CINXE.COM

<!DOCTYPE html>    <html>  <head><script type="text/javascript" src="https://web-static.archive.org/_static/js/bundle-playback.js?v=7YQSqjSh" charset="utf-8"></script> <script type="text/javascript" src="https://web-static.archive.org/_static/js/wombat.js?v=txqj7nKC" charset="utf-8"></script> <script>window.RufflePlayer=window.RufflePlayer||{};window.RufflePlayer.config={"autoplay":"on","unmuteOverlay":"hidden"};</script> <script type="text/javascript" src="https://web-static.archive.org/_static/js/ruffle/ruffle.js"></script> <script type="text/javascript"> __wm.init("https://web.archive.org/web"); __wm.wombat("http://n-t.ru/tp/iz/pf.htm","20160717202518","https://web.archive.org/","web","https://web-static.archive.org/_static/", "1468787118"); </script> <link rel="stylesheet" type="text/css" href="https://web-static.archive.org/_static/css/banner-styles.css?v=p7PEIJWi" /> <link rel="stylesheet" type="text/css" href="https://web-static.archive.org/_static/css/iconochive.css?v=3PDvdIFv" />  <title>Преобразование Фурье. Препринт. Наука и техника</title> <meta http-equiv="X-UA-Compatible" content="IE=edge,chrome=1"/> <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1"> <meta name="SKYPE_TOOLBAR" content="SKYPE_TOOLBAR_PARSER_COMPATIBLE"/>  <meta property="og:title" content="Преобразование Фурье"> <meta property="og:url" content="https://web.archive.org/web/20160717202518/http://n-t.ru/tp/iz/pf.htm"> <meta property="og:image" content="https://web.archive.org/web/20160717202518im_/http://n-t.ru/n-t158.png"> <meta property="og:image:width" content="316"> <meta property="og:image:height" content="316"> <meta property="og:description" content="Внешний вид спектра сигнала расскажет опытному глазу о многом. Узкий, сконцентрированный на небольшом участке частотной оси, он всегда соответствует процессу, масштабно протяженному во времени и, в общем случае, колебательному. Широкий, распахнутый, далеко простирающийся спектр уверенно информирует о действиях мгновенных, импульсивных, резких. Эти соответствия, предугадываемые на интуитивном уровне, отображаются преобразованиями Фурье. "> <link rel="icon" href="/web/20160717202518im_/http://n-t.ru/favicon.ico" type="image/x-icon"> <link href="/web/20160717202518cs_/http://n-t.ru/dz/nit.css" rel="stylesheet" type="text/css"> </head> <body> <script type="text/javascript"></script>  <script type="text/javascript"> (function (d, w, c) { (w[c] = w[c] || []).push(function() { try { w.yaCounter31163726 = new Ya.Metrika({ id:31163726, clickmap:true, trackLinks:true, accurateTrackBounce:true, webvisor:true }); } catch(e) { } }); var n = d.getElementsByTagName("script")[0], s = d.createElement("script"), f = function () { n.parentNode.insertBefore(s, n); }; s.type = "text/javascript"; s.async = true; s.src = "https://web.archive.org/web/20160717202518/https://mc.yandex.ru/metrika/watch.js"; if (w.opera == "[object Opera]") { d.addEventListener("DOMContentLoaded", f, false); } else { f(); } })(document, window, "yandex_metrika_callbacks"); </script> <noscript><div><img src="https://web.archive.org/web/20160717202518im_/https://mc.yandex.ru/watch/31163726" style="position:absolute; left:-9999px;" alt=""/></div></noscript>  <div id="fb-root"></div> <script>(function(d, s, id) { var js, fjs = d.getElementsByTagName(s)[0]; if (d.getElementById(id)) return; js = d.createElement(s); js.id = id; js.src = "//web.archive.org/web/20160717202518/http://connect.facebook.net/ru_RU/sdk.js#xfbml=1&version=v2.4&appId=1615304618725556"; fjs.parentNode.insertBefore(js, fjs); }(document, 'script', 'facebook-jssdk'));</script> <div class="vk vkm">  <a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/"> <img class="il1" style="float: left;" src="/web/20160717202518im_/http://n-t.ru/dz/1024-logo.gif" border="0" width="208" height="72" alt="Перейти в начало сайта" title="Перейти в начало сайта"> <img class="il2" style="float: left;" src="/web/20160717202518im_/http://n-t.ru/dz/480-800-logo.gif" border="0" width="50" height="50" alt="Перейти в начало сайта" title="Перейти в начало сайта"> </a>  <div class="nv nm1">Электронная библиотека «Наука и техника»</div> <div class="nv nm2">n-t.ru: Наука и техника</div>  <div class="nv nv1"><a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/">Начало сайта</a> / <a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/tp/pp.htm">Препринт</a> / <a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/tp/iz/">Измерения в технике</a></div> <div class="nv nv2"><a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/">Начало сайта</a> / <a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/tp/pp.htm">Препринт</a> / <a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/tp/iz/">Измерения в технике</a></div> <div class="fp1"><div class="ya-site-form ya-site-form_inited_no" onclick="return {'action':'https://web.archive.org/web/20160717202518/http://n-t.ru/sy.htm','arrow':false,'bg':'transparent','fontsize':14,'fg':'#000000','language':'ru','logo':'rb','publicname':'Поиск по n-t.ru','suggest':false,'target':'_self','tld':'ru','type':3,'usebigdictionary':true,'searchid':149297,'webopt':false,'websearch':false,'input_fg':'#a1aab3','input_bg':'#ffffff','input_fontStyle':'normal','input_fontWeight':'normal','input_placeholder':'Поиск по n-t.ru:','input_placeholderColor':'#a1aab3','input_borderColor':'#B8D9B8'}"><form action="https://web.archive.org/web/20160717202518/http://yandex.ru/sitesearch" method="get" target="_self"><input type="hidden" name="searchid" value="149297"/><input type="hidden" name="l10n" value="ru"/><input type="hidden" name="reqenc" value=""/><input type="search" name="text" value=""/><input type="submit" value="Найти"/></form></div><style type="text/css">.ya-page_js_yes .ya-site-form_inited_no { display: none; }</style><script type="text/javascript">(function(w,d,c){var s=d.createElement('script'),h=d.getElementsByTagName('script')[0],e=d.documentElement;if((' '+e.className+' ').indexOf(' ya-page_js_yes ')===-1){e.className+=' ya-page_js_yes';}s.type='text/javascript';s.async=true;s.charset='utf-8';s.src=(d.location.protocol==='https:'?'https:':'http:')+'//web.archive.org/web/20160717202518/http://site.yandex.net/v2.0/js/all.js';h.parentNode.insertBefore(s,h);(w[c]||(w[c]=[])).push(function(){Ya.Site.Form.init()})})(window,document,'yandex_site_callbacks');</script></div> </div> <div class="pl plm"> <div class="pll pllm"> <p class="rz"><a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/ns/" class="arz">Научные статьи</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/ns/fz/" class="arb">Физика звёзд</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/ns/fm/" class="arb">Физика микромира</a></p> <p class="rz"><a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/np/" class="arz">Научно-популярные статьи</a></p> <p class="rz"><a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/nj/" class="arz">Журналы</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/nj/pr/" class="arb">Природа</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/nj/nz/" class="arb">Наука и жизнь</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/nj/pl/" class="arb">Природа и люди</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/nj/tm/" class="arb">Техника – молодёжи</a></p> <p class="rz"><a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/nl/" class="arz">Нобелевские лауреаты</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/nl/fz/" class="arb">Премия по физике</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/nl/hm/" class="arb">Премия по химии</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/nl/lt/" class="arb">Премия по литературе</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/nl/mf/" class="arb">Премия по медицине</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/nl/ek/" class="arb">Премия по экономике</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/nl/mr/" class="arb">Премия мира</a></p> <p class="rz"><a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/ri/" class="arz">Книги</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/ri/ga/ba.htm" id="rb">Биологически активные</a> </p><p class="rb"><a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/ri/gn/kl.htm" id="rb">Как люди научились летать</a> </p><p class="rb"><a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/ri/mz/on.htm" id="rb">Обычное в необычном (Энциклопедия чудес. Книга первая)</a> </p><p class="rb"><a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/ri/sr/pr.htm" id="rb">Парадокс XX века</a> </p><p class="rb"><a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/ri/mn/sc.htm" id="rb">Сын человеческий</a> </p><p class="rb"><a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/ri/rj/ev.htm" id="rb">Этюды о Вселенной</a> </p> <p class="rz"><a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/ii/" class="arz">Издания НиТ</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/ii/ba/" class="arb">Батарейки и аккумуляторы</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/ii/os/" class="arb">Охранные системы</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/ii/ie/" class="arb">Источники энергии</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/ii/st/" class="arb">Свет и тепло</a></p> <p class="rz"><a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/tp/pp.htm" class="arz">Препринт</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/tp/ns/" class="arb">Наука сегодня</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/tp/ng/" class="arb">Научные гипотезы</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/tp/to/" class="arb">Теория относительности</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/tp/in/" class="arb">История науки</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/tp/nr/" class="arb">Научные развлечения</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/tp/ts/" class="arb">Техника сегодня</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/tp/it/" class="arb">История техники</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/tp/iz/" class="arb">Измерения в технике</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/tp/ie/" class="arb">Источники энергии</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/tp/rn/" class="arb">Наука и религия</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/tp/mr/" class="arb">Мир, в котором мы живём</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/tp/nf/" class="arb">Лит. творчество ученых</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/tp/br/" class="arb">Человек и общество</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/tp/ob/" class="arb">Образование</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/tp/rz/" class="arb">Разное</a></p> </div> <div class="plp plpm"> <h1>Преобразование Фурье</h1> <p class="at">Анатолий КАРТАШКИН</p> <p>В основе преобразования <a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/tp/in/ucv.htm">Фурье</a> (ПФ) лежит чрезвычайно простая, но исключительно плодотворная идея – почти любую периодическую функцию можно представить суммой отдельных гармонических составляющих (синусоид и косинусоид с различными амплитудами <i>A</i>, периодами <i>Т</i> и, следовательно, частотами ω). Пример одной из таких функций <i>S</i>(<i>t</i>), состоящей из гармоник <i>С</i><sub>i</sub>(<i>t</i>), приведен на рис. 1.</p> <p align="center"><img src="/web/20160717202518im_/http://n-t.ru/tp/iz/pf_p01.gif" width="580" height="566" alt="" vspace="10" border="0"></p> <p class="sm mb"><b>Рис. 1.</b> Представление прямоугольного импульса суммой гармонических составляющих</p> <p>Понятия «изобразить в частотной области некую функцию от времени» и «нарисовать спектр этой функции» – равнозначны. Если скользнуть по рис. 1 взглядом по горизонтали слева направо, то свершится переход от какой-либо функции времени к ее спектру – благодаря «магическому стеклу» ПФ. А нижняя часть рисунка есть иллюстрация одного из основных принципов ПФ – спектр суммарной функции времени равен сумме спектров ее гармонических составляющих.</p> <p>Неоспоримым достоинством ПФ является его гибкость – преобразование может использоваться как для непрерывных функций времени, так и для дискретных. В последнем случае оно называется дискретным ПФ – ДПФ.</p> <p>Для получения дискретной функции времени надо подвергнуть процессу дискретизации непрерывную функцию времени. Это изображено на рис. 2. Вырезаем отдельные значения из непрерывной функции, выстраивая дискретную функцию времени. Период одного цикла его работы <i>T</i><sub>д</sub> называется «периодом дискретизации», или «интервалом дискретности».</p> <p align="center"><img src="/web/20160717202518im_/http://n-t.ru/tp/iz/pf_p02.gif" width="500" height="319" alt="" vspace="10" border="0"></p> <p class="sm mb"><b>Рис. 2.</b> Дискретное представление непрерывной функции</p> <p>ПФ часто применяется при решении задач, возникающих в теории автоматического регулирования и управления, в теории фильтрации и т.д. Разберем один из примеров. Имеется некий линейный фильтр – изготовленный то ли в виде набора спаянных между собой резисторов, конденсаторов и катушек индуктивности, то ли в виде модульной конструкции интегральных микросхем. Известен также входной сигнал (на рис. 3 в качестве входного сигнала изображена дельта-функция, то есть импульс исчезающе короткой длительности и бесконечно большой амплитуды). Необходимо определить, какой сигнал появится на выходе нашего фильтра.</p> <p align="center"><img src="/web/20160717202518im_/http://n-t.ru/tp/iz/pf_p03.gif" width="580" height="267" alt="" vspace="10" border="0"></p> <p class="sm mb"><b>Рис. 3.</b> Исследование линейного фильтра</p> <p>Ход решения этой задачи зависит от того, какую позицию мы предпочтем. Выберем временной путь решения (верхняя половина рис. 4) – придется входной сигнал записать как функцию времени <i>S</i><sub>BX</sub>(<i>t</i>) и использовать импульсную характеристику фильтра <i>h</i>(<i>t</i>), то есть математическую запись его работы во времени. Отправимся по частотному пути (нижняя половина рис. 4) – нужно будет оперировать уже не с самим входным сигналом, а с его спектром <i>g</i><sub>bx</sub>(ω). Δа и алгоритм работы нашего фильтра потребуется представить в частотной области – в виде частотной характеристики <i>K</i>(ω). Δля этого воспользуемся помощью опять-таки «магического стекла» ПФ.</p> <p align="center"><img src="/web/20160717202518im_/http://n-t.ru/tp/iz/pf_p04.gif" width="450" height="615" alt="" vspace="10" border="0"></p> <p class="sm mb"><b>Рис. 4.</b> Быстрое преобразование Фурье</p> <p>Итак, два пути – какой из них избрать? По-видимому, тот, который проще. Во всяком случае, в большинстве практических задач предпочтение отдается частотному направлению.</p> <p>Если выполнять ДПФ входной последовательности, так сказать, впрямую – строго по исходной формуле, то потребуется много времени (особенно если количество входных отсчетов велико). Конструктивнее использовать принцип «разделяй и властвуй», лежащий в основе алгоритма БПФ. Согласно ему входная последовательность делится на группы (например, четные и нечетные отсчеты), и для каждой из них выполняется ДПФ, а затем полученные результаты объединяются. В итоге получается ДПФ входной последовательности – и существенная экономия времени. Поэтому описанный алгоритм так и назвали – быстрое преобразование Фурье.</p> <p> </p> <p class="data">Источники информации:</p> <ol> <li class="sm">Лаврус В.С. <a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/tp/iz/pi1.htm">Практика измерений в телевизионной технике</a>. – К.: НиТ, 1996.</li> <li class="sm">Карташкин А. <a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/tp/in/ucv.htm">Уйти, чтобы вернуться</a>.</li> </ol>  <div class="dk"> <div class="dp"> <p class="data nb">Дата публикации:</p> <p class="sm nb">25 июля 2000 года</p> </div> <div class="ev"> <p class="data">Электронная версия:</p> <p class="sm nb">© <a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/">НиТ</a>. <a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/tp/pp.htm">Препринт</a>, 1997</p> </div> </div> </div> </div>  <div class="nk nkm"> <div class="fp2"><div class="ya-site-form ya-site-form_inited_no" onclick="return {'action':'https://web.archive.org/web/20160717202518/http://n-t.ru/sy.htm','arrow':false,'bg':'transparent','fontsize':14,'fg':'#000000','language':'ru','logo':'rb','publicname':'Поиск по n-t.ru','suggest':false,'target':'_self','tld':'ru','type':3,'usebigdictionary':true,'searchid':149297,'webopt':false,'websearch':false,'input_fg':'#a1aab3','input_bg':'#ffffff','input_fontStyle':'normal','input_fontWeight':'normal','input_placeholder':'Поиск по n-t.ru:','input_placeholderColor':'#a1aab3','input_borderColor':'#B8D9B8'}"><form action="https://web.archive.org/web/20160717202518/http://yandex.ru/sitesearch" method="get" target="_self"><input type="hidden" name="searchid" value="149297"/><input type="hidden" name="l10n" value="ru"/><input type="hidden" name="reqenc" value=""/><input type="search" name="text" value=""/><input type="submit" value="Найти"/></form></div><style type="text/css">.ya-page_js_yes .ya-site-form_inited_no { display: none; }</style><script type="text/javascript">(function(w,d,c){var s=d.createElement('script'),h=d.getElementsByTagName('script')[0],e=d.documentElement;if((' '+e.className+' ').indexOf(' ya-page_js_yes ')===-1){e.className+=' ya-page_js_yes';}s.type='text/javascript';s.async=true;s.charset='utf-8';s.src=(d.location.protocol==='https:'?'https:':'http:')+'//web.archive.org/web/20160717202518/http://site.yandex.net/v2.0/js/all.js';h.parentNode.insertBefore(s,h);(w[c]||(w[c]=[])).push(function(){Ya.Site.Form.init()})})(window,document,'yandex_site_callbacks');</script></div> <div style="padding: 4px 0 6px 0; background: #f0faff;"><a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/">В начало сайта</a> | <a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/ri/">Книги</a> | <a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/tp/">Статьи</a> | <a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/nj/">Журналы</a> | <a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/nl/">Нобелевские лауреаты</a> | <a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/ii/">Издания НиТ</a> | <a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/nitnews.htm">Подписка</a> <br> <a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/ks.htm#n-t">Карта сайта</a> | <a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/sp/">Cовместные проекты</a> | <a href="https://web.archive.org/web/20160717202518/http://smbr.ru/">Журнал «Сумбур»</a> | <a href="https://web.archive.org/web/20160717202518/http://o-val.ru/">Игумен Валериан</a> | <a href="https://web.archive.org/web/20160717202518/http://ntbu.ru/">Техническая библиотека</a> </div> <div style="padding: 4px 0 6px 0; background: #fffceb; border-top: 1px solid #99D8FF;">© <a href="https://web.archive.org/web/20160717202518/http://n-t.ru/">МОО «Наука и техника»</a>, 1997...2016</div> <div style="padding: 4px 0 6px 0; background: #f0faff; border-top: 1px solid #99D8FF;"><a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/md.htm">Об организации</a> • <a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/ad.htm">Аудитория</a> • <a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/ki.htm">Связаться с нами</a> • <a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/rr.htm">Разместить рекламу</a> • <a href="/web/20160717202518/http://n-t.ru/pi.htm">Правовая информация</a> </div> </div>  <div style="max-width: 352px; margin: auto; background: #fff; border: 0px solid #e0e0e0;"> <div style="float: left; max-width: 222px; margin: 0px 0px 4px 0px; background: #fff;"><script type="text/javascript" src="//web.archive.org/web/20160717202518js_/http://yastatic.net/share/share.js" charset="utf-8"></script><div class="yashare-auto-init" data-yasharel10n="ru" data-yasharetype="link" data-yasharequickservices="vkontakte,facebook,twitter,odnoklassniki,moimir,lj"></div></div> <div style="float: right; margin: 4px 0px 0px 0px;" class="fb-follow" data-href="https://www.facebook.com/nit.ru" data-layout="button" data-show-faces="true"></div> <div style="clear: left;"></div> <div style="float: left;"><a href="https://web.archive.org/web/20160717202518/http://www.yandex.ru/cy?base=0&host=n-t.ru" rel="nofollow"><img src="https://web.archive.org/web/20160717202518im_/http://www.yandex.ru/cycounter?n-t.ru" width="88" height="31" alt="Яндекс цитирования" border="0"></a></div> <div style="float: left;"><a href="//web.archive.org/web/20160717202518/http://www.liveinternet.ru/click" rel="nofollow" target="_blank"><img src="//web.archive.org/web/20160717202518im_/http://counter.yadro.ru/logo?14.13" title="LiveInternet: показано число просмотров за 24 часа, посетителей за 24 часа и за сегодня" alt="" border="0" width="88" height="31"/></a></div> <div style="float: left;"> <a href="https://web.archive.org/web/20160717202518/https://metrika.yandex.ru/stat/?id=31163726&from=informer" target="_blank" rel="nofollow"><img src="https://web.archive.org/web/20160717202518im_/https://mc.yandex.ru/informer/31163726/3_0_F4FFF4FF_F4FFF4FF_0_pageviews" style="width:88px; height:31px; border:0;" alt="Яндекс.Метрика" title="Яндекс.Метрика: данные за сегодня (просмотры, визиты и уникальные посетители)" onclick="try{Ya.Metrika.informer({i:this,id:31163726,lang:'ru'});return false}catch(e){}"/></a> </div> <div style="float: left;"> <script id="top100Counter" type="text/javascript" src="https://web.archive.org/web/20160717202518js_/http://counter.rambler.ru/top100.jcn?95690"></script> <noscript><a href="https://web.archive.org/web/20160717202518/http://top100.rambler.ru/navi/95690/"><img src="https://web.archive.org/web/20160717202518im_/http://counter.rambler.ru/top100.cnt?95690" alt="Rambler's Top100" border="0"/></a></noscript> </div> <div style="clear: left;"></div> </div> </body></html>