Ex8.m1.3.3.1.3.3" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.3.3.cmml"><msub id="S3.Ex8.m1.3.3.1.3.3.2" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.3.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.3.3.1.3.3.2.2" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.3.3.2.2.cmml">τ</mi><mi id="S3.Ex8.m1.3.3.1.3.3.2.3" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.3.3.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.Ex8.m1.3.3.1.3.3.1" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.3.3.1.cmml">−</mo><msub id="S3.Ex8.m1.3.3.1.3.3.3" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.3.3.1.3.3.3.2" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.3.3.3.2.cmml">τ</mi><mrow id="S3.Ex8.m1.3.3.1.3.3.3.3" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.3.3.1.3.3.3.3.2" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.3.3.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex8.m1.3.3.1.3.3.3.3.1" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.3.3.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.Ex8.m1.3.3.1.3.3.3.3.3" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.3.3.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow></msub><mo id="S3.Ex8.m1.3.3.1.2" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">z</mi><mrow id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.3c" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.2.1" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.2.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.2.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.2.1.1" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.2.1.1.2.cmml">v</mi><mi id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.2.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex8.m1.4.4.1.2" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" 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xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑧</ci><apply id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3"><minus id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></minus><ci id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.5.cmml" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.5.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.5">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.5.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.3.2.5.2">𝑒</ci><apply id="S3.Ex8.m1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1"><minus id="S3.Ex8.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1"></minus><apply id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1"><apply id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.2.cmml" 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end_POSTSUBSCRIPT ) ) italic_d italic_t end_POSTSUPERSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT italic_λ ( roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT - italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i - 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_i - 1 end_POSTSUBSCRIPT ) ) italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - ∫ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT - italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i - 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT italic_λ ( roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_i - 1 end_POSTSUBSCRIPT ) ) italic_d italic_t end_POSTSUPERSCRIPT italic_ν start_POSTSUBSCRIPT roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT - italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i - 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_i - 1 end_POSTSUBSCRIPT ) end_POSTSUBSCRIPT ( italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.I3.i2.p1.6"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I3.i2.p1.6.1">where </span><math alttext="z_{i}=\xi_{\Phi_{\tau_{i}-\tau_{i-1}}(z_{i-1})}(v_{i})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i2.p1.5.m1.2"><semantics id="S3.I3.i2.p1.5.m1.2a"><mrow id="S3.I3.i2.p1.5.m1.2.2" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.2.2.cmml"><msub id="S3.I3.i2.p1.5.m1.2.2.3" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.I3.i2.p1.5.m1.2.2.3.2" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.2.2.3.2.cmml">z</mi><mi id="S3.I3.i2.p1.5.m1.2.2.3.3" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.2.2.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.I3.i2.p1.5.m1.2.2.2" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.I3.i2.p1.5.m1.2.2.1" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.2.2.1.cmml"><msub id="S3.I3.i2.p1.5.m1.2.2.1.3" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.2.2.1.3.cmml"><mi id="S3.I3.i2.p1.5.m1.2.2.1.3.2" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.2.2.1.3.2.cmml">ξ</mi><mrow id="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.3" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.2.cmml">Φ</mi><mrow id="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.cmml"><msub id="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">τ</mi><mi id="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.1.cmml">−</mo><msub id="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">τ</mi><mrow id="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.3.3.2" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.3.3.1" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.3.3.3" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow></msub><mo id="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.2" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">z</mi><mrow id="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S3.I3.i2.p1.5.m1.2.2.1.2" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I3.i2.p1.5.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.I3.i2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.I3.i2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I3.i2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">v</mi><mi id="S3.I3.i2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.I3.i2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i2.p1.5.m1.2b"><apply id="S3.I3.i2.p1.5.m1.2.2.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.2.2"><eq id="S3.I3.i2.p1.5.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.2.2.2"></eq><apply id="S3.I3.i2.p1.5.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.i2.p1.5.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I3.i2.p1.5.m1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.2.2.3.2">𝑧</ci><ci id="S3.I3.i2.p1.5.m1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.2.2.3.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.I3.i2.p1.5.m1.2.2.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.2.2.1"><times id="S3.I3.i2.p1.5.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.2.2.1.2"></times><apply id="S3.I3.i2.p1.5.m1.2.2.1.3.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.i2.p1.5.m1.2.2.1.3.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.2.2.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I3.i2.p1.5.m1.2.2.1.3.2.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.2.2.1.3.2">𝜉</ci><apply id="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1"><times id="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.2">Φ</ci><apply id="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3"><minus id="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.1"></minus><apply id="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.2.2">𝜏</ci><ci id="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.3.2">𝜏</ci><apply id="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.3.3"><minus id="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.3.3.1"></minus><ci id="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.3.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝑧</ci><apply id="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3"><minus id="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.1"></minus><ci id="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.I3.i2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.i2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I3.i2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.2">𝑣</ci><ci id="S3.I3.i2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i2.p1.5.m1.2c">z_{i}=\xi_{\Phi_{\tau_{i}-\tau_{i-1}}(z_{i-1})}(v_{i})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i2.p1.5.m1.2d">italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT = italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT - italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i - 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_i - 1 end_POSTSUBSCRIPT ) end_POSTSUBSCRIPT ( italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I3.i2.p1.6.2">, that is the state of the PDMP after the </span><math alttext="i" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i2.p1.6.m2.1"><semantics id="S3.I3.i2.p1.6.m2.1a"><mi id="S3.I3.i2.p1.6.m2.1.1" xref="S3.I3.i2.p1.6.m2.1.1.cmml">i</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i2.p1.6.m2.1b"><ci id="S3.I3.i2.p1.6.m2.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.6.m2.1.1">𝑖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i2.p1.6.m2.1c">i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i2.p1.6.m2.1d">italic_i</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I3.i2.p1.6.3">-th jump.</span></p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S3.I3.i3" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">3.</span> <div class="ltx_para" id="S3.I3.i3.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I3.i3.p1.4"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I3.i3.p1.4.1">The probability of a path </span><math alttext="z" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i3.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.I3.i3.p1.1.m1.1a"><mi id="S3.I3.i3.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I3.i3.p1.1.m1.1.1.cmml">z</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i3.p1.1.m1.1b"><ci id="S3.I3.i3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i3.p1.1.m1.1.1">𝑧</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i3.p1.1.m1.1c">z</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i3.p1.1.m1.1d">italic_z</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I3.i3.p1.4.2"> conditionally on its starting point </span><math alttext="z_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i3.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.I3.i3.p1.2.m2.1a"><msub id="S3.I3.i3.p1.2.m2.1.1" xref="S3.I3.i3.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.I3.i3.p1.2.m2.1.1.2" xref="S3.I3.i3.p1.2.m2.1.1.2.cmml">z</mi><mn id="S3.I3.i3.p1.2.m2.1.1.3" xref="S3.I3.i3.p1.2.m2.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i3.p1.2.m2.1b"><apply id="S3.I3.i3.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.I3.i3.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.i3.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i3.p1.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I3.i3.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.I3.i3.p1.2.m2.1.1.2">𝑧</ci><cn id="S3.I3.i3.p1.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.I3.i3.p1.2.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i3.p1.2.m2.1c">z_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i3.p1.2.m2.1d">italic_z start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I3.i3.p1.4.3"> has a density </span><math alttext="p(z|z_{0})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i3.p1.3.m3.1"><semantics id="S3.I3.i3.p1.3.m3.1a"><mrow id="S3.I3.i3.p1.3.m3.1.1" xref="S3.I3.i3.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.I3.i3.p1.3.m3.1.1.3" xref="S3.I3.i3.p1.3.m3.1.1.3.cmml">p</mi><mo id="S3.I3.i3.p1.3.m3.1.1.2" xref="S3.I3.i3.p1.3.m3.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I3.i3.p1.3.m3.1.1.1.1" xref="S3.I3.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.I3.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I3.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.I3.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1" xref="S3.I3.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I3.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2" xref="S3.I3.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml">z</mi><mo fence="false" id="S3.I3.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I3.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">|</mo><msub id="S3.I3.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3" xref="S3.I3.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I3.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.I3.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.2.cmml">z</mi><mn id="S3.I3.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.I3.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow><mo id="S3.I3.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I3.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i3.p1.3.m3.1b"><apply id="S3.I3.i3.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.I3.i3.p1.3.m3.1.1"><times id="S3.I3.i3.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.I3.i3.p1.3.m3.1.1.2"></times><ci id="S3.I3.i3.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.I3.i3.p1.3.m3.1.1.3">𝑝</ci><apply id="S3.I3.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i3.p1.3.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.I3.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S3.I3.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I3.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2">𝑧</ci><apply id="S3.I3.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I3.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I3.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I3.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I3.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.2">𝑧</ci><cn id="S3.I3.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.I3.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.3">0</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i3.p1.3.m3.1c">p(z|z_{0})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i3.p1.3.m3.1d">italic_p ( italic_z | italic_z start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I3.i3.p1.4.4"> on </span><math alttext="\{z_{0}\}\times\bigcup_{k\in\mathbb{N}}\left(]0,T[\times V\right)^{k}" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S3.I3.i3.p1.4.m4.1"><semantics id="S3.I3.i3.p1.4.m4.1a"><mrow id="S3.I3.i3.p1.4.m4.1b"><mrow id="S3.I3.i3.p1.4.m4.1.1"><mo id="S3.I3.i3.p1.4.m4.1.1.1" stretchy="false">{</mo><msub id="S3.I3.i3.p1.4.m4.1.1.2"><mi id="S3.I3.i3.p1.4.m4.1.1.2.2">z</mi><mn id="S3.I3.i3.p1.4.m4.1.1.2.3">0</mn></msub><mo id="S3.I3.i3.p1.4.m4.1.1.3" rspace="0.055em" stretchy="false">}</mo></mrow><mo id="S3.I3.i3.p1.4.m4.1.2" rspace="0.055em">×</mo><msub id="S3.I3.i3.p1.4.m4.1.3"><mo id="S3.I3.i3.p1.4.m4.1.3.2" rspace="0em">⋃</mo><mrow id="S3.I3.i3.p1.4.m4.1.3.3"><mi id="S3.I3.i3.p1.4.m4.1.3.3.2">k</mi><mo id="S3.I3.i3.p1.4.m4.1.3.3.1">∈</mo><mi id="S3.I3.i3.p1.4.m4.1.3.3.3">ℕ</mi></mrow></msub><mrow id="S3.I3.i3.p1.4.m4.1.4"><mo id="S3.I3.i3.p1.4.m4.1.4.1">(</mo><mo id="S3.I3.i3.p1.4.m4.1.4.2" stretchy="false">]</mo></mrow><mn id="S3.I3.i3.p1.4.m4.1.5">0</mn><mo id="S3.I3.i3.p1.4.m4.1.6">,</mo><mi id="S3.I3.i3.p1.4.m4.1.7">T</mi><msup id="S3.I3.i3.p1.4.m4.1.8"><mrow id="S3.I3.i3.p1.4.m4.1.8.2"><mo id="S3.I3.i3.p1.4.m4.1.8.2.1" stretchy="false">[</mo><mo id="S3.I3.i3.p1.4.m4.1.8.2.2" lspace="0em" rspace="0.222em">×</mo><mi id="S3.I3.i3.p1.4.m4.1.8.2.3">V</mi><mo id="S3.I3.i3.p1.4.m4.1.8.2.4">)</mo></mrow><mi id="S3.I3.i3.p1.4.m4.1.8.3">k</mi></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i3.p1.4.m4.1c">\{z_{0}\}\times\bigcup_{k\in\mathbb{N}}\left(]0,T[\times V\right)^{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i3.p1.4.m4.1d">{ italic_z start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT } × ⋃ start_POSTSUBSCRIPT italic_k ∈ blackboard_N end_POSTSUBSCRIPT ( ] 0 , italic_T [ × italic_V ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I3.i3.p1.4.5">.</span></p> </div> </li> </ol> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S3.SS2.1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.1.p1.3">This can be seen by explicitly constructing the probability distribution on <math alttext="W" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.1.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.1.p1.1.m1.1a"><mi id="S3.SS2.1.p1.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.1.p1.1.m1.1.1.cmml">W</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.1.p1.1.m1.1b"><ci id="S3.SS2.1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.1.m1.1.1">𝑊</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.1.p1.1.m1.1c">W</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.1.p1.1.m1.1d">italic_W</annotation></semantics></math> from the skeleton of the process. Let us write a typical element of <math alttext="W" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.1.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.SS2.1.p1.2.m2.1a"><mi id="S3.SS2.1.p1.2.m2.1.1" xref="S3.SS2.1.p1.2.m2.1.1.cmml">W</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.1.p1.2.m2.1b"><ci id="S3.SS2.1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.2.m2.1.1">𝑊</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.1.p1.2.m2.1c">W</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.1.p1.2.m2.1d">italic_W</annotation></semantics></math> as <math alttext="(z_{0},\tau_{1},v_{1},\dots,\tau_{k},v_{k})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.1.p1.3.m3.6"><semantics id="S3.SS2.1.p1.3.m3.6a"><mrow id="S3.SS2.1.p1.3.m3.6.6.5" xref="S3.SS2.1.p1.3.m3.6.6.6.cmml"><mo id="S3.SS2.1.p1.3.m3.6.6.5.6" stretchy="false" xref="S3.SS2.1.p1.3.m3.6.6.6.cmml">(</mo><msub id="S3.SS2.1.p1.3.m3.2.2.1.1" xref="S3.SS2.1.p1.3.m3.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.1.p1.3.m3.2.2.1.1.2" xref="S3.SS2.1.p1.3.m3.2.2.1.1.2.cmml">z</mi><mn id="S3.SS2.1.p1.3.m3.2.2.1.1.3" xref="S3.SS2.1.p1.3.m3.2.2.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.SS2.1.p1.3.m3.6.6.5.7" xref="S3.SS2.1.p1.3.m3.6.6.6.cmml">,</mo><msub id="S3.SS2.1.p1.3.m3.3.3.2.2" xref="S3.SS2.1.p1.3.m3.3.3.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.1.p1.3.m3.3.3.2.2.2" xref="S3.SS2.1.p1.3.m3.3.3.2.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S3.SS2.1.p1.3.m3.3.3.2.2.3" xref="S3.SS2.1.p1.3.m3.3.3.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.SS2.1.p1.3.m3.6.6.5.8" xref="S3.SS2.1.p1.3.m3.6.6.6.cmml">,</mo><msub id="S3.SS2.1.p1.3.m3.4.4.3.3" xref="S3.SS2.1.p1.3.m3.4.4.3.3.cmml"><mi id="S3.SS2.1.p1.3.m3.4.4.3.3.2" xref="S3.SS2.1.p1.3.m3.4.4.3.3.2.cmml">v</mi><mn id="S3.SS2.1.p1.3.m3.4.4.3.3.3" xref="S3.SS2.1.p1.3.m3.4.4.3.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.SS2.1.p1.3.m3.6.6.5.9" xref="S3.SS2.1.p1.3.m3.6.6.6.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.1.p1.3.m3.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.1.p1.3.m3.1.1.cmml">…</mi><mo id="S3.SS2.1.p1.3.m3.6.6.5.10" xref="S3.SS2.1.p1.3.m3.6.6.6.cmml">,</mo><msub id="S3.SS2.1.p1.3.m3.5.5.4.4" xref="S3.SS2.1.p1.3.m3.5.5.4.4.cmml"><mi id="S3.SS2.1.p1.3.m3.5.5.4.4.2" xref="S3.SS2.1.p1.3.m3.5.5.4.4.2.cmml">τ</mi><mi id="S3.SS2.1.p1.3.m3.5.5.4.4.3" xref="S3.SS2.1.p1.3.m3.5.5.4.4.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.SS2.1.p1.3.m3.6.6.5.11" xref="S3.SS2.1.p1.3.m3.6.6.6.cmml">,</mo><msub id="S3.SS2.1.p1.3.m3.6.6.5.5" xref="S3.SS2.1.p1.3.m3.6.6.5.5.cmml"><mi id="S3.SS2.1.p1.3.m3.6.6.5.5.2" xref="S3.SS2.1.p1.3.m3.6.6.5.5.2.cmml">v</mi><mi id="S3.SS2.1.p1.3.m3.6.6.5.5.3" xref="S3.SS2.1.p1.3.m3.6.6.5.5.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.SS2.1.p1.3.m3.6.6.5.12" stretchy="false" xref="S3.SS2.1.p1.3.m3.6.6.6.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.1.p1.3.m3.6b"><vector id="S3.SS2.1.p1.3.m3.6.6.6.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.3.m3.6.6.5"><apply id="S3.SS2.1.p1.3.m3.2.2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.3.m3.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.3.m3.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.1.p1.3.m3.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.3.m3.2.2.1.1.2">𝑧</ci><cn id="S3.SS2.1.p1.3.m3.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.1.p1.3.m3.2.2.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S3.SS2.1.p1.3.m3.3.3.2.2.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.3.m3.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.1.p1.3.m3.3.3.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.3.m3.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.1.p1.3.m3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.3.m3.3.3.2.2.2">𝜏</ci><cn id="S3.SS2.1.p1.3.m3.3.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.1.p1.3.m3.3.3.2.2.3">1</cn></apply><apply id="S3.SS2.1.p1.3.m3.4.4.3.3.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.3.m3.4.4.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.1.p1.3.m3.4.4.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.3.m3.4.4.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.1.p1.3.m3.4.4.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.3.m3.4.4.3.3.2">𝑣</ci><cn id="S3.SS2.1.p1.3.m3.4.4.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.1.p1.3.m3.4.4.3.3.3">1</cn></apply><ci id="S3.SS2.1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.3.m3.1.1">…</ci><apply id="S3.SS2.1.p1.3.m3.5.5.4.4.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.3.m3.5.5.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.1.p1.3.m3.5.5.4.4.1.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.3.m3.5.5.4.4">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.1.p1.3.m3.5.5.4.4.2.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.3.m3.5.5.4.4.2">𝜏</ci><ci id="S3.SS2.1.p1.3.m3.5.5.4.4.3.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.3.m3.5.5.4.4.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.SS2.1.p1.3.m3.6.6.5.5.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.3.m3.6.6.5.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.1.p1.3.m3.6.6.5.5.1.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.3.m3.6.6.5.5">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.1.p1.3.m3.6.6.5.5.2.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.3.m3.6.6.5.5.2">𝑣</ci><ci id="S3.SS2.1.p1.3.m3.6.6.5.5.3.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.3.m3.6.6.5.5.3">𝑘</ci></apply></vector></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.1.p1.3.m3.6c">(z_{0},\tau_{1},v_{1},\dots,\tau_{k},v_{k})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.1.p1.3.m3.6d">( italic_z start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT , italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>, where:</p> <ul class="ltx_itemize" id="S3.I4"> <li class="ltx_item" id="S3.I4.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para" id="S3.I4.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I4.i1.p1.6"><math alttext="z_{0}\sim\mu" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I4.i1.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.I4.i1.p1.1.m1.1a"><mrow id="S3.I4.i1.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I4.i1.p1.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S3.I4.i1.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.I4.i1.p1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.I4.i1.p1.1.m1.1.1.2.2" xref="S3.I4.i1.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml">z</mi><mn id="S3.I4.i1.p1.1.m1.1.1.2.3" xref="S3.I4.i1.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.I4.i1.p1.1.m1.1.1.1" xref="S3.I4.i1.p1.1.m1.1.1.1.cmml">∼</mo><mi id="S3.I4.i1.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.I4.i1.p1.1.m1.1.1.3.cmml">μ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I4.i1.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.I4.i1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I4.i1.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.I4.i1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.I4.i1.p1.1.m1.1.1.1">similar-to</csymbol><apply id="S3.I4.i1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.I4.i1.p1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I4.i1.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I4.i1.p1.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I4.i1.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I4.i1.p1.1.m1.1.1.2.2">𝑧</ci><cn id="S3.I4.i1.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.I4.i1.p1.1.m1.1.1.2.3">0</cn></apply><ci id="S3.I4.i1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.I4.i1.p1.1.m1.1.1.3">𝜇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I4.i1.p1.1.m1.1c">z_{0}\sim\mu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I4.i1.p1.1.m1.1d">italic_z start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ∼ italic_μ</annotation></semantics></math>, where <math alttext="\mu" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I4.i1.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.I4.i1.p1.2.m2.1a"><mi id="S3.I4.i1.p1.2.m2.1.1" xref="S3.I4.i1.p1.2.m2.1.1.cmml">μ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I4.i1.p1.2.m2.1b"><ci id="S3.I4.i1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.I4.i1.p1.2.m2.1.1">𝜇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I4.i1.p1.2.m2.1c">\mu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I4.i1.p1.2.m2.1d">italic_μ</annotation></semantics></math> is a distribution on <math alttext="E" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I4.i1.p1.3.m3.1"><semantics id="S3.I4.i1.p1.3.m3.1a"><mi id="S3.I4.i1.p1.3.m3.1.1" xref="S3.I4.i1.p1.3.m3.1.1.cmml">E</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I4.i1.p1.3.m3.1b"><ci id="S3.I4.i1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.I4.i1.p1.3.m3.1.1">𝐸</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I4.i1.p1.3.m3.1c">E</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I4.i1.p1.3.m3.1d">italic_E</annotation></semantics></math> with a density with respect to the base measure <math alttext="\lambda_{E}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I4.i1.p1.4.m4.1"><semantics id="S3.I4.i1.p1.4.m4.1a"><msub id="S3.I4.i1.p1.4.m4.1.1" xref="S3.I4.i1.p1.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.I4.i1.p1.4.m4.1.1.2" xref="S3.I4.i1.p1.4.m4.1.1.2.cmml">λ</mi><mi id="S3.I4.i1.p1.4.m4.1.1.3" xref="S3.I4.i1.p1.4.m4.1.1.3.cmml">E</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I4.i1.p1.4.m4.1b"><apply id="S3.I4.i1.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.I4.i1.p1.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I4.i1.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.I4.i1.p1.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I4.i1.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.I4.i1.p1.4.m4.1.1.2">𝜆</ci><ci id="S3.I4.i1.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.I4.i1.p1.4.m4.1.1.3">𝐸</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I4.i1.p1.4.m4.1c">\lambda_{E}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I4.i1.p1.4.m4.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Hence, the initial state <math alttext="z_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I4.i1.p1.5.m5.1"><semantics id="S3.I4.i1.p1.5.m5.1a"><msub id="S3.I4.i1.p1.5.m5.1.1" xref="S3.I4.i1.p1.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S3.I4.i1.p1.5.m5.1.1.2" xref="S3.I4.i1.p1.5.m5.1.1.2.cmml">z</mi><mn id="S3.I4.i1.p1.5.m5.1.1.3" xref="S3.I4.i1.p1.5.m5.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I4.i1.p1.5.m5.1b"><apply id="S3.I4.i1.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.I4.i1.p1.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I4.i1.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.I4.i1.p1.5.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I4.i1.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.I4.i1.p1.5.m5.1.1.2">𝑧</ci><cn id="S3.I4.i1.p1.5.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.I4.i1.p1.5.m5.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I4.i1.p1.5.m5.1c">z_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I4.i1.p1.5.m5.1d">italic_z start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> has a density with respect to <math alttext="\lambda_{E}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I4.i1.p1.6.m6.1"><semantics id="S3.I4.i1.p1.6.m6.1a"><msub id="S3.I4.i1.p1.6.m6.1.1" xref="S3.I4.i1.p1.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S3.I4.i1.p1.6.m6.1.1.2" xref="S3.I4.i1.p1.6.m6.1.1.2.cmml">λ</mi><mi id="S3.I4.i1.p1.6.m6.1.1.3" xref="S3.I4.i1.p1.6.m6.1.1.3.cmml">E</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I4.i1.p1.6.m6.1b"><apply id="S3.I4.i1.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.I4.i1.p1.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I4.i1.p1.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S3.I4.i1.p1.6.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I4.i1.p1.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S3.I4.i1.p1.6.m6.1.1.2">𝜆</ci><ci id="S3.I4.i1.p1.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S3.I4.i1.p1.6.m6.1.1.3">𝐸</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I4.i1.p1.6.m6.1c">\lambda_{E}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I4.i1.p1.6.m6.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>,</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S3.I4.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para" id="S3.I4.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I4.i2.p1.4">the event times <math alttext="\tau_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I4.i2.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.I4.i2.p1.1.m1.1a"><msub id="S3.I4.i2.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I4.i2.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.I4.i2.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.I4.i2.p1.1.m1.1.1.2.cmml">τ</mi><mi id="S3.I4.i2.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.I4.i2.p1.1.m1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I4.i2.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.I4.i2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I4.i2.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I4.i2.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.I4.i2.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I4.i2.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.I4.i2.p1.1.m1.1.1.2">𝜏</ci><ci id="S3.I4.i2.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.I4.i2.p1.1.m1.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I4.i2.p1.1.m1.1c">\tau_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I4.i2.p1.1.m1.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> follow (conditionally on <math alttext="\tau_{i-1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I4.i2.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.I4.i2.p1.2.m2.1a"><msub id="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1" xref="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.2" xref="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.2.cmml">τ</mi><mrow id="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.3" xref="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.3.2" xref="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.3.1" xref="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.3.3" xref="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I4.i2.p1.2.m2.1b"><apply id="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.2">𝜏</ci><apply id="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.3"><minus id="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.3.1"></minus><ci id="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I4.i2.p1.2.m2.1c">\tau_{i-1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I4.i2.p1.2.m2.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i - 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="z_{i-1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I4.i2.p1.3.m3.1"><semantics id="S3.I4.i2.p1.3.m3.1a"><msub id="S3.I4.i2.p1.3.m3.1.1" xref="S3.I4.i2.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.I4.i2.p1.3.m3.1.1.2" xref="S3.I4.i2.p1.3.m3.1.1.2.cmml">z</mi><mrow id="S3.I4.i2.p1.3.m3.1.1.3" xref="S3.I4.i2.p1.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I4.i2.p1.3.m3.1.1.3.2" xref="S3.I4.i2.p1.3.m3.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.I4.i2.p1.3.m3.1.1.3.1" xref="S3.I4.i2.p1.3.m3.1.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.I4.i2.p1.3.m3.1.1.3.3" xref="S3.I4.i2.p1.3.m3.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I4.i2.p1.3.m3.1b"><apply id="S3.I4.i2.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.I4.i2.p1.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I4.i2.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.I4.i2.p1.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I4.i2.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.I4.i2.p1.3.m3.1.1.2">𝑧</ci><apply id="S3.I4.i2.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.I4.i2.p1.3.m3.1.1.3"><minus id="S3.I4.i2.p1.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I4.i2.p1.3.m3.1.1.3.1"></minus><ci id="S3.I4.i2.p1.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I4.i2.p1.3.m3.1.1.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.I4.i2.p1.3.m3.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.I4.i2.p1.3.m3.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I4.i2.p1.3.m3.1c">z_{i-1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I4.i2.p1.3.m3.1d">italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_i - 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>) the first event time of an inhomogeneous Poisson process, with rate <math alttext="\lambda(\Phi_{t-\tau_{i-1}}(z_{i-1}))" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I4.i2.p1.4.m4.1"><semantics id="S3.I4.i2.p1.4.m4.1a"><mrow id="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1" xref="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.3" xref="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.3.cmml">λ</mi><mo id="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.2" xref="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1" xref="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1" xref="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3" xref="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Φ</mi><mrow id="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">t</mi><mo id="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">−</mo><msub id="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">τ</mi><mrow id="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.2" xref="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.1" xref="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3" xref="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow></msub><mo id="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.2" xref="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">z</mi><mrow id="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I4.i2.p1.4.m4.1b"><apply id="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1"><times id="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.2"></times><ci id="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.3">𝜆</ci><apply id="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1"><times id="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3.2">Φ</ci><apply id="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3.3"><minus id="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3.3.1"></minus><ci id="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑡</ci><apply id="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3.3.3.2">𝜏</ci><apply id="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3.3.3.3"><minus id="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.1"></minus><ci id="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑧</ci><apply id="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><minus id="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></minus><ci id="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.I4.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I4.i2.p1.4.m4.1c">\lambda(\Phi_{t-\tau_{i-1}}(z_{i-1}))</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I4.i2.p1.4.m4.1d">italic_λ ( roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_t - italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i - 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_i - 1 end_POSTSUBSCRIPT ) )</annotation></semantics></math>,</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S3.I4.i3" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para" id="S3.I4.i3.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I4.i3.p1.4">the post-jump state <math alttext="z_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I4.i3.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.I4.i3.p1.1.m1.1a"><msub id="S3.I4.i3.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I4.i3.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.I4.i3.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.I4.i3.p1.1.m1.1.1.2.cmml">z</mi><mi id="S3.I4.i3.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.I4.i3.p1.1.m1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I4.i3.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.I4.i3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I4.i3.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I4.i3.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.1.m1.1.1.2">𝑧</ci><ci id="S3.I4.i3.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.1.m1.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I4.i3.p1.1.m1.1c">z_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I4.i3.p1.1.m1.1d">italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is determined by <math alttext="v_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1a"><msub id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1" xref="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.2" xref="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.2.cmml">v</mi><mi id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3" xref="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1b"><apply id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.2">𝑣</ci><ci id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1c">v_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1d">italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, which has density <math alttext="\nu_{\Phi_{\tau_{i}-\tau_{i-1}}(z_{i-1})}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I4.i3.p1.3.m3.1"><semantics id="S3.I4.i3.p1.3.m3.1a"><msub id="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.2" xref="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.2.cmml"><mi id="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.2.2" xref="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.2.2.cmml">ν</mi><mrow id="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1" xref="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.cmml"><msub id="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.3" xref="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.3.2.cmml">Φ</mi><mrow id="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.3.3" xref="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.3.3.cmml"><msub id="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.3.3.2" xref="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.3.3.2.2" xref="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.3.3.2.2.cmml">τ</mi><mi id="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.3.3.2.3" xref="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.3.3.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.3.3.1" xref="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.3.3.1.cmml">−</mo><msub id="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.3.3.3" xref="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.3.3.3.2" xref="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.3.3.3.2.cmml">τ</mi><mrow id="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.3.3.3.3.2" xref="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.3.3.3.3.1" xref="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.3.3.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.3.3.3.3.3" xref="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow></msub><mo id="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.2" xref="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1" xref="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">z</mi><mrow id="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I4.i3.p1.3.m3.1b"><apply id="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.2.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.2.2.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.2.2">𝜈</ci><apply id="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1"><times id="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.2"></times><apply id="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.3.2">Φ</ci><apply id="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.3.3"><minus id="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.3.3.1"></minus><apply id="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.3.3.2.2">𝜏</ci><ci id="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.3.3.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.3.3.3.2">𝜏</ci><apply id="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.3.3.3.3"><minus id="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.3.3.3.3.1"></minus><ci id="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.3.3.3.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.3.3.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.2">𝑧</ci><apply id="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3"><minus id="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.1"></minus><ci id="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.I4.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I4.i3.p1.3.m3.1c">\nu_{\Phi_{\tau_{i}-\tau_{i-1}}(z_{i-1})}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I4.i3.p1.3.m3.1d">italic_ν start_POSTSUBSCRIPT roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT - italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i - 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_i - 1 end_POSTSUBSCRIPT ) end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> on <math alttext="V" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I4.i3.p1.4.m4.1"><semantics id="S3.I4.i3.p1.4.m4.1a"><mi id="S3.I4.i3.p1.4.m4.1.1" xref="S3.I4.i3.p1.4.m4.1.1.cmml">V</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I4.i3.p1.4.m4.1b"><ci id="S3.I4.i3.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.4.m4.1.1">𝑉</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I4.i3.p1.4.m4.1c">V</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I4.i3.p1.4.m4.1d">italic_V</annotation></semantics></math>.</p> </div> </li> </ul> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.1.p1.14">Thus, the joint distribution of <math alttext="(z_{0},\tau_{1},v_{1},\dots,\tau_{k},v_{k})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.1.p1.4.m1.6"><semantics id="S3.SS2.1.p1.4.m1.6a"><mrow id="S3.SS2.1.p1.4.m1.6.6.5" xref="S3.SS2.1.p1.4.m1.6.6.6.cmml"><mo id="S3.SS2.1.p1.4.m1.6.6.5.6" stretchy="false" xref="S3.SS2.1.p1.4.m1.6.6.6.cmml">(</mo><msub id="S3.SS2.1.p1.4.m1.2.2.1.1" xref="S3.SS2.1.p1.4.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.1.p1.4.m1.2.2.1.1.2" xref="S3.SS2.1.p1.4.m1.2.2.1.1.2.cmml">z</mi><mn id="S3.SS2.1.p1.4.m1.2.2.1.1.3" xref="S3.SS2.1.p1.4.m1.2.2.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.SS2.1.p1.4.m1.6.6.5.7" xref="S3.SS2.1.p1.4.m1.6.6.6.cmml">,</mo><msub id="S3.SS2.1.p1.4.m1.3.3.2.2" xref="S3.SS2.1.p1.4.m1.3.3.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.1.p1.4.m1.3.3.2.2.2" xref="S3.SS2.1.p1.4.m1.3.3.2.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S3.SS2.1.p1.4.m1.3.3.2.2.3" xref="S3.SS2.1.p1.4.m1.3.3.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.SS2.1.p1.4.m1.6.6.5.8" xref="S3.SS2.1.p1.4.m1.6.6.6.cmml">,</mo><msub id="S3.SS2.1.p1.4.m1.4.4.3.3" xref="S3.SS2.1.p1.4.m1.4.4.3.3.cmml"><mi id="S3.SS2.1.p1.4.m1.4.4.3.3.2" xref="S3.SS2.1.p1.4.m1.4.4.3.3.2.cmml">v</mi><mn id="S3.SS2.1.p1.4.m1.4.4.3.3.3" xref="S3.SS2.1.p1.4.m1.4.4.3.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.SS2.1.p1.4.m1.6.6.5.9" xref="S3.SS2.1.p1.4.m1.6.6.6.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.1.p1.4.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.1.p1.4.m1.1.1.cmml">…</mi><mo id="S3.SS2.1.p1.4.m1.6.6.5.10" xref="S3.SS2.1.p1.4.m1.6.6.6.cmml">,</mo><msub id="S3.SS2.1.p1.4.m1.5.5.4.4" xref="S3.SS2.1.p1.4.m1.5.5.4.4.cmml"><mi id="S3.SS2.1.p1.4.m1.5.5.4.4.2" xref="S3.SS2.1.p1.4.m1.5.5.4.4.2.cmml">τ</mi><mi id="S3.SS2.1.p1.4.m1.5.5.4.4.3" xref="S3.SS2.1.p1.4.m1.5.5.4.4.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.SS2.1.p1.4.m1.6.6.5.11" xref="S3.SS2.1.p1.4.m1.6.6.6.cmml">,</mo><msub id="S3.SS2.1.p1.4.m1.6.6.5.5" xref="S3.SS2.1.p1.4.m1.6.6.5.5.cmml"><mi id="S3.SS2.1.p1.4.m1.6.6.5.5.2" xref="S3.SS2.1.p1.4.m1.6.6.5.5.2.cmml">v</mi><mi id="S3.SS2.1.p1.4.m1.6.6.5.5.3" xref="S3.SS2.1.p1.4.m1.6.6.5.5.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.SS2.1.p1.4.m1.6.6.5.12" stretchy="false" xref="S3.SS2.1.p1.4.m1.6.6.6.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.1.p1.4.m1.6b"><vector id="S3.SS2.1.p1.4.m1.6.6.6.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.4.m1.6.6.5"><apply id="S3.SS2.1.p1.4.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.4.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.1.p1.4.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.4.m1.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.1.p1.4.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.4.m1.2.2.1.1.2">𝑧</ci><cn id="S3.SS2.1.p1.4.m1.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.1.p1.4.m1.2.2.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S3.SS2.1.p1.4.m1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.4.m1.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.1.p1.4.m1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.4.m1.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.1.p1.4.m1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.4.m1.3.3.2.2.2">𝜏</ci><cn id="S3.SS2.1.p1.4.m1.3.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.1.p1.4.m1.3.3.2.2.3">1</cn></apply><apply id="S3.SS2.1.p1.4.m1.4.4.3.3.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.4.m1.4.4.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.1.p1.4.m1.4.4.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.4.m1.4.4.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.1.p1.4.m1.4.4.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.4.m1.4.4.3.3.2">𝑣</ci><cn id="S3.SS2.1.p1.4.m1.4.4.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.1.p1.4.m1.4.4.3.3.3">1</cn></apply><ci id="S3.SS2.1.p1.4.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.4.m1.1.1">…</ci><apply id="S3.SS2.1.p1.4.m1.5.5.4.4.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.4.m1.5.5.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.1.p1.4.m1.5.5.4.4.1.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.4.m1.5.5.4.4">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.1.p1.4.m1.5.5.4.4.2.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.4.m1.5.5.4.4.2">𝜏</ci><ci id="S3.SS2.1.p1.4.m1.5.5.4.4.3.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.4.m1.5.5.4.4.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.SS2.1.p1.4.m1.6.6.5.5.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.4.m1.6.6.5.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.1.p1.4.m1.6.6.5.5.1.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.4.m1.6.6.5.5">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.1.p1.4.m1.6.6.5.5.2.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.4.m1.6.6.5.5.2">𝑣</ci><ci id="S3.SS2.1.p1.4.m1.6.6.5.5.3.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.4.m1.6.6.5.5.3">𝑘</ci></apply></vector></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.1.p1.4.m1.6c">(z_{0},\tau_{1},v_{1},\dots,\tau_{k},v_{k})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.1.p1.4.m1.6d">( italic_z start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT , italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> is given by a product of these densities: the density of <math alttext="z_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.1.p1.5.m2.1"><semantics id="S3.SS2.1.p1.5.m2.1a"><msub id="S3.SS2.1.p1.5.m2.1.1" xref="S3.SS2.1.p1.5.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.1.p1.5.m2.1.1.2" xref="S3.SS2.1.p1.5.m2.1.1.2.cmml">z</mi><mn id="S3.SS2.1.p1.5.m2.1.1.3" xref="S3.SS2.1.p1.5.m2.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.1.p1.5.m2.1b"><apply id="S3.SS2.1.p1.5.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.5.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.1.p1.5.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.5.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.1.p1.5.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.5.m2.1.1.2">𝑧</ci><cn id="S3.SS2.1.p1.5.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.1.p1.5.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.1.p1.5.m2.1c">z_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.1.p1.5.m2.1d">italic_z start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> with respect to <math alttext="\lambda_{E}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.1.p1.6.m3.1"><semantics id="S3.SS2.1.p1.6.m3.1a"><msub id="S3.SS2.1.p1.6.m3.1.1" xref="S3.SS2.1.p1.6.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.1.p1.6.m3.1.1.2" xref="S3.SS2.1.p1.6.m3.1.1.2.cmml">λ</mi><mi id="S3.SS2.1.p1.6.m3.1.1.3" xref="S3.SS2.1.p1.6.m3.1.1.3.cmml">E</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.1.p1.6.m3.1b"><apply id="S3.SS2.1.p1.6.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.6.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.1.p1.6.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.6.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.1.p1.6.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.6.m3.1.1.2">𝜆</ci><ci id="S3.SS2.1.p1.6.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.6.m3.1.1.3">𝐸</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.1.p1.6.m3.1c">\lambda_{E}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.1.p1.6.m3.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, the conditional densities of the jump times <math alttext="\tau_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.1.p1.7.m4.1"><semantics id="S3.SS2.1.p1.7.m4.1a"><msub id="S3.SS2.1.p1.7.m4.1.1" xref="S3.SS2.1.p1.7.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.1.p1.7.m4.1.1.2" xref="S3.SS2.1.p1.7.m4.1.1.2.cmml">τ</mi><mi id="S3.SS2.1.p1.7.m4.1.1.3" xref="S3.SS2.1.p1.7.m4.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.1.p1.7.m4.1b"><apply id="S3.SS2.1.p1.7.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.7.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.1.p1.7.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.7.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.1.p1.7.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.7.m4.1.1.2">𝜏</ci><ci id="S3.SS2.1.p1.7.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.7.m4.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.1.p1.7.m4.1c">\tau_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.1.p1.7.m4.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, and the densities <math alttext="\nu" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.1.p1.8.m5.1"><semantics id="S3.SS2.1.p1.8.m5.1a"><mi id="S3.SS2.1.p1.8.m5.1.1" xref="S3.SS2.1.p1.8.m5.1.1.cmml">ν</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.1.p1.8.m5.1b"><ci id="S3.SS2.1.p1.8.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.8.m5.1.1">𝜈</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.1.p1.8.m5.1c">\nu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.1.p1.8.m5.1d">italic_ν</annotation></semantics></math> with respect to <math alttext="\lambda_{V}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.1.p1.9.m6.1"><semantics id="S3.SS2.1.p1.9.m6.1a"><msub id="S3.SS2.1.p1.9.m6.1.1" xref="S3.SS2.1.p1.9.m6.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.1.p1.9.m6.1.1.2" xref="S3.SS2.1.p1.9.m6.1.1.2.cmml">λ</mi><mi id="S3.SS2.1.p1.9.m6.1.1.3" xref="S3.SS2.1.p1.9.m6.1.1.3.cmml">V</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.1.p1.9.m6.1b"><apply id="S3.SS2.1.p1.9.m6.1.1.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.9.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.1.p1.9.m6.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.9.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.1.p1.9.m6.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.9.m6.1.1.2">𝜆</ci><ci id="S3.SS2.1.p1.9.m6.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.9.m6.1.1.3">𝑉</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.1.p1.9.m6.1c">\lambda_{V}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.1.p1.9.m6.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_V end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. This shows that the probability distribution <math alttext="P" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.1.p1.10.m7.1"><semantics id="S3.SS2.1.p1.10.m7.1a"><mi id="S3.SS2.1.p1.10.m7.1.1" xref="S3.SS2.1.p1.10.m7.1.1.cmml">P</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.1.p1.10.m7.1b"><ci id="S3.SS2.1.p1.10.m7.1.1.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.10.m7.1.1">𝑃</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.1.p1.10.m7.1c">P</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.1.p1.10.m7.1d">italic_P</annotation></semantics></math> on <math alttext="W" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.1.p1.11.m8.1"><semantics id="S3.SS2.1.p1.11.m8.1a"><mi id="S3.SS2.1.p1.11.m8.1.1" xref="S3.SS2.1.p1.11.m8.1.1.cmml">W</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.1.p1.11.m8.1b"><ci id="S3.SS2.1.p1.11.m8.1.1.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.11.m8.1.1">𝑊</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.1.p1.11.m8.1c">W</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.1.p1.11.m8.1d">italic_W</annotation></semantics></math> has a density <math alttext="p" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.1.p1.12.m9.1"><semantics id="S3.SS2.1.p1.12.m9.1a"><mi id="S3.SS2.1.p1.12.m9.1.1" xref="S3.SS2.1.p1.12.m9.1.1.cmml">p</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.1.p1.12.m9.1b"><ci id="S3.SS2.1.p1.12.m9.1.1.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.12.m9.1.1">𝑝</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.1.p1.12.m9.1c">p</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.1.p1.12.m9.1d">italic_p</annotation></semantics></math> with respect to the canonical measure <math alttext="\lambda_{W}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.1.p1.13.m10.1"><semantics id="S3.SS2.1.p1.13.m10.1a"><msub id="S3.SS2.1.p1.13.m10.1.1" xref="S3.SS2.1.p1.13.m10.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.1.p1.13.m10.1.1.2" xref="S3.SS2.1.p1.13.m10.1.1.2.cmml">λ</mi><mi id="S3.SS2.1.p1.13.m10.1.1.3" xref="S3.SS2.1.p1.13.m10.1.1.3.cmml">W</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.1.p1.13.m10.1b"><apply id="S3.SS2.1.p1.13.m10.1.1.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.13.m10.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.1.p1.13.m10.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.13.m10.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.1.p1.13.m10.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.13.m10.1.1.2">𝜆</ci><ci id="S3.SS2.1.p1.13.m10.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.13.m10.1.1.3">𝑊</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.1.p1.13.m10.1c">\lambda_{W}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.1.p1.13.m10.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_W end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> on <math alttext="W" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.1.p1.14.m11.1"><semantics id="S3.SS2.1.p1.14.m11.1a"><mi id="S3.SS2.1.p1.14.m11.1.1" xref="S3.SS2.1.p1.14.m11.1.1.cmml">W</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.1.p1.14.m11.1b"><ci id="S3.SS2.1.p1.14.m11.1.1.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.14.m11.1.1">𝑊</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.1.p1.14.m11.1c">W</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.1.p1.14.m11.1d">italic_W</annotation></semantics></math>. ∎</p> </div> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S3.SS3"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">3.3 </span>Approximation of a PDMP</h3> <div class="ltx_para" id="S3.SS3.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p1.4">Exactly simulating the path of a PDMP, while possible, requires computing target-dependent upper bounds for <math alttext="\lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS3.p1.1.m1.1a"><mi id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.cmml">λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.1.m1.1b"><ci id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1">𝜆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.1.m1.1c">\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.1.m1.1d">italic_λ</annotation></semantics></math>. We build here a numerical approximation <math alttext="\tilde{Z_{t}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.SS3.p1.2.m2.1a"><mover accent="true" id="S3.SS3.p1.2.m2.1.1" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.cmml"><msub id="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.2.2" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml">Z</mi><mi id="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.2.3" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.1" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.2.m2.1b"><apply id="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.1"><ci id="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.1">~</ci><apply id="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.2.2">𝑍</ci><ci id="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.2.3">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.2.m2.1c">\tilde{Z_{t}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.2.m2.1d">over~ start_ARG italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math> to circumvent this problem. In particular, we consider approximations which i) can be simulated easily, and ii) whose density with respect to the reference measure on path space is readily available. We then simulate the corresponding process for a fixed time <math alttext="T" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.3.m3.1"><semantics id="S3.SS3.p1.3.m3.1a"><mi id="S3.SS3.p1.3.m3.1.1" xref="S3.SS3.p1.3.m3.1.1.cmml">T</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.3.m3.1b"><ci id="S3.SS3.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.3.m3.1.1">𝑇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.3.m3.1c">T</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.3.m3.1d">italic_T</annotation></semantics></math>. By construction, we can compare this proposed path to its time-reversal (whose density is similarly available), and then use this as the basis for a Metropolis-adjustment of the proposal <math alttext="\tilde{Z_{T}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.4.m4.1"><semantics id="S3.SS3.p1.4.m4.1a"><mover accent="true" id="S3.SS3.p1.4.m4.1.1" xref="S3.SS3.p1.4.m4.1.1.cmml"><msub id="S3.SS3.p1.4.m4.1.1.2" xref="S3.SS3.p1.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.4.m4.1.1.2.2" xref="S3.SS3.p1.4.m4.1.1.2.2.cmml">Z</mi><mi id="S3.SS3.p1.4.m4.1.1.2.3" xref="S3.SS3.p1.4.m4.1.1.2.3.cmml">T</mi></msub><mo id="S3.SS3.p1.4.m4.1.1.1" xref="S3.SS3.p1.4.m4.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.4.m4.1b"><apply id="S3.SS3.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.4.m4.1.1"><ci id="S3.SS3.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.4.m4.1.1.1">~</ci><apply id="S3.SS3.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.4.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p1.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.4.m4.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p1.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.4.m4.1.1.2.2">𝑍</ci><ci id="S3.SS3.p1.4.m4.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS3.p1.4.m4.1.1.2.3">𝑇</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.4.m4.1c">\tilde{Z_{T}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.4.m4.1d">over~ start_ARG italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_T end_POSTSUBSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS3.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p2.6">This process is very similar to HMC in general flavour, but differs in the nature of approximation which is made. Indeed, the discretisation introduced by HMC effectively prevents any kind of local adaptation of the step-size, as for many natural strategies, the adaptation has an intrinsically ‘forward-in-time’ character, which renders the forward process singular to its time reversal (though see <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#bib.bib24" title="">24</a>]</cite> for a counter-proposal along these lines). Here, we aim for a locally-adaptive approximation to the event rate function. To that end, the process <math alttext="Z_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p2.1.m1.1"><semantics id="S3.SS3.p2.1.m1.1a"><msub id="S3.SS3.p2.1.m1.1.1" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p2.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.1.2.cmml">Z</mi><mi id="S3.SS3.p2.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p2.1.m1.1b"><apply id="S3.SS3.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.1.2">𝑍</ci><ci id="S3.SS3.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p2.1.m1.1c">Z_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p2.1.m1.1d">italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is approximated by a <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.SS3.p2.6.1">still continuous time</span> process <math alttext="\tilde{Z_{t}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p2.2.m2.1"><semantics id="S3.SS3.p2.2.m2.1a"><mover accent="true" id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.cmml"><msub id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.2.2" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.2.2.cmml">Z</mi><mi id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.2.3" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p2.2.m2.1b"><apply id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1"><ci id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1">~</ci><apply id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.2.2">𝑍</ci><ci id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.2.3">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p2.2.m2.1c">\tilde{Z_{t}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p2.2.m2.1d">over~ start_ARG italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math>. To do that, we build a <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.SS3.p2.6.2">continuous time</span> approximation <math alttext="\tilde{\lambda}(t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p2.3.m3.1"><semantics id="S3.SS3.p2.3.m3.1a"><mrow id="S3.SS3.p2.3.m3.1.2" xref="S3.SS3.p2.3.m3.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS3.p2.3.m3.1.2.2" xref="S3.SS3.p2.3.m3.1.2.2.cmml"><mi id="S3.SS3.p2.3.m3.1.2.2.2" xref="S3.SS3.p2.3.m3.1.2.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.SS3.p2.3.m3.1.2.2.1" xref="S3.SS3.p2.3.m3.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.SS3.p2.3.m3.1.2.1" xref="S3.SS3.p2.3.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS3.p2.3.m3.1.2.3.2" xref="S3.SS3.p2.3.m3.1.2.cmml"><mo id="S3.SS3.p2.3.m3.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS3.p2.3.m3.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS3.p2.3.m3.1.1" xref="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.SS3.p2.3.m3.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.p2.3.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p2.3.m3.1b"><apply id="S3.SS3.p2.3.m3.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.3.m3.1.2"><times id="S3.SS3.p2.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.3.m3.1.2.1"></times><apply id="S3.SS3.p2.3.m3.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.3.m3.1.2.2"><ci id="S3.SS3.p2.3.m3.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.3.m3.1.2.2.1">~</ci><ci id="S3.SS3.p2.3.m3.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.3.m3.1.2.2.2">𝜆</ci></apply><ci id="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.3.m3.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p2.3.m3.1c">\tilde{\lambda}(t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p2.3.m3.1d">over~ start_ARG italic_λ end_ARG ( italic_t )</annotation></semantics></math> of <math alttext="\lambda(t)=\lambda(\Phi_{t}(z_{0}),\gamma)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p2.4.m4.3"><semantics id="S3.SS3.p2.4.m4.3a"><mrow id="S3.SS3.p2.4.m4.3.3" xref="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.cmml"><mrow id="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.3" xref="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.3.cmml"><mi id="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.3.2" xref="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.3.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.3.1" xref="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.3.3.2" xref="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.3.cmml"><mo id="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.3.cmml">(</mo><mi id="S3.SS3.p2.4.m4.1.1" xref="S3.SS3.p2.4.m4.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.2" xref="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.1" xref="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.1.3" xref="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.1.3.cmml">λ</mi><mo id="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.1.2" xref="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.1.1.1" xref="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.1.1.1.1" xref="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.1.1.1.1.3" xref="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">Φ</mi><mi id="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.1.1.1.1.2" xref="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">z</mi><mn id="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.1.1.1.3" xref="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S3.SS3.p2.4.m4.2.2" xref="S3.SS3.p2.4.m4.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p2.4.m4.3b"><apply id="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.cmml" xref="S3.SS3.p2.4.m4.3.3"><eq id="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.2"></eq><apply id="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.3.cmml" xref="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.3"><times id="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.3.1"></times><ci id="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.3.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.3.2">𝜆</ci><ci id="S3.SS3.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.4.m4.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.1"><times id="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.1.2"></times><ci id="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.1.3">𝜆</ci><interval closure="open" id="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.1.1.1"><apply id="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.1.1.1.1"><times id="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.1.1.1.1.3.2">Φ</ci><ci id="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.1.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply><apply id="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑧</ci><cn id="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.p2.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply></apply><ci id="S3.SS3.p2.4.m4.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.4.m4.2.2">𝛾</ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p2.4.m4.3c">\lambda(t)=\lambda(\Phi_{t}(z_{0}),\gamma)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p2.4.m4.3d">italic_λ ( italic_t ) = italic_λ ( roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ) , italic_γ )</annotation></semantics></math>. Starting from <math alttext="(z_{0},\gamma)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p2.5.m5.2"><semantics id="S3.SS3.p2.5.m5.2a"><mrow id="S3.SS3.p2.5.m5.2.2.1" xref="S3.SS3.p2.5.m5.2.2.2.cmml"><mo id="S3.SS3.p2.5.m5.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.p2.5.m5.2.2.2.cmml">(</mo><msub id="S3.SS3.p2.5.m5.2.2.1.1" xref="S3.SS3.p2.5.m5.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p2.5.m5.2.2.1.1.2" xref="S3.SS3.p2.5.m5.2.2.1.1.2.cmml">z</mi><mn id="S3.SS3.p2.5.m5.2.2.1.1.3" xref="S3.SS3.p2.5.m5.2.2.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.SS3.p2.5.m5.2.2.1.3" xref="S3.SS3.p2.5.m5.2.2.2.cmml">,</mo><mi id="S3.SS3.p2.5.m5.1.1" xref="S3.SS3.p2.5.m5.1.1.cmml">γ</mi><mo id="S3.SS3.p2.5.m5.2.2.1.4" stretchy="false" xref="S3.SS3.p2.5.m5.2.2.2.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p2.5.m5.2b"><interval closure="open" id="S3.SS3.p2.5.m5.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.5.m5.2.2.1"><apply id="S3.SS3.p2.5.m5.2.2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.5.m5.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p2.5.m5.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.5.m5.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p2.5.m5.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.5.m5.2.2.1.1.2">𝑧</ci><cn id="S3.SS3.p2.5.m5.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.p2.5.m5.2.2.1.1.3">0</cn></apply><ci id="S3.SS3.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.5.m5.1.1">𝛾</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p2.5.m5.2c">(z_{0},\gamma)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p2.5.m5.2d">( italic_z start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT , italic_γ )</annotation></semantics></math> (where <math alttext="\gamma\in\left\{\pm 1\right\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p2.6.m6.1"><semantics id="S3.SS3.p2.6.m6.1a"><mrow id="S3.SS3.p2.6.m6.1.1" xref="S3.SS3.p2.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p2.6.m6.1.1.3" xref="S3.SS3.p2.6.m6.1.1.3.cmml">γ</mi><mo id="S3.SS3.p2.6.m6.1.1.2" xref="S3.SS3.p2.6.m6.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="S3.SS3.p2.6.m6.1.1.1.1" xref="S3.SS3.p2.6.m6.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS3.p2.6.m6.1.1.1.1.2" xref="S3.SS3.p2.6.m6.1.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S3.SS3.p2.6.m6.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.p2.6.m6.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS3.p2.6.m6.1.1.1.1.1a" xref="S3.SS3.p2.6.m6.1.1.1.1.1.cmml">±</mo><mn id="S3.SS3.p2.6.m6.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS3.p2.6.m6.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.SS3.p2.6.m6.1.1.1.1.3" xref="S3.SS3.p2.6.m6.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p2.6.m6.1b"><apply id="S3.SS3.p2.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.6.m6.1.1"><in id="S3.SS3.p2.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.6.m6.1.1.2"></in><ci id="S3.SS3.p2.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p2.6.m6.1.1.3">𝛾</ci><set id="S3.SS3.p2.6.m6.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.6.m6.1.1.1.1"><apply id="S3.SS3.p2.6.m6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.6.m6.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS3.p2.6.m6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.6.m6.1.1.1.1.1">plus-or-minus</csymbol><cn id="S3.SS3.p2.6.m6.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.p2.6.m6.1.1.1.1.1.2">1</cn></apply></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p2.6.m6.1c">\gamma\in\left\{\pm 1\right\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p2.6.m6.1d">italic_γ ∈ { ± 1 }</annotation></semantics></math> is the time direction), the approximated process is therefore simulated as follows:</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS3.p3"> <ol class="ltx_enumerate" id="S3.I5"> <li class="ltx_item" id="S3.I5.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">1.</span> <div class="ltx_para" id="S3.I5.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I5.i1.p1.3">at event time <math alttext="\tau_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I5.i1.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.I5.i1.p1.1.m1.1a"><msub id="S3.I5.i1.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I5.i1.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.I5.i1.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.I5.i1.p1.1.m1.1.1.2.cmml">τ</mi><mi id="S3.I5.i1.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.I5.i1.p1.1.m1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I5.i1.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.I5.i1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I5.i1.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I5.i1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.I5.i1.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I5.i1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.I5.i1.p1.1.m1.1.1.2">𝜏</ci><ci id="S3.I5.i1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.I5.i1.p1.1.m1.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I5.i1.p1.1.m1.1c">\tau_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I5.i1.p1.1.m1.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, compute the approximation <math alttext="\tilde{\lambda}(t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I5.i1.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.I5.i1.p1.2.m2.1a"><mrow id="S3.I5.i1.p1.2.m2.1.2" xref="S3.I5.i1.p1.2.m2.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.I5.i1.p1.2.m2.1.2.2" xref="S3.I5.i1.p1.2.m2.1.2.2.cmml"><mi id="S3.I5.i1.p1.2.m2.1.2.2.2" xref="S3.I5.i1.p1.2.m2.1.2.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.I5.i1.p1.2.m2.1.2.2.1" xref="S3.I5.i1.p1.2.m2.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.I5.i1.p1.2.m2.1.2.1" xref="S3.I5.i1.p1.2.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I5.i1.p1.2.m2.1.2.3.2" xref="S3.I5.i1.p1.2.m2.1.2.cmml"><mo id="S3.I5.i1.p1.2.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.I5.i1.p1.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.I5.i1.p1.2.m2.1.1" xref="S3.I5.i1.p1.2.m2.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.I5.i1.p1.2.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.I5.i1.p1.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I5.i1.p1.2.m2.1b"><apply id="S3.I5.i1.p1.2.m2.1.2.cmml" xref="S3.I5.i1.p1.2.m2.1.2"><times id="S3.I5.i1.p1.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S3.I5.i1.p1.2.m2.1.2.1"></times><apply id="S3.I5.i1.p1.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S3.I5.i1.p1.2.m2.1.2.2"><ci id="S3.I5.i1.p1.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S3.I5.i1.p1.2.m2.1.2.2.1">~</ci><ci id="S3.I5.i1.p1.2.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S3.I5.i1.p1.2.m2.1.2.2.2">𝜆</ci></apply><ci id="S3.I5.i1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.I5.i1.p1.2.m2.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I5.i1.p1.2.m2.1c">\tilde{\lambda}(t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I5.i1.p1.2.m2.1d">over~ start_ARG italic_λ end_ARG ( italic_t )</annotation></semantics></math> of <math alttext="\lambda(\Phi_{\gamma t}(\tilde{z}_{\tau_{i}}),\gamma)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I5.i1.p1.3.m3.2"><semantics id="S3.I5.i1.p1.3.m3.2a"><mrow id="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2" xref="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.cmml"><mi id="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.3" xref="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.3.cmml">λ</mi><mo id="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.2" xref="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1" xref="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1" xref="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.3" xref="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.cmml">Φ</mi><mrow id="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.3.3" xref="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.3.3.2" xref="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml">γ</mi><mo id="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.3.3.1" xref="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.3.3.3" xref="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.2" xref="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">z</mi><mo id="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><msub id="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">τ</mi><mi id="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub></msub><mo id="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.3" xref="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.2.cmml">,</mo><mi id="S3.I5.i1.p1.3.m3.1.1" xref="S3.I5.i1.p1.3.m3.1.1.cmml">γ</mi><mo id="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I5.i1.p1.3.m3.2b"><apply id="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.cmml" xref="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2"><times id="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.2.cmml" xref="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.2"></times><ci id="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.3.cmml" xref="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.3">𝜆</ci><interval closure="open" id="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.2.cmml" xref="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1"><apply id="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1"><times id="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.2"></times><apply id="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.3.2">Φ</ci><apply id="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.3.3"><times id="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.3.3.2">𝛾</ci><ci id="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑧</ci></apply><apply id="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜏</ci><ci id="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.I5.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply><ci id="S3.I5.i1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.I5.i1.p1.3.m3.1.1">𝛾</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I5.i1.p1.3.m3.2c">\lambda(\Phi_{\gamma t}(\tilde{z}_{\tau_{i}}),\gamma)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I5.i1.p1.3.m3.2d">italic_λ ( roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_γ italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( over~ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ) , italic_γ )</annotation></semantics></math>,</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S3.I5.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">2.</span> <div class="ltx_para" id="S3.I5.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I5.i2.p1.2">simulate the next event time <math alttext="\tau_{i+1}-\tau_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I5.i2.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.I5.i2.p1.1.m1.1a"><mrow id="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.2.2" xref="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml">τ</mi><mrow id="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.2.3" xref="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.2.3.2" xref="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.2.3.1" xref="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.2.3.3" xref="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.1" xref="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml">τ</mi><mi id="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I5.i2.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1"><minus id="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.1"></minus><apply id="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.2.2">𝜏</ci><apply id="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.2.3"><plus id="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.2.3.1"></plus><ci id="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.3.2">𝜏</ci><ci id="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I5.i2.p1.1.m1.1c">\tau_{i+1}-\tau_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I5.i2.p1.1.m1.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i + 1 end_POSTSUBSCRIPT - italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I5.i2.p1.2.1">exactly</span> from the first event time of an inhomogeneous Poisson process with rate <math alttext="\tilde{\lambda}(t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I5.i2.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.I5.i2.p1.2.m2.1a"><mrow id="S3.I5.i2.p1.2.m2.1.2" xref="S3.I5.i2.p1.2.m2.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.I5.i2.p1.2.m2.1.2.2" xref="S3.I5.i2.p1.2.m2.1.2.2.cmml"><mi id="S3.I5.i2.p1.2.m2.1.2.2.2" xref="S3.I5.i2.p1.2.m2.1.2.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.I5.i2.p1.2.m2.1.2.2.1" xref="S3.I5.i2.p1.2.m2.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.I5.i2.p1.2.m2.1.2.1" xref="S3.I5.i2.p1.2.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I5.i2.p1.2.m2.1.2.3.2" xref="S3.I5.i2.p1.2.m2.1.2.cmml"><mo id="S3.I5.i2.p1.2.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.I5.i2.p1.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.I5.i2.p1.2.m2.1.1" xref="S3.I5.i2.p1.2.m2.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.I5.i2.p1.2.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.I5.i2.p1.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I5.i2.p1.2.m2.1b"><apply id="S3.I5.i2.p1.2.m2.1.2.cmml" xref="S3.I5.i2.p1.2.m2.1.2"><times id="S3.I5.i2.p1.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S3.I5.i2.p1.2.m2.1.2.1"></times><apply id="S3.I5.i2.p1.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S3.I5.i2.p1.2.m2.1.2.2"><ci id="S3.I5.i2.p1.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S3.I5.i2.p1.2.m2.1.2.2.1">~</ci><ci id="S3.I5.i2.p1.2.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S3.I5.i2.p1.2.m2.1.2.2.2">𝜆</ci></apply><ci id="S3.I5.i2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.I5.i2.p1.2.m2.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I5.i2.p1.2.m2.1c">\tilde{\lambda}(t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I5.i2.p1.2.m2.1d">over~ start_ARG italic_λ end_ARG ( italic_t )</annotation></semantics></math>,</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S3.I5.i3" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">3.</span> <div class="ltx_para" id="S3.I5.i3.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I5.i3.p1.1">simulate <math alttext="\tilde{z}_{\tau_{i+1}}\sim Q(\cdot|\Phi_{\gamma(\tau_{i+1}-\tau_{i})}(\tilde{z% }_{\tau_{i}}),\gamma)" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S3.I5.i3.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.I5.i3.p1.1.m1.1a"><mrow id="S3.I5.i3.p1.1.m1.1b"><msub id="S3.I5.i3.p1.1.m1.1.2"><mover accent="true" id="S3.I5.i3.p1.1.m1.1.2.2"><mi id="S3.I5.i3.p1.1.m1.1.2.2.2">z</mi><mo id="S3.I5.i3.p1.1.m1.1.2.2.1">~</mo></mover><msub id="S3.I5.i3.p1.1.m1.1.2.3"><mi id="S3.I5.i3.p1.1.m1.1.2.3.2">τ</mi><mrow id="S3.I5.i3.p1.1.m1.1.2.3.3"><mi id="S3.I5.i3.p1.1.m1.1.2.3.3.2">i</mi><mo id="S3.I5.i3.p1.1.m1.1.2.3.3.1">+</mo><mn id="S3.I5.i3.p1.1.m1.1.2.3.3.3">1</mn></mrow></msub></msub><mo id="S3.I5.i3.p1.1.m1.1.3">∼</mo><mi id="S3.I5.i3.p1.1.m1.1.4">Q</mi><mrow id="S3.I5.i3.p1.1.m1.1.5"><mo id="S3.I5.i3.p1.1.m1.1.5.1" stretchy="false">(</mo><mo id="S3.I5.i3.p1.1.m1.1.5.2" lspace="0em" rspace="0em">⋅</mo><mo fence="false" id="S3.I5.i3.p1.1.m1.1.5.3" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><msub id="S3.I5.i3.p1.1.m1.1.5.4"><mi id="S3.I5.i3.p1.1.m1.1.5.4.2" mathvariant="normal">Φ</mi><mrow id="S3.I5.i3.p1.1.m1.1.1.1"><mi id="S3.I5.i3.p1.1.m1.1.1.1.3">γ</mi><mo id="S3.I5.i3.p1.1.m1.1.1.1.2">⁢</mo><mrow id="S3.I5.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1"><mo id="S3.I5.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S3.I5.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1"><msub id="S3.I5.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S3.I5.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">τ</mi><mrow id="S3.I5.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3"><mi id="S3.I5.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">i</mi><mo id="S3.I5.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1">+</mo><mn id="S3.I5.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">1</mn></mrow></msub><mo id="S3.I5.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1">−</mo><msub id="S3.I5.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3"><mi id="S3.I5.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">τ</mi><mi id="S3.I5.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">i</mi></msub></mrow><mo id="S3.I5.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></msub><mrow id="S3.I5.i3.p1.1.m1.1.5.5"><mo id="S3.I5.i3.p1.1.m1.1.5.5.1" stretchy="false">(</mo><msub id="S3.I5.i3.p1.1.m1.1.5.5.2"><mover accent="true" id="S3.I5.i3.p1.1.m1.1.5.5.2.2"><mi id="S3.I5.i3.p1.1.m1.1.5.5.2.2.2">z</mi><mo id="S3.I5.i3.p1.1.m1.1.5.5.2.2.1">~</mo></mover><msub id="S3.I5.i3.p1.1.m1.1.5.5.2.3"><mi id="S3.I5.i3.p1.1.m1.1.5.5.2.3.2">τ</mi><mi id="S3.I5.i3.p1.1.m1.1.5.5.2.3.3">i</mi></msub></msub><mo id="S3.I5.i3.p1.1.m1.1.5.5.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S3.I5.i3.p1.1.m1.1.5.6">,</mo><mi id="S3.I5.i3.p1.1.m1.1.5.7">γ</mi><mo id="S3.I5.i3.p1.1.m1.1.5.8" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I5.i3.p1.1.m1.1c">\tilde{z}_{\tau_{i+1}}\sim Q(\cdot|\Phi_{\gamma(\tau_{i+1}-\tau_{i})}(\tilde{z% }_{\tau_{i}}),\gamma)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I5.i3.p1.1.m1.1d">over~ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i + 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ∼ italic_Q ( ⋅ | roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_γ ( italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i + 1 end_POSTSUBSCRIPT - italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) end_POSTSUBSCRIPT ( over~ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ) , italic_γ )</annotation></semantics></math>,</p> </div> </li> </ol> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p3.4">until time <math alttext="T" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p3.1.m1.1"><semantics id="S3.SS3.p3.1.m1.1a"><mi id="S3.SS3.p3.1.m1.1.1" xref="S3.SS3.p3.1.m1.1.1.cmml">T</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p3.1.m1.1b"><ci id="S3.SS3.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.1.m1.1.1">𝑇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p3.1.m1.1c">T</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p3.1.m1.1d">italic_T</annotation></semantics></math> is reached, and then return <math alttext="(\tilde{z}_{T},\gamma)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p3.2.m2.2"><semantics id="S3.SS3.p3.2.m2.2a"><mrow id="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.1" xref="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.2.cmml"><mo id="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.2.cmml">(</mo><msub id="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.1.1" xref="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.1.1.2" xref="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.1.1.2.2" xref="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.1.1.2.2.cmml">z</mi><mo id="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.1.1.2.1" xref="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.1.1.3" xref="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.1.1.3.cmml">T</mi></msub><mo id="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.1.3" xref="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.2.cmml">,</mo><mi id="S3.SS3.p3.2.m2.1.1" xref="S3.SS3.p3.2.m2.1.1.cmml">γ</mi><mo id="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.1.4" stretchy="false" xref="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p3.2.m2.2b"><interval closure="open" id="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.1"><apply id="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.1.1.2"><ci id="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.1.1.2.2">𝑧</ci></apply><ci id="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.1.1.3">𝑇</ci></apply><ci id="S3.SS3.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.2.m2.1.1">𝛾</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p3.2.m2.2c">(\tilde{z}_{T},\gamma)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p3.2.m2.2d">( over~ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_T end_POSTSUBSCRIPT , italic_γ )</annotation></semantics></math>. It should be noted that the approximated process is no longer a continuous Markov process, as the implied event rate depends on where the last jump occurred. The skeleton of the approximated process can still be a Markov process, but it would require extra assumptions on the way the approximation <math alttext="\tilde{\lambda}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p3.3.m3.1"><semantics id="S3.SS3.p3.3.m3.1a"><mover accent="true" id="S3.SS3.p3.3.m3.1.1" xref="S3.SS3.p3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p3.3.m3.1.1.2" xref="S3.SS3.p3.3.m3.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.SS3.p3.3.m3.1.1.1" xref="S3.SS3.p3.3.m3.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p3.3.m3.1b"><apply id="S3.SS3.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.3.m3.1.1"><ci id="S3.SS3.p3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.3.m3.1.1.1">~</ci><ci id="S3.SS3.p3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p3.3.m3.1.1.2">𝜆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p3.3.m3.1c">\tilde{\lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p3.3.m3.1d">over~ start_ARG italic_λ end_ARG</annotation></semantics></math> is built. In any case, from the point of view of the Metropolis-adjustment, the Markov property of the proposal is not important; the interior of the trajectory is essentially just an auxiliary instrument for simulating the terminal point <math alttext="\tilde{z}_{T}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p3.4.m4.1"><semantics id="S3.SS3.p3.4.m4.1a"><msub id="S3.SS3.p3.4.m4.1.1" xref="S3.SS3.p3.4.m4.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS3.p3.4.m4.1.1.2" xref="S3.SS3.p3.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS3.p3.4.m4.1.1.2.2" xref="S3.SS3.p3.4.m4.1.1.2.2.cmml">z</mi><mo id="S3.SS3.p3.4.m4.1.1.2.1" xref="S3.SS3.p3.4.m4.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.SS3.p3.4.m4.1.1.3" xref="S3.SS3.p3.4.m4.1.1.3.cmml">T</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p3.4.m4.1b"><apply id="S3.SS3.p3.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p3.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.4.m4.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.SS3.p3.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p3.4.m4.1.1.2"><ci id="S3.SS3.p3.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.4.m4.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.SS3.p3.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p3.4.m4.1.1.2.2">𝑧</ci></apply><ci id="S3.SS3.p3.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p3.4.m4.1.1.3">𝑇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p3.4.m4.1c">\tilde{z}_{T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p3.4.m4.1d">over~ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_T end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS3.p4"> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p4.1">The path space is the same for the exact process and the approximation, since the same jump kernel <math alttext="Q" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p4.1.m1.1"><semantics id="S3.SS3.p4.1.m1.1a"><mi id="S3.SS3.p4.1.m1.1.1" xref="S3.SS3.p4.1.m1.1.1.cmml">Q</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p4.1.m1.1b"><ci id="S3.SS3.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p4.1.m1.1.1">𝑄</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p4.1.m1.1c">Q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p4.1.m1.1d">italic_Q</annotation></semantics></math> is used. As such, we can write an analogue of Proposition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#Thmproposition3" title="Proposition 3. ‣ 3.2 Path space ‣ 3 Practical Simulation of PDMPs through Metropolis Adjustment ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a> for the approximate process.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_proposition" id="Thmproposition4"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmproposition4.1.1.1">Proposition 4</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmproposition4.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmproposition4.p1"> <ol class="ltx_enumerate" id="S3.I6"> <li class="ltx_item" id="S3.I6.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">1.</span> <div class="ltx_para" id="S3.I6.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I6.i1.p1.5"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I6.i1.p1.5.1">The distribution </span><math alttext="\tilde{P}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I6.i1.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.I6.i1.p1.1.m1.1a"><mover accent="true" id="S3.I6.i1.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I6.i1.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.I6.i1.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.I6.i1.p1.1.m1.1.1.2.cmml">P</mi><mo id="S3.I6.i1.p1.1.m1.1.1.1" xref="S3.I6.i1.p1.1.m1.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I6.i1.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.I6.i1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I6.i1.p1.1.m1.1.1"><ci id="S3.I6.i1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.I6.i1.p1.1.m1.1.1.1">~</ci><ci id="S3.I6.i1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.I6.i1.p1.1.m1.1.1.2">𝑃</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I6.i1.p1.1.m1.1c">\tilde{P}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I6.i1.p1.1.m1.1d">over~ start_ARG italic_P end_ARG</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I6.i1.p1.5.2"> on the path space </span><math alttext="W" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I6.i1.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.I6.i1.p1.2.m2.1a"><mi id="S3.I6.i1.p1.2.m2.1.1" xref="S3.I6.i1.p1.2.m2.1.1.cmml">W</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I6.i1.p1.2.m2.1b"><ci id="S3.I6.i1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.I6.i1.p1.2.m2.1.1">𝑊</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I6.i1.p1.2.m2.1c">W</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I6.i1.p1.2.m2.1d">italic_W</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I6.i1.p1.5.3">, corresponding to the approximate PDMP </span><math alttext="(\tilde{Z}_{t})_{t\in[0,T]}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I6.i1.p1.3.m3.3"><semantics id="S3.I6.i1.p1.3.m3.3a"><msub id="S3.I6.i1.p1.3.m3.3.3" xref="S3.I6.i1.p1.3.m3.3.3.cmml"><mrow id="S3.I6.i1.p1.3.m3.3.3.1.1" xref="S3.I6.i1.p1.3.m3.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S3.I6.i1.p1.3.m3.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I6.i1.p1.3.m3.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.I6.i1.p1.3.m3.3.3.1.1.1" xref="S3.I6.i1.p1.3.m3.3.3.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.I6.i1.p1.3.m3.3.3.1.1.1.2" xref="S3.I6.i1.p1.3.m3.3.3.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.I6.i1.p1.3.m3.3.3.1.1.1.2.2" xref="S3.I6.i1.p1.3.m3.3.3.1.1.1.2.2.cmml">Z</mi><mo id="S3.I6.i1.p1.3.m3.3.3.1.1.1.2.1" xref="S3.I6.i1.p1.3.m3.3.3.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.I6.i1.p1.3.m3.3.3.1.1.1.3" xref="S3.I6.i1.p1.3.m3.3.3.1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S3.I6.i1.p1.3.m3.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I6.i1.p1.3.m3.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.I6.i1.p1.3.m3.2.2.2" xref="S3.I6.i1.p1.3.m3.2.2.2.cmml"><mi id="S3.I6.i1.p1.3.m3.2.2.2.4" xref="S3.I6.i1.p1.3.m3.2.2.2.4.cmml">t</mi><mo id="S3.I6.i1.p1.3.m3.2.2.2.3" xref="S3.I6.i1.p1.3.m3.2.2.2.3.cmml">∈</mo><mrow id="S3.I6.i1.p1.3.m3.2.2.2.5.2" xref="S3.I6.i1.p1.3.m3.2.2.2.5.1.cmml"><mo id="S3.I6.i1.p1.3.m3.2.2.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S3.I6.i1.p1.3.m3.2.2.2.5.1.cmml">[</mo><mn id="S3.I6.i1.p1.3.m3.1.1.1.1" xref="S3.I6.i1.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.I6.i1.p1.3.m3.2.2.2.5.2.2" xref="S3.I6.i1.p1.3.m3.2.2.2.5.1.cmml">,</mo><mi id="S3.I6.i1.p1.3.m3.2.2.2.2" xref="S3.I6.i1.p1.3.m3.2.2.2.2.cmml">T</mi><mo id="S3.I6.i1.p1.3.m3.2.2.2.5.2.3" stretchy="false" xref="S3.I6.i1.p1.3.m3.2.2.2.5.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I6.i1.p1.3.m3.3b"><apply id="S3.I6.i1.p1.3.m3.3.3.cmml" xref="S3.I6.i1.p1.3.m3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I6.i1.p1.3.m3.3.3.2.cmml" xref="S3.I6.i1.p1.3.m3.3.3">subscript</csymbol><apply id="S3.I6.i1.p1.3.m3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.I6.i1.p1.3.m3.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I6.i1.p1.3.m3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I6.i1.p1.3.m3.3.3.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.I6.i1.p1.3.m3.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I6.i1.p1.3.m3.3.3.1.1.1.2"><ci id="S3.I6.i1.p1.3.m3.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I6.i1.p1.3.m3.3.3.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.I6.i1.p1.3.m3.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I6.i1.p1.3.m3.3.3.1.1.1.2.2">𝑍</ci></apply><ci id="S3.I6.i1.p1.3.m3.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I6.i1.p1.3.m3.3.3.1.1.1.3">𝑡</ci></apply><apply id="S3.I6.i1.p1.3.m3.2.2.2.cmml" xref="S3.I6.i1.p1.3.m3.2.2.2"><in id="S3.I6.i1.p1.3.m3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.I6.i1.p1.3.m3.2.2.2.3"></in><ci id="S3.I6.i1.p1.3.m3.2.2.2.4.cmml" xref="S3.I6.i1.p1.3.m3.2.2.2.4">𝑡</ci><interval closure="closed" id="S3.I6.i1.p1.3.m3.2.2.2.5.1.cmml" xref="S3.I6.i1.p1.3.m3.2.2.2.5.2"><cn id="S3.I6.i1.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.I6.i1.p1.3.m3.1.1.1.1">0</cn><ci id="S3.I6.i1.p1.3.m3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I6.i1.p1.3.m3.2.2.2.2">𝑇</ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I6.i1.p1.3.m3.3c">(\tilde{Z}_{t})_{t\in[0,T]}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I6.i1.p1.3.m3.3d">( over~ start_ARG italic_Z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_t ∈ [ 0 , italic_T ] end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I6.i1.p1.5.4">, is absolutely continuous with respect to the canonical measure </span><math alttext="\lambda_{W}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I6.i1.p1.4.m4.1"><semantics id="S3.I6.i1.p1.4.m4.1a"><msub id="S3.I6.i1.p1.4.m4.1.1" xref="S3.I6.i1.p1.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.I6.i1.p1.4.m4.1.1.2" xref="S3.I6.i1.p1.4.m4.1.1.2.cmml">λ</mi><mi id="S3.I6.i1.p1.4.m4.1.1.3" xref="S3.I6.i1.p1.4.m4.1.1.3.cmml">W</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I6.i1.p1.4.m4.1b"><apply id="S3.I6.i1.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.I6.i1.p1.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I6.i1.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.I6.i1.p1.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I6.i1.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.I6.i1.p1.4.m4.1.1.2">𝜆</ci><ci id="S3.I6.i1.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.I6.i1.p1.4.m4.1.1.3">𝑊</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I6.i1.p1.4.m4.1c">\lambda_{W}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I6.i1.p1.4.m4.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_W end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I6.i1.p1.5.5"> on </span><math alttext="W" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I6.i1.p1.5.m5.1"><semantics id="S3.I6.i1.p1.5.m5.1a"><mi id="S3.I6.i1.p1.5.m5.1.1" xref="S3.I6.i1.p1.5.m5.1.1.cmml">W</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I6.i1.p1.5.m5.1b"><ci id="S3.I6.i1.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.I6.i1.p1.5.m5.1.1">𝑊</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I6.i1.p1.5.m5.1c">W</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I6.i1.p1.5.m5.1d">italic_W</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I6.i1.p1.5.6">.</span></p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S3.I6.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">2.</span> <div class="ltx_para" id="S3.I6.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I6.i2.p1.4"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I6.i2.p1.4.1">In particular, </span><math alttext="\tilde{P}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I6.i2.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.I6.i2.p1.1.m1.1a"><mover accent="true" id="S3.I6.i2.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I6.i2.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.I6.i2.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.I6.i2.p1.1.m1.1.1.2.cmml">P</mi><mo id="S3.I6.i2.p1.1.m1.1.1.1" xref="S3.I6.i2.p1.1.m1.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I6.i2.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.I6.i2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I6.i2.p1.1.m1.1.1"><ci id="S3.I6.i2.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.I6.i2.p1.1.m1.1.1.1">~</ci><ci id="S3.I6.i2.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.I6.i2.p1.1.m1.1.1.2">𝑃</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I6.i2.p1.1.m1.1c">\tilde{P}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I6.i2.p1.1.m1.1d">over~ start_ARG italic_P end_ARG</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I6.i2.p1.4.2"> admits a density </span><math alttext="\tilde{p}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I6.i2.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.I6.i2.p1.2.m2.1a"><mover accent="true" id="S3.I6.i2.p1.2.m2.1.1" xref="S3.I6.i2.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.I6.i2.p1.2.m2.1.1.2" xref="S3.I6.i2.p1.2.m2.1.1.2.cmml">p</mi><mo id="S3.I6.i2.p1.2.m2.1.1.1" xref="S3.I6.i2.p1.2.m2.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I6.i2.p1.2.m2.1b"><apply id="S3.I6.i2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.I6.i2.p1.2.m2.1.1"><ci id="S3.I6.i2.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.I6.i2.p1.2.m2.1.1.1">~</ci><ci id="S3.I6.i2.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.I6.i2.p1.2.m2.1.1.2">𝑝</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I6.i2.p1.2.m2.1c">\tilde{p}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I6.i2.p1.2.m2.1d">over~ start_ARG italic_p end_ARG</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I6.i2.p1.4.3"> with respect to </span><math alttext="\lambda_{W}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I6.i2.p1.3.m3.1"><semantics id="S3.I6.i2.p1.3.m3.1a"><msub id="S3.I6.i2.p1.3.m3.1.1" xref="S3.I6.i2.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.I6.i2.p1.3.m3.1.1.2" xref="S3.I6.i2.p1.3.m3.1.1.2.cmml">λ</mi><mi id="S3.I6.i2.p1.3.m3.1.1.3" xref="S3.I6.i2.p1.3.m3.1.1.3.cmml">W</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I6.i2.p1.3.m3.1b"><apply id="S3.I6.i2.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.I6.i2.p1.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I6.i2.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.I6.i2.p1.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I6.i2.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.I6.i2.p1.3.m3.1.1.2">𝜆</ci><ci id="S3.I6.i2.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.I6.i2.p1.3.m3.1.1.3">𝑊</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I6.i2.p1.3.m3.1c">\lambda_{W}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I6.i2.p1.3.m3.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_W end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I6.i2.p1.4.4">, and for a given path, </span><math alttext="\tilde{p}((z_{0},(\tau_{1},v_{1}),...,(\tau_{k},v_{k})))" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I6.i2.p1.4.m4.2"><semantics id="S3.I6.i2.p1.4.m4.2a"><mrow id="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2" xref="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.3" xref="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.3.cmml"><mi id="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.3.2" xref="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.3.2.cmml">p</mi><mo id="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.3.1" xref="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.3.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.2" xref="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1" xref="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.cmml"><mo id="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.cmml">(</mo><mrow id="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3" xref="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.4.cmml"><mo id="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.4" stretchy="false" xref="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.4.cmml">(</mo><msub id="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">z</mi><mn id="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.5" xref="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.4.cmml">,</mo><mrow id="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.1.1" xref="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.1.1.2" xref="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml">τ</mi><mn id="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.1.1.3" xref="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.2.4" xref="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">v</mi><mn id="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.6" xref="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.4.cmml">,</mo><mi id="S3.I6.i2.p1.4.m4.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.I6.i2.p1.4.m4.1.1.cmml">…</mi><mo id="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.7" xref="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.4.cmml">,</mo><mrow id="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.2" xref="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml"><mo id="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml">(</mo><msub id="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.1.1" xref="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.1.1.cmml"><mi id="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.1.1.2" xref="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.1.1.2.cmml">τ</mi><mi id="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.1.1.3" xref="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.2.4" xref="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml">,</mo><msub id="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.2.2" xref="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.2.2.cmml"><mi id="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.2.2.2" xref="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml">v</mi><mi id="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.2.2.3" xref="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.2.5" stretchy="false" 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xref="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.2">𝑧</ci><cn id="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply><interval closure="open" id="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.2"><apply id="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.1.1.2">𝜏</ci><cn id="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.2">𝑣</ci><cn id="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.3">1</cn></apply></interval><ci id="S3.I6.i2.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.I6.i2.p1.4.m4.1.1">…</ci><interval closure="open" id="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.2"><apply id="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.1.1.2">𝜏</ci><ci id="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.1.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.2.2.2">𝑣</ci><ci id="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml" xref="S3.I6.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.2.2.3">𝑘</ci></apply></interval></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I6.i2.p1.4.m4.2c">\tilde{p}((z_{0},(\tau_{1},v_{1}),...,(\tau_{k},v_{k})))</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I6.i2.p1.4.m4.2d">over~ start_ARG italic_p end_ARG ( ( italic_z start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT , ( italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) , … , ( italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) ) )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I6.i2.p1.4.5"> can be written as:</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex9"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mu(z_{0})e^{-\int_{0}^{T-\tau_{k}}\tilde{\lambda}(\Phi_{t}(z_{k}))dt}\prod_{i% =1}^{k}\tilde{\lambda}(\Phi_{\tau_{i}-\tau_{i-1}}(z_{i-1}))e^{-\int_{0}^{\tau_% {i}-\tau_{i-1}}\tilde{\lambda}(\Phi_{t}(z_{i-1}))dt}\nu_{\Phi_{\tau_{i}-\tau_{% i-1}}(z_{i-1})}(v_{i})," class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex9.m1.4"><semantics id="S3.Ex9.m1.4a"><mrow id="S3.Ex9.m1.4.4.1" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.5" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.5.cmml">μ</mi><mo id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.4" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">z</mi><mn id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.4a" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.4.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.6" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.6.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.6.2" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.6.2.cmml">e</mi><mrow id="S3.Ex9.m1.1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex9.m1.1.1.1a" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.2.cmml"><msubsup id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.2a" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∫</mo><mn id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">0</mn><mrow id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">T</mi><mo id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">−</mo><msub id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.2.3.3.2" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml">τ</mi><mi id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.2.3.3.3" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow></msubsup></mstyle><mrow id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Φ</mi><mi id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">z</mi><mi id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.2a" lspace="0em" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mo id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.4.1" rspace="0em" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.4.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">t</mi></mrow></mrow></mrow></mrow></msup><mo id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.4b" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.cmml"><munderover id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.3" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.3.cmml"><mo id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.3.2.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.3.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.3.2.3" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.3.2.3.2" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.3.2.3.1" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.3.2.3.3" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.3.3.cmml">k</mi></munderover><mrow id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.2" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.2.4" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.2.4.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.2.4.2" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.2.4.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.2.4.1" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.2.4.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.2.cmml">Φ</mi><mrow id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.cmml"><msub id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">τ</mi><mi id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.1.cmml">−</mo><msub id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">τ</mi><mrow id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3.3.2" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3.3.1" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3.3.3" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow></msub><mo id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">z</mi><mrow id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.2.3a" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.2.5" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.2.5.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.2.5.2" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.2.5.2.cmml">e</mi><mrow id="S3.Ex9.m1.2.2.1" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.cmml"><mo id="S3.Ex9.m1.2.2.1a" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.cmml"><msubsup id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2a" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml">∫</mo><mn id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml">0</mn><mrow id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.3" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.3.cmml"><msub id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.3.2.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.3.2.2.cmml">τ</mi><mi id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.3.2.3" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.3.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.3.1" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.3.1.cmml">−</mo><msub id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.3.3.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.3.3.2.cmml">τ</mi><mrow id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.3.3.3" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.3.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.3.3.3.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.3.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.3.3.3.1" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.3.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.3.3.3.3" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.3.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow></msubsup></mstyle><mrow id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Φ</mi><mi id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">z</mi><mrow id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.2a" lspace="0em" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.4" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.4.cmml"><mo id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.4.1" rspace="0em" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.4.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.4.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.4.2.cmml">t</mi></mrow></mrow></mrow></mrow></msup><mo id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.2.3b" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.2.6" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.2.6.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.2.6.2" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.2.6.2.cmml">ν</mi><mrow id="S3.Ex9.m1.3.3.1" xref="S3.Ex9.m1.3.3.1.cmml"><msub id="S3.Ex9.m1.3.3.1.3" xref="S3.Ex9.m1.3.3.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.3.3.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex9.m1.3.3.1.3.2.cmml">Φ</mi><mrow id="S3.Ex9.m1.3.3.1.3.3" xref="S3.Ex9.m1.3.3.1.3.3.cmml"><msub id="S3.Ex9.m1.3.3.1.3.3.2" xref="S3.Ex9.m1.3.3.1.3.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.3.3.1.3.3.2.2" xref="S3.Ex9.m1.3.3.1.3.3.2.2.cmml">τ</mi><mi id="S3.Ex9.m1.3.3.1.3.3.2.3" xref="S3.Ex9.m1.3.3.1.3.3.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.Ex9.m1.3.3.1.3.3.1" xref="S3.Ex9.m1.3.3.1.3.3.1.cmml">−</mo><msub id="S3.Ex9.m1.3.3.1.3.3.3" xref="S3.Ex9.m1.3.3.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.3.3.1.3.3.3.2" xref="S3.Ex9.m1.3.3.1.3.3.3.2.cmml">τ</mi><mrow id="S3.Ex9.m1.3.3.1.3.3.3.3" xref="S3.Ex9.m1.3.3.1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.3.3.1.3.3.3.3.2" xref="S3.Ex9.m1.3.3.1.3.3.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex9.m1.3.3.1.3.3.3.3.1" xref="S3.Ex9.m1.3.3.1.3.3.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.Ex9.m1.3.3.1.3.3.3.3.3" xref="S3.Ex9.m1.3.3.1.3.3.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow></msub><mo id="S3.Ex9.m1.3.3.1.2" xref="S3.Ex9.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex9.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">z</mi><mrow id="S3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.2.3c" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.2.2.1" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.2.2.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.2.2.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.2.2.1.1" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.2.2.1.1.2.cmml">v</mi><mi id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.2.2.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex9.m1.4.4.1.2" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex9.m1.4b"><apply id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1"><times id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.4"></times><ci id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.5.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.5">𝜇</ci><apply id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.1.2">𝑧</ci><cn id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.6.cmml" 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id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.2.3.1"></minus><ci id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.2.3.2">𝑇</ci><apply id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.2.3.3.2">𝜏</ci><ci id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.2.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.3"><ci id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.3.1">~</ci><ci id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝜆</ci></apply><apply id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">Φ</ci><ci id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply><apply id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑧</ci><ci id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.4.1">differential-d</csymbol><ci id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.4.2">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3"><apply id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.3">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.3.2.2">product</csymbol><apply id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.3.2.3"><eq id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.3.2.3.1"></eq><ci id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.3.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.3.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.2"><times id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.2.3"></times><apply id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.2.4.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.2.4"><ci id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.2.4.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.2.4.1">~</ci><ci id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.2.4.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.2.4.2">𝜆</ci></apply><apply id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1"><times id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.2">Φ</ci><apply id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3"><minus id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.1"></minus><apply id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2.2">𝜏</ci><ci id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3.2">𝜏</ci><apply id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3.3"><minus id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3.3.1"></minus><ci id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑧</ci><apply id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3"><minus id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></minus><ci id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.2.5.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.2.5.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.2.5">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.2.5.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.2.5.2">𝑒</ci><apply id="S3.Ex9.m1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1"><minus id="S3.Ex9.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1"></minus><apply id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1"><apply id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><int id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.2"></int><cn id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.2.3">0</cn></apply><apply id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.3"><minus id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.3.1"></minus><apply id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.3.2.2">𝜏</ci><ci id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.3.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.3.3.2">𝜏</ci><apply id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.3.3.3"><minus id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.3.3.3.1"></minus><ci id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.3.3.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.3.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1"><times id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.3"><ci id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.3.1">~</ci><ci id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.3.2">𝜆</ci></apply><apply id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2">Φ</ci><ci id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply><apply id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑧</ci><apply id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><minus id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></minus><ci id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.4"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.4.1">differential-d</csymbol><ci id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.4.2">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.2.6.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.2.6.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.2.6">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.2.6.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.2.6.2">𝜈</ci><apply id="S3.Ex9.m1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.3.3.1"><times id="S3.Ex9.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.3.3.1.2"></times><apply id="S3.Ex9.m1.3.3.1.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.3.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.3.3.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.3.3.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex9.m1.3.3.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.3.3.1.3.2">Φ</ci><apply id="S3.Ex9.m1.3.3.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.3.3.1.3.3"><minus id="S3.Ex9.m1.3.3.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.3.3.1.3.3.1"></minus><apply id="S3.Ex9.m1.3.3.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.3.3.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.3.3.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.3.3.1.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex9.m1.3.3.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.3.3.1.3.3.2.2">𝜏</ci><ci id="S3.Ex9.m1.3.3.1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.3.3.1.3.3.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.Ex9.m1.3.3.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.3.3.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.3.3.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.3.3.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex9.m1.3.3.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.3.3.1.3.3.3.2">𝜏</ci><apply id="S3.Ex9.m1.3.3.1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.3.3.1.3.3.3.3"><minus id="S3.Ex9.m1.3.3.1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.3.3.1.3.3.3.3.1"></minus><ci id="S3.Ex9.m1.3.3.1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.3.3.1.3.3.3.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.Ex9.m1.3.3.1.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex9.m1.3.3.1.3.3.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2">𝑧</ci><apply id="S3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.3"><minus id="S3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.3.1"></minus><ci id="S3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.2.2.1.1.2">𝑣</ci><ci id="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.1.1.3.2.2.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex9.m1.4c">\mu(z_{0})e^{-\int_{0}^{T-\tau_{k}}\tilde{\lambda}(\Phi_{t}(z_{k}))dt}\prod_{i% =1}^{k}\tilde{\lambda}(\Phi_{\tau_{i}-\tau_{i-1}}(z_{i-1}))e^{-\int_{0}^{\tau_% {i}-\tau_{i-1}}\tilde{\lambda}(\Phi_{t}(z_{i-1}))dt}\nu_{\Phi_{\tau_{i}-\tau_{% i-1}}(z_{i-1})}(v_{i}),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex9.m1.4d">italic_μ ( italic_z start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ) italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - ∫ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T - italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT over~ start_ARG italic_λ end_ARG ( roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) ) italic_d italic_t end_POSTSUPERSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT over~ start_ARG italic_λ end_ARG ( roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT - italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i - 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_i - 1 end_POSTSUBSCRIPT ) ) italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - ∫ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT - italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i - 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT over~ start_ARG italic_λ end_ARG ( roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_i - 1 end_POSTSUBSCRIPT ) ) italic_d italic_t end_POSTSUPERSCRIPT italic_ν start_POSTSUBSCRIPT roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT - italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i - 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_i - 1 end_POSTSUBSCRIPT ) end_POSTSUBSCRIPT ( italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.I6.i2.p1.6"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I6.i2.p1.6.1">where </span><math alttext="z_{i}=\xi_{\Phi_{\tau_{i}-\tau_{i-1}}(z_{i-1})}(v_{i})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I6.i2.p1.5.m1.2"><semantics id="S3.I6.i2.p1.5.m1.2a"><mrow id="S3.I6.i2.p1.5.m1.2.2" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.2.2.cmml"><msub id="S3.I6.i2.p1.5.m1.2.2.3" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.I6.i2.p1.5.m1.2.2.3.2" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.2.2.3.2.cmml">z</mi><mi id="S3.I6.i2.p1.5.m1.2.2.3.3" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.2.2.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.I6.i2.p1.5.m1.2.2.2" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.I6.i2.p1.5.m1.2.2.1" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.2.2.1.cmml"><msub id="S3.I6.i2.p1.5.m1.2.2.1.3" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.2.2.1.3.cmml"><mi id="S3.I6.i2.p1.5.m1.2.2.1.3.2" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.2.2.1.3.2.cmml">ξ</mi><mrow id="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.3" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.2.cmml">Φ</mi><mrow id="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.cmml"><msub id="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">τ</mi><mi id="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.1.cmml">−</mo><msub id="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">τ</mi><mrow id="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.3.3.2" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.3.3.1" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.3.3.3" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow></msub><mo id="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.2" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">z</mi><mrow id="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S3.I6.i2.p1.5.m1.2.2.1.2" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I6.i2.p1.5.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.I6.i2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.I6.i2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I6.i2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">v</mi><mi id="S3.I6.i2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.I6.i2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I6.i2.p1.5.m1.2b"><apply id="S3.I6.i2.p1.5.m1.2.2.cmml" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.2.2"><eq id="S3.I6.i2.p1.5.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.2.2.2"></eq><apply id="S3.I6.i2.p1.5.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I6.i2.p1.5.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I6.i2.p1.5.m1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.2.2.3.2">𝑧</ci><ci id="S3.I6.i2.p1.5.m1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.2.2.3.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.I6.i2.p1.5.m1.2.2.1.cmml" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.2.2.1"><times id="S3.I6.i2.p1.5.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.2.2.1.2"></times><apply id="S3.I6.i2.p1.5.m1.2.2.1.3.cmml" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I6.i2.p1.5.m1.2.2.1.3.1.cmml" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.2.2.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I6.i2.p1.5.m1.2.2.1.3.2.cmml" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.2.2.1.3.2">𝜉</ci><apply id="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1"><times id="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.2">Φ</ci><apply id="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3"><minus id="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.1"></minus><apply id="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.2.2">𝜏</ci><ci id="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.3.2">𝜏</ci><apply id="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.3.3"><minus id="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.3.3.1"></minus><ci id="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.3.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.3.3.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝑧</ci><apply id="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3"><minus id="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.1"></minus><ci id="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.I6.i2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I6.i2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I6.i2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.2">𝑣</ci><ci id="S3.I6.i2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I6.i2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I6.i2.p1.5.m1.2c">z_{i}=\xi_{\Phi_{\tau_{i}-\tau_{i-1}}(z_{i-1})}(v_{i})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I6.i2.p1.5.m1.2d">italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT = italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT - italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i - 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_i - 1 end_POSTSUBSCRIPT ) end_POSTSUBSCRIPT ( italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I6.i2.p1.6.2">, that is the state of the PDMP after the </span><math alttext="i" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I6.i2.p1.6.m2.1"><semantics id="S3.I6.i2.p1.6.m2.1a"><mi id="S3.I6.i2.p1.6.m2.1.1" xref="S3.I6.i2.p1.6.m2.1.1.cmml">i</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I6.i2.p1.6.m2.1b"><ci id="S3.I6.i2.p1.6.m2.1.1.cmml" xref="S3.I6.i2.p1.6.m2.1.1">𝑖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I6.i2.p1.6.m2.1c">i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I6.i2.p1.6.m2.1d">italic_i</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I6.i2.p1.6.3">-th jump.</span></p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S3.I6.i3" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">3.</span> <div class="ltx_para" id="S3.I6.i3.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I6.i3.p1.4"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I6.i3.p1.4.1">The probability of a path </span><math alttext="z" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I6.i3.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.I6.i3.p1.1.m1.1a"><mi id="S3.I6.i3.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I6.i3.p1.1.m1.1.1.cmml">z</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I6.i3.p1.1.m1.1b"><ci id="S3.I6.i3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I6.i3.p1.1.m1.1.1">𝑧</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I6.i3.p1.1.m1.1c">z</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I6.i3.p1.1.m1.1d">italic_z</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I6.i3.p1.4.2"> conditionally on its starting point </span><math alttext="z_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I6.i3.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.I6.i3.p1.2.m2.1a"><msub id="S3.I6.i3.p1.2.m2.1.1" xref="S3.I6.i3.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.I6.i3.p1.2.m2.1.1.2" xref="S3.I6.i3.p1.2.m2.1.1.2.cmml">z</mi><mn id="S3.I6.i3.p1.2.m2.1.1.3" xref="S3.I6.i3.p1.2.m2.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I6.i3.p1.2.m2.1b"><apply id="S3.I6.i3.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.I6.i3.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I6.i3.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.I6.i3.p1.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I6.i3.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.I6.i3.p1.2.m2.1.1.2">𝑧</ci><cn id="S3.I6.i3.p1.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.I6.i3.p1.2.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I6.i3.p1.2.m2.1c">z_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I6.i3.p1.2.m2.1d">italic_z start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I6.i3.p1.4.3"> has a density </span><math alttext="\tilde{p}(z|z_{0})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I6.i3.p1.3.m3.1"><semantics id="S3.I6.i3.p1.3.m3.1a"><mrow id="S3.I6.i3.p1.3.m3.1.1" xref="S3.I6.i3.p1.3.m3.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.I6.i3.p1.3.m3.1.1.3" xref="S3.I6.i3.p1.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I6.i3.p1.3.m3.1.1.3.2" xref="S3.I6.i3.p1.3.m3.1.1.3.2.cmml">p</mi><mo id="S3.I6.i3.p1.3.m3.1.1.3.1" xref="S3.I6.i3.p1.3.m3.1.1.3.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.I6.i3.p1.3.m3.1.1.2" xref="S3.I6.i3.p1.3.m3.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I6.i3.p1.3.m3.1.1.1.1" xref="S3.I6.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.I6.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I6.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.I6.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1" xref="S3.I6.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I6.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2" xref="S3.I6.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml">z</mi><mo fence="false" id="S3.I6.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I6.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">|</mo><msub id="S3.I6.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3" xref="S3.I6.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I6.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.I6.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.2.cmml">z</mi><mn id="S3.I6.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.I6.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow><mo id="S3.I6.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I6.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I6.i3.p1.3.m3.1b"><apply id="S3.I6.i3.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.I6.i3.p1.3.m3.1.1"><times id="S3.I6.i3.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.I6.i3.p1.3.m3.1.1.2"></times><apply id="S3.I6.i3.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.I6.i3.p1.3.m3.1.1.3"><ci id="S3.I6.i3.p1.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I6.i3.p1.3.m3.1.1.3.1">~</ci><ci id="S3.I6.i3.p1.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I6.i3.p1.3.m3.1.1.3.2">𝑝</ci></apply><apply id="S3.I6.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I6.i3.p1.3.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.I6.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I6.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S3.I6.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I6.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2">𝑧</ci><apply id="S3.I6.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I6.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I6.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I6.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I6.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I6.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.2">𝑧</ci><cn id="S3.I6.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.I6.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.3">0</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I6.i3.p1.3.m3.1c">\tilde{p}(z|z_{0})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I6.i3.p1.3.m3.1d">over~ start_ARG italic_p end_ARG ( italic_z | italic_z start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I6.i3.p1.4.4"> on </span><math alttext="\{z_{0}\}\times\bigcup_{k\in\mathbb{N}}\left(]0,T[\times V\right)^{k}" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S3.I6.i3.p1.4.m4.1"><semantics id="S3.I6.i3.p1.4.m4.1a"><mrow id="S3.I6.i3.p1.4.m4.1b"><mrow id="S3.I6.i3.p1.4.m4.1.1"><mo id="S3.I6.i3.p1.4.m4.1.1.1" stretchy="false">{</mo><msub id="S3.I6.i3.p1.4.m4.1.1.2"><mi id="S3.I6.i3.p1.4.m4.1.1.2.2">z</mi><mn id="S3.I6.i3.p1.4.m4.1.1.2.3">0</mn></msub><mo id="S3.I6.i3.p1.4.m4.1.1.3" rspace="0.055em" stretchy="false">}</mo></mrow><mo id="S3.I6.i3.p1.4.m4.1.2" rspace="0.055em">×</mo><msub id="S3.I6.i3.p1.4.m4.1.3"><mo id="S3.I6.i3.p1.4.m4.1.3.2" rspace="0em">⋃</mo><mrow id="S3.I6.i3.p1.4.m4.1.3.3"><mi id="S3.I6.i3.p1.4.m4.1.3.3.2">k</mi><mo id="S3.I6.i3.p1.4.m4.1.3.3.1">∈</mo><mi id="S3.I6.i3.p1.4.m4.1.3.3.3">ℕ</mi></mrow></msub><mrow id="S3.I6.i3.p1.4.m4.1.4"><mo id="S3.I6.i3.p1.4.m4.1.4.1">(</mo><mo id="S3.I6.i3.p1.4.m4.1.4.2" stretchy="false">]</mo></mrow><mn id="S3.I6.i3.p1.4.m4.1.5">0</mn><mo id="S3.I6.i3.p1.4.m4.1.6">,</mo><mi id="S3.I6.i3.p1.4.m4.1.7">T</mi><msup id="S3.I6.i3.p1.4.m4.1.8"><mrow id="S3.I6.i3.p1.4.m4.1.8.2"><mo id="S3.I6.i3.p1.4.m4.1.8.2.1" stretchy="false">[</mo><mo id="S3.I6.i3.p1.4.m4.1.8.2.2" lspace="0em" rspace="0.222em">×</mo><mi id="S3.I6.i3.p1.4.m4.1.8.2.3">V</mi><mo id="S3.I6.i3.p1.4.m4.1.8.2.4">)</mo></mrow><mi id="S3.I6.i3.p1.4.m4.1.8.3">k</mi></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I6.i3.p1.4.m4.1c">\{z_{0}\}\times\bigcup_{k\in\mathbb{N}}\left(]0,T[\times V\right)^{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I6.i3.p1.4.m4.1d">{ italic_z start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT } × ⋃ start_POSTSUBSCRIPT italic_k ∈ blackboard_N end_POSTSUBSCRIPT ( ] 0 , italic_T [ × italic_V ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I6.i3.p1.4.5">.</span></p> </div> </li> </ol> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S3.SS3.1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="S3.SS3.1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.1.p1.1">Similar to Proposition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#Thmproposition3" title="Proposition 3. ‣ 3.2 Path space ‣ 3 Practical Simulation of PDMPs through Metropolis Adjustment ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS3.p5"> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p5.2">The previous proposition, which will be a core part of the Metropolis correction, doesn’t require any specific assumption on <math alttext="\tilde{\lambda}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p5.1.m1.1"><semantics id="S3.SS3.p5.1.m1.1a"><mover accent="true" id="S3.SS3.p5.1.m1.1.1" xref="S3.SS3.p5.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p5.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS3.p5.1.m1.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.SS3.p5.1.m1.1.1.1" xref="S3.SS3.p5.1.m1.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p5.1.m1.1b"><apply id="S3.SS3.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p5.1.m1.1.1"><ci id="S3.SS3.p5.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p5.1.m1.1.1.1">~</ci><ci id="S3.SS3.p5.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p5.1.m1.1.1.2">𝜆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p5.1.m1.1c">\tilde{\lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p5.1.m1.1d">over~ start_ARG italic_λ end_ARG</annotation></semantics></math>. However, we add two assumptions on <math alttext="\tilde{\lambda}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p5.2.m2.1"><semantics id="S3.SS3.p5.2.m2.1a"><mover accent="true" id="S3.SS3.p5.2.m2.1.1" xref="S3.SS3.p5.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p5.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS3.p5.2.m2.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.SS3.p5.2.m2.1.1.1" xref="S3.SS3.p5.2.m2.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p5.2.m2.1b"><apply id="S3.SS3.p5.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p5.2.m2.1.1"><ci id="S3.SS3.p5.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p5.2.m2.1.1.1">~</ci><ci id="S3.SS3.p5.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p5.2.m2.1.1.2">𝜆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p5.2.m2.1c">\tilde{\lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p5.2.m2.1d">over~ start_ARG italic_λ end_ARG</annotation></semantics></math> to ensure it can be properly simulated and admit a workable density:</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_assumption" id="Thmassumption2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmassumption2.1.1.1">Assumption 2</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmassumption2.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmassumption2.p1"> <ol class="ltx_enumerate" id="S3.I7"> <li class="ltx_item" id="S3.I7.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">1.</span> <div class="ltx_para" id="S3.I7.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I7.i1.p1.2"><math alttext="\tilde{\lambda}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I7.i1.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.I7.i1.p1.1.m1.1a"><mover accent="true" id="S3.I7.i1.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I7.i1.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.I7.i1.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.I7.i1.p1.1.m1.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.I7.i1.p1.1.m1.1.1.1" xref="S3.I7.i1.p1.1.m1.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I7.i1.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.I7.i1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I7.i1.p1.1.m1.1.1"><ci id="S3.I7.i1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.I7.i1.p1.1.m1.1.1.1">~</ci><ci id="S3.I7.i1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.I7.i1.p1.1.m1.1.1.2">𝜆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I7.i1.p1.1.m1.1c">\tilde{\lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I7.i1.p1.1.m1.1d">over~ start_ARG italic_λ end_ARG</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I7.i1.p1.2.1"> does not depend on what happens before </span><math alttext="(z_{0},\gamma)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I7.i1.p1.2.m2.2"><semantics id="S3.I7.i1.p1.2.m2.2a"><mrow id="S3.I7.i1.p1.2.m2.2.2.1" xref="S3.I7.i1.p1.2.m2.2.2.2.cmml"><mo id="S3.I7.i1.p1.2.m2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.I7.i1.p1.2.m2.2.2.2.cmml">(</mo><msub id="S3.I7.i1.p1.2.m2.2.2.1.1" xref="S3.I7.i1.p1.2.m2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.I7.i1.p1.2.m2.2.2.1.1.2" xref="S3.I7.i1.p1.2.m2.2.2.1.1.2.cmml">z</mi><mn id="S3.I7.i1.p1.2.m2.2.2.1.1.3" xref="S3.I7.i1.p1.2.m2.2.2.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.I7.i1.p1.2.m2.2.2.1.3" xref="S3.I7.i1.p1.2.m2.2.2.2.cmml">,</mo><mi id="S3.I7.i1.p1.2.m2.1.1" xref="S3.I7.i1.p1.2.m2.1.1.cmml">γ</mi><mo id="S3.I7.i1.p1.2.m2.2.2.1.4" stretchy="false" xref="S3.I7.i1.p1.2.m2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I7.i1.p1.2.m2.2b"><interval closure="open" id="S3.I7.i1.p1.2.m2.2.2.2.cmml" xref="S3.I7.i1.p1.2.m2.2.2.1"><apply id="S3.I7.i1.p1.2.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.I7.i1.p1.2.m2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I7.i1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.I7.i1.p1.2.m2.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I7.i1.p1.2.m2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.I7.i1.p1.2.m2.2.2.1.1.2">𝑧</ci><cn id="S3.I7.i1.p1.2.m2.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.I7.i1.p1.2.m2.2.2.1.1.3">0</cn></apply><ci id="S3.I7.i1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.I7.i1.p1.2.m2.1.1">𝛾</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I7.i1.p1.2.m2.2c">(z_{0},\gamma)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I7.i1.p1.2.m2.2d">( italic_z start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT , italic_γ )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I7.i1.p1.2.2">,</span></p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S3.I7.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">2.</span> <div class="ltx_para" id="S3.I7.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I7.i2.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I7.i2.p1.1.1">The first event time of an inhomogeneous Poisson process with rate </span><math alttext="\tilde{\lambda}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I7.i2.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.I7.i2.p1.1.m1.1a"><mover accent="true" id="S3.I7.i2.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I7.i2.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.I7.i2.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.I7.i2.p1.1.m1.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.I7.i2.p1.1.m1.1.1.1" xref="S3.I7.i2.p1.1.m1.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I7.i2.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.I7.i2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I7.i2.p1.1.m1.1.1"><ci id="S3.I7.i2.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.I7.i2.p1.1.m1.1.1.1">~</ci><ci id="S3.I7.i2.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.I7.i2.p1.1.m1.1.1.2">𝜆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I7.i2.p1.1.m1.1c">\tilde{\lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I7.i2.p1.1.m1.1d">over~ start_ARG italic_λ end_ARG</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I7.i2.p1.1.2"> can be sampled exactly,</span></p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S3.I7.i3" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">3.</span> <div class="ltx_para" id="S3.I7.i3.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I7.i3.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I7.i3.p1.1.1">The integral </span><math alttext="\int_{0}^{t}\tilde{\lambda}(t)dt" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I7.i3.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.I7.i3.p1.1.m1.1a"><mrow id="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.2" xref="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.2.cmml"><msubsup id="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.2.1" xref="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.2.1.cmml"><mo id="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.2.1.2.2" xref="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.2.1.2.2.cmml">∫</mo><mn id="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.2.1.2.3" xref="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.2.1.2.3.cmml">0</mn><mi id="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.2.1.3" xref="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.2.1.3.cmml">t</mi></msubsup><mrow id="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.2.2" xref="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.2.2.2" xref="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.2.2.2.2" xref="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.2.2.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.2.2.2.1" xref="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.2.2.1" xref="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.2.2.3.2" xref="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.2.2.cmml"><mo id="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.2.2.1a" lspace="0em" xref="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.2.2.4" xref="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.2.2.4.cmml"><mo id="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.2.2.4.1" rspace="0em" xref="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.2.2.4.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.2.2.4.2" xref="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.2.2.4.2.cmml">t</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I7.i3.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.2.cmml" xref="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.2"><apply id="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.2.1.1.cmml" xref="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.2.1">superscript</csymbol><apply id="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.2.1.2.cmml" xref="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.2.1.2.1.cmml" xref="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.2.1">subscript</csymbol><int id="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.2.1.2.2.cmml" xref="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.2.1.2.2"></int><cn id="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.2.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.2.1.2.3">0</cn></apply><ci id="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.2.1.3.cmml" xref="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.2.1.3">𝑡</ci></apply><apply id="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.2.2"><times id="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.2.2.1"></times><apply id="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.2.2.2"><ci id="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.2.2.2.1">~</ci><ci id="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.2.2.2.2">𝜆</ci></apply><ci id="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.1">𝑡</ci><apply id="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.2.2.4.cmml" xref="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.2.2.4"><csymbol cd="latexml" id="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.2.2.4.1.cmml" xref="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.2.2.4.1">differential-d</csymbol><ci id="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.2.2.4.2.cmml" xref="S3.I7.i3.p1.1.m1.1.2.2.4.2">𝑡</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I7.i3.p1.1.m1.1c">\int_{0}^{t}\tilde{\lambda}(t)dt</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I7.i3.p1.1.m1.1d">∫ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT over~ start_ARG italic_λ end_ARG ( italic_t ) italic_d italic_t</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I7.i3.p1.1.2"> can be computed exactly.</span></p> </div> </li> </ol> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS3.p6"> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p6.2">The first condition ensures that the kernel that associates <math alttext="(\tilde{z}_{0},\gamma)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p6.1.m1.2"><semantics id="S3.SS3.p6.1.m1.2a"><mrow id="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1" xref="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.2.cmml"><mo id="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.2.cmml">(</mo><msub id="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1" xref="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.2" xref="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.2.2.cmml">z</mi><mo id="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.2.1" xref="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.3" xref="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.3" xref="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.2.cmml">,</mo><mi id="S3.SS3.p6.1.m1.1.1" xref="S3.SS3.p6.1.m1.1.1.cmml">γ</mi><mo id="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.4" stretchy="false" xref="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.2.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p6.1.m1.2b"><interval closure="open" id="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1"><apply id="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.2"><ci id="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.2.2">𝑧</ci></apply><cn id="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.3">0</cn></apply><ci id="S3.SS3.p6.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p6.1.m1.1.1">𝛾</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p6.1.m1.2c">(\tilde{z}_{0},\gamma)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p6.1.m1.2d">( over~ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT , italic_γ )</annotation></semantics></math> to <math alttext="(\tilde{z}_{T},\gamma)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p6.2.m2.2"><semantics id="S3.SS3.p6.2.m2.2a"><mrow id="S3.SS3.p6.2.m2.2.2.1" xref="S3.SS3.p6.2.m2.2.2.2.cmml"><mo id="S3.SS3.p6.2.m2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.p6.2.m2.2.2.2.cmml">(</mo><msub id="S3.SS3.p6.2.m2.2.2.1.1" xref="S3.SS3.p6.2.m2.2.2.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS3.p6.2.m2.2.2.1.1.2" xref="S3.SS3.p6.2.m2.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS3.p6.2.m2.2.2.1.1.2.2" xref="S3.SS3.p6.2.m2.2.2.1.1.2.2.cmml">z</mi><mo id="S3.SS3.p6.2.m2.2.2.1.1.2.1" xref="S3.SS3.p6.2.m2.2.2.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.SS3.p6.2.m2.2.2.1.1.3" xref="S3.SS3.p6.2.m2.2.2.1.1.3.cmml">T</mi></msub><mo id="S3.SS3.p6.2.m2.2.2.1.3" xref="S3.SS3.p6.2.m2.2.2.2.cmml">,</mo><mi id="S3.SS3.p6.2.m2.1.1" xref="S3.SS3.p6.2.m2.1.1.cmml">γ</mi><mo id="S3.SS3.p6.2.m2.2.2.1.4" stretchy="false" xref="S3.SS3.p6.2.m2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p6.2.m2.2b"><interval closure="open" id="S3.SS3.p6.2.m2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p6.2.m2.2.2.1"><apply id="S3.SS3.p6.2.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p6.2.m2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p6.2.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p6.2.m2.2.2.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.SS3.p6.2.m2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p6.2.m2.2.2.1.1.2"><ci id="S3.SS3.p6.2.m2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p6.2.m2.2.2.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.SS3.p6.2.m2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p6.2.m2.2.2.1.1.2.2">𝑧</ci></apply><ci id="S3.SS3.p6.2.m2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p6.2.m2.2.2.1.1.3">𝑇</ci></apply><ci id="S3.SS3.p6.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p6.2.m2.1.1">𝛾</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p6.2.m2.2c">(\tilde{z}_{T},\gamma)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p6.2.m2.2d">( over~ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_T end_POSTSUBSCRIPT , italic_γ )</annotation></semantics></math> is a Markov kernel, the second condition ensures that we can simulate the process in practice, and the third condition allows for the Metropolis adjustment.</p> </div> <section class="ltx_paragraph" id="S3.SS3.SSS0.Px1"> <h5 class="ltx_title ltx_title_paragraph">Piecewise constant approximation</h5> <div class="ltx_para" id="S3.SS3.SSS0.Px1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.SSS0.Px1.p1.1">The simplest approximation is for a fixed step size <math alttext="h" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.SSS0.Px1.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS3.SSS0.Px1.p1.1.m1.1a"><mi id="S3.SS3.SSS0.Px1.p1.1.m1.1.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px1.p1.1.m1.1.1.cmml">h</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.SSS0.Px1.p1.1.m1.1b"><ci id="S3.SS3.SSS0.Px1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px1.p1.1.m1.1.1">ℎ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.SSS0.Px1.p1.1.m1.1c">h</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.SSS0.Px1.p1.1.m1.1d">italic_h</annotation></semantics></math>:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex10"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\tilde{\lambda}^{(0)}_{h}(t)=\lambda(\lfloor t/h\rfloor h)." class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex10.m1.3"><semantics id="S3.Ex10.m1.3a"><mrow id="S3.Ex10.m1.3.3.1" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.3" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.3.cmml"><msubsup id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.3.2.2.2" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.2" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.1" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml">h</mi><mrow id="S3.Ex10.m1.1.1.1.3" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.3.2.cmml"><mo id="S3.Ex10.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.3.2.cmml">(</mo><mn id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.Ex10.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.3.1" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mo id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex10.m1.2.2" xref="S3.Ex10.m1.2.2.cmml">t</mi><mo id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">λ</mi><mo id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⌊</mo><mrow id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">/</mo><mi id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">h</mi></mrow><mo id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⌋</mo></mrow><mo id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">h</mi></mrow><mo id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex10.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex10.m1.3b"><apply id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1"><eq id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2"></eq><apply id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.3"><times id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.3.1"></times><apply id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.3.2.2.2"><ci id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.2">𝜆</ci></apply><cn id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1">0</cn></apply><ci id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.3.2.3">ℎ</ci></apply><ci id="S3.Ex10.m1.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2">𝑡</ci></apply><apply id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1"><times id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.2"></times><ci id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.3">𝜆</ci><apply id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1"><floor id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></floor><apply id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><divide id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></divide><ci id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">ℎ</ci></apply></apply><ci id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3">ℎ</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex10.m1.3c">\tilde{\lambda}^{(0)}_{h}(t)=\lambda(\lfloor t/h\rfloor h).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex10.m1.3d">over~ start_ARG italic_λ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ( 0 ) end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_h end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) = italic_λ ( ⌊ italic_t / italic_h ⌋ italic_h ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </section> <section class="ltx_paragraph" id="S3.SS3.SSS0.Px2"> <h5 class="ltx_title ltx_title_paragraph">Piecewise linear approximation</h5> <div class="ltx_para" id="S3.SS3.SSS0.Px2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.SSS0.Px2.p1.3">Another natural approximation is:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex11"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\tilde{\lambda}^{(1)}_{h}(t)=\lambda(\lfloor t/h\rfloor h)+(t-\lfloor t/h% \rfloor h)\lambda(\lfloor t/h\rfloor h+h)," class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex11.m1.3"><semantics id="S3.Ex11.m1.3a"><mrow id="S3.Ex11.m1.3.3.1" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.5" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.5.cmml"><msubsup id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.5.2" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.5.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.5.2.2.2" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.5.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.5.2.2.2.2" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.5.2.2.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.5.2.2.2.1" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.5.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.5.2.3" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.5.2.3.cmml">h</mi><mrow id="S3.Ex11.m1.1.1.1.3" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.5.2.cmml"><mo id="S3.Ex11.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.5.2.cmml">(</mo><mn id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.Ex11.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.5.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.5.1" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.5.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.5.3.2" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.5.cmml"><mo id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.5.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.5.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex11.m1.2.2" xref="S3.Ex11.m1.2.2.cmml">t</mi><mo id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.5.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.5.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.4" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">λ</mi><mo id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⌊</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">/</mo><mi id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">h</mi></mrow><mo id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⌋</mo></mrow><mo id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">h</mi></mrow><mo id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.4" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.4.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.cmml"><mrow id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml">t</mi><mo id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⌊</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">/</mo><mi id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">h</mi></mrow><mo id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⌋</mo></mrow><mo id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">h</mi></mrow></mrow><mo id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.3.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.4" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.4.cmml">λ</mi><mo id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.3a" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.1.1.2.1.cmml">⌊</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">/</mo><mi id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">h</mi></mrow><mo id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.1.1.2.1.cmml">⌋</mo></mrow><mo id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.1.3.cmml">h</mi></mrow><mo id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.2" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.2.cmml">+</mo><mi id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.3" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.3.cmml">h</mi></mrow><mo id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex11.m1.3.3.1.2" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex11.m1.3b"><apply id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1"><eq id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.4"></eq><apply id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.5.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.5"><times id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.5.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.5.1"></times><apply id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.5.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.5.2.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.5.2">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.5.2.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.5.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.5.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.5.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.5.2.2.2"><ci id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.5.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.5.2.2.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.5.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.5.2.2.2.2">𝜆</ci></apply><cn id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1">1</cn></apply><ci id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.5.2.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.5.2.3">ℎ</ci></apply><ci id="S3.Ex11.m1.2.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2">𝑡</ci></apply><apply id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3"><plus id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.4.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.4"></plus><apply id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1"><times id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.3">𝜆</ci><apply id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><floor id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></floor><apply id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><divide id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></divide><ci id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">ℎ</ci></apply></apply><ci id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3">ℎ</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3"><times id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.3"></times><apply id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1"><minus id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2"></minus><ci id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3">𝑡</ci><apply id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1"><times id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1"><floor id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2"></floor><apply id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><divide id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"></divide><ci id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3">ℎ</ci></apply></apply><ci id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.3">ℎ</ci></apply></apply><ci id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.4.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.4">𝜆</ci><apply id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1"><plus id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.2"></plus><apply id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.1"><times id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.1.1.1"><floor id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.1.1.1.2"></floor><apply id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.1.1.1.1"><divide id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1"></divide><ci id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.3">ℎ</ci></apply></apply><ci id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.1.3">ℎ</ci></apply><ci id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.3">ℎ</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex11.m1.3c">\tilde{\lambda}^{(1)}_{h}(t)=\lambda(\lfloor t/h\rfloor h)+(t-\lfloor t/h% \rfloor h)\lambda(\lfloor t/h\rfloor h+h),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex11.m1.3d">over~ start_ARG italic_λ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ( 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_h end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) = italic_λ ( ⌊ italic_t / italic_h ⌋ italic_h ) + ( italic_t - ⌊ italic_t / italic_h ⌋ italic_h ) italic_λ ( ⌊ italic_t / italic_h ⌋ italic_h + italic_h ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.SSS0.Px2.p1.2">which is piecewise linear. Observe that while this approximation might appear to ‘cheat’ by looking ahead to time <math alttext="\lfloor t/h\rfloor h+h" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.SSS0.Px2.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS3.SSS0.Px2.p1.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS3.SSS0.Px2.p1.1.m1.1.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px2.p1.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS3.SSS0.Px2.p1.1.m1.1.1.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px2.p1.1.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS3.SSS0.Px2.p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px2.p1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS3.SSS0.Px2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.SSS0.Px2.p1.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">⌊</mo><mrow id="S3.SS3.SSS0.Px2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS0.Px2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S3.SS3.SSS0.Px2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">/</mo><mi id="S3.SS3.SSS0.Px2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">h</mi></mrow><mo id="S3.SS3.SSS0.Px2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS3.SSS0.Px2.p1.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">⌋</mo></mrow><mo id="S3.SS3.SSS0.Px2.p1.1.m1.1.1.1.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px2.p1.1.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS3.SSS0.Px2.p1.1.m1.1.1.1.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px2.p1.1.m1.1.1.1.3.cmml">h</mi></mrow><mo id="S3.SS3.SSS0.Px2.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px2.p1.1.m1.1.1.2.cmml">+</mo><mi id="S3.SS3.SSS0.Px2.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px2.p1.1.m1.1.1.3.cmml">h</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.SSS0.Px2.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.SS3.SSS0.Px2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px2.p1.1.m1.1.1"><plus id="S3.SS3.SSS0.Px2.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px2.p1.1.m1.1.1.2"></plus><apply id="S3.SS3.SSS0.Px2.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px2.p1.1.m1.1.1.1"><times id="S3.SS3.SSS0.Px2.p1.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px2.p1.1.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.SS3.SSS0.Px2.p1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px2.p1.1.m1.1.1.1.1.1"><floor id="S3.SS3.SSS0.Px2.p1.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2"></floor><apply id="S3.SS3.SSS0.Px2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1"><divide id="S3.SS3.SSS0.Px2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1"></divide><ci id="S3.SS3.SSS0.Px2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S3.SS3.SSS0.Px2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3">ℎ</ci></apply></apply><ci id="S3.SS3.SSS0.Px2.p1.1.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px2.p1.1.m1.1.1.1.3">ℎ</ci></apply><ci id="S3.SS3.SSS0.Px2.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px2.p1.1.m1.1.1.3">ℎ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.SSS0.Px2.p1.1.m1.1c">\lfloor t/h\rfloor h+h</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.SSS0.Px2.p1.1.m1.1d">⌊ italic_t / italic_h ⌋ italic_h + italic_h</annotation></semantics></math>, it satisfies assumption <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#Thmassumption2" title="Assumption 2. ‣ 3.3 Approximation of a PDMP ‣ 3 Practical Simulation of PDMPs through Metropolis Adjustment ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>. The approximating rate itself is a simple, deterministic function of the initial value of <math alttext="z" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.SSS0.Px2.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.SS3.SSS0.Px2.p1.2.m2.1a"><mi id="S3.SS3.SSS0.Px2.p1.2.m2.1.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px2.p1.2.m2.1.1.cmml">z</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.SSS0.Px2.p1.2.m2.1b"><ci id="S3.SS3.SSS0.Px2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px2.p1.2.m2.1.1">𝑧</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.SSS0.Px2.p1.2.m2.1c">z</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.SSS0.Px2.p1.2.m2.1d">italic_z</annotation></semantics></math>, and so does not cause any troubles in terms of yielding a tractable density for the proposal.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_remark" id="Thmremark1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmremark1.1.1.1">Remark 1</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmremark1.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmremark1.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmremark1.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmremark1.p1.1.1">This approximation is exact if <math alttext="\lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmremark1.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmremark1.p1.1.1.m1.1a"><mi id="Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.cmml">λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmremark1.p1.1.1.m1.1b"><ci id="Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1">𝜆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmremark1.p1.1.1.m1.1c">\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmremark1.p1.1.1.m1.1d">italic_λ</annotation></semantics></math> is linear, which is exact for Gaussian targets for BPS and ZigZag.</span></p> </div> </div> </section> <section class="ltx_paragraph" id="S3.SS3.SSS0.Px3"> <h5 class="ltx_title ltx_title_paragraph">Local adaptation of the step size</h5> <div class="ltx_para" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.8">Ideally, one would like the algorithm the algorithm to be <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.8.1">scale-invariant</span>, that is that sampling a probability <math alttext="\pi(\sigma x)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.1.m1.1.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.1.m1.1.1.3.cmml">π</mi><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.1.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.1.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">σ</mi><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">x</mi></mrow><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.1.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.1.m1.1.1"><times id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.1.m1.1.1.2"></times><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.1.m1.1.1.3">𝜋</ci><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.1.m1.1.1.1.1"><times id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2">𝜎</ci><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3">𝑥</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.1.m1.1c">\pi(\sigma x)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.1.m1.1d">italic_π ( italic_σ italic_x )</annotation></semantics></math> for <math alttext="\sigma\in\mathbb{R}^{+}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.2.m2.1a"><mrow id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.2.m2.1.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.2.m2.1.1.2.cmml">σ</mi><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.2.m2.1.1.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.2.m2.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.2.m2.1.1.3.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml">ℝ</mi><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.2.m2.1.1.3.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml">+</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.2.m2.1b"><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.2.m2.1.1"><in id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.2.m2.1.1.1"></in><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.2.m2.1.1.2">𝜎</ci><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.2.m2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.2.m2.1.1.3.2">ℝ</ci><plus id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.2.m2.1.1.3.3"></plus></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.2.m2.1c">\sigma\in\mathbb{R}^{+}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.2.m2.1d">italic_σ ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> yields the same result than sampling <math alttext="\pi" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.3.m3.1"><semantics id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.3.m3.1a"><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.3.m3.1.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.3.m3.1.1.cmml">π</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.3.m3.1b"><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.3.m3.1.1">𝜋</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.3.m3.1c">\pi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.3.m3.1d">italic_π</annotation></semantics></math>, adjusted by the scaling factor <math alttext="\sigma" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.4.m4.1"><semantics id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.4.m4.1a"><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.4.m4.1.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.4.m4.1.1.cmml">σ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.4.m4.1b"><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.4.m4.1.1">𝜎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.4.m4.1c">\sigma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.4.m4.1d">italic_σ</annotation></semantics></math>. Clearly, without local adaptation of <math alttext="h" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.5.m5.1"><semantics id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.5.m5.1a"><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.5.m5.1.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.5.m5.1.1.cmml">h</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.5.m5.1b"><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.5.m5.1.1">ℎ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.5.m5.1c">h</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.5.m5.1d">italic_h</annotation></semantics></math>, the previous approximations do not yield <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.8.2">scale-invariance</span>. However, a good local adaptation rule for <math alttext="h" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.6.m6.1"><semantics id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.6.m6.1a"><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.6.m6.1.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.6.m6.1.1.cmml">h</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.6.m6.1b"><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.6.m6.1.1">ℎ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.6.m6.1c">h</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.6.m6.1d">italic_h</annotation></semantics></math> should allow the algorithm to be <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.8.3">scale-invariant</span>, which implies that the optimal <math alttext="h" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.7.m7.1"><semantics id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.7.m7.1a"><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.7.m7.1.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.7.m7.1.1.cmml">h</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.7.m7.1b"><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.7.m7.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.7.m7.1.1">ℎ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.7.m7.1c">h</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.7.m7.1d">italic_h</annotation></semantics></math> is scaled by <math alttext="\frac{1}{\sigma}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.8.m8.1"><semantics id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.8.m8.1a"><mfrac id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.8.m8.1.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.8.m8.1.1.cmml"><mn id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.8.m8.1.1.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.8.m8.1.1.2.cmml">1</mn><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.8.m8.1.1.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.8.m8.1.1.3.cmml">σ</mi></mfrac><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.8.m8.1b"><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.8.m8.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.8.m8.1.1"><divide id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.8.m8.1.1"></divide><cn id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.8.m8.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.8.m8.1.1.2">1</cn><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.8.m8.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.8.m8.1.1.3">𝜎</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.8.m8.1c">\frac{1}{\sigma}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.8.m8.1d">divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_σ end_ARG</annotation></semantics></math>. The <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p1.8.4">scale-invariance</span> property ensure that the step size is neither too big neither to small, leading to a good approximation while taking steps as big as possible.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.1">Here, we present a rule for the order-0 approximation that satisfies Assumption <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#Thmassumption2" title="Assumption 2. ‣ 3.3 Approximation of a PDMP ‣ 3 Practical Simulation of PDMPs through Metropolis Adjustment ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>, which implies it will be compatible with the Metropolis correction. This rule corresponds to the standard local adaptation of the step size for the Euler integrator. First, recall that simulating an event time for the process amounts to solving for some <math alttext="u" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.1.m1.1"><semantics id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.1.m1.1a"><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.1.m1.1.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.1.m1.1.1.cmml">u</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.1.m1.1b"><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.1.m1.1.1">𝑢</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.1.m1.1c">u</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.1.m1.1d">italic_u</annotation></semantics></math></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex12"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="I_{t}=u," class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex12.m1.1"><semantics id="S3.Ex12.m1.1a"><mrow id="S3.Ex12.m1.1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex12.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">I</mi><mi id="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.3.cmml">u</mi></mrow><mo id="S3.Ex12.m1.1.1.1.2" xref="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex12.m1.1b"><apply id="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.1.1.1"><eq id="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2">𝐼</ci><ci id="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.3">𝑢</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex12.m1.1c">I_{t}=u,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex12.m1.1d">italic_I start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT = italic_u ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.3">with <math alttext="I_{t}=\int_{0}^{t}\lambda(s)ds" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1"><semantics id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1a"><mrow id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.cmml"><msub id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.2.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.2.2.cmml">I</mi><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.2.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.1" rspace="0.111em" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.3.cmml"><msubsup id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.3.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.3.1.2.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.3.1.2.2.cmml">∫</mo><mn id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.3.1.2.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.3.1.2.3.cmml">0</mn><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.3.1.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.3.1.3.cmml">t</mi></msubsup><mrow id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.3.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.3.2.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.3.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.3.2.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.3.2.3.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.3.2.cmml"><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.1.cmml">s</mi><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.3.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.3.2.1a" lspace="0em" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.3.2.4" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.3.2.4.cmml"><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.3.2.4.1" rspace="0em" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.3.2.4.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.3.2.4.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.3.2.4.2.cmml">s</mi></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1b"><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2"><eq id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.1"></eq><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.2.2">𝐼</ci><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.3"><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.3.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.3.1">superscript</csymbol><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.3.1.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.3.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.3.1">subscript</csymbol><int id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.3.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.3.1.2.2"></int><cn id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.3.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.3.1.2.3">0</cn></apply><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.3.1.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.3.1.3">𝑡</ci></apply><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.3.2"><times id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.3.2.1"></times><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.3.2.2">𝜆</ci><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.1">𝑠</ci><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.3.2.4.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.3.2.4"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.3.2.4.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.3.2.4.1">differential-d</csymbol><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.3.2.4.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1.2.3.2.4.2">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1c">I_{t}=\int_{0}^{t}\lambda(s)ds</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.2.m1.1d">italic_I start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT = ∫ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT italic_λ ( italic_s ) italic_d italic_s</annotation></semantics></math>. Using a Taylor series expansion at <math alttext="t=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.3.m2.1"><semantics id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.3.m2.1a"><mrow id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.3.m2.1.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.3.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.3.m2.1.1.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.3.m2.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.3.m2.1.1.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.3.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.3.m2.1.1.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.3.m2.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.3.m2.1b"><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.3.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.3.m2.1.1"><eq id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.3.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.3.m2.1.1.1"></eq><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.3.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.3.m2.1.1.2">𝑡</ci><cn id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.3.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.3.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.3.m2.1c">t=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.3.m2.1d">italic_t = 0</annotation></semantics></math>,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex13"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="I_{t}=\lambda(0)t+Kt^{2}+o(t^{2})." class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex13.m1.2"><semantics id="S3.Ex13.m1.2a"><mrow id="S3.Ex13.m1.2.2.1" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.cmml">I</mi><mi id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.3" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">(</mo><mn id="S3.Ex13.m1.1.1" xref="S3.Ex13.m1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.3.1a" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.3.4" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.3.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.4" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.4.2" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.4.2.cmml">K</mi><mo id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.4.1" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.4.3" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.4.3.2" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.4.3.2.cmml">t</mi><mn id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.4.3.3" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.4.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.2a" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">o</mi><mo id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mn id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex13.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex13.m1.2b"><apply id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1"><eq id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.2"></eq><apply id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2">𝐼</ci><ci id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.3">𝑡</ci></apply><apply id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1"><plus id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.2"></plus><apply id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.3"><times id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.3.2">𝜆</ci><cn id="S3.Ex13.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.Ex13.m1.1.1">0</cn><ci id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.3.4.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.3.4">𝑡</ci></apply><apply id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.4"><times id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.4.1"></times><ci id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.4.2">𝐾</ci><apply id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.4.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.4.3.2">𝑡</ci><cn id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.4.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1"><times id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.3">𝑜</ci><apply id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><cn id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex13.m1.2c">I_{t}=\lambda(0)t+Kt^{2}+o(t^{2}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex13.m1.2d">italic_I start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT = italic_λ ( 0 ) italic_t + italic_K italic_t start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_o ( italic_t start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.6">For <math alttext="t<h" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.4.m1.1"><semantics id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.4.m1.1a"><mrow id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.4.m1.1.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.4.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.4.m1.1.1.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.4.m1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.4.m1.1.1.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.4.m1.1.1.1.cmml"><</mo><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.4.m1.1.1.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.4.m1.1.1.3.cmml">h</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.4.m1.1b"><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.4.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.4.m1.1.1"><lt id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.4.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.4.m1.1.1.1"></lt><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.4.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.4.m1.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.4.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.4.m1.1.1.3">ℎ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.4.m1.1c">t<h</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.4.m1.1d">italic_t < italic_h</annotation></semantics></math>, the first term correspond to the piecewise constant approximation, while the second term is an error term. Assuming that <math alttext="K" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.5.m2.1"><semantics id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.5.m2.1a"><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.5.m2.1.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.5.m2.1.1.cmml">K</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.5.m2.1b"><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.5.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.5.m2.1.1">𝐾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.5.m2.1c">K</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.5.m2.1d">italic_K</annotation></semantics></math> is known, to bound the error on <math alttext="I_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.6.m3.1"><semantics id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.6.m3.1a"><msub id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.6.m3.1.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.6.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.6.m3.1.1.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.6.m3.1.1.2.cmml">I</mi><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.6.m3.1.1.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.6.m3.1.1.3.cmml">t</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.6.m3.1b"><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.6.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.6.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.6.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.6.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.6.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.6.m3.1.1.2">𝐼</ci><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.6.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.6.m3.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.6.m3.1c">I_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.6.m3.1d">italic_I start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> by a given tolerance, we therefore chose</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex14"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="h=\sqrt{\frac{\text{tol}}{K}}." class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex14.m1.1"><semantics id="S3.Ex14.m1.1a"><mrow id="S3.Ex14.m1.1.1.1" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.cmml">h</mi><mo id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><msqrt id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mtext id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.3.2.2a.cmml">tol</mtext><mi id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">K</mi></mfrac></msqrt></mrow><mo id="S3.Ex14.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex14.m1.1b"><apply id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1"><eq id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1"></eq><ci id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2">ℎ</ci><apply id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.3"><root id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.3"></root><apply id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.3.2"><divide id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.3.2"></divide><ci id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.3.2.2a.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.3.2.2"><mtext id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.3.2.2">tol</mtext></ci><ci id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.3.2.3">𝐾</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex14.m1.1c">h=\sqrt{\frac{\text{tol}}{K}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex14.m1.1d">italic_h = square-root start_ARG divide start_ARG tol end_ARG start_ARG italic_K end_ARG end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.13">What is left is to find an estimate of <math alttext="K" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.7.m1.1"><semantics id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.7.m1.1a"><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.7.m1.1.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.7.m1.1.1.cmml">K</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.7.m1.1b"><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.7.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.7.m1.1.1">𝐾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.7.m1.1c">K</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.7.m1.1d">italic_K</annotation></semantics></math>. To do that, for a given initial step size <math alttext="h_{guess}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.8.m2.1"><semantics id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.8.m2.1a"><msub id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.8.m2.1.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.8.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.8.m2.1.1.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.8.m2.1.1.2.cmml">h</mi><mrow id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.8.m2.1.1.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.8.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.8.m2.1.1.3.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.8.m2.1.1.3.2.cmml">g</mi><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.8.m2.1.1.3.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.8.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.8.m2.1.1.3.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.8.m2.1.1.3.3.cmml">u</mi><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.8.m2.1.1.3.1a" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.8.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.8.m2.1.1.3.4" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.8.m2.1.1.3.4.cmml">e</mi><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.8.m2.1.1.3.1b" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.8.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.8.m2.1.1.3.5" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.8.m2.1.1.3.5.cmml">s</mi><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.8.m2.1.1.3.1c" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.8.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.8.m2.1.1.3.6" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.8.m2.1.1.3.6.cmml">s</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.8.m2.1b"><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.8.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.8.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.8.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.8.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.8.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.8.m2.1.1.2">ℎ</ci><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.8.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.8.m2.1.1.3"><times id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.8.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.8.m2.1.1.3.1"></times><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.8.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.8.m2.1.1.3.2">𝑔</ci><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.8.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.8.m2.1.1.3.3">𝑢</ci><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.8.m2.1.1.3.4.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.8.m2.1.1.3.4">𝑒</ci><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.8.m2.1.1.3.5.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.8.m2.1.1.3.5">𝑠</ci><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.8.m2.1.1.3.6.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.8.m2.1.1.3.6">𝑠</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.8.m2.1c">h_{guess}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.8.m2.1d">italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_g italic_u italic_e italic_s italic_s end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, we build two approximation of <math alttext="I_{h_{guess}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.9.m3.1"><semantics id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.9.m3.1a"><msub id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.9.m3.1.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.9.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.9.m3.1.1.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.9.m3.1.1.2.cmml">I</mi><msub id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.9.m3.1.1.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.9.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.9.m3.1.1.3.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.9.m3.1.1.3.2.cmml">h</mi><mrow id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.9.m3.1.1.3.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.9.m3.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.9.m3.1.1.3.3.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.9.m3.1.1.3.3.2.cmml">g</mi><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.9.m3.1.1.3.3.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.9.m3.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.9.m3.1.1.3.3.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.9.m3.1.1.3.3.3.cmml">u</mi><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.9.m3.1.1.3.3.1a" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.9.m3.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.9.m3.1.1.3.3.4" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.9.m3.1.1.3.3.4.cmml">e</mi><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.9.m3.1.1.3.3.1b" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.9.m3.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.9.m3.1.1.3.3.5" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.9.m3.1.1.3.3.5.cmml">s</mi><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.9.m3.1.1.3.3.1c" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.9.m3.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.9.m3.1.1.3.3.6" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.9.m3.1.1.3.3.6.cmml">s</mi></mrow></msub></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.9.m3.1b"><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.9.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.9.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.9.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.9.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.9.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.9.m3.1.1.2">𝐼</ci><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.9.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.9.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.9.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.9.m3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.9.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.9.m3.1.1.3.2">ℎ</ci><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.9.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.9.m3.1.1.3.3"><times id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.9.m3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.9.m3.1.1.3.3.1"></times><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.9.m3.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.9.m3.1.1.3.3.2">𝑔</ci><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.9.m3.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.9.m3.1.1.3.3.3">𝑢</ci><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.9.m3.1.1.3.3.4.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.9.m3.1.1.3.3.4">𝑒</ci><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.9.m3.1.1.3.3.5.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.9.m3.1.1.3.3.5">𝑠</ci><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.9.m3.1.1.3.3.6.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.9.m3.1.1.3.3.6">𝑠</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.9.m3.1c">I_{h_{guess}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.9.m3.1d">italic_I start_POSTSUBSCRIPT italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_g italic_u italic_e italic_s italic_s end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, first using one step of size <math alttext="h_{guess}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.10.m4.1"><semantics id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.10.m4.1a"><msub id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.10.m4.1.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.10.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.10.m4.1.1.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.10.m4.1.1.2.cmml">h</mi><mrow id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.10.m4.1.1.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.10.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.10.m4.1.1.3.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.10.m4.1.1.3.2.cmml">g</mi><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.10.m4.1.1.3.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.10.m4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.10.m4.1.1.3.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.10.m4.1.1.3.3.cmml">u</mi><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.10.m4.1.1.3.1a" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.10.m4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.10.m4.1.1.3.4" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.10.m4.1.1.3.4.cmml">e</mi><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.10.m4.1.1.3.1b" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.10.m4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.10.m4.1.1.3.5" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.10.m4.1.1.3.5.cmml">s</mi><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.10.m4.1.1.3.1c" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.10.m4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.10.m4.1.1.3.6" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.10.m4.1.1.3.6.cmml">s</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.10.m4.1b"><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.10.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.10.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.10.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.10.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.10.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.10.m4.1.1.2">ℎ</ci><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.10.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.10.m4.1.1.3"><times id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.10.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.10.m4.1.1.3.1"></times><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.10.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.10.m4.1.1.3.2">𝑔</ci><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.10.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.10.m4.1.1.3.3">𝑢</ci><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.10.m4.1.1.3.4.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.10.m4.1.1.3.4">𝑒</ci><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.10.m4.1.1.3.5.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.10.m4.1.1.3.5">𝑠</ci><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.10.m4.1.1.3.6.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.10.m4.1.1.3.6">𝑠</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.10.m4.1c">h_{guess}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.10.m4.1d">italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_g italic_u italic_e italic_s italic_s end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> then using two steps of size <math alttext="h_{guess}/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.11.m5.1"><semantics id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.11.m5.1a"><mrow id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.11.m5.1.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.11.m5.1.1.cmml"><msub id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.11.m5.1.1.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.11.m5.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.11.m5.1.1.2.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.11.m5.1.1.2.2.cmml">h</mi><mrow id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.11.m5.1.1.2.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.11.m5.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.11.m5.1.1.2.3.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.11.m5.1.1.2.3.2.cmml">g</mi><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.11.m5.1.1.2.3.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.11.m5.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.11.m5.1.1.2.3.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.11.m5.1.1.2.3.3.cmml">u</mi><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.11.m5.1.1.2.3.1a" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.11.m5.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.11.m5.1.1.2.3.4" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.11.m5.1.1.2.3.4.cmml">e</mi><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.11.m5.1.1.2.3.1b" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.11.m5.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.11.m5.1.1.2.3.5" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.11.m5.1.1.2.3.5.cmml">s</mi><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.11.m5.1.1.2.3.1c" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.11.m5.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.11.m5.1.1.2.3.6" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.11.m5.1.1.2.3.6.cmml">s</mi></mrow></msub><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.11.m5.1.1.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.11.m5.1.1.1.cmml">/</mo><mn id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.11.m5.1.1.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.11.m5.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.11.m5.1b"><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.11.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.11.m5.1.1"><divide id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.11.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.11.m5.1.1.1"></divide><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.11.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.11.m5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.11.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.11.m5.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.11.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.11.m5.1.1.2.2">ℎ</ci><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.11.m5.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.11.m5.1.1.2.3"><times id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.11.m5.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.11.m5.1.1.2.3.1"></times><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.11.m5.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.11.m5.1.1.2.3.2">𝑔</ci><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.11.m5.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.11.m5.1.1.2.3.3">𝑢</ci><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.11.m5.1.1.2.3.4.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.11.m5.1.1.2.3.4">𝑒</ci><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.11.m5.1.1.2.3.5.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.11.m5.1.1.2.3.5">𝑠</ci><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.11.m5.1.1.2.3.6.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.11.m5.1.1.2.3.6">𝑠</ci></apply></apply><cn id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.11.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.11.m5.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.11.m5.1c">h_{guess}/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.11.m5.1d">italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_g italic_u italic_e italic_s italic_s end_POSTSUBSCRIPT / 2</annotation></semantics></math>, that we call <math alttext="A_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.12.m6.1"><semantics id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.12.m6.1a"><msub id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.12.m6.1.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.12.m6.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.12.m6.1.1.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.12.m6.1.1.2.cmml">A</mi><mn id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.12.m6.1.1.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.12.m6.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.12.m6.1b"><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.12.m6.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.12.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.12.m6.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.12.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.12.m6.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.12.m6.1.1.2">𝐴</ci><cn id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.12.m6.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.12.m6.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.12.m6.1c">A_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.12.m6.1d">italic_A start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="A_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.13.m7.1"><semantics id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.13.m7.1a"><msub id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.13.m7.1.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.13.m7.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.13.m7.1.1.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.13.m7.1.1.2.cmml">A</mi><mn id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.13.m7.1.1.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.13.m7.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.13.m7.1b"><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.13.m7.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.13.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.13.m7.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.13.m7.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.13.m7.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.13.m7.1.1.2">𝐴</ci><cn id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.13.m7.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.13.m7.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.13.m7.1c">A_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.13.m7.1d">italic_A start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> respectively. Then</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx3"> <tbody id="S3.Ex15"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle A_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex15.m1.1"><semantics id="S3.Ex15.m1.1a"><msub id="S3.Ex15.m1.1.1" xref="S3.Ex15.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex15.m1.1.1.2" xref="S3.Ex15.m1.1.1.2.cmml">A</mi><mn id="S3.Ex15.m1.1.1.3" xref="S3.Ex15.m1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex15.m1.1b"><apply id="S3.Ex15.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex15.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex15.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.2">𝐴</ci><cn id="S3.Ex15.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex15.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex15.m1.1c">\displaystyle A_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex15.m1.1d">italic_A start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=I_{h_{guess}}-Kh_{guess}^{2}+o(t^{2})," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex15.m2.1"><semantics id="S3.Ex15.m2.1a"><mrow id="S3.Ex15.m2.1.1.1" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">I</mi><msub id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">h</mi><mrow id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.cmml">g</mi><mo id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.1" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.cmml">u</mi><mo id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.1a" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.4" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.4.cmml">e</mi><mo id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.1b" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.5" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.5.cmml">s</mi><mo id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.1c" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.6" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.6.cmml">s</mi></mrow></msub></msub><mo id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">K</mi><mo id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.2" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.cmml">h</mi><mrow id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.2" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.2.cmml">g</mi><mo id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.1" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.3" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.3.cmml">u</mi><mo id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.1a" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.4" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.4.cmml">e</mi><mo id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.1b" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.5" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.5.cmml">s</mi><mo id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.1c" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.6" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.6.cmml">s</mi></mrow><mn id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mrow><mo id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">o</mi><mo id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mn id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex15.m2.1.1.1.2" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex15.m2.1b"><apply id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1"><eq id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1"><plus id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.2"></plus><apply id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3"><minus id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.1"></minus><apply id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.2.2">𝐼</ci><apply id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.2">ℎ</ci><apply id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3"><times id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.1"></times><ci id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2">𝑔</ci><ci id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3">𝑢</ci><ci id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.4.cmml" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.4">𝑒</ci><ci id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.5.cmml" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.5">𝑠</ci><ci id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.6.cmml" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.6">𝑠</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.3"><times id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.3.2">𝐾</ci><apply id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.2">ℎ</ci><apply id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3"><times id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.1"></times><ci id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.2">𝑔</ci><ci id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.3">𝑢</ci><ci id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.4.cmml" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.4">𝑒</ci><ci id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.5.cmml" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.5">𝑠</ci><ci id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.6.cmml" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.6">𝑠</ci></apply></apply><cn id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.3">𝑜</ci><apply id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><cn id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex15.m2.1c">\displaystyle=I_{h_{guess}}-Kh_{guess}^{2}+o(t^{2}),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex15.m2.1d">= italic_I start_POSTSUBSCRIPT italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_g italic_u italic_e italic_s italic_s end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT - italic_K italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_g italic_u italic_e italic_s italic_s end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_o ( italic_t start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex16"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle A_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex16.m1.1"><semantics id="S3.Ex16.m1.1a"><msub id="S3.Ex16.m1.1.1" xref="S3.Ex16.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex16.m1.1.1.2" xref="S3.Ex16.m1.1.1.2.cmml">A</mi><mn id="S3.Ex16.m1.1.1.3" xref="S3.Ex16.m1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex16.m1.1b"><apply id="S3.Ex16.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex16.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.2">𝐴</ci><cn id="S3.Ex16.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex16.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex16.m1.1c">\displaystyle A_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex16.m1.1d">italic_A start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=I_{h_{guess}}-2K\left(\frac{h_{guess}}{2}\right)^{2}+o(t^{2})," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex16.m2.2"><semantics id="S3.Ex16.m2.2a"><mrow id="S3.Ex16.m2.2.2.1" xref="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex16.m2.2.2.1.1" xref="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mrow 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displaystyle="true" id="S3.Ex16.m2.1.1" xref="S3.Ex16.m2.1.1.cmml"><mfrac id="S3.Ex16.m2.1.1a" xref="S3.Ex16.m2.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex16.m2.1.1.2" xref="S3.Ex16.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex16.m2.1.1.2.2" xref="S3.Ex16.m2.1.1.2.2.cmml">h</mi><mrow id="S3.Ex16.m2.1.1.2.3" xref="S3.Ex16.m2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex16.m2.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex16.m2.1.1.2.3.2.cmml">g</mi><mo id="S3.Ex16.m2.1.1.2.3.1" xref="S3.Ex16.m2.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex16.m2.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex16.m2.1.1.2.3.3.cmml">u</mi><mo id="S3.Ex16.m2.1.1.2.3.1a" xref="S3.Ex16.m2.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex16.m2.1.1.2.3.4" xref="S3.Ex16.m2.1.1.2.3.4.cmml">e</mi><mo id="S3.Ex16.m2.1.1.2.3.1b" xref="S3.Ex16.m2.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex16.m2.1.1.2.3.5" xref="S3.Ex16.m2.1.1.2.3.5.cmml">s</mi><mo id="S3.Ex16.m2.1.1.2.3.1c" xref="S3.Ex16.m2.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex16.m2.1.1.2.3.6" xref="S3.Ex16.m2.1.1.2.3.6.cmml">s</mi></mrow></msub><mn id="S3.Ex16.m2.1.1.3" xref="S3.Ex16.m2.1.1.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.3.3.4.2.2.2" xref="S3.Ex16.m2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.3.3.4.3" xref="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.3.3.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">o</mi><mo id="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mn id="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex16.m2.2.2.1.2" xref="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex16.m2.2b"><apply id="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.2.2.1"><eq id="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1"><plus id="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.2"></plus><apply id="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.3"><minus id="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.3.1"></minus><apply id="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.3.2.2">𝐼</ci><apply id="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.2">ℎ</ci><apply id="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.3"><times id="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.3.1"></times><ci id="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.3.2">𝑔</ci><ci id="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.3.3">𝑢</ci><ci id="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.3.4.cmml" xref="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.3.4">𝑒</ci><ci id="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.3.5.cmml" xref="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.3.5">𝑠</ci><ci id="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.3.6.cmml" 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id="S3.Ex16.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex16.m2.1.1.2.3"><times id="S3.Ex16.m2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.1.1.2.3.1"></times><ci id="S3.Ex16.m2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.1.1.2.3.2">𝑔</ci><ci id="S3.Ex16.m2.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex16.m2.1.1.2.3.3">𝑢</ci><ci id="S3.Ex16.m2.1.1.2.3.4.cmml" xref="S3.Ex16.m2.1.1.2.3.4">𝑒</ci><ci id="S3.Ex16.m2.1.1.2.3.5.cmml" xref="S3.Ex16.m2.1.1.2.3.5">𝑠</ci><ci id="S3.Ex16.m2.1.1.2.3.6.cmml" xref="S3.Ex16.m2.1.1.2.3.6">𝑠</ci></apply></apply><cn id="S3.Ex16.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex16.m2.1.1.3">2</cn></apply><cn id="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.3.3.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.3.3.4.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.1"><times id="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.1.3">𝑜</ci><apply id="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><cn id="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex16.m2.2c">\displaystyle=I_{h_{guess}}-2K\left(\frac{h_{guess}}{2}\right)^{2}+o(t^{2}),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex16.m2.2d">= italic_I start_POSTSUBSCRIPT italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_g italic_u italic_e italic_s italic_s end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT - 2 italic_K ( divide start_ARG italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_g italic_u italic_e italic_s italic_s end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_o ( italic_t start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.15">assuming that <math alttext="K" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.14.m1.1"><semantics id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.14.m1.1a"><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.14.m1.1.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.14.m1.1.1.cmml">K</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.14.m1.1b"><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.14.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.14.m1.1.1">𝐾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.14.m1.1c">K</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.14.m1.1d">italic_K</annotation></semantics></math> at time 0 is the same than at time <math alttext="h_{guess}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.15.m2.1"><semantics id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.15.m2.1a"><msub id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.15.m2.1.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.15.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.15.m2.1.1.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.15.m2.1.1.2.cmml">h</mi><mrow id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.15.m2.1.1.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.15.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.15.m2.1.1.3.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.15.m2.1.1.3.2.cmml">g</mi><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.15.m2.1.1.3.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.15.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.15.m2.1.1.3.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.15.m2.1.1.3.3.cmml">u</mi><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.15.m2.1.1.3.1a" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.15.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.15.m2.1.1.3.4" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.15.m2.1.1.3.4.cmml">e</mi><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.15.m2.1.1.3.1b" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.15.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.15.m2.1.1.3.5" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.15.m2.1.1.3.5.cmml">s</mi><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.15.m2.1.1.3.1c" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.15.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.15.m2.1.1.3.6" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.15.m2.1.1.3.6.cmml">s</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.15.m2.1b"><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.15.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.15.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.15.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.15.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.15.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.15.m2.1.1.2">ℎ</ci><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.15.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.15.m2.1.1.3"><times id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.15.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.15.m2.1.1.3.1"></times><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.15.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.15.m2.1.1.3.2">𝑔</ci><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.15.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.15.m2.1.1.3.3">𝑢</ci><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.15.m2.1.1.3.4.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.15.m2.1.1.3.4">𝑒</ci><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.15.m2.1.1.3.5.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.15.m2.1.1.3.5">𝑠</ci><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.15.m2.1.1.3.6.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.15.m2.1.1.3.6">𝑠</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.15.m2.1c">h_{guess}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.15.m2.1d">italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_g italic_u italic_e italic_s italic_s end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Therefore,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex17"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="K\approx 2\frac{A_{1}-A_{2}}{h_{guess}^{2}}." class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex17.m1.1"><semantics id="S3.Ex17.m1.1a"><mrow id="S3.Ex17.m1.1.1.1" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.cmml">K</mi><mo id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.cmml">≈</mo><mrow id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mrow id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><msub id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml">A</mi><mn id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.2.1" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml">−</mo><msub id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml">A</mi><mn id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.3" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><msubsup id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.cmml">h</mi><mrow id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.2" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.2.cmml">g</mi><mo id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.1" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.3" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.3.cmml">u</mi><mo id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.1a" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.4" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.4.cmml">e</mi><mo id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.1b" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.5" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.5.cmml">s</mi><mo id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.1c" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.6" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.6.cmml">s</mi></mrow><mn id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">2</mn></msubsup></mfrac></mrow></mrow><mo id="S3.Ex17.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex17.m1.1b"><apply id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1"><approx id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1"></approx><ci id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2">𝐾</ci><apply id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3"><times id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.1"></times><cn id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.2">2</cn><apply id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3"><divide id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3"></divide><apply id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.2"><minus id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.2.1"></minus><apply id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2">𝐴</ci><cn id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3">1</cn></apply><apply id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2">𝐴</ci><cn id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2">ℎ</ci><apply id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3"><times id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.1"></times><ci id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.2">𝑔</ci><ci id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.3">𝑢</ci><ci id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.4.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.4">𝑒</ci><ci id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.5.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.5">𝑠</ci><ci id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.6.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.6">𝑠</ci></apply></apply><cn id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex17.m1.1c">K\approx 2\frac{A_{1}-A_{2}}{h_{guess}^{2}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex17.m1.1d">italic_K ≈ 2 divide start_ARG italic_A start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT - italic_A start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_g italic_u italic_e italic_s italic_s end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.17">Thus, the final adaptation rule is given by:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex18"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="h=h_{guess}\sqrt{\frac{\text{tol}}{2\tau}}" class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex18.m1.1"><semantics id="S3.Ex18.m1.1a"><mrow id="S3.Ex18.m1.1.1" xref="S3.Ex18.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex18.m1.1.1.2" xref="S3.Ex18.m1.1.1.2.cmml">h</mi><mo id="S3.Ex18.m1.1.1.1" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex18.m1.1.1.3" xref="S3.Ex18.m1.1.1.3.cmml"><msub id="S3.Ex18.m1.1.1.3.2" xref="S3.Ex18.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex18.m1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex18.m1.1.1.3.2.2.cmml">h</mi><mrow id="S3.Ex18.m1.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex18.m1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex18.m1.1.1.3.2.3.2" xref="S3.Ex18.m1.1.1.3.2.3.2.cmml">g</mi><mo id="S3.Ex18.m1.1.1.3.2.3.1" xref="S3.Ex18.m1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex18.m1.1.1.3.2.3.3" xref="S3.Ex18.m1.1.1.3.2.3.3.cmml">u</mi><mo id="S3.Ex18.m1.1.1.3.2.3.1a" xref="S3.Ex18.m1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex18.m1.1.1.3.2.3.4" xref="S3.Ex18.m1.1.1.3.2.3.4.cmml">e</mi><mo id="S3.Ex18.m1.1.1.3.2.3.1b" xref="S3.Ex18.m1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex18.m1.1.1.3.2.3.5" xref="S3.Ex18.m1.1.1.3.2.3.5.cmml">s</mi><mo id="S3.Ex18.m1.1.1.3.2.3.1c" xref="S3.Ex18.m1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex18.m1.1.1.3.2.3.6" xref="S3.Ex18.m1.1.1.3.2.3.6.cmml">s</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex18.m1.1.1.3.1" xref="S3.Ex18.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msqrt id="S3.Ex18.m1.1.1.3.3" xref="S3.Ex18.m1.1.1.3.3.cmml"><mfrac id="S3.Ex18.m1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex18.m1.1.1.3.3.2.cmml"><mtext id="S3.Ex18.m1.1.1.3.3.2.2" xref="S3.Ex18.m1.1.1.3.3.2.2a.cmml">tol</mtext><mrow id="S3.Ex18.m1.1.1.3.3.2.3" xref="S3.Ex18.m1.1.1.3.3.2.3.cmml"><mn id="S3.Ex18.m1.1.1.3.3.2.3.2" xref="S3.Ex18.m1.1.1.3.3.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S3.Ex18.m1.1.1.3.3.2.3.1" xref="S3.Ex18.m1.1.1.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex18.m1.1.1.3.3.2.3.3" xref="S3.Ex18.m1.1.1.3.3.2.3.3.cmml">τ</mi></mrow></mfrac></msqrt></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex18.m1.1b"><apply id="S3.Ex18.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.1.1"><eq id="S3.Ex18.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1"></eq><ci id="S3.Ex18.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex18.m1.1.1.2">ℎ</ci><apply id="S3.Ex18.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex18.m1.1.1.3"><times id="S3.Ex18.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.1.1.3.1"></times><apply id="S3.Ex18.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex18.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex18.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex18.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex18.m1.1.1.3.2.2">ℎ</ci><apply id="S3.Ex18.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex18.m1.1.1.3.2.3"><times id="S3.Ex18.m1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S3.Ex18.m1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex18.m1.1.1.3.2.3.2">𝑔</ci><ci id="S3.Ex18.m1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex18.m1.1.1.3.2.3.3">𝑢</ci><ci id="S3.Ex18.m1.1.1.3.2.3.4.cmml" xref="S3.Ex18.m1.1.1.3.2.3.4">𝑒</ci><ci id="S3.Ex18.m1.1.1.3.2.3.5.cmml" xref="S3.Ex18.m1.1.1.3.2.3.5">𝑠</ci><ci id="S3.Ex18.m1.1.1.3.2.3.6.cmml" xref="S3.Ex18.m1.1.1.3.2.3.6">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex18.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex18.m1.1.1.3.3"><root id="S3.Ex18.m1.1.1.3.3a.cmml" xref="S3.Ex18.m1.1.1.3.3"></root><apply id="S3.Ex18.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex18.m1.1.1.3.3.2"><divide id="S3.Ex18.m1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.1.1.3.3.2"></divide><ci id="S3.Ex18.m1.1.1.3.3.2.2a.cmml" xref="S3.Ex18.m1.1.1.3.3.2.2"><mtext id="S3.Ex18.m1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex18.m1.1.1.3.3.2.2">tol</mtext></ci><apply id="S3.Ex18.m1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex18.m1.1.1.3.3.2.3"><times id="S3.Ex18.m1.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.1.1.3.3.2.3.1"></times><cn id="S3.Ex18.m1.1.1.3.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex18.m1.1.1.3.3.2.3.2">2</cn><ci id="S3.Ex18.m1.1.1.3.3.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex18.m1.1.1.3.3.2.3.3">𝜏</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex18.m1.1c">h=h_{guess}\sqrt{\frac{\text{tol}}{2\tau}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex18.m1.1d">italic_h = italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_g italic_u italic_e italic_s italic_s end_POSTSUBSCRIPT square-root start_ARG divide start_ARG tol end_ARG start_ARG 2 italic_τ end_ARG end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16">with <math alttext="\tau=\lambda(t)h_{guess}-\lambda(t)h_{guess}/2-\lambda(t+h_{guess}/2)h_{guess}/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3"><semantics id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3a"><mrow id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.3.cmml">τ</mi><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.cmml"><mrow id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.3.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.3.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.3.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.3.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.3.3.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.3.cmml"><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.3.cmml">(</mo><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.1.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.3.1a" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.3.4" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.3.4.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.3.4.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.3.4.2.cmml">h</mi><mrow id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.3.4.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.3.4.3.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.3.4.3.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.3.4.3.2.cmml">g</mi><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.3.4.3.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.3.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.3.4.3.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.3.4.3.3.cmml">u</mi><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.3.4.3.1a" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.3.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.3.4.3.4" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.3.4.3.4.cmml">e</mi><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.3.4.3.1b" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.3.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.3.4.3.5" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.3.4.3.5.cmml">s</mi><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.3.4.3.1c" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.3.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.3.4.3.6" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.3.4.3.6.cmml">s</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.cmml"><mrow id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.2.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.2.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.2.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.2.3.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.2.cmml"><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.2.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.2.2.cmml">t</mi><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.2.1a" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.2.4" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.2.4.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.2.4.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.2.4.2.cmml">h</mi><mrow id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.2.4.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.2.4.3.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.2.4.3.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.2.4.3.2.cmml">g</mi><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.2.4.3.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.2.4.3.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.2.4.3.3.cmml">u</mi><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.2.4.3.1a" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.2.4.3.4" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.2.4.3.4.cmml">e</mi><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.2.4.3.1b" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.2.4.3.5" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.2.4.3.5.cmml">s</mi><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.2.4.3.1c" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.2.4.3.6" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.2.4.3.6.cmml">s</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.1.cmml">/</mo><mn id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.2a" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">λ</mi><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">h</mi><mrow id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">g</mi><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">u</mi><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1a" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.4" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.4.cmml">e</mi><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1b" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.5" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.5.cmml">s</mi><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1c" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.6" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.6.cmml">s</mi></mrow></msub><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></mrow><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.2a" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.4" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.4.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.4.2.cmml">h</mi><mrow id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.4.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.4.3.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.4.3.2.cmml">g</mi><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.4.3.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.4.3.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.4.3.3.cmml">u</mi><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.4.3.1a" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.4.3.4" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.4.3.4.cmml">e</mi><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.4.3.1b" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.4.3.5" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.4.3.5.cmml">s</mi><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.4.3.1c" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.4.3.6" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.4.3.6.cmml">s</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.2.cmml">/</mo><mn id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.3.cmml">2</mn></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3b"><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3"><eq id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.2"></eq><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.3">𝜏</ci><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1"><minus id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.2"></minus><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.3"><times id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.3.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.3.1"></times><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.3.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.3.2">𝜆</ci><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.1.1">𝑡</ci><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.3.4.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.3.4.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.3.4">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.3.4.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.3.4.2">ℎ</ci><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.3.4.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.3.4.3"><times id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.3.4.3.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.3.4.3.1"></times><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.3.4.3.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.3.4.3.2">𝑔</ci><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.3.4.3.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.3.4.3.3">𝑢</ci><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.3.4.3.4.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.3.4.3.4">𝑒</ci><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.3.4.3.5.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.3.4.3.5">𝑠</ci><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.3.4.3.6.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.3.4.3.6">𝑠</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4"><divide id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.1"></divide><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.2"><times id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.2.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.2.1"></times><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.2.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.2.2">𝜆</ci><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.2.2">𝑡</ci><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.2.4.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.2.4.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.2.4.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.2.4.2">ℎ</ci><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.2.4.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.2.4.3"><times id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.2.4.3.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.2.4.3.1"></times><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.2.4.3.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.2.4.3.2">𝑔</ci><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.2.4.3.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.2.4.3.3">𝑢</ci><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.2.4.3.4.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.2.4.3.4">𝑒</ci><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.2.4.3.5.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.2.4.3.5">𝑠</ci><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.2.4.3.6.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.2.4.3.6">𝑠</ci></apply></apply></apply><cn id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.4.3">2</cn></apply><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1"><divide id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.2"></divide><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1"><times id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.2"></times><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.3">𝜆</ci><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1"><plus id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1"></divide><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2">ℎ</ci><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑔</ci><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑢</ci><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.4.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.4">𝑒</ci><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.5.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.5">𝑠</ci><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.6.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.6">𝑠</ci></apply></apply><cn id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.4.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.4.2">ℎ</ci><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.4.3"><times id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.4.3.1"></times><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.4.3.2">𝑔</ci><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.4.3.3">𝑢</ci><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.4.3.4.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.4.3.4">𝑒</ci><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.4.3.5.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.4.3.5">𝑠</ci><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.4.3.6.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.1.4.3.6">𝑠</ci></apply></apply></apply><cn id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3.3.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3c">\tau=\lambda(t)h_{guess}-\lambda(t)h_{guess}/2-\lambda(t+h_{guess}/2)h_{guess}/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.SSS0.Px3.p2.16.m1.3d">italic_τ = italic_λ ( italic_t ) italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_g italic_u italic_e italic_s italic_s end_POSTSUBSCRIPT - italic_λ ( italic_t ) italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_g italic_u italic_e italic_s italic_s end_POSTSUBSCRIPT / 2 - italic_λ ( italic_t + italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_g italic_u italic_e italic_s italic_s end_POSTSUBSCRIPT / 2 ) italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_g italic_u italic_e italic_s italic_s end_POSTSUBSCRIPT / 2</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_proposition" id="Thmproposition5"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmproposition5.1.1.1">Proposition 5</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmproposition5.2.2"> </span>(scale invariance)<span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmproposition5.3.3">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmproposition5.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmproposition5.p1.4"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmproposition5.p1.4.4">For BPS sampling <math alttext="\pi_{\sigma}(x)=\pi(\sigma x)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition5.p1.1.1.m1.2"><semantics id="Thmproposition5.p1.1.1.m1.2a"><mrow id="Thmproposition5.p1.1.1.m1.2.2" xref="Thmproposition5.p1.1.1.m1.2.2.cmml"><mrow id="Thmproposition5.p1.1.1.m1.2.2.3" xref="Thmproposition5.p1.1.1.m1.2.2.3.cmml"><msub id="Thmproposition5.p1.1.1.m1.2.2.3.2" xref="Thmproposition5.p1.1.1.m1.2.2.3.2.cmml"><mi id="Thmproposition5.p1.1.1.m1.2.2.3.2.2" xref="Thmproposition5.p1.1.1.m1.2.2.3.2.2.cmml">π</mi><mi id="Thmproposition5.p1.1.1.m1.2.2.3.2.3" xref="Thmproposition5.p1.1.1.m1.2.2.3.2.3.cmml">σ</mi></msub><mo id="Thmproposition5.p1.1.1.m1.2.2.3.1" 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id="Thmproposition5.p1.1.1.m1.2.2.3.1.cmml" xref="Thmproposition5.p1.1.1.m1.2.2.3.1"></times><apply id="Thmproposition5.p1.1.1.m1.2.2.3.2.cmml" xref="Thmproposition5.p1.1.1.m1.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproposition5.p1.1.1.m1.2.2.3.2.1.cmml" xref="Thmproposition5.p1.1.1.m1.2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="Thmproposition5.p1.1.1.m1.2.2.3.2.2.cmml" xref="Thmproposition5.p1.1.1.m1.2.2.3.2.2">𝜋</ci><ci id="Thmproposition5.p1.1.1.m1.2.2.3.2.3.cmml" xref="Thmproposition5.p1.1.1.m1.2.2.3.2.3">𝜎</ci></apply><ci id="Thmproposition5.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmproposition5.p1.1.1.m1.1.1">𝑥</ci></apply><apply id="Thmproposition5.p1.1.1.m1.2.2.1.cmml" xref="Thmproposition5.p1.1.1.m1.2.2.1"><times id="Thmproposition5.p1.1.1.m1.2.2.1.2.cmml" xref="Thmproposition5.p1.1.1.m1.2.2.1.2"></times><ci id="Thmproposition5.p1.1.1.m1.2.2.1.3.cmml" xref="Thmproposition5.p1.1.1.m1.2.2.1.3">𝜋</ci><apply id="Thmproposition5.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="Thmproposition5.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1"><times id="Thmproposition5.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmproposition5.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1"></times><ci id="Thmproposition5.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmproposition5.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2">𝜎</ci><ci id="Thmproposition5.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmproposition5.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3">𝑥</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition5.p1.1.1.m1.2c">\pi_{\sigma}(x)=\pi(\sigma x)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition5.p1.1.1.m1.2d">italic_π start_POSTSUBSCRIPT italic_σ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x ) = italic_π ( italic_σ italic_x )</annotation></semantics></math> with <math alttext="\sigma\in\mathbb{R}^{+}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition5.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmproposition5.p1.2.2.m2.1a"><mrow id="Thmproposition5.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmproposition5.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmproposition5.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="Thmproposition5.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">σ</mi><mo id="Thmproposition5.p1.2.2.m2.1.1.1" xref="Thmproposition5.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="Thmproposition5.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="Thmproposition5.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="Thmproposition5.p1.2.2.m2.1.1.3.2" xref="Thmproposition5.p1.2.2.m2.1.1.3.2.cmml">ℝ</mi><mo id="Thmproposition5.p1.2.2.m2.1.1.3.3" xref="Thmproposition5.p1.2.2.m2.1.1.3.3.cmml">+</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition5.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmproposition5.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmproposition5.p1.2.2.m2.1.1"><in id="Thmproposition5.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmproposition5.p1.2.2.m2.1.1.1"></in><ci id="Thmproposition5.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmproposition5.p1.2.2.m2.1.1.2">𝜎</ci><apply id="Thmproposition5.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmproposition5.p1.2.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproposition5.p1.2.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="Thmproposition5.p1.2.2.m2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="Thmproposition5.p1.2.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="Thmproposition5.p1.2.2.m2.1.1.3.2">ℝ</ci><plus id="Thmproposition5.p1.2.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="Thmproposition5.p1.2.2.m2.1.1.3.3"></plus></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition5.p1.2.2.m2.1c">\sigma\in\mathbb{R}^{+}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition5.p1.2.2.m2.1d">italic_σ ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, the chosen step size <math alttext="h_{\sigma}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition5.p1.3.3.m3.1"><semantics id="Thmproposition5.p1.3.3.m3.1a"><msub id="Thmproposition5.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmproposition5.p1.3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="Thmproposition5.p1.3.3.m3.1.1.2" xref="Thmproposition5.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml">h</mi><mi id="Thmproposition5.p1.3.3.m3.1.1.3" xref="Thmproposition5.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml">σ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition5.p1.3.3.m3.1b"><apply id="Thmproposition5.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmproposition5.p1.3.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproposition5.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Thmproposition5.p1.3.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmproposition5.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="Thmproposition5.p1.3.3.m3.1.1.2">ℎ</ci><ci id="Thmproposition5.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="Thmproposition5.p1.3.3.m3.1.1.3">𝜎</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition5.p1.3.3.m3.1c">h_{\sigma}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition5.p1.3.3.m3.1d">italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_σ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> at point <math alttext="(\frac{1}{\sigma}x,v)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition5.p1.4.4.m4.2"><semantics id="Thmproposition5.p1.4.4.m4.2a"><mrow id="Thmproposition5.p1.4.4.m4.2.2.1" xref="Thmproposition5.p1.4.4.m4.2.2.2.cmml"><mo id="Thmproposition5.p1.4.4.m4.2.2.1.2" stretchy="false" xref="Thmproposition5.p1.4.4.m4.2.2.2.cmml">(</mo><mrow id="Thmproposition5.p1.4.4.m4.2.2.1.1" xref="Thmproposition5.p1.4.4.m4.2.2.1.1.cmml"><mfrac id="Thmproposition5.p1.4.4.m4.2.2.1.1.2" xref="Thmproposition5.p1.4.4.m4.2.2.1.1.2.cmml"><mn id="Thmproposition5.p1.4.4.m4.2.2.1.1.2.2" xref="Thmproposition5.p1.4.4.m4.2.2.1.1.2.2.cmml">1</mn><mi id="Thmproposition5.p1.4.4.m4.2.2.1.1.2.3" xref="Thmproposition5.p1.4.4.m4.2.2.1.1.2.3.cmml">σ</mi></mfrac><mo id="Thmproposition5.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1" xref="Thmproposition5.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmproposition5.p1.4.4.m4.2.2.1.1.3" xref="Thmproposition5.p1.4.4.m4.2.2.1.1.3.cmml">x</mi></mrow><mo id="Thmproposition5.p1.4.4.m4.2.2.1.3" xref="Thmproposition5.p1.4.4.m4.2.2.2.cmml">,</mo><mi id="Thmproposition5.p1.4.4.m4.1.1" xref="Thmproposition5.p1.4.4.m4.1.1.cmml">v</mi><mo id="Thmproposition5.p1.4.4.m4.2.2.1.4" stretchy="false" xref="Thmproposition5.p1.4.4.m4.2.2.2.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition5.p1.4.4.m4.2b"><interval closure="open" id="Thmproposition5.p1.4.4.m4.2.2.2.cmml" xref="Thmproposition5.p1.4.4.m4.2.2.1"><apply id="Thmproposition5.p1.4.4.m4.2.2.1.1.cmml" xref="Thmproposition5.p1.4.4.m4.2.2.1.1"><times id="Thmproposition5.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.cmml" xref="Thmproposition5.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1"></times><apply id="Thmproposition5.p1.4.4.m4.2.2.1.1.2.cmml" xref="Thmproposition5.p1.4.4.m4.2.2.1.1.2"><divide id="Thmproposition5.p1.4.4.m4.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="Thmproposition5.p1.4.4.m4.2.2.1.1.2"></divide><cn id="Thmproposition5.p1.4.4.m4.2.2.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="Thmproposition5.p1.4.4.m4.2.2.1.1.2.2">1</cn><ci id="Thmproposition5.p1.4.4.m4.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="Thmproposition5.p1.4.4.m4.2.2.1.1.2.3">𝜎</ci></apply><ci id="Thmproposition5.p1.4.4.m4.2.2.1.1.3.cmml" xref="Thmproposition5.p1.4.4.m4.2.2.1.1.3">𝑥</ci></apply><ci id="Thmproposition5.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmproposition5.p1.4.4.m4.1.1">𝑣</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition5.p1.4.4.m4.2c">(\frac{1}{\sigma}x,v)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition5.p1.4.4.m4.2d">( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_σ end_ARG italic_x , italic_v )</annotation></semantics></math> verifies</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex19"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="h_{\sigma}\approx\frac{h_{1}}{\sigma}." class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex19.m1.1"><semantics id="S3.Ex19.m1.1a"><mrow id="S3.Ex19.m1.1.1.1" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">h</mi><mi id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">σ</mi></msub><mo id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.cmml">≈</mo><mfrac id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">h</mi><mn id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mi id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">σ</mi></mfrac></mrow><mo id="S3.Ex19.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex19.m1.1b"><apply id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1"><approx id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1"></approx><apply id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2">ℎ</ci><ci id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.2.3">𝜎</ci></apply><apply id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.3"><divide id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.3"></divide><apply id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.3.2.2">ℎ</ci><cn id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.3.2.3">1</cn></apply><ci id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.3.3">𝜎</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex19.m1.1c">h_{\sigma}\approx\frac{h_{1}}{\sigma}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex19.m1.1d">italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_σ end_POSTSUBSCRIPT ≈ divide start_ARG italic_h start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_σ end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S3.SS3.SSS0.Px3.2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.8">In this case,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex20"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\lambda_{\sigma}(\frac{1}{\sigma}x,v)=\sigma(-\nabla\log\pi(x)\cdot v)^{+}=% \sigma\lambda_{1}(x,v)," class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex20.m1.5"><semantics id="S3.Ex20.m1.5a"><mrow id="S3.Ex20.m1.5.5.1" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.1" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.1.3" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mi id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.1.3.3.cmml">σ</mi></msub><mo id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.1.2" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mi id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">σ</mi></mfrac><mo id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml">x</mi></mrow><mo id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex20.m1.1.1" xref="S3.Ex20.m1.1.1.cmml">v</mi><mo id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.4" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.3" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.3.cmml">σ</mi><mo id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.2" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1.cmml"><mrow id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1a" rspace="0.167em" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml"><mo id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.1.1" rspace="0.167em" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml">∇</mo><mi id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.1.2" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.1.2.cmml">log</mi></mrow><mo id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2a" lspace="0.167em" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml">⁡</mo><mi id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">π</mi></mrow><mo id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml"><mo id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex20.m1.2.2" xref="S3.Ex20.m1.2.2.cmml">x</mi><mo id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.2.2" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.1" rspace="0.222em" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml">⋅</mo><mi id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.3.cmml">v</mi></mrow></mrow><mo id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1.3" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1.3.cmml">+</mo></msup></mrow><mo id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.5" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.6" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.6.cmml"><mi id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.6.2" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.6.2.cmml">σ</mi><mo id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.6.1" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.6.3" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.6.3.cmml"><mi id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.6.3.2" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.6.3.2.cmml">λ</mi><mn id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.6.3.3" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.6.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.6.1a" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.6.4.2" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.6.4.1.cmml"><mo id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.6.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.6.4.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex20.m1.3.3" xref="S3.Ex20.m1.3.3.cmml">x</mi><mo id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.6.4.2.2" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.6.4.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex20.m1.4.4" xref="S3.Ex20.m1.4.4.cmml">v</mi><mo id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.6.4.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.6.4.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex20.m1.5.5.1.2" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex20.m1.5b"><apply id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1"><and id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1a.cmml" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1"></and><apply id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1b.cmml" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1"><eq id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.4"></eq><apply id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.1"><times id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.1.3.2">𝜆</ci><ci id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.1.3.3">𝜎</ci></apply><interval closure="open" id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.1.1.1"><apply 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xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1"><minus id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1"></minus><apply id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2"><ci id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.1">⋅</ci><apply id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.2"><times id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1"></times><apply id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2"><apply id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.1"><ci id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.1.1">∇</ci><log id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.1.2"></log></apply><ci id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.2">𝜋</ci></apply><ci id="S3.Ex20.m1.2.2.cmml" xref="S3.Ex20.m1.2.2">𝑥</ci></apply><ci id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.3">𝑣</ci></apply></apply><plus id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1.3.cmml" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.1.3"></plus></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1c.cmml" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1"><eq id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.5.cmml" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S3.Ex20.m1.5.5.1.1.2.cmml" id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1d.cmml" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1"></share><apply id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.6.cmml" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.6"><times id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.6.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.6.1"></times><ci id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.6.2.cmml" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.6.2">𝜎</ci><apply id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.6.3.cmml" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.6.3.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.6.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.6.3.2.cmml" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.6.3.2">𝜆</ci><cn id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.6.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.6.3.3">1</cn></apply><interval closure="open" id="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.6.4.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.5.5.1.1.6.4.2"><ci id="S3.Ex20.m1.3.3.cmml" xref="S3.Ex20.m1.3.3">𝑥</ci><ci id="S3.Ex20.m1.4.4.cmml" xref="S3.Ex20.m1.4.4">𝑣</ci></interval></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex20.m1.5c">\lambda_{\sigma}(\frac{1}{\sigma}x,v)=\sigma(-\nabla\log\pi(x)\cdot v)^{+}=% \sigma\lambda_{1}(x,v),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex20.m1.5d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_σ end_POSTSUBSCRIPT ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_σ end_ARG italic_x , italic_v ) = italic_σ ( - ∇ roman_log italic_π ( italic_x ) ⋅ italic_v ) start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT = italic_σ italic_λ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x , italic_v ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2">and starting from <math alttext="(\frac{1}{\sigma}x,v)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.1.m1.2"><semantics id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.1.m1.2a"><mrow id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.1.m1.2.2.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.1.m1.2.2.2.cmml"><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.1.m1.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.1.m1.2.2.2.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.1.m1.2.2.1.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.cmml"><mfrac id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mn id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.2.2.cmml">1</mn><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.2.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.2.3.cmml">σ</mi></mfrac><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.3.cmml">x</mi></mrow><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.1.m1.2.2.1.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.1.m1.2.2.2.cmml">,</mo><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.1.m1.1.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.1.m1.1.1.cmml">v</mi><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.1.m1.2.2.1.4" stretchy="false" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.1.m1.2.2.2.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.1.m1.2b"><interval closure="open" id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.1.m1.2.2.1"><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.1.m1.2.2.1.1"><times id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.1"></times><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.2"><divide id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.2"></divide><cn id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.2.2">1</cn><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.2.3">𝜎</ci></apply><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.3">𝑥</ci></apply><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.1.m1.1.1">𝑣</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.1.m1.2c">(\frac{1}{\sigma}x,v)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.1.m1.2d">( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_σ end_ARG italic_x , italic_v )</annotation></semantics></math>, <math alttext="\lambda_{\sigma}(t)=\sigma\lambda_{1}(x+t\sigma v)=\sigma\lambda_{1}(t\sigma)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3"><semantics id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3a"><mrow id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.cmml"><mrow id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.4" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.4.cmml"><msub id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.4.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.4.2.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.4.2.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.4.2.2.cmml">λ</mi><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.4.2.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.4.2.3.cmml">σ</mi></msub><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.4.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.4.3.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.4.cmml"><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.4.cmml">(</mo><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.1.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.5" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.5.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1.3.cmml">σ</mi><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1.4" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1.4.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1.4.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1.4.2.cmml">λ</mi><mn id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1.4.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1.4.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1.2a" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">t</mi><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">σ</mi><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.1a" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.4" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.4.cmml">v</mi></mrow></mrow><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.6" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.6.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.2.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.2.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.2.3.cmml">σ</mi><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.2.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.2.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.2.4" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.2.4.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.2.4.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.2.4.2.cmml">λ</mi><mn id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.2.4.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.2.4.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.2.2a" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.2.1.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.2.1.1.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.2.1.1.1.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.2.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.2.1.1.1.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.2.1.1.1.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.2.1.1.1.3.cmml">σ</mi></mrow><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3b"><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3"><and id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3a.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3"></and><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3b.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3"><eq id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.5.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.5"></eq><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.4.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.4"><times id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.4.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.4.1"></times><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.4.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.4.2.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.4.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.4.2.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.4.2.2">𝜆</ci><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.4.2.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.4.2.3">𝜎</ci></apply><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1"><times id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1.2"></times><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1.3">𝜎</ci><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1.4.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1.4.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1.4.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1.4.2">𝜆</ci><cn id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1.4.3">1</cn></apply><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1"><plus id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2">𝑥</ci><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3"><times id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.2">𝑡</ci><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.3">𝜎</ci><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.4">𝑣</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3c.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3"><eq id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.6.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.6"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.2.2.1.cmml" id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3d.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3"></share><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.2"><times id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.2.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.2.2"></times><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.2.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.2.3">𝜎</ci><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.2.4.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.2.4.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.2.4.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.2.4.2">𝜆</ci><cn id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.2.4.3">1</cn></apply><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.2.1.1"><times id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.2.1.1.1.1"></times><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.2.1.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3.3.2.1.1.1.3">𝜎</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3c">\lambda_{\sigma}(t)=\sigma\lambda_{1}(x+t\sigma v)=\sigma\lambda_{1}(t\sigma)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.2.m2.3d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_σ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) = italic_σ italic_λ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x + italic_t italic_σ italic_v ) = italic_σ italic_λ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t italic_σ )</annotation></semantics></math>. Therefore,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex21"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="I_{t,\sigma}=\sigma\int_{0}^{t}\lambda_{1}(s\sigma)ds=\int_{0}^{t\sigma}% \lambda_{1}(u)du=I_{t\sigma,1}." class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex21.m1.6"><semantics id="S3.Ex21.m1.6a"><mrow id="S3.Ex21.m1.6.6.1" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.3" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.3.2" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.3.2.cmml">I</mi><mrow id="S3.Ex21.m1.2.2.2.4" xref="S3.Ex21.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.Ex21.m1.2.2.2.4.1" xref="S3.Ex21.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex21.m1.2.2.2.2" xref="S3.Ex21.m1.2.2.2.2.cmml">σ</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.4" 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id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">s</mi><mo id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">σ</mi></mrow><mo id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.1.2a" lspace="0em" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.cmml"><mo id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.1" rspace="0em" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.2.cmml">s</mi></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.5" rspace="0.111em" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.6" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.6.cmml"><msubsup id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.6.1" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.6.1.cmml"><mo id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.6.1.2.2" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.6.1.2.2.cmml">∫</mo><mn id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.6.1.2.3" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.6.1.2.3.cmml">0</mn><mrow id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.6.1.3" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.6.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.6.1.3.2" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.6.1.3.2.cmml">t</mi><mo id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.6.1.3.1" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.6.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.6.1.3.3" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.6.1.3.3.cmml">σ</mi></mrow></msubsup><mrow id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.6.2" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.6.2.cmml"><msub id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.6.2.2" 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id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.7" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.7.cmml">=</mo><msub id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.8" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.8.cmml"><mi id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.8.2" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.8.2.cmml">I</mi><mrow id="S3.Ex21.m1.4.4.2.2" xref="S3.Ex21.m1.4.4.2.3.cmml"><mrow id="S3.Ex21.m1.4.4.2.2.1" xref="S3.Ex21.m1.4.4.2.2.1.cmml"><mi id="S3.Ex21.m1.4.4.2.2.1.2" xref="S3.Ex21.m1.4.4.2.2.1.2.cmml">t</mi><mo id="S3.Ex21.m1.4.4.2.2.1.1" xref="S3.Ex21.m1.4.4.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex21.m1.4.4.2.2.1.3" xref="S3.Ex21.m1.4.4.2.2.1.3.cmml">σ</mi></mrow><mo id="S3.Ex21.m1.4.4.2.2.2" xref="S3.Ex21.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mn id="S3.Ex21.m1.3.3.1.1" xref="S3.Ex21.m1.3.3.1.1.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow><mo id="S3.Ex21.m1.6.6.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex21.m1.6b"><apply id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1"><and id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1a.cmml" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1"></and><apply id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1b.cmml" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1"><eq id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.4"></eq><apply id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.3.2">𝐼</ci><list id="S3.Ex21.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex21.m1.2.2.2.4"><ci id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1">𝑡</ci><ci id="S3.Ex21.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex21.m1.2.2.2.2">𝜎</ci></list></apply><apply id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1"><times id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.2"></times><ci id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.3">𝜎</ci><apply id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1"><apply id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><int id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2"></int><cn id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3">0</cn></apply><ci id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2">𝜆</ci><cn id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply><apply id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑠</ci><ci id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜎</ci></apply><apply id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.1">differential-d</csymbol><ci id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.2">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1c.cmml" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1"><eq id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.5.cmml" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S3.Ex21.m1.6.6.1.1.1.cmml" id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1d.cmml" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1"></share><apply id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.6.cmml" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.6"><apply id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.6.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.6.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.6.1.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.6.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.6.1.2.cmml" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.6.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.6.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.6.1">subscript</csymbol><int id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.6.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.6.1.2.2"></int><cn id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.6.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.6.1.2.3">0</cn></apply><apply id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.6.1.3.cmml" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.6.1.3"><times id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.6.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.6.1.3.1"></times><ci id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.6.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.6.1.3.2">𝑡</ci><ci id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.6.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.6.1.3.3">𝜎</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.6.2.cmml" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.6.2"><times id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.6.2.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.6.2.1"></times><apply id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.6.2.2.cmml" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.6.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.6.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.6.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.6.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.6.2.2.2">𝜆</ci><cn id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.6.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.6.2.2.3">1</cn></apply><ci id="S3.Ex21.m1.5.5.cmml" xref="S3.Ex21.m1.5.5">𝑢</ci><apply id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.6.2.4.cmml" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.6.2.4"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.6.2.4.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.6.2.4.1">differential-d</csymbol><ci id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.6.2.4.2.cmml" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.6.2.4.2">𝑢</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1e.cmml" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1"><eq id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.7.cmml" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.7"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S3.Ex21.m1.6.6.1.1.6.cmml" id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1f.cmml" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1"></share><apply id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.8.cmml" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.8.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.8">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.8.2.cmml" xref="S3.Ex21.m1.6.6.1.1.8.2">𝐼</ci><list id="S3.Ex21.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S3.Ex21.m1.4.4.2.2"><apply id="S3.Ex21.m1.4.4.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.4.4.2.2.1"><times id="S3.Ex21.m1.4.4.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.4.4.2.2.1.1"></times><ci id="S3.Ex21.m1.4.4.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex21.m1.4.4.2.2.1.2">𝑡</ci><ci id="S3.Ex21.m1.4.4.2.2.1.3.cmml" xref="S3.Ex21.m1.4.4.2.2.1.3">𝜎</ci></apply><cn id="S3.Ex21.m1.3.3.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.Ex21.m1.3.3.1.1">1</cn></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex21.m1.6c">I_{t,\sigma}=\sigma\int_{0}^{t}\lambda_{1}(s\sigma)ds=\int_{0}^{t\sigma}% \lambda_{1}(u)du=I_{t\sigma,1}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex21.m1.6d">italic_I start_POSTSUBSCRIPT italic_t , italic_σ end_POSTSUBSCRIPT = italic_σ ∫ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT italic_λ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s italic_σ ) italic_d italic_s = ∫ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT italic_λ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_u ) italic_d italic_u = italic_I start_POSTSUBSCRIPT italic_t italic_σ , 1 end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4">Let <math alttext="K_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.3.m1.1"><semantics id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.3.m1.1a"><msub id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.3.m1.1.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.3.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.3.m1.1.1.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.3.m1.1.1.2.cmml">K</mi><mn id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.3.m1.1.1.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.3.m1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.3.m1.1b"><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.3.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.3.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.3.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.3.m1.1.1.2">𝐾</ci><cn id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.3.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.3.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.3.m1.1c">K_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.3.m1.1d">italic_K start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> such that <math alttext="I_{t,1}=\lambda_{1}(0)t+K_{1}t^{2}+o(t^{2})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4"><semantics id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4a"><mrow id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.cmml"><msub id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.3.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.3.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.3.2.cmml">I</mi><mrow id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.2.2.2.4" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.1.1.1.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.2.2.2.4.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.2.2.2.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.2.2.2.2.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.cmml"><mrow id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.3.cmml"><msub id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.3.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.3.2.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.3.2.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.3.2.2.cmml">λ</mi><mn id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.3.2.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.3.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.3.3.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.3.cmml"><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.3.cmml">(</mo><mn id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.3.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.3.3.cmml">0</mn><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.3.1a" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.3.4" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.3.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.4" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.4.cmml"><msub id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.4.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.4.2.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.4.2.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.4.2.2.cmml">K</mi><mn id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.4.2.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.4.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.4.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.4.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.4.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.4.3.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.4.3.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.4.3.2.cmml">t</mi><mn id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.4.3.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.4.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.2a" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.1.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.1.3.cmml">o</mi><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.1.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.1.1.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mn id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4b"><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4"><eq id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.2"></eq><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.3.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.3.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.3.2">𝐼</ci><list id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.2.2.2.4"><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.1.1.1.1">𝑡</ci><cn id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.2.2.2.2">1</cn></list></apply><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1"><plus id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.2"></plus><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.3"><times id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.3.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.3.1"></times><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.3.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.3.2.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.3.2.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.3.2.2">𝜆</ci><cn id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.3.2.3">1</cn></apply><cn id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.3.3">0</cn><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.3.4.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.3.4">𝑡</ci></apply><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.4.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.4"><times id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.4.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.4.1"></times><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.4.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.4.2.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.4.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.4.2.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.4.2.2">𝐾</ci><cn id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.4.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.4.2.3">1</cn></apply><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.4.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.4.3.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.4.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.4.3.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.4.3.2">𝑡</ci><cn id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.4.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.1"><times id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.1.2"></times><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.1.3">𝑜</ci><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><cn id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4.4.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4c">I_{t,1}=\lambda_{1}(0)t+K_{1}t^{2}+o(t^{2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.4.m2.4d">italic_I start_POSTSUBSCRIPT italic_t , 1 end_POSTSUBSCRIPT = italic_λ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( 0 ) italic_t + italic_K start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_t start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_o ( italic_t start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>. Then</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx4"> <tbody id="S3.Ex22"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle I_{t,\sigma}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex22.m1.2"><semantics id="S3.Ex22.m1.2a"><msub id="S3.Ex22.m1.2.3" xref="S3.Ex22.m1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex22.m1.2.3.2" xref="S3.Ex22.m1.2.3.2.cmml">I</mi><mrow id="S3.Ex22.m1.2.2.2.4" xref="S3.Ex22.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.Ex22.m1.2.2.2.4.1" xref="S3.Ex22.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex22.m1.2.2.2.2" xref="S3.Ex22.m1.2.2.2.2.cmml">σ</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex22.m1.2b"><apply id="S3.Ex22.m1.2.3.cmml" xref="S3.Ex22.m1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex22.m1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex22.m1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex22.m1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex22.m1.2.3.2">𝐼</ci><list id="S3.Ex22.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex22.m1.2.2.2.4"><ci id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1">𝑡</ci><ci id="S3.Ex22.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex22.m1.2.2.2.2">𝜎</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex22.m1.2c">\displaystyle I_{t,\sigma}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex22.m1.2d">italic_I start_POSTSUBSCRIPT italic_t , italic_σ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\lambda_{1}(0)t\sigma+K_{1}t^{2}\sigma^{2}+o(t^{2})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex22.m2.2"><semantics id="S3.Ex22.m2.2a"><mrow id="S3.Ex22.m2.2.2" xref="S3.Ex22.m2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex22.m2.2.2.3" xref="S3.Ex22.m2.2.2.3.cmml"></mi><mo id="S3.Ex22.m2.2.2.2" xref="S3.Ex22.m2.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex22.m2.2.2.1" xref="S3.Ex22.m2.2.2.1.cmml"><mrow id="S3.Ex22.m2.2.2.1.3" xref="S3.Ex22.m2.2.2.1.3.cmml"><msub id="S3.Ex22.m2.2.2.1.3.2" xref="S3.Ex22.m2.2.2.1.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex22.m2.2.2.1.3.2.2" xref="S3.Ex22.m2.2.2.1.3.2.2.cmml">λ</mi><mn id="S3.Ex22.m2.2.2.1.3.2.3" xref="S3.Ex22.m2.2.2.1.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.Ex22.m2.2.2.1.3.1" xref="S3.Ex22.m2.2.2.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex22.m2.2.2.1.3.3.2" xref="S3.Ex22.m2.2.2.1.3.cmml"><mo id="S3.Ex22.m2.2.2.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex22.m2.2.2.1.3.cmml">(</mo><mn id="S3.Ex22.m2.1.1" xref="S3.Ex22.m2.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.Ex22.m2.2.2.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex22.m2.2.2.1.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex22.m2.2.2.1.3.1a" xref="S3.Ex22.m2.2.2.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex22.m2.2.2.1.3.4" xref="S3.Ex22.m2.2.2.1.3.4.cmml">t</mi><mo id="S3.Ex22.m2.2.2.1.3.1b" xref="S3.Ex22.m2.2.2.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex22.m2.2.2.1.3.5" xref="S3.Ex22.m2.2.2.1.3.5.cmml">σ</mi></mrow><mo id="S3.Ex22.m2.2.2.1.2" xref="S3.Ex22.m2.2.2.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex22.m2.2.2.1.4" xref="S3.Ex22.m2.2.2.1.4.cmml"><msub id="S3.Ex22.m2.2.2.1.4.2" xref="S3.Ex22.m2.2.2.1.4.2.cmml"><mi id="S3.Ex22.m2.2.2.1.4.2.2" xref="S3.Ex22.m2.2.2.1.4.2.2.cmml">K</mi><mn id="S3.Ex22.m2.2.2.1.4.2.3" xref="S3.Ex22.m2.2.2.1.4.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.Ex22.m2.2.2.1.4.1" xref="S3.Ex22.m2.2.2.1.4.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex22.m2.2.2.1.4.3" xref="S3.Ex22.m2.2.2.1.4.3.cmml"><mi id="S3.Ex22.m2.2.2.1.4.3.2" xref="S3.Ex22.m2.2.2.1.4.3.2.cmml">t</mi><mn id="S3.Ex22.m2.2.2.1.4.3.3" xref="S3.Ex22.m2.2.2.1.4.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.Ex22.m2.2.2.1.4.1a" xref="S3.Ex22.m2.2.2.1.4.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex22.m2.2.2.1.4.4" xref="S3.Ex22.m2.2.2.1.4.4.cmml"><mi id="S3.Ex22.m2.2.2.1.4.4.2" xref="S3.Ex22.m2.2.2.1.4.4.2.cmml">σ</mi><mn id="S3.Ex22.m2.2.2.1.4.4.3" xref="S3.Ex22.m2.2.2.1.4.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S3.Ex22.m2.2.2.1.2a" xref="S3.Ex22.m2.2.2.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex22.m2.2.2.1.1" 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xref="S3.Ex23.m1.2.2.1.1.1"><plus id="S3.Ex23.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.2.2.1.1.1.2"></plus><apply id="S3.Ex23.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex23.m1.2.2.1.1.1.3"><times id="S3.Ex23.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.2.2.1.1.1.3.1"></times><apply id="S3.Ex23.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.2.2.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex23.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.2.2.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex23.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.2.2.1.1.1.3.2.2">𝜆</ci><ci id="S3.Ex23.m1.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex23.m1.2.2.1.1.1.3.2.3">𝜎</ci></apply><cn id="S3.Ex23.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.Ex23.m1.1.1">0</cn></apply><apply id="S3.Ex23.m1.2.2.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex23.m1.2.2.1.1.1.4"><times id="S3.Ex23.m1.2.2.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.2.2.1.1.1.4.1"></times><apply id="S3.Ex23.m1.2.2.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.2.2.1.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex23.m1.2.2.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.2.2.1.1.1.4.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex23.m1.2.2.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.2.2.1.1.1.4.2.2">𝐾</ci><cn id="S3.Ex23.m1.2.2.1.1.1.4.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex23.m1.2.2.1.1.1.4.2.3">1</cn></apply><apply id="S3.Ex23.m1.2.2.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.Ex23.m1.2.2.1.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex23.m1.2.2.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.2.2.1.1.1.4.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex23.m1.2.2.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.2.2.1.1.1.4.3.2">𝜎</ci><cn id="S3.Ex23.m1.2.2.1.1.1.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex23.m1.2.2.1.1.1.4.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.Ex23.m1.2.2.1.1.1.4.4.cmml" xref="S3.Ex23.m1.2.2.1.1.1.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex23.m1.2.2.1.1.1.4.4.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.2.2.1.1.1.4.4">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex23.m1.2.2.1.1.1.4.4.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.2.2.1.1.1.4.4.2">𝑡</ci><cn id="S3.Ex23.m1.2.2.1.1.1.4.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex23.m1.2.2.1.1.1.4.4.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1"><times id="S3.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.3">𝑜</ci><apply id="S3.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><cn id="S3.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex23.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex23.m1.2c">\displaystyle=\lambda_{\sigma}(0)+K_{1}\sigma^{2}t^{2}+o(t^{2}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex23.m1.2d">= italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_σ end_POSTSUBSCRIPT ( 0 ) + italic_K start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_t start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_o ( italic_t start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.7">Which implies that <math alttext="K_{\sigma}=K_{1}\sigma^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.5.m1.1"><semantics id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.5.m1.1a"><mrow id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.5.m1.1.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.5.m1.1.1.cmml"><msub id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.5.m1.1.1.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.5.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.5.m1.1.1.2.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.5.m1.1.1.2.2.cmml">K</mi><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.5.m1.1.1.2.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.5.m1.1.1.2.3.cmml">σ</mi></msub><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.5.m1.1.1.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.5.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.5.m1.1.1.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.5.m1.1.1.3.cmml"><msub id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.5.m1.1.1.3.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.5.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.5.m1.1.1.3.2.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.5.m1.1.1.3.2.2.cmml">K</mi><mn id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.5.m1.1.1.3.2.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.5.m1.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.5.m1.1.1.3.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.5.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.5.m1.1.1.3.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.5.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.5.m1.1.1.3.3.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.5.m1.1.1.3.3.2.cmml">σ</mi><mn id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.5.m1.1.1.3.3.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.5.m1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.5.m1.1b"><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.5.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.5.m1.1.1"><eq id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.5.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.5.m1.1.1.1"></eq><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.5.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.5.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.5.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.5.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.5.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.5.m1.1.1.2.2">𝐾</ci><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.5.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.5.m1.1.1.2.3">𝜎</ci></apply><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.5.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.5.m1.1.1.3"><times id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.5.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.5.m1.1.1.3.1"></times><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.5.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.5.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.5.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.5.m1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.5.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.5.m1.1.1.3.2.2">𝐾</ci><cn id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.5.m1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.5.m1.1.1.3.2.3">1</cn></apply><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.5.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.5.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.5.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.5.m1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.5.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.5.m1.1.1.3.3.2">𝜎</ci><cn id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.5.m1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.5.m1.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.5.m1.1c">K_{\sigma}=K_{1}\sigma^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.5.m1.1d">italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_σ end_POSTSUBSCRIPT = italic_K start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. For each <math alttext="\sigma" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.6.m2.1"><semantics id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.6.m2.1a"><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.6.m2.1.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.6.m2.1.1.cmml">σ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.6.m2.1b"><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.6.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.6.m2.1.1">𝜎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.6.m2.1c">\sigma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.6.m2.1d">italic_σ</annotation></semantics></math>, an approximation of <math alttext="K_{\sigma}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.7.m3.1"><semantics id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.7.m3.1a"><msub id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.7.m3.1.1" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.7.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.7.m3.1.1.2" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.7.m3.1.1.2.cmml">K</mi><mi id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.7.m3.1.1.3" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.7.m3.1.1.3.cmml">σ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.7.m3.1b"><apply id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.7.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.7.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.7.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.7.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.7.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.7.m3.1.1.2">𝐾</ci><ci id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.7.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.7.m3.1.1.3">𝜎</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.7.m3.1c">K_{\sigma}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.SSS0.Px3.1.p1.7.m3.1d">italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_σ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is computed and</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex24"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="h_{\sigma}\approx\sqrt{\frac{\text{tol}}{K_{\sigma}}}\approx\frac{1}{\sigma}h_% {1}." class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex24.m1.1"><semantics id="S3.Ex24.m1.1a"><mrow id="S3.Ex24.m1.1.1.1" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">h</mi><mi id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">σ</mi></msub><mo id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.3.cmml">≈</mo><msqrt id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mfrac id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mtext id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.4.2.2a.cmml">tol</mtext><msub id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.4.2.3" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.4.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.4.2.3.2" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml">K</mi><mi id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.4.2.3.3" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml">σ</mi></msub></mfrac></msqrt><mo id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.5" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.5.cmml">≈</mo><mrow id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.6" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.6.cmml"><mfrac id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.6.2" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.6.2.cmml"><mn id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.6.2.2" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.6.2.2.cmml">1</mn><mi id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.6.2.3" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.6.2.3.cmml">σ</mi></mfrac><mo id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.6.1" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.6.3" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.6.3.cmml"><mi id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.6.3.2" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.6.3.2.cmml">h</mi><mn id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.6.3.3" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.6.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow></mrow><mo id="S3.Ex24.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex24.m1.1b"><apply id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1"><and id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1"></and><apply id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1b.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1"><approx id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.3"></approx><apply id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.2.2">ℎ</ci><ci id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.2.3">𝜎</ci></apply><apply id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.4"><root id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.4a.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.4"></root><apply id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.4.2"><divide id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.4.2"></divide><ci id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.4.2.2a.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.4.2.2"><mtext id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.4.2.2">tol</mtext></ci><apply id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.4.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.4.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.4.2.3.2">𝐾</ci><ci id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.4.2.3.3">𝜎</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1c.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1"><approx id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.5"></approx><share href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S3.Ex24.m1.1.1.1.1.4.cmml" id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1d.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1"></share><apply id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.6"><times id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.6.1"></times><apply id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.6.2.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.6.2"><divide id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.6.2.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.6.2"></divide><cn id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.6.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.6.2.2">1</cn><ci id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.6.2.3.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.6.2.3">𝜎</ci></apply><apply id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.6.3.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.6.3.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.6.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.6.3.2.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.6.3.2">ℎ</ci><cn id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.6.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.6.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex24.m1.1c">h_{\sigma}\approx\sqrt{\frac{\text{tol}}{K_{\sigma}}}\approx\frac{1}{\sigma}h_% {1}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex24.m1.1d">italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_σ end_POSTSUBSCRIPT ≈ square-root start_ARG divide start_ARG tol end_ARG start_ARG italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_σ end_POSTSUBSCRIPT end_ARG end_ARG ≈ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_σ end_ARG italic_h start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS3.SSS0.Px3.2.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.SSS0.Px3.2.p2.1">∎</p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_remark" id="Thmremark2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmremark2.1.1.1">Remark 2</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmremark2.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmremark2.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmremark2.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmremark2.p1.2.2">The naive adaptation which tries to find a <math alttext="h" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmremark2.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmremark2.p1.1.1.m1.1a"><mi id="Thmremark2.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmremark2.p1.1.1.m1.1.1.cmml">h</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmremark2.p1.1.1.m1.1b"><ci id="Thmremark2.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmremark2.p1.1.1.m1.1.1">ℎ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmremark2.p1.1.1.m1.1c">h</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmremark2.p1.1.1.m1.1d">italic_h</annotation></semantics></math> such that <math alttext="|\lambda(t)-\lambda(t+h)|<\text{tol}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmremark2.p1.2.2.m2.2"><semantics id="Thmremark2.p1.2.2.m2.2a"><mrow id="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2" xref="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.cmml"><mrow id="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.1" xref="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.2.cmml"><mo id="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1" xref="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3" xref="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.2" xref="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mo id="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.1" xref="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.2" xref="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="Thmremark2.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmremark2.p1.2.2.m2.1.1.cmml">t</mi><mo id="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2" xref="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1" xref="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.3" xref="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">λ</mi><mo id="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.2" xref="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">h</mi></mrow><mo id="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.2" xref="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.2.cmml"><</mo><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.3" xref="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.3a.cmml">tol</mtext></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmremark2.p1.2.2.m2.2b"><apply id="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.cmml" xref="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2"><lt id="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.2.cmml" xref="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.2"></lt><apply id="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.2.cmml" xref="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.1"><abs id="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.2.1.cmml" xref="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.2"></abs><apply id="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1"><minus id="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2"></minus><apply id="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3"><times id="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.1"></times><ci id="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.2">𝜆</ci><ci id="Thmremark2.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmremark2.p1.2.2.m2.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1"><times id="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.2"></times><ci id="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.3">𝜆</ci><apply id="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1"><plus id="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><ci id="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3">ℎ</ci></apply></apply></apply></apply><ci id="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.3a.cmml" xref="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.3.cmml" xref="Thmremark2.p1.2.2.m2.2.2.3">tol</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmremark2.p1.2.2.m2.2c">|\lambda(t)-\lambda(t+h)|<\text{tol}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmremark2.p1.2.2.m2.2d">| italic_λ ( italic_t ) - italic_λ ( italic_t + italic_h ) | < tol</annotation></semantics></math> is not scale invariant.</span></p> </div> </div> </section> </section> <section class="ltx_subsection" id="S3.SS4"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">3.4 </span>Metropolis-Adjustment of PDMP Discretisations</h3> <div class="ltx_para" id="S3.SS4.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS4.p1.1">We assume a similar assumption to Assumption <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#Thmassumption1" title="Assumption 1 (Jump kernel parametrisation). ‣ 3.2 Path space ‣ 3 Practical Simulation of PDMPs through Metropolis Adjustment ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> for the backward process.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_assumption" id="Thmassumption3"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmassumption3.1.1.1">Assumption 3</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmassumption3.2.2"> </span>(Reverse jump kernel parametrisation)<span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmassumption3.3.3">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmassumption3.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmassumption3.p1.11"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmassumption3.p1.11.11">There exists a space <math alttext="V^{r}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmassumption3.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmassumption3.p1.1.1.m1.1a"><msup id="Thmassumption3.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmassumption3.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmassumption3.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmassumption3.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">V</mi><mi id="Thmassumption3.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmassumption3.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">r</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmassumption3.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmassumption3.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmassumption3.p1.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmassumption3.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmassumption3.p1.1.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="Thmassumption3.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmassumption3.p1.1.1.m1.1.1.2">𝑉</ci><ci id="Thmassumption3.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmassumption3.p1.1.1.m1.1.1.3">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmassumption3.p1.1.1.m1.1c">V^{r}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmassumption3.p1.1.1.m1.1d">italic_V start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> with a canonical measure <math alttext="\lambda_{V^{r}}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmassumption3.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmassumption3.p1.2.2.m2.1a"><msub id="Thmassumption3.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmassumption3.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmassumption3.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="Thmassumption3.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">λ</mi><msup id="Thmassumption3.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="Thmassumption3.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="Thmassumption3.p1.2.2.m2.1.1.3.2" xref="Thmassumption3.p1.2.2.m2.1.1.3.2.cmml">V</mi><mi id="Thmassumption3.p1.2.2.m2.1.1.3.3" xref="Thmassumption3.p1.2.2.m2.1.1.3.3.cmml">r</mi></msup></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmassumption3.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmassumption3.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmassumption3.p1.2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmassumption3.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmassumption3.p1.2.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmassumption3.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmassumption3.p1.2.2.m2.1.1.2">𝜆</ci><apply id="Thmassumption3.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmassumption3.p1.2.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmassumption3.p1.2.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="Thmassumption3.p1.2.2.m2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="Thmassumption3.p1.2.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="Thmassumption3.p1.2.2.m2.1.1.3.2">𝑉</ci><ci id="Thmassumption3.p1.2.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="Thmassumption3.p1.2.2.m2.1.1.3.3">𝑟</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmassumption3.p1.2.2.m2.1c">\lambda_{V^{r}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmassumption3.p1.2.2.m2.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_V start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> such that for each <math alttext="x\in E" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmassumption3.p1.3.3.m3.1"><semantics id="Thmassumption3.p1.3.3.m3.1a"><mrow id="Thmassumption3.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmassumption3.p1.3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="Thmassumption3.p1.3.3.m3.1.1.2" xref="Thmassumption3.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="Thmassumption3.p1.3.3.m3.1.1.1" xref="Thmassumption3.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="Thmassumption3.p1.3.3.m3.1.1.3" xref="Thmassumption3.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml">E</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmassumption3.p1.3.3.m3.1b"><apply id="Thmassumption3.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmassumption3.p1.3.3.m3.1.1"><in id="Thmassumption3.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Thmassumption3.p1.3.3.m3.1.1.1"></in><ci id="Thmassumption3.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="Thmassumption3.p1.3.3.m3.1.1.2">𝑥</ci><ci id="Thmassumption3.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="Thmassumption3.p1.3.3.m3.1.1.3">𝐸</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmassumption3.p1.3.3.m3.1c">x\in E</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmassumption3.p1.3.3.m3.1d">italic_x ∈ italic_E</annotation></semantics></math>, <math alttext="Q^{r}(\cdot|x)" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="Thmassumption3.p1.4.4.m4.1"><semantics id="Thmassumption3.p1.4.4.m4.1a"><mrow id="Thmassumption3.p1.4.4.m4.1b"><msup id="Thmassumption3.p1.4.4.m4.1.1"><mi id="Thmassumption3.p1.4.4.m4.1.1.2">Q</mi><mi id="Thmassumption3.p1.4.4.m4.1.1.3">r</mi></msup><mrow id="Thmassumption3.p1.4.4.m4.1.2"><mo id="Thmassumption3.p1.4.4.m4.1.2.1" stretchy="false">(</mo><mo id="Thmassumption3.p1.4.4.m4.1.2.2" lspace="0em" rspace="0em">⋅</mo><mo fence="false" id="Thmassumption3.p1.4.4.m4.1.2.3" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><mi id="Thmassumption3.p1.4.4.m4.1.2.4">x</mi><mo id="Thmassumption3.p1.4.4.m4.1.2.5" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmassumption3.p1.4.4.m4.1c">Q^{r}(\cdot|x)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmassumption3.p1.4.4.m4.1d">italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ( ⋅ | italic_x )</annotation></semantics></math> is the pushforward of a probability density <math alttext="\nu^{r}_{x}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmassumption3.p1.5.5.m5.1"><semantics id="Thmassumption3.p1.5.5.m5.1a"><msubsup id="Thmassumption3.p1.5.5.m5.1.1" xref="Thmassumption3.p1.5.5.m5.1.1.cmml"><mi id="Thmassumption3.p1.5.5.m5.1.1.2.2" xref="Thmassumption3.p1.5.5.m5.1.1.2.2.cmml">ν</mi><mi id="Thmassumption3.p1.5.5.m5.1.1.3" xref="Thmassumption3.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml">x</mi><mi id="Thmassumption3.p1.5.5.m5.1.1.2.3" xref="Thmassumption3.p1.5.5.m5.1.1.2.3.cmml">r</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmassumption3.p1.5.5.m5.1b"><apply id="Thmassumption3.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="Thmassumption3.p1.5.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmassumption3.p1.5.5.m5.1.1.1.cmml" xref="Thmassumption3.p1.5.5.m5.1.1">subscript</csymbol><apply id="Thmassumption3.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml" xref="Thmassumption3.p1.5.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmassumption3.p1.5.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="Thmassumption3.p1.5.5.m5.1.1">superscript</csymbol><ci id="Thmassumption3.p1.5.5.m5.1.1.2.2.cmml" xref="Thmassumption3.p1.5.5.m5.1.1.2.2">𝜈</ci><ci id="Thmassumption3.p1.5.5.m5.1.1.2.3.cmml" xref="Thmassumption3.p1.5.5.m5.1.1.2.3">𝑟</ci></apply><ci id="Thmassumption3.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml" xref="Thmassumption3.p1.5.5.m5.1.1.3">𝑥</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmassumption3.p1.5.5.m5.1c">\nu^{r}_{x}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmassumption3.p1.5.5.m5.1d">italic_ν start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> on <math alttext="V" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmassumption3.p1.6.6.m6.1"><semantics id="Thmassumption3.p1.6.6.m6.1a"><mi id="Thmassumption3.p1.6.6.m6.1.1" xref="Thmassumption3.p1.6.6.m6.1.1.cmml">V</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmassumption3.p1.6.6.m6.1b"><ci id="Thmassumption3.p1.6.6.m6.1.1.cmml" xref="Thmassumption3.p1.6.6.m6.1.1">𝑉</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmassumption3.p1.6.6.m6.1c">V</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmassumption3.p1.6.6.m6.1d">italic_V</annotation></semantics></math> by an injection <math alttext="\xi^{r}_{x}:V^{r}\mapsto E" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmassumption3.p1.7.7.m7.1"><semantics id="Thmassumption3.p1.7.7.m7.1a"><mrow id="Thmassumption3.p1.7.7.m7.1.1" xref="Thmassumption3.p1.7.7.m7.1.1.cmml"><msubsup id="Thmassumption3.p1.7.7.m7.1.1.2" xref="Thmassumption3.p1.7.7.m7.1.1.2.cmml"><mi id="Thmassumption3.p1.7.7.m7.1.1.2.2.2" xref="Thmassumption3.p1.7.7.m7.1.1.2.2.2.cmml">ξ</mi><mi id="Thmassumption3.p1.7.7.m7.1.1.2.3" xref="Thmassumption3.p1.7.7.m7.1.1.2.3.cmml">x</mi><mi id="Thmassumption3.p1.7.7.m7.1.1.2.2.3" xref="Thmassumption3.p1.7.7.m7.1.1.2.2.3.cmml">r</mi></msubsup><mo id="Thmassumption3.p1.7.7.m7.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="Thmassumption3.p1.7.7.m7.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="Thmassumption3.p1.7.7.m7.1.1.3" xref="Thmassumption3.p1.7.7.m7.1.1.3.cmml"><msup id="Thmassumption3.p1.7.7.m7.1.1.3.2" xref="Thmassumption3.p1.7.7.m7.1.1.3.2.cmml"><mi id="Thmassumption3.p1.7.7.m7.1.1.3.2.2" xref="Thmassumption3.p1.7.7.m7.1.1.3.2.2.cmml">V</mi><mi id="Thmassumption3.p1.7.7.m7.1.1.3.2.3" xref="Thmassumption3.p1.7.7.m7.1.1.3.2.3.cmml">r</mi></msup><mo id="Thmassumption3.p1.7.7.m7.1.1.3.1" stretchy="false" xref="Thmassumption3.p1.7.7.m7.1.1.3.1.cmml">↦</mo><mi id="Thmassumption3.p1.7.7.m7.1.1.3.3" xref="Thmassumption3.p1.7.7.m7.1.1.3.3.cmml">E</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmassumption3.p1.7.7.m7.1b"><apply id="Thmassumption3.p1.7.7.m7.1.1.cmml" xref="Thmassumption3.p1.7.7.m7.1.1"><ci id="Thmassumption3.p1.7.7.m7.1.1.1.cmml" xref="Thmassumption3.p1.7.7.m7.1.1.1">:</ci><apply id="Thmassumption3.p1.7.7.m7.1.1.2.cmml" xref="Thmassumption3.p1.7.7.m7.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmassumption3.p1.7.7.m7.1.1.2.1.cmml" xref="Thmassumption3.p1.7.7.m7.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="Thmassumption3.p1.7.7.m7.1.1.2.2.cmml" xref="Thmassumption3.p1.7.7.m7.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmassumption3.p1.7.7.m7.1.1.2.2.1.cmml" xref="Thmassumption3.p1.7.7.m7.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="Thmassumption3.p1.7.7.m7.1.1.2.2.2.cmml" xref="Thmassumption3.p1.7.7.m7.1.1.2.2.2">𝜉</ci><ci id="Thmassumption3.p1.7.7.m7.1.1.2.2.3.cmml" xref="Thmassumption3.p1.7.7.m7.1.1.2.2.3">𝑟</ci></apply><ci id="Thmassumption3.p1.7.7.m7.1.1.2.3.cmml" xref="Thmassumption3.p1.7.7.m7.1.1.2.3">𝑥</ci></apply><apply id="Thmassumption3.p1.7.7.m7.1.1.3.cmml" xref="Thmassumption3.p1.7.7.m7.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="Thmassumption3.p1.7.7.m7.1.1.3.1.cmml" xref="Thmassumption3.p1.7.7.m7.1.1.3.1">maps-to</csymbol><apply id="Thmassumption3.p1.7.7.m7.1.1.3.2.cmml" xref="Thmassumption3.p1.7.7.m7.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmassumption3.p1.7.7.m7.1.1.3.2.1.cmml" xref="Thmassumption3.p1.7.7.m7.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="Thmassumption3.p1.7.7.m7.1.1.3.2.2.cmml" xref="Thmassumption3.p1.7.7.m7.1.1.3.2.2">𝑉</ci><ci id="Thmassumption3.p1.7.7.m7.1.1.3.2.3.cmml" xref="Thmassumption3.p1.7.7.m7.1.1.3.2.3">𝑟</ci></apply><ci id="Thmassumption3.p1.7.7.m7.1.1.3.3.cmml" xref="Thmassumption3.p1.7.7.m7.1.1.3.3">𝐸</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmassumption3.p1.7.7.m7.1c">\xi^{r}_{x}:V^{r}\mapsto E</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmassumption3.p1.7.7.m7.1d">italic_ξ start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT : italic_V start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ↦ italic_E</annotation></semantics></math>. In other words, drawing a sample from <math alttext="Q^{r}(\cdot|x)" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="Thmassumption3.p1.8.8.m8.1"><semantics id="Thmassumption3.p1.8.8.m8.1a"><mrow id="Thmassumption3.p1.8.8.m8.1b"><msup id="Thmassumption3.p1.8.8.m8.1.1"><mi id="Thmassumption3.p1.8.8.m8.1.1.2">Q</mi><mi id="Thmassumption3.p1.8.8.m8.1.1.3">r</mi></msup><mrow id="Thmassumption3.p1.8.8.m8.1.2"><mo id="Thmassumption3.p1.8.8.m8.1.2.1" stretchy="false">(</mo><mo id="Thmassumption3.p1.8.8.m8.1.2.2" lspace="0em" rspace="0em">⋅</mo><mo fence="false" id="Thmassumption3.p1.8.8.m8.1.2.3" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><mi id="Thmassumption3.p1.8.8.m8.1.2.4">x</mi><mo id="Thmassumption3.p1.8.8.m8.1.2.5" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmassumption3.p1.8.8.m8.1c">Q^{r}(\cdot|x)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmassumption3.p1.8.8.m8.1d">italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ( ⋅ | italic_x )</annotation></semantics></math> is equivalent to drawing a sample on <math alttext="V^{r}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmassumption3.p1.9.9.m9.1"><semantics id="Thmassumption3.p1.9.9.m9.1a"><msup id="Thmassumption3.p1.9.9.m9.1.1" xref="Thmassumption3.p1.9.9.m9.1.1.cmml"><mi id="Thmassumption3.p1.9.9.m9.1.1.2" xref="Thmassumption3.p1.9.9.m9.1.1.2.cmml">V</mi><mi id="Thmassumption3.p1.9.9.m9.1.1.3" xref="Thmassumption3.p1.9.9.m9.1.1.3.cmml">r</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmassumption3.p1.9.9.m9.1b"><apply id="Thmassumption3.p1.9.9.m9.1.1.cmml" xref="Thmassumption3.p1.9.9.m9.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmassumption3.p1.9.9.m9.1.1.1.cmml" xref="Thmassumption3.p1.9.9.m9.1.1">superscript</csymbol><ci id="Thmassumption3.p1.9.9.m9.1.1.2.cmml" xref="Thmassumption3.p1.9.9.m9.1.1.2">𝑉</ci><ci id="Thmassumption3.p1.9.9.m9.1.1.3.cmml" xref="Thmassumption3.p1.9.9.m9.1.1.3">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmassumption3.p1.9.9.m9.1c">V^{r}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmassumption3.p1.9.9.m9.1d">italic_V start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> from <math alttext="\nu^{r}_{x}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmassumption3.p1.10.10.m10.1"><semantics id="Thmassumption3.p1.10.10.m10.1a"><msubsup id="Thmassumption3.p1.10.10.m10.1.1" xref="Thmassumption3.p1.10.10.m10.1.1.cmml"><mi id="Thmassumption3.p1.10.10.m10.1.1.2.2" xref="Thmassumption3.p1.10.10.m10.1.1.2.2.cmml">ν</mi><mi id="Thmassumption3.p1.10.10.m10.1.1.3" xref="Thmassumption3.p1.10.10.m10.1.1.3.cmml">x</mi><mi id="Thmassumption3.p1.10.10.m10.1.1.2.3" xref="Thmassumption3.p1.10.10.m10.1.1.2.3.cmml">r</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmassumption3.p1.10.10.m10.1b"><apply id="Thmassumption3.p1.10.10.m10.1.1.cmml" xref="Thmassumption3.p1.10.10.m10.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmassumption3.p1.10.10.m10.1.1.1.cmml" xref="Thmassumption3.p1.10.10.m10.1.1">subscript</csymbol><apply id="Thmassumption3.p1.10.10.m10.1.1.2.cmml" xref="Thmassumption3.p1.10.10.m10.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmassumption3.p1.10.10.m10.1.1.2.1.cmml" xref="Thmassumption3.p1.10.10.m10.1.1">superscript</csymbol><ci id="Thmassumption3.p1.10.10.m10.1.1.2.2.cmml" xref="Thmassumption3.p1.10.10.m10.1.1.2.2">𝜈</ci><ci id="Thmassumption3.p1.10.10.m10.1.1.2.3.cmml" xref="Thmassumption3.p1.10.10.m10.1.1.2.3">𝑟</ci></apply><ci id="Thmassumption3.p1.10.10.m10.1.1.3.cmml" xref="Thmassumption3.p1.10.10.m10.1.1.3">𝑥</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmassumption3.p1.10.10.m10.1c">\nu^{r}_{x}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmassumption3.p1.10.10.m10.1d">italic_ν start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> then applying <math alttext="\xi^{r}_{x}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmassumption3.p1.11.11.m11.1"><semantics id="Thmassumption3.p1.11.11.m11.1a"><msubsup id="Thmassumption3.p1.11.11.m11.1.1" xref="Thmassumption3.p1.11.11.m11.1.1.cmml"><mi id="Thmassumption3.p1.11.11.m11.1.1.2.2" xref="Thmassumption3.p1.11.11.m11.1.1.2.2.cmml">ξ</mi><mi id="Thmassumption3.p1.11.11.m11.1.1.3" xref="Thmassumption3.p1.11.11.m11.1.1.3.cmml">x</mi><mi id="Thmassumption3.p1.11.11.m11.1.1.2.3" xref="Thmassumption3.p1.11.11.m11.1.1.2.3.cmml">r</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmassumption3.p1.11.11.m11.1b"><apply id="Thmassumption3.p1.11.11.m11.1.1.cmml" xref="Thmassumption3.p1.11.11.m11.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmassumption3.p1.11.11.m11.1.1.1.cmml" xref="Thmassumption3.p1.11.11.m11.1.1">subscript</csymbol><apply id="Thmassumption3.p1.11.11.m11.1.1.2.cmml" xref="Thmassumption3.p1.11.11.m11.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmassumption3.p1.11.11.m11.1.1.2.1.cmml" xref="Thmassumption3.p1.11.11.m11.1.1">superscript</csymbol><ci id="Thmassumption3.p1.11.11.m11.1.1.2.2.cmml" xref="Thmassumption3.p1.11.11.m11.1.1.2.2">𝜉</ci><ci id="Thmassumption3.p1.11.11.m11.1.1.2.3.cmml" xref="Thmassumption3.p1.11.11.m11.1.1.2.3">𝑟</ci></apply><ci id="Thmassumption3.p1.11.11.m11.1.1.3.cmml" xref="Thmassumption3.p1.11.11.m11.1.1.3">𝑥</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmassumption3.p1.11.11.m11.1c">\xi^{r}_{x}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmassumption3.p1.11.11.m11.1d">italic_ξ start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS4.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.SS4.p2.5">Therefore, the path space for the backward process is</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E3"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="W^{r}=E\times\bigcup_{k\in\mathbb{N}}\left(]0,T[\times V^{r}\right)^{k}." class="ltx_math_unparsed" display="block" id="S3.E3.m1.1"><semantics id="S3.E3.m1.1a"><mrow id="S3.E3.m1.1b"><msup id="S3.E3.m1.1.1"><mi id="S3.E3.m1.1.1.2">W</mi><mi id="S3.E3.m1.1.1.3">r</mi></msup><mo id="S3.E3.m1.1.2">=</mo><mi id="S3.E3.m1.1.3">E</mi><mo id="S3.E3.m1.1.4" lspace="0.222em" rspace="0.055em">×</mo><munder id="S3.E3.m1.1.5"><mo id="S3.E3.m1.1.5.2" movablelimits="false" rspace="0em">⋃</mo><mrow id="S3.E3.m1.1.5.3"><mi id="S3.E3.m1.1.5.3.2">k</mi><mo id="S3.E3.m1.1.5.3.1">∈</mo><mi id="S3.E3.m1.1.5.3.3">ℕ</mi></mrow></munder><mrow id="S3.E3.m1.1.6"><mo id="S3.E3.m1.1.6.1">(</mo><mo id="S3.E3.m1.1.6.2" stretchy="false">]</mo></mrow><mn id="S3.E3.m1.1.7">0</mn><mo id="S3.E3.m1.1.8">,</mo><mi id="S3.E3.m1.1.9">T</mi><msup id="S3.E3.m1.1.10"><mrow id="S3.E3.m1.1.10.2"><mo id="S3.E3.m1.1.10.2.1" stretchy="false">[</mo><mo id="S3.E3.m1.1.10.2.2" lspace="0em" rspace="0.222em">×</mo><msup id="S3.E3.m1.1.10.2.3"><mi id="S3.E3.m1.1.10.2.3.2">V</mi><mi id="S3.E3.m1.1.10.2.3.3">r</mi></msup><mo id="S3.E3.m1.1.10.2.4">)</mo></mrow><mi id="S3.E3.m1.1.10.3">k</mi></msup><mo id="S3.E3.m1.1.11" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E3.m1.1c">W^{r}=E\times\bigcup_{k\in\mathbb{N}}\left(]0,T[\times V^{r}\right)^{k}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E3.m1.1d">italic_W start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT = italic_E × ⋃ start_POSTSUBSCRIPT italic_k ∈ blackboard_N end_POSTSUBSCRIPT ( ] 0 , italic_T [ × italic_V start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(3)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS4.p2.4">The approximation can be then built both forward and backward in time, with the backward approximation having probability <math alttext="\tilde{P^{r}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p2.1.m1.1"><semantics id="S3.SS4.p2.1.m1.1a"><mover accent="true" id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.cmml"><msup id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.2.2" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.2.2.cmml">P</mi><mi id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.2.3" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.2.3.cmml">r</mi></msup><mo id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p2.1.m1.1b"><apply id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1"><ci id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1">~</ci><apply id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.2.2">𝑃</ci><ci id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.2.3">𝑟</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p2.1.m1.1c">\tilde{P^{r}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p2.1.m1.1d">over~ start_ARG italic_P start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math> on <math alttext="W^{r}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p2.2.m2.1"><semantics id="S3.SS4.p2.2.m2.1a"><msup id="S3.SS4.p2.2.m2.1.1" xref="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.2.cmml">W</mi><mi id="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.3.cmml">r</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p2.2.m2.1b"><apply id="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.2.m2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.2">𝑊</ci><ci id="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.3">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p2.2.m2.1c">W^{r}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p2.2.m2.1d">italic_W start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> with density <math alttext="\tilde{p^{r}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p2.3.m3.1"><semantics id="S3.SS4.p2.3.m3.1a"><mover accent="true" id="S3.SS4.p2.3.m3.1.1" xref="S3.SS4.p2.3.m3.1.1.cmml"><msup id="S3.SS4.p2.3.m3.1.1.2" xref="S3.SS4.p2.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS4.p2.3.m3.1.1.2.2" xref="S3.SS4.p2.3.m3.1.1.2.2.cmml">p</mi><mi id="S3.SS4.p2.3.m3.1.1.2.3" xref="S3.SS4.p2.3.m3.1.1.2.3.cmml">r</mi></msup><mo id="S3.SS4.p2.3.m3.1.1.1" xref="S3.SS4.p2.3.m3.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p2.3.m3.1b"><apply id="S3.SS4.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.3.m3.1.1"><ci id="S3.SS4.p2.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.3.m3.1.1.1">~</ci><apply id="S3.SS4.p2.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p2.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p2.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.3.m3.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p2.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p2.3.m3.1.1.2.2">𝑝</ci><ci id="S3.SS4.p2.3.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS4.p2.3.m3.1.1.2.3">𝑟</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p2.3.m3.1c">\tilde{p^{r}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p2.3.m3.1d">over~ start_ARG italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math>. To compute the Metropolis correction, the change of volume induced by <math alttext="R" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p2.4.m4.1"><semantics id="S3.SS4.p2.4.m4.1a"><mi id="S3.SS4.p2.4.m4.1.1" xref="S3.SS4.p2.4.m4.1.1.cmml">R</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p2.4.m4.1b"><ci id="S3.SS4.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.4.m4.1.1">𝑅</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p2.4.m4.1c">R</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p2.4.m4.1d">italic_R</annotation></semantics></math> must be taken into account.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_assumption" id="Thmassumption4"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmassumption4.1.1.1">Assumption 4</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmassumption4.2.2"> </span>(Volume change induced by R)<span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmassumption4.3.3">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmassumption4.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmassumption4.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmassumption4.p1.2.2">We assume there exists a function <math alttext="\psi:W^{r}\mapsto\mathbb{R}^{+}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmassumption4.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmassumption4.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="Thmassumption4.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmassumption4.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmassumption4.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmassumption4.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mo id="Thmassumption4.p1.1.1.m1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="Thmassumption4.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="Thmassumption4.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmassumption4.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><msup id="Thmassumption4.p1.1.1.m1.1.1.3.2" xref="Thmassumption4.p1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="Thmassumption4.p1.1.1.m1.1.1.3.2.2" xref="Thmassumption4.p1.1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml">W</mi><mi id="Thmassumption4.p1.1.1.m1.1.1.3.2.3" xref="Thmassumption4.p1.1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml">r</mi></msup><mo id="Thmassumption4.p1.1.1.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="Thmassumption4.p1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml">↦</mo><msup id="Thmassumption4.p1.1.1.m1.1.1.3.3" xref="Thmassumption4.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="Thmassumption4.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2" xref="Thmassumption4.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml">ℝ</mi><mo id="Thmassumption4.p1.1.1.m1.1.1.3.3.3" xref="Thmassumption4.p1.1.1.m1.1.1.3.3.3.cmml">+</mo></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmassumption4.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmassumption4.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmassumption4.p1.1.1.m1.1.1"><ci id="Thmassumption4.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmassumption4.p1.1.1.m1.1.1.1">:</ci><ci id="Thmassumption4.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmassumption4.p1.1.1.m1.1.1.2">𝜓</ci><apply id="Thmassumption4.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmassumption4.p1.1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="Thmassumption4.p1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmassumption4.p1.1.1.m1.1.1.3.1">maps-to</csymbol><apply id="Thmassumption4.p1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmassumption4.p1.1.1.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmassumption4.p1.1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="Thmassumption4.p1.1.1.m1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="Thmassumption4.p1.1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="Thmassumption4.p1.1.1.m1.1.1.3.2.2">𝑊</ci><ci id="Thmassumption4.p1.1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="Thmassumption4.p1.1.1.m1.1.1.3.2.3">𝑟</ci></apply><apply id="Thmassumption4.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmassumption4.p1.1.1.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmassumption4.p1.1.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="Thmassumption4.p1.1.1.m1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="Thmassumption4.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="Thmassumption4.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2">ℝ</ci><plus id="Thmassumption4.p1.1.1.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="Thmassumption4.p1.1.1.m1.1.1.3.3.3"></plus></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmassumption4.p1.1.1.m1.1c">\psi:W^{r}\mapsto\mathbb{R}^{+}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmassumption4.p1.1.1.m1.1d">italic_ψ : italic_W start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ↦ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> such that for any <math alttext="f:W^{r}\mapsto\mathbb{R}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmassumption4.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmassumption4.p1.2.2.m2.1a"><mrow id="Thmassumption4.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmassumption4.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmassumption4.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="Thmassumption4.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">f</mi><mo id="Thmassumption4.p1.2.2.m2.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="Thmassumption4.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="Thmassumption4.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="Thmassumption4.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml"><msup id="Thmassumption4.p1.2.2.m2.1.1.3.2" xref="Thmassumption4.p1.2.2.m2.1.1.3.2.cmml"><mi id="Thmassumption4.p1.2.2.m2.1.1.3.2.2" xref="Thmassumption4.p1.2.2.m2.1.1.3.2.2.cmml">W</mi><mi id="Thmassumption4.p1.2.2.m2.1.1.3.2.3" xref="Thmassumption4.p1.2.2.m2.1.1.3.2.3.cmml">r</mi></msup><mo id="Thmassumption4.p1.2.2.m2.1.1.3.1" stretchy="false" xref="Thmassumption4.p1.2.2.m2.1.1.3.1.cmml">↦</mo><mi id="Thmassumption4.p1.2.2.m2.1.1.3.3" xref="Thmassumption4.p1.2.2.m2.1.1.3.3.cmml">ℝ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmassumption4.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmassumption4.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmassumption4.p1.2.2.m2.1.1"><ci id="Thmassumption4.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmassumption4.p1.2.2.m2.1.1.1">:</ci><ci id="Thmassumption4.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmassumption4.p1.2.2.m2.1.1.2">𝑓</ci><apply id="Thmassumption4.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmassumption4.p1.2.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="Thmassumption4.p1.2.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="Thmassumption4.p1.2.2.m2.1.1.3.1">maps-to</csymbol><apply id="Thmassumption4.p1.2.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="Thmassumption4.p1.2.2.m2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmassumption4.p1.2.2.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="Thmassumption4.p1.2.2.m2.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="Thmassumption4.p1.2.2.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="Thmassumption4.p1.2.2.m2.1.1.3.2.2">𝑊</ci><ci id="Thmassumption4.p1.2.2.m2.1.1.3.2.3.cmml" xref="Thmassumption4.p1.2.2.m2.1.1.3.2.3">𝑟</ci></apply><ci id="Thmassumption4.p1.2.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="Thmassumption4.p1.2.2.m2.1.1.3.3">ℝ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmassumption4.p1.2.2.m2.1c">f:W^{r}\mapsto\mathbb{R}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmassumption4.p1.2.2.m2.1d">italic_f : italic_W start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ↦ blackboard_R</annotation></semantics></math>:</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex25"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\int_{W}f(R(w))\lambda_{W}(dw)=\int_{W^{r}}f(w^{r})\psi(w^{r})\lambda_{W^{r}}(% dw^{r})." class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex25.m1.2"><semantics id="S3.Ex25.m1.2a"><mrow id="S3.Ex25.m1.2.2.1" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2.cmml"><msub id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2.3" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2.3.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2.3.3.cmml">W</mi></msub><mrow id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2.2.4" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2.2.4.cmml">f</mi><mo id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">R</mi><mo id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex25.m1.1.1" xref="S3.Ex25.m1.1.1.cmml">w</mi><mo id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2.2.3a" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2.2.5" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2.2.5.cmml"><mi id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2.2.5.2" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2.2.5.2.cmml">λ</mi><mi id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2.2.5.3" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2.2.5.3.cmml">W</mi></msub><mo id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2.2.3b" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2.2.2.1" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml">w</mi></mrow><mo id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.6" rspace="0.111em" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.6.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.cmml"><msub id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.4" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.4.cmml"><mo id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.4.2" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.4.2.cmml">∫</mo><msup id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.4.3" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.4.3.cmml"><mi id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.4.3.2" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.4.3.2.cmml">W</mi><mi id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.4.3.3" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.4.3.3.cmml">r</mi></msup></msub><mrow id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.3" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.3.cmml"><mi id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.3.5" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.3.5.cmml">f</mi><mo id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.3.4" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.3.1.1.1" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2.cmml">w</mi><mi id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.3.cmml">r</mi></msup><mo id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.3.4a" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.3.4.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.3.6" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.3.6.cmml">ψ</mi><mo id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.3.4b" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.4.2.2.1" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.4.2.2.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.4.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.4.2.2.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.4.2.2.1.1" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.4.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.4.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.4.2.2.1.1.2.cmml">w</mi><mi id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.4.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.4.2.2.1.1.3.cmml">r</mi></msup><mo id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.4.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.4.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.3.4c" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.3.4.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.3.7" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.3.7.cmml"><mi id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.3.7.2" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.3.7.2.cmml">λ</mi><msup id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.3.7.3" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.3.7.3.cmml"><mi id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.3.7.3.2" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.3.7.3.2.cmml">W</mi><mi id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.3.7.3.3" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.3.7.3.3.cmml">r</mi></msup></msub><mo id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.3.4d" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.3.3.1" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.3.3.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.3.3.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.3.3.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.3.3.1.1" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.3.3.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.3.3.1.1.2" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.3.3.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.3.3.1.1.1" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.3.3.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.3.3.1.1.3" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.3.3.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.3.3.1.1.3.2" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.3.3.1.1.3.2.cmml">w</mi><mi id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.3.3.1.1.3.3" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.3.3.1.1.3.3.cmml">r</mi></msup></mrow><mo id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.3.3.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.3.3.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex25.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex25.m1.2b"><apply id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1"><eq id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.6.cmml" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.6"></eq><apply id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2"><apply id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2.3">subscript</csymbol><int id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2.3.2"></int><ci id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2.3.3">𝑊</ci></apply><apply id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2.2"><times id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2.2.3"></times><ci id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2.2.4.cmml" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2.2.4">𝑓</ci><apply id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑅</ci><ci id="S3.Ex25.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex25.m1.1.1">𝑤</ci></apply><apply id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2.2.5.cmml" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2.2.5.1.cmml" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2.2.5">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2.2.5.2.cmml" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2.2.5.2">𝜆</ci><ci id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2.2.5.3.cmml" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2.2.5.3">𝑊</ci></apply><apply id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2.2.2.1"><times id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1"></times><ci id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2">𝑑</ci><ci id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3">𝑤</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.cmml" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5"><apply id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.4.cmml" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.4.1.cmml" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.4">subscript</csymbol><int id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.4.2.cmml" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.4.2"></int><apply id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.4.3.cmml" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.4.3.1.cmml" 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id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.3.3.1"><times id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.3.3.1.1.1"></times><ci id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.3.3.1.1.2">𝑑</ci><apply id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.3.3.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.3.3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.3.3.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.3.3.1.1.3.2">𝑤</ci><ci id="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex25.m1.2.2.1.1.5.3.3.1.1.3.3">𝑟</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex25.m1.2c">\int_{W}f(R(w))\lambda_{W}(dw)=\int_{W^{r}}f(w^{r})\psi(w^{r})\lambda_{W^{r}}(% dw^{r}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex25.m1.2d">∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_W end_POSTSUBSCRIPT italic_f ( italic_R ( italic_w ) ) italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_W end_POSTSUBSCRIPT ( italic_d italic_w ) = ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_W start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_f ( italic_w start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_ψ ( italic_w start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_W start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_d italic_w start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS4.p3"> <p class="ltx_p" id="S3.SS4.p3.7">We may write (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S3.E1" title="In 3.1 Time-reversal and skew-reversibility ‣ 3 Practical Simulation of PDMPs through Metropolis Adjustment ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>) as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E4"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="p(w)=p^{r}(R(w))\frac{1}{\psi(R(w))}." class="ltx_Math" display="block" id="S3.E4.m1.5"><semantics id="S3.E4.m1.5a"><mrow id="S3.E4.m1.5.5.1" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S3.E4.m1.5.5.1.1" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S3.E4.m1.5.5.1.1.3" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E4.m1.5.5.1.1.3.2" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.3.2.cmml">p</mi><mo id="S3.E4.m1.5.5.1.1.3.1" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E4.m1.5.5.1.1.3.3.2" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mo id="S3.E4.m1.5.5.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S3.E4.m1.3.3" xref="S3.E4.m1.3.3.cmml">w</mi><mo 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id="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E4.m1.4.4" xref="S3.E4.m1.4.4.cmml">w</mi><mo id="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.2a" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mfrac id="S3.E4.m1.2.2" xref="S3.E4.m1.2.2.cmml"><mn id="S3.E4.m1.2.2.4" xref="S3.E4.m1.2.2.4.cmml">1</mn><mrow id="S3.E4.m1.2.2.2" xref="S3.E4.m1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E4.m1.2.2.2.4" xref="S3.E4.m1.2.2.2.4.cmml">ψ</mi><mo id="S3.E4.m1.2.2.2.3" xref="S3.E4.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E4.m1.2.2.2.2.1" xref="S3.E4.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S3.E4.m1.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.E4.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E4.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S3.E4.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.E4.m1.2.2.2.2.1.1.2" 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xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.3.2">𝑝</ci><ci id="S3.E4.m1.3.3.cmml" xref="S3.E4.m1.3.3">𝑤</ci></apply><apply id="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.1"><times id="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.3.2">𝑝</ci><ci id="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.3.3">𝑟</ci></apply><apply id="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1"><times id="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2">𝑅</ci><ci id="S3.E4.m1.4.4.cmml" xref="S3.E4.m1.4.4">𝑤</ci></apply><apply id="S3.E4.m1.2.2.cmml" xref="S3.E4.m1.2.2"><divide id="S3.E4.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.E4.m1.2.2"></divide><cn id="S3.E4.m1.2.2.4.cmml" type="integer" xref="S3.E4.m1.2.2.4">1</cn><apply id="S3.E4.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.E4.m1.2.2.2"><times id="S3.E4.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E4.m1.2.2.2.3"></times><ci id="S3.E4.m1.2.2.2.4.cmml" xref="S3.E4.m1.2.2.2.4">𝜓</ci><apply id="S3.E4.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E4.m1.2.2.2.2.1"><times id="S3.E4.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E4.m1.2.2.2.2.1.1.1"></times><ci id="S3.E4.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E4.m1.2.2.2.2.1.1.2">𝑅</ci><ci id="S3.E4.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E4.m1.1.1.1.1">𝑤</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E4.m1.5c">p(w)=p^{r}(R(w))\frac{1}{\psi(R(w))}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E4.m1.5d">italic_p ( italic_w ) = italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_R ( italic_w ) ) divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_ψ ( italic_R ( italic_w ) ) end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(4)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS4.p3.6">We identify <math alttext="R^{-1}:W^{r}\mapsto W" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p3.1.m1.1"><semantics id="S3.SS4.p3.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS4.p3.1.m1.1.1" xref="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.cmml"><msup id="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.2.2" xref="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.2.2.cmml">R</mi><mrow id="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.2.3" xref="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.2.3a" xref="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.2.3.2" xref="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.3.cmml"><msup id="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.3.2" xref="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.3.2.2" xref="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.3.2.2.cmml">W</mi><mi id="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.3.2.3" xref="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.3.2.3.cmml">r</mi></msup><mo id="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.3.1.cmml">↦</mo><mi id="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.3.3" xref="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.3.3.cmml">W</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p3.1.m1.1b"><apply id="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p3.1.m1.1.1"><ci id="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.1">:</ci><apply id="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.2.2">𝑅</ci><apply id="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.2.3"><minus id="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.2.3"></minus><cn id="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.2.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.3.1">maps-to</csymbol><apply id="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.3.2.2">𝑊</ci><ci id="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.3.2.3">𝑟</ci></apply><ci id="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.3.3">𝑊</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p3.1.m1.1c">R^{-1}:W^{r}\mapsto W</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p3.1.m1.1d">italic_R start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT : italic_W start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ↦ italic_W</annotation></semantics></math> to <math alttext="R" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p3.2.m2.1"><semantics id="S3.SS4.p3.2.m2.1a"><mi id="S3.SS4.p3.2.m2.1.1" xref="S3.SS4.p3.2.m2.1.1.cmml">R</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p3.2.m2.1b"><ci id="S3.SS4.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p3.2.m2.1.1">𝑅</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p3.2.m2.1c">R</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p3.2.m2.1d">italic_R</annotation></semantics></math> for notation convenience. Hence <math alttext="R" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p3.3.m3.1"><semantics id="S3.SS4.p3.3.m3.1a"><mi id="S3.SS4.p3.3.m3.1.1" xref="S3.SS4.p3.3.m3.1.1.cmml">R</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p3.3.m3.1b"><ci id="S3.SS4.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p3.3.m3.1.1">𝑅</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p3.3.m3.1c">R</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p3.3.m3.1d">italic_R</annotation></semantics></math> is seen as a function mapping <math alttext="W\cup W^{r}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p3.4.m4.1"><semantics id="S3.SS4.p3.4.m4.1a"><mrow id="S3.SS4.p3.4.m4.1.1" xref="S3.SS4.p3.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p3.4.m4.1.1.2" xref="S3.SS4.p3.4.m4.1.1.2.cmml">W</mi><mo id="S3.SS4.p3.4.m4.1.1.1" xref="S3.SS4.p3.4.m4.1.1.1.cmml">∪</mo><msup id="S3.SS4.p3.4.m4.1.1.3" xref="S3.SS4.p3.4.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS4.p3.4.m4.1.1.3.2" xref="S3.SS4.p3.4.m4.1.1.3.2.cmml">W</mi><mi id="S3.SS4.p3.4.m4.1.1.3.3" xref="S3.SS4.p3.4.m4.1.1.3.3.cmml">r</mi></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p3.4.m4.1b"><apply id="S3.SS4.p3.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p3.4.m4.1.1"><union id="S3.SS4.p3.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p3.4.m4.1.1.1"></union><ci id="S3.SS4.p3.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p3.4.m4.1.1.2">𝑊</ci><apply id="S3.SS4.p3.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.SS4.p3.4.m4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p3.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS4.p3.4.m4.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p3.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS4.p3.4.m4.1.1.3.2">𝑊</ci><ci id="S3.SS4.p3.4.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS4.p3.4.m4.1.1.3.3">𝑟</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p3.4.m4.1c">W\cup W^{r}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p3.4.m4.1d">italic_W ∪ italic_W start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> to itself, and the associated volume change is therefore <math alttext="1/\psi(R(w))" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p3.5.m5.2"><semantics id="S3.SS4.p3.5.m5.2a"><mrow id="S3.SS4.p3.5.m5.2.2" xref="S3.SS4.p3.5.m5.2.2.cmml"><mrow id="S3.SS4.p3.5.m5.2.2.3" xref="S3.SS4.p3.5.m5.2.2.3.cmml"><mn id="S3.SS4.p3.5.m5.2.2.3.2" xref="S3.SS4.p3.5.m5.2.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="S3.SS4.p3.5.m5.2.2.3.1" xref="S3.SS4.p3.5.m5.2.2.3.1.cmml">/</mo><mi id="S3.SS4.p3.5.m5.2.2.3.3" xref="S3.SS4.p3.5.m5.2.2.3.3.cmml">ψ</mi></mrow><mo id="S3.SS4.p3.5.m5.2.2.2" xref="S3.SS4.p3.5.m5.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS4.p3.5.m5.2.2.1.1" xref="S3.SS4.p3.5.m5.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS4.p3.5.m5.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS4.p3.5.m5.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS4.p3.5.m5.2.2.1.1.1" xref="S3.SS4.p3.5.m5.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p3.5.m5.2.2.1.1.1.2" xref="S3.SS4.p3.5.m5.2.2.1.1.1.2.cmml">R</mi><mo id="S3.SS4.p3.5.m5.2.2.1.1.1.1" xref="S3.SS4.p3.5.m5.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS4.p3.5.m5.2.2.1.1.1.3.2" xref="S3.SS4.p3.5.m5.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS4.p3.5.m5.2.2.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS4.p3.5.m5.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS4.p3.5.m5.1.1" xref="S3.SS4.p3.5.m5.1.1.cmml">w</mi><mo id="S3.SS4.p3.5.m5.2.2.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS4.p3.5.m5.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS4.p3.5.m5.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS4.p3.5.m5.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p3.5.m5.2b"><apply id="S3.SS4.p3.5.m5.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p3.5.m5.2.2"><times id="S3.SS4.p3.5.m5.2.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p3.5.m5.2.2.2"></times><apply id="S3.SS4.p3.5.m5.2.2.3.cmml" xref="S3.SS4.p3.5.m5.2.2.3"><divide id="S3.SS4.p3.5.m5.2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS4.p3.5.m5.2.2.3.1"></divide><cn id="S3.SS4.p3.5.m5.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS4.p3.5.m5.2.2.3.2">1</cn><ci id="S3.SS4.p3.5.m5.2.2.3.3.cmml" xref="S3.SS4.p3.5.m5.2.2.3.3">𝜓</ci></apply><apply id="S3.SS4.p3.5.m5.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p3.5.m5.2.2.1.1"><times id="S3.SS4.p3.5.m5.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p3.5.m5.2.2.1.1.1.1"></times><ci id="S3.SS4.p3.5.m5.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p3.5.m5.2.2.1.1.1.2">𝑅</ci><ci id="S3.SS4.p3.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p3.5.m5.1.1">𝑤</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p3.5.m5.2c">1/\psi(R(w))</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p3.5.m5.2d">1 / italic_ψ ( italic_R ( italic_w ) )</annotation></semantics></math> for <math alttext="w\in W" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p3.6.m6.1"><semantics id="S3.SS4.p3.6.m6.1a"><mrow id="S3.SS4.p3.6.m6.1.1" xref="S3.SS4.p3.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p3.6.m6.1.1.2" xref="S3.SS4.p3.6.m6.1.1.2.cmml">w</mi><mo id="S3.SS4.p3.6.m6.1.1.1" xref="S3.SS4.p3.6.m6.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S3.SS4.p3.6.m6.1.1.3" xref="S3.SS4.p3.6.m6.1.1.3.cmml">W</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p3.6.m6.1b"><apply id="S3.SS4.p3.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p3.6.m6.1.1"><in id="S3.SS4.p3.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p3.6.m6.1.1.1"></in><ci id="S3.SS4.p3.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p3.6.m6.1.1.2">𝑤</ci><ci id="S3.SS4.p3.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S3.SS4.p3.6.m6.1.1.3">𝑊</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p3.6.m6.1c">w\in W</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p3.6.m6.1d">italic_w ∈ italic_W</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_proposition" id="Thmproposition6"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmproposition6.1.1.1">Proposition 6</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmproposition6.2.2"> </span>(Volume change for BPS and Zig-Zag)<span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmproposition6.3.3">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmproposition6.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmproposition6.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmproposition6.p1.3.3">For BPS and Zig-Zag process, there exists a PDMP representation (i.e. <math alttext="V" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition6.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmproposition6.p1.1.1.m1.1a"><mi id="Thmproposition6.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmproposition6.p1.1.1.m1.1.1.cmml">V</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition6.p1.1.1.m1.1b"><ci id="Thmproposition6.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmproposition6.p1.1.1.m1.1.1">𝑉</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition6.p1.1.1.m1.1c">V</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition6.p1.1.1.m1.1d">italic_V</annotation></semantics></math> and <math alttext="V^{r}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition6.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmproposition6.p1.2.2.m2.1a"><msup id="Thmproposition6.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmproposition6.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmproposition6.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="Thmproposition6.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">V</mi><mi id="Thmproposition6.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="Thmproposition6.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml">r</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition6.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmproposition6.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmproposition6.p1.2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproposition6.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmproposition6.p1.2.2.m2.1.1">superscript</csymbol><ci id="Thmproposition6.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmproposition6.p1.2.2.m2.1.1.2">𝑉</ci><ci id="Thmproposition6.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmproposition6.p1.2.2.m2.1.1.3">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition6.p1.2.2.m2.1c">V^{r}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition6.p1.2.2.m2.1d">italic_V start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>) such that <math alttext="\psi" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition6.p1.3.3.m3.1"><semantics id="Thmproposition6.p1.3.3.m3.1a"><mi id="Thmproposition6.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmproposition6.p1.3.3.m3.1.1.cmml">ψ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition6.p1.3.3.m3.1b"><ci id="Thmproposition6.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmproposition6.p1.3.3.m3.1.1">𝜓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition6.p1.3.3.m3.1c">\psi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition6.p1.3.3.m3.1d">italic_ψ</annotation></semantics></math> exists and:</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex26"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\psi(z)=1\quad\forall z." class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex26.m1.3"><semantics id="S3.Ex26.m1.3a"><mrow id="S3.Ex26.m1.3.3.1" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.3" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.3.2.cmml">ψ</mi><mo id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.3.1" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mo id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex26.m1.1.1" xref="S3.Ex26.m1.1.1.cmml">z</mi><mo id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.2" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"><mn id="S3.Ex26.m1.2.2" xref="S3.Ex26.m1.2.2.cmml">1</mn><mspace id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.2" width="1.167em" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"></mspace><mrow id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" rspace="0.167em" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">∀</mo><mi id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">z</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex26.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex26.m1.3b"><apply id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1"><eq id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.2"></eq><apply id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.3"><times id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.3.1"></times><ci id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.3.2">𝜓</ci><ci id="S3.Ex26.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex26.m1.1.1">𝑧</ci></apply><list id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1"><cn id="S3.Ex26.m1.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex26.m1.2.2">1</cn><apply id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.1">for-all</csymbol><ci id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.1.2">𝑧</ci></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex26.m1.3c">\psi(z)=1\quad\forall z.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex26.m1.3d">italic_ψ ( italic_z ) = 1 ∀ italic_z .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S3.SS4.1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="S3.SS4.1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS4.1.p1.1">See Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S3.SS5" title="3.5 BPS and ZigZag ‣ 3 Practical Simulation of PDMPs through Metropolis Adjustment ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3.5</span></a>. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS4.p4"> <p class="ltx_p" id="S3.SS4.p4.1">The Metropolis-adjusted PDMP is defined in Algorithm <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#alg1" title="Algorithm 1 ‣ 3.4 Metropolis-Adjustment of PDMP Discretisations ‣ 3 Practical Simulation of PDMPs through Metropolis Adjustment ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> as a Markov kernel on <math alttext="E\times\{-1,1\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p4.1.m1.2"><semantics id="S3.SS4.p4.1.m1.2a"><mrow id="S3.SS4.p4.1.m1.2.2" xref="S3.SS4.p4.1.m1.2.2.cmml"><mi id="S3.SS4.p4.1.m1.2.2.3" xref="S3.SS4.p4.1.m1.2.2.3.cmml">E</mi><mo id="S3.SS4.p4.1.m1.2.2.2" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.SS4.p4.1.m1.2.2.2.cmml">×</mo><mrow id="S3.SS4.p4.1.m1.2.2.1.1" xref="S3.SS4.p4.1.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.SS4.p4.1.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS4.p4.1.m1.2.2.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S3.SS4.p4.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.SS4.p4.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS4.p4.1.m1.2.2.1.1.1a" xref="S3.SS4.p4.1.m1.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S3.SS4.p4.1.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S3.SS4.p4.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.SS4.p4.1.m1.2.2.1.1.3" xref="S3.SS4.p4.1.m1.2.2.1.2.cmml">,</mo><mn id="S3.SS4.p4.1.m1.1.1" xref="S3.SS4.p4.1.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.SS4.p4.1.m1.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.SS4.p4.1.m1.2.2.1.2.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p4.1.m1.2b"><apply id="S3.SS4.p4.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p4.1.m1.2.2"><times id="S3.SS4.p4.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p4.1.m1.2.2.2"></times><ci id="S3.SS4.p4.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.SS4.p4.1.m1.2.2.3">𝐸</ci><set id="S3.SS4.p4.1.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p4.1.m1.2.2.1.1"><apply id="S3.SS4.p4.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p4.1.m1.2.2.1.1.1"><minus id="S3.SS4.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p4.1.m1.2.2.1.1.1"></minus><cn id="S3.SS4.p4.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS4.p4.1.m1.2.2.1.1.1.2">1</cn></apply><cn id="S3.SS4.p4.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.SS4.p4.1.m1.1.1">1</cn></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p4.1.m1.2c">E\times\{-1,1\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p4.1.m1.2d">italic_E × { - 1 , 1 }</annotation></semantics></math>.</p> </div> <figure class="ltx_float ltx_float_algorithm ltx_framed ltx_framed_top" id="alg1"> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_float"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="alg1.2.1.1">Algorithm 1</span> </span> Metropolis adjusted PDMP Markov kernel</figcaption> <div class="ltx_listing ltx_listing" id="alg1.3"> <div class="ltx_listingline" id="alg1.l1"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline"><span class="ltx_text" id="alg1.l1.1.1.1" style="font-size:80%;">1:</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="alg1.l1.2">Input:</span> state <math alttext="\tilde{z}_{0},\gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l1.m1.2"><semantics id="alg1.l1.m1.2a"><mrow id="alg1.l1.m1.2.2.1" xref="alg1.l1.m1.2.2.2.cmml"><msub id="alg1.l1.m1.2.2.1.1" xref="alg1.l1.m1.2.2.1.1.cmml"><mover accent="true" id="alg1.l1.m1.2.2.1.1.2" xref="alg1.l1.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="alg1.l1.m1.2.2.1.1.2.2" xref="alg1.l1.m1.2.2.1.1.2.2.cmml">z</mi><mo id="alg1.l1.m1.2.2.1.1.2.1" xref="alg1.l1.m1.2.2.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="alg1.l1.m1.2.2.1.1.3" xref="alg1.l1.m1.2.2.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="alg1.l1.m1.2.2.1.2" xref="alg1.l1.m1.2.2.2.cmml">,</mo><mi id="alg1.l1.m1.1.1" xref="alg1.l1.m1.1.1.cmml">γ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l1.m1.2b"><list id="alg1.l1.m1.2.2.2.cmml" xref="alg1.l1.m1.2.2.1"><apply id="alg1.l1.m1.2.2.1.1.cmml" xref="alg1.l1.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="alg1.l1.m1.2.2.1.1">subscript</csymbol><apply id="alg1.l1.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="alg1.l1.m1.2.2.1.1.2"><ci id="alg1.l1.m1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="alg1.l1.m1.2.2.1.1.2.1">~</ci><ci id="alg1.l1.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="alg1.l1.m1.2.2.1.1.2.2">𝑧</ci></apply><cn id="alg1.l1.m1.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="alg1.l1.m1.2.2.1.1.3">0</cn></apply><ci id="alg1.l1.m1.1.1.cmml" xref="alg1.l1.m1.1.1">𝛾</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l1.m1.2c">\tilde{z}_{0},\gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l1.m1.2d">over~ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT , italic_γ</annotation></semantics></math> </div> <div class="ltx_listingline" id="alg1.l2"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline"><span class="ltx_text" id="alg1.l2.1.1.1" style="font-size:80%;">2:</span></span>Sample a path: <ol class="ltx_enumerate" id="S3.I8"> <li class="ltx_item" id="S3.I8.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">1.</span> <div class="ltx_para" id="S3.I8.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I8.i1.p1.3">forward approximated path <math alttext="(\tilde{w}_{t})_{t\in[0,T]}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I8.i1.p1.1.m1.3"><semantics id="S3.I8.i1.p1.1.m1.3a"><msub id="S3.I8.i1.p1.1.m1.3.3" xref="S3.I8.i1.p1.1.m1.3.3.cmml"><mrow id="S3.I8.i1.p1.1.m1.3.3.1.1" xref="S3.I8.i1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S3.I8.i1.p1.1.m1.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I8.i1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.I8.i1.p1.1.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.I8.i1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.I8.i1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S3.I8.i1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.I8.i1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2" xref="S3.I8.i1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml">w</mi><mo id="S3.I8.i1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.1" xref="S3.I8.i1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.I8.i1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S3.I8.i1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S3.I8.i1.p1.1.m1.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I8.i1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.I8.i1.p1.1.m1.2.2.2" xref="S3.I8.i1.p1.1.m1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.I8.i1.p1.1.m1.2.2.2.4" xref="S3.I8.i1.p1.1.m1.2.2.2.4.cmml">t</mi><mo id="S3.I8.i1.p1.1.m1.2.2.2.3" xref="S3.I8.i1.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml">∈</mo><mrow id="S3.I8.i1.p1.1.m1.2.2.2.5.2" xref="S3.I8.i1.p1.1.m1.2.2.2.5.1.cmml"><mo id="S3.I8.i1.p1.1.m1.2.2.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S3.I8.i1.p1.1.m1.2.2.2.5.1.cmml">[</mo><mn id="S3.I8.i1.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.I8.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.I8.i1.p1.1.m1.2.2.2.5.2.2" xref="S3.I8.i1.p1.1.m1.2.2.2.5.1.cmml">,</mo><mi id="S3.I8.i1.p1.1.m1.2.2.2.2" xref="S3.I8.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml">T</mi><mo id="S3.I8.i1.p1.1.m1.2.2.2.5.2.3" stretchy="false" xref="S3.I8.i1.p1.1.m1.2.2.2.5.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I8.i1.p1.1.m1.3b"><apply id="S3.I8.i1.p1.1.m1.3.3.cmml" xref="S3.I8.i1.p1.1.m1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I8.i1.p1.1.m1.3.3.2.cmml" xref="S3.I8.i1.p1.1.m1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S3.I8.i1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.I8.i1.p1.1.m1.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I8.i1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I8.i1.p1.1.m1.3.3.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.I8.i1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I8.i1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2"><ci id="S3.I8.i1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I8.i1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.I8.i1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I8.i1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2">𝑤</ci></apply><ci id="S3.I8.i1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I8.i1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3">𝑡</ci></apply><apply id="S3.I8.i1.p1.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.I8.i1.p1.1.m1.2.2.2"><in id="S3.I8.i1.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.I8.i1.p1.1.m1.2.2.2.3"></in><ci id="S3.I8.i1.p1.1.m1.2.2.2.4.cmml" xref="S3.I8.i1.p1.1.m1.2.2.2.4">𝑡</ci><interval closure="closed" id="S3.I8.i1.p1.1.m1.2.2.2.5.1.cmml" xref="S3.I8.i1.p1.1.m1.2.2.2.5.2"><cn id="S3.I8.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.I8.i1.p1.1.m1.1.1.1.1">0</cn><ci id="S3.I8.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I8.i1.p1.1.m1.2.2.2.2">𝑇</ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I8.i1.p1.1.m1.3c">(\tilde{w}_{t})_{t\in[0,T]}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I8.i1.p1.1.m1.3d">( over~ start_ARG italic_w end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_t ∈ [ 0 , italic_T ] end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> with <math alttext="\tilde{w}_{0}=\tilde{z_{0}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I8.i1.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.I8.i1.p1.2.m2.1a"><mrow id="S3.I8.i1.p1.2.m2.1.1" xref="S3.I8.i1.p1.2.m2.1.1.cmml"><msub id="S3.I8.i1.p1.2.m2.1.1.2" xref="S3.I8.i1.p1.2.m2.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.I8.i1.p1.2.m2.1.1.2.2" xref="S3.I8.i1.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.I8.i1.p1.2.m2.1.1.2.2.2" xref="S3.I8.i1.p1.2.m2.1.1.2.2.2.cmml">w</mi><mo id="S3.I8.i1.p1.2.m2.1.1.2.2.1" xref="S3.I8.i1.p1.2.m2.1.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S3.I8.i1.p1.2.m2.1.1.2.3" xref="S3.I8.i1.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.I8.i1.p1.2.m2.1.1.1" xref="S3.I8.i1.p1.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mover accent="true" id="S3.I8.i1.p1.2.m2.1.1.3" xref="S3.I8.i1.p1.2.m2.1.1.3.cmml"><msub id="S3.I8.i1.p1.2.m2.1.1.3.2" xref="S3.I8.i1.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.I8.i1.p1.2.m2.1.1.3.2.2" xref="S3.I8.i1.p1.2.m2.1.1.3.2.2.cmml">z</mi><mn id="S3.I8.i1.p1.2.m2.1.1.3.2.3" xref="S3.I8.i1.p1.2.m2.1.1.3.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.I8.i1.p1.2.m2.1.1.3.1" xref="S3.I8.i1.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml">~</mo></mover></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I8.i1.p1.2.m2.1b"><apply id="S3.I8.i1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.I8.i1.p1.2.m2.1.1"><eq id="S3.I8.i1.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.I8.i1.p1.2.m2.1.1.1"></eq><apply id="S3.I8.i1.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.I8.i1.p1.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I8.i1.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I8.i1.p1.2.m2.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S3.I8.i1.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I8.i1.p1.2.m2.1.1.2.2"><ci id="S3.I8.i1.p1.2.m2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.I8.i1.p1.2.m2.1.1.2.2.1">~</ci><ci id="S3.I8.i1.p1.2.m2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.I8.i1.p1.2.m2.1.1.2.2.2">𝑤</ci></apply><cn id="S3.I8.i1.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.I8.i1.p1.2.m2.1.1.2.3">0</cn></apply><apply id="S3.I8.i1.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.I8.i1.p1.2.m2.1.1.3"><ci id="S3.I8.i1.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I8.i1.p1.2.m2.1.1.3.1">~</ci><apply id="S3.I8.i1.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I8.i1.p1.2.m2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I8.i1.p1.2.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.I8.i1.p1.2.m2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I8.i1.p1.2.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.I8.i1.p1.2.m2.1.1.3.2.2">𝑧</ci><cn id="S3.I8.i1.p1.2.m2.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.I8.i1.p1.2.m2.1.1.3.2.3">0</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I8.i1.p1.2.m2.1c">\tilde{w}_{0}=\tilde{z_{0}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I8.i1.p1.2.m2.1d">over~ start_ARG italic_w end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT = over~ start_ARG italic_z start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math> if <math alttext="\gamma=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I8.i1.p1.3.m3.1"><semantics id="S3.I8.i1.p1.3.m3.1a"><mrow id="S3.I8.i1.p1.3.m3.1.1" xref="S3.I8.i1.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.I8.i1.p1.3.m3.1.1.2" xref="S3.I8.i1.p1.3.m3.1.1.2.cmml">γ</mi><mo id="S3.I8.i1.p1.3.m3.1.1.1" xref="S3.I8.i1.p1.3.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.I8.i1.p1.3.m3.1.1.3" xref="S3.I8.i1.p1.3.m3.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I8.i1.p1.3.m3.1b"><apply id="S3.I8.i1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.I8.i1.p1.3.m3.1.1"><eq id="S3.I8.i1.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.I8.i1.p1.3.m3.1.1.1"></eq><ci id="S3.I8.i1.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.I8.i1.p1.3.m3.1.1.2">𝛾</ci><cn id="S3.I8.i1.p1.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.I8.i1.p1.3.m3.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I8.i1.p1.3.m3.1c">\gamma=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I8.i1.p1.3.m3.1d">italic_γ = 1</annotation></semantics></math>,</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S3.I8.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">2.</span> <div class="ltx_para" id="S3.I8.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I8.i2.p1.3">or a backward approximated path <math alttext="(\tilde{w}^{r}_{t})_{t\in[0,T]}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I8.i2.p1.1.m1.3"><semantics id="S3.I8.i2.p1.1.m1.3a"><msub id="S3.I8.i2.p1.1.m1.3.3" xref="S3.I8.i2.p1.1.m1.3.3.cmml"><mrow id="S3.I8.i2.p1.1.m1.3.3.1.1" xref="S3.I8.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S3.I8.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I8.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="S3.I8.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.I8.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.I8.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2" xref="S3.I8.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.I8.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.2" xref="S3.I8.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml">w</mi><mo id="S3.I8.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.1" xref="S3.I8.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.I8.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S3.I8.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">t</mi><mi id="S3.I8.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.3" xref="S3.I8.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.3.cmml">r</mi></msubsup><mo id="S3.I8.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I8.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.I8.i2.p1.1.m1.2.2.2" xref="S3.I8.i2.p1.1.m1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.I8.i2.p1.1.m1.2.2.2.4" xref="S3.I8.i2.p1.1.m1.2.2.2.4.cmml">t</mi><mo id="S3.I8.i2.p1.1.m1.2.2.2.3" xref="S3.I8.i2.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml">∈</mo><mrow id="S3.I8.i2.p1.1.m1.2.2.2.5.2" xref="S3.I8.i2.p1.1.m1.2.2.2.5.1.cmml"><mo id="S3.I8.i2.p1.1.m1.2.2.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S3.I8.i2.p1.1.m1.2.2.2.5.1.cmml">[</mo><mn id="S3.I8.i2.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.I8.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.I8.i2.p1.1.m1.2.2.2.5.2.2" xref="S3.I8.i2.p1.1.m1.2.2.2.5.1.cmml">,</mo><mi id="S3.I8.i2.p1.1.m1.2.2.2.2" xref="S3.I8.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml">T</mi><mo id="S3.I8.i2.p1.1.m1.2.2.2.5.2.3" stretchy="false" xref="S3.I8.i2.p1.1.m1.2.2.2.5.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I8.i2.p1.1.m1.3b"><apply id="S3.I8.i2.p1.1.m1.3.3.cmml" xref="S3.I8.i2.p1.1.m1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I8.i2.p1.1.m1.3.3.2.cmml" xref="S3.I8.i2.p1.1.m1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S3.I8.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.I8.i2.p1.1.m1.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I8.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I8.i2.p1.1.m1.3.3.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.I8.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I8.i2.p1.1.m1.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I8.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I8.i2.p1.1.m1.3.3.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.I8.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I8.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2"><ci id="S3.I8.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.I8.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.1">~</ci><ci id="S3.I8.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.I8.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.2">𝑤</ci></apply><ci id="S3.I8.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.I8.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.3">𝑟</ci></apply><ci id="S3.I8.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I8.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3">𝑡</ci></apply><apply id="S3.I8.i2.p1.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.I8.i2.p1.1.m1.2.2.2"><in id="S3.I8.i2.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.I8.i2.p1.1.m1.2.2.2.3"></in><ci id="S3.I8.i2.p1.1.m1.2.2.2.4.cmml" xref="S3.I8.i2.p1.1.m1.2.2.2.4">𝑡</ci><interval closure="closed" id="S3.I8.i2.p1.1.m1.2.2.2.5.1.cmml" xref="S3.I8.i2.p1.1.m1.2.2.2.5.2"><cn id="S3.I8.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.I8.i2.p1.1.m1.1.1.1.1">0</cn><ci id="S3.I8.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I8.i2.p1.1.m1.2.2.2.2">𝑇</ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I8.i2.p1.1.m1.3c">(\tilde{w}^{r}_{t})_{t\in[0,T]}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I8.i2.p1.1.m1.3d">( over~ start_ARG italic_w end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_t ∈ [ 0 , italic_T ] end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> with <math alttext="\tilde{w}^{r}_{0}=\tilde{z_{0}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I8.i2.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.I8.i2.p1.2.m2.1a"><mrow id="S3.I8.i2.p1.2.m2.1.1" xref="S3.I8.i2.p1.2.m2.1.1.cmml"><msubsup id="S3.I8.i2.p1.2.m2.1.1.2" xref="S3.I8.i2.p1.2.m2.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.I8.i2.p1.2.m2.1.1.2.2.2" xref="S3.I8.i2.p1.2.m2.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.I8.i2.p1.2.m2.1.1.2.2.2.2" xref="S3.I8.i2.p1.2.m2.1.1.2.2.2.2.cmml">w</mi><mo id="S3.I8.i2.p1.2.m2.1.1.2.2.2.1" xref="S3.I8.i2.p1.2.m2.1.1.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S3.I8.i2.p1.2.m2.1.1.2.3" xref="S3.I8.i2.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml">0</mn><mi id="S3.I8.i2.p1.2.m2.1.1.2.2.3" xref="S3.I8.i2.p1.2.m2.1.1.2.2.3.cmml">r</mi></msubsup><mo id="S3.I8.i2.p1.2.m2.1.1.1" xref="S3.I8.i2.p1.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mover accent="true" id="S3.I8.i2.p1.2.m2.1.1.3" xref="S3.I8.i2.p1.2.m2.1.1.3.cmml"><msub id="S3.I8.i2.p1.2.m2.1.1.3.2" xref="S3.I8.i2.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.I8.i2.p1.2.m2.1.1.3.2.2" xref="S3.I8.i2.p1.2.m2.1.1.3.2.2.cmml">z</mi><mn id="S3.I8.i2.p1.2.m2.1.1.3.2.3" xref="S3.I8.i2.p1.2.m2.1.1.3.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.I8.i2.p1.2.m2.1.1.3.1" xref="S3.I8.i2.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml">~</mo></mover></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I8.i2.p1.2.m2.1b"><apply id="S3.I8.i2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.I8.i2.p1.2.m2.1.1"><eq id="S3.I8.i2.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.I8.i2.p1.2.m2.1.1.1"></eq><apply id="S3.I8.i2.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.I8.i2.p1.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I8.i2.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I8.i2.p1.2.m2.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S3.I8.i2.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I8.i2.p1.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I8.i2.p1.2.m2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.I8.i2.p1.2.m2.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.I8.i2.p1.2.m2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.I8.i2.p1.2.m2.1.1.2.2.2"><ci id="S3.I8.i2.p1.2.m2.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.I8.i2.p1.2.m2.1.1.2.2.2.1">~</ci><ci id="S3.I8.i2.p1.2.m2.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I8.i2.p1.2.m2.1.1.2.2.2.2">𝑤</ci></apply><ci id="S3.I8.i2.p1.2.m2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.I8.i2.p1.2.m2.1.1.2.2.3">𝑟</ci></apply><cn id="S3.I8.i2.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.I8.i2.p1.2.m2.1.1.2.3">0</cn></apply><apply id="S3.I8.i2.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.I8.i2.p1.2.m2.1.1.3"><ci id="S3.I8.i2.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I8.i2.p1.2.m2.1.1.3.1">~</ci><apply id="S3.I8.i2.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I8.i2.p1.2.m2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I8.i2.p1.2.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.I8.i2.p1.2.m2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I8.i2.p1.2.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.I8.i2.p1.2.m2.1.1.3.2.2">𝑧</ci><cn id="S3.I8.i2.p1.2.m2.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.I8.i2.p1.2.m2.1.1.3.2.3">0</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I8.i2.p1.2.m2.1c">\tilde{w}^{r}_{0}=\tilde{z_{0}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I8.i2.p1.2.m2.1d">over~ start_ARG italic_w end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT = over~ start_ARG italic_z start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math> if <math alttext="\gamma=-1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I8.i2.p1.3.m3.1"><semantics id="S3.I8.i2.p1.3.m3.1a"><mrow id="S3.I8.i2.p1.3.m3.1.1" xref="S3.I8.i2.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.I8.i2.p1.3.m3.1.1.2" xref="S3.I8.i2.p1.3.m3.1.1.2.cmml">γ</mi><mo id="S3.I8.i2.p1.3.m3.1.1.1" xref="S3.I8.i2.p1.3.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.I8.i2.p1.3.m3.1.1.3" xref="S3.I8.i2.p1.3.m3.1.1.3.cmml"><mo id="S3.I8.i2.p1.3.m3.1.1.3a" xref="S3.I8.i2.p1.3.m3.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="S3.I8.i2.p1.3.m3.1.1.3.2" xref="S3.I8.i2.p1.3.m3.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I8.i2.p1.3.m3.1b"><apply id="S3.I8.i2.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.I8.i2.p1.3.m3.1.1"><eq id="S3.I8.i2.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.I8.i2.p1.3.m3.1.1.1"></eq><ci id="S3.I8.i2.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.I8.i2.p1.3.m3.1.1.2">𝛾</ci><apply id="S3.I8.i2.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.I8.i2.p1.3.m3.1.1.3"><minus id="S3.I8.i2.p1.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I8.i2.p1.3.m3.1.1.3"></minus><cn id="S3.I8.i2.p1.3.m3.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.I8.i2.p1.3.m3.1.1.3.2">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I8.i2.p1.3.m3.1c">\gamma=-1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I8.i2.p1.3.m3.1d">italic_γ = - 1</annotation></semantics></math></p> </div> </li> </ol> </div> <div class="ltx_listingline" id="alg1.l3"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline"><span class="ltx_text" id="alg1.l3.1.1.1" style="font-size:80%;">3:</span></span>Compute the acceptance probability <ol class="ltx_enumerate" id="S3.I9"> <li class="ltx_item" id="S3.I9.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">1.</span> <div class="ltx_para" id="S3.I9.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I9.i1.p1.2"><math alttext="\alpha(\tilde{w})=1\wedge\frac{\mu(\tilde{w}_{T})\tilde{p}^{r}(R(\tilde{w})|% \tilde{w_{T}})}{\mu(\tilde{z}_{0})\tilde{p}(\tilde{w}|\tilde{z}_{0})\psi(R(% \tilde{w}))}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I9.i1.p1.1.m1.8"><semantics id="S3.I9.i1.p1.1.m1.8a"><mrow id="S3.I9.i1.p1.1.m1.8.9" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.8.9.cmml"><mrow id="S3.I9.i1.p1.1.m1.8.9.2" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.8.9.2.cmml"><mi id="S3.I9.i1.p1.1.m1.8.9.2.2" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.8.9.2.2.cmml">α</mi><mo id="S3.I9.i1.p1.1.m1.8.9.2.1" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.8.9.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I9.i1.p1.1.m1.8.9.2.3.2" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.8.8.cmml"><mo id="S3.I9.i1.p1.1.m1.8.9.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.8.8.cmml">(</mo><mover accent="true" id="S3.I9.i1.p1.1.m1.8.8" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.8.8.cmml"><mi id="S3.I9.i1.p1.1.m1.8.8.2" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.8.8.2.cmml">w</mi><mo id="S3.I9.i1.p1.1.m1.8.8.1" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.8.8.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.I9.i1.p1.1.m1.8.9.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.8.8.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.I9.i1.p1.1.m1.8.9.1" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.8.9.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.I9.i1.p1.1.m1.8.9.3" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.8.9.3.cmml"><mn id="S3.I9.i1.p1.1.m1.8.9.3.2" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.8.9.3.2.cmml">1</mn><mo id="S3.I9.i1.p1.1.m1.8.9.3.1" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.8.9.3.1.cmml">∧</mo><mfrac id="S3.I9.i1.p1.1.m1.7.7" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.7.7.cmml"><mrow id="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.5" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.5.cmml">μ</mi><mo id="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.4" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I9.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.1" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S3.I9.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.I9.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.I9.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.2" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.I9.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.2.2" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml">w</mi><mo id="S3.I9.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.2.1" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.I9.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml">T</mi></msub><mo id="S3.I9.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.4a" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.4.cmml">⁢</mo><msup id="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.6" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.6.cmml"><mover accent="true" id="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.6.2" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.6.2.cmml"><mi id="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.6.2.2" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.6.2.2.cmml">p</mi><mo id="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.6.2.1" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.6.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.6.3" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.6.3.cmml">r</mi></msup><mo id="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.4b" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.3.1" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.cmml"><mo id="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.3.1.2" stretchy="false" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.2" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.2.cmml"><mi id="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.2.2" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.cmml">R</mi><mo id="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.2.1" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.2" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mover accent="true" id="S3.I9.i1.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I9.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml">w</mi><mo id="S3.I9.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo fence="false" id="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.1" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.1.cmml">|</mo><mover accent="true" id="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.3" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.3.cmml"><msub id="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.3.2" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.2" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.2.cmml">w</mi><mi id="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.3" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.3.cmml">T</mi></msub><mo id="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.3.1" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.3.1.cmml">~</mo></mover></mrow><mo id="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.3.1.3" stretchy="false" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mrow id="S3.I9.i1.p1.1.m1.7.7.7" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.7.7.7.cmml"><mi id="S3.I9.i1.p1.1.m1.7.7.7.6" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.7.7.7.6.cmml">μ</mi><mo id="S3.I9.i1.p1.1.m1.7.7.7.5" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.7.7.7.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I9.i1.p1.1.m1.5.5.5.2.1" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.cmml"><mo id="S3.I9.i1.p1.1.m1.5.5.5.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.I9.i1.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.I9.i1.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.2" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.I9.i1.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.2.2" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.2.2.cmml">z</mi><mo id="S3.I9.i1.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.2.1" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S3.I9.i1.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.3" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.I9.i1.p1.1.m1.5.5.5.2.1.3" stretchy="false" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.I9.i1.p1.1.m1.7.7.7.5a" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.7.7.7.5.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S3.I9.i1.p1.1.m1.7.7.7.7" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.7.7.7.7.cmml"><mi id="S3.I9.i1.p1.1.m1.7.7.7.7.2" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.7.7.7.7.2.cmml">p</mi><mo id="S3.I9.i1.p1.1.m1.7.7.7.7.1" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.7.7.7.7.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.I9.i1.p1.1.m1.7.7.7.5b" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.7.7.7.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I9.i1.p1.1.m1.6.6.6.3.1" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.6.6.6.3.1.1.cmml"><mo id="S3.I9.i1.p1.1.m1.6.6.6.3.1.2" stretchy="false" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.6.6.6.3.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.I9.i1.p1.1.m1.6.6.6.3.1.1" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.6.6.6.3.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.I9.i1.p1.1.m1.6.6.6.3.1.1.2" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.6.6.6.3.1.1.2.cmml"><mi id="S3.I9.i1.p1.1.m1.6.6.6.3.1.1.2.2" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.6.6.6.3.1.1.2.2.cmml">w</mi><mo id="S3.I9.i1.p1.1.m1.6.6.6.3.1.1.2.1" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.6.6.6.3.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo fence="false" id="S3.I9.i1.p1.1.m1.6.6.6.3.1.1.1" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.6.6.6.3.1.1.1.cmml">|</mo><msub id="S3.I9.i1.p1.1.m1.6.6.6.3.1.1.3" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.6.6.6.3.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.I9.i1.p1.1.m1.6.6.6.3.1.1.3.2" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.6.6.6.3.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.I9.i1.p1.1.m1.6.6.6.3.1.1.3.2.2" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.6.6.6.3.1.1.3.2.2.cmml">z</mi><mo id="S3.I9.i1.p1.1.m1.6.6.6.3.1.1.3.2.1" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.6.6.6.3.1.1.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S3.I9.i1.p1.1.m1.6.6.6.3.1.1.3.3" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.6.6.6.3.1.1.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow><mo id="S3.I9.i1.p1.1.m1.6.6.6.3.1.3" stretchy="false" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.6.6.6.3.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.I9.i1.p1.1.m1.7.7.7.5c" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.7.7.7.5.cmml">⁢</mo><mi id="S3.I9.i1.p1.1.m1.7.7.7.8" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.7.7.7.8.cmml">ψ</mi><mo id="S3.I9.i1.p1.1.m1.7.7.7.5d" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.7.7.7.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I9.i1.p1.1.m1.7.7.7.4.1" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.7.7.7.4.1.1.cmml"><mo id="S3.I9.i1.p1.1.m1.7.7.7.4.1.2" stretchy="false" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.7.7.7.4.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.I9.i1.p1.1.m1.7.7.7.4.1.1" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.7.7.7.4.1.1.cmml"><mi id="S3.I9.i1.p1.1.m1.7.7.7.4.1.1.2" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.7.7.7.4.1.1.2.cmml">R</mi><mo id="S3.I9.i1.p1.1.m1.7.7.7.4.1.1.1" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.7.7.7.4.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I9.i1.p1.1.m1.7.7.7.4.1.1.3.2" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.4.4.4.1.cmml"><mo id="S3.I9.i1.p1.1.m1.7.7.7.4.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.4.4.4.1.cmml">(</mo><mover accent="true" id="S3.I9.i1.p1.1.m1.4.4.4.1" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.4.4.4.1.cmml"><mi id="S3.I9.i1.p1.1.m1.4.4.4.1.2" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.4.4.4.1.2.cmml">w</mi><mo id="S3.I9.i1.p1.1.m1.4.4.4.1.1" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.4.4.4.1.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.I9.i1.p1.1.m1.7.7.7.4.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.4.4.4.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.I9.i1.p1.1.m1.7.7.7.4.1.3" stretchy="false" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.7.7.7.4.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I9.i1.p1.1.m1.8b"><apply id="S3.I9.i1.p1.1.m1.8.9.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.8.9"><eq id="S3.I9.i1.p1.1.m1.8.9.1.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.8.9.1"></eq><apply id="S3.I9.i1.p1.1.m1.8.9.2.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.8.9.2"><times id="S3.I9.i1.p1.1.m1.8.9.2.1.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.8.9.2.1"></times><ci id="S3.I9.i1.p1.1.m1.8.9.2.2.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.8.9.2.2">𝛼</ci><apply id="S3.I9.i1.p1.1.m1.8.8.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.8.9.2.3.2"><ci id="S3.I9.i1.p1.1.m1.8.8.1.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.8.8.1">~</ci><ci id="S3.I9.i1.p1.1.m1.8.8.2.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.8.8.2">𝑤</ci></apply></apply><apply id="S3.I9.i1.p1.1.m1.8.9.3.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.8.9.3"><and id="S3.I9.i1.p1.1.m1.8.9.3.1.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.8.9.3.1"></and><cn id="S3.I9.i1.p1.1.m1.8.9.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.8.9.3.2">1</cn><apply id="S3.I9.i1.p1.1.m1.7.7.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.7.7"><divide id="S3.I9.i1.p1.1.m1.7.7.8.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.7.7"></divide><apply id="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3"><times id="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.4.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.4"></times><ci id="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.5.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.5">𝜇</ci><apply id="S3.I9.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I9.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.1">subscript</csymbol><apply id="S3.I9.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.2"><ci id="S3.I9.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.I9.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.2.2">𝑤</ci></apply><ci id="S3.I9.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.3">𝑇</ci></apply><apply id="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.6.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.6.1.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.6">superscript</csymbol><apply id="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.6.2.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.6.2"><ci id="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.6.2.1.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.6.2.1">~</ci><ci id="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.6.2.2.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.6.2.2">𝑝</ci></apply><ci id="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.6.3.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.6.3">𝑟</ci></apply><apply id="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.3.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.1">conditional</csymbol><apply id="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.2"><times id="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.2.1"></times><ci id="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.2.2">𝑅</ci><apply id="S3.I9.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.2"><ci id="S3.I9.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.1">~</ci><ci id="S3.I9.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.2">𝑤</ci></apply></apply><apply id="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.3.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.3"><ci id="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.3.1">~</ci><apply id="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.2">𝑤</ci><ci id="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.3">𝑇</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.I9.i1.p1.1.m1.7.7.7.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.7.7.7"><times id="S3.I9.i1.p1.1.m1.7.7.7.5.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.7.7.7.5"></times><ci id="S3.I9.i1.p1.1.m1.7.7.7.6.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.7.7.7.6">𝜇</ci><apply id="S3.I9.i1.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.5.5.5.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I9.i1.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.1.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.5.5.5.2.1">subscript</csymbol><apply id="S3.I9.i1.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.2.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.2"><ci id="S3.I9.i1.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.I9.i1.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.2.2">𝑧</ci></apply><cn id="S3.I9.i1.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S3.I9.i1.p1.1.m1.7.7.7.7.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.7.7.7.7"><ci id="S3.I9.i1.p1.1.m1.7.7.7.7.1.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.7.7.7.7.1">~</ci><ci id="S3.I9.i1.p1.1.m1.7.7.7.7.2.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.7.7.7.7.2">𝑝</ci></apply><apply id="S3.I9.i1.p1.1.m1.6.6.6.3.1.1.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.6.6.6.3.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.I9.i1.p1.1.m1.6.6.6.3.1.1.1.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.6.6.6.3.1.1.1">conditional</csymbol><apply id="S3.I9.i1.p1.1.m1.6.6.6.3.1.1.2.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.6.6.6.3.1.1.2"><ci id="S3.I9.i1.p1.1.m1.6.6.6.3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.6.6.6.3.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.I9.i1.p1.1.m1.6.6.6.3.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.6.6.6.3.1.1.2.2">𝑤</ci></apply><apply id="S3.I9.i1.p1.1.m1.6.6.6.3.1.1.3.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.6.6.6.3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I9.i1.p1.1.m1.6.6.6.3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.6.6.6.3.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S3.I9.i1.p1.1.m1.6.6.6.3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.6.6.6.3.1.1.3.2"><ci id="S3.I9.i1.p1.1.m1.6.6.6.3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.6.6.6.3.1.1.3.2.1">~</ci><ci id="S3.I9.i1.p1.1.m1.6.6.6.3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.6.6.6.3.1.1.3.2.2">𝑧</ci></apply><cn id="S3.I9.i1.p1.1.m1.6.6.6.3.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.6.6.6.3.1.1.3.3">0</cn></apply></apply><ci id="S3.I9.i1.p1.1.m1.7.7.7.8.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.7.7.7.8">𝜓</ci><apply id="S3.I9.i1.p1.1.m1.7.7.7.4.1.1.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.7.7.7.4.1"><times id="S3.I9.i1.p1.1.m1.7.7.7.4.1.1.1.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.7.7.7.4.1.1.1"></times><ci id="S3.I9.i1.p1.1.m1.7.7.7.4.1.1.2.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.7.7.7.4.1.1.2">𝑅</ci><apply id="S3.I9.i1.p1.1.m1.4.4.4.1.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.7.7.7.4.1.1.3.2"><ci id="S3.I9.i1.p1.1.m1.4.4.4.1.1.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.4.4.4.1.1">~</ci><ci id="S3.I9.i1.p1.1.m1.4.4.4.1.2.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.1.m1.4.4.4.1.2">𝑤</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I9.i1.p1.1.m1.8c">\alpha(\tilde{w})=1\wedge\frac{\mu(\tilde{w}_{T})\tilde{p}^{r}(R(\tilde{w})|% \tilde{w_{T}})}{\mu(\tilde{z}_{0})\tilde{p}(\tilde{w}|\tilde{z}_{0})\psi(R(% \tilde{w}))}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I9.i1.p1.1.m1.8d">italic_α ( over~ start_ARG italic_w end_ARG ) = 1 ∧ divide start_ARG italic_μ ( over~ start_ARG italic_w end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_T end_POSTSUBSCRIPT ) over~ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_R ( over~ start_ARG italic_w end_ARG ) | over~ start_ARG italic_w start_POSTSUBSCRIPT italic_T end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ) end_ARG start_ARG italic_μ ( over~ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ) over~ start_ARG italic_p end_ARG ( over~ start_ARG italic_w end_ARG | over~ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ) italic_ψ ( italic_R ( over~ start_ARG italic_w end_ARG ) ) end_ARG</annotation></semantics></math> if <math alttext="\gamma=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I9.i1.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.I9.i1.p1.2.m2.1a"><mrow id="S3.I9.i1.p1.2.m2.1.1" xref="S3.I9.i1.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.I9.i1.p1.2.m2.1.1.2" xref="S3.I9.i1.p1.2.m2.1.1.2.cmml">γ</mi><mo id="S3.I9.i1.p1.2.m2.1.1.1" xref="S3.I9.i1.p1.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.I9.i1.p1.2.m2.1.1.3" xref="S3.I9.i1.p1.2.m2.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I9.i1.p1.2.m2.1b"><apply id="S3.I9.i1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.2.m2.1.1"><eq id="S3.I9.i1.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="S3.I9.i1.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.I9.i1.p1.2.m2.1.1.2">𝛾</ci><cn id="S3.I9.i1.p1.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.I9.i1.p1.2.m2.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I9.i1.p1.2.m2.1c">\gamma=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I9.i1.p1.2.m2.1d">italic_γ = 1</annotation></semantics></math></p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S3.I9.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">2.</span> <div class="ltx_para" id="S3.I9.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I9.i2.p1.2"><math alttext="\alpha(\tilde{w}^{r})=1\wedge\frac{\mu(\tilde{w}^{r}_{T})\tilde{p}(R(\tilde{w}% ^{r})|\tilde{w^{r}_{T}})\psi(\tilde{w}^{r})}{\mu(\tilde{z}_{0})\tilde{p}^{r}(% \tilde{w}^{r}|\tilde{z}_{0})}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I9.i2.p1.1.m1.6"><semantics id="S3.I9.i2.p1.1.m1.6a"><mrow id="S3.I9.i2.p1.1.m1.6.6" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.6.6.cmml"><mrow id="S3.I9.i2.p1.1.m1.6.6.1" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.6.6.1.cmml"><mi id="S3.I9.i2.p1.1.m1.6.6.1.3" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.6.6.1.3.cmml">α</mi><mo id="S3.I9.i2.p1.1.m1.6.6.1.2" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.6.6.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I9.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.I9.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.I9.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.I9.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.2" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.I9.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.2" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.cmml">w</mi><mo id="S3.I9.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.I9.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.3" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml">r</mi></msup><mo id="S3.I9.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.I9.i2.p1.1.m1.6.6.2" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.6.6.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.I9.i2.p1.1.m1.6.6.3" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.6.6.3.cmml"><mn id="S3.I9.i2.p1.1.m1.6.6.3.2" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.6.6.3.2.cmml">1</mn><mo id="S3.I9.i2.p1.1.m1.6.6.3.1" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.6.6.3.1.cmml">∧</mo><mfrac id="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.cmml"><mrow id="S3.I9.i2.p1.1.m1.3.3.3" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.I9.i2.p1.1.m1.3.3.3.5" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.3.3.3.5.cmml">μ</mi><mo id="S3.I9.i2.p1.1.m1.3.3.3.4" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.3.3.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I9.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.I9.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="S3.I9.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.I9.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.I9.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">w</mi><mo id="S3.I9.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.I9.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">T</mi><mi id="S3.I9.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">r</mi></msubsup><mo id="S3.I9.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.I9.i2.p1.1.m1.3.3.3.4a" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.3.3.3.4.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S3.I9.i2.p1.1.m1.3.3.3.6" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.3.3.3.6.cmml"><mi id="S3.I9.i2.p1.1.m1.3.3.3.6.2" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.3.3.3.6.2.cmml">p</mi><mo id="S3.I9.i2.p1.1.m1.3.3.3.6.1" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.3.3.3.6.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.I9.i2.p1.1.m1.3.3.3.4b" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.3.3.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">R</mi><mo id="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">w</mi><mo id="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">r</mi></msup><mo id="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo fence="false" id="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.2" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml">|</mo><mover accent="true" id="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><msubsup id="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.2.2" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.2.2.cmml">w</mi><mi id="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.3" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml">T</mi><mi id="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.2.3" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.2.3.cmml">r</mi></msubsup><mo id="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.3.1" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml">~</mo></mover></mrow><mo id="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.I9.i2.p1.1.m1.3.3.3.4c" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.3.3.3.4.cmml">⁢</mo><mi id="S3.I9.i2.p1.1.m1.3.3.3.7" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.3.3.3.7.cmml">ψ</mi><mo id="S3.I9.i2.p1.1.m1.3.3.3.4d" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.3.3.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I9.i2.p1.1.m1.3.3.3.3.1" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.cmml"><mo id="S3.I9.i2.p1.1.m1.3.3.3.3.1.2" stretchy="false" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.I9.i2.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.I9.i2.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.2" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.2.cmml"><mi id="S3.I9.i2.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.2.2" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.cmml">w</mi><mo id="S3.I9.i2.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.2.1" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.I9.i2.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.3" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.3.cmml">r</mi></msup><mo id="S3.I9.i2.p1.1.m1.3.3.3.3.1.3" stretchy="false" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mrow id="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.cmml"><mi id="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.4" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.4.cmml">μ</mi><mo id="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.3" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I9.i2.p1.1.m1.4.4.4.1.1" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.4.4.4.1.1.1.cmml"><mo id="S3.I9.i2.p1.1.m1.4.4.4.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.4.4.4.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.I9.i2.p1.1.m1.4.4.4.1.1.1" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.4.4.4.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.I9.i2.p1.1.m1.4.4.4.1.1.1.2" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.4.4.4.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.I9.i2.p1.1.m1.4.4.4.1.1.1.2.2" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.4.4.4.1.1.1.2.2.cmml">z</mi><mo id="S3.I9.i2.p1.1.m1.4.4.4.1.1.1.2.1" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.4.4.4.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S3.I9.i2.p1.1.m1.4.4.4.1.1.1.3" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.4.4.4.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.I9.i2.p1.1.m1.4.4.4.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.4.4.4.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.3a" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.3.cmml">⁢</mo><msup id="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.5" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.5.cmml"><mover accent="true" id="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.5.2" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.5.2.cmml"><mi id="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.5.2.2" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.5.2.2.cmml">p</mi><mo id="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.5.2.1" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.5.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.5.3" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.5.3.cmml">r</mi></msup><mo id="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.3b" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.2.1" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.cmml"><mo id="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.cmml"><msup id="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.2" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.2.2" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.2.2.2" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.2.2.2.cmml">w</mi><mo id="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.2.2.1" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.2.3" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.2.3.cmml">r</mi></msup><mo fence="false" id="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.1" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.1.cmml">|</mo><msub id="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.3" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.3.2" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.3.2.2" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.3.2.2.cmml">z</mi><mo id="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.3.2.1" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.3.3" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow><mo id="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.2.1.3" stretchy="false" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I9.i2.p1.1.m1.6b"><apply id="S3.I9.i2.p1.1.m1.6.6.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.6.6"><eq id="S3.I9.i2.p1.1.m1.6.6.2.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.6.6.2"></eq><apply id="S3.I9.i2.p1.1.m1.6.6.1.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.6.6.1"><times id="S3.I9.i2.p1.1.m1.6.6.1.2.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.6.6.1.2"></times><ci id="S3.I9.i2.p1.1.m1.6.6.1.3.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.6.6.1.3">𝛼</ci><apply id="S3.I9.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I9.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.I9.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.2"><ci id="S3.I9.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.I9.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.2">𝑤</ci></apply><ci id="S3.I9.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.3">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S3.I9.i2.p1.1.m1.6.6.3.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.6.6.3"><and id="S3.I9.i2.p1.1.m1.6.6.3.1.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.6.6.3.1"></and><cn id="S3.I9.i2.p1.1.m1.6.6.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.6.6.3.2">1</cn><apply id="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5"><divide id="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.6.cmml" 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id="S3.I9.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑟</ci></apply><ci id="S3.I9.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝑇</ci></apply><apply id="S3.I9.i2.p1.1.m1.3.3.3.6.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.3.3.3.6"><ci id="S3.I9.i2.p1.1.m1.3.3.3.6.1.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.3.3.3.6.1">~</ci><ci id="S3.I9.i2.p1.1.m1.3.3.3.6.2.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.3.3.3.6.2">𝑝</ci></apply><apply id="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.2">conditional</csymbol><apply id="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1"><times id="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.2"></times><ci id="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.3">𝑅</ci><apply id="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑤</ci></apply><ci id="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.3"><ci id="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.3.1">~</ci><apply id="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.2.2">𝑤</ci><ci id="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.2.3">𝑟</ci></apply><ci id="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.3">𝑇</ci></apply></apply></apply><ci id="S3.I9.i2.p1.1.m1.3.3.3.7.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.3.3.3.7">𝜓</ci><apply id="S3.I9.i2.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.3.3.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I9.i2.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.3.3.3.3.1">superscript</csymbol><apply id="S3.I9.i2.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.2"><ci id="S3.I9.i2.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.I9.i2.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.2.2">𝑤</ci></apply><ci id="S3.I9.i2.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.3.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.3.3.3.3.1.1.3">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5"><times id="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.3.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.3"></times><ci id="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.4.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.4">𝜇</ci><apply id="S3.I9.i2.p1.1.m1.4.4.4.1.1.1.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.4.4.4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I9.i2.p1.1.m1.4.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.4.4.4.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.I9.i2.p1.1.m1.4.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.4.4.4.1.1.1.2"><ci id="S3.I9.i2.p1.1.m1.4.4.4.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.4.4.4.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.I9.i2.p1.1.m1.4.4.4.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.4.4.4.1.1.1.2.2">𝑧</ci></apply><cn id="S3.I9.i2.p1.1.m1.4.4.4.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.4.4.4.1.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.5.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.5.1.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.5">superscript</csymbol><apply id="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.5.2.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.5.2"><ci id="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.5.2.1.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.5.2.1">~</ci><ci id="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.5.2.2.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.5.2.2">𝑝</ci></apply><ci id="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.5.3.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.5.3">𝑟</ci></apply><apply id="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.1.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.1">conditional</csymbol><apply id="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.2.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.2.2"><ci id="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.2.2.1">~</ci><ci id="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.2.2.2">𝑤</ci></apply><ci id="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.2.3">𝑟</ci></apply><apply id="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.3.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.3.2"><ci id="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.3.2.1">~</ci><ci id="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.3.2.2">𝑧</ci></apply><cn id="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.I9.i2.p1.1.m1.5.5.5.2.1.1.3.3">0</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I9.i2.p1.1.m1.6c">\alpha(\tilde{w}^{r})=1\wedge\frac{\mu(\tilde{w}^{r}_{T})\tilde{p}(R(\tilde{w}% ^{r})|\tilde{w^{r}_{T}})\psi(\tilde{w}^{r})}{\mu(\tilde{z}_{0})\tilde{p}^{r}(% \tilde{w}^{r}|\tilde{z}_{0})}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I9.i2.p1.1.m1.6d">italic_α ( over~ start_ARG italic_w end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ) = 1 ∧ divide start_ARG italic_μ ( over~ start_ARG italic_w end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_T end_POSTSUBSCRIPT ) over~ start_ARG italic_p end_ARG ( italic_R ( over~ start_ARG italic_w end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ) | over~ start_ARG italic_w start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_T end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ) italic_ψ ( over~ start_ARG italic_w end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ) end_ARG start_ARG italic_μ ( over~ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ) over~ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ( over~ start_ARG italic_w end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT | over~ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ) end_ARG</annotation></semantics></math> if <math alttext="\gamma=-1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I9.i2.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.I9.i2.p1.2.m2.1a"><mrow id="S3.I9.i2.p1.2.m2.1.1" xref="S3.I9.i2.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.I9.i2.p1.2.m2.1.1.2" xref="S3.I9.i2.p1.2.m2.1.1.2.cmml">γ</mi><mo id="S3.I9.i2.p1.2.m2.1.1.1" xref="S3.I9.i2.p1.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.I9.i2.p1.2.m2.1.1.3" xref="S3.I9.i2.p1.2.m2.1.1.3.cmml"><mo id="S3.I9.i2.p1.2.m2.1.1.3a" xref="S3.I9.i2.p1.2.m2.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="S3.I9.i2.p1.2.m2.1.1.3.2" xref="S3.I9.i2.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I9.i2.p1.2.m2.1b"><apply id="S3.I9.i2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.2.m2.1.1"><eq id="S3.I9.i2.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="S3.I9.i2.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.2.m2.1.1.2">𝛾</ci><apply id="S3.I9.i2.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.2.m2.1.1.3"><minus id="S3.I9.i2.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I9.i2.p1.2.m2.1.1.3"></minus><cn id="S3.I9.i2.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.I9.i2.p1.2.m2.1.1.3.2">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I9.i2.p1.2.m2.1c">\gamma=-1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I9.i2.p1.2.m2.1d">italic_γ = - 1</annotation></semantics></math></p> </div> </li> </ol> </div> <div class="ltx_listingline" id="alg1.l4"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline"><span class="ltx_text" id="alg1.l4.1.1.1" style="font-size:80%;">4:</span></span>With probability <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l4.m1.1"><semantics id="alg1.l4.m1.1a"><mi id="alg1.l4.m1.1.1" xref="alg1.l4.m1.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l4.m1.1b"><ci id="alg1.l4.m1.1.1.cmml" xref="alg1.l4.m1.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l4.m1.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l4.m1.1d">italic_α</annotation></semantics></math>, return the point <math alttext="\tilde{w}_{T},-\gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l4.m2.2"><semantics id="alg1.l4.m2.2a"><mrow id="alg1.l4.m2.2.2.2" xref="alg1.l4.m2.2.2.3.cmml"><msub id="alg1.l4.m2.1.1.1.1" xref="alg1.l4.m2.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="alg1.l4.m2.1.1.1.1.2" xref="alg1.l4.m2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="alg1.l4.m2.1.1.1.1.2.2" xref="alg1.l4.m2.1.1.1.1.2.2.cmml">w</mi><mo id="alg1.l4.m2.1.1.1.1.2.1" xref="alg1.l4.m2.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="alg1.l4.m2.1.1.1.1.3" xref="alg1.l4.m2.1.1.1.1.3.cmml">T</mi></msub><mo id="alg1.l4.m2.2.2.2.3" xref="alg1.l4.m2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="alg1.l4.m2.2.2.2.2" xref="alg1.l4.m2.2.2.2.2.cmml"><mo id="alg1.l4.m2.2.2.2.2a" xref="alg1.l4.m2.2.2.2.2.cmml">−</mo><mi id="alg1.l4.m2.2.2.2.2.2" xref="alg1.l4.m2.2.2.2.2.2.cmml">γ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l4.m2.2b"><list id="alg1.l4.m2.2.2.3.cmml" xref="alg1.l4.m2.2.2.2"><apply id="alg1.l4.m2.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l4.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l4.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l4.m2.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="alg1.l4.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="alg1.l4.m2.1.1.1.1.2"><ci id="alg1.l4.m2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="alg1.l4.m2.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="alg1.l4.m2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="alg1.l4.m2.1.1.1.1.2.2">𝑤</ci></apply><ci id="alg1.l4.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="alg1.l4.m2.1.1.1.1.3">𝑇</ci></apply><apply id="alg1.l4.m2.2.2.2.2.cmml" xref="alg1.l4.m2.2.2.2.2"><minus id="alg1.l4.m2.2.2.2.2.1.cmml" xref="alg1.l4.m2.2.2.2.2"></minus><ci id="alg1.l4.m2.2.2.2.2.2.cmml" xref="alg1.l4.m2.2.2.2.2.2">𝛾</ci></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l4.m2.2c">\tilde{w}_{T},-\gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l4.m2.2d">over~ start_ARG italic_w end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_T end_POSTSUBSCRIPT , - italic_γ</annotation></semantics></math> if <math alttext="\gamma=1" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l4.m3.1"><semantics id="alg1.l4.m3.1a"><mrow id="alg1.l4.m3.1.1" xref="alg1.l4.m3.1.1.cmml"><mi id="alg1.l4.m3.1.1.2" xref="alg1.l4.m3.1.1.2.cmml">γ</mi><mo id="alg1.l4.m3.1.1.1" xref="alg1.l4.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="alg1.l4.m3.1.1.3" xref="alg1.l4.m3.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l4.m3.1b"><apply id="alg1.l4.m3.1.1.cmml" xref="alg1.l4.m3.1.1"><eq id="alg1.l4.m3.1.1.1.cmml" xref="alg1.l4.m3.1.1.1"></eq><ci id="alg1.l4.m3.1.1.2.cmml" xref="alg1.l4.m3.1.1.2">𝛾</ci><cn id="alg1.l4.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="alg1.l4.m3.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l4.m3.1c">\gamma=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l4.m3.1d">italic_γ = 1</annotation></semantics></math> or <math alttext="\tilde{w}^{r}_{T},-\gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l4.m4.2"><semantics id="alg1.l4.m4.2a"><mrow id="alg1.l4.m4.2.2.2" xref="alg1.l4.m4.2.2.3.cmml"><msubsup id="alg1.l4.m4.1.1.1.1" xref="alg1.l4.m4.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="alg1.l4.m4.1.1.1.1.2.2" xref="alg1.l4.m4.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="alg1.l4.m4.1.1.1.1.2.2.2" xref="alg1.l4.m4.1.1.1.1.2.2.2.cmml">w</mi><mo id="alg1.l4.m4.1.1.1.1.2.2.1" xref="alg1.l4.m4.1.1.1.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="alg1.l4.m4.1.1.1.1.3" xref="alg1.l4.m4.1.1.1.1.3.cmml">T</mi><mi id="alg1.l4.m4.1.1.1.1.2.3" xref="alg1.l4.m4.1.1.1.1.2.3.cmml">r</mi></msubsup><mo id="alg1.l4.m4.2.2.2.3" xref="alg1.l4.m4.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="alg1.l4.m4.2.2.2.2" xref="alg1.l4.m4.2.2.2.2.cmml"><mo id="alg1.l4.m4.2.2.2.2a" xref="alg1.l4.m4.2.2.2.2.cmml">−</mo><mi id="alg1.l4.m4.2.2.2.2.2" xref="alg1.l4.m4.2.2.2.2.2.cmml">γ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l4.m4.2b"><list id="alg1.l4.m4.2.2.3.cmml" xref="alg1.l4.m4.2.2.2"><apply id="alg1.l4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l4.m4.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l4.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l4.m4.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="alg1.l4.m4.1.1.1.1.2.cmml" xref="alg1.l4.m4.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l4.m4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="alg1.l4.m4.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="alg1.l4.m4.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="alg1.l4.m4.1.1.1.1.2.2"><ci id="alg1.l4.m4.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="alg1.l4.m4.1.1.1.1.2.2.1">~</ci><ci id="alg1.l4.m4.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="alg1.l4.m4.1.1.1.1.2.2.2">𝑤</ci></apply><ci id="alg1.l4.m4.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="alg1.l4.m4.1.1.1.1.2.3">𝑟</ci></apply><ci id="alg1.l4.m4.1.1.1.1.3.cmml" xref="alg1.l4.m4.1.1.1.1.3">𝑇</ci></apply><apply id="alg1.l4.m4.2.2.2.2.cmml" xref="alg1.l4.m4.2.2.2.2"><minus id="alg1.l4.m4.2.2.2.2.1.cmml" xref="alg1.l4.m4.2.2.2.2"></minus><ci id="alg1.l4.m4.2.2.2.2.2.cmml" xref="alg1.l4.m4.2.2.2.2.2">𝛾</ci></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l4.m4.2c">\tilde{w}^{r}_{T},-\gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l4.m4.2d">over~ start_ARG italic_w end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_T end_POSTSUBSCRIPT , - italic_γ</annotation></semantics></math> if <math alttext="\gamma=-1" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l4.m5.1"><semantics id="alg1.l4.m5.1a"><mrow id="alg1.l4.m5.1.1" xref="alg1.l4.m5.1.1.cmml"><mi id="alg1.l4.m5.1.1.2" xref="alg1.l4.m5.1.1.2.cmml">γ</mi><mo id="alg1.l4.m5.1.1.1" xref="alg1.l4.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="alg1.l4.m5.1.1.3" xref="alg1.l4.m5.1.1.3.cmml"><mo id="alg1.l4.m5.1.1.3a" xref="alg1.l4.m5.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="alg1.l4.m5.1.1.3.2" xref="alg1.l4.m5.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l4.m5.1b"><apply id="alg1.l4.m5.1.1.cmml" xref="alg1.l4.m5.1.1"><eq id="alg1.l4.m5.1.1.1.cmml" xref="alg1.l4.m5.1.1.1"></eq><ci id="alg1.l4.m5.1.1.2.cmml" xref="alg1.l4.m5.1.1.2">𝛾</ci><apply id="alg1.l4.m5.1.1.3.cmml" xref="alg1.l4.m5.1.1.3"><minus id="alg1.l4.m5.1.1.3.1.cmml" xref="alg1.l4.m5.1.1.3"></minus><cn id="alg1.l4.m5.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="alg1.l4.m5.1.1.3.2">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l4.m5.1c">\gamma=-1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l4.m5.1d">italic_γ = - 1</annotation></semantics></math> </div> <div class="ltx_listingline" id="alg1.l5"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline"><span class="ltx_text" id="alg1.l5.1.1.1" style="font-size:80%;">5:</span></span>Otherwise return <math alttext="\tilde{z}_{0},\gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l5.m1.2"><semantics id="alg1.l5.m1.2a"><mrow id="alg1.l5.m1.2.2.1" xref="alg1.l5.m1.2.2.2.cmml"><msub id="alg1.l5.m1.2.2.1.1" xref="alg1.l5.m1.2.2.1.1.cmml"><mover accent="true" id="alg1.l5.m1.2.2.1.1.2" xref="alg1.l5.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="alg1.l5.m1.2.2.1.1.2.2" xref="alg1.l5.m1.2.2.1.1.2.2.cmml">z</mi><mo id="alg1.l5.m1.2.2.1.1.2.1" xref="alg1.l5.m1.2.2.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="alg1.l5.m1.2.2.1.1.3" xref="alg1.l5.m1.2.2.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="alg1.l5.m1.2.2.1.2" xref="alg1.l5.m1.2.2.2.cmml">,</mo><mi id="alg1.l5.m1.1.1" xref="alg1.l5.m1.1.1.cmml">γ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l5.m1.2b"><list id="alg1.l5.m1.2.2.2.cmml" xref="alg1.l5.m1.2.2.1"><apply id="alg1.l5.m1.2.2.1.1.cmml" xref="alg1.l5.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l5.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="alg1.l5.m1.2.2.1.1">subscript</csymbol><apply id="alg1.l5.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="alg1.l5.m1.2.2.1.1.2"><ci id="alg1.l5.m1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="alg1.l5.m1.2.2.1.1.2.1">~</ci><ci id="alg1.l5.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="alg1.l5.m1.2.2.1.1.2.2">𝑧</ci></apply><cn id="alg1.l5.m1.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="alg1.l5.m1.2.2.1.1.3">0</cn></apply><ci id="alg1.l5.m1.1.1.cmml" xref="alg1.l5.m1.1.1">𝛾</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l5.m1.2c">\tilde{z}_{0},\gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l5.m1.2d">over~ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT , italic_γ</annotation></semantics></math> </div> </div> </figure> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_theorem" id="Thmtheorem1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem1.1.1.1">Theorem 1</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem1.2.2"> </span>(Metropolis-corrected PDMP)<span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem1.3.3">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem1.p1"> <ol class="ltx_enumerate" id="S3.I10"> <li class="ltx_item" id="S3.I10.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">1.</span> <div class="ltx_para" id="S3.I10.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I10.i1.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I10.i1.p1.2.1">The Metropolis adjusted PDMP Markov kernel verifies detailed balance for the product between </span><math alttext="\mu" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I10.i1.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.I10.i1.p1.1.m1.1a"><mi id="S3.I10.i1.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I10.i1.p1.1.m1.1.1.cmml">μ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I10.i1.p1.1.m1.1b"><ci id="S3.I10.i1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I10.i1.p1.1.m1.1.1">𝜇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I10.i1.p1.1.m1.1c">\mu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I10.i1.p1.1.m1.1d">italic_μ</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I10.i1.p1.2.2"> and a uniform probability on the space </span><math alttext="E\times\{-1,-1\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I10.i1.p1.2.m2.2"><semantics id="S3.I10.i1.p1.2.m2.2a"><mrow id="S3.I10.i1.p1.2.m2.2.2" xref="S3.I10.i1.p1.2.m2.2.2.cmml"><mi id="S3.I10.i1.p1.2.m2.2.2.4" xref="S3.I10.i1.p1.2.m2.2.2.4.cmml">E</mi><mo id="S3.I10.i1.p1.2.m2.2.2.3" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.I10.i1.p1.2.m2.2.2.3.cmml">×</mo><mrow id="S3.I10.i1.p1.2.m2.2.2.2.2" xref="S3.I10.i1.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.I10.i1.p1.2.m2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.I10.i1.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml">{</mo><mrow id="S3.I10.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S3.I10.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.I10.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1a" xref="S3.I10.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S3.I10.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.I10.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.I10.i1.p1.2.m2.2.2.2.2.4" xref="S3.I10.i1.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S3.I10.i1.p1.2.m2.2.2.2.2.2" xref="S3.I10.i1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S3.I10.i1.p1.2.m2.2.2.2.2.2a" xref="S3.I10.i1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.cmml">−</mo><mn id="S3.I10.i1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.I10.i1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.I10.i1.p1.2.m2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.I10.i1.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I10.i1.p1.2.m2.2b"><apply id="S3.I10.i1.p1.2.m2.2.2.cmml" xref="S3.I10.i1.p1.2.m2.2.2"><times id="S3.I10.i1.p1.2.m2.2.2.3.cmml" xref="S3.I10.i1.p1.2.m2.2.2.3"></times><ci id="S3.I10.i1.p1.2.m2.2.2.4.cmml" xref="S3.I10.i1.p1.2.m2.2.2.4">𝐸</ci><set id="S3.I10.i1.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.I10.i1.p1.2.m2.2.2.2.2"><apply id="S3.I10.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I10.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1"><minus id="S3.I10.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I10.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S3.I10.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.I10.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2">1</cn></apply><apply id="S3.I10.i1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I10.i1.p1.2.m2.2.2.2.2.2"><minus id="S3.I10.i1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.I10.i1.p1.2.m2.2.2.2.2.2"></minus><cn id="S3.I10.i1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.I10.i1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.2">1</cn></apply></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I10.i1.p1.2.m2.2c">E\times\{-1,-1\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I10.i1.p1.2.m2.2d">italic_E × { - 1 , - 1 }</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I10.i1.p1.2.3">.</span></p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S3.I10.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">2.</span> <div class="ltx_para" id="S3.I10.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I10.i2.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I10.i2.p1.1.1">If the approximated process is the exact process, the acceptance probability is 1.</span></p> </div> </li> </ol> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S3.SS4.2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="S3.SS4.2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS4.2.p1.2">1. We write <math alttext="\tilde{q}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.2.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS4.2.p1.1.m1.1a"><mover accent="true" id="S3.SS4.2.p1.1.m1.1.1" xref="S3.SS4.2.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS4.2.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS4.2.p1.1.m1.1.1.2.cmml">q</mi><mo id="S3.SS4.2.p1.1.m1.1.1.1" xref="S3.SS4.2.p1.1.m1.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.2.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.SS4.2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.2.p1.1.m1.1.1"><ci id="S3.SS4.2.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.2.p1.1.m1.1.1.1">~</ci><ci id="S3.SS4.2.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.2.p1.1.m1.1.1.2">𝑞</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.2.p1.1.m1.1c">\tilde{q}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.2.p1.1.m1.1d">over~ start_ARG italic_q end_ARG</annotation></semantics></math> the Markov kernel. To prove detailed balance, it is enough to prove that for any <math alttext="A,B\subset E" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.2.p1.2.m2.2"><semantics id="S3.SS4.2.p1.2.m2.2a"><mrow id="S3.SS4.2.p1.2.m2.2.3" xref="S3.SS4.2.p1.2.m2.2.3.cmml"><mrow id="S3.SS4.2.p1.2.m2.2.3.2.2" xref="S3.SS4.2.p1.2.m2.2.3.2.1.cmml"><mi id="S3.SS4.2.p1.2.m2.1.1" xref="S3.SS4.2.p1.2.m2.1.1.cmml">A</mi><mo id="S3.SS4.2.p1.2.m2.2.3.2.2.1" xref="S3.SS4.2.p1.2.m2.2.3.2.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS4.2.p1.2.m2.2.2" xref="S3.SS4.2.p1.2.m2.2.2.cmml">B</mi></mrow><mo id="S3.SS4.2.p1.2.m2.2.3.1" xref="S3.SS4.2.p1.2.m2.2.3.1.cmml">⊂</mo><mi id="S3.SS4.2.p1.2.m2.2.3.3" xref="S3.SS4.2.p1.2.m2.2.3.3.cmml">E</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.2.p1.2.m2.2b"><apply id="S3.SS4.2.p1.2.m2.2.3.cmml" xref="S3.SS4.2.p1.2.m2.2.3"><subset id="S3.SS4.2.p1.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS4.2.p1.2.m2.2.3.1"></subset><list id="S3.SS4.2.p1.2.m2.2.3.2.1.cmml" xref="S3.SS4.2.p1.2.m2.2.3.2.2"><ci id="S3.SS4.2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS4.2.p1.2.m2.1.1">𝐴</ci><ci id="S3.SS4.2.p1.2.m2.2.2.cmml" xref="S3.SS4.2.p1.2.m2.2.2">𝐵</ci></list><ci id="S3.SS4.2.p1.2.m2.2.3.3.cmml" xref="S3.SS4.2.p1.2.m2.2.3.3">𝐸</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.2.p1.2.m2.2c">A,B\subset E</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.2.p1.2.m2.2d">italic_A , italic_B ⊂ italic_E</annotation></semantics></math>:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E5"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\int_{A}\mu(z)\tilde{q}(B\times\{-1\}|z)dz=\int_{B}\mu(z)\tilde{q}^{r}(A\times% \{1\}|z)dz." class="ltx_Math" display="block" id="S3.E5.m1.4"><semantics id="S3.E5.m1.4a"><mrow id="S3.E5.m1.4.4.1" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S3.E5.m1.4.4.1.1" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S3.E5.m1.4.4.1.1.1" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.2.2" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.2.3" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.2.3.cmml">A</mi></msub><mrow id="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml">μ</mi><mo id="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.4.2" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E5.m1.1.1" xref="S3.E5.m1.1.1.cmml">z</mi><mo id="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.2a" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.5" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.5.2" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.5.2.cmml">q</mi><mo id="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.5.1" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.5.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.2b" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">B</mi><mo id="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">×</mo><mrow id="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow></mrow><mo fence="false" id="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">|</mo><mi id="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">z</mi></mrow><mo id="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.2c" lspace="0em" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.6" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.6.cmml"><mo id="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.6.1" rspace="0em" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.6.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.6.2" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.6.2.cmml">z</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3" rspace="0.111em" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.E5.m1.4.4.1.1.2" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.cmml"><msub id="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.2.cmml"><mo id="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.2.2" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.2.3" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml">B</mi></msub><mrow id="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.cmml"><mi id="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.3" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.3.cmml">μ</mi><mo id="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.2" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.4.2" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.cmml"><mo id="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E5.m1.2.2" xref="S3.E5.m1.2.2.cmml">z</mi><mo id="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.2a" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.5" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.5.cmml"><mover accent="true" id="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.5.2" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.5.2.cmml"><mi id="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.5.2.2" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.5.2.2.cmml">q</mi><mo id="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.5.2.1" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.5.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.5.3" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.5.3.cmml">r</mi></msup><mo id="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.2b" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.1.1" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml">A</mi><mo id="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml">×</mo><mrow id="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml">{</mo><mn id="S3.E5.m1.3.3" xref="S3.E5.m1.3.3.cmml">1</mn><mo id="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><mo fence="false" id="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml">z</mi></mrow><mo id="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.2c" lspace="0em" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.6" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.6.cmml"><mo id="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.6.1" rspace="0em" 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xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.3">𝜇</ci><ci id="S3.E5.m1.1.1.cmml" xref="S3.E5.m1.1.1">𝑧</ci><apply id="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.5.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.5"><ci id="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.5.1">~</ci><ci id="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.5.2">𝑞</ci></apply><apply id="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2">conditional</csymbol><apply id="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝐵</ci><set id="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus 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xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><apply id="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2"><times id="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2">𝐴</ci><set id="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.3.2"><cn id="S3.E5.m1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E5.m1.3.3">1</cn></set></apply><ci id="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3">𝑧</ci></apply><apply id="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.6.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.6"><csymbol cd="latexml" id="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.6.1.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.6.1">differential-d</csymbol><ci id="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.6.2.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.6.2">𝑧</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E5.m1.4c">\int_{A}\mu(z)\tilde{q}(B\times\{-1\}|z)dz=\int_{B}\mu(z)\tilde{q}^{r}(A\times% \{1\}|z)dz.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E5.m1.4d">∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_A end_POSTSUBSCRIPT italic_μ ( italic_z ) over~ start_ARG italic_q end_ARG ( italic_B × { - 1 } | italic_z ) italic_d italic_z = ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_B end_POSTSUBSCRIPT italic_μ ( italic_z ) over~ start_ARG italic_q end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_A × { 1 } | italic_z ) italic_d italic_z .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(5)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS4.2.p1.4">We have that</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex27"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\int_{A}\mu(z)\tilde{q}(B\times\{-1\}|z)dz=\int_{W}\mu(w_{0})\tilde{p}(w|w_{0}% )1_{A}(w_{0})1_{B}(w_{T})\alpha(w)dw" class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex27.m1.7"><semantics id="S3.Ex27.m1.7a"><mrow id="S3.Ex27.m1.7.7" xref="S3.Ex27.m1.7.7.cmml"><mrow id="S3.Ex27.m1.3.3.1" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.cmml"><msub id="S3.Ex27.m1.3.3.1.2" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex27.m1.3.3.1.2.2" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.Ex27.m1.3.3.1.2.3" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.2.3.cmml">A</mi></msub><mrow id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.3" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.3.cmml">μ</mi><mo id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.4.2" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex27.m1.1.1" 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xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">×</mo><mrow id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow></mrow><mo fence="false" id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">|</mo><mi id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml">z</mi></mrow><mo id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2c" lspace="0em" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.6" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.6.cmml"><mo id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.6.1" rspace="0em" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.6.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.6.2" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.6.2.cmml">z</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex27.m1.7.7.6" rspace="0.111em" xref="S3.Ex27.m1.7.7.6.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex27.m1.7.7.5" xref="S3.Ex27.m1.7.7.5.cmml"><msub id="S3.Ex27.m1.7.7.5.5" xref="S3.Ex27.m1.7.7.5.5.cmml"><mo id="S3.Ex27.m1.7.7.5.5.2" xref="S3.Ex27.m1.7.7.5.5.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.Ex27.m1.7.7.5.5.3" xref="S3.Ex27.m1.7.7.5.5.3.cmml">W</mi></msub><mrow id="S3.Ex27.m1.7.7.5.4" xref="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.cmml"><mi id="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.6" xref="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.6.cmml">μ</mi><mo id="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.5" xref="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex27.m1.4.4.2.1.1.1" xref="S3.Ex27.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex27.m1.4.4.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex27.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.Ex27.m1.4.4.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex27.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex27.m1.4.4.2.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex27.m1.4.4.2.1.1.1.1.2.cmml">w</mi><mn id="S3.Ex27.m1.4.4.2.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex27.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.Ex27.m1.4.4.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex27.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.5a" xref="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.5.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.7" xref="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.7.cmml"><mi id="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.7.2" xref="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.7.2.cmml">p</mi><mo id="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.7.1" xref="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.7.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.5b" xref="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex27.m1.5.5.3.2.2.1" xref="S3.Ex27.m1.5.5.3.2.2.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex27.m1.5.5.3.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex27.m1.5.5.3.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex27.m1.5.5.3.2.2.1.1" xref="S3.Ex27.m1.5.5.3.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex27.m1.5.5.3.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex27.m1.5.5.3.2.2.1.1.2.cmml">w</mi><mo fence="false" id="S3.Ex27.m1.5.5.3.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex27.m1.5.5.3.2.2.1.1.1.cmml">|</mo><msub id="S3.Ex27.m1.5.5.3.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex27.m1.5.5.3.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex27.m1.5.5.3.2.2.1.1.3.2" xref="S3.Ex27.m1.5.5.3.2.2.1.1.3.2.cmml">w</mi><mn id="S3.Ex27.m1.5.5.3.2.2.1.1.3.3" xref="S3.Ex27.m1.5.5.3.2.2.1.1.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow><mo id="S3.Ex27.m1.5.5.3.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex27.m1.5.5.3.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.5c" xref="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.5.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.8" xref="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.8.cmml"><mn id="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.8.2" xref="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.8.2.cmml">1</mn><mi id="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.8.3" xref="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.8.3.cmml">A</mi></msub><mo id="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.5d" xref="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex27.m1.6.6.4.3.3.1" xref="S3.Ex27.m1.6.6.4.3.3.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex27.m1.6.6.4.3.3.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex27.m1.6.6.4.3.3.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.Ex27.m1.6.6.4.3.3.1.1" xref="S3.Ex27.m1.6.6.4.3.3.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex27.m1.6.6.4.3.3.1.1.2" xref="S3.Ex27.m1.6.6.4.3.3.1.1.2.cmml">w</mi><mn id="S3.Ex27.m1.6.6.4.3.3.1.1.3" xref="S3.Ex27.m1.6.6.4.3.3.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.Ex27.m1.6.6.4.3.3.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex27.m1.6.6.4.3.3.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.5e" xref="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.5.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.9" xref="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.9.cmml"><mn id="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.9.2" xref="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.9.2.cmml">1</mn><mi id="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.9.3" xref="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.9.3.cmml">B</mi></msub><mo id="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.5f" xref="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.4.1" xref="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.4.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.4.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.4.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.4.1.1" xref="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.4.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.4.1.1.2" xref="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.4.1.1.2.cmml">w</mi><mi id="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.4.1.1.3" xref="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.4.1.1.3.cmml">T</mi></msub><mo id="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.4.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.4.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.5g" xref="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.5.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.10" xref="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.10.cmml">α</mi><mo id="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.5h" xref="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.11.2" xref="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.cmml"><mo id="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.11.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex27.m1.2.2" xref="S3.Ex27.m1.2.2.cmml">w</mi><mo id="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.11.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.5i" lspace="0em" xref="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.12" xref="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.12.cmml"><mo id="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.12.1" rspace="0em" xref="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.12.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.12.2" xref="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.12.2.cmml">w</mi></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex27.m1.7b"><apply id="S3.Ex27.m1.7.7.cmml" xref="S3.Ex27.m1.7.7"><eq id="S3.Ex27.m1.7.7.6.cmml" xref="S3.Ex27.m1.7.7.6"></eq><apply id="S3.Ex27.m1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1"><apply id="S3.Ex27.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex27.m1.3.3.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.2">subscript</csymbol><int id="S3.Ex27.m1.3.3.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.2.2"></int><ci id="S3.Ex27.m1.3.3.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.2.3">𝐴</ci></apply><apply id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1"><times id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2"></times><ci id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.3">𝜇</ci><ci id="S3.Ex27.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.1.1">𝑧</ci><apply id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.5.cmml" 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id="S3.Ex27.m1.5.5.3.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.3.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex27.m1.5.5.3.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.3.2.2.1.1.3.2">𝑤</ci><cn id="S3.Ex27.m1.5.5.3.2.2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex27.m1.5.5.3.2.2.1.1.3.3">0</cn></apply></apply><apply id="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.8.cmml" xref="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.8.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.8">subscript</csymbol><cn id="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.8.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.8.2">1</cn><ci id="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.8.3.cmml" xref="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.8.3">𝐴</ci></apply><apply id="S3.Ex27.m1.6.6.4.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.6.6.4.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex27.m1.6.6.4.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.6.6.4.3.3.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex27.m1.6.6.4.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.6.6.4.3.3.1.1.2">𝑤</ci><cn id="S3.Ex27.m1.6.6.4.3.3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex27.m1.6.6.4.3.3.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.9.cmml" xref="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.9"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.9.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.9">subscript</csymbol><cn id="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.9.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.9.2">1</cn><ci id="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.9.3.cmml" xref="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.9.3">𝐵</ci></apply><apply id="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.4.1.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.4.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.4.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.4.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.4.1.1.2">𝑤</ci><ci id="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.4.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.4.1.1.3">𝑇</ci></apply><ci id="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.10.cmml" xref="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.10">𝛼</ci><ci id="S3.Ex27.m1.2.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.2.2">𝑤</ci><apply id="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.12.cmml" xref="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.12"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.12.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.12.1">differential-d</csymbol><ci id="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.12.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.7.7.5.4.12.2">𝑤</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex27.m1.7c">\int_{A}\mu(z)\tilde{q}(B\times\{-1\}|z)dz=\int_{W}\mu(w_{0})\tilde{p}(w|w_{0}% )1_{A}(w_{0})1_{B}(w_{T})\alpha(w)dw</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex27.m1.7d">∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_A end_POSTSUBSCRIPT italic_μ ( italic_z ) over~ start_ARG italic_q end_ARG ( italic_B × { - 1 } | italic_z ) italic_d italic_z = ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_W end_POSTSUBSCRIPT italic_μ ( italic_w start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ) over~ start_ARG italic_p end_ARG ( italic_w | italic_w start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ) 1 start_POSTSUBSCRIPT italic_A end_POSTSUBSCRIPT ( italic_w start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ) 1 start_POSTSUBSCRIPT italic_B end_POSTSUBSCRIPT ( italic_w start_POSTSUBSCRIPT italic_T 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xref="S3.Ex28.m1.3.3.1.cmml"><mi id="S3.Ex28.m1.3.3.1.3" xref="S3.Ex28.m1.3.3.1.3.cmml">μ</mi><mo id="S3.Ex28.m1.3.3.1.2" xref="S3.Ex28.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex28.m1.3.3.1.4.2" xref="S3.Ex28.m1.3.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex28.m1.3.3.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex28.m1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex28.m1.1.1" xref="S3.Ex28.m1.1.1.cmml">z</mi><mo id="S3.Ex28.m1.3.3.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex28.m1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex28.m1.3.3.1.2a" xref="S3.Ex28.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex28.m1.3.3.1.5" xref="S3.Ex28.m1.3.3.1.5.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex28.m1.3.3.1.5.2" xref="S3.Ex28.m1.3.3.1.5.2.cmml"><mi id="S3.Ex28.m1.3.3.1.5.2.2" xref="S3.Ex28.m1.3.3.1.5.2.2.cmml">q</mi><mo id="S3.Ex28.m1.3.3.1.5.2.1" xref="S3.Ex28.m1.3.3.1.5.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.Ex28.m1.3.3.1.5.3" xref="S3.Ex28.m1.3.3.1.5.3.cmml">r</mi></msup><mo id="S3.Ex28.m1.3.3.1.2b" xref="S3.Ex28.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex28.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex28.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S3.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">A</mi><mo id="S3.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml">×</mo><mrow id="S3.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.1.cmml">{</mo><mn id="S3.Ex28.m1.2.2" xref="S3.Ex28.m1.2.2.cmml">1</mn><mo id="S3.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><mo fence="false" id="S3.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">z</mi></mrow><mo id="S3.Ex28.m1.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex28.m1.3.3.1.2c" lspace="0em" xref="S3.Ex28.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex28.m1.3.3.1.6" xref="S3.Ex28.m1.3.3.1.6.cmml"><mo id="S3.Ex28.m1.3.3.1.6.1" rspace="0em" xref="S3.Ex28.m1.3.3.1.6.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.Ex28.m1.3.3.1.6.2" xref="S3.Ex28.m1.3.3.1.6.2.cmml">z</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex28.m1.3b"><apply id="S3.Ex28.m1.3.3.cmml" xref="S3.Ex28.m1.3.3"><apply id="S3.Ex28.m1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex28.m1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex28.m1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex28.m1.3.3.2">subscript</csymbol><int id="S3.Ex28.m1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex28.m1.3.3.2.2"></int><ci id="S3.Ex28.m1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex28.m1.3.3.2.3">𝐵</ci></apply><apply id="S3.Ex28.m1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex28.m1.3.3.1"><times id="S3.Ex28.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S3.Ex28.m1.3.3.1.2"></times><ci id="S3.Ex28.m1.3.3.1.3.cmml" xref="S3.Ex28.m1.3.3.1.3">𝜇</ci><ci id="S3.Ex28.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex28.m1.1.1">𝑧</ci><apply id="S3.Ex28.m1.3.3.1.5.cmml" xref="S3.Ex28.m1.3.3.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex28.m1.3.3.1.5.1.cmml" xref="S3.Ex28.m1.3.3.1.5">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex28.m1.3.3.1.5.2.cmml" xref="S3.Ex28.m1.3.3.1.5.2"><ci id="S3.Ex28.m1.3.3.1.5.2.1.cmml" xref="S3.Ex28.m1.3.3.1.5.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex28.m1.3.3.1.5.2.2.cmml" xref="S3.Ex28.m1.3.3.1.5.2.2">𝑞</ci></apply><ci id="S3.Ex28.m1.3.3.1.5.3.cmml" xref="S3.Ex28.m1.3.3.1.5.3">𝑟</ci></apply><apply id="S3.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex28.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><apply id="S3.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.2"><times id="S3.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S3.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" 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italic_z</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\int_{W^{r}}\mu(w^{r}_{0})\tilde{p}^{r}(w^{r}|w^{r}_{0})1_{A}(w^% {r}_{T})1_{B}(w^{r}_{0})\alpha(w^{r})dw^{r}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex28.m2.5"><semantics id="S3.Ex28.m2.5a"><mrow id="S3.Ex28.m2.5.5" xref="S3.Ex28.m2.5.5.cmml"><mi id="S3.Ex28.m2.5.5.7" xref="S3.Ex28.m2.5.5.7.cmml"></mi><mo id="S3.Ex28.m2.5.5.6" xref="S3.Ex28.m2.5.5.6.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex28.m2.5.5.5" xref="S3.Ex28.m2.5.5.5.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex28.m2.5.5.5.6" xref="S3.Ex28.m2.5.5.5.6.cmml"><msub id="S3.Ex28.m2.5.5.5.6a" xref="S3.Ex28.m2.5.5.5.6.cmml"><mo id="S3.Ex28.m2.5.5.5.6.2" xref="S3.Ex28.m2.5.5.5.6.2.cmml">∫</mo><msup id="S3.Ex28.m2.5.5.5.6.3" xref="S3.Ex28.m2.5.5.5.6.3.cmml"><mi id="S3.Ex28.m2.5.5.5.6.3.2" xref="S3.Ex28.m2.5.5.5.6.3.2.cmml">W</mi><mi id="S3.Ex28.m2.5.5.5.6.3.3" xref="S3.Ex28.m2.5.5.5.6.3.3.cmml">r</mi></msup></msub></mstyle><mrow id="S3.Ex28.m2.5.5.5.5" xref="S3.Ex28.m2.5.5.5.5.cmml"><mi id="S3.Ex28.m2.5.5.5.5.7" xref="S3.Ex28.m2.5.5.5.5.7.cmml">μ</mi><mo id="S3.Ex28.m2.5.5.5.5.6" xref="S3.Ex28.m2.5.5.5.5.6.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex28.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex28.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex28.m2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex28.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="S3.Ex28.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex28.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex28.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex28.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">w</mi><mn id="S3.Ex28.m2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex28.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn><mi id="S3.Ex28.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex28.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">r</mi></msubsup><mo id="S3.Ex28.m2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex28.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex28.m2.5.5.5.5.6a" xref="S3.Ex28.m2.5.5.5.5.6.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex28.m2.5.5.5.5.8" xref="S3.Ex28.m2.5.5.5.5.8.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex28.m2.5.5.5.5.8.2" 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start_POSTSUBSCRIPT italic_A end_POSTSUBSCRIPT ( italic_w start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_T end_POSTSUBSCRIPT ) 1 start_POSTSUBSCRIPT italic_B end_POSTSUBSCRIPT ( italic_w start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ) italic_α ( italic_w start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_d italic_w start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex29"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\int_{W}\mu(R(w)_{0})\tilde{p}^{r}(R(w)|R(w)_{0})1_{A}(w_{0})1_{% B}(w_{T})\alpha(R(w))\frac{1}{\psi(R(w))}dw^{r}." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex29.m1.7"><semantics id="S3.Ex29.m1.7a"><mrow id="S3.Ex29.m1.7.7.1" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.7" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.7.cmml"></mi><mo id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.6" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.6.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.6" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.6.cmml"><msub id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.6a" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.6.cmml"><mo id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.6.2" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.6.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.6.3" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.6.3.cmml">W</mi></msub></mstyle><mrow id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.cmml"><mi id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.7" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.7.cmml">μ</mi><mo id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.6" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.6.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo 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id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.2.2" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.2.2.cmml">R</mi><mo id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.2.1" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex29.m1.4.4" xref="S3.Ex29.m1.4.4.cmml">w</mi><mo id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo fence="false" id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.3.2" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.3.2.cmml">R</mi><mo id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.3.1" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.3.3" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.3.3.cmml"><mrow id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.3.3.2.2" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.3.3.cmml"><mo id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.3.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.3.3.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex29.m1.5.5" xref="S3.Ex29.m1.5.5.cmml">w</mi><mo id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.3.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.3.3.cmml">)</mo></mrow><mn id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.3.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow></mrow><mo id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.6c" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.6.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.9" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.9.cmml"><mn id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.9.2" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.9.2.cmml">1</mn><mi id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.9.3" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.9.3.cmml">A</mi></msub><mo id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.6d" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.6.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.3.3.3.1" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.3.3.3.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.3.3.3.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.3.3.3.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.3.3.3.1.1" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.3.3.3.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.3.3.3.1.1.2" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.3.3.3.1.1.2.cmml">w</mi><mn id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.3.3.3.1.1.3" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.3.3.3.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.3.3.3.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.3.3.3.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.6e" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.6.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.10" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.10.cmml"><mn id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.10.2" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.10.2.cmml">1</mn><mi id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.10.3" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.10.3.cmml">B</mi></msub><mo id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.6f" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.6.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.4.4.4.1" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.4.4.4.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.4.4.4.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.4.4.4.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.4.4.4.1.1" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.4.4.4.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.4.4.4.1.1.2" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.4.4.4.1.1.2.cmml">w</mi><mi id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.4.4.4.1.1.3" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.4.4.4.1.1.3.cmml">T</mi></msub><mo id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.4.4.4.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.4.4.4.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.6g" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.6.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.11" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.11.cmml">α</mi><mo id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.6h" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.6.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.5.1" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.5.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.5.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.5.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.5.1.1" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.5.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.5.1.1.2" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.5.1.1.2.cmml">R</mi><mo id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.5.1.1.1" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.5.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.5.1.1.3.2" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.5.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.5.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.5.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex29.m1.6.6" xref="S3.Ex29.m1.6.6.cmml">w</mi><mo id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.5.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.5.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.5.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.5.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.6i" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.6.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex29.m1.2.2" xref="S3.Ex29.m1.2.2.cmml"><mfrac id="S3.Ex29.m1.2.2a" xref="S3.Ex29.m1.2.2.cmml"><mn id="S3.Ex29.m1.2.2.4" xref="S3.Ex29.m1.2.2.4.cmml">1</mn><mrow id="S3.Ex29.m1.2.2.2" xref="S3.Ex29.m1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex29.m1.2.2.2.4" xref="S3.Ex29.m1.2.2.2.4.cmml">ψ</mi><mo id="S3.Ex29.m1.2.2.2.3" xref="S3.Ex29.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex29.m1.2.2.2.2.1" xref="S3.Ex29.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex29.m1.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex29.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex29.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S3.Ex29.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex29.m1.2.2.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex29.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml">R</mi><mo id="S3.Ex29.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex29.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex29.m1.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="S3.Ex29.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex29.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex29.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex29.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.cmml">w</mi><mo id="S3.Ex29.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex29.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex29.m1.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex29.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.6j" lspace="0em" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.6.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.12" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.12.cmml"><mo id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.12.1" rspace="0em" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.12.1.cmml">𝑑</mo><msup id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.12.2" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.12.2.cmml"><mi id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.12.2.2" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.12.2.2.cmml">w</mi><mi id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.12.2.3" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.12.2.3.cmml">r</mi></msup></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex29.m1.7.7.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex29.m1.7b"><apply id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.cmml" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1"><eq id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.6.cmml" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.6"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.7.cmml" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.7">absent</csymbol><apply id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.cmml" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5"><apply id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.6.cmml" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.6.1.cmml" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.6">subscript</csymbol><int id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.6.2.cmml" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.6.2"></int><ci id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.6.3.cmml" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.6.3">𝑊</ci></apply><apply id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.cmml" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5"><times id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.6.cmml" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.6"></times><ci id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.7.cmml" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.7">𝜇</ci><apply id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑅</ci><apply id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex29.m1.3.3.cmml" xref="S3.Ex29.m1.3.3">𝑤</ci><cn id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.3">0</cn></apply></apply><apply id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.8.cmml" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.8.1.cmml" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.8">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.8.2.cmml" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.8.2"><ci id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.8.2.1.cmml" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.8.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.8.2.2.cmml" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.8.2.2">𝑝</ci></apply><ci id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.8.3.cmml" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.8.3">𝑟</ci></apply><apply id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.2.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1">conditional</csymbol><apply id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.2"><times id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.2.1"></times><ci id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.2.2">𝑅</ci><ci id="S3.Ex29.m1.4.4.cmml" xref="S3.Ex29.m1.4.4">𝑤</ci></apply><apply id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.3"><times id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.3.1"></times><ci id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.3.2">𝑅</ci><apply id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex29.m1.5.5.cmml" xref="S3.Ex29.m1.5.5">𝑤</ci><cn id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.3.3.3">0</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.9.cmml" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.9"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.9.1.cmml" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.9">subscript</csymbol><cn id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.9.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.9.2">1</cn><ci id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.9.3.cmml" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.9.3">𝐴</ci></apply><apply id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.3.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.3.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.3.3.3.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.3.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.3.3.3.1.1.2">𝑤</ci><cn id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.3.3.3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.3.3.3.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.10.cmml" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.10"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.10.1.cmml" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.10">subscript</csymbol><cn id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.10.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.10.2">1</cn><ci id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.10.3.cmml" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.10.3">𝐵</ci></apply><apply id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.4.4.4.1.1.cmml" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.4.4.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.4.4.4.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.4.4.4.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.4.4.4.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.4.4.4.1.1.2">𝑤</ci><ci id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.4.4.4.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.4.4.4.1.1.3">𝑇</ci></apply><ci id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.11.cmml" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.11">𝛼</ci><apply id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.5.1.1.cmml" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.5.1"><times id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.5.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.5.1.1.1"></times><ci id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.5.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.5.1.1.2">𝑅</ci><ci id="S3.Ex29.m1.6.6.cmml" xref="S3.Ex29.m1.6.6">𝑤</ci></apply><apply id="S3.Ex29.m1.2.2.cmml" xref="S3.Ex29.m1.2.2"><divide id="S3.Ex29.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex29.m1.2.2"></divide><cn id="S3.Ex29.m1.2.2.4.cmml" type="integer" xref="S3.Ex29.m1.2.2.4">1</cn><apply id="S3.Ex29.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex29.m1.2.2.2"><times id="S3.Ex29.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex29.m1.2.2.2.3"></times><ci id="S3.Ex29.m1.2.2.2.4.cmml" xref="S3.Ex29.m1.2.2.2.4">𝜓</ci><apply id="S3.Ex29.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex29.m1.2.2.2.2.1"><times id="S3.Ex29.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex29.m1.2.2.2.2.1.1.1"></times><ci id="S3.Ex29.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex29.m1.2.2.2.2.1.1.2">𝑅</ci><ci id="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex29.m1.1.1.1.1">𝑤</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.12.cmml" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.12"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.12.1.cmml" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.12.1">differential-d</csymbol><apply id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.12.2.cmml" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.12.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.12.2.1.cmml" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.12.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.12.2.2.cmml" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.12.2.2">𝑤</ci><ci id="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.12.2.3.cmml" xref="S3.Ex29.m1.7.7.1.1.5.5.12.2.3">𝑟</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex29.m1.7c">\displaystyle=\int_{W}\mu(R(w)_{0})\tilde{p}^{r}(R(w)|R(w)_{0})1_{A}(w_{0})1_{% B}(w_{T})\alpha(R(w))\frac{1}{\psi(R(w))}dw^{r}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex29.m1.7d">= ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_W end_POSTSUBSCRIPT italic_μ ( italic_R ( italic_w ) start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ) over~ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_R ( italic_w ) | italic_R ( italic_w ) start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ) 1 start_POSTSUBSCRIPT italic_A end_POSTSUBSCRIPT ( italic_w start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ) 1 start_POSTSUBSCRIPT italic_B end_POSTSUBSCRIPT ( italic_w start_POSTSUBSCRIPT italic_T end_POSTSUBSCRIPT ) italic_α ( italic_R ( italic_w ) ) divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_ψ ( italic_R ( italic_w ) ) end_ARG italic_d italic_w start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS4.2.p1.6">Equation <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S3.E5" title="In Proof. ‣ 3.4 Metropolis-Adjustment of PDMP Discretisations ‣ 3 Practical Simulation of PDMPs through Metropolis Adjustment ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a> is therefore equivalent to</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex30"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mu(w_{0})\tilde{p}(w|w_{0})\alpha(w)=\mu(R(w)_{0})\tilde{p}^{r}(R(w)|R(w)_{0}% )\alpha(R(w))\frac{1}{\psi(R(w))}," class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex30.m1.8"><semantics id="S3.Ex30.m1.8a"><mrow id="S3.Ex30.m1.8.8.1" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.4" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.4.cmml">μ</mi><mo id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.3" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.cmml">w</mi><mn id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.3a" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.5" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.5.cmml"><mi id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.5.2" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.5.2.cmml">p</mi><mo id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.5.1" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.5.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.3b" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.2.1" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.2.1.1" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.2.cmml">w</mi><mo fence="false" id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.cmml">|</mo><msub id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.3.2" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml">w</mi><mn id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.3.3" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow><mo id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.3c" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.6" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.6.cmml">α</mi><mo id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.3d" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.7.2" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.7.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex30.m1.3.3" xref="S3.Ex30.m1.3.3.cmml">w</mi><mo id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.7.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.6" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.6.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.5" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.5.cmml"><mi id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.5.5" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.5.5.cmml">μ</mi><mo id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.5.4" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.5.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.3.1.1" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.3.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.3.1.1.1" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.3.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.3.1.1.1.2" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.3.1.1.1.2.cmml">R</mi><mo id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.3.1.1.1.1" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.3.1.1.1.3" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.3.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.3.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.3.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.3.1.1.1.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.3.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex30.m1.4.4" xref="S3.Ex30.m1.4.4.cmml">w</mi><mo id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.3.1.1.1.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.3.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow><mn id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.3.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.3.1.1.1.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow><mo id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.5.4a" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.5.4.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.5.6" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.5.6.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.5.6.2" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.5.6.2.cmml"><mi id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.5.6.2.2" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.5.6.2.2.cmml">p</mi><mo id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.5.6.2.1" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.5.6.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.5.6.3" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.5.6.3.cmml">r</mi></msup><mo id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.5.4b" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.5.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.4.2.1" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.4.2.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.4.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.4.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.4.2.1.1" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.4.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.4.2.1.1.2" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.4.2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.4.2.1.1.2.2" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.4.2.1.1.2.2.cmml">R</mi><mo id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.4.2.1.1.2.1" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.4.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.4.2.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.4.2.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.4.2.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.4.2.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex30.m1.5.5" xref="S3.Ex30.m1.5.5.cmml">w</mi><mo id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.4.2.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.4.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo fence="false" id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.4.2.1.1.1" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.4.2.1.1.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.4.2.1.1.3" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.4.2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.4.2.1.1.3.2" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.4.2.1.1.3.2.cmml">R</mi><mo id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.4.2.1.1.3.1" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.4.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.4.2.1.1.3.3" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.4.2.1.1.3.3.cmml"><mrow id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.4.2.1.1.3.3.2.2" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.4.2.1.1.3.3.cmml"><mo id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.4.2.1.1.3.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.4.2.1.1.3.3.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex30.m1.6.6" xref="S3.Ex30.m1.6.6.cmml">w</mi><mo id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.4.2.1.1.3.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.4.2.1.1.3.3.cmml">)</mo></mrow><mn id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.4.2.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.4.2.1.1.3.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow></mrow><mo id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.4.2.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.4.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.5.4c" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.5.4.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.5.7" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.5.7.cmml">α</mi><mo id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.5.4d" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.5.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.5.3.1" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.5.3.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.5.3.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.5.3.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.5.3.1.1" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.5.3.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.5.3.1.1.2" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.5.3.1.1.2.cmml">R</mi><mo id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.5.3.1.1.1" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.5.3.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.5.3.1.1.3.2" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.5.3.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.5.3.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.5.3.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex30.m1.7.7" xref="S3.Ex30.m1.7.7.cmml">w</mi><mo id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.5.3.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.5.3.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.5.3.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.5.3.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.5.4e" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.5.4.cmml">⁢</mo><mfrac id="S3.Ex30.m1.2.2" xref="S3.Ex30.m1.2.2.cmml"><mn id="S3.Ex30.m1.2.2.4" xref="S3.Ex30.m1.2.2.4.cmml">1</mn><mrow id="S3.Ex30.m1.2.2.2" xref="S3.Ex30.m1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex30.m1.2.2.2.4" xref="S3.Ex30.m1.2.2.2.4.cmml">ψ</mi><mo id="S3.Ex30.m1.2.2.2.3" xref="S3.Ex30.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex30.m1.2.2.2.2.1" xref="S3.Ex30.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex30.m1.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex30.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex30.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S3.Ex30.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex30.m1.2.2.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex30.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml">R</mi><mo id="S3.Ex30.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex30.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex30.m1.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="S3.Ex30.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex30.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex30.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.cmml">w</mi><mo id="S3.Ex30.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex30.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex30.m1.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex30.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac></mrow></mrow><mo id="S3.Ex30.m1.8.8.1.2" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex30.m1.8b"><apply id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1"><eq id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.6.cmml" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.6"></eq><apply id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2"><times id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.3"></times><ci id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.4.cmml" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.4">𝜇</ci><apply id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2">𝑤</ci><cn id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.5.cmml" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.5"><ci id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.5.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.5.1">~</ci><ci id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.5.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.5.2">𝑝</ci></apply><apply id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.2">𝑤</ci><apply id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.3.2">𝑤</ci><cn id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.3.3">0</cn></apply></apply><ci id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.6.cmml" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.2.6">𝛼</ci><ci id="S3.Ex30.m1.3.3.cmml" xref="S3.Ex30.m1.3.3">𝑤</ci></apply><apply id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.5.cmml" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.5"><times id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.5.4.cmml" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.5.4"></times><ci id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.5.5.cmml" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.5.5">𝜇</ci><apply id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.3.1.1"><times id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.3.1.1.1.1"></times><ci id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.3.1.1.1.2">𝑅</ci><apply id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.3.1.1.1.3.1.cmml" 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xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.4.2.1.1.2"><times id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.4.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.4.2.1.1.2.1"></times><ci id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.4.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.4.2.1.1.2.2">𝑅</ci><ci id="S3.Ex30.m1.5.5.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5">𝑤</ci></apply><apply id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.4.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.4.2.1.1.3"><times id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.4.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.4.2.1.1.3.1"></times><ci id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.4.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.4.2.1.1.3.2">𝑅</ci><apply id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.4.2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.4.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.4.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.4.2.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex30.m1.6.6.cmml" xref="S3.Ex30.m1.6.6">𝑤</ci><cn id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.4.2.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.4.2.1.1.3.3.3">0</cn></apply></apply></apply><ci id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.5.7.cmml" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.5.7">𝛼</ci><apply id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.5.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.5.3.1"><times id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.5.3.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.5.3.1.1.1"></times><ci id="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.5.3.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.8.8.1.1.5.3.1.1.2">𝑅</ci><ci id="S3.Ex30.m1.7.7.cmml" xref="S3.Ex30.m1.7.7">𝑤</ci></apply><apply id="S3.Ex30.m1.2.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.2.2"><divide id="S3.Ex30.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex30.m1.2.2"></divide><cn id="S3.Ex30.m1.2.2.4.cmml" type="integer" xref="S3.Ex30.m1.2.2.4">1</cn><apply id="S3.Ex30.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.2.2.2"><times id="S3.Ex30.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex30.m1.2.2.2.3"></times><ci id="S3.Ex30.m1.2.2.2.4.cmml" xref="S3.Ex30.m1.2.2.2.4">𝜓</ci><apply id="S3.Ex30.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.2.2.2.2.1"><times id="S3.Ex30.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.2.2.2.2.1.1.1"></times><ci id="S3.Ex30.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.2.2.2.2.1.1.2">𝑅</ci><ci id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1">𝑤</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex30.m1.8c">\mu(w_{0})\tilde{p}(w|w_{0})\alpha(w)=\mu(R(w)_{0})\tilde{p}^{r}(R(w)|R(w)_{0}% )\alpha(R(w))\frac{1}{\psi(R(w))},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex30.m1.8d">italic_μ ( italic_w start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ) over~ start_ARG italic_p end_ARG ( italic_w | italic_w start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ) italic_α ( italic_w ) = italic_μ ( italic_R ( italic_w ) start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ) over~ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_R ( italic_w ) | italic_R ( italic_w ) start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ) italic_α ( italic_R ( italic_w ) ) divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_ψ ( italic_R ( italic_w ) ) end_ARG ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS4.2.p1.3">which is clearly true. <br class="ltx_break"/>2. Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S3.E4" title="In 3.4 Metropolis-Adjustment of PDMP Discretisations ‣ 3 Practical Simulation of PDMPs through Metropolis Adjustment ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>) implies that <math alttext="\alpha=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.2.p1.3.m1.1"><semantics id="S3.SS4.2.p1.3.m1.1a"><mrow id="S3.SS4.2.p1.3.m1.1.1" xref="S3.SS4.2.p1.3.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS4.2.p1.3.m1.1.1.2" xref="S3.SS4.2.p1.3.m1.1.1.2.cmml">α</mi><mo id="S3.SS4.2.p1.3.m1.1.1.1" xref="S3.SS4.2.p1.3.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.SS4.2.p1.3.m1.1.1.3" xref="S3.SS4.2.p1.3.m1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.2.p1.3.m1.1b"><apply id="S3.SS4.2.p1.3.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.2.p1.3.m1.1.1"><eq id="S3.SS4.2.p1.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.2.p1.3.m1.1.1.1"></eq><ci id="S3.SS4.2.p1.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.2.p1.3.m1.1.1.2">𝛼</ci><cn id="S3.SS4.2.p1.3.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS4.2.p1.3.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.2.p1.3.m1.1c">\alpha=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.2.p1.3.m1.1d">italic_α = 1</annotation></semantics></math>. ∎</p> </div> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S3.SS5"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">3.5 </span>BPS and ZigZag</h3> <div class="ltx_para" id="S3.SS5.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS5.p1.1">We show here how to apply the previous results to BPS and ZigZag. In particular, the path spaces for both of these process will be made explicit, the reversal application <math alttext="R" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS5.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS5.p1.1.m1.1a"><mi id="S3.SS5.p1.1.m1.1.1" xref="S3.SS5.p1.1.m1.1.1.cmml">R</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS5.p1.1.m1.1b"><ci id="S3.SS5.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS5.p1.1.m1.1.1">𝑅</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS5.p1.1.m1.1c">R</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS5.p1.1.m1.1d">italic_R</annotation></semantics></math> will be described and it will be shown to preserve volumes in both cases.</p> </div> <section class="ltx_subsubsection" id="S3.SS5.SSS1"> <h4 class="ltx_title ltx_title_subsubsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsubsection">3.5.1 </span>BPS</h4> <div class="ltx_para" id="S3.SS5.SSS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS5.SSS1.p1.6">Here, <math alttext="E=\mathbb{R}^{d}\times\{v\in\mathbb{R}^{d}\text{ such that }\|v\|=1\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2"><semantics id="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2a"><mrow id="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2" xref="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.cmml"><mi id="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.3" xref="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.3.cmml">E</mi><mo id="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.2" xref="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1" xref="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.cmml"><msup id="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.3" xref="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.3.cmml"><mi id="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.3.2" xref="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.3.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.3.3" xref="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.3.3.cmml">d</mi></msup><mo id="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.2" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml">×</mo><mrow id="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">v</mi><mo id="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">∈</mo><mrow id="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.4" xref="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.4.cmml"><msup id="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.4.2" xref="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.4.2.cmml"><mi id="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.4.2.2" xref="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.4.2.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.4.2.3" xref="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.4.2.3.cmml">d</mi></msup><mo id="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.4.1" xref="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mtext id="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.4.3" xref="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.4.3a.cmml"> such that </mtext><mo id="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.4.1a" xref="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.2" xref="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.1.cmml"><mo id="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.1.1" xref="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.1.1.cmml">v</mi><mo id="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.1.1.cmml">‖</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.5" xref="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.5.cmml">=</mo><mn id="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.6" xref="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.6.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.2.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2b"><apply id="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2"><eq id="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.2"></eq><ci id="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.3">𝐸</ci><apply id="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1"><times id="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.2"></times><apply id="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.3.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.3.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.3.2.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.3.2">ℝ</ci><ci id="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.3.3.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.3.3">𝑑</ci></apply><set id="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1"><apply id="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1"><and id="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1a.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1"></and><apply id="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1b.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1"><in id="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3"></in><ci id="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2">𝑣</ci><apply id="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.4"><times id="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.4.1"></times><apply id="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.4.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.4.2.2">ℝ</ci><ci id="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.4.2.3">𝑑</ci></apply><ci id="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.4.3a.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.4.3"><mtext id="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.4.3"> such that </mtext></ci><apply id="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.1.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.2.1">norm</csymbol><ci id="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.1.1">𝑣</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1c.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1"><eq id="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.5.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.4.cmml" id="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1d.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1"></share><cn id="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.6.cmml" type="integer" xref="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.6">1</cn></apply></apply></set></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2c">E=\mathbb{R}^{d}\times\{v\in\mathbb{R}^{d}\text{ such that }\|v\|=1\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS5.SSS1.p1.1.m1.2d">italic_E = blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT × { italic_v ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT such that ∥ italic_v ∥ = 1 }</annotation></semantics></math>. For <math alttext="z\in E" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS5.SSS1.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.SS5.SSS1.p1.2.m2.1a"><mrow id="S3.SS5.SSS1.p1.2.m2.1.1" xref="S3.SS5.SSS1.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS5.SSS1.p1.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS5.SSS1.p1.2.m2.1.1.2.cmml">z</mi><mo id="S3.SS5.SSS1.p1.2.m2.1.1.1" xref="S3.SS5.SSS1.p1.2.m2.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S3.SS5.SSS1.p1.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS5.SSS1.p1.2.m2.1.1.3.cmml">E</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS5.SSS1.p1.2.m2.1b"><apply id="S3.SS5.SSS1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.2.m2.1.1"><in id="S3.SS5.SSS1.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.2.m2.1.1.1"></in><ci id="S3.SS5.SSS1.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.2.m2.1.1.2">𝑧</ci><ci id="S3.SS5.SSS1.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.2.m2.1.1.3">𝐸</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS5.SSS1.p1.2.m2.1c">z\in E</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS5.SSS1.p1.2.m2.1d">italic_z ∈ italic_E</annotation></semantics></math>, we write <math alttext="z=(x,v)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS5.SSS1.p1.3.m3.2"><semantics id="S3.SS5.SSS1.p1.3.m3.2a"><mrow id="S3.SS5.SSS1.p1.3.m3.2.3" xref="S3.SS5.SSS1.p1.3.m3.2.3.cmml"><mi id="S3.SS5.SSS1.p1.3.m3.2.3.2" xref="S3.SS5.SSS1.p1.3.m3.2.3.2.cmml">z</mi><mo id="S3.SS5.SSS1.p1.3.m3.2.3.1" xref="S3.SS5.SSS1.p1.3.m3.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS5.SSS1.p1.3.m3.2.3.3.2" xref="S3.SS5.SSS1.p1.3.m3.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.SS5.SSS1.p1.3.m3.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS5.SSS1.p1.3.m3.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS5.SSS1.p1.3.m3.1.1" xref="S3.SS5.SSS1.p1.3.m3.1.1.cmml">x</mi><mo id="S3.SS5.SSS1.p1.3.m3.2.3.3.2.2" xref="S3.SS5.SSS1.p1.3.m3.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS5.SSS1.p1.3.m3.2.2" xref="S3.SS5.SSS1.p1.3.m3.2.2.cmml">v</mi><mo id="S3.SS5.SSS1.p1.3.m3.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS5.SSS1.p1.3.m3.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS5.SSS1.p1.3.m3.2b"><apply id="S3.SS5.SSS1.p1.3.m3.2.3.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.3.m3.2.3"><eq id="S3.SS5.SSS1.p1.3.m3.2.3.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.3.m3.2.3.1"></eq><ci id="S3.SS5.SSS1.p1.3.m3.2.3.2.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.3.m3.2.3.2">𝑧</ci><interval closure="open" id="S3.SS5.SSS1.p1.3.m3.2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.3.m3.2.3.3.2"><ci id="S3.SS5.SSS1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.3.m3.1.1">𝑥</ci><ci id="S3.SS5.SSS1.p1.3.m3.2.2.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.3.m3.2.2">𝑣</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS5.SSS1.p1.3.m3.2c">z=(x,v)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS5.SSS1.p1.3.m3.2d">italic_z = ( italic_x , italic_v )</annotation></semantics></math> with <math alttext="x\in\mathbb{R}^{d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS5.SSS1.p1.4.m4.1"><semantics id="S3.SS5.SSS1.p1.4.m4.1a"><mrow id="S3.SS5.SSS1.p1.4.m4.1.1" xref="S3.SS5.SSS1.p1.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.SS5.SSS1.p1.4.m4.1.1.2" xref="S3.SS5.SSS1.p1.4.m4.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S3.SS5.SSS1.p1.4.m4.1.1.1" xref="S3.SS5.SSS1.p1.4.m4.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="S3.SS5.SSS1.p1.4.m4.1.1.3" xref="S3.SS5.SSS1.p1.4.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS5.SSS1.p1.4.m4.1.1.3.2" xref="S3.SS5.SSS1.p1.4.m4.1.1.3.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S3.SS5.SSS1.p1.4.m4.1.1.3.3" xref="S3.SS5.SSS1.p1.4.m4.1.1.3.3.cmml">d</mi></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS5.SSS1.p1.4.m4.1b"><apply id="S3.SS5.SSS1.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.4.m4.1.1"><in id="S3.SS5.SSS1.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.4.m4.1.1.1"></in><ci id="S3.SS5.SSS1.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.4.m4.1.1.2">𝑥</ci><apply id="S3.SS5.SSS1.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.4.m4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS5.SSS1.p1.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.4.m4.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS5.SSS1.p1.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.4.m4.1.1.3.2">ℝ</ci><ci id="S3.SS5.SSS1.p1.4.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.4.m4.1.1.3.3">𝑑</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS5.SSS1.p1.4.m4.1c">x\in\mathbb{R}^{d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS5.SSS1.p1.4.m4.1d">italic_x ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="v\in\{v\in\mathbb{R}^{d}\text{ such that }\|v\|=1\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2"><semantics id="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2a"><mrow id="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2" xref="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.cmml"><mi id="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.3" xref="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.3.cmml">v</mi><mo id="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.2" xref="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.2.cmml">∈</mo><mrow id="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1" xref="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1" xref="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.2" xref="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.2.cmml">v</mi><mo id="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.3" xref="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.3.cmml">∈</mo><mrow id="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.4" xref="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.4.cmml"><msup id="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.4.2" xref="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.4.2.cmml"><mi id="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.4.2.2" xref="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.4.2.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.4.2.3" xref="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.4.2.3.cmml">d</mi></msup><mo id="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.4.1" xref="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mtext id="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.4.3" xref="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.4.3a.cmml"> such that </mtext><mo id="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.4.1a" xref="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.4.4.2" xref="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.4.4.1.cmml"><mo id="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.4.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.4.4.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.1.1" xref="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.1.1.cmml">v</mi><mo id="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.4.4.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.4.4.1.1.cmml">‖</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.5" xref="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.5.cmml">=</mo><mn id="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.6" xref="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.6.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.2.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2b"><apply id="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2"><in id="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.2.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.2"></in><ci id="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.3.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.3">𝑣</ci><set id="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.2.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1"><apply id="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1"><and id="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1a.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1"></and><apply id="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1b.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1"><in id="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.3"></in><ci id="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.2">𝑣</ci><apply id="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.4.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.4"><times id="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.4.1"></times><apply id="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.4.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.4.2.2">ℝ</ci><ci id="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.4.2.3">𝑑</ci></apply><ci id="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.4.3a.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.4.3"><mtext id="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.4.3"> such that </mtext></ci><apply id="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.4.4.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.4.4.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.4.4.1.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.4.4.2.1">norm</csymbol><ci id="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.1.1">𝑣</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1c.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1"><eq id="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.5.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.4.cmml" id="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1d.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1"></share><cn id="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.6.cmml" type="integer" xref="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.6">1</cn></apply></apply></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2c">v\in\{v\in\mathbb{R}^{d}\text{ such that }\|v\|=1\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS5.SSS1.p1.5.m5.2d">italic_v ∈ { italic_v ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT such that ∥ italic_v ∥ = 1 }</annotation></semantics></math>. For BPS, jumps are a reflection against <math alttext="\nabla\pi" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS5.SSS1.p1.6.m6.1"><semantics id="S3.SS5.SSS1.p1.6.m6.1a"><mrow id="S3.SS5.SSS1.p1.6.m6.1.1" xref="S3.SS5.SSS1.p1.6.m6.1.1.cmml"><mo id="S3.SS5.SSS1.p1.6.m6.1.1.1" rspace="0.167em" xref="S3.SS5.SSS1.p1.6.m6.1.1.1.cmml">∇</mo><mi id="S3.SS5.SSS1.p1.6.m6.1.1.2" xref="S3.SS5.SSS1.p1.6.m6.1.1.2.cmml">π</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS5.SSS1.p1.6.m6.1b"><apply id="S3.SS5.SSS1.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.6.m6.1.1"><ci id="S3.SS5.SSS1.p1.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.6.m6.1.1.1">∇</ci><ci id="S3.SS5.SSS1.p1.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.6.m6.1.1.2">𝜋</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS5.SSS1.p1.6.m6.1c">\nabla\pi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS5.SSS1.p1.6.m6.1d">∇ italic_π</annotation></semantics></math>, which is deterministic. Hence, the jump kernel does not need to be parameterized, and therefore</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex31"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="V=\{0\}" class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex31.m1.1"><semantics id="S3.Ex31.m1.1a"><mrow id="S3.Ex31.m1.1.2" xref="S3.Ex31.m1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex31.m1.1.2.2" xref="S3.Ex31.m1.1.2.2.cmml">V</mi><mo id="S3.Ex31.m1.1.2.1" xref="S3.Ex31.m1.1.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex31.m1.1.2.3.2" xref="S3.Ex31.m1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex31.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex31.m1.1.2.3.1.cmml">{</mo><mn id="S3.Ex31.m1.1.1" xref="S3.Ex31.m1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.Ex31.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex31.m1.1.2.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex31.m1.1b"><apply id="S3.Ex31.m1.1.2.cmml" xref="S3.Ex31.m1.1.2"><eq id="S3.Ex31.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex31.m1.1.2.1"></eq><ci id="S3.Ex31.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex31.m1.1.2.2">𝑉</ci><set id="S3.Ex31.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex31.m1.1.2.3.2"><cn id="S3.Ex31.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.Ex31.m1.1.1">0</cn></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex31.m1.1c">V=\{0\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex31.m1.1d">italic_V = { 0 }</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS5.SSS1.p1.7">is a singleton (where <math alttext="0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS5.SSS1.p1.7.m1.1"><semantics id="S3.SS5.SSS1.p1.7.m1.1a"><mn id="S3.SS5.SSS1.p1.7.m1.1.1" xref="S3.SS5.SSS1.p1.7.m1.1.1.cmml">0</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS5.SSS1.p1.7.m1.1b"><cn id="S3.SS5.SSS1.p1.7.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.SS5.SSS1.p1.7.m1.1.1">0</cn></annotation-xml></semantics></math> is meaningless). The jump is then defined as</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx6"> <tbody id="S3.Ex32"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\xi_{(x,v)}:V" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex32.m1.2"><semantics id="S3.Ex32.m1.2a"><mrow id="S3.Ex32.m1.2.3" xref="S3.Ex32.m1.2.3.cmml"><msub id="S3.Ex32.m1.2.3.2" xref="S3.Ex32.m1.2.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex32.m1.2.3.2.2" xref="S3.Ex32.m1.2.3.2.2.cmml">ξ</mi><mrow id="S3.Ex32.m1.2.2.2.4" xref="S3.Ex32.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex32.m1.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="S3.Ex32.m1.2.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex32.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex32.m1.1.1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S3.Ex32.m1.2.2.2.4.2" xref="S3.Ex32.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex32.m1.2.2.2.2" xref="S3.Ex32.m1.2.2.2.2.cmml">v</mi><mo id="S3.Ex32.m1.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="S3.Ex32.m1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub><mo id="S3.Ex32.m1.2.3.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S3.Ex32.m1.2.3.1.cmml">:</mo><mi id="S3.Ex32.m1.2.3.3" xref="S3.Ex32.m1.2.3.3.cmml">V</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex32.m1.2b"><apply id="S3.Ex32.m1.2.3.cmml" xref="S3.Ex32.m1.2.3"><ci id="S3.Ex32.m1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex32.m1.2.3.1">:</ci><apply id="S3.Ex32.m1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex32.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex32.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex32.m1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex32.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex32.m1.2.3.2.2">𝜉</ci><interval closure="open" id="S3.Ex32.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex32.m1.2.2.2.4"><ci id="S3.Ex32.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex32.m1.1.1.1.1">𝑥</ci><ci id="S3.Ex32.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex32.m1.2.2.2.2">𝑣</ci></interval></apply><ci id="S3.Ex32.m1.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex32.m1.2.3.3">𝑉</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex32.m1.2c">\displaystyle\xi_{(x,v)}:V</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex32.m1.2d">italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT ( italic_x , italic_v ) end_POSTSUBSCRIPT : italic_V</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\rightarrow E" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex32.m2.1"><semantics id="S3.Ex32.m2.1a"><mrow id="S3.Ex32.m2.1.1" xref="S3.Ex32.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex32.m2.1.1.2" xref="S3.Ex32.m2.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S3.Ex32.m2.1.1.1" stretchy="false" xref="S3.Ex32.m2.1.1.1.cmml">→</mo><mi id="S3.Ex32.m2.1.1.3" xref="S3.Ex32.m2.1.1.3.cmml">E</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex32.m2.1b"><apply id="S3.Ex32.m2.1.1.cmml" xref="S3.Ex32.m2.1.1"><ci id="S3.Ex32.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex32.m2.1.1.1">→</ci><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex32.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex32.m2.1.1.2">absent</csymbol><ci id="S3.Ex32.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex32.m2.1.1.3">𝐸</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex32.m2.1c">\displaystyle\rightarrow E</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex32.m2.1d">→ italic_E</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex33"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle 0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex33.m1.1"><semantics id="S3.Ex33.m1.1a"><mn id="S3.Ex33.m1.1.1" xref="S3.Ex33.m1.1.1.cmml">0</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex33.m1.1b"><cn id="S3.Ex33.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.Ex33.m1.1.1">0</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex33.m1.1c">\displaystyle 0</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mapsto(x,v-2(\nabla\pi(x)\cdot v)\nabla\pi(x))." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex33.m2.4"><semantics id="S3.Ex33.m2.4a"><mrow id="S3.Ex33.m2.4.4.1" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.3" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.2.cmml">↦</mo><mrow id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex33.m2.3.3" xref="S3.Ex33.m2.3.3.cmml">x</mi><mo id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml">v</mi><mo id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn><mo id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mo id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" rspace="0.167em" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">∇</mo><mi id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">π</mi></mrow><mo id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex33.m2.1.1" xref="S3.Ex33.m2.1.1.cmml">x</mi><mo id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" rspace="0.222em" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⋅</mo><mi id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">v</mi></mrow><mo id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2a" lspace="0.167em" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mo id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.4.1" rspace="0.167em" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml">∇</mo><mi id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">π</mi></mrow><mo id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2b" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.5.2" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex33.m2.2.2" xref="S3.Ex33.m2.2.2.cmml">x</mi><mo id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex33.m2.4.4.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex33.m2.4b"><apply id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.cmml" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.2">maps-to</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.3">absent</csymbol><interval closure="open" id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1"><ci id="S3.Ex33.m2.3.3.cmml" xref="S3.Ex33.m2.3.3">𝑥</ci><apply id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1"><minus id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.2"></minus><ci id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.3">𝑣</ci><apply id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2"></times><cn id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3">2</cn><apply id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1"><ci id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">⋅</ci><apply id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><ci id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1">∇</ci><ci id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝜋</ci></apply><ci id="S3.Ex33.m2.1.1.cmml" xref="S3.Ex33.m2.1.1">𝑥</ci></apply><ci id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑣</ci></apply><apply id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.4"><ci id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.4.1">∇</ci><ci id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.4.2">𝜋</ci></apply><ci id="S3.Ex33.m2.2.2.cmml" xref="S3.Ex33.m2.2.2">𝑥</ci></apply></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex33.m2.4c">\displaystyle\mapsto(x,v-2(\nabla\pi(x)\cdot v)\nabla\pi(x)).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex33.m2.4d">↦ ( italic_x , italic_v - 2 ( ∇ italic_π ( italic_x ) ⋅ italic_v ) ∇ italic_π ( italic_x ) ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS5.SSS1.p1.18">The reverse process is similar, and</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx7"> <tbody id="S3.Ex34"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle V^{r}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex34.m1.1"><semantics id="S3.Ex34.m1.1a"><msup id="S3.Ex34.m1.1.1" xref="S3.Ex34.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex34.m1.1.1.2" xref="S3.Ex34.m1.1.1.2.cmml">V</mi><mi id="S3.Ex34.m1.1.1.3" xref="S3.Ex34.m1.1.1.3.cmml">r</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex34.m1.1b"><apply id="S3.Ex34.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex34.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex34.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex34.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex34.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex34.m1.1.1.2">𝑉</ci><ci id="S3.Ex34.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex34.m1.1.1.3">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex34.m1.1c">\displaystyle V^{r}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex34.m1.1d">italic_V start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=V," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex34.m2.1"><semantics id="S3.Ex34.m2.1a"><mrow id="S3.Ex34.m2.1.1.1" xref="S3.Ex34.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex34.m2.1.1.1.1" xref="S3.Ex34.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex34.m2.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex34.m2.1.1.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S3.Ex34.m2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex34.m2.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S3.Ex34.m2.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex34.m2.1.1.1.1.3.cmml">V</mi></mrow><mo id="S3.Ex34.m2.1.1.1.2" xref="S3.Ex34.m2.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex34.m2.1b"><apply id="S3.Ex34.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex34.m2.1.1.1"><eq id="S3.Ex34.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex34.m2.1.1.1.1.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex34.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex34.m2.1.1.1.1.2">absent</csymbol><ci id="S3.Ex34.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex34.m2.1.1.1.1.3">𝑉</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex34.m2.1c">\displaystyle=V,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex34.m2.1d">= italic_V ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex35"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\xi^{r}_{z}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex35.m1.1"><semantics id="S3.Ex35.m1.1a"><msubsup id="S3.Ex35.m1.1.1" xref="S3.Ex35.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex35.m1.1.1.2.2" xref="S3.Ex35.m1.1.1.2.2.cmml">ξ</mi><mi id="S3.Ex35.m1.1.1.3" xref="S3.Ex35.m1.1.1.3.cmml">z</mi><mi id="S3.Ex35.m1.1.1.2.3" xref="S3.Ex35.m1.1.1.2.3.cmml">r</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex35.m1.1b"><apply id="S3.Ex35.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex35.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex35.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex35.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex35.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex35.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex35.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex35.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex35.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex35.m1.1.1.2.2">𝜉</ci><ci id="S3.Ex35.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex35.m1.1.1.2.3">𝑟</ci></apply><ci id="S3.Ex35.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex35.m1.1.1.3">𝑧</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex35.m1.1c">\displaystyle\xi^{r}_{z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex35.m1.1d">italic_ξ start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_z end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\xi_{z}^{-1}." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex35.m2.1"><semantics id="S3.Ex35.m2.1a"><mrow id="S3.Ex35.m2.1.1.1" xref="S3.Ex35.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex35.m2.1.1.1.1" xref="S3.Ex35.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex35.m2.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex35.m2.1.1.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S3.Ex35.m2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex35.m2.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><msubsup id="S3.Ex35.m2.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex35.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex35.m2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex35.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">ξ</mi><mi id="S3.Ex35.m2.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex35.m2.1.1.1.1.3.2.3.cmml">z</mi><mrow id="S3.Ex35.m2.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex35.m2.1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="S3.Ex35.m2.1.1.1.1.3.3a" xref="S3.Ex35.m2.1.1.1.1.3.3.cmml">−</mo><mn id="S3.Ex35.m2.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex35.m2.1.1.1.1.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup></mrow><mo id="S3.Ex35.m2.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex35.m2.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex35.m2.1b"><apply id="S3.Ex35.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex35.m2.1.1.1"><eq id="S3.Ex35.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex35.m2.1.1.1.1.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex35.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex35.m2.1.1.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S3.Ex35.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex35.m2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex35.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex35.m2.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex35.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex35.m2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex35.m2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex35.m2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex35.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex35.m2.1.1.1.1.3.2.2">𝜉</ci><ci id="S3.Ex35.m2.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex35.m2.1.1.1.1.3.2.3">𝑧</ci></apply><apply id="S3.Ex35.m2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex35.m2.1.1.1.1.3.3"><minus id="S3.Ex35.m2.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex35.m2.1.1.1.1.3.3"></minus><cn id="S3.Ex35.m2.1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex35.m2.1.1.1.1.3.3.2">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex35.m2.1c">\displaystyle=\xi_{z}^{-1}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex35.m2.1d">= italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT italic_z end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS5.SSS1.p1.8">The application <math alttext="R" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS5.SSS1.p1.8.m1.1"><semantics id="S3.SS5.SSS1.p1.8.m1.1a"><mi id="S3.SS5.SSS1.p1.8.m1.1.1" xref="S3.SS5.SSS1.p1.8.m1.1.1.cmml">R</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS5.SSS1.p1.8.m1.1b"><ci id="S3.SS5.SSS1.p1.8.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.8.m1.1.1">𝑅</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS5.SSS1.p1.8.m1.1c">R</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS5.SSS1.p1.8.m1.1d">italic_R</annotation></semantics></math> can be then written as:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex36"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="R(z_{0},t_{0},v_{0},...,t_{k},v_{k})=R(z_{T},T-t_{k},v_{k},...,T-t_{0},v_{0})." class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex36.m1.3"><semantics id="S3.Ex36.m1.3a"><mrow id="S3.Ex36.m1.3.3.1" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.5" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.5.cmml"><mi id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.5.7" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.5.7.cmml">R</mi><mo id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.5.6" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.5.6.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.5.5.5" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.5.5.6.cmml"><mo id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.5.5.5.6" stretchy="false" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.5.5.6.cmml">(</mo><msub id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">z</mi><mn id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.5.5.5.7" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.5.5.6.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.cmml">t</mi><mn id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.5.5.5.8" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.5.5.6.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.3.3.3.3" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.2" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.2.cmml">v</mi><mn id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.3" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.5.5.5.9" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.5.5.6.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex36.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.Ex36.m1.1.1.cmml">…</mi><mo id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.5.5.5.10" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.5.5.6.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.4.4.4.4" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.cmml"><mi id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.2" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.2.cmml">t</mi><mi id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.3" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.5.5.5.11" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.5.5.6.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.5.5.5.5" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.5.5.5.5.cmml"><mi id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.5.5.5.5.2" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.5.5.5.5.2.cmml">v</mi><mi id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.5.5.5.5.3" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.5.5.5.5.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.5.5.5.12" stretchy="false" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.5.5.6.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.11" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.11.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.10" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.10.cmml"><mi id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.10.7" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.10.7.cmml">R</mi><mo id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.10.6" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.10.6.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.10.5.5" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.10.5.6.cmml"><mo id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.10.5.5.6" stretchy="false" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.10.5.6.cmml">(</mo><msub id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.6.1.1.1" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.6.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.6.1.1.1.2" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.6.1.1.1.2.cmml">z</mi><mi id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.6.1.1.1.3" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.6.1.1.1.3.cmml">T</mi></msub><mo id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.10.5.5.7" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.10.5.6.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.7.2.2.2" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.7.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.7.2.2.2.2" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.7.2.2.2.2.cmml">T</mi><mo id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.7.2.2.2.1" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.7.2.2.2.1.cmml">−</mo><msub id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.7.2.2.2.3" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.7.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.7.2.2.2.3.2" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.7.2.2.2.3.2.cmml">t</mi><mi id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.7.2.2.2.3.3" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.7.2.2.2.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.10.5.5.8" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.10.5.6.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.8.3.3.3" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.8.3.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.8.3.3.3.2" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.8.3.3.3.2.cmml">v</mi><mi id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.8.3.3.3.3" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.8.3.3.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.10.5.5.9" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.10.5.6.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex36.m1.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex36.m1.2.2.cmml">…</mi><mo id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.10.5.5.10" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.10.5.6.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.9.4.4.4" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.9.4.4.4.cmml"><mi id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.9.4.4.4.2" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.9.4.4.4.2.cmml">T</mi><mo id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.9.4.4.4.1" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.9.4.4.4.1.cmml">−</mo><msub id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.9.4.4.4.3" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.9.4.4.4.3.cmml"><mi id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.9.4.4.4.3.2" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.9.4.4.4.3.2.cmml">t</mi><mn id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.9.4.4.4.3.3" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.9.4.4.4.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow><mo id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.10.5.5.11" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.10.5.6.cmml">,</mo><msub 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xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.7.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.7.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.7.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.7.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.7.2.2.2.3.2">𝑡</ci><ci id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.7.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.7.2.2.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.8.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.8.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.8.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.8.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.8.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.8.3.3.3.2">𝑣</ci><ci id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.8.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.8.3.3.3.3">𝑘</ci></apply><ci id="S3.Ex36.m1.2.2.cmml" xref="S3.Ex36.m1.2.2">…</ci><apply id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.9.4.4.4.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.9.4.4.4"><minus id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.9.4.4.4.1.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.9.4.4.4.1"></minus><ci id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.9.4.4.4.2.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.9.4.4.4.2">𝑇</ci><apply id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.9.4.4.4.3.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.9.4.4.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.9.4.4.4.3.1.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.9.4.4.4.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.9.4.4.4.3.2.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.9.4.4.4.3.2">𝑡</ci><cn id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.9.4.4.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.9.4.4.4.3.3">0</cn></apply></apply><apply id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.10.5.5.5.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.10.5.5.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.10.5.5.5.1.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.10.5.5.5">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.10.5.5.5.2.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.10.5.5.5.2">𝑣</ci><cn id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.10.5.5.5.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.10.5.5.5.3">0</cn></apply></vector></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex36.m1.3c">R(z_{0},t_{0},v_{0},...,t_{k},v_{k})=R(z_{T},T-t_{k},v_{k},...,T-t_{0},v_{0}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex36.m1.3d">italic_R ( italic_z start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT , italic_t start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) = italic_R ( italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_T end_POSTSUBSCRIPT , italic_T - italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_T - italic_t start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS5.SSS1.p1.12">Furthermore, for a fixed <math alttext="t_{0},v_{0},...,t_{k},v_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.5"><semantics id="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.5a"><mrow id="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.5.5.4" xref="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.5.5.5.cmml"><msub id="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.2.2.1.1" xref="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.2.2.1.1.2" xref="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.2.2.1.1.2.cmml">t</mi><mn id="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.2.2.1.1.3" xref="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.2.2.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.5.5.4.5" xref="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.5.5.5.cmml">,</mo><msub id="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.3.3.2.2" xref="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.3.3.2.2.cmml"><mi id="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.3.3.2.2.2" xref="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.3.3.2.2.2.cmml">v</mi><mn id="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.3.3.2.2.3" xref="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.3.3.2.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.5.5.4.6" xref="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.5.5.5.cmml">,</mo><mi id="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.1.1.cmml">…</mi><mo id="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.5.5.4.7" xref="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.5.5.5.cmml">,</mo><msub id="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.4.4.3.3" xref="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.4.4.3.3.cmml"><mi id="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.4.4.3.3.2" xref="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.4.4.3.3.2.cmml">t</mi><mi id="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.4.4.3.3.3" xref="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.4.4.3.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.5.5.4.8" xref="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.5.5.5.cmml">,</mo><msub id="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.5.5.4.4" xref="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.5.5.4.4.cmml"><mi id="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.5.5.4.4.2" xref="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.5.5.4.4.2.cmml">v</mi><mi id="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.5.5.4.4.3" xref="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.5.5.4.4.3.cmml">k</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.5b"><list id="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.5.5.5.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.5.5.4"><apply id="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.2.2.1.1.2">𝑡</ci><cn id="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.2.2.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.3.3.2.2.2">𝑣</ci><cn id="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.3.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.3.3.2.2.3">0</cn></apply><ci id="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.1.1">…</ci><apply id="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.4.4.3.3.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.4.4.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.4.4.3.3.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.4.4.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.4.4.3.3.2.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.4.4.3.3.2">𝑡</ci><ci id="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.4.4.3.3.3.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.4.4.3.3.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.5.5.4.4.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.5.5.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.5.5.4.4.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.5.5.4.4">subscript</csymbol><ci id="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.5.5.4.4.2.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.5.5.4.4.2">𝑣</ci><ci id="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.5.5.4.4.3.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.5.5.4.4.3">𝑘</ci></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.5c">t_{0},v_{0},...,t_{k},v_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS5.SSS1.p1.9.m1.5d">italic_t start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, the application <math alttext="z_{0}\mapsto z_{T}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS5.SSS1.p1.10.m2.1"><semantics id="S3.SS5.SSS1.p1.10.m2.1a"><mrow id="S3.SS5.SSS1.p1.10.m2.1.1" xref="S3.SS5.SSS1.p1.10.m2.1.1.cmml"><msub id="S3.SS5.SSS1.p1.10.m2.1.1.2" xref="S3.SS5.SSS1.p1.10.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS5.SSS1.p1.10.m2.1.1.2.2" xref="S3.SS5.SSS1.p1.10.m2.1.1.2.2.cmml">z</mi><mn id="S3.SS5.SSS1.p1.10.m2.1.1.2.3" xref="S3.SS5.SSS1.p1.10.m2.1.1.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.SS5.SSS1.p1.10.m2.1.1.1" stretchy="false" xref="S3.SS5.SSS1.p1.10.m2.1.1.1.cmml">↦</mo><msub id="S3.SS5.SSS1.p1.10.m2.1.1.3" xref="S3.SS5.SSS1.p1.10.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS5.SSS1.p1.10.m2.1.1.3.2" xref="S3.SS5.SSS1.p1.10.m2.1.1.3.2.cmml">z</mi><mi id="S3.SS5.SSS1.p1.10.m2.1.1.3.3" xref="S3.SS5.SSS1.p1.10.m2.1.1.3.3.cmml">T</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS5.SSS1.p1.10.m2.1b"><apply id="S3.SS5.SSS1.p1.10.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.10.m2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS5.SSS1.p1.10.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.10.m2.1.1.1">maps-to</csymbol><apply id="S3.SS5.SSS1.p1.10.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.10.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS5.SSS1.p1.10.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.10.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS5.SSS1.p1.10.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.10.m2.1.1.2.2">𝑧</ci><cn id="S3.SS5.SSS1.p1.10.m2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS5.SSS1.p1.10.m2.1.1.2.3">0</cn></apply><apply id="S3.SS5.SSS1.p1.10.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.10.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS5.SSS1.p1.10.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.10.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS5.SSS1.p1.10.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.10.m2.1.1.3.2">𝑧</ci><ci id="S3.SS5.SSS1.p1.10.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.10.m2.1.1.3.3">𝑇</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS5.SSS1.p1.10.m2.1c">z_{0}\mapsto z_{T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS5.SSS1.p1.10.m2.1d">italic_z start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ↦ italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_T end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> preserves the volume as it can be written as a composition of measure preserving operations, since the maps <math alttext="\xi_{z}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS5.SSS1.p1.11.m3.1"><semantics id="S3.SS5.SSS1.p1.11.m3.1a"><msub id="S3.SS5.SSS1.p1.11.m3.1.1" xref="S3.SS5.SSS1.p1.11.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS5.SSS1.p1.11.m3.1.1.2" xref="S3.SS5.SSS1.p1.11.m3.1.1.2.cmml">ξ</mi><mi id="S3.SS5.SSS1.p1.11.m3.1.1.3" xref="S3.SS5.SSS1.p1.11.m3.1.1.3.cmml">z</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS5.SSS1.p1.11.m3.1b"><apply id="S3.SS5.SSS1.p1.11.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.11.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS5.SSS1.p1.11.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.11.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS5.SSS1.p1.11.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.11.m3.1.1.2">𝜉</ci><ci id="S3.SS5.SSS1.p1.11.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.11.m3.1.1.3">𝑧</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS5.SSS1.p1.11.m3.1c">\xi_{z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS5.SSS1.p1.11.m3.1d">italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT italic_z end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and the deterministic flow preserve the volume. Therefore, <math alttext="R" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS5.SSS1.p1.12.m4.1"><semantics id="S3.SS5.SSS1.p1.12.m4.1a"><mi id="S3.SS5.SSS1.p1.12.m4.1.1" xref="S3.SS5.SSS1.p1.12.m4.1.1.cmml">R</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS5.SSS1.p1.12.m4.1b"><ci id="S3.SS5.SSS1.p1.12.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.12.m4.1.1">𝑅</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS5.SSS1.p1.12.m4.1c">R</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS5.SSS1.p1.12.m4.1d">italic_R</annotation></semantics></math> preserves the volume, i.e.</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex37"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\psi(w^{r})=1." class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex37.m1.1"><semantics id="S3.Ex37.m1.1a"><mrow id="S3.Ex37.m1.1.1.1" xref="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex37.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">ψ</mi><mo id="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">w</mi><mi id="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">r</mi></msup><mo id="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.Ex37.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex37.m1.1b"><apply id="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex37.m1.1.1.1"><eq id="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.1.3">𝜓</ci><apply id="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑤</ci><ci id="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑟</ci></apply></apply><cn id="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex37.m1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex37.m1.1c">\psi(w^{r})=1.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex37.m1.1d">italic_ψ ( italic_w start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ) = 1 .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS5.SSS1.p1.17">For similar reasons, we can also see that <math alttext="R" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS5.SSS1.p1.13.m1.1"><semantics id="S3.SS5.SSS1.p1.13.m1.1a"><mi id="S3.SS5.SSS1.p1.13.m1.1.1" xref="S3.SS5.SSS1.p1.13.m1.1.1.cmml">R</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS5.SSS1.p1.13.m1.1b"><ci id="S3.SS5.SSS1.p1.13.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.13.m1.1.1">𝑅</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS5.SSS1.p1.13.m1.1c">R</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS5.SSS1.p1.13.m1.1d">italic_R</annotation></semantics></math> has the same regularity as <math alttext="\nabla\pi" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS5.SSS1.p1.14.m2.1"><semantics id="S3.SS5.SSS1.p1.14.m2.1a"><mrow id="S3.SS5.SSS1.p1.14.m2.1.1" xref="S3.SS5.SSS1.p1.14.m2.1.1.cmml"><mo id="S3.SS5.SSS1.p1.14.m2.1.1.1" rspace="0.167em" xref="S3.SS5.SSS1.p1.14.m2.1.1.1.cmml">∇</mo><mi id="S3.SS5.SSS1.p1.14.m2.1.1.2" xref="S3.SS5.SSS1.p1.14.m2.1.1.2.cmml">π</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS5.SSS1.p1.14.m2.1b"><apply id="S3.SS5.SSS1.p1.14.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.14.m2.1.1"><ci id="S3.SS5.SSS1.p1.14.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.14.m2.1.1.1">∇</ci><ci id="S3.SS5.SSS1.p1.14.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.14.m2.1.1.2">𝜋</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS5.SSS1.p1.14.m2.1c">\nabla\pi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS5.SSS1.p1.14.m2.1d">∇ italic_π</annotation></semantics></math>, i.e. if <math alttext="\nabla\pi" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS5.SSS1.p1.15.m3.1"><semantics id="S3.SS5.SSS1.p1.15.m3.1a"><mrow id="S3.SS5.SSS1.p1.15.m3.1.1" xref="S3.SS5.SSS1.p1.15.m3.1.1.cmml"><mo id="S3.SS5.SSS1.p1.15.m3.1.1.1" rspace="0.167em" xref="S3.SS5.SSS1.p1.15.m3.1.1.1.cmml">∇</mo><mi id="S3.SS5.SSS1.p1.15.m3.1.1.2" xref="S3.SS5.SSS1.p1.15.m3.1.1.2.cmml">π</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS5.SSS1.p1.15.m3.1b"><apply id="S3.SS5.SSS1.p1.15.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.15.m3.1.1"><ci id="S3.SS5.SSS1.p1.15.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.15.m3.1.1.1">∇</ci><ci id="S3.SS5.SSS1.p1.15.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.15.m3.1.1.2">𝜋</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS5.SSS1.p1.15.m3.1c">\nabla\pi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS5.SSS1.p1.15.m3.1d">∇ italic_π</annotation></semantics></math> is <math alttext="C^{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS5.SSS1.p1.16.m4.1"><semantics id="S3.SS5.SSS1.p1.16.m4.1a"><msup id="S3.SS5.SSS1.p1.16.m4.1.1" xref="S3.SS5.SSS1.p1.16.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.SS5.SSS1.p1.16.m4.1.1.2" xref="S3.SS5.SSS1.p1.16.m4.1.1.2.cmml">C</mi><mi id="S3.SS5.SSS1.p1.16.m4.1.1.3" xref="S3.SS5.SSS1.p1.16.m4.1.1.3.cmml">k</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS5.SSS1.p1.16.m4.1b"><apply id="S3.SS5.SSS1.p1.16.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.16.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS5.SSS1.p1.16.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.16.m4.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS5.SSS1.p1.16.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.16.m4.1.1.2">𝐶</ci><ci id="S3.SS5.SSS1.p1.16.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.16.m4.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS5.SSS1.p1.16.m4.1c">C^{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS5.SSS1.p1.16.m4.1d">italic_C start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, so is <math alttext="R" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS5.SSS1.p1.17.m5.1"><semantics id="S3.SS5.SSS1.p1.17.m5.1a"><mi id="S3.SS5.SSS1.p1.17.m5.1.1" xref="S3.SS5.SSS1.p1.17.m5.1.1.cmml">R</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS5.SSS1.p1.17.m5.1b"><ci id="S3.SS5.SSS1.p1.17.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS1.p1.17.m5.1.1">𝑅</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS5.SSS1.p1.17.m5.1c">R</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS5.SSS1.p1.17.m5.1d">italic_R</annotation></semantics></math>.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsubsection" id="S3.SS5.SSS2"> <h4 class="ltx_title ltx_title_subsubsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsubsection">3.5.2 </span>Zig-Zag process</h4> <div class="ltx_para" id="S3.SS5.SSS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS5.SSS2.p1.5">Here, <math alttext="E=\mathbb{R}\times\{-1,1\}^{d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS5.SSS2.p1.1.m1.2"><semantics id="S3.SS5.SSS2.p1.1.m1.2a"><mrow id="S3.SS5.SSS2.p1.1.m1.2.2" xref="S3.SS5.SSS2.p1.1.m1.2.2.cmml"><mi id="S3.SS5.SSS2.p1.1.m1.2.2.3" xref="S3.SS5.SSS2.p1.1.m1.2.2.3.cmml">E</mi><mo id="S3.SS5.SSS2.p1.1.m1.2.2.2" xref="S3.SS5.SSS2.p1.1.m1.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS5.SSS2.p1.1.m1.2.2.1" xref="S3.SS5.SSS2.p1.1.m1.2.2.1.cmml"><mi id="S3.SS5.SSS2.p1.1.m1.2.2.1.3" xref="S3.SS5.SSS2.p1.1.m1.2.2.1.3.cmml">ℝ</mi><mo id="S3.SS5.SSS2.p1.1.m1.2.2.1.2" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.SS5.SSS2.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml">×</mo><msup id="S3.SS5.SSS2.p1.1.m1.2.2.1.1" xref="S3.SS5.SSS2.p1.1.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS5.SSS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.SS5.SSS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS5.SSS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS5.SSS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S3.SS5.SSS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.SS5.SSS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS5.SSS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1a" xref="S3.SS5.SSS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S3.SS5.SSS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS5.SSS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.SS5.SSS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.SS5.SSS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">,</mo><mn id="S3.SS5.SSS2.p1.1.m1.1.1" xref="S3.SS5.SSS2.p1.1.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.SS5.SSS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.SS5.SSS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><mi id="S3.SS5.SSS2.p1.1.m1.2.2.1.1.3" xref="S3.SS5.SSS2.p1.1.m1.2.2.1.1.3.cmml">d</mi></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS5.SSS2.p1.1.m1.2b"><apply id="S3.SS5.SSS2.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.1.m1.2.2"><eq id="S3.SS5.SSS2.p1.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.1.m1.2.2.2"></eq><ci id="S3.SS5.SSS2.p1.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.1.m1.2.2.3">𝐸</ci><apply id="S3.SS5.SSS2.p1.1.m1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.1.m1.2.2.1"><times id="S3.SS5.SSS2.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.1.m1.2.2.1.2"></times><ci id="S3.SS5.SSS2.p1.1.m1.2.2.1.3.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.1.m1.2.2.1.3">ℝ</ci><apply id="S3.SS5.SSS2.p1.1.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.1.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS5.SSS2.p1.1.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.1.m1.2.2.1.1">superscript</csymbol><set id="S3.SS5.SSS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1"><apply id="S3.SS5.SSS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1"><minus id="S3.SS5.SSS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S3.SS5.SSS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS5.SSS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2">1</cn></apply><cn id="S3.SS5.SSS2.p1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.SS5.SSS2.p1.1.m1.1.1">1</cn></set><ci id="S3.SS5.SSS2.p1.1.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.1.m1.2.2.1.1.3">𝑑</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS5.SSS2.p1.1.m1.2c">E=\mathbb{R}\times\{-1,1\}^{d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS5.SSS2.p1.1.m1.2d">italic_E = blackboard_R × { - 1 , 1 } start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. For <math alttext="z\in E" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS5.SSS2.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.SS5.SSS2.p1.2.m2.1a"><mrow id="S3.SS5.SSS2.p1.2.m2.1.1" xref="S3.SS5.SSS2.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS5.SSS2.p1.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS5.SSS2.p1.2.m2.1.1.2.cmml">z</mi><mo id="S3.SS5.SSS2.p1.2.m2.1.1.1" xref="S3.SS5.SSS2.p1.2.m2.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S3.SS5.SSS2.p1.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS5.SSS2.p1.2.m2.1.1.3.cmml">E</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS5.SSS2.p1.2.m2.1b"><apply id="S3.SS5.SSS2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.2.m2.1.1"><in id="S3.SS5.SSS2.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.2.m2.1.1.1"></in><ci id="S3.SS5.SSS2.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.2.m2.1.1.2">𝑧</ci><ci id="S3.SS5.SSS2.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.2.m2.1.1.3">𝐸</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS5.SSS2.p1.2.m2.1c">z\in E</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS5.SSS2.p1.2.m2.1d">italic_z ∈ italic_E</annotation></semantics></math>, we write <math alttext="z=(x,v)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS5.SSS2.p1.3.m3.2"><semantics id="S3.SS5.SSS2.p1.3.m3.2a"><mrow id="S3.SS5.SSS2.p1.3.m3.2.3" xref="S3.SS5.SSS2.p1.3.m3.2.3.cmml"><mi id="S3.SS5.SSS2.p1.3.m3.2.3.2" xref="S3.SS5.SSS2.p1.3.m3.2.3.2.cmml">z</mi><mo id="S3.SS5.SSS2.p1.3.m3.2.3.1" xref="S3.SS5.SSS2.p1.3.m3.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS5.SSS2.p1.3.m3.2.3.3.2" xref="S3.SS5.SSS2.p1.3.m3.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.SS5.SSS2.p1.3.m3.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS5.SSS2.p1.3.m3.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS5.SSS2.p1.3.m3.1.1" xref="S3.SS5.SSS2.p1.3.m3.1.1.cmml">x</mi><mo id="S3.SS5.SSS2.p1.3.m3.2.3.3.2.2" xref="S3.SS5.SSS2.p1.3.m3.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS5.SSS2.p1.3.m3.2.2" xref="S3.SS5.SSS2.p1.3.m3.2.2.cmml">v</mi><mo id="S3.SS5.SSS2.p1.3.m3.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS5.SSS2.p1.3.m3.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS5.SSS2.p1.3.m3.2b"><apply id="S3.SS5.SSS2.p1.3.m3.2.3.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.3.m3.2.3"><eq id="S3.SS5.SSS2.p1.3.m3.2.3.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.3.m3.2.3.1"></eq><ci id="S3.SS5.SSS2.p1.3.m3.2.3.2.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.3.m3.2.3.2">𝑧</ci><interval closure="open" id="S3.SS5.SSS2.p1.3.m3.2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.3.m3.2.3.3.2"><ci id="S3.SS5.SSS2.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.3.m3.1.1">𝑥</ci><ci id="S3.SS5.SSS2.p1.3.m3.2.2.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.3.m3.2.2">𝑣</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS5.SSS2.p1.3.m3.2c">z=(x,v)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS5.SSS2.p1.3.m3.2d">italic_z = ( italic_x , italic_v )</annotation></semantics></math> with <math alttext="x\in\mathbb{R}^{d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS5.SSS2.p1.4.m4.1"><semantics id="S3.SS5.SSS2.p1.4.m4.1a"><mrow id="S3.SS5.SSS2.p1.4.m4.1.1" xref="S3.SS5.SSS2.p1.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.SS5.SSS2.p1.4.m4.1.1.2" xref="S3.SS5.SSS2.p1.4.m4.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S3.SS5.SSS2.p1.4.m4.1.1.1" xref="S3.SS5.SSS2.p1.4.m4.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="S3.SS5.SSS2.p1.4.m4.1.1.3" xref="S3.SS5.SSS2.p1.4.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS5.SSS2.p1.4.m4.1.1.3.2" xref="S3.SS5.SSS2.p1.4.m4.1.1.3.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S3.SS5.SSS2.p1.4.m4.1.1.3.3" xref="S3.SS5.SSS2.p1.4.m4.1.1.3.3.cmml">d</mi></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS5.SSS2.p1.4.m4.1b"><apply id="S3.SS5.SSS2.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.4.m4.1.1"><in id="S3.SS5.SSS2.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.4.m4.1.1.1"></in><ci id="S3.SS5.SSS2.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.4.m4.1.1.2">𝑥</ci><apply id="S3.SS5.SSS2.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.4.m4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS5.SSS2.p1.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.4.m4.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS5.SSS2.p1.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.4.m4.1.1.3.2">ℝ</ci><ci id="S3.SS5.SSS2.p1.4.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.4.m4.1.1.3.3">𝑑</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS5.SSS2.p1.4.m4.1c">x\in\mathbb{R}^{d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS5.SSS2.p1.4.m4.1d">italic_x ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="v\in\{-1,1\}^{d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS5.SSS2.p1.5.m5.2"><semantics id="S3.SS5.SSS2.p1.5.m5.2a"><mrow id="S3.SS5.SSS2.p1.5.m5.2.2" xref="S3.SS5.SSS2.p1.5.m5.2.2.cmml"><mi id="S3.SS5.SSS2.p1.5.m5.2.2.3" xref="S3.SS5.SSS2.p1.5.m5.2.2.3.cmml">v</mi><mo id="S3.SS5.SSS2.p1.5.m5.2.2.2" xref="S3.SS5.SSS2.p1.5.m5.2.2.2.cmml">∈</mo><msup id="S3.SS5.SSS2.p1.5.m5.2.2.1" xref="S3.SS5.SSS2.p1.5.m5.2.2.1.cmml"><mrow id="S3.SS5.SSS2.p1.5.m5.2.2.1.1.1" xref="S3.SS5.SSS2.p1.5.m5.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS5.SSS2.p1.5.m5.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS5.SSS2.p1.5.m5.2.2.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S3.SS5.SSS2.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1" xref="S3.SS5.SSS2.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS5.SSS2.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1a" xref="S3.SS5.SSS2.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S3.SS5.SSS2.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.SS5.SSS2.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.SS5.SSS2.p1.5.m5.2.2.1.1.1.3" xref="S3.SS5.SSS2.p1.5.m5.2.2.1.1.2.cmml">,</mo><mn id="S3.SS5.SSS2.p1.5.m5.1.1" xref="S3.SS5.SSS2.p1.5.m5.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.SS5.SSS2.p1.5.m5.2.2.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.SS5.SSS2.p1.5.m5.2.2.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><mi id="S3.SS5.SSS2.p1.5.m5.2.2.1.3" xref="S3.SS5.SSS2.p1.5.m5.2.2.1.3.cmml">d</mi></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS5.SSS2.p1.5.m5.2b"><apply id="S3.SS5.SSS2.p1.5.m5.2.2.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.5.m5.2.2"><in id="S3.SS5.SSS2.p1.5.m5.2.2.2.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.5.m5.2.2.2"></in><ci id="S3.SS5.SSS2.p1.5.m5.2.2.3.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.5.m5.2.2.3">𝑣</ci><apply id="S3.SS5.SSS2.p1.5.m5.2.2.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.5.m5.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS5.SSS2.p1.5.m5.2.2.1.2.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.5.m5.2.2.1">superscript</csymbol><set id="S3.SS5.SSS2.p1.5.m5.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.5.m5.2.2.1.1.1"><apply id="S3.SS5.SSS2.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1"><minus id="S3.SS5.SSS2.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1"></minus><cn id="S3.SS5.SSS2.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS5.SSS2.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.2">1</cn></apply><cn id="S3.SS5.SSS2.p1.5.m5.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.SS5.SSS2.p1.5.m5.1.1">1</cn></set><ci id="S3.SS5.SSS2.p1.5.m5.2.2.1.3.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.5.m5.2.2.1.3">𝑑</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS5.SSS2.p1.5.m5.2c">v\in\{-1,1\}^{d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS5.SSS2.p1.5.m5.2d">italic_v ∈ { - 1 , 1 } start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. Unlike BPS, the jump kernel is not deterministic. It can be characterized however by which velocity is flipped. Hence</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex38"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="V=\{1,...,d\}." class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex38.m1.4"><semantics id="S3.Ex38.m1.4a"><mrow id="S3.Ex38.m1.4.4.1" xref="S3.Ex38.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex38.m1.4.4.1.1" xref="S3.Ex38.m1.4.4.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex38.m1.4.4.1.1.2" xref="S3.Ex38.m1.4.4.1.1.2.cmml">V</mi><mo id="S3.Ex38.m1.4.4.1.1.1" xref="S3.Ex38.m1.4.4.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex38.m1.4.4.1.1.3.2" xref="S3.Ex38.m1.4.4.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex38.m1.4.4.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex38.m1.4.4.1.1.3.1.cmml">{</mo><mn id="S3.Ex38.m1.1.1" xref="S3.Ex38.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.Ex38.m1.4.4.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex38.m1.4.4.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex38.m1.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex38.m1.2.2.cmml">…</mi><mo id="S3.Ex38.m1.4.4.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex38.m1.4.4.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex38.m1.3.3" xref="S3.Ex38.m1.3.3.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex38.m1.4.4.1.1.3.2.4" stretchy="false" xref="S3.Ex38.m1.4.4.1.1.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex38.m1.4.4.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex38.m1.4.4.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex38.m1.4b"><apply id="S3.Ex38.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S3.Ex38.m1.4.4.1"><eq id="S3.Ex38.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex38.m1.4.4.1.1.1"></eq><ci id="S3.Ex38.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex38.m1.4.4.1.1.2">𝑉</ci><set id="S3.Ex38.m1.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex38.m1.4.4.1.1.3.2"><cn id="S3.Ex38.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.Ex38.m1.1.1">1</cn><ci id="S3.Ex38.m1.2.2.cmml" xref="S3.Ex38.m1.2.2">…</ci><ci id="S3.Ex38.m1.3.3.cmml" xref="S3.Ex38.m1.3.3">𝑑</ci></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex38.m1.4c">V=\{1,...,d\}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex38.m1.4d">italic_V = { 1 , … , italic_d } .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS5.SSS2.p1.15">The jump is then defined as</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx8"> <tbody id="S3.Ex39"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\xi_{(x,v)}:V" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex39.m1.2"><semantics id="S3.Ex39.m1.2a"><mrow id="S3.Ex39.m1.2.3" xref="S3.Ex39.m1.2.3.cmml"><msub id="S3.Ex39.m1.2.3.2" xref="S3.Ex39.m1.2.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex39.m1.2.3.2.2" xref="S3.Ex39.m1.2.3.2.2.cmml">ξ</mi><mrow id="S3.Ex39.m1.2.2.2.4" xref="S3.Ex39.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex39.m1.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="S3.Ex39.m1.2.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex39.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex39.m1.1.1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S3.Ex39.m1.2.2.2.4.2" xref="S3.Ex39.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex39.m1.2.2.2.2" xref="S3.Ex39.m1.2.2.2.2.cmml">v</mi><mo id="S3.Ex39.m1.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="S3.Ex39.m1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub><mo id="S3.Ex39.m1.2.3.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S3.Ex39.m1.2.3.1.cmml">:</mo><mi id="S3.Ex39.m1.2.3.3" xref="S3.Ex39.m1.2.3.3.cmml">V</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex39.m1.2b"><apply id="S3.Ex39.m1.2.3.cmml" xref="S3.Ex39.m1.2.3"><ci id="S3.Ex39.m1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex39.m1.2.3.1">:</ci><apply id="S3.Ex39.m1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex39.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex39.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex39.m1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex39.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex39.m1.2.3.2.2">𝜉</ci><interval closure="open" id="S3.Ex39.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex39.m1.2.2.2.4"><ci id="S3.Ex39.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex39.m1.1.1.1.1">𝑥</ci><ci id="S3.Ex39.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex39.m1.2.2.2.2">𝑣</ci></interval></apply><ci id="S3.Ex39.m1.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex39.m1.2.3.3">𝑉</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex39.m1.2c">\displaystyle\xi_{(x,v)}:V</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex39.m1.2d">italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT ( italic_x , italic_v ) end_POSTSUBSCRIPT : italic_V</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\rightarrow E" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex39.m2.1"><semantics id="S3.Ex39.m2.1a"><mrow id="S3.Ex39.m2.1.1" xref="S3.Ex39.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex39.m2.1.1.2" xref="S3.Ex39.m2.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S3.Ex39.m2.1.1.1" stretchy="false" xref="S3.Ex39.m2.1.1.1.cmml">→</mo><mi id="S3.Ex39.m2.1.1.3" xref="S3.Ex39.m2.1.1.3.cmml">E</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex39.m2.1b"><apply id="S3.Ex39.m2.1.1.cmml" xref="S3.Ex39.m2.1.1"><ci id="S3.Ex39.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex39.m2.1.1.1">→</ci><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex39.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex39.m2.1.1.2">absent</csymbol><ci id="S3.Ex39.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex39.m2.1.1.3">𝐸</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex39.m2.1c">\displaystyle\rightarrow E</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex39.m2.1d">→ italic_E</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex40"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle i" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex40.m1.1"><semantics id="S3.Ex40.m1.1a"><mi id="S3.Ex40.m1.1.1" xref="S3.Ex40.m1.1.1.cmml">i</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex40.m1.1b"><ci id="S3.Ex40.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex40.m1.1.1">𝑖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex40.m1.1c">\displaystyle i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex40.m1.1d">italic_i</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mapsto(x,v_{1},...,v_{i-1},-v_{i},v_{i+1},...,v_{d})." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex40.m2.4"><semantics id="S3.Ex40.m2.4a"><mrow id="S3.Ex40.m2.4.4.1" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex40.m2.4.4.1.1" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.7" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.7.cmml"></mi><mo id="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.6" stretchy="false" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.6.cmml">↦</mo><mrow id="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.5.5" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.5.6.cmml"><mo id="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.5.5.6" stretchy="false" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.5.6.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex40.m2.1.1" xref="S3.Ex40.m2.1.1.cmml">x</mi><mo id="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.5.5.7" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.5.6.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">v</mi><mn id="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.5.5.8" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.5.6.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex40.m2.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex40.m2.2.2.cmml">…</mi><mo id="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.5.5.9" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.5.6.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.2.2.2.2.cmml">v</mi><mrow id="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.2.2.2.3.2" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.2.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.2.2.2.3.1" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.2.2.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.2.2.2.3.3" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.5.5.10" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.5.6.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.3.3.3.cmml"><mo id="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.3.3.3a" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.3.3.3.cmml">−</mo><msub id="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.3.3.3.2" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.3.3.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.3.3.3.2.2" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.3.3.3.2.2.cmml">v</mi><mi id="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.3.3.3.2.3" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.3.3.3.2.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.5.5.11" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.5.6.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.4.4.4" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.4.4.4.cmml"><mi id="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.4.4.4.2" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.4.4.4.2.cmml">v</mi><mrow id="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.4.4.4.3" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.4.4.4.3.cmml"><mi id="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.4.4.4.3.2" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.4.4.4.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.4.4.4.3.1" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.4.4.4.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.4.4.4.3.3" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.4.4.4.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.5.5.12" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.5.6.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex40.m2.3.3" mathvariant="normal" xref="S3.Ex40.m2.3.3.cmml">…</mi><mo id="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.5.5.13" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.5.6.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.5.5.5" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.5.5.5.cmml"><mi id="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.5.5.5.2" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.5.5.5.2.cmml">v</mi><mi id="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.5.5.5.3" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.5.5.5.3.cmml">d</mi></msub><mo id="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.5.5.14" stretchy="false" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.5.6.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex40.m2.4.4.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex40.m2.4b"><apply id="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.cmml" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.6.cmml" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.6">maps-to</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.7.cmml" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.7">absent</csymbol><vector id="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.5.6.cmml" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.5.5"><ci id="S3.Ex40.m2.1.1.cmml" xref="S3.Ex40.m2.1.1">𝑥</ci><apply id="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.1.1.1.2">𝑣</ci><cn id="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S3.Ex40.m2.2.2.cmml" xref="S3.Ex40.m2.2.2">…</ci><apply id="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.2.2.2.2">𝑣</ci><apply id="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.2.2.2.3"><minus id="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.2.2.2.3.1"></minus><ci id="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.2.2.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.2.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.3.3.3"><minus id="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.3.3.3"></minus><apply id="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.3.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.3.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.3.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.3.3.3.2.2">𝑣</ci><ci id="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.3.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.3.3.3.2.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.4.4.4.cmml" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.4.4.4.1.cmml" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.4.4.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.4.4.4.2.cmml" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.4.4.4.2">𝑣</ci><apply id="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.4.4.4.3.cmml" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.4.4.4.3"><plus id="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.4.4.4.3.1.cmml" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.4.4.4.3.1"></plus><ci id="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.4.4.4.3.2.cmml" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.4.4.4.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.4.4.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.4.4.4.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.Ex40.m2.3.3.cmml" xref="S3.Ex40.m2.3.3">…</ci><apply id="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.5.5.5.cmml" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.5.5.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.5.5.5.1.cmml" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.5.5.5">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.5.5.5.2.cmml" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.5.5.5.2">𝑣</ci><ci id="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.5.5.5.3.cmml" xref="S3.Ex40.m2.4.4.1.1.5.5.5.3">𝑑</ci></apply></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex40.m2.4c">\displaystyle\mapsto(x,v_{1},...,v_{i-1},-v_{i},v_{i+1},...,v_{d}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex40.m2.4d">↦ ( italic_x , italic_v start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_i - 1 end_POSTSUBSCRIPT , - italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_i + 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_d end_POSTSUBSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS5.SSS2.p1.16">The reverse process is similar and</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx9"> <tbody id="S3.Ex41"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle V^{r}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex41.m1.1"><semantics id="S3.Ex41.m1.1a"><msup id="S3.Ex41.m1.1.1" xref="S3.Ex41.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex41.m1.1.1.2" xref="S3.Ex41.m1.1.1.2.cmml">V</mi><mi id="S3.Ex41.m1.1.1.3" xref="S3.Ex41.m1.1.1.3.cmml">r</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex41.m1.1b"><apply id="S3.Ex41.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex41.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex41.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex41.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex41.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex41.m1.1.1.2">𝑉</ci><ci id="S3.Ex41.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex41.m1.1.1.3">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex41.m1.1c">\displaystyle V^{r}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex41.m1.1d">italic_V start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=V," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex41.m2.1"><semantics id="S3.Ex41.m2.1a"><mrow id="S3.Ex41.m2.1.1.1" xref="S3.Ex41.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex41.m2.1.1.1.1" xref="S3.Ex41.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex41.m2.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex41.m2.1.1.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S3.Ex41.m2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex41.m2.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S3.Ex41.m2.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex41.m2.1.1.1.1.3.cmml">V</mi></mrow><mo id="S3.Ex41.m2.1.1.1.2" xref="S3.Ex41.m2.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex41.m2.1b"><apply id="S3.Ex41.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex41.m2.1.1.1"><eq id="S3.Ex41.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex41.m2.1.1.1.1.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex41.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex41.m2.1.1.1.1.2">absent</csymbol><ci id="S3.Ex41.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex41.m2.1.1.1.1.3">𝑉</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex41.m2.1c">\displaystyle=V,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex41.m2.1d">= italic_V ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex42"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\xi^{r}_{z}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex42.m1.1"><semantics id="S3.Ex42.m1.1a"><msubsup id="S3.Ex42.m1.1.1" xref="S3.Ex42.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex42.m1.1.1.2.2" xref="S3.Ex42.m1.1.1.2.2.cmml">ξ</mi><mi id="S3.Ex42.m1.1.1.3" xref="S3.Ex42.m1.1.1.3.cmml">z</mi><mi id="S3.Ex42.m1.1.1.2.3" xref="S3.Ex42.m1.1.1.2.3.cmml">r</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex42.m1.1b"><apply id="S3.Ex42.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex42.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex42.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex42.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex42.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex42.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex42.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex42.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex42.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex42.m1.1.1.2.2">𝜉</ci><ci id="S3.Ex42.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex42.m1.1.1.2.3">𝑟</ci></apply><ci id="S3.Ex42.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex42.m1.1.1.3">𝑧</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex42.m1.1c">\displaystyle\xi^{r}_{z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex42.m1.1d">italic_ξ start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_z end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\xi_{z}." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex42.m2.1"><semantics id="S3.Ex42.m2.1a"><mrow id="S3.Ex42.m2.1.1.1" xref="S3.Ex42.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex42.m2.1.1.1.1" xref="S3.Ex42.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex42.m2.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex42.m2.1.1.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S3.Ex42.m2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex42.m2.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><msub id="S3.Ex42.m2.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex42.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex42.m2.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex42.m2.1.1.1.1.3.2.cmml">ξ</mi><mi id="S3.Ex42.m2.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex42.m2.1.1.1.1.3.3.cmml">z</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex42.m2.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex42.m2.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex42.m2.1b"><apply id="S3.Ex42.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex42.m2.1.1.1"><eq id="S3.Ex42.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex42.m2.1.1.1.1.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex42.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex42.m2.1.1.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S3.Ex42.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex42.m2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex42.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex42.m2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex42.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex42.m2.1.1.1.1.3.2">𝜉</ci><ci id="S3.Ex42.m2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex42.m2.1.1.1.1.3.3">𝑧</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex42.m2.1c">\displaystyle=\xi_{z}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex42.m2.1d">= italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT italic_z end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS5.SSS2.p1.6">The application <math alttext="R" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS5.SSS2.p1.6.m1.1"><semantics id="S3.SS5.SSS2.p1.6.m1.1a"><mi id="S3.SS5.SSS2.p1.6.m1.1.1" xref="S3.SS5.SSS2.p1.6.m1.1.1.cmml">R</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS5.SSS2.p1.6.m1.1b"><ci id="S3.SS5.SSS2.p1.6.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.6.m1.1.1">𝑅</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS5.SSS2.p1.6.m1.1c">R</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS5.SSS2.p1.6.m1.1d">italic_R</annotation></semantics></math> can be then written as:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex43"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="R(z_{0},t_{0},v_{0},...,t_{k},v_{k})=R(z_{T},T-t_{k},v_{k},...,T-t_{0},v_{0})," class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex43.m1.3"><semantics id="S3.Ex43.m1.3a"><mrow id="S3.Ex43.m1.3.3.1" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.5" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.5.cmml"><mi id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.5.7" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.5.7.cmml">R</mi><mo id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.5.6" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.5.6.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.5.5.5" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.5.5.6.cmml"><mo id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.5.5.5.6" stretchy="false" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.5.5.6.cmml">(</mo><msub id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">z</mi><mn id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.5.5.5.7" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.5.5.6.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.cmml">t</mi><mn id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.5.5.5.8" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.5.5.6.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.3.3.3.3" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.2" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.2.cmml">v</mi><mn id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.3" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.5.5.5.9" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.5.5.6.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex43.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.Ex43.m1.1.1.cmml">…</mi><mo id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.5.5.5.10" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.5.5.6.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.4.4.4.4" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.cmml"><mi id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.2" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.2.cmml">t</mi><mi id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.3" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.5.5.5.11" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.5.5.6.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.5.5.5.5" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.5.5.5.5.cmml"><mi id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.5.5.5.5.2" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.5.5.5.5.2.cmml">v</mi><mi id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.5.5.5.5.3" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.5.5.5.5.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.5.5.5.12" stretchy="false" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.5.5.6.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.11" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.11.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.10" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.10.cmml"><mi id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.10.7" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.10.7.cmml">R</mi><mo id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.10.6" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.10.6.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.10.5.5" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.10.5.6.cmml"><mo id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.10.5.5.6" stretchy="false" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.10.5.6.cmml">(</mo><msub id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.6.1.1.1" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.6.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.6.1.1.1.2" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.6.1.1.1.2.cmml">z</mi><mi id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.6.1.1.1.3" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.6.1.1.1.3.cmml">T</mi></msub><mo id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.10.5.5.7" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.10.5.6.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.7.2.2.2" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.7.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.7.2.2.2.2" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.7.2.2.2.2.cmml">T</mi><mo id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.7.2.2.2.1" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.7.2.2.2.1.cmml">−</mo><msub id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.7.2.2.2.3" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.7.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.7.2.2.2.3.2" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.7.2.2.2.3.2.cmml">t</mi><mi id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.7.2.2.2.3.3" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.7.2.2.2.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.10.5.5.8" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.10.5.6.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.8.3.3.3" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.8.3.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.8.3.3.3.2" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.8.3.3.3.2.cmml">v</mi><mi id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.8.3.3.3.3" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.8.3.3.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.10.5.5.9" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.10.5.6.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex43.m1.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex43.m1.2.2.cmml">…</mi><mo id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.10.5.5.10" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.10.5.6.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.9.4.4.4" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.9.4.4.4.cmml"><mi id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.9.4.4.4.2" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.9.4.4.4.2.cmml">T</mi><mo id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.9.4.4.4.1" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.9.4.4.4.1.cmml">−</mo><msub id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.9.4.4.4.3" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.9.4.4.4.3.cmml"><mi id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.9.4.4.4.3.2" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.9.4.4.4.3.2.cmml">t</mi><mn id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.9.4.4.4.3.3" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.9.4.4.4.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow><mo id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.10.5.5.11" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.10.5.6.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.10.5.5.5" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.10.5.5.5.cmml"><mi id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.10.5.5.5.2" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.10.5.5.5.2.cmml">v</mi><mn id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.10.5.5.5.3" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.10.5.5.5.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.10.5.5.12" stretchy="false" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.10.5.6.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex43.m1.3.3.1.2" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex43.m1.3b"><apply id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1"><eq id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.11.cmml" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.11"></eq><apply id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.5.cmml" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.5"><times id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.5.6.cmml" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.5.6"></times><ci id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.5.7.cmml" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.5.7">𝑅</ci><vector id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.5.5.6.cmml" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.5.5.5"><apply id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2">𝑧</ci><cn id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2">𝑡</ci><cn id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3">0</cn></apply><apply id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.2">𝑣</ci><cn id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.3">0</cn></apply><ci id="S3.Ex43.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex43.m1.1.1">…</ci><apply id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.cmml" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.4.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.1.cmml" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.4.4.4.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.2.cmml" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.2">𝑡</ci><ci id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.3.cmml" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.5.5.5.5.cmml" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.5.5.5.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.5.5.5.5.1.cmml" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.5.5.5.5">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.5.5.5.5.2.cmml" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.5.5.5.5.2">𝑣</ci><ci id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.5.5.5.5.3.cmml" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.5.5.5.5.3">𝑘</ci></apply></vector></apply><apply id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.10.cmml" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.10"><times id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.10.6.cmml" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.10.6"></times><ci id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.10.7.cmml" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.10.7">𝑅</ci><vector id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.10.5.6.cmml" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.10.5.5"><apply id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.6.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.6.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.6.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.6.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.6.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.6.1.1.1.2">𝑧</ci><ci id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.6.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.6.1.1.1.3">𝑇</ci></apply><apply id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.7.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.7.2.2.2"><minus id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.7.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.7.2.2.2.1"></minus><ci id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.7.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.7.2.2.2.2">𝑇</ci><apply id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.7.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.7.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.7.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.7.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.7.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.7.2.2.2.3.2">𝑡</ci><ci id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.7.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.7.2.2.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.8.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.8.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.8.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.8.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.8.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.8.3.3.3.2">𝑣</ci><ci id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.8.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.8.3.3.3.3">𝑘</ci></apply><ci id="S3.Ex43.m1.2.2.cmml" xref="S3.Ex43.m1.2.2">…</ci><apply id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.9.4.4.4.cmml" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.9.4.4.4"><minus id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.9.4.4.4.1.cmml" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.9.4.4.4.1"></minus><ci id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.9.4.4.4.2.cmml" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.9.4.4.4.2">𝑇</ci><apply id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.9.4.4.4.3.cmml" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.9.4.4.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.9.4.4.4.3.1.cmml" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.9.4.4.4.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.9.4.4.4.3.2.cmml" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.9.4.4.4.3.2">𝑡</ci><cn id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.9.4.4.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.9.4.4.4.3.3">0</cn></apply></apply><apply id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.10.5.5.5.cmml" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.10.5.5.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.10.5.5.5.1.cmml" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.10.5.5.5">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.10.5.5.5.2.cmml" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.10.5.5.5.2">𝑣</ci><cn id="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.10.5.5.5.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex43.m1.3.3.1.1.10.5.5.5.3">0</cn></apply></vector></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex43.m1.3c">R(z_{0},t_{0},v_{0},...,t_{k},v_{k})=R(z_{T},T-t_{k},v_{k},...,T-t_{0},v_{0}),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex43.m1.3d">italic_R ( italic_z start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT , italic_t start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) = italic_R ( italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_T end_POSTSUBSCRIPT , italic_T - italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_T - italic_t start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS5.SSS2.p1.10">since the same coordinate is flipped at each event in the backward representation as in the forward representation. Furthermore, for a fixed <math alttext="t_{0},v_{0},...,t_{k},v_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.5"><semantics id="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.5a"><mrow id="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.5.5.4" xref="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.5.5.5.cmml"><msub id="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.2.2.1.1" xref="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.2.2.1.1.2" xref="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.2.2.1.1.2.cmml">t</mi><mn id="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.2.2.1.1.3" xref="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.2.2.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.5.5.4.5" xref="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.5.5.5.cmml">,</mo><msub id="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.3.3.2.2" xref="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.3.3.2.2.cmml"><mi id="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.3.3.2.2.2" xref="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.3.3.2.2.2.cmml">v</mi><mn id="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.3.3.2.2.3" xref="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.3.3.2.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.5.5.4.6" xref="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.5.5.5.cmml">,</mo><mi id="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.1.1.cmml">…</mi><mo id="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.5.5.4.7" xref="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.5.5.5.cmml">,</mo><msub id="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.4.4.3.3" xref="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.4.4.3.3.cmml"><mi id="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.4.4.3.3.2" xref="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.4.4.3.3.2.cmml">t</mi><mi id="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.4.4.3.3.3" xref="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.4.4.3.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.5.5.4.8" xref="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.5.5.5.cmml">,</mo><msub id="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.5.5.4.4" xref="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.5.5.4.4.cmml"><mi id="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.5.5.4.4.2" xref="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.5.5.4.4.2.cmml">v</mi><mi id="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.5.5.4.4.3" xref="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.5.5.4.4.3.cmml">k</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.5b"><list id="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.5.5.5.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.5.5.4"><apply id="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.2.2.1.1.2">𝑡</ci><cn id="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.2.2.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.3.3.2.2.2">𝑣</ci><cn id="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.3.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.3.3.2.2.3">0</cn></apply><ci id="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.1.1">…</ci><apply id="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.4.4.3.3.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.4.4.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.4.4.3.3.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.4.4.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.4.4.3.3.2.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.4.4.3.3.2">𝑡</ci><ci id="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.4.4.3.3.3.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.4.4.3.3.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.5.5.4.4.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.5.5.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.5.5.4.4.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.5.5.4.4">subscript</csymbol><ci id="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.5.5.4.4.2.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.5.5.4.4.2">𝑣</ci><ci id="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.5.5.4.4.3.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.5.5.4.4.3">𝑘</ci></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.5c">t_{0},v_{0},...,t_{k},v_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS5.SSS2.p1.7.m1.5d">italic_t start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, the application <math alttext="z_{0}\mapsto z_{T}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS5.SSS2.p1.8.m2.1"><semantics id="S3.SS5.SSS2.p1.8.m2.1a"><mrow id="S3.SS5.SSS2.p1.8.m2.1.1" xref="S3.SS5.SSS2.p1.8.m2.1.1.cmml"><msub id="S3.SS5.SSS2.p1.8.m2.1.1.2" xref="S3.SS5.SSS2.p1.8.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS5.SSS2.p1.8.m2.1.1.2.2" xref="S3.SS5.SSS2.p1.8.m2.1.1.2.2.cmml">z</mi><mn id="S3.SS5.SSS2.p1.8.m2.1.1.2.3" xref="S3.SS5.SSS2.p1.8.m2.1.1.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.SS5.SSS2.p1.8.m2.1.1.1" stretchy="false" xref="S3.SS5.SSS2.p1.8.m2.1.1.1.cmml">↦</mo><msub id="S3.SS5.SSS2.p1.8.m2.1.1.3" xref="S3.SS5.SSS2.p1.8.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS5.SSS2.p1.8.m2.1.1.3.2" xref="S3.SS5.SSS2.p1.8.m2.1.1.3.2.cmml">z</mi><mi id="S3.SS5.SSS2.p1.8.m2.1.1.3.3" xref="S3.SS5.SSS2.p1.8.m2.1.1.3.3.cmml">T</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS5.SSS2.p1.8.m2.1b"><apply id="S3.SS5.SSS2.p1.8.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.8.m2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS5.SSS2.p1.8.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.8.m2.1.1.1">maps-to</csymbol><apply id="S3.SS5.SSS2.p1.8.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.8.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS5.SSS2.p1.8.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.8.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS5.SSS2.p1.8.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.8.m2.1.1.2.2">𝑧</ci><cn id="S3.SS5.SSS2.p1.8.m2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS5.SSS2.p1.8.m2.1.1.2.3">0</cn></apply><apply id="S3.SS5.SSS2.p1.8.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.8.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS5.SSS2.p1.8.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.8.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS5.SSS2.p1.8.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.8.m2.1.1.3.2">𝑧</ci><ci id="S3.SS5.SSS2.p1.8.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.8.m2.1.1.3.3">𝑇</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS5.SSS2.p1.8.m2.1c">z_{0}\mapsto z_{T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS5.SSS2.p1.8.m2.1d">italic_z start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ↦ italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_T end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> preserves the volume as it can be written as a composition of measure preserving operations, since the maps <math alttext="\xi_{z}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS5.SSS2.p1.9.m3.1"><semantics id="S3.SS5.SSS2.p1.9.m3.1a"><msub id="S3.SS5.SSS2.p1.9.m3.1.1" xref="S3.SS5.SSS2.p1.9.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS5.SSS2.p1.9.m3.1.1.2" xref="S3.SS5.SSS2.p1.9.m3.1.1.2.cmml">ξ</mi><mi id="S3.SS5.SSS2.p1.9.m3.1.1.3" xref="S3.SS5.SSS2.p1.9.m3.1.1.3.cmml">z</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS5.SSS2.p1.9.m3.1b"><apply id="S3.SS5.SSS2.p1.9.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.9.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS5.SSS2.p1.9.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.9.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS5.SSS2.p1.9.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.9.m3.1.1.2">𝜉</ci><ci id="S3.SS5.SSS2.p1.9.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.9.m3.1.1.3">𝑧</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS5.SSS2.p1.9.m3.1c">\xi_{z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS5.SSS2.p1.9.m3.1d">italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT italic_z end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and the deterministic flow preserve the volume. Therefore, <math alttext="R" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS5.SSS2.p1.10.m4.1"><semantics id="S3.SS5.SSS2.p1.10.m4.1a"><mi id="S3.SS5.SSS2.p1.10.m4.1.1" xref="S3.SS5.SSS2.p1.10.m4.1.1.cmml">R</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS5.SSS2.p1.10.m4.1b"><ci id="S3.SS5.SSS2.p1.10.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.10.m4.1.1">𝑅</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS5.SSS2.p1.10.m4.1c">R</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS5.SSS2.p1.10.m4.1d">italic_R</annotation></semantics></math> preserves the volume, i.e.</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex44"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\psi(w^{r})=1." class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex44.m1.1"><semantics id="S3.Ex44.m1.1a"><mrow id="S3.Ex44.m1.1.1.1" xref="S3.Ex44.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex44.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex44.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex44.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex44.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex44.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex44.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">ψ</mi><mo id="S3.Ex44.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex44.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">w</mi><mi id="S3.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">r</mi></msup><mo id="S3.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex44.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex44.m1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex44.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex44.m1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.Ex44.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex44.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex44.m1.1b"><apply id="S3.Ex44.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex44.m1.1.1.1"><eq id="S3.Ex44.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex44.m1.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S3.Ex44.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex44.m1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex44.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex44.m1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.Ex44.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex44.m1.1.1.1.1.1.3">𝜓</ci><apply id="S3.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑤</ci><ci id="S3.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑟</ci></apply></apply><cn id="S3.Ex44.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex44.m1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex44.m1.1c">\psi(w^{r})=1.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex44.m1.1d">italic_ψ ( italic_w start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ) = 1 .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS5.SSS2.p1.14">Since the deterministic flow is <math alttext="C^{\infty}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS5.SSS2.p1.11.m1.1"><semantics id="S3.SS5.SSS2.p1.11.m1.1a"><msup id="S3.SS5.SSS2.p1.11.m1.1.1" xref="S3.SS5.SSS2.p1.11.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS5.SSS2.p1.11.m1.1.1.2" xref="S3.SS5.SSS2.p1.11.m1.1.1.2.cmml">C</mi><mi id="S3.SS5.SSS2.p1.11.m1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.SS5.SSS2.p1.11.m1.1.1.3.cmml">∞</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS5.SSS2.p1.11.m1.1b"><apply id="S3.SS5.SSS2.p1.11.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.11.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS5.SSS2.p1.11.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.11.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS5.SSS2.p1.11.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.11.m1.1.1.2">𝐶</ci><infinity id="S3.SS5.SSS2.p1.11.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.11.m1.1.1.3"></infinity></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS5.SSS2.p1.11.m1.1c">C^{\infty}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS5.SSS2.p1.11.m1.1d">italic_C start_POSTSUPERSCRIPT ∞ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, and so are the jumps <math alttext="\xi_{z}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS5.SSS2.p1.12.m2.1"><semantics id="S3.SS5.SSS2.p1.12.m2.1a"><msub id="S3.SS5.SSS2.p1.12.m2.1.1" xref="S3.SS5.SSS2.p1.12.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS5.SSS2.p1.12.m2.1.1.2" xref="S3.SS5.SSS2.p1.12.m2.1.1.2.cmml">ξ</mi><mi id="S3.SS5.SSS2.p1.12.m2.1.1.3" xref="S3.SS5.SSS2.p1.12.m2.1.1.3.cmml">z</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS5.SSS2.p1.12.m2.1b"><apply id="S3.SS5.SSS2.p1.12.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.12.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS5.SSS2.p1.12.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.12.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS5.SSS2.p1.12.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.12.m2.1.1.2">𝜉</ci><ci id="S3.SS5.SSS2.p1.12.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.12.m2.1.1.3">𝑧</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS5.SSS2.p1.12.m2.1c">\xi_{z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS5.SSS2.p1.12.m2.1d">italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT italic_z end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, we can see that <math alttext="R" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS5.SSS2.p1.13.m3.1"><semantics id="S3.SS5.SSS2.p1.13.m3.1a"><mi id="S3.SS5.SSS2.p1.13.m3.1.1" xref="S3.SS5.SSS2.p1.13.m3.1.1.cmml">R</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS5.SSS2.p1.13.m3.1b"><ci id="S3.SS5.SSS2.p1.13.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.13.m3.1.1">𝑅</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS5.SSS2.p1.13.m3.1c">R</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS5.SSS2.p1.13.m3.1d">italic_R</annotation></semantics></math> is <math alttext="C^{\infty}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS5.SSS2.p1.14.m4.1"><semantics id="S3.SS5.SSS2.p1.14.m4.1a"><msup id="S3.SS5.SSS2.p1.14.m4.1.1" xref="S3.SS5.SSS2.p1.14.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.SS5.SSS2.p1.14.m4.1.1.2" xref="S3.SS5.SSS2.p1.14.m4.1.1.2.cmml">C</mi><mi id="S3.SS5.SSS2.p1.14.m4.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.SS5.SSS2.p1.14.m4.1.1.3.cmml">∞</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS5.SSS2.p1.14.m4.1b"><apply id="S3.SS5.SSS2.p1.14.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.14.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS5.SSS2.p1.14.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.14.m4.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS5.SSS2.p1.14.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.14.m4.1.1.2">𝐶</ci><infinity id="S3.SS5.SSS2.p1.14.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.SS5.SSS2.p1.14.m4.1.1.3"></infinity></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS5.SSS2.p1.14.m4.1c">C^{\infty}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS5.SSS2.p1.14.m4.1d">italic_C start_POSTSUPERSCRIPT ∞ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_pagination ltx_role_newpage"></div> </section> </section> </section> <section class="ltx_section" id="S4"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">4 </span>Refreshing PDMP velocities using a stopping criterion</h2> <div class="ltx_para" id="S4.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.p1.1">PDMP samplers, like most velocity-driven samplers, require some form of velocity refreshment in order to support ergodicity. Determining the optimal refreshment rate is a significant challenge, even in rather simple cases. Moreover, the optimal refreshment rate may depend on the position within the state space, rendering a single, fixed parameter inefficient across different regions.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p2"> <p class="ltx_p" id="S4.p2.1">To address this challenge, we introduce an algorithm inspired by the NUTS criterion, as used in HMC <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#bib.bib12" title="">12</a>]</cite>, adapted for PDMP samplers. This algorithm constructs a path until a stopping criterion is satisfied, with minimal assumptions regarding the criterion. We propose a modified version of the No-U-Turn stopping criterion that meets these assumptions.</p> </div> <section class="ltx_subsection" id="S4.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">4.1 </span>Stopping criterion</h3> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p1.3">In this context, a stopping criterion is a function that takes a path as input (of finite length, but it can be any length), and outputs whether the path is valid, where ‘validity’ reflects that it is still worthwhile to further extend the trajectory. For example, the (simplified) No-U-Turn checks if the path has a U-turn inside <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#bib.bib12" title="">12</a>]</cite>, in the sense that it verifies that for every points <math alttext="(x_{t_{1}},v_{t_{1}})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.1.m1.2"><semantics id="S4.SS1.p1.1.m1.2a"><mrow id="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.2" xref="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.3.cmml"><mo id="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><msub id="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">t</mi><mn id="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub></msub><mo id="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.2.4" xref="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml">v</mi><msub id="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.2.2.3" xref="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.2.2.3.2" xref="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.2.2.3.2.cmml">t</mi><mn id="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.2.2.3.3" xref="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></msub></msub><mo id="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.1.m1.2b"><interval closure="open" id="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.2"><apply id="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><apply id="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.3.2">𝑡</ci><cn id="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.2.2.2">𝑣</ci><apply id="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.2.2.3.2">𝑡</ci><cn id="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.2.2.3.3">1</cn></apply></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.1.m1.2c">(x_{t_{1}},v_{t_{1}})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.1.m1.2d">( italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_t start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_t start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> and <math alttext="(x_{t_{2}},v_{t_{2}})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.2.m2.2"><semantics id="S4.SS1.p1.2.m2.2a"><mrow id="S4.SS1.p1.2.m2.2.2.2" xref="S4.SS1.p1.2.m2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.SS1.p1.2.m2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p1.2.m2.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><msub id="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.3.2" xref="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.3.2.cmml">t</mi><mn id="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.3.3" xref="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></msub><mo id="S4.SS1.p1.2.m2.2.2.2.4" xref="S4.SS1.p1.2.m2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S4.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.cmml">v</mi><msub id="S4.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.3" xref="S4.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.3.2" xref="S4.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.3.2.cmml">t</mi><mn id="S4.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.3.3" xref="S4.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.3.3.cmml">2</mn></msub></msub><mo id="S4.SS1.p1.2.m2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S4.SS1.p1.2.m2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.2.m2.2b"><interval closure="open" id="S4.SS1.p1.2.m2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m2.2.2.2"><apply id="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.2">𝑥</ci><apply id="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.3.2">𝑡</ci><cn id="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S4.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.2">𝑣</ci><apply id="S4.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.3.2">𝑡</ci><cn id="S4.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.3.3">2</cn></apply></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.2.m2.2c">(x_{t_{2}},v_{t_{2}})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.2.m2.2d">( italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_t start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_t start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> of the trajectory with <math alttext="t_{1}<t_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.3.m3.1"><semantics id="S4.SS1.p1.3.m3.1a"><mrow id="S4.SS1.p1.3.m3.1.1" xref="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.cmml"><msub id="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.2" xref="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.2.2" xref="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.2.2.cmml">t</mi><mn id="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.2.3" xref="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.1" xref="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.1.cmml"><</mo><msub id="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.3" xref="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.3.2" xref="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.3.2.cmml">t</mi><mn id="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.3.3" xref="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.3.m3.1b"><apply id="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.3.m3.1.1"><lt id="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.1"></lt><apply id="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.2.2">𝑡</ci><cn id="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.3.2">𝑡</ci><cn id="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.3.m3.1c">t_{1}<t_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.3.m3.1d">italic_t start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT < italic_t start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx10"> <tbody id="S4.Ex45"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\frac{d\|x_{t_{1}}-x_{t_{2}}\|^{2}}{dt_{2}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex45.m1.1"><semantics id="S4.Ex45.m1.1a"><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex45.m1.1.1" xref="S4.Ex45.m1.1.1.cmml"><mfrac id="S4.Ex45.m1.1.1a" xref="S4.Ex45.m1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex45.m1.1.1.1" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex45.m1.1.1.1.3" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.3.cmml">d</mi><mo id="S4.Ex45.m1.1.1.1.2" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">x</mi><msub id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">t</mi><mn id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></msub></msub><mo id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">x</mi><msub id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">t</mi><mn id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msub></msub></mrow><mo id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mrow id="S4.Ex45.m1.1.1.3" xref="S4.Ex45.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex45.m1.1.1.3.2" xref="S4.Ex45.m1.1.1.3.2.cmml">d</mi><mo id="S4.Ex45.m1.1.1.3.1" xref="S4.Ex45.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex45.m1.1.1.3.3" xref="S4.Ex45.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex45.m1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex45.m1.1.1.3.3.2.cmml">t</mi><mn id="S4.Ex45.m1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex45.m1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mfrac></mstyle><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex45.m1.1b"><apply id="S4.Ex45.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1"><divide id="S4.Ex45.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1"></divide><apply id="S4.Ex45.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1"><times id="S4.Ex45.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.2"></times><ci id="S4.Ex45.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.3">𝑑</ci><apply id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1"><minus 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xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑡</ci><cn id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑥</ci><apply id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑡</ci><cn id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><cn id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply><apply id="S4.Ex46.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex46.m1.1.1.3"><times id="S4.Ex46.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex46.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.Ex46.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex46.m1.1.1.3.2">𝑑</ci><apply id="S4.Ex46.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex46.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex46.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex46.m1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex46.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex46.m1.1.1.3.3.2">𝑡</ci><cn id="S4.Ex46.m1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex46.m1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex46.m1.1c">\displaystyle\frac{d\|x_{t_{1}}-x_{t_{2}}\|^{2}}{dt_{1}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex46.m1.1d">divide start_ARG italic_d ∥ italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_t start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT - italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_t start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_d italic_t start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle<=0." class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex46.m2.1"><semantics id="S4.Ex46.m2.1a"><mrow id="S4.Ex46.m2.1.1.1" xref="S4.Ex46.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex46.m2.1.1.1.1" xref="S4.Ex46.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex46.m2.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex46.m2.1.1.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S4.Ex46.m2.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex46.m2.1.1.1.1.1.cmml"><=</mo><mn id="S4.Ex46.m2.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex46.m2.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S4.Ex46.m2.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S4.Ex46.m2.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex46.m2.1b"><apply id="S4.Ex46.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex46.m2.1.1.1"><leq id="S4.Ex46.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex46.m2.1.1.1.1.1"></leq><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex46.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex46.m2.1.1.1.1.2">absent</csymbol><cn id="S4.Ex46.m2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex46.m2.1.1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex46.m2.1c">\displaystyle<=0.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex46.m2.1d">< = 0 .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p1.4">The first inequality indicates that when building the trajectory forward in time, it should not reduce the distance with any other point of the trajectory, while the second indicates the same when building the trajectory backward in time. The two conditions can be rewritten as</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx11"> <tbody id="S4.Ex47"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle(x_{t_{2}}-x_{t_{1}})\cdot v_{2}>=0," class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex47.m1.1"><semantics id="S4.Ex47.m1.1a"><mrow id="S4.Ex47.m1.1.1.1" xref="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex47.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">x</mi><msub id="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">t</mi><mn id="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">2</mn></msub></msub><mo id="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">x</mi><msub id="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">t</mi><mn id="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></msub></msub></mrow><mo id="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.2" rspace="0.222em" xref="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⋅</mo><msub id="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">v</mi><mn id="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.2" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.2.cmml">>=</mo><mn id="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S4.Ex47.m1.1.1.1.2" xref="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex47.m1.1b"><apply id="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.1"><geq id="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.2"></geq><apply id="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1"><ci id="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.2">⋅</ci><apply id="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑥</ci><apply id="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑡</ci><cn id="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑥</ci><apply id="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑡</ci><cn id="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝑣</ci><cn id="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><cn id="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex47.m1.1.1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex47.m1.1c">\displaystyle(x_{t_{2}}-x_{t_{1}})\cdot v_{2}>=0,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex47.m1.1d">( italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_t start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT - italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_t start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ) ⋅ italic_v start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT > = 0 ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.Ex48"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle(x_{t_{2}}-x_{t_{1}})\cdot v_{1}>=0." class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex48.m1.1"><semantics id="S4.Ex48.m1.1a"><mrow id="S4.Ex48.m1.1.1.1" xref="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex48.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">x</mi><msub id="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">t</mi><mn id="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">2</mn></msub></msub><mo id="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">x</mi><msub id="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">t</mi><mn id="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></msub></msub></mrow><mo id="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.2" rspace="0.222em" xref="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⋅</mo><msub id="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">v</mi><mn id="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.2" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.2.cmml">>=</mo><mn id="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S4.Ex48.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex48.m1.1b"><apply id="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex48.m1.1.1.1"><geq id="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.2"></geq><apply id="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1"><ci id="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.2">⋅</ci><apply id="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑥</ci><apply id="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑡</ci><cn id="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑥</ci><apply id="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑡</ci><cn id="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝑣</ci><cn id="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><cn id="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex48.m1.1.1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex48.m1.1c">\displaystyle(x_{t_{2}}-x_{t_{1}})\cdot v_{1}>=0.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex48.m1.1d">( italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_t start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT - italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_t start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ) ⋅ italic_v start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT > = 0 .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p2.1">We call a stopping criterion <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.SS1.p2.1.1">consistent</span> if it satisfies the following assumption:</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_assumption" id="Thmassumption5"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmassumption5.1.1.1">Assumption 5</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmassumption5.2.2"> </span>(consistent stopping criterion)<span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmassumption5.3.3">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmassumption5.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmassumption5.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmassumption5.p1.1.1">Let <math alttext="(X_{s})_{s\in\mathbb{R}}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmassumption5.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmassumption5.p1.1.1.m1.1a"><msub id="Thmassumption5.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmassumption5.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="Thmassumption5.p1.1.1.m1.1.1.1.1" xref="Thmassumption5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmassumption5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmassumption5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="Thmassumption5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="Thmassumption5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmassumption5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmassumption5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">X</mi><mi id="Thmassumption5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmassumption5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">s</mi></msub><mo id="Thmassumption5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmassumption5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="Thmassumption5.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmassumption5.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmassumption5.p1.1.1.m1.1.1.3.2" xref="Thmassumption5.p1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">s</mi><mo id="Thmassumption5.p1.1.1.m1.1.1.3.1" xref="Thmassumption5.p1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml">∈</mo><mi id="Thmassumption5.p1.1.1.m1.1.1.3.3" xref="Thmassumption5.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml">ℝ</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmassumption5.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmassumption5.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmassumption5.p1.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmassumption5.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmassumption5.p1.1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="Thmassumption5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmassumption5.p1.1.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmassumption5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmassumption5.p1.1.1.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmassumption5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmassumption5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.2">𝑋</ci><ci id="Thmassumption5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmassumption5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3">𝑠</ci></apply><apply id="Thmassumption5.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmassumption5.p1.1.1.m1.1.1.3"><in id="Thmassumption5.p1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmassumption5.p1.1.1.m1.1.1.3.1"></in><ci id="Thmassumption5.p1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmassumption5.p1.1.1.m1.1.1.3.2">𝑠</ci><ci id="Thmassumption5.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmassumption5.p1.1.1.m1.1.1.3.3">ℝ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmassumption5.p1.1.1.m1.1c">(X_{s})_{s\in\mathbb{R}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmassumption5.p1.1.1.m1.1d">( italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_s ∈ blackboard_R end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> be a “full” path. Then:</span></p> <ol class="ltx_enumerate" id="S4.I1"> <li class="ltx_item" id="S4.I1.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">1.</span> <div class="ltx_para" id="S4.I1.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.I1.i1.p1.4"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.I1.i1.p1.4.1">if </span><math alttext="(X_{s})_{s\in I}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.I1.i1.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.I1.i1.p1.1.m1.1a"><msub id="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.1" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">X</mi><mi id="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">s</mi></msub><mo id="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml">s</mi><mo id="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3.1" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml">∈</mo><mi id="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml">I</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.I1.i1.p1.1.m1.1b"><apply id="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2">𝑋</ci><ci id="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3">𝑠</ci></apply><apply id="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3"><in id="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3.1"></in><ci id="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3.2">𝑠</ci><ci id="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3.3">𝐼</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.I1.i1.p1.1.m1.1c">(X_{s})_{s\in I}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.I1.i1.p1.1.m1.1d">( italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_s ∈ italic_I end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.I1.i1.p1.4.2"> is valid for an interval </span><math alttext="I" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.I1.i1.p1.2.m2.1"><semantics id="S4.I1.i1.p1.2.m2.1a"><mi id="S4.I1.i1.p1.2.m2.1.1" xref="S4.I1.i1.p1.2.m2.1.1.cmml">I</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.I1.i1.p1.2.m2.1b"><ci id="S4.I1.i1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.2.m2.1.1">𝐼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.I1.i1.p1.2.m2.1c">I</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.I1.i1.p1.2.m2.1d">italic_I</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.I1.i1.p1.4.3">, then </span><math alttext="(X_{s})_{s\in J}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.I1.i1.p1.3.m3.1"><semantics id="S4.I1.i1.p1.3.m3.1a"><msub id="S4.I1.i1.p1.3.m3.1.1" xref="S4.I1.i1.p1.3.m3.1.1.cmml"><mrow id="S4.I1.i1.p1.3.m3.1.1.1.1" xref="S4.I1.i1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.I1.i1.p1.3.m3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.I1.i1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.I1.i1.p1.3.m3.1.1.1.1.1" xref="S4.I1.i1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.I1.i1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2" xref="S4.I1.i1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml">X</mi><mi id="S4.I1.i1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3" xref="S4.I1.i1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml">s</mi></msub><mo id="S4.I1.i1.p1.3.m3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.I1.i1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.I1.i1.p1.3.m3.1.1.3" xref="S4.I1.i1.p1.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S4.I1.i1.p1.3.m3.1.1.3.2" xref="S4.I1.i1.p1.3.m3.1.1.3.2.cmml">s</mi><mo id="S4.I1.i1.p1.3.m3.1.1.3.1" xref="S4.I1.i1.p1.3.m3.1.1.3.1.cmml">∈</mo><mi id="S4.I1.i1.p1.3.m3.1.1.3.3" xref="S4.I1.i1.p1.3.m3.1.1.3.3.cmml">J</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.I1.i1.p1.3.m3.1b"><apply id="S4.I1.i1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.3.m3.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.I1.i1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.3.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I1.i1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.3.m3.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.I1.i1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2">𝑋</ci><ci id="S4.I1.i1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3">𝑠</ci></apply><apply id="S4.I1.i1.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.3.m3.1.1.3"><in id="S4.I1.i1.p1.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.3.m3.1.1.3.1"></in><ci id="S4.I1.i1.p1.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.3.m3.1.1.3.2">𝑠</ci><ci id="S4.I1.i1.p1.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.3.m3.1.1.3.3">𝐽</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.I1.i1.p1.3.m3.1c">(X_{s})_{s\in J}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.I1.i1.p1.3.m3.1d">( italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_s ∈ italic_J end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.I1.i1.p1.4.4"> is valid for any interval </span><math alttext="J\subset I" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.I1.i1.p1.4.m4.1"><semantics id="S4.I1.i1.p1.4.m4.1a"><mrow id="S4.I1.i1.p1.4.m4.1.1" xref="S4.I1.i1.p1.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S4.I1.i1.p1.4.m4.1.1.2" xref="S4.I1.i1.p1.4.m4.1.1.2.cmml">J</mi><mo id="S4.I1.i1.p1.4.m4.1.1.1" xref="S4.I1.i1.p1.4.m4.1.1.1.cmml">⊂</mo><mi id="S4.I1.i1.p1.4.m4.1.1.3" xref="S4.I1.i1.p1.4.m4.1.1.3.cmml">I</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.I1.i1.p1.4.m4.1b"><apply id="S4.I1.i1.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.4.m4.1.1"><subset id="S4.I1.i1.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.4.m4.1.1.1"></subset><ci id="S4.I1.i1.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.4.m4.1.1.2">𝐽</ci><ci id="S4.I1.i1.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.4.m4.1.1.3">𝐼</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.I1.i1.p1.4.m4.1c">J\subset I</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.I1.i1.p1.4.m4.1d">italic_J ⊂ italic_I</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.I1.i1.p1.4.5">,</span></p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S4.I1.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">2.</span> <div class="ltx_para" id="S4.I1.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.I1.i2.p1.4"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.I1.i2.p1.4.1">if </span><math alttext="(X_{s})_{s\in I}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1a"><msub id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.1" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">X</mi><mi id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">s</mi></msub><mo id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml">s</mi><mo id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.1" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml">∈</mo><mi id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml">I</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1b"><apply id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2">𝑋</ci><ci id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3">𝑠</ci></apply><apply id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3"><in id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.1"></in><ci id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.2">𝑠</ci><ci id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.3">𝐼</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1c">(X_{s})_{s\in I}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1d">( italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_s ∈ italic_I end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.I1.i2.p1.4.2"> is not valid for an interval </span><math alttext="I" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.I1.i2.p1.2.m2.1"><semantics id="S4.I1.i2.p1.2.m2.1a"><mi id="S4.I1.i2.p1.2.m2.1.1" xref="S4.I1.i2.p1.2.m2.1.1.cmml">I</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.I1.i2.p1.2.m2.1b"><ci id="S4.I1.i2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.2.m2.1.1">𝐼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.I1.i2.p1.2.m2.1c">I</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.I1.i2.p1.2.m2.1d">italic_I</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.I1.i2.p1.4.3">, then </span><math alttext="(X_{s})_{s\in J}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.I1.i2.p1.3.m3.1"><semantics id="S4.I1.i2.p1.3.m3.1a"><msub id="S4.I1.i2.p1.3.m3.1.1" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.1.1.cmml"><mrow id="S4.I1.i2.p1.3.m3.1.1.1.1" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.I1.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.I1.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.I1.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml">X</mi><mi id="S4.I1.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml">s</mi></msub><mo id="S4.I1.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.I1.i2.p1.3.m3.1.1.3" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S4.I1.i2.p1.3.m3.1.1.3.2" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.1.1.3.2.cmml">s</mi><mo id="S4.I1.i2.p1.3.m3.1.1.3.1" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.1.1.3.1.cmml">∈</mo><mi id="S4.I1.i2.p1.3.m3.1.1.3.3" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.1.1.3.3.cmml">J</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.I1.i2.p1.3.m3.1b"><apply id="S4.I1.i2.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I1.i2.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.I1.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I1.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.I1.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2">𝑋</ci><ci id="S4.I1.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3">𝑠</ci></apply><apply id="S4.I1.i2.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.1.1.3"><in id="S4.I1.i2.p1.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.1.1.3.1"></in><ci id="S4.I1.i2.p1.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.1.1.3.2">𝑠</ci><ci id="S4.I1.i2.p1.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.1.1.3.3">𝐽</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.I1.i2.p1.3.m3.1c">(X_{s})_{s\in J}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.I1.i2.p1.3.m3.1d">( italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_s ∈ italic_J end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.I1.i2.p1.4.4"> is not valid for any interval </span><math alttext="J\supset I" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.I1.i2.p1.4.m4.1"><semantics id="S4.I1.i2.p1.4.m4.1a"><mrow id="S4.I1.i2.p1.4.m4.1.1" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S4.I1.i2.p1.4.m4.1.1.2" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.1.1.2.cmml">J</mi><mo id="S4.I1.i2.p1.4.m4.1.1.1" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.1.1.cmml">⊃</mo><mi id="S4.I1.i2.p1.4.m4.1.1.3" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.1.1.3.cmml">I</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.I1.i2.p1.4.m4.1b"><apply id="S4.I1.i2.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.1.1"><subset id="S4.I1.i2.p1.4.m4.1.1a.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.1.1"></subset><ci id="S4.I1.i2.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.1.1.3">𝐼</ci><ci id="S4.I1.i2.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.1.1.2">𝐽</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.I1.i2.p1.4.m4.1c">J\supset I</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.I1.i2.p1.4.m4.1d">italic_J ⊃ italic_I</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.I1.i2.p1.4.5">.</span></p> </div> </li> </ol> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p3"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p3.1">Furthermore, we require that:</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_assumption" id="Thmassumption6"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmassumption6.1.1.1">Assumption 6</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmassumption6.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmassumption6.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmassumption6.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmassumption6.p1.1.1">The validity of the criterion for a path <math alttext="(X_{s})_{s\in\mathbb{R}}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmassumption6.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmassumption6.p1.1.1.m1.1a"><msub id="Thmassumption6.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmassumption6.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="Thmassumption6.p1.1.1.m1.1.1.1.1" xref="Thmassumption6.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmassumption6.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmassumption6.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="Thmassumption6.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="Thmassumption6.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmassumption6.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmassumption6.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">X</mi><mi id="Thmassumption6.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmassumption6.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">s</mi></msub><mo id="Thmassumption6.p1.1.1.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmassumption6.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="Thmassumption6.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmassumption6.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmassumption6.p1.1.1.m1.1.1.3.2" xref="Thmassumption6.p1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">s</mi><mo id="Thmassumption6.p1.1.1.m1.1.1.3.1" xref="Thmassumption6.p1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml">∈</mo><mi id="Thmassumption6.p1.1.1.m1.1.1.3.3" xref="Thmassumption6.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml">ℝ</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmassumption6.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmassumption6.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmassumption6.p1.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmassumption6.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmassumption6.p1.1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="Thmassumption6.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmassumption6.p1.1.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmassumption6.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmassumption6.p1.1.1.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmassumption6.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmassumption6.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.2">𝑋</ci><ci id="Thmassumption6.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmassumption6.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3">𝑠</ci></apply><apply id="Thmassumption6.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmassumption6.p1.1.1.m1.1.1.3"><in id="Thmassumption6.p1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmassumption6.p1.1.1.m1.1.1.3.1"></in><ci id="Thmassumption6.p1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmassumption6.p1.1.1.m1.1.1.3.2">𝑠</ci><ci id="Thmassumption6.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmassumption6.p1.1.1.m1.1.1.3.3">ℝ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmassumption6.p1.1.1.m1.1c">(X_{s})_{s\in\mathbb{R}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmassumption6.p1.1.1.m1.1d">( italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_s ∈ blackboard_R end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> depends only on the points where events occur.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p4"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p4.1">This implies that, for example, when extending an interval <math alttext="[0,t]" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p4.1.m1.2"><semantics id="S4.SS1.p4.1.m1.2a"><mrow id="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.2" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.1.cmml">[</mo><mn id="S4.SS1.p4.1.m1.1.1" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.2.2" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS1.p4.1.m1.2.2" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.2.cmml">t</mi><mo id="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.1.cmml">]</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p4.1.m1.2b"><interval closure="closed" id="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.2"><cn id="S4.SS1.p4.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.1">0</cn><ci id="S4.SS1.p4.1.m1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.2">𝑡</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p4.1.m1.2c">[0,t]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p4.1.m1.2d">[ 0 , italic_t ]</annotation></semantics></math> until the criterion is no longer valid, the process will always stop precisely at an event.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p5"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p5.1">The criterion used in experiments is inspired by the No-U-Turn criterion introduced for HMC in NUTS <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#bib.bib12" title="">12</a>]</cite>, but has significant differences in view of <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#Thmassumption6" title="Assumption 6. ‣ 4.1 Stopping criterion ‣ 4 Refreshing PDMP velocities using a stopping criterion ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6</span></a>. Perhaps the key difference is that while the NUTS criterion depends on the full simulated Hamiltonian trajectory, our proposed criterion depends only on the state of the trajectory at the jump times which are simulated as part of PDMP.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p6"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p6.4">Let <math alttext="(Z_{t})_{t\in\mathbb{R}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p6.1.m1.1"><semantics id="S4.SS1.p6.1.m1.1a"><msub id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">Z</mi><mi id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.2" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.2.cmml">t</mi><mo id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.1" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.1.cmml">∈</mo><mi id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.3" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.3.cmml">ℝ</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p6.1.m1.1b"><apply id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.2">𝑍</ci><ci id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.3">𝑡</ci></apply><apply id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3"><in id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.1"></in><ci id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.2">𝑡</ci><ci id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.3">ℝ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p6.1.m1.1c">(Z_{t})_{t\in\mathbb{R}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p6.1.m1.1d">( italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_t ∈ blackboard_R end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> be a path, with forward event times <math alttext="t_{i}>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p6.2.m2.1"><semantics id="S4.SS1.p6.2.m2.1a"><mrow id="S4.SS1.p6.2.m2.1.1" xref="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.cmml"><msub id="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.2" xref="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.2.2" xref="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.2.2.cmml">t</mi><mi id="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.2.3" xref="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.1" xref="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.3" xref="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p6.2.m2.1b"><apply id="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.2.m2.1.1"><gt id="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.1"></gt><apply id="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.2.2">𝑡</ci><ci id="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><cn id="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p6.2.m2.1c">t_{i}>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p6.2.m2.1d">italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT > 0</annotation></semantics></math> and backward event times <math alttext="t_{-i}<0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p6.3.m3.1"><semantics id="S4.SS1.p6.3.m3.1a"><mrow id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.cmml"><msub id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.2" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.2.2" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.2.2.cmml">t</mi><mrow id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.2.3" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.2.3.cmml"><mo id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.2.3a" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.2.3.cmml">−</mo><mi id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.2.3.2" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.2.3.2.cmml">i</mi></mrow></msub><mo id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.1" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.1.cmml"><</mo><mn id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.3" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p6.3.m3.1b"><apply id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1"><lt id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.1"></lt><apply id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.2.2">𝑡</ci><apply id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.2.3"><minus id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.2.3"></minus><ci id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.2.3.2">𝑖</ci></apply></apply><cn id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p6.3.m3.1c">t_{-i}<0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p6.3.m3.1d">italic_t start_POSTSUBSCRIPT - italic_i end_POSTSUBSCRIPT < 0</annotation></semantics></math> , for <math alttext="i\in\mathbb{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p6.4.m4.1"><semantics id="S4.SS1.p6.4.m4.1a"><mrow id="S4.SS1.p6.4.m4.1.1" xref="S4.SS1.p6.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p6.4.m4.1.1.2" xref="S4.SS1.p6.4.m4.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S4.SS1.p6.4.m4.1.1.1" xref="S4.SS1.p6.4.m4.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S4.SS1.p6.4.m4.1.1.3" xref="S4.SS1.p6.4.m4.1.1.3.cmml">ℕ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p6.4.m4.1b"><apply id="S4.SS1.p6.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.4.m4.1.1"><in id="S4.SS1.p6.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.4.m4.1.1.1"></in><ci id="S4.SS1.p6.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.4.m4.1.1.2">𝑖</ci><ci id="S4.SS1.p6.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p6.4.m4.1.1.3">ℕ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p6.4.m4.1c">i\in\mathbb{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p6.4.m4.1d">italic_i ∈ blackboard_N</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_definition" id="Thmdefinition1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmdefinition1.1.1.1">Definition 1</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmdefinition1.2.2"> </span>(PDMP No-U-Turn criterion)<span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmdefinition1.3.3">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmdefinition1.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmdefinition1.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmdefinition1.p1.1.1">The criterion holds for a time interval <math alttext="[a,b]" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.2"><semantics id="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.2a"><mrow id="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.2.3.2" xref="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.2.3.1.cmml"><mo id="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.2.3.1.cmml">[</mo><mi id="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1.cmml">a</mi><mo id="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.2.3.2.2" xref="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.2.2" xref="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.2.2.cmml">b</mi><mo id="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.2.3.2.3" stretchy="false" xref="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.2.3.1.cmml">]</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.2b"><interval closure="closed" id="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.2.3.2"><ci id="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1">𝑎</ci><ci id="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.2.2.cmml" xref="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.2.2">𝑏</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.2c">[a,b]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefinition1.p1.1.1.m1.2d">[ italic_a , italic_b ]</annotation></semantics></math> if</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx12"> <tbody id="S4.Ex49"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\forall t_{i}<t_{j}\in[a,b],(X_{t_{i}}-X_{t_{j}},V_{t_{j}^{-}})<0," class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex49.m1.3"><semantics id="S4.Ex49.m1.3a"><mrow id="S4.Ex49.m1.3.3.1"><mrow id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.2.1" rspace="0.167em" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml">∀</mo><msub id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml">t</mi><mi id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><</mo><msub id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.4.2" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.4.2.cmml">t</mi><mi id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.4.3" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.4.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.5" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.5.cmml">∈</mo><mrow id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.6.2" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.6.1.cmml"><mo id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.6.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.6.1.cmml">[</mo><mi id="S4.Ex49.m1.1.1" xref="S4.Ex49.m1.1.1.cmml">a</mi><mo id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.6.2.2" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.6.1.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex49.m1.2.2" xref="S4.Ex49.m1.2.2.cmml">b</mi><mo id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.6.2.3" stretchy="false" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.6.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2.3" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.2.cmml">X</mi><msub id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml">t</mi><mi id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml">i</mi></msub></msub><mo id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.2.cmml">X</mi><msub id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml">t</mi><mi id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></msub></msub></mrow><mo id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.4" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">V</mi><msubsup id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.3.2.2" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml">t</mi><mi id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.3.2.3" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.3.2.3.cmml">j</mi><mo id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.3.3" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.3.3.cmml">−</mo></msubsup></msub><mo id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml"><</mo><mn id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.4" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.4.cmml">0</mn></mrow></mrow><mo id="S4.Ex49.m1.3.3.1.2">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex49.m1.3b"><apply id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.3a.cmml" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1"><and id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1a.cmml" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1"></and><apply id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1b.cmml" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1"><lt id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.3"></lt><apply id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.2.1">for-all</csymbol><apply id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2">𝑡</ci><ci id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.4.2">𝑡</ci><ci id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.4.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1c.cmml" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1"><in id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.5.cmml" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.5"></in><share href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S4.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.4.cmml" id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1d.cmml" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1"></share><interval closure="closed" id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.6.2"><ci id="S4.Ex49.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex49.m1.1.1">𝑎</ci><ci id="S4.Ex49.m1.2.2.cmml" xref="S4.Ex49.m1.2.2">𝑏</ci></interval></apply></apply><apply id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2"><lt id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.3"></lt><interval closure="open" id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.2.2"><apply id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1"><minus id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.2.cmml" 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start_POSTSUBSCRIPT italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ) < 0 ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.Ex50"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\forall t_{i}<t_{j}\in[a,b]\text{ and }t_{j}<b,(X_{t_{i}}-X_{t_{j% }},V_{t_{j}^{+}})<0," class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex50.m1.4"><semantics id="S4.Ex50.m1.4a"><mrow id="S4.Ex50.m1.4.4.1"><mrow id="S4.Ex50.m1.4.4.1.1.2" xref="S4.Ex50.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex50.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S4.Ex50.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex50.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex50.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex50.m1.4.4.1.1.1.1.2.1" rspace="0.167em" xref="S4.Ex50.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml">∀</mo><msub id="S4.Ex50.m1.4.4.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex50.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex50.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex50.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml">t</mi><mi id="S4.Ex50.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex50.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S4.Ex50.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex50.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml"><</mo><msub id="S4.Ex50.m1.4.4.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex50.m1.4.4.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.Ex50.m1.4.4.1.1.1.1.4.2" xref="S4.Ex50.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.cmml">t</mi><mi id="S4.Ex50.m1.4.4.1.1.1.1.4.3" xref="S4.Ex50.m1.4.4.1.1.1.1.4.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.Ex50.m1.4.4.1.1.1.1.5" xref="S4.Ex50.m1.4.4.1.1.1.1.5.cmml">∈</mo><mrow id="S4.Ex50.m1.4.4.1.1.1.1.6" xref="S4.Ex50.m1.4.4.1.1.1.1.6.cmml"><mrow id="S4.Ex50.m1.4.4.1.1.1.1.6.2.2" xref="S4.Ex50.m1.4.4.1.1.1.1.6.2.1.cmml"><mo id="S4.Ex50.m1.4.4.1.1.1.1.6.2.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex50.m1.4.4.1.1.1.1.6.2.1.cmml">[</mo><mi id="S4.Ex50.m1.1.1" xref="S4.Ex50.m1.1.1.cmml">a</mi><mo id="S4.Ex50.m1.4.4.1.1.1.1.6.2.2.2" 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id="S4.Ex50.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex50.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex50.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex50.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex50.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex50.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.3.3.2">𝑡</ci><ci id="S4.Ex50.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex50.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex50.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex50.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex50.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex50.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex50.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex50.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.2">𝑉</ci><apply id="S4.Ex50.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex50.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex50.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex50.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex50.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex50.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex50.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex50.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex50.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex50.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.3.2.2">𝑡</ci><ci id="S4.Ex50.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex50.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.3.2.3">𝑗</ci></apply><plus id="S4.Ex50.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex50.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.3.3"></plus></apply></apply></interval><cn id="S4.Ex50.m1.4.4.1.1.2.2.4.cmml" type="integer" xref="S4.Ex50.m1.4.4.1.1.2.2.4">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex50.m1.4c">\displaystyle\forall t_{i}<t_{j}\in[a,b]\text{ and }t_{j}<b,(X_{t_{i}}-X_{t_{j% }},V_{t_{j}^{+}})<0,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex50.m1.4d">∀ italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT < italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ∈ [ italic_a , italic_b ] and italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT < italic_b , ( italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT - italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ) < 0 ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.Ex51"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\forall t_{i}>t_{j}\in[a,b],(X_{t_{i}}-X_{t_{j}},V_{t_{j}^{+}})>0," class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex51.m1.3"><semantics id="S4.Ex51.m1.3a"><mrow id="S4.Ex51.m1.3.3.1"><mrow id="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.2" xref="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.1.1.2.1" rspace="0.167em" xref="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml">∀</mo><msub id="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml">t</mi><mi id="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">></mo><msub id="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.1.1.4.2" xref="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.1.1.4.2.cmml">t</mi><mi id="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.1.1.4.3" xref="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.1.1.4.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.1.1.5" xref="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.1.1.5.cmml">∈</mo><mrow id="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.1.1.6.2" xref="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.1.1.6.1.cmml"><mo id="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.1.1.6.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.1.1.6.1.cmml">[</mo><mi id="S4.Ex51.m1.1.1" xref="S4.Ex51.m1.1.1.cmml">a</mi><mo id="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.1.1.6.2.2" xref="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.1.1.6.1.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex51.m1.2.2" xref="S4.Ex51.m1.2.2.cmml">b</mi><mo id="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.1.1.6.2.3" stretchy="false" xref="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.1.1.6.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.2.3" xref="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.2.cmml">X</mi><msub id="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml">t</mi><mi id="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml">i</mi></msub></msub><mo id="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.2.cmml">X</mi><msub id="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml">t</mi><mi id="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></msub></msub></mrow><mo id="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.4" xref="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2" 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xref="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.1.1.4.2">𝑡</ci><ci id="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.1.1.4.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.1.1c.cmml" xref="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.1.1"><in id="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.1.1.5.cmml" xref="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.1.1.5"></in><share href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S4.Ex51.m1.3.3.1.1.1.1.4.cmml" id="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.1.1d.cmml" xref="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.1.1"></share><interval closure="closed" id="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.1.1.6.2"><ci id="S4.Ex51.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex51.m1.1.1">𝑎</ci><ci id="S4.Ex51.m1.2.2.cmml" xref="S4.Ex51.m1.2.2">𝑏</ci></interval></apply></apply><apply id="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.2.2"><gt id="S4.Ex51.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml" 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class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\forall t_{i}>t_{j}\in[a,b],\text{ and }t_{i}>a,(X_{t_{i}}-X_{t_{% j}},V_{t_{j}^{-}})>0." class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex52.m1.3"><semantics id="S4.Ex52.m1.3a"><mrow id="S4.Ex52.m1.3.3.1"><mrow id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.2.1" rspace="0.167em" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml">∀</mo><msub id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml">t</mi><mi id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">></mo><msub 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xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2.2" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2.2a.cmml"> and </mtext><mo id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2.1" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2.3" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2.3.2.cmml">t</mi><mi id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.cmml">></mo><mi id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.3" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.3.cmml">a</mi></mrow><mo id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.3" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">X</mi><msub id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml">t</mi><mi id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml">i</mi></msub></msub><mo id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">X</mi><msub id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml">t</mi><mi id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></msub></msub></mrow><mo id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.4" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">V</mi><msubsup id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.2.2" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml">t</mi><mi id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.2.3" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.2.3.cmml">j</mi><mo id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">−</mo></msubsup></msub><mo id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.cmml">></mo><mn id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.4" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.4.cmml">0</mn></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex52.m1.3.3.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex52.m1.3b"><apply id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.3a.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1"><and id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1a.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1"></and><apply id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1b.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1"><gt id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.3"></gt><apply id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.2.1">for-all</csymbol><apply id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2">𝑡</ci><ci id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.4.2">𝑡</ci><ci id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.4.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1c.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1"><in id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.5.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.5"></in><share href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S4.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.4.cmml" id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1d.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1"></share><interval closure="closed" id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.6.2"><ci id="S4.Ex52.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.1.1">𝑎</ci><ci id="S4.Ex52.m1.2.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.2.2">𝑏</ci></interval></apply></apply><apply id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.3a.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.1.1"><gt id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1"></gt><apply id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2"><times id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2.1"></times><ci id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2.2a.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2.2"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2.2"> and </mtext></ci><apply id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2.3.2">𝑡</ci><ci id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.3">𝑎</ci></apply><apply id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2"><gt id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3"></gt><interval closure="open" id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2"><apply id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1"><minus id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.2">𝑋</ci><apply id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2">𝑡</ci><ci id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.2">𝑋</ci><apply id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2">𝑡</ci><ci id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2">𝑉</ci><apply id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.2.2">𝑡</ci><ci id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.2.3">𝑗</ci></apply><minus id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.3"></minus></apply></apply></interval><cn id="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.4.cmml" type="integer" xref="S4.Ex52.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.4">0</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex52.m1.3c">\displaystyle\forall t_{i}>t_{j}\in[a,b],\text{ and }t_{i}>a,(X_{t_{i}}-X_{t_{% j}},V_{t_{j}^{-}})>0.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex52.m1.3d">∀ italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT > italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ∈ [ italic_a , italic_b ] , and italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT > italic_a , ( italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT - italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ) > 0 .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S4.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">4.2 </span>Algorithm</h3> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p1.1">We consider a criterion that follow Assumptions <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#Thmassumption5" title="Assumption 5 (consistent stopping criterion). ‣ 4.1 Stopping criterion ‣ 4 Refreshing PDMP velocities using a stopping criterion ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a> and <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#Thmassumption6" title="Assumption 6. ‣ 4.1 Stopping criterion ‣ 4 Refreshing PDMP velocities using a stopping criterion ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6</span></a>. The following algorithm is an adaptation to continuous time of the idea behind NUTS <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#bib.bib12" title="">12</a>]</cite>.</p> </div> <figure class="ltx_float ltx_float_algorithm ltx_framed ltx_framed_top" id="alg2"> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_float"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="alg2.2.1.1">Algorithm 2</span> </span> No-U-Turn PDMP sampler</figcaption> <div class="ltx_listing ltx_listing" id="alg2.3"> <div class="ltx_listingline" id="alg2.l1"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline"><span class="ltx_text" id="alg2.l1.1.1.1" style="font-size:80%;">1:</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="alg2.l1.2">Input:</span> state <math alttext="z=(x,v)" class="ltx_Math" display="inline" id="alg2.l1.m1.2"><semantics id="alg2.l1.m1.2a"><mrow id="alg2.l1.m1.2.3" xref="alg2.l1.m1.2.3.cmml"><mi id="alg2.l1.m1.2.3.2" xref="alg2.l1.m1.2.3.2.cmml">z</mi><mo id="alg2.l1.m1.2.3.1" xref="alg2.l1.m1.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="alg2.l1.m1.2.3.3.2" xref="alg2.l1.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="alg2.l1.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="alg2.l1.m1.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="alg2.l1.m1.1.1" xref="alg2.l1.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="alg2.l1.m1.2.3.3.2.2" xref="alg2.l1.m1.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="alg2.l1.m1.2.2" xref="alg2.l1.m1.2.2.cmml">v</mi><mo id="alg2.l1.m1.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="alg2.l1.m1.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg2.l1.m1.2b"><apply id="alg2.l1.m1.2.3.cmml" xref="alg2.l1.m1.2.3"><eq id="alg2.l1.m1.2.3.1.cmml" xref="alg2.l1.m1.2.3.1"></eq><ci id="alg2.l1.m1.2.3.2.cmml" xref="alg2.l1.m1.2.3.2">𝑧</ci><interval closure="open" id="alg2.l1.m1.2.3.3.1.cmml" xref="alg2.l1.m1.2.3.3.2"><ci id="alg2.l1.m1.1.1.cmml" xref="alg2.l1.m1.1.1">𝑥</ci><ci id="alg2.l1.m1.2.2.cmml" xref="alg2.l1.m1.2.2">𝑣</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg2.l1.m1.2c">z=(x,v)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg2.l1.m1.2d">italic_z = ( italic_x , italic_v )</annotation></semantics></math> </div> <div class="ltx_listingline" id="alg2.l2"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline"><span class="ltx_text" id="alg2.l2.1.1.1" style="font-size:80%;">2:</span></span>Refresh the velocity </div> <div class="ltx_listingline" id="alg2.l3"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline"><span class="ltx_text" id="alg2.l3.1.1.1" style="font-size:80%;">3:</span></span>Sample <math alttext="\alpha\sim unif(0,1)" class="ltx_Math" display="inline" id="alg2.l3.m1.2"><semantics id="alg2.l3.m1.2a"><mrow id="alg2.l3.m1.2.3" xref="alg2.l3.m1.2.3.cmml"><mi id="alg2.l3.m1.2.3.2" xref="alg2.l3.m1.2.3.2.cmml">α</mi><mo id="alg2.l3.m1.2.3.1" xref="alg2.l3.m1.2.3.1.cmml">∼</mo><mrow id="alg2.l3.m1.2.3.3" xref="alg2.l3.m1.2.3.3.cmml"><mi id="alg2.l3.m1.2.3.3.2" xref="alg2.l3.m1.2.3.3.2.cmml">u</mi><mo id="alg2.l3.m1.2.3.3.1" xref="alg2.l3.m1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="alg2.l3.m1.2.3.3.3" xref="alg2.l3.m1.2.3.3.3.cmml">n</mi><mo id="alg2.l3.m1.2.3.3.1a" xref="alg2.l3.m1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="alg2.l3.m1.2.3.3.4" xref="alg2.l3.m1.2.3.3.4.cmml">i</mi><mo id="alg2.l3.m1.2.3.3.1b" xref="alg2.l3.m1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="alg2.l3.m1.2.3.3.5" xref="alg2.l3.m1.2.3.3.5.cmml">f</mi><mo id="alg2.l3.m1.2.3.3.1c" xref="alg2.l3.m1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="alg2.l3.m1.2.3.3.6.2" xref="alg2.l3.m1.2.3.3.6.1.cmml"><mo id="alg2.l3.m1.2.3.3.6.2.1" stretchy="false" xref="alg2.l3.m1.2.3.3.6.1.cmml">(</mo><mn id="alg2.l3.m1.1.1" xref="alg2.l3.m1.1.1.cmml">0</mn><mo id="alg2.l3.m1.2.3.3.6.2.2" xref="alg2.l3.m1.2.3.3.6.1.cmml">,</mo><mn id="alg2.l3.m1.2.2" xref="alg2.l3.m1.2.2.cmml">1</mn><mo id="alg2.l3.m1.2.3.3.6.2.3" stretchy="false" xref="alg2.l3.m1.2.3.3.6.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg2.l3.m1.2b"><apply id="alg2.l3.m1.2.3.cmml" xref="alg2.l3.m1.2.3"><csymbol cd="latexml" id="alg2.l3.m1.2.3.1.cmml" xref="alg2.l3.m1.2.3.1">similar-to</csymbol><ci id="alg2.l3.m1.2.3.2.cmml" xref="alg2.l3.m1.2.3.2">𝛼</ci><apply id="alg2.l3.m1.2.3.3.cmml" xref="alg2.l3.m1.2.3.3"><times id="alg2.l3.m1.2.3.3.1.cmml" xref="alg2.l3.m1.2.3.3.1"></times><ci id="alg2.l3.m1.2.3.3.2.cmml" xref="alg2.l3.m1.2.3.3.2">𝑢</ci><ci id="alg2.l3.m1.2.3.3.3.cmml" xref="alg2.l3.m1.2.3.3.3">𝑛</ci><ci id="alg2.l3.m1.2.3.3.4.cmml" xref="alg2.l3.m1.2.3.3.4">𝑖</ci><ci id="alg2.l3.m1.2.3.3.5.cmml" xref="alg2.l3.m1.2.3.3.5">𝑓</ci><interval closure="open" id="alg2.l3.m1.2.3.3.6.1.cmml" xref="alg2.l3.m1.2.3.3.6.2"><cn id="alg2.l3.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="alg2.l3.m1.1.1">0</cn><cn id="alg2.l3.m1.2.2.cmml" type="integer" xref="alg2.l3.m1.2.2">1</cn></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg2.l3.m1.2c">\alpha\sim unif(0,1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg2.l3.m1.2d">italic_α ∼ italic_u italic_n italic_i italic_f ( 0 , 1 )</annotation></semantics></math> </div> <div class="ltx_listingline" id="alg2.l4"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline"><span class="ltx_text" id="alg2.l4.1.1.1" style="font-size:80%;">4:</span></span>Sampling a path: <ol class="ltx_enumerate" id="S4.I2"> <li class="ltx_item" id="S4.I2.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">1.</span> <div class="ltx_para" id="S4.I2.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.I2.i1.p1.3">Build a trajectory <math alttext="Z_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.I2.i1.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.I2.i1.p1.1.m1.1a"><msub id="S4.I2.i1.p1.1.m1.1.1" xref="S4.I2.i1.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.I2.i1.p1.1.m1.1.1.2" xref="S4.I2.i1.p1.1.m1.1.1.2.cmml">Z</mi><mi id="S4.I2.i1.p1.1.m1.1.1.3" xref="S4.I2.i1.p1.1.m1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.I2.i1.p1.1.m1.1b"><apply id="S4.I2.i1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.I2.i1.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I2.i1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.I2.i1.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.I2.i1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.I2.i1.p1.1.m1.1.1.2">𝑍</ci><ci id="S4.I2.i1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.I2.i1.p1.1.m1.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.I2.i1.p1.1.m1.1c">Z_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.I2.i1.p1.1.m1.1d">italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> for <math alttext="t\in\mathbb{R}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.I2.i1.p1.2.m2.1"><semantics id="S4.I2.i1.p1.2.m2.1a"><mrow id="S4.I2.i1.p1.2.m2.1.1" xref="S4.I2.i1.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.I2.i1.p1.2.m2.1.1.2" xref="S4.I2.i1.p1.2.m2.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S4.I2.i1.p1.2.m2.1.1.1" xref="S4.I2.i1.p1.2.m2.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S4.I2.i1.p1.2.m2.1.1.3" xref="S4.I2.i1.p1.2.m2.1.1.3.cmml">ℝ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.I2.i1.p1.2.m2.1b"><apply id="S4.I2.i1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.I2.i1.p1.2.m2.1.1"><in id="S4.I2.i1.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.I2.i1.p1.2.m2.1.1.1"></in><ci id="S4.I2.i1.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.I2.i1.p1.2.m2.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S4.I2.i1.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.I2.i1.p1.2.m2.1.1.3">ℝ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.I2.i1.p1.2.m2.1c">t\in\mathbb{R}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.I2.i1.p1.2.m2.1d">italic_t ∈ blackboard_R</annotation></semantics></math> with <math alttext="Z_{0}=z" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.I2.i1.p1.3.m3.1"><semantics id="S4.I2.i1.p1.3.m3.1a"><mrow id="S4.I2.i1.p1.3.m3.1.1" xref="S4.I2.i1.p1.3.m3.1.1.cmml"><msub id="S4.I2.i1.p1.3.m3.1.1.2" xref="S4.I2.i1.p1.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S4.I2.i1.p1.3.m3.1.1.2.2" xref="S4.I2.i1.p1.3.m3.1.1.2.2.cmml">Z</mi><mn id="S4.I2.i1.p1.3.m3.1.1.2.3" xref="S4.I2.i1.p1.3.m3.1.1.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S4.I2.i1.p1.3.m3.1.1.1" xref="S4.I2.i1.p1.3.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S4.I2.i1.p1.3.m3.1.1.3" xref="S4.I2.i1.p1.3.m3.1.1.3.cmml">z</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.I2.i1.p1.3.m3.1b"><apply id="S4.I2.i1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.I2.i1.p1.3.m3.1.1"><eq id="S4.I2.i1.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.I2.i1.p1.3.m3.1.1.1"></eq><apply id="S4.I2.i1.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.I2.i1.p1.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I2.i1.p1.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.I2.i1.p1.3.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.I2.i1.p1.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.I2.i1.p1.3.m3.1.1.2.2">𝑍</ci><cn id="S4.I2.i1.p1.3.m3.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.I2.i1.p1.3.m3.1.1.2.3">0</cn></apply><ci id="S4.I2.i1.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.I2.i1.p1.3.m3.1.1.3">𝑧</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.I2.i1.p1.3.m3.1c">Z_{0}=z</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.I2.i1.p1.3.m3.1d">italic_Z start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT = italic_z</annotation></semantics></math> (both forward and backward)</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S4.I2.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">2.</span> <div class="ltx_para" id="S4.I2.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.I2.i2.p1.1">Let <math alttext="T=\max\{t\in\mathbb{R}^{+}\,|\,Criterion((Z_{s})_{s\in[-\alpha t,(1-\alpha)t]}% )\text{ is valid}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4"><semantics id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4a"><mrow id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.cmml"><mi id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.3" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.3.cmml">T</mi><mo id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.2" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.2.cmml"><mi id="S4.I2.i2.p1.1.m1.3.3" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.3.3.cmml">max</mi><mo id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1a" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.2.cmml"><mo id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml">t</mi><mo id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.cmml">ℝ</mi><mo id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.cmml">+</mo></msup><mo fence="false" id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" rspace="0.448em" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">|</mo><mrow id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">C</mi><mo id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.cmml">r</mi><mo id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.5" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.5.cmml">i</mi><mo id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2b" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.6" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.6.cmml">t</mi><mo id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2c" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.7" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.7.cmml">e</mi><mo id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2d" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.8" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.8.cmml">r</mi><mo id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2e" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.9" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.9.cmml">i</mi><mo id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2f" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.10" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.10.cmml">o</mi><mo id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2g" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.11" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.11.cmml">n</mi><mo id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2h" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">Z</mi><mi id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">s</mi></msub><mo id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.4" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.4.cmml">s</mi><mo id="S4.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.3" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml">∈</mo><mrow id="S4.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.3.cmml">[</mo><mrow id="S4.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">α</mi><mo id="S4.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">t</mi></mrow></mrow><mo id="S4.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.4" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S4.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mn id="S4.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S4.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S4.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">α</mi></mrow><mo id="S4.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mi id="S4.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.3" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="S4.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.3.cmml">]</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2i" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mtext id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.12" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.12a.cmml"> is valid</mtext></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.2.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4b"><apply id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.cmml" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4"><eq id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.2.cmml" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.2"></eq><ci id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.3.cmml" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.3">𝑇</ci><apply id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.2.cmml" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1"><max id="S4.I2.i2.p1.1.m1.3.3.cmml" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.3.3"></max><apply id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1"><in id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.2"></in><ci id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.3">𝑡</ci><apply id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2">conditional</csymbol><apply id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2">ℝ</ci><plus id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3"></plus></apply><apply id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3">𝐶</ci><ci id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4">𝑟</ci><ci id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.5">𝑖</ci><ci id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.6">𝑡</ci><ci id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.7.cmml" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.7">𝑒</ci><ci id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.8.cmml" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.8">𝑟</ci><ci id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.9.cmml" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.9">𝑖</ci><ci id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.10.cmml" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.10">𝑜</ci><ci id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.11.cmml" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.11">𝑛</ci><apply id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑍</ci><ci id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑠</ci></apply><apply id="S4.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2"><in id="S4.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.3"></in><ci id="S4.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.4.cmml" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.4">𝑠</ci><interval closure="closed" id="S4.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2"><apply id="S4.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S4.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S4.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝛼</ci><ci id="S4.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S4.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2"><times id="S4.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.2"></times><apply id="S4.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1"><minus id="S4.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1"></minus><cn id="S4.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2">1</cn><ci id="S4.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3">𝛼</ci></apply><ci id="S4.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.3">𝑡</ci></apply></interval></apply></apply><ci id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.12a.cmml" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.12"><mtext id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.12.cmml" xref="S4.I2.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.12"> is valid</mtext></ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4c">T=\max\{t\in\mathbb{R}^{+}\,|\,Criterion((Z_{s})_{s\in[-\alpha t,(1-\alpha)t]}% )\text{ is valid}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.I2.i2.p1.1.m1.4d">italic_T = roman_max { italic_t ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT | italic_C italic_r italic_i italic_t italic_e italic_r italic_i italic_o italic_n ( ( italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_s ∈ [ - italic_α italic_t , ( 1 - italic_α ) italic_t ] end_POSTSUBSCRIPT ) is valid }</annotation></semantics></math></p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S4.I2.i3" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">3.</span> <div class="ltx_para" id="S4.I2.i3.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.I2.i3.p1.2">Let <math alttext="X=(Z_{t+\alpha T})_{t\in[0,T]}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.I2.i3.p1.1.m1.3"><semantics id="S4.I2.i3.p1.1.m1.3a"><mrow id="S4.I2.i3.p1.1.m1.3.3" xref="S4.I2.i3.p1.1.m1.3.3.cmml"><mi id="S4.I2.i3.p1.1.m1.3.3.3" xref="S4.I2.i3.p1.1.m1.3.3.3.cmml">X</mi><mo id="S4.I2.i3.p1.1.m1.3.3.2" xref="S4.I2.i3.p1.1.m1.3.3.2.cmml">=</mo><msub id="S4.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1" xref="S4.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.cmml"><mrow id="S4.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1" xref="S4.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S4.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S4.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">Z</mi><mrow id="S4.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S4.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S4.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">t</mi><mo id="S4.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.1" xref="S4.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="S4.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2.cmml">α</mi><mo id="S4.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.1" xref="S4.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.3.cmml">T</mi></mrow></mrow></msub><mo id="S4.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2" xref="S4.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.4" xref="S4.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.4.cmml">t</mi><mo id="S4.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.3" xref="S4.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml">∈</mo><mrow id="S4.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.5.2" xref="S4.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.5.1.cmml"><mo id="S4.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S4.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.5.1.cmml">[</mo><mn id="S4.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S4.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S4.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.5.2.2" xref="S4.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.5.1.cmml">,</mo><mi id="S4.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.2" xref="S4.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml">T</mi><mo id="S4.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.5.2.3" stretchy="false" xref="S4.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.5.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.I2.i3.p1.1.m1.3b"><apply id="S4.I2.i3.p1.1.m1.3.3.cmml" xref="S4.I2.i3.p1.1.m1.3.3"><eq id="S4.I2.i3.p1.1.m1.3.3.2.cmml" xref="S4.I2.i3.p1.1.m1.3.3.2"></eq><ci id="S4.I2.i3.p1.1.m1.3.3.3.cmml" xref="S4.I2.i3.p1.1.m1.3.3.3">𝑋</ci><apply id="S4.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.cmml" xref="S4.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S4.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1">subscript</csymbol><apply id="S4.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2">𝑍</ci><apply id="S4.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3"><plus id="S4.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.1"></plus><ci id="S4.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.2">𝑡</ci><apply id="S4.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.3"><times id="S4.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S4.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2">𝛼</ci><ci id="S4.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.3">𝑇</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2"><in id="S4.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.3"></in><ci id="S4.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.4.cmml" xref="S4.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.4">𝑡</ci><interval closure="closed" id="S4.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.5.1.cmml" xref="S4.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.5.2"><cn id="S4.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1">0</cn><ci id="S4.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.2">𝑇</ci></interval></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.I2.i3.p1.1.m1.3c">X=(Z_{t+\alpha T})_{t\in[0,T]}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.I2.i3.p1.1.m1.3d">italic_X = ( italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_t + italic_α italic_T end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_t ∈ [ 0 , italic_T ] end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="l=\alpha T" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.I2.i3.p1.2.m2.1"><semantics id="S4.I2.i3.p1.2.m2.1a"><mrow id="S4.I2.i3.p1.2.m2.1.1" xref="S4.I2.i3.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.I2.i3.p1.2.m2.1.1.2" xref="S4.I2.i3.p1.2.m2.1.1.2.cmml">l</mi><mo id="S4.I2.i3.p1.2.m2.1.1.1" xref="S4.I2.i3.p1.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.I2.i3.p1.2.m2.1.1.3" xref="S4.I2.i3.p1.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.I2.i3.p1.2.m2.1.1.3.2" xref="S4.I2.i3.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml">α</mi><mo id="S4.I2.i3.p1.2.m2.1.1.3.1" xref="S4.I2.i3.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.I2.i3.p1.2.m2.1.1.3.3" xref="S4.I2.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml">T</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.I2.i3.p1.2.m2.1b"><apply id="S4.I2.i3.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.I2.i3.p1.2.m2.1.1"><eq id="S4.I2.i3.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.I2.i3.p1.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="S4.I2.i3.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.I2.i3.p1.2.m2.1.1.2">𝑙</ci><apply id="S4.I2.i3.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.I2.i3.p1.2.m2.1.1.3"><times id="S4.I2.i3.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.I2.i3.p1.2.m2.1.1.3.1"></times><ci id="S4.I2.i3.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.I2.i3.p1.2.m2.1.1.3.2">𝛼</ci><ci id="S4.I2.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S4.I2.i3.p1.2.m2.1.1.3.3">𝑇</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.I2.i3.p1.2.m2.1c">l=\alpha T</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.I2.i3.p1.2.m2.1d">italic_l = italic_α italic_T</annotation></semantics></math></p> </div> </li> </ol> </div> <div class="ltx_listingline" id="alg2.l5"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline"><span class="ltx_text" id="alg2.l5.1.1.1" style="font-size:80%;">5:</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="alg2.l5.2">if</span> the criterion was hit going forward <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="alg2.l5.3">then</span> </div> <div class="ltx_listingline" id="alg2.l6"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline"><span class="ltx_text" id="alg2.l6.1.1.1" style="font-size:80%;">6:</span></span> Sample <math alttext="l^{\prime}\sim\nu" class="ltx_Math" display="inline" id="alg2.l6.m1.1"><semantics id="alg2.l6.m1.1a"><mrow id="alg2.l6.m1.1.1" xref="alg2.l6.m1.1.1.cmml"><msup id="alg2.l6.m1.1.1.2" xref="alg2.l6.m1.1.1.2.cmml"><mi id="alg2.l6.m1.1.1.2.2" xref="alg2.l6.m1.1.1.2.2.cmml">l</mi><mo id="alg2.l6.m1.1.1.2.3" xref="alg2.l6.m1.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="alg2.l6.m1.1.1.1" xref="alg2.l6.m1.1.1.1.cmml">∼</mo><mi id="alg2.l6.m1.1.1.3" xref="alg2.l6.m1.1.1.3.cmml">ν</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg2.l6.m1.1b"><apply id="alg2.l6.m1.1.1.cmml" xref="alg2.l6.m1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="alg2.l6.m1.1.1.1.cmml" xref="alg2.l6.m1.1.1.1">similar-to</csymbol><apply id="alg2.l6.m1.1.1.2.cmml" xref="alg2.l6.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="alg2.l6.m1.1.1.2.1.cmml" xref="alg2.l6.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="alg2.l6.m1.1.1.2.2.cmml" xref="alg2.l6.m1.1.1.2.2">𝑙</ci><ci id="alg2.l6.m1.1.1.2.3.cmml" xref="alg2.l6.m1.1.1.2.3">′</ci></apply><ci id="alg2.l6.m1.1.1.3.cmml" xref="alg2.l6.m1.1.1.3">𝜈</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg2.l6.m1.1c">l^{\prime}\sim\nu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg2.l6.m1.1d">italic_l start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∼ italic_ν</annotation></semantics></math>, where <math alttext="\nu" class="ltx_Math" display="inline" id="alg2.l6.m2.1"><semantics id="alg2.l6.m2.1a"><mi id="alg2.l6.m2.1.1" xref="alg2.l6.m2.1.1.cmml">ν</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg2.l6.m2.1b"><ci id="alg2.l6.m2.1.1.cmml" xref="alg2.l6.m2.1.1">𝜈</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg2.l6.m2.1c">\nu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg2.l6.m2.1d">italic_ν</annotation></semantics></math> is a probability measure on <math alttext="[0,T]" class="ltx_Math" display="inline" id="alg2.l6.m3.2"><semantics id="alg2.l6.m3.2a"><mrow id="alg2.l6.m3.2.3.2" xref="alg2.l6.m3.2.3.1.cmml"><mo id="alg2.l6.m3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="alg2.l6.m3.2.3.1.cmml">[</mo><mn id="alg2.l6.m3.1.1" xref="alg2.l6.m3.1.1.cmml">0</mn><mo id="alg2.l6.m3.2.3.2.2" xref="alg2.l6.m3.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="alg2.l6.m3.2.2" xref="alg2.l6.m3.2.2.cmml">T</mi><mo id="alg2.l6.m3.2.3.2.3" stretchy="false" xref="alg2.l6.m3.2.3.1.cmml">]</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg2.l6.m3.2b"><interval closure="closed" id="alg2.l6.m3.2.3.1.cmml" xref="alg2.l6.m3.2.3.2"><cn id="alg2.l6.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="alg2.l6.m3.1.1">0</cn><ci id="alg2.l6.m3.2.2.cmml" xref="alg2.l6.m3.2.2">𝑇</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg2.l6.m3.2c">[0,T]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg2.l6.m3.2d">[ 0 , italic_T ]</annotation></semantics></math> with density <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex53"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\nu(l)\propto\frac{T-t}{T^{2}}," class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex53.m1.2"><semantics id="S4.Ex53.m1.2a"><mrow id="S4.Ex53.m1.2.2.1" xref="S4.Ex53.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex53.m1.2.2.1.1" xref="S4.Ex53.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex53.m1.2.2.1.1.2" xref="S4.Ex53.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex53.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S4.Ex53.m1.2.2.1.1.2.2.cmml">ν</mi><mo id="S4.Ex53.m1.2.2.1.1.2.1" xref="S4.Ex53.m1.2.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex53.m1.2.2.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex53.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex53.m1.2.2.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex53.m1.2.2.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex53.m1.1.1" xref="S4.Ex53.m1.1.1.cmml">l</mi><mo id="S4.Ex53.m1.2.2.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex53.m1.2.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex53.m1.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex53.m1.2.2.1.1.1.cmml">∝</mo><mfrac id="S4.Ex53.m1.2.2.1.1.3" xref="S4.Ex53.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex53.m1.2.2.1.1.3.2" xref="S4.Ex53.m1.2.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex53.m1.2.2.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex53.m1.2.2.1.1.3.2.2.cmml">T</mi><mo id="S4.Ex53.m1.2.2.1.1.3.2.1" xref="S4.Ex53.m1.2.2.1.1.3.2.1.cmml">−</mo><mi id="S4.Ex53.m1.2.2.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex53.m1.2.2.1.1.3.2.3.cmml">t</mi></mrow><msup id="S4.Ex53.m1.2.2.1.1.3.3" xref="S4.Ex53.m1.2.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex53.m1.2.2.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex53.m1.2.2.1.1.3.3.2.cmml">T</mi><mn id="S4.Ex53.m1.2.2.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex53.m1.2.2.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mrow><mo id="S4.Ex53.m1.2.2.1.2" xref="S4.Ex53.m1.2.2.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex53.m1.2b"><apply id="S4.Ex53.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex53.m1.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex53.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex53.m1.2.2.1.1.1">proportional-to</csymbol><apply id="S4.Ex53.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex53.m1.2.2.1.1.2"><times id="S4.Ex53.m1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex53.m1.2.2.1.1.2.1"></times><ci id="S4.Ex53.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex53.m1.2.2.1.1.2.2">𝜈</ci><ci id="S4.Ex53.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1">𝑙</ci></apply><apply id="S4.Ex53.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex53.m1.2.2.1.1.3"><divide id="S4.Ex53.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex53.m1.2.2.1.1.3"></divide><apply id="S4.Ex53.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex53.m1.2.2.1.1.3.2"><minus id="S4.Ex53.m1.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex53.m1.2.2.1.1.3.2.1"></minus><ci id="S4.Ex53.m1.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex53.m1.2.2.1.1.3.2.2">𝑇</ci><ci id="S4.Ex53.m1.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex53.m1.2.2.1.1.3.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="S4.Ex53.m1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex53.m1.2.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex53.m1.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex53.m1.2.2.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex53.m1.2.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex53.m1.2.2.1.1.3.3.2">𝑇</ci><cn id="S4.Ex53.m1.2.2.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex53.m1.2.2.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex53.m1.2c">\nu(l)\propto\frac{T-t}{T^{2}},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex53.m1.2d">italic_ν ( italic_l ) ∝ divide start_ARG italic_T - italic_t end_ARG start_ARG italic_T start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_listingline" id="alg2.l7"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline"><span class="ltx_text" id="alg2.l7.1.1.1" style="font-size:80%;">7:</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="alg2.l7.2">else</span> </div> <div class="ltx_listingline" id="alg2.l8"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline"><span class="ltx_text" id="alg2.l8.1.1.1" style="font-size:80%;">8:</span></span> Sample <math alttext="l^{\prime}\sim\nu" class="ltx_Math" display="inline" id="alg2.l8.m1.1"><semantics id="alg2.l8.m1.1a"><mrow id="alg2.l8.m1.1.1" xref="alg2.l8.m1.1.1.cmml"><msup id="alg2.l8.m1.1.1.2" xref="alg2.l8.m1.1.1.2.cmml"><mi id="alg2.l8.m1.1.1.2.2" xref="alg2.l8.m1.1.1.2.2.cmml">l</mi><mo id="alg2.l8.m1.1.1.2.3" xref="alg2.l8.m1.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="alg2.l8.m1.1.1.1" xref="alg2.l8.m1.1.1.1.cmml">∼</mo><mi id="alg2.l8.m1.1.1.3" xref="alg2.l8.m1.1.1.3.cmml">ν</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg2.l8.m1.1b"><apply id="alg2.l8.m1.1.1.cmml" xref="alg2.l8.m1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="alg2.l8.m1.1.1.1.cmml" xref="alg2.l8.m1.1.1.1">similar-to</csymbol><apply id="alg2.l8.m1.1.1.2.cmml" xref="alg2.l8.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="alg2.l8.m1.1.1.2.1.cmml" xref="alg2.l8.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="alg2.l8.m1.1.1.2.2.cmml" xref="alg2.l8.m1.1.1.2.2">𝑙</ci><ci id="alg2.l8.m1.1.1.2.3.cmml" xref="alg2.l8.m1.1.1.2.3">′</ci></apply><ci id="alg2.l8.m1.1.1.3.cmml" xref="alg2.l8.m1.1.1.3">𝜈</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg2.l8.m1.1c">l^{\prime}\sim\nu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg2.l8.m1.1d">italic_l start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∼ italic_ν</annotation></semantics></math>, where <math alttext="\nu" class="ltx_Math" display="inline" id="alg2.l8.m2.1"><semantics id="alg2.l8.m2.1a"><mi id="alg2.l8.m2.1.1" xref="alg2.l8.m2.1.1.cmml">ν</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg2.l8.m2.1b"><ci id="alg2.l8.m2.1.1.cmml" xref="alg2.l8.m2.1.1">𝜈</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg2.l8.m2.1c">\nu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg2.l8.m2.1d">italic_ν</annotation></semantics></math> is a probability measure on <math alttext="[0,T]" class="ltx_Math" display="inline" id="alg2.l8.m3.2"><semantics id="alg2.l8.m3.2a"><mrow id="alg2.l8.m3.2.3.2" xref="alg2.l8.m3.2.3.1.cmml"><mo id="alg2.l8.m3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="alg2.l8.m3.2.3.1.cmml">[</mo><mn id="alg2.l8.m3.1.1" xref="alg2.l8.m3.1.1.cmml">0</mn><mo id="alg2.l8.m3.2.3.2.2" xref="alg2.l8.m3.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="alg2.l8.m3.2.2" xref="alg2.l8.m3.2.2.cmml">T</mi><mo id="alg2.l8.m3.2.3.2.3" stretchy="false" xref="alg2.l8.m3.2.3.1.cmml">]</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg2.l8.m3.2b"><interval closure="closed" id="alg2.l8.m3.2.3.1.cmml" xref="alg2.l8.m3.2.3.2"><cn id="alg2.l8.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="alg2.l8.m3.1.1">0</cn><ci id="alg2.l8.m3.2.2.cmml" xref="alg2.l8.m3.2.2">𝑇</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg2.l8.m3.2c">[0,T]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg2.l8.m3.2d">[ 0 , italic_T ]</annotation></semantics></math> with density <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex54"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\nu(l)\propto\frac{t}{T^{2}}," class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex54.m1.2"><semantics id="S4.Ex54.m1.2a"><mrow id="S4.Ex54.m1.2.2.1" xref="S4.Ex54.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex54.m1.2.2.1.1" xref="S4.Ex54.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex54.m1.2.2.1.1.2" xref="S4.Ex54.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex54.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S4.Ex54.m1.2.2.1.1.2.2.cmml">ν</mi><mo id="S4.Ex54.m1.2.2.1.1.2.1" xref="S4.Ex54.m1.2.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex54.m1.2.2.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex54.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex54.m1.2.2.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex54.m1.2.2.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex54.m1.1.1" xref="S4.Ex54.m1.1.1.cmml">l</mi><mo id="S4.Ex54.m1.2.2.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex54.m1.2.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex54.m1.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex54.m1.2.2.1.1.1.cmml">∝</mo><mfrac id="S4.Ex54.m1.2.2.1.1.3" xref="S4.Ex54.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex54.m1.2.2.1.1.3.2" xref="S4.Ex54.m1.2.2.1.1.3.2.cmml">t</mi><msup id="S4.Ex54.m1.2.2.1.1.3.3" xref="S4.Ex54.m1.2.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex54.m1.2.2.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex54.m1.2.2.1.1.3.3.2.cmml">T</mi><mn id="S4.Ex54.m1.2.2.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex54.m1.2.2.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mrow><mo id="S4.Ex54.m1.2.2.1.2" xref="S4.Ex54.m1.2.2.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex54.m1.2b"><apply id="S4.Ex54.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex54.m1.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex54.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex54.m1.2.2.1.1.1">proportional-to</csymbol><apply id="S4.Ex54.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex54.m1.2.2.1.1.2"><times id="S4.Ex54.m1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex54.m1.2.2.1.1.2.1"></times><ci id="S4.Ex54.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex54.m1.2.2.1.1.2.2">𝜈</ci><ci id="S4.Ex54.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex54.m1.1.1">𝑙</ci></apply><apply id="S4.Ex54.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex54.m1.2.2.1.1.3"><divide id="S4.Ex54.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex54.m1.2.2.1.1.3"></divide><ci id="S4.Ex54.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex54.m1.2.2.1.1.3.2">𝑡</ci><apply id="S4.Ex54.m1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex54.m1.2.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex54.m1.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex54.m1.2.2.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex54.m1.2.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex54.m1.2.2.1.1.3.3.2">𝑇</ci><cn id="S4.Ex54.m1.2.2.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex54.m1.2.2.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex54.m1.2c">\nu(l)\propto\frac{t}{T^{2}},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex54.m1.2d">italic_ν ( italic_l ) ∝ divide start_ARG italic_t end_ARG start_ARG italic_T start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_listingline" id="alg2.l9"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline"><span class="ltx_text" id="alg2.l9.1.1.1" style="font-size:80%;">9:</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="alg2.l9.2">end</span> <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="alg2.l9.3">if</span> </div> <div class="ltx_listingline" id="alg2.l10"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline"><span class="ltx_text" id="alg2.l10.1.1.1" style="font-size:80%;">10:</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="alg2.l10.2">Output:</span> <math alttext="X_{l^{\prime}}" class="ltx_Math" display="inline" id="alg2.l10.m1.1"><semantics id="alg2.l10.m1.1a"><msub id="alg2.l10.m1.1.1" xref="alg2.l10.m1.1.1.cmml"><mi id="alg2.l10.m1.1.1.2" xref="alg2.l10.m1.1.1.2.cmml">X</mi><msup id="alg2.l10.m1.1.1.3" xref="alg2.l10.m1.1.1.3.cmml"><mi id="alg2.l10.m1.1.1.3.2" xref="alg2.l10.m1.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="alg2.l10.m1.1.1.3.3" xref="alg2.l10.m1.1.1.3.3.cmml">′</mo></msup></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg2.l10.m1.1b"><apply id="alg2.l10.m1.1.1.cmml" xref="alg2.l10.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="alg2.l10.m1.1.1.1.cmml" xref="alg2.l10.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="alg2.l10.m1.1.1.2.cmml" xref="alg2.l10.m1.1.1.2">𝑋</ci><apply id="alg2.l10.m1.1.1.3.cmml" xref="alg2.l10.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="alg2.l10.m1.1.1.3.1.cmml" xref="alg2.l10.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="alg2.l10.m1.1.1.3.2.cmml" xref="alg2.l10.m1.1.1.3.2">𝑙</ci><ci id="alg2.l10.m1.1.1.3.3.cmml" xref="alg2.l10.m1.1.1.3.3">′</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg2.l10.m1.1c">X_{l^{\prime}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg2.l10.m1.1d">italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_l start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> </div> </div> </figure> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.p2"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p2.1">Note that while this algorithm involves continuous-time simulation as a part of its inner workings, the Markov chain which it generates is ultimately a discrete-time process. The PDMP acts as an instrumental proposal which we expect to provide useful spatial exploration.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_theorem" id="Thmtheorem2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem2.1.1.1">Theorem 2</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem2.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem2.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem2.p1.5"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem2.p1.5.5">Assuming a PDMP with invariant distribution <math alttext="\pi" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1a"><mi id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.cmml">π</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1b"><ci id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1">𝜋</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1c">\pi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1d">italic_π</annotation></semantics></math>, such that the reversal <math alttext="R_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1a"><msub id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">R</mi><mi id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml">t</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.2">𝑅</ci><ci id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1c">R_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1d">italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and its volume change <math alttext="\Psi_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1"><semantics id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1a"><msub id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.2" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml">Ψ</mi><mi id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.3" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml">t</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1b"><apply id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.2">Ψ</ci><ci id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1c">\Psi_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1d">roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are continuous in <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1"><semantics id="Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1a"><mi id="Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1" xref="Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1b"><ci id="Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem2.p1.4.4.m4.1d">italic_t</annotation></semantics></math>, then Algorithm <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#alg2" title="Algorithm 2 ‣ 4.2 Algorithm ‣ 4 Refreshing PDMP velocities using a stopping criterion ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a> defines a Markov chain with <math alttext="\pi" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1"><semantics id="Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1a"><mi id="Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1" xref="Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.cmml">π</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1b"><ci id="Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1.1">𝜋</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1c">\pi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem2.p1.5.5.m5.1d">italic_π</annotation></semantics></math> as an invariant distribution.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S4.SS2.1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.1.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.1.p1.1">The theorem is a direct consequence of the following proposition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#Thmproposition7" title="Proposition 7. ‣ 4.2 Algorithm ‣ 4 Refreshing PDMP velocities using a stopping criterion ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7</span></a>. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_proposition" id="Thmproposition7"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmproposition7.1.1.1">Proposition 7</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmproposition7.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmproposition7.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmproposition7.p1.6"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmproposition7.p1.6.6">Assume that <math alttext="Z_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition7.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmproposition7.p1.1.1.m1.1a"><msub id="Thmproposition7.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmproposition7.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmproposition7.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmproposition7.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">Z</mi><mi id="Thmproposition7.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmproposition7.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition7.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmproposition7.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmproposition7.p1.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproposition7.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmproposition7.p1.1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmproposition7.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmproposition7.p1.1.1.m1.1.1.2">𝑍</ci><ci id="Thmproposition7.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmproposition7.p1.1.1.m1.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition7.p1.1.1.m1.1c">Z_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition7.p1.1.1.m1.1d">italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is a PDMP with invariant distribution <math alttext="\pi" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition7.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmproposition7.p1.2.2.m2.1a"><mi id="Thmproposition7.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmproposition7.p1.2.2.m2.1.1.cmml">π</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition7.p1.2.2.m2.1b"><ci id="Thmproposition7.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmproposition7.p1.2.2.m2.1.1">𝜋</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition7.p1.2.2.m2.1c">\pi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition7.p1.2.2.m2.1d">italic_π</annotation></semantics></math>, such that the reversal <math alttext="R_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition7.p1.3.3.m3.1"><semantics id="Thmproposition7.p1.3.3.m3.1a"><msub id="Thmproposition7.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmproposition7.p1.3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="Thmproposition7.p1.3.3.m3.1.1.2" xref="Thmproposition7.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml">R</mi><mi id="Thmproposition7.p1.3.3.m3.1.1.3" xref="Thmproposition7.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml">t</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition7.p1.3.3.m3.1b"><apply id="Thmproposition7.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmproposition7.p1.3.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproposition7.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Thmproposition7.p1.3.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmproposition7.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="Thmproposition7.p1.3.3.m3.1.1.2">𝑅</ci><ci id="Thmproposition7.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="Thmproposition7.p1.3.3.m3.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition7.p1.3.3.m3.1c">R_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition7.p1.3.3.m3.1d">italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and its volume change <math alttext="\Psi_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition7.p1.4.4.m4.1"><semantics id="Thmproposition7.p1.4.4.m4.1a"><msub id="Thmproposition7.p1.4.4.m4.1.1" xref="Thmproposition7.p1.4.4.m4.1.1.cmml"><mi id="Thmproposition7.p1.4.4.m4.1.1.2" mathvariant="normal" xref="Thmproposition7.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml">Ψ</mi><mi id="Thmproposition7.p1.4.4.m4.1.1.3" xref="Thmproposition7.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml">t</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition7.p1.4.4.m4.1b"><apply id="Thmproposition7.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmproposition7.p1.4.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproposition7.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="Thmproposition7.p1.4.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmproposition7.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="Thmproposition7.p1.4.4.m4.1.1.2">Ψ</ci><ci id="Thmproposition7.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml" xref="Thmproposition7.p1.4.4.m4.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition7.p1.4.4.m4.1c">\Psi_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition7.p1.4.4.m4.1d">roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are continuous in <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition7.p1.5.5.m5.1"><semantics id="Thmproposition7.p1.5.5.m5.1a"><mi id="Thmproposition7.p1.5.5.m5.1.1" xref="Thmproposition7.p1.5.5.m5.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition7.p1.5.5.m5.1b"><ci id="Thmproposition7.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="Thmproposition7.p1.5.5.m5.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition7.p1.5.5.m5.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition7.p1.5.5.m5.1d">italic_t</annotation></semantics></math>. Let <math alttext="X" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition7.p1.6.6.m6.1"><semantics id="Thmproposition7.p1.6.6.m6.1a"><mi id="Thmproposition7.p1.6.6.m6.1.1" xref="Thmproposition7.p1.6.6.m6.1.1.cmml">X</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition7.p1.6.6.m6.1b"><ci id="Thmproposition7.p1.6.6.m6.1.1.cmml" xref="Thmproposition7.p1.6.6.m6.1.1">𝑋</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition7.p1.6.6.m6.1c">X</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition7.p1.6.6.m6.1d">italic_X</annotation></semantics></math> be constructible (i.e. could be obtained by the algorithm).</span></p> </div> <div class="ltx_para" id="Thmproposition7.p2"> <p class="ltx_p" id="Thmproposition7.p2.7"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmproposition7.p2.7.7">If the law of the initial state of the algorithm is <math alttext="\pi" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition7.p2.1.1.m1.1"><semantics id="Thmproposition7.p2.1.1.m1.1a"><mi id="Thmproposition7.p2.1.1.m1.1.1" xref="Thmproposition7.p2.1.1.m1.1.1.cmml">π</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition7.p2.1.1.m1.1b"><ci id="Thmproposition7.p2.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmproposition7.p2.1.1.m1.1.1">𝜋</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition7.p2.1.1.m1.1c">\pi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition7.p2.1.1.m1.1d">italic_π</annotation></semantics></math>, then the law <math alttext="\mathbb{P}(l|X)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition7.p2.2.2.m2.1"><semantics id="Thmproposition7.p2.2.2.m2.1a"><mrow id="Thmproposition7.p2.2.2.m2.1.1" xref="Thmproposition7.p2.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmproposition7.p2.2.2.m2.1.1.3" xref="Thmproposition7.p2.2.2.m2.1.1.3.cmml">ℙ</mi><mo id="Thmproposition7.p2.2.2.m2.1.1.2" xref="Thmproposition7.p2.2.2.m2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmproposition7.p2.2.2.m2.1.1.1.1" xref="Thmproposition7.p2.2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmproposition7.p2.2.2.m2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmproposition7.p2.2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Thmproposition7.p2.2.2.m2.1.1.1.1.1" xref="Thmproposition7.p2.2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmproposition7.p2.2.2.m2.1.1.1.1.1.2" xref="Thmproposition7.p2.2.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">l</mi><mo fence="false" id="Thmproposition7.p2.2.2.m2.1.1.1.1.1.1" xref="Thmproposition7.p2.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">|</mo><mi id="Thmproposition7.p2.2.2.m2.1.1.1.1.1.3" xref="Thmproposition7.p2.2.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">X</mi></mrow><mo id="Thmproposition7.p2.2.2.m2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmproposition7.p2.2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition7.p2.2.2.m2.1b"><apply id="Thmproposition7.p2.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmproposition7.p2.2.2.m2.1.1"><times id="Thmproposition7.p2.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmproposition7.p2.2.2.m2.1.1.2"></times><ci id="Thmproposition7.p2.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmproposition7.p2.2.2.m2.1.1.3">ℙ</ci><apply id="Thmproposition7.p2.2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmproposition7.p2.2.2.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="Thmproposition7.p2.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmproposition7.p2.2.2.m2.1.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="Thmproposition7.p2.2.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmproposition7.p2.2.2.m2.1.1.1.1.1.2">𝑙</ci><ci id="Thmproposition7.p2.2.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmproposition7.p2.2.2.m2.1.1.1.1.1.3">𝑋</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition7.p2.2.2.m2.1c">\mathbb{P}(l|X)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition7.p2.2.2.m2.1d">blackboard_P ( italic_l | italic_X )</annotation></semantics></math> is <math alttext="\nu" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition7.p2.3.3.m3.1"><semantics id="Thmproposition7.p2.3.3.m3.1a"><mi id="Thmproposition7.p2.3.3.m3.1.1" xref="Thmproposition7.p2.3.3.m3.1.1.cmml">ν</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition7.p2.3.3.m3.1b"><ci id="Thmproposition7.p2.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmproposition7.p2.3.3.m3.1.1">𝜈</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition7.p2.3.3.m3.1c">\nu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition7.p2.3.3.m3.1d">italic_ν</annotation></semantics></math> where <math alttext="\nu" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition7.p2.4.4.m4.1"><semantics id="Thmproposition7.p2.4.4.m4.1a"><mi id="Thmproposition7.p2.4.4.m4.1.1" xref="Thmproposition7.p2.4.4.m4.1.1.cmml">ν</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition7.p2.4.4.m4.1b"><ci id="Thmproposition7.p2.4.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmproposition7.p2.4.4.m4.1.1">𝜈</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition7.p2.4.4.m4.1c">\nu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition7.p2.4.4.m4.1d">italic_ν</annotation></semantics></math> is a probability measure on <math alttext="[0,T]" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition7.p2.5.5.m5.2"><semantics id="Thmproposition7.p2.5.5.m5.2a"><mrow id="Thmproposition7.p2.5.5.m5.2.3.2" xref="Thmproposition7.p2.5.5.m5.2.3.1.cmml"><mo id="Thmproposition7.p2.5.5.m5.2.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmproposition7.p2.5.5.m5.2.3.1.cmml">[</mo><mn id="Thmproposition7.p2.5.5.m5.1.1" xref="Thmproposition7.p2.5.5.m5.1.1.cmml">0</mn><mo id="Thmproposition7.p2.5.5.m5.2.3.2.2" xref="Thmproposition7.p2.5.5.m5.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmproposition7.p2.5.5.m5.2.2" xref="Thmproposition7.p2.5.5.m5.2.2.cmml">T</mi><mo id="Thmproposition7.p2.5.5.m5.2.3.2.3" stretchy="false" xref="Thmproposition7.p2.5.5.m5.2.3.1.cmml">]</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition7.p2.5.5.m5.2b"><interval closure="closed" id="Thmproposition7.p2.5.5.m5.2.3.1.cmml" xref="Thmproposition7.p2.5.5.m5.2.3.2"><cn id="Thmproposition7.p2.5.5.m5.1.1.cmml" type="integer" xref="Thmproposition7.p2.5.5.m5.1.1">0</cn><ci id="Thmproposition7.p2.5.5.m5.2.2.cmml" xref="Thmproposition7.p2.5.5.m5.2.2">𝑇</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition7.p2.5.5.m5.2c">[0,T]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition7.p2.5.5.m5.2d">[ 0 , italic_T ]</annotation></semantics></math> with density <math alttext="\nu(t)=\frac{T-t}{T^{2}}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1"><semantics id="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1a"><mrow id="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1.2" xref="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1.2.cmml"><mrow id="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1.2.2" xref="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1.2.2.cmml"><mi id="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1.2.2.2" xref="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1.2.2.2.cmml">ν</mi><mo id="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1.2.2.1" xref="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1.2.2.3.2" xref="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1.2.2.cmml"><mo id="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1.1" xref="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1.1.cmml">t</mi><mo id="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1.2.1" xref="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1.2.1.cmml">=</mo><mfrac id="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1.2.3" xref="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1.2.3.cmml"><mrow id="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1.2.3.2" xref="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1.2.3.2.cmml"><mi id="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1.2.3.2.2" xref="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1.2.3.2.2.cmml">T</mi><mo id="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1.2.3.2.1" xref="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1.2.3.2.1.cmml">−</mo><mi id="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1.2.3.2.3" xref="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1.2.3.2.3.cmml">t</mi></mrow><msup id="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1.2.3.3" xref="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1.2.3.3.cmml"><mi id="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1.2.3.3.2" xref="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1.2.3.3.2.cmml">T</mi><mn id="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1.2.3.3.3" xref="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1.2.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1b"><apply id="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1.2.cmml" xref="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1.2"><eq id="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1.2.1.cmml" xref="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1.2.1"></eq><apply id="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1.2.2.cmml" xref="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1.2.2"><times id="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1.2.2.1.cmml" xref="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1.2.2.1"></times><ci id="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1.2.2.2.cmml" xref="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1.2.2.2">𝜈</ci><ci id="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1.1.cmml" xref="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1.2.3.cmml" xref="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1.2.3"><divide id="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1.2.3.1.cmml" xref="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1.2.3"></divide><apply id="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1.2.3.2.cmml" xref="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1.2.3.2"><minus id="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1.2.3.2.1.cmml" xref="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1.2.3.2.1"></minus><ci id="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1.2.3.2.2.cmml" xref="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1.2.3.2.2">𝑇</ci><ci id="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1.2.3.2.3.cmml" xref="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1.2.3.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1.2.3.3.cmml" xref="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1.2.3.3.1.cmml" xref="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1.2.3.3.2.cmml" xref="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1.2.3.3.2">𝑇</ci><cn id="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1.2.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1c">\nu(t)=\frac{T-t}{T^{2}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition7.p2.6.6.m6.1d">italic_ν ( italic_t ) = divide start_ARG italic_T - italic_t end_ARG start_ARG italic_T start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math> if the criterion was hit going forward, and <math alttext="\nu(t)=\frac{t}{T^{2}}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition7.p2.7.7.m7.1"><semantics id="Thmproposition7.p2.7.7.m7.1a"><mrow id="Thmproposition7.p2.7.7.m7.1.2" xref="Thmproposition7.p2.7.7.m7.1.2.cmml"><mrow id="Thmproposition7.p2.7.7.m7.1.2.2" xref="Thmproposition7.p2.7.7.m7.1.2.2.cmml"><mi id="Thmproposition7.p2.7.7.m7.1.2.2.2" xref="Thmproposition7.p2.7.7.m7.1.2.2.2.cmml">ν</mi><mo id="Thmproposition7.p2.7.7.m7.1.2.2.1" xref="Thmproposition7.p2.7.7.m7.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmproposition7.p2.7.7.m7.1.2.2.3.2" xref="Thmproposition7.p2.7.7.m7.1.2.2.cmml"><mo id="Thmproposition7.p2.7.7.m7.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmproposition7.p2.7.7.m7.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="Thmproposition7.p2.7.7.m7.1.1" xref="Thmproposition7.p2.7.7.m7.1.1.cmml">t</mi><mo id="Thmproposition7.p2.7.7.m7.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmproposition7.p2.7.7.m7.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmproposition7.p2.7.7.m7.1.2.1" xref="Thmproposition7.p2.7.7.m7.1.2.1.cmml">=</mo><mfrac id="Thmproposition7.p2.7.7.m7.1.2.3" xref="Thmproposition7.p2.7.7.m7.1.2.3.cmml"><mi id="Thmproposition7.p2.7.7.m7.1.2.3.2" xref="Thmproposition7.p2.7.7.m7.1.2.3.2.cmml">t</mi><msup id="Thmproposition7.p2.7.7.m7.1.2.3.3" xref="Thmproposition7.p2.7.7.m7.1.2.3.3.cmml"><mi id="Thmproposition7.p2.7.7.m7.1.2.3.3.2" xref="Thmproposition7.p2.7.7.m7.1.2.3.3.2.cmml">T</mi><mn id="Thmproposition7.p2.7.7.m7.1.2.3.3.3" xref="Thmproposition7.p2.7.7.m7.1.2.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition7.p2.7.7.m7.1b"><apply id="Thmproposition7.p2.7.7.m7.1.2.cmml" xref="Thmproposition7.p2.7.7.m7.1.2"><eq id="Thmproposition7.p2.7.7.m7.1.2.1.cmml" xref="Thmproposition7.p2.7.7.m7.1.2.1"></eq><apply id="Thmproposition7.p2.7.7.m7.1.2.2.cmml" xref="Thmproposition7.p2.7.7.m7.1.2.2"><times id="Thmproposition7.p2.7.7.m7.1.2.2.1.cmml" xref="Thmproposition7.p2.7.7.m7.1.2.2.1"></times><ci id="Thmproposition7.p2.7.7.m7.1.2.2.2.cmml" xref="Thmproposition7.p2.7.7.m7.1.2.2.2">𝜈</ci><ci id="Thmproposition7.p2.7.7.m7.1.1.cmml" xref="Thmproposition7.p2.7.7.m7.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="Thmproposition7.p2.7.7.m7.1.2.3.cmml" xref="Thmproposition7.p2.7.7.m7.1.2.3"><divide id="Thmproposition7.p2.7.7.m7.1.2.3.1.cmml" xref="Thmproposition7.p2.7.7.m7.1.2.3"></divide><ci id="Thmproposition7.p2.7.7.m7.1.2.3.2.cmml" xref="Thmproposition7.p2.7.7.m7.1.2.3.2">𝑡</ci><apply id="Thmproposition7.p2.7.7.m7.1.2.3.3.cmml" xref="Thmproposition7.p2.7.7.m7.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproposition7.p2.7.7.m7.1.2.3.3.1.cmml" xref="Thmproposition7.p2.7.7.m7.1.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="Thmproposition7.p2.7.7.m7.1.2.3.3.2.cmml" xref="Thmproposition7.p2.7.7.m7.1.2.3.3.2">𝑇</ci><cn id="Thmproposition7.p2.7.7.m7.1.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmproposition7.p2.7.7.m7.1.2.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition7.p2.7.7.m7.1c">\nu(t)=\frac{t}{T^{2}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition7.p2.7.7.m7.1d">italic_ν ( italic_t ) = divide start_ARG italic_t end_ARG start_ARG italic_T start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math> if the criterion was hit backward.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S4.SS2.3"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.2.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.2.p1.1">We give here the intuition of the proof; Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S4.SS3" title="4.3 Proof of proposition 7 ‣ 4 Refreshing PDMP velocities using a stopping criterion ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.3</span></a> provided a more complete rigorous proof. In principle, when looking at a path, it is impossible to distinguish whether the process was built forward in time or backward in time. If the process is at equilibrium, it is also impossible to know where the process started from. On this basis, one expects that the conditional law of <math alttext="l|X" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.2.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.SS2.2.p1.1.m1.1a"><mrow id="S4.SS2.2.p1.1.m1.1.1" xref="S4.SS2.2.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.2.p1.1.m1.1.1.2" xref="S4.SS2.2.p1.1.m1.1.1.2.cmml">l</mi><mo fence="false" id="S4.SS2.2.p1.1.m1.1.1.1" xref="S4.SS2.2.p1.1.m1.1.1.1.cmml">|</mo><mi id="S4.SS2.2.p1.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS2.2.p1.1.m1.1.1.3.cmml">X</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.2.p1.1.m1.1b"><apply id="S4.SS2.2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.2.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS2.2.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.2.p1.1.m1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S4.SS2.2.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.2.p1.1.m1.1.1.2">𝑙</ci><ci id="S4.SS2.2.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.2.p1.1.m1.1.1.3">𝑋</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.2.p1.1.m1.1c">l|X</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.2.p1.1.m1.1d">italic_l | italic_X</annotation></semantics></math> should then be uniform.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.3.p2"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.3.p2.12">However, this perspective misses one piece of the puzzle. Let <math alttext="(X,l)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.3.p2.1.m1.2"><semantics id="S4.SS2.3.p2.1.m1.2a"><mrow id="S4.SS2.3.p2.1.m1.2.3.2" xref="S4.SS2.3.p2.1.m1.2.3.1.cmml"><mo id="S4.SS2.3.p2.1.m1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS2.3.p2.1.m1.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.SS2.3.p2.1.m1.1.1" xref="S4.SS2.3.p2.1.m1.1.1.cmml">X</mi><mo id="S4.SS2.3.p2.1.m1.2.3.2.2" xref="S4.SS2.3.p2.1.m1.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS2.3.p2.1.m1.2.2" xref="S4.SS2.3.p2.1.m1.2.2.cmml">l</mi><mo id="S4.SS2.3.p2.1.m1.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.SS2.3.p2.1.m1.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.3.p2.1.m1.2b"><interval closure="open" id="S4.SS2.3.p2.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS2.3.p2.1.m1.2.3.2"><ci id="S4.SS2.3.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.3.p2.1.m1.1.1">𝑋</ci><ci id="S4.SS2.3.p2.1.m1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.3.p2.1.m1.2.2">𝑙</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.3.p2.1.m1.2c">(X,l)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.3.p2.1.m1.2d">( italic_X , italic_l )</annotation></semantics></math> be a path built by the algorithm, noting that the path length <math alttext="T" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.3.p2.2.m2.1"><semantics id="S4.SS2.3.p2.2.m2.1a"><mi id="S4.SS2.3.p2.2.m2.1.1" xref="S4.SS2.3.p2.2.m2.1.1.cmml">T</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.3.p2.2.m2.1b"><ci id="S4.SS2.3.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS2.3.p2.2.m2.1.1">𝑇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.3.p2.2.m2.1c">T</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.3.p2.2.m2.1d">italic_T</annotation></semantics></math> can be directly deduced from the information included in <math alttext="X" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.3.p2.3.m3.1"><semantics id="S4.SS2.3.p2.3.m3.1a"><mi id="S4.SS2.3.p2.3.m3.1.1" xref="S4.SS2.3.p2.3.m3.1.1.cmml">X</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.3.p2.3.m3.1b"><ci id="S4.SS2.3.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS2.3.p2.3.m3.1.1">𝑋</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.3.p2.3.m3.1c">X</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.3.p2.3.m3.1d">italic_X</annotation></semantics></math>. Assumption <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#Thmassumption6" title="Assumption 6. ‣ 4.1 Stopping criterion ‣ 4 Refreshing PDMP velocities using a stopping criterion ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6</span></a> tells us that the path was stopped at an event at one of the extremities. Without loss of generality, we assume that it was stopped by a backward event. To this <math alttext="(X,l)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.3.p2.4.m4.2"><semantics id="S4.SS2.3.p2.4.m4.2a"><mrow id="S4.SS2.3.p2.4.m4.2.3.2" xref="S4.SS2.3.p2.4.m4.2.3.1.cmml"><mo id="S4.SS2.3.p2.4.m4.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS2.3.p2.4.m4.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.SS2.3.p2.4.m4.1.1" xref="S4.SS2.3.p2.4.m4.1.1.cmml">X</mi><mo id="S4.SS2.3.p2.4.m4.2.3.2.2" xref="S4.SS2.3.p2.4.m4.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS2.3.p2.4.m4.2.2" xref="S4.SS2.3.p2.4.m4.2.2.cmml">l</mi><mo id="S4.SS2.3.p2.4.m4.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.SS2.3.p2.4.m4.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.3.p2.4.m4.2b"><interval closure="open" id="S4.SS2.3.p2.4.m4.2.3.1.cmml" xref="S4.SS2.3.p2.4.m4.2.3.2"><ci id="S4.SS2.3.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS2.3.p2.4.m4.1.1">𝑋</ci><ci id="S4.SS2.3.p2.4.m4.2.2.cmml" xref="S4.SS2.3.p2.4.m4.2.2">𝑙</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.3.p2.4.m4.2c">(X,l)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.3.p2.4.m4.2d">( italic_X , italic_l )</annotation></semantics></math> corresponds a unique <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.3.p2.5.m5.1"><semantics id="S4.SS2.3.p2.5.m5.1a"><mi id="S4.SS2.3.p2.5.m5.1.1" xref="S4.SS2.3.p2.5.m5.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.3.p2.5.m5.1b"><ci id="S4.SS2.3.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.SS2.3.p2.5.m5.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.3.p2.5.m5.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.3.p2.5.m5.1d">italic_α</annotation></semantics></math> in the construction, which can be computed <math alttext="\alpha=l/T" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.3.p2.6.m6.1"><semantics id="S4.SS2.3.p2.6.m6.1a"><mrow id="S4.SS2.3.p2.6.m6.1.1" xref="S4.SS2.3.p2.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.3.p2.6.m6.1.1.2" xref="S4.SS2.3.p2.6.m6.1.1.2.cmml">α</mi><mo id="S4.SS2.3.p2.6.m6.1.1.1" xref="S4.SS2.3.p2.6.m6.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS2.3.p2.6.m6.1.1.3" xref="S4.SS2.3.p2.6.m6.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS2.3.p2.6.m6.1.1.3.2" xref="S4.SS2.3.p2.6.m6.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="S4.SS2.3.p2.6.m6.1.1.3.1" xref="S4.SS2.3.p2.6.m6.1.1.3.1.cmml">/</mo><mi id="S4.SS2.3.p2.6.m6.1.1.3.3" xref="S4.SS2.3.p2.6.m6.1.1.3.3.cmml">T</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.3.p2.6.m6.1b"><apply id="S4.SS2.3.p2.6.m6.1.1.cmml" xref="S4.SS2.3.p2.6.m6.1.1"><eq id="S4.SS2.3.p2.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.3.p2.6.m6.1.1.1"></eq><ci id="S4.SS2.3.p2.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.3.p2.6.m6.1.1.2">𝛼</ci><apply id="S4.SS2.3.p2.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.3.p2.6.m6.1.1.3"><divide id="S4.SS2.3.p2.6.m6.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS2.3.p2.6.m6.1.1.3.1"></divide><ci id="S4.SS2.3.p2.6.m6.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS2.3.p2.6.m6.1.1.3.2">𝑙</ci><ci id="S4.SS2.3.p2.6.m6.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS2.3.p2.6.m6.1.1.3.3">𝑇</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.3.p2.6.m6.1c">\alpha=l/T</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.3.p2.6.m6.1d">italic_α = italic_l / italic_T</annotation></semantics></math>. Let <math alttext="a=-\alpha T" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.3.p2.7.m7.1"><semantics id="S4.SS2.3.p2.7.m7.1a"><mrow id="S4.SS2.3.p2.7.m7.1.1" xref="S4.SS2.3.p2.7.m7.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.3.p2.7.m7.1.1.2" xref="S4.SS2.3.p2.7.m7.1.1.2.cmml">a</mi><mo id="S4.SS2.3.p2.7.m7.1.1.1" xref="S4.SS2.3.p2.7.m7.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS2.3.p2.7.m7.1.1.3" xref="S4.SS2.3.p2.7.m7.1.1.3.cmml"><mo id="S4.SS2.3.p2.7.m7.1.1.3a" xref="S4.SS2.3.p2.7.m7.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="S4.SS2.3.p2.7.m7.1.1.3.2" xref="S4.SS2.3.p2.7.m7.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.SS2.3.p2.7.m7.1.1.3.2.2" xref="S4.SS2.3.p2.7.m7.1.1.3.2.2.cmml">α</mi><mo id="S4.SS2.3.p2.7.m7.1.1.3.2.1" xref="S4.SS2.3.p2.7.m7.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS2.3.p2.7.m7.1.1.3.2.3" xref="S4.SS2.3.p2.7.m7.1.1.3.2.3.cmml">T</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.3.p2.7.m7.1b"><apply id="S4.SS2.3.p2.7.m7.1.1.cmml" xref="S4.SS2.3.p2.7.m7.1.1"><eq id="S4.SS2.3.p2.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.3.p2.7.m7.1.1.1"></eq><ci id="S4.SS2.3.p2.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.3.p2.7.m7.1.1.2">𝑎</ci><apply id="S4.SS2.3.p2.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.3.p2.7.m7.1.1.3"><minus id="S4.SS2.3.p2.7.m7.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS2.3.p2.7.m7.1.1.3"></minus><apply id="S4.SS2.3.p2.7.m7.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS2.3.p2.7.m7.1.1.3.2"><times id="S4.SS2.3.p2.7.m7.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS2.3.p2.7.m7.1.1.3.2.1"></times><ci id="S4.SS2.3.p2.7.m7.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.SS2.3.p2.7.m7.1.1.3.2.2">𝛼</ci><ci id="S4.SS2.3.p2.7.m7.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.SS2.3.p2.7.m7.1.1.3.2.3">𝑇</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.3.p2.7.m7.1c">a=-\alpha T</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.3.p2.7.m7.1d">italic_a = - italic_α italic_T</annotation></semantics></math> and <math alttext="b=(1-\alpha)T" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.3.p2.8.m8.1"><semantics id="S4.SS2.3.p2.8.m8.1a"><mrow id="S4.SS2.3.p2.8.m8.1.1" xref="S4.SS2.3.p2.8.m8.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.3.p2.8.m8.1.1.3" xref="S4.SS2.3.p2.8.m8.1.1.3.cmml">b</mi><mo id="S4.SS2.3.p2.8.m8.1.1.2" xref="S4.SS2.3.p2.8.m8.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS2.3.p2.8.m8.1.1.1" xref="S4.SS2.3.p2.8.m8.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS2.3.p2.8.m8.1.1.1.1.1" xref="S4.SS2.3.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS2.3.p2.8.m8.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.3.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS2.3.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS2.3.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.SS2.3.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS2.3.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S4.SS2.3.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS2.3.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S4.SS2.3.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS2.3.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.3.cmml">α</mi></mrow><mo id="S4.SS2.3.p2.8.m8.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS2.3.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.SS2.3.p2.8.m8.1.1.1.2" xref="S4.SS2.3.p2.8.m8.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS2.3.p2.8.m8.1.1.1.3" xref="S4.SS2.3.p2.8.m8.1.1.1.3.cmml">T</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.3.p2.8.m8.1b"><apply id="S4.SS2.3.p2.8.m8.1.1.cmml" xref="S4.SS2.3.p2.8.m8.1.1"><eq id="S4.SS2.3.p2.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.3.p2.8.m8.1.1.2"></eq><ci id="S4.SS2.3.p2.8.m8.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.3.p2.8.m8.1.1.3">𝑏</ci><apply id="S4.SS2.3.p2.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.3.p2.8.m8.1.1.1"><times id="S4.SS2.3.p2.8.m8.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.3.p2.8.m8.1.1.1.2"></times><apply id="S4.SS2.3.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.3.p2.8.m8.1.1.1.1.1"><minus id="S4.SS2.3.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.3.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S4.SS2.3.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.3.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><ci id="S4.SS2.3.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.3.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.3">𝛼</ci></apply><ci id="S4.SS2.3.p2.8.m8.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.3.p2.8.m8.1.1.1.3">𝑇</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.3.p2.8.m8.1c">b=(1-\alpha)T</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.3.p2.8.m8.1d">italic_b = ( 1 - italic_α ) italic_T</annotation></semantics></math>. Since the path is stopped by an event, a small modification of <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.3.p2.9.m9.1"><semantics id="S4.SS2.3.p2.9.m9.1a"><mi id="S4.SS2.3.p2.9.m9.1.1" xref="S4.SS2.3.p2.9.m9.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.3.p2.9.m9.1b"><ci id="S4.SS2.3.p2.9.m9.1.1.cmml" xref="S4.SS2.3.p2.9.m9.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.3.p2.9.m9.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.3.p2.9.m9.1d">italic_α</annotation></semantics></math> will not change <math alttext="a" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.3.p2.10.m10.1"><semantics id="S4.SS2.3.p2.10.m10.1a"><mi id="S4.SS2.3.p2.10.m10.1.1" xref="S4.SS2.3.p2.10.m10.1.1.cmml">a</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.3.p2.10.m10.1b"><ci id="S4.SS2.3.p2.10.m10.1.1.cmml" xref="S4.SS2.3.p2.10.m10.1.1">𝑎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.3.p2.10.m10.1c">a</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.3.p2.10.m10.1d">italic_a</annotation></semantics></math>. However, for <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.3.p2.11.m11.1"><semantics id="S4.SS2.3.p2.11.m11.1a"><mi id="S4.SS2.3.p2.11.m11.1.1" xref="S4.SS2.3.p2.11.m11.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.3.p2.11.m11.1b"><ci id="S4.SS2.3.p2.11.m11.1.1.cmml" xref="S4.SS2.3.p2.11.m11.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.3.p2.11.m11.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.3.p2.11.m11.1d">italic_α</annotation></semantics></math> in the neighbourhood, <math alttext="b(\alpha)=a-a/\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.3.p2.12.m12.1"><semantics id="S4.SS2.3.p2.12.m12.1a"><mrow id="S4.SS2.3.p2.12.m12.1.2" xref="S4.SS2.3.p2.12.m12.1.2.cmml"><mrow id="S4.SS2.3.p2.12.m12.1.2.2" xref="S4.SS2.3.p2.12.m12.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS2.3.p2.12.m12.1.2.2.2" xref="S4.SS2.3.p2.12.m12.1.2.2.2.cmml">b</mi><mo id="S4.SS2.3.p2.12.m12.1.2.2.1" xref="S4.SS2.3.p2.12.m12.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS2.3.p2.12.m12.1.2.2.3.2" xref="S4.SS2.3.p2.12.m12.1.2.2.cmml"><mo id="S4.SS2.3.p2.12.m12.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS2.3.p2.12.m12.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS2.3.p2.12.m12.1.1" xref="S4.SS2.3.p2.12.m12.1.1.cmml">α</mi><mo id="S4.SS2.3.p2.12.m12.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.3.p2.12.m12.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS2.3.p2.12.m12.1.2.1" xref="S4.SS2.3.p2.12.m12.1.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS2.3.p2.12.m12.1.2.3" xref="S4.SS2.3.p2.12.m12.1.2.3.cmml"><mi id="S4.SS2.3.p2.12.m12.1.2.3.2" xref="S4.SS2.3.p2.12.m12.1.2.3.2.cmml">a</mi><mo id="S4.SS2.3.p2.12.m12.1.2.3.1" xref="S4.SS2.3.p2.12.m12.1.2.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.SS2.3.p2.12.m12.1.2.3.3" xref="S4.SS2.3.p2.12.m12.1.2.3.3.cmml"><mi id="S4.SS2.3.p2.12.m12.1.2.3.3.2" xref="S4.SS2.3.p2.12.m12.1.2.3.3.2.cmml">a</mi><mo id="S4.SS2.3.p2.12.m12.1.2.3.3.1" xref="S4.SS2.3.p2.12.m12.1.2.3.3.1.cmml">/</mo><mi id="S4.SS2.3.p2.12.m12.1.2.3.3.3" xref="S4.SS2.3.p2.12.m12.1.2.3.3.3.cmml">α</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.3.p2.12.m12.1b"><apply id="S4.SS2.3.p2.12.m12.1.2.cmml" xref="S4.SS2.3.p2.12.m12.1.2"><eq id="S4.SS2.3.p2.12.m12.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.3.p2.12.m12.1.2.1"></eq><apply id="S4.SS2.3.p2.12.m12.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.3.p2.12.m12.1.2.2"><times id="S4.SS2.3.p2.12.m12.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.3.p2.12.m12.1.2.2.1"></times><ci id="S4.SS2.3.p2.12.m12.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.3.p2.12.m12.1.2.2.2">𝑏</ci><ci id="S4.SS2.3.p2.12.m12.1.1.cmml" xref="S4.SS2.3.p2.12.m12.1.1">𝛼</ci></apply><apply id="S4.SS2.3.p2.12.m12.1.2.3.cmml" xref="S4.SS2.3.p2.12.m12.1.2.3"><minus id="S4.SS2.3.p2.12.m12.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS2.3.p2.12.m12.1.2.3.1"></minus><ci id="S4.SS2.3.p2.12.m12.1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS2.3.p2.12.m12.1.2.3.2">𝑎</ci><apply id="S4.SS2.3.p2.12.m12.1.2.3.3.cmml" xref="S4.SS2.3.p2.12.m12.1.2.3.3"><divide id="S4.SS2.3.p2.12.m12.1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.SS2.3.p2.12.m12.1.2.3.3.1"></divide><ci id="S4.SS2.3.p2.12.m12.1.2.3.3.2.cmml" xref="S4.SS2.3.p2.12.m12.1.2.3.3.2">𝑎</ci><ci id="S4.SS2.3.p2.12.m12.1.2.3.3.3.cmml" xref="S4.SS2.3.p2.12.m12.1.2.3.3.3">𝛼</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.3.p2.12.m12.1c">b(\alpha)=a-a/\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.3.p2.12.m12.1d">italic_b ( italic_α ) = italic_a - italic_a / italic_α</annotation></semantics></math>. Therefore</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex55"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="b^{\prime}(\alpha)=-\frac{a}{\alpha^{2}}=\frac{l}{(l/T)^{2}}=\frac{T^{2}}{l}." class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex55.m1.3"><semantics id="S4.Ex55.m1.3a"><mrow id="S4.Ex55.m1.3.3.1" xref="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex55.m1.3.3.1.1" xref="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.2" xref="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.2.cmml"><msup id="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml">b</mi><mo id="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.2.1" xref="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex55.m1.2.2" xref="S4.Ex55.m1.2.2.cmml">α</mi><mo id="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.3" xref="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.4" xref="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.4.cmml"><mo id="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.4a" xref="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.4.cmml">−</mo><mfrac id="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.4.2" xref="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.4.2.cmml"><mi id="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.4.2.2" xref="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.4.2.2.cmml">a</mi><msup id="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.4.2.3" xref="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.4.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.4.2.3.2" xref="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.4.2.3.2.cmml">α</mi><mn id="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.4.2.3.3" xref="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.4.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mrow><mo id="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.5" xref="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.5.cmml">=</mo><mfrac id="S4.Ex55.m1.1.1" xref="S4.Ex55.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex55.m1.1.1.3" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.cmml">l</mi><msup id="S4.Ex55.m1.1.1.1" xref="S4.Ex55.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex55.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex55.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">l</mi><mo id="S4.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">/</mo><mi id="S4.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">T</mi></mrow><mo id="S4.Ex55.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S4.Ex55.m1.1.1.1.3" xref="S4.Ex55.m1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mfrac><mo id="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.6" xref="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.6.cmml">=</mo><mfrac id="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.7" xref="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.7.cmml"><msup id="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.7.2" xref="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.7.2.cmml"><mi id="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.7.2.2" xref="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.7.2.2.cmml">T</mi><mn id="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.7.2.3" xref="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.7.2.3.cmml">2</mn></msup><mi id="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.7.3" xref="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.7.3.cmml">l</mi></mfrac></mrow><mo id="S4.Ex55.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex55.m1.3b"><apply id="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex55.m1.3.3.1"><and id="S4.Ex55.m1.3.3.1.1a.cmml" xref="S4.Ex55.m1.3.3.1"></and><apply id="S4.Ex55.m1.3.3.1.1b.cmml" xref="S4.Ex55.m1.3.3.1"><eq id="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.3"></eq><apply id="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.2"><times id="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.2.1"></times><apply id="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.2.2.2">𝑏</ci><ci id="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.2.2.3">′</ci></apply><ci id="S4.Ex55.m1.2.2.cmml" xref="S4.Ex55.m1.2.2">𝛼</ci></apply><apply id="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.4"><minus id="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.4.1.cmml" xref="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.4"></minus><apply id="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.4.2.cmml" xref="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.4.2"><divide id="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.4.2"></divide><ci id="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.4.2.2">𝑎</ci><apply id="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.4.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.4.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.4.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.4.2.3.2">𝛼</ci><cn id="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.4.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.4.2.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex55.m1.3.3.1.1c.cmml" xref="S4.Ex55.m1.3.3.1"><eq id="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.5.cmml" xref="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S4.Ex55.m1.3.3.1.1.4.cmml" id="S4.Ex55.m1.3.3.1.1d.cmml" xref="S4.Ex55.m1.3.3.1"></share><apply id="S4.Ex55.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex55.m1.1.1"><divide id="S4.Ex55.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex55.m1.1.1"></divide><ci id="S4.Ex55.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3">𝑙</ci><apply id="S4.Ex55.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex55.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex55.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex55.m1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex55.m1.1.1.1.1.1"><divide id="S4.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1"></divide><ci id="S4.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝑙</ci><ci id="S4.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝑇</ci></apply><cn id="S4.Ex55.m1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex55.m1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex55.m1.3.3.1.1e.cmml" xref="S4.Ex55.m1.3.3.1"><eq id="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.6.cmml" xref="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.6"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S4.Ex55.m1.1.1.cmml" id="S4.Ex55.m1.3.3.1.1f.cmml" xref="S4.Ex55.m1.3.3.1"></share><apply id="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.7.cmml" xref="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.7"><divide id="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.7.1.cmml" xref="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.7"></divide><apply id="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.7.2.cmml" xref="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.7.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.7.2.1.cmml" xref="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.7.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.7.2.2.cmml" xref="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.7.2.2">𝑇</ci><cn id="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.7.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.7.2.3">2</cn></apply><ci id="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.7.3.cmml" xref="S4.Ex55.m1.3.3.1.1.7.3">𝑙</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex55.m1.3c">b^{\prime}(\alpha)=-\frac{a}{\alpha^{2}}=\frac{l}{(l/T)^{2}}=\frac{T^{2}}{l}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex55.m1.3d">italic_b start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_α ) = - divide start_ARG italic_a end_ARG start_ARG italic_α start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG = divide start_ARG italic_l end_ARG start_ARG ( italic_l / italic_T ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG = divide start_ARG italic_T start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_l end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.3.p2.13">The associated change of volume is then readily computed as <math alttext="\frac{1}{b^{\prime}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.3.p2.13.m1.1"><semantics id="S4.SS2.3.p2.13.m1.1a"><mfrac id="S4.SS2.3.p2.13.m1.1.1" xref="S4.SS2.3.p2.13.m1.1.1.cmml"><mn id="S4.SS2.3.p2.13.m1.1.1.2" xref="S4.SS2.3.p2.13.m1.1.1.2.cmml">1</mn><msup id="S4.SS2.3.p2.13.m1.1.1.3" xref="S4.SS2.3.p2.13.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS2.3.p2.13.m1.1.1.3.2" xref="S4.SS2.3.p2.13.m1.1.1.3.2.cmml">b</mi><mo id="S4.SS2.3.p2.13.m1.1.1.3.3" xref="S4.SS2.3.p2.13.m1.1.1.3.3.cmml">′</mo></msup></mfrac><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.3.p2.13.m1.1b"><apply id="S4.SS2.3.p2.13.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.3.p2.13.m1.1.1"><divide id="S4.SS2.3.p2.13.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.3.p2.13.m1.1.1"></divide><cn id="S4.SS2.3.p2.13.m1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.3.p2.13.m1.1.1.2">1</cn><apply id="S4.SS2.3.p2.13.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.3.p2.13.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.3.p2.13.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS2.3.p2.13.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.SS2.3.p2.13.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS2.3.p2.13.m1.1.1.3.2">𝑏</ci><ci id="S4.SS2.3.p2.13.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS2.3.p2.13.m1.1.1.3.3">′</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.3.p2.13.m1.1c">\frac{1}{b^{\prime}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.3.p2.13.m1.1d">divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_b start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math>, which gives the announced formula. ∎</p> </div> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S4.SS3"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">4.3 </span>Proof of proposition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#Thmproposition7" title="Proposition 7. ‣ 4.2 Algorithm ‣ 4 Refreshing PDMP velocities using a stopping criterion ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7</span></a> </h3> <div class="ltx_para" id="S4.SS3.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.p1.3">For a given <math alttext="a<0<b" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.SS3.p1.1.m1.1a"><mrow id="S4.SS3.p1.1.m1.1.1" xref="S4.SS3.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.p1.1.m1.1.1.2" xref="S4.SS3.p1.1.m1.1.1.2.cmml">a</mi><mo id="S4.SS3.p1.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS3.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><</mo><mn id="S4.SS3.p1.1.m1.1.1.4" xref="S4.SS3.p1.1.m1.1.1.4.cmml">0</mn><mo id="S4.SS3.p1.1.m1.1.1.5" xref="S4.SS3.p1.1.m1.1.1.5.cmml"><</mo><mi id="S4.SS3.p1.1.m1.1.1.6" xref="S4.SS3.p1.1.m1.1.1.6.cmml">b</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p1.1.m1.1b"><apply id="S4.SS3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.1.m1.1.1"><and id="S4.SS3.p1.1.m1.1.1a.cmml" xref="S4.SS3.p1.1.m1.1.1"></and><apply id="S4.SS3.p1.1.m1.1.1b.cmml" xref="S4.SS3.p1.1.m1.1.1"><lt id="S4.SS3.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.p1.1.m1.1.1.3"></lt><ci id="S4.SS3.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.1.m1.1.1.2">𝑎</ci><cn id="S4.SS3.p1.1.m1.1.1.4.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.p1.1.m1.1.1.4">0</cn></apply><apply id="S4.SS3.p1.1.m1.1.1c.cmml" xref="S4.SS3.p1.1.m1.1.1"><lt id="S4.SS3.p1.1.m1.1.1.5.cmml" xref="S4.SS3.p1.1.m1.1.1.5"></lt><share href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S4.SS3.p1.1.m1.1.1.4.cmml" id="S4.SS3.p1.1.m1.1.1d.cmml" xref="S4.SS3.p1.1.m1.1.1"></share><ci id="S4.SS3.p1.1.m1.1.1.6.cmml" xref="S4.SS3.p1.1.m1.1.1.6">𝑏</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p1.1.m1.1c">a<0<b</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p1.1.m1.1d">italic_a < 0 < italic_b</annotation></semantics></math>, we write <math alttext="W_{[a,b]}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p1.2.m2.2"><semantics id="S4.SS3.p1.2.m2.2a"><msub id="S4.SS3.p1.2.m2.2.3" xref="S4.SS3.p1.2.m2.2.3.cmml"><mi id="S4.SS3.p1.2.m2.2.3.2" xref="S4.SS3.p1.2.m2.2.3.2.cmml">W</mi><mrow id="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.2.4" xref="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml">[</mo><mi id="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1" xref="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml">a</mi><mo id="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.2.4.2" xref="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2" xref="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.cmml">b</mi><mo id="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml">]</mo></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p1.2.m2.2b"><apply id="S4.SS3.p1.2.m2.2.3.cmml" xref="S4.SS3.p1.2.m2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p1.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.2.m2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p1.2.m2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.2.m2.2.3.2">𝑊</ci><interval closure="closed" id="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.2.4"><ci id="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1">𝑎</ci><ci id="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2">𝑏</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p1.2.m2.2c">W_{[a,b]}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p1.2.m2.2d">italic_W start_POSTSUBSCRIPT [ italic_a , italic_b ] end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> for the set of paths on <math alttext="[a,b]" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p1.3.m3.2"><semantics id="S4.SS3.p1.3.m3.2a"><mrow id="S4.SS3.p1.3.m3.2.3.2" xref="S4.SS3.p1.3.m3.2.3.1.cmml"><mo id="S4.SS3.p1.3.m3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS3.p1.3.m3.2.3.1.cmml">[</mo><mi id="S4.SS3.p1.3.m3.1.1" xref="S4.SS3.p1.3.m3.1.1.cmml">a</mi><mo id="S4.SS3.p1.3.m3.2.3.2.2" xref="S4.SS3.p1.3.m3.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS3.p1.3.m3.2.2" xref="S4.SS3.p1.3.m3.2.2.cmml">b</mi><mo id="S4.SS3.p1.3.m3.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.SS3.p1.3.m3.2.3.1.cmml">]</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p1.3.m3.2b"><interval closure="closed" id="S4.SS3.p1.3.m3.2.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.3.m3.2.3.2"><ci id="S4.SS3.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.3.m3.1.1">𝑎</ci><ci id="S4.SS3.p1.3.m3.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.3.m3.2.2">𝑏</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p1.3.m3.2c">[a,b]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p1.3.m3.2d">[ italic_a , italic_b ]</annotation></semantics></math>. This set is:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex56"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="W_{[a,b]}=E\times\cup_{k}(\mathbb{R^{-}}\times V^{r})^{k}\times\cup_{k}(% \mathbb{R^{+}}\times V)^{k}," class="ltx_math_unparsed" display="block" id="S4.Ex56.m1.2"><semantics id="S4.Ex56.m1.2a"><mrow id="S4.Ex56.m1.2b"><msub id="S4.Ex56.m1.2.3"><mi id="S4.Ex56.m1.2.3.2">W</mi><mrow id="S4.Ex56.m1.2.2.2.4"><mo id="S4.Ex56.m1.2.2.2.4.1" stretchy="false">[</mo><mi id="S4.Ex56.m1.1.1.1.1">a</mi><mo id="S4.Ex56.m1.2.2.2.4.2">,</mo><mi id="S4.Ex56.m1.2.2.2.2">b</mi><mo id="S4.Ex56.m1.2.2.2.4.3" stretchy="false">]</mo></mrow></msub><mo id="S4.Ex56.m1.2.4">=</mo><mi id="S4.Ex56.m1.2.5">E</mi><mo id="S4.Ex56.m1.2.6" lspace="0.222em" rspace="0em">×</mo><msub id="S4.Ex56.m1.2.7"><mo id="S4.Ex56.m1.2.7.2" lspace="0em">∪</mo><mi id="S4.Ex56.m1.2.7.3">k</mi></msub><msup id="S4.Ex56.m1.2.8"><mrow id="S4.Ex56.m1.2.8.2"><mo id="S4.Ex56.m1.2.8.2.1" stretchy="false">(</mo><msup id="S4.Ex56.m1.2.8.2.2"><mi id="S4.Ex56.m1.2.8.2.2.2">ℝ</mi><mo id="S4.Ex56.m1.2.8.2.2.3">−</mo></msup><mo id="S4.Ex56.m1.2.8.2.3" lspace="0.222em" rspace="0.222em">×</mo><msup id="S4.Ex56.m1.2.8.2.4"><mi id="S4.Ex56.m1.2.8.2.4.2">V</mi><mi id="S4.Ex56.m1.2.8.2.4.3">r</mi></msup><mo id="S4.Ex56.m1.2.8.2.5" rspace="0.055em" stretchy="false">)</mo></mrow><mi id="S4.Ex56.m1.2.8.3">k</mi></msup><mo id="S4.Ex56.m1.2.9" rspace="0em">×</mo><msub id="S4.Ex56.m1.2.10"><mo id="S4.Ex56.m1.2.10.2" lspace="0em">∪</mo><mi id="S4.Ex56.m1.2.10.3">k</mi></msub><msup id="S4.Ex56.m1.2.11"><mrow id="S4.Ex56.m1.2.11.2"><mo id="S4.Ex56.m1.2.11.2.1" stretchy="false">(</mo><msup id="S4.Ex56.m1.2.11.2.2"><mi id="S4.Ex56.m1.2.11.2.2.2">ℝ</mi><mo id="S4.Ex56.m1.2.11.2.2.3">+</mo></msup><mo id="S4.Ex56.m1.2.11.2.3" lspace="0.222em" rspace="0.222em">×</mo><mi id="S4.Ex56.m1.2.11.2.4">V</mi><mo id="S4.Ex56.m1.2.11.2.5" stretchy="false">)</mo></mrow><mi id="S4.Ex56.m1.2.11.3">k</mi></msup><mo id="S4.Ex56.m1.2.12">,</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex56.m1.2c">W_{[a,b]}=E\times\cup_{k}(\mathbb{R^{-}}\times V^{r})^{k}\times\cup_{k}(% \mathbb{R^{+}}\times V)^{k},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex56.m1.2d">italic_W start_POSTSUBSCRIPT [ italic_a , italic_b ] end_POSTSUBSCRIPT = italic_E × ∪ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT × italic_V start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT × ∪ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT × italic_V ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.p1.4">which corresponds to the initial point at time <math alttext="0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p1.4.m1.1"><semantics id="S4.SS3.p1.4.m1.1a"><mn id="S4.SS3.p1.4.m1.1.1" xref="S4.SS3.p1.4.m1.1.1.cmml">0</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p1.4.m1.1b"><cn id="S4.SS3.p1.4.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.p1.4.m1.1.1">0</cn></annotation-xml></semantics></math>, then all the events backward in time, and then all the events forward in time. Note that unlike in the previous section, backward events are negative.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS3.p2"> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.p2.4">In Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S3" title="3 Practical Simulation of PDMPs through Metropolis Adjustment ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>, we defined <math alttext="R" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p2.1.m1.1"><semantics id="S4.SS3.p2.1.m1.1a"><mi id="S4.SS3.p2.1.m1.1.1" xref="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.cmml">R</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p2.1.m1.1b"><ci id="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p2.1.m1.1.1">𝑅</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p2.1.m1.1c">R</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p2.1.m1.1d">italic_R</annotation></semantics></math> as the application that reversed a path of length <math alttext="T" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p2.2.m2.1"><semantics id="S4.SS3.p2.2.m2.1a"><mi id="S4.SS3.p2.2.m2.1.1" xref="S4.SS3.p2.2.m2.1.1.cmml">T</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p2.2.m2.1b"><ci id="S4.SS3.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p2.2.m2.1.1">𝑇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p2.2.m2.1c">T</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p2.2.m2.1d">italic_T</annotation></semantics></math>. We shall call this application <math alttext="R_{T}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p2.3.m3.1"><semantics id="S4.SS3.p2.3.m3.1a"><msub id="S4.SS3.p2.3.m3.1.1" xref="S4.SS3.p2.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.p2.3.m3.1.1.2" xref="S4.SS3.p2.3.m3.1.1.2.cmml">R</mi><mi id="S4.SS3.p2.3.m3.1.1.3" xref="S4.SS3.p2.3.m3.1.1.3.cmml">T</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p2.3.m3.1b"><apply id="S4.SS3.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p2.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p2.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p2.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p2.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p2.3.m3.1.1.2">𝑅</ci><ci id="S4.SS3.p2.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.p2.3.m3.1.1.3">𝑇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p2.3.m3.1c">R_{T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p2.3.m3.1d">italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_T end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and the associated change of volume <math alttext="\psi_{T}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p2.4.m4.1"><semantics id="S4.SS3.p2.4.m4.1a"><msub id="S4.SS3.p2.4.m4.1.1" xref="S4.SS3.p2.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.p2.4.m4.1.1.2" xref="S4.SS3.p2.4.m4.1.1.2.cmml">ψ</mi><mi id="S4.SS3.p2.4.m4.1.1.3" xref="S4.SS3.p2.4.m4.1.1.3.cmml">T</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p2.4.m4.1b"><apply id="S4.SS3.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p2.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p2.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p2.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p2.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p2.4.m4.1.1.2">𝜓</ci><ci id="S4.SS3.p2.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.p2.4.m4.1.1.3">𝑇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p2.4.m4.1c">\psi_{T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p2.4.m4.1d">italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_T end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. We will also consider that this application flips the signs of the jump times, unlike in Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S3" title="3 Practical Simulation of PDMPs through Metropolis Adjustment ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_proposition" id="Thmproposition8"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmproposition8.1.1.1">Proposition 8</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmproposition8.2.2"> </span>(probability on path space)<span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmproposition8.3.3">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmproposition8.p1"> <ol class="ltx_enumerate" id="S4.I3"> <li class="ltx_item" id="S4.I3.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">1.</span> <div class="ltx_para" id="S4.I3.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.I3.i1.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.I3.i1.p1.3.1">The PDMP defines a probability density </span><math alttext="p_{[a,b]}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.I3.i1.p1.1.m1.2"><semantics id="S4.I3.i1.p1.1.m1.2a"><msub id="S4.I3.i1.p1.1.m1.2.3" xref="S4.I3.i1.p1.1.m1.2.3.cmml"><mi id="S4.I3.i1.p1.1.m1.2.3.2" xref="S4.I3.i1.p1.1.m1.2.3.2.cmml">p</mi><mrow id="S4.I3.i1.p1.1.m1.2.2.2.4" xref="S4.I3.i1.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.I3.i1.p1.1.m1.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="S4.I3.i1.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml">[</mo><mi id="S4.I3.i1.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S4.I3.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">a</mi><mo id="S4.I3.i1.p1.1.m1.2.2.2.4.2" xref="S4.I3.i1.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.I3.i1.p1.1.m1.2.2.2.2" xref="S4.I3.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml">b</mi><mo id="S4.I3.i1.p1.1.m1.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="S4.I3.i1.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml">]</mo></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.I3.i1.p1.1.m1.2b"><apply id="S4.I3.i1.p1.1.m1.2.3.cmml" xref="S4.I3.i1.p1.1.m1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I3.i1.p1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S4.I3.i1.p1.1.m1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.I3.i1.p1.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S4.I3.i1.p1.1.m1.2.3.2">𝑝</ci><interval closure="closed" id="S4.I3.i1.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.I3.i1.p1.1.m1.2.2.2.4"><ci id="S4.I3.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.I3.i1.p1.1.m1.1.1.1.1">𝑎</ci><ci id="S4.I3.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.I3.i1.p1.1.m1.2.2.2.2">𝑏</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.I3.i1.p1.1.m1.2c">p_{[a,b]}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.I3.i1.p1.1.m1.2d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT [ italic_a , italic_b ] end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.I3.i1.p1.3.2"> on </span><math alttext="W_{[a,b]}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.I3.i1.p1.2.m2.2"><semantics id="S4.I3.i1.p1.2.m2.2a"><msub id="S4.I3.i1.p1.2.m2.2.3" xref="S4.I3.i1.p1.2.m2.2.3.cmml"><mi id="S4.I3.i1.p1.2.m2.2.3.2" xref="S4.I3.i1.p1.2.m2.2.3.2.cmml">W</mi><mrow id="S4.I3.i1.p1.2.m2.2.2.2.4" xref="S4.I3.i1.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.I3.i1.p1.2.m2.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="S4.I3.i1.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml">[</mo><mi id="S4.I3.i1.p1.2.m2.1.1.1.1" xref="S4.I3.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml">a</mi><mo id="S4.I3.i1.p1.2.m2.2.2.2.4.2" xref="S4.I3.i1.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.I3.i1.p1.2.m2.2.2.2.2" xref="S4.I3.i1.p1.2.m2.2.2.2.2.cmml">b</mi><mo id="S4.I3.i1.p1.2.m2.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="S4.I3.i1.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml">]</mo></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.I3.i1.p1.2.m2.2b"><apply id="S4.I3.i1.p1.2.m2.2.3.cmml" xref="S4.I3.i1.p1.2.m2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I3.i1.p1.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S4.I3.i1.p1.2.m2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.I3.i1.p1.2.m2.2.3.2.cmml" xref="S4.I3.i1.p1.2.m2.2.3.2">𝑊</ci><interval closure="closed" id="S4.I3.i1.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.I3.i1.p1.2.m2.2.2.2.4"><ci id="S4.I3.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.I3.i1.p1.2.m2.1.1.1.1">𝑎</ci><ci id="S4.I3.i1.p1.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.I3.i1.p1.2.m2.2.2.2.2">𝑏</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.I3.i1.p1.2.m2.2c">W_{[a,b]}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.I3.i1.p1.2.m2.2d">italic_W start_POSTSUBSCRIPT [ italic_a , italic_b ] end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.I3.i1.p1.3.3"> with respect to the canonical measure of </span><math alttext="W_{[a,b]}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.I3.i1.p1.3.m3.2"><semantics id="S4.I3.i1.p1.3.m3.2a"><msub id="S4.I3.i1.p1.3.m3.2.3" xref="S4.I3.i1.p1.3.m3.2.3.cmml"><mi id="S4.I3.i1.p1.3.m3.2.3.2" xref="S4.I3.i1.p1.3.m3.2.3.2.cmml">W</mi><mrow id="S4.I3.i1.p1.3.m3.2.2.2.4" xref="S4.I3.i1.p1.3.m3.2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.I3.i1.p1.3.m3.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="S4.I3.i1.p1.3.m3.2.2.2.3.cmml">[</mo><mi id="S4.I3.i1.p1.3.m3.1.1.1.1" xref="S4.I3.i1.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml">a</mi><mo id="S4.I3.i1.p1.3.m3.2.2.2.4.2" xref="S4.I3.i1.p1.3.m3.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.I3.i1.p1.3.m3.2.2.2.2" xref="S4.I3.i1.p1.3.m3.2.2.2.2.cmml">b</mi><mo id="S4.I3.i1.p1.3.m3.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="S4.I3.i1.p1.3.m3.2.2.2.3.cmml">]</mo></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.I3.i1.p1.3.m3.2b"><apply id="S4.I3.i1.p1.3.m3.2.3.cmml" xref="S4.I3.i1.p1.3.m3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I3.i1.p1.3.m3.2.3.1.cmml" xref="S4.I3.i1.p1.3.m3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.I3.i1.p1.3.m3.2.3.2.cmml" xref="S4.I3.i1.p1.3.m3.2.3.2">𝑊</ci><interval closure="closed" id="S4.I3.i1.p1.3.m3.2.2.2.3.cmml" xref="S4.I3.i1.p1.3.m3.2.2.2.4"><ci id="S4.I3.i1.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.I3.i1.p1.3.m3.1.1.1.1">𝑎</ci><ci id="S4.I3.i1.p1.3.m3.2.2.2.2.cmml" xref="S4.I3.i1.p1.3.m3.2.2.2.2">𝑏</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.I3.i1.p1.3.m3.2c">W_{[a,b]}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.I3.i1.p1.3.m3.2d">italic_W start_POSTSUBSCRIPT [ italic_a , italic_b ] end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.I3.i1.p1.3.4">, and</span></p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S4.I3.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">2.</span> <div class="ltx_para" id="S4.I3.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.I3.i2.p1.4"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.I3.i2.p1.4.1">the conditional probabilities </span><math alttext="p((z_{t})_{t\in[a,0)}|z_{0})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.I3.i2.p1.1.m1.3"><semantics id="S4.I3.i2.p1.1.m1.3a"><mrow id="S4.I3.i2.p1.1.m1.3.3" xref="S4.I3.i2.p1.1.m1.3.3.cmml"><mi id="S4.I3.i2.p1.1.m1.3.3.3" xref="S4.I3.i2.p1.1.m1.3.3.3.cmml">p</mi><mo id="S4.I3.i2.p1.1.m1.3.3.2" xref="S4.I3.i2.p1.1.m1.3.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.I3.i2.p1.1.m1.3.3.1.1" xref="S4.I3.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S4.I3.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.I3.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.I3.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1" xref="S4.I3.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml"><msub id="S4.I3.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S4.I3.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.I3.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S4.I3.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.I3.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.I3.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.I3.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.I3.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.I3.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.I3.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">z</mi><mi id="S4.I3.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.I3.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S4.I3.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.I3.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.I3.i2.p1.1.m1.2.2.2" xref="S4.I3.i2.p1.1.m1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.I3.i2.p1.1.m1.2.2.2.4" xref="S4.I3.i2.p1.1.m1.2.2.2.4.cmml">t</mi><mo id="S4.I3.i2.p1.1.m1.2.2.2.3" xref="S4.I3.i2.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml">∈</mo><mrow id="S4.I3.i2.p1.1.m1.2.2.2.5.2" xref="S4.I3.i2.p1.1.m1.2.2.2.5.1.cmml"><mo id="S4.I3.i2.p1.1.m1.2.2.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S4.I3.i2.p1.1.m1.2.2.2.5.1.cmml">[</mo><mi id="S4.I3.i2.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S4.I3.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">a</mi><mo id="S4.I3.i2.p1.1.m1.2.2.2.5.2.2" xref="S4.I3.i2.p1.1.m1.2.2.2.5.1.cmml">,</mo><mn id="S4.I3.i2.p1.1.m1.2.2.2.2" xref="S4.I3.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="S4.I3.i2.p1.1.m1.2.2.2.5.2.3" stretchy="false" xref="S4.I3.i2.p1.1.m1.2.2.2.5.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub><mo fence="false" id="S4.I3.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S4.I3.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">|</mo><msub id="S4.I3.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S4.I3.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.I3.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2" xref="S4.I3.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml">z</mi><mn id="S4.I3.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.3" xref="S4.I3.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow><mo id="S4.I3.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.I3.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.I3.i2.p1.1.m1.3b"><apply id="S4.I3.i2.p1.1.m1.3.3.cmml" xref="S4.I3.i2.p1.1.m1.3.3"><times id="S4.I3.i2.p1.1.m1.3.3.2.cmml" xref="S4.I3.i2.p1.1.m1.3.3.2"></times><ci id="S4.I3.i2.p1.1.m1.3.3.3.cmml" xref="S4.I3.i2.p1.1.m1.3.3.3">𝑝</ci><apply id="S4.I3.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.I3.i2.p1.1.m1.3.3.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.I3.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.I3.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2">conditional</csymbol><apply id="S4.I3.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.I3.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I3.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.I3.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.I3.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.I3.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I3.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.I3.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.I3.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.I3.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑧</ci><ci id="S4.I3.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.I3.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑡</ci></apply><apply id="S4.I3.i2.p1.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.I3.i2.p1.1.m1.2.2.2"><in id="S4.I3.i2.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.I3.i2.p1.1.m1.2.2.2.3"></in><ci id="S4.I3.i2.p1.1.m1.2.2.2.4.cmml" xref="S4.I3.i2.p1.1.m1.2.2.2.4">𝑡</ci><interval closure="closed-open" id="S4.I3.i2.p1.1.m1.2.2.2.5.1.cmml" xref="S4.I3.i2.p1.1.m1.2.2.2.5.2"><ci id="S4.I3.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.I3.i2.p1.1.m1.1.1.1.1">𝑎</ci><cn id="S4.I3.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.I3.i2.p1.1.m1.2.2.2.2">0</cn></interval></apply></apply><apply id="S4.I3.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S4.I3.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I3.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.I3.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.I3.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.I3.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2">𝑧</ci><cn id="S4.I3.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.I3.i2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.3">0</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.I3.i2.p1.1.m1.3c">p((z_{t})_{t\in[a,0)}|z_{0})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.I3.i2.p1.1.m1.3d">italic_p ( ( italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_t ∈ [ italic_a , 0 ) end_POSTSUBSCRIPT | italic_z start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.I3.i2.p1.4.2"> and </span><math alttext="p((z_{t})_{t\in(0,b]}|z_{0})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.I3.i2.p1.2.m2.3"><semantics id="S4.I3.i2.p1.2.m2.3a"><mrow id="S4.I3.i2.p1.2.m2.3.3" xref="S4.I3.i2.p1.2.m2.3.3.cmml"><mi id="S4.I3.i2.p1.2.m2.3.3.3" xref="S4.I3.i2.p1.2.m2.3.3.3.cmml">p</mi><mo id="S4.I3.i2.p1.2.m2.3.3.2" xref="S4.I3.i2.p1.2.m2.3.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.I3.i2.p1.2.m2.3.3.1.1" xref="S4.I3.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S4.I3.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.I3.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.I3.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.1" xref="S4.I3.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.1.cmml"><msub id="S4.I3.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1" xref="S4.I3.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.I3.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S4.I3.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.I3.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.I3.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.I3.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.I3.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.I3.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.I3.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">z</mi><mi id="S4.I3.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.I3.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S4.I3.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.I3.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.I3.i2.p1.2.m2.2.2.2" xref="S4.I3.i2.p1.2.m2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.I3.i2.p1.2.m2.2.2.2.4" xref="S4.I3.i2.p1.2.m2.2.2.2.4.cmml">t</mi><mo id="S4.I3.i2.p1.2.m2.2.2.2.3" xref="S4.I3.i2.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml">∈</mo><mrow id="S4.I3.i2.p1.2.m2.2.2.2.5.2" xref="S4.I3.i2.p1.2.m2.2.2.2.5.1.cmml"><mo id="S4.I3.i2.p1.2.m2.2.2.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S4.I3.i2.p1.2.m2.2.2.2.5.1.cmml">(</mo><mn id="S4.I3.i2.p1.2.m2.1.1.1.1" xref="S4.I3.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S4.I3.i2.p1.2.m2.2.2.2.5.2.2" xref="S4.I3.i2.p1.2.m2.2.2.2.5.1.cmml">,</mo><mi id="S4.I3.i2.p1.2.m2.2.2.2.2" xref="S4.I3.i2.p1.2.m2.2.2.2.2.cmml">b</mi><mo id="S4.I3.i2.p1.2.m2.2.2.2.5.2.3" stretchy="false" xref="S4.I3.i2.p1.2.m2.2.2.2.5.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></msub><mo fence="false" id="S4.I3.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.1.2" xref="S4.I3.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.1.2.cmml">|</mo><msub id="S4.I3.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.1.3" xref="S4.I3.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.I3.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.1.3.2" xref="S4.I3.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.1.3.2.cmml">z</mi><mn id="S4.I3.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.1.3.3" xref="S4.I3.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.1.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow><mo id="S4.I3.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.I3.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.I3.i2.p1.2.m2.3b"><apply id="S4.I3.i2.p1.2.m2.3.3.cmml" xref="S4.I3.i2.p1.2.m2.3.3"><times id="S4.I3.i2.p1.2.m2.3.3.2.cmml" xref="S4.I3.i2.p1.2.m2.3.3.2"></times><ci id="S4.I3.i2.p1.2.m2.3.3.3.cmml" xref="S4.I3.i2.p1.2.m2.3.3.3">𝑝</ci><apply id="S4.I3.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.I3.i2.p1.2.m2.3.3.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.I3.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.I3.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.1.2">conditional</csymbol><apply id="S4.I3.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.I3.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I3.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.I3.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.I3.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.I3.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I3.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.I3.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.I3.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.I3.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑧</ci><ci id="S4.I3.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.I3.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑡</ci></apply><apply id="S4.I3.i2.p1.2.m2.2.2.2.cmml" xref="S4.I3.i2.p1.2.m2.2.2.2"><in id="S4.I3.i2.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.I3.i2.p1.2.m2.2.2.2.3"></in><ci id="S4.I3.i2.p1.2.m2.2.2.2.4.cmml" xref="S4.I3.i2.p1.2.m2.2.2.2.4">𝑡</ci><interval closure="open-closed" id="S4.I3.i2.p1.2.m2.2.2.2.5.1.cmml" xref="S4.I3.i2.p1.2.m2.2.2.2.5.2"><cn id="S4.I3.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.I3.i2.p1.2.m2.1.1.1.1">0</cn><ci id="S4.I3.i2.p1.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.I3.i2.p1.2.m2.2.2.2.2">𝑏</ci></interval></apply></apply><apply id="S4.I3.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S4.I3.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I3.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.I3.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.I3.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.I3.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.1.3.2">𝑧</ci><cn id="S4.I3.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.I3.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.1.3.3">0</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.I3.i2.p1.2.m2.3c">p((z_{t})_{t\in(0,b]}|z_{0})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.I3.i2.p1.2.m2.3d">italic_p ( ( italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_t ∈ ( 0 , italic_b ] end_POSTSUBSCRIPT | italic_z start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.I3.i2.p1.4.3"> have densities on the spaces </span><math alttext="\{z_{0}\}\times\cup_{k}(\mathbb{R^{-}}\times V^{r})^{k}" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S4.I3.i2.p1.3.m3.1"><semantics id="S4.I3.i2.p1.3.m3.1a"><mrow id="S4.I3.i2.p1.3.m3.1b"><mrow id="S4.I3.i2.p1.3.m3.1.1"><mo id="S4.I3.i2.p1.3.m3.1.1.1" stretchy="false">{</mo><msub id="S4.I3.i2.p1.3.m3.1.1.2"><mi id="S4.I3.i2.p1.3.m3.1.1.2.2">z</mi><mn id="S4.I3.i2.p1.3.m3.1.1.2.3">0</mn></msub><mo id="S4.I3.i2.p1.3.m3.1.1.3" rspace="0.055em" stretchy="false">}</mo></mrow><mo id="S4.I3.i2.p1.3.m3.1.2" rspace="0em">×</mo><msub id="S4.I3.i2.p1.3.m3.1.3"><mo id="S4.I3.i2.p1.3.m3.1.3.2" lspace="0em">∪</mo><mi id="S4.I3.i2.p1.3.m3.1.3.3">k</mi></msub><msup id="S4.I3.i2.p1.3.m3.1.4"><mrow id="S4.I3.i2.p1.3.m3.1.4.2"><mo id="S4.I3.i2.p1.3.m3.1.4.2.1" stretchy="false">(</mo><msup id="S4.I3.i2.p1.3.m3.1.4.2.2"><mi id="S4.I3.i2.p1.3.m3.1.4.2.2.2">ℝ</mi><mo id="S4.I3.i2.p1.3.m3.1.4.2.2.3">−</mo></msup><mo id="S4.I3.i2.p1.3.m3.1.4.2.3" lspace="0.222em" rspace="0.222em">×</mo><msup id="S4.I3.i2.p1.3.m3.1.4.2.4"><mi id="S4.I3.i2.p1.3.m3.1.4.2.4.2">V</mi><mi id="S4.I3.i2.p1.3.m3.1.4.2.4.3">r</mi></msup><mo id="S4.I3.i2.p1.3.m3.1.4.2.5" stretchy="false">)</mo></mrow><mi id="S4.I3.i2.p1.3.m3.1.4.3">k</mi></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.I3.i2.p1.3.m3.1c">\{z_{0}\}\times\cup_{k}(\mathbb{R^{-}}\times V^{r})^{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.I3.i2.p1.3.m3.1d">{ italic_z start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT } × ∪ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT × italic_V start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.I3.i2.p1.4.4"> and </span><math alttext="\{z_{0}\}\times\cup_{k}(\mathbb{R^{+}}\times V)^{k}" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S4.I3.i2.p1.4.m4.1"><semantics id="S4.I3.i2.p1.4.m4.1a"><mrow id="S4.I3.i2.p1.4.m4.1b"><mrow id="S4.I3.i2.p1.4.m4.1.1"><mo id="S4.I3.i2.p1.4.m4.1.1.1" stretchy="false">{</mo><msub id="S4.I3.i2.p1.4.m4.1.1.2"><mi id="S4.I3.i2.p1.4.m4.1.1.2.2">z</mi><mn id="S4.I3.i2.p1.4.m4.1.1.2.3">0</mn></msub><mo id="S4.I3.i2.p1.4.m4.1.1.3" rspace="0.055em" stretchy="false">}</mo></mrow><mo id="S4.I3.i2.p1.4.m4.1.2" rspace="0em">×</mo><msub id="S4.I3.i2.p1.4.m4.1.3"><mo id="S4.I3.i2.p1.4.m4.1.3.2" lspace="0em">∪</mo><mi id="S4.I3.i2.p1.4.m4.1.3.3">k</mi></msub><msup id="S4.I3.i2.p1.4.m4.1.4"><mrow id="S4.I3.i2.p1.4.m4.1.4.2"><mo id="S4.I3.i2.p1.4.m4.1.4.2.1" stretchy="false">(</mo><msup id="S4.I3.i2.p1.4.m4.1.4.2.2"><mi id="S4.I3.i2.p1.4.m4.1.4.2.2.2">ℝ</mi><mo id="S4.I3.i2.p1.4.m4.1.4.2.2.3">+</mo></msup><mo id="S4.I3.i2.p1.4.m4.1.4.2.3" lspace="0.222em" rspace="0.222em">×</mo><mi id="S4.I3.i2.p1.4.m4.1.4.2.4">V</mi><mo id="S4.I3.i2.p1.4.m4.1.4.2.5" stretchy="false">)</mo></mrow><mi id="S4.I3.i2.p1.4.m4.1.4.3">k</mi></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.I3.i2.p1.4.m4.1c">\{z_{0}\}\times\cup_{k}(\mathbb{R^{+}}\times V)^{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.I3.i2.p1.4.m4.1d">{ italic_z start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT } × ∪ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT × italic_V ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.I3.i2.p1.4.5"> respectively.</span></p> </div> </li> </ol> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS3.p3"> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.p3.4">To avoid confusion, we denote <math alttext="q((z_{t})_{[0,b]}|x)=p((z_{t})_{[0,b]}|z_{0}=x)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p3.1.m1.6"><semantics id="S4.SS3.p3.1.m1.6a"><mrow id="S4.SS3.p3.1.m1.6.6" xref="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.cmml"><mrow id="S4.SS3.p3.1.m1.5.5.1" xref="S4.SS3.p3.1.m1.5.5.1.cmml"><mi id="S4.SS3.p3.1.m1.5.5.1.3" xref="S4.SS3.p3.1.m1.5.5.1.3.cmml">q</mi><mo id="S4.SS3.p3.1.m1.5.5.1.2" xref="S4.SS3.p3.1.m1.5.5.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS3.p3.1.m1.5.5.1.1.1" xref="S4.SS3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S4.SS3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.SS3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S4.SS3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.SS3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">z</mi><mi id="S4.SS3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S4.SS3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.SS3.p3.1.m1.2.2.2.4" xref="S4.SS3.p3.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.SS3.p3.1.m1.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="S4.SS3.p3.1.m1.2.2.2.3.cmml">[</mo><mn id="S4.SS3.p3.1.m1.1.1.1.1" xref="S4.SS3.p3.1.m1.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S4.SS3.p3.1.m1.2.2.2.4.2" xref="S4.SS3.p3.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.SS3.p3.1.m1.2.2.2.2" xref="S4.SS3.p3.1.m1.2.2.2.2.cmml">b</mi><mo id="S4.SS3.p3.1.m1.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="S4.SS3.p3.1.m1.2.2.2.3.cmml">]</mo></mrow></msub><mo fence="false" id="S4.SS3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.2" xref="S4.SS3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml">|</mo><mi id="S4.SS3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.3" xref="S4.SS3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml">x</mi></mrow><mo id="S4.SS3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.3" xref="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2" xref="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2.cmml"><mi id="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2.3" xref="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2.3.cmml">p</mi><mo id="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2.2" xref="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2.1.1" xref="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1" xref="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1.1" xref="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1" xref="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub 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xref="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.2.cmml">|</mo><msub id="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.3" xref="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.3.2" xref="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.3.2.cmml">z</mi><mn id="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.3.3" xref="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow><mo id="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1.2" xref="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1.2.cmml">=</mo><mi id="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1.3" xref="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1.3.cmml">x</mi></mrow><mo id="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p3.1.m1.6b"><apply id="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.cmml" xref="S4.SS3.p3.1.m1.6.6"><eq id="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.3.cmml" xref="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.3"></eq><apply id="S4.SS3.p3.1.m1.5.5.1.cmml" xref="S4.SS3.p3.1.m1.5.5.1"><times id="S4.SS3.p3.1.m1.5.5.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p3.1.m1.5.5.1.2"></times><ci id="S4.SS3.p3.1.m1.5.5.1.3.cmml" xref="S4.SS3.p3.1.m1.5.5.1.3">𝑞</ci><apply id="S4.SS3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p3.1.m1.5.5.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.2">conditional</csymbol><apply id="S4.SS3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑧</ci><ci id="S4.SS3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑡</ci></apply><interval closure="closed" id="S4.SS3.p3.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS3.p3.1.m1.2.2.2.4"><cn id="S4.SS3.p3.1.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.p3.1.m1.1.1.1.1">0</cn><ci id="S4.SS3.p3.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p3.1.m1.2.2.2.2">𝑏</ci></interval></apply><ci id="S4.SS3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.3">𝑥</ci></apply></apply><apply id="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2.cmml" xref="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2"><times id="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2.2"></times><ci id="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2.3.cmml" xref="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2.3">𝑝</ci><apply id="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2.1.1"><eq id="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1.2"></eq><apply id="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.2">conditional</csymbol><apply id="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑧</ci><ci id="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑡</ci></apply><interval closure="closed" id="S4.SS3.p3.1.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S4.SS3.p3.1.m1.4.4.2.4"><cn id="S4.SS3.p3.1.m1.3.3.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.p3.1.m1.3.3.1.1">0</cn><ci id="S4.SS3.p3.1.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p3.1.m1.4.4.2.2">𝑏</ci></interval></apply><apply id="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.3.2">𝑧</ci><cn id="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.3.3">0</cn></apply></apply><ci id="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1.3">𝑥</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p3.1.m1.6c">q((z_{t})_{[0,b]}|x)=p((z_{t})_{[0,b]}|z_{0}=x)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p3.1.m1.6d">italic_q ( ( italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT [ 0 , italic_b ] end_POSTSUBSCRIPT | italic_x ) = italic_p ( ( italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT [ 0 , italic_b ] end_POSTSUBSCRIPT | italic_z start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT = italic_x )</annotation></semantics></math> the conditional probability of a forward path starting at state <math alttext="x" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p3.2.m2.1"><semantics id="S4.SS3.p3.2.m2.1a"><mi id="S4.SS3.p3.2.m2.1.1" xref="S4.SS3.p3.2.m2.1.1.cmml">x</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p3.2.m2.1b"><ci id="S4.SS3.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p3.2.m2.1.1">𝑥</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p3.2.m2.1c">x</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p3.2.m2.1d">italic_x</annotation></semantics></math>, and <math alttext="q^{r}((z_{t})_{[0,-a]}|x)=p((z_{t})_{[a,0]}|z_{a}=x)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p3.3.m3.6"><semantics id="S4.SS3.p3.3.m3.6a"><mrow id="S4.SS3.p3.3.m3.6.6" xref="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.cmml"><mrow id="S4.SS3.p3.3.m3.5.5.1" xref="S4.SS3.p3.3.m3.5.5.1.cmml"><msup id="S4.SS3.p3.3.m3.5.5.1.3" xref="S4.SS3.p3.3.m3.5.5.1.3.cmml"><mi id="S4.SS3.p3.3.m3.5.5.1.3.2" xref="S4.SS3.p3.3.m3.5.5.1.3.2.cmml">q</mi><mi id="S4.SS3.p3.3.m3.5.5.1.3.3" xref="S4.SS3.p3.3.m3.5.5.1.3.3.cmml">r</mi></msup><mo id="S4.SS3.p3.3.m3.5.5.1.2" xref="S4.SS3.p3.3.m3.5.5.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS3.p3.3.m3.5.5.1.1.1" xref="S4.SS3.p3.3.m3.5.5.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS3.p3.3.m3.5.5.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS3.p3.3.m3.5.5.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS3.p3.3.m3.5.5.1.1.1.1" xref="S4.SS3.p3.3.m3.5.5.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.SS3.p3.3.m3.5.5.1.1.1.1.1" xref="S4.SS3.p3.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS3.p3.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS3.p3.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS3.p3.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS3.p3.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.SS3.p3.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS3.p3.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.p3.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS3.p3.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">z</mi><mi id="S4.SS3.p3.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS3.p3.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S4.SS3.p3.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS3.p3.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.SS3.p3.3.m3.2.2.2.2" xref="S4.SS3.p3.3.m3.2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.SS3.p3.3.m3.2.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS3.p3.3.m3.2.2.2.3.cmml">[</mo><mn id="S4.SS3.p3.3.m3.1.1.1.1" xref="S4.SS3.p3.3.m3.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S4.SS3.p3.3.m3.2.2.2.2.3" xref="S4.SS3.p3.3.m3.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S4.SS3.p3.3.m3.2.2.2.2.1" xref="S4.SS3.p3.3.m3.2.2.2.2.1.cmml"><mo id="S4.SS3.p3.3.m3.2.2.2.2.1a" xref="S4.SS3.p3.3.m3.2.2.2.2.1.cmml">−</mo><mi id="S4.SS3.p3.3.m3.2.2.2.2.1.2" xref="S4.SS3.p3.3.m3.2.2.2.2.1.2.cmml">a</mi></mrow><mo id="S4.SS3.p3.3.m3.2.2.2.2.4" stretchy="false" xref="S4.SS3.p3.3.m3.2.2.2.3.cmml">]</mo></mrow></msub><mo fence="false" id="S4.SS3.p3.3.m3.5.5.1.1.1.1.2" xref="S4.SS3.p3.3.m3.5.5.1.1.1.1.2.cmml">|</mo><mi id="S4.SS3.p3.3.m3.5.5.1.1.1.1.3" xref="S4.SS3.p3.3.m3.5.5.1.1.1.1.3.cmml">x</mi></mrow><mo id="S4.SS3.p3.3.m3.5.5.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS3.p3.3.m3.5.5.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.3" xref="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2" xref="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.cmml"><mi id="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.3" xref="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.3.cmml">p</mi><mo id="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.2" xref="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.1.1" xref="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1" xref="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.1" xref="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.1" xref="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">z</mi><mi id="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.SS3.p3.3.m3.4.4.2.4" xref="S4.SS3.p3.3.m3.4.4.2.3.cmml"><mo id="S4.SS3.p3.3.m3.4.4.2.4.1" stretchy="false" xref="S4.SS3.p3.3.m3.4.4.2.3.cmml">[</mo><mi id="S4.SS3.p3.3.m3.3.3.1.1" xref="S4.SS3.p3.3.m3.3.3.1.1.cmml">a</mi><mo id="S4.SS3.p3.3.m3.4.4.2.4.2" xref="S4.SS3.p3.3.m3.4.4.2.3.cmml">,</mo><mn id="S4.SS3.p3.3.m3.4.4.2.2" xref="S4.SS3.p3.3.m3.4.4.2.2.cmml">0</mn><mo id="S4.SS3.p3.3.m3.4.4.2.4.3" stretchy="false" xref="S4.SS3.p3.3.m3.4.4.2.3.cmml">]</mo></mrow></msub><mo fence="false" id="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.2" xref="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.2.cmml">|</mo><msub id="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.3" xref="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.3.2" xref="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.3.2.cmml">z</mi><mi id="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.3.3" xref="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.3.3.cmml">a</mi></msub></mrow><mo id="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.2" xref="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.2.cmml">=</mo><mi id="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.3" xref="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.3.cmml">x</mi></mrow><mo id="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p3.3.m3.6b"><apply id="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.cmml" xref="S4.SS3.p3.3.m3.6.6"><eq id="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.3.cmml" xref="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.3"></eq><apply id="S4.SS3.p3.3.m3.5.5.1.cmml" xref="S4.SS3.p3.3.m3.5.5.1"><times id="S4.SS3.p3.3.m3.5.5.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p3.3.m3.5.5.1.2"></times><apply id="S4.SS3.p3.3.m3.5.5.1.3.cmml" xref="S4.SS3.p3.3.m3.5.5.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p3.3.m3.5.5.1.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p3.3.m3.5.5.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p3.3.m3.5.5.1.3.2.cmml" xref="S4.SS3.p3.3.m3.5.5.1.3.2">𝑞</ci><ci id="S4.SS3.p3.3.m3.5.5.1.3.3.cmml" xref="S4.SS3.p3.3.m3.5.5.1.3.3">𝑟</ci></apply><apply id="S4.SS3.p3.3.m3.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p3.3.m3.5.5.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS3.p3.3.m3.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p3.3.m3.5.5.1.1.1.1.2">conditional</csymbol><apply id="S4.SS3.p3.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p3.3.m3.5.5.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p3.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p3.3.m3.5.5.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS3.p3.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p3.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p3.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p3.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p3.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p3.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑧</ci><ci id="S4.SS3.p3.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.p3.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑡</ci></apply><interval closure="closed" id="S4.SS3.p3.3.m3.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS3.p3.3.m3.2.2.2.2"><cn id="S4.SS3.p3.3.m3.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.p3.3.m3.1.1.1.1">0</cn><apply id="S4.SS3.p3.3.m3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p3.3.m3.2.2.2.2.1"><minus id="S4.SS3.p3.3.m3.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p3.3.m3.2.2.2.2.1"></minus><ci id="S4.SS3.p3.3.m3.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p3.3.m3.2.2.2.2.1.2">𝑎</ci></apply></interval></apply><ci id="S4.SS3.p3.3.m3.5.5.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.p3.3.m3.5.5.1.1.1.1.3">𝑥</ci></apply></apply><apply id="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.cmml" xref="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2"><times id="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.2"></times><ci id="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.3.cmml" xref="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.3">𝑝</ci><apply id="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.1.1"><eq id="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.2"></eq><apply id="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.2">conditional</csymbol><apply id="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑧</ci><ci id="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑡</ci></apply><interval closure="closed" id="S4.SS3.p3.3.m3.4.4.2.3.cmml" xref="S4.SS3.p3.3.m3.4.4.2.4"><ci id="S4.SS3.p3.3.m3.3.3.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p3.3.m3.3.3.1.1">𝑎</ci><cn id="S4.SS3.p3.3.m3.4.4.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.p3.3.m3.4.4.2.2">0</cn></interval></apply><apply id="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.3.2">𝑧</ci><ci id="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.3.3">𝑎</ci></apply></apply><ci id="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.p3.3.m3.6.6.2.1.1.1.3">𝑥</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p3.3.m3.6c">q^{r}((z_{t})_{[0,-a]}|x)=p((z_{t})_{[a,0]}|z_{a}=x)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p3.3.m3.6d">italic_q start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ( ( italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT [ 0 , - italic_a ] end_POSTSUBSCRIPT | italic_x ) = italic_p ( ( italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT [ italic_a , 0 ] end_POSTSUBSCRIPT | italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT = italic_x )</annotation></semantics></math> the probability of a backward path starting at <math alttext="x" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p3.4.m4.1"><semantics id="S4.SS3.p3.4.m4.1a"><mi id="S4.SS3.p3.4.m4.1.1" xref="S4.SS3.p3.4.m4.1.1.cmml">x</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p3.4.m4.1b"><ci id="S4.SS3.p3.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p3.4.m4.1.1">𝑥</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p3.4.m4.1c">x</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p3.4.m4.1d">italic_x</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS3.p4"> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.p4.2">Let us define the set of paths stopped on the left as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex57"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="F_{g}=\left(E\times\cup_{k_{b},k_{f}}(\mathbb{R}\times V^{r})^{k_{b}}\times(% \mathbb{R}\times V)^{+k_{f}}\right)\times\mathbb{R}," class="ltx_math_unparsed" display="block" id="S4.Ex57.m1.2"><semantics id="S4.Ex57.m1.2a"><mrow id="S4.Ex57.m1.2b"><msub id="S4.Ex57.m1.2.3"><mi id="S4.Ex57.m1.2.3.2">F</mi><mi id="S4.Ex57.m1.2.3.3">g</mi></msub><mo id="S4.Ex57.m1.2.4">=</mo><mrow id="S4.Ex57.m1.2.5"><mo id="S4.Ex57.m1.2.5.1">(</mo><mi id="S4.Ex57.m1.2.5.2">E</mi><mo id="S4.Ex57.m1.2.5.3" lspace="0.222em" rspace="0em">×</mo><msub id="S4.Ex57.m1.2.5.4"><mo id="S4.Ex57.m1.2.5.4.2" lspace="0em">∪</mo><mrow id="S4.Ex57.m1.2.2.2.2"><msub id="S4.Ex57.m1.1.1.1.1.1"><mi id="S4.Ex57.m1.1.1.1.1.1.2">k</mi><mi id="S4.Ex57.m1.1.1.1.1.1.3">b</mi></msub><mo id="S4.Ex57.m1.2.2.2.2.3">,</mo><msub id="S4.Ex57.m1.2.2.2.2.2"><mi id="S4.Ex57.m1.2.2.2.2.2.2">k</mi><mi id="S4.Ex57.m1.2.2.2.2.2.3">f</mi></msub></mrow></msub><msup id="S4.Ex57.m1.2.5.5"><mrow id="S4.Ex57.m1.2.5.5.2"><mo id="S4.Ex57.m1.2.5.5.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S4.Ex57.m1.2.5.5.2.2">ℝ</mi><mo id="S4.Ex57.m1.2.5.5.2.3" lspace="0.222em" rspace="0.222em">×</mo><msup id="S4.Ex57.m1.2.5.5.2.4"><mi id="S4.Ex57.m1.2.5.5.2.4.2">V</mi><mi id="S4.Ex57.m1.2.5.5.2.4.3">r</mi></msup><mo id="S4.Ex57.m1.2.5.5.2.5" rspace="0.055em" stretchy="false">)</mo></mrow><msub id="S4.Ex57.m1.2.5.5.3"><mi id="S4.Ex57.m1.2.5.5.3.2">k</mi><mi id="S4.Ex57.m1.2.5.5.3.3">b</mi></msub></msup><mo id="S4.Ex57.m1.2.5.6" rspace="0.222em">×</mo><msup id="S4.Ex57.m1.2.5.7"><mrow id="S4.Ex57.m1.2.5.7.2"><mo id="S4.Ex57.m1.2.5.7.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S4.Ex57.m1.2.5.7.2.2">ℝ</mi><mo id="S4.Ex57.m1.2.5.7.2.3" lspace="0.222em" rspace="0.222em">×</mo><mi id="S4.Ex57.m1.2.5.7.2.4">V</mi><mo id="S4.Ex57.m1.2.5.7.2.5" stretchy="false">)</mo></mrow><mrow id="S4.Ex57.m1.2.5.7.3"><mo id="S4.Ex57.m1.2.5.7.3a">+</mo><msub id="S4.Ex57.m1.2.5.7.3.2"><mi id="S4.Ex57.m1.2.5.7.3.2.2">k</mi><mi id="S4.Ex57.m1.2.5.7.3.2.3">f</mi></msub></mrow></msup><mo id="S4.Ex57.m1.2.5.8" rspace="0.055em">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex57.m1.2.6" rspace="0.222em">×</mo><mi id="S4.Ex57.m1.2.7">ℝ</mi><mo id="S4.Ex57.m1.2.8">,</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex57.m1.2c">F_{g}=\left(E\times\cup_{k_{b},k_{f}}(\mathbb{R}\times V^{r})^{k_{b}}\times(% \mathbb{R}\times V)^{+k_{f}}\right)\times\mathbb{R},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex57.m1.2d">italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_g end_POSTSUBSCRIPT = ( italic_E × ∪ start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT , italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( blackboard_R × italic_V start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT × ( blackboard_R × italic_V ) start_POSTSUPERSCRIPT + italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ) × blackboard_R ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.p4.3">the set of paths stopped on the right as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex58"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="F_{d}=\mathbb{R}\times\left(E\times\cup_{k_{b},k_{f}}(\mathbb{R}\times V^{r})^% {k_{b}}\times(\mathbb{R}\times V)^{+k_{f}}\right)," class="ltx_math_unparsed" display="block" id="S4.Ex58.m1.2"><semantics id="S4.Ex58.m1.2a"><mrow id="S4.Ex58.m1.2b"><msub id="S4.Ex58.m1.2.3"><mi id="S4.Ex58.m1.2.3.2">F</mi><mi id="S4.Ex58.m1.2.3.3">d</mi></msub><mo id="S4.Ex58.m1.2.4">=</mo><mi id="S4.Ex58.m1.2.5">ℝ</mi><mo id="S4.Ex58.m1.2.6" lspace="0.222em" rspace="0.222em">×</mo><mrow id="S4.Ex58.m1.2.7"><mo id="S4.Ex58.m1.2.7.1">(</mo><mi id="S4.Ex58.m1.2.7.2">E</mi><mo id="S4.Ex58.m1.2.7.3" lspace="0.222em" rspace="0em">×</mo><msub id="S4.Ex58.m1.2.7.4"><mo id="S4.Ex58.m1.2.7.4.2" lspace="0em">∪</mo><mrow id="S4.Ex58.m1.2.2.2.2"><msub id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1"><mi id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.2">k</mi><mi id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.3">b</mi></msub><mo id="S4.Ex58.m1.2.2.2.2.3">,</mo><msub id="S4.Ex58.m1.2.2.2.2.2"><mi id="S4.Ex58.m1.2.2.2.2.2.2">k</mi><mi id="S4.Ex58.m1.2.2.2.2.2.3">f</mi></msub></mrow></msub><msup id="S4.Ex58.m1.2.7.5"><mrow id="S4.Ex58.m1.2.7.5.2"><mo id="S4.Ex58.m1.2.7.5.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S4.Ex58.m1.2.7.5.2.2">ℝ</mi><mo id="S4.Ex58.m1.2.7.5.2.3" lspace="0.222em" rspace="0.222em">×</mo><msup id="S4.Ex58.m1.2.7.5.2.4"><mi id="S4.Ex58.m1.2.7.5.2.4.2">V</mi><mi id="S4.Ex58.m1.2.7.5.2.4.3">r</mi></msup><mo id="S4.Ex58.m1.2.7.5.2.5" rspace="0.055em" stretchy="false">)</mo></mrow><msub id="S4.Ex58.m1.2.7.5.3"><mi id="S4.Ex58.m1.2.7.5.3.2">k</mi><mi id="S4.Ex58.m1.2.7.5.3.3">b</mi></msub></msup><mo id="S4.Ex58.m1.2.7.6" rspace="0.222em">×</mo><msup id="S4.Ex58.m1.2.7.7"><mrow id="S4.Ex58.m1.2.7.7.2"><mo id="S4.Ex58.m1.2.7.7.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S4.Ex58.m1.2.7.7.2.2">ℝ</mi><mo id="S4.Ex58.m1.2.7.7.2.3" lspace="0.222em" rspace="0.222em">×</mo><mi id="S4.Ex58.m1.2.7.7.2.4">V</mi><mo id="S4.Ex58.m1.2.7.7.2.5" stretchy="false">)</mo></mrow><mrow id="S4.Ex58.m1.2.7.7.3"><mo id="S4.Ex58.m1.2.7.7.3a">+</mo><msub id="S4.Ex58.m1.2.7.7.3.2"><mi id="S4.Ex58.m1.2.7.7.3.2.2">k</mi><mi id="S4.Ex58.m1.2.7.7.3.2.3">f</mi></msub></mrow></msup><mo id="S4.Ex58.m1.2.7.8">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex58.m1.2.8">,</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex58.m1.2c">F_{d}=\mathbb{R}\times\left(E\times\cup_{k_{b},k_{f}}(\mathbb{R}\times V^{r})^% {k_{b}}\times(\mathbb{R}\times V)^{+k_{f}}\right),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex58.m1.2d">italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_d end_POSTSUBSCRIPT = blackboard_R × ( italic_E × ∪ start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT , italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( blackboard_R × italic_V start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT × ( blackboard_R × italic_V ) start_POSTSUPERSCRIPT + italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.p4.1">and finally the set of stopped paths as <math alttext="F=F_{g}\cup F_{d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p4.1.m1.1"><semantics id="S4.SS3.p4.1.m1.1a"><mrow id="S4.SS3.p4.1.m1.1.1" xref="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.2" xref="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.2.cmml">F</mi><mo id="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.1" xref="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.2" xref="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.2.2" xref="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.2.2.cmml">F</mi><mi id="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.2.3" xref="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.2.3.cmml">g</mi></msub><mo id="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.1" xref="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.1.cmml">∪</mo><msub id="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.3" xref="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.3.2" xref="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.3.2.cmml">F</mi><mi id="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.3.3" xref="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.3.3.cmml">d</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p4.1.m1.1b"><apply id="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p4.1.m1.1.1"><eq id="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.2">𝐹</ci><apply id="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3"><union id="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.1"></union><apply id="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.2.2">𝐹</ci><ci id="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.2.3">𝑔</ci></apply><apply id="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.3.2">𝐹</ci><ci id="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.3.3">𝑑</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p4.1.m1.1c">F=F_{g}\cup F_{d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p4.1.m1.1d">italic_F = italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_g end_POSTSUBSCRIPT ∪ italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_d end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> .</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS3.p5"> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.p5.4">Note that we can decide that the stopping criterion stops on paths of length greater than some <math alttext="M>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p5.1.m1.1"><semantics id="S4.SS3.p5.1.m1.1a"><mrow id="S4.SS3.p5.1.m1.1.1" xref="S4.SS3.p5.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.p5.1.m1.1.1.2" xref="S4.SS3.p5.1.m1.1.1.2.cmml">M</mi><mo id="S4.SS3.p5.1.m1.1.1.1" xref="S4.SS3.p5.1.m1.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S4.SS3.p5.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS3.p5.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p5.1.m1.1b"><apply id="S4.SS3.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p5.1.m1.1.1"><gt id="S4.SS3.p5.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p5.1.m1.1.1.1"></gt><ci id="S4.SS3.p5.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p5.1.m1.1.1.2">𝑀</ci><cn id="S4.SS3.p5.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.p5.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p5.1.m1.1c">M>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p5.1.m1.1d">italic_M > 0</annotation></semantics></math>, which can be arbitrarily big. Hence it is natural to look at the space <math alttext="W_{M}=W_{[-M,M]}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p5.2.m2.2"><semantics id="S4.SS3.p5.2.m2.2a"><mrow id="S4.SS3.p5.2.m2.2.3" xref="S4.SS3.p5.2.m2.2.3.cmml"><msub id="S4.SS3.p5.2.m2.2.3.2" xref="S4.SS3.p5.2.m2.2.3.2.cmml"><mi id="S4.SS3.p5.2.m2.2.3.2.2" xref="S4.SS3.p5.2.m2.2.3.2.2.cmml">W</mi><mi id="S4.SS3.p5.2.m2.2.3.2.3" xref="S4.SS3.p5.2.m2.2.3.2.3.cmml">M</mi></msub><mo id="S4.SS3.p5.2.m2.2.3.1" xref="S4.SS3.p5.2.m2.2.3.1.cmml">=</mo><msub id="S4.SS3.p5.2.m2.2.3.3" xref="S4.SS3.p5.2.m2.2.3.3.cmml"><mi id="S4.SS3.p5.2.m2.2.3.3.2" xref="S4.SS3.p5.2.m2.2.3.3.2.cmml">W</mi><mrow id="S4.SS3.p5.2.m2.2.2.2.2" xref="S4.SS3.p5.2.m2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.SS3.p5.2.m2.2.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS3.p5.2.m2.2.2.2.3.cmml">[</mo><mrow id="S4.SS3.p5.2.m2.2.2.2.2.1" xref="S4.SS3.p5.2.m2.2.2.2.2.1.cmml"><mo id="S4.SS3.p5.2.m2.2.2.2.2.1a" xref="S4.SS3.p5.2.m2.2.2.2.2.1.cmml">−</mo><mi id="S4.SS3.p5.2.m2.2.2.2.2.1.2" xref="S4.SS3.p5.2.m2.2.2.2.2.1.2.cmml">M</mi></mrow><mo id="S4.SS3.p5.2.m2.2.2.2.2.3" xref="S4.SS3.p5.2.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.SS3.p5.2.m2.1.1.1.1" xref="S4.SS3.p5.2.m2.1.1.1.1.cmml">M</mi><mo id="S4.SS3.p5.2.m2.2.2.2.2.4" stretchy="false" xref="S4.SS3.p5.2.m2.2.2.2.3.cmml">]</mo></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p5.2.m2.2b"><apply id="S4.SS3.p5.2.m2.2.3.cmml" xref="S4.SS3.p5.2.m2.2.3"><eq id="S4.SS3.p5.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p5.2.m2.2.3.1"></eq><apply id="S4.SS3.p5.2.m2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS3.p5.2.m2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p5.2.m2.2.3.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p5.2.m2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p5.2.m2.2.3.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p5.2.m2.2.3.2.2">𝑊</ci><ci id="S4.SS3.p5.2.m2.2.3.2.3.cmml" xref="S4.SS3.p5.2.m2.2.3.2.3">𝑀</ci></apply><apply id="S4.SS3.p5.2.m2.2.3.3.cmml" xref="S4.SS3.p5.2.m2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p5.2.m2.2.3.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p5.2.m2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p5.2.m2.2.3.3.2.cmml" xref="S4.SS3.p5.2.m2.2.3.3.2">𝑊</ci><interval closure="closed" id="S4.SS3.p5.2.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS3.p5.2.m2.2.2.2.2"><apply id="S4.SS3.p5.2.m2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p5.2.m2.2.2.2.2.1"><minus id="S4.SS3.p5.2.m2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p5.2.m2.2.2.2.2.1"></minus><ci id="S4.SS3.p5.2.m2.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p5.2.m2.2.2.2.2.1.2">𝑀</ci></apply><ci id="S4.SS3.p5.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p5.2.m2.1.1.1.1">𝑀</ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p5.2.m2.2c">W_{M}=W_{[-M,M]}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p5.2.m2.2d">italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_M end_POSTSUBSCRIPT = italic_W start_POSTSUBSCRIPT [ - italic_M , italic_M ] end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> of paths on <math alttext="[-M,M]" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p5.3.m3.2"><semantics id="S4.SS3.p5.3.m3.2a"><mrow id="S4.SS3.p5.3.m3.2.2.1" xref="S4.SS3.p5.3.m3.2.2.2.cmml"><mo id="S4.SS3.p5.3.m3.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS3.p5.3.m3.2.2.2.cmml">[</mo><mrow id="S4.SS3.p5.3.m3.2.2.1.1" xref="S4.SS3.p5.3.m3.2.2.1.1.cmml"><mo id="S4.SS3.p5.3.m3.2.2.1.1a" xref="S4.SS3.p5.3.m3.2.2.1.1.cmml">−</mo><mi id="S4.SS3.p5.3.m3.2.2.1.1.2" xref="S4.SS3.p5.3.m3.2.2.1.1.2.cmml">M</mi></mrow><mo id="S4.SS3.p5.3.m3.2.2.1.3" xref="S4.SS3.p5.3.m3.2.2.2.cmml">,</mo><mi id="S4.SS3.p5.3.m3.1.1" xref="S4.SS3.p5.3.m3.1.1.cmml">M</mi><mo id="S4.SS3.p5.3.m3.2.2.1.4" stretchy="false" xref="S4.SS3.p5.3.m3.2.2.2.cmml">]</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p5.3.m3.2b"><interval closure="closed" id="S4.SS3.p5.3.m3.2.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p5.3.m3.2.2.1"><apply id="S4.SS3.p5.3.m3.2.2.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p5.3.m3.2.2.1.1"><minus id="S4.SS3.p5.3.m3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p5.3.m3.2.2.1.1"></minus><ci id="S4.SS3.p5.3.m3.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p5.3.m3.2.2.1.1.2">𝑀</ci></apply><ci id="S4.SS3.p5.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p5.3.m3.1.1">𝑀</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p5.3.m3.2c">[-M,M]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p5.3.m3.2d">[ - italic_M , italic_M ]</annotation></semantics></math>, which has density written as <math alttext="p_{M}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p5.4.m4.1"><semantics id="S4.SS3.p5.4.m4.1a"><msub id="S4.SS3.p5.4.m4.1.1" xref="S4.SS3.p5.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.p5.4.m4.1.1.2" xref="S4.SS3.p5.4.m4.1.1.2.cmml">p</mi><mi id="S4.SS3.p5.4.m4.1.1.3" xref="S4.SS3.p5.4.m4.1.1.3.cmml">M</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p5.4.m4.1b"><apply id="S4.SS3.p5.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p5.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p5.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p5.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p5.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p5.4.m4.1.1.2">𝑝</ci><ci id="S4.SS3.p5.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.p5.4.m4.1.1.3">𝑀</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p5.4.m4.1c">p_{M}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p5.4.m4.1d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_M end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> for simplicity.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS3.p6"> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.p6.3">Let <math alttext="f:W_{M}\times[0,1]\mapsto F" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p6.1.m1.2"><semantics id="S4.SS3.p6.1.m1.2a"><mrow id="S4.SS3.p6.1.m1.2.3" xref="S4.SS3.p6.1.m1.2.3.cmml"><mi id="S4.SS3.p6.1.m1.2.3.2" xref="S4.SS3.p6.1.m1.2.3.2.cmml">f</mi><mo id="S4.SS3.p6.1.m1.2.3.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S4.SS3.p6.1.m1.2.3.1.cmml">:</mo><mrow id="S4.SS3.p6.1.m1.2.3.3" xref="S4.SS3.p6.1.m1.2.3.3.cmml"><mrow id="S4.SS3.p6.1.m1.2.3.3.2" xref="S4.SS3.p6.1.m1.2.3.3.2.cmml"><msub id="S4.SS3.p6.1.m1.2.3.3.2.2" xref="S4.SS3.p6.1.m1.2.3.3.2.2.cmml"><mi id="S4.SS3.p6.1.m1.2.3.3.2.2.2" xref="S4.SS3.p6.1.m1.2.3.3.2.2.2.cmml">W</mi><mi id="S4.SS3.p6.1.m1.2.3.3.2.2.3" xref="S4.SS3.p6.1.m1.2.3.3.2.2.3.cmml">M</mi></msub><mo id="S4.SS3.p6.1.m1.2.3.3.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.SS3.p6.1.m1.2.3.3.2.1.cmml">×</mo><mrow id="S4.SS3.p6.1.m1.2.3.3.2.3.2" xref="S4.SS3.p6.1.m1.2.3.3.2.3.1.cmml"><mo id="S4.SS3.p6.1.m1.2.3.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS3.p6.1.m1.2.3.3.2.3.1.cmml">[</mo><mn id="S4.SS3.p6.1.m1.1.1" xref="S4.SS3.p6.1.m1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S4.SS3.p6.1.m1.2.3.3.2.3.2.2" xref="S4.SS3.p6.1.m1.2.3.3.2.3.1.cmml">,</mo><mn id="S4.SS3.p6.1.m1.2.2" xref="S4.SS3.p6.1.m1.2.2.cmml">1</mn><mo id="S4.SS3.p6.1.m1.2.3.3.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.SS3.p6.1.m1.2.3.3.2.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS3.p6.1.m1.2.3.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS3.p6.1.m1.2.3.3.1.cmml">↦</mo><mi id="S4.SS3.p6.1.m1.2.3.3.3" xref="S4.SS3.p6.1.m1.2.3.3.3.cmml">F</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p6.1.m1.2b"><apply id="S4.SS3.p6.1.m1.2.3.cmml" xref="S4.SS3.p6.1.m1.2.3"><ci id="S4.SS3.p6.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p6.1.m1.2.3.1">:</ci><ci id="S4.SS3.p6.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS3.p6.1.m1.2.3.2">𝑓</ci><apply id="S4.SS3.p6.1.m1.2.3.3.cmml" xref="S4.SS3.p6.1.m1.2.3.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS3.p6.1.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p6.1.m1.2.3.3.1">maps-to</csymbol><apply id="S4.SS3.p6.1.m1.2.3.3.2.cmml" xref="S4.SS3.p6.1.m1.2.3.3.2"><times id="S4.SS3.p6.1.m1.2.3.3.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p6.1.m1.2.3.3.2.1"></times><apply id="S4.SS3.p6.1.m1.2.3.3.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p6.1.m1.2.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p6.1.m1.2.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p6.1.m1.2.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p6.1.m1.2.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p6.1.m1.2.3.3.2.2.2">𝑊</ci><ci id="S4.SS3.p6.1.m1.2.3.3.2.2.3.cmml" xref="S4.SS3.p6.1.m1.2.3.3.2.2.3">𝑀</ci></apply><interval closure="closed" id="S4.SS3.p6.1.m1.2.3.3.2.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p6.1.m1.2.3.3.2.3.2"><cn id="S4.SS3.p6.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.p6.1.m1.1.1">0</cn><cn id="S4.SS3.p6.1.m1.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.p6.1.m1.2.2">1</cn></interval></apply><ci id="S4.SS3.p6.1.m1.2.3.3.3.cmml" xref="S4.SS3.p6.1.m1.2.3.3.3">𝐹</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p6.1.m1.2c">f:W_{M}\times[0,1]\mapsto F</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p6.1.m1.2d">italic_f : italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_M end_POSTSUBSCRIPT × [ 0 , 1 ] ↦ italic_F</annotation></semantics></math> be the application that maps a given path <math alttext="w\in W_{M}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p6.2.m2.1"><semantics id="S4.SS3.p6.2.m2.1a"><mrow id="S4.SS3.p6.2.m2.1.1" xref="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.2" xref="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.2.cmml">w</mi><mo id="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1" xref="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.cmml">∈</mo><msub id="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.3" xref="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.3.2" xref="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.3.2.cmml">W</mi><mi id="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.3.3" xref="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.3.3.cmml">M</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p6.2.m2.1b"><apply id="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p6.2.m2.1.1"><in id="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1"></in><ci id="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.2">𝑤</ci><apply id="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.3.2">𝑊</ci><ci id="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.3.3">𝑀</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p6.2.m2.1c">w\in W_{M}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p6.2.m2.1d">italic_w ∈ italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_M end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\alpha\in[0,1]" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p6.3.m3.2"><semantics id="S4.SS3.p6.3.m3.2a"><mrow id="S4.SS3.p6.3.m3.2.3" xref="S4.SS3.p6.3.m3.2.3.cmml"><mi id="S4.SS3.p6.3.m3.2.3.2" xref="S4.SS3.p6.3.m3.2.3.2.cmml">α</mi><mo id="S4.SS3.p6.3.m3.2.3.1" xref="S4.SS3.p6.3.m3.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="S4.SS3.p6.3.m3.2.3.3.2" xref="S4.SS3.p6.3.m3.2.3.3.1.cmml"><mo id="S4.SS3.p6.3.m3.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS3.p6.3.m3.2.3.3.1.cmml">[</mo><mn id="S4.SS3.p6.3.m3.1.1" xref="S4.SS3.p6.3.m3.1.1.cmml">0</mn><mo id="S4.SS3.p6.3.m3.2.3.3.2.2" xref="S4.SS3.p6.3.m3.2.3.3.1.cmml">,</mo><mn id="S4.SS3.p6.3.m3.2.2" xref="S4.SS3.p6.3.m3.2.2.cmml">1</mn><mo id="S4.SS3.p6.3.m3.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.SS3.p6.3.m3.2.3.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p6.3.m3.2b"><apply id="S4.SS3.p6.3.m3.2.3.cmml" xref="S4.SS3.p6.3.m3.2.3"><in id="S4.SS3.p6.3.m3.2.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p6.3.m3.2.3.1"></in><ci id="S4.SS3.p6.3.m3.2.3.2.cmml" xref="S4.SS3.p6.3.m3.2.3.2">𝛼</ci><interval closure="closed" id="S4.SS3.p6.3.m3.2.3.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p6.3.m3.2.3.3.2"><cn id="S4.SS3.p6.3.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.p6.3.m3.1.1">0</cn><cn id="S4.SS3.p6.3.m3.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.p6.3.m3.2.2">1</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p6.3.m3.2c">\alpha\in[0,1]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p6.3.m3.2d">italic_α ∈ [ 0 , 1 ]</annotation></semantics></math> to the stopped path given by the algorithm.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS3.p7"> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.p7.2">A given path <math alttext="w\in W_{M}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p7.1.m1.1"><semantics id="S4.SS3.p7.1.m1.1a"><mrow id="S4.SS3.p7.1.m1.1.1" xref="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.2" xref="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.2.cmml">w</mi><mo id="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.1" xref="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.1.cmml">∈</mo><msub id="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.3.2" xref="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.3.2.cmml">W</mi><mi id="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.3.3" xref="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.3.3.cmml">M</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p7.1.m1.1b"><apply id="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p7.1.m1.1.1"><in id="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.1"></in><ci id="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.2">𝑤</ci><apply id="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.3.2">𝑊</ci><ci id="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.3.3">𝑀</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p7.1.m1.1c">w\in W_{M}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p7.1.m1.1d">italic_w ∈ italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_M end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> can be written as <math alttext="(z,t_{1}^{b},v^{b}_{1}...,t_{k_{b}}^{b},v_{k_{b}}^{b},t_{1}^{f},v_{1}^{f},...,% t_{k_{f}}^{f},v_{k_{f}}^{f})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p7.2.m2.10"><semantics id="S4.SS3.p7.2.m2.10a"><mrow id="S4.SS3.p7.2.m2.10.10.8" xref="S4.SS3.p7.2.m2.10.10.9.cmml"><mo id="S4.SS3.p7.2.m2.10.10.8.9" stretchy="false" xref="S4.SS3.p7.2.m2.10.10.9.cmml">(</mo><mi id="S4.SS3.p7.2.m2.1.1" xref="S4.SS3.p7.2.m2.1.1.cmml">z</mi><mo id="S4.SS3.p7.2.m2.10.10.8.10" xref="S4.SS3.p7.2.m2.10.10.9.cmml">,</mo><msubsup id="S4.SS3.p7.2.m2.3.3.1.1" 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id="S4.SS3.p7.2.m2.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p7.2.m2.3.3.1.1.2.2">𝑡</ci><cn id="S4.SS3.p7.2.m2.3.3.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.p7.2.m2.3.3.1.1.2.3">1</cn></apply><ci id="S4.SS3.p7.2.m2.3.3.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.p7.2.m2.3.3.1.1.3">𝑏</ci></apply><apply id="S4.SS3.p7.2.m2.4.4.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p7.2.m2.4.4.2.2"><times id="S4.SS3.p7.2.m2.4.4.2.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p7.2.m2.4.4.2.2.1"></times><apply id="S4.SS3.p7.2.m2.4.4.2.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p7.2.m2.4.4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p7.2.m2.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p7.2.m2.4.4.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.SS3.p7.2.m2.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p7.2.m2.4.4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p7.2.m2.4.4.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p7.2.m2.4.4.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p7.2.m2.4.4.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p7.2.m2.4.4.2.2.2.2.2">𝑣</ci><ci id="S4.SS3.p7.2.m2.4.4.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS3.p7.2.m2.4.4.2.2.2.2.3">𝑏</ci></apply><cn 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xref="S4.SS3.p7.2.m2.5.5.3.3.2.3.3">𝑏</ci></apply></apply><ci id="S4.SS3.p7.2.m2.5.5.3.3.3.cmml" xref="S4.SS3.p7.2.m2.5.5.3.3.3">𝑏</ci></apply><apply id="S4.SS3.p7.2.m2.6.6.4.4.cmml" xref="S4.SS3.p7.2.m2.6.6.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p7.2.m2.6.6.4.4.1.cmml" xref="S4.SS3.p7.2.m2.6.6.4.4">superscript</csymbol><apply id="S4.SS3.p7.2.m2.6.6.4.4.2.cmml" xref="S4.SS3.p7.2.m2.6.6.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p7.2.m2.6.6.4.4.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p7.2.m2.6.6.4.4">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p7.2.m2.6.6.4.4.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p7.2.m2.6.6.4.4.2.2">𝑣</ci><apply id="S4.SS3.p7.2.m2.6.6.4.4.2.3.cmml" xref="S4.SS3.p7.2.m2.6.6.4.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p7.2.m2.6.6.4.4.2.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p7.2.m2.6.6.4.4.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p7.2.m2.6.6.4.4.2.3.2.cmml" xref="S4.SS3.p7.2.m2.6.6.4.4.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.SS3.p7.2.m2.6.6.4.4.2.3.3.cmml" xref="S4.SS3.p7.2.m2.6.6.4.4.2.3.3">𝑏</ci></apply></apply><ci id="S4.SS3.p7.2.m2.6.6.4.4.3.cmml" xref="S4.SS3.p7.2.m2.6.6.4.4.3">𝑏</ci></apply><apply id="S4.SS3.p7.2.m2.7.7.5.5.cmml" xref="S4.SS3.p7.2.m2.7.7.5.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p7.2.m2.7.7.5.5.1.cmml" xref="S4.SS3.p7.2.m2.7.7.5.5">superscript</csymbol><apply id="S4.SS3.p7.2.m2.7.7.5.5.2.cmml" xref="S4.SS3.p7.2.m2.7.7.5.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p7.2.m2.7.7.5.5.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p7.2.m2.7.7.5.5">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p7.2.m2.7.7.5.5.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p7.2.m2.7.7.5.5.2.2">𝑡</ci><cn id="S4.SS3.p7.2.m2.7.7.5.5.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.p7.2.m2.7.7.5.5.2.3">1</cn></apply><ci id="S4.SS3.p7.2.m2.7.7.5.5.3.cmml" xref="S4.SS3.p7.2.m2.7.7.5.5.3">𝑓</ci></apply><apply id="S4.SS3.p7.2.m2.8.8.6.6.cmml" xref="S4.SS3.p7.2.m2.8.8.6.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p7.2.m2.8.8.6.6.1.cmml" xref="S4.SS3.p7.2.m2.8.8.6.6">superscript</csymbol><apply id="S4.SS3.p7.2.m2.8.8.6.6.2.cmml" xref="S4.SS3.p7.2.m2.8.8.6.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p7.2.m2.8.8.6.6.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p7.2.m2.8.8.6.6">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p7.2.m2.8.8.6.6.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p7.2.m2.8.8.6.6.2.2">𝑣</ci><cn id="S4.SS3.p7.2.m2.8.8.6.6.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.p7.2.m2.8.8.6.6.2.3">1</cn></apply><ci id="S4.SS3.p7.2.m2.8.8.6.6.3.cmml" xref="S4.SS3.p7.2.m2.8.8.6.6.3">𝑓</ci></apply><ci id="S4.SS3.p7.2.m2.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p7.2.m2.2.2">…</ci><apply id="S4.SS3.p7.2.m2.9.9.7.7.cmml" xref="S4.SS3.p7.2.m2.9.9.7.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p7.2.m2.9.9.7.7.1.cmml" xref="S4.SS3.p7.2.m2.9.9.7.7">superscript</csymbol><apply id="S4.SS3.p7.2.m2.9.9.7.7.2.cmml" xref="S4.SS3.p7.2.m2.9.9.7.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p7.2.m2.9.9.7.7.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p7.2.m2.9.9.7.7">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p7.2.m2.9.9.7.7.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p7.2.m2.9.9.7.7.2.2">𝑡</ci><apply id="S4.SS3.p7.2.m2.9.9.7.7.2.3.cmml" xref="S4.SS3.p7.2.m2.9.9.7.7.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p7.2.m2.9.9.7.7.2.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p7.2.m2.9.9.7.7.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p7.2.m2.9.9.7.7.2.3.2.cmml" xref="S4.SS3.p7.2.m2.9.9.7.7.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.SS3.p7.2.m2.9.9.7.7.2.3.3.cmml" xref="S4.SS3.p7.2.m2.9.9.7.7.2.3.3">𝑓</ci></apply></apply><ci id="S4.SS3.p7.2.m2.9.9.7.7.3.cmml" xref="S4.SS3.p7.2.m2.9.9.7.7.3">𝑓</ci></apply><apply id="S4.SS3.p7.2.m2.10.10.8.8.cmml" xref="S4.SS3.p7.2.m2.10.10.8.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p7.2.m2.10.10.8.8.1.cmml" xref="S4.SS3.p7.2.m2.10.10.8.8">superscript</csymbol><apply id="S4.SS3.p7.2.m2.10.10.8.8.2.cmml" xref="S4.SS3.p7.2.m2.10.10.8.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p7.2.m2.10.10.8.8.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p7.2.m2.10.10.8.8">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p7.2.m2.10.10.8.8.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p7.2.m2.10.10.8.8.2.2">𝑣</ci><apply id="S4.SS3.p7.2.m2.10.10.8.8.2.3.cmml" xref="S4.SS3.p7.2.m2.10.10.8.8.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p7.2.m2.10.10.8.8.2.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p7.2.m2.10.10.8.8.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p7.2.m2.10.10.8.8.2.3.2.cmml" xref="S4.SS3.p7.2.m2.10.10.8.8.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.SS3.p7.2.m2.10.10.8.8.2.3.3.cmml" xref="S4.SS3.p7.2.m2.10.10.8.8.2.3.3">𝑓</ci></apply></apply><ci id="S4.SS3.p7.2.m2.10.10.8.8.3.cmml" xref="S4.SS3.p7.2.m2.10.10.8.8.3">𝑓</ci></apply></vector></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p7.2.m2.10c">(z,t_{1}^{b},v^{b}_{1}...,t_{k_{b}}^{b},v_{k_{b}}^{b},t_{1}^{f},v_{1}^{f},...,% t_{k_{f}}^{f},v_{k_{f}}^{f})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p7.2.m2.10d">( italic_z , italic_t start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT , italic_v start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT … , italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT , italic_t start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_f end_POSTSUPERSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_f end_POSTSUPERSCRIPT , … , italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_f end_POSTSUPERSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_f end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmlemma1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma1.2.1.1">Lemma 1</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma1.3.2"> </span>(probability density on <math alttext="F_{g}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma1.1.m1.1"><semantics id="Thmlemma1.1.m1.1b"><msub id="Thmlemma1.1.m1.1.1" xref="Thmlemma1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmlemma1.1.m1.1.1.2" xref="Thmlemma1.1.m1.1.1.2.cmml">F</mi><mi id="Thmlemma1.1.m1.1.1.3" xref="Thmlemma1.1.m1.1.1.3.cmml">g</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma1.1.m1.1c"><apply id="Thmlemma1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmlemma1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma1.1.m1.1.1.2">𝐹</ci><ci id="Thmlemma1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmlemma1.1.m1.1.1.3">𝑔</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma1.1.m1.1d">F_{g}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma1.1.m1.1e">italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_g end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>)<span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma1.4.3">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmlemma1.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmlemma1.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlemma1.p1.3.3">Let <math alttext="S_{g}:F_{g}\mapsto\{0,1\}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2"><semantics id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2a"><mrow id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.3" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.3.cmml"><msub id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.3.2" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.3.2.cmml"><mi id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.3.2.2" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.3.2.2.cmml">S</mi><mi id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.3.2.3" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.3.2.3.cmml">g</mi></msub><mo id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.3.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.3.1.cmml">:</mo><mrow id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.3.3" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.3.3.cmml"><msub id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.3.3.2" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.3.3.2.cmml"><mi id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.3.3.2.2" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.3.3.2.2.cmml">F</mi><mi id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.3.3.2.3" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.3.3.2.3.cmml">g</mi></msub><mo id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.3.3.1" stretchy="false" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.3.3.1.cmml">↦</mo><mrow id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.3.3.3.2" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.3.3.3.1.cmml"><mo id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.3.3.3.1.cmml">{</mo><mn id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.3.3.3.2.2" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.3.3.3.1.cmml">,</mo><mn id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.cmml">1</mn><mo id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.3.3.3.2.3" stretchy="false" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.3.3.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2b"><apply id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.3.cmml" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.3"><ci id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.3.1">:</ci><apply id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.3.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.3.2.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.3.2.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.3.2.2">𝑆</ci><ci id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.3.2.3.cmml" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.3.2.3">𝑔</ci></apply><apply id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.3.3.cmml" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.3.3"><csymbol cd="latexml" id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.3.3.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.3.3.1">maps-to</csymbol><apply id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.3.3.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.3.3.2.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.3.3.2.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.3.3.2.2">𝐹</ci><ci id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.3.3.2.3.cmml" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.3.3.2.3">𝑔</ci></apply><set id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.3.3.3.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.3.3.3.2"><cn id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.1.1">0</cn><cn id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.cmml" type="integer" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2">1</cn></set></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2c">S_{g}:F_{g}\mapsto\{0,1\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2d">italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_g end_POSTSUBSCRIPT : italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_g end_POSTSUBSCRIPT ↦ { 0 , 1 }</annotation></semantics></math> be the function that is 1 if the path was actually stopped on the left, and is <math alttext="0" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1a"><mn id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.cmml">0</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1b"><cn id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1">0</cn></annotation-xml></semantics></math> otherwise. Then, the stopped PDMP induces a probability density on <math alttext="F_{g}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1"><semantics id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1a"><msub id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.2" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml">F</mi><mi id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.3" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml">g</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1b"><apply id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.2">𝐹</ci><ci id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.3">𝑔</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1c">F_{g}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1d">italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_g end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> with density:</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex59"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="p_{F_{g}}(z,t^{b}_{k_{1}},v^{b}_{k_{1}},...,t^{f}_{k_{2}},v^{f}_{k_{2}},b)=p_{% W_{[t^{b}_{k_{1}},b]}}(z,t^{b}_{k_{1}},v^{b}_{k_{1}},...,t^{f}_{k_{2}},v^{f}_{% k_{2}})\left|\frac{-t^{b}_{k_{1}}}{(b-t_{k_{1}}^{b})^{2}}\right|S_{g}(z,t^{b}_% {k_{1}},v^{b}_{k_{1}},...,t^{f}_{k_{2}},v^{f}_{k_{2}},b)." class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex59.m1.12"><semantics id="S4.Ex59.m1.12a"><mrow id="S4.Ex59.m1.12.12.1" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.4" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.4.cmml"><msub id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.4.6" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.4.6.cmml"><mi id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.4.6.2" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.4.6.2.cmml">p</mi><msub id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.4.6.3" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.4.6.3.cmml"><mi id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.4.6.3.2" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.4.6.3.2.cmml">F</mi><mi id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.4.6.3.3" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.4.6.3.3.cmml">g</mi></msub></msub><mo id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.4.5" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.4.4.4" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.4.4.5.cmml"><mo id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.4.4.4.5" stretchy="false" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.4.4.5.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex59.m1.4.4" xref="S4.Ex59.m1.4.4.cmml">z</mi><mo id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.4.4.4.6" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.4.4.5.cmml">,</mo><msubsup id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">t</mi><msub id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mi id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">b</mi></msubsup><mo id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.4.4.4.7" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.4.4.5.cmml">,</mo><msubsup id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">v</mi><msub id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.3.3" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></msub><mi id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">b</mi></msubsup><mo id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.4.4.4.8" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.4.4.5.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex59.m1.5.5" mathvariant="normal" xref="S4.Ex59.m1.5.5.cmml">…</mi><mo id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.4.4.4.9" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.4.4.5.cmml">,</mo><msubsup id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.3.3.3.3" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.3.3.3.3.2.2" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.3.3.3.3.2.2.cmml">t</mi><msub id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.3.3.3.3.3" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.3.3.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.3.3.3.3.3.2" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.3.3.3.3.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.3.3.3.3.3.3" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.3.3.3.3.3.3.cmml">2</mn></msub><mi id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.3.3.3.3.2.3" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.3.3.3.3.2.3.cmml">f</mi></msubsup><mo id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.4.4.4.10" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.4.4.5.cmml">,</mo><msubsup id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.4.4.4.4" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.4.4.4.4.cmml"><mi id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.4.4.4.4.2.2" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.4.4.4.4.2.2.cmml">v</mi><msub id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.4.4.4.4.3" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.4.4.4.4.3.cmml"><mi id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.4.4.4.4.3.2" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.4.4.4.4.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.4.4.4.4.3.3" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.4.4.4.4.3.3.cmml">2</mn></msub><mi id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.4.4.4.4.2.3" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.4.4.4.4.2.3.cmml">f</mi></msubsup><mo id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.4.4.4.11" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.4.4.5.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex59.m1.6.6" xref="S4.Ex59.m1.6.6.cmml">b</mi><mo id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.4.4.4.12" stretchy="false" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.4.4.5.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.13" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.13.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.12" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.12.cmml"><msub id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.12.10" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.12.10.cmml"><mi id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.12.10.2" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.12.10.2.cmml">p</mi><msub id="S4.Ex59.m1.2.2.2" xref="S4.Ex59.m1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex59.m1.2.2.2.4" xref="S4.Ex59.m1.2.2.2.4.cmml">W</mi><mrow id="S4.Ex59.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex59.m1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.Ex59.m1.2.2.2.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex59.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">[</mo><msubsup id="S4.Ex59.m1.2.2.2.2.2.2.1" xref="S4.Ex59.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S4.Ex59.m1.2.2.2.2.2.2.1.2.2" xref="S4.Ex59.m1.2.2.2.2.2.2.1.2.2.cmml">t</mi><msub id="S4.Ex59.m1.2.2.2.2.2.2.1.3" xref="S4.Ex59.m1.2.2.2.2.2.2.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex59.m1.2.2.2.2.2.2.1.3.2" xref="S4.Ex59.m1.2.2.2.2.2.2.1.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex59.m1.2.2.2.2.2.2.1.3.3" xref="S4.Ex59.m1.2.2.2.2.2.2.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mi id="S4.Ex59.m1.2.2.2.2.2.2.1.2.3" xref="S4.Ex59.m1.2.2.2.2.2.2.1.2.3.cmml">b</mi></msubsup><mo id="S4.Ex59.m1.2.2.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex59.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">b</mi><mo id="S4.Ex59.m1.2.2.2.2.2.2.4" stretchy="false" xref="S4.Ex59.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">]</mo></mrow></msub></msub><mo id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.12.9" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.12.9.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.8.4.4" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.8.4.5.cmml"><mo id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.8.4.4.5" stretchy="false" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.8.4.5.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex59.m1.7.7" xref="S4.Ex59.m1.7.7.cmml">z</mi><mo id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.8.4.4.6" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.8.4.5.cmml">,</mo><msubsup id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.5.1.1.1" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.5.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.5.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.5.1.1.1.2.2.cmml">t</mi><msub id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.5.1.1.1.3" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.5.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.5.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.5.1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.5.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.5.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mi id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.5.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.5.1.1.1.2.3.cmml">b</mi></msubsup><mo id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.8.4.4.7" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.8.4.5.cmml">,</mo><msubsup id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.6.2.2.2" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.6.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.6.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.6.2.2.2.2.2.cmml">v</mi><msub id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.6.2.2.2.3" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.6.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.6.2.2.2.3.2" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.6.2.2.2.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.6.2.2.2.3.3" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.6.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></msub><mi id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.6.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.6.2.2.2.2.3.cmml">b</mi></msubsup><mo id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.8.4.4.8" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.8.4.5.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex59.m1.8.8" mathvariant="normal" xref="S4.Ex59.m1.8.8.cmml">…</mi><mo id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.8.4.4.9" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.8.4.5.cmml">,</mo><msubsup id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.7.3.3.3" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.7.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.7.3.3.3.2.2" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.7.3.3.3.2.2.cmml">t</mi><msub id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.7.3.3.3.3" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.7.3.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.7.3.3.3.3.2" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.7.3.3.3.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.7.3.3.3.3.3" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.7.3.3.3.3.3.cmml">2</mn></msub><mi id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.7.3.3.3.2.3" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.7.3.3.3.2.3.cmml">f</mi></msubsup><mo id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.8.4.4.10" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.8.4.5.cmml">,</mo><msubsup id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.8.4.4.4" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.8.4.4.4.cmml"><mi id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.8.4.4.4.2.2" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.8.4.4.4.2.2.cmml">v</mi><msub id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.8.4.4.4.3" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.8.4.4.4.3.cmml"><mi id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.8.4.4.4.3.2" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.8.4.4.4.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.8.4.4.4.3.3" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.8.4.4.4.3.3.cmml">2</mn></msub><mi id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.8.4.4.4.2.3" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.8.4.4.4.2.3.cmml">f</mi></msubsup><mo id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.8.4.4.11" stretchy="false" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.8.4.5.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.12.9a" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.12.9.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.12.11.2" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.12.11.1.cmml"><mo id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.12.11.2.1" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.12.11.1.1.cmml">|</mo><mfrac id="S4.Ex59.m1.3.3" xref="S4.Ex59.m1.3.3.cmml"><mrow id="S4.Ex59.m1.3.3.3" xref="S4.Ex59.m1.3.3.3.cmml"><mo id="S4.Ex59.m1.3.3.3a" xref="S4.Ex59.m1.3.3.3.cmml">−</mo><msubsup id="S4.Ex59.m1.3.3.3.2" xref="S4.Ex59.m1.3.3.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex59.m1.3.3.3.2.2.2" xref="S4.Ex59.m1.3.3.3.2.2.2.cmml">t</mi><msub id="S4.Ex59.m1.3.3.3.2.3" xref="S4.Ex59.m1.3.3.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex59.m1.3.3.3.2.3.2" xref="S4.Ex59.m1.3.3.3.2.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex59.m1.3.3.3.2.3.3" xref="S4.Ex59.m1.3.3.3.2.3.3.cmml">1</mn></msub><mi id="S4.Ex59.m1.3.3.3.2.2.3" xref="S4.Ex59.m1.3.3.3.2.2.3.cmml">b</mi></msubsup></mrow><msup id="S4.Ex59.m1.3.3.1" xref="S4.Ex59.m1.3.3.1.cmml"><mrow id="S4.Ex59.m1.3.3.1.1.1" xref="S4.Ex59.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex59.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex59.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex59.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S4.Ex59.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex59.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex59.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">b</mi><mo id="S4.Ex59.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex59.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msubsup id="S4.Ex59.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex59.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex59.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex59.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.cmml">t</mi><msub id="S4.Ex59.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex59.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex59.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex59.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">k</mi><mn 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id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.11.7.3.3.3.2" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.11.7.3.3.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.11.7.3.3.3.3" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.11.7.3.3.3.3.cmml">2</mn></msub><mi id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.11.7.3.3.2.3" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.11.7.3.3.2.3.cmml">f</mi></msubsup><mo id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.12.8.4.10" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.12.8.5.cmml">,</mo><msubsup id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.12.8.4.4" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.12.8.4.4.cmml"><mi id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.12.8.4.4.2.2" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.12.8.4.4.2.2.cmml">v</mi><msub id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.12.8.4.4.3" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.12.8.4.4.3.cmml"><mi id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.12.8.4.4.3.2" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.12.8.4.4.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.12.8.4.4.3.3" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.12.8.4.4.3.3.cmml">2</mn></msub><mi id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.12.8.4.4.2.3" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.12.8.4.4.2.3.cmml">f</mi></msubsup><mo id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.12.8.4.11" 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xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.2.2">𝑣</ci><ci id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.2.3">𝑏</ci></apply><apply id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S4.Ex59.m1.5.5.cmml" xref="S4.Ex59.m1.5.5">…</ci><apply id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.3.3.3.3">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.3.3.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.3.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.3.3.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.3.3.3.3.2.2">𝑡</ci><ci id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.3.3.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.3.3.3.3.2.3">𝑓</ci></apply><apply id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.3.3.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.3.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.3.3.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.3.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.3.3.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.3.3.3.3.3.2">𝑘</ci><cn id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.3.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.3.3.3.3.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.4.4.4.4.cmml" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.4.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.4.4.4.4.1.cmml" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.4.4.4.4">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.4.4.4.4.2.cmml" xref="S4.Ex59.m1.12.12.1.1.4.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" 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W_{[t^{b}_{k_{1}},b]}}(z,t^{b}_{k_{1}},v^{b}_{k_{1}},...,t^{f}_{k_{2}},v^{f}_{% k_{2}})\left|\frac{-t^{b}_{k_{1}}}{(b-t_{k_{1}}^{b})^{2}}\right|S_{g}(z,t^{b}_% {k_{1}},v^{b}_{k_{1}},...,t^{f}_{k_{2}},v^{f}_{k_{2}},b).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex59.m1.12d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_g end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z , italic_t start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_t start_POSTSUPERSCRIPT italic_f end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUPERSCRIPT italic_f end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , italic_b ) = italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_W start_POSTSUBSCRIPT [ italic_t start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , italic_b ] end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z , italic_t start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_t start_POSTSUPERSCRIPT italic_f end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUPERSCRIPT italic_f end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ) | divide start_ARG - italic_t start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG ( italic_b - italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG | italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_g end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z , italic_t start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_t start_POSTSUPERSCRIPT italic_f end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUPERSCRIPT italic_f end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , italic_b ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S4.SS3.2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="S4.SS3.1.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.1.p1.2">For a given <math alttext="\alpha\in[0,1]" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.1.p1.1.m1.2"><semantics id="S4.SS3.1.p1.1.m1.2a"><mrow id="S4.SS3.1.p1.1.m1.2.3" xref="S4.SS3.1.p1.1.m1.2.3.cmml"><mi id="S4.SS3.1.p1.1.m1.2.3.2" xref="S4.SS3.1.p1.1.m1.2.3.2.cmml">α</mi><mo id="S4.SS3.1.p1.1.m1.2.3.1" xref="S4.SS3.1.p1.1.m1.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="S4.SS3.1.p1.1.m1.2.3.3.2" xref="S4.SS3.1.p1.1.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S4.SS3.1.p1.1.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS3.1.p1.1.m1.2.3.3.1.cmml">[</mo><mn id="S4.SS3.1.p1.1.m1.1.1" xref="S4.SS3.1.p1.1.m1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S4.SS3.1.p1.1.m1.2.3.3.2.2" xref="S4.SS3.1.p1.1.m1.2.3.3.1.cmml">,</mo><mn id="S4.SS3.1.p1.1.m1.2.2" xref="S4.SS3.1.p1.1.m1.2.2.cmml">1</mn><mo id="S4.SS3.1.p1.1.m1.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.SS3.1.p1.1.m1.2.3.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.1.p1.1.m1.2b"><apply id="S4.SS3.1.p1.1.m1.2.3.cmml" xref="S4.SS3.1.p1.1.m1.2.3"><in id="S4.SS3.1.p1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS3.1.p1.1.m1.2.3.1"></in><ci id="S4.SS3.1.p1.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS3.1.p1.1.m1.2.3.2">𝛼</ci><interval closure="closed" id="S4.SS3.1.p1.1.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.SS3.1.p1.1.m1.2.3.3.2"><cn id="S4.SS3.1.p1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.1.p1.1.m1.1.1">0</cn><cn id="S4.SS3.1.p1.1.m1.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.1.p1.1.m1.2.2">1</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.1.p1.1.m1.2c">\alpha\in[0,1]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.1.p1.1.m1.2d">italic_α ∈ [ 0 , 1 ]</annotation></semantics></math>, assuming that the path is stopped on the left, there exists <math alttext="k_{1}\leq k_{b},k_{2}\leq k_{f}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.1.p1.2.m2.2"><semantics id="S4.SS3.1.p1.2.m2.2a"><mrow id="S4.SS3.1.p1.2.m2.2.2.2" xref="S4.SS3.1.p1.2.m2.2.2.3.cmml"><mrow id="S4.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1.1" xref="S4.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1.1.2" xref="S4.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.2.cmml">k</mi><mn id="S4.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.3" xref="S4.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S4.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">≤</mo><msub id="S4.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1.1.3" xref="S4.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1.1.3.2" xref="S4.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mi id="S4.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1.1.3.3" xref="S4.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1.1.3.3.cmml">b</mi></msub></mrow><mo id="S4.SS3.1.p1.2.m2.2.2.2.3" xref="S4.SS3.1.p1.2.m2.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.SS3.1.p1.2.m2.2.2.2.2" xref="S4.SS3.1.p1.2.m2.2.2.2.2.cmml"><msub id="S4.SS3.1.p1.2.m2.2.2.2.2.2" xref="S4.SS3.1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.SS3.1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.2" xref="S4.SS3.1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.2.cmml">k</mi><mn id="S4.SS3.1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3" xref="S4.SS3.1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.SS3.1.p1.2.m2.2.2.2.2.1" xref="S4.SS3.1.p1.2.m2.2.2.2.2.1.cmml">≤</mo><msub id="S4.SS3.1.p1.2.m2.2.2.2.2.3" xref="S4.SS3.1.p1.2.m2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.SS3.1.p1.2.m2.2.2.2.2.3.2" xref="S4.SS3.1.p1.2.m2.2.2.2.2.3.2.cmml">k</mi><mi id="S4.SS3.1.p1.2.m2.2.2.2.2.3.3" xref="S4.SS3.1.p1.2.m2.2.2.2.2.3.3.cmml">f</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.1.p1.2.m2.2b"><apply id="S4.SS3.1.p1.2.m2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS3.1.p1.2.m2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.1.p1.2.m2.2.2.3a.cmml" xref="S4.SS3.1.p1.2.m2.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1.1"><leq id="S4.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1"></leq><apply id="S4.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.2">𝑘</ci><cn id="S4.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S4.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1.1.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1.1.3.3">𝑏</ci></apply></apply><apply id="S4.SS3.1.p1.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS3.1.p1.2.m2.2.2.2.2"><leq id="S4.SS3.1.p1.2.m2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS3.1.p1.2.m2.2.2.2.2.1"></leq><apply id="S4.SS3.1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS3.1.p1.2.m2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS3.1.p1.2.m2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS3.1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.2">𝑘</ci><cn id="S4.SS3.1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S4.SS3.1.p1.2.m2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS3.1.p1.2.m2.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.1.p1.2.m2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS3.1.p1.2.m2.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.1.p1.2.m2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS3.1.p1.2.m2.2.2.2.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.SS3.1.p1.2.m2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.SS3.1.p1.2.m2.2.2.2.2.3.3">𝑓</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.1.p1.2.m2.2c">k_{1}\leq k_{b},k_{2}\leq k_{f}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.1.p1.2.m2.2d">italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ≤ italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT , italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ≤ italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> such that</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex60"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="f(w,\alpha)=(z,t_{1}^{b},...,t_{k_{1}}^{b},t_{1}^{f},...,t_{k_{2}}^{f},(1-% \alpha)\frac{-t^{b}_{k_{1}}}{\alpha})" class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex60.m1.10"><semantics id="S4.Ex60.m1.10a"><mrow id="S4.Ex60.m1.10.10" xref="S4.Ex60.m1.10.10.cmml"><mrow id="S4.Ex60.m1.10.10.7" xref="S4.Ex60.m1.10.10.7.cmml"><mi id="S4.Ex60.m1.10.10.7.2" xref="S4.Ex60.m1.10.10.7.2.cmml">f</mi><mo id="S4.Ex60.m1.10.10.7.1" xref="S4.Ex60.m1.10.10.7.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex60.m1.10.10.7.3.2" xref="S4.Ex60.m1.10.10.7.3.1.cmml"><mo id="S4.Ex60.m1.10.10.7.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex60.m1.10.10.7.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex60.m1.1.1" xref="S4.Ex60.m1.1.1.cmml">w</mi><mo id="S4.Ex60.m1.10.10.7.3.2.2" xref="S4.Ex60.m1.10.10.7.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex60.m1.2.2" xref="S4.Ex60.m1.2.2.cmml">α</mi><mo id="S4.Ex60.m1.10.10.7.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.Ex60.m1.10.10.7.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex60.m1.10.10.6" xref="S4.Ex60.m1.10.10.6.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex60.m1.10.10.5.5" xref="S4.Ex60.m1.10.10.5.6.cmml"><mo id="S4.Ex60.m1.10.10.5.5.6" stretchy="false" xref="S4.Ex60.m1.10.10.5.6.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex60.m1.3.3" xref="S4.Ex60.m1.3.3.cmml">z</mi><mo id="S4.Ex60.m1.10.10.5.5.7" xref="S4.Ex60.m1.10.10.5.6.cmml">,</mo><msubsup id="S4.Ex60.m1.6.6.1.1.1" xref="S4.Ex60.m1.6.6.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex60.m1.6.6.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex60.m1.6.6.1.1.1.2.2.cmml">t</mi><mn id="S4.Ex60.m1.6.6.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex60.m1.6.6.1.1.1.2.3.cmml">1</mn><mi id="S4.Ex60.m1.6.6.1.1.1.3" xref="S4.Ex60.m1.6.6.1.1.1.3.cmml">b</mi></msubsup><mo id="S4.Ex60.m1.10.10.5.5.8" xref="S4.Ex60.m1.10.10.5.6.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex60.m1.4.4" mathvariant="normal" xref="S4.Ex60.m1.4.4.cmml">…</mi><mo id="S4.Ex60.m1.10.10.5.5.9" xref="S4.Ex60.m1.10.10.5.6.cmml">,</mo><msubsup id="S4.Ex60.m1.7.7.2.2.2" xref="S4.Ex60.m1.7.7.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex60.m1.7.7.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex60.m1.7.7.2.2.2.2.2.cmml">t</mi><msub id="S4.Ex60.m1.7.7.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex60.m1.7.7.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex60.m1.7.7.2.2.2.2.3.2" xref="S4.Ex60.m1.7.7.2.2.2.2.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex60.m1.7.7.2.2.2.2.3.3" xref="S4.Ex60.m1.7.7.2.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></msub><mi id="S4.Ex60.m1.7.7.2.2.2.3" xref="S4.Ex60.m1.7.7.2.2.2.3.cmml">b</mi></msubsup><mo id="S4.Ex60.m1.10.10.5.5.10" xref="S4.Ex60.m1.10.10.5.6.cmml">,</mo><msubsup id="S4.Ex60.m1.8.8.3.3.3" xref="S4.Ex60.m1.8.8.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex60.m1.8.8.3.3.3.2.2" xref="S4.Ex60.m1.8.8.3.3.3.2.2.cmml">t</mi><mn id="S4.Ex60.m1.8.8.3.3.3.2.3" xref="S4.Ex60.m1.8.8.3.3.3.2.3.cmml">1</mn><mi id="S4.Ex60.m1.8.8.3.3.3.3" xref="S4.Ex60.m1.8.8.3.3.3.3.cmml">f</mi></msubsup><mo id="S4.Ex60.m1.10.10.5.5.11" xref="S4.Ex60.m1.10.10.5.6.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex60.m1.5.5" mathvariant="normal" xref="S4.Ex60.m1.5.5.cmml">…</mi><mo id="S4.Ex60.m1.10.10.5.5.12" xref="S4.Ex60.m1.10.10.5.6.cmml">,</mo><msubsup id="S4.Ex60.m1.9.9.4.4.4" xref="S4.Ex60.m1.9.9.4.4.4.cmml"><mi id="S4.Ex60.m1.9.9.4.4.4.2.2" xref="S4.Ex60.m1.9.9.4.4.4.2.2.cmml">t</mi><msub id="S4.Ex60.m1.9.9.4.4.4.2.3" xref="S4.Ex60.m1.9.9.4.4.4.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex60.m1.9.9.4.4.4.2.3.2" xref="S4.Ex60.m1.9.9.4.4.4.2.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex60.m1.9.9.4.4.4.2.3.3" xref="S4.Ex60.m1.9.9.4.4.4.2.3.3.cmml">2</mn></msub><mi id="S4.Ex60.m1.9.9.4.4.4.3" xref="S4.Ex60.m1.9.9.4.4.4.3.cmml">f</mi></msubsup><mo id="S4.Ex60.m1.10.10.5.5.13" xref="S4.Ex60.m1.10.10.5.6.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex60.m1.10.10.5.5.5" xref="S4.Ex60.m1.10.10.5.5.5.cmml"><mrow id="S4.Ex60.m1.10.10.5.5.5.1.1" xref="S4.Ex60.m1.10.10.5.5.5.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex60.m1.10.10.5.5.5.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex60.m1.10.10.5.5.5.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex60.m1.10.10.5.5.5.1.1.1" xref="S4.Ex60.m1.10.10.5.5.5.1.1.1.cmml"><mn id="S4.Ex60.m1.10.10.5.5.5.1.1.1.2" xref="S4.Ex60.m1.10.10.5.5.5.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S4.Ex60.m1.10.10.5.5.5.1.1.1.1" xref="S4.Ex60.m1.10.10.5.5.5.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S4.Ex60.m1.10.10.5.5.5.1.1.1.3" xref="S4.Ex60.m1.10.10.5.5.5.1.1.1.3.cmml">α</mi></mrow><mo id="S4.Ex60.m1.10.10.5.5.5.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex60.m1.10.10.5.5.5.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex60.m1.10.10.5.5.5.2" xref="S4.Ex60.m1.10.10.5.5.5.2.cmml">⁢</mo><mfrac id="S4.Ex60.m1.10.10.5.5.5.3" xref="S4.Ex60.m1.10.10.5.5.5.3.cmml"><mrow id="S4.Ex60.m1.10.10.5.5.5.3.2" xref="S4.Ex60.m1.10.10.5.5.5.3.2.cmml"><mo id="S4.Ex60.m1.10.10.5.5.5.3.2a" xref="S4.Ex60.m1.10.10.5.5.5.3.2.cmml">−</mo><msubsup id="S4.Ex60.m1.10.10.5.5.5.3.2.2" xref="S4.Ex60.m1.10.10.5.5.5.3.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex60.m1.10.10.5.5.5.3.2.2.2.2" xref="S4.Ex60.m1.10.10.5.5.5.3.2.2.2.2.cmml">t</mi><msub id="S4.Ex60.m1.10.10.5.5.5.3.2.2.3" xref="S4.Ex60.m1.10.10.5.5.5.3.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex60.m1.10.10.5.5.5.3.2.2.3.2" xref="S4.Ex60.m1.10.10.5.5.5.3.2.2.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex60.m1.10.10.5.5.5.3.2.2.3.3" xref="S4.Ex60.m1.10.10.5.5.5.3.2.2.3.3.cmml">1</mn></msub><mi id="S4.Ex60.m1.10.10.5.5.5.3.2.2.2.3" xref="S4.Ex60.m1.10.10.5.5.5.3.2.2.2.3.cmml">b</mi></msubsup></mrow><mi id="S4.Ex60.m1.10.10.5.5.5.3.3" xref="S4.Ex60.m1.10.10.5.5.5.3.3.cmml">α</mi></mfrac></mrow><mo id="S4.Ex60.m1.10.10.5.5.14" stretchy="false" xref="S4.Ex60.m1.10.10.5.6.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex60.m1.10b"><apply id="S4.Ex60.m1.10.10.cmml" xref="S4.Ex60.m1.10.10"><eq id="S4.Ex60.m1.10.10.6.cmml" xref="S4.Ex60.m1.10.10.6"></eq><apply id="S4.Ex60.m1.10.10.7.cmml" xref="S4.Ex60.m1.10.10.7"><times id="S4.Ex60.m1.10.10.7.1.cmml" xref="S4.Ex60.m1.10.10.7.1"></times><ci id="S4.Ex60.m1.10.10.7.2.cmml" xref="S4.Ex60.m1.10.10.7.2">𝑓</ci><interval closure="open" id="S4.Ex60.m1.10.10.7.3.1.cmml" xref="S4.Ex60.m1.10.10.7.3.2"><ci id="S4.Ex60.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1">𝑤</ci><ci id="S4.Ex60.m1.2.2.cmml" xref="S4.Ex60.m1.2.2">𝛼</ci></interval></apply><vector id="S4.Ex60.m1.10.10.5.6.cmml" xref="S4.Ex60.m1.10.10.5.5"><ci id="S4.Ex60.m1.3.3.cmml" xref="S4.Ex60.m1.3.3">𝑧</ci><apply id="S4.Ex60.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex60.m1.6.6.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex60.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex60.m1.6.6.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex60.m1.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex60.m1.6.6.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex60.m1.6.6.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex60.m1.6.6.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex60.m1.6.6.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex60.m1.6.6.1.1.1.2.2">𝑡</ci><cn id="S4.Ex60.m1.6.6.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" 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id="S4.Ex60.m1.10.10.5.5.5.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex60.m1.10.10.5.5.5.1.1.1.2">1</cn><ci id="S4.Ex60.m1.10.10.5.5.5.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex60.m1.10.10.5.5.5.1.1.1.3">𝛼</ci></apply><apply id="S4.Ex60.m1.10.10.5.5.5.3.cmml" xref="S4.Ex60.m1.10.10.5.5.5.3"><divide id="S4.Ex60.m1.10.10.5.5.5.3.1.cmml" xref="S4.Ex60.m1.10.10.5.5.5.3"></divide><apply id="S4.Ex60.m1.10.10.5.5.5.3.2.cmml" xref="S4.Ex60.m1.10.10.5.5.5.3.2"><minus id="S4.Ex60.m1.10.10.5.5.5.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex60.m1.10.10.5.5.5.3.2"></minus><apply id="S4.Ex60.m1.10.10.5.5.5.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex60.m1.10.10.5.5.5.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex60.m1.10.10.5.5.5.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex60.m1.10.10.5.5.5.3.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex60.m1.10.10.5.5.5.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex60.m1.10.10.5.5.5.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex60.m1.10.10.5.5.5.3.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex60.m1.10.10.5.5.5.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex60.m1.10.10.5.5.5.3.2.2.2.2.cmml" 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( italic_z , italic_t start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT , … , italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT , italic_t start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_f end_POSTSUPERSCRIPT , … , italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_f end_POSTSUPERSCRIPT , ( 1 - italic_α ) divide start_ARG - italic_t start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_α end_ARG )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS3.2.p2"> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.2.p2.5">Let <math alttext="A\subset F" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.2.p2.1.m1.1"><semantics id="S4.SS3.2.p2.1.m1.1a"><mrow id="S4.SS3.2.p2.1.m1.1.1" xref="S4.SS3.2.p2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.2.p2.1.m1.1.1.2" xref="S4.SS3.2.p2.1.m1.1.1.2.cmml">A</mi><mo id="S4.SS3.2.p2.1.m1.1.1.1" xref="S4.SS3.2.p2.1.m1.1.1.1.cmml">⊂</mo><mi id="S4.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.cmml">F</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.2.p2.1.m1.1b"><apply id="S4.SS3.2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.1.m1.1.1"><subset id="S4.SS3.2.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.1.m1.1.1.1"></subset><ci id="S4.SS3.2.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.1.m1.1.1.2">𝐴</ci><ci id="S4.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3">𝐹</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.2.p2.1.m1.1c">A\subset F</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.2.p2.1.m1.1d">italic_A ⊂ italic_F</annotation></semantics></math> of the form <math alttext="A\subset E\times\mathbb{R}^{k_{1}+k_{2}}\times\mathbb{R}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.2.p2.2.m2.1"><semantics id="S4.SS3.2.p2.2.m2.1a"><mrow id="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1" xref="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.2" xref="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.2.cmml">A</mi><mo id="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.1" xref="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.1.cmml">⊂</mo><mrow id="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3" xref="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.2" xref="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.2.cmml">E</mi><mo id="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.1.cmml">×</mo><msup id="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.3" xref="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.3.2" xref="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.3.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.3.3" xref="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.3.3.cmml"><msub id="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.3.3.2" xref="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.3.3.2.cmml"><mi id="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.3.3.2.2" xref="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.3.3.2.2.cmml">k</mi><mn id="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.3.3.2.3" xref="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.3.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.3.3.1" xref="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.3.3.1.cmml">+</mo><msub id="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.3.3.3" xref="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.3.3.3.2" xref="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.3.3.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.3.3.3.3" xref="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.3.3.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow></msup><mo id="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.1a" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.1.cmml">×</mo><mi id="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.4" xref="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.4.cmml">ℝ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.2.p2.2.m2.1b"><apply id="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1"><subset id="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.1"></subset><ci id="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.2">𝐴</ci><apply id="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3"><times id="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.1"></times><ci id="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.2">𝐸</ci><apply id="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.3.2">ℝ</ci><apply id="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.3.3"><plus id="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.3.3.1"></plus><apply id="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.3.3.2.1.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.3.3.2.2.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.3.3.2.2">𝑘</ci><cn id="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.3.3.2.3">1</cn></apply><apply id="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.3.3.3.2">𝑘</ci><cn id="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.3.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply><ci id="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.4.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.4">ℝ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.2.p2.2.m2.1c">A\subset E\times\mathbb{R}^{k_{1}+k_{2}}\times\mathbb{R}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.2.p2.2.m2.1d">italic_A ⊂ italic_E × blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT × blackboard_R</annotation></semantics></math>, and let <math alttext="P_{F}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.2.p2.3.m3.1"><semantics id="S4.SS3.2.p2.3.m3.1a"><msub id="S4.SS3.2.p2.3.m3.1.1" xref="S4.SS3.2.p2.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.2.p2.3.m3.1.1.2" xref="S4.SS3.2.p2.3.m3.1.1.2.cmml">P</mi><mi id="S4.SS3.2.p2.3.m3.1.1.3" xref="S4.SS3.2.p2.3.m3.1.1.3.cmml">F</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.2.p2.3.m3.1b"><apply id="S4.SS3.2.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.2.p2.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.2.p2.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.3.m3.1.1.2">𝑃</ci><ci id="S4.SS3.2.p2.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.3.m3.1.1.3">𝐹</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.2.p2.3.m3.1c">P_{F}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.2.p2.3.m3.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_F end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> be the pushforward measure of <math alttext="p_{M}\times\text{Unif}(0,1)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.2.p2.4.m4.2"><semantics id="S4.SS3.2.p2.4.m4.2a"><mrow id="S4.SS3.2.p2.4.m4.2.3" xref="S4.SS3.2.p2.4.m4.2.3.cmml"><mrow id="S4.SS3.2.p2.4.m4.2.3.2" xref="S4.SS3.2.p2.4.m4.2.3.2.cmml"><msub id="S4.SS3.2.p2.4.m4.2.3.2.2" xref="S4.SS3.2.p2.4.m4.2.3.2.2.cmml"><mi id="S4.SS3.2.p2.4.m4.2.3.2.2.2" xref="S4.SS3.2.p2.4.m4.2.3.2.2.2.cmml">p</mi><mi id="S4.SS3.2.p2.4.m4.2.3.2.2.3" xref="S4.SS3.2.p2.4.m4.2.3.2.2.3.cmml">M</mi></msub><mo id="S4.SS3.2.p2.4.m4.2.3.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.SS3.2.p2.4.m4.2.3.2.1.cmml">×</mo><mtext id="S4.SS3.2.p2.4.m4.2.3.2.3" xref="S4.SS3.2.p2.4.m4.2.3.2.3a.cmml">Unif</mtext></mrow><mo id="S4.SS3.2.p2.4.m4.2.3.1" xref="S4.SS3.2.p2.4.m4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS3.2.p2.4.m4.2.3.3.2" xref="S4.SS3.2.p2.4.m4.2.3.3.1.cmml"><mo id="S4.SS3.2.p2.4.m4.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS3.2.p2.4.m4.2.3.3.1.cmml">(</mo><mn id="S4.SS3.2.p2.4.m4.1.1" xref="S4.SS3.2.p2.4.m4.1.1.cmml">0</mn><mo id="S4.SS3.2.p2.4.m4.2.3.3.2.2" xref="S4.SS3.2.p2.4.m4.2.3.3.1.cmml">,</mo><mn id="S4.SS3.2.p2.4.m4.2.2" xref="S4.SS3.2.p2.4.m4.2.2.cmml">1</mn><mo id="S4.SS3.2.p2.4.m4.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.SS3.2.p2.4.m4.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.2.p2.4.m4.2b"><apply id="S4.SS3.2.p2.4.m4.2.3.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.4.m4.2.3"><times id="S4.SS3.2.p2.4.m4.2.3.1.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.4.m4.2.3.1"></times><apply id="S4.SS3.2.p2.4.m4.2.3.2.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.4.m4.2.3.2"><times id="S4.SS3.2.p2.4.m4.2.3.2.1.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.4.m4.2.3.2.1"></times><apply id="S4.SS3.2.p2.4.m4.2.3.2.2.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.4.m4.2.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.2.p2.4.m4.2.3.2.2.1.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.4.m4.2.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.2.p2.4.m4.2.3.2.2.2.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.4.m4.2.3.2.2.2">𝑝</ci><ci id="S4.SS3.2.p2.4.m4.2.3.2.2.3.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.4.m4.2.3.2.2.3">𝑀</ci></apply><ci id="S4.SS3.2.p2.4.m4.2.3.2.3a.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.4.m4.2.3.2.3"><mtext id="S4.SS3.2.p2.4.m4.2.3.2.3.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.4.m4.2.3.2.3">Unif</mtext></ci></apply><interval closure="open" id="S4.SS3.2.p2.4.m4.2.3.3.1.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.4.m4.2.3.3.2"><cn id="S4.SS3.2.p2.4.m4.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.2.p2.4.m4.1.1">0</cn><cn id="S4.SS3.2.p2.4.m4.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.2.p2.4.m4.2.2">1</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.2.p2.4.m4.2c">p_{M}\times\text{Unif}(0,1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.2.p2.4.m4.2d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_M end_POSTSUBSCRIPT × Unif ( 0 , 1 )</annotation></semantics></math> by <math alttext="f" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.2.p2.5.m5.1"><semantics id="S4.SS3.2.p2.5.m5.1a"><mi id="S4.SS3.2.p2.5.m5.1.1" xref="S4.SS3.2.p2.5.m5.1.1.cmml">f</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.2.p2.5.m5.1b"><ci id="S4.SS3.2.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.5.m5.1.1">𝑓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.2.p2.5.m5.1c">f</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.2.p2.5.m5.1d">italic_f</annotation></semantics></math>. By definition:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex61"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="P_{F}(A)=\int_{W_{M}}\int_{0}^{1}1_{A}(f(w,\alpha))p_{M}(w)d\alpha dw." class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex61.m1.5"><semantics id="S4.Ex61.m1.5a"><mrow id="S4.Ex61.m1.5.5.1" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.3" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.3.cmml"><msub id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.3.2" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.3.2.3.cmml">F</mi></msub><mo id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.3.1" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mo id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex61.m1.1.1" xref="S4.Ex61.m1.1.1.cmml">A</mi><mo id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.2" rspace="0.111em" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.2" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.2.2" rspace="0em" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.2.2.cmml">∫</mo><msub id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.2.3.2.cmml">W</mi><mi id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.2.3.3.cmml">M</mi></msub></msub><mrow id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∫</mo><mn id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.3.cmml">0</mn><mn id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msubsup><mrow id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mi id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.3.cmml">A</mi></msub><mo id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">f</mi><mo id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex61.m1.2.2" xref="S4.Ex61.m1.2.2.cmml">w</mi><mo id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex61.m1.3.3" xref="S4.Ex61.m1.3.3.cmml">α</mi><mo id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.2a" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.cmml">p</mi><mi id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.3" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.3.cmml">M</mi></msub><mo id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.2b" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.5.2" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex61.m1.4.4" xref="S4.Ex61.m1.4.4.cmml">w</mi><mo id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.2c" lspace="0em" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.6" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.6.cmml"><mo id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.6.1" rspace="0em" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.6.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.6.2" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.6.2.cmml">α</mi></mrow><mo id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.2d" lspace="0em" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.7" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.7.cmml"><mo id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.7.1" rspace="0em" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.7.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.7.2" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.7.2.cmml">w</mi></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex61.m1.5.5.1.2" lspace="0em" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex61.m1.5b"><apply id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1"><eq id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.2"></eq><apply id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.3"><times id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.3.1"></times><apply id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.3.2.2">𝑃</ci><ci id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.3.2.3">𝐹</ci></apply><ci id="S4.Ex61.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1">𝐴</ci></apply><apply id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1"><apply id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.2">subscript</csymbol><int id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.2.2"></int><apply id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.2.3.2">𝑊</ci><ci id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.2.3.3">𝑀</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1"><apply id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><int id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2"></int><cn id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.3">0</cn></apply><cn id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><cn id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2">1</cn><ci id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.3">𝐴</ci></apply><apply id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑓</ci><interval closure="open" id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="S4.Ex61.m1.2.2.cmml" xref="S4.Ex61.m1.2.2">𝑤</ci><ci id="S4.Ex61.m1.3.3.cmml" xref="S4.Ex61.m1.3.3">𝛼</ci></interval></apply><apply id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2">𝑝</ci><ci id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.3">𝑀</ci></apply><ci id="S4.Ex61.m1.4.4.cmml" xref="S4.Ex61.m1.4.4">𝑤</ci><apply id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.6"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.6.1">differential-d</csymbol><ci id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.6.2.cmml" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.6.2">𝛼</ci></apply><apply id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.7.cmml" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.7"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.7.1.cmml" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.7.1">differential-d</csymbol><ci id="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.7.2.cmml" xref="S4.Ex61.m1.5.5.1.1.1.1.1.7.2">𝑤</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex61.m1.5c">P_{F}(A)=\int_{W_{M}}\int_{0}^{1}1_{A}(f(w,\alpha))p_{M}(w)d\alpha dw.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex61.m1.5d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_F end_POSTSUBSCRIPT ( italic_A ) = ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_M end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ∫ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT 1 start_POSTSUBSCRIPT italic_A end_POSTSUBSCRIPT ( italic_f ( italic_w , italic_α ) ) italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_M end_POSTSUBSCRIPT ( italic_w ) italic_d italic_α italic_d italic_w .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.2.p2.10">We can rewrite this as:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx13"> <tbody id="S4.Ex62"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle P_{F}(A)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex62.m1.1"><semantics id="S4.Ex62.m1.1a"><mrow id="S4.Ex62.m1.1.2" xref="S4.Ex62.m1.1.2.cmml"><msub id="S4.Ex62.m1.1.2.2" xref="S4.Ex62.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex62.m1.1.2.2.2" xref="S4.Ex62.m1.1.2.2.2.cmml">P</mi><mi id="S4.Ex62.m1.1.2.2.3" xref="S4.Ex62.m1.1.2.2.3.cmml">F</mi></msub><mo id="S4.Ex62.m1.1.2.1" xref="S4.Ex62.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex62.m1.1.2.3.2" xref="S4.Ex62.m1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex62.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex62.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex62.m1.1.1" xref="S4.Ex62.m1.1.1.cmml">A</mi><mo id="S4.Ex62.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex62.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex62.m1.1b"><apply id="S4.Ex62.m1.1.2.cmml" xref="S4.Ex62.m1.1.2"><times id="S4.Ex62.m1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex62.m1.1.2.1"></times><apply id="S4.Ex62.m1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex62.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex62.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex62.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex62.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex62.m1.1.2.2.2">𝑃</ci><ci id="S4.Ex62.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex62.m1.1.2.2.3">𝐹</ci></apply><ci id="S4.Ex62.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex62.m1.1.1">𝐴</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex62.m1.1c">\displaystyle P_{F}(A)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex62.m1.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_F end_POSTSUBSCRIPT ( italic_A )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum_{k_{b}\geq k_{1},k_{f}>k_{2}}\int_{(\mathbb{R}\times V^{r})% ^{t^{b}_{k_{b}}-k_{1}}\times(\mathbb{R}\times V)^{t_{k_{f}}^{f}-k_{2}-1}}\int_% {E}\int_{(\mathbb{R}\times V^{r})^{k_{1}}\times(\mathbb{R}\times V)^{k_{2}+1}}% \int_{0}^{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex62.m2.6"><semantics id="S4.Ex62.m2.6a"><mrow id="S4.Ex62.m2.6.7" xref="S4.Ex62.m2.6.7.cmml"><mi id="S4.Ex62.m2.6.7.2" xref="S4.Ex62.m2.6.7.2.cmml"></mi><mo id="S4.Ex62.m2.6.7.1" xref="S4.Ex62.m2.6.7.1.cmml">=</mo><mrow 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id="S4.Ex62.m2.4.4.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex62.m2.4.4.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex62.m2.4.4.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex62.m2.4.4.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex62.m2.4.4.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex62.m2.4.4.2.2.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mo id="S4.Ex62.m2.4.4.2.2.1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.Ex62.m2.4.4.2.2.1.1.1.1.cmml">×</mo><mi id="S4.Ex62.m2.4.4.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex62.m2.4.4.2.2.1.1.1.3.cmml">V</mi></mrow><mo id="S4.Ex62.m2.4.4.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex62.m2.4.4.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.Ex62.m2.4.4.2.2.3" xref="S4.Ex62.m2.4.4.2.2.3.cmml"><msubsup id="S4.Ex62.m2.4.4.2.2.3.2" xref="S4.Ex62.m2.4.4.2.2.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex62.m2.4.4.2.2.3.2.2.2" xref="S4.Ex62.m2.4.4.2.2.3.2.2.2.cmml">t</mi><msub id="S4.Ex62.m2.4.4.2.2.3.2.2.3" xref="S4.Ex62.m2.4.4.2.2.3.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex62.m2.4.4.2.2.3.2.2.3.2" xref="S4.Ex62.m2.4.4.2.2.3.2.2.3.2.cmml">k</mi><mi id="S4.Ex62.m2.4.4.2.2.3.2.2.3.3" xref="S4.Ex62.m2.4.4.2.2.3.2.2.3.3.cmml">f</mi></msub><mi id="S4.Ex62.m2.4.4.2.2.3.2.3" xref="S4.Ex62.m2.4.4.2.2.3.2.3.cmml">f</mi></msubsup><mo id="S4.Ex62.m2.4.4.2.2.3.1" xref="S4.Ex62.m2.4.4.2.2.3.1.cmml">−</mo><msub id="S4.Ex62.m2.4.4.2.2.3.3" xref="S4.Ex62.m2.4.4.2.2.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex62.m2.4.4.2.2.3.3.2" xref="S4.Ex62.m2.4.4.2.2.3.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex62.m2.4.4.2.2.3.3.3" xref="S4.Ex62.m2.4.4.2.2.3.3.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.Ex62.m2.4.4.2.2.3.1a" xref="S4.Ex62.m2.4.4.2.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="S4.Ex62.m2.4.4.2.2.3.4" xref="S4.Ex62.m2.4.4.2.2.3.4.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow></msub></mstyle><mrow id="S4.Ex62.m2.6.7.3.2.2" xref="S4.Ex62.m2.6.7.3.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex62.m2.6.7.3.2.2.1" xref="S4.Ex62.m2.6.7.3.2.2.1.cmml"><msub id="S4.Ex62.m2.6.7.3.2.2.1a" xref="S4.Ex62.m2.6.7.3.2.2.1.cmml"><mo id="S4.Ex62.m2.6.7.3.2.2.1.2" xref="S4.Ex62.m2.6.7.3.2.2.1.2.cmml">∫</mo><mi id="S4.Ex62.m2.6.7.3.2.2.1.3" xref="S4.Ex62.m2.6.7.3.2.2.1.3.cmml">E</mi></msub></mstyle><mrow id="S4.Ex62.m2.6.7.3.2.2.2" xref="S4.Ex62.m2.6.7.3.2.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex62.m2.6.7.3.2.2.2.1" xref="S4.Ex62.m2.6.7.3.2.2.2.1.cmml"><msub id="S4.Ex62.m2.6.7.3.2.2.2.1a" xref="S4.Ex62.m2.6.7.3.2.2.2.1.cmml"><mo id="S4.Ex62.m2.6.7.3.2.2.2.1.2" xref="S4.Ex62.m2.6.7.3.2.2.2.1.2.cmml">∫</mo><mrow id="S4.Ex62.m2.6.6.2" xref="S4.Ex62.m2.6.6.2.cmml"><msup id="S4.Ex62.m2.5.5.1.1" xref="S4.Ex62.m2.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex62.m2.5.5.1.1.1.1" xref="S4.Ex62.m2.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex62.m2.5.5.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex62.m2.5.5.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex62.m2.5.5.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex62.m2.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex62.m2.5.5.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex62.m2.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mo id="S4.Ex62.m2.5.5.1.1.1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.Ex62.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">×</mo><msup id="S4.Ex62.m2.5.5.1.1.1.1.1.3" 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id="S4.Ex62.m2.2.2.2.3a.cmml" xref="S4.Ex62.m2.2.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Ex62.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex62.m2.1.1.1.1.1"><geq id="S4.Ex62.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex62.m2.1.1.1.1.1.1"></geq><apply id="S4.Ex62.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex62.m2.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex62.m2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex62.m2.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex62.m2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex62.m2.1.1.1.1.1.2.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex62.m2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex62.m2.1.1.1.1.1.2.3">𝑏</ci></apply><apply id="S4.Ex62.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex62.m2.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex62.m2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex62.m2.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex62.m2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex62.m2.1.1.1.1.1.3.2">𝑘</ci><cn id="S4.Ex62.m2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex62.m2.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.Ex62.m2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex62.m2.2.2.2.2.2"><gt 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xref="S4.Ex62.m2.5.5.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex62.m2.5.5.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex62.m2.5.5.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex62.m2.5.5.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex62.m2.5.5.1.1.1.1.1.3.2">𝑉</ci><ci id="S4.Ex62.m2.5.5.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex62.m2.5.5.1.1.1.1.1.3.3">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex62.m2.5.5.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex62.m2.5.5.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex62.m2.5.5.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex62.m2.5.5.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex62.m2.5.5.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex62.m2.5.5.1.1.3.2">𝑘</ci><cn id="S4.Ex62.m2.5.5.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex62.m2.5.5.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.Ex62.m2.6.6.2.2.cmml" xref="S4.Ex62.m2.6.6.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex62.m2.6.6.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex62.m2.6.6.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex62.m2.6.6.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex62.m2.6.6.2.2.1.1"><times id="S4.Ex62.m2.6.6.2.2.1.1.1.1.cmml" 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xref="S4.Ex62.m2.6.7.3.2.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex62.m2.6.7.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex62.m2.6.7.3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex62.m2.6.7.3.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex62.m2.6.7.3.2.2.2.2">subscript</csymbol><int id="S4.Ex62.m2.6.7.3.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex62.m2.6.7.3.2.2.2.2.2.2"></int><cn id="S4.Ex62.m2.6.7.3.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex62.m2.6.7.3.2.2.2.2.2.3">0</cn></apply><cn id="S4.Ex62.m2.6.7.3.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex62.m2.6.7.3.2.2.2.2.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex62.m2.6c">\displaystyle=\sum_{k_{b}\geq k_{1},k_{f}>k_{2}}\int_{(\mathbb{R}\times V^{r})% ^{t^{b}_{k_{b}}-k_{1}}\times(\mathbb{R}\times V)^{t_{k_{f}}^{f}-k_{2}-1}}\int_% {E}\int_{(\mathbb{R}\times V^{r})^{k_{1}}\times(\mathbb{R}\times V)^{k_{2}+1}}% \int_{0}^{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex62.m2.6d">= ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT ≥ italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT > italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ∫ start_POSTSUBSCRIPT ( blackboard_R × italic_V start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_t start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT - italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT × ( blackboard_R × italic_V ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_f end_POSTSUPERSCRIPT - italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT ∫ start_POSTSUBSCRIPT ( blackboard_R × italic_V start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT × ( blackboard_R × italic_V ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT + 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ∫ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.Ex63"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle S_{g}(z,t^{b}_{k_{1}},v^{b}_{k_{1}},...,t^{f}_{k_{2}},v^{f}_{k_{% 2}},(1-\alpha)\frac{-t^{b}_{k_{1}}}{\alpha})1_{A}(z,t^{b}_{k_{1}},v^{b}_{k_{1}% },...,t^{f}_{k_{2}},v^{f}_{k_{2}},(1-\alpha)\frac{-t^{b}_{k_{1}}}{\alpha})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex63.m1.14"><semantics id="S4.Ex63.m1.14a"><mrow id="S4.Ex63.m1.14.14" xref="S4.Ex63.m1.14.14.cmml"><msub id="S4.Ex63.m1.14.14.12" xref="S4.Ex63.m1.14.14.12.cmml"><mi id="S4.Ex63.m1.14.14.12.2" xref="S4.Ex63.m1.14.14.12.2.cmml">S</mi><mi id="S4.Ex63.m1.14.14.12.3" xref="S4.Ex63.m1.14.14.12.3.cmml">g</mi></msub><mo id="S4.Ex63.m1.14.14.11" xref="S4.Ex63.m1.14.14.11.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex63.m1.9.9.5.5" xref="S4.Ex63.m1.9.9.5.6.cmml"><mo id="S4.Ex63.m1.9.9.5.5.6" stretchy="false" xref="S4.Ex63.m1.9.9.5.6.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex63.m1.1.1" xref="S4.Ex63.m1.1.1.cmml">z</mi><mo id="S4.Ex63.m1.9.9.5.5.7" xref="S4.Ex63.m1.9.9.5.6.cmml">,</mo><msubsup id="S4.Ex63.m1.5.5.1.1.1" xref="S4.Ex63.m1.5.5.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex63.m1.5.5.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex63.m1.5.5.1.1.1.2.2.cmml">t</mi><msub id="S4.Ex63.m1.5.5.1.1.1.3" xref="S4.Ex63.m1.5.5.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex63.m1.5.5.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex63.m1.5.5.1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex63.m1.5.5.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex63.m1.5.5.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mi id="S4.Ex63.m1.5.5.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex63.m1.5.5.1.1.1.2.3.cmml">b</mi></msubsup><mo id="S4.Ex63.m1.9.9.5.5.8" xref="S4.Ex63.m1.9.9.5.6.cmml">,</mo><msubsup id="S4.Ex63.m1.6.6.2.2.2" xref="S4.Ex63.m1.6.6.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex63.m1.6.6.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex63.m1.6.6.2.2.2.2.2.cmml">v</mi><msub id="S4.Ex63.m1.6.6.2.2.2.3" xref="S4.Ex63.m1.6.6.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex63.m1.6.6.2.2.2.3.2" xref="S4.Ex63.m1.6.6.2.2.2.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex63.m1.6.6.2.2.2.3.3" xref="S4.Ex63.m1.6.6.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></msub><mi id="S4.Ex63.m1.6.6.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex63.m1.6.6.2.2.2.2.3.cmml">b</mi></msubsup><mo id="S4.Ex63.m1.9.9.5.5.9" xref="S4.Ex63.m1.9.9.5.6.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex63.m1.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex63.m1.2.2.cmml">…</mi><mo id="S4.Ex63.m1.9.9.5.5.10" xref="S4.Ex63.m1.9.9.5.6.cmml">,</mo><msubsup id="S4.Ex63.m1.7.7.3.3.3" xref="S4.Ex63.m1.7.7.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex63.m1.7.7.3.3.3.2.2" xref="S4.Ex63.m1.7.7.3.3.3.2.2.cmml">t</mi><msub id="S4.Ex63.m1.7.7.3.3.3.3" xref="S4.Ex63.m1.7.7.3.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex63.m1.7.7.3.3.3.3.2" xref="S4.Ex63.m1.7.7.3.3.3.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex63.m1.7.7.3.3.3.3.3" xref="S4.Ex63.m1.7.7.3.3.3.3.3.cmml">2</mn></msub><mi id="S4.Ex63.m1.7.7.3.3.3.2.3" xref="S4.Ex63.m1.7.7.3.3.3.2.3.cmml">f</mi></msubsup><mo id="S4.Ex63.m1.9.9.5.5.11" xref="S4.Ex63.m1.9.9.5.6.cmml">,</mo><msubsup id="S4.Ex63.m1.8.8.4.4.4" xref="S4.Ex63.m1.8.8.4.4.4.cmml"><mi id="S4.Ex63.m1.8.8.4.4.4.2.2" xref="S4.Ex63.m1.8.8.4.4.4.2.2.cmml">v</mi><msub id="S4.Ex63.m1.8.8.4.4.4.3" xref="S4.Ex63.m1.8.8.4.4.4.3.cmml"><mi id="S4.Ex63.m1.8.8.4.4.4.3.2" xref="S4.Ex63.m1.8.8.4.4.4.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex63.m1.8.8.4.4.4.3.3" xref="S4.Ex63.m1.8.8.4.4.4.3.3.cmml">2</mn></msub><mi id="S4.Ex63.m1.8.8.4.4.4.2.3" xref="S4.Ex63.m1.8.8.4.4.4.2.3.cmml">f</mi></msubsup><mo id="S4.Ex63.m1.9.9.5.5.12" xref="S4.Ex63.m1.9.9.5.6.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex63.m1.9.9.5.5.5" 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xref="S4.Ex63.m1.9.9.5.5.5.3.2.cmml">−</mo><msubsup id="S4.Ex63.m1.9.9.5.5.5.3.2.2" xref="S4.Ex63.m1.9.9.5.5.5.3.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex63.m1.9.9.5.5.5.3.2.2.2.2" xref="S4.Ex63.m1.9.9.5.5.5.3.2.2.2.2.cmml">t</mi><msub id="S4.Ex63.m1.9.9.5.5.5.3.2.2.3" xref="S4.Ex63.m1.9.9.5.5.5.3.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex63.m1.9.9.5.5.5.3.2.2.3.2" xref="S4.Ex63.m1.9.9.5.5.5.3.2.2.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex63.m1.9.9.5.5.5.3.2.2.3.3" xref="S4.Ex63.m1.9.9.5.5.5.3.2.2.3.3.cmml">1</mn></msub><mi id="S4.Ex63.m1.9.9.5.5.5.3.2.2.2.3" xref="S4.Ex63.m1.9.9.5.5.5.3.2.2.2.3.cmml">b</mi></msubsup></mrow><mi id="S4.Ex63.m1.9.9.5.5.5.3.3" xref="S4.Ex63.m1.9.9.5.5.5.3.3.cmml">α</mi></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S4.Ex63.m1.9.9.5.5.13" stretchy="false" xref="S4.Ex63.m1.9.9.5.6.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex63.m1.14.14.11a" xref="S4.Ex63.m1.14.14.11.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex63.m1.14.14.13" xref="S4.Ex63.m1.14.14.13.cmml"><mn id="S4.Ex63.m1.14.14.13.2" xref="S4.Ex63.m1.14.14.13.2.cmml">1</mn><mi id="S4.Ex63.m1.14.14.13.3" xref="S4.Ex63.m1.14.14.13.3.cmml">A</mi></msub><mo id="S4.Ex63.m1.14.14.11b" xref="S4.Ex63.m1.14.14.11.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex63.m1.14.14.10.5" xref="S4.Ex63.m1.14.14.10.6.cmml"><mo id="S4.Ex63.m1.14.14.10.5.6" stretchy="false" xref="S4.Ex63.m1.14.14.10.6.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex63.m1.3.3" xref="S4.Ex63.m1.3.3.cmml">z</mi><mo id="S4.Ex63.m1.14.14.10.5.7" xref="S4.Ex63.m1.14.14.10.6.cmml">,</mo><msubsup id="S4.Ex63.m1.10.10.6.1.1" xref="S4.Ex63.m1.10.10.6.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex63.m1.10.10.6.1.1.2.2" xref="S4.Ex63.m1.10.10.6.1.1.2.2.cmml">t</mi><msub id="S4.Ex63.m1.10.10.6.1.1.3" xref="S4.Ex63.m1.10.10.6.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex63.m1.10.10.6.1.1.3.2" xref="S4.Ex63.m1.10.10.6.1.1.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex63.m1.10.10.6.1.1.3.3" xref="S4.Ex63.m1.10.10.6.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mi id="S4.Ex63.m1.10.10.6.1.1.2.3" xref="S4.Ex63.m1.10.10.6.1.1.2.3.cmml">b</mi></msubsup><mo id="S4.Ex63.m1.14.14.10.5.8" xref="S4.Ex63.m1.14.14.10.6.cmml">,</mo><msubsup id="S4.Ex63.m1.11.11.7.2.2" xref="S4.Ex63.m1.11.11.7.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex63.m1.11.11.7.2.2.2.2" xref="S4.Ex63.m1.11.11.7.2.2.2.2.cmml">v</mi><msub id="S4.Ex63.m1.11.11.7.2.2.3" xref="S4.Ex63.m1.11.11.7.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex63.m1.11.11.7.2.2.3.2" xref="S4.Ex63.m1.11.11.7.2.2.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex63.m1.11.11.7.2.2.3.3" xref="S4.Ex63.m1.11.11.7.2.2.3.3.cmml">1</mn></msub><mi id="S4.Ex63.m1.11.11.7.2.2.2.3" xref="S4.Ex63.m1.11.11.7.2.2.2.3.cmml">b</mi></msubsup><mo id="S4.Ex63.m1.14.14.10.5.9" xref="S4.Ex63.m1.14.14.10.6.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex63.m1.4.4" mathvariant="normal" xref="S4.Ex63.m1.4.4.cmml">…</mi><mo id="S4.Ex63.m1.14.14.10.5.10" xref="S4.Ex63.m1.14.14.10.6.cmml">,</mo><msubsup id="S4.Ex63.m1.12.12.8.3.3" xref="S4.Ex63.m1.12.12.8.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex63.m1.12.12.8.3.3.2.2" xref="S4.Ex63.m1.12.12.8.3.3.2.2.cmml">t</mi><msub id="S4.Ex63.m1.12.12.8.3.3.3" xref="S4.Ex63.m1.12.12.8.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex63.m1.12.12.8.3.3.3.2" 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start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_t start_POSTSUPERSCRIPT italic_f end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUPERSCRIPT italic_f end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , ( 1 - italic_α ) divide start_ARG - italic_t start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_α end_ARG )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.Ex64"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle 1_{t^{f}_{k_{2}+1}>(1-\alpha)\frac{-t^{b}_{k_{1}}}{\alpha}}p_{M}% 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italic_d italic_z italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT … italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_f end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_f end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.2.p2.8">The change of variables <math alttext="b=(1-\alpha)\frac{-t^{b}_{k_{1}}}{\alpha}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.2.p2.6.m1.1"><semantics id="S4.SS3.2.p2.6.m1.1a"><mrow id="S4.SS3.2.p2.6.m1.1.1" xref="S4.SS3.2.p2.6.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.2.p2.6.m1.1.1.3" xref="S4.SS3.2.p2.6.m1.1.1.3.cmml">b</mi><mo id="S4.SS3.2.p2.6.m1.1.1.2" xref="S4.SS3.2.p2.6.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS3.2.p2.6.m1.1.1.1" xref="S4.SS3.2.p2.6.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS3.2.p2.6.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS3.2.p2.6.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS3.2.p2.6.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS3.2.p2.6.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS3.2.p2.6.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS3.2.p2.6.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.SS3.2.p2.6.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS3.2.p2.6.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S4.SS3.2.p2.6.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS3.2.p2.6.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S4.SS3.2.p2.6.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS3.2.p2.6.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">α</mi></mrow><mo 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id="S4.SS3.2.p2.6.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.6.m1.1.1.1.3"></divide><apply id="S4.SS3.2.p2.6.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.6.m1.1.1.1.3.2"><minus id="S4.SS3.2.p2.6.m1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.6.m1.1.1.1.3.2"></minus><apply id="S4.SS3.2.p2.6.m1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.6.m1.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.2.p2.6.m1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.6.m1.1.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.SS3.2.p2.6.m1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.6.m1.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.2.p2.6.m1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.6.m1.1.1.1.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS3.2.p2.6.m1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.6.m1.1.1.1.3.2.2.2.2">𝑡</ci><ci id="S4.SS3.2.p2.6.m1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.6.m1.1.1.1.3.2.2.2.3">𝑏</ci></apply><apply id="S4.SS3.2.p2.6.m1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.6.m1.1.1.1.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.2.p2.6.m1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.6.m1.1.1.1.3.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.2.p2.6.m1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.6.m1.1.1.1.3.2.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S4.SS3.2.p2.6.m1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.2.p2.6.m1.1.1.1.3.2.2.3.3">1</cn></apply></apply></apply><ci id="S4.SS3.2.p2.6.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.6.m1.1.1.1.3.3">𝛼</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.2.p2.6.m1.1c">b=(1-\alpha)\frac{-t^{b}_{k_{1}}}{\alpha}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.2.p2.6.m1.1d">italic_b = ( 1 - italic_α ) divide start_ARG - italic_t start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_α end_ARG</annotation></semantics></math> (i.e. <math alttext="\alpha=-t_{k_{1}}^{b}/(b-t_{k_{1}}^{b})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.2.p2.7.m2.1"><semantics id="S4.SS3.2.p2.7.m2.1a"><mrow id="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1" xref="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.3" xref="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.3.cmml">α</mi><mo id="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.2" xref="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1" xref="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1a" xref="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1" xref="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.3" xref="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">t</mi><msub id="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">1</mn></msub><mi id="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.3.3" xref="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.3.3.cmml">b</mi></msubsup><mo id="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.2" xref="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.2.cmml">/</mo><mrow id="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">b</mi><mo id="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msubsup id="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">t</mi><msub id="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" 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cd="ambiguous" id="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.3.2.2">𝑡</ci><apply id="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.3.3">𝑏</ci></apply><apply id="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑏</ci><apply id="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑡</ci><apply id="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.7.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑏</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.2.p2.7.m2.1c">\alpha=-t_{k_{1}}^{b}/(b-t_{k_{1}}^{b})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.2.p2.7.m2.1d">italic_α = - italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT / ( italic_b - italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>) for a fixed <math alttext="t^{b}_{k_{1}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.2.p2.8.m3.1"><semantics id="S4.SS3.2.p2.8.m3.1a"><msubsup id="S4.SS3.2.p2.8.m3.1.1" xref="S4.SS3.2.p2.8.m3.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.2.p2.8.m3.1.1.2.2" xref="S4.SS3.2.p2.8.m3.1.1.2.2.cmml">t</mi><msub id="S4.SS3.2.p2.8.m3.1.1.3" xref="S4.SS3.2.p2.8.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS3.2.p2.8.m3.1.1.3.2" xref="S4.SS3.2.p2.8.m3.1.1.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.SS3.2.p2.8.m3.1.1.3.3" xref="S4.SS3.2.p2.8.m3.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mi id="S4.SS3.2.p2.8.m3.1.1.2.3" xref="S4.SS3.2.p2.8.m3.1.1.2.3.cmml">b</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.2.p2.8.m3.1b"><apply id="S4.SS3.2.p2.8.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.8.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.2.p2.8.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.8.m3.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS3.2.p2.8.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.8.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.2.p2.8.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.8.m3.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS3.2.p2.8.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.8.m3.1.1.2.2">𝑡</ci><ci id="S4.SS3.2.p2.8.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.8.m3.1.1.2.3">𝑏</ci></apply><apply id="S4.SS3.2.p2.8.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.8.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.2.p2.8.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.8.m3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.2.p2.8.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.8.m3.1.1.3.2">𝑘</ci><cn id="S4.SS3.2.p2.8.m3.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.2.p2.8.m3.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.2.p2.8.m3.1c">t^{b}_{k_{1}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.2.p2.8.m3.1d">italic_t start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> yields:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx14"> <tbody id="S4.Ex65"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle P_{F}(A)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex65.m1.1"><semantics id="S4.Ex65.m1.1a"><mrow id="S4.Ex65.m1.1.2" xref="S4.Ex65.m1.1.2.cmml"><msub id="S4.Ex65.m1.1.2.2" xref="S4.Ex65.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex65.m1.1.2.2.2" xref="S4.Ex65.m1.1.2.2.2.cmml">P</mi><mi id="S4.Ex65.m1.1.2.2.3" xref="S4.Ex65.m1.1.2.2.3.cmml">F</mi></msub><mo id="S4.Ex65.m1.1.2.1" xref="S4.Ex65.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex65.m1.1.2.3.2" xref="S4.Ex65.m1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex65.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex65.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex65.m1.1.1" xref="S4.Ex65.m1.1.1.cmml">A</mi><mo id="S4.Ex65.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex65.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex65.m1.1b"><apply id="S4.Ex65.m1.1.2.cmml" xref="S4.Ex65.m1.1.2"><times id="S4.Ex65.m1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex65.m1.1.2.1"></times><apply id="S4.Ex65.m1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex65.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex65.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex65.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex65.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex65.m1.1.2.2.2">𝑃</ci><ci id="S4.Ex65.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex65.m1.1.2.2.3">𝐹</ci></apply><ci id="S4.Ex65.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex65.m1.1.1">𝐴</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex65.m1.1c">\displaystyle P_{F}(A)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex65.m1.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_F end_POSTSUBSCRIPT ( italic_A )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum_{k_{b}\geq k_{1},k_{f}>k_{2}}\int_{(\mathbb{R}\times V^{r})% ^{t^{b}_{k_{b}}-k_{1}}\times(\mathbb{R}\times V)^{t_{k_{f}}^{f}-k_{2}-1}}\int_% {E}\int_{(\mathbb{R}\times V^{r})^{k_{1}}\times(\mathbb{R}\times V)^{k_{2}+1}}% \int_{\mathbb{R}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex65.m2.6"><semantics id="S4.Ex65.m2.6a"><mrow id="S4.Ex65.m2.6.7" xref="S4.Ex65.m2.6.7.cmml"><mi id="S4.Ex65.m2.6.7.2" xref="S4.Ex65.m2.6.7.2.cmml"></mi><mo id="S4.Ex65.m2.6.7.1" xref="S4.Ex65.m2.6.7.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex65.m2.6.7.3" xref="S4.Ex65.m2.6.7.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex65.m2.6.7.3.1" xref="S4.Ex65.m2.6.7.3.1.cmml"><munder id="S4.Ex65.m2.6.7.3.1a" xref="S4.Ex65.m2.6.7.3.1.cmml"><mo id="S4.Ex65.m2.6.7.3.1.2" movablelimits="false" xref="S4.Ex65.m2.6.7.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.Ex65.m2.2.2.2.2" xref="S4.Ex65.m2.2.2.2.3.cmml"><mrow id="S4.Ex65.m2.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex65.m2.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex65.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex65.m2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex65.m2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex65.m2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">k</mi><mi id="S4.Ex65.m2.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex65.m2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">b</mi></msub><mo id="S4.Ex65.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex65.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">≥</mo><msub id="S4.Ex65.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex65.m2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex65.m2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex65.m2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex65.m2.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex65.m2.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="S4.Ex65.m2.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex65.m2.2.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex65.m2.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex65.m2.2.2.2.2.2.cmml"><msub id="S4.Ex65.m2.2.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex65.m2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex65.m2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex65.m2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">k</mi><mi id="S4.Ex65.m2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex65.m2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">f</mi></msub><mo id="S4.Ex65.m2.2.2.2.2.2.1" xref="S4.Ex65.m2.2.2.2.2.2.1.cmml">></mo><msub id="S4.Ex65.m2.2.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex65.m2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex65.m2.2.2.2.2.2.3.2" xref="S4.Ex65.m2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex65.m2.2.2.2.2.2.3.3" xref="S4.Ex65.m2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mrow></munder></mstyle><mrow id="S4.Ex65.m2.6.7.3.2" xref="S4.Ex65.m2.6.7.3.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex65.m2.6.7.3.2.1" xref="S4.Ex65.m2.6.7.3.2.1.cmml"><msub id="S4.Ex65.m2.6.7.3.2.1a" xref="S4.Ex65.m2.6.7.3.2.1.cmml"><mo id="S4.Ex65.m2.6.7.3.2.1.2" xref="S4.Ex65.m2.6.7.3.2.1.2.cmml">∫</mo><mrow id="S4.Ex65.m2.4.4.2" xref="S4.Ex65.m2.4.4.2.cmml"><msup id="S4.Ex65.m2.3.3.1.1" xref="S4.Ex65.m2.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex65.m2.3.3.1.1.1.1" xref="S4.Ex65.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex65.m2.3.3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex65.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex65.m2.3.3.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex65.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex65.m2.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex65.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mo id="S4.Ex65.m2.3.3.1.1.1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.Ex65.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">×</mo><msup id="S4.Ex65.m2.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex65.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex65.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex65.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml">V</mi><mi id="S4.Ex65.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex65.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml">r</mi></msup></mrow><mo id="S4.Ex65.m2.3.3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex65.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.Ex65.m2.3.3.1.1.3" xref="S4.Ex65.m2.3.3.1.1.3.cmml"><msubsup id="S4.Ex65.m2.3.3.1.1.3.2" xref="S4.Ex65.m2.3.3.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex65.m2.3.3.1.1.3.2.2.2" xref="S4.Ex65.m2.3.3.1.1.3.2.2.2.cmml">t</mi><msub id="S4.Ex65.m2.3.3.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex65.m2.3.3.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex65.m2.3.3.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex65.m2.3.3.1.1.3.2.3.2.cmml">k</mi><mi id="S4.Ex65.m2.3.3.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex65.m2.3.3.1.1.3.2.3.3.cmml">b</mi></msub><mi id="S4.Ex65.m2.3.3.1.1.3.2.2.3" xref="S4.Ex65.m2.3.3.1.1.3.2.2.3.cmml">b</mi></msubsup><mo id="S4.Ex65.m2.3.3.1.1.3.1" xref="S4.Ex65.m2.3.3.1.1.3.1.cmml">−</mo><msub id="S4.Ex65.m2.3.3.1.1.3.3" xref="S4.Ex65.m2.3.3.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex65.m2.3.3.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex65.m2.3.3.1.1.3.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex65.m2.3.3.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex65.m2.3.3.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow></msup><mo id="S4.Ex65.m2.4.4.2.3" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.Ex65.m2.4.4.2.3.cmml">×</mo><msup id="S4.Ex65.m2.4.4.2.2" xref="S4.Ex65.m2.4.4.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex65.m2.4.4.2.2.1.1" xref="S4.Ex65.m2.4.4.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex65.m2.4.4.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex65.m2.4.4.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex65.m2.4.4.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex65.m2.4.4.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex65.m2.4.4.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex65.m2.4.4.2.2.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mo id="S4.Ex65.m2.4.4.2.2.1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.Ex65.m2.4.4.2.2.1.1.1.1.cmml">×</mo><mi id="S4.Ex65.m2.4.4.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex65.m2.4.4.2.2.1.1.1.3.cmml">V</mi></mrow><mo id="S4.Ex65.m2.4.4.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex65.m2.4.4.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.Ex65.m2.4.4.2.2.3" xref="S4.Ex65.m2.4.4.2.2.3.cmml"><msubsup id="S4.Ex65.m2.4.4.2.2.3.2" xref="S4.Ex65.m2.4.4.2.2.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex65.m2.4.4.2.2.3.2.2.2" xref="S4.Ex65.m2.4.4.2.2.3.2.2.2.cmml">t</mi><msub id="S4.Ex65.m2.4.4.2.2.3.2.2.3" xref="S4.Ex65.m2.4.4.2.2.3.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex65.m2.4.4.2.2.3.2.2.3.2" xref="S4.Ex65.m2.4.4.2.2.3.2.2.3.2.cmml">k</mi><mi id="S4.Ex65.m2.4.4.2.2.3.2.2.3.3" xref="S4.Ex65.m2.4.4.2.2.3.2.2.3.3.cmml">f</mi></msub><mi id="S4.Ex65.m2.4.4.2.2.3.2.3" xref="S4.Ex65.m2.4.4.2.2.3.2.3.cmml">f</mi></msubsup><mo id="S4.Ex65.m2.4.4.2.2.3.1" xref="S4.Ex65.m2.4.4.2.2.3.1.cmml">−</mo><msub id="S4.Ex65.m2.4.4.2.2.3.3" xref="S4.Ex65.m2.4.4.2.2.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex65.m2.4.4.2.2.3.3.2" xref="S4.Ex65.m2.4.4.2.2.3.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex65.m2.4.4.2.2.3.3.3" xref="S4.Ex65.m2.4.4.2.2.3.3.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.Ex65.m2.4.4.2.2.3.1a" xref="S4.Ex65.m2.4.4.2.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="S4.Ex65.m2.4.4.2.2.3.4" xref="S4.Ex65.m2.4.4.2.2.3.4.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow></msub></mstyle><mrow id="S4.Ex65.m2.6.7.3.2.2" xref="S4.Ex65.m2.6.7.3.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex65.m2.6.7.3.2.2.1" xref="S4.Ex65.m2.6.7.3.2.2.1.cmml"><msub id="S4.Ex65.m2.6.7.3.2.2.1a" xref="S4.Ex65.m2.6.7.3.2.2.1.cmml"><mo id="S4.Ex65.m2.6.7.3.2.2.1.2" xref="S4.Ex65.m2.6.7.3.2.2.1.2.cmml">∫</mo><mi id="S4.Ex65.m2.6.7.3.2.2.1.3" xref="S4.Ex65.m2.6.7.3.2.2.1.3.cmml">E</mi></msub></mstyle><mrow id="S4.Ex65.m2.6.7.3.2.2.2" xref="S4.Ex65.m2.6.7.3.2.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex65.m2.6.7.3.2.2.2.1" xref="S4.Ex65.m2.6.7.3.2.2.2.1.cmml"><msub id="S4.Ex65.m2.6.7.3.2.2.2.1a" xref="S4.Ex65.m2.6.7.3.2.2.2.1.cmml"><mo id="S4.Ex65.m2.6.7.3.2.2.2.1.2" xref="S4.Ex65.m2.6.7.3.2.2.2.1.2.cmml">∫</mo><mrow id="S4.Ex65.m2.6.6.2" xref="S4.Ex65.m2.6.6.2.cmml"><msup id="S4.Ex65.m2.5.5.1.1" xref="S4.Ex65.m2.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex65.m2.5.5.1.1.1.1" xref="S4.Ex65.m2.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex65.m2.5.5.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex65.m2.5.5.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex65.m2.5.5.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex65.m2.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex65.m2.5.5.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex65.m2.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mo id="S4.Ex65.m2.5.5.1.1.1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.Ex65.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">×</mo><msup id="S4.Ex65.m2.5.5.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex65.m2.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex65.m2.5.5.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex65.m2.5.5.1.1.1.1.1.3.2.cmml">V</mi><mi id="S4.Ex65.m2.5.5.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex65.m2.5.5.1.1.1.1.1.3.3.cmml">r</mi></msup></mrow><mo id="S4.Ex65.m2.5.5.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex65.m2.5.5.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><msub id="S4.Ex65.m2.5.5.1.1.3" xref="S4.Ex65.m2.5.5.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex65.m2.5.5.1.1.3.2" xref="S4.Ex65.m2.5.5.1.1.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex65.m2.5.5.1.1.3.3" xref="S4.Ex65.m2.5.5.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub></msup><mo id="S4.Ex65.m2.6.6.2.3" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.Ex65.m2.6.6.2.3.cmml">×</mo><msup id="S4.Ex65.m2.6.6.2.2" xref="S4.Ex65.m2.6.6.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex65.m2.6.6.2.2.1.1" xref="S4.Ex65.m2.6.6.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex65.m2.6.6.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex65.m2.6.6.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex65.m2.6.6.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex65.m2.6.6.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex65.m2.6.6.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex65.m2.6.6.2.2.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mo id="S4.Ex65.m2.6.6.2.2.1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.Ex65.m2.6.6.2.2.1.1.1.1.cmml">×</mo><mi id="S4.Ex65.m2.6.6.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex65.m2.6.6.2.2.1.1.1.3.cmml">V</mi></mrow><mo id="S4.Ex65.m2.6.6.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex65.m2.6.6.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.Ex65.m2.6.6.2.2.3" xref="S4.Ex65.m2.6.6.2.2.3.cmml"><msub id="S4.Ex65.m2.6.6.2.2.3.2" xref="S4.Ex65.m2.6.6.2.2.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex65.m2.6.6.2.2.3.2.2" xref="S4.Ex65.m2.6.6.2.2.3.2.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex65.m2.6.6.2.2.3.2.3" xref="S4.Ex65.m2.6.6.2.2.3.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.Ex65.m2.6.6.2.2.3.1" xref="S4.Ex65.m2.6.6.2.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.Ex65.m2.6.6.2.2.3.3" xref="S4.Ex65.m2.6.6.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow></msub></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex65.m2.6.7.3.2.2.2.2" xref="S4.Ex65.m2.6.7.3.2.2.2.2.cmml"><msub id="S4.Ex65.m2.6.7.3.2.2.2.2a" xref="S4.Ex65.m2.6.7.3.2.2.2.2.cmml"><mo id="S4.Ex65.m2.6.7.3.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex65.m2.6.7.3.2.2.2.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S4.Ex65.m2.6.7.3.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex65.m2.6.7.3.2.2.2.2.3.cmml">ℝ</mi></msub></mstyle></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex65.m2.6b"><apply id="S4.Ex65.m2.6.7.cmml" xref="S4.Ex65.m2.6.7"><eq id="S4.Ex65.m2.6.7.1.cmml" xref="S4.Ex65.m2.6.7.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex65.m2.6.7.2.cmml" xref="S4.Ex65.m2.6.7.2">absent</csymbol><apply id="S4.Ex65.m2.6.7.3.cmml" xref="S4.Ex65.m2.6.7.3"><apply id="S4.Ex65.m2.6.7.3.1.cmml" 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id="S4.Ex65.m2.2.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex65.m2.2.2.2.2.2.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex65.m2.6.7.3.2.cmml" xref="S4.Ex65.m2.6.7.3.2"><apply id="S4.Ex65.m2.6.7.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex65.m2.6.7.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex65.m2.6.7.3.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex65.m2.6.7.3.2.1">subscript</csymbol><int id="S4.Ex65.m2.6.7.3.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex65.m2.6.7.3.2.1.2"></int><apply id="S4.Ex65.m2.4.4.2.cmml" xref="S4.Ex65.m2.4.4.2"><times id="S4.Ex65.m2.4.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex65.m2.4.4.2.3"></times><apply id="S4.Ex65.m2.3.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex65.m2.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex65.m2.3.3.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex65.m2.3.3.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex65.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex65.m2.3.3.1.1.1.1"><times id="S4.Ex65.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex65.m2.3.3.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S4.Ex65.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex65.m2.3.3.1.1.1.1.1.2">ℝ</ci><apply id="S4.Ex65.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" 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id="S4.Ex65.m2.4.4.2.2.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex65.m2.4.4.2.2.3.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex65.m2.4.4.2.2.3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex65.m2.4.4.2.2.3.2.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex65.m2.4.4.2.2.3.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex65.m2.4.4.2.2.3.2.2.3.3">𝑓</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex65.m2.4.4.2.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex65.m2.4.4.2.2.3.2.3">𝑓</ci></apply><apply id="S4.Ex65.m2.4.4.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex65.m2.4.4.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex65.m2.4.4.2.2.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex65.m2.4.4.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex65.m2.4.4.2.2.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex65.m2.4.4.2.2.3.3.2">𝑘</ci><cn id="S4.Ex65.m2.4.4.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex65.m2.4.4.2.2.3.3.3">2</cn></apply><cn id="S4.Ex65.m2.4.4.2.2.3.4.cmml" type="integer" xref="S4.Ex65.m2.4.4.2.2.3.4">1</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex65.m2.6.7.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex65.m2.6.7.3.2.2"><apply id="S4.Ex65.m2.6.7.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex65.m2.6.7.3.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex65.m2.6.7.3.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex65.m2.6.7.3.2.2.1">subscript</csymbol><int id="S4.Ex65.m2.6.7.3.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex65.m2.6.7.3.2.2.1.2"></int><ci id="S4.Ex65.m2.6.7.3.2.2.1.3.cmml" xref="S4.Ex65.m2.6.7.3.2.2.1.3">𝐸</ci></apply><apply id="S4.Ex65.m2.6.7.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex65.m2.6.7.3.2.2.2"><apply id="S4.Ex65.m2.6.7.3.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex65.m2.6.7.3.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex65.m2.6.7.3.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex65.m2.6.7.3.2.2.2.1">subscript</csymbol><int id="S4.Ex65.m2.6.7.3.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex65.m2.6.7.3.2.2.2.1.2"></int><apply id="S4.Ex65.m2.6.6.2.cmml" xref="S4.Ex65.m2.6.6.2"><times id="S4.Ex65.m2.6.6.2.3.cmml" xref="S4.Ex65.m2.6.6.2.3"></times><apply id="S4.Ex65.m2.5.5.1.1.cmml" xref="S4.Ex65.m2.5.5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex65.m2.5.5.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex65.m2.5.5.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex65.m2.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex65.m2.5.5.1.1.1.1"><times id="S4.Ex65.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" 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id="S4.Ex65.m2.6.7.3.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex65.m2.6.7.3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex65.m2.6.7.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex65.m2.6.7.3.2.2.2.2">subscript</csymbol><int id="S4.Ex65.m2.6.7.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex65.m2.6.7.3.2.2.2.2.2"></int><ci id="S4.Ex65.m2.6.7.3.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex65.m2.6.7.3.2.2.2.2.3">ℝ</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex65.m2.6c">\displaystyle=\sum_{k_{b}\geq k_{1},k_{f}>k_{2}}\int_{(\mathbb{R}\times V^{r})% ^{t^{b}_{k_{b}}-k_{1}}\times(\mathbb{R}\times V)^{t_{k_{f}}^{f}-k_{2}-1}}\int_% {E}\int_{(\mathbb{R}\times V^{r})^{k_{1}}\times(\mathbb{R}\times V)^{k_{2}+1}}% \int_{\mathbb{R}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex65.m2.6d">= ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT ≥ italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT > italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ∫ start_POSTSUBSCRIPT ( blackboard_R × italic_V start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_t start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT - italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT × ( blackboard_R × italic_V ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_f end_POSTSUPERSCRIPT - italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT ∫ start_POSTSUBSCRIPT ( blackboard_R × italic_V start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT × ( blackboard_R × italic_V ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT + 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ∫ start_POSTSUBSCRIPT blackboard_R end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.Ex66"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle S_{g}(z,t^{b}_{k_{1}},v^{b}_{k_{1}},...,t^{f}_{k_{2}},v^{f}_{k_{% 2}},b)1_{A}(z,t^{b}_{k_{1}},v^{b}_{k_{1}},...,t^{f}_{k_{2}},v^{f}_{k_{2}},b)1_% {b<t_{k_{2}+1}^{f}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex66.m1.14"><semantics id="S4.Ex66.m1.14a"><mrow id="S4.Ex66.m1.14.14" xref="S4.Ex66.m1.14.14.cmml"><msub id="S4.Ex66.m1.14.14.10" xref="S4.Ex66.m1.14.14.10.cmml"><mi id="S4.Ex66.m1.14.14.10.2" xref="S4.Ex66.m1.14.14.10.2.cmml">S</mi><mi id="S4.Ex66.m1.14.14.10.3" xref="S4.Ex66.m1.14.14.10.3.cmml">g</mi></msub><mo id="S4.Ex66.m1.14.14.9" xref="S4.Ex66.m1.14.14.9.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex66.m1.10.10.4.4" xref="S4.Ex66.m1.10.10.4.5.cmml"><mo id="S4.Ex66.m1.10.10.4.4.5" stretchy="false" xref="S4.Ex66.m1.10.10.4.5.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex66.m1.1.1" xref="S4.Ex66.m1.1.1.cmml">z</mi><mo id="S4.Ex66.m1.10.10.4.4.6" xref="S4.Ex66.m1.10.10.4.5.cmml">,</mo><msubsup id="S4.Ex66.m1.7.7.1.1.1" xref="S4.Ex66.m1.7.7.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex66.m1.7.7.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex66.m1.7.7.1.1.1.2.2.cmml">t</mi><msub id="S4.Ex66.m1.7.7.1.1.1.3" xref="S4.Ex66.m1.7.7.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex66.m1.7.7.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex66.m1.7.7.1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex66.m1.7.7.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex66.m1.7.7.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mi id="S4.Ex66.m1.7.7.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex66.m1.7.7.1.1.1.2.3.cmml">b</mi></msubsup><mo id="S4.Ex66.m1.10.10.4.4.7" xref="S4.Ex66.m1.10.10.4.5.cmml">,</mo><msubsup id="S4.Ex66.m1.8.8.2.2.2" xref="S4.Ex66.m1.8.8.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex66.m1.8.8.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex66.m1.8.8.2.2.2.2.2.cmml">v</mi><msub id="S4.Ex66.m1.8.8.2.2.2.3" xref="S4.Ex66.m1.8.8.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex66.m1.8.8.2.2.2.3.2" xref="S4.Ex66.m1.8.8.2.2.2.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex66.m1.8.8.2.2.2.3.3" xref="S4.Ex66.m1.8.8.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></msub><mi id="S4.Ex66.m1.8.8.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex66.m1.8.8.2.2.2.2.3.cmml">b</mi></msubsup><mo id="S4.Ex66.m1.10.10.4.4.8" xref="S4.Ex66.m1.10.10.4.5.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex66.m1.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex66.m1.2.2.cmml">…</mi><mo id="S4.Ex66.m1.10.10.4.4.9" xref="S4.Ex66.m1.10.10.4.5.cmml">,</mo><msubsup id="S4.Ex66.m1.9.9.3.3.3" xref="S4.Ex66.m1.9.9.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex66.m1.9.9.3.3.3.2.2" xref="S4.Ex66.m1.9.9.3.3.3.2.2.cmml">t</mi><msub id="S4.Ex66.m1.9.9.3.3.3.3" xref="S4.Ex66.m1.9.9.3.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex66.m1.9.9.3.3.3.3.2" xref="S4.Ex66.m1.9.9.3.3.3.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex66.m1.9.9.3.3.3.3.3" xref="S4.Ex66.m1.9.9.3.3.3.3.3.cmml">2</mn></msub><mi id="S4.Ex66.m1.9.9.3.3.3.2.3" xref="S4.Ex66.m1.9.9.3.3.3.2.3.cmml">f</mi></msubsup><mo id="S4.Ex66.m1.10.10.4.4.10" xref="S4.Ex66.m1.10.10.4.5.cmml">,</mo><msubsup id="S4.Ex66.m1.10.10.4.4.4" xref="S4.Ex66.m1.10.10.4.4.4.cmml"><mi id="S4.Ex66.m1.10.10.4.4.4.2.2" xref="S4.Ex66.m1.10.10.4.4.4.2.2.cmml">v</mi><msub id="S4.Ex66.m1.10.10.4.4.4.3" xref="S4.Ex66.m1.10.10.4.4.4.3.cmml"><mi id="S4.Ex66.m1.10.10.4.4.4.3.2" xref="S4.Ex66.m1.10.10.4.4.4.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex66.m1.10.10.4.4.4.3.3" xref="S4.Ex66.m1.10.10.4.4.4.3.3.cmml">2</mn></msub><mi id="S4.Ex66.m1.10.10.4.4.4.2.3" xref="S4.Ex66.m1.10.10.4.4.4.2.3.cmml">f</mi></msubsup><mo id="S4.Ex66.m1.10.10.4.4.11" xref="S4.Ex66.m1.10.10.4.5.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex66.m1.3.3" xref="S4.Ex66.m1.3.3.cmml">b</mi><mo id="S4.Ex66.m1.10.10.4.4.12" stretchy="false" xref="S4.Ex66.m1.10.10.4.5.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex66.m1.14.14.9a" xref="S4.Ex66.m1.14.14.9.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex66.m1.14.14.11" xref="S4.Ex66.m1.14.14.11.cmml"><mn id="S4.Ex66.m1.14.14.11.2" xref="S4.Ex66.m1.14.14.11.2.cmml">1</mn><mi id="S4.Ex66.m1.14.14.11.3" xref="S4.Ex66.m1.14.14.11.3.cmml">A</mi></msub><mo id="S4.Ex66.m1.14.14.9b" xref="S4.Ex66.m1.14.14.9.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex66.m1.14.14.8.4" xref="S4.Ex66.m1.14.14.8.5.cmml"><mo id="S4.Ex66.m1.14.14.8.4.5" stretchy="false" xref="S4.Ex66.m1.14.14.8.5.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex66.m1.4.4" xref="S4.Ex66.m1.4.4.cmml">z</mi><mo id="S4.Ex66.m1.14.14.8.4.6" xref="S4.Ex66.m1.14.14.8.5.cmml">,</mo><msubsup id="S4.Ex66.m1.11.11.5.1.1" xref="S4.Ex66.m1.11.11.5.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex66.m1.11.11.5.1.1.2.2" xref="S4.Ex66.m1.11.11.5.1.1.2.2.cmml">t</mi><msub id="S4.Ex66.m1.11.11.5.1.1.3" xref="S4.Ex66.m1.11.11.5.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex66.m1.11.11.5.1.1.3.2" xref="S4.Ex66.m1.11.11.5.1.1.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex66.m1.11.11.5.1.1.3.3" xref="S4.Ex66.m1.11.11.5.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mi id="S4.Ex66.m1.11.11.5.1.1.2.3" xref="S4.Ex66.m1.11.11.5.1.1.2.3.cmml">b</mi></msubsup><mo id="S4.Ex66.m1.14.14.8.4.7" xref="S4.Ex66.m1.14.14.8.5.cmml">,</mo><msubsup id="S4.Ex66.m1.12.12.6.2.2" xref="S4.Ex66.m1.12.12.6.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex66.m1.12.12.6.2.2.2.2" xref="S4.Ex66.m1.12.12.6.2.2.2.2.cmml">v</mi><msub id="S4.Ex66.m1.12.12.6.2.2.3" xref="S4.Ex66.m1.12.12.6.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex66.m1.12.12.6.2.2.3.2" xref="S4.Ex66.m1.12.12.6.2.2.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex66.m1.12.12.6.2.2.3.3" xref="S4.Ex66.m1.12.12.6.2.2.3.3.cmml">1</mn></msub><mi id="S4.Ex66.m1.12.12.6.2.2.2.3" xref="S4.Ex66.m1.12.12.6.2.2.2.3.cmml">b</mi></msubsup><mo id="S4.Ex66.m1.14.14.8.4.8" xref="S4.Ex66.m1.14.14.8.5.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex66.m1.5.5" mathvariant="normal" xref="S4.Ex66.m1.5.5.cmml">…</mi><mo id="S4.Ex66.m1.14.14.8.4.9" xref="S4.Ex66.m1.14.14.8.5.cmml">,</mo><msubsup id="S4.Ex66.m1.13.13.7.3.3" xref="S4.Ex66.m1.13.13.7.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex66.m1.13.13.7.3.3.2.2" xref="S4.Ex66.m1.13.13.7.3.3.2.2.cmml">t</mi><msub id="S4.Ex66.m1.13.13.7.3.3.3" xref="S4.Ex66.m1.13.13.7.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex66.m1.13.13.7.3.3.3.2" xref="S4.Ex66.m1.13.13.7.3.3.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex66.m1.13.13.7.3.3.3.3" xref="S4.Ex66.m1.13.13.7.3.3.3.3.cmml">2</mn></msub><mi id="S4.Ex66.m1.13.13.7.3.3.2.3" xref="S4.Ex66.m1.13.13.7.3.3.2.3.cmml">f</mi></msubsup><mo id="S4.Ex66.m1.14.14.8.4.10" xref="S4.Ex66.m1.14.14.8.5.cmml">,</mo><msubsup id="S4.Ex66.m1.14.14.8.4.4" xref="S4.Ex66.m1.14.14.8.4.4.cmml"><mi id="S4.Ex66.m1.14.14.8.4.4.2.2" xref="S4.Ex66.m1.14.14.8.4.4.2.2.cmml">v</mi><msub id="S4.Ex66.m1.14.14.8.4.4.3" xref="S4.Ex66.m1.14.14.8.4.4.3.cmml"><mi id="S4.Ex66.m1.14.14.8.4.4.3.2" xref="S4.Ex66.m1.14.14.8.4.4.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex66.m1.14.14.8.4.4.3.3" xref="S4.Ex66.m1.14.14.8.4.4.3.3.cmml">2</mn></msub><mi id="S4.Ex66.m1.14.14.8.4.4.2.3" xref="S4.Ex66.m1.14.14.8.4.4.2.3.cmml">f</mi></msubsup><mo id="S4.Ex66.m1.14.14.8.4.11" xref="S4.Ex66.m1.14.14.8.5.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex66.m1.6.6" xref="S4.Ex66.m1.6.6.cmml">b</mi><mo id="S4.Ex66.m1.14.14.8.4.12" stretchy="false" xref="S4.Ex66.m1.14.14.8.5.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex66.m1.14.14.9c" xref="S4.Ex66.m1.14.14.9.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex66.m1.14.14.12" xref="S4.Ex66.m1.14.14.12.cmml"><mn id="S4.Ex66.m1.14.14.12.2" xref="S4.Ex66.m1.14.14.12.2.cmml">1</mn><mrow id="S4.Ex66.m1.14.14.12.3" xref="S4.Ex66.m1.14.14.12.3.cmml"><mi id="S4.Ex66.m1.14.14.12.3.2" xref="S4.Ex66.m1.14.14.12.3.2.cmml">b</mi><mo id="S4.Ex66.m1.14.14.12.3.1" xref="S4.Ex66.m1.14.14.12.3.1.cmml"><</mo><msubsup id="S4.Ex66.m1.14.14.12.3.3" xref="S4.Ex66.m1.14.14.12.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex66.m1.14.14.12.3.3.2.2" xref="S4.Ex66.m1.14.14.12.3.3.2.2.cmml">t</mi><mrow id="S4.Ex66.m1.14.14.12.3.3.2.3" xref="S4.Ex66.m1.14.14.12.3.3.2.3.cmml"><msub id="S4.Ex66.m1.14.14.12.3.3.2.3.2" xref="S4.Ex66.m1.14.14.12.3.3.2.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex66.m1.14.14.12.3.3.2.3.2.2" xref="S4.Ex66.m1.14.14.12.3.3.2.3.2.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex66.m1.14.14.12.3.3.2.3.2.3" xref="S4.Ex66.m1.14.14.12.3.3.2.3.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.Ex66.m1.14.14.12.3.3.2.3.1" xref="S4.Ex66.m1.14.14.12.3.3.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.Ex66.m1.14.14.12.3.3.2.3.3" xref="S4.Ex66.m1.14.14.12.3.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S4.Ex66.m1.14.14.12.3.3.3" xref="S4.Ex66.m1.14.14.12.3.3.3.cmml">f</mi></msubsup></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex66.m1.14b"><apply id="S4.Ex66.m1.14.14.cmml" xref="S4.Ex66.m1.14.14"><times id="S4.Ex66.m1.14.14.9.cmml" xref="S4.Ex66.m1.14.14.9"></times><apply id="S4.Ex66.m1.14.14.10.cmml" xref="S4.Ex66.m1.14.14.10"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex66.m1.14.14.10.1.cmml" xref="S4.Ex66.m1.14.14.10">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex66.m1.14.14.10.2.cmml" xref="S4.Ex66.m1.14.14.10.2">𝑆</ci><ci id="S4.Ex66.m1.14.14.10.3.cmml" xref="S4.Ex66.m1.14.14.10.3">𝑔</ci></apply><vector id="S4.Ex66.m1.10.10.4.5.cmml" xref="S4.Ex66.m1.10.10.4.4"><ci id="S4.Ex66.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex66.m1.1.1">𝑧</ci><apply 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id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">b</mi><mo id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msubsup id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">t</mi><msub id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">1</mn></msub><mi id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">b</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S4.Ex67.m1.1.1.1.3" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mstyle><mo id="S4.Ex67.m1.2.3.4.2.2.2" xref="S4.Ex67.m1.2.3.4.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><mrow id="S4.Ex67.m1.2.3.4.3" xref="S4.Ex67.m1.2.3.4.3.cmml"><mo id="S4.Ex67.m1.2.3.4.3a" xref="S4.Ex67.m1.2.3.4.3.cmml">−</mo><mn id="S4.Ex67.m1.2.3.4.3.2" xref="S4.Ex67.m1.2.3.4.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.Ex67.m1.2.3.1b" xref="S4.Ex67.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex67.m1.2.3.5" xref="S4.Ex67.m1.2.3.5.cmml">d</mi><mo id="S4.Ex67.m1.2.3.1c" xref="S4.Ex67.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex67.m1.2.3.6" xref="S4.Ex67.m1.2.3.6.cmml">b</mi><mo id="S4.Ex67.m1.2.3.1d" 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ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.Ex68"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\int_{E}\int_{(\mathbb{R}\times V^{r})^{k_{1}}\times(\mathbb{R}% \times V)^{k_{2}}}\int_{\mathbb{R}}S_{g}(z,t^{b}_{k_{1}},v^{b}_{k_{1}},...,t^{% f}_{k_{2}},v^{f}_{k_{2}},b)1_{A}(z,t^{b}_{k_{1}},v^{b}_{k_{1}},...,t^{f}_{k_{2% }},v^{f}_{k_{2}},b)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex68.m1.16"><semantics id="S4.Ex68.m1.16a"><mrow id="S4.Ex68.m1.16.16" xref="S4.Ex68.m1.16.16.cmml"><mi id="S4.Ex68.m1.16.16.10" xref="S4.Ex68.m1.16.16.10.cmml"></mi><mo id="S4.Ex68.m1.16.16.9" xref="S4.Ex68.m1.16.16.9.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex68.m1.16.16.8" xref="S4.Ex68.m1.16.16.8.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex68.m1.16.16.8.9" xref="S4.Ex68.m1.16.16.8.9.cmml"><msub id="S4.Ex68.m1.16.16.8.9a" xref="S4.Ex68.m1.16.16.8.9.cmml"><mo id="S4.Ex68.m1.16.16.8.9.2" xref="S4.Ex68.m1.16.16.8.9.2.cmml">∫</mo><mi id="S4.Ex68.m1.16.16.8.9.3" xref="S4.Ex68.m1.16.16.8.9.3.cmml">E</mi></msub></mstyle><mrow id="S4.Ex68.m1.16.16.8.8" xref="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.9" xref="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.9.cmml"><msub id="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.9a" xref="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.9.cmml"><mo id="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.9.2" xref="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.9.2.cmml">∫</mo><mrow id="S4.Ex68.m1.2.2.2" xref="S4.Ex68.m1.2.2.2.cmml"><msup id="S4.Ex68.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mo id="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">×</mo><msup id="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">V</mi><mi id="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">r</mi></msup></mrow><mo id="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><msub id="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub></msup><mo id="S4.Ex68.m1.2.2.2.3" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.Ex68.m1.2.2.2.3.cmml">×</mo><msup id="S4.Ex68.m1.2.2.2.2" xref="S4.Ex68.m1.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex68.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex68.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex68.m1.2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex68.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex68.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex68.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex68.m1.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex68.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mo id="S4.Ex68.m1.2.2.2.2.1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.Ex68.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">×</mo><mi id="S4.Ex68.m1.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex68.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">V</mi></mrow><mo id="S4.Ex68.m1.2.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex68.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><msub id="S4.Ex68.m1.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex68.m1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex68.m1.2.2.2.2.3.2" xref="S4.Ex68.m1.2.2.2.2.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex68.m1.2.2.2.2.3.3" xref="S4.Ex68.m1.2.2.2.2.3.3.cmml">2</mn></msub></msup></mrow></msub></mstyle><mrow id="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8" xref="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.9" xref="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.9.cmml"><msub id="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.9a" xref="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.9.cmml"><mo id="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.9.2" xref="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.9.2.cmml">∫</mo><mi id="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.9.3" xref="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.9.3.cmml">ℝ</mi></msub></mstyle><mrow id="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.8" xref="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.8.cmml"><msub id="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.8.10" xref="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.8.10.cmml"><mi id="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.8.10.2" xref="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.8.10.2.cmml">S</mi><mi id="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.8.10.3" xref="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.8.10.3.cmml">g</mi></msub><mo id="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.8.9" xref="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.8.9.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex68.m1.12.12.4.4.4.4.4.4" xref="S4.Ex68.m1.12.12.4.4.4.4.4.5.cmml"><mo id="S4.Ex68.m1.12.12.4.4.4.4.4.4.5" stretchy="false" xref="S4.Ex68.m1.12.12.4.4.4.4.4.5.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex68.m1.3.3" xref="S4.Ex68.m1.3.3.cmml">z</mi><mo id="S4.Ex68.m1.12.12.4.4.4.4.4.4.6" xref="S4.Ex68.m1.12.12.4.4.4.4.4.5.cmml">,</mo><msubsup id="S4.Ex68.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex68.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex68.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex68.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">t</mi><msub id="S4.Ex68.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex68.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex68.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex68.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex68.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex68.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mi id="S4.Ex68.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex68.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">b</mi></msubsup><mo id="S4.Ex68.m1.12.12.4.4.4.4.4.4.7" xref="S4.Ex68.m1.12.12.4.4.4.4.4.5.cmml">,</mo><msubsup id="S4.Ex68.m1.10.10.2.2.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex68.m1.10.10.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex68.m1.10.10.2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex68.m1.10.10.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">v</mi><msub id="S4.Ex68.m1.10.10.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex68.m1.10.10.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex68.m1.10.10.2.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="S4.Ex68.m1.10.10.2.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex68.m1.10.10.2.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="S4.Ex68.m1.10.10.2.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></msub><mi id="S4.Ex68.m1.10.10.2.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex68.m1.10.10.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">b</mi></msubsup><mo id="S4.Ex68.m1.12.12.4.4.4.4.4.4.8" xref="S4.Ex68.m1.12.12.4.4.4.4.4.5.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex68.m1.4.4" mathvariant="normal" xref="S4.Ex68.m1.4.4.cmml">…</mi><mo id="S4.Ex68.m1.12.12.4.4.4.4.4.4.9" xref="S4.Ex68.m1.12.12.4.4.4.4.4.5.cmml">,</mo><msubsup id="S4.Ex68.m1.11.11.3.3.3.3.3.3.3" xref="S4.Ex68.m1.11.11.3.3.3.3.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex68.m1.11.11.3.3.3.3.3.3.3.2.2" xref="S4.Ex68.m1.11.11.3.3.3.3.3.3.3.2.2.cmml">t</mi><msub id="S4.Ex68.m1.11.11.3.3.3.3.3.3.3.3" xref="S4.Ex68.m1.11.11.3.3.3.3.3.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex68.m1.11.11.3.3.3.3.3.3.3.3.2" xref="S4.Ex68.m1.11.11.3.3.3.3.3.3.3.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex68.m1.11.11.3.3.3.3.3.3.3.3.3" xref="S4.Ex68.m1.11.11.3.3.3.3.3.3.3.3.3.cmml">2</mn></msub><mi id="S4.Ex68.m1.11.11.3.3.3.3.3.3.3.2.3" xref="S4.Ex68.m1.11.11.3.3.3.3.3.3.3.2.3.cmml">f</mi></msubsup><mo id="S4.Ex68.m1.12.12.4.4.4.4.4.4.10" xref="S4.Ex68.m1.12.12.4.4.4.4.4.5.cmml">,</mo><msubsup id="S4.Ex68.m1.12.12.4.4.4.4.4.4.4" xref="S4.Ex68.m1.12.12.4.4.4.4.4.4.4.cmml"><mi id="S4.Ex68.m1.12.12.4.4.4.4.4.4.4.2.2" xref="S4.Ex68.m1.12.12.4.4.4.4.4.4.4.2.2.cmml">v</mi><msub id="S4.Ex68.m1.12.12.4.4.4.4.4.4.4.3" xref="S4.Ex68.m1.12.12.4.4.4.4.4.4.4.3.cmml"><mi id="S4.Ex68.m1.12.12.4.4.4.4.4.4.4.3.2" xref="S4.Ex68.m1.12.12.4.4.4.4.4.4.4.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex68.m1.12.12.4.4.4.4.4.4.4.3.3" xref="S4.Ex68.m1.12.12.4.4.4.4.4.4.4.3.3.cmml">2</mn></msub><mi id="S4.Ex68.m1.12.12.4.4.4.4.4.4.4.2.3" xref="S4.Ex68.m1.12.12.4.4.4.4.4.4.4.2.3.cmml">f</mi></msubsup><mo id="S4.Ex68.m1.12.12.4.4.4.4.4.4.11" xref="S4.Ex68.m1.12.12.4.4.4.4.4.5.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex68.m1.5.5" xref="S4.Ex68.m1.5.5.cmml">b</mi><mo id="S4.Ex68.m1.12.12.4.4.4.4.4.4.12" stretchy="false" xref="S4.Ex68.m1.12.12.4.4.4.4.4.5.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.8.9a" xref="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.8.9.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.8.11" xref="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.8.11.cmml"><mn id="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.8.11.2" xref="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.8.11.2.cmml">1</mn><mi id="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.8.11.3" xref="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.8.11.3.cmml">A</mi></msub><mo id="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.8.9b" xref="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.8.9.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.8.8.4" xref="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.8.8.5.cmml"><mo id="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.8.8.4.5" stretchy="false" xref="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.8.8.5.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex68.m1.6.6" xref="S4.Ex68.m1.6.6.cmml">z</mi><mo id="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.8.8.4.6" xref="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.8.8.5.cmml">,</mo><msubsup id="S4.Ex68.m1.13.13.5.5.5.5.5.1.1" xref="S4.Ex68.m1.13.13.5.5.5.5.5.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex68.m1.13.13.5.5.5.5.5.1.1.2.2" xref="S4.Ex68.m1.13.13.5.5.5.5.5.1.1.2.2.cmml">t</mi><msub id="S4.Ex68.m1.13.13.5.5.5.5.5.1.1.3" xref="S4.Ex68.m1.13.13.5.5.5.5.5.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex68.m1.13.13.5.5.5.5.5.1.1.3.2" xref="S4.Ex68.m1.13.13.5.5.5.5.5.1.1.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex68.m1.13.13.5.5.5.5.5.1.1.3.3" xref="S4.Ex68.m1.13.13.5.5.5.5.5.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mi id="S4.Ex68.m1.13.13.5.5.5.5.5.1.1.2.3" xref="S4.Ex68.m1.13.13.5.5.5.5.5.1.1.2.3.cmml">b</mi></msubsup><mo id="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.8.8.4.7" xref="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.8.8.5.cmml">,</mo><msubsup id="S4.Ex68.m1.14.14.6.6.6.6.6.2.2" xref="S4.Ex68.m1.14.14.6.6.6.6.6.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex68.m1.14.14.6.6.6.6.6.2.2.2.2" xref="S4.Ex68.m1.14.14.6.6.6.6.6.2.2.2.2.cmml">v</mi><msub id="S4.Ex68.m1.14.14.6.6.6.6.6.2.2.3" xref="S4.Ex68.m1.14.14.6.6.6.6.6.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex68.m1.14.14.6.6.6.6.6.2.2.3.2" xref="S4.Ex68.m1.14.14.6.6.6.6.6.2.2.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex68.m1.14.14.6.6.6.6.6.2.2.3.3" xref="S4.Ex68.m1.14.14.6.6.6.6.6.2.2.3.3.cmml">1</mn></msub><mi id="S4.Ex68.m1.14.14.6.6.6.6.6.2.2.2.3" xref="S4.Ex68.m1.14.14.6.6.6.6.6.2.2.2.3.cmml">b</mi></msubsup><mo id="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.8.8.4.8" xref="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.8.8.5.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex68.m1.7.7" mathvariant="normal" xref="S4.Ex68.m1.7.7.cmml">…</mi><mo id="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.8.8.4.9" xref="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.8.8.5.cmml">,</mo><msubsup id="S4.Ex68.m1.15.15.7.7.7.7.7.3.3" xref="S4.Ex68.m1.15.15.7.7.7.7.7.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex68.m1.15.15.7.7.7.7.7.3.3.2.2" xref="S4.Ex68.m1.15.15.7.7.7.7.7.3.3.2.2.cmml">t</mi><msub id="S4.Ex68.m1.15.15.7.7.7.7.7.3.3.3" xref="S4.Ex68.m1.15.15.7.7.7.7.7.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex68.m1.15.15.7.7.7.7.7.3.3.3.2" xref="S4.Ex68.m1.15.15.7.7.7.7.7.3.3.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex68.m1.15.15.7.7.7.7.7.3.3.3.3" xref="S4.Ex68.m1.15.15.7.7.7.7.7.3.3.3.3.cmml">2</mn></msub><mi id="S4.Ex68.m1.15.15.7.7.7.7.7.3.3.2.3" xref="S4.Ex68.m1.15.15.7.7.7.7.7.3.3.2.3.cmml">f</mi></msubsup><mo id="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.8.8.4.10" xref="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.8.8.5.cmml">,</mo><msubsup id="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.8.8.4.4" xref="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.8.8.4.4.cmml"><mi id="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.8.8.4.4.2.2" xref="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.8.8.4.4.2.2.cmml">v</mi><msub id="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.8.8.4.4.3" xref="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.8.8.4.4.3.cmml"><mi id="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.8.8.4.4.3.2" xref="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.8.8.4.4.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.8.8.4.4.3.3" xref="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.8.8.4.4.3.3.cmml">2</mn></msub><mi id="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.8.8.4.4.2.3" xref="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.8.8.4.4.2.3.cmml">f</mi></msubsup><mo id="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.8.8.4.11" xref="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.8.8.5.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex68.m1.8.8" xref="S4.Ex68.m1.8.8.cmml">b</mi><mo id="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.8.8.4.12" stretchy="false" xref="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.8.8.5.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex68.m1.16b"><apply id="S4.Ex68.m1.16.16.cmml" xref="S4.Ex68.m1.16.16"><eq id="S4.Ex68.m1.16.16.9.cmml" xref="S4.Ex68.m1.16.16.9"></eq><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex68.m1.16.16.10.cmml" xref="S4.Ex68.m1.16.16.10">absent</csymbol><apply id="S4.Ex68.m1.16.16.8.cmml" xref="S4.Ex68.m1.16.16.8"><apply id="S4.Ex68.m1.16.16.8.9.cmml" xref="S4.Ex68.m1.16.16.8.9"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex68.m1.16.16.8.9.1.cmml" xref="S4.Ex68.m1.16.16.8.9">subscript</csymbol><int id="S4.Ex68.m1.16.16.8.9.2.cmml" xref="S4.Ex68.m1.16.16.8.9.2"></int><ci id="S4.Ex68.m1.16.16.8.9.3.cmml" xref="S4.Ex68.m1.16.16.8.9.3">𝐸</ci></apply><apply id="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.cmml" xref="S4.Ex68.m1.16.16.8.8"><apply id="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.9.cmml" xref="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.9"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.9.1.cmml" xref="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.9">subscript</csymbol><int id="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.9.2.cmml" xref="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.9.2"></int><apply id="S4.Ex68.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex68.m1.2.2.2"><times id="S4.Ex68.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex68.m1.2.2.2.3"></times><apply id="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex68.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex68.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">ℝ</ci><apply id="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑉</ci><ci id="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.3.2">𝑘</ci><cn id="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.Ex68.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex68.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex68.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex68.m1.2.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex68.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex68.m1.2.2.2.2.1.1"><times id="S4.Ex68.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex68.m1.2.2.2.2.1.1.1.1"></times><ci id="S4.Ex68.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex68.m1.2.2.2.2.1.1.1.2">ℝ</ci><ci id="S4.Ex68.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex68.m1.2.2.2.2.1.1.1.3">𝑉</ci></apply><apply id="S4.Ex68.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex68.m1.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex68.m1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex68.m1.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex68.m1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex68.m1.2.2.2.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S4.Ex68.m1.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex68.m1.2.2.2.2.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.cmml" xref="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8"><apply id="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.9.cmml" xref="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.9"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.9.1.cmml" xref="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.9">subscript</csymbol><int id="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.9.2.cmml" xref="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.9.2"></int><ci id="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.9.3.cmml" xref="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.9.3">ℝ</ci></apply><apply id="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.8.cmml" xref="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.8"><times id="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.8.9.cmml" xref="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.8.9"></times><apply id="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.8.10.cmml" xref="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.8.10"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.8.10.1.cmml" xref="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.8.10">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.8.10.2.cmml" xref="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.8.10.2">𝑆</ci><ci id="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.8.10.3.cmml" xref="S4.Ex68.m1.16.16.8.8.8.8.10.3">𝑔</ci></apply><vector id="S4.Ex68.m1.12.12.4.4.4.4.4.5.cmml" xref="S4.Ex68.m1.12.12.4.4.4.4.4.4"><ci id="S4.Ex68.m1.3.3.cmml" xref="S4.Ex68.m1.3.3">𝑧</ci><apply id="S4.Ex68.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex68.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex68.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex68.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex68.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex68.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex68.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex68.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex68.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex68.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑡</ci><ci id="S4.Ex68.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex68.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑏</ci></apply><apply id="S4.Ex68.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex68.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex68.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex68.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex68.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex68.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑘</ci><cn id="S4.Ex68.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex68.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.Ex68.m1.10.10.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex68.m1.10.10.2.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex68.m1.10.10.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex68.m1.10.10.2.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex68.m1.10.10.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex68.m1.10.10.2.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex68.m1.10.10.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex68.m1.10.10.2.2.2.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex68.m1.10.10.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex68.m1.10.10.2.2.2.2.2.2.2.2.2">𝑣</ci><ci id="S4.Ex68.m1.10.10.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex68.m1.10.10.2.2.2.2.2.2.2.2.3">𝑏</ci></apply><apply id="S4.Ex68.m1.10.10.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex68.m1.10.10.2.2.2.2.2.2.2.3"><csymbol 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xref="S4.Ex68.m1.11.11.3.3.3.3.3.3.3.2.3">𝑓</ci></apply><apply id="S4.Ex68.m1.11.11.3.3.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex68.m1.11.11.3.3.3.3.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex68.m1.11.11.3.3.3.3.3.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex68.m1.11.11.3.3.3.3.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex68.m1.11.11.3.3.3.3.3.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex68.m1.11.11.3.3.3.3.3.3.3.3.2">𝑘</ci><cn id="S4.Ex68.m1.11.11.3.3.3.3.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex68.m1.11.11.3.3.3.3.3.3.3.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S4.Ex68.m1.12.12.4.4.4.4.4.4.4.cmml" xref="S4.Ex68.m1.12.12.4.4.4.4.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex68.m1.12.12.4.4.4.4.4.4.4.1.cmml" xref="S4.Ex68.m1.12.12.4.4.4.4.4.4.4">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex68.m1.12.12.4.4.4.4.4.4.4.2.cmml" xref="S4.Ex68.m1.12.12.4.4.4.4.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex68.m1.12.12.4.4.4.4.4.4.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex68.m1.12.12.4.4.4.4.4.4.4">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex68.m1.12.12.4.4.4.4.4.4.4.2.2.cmml" 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start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_t start_POSTSUPERSCRIPT italic_f end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUPERSCRIPT italic_f end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , italic_b ) 1 start_POSTSUBSCRIPT italic_A end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z , italic_t start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_t start_POSTSUPERSCRIPT italic_f end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUPERSCRIPT italic_f end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , italic_b )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.Ex69"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle p_{W_{[t^{b}_{k_{1}},b]}}(z,t^{b}_{k_{1}},v^{b}_{k_{1}},...,t^{f% }_{k_{2}},v^{f}_{k_{2}})\left|\frac{-t^{b}_{k_{1}}}{(-t_{k_{1}}^{b}/(b-t_{k_{1% }}^{b}))^{2}}\right|^{-1}dbdzd_{t_{k_{1}}^{b}}d_{v_{k_{1}}^{b}}...d_{t_{k_{2}}% ^{f}}d_{v_{k_{2}}^{f}}," class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex69.m1.6"><semantics id="S4.Ex69.m1.6a"><mrow id="S4.Ex69.m1.6.6.1" xref="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex69.m1.6.6.1.1" xref="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.6" xref="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.6.cmml"><mi id="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.6.2" xref="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.6.2.cmml">p</mi><msub 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xref="S4.Ex69.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">]</mo></mrow></msub></msub><mo id="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.5" xref="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.4.4" xref="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.4.5.cmml"><mo id="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.4.4.5" stretchy="false" xref="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.4.5.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex69.m1.4.4" xref="S4.Ex69.m1.4.4.cmml">z</mi><mo id="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.4.4.6" xref="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.4.5.cmml">,</mo><msubsup id="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.cmml">t</mi><msub id="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mi id="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3.cmml">b</mi></msubsup><mo id="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.4.4.7" xref="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.4.5.cmml">,</mo><msubsup id="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.cmml">v</mi><msub id="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.2.2.2.3" xref="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.2" xref="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.3" xref="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></msub><mi id="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.3.cmml">b</mi></msubsup><mo id="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.4.4.8" xref="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.4.5.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex69.m1.5.5" mathvariant="normal" xref="S4.Ex69.m1.5.5.cmml">…</mi><mo id="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.4.4.9" xref="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.4.5.cmml">,</mo><msubsup id="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.3.3.3.2.2" xref="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.3.3.3.2.2.cmml">t</mi><msub id="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.3.3.3.3" xref="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.3.3.3.3.2" xref="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.3.3.3.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.3.3.3.3.3" xref="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.3.3.3.3.3.cmml">2</mn></msub><mi id="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.3.3.3.2.3" xref="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.3.3.3.2.3.cmml">f</mi></msubsup><mo id="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.4.4.10" xref="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.4.5.cmml">,</mo><msubsup id="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.4.4.4" xref="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.4.4.4.cmml"><mi id="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.4.4.4.2.2" xref="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.4.4.4.2.2.cmml">v</mi><msub id="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.4.4.4.3" xref="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.4.4.4.3.cmml"><mi id="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.4.4.4.3.2" xref="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.4.4.4.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.4.4.4.3.3" xref="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.4.4.4.3.3.cmml">2</mn></msub><mi id="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.4.4.4.2.3" xref="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.4.4.4.2.3.cmml">f</mi></msubsup><mo id="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.4.4.11" stretchy="false" xref="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.4.5.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.5a" xref="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.5.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.7" xref="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.7.cmml"><mrow id="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.7.2.2" xref="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.7.2.1.cmml"><mo id="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.7.2.2.1" xref="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.7.2.1.1.cmml">|</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex69.m1.3.3" xref="S4.Ex69.m1.3.3.cmml"><mfrac id="S4.Ex69.m1.3.3a" xref="S4.Ex69.m1.3.3.cmml"><mrow id="S4.Ex69.m1.3.3.3" xref="S4.Ex69.m1.3.3.3.cmml"><mo id="S4.Ex69.m1.3.3.3a" xref="S4.Ex69.m1.3.3.3.cmml">−</mo><msubsup id="S4.Ex69.m1.3.3.3.2" xref="S4.Ex69.m1.3.3.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex69.m1.3.3.3.2.2.2" xref="S4.Ex69.m1.3.3.3.2.2.2.cmml">t</mi><msub id="S4.Ex69.m1.3.3.3.2.3" xref="S4.Ex69.m1.3.3.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex69.m1.3.3.3.2.3.2" xref="S4.Ex69.m1.3.3.3.2.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex69.m1.3.3.3.2.3.3" xref="S4.Ex69.m1.3.3.3.2.3.3.cmml">1</mn></msub><mi id="S4.Ex69.m1.3.3.3.2.2.3" xref="S4.Ex69.m1.3.3.3.2.2.3.cmml">b</mi></msubsup></mrow><msup id="S4.Ex69.m1.3.3.1" xref="S4.Ex69.m1.3.3.1.cmml"><mrow id="S4.Ex69.m1.3.3.1.1.1" xref="S4.Ex69.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex69.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex69.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex69.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S4.Ex69.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex69.m1.3.3.1.1.1.1a" xref="S4.Ex69.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex69.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex69.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.Ex69.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex69.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex69.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex69.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">t</mi><msub id="S4.Ex69.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex69.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex69.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex69.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex69.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex69.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">1</mn></msub><mi id="S4.Ex69.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex69.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml">b</mi></msubsup><mo id="S4.Ex69.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex69.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">/</mo><mrow id="S4.Ex69.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex69.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex69.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex69.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex69.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex69.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex69.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex69.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">b</mi><mo id="S4.Ex69.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex69.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msubsup id="S4.Ex69.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex69.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex69.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex69.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">t</mi><msub id="S4.Ex69.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex69.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex69.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex69.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex69.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex69.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">1</mn></msub><mi id="S4.Ex69.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex69.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">b</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex69.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex69.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex69.m1.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex69.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S4.Ex69.m1.3.3.1.3" xref="S4.Ex69.m1.3.3.1.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mstyle><mo id="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.7.2.2.2" xref="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.7.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><mrow id="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.7.3" xref="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.7.3.cmml"><mo id="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.7.3a" xref="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.7.3.cmml">−</mo><mn id="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.7.3.2" xref="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.7.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.5b" xref="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.5.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.8" xref="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.8.cmml">d</mi><mo id="S4.Ex69.m1.6.6.1.1.5c" 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italic_W start_POSTSUBSCRIPT [ italic_t start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , italic_b ] end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z , italic_t start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_t start_POSTSUPERSCRIPT italic_f end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUPERSCRIPT italic_f end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ) | divide start_ARG - italic_t start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT 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end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_f end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_f end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.2.p2.9">which gives us the density on <math alttext="F_{g}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.2.p2.9.m1.1"><semantics id="S4.SS3.2.p2.9.m1.1a"><msub id="S4.SS3.2.p2.9.m1.1.1" xref="S4.SS3.2.p2.9.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.2.p2.9.m1.1.1.2" xref="S4.SS3.2.p2.9.m1.1.1.2.cmml">F</mi><mi id="S4.SS3.2.p2.9.m1.1.1.3" xref="S4.SS3.2.p2.9.m1.1.1.3.cmml">g</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.2.p2.9.m1.1b"><apply id="S4.SS3.2.p2.9.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.9.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.2.p2.9.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.9.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.2.p2.9.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.9.m1.1.1.2">𝐹</ci><ci id="S4.SS3.2.p2.9.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.2.p2.9.m1.1.1.3">𝑔</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.2.p2.9.m1.1c">F_{g}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.2.p2.9.m1.1d">italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_g end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex70"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="p_{F_{g}}(z,t^{b}_{k_{1}},v^{b}_{k_{1}},...,t^{f}_{k_{2}},v^{f}_{k_{2}},b)=p_{% W_{[t^{b}_{k_{1}},b]}}(z,t^{b}_{k_{1}},v^{b}_{k_{1}},...,t^{f}_{k_{2}},v^{f}_{% k_{2}})\left|\frac{-t^{b}_{k_{1}}}{(b-t_{k_{1}}^{b})^{2}}\right|S_{g}(z,t^{b}_% {k_{1}},v^{b}_{k_{1}},...,t^{f}_{k_{2}},v^{f}_{k_{2}},b)." class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex70.m1.12"><semantics id="S4.Ex70.m1.12a"><mrow id="S4.Ex70.m1.12.12.1" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.4" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.4.cmml"><msub id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.4.6" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.4.6.cmml"><mi id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.4.6.2" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.4.6.2.cmml">p</mi><msub id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.4.6.3" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.4.6.3.cmml"><mi id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.4.6.3.2" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.4.6.3.2.cmml">F</mi><mi id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.4.6.3.3" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.4.6.3.3.cmml">g</mi></msub></msub><mo id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.4.5" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.4.4.4" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.4.4.5.cmml"><mo id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.4.4.4.5" stretchy="false" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.4.4.5.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex70.m1.4.4" 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xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.4.4.5.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.13" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.13.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.12" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.12.cmml"><msub id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.12.10" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.12.10.cmml"><mi id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.12.10.2" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.12.10.2.cmml">p</mi><msub id="S4.Ex70.m1.2.2.2" xref="S4.Ex70.m1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex70.m1.2.2.2.4" xref="S4.Ex70.m1.2.2.2.4.cmml">W</mi><mrow id="S4.Ex70.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex70.m1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.Ex70.m1.2.2.2.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex70.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">[</mo><msubsup id="S4.Ex70.m1.2.2.2.2.2.2.1" xref="S4.Ex70.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S4.Ex70.m1.2.2.2.2.2.2.1.2.2" xref="S4.Ex70.m1.2.2.2.2.2.2.1.2.2.cmml">t</mi><msub id="S4.Ex70.m1.2.2.2.2.2.2.1.3" xref="S4.Ex70.m1.2.2.2.2.2.2.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex70.m1.2.2.2.2.2.2.1.3.2" xref="S4.Ex70.m1.2.2.2.2.2.2.1.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex70.m1.2.2.2.2.2.2.1.3.3" xref="S4.Ex70.m1.2.2.2.2.2.2.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mi id="S4.Ex70.m1.2.2.2.2.2.2.1.2.3" xref="S4.Ex70.m1.2.2.2.2.2.2.1.2.3.cmml">b</mi></msubsup><mo id="S4.Ex70.m1.2.2.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex70.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">b</mi><mo id="S4.Ex70.m1.2.2.2.2.2.2.4" stretchy="false" xref="S4.Ex70.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">]</mo></mrow></msub></msub><mo id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.12.9" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.12.9.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.8.4.4" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.8.4.5.cmml"><mo id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.8.4.4.5" stretchy="false" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.8.4.5.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex70.m1.7.7" xref="S4.Ex70.m1.7.7.cmml">z</mi><mo id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.8.4.4.6" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.8.4.5.cmml">,</mo><msubsup id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.5.1.1.1" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.5.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.5.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.5.1.1.1.2.2.cmml">t</mi><msub id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.5.1.1.1.3" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.5.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.5.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.5.1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.5.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.5.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mi id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.5.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.5.1.1.1.2.3.cmml">b</mi></msubsup><mo id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.8.4.4.7" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.8.4.5.cmml">,</mo><msubsup id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.6.2.2.2" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.6.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.6.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.6.2.2.2.2.2.cmml">v</mi><msub id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.6.2.2.2.3" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.6.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.6.2.2.2.3.2" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.6.2.2.2.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.6.2.2.2.3.3" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.6.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></msub><mi id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.6.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.6.2.2.2.2.3.cmml">b</mi></msubsup><mo id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.8.4.4.8" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.8.4.5.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex70.m1.8.8" mathvariant="normal" xref="S4.Ex70.m1.8.8.cmml">…</mi><mo id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.8.4.4.9" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.8.4.5.cmml">,</mo><msubsup id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.7.3.3.3" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.7.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.7.3.3.3.2.2" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.7.3.3.3.2.2.cmml">t</mi><msub id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.7.3.3.3.3" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.7.3.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.7.3.3.3.3.2" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.7.3.3.3.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.7.3.3.3.3.3" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.7.3.3.3.3.3.cmml">2</mn></msub><mi id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.7.3.3.3.2.3" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.7.3.3.3.2.3.cmml">f</mi></msubsup><mo id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.8.4.4.10" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.8.4.5.cmml">,</mo><msubsup id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.8.4.4.4" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.8.4.4.4.cmml"><mi id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.8.4.4.4.2.2" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.8.4.4.4.2.2.cmml">v</mi><msub id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.8.4.4.4.3" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.8.4.4.4.3.cmml"><mi id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.8.4.4.4.3.2" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.8.4.4.4.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.8.4.4.4.3.3" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.8.4.4.4.3.3.cmml">2</mn></msub><mi id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.8.4.4.4.2.3" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.8.4.4.4.2.3.cmml">f</mi></msubsup><mo id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.8.4.4.11" stretchy="false" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.8.4.5.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.12.9a" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.12.9.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.12.11.2" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.12.11.1.cmml"><mo id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.12.11.2.1" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.12.11.1.1.cmml">|</mo><mfrac id="S4.Ex70.m1.3.3" xref="S4.Ex70.m1.3.3.cmml"><mrow id="S4.Ex70.m1.3.3.3" 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id="S4.Ex70.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex70.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex70.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex70.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.cmml">t</mi><msub id="S4.Ex70.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex70.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex70.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex70.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex70.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex70.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">1</mn></msub><mi id="S4.Ex70.m1.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex70.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">b</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex70.m1.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex70.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S4.Ex70.m1.3.3.1.3" xref="S4.Ex70.m1.3.3.1.3.cmml">2</mn></msup></mfrac><mo id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.12.11.2.2" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.12.11.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.12.9b" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.12.9.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.12.12" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.12.12.cmml"><mi id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.12.12.2" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.12.12.2.cmml">S</mi><mi id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.12.12.3" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.12.12.3.cmml">g</mi></msub><mo id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.12.9c" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.12.9.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.12.8.4" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.12.8.5.cmml"><mo id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.12.8.4.5" stretchy="false" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.12.8.5.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex70.m1.9.9" xref="S4.Ex70.m1.9.9.cmml">z</mi><mo id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.12.8.4.6" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.12.8.5.cmml">,</mo><msubsup id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.9.5.1.1" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.9.5.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.9.5.1.1.2.2" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.9.5.1.1.2.2.cmml">t</mi><msub id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.9.5.1.1.3" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.9.5.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.9.5.1.1.3.2" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.9.5.1.1.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.9.5.1.1.3.3" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.9.5.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mi 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xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.12.8.5.cmml">,</mo><msubsup id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.11.7.3.3" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.11.7.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.11.7.3.3.2.2" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.11.7.3.3.2.2.cmml">t</mi><msub id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.11.7.3.3.3" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.11.7.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.11.7.3.3.3.2" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.11.7.3.3.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.11.7.3.3.3.3" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.11.7.3.3.3.3.cmml">2</mn></msub><mi id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.11.7.3.3.2.3" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.11.7.3.3.2.3.cmml">f</mi></msubsup><mo id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.12.8.4.10" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.12.8.5.cmml">,</mo><msubsup id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.12.8.4.4" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.12.8.4.4.cmml"><mi id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.12.8.4.4.2.2" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.12.8.4.4.2.2.cmml">v</mi><msub id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.12.8.4.4.3" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.12.8.4.4.3.cmml"><mi 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id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.7.3.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.7.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.7.3.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.7.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.7.3.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.7.3.3.3.3.2">𝑘</ci><cn id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.7.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.7.3.3.3.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.8.4.4.4.cmml" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.8.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.8.4.4.4.1.cmml" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.8.4.4.4">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.8.4.4.4.2.cmml" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.8.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.8.4.4.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.8.4.4.4">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.8.4.4.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.8.4.4.4.2.2">𝑣</ci><ci id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.8.4.4.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.8.4.4.4.2.3">𝑓</ci></apply><apply id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.8.4.4.4.3.cmml" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.8.4.4.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.8.4.4.4.3.1.cmml" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.8.4.4.4.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.8.4.4.4.3.2.cmml" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.8.4.4.4.3.2">𝑘</ci><cn id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.8.4.4.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.8.4.4.4.3.3">2</cn></apply></apply></vector><apply id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.12.11.1.cmml" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.12.11.2"><abs id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.12.11.1.1.cmml" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.12.11.2.1"></abs><apply id="S4.Ex70.m1.3.3.cmml" xref="S4.Ex70.m1.3.3"><divide id="S4.Ex70.m1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex70.m1.3.3"></divide><apply id="S4.Ex70.m1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex70.m1.3.3.3"><minus id="S4.Ex70.m1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex70.m1.3.3.3"></minus><apply id="S4.Ex70.m1.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex70.m1.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex70.m1.3.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex70.m1.3.3.3.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex70.m1.3.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex70.m1.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex70.m1.3.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex70.m1.3.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex70.m1.3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex70.m1.3.3.3.2.2.2">𝑡</ci><ci id="S4.Ex70.m1.3.3.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex70.m1.3.3.3.2.2.3">𝑏</ci></apply><apply id="S4.Ex70.m1.3.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex70.m1.3.3.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex70.m1.3.3.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex70.m1.3.3.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex70.m1.3.3.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex70.m1.3.3.3.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S4.Ex70.m1.3.3.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex70.m1.3.3.3.2.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex70.m1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex70.m1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex70.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S4.Ex70.m1.3.3.1">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex70.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex70.m1.3.3.1.1.1"><minus id="S4.Ex70.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex70.m1.3.3.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S4.Ex70.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex70.m1.3.3.1.1.1.1.2">𝑏</ci><apply id="S4.Ex70.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex70.m1.3.3.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex70.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex70.m1.3.3.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex70.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex70.m1.3.3.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex70.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex70.m1.3.3.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex70.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex70.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2">𝑡</ci><apply id="S4.Ex70.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex70.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex70.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex70.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex70.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex70.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S4.Ex70.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" 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id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.9.5.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.9.5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.9.5.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.9.5.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.9.5.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.9.5.1.1.2.2">𝑡</ci><ci id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.9.5.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.9.5.1.1.2.3">𝑏</ci></apply><apply id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.9.5.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.9.5.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.9.5.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.9.5.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.9.5.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.9.5.1.1.3.2">𝑘</ci><cn id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.9.5.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.9.5.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.10.6.2.2.cmml" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.10.6.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.10.6.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.10.6.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.10.6.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.10.6.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.10.6.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.10.6.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.10.6.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.10.6.2.2.2.2">𝑣</ci><ci id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.10.6.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.10.6.2.2.2.3">𝑏</ci></apply><apply id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.10.6.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.10.6.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.10.6.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.10.6.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.10.6.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.10.6.2.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.10.6.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.10.6.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S4.Ex70.m1.10.10.cmml" xref="S4.Ex70.m1.10.10">…</ci><apply id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.11.7.3.3.cmml" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.11.7.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.11.7.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.11.7.3.3">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.11.7.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.11.7.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.11.7.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.11.7.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.11.7.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.11.7.3.3.2.2">𝑡</ci><ci id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.11.7.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.11.7.3.3.2.3">𝑓</ci></apply><apply id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.11.7.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.11.7.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.11.7.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.11.7.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.11.7.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.11.7.3.3.3.2">𝑘</ci><cn id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.11.7.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.11.7.3.3.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.12.8.4.4.cmml" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.12.8.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.12.8.4.4.1.cmml" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.12.8.4.4">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.12.8.4.4.2.cmml" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.12.8.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.12.8.4.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.12.8.4.4">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.12.8.4.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.12.8.4.4.2.2">𝑣</ci><ci id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.12.8.4.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.12.8.4.4.2.3">𝑓</ci></apply><apply id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.12.8.4.4.3.cmml" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.12.8.4.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.12.8.4.4.3.1.cmml" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.12.8.4.4.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.12.8.4.4.3.2.cmml" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.12.8.4.4.3.2">𝑘</ci><cn id="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.12.8.4.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex70.m1.12.12.1.1.12.8.4.4.3.3">2</cn></apply></apply><ci id="S4.Ex70.m1.11.11.cmml" xref="S4.Ex70.m1.11.11">𝑏</ci></vector></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex70.m1.12c">p_{F_{g}}(z,t^{b}_{k_{1}},v^{b}_{k_{1}},...,t^{f}_{k_{2}},v^{f}_{k_{2}},b)=p_{% W_{[t^{b}_{k_{1}},b]}}(z,t^{b}_{k_{1}},v^{b}_{k_{1}},...,t^{f}_{k_{2}},v^{f}_{% k_{2}})\left|\frac{-t^{b}_{k_{1}}}{(b-t_{k_{1}}^{b})^{2}}\right|S_{g}(z,t^{b}_% {k_{1}},v^{b}_{k_{1}},...,t^{f}_{k_{2}},v^{f}_{k_{2}},b).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex70.m1.12d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_g end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z , italic_t start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_t start_POSTSUPERSCRIPT italic_f end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUPERSCRIPT italic_f end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , italic_b ) = italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_W start_POSTSUBSCRIPT [ italic_t start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , italic_b ] end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z , italic_t start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_t start_POSTSUPERSCRIPT italic_f end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUPERSCRIPT italic_f end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ) | divide start_ARG - italic_t start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG ( italic_b - italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG | italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_g end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z , italic_t start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_t start_POSTSUPERSCRIPT italic_f end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUPERSCRIPT italic_f end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , italic_b ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.2.p2.11">∎</p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS3.p8"> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.p8.10">The random variable <math alttext="(X,l)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p8.1.m1.2"><semantics id="S4.SS3.p8.1.m1.2a"><mrow id="S4.SS3.p8.1.m1.2.3.2" xref="S4.SS3.p8.1.m1.2.3.1.cmml"><mo id="S4.SS3.p8.1.m1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS3.p8.1.m1.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.SS3.p8.1.m1.1.1" xref="S4.SS3.p8.1.m1.1.1.cmml">X</mi><mo id="S4.SS3.p8.1.m1.2.3.2.2" xref="S4.SS3.p8.1.m1.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS3.p8.1.m1.2.2" xref="S4.SS3.p8.1.m1.2.2.cmml">l</mi><mo id="S4.SS3.p8.1.m1.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.SS3.p8.1.m1.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p8.1.m1.2b"><interval closure="open" id="S4.SS3.p8.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p8.1.m1.2.3.2"><ci id="S4.SS3.p8.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p8.1.m1.1.1">𝑋</ci><ci id="S4.SS3.p8.1.m1.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p8.1.m1.2.2">𝑙</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p8.1.m1.2c">(X,l)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p8.1.m1.2d">( italic_X , italic_l )</annotation></semantics></math> has values in <math alttext="E\times\cup_{k}(\mathbb{R^{+}}\times V)^{k}\times\mathbb{R}^{2}" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S4.SS3.p8.2.m2.1"><semantics id="S4.SS3.p8.2.m2.1a"><mrow id="S4.SS3.p8.2.m2.1b"><mi id="S4.SS3.p8.2.m2.1.1">E</mi><mo id="S4.SS3.p8.2.m2.1.2" lspace="0.222em" rspace="0em">×</mo><msub id="S4.SS3.p8.2.m2.1.3"><mo id="S4.SS3.p8.2.m2.1.3.2" lspace="0em">∪</mo><mi id="S4.SS3.p8.2.m2.1.3.3">k</mi></msub><msup id="S4.SS3.p8.2.m2.1.4"><mrow id="S4.SS3.p8.2.m2.1.4.2"><mo id="S4.SS3.p8.2.m2.1.4.2.1" stretchy="false">(</mo><msup id="S4.SS3.p8.2.m2.1.4.2.2"><mi id="S4.SS3.p8.2.m2.1.4.2.2.2">ℝ</mi><mo id="S4.SS3.p8.2.m2.1.4.2.2.3">+</mo></msup><mo id="S4.SS3.p8.2.m2.1.4.2.3" lspace="0.222em" rspace="0.222em">×</mo><mi id="S4.SS3.p8.2.m2.1.4.2.4">V</mi><mo id="S4.SS3.p8.2.m2.1.4.2.5" rspace="0.055em" stretchy="false">)</mo></mrow><mi id="S4.SS3.p8.2.m2.1.4.3">k</mi></msup><mo id="S4.SS3.p8.2.m2.1.5" rspace="0.222em">×</mo><msup id="S4.SS3.p8.2.m2.1.6"><mi id="S4.SS3.p8.2.m2.1.6.2">ℝ</mi><mn id="S4.SS3.p8.2.m2.1.6.3">2</mn></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p8.2.m2.1c">E\times\cup_{k}(\mathbb{R^{+}}\times V)^{k}\times\mathbb{R}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p8.2.m2.1d">italic_E × ∪ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT × italic_V ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT × blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, defined by a path forward starting at time <math alttext="0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p8.3.m3.1"><semantics id="S4.SS3.p8.3.m3.1a"><mn id="S4.SS3.p8.3.m3.1.1" xref="S4.SS3.p8.3.m3.1.1.cmml">0</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p8.3.m3.1b"><cn id="S4.SS3.p8.3.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.p8.3.m3.1.1">0</cn></annotation-xml></semantics></math> in <math alttext="E\times\cup_{k}(\mathbb{R^{+}}\times V)^{k}" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S4.SS3.p8.4.m4.1"><semantics id="S4.SS3.p8.4.m4.1a"><mrow id="S4.SS3.p8.4.m4.1b"><mi id="S4.SS3.p8.4.m4.1.1">E</mi><mo id="S4.SS3.p8.4.m4.1.2" lspace="0.222em" rspace="0em">×</mo><msub id="S4.SS3.p8.4.m4.1.3"><mo id="S4.SS3.p8.4.m4.1.3.2" lspace="0em">∪</mo><mi id="S4.SS3.p8.4.m4.1.3.3">k</mi></msub><msup id="S4.SS3.p8.4.m4.1.4"><mrow id="S4.SS3.p8.4.m4.1.4.2"><mo id="S4.SS3.p8.4.m4.1.4.2.1" stretchy="false">(</mo><msup id="S4.SS3.p8.4.m4.1.4.2.2"><mi id="S4.SS3.p8.4.m4.1.4.2.2.2">ℝ</mi><mo id="S4.SS3.p8.4.m4.1.4.2.2.3">+</mo></msup><mo id="S4.SS3.p8.4.m4.1.4.2.3" lspace="0.222em" rspace="0.222em">×</mo><mi id="S4.SS3.p8.4.m4.1.4.2.4">V</mi><mo id="S4.SS3.p8.4.m4.1.4.2.5" stretchy="false">)</mo></mrow><mi id="S4.SS3.p8.4.m4.1.4.3">k</mi></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p8.4.m4.1c">E\times\cup_{k}(\mathbb{R^{+}}\times V)^{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p8.4.m4.1d">italic_E × ∪ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT × italic_V ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, a total length in <math alttext="\mathbb{R}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p8.5.m5.1"><semantics id="S4.SS3.p8.5.m5.1a"><mi id="S4.SS3.p8.5.m5.1.1" xref="S4.SS3.p8.5.m5.1.1.cmml">ℝ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p8.5.m5.1b"><ci id="S4.SS3.p8.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p8.5.m5.1.1">ℝ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p8.5.m5.1c">\mathbb{R}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p8.5.m5.1d">blackboard_R</annotation></semantics></math>, and the starting time (i.e. <math alttext="l" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p8.6.m6.1"><semantics id="S4.SS3.p8.6.m6.1a"><mi id="S4.SS3.p8.6.m6.1.1" xref="S4.SS3.p8.6.m6.1.1.cmml">l</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p8.6.m6.1b"><ci id="S4.SS3.p8.6.m6.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p8.6.m6.1.1">𝑙</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p8.6.m6.1c">l</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p8.6.m6.1d">italic_l</annotation></semantics></math>). However, the path was stopped at an event. Let us take <math alttext="(z,t_{0},v_{0},...,t_{k},v_{k},T,l)\in E\times\cup_{k}(\mathbb{R^{+}}\times V)% ^{k}\times\mathbb{R}^{2}" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S4.SS3.p8.7.m7.4"><semantics id="S4.SS3.p8.7.m7.4a"><mrow id="S4.SS3.p8.7.m7.4b"><mrow id="S4.SS3.p8.7.m7.4.5"><mo id="S4.SS3.p8.7.m7.4.5.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S4.SS3.p8.7.m7.1.1">z</mi><mo id="S4.SS3.p8.7.m7.4.5.2">,</mo><msub id="S4.SS3.p8.7.m7.4.5.3"><mi id="S4.SS3.p8.7.m7.4.5.3.2">t</mi><mn id="S4.SS3.p8.7.m7.4.5.3.3">0</mn></msub><mo id="S4.SS3.p8.7.m7.4.5.4">,</mo><msub id="S4.SS3.p8.7.m7.4.5.5"><mi id="S4.SS3.p8.7.m7.4.5.5.2">v</mi><mn id="S4.SS3.p8.7.m7.4.5.5.3">0</mn></msub><mo id="S4.SS3.p8.7.m7.4.5.6">,</mo><mi id="S4.SS3.p8.7.m7.2.2" mathvariant="normal">…</mi><mo id="S4.SS3.p8.7.m7.4.5.7">,</mo><msub id="S4.SS3.p8.7.m7.4.5.8"><mi id="S4.SS3.p8.7.m7.4.5.8.2">t</mi><mi id="S4.SS3.p8.7.m7.4.5.8.3">k</mi></msub><mo id="S4.SS3.p8.7.m7.4.5.9">,</mo><msub id="S4.SS3.p8.7.m7.4.5.10"><mi id="S4.SS3.p8.7.m7.4.5.10.2">v</mi><mi id="S4.SS3.p8.7.m7.4.5.10.3">k</mi></msub><mo id="S4.SS3.p8.7.m7.4.5.11">,</mo><mi id="S4.SS3.p8.7.m7.3.3">T</mi><mo id="S4.SS3.p8.7.m7.4.5.12">,</mo><mi id="S4.SS3.p8.7.m7.4.4">l</mi><mo id="S4.SS3.p8.7.m7.4.5.13" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S4.SS3.p8.7.m7.4.6">∈</mo><mi id="S4.SS3.p8.7.m7.4.7">E</mi><mo id="S4.SS3.p8.7.m7.4.8" lspace="0.222em" rspace="0em">×</mo><msub id="S4.SS3.p8.7.m7.4.9"><mo id="S4.SS3.p8.7.m7.4.9.2" lspace="0em">∪</mo><mi id="S4.SS3.p8.7.m7.4.9.3">k</mi></msub><msup id="S4.SS3.p8.7.m7.4.10"><mrow id="S4.SS3.p8.7.m7.4.10.2"><mo id="S4.SS3.p8.7.m7.4.10.2.1" stretchy="false">(</mo><msup id="S4.SS3.p8.7.m7.4.10.2.2"><mi id="S4.SS3.p8.7.m7.4.10.2.2.2">ℝ</mi><mo id="S4.SS3.p8.7.m7.4.10.2.2.3">+</mo></msup><mo id="S4.SS3.p8.7.m7.4.10.2.3" lspace="0.222em" rspace="0.222em">×</mo><mi id="S4.SS3.p8.7.m7.4.10.2.4">V</mi><mo id="S4.SS3.p8.7.m7.4.10.2.5" rspace="0.055em" stretchy="false">)</mo></mrow><mi id="S4.SS3.p8.7.m7.4.10.3">k</mi></msup><mo id="S4.SS3.p8.7.m7.4.11" rspace="0.222em">×</mo><msup id="S4.SS3.p8.7.m7.4.12"><mi id="S4.SS3.p8.7.m7.4.12.2">ℝ</mi><mn id="S4.SS3.p8.7.m7.4.12.3">2</mn></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p8.7.m7.4c">(z,t_{0},v_{0},...,t_{k},v_{k},T,l)\in E\times\cup_{k}(\mathbb{R^{+}}\times V)% ^{k}\times\mathbb{R}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p8.7.m7.4d">( italic_z , italic_t start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_T , italic_l ) ∈ italic_E × ∪ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT × italic_V ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT × blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. If the path was stopped backward, then <math alttext="t_{0}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p8.8.m8.1"><semantics id="S4.SS3.p8.8.m8.1a"><mrow id="S4.SS3.p8.8.m8.1.1" xref="S4.SS3.p8.8.m8.1.1.cmml"><msub id="S4.SS3.p8.8.m8.1.1.2" xref="S4.SS3.p8.8.m8.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS3.p8.8.m8.1.1.2.2" xref="S4.SS3.p8.8.m8.1.1.2.2.cmml">t</mi><mn id="S4.SS3.p8.8.m8.1.1.2.3" xref="S4.SS3.p8.8.m8.1.1.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S4.SS3.p8.8.m8.1.1.1" xref="S4.SS3.p8.8.m8.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS3.p8.8.m8.1.1.3" xref="S4.SS3.p8.8.m8.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p8.8.m8.1b"><apply id="S4.SS3.p8.8.m8.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p8.8.m8.1.1"><eq id="S4.SS3.p8.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p8.8.m8.1.1.1"></eq><apply id="S4.SS3.p8.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p8.8.m8.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p8.8.m8.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p8.8.m8.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p8.8.m8.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p8.8.m8.1.1.2.2">𝑡</ci><cn id="S4.SS3.p8.8.m8.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.p8.8.m8.1.1.2.3">0</cn></apply><cn id="S4.SS3.p8.8.m8.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.p8.8.m8.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p8.8.m8.1c">t_{0}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p8.8.m8.1d">italic_t start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math>. Otherwise the path was stopped forward, and <math alttext="z_{k}=T" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p8.9.m9.1"><semantics id="S4.SS3.p8.9.m9.1a"><mrow id="S4.SS3.p8.9.m9.1.1" xref="S4.SS3.p8.9.m9.1.1.cmml"><msub id="S4.SS3.p8.9.m9.1.1.2" xref="S4.SS3.p8.9.m9.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS3.p8.9.m9.1.1.2.2" xref="S4.SS3.p8.9.m9.1.1.2.2.cmml">z</mi><mi id="S4.SS3.p8.9.m9.1.1.2.3" xref="S4.SS3.p8.9.m9.1.1.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.SS3.p8.9.m9.1.1.1" xref="S4.SS3.p8.9.m9.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S4.SS3.p8.9.m9.1.1.3" xref="S4.SS3.p8.9.m9.1.1.3.cmml">T</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p8.9.m9.1b"><apply id="S4.SS3.p8.9.m9.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p8.9.m9.1.1"><eq id="S4.SS3.p8.9.m9.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p8.9.m9.1.1.1"></eq><apply id="S4.SS3.p8.9.m9.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p8.9.m9.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p8.9.m9.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p8.9.m9.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p8.9.m9.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p8.9.m9.1.1.2.2">𝑧</ci><ci id="S4.SS3.p8.9.m9.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS3.p8.9.m9.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S4.SS3.p8.9.m9.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.p8.9.m9.1.1.3">𝑇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p8.9.m9.1c">z_{k}=T</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p8.9.m9.1d">italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT = italic_T</annotation></semantics></math>. Hence, the state space of <math alttext="(X,l)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p8.10.m10.2"><semantics id="S4.SS3.p8.10.m10.2a"><mrow id="S4.SS3.p8.10.m10.2.3.2" xref="S4.SS3.p8.10.m10.2.3.1.cmml"><mo id="S4.SS3.p8.10.m10.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS3.p8.10.m10.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.SS3.p8.10.m10.1.1" xref="S4.SS3.p8.10.m10.1.1.cmml">X</mi><mo id="S4.SS3.p8.10.m10.2.3.2.2" xref="S4.SS3.p8.10.m10.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS3.p8.10.m10.2.2" xref="S4.SS3.p8.10.m10.2.2.cmml">l</mi><mo id="S4.SS3.p8.10.m10.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.SS3.p8.10.m10.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p8.10.m10.2b"><interval closure="open" id="S4.SS3.p8.10.m10.2.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p8.10.m10.2.3.2"><ci id="S4.SS3.p8.10.m10.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p8.10.m10.1.1">𝑋</ci><ci id="S4.SS3.p8.10.m10.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p8.10.m10.2.2">𝑙</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p8.10.m10.2c">(X,l)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p8.10.m10.2d">( italic_X , italic_l )</annotation></semantics></math> is:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex71"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="F_{X}=\{(z,t_{0},v_{0},...,t_{k},v_{k},T,l)\in E\times\cup_{k}(\mathbb{R^{+}}% \times V)^{k}\times\mathbb{R}^{2}|t_{0}=0\text{ or }t_{k}=T\}." class="ltx_math_unparsed" display="block" id="S4.Ex71.m1.4"><semantics id="S4.Ex71.m1.4a"><mrow id="S4.Ex71.m1.4b"><msub id="S4.Ex71.m1.4.5"><mi id="S4.Ex71.m1.4.5.2">F</mi><mi id="S4.Ex71.m1.4.5.3">X</mi></msub><mo id="S4.Ex71.m1.4.6">=</mo><mrow id="S4.Ex71.m1.4.7"><mo id="S4.Ex71.m1.4.7.1" stretchy="false">{</mo><mrow id="S4.Ex71.m1.4.7.2"><mo id="S4.Ex71.m1.4.7.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S4.Ex71.m1.1.1">z</mi><mo id="S4.Ex71.m1.4.7.2.2">,</mo><msub id="S4.Ex71.m1.4.7.2.3"><mi id="S4.Ex71.m1.4.7.2.3.2">t</mi><mn id="S4.Ex71.m1.4.7.2.3.3">0</mn></msub><mo id="S4.Ex71.m1.4.7.2.4">,</mo><msub id="S4.Ex71.m1.4.7.2.5"><mi id="S4.Ex71.m1.4.7.2.5.2">v</mi><mn id="S4.Ex71.m1.4.7.2.5.3">0</mn></msub><mo id="S4.Ex71.m1.4.7.2.6">,</mo><mi id="S4.Ex71.m1.2.2" mathvariant="normal">…</mi><mo id="S4.Ex71.m1.4.7.2.7">,</mo><msub id="S4.Ex71.m1.4.7.2.8"><mi id="S4.Ex71.m1.4.7.2.8.2">t</mi><mi id="S4.Ex71.m1.4.7.2.8.3">k</mi></msub><mo id="S4.Ex71.m1.4.7.2.9">,</mo><msub id="S4.Ex71.m1.4.7.2.10"><mi id="S4.Ex71.m1.4.7.2.10.2">v</mi><mi id="S4.Ex71.m1.4.7.2.10.3">k</mi></msub><mo id="S4.Ex71.m1.4.7.2.11">,</mo><mi id="S4.Ex71.m1.3.3">T</mi><mo id="S4.Ex71.m1.4.7.2.12">,</mo><mi id="S4.Ex71.m1.4.4">l</mi><mo id="S4.Ex71.m1.4.7.2.13" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex71.m1.4.7.3">∈</mo><mi id="S4.Ex71.m1.4.7.4">E</mi><mo id="S4.Ex71.m1.4.7.5" lspace="0.222em" rspace="0em">×</mo><msub id="S4.Ex71.m1.4.7.6"><mo id="S4.Ex71.m1.4.7.6.2" lspace="0em">∪</mo><mi id="S4.Ex71.m1.4.7.6.3">k</mi></msub><msup id="S4.Ex71.m1.4.7.7"><mrow id="S4.Ex71.m1.4.7.7.2"><mo id="S4.Ex71.m1.4.7.7.2.1" stretchy="false">(</mo><msup id="S4.Ex71.m1.4.7.7.2.2"><mi id="S4.Ex71.m1.4.7.7.2.2.2">ℝ</mi><mo id="S4.Ex71.m1.4.7.7.2.2.3">+</mo></msup><mo id="S4.Ex71.m1.4.7.7.2.3" lspace="0.222em" rspace="0.222em">×</mo><mi id="S4.Ex71.m1.4.7.7.2.4">V</mi><mo id="S4.Ex71.m1.4.7.7.2.5" rspace="0.055em" stretchy="false">)</mo></mrow><mi id="S4.Ex71.m1.4.7.7.3">k</mi></msup><mo id="S4.Ex71.m1.4.7.8" rspace="0.222em">×</mo><msup id="S4.Ex71.m1.4.7.9"><mi id="S4.Ex71.m1.4.7.9.2">ℝ</mi><mn id="S4.Ex71.m1.4.7.9.3">2</mn></msup><mo fence="false" id="S4.Ex71.m1.4.7.10" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><msub id="S4.Ex71.m1.4.7.11"><mi id="S4.Ex71.m1.4.7.11.2">t</mi><mn id="S4.Ex71.m1.4.7.11.3">0</mn></msub><mo id="S4.Ex71.m1.4.7.12">=</mo><mn id="S4.Ex71.m1.4.7.13">0</mn><mtext id="S4.Ex71.m1.4.7.14"> or </mtext><msub id="S4.Ex71.m1.4.7.15"><mi id="S4.Ex71.m1.4.7.15.2">t</mi><mi id="S4.Ex71.m1.4.7.15.3">k</mi></msub><mo id="S4.Ex71.m1.4.7.16">=</mo><mi id="S4.Ex71.m1.4.7.17">T</mi><mo id="S4.Ex71.m1.4.7.18" stretchy="false">}</mo></mrow><mo id="S4.Ex71.m1.4.8" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex71.m1.4c">F_{X}=\{(z,t_{0},v_{0},...,t_{k},v_{k},T,l)\in E\times\cup_{k}(\mathbb{R^{+}}% \times V)^{k}\times\mathbb{R}^{2}|t_{0}=0\text{ or }t_{k}=T\}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex71.m1.4d">italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_X end_POSTSUBSCRIPT = { ( italic_z , italic_t start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_T , italic_l ) ∈ italic_E × ∪ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT × italic_V ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT × blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT | italic_t start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT = 0 or italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT = italic_T } .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.p8.18">In the case <math alttext="t_{0}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p8.11.m1.1"><semantics id="S4.SS3.p8.11.m1.1a"><mrow id="S4.SS3.p8.11.m1.1.1" xref="S4.SS3.p8.11.m1.1.1.cmml"><msub id="S4.SS3.p8.11.m1.1.1.2" xref="S4.SS3.p8.11.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS3.p8.11.m1.1.1.2.2" xref="S4.SS3.p8.11.m1.1.1.2.2.cmml">t</mi><mn id="S4.SS3.p8.11.m1.1.1.2.3" xref="S4.SS3.p8.11.m1.1.1.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S4.SS3.p8.11.m1.1.1.1" xref="S4.SS3.p8.11.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS3.p8.11.m1.1.1.3" xref="S4.SS3.p8.11.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p8.11.m1.1b"><apply id="S4.SS3.p8.11.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p8.11.m1.1.1"><eq id="S4.SS3.p8.11.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p8.11.m1.1.1.1"></eq><apply id="S4.SS3.p8.11.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p8.11.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p8.11.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p8.11.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p8.11.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p8.11.m1.1.1.2.2">𝑡</ci><cn id="S4.SS3.p8.11.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.p8.11.m1.1.1.2.3">0</cn></apply><cn id="S4.SS3.p8.11.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.p8.11.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p8.11.m1.1c">t_{0}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p8.11.m1.1d">italic_t start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math>, it means that the coordinate associated to <math alttext="t_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p8.12.m2.1"><semantics id="S4.SS3.p8.12.m2.1a"><msub id="S4.SS3.p8.12.m2.1.1" xref="S4.SS3.p8.12.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.p8.12.m2.1.1.2" xref="S4.SS3.p8.12.m2.1.1.2.cmml">t</mi><mn id="S4.SS3.p8.12.m2.1.1.3" xref="S4.SS3.p8.12.m2.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p8.12.m2.1b"><apply id="S4.SS3.p8.12.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p8.12.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p8.12.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p8.12.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p8.12.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p8.12.m2.1.1.2">𝑡</ci><cn id="S4.SS3.p8.12.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.p8.12.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p8.12.m2.1c">t_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p8.12.m2.1d">italic_t start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> can be ignored. On this part of the space, we take the canonical measure defined on <math alttext="E\times\cup_{k}\left(\{0\}\times V\times(\mathbb{R^{+}}\times V)^{k-1}\right)% \times\mathbb{R}^{2}" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S4.SS3.p8.13.m3.1"><semantics id="S4.SS3.p8.13.m3.1a"><mrow id="S4.SS3.p8.13.m3.1b"><mi id="S4.SS3.p8.13.m3.1.1">E</mi><mo id="S4.SS3.p8.13.m3.1.2" lspace="0.222em" rspace="0em">×</mo><msub id="S4.SS3.p8.13.m3.1.3"><mo id="S4.SS3.p8.13.m3.1.3.2" lspace="0em">∪</mo><mi id="S4.SS3.p8.13.m3.1.3.3">k</mi></msub><mrow id="S4.SS3.p8.13.m3.1.4"><mo id="S4.SS3.p8.13.m3.1.4.1">(</mo><mrow id="S4.SS3.p8.13.m3.1.4.2"><mo id="S4.SS3.p8.13.m3.1.4.2.1" stretchy="false">{</mo><mn id="S4.SS3.p8.13.m3.1.4.2.2">0</mn><mo id="S4.SS3.p8.13.m3.1.4.2.3" rspace="0.055em" stretchy="false">}</mo></mrow><mo id="S4.SS3.p8.13.m3.1.4.3" rspace="0.222em">×</mo><mi id="S4.SS3.p8.13.m3.1.4.4">V</mi><mo id="S4.SS3.p8.13.m3.1.4.5" lspace="0.222em" rspace="0.222em">×</mo><msup id="S4.SS3.p8.13.m3.1.4.6"><mrow id="S4.SS3.p8.13.m3.1.4.6.2"><mo id="S4.SS3.p8.13.m3.1.4.6.2.1" stretchy="false">(</mo><msup id="S4.SS3.p8.13.m3.1.4.6.2.2"><mi id="S4.SS3.p8.13.m3.1.4.6.2.2.2">ℝ</mi><mo id="S4.SS3.p8.13.m3.1.4.6.2.2.3">+</mo></msup><mo id="S4.SS3.p8.13.m3.1.4.6.2.3" lspace="0.222em" rspace="0.222em">×</mo><mi id="S4.SS3.p8.13.m3.1.4.6.2.4">V</mi><mo id="S4.SS3.p8.13.m3.1.4.6.2.5" stretchy="false">)</mo></mrow><mrow id="S4.SS3.p8.13.m3.1.4.6.3"><mi id="S4.SS3.p8.13.m3.1.4.6.3.2">k</mi><mo id="S4.SS3.p8.13.m3.1.4.6.3.1">−</mo><mn id="S4.SS3.p8.13.m3.1.4.6.3.3">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.SS3.p8.13.m3.1.4.7" rspace="0.055em">)</mo></mrow><mo id="S4.SS3.p8.13.m3.1.5" rspace="0.222em">×</mo><msup id="S4.SS3.p8.13.m3.1.6"><mi id="S4.SS3.p8.13.m3.1.6.2">ℝ</mi><mn id="S4.SS3.p8.13.m3.1.6.3">2</mn></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p8.13.m3.1c">E\times\cup_{k}\left(\{0\}\times V\times(\mathbb{R^{+}}\times V)^{k-1}\right)% \times\mathbb{R}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p8.13.m3.1d">italic_E × ∪ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( { 0 } × italic_V × ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT × italic_V ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_k - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) × blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. We do the same for the part of space where <math alttext="t_{k}=T" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p8.14.m4.1"><semantics id="S4.SS3.p8.14.m4.1a"><mrow id="S4.SS3.p8.14.m4.1.1" xref="S4.SS3.p8.14.m4.1.1.cmml"><msub id="S4.SS3.p8.14.m4.1.1.2" xref="S4.SS3.p8.14.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS3.p8.14.m4.1.1.2.2" xref="S4.SS3.p8.14.m4.1.1.2.2.cmml">t</mi><mi id="S4.SS3.p8.14.m4.1.1.2.3" xref="S4.SS3.p8.14.m4.1.1.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.SS3.p8.14.m4.1.1.1" xref="S4.SS3.p8.14.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S4.SS3.p8.14.m4.1.1.3" xref="S4.SS3.p8.14.m4.1.1.3.cmml">T</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p8.14.m4.1b"><apply id="S4.SS3.p8.14.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p8.14.m4.1.1"><eq id="S4.SS3.p8.14.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p8.14.m4.1.1.1"></eq><apply id="S4.SS3.p8.14.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p8.14.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p8.14.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p8.14.m4.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p8.14.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p8.14.m4.1.1.2.2">𝑡</ci><ci id="S4.SS3.p8.14.m4.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS3.p8.14.m4.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S4.SS3.p8.14.m4.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.p8.14.m4.1.1.3">𝑇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p8.14.m4.1c">t_{k}=T</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p8.14.m4.1d">italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT = italic_T</annotation></semantics></math>. This means that the dimension has been reduced by 1, which compensates for adding the variable <math alttext="l" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p8.15.m5.1"><semantics id="S4.SS3.p8.15.m5.1a"><mi id="S4.SS3.p8.15.m5.1.1" xref="S4.SS3.p8.15.m5.1.1.cmml">l</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p8.15.m5.1b"><ci id="S4.SS3.p8.15.m5.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p8.15.m5.1.1">𝑙</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p8.15.m5.1c">l</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p8.15.m5.1d">italic_l</annotation></semantics></math>, meaning that <math alttext="F_{g}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p8.16.m6.1"><semantics id="S4.SS3.p8.16.m6.1a"><msub id="S4.SS3.p8.16.m6.1.1" xref="S4.SS3.p8.16.m6.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.p8.16.m6.1.1.2" xref="S4.SS3.p8.16.m6.1.1.2.cmml">F</mi><mi id="S4.SS3.p8.16.m6.1.1.3" xref="S4.SS3.p8.16.m6.1.1.3.cmml">g</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p8.16.m6.1b"><apply id="S4.SS3.p8.16.m6.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p8.16.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p8.16.m6.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p8.16.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p8.16.m6.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p8.16.m6.1.1.2">𝐹</ci><ci id="S4.SS3.p8.16.m6.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.p8.16.m6.1.1.3">𝑔</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p8.16.m6.1c">F_{g}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p8.16.m6.1d">italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_g end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> (and <math alttext="F_{d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p8.17.m7.1"><semantics id="S4.SS3.p8.17.m7.1a"><msub id="S4.SS3.p8.17.m7.1.1" xref="S4.SS3.p8.17.m7.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.p8.17.m7.1.1.2" xref="S4.SS3.p8.17.m7.1.1.2.cmml">F</mi><mi id="S4.SS3.p8.17.m7.1.1.3" xref="S4.SS3.p8.17.m7.1.1.3.cmml">d</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p8.17.m7.1b"><apply id="S4.SS3.p8.17.m7.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p8.17.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p8.17.m7.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p8.17.m7.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p8.17.m7.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p8.17.m7.1.1.2">𝐹</ci><ci id="S4.SS3.p8.17.m7.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.p8.17.m7.1.1.3">𝑑</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p8.17.m7.1c">F_{d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p8.17.m7.1d">italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_d end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>), have the same dimension as <math alttext="F_{X}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p8.18.m8.1"><semantics id="S4.SS3.p8.18.m8.1a"><msub id="S4.SS3.p8.18.m8.1.1" xref="S4.SS3.p8.18.m8.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.p8.18.m8.1.1.2" xref="S4.SS3.p8.18.m8.1.1.2.cmml">F</mi><mi id="S4.SS3.p8.18.m8.1.1.3" xref="S4.SS3.p8.18.m8.1.1.3.cmml">X</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p8.18.m8.1b"><apply id="S4.SS3.p8.18.m8.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p8.18.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p8.18.m8.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p8.18.m8.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p8.18.m8.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p8.18.m8.1.1.2">𝐹</ci><ci id="S4.SS3.p8.18.m8.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.p8.18.m8.1.1.3">𝑋</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p8.18.m8.1c">F_{X}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p8.18.m8.1d">italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_X end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS3.p9"> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.p9.9">Let <math alttext="g" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p9.1.m1.1"><semantics id="S4.SS3.p9.1.m1.1a"><mi id="S4.SS3.p9.1.m1.1.1" xref="S4.SS3.p9.1.m1.1.1.cmml">g</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p9.1.m1.1b"><ci id="S4.SS3.p9.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p9.1.m1.1.1">𝑔</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p9.1.m1.1c">g</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p9.1.m1.1d">italic_g</annotation></semantics></math> be the transformation associating a path in <math alttext="F_{g}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p9.2.m2.1"><semantics id="S4.SS3.p9.2.m2.1a"><msub id="S4.SS3.p9.2.m2.1.1" xref="S4.SS3.p9.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.p9.2.m2.1.1.2" xref="S4.SS3.p9.2.m2.1.1.2.cmml">F</mi><mi id="S4.SS3.p9.2.m2.1.1.3" xref="S4.SS3.p9.2.m2.1.1.3.cmml">g</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p9.2.m2.1b"><apply id="S4.SS3.p9.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p9.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p9.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p9.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p9.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p9.2.m2.1.1.2">𝐹</ci><ci id="S4.SS3.p9.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.p9.2.m2.1.1.3">𝑔</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p9.2.m2.1c">F_{g}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p9.2.m2.1d">italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_g end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> to a path in <math alttext="F_{X}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p9.3.m3.1"><semantics id="S4.SS3.p9.3.m3.1a"><msub id="S4.SS3.p9.3.m3.1.1" xref="S4.SS3.p9.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.p9.3.m3.1.1.2" xref="S4.SS3.p9.3.m3.1.1.2.cmml">F</mi><mi id="S4.SS3.p9.3.m3.1.1.3" xref="S4.SS3.p9.3.m3.1.1.3.cmml">X</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p9.3.m3.1b"><apply id="S4.SS3.p9.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p9.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p9.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p9.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p9.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p9.3.m3.1.1.2">𝐹</ci><ci id="S4.SS3.p9.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.p9.3.m3.1.1.3">𝑋</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p9.3.m3.1c">F_{X}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p9.3.m3.1d">italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_X end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. In other words, the pushforward measure of <math alttext="p_{F_{g}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p9.4.m4.1"><semantics id="S4.SS3.p9.4.m4.1a"><msub id="S4.SS3.p9.4.m4.1.1" xref="S4.SS3.p9.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.p9.4.m4.1.1.2" xref="S4.SS3.p9.4.m4.1.1.2.cmml">p</mi><msub id="S4.SS3.p9.4.m4.1.1.3" xref="S4.SS3.p9.4.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS3.p9.4.m4.1.1.3.2" xref="S4.SS3.p9.4.m4.1.1.3.2.cmml">F</mi><mi id="S4.SS3.p9.4.m4.1.1.3.3" xref="S4.SS3.p9.4.m4.1.1.3.3.cmml">g</mi></msub></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p9.4.m4.1b"><apply id="S4.SS3.p9.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p9.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p9.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p9.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p9.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p9.4.m4.1.1.2">𝑝</ci><apply id="S4.SS3.p9.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.p9.4.m4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p9.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p9.4.m4.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p9.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS3.p9.4.m4.1.1.3.2">𝐹</ci><ci id="S4.SS3.p9.4.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS3.p9.4.m4.1.1.3.3">𝑔</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p9.4.m4.1c">p_{F_{g}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p9.4.m4.1d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_g end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> by <math alttext="g" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p9.5.m5.1"><semantics id="S4.SS3.p9.5.m5.1a"><mi id="S4.SS3.p9.5.m5.1.1" xref="S4.SS3.p9.5.m5.1.1.cmml">g</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p9.5.m5.1b"><ci id="S4.SS3.p9.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p9.5.m5.1.1">𝑔</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p9.5.m5.1c">g</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p9.5.m5.1d">italic_g</annotation></semantics></math> is the law of <math alttext="(X,l)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p9.6.m6.2"><semantics id="S4.SS3.p9.6.m6.2a"><mrow id="S4.SS3.p9.6.m6.2.3.2" xref="S4.SS3.p9.6.m6.2.3.1.cmml"><mo id="S4.SS3.p9.6.m6.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS3.p9.6.m6.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.SS3.p9.6.m6.1.1" xref="S4.SS3.p9.6.m6.1.1.cmml">X</mi><mo id="S4.SS3.p9.6.m6.2.3.2.2" xref="S4.SS3.p9.6.m6.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS3.p9.6.m6.2.2" xref="S4.SS3.p9.6.m6.2.2.cmml">l</mi><mo id="S4.SS3.p9.6.m6.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.SS3.p9.6.m6.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p9.6.m6.2b"><interval closure="open" id="S4.SS3.p9.6.m6.2.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p9.6.m6.2.3.2"><ci id="S4.SS3.p9.6.m6.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p9.6.m6.1.1">𝑋</ci><ci id="S4.SS3.p9.6.m6.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p9.6.m6.2.2">𝑙</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p9.6.m6.2c">(X,l)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p9.6.m6.2d">( italic_X , italic_l )</annotation></semantics></math>. The application <math alttext="g" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p9.7.m7.1"><semantics id="S4.SS3.p9.7.m7.1a"><mi id="S4.SS3.p9.7.m7.1.1" xref="S4.SS3.p9.7.m7.1.1.cmml">g</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p9.7.m7.1b"><ci id="S4.SS3.p9.7.m7.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p9.7.m7.1.1">𝑔</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p9.7.m7.1c">g</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p9.7.m7.1d">italic_g</annotation></semantics></math> applies <math alttext="R_{t_{k_{1}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p9.8.m8.1"><semantics id="S4.SS3.p9.8.m8.1a"><msub id="S4.SS3.p9.8.m8.1.1" xref="S4.SS3.p9.8.m8.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.p9.8.m8.1.1.2" xref="S4.SS3.p9.8.m8.1.1.2.cmml">R</mi><msub id="S4.SS3.p9.8.m8.1.1.3" xref="S4.SS3.p9.8.m8.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS3.p9.8.m8.1.1.3.2" xref="S4.SS3.p9.8.m8.1.1.3.2.cmml">t</mi><msub id="S4.SS3.p9.8.m8.1.1.3.3" xref="S4.SS3.p9.8.m8.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.SS3.p9.8.m8.1.1.3.3.2" xref="S4.SS3.p9.8.m8.1.1.3.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.SS3.p9.8.m8.1.1.3.3.3" xref="S4.SS3.p9.8.m8.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></msub></msub></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p9.8.m8.1b"><apply id="S4.SS3.p9.8.m8.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p9.8.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p9.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p9.8.m8.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p9.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p9.8.m8.1.1.2">𝑅</ci><apply id="S4.SS3.p9.8.m8.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.p9.8.m8.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p9.8.m8.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p9.8.m8.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p9.8.m8.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS3.p9.8.m8.1.1.3.2">𝑡</ci><apply id="S4.SS3.p9.8.m8.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS3.p9.8.m8.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p9.8.m8.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p9.8.m8.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p9.8.m8.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.SS3.p9.8.m8.1.1.3.3.2">𝑘</ci><cn id="S4.SS3.p9.8.m8.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.p9.8.m8.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p9.8.m8.1c">R_{t_{k_{1}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p9.8.m8.1d">italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> to the reversed part of the path and shifts the rest by time <math alttext="-t_{k_{1}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p9.9.m9.1"><semantics id="S4.SS3.p9.9.m9.1a"><mrow id="S4.SS3.p9.9.m9.1.1" xref="S4.SS3.p9.9.m9.1.1.cmml"><mo id="S4.SS3.p9.9.m9.1.1a" xref="S4.SS3.p9.9.m9.1.1.cmml">−</mo><msub id="S4.SS3.p9.9.m9.1.1.2" xref="S4.SS3.p9.9.m9.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS3.p9.9.m9.1.1.2.2" xref="S4.SS3.p9.9.m9.1.1.2.2.cmml">t</mi><msub id="S4.SS3.p9.9.m9.1.1.2.3" xref="S4.SS3.p9.9.m9.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.SS3.p9.9.m9.1.1.2.3.2" xref="S4.SS3.p9.9.m9.1.1.2.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.SS3.p9.9.m9.1.1.2.3.3" xref="S4.SS3.p9.9.m9.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></msub></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p9.9.m9.1b"><apply id="S4.SS3.p9.9.m9.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p9.9.m9.1.1"><minus id="S4.SS3.p9.9.m9.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p9.9.m9.1.1"></minus><apply id="S4.SS3.p9.9.m9.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p9.9.m9.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p9.9.m9.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p9.9.m9.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p9.9.m9.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p9.9.m9.1.1.2.2">𝑡</ci><apply id="S4.SS3.p9.9.m9.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS3.p9.9.m9.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p9.9.m9.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p9.9.m9.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p9.9.m9.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS3.p9.9.m9.1.1.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S4.SS3.p9.9.m9.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.p9.9.m9.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p9.9.m9.1c">-t_{k_{1}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p9.9.m9.1d">- italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx15"> <tbody id="S4.Ex72"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle g:F_{g}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex72.m1.1"><semantics id="S4.Ex72.m1.1a"><mrow id="S4.Ex72.m1.1.1" xref="S4.Ex72.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex72.m1.1.1.2" xref="S4.Ex72.m1.1.1.2.cmml">g</mi><mo id="S4.Ex72.m1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S4.Ex72.m1.1.1.1.cmml">:</mo><msub id="S4.Ex72.m1.1.1.3" xref="S4.Ex72.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex72.m1.1.1.3.2" xref="S4.Ex72.m1.1.1.3.2.cmml">F</mi><mi id="S4.Ex72.m1.1.1.3.3" xref="S4.Ex72.m1.1.1.3.3.cmml">g</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex72.m1.1b"><apply id="S4.Ex72.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex72.m1.1.1"><ci id="S4.Ex72.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex72.m1.1.1.1">:</ci><ci id="S4.Ex72.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex72.m1.1.1.2">𝑔</ci><apply id="S4.Ex72.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex72.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex72.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex72.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex72.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex72.m1.1.1.3.2">𝐹</ci><ci id="S4.Ex72.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex72.m1.1.1.3.3">𝑔</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex72.m1.1c">\displaystyle g:F_{g}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex72.m1.1d">italic_g : italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_g end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mapsto E\times\cup_{k}\left(\{0\}\times V\times(\mathbb{R^{+}}% \times V)^{k-1}\right)\times\mathbb{R}^{2}\subset F_{X}" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S4.Ex72.m2.1"><semantics id="S4.Ex72.m2.1a"><mrow id="S4.Ex72.m2.1b"><mo id="S4.Ex72.m2.1.1" stretchy="false">↦</mo><mi id="S4.Ex72.m2.1.2">E</mi><mo id="S4.Ex72.m2.1.3" lspace="0.222em" rspace="0em">×</mo><msub id="S4.Ex72.m2.1.4"><mo id="S4.Ex72.m2.1.4.2" lspace="0em">∪</mo><mi id="S4.Ex72.m2.1.4.3">k</mi></msub><mrow id="S4.Ex72.m2.1.5"><mo id="S4.Ex72.m2.1.5.1">(</mo><mrow id="S4.Ex72.m2.1.5.2"><mo id="S4.Ex72.m2.1.5.2.1" stretchy="false">{</mo><mn id="S4.Ex72.m2.1.5.2.2">0</mn><mo id="S4.Ex72.m2.1.5.2.3" rspace="0.055em" stretchy="false">}</mo></mrow><mo id="S4.Ex72.m2.1.5.3" rspace="0.222em">×</mo><mi id="S4.Ex72.m2.1.5.4">V</mi><mo id="S4.Ex72.m2.1.5.5" lspace="0.222em" rspace="0.222em">×</mo><msup id="S4.Ex72.m2.1.5.6"><mrow id="S4.Ex72.m2.1.5.6.2"><mo id="S4.Ex72.m2.1.5.6.2.1" stretchy="false">(</mo><msup id="S4.Ex72.m2.1.5.6.2.2"><mi id="S4.Ex72.m2.1.5.6.2.2.2">ℝ</mi><mo id="S4.Ex72.m2.1.5.6.2.2.3">+</mo></msup><mo id="S4.Ex72.m2.1.5.6.2.3" lspace="0.222em" rspace="0.222em">×</mo><mi id="S4.Ex72.m2.1.5.6.2.4">V</mi><mo id="S4.Ex72.m2.1.5.6.2.5" stretchy="false">)</mo></mrow><mrow id="S4.Ex72.m2.1.5.6.3"><mi id="S4.Ex72.m2.1.5.6.3.2">k</mi><mo id="S4.Ex72.m2.1.5.6.3.1">−</mo><mn id="S4.Ex72.m2.1.5.6.3.3">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.Ex72.m2.1.5.7" rspace="0.055em">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex72.m2.1.6" rspace="0.222em">×</mo><msup id="S4.Ex72.m2.1.7"><mi id="S4.Ex72.m2.1.7.2">ℝ</mi><mn id="S4.Ex72.m2.1.7.3">2</mn></msup><mo id="S4.Ex72.m2.1.8">⊂</mo><msub id="S4.Ex72.m2.1.9"><mi id="S4.Ex72.m2.1.9.2">F</mi><mi id="S4.Ex72.m2.1.9.3">X</mi></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex72.m2.1c">\displaystyle\mapsto E\times\cup_{k}\left(\{0\}\times V\times(\mathbb{R^{+}}% \times V)^{k-1}\right)\times\mathbb{R}^{2}\subset F_{X}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex72.m2.1d">↦ italic_E × ∪ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( { 0 } × italic_V × ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT × italic_V ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_k - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) × blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ⊂ italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_X end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.Ex73"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle(z,t^{b}_{k_{1}},v^{b}_{k_{1}},...,t^{f}_{k_{2}},v^{f}_{k_{2}},b)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex73.m1.7"><semantics id="S4.Ex73.m1.7a"><mrow id="S4.Ex73.m1.7.7.4" xref="S4.Ex73.m1.7.7.5.cmml"><mo id="S4.Ex73.m1.7.7.4.5" stretchy="false" xref="S4.Ex73.m1.7.7.5.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex73.m1.1.1" xref="S4.Ex73.m1.1.1.cmml">z</mi><mo id="S4.Ex73.m1.7.7.4.6" xref="S4.Ex73.m1.7.7.5.cmml">,</mo><msubsup id="S4.Ex73.m1.4.4.1.1" xref="S4.Ex73.m1.4.4.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex73.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S4.Ex73.m1.4.4.1.1.2.2.cmml">t</mi><msub id="S4.Ex73.m1.4.4.1.1.3" xref="S4.Ex73.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex73.m1.4.4.1.1.3.2" xref="S4.Ex73.m1.4.4.1.1.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex73.m1.4.4.1.1.3.3" xref="S4.Ex73.m1.4.4.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mi id="S4.Ex73.m1.4.4.1.1.2.3" xref="S4.Ex73.m1.4.4.1.1.2.3.cmml">b</mi></msubsup><mo id="S4.Ex73.m1.7.7.4.7" xref="S4.Ex73.m1.7.7.5.cmml">,</mo><msubsup id="S4.Ex73.m1.5.5.2.2" xref="S4.Ex73.m1.5.5.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex73.m1.5.5.2.2.2.2" xref="S4.Ex73.m1.5.5.2.2.2.2.cmml">v</mi><msub id="S4.Ex73.m1.5.5.2.2.3" xref="S4.Ex73.m1.5.5.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex73.m1.5.5.2.2.3.2" xref="S4.Ex73.m1.5.5.2.2.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex73.m1.5.5.2.2.3.3" xref="S4.Ex73.m1.5.5.2.2.3.3.cmml">1</mn></msub><mi id="S4.Ex73.m1.5.5.2.2.2.3" xref="S4.Ex73.m1.5.5.2.2.2.3.cmml">b</mi></msubsup><mo id="S4.Ex73.m1.7.7.4.8" xref="S4.Ex73.m1.7.7.5.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex73.m1.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex73.m1.2.2.cmml">…</mi><mo id="S4.Ex73.m1.7.7.4.9" xref="S4.Ex73.m1.7.7.5.cmml">,</mo><msubsup id="S4.Ex73.m1.6.6.3.3" xref="S4.Ex73.m1.6.6.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex73.m1.6.6.3.3.2.2" xref="S4.Ex73.m1.6.6.3.3.2.2.cmml">t</mi><msub id="S4.Ex73.m1.6.6.3.3.3" xref="S4.Ex73.m1.6.6.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex73.m1.6.6.3.3.3.2" xref="S4.Ex73.m1.6.6.3.3.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex73.m1.6.6.3.3.3.3" xref="S4.Ex73.m1.6.6.3.3.3.3.cmml">2</mn></msub><mi id="S4.Ex73.m1.6.6.3.3.2.3" xref="S4.Ex73.m1.6.6.3.3.2.3.cmml">f</mi></msubsup><mo id="S4.Ex73.m1.7.7.4.10" xref="S4.Ex73.m1.7.7.5.cmml">,</mo><msubsup id="S4.Ex73.m1.7.7.4.4" xref="S4.Ex73.m1.7.7.4.4.cmml"><mi id="S4.Ex73.m1.7.7.4.4.2.2" xref="S4.Ex73.m1.7.7.4.4.2.2.cmml">v</mi><msub id="S4.Ex73.m1.7.7.4.4.3" xref="S4.Ex73.m1.7.7.4.4.3.cmml"><mi id="S4.Ex73.m1.7.7.4.4.3.2" xref="S4.Ex73.m1.7.7.4.4.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex73.m1.7.7.4.4.3.3" xref="S4.Ex73.m1.7.7.4.4.3.3.cmml">2</mn></msub><mi id="S4.Ex73.m1.7.7.4.4.2.3" xref="S4.Ex73.m1.7.7.4.4.2.3.cmml">f</mi></msubsup><mo id="S4.Ex73.m1.7.7.4.11" xref="S4.Ex73.m1.7.7.5.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex73.m1.3.3" xref="S4.Ex73.m1.3.3.cmml">b</mi><mo id="S4.Ex73.m1.7.7.4.12" stretchy="false" xref="S4.Ex73.m1.7.7.5.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex73.m1.7b"><vector id="S4.Ex73.m1.7.7.5.cmml" xref="S4.Ex73.m1.7.7.4"><ci id="S4.Ex73.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex73.m1.1.1">𝑧</ci><apply id="S4.Ex73.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S4.Ex73.m1.4.4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex73.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex73.m1.4.4.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex73.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex73.m1.4.4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex73.m1.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex73.m1.4.4.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex73.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex73.m1.4.4.1.1.2.2">𝑡</ci><ci id="S4.Ex73.m1.4.4.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex73.m1.4.4.1.1.2.3">𝑏</ci></apply><apply id="S4.Ex73.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex73.m1.4.4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex73.m1.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex73.m1.4.4.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex73.m1.4.4.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex73.m1.4.4.1.1.3.2">𝑘</ci><cn id="S4.Ex73.m1.4.4.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex73.m1.4.4.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.Ex73.m1.5.5.2.2.cmml" xref="S4.Ex73.m1.5.5.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex73.m1.5.5.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex73.m1.5.5.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex73.m1.5.5.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex73.m1.5.5.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex73.m1.5.5.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex73.m1.5.5.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex73.m1.5.5.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex73.m1.5.5.2.2.2.2">𝑣</ci><ci id="S4.Ex73.m1.5.5.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex73.m1.5.5.2.2.2.3">𝑏</ci></apply><apply id="S4.Ex73.m1.5.5.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex73.m1.5.5.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex73.m1.5.5.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex73.m1.5.5.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex73.m1.5.5.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex73.m1.5.5.2.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S4.Ex73.m1.5.5.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex73.m1.5.5.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S4.Ex73.m1.2.2.cmml" xref="S4.Ex73.m1.2.2">…</ci><apply id="S4.Ex73.m1.6.6.3.3.cmml" xref="S4.Ex73.m1.6.6.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex73.m1.6.6.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex73.m1.6.6.3.3">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex73.m1.6.6.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex73.m1.6.6.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex73.m1.6.6.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex73.m1.6.6.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex73.m1.6.6.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex73.m1.6.6.3.3.2.2">𝑡</ci><ci id="S4.Ex73.m1.6.6.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex73.m1.6.6.3.3.2.3">𝑓</ci></apply><apply id="S4.Ex73.m1.6.6.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex73.m1.6.6.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex73.m1.6.6.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex73.m1.6.6.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex73.m1.6.6.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex73.m1.6.6.3.3.3.2">𝑘</ci><cn id="S4.Ex73.m1.6.6.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex73.m1.6.6.3.3.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S4.Ex73.m1.7.7.4.4.cmml" xref="S4.Ex73.m1.7.7.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex73.m1.7.7.4.4.1.cmml" xref="S4.Ex73.m1.7.7.4.4">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex73.m1.7.7.4.4.2.cmml" xref="S4.Ex73.m1.7.7.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex73.m1.7.7.4.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex73.m1.7.7.4.4">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex73.m1.7.7.4.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex73.m1.7.7.4.4.2.2">𝑣</ci><ci id="S4.Ex73.m1.7.7.4.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex73.m1.7.7.4.4.2.3">𝑓</ci></apply><apply id="S4.Ex73.m1.7.7.4.4.3.cmml" xref="S4.Ex73.m1.7.7.4.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex73.m1.7.7.4.4.3.1.cmml" xref="S4.Ex73.m1.7.7.4.4.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex73.m1.7.7.4.4.3.2.cmml" xref="S4.Ex73.m1.7.7.4.4.3.2">𝑘</ci><cn id="S4.Ex73.m1.7.7.4.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex73.m1.7.7.4.4.3.3">2</cn></apply></apply><ci id="S4.Ex73.m1.3.3.cmml" xref="S4.Ex73.m1.3.3">𝑏</ci></vector></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex73.m1.7c">\displaystyle(z,t^{b}_{k_{1}},v^{b}_{k_{1}},...,t^{f}_{k_{2}},v^{f}_{k_{2}},b)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex73.m1.7d">( italic_z , italic_t start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_t start_POSTSUPERSCRIPT italic_f end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUPERSCRIPT italic_f end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , italic_b )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mapsto(R_{-t_{k_{1}}}(z,t^{b}_{k_{1}},v^{b}_{k_{1}},...,t^{b}_{1% },v^{b}_{1}),t^{f}_{1}-t^{b}_{k_{1}},v^{f}_{1},...,t^{f}_{k_{2}}-t^{b}_{k_{1}}% ,v^{f}_{k_{2}},b-t^{b}_{k_{1}},-t_{k_{1}}^{b})." class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex73.m2.4"><semantics id="S4.Ex73.m2.4a"><mrow id="S4.Ex73.m2.4.4.1" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.9" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.9.cmml"></mi><mo id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.8" stretchy="false" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.8.cmml">↦</mo><mrow id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.7.7" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.7.8.cmml"><mo id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.7.7.8" stretchy="false" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.7.8.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.6" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.6.cmml"><mi id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.6.2" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.6.2.cmml">R</mi><mrow id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.6.3" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.6.3.cmml"><mo id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.6.3a" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.6.3.cmml">−</mo><msub id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.6.3.2" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.6.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.6.3.2.2" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.6.3.2.2.cmml">t</mi><msub id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.6.3.2.3" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.6.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.6.3.2.3.2" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.6.3.2.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.6.3.2.3.3" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.6.3.2.3.3.cmml">1</mn></msub></msub></mrow></msub><mo id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.5" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.4.4" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.4.5.cmml"><mo id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.4.4.5" stretchy="false" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.4.5.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex73.m2.1.1" xref="S4.Ex73.m2.1.1.cmml">z</mi><mo id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.4.4.6" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.4.5.cmml">,</mo><msubsup id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">t</mi><msub id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mi id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">b</mi></msubsup><mo id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.4.4.7" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.4.5.cmml">,</mo><msubsup id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">v</mi><msub id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></msub><mi id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">b</mi></msubsup><mo id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.4.4.8" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.4.5.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex73.m2.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex73.m2.2.2.cmml">…</mi><mo id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.4.4.9" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.4.5.cmml">,</mo><msubsup id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.2.2" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.cmml">t</mi><mn id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">1</mn><mi id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.cmml">b</mi></msubsup><mo id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.4.4.10" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.4.5.cmml">,</mo><msubsup id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.4.4.4" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.4.4.4.cmml"><mi id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.cmml">v</mi><mn id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.4.4.4.3" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.4.4.4.3.cmml">1</mn><mi id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.4.4.4.2.3" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.4.4.4.2.3.cmml">b</mi></msubsup><mo id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.4.4.11" stretchy="false" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.1.1.1.4.5.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.7.7.9" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.7.8.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.2.2.2" 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xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.4.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.4.4.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.4.4.4.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.4.4.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.4.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.4.4.4.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.4.4.4.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.4.4.4.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.4.4.4.2.2.2">𝑡</ci><ci id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.4.4.4.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.4.4.4.2.2.3">𝑓</ci></apply><apply id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.4.4.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.4.4.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.4.4.4.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.4.4.4.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.4.4.4.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.4.4.4.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.4.4.4.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.4.4.4.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.4.4.4.3.cmml" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.4.4.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.4.4.4.3.1.cmml" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.4.4.4.3">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.4.4.4.3.2.cmml" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.4.4.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.4.4.4.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.4.4.4.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.4.4.4.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.4.4.4.3.2.2">𝑡</ci><ci id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.4.4.4.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.4.4.4.3.2.3">𝑏</ci></apply><apply id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.4.4.4.3.3.cmml" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.4.4.4.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.4.4.4.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.4.4.4.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.4.4.4.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.4.4.4.3.3.2">𝑘</ci><cn id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.4.4.4.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.4.4.4.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.5.5.5.cmml" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.5.5.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.5.5.5.1.cmml" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.5.5.5">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.5.5.5.2.cmml" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.5.5.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.5.5.5.2.1.cmml" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.5.5.5">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.5.5.5.2.2.cmml" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.5.5.5.2.2">𝑣</ci><ci id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.5.5.5.2.3.cmml" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.5.5.5.2.3">𝑓</ci></apply><apply id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.5.5.5.3.cmml" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.5.5.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.5.5.5.3.1.cmml" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.5.5.5.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.5.5.5.3.2.cmml" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.5.5.5.3.2">𝑘</ci><cn id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.5.5.5.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.5.5.5.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.6.6.6.cmml" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.6.6.6"><minus id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.6.6.6.1.cmml" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.6.6.6.1"></minus><ci id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.6.6.6.2.cmml" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.6.6.6.2">𝑏</ci><apply id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.6.6.6.3.cmml" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.6.6.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.6.6.6.3.1.cmml" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.6.6.6.3">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.6.6.6.3.2.cmml" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.6.6.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.6.6.6.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.6.6.6.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.6.6.6.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.6.6.6.3.2.2">𝑡</ci><ci id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.6.6.6.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.6.6.6.3.2.3">𝑏</ci></apply><apply id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.6.6.6.3.3.cmml" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.6.6.6.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.6.6.6.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.6.6.6.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.6.6.6.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.6.6.6.3.3.2">𝑘</ci><cn id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.6.6.6.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.6.6.6.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.7.7.7.cmml" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.7.7.7"><minus id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.7.7.7.1.cmml" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.7.7.7"></minus><apply id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.7.7.7.2.cmml" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.7.7.7.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.7.7.7.2.1.cmml" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.7.7.7.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.7.7.7.2.2.cmml" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.7.7.7.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.7.7.7.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.7.7.7.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.7.7.7.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.7.7.7.2.2.2">𝑡</ci><apply id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.7.7.7.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.7.7.7.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.7.7.7.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.7.7.7.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.7.7.7.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.7.7.7.2.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.7.7.7.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.7.7.7.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.7.7.7.2.3.cmml" xref="S4.Ex73.m2.4.4.1.1.7.7.7.2.3">𝑏</ci></apply></apply></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex73.m2.4c">\displaystyle\mapsto(R_{-t_{k_{1}}}(z,t^{b}_{k_{1}},v^{b}_{k_{1}},...,t^{b}_{1% },v^{b}_{1}),t^{f}_{1}-t^{b}_{k_{1}},v^{f}_{1},...,t^{f}_{k_{2}}-t^{b}_{k_{1}}% ,v^{f}_{k_{2}},b-t^{b}_{k_{1}},-t_{k_{1}}^{b}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex73.m2.4d">↦ ( italic_R start_POSTSUBSCRIPT - italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z , italic_t start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_t start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) , italic_t start_POSTSUPERSCRIPT italic_f end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT - italic_t start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUPERSCRIPT italic_f end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_t start_POSTSUPERSCRIPT italic_f end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT - italic_t start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUPERSCRIPT italic_f end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , italic_b - italic_t start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , - italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.p9.12">We could define a similar application <math alttext="d" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p9.10.m1.1"><semantics id="S4.SS3.p9.10.m1.1a"><mi id="S4.SS3.p9.10.m1.1.1" xref="S4.SS3.p9.10.m1.1.1.cmml">d</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p9.10.m1.1b"><ci id="S4.SS3.p9.10.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p9.10.m1.1.1">𝑑</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p9.10.m1.1c">d</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p9.10.m1.1d">italic_d</annotation></semantics></math> from <math alttext="F_{d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p9.11.m2.1"><semantics id="S4.SS3.p9.11.m2.1a"><msub id="S4.SS3.p9.11.m2.1.1" xref="S4.SS3.p9.11.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.p9.11.m2.1.1.2" xref="S4.SS3.p9.11.m2.1.1.2.cmml">F</mi><mi id="S4.SS3.p9.11.m2.1.1.3" xref="S4.SS3.p9.11.m2.1.1.3.cmml">d</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p9.11.m2.1b"><apply id="S4.SS3.p9.11.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p9.11.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p9.11.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p9.11.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p9.11.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p9.11.m2.1.1.2">𝐹</ci><ci id="S4.SS3.p9.11.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.p9.11.m2.1.1.3">𝑑</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p9.11.m2.1c">F_{d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p9.11.m2.1d">italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_d end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> to <math alttext="F_{X}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p9.12.m3.1"><semantics id="S4.SS3.p9.12.m3.1a"><msub id="S4.SS3.p9.12.m3.1.1" xref="S4.SS3.p9.12.m3.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.p9.12.m3.1.1.2" xref="S4.SS3.p9.12.m3.1.1.2.cmml">F</mi><mi id="S4.SS3.p9.12.m3.1.1.3" xref="S4.SS3.p9.12.m3.1.1.3.cmml">X</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p9.12.m3.1b"><apply id="S4.SS3.p9.12.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p9.12.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p9.12.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p9.12.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p9.12.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p9.12.m3.1.1.2">𝐹</ci><ci id="S4.SS3.p9.12.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.p9.12.m3.1.1.3">𝑋</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p9.12.m3.1c">F_{X}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p9.12.m3.1d">italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_X end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, which would follow similar arguments.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmlemma2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma2.2.1.1">Lemma 2</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma2.3.2"> </span>(Volume change of <math alttext="g" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma2.1.m1.1"><semantics id="Thmlemma2.1.m1.1b"><mi id="Thmlemma2.1.m1.1.1" xref="Thmlemma2.1.m1.1.1.cmml">g</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma2.1.m1.1c"><ci id="Thmlemma2.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmlemma2.1.m1.1.1">𝑔</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma2.1.m1.1d">g</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma2.1.m1.1e">italic_g</annotation></semantics></math>)<span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma2.4.3">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmlemma2.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmlemma2.p1.4"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlemma2.p1.4.4">Assume that for all paths, the mappings <math alttext="t\mapsto R_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.1" stretchy="false" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">↦</mo><msub id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3.2" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">R</mi><mi id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3.3" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.1">maps-to</csymbol><ci id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.2">𝑡</ci><apply id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3.2">𝑅</ci><ci id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.1c">t\mapsto R_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.1d">italic_t ↦ italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="t\mapsto\psi_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma2.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmlemma2.p1.2.2.m2.1a"><mrow id="Thmlemma2.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmlemma2.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmlemma2.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="Thmlemma2.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="Thmlemma2.p1.2.2.m2.1.1.1" stretchy="false" xref="Thmlemma2.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml">↦</mo><msub id="Thmlemma2.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="Thmlemma2.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="Thmlemma2.p1.2.2.m2.1.1.3.2" xref="Thmlemma2.p1.2.2.m2.1.1.3.2.cmml">ψ</mi><mi id="Thmlemma2.p1.2.2.m2.1.1.3.3" xref="Thmlemma2.p1.2.2.m2.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma2.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmlemma2.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.2.2.m2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="Thmlemma2.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.2.2.m2.1.1.1">maps-to</csymbol><ci id="Thmlemma2.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.2.2.m2.1.1.2">𝑡</ci><apply id="Thmlemma2.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmlemma2.p1.2.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma2.p1.2.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.2.2.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma2.p1.2.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.2.2.m2.1.1.3.2">𝜓</ci><ci id="Thmlemma2.p1.2.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="Thmlemma2.p1.2.2.m2.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma2.p1.2.2.m2.1c">t\mapsto\psi_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma2.p1.2.2.m2.1d">italic_t ↦ italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are continuous. It then holds that the application <math alttext="g" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.1"><semantics id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.1a"><mi id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.cmml">g</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.1b"><ci id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1">𝑔</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.1c">g</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.1d">italic_g</annotation></semantics></math> has volume change for <math alttext="(z,t_{1},v_{1},...,t_{k},v_{k},T,l)\in E\times\cup_{k}\left((\mathbb{R^{+}}% \times V)^{k}\right)\times\mathbb{R}^{2}" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.4"><semantics id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.4a"><mrow id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.4b"><mrow id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.4.5"><mo id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.4.5.1" stretchy="false">(</mo><mi id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.1.1">z</mi><mo id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.4.5.2">,</mo><msub id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.4.5.3"><mi id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.4.5.3.2">t</mi><mn id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.4.5.3.3">1</mn></msub><mo id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.4.5.4">,</mo><msub id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.4.5.5"><mi id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.4.5.5.2">v</mi><mn id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.4.5.5.3">1</mn></msub><mo id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.4.5.6">,</mo><mi id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.2.2" mathvariant="normal">…</mi><mo id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.4.5.7">,</mo><msub id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.4.5.8"><mi id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.4.5.8.2">t</mi><mi id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.4.5.8.3">k</mi></msub><mo id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.4.5.9">,</mo><msub id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.4.5.10"><mi id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.4.5.10.2">v</mi><mi id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.4.5.10.3">k</mi></msub><mo id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.4.5.11">,</mo><mi id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.3.3">T</mi><mo id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.4.5.12">,</mo><mi id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.4.4">l</mi><mo id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.4.5.13" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.4.6">∈</mo><mi id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.4.7">E</mi><mo id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.4.8" lspace="0.222em" rspace="0em">×</mo><msub id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.4.9"><mo id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.4.9.2" lspace="0em">∪</mo><mi id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.4.9.3">k</mi></msub><mrow id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.4.10"><mo id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.4.10.1">(</mo><msup id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.4.10.2"><mrow id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.4.10.2.2"><mo id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.4.10.2.2.1" stretchy="false">(</mo><msup id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.4.10.2.2.2"><mi id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.4.10.2.2.2.2">ℝ</mi><mo id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.4.10.2.2.2.3">+</mo></msup><mo id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.4.10.2.2.3" lspace="0.222em" rspace="0.222em">×</mo><mi id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.4.10.2.2.4">V</mi><mo id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.4.10.2.2.5" stretchy="false">)</mo></mrow><mi id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.4.10.2.3">k</mi></msup><mo id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.4.10.3" rspace="0.055em">)</mo></mrow><mo id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.4.11" rspace="0.222em">×</mo><msup id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.4.12"><mi id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.4.12.2">ℝ</mi><mn id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.4.12.3">2</mn></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.4c">(z,t_{1},v_{1},...,t_{k},v_{k},T,l)\in E\times\cup_{k}\left((\mathbb{R^{+}}% \times V)^{k}\right)\times\mathbb{R}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.4d">( italic_z , italic_t start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_T , italic_l ) ∈ italic_E × ∪ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT × italic_V ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT ) × blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> given by</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex74"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\Psi_{l}(z,t_{1},v_{1},...,t_{k_{l}},v_{k_{l}})," class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex74.m1.3"><semantics id="S4.Ex74.m1.3a"><mrow id="S4.Ex74.m1.3.3.1" xref="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex74.m1.3.3.1.1" xref="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.6" xref="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.6.cmml"><mi id="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.6.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.6.2.cmml">Ψ</mi><mi id="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.6.3" xref="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.6.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.5" xref="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.4.4" xref="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.4.5.cmml"><mo id="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.4.4.5" stretchy="false" xref="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.4.5.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex74.m1.1.1" xref="S4.Ex74.m1.1.1.cmml">z</mi><mo id="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.4.4.6" xref="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.4.5.cmml">,</mo><msub id="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mn id="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.4.4.7" xref="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.4.5.cmml">,</mo><msub id="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml">v</mi><mn id="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.2.2.2.3" xref="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.4.4.8" xref="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.4.5.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex74.m1.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex74.m1.2.2.cmml">…</mi><mo id="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.4.4.9" xref="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.4.5.cmml">,</mo><msub id="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.3.3.3.2" xref="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.3.3.3.2.cmml">t</mi><msub id="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.3.3.3.3" xref="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.2" xref="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.2.cmml">k</mi><mi id="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.3" xref="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.3.cmml">l</mi></msub></msub><mo id="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.4.4.10" xref="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.4.5.cmml">,</mo><msub id="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.4.4.4" xref="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.4.4.4.cmml"><mi id="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.4.4.4.2" xref="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.4.4.4.2.cmml">v</mi><msub id="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.4.4.4.3" xref="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.4.4.4.3.cmml"><mi id="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.4.4.4.3.2" xref="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.4.4.4.3.2.cmml">k</mi><mi id="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.4.4.4.3.3" xref="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.4.4.4.3.3.cmml">l</mi></msub></msub><mo id="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.4.4.11" stretchy="false" xref="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.4.5.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex74.m1.3.3.1.2" xref="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex74.m1.3b"><apply id="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex74.m1.3.3.1"><times id="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.5.cmml" xref="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.5"></times><apply id="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.6.cmml" xref="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.6.1.cmml" xref="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.6">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.6.2.cmml" xref="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.6.2">Ψ</ci><ci id="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.6.3.cmml" xref="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.6.3">𝑙</ci></apply><vector id="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.4.5.cmml" xref="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.4.4"><ci id="S4.Ex74.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex74.m1.1.1">𝑧</ci><apply id="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><cn id="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.2.2.2.2">𝑣</ci><cn id="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.2.2.2.3">1</cn></apply><ci id="S4.Ex74.m1.2.2.cmml" xref="S4.Ex74.m1.2.2">…</ci><apply id="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.3.3.3.2">𝑡</ci><apply id="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.3">𝑙</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.4.4.4.cmml" xref="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.4.4.4.1.cmml" xref="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.4.4.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.4.4.4.2.cmml" xref="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.4.4.4.2">𝑣</ci><apply id="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.4.4.4.3.cmml" xref="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.4.4.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.4.4.4.3.1.cmml" xref="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.4.4.4.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.4.4.4.3.2.cmml" xref="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.4.4.4.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.4.4.4.3.3.cmml" xref="S4.Ex74.m1.3.3.1.1.4.4.4.3.3">𝑙</ci></apply></apply></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex74.m1.3c">\Psi_{l}(z,t_{1},v_{1},...,t_{k_{l}},v_{k_{l}}),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex74.m1.3d">roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z , italic_t start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmlemma2.p1.6"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlemma2.p1.6.2">where <math alttext="k_{l}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma2.p1.5.1.m1.1"><semantics id="Thmlemma2.p1.5.1.m1.1a"><msub id="Thmlemma2.p1.5.1.m1.1.1" xref="Thmlemma2.p1.5.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmlemma2.p1.5.1.m1.1.1.2" xref="Thmlemma2.p1.5.1.m1.1.1.2.cmml">k</mi><mi id="Thmlemma2.p1.5.1.m1.1.1.3" xref="Thmlemma2.p1.5.1.m1.1.1.3.cmml">l</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma2.p1.5.1.m1.1b"><apply id="Thmlemma2.p1.5.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.5.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma2.p1.5.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.5.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma2.p1.5.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.5.1.m1.1.1.2">𝑘</ci><ci id="Thmlemma2.p1.5.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmlemma2.p1.5.1.m1.1.1.3">𝑙</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma2.p1.5.1.m1.1c">k_{l}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma2.p1.5.1.m1.1d">italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the number of event times smaller than <math alttext="l" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma2.p1.6.2.m2.1"><semantics id="Thmlemma2.p1.6.2.m2.1a"><mi id="Thmlemma2.p1.6.2.m2.1.1" xref="Thmlemma2.p1.6.2.m2.1.1.cmml">l</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma2.p1.6.2.m2.1b"><ci id="Thmlemma2.p1.6.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.6.2.m2.1.1">𝑙</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma2.p1.6.2.m2.1c">l</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma2.p1.6.2.m2.1d">italic_l</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S4.SS3.3"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="S4.SS3.3.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.3.p1.1">We define the function <math alttext="f" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.3.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.SS3.3.p1.1.m1.1a"><mi id="S4.SS3.3.p1.1.m1.1.1" xref="S4.SS3.3.p1.1.m1.1.1.cmml">f</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.3.p1.1.m1.1b"><ci id="S4.SS3.3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.3.p1.1.m1.1.1">𝑓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.3.p1.1.m1.1c">f</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.3.p1.1.m1.1d">italic_f</annotation></semantics></math> as follows:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx16"> <tbody id="S4.Ex75"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle f:F_{g}\times\mathbb{R}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex75.m1.1"><semantics id="S4.Ex75.m1.1a"><mrow id="S4.Ex75.m1.1.1" xref="S4.Ex75.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex75.m1.1.1.2" xref="S4.Ex75.m1.1.1.2.cmml">f</mi><mo id="S4.Ex75.m1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="S4.Ex75.m1.1.1.3" xref="S4.Ex75.m1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.Ex75.m1.1.1.3.2" xref="S4.Ex75.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex75.m1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex75.m1.1.1.3.2.2.cmml">F</mi><mi id="S4.Ex75.m1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex75.m1.1.1.3.2.3.cmml">g</mi></msub><mo id="S4.Ex75.m1.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.Ex75.m1.1.1.3.1.cmml">×</mo><mi id="S4.Ex75.m1.1.1.3.3" xref="S4.Ex75.m1.1.1.3.3.cmml">ℝ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex75.m1.1b"><apply id="S4.Ex75.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1"><ci id="S4.Ex75.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1">:</ci><ci id="S4.Ex75.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.2">𝑓</ci><apply id="S4.Ex75.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.3"><times id="S4.Ex75.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.Ex75.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex75.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex75.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.3.2.2">𝐹</ci><ci id="S4.Ex75.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.3.2.3">𝑔</ci></apply><ci id="S4.Ex75.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.3.3">ℝ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex75.m1.1c">\displaystyle f:F_{g}\times\mathbb{R}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex75.m1.1d">italic_f : italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_g end_POSTSUBSCRIPT × blackboard_R</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mapsto E\times\cup_{k}\left((\mathbb{R^{+}}\times V)^{k}\right)% \times\mathbb{R}^{2}" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S4.Ex75.m2.1"><semantics id="S4.Ex75.m2.1a"><mrow id="S4.Ex75.m2.1b"><mo id="S4.Ex75.m2.1.1" stretchy="false">↦</mo><mi id="S4.Ex75.m2.1.2">E</mi><mo id="S4.Ex75.m2.1.3" lspace="0.222em" rspace="0em">×</mo><msub id="S4.Ex75.m2.1.4"><mo id="S4.Ex75.m2.1.4.2" lspace="0em">∪</mo><mi id="S4.Ex75.m2.1.4.3">k</mi></msub><mrow id="S4.Ex75.m2.1.5"><mo id="S4.Ex75.m2.1.5.1">(</mo><msup id="S4.Ex75.m2.1.5.2"><mrow id="S4.Ex75.m2.1.5.2.2"><mo id="S4.Ex75.m2.1.5.2.2.1" stretchy="false">(</mo><msup id="S4.Ex75.m2.1.5.2.2.2"><mi id="S4.Ex75.m2.1.5.2.2.2.2">ℝ</mi><mo id="S4.Ex75.m2.1.5.2.2.2.3">+</mo></msup><mo id="S4.Ex75.m2.1.5.2.2.3" lspace="0.222em" rspace="0.222em">×</mo><mi id="S4.Ex75.m2.1.5.2.2.4">V</mi><mo id="S4.Ex75.m2.1.5.2.2.5" stretchy="false">)</mo></mrow><mi id="S4.Ex75.m2.1.5.2.3">k</mi></msup><mo id="S4.Ex75.m2.1.5.3" rspace="0.055em">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex75.m2.1.6" rspace="0.222em">×</mo><msup id="S4.Ex75.m2.1.7"><mi id="S4.Ex75.m2.1.7.2">ℝ</mi><mn id="S4.Ex75.m2.1.7.3">2</mn></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex75.m2.1c">\displaystyle\mapsto E\times\cup_{k}\left((\mathbb{R^{+}}\times V)^{k}\right)% \times\mathbb{R}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex75.m2.1d">↦ italic_E × ∪ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT × italic_V ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT ) × blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.Ex76"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle(z,t^{b}_{k_{1}},v^{b}_{k_{1}},...,t^{f}_{k_{2}},v^{f}_{k_{2}},b,t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex76.m1.8"><semantics id="S4.Ex76.m1.8a"><mrow id="S4.Ex76.m1.8.8.4" xref="S4.Ex76.m1.8.8.5.cmml"><mo id="S4.Ex76.m1.8.8.4.5" stretchy="false" xref="S4.Ex76.m1.8.8.5.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex76.m1.1.1" xref="S4.Ex76.m1.1.1.cmml">z</mi><mo id="S4.Ex76.m1.8.8.4.6" xref="S4.Ex76.m1.8.8.5.cmml">,</mo><msubsup id="S4.Ex76.m1.5.5.1.1" xref="S4.Ex76.m1.5.5.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex76.m1.5.5.1.1.2.2" xref="S4.Ex76.m1.5.5.1.1.2.2.cmml">t</mi><msub id="S4.Ex76.m1.5.5.1.1.3" xref="S4.Ex76.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex76.m1.5.5.1.1.3.2" xref="S4.Ex76.m1.5.5.1.1.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex76.m1.5.5.1.1.3.3" xref="S4.Ex76.m1.5.5.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mi id="S4.Ex76.m1.5.5.1.1.2.3" xref="S4.Ex76.m1.5.5.1.1.2.3.cmml">b</mi></msubsup><mo id="S4.Ex76.m1.8.8.4.7" xref="S4.Ex76.m1.8.8.5.cmml">,</mo><msubsup id="S4.Ex76.m1.6.6.2.2" xref="S4.Ex76.m1.6.6.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex76.m1.6.6.2.2.2.2" xref="S4.Ex76.m1.6.6.2.2.2.2.cmml">v</mi><msub id="S4.Ex76.m1.6.6.2.2.3" xref="S4.Ex76.m1.6.6.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex76.m1.6.6.2.2.3.2" xref="S4.Ex76.m1.6.6.2.2.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex76.m1.6.6.2.2.3.3" xref="S4.Ex76.m1.6.6.2.2.3.3.cmml">1</mn></msub><mi id="S4.Ex76.m1.6.6.2.2.2.3" xref="S4.Ex76.m1.6.6.2.2.2.3.cmml">b</mi></msubsup><mo id="S4.Ex76.m1.8.8.4.8" xref="S4.Ex76.m1.8.8.5.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex76.m1.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex76.m1.2.2.cmml">…</mi><mo id="S4.Ex76.m1.8.8.4.9" xref="S4.Ex76.m1.8.8.5.cmml">,</mo><msubsup id="S4.Ex76.m1.7.7.3.3" xref="S4.Ex76.m1.7.7.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex76.m1.7.7.3.3.2.2" xref="S4.Ex76.m1.7.7.3.3.2.2.cmml">t</mi><msub id="S4.Ex76.m1.7.7.3.3.3" xref="S4.Ex76.m1.7.7.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex76.m1.7.7.3.3.3.2" xref="S4.Ex76.m1.7.7.3.3.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex76.m1.7.7.3.3.3.3" xref="S4.Ex76.m1.7.7.3.3.3.3.cmml">2</mn></msub><mi id="S4.Ex76.m1.7.7.3.3.2.3" xref="S4.Ex76.m1.7.7.3.3.2.3.cmml">f</mi></msubsup><mo id="S4.Ex76.m1.8.8.4.10" xref="S4.Ex76.m1.8.8.5.cmml">,</mo><msubsup id="S4.Ex76.m1.8.8.4.4" xref="S4.Ex76.m1.8.8.4.4.cmml"><mi id="S4.Ex76.m1.8.8.4.4.2.2" xref="S4.Ex76.m1.8.8.4.4.2.2.cmml">v</mi><msub id="S4.Ex76.m1.8.8.4.4.3" xref="S4.Ex76.m1.8.8.4.4.3.cmml"><mi id="S4.Ex76.m1.8.8.4.4.3.2" xref="S4.Ex76.m1.8.8.4.4.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex76.m1.8.8.4.4.3.3" xref="S4.Ex76.m1.8.8.4.4.3.3.cmml">2</mn></msub><mi id="S4.Ex76.m1.8.8.4.4.2.3" xref="S4.Ex76.m1.8.8.4.4.2.3.cmml">f</mi></msubsup><mo id="S4.Ex76.m1.8.8.4.11" xref="S4.Ex76.m1.8.8.5.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex76.m1.3.3" xref="S4.Ex76.m1.3.3.cmml">b</mi><mo id="S4.Ex76.m1.8.8.4.12" xref="S4.Ex76.m1.8.8.5.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex76.m1.4.4" xref="S4.Ex76.m1.4.4.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex76.m1.8.8.4.13" stretchy="false" xref="S4.Ex76.m1.8.8.5.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex76.m1.8b"><vector id="S4.Ex76.m1.8.8.5.cmml" xref="S4.Ex76.m1.8.8.4"><ci id="S4.Ex76.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1">𝑧</ci><apply id="S4.Ex76.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S4.Ex76.m1.5.5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex76.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex76.m1.5.5.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex76.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex76.m1.5.5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex76.m1.5.5.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex76.m1.5.5.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex76.m1.5.5.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex76.m1.5.5.1.1.2.2">𝑡</ci><ci id="S4.Ex76.m1.5.5.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex76.m1.5.5.1.1.2.3">𝑏</ci></apply><apply id="S4.Ex76.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex76.m1.5.5.1.1.3"><csymbol 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alttext="\displaystyle\mapsto(R_{-t}(z,t^{b}_{k_{1}},v^{b}_{k_{1}},...,t^{b}_{1},v^{b}_% {1}),t^{f}_{1}-t^{b}_{k_{1}},v^{f}_{1},...,t^{f}_{k_{2}}-t^{b}_{k_{1}},v^{f}_{% k_{2}},b-t^{b}_{k_{1}},-t)." class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex76.m2.4"><semantics id="S4.Ex76.m2.4a"><mrow id="S4.Ex76.m2.4.4.1" xref="S4.Ex76.m2.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex76.m2.4.4.1.1" xref="S4.Ex76.m2.4.4.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex76.m2.4.4.1.1.9" xref="S4.Ex76.m2.4.4.1.1.9.cmml"></mi><mo id="S4.Ex76.m2.4.4.1.1.8" stretchy="false" xref="S4.Ex76.m2.4.4.1.1.8.cmml">↦</mo><mrow id="S4.Ex76.m2.4.4.1.1.7.7" xref="S4.Ex76.m2.4.4.1.1.7.8.cmml"><mo id="S4.Ex76.m2.4.4.1.1.7.7.8" stretchy="false" xref="S4.Ex76.m2.4.4.1.1.7.8.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex76.m2.4.4.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex76.m2.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex76.m2.4.4.1.1.1.1.1.6" xref="S4.Ex76.m2.4.4.1.1.1.1.1.6.cmml"><mi id="S4.Ex76.m2.4.4.1.1.1.1.1.6.2" xref="S4.Ex76.m2.4.4.1.1.1.1.1.6.2.cmml">R</mi><mrow id="S4.Ex76.m2.4.4.1.1.1.1.1.6.3" 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id="S4.Ex76.m2.4.4.1.1.2.2.2.3.3" xref="S4.Ex76.m2.4.4.1.1.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex76.m2.4.4.1.1.2.2.2.3.3.2" xref="S4.Ex76.m2.4.4.1.1.2.2.2.3.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.Ex76.m2.4.4.1.1.2.2.2.3.3.3" xref="S4.Ex76.m2.4.4.1.1.2.2.2.3.3.3.cmml">1</mn></msub><mi id="S4.Ex76.m2.4.4.1.1.2.2.2.3.2.3" xref="S4.Ex76.m2.4.4.1.1.2.2.2.3.2.3.cmml">b</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex76.m2.4.4.1.1.7.7.10" xref="S4.Ex76.m2.4.4.1.1.7.8.cmml">,</mo><msubsup id="S4.Ex76.m2.4.4.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex76.m2.4.4.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex76.m2.4.4.1.1.3.3.3.2.2" xref="S4.Ex76.m2.4.4.1.1.3.3.3.2.2.cmml">v</mi><mn id="S4.Ex76.m2.4.4.1.1.3.3.3.3" xref="S4.Ex76.m2.4.4.1.1.3.3.3.3.cmml">1</mn><mi id="S4.Ex76.m2.4.4.1.1.3.3.3.2.3" xref="S4.Ex76.m2.4.4.1.1.3.3.3.2.3.cmml">f</mi></msubsup><mo id="S4.Ex76.m2.4.4.1.1.7.7.11" xref="S4.Ex76.m2.4.4.1.1.7.8.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex76.m2.3.3" mathvariant="normal" xref="S4.Ex76.m2.3.3.cmml">…</mi><mo id="S4.Ex76.m2.4.4.1.1.7.7.12" 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end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT - italic_t start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUPERSCRIPT italic_f end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , italic_b - italic_t start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , - italic_t ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.3.p1.7">This goes into a bigger space than <math alttext="F_{X}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.3.p1.2.m1.1"><semantics id="S4.SS3.3.p1.2.m1.1a"><msub id="S4.SS3.3.p1.2.m1.1.1" xref="S4.SS3.3.p1.2.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.3.p1.2.m1.1.1.2" 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However for <math alttext="t=t_{k_{1}}^{b}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.3.p1.3.m2.1"><semantics id="S4.SS3.3.p1.3.m2.1a"><mrow id="S4.SS3.3.p1.3.m2.1.1" xref="S4.SS3.3.p1.3.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.3.p1.3.m2.1.1.2" xref="S4.SS3.3.p1.3.m2.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S4.SS3.3.p1.3.m2.1.1.1" xref="S4.SS3.3.p1.3.m2.1.1.1.cmml">=</mo><msubsup id="S4.SS3.3.p1.3.m2.1.1.3" xref="S4.SS3.3.p1.3.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS3.3.p1.3.m2.1.1.3.2.2" xref="S4.SS3.3.p1.3.m2.1.1.3.2.2.cmml">t</mi><msub id="S4.SS3.3.p1.3.m2.1.1.3.2.3" xref="S4.SS3.3.p1.3.m2.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.SS3.3.p1.3.m2.1.1.3.2.3.2" xref="S4.SS3.3.p1.3.m2.1.1.3.2.3.2.cmml">k</mi><mn id="S4.SS3.3.p1.3.m2.1.1.3.2.3.3" xref="S4.SS3.3.p1.3.m2.1.1.3.2.3.3.cmml">1</mn></msub><mi id="S4.SS3.3.p1.3.m2.1.1.3.3" xref="S4.SS3.3.p1.3.m2.1.1.3.3.cmml">b</mi></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.3.p1.3.m2.1b"><apply id="S4.SS3.3.p1.3.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS3.3.p1.3.m2.1.1"><eq id="S4.SS3.3.p1.3.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.3.p1.3.m2.1.1.1"></eq><ci id="S4.SS3.3.p1.3.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.3.p1.3.m2.1.1.2">𝑡</ci><apply id="S4.SS3.3.p1.3.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.3.p1.3.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.3.p1.3.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS3.3.p1.3.m2.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.SS3.3.p1.3.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS3.3.p1.3.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.3.p1.3.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS3.3.p1.3.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.3.p1.3.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.SS3.3.p1.3.m2.1.1.3.2.2">𝑡</ci><apply id="S4.SS3.3.p1.3.m2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.SS3.3.p1.3.m2.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.3.p1.3.m2.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.SS3.3.p1.3.m2.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.3.p1.3.m2.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.SS3.3.p1.3.m2.1.1.3.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S4.SS3.3.p1.3.m2.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.3.p1.3.m2.1.1.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S4.SS3.3.p1.3.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS3.3.p1.3.m2.1.1.3.3">𝑏</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.3.p1.3.m2.1c">t=t_{k_{1}}^{b}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.3.p1.3.m2.1d">italic_t = italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="f" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.3.p1.4.m3.1"><semantics id="S4.SS3.3.p1.4.m3.1a"><mi id="S4.SS3.3.p1.4.m3.1.1" xref="S4.SS3.3.p1.4.m3.1.1.cmml">f</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.3.p1.4.m3.1b"><ci id="S4.SS3.3.p1.4.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS3.3.p1.4.m3.1.1">𝑓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.3.p1.4.m3.1c">f</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.3.p1.4.m3.1d">italic_f</annotation></semantics></math> and <math alttext="g" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.3.p1.5.m4.1"><semantics id="S4.SS3.3.p1.5.m4.1a"><mi id="S4.SS3.3.p1.5.m4.1.1" xref="S4.SS3.3.p1.5.m4.1.1.cmml">g</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.3.p1.5.m4.1b"><ci id="S4.SS3.3.p1.5.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS3.3.p1.5.m4.1.1">𝑔</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.3.p1.5.m4.1c">g</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.3.p1.5.m4.1d">italic_g</annotation></semantics></math> are the same. The volume change associated to <math alttext="f" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.3.p1.6.m5.1"><semantics id="S4.SS3.3.p1.6.m5.1a"><mi id="S4.SS3.3.p1.6.m5.1.1" xref="S4.SS3.3.p1.6.m5.1.1.cmml">f</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.3.p1.6.m5.1b"><ci id="S4.SS3.3.p1.6.m5.1.1.cmml" xref="S4.SS3.3.p1.6.m5.1.1">𝑓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.3.p1.6.m5.1c">f</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.3.p1.6.m5.1d">italic_f</annotation></semantics></math> where <math alttext="(z,t_{1},v_{1},...,t_{k},v_{k},T,l)\in E\times\cup_{k}\left((\mathbb{R^{+}}% \times V)^{k}\right)\times\mathbb{R}^{2}" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S4.SS3.3.p1.7.m6.4"><semantics id="S4.SS3.3.p1.7.m6.4a"><mrow id="S4.SS3.3.p1.7.m6.4b"><mrow id="S4.SS3.3.p1.7.m6.4.5"><mo id="S4.SS3.3.p1.7.m6.4.5.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S4.SS3.3.p1.7.m6.1.1">z</mi><mo id="S4.SS3.3.p1.7.m6.4.5.2">,</mo><msub id="S4.SS3.3.p1.7.m6.4.5.3"><mi id="S4.SS3.3.p1.7.m6.4.5.3.2">t</mi><mn id="S4.SS3.3.p1.7.m6.4.5.3.3">1</mn></msub><mo id="S4.SS3.3.p1.7.m6.4.5.4">,</mo><msub id="S4.SS3.3.p1.7.m6.4.5.5"><mi id="S4.SS3.3.p1.7.m6.4.5.5.2">v</mi><mn id="S4.SS3.3.p1.7.m6.4.5.5.3">1</mn></msub><mo id="S4.SS3.3.p1.7.m6.4.5.6">,</mo><mi id="S4.SS3.3.p1.7.m6.2.2" mathvariant="normal">…</mi><mo id="S4.SS3.3.p1.7.m6.4.5.7">,</mo><msub id="S4.SS3.3.p1.7.m6.4.5.8"><mi id="S4.SS3.3.p1.7.m6.4.5.8.2">t</mi><mi id="S4.SS3.3.p1.7.m6.4.5.8.3">k</mi></msub><mo id="S4.SS3.3.p1.7.m6.4.5.9">,</mo><msub id="S4.SS3.3.p1.7.m6.4.5.10"><mi id="S4.SS3.3.p1.7.m6.4.5.10.2">v</mi><mi id="S4.SS3.3.p1.7.m6.4.5.10.3">k</mi></msub><mo id="S4.SS3.3.p1.7.m6.4.5.11">,</mo><mi id="S4.SS3.3.p1.7.m6.3.3">T</mi><mo id="S4.SS3.3.p1.7.m6.4.5.12">,</mo><mi id="S4.SS3.3.p1.7.m6.4.4">l</mi><mo id="S4.SS3.3.p1.7.m6.4.5.13" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S4.SS3.3.p1.7.m6.4.6">∈</mo><mi id="S4.SS3.3.p1.7.m6.4.7">E</mi><mo id="S4.SS3.3.p1.7.m6.4.8" lspace="0.222em" rspace="0em">×</mo><msub id="S4.SS3.3.p1.7.m6.4.9"><mo id="S4.SS3.3.p1.7.m6.4.9.2" lspace="0em">∪</mo><mi id="S4.SS3.3.p1.7.m6.4.9.3">k</mi></msub><mrow id="S4.SS3.3.p1.7.m6.4.10"><mo id="S4.SS3.3.p1.7.m6.4.10.1">(</mo><msup id="S4.SS3.3.p1.7.m6.4.10.2"><mrow id="S4.SS3.3.p1.7.m6.4.10.2.2"><mo id="S4.SS3.3.p1.7.m6.4.10.2.2.1" stretchy="false">(</mo><msup id="S4.SS3.3.p1.7.m6.4.10.2.2.2"><mi id="S4.SS3.3.p1.7.m6.4.10.2.2.2.2">ℝ</mi><mo id="S4.SS3.3.p1.7.m6.4.10.2.2.2.3">+</mo></msup><mo id="S4.SS3.3.p1.7.m6.4.10.2.2.3" lspace="0.222em" rspace="0.222em">×</mo><mi id="S4.SS3.3.p1.7.m6.4.10.2.2.4">V</mi><mo id="S4.SS3.3.p1.7.m6.4.10.2.2.5" stretchy="false">)</mo></mrow><mi id="S4.SS3.3.p1.7.m6.4.10.2.3">k</mi></msup><mo id="S4.SS3.3.p1.7.m6.4.10.3" rspace="0.055em">)</mo></mrow><mo id="S4.SS3.3.p1.7.m6.4.11" rspace="0.222em">×</mo><msup id="S4.SS3.3.p1.7.m6.4.12"><mi id="S4.SS3.3.p1.7.m6.4.12.2">ℝ</mi><mn id="S4.SS3.3.p1.7.m6.4.12.3">2</mn></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.3.p1.7.m6.4c">(z,t_{1},v_{1},...,t_{k},v_{k},T,l)\in E\times\cup_{k}\left((\mathbb{R^{+}}% \times V)^{k}\right)\times\mathbb{R}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.3.p1.7.m6.4d">( italic_z , italic_t start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_T , italic_l ) ∈ italic_E × ∪ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT × italic_V ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT ) × blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex77"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\Psi_{l}(z,t_{1},v_{1},...,t_{k_{l}},v_{k_{l}})," class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex77.m1.3"><semantics id="S4.Ex77.m1.3a"><mrow id="S4.Ex77.m1.3.3.1" xref="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex77.m1.3.3.1.1" xref="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.6" xref="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.6.cmml"><mi id="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.6.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.6.2.cmml">Ψ</mi><mi id="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.6.3" xref="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.6.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.5" xref="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.4.4" xref="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.4.5.cmml"><mo id="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.4.4.5" stretchy="false" xref="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.4.5.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex77.m1.1.1" xref="S4.Ex77.m1.1.1.cmml">z</mi><mo id="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.4.4.6" xref="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.4.5.cmml">,</mo><msub id="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mn id="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.4.4.7" xref="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.4.5.cmml">,</mo><msub id="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml">v</mi><mn id="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.2.2.2.3" xref="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.4.4.8" xref="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.4.5.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex77.m1.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex77.m1.2.2.cmml">…</mi><mo id="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.4.4.9" xref="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.4.5.cmml">,</mo><msub id="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.3.3.3.2" xref="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.3.3.3.2.cmml">t</mi><msub id="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.3.3.3.3" xref="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.2" xref="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.2.cmml">k</mi><mi id="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.3" xref="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.3.cmml">l</mi></msub></msub><mo id="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.4.4.10" xref="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.4.5.cmml">,</mo><msub id="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.4.4.4" xref="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.4.4.4.cmml"><mi id="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.4.4.4.2" xref="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.4.4.4.2.cmml">v</mi><msub id="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.4.4.4.3" xref="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.4.4.4.3.cmml"><mi id="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.4.4.4.3.2" xref="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.4.4.4.3.2.cmml">k</mi><mi id="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.4.4.4.3.3" xref="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.4.4.4.3.3.cmml">l</mi></msub></msub><mo id="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.4.4.11" stretchy="false" xref="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.4.5.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex77.m1.3.3.1.2" xref="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex77.m1.3b"><apply id="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex77.m1.3.3.1"><times id="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.5.cmml" xref="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.5"></times><apply id="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.6.cmml" xref="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.6.1.cmml" xref="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.6">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.6.2.cmml" xref="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.6.2">Ψ</ci><ci id="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.6.3.cmml" xref="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.6.3">𝑙</ci></apply><vector id="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.4.5.cmml" xref="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.4.4"><ci id="S4.Ex77.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex77.m1.1.1">𝑧</ci><apply id="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><cn id="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.2.2.2.2">𝑣</ci><cn id="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.2.2.2.3">1</cn></apply><ci id="S4.Ex77.m1.2.2.cmml" xref="S4.Ex77.m1.2.2">…</ci><apply id="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.3.3.3.2">𝑡</ci><apply id="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.3">𝑙</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.4.4.4.cmml" xref="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.4.4.4.1.cmml" xref="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.4.4.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.4.4.4.2.cmml" xref="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.4.4.4.2">𝑣</ci><apply id="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.4.4.4.3.cmml" xref="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.4.4.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.4.4.4.3.1.cmml" xref="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.4.4.4.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.4.4.4.3.2.cmml" xref="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.4.4.4.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.4.4.4.3.3.cmml" xref="S4.Ex77.m1.3.3.1.1.4.4.4.3.3">𝑙</ci></apply></apply></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex77.m1.3c">\Psi_{l}(z,t_{1},v_{1},...,t_{k_{l}},v_{k_{l}}),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex77.m1.3d">roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z , italic_t start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.3.p1.13">where <math alttext="k_{l}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.3.p1.8.m1.1"><semantics id="S4.SS3.3.p1.8.m1.1a"><msub id="S4.SS3.3.p1.8.m1.1.1" xref="S4.SS3.3.p1.8.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.3.p1.8.m1.1.1.2" xref="S4.SS3.3.p1.8.m1.1.1.2.cmml">k</mi><mi id="S4.SS3.3.p1.8.m1.1.1.3" xref="S4.SS3.3.p1.8.m1.1.1.3.cmml">l</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.3.p1.8.m1.1b"><apply id="S4.SS3.3.p1.8.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.3.p1.8.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.3.p1.8.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.3.p1.8.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.3.p1.8.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.3.p1.8.m1.1.1.2">𝑘</ci><ci id="S4.SS3.3.p1.8.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.3.p1.8.m1.1.1.3">𝑙</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.3.p1.8.m1.1c">k_{l}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.3.p1.8.m1.1d">italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the number of event times smaller than <math alttext="l" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.3.p1.9.m2.1"><semantics id="S4.SS3.3.p1.9.m2.1a"><mi id="S4.SS3.3.p1.9.m2.1.1" xref="S4.SS3.3.p1.9.m2.1.1.cmml">l</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.3.p1.9.m2.1b"><ci id="S4.SS3.3.p1.9.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS3.3.p1.9.m2.1.1">𝑙</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.3.p1.9.m2.1c">l</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.3.p1.9.m2.1d">italic_l</annotation></semantics></math>. The event time associated to <math alttext="t_{k_{b}}^{b}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.3.p1.10.m3.1"><semantics id="S4.SS3.3.p1.10.m3.1a"><msubsup id="S4.SS3.3.p1.10.m3.1.1" xref="S4.SS3.3.p1.10.m3.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.3.p1.10.m3.1.1.2.2" xref="S4.SS3.3.p1.10.m3.1.1.2.2.cmml">t</mi><msub id="S4.SS3.3.p1.10.m3.1.1.2.3" xref="S4.SS3.3.p1.10.m3.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.SS3.3.p1.10.m3.1.1.2.3.2" xref="S4.SS3.3.p1.10.m3.1.1.2.3.2.cmml">k</mi><mi id="S4.SS3.3.p1.10.m3.1.1.2.3.3" xref="S4.SS3.3.p1.10.m3.1.1.2.3.3.cmml">b</mi></msub><mi id="S4.SS3.3.p1.10.m3.1.1.3" xref="S4.SS3.3.p1.10.m3.1.1.3.cmml">b</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.3.p1.10.m3.1b"><apply id="S4.SS3.3.p1.10.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS3.3.p1.10.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.3.p1.10.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.3.p1.10.m3.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.SS3.3.p1.10.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.3.p1.10.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.3.p1.10.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS3.3.p1.10.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.3.p1.10.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS3.3.p1.10.m3.1.1.2.2">𝑡</ci><apply id="S4.SS3.3.p1.10.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS3.3.p1.10.m3.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.3.p1.10.m3.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS3.3.p1.10.m3.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.3.p1.10.m3.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS3.3.p1.10.m3.1.1.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.SS3.3.p1.10.m3.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.SS3.3.p1.10.m3.1.1.2.3.3">𝑏</ci></apply></apply><ci id="S4.SS3.3.p1.10.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.3.p1.10.m3.1.1.3">𝑏</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.3.p1.10.m3.1c">t_{k_{b}}^{b}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.3.p1.10.m3.1d">italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> by <math alttext="R_{-t}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.3.p1.11.m4.1"><semantics id="S4.SS3.3.p1.11.m4.1a"><msub id="S4.SS3.3.p1.11.m4.1.1" xref="S4.SS3.3.p1.11.m4.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.3.p1.11.m4.1.1.2" xref="S4.SS3.3.p1.11.m4.1.1.2.cmml">R</mi><mrow id="S4.SS3.3.p1.11.m4.1.1.3" xref="S4.SS3.3.p1.11.m4.1.1.3.cmml"><mo id="S4.SS3.3.p1.11.m4.1.1.3a" xref="S4.SS3.3.p1.11.m4.1.1.3.cmml">−</mo><mi id="S4.SS3.3.p1.11.m4.1.1.3.2" xref="S4.SS3.3.p1.11.m4.1.1.3.2.cmml">t</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.3.p1.11.m4.1b"><apply id="S4.SS3.3.p1.11.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS3.3.p1.11.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.3.p1.11.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.3.p1.11.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.3.p1.11.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.3.p1.11.m4.1.1.2">𝑅</ci><apply id="S4.SS3.3.p1.11.m4.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.3.p1.11.m4.1.1.3"><minus id="S4.SS3.3.p1.11.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS3.3.p1.11.m4.1.1.3"></minus><ci id="S4.SS3.3.p1.11.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS3.3.p1.11.m4.1.1.3.2">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.3.p1.11.m4.1c">R_{-t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.3.p1.11.m4.1d">italic_R start_POSTSUBSCRIPT - italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is <math alttext="t_{k_{b}}^{b}-t" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.3.p1.12.m5.1"><semantics id="S4.SS3.3.p1.12.m5.1a"><mrow id="S4.SS3.3.p1.12.m5.1.1" xref="S4.SS3.3.p1.12.m5.1.1.cmml"><msubsup id="S4.SS3.3.p1.12.m5.1.1.2" xref="S4.SS3.3.p1.12.m5.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS3.3.p1.12.m5.1.1.2.2.2" xref="S4.SS3.3.p1.12.m5.1.1.2.2.2.cmml">t</mi><msub id="S4.SS3.3.p1.12.m5.1.1.2.2.3" xref="S4.SS3.3.p1.12.m5.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.SS3.3.p1.12.m5.1.1.2.2.3.2" xref="S4.SS3.3.p1.12.m5.1.1.2.2.3.2.cmml">k</mi><mi id="S4.SS3.3.p1.12.m5.1.1.2.2.3.3" xref="S4.SS3.3.p1.12.m5.1.1.2.2.3.3.cmml">b</mi></msub><mi id="S4.SS3.3.p1.12.m5.1.1.2.3" xref="S4.SS3.3.p1.12.m5.1.1.2.3.cmml">b</mi></msubsup><mo id="S4.SS3.3.p1.12.m5.1.1.1" xref="S4.SS3.3.p1.12.m5.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S4.SS3.3.p1.12.m5.1.1.3" xref="S4.SS3.3.p1.12.m5.1.1.3.cmml">t</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.3.p1.12.m5.1b"><apply id="S4.SS3.3.p1.12.m5.1.1.cmml" xref="S4.SS3.3.p1.12.m5.1.1"><minus id="S4.SS3.3.p1.12.m5.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.3.p1.12.m5.1.1.1"></minus><apply id="S4.SS3.3.p1.12.m5.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.3.p1.12.m5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.3.p1.12.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS3.3.p1.12.m5.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.SS3.3.p1.12.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS3.3.p1.12.m5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.3.p1.12.m5.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS3.3.p1.12.m5.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.3.p1.12.m5.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS3.3.p1.12.m5.1.1.2.2.2">𝑡</ci><apply id="S4.SS3.3.p1.12.m5.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS3.3.p1.12.m5.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.3.p1.12.m5.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS3.3.p1.12.m5.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.3.p1.12.m5.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS3.3.p1.12.m5.1.1.2.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.SS3.3.p1.12.m5.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.SS3.3.p1.12.m5.1.1.2.2.3.3">𝑏</ci></apply></apply><ci id="S4.SS3.3.p1.12.m5.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS3.3.p1.12.m5.1.1.2.3">𝑏</ci></apply><ci id="S4.SS3.3.p1.12.m5.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.3.p1.12.m5.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.3.p1.12.m5.1c">t_{k_{b}}^{b}-t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.3.p1.12.m5.1d">italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT - italic_t</annotation></semantics></math>, therefore we can apply Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#Thmlemma3" title="Lemma 3. ‣ Appendix A Technical lemma ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>, and we deduce that the volume change of <math alttext="g" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.3.p1.13.m6.1"><semantics id="S4.SS3.3.p1.13.m6.1a"><mi id="S4.SS3.3.p1.13.m6.1.1" xref="S4.SS3.3.p1.13.m6.1.1.cmml">g</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.3.p1.13.m6.1b"><ci id="S4.SS3.3.p1.13.m6.1.1.cmml" xref="S4.SS3.3.p1.13.m6.1.1">𝑔</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.3.p1.13.m6.1c">g</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.3.p1.13.m6.1d">italic_g</annotation></semantics></math> is</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex78"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\Psi_{l}(z,0,v_{1},...,t_{k_{l}},v_{k_{l}})." class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex78.m1.4"><semantics id="S4.Ex78.m1.4a"><mrow id="S4.Ex78.m1.4.4.1" xref="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex78.m1.4.4.1.1" xref="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.5" xref="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.5.cmml"><mi id="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.5.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.5.2.cmml">Ψ</mi><mi id="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.5.3" xref="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.5.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.4" xref="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.3.3" xref="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.3.4.cmml"><mo id="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.3.3.4" stretchy="false" xref="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.3.4.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex78.m1.1.1" xref="S4.Ex78.m1.1.1.cmml">z</mi><mo id="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.3.3.5" xref="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.3.4.cmml">,</mo><mn id="S4.Ex78.m1.2.2" xref="S4.Ex78.m1.2.2.cmml">0</mn><mo id="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.3.3.6" xref="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.3.4.cmml">,</mo><msub id="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">v</mi><mn id="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.3.3.7" xref="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.3.4.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex78.m1.3.3" mathvariant="normal" xref="S4.Ex78.m1.3.3.cmml">…</mi><mo id="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.3.3.8" xref="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.3.4.cmml">,</mo><msub id="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.cmml">t</mi><msub id="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.2.2.2.3" xref="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.2" xref="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.2.cmml">k</mi><mi id="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.3" xref="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.3.cmml">l</mi></msub></msub><mo id="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.3.3.9" xref="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.3.4.cmml">,</mo><msub id="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.3.3.3.2" xref="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.3.3.3.2.cmml">v</mi><msub id="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.3.3.3.3" xref="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.3.3.3.3.2" xref="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.3.3.3.3.2.cmml">k</mi><mi id="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.3.3.3.3.3" xref="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.3.3.3.3.3.cmml">l</mi></msub></msub><mo id="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.3.3.10" stretchy="false" xref="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex78.m1.4.4.1.2" lspace="0em" xref="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex78.m1.4b"><apply id="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S4.Ex78.m1.4.4.1"><times id="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.4"></times><apply id="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.5.cmml" xref="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.5.1.cmml" xref="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.5.2.cmml" xref="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.5.2">Ψ</ci><ci id="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.5.3.cmml" xref="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.5.3">𝑙</ci></apply><vector id="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.3.4.cmml" xref="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.3.3"><ci id="S4.Ex78.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex78.m1.1.1">𝑧</ci><cn id="S4.Ex78.m1.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex78.m1.2.2">0</cn><apply id="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.1.1.1.2">𝑣</ci><cn id="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S4.Ex78.m1.3.3.cmml" xref="S4.Ex78.m1.3.3">…</ci><apply id="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.2.2.2.2">𝑡</ci><apply id="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.3">𝑙</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.3.3.3.2">𝑣</ci><apply id="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.3.3.3.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.3.3.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex78.m1.4.4.1.1.3.3.3.3.3">𝑙</ci></apply></apply></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex78.m1.4c">\Psi_{l}(z,0,v_{1},...,t_{k_{l}},v_{k_{l}}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex78.m1.4d">roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z , 0 , italic_v start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.3.p1.14">∎</p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_proposition" id="Thmproposition9"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmproposition9.2.1.1">Proposition 9</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmproposition9.3.2"> </span>(conditional probability of <math alttext="l|X" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition9.1.m1.1"><semantics id="Thmproposition9.1.m1.1b"><mrow id="Thmproposition9.1.m1.1.1" xref="Thmproposition9.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmproposition9.1.m1.1.1.2" xref="Thmproposition9.1.m1.1.1.2.cmml">l</mi><mo fence="false" id="Thmproposition9.1.m1.1.1.1" xref="Thmproposition9.1.m1.1.1.1.cmml">|</mo><mi id="Thmproposition9.1.m1.1.1.3" xref="Thmproposition9.1.m1.1.1.3.cmml">X</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition9.1.m1.1c"><apply id="Thmproposition9.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmproposition9.1.m1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="Thmproposition9.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmproposition9.1.m1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="Thmproposition9.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmproposition9.1.m1.1.1.2">𝑙</ci><ci id="Thmproposition9.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmproposition9.1.m1.1.1.3">𝑋</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition9.1.m1.1d">l|X</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition9.1.m1.1e">italic_l | italic_X</annotation></semantics></math>)<span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmproposition9.4.3">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmproposition9.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmproposition9.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmproposition9.p1.3.3">The conditional probability of <math alttext="l" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition9.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmproposition9.p1.1.1.m1.1a"><mi id="Thmproposition9.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmproposition9.p1.1.1.m1.1.1.cmml">l</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition9.p1.1.1.m1.1b"><ci id="Thmproposition9.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmproposition9.p1.1.1.m1.1.1">𝑙</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition9.p1.1.1.m1.1c">l</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition9.p1.1.1.m1.1d">italic_l</annotation></semantics></math> knowing <math alttext="X" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition9.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmproposition9.p1.2.2.m2.1a"><mi id="Thmproposition9.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmproposition9.p1.2.2.m2.1.1.cmml">X</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition9.p1.2.2.m2.1b"><ci id="Thmproposition9.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmproposition9.p1.2.2.m2.1.1">𝑋</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition9.p1.2.2.m2.1c">X</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition9.p1.2.2.m2.1d">italic_X</annotation></semantics></math> has a density on <math alttext="\mathbb{R}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition9.p1.3.3.m3.1"><semantics id="Thmproposition9.p1.3.3.m3.1a"><mi id="Thmproposition9.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmproposition9.p1.3.3.m3.1.1.cmml">ℝ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition9.p1.3.3.m3.1b"><ci id="Thmproposition9.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmproposition9.p1.3.3.m3.1.1">ℝ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition9.p1.3.3.m3.1c">\mathbb{R}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition9.p1.3.3.m3.1d">blackboard_R</annotation></semantics></math> which is</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx17"> <tbody id="S4.Ex79"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle p(l|X)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex79.m1.1"><semantics id="S4.Ex79.m1.1a"><mrow id="S4.Ex79.m1.1.1" xref="S4.Ex79.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex79.m1.1.1.3" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.cmml">p</mi><mo id="S4.Ex79.m1.1.1.2" xref="S4.Ex79.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex79.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex79.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex79.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex79.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex79.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex79.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex79.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex79.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">l</mi><mo fence="false" id="S4.Ex79.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex79.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">|</mo><mi id="S4.Ex79.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex79.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">X</mi></mrow><mo id="S4.Ex79.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex79.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex79.m1.1b"><apply id="S4.Ex79.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex79.m1.1.1"><times id="S4.Ex79.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex79.m1.1.1.2"></times><ci id="S4.Ex79.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3">𝑝</ci><apply id="S4.Ex79.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex79.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex79.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex79.m1.1.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S4.Ex79.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex79.m1.1.1.1.1.1.2">𝑙</ci><ci id="S4.Ex79.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex79.m1.1.1.1.1.1.3">𝑋</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex79.m1.1c">\displaystyle p(l|X)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex79.m1.1d">italic_p ( italic_l | italic_X )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\propto l1_{l\in[0,T]}\text{ if the path is stopped on the left}," class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex79.m2.3"><semantics id="S4.Ex79.m2.3a"><mrow id="S4.Ex79.m2.3.3.1" xref="S4.Ex79.m2.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex79.m2.3.3.1.1" xref="S4.Ex79.m2.3.3.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex79.m2.3.3.1.1.2" xref="S4.Ex79.m2.3.3.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S4.Ex79.m2.3.3.1.1.1" xref="S4.Ex79.m2.3.3.1.1.1.cmml">∝</mo><mrow id="S4.Ex79.m2.3.3.1.1.3" xref="S4.Ex79.m2.3.3.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex79.m2.3.3.1.1.3.2" xref="S4.Ex79.m2.3.3.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="S4.Ex79.m2.3.3.1.1.3.1" xref="S4.Ex79.m2.3.3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex79.m2.3.3.1.1.3.3" xref="S4.Ex79.m2.3.3.1.1.3.3.cmml"><mn id="S4.Ex79.m2.3.3.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex79.m2.3.3.1.1.3.3.2.cmml">1</mn><mrow id="S4.Ex79.m2.2.2.2" xref="S4.Ex79.m2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex79.m2.2.2.2.4" xref="S4.Ex79.m2.2.2.2.4.cmml">l</mi><mo id="S4.Ex79.m2.2.2.2.3" xref="S4.Ex79.m2.2.2.2.3.cmml">∈</mo><mrow id="S4.Ex79.m2.2.2.2.5.2" xref="S4.Ex79.m2.2.2.2.5.1.cmml"><mo id="S4.Ex79.m2.2.2.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex79.m2.2.2.2.5.1.cmml">[</mo><mn id="S4.Ex79.m2.1.1.1.1" xref="S4.Ex79.m2.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S4.Ex79.m2.2.2.2.5.2.2" xref="S4.Ex79.m2.2.2.2.5.1.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex79.m2.2.2.2.2" xref="S4.Ex79.m2.2.2.2.2.cmml">T</mi><mo id="S4.Ex79.m2.2.2.2.5.2.3" stretchy="false" xref="S4.Ex79.m2.2.2.2.5.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S4.Ex79.m2.3.3.1.1.3.1a" xref="S4.Ex79.m2.3.3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S4.Ex79.m2.3.3.1.1.3.4" xref="S4.Ex79.m2.3.3.1.1.3.4a.cmml"> if the path is stopped on the left</mtext></mrow></mrow><mo id="S4.Ex79.m2.3.3.1.2" xref="S4.Ex79.m2.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex79.m2.3b"><apply id="S4.Ex79.m2.3.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex79.m2.3.3.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex79.m2.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex79.m2.3.3.1.1.1">proportional-to</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex79.m2.3.3.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex79.m2.3.3.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S4.Ex79.m2.3.3.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex79.m2.3.3.1.1.3"><times id="S4.Ex79.m2.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex79.m2.3.3.1.1.3.1"></times><ci id="S4.Ex79.m2.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex79.m2.3.3.1.1.3.2">𝑙</ci><apply id="S4.Ex79.m2.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex79.m2.3.3.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex79.m2.3.3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex79.m2.3.3.1.1.3.3">subscript</csymbol><cn id="S4.Ex79.m2.3.3.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex79.m2.3.3.1.1.3.3.2">1</cn><apply id="S4.Ex79.m2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex79.m2.2.2.2"><in id="S4.Ex79.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex79.m2.2.2.2.3"></in><ci id="S4.Ex79.m2.2.2.2.4.cmml" xref="S4.Ex79.m2.2.2.2.4">𝑙</ci><interval closure="closed" id="S4.Ex79.m2.2.2.2.5.1.cmml" xref="S4.Ex79.m2.2.2.2.5.2"><cn id="S4.Ex79.m2.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Ex79.m2.1.1.1.1">0</cn><ci id="S4.Ex79.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex79.m2.2.2.2.2">𝑇</ci></interval></apply></apply><ci id="S4.Ex79.m2.3.3.1.1.3.4a.cmml" xref="S4.Ex79.m2.3.3.1.1.3.4"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S4.Ex79.m2.3.3.1.1.3.4.cmml" xref="S4.Ex79.m2.3.3.1.1.3.4"> if the path is stopped on the left</mtext></ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex79.m2.3c">\displaystyle\propto l1_{l\in[0,T]}\text{ if the path is stopped on the left},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex79.m2.3d">∝ italic_l 1 start_POSTSUBSCRIPT italic_l ∈ [ 0 , italic_T ] end_POSTSUBSCRIPT if the path is stopped on the left ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.Ex80"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle p(l|X)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex80.m1.1"><semantics id="S4.Ex80.m1.1a"><mrow id="S4.Ex80.m1.1.1" xref="S4.Ex80.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex80.m1.1.1.3" xref="S4.Ex80.m1.1.1.3.cmml">p</mi><mo id="S4.Ex80.m1.1.1.2" xref="S4.Ex80.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex80.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex80.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex80.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex80.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex80.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex80.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex80.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex80.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">l</mi><mo fence="false" id="S4.Ex80.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex80.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">|</mo><mi id="S4.Ex80.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex80.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">X</mi></mrow><mo id="S4.Ex80.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex80.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex80.m1.1b"><apply id="S4.Ex80.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex80.m1.1.1"><times id="S4.Ex80.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex80.m1.1.1.2"></times><ci id="S4.Ex80.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex80.m1.1.1.3">𝑝</ci><apply id="S4.Ex80.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex80.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex80.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex80.m1.1.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S4.Ex80.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex80.m1.1.1.1.1.1.2">𝑙</ci><ci id="S4.Ex80.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex80.m1.1.1.1.1.1.3">𝑋</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex80.m1.1c">\displaystyle p(l|X)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex80.m1.1d">italic_p ( italic_l | italic_X )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\propto(T-l)1_{l\in[0,T]}\text{ if the path is stopped on the % right}," class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex80.m2.3"><semantics id="S4.Ex80.m2.3a"><mrow id="S4.Ex80.m2.3.3.1" xref="S4.Ex80.m2.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex80.m2.3.3.1.1" xref="S4.Ex80.m2.3.3.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex80.m2.3.3.1.1.3" xref="S4.Ex80.m2.3.3.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S4.Ex80.m2.3.3.1.1.2" xref="S4.Ex80.m2.3.3.1.1.2.cmml">∝</mo><mrow id="S4.Ex80.m2.3.3.1.1.1" xref="S4.Ex80.m2.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex80.m2.3.3.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex80.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex80.m2.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex80.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex80.m2.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex80.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex80.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex80.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S4.Ex80.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex80.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S4.Ex80.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex80.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">l</mi></mrow><mo id="S4.Ex80.m2.3.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex80.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex80.m2.3.3.1.1.1.2" xref="S4.Ex80.m2.3.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex80.m2.3.3.1.1.1.3" xref="S4.Ex80.m2.3.3.1.1.1.3.cmml"><mn id="S4.Ex80.m2.3.3.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex80.m2.3.3.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mrow id="S4.Ex80.m2.2.2.2" xref="S4.Ex80.m2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex80.m2.2.2.2.4" xref="S4.Ex80.m2.2.2.2.4.cmml">l</mi><mo id="S4.Ex80.m2.2.2.2.3" xref="S4.Ex80.m2.2.2.2.3.cmml">∈</mo><mrow id="S4.Ex80.m2.2.2.2.5.2" xref="S4.Ex80.m2.2.2.2.5.1.cmml"><mo id="S4.Ex80.m2.2.2.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex80.m2.2.2.2.5.1.cmml">[</mo><mn id="S4.Ex80.m2.1.1.1.1" xref="S4.Ex80.m2.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S4.Ex80.m2.2.2.2.5.2.2" xref="S4.Ex80.m2.2.2.2.5.1.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex80.m2.2.2.2.2" xref="S4.Ex80.m2.2.2.2.2.cmml">T</mi><mo id="S4.Ex80.m2.2.2.2.5.2.3" stretchy="false" xref="S4.Ex80.m2.2.2.2.5.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S4.Ex80.m2.3.3.1.1.1.2a" xref="S4.Ex80.m2.3.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S4.Ex80.m2.3.3.1.1.1.4" xref="S4.Ex80.m2.3.3.1.1.1.4a.cmml"> if the path is stopped on the right</mtext></mrow></mrow><mo id="S4.Ex80.m2.3.3.1.2" xref="S4.Ex80.m2.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex80.m2.3b"><apply id="S4.Ex80.m2.3.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex80.m2.3.3.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex80.m2.3.3.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex80.m2.3.3.1.1.2">proportional-to</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex80.m2.3.3.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex80.m2.3.3.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S4.Ex80.m2.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex80.m2.3.3.1.1.1"><times id="S4.Ex80.m2.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex80.m2.3.3.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Ex80.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex80.m2.3.3.1.1.1.1.1"><minus id="S4.Ex80.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex80.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S4.Ex80.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex80.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S4.Ex80.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex80.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3">𝑙</ci></apply><apply id="S4.Ex80.m2.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex80.m2.3.3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex80.m2.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex80.m2.3.3.1.1.1.3">subscript</csymbol><cn id="S4.Ex80.m2.3.3.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex80.m2.3.3.1.1.1.3.2">1</cn><apply id="S4.Ex80.m2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex80.m2.2.2.2"><in id="S4.Ex80.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex80.m2.2.2.2.3"></in><ci id="S4.Ex80.m2.2.2.2.4.cmml" xref="S4.Ex80.m2.2.2.2.4">𝑙</ci><interval closure="closed" id="S4.Ex80.m2.2.2.2.5.1.cmml" xref="S4.Ex80.m2.2.2.2.5.2"><cn id="S4.Ex80.m2.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Ex80.m2.1.1.1.1">0</cn><ci id="S4.Ex80.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex80.m2.2.2.2.2">𝑇</ci></interval></apply></apply><ci id="S4.Ex80.m2.3.3.1.1.1.4a.cmml" xref="S4.Ex80.m2.3.3.1.1.1.4"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S4.Ex80.m2.3.3.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex80.m2.3.3.1.1.1.4"> if the path is stopped on the right</mtext></ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex80.m2.3c">\displaystyle\propto(T-l)1_{l\in[0,T]}\text{ if the path is stopped on the % right},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex80.m2.3d">∝ ( italic_T - italic_l ) 1 start_POSTSUBSCRIPT italic_l ∈ [ 0 , italic_T ] end_POSTSUBSCRIPT if the path is stopped on the right ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmproposition9.p1.5"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmproposition9.p1.5.2">where <math alttext="T" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition9.p1.4.1.m1.1"><semantics id="Thmproposition9.p1.4.1.m1.1a"><mi id="Thmproposition9.p1.4.1.m1.1.1" xref="Thmproposition9.p1.4.1.m1.1.1.cmml">T</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition9.p1.4.1.m1.1b"><ci id="Thmproposition9.p1.4.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmproposition9.p1.4.1.m1.1.1">𝑇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition9.p1.4.1.m1.1c">T</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition9.p1.4.1.m1.1d">italic_T</annotation></semantics></math> is the length of <math alttext="X" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition9.p1.5.2.m2.1"><semantics id="Thmproposition9.p1.5.2.m2.1a"><mi id="Thmproposition9.p1.5.2.m2.1.1" xref="Thmproposition9.p1.5.2.m2.1.1.cmml">X</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition9.p1.5.2.m2.1b"><ci id="Thmproposition9.p1.5.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmproposition9.p1.5.2.m2.1.1">𝑋</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition9.p1.5.2.m2.1c">X</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition9.p1.5.2.m2.1d">italic_X</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S4.SS3.5"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="S4.SS3.4.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.4.p1.6">We only analyze the <math alttext="F_{g}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.4.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.SS3.4.p1.1.m1.1a"><msub id="S4.SS3.4.p1.1.m1.1.1" xref="S4.SS3.4.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.4.p1.1.m1.1.1.2" xref="S4.SS3.4.p1.1.m1.1.1.2.cmml">F</mi><mi id="S4.SS3.4.p1.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS3.4.p1.1.m1.1.1.3.cmml">g</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.4.p1.1.m1.1b"><apply id="S4.SS3.4.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.4.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.4.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.4.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.4.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.4.p1.1.m1.1.1.2">𝐹</ci><ci id="S4.SS3.4.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.4.p1.1.m1.1.1.3">𝑔</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.4.p1.1.m1.1c">F_{g}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.4.p1.1.m1.1d">italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_g end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> case, as the <math alttext="F_{d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.4.p1.2.m2.1"><semantics id="S4.SS3.4.p1.2.m2.1a"><msub id="S4.SS3.4.p1.2.m2.1.1" xref="S4.SS3.4.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.4.p1.2.m2.1.1.2" xref="S4.SS3.4.p1.2.m2.1.1.2.cmml">F</mi><mi id="S4.SS3.4.p1.2.m2.1.1.3" xref="S4.SS3.4.p1.2.m2.1.1.3.cmml">d</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.4.p1.2.m2.1b"><apply id="S4.SS3.4.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS3.4.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.4.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.4.p1.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.4.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.4.p1.2.m2.1.1.2">𝐹</ci><ci id="S4.SS3.4.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.4.p1.2.m2.1.1.3">𝑑</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.4.p1.2.m2.1c">F_{d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.4.p1.2.m2.1d">italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_d end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> case follow the same logic. The law of the couple of random variables <math alttext="(X,l)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.4.p1.3.m3.2"><semantics id="S4.SS3.4.p1.3.m3.2a"><mrow id="S4.SS3.4.p1.3.m3.2.3.2" xref="S4.SS3.4.p1.3.m3.2.3.1.cmml"><mo id="S4.SS3.4.p1.3.m3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS3.4.p1.3.m3.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.SS3.4.p1.3.m3.1.1" xref="S4.SS3.4.p1.3.m3.1.1.cmml">X</mi><mo id="S4.SS3.4.p1.3.m3.2.3.2.2" xref="S4.SS3.4.p1.3.m3.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS3.4.p1.3.m3.2.2" xref="S4.SS3.4.p1.3.m3.2.2.cmml">l</mi><mo id="S4.SS3.4.p1.3.m3.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.SS3.4.p1.3.m3.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.4.p1.3.m3.2b"><interval closure="open" id="S4.SS3.4.p1.3.m3.2.3.1.cmml" xref="S4.SS3.4.p1.3.m3.2.3.2"><ci id="S4.SS3.4.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS3.4.p1.3.m3.1.1">𝑋</ci><ci id="S4.SS3.4.p1.3.m3.2.2.cmml" xref="S4.SS3.4.p1.3.m3.2.2">𝑙</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.4.p1.3.m3.2c">(X,l)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.4.p1.3.m3.2d">( italic_X , italic_l )</annotation></semantics></math> is the pushforward of the probability on <math alttext="F_{g}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.4.p1.4.m4.1"><semantics id="S4.SS3.4.p1.4.m4.1a"><msub id="S4.SS3.4.p1.4.m4.1.1" xref="S4.SS3.4.p1.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.4.p1.4.m4.1.1.2" xref="S4.SS3.4.p1.4.m4.1.1.2.cmml">F</mi><mi id="S4.SS3.4.p1.4.m4.1.1.3" xref="S4.SS3.4.p1.4.m4.1.1.3.cmml">g</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.4.p1.4.m4.1b"><apply id="S4.SS3.4.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS3.4.p1.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.4.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.4.p1.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.4.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.4.p1.4.m4.1.1.2">𝐹</ci><ci id="S4.SS3.4.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.4.p1.4.m4.1.1.3">𝑔</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.4.p1.4.m4.1c">F_{g}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.4.p1.4.m4.1d">italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_g end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> (and <math alttext="F_{d})" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S4.SS3.4.p1.5.m5.1"><semantics id="S4.SS3.4.p1.5.m5.1a"><mrow id="S4.SS3.4.p1.5.m5.1b"><msub id="S4.SS3.4.p1.5.m5.1.1"><mi id="S4.SS3.4.p1.5.m5.1.1.2">F</mi><mi id="S4.SS3.4.p1.5.m5.1.1.3">d</mi></msub><mo id="S4.SS3.4.p1.5.m5.1.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.4.p1.5.m5.1c">F_{d})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.4.p1.5.m5.1d">italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_d end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> by <math alttext="g" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.4.p1.6.m6.1"><semantics id="S4.SS3.4.p1.6.m6.1a"><mi id="S4.SS3.4.p1.6.m6.1.1" xref="S4.SS3.4.p1.6.m6.1.1.cmml">g</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.4.p1.6.m6.1b"><ci id="S4.SS3.4.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="S4.SS3.4.p1.6.m6.1.1">𝑔</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.4.p1.6.m6.1c">g</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.4.p1.6.m6.1d">italic_g</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS3.5.p2"> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.5.p2.4">For a couple <math alttext="(X,l)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.5.p2.1.m1.2"><semantics id="S4.SS3.5.p2.1.m1.2a"><mrow id="S4.SS3.5.p2.1.m1.2.3.2" xref="S4.SS3.5.p2.1.m1.2.3.1.cmml"><mo id="S4.SS3.5.p2.1.m1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS3.5.p2.1.m1.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.SS3.5.p2.1.m1.1.1" xref="S4.SS3.5.p2.1.m1.1.1.cmml">X</mi><mo id="S4.SS3.5.p2.1.m1.2.3.2.2" xref="S4.SS3.5.p2.1.m1.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS3.5.p2.1.m1.2.2" xref="S4.SS3.5.p2.1.m1.2.2.cmml">l</mi><mo id="S4.SS3.5.p2.1.m1.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.SS3.5.p2.1.m1.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.5.p2.1.m1.2b"><interval closure="open" id="S4.SS3.5.p2.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS3.5.p2.1.m1.2.3.2"><ci id="S4.SS3.5.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.5.p2.1.m1.1.1">𝑋</ci><ci id="S4.SS3.5.p2.1.m1.2.2.cmml" xref="S4.SS3.5.p2.1.m1.2.2">𝑙</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.5.p2.1.m1.2c">(X,l)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.5.p2.1.m1.2d">( italic_X , italic_l )</annotation></semantics></math> that is built by the algorithm and stopped left (i.e. <math alttext="S_{g}=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.5.p2.2.m2.1"><semantics id="S4.SS3.5.p2.2.m2.1a"><mrow id="S4.SS3.5.p2.2.m2.1.1" xref="S4.SS3.5.p2.2.m2.1.1.cmml"><msub id="S4.SS3.5.p2.2.m2.1.1.2" xref="S4.SS3.5.p2.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS3.5.p2.2.m2.1.1.2.2" xref="S4.SS3.5.p2.2.m2.1.1.2.2.cmml">S</mi><mi id="S4.SS3.5.p2.2.m2.1.1.2.3" xref="S4.SS3.5.p2.2.m2.1.1.2.3.cmml">g</mi></msub><mo id="S4.SS3.5.p2.2.m2.1.1.1" xref="S4.SS3.5.p2.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS3.5.p2.2.m2.1.1.3" xref="S4.SS3.5.p2.2.m2.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.5.p2.2.m2.1b"><apply id="S4.SS3.5.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS3.5.p2.2.m2.1.1"><eq id="S4.SS3.5.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.5.p2.2.m2.1.1.1"></eq><apply id="S4.SS3.5.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.5.p2.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.5.p2.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS3.5.p2.2.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.5.p2.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS3.5.p2.2.m2.1.1.2.2">𝑆</ci><ci id="S4.SS3.5.p2.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS3.5.p2.2.m2.1.1.2.3">𝑔</ci></apply><cn id="S4.SS3.5.p2.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.5.p2.2.m2.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.5.p2.2.m2.1c">S_{g}=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.5.p2.2.m2.1d">italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_g end_POSTSUBSCRIPT = 1</annotation></semantics></math>), we write the variable <math alttext="X" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.5.p2.3.m3.1"><semantics id="S4.SS3.5.p2.3.m3.1a"><mi id="S4.SS3.5.p2.3.m3.1.1" xref="S4.SS3.5.p2.3.m3.1.1.cmml">X</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.5.p2.3.m3.1b"><ci id="S4.SS3.5.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS3.5.p2.3.m3.1.1">𝑋</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.5.p2.3.m3.1c">X</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.5.p2.3.m3.1d">italic_X</annotation></semantics></math> as a path on <math alttext="[0,T]" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.5.p2.4.m4.2"><semantics id="S4.SS3.5.p2.4.m4.2a"><mrow id="S4.SS3.5.p2.4.m4.2.3.2" xref="S4.SS3.5.p2.4.m4.2.3.1.cmml"><mo id="S4.SS3.5.p2.4.m4.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS3.5.p2.4.m4.2.3.1.cmml">[</mo><mn id="S4.SS3.5.p2.4.m4.1.1" xref="S4.SS3.5.p2.4.m4.1.1.cmml">0</mn><mo id="S4.SS3.5.p2.4.m4.2.3.2.2" xref="S4.SS3.5.p2.4.m4.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS3.5.p2.4.m4.2.2" xref="S4.SS3.5.p2.4.m4.2.2.cmml">T</mi><mo id="S4.SS3.5.p2.4.m4.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.SS3.5.p2.4.m4.2.3.1.cmml">]</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.5.p2.4.m4.2b"><interval closure="closed" id="S4.SS3.5.p2.4.m4.2.3.1.cmml" xref="S4.SS3.5.p2.4.m4.2.3.2"><cn id="S4.SS3.5.p2.4.m4.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.5.p2.4.m4.1.1">0</cn><ci id="S4.SS3.5.p2.4.m4.2.2.cmml" xref="S4.SS3.5.p2.4.m4.2.2">𝑇</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.5.p2.4.m4.2c">[0,T]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.5.p2.4.m4.2d">[ 0 , italic_T ]</annotation></semantics></math>. Using Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#Thmlemma2" title="Lemma 2 (Volume change of 𝑔). ‣ 4.3 Proof of proposition 7 ‣ 4 Refreshing PDMP velocities using a stopping criterion ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex81"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="p(X,l)=p_{F_{g}}(g^{-1}(X,l))\Psi_{l}(X_{[0,l]})." class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex81.m1.7"><semantics id="S4.Ex81.m1.7a"><mrow id="S4.Ex81.m1.7.7.1" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.4" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.4.cmml"><mi id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.4.2" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.4.2.cmml">p</mi><mo id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.4.1" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.4.3.2" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.4.3.1.cmml"><mo id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.4.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex81.m1.3.3" xref="S4.Ex81.m1.3.3.cmml">X</mi><mo id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.4.3.2.2" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex81.m1.4.4" xref="S4.Ex81.m1.4.4.cmml">l</mi><mo id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.4.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.4.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.3" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.2" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.2.cmml"><msub id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.2.4" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.2.4.cmml"><mi id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.2.4.2" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.2.4.2.cmml">p</mi><msub id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.2.4.3" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.2.4.3.cmml"><mi id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.2.4.3.2" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.2.4.3.2.cmml">F</mi><mi id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.2.4.3.3" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.2.4.3.3.cmml">g</mi></msub></msub><mo id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.2.3" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">g</mi><mrow id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3a" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex81.m1.5.5" xref="S4.Ex81.m1.5.5.cmml">X</mi><mo id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex81.m1.6.6" xref="S4.Ex81.m1.6.6.cmml">l</mi><mo id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.2.3a" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.2.5" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.2.5.cmml"><mi id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.2.5.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.2.5.2.cmml">Ψ</mi><mi id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.2.5.3" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.2.5.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.2.3b" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.2.2.1.1" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.2" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.2.cmml">X</mi><mrow id="S4.Ex81.m1.2.2.2.4" xref="S4.Ex81.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.Ex81.m1.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="S4.Ex81.m1.2.2.2.3.cmml">[</mo><mn id="S4.Ex81.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex81.m1.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S4.Ex81.m1.2.2.2.4.2" xref="S4.Ex81.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex81.m1.2.2.2.2" xref="S4.Ex81.m1.2.2.2.2.cmml">l</mi><mo id="S4.Ex81.m1.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="S4.Ex81.m1.2.2.2.3.cmml">]</mo></mrow></msub><mo id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex81.m1.7.7.1.2" lspace="0em" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex81.m1.7b"><apply id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.cmml" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1"><eq id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.3"></eq><apply id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.4"><times id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.4.1.cmml" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.4.1"></times><ci id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.4.2.cmml" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.4.2">𝑝</ci><interval closure="open" id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.4.3.1.cmml" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.4.3.2"><ci id="S4.Ex81.m1.3.3.cmml" xref="S4.Ex81.m1.3.3">𝑋</ci><ci id="S4.Ex81.m1.4.4.cmml" xref="S4.Ex81.m1.4.4">𝑙</ci></interval></apply><apply id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.2"><times id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.2.3"></times><apply id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.2.4.cmml" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.2.4.2">𝑝</ci><apply id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.2.4.3.cmml" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.2.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.2.4.3.1.cmml" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.2.4.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.2.4.3.2.cmml" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.2.4.3.2">𝐹</ci><ci id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.2.4.3.3.cmml" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.2.4.3.3">𝑔</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑔</ci><apply id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3"><minus id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3"></minus><cn id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.2">1</cn></apply></apply><interval closure="open" id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="S4.Ex81.m1.5.5.cmml" xref="S4.Ex81.m1.5.5">𝑋</ci><ci id="S4.Ex81.m1.6.6.cmml" xref="S4.Ex81.m1.6.6">𝑙</ci></interval></apply><apply id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.2.5.cmml" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.2.5.1.cmml" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.2.5">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.2.5.2.cmml" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.2.5.2">Ψ</ci><ci id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.2.5.3.cmml" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.2.5.3">𝑙</ci></apply><apply id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex81.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.2">𝑋</ci><interval closure="closed" id="S4.Ex81.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex81.m1.2.2.2.4"><cn id="S4.Ex81.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Ex81.m1.1.1.1.1">0</cn><ci id="S4.Ex81.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex81.m1.2.2.2.2">𝑙</ci></interval></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex81.m1.7c">p(X,l)=p_{F_{g}}(g^{-1}(X,l))\Psi_{l}(X_{[0,l]}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex81.m1.7d">italic_p ( italic_X , italic_l ) = italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_g end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_g start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_X , italic_l ) ) roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ( italic_X start_POSTSUBSCRIPT [ 0 , italic_l ] end_POSTSUBSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.5.p2.12">Using Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#Thmlemma1" title="Lemma 1 (probability density on 𝐹_𝑔). ‣ 4.3 Proof of proposition 7 ‣ 4 Refreshing PDMP velocities using a stopping criterion ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>, we conclude that</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex82"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="p(X,l)=\pi(X_{l})q^{r}_{[-l,0]}((X_{t+l})_{t\in[-l,0]}|X_{l})q_{[0,T-l]}((X_{t% +l})_{t\in[T-l,T]}|X_{l})\left|\frac{l}{T^{2}}\right|\Psi_{l}(X_{[0,l]})." class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex82.m1.14"><semantics id="S4.Ex82.m1.14a"><mrow id="S4.Ex82.m1.14.14.1" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.6" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.6.cmml"><mi id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.6.2" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.6.2.cmml">p</mi><mo id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.6.1" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.6.3.2" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.6.3.1.cmml"><mo id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.6.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.6.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex82.m1.11.11" xref="S4.Ex82.m1.11.11.cmml">X</mi><mo id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.6.3.2.2" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.6.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex82.m1.12.12" xref="S4.Ex82.m1.12.12.cmml">l</mi><mo id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.6.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.6.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.5" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.cmml"><mi id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.6" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.6.cmml">π</mi><mo id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.5" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.2.cmml">X</mi><mi id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.5a" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.5.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.7" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.7.cmml"><mi id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.7.2.2" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.7.2.2.cmml">q</mi><mrow id="S4.Ex82.m1.2.2.2.2" xref="S4.Ex82.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.Ex82.m1.2.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex82.m1.2.2.2.3.cmml">[</mo><mrow id="S4.Ex82.m1.2.2.2.2.1" xref="S4.Ex82.m1.2.2.2.2.1.cmml"><mo id="S4.Ex82.m1.2.2.2.2.1a" xref="S4.Ex82.m1.2.2.2.2.1.cmml">−</mo><mi id="S4.Ex82.m1.2.2.2.2.1.2" xref="S4.Ex82.m1.2.2.2.2.1.2.cmml">l</mi></mrow><mo id="S4.Ex82.m1.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex82.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S4.Ex82.m1.2.2.2.2.4" stretchy="false" xref="S4.Ex82.m1.2.2.2.3.cmml">]</mo></mrow><mi id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.7.2.3" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.7.2.3.cmml">r</mi></msubsup><mo id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.5b" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.2.2.1.1" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">X</mi><mrow id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mi id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.Ex82.m1.4.4.2" xref="S4.Ex82.m1.4.4.2.cmml"><mi id="S4.Ex82.m1.4.4.2.4" xref="S4.Ex82.m1.4.4.2.4.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex82.m1.4.4.2.3" xref="S4.Ex82.m1.4.4.2.3.cmml">∈</mo><mrow id="S4.Ex82.m1.4.4.2.2.1" xref="S4.Ex82.m1.4.4.2.2.2.cmml"><mo id="S4.Ex82.m1.4.4.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex82.m1.4.4.2.2.2.cmml">[</mo><mrow id="S4.Ex82.m1.4.4.2.2.1.1" xref="S4.Ex82.m1.4.4.2.2.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex82.m1.4.4.2.2.1.1a" xref="S4.Ex82.m1.4.4.2.2.1.1.cmml">−</mo><mi id="S4.Ex82.m1.4.4.2.2.1.1.2" xref="S4.Ex82.m1.4.4.2.2.1.1.2.cmml">l</mi></mrow><mo id="S4.Ex82.m1.4.4.2.2.1.3" xref="S4.Ex82.m1.4.4.2.2.2.cmml">,</mo><mn id="S4.Ex82.m1.3.3.1.1" xref="S4.Ex82.m1.3.3.1.1.cmml">0</mn><mo id="S4.Ex82.m1.4.4.2.2.1.4" stretchy="false" xref="S4.Ex82.m1.4.4.2.2.2.cmml">]</mo></mrow></mrow></msub><mo fence="false" id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.2" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.2.cmml">|</mo><msub id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.3" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.3.2" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml">X</mi><mi id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.3.3" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml">l</mi></msub></mrow><mo id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.5c" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.5.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.8" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.8.cmml"><mi id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.8.2" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.8.2.cmml">q</mi><mrow id="S4.Ex82.m1.6.6.2.2" xref="S4.Ex82.m1.6.6.2.3.cmml"><mo id="S4.Ex82.m1.6.6.2.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex82.m1.6.6.2.3.cmml">[</mo><mn id="S4.Ex82.m1.5.5.1.1" xref="S4.Ex82.m1.5.5.1.1.cmml">0</mn><mo id="S4.Ex82.m1.6.6.2.2.3" xref="S4.Ex82.m1.6.6.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex82.m1.6.6.2.2.1" xref="S4.Ex82.m1.6.6.2.2.1.cmml"><mi id="S4.Ex82.m1.6.6.2.2.1.2" xref="S4.Ex82.m1.6.6.2.2.1.2.cmml">T</mi><mo id="S4.Ex82.m1.6.6.2.2.1.1" xref="S4.Ex82.m1.6.6.2.2.1.1.cmml">−</mo><mi id="S4.Ex82.m1.6.6.2.2.1.3" xref="S4.Ex82.m1.6.6.2.2.1.3.cmml">l</mi></mrow><mo id="S4.Ex82.m1.6.6.2.2.4" stretchy="false" xref="S4.Ex82.m1.6.6.2.3.cmml">]</mo></mrow></msub><mo id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.5d" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.3.3.1" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.3.3.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.3.3.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.3.3.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.3.3.1.1" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.3.3.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.3.3.1.1.1" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">X</mi><mrow id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mi id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.3.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.Ex82.m1.8.8.2" xref="S4.Ex82.m1.8.8.2.cmml"><mi id="S4.Ex82.m1.8.8.2.4" xref="S4.Ex82.m1.8.8.2.4.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex82.m1.8.8.2.3" xref="S4.Ex82.m1.8.8.2.3.cmml">∈</mo><mrow id="S4.Ex82.m1.8.8.2.2.1" xref="S4.Ex82.m1.8.8.2.2.2.cmml"><mo id="S4.Ex82.m1.8.8.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex82.m1.8.8.2.2.2.cmml">[</mo><mrow id="S4.Ex82.m1.8.8.2.2.1.1" xref="S4.Ex82.m1.8.8.2.2.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex82.m1.8.8.2.2.1.1.2" xref="S4.Ex82.m1.8.8.2.2.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S4.Ex82.m1.8.8.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex82.m1.8.8.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S4.Ex82.m1.8.8.2.2.1.1.3" xref="S4.Ex82.m1.8.8.2.2.1.1.3.cmml">l</mi></mrow><mo id="S4.Ex82.m1.8.8.2.2.1.3" xref="S4.Ex82.m1.8.8.2.2.2.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex82.m1.7.7.1.1" xref="S4.Ex82.m1.7.7.1.1.cmml">T</mi><mo id="S4.Ex82.m1.8.8.2.2.1.4" stretchy="false" xref="S4.Ex82.m1.8.8.2.2.2.cmml">]</mo></mrow></mrow></msub><mo fence="false" id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.3.3.1.1.2" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.3.3.1.1.2.cmml">|</mo><msub id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.3.3.1.1.3" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.3.3.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.3.3.1.1.3.2" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.3.3.1.1.3.2.cmml">X</mi><mi id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.3.3.1.1.3.3" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.3.3.1.1.3.3.cmml">l</mi></msub></mrow><mo id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.3.3.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.3.3.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.5e" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.9.2" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.9.1.cmml"><mo id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.9.2.1" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.9.1.1.cmml">|</mo><mfrac id="S4.Ex82.m1.13.13" xref="S4.Ex82.m1.13.13.cmml"><mi id="S4.Ex82.m1.13.13.2" xref="S4.Ex82.m1.13.13.2.cmml">l</mi><msup id="S4.Ex82.m1.13.13.3" xref="S4.Ex82.m1.13.13.3.cmml"><mi id="S4.Ex82.m1.13.13.3.2" xref="S4.Ex82.m1.13.13.3.2.cmml">T</mi><mn id="S4.Ex82.m1.13.13.3.3" xref="S4.Ex82.m1.13.13.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac><mo id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.9.2.2" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.9.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.5f" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.5.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.10" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.10.cmml"><mi id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.10.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.10.2.cmml">Ψ</mi><mi id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.10.3" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.10.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.5g" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.4.1" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.4.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.4.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.4.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.4.1.1" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.4.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.4.1.1.2" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.4.1.1.2.cmml">X</mi><mrow id="S4.Ex82.m1.10.10.2.4" xref="S4.Ex82.m1.10.10.2.3.cmml"><mo id="S4.Ex82.m1.10.10.2.4.1" stretchy="false" xref="S4.Ex82.m1.10.10.2.3.cmml">[</mo><mn id="S4.Ex82.m1.9.9.1.1" xref="S4.Ex82.m1.9.9.1.1.cmml">0</mn><mo id="S4.Ex82.m1.10.10.2.4.2" xref="S4.Ex82.m1.10.10.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex82.m1.10.10.2.2" xref="S4.Ex82.m1.10.10.2.2.cmml">l</mi><mo id="S4.Ex82.m1.10.10.2.4.3" stretchy="false" xref="S4.Ex82.m1.10.10.2.3.cmml">]</mo></mrow></msub><mo id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.4.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.4.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex82.m1.14.14.1.2" lspace="0em" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex82.m1.14b"><apply id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.cmml" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1"><eq id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.5.cmml" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.5"></eq><apply id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.6.cmml" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.6"><times id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.6.1.cmml" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.6.1"></times><ci id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.6.2.cmml" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.6.2">𝑝</ci><interval closure="open" id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.6.3.1.cmml" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.6.3.2"><ci id="S4.Ex82.m1.11.11.cmml" xref="S4.Ex82.m1.11.11">𝑋</ci><ci id="S4.Ex82.m1.12.12.cmml" xref="S4.Ex82.m1.12.12">𝑙</ci></interval></apply><apply id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4"><times id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.5.cmml" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.5"></times><ci id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.6.cmml" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.6">𝜋</ci><apply id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.2">𝑋</ci><ci id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.3">𝑙</ci></apply><apply id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.7.cmml" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.7.1.cmml" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.7">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.7.2.cmml" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.7.2.1.cmml" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.7">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.7.2.2.cmml" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.7.2.2">𝑞</ci><ci id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.7.2.3.cmml" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.7.2.3">𝑟</ci></apply><interval closure="closed" id="S4.Ex82.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex82.m1.2.2.2.2"><apply id="S4.Ex82.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex82.m1.2.2.2.2.1"><minus id="S4.Ex82.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex82.m1.2.2.2.2.1"></minus><ci id="S4.Ex82.m1.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex82.m1.2.2.2.2.1.2">𝑙</ci></apply><cn id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1">0</cn></interval></apply><apply id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.2">conditional</csymbol><apply id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2">𝑋</ci><apply id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3"><plus id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1"></plus><ci id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑡</ci><ci id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑙</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex82.m1.4.4.2.cmml" xref="S4.Ex82.m1.4.4.2"><in id="S4.Ex82.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex82.m1.4.4.2.3"></in><ci id="S4.Ex82.m1.4.4.2.4.cmml" xref="S4.Ex82.m1.4.4.2.4">𝑡</ci><interval closure="closed" id="S4.Ex82.m1.4.4.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex82.m1.4.4.2.2.1"><apply id="S4.Ex82.m1.4.4.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex82.m1.4.4.2.2.1.1"><minus id="S4.Ex82.m1.4.4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex82.m1.4.4.2.2.1.1"></minus><ci id="S4.Ex82.m1.4.4.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex82.m1.4.4.2.2.1.1.2">𝑙</ci></apply><cn id="S4.Ex82.m1.3.3.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Ex82.m1.3.3.1.1">0</cn></interval></apply></apply><apply id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.3.2">𝑋</ci><ci id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.3.3">𝑙</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.8.cmml" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.8.1.cmml" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.8">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.8.2.cmml" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.8.2">𝑞</ci><interval closure="closed" id="S4.Ex82.m1.6.6.2.3.cmml" xref="S4.Ex82.m1.6.6.2.2"><cn id="S4.Ex82.m1.5.5.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Ex82.m1.5.5.1.1">0</cn><apply id="S4.Ex82.m1.6.6.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex82.m1.6.6.2.2.1"><minus id="S4.Ex82.m1.6.6.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex82.m1.6.6.2.2.1.1"></minus><ci id="S4.Ex82.m1.6.6.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex82.m1.6.6.2.2.1.2">𝑇</ci><ci id="S4.Ex82.m1.6.6.2.2.1.3.cmml" xref="S4.Ex82.m1.6.6.2.2.1.3">𝑙</ci></apply></interval></apply><apply id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.3.3.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.3.3.1.1.2">conditional</csymbol><apply id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.3.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.3.3.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2">𝑋</ci><apply id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3"><plus id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1"></plus><ci id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑡</ci><ci id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑙</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex82.m1.8.8.2.cmml" xref="S4.Ex82.m1.8.8.2"><in id="S4.Ex82.m1.8.8.2.3.cmml" xref="S4.Ex82.m1.8.8.2.3"></in><ci id="S4.Ex82.m1.8.8.2.4.cmml" xref="S4.Ex82.m1.8.8.2.4">𝑡</ci><interval closure="closed" id="S4.Ex82.m1.8.8.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex82.m1.8.8.2.2.1"><apply id="S4.Ex82.m1.8.8.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex82.m1.8.8.2.2.1.1"><minus id="S4.Ex82.m1.8.8.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex82.m1.8.8.2.2.1.1.1"></minus><ci id="S4.Ex82.m1.8.8.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex82.m1.8.8.2.2.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S4.Ex82.m1.8.8.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex82.m1.8.8.2.2.1.1.3">𝑙</ci></apply><ci id="S4.Ex82.m1.7.7.1.1.cmml" xref="S4.Ex82.m1.7.7.1.1">𝑇</ci></interval></apply></apply><apply id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.3.3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.3.3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.3.3.1.1.3.2">𝑋</ci><ci id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.3.3.1.1.3.3">𝑙</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.9.1.cmml" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.9.2"><abs id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.9.1.1.cmml" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.9.2.1"></abs><apply id="S4.Ex82.m1.13.13.cmml" xref="S4.Ex82.m1.13.13"><divide id="S4.Ex82.m1.13.13.1.cmml" xref="S4.Ex82.m1.13.13"></divide><ci id="S4.Ex82.m1.13.13.2.cmml" xref="S4.Ex82.m1.13.13.2">𝑙</ci><apply id="S4.Ex82.m1.13.13.3.cmml" xref="S4.Ex82.m1.13.13.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex82.m1.13.13.3.1.cmml" xref="S4.Ex82.m1.13.13.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex82.m1.13.13.3.2.cmml" xref="S4.Ex82.m1.13.13.3.2">𝑇</ci><cn id="S4.Ex82.m1.13.13.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex82.m1.13.13.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.10.cmml" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.10"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.10.1.cmml" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.10">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.10.2.cmml" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.10.2">Ψ</ci><ci id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.10.3.cmml" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.10.3">𝑙</ci></apply><apply id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.4.1.1.cmml" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.4.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex82.m1.14.14.1.1.4.4.1.1.2">𝑋</ci><interval closure="closed" id="S4.Ex82.m1.10.10.2.3.cmml" xref="S4.Ex82.m1.10.10.2.4"><cn id="S4.Ex82.m1.9.9.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Ex82.m1.9.9.1.1">0</cn><ci id="S4.Ex82.m1.10.10.2.2.cmml" xref="S4.Ex82.m1.10.10.2.2">𝑙</ci></interval></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex82.m1.14c">p(X,l)=\pi(X_{l})q^{r}_{[-l,0]}((X_{t+l})_{t\in[-l,0]}|X_{l})q_{[0,T-l]}((X_{t% +l})_{t\in[T-l,T]}|X_{l})\left|\frac{l}{T^{2}}\right|\Psi_{l}(X_{[0,l]}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex82.m1.14d">italic_p ( italic_X , italic_l ) = italic_π ( italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ) italic_q start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT [ - italic_l , 0 ] end_POSTSUBSCRIPT ( ( italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_t + italic_l end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_t ∈ [ - italic_l , 0 ] end_POSTSUBSCRIPT | italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ) italic_q start_POSTSUBSCRIPT [ 0 , italic_T - italic_l ] end_POSTSUBSCRIPT ( ( italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_t + italic_l end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_t ∈ [ italic_T - italic_l , italic_T ] end_POSTSUBSCRIPT | italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ) | divide start_ARG italic_l end_ARG start_ARG italic_T start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG | roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ( italic_X start_POSTSUBSCRIPT [ 0 , italic_l ] end_POSTSUBSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.5.p2.13">Using (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S3.E4" title="In 3.4 Metropolis-Adjustment of PDMP Discretisations ‣ 3 Practical Simulation of PDMPs through Metropolis Adjustment ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>) and the Markov property:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex83"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="p(X,l)=p_{[0,T]}((X_{t})_{t\in[0,T]})\left|\frac{l}{T^{2}}\right|." class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex83.m1.8"><semantics id="S4.Ex83.m1.8a"><mrow id="S4.Ex83.m1.8.8.1" xref="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex83.m1.8.8.1.1" xref="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.3" xref="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.3.2" xref="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.3.2.cmml">p</mi><mo id="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.3.1" xref="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex83.m1.5.5" xref="S4.Ex83.m1.5.5.cmml">X</mi><mo id="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.3.3.2.2" xref="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex83.m1.6.6" xref="S4.Ex83.m1.6.6.cmml">l</mi><mo id="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.2" xref="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.1" xref="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.1.3" xref="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.1.3.2.cmml">p</mi><mrow id="S4.Ex83.m1.2.2.2.4" xref="S4.Ex83.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.Ex83.m1.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="S4.Ex83.m1.2.2.2.3.cmml">[</mo><mn id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S4.Ex83.m1.2.2.2.4.2" xref="S4.Ex83.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex83.m1.2.2.2.2" xref="S4.Ex83.m1.2.2.2.2.cmml">T</mi><mo id="S4.Ex83.m1.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="S4.Ex83.m1.2.2.2.3.cmml">]</mo></mrow></msub><mo id="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.1.2" xref="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">X</mi><mi id="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.Ex83.m1.4.4.2" xref="S4.Ex83.m1.4.4.2.cmml"><mi id="S4.Ex83.m1.4.4.2.4" xref="S4.Ex83.m1.4.4.2.4.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex83.m1.4.4.2.3" xref="S4.Ex83.m1.4.4.2.3.cmml">∈</mo><mrow id="S4.Ex83.m1.4.4.2.5.2" xref="S4.Ex83.m1.4.4.2.5.1.cmml"><mo id="S4.Ex83.m1.4.4.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex83.m1.4.4.2.5.1.cmml">[</mo><mn id="S4.Ex83.m1.3.3.1.1" xref="S4.Ex83.m1.3.3.1.1.cmml">0</mn><mo id="S4.Ex83.m1.4.4.2.5.2.2" xref="S4.Ex83.m1.4.4.2.5.1.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex83.m1.4.4.2.2" xref="S4.Ex83.m1.4.4.2.2.cmml">T</mi><mo id="S4.Ex83.m1.4.4.2.5.2.3" stretchy="false" xref="S4.Ex83.m1.4.4.2.5.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.1.2a" xref="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.1.4.2" xref="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.1.4.1.cmml"><mo id="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.1.4.2.1" xref="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.1.4.1.1.cmml">|</mo><mfrac id="S4.Ex83.m1.7.7" xref="S4.Ex83.m1.7.7.cmml"><mi id="S4.Ex83.m1.7.7.2" xref="S4.Ex83.m1.7.7.2.cmml">l</mi><msup id="S4.Ex83.m1.7.7.3" xref="S4.Ex83.m1.7.7.3.cmml"><mi id="S4.Ex83.m1.7.7.3.2" xref="S4.Ex83.m1.7.7.3.2.cmml">T</mi><mn id="S4.Ex83.m1.7.7.3.3" xref="S4.Ex83.m1.7.7.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac><mo id="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.1.4.2.2" xref="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.1.4.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex83.m1.8.8.1.2" lspace="0em" xref="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex83.m1.8b"><apply id="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.cmml" xref="S4.Ex83.m1.8.8.1"><eq id="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.2"></eq><apply id="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.3"><times id="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.3.1"></times><ci id="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.3.2">𝑝</ci><interval closure="open" id="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.3.3.2"><ci id="S4.Ex83.m1.5.5.cmml" xref="S4.Ex83.m1.5.5">𝑋</ci><ci id="S4.Ex83.m1.6.6.cmml" xref="S4.Ex83.m1.6.6">𝑙</ci></interval></apply><apply id="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.1"><times id="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.1.3.2">𝑝</ci><interval closure="closed" id="S4.Ex83.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex83.m1.2.2.2.4"><cn id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1">0</cn><ci id="S4.Ex83.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex83.m1.2.2.2.2">𝑇</ci></interval></apply><apply id="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑋</ci><ci id="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex83.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑡</ci></apply><apply id="S4.Ex83.m1.4.4.2.cmml" xref="S4.Ex83.m1.4.4.2"><in id="S4.Ex83.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex83.m1.4.4.2.3"></in><ci id="S4.Ex83.m1.4.4.2.4.cmml" xref="S4.Ex83.m1.4.4.2.4">𝑡</ci><interval closure="closed" id="S4.Ex83.m1.4.4.2.5.1.cmml" xref="S4.Ex83.m1.4.4.2.5.2"><cn id="S4.Ex83.m1.3.3.1.1.cmml" 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encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex83.m1.8d">italic_p ( italic_X , italic_l ) = italic_p start_POSTSUBSCRIPT [ 0 , italic_T ] end_POSTSUBSCRIPT ( ( italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_t ∈ [ 0 , italic_T ] end_POSTSUBSCRIPT ) | divide start_ARG italic_l end_ARG start_ARG italic_T start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG | .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.5.p2.11">The first part <math alttext="p_{[0,T]}((X_{t})_{t\in[0,T]})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.5.p2.5.m1.5"><semantics id="S4.SS3.5.p2.5.m1.5a"><mrow id="S4.SS3.5.p2.5.m1.5.5" xref="S4.SS3.5.p2.5.m1.5.5.cmml"><msub id="S4.SS3.5.p2.5.m1.5.5.3" xref="S4.SS3.5.p2.5.m1.5.5.3.cmml"><mi id="S4.SS3.5.p2.5.m1.5.5.3.2" xref="S4.SS3.5.p2.5.m1.5.5.3.2.cmml">p</mi><mrow id="S4.SS3.5.p2.5.m1.2.2.2.4" xref="S4.SS3.5.p2.5.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.SS3.5.p2.5.m1.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="S4.SS3.5.p2.5.m1.2.2.2.3.cmml">[</mo><mn id="S4.SS3.5.p2.5.m1.1.1.1.1" xref="S4.SS3.5.p2.5.m1.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S4.SS3.5.p2.5.m1.2.2.2.4.2" xref="S4.SS3.5.p2.5.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.SS3.5.p2.5.m1.2.2.2.2" xref="S4.SS3.5.p2.5.m1.2.2.2.2.cmml">T</mi><mo id="S4.SS3.5.p2.5.m1.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="S4.SS3.5.p2.5.m1.2.2.2.3.cmml">]</mo></mrow></msub><mo id="S4.SS3.5.p2.5.m1.5.5.2" xref="S4.SS3.5.p2.5.m1.5.5.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS3.5.p2.5.m1.5.5.1.1" xref="S4.SS3.5.p2.5.m1.5.5.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS3.5.p2.5.m1.5.5.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS3.5.p2.5.m1.5.5.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.SS3.5.p2.5.m1.5.5.1.1.1" xref="S4.SS3.5.p2.5.m1.5.5.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS3.5.p2.5.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S4.SS3.5.p2.5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS3.5.p2.5.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS3.5.p2.5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.SS3.5.p2.5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS3.5.p2.5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.5.p2.5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS3.5.p2.5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml">X</mi><mi id="S4.SS3.5.p2.5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS3.5.p2.5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S4.SS3.5.p2.5.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS3.5.p2.5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.SS3.5.p2.5.m1.4.4.2" xref="S4.SS3.5.p2.5.m1.4.4.2.cmml"><mi id="S4.SS3.5.p2.5.m1.4.4.2.4" xref="S4.SS3.5.p2.5.m1.4.4.2.4.cmml">t</mi><mo id="S4.SS3.5.p2.5.m1.4.4.2.3" xref="S4.SS3.5.p2.5.m1.4.4.2.3.cmml">∈</mo><mrow id="S4.SS3.5.p2.5.m1.4.4.2.5.2" xref="S4.SS3.5.p2.5.m1.4.4.2.5.1.cmml"><mo id="S4.SS3.5.p2.5.m1.4.4.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS3.5.p2.5.m1.4.4.2.5.1.cmml">[</mo><mn id="S4.SS3.5.p2.5.m1.3.3.1.1" xref="S4.SS3.5.p2.5.m1.3.3.1.1.cmml">0</mn><mo id="S4.SS3.5.p2.5.m1.4.4.2.5.2.2" xref="S4.SS3.5.p2.5.m1.4.4.2.5.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS3.5.p2.5.m1.4.4.2.2" 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xref="S4.SS3.5.p2.5.m1.2.2.2.2">𝑇</ci></interval></apply><apply id="S4.SS3.5.p2.5.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.5.p2.5.m1.5.5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.5.p2.5.m1.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.5.p2.5.m1.5.5.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS3.5.p2.5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.5.p2.5.m1.5.5.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.5.p2.5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.5.p2.5.m1.5.5.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.5.p2.5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.5.p2.5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2">𝑋</ci><ci id="S4.SS3.5.p2.5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.5.p2.5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3">𝑡</ci></apply><apply id="S4.SS3.5.p2.5.m1.4.4.2.cmml" xref="S4.SS3.5.p2.5.m1.4.4.2"><in id="S4.SS3.5.p2.5.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S4.SS3.5.p2.5.m1.4.4.2.3"></in><ci id="S4.SS3.5.p2.5.m1.4.4.2.4.cmml" xref="S4.SS3.5.p2.5.m1.4.4.2.4">𝑡</ci><interval closure="closed" id="S4.SS3.5.p2.5.m1.4.4.2.5.1.cmml" xref="S4.SS3.5.p2.5.m1.4.4.2.5.2"><cn id="S4.SS3.5.p2.5.m1.3.3.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.5.p2.5.m1.3.3.1.1">0</cn><ci id="S4.SS3.5.p2.5.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S4.SS3.5.p2.5.m1.4.4.2.2">𝑇</ci></interval></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.5.p2.5.m1.5c">p_{[0,T]}((X_{t})_{t\in[0,T]})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.5.p2.5.m1.5d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT [ 0 , italic_T ] end_POSTSUBSCRIPT ( ( italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_t ∈ [ 0 , italic_T ] end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> depends only on <math alttext="X" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.5.p2.6.m2.1"><semantics id="S4.SS3.5.p2.6.m2.1a"><mi id="S4.SS3.5.p2.6.m2.1.1" xref="S4.SS3.5.p2.6.m2.1.1.cmml">X</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.5.p2.6.m2.1b"><ci id="S4.SS3.5.p2.6.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS3.5.p2.6.m2.1.1">𝑋</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.5.p2.6.m2.1c">X</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.5.p2.6.m2.1d">italic_X</annotation></semantics></math> and not on <math alttext="l" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.5.p2.7.m3.1"><semantics id="S4.SS3.5.p2.7.m3.1a"><mi id="S4.SS3.5.p2.7.m3.1.1" xref="S4.SS3.5.p2.7.m3.1.1.cmml">l</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.5.p2.7.m3.1b"><ci id="S4.SS3.5.p2.7.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS3.5.p2.7.m3.1.1">𝑙</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.5.p2.7.m3.1c">l</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.5.p2.7.m3.1d">italic_l</annotation></semantics></math>. Furthermore, if <math alttext="(X,l)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.5.p2.8.m4.2"><semantics id="S4.SS3.5.p2.8.m4.2a"><mrow id="S4.SS3.5.p2.8.m4.2.3.2" xref="S4.SS3.5.p2.8.m4.2.3.1.cmml"><mo id="S4.SS3.5.p2.8.m4.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS3.5.p2.8.m4.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.SS3.5.p2.8.m4.1.1" xref="S4.SS3.5.p2.8.m4.1.1.cmml">X</mi><mo id="S4.SS3.5.p2.8.m4.2.3.2.2" xref="S4.SS3.5.p2.8.m4.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS3.5.p2.8.m4.2.2" xref="S4.SS3.5.p2.8.m4.2.2.cmml">l</mi><mo id="S4.SS3.5.p2.8.m4.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.SS3.5.p2.8.m4.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.5.p2.8.m4.2b"><interval closure="open" id="S4.SS3.5.p2.8.m4.2.3.1.cmml" xref="S4.SS3.5.p2.8.m4.2.3.2"><ci id="S4.SS3.5.p2.8.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS3.5.p2.8.m4.1.1">𝑋</ci><ci id="S4.SS3.5.p2.8.m4.2.2.cmml" xref="S4.SS3.5.p2.8.m4.2.2">𝑙</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.5.p2.8.m4.2c">(X,l)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.5.p2.8.m4.2d">( italic_X , italic_l )</annotation></semantics></math> is stopped on the left, <math alttext="S_{g}=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.5.p2.9.m5.1"><semantics id="S4.SS3.5.p2.9.m5.1a"><mrow id="S4.SS3.5.p2.9.m5.1.1" xref="S4.SS3.5.p2.9.m5.1.1.cmml"><msub id="S4.SS3.5.p2.9.m5.1.1.2" xref="S4.SS3.5.p2.9.m5.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS3.5.p2.9.m5.1.1.2.2" xref="S4.SS3.5.p2.9.m5.1.1.2.2.cmml">S</mi><mi id="S4.SS3.5.p2.9.m5.1.1.2.3" xref="S4.SS3.5.p2.9.m5.1.1.2.3.cmml">g</mi></msub><mo id="S4.SS3.5.p2.9.m5.1.1.1" xref="S4.SS3.5.p2.9.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS3.5.p2.9.m5.1.1.3" xref="S4.SS3.5.p2.9.m5.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.5.p2.9.m5.1b"><apply id="S4.SS3.5.p2.9.m5.1.1.cmml" xref="S4.SS3.5.p2.9.m5.1.1"><eq id="S4.SS3.5.p2.9.m5.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.5.p2.9.m5.1.1.1"></eq><apply id="S4.SS3.5.p2.9.m5.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.5.p2.9.m5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.5.p2.9.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS3.5.p2.9.m5.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.5.p2.9.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS3.5.p2.9.m5.1.1.2.2">𝑆</ci><ci id="S4.SS3.5.p2.9.m5.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS3.5.p2.9.m5.1.1.2.3">𝑔</ci></apply><cn id="S4.SS3.5.p2.9.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.5.p2.9.m5.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.5.p2.9.m5.1c">S_{g}=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.5.p2.9.m5.1d">italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_g end_POSTSUBSCRIPT = 1</annotation></semantics></math> for any <math alttext="l\in[0,T]" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.5.p2.10.m6.2"><semantics id="S4.SS3.5.p2.10.m6.2a"><mrow id="S4.SS3.5.p2.10.m6.2.3" xref="S4.SS3.5.p2.10.m6.2.3.cmml"><mi id="S4.SS3.5.p2.10.m6.2.3.2" xref="S4.SS3.5.p2.10.m6.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S4.SS3.5.p2.10.m6.2.3.1" xref="S4.SS3.5.p2.10.m6.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="S4.SS3.5.p2.10.m6.2.3.3.2" xref="S4.SS3.5.p2.10.m6.2.3.3.1.cmml"><mo id="S4.SS3.5.p2.10.m6.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS3.5.p2.10.m6.2.3.3.1.cmml">[</mo><mn id="S4.SS3.5.p2.10.m6.1.1" xref="S4.SS3.5.p2.10.m6.1.1.cmml">0</mn><mo id="S4.SS3.5.p2.10.m6.2.3.3.2.2" xref="S4.SS3.5.p2.10.m6.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS3.5.p2.10.m6.2.2" xref="S4.SS3.5.p2.10.m6.2.2.cmml">T</mi><mo id="S4.SS3.5.p2.10.m6.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.SS3.5.p2.10.m6.2.3.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.5.p2.10.m6.2b"><apply id="S4.SS3.5.p2.10.m6.2.3.cmml" xref="S4.SS3.5.p2.10.m6.2.3"><in id="S4.SS3.5.p2.10.m6.2.3.1.cmml" xref="S4.SS3.5.p2.10.m6.2.3.1"></in><ci id="S4.SS3.5.p2.10.m6.2.3.2.cmml" xref="S4.SS3.5.p2.10.m6.2.3.2">𝑙</ci><interval closure="closed" id="S4.SS3.5.p2.10.m6.2.3.3.1.cmml" xref="S4.SS3.5.p2.10.m6.2.3.3.2"><cn id="S4.SS3.5.p2.10.m6.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.5.p2.10.m6.1.1">0</cn><ci id="S4.SS3.5.p2.10.m6.2.2.cmml" xref="S4.SS3.5.p2.10.m6.2.2">𝑇</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.5.p2.10.m6.2c">l\in[0,T]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.5.p2.10.m6.2d">italic_l ∈ [ 0 , italic_T ]</annotation></semantics></math>, and is <math alttext="0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.5.p2.11.m7.1"><semantics id="S4.SS3.5.p2.11.m7.1a"><mn id="S4.SS3.5.p2.11.m7.1.1" xref="S4.SS3.5.p2.11.m7.1.1.cmml">0</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.5.p2.11.m7.1b"><cn id="S4.SS3.5.p2.11.m7.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.5.p2.11.m7.1.1">0</cn></annotation-xml></semantics></math> otherwise. Hence:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex84"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="p(l|X)\propto l1_{l\in[0,T]}." class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex84.m1.3"><semantics id="S4.Ex84.m1.3a"><mrow id="S4.Ex84.m1.3.3.1" xref="S4.Ex84.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex84.m1.3.3.1.1" xref="S4.Ex84.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex84.m1.3.3.1.1.1" xref="S4.Ex84.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex84.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S4.Ex84.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">p</mi><mo id="S4.Ex84.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S4.Ex84.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">l</mi><mo fence="false" id="S4.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">|</mo><mi id="S4.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">X</mi></mrow><mo id="S4.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex84.m1.3.3.1.1.2" xref="S4.Ex84.m1.3.3.1.1.2.cmml">∝</mo><mrow id="S4.Ex84.m1.3.3.1.1.3" xref="S4.Ex84.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex84.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S4.Ex84.m1.3.3.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="S4.Ex84.m1.3.3.1.1.3.1" xref="S4.Ex84.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex84.m1.3.3.1.1.3.3" xref="S4.Ex84.m1.3.3.1.1.3.3.cmml"><mn id="S4.Ex84.m1.3.3.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex84.m1.3.3.1.1.3.3.2.cmml">1</mn><mrow id="S4.Ex84.m1.2.2.2" xref="S4.Ex84.m1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex84.m1.2.2.2.4" xref="S4.Ex84.m1.2.2.2.4.cmml">l</mi><mo id="S4.Ex84.m1.2.2.2.3" xref="S4.Ex84.m1.2.2.2.3.cmml">∈</mo><mrow id="S4.Ex84.m1.2.2.2.5.2" xref="S4.Ex84.m1.2.2.2.5.1.cmml"><mo id="S4.Ex84.m1.2.2.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex84.m1.2.2.2.5.1.cmml">[</mo><mn id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S4.Ex84.m1.2.2.2.5.2.2" xref="S4.Ex84.m1.2.2.2.5.1.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex84.m1.2.2.2.2" xref="S4.Ex84.m1.2.2.2.2.cmml">T</mi><mo id="S4.Ex84.m1.2.2.2.5.2.3" stretchy="false" xref="S4.Ex84.m1.2.2.2.5.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="S4.Ex84.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S4.Ex84.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex84.m1.3b"><apply id="S4.Ex84.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex84.m1.3.3.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex84.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex84.m1.3.3.1.1.2">proportional-to</csymbol><apply id="S4.Ex84.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex84.m1.3.3.1.1.1"><times id="S4.Ex84.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex84.m1.3.3.1.1.1.2"></times><ci id="S4.Ex84.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex84.m1.3.3.1.1.1.3">𝑝</ci><apply id="S4.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S4.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2">𝑙</ci><ci id="S4.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3">𝑋</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex84.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex84.m1.3.3.1.1.3"><times id="S4.Ex84.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex84.m1.3.3.1.1.3.1"></times><ci id="S4.Ex84.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex84.m1.3.3.1.1.3.2">𝑙</ci><apply id="S4.Ex84.m1.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex84.m1.3.3.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex84.m1.3.3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex84.m1.3.3.1.1.3.3">subscript</csymbol><cn id="S4.Ex84.m1.3.3.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex84.m1.3.3.1.1.3.3.2">1</cn><apply id="S4.Ex84.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex84.m1.2.2.2"><in id="S4.Ex84.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex84.m1.2.2.2.3"></in><ci id="S4.Ex84.m1.2.2.2.4.cmml" xref="S4.Ex84.m1.2.2.2.4">𝑙</ci><interval closure="closed" id="S4.Ex84.m1.2.2.2.5.1.cmml" xref="S4.Ex84.m1.2.2.2.5.2"><cn id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1">0</cn><ci id="S4.Ex84.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex84.m1.2.2.2.2">𝑇</ci></interval></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex84.m1.3c">p(l|X)\propto l1_{l\in[0,T]}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex84.m1.3d">italic_p ( italic_l | italic_X ) ∝ italic_l 1 start_POSTSUBSCRIPT italic_l ∈ [ 0 , italic_T ] end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.5.p2.14">∎</p> </div> </div> <div class="ltx_pagination ltx_role_newpage"></div> </section> </section> <section class="ltx_section" id="S5"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">5 </span>Doubly-Adaptive PDMP Samplers</h2> <div class="ltx_para" id="S5.p1"> <p class="ltx_p" id="S5.p1.1">It is now possible to combine the two previous ideas into a single algorithm, whereby we use both i) an approximate PDMP with a locally adaptive time step for the approximation, and ii) a stopping criterion for a locally adaptive path length. The idea is to use an approximated process in the algorithm introduced in Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S4" title="4 Refreshing PDMP velocities using a stopping criterion ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_proposition" id="Thmproposition10"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmproposition10.1.1.1">Proposition 10</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmproposition10.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmproposition10.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmproposition10.p1.7"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmproposition10.p1.7.7">Assume that the exact process is a PDMP such that the reversal <math alttext="R_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition10.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmproposition10.p1.1.1.m1.1a"><msub id="Thmproposition10.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmproposition10.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmproposition10.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmproposition10.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">R</mi><mi id="Thmproposition10.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmproposition10.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition10.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmproposition10.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmproposition10.p1.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproposition10.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmproposition10.p1.1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmproposition10.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmproposition10.p1.1.1.m1.1.1.2">𝑅</ci><ci id="Thmproposition10.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmproposition10.p1.1.1.m1.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition10.p1.1.1.m1.1c">R_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition10.p1.1.1.m1.1d">italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and its volume change <math alttext="\Psi_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition10.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmproposition10.p1.2.2.m2.1a"><msub id="Thmproposition10.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmproposition10.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmproposition10.p1.2.2.m2.1.1.2" mathvariant="normal" xref="Thmproposition10.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">Ψ</mi><mi id="Thmproposition10.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="Thmproposition10.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml">t</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition10.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmproposition10.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmproposition10.p1.2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproposition10.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmproposition10.p1.2.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmproposition10.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmproposition10.p1.2.2.m2.1.1.2">Ψ</ci><ci id="Thmproposition10.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmproposition10.p1.2.2.m2.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition10.p1.2.2.m2.1c">\Psi_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition10.p1.2.2.m2.1d">roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are continuous in <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition10.p1.3.3.m3.1"><semantics id="Thmproposition10.p1.3.3.m3.1a"><mi id="Thmproposition10.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmproposition10.p1.3.3.m3.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition10.p1.3.3.m3.1b"><ci id="Thmproposition10.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmproposition10.p1.3.3.m3.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition10.p1.3.3.m3.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition10.p1.3.3.m3.1d">italic_t</annotation></semantics></math>. Using the same algorithm to build <math alttext="(X,l)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition10.p1.4.4.m4.2"><semantics id="Thmproposition10.p1.4.4.m4.2a"><mrow id="Thmproposition10.p1.4.4.m4.2.3.2" xref="Thmproposition10.p1.4.4.m4.2.3.1.cmml"><mo id="Thmproposition10.p1.4.4.m4.2.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmproposition10.p1.4.4.m4.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="Thmproposition10.p1.4.4.m4.1.1" xref="Thmproposition10.p1.4.4.m4.1.1.cmml">X</mi><mo id="Thmproposition10.p1.4.4.m4.2.3.2.2" xref="Thmproposition10.p1.4.4.m4.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmproposition10.p1.4.4.m4.2.2" xref="Thmproposition10.p1.4.4.m4.2.2.cmml">l</mi><mo id="Thmproposition10.p1.4.4.m4.2.3.2.3" stretchy="false" xref="Thmproposition10.p1.4.4.m4.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition10.p1.4.4.m4.2b"><interval closure="open" id="Thmproposition10.p1.4.4.m4.2.3.1.cmml" xref="Thmproposition10.p1.4.4.m4.2.3.2"><ci id="Thmproposition10.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmproposition10.p1.4.4.m4.1.1">𝑋</ci><ci id="Thmproposition10.p1.4.4.m4.2.2.cmml" xref="Thmproposition10.p1.4.4.m4.2.2">𝑙</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition10.p1.4.4.m4.2c">(X,l)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition10.p1.4.4.m4.2d">( italic_X , italic_l )</annotation></semantics></math> as in Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S4" title="4 Refreshing PDMP velocities using a stopping criterion ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a> but using an approximate process yields the following <math alttext="\nu" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition10.p1.5.5.m5.1"><semantics id="Thmproposition10.p1.5.5.m5.1a"><mi id="Thmproposition10.p1.5.5.m5.1.1" xref="Thmproposition10.p1.5.5.m5.1.1.cmml">ν</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition10.p1.5.5.m5.1b"><ci id="Thmproposition10.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="Thmproposition10.p1.5.5.m5.1.1">𝜈</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition10.p1.5.5.m5.1c">\nu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition10.p1.5.5.m5.1d">italic_ν</annotation></semantics></math> on <math alttext="[0,T]" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition10.p1.6.6.m6.2"><semantics id="Thmproposition10.p1.6.6.m6.2a"><mrow id="Thmproposition10.p1.6.6.m6.2.3.2" xref="Thmproposition10.p1.6.6.m6.2.3.1.cmml"><mo id="Thmproposition10.p1.6.6.m6.2.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmproposition10.p1.6.6.m6.2.3.1.cmml">[</mo><mn id="Thmproposition10.p1.6.6.m6.1.1" xref="Thmproposition10.p1.6.6.m6.1.1.cmml">0</mn><mo id="Thmproposition10.p1.6.6.m6.2.3.2.2" xref="Thmproposition10.p1.6.6.m6.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmproposition10.p1.6.6.m6.2.2" xref="Thmproposition10.p1.6.6.m6.2.2.cmml">T</mi><mo id="Thmproposition10.p1.6.6.m6.2.3.2.3" stretchy="false" xref="Thmproposition10.p1.6.6.m6.2.3.1.cmml">]</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition10.p1.6.6.m6.2b"><interval closure="closed" id="Thmproposition10.p1.6.6.m6.2.3.1.cmml" xref="Thmproposition10.p1.6.6.m6.2.3.2"><cn id="Thmproposition10.p1.6.6.m6.1.1.cmml" type="integer" xref="Thmproposition10.p1.6.6.m6.1.1">0</cn><ci id="Thmproposition10.p1.6.6.m6.2.2.cmml" xref="Thmproposition10.p1.6.6.m6.2.2">𝑇</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition10.p1.6.6.m6.2c">[0,T]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition10.p1.6.6.m6.2d">[ 0 , italic_T ]</annotation></semantics></math> for the law of <math alttext="l|X" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition10.p1.7.7.m7.1"><semantics id="Thmproposition10.p1.7.7.m7.1a"><mrow id="Thmproposition10.p1.7.7.m7.1.1" xref="Thmproposition10.p1.7.7.m7.1.1.cmml"><mi id="Thmproposition10.p1.7.7.m7.1.1.2" xref="Thmproposition10.p1.7.7.m7.1.1.2.cmml">l</mi><mo fence="false" id="Thmproposition10.p1.7.7.m7.1.1.1" xref="Thmproposition10.p1.7.7.m7.1.1.1.cmml">|</mo><mi id="Thmproposition10.p1.7.7.m7.1.1.3" xref="Thmproposition10.p1.7.7.m7.1.1.3.cmml">X</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition10.p1.7.7.m7.1b"><apply id="Thmproposition10.p1.7.7.m7.1.1.cmml" xref="Thmproposition10.p1.7.7.m7.1.1"><csymbol cd="latexml" id="Thmproposition10.p1.7.7.m7.1.1.1.cmml" xref="Thmproposition10.p1.7.7.m7.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="Thmproposition10.p1.7.7.m7.1.1.2.cmml" xref="Thmproposition10.p1.7.7.m7.1.1.2">𝑙</ci><ci id="Thmproposition10.p1.7.7.m7.1.1.3.cmml" xref="Thmproposition10.p1.7.7.m7.1.1.3">𝑋</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition10.p1.7.7.m7.1c">l|X</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition10.p1.7.7.m7.1d">italic_l | italic_X</annotation></semantics></math>:</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex85"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\nu(l)\propto\pi(X_{l})q^{r}_{[-l,0]}((X_{t+l})_{t\in[-l,0]}|X_{l})q_{[0,T-l]}% ((X_{t+l})_{t\in[T-l,T]}|X_{l})\left|\frac{T-l}{T^{2}}\right|\Psi_{l}(X_{[0,l]% })," class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex85.m1.13"><semantics id="S5.Ex85.m1.13a"><mrow id="S5.Ex85.m1.13.13.1" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.6" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.6.cmml"><mi id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.6.2" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.6.2.cmml">ν</mi><mo id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.6.1" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.6.3.2" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.6.cmml"><mo id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.6.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.6.cmml">(</mo><mi id="S5.Ex85.m1.11.11" xref="S5.Ex85.m1.11.11.cmml">l</mi><mo id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.6.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.6.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.5" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.5.cmml">∝</mo><mrow id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.4" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.4.cmml"><mi id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.4.6" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.4.6.cmml">π</mi><mo id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.4.5" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.2.cmml">X</mi><mi id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.4.5a" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.4.5.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.4.7" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.4.7.cmml"><mi id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.4.7.2.2" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.4.7.2.2.cmml">q</mi><mrow id="S5.Ex85.m1.2.2.2.2" xref="S5.Ex85.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex85.m1.2.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S5.Ex85.m1.2.2.2.3.cmml">[</mo><mrow id="S5.Ex85.m1.2.2.2.2.1" xref="S5.Ex85.m1.2.2.2.2.1.cmml"><mo id="S5.Ex85.m1.2.2.2.2.1a" xref="S5.Ex85.m1.2.2.2.2.1.cmml">−</mo><mi id="S5.Ex85.m1.2.2.2.2.1.2" xref="S5.Ex85.m1.2.2.2.2.1.2.cmml">l</mi></mrow><mo id="S5.Ex85.m1.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex85.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="S5.Ex85.m1.1.1.1.1" xref="S5.Ex85.m1.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S5.Ex85.m1.2.2.2.2.4" stretchy="false" xref="S5.Ex85.m1.2.2.2.3.cmml">]</mo></mrow><mi id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.4.7.2.3" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.4.7.2.3.cmml">r</mi></msubsup><mo id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.4.5b" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.2.2.1" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.2.2.1.1" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.1" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">X</mi><mrow id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mi id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S5.Ex85.m1.4.4.2" xref="S5.Ex85.m1.4.4.2.cmml"><mi id="S5.Ex85.m1.4.4.2.4" xref="S5.Ex85.m1.4.4.2.4.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex85.m1.4.4.2.3" xref="S5.Ex85.m1.4.4.2.3.cmml">∈</mo><mrow id="S5.Ex85.m1.4.4.2.2.1" xref="S5.Ex85.m1.4.4.2.2.2.cmml"><mo id="S5.Ex85.m1.4.4.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex85.m1.4.4.2.2.2.cmml">[</mo><mrow id="S5.Ex85.m1.4.4.2.2.1.1" xref="S5.Ex85.m1.4.4.2.2.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex85.m1.4.4.2.2.1.1a" xref="S5.Ex85.m1.4.4.2.2.1.1.cmml">−</mo><mi id="S5.Ex85.m1.4.4.2.2.1.1.2" xref="S5.Ex85.m1.4.4.2.2.1.1.2.cmml">l</mi></mrow><mo id="S5.Ex85.m1.4.4.2.2.1.3" xref="S5.Ex85.m1.4.4.2.2.2.cmml">,</mo><mn id="S5.Ex85.m1.3.3.1.1" xref="S5.Ex85.m1.3.3.1.1.cmml">0</mn><mo id="S5.Ex85.m1.4.4.2.2.1.4" stretchy="false" xref="S5.Ex85.m1.4.4.2.2.2.cmml">]</mo></mrow></mrow></msub><mo fence="false" id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.2" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.2.cmml">|</mo><msub id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.3" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.3.2" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml">X</mi><mi id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.3.3" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml">l</mi></msub></mrow><mo id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.4.5c" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.4.5.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.4.8" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.4.8.cmml"><mi id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.4.8.2" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.4.8.2.cmml">q</mi><mrow id="S5.Ex85.m1.6.6.2.2" xref="S5.Ex85.m1.6.6.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex85.m1.6.6.2.2.2" stretchy="false" xref="S5.Ex85.m1.6.6.2.3.cmml">[</mo><mn id="S5.Ex85.m1.5.5.1.1" xref="S5.Ex85.m1.5.5.1.1.cmml">0</mn><mo id="S5.Ex85.m1.6.6.2.2.3" xref="S5.Ex85.m1.6.6.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S5.Ex85.m1.6.6.2.2.1" xref="S5.Ex85.m1.6.6.2.2.1.cmml"><mi id="S5.Ex85.m1.6.6.2.2.1.2" xref="S5.Ex85.m1.6.6.2.2.1.2.cmml">T</mi><mo id="S5.Ex85.m1.6.6.2.2.1.1" xref="S5.Ex85.m1.6.6.2.2.1.1.cmml">−</mo><mi id="S5.Ex85.m1.6.6.2.2.1.3" xref="S5.Ex85.m1.6.6.2.2.1.3.cmml">l</mi></mrow><mo id="S5.Ex85.m1.6.6.2.2.4" stretchy="false" xref="S5.Ex85.m1.6.6.2.3.cmml">]</mo></mrow></msub><mo id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.4.5d" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.3.3.1" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.3.3.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.3.3.1.1" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.1" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">X</mi><mrow id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mi id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S5.Ex85.m1.8.8.2" xref="S5.Ex85.m1.8.8.2.cmml"><mi id="S5.Ex85.m1.8.8.2.4" xref="S5.Ex85.m1.8.8.2.4.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex85.m1.8.8.2.3" xref="S5.Ex85.m1.8.8.2.3.cmml">∈</mo><mrow id="S5.Ex85.m1.8.8.2.2.1" xref="S5.Ex85.m1.8.8.2.2.2.cmml"><mo id="S5.Ex85.m1.8.8.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex85.m1.8.8.2.2.2.cmml">[</mo><mrow id="S5.Ex85.m1.8.8.2.2.1.1" xref="S5.Ex85.m1.8.8.2.2.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex85.m1.8.8.2.2.1.1.2" xref="S5.Ex85.m1.8.8.2.2.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S5.Ex85.m1.8.8.2.2.1.1.1" xref="S5.Ex85.m1.8.8.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S5.Ex85.m1.8.8.2.2.1.1.3" xref="S5.Ex85.m1.8.8.2.2.1.1.3.cmml">l</mi></mrow><mo id="S5.Ex85.m1.8.8.2.2.1.3" xref="S5.Ex85.m1.8.8.2.2.2.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex85.m1.7.7.1.1" xref="S5.Ex85.m1.7.7.1.1.cmml">T</mi><mo id="S5.Ex85.m1.8.8.2.2.1.4" stretchy="false" xref="S5.Ex85.m1.8.8.2.2.2.cmml">]</mo></mrow></mrow></msub><mo fence="false" id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.2" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.2.cmml">|</mo><msub id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.3" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.3.2" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.3.2.cmml">X</mi><mi id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.3.3" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.3.3.cmml">l</mi></msub></mrow><mo id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.3.3.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.4.5e" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.4.9.2" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.4.9.1.cmml"><mo id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.4.9.2.1" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.4.9.1.1.cmml">|</mo><mfrac id="S5.Ex85.m1.12.12" xref="S5.Ex85.m1.12.12.cmml"><mrow id="S5.Ex85.m1.12.12.2" xref="S5.Ex85.m1.12.12.2.cmml"><mi id="S5.Ex85.m1.12.12.2.2" xref="S5.Ex85.m1.12.12.2.2.cmml">T</mi><mo id="S5.Ex85.m1.12.12.2.1" xref="S5.Ex85.m1.12.12.2.1.cmml">−</mo><mi id="S5.Ex85.m1.12.12.2.3" xref="S5.Ex85.m1.12.12.2.3.cmml">l</mi></mrow><msup id="S5.Ex85.m1.12.12.3" xref="S5.Ex85.m1.12.12.3.cmml"><mi id="S5.Ex85.m1.12.12.3.2" xref="S5.Ex85.m1.12.12.3.2.cmml">T</mi><mn id="S5.Ex85.m1.12.12.3.3" xref="S5.Ex85.m1.12.12.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac><mo id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.4.9.2.2" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.4.9.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.4.5f" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.4.5.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.4.10" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.4.10.cmml"><mi id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.4.10.2" mathvariant="normal" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.4.10.2.cmml">Ψ</mi><mi id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.4.10.3" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.4.10.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.4.5g" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.4.4.1" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.4.4.1.1.cmml"><mo 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id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.3.2">𝑋</ci><ci id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.3.3">𝑙</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.4.9.1.cmml" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.4.9.2"><abs id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.4.9.1.1.cmml" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.4.9.2.1"></abs><apply id="S5.Ex85.m1.12.12.cmml" xref="S5.Ex85.m1.12.12"><divide id="S5.Ex85.m1.12.12.1.cmml" xref="S5.Ex85.m1.12.12"></divide><apply id="S5.Ex85.m1.12.12.2.cmml" xref="S5.Ex85.m1.12.12.2"><minus id="S5.Ex85.m1.12.12.2.1.cmml" xref="S5.Ex85.m1.12.12.2.1"></minus><ci id="S5.Ex85.m1.12.12.2.2.cmml" xref="S5.Ex85.m1.12.12.2.2">𝑇</ci><ci id="S5.Ex85.m1.12.12.2.3.cmml" xref="S5.Ex85.m1.12.12.2.3">𝑙</ci></apply><apply id="S5.Ex85.m1.12.12.3.cmml" xref="S5.Ex85.m1.12.12.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex85.m1.12.12.3.1.cmml" xref="S5.Ex85.m1.12.12.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex85.m1.12.12.3.2.cmml" xref="S5.Ex85.m1.12.12.3.2">𝑇</ci><cn id="S5.Ex85.m1.12.12.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex85.m1.12.12.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.4.10.cmml" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.4.10"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.4.10.1.cmml" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.4.10">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.4.10.2.cmml" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.4.10.2">Ψ</ci><ci id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.4.10.3.cmml" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.4.10.3">𝑙</ci></apply><apply id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.4.4.1.1.cmml" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.4.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.4.4.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex85.m1.13.13.1.1.4.4.1.1.2">𝑋</ci><interval closure="closed" id="S5.Ex85.m1.10.10.2.3.cmml" xref="S5.Ex85.m1.10.10.2.4"><cn id="S5.Ex85.m1.9.9.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex85.m1.9.9.1.1">0</cn><ci id="S5.Ex85.m1.10.10.2.2.cmml" xref="S5.Ex85.m1.10.10.2.2">𝑙</ci></interval></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex85.m1.13c">\nu(l)\propto\pi(X_{l})q^{r}_{[-l,0]}((X_{t+l})_{t\in[-l,0]}|X_{l})q_{[0,T-l]}% ((X_{t+l})_{t\in[T-l,T]}|X_{l})\left|\frac{T-l}{T^{2}}\right|\Psi_{l}(X_{[0,l]% }),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex85.m1.13d">italic_ν ( italic_l ) ∝ italic_π ( italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ) italic_q start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT [ - italic_l , 0 ] end_POSTSUBSCRIPT ( ( italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_t + italic_l end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_t ∈ [ - italic_l , 0 ] end_POSTSUBSCRIPT | italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ) italic_q start_POSTSUBSCRIPT [ 0 , italic_T - italic_l ] end_POSTSUBSCRIPT ( ( italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_t + italic_l end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_t ∈ [ italic_T - italic_l , italic_T ] end_POSTSUBSCRIPT | italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ) | divide start_ARG italic_T - italic_l end_ARG start_ARG italic_T start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG | roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ( italic_X start_POSTSUBSCRIPT [ 0 , italic_l ] end_POSTSUBSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmproposition10.p1.8"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmproposition10.p1.8.1">if the process was stopped forward, or</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex86"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\nu(l)\propto\pi(X_{l})q^{r}_{[-l,0]}((X_{t+l})_{t\in[-l,0]}|X_{l})q_{[0,T-l]}% ((X_{t+l})_{t\in[T-l,T]}|X_{l})\left|\frac{l}{T^{2}}\right|\Psi_{l}(X_{[0,l]})," class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex86.m1.13"><semantics id="S5.Ex86.m1.13a"><mrow id="S5.Ex86.m1.13.13.1" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.6" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.6.cmml"><mi id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.6.2" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.6.2.cmml">ν</mi><mo id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.6.1" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.6.3.2" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.6.cmml"><mo id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.6.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.6.cmml">(</mo><mi id="S5.Ex86.m1.11.11" xref="S5.Ex86.m1.11.11.cmml">l</mi><mo id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.6.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.6.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.5" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.5.cmml">∝</mo><mrow id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.cmml"><mi id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.6" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.6.cmml">π</mi><mo id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.5" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.2.cmml">X</mi><mi id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.5a" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.5.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.7" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.7.cmml"><mi id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.7.2.2" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.7.2.2.cmml">q</mi><mrow id="S5.Ex86.m1.2.2.2.2" xref="S5.Ex86.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex86.m1.2.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S5.Ex86.m1.2.2.2.3.cmml">[</mo><mrow id="S5.Ex86.m1.2.2.2.2.1" xref="S5.Ex86.m1.2.2.2.2.1.cmml"><mo id="S5.Ex86.m1.2.2.2.2.1a" xref="S5.Ex86.m1.2.2.2.2.1.cmml">−</mo><mi id="S5.Ex86.m1.2.2.2.2.1.2" xref="S5.Ex86.m1.2.2.2.2.1.2.cmml">l</mi></mrow><mo id="S5.Ex86.m1.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex86.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="S5.Ex86.m1.1.1.1.1" xref="S5.Ex86.m1.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S5.Ex86.m1.2.2.2.2.4" stretchy="false" xref="S5.Ex86.m1.2.2.2.3.cmml">]</mo></mrow><mi id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.7.2.3" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.7.2.3.cmml">r</mi></msubsup><mo id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.5b" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.2.2.1" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.2.2.1.1" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.1" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">X</mi><mrow id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mi id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S5.Ex86.m1.4.4.2" xref="S5.Ex86.m1.4.4.2.cmml"><mi id="S5.Ex86.m1.4.4.2.4" xref="S5.Ex86.m1.4.4.2.4.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex86.m1.4.4.2.3" xref="S5.Ex86.m1.4.4.2.3.cmml">∈</mo><mrow id="S5.Ex86.m1.4.4.2.2.1" xref="S5.Ex86.m1.4.4.2.2.2.cmml"><mo id="S5.Ex86.m1.4.4.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex86.m1.4.4.2.2.2.cmml">[</mo><mrow id="S5.Ex86.m1.4.4.2.2.1.1" xref="S5.Ex86.m1.4.4.2.2.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex86.m1.4.4.2.2.1.1a" xref="S5.Ex86.m1.4.4.2.2.1.1.cmml">−</mo><mi id="S5.Ex86.m1.4.4.2.2.1.1.2" xref="S5.Ex86.m1.4.4.2.2.1.1.2.cmml">l</mi></mrow><mo id="S5.Ex86.m1.4.4.2.2.1.3" xref="S5.Ex86.m1.4.4.2.2.2.cmml">,</mo><mn id="S5.Ex86.m1.3.3.1.1" xref="S5.Ex86.m1.3.3.1.1.cmml">0</mn><mo id="S5.Ex86.m1.4.4.2.2.1.4" stretchy="false" xref="S5.Ex86.m1.4.4.2.2.2.cmml">]</mo></mrow></mrow></msub><mo fence="false" id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.2" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.2.cmml">|</mo><msub id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.3" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.3.2" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml">X</mi><mi id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.3.3" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml">l</mi></msub></mrow><mo id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.5c" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.5.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.8" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.8.cmml"><mi id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.8.2" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.8.2.cmml">q</mi><mrow id="S5.Ex86.m1.6.6.2.2" xref="S5.Ex86.m1.6.6.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex86.m1.6.6.2.2.2" stretchy="false" xref="S5.Ex86.m1.6.6.2.3.cmml">[</mo><mn id="S5.Ex86.m1.5.5.1.1" xref="S5.Ex86.m1.5.5.1.1.cmml">0</mn><mo id="S5.Ex86.m1.6.6.2.2.3" xref="S5.Ex86.m1.6.6.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S5.Ex86.m1.6.6.2.2.1" xref="S5.Ex86.m1.6.6.2.2.1.cmml"><mi id="S5.Ex86.m1.6.6.2.2.1.2" xref="S5.Ex86.m1.6.6.2.2.1.2.cmml">T</mi><mo id="S5.Ex86.m1.6.6.2.2.1.1" xref="S5.Ex86.m1.6.6.2.2.1.1.cmml">−</mo><mi id="S5.Ex86.m1.6.6.2.2.1.3" xref="S5.Ex86.m1.6.6.2.2.1.3.cmml">l</mi></mrow><mo id="S5.Ex86.m1.6.6.2.2.4" stretchy="false" xref="S5.Ex86.m1.6.6.2.3.cmml">]</mo></mrow></msub><mo id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.5d" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.3.3.1" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.3.3.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.3.3.1.1" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.1" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">X</mi><mrow id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mi id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S5.Ex86.m1.8.8.2" xref="S5.Ex86.m1.8.8.2.cmml"><mi id="S5.Ex86.m1.8.8.2.4" xref="S5.Ex86.m1.8.8.2.4.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex86.m1.8.8.2.3" xref="S5.Ex86.m1.8.8.2.3.cmml">∈</mo><mrow id="S5.Ex86.m1.8.8.2.2.1" xref="S5.Ex86.m1.8.8.2.2.2.cmml"><mo id="S5.Ex86.m1.8.8.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex86.m1.8.8.2.2.2.cmml">[</mo><mrow id="S5.Ex86.m1.8.8.2.2.1.1" xref="S5.Ex86.m1.8.8.2.2.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex86.m1.8.8.2.2.1.1.2" xref="S5.Ex86.m1.8.8.2.2.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S5.Ex86.m1.8.8.2.2.1.1.1" xref="S5.Ex86.m1.8.8.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S5.Ex86.m1.8.8.2.2.1.1.3" xref="S5.Ex86.m1.8.8.2.2.1.1.3.cmml">l</mi></mrow><mo id="S5.Ex86.m1.8.8.2.2.1.3" xref="S5.Ex86.m1.8.8.2.2.2.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex86.m1.7.7.1.1" xref="S5.Ex86.m1.7.7.1.1.cmml">T</mi><mo id="S5.Ex86.m1.8.8.2.2.1.4" stretchy="false" xref="S5.Ex86.m1.8.8.2.2.2.cmml">]</mo></mrow></mrow></msub><mo fence="false" id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.2" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.2.cmml">|</mo><msub id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.3" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.3.2" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.3.2.cmml">X</mi><mi id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.3.3" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.3.3.cmml">l</mi></msub></mrow><mo id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.3.3.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.5e" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.9.2" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.9.1.cmml"><mo id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.9.2.1" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.9.1.1.cmml">|</mo><mfrac id="S5.Ex86.m1.12.12" xref="S5.Ex86.m1.12.12.cmml"><mi id="S5.Ex86.m1.12.12.2" xref="S5.Ex86.m1.12.12.2.cmml">l</mi><msup id="S5.Ex86.m1.12.12.3" xref="S5.Ex86.m1.12.12.3.cmml"><mi id="S5.Ex86.m1.12.12.3.2" xref="S5.Ex86.m1.12.12.3.2.cmml">T</mi><mn id="S5.Ex86.m1.12.12.3.3" xref="S5.Ex86.m1.12.12.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac><mo id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.9.2.2" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.9.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.5f" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.5.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.10" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.10.cmml"><mi id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.10.2" mathvariant="normal" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.10.2.cmml">Ψ</mi><mi id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.10.3" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.10.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.5g" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.4.1" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.4.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.4.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.4.1.1.cmml">(</mo><msub id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.4.1.1" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.4.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.4.1.1.2" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.4.1.1.2.cmml">X</mi><mrow id="S5.Ex86.m1.10.10.2.4" xref="S5.Ex86.m1.10.10.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex86.m1.10.10.2.4.1" stretchy="false" xref="S5.Ex86.m1.10.10.2.3.cmml">[</mo><mn id="S5.Ex86.m1.9.9.1.1" xref="S5.Ex86.m1.9.9.1.1.cmml">0</mn><mo id="S5.Ex86.m1.10.10.2.4.2" xref="S5.Ex86.m1.10.10.2.3.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex86.m1.10.10.2.2" xref="S5.Ex86.m1.10.10.2.2.cmml">l</mi><mo id="S5.Ex86.m1.10.10.2.4.3" stretchy="false" xref="S5.Ex86.m1.10.10.2.3.cmml">]</mo></mrow></msub><mo id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.4.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.4.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex86.m1.13.13.1.2" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex86.m1.13b"><apply id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.cmml" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.5.cmml" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.5">proportional-to</csymbol><apply id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.6.cmml" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.6"><times id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.6.1.cmml" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.6.1"></times><ci id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.6.2.cmml" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.6.2">𝜈</ci><ci id="S5.Ex86.m1.11.11.cmml" xref="S5.Ex86.m1.11.11">𝑙</ci></apply><apply id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.cmml" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4"><times id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.5.cmml" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.5"></times><ci id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.6.cmml" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.6">𝜋</ci><apply id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.2">𝑋</ci><ci id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.3">𝑙</ci></apply><apply id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.7.cmml" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.7.1.cmml" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.7">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.7.2.cmml" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.7.2.1.cmml" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.7">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.7.2.2.cmml" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.7.2.2">𝑞</ci><ci id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.7.2.3.cmml" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.7.2.3">𝑟</ci></apply><interval closure="closed" id="S5.Ex86.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex86.m1.2.2.2.2"><apply id="S5.Ex86.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex86.m1.2.2.2.2.1"><minus id="S5.Ex86.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex86.m1.2.2.2.2.1"></minus><ci id="S5.Ex86.m1.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S5.Ex86.m1.2.2.2.2.1.2">𝑙</ci></apply><cn id="S5.Ex86.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex86.m1.1.1.1.1">0</cn></interval></apply><apply id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.2">conditional</csymbol><apply id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2">𝑋</ci><apply id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3"><plus id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1"></plus><ci id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑡</ci><ci id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑙</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex86.m1.4.4.2.cmml" xref="S5.Ex86.m1.4.4.2"><in id="S5.Ex86.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S5.Ex86.m1.4.4.2.3"></in><ci id="S5.Ex86.m1.4.4.2.4.cmml" xref="S5.Ex86.m1.4.4.2.4">𝑡</ci><interval closure="closed" id="S5.Ex86.m1.4.4.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex86.m1.4.4.2.2.1"><apply id="S5.Ex86.m1.4.4.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex86.m1.4.4.2.2.1.1"><minus id="S5.Ex86.m1.4.4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex86.m1.4.4.2.2.1.1"></minus><ci id="S5.Ex86.m1.4.4.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex86.m1.4.4.2.2.1.1.2">𝑙</ci></apply><cn id="S5.Ex86.m1.3.3.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex86.m1.3.3.1.1">0</cn></interval></apply></apply><apply id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.3.2">𝑋</ci><ci id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.2.2.1.1.3.3">𝑙</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.8.cmml" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.8.1.cmml" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.8">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.8.2.cmml" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.8.2">𝑞</ci><interval closure="closed" id="S5.Ex86.m1.6.6.2.3.cmml" xref="S5.Ex86.m1.6.6.2.2"><cn id="S5.Ex86.m1.5.5.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex86.m1.5.5.1.1">0</cn><apply id="S5.Ex86.m1.6.6.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex86.m1.6.6.2.2.1"><minus id="S5.Ex86.m1.6.6.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex86.m1.6.6.2.2.1.1"></minus><ci id="S5.Ex86.m1.6.6.2.2.1.2.cmml" xref="S5.Ex86.m1.6.6.2.2.1.2">𝑇</ci><ci id="S5.Ex86.m1.6.6.2.2.1.3.cmml" xref="S5.Ex86.m1.6.6.2.2.1.3">𝑙</ci></apply></interval></apply><apply id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.3.3.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.2">conditional</csymbol><apply id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2">𝑋</ci><apply id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3"><plus id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1"></plus><ci id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑡</ci><ci id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑙</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex86.m1.8.8.2.cmml" xref="S5.Ex86.m1.8.8.2"><in id="S5.Ex86.m1.8.8.2.3.cmml" xref="S5.Ex86.m1.8.8.2.3"></in><ci id="S5.Ex86.m1.8.8.2.4.cmml" xref="S5.Ex86.m1.8.8.2.4">𝑡</ci><interval closure="closed" id="S5.Ex86.m1.8.8.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex86.m1.8.8.2.2.1"><apply id="S5.Ex86.m1.8.8.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex86.m1.8.8.2.2.1.1"><minus id="S5.Ex86.m1.8.8.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex86.m1.8.8.2.2.1.1.1"></minus><ci id="S5.Ex86.m1.8.8.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex86.m1.8.8.2.2.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S5.Ex86.m1.8.8.2.2.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex86.m1.8.8.2.2.1.1.3">𝑙</ci></apply><ci id="S5.Ex86.m1.7.7.1.1.cmml" xref="S5.Ex86.m1.7.7.1.1">𝑇</ci></interval></apply></apply><apply id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.3.2">𝑋</ci><ci id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.3.3.1.1.3.3">𝑙</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.9.1.cmml" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.9.2"><abs id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.9.1.1.cmml" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.9.2.1"></abs><apply id="S5.Ex86.m1.12.12.cmml" xref="S5.Ex86.m1.12.12"><divide id="S5.Ex86.m1.12.12.1.cmml" xref="S5.Ex86.m1.12.12"></divide><ci id="S5.Ex86.m1.12.12.2.cmml" xref="S5.Ex86.m1.12.12.2">𝑙</ci><apply id="S5.Ex86.m1.12.12.3.cmml" xref="S5.Ex86.m1.12.12.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex86.m1.12.12.3.1.cmml" xref="S5.Ex86.m1.12.12.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex86.m1.12.12.3.2.cmml" xref="S5.Ex86.m1.12.12.3.2">𝑇</ci><cn id="S5.Ex86.m1.12.12.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex86.m1.12.12.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.10.cmml" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.10"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.10.1.cmml" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.10">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.10.2.cmml" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.10.2">Ψ</ci><ci id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.10.3.cmml" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.10.3">𝑙</ci></apply><apply id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.4.1.1.cmml" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.4.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex86.m1.13.13.1.1.4.4.1.1.2">𝑋</ci><interval closure="closed" id="S5.Ex86.m1.10.10.2.3.cmml" xref="S5.Ex86.m1.10.10.2.4"><cn id="S5.Ex86.m1.9.9.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex86.m1.9.9.1.1">0</cn><ci id="S5.Ex86.m1.10.10.2.2.cmml" xref="S5.Ex86.m1.10.10.2.2">𝑙</ci></interval></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex86.m1.13c">\nu(l)\propto\pi(X_{l})q^{r}_{[-l,0]}((X_{t+l})_{t\in[-l,0]}|X_{l})q_{[0,T-l]}% ((X_{t+l})_{t\in[T-l,T]}|X_{l})\left|\frac{l}{T^{2}}\right|\Psi_{l}(X_{[0,l]}),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex86.m1.13d">italic_ν ( italic_l ) ∝ italic_π ( italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ) italic_q start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT [ - italic_l , 0 ] end_POSTSUBSCRIPT ( ( italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_t + italic_l end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_t ∈ [ - italic_l , 0 ] end_POSTSUBSCRIPT | italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ) italic_q start_POSTSUBSCRIPT [ 0 , italic_T - italic_l ] end_POSTSUBSCRIPT ( ( italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_t + italic_l end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_t ∈ [ italic_T - italic_l , italic_T ] end_POSTSUBSCRIPT | italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ) | divide start_ARG italic_l end_ARG start_ARG italic_T start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG | roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ( italic_X start_POSTSUBSCRIPT [ 0 , italic_l ] end_POSTSUBSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmproposition10.p1.9"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmproposition10.p1.9.1">if the process was stopped backward.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S5.1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="S5.1.p1"> <p class="ltx_p" id="S5.1.p1.1">Note that the state space and time reversal of the approximate process is the same as that of the exact process. The proof follows the proof of Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S4.SS3" title="4.3 Proof of proposition 7 ‣ 4 Refreshing PDMP velocities using a stopping criterion ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.3</span></a>. The only difference between the proof for the exact process of Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S4.SS3" title="4.3 Proof of proposition 7 ‣ 4 Refreshing PDMP velocities using a stopping criterion ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.3</span></a> and this proof is that the final simplification of Proposition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#Thmproposition9" title="Proposition 9 (conditional probability of 𝑙|𝑋). ‣ 4.3 Proof of proposition 7 ‣ 4 Refreshing PDMP velocities using a stopping criterion ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">9</span></a> cannot be done for the approximated process, which leads to the above formulas. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_remark" id="Thmremark3"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmremark3.1.1.1">Remark 3</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmremark3.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmremark3.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmremark3.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmremark3.p1.1.1">The assumption that <math alttext="\pi" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmremark3.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmremark3.p1.1.1.m1.1a"><mi id="Thmremark3.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmremark3.p1.1.1.m1.1.1.cmml">π</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmremark3.p1.1.1.m1.1b"><ci id="Thmremark3.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmremark3.p1.1.1.m1.1.1">𝜋</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmremark3.p1.1.1.m1.1c">\pi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmremark3.p1.1.1.m1.1d">italic_π</annotation></semantics></math> is invariant for the exact continuous time PDMP is not required.</span></p> </div> </div> <figure class="ltx_float ltx_float_algorithm ltx_framed ltx_framed_top" id="alg3"> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_float"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="alg3.2.1.1">Algorithm 3</span> </span> Doubly adaptive PDMP sampler</figcaption> <div class="ltx_listing ltx_listing" id="alg3.3"> <div class="ltx_listingline" id="alg3.l1"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline"><span class="ltx_text" id="alg3.l1.1.1.1" style="font-size:80%;">1:</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="alg3.l1.2">Input:</span> state <math alttext="z=(x,v)" class="ltx_Math" display="inline" id="alg3.l1.m1.2"><semantics id="alg3.l1.m1.2a"><mrow id="alg3.l1.m1.2.3" xref="alg3.l1.m1.2.3.cmml"><mi id="alg3.l1.m1.2.3.2" xref="alg3.l1.m1.2.3.2.cmml">z</mi><mo id="alg3.l1.m1.2.3.1" xref="alg3.l1.m1.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="alg3.l1.m1.2.3.3.2" xref="alg3.l1.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="alg3.l1.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="alg3.l1.m1.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="alg3.l1.m1.1.1" xref="alg3.l1.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="alg3.l1.m1.2.3.3.2.2" xref="alg3.l1.m1.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="alg3.l1.m1.2.2" xref="alg3.l1.m1.2.2.cmml">v</mi><mo id="alg3.l1.m1.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="alg3.l1.m1.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg3.l1.m1.2b"><apply id="alg3.l1.m1.2.3.cmml" xref="alg3.l1.m1.2.3"><eq id="alg3.l1.m1.2.3.1.cmml" xref="alg3.l1.m1.2.3.1"></eq><ci id="alg3.l1.m1.2.3.2.cmml" xref="alg3.l1.m1.2.3.2">𝑧</ci><interval closure="open" id="alg3.l1.m1.2.3.3.1.cmml" xref="alg3.l1.m1.2.3.3.2"><ci id="alg3.l1.m1.1.1.cmml" xref="alg3.l1.m1.1.1">𝑥</ci><ci id="alg3.l1.m1.2.2.cmml" xref="alg3.l1.m1.2.2">𝑣</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg3.l1.m1.2c">z=(x,v)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg3.l1.m1.2d">italic_z = ( italic_x , italic_v )</annotation></semantics></math> </div> <div class="ltx_listingline" id="alg3.l2"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline"><span class="ltx_text" id="alg3.l2.1.1.1" style="font-size:80%;">2:</span></span>Refresh the velocity </div> <div class="ltx_listingline" id="alg3.l3"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline"><span class="ltx_text" id="alg3.l3.1.1.1" style="font-size:80%;">3:</span></span>Sample <math alttext="\alpha\sim unif(0,1)" class="ltx_Math" display="inline" id="alg3.l3.m1.2"><semantics id="alg3.l3.m1.2a"><mrow id="alg3.l3.m1.2.3" xref="alg3.l3.m1.2.3.cmml"><mi id="alg3.l3.m1.2.3.2" xref="alg3.l3.m1.2.3.2.cmml">α</mi><mo id="alg3.l3.m1.2.3.1" xref="alg3.l3.m1.2.3.1.cmml">∼</mo><mrow id="alg3.l3.m1.2.3.3" xref="alg3.l3.m1.2.3.3.cmml"><mi id="alg3.l3.m1.2.3.3.2" xref="alg3.l3.m1.2.3.3.2.cmml">u</mi><mo id="alg3.l3.m1.2.3.3.1" xref="alg3.l3.m1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="alg3.l3.m1.2.3.3.3" xref="alg3.l3.m1.2.3.3.3.cmml">n</mi><mo id="alg3.l3.m1.2.3.3.1a" xref="alg3.l3.m1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="alg3.l3.m1.2.3.3.4" xref="alg3.l3.m1.2.3.3.4.cmml">i</mi><mo id="alg3.l3.m1.2.3.3.1b" xref="alg3.l3.m1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="alg3.l3.m1.2.3.3.5" xref="alg3.l3.m1.2.3.3.5.cmml">f</mi><mo id="alg3.l3.m1.2.3.3.1c" xref="alg3.l3.m1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="alg3.l3.m1.2.3.3.6.2" xref="alg3.l3.m1.2.3.3.6.1.cmml"><mo id="alg3.l3.m1.2.3.3.6.2.1" stretchy="false" xref="alg3.l3.m1.2.3.3.6.1.cmml">(</mo><mn id="alg3.l3.m1.1.1" xref="alg3.l3.m1.1.1.cmml">0</mn><mo id="alg3.l3.m1.2.3.3.6.2.2" xref="alg3.l3.m1.2.3.3.6.1.cmml">,</mo><mn id="alg3.l3.m1.2.2" xref="alg3.l3.m1.2.2.cmml">1</mn><mo id="alg3.l3.m1.2.3.3.6.2.3" stretchy="false" xref="alg3.l3.m1.2.3.3.6.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg3.l3.m1.2b"><apply id="alg3.l3.m1.2.3.cmml" xref="alg3.l3.m1.2.3"><csymbol cd="latexml" id="alg3.l3.m1.2.3.1.cmml" xref="alg3.l3.m1.2.3.1">similar-to</csymbol><ci id="alg3.l3.m1.2.3.2.cmml" xref="alg3.l3.m1.2.3.2">𝛼</ci><apply id="alg3.l3.m1.2.3.3.cmml" xref="alg3.l3.m1.2.3.3"><times id="alg3.l3.m1.2.3.3.1.cmml" xref="alg3.l3.m1.2.3.3.1"></times><ci id="alg3.l3.m1.2.3.3.2.cmml" xref="alg3.l3.m1.2.3.3.2">𝑢</ci><ci id="alg3.l3.m1.2.3.3.3.cmml" xref="alg3.l3.m1.2.3.3.3">𝑛</ci><ci id="alg3.l3.m1.2.3.3.4.cmml" xref="alg3.l3.m1.2.3.3.4">𝑖</ci><ci id="alg3.l3.m1.2.3.3.5.cmml" xref="alg3.l3.m1.2.3.3.5">𝑓</ci><interval closure="open" id="alg3.l3.m1.2.3.3.6.1.cmml" xref="alg3.l3.m1.2.3.3.6.2"><cn id="alg3.l3.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="alg3.l3.m1.1.1">0</cn><cn id="alg3.l3.m1.2.2.cmml" type="integer" xref="alg3.l3.m1.2.2">1</cn></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg3.l3.m1.2c">\alpha\sim unif(0,1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg3.l3.m1.2d">italic_α ∼ italic_u italic_n italic_i italic_f ( 0 , 1 )</annotation></semantics></math> </div> <div class="ltx_listingline" id="alg3.l4"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline"><span class="ltx_text" id="alg3.l4.1.1.1" style="font-size:80%;">4:</span></span>Sampling a path: <ol class="ltx_enumerate" id="S5.I1"> <li class="ltx_item" id="S5.I1.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">1.</span> <div class="ltx_para" id="S5.I1.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="S5.I1.i1.p1.3">Build a trajectory (potentially adaptively) <math alttext="Z_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.I1.i1.p1.1.m1.1"><semantics id="S5.I1.i1.p1.1.m1.1a"><msub id="S5.I1.i1.p1.1.m1.1.1" xref="S5.I1.i1.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2" xref="S5.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.cmml">Z</mi><mi id="S5.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3" xref="S5.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.I1.i1.p1.1.m1.1b"><apply id="S5.I1.i1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.I1.i1.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.I1.i1.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2">𝑍</ci><ci id="S5.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.I1.i1.p1.1.m1.1c">Z_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.I1.i1.p1.1.m1.1d">italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> for <math alttext="t\in\mathbb{R}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.I1.i1.p1.2.m2.1"><semantics id="S5.I1.i1.p1.2.m2.1a"><mrow id="S5.I1.i1.p1.2.m2.1.1" xref="S5.I1.i1.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.I1.i1.p1.2.m2.1.1.2" xref="S5.I1.i1.p1.2.m2.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S5.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1" xref="S5.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S5.I1.i1.p1.2.m2.1.1.3" xref="S5.I1.i1.p1.2.m2.1.1.3.cmml">ℝ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.I1.i1.p1.2.m2.1b"><apply id="S5.I1.i1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.I1.i1.p1.2.m2.1.1"><in id="S5.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1"></in><ci id="S5.I1.i1.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.I1.i1.p1.2.m2.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S5.I1.i1.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.I1.i1.p1.2.m2.1.1.3">ℝ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.I1.i1.p1.2.m2.1c">t\in\mathbb{R}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.I1.i1.p1.2.m2.1d">italic_t ∈ blackboard_R</annotation></semantics></math> with <math alttext="Z_{0}=z" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.I1.i1.p1.3.m3.1"><semantics id="S5.I1.i1.p1.3.m3.1a"><mrow id="S5.I1.i1.p1.3.m3.1.1" xref="S5.I1.i1.p1.3.m3.1.1.cmml"><msub id="S5.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2" xref="S5.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S5.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.2" xref="S5.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.2.cmml">Z</mi><mn id="S5.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.3" xref="S5.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S5.I1.i1.p1.3.m3.1.1.1" xref="S5.I1.i1.p1.3.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S5.I1.i1.p1.3.m3.1.1.3" xref="S5.I1.i1.p1.3.m3.1.1.3.cmml">z</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.I1.i1.p1.3.m3.1b"><apply id="S5.I1.i1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.I1.i1.p1.3.m3.1.1"><eq id="S5.I1.i1.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.I1.i1.p1.3.m3.1.1.1"></eq><apply id="S5.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S5.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S5.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.2">𝑍</ci><cn id="S5.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.3">0</cn></apply><ci id="S5.I1.i1.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S5.I1.i1.p1.3.m3.1.1.3">𝑧</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.I1.i1.p1.3.m3.1c">Z_{0}=z</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.I1.i1.p1.3.m3.1d">italic_Z start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT = italic_z</annotation></semantics></math> (both forward and backward)</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S5.I1.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">2.</span> <div class="ltx_para" id="S5.I1.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="S5.I1.i2.p1.1">Let <math alttext="T=\max\{t\in\mathbb{R}^{+}\,|\,Criterion((Z_{s})_{s\in[-\alpha t,(1-\alpha)t]}% )\text{ is valid}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4"><semantics id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4a"><mrow id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.cmml"><mi id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.3" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.3.cmml">T</mi><mo id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.2" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.2.cmml">=</mo><mrow id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.2.cmml"><mi id="S5.I1.i2.p1.1.m1.3.3" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.3.3.cmml">max</mi><mo id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1a" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.2.cmml"><mo id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml">t</mi><mo id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.cmml">ℝ</mi><mo id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.cmml">+</mo></msup><mo fence="false" id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" rspace="0.448em" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">|</mo><mrow id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">C</mi><mo id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.cmml">r</mi><mo id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.5" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.5.cmml">i</mi><mo id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2b" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.6" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.6.cmml">t</mi><mo id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2c" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.7" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.7.cmml">e</mi><mo id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2d" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.8" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.8.cmml">r</mi><mo id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2e" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.9" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.9.cmml">i</mi><mo id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2f" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.10" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.10.cmml">o</mi><mo id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2g" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.11" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.11.cmml">n</mi><mo id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2h" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">Z</mi><mi id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">s</mi></msub><mo id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S5.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.cmml"><mi id="S5.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.4" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.4.cmml">s</mi><mo id="S5.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.3" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml">∈</mo><mrow id="S5.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S5.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.3.cmml">[</mo><mrow id="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1a" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">α</mi><mo id="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">t</mi></mrow></mrow><mo id="S5.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.4" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S5.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S5.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S5.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mn id="S5.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S5.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S5.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">α</mi></mrow><mo id="S5.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mi id="S5.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.3" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="S5.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.3.cmml">]</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2i" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mtext id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.12" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.12a.cmml"> is valid</mtext></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.2.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4b"><apply id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4"><eq id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.2.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.2"></eq><ci id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.3.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.3">𝑇</ci><apply id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.2.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1"><max id="S5.I1.i2.p1.1.m1.3.3.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.3.3"></max><apply id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1"><in id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.2"></in><ci id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.3">𝑡</ci><apply id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2">conditional</csymbol><apply id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2">ℝ</ci><plus id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3"></plus></apply><apply id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"><times id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3">𝐶</ci><ci id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4">𝑟</ci><ci id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.5">𝑖</ci><ci id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.6">𝑡</ci><ci id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.7.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.7">𝑒</ci><ci id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.8.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.8">𝑟</ci><ci id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.9.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.9">𝑖</ci><ci id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.10.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.10">𝑜</ci><ci id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.11.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.11">𝑛</ci><apply id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑍</ci><ci id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑠</ci></apply><apply id="S5.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2"><in id="S5.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.3"></in><ci id="S5.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.4.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.4">𝑠</ci><interval closure="closed" id="S5.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2"><apply id="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝛼</ci><ci id="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S5.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2"><times id="S5.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.2"></times><apply id="S5.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1"><minus id="S5.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1"></minus><cn id="S5.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2">1</cn><ci id="S5.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3">𝛼</ci></apply><ci id="S5.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.3">𝑡</ci></apply></interval></apply></apply><ci id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.12a.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.12"><mtext id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.12.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.12"> is valid</mtext></ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4c">T=\max\{t\in\mathbb{R}^{+}\,|\,Criterion((Z_{s})_{s\in[-\alpha t,(1-\alpha)t]}% )\text{ is valid}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.I1.i2.p1.1.m1.4d">italic_T = roman_max { italic_t ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT | italic_C italic_r italic_i italic_t italic_e italic_r italic_i italic_o italic_n ( ( italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_s ∈ [ - italic_α italic_t , ( 1 - italic_α ) italic_t ] end_POSTSUBSCRIPT ) is valid }</annotation></semantics></math></p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S5.I1.i3" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">3.</span> <div class="ltx_para" id="S5.I1.i3.p1"> <p class="ltx_p" id="S5.I1.i3.p1.2">Let <math alttext="X=(Z_{t+\alpha T})_{t\in[0,T]}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.I1.i3.p1.1.m1.3"><semantics id="S5.I1.i3.p1.1.m1.3a"><mrow id="S5.I1.i3.p1.1.m1.3.3" xref="S5.I1.i3.p1.1.m1.3.3.cmml"><mi id="S5.I1.i3.p1.1.m1.3.3.3" xref="S5.I1.i3.p1.1.m1.3.3.3.cmml">X</mi><mo id="S5.I1.i3.p1.1.m1.3.3.2" xref="S5.I1.i3.p1.1.m1.3.3.2.cmml">=</mo><msub id="S5.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1" xref="S5.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.cmml"><mrow id="S5.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1" xref="S5.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S5.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S5.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S5.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">Z</mi><mrow id="S5.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S5.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S5.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">t</mi><mo id="S5.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.1" xref="S5.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="S5.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2.cmml">α</mi><mo id="S5.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.1" xref="S5.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.3.cmml">T</mi></mrow></mrow></msub><mo id="S5.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S5.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2" xref="S5.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2.cmml"><mi id="S5.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2.4" xref="S5.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2.4.cmml">t</mi><mo id="S5.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2.3" xref="S5.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml">∈</mo><mrow id="S5.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2.5.2" xref="S5.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2.5.1.cmml"><mo id="S5.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S5.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2.5.1.cmml">[</mo><mn id="S5.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S5.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S5.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2.5.2.2" xref="S5.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2.5.1.cmml">,</mo><mi id="S5.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2.2" xref="S5.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml">T</mi><mo id="S5.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2.5.2.3" stretchy="false" xref="S5.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2.5.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.I1.i3.p1.1.m1.3b"><apply id="S5.I1.i3.p1.1.m1.3.3.cmml" xref="S5.I1.i3.p1.1.m1.3.3"><eq id="S5.I1.i3.p1.1.m1.3.3.2.cmml" xref="S5.I1.i3.p1.1.m1.3.3.2"></eq><ci id="S5.I1.i3.p1.1.m1.3.3.3.cmml" xref="S5.I1.i3.p1.1.m1.3.3.3">𝑋</ci><apply id="S5.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.cmml" xref="S5.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S5.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1">subscript</csymbol><apply id="S5.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S5.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2">𝑍</ci><apply id="S5.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3"><plus id="S5.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.1"></plus><ci id="S5.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.2">𝑡</ci><apply id="S5.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.3"><times id="S5.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S5.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2">𝛼</ci><ci id="S5.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.3">𝑇</ci></apply></apply></apply><apply id="S5.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S5.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2"><in id="S5.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2.3"></in><ci id="S5.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2.4.cmml" xref="S5.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2.4">𝑡</ci><interval closure="closed" id="S5.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2.5.1.cmml" xref="S5.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2.5.2"><cn id="S5.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.1">0</cn><ci id="S5.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2.2">𝑇</ci></interval></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.I1.i3.p1.1.m1.3c">X=(Z_{t+\alpha T})_{t\in[0,T]}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.I1.i3.p1.1.m1.3d">italic_X = ( italic_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_t + italic_α italic_T end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_t ∈ [ 0 , italic_T ] end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="l=\alpha T" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.I1.i3.p1.2.m2.1"><semantics id="S5.I1.i3.p1.2.m2.1a"><mrow id="S5.I1.i3.p1.2.m2.1.1" xref="S5.I1.i3.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.I1.i3.p1.2.m2.1.1.2" xref="S5.I1.i3.p1.2.m2.1.1.2.cmml">l</mi><mo id="S5.I1.i3.p1.2.m2.1.1.1" xref="S5.I1.i3.p1.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.I1.i3.p1.2.m2.1.1.3" xref="S5.I1.i3.p1.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S5.I1.i3.p1.2.m2.1.1.3.2" xref="S5.I1.i3.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml">α</mi><mo id="S5.I1.i3.p1.2.m2.1.1.3.1" xref="S5.I1.i3.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.I1.i3.p1.2.m2.1.1.3.3" xref="S5.I1.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml">T</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.I1.i3.p1.2.m2.1b"><apply id="S5.I1.i3.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.I1.i3.p1.2.m2.1.1"><eq id="S5.I1.i3.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.I1.i3.p1.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="S5.I1.i3.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.I1.i3.p1.2.m2.1.1.2">𝑙</ci><apply id="S5.I1.i3.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.I1.i3.p1.2.m2.1.1.3"><times id="S5.I1.i3.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.I1.i3.p1.2.m2.1.1.3.1"></times><ci id="S5.I1.i3.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.I1.i3.p1.2.m2.1.1.3.2">𝛼</ci><ci id="S5.I1.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S5.I1.i3.p1.2.m2.1.1.3.3">𝑇</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.I1.i3.p1.2.m2.1c">l=\alpha T</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.I1.i3.p1.2.m2.1d">italic_l = italic_α italic_T</annotation></semantics></math></p> </div> </li> </ol> </div> <div class="ltx_listingline" id="alg3.l5"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline"><span class="ltx_text" id="alg3.l5.1.1.1" style="font-size:80%;">5:</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="alg3.l5.2">if</span> the criterion was hit going forward <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="alg3.l5.3">then</span> </div> <div class="ltx_listingline" id="alg3.l6"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline"><span class="ltx_text" id="alg3.l6.1.1.1" style="font-size:80%;">6:</span></span> Sample <math alttext="l^{\prime}\sim\nu" class="ltx_Math" display="inline" id="alg3.l6.m1.1"><semantics id="alg3.l6.m1.1a"><mrow id="alg3.l6.m1.1.1" xref="alg3.l6.m1.1.1.cmml"><msup id="alg3.l6.m1.1.1.2" xref="alg3.l6.m1.1.1.2.cmml"><mi id="alg3.l6.m1.1.1.2.2" xref="alg3.l6.m1.1.1.2.2.cmml">l</mi><mo id="alg3.l6.m1.1.1.2.3" xref="alg3.l6.m1.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="alg3.l6.m1.1.1.1" xref="alg3.l6.m1.1.1.1.cmml">∼</mo><mi id="alg3.l6.m1.1.1.3" xref="alg3.l6.m1.1.1.3.cmml">ν</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg3.l6.m1.1b"><apply id="alg3.l6.m1.1.1.cmml" xref="alg3.l6.m1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="alg3.l6.m1.1.1.1.cmml" xref="alg3.l6.m1.1.1.1">similar-to</csymbol><apply id="alg3.l6.m1.1.1.2.cmml" xref="alg3.l6.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="alg3.l6.m1.1.1.2.1.cmml" xref="alg3.l6.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="alg3.l6.m1.1.1.2.2.cmml" xref="alg3.l6.m1.1.1.2.2">𝑙</ci><ci id="alg3.l6.m1.1.1.2.3.cmml" xref="alg3.l6.m1.1.1.2.3">′</ci></apply><ci id="alg3.l6.m1.1.1.3.cmml" xref="alg3.l6.m1.1.1.3">𝜈</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg3.l6.m1.1c">l^{\prime}\sim\nu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg3.l6.m1.1d">italic_l start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∼ italic_ν</annotation></semantics></math>, where <math alttext="\nu" class="ltx_Math" display="inline" id="alg3.l6.m2.1"><semantics id="alg3.l6.m2.1a"><mi id="alg3.l6.m2.1.1" xref="alg3.l6.m2.1.1.cmml">ν</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg3.l6.m2.1b"><ci id="alg3.l6.m2.1.1.cmml" xref="alg3.l6.m2.1.1">𝜈</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg3.l6.m2.1c">\nu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg3.l6.m2.1d">italic_ν</annotation></semantics></math> is a probability measure on <math alttext="[0,T]" class="ltx_Math" display="inline" id="alg3.l6.m3.2"><semantics id="alg3.l6.m3.2a"><mrow id="alg3.l6.m3.2.3.2" xref="alg3.l6.m3.2.3.1.cmml"><mo id="alg3.l6.m3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="alg3.l6.m3.2.3.1.cmml">[</mo><mn id="alg3.l6.m3.1.1" xref="alg3.l6.m3.1.1.cmml">0</mn><mo id="alg3.l6.m3.2.3.2.2" xref="alg3.l6.m3.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="alg3.l6.m3.2.2" xref="alg3.l6.m3.2.2.cmml">T</mi><mo id="alg3.l6.m3.2.3.2.3" stretchy="false" xref="alg3.l6.m3.2.3.1.cmml">]</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg3.l6.m3.2b"><interval closure="closed" id="alg3.l6.m3.2.3.1.cmml" xref="alg3.l6.m3.2.3.2"><cn id="alg3.l6.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="alg3.l6.m3.1.1">0</cn><ci id="alg3.l6.m3.2.2.cmml" xref="alg3.l6.m3.2.2">𝑇</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg3.l6.m3.2c">[0,T]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg3.l6.m3.2d">[ 0 , italic_T ]</annotation></semantics></math> with density <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex87"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\nu(l)\propto\frac{T-t}{T^{2}}," class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex87.m1.2"><semantics id="S5.Ex87.m1.2a"><mrow id="S5.Ex87.m1.2.2.1" xref="S5.Ex87.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex87.m1.2.2.1.1" xref="S5.Ex87.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex87.m1.2.2.1.1.2" xref="S5.Ex87.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex87.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S5.Ex87.m1.2.2.1.1.2.2.cmml">ν</mi><mo id="S5.Ex87.m1.2.2.1.1.2.1" xref="S5.Ex87.m1.2.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex87.m1.2.2.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex87.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S5.Ex87.m1.2.2.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.Ex87.m1.2.2.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S5.Ex87.m1.1.1" xref="S5.Ex87.m1.1.1.cmml">l</mi><mo id="S5.Ex87.m1.2.2.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.Ex87.m1.2.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.Ex87.m1.2.2.1.1.1" xref="S5.Ex87.m1.2.2.1.1.1.cmml">∝</mo><mfrac id="S5.Ex87.m1.2.2.1.1.3" xref="S5.Ex87.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.Ex87.m1.2.2.1.1.3.2" xref="S5.Ex87.m1.2.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex87.m1.2.2.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex87.m1.2.2.1.1.3.2.2.cmml">T</mi><mo id="S5.Ex87.m1.2.2.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex87.m1.2.2.1.1.3.2.1.cmml">−</mo><mi id="S5.Ex87.m1.2.2.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex87.m1.2.2.1.1.3.2.3.cmml">t</mi></mrow><msup id="S5.Ex87.m1.2.2.1.1.3.3" xref="S5.Ex87.m1.2.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex87.m1.2.2.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex87.m1.2.2.1.1.3.3.2.cmml">T</mi><mn id="S5.Ex87.m1.2.2.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex87.m1.2.2.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mrow><mo id="S5.Ex87.m1.2.2.1.2" xref="S5.Ex87.m1.2.2.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex87.m1.2b"><apply id="S5.Ex87.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex87.m1.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex87.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex87.m1.2.2.1.1.1">proportional-to</csymbol><apply id="S5.Ex87.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex87.m1.2.2.1.1.2"><times id="S5.Ex87.m1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex87.m1.2.2.1.1.2.1"></times><ci id="S5.Ex87.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex87.m1.2.2.1.1.2.2">𝜈</ci><ci id="S5.Ex87.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex87.m1.1.1">𝑙</ci></apply><apply id="S5.Ex87.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex87.m1.2.2.1.1.3"><divide id="S5.Ex87.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex87.m1.2.2.1.1.3"></divide><apply id="S5.Ex87.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex87.m1.2.2.1.1.3.2"><minus id="S5.Ex87.m1.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex87.m1.2.2.1.1.3.2.1"></minus><ci id="S5.Ex87.m1.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex87.m1.2.2.1.1.3.2.2">𝑇</ci><ci id="S5.Ex87.m1.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex87.m1.2.2.1.1.3.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="S5.Ex87.m1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex87.m1.2.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex87.m1.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex87.m1.2.2.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex87.m1.2.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex87.m1.2.2.1.1.3.3.2">𝑇</ci><cn id="S5.Ex87.m1.2.2.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex87.m1.2.2.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex87.m1.2c">\nu(l)\propto\frac{T-t}{T^{2}},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex87.m1.2d">italic_ν ( italic_l ) ∝ divide start_ARG italic_T - italic_t end_ARG start_ARG italic_T start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_listingline" id="alg3.l7"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline"><span class="ltx_text" id="alg3.l7.1.1.1" style="font-size:80%;">7:</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="alg3.l7.2">else</span> </div> <div class="ltx_listingline" id="alg3.l8"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline"><span class="ltx_text" id="alg3.l8.1.1.1" style="font-size:80%;">8:</span></span> Sample <math alttext="l^{\prime}\sim\nu" class="ltx_Math" display="inline" id="alg3.l8.m1.1"><semantics id="alg3.l8.m1.1a"><mrow id="alg3.l8.m1.1.1" xref="alg3.l8.m1.1.1.cmml"><msup id="alg3.l8.m1.1.1.2" xref="alg3.l8.m1.1.1.2.cmml"><mi id="alg3.l8.m1.1.1.2.2" xref="alg3.l8.m1.1.1.2.2.cmml">l</mi><mo id="alg3.l8.m1.1.1.2.3" xref="alg3.l8.m1.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="alg3.l8.m1.1.1.1" xref="alg3.l8.m1.1.1.1.cmml">∼</mo><mi id="alg3.l8.m1.1.1.3" xref="alg3.l8.m1.1.1.3.cmml">ν</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg3.l8.m1.1b"><apply id="alg3.l8.m1.1.1.cmml" xref="alg3.l8.m1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="alg3.l8.m1.1.1.1.cmml" xref="alg3.l8.m1.1.1.1">similar-to</csymbol><apply id="alg3.l8.m1.1.1.2.cmml" xref="alg3.l8.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="alg3.l8.m1.1.1.2.1.cmml" xref="alg3.l8.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="alg3.l8.m1.1.1.2.2.cmml" xref="alg3.l8.m1.1.1.2.2">𝑙</ci><ci id="alg3.l8.m1.1.1.2.3.cmml" xref="alg3.l8.m1.1.1.2.3">′</ci></apply><ci id="alg3.l8.m1.1.1.3.cmml" xref="alg3.l8.m1.1.1.3">𝜈</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg3.l8.m1.1c">l^{\prime}\sim\nu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg3.l8.m1.1d">italic_l start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∼ italic_ν</annotation></semantics></math>, where <math alttext="\nu" class="ltx_Math" display="inline" id="alg3.l8.m2.1"><semantics id="alg3.l8.m2.1a"><mi id="alg3.l8.m2.1.1" xref="alg3.l8.m2.1.1.cmml">ν</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg3.l8.m2.1b"><ci id="alg3.l8.m2.1.1.cmml" xref="alg3.l8.m2.1.1">𝜈</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg3.l8.m2.1c">\nu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg3.l8.m2.1d">italic_ν</annotation></semantics></math> is a probability measure on <math alttext="[0,T]" class="ltx_Math" display="inline" id="alg3.l8.m3.2"><semantics id="alg3.l8.m3.2a"><mrow id="alg3.l8.m3.2.3.2" xref="alg3.l8.m3.2.3.1.cmml"><mo id="alg3.l8.m3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="alg3.l8.m3.2.3.1.cmml">[</mo><mn id="alg3.l8.m3.1.1" xref="alg3.l8.m3.1.1.cmml">0</mn><mo id="alg3.l8.m3.2.3.2.2" xref="alg3.l8.m3.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="alg3.l8.m3.2.2" xref="alg3.l8.m3.2.2.cmml">T</mi><mo id="alg3.l8.m3.2.3.2.3" stretchy="false" xref="alg3.l8.m3.2.3.1.cmml">]</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg3.l8.m3.2b"><interval closure="closed" id="alg3.l8.m3.2.3.1.cmml" xref="alg3.l8.m3.2.3.2"><cn id="alg3.l8.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="alg3.l8.m3.1.1">0</cn><ci id="alg3.l8.m3.2.2.cmml" xref="alg3.l8.m3.2.2">𝑇</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg3.l8.m3.2c">[0,T]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg3.l8.m3.2d">[ 0 , italic_T ]</annotation></semantics></math> with density <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex88"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\nu(l)\propto\frac{t}{T^{2}}," class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex88.m1.2"><semantics id="S5.Ex88.m1.2a"><mrow id="S5.Ex88.m1.2.2.1" xref="S5.Ex88.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex88.m1.2.2.1.1" xref="S5.Ex88.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex88.m1.2.2.1.1.2" xref="S5.Ex88.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex88.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S5.Ex88.m1.2.2.1.1.2.2.cmml">ν</mi><mo id="S5.Ex88.m1.2.2.1.1.2.1" xref="S5.Ex88.m1.2.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex88.m1.2.2.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex88.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S5.Ex88.m1.2.2.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.Ex88.m1.2.2.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S5.Ex88.m1.1.1" xref="S5.Ex88.m1.1.1.cmml">l</mi><mo id="S5.Ex88.m1.2.2.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.Ex88.m1.2.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.Ex88.m1.2.2.1.1.1" xref="S5.Ex88.m1.2.2.1.1.1.cmml">∝</mo><mfrac id="S5.Ex88.m1.2.2.1.1.3" xref="S5.Ex88.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex88.m1.2.2.1.1.3.2" xref="S5.Ex88.m1.2.2.1.1.3.2.cmml">t</mi><msup id="S5.Ex88.m1.2.2.1.1.3.3" xref="S5.Ex88.m1.2.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex88.m1.2.2.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex88.m1.2.2.1.1.3.3.2.cmml">T</mi><mn id="S5.Ex88.m1.2.2.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex88.m1.2.2.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mrow><mo id="S5.Ex88.m1.2.2.1.2" xref="S5.Ex88.m1.2.2.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex88.m1.2b"><apply id="S5.Ex88.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex88.m1.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex88.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex88.m1.2.2.1.1.1">proportional-to</csymbol><apply id="S5.Ex88.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex88.m1.2.2.1.1.2"><times id="S5.Ex88.m1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex88.m1.2.2.1.1.2.1"></times><ci id="S5.Ex88.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex88.m1.2.2.1.1.2.2">𝜈</ci><ci id="S5.Ex88.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex88.m1.1.1">𝑙</ci></apply><apply id="S5.Ex88.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex88.m1.2.2.1.1.3"><divide id="S5.Ex88.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex88.m1.2.2.1.1.3"></divide><ci id="S5.Ex88.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex88.m1.2.2.1.1.3.2">𝑡</ci><apply id="S5.Ex88.m1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex88.m1.2.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex88.m1.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex88.m1.2.2.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex88.m1.2.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex88.m1.2.2.1.1.3.3.2">𝑇</ci><cn id="S5.Ex88.m1.2.2.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex88.m1.2.2.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex88.m1.2c">\nu(l)\propto\frac{t}{T^{2}},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex88.m1.2d">italic_ν ( italic_l ) ∝ divide start_ARG italic_t end_ARG start_ARG italic_T start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_listingline" id="alg3.l9"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline"><span class="ltx_text" id="alg3.l9.1.1.1" style="font-size:80%;">9:</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="alg3.l9.2">end</span> <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="alg3.l9.3">if</span> </div> <div class="ltx_listingline" id="alg3.l10"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline"><span class="ltx_text" id="alg3.l10.1.1.1" style="font-size:80%;">10:</span></span>Accept <math alttext="l^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="alg3.l10.m1.1"><semantics id="alg3.l10.m1.1a"><msup id="alg3.l10.m1.1.1" xref="alg3.l10.m1.1.1.cmml"><mi id="alg3.l10.m1.1.1.2" xref="alg3.l10.m1.1.1.2.cmml">l</mi><mo id="alg3.l10.m1.1.1.3" xref="alg3.l10.m1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg3.l10.m1.1b"><apply id="alg3.l10.m1.1.1.cmml" xref="alg3.l10.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="alg3.l10.m1.1.1.1.cmml" xref="alg3.l10.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="alg3.l10.m1.1.1.2.cmml" xref="alg3.l10.m1.1.1.2">𝑙</ci><ci id="alg3.l10.m1.1.1.3.cmml" xref="alg3.l10.m1.1.1.3">′</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg3.l10.m1.1c">l^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg3.l10.m1.1d">italic_l start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> with probability <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex89"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\frac{\pi(X_{l^{\prime}})}{\pi(X_{l})}\frac{q^{r}_{[-l,0]}((X_{t+l}^{\prime})_% {t\in[-l^{\prime},0]}|X_{l})q_{[0,T-l^{\prime}]}((X_{t+l^{\prime}})_{t\in[T-l^% {\prime},T]}|X_{l})\Psi_{l^{\prime}}(X_{[0,l^{\prime}]})}{q^{r}_{[-l,0]}((X_{t% +l})_{t\in[-l,0]}|X_{l})q_{[0,T-l]}((X_{t+l})_{t\in[T-l,T]}|X_{l})\Psi_{l}(X_{% [0,l]})}," class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex89.m1.29"><semantics id="S5.Ex89.m1.29a"><mrow id="S5.Ex89.m1.29.29.1" xref="S5.Ex89.m1.29.29.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex89.m1.29.29.1.1" xref="S5.Ex89.m1.29.29.1.1.cmml"><mfrac id="S5.Ex89.m1.2.2" xref="S5.Ex89.m1.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex89.m1.1.1.1" xref="S5.Ex89.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex89.m1.1.1.1.3" xref="S5.Ex89.m1.1.1.1.3.cmml">π</mi><mo id="S5.Ex89.m1.1.1.1.2" xref="S5.Ex89.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex89.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex89.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex89.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex89.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S5.Ex89.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex89.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex89.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex89.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">X</mi><msup id="S5.Ex89.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex89.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex89.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex89.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="S5.Ex89.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex89.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">′</mo></msup></msub><mo id="S5.Ex89.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex89.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mrow id="S5.Ex89.m1.2.2.2" xref="S5.Ex89.m1.2.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex89.m1.2.2.2.3" xref="S5.Ex89.m1.2.2.2.3.cmml">π</mi><mo id="S5.Ex89.m1.2.2.2.2" xref="S5.Ex89.m1.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex89.m1.2.2.2.1.1" xref="S5.Ex89.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex89.m1.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex89.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S5.Ex89.m1.2.2.2.1.1.1" xref="S5.Ex89.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex89.m1.2.2.2.1.1.1.2" xref="S5.Ex89.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml">X</mi><mi id="S5.Ex89.m1.2.2.2.1.1.1.3" xref="S5.Ex89.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S5.Ex89.m1.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex89.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac><mo id="S5.Ex89.m1.29.29.1.1.1" xref="S5.Ex89.m1.29.29.1.1.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S5.Ex89.m1.28.28" xref="S5.Ex89.m1.28.28.cmml"><mrow id="S5.Ex89.m1.15.15.13" xref="S5.Ex89.m1.15.15.13.cmml"><msubsup id="S5.Ex89.m1.15.15.13.15" xref="S5.Ex89.m1.15.15.13.15.cmml"><mi id="S5.Ex89.m1.15.15.13.15.2.2" xref="S5.Ex89.m1.15.15.13.15.2.2.cmml">q</mi><mrow id="S5.Ex89.m1.4.4.2.2.2.2" xref="S5.Ex89.m1.4.4.2.2.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex89.m1.4.4.2.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S5.Ex89.m1.4.4.2.2.2.3.cmml">[</mo><mrow id="S5.Ex89.m1.4.4.2.2.2.2.1" xref="S5.Ex89.m1.4.4.2.2.2.2.1.cmml"><mo id="S5.Ex89.m1.4.4.2.2.2.2.1a" xref="S5.Ex89.m1.4.4.2.2.2.2.1.cmml">−</mo><mi id="S5.Ex89.m1.4.4.2.2.2.2.1.2" xref="S5.Ex89.m1.4.4.2.2.2.2.1.2.cmml">l</mi></mrow><mo id="S5.Ex89.m1.4.4.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex89.m1.4.4.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="S5.Ex89.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S5.Ex89.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S5.Ex89.m1.4.4.2.2.2.2.4" stretchy="false" xref="S5.Ex89.m1.4.4.2.2.2.3.cmml">]</mo></mrow><mi id="S5.Ex89.m1.15.15.13.15.2.3" xref="S5.Ex89.m1.15.15.13.15.2.3.cmml">r</mi></msubsup><mo id="S5.Ex89.m1.15.15.13.14" xref="S5.Ex89.m1.15.15.13.14.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1" xref="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1" xref="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.1" xref="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">X</mi><mrow id="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">+</mo><mi id="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">l</mi></mrow><mo id="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S5.Ex89.m1.6.6.4.4.2" xref="S5.Ex89.m1.6.6.4.4.2.cmml"><mi id="S5.Ex89.m1.6.6.4.4.2.4" xref="S5.Ex89.m1.6.6.4.4.2.4.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex89.m1.6.6.4.4.2.3" xref="S5.Ex89.m1.6.6.4.4.2.3.cmml">∈</mo><mrow id="S5.Ex89.m1.6.6.4.4.2.2.1" xref="S5.Ex89.m1.6.6.4.4.2.2.2.cmml"><mo id="S5.Ex89.m1.6.6.4.4.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex89.m1.6.6.4.4.2.2.2.cmml">[</mo><mrow id="S5.Ex89.m1.6.6.4.4.2.2.1.1" xref="S5.Ex89.m1.6.6.4.4.2.2.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex89.m1.6.6.4.4.2.2.1.1a" xref="S5.Ex89.m1.6.6.4.4.2.2.1.1.cmml">−</mo><msup id="S5.Ex89.m1.6.6.4.4.2.2.1.1.2" xref="S5.Ex89.m1.6.6.4.4.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex89.m1.6.6.4.4.2.2.1.1.2.2" xref="S5.Ex89.m1.6.6.4.4.2.2.1.1.2.2.cmml">l</mi><mo id="S5.Ex89.m1.6.6.4.4.2.2.1.1.2.3" xref="S5.Ex89.m1.6.6.4.4.2.2.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup></mrow><mo id="S5.Ex89.m1.6.6.4.4.2.2.1.3" xref="S5.Ex89.m1.6.6.4.4.2.2.2.cmml">,</mo><mn id="S5.Ex89.m1.5.5.3.3.1.1" xref="S5.Ex89.m1.5.5.3.3.1.1.cmml">0</mn><mo id="S5.Ex89.m1.6.6.4.4.2.2.1.4" stretchy="false" xref="S5.Ex89.m1.6.6.4.4.2.2.2.cmml">]</mo></mrow></mrow></msub><mo fence="false" id="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.2" xref="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.2.cmml">|</mo><msub id="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.3" xref="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.3.2" xref="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.3.2.cmml">X</mi><mi id="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.3.3" xref="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.3.3.cmml">l</mi></msub></mrow><mo id="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex89.m1.15.15.13.14a" xref="S5.Ex89.m1.15.15.13.14.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex89.m1.15.15.13.16" xref="S5.Ex89.m1.15.15.13.16.cmml"><mi id="S5.Ex89.m1.15.15.13.16.2" xref="S5.Ex89.m1.15.15.13.16.2.cmml">q</mi><mrow id="S5.Ex89.m1.8.8.6.6.2.2" xref="S5.Ex89.m1.8.8.6.6.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex89.m1.8.8.6.6.2.2.2" stretchy="false" xref="S5.Ex89.m1.8.8.6.6.2.3.cmml">[</mo><mn id="S5.Ex89.m1.7.7.5.5.1.1" xref="S5.Ex89.m1.7.7.5.5.1.1.cmml">0</mn><mo id="S5.Ex89.m1.8.8.6.6.2.2.3" xref="S5.Ex89.m1.8.8.6.6.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S5.Ex89.m1.8.8.6.6.2.2.1" xref="S5.Ex89.m1.8.8.6.6.2.2.1.cmml"><mi id="S5.Ex89.m1.8.8.6.6.2.2.1.2" xref="S5.Ex89.m1.8.8.6.6.2.2.1.2.cmml">T</mi><mo id="S5.Ex89.m1.8.8.6.6.2.2.1.1" xref="S5.Ex89.m1.8.8.6.6.2.2.1.1.cmml">−</mo><msup id="S5.Ex89.m1.8.8.6.6.2.2.1.3" xref="S5.Ex89.m1.8.8.6.6.2.2.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex89.m1.8.8.6.6.2.2.1.3.2" xref="S5.Ex89.m1.8.8.6.6.2.2.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="S5.Ex89.m1.8.8.6.6.2.2.1.3.3" xref="S5.Ex89.m1.8.8.6.6.2.2.1.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow><mo id="S5.Ex89.m1.8.8.6.6.2.2.4" stretchy="false" xref="S5.Ex89.m1.8.8.6.6.2.3.cmml">]</mo></mrow></msub><mo id="S5.Ex89.m1.15.15.13.14b" xref="S5.Ex89.m1.15.15.13.14.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1" xref="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1" xref="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.1" xref="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.1.1.1.1.2.cmml">X</mi><mrow id="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><msup id="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow></msub><mo id="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S5.Ex89.m1.10.10.8.8.2" xref="S5.Ex89.m1.10.10.8.8.2.cmml"><mi id="S5.Ex89.m1.10.10.8.8.2.4" xref="S5.Ex89.m1.10.10.8.8.2.4.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex89.m1.10.10.8.8.2.3" xref="S5.Ex89.m1.10.10.8.8.2.3.cmml">∈</mo><mrow id="S5.Ex89.m1.10.10.8.8.2.2.1" xref="S5.Ex89.m1.10.10.8.8.2.2.2.cmml"><mo id="S5.Ex89.m1.10.10.8.8.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex89.m1.10.10.8.8.2.2.2.cmml">[</mo><mrow id="S5.Ex89.m1.10.10.8.8.2.2.1.1" xref="S5.Ex89.m1.10.10.8.8.2.2.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex89.m1.10.10.8.8.2.2.1.1.2" xref="S5.Ex89.m1.10.10.8.8.2.2.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S5.Ex89.m1.10.10.8.8.2.2.1.1.1" xref="S5.Ex89.m1.10.10.8.8.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><msup id="S5.Ex89.m1.10.10.8.8.2.2.1.1.3" xref="S5.Ex89.m1.10.10.8.8.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex89.m1.10.10.8.8.2.2.1.1.3.2" xref="S5.Ex89.m1.10.10.8.8.2.2.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="S5.Ex89.m1.10.10.8.8.2.2.1.1.3.3" xref="S5.Ex89.m1.10.10.8.8.2.2.1.1.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow><mo id="S5.Ex89.m1.10.10.8.8.2.2.1.3" xref="S5.Ex89.m1.10.10.8.8.2.2.2.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex89.m1.9.9.7.7.1.1" xref="S5.Ex89.m1.9.9.7.7.1.1.cmml">T</mi><mo id="S5.Ex89.m1.10.10.8.8.2.2.1.4" stretchy="false" xref="S5.Ex89.m1.10.10.8.8.2.2.2.cmml">]</mo></mrow></mrow></msub><mo fence="false" id="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.2" xref="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.2.cmml">|</mo><msub id="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.3" xref="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.3.2" xref="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.3.2.cmml">X</mi><mi id="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.3.3" xref="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.3.3.cmml">l</mi></msub></mrow><mo id="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex89.m1.15.15.13.14c" xref="S5.Ex89.m1.15.15.13.14.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex89.m1.15.15.13.17" xref="S5.Ex89.m1.15.15.13.17.cmml"><mi id="S5.Ex89.m1.15.15.13.17.2" mathvariant="normal" xref="S5.Ex89.m1.15.15.13.17.2.cmml">Ψ</mi><msup id="S5.Ex89.m1.15.15.13.17.3" xref="S5.Ex89.m1.15.15.13.17.3.cmml"><mi id="S5.Ex89.m1.15.15.13.17.3.2" xref="S5.Ex89.m1.15.15.13.17.3.2.cmml">l</mi><mo id="S5.Ex89.m1.15.15.13.17.3.3" xref="S5.Ex89.m1.15.15.13.17.3.3.cmml">′</mo></msup></msub><mo id="S5.Ex89.m1.15.15.13.14d" xref="S5.Ex89.m1.15.15.13.14.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex89.m1.15.15.13.13.1" xref="S5.Ex89.m1.15.15.13.13.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex89.m1.15.15.13.13.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex89.m1.15.15.13.13.1.1.cmml">(</mo><msub id="S5.Ex89.m1.15.15.13.13.1.1" xref="S5.Ex89.m1.15.15.13.13.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex89.m1.15.15.13.13.1.1.2" xref="S5.Ex89.m1.15.15.13.13.1.1.2.cmml">X</mi><mrow id="S5.Ex89.m1.12.12.10.10.2.2" xref="S5.Ex89.m1.12.12.10.10.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex89.m1.12.12.10.10.2.2.2" stretchy="false" xref="S5.Ex89.m1.12.12.10.10.2.3.cmml">[</mo><mn id="S5.Ex89.m1.11.11.9.9.1.1" xref="S5.Ex89.m1.11.11.9.9.1.1.cmml">0</mn><mo id="S5.Ex89.m1.12.12.10.10.2.2.3" xref="S5.Ex89.m1.12.12.10.10.2.3.cmml">,</mo><msup id="S5.Ex89.m1.12.12.10.10.2.2.1" xref="S5.Ex89.m1.12.12.10.10.2.2.1.cmml"><mi id="S5.Ex89.m1.12.12.10.10.2.2.1.2" xref="S5.Ex89.m1.12.12.10.10.2.2.1.2.cmml">l</mi><mo id="S5.Ex89.m1.12.12.10.10.2.2.1.3" xref="S5.Ex89.m1.12.12.10.10.2.2.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S5.Ex89.m1.12.12.10.10.2.2.4" stretchy="false" xref="S5.Ex89.m1.12.12.10.10.2.3.cmml">]</mo></mrow></msub><mo id="S5.Ex89.m1.15.15.13.13.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex89.m1.15.15.13.13.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mrow id="S5.Ex89.m1.28.28.26" xref="S5.Ex89.m1.28.28.26.cmml"><msubsup id="S5.Ex89.m1.28.28.26.15" xref="S5.Ex89.m1.28.28.26.15.cmml"><mi id="S5.Ex89.m1.28.28.26.15.2.2" xref="S5.Ex89.m1.28.28.26.15.2.2.cmml">q</mi><mrow id="S5.Ex89.m1.17.17.15.2.2.2" xref="S5.Ex89.m1.17.17.15.2.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex89.m1.17.17.15.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S5.Ex89.m1.17.17.15.2.2.3.cmml">[</mo><mrow id="S5.Ex89.m1.17.17.15.2.2.2.1" xref="S5.Ex89.m1.17.17.15.2.2.2.1.cmml"><mo id="S5.Ex89.m1.17.17.15.2.2.2.1a" xref="S5.Ex89.m1.17.17.15.2.2.2.1.cmml">−</mo><mi id="S5.Ex89.m1.17.17.15.2.2.2.1.2" xref="S5.Ex89.m1.17.17.15.2.2.2.1.2.cmml">l</mi></mrow><mo id="S5.Ex89.m1.17.17.15.2.2.2.3" xref="S5.Ex89.m1.17.17.15.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="S5.Ex89.m1.16.16.14.1.1.1" xref="S5.Ex89.m1.16.16.14.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S5.Ex89.m1.17.17.15.2.2.2.4" stretchy="false" xref="S5.Ex89.m1.17.17.15.2.2.3.cmml">]</mo></mrow><mi id="S5.Ex89.m1.28.28.26.15.2.3" xref="S5.Ex89.m1.28.28.26.15.2.3.cmml">r</mi></msubsup><mo id="S5.Ex89.m1.28.28.26.14" xref="S5.Ex89.m1.28.28.26.14.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex89.m1.26.26.24.11.1" xref="S5.Ex89.m1.26.26.24.11.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex89.m1.26.26.24.11.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex89.m1.26.26.24.11.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex89.m1.26.26.24.11.1.1" xref="S5.Ex89.m1.26.26.24.11.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex89.m1.26.26.24.11.1.1.1" xref="S5.Ex89.m1.26.26.24.11.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex89.m1.26.26.24.11.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex89.m1.26.26.24.11.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex89.m1.26.26.24.11.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex89.m1.26.26.24.11.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S5.Ex89.m1.26.26.24.11.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex89.m1.26.26.24.11.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex89.m1.26.26.24.11.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex89.m1.26.26.24.11.1.1.1.1.1.1.2.cmml">X</mi><mrow id="S5.Ex89.m1.26.26.24.11.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex89.m1.26.26.24.11.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex89.m1.26.26.24.11.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex89.m1.26.26.24.11.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex89.m1.26.26.24.11.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex89.m1.26.26.24.11.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mi id="S5.Ex89.m1.26.26.24.11.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex89.m1.26.26.24.11.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S5.Ex89.m1.26.26.24.11.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex89.m1.26.26.24.11.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S5.Ex89.m1.19.19.17.4.2" xref="S5.Ex89.m1.19.19.17.4.2.cmml"><mi id="S5.Ex89.m1.19.19.17.4.2.4" xref="S5.Ex89.m1.19.19.17.4.2.4.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex89.m1.19.19.17.4.2.3" xref="S5.Ex89.m1.19.19.17.4.2.3.cmml">∈</mo><mrow id="S5.Ex89.m1.19.19.17.4.2.2.1" xref="S5.Ex89.m1.19.19.17.4.2.2.2.cmml"><mo id="S5.Ex89.m1.19.19.17.4.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex89.m1.19.19.17.4.2.2.2.cmml">[</mo><mrow id="S5.Ex89.m1.19.19.17.4.2.2.1.1" xref="S5.Ex89.m1.19.19.17.4.2.2.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex89.m1.19.19.17.4.2.2.1.1a" xref="S5.Ex89.m1.19.19.17.4.2.2.1.1.cmml">−</mo><mi id="S5.Ex89.m1.19.19.17.4.2.2.1.1.2" xref="S5.Ex89.m1.19.19.17.4.2.2.1.1.2.cmml">l</mi></mrow><mo id="S5.Ex89.m1.19.19.17.4.2.2.1.3" xref="S5.Ex89.m1.19.19.17.4.2.2.2.cmml">,</mo><mn id="S5.Ex89.m1.18.18.16.3.1.1" xref="S5.Ex89.m1.18.18.16.3.1.1.cmml">0</mn><mo id="S5.Ex89.m1.19.19.17.4.2.2.1.4" stretchy="false" xref="S5.Ex89.m1.19.19.17.4.2.2.2.cmml">]</mo></mrow></mrow></msub><mo fence="false" id="S5.Ex89.m1.26.26.24.11.1.1.2" xref="S5.Ex89.m1.26.26.24.11.1.1.2.cmml">|</mo><msub id="S5.Ex89.m1.26.26.24.11.1.1.3" xref="S5.Ex89.m1.26.26.24.11.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex89.m1.26.26.24.11.1.1.3.2" xref="S5.Ex89.m1.26.26.24.11.1.1.3.2.cmml">X</mi><mi id="S5.Ex89.m1.26.26.24.11.1.1.3.3" xref="S5.Ex89.m1.26.26.24.11.1.1.3.3.cmml">l</mi></msub></mrow><mo id="S5.Ex89.m1.26.26.24.11.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex89.m1.26.26.24.11.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex89.m1.28.28.26.14a" xref="S5.Ex89.m1.28.28.26.14.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex89.m1.28.28.26.16" xref="S5.Ex89.m1.28.28.26.16.cmml"><mi id="S5.Ex89.m1.28.28.26.16.2" xref="S5.Ex89.m1.28.28.26.16.2.cmml">q</mi><mrow id="S5.Ex89.m1.21.21.19.6.2.2" xref="S5.Ex89.m1.21.21.19.6.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex89.m1.21.21.19.6.2.2.2" stretchy="false" xref="S5.Ex89.m1.21.21.19.6.2.3.cmml">[</mo><mn id="S5.Ex89.m1.20.20.18.5.1.1" xref="S5.Ex89.m1.20.20.18.5.1.1.cmml">0</mn><mo id="S5.Ex89.m1.21.21.19.6.2.2.3" xref="S5.Ex89.m1.21.21.19.6.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S5.Ex89.m1.21.21.19.6.2.2.1" xref="S5.Ex89.m1.21.21.19.6.2.2.1.cmml"><mi id="S5.Ex89.m1.21.21.19.6.2.2.1.2" xref="S5.Ex89.m1.21.21.19.6.2.2.1.2.cmml">T</mi><mo id="S5.Ex89.m1.21.21.19.6.2.2.1.1" xref="S5.Ex89.m1.21.21.19.6.2.2.1.1.cmml">−</mo><mi id="S5.Ex89.m1.21.21.19.6.2.2.1.3" xref="S5.Ex89.m1.21.21.19.6.2.2.1.3.cmml">l</mi></mrow><mo id="S5.Ex89.m1.21.21.19.6.2.2.4" stretchy="false" xref="S5.Ex89.m1.21.21.19.6.2.3.cmml">]</mo></mrow></msub><mo id="S5.Ex89.m1.28.28.26.14b" xref="S5.Ex89.m1.28.28.26.14.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex89.m1.27.27.25.12.1" xref="S5.Ex89.m1.27.27.25.12.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex89.m1.27.27.25.12.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex89.m1.27.27.25.12.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex89.m1.27.27.25.12.1.1" xref="S5.Ex89.m1.27.27.25.12.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex89.m1.27.27.25.12.1.1.1" xref="S5.Ex89.m1.27.27.25.12.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex89.m1.27.27.25.12.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex89.m1.27.27.25.12.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex89.m1.27.27.25.12.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex89.m1.27.27.25.12.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S5.Ex89.m1.27.27.25.12.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex89.m1.27.27.25.12.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex89.m1.27.27.25.12.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex89.m1.27.27.25.12.1.1.1.1.1.1.2.cmml">X</mi><mrow id="S5.Ex89.m1.27.27.25.12.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex89.m1.27.27.25.12.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex89.m1.27.27.25.12.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex89.m1.27.27.25.12.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex89.m1.27.27.25.12.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex89.m1.27.27.25.12.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mi id="S5.Ex89.m1.27.27.25.12.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex89.m1.27.27.25.12.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S5.Ex89.m1.27.27.25.12.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex89.m1.27.27.25.12.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S5.Ex89.m1.23.23.21.8.2" xref="S5.Ex89.m1.23.23.21.8.2.cmml"><mi id="S5.Ex89.m1.23.23.21.8.2.4" xref="S5.Ex89.m1.23.23.21.8.2.4.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex89.m1.23.23.21.8.2.3" xref="S5.Ex89.m1.23.23.21.8.2.3.cmml">∈</mo><mrow id="S5.Ex89.m1.23.23.21.8.2.2.1" xref="S5.Ex89.m1.23.23.21.8.2.2.2.cmml"><mo id="S5.Ex89.m1.23.23.21.8.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex89.m1.23.23.21.8.2.2.2.cmml">[</mo><mrow id="S5.Ex89.m1.23.23.21.8.2.2.1.1" xref="S5.Ex89.m1.23.23.21.8.2.2.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex89.m1.23.23.21.8.2.2.1.1.2" xref="S5.Ex89.m1.23.23.21.8.2.2.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S5.Ex89.m1.23.23.21.8.2.2.1.1.1" xref="S5.Ex89.m1.23.23.21.8.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S5.Ex89.m1.23.23.21.8.2.2.1.1.3" xref="S5.Ex89.m1.23.23.21.8.2.2.1.1.3.cmml">l</mi></mrow><mo id="S5.Ex89.m1.23.23.21.8.2.2.1.3" xref="S5.Ex89.m1.23.23.21.8.2.2.2.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex89.m1.22.22.20.7.1.1" xref="S5.Ex89.m1.22.22.20.7.1.1.cmml">T</mi><mo id="S5.Ex89.m1.23.23.21.8.2.2.1.4" stretchy="false" xref="S5.Ex89.m1.23.23.21.8.2.2.2.cmml">]</mo></mrow></mrow></msub><mo fence="false" id="S5.Ex89.m1.27.27.25.12.1.1.2" xref="S5.Ex89.m1.27.27.25.12.1.1.2.cmml">|</mo><msub id="S5.Ex89.m1.27.27.25.12.1.1.3" xref="S5.Ex89.m1.27.27.25.12.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex89.m1.27.27.25.12.1.1.3.2" xref="S5.Ex89.m1.27.27.25.12.1.1.3.2.cmml">X</mi><mi id="S5.Ex89.m1.27.27.25.12.1.1.3.3" xref="S5.Ex89.m1.27.27.25.12.1.1.3.3.cmml">l</mi></msub></mrow><mo id="S5.Ex89.m1.27.27.25.12.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex89.m1.27.27.25.12.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex89.m1.28.28.26.14c" xref="S5.Ex89.m1.28.28.26.14.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex89.m1.28.28.26.17" xref="S5.Ex89.m1.28.28.26.17.cmml"><mi id="S5.Ex89.m1.28.28.26.17.2" mathvariant="normal" xref="S5.Ex89.m1.28.28.26.17.2.cmml">Ψ</mi><mi id="S5.Ex89.m1.28.28.26.17.3" xref="S5.Ex89.m1.28.28.26.17.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S5.Ex89.m1.28.28.26.14d" xref="S5.Ex89.m1.28.28.26.14.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex89.m1.28.28.26.13.1" xref="S5.Ex89.m1.28.28.26.13.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex89.m1.28.28.26.13.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex89.m1.28.28.26.13.1.1.cmml">(</mo><msub id="S5.Ex89.m1.28.28.26.13.1.1" xref="S5.Ex89.m1.28.28.26.13.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex89.m1.28.28.26.13.1.1.2" xref="S5.Ex89.m1.28.28.26.13.1.1.2.cmml">X</mi><mrow id="S5.Ex89.m1.25.25.23.10.2.4" xref="S5.Ex89.m1.25.25.23.10.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex89.m1.25.25.23.10.2.4.1" stretchy="false" xref="S5.Ex89.m1.25.25.23.10.2.3.cmml">[</mo><mn id="S5.Ex89.m1.24.24.22.9.1.1" xref="S5.Ex89.m1.24.24.22.9.1.1.cmml">0</mn><mo id="S5.Ex89.m1.25.25.23.10.2.4.2" xref="S5.Ex89.m1.25.25.23.10.2.3.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex89.m1.25.25.23.10.2.2" xref="S5.Ex89.m1.25.25.23.10.2.2.cmml">l</mi><mo id="S5.Ex89.m1.25.25.23.10.2.4.3" stretchy="false" xref="S5.Ex89.m1.25.25.23.10.2.3.cmml">]</mo></mrow></msub><mo id="S5.Ex89.m1.28.28.26.13.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex89.m1.28.28.26.13.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac></mrow><mo id="S5.Ex89.m1.29.29.1.2" xref="S5.Ex89.m1.29.29.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex89.m1.29b"><apply id="S5.Ex89.m1.29.29.1.1.cmml" xref="S5.Ex89.m1.29.29.1"><times id="S5.Ex89.m1.29.29.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex89.m1.29.29.1.1.1"></times><apply id="S5.Ex89.m1.2.2.cmml" xref="S5.Ex89.m1.2.2"><divide id="S5.Ex89.m1.2.2.3.cmml" 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xref="S5.Ex89.m1.15.15.13.15">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex89.m1.15.15.13.15.2.2.cmml" xref="S5.Ex89.m1.15.15.13.15.2.2">𝑞</ci><ci id="S5.Ex89.m1.15.15.13.15.2.3.cmml" xref="S5.Ex89.m1.15.15.13.15.2.3">𝑟</ci></apply><interval closure="closed" id="S5.Ex89.m1.4.4.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex89.m1.4.4.2.2.2.2"><apply id="S5.Ex89.m1.4.4.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex89.m1.4.4.2.2.2.2.1"><minus id="S5.Ex89.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex89.m1.4.4.2.2.2.2.1"></minus><ci id="S5.Ex89.m1.4.4.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S5.Ex89.m1.4.4.2.2.2.2.1.2">𝑙</ci></apply><cn id="S5.Ex89.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex89.m1.3.3.1.1.1.1">0</cn></interval></apply><apply id="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.cmml" xref="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.2">conditional</csymbol><apply id="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑋</ci><apply id="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.1.1.1.1.2.3"><plus id="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></plus><ci id="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑡</ci><ci id="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑙</ci></apply></apply><ci id="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S5.Ex89.m1.6.6.4.4.2.cmml" xref="S5.Ex89.m1.6.6.4.4.2"><in id="S5.Ex89.m1.6.6.4.4.2.3.cmml" xref="S5.Ex89.m1.6.6.4.4.2.3"></in><ci id="S5.Ex89.m1.6.6.4.4.2.4.cmml" xref="S5.Ex89.m1.6.6.4.4.2.4">𝑡</ci><interval closure="closed" id="S5.Ex89.m1.6.6.4.4.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex89.m1.6.6.4.4.2.2.1"><apply id="S5.Ex89.m1.6.6.4.4.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex89.m1.6.6.4.4.2.2.1.1"><minus id="S5.Ex89.m1.6.6.4.4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex89.m1.6.6.4.4.2.2.1.1"></minus><apply id="S5.Ex89.m1.6.6.4.4.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex89.m1.6.6.4.4.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex89.m1.6.6.4.4.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex89.m1.6.6.4.4.2.2.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex89.m1.6.6.4.4.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex89.m1.6.6.4.4.2.2.1.1.2.2">𝑙</ci><ci id="S5.Ex89.m1.6.6.4.4.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex89.m1.6.6.4.4.2.2.1.1.2.3">′</ci></apply></apply><cn id="S5.Ex89.m1.5.5.3.3.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex89.m1.5.5.3.3.1.1">0</cn></interval></apply></apply><apply id="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.3.2">𝑋</ci><ci id="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex89.m1.13.13.11.11.1.1.3.3">𝑙</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex89.m1.15.15.13.16.cmml" xref="S5.Ex89.m1.15.15.13.16"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex89.m1.15.15.13.16.1.cmml" xref="S5.Ex89.m1.15.15.13.16">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex89.m1.15.15.13.16.2.cmml" xref="S5.Ex89.m1.15.15.13.16.2">𝑞</ci><interval closure="closed" id="S5.Ex89.m1.8.8.6.6.2.3.cmml" xref="S5.Ex89.m1.8.8.6.6.2.2"><cn id="S5.Ex89.m1.7.7.5.5.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex89.m1.7.7.5.5.1.1">0</cn><apply id="S5.Ex89.m1.8.8.6.6.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex89.m1.8.8.6.6.2.2.1"><minus id="S5.Ex89.m1.8.8.6.6.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex89.m1.8.8.6.6.2.2.1.1"></minus><ci id="S5.Ex89.m1.8.8.6.6.2.2.1.2.cmml" xref="S5.Ex89.m1.8.8.6.6.2.2.1.2">𝑇</ci><apply id="S5.Ex89.m1.8.8.6.6.2.2.1.3.cmml" xref="S5.Ex89.m1.8.8.6.6.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex89.m1.8.8.6.6.2.2.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex89.m1.8.8.6.6.2.2.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex89.m1.8.8.6.6.2.2.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex89.m1.8.8.6.6.2.2.1.3.2">𝑙</ci><ci id="S5.Ex89.m1.8.8.6.6.2.2.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex89.m1.8.8.6.6.2.2.1.3.3">′</ci></apply></apply></interval></apply><apply id="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.cmml" xref="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.2">conditional</csymbol><apply id="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.1.1.1.1.2">𝑋</ci><apply id="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.1.1.1.1.3"><plus id="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.1.1.1.1.3.1"></plus><ci id="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑡</ci><apply id="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑙</ci><ci id="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.1.1.1.1.3.3.3">′</ci></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex89.m1.10.10.8.8.2.cmml" xref="S5.Ex89.m1.10.10.8.8.2"><in id="S5.Ex89.m1.10.10.8.8.2.3.cmml" xref="S5.Ex89.m1.10.10.8.8.2.3"></in><ci id="S5.Ex89.m1.10.10.8.8.2.4.cmml" xref="S5.Ex89.m1.10.10.8.8.2.4">𝑡</ci><interval closure="closed" id="S5.Ex89.m1.10.10.8.8.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex89.m1.10.10.8.8.2.2.1"><apply id="S5.Ex89.m1.10.10.8.8.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex89.m1.10.10.8.8.2.2.1.1"><minus id="S5.Ex89.m1.10.10.8.8.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex89.m1.10.10.8.8.2.2.1.1.1"></minus><ci id="S5.Ex89.m1.10.10.8.8.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex89.m1.10.10.8.8.2.2.1.1.2">𝑇</ci><apply id="S5.Ex89.m1.10.10.8.8.2.2.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex89.m1.10.10.8.8.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex89.m1.10.10.8.8.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex89.m1.10.10.8.8.2.2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex89.m1.10.10.8.8.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex89.m1.10.10.8.8.2.2.1.1.3.2">𝑙</ci><ci id="S5.Ex89.m1.10.10.8.8.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex89.m1.10.10.8.8.2.2.1.1.3.3">′</ci></apply></apply><ci id="S5.Ex89.m1.9.9.7.7.1.1.cmml" xref="S5.Ex89.m1.9.9.7.7.1.1">𝑇</ci></interval></apply></apply><apply id="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.3.2">𝑋</ci><ci id="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex89.m1.14.14.12.12.1.1.3.3">𝑙</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex89.m1.15.15.13.17.cmml" xref="S5.Ex89.m1.15.15.13.17"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex89.m1.15.15.13.17.1.cmml" xref="S5.Ex89.m1.15.15.13.17">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex89.m1.15.15.13.17.2.cmml" xref="S5.Ex89.m1.15.15.13.17.2">Ψ</ci><apply id="S5.Ex89.m1.15.15.13.17.3.cmml" xref="S5.Ex89.m1.15.15.13.17.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex89.m1.15.15.13.17.3.1.cmml" xref="S5.Ex89.m1.15.15.13.17.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex89.m1.15.15.13.17.3.2.cmml" xref="S5.Ex89.m1.15.15.13.17.3.2">𝑙</ci><ci id="S5.Ex89.m1.15.15.13.17.3.3.cmml" xref="S5.Ex89.m1.15.15.13.17.3.3">′</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex89.m1.15.15.13.13.1.1.cmml" xref="S5.Ex89.m1.15.15.13.13.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex89.m1.15.15.13.13.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex89.m1.15.15.13.13.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex89.m1.15.15.13.13.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex89.m1.15.15.13.13.1.1.2">𝑋</ci><interval closure="closed" id="S5.Ex89.m1.12.12.10.10.2.3.cmml" xref="S5.Ex89.m1.12.12.10.10.2.2"><cn id="S5.Ex89.m1.11.11.9.9.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex89.m1.11.11.9.9.1.1">0</cn><apply id="S5.Ex89.m1.12.12.10.10.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex89.m1.12.12.10.10.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex89.m1.12.12.10.10.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex89.m1.12.12.10.10.2.2.1">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex89.m1.12.12.10.10.2.2.1.2.cmml" xref="S5.Ex89.m1.12.12.10.10.2.2.1.2">𝑙</ci><ci id="S5.Ex89.m1.12.12.10.10.2.2.1.3.cmml" xref="S5.Ex89.m1.12.12.10.10.2.2.1.3">′</ci></apply></interval></apply></apply><apply id="S5.Ex89.m1.28.28.26.cmml" xref="S5.Ex89.m1.28.28.26"><times id="S5.Ex89.m1.28.28.26.14.cmml" xref="S5.Ex89.m1.28.28.26.14"></times><apply id="S5.Ex89.m1.28.28.26.15.cmml" xref="S5.Ex89.m1.28.28.26.15"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex89.m1.28.28.26.15.1.cmml" xref="S5.Ex89.m1.28.28.26.15">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex89.m1.28.28.26.15.2.cmml" xref="S5.Ex89.m1.28.28.26.15"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex89.m1.28.28.26.15.2.1.cmml" xref="S5.Ex89.m1.28.28.26.15">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex89.m1.28.28.26.15.2.2.cmml" xref="S5.Ex89.m1.28.28.26.15.2.2">𝑞</ci><ci id="S5.Ex89.m1.28.28.26.15.2.3.cmml" xref="S5.Ex89.m1.28.28.26.15.2.3">𝑟</ci></apply><interval closure="closed" id="S5.Ex89.m1.17.17.15.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex89.m1.17.17.15.2.2.2"><apply id="S5.Ex89.m1.17.17.15.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex89.m1.17.17.15.2.2.2.1"><minus id="S5.Ex89.m1.17.17.15.2.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex89.m1.17.17.15.2.2.2.1"></minus><ci id="S5.Ex89.m1.17.17.15.2.2.2.1.2.cmml" xref="S5.Ex89.m1.17.17.15.2.2.2.1.2">𝑙</ci></apply><cn id="S5.Ex89.m1.16.16.14.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex89.m1.16.16.14.1.1.1">0</cn></interval></apply><apply id="S5.Ex89.m1.26.26.24.11.1.1.cmml" xref="S5.Ex89.m1.26.26.24.11.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex89.m1.26.26.24.11.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex89.m1.26.26.24.11.1.1.2">conditional</csymbol><apply id="S5.Ex89.m1.26.26.24.11.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex89.m1.26.26.24.11.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex89.m1.26.26.24.11.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex89.m1.26.26.24.11.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex89.m1.26.26.24.11.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex89.m1.26.26.24.11.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex89.m1.26.26.24.11.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex89.m1.26.26.24.11.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex89.m1.26.26.24.11.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex89.m1.26.26.24.11.1.1.1.1.1.1.2">𝑋</ci><apply id="S5.Ex89.m1.26.26.24.11.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex89.m1.26.26.24.11.1.1.1.1.1.1.3"><plus id="S5.Ex89.m1.26.26.24.11.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex89.m1.26.26.24.11.1.1.1.1.1.1.3.1"></plus><ci id="S5.Ex89.m1.26.26.24.11.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex89.m1.26.26.24.11.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑡</ci><ci id="S5.Ex89.m1.26.26.24.11.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex89.m1.26.26.24.11.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑙</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex89.m1.19.19.17.4.2.cmml" xref="S5.Ex89.m1.19.19.17.4.2"><in id="S5.Ex89.m1.19.19.17.4.2.3.cmml" xref="S5.Ex89.m1.19.19.17.4.2.3"></in><ci id="S5.Ex89.m1.19.19.17.4.2.4.cmml" xref="S5.Ex89.m1.19.19.17.4.2.4">𝑡</ci><interval closure="closed" id="S5.Ex89.m1.19.19.17.4.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex89.m1.19.19.17.4.2.2.1"><apply id="S5.Ex89.m1.19.19.17.4.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex89.m1.19.19.17.4.2.2.1.1"><minus id="S5.Ex89.m1.19.19.17.4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex89.m1.19.19.17.4.2.2.1.1"></minus><ci id="S5.Ex89.m1.19.19.17.4.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex89.m1.19.19.17.4.2.2.1.1.2">𝑙</ci></apply><cn id="S5.Ex89.m1.18.18.16.3.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex89.m1.18.18.16.3.1.1">0</cn></interval></apply></apply><apply id="S5.Ex89.m1.26.26.24.11.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex89.m1.26.26.24.11.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex89.m1.26.26.24.11.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex89.m1.26.26.24.11.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex89.m1.26.26.24.11.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex89.m1.26.26.24.11.1.1.3.2">𝑋</ci><ci id="S5.Ex89.m1.26.26.24.11.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex89.m1.26.26.24.11.1.1.3.3">𝑙</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex89.m1.28.28.26.16.cmml" xref="S5.Ex89.m1.28.28.26.16"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex89.m1.28.28.26.16.1.cmml" xref="S5.Ex89.m1.28.28.26.16">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex89.m1.28.28.26.16.2.cmml" xref="S5.Ex89.m1.28.28.26.16.2">𝑞</ci><interval closure="closed" id="S5.Ex89.m1.21.21.19.6.2.3.cmml" xref="S5.Ex89.m1.21.21.19.6.2.2"><cn id="S5.Ex89.m1.20.20.18.5.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex89.m1.20.20.18.5.1.1">0</cn><apply id="S5.Ex89.m1.21.21.19.6.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex89.m1.21.21.19.6.2.2.1"><minus id="S5.Ex89.m1.21.21.19.6.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex89.m1.21.21.19.6.2.2.1.1"></minus><ci id="S5.Ex89.m1.21.21.19.6.2.2.1.2.cmml" xref="S5.Ex89.m1.21.21.19.6.2.2.1.2">𝑇</ci><ci id="S5.Ex89.m1.21.21.19.6.2.2.1.3.cmml" xref="S5.Ex89.m1.21.21.19.6.2.2.1.3">𝑙</ci></apply></interval></apply><apply id="S5.Ex89.m1.27.27.25.12.1.1.cmml" xref="S5.Ex89.m1.27.27.25.12.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex89.m1.27.27.25.12.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex89.m1.27.27.25.12.1.1.2">conditional</csymbol><apply id="S5.Ex89.m1.27.27.25.12.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex89.m1.27.27.25.12.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex89.m1.27.27.25.12.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex89.m1.27.27.25.12.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex89.m1.27.27.25.12.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex89.m1.27.27.25.12.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex89.m1.27.27.25.12.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex89.m1.27.27.25.12.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex89.m1.27.27.25.12.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex89.m1.27.27.25.12.1.1.1.1.1.1.2">𝑋</ci><apply id="S5.Ex89.m1.27.27.25.12.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex89.m1.27.27.25.12.1.1.1.1.1.1.3"><plus id="S5.Ex89.m1.27.27.25.12.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex89.m1.27.27.25.12.1.1.1.1.1.1.3.1"></plus><ci id="S5.Ex89.m1.27.27.25.12.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex89.m1.27.27.25.12.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑡</ci><ci id="S5.Ex89.m1.27.27.25.12.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex89.m1.27.27.25.12.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑙</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex89.m1.23.23.21.8.2.cmml" xref="S5.Ex89.m1.23.23.21.8.2"><in id="S5.Ex89.m1.23.23.21.8.2.3.cmml" xref="S5.Ex89.m1.23.23.21.8.2.3"></in><ci id="S5.Ex89.m1.23.23.21.8.2.4.cmml" xref="S5.Ex89.m1.23.23.21.8.2.4">𝑡</ci><interval closure="closed" id="S5.Ex89.m1.23.23.21.8.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex89.m1.23.23.21.8.2.2.1"><apply id="S5.Ex89.m1.23.23.21.8.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex89.m1.23.23.21.8.2.2.1.1"><minus id="S5.Ex89.m1.23.23.21.8.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex89.m1.23.23.21.8.2.2.1.1.1"></minus><ci id="S5.Ex89.m1.23.23.21.8.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex89.m1.23.23.21.8.2.2.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S5.Ex89.m1.23.23.21.8.2.2.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex89.m1.23.23.21.8.2.2.1.1.3">𝑙</ci></apply><ci id="S5.Ex89.m1.22.22.20.7.1.1.cmml" xref="S5.Ex89.m1.22.22.20.7.1.1">𝑇</ci></interval></apply></apply><apply id="S5.Ex89.m1.27.27.25.12.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex89.m1.27.27.25.12.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex89.m1.27.27.25.12.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex89.m1.27.27.25.12.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex89.m1.27.27.25.12.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex89.m1.27.27.25.12.1.1.3.2">𝑋</ci><ci id="S5.Ex89.m1.27.27.25.12.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex89.m1.27.27.25.12.1.1.3.3">𝑙</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex89.m1.28.28.26.17.cmml" xref="S5.Ex89.m1.28.28.26.17"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex89.m1.28.28.26.17.1.cmml" xref="S5.Ex89.m1.28.28.26.17">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex89.m1.28.28.26.17.2.cmml" xref="S5.Ex89.m1.28.28.26.17.2">Ψ</ci><ci id="S5.Ex89.m1.28.28.26.17.3.cmml" xref="S5.Ex89.m1.28.28.26.17.3">𝑙</ci></apply><apply id="S5.Ex89.m1.28.28.26.13.1.1.cmml" xref="S5.Ex89.m1.28.28.26.13.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex89.m1.28.28.26.13.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex89.m1.28.28.26.13.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex89.m1.28.28.26.13.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex89.m1.28.28.26.13.1.1.2">𝑋</ci><interval closure="closed" id="S5.Ex89.m1.25.25.23.10.2.3.cmml" xref="S5.Ex89.m1.25.25.23.10.2.4"><cn id="S5.Ex89.m1.24.24.22.9.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex89.m1.24.24.22.9.1.1">0</cn><ci id="S5.Ex89.m1.25.25.23.10.2.2.cmml" xref="S5.Ex89.m1.25.25.23.10.2.2">𝑙</ci></interval></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex89.m1.29c">\frac{\pi(X_{l^{\prime}})}{\pi(X_{l})}\frac{q^{r}_{[-l,0]}((X_{t+l}^{\prime})_% {t\in[-l^{\prime},0]}|X_{l})q_{[0,T-l^{\prime}]}((X_{t+l^{\prime}})_{t\in[T-l^% {\prime},T]}|X_{l})\Psi_{l^{\prime}}(X_{[0,l^{\prime}]})}{q^{r}_{[-l,0]}((X_{t% +l})_{t\in[-l,0]}|X_{l})q_{[0,T-l]}((X_{t+l})_{t\in[T-l,T]}|X_{l})\Psi_{l}(X_{% [0,l]})},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex89.m1.29d">divide start_ARG italic_π ( italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_l start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ) end_ARG start_ARG italic_π ( italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ) end_ARG divide start_ARG italic_q start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT [ - italic_l , 0 ] end_POSTSUBSCRIPT ( ( italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_t + italic_l end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_t ∈ [ - italic_l start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , 0 ] end_POSTSUBSCRIPT | italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ) italic_q start_POSTSUBSCRIPT [ 0 , italic_T - italic_l start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ] end_POSTSUBSCRIPT ( ( italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_t + italic_l start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_t ∈ [ italic_T - italic_l start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_T ] end_POSTSUBSCRIPT | italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ) roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_X start_POSTSUBSCRIPT [ 0 , italic_l start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ] end_POSTSUBSCRIPT ) end_ARG start_ARG italic_q start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT [ - italic_l , 0 ] end_POSTSUBSCRIPT ( ( italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_t + italic_l end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_t ∈ [ - italic_l , 0 ] end_POSTSUBSCRIPT | italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ) italic_q start_POSTSUBSCRIPT [ 0 , italic_T - italic_l ] end_POSTSUBSCRIPT ( ( italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_t + italic_l end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_t ∈ [ italic_T - italic_l , italic_T ] end_POSTSUBSCRIPT | italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ) roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ( italic_X start_POSTSUBSCRIPT [ 0 , italic_l ] end_POSTSUBSCRIPT ) end_ARG ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> otherwise set <math alttext="l^{\prime}=l" class="ltx_Math" display="inline" id="alg3.l10.m2.1"><semantics id="alg3.l10.m2.1a"><mrow id="alg3.l10.m2.1.1" xref="alg3.l10.m2.1.1.cmml"><msup id="alg3.l10.m2.1.1.2" xref="alg3.l10.m2.1.1.2.cmml"><mi id="alg3.l10.m2.1.1.2.2" xref="alg3.l10.m2.1.1.2.2.cmml">l</mi><mo id="alg3.l10.m2.1.1.2.3" xref="alg3.l10.m2.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="alg3.l10.m2.1.1.1" xref="alg3.l10.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="alg3.l10.m2.1.1.3" xref="alg3.l10.m2.1.1.3.cmml">l</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg3.l10.m2.1b"><apply id="alg3.l10.m2.1.1.cmml" xref="alg3.l10.m2.1.1"><eq id="alg3.l10.m2.1.1.1.cmml" xref="alg3.l10.m2.1.1.1"></eq><apply id="alg3.l10.m2.1.1.2.cmml" xref="alg3.l10.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="alg3.l10.m2.1.1.2.1.cmml" xref="alg3.l10.m2.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="alg3.l10.m2.1.1.2.2.cmml" xref="alg3.l10.m2.1.1.2.2">𝑙</ci><ci id="alg3.l10.m2.1.1.2.3.cmml" xref="alg3.l10.m2.1.1.2.3">′</ci></apply><ci id="alg3.l10.m2.1.1.3.cmml" xref="alg3.l10.m2.1.1.3">𝑙</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg3.l10.m2.1c">l^{\prime}=l</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg3.l10.m2.1d">italic_l start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT = italic_l</annotation></semantics></math>. </div> <div class="ltx_listingline" id="alg3.l11"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline"><span class="ltx_text" id="alg3.l11.1.1.1" style="font-size:80%;">11:</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="alg3.l11.2">Output:</span> <math alttext="X_{l^{\prime}}" class="ltx_Math" display="inline" id="alg3.l11.m1.1"><semantics id="alg3.l11.m1.1a"><msub id="alg3.l11.m1.1.1" xref="alg3.l11.m1.1.1.cmml"><mi id="alg3.l11.m1.1.1.2" xref="alg3.l11.m1.1.1.2.cmml">X</mi><msup id="alg3.l11.m1.1.1.3" xref="alg3.l11.m1.1.1.3.cmml"><mi id="alg3.l11.m1.1.1.3.2" xref="alg3.l11.m1.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="alg3.l11.m1.1.1.3.3" xref="alg3.l11.m1.1.1.3.3.cmml">′</mo></msup></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg3.l11.m1.1b"><apply id="alg3.l11.m1.1.1.cmml" xref="alg3.l11.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="alg3.l11.m1.1.1.1.cmml" xref="alg3.l11.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="alg3.l11.m1.1.1.2.cmml" xref="alg3.l11.m1.1.1.2">𝑋</ci><apply id="alg3.l11.m1.1.1.3.cmml" xref="alg3.l11.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="alg3.l11.m1.1.1.3.1.cmml" xref="alg3.l11.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="alg3.l11.m1.1.1.3.2.cmml" xref="alg3.l11.m1.1.1.3.2">𝑙</ci><ci id="alg3.l11.m1.1.1.3.3.cmml" xref="alg3.l11.m1.1.1.3.3">′</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg3.l11.m1.1c">X_{l^{\prime}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg3.l11.m1.1d">italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_l start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> </div> </div> </figure> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_remark" id="Thmremark4"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmremark4.1.1.1">Remark 4</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmremark4.2.2"> </span>(BPS and ZigZag)<span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmremark4.3.3">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmremark4.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmremark4.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmremark4.p1.1.1">For BPS and ZigZag, <math alttext="\Psi_{l}=1" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmremark4.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmremark4.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="Thmremark4.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmremark4.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><msub id="Thmremark4.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmremark4.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmremark4.p1.1.1.m1.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="Thmremark4.p1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">Ψ</mi><mi id="Thmremark4.p1.1.1.m1.1.1.2.3" xref="Thmremark4.p1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml">l</mi></msub><mo id="Thmremark4.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="Thmremark4.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="Thmremark4.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmremark4.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmremark4.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmremark4.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmremark4.p1.1.1.m1.1.1"><eq id="Thmremark4.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmremark4.p1.1.1.m1.1.1.1"></eq><apply id="Thmremark4.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmremark4.p1.1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmremark4.p1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmremark4.p1.1.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmremark4.p1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmremark4.p1.1.1.m1.1.1.2.2">Ψ</ci><ci id="Thmremark4.p1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmremark4.p1.1.1.m1.1.1.2.3">𝑙</ci></apply><cn id="Thmremark4.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmremark4.p1.1.1.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmremark4.p1.1.1.m1.1c">\Psi_{l}=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmremark4.p1.1.1.m1.1d">roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT = 1</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_theorem" id="Thmtheorem3"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem3.1.1.1">Theorem 3</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem3.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem3.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem3.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem3.p1.3.3">Assume that the exact process is a PDMP such that the reversal <math alttext="R_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1a"><msub id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">R</mi><mi id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1.2">𝑅</ci><ci id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1c">R_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1d">italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and its volume change <math alttext="\Psi_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1a"><msub id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.1.2" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">Ψ</mi><mi id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml">t</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.1.2">Ψ</ci><ci id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1c">\Psi_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1d">roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are continuous in <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1"><semantics id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1a"><mi id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1b"><ci id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1d">italic_t</annotation></semantics></math>.</span></p> <ol class="ltx_enumerate" id="S5.I2"> <li class="ltx_item" id="S5.I2.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">1.</span> <div class="ltx_para" id="S5.I2.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="S5.I2.i1.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S5.I2.i1.p1.1.1">Algorithm </span><a class="ltx_ref ltx_font_italic" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#alg3" title="Algorithm 3 ‣ 5 Doubly-Adaptive PDMP Samplers ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S5.I2.i1.p1.1.2"> defines a Markov chain with </span><math alttext="\pi" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.I2.i1.p1.1.m1.1"><semantics id="S5.I2.i1.p1.1.m1.1a"><mi id="S5.I2.i1.p1.1.m1.1.1" xref="S5.I2.i1.p1.1.m1.1.1.cmml">π</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.I2.i1.p1.1.m1.1b"><ci id="S5.I2.i1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.I2.i1.p1.1.m1.1.1">𝜋</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.I2.i1.p1.1.m1.1c">\pi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.I2.i1.p1.1.m1.1d">italic_π</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S5.I2.i1.p1.1.3"> as an invariant distribution.</span></p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S5.I2.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">2.</span> <div class="ltx_para" id="S5.I2.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="S5.I2.i2.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S5.I2.i2.p1.1.1">Furthermore, if </span><math alttext="\pi" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.I2.i2.p1.1.m1.1"><semantics id="S5.I2.i2.p1.1.m1.1a"><mi id="S5.I2.i2.p1.1.m1.1.1" xref="S5.I2.i2.p1.1.m1.1.1.cmml">π</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.I2.i2.p1.1.m1.1b"><ci id="S5.I2.i2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.I2.i2.p1.1.m1.1.1">𝜋</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.I2.i2.p1.1.m1.1c">\pi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.I2.i2.p1.1.m1.1d">italic_π</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S5.I2.i2.p1.1.2"> is the invariant distribution of the exact process and if the approximated process is the exact process, the acceptance probability is 1.</span></p> </div> </li> </ol> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S5.2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="S5.2.p1"> <p class="ltx_p" id="S5.2.p1.1">This is a direct consequence of Proposition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#Thmproposition10" title="Proposition 10. ‣ 5 Doubly-Adaptive PDMP Samplers ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">10</span></a>. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_pagination ltx_role_newpage"></div> </section> <section class="ltx_section" id="S6"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">6 </span>Experiments</h2> <div class="ltx_para" id="S6.p1"> <p class="ltx_p" id="S6.p1.1">The experiments are divided into two main parts. Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S6.SS1" title="6.1 Dimensionality scaling ‣ 6 Experiments ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6.1</span></a> analyzes the dimensionality scaling of our algorithms and compares it to the exact PDMP in some stylised settings for which the ideal PDMP can be simulated exactly. We demonstrate that in terms of the computational complexity required to obtain an independent sample in high dimension, there is no substantial loss of efficiency relative to the exact PDMP.independant</p> </div> <div class="ltx_para" id="S6.p2"> <p class="ltx_p" id="S6.p2.1">Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S6.SS2" title="6.2 Funnel distribution ‣ 6 Experiments ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6.2</span></a> examines the performance of our algorithms on a challenging funnel distribution example, for which exact simulation of the ideal PDMP is considerably more involved. Our experiments then highlight the importance of local adaptivity in both step size and path lengths, and shows that our approach outperforms HMC.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S6.p3"> <p class="ltx_p" id="S6.p3.1">Since Bouncy Particle Sampler is the most common PDMP sampler, our experiments are based on it.</p> </div> <section class="ltx_subsection" id="S6.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">6.1 </span>Dimensionality scaling</h3> <div class="ltx_para" id="S6.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S6.SS1.p1.2">In this section, we study the sampling of the <math alttext="d" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS1.p1.1.m1.1"><semantics id="S6.SS1.p1.1.m1.1a"><mi id="S6.SS1.p1.1.m1.1.1" xref="S6.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml">d</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS1.p1.1.m1.1b"><ci id="S6.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p1.1.m1.1.1">𝑑</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS1.p1.1.m1.1c">d</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS1.p1.1.m1.1d">italic_d</annotation></semantics></math>-dimensional multivariate normal distribution <math alttext="\mathcal{N}(0_{d},I_{d})" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS1.p1.2.m2.2"><semantics id="S6.SS1.p1.2.m2.2a"><mrow id="S6.SS1.p1.2.m2.2.2" xref="S6.SS1.p1.2.m2.2.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S6.SS1.p1.2.m2.2.2.4" xref="S6.SS1.p1.2.m2.2.2.4.cmml">𝒩</mi><mo id="S6.SS1.p1.2.m2.2.2.3" xref="S6.SS1.p1.2.m2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2" xref="S6.SS1.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S6.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S6.SS1.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S6.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S6.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S6.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S6.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">0</mn><mi id="S6.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S6.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">d</mi></msub><mo id="S6.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.4" xref="S6.SS1.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S6.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.2" xref="S6.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S6.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.2" xref="S6.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.2.cmml">I</mi><mi id="S6.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3" xref="S6.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3.cmml">d</mi></msub><mo id="S6.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S6.SS1.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS1.p1.2.m2.2b"><apply id="S6.SS1.p1.2.m2.2.2.cmml" xref="S6.SS1.p1.2.m2.2.2"><times id="S6.SS1.p1.2.m2.2.2.3.cmml" xref="S6.SS1.p1.2.m2.2.2.3"></times><ci id="S6.SS1.p1.2.m2.2.2.4.cmml" xref="S6.SS1.p1.2.m2.2.2.4">𝒩</ci><interval closure="open" id="S6.SS1.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S6.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2"><apply id="S6.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><cn id="S6.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S6.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2">0</cn><ci id="S6.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3">𝑑</ci></apply><apply id="S6.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S6.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S6.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S6.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S6.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.2">𝐼</ci><ci id="S6.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S6.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3">𝑑</ci></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS1.p1.2.m2.2c">\mathcal{N}(0_{d},I_{d})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS1.p1.2.m2.2d">caligraphic_N ( 0 start_POSTSUBSCRIPT italic_d end_POSTSUBSCRIPT , italic_I start_POSTSUBSCRIPT italic_d end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>. We use the Effective Sample Size (ESS) on the first coordinate as a quality metric of the generated samples. For exact PDMPs, the complexity is the number of events, while for approximated PDMPs, the complexity is the number of gradient evaluations.</p> </div> <section class="ltx_subsubsection" id="S6.SS1.SSS1"> <h4 class="ltx_title ltx_title_subsubsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsubsection">6.1.1 </span>Exact BPS-NUTS</h4> <div class="ltx_para" id="S6.SS1.SSS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S6.SS1.SSS1.p1.3">In the case of a multivariate normal distribution <math alttext="\mathcal{N}(0_{d},I_{d})" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS1.SSS1.p1.1.m1.2"><semantics id="S6.SS1.SSS1.p1.1.m1.2a"><mrow id="S6.SS1.SSS1.p1.1.m1.2.2" xref="S6.SS1.SSS1.p1.1.m1.2.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S6.SS1.SSS1.p1.1.m1.2.2.4" xref="S6.SS1.SSS1.p1.1.m1.2.2.4.cmml">𝒩</mi><mo id="S6.SS1.SSS1.p1.1.m1.2.2.3" xref="S6.SS1.SSS1.p1.1.m1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.SS1.SSS1.p1.1.m1.2.2.2.2" xref="S6.SS1.SSS1.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S6.SS1.SSS1.p1.1.m1.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S6.SS1.SSS1.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S6.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S6.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S6.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">0</mn><mi id="S6.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">d</mi></msub><mo id="S6.SS1.SSS1.p1.1.m1.2.2.2.2.4" xref="S6.SS1.SSS1.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S6.SS1.SSS1.p1.1.m1.2.2.2.2.2" xref="S6.SS1.SSS1.p1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S6.SS1.SSS1.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S6.SS1.SSS1.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">I</mi><mi id="S6.SS1.SSS1.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3" xref="S6.SS1.SSS1.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">d</mi></msub><mo id="S6.SS1.SSS1.p1.1.m1.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S6.SS1.SSS1.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS1.SSS1.p1.1.m1.2b"><apply id="S6.SS1.SSS1.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S6.SS1.SSS1.p1.1.m1.2.2"><times id="S6.SS1.SSS1.p1.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S6.SS1.SSS1.p1.1.m1.2.2.3"></times><ci id="S6.SS1.SSS1.p1.1.m1.2.2.4.cmml" xref="S6.SS1.SSS1.p1.1.m1.2.2.4">𝒩</ci><interval closure="open" id="S6.SS1.SSS1.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S6.SS1.SSS1.p1.1.m1.2.2.2.2"><apply id="S6.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><cn id="S6.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S6.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2">0</cn><ci id="S6.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3">𝑑</ci></apply><apply id="S6.SS1.SSS1.p1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S6.SS1.SSS1.p1.1.m1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.SS1.SSS1.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S6.SS1.SSS1.p1.1.m1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S6.SS1.SSS1.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S6.SS1.SSS1.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2">𝐼</ci><ci id="S6.SS1.SSS1.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S6.SS1.SSS1.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3">𝑑</ci></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS1.SSS1.p1.1.m1.2c">\mathcal{N}(0_{d},I_{d})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS1.SSS1.p1.1.m1.2d">caligraphic_N ( 0 start_POSTSUBSCRIPT italic_d end_POSTSUBSCRIPT , italic_I start_POSTSUBSCRIPT italic_d end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>, BPS is expected to require <math alttext="O(\sqrt{d})" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS1.SSS1.p1.2.m2.1"><semantics id="S6.SS1.SSS1.p1.2.m2.1a"><mrow id="S6.SS1.SSS1.p1.2.m2.1.2" xref="S6.SS1.SSS1.p1.2.m2.1.2.cmml"><mi id="S6.SS1.SSS1.p1.2.m2.1.2.2" xref="S6.SS1.SSS1.p1.2.m2.1.2.2.cmml">O</mi><mo id="S6.SS1.SSS1.p1.2.m2.1.2.1" xref="S6.SS1.SSS1.p1.2.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.SS1.SSS1.p1.2.m2.1.2.3.2" xref="S6.SS1.SSS1.p1.2.m2.1.1.cmml"><mo id="S6.SS1.SSS1.p1.2.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.SS1.SSS1.p1.2.m2.1.1.cmml">(</mo><msqrt id="S6.SS1.SSS1.p1.2.m2.1.1" xref="S6.SS1.SSS1.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S6.SS1.SSS1.p1.2.m2.1.1.2" xref="S6.SS1.SSS1.p1.2.m2.1.1.2.cmml">d</mi></msqrt><mo id="S6.SS1.SSS1.p1.2.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.SS1.SSS1.p1.2.m2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS1.SSS1.p1.2.m2.1b"><apply id="S6.SS1.SSS1.p1.2.m2.1.2.cmml" xref="S6.SS1.SSS1.p1.2.m2.1.2"><times id="S6.SS1.SSS1.p1.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S6.SS1.SSS1.p1.2.m2.1.2.1"></times><ci id="S6.SS1.SSS1.p1.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S6.SS1.SSS1.p1.2.m2.1.2.2">𝑂</ci><apply id="S6.SS1.SSS1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S6.SS1.SSS1.p1.2.m2.1.2.3.2"><root id="S6.SS1.SSS1.p1.2.m2.1.1a.cmml" xref="S6.SS1.SSS1.p1.2.m2.1.2.3.2"></root><ci id="S6.SS1.SSS1.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S6.SS1.SSS1.p1.2.m2.1.1.2">𝑑</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS1.SSS1.p1.2.m2.1c">O(\sqrt{d})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS1.SSS1.p1.2.m2.1d">italic_O ( square-root start_ARG italic_d end_ARG )</annotation></semantics></math> events per independent sample (see <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#bib.bib25" title="">25</a>]</cite> for a detailed analysis). We expect the <math alttext="O(\sqrt{d})" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS1.SSS1.p1.3.m3.1"><semantics id="S6.SS1.SSS1.p1.3.m3.1a"><mrow id="S6.SS1.SSS1.p1.3.m3.1.2" xref="S6.SS1.SSS1.p1.3.m3.1.2.cmml"><mi id="S6.SS1.SSS1.p1.3.m3.1.2.2" xref="S6.SS1.SSS1.p1.3.m3.1.2.2.cmml">O</mi><mo id="S6.SS1.SSS1.p1.3.m3.1.2.1" xref="S6.SS1.SSS1.p1.3.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.SS1.SSS1.p1.3.m3.1.2.3.2" xref="S6.SS1.SSS1.p1.3.m3.1.1.cmml"><mo id="S6.SS1.SSS1.p1.3.m3.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.SS1.SSS1.p1.3.m3.1.1.cmml">(</mo><msqrt id="S6.SS1.SSS1.p1.3.m3.1.1" xref="S6.SS1.SSS1.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S6.SS1.SSS1.p1.3.m3.1.1.2" xref="S6.SS1.SSS1.p1.3.m3.1.1.2.cmml">d</mi></msqrt><mo id="S6.SS1.SSS1.p1.3.m3.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.SS1.SSS1.p1.3.m3.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS1.SSS1.p1.3.m3.1b"><apply id="S6.SS1.SSS1.p1.3.m3.1.2.cmml" xref="S6.SS1.SSS1.p1.3.m3.1.2"><times id="S6.SS1.SSS1.p1.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S6.SS1.SSS1.p1.3.m3.1.2.1"></times><ci id="S6.SS1.SSS1.p1.3.m3.1.2.2.cmml" xref="S6.SS1.SSS1.p1.3.m3.1.2.2">𝑂</ci><apply id="S6.SS1.SSS1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S6.SS1.SSS1.p1.3.m3.1.2.3.2"><root id="S6.SS1.SSS1.p1.3.m3.1.1a.cmml" xref="S6.SS1.SSS1.p1.3.m3.1.2.3.2"></root><ci id="S6.SS1.SSS1.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S6.SS1.SSS1.p1.3.m3.1.1.2">𝑑</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS1.SSS1.p1.3.m3.1c">O(\sqrt{d})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS1.SSS1.p1.3.m3.1d">italic_O ( square-root start_ARG italic_d end_ARG )</annotation></semantics></math> scaling to hold for the NUTS version of exact BPS.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_remark" id="Thmremark5"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmremark5.1.1.1">Remark 5</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmremark5.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmremark5.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmremark5.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmremark5.p1.1.1">For Gaussian targets, the order 1 approximation of the rate is exact. Hence we studied the scaling properties of exact BPS-NUTS using the order 1 rate approximation using a large step size.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S6.SS1.SSS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S6.SS1.SSS1.p2.2">Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S6.F1" title="Figure 1 ‣ 6.1.1 Exact BPS-NUTS ‣ 6.1 Dimensionality scaling ‣ 6 Experiments ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> shows the behavior of exact BPS using the No-U-Turn stopping criterion. A few key observations can be made. First, Plots (a) and (b) indicate that the <math alttext="O(\sqrt{d})" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS1.SSS1.p2.1.m1.1"><semantics id="S6.SS1.SSS1.p2.1.m1.1a"><mrow id="S6.SS1.SSS1.p2.1.m1.1.2" xref="S6.SS1.SSS1.p2.1.m1.1.2.cmml"><mi id="S6.SS1.SSS1.p2.1.m1.1.2.2" xref="S6.SS1.SSS1.p2.1.m1.1.2.2.cmml">O</mi><mo id="S6.SS1.SSS1.p2.1.m1.1.2.1" xref="S6.SS1.SSS1.p2.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.SS1.SSS1.p2.1.m1.1.2.3.2" xref="S6.SS1.SSS1.p2.1.m1.1.1.cmml"><mo id="S6.SS1.SSS1.p2.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.SS1.SSS1.p2.1.m1.1.1.cmml">(</mo><msqrt id="S6.SS1.SSS1.p2.1.m1.1.1" xref="S6.SS1.SSS1.p2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S6.SS1.SSS1.p2.1.m1.1.1.2" xref="S6.SS1.SSS1.p2.1.m1.1.1.2.cmml">d</mi></msqrt><mo id="S6.SS1.SSS1.p2.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.SS1.SSS1.p2.1.m1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS1.SSS1.p2.1.m1.1b"><apply id="S6.SS1.SSS1.p2.1.m1.1.2.cmml" xref="S6.SS1.SSS1.p2.1.m1.1.2"><times id="S6.SS1.SSS1.p2.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S6.SS1.SSS1.p2.1.m1.1.2.1"></times><ci id="S6.SS1.SSS1.p2.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S6.SS1.SSS1.p2.1.m1.1.2.2">𝑂</ci><apply id="S6.SS1.SSS1.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.SS1.SSS1.p2.1.m1.1.2.3.2"><root id="S6.SS1.SSS1.p2.1.m1.1.1a.cmml" xref="S6.SS1.SSS1.p2.1.m1.1.2.3.2"></root><ci id="S6.SS1.SSS1.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.SS1.SSS1.p2.1.m1.1.1.2">𝑑</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS1.SSS1.p2.1.m1.1c">O(\sqrt{d})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS1.SSS1.p2.1.m1.1d">italic_O ( square-root start_ARG italic_d end_ARG )</annotation></semantics></math> scaling holds. The ESS per NUTS-step is roughly constant with the dimension and the number of PDMP events simulated per NUTS step is roughly scaling as <math alttext="O(\sqrt{d})" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS1.SSS1.p2.2.m2.1"><semantics id="S6.SS1.SSS1.p2.2.m2.1a"><mrow id="S6.SS1.SSS1.p2.2.m2.1.2" xref="S6.SS1.SSS1.p2.2.m2.1.2.cmml"><mi id="S6.SS1.SSS1.p2.2.m2.1.2.2" xref="S6.SS1.SSS1.p2.2.m2.1.2.2.cmml">O</mi><mo id="S6.SS1.SSS1.p2.2.m2.1.2.1" xref="S6.SS1.SSS1.p2.2.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.SS1.SSS1.p2.2.m2.1.2.3.2" xref="S6.SS1.SSS1.p2.2.m2.1.1.cmml"><mo id="S6.SS1.SSS1.p2.2.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.SS1.SSS1.p2.2.m2.1.1.cmml">(</mo><msqrt id="S6.SS1.SSS1.p2.2.m2.1.1" xref="S6.SS1.SSS1.p2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S6.SS1.SSS1.p2.2.m2.1.1.2" xref="S6.SS1.SSS1.p2.2.m2.1.1.2.cmml">d</mi></msqrt><mo id="S6.SS1.SSS1.p2.2.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.SS1.SSS1.p2.2.m2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS1.SSS1.p2.2.m2.1b"><apply id="S6.SS1.SSS1.p2.2.m2.1.2.cmml" xref="S6.SS1.SSS1.p2.2.m2.1.2"><times id="S6.SS1.SSS1.p2.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S6.SS1.SSS1.p2.2.m2.1.2.1"></times><ci id="S6.SS1.SSS1.p2.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S6.SS1.SSS1.p2.2.m2.1.2.2">𝑂</ci><apply id="S6.SS1.SSS1.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S6.SS1.SSS1.p2.2.m2.1.2.3.2"><root id="S6.SS1.SSS1.p2.2.m2.1.1a.cmml" xref="S6.SS1.SSS1.p2.2.m2.1.2.3.2"></root><ci id="S6.SS1.SSS1.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S6.SS1.SSS1.p2.2.m2.1.1.2">𝑑</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS1.SSS1.p2.2.m2.1c">O(\sqrt{d})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS1.SSS1.p2.2.m2.1d">italic_O ( square-root start_ARG italic_d end_ARG )</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S6.SS1.SSS1.p3"> <p class="ltx_p" id="S6.SS1.SSS1.p3.1">Second, as noted in Remark <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#Thmremark5" title="Remark 5. ‣ 6.1.1 Exact BPS-NUTS ‣ 6.1 Dimensionality scaling ‣ 6 Experiments ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a>, the order 1 approximation is used instead of the exact process. We can then see on (c) and (d) of Figure 1, that the overhead introduced by computing the approximate process (which is exact in this case) is between 7 and 8, that is each event requires around 7-8 gradient evaluations. Our code is not optimized, and we believe it should be possible in general to reduce this number by an additional factor of three or so.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S6.F1"> <div class="ltx_flex_figure"> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_2"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S6.F1.1"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_landscape" height="175" id="S6.F1.1.g1" src="extracted/6281041/scaling/ESS_per_step_order1_NUTS.png" width="234"/> </figure> </div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_2"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S6.F1.2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_landscape" height="175" id="S6.F1.2.g1" src="extracted/6281041/scaling/events_per_step_order1_NUTS.png" width="234"/> </figure> </div> <div class="ltx_flex_break"></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_2"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S6.F1.3"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_landscape" height="175" id="S6.F1.3.g1" src="extracted/6281041/scaling/complexity_per_event_order1_NUTS.png" width="234"/> </figure> </div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_2"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S6.F1.4"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_landscape" height="175" id="S6.F1.4.g1" src="extracted/6281041/scaling/complexity_per_step_order1_NUTS.png" width="234"/> </figure> </div> </div> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure 1: </span>Gaussian targets, order 1 approximation, 1000 NUTS-BPS steps, for various dimensions.</figcaption> </figure> </section> <section class="ltx_subsubsection" id="S6.SS1.SSS2"> <h4 class="ltx_title ltx_title_subsubsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsubsection">6.1.2 </span>BPS-NUTS with no step-size adaptivity</h4> <div class="ltx_para" id="S6.SS1.SSS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S6.SS1.SSS2.p1.1">The aim of this experiment is to investigate the impact of the step size <math alttext="h" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS1.SSS2.p1.1.m1.1"><semantics id="S6.SS1.SSS2.p1.1.m1.1a"><mi id="S6.SS1.SSS2.p1.1.m1.1.1" xref="S6.SS1.SSS2.p1.1.m1.1.1.cmml">h</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS1.SSS2.p1.1.m1.1b"><ci id="S6.SS1.SSS2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.SS1.SSS2.p1.1.m1.1.1">ℎ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS1.SSS2.p1.1.m1.1c">h</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS1.SSS2.p1.1.m1.1d">italic_h</annotation></semantics></math> in the approximation, using the No-U-Turn criterion. We assume a piecewise constant approximation of the rate function (order 0) so our BPS approximation is not exact. Specifically, we seek to determine:</p> <ol class="ltx_enumerate" id="S6.I1"> <li class="ltx_item" id="S6.I1.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">1.</span> <div class="ltx_para" id="S6.I1.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="S6.I1.i1.p1.2">Whether the optimal value of <math alttext="h" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.I1.i1.p1.1.m1.1"><semantics id="S6.I1.i1.p1.1.m1.1a"><mi id="S6.I1.i1.p1.1.m1.1.1" xref="S6.I1.i1.p1.1.m1.1.1.cmml">h</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.I1.i1.p1.1.m1.1b"><ci id="S6.I1.i1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.I1.i1.p1.1.m1.1.1">ℎ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.I1.i1.p1.1.m1.1c">h</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.I1.i1.p1.1.m1.1d">italic_h</annotation></semantics></math> varies with the dimension <math alttext="d" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.I1.i1.p1.2.m2.1"><semantics id="S6.I1.i1.p1.2.m2.1a"><mi id="S6.I1.i1.p1.2.m2.1.1" xref="S6.I1.i1.p1.2.m2.1.1.cmml">d</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.I1.i1.p1.2.m2.1b"><ci id="S6.I1.i1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S6.I1.i1.p1.2.m2.1.1">𝑑</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.I1.i1.p1.2.m2.1c">d</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.I1.i1.p1.2.m2.1d">italic_d</annotation></semantics></math>.</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S6.I1.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">2.</span> <div class="ltx_para" id="S6.I1.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="S6.I1.i2.p1.2">Whether the acceptance rate for the optimal <math alttext="h" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.I1.i2.p1.1.m1.1"><semantics id="S6.I1.i2.p1.1.m1.1a"><mi id="S6.I1.i2.p1.1.m1.1.1" xref="S6.I1.i2.p1.1.m1.1.1.cmml">h</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.I1.i2.p1.1.m1.1b"><ci id="S6.I1.i2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.I1.i2.p1.1.m1.1.1">ℎ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.I1.i2.p1.1.m1.1c">h</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.I1.i2.p1.1.m1.1d">italic_h</annotation></semantics></math> changes with <math alttext="d" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.I1.i2.p1.2.m2.1"><semantics id="S6.I1.i2.p1.2.m2.1a"><mi id="S6.I1.i2.p1.2.m2.1.1" xref="S6.I1.i2.p1.2.m2.1.1.cmml">d</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.I1.i2.p1.2.m2.1b"><ci id="S6.I1.i2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S6.I1.i2.p1.2.m2.1.1">𝑑</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.I1.i2.p1.2.m2.1c">d</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.I1.i2.p1.2.m2.1d">italic_d</annotation></semantics></math>.</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S6.I1.i3" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">3.</span> <div class="ltx_para" id="S6.I1.i3.p1"> <p class="ltx_p" id="S6.I1.i3.p1.1">Whether the complexity scaling remains <math alttext="O(\sqrt{d})" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.I1.i3.p1.1.m1.1"><semantics id="S6.I1.i3.p1.1.m1.1a"><mrow id="S6.I1.i3.p1.1.m1.1.2" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.1.2.cmml"><mi id="S6.I1.i3.p1.1.m1.1.2.2" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.1.2.2.cmml">O</mi><mo id="S6.I1.i3.p1.1.m1.1.2.1" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.I1.i3.p1.1.m1.1.2.3.2" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.cmml"><mo id="S6.I1.i3.p1.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.cmml">(</mo><msqrt id="S6.I1.i3.p1.1.m1.1.1" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.2" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.2.cmml">d</mi></msqrt><mo id="S6.I1.i3.p1.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.I1.i3.p1.1.m1.1b"><apply id="S6.I1.i3.p1.1.m1.1.2.cmml" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.1.2"><times id="S6.I1.i3.p1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.1.2.1"></times><ci id="S6.I1.i3.p1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.1.2.2">𝑂</ci><apply id="S6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.1.2.3.2"><root id="S6.I1.i3.p1.1.m1.1.1a.cmml" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.1.2.3.2"></root><ci id="S6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.2">𝑑</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.I1.i3.p1.1.m1.1c">O(\sqrt{d})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.I1.i3.p1.1.m1.1d">italic_O ( square-root start_ARG italic_d end_ARG )</annotation></semantics></math>.</p> </div> </li> </ol> </div> <div class="ltx_para" id="S6.SS1.SSS2.p2"> <p class="ltx_p" id="S6.SS1.SSS2.p2.4">In our BPS implementation, we have chosen the velocity <math alttext="v" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS1.SSS2.p2.1.m1.1"><semantics id="S6.SS1.SSS2.p2.1.m1.1a"><mi id="S6.SS1.SSS2.p2.1.m1.1.1" xref="S6.SS1.SSS2.p2.1.m1.1.1.cmml">v</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS1.SSS2.p2.1.m1.1b"><ci id="S6.SS1.SSS2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.SS1.SSS2.p2.1.m1.1.1">𝑣</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS1.SSS2.p2.1.m1.1c">v</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS1.SSS2.p2.1.m1.1d">italic_v</annotation></semantics></math> to have a norm of 1. This implies that the component of <math alttext="v" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS1.SSS2.p2.2.m2.1"><semantics id="S6.SS1.SSS2.p2.2.m2.1a"><mi id="S6.SS1.SSS2.p2.2.m2.1.1" xref="S6.SS1.SSS2.p2.2.m2.1.1.cmml">v</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS1.SSS2.p2.2.m2.1b"><ci id="S6.SS1.SSS2.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S6.SS1.SSS2.p2.2.m2.1.1">𝑣</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS1.SSS2.p2.2.m2.1c">v</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS1.SSS2.p2.2.m2.1d">italic_v</annotation></semantics></math> in any specific direction decreases with the dimension as <math alttext="O(\sqrt{d})" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS1.SSS2.p2.3.m3.1"><semantics id="S6.SS1.SSS2.p2.3.m3.1a"><mrow id="S6.SS1.SSS2.p2.3.m3.1.2" xref="S6.SS1.SSS2.p2.3.m3.1.2.cmml"><mi id="S6.SS1.SSS2.p2.3.m3.1.2.2" xref="S6.SS1.SSS2.p2.3.m3.1.2.2.cmml">O</mi><mo id="S6.SS1.SSS2.p2.3.m3.1.2.1" xref="S6.SS1.SSS2.p2.3.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.SS1.SSS2.p2.3.m3.1.2.3.2" xref="S6.SS1.SSS2.p2.3.m3.1.1.cmml"><mo id="S6.SS1.SSS2.p2.3.m3.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.SS1.SSS2.p2.3.m3.1.1.cmml">(</mo><msqrt id="S6.SS1.SSS2.p2.3.m3.1.1" xref="S6.SS1.SSS2.p2.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S6.SS1.SSS2.p2.3.m3.1.1.2" xref="S6.SS1.SSS2.p2.3.m3.1.1.2.cmml">d</mi></msqrt><mo id="S6.SS1.SSS2.p2.3.m3.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.SS1.SSS2.p2.3.m3.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS1.SSS2.p2.3.m3.1b"><apply id="S6.SS1.SSS2.p2.3.m3.1.2.cmml" xref="S6.SS1.SSS2.p2.3.m3.1.2"><times id="S6.SS1.SSS2.p2.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S6.SS1.SSS2.p2.3.m3.1.2.1"></times><ci id="S6.SS1.SSS2.p2.3.m3.1.2.2.cmml" xref="S6.SS1.SSS2.p2.3.m3.1.2.2">𝑂</ci><apply id="S6.SS1.SSS2.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S6.SS1.SSS2.p2.3.m3.1.2.3.2"><root id="S6.SS1.SSS2.p2.3.m3.1.1a.cmml" xref="S6.SS1.SSS2.p2.3.m3.1.2.3.2"></root><ci id="S6.SS1.SSS2.p2.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S6.SS1.SSS2.p2.3.m3.1.1.2">𝑑</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS1.SSS2.p2.3.m3.1c">O(\sqrt{d})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS1.SSS2.p2.3.m3.1d">italic_O ( square-root start_ARG italic_d end_ARG )</annotation></semantics></math>. The optimal step size <math alttext="h" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS1.SSS2.p2.4.m4.1"><semantics id="S6.SS1.SSS2.p2.4.m4.1a"><mi id="S6.SS1.SSS2.p2.4.m4.1.1" xref="S6.SS1.SSS2.p2.4.m4.1.1.cmml">h</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS1.SSS2.p2.4.m4.1b"><ci id="S6.SS1.SSS2.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S6.SS1.SSS2.p2.4.m4.1.1">ℎ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS1.SSS2.p2.4.m4.1c">h</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS1.SSS2.p2.4.m4.1d">italic_h</annotation></semantics></math> is determined using a grid search for each dimension, with the objective being to maximize the ESS in the first dimension divided by the computational complexity.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S6.F2"> <div class="ltx_flex_figure"> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_3"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S6.F2.1"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_landscape" height="181" id="S6.F2.1.g1" src="x1.png" width="240"/> </figure> </div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_3"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S6.F2.2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_landscape" height="189" id="S6.F2.2.g1" src="x2.png" width="241"/> </figure> </div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_3"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S6.F2.3"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_landscape" height="181" id="S6.F2.3.g1" src="x3.png" width="240"/> </figure> </div> </div> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure 2: </span>(a) Optimal scaling for the stepsize <math alttext="h" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.F2.7.m1.1"><semantics id="S6.F2.7.m1.1b"><mi id="S6.F2.7.m1.1.1" xref="S6.F2.7.m1.1.1.cmml">h</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.F2.7.m1.1c"><ci id="S6.F2.7.m1.1.1.cmml" xref="S6.F2.7.m1.1.1">ℎ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.F2.7.m1.1d">h</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.F2.7.m1.1e">italic_h</annotation></semantics></math>. (b) Acceptance rate for the optimal stepsize <math alttext="h" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.F2.8.m2.1"><semantics id="S6.F2.8.m2.1b"><mi id="S6.F2.8.m2.1.1" xref="S6.F2.8.m2.1.1.cmml">h</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.F2.8.m2.1c"><ci id="S6.F2.8.m2.1.1.cmml" xref="S6.F2.8.m2.1.1">ℎ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.F2.8.m2.1d">h</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.F2.8.m2.1e">italic_h</annotation></semantics></math>. (c) Scaling of the ESS/complexity for the optimal value of <math alttext="h" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.F2.9.m3.1"><semantics id="S6.F2.9.m3.1b"><mi id="S6.F2.9.m3.1.1" xref="S6.F2.9.m3.1.1.cmml">h</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.F2.9.m3.1c"><ci id="S6.F2.9.m3.1.1.cmml" xref="S6.F2.9.m3.1.1">ℎ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.F2.9.m3.1d">h</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.F2.9.m3.1e">italic_h</annotation></semantics></math>.</figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="S6.SS1.SSS2.p3"> <p class="ltx_p" id="S6.SS1.SSS2.p3.3">Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S6.F2" title="Figure 2 ‣ 6.1.2 BPS-NUTS with no step-size adaptivity ‣ 6.1 Dimensionality scaling ‣ 6 Experiments ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>(a) clearly indicates that the value of <math alttext="h" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS1.SSS2.p3.1.m1.1"><semantics id="S6.SS1.SSS2.p3.1.m1.1a"><mi id="S6.SS1.SSS2.p3.1.m1.1.1" xref="S6.SS1.SSS2.p3.1.m1.1.1.cmml">h</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS1.SSS2.p3.1.m1.1b"><ci id="S6.SS1.SSS2.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.SS1.SSS2.p3.1.m1.1.1">ℎ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS1.SSS2.p3.1.m1.1c">h</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS1.SSS2.p3.1.m1.1d">italic_h</annotation></semantics></math> should not be scaled with dimension. Moreover, the acceptance rate does not appear to converge to a non-zero value when using this optimal <math alttext="h" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS1.SSS2.p3.2.m2.1"><semantics id="S6.SS1.SSS2.p3.2.m2.1a"><mi id="S6.SS1.SSS2.p3.2.m2.1.1" xref="S6.SS1.SSS2.p3.2.m2.1.1.cmml">h</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS1.SSS2.p3.2.m2.1b"><ci id="S6.SS1.SSS2.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S6.SS1.SSS2.p3.2.m2.1.1">ℎ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS1.SSS2.p3.2.m2.1c">h</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS1.SSS2.p3.2.m2.1d">italic_h</annotation></semantics></math>, as shown in Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S6.F2" title="Figure 2 ‣ 6.1.2 BPS-NUTS with no step-size adaptivity ‣ 6.1 Dimensionality scaling ‣ 6 Experiments ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>(b). An optimal acceptance rate converging to <math alttext="0" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS1.SSS2.p3.3.m3.1"><semantics id="S6.SS1.SSS2.p3.3.m3.1a"><mn id="S6.SS1.SSS2.p3.3.m3.1.1" xref="S6.SS1.SSS2.p3.3.m3.1.1.cmml">0</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS1.SSS2.p3.3.m3.1b"><cn id="S6.SS1.SSS2.p3.3.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S6.SS1.SSS2.p3.3.m3.1.1">0</cn></annotation-xml></semantics></math> would represent a significant departure from the usual behavior of MCMC algorithms, such as Metropolis or HMC. Nevertheless, Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S6.F2" title="Figure 2 ‣ 6.1.2 BPS-NUTS with no step-size adaptivity ‣ 6.1 Dimensionality scaling ‣ 6 Experiments ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a> does not provide a definitive answer to this question, as the acceptance rate may converge to a non-zero value in higher dimensions.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S6.SS1.SSS2.p4"> <p class="ltx_p" id="S6.SS1.SSS2.p4.1">Finally, Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S6.F2" title="Figure 2 ‣ 6.1.2 BPS-NUTS with no step-size adaptivity ‣ 6.1 Dimensionality scaling ‣ 6 Experiments ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>(c) shows that the scaling of the ESS/complexity for BPS-NUTS is <math alttext="O(\sqrt{d})" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS1.SSS2.p4.1.m1.1"><semantics id="S6.SS1.SSS2.p4.1.m1.1a"><mrow id="S6.SS1.SSS2.p4.1.m1.1.2" xref="S6.SS1.SSS2.p4.1.m1.1.2.cmml"><mi id="S6.SS1.SSS2.p4.1.m1.1.2.2" xref="S6.SS1.SSS2.p4.1.m1.1.2.2.cmml">O</mi><mo id="S6.SS1.SSS2.p4.1.m1.1.2.1" xref="S6.SS1.SSS2.p4.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.SS1.SSS2.p4.1.m1.1.2.3.2" xref="S6.SS1.SSS2.p4.1.m1.1.1.cmml"><mo id="S6.SS1.SSS2.p4.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.SS1.SSS2.p4.1.m1.1.1.cmml">(</mo><msqrt id="S6.SS1.SSS2.p4.1.m1.1.1" xref="S6.SS1.SSS2.p4.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S6.SS1.SSS2.p4.1.m1.1.1.2" xref="S6.SS1.SSS2.p4.1.m1.1.1.2.cmml">d</mi></msqrt><mo id="S6.SS1.SSS2.p4.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.SS1.SSS2.p4.1.m1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS1.SSS2.p4.1.m1.1b"><apply id="S6.SS1.SSS2.p4.1.m1.1.2.cmml" xref="S6.SS1.SSS2.p4.1.m1.1.2"><times id="S6.SS1.SSS2.p4.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S6.SS1.SSS2.p4.1.m1.1.2.1"></times><ci id="S6.SS1.SSS2.p4.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S6.SS1.SSS2.p4.1.m1.1.2.2">𝑂</ci><apply id="S6.SS1.SSS2.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.SS1.SSS2.p4.1.m1.1.2.3.2"><root id="S6.SS1.SSS2.p4.1.m1.1.1a.cmml" xref="S6.SS1.SSS2.p4.1.m1.1.2.3.2"></root><ci id="S6.SS1.SSS2.p4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.SS1.SSS2.p4.1.m1.1.1.2">𝑑</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS1.SSS2.p4.1.m1.1c">O(\sqrt{d})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS1.SSS2.p4.1.m1.1d">italic_O ( square-root start_ARG italic_d end_ARG )</annotation></semantics></math> which matches the optimal BPS computational scaling for sampling a Gaussian distribution <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#bib.bib25" title="">25</a>]</cite>.</p> </div> </section> </section> <section class="ltx_subsection" id="S6.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">6.2 </span>Funnel distribution</h3> <div class="ltx_para" id="S6.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S6.SS2.p1.1">In this experiment, we show that our algorithms perform robustly when applied to the task of sampling from the funnel distribution, in the sense that without substantial hand-tuning, the algorithm is numerically stable and efficiently converges to the target distribution at a reasonable computational cost.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S6.SS2.p2"> <p class="ltx_p" id="S6.SS2.p2.1">The so-called funnel distribution is a toy problem that illustrates a common pathology in Bayesian hierarchical modeling <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#bib.bib19" title="">19</a>]</cite>. The posteriors in these models are characterized by a region of low volume with high density which fans out to a region of high volume and low density. This presents a challenging sampling problem as the sampler will need to adapt across the space. Traditional adaptation in HMC can be overly assertive <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#bib.bib26" title="">26</a>]</cite> and it is sometimes recommended to run a secondary chain at a smaller step size to ensure consistent inference.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S6.SS2.p3"> <p class="ltx_p" id="S6.SS2.p3.7">We study the 2d funnel <math alttext="x_{1}\sim\mathcal{N}(0,a^{2})" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS2.p3.1.m1.2"><semantics id="S6.SS2.p3.1.m1.2a"><mrow id="S6.SS2.p3.1.m1.2.2" xref="S6.SS2.p3.1.m1.2.2.cmml"><msub id="S6.SS2.p3.1.m1.2.2.3" xref="S6.SS2.p3.1.m1.2.2.3.cmml"><mi id="S6.SS2.p3.1.m1.2.2.3.2" xref="S6.SS2.p3.1.m1.2.2.3.2.cmml">x</mi><mn id="S6.SS2.p3.1.m1.2.2.3.3" xref="S6.SS2.p3.1.m1.2.2.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S6.SS2.p3.1.m1.2.2.2" xref="S6.SS2.p3.1.m1.2.2.2.cmml">∼</mo><mrow id="S6.SS2.p3.1.m1.2.2.1" xref="S6.SS2.p3.1.m1.2.2.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S6.SS2.p3.1.m1.2.2.1.3" xref="S6.SS2.p3.1.m1.2.2.1.3.cmml">𝒩</mi><mo id="S6.SS2.p3.1.m1.2.2.1.2" xref="S6.SS2.p3.1.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.SS2.p3.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S6.SS2.p3.1.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S6.SS2.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.SS2.p3.1.m1.2.2.1.1.2.cmml">(</mo><mn id="S6.SS2.p3.1.m1.1.1" xref="S6.SS2.p3.1.m1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S6.SS2.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S6.SS2.p3.1.m1.2.2.1.1.2.cmml">,</mo><msup id="S6.SS2.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S6.SS2.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.SS2.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S6.SS2.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">a</mi><mn id="S6.SS2.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S6.SS2.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S6.SS2.p3.1.m1.2.2.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S6.SS2.p3.1.m1.2.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS2.p3.1.m1.2b"><apply id="S6.SS2.p3.1.m1.2.2.cmml" xref="S6.SS2.p3.1.m1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S6.SS2.p3.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S6.SS2.p3.1.m1.2.2.2">similar-to</csymbol><apply id="S6.SS2.p3.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S6.SS2.p3.1.m1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.SS2.p3.1.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S6.SS2.p3.1.m1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S6.SS2.p3.1.m1.2.2.3.2.cmml" xref="S6.SS2.p3.1.m1.2.2.3.2">𝑥</ci><cn id="S6.SS2.p3.1.m1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.SS2.p3.1.m1.2.2.3.3">1</cn></apply><apply id="S6.SS2.p3.1.m1.2.2.1.cmml" xref="S6.SS2.p3.1.m1.2.2.1"><times id="S6.SS2.p3.1.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S6.SS2.p3.1.m1.2.2.1.2"></times><ci id="S6.SS2.p3.1.m1.2.2.1.3.cmml" xref="S6.SS2.p3.1.m1.2.2.1.3">𝒩</ci><interval closure="open" id="S6.SS2.p3.1.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S6.SS2.p3.1.m1.2.2.1.1.1"><cn id="S6.SS2.p3.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S6.SS2.p3.1.m1.1.1">0</cn><apply id="S6.SS2.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S6.SS2.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.SS2.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.SS2.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S6.SS2.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.SS2.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.2">𝑎</ci><cn id="S6.SS2.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.SS2.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.3">2</cn></apply></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS2.p3.1.m1.2c">x_{1}\sim\mathcal{N}(0,a^{2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS2.p3.1.m1.2d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ∼ caligraphic_N ( 0 , italic_a start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> and <math alttext="x_{2}\sim\mathcal{N}(0,e^{\frac{x_{1}}{b}})" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS2.p3.2.m2.2"><semantics id="S6.SS2.p3.2.m2.2a"><mrow id="S6.SS2.p3.2.m2.2.2" xref="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.cmml"><msub id="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.3" xref="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.3.cmml"><mi id="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.3.2" xref="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.3.2.cmml">x</mi><mn id="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.3.3" xref="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.3.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.2" xref="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.2.cmml">∼</mo><mrow id="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.1" xref="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.1.3" xref="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.1.3.cmml">𝒩</mi><mo id="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.1.2" xref="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.1.1.1" xref="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.1.1.2.cmml">(</mo><mn id="S6.SS2.p3.2.m2.1.1" xref="S6.SS2.p3.2.m2.1.1.cmml">0</mn><mo id="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.1.1.1.3" xref="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.1.1.2.cmml">,</mo><msup id="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1" xref="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">e</mi><mfrac id="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">x</mi><mn id="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.3" xref="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mi id="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">b</mi></mfrac></msup><mo id="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS2.p3.2.m2.2b"><apply id="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.cmml" xref="S6.SS2.p3.2.m2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.2.cmml" xref="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.2">similar-to</csymbol><apply id="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.3.cmml" xref="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.3.1.cmml" xref="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.3.2.cmml" xref="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.3.2">𝑥</ci><cn id="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.3.3">2</cn></apply><apply id="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.1.cmml" xref="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.1"><times id="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.1.2.cmml" xref="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.1.2"></times><ci id="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.1.3.cmml" xref="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.1.3">𝒩</ci><interval closure="open" id="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.1.1.1"><cn id="S6.SS2.p3.2.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S6.SS2.p3.2.m2.1.1">0</cn><apply id="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1.2">𝑒</ci><apply id="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1.3"><divide id="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1.3"></divide><apply id="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.2">𝑥</ci><cn id="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.3">1</cn></apply><ci id="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S6.SS2.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.3">𝑏</ci></apply></apply></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS2.p3.2.m2.2c">x_{2}\sim\mathcal{N}(0,e^{\frac{x_{1}}{b}})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS2.p3.2.m2.2d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ∼ caligraphic_N ( 0 , italic_e start_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_b end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> parameterized by <math alttext="a" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS2.p3.3.m3.1"><semantics id="S6.SS2.p3.3.m3.1a"><mi id="S6.SS2.p3.3.m3.1.1" xref="S6.SS2.p3.3.m3.1.1.cmml">a</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS2.p3.3.m3.1b"><ci id="S6.SS2.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S6.SS2.p3.3.m3.1.1">𝑎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS2.p3.3.m3.1c">a</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS2.p3.3.m3.1d">italic_a</annotation></semantics></math> and <math alttext="b" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS2.p3.4.m4.1"><semantics id="S6.SS2.p3.4.m4.1a"><mi id="S6.SS2.p3.4.m4.1.1" xref="S6.SS2.p3.4.m4.1.1.cmml">b</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS2.p3.4.m4.1b"><ci id="S6.SS2.p3.4.m4.1.1.cmml" xref="S6.SS2.p3.4.m4.1.1">𝑏</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS2.p3.4.m4.1c">b</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS2.p3.4.m4.1d">italic_b</annotation></semantics></math> in <math alttext="\mathbb{R}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS2.p3.5.m5.1"><semantics id="S6.SS2.p3.5.m5.1a"><mi id="S6.SS2.p3.5.m5.1.1" xref="S6.SS2.p3.5.m5.1.1.cmml">ℝ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS2.p3.5.m5.1b"><ci id="S6.SS2.p3.5.m5.1.1.cmml" xref="S6.SS2.p3.5.m5.1.1">ℝ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS2.p3.5.m5.1c">\mathbb{R}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS2.p3.5.m5.1d">blackboard_R</annotation></semantics></math>. First, we showcase the effect of the adaptation on the step size in Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S6.F3" title="Figure 3 ‣ 6.2 Funnel distribution ‣ 6 Experiments ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>, for <math alttext="a=3" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS2.p3.6.m6.1"><semantics id="S6.SS2.p3.6.m6.1a"><mrow id="S6.SS2.p3.6.m6.1.1" xref="S6.SS2.p3.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S6.SS2.p3.6.m6.1.1.2" xref="S6.SS2.p3.6.m6.1.1.2.cmml">a</mi><mo id="S6.SS2.p3.6.m6.1.1.1" xref="S6.SS2.p3.6.m6.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S6.SS2.p3.6.m6.1.1.3" xref="S6.SS2.p3.6.m6.1.1.3.cmml">3</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS2.p3.6.m6.1b"><apply id="S6.SS2.p3.6.m6.1.1.cmml" xref="S6.SS2.p3.6.m6.1.1"><eq id="S6.SS2.p3.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S6.SS2.p3.6.m6.1.1.1"></eq><ci id="S6.SS2.p3.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S6.SS2.p3.6.m6.1.1.2">𝑎</ci><cn id="S6.SS2.p3.6.m6.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.SS2.p3.6.m6.1.1.3">3</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS2.p3.6.m6.1c">a=3</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS2.p3.6.m6.1d">italic_a = 3</annotation></semantics></math> and <math alttext="b=2" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS2.p3.7.m7.1"><semantics id="S6.SS2.p3.7.m7.1a"><mrow id="S6.SS2.p3.7.m7.1.1" xref="S6.SS2.p3.7.m7.1.1.cmml"><mi id="S6.SS2.p3.7.m7.1.1.2" xref="S6.SS2.p3.7.m7.1.1.2.cmml">b</mi><mo id="S6.SS2.p3.7.m7.1.1.1" xref="S6.SS2.p3.7.m7.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S6.SS2.p3.7.m7.1.1.3" xref="S6.SS2.p3.7.m7.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS2.p3.7.m7.1b"><apply id="S6.SS2.p3.7.m7.1.1.cmml" xref="S6.SS2.p3.7.m7.1.1"><eq id="S6.SS2.p3.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S6.SS2.p3.7.m7.1.1.1"></eq><ci id="S6.SS2.p3.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S6.SS2.p3.7.m7.1.1.2">𝑏</ci><cn id="S6.SS2.p3.7.m7.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.SS2.p3.7.m7.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS2.p3.7.m7.1c">b=2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS2.p3.7.m7.1d">italic_b = 2</annotation></semantics></math>.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S6.F3"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="311" id="S6.F3.g1" src="x4.png" width="415"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure 3: </span>An example trajectory in a funnel for MHBPS-NUTS, with the location of gradient evaluations displayed in blue and red. The effect of the adaptivity on the stepsize can clearly be seen.</figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="S6.SS2.p4"> <p class="ltx_p" id="S6.SS2.p4.2">Second, we compare the performance of our algorithm with double adaptation to HMC with various step sizes in Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.11479v1#S6.F4" title="Figure 4 ‣ 6.2 Funnel distribution ‣ 6 Experiments ‣ Towards practical PDMP sampling: Metropolis adjustments, locally adaptive step-sizes, and NUTS-based time lengths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>, using <math alttext="a=3" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS2.p4.1.m1.1"><semantics id="S6.SS2.p4.1.m1.1a"><mrow id="S6.SS2.p4.1.m1.1.1" xref="S6.SS2.p4.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S6.SS2.p4.1.m1.1.1.2" xref="S6.SS2.p4.1.m1.1.1.2.cmml">a</mi><mo id="S6.SS2.p4.1.m1.1.1.1" xref="S6.SS2.p4.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S6.SS2.p4.1.m1.1.1.3" xref="S6.SS2.p4.1.m1.1.1.3.cmml">3</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS2.p4.1.m1.1b"><apply id="S6.SS2.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.SS2.p4.1.m1.1.1"><eq id="S6.SS2.p4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.SS2.p4.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S6.SS2.p4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.SS2.p4.1.m1.1.1.2">𝑎</ci><cn id="S6.SS2.p4.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.SS2.p4.1.m1.1.1.3">3</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS2.p4.1.m1.1c">a=3</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS2.p4.1.m1.1d">italic_a = 3</annotation></semantics></math> and <math alttext="b=1.5" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS2.p4.2.m2.1"><semantics id="S6.SS2.p4.2.m2.1a"><mrow id="S6.SS2.p4.2.m2.1.1" xref="S6.SS2.p4.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S6.SS2.p4.2.m2.1.1.2" xref="S6.SS2.p4.2.m2.1.1.2.cmml">b</mi><mo id="S6.SS2.p4.2.m2.1.1.1" xref="S6.SS2.p4.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S6.SS2.p4.2.m2.1.1.3" xref="S6.SS2.p4.2.m2.1.1.3.cmml">1.5</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS2.p4.2.m2.1b"><apply id="S6.SS2.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S6.SS2.p4.2.m2.1.1"><eq id="S6.SS2.p4.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S6.SS2.p4.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="S6.SS2.p4.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S6.SS2.p4.2.m2.1.1.2">𝑏</ci><cn id="S6.SS2.p4.2.m2.1.1.3.cmml" type="float" xref="S6.SS2.p4.2.m2.1.1.3">1.5</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS2.p4.2.m2.1c">b=1.5</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS2.p4.2.m2.1d">italic_b = 1.5</annotation></semantics></math>. Due to this adaptation, our algorithm outperforms HMC, which clearly struggles to sample the funnel.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S6.F4"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="311" id="S6.F4.g1" src="x5.png" width="415"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure 4: </span>Comparison between HMC with different step sizes, and MHBPS-NUTS for the funnel.</figcaption> </figure> <div class="ltx_pagination ltx_role_newpage"></div> </section> </section> <section class="ltx_section" id="S7"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">7 </span>Discussion</h2> <div class="ltx_para" id="S7.p1"> <p class="ltx_p" id="S7.p1.1">In this work, we have introduced a novel algorithm that makes PDMPs practical for MCMC sampling. Our approach eliminates the need for a priori bounds on event rates while maintaining asymptotic exactness, thereby overcoming a significant limitation of existing PDMP methods.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S7.p2"> <p class="ltx_p" id="S7.p2.1">Beyond this key advantage, our algorithm allows for local adaptivity with respect to both discretisation in time and the duration of simulated trajectories, providing increased flexibility in exploring complex probability distributions. Empirical results demonstrate that it outperforms HMC on challenging distributions such as Neal’s funnel. Furthermore, adaptivity is more naturally incorporated in our framework compared to HMC: while adaptive step-size algorithms for HMC must keep the step size fixed within each iteration, our approach allows fully adaptive step-size selection at all times.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S7.p3"> <p class="ltx_p" id="S7.p3.2">While our results highlight the practical benefits of PDMPs, several open challenges remain. One key limitation is the computational complexity of our adaptation of the No-U-Turn criterion, which currently scales as <math alttext="O(n^{2})" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.p3.1.m1.1"><semantics id="S7.p3.1.m1.1a"><mrow id="S7.p3.1.m1.1.1" xref="S7.p3.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S7.p3.1.m1.1.1.3" xref="S7.p3.1.m1.1.1.3.cmml">O</mi><mo id="S7.p3.1.m1.1.1.2" xref="S7.p3.1.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S7.p3.1.m1.1.1.1.1" xref="S7.p3.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.p3.1.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.p3.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S7.p3.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S7.p3.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.p3.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S7.p3.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mn id="S7.p3.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S7.p3.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S7.p3.1.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.p3.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.p3.1.m1.1b"><apply id="S7.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S7.p3.1.m1.1.1"><times id="S7.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S7.p3.1.m1.1.1.2"></times><ci id="S7.p3.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S7.p3.1.m1.1.1.3">𝑂</ci><apply id="S7.p3.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.p3.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.p3.1.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S7.p3.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.p3.1.m1.1.1.1.1.1.2">𝑛</ci><cn id="S7.p3.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S7.p3.1.m1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.p3.1.m1.1c">O(n^{2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.p3.1.m1.1d">italic_O ( italic_n start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> per iteration with <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.p3.2.m2.1"><semantics id="S7.p3.2.m2.1a"><mi id="S7.p3.2.m2.1.1" xref="S7.p3.2.m2.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.p3.2.m2.1b"><ci id="S7.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S7.p3.2.m2.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.p3.2.m2.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.p3.2.m2.1d">italic_n</annotation></semantics></math> the number of events —significantly worse than the complexity of the corresponding criterion in HMC. Developing more efficient stopping rules remains an important direction for future research. Additionally, exploring strategies for mass matrix adaptation in PDMPs could further enhance their efficiency in high-dimensional settings. Finally, while our method provides clear advantages in certain regimes, PDMPs generally exhibit slightly worse scaling with dimension compared to HMC. Bridging this gap requires the development of fundamentally improved PDMP-based samplers.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S7.p4"> <p class="ltx_p" id="S7.p4.1">Overall, our work provides an important step towards making PDMPs a practical and competitive alternative to traditional MCMC methods. Continued research into their computational efficiency and scalability will be crucial for broader adoption in Bayesian inference and related applications.</p> </div> <div class="ltx_pagination ltx_role_newpage"></div> </section> <section class="ltx_bibliography" id="bib"> <h2 class="ltx_title ltx_title_bibliography">References</h2> <ul class="ltx_biblist"> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib1"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[1]</span> <span class="ltx_bibblock"> P. Fearnhead, J. Bierkens, M. Pollock, and G. O. Roberts, “Piecewise deterministic Markov processes for continuous-time Monte Carlo,” <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib1.1.1">Statistical Science</span>, vol. 33, no. 3, pp. 386–412, 2018. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib2"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[2]</span> <span class="ltx_bibblock"> A. Bouchard-Côté, S. J. Vollmer, and A. 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Let <math alttext="f" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma3.p1.3.3.m3.1"><semantics id="Thmlemma3.p1.3.3.m3.1a"><mi id="Thmlemma3.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmlemma3.p1.3.3.m3.1.1.cmml">f</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma3.p1.3.3.m3.1b"><ci id="Thmlemma3.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.3.3.m3.1.1">𝑓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma3.p1.3.3.m3.1c">f</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma3.p1.3.3.m3.1d">italic_f</annotation></semantics></math> be defined as</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx18"> <tbody id="A1.Ex90"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle f:\mathbb{R}^{2}\times E" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex90.m1.1"><semantics id="A1.Ex90.m1.1a"><mrow id="A1.Ex90.m1.1.1" xref="A1.Ex90.m1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex90.m1.1.1.2" xref="A1.Ex90.m1.1.1.2.cmml">f</mi><mo id="A1.Ex90.m1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="A1.Ex90.m1.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="A1.Ex90.m1.1.1.3" xref="A1.Ex90.m1.1.1.3.cmml"><msup id="A1.Ex90.m1.1.1.3.2" xref="A1.Ex90.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex90.m1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex90.m1.1.1.3.2.2.cmml">ℝ</mi><mn id="A1.Ex90.m1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex90.m1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="A1.Ex90.m1.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A1.Ex90.m1.1.1.3.1.cmml">×</mo><mi id="A1.Ex90.m1.1.1.3.3" xref="A1.Ex90.m1.1.1.3.3.cmml">E</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex90.m1.1b"><apply id="A1.Ex90.m1.1.1.cmml" xref="A1.Ex90.m1.1.1"><ci id="A1.Ex90.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex90.m1.1.1.1">:</ci><ci id="A1.Ex90.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex90.m1.1.1.2">𝑓</ci><apply id="A1.Ex90.m1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex90.m1.1.1.3"><times id="A1.Ex90.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex90.m1.1.1.3.1"></times><apply id="A1.Ex90.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex90.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex90.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex90.m1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex90.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex90.m1.1.1.3.2.2">ℝ</ci><cn id="A1.Ex90.m1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex90.m1.1.1.3.2.3">2</cn></apply><ci id="A1.Ex90.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex90.m1.1.1.3.3">𝐸</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex90.m1.1c">\displaystyle f:\mathbb{R}^{2}\times E</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex90.m1.1d">italic_f : blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT × italic_E</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\rightarrow\mathbb{R}^{2}\times F" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex90.m2.1"><semantics id="A1.Ex90.m2.1a"><mrow id="A1.Ex90.m2.1.1" xref="A1.Ex90.m2.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex90.m2.1.1.2" xref="A1.Ex90.m2.1.1.2.cmml"></mi><mo id="A1.Ex90.m2.1.1.1" stretchy="false" xref="A1.Ex90.m2.1.1.1.cmml">→</mo><mrow id="A1.Ex90.m2.1.1.3" xref="A1.Ex90.m2.1.1.3.cmml"><msup id="A1.Ex90.m2.1.1.3.2" xref="A1.Ex90.m2.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex90.m2.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex90.m2.1.1.3.2.2.cmml">ℝ</mi><mn id="A1.Ex90.m2.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex90.m2.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="A1.Ex90.m2.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A1.Ex90.m2.1.1.3.1.cmml">×</mo><mi id="A1.Ex90.m2.1.1.3.3" xref="A1.Ex90.m2.1.1.3.3.cmml">F</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex90.m2.1b"><apply id="A1.Ex90.m2.1.1.cmml" xref="A1.Ex90.m2.1.1"><ci id="A1.Ex90.m2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex90.m2.1.1.1">→</ci><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex90.m2.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex90.m2.1.1.2">absent</csymbol><apply id="A1.Ex90.m2.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex90.m2.1.1.3"><times id="A1.Ex90.m2.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex90.m2.1.1.3.1"></times><apply id="A1.Ex90.m2.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex90.m2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex90.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex90.m2.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex90.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex90.m2.1.1.3.2.2">ℝ</ci><cn id="A1.Ex90.m2.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex90.m2.1.1.3.2.3">2</cn></apply><ci id="A1.Ex90.m2.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex90.m2.1.1.3.3">𝐹</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex90.m2.1c">\displaystyle\rightarrow\mathbb{R}^{2}\times F</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex90.m2.1d">→ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT × italic_F</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex91"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle(x,t,x_{E})" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex91.m1.3"><semantics id="A1.Ex91.m1.3a"><mrow id="A1.Ex91.m1.3.3.1" xref="A1.Ex91.m1.3.3.2.cmml"><mo id="A1.Ex91.m1.3.3.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex91.m1.3.3.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex91.m1.1.1" xref="A1.Ex91.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="A1.Ex91.m1.3.3.1.3" xref="A1.Ex91.m1.3.3.2.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex91.m1.2.2" xref="A1.Ex91.m1.2.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex91.m1.3.3.1.4" xref="A1.Ex91.m1.3.3.2.cmml">,</mo><msub id="A1.Ex91.m1.3.3.1.1" xref="A1.Ex91.m1.3.3.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex91.m1.3.3.1.1.2" xref="A1.Ex91.m1.3.3.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="A1.Ex91.m1.3.3.1.1.3" xref="A1.Ex91.m1.3.3.1.1.3.cmml">E</mi></msub><mo id="A1.Ex91.m1.3.3.1.5" stretchy="false" xref="A1.Ex91.m1.3.3.2.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex91.m1.3b"><vector id="A1.Ex91.m1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex91.m1.3.3.1"><ci id="A1.Ex91.m1.1.1.cmml" xref="A1.Ex91.m1.1.1">𝑥</ci><ci id="A1.Ex91.m1.2.2.cmml" xref="A1.Ex91.m1.2.2">𝑡</ci><apply id="A1.Ex91.m1.3.3.1.1.cmml" xref="A1.Ex91.m1.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex91.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex91.m1.3.3.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex91.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex91.m1.3.3.1.1.2">𝑥</ci><ci id="A1.Ex91.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex91.m1.3.3.1.1.3">𝐸</ci></apply></vector></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex91.m1.3c">\displaystyle(x,t,x_{E})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex91.m1.3d">( italic_x , italic_t , italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mapsto(x-t,-t,f_{E}(x_{E}))," class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex91.m2.1"><semantics id="A1.Ex91.m2.1a"><mrow id="A1.Ex91.m2.1.1.1" xref="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex91.m2.1.1.1.1" xref="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.5" xref="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.5.cmml"></mi><mo id="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.4.cmml">↦</mo><mrow id="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.3.4.cmml"><mo id="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.3.3.4" stretchy="false" xref="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.3.4.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.3.3.5" xref="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.3.4.cmml">,</mo><mrow id="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.2.2.2a" xref="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.2.2.2.cmml">−</mo><mi id="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.3.3.6" xref="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.3.4.cmml">,</mo><mrow id="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><msub id="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.3.3.3.3.2" xref="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml">f</mi><mi id="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.3.3.3.3.3" xref="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml">E</mi></msub><mo id="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.3.3.3.1.1" xref="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1" xref="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.2" xref="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.3" xref="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.3.cmml">E</mi></msub><mo id="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.3.3.7" stretchy="false" xref="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex91.m2.1.1.1.2" xref="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex91.m2.1b"><apply id="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex91.m2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.4">maps-to</csymbol><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.5.cmml" xref="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.5">absent</csymbol><vector id="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.3.3"><apply id="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑡</ci></apply><apply id="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.2.2.2"><minus id="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.2.2.2"></minus><ci id="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.2.2.2.2">𝑡</ci></apply><apply id="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.3.3.3"><times id="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.3.3.3.2"></times><apply id="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.3.3.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.3.3.3.3.2">𝑓</ci><ci id="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.3.3.3.3.3">𝐸</ci></apply><apply id="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.3.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.3.3.3.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex91.m2.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.3">𝐸</ci></apply></apply></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex91.m2.1c">\displaystyle\mapsto(x-t,-t,f_{E}(x_{E})),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex91.m2.1d">↦ ( italic_x - italic_t , - italic_t , italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT ) ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmlemma3.p1.12"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlemma3.p1.12.1">and</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx19"> <tbody id="A1.Ex92"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle h:\mathbb{R}\times E" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex92.m1.1"><semantics id="A1.Ex92.m1.1a"><mrow id="A1.Ex92.m1.1.1" xref="A1.Ex92.m1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex92.m1.1.1.2" xref="A1.Ex92.m1.1.1.2.cmml">h</mi><mo id="A1.Ex92.m1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="A1.Ex92.m1.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="A1.Ex92.m1.1.1.3" xref="A1.Ex92.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex92.m1.1.1.3.2" xref="A1.Ex92.m1.1.1.3.2.cmml">ℝ</mi><mo id="A1.Ex92.m1.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A1.Ex92.m1.1.1.3.1.cmml">×</mo><mi id="A1.Ex92.m1.1.1.3.3" xref="A1.Ex92.m1.1.1.3.3.cmml">E</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex92.m1.1b"><apply id="A1.Ex92.m1.1.1.cmml" xref="A1.Ex92.m1.1.1"><ci id="A1.Ex92.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex92.m1.1.1.1">:</ci><ci id="A1.Ex92.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex92.m1.1.1.2">ℎ</ci><apply id="A1.Ex92.m1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex92.m1.1.1.3"><times id="A1.Ex92.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex92.m1.1.1.3.1"></times><ci id="A1.Ex92.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex92.m1.1.1.3.2">ℝ</ci><ci id="A1.Ex92.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex92.m1.1.1.3.3">𝐸</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex92.m1.1c">\displaystyle h:\mathbb{R}\times E</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex92.m1.1d">italic_h : blackboard_R × italic_E</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\rightarrow\{0\}\times\mathbb{R}\times F" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex92.m2.1"><semantics id="A1.Ex92.m2.1a"><mrow id="A1.Ex92.m2.1.2" xref="A1.Ex92.m2.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex92.m2.1.2.2" xref="A1.Ex92.m2.1.2.2.cmml"></mi><mo id="A1.Ex92.m2.1.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex92.m2.1.2.1.cmml">→</mo><mrow id="A1.Ex92.m2.1.2.3" xref="A1.Ex92.m2.1.2.3.cmml"><mrow id="A1.Ex92.m2.1.2.3.2.2" xref="A1.Ex92.m2.1.2.3.2.1.cmml"><mo id="A1.Ex92.m2.1.2.3.2.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex92.m2.1.2.3.2.1.cmml">{</mo><mn id="A1.Ex92.m2.1.1" xref="A1.Ex92.m2.1.1.cmml">0</mn><mo id="A1.Ex92.m2.1.2.3.2.2.2" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="A1.Ex92.m2.1.2.3.2.1.cmml">}</mo></mrow><mo id="A1.Ex92.m2.1.2.3.1" rspace="0.222em" xref="A1.Ex92.m2.1.2.3.1.cmml">×</mo><mi id="A1.Ex92.m2.1.2.3.3" xref="A1.Ex92.m2.1.2.3.3.cmml">ℝ</mi><mo id="A1.Ex92.m2.1.2.3.1a" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A1.Ex92.m2.1.2.3.1.cmml">×</mo><mi id="A1.Ex92.m2.1.2.3.4" xref="A1.Ex92.m2.1.2.3.4.cmml">F</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex92.m2.1b"><apply id="A1.Ex92.m2.1.2.cmml" xref="A1.Ex92.m2.1.2"><ci id="A1.Ex92.m2.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex92.m2.1.2.1">→</ci><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex92.m2.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex92.m2.1.2.2">absent</csymbol><apply id="A1.Ex92.m2.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex92.m2.1.2.3"><times id="A1.Ex92.m2.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex92.m2.1.2.3.1"></times><set id="A1.Ex92.m2.1.2.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex92.m2.1.2.3.2.2"><cn id="A1.Ex92.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="A1.Ex92.m2.1.1">0</cn></set><ci id="A1.Ex92.m2.1.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex92.m2.1.2.3.3">ℝ</ci><ci id="A1.Ex92.m2.1.2.3.4.cmml" xref="A1.Ex92.m2.1.2.3.4">𝐹</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex92.m2.1c">\displaystyle\rightarrow\{0\}\times\mathbb{R}\times F</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex92.m2.1d">→ { 0 } × blackboard_R × italic_F</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex93"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle(x,x_{E})" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex93.m1.2"><semantics id="A1.Ex93.m1.2a"><mrow id="A1.Ex93.m1.2.2.1" xref="A1.Ex93.m1.2.2.2.cmml"><mo id="A1.Ex93.m1.2.2.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex93.m1.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex93.m1.1.1" xref="A1.Ex93.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="A1.Ex93.m1.2.2.1.3" xref="A1.Ex93.m1.2.2.2.cmml">,</mo><msub id="A1.Ex93.m1.2.2.1.1" xref="A1.Ex93.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex93.m1.2.2.1.1.2" xref="A1.Ex93.m1.2.2.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="A1.Ex93.m1.2.2.1.1.3" xref="A1.Ex93.m1.2.2.1.1.3.cmml">E</mi></msub><mo id="A1.Ex93.m1.2.2.1.4" stretchy="false" xref="A1.Ex93.m1.2.2.2.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex93.m1.2b"><interval closure="open" id="A1.Ex93.m1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex93.m1.2.2.1"><ci id="A1.Ex93.m1.1.1.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1">𝑥</ci><apply id="A1.Ex93.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A1.Ex93.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex93.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex93.m1.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex93.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex93.m1.2.2.1.1.2">𝑥</ci><ci id="A1.Ex93.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex93.m1.2.2.1.1.3">𝐸</ci></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex93.m1.2c">\displaystyle(x,x_{E})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex93.m1.2d">( italic_x , italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mapsto f(x,x,x_{E})." class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex93.m2.3"><semantics id="A1.Ex93.m2.3a"><mrow id="A1.Ex93.m2.3.3.1" xref="A1.Ex93.m2.3.3.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex93.m2.3.3.1.1" xref="A1.Ex93.m2.3.3.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex93.m2.3.3.1.1.3" xref="A1.Ex93.m2.3.3.1.1.3.cmml"></mi><mo id="A1.Ex93.m2.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex93.m2.3.3.1.1.2.cmml">↦</mo><mrow id="A1.Ex93.m2.3.3.1.1.1" xref="A1.Ex93.m2.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex93.m2.3.3.1.1.1.3" xref="A1.Ex93.m2.3.3.1.1.1.3.cmml">f</mi><mo id="A1.Ex93.m2.3.3.1.1.1.2" xref="A1.Ex93.m2.3.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex93.m2.3.3.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex93.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex93.m2.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex93.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex93.m2.1.1" xref="A1.Ex93.m2.1.1.cmml">x</mi><mo id="A1.Ex93.m2.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex93.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex93.m2.2.2" xref="A1.Ex93.m2.2.2.cmml">x</mi><mo id="A1.Ex93.m2.3.3.1.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex93.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><msub id="A1.Ex93.m2.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex93.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex93.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex93.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="A1.Ex93.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex93.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">E</mi></msub><mo id="A1.Ex93.m2.3.3.1.1.1.1.1.5" stretchy="false" xref="A1.Ex93.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex93.m2.3.3.1.2" lspace="0em" xref="A1.Ex93.m2.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex93.m2.3b"><apply id="A1.Ex93.m2.3.3.1.1.cmml" xref="A1.Ex93.m2.3.3.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex93.m2.3.3.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex93.m2.3.3.1.1.2">maps-to</csymbol><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex93.m2.3.3.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex93.m2.3.3.1.1.3">absent</csymbol><apply id="A1.Ex93.m2.3.3.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex93.m2.3.3.1.1.1"><times id="A1.Ex93.m2.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex93.m2.3.3.1.1.1.2"></times><ci id="A1.Ex93.m2.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex93.m2.3.3.1.1.1.3">𝑓</ci><vector id="A1.Ex93.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex93.m2.3.3.1.1.1.1.1"><ci id="A1.Ex93.m2.1.1.cmml" xref="A1.Ex93.m2.1.1">𝑥</ci><ci id="A1.Ex93.m2.2.2.cmml" xref="A1.Ex93.m2.2.2">𝑥</ci><apply id="A1.Ex93.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex93.m2.3.3.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex93.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex93.m2.3.3.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex93.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex93.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="A1.Ex93.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex93.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3">𝐸</ci></apply></vector></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex93.m2.3c">\displaystyle\mapsto f(x,x,x_{E}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex93.m2.3d">↦ italic_f ( italic_x , italic_x , italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmlemma3.p1.6"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlemma3.p1.6.3">Furthermore, assume that <math alttext="f" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma3.p1.4.1.m1.1"><semantics id="Thmlemma3.p1.4.1.m1.1a"><mi id="Thmlemma3.p1.4.1.m1.1.1" xref="Thmlemma3.p1.4.1.m1.1.1.cmml">f</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma3.p1.4.1.m1.1b"><ci id="Thmlemma3.p1.4.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.4.1.m1.1.1">𝑓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma3.p1.4.1.m1.1c">f</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma3.p1.4.1.m1.1d">italic_f</annotation></semantics></math> has a change of volume <math alttext="\Psi" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma3.p1.5.2.m2.1"><semantics id="Thmlemma3.p1.5.2.m2.1a"><mi id="Thmlemma3.p1.5.2.m2.1.1" mathvariant="normal" xref="Thmlemma3.p1.5.2.m2.1.1.cmml">Ψ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma3.p1.5.2.m2.1b"><ci id="Thmlemma3.p1.5.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.5.2.m2.1.1">Ψ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma3.p1.5.2.m2.1c">\Psi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma3.p1.5.2.m2.1d">roman_Ψ</annotation></semantics></math>, that is for every continuous function <math alttext="\varphi" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma3.p1.6.3.m3.1"><semantics id="Thmlemma3.p1.6.3.m3.1a"><mi id="Thmlemma3.p1.6.3.m3.1.1" xref="Thmlemma3.p1.6.3.m3.1.1.cmml">φ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma3.p1.6.3.m3.1b"><ci id="Thmlemma3.p1.6.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.6.3.m3.1.1">𝜑</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma3.p1.6.3.m3.1c">\varphi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma3.p1.6.3.m3.1d">italic_φ</annotation></semantics></math> with compact support,</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex94"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\int_{\mathbb{R}^{2}\times E}\varphi(f(x,t,x_{E}))dxdtdx_{E}=\int_{\mathbb{R}^% {2}\times F}\varphi(y_{1},y_{2},y_{F})\Psi(y_{1},y_{2},y_{F})dy_{1}dy_{2}dy_{F}." class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex94.m1.3"><semantics id="A1.Ex94.m1.3a"><mrow id="A1.Ex94.m1.3.3.1" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.2" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml">∫</mo><mrow id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.2.3.cmml"><msup id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.2.3.2.2" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.2.3.2.2.cmml">ℝ</mi><mn id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.2.3.2.3" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.2.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.2.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.2.3.1.cmml">×</mo><mi id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.2.3.3.cmml">E</mi></mrow></msub><mrow id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.1" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">φ</mi><mo id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">f</mi><mo id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex94.m1.1.1" xref="A1.Ex94.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex94.m1.2.2" xref="A1.Ex94.m1.2.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><msub id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">E</mi></msub><mo id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5" stretchy="false" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.1.2a" lspace="0em" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.1.4.cmml"><mo id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.1.4.1" rspace="0em" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.1.4.1.cmml">𝑑</mo><mi id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.1.4.2.cmml">x</mi></mrow><mo id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.1.2b" lspace="0em" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.1.5" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.1.5.cmml"><mo id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.1.5.1" rspace="0em" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.1.5.1.cmml">𝑑</mo><mi id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.1.5.2" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.1.5.2.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.1.2c" lspace="0em" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.1.6" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.1.6.cmml"><mo id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.1.6.1" rspace="0em" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.1.6.1.cmml">𝑑</mo><msub id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.1.6.2" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.1.6.2.cmml"><mi id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.1.6.2.2" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.1.6.2.2.cmml">x</mi><mi id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.1.6.2.3" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.1.6.2.3.cmml">E</mi></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.8" rspace="0.111em" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.8.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.cmml"><msub id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.7" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.7.cmml"><mo id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.7.2" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.7.2.cmml">∫</mo><mrow id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.7.3" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.7.3.cmml"><msup id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.7.3.2" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.7.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.7.3.2.2" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.7.3.2.2.cmml">ℝ</mi><mn id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.7.3.2.3" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.7.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.7.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.7.3.1.cmml">×</mo><mi id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.7.3.3" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.7.3.3.cmml">F</mi></mrow></msub><mrow id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.cmml"><mi id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.8" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.8.cmml">φ</mi><mo id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.7" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.7.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.4.3.3.3" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.4.3.3.4.cmml"><mo id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.4.3.3.3.4" stretchy="false" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.4.3.3.4.cmml">(</mo><msub id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">y</mi><mn id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.4.3.3.3.5" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.4.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.2" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.2.2.cmml">y</mi><mn id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.4.3.3.3.6" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.4.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.4.3.3.3.3" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.4.3.3.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.4.3.3.3.3.2" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.4.3.3.3.3.2.cmml">y</mi><mi id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.4.3.3.3.3.3" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.4.3.3.3.3.3.cmml">F</mi></msub><mo id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.4.3.3.3.7" stretchy="false" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.4.3.3.4.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.7a" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.7.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.9" mathvariant="normal" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.9.cmml">Ψ</mi><mo id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.7b" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.7.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.6.3" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.6.4.cmml"><mo id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.6.3.4" stretchy="false" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.6.4.cmml">(</mo><msub id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.5.4.4.1.1" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.5.4.4.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.5.4.4.1.1.2" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.5.4.4.1.1.2.cmml">y</mi><mn id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.5.4.4.1.1.3" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.5.4.4.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.6.3.5" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.6.4.cmml">,</mo><msub id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.6.5.5.2.2" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.6.5.5.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.6.5.5.2.2.2" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.6.5.5.2.2.2.cmml">y</mi><mn id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.6.5.5.2.2.3" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.6.5.5.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.6.3.6" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.6.4.cmml">,</mo><msub id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.6.3.3" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.6.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.6.3.3.2" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.6.3.3.2.cmml">y</mi><mi id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.6.3.3.3" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.6.3.3.3.cmml">F</mi></msub><mo id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.6.3.7" stretchy="false" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.6.4.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.7c" lspace="0em" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.7.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.10" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.10.cmml"><mo id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.10.1" rspace="0em" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.10.1.cmml">𝑑</mo><msub id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.10.2" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.10.2.cmml"><mi id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.10.2.2" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.10.2.2.cmml">y</mi><mn id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.10.2.3" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.10.2.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.7d" lspace="0em" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.7.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.11" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.11.cmml"><mo id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.11.1" rspace="0em" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.11.1.cmml">𝑑</mo><msub id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.11.2" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.11.2.cmml"><mi id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.11.2.2" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.11.2.2.cmml">y</mi><mn id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.11.2.3" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.11.2.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.7e" lspace="0em" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.7.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.12" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.12.cmml"><mo id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.12.1" rspace="0em" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.12.1.cmml">𝑑</mo><msub id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.12.2" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.12.2.cmml"><mi id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.12.2.2" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.12.2.2.cmml">y</mi><mi id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.12.2.3" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.12.2.3.cmml">F</mi></msub></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex94.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex94.m1.3b"><apply id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.cmml" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1"><eq id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.8.cmml" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.8"></eq><apply id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1"><apply id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.2">subscript</csymbol><int id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.2.2"></int><apply id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.2.3"><times id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.2.3.1"></times><apply id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.1.2.3.2.cmml" 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xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.7">subscript</csymbol><int id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.7.2.cmml" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.7.2"></int><apply id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.7.3.cmml" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.7.3"><times id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.7.3.1.cmml" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.7.3.1"></times><apply id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.7.3.2.cmml" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.7.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.7.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.7.3.2">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.7.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.7.3.2.2">ℝ</ci><cn id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.7.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.7.3.2.3">2</cn></apply><ci id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.7.3.3.cmml" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.7.3.3">𝐹</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.cmml" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6"><times id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.7.cmml" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.7"></times><ci id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.8.cmml" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.8">𝜑</ci><vector id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.4.3.3.4.cmml" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.4.3.3.3"><apply id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.2">𝑦</ci><cn id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.2.2">𝑦</ci><cn id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.2.3">2</cn></apply><apply id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.4.3.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.4.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.4.3.3.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.4.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.4.3.3.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.4.3.3.3.3.2">𝑦</ci><ci id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.4.3.3.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.4.3.3.3.3.3">𝐹</ci></apply></vector><ci id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.9.cmml" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.9">Ψ</ci><vector id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.6.4.cmml" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.6.3"><apply id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.5.4.4.1.1.cmml" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.5.4.4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.5.4.4.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.5.4.4.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.5.4.4.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.5.4.4.1.1.2">𝑦</ci><cn id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.5.4.4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.5.4.4.1.1.3">1</cn></apply><apply id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.6.5.5.2.2.cmml" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.6.5.5.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.6.5.5.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.6.5.5.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.6.5.5.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.6.5.5.2.2.2">𝑦</ci><cn id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.6.5.5.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.6.5.5.2.2.3">2</cn></apply><apply id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.6.3.3.cmml" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.6.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.6.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.6.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.6.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.6.3.3.2">𝑦</ci><ci id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.6.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.6.3.3.3">𝐹</ci></apply></vector><apply id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.10.cmml" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.10"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.10.1.cmml" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.10.1">differential-d</csymbol><apply id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.10.2.cmml" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.10.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.10.2.1.cmml" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.10.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.10.2.2.cmml" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.10.2.2">𝑦</ci><cn id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.10.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.10.2.3">1</cn></apply></apply><apply id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.11.cmml" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.11"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.11.1.cmml" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.11.1">differential-d</csymbol><apply id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.11.2.cmml" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.11.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.11.2.1.cmml" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.11.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.11.2.2.cmml" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.11.2.2">𝑦</ci><cn id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.11.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.11.2.3">2</cn></apply></apply><apply id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.12.cmml" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.12"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.12.1.cmml" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.12.1">differential-d</csymbol><apply id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.12.2.cmml" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.12.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.12.2.1.cmml" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.12.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.12.2.2.cmml" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.12.2.2">𝑦</ci><ci id="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.12.2.3.cmml" xref="A1.Ex94.m1.3.3.1.1.7.6.12.2.3">𝐹</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex94.m1.3c">\int_{\mathbb{R}^{2}\times E}\varphi(f(x,t,x_{E}))dxdtdx_{E}=\int_{\mathbb{R}^% {2}\times F}\varphi(y_{1},y_{2},y_{F})\Psi(y_{1},y_{2},y_{F})dy_{1}dy_{2}dy_{F}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex94.m1.3d">∫ start_POSTSUBSCRIPT blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT × italic_E end_POSTSUBSCRIPT italic_φ ( italic_f ( italic_x , italic_t , italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT ) ) italic_d italic_x italic_d italic_t italic_d italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT = ∫ start_POSTSUBSCRIPT blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT × italic_F end_POSTSUBSCRIPT italic_φ ( italic_y start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_y start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_F end_POSTSUBSCRIPT ) roman_Ψ ( italic_y start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_y start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_F end_POSTSUBSCRIPT ) italic_d italic_y start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_y start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_F end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmlemma3.p1.11"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlemma3.p1.11.5">Also assume that <math alttext="f" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma3.p1.7.1.m1.1"><semantics id="Thmlemma3.p1.7.1.m1.1a"><mi id="Thmlemma3.p1.7.1.m1.1.1" xref="Thmlemma3.p1.7.1.m1.1.1.cmml">f</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma3.p1.7.1.m1.1b"><ci id="Thmlemma3.p1.7.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.7.1.m1.1.1">𝑓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma3.p1.7.1.m1.1c">f</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma3.p1.7.1.m1.1d">italic_f</annotation></semantics></math> and <math alttext="\Psi" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma3.p1.8.2.m2.1"><semantics id="Thmlemma3.p1.8.2.m2.1a"><mi id="Thmlemma3.p1.8.2.m2.1.1" mathvariant="normal" xref="Thmlemma3.p1.8.2.m2.1.1.cmml">Ψ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma3.p1.8.2.m2.1b"><ci id="Thmlemma3.p1.8.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.8.2.m2.1.1">Ψ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma3.p1.8.2.m2.1c">\Psi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma3.p1.8.2.m2.1d">roman_Ψ</annotation></semantics></math> are continuous in <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma3.p1.9.3.m3.1"><semantics id="Thmlemma3.p1.9.3.m3.1a"><mi id="Thmlemma3.p1.9.3.m3.1.1" xref="Thmlemma3.p1.9.3.m3.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma3.p1.9.3.m3.1b"><ci id="Thmlemma3.p1.9.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.9.3.m3.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma3.p1.9.3.m3.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma3.p1.9.3.m3.1d">italic_t</annotation></semantics></math>. Then the volume change associated to <math alttext="h" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma3.p1.10.4.m4.1"><semantics id="Thmlemma3.p1.10.4.m4.1a"><mi id="Thmlemma3.p1.10.4.m4.1.1" xref="Thmlemma3.p1.10.4.m4.1.1.cmml">h</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma3.p1.10.4.m4.1b"><ci id="Thmlemma3.p1.10.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.10.4.m4.1.1">ℎ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma3.p1.10.4.m4.1c">h</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma3.p1.10.4.m4.1d">italic_h</annotation></semantics></math> has density <math alttext="\Psi(0,y_{2},y_{F})" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma3.p1.11.5.m5.3"><semantics id="Thmlemma3.p1.11.5.m5.3a"><mrow id="Thmlemma3.p1.11.5.m5.3.3" xref="Thmlemma3.p1.11.5.m5.3.3.cmml"><mi id="Thmlemma3.p1.11.5.m5.3.3.4" mathvariant="normal" xref="Thmlemma3.p1.11.5.m5.3.3.4.cmml">Ψ</mi><mo id="Thmlemma3.p1.11.5.m5.3.3.3" xref="Thmlemma3.p1.11.5.m5.3.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma3.p1.11.5.m5.3.3.2.2" xref="Thmlemma3.p1.11.5.m5.3.3.2.3.cmml"><mo id="Thmlemma3.p1.11.5.m5.3.3.2.2.3" stretchy="false" xref="Thmlemma3.p1.11.5.m5.3.3.2.3.cmml">(</mo><mn id="Thmlemma3.p1.11.5.m5.1.1" xref="Thmlemma3.p1.11.5.m5.1.1.cmml">0</mn><mo id="Thmlemma3.p1.11.5.m5.3.3.2.2.4" xref="Thmlemma3.p1.11.5.m5.3.3.2.3.cmml">,</mo><msub id="Thmlemma3.p1.11.5.m5.2.2.1.1.1" xref="Thmlemma3.p1.11.5.m5.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="Thmlemma3.p1.11.5.m5.2.2.1.1.1.2" xref="Thmlemma3.p1.11.5.m5.2.2.1.1.1.2.cmml">y</mi><mn id="Thmlemma3.p1.11.5.m5.2.2.1.1.1.3" xref="Thmlemma3.p1.11.5.m5.2.2.1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="Thmlemma3.p1.11.5.m5.3.3.2.2.5" xref="Thmlemma3.p1.11.5.m5.3.3.2.3.cmml">,</mo><msub id="Thmlemma3.p1.11.5.m5.3.3.2.2.2" xref="Thmlemma3.p1.11.5.m5.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="Thmlemma3.p1.11.5.m5.3.3.2.2.2.2" xref="Thmlemma3.p1.11.5.m5.3.3.2.2.2.2.cmml">y</mi><mi id="Thmlemma3.p1.11.5.m5.3.3.2.2.2.3" xref="Thmlemma3.p1.11.5.m5.3.3.2.2.2.3.cmml">F</mi></msub><mo id="Thmlemma3.p1.11.5.m5.3.3.2.2.6" stretchy="false" xref="Thmlemma3.p1.11.5.m5.3.3.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma3.p1.11.5.m5.3b"><apply id="Thmlemma3.p1.11.5.m5.3.3.cmml" xref="Thmlemma3.p1.11.5.m5.3.3"><times id="Thmlemma3.p1.11.5.m5.3.3.3.cmml" xref="Thmlemma3.p1.11.5.m5.3.3.3"></times><ci id="Thmlemma3.p1.11.5.m5.3.3.4.cmml" xref="Thmlemma3.p1.11.5.m5.3.3.4">Ψ</ci><vector id="Thmlemma3.p1.11.5.m5.3.3.2.3.cmml" xref="Thmlemma3.p1.11.5.m5.3.3.2.2"><cn id="Thmlemma3.p1.11.5.m5.1.1.cmml" type="integer" xref="Thmlemma3.p1.11.5.m5.1.1">0</cn><apply id="Thmlemma3.p1.11.5.m5.2.2.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.11.5.m5.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma3.p1.11.5.m5.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.11.5.m5.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma3.p1.11.5.m5.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma3.p1.11.5.m5.2.2.1.1.1.2">𝑦</ci><cn id="Thmlemma3.p1.11.5.m5.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmlemma3.p1.11.5.m5.2.2.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="Thmlemma3.p1.11.5.m5.3.3.2.2.2.cmml" xref="Thmlemma3.p1.11.5.m5.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma3.p1.11.5.m5.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.11.5.m5.3.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma3.p1.11.5.m5.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="Thmlemma3.p1.11.5.m5.3.3.2.2.2.2">𝑦</ci><ci id="Thmlemma3.p1.11.5.m5.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="Thmlemma3.p1.11.5.m5.3.3.2.2.2.3">𝐹</ci></apply></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma3.p1.11.5.m5.3c">\Psi(0,y_{2},y_{F})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma3.p1.11.5.m5.3d">roman_Ψ ( 0 , italic_y start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_F end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="A1.3"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="A1.1.p1"> <p class="ltx_p" id="A1.1.p1.1">With <math alttext="\varphi(y_{1},y_{2},y_{F})=\varphi(y_{1})\varphi(y_{2})\varphi(y_{F})" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.1.p1.1.m1.6"><semantics id="A1.1.p1.1.m1.6a"><mrow id="A1.1.p1.1.m1.6.6" xref="A1.1.p1.1.m1.6.6.cmml"><mrow id="A1.1.p1.1.m1.3.3.3" xref="A1.1.p1.1.m1.3.3.3.cmml"><mi id="A1.1.p1.1.m1.3.3.3.5" xref="A1.1.p1.1.m1.3.3.3.5.cmml">φ</mi><mo id="A1.1.p1.1.m1.3.3.3.4" xref="A1.1.p1.1.m1.3.3.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.1.p1.1.m1.3.3.3.3.3" xref="A1.1.p1.1.m1.3.3.3.3.4.cmml"><mo id="A1.1.p1.1.m1.3.3.3.3.3.4" stretchy="false" xref="A1.1.p1.1.m1.3.3.3.3.4.cmml">(</mo><msub id="A1.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">y</mi><mn id="A1.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A1.1.p1.1.m1.3.3.3.3.3.5" 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alttext="\displaystyle\int_{\mathbb{R}^{2}\times E}\varphi_{1}(x-t)\varphi_{2}(-t)% \varphi_{3}(f_{E}(x,t,x_{E})dxdtdx_{E}" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="A1.Ex95.m1.2"><semantics id="A1.Ex95.m1.2a"><mrow id="A1.Ex95.m1.2b"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex95.m1.2.3"><msub id="A1.Ex95.m1.2.3a"><mo id="A1.Ex95.m1.2.3.2">∫</mo><mrow id="A1.Ex95.m1.2.3.3"><msup id="A1.Ex95.m1.2.3.3.2"><mi id="A1.Ex95.m1.2.3.3.2.2">ℝ</mi><mn id="A1.Ex95.m1.2.3.3.2.3">2</mn></msup><mo id="A1.Ex95.m1.2.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em">×</mo><mi id="A1.Ex95.m1.2.3.3.3">E</mi></mrow></msub></mstyle><msub id="A1.Ex95.m1.2.4"><mi id="A1.Ex95.m1.2.4.2">φ</mi><mn id="A1.Ex95.m1.2.4.3">1</mn></msub><mrow id="A1.Ex95.m1.2.5"><mo id="A1.Ex95.m1.2.5.1" stretchy="false">(</mo><mi id="A1.Ex95.m1.2.5.2">x</mi><mo id="A1.Ex95.m1.2.5.3">−</mo><mi id="A1.Ex95.m1.2.5.4">t</mi><mo id="A1.Ex95.m1.2.5.5" stretchy="false">)</mo></mrow><msub id="A1.Ex95.m1.2.6"><mi id="A1.Ex95.m1.2.6.2">φ</mi><mn 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id="A1.Ex95.m1.2.9.7">t</mi><mi id="A1.Ex95.m1.2.9.8">d</mi><msub id="A1.Ex95.m1.2.9.9"><mi id="A1.Ex95.m1.2.9.9.2">x</mi><mi id="A1.Ex95.m1.2.9.9.3">E</mi></msub></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex95.m1.2c">\displaystyle\int_{\mathbb{R}^{2}\times E}\varphi_{1}(x-t)\varphi_{2}(-t)% \varphi_{3}(f_{E}(x,t,x_{E})dxdtdx_{E}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex95.m1.2d">∫ start_POSTSUBSCRIPT blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT × italic_E end_POSTSUBSCRIPT italic_φ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x - italic_t ) italic_φ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( - italic_t ) italic_φ start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x , italic_t , italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT ) italic_d italic_x italic_d italic_t italic_d italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\int_{\mathbb{R}^{2}\times F}\varphi(y_{1},y_{2},y_{F})\Psi(y_{1% },y_{2},y_{F})dy_{1}dy_{2}dy_{F}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex95.m2.6"><semantics id="A1.Ex95.m2.6a"><mrow id="A1.Ex95.m2.6.6" xref="A1.Ex95.m2.6.6.cmml"><mi id="A1.Ex95.m2.6.6.8" xref="A1.Ex95.m2.6.6.8.cmml"></mi><mo id="A1.Ex95.m2.6.6.7" xref="A1.Ex95.m2.6.6.7.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex95.m2.6.6.6" xref="A1.Ex95.m2.6.6.6.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex95.m2.6.6.6.7" xref="A1.Ex95.m2.6.6.6.7.cmml"><msub id="A1.Ex95.m2.6.6.6.7a" xref="A1.Ex95.m2.6.6.6.7.cmml"><mo id="A1.Ex95.m2.6.6.6.7.2" xref="A1.Ex95.m2.6.6.6.7.2.cmml">∫</mo><mrow id="A1.Ex95.m2.6.6.6.7.3" xref="A1.Ex95.m2.6.6.6.7.3.cmml"><msup id="A1.Ex95.m2.6.6.6.7.3.2" xref="A1.Ex95.m2.6.6.6.7.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex95.m2.6.6.6.7.3.2.2" xref="A1.Ex95.m2.6.6.6.7.3.2.2.cmml">ℝ</mi><mn id="A1.Ex95.m2.6.6.6.7.3.2.3" xref="A1.Ex95.m2.6.6.6.7.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="A1.Ex95.m2.6.6.6.7.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A1.Ex95.m2.6.6.6.7.3.1.cmml">×</mo><mi id="A1.Ex95.m2.6.6.6.7.3.3" xref="A1.Ex95.m2.6.6.6.7.3.3.cmml">F</mi></mrow></msub></mstyle><mrow id="A1.Ex95.m2.6.6.6.6" xref="A1.Ex95.m2.6.6.6.6.cmml"><mi id="A1.Ex95.m2.6.6.6.6.8" xref="A1.Ex95.m2.6.6.6.6.8.cmml">φ</mi><mo id="A1.Ex95.m2.6.6.6.6.7" xref="A1.Ex95.m2.6.6.6.6.7.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex95.m2.3.3.3.3.3.3" xref="A1.Ex95.m2.3.3.3.3.3.4.cmml"><mo id="A1.Ex95.m2.3.3.3.3.3.3.4" stretchy="false" xref="A1.Ex95.m2.3.3.3.3.3.4.cmml">(</mo><msub id="A1.Ex95.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex95.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex95.m2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex95.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">y</mi><mn id="A1.Ex95.m2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex95.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A1.Ex95.m2.3.3.3.3.3.3.5" xref="A1.Ex95.m2.3.3.3.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="A1.Ex95.m2.2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex95.m2.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex95.m2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex95.m2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">y</mi><mn id="A1.Ex95.m2.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex95.m2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="A1.Ex95.m2.3.3.3.3.3.3.6" xref="A1.Ex95.m2.3.3.3.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="A1.Ex95.m2.3.3.3.3.3.3.3" xref="A1.Ex95.m2.3.3.3.3.3.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex95.m2.3.3.3.3.3.3.3.2" xref="A1.Ex95.m2.3.3.3.3.3.3.3.2.cmml">y</mi><mi id="A1.Ex95.m2.3.3.3.3.3.3.3.3" xref="A1.Ex95.m2.3.3.3.3.3.3.3.3.cmml">F</mi></msub><mo id="A1.Ex95.m2.3.3.3.3.3.3.7" stretchy="false" xref="A1.Ex95.m2.3.3.3.3.3.4.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex95.m2.6.6.6.6.7a" xref="A1.Ex95.m2.6.6.6.6.7.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex95.m2.6.6.6.6.9" mathvariant="normal" xref="A1.Ex95.m2.6.6.6.6.9.cmml">Ψ</mi><mo id="A1.Ex95.m2.6.6.6.6.7b" xref="A1.Ex95.m2.6.6.6.6.7.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex95.m2.6.6.6.6.6.3" xref="A1.Ex95.m2.6.6.6.6.6.4.cmml"><mo id="A1.Ex95.m2.6.6.6.6.6.3.4" stretchy="false" 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end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex96"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\int_{\mathbb{R}^{2}\times F}\varphi_{1}(y_{1})\varphi_{2}(y_{2}% )\varphi_{3}(y_{F})\Psi(y_{1},y_{2},y_{F})dy_{1}dy_{2}dy_{F}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex96.m1.6"><semantics id="A1.Ex96.m1.6a"><mrow id="A1.Ex96.m1.6.6" xref="A1.Ex96.m1.6.6.cmml"><mi id="A1.Ex96.m1.6.6.8" xref="A1.Ex96.m1.6.6.8.cmml"></mi><mo id="A1.Ex96.m1.6.6.7" xref="A1.Ex96.m1.6.6.7.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex96.m1.6.6.6" xref="A1.Ex96.m1.6.6.6.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex96.m1.6.6.6.7" xref="A1.Ex96.m1.6.6.6.7.cmml"><msub id="A1.Ex96.m1.6.6.6.7a" xref="A1.Ex96.m1.6.6.6.7.cmml"><mo id="A1.Ex96.m1.6.6.6.7.2" 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\varphi_{3}(y_{F})\Psi(y_{1},-t,y_{F})dy_{1}dtdy_{F}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex97.m1.6"><semantics id="A1.Ex97.m1.6a"><mrow id="A1.Ex97.m1.6.6" xref="A1.Ex97.m1.6.6.cmml"><mi id="A1.Ex97.m1.6.6.8" xref="A1.Ex97.m1.6.6.8.cmml"></mi><mo id="A1.Ex97.m1.6.6.7" xref="A1.Ex97.m1.6.6.7.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex97.m1.6.6.6" xref="A1.Ex97.m1.6.6.6.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex97.m1.6.6.6.7" xref="A1.Ex97.m1.6.6.6.7.cmml"><msub id="A1.Ex97.m1.6.6.6.7a" xref="A1.Ex97.m1.6.6.6.7.cmml"><mo id="A1.Ex97.m1.6.6.6.7.2" xref="A1.Ex97.m1.6.6.6.7.2.cmml">∫</mo><mrow id="A1.Ex97.m1.6.6.6.7.3" xref="A1.Ex97.m1.6.6.6.7.3.cmml"><msup id="A1.Ex97.m1.6.6.6.7.3.2" xref="A1.Ex97.m1.6.6.6.7.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex97.m1.6.6.6.7.3.2.2" xref="A1.Ex97.m1.6.6.6.7.3.2.2.cmml">ℝ</mi><mn id="A1.Ex97.m1.6.6.6.7.3.2.3" xref="A1.Ex97.m1.6.6.6.7.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="A1.Ex97.m1.6.6.6.7.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A1.Ex97.m1.6.6.6.7.3.1.cmml">×</mo><mi 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xref="A1.Ex97.m1.6.6.6.6.12"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex97.m1.6.6.6.6.12.1.cmml" xref="A1.Ex97.m1.6.6.6.6.12.1">differential-d</csymbol><apply id="A1.Ex97.m1.6.6.6.6.12.2.cmml" xref="A1.Ex97.m1.6.6.6.6.12.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex97.m1.6.6.6.6.12.2.1.cmml" xref="A1.Ex97.m1.6.6.6.6.12.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex97.m1.6.6.6.6.12.2.2.cmml" xref="A1.Ex97.m1.6.6.6.6.12.2.2">𝑦</ci><cn id="A1.Ex97.m1.6.6.6.6.12.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex97.m1.6.6.6.6.12.2.3">1</cn></apply></apply><apply id="A1.Ex97.m1.6.6.6.6.13.cmml" xref="A1.Ex97.m1.6.6.6.6.13"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex97.m1.6.6.6.6.13.1.cmml" xref="A1.Ex97.m1.6.6.6.6.13.1">differential-d</csymbol><ci id="A1.Ex97.m1.6.6.6.6.13.2.cmml" xref="A1.Ex97.m1.6.6.6.6.13.2">𝑡</ci></apply><apply id="A1.Ex97.m1.6.6.6.6.14.cmml" xref="A1.Ex97.m1.6.6.6.6.14"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex97.m1.6.6.6.6.14.1.cmml" xref="A1.Ex97.m1.6.6.6.6.14.1">differential-d</csymbol><apply id="A1.Ex97.m1.6.6.6.6.14.2.cmml" xref="A1.Ex97.m1.6.6.6.6.14.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex97.m1.6.6.6.6.14.2.1.cmml" xref="A1.Ex97.m1.6.6.6.6.14.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex97.m1.6.6.6.6.14.2.2.cmml" xref="A1.Ex97.m1.6.6.6.6.14.2.2">𝑦</ci><ci id="A1.Ex97.m1.6.6.6.6.14.2.3.cmml" xref="A1.Ex97.m1.6.6.6.6.14.2.3">𝐹</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex97.m1.6c">\displaystyle=\int_{\mathbb{R}^{2}\times F}\varphi_{1}(y_{1})\varphi_{2}(-t)% \varphi_{3}(y_{F})\Psi(y_{1},-t,y_{F})dy_{1}dtdy_{F}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex97.m1.6d">= ∫ start_POSTSUBSCRIPT blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT × italic_F end_POSTSUBSCRIPT italic_φ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_y start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) italic_φ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( - italic_t ) italic_φ start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_F end_POSTSUBSCRIPT ) roman_Ψ ( italic_y start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , - italic_t , italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_F end_POSTSUBSCRIPT ) italic_d italic_y start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_t italic_d italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_F end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex98"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\int_{\mathbb{R}^{2}\times F}\varphi_{1}(x-t)\varphi_{2}(-t)% \varphi_{3}(y_{F})\Psi(x-t,-t,y_{F})dxdtdy_{F}." class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex98.m1.1"><semantics id="A1.Ex98.m1.1a"><mrow id="A1.Ex98.m1.1.1.1" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.8" 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xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.6.6.cmml"><msub id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.6.6.8" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.6.6.8.cmml"><mi id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.6.6.8.2" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.6.6.8.2.cmml">φ</mi><mn id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.6.6.8.3" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.6.6.8.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.6.6.7" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.6.6.7.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" 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xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.6.6.7c" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.6.6.7.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.6.6.10" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.6.6.10.cmml"><mi id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.6.6.10.2" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.6.6.10.2.cmml">φ</mi><mn id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.6.6.10.3" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.6.6.10.3.cmml">3</mn></msub><mo id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.6.6.7d" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.6.6.7.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.3.3.3.1" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.cmml">(</mo><msub id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.cmml">y</mi><mi id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.cmml">F</mi></msub><mo id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.6.6.7e" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.6.6.7.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.6.6.11" mathvariant="normal" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.6.6.11.cmml">Ψ</mi><mo id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.6.6.7f" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.6.6.7.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.6.6.6.3" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.6.6.6.4.cmml"><mo id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.6.6.6.3.4" stretchy="false" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.6.6.6.4.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.2" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.3" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.6.6.6.3.5" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.6.6.6.4.cmml">,</mo><mrow id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2" 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xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.6.6.12.2.cmml">x</mi></mrow><mo id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.6.6.7h" lspace="0em" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.6.6.7.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.6.6.13" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.6.6.13.cmml"><mo id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.6.6.13.1" rspace="0em" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.6.6.13.1.cmml">𝑑</mo><mi id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.6.6.13.2" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.6.6.13.2.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.6.6.7i" lspace="0em" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.6.6.7.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.6.6.14" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.6.6.14.cmml"><mo id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.6.6.14.1" rspace="0em" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.6.6.14.1.cmml">𝑑</mo><msub id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.6.6.14.2" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.6.6.14.2.cmml"><mi id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.6.6.14.2.2" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.6.6.14.2.2.cmml">y</mi><mi id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.6.6.14.2.3" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.6.6.14.2.3.cmml">F</mi></msub></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex98.m1.1.1.1.2" lspace="0em" 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ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="A1.2.p2"> <p class="ltx_p" id="A1.2.p2.10">We write <math alttext="\phi(x,t)=\int_{E}\varphi_{3}(f_{E}(x,t,x_{E})dx_{E}" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="A1.2.p2.1.m1.4"><semantics id="A1.2.p2.1.m1.4a"><mrow id="A1.2.p2.1.m1.4b"><mi id="A1.2.p2.1.m1.4.5">ϕ</mi><mrow id="A1.2.p2.1.m1.4.6"><mo id="A1.2.p2.1.m1.4.6.1" stretchy="false">(</mo><mi id="A1.2.p2.1.m1.1.1">x</mi><mo id="A1.2.p2.1.m1.4.6.2">,</mo><mi id="A1.2.p2.1.m1.2.2">t</mi><mo id="A1.2.p2.1.m1.4.6.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="A1.2.p2.1.m1.4.7" rspace="0.111em">=</mo><msub id="A1.2.p2.1.m1.4.8"><mo id="A1.2.p2.1.m1.4.8.2">∫</mo><mi id="A1.2.p2.1.m1.4.8.3">E</mi></msub><msub id="A1.2.p2.1.m1.4.9"><mi id="A1.2.p2.1.m1.4.9.2">φ</mi><mn id="A1.2.p2.1.m1.4.9.3">3</mn></msub><mrow id="A1.2.p2.1.m1.4.10"><mo id="A1.2.p2.1.m1.4.10.1" stretchy="false">(</mo><msub id="A1.2.p2.1.m1.4.10.2"><mi 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italic_E end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x , italic_t , italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT ) italic_d italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\Phi(x,t)=\int_{F}\varphi_{3}(y_{F})\Psi(x-t,-t,y_{F})dy_{F}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.2.p2.2.m2.6"><semantics id="A1.2.p2.2.m2.6a"><mrow id="A1.2.p2.2.m2.6.6" xref="A1.2.p2.2.m2.6.6.cmml"><mrow id="A1.2.p2.2.m2.6.6.6" xref="A1.2.p2.2.m2.6.6.6.cmml"><mi id="A1.2.p2.2.m2.6.6.6.2" mathvariant="normal" xref="A1.2.p2.2.m2.6.6.6.2.cmml">Φ</mi><mo id="A1.2.p2.2.m2.6.6.6.1" xref="A1.2.p2.2.m2.6.6.6.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.2.p2.2.m2.6.6.6.3.2" xref="A1.2.p2.2.m2.6.6.6.3.1.cmml"><mo id="A1.2.p2.2.m2.6.6.6.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.2.p2.2.m2.6.6.6.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.2.p2.2.m2.1.1" xref="A1.2.p2.2.m2.1.1.cmml">x</mi><mo id="A1.2.p2.2.m2.6.6.6.3.2.2" xref="A1.2.p2.2.m2.6.6.6.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.2.p2.2.m2.2.2" 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id="A1.2.p2.2.m2.5.5.3.3.3.2.2.1.cmml" xref="A1.2.p2.2.m2.5.5.3.3.3.2.2"></minus><ci id="A1.2.p2.2.m2.5.5.3.3.3.2.2.2.cmml" xref="A1.2.p2.2.m2.5.5.3.3.3.2.2.2">𝑡</ci></apply><apply id="A1.2.p2.2.m2.6.6.4.4.4.3.3.cmml" xref="A1.2.p2.2.m2.6.6.4.4.4.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.2.p2.2.m2.6.6.4.4.4.3.3.1.cmml" xref="A1.2.p2.2.m2.6.6.4.4.4.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.2.p2.2.m2.6.6.4.4.4.3.3.2.cmml" xref="A1.2.p2.2.m2.6.6.4.4.4.3.3.2">𝑦</ci><ci id="A1.2.p2.2.m2.6.6.4.4.4.3.3.3.cmml" xref="A1.2.p2.2.m2.6.6.4.4.4.3.3.3">𝐹</ci></apply></vector><apply id="A1.2.p2.2.m2.6.6.4.4.8.cmml" xref="A1.2.p2.2.m2.6.6.4.4.8"><csymbol cd="latexml" id="A1.2.p2.2.m2.6.6.4.4.8.1.cmml" xref="A1.2.p2.2.m2.6.6.4.4.8.1">differential-d</csymbol><apply id="A1.2.p2.2.m2.6.6.4.4.8.2.cmml" xref="A1.2.p2.2.m2.6.6.4.4.8.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.2.p2.2.m2.6.6.4.4.8.2.1.cmml" xref="A1.2.p2.2.m2.6.6.4.4.8.2">subscript</csymbol><ci id="A1.2.p2.2.m2.6.6.4.4.8.2.2.cmml" xref="A1.2.p2.2.m2.6.6.4.4.8.2.2">𝑦</ci><ci id="A1.2.p2.2.m2.6.6.4.4.8.2.3.cmml" xref="A1.2.p2.2.m2.6.6.4.4.8.2.3">𝐹</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.2.p2.2.m2.6c">\Phi(x,t)=\int_{F}\varphi_{3}(y_{F})\Psi(x-t,-t,y_{F})dy_{F}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.2.p2.2.m2.6d">roman_Φ ( italic_x , italic_t ) = ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_F end_POSTSUBSCRIPT italic_φ start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_F end_POSTSUBSCRIPT ) roman_Ψ ( italic_x - italic_t , - italic_t , italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_F end_POSTSUBSCRIPT ) italic_d italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_F end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Hence, almost surely on <math alttext="\mathbb{R}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.2.p2.3.m3.1"><semantics id="A1.2.p2.3.m3.1a"><msup id="A1.2.p2.3.m3.1.1" xref="A1.2.p2.3.m3.1.1.cmml"><mi id="A1.2.p2.3.m3.1.1.2" xref="A1.2.p2.3.m3.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mn id="A1.2.p2.3.m3.1.1.3" xref="A1.2.p2.3.m3.1.1.3.cmml">2</mn></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.2.p2.3.m3.1b"><apply id="A1.2.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="A1.2.p2.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.2.p2.3.m3.1.1.1.cmml" xref="A1.2.p2.3.m3.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.2.p2.3.m3.1.1.2.cmml" xref="A1.2.p2.3.m3.1.1.2">ℝ</ci><cn id="A1.2.p2.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.2.p2.3.m3.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.2.p2.3.m3.1c">\mathbb{R}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.2.p2.3.m3.1d">blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> we have that <math alttext="\phi(x,t)=\Phi(x,t)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.2.p2.4.m4.4"><semantics id="A1.2.p2.4.m4.4a"><mrow id="A1.2.p2.4.m4.4.5" xref="A1.2.p2.4.m4.4.5.cmml"><mrow id="A1.2.p2.4.m4.4.5.2" xref="A1.2.p2.4.m4.4.5.2.cmml"><mi id="A1.2.p2.4.m4.4.5.2.2" xref="A1.2.p2.4.m4.4.5.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="A1.2.p2.4.m4.4.5.2.1" xref="A1.2.p2.4.m4.4.5.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.2.p2.4.m4.4.5.2.3.2" xref="A1.2.p2.4.m4.4.5.2.3.1.cmml"><mo id="A1.2.p2.4.m4.4.5.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.2.p2.4.m4.4.5.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.2.p2.4.m4.1.1" xref="A1.2.p2.4.m4.1.1.cmml">x</mi><mo id="A1.2.p2.4.m4.4.5.2.3.2.2" xref="A1.2.p2.4.m4.4.5.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.2.p2.4.m4.2.2" xref="A1.2.p2.4.m4.2.2.cmml">t</mi><mo id="A1.2.p2.4.m4.4.5.2.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.2.p2.4.m4.4.5.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.2.p2.4.m4.4.5.1" xref="A1.2.p2.4.m4.4.5.1.cmml">=</mo><mrow id="A1.2.p2.4.m4.4.5.3" xref="A1.2.p2.4.m4.4.5.3.cmml"><mi id="A1.2.p2.4.m4.4.5.3.2" mathvariant="normal" xref="A1.2.p2.4.m4.4.5.3.2.cmml">Φ</mi><mo id="A1.2.p2.4.m4.4.5.3.1" xref="A1.2.p2.4.m4.4.5.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.2.p2.4.m4.4.5.3.3.2" xref="A1.2.p2.4.m4.4.5.3.3.1.cmml"><mo id="A1.2.p2.4.m4.4.5.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.2.p2.4.m4.4.5.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.2.p2.4.m4.3.3" xref="A1.2.p2.4.m4.3.3.cmml">x</mi><mo id="A1.2.p2.4.m4.4.5.3.3.2.2" xref="A1.2.p2.4.m4.4.5.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.2.p2.4.m4.4.4" xref="A1.2.p2.4.m4.4.4.cmml">t</mi><mo id="A1.2.p2.4.m4.4.5.3.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.2.p2.4.m4.4.5.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.2.p2.4.m4.4b"><apply id="A1.2.p2.4.m4.4.5.cmml" xref="A1.2.p2.4.m4.4.5"><eq id="A1.2.p2.4.m4.4.5.1.cmml" xref="A1.2.p2.4.m4.4.5.1"></eq><apply id="A1.2.p2.4.m4.4.5.2.cmml" xref="A1.2.p2.4.m4.4.5.2"><times id="A1.2.p2.4.m4.4.5.2.1.cmml" xref="A1.2.p2.4.m4.4.5.2.1"></times><ci id="A1.2.p2.4.m4.4.5.2.2.cmml" xref="A1.2.p2.4.m4.4.5.2.2">italic-ϕ</ci><interval closure="open" id="A1.2.p2.4.m4.4.5.2.3.1.cmml" xref="A1.2.p2.4.m4.4.5.2.3.2"><ci id="A1.2.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="A1.2.p2.4.m4.1.1">𝑥</ci><ci id="A1.2.p2.4.m4.2.2.cmml" xref="A1.2.p2.4.m4.2.2">𝑡</ci></interval></apply><apply id="A1.2.p2.4.m4.4.5.3.cmml" xref="A1.2.p2.4.m4.4.5.3"><times id="A1.2.p2.4.m4.4.5.3.1.cmml" xref="A1.2.p2.4.m4.4.5.3.1"></times><ci id="A1.2.p2.4.m4.4.5.3.2.cmml" xref="A1.2.p2.4.m4.4.5.3.2">Φ</ci><interval closure="open" id="A1.2.p2.4.m4.4.5.3.3.1.cmml" xref="A1.2.p2.4.m4.4.5.3.3.2"><ci id="A1.2.p2.4.m4.3.3.cmml" xref="A1.2.p2.4.m4.3.3">𝑥</ci><ci id="A1.2.p2.4.m4.4.4.cmml" xref="A1.2.p2.4.m4.4.4">𝑡</ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.2.p2.4.m4.4c">\phi(x,t)=\Phi(x,t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.2.p2.4.m4.4d">italic_ϕ ( italic_x , italic_t ) = roman_Φ ( italic_x , italic_t )</annotation></semantics></math>. By continuity on <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.2.p2.5.m5.1"><semantics id="A1.2.p2.5.m5.1a"><mi id="A1.2.p2.5.m5.1.1" xref="A1.2.p2.5.m5.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.2.p2.5.m5.1b"><ci id="A1.2.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="A1.2.p2.5.m5.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.2.p2.5.m5.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.2.p2.5.m5.1d">italic_t</annotation></semantics></math>, for almost every <math alttext="x" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.2.p2.6.m6.1"><semantics id="A1.2.p2.6.m6.1a"><mi id="A1.2.p2.6.m6.1.1" xref="A1.2.p2.6.m6.1.1.cmml">x</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.2.p2.6.m6.1b"><ci id="A1.2.p2.6.m6.1.1.cmml" xref="A1.2.p2.6.m6.1.1">𝑥</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.2.p2.6.m6.1c">x</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.2.p2.6.m6.1d">italic_x</annotation></semantics></math>, <math alttext="\phi(x,t)=\Phi(x,t)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.2.p2.7.m7.4"><semantics id="A1.2.p2.7.m7.4a"><mrow id="A1.2.p2.7.m7.4.5" xref="A1.2.p2.7.m7.4.5.cmml"><mrow id="A1.2.p2.7.m7.4.5.2" xref="A1.2.p2.7.m7.4.5.2.cmml"><mi id="A1.2.p2.7.m7.4.5.2.2" xref="A1.2.p2.7.m7.4.5.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="A1.2.p2.7.m7.4.5.2.1" xref="A1.2.p2.7.m7.4.5.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.2.p2.7.m7.4.5.2.3.2" xref="A1.2.p2.7.m7.4.5.2.3.1.cmml"><mo id="A1.2.p2.7.m7.4.5.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.2.p2.7.m7.4.5.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.2.p2.7.m7.1.1" xref="A1.2.p2.7.m7.1.1.cmml">x</mi><mo id="A1.2.p2.7.m7.4.5.2.3.2.2" xref="A1.2.p2.7.m7.4.5.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.2.p2.7.m7.2.2" xref="A1.2.p2.7.m7.2.2.cmml">t</mi><mo id="A1.2.p2.7.m7.4.5.2.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.2.p2.7.m7.4.5.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.2.p2.7.m7.4.5.1" xref="A1.2.p2.7.m7.4.5.1.cmml">=</mo><mrow id="A1.2.p2.7.m7.4.5.3" xref="A1.2.p2.7.m7.4.5.3.cmml"><mi id="A1.2.p2.7.m7.4.5.3.2" mathvariant="normal" xref="A1.2.p2.7.m7.4.5.3.2.cmml">Φ</mi><mo id="A1.2.p2.7.m7.4.5.3.1" xref="A1.2.p2.7.m7.4.5.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.2.p2.7.m7.4.5.3.3.2" xref="A1.2.p2.7.m7.4.5.3.3.1.cmml"><mo id="A1.2.p2.7.m7.4.5.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.2.p2.7.m7.4.5.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.2.p2.7.m7.3.3" xref="A1.2.p2.7.m7.3.3.cmml">x</mi><mo id="A1.2.p2.7.m7.4.5.3.3.2.2" xref="A1.2.p2.7.m7.4.5.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.2.p2.7.m7.4.4" xref="A1.2.p2.7.m7.4.4.cmml">t</mi><mo id="A1.2.p2.7.m7.4.5.3.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.2.p2.7.m7.4.5.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.2.p2.7.m7.4b"><apply id="A1.2.p2.7.m7.4.5.cmml" xref="A1.2.p2.7.m7.4.5"><eq id="A1.2.p2.7.m7.4.5.1.cmml" xref="A1.2.p2.7.m7.4.5.1"></eq><apply id="A1.2.p2.7.m7.4.5.2.cmml" xref="A1.2.p2.7.m7.4.5.2"><times id="A1.2.p2.7.m7.4.5.2.1.cmml" xref="A1.2.p2.7.m7.4.5.2.1"></times><ci id="A1.2.p2.7.m7.4.5.2.2.cmml" xref="A1.2.p2.7.m7.4.5.2.2">italic-ϕ</ci><interval closure="open" id="A1.2.p2.7.m7.4.5.2.3.1.cmml" xref="A1.2.p2.7.m7.4.5.2.3.2"><ci id="A1.2.p2.7.m7.1.1.cmml" xref="A1.2.p2.7.m7.1.1">𝑥</ci><ci id="A1.2.p2.7.m7.2.2.cmml" xref="A1.2.p2.7.m7.2.2">𝑡</ci></interval></apply><apply id="A1.2.p2.7.m7.4.5.3.cmml" xref="A1.2.p2.7.m7.4.5.3"><times id="A1.2.p2.7.m7.4.5.3.1.cmml" xref="A1.2.p2.7.m7.4.5.3.1"></times><ci id="A1.2.p2.7.m7.4.5.3.2.cmml" xref="A1.2.p2.7.m7.4.5.3.2">Φ</ci><interval closure="open" id="A1.2.p2.7.m7.4.5.3.3.1.cmml" xref="A1.2.p2.7.m7.4.5.3.3.2"><ci id="A1.2.p2.7.m7.3.3.cmml" xref="A1.2.p2.7.m7.3.3">𝑥</ci><ci id="A1.2.p2.7.m7.4.4.cmml" xref="A1.2.p2.7.m7.4.4">𝑡</ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.2.p2.7.m7.4c">\phi(x,t)=\Phi(x,t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.2.p2.7.m7.4d">italic_ϕ ( italic_x , italic_t ) = roman_Φ ( italic_x , italic_t )</annotation></semantics></math> for all <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.2.p2.8.m8.1"><semantics id="A1.2.p2.8.m8.1a"><mi id="A1.2.p2.8.m8.1.1" xref="A1.2.p2.8.m8.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.2.p2.8.m8.1b"><ci id="A1.2.p2.8.m8.1.1.cmml" xref="A1.2.p2.8.m8.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.2.p2.8.m8.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.2.p2.8.m8.1d">italic_t</annotation></semantics></math>. Hence, for almost every <math alttext="x" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.2.p2.9.m9.1"><semantics id="A1.2.p2.9.m9.1a"><mi id="A1.2.p2.9.m9.1.1" xref="A1.2.p2.9.m9.1.1.cmml">x</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.2.p2.9.m9.1b"><ci id="A1.2.p2.9.m9.1.1.cmml" xref="A1.2.p2.9.m9.1.1">𝑥</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.2.p2.9.m9.1c">x</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.2.p2.9.m9.1d">italic_x</annotation></semantics></math>, <math alttext="\phi(x,x)=\Phi(x,x)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.2.p2.10.m10.4"><semantics id="A1.2.p2.10.m10.4a"><mrow id="A1.2.p2.10.m10.4.5" xref="A1.2.p2.10.m10.4.5.cmml"><mrow id="A1.2.p2.10.m10.4.5.2" xref="A1.2.p2.10.m10.4.5.2.cmml"><mi id="A1.2.p2.10.m10.4.5.2.2" xref="A1.2.p2.10.m10.4.5.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="A1.2.p2.10.m10.4.5.2.1" xref="A1.2.p2.10.m10.4.5.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.2.p2.10.m10.4.5.2.3.2" xref="A1.2.p2.10.m10.4.5.2.3.1.cmml"><mo id="A1.2.p2.10.m10.4.5.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.2.p2.10.m10.4.5.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.2.p2.10.m10.1.1" xref="A1.2.p2.10.m10.1.1.cmml">x</mi><mo id="A1.2.p2.10.m10.4.5.2.3.2.2" xref="A1.2.p2.10.m10.4.5.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.2.p2.10.m10.2.2" xref="A1.2.p2.10.m10.2.2.cmml">x</mi><mo id="A1.2.p2.10.m10.4.5.2.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.2.p2.10.m10.4.5.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.2.p2.10.m10.4.5.1" xref="A1.2.p2.10.m10.4.5.1.cmml">=</mo><mrow id="A1.2.p2.10.m10.4.5.3" xref="A1.2.p2.10.m10.4.5.3.cmml"><mi id="A1.2.p2.10.m10.4.5.3.2" mathvariant="normal" xref="A1.2.p2.10.m10.4.5.3.2.cmml">Φ</mi><mo id="A1.2.p2.10.m10.4.5.3.1" xref="A1.2.p2.10.m10.4.5.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.2.p2.10.m10.4.5.3.3.2" xref="A1.2.p2.10.m10.4.5.3.3.1.cmml"><mo id="A1.2.p2.10.m10.4.5.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.2.p2.10.m10.4.5.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.2.p2.10.m10.3.3" xref="A1.2.p2.10.m10.3.3.cmml">x</mi><mo id="A1.2.p2.10.m10.4.5.3.3.2.2" xref="A1.2.p2.10.m10.4.5.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.2.p2.10.m10.4.4" xref="A1.2.p2.10.m10.4.4.cmml">x</mi><mo id="A1.2.p2.10.m10.4.5.3.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.2.p2.10.m10.4.5.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.2.p2.10.m10.4b"><apply id="A1.2.p2.10.m10.4.5.cmml" xref="A1.2.p2.10.m10.4.5"><eq id="A1.2.p2.10.m10.4.5.1.cmml" xref="A1.2.p2.10.m10.4.5.1"></eq><apply id="A1.2.p2.10.m10.4.5.2.cmml" xref="A1.2.p2.10.m10.4.5.2"><times id="A1.2.p2.10.m10.4.5.2.1.cmml" xref="A1.2.p2.10.m10.4.5.2.1"></times><ci id="A1.2.p2.10.m10.4.5.2.2.cmml" xref="A1.2.p2.10.m10.4.5.2.2">italic-ϕ</ci><interval closure="open" id="A1.2.p2.10.m10.4.5.2.3.1.cmml" xref="A1.2.p2.10.m10.4.5.2.3.2"><ci id="A1.2.p2.10.m10.1.1.cmml" xref="A1.2.p2.10.m10.1.1">𝑥</ci><ci id="A1.2.p2.10.m10.2.2.cmml" xref="A1.2.p2.10.m10.2.2">𝑥</ci></interval></apply><apply id="A1.2.p2.10.m10.4.5.3.cmml" xref="A1.2.p2.10.m10.4.5.3"><times id="A1.2.p2.10.m10.4.5.3.1.cmml" xref="A1.2.p2.10.m10.4.5.3.1"></times><ci id="A1.2.p2.10.m10.4.5.3.2.cmml" xref="A1.2.p2.10.m10.4.5.3.2">Φ</ci><interval closure="open" id="A1.2.p2.10.m10.4.5.3.3.1.cmml" xref="A1.2.p2.10.m10.4.5.3.3.2"><ci id="A1.2.p2.10.m10.3.3.cmml" xref="A1.2.p2.10.m10.3.3">𝑥</ci><ci id="A1.2.p2.10.m10.4.4.cmml" xref="A1.2.p2.10.m10.4.4">𝑥</ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.2.p2.10.m10.4c">\phi(x,x)=\Phi(x,x)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.2.p2.10.m10.4d">italic_ϕ ( italic_x , italic_x ) = roman_Φ ( italic_x , italic_x )</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="A1.3.p3"> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx21"> <tbody id="A1.Ex99"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\int_{\mathbb{R}\times E}\varphi(h(x,x_{E}))dxdx_{E}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex99.m1.2"><semantics id="A1.Ex99.m1.2a"><mrow id="A1.Ex99.m1.2.2" xref="A1.Ex99.m1.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex99.m1.2.2.2" xref="A1.Ex99.m1.2.2.2.cmml"><msub id="A1.Ex99.m1.2.2.2a" xref="A1.Ex99.m1.2.2.2.cmml"><mo id="A1.Ex99.m1.2.2.2.2" xref="A1.Ex99.m1.2.2.2.2.cmml">∫</mo><mrow id="A1.Ex99.m1.2.2.2.3" xref="A1.Ex99.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex99.m1.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex99.m1.2.2.2.3.2.cmml">ℝ</mi><mo id="A1.Ex99.m1.2.2.2.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A1.Ex99.m1.2.2.2.3.1.cmml">×</mo><mi id="A1.Ex99.m1.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex99.m1.2.2.2.3.3.cmml">E</mi></mrow></msub></mstyle><mrow id="A1.Ex99.m1.2.2.1" xref="A1.Ex99.m1.2.2.1.cmml"><mi id="A1.Ex99.m1.2.2.1.3" xref="A1.Ex99.m1.2.2.1.3.cmml">φ</mi><mo id="A1.Ex99.m1.2.2.1.2" xref="A1.Ex99.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex99.m1.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex99.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex99.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex99.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex99.m1.2.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex99.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex99.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex99.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">h</mi><mo id="A1.Ex99.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex99.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex99.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex99.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex99.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex99.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex99.m1.1.1" xref="A1.Ex99.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="A1.Ex99.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex99.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><msub id="A1.Ex99.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex99.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex99.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex99.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="A1.Ex99.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex99.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">E</mi></msub><mo id="A1.Ex99.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="A1.Ex99.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex99.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex99.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex99.m1.2.2.1.2a" lspace="0em" xref="A1.Ex99.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex99.m1.2.2.1.4" xref="A1.Ex99.m1.2.2.1.4.cmml"><mo id="A1.Ex99.m1.2.2.1.4.1" rspace="0em" xref="A1.Ex99.m1.2.2.1.4.1.cmml">𝑑</mo><mi id="A1.Ex99.m1.2.2.1.4.2" xref="A1.Ex99.m1.2.2.1.4.2.cmml">x</mi></mrow><mo id="A1.Ex99.m1.2.2.1.2b" lspace="0em" xref="A1.Ex99.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex99.m1.2.2.1.5" xref="A1.Ex99.m1.2.2.1.5.cmml"><mo id="A1.Ex99.m1.2.2.1.5.1" rspace="0em" xref="A1.Ex99.m1.2.2.1.5.1.cmml">𝑑</mo><msub id="A1.Ex99.m1.2.2.1.5.2" xref="A1.Ex99.m1.2.2.1.5.2.cmml"><mi id="A1.Ex99.m1.2.2.1.5.2.2" xref="A1.Ex99.m1.2.2.1.5.2.2.cmml">x</mi><mi id="A1.Ex99.m1.2.2.1.5.2.3" xref="A1.Ex99.m1.2.2.1.5.2.3.cmml">E</mi></msub></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex99.m1.2b"><apply id="A1.Ex99.m1.2.2.cmml" xref="A1.Ex99.m1.2.2"><apply id="A1.Ex99.m1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex99.m1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex99.m1.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex99.m1.2.2.2">subscript</csymbol><int id="A1.Ex99.m1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex99.m1.2.2.2.2"></int><apply id="A1.Ex99.m1.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex99.m1.2.2.2.3"><times id="A1.Ex99.m1.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex99.m1.2.2.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex99.m1.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex99.m1.2.2.2.3.2">ℝ</ci><ci id="A1.Ex99.m1.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex99.m1.2.2.2.3.3">𝐸</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex99.m1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex99.m1.2.2.1"><times id="A1.Ex99.m1.2.2.1.2.cmml" xref="A1.Ex99.m1.2.2.1.2"></times><ci id="A1.Ex99.m1.2.2.1.3.cmml" xref="A1.Ex99.m1.2.2.1.3">𝜑</ci><apply id="A1.Ex99.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex99.m1.2.2.1.1.1"><times id="A1.Ex99.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex99.m1.2.2.1.1.1.1.2"></times><ci id="A1.Ex99.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex99.m1.2.2.1.1.1.1.3">ℎ</ci><interval closure="open" id="A1.Ex99.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex99.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"><ci id="A1.Ex99.m1.1.1.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1">𝑥</ci><apply id="A1.Ex99.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex99.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex99.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex99.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex99.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex99.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="A1.Ex99.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex99.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3">𝐸</ci></apply></interval></apply><apply id="A1.Ex99.m1.2.2.1.4.cmml" xref="A1.Ex99.m1.2.2.1.4"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex99.m1.2.2.1.4.1.cmml" xref="A1.Ex99.m1.2.2.1.4.1">differential-d</csymbol><ci id="A1.Ex99.m1.2.2.1.4.2.cmml" xref="A1.Ex99.m1.2.2.1.4.2">𝑥</ci></apply><apply id="A1.Ex99.m1.2.2.1.5.cmml" xref="A1.Ex99.m1.2.2.1.5"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex99.m1.2.2.1.5.1.cmml" xref="A1.Ex99.m1.2.2.1.5.1">differential-d</csymbol><apply id="A1.Ex99.m1.2.2.1.5.2.cmml" xref="A1.Ex99.m1.2.2.1.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex99.m1.2.2.1.5.2.1.cmml" xref="A1.Ex99.m1.2.2.1.5.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex99.m1.2.2.1.5.2.2.cmml" xref="A1.Ex99.m1.2.2.1.5.2.2">𝑥</ci><ci id="A1.Ex99.m1.2.2.1.5.2.3.cmml" xref="A1.Ex99.m1.2.2.1.5.2.3">𝐸</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex99.m1.2c">\displaystyle\int_{\mathbb{R}\times E}\varphi(h(x,x_{E}))dxdx_{E}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex99.m1.2d">∫ start_POSTSUBSCRIPT blackboard_R × italic_E end_POSTSUBSCRIPT italic_φ ( italic_h ( italic_x , italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT ) ) italic_d italic_x italic_d italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\int_{\mathbb{R}}\varphi_{1}(0)\varphi_{2}(-x)\phi(x,x)dx" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex99.m2.4"><semantics id="A1.Ex99.m2.4a"><mrow id="A1.Ex99.m2.4.4" xref="A1.Ex99.m2.4.4.cmml"><mi id="A1.Ex99.m2.4.4.3" xref="A1.Ex99.m2.4.4.3.cmml"></mi><mo id="A1.Ex99.m2.4.4.2" xref="A1.Ex99.m2.4.4.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex99.m2.4.4.1" xref="A1.Ex99.m2.4.4.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex99.m2.4.4.1.2" xref="A1.Ex99.m2.4.4.1.2.cmml"><msub id="A1.Ex99.m2.4.4.1.2a" xref="A1.Ex99.m2.4.4.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex99.m2.4.4.1.2.2" xref="A1.Ex99.m2.4.4.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="A1.Ex99.m2.4.4.1.2.3" xref="A1.Ex99.m2.4.4.1.2.3.cmml">ℝ</mi></msub></mstyle><mrow id="A1.Ex99.m2.4.4.1.1" xref="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.3" xref="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.3.2" xref="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.3.2.cmml">φ</mi><mn id="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.3.3" xref="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.2" xref="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.4.2" xref="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.cmml">(</mo><mn id="A1.Ex99.m2.1.1" xref="A1.Ex99.m2.1.1.cmml">0</mn><mo id="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.2a" xref="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.5" xref="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.5.cmml"><mi id="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.5.2" xref="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.5.2.cmml">φ</mi><mn id="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.5.3" xref="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.5.3.cmml">2</mn></msub><mo id="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.2b" xref="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.1.1" xref="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.1.1.1a" xref="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi></mrow><mo id="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.2c" xref="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.6" xref="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.6.cmml">ϕ</mi><mo id="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.2d" xref="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.7.2" xref="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.7.1.cmml"><mo id="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.7.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.7.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex99.m2.2.2" xref="A1.Ex99.m2.2.2.cmml">x</mi><mo id="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.7.2.2" xref="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.7.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex99.m2.3.3" xref="A1.Ex99.m2.3.3.cmml">x</mi><mo id="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.7.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.7.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.2e" lspace="0em" xref="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.8" xref="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.8.cmml"><mo id="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.8.1" rspace="0em" xref="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.8.1.cmml">𝑑</mo><mi id="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.8.2" xref="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.8.2.cmml">x</mi></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex99.m2.4b"><apply id="A1.Ex99.m2.4.4.cmml" xref="A1.Ex99.m2.4.4"><eq id="A1.Ex99.m2.4.4.2.cmml" xref="A1.Ex99.m2.4.4.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex99.m2.4.4.3.cmml" xref="A1.Ex99.m2.4.4.3">absent</csymbol><apply id="A1.Ex99.m2.4.4.1.cmml" xref="A1.Ex99.m2.4.4.1"><apply id="A1.Ex99.m2.4.4.1.2.cmml" xref="A1.Ex99.m2.4.4.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex99.m2.4.4.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex99.m2.4.4.1.2">subscript</csymbol><int id="A1.Ex99.m2.4.4.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex99.m2.4.4.1.2.2"></int><ci id="A1.Ex99.m2.4.4.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex99.m2.4.4.1.2.3">ℝ</ci></apply><apply id="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.cmml" xref="A1.Ex99.m2.4.4.1.1"><times id="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.2"></times><apply id="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.3.2">𝜑</ci><cn id="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.3.3">1</cn></apply><cn id="A1.Ex99.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="A1.Ex99.m2.1.1">0</cn><apply id="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.5.cmml" xref="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.5.1.cmml" xref="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.5.2.cmml" xref="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.5.2">𝜑</ci><cn id="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.5.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.5.3">2</cn></apply><apply id="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.1.1"><minus id="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.1.1"></minus><ci id="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci></apply><ci id="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.6.cmml" xref="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.6">italic-ϕ</ci><interval closure="open" id="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.7.1.cmml" xref="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.7.2"><ci id="A1.Ex99.m2.2.2.cmml" xref="A1.Ex99.m2.2.2">𝑥</ci><ci id="A1.Ex99.m2.3.3.cmml" xref="A1.Ex99.m2.3.3">𝑥</ci></interval><apply id="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.8.cmml" xref="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.8"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.8.1.cmml" xref="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.8.1">differential-d</csymbol><ci id="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.8.2.cmml" xref="A1.Ex99.m2.4.4.1.1.8.2">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex99.m2.4c">\displaystyle=\int_{\mathbb{R}}\varphi_{1}(0)\varphi_{2}(-x)\phi(x,x)dx</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex99.m2.4d">= ∫ start_POSTSUBSCRIPT blackboard_R end_POSTSUBSCRIPT italic_φ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( 0 ) italic_φ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( - italic_x ) italic_ϕ ( italic_x , italic_x ) italic_d italic_x</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex100"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\int_{\mathbb{R}}\varphi_{1}(0)\varphi_{2}(-x)\Phi(x,x)dx" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex100.m1.4"><semantics id="A1.Ex100.m1.4a"><mrow id="A1.Ex100.m1.4.4" xref="A1.Ex100.m1.4.4.cmml"><mi id="A1.Ex100.m1.4.4.3" xref="A1.Ex100.m1.4.4.3.cmml"></mi><mo id="A1.Ex100.m1.4.4.2" xref="A1.Ex100.m1.4.4.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex100.m1.4.4.1" xref="A1.Ex100.m1.4.4.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex100.m1.4.4.1.2" xref="A1.Ex100.m1.4.4.1.2.cmml"><msub id="A1.Ex100.m1.4.4.1.2a" xref="A1.Ex100.m1.4.4.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex100.m1.4.4.1.2.2" xref="A1.Ex100.m1.4.4.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="A1.Ex100.m1.4.4.1.2.3" xref="A1.Ex100.m1.4.4.1.2.3.cmml">ℝ</mi></msub></mstyle><mrow id="A1.Ex100.m1.4.4.1.1" xref="A1.Ex100.m1.4.4.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex100.m1.4.4.1.1.3" xref="A1.Ex100.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex100.m1.4.4.1.1.3.2" xref="A1.Ex100.m1.4.4.1.1.3.2.cmml">φ</mi><mn id="A1.Ex100.m1.4.4.1.1.3.3" xref="A1.Ex100.m1.4.4.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A1.Ex100.m1.4.4.1.1.2" xref="A1.Ex100.m1.4.4.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex100.m1.4.4.1.1.4.2" xref="A1.Ex100.m1.4.4.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex100.m1.4.4.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex100.m1.4.4.1.1.cmml">(</mo><mn id="A1.Ex100.m1.1.1" xref="A1.Ex100.m1.1.1.cmml">0</mn><mo id="A1.Ex100.m1.4.4.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex100.m1.4.4.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex100.m1.4.4.1.1.2a" xref="A1.Ex100.m1.4.4.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex100.m1.4.4.1.1.5" xref="A1.Ex100.m1.4.4.1.1.5.cmml"><mi id="A1.Ex100.m1.4.4.1.1.5.2" xref="A1.Ex100.m1.4.4.1.1.5.2.cmml">φ</mi><mn id="A1.Ex100.m1.4.4.1.1.5.3" xref="A1.Ex100.m1.4.4.1.1.5.3.cmml">2</mn></msub><mo id="A1.Ex100.m1.4.4.1.1.2b" xref="A1.Ex100.m1.4.4.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex100.m1.4.4.1.1.1.1" xref="A1.Ex100.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex100.m1.4.4.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex100.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex100.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex100.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex100.m1.4.4.1.1.1.1.1a" xref="A1.Ex100.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="A1.Ex100.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex100.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi></mrow><mo id="A1.Ex100.m1.4.4.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex100.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex100.m1.4.4.1.1.2c" xref="A1.Ex100.m1.4.4.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex100.m1.4.4.1.1.6" mathvariant="normal" xref="A1.Ex100.m1.4.4.1.1.6.cmml">Φ</mi><mo id="A1.Ex100.m1.4.4.1.1.2d" xref="A1.Ex100.m1.4.4.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex100.m1.4.4.1.1.7.2" xref="A1.Ex100.m1.4.4.1.1.7.1.cmml"><mo id="A1.Ex100.m1.4.4.1.1.7.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex100.m1.4.4.1.1.7.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex100.m1.2.2" xref="A1.Ex100.m1.2.2.cmml">x</mi><mo id="A1.Ex100.m1.4.4.1.1.7.2.2" xref="A1.Ex100.m1.4.4.1.1.7.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex100.m1.3.3" xref="A1.Ex100.m1.3.3.cmml">x</mi><mo id="A1.Ex100.m1.4.4.1.1.7.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex100.m1.4.4.1.1.7.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex100.m1.4.4.1.1.2e" lspace="0em" xref="A1.Ex100.m1.4.4.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex100.m1.4.4.1.1.8" xref="A1.Ex100.m1.4.4.1.1.8.cmml"><mo id="A1.Ex100.m1.4.4.1.1.8.1" rspace="0em" xref="A1.Ex100.m1.4.4.1.1.8.1.cmml">𝑑</mo><mi id="A1.Ex100.m1.4.4.1.1.8.2" xref="A1.Ex100.m1.4.4.1.1.8.2.cmml">x</mi></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex100.m1.4b"><apply id="A1.Ex100.m1.4.4.cmml" xref="A1.Ex100.m1.4.4"><eq id="A1.Ex100.m1.4.4.2.cmml" xref="A1.Ex100.m1.4.4.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex100.m1.4.4.3.cmml" xref="A1.Ex100.m1.4.4.3">absent</csymbol><apply id="A1.Ex100.m1.4.4.1.cmml" xref="A1.Ex100.m1.4.4.1"><apply id="A1.Ex100.m1.4.4.1.2.cmml" 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xref="A1.Ex100.m1.4.4.1.1.8.2">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex100.m1.4c">\displaystyle=\int_{\mathbb{R}}\varphi_{1}(0)\varphi_{2}(-x)\Phi(x,x)dx</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex100.m1.4d">= ∫ start_POSTSUBSCRIPT blackboard_R end_POSTSUBSCRIPT italic_φ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( 0 ) italic_φ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( - italic_x ) roman_Φ ( italic_x , italic_x ) italic_d italic_x</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex101"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\int_{\mathbb{R}\times F}\varphi_{1}(0)\varphi_{2}(-x)\varphi_{3% }(y_{F})\Psi(0,-x,y_{F})dxdy_{F}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex101.m1.6"><semantics id="A1.Ex101.m1.6a"><mrow id="A1.Ex101.m1.6.6" xref="A1.Ex101.m1.6.6.cmml"><mi id="A1.Ex101.m1.6.6.6" xref="A1.Ex101.m1.6.6.6.cmml"></mi><mo id="A1.Ex101.m1.6.6.5" xref="A1.Ex101.m1.6.6.5.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex101.m1.6.6.4" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex101.m1.6.6.4.5" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.5.cmml"><msub id="A1.Ex101.m1.6.6.4.5a" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.5.cmml"><mo id="A1.Ex101.m1.6.6.4.5.2" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.5.2.cmml">∫</mo><mrow id="A1.Ex101.m1.6.6.4.5.3" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.5.3.cmml"><mi id="A1.Ex101.m1.6.6.4.5.3.2" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.5.3.2.cmml">ℝ</mi><mo id="A1.Ex101.m1.6.6.4.5.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.5.3.1.cmml">×</mo><mi id="A1.Ex101.m1.6.6.4.5.3.3" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.5.3.3.cmml">F</mi></mrow></msub></mstyle><mrow id="A1.Ex101.m1.6.6.4.4" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.cmml"><msub id="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.6" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.6.cmml"><mi id="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.6.2" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.6.2.cmml">φ</mi><mn id="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.6.3" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.6.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.5" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.7.2" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.cmml"><mo id="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.7.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.cmml">(</mo><mn id="A1.Ex101.m1.1.1" xref="A1.Ex101.m1.1.1.cmml">0</mn><mo id="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.7.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.5a" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.5.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.8" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.8.cmml"><mi id="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.8.2" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.8.2.cmml">φ</mi><mn id="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.8.3" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.8.3.cmml">2</mn></msub><mo id="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.5b" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex101.m1.3.3.1.1.1.1" xref="A1.Ex101.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex101.m1.3.3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex101.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex101.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex101.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex101.m1.3.3.1.1.1.1.1a" xref="A1.Ex101.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="A1.Ex101.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex101.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi></mrow><mo id="A1.Ex101.m1.3.3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex101.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.5c" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.5.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.9" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.9.cmml"><mi id="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.9.2" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.9.2.cmml">φ</mi><mn id="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.9.3" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.9.3.cmml">3</mn></msub><mo id="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.5d" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex101.m1.4.4.2.2.2.1" xref="A1.Ex101.m1.4.4.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex101.m1.4.4.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex101.m1.4.4.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><msub id="A1.Ex101.m1.4.4.2.2.2.1.1" xref="A1.Ex101.m1.4.4.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex101.m1.4.4.2.2.2.1.1.2" xref="A1.Ex101.m1.4.4.2.2.2.1.1.2.cmml">y</mi><mi id="A1.Ex101.m1.4.4.2.2.2.1.1.3" xref="A1.Ex101.m1.4.4.2.2.2.1.1.3.cmml">F</mi></msub><mo id="A1.Ex101.m1.4.4.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex101.m1.4.4.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.5e" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.5.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.10" mathvariant="normal" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.10.cmml">Ψ</mi><mo id="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.5f" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.4.2" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.4.3.cmml"><mo id="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.4.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.4.3.cmml">(</mo><mn id="A1.Ex101.m1.2.2" xref="A1.Ex101.m1.2.2.cmml">0</mn><mo id="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.4.2.4" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.4.3.cmml">,</mo><mrow id="A1.Ex101.m1.5.5.3.3.3.1.1" xref="A1.Ex101.m1.5.5.3.3.3.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex101.m1.5.5.3.3.3.1.1a" xref="A1.Ex101.m1.5.5.3.3.3.1.1.cmml">−</mo><mi id="A1.Ex101.m1.5.5.3.3.3.1.1.2" xref="A1.Ex101.m1.5.5.3.3.3.1.1.2.cmml">x</mi></mrow><mo id="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.4.2.5" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.4.3.cmml">,</mo><msub id="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.4.2.2" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.4.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.4.2.2.2" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.4.2.2.2.cmml">y</mi><mi id="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.4.2.2.3" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.4.2.2.3.cmml">F</mi></msub><mo id="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.4.2.6" stretchy="false" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.4.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.5g" lspace="0em" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.11" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.11.cmml"><mo id="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.11.1" rspace="0em" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.11.1.cmml">𝑑</mo><mi id="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.11.2" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.11.2.cmml">x</mi></mrow><mo id="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.5h" lspace="0em" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.12" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.12.cmml"><mo id="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.12.1" rspace="0em" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.12.1.cmml">𝑑</mo><msub id="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.12.2" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.12.2.cmml"><mi id="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.12.2.2" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.12.2.2.cmml">y</mi><mi id="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.12.2.3" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.12.2.3.cmml">F</mi></msub></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex101.m1.6b"><apply id="A1.Ex101.m1.6.6.cmml" xref="A1.Ex101.m1.6.6"><eq id="A1.Ex101.m1.6.6.5.cmml" xref="A1.Ex101.m1.6.6.5"></eq><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex101.m1.6.6.6.cmml" xref="A1.Ex101.m1.6.6.6">absent</csymbol><apply id="A1.Ex101.m1.6.6.4.cmml" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4"><apply id="A1.Ex101.m1.6.6.4.5.cmml" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex101.m1.6.6.4.5.1.cmml" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.5">subscript</csymbol><int id="A1.Ex101.m1.6.6.4.5.2.cmml" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.5.2"></int><apply id="A1.Ex101.m1.6.6.4.5.3.cmml" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.5.3"><times id="A1.Ex101.m1.6.6.4.5.3.1.cmml" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.5.3.1"></times><ci id="A1.Ex101.m1.6.6.4.5.3.2.cmml" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.5.3.2">ℝ</ci><ci id="A1.Ex101.m1.6.6.4.5.3.3.cmml" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.5.3.3">𝐹</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.cmml" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.4"><times id="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.5.cmml" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.5"></times><apply id="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.6.cmml" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.6"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.6.1.cmml" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.6">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.6.2.cmml" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.6.2">𝜑</ci><cn id="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.6.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.6.3">1</cn></apply><cn id="A1.Ex101.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="A1.Ex101.m1.1.1">0</cn><apply id="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.8.cmml" 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cd="ambiguous" id="A1.Ex101.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex101.m1.4.4.2.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex101.m1.4.4.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex101.m1.4.4.2.2.2.1.1.2">𝑦</ci><ci id="A1.Ex101.m1.4.4.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex101.m1.4.4.2.2.2.1.1.3">𝐹</ci></apply><ci id="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.10.cmml" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.10">Ψ</ci><vector id="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.4.3.cmml" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.4.2"><cn id="A1.Ex101.m1.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex101.m1.2.2">0</cn><apply id="A1.Ex101.m1.5.5.3.3.3.1.1.cmml" xref="A1.Ex101.m1.5.5.3.3.3.1.1"><minus id="A1.Ex101.m1.5.5.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex101.m1.5.5.3.3.3.1.1"></minus><ci id="A1.Ex101.m1.5.5.3.3.3.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex101.m1.5.5.3.3.3.1.1.2">𝑥</ci></apply><apply id="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.4.2.2.cmml" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.4.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.4.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.4.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.4.2.2.2">𝑦</ci><ci id="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.4.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.4.2.2.3">𝐹</ci></apply></vector><apply id="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.11.cmml" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.11"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.11.1.cmml" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.11.1">differential-d</csymbol><ci id="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.11.2.cmml" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.11.2">𝑥</ci></apply><apply id="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.12.cmml" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.12"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.12.1.cmml" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.12.1">differential-d</csymbol><apply id="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.12.2.cmml" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.12.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.12.2.1.cmml" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.12.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.12.2.2.cmml" xref="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.12.2.2">𝑦</ci><ci id="A1.Ex101.m1.6.6.4.4.12.2.3.cmml" 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class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\int_{\mathbb{R}\times F}\varphi_{1}(0)\varphi_{2}(x)\varphi_{3}% (y_{F})\Psi(0,x,y_{F})dxdy_{F}," class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex102.m1.5"><semantics id="A1.Ex102.m1.5a"><mrow id="A1.Ex102.m1.5.5.1" xref="A1.Ex102.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex102.m1.5.5.1.1" xref="A1.Ex102.m1.5.5.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex102.m1.5.5.1.1.4" xref="A1.Ex102.m1.5.5.1.1.4.cmml"></mi><mo id="A1.Ex102.m1.5.5.1.1.3" xref="A1.Ex102.m1.5.5.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex102.m1.5.5.1.1.2" xref="A1.Ex102.m1.5.5.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex102.m1.5.5.1.1.2.3" xref="A1.Ex102.m1.5.5.1.1.2.3.cmml"><msub id="A1.Ex102.m1.5.5.1.1.2.3a" xref="A1.Ex102.m1.5.5.1.1.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex102.m1.5.5.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex102.m1.5.5.1.1.2.3.2.cmml">∫</mo><mrow id="A1.Ex102.m1.5.5.1.1.2.3.3" 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xref="A1.Ex102.m1.5.5.1.1.2.2.9.cmml">Ψ</mi><mo id="A1.Ex102.m1.5.5.1.1.2.2.3f" xref="A1.Ex102.m1.5.5.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex102.m1.5.5.1.1.2.2.2.1" xref="A1.Ex102.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.cmml"><mo id="A1.Ex102.m1.5.5.1.1.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex102.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.cmml">(</mo><mn id="A1.Ex102.m1.3.3" xref="A1.Ex102.m1.3.3.cmml">0</mn><mo id="A1.Ex102.m1.5.5.1.1.2.2.2.1.3" xref="A1.Ex102.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex102.m1.4.4" xref="A1.Ex102.m1.4.4.cmml">x</mi><mo id="A1.Ex102.m1.5.5.1.1.2.2.2.1.4" xref="A1.Ex102.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.cmml">,</mo><msub id="A1.Ex102.m1.5.5.1.1.2.2.2.1.1" xref="A1.Ex102.m1.5.5.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex102.m1.5.5.1.1.2.2.2.1.1.2" xref="A1.Ex102.m1.5.5.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml">y</mi><mi id="A1.Ex102.m1.5.5.1.1.2.2.2.1.1.3" xref="A1.Ex102.m1.5.5.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml">F</mi></msub><mo id="A1.Ex102.m1.5.5.1.1.2.2.2.1.5" stretchy="false" xref="A1.Ex102.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex102.m1.5.5.1.1.2.2.3g" lspace="0em" xref="A1.Ex102.m1.5.5.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex102.m1.5.5.1.1.2.2.10" xref="A1.Ex102.m1.5.5.1.1.2.2.10.cmml"><mo id="A1.Ex102.m1.5.5.1.1.2.2.10.1" rspace="0em" xref="A1.Ex102.m1.5.5.1.1.2.2.10.1.cmml">𝑑</mo><mi id="A1.Ex102.m1.5.5.1.1.2.2.10.2" xref="A1.Ex102.m1.5.5.1.1.2.2.10.2.cmml">x</mi></mrow><mo id="A1.Ex102.m1.5.5.1.1.2.2.3h" lspace="0em" xref="A1.Ex102.m1.5.5.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex102.m1.5.5.1.1.2.2.11" xref="A1.Ex102.m1.5.5.1.1.2.2.11.cmml"><mo id="A1.Ex102.m1.5.5.1.1.2.2.11.1" rspace="0em" xref="A1.Ex102.m1.5.5.1.1.2.2.11.1.cmml">𝑑</mo><msub id="A1.Ex102.m1.5.5.1.1.2.2.11.2" xref="A1.Ex102.m1.5.5.1.1.2.2.11.2.cmml"><mi id="A1.Ex102.m1.5.5.1.1.2.2.11.2.2" xref="A1.Ex102.m1.5.5.1.1.2.2.11.2.2.cmml">y</mi><mi id="A1.Ex102.m1.5.5.1.1.2.2.11.2.3" xref="A1.Ex102.m1.5.5.1.1.2.2.11.2.3.cmml">F</mi></msub></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex102.m1.5.5.1.2" 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start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_F end_POSTSUBSCRIPT ) roman_Ψ ( 0 , italic_x , italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_F end_POSTSUBSCRIPT ) italic_d italic_x italic_d italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_F end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.3.p3.1">which concludes the proof. ∎</p> </div> </div> </section> </article> </div> <footer class="ltx_page_footer"> <div class="ltx_page_logo">Generated on Fri Mar 14 14:58:45 2025 by <a class="ltx_LaTeXML_logo" href="http://dlmf.nist.gov/LaTeXML/"><span style="letter-spacing:-0.2em; margin-right:0.1em;">L<span class="ltx_font_smallcaps" style="position:relative; bottom:2.2pt;">a</span>T<span class="ltx_font_smallcaps" style="font-size:120%;position:relative; bottom:-0.2ex;">e</span></span><span style="font-size:90%; position:relative; bottom:-0.2ex;">XML</span><img alt="Mascot Sammy" 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