CINXE.COM

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available" lang="ca" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Cúspide (matemàtiques) - Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure</title> <script>(function(){var className="client-js vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )cawikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t.",".\t,"],"wgDigitTransformTable":["",""], "wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","gener","febrer","març","abril","maig","juny","juliol","agost","setembre","octubre","novembre","desembre"],"wgRequestId":"72222856-0c1a-47be-8023-b997a89c36e7","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Cúspide_(matemàtiques)","wgTitle":"Cúspide (matemàtiques)","wgCurRevisionId":32855206,"wgRevisionId":32855206,"wgArticleId":1175113,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":["Control d'autoritats","Àlgebra abstracta","Anàlisi matemàtica","Geometria"],"wgPageViewLanguage":"ca","wgPageContentLanguage":"ca","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Cúspide_(matemàtiques)","wgRelevantArticleId":1175113,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true, "wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"ca","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"ca"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":10000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgCentralAuthMobileDomain":false,"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":false,"wgVector2022LanguageInHeader":true,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q655275","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={"ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready", "user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.math.styles":"ready","skins.vector.search.codex.styles":"ready","skins.vector.styles":"ready","skins.vector.icons":"ready","ext.wikimediamessages.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","wikibase.client.data-bridge.externalModifiers":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["mediawiki.page.media","site","mediawiki.page.ready","mediawiki.toc","skins.vector.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.gadget.UkensKonkurranse","ext.gadget.refToolbar","ext.gadget.charinsert","ext.gadget.AltresViccionari","ext.gadget.purgetab","ext.gadget.DocTabs","ext.gadget.switcher","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth", "ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.cx.uls.quick.actions","wikibase.client.vector-2022","wikibase.client.data-bridge.init","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","oojs-ui.styles.icons-media","oojs-ui-core.icons","wikibase.sidebar.tracking"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); }];});});</script> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=ca&modules=ext.math.styles%7Cext.uls.interlanguage%7Cext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript%7Cext.wikimediaBadges%7Cext.wikimediamessages.styles%7Cskins.vector.icons%2Cstyles%7Cskins.vector.search.codex.styles%7Cwikibase.client.data-bridge.externalModifiers%7Cwikibase.client.init&only=styles&skin=vector-2022"> <script async="" src="/w/load.php?lang=ca&modules=startup&only=scripts&raw=1&skin=vector-2022"></script> <meta name="ResourceLoaderDynamicStyles" content=""> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=ca&modules=site.styles&only=styles&skin=vector-2022"> <meta name="generator" content="MediaWiki 1.44.0-wmf.5"> <meta name="referrer" content="origin"> <meta name="referrer" content="origin-when-cross-origin"> <meta name="robots" content="max-image-preview:standard"> <meta name="format-detection" content="telephone=no"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a3/Cusp.svg/1200px-Cusp.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="1200"> <meta property="og:image:height" content="1564"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a3/Cusp.svg/800px-Cusp.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="800"> <meta property="og:image:height" content="1042"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a3/Cusp.svg/640px-Cusp.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="640"> <meta property="og:image:height" content="834"> <meta name="viewport" content="width=1120"> <meta property="og:title" content="Cúspide (matemàtiques) - Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure"> <meta property="og:type" content="website"> <link rel="preconnect" href="//upload.wikimedia.org"> <link rel="alternate" media="only screen and (max-width: 640px)" href="//ca.m.wikipedia.org/wiki/C%C3%BAspide_(matem%C3%A0tiques)"> <link rel="alternate" type="application/x-wiki" title="Modifica" href="/w/index.php?title=C%C3%BAspide_(matem%C3%A0tiques)&action=edit"> <link rel="apple-touch-icon" href="/static/apple-touch/wikipedia.png"> <link rel="icon" href="/static/favicon/wikipedia.ico"> <link rel="search" type="application/opensearchdescription+xml" href="/w/rest.php/v1/search" title="Viquipèdia (ca)"> <link rel="EditURI" type="application/rsd+xml" href="//ca.wikipedia.org/w/api.php?action=rsd"> <link rel="canonical" href="https://ca.wikipedia.org/wiki/C%C3%BAspide_(matem%C3%A0tiques)"> <link rel="license" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.ca"> <link rel="alternate" type="application/atom+xml" title="Canal de sindicació Atom Viquipèdia" href="/w/index.php?title=Especial:Canvis_recents&feed=atom"> <link rel="dns-prefetch" href="//meta.wikimedia.org" /> <link rel="dns-prefetch" href="//login.wikimedia.org"> </head> <body class="skin--responsive skin-vector skin-vector-search-vue mediawiki ltr sitedir-ltr mw-hide-empty-elt ns-0 ns-subject mw-editable page-Cúspide_matemàtiques rootpage-Cúspide_matemàtiques skin-vector-2022 action-view"><a class="mw-jump-link" href="#bodyContent">Vés al contingut</a> <div class="vector-header-container"> <header class="vector-header mw-header"> <div class="vector-header-start"> <nav class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Lloc"> <div id="vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown vector-main-menu-dropdown vector-button-flush-left vector-button-flush-right" > <input type="checkbox" id="vector-main-menu-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Menú principal" > <label id="vector-main-menu-dropdown-label" for="vector-main-menu-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-menu mw-ui-icon-wikimedia-menu"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Menú principal</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-main-menu-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-main-menu" class="vector-main-menu vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-main-menu-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="main-menu-pinned" data-pinnable-element-id="vector-main-menu" data-pinned-container-id="vector-main-menu-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-main-menu-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Menú principal</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.pin">mou a la barra lateral</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.unpin">amaga</button> </div> <div id="p-navigation" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-navigation" > <div class="vector-menu-heading"> Navegació </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-mainpage-description" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Portada" title="Visiteu la pàgina principal [z]" accesskey="z"><span>Portada</span></a></li><li id="n-randompage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:Article_aleatori" title="Carrega una pàgina a l’atzar [x]" accesskey="x"><span>Article a l'atzar</span></a></li><li id="n-Articles-de-qualitat" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:Articles_de_qualitat"><span>Articles de qualitat</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-Comunitat" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-Comunitat" > <div class="vector-menu-heading"> Comunitat </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-portal" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:Portal" title="Sobre el projecte, què podeu fer, on trobareu les coses"><span>Portal viquipedista</span></a></li><li id="n-Agenda-d'actes" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:Trobades"><span>Agenda d'actes</span></a></li><li id="n-recentchanges" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:Canvis_recents" title="Una llista dels canvis recents al wiki [r]" accesskey="r"><span>Canvis recents</span></a></li><li id="n-La-taverna" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:La_taverna"><span>La taverna</span></a></li><li id="n-contactpage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:Contacte"><span>Contacte</span></a></li><li id="n-Xat" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:Canals_IRC"><span>Xat</span></a></li><li id="n-help" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:Ajuda" title="El lloc per a saber més coses"><span>Ajuda</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> <a href="/wiki/Portada" class="mw-logo"> <img class="mw-logo-icon" src="/static/images/icons/wikipedia.png" alt="" aria-hidden="true" height="50" width="50"> <span class="mw-logo-container skin-invert"> <img class="mw-logo-wordmark" alt="Viquipèdia" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-wordmark-ca.svg" style="width: 7.5em; height: 1.4375em;"> <img class="mw-logo-tagline" alt="l'Enciclopèdia Lliure" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-tagline-ca.svg" width="120" height="14" style="width: 7.5em; height: 0.875em;"> </span> </a> </div> <div class="vector-header-end"> <div id="p-search" role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-collapses vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box-auto-expand-width vector-search-box"> <a href="/wiki/Especial:Cerca" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only search-toggle" title="Cerca a la Viquipèdia [f]" accesskey="f"><span class="vector-icon mw-ui-icon-search mw-ui-icon-wikimedia-search"></span> <span>Cerca</span> </a> <div class="vector-typeahead-search-container"> <div class="cdx-typeahead-search cdx-typeahead-search--show-thumbnail cdx-typeahead-search--auto-expand-width"> <form action="/w/index.php" id="searchform" class="cdx-search-input cdx-search-input--has-end-button"> <div id="simpleSearch" class="cdx-search-input__input-wrapper" data-search-loc="header-moved"> <div class="cdx-text-input cdx-text-input--has-start-icon"> <input class="cdx-text-input__input" type="search" name="search" placeholder="Cerca a Viquipèdia" aria-label="Cerca a Viquipèdia" autocapitalize="sentences" title="Cerca a la Viquipèdia [f]" accesskey="f" id="searchInput" > <span class="cdx-text-input__icon cdx-text-input__start-icon"></span> </div> <input type="hidden" name="title" value="Especial:Cerca"> </div> <button class="cdx-button cdx-search-input__end-button">Cerca</button> </form> </div> </div> </div> <nav class="vector-user-links vector-user-links-wide" aria-label="Eines personals"> <div class="vector-user-links-main"> <div id="p-vector-user-menu-preferences" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-userpage" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Aparença"> <div id="vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown " title="Change the appearance of the page's font size, width, and color" > <input type="checkbox" id="vector-appearance-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Aparença" > <label id="vector-appearance-dropdown-label" for="vector-appearance-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-appearance mw-ui-icon-wikimedia-appearance"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Aparença</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-appearance-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <div id="p-vector-user-menu-notifications" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-overflow" class="vector-menu mw-portlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_ca.wikipedia.org&uselang=ca" class=""><span>Donatius</span></a> </li> <li id="pt-createaccount-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Especial:Crea_compte&returnto=C%C3%BAspide+%28matem%C3%A0tiques%29" title="Us animem a crear un compte i iniciar una sessió, encara que no és obligatori" class=""><span>Crea un compte</span></a> </li> <li id="pt-login-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Especial:Registre_i_entrada&returnto=C%C3%BAspide+%28matem%C3%A0tiques%29" title="Us animem a registrar-vos, però no és obligatori [o]" accesskey="o" class=""><span>Inicia la sessió</span></a> </li> </ul> </div> </div> </div> <div id="vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown vector-user-menu vector-button-flush-right vector-user-menu-logged-out" title="Més opcions" > <input type="checkbox" id="vector-user-links-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Eines personals" > <label id="vector-user-links-dropdown-label" for="vector-user-links-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-ellipsis mw-ui-icon-wikimedia-ellipsis"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Eines personals</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-personal" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-personal user-links-collapsible-item" title="Menú d'usuari" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_ca.wikipedia.org&uselang=ca"><span>Donatius</span></a></li><li id="pt-createaccount" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:Crea_compte&returnto=C%C3%BAspide+%28matem%C3%A0tiques%29" title="Us animem a crear un compte i iniciar una sessió, encara que no és obligatori"><span class="vector-icon mw-ui-icon-userAdd mw-ui-icon-wikimedia-userAdd"></span> <span>Crea un compte</span></a></li><li id="pt-login" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:Registre_i_entrada&returnto=C%C3%BAspide+%28matem%C3%A0tiques%29" title="Us animem a registrar-vos, però no és obligatori [o]" accesskey="o"><span class="vector-icon mw-ui-icon-logIn mw-ui-icon-wikimedia-logIn"></span> <span>Inicia la sessió</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-user-menu-anon-editor" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-user-menu-anon-editor" > <div class="vector-menu-heading"> Pàgines per a editors no registrats <a href="/wiki/Ajuda:Introducci%C3%B3" aria-label="Vegeu més informació sobre l'edició"><span>més informació</span></a> </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:Contribucions_pr%C3%B2pies" title="Una llista de les modificacions fetes des d'aquesta adreça IP [y]" accesskey="y"><span>Contribucions</span></a></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:Discussi%C3%B3_personal" title="Discussió sobre les edicions per aquesta adreça ip. [n]" accesskey="n"><span>Discussió per aquest IP</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </header> </div> <div class="mw-page-container"> <div class="mw-page-container-inner"> <div class="vector-sitenotice-container"> <div id="siteNotice"></div> </div> <div class="vector-column-start"> <div class="vector-main-menu-container"> <div id="mw-navigation"> <nav id="mw-panel" class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Lloc"> <div id="vector-main-menu-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> </div> </div> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav id="mw-panel-toc" aria-label="Contingut" data-event-name="ui.sidebar-toc" class="mw-table-of-contents-container vector-toc-landmark"> <div id="vector-toc-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-toc" class="vector-toc vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-toc-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="toc-pinned" data-pinnable-element-id="vector-toc" > <h2 class="vector-pinnable-header-label">Contingut</h2> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.pin">mou a la barra lateral</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.unpin">amaga</button> </div> <ul class="vector-toc-contents" id="mw-panel-toc-list"> <li id="toc-mw-content-text" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a href="#" class="vector-toc-link"> <div class="vector-toc-text">Inici</div> </a> </li> <li id="toc-Definició" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Definició"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1</span> <span>Definició</span> </div> </a> <ul id="toc-Definició-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Classificació" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Classificació"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>Classificació</span> </div> </a> <ul id="toc-Classificació-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Exemples" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Exemples"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>Exemples</span> </div> </a> <ul id="toc-Exemples-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Aplicacions" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Aplicacions"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>Aplicacions</span> </div> </a> <ul id="toc-Aplicacions-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Bibliografia" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Bibliografia"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>Bibliografia</span> </div> </a> <ul id="toc-Bibliografia-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Vegeu_també" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Vegeu_també"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>Vegeu també</span> </div> </a> <ul id="toc-Vegeu_també-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Enllaços_externs" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Enllaços_externs"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>Enllaços externs</span> </div> </a> <ul id="toc-Enllaços_externs-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Contingut" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Commuta la taula de continguts." > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Commuta la taula de continguts.</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Cúspide (matemàtiques)</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Vés a un article en una altra llengua. Disponible en 17 llengües" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-17" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">17 llengües</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D9%82%D8%B1%D9%86%D8%A9_(%D8%B1%D9%8A%D8%A7%D8%B6%D9%8A%D8%A7%D8%AA)" title="قرنة (رياضيات) - àrab" lang="ar" hreflang="ar" data-title="قرنة (رياضيات)" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="àrab" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B0" title="Рогова точка - búlgar" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Рогова точка" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="búlgar" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Hrot_k%C5%99ivky" title="Hrot křivky - txec" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Hrot křivky" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="txec" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Spitze_(Singularit%C3%A4tentheorie)" title="Spitze (Singularitätentheorie) - alemany" lang="de" hreflang="de" data-title="Spitze (Singularitätentheorie)" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="alemany" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Cusp_(singularity)" title="Cusp (singularity) - anglès" lang="en" hreflang="en" data-title="Cusp (singularity)" data-language-autonym="English" data-language-local-name="anglès" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Kuspo_(speciala%C4%B5o)" title="Kuspo (specialaĵo) - esperanto" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Kuspo (specialaĵo)" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="esperanto" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%BAspide_(singularidad)" title="Cúspide (singularidad) - espanyol" lang="es" hreflang="es" data-title="Cúspide (singularidad)" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="espanyol" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Point_de_rebroussement" title="Point de rebroussement - francès" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Point de rebroussement" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="francès" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Cuspide_(matematica)" title="Cuspide (matematica) - italià" lang="it" hreflang="it" data-title="Cuspide (matematica)" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="italià" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%96%E7%82%B9" title="尖点 - japonès" lang="ja" hreflang="ja" data-title="尖点" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japonès" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lmo mw-list-item"><a href="https://lmo.wikipedia.org/wiki/Cuspid_(matematega)" title="Cuspid (matematega) - llombard" lang="lmo" hreflang="lmo" data-title="Cuspid (matematega)" data-language-autonym="Lombard" data-language-local-name="llombard" class="interlanguage-link-target"><span>Lombard</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Spiss_i_matematikk" title="Spiss i matematikk - noruec nynorsk" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Spiss i matematikk" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="noruec nynorsk" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Punct_de_%C3%AEntoarcere" title="Punct de întoarcere - romanès" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Punct de întoarcere" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="romanès" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%81%D0%BF" title="Касп - rus" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Касп" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="rus" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/To%C4%8Dka_obrata" title="Točka obrata - eslovè" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Točka obrata" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="eslovè" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%81%D0%BF_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Касп (математика) - ucraïnès" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Касп (математика)" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ucraïnès" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%96%E9%BB%9E" title="尖點 - xinès" lang="zh" hreflang="zh" data-title="尖點" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="xinès" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q655275#sitelinks-wikipedia" title="Modifica enllaços interlingües" class="wbc-editpage">Modifica els enllaços</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Espais de noms"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/C%C3%BAspide_(matem%C3%A0tiques)" title="Vegeu el contingut de la pàgina [c]" accesskey="c"><span>Pàgina</span></a></li><li id="ca-talk" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Discussi%C3%B3:C%C3%BAspide_(matem%C3%A0tiques)" rel="discussion" title="Discussió sobre el contingut d'aquesta pàgina [t]" accesskey="t"><span>Discussió</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input type="checkbox" id="vector-variants-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Canvia la variant de llengua" > <label id="vector-variants-dropdown-label" for="vector-variants-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">català</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-variants" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation" class="vector-collapsible"> <nav aria-label="Vistes"> <div id="p-views" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-views" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/C%C3%BAspide_(matem%C3%A0tiques)"><span>Mostra</span></a></li><li id="ca-edit" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=C%C3%BAspide_(matem%C3%A0tiques)&action=edit" title="Modifica el codi font d'aquesta pàgina [e]" accesskey="e"><span>Modifica</span></a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=C%C3%BAspide_(matem%C3%A0tiques)&action=history" title="Versions antigues d'aquesta pàgina [h]" accesskey="h"><span>Mostra l'historial</span></a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Eines de la pàgina"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Eines" > <label id="vector-page-tools-dropdown-label" for="vector-page-tools-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">Eines</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-tools-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-page-tools" class="vector-page-tools vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-page-tools-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="page-tools-pinned" data-pinnable-element-id="vector-page-tools" data-pinned-container-id="vector-page-tools-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-page-tools-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Eines</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.pin">mou a la barra lateral</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.unpin">amaga</button> </div> <div id="p-cactions" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-has-collapsible-items" title="Més opcions" > <div class="vector-menu-heading"> Accions </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-more-view" class="selected vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/wiki/C%C3%BAspide_(matem%C3%A0tiques)"><span>Mostra</span></a></li><li id="ca-more-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=C%C3%BAspide_(matem%C3%A0tiques)&action=edit" title="Modifica el codi font d'aquesta pàgina [e]" accesskey="e"><span>Modifica</span></a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=C%C3%BAspide_(matem%C3%A0tiques)&action=history"><span>Mostra l'historial</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> General </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:Enlla%C3%A7os/C%C3%BAspide_(matem%C3%A0tiques)" title="Una llista de totes les pàgines wiki que enllacen amb aquesta [j]" accesskey="j"><span>Què hi enllaça</span></a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:Seguiment/C%C3%BAspide_(matem%C3%A0tiques)" rel="nofollow" title="Canvis recents a pàgines enllaçades des d'aquesta pàgina [k]" accesskey="k"><span>Canvis relacionats</span></a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:P%C3%A0gines_especials" title="Llista totes les pàgines especials [q]" accesskey="q"><span>Pàgines especials</span></a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=C%C3%BAspide_(matem%C3%A0tiques)&oldid=32855206" title="Enllaç permanent a aquesta revisió de la pàgina"><span>Enllaç permanent</span></a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=C%C3%BAspide_(matem%C3%A0tiques)&action=info" title="Més informació sobre aquesta pàgina"><span>Informació de la pàgina</span></a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:Citau&page=C%C3%BAspide_%28matem%C3%A0tiques%29&id=32855206&wpFormIdentifier=titleform" title="Informació sobre com citar aquesta pàgina"><span>Citau aquest article</span></a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:UrlShortener&url=https%3A%2F%2Fca.wikipedia.org%2Fwiki%2FC%25C3%25BAspide_%28matem%25C3%25A0tiques%29"><span>Obtén una URL abreujada</span></a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:QrCode&url=https%3A%2F%2Fca.wikipedia.org%2Fwiki%2FC%25C3%25BAspide_%28matem%25C3%25A0tiques%29"><span>Descarrega el codi QR</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-coll-print_export" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-coll-print_export" > <div class="vector-menu-heading"> Imprimeix/exporta </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:Llibre&bookcmd=book_creator&referer=C%C3%BAspide+%28matem%C3%A0tiques%29"><span>Crea un llibre</span></a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:DownloadAsPdf&page=C%C3%BAspide_%28matem%C3%A0tiques%29&action=show-download-screen"><span>Baixa com a PDF</span></a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=C%C3%BAspide_(matem%C3%A0tiques)&printable=yes" title="Versió per a impressió d'aquesta pàgina [p]" accesskey="p"><span>Versió per a impressora</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-wikibase-otherprojects" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects" > <div class="vector-menu-heading"> En altres projectes </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-commons mw-list-item"><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Cusps" hreflang="en"><span>Commons</span></a></li><li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q655275" title="Enllaç a l'element del repositori de dades connectat [g]" accesskey="g"><span>Element a Wikidata</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Eines de la pàgina"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Aparença"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Aparença</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">mou a la barra lateral</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">amaga</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="ca" dir="ltr"><figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fitxer:Cusp.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a3/Cusp.svg/220px-Cusp.svg.png" decoding="async" width="220" height="287" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a3/Cusp.svg/330px-Cusp.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a3/Cusp.svg/440px-Cusp.svg.png 2x" data-file-width="330" data-file-height="430" /></a><figcaption>Una cúspide ordinària en la corba <i>x</i><sup>3</sup>–<i>y</i>²=0</figcaption></figure> <p>En <a href="/wiki/Matem%C3%A0tiques" title="Matemàtiques">matemàtiques</a>, en la <a href="/w/index.php?title=Teoria_de_la_singularitat&action=edit&redlink=1" class="new" title="Teoria de la singularitat (encara no existeix)">teoria de la singularitat</a>, una <b>cúspide</b> és un tipus de <a href="/wiki/Punt_singular_d%27una_varietat_algebraica" title="Punt singular d'una varietat algebraica">punt singular</a> d'una <a href="/wiki/Corba" title="Corba">corba</a>, on un punt en moviment de la corba ha de començar a retrocedir. Les cúspides són singularitats locals que no estan formades per l'autointersecció dels punts de la corba. </p><p>Per a una <a href="/wiki/Corba_plana" class="mw-redirect" title="Corba plana">corba plana</a> definida per una <a href="/wiki/Equaci%C3%B3_param%C3%A8trica" title="Equació paramètrica">equació paramètrica</a> <a href="/wiki/Funci%C3%B3_impl%C3%ADcita" title="Funció implícita">implícita</a> </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}x&=f(t)\\y&=g(t),\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>x</mi> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>y</mi> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}x&=f(t)\\y&=g(t),\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/827cbad7a1522066f5fdef309ce7c3d92aabd736" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:9.591ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}x&=f(t)\\y&=g(t),\end{aligned}}}"></span></dd></dl> <p>una cúspide és un punt on la <a href="/wiki/Derivada" title="Derivada">derivada</a> de <i>f</i> i <i>g</i> és <a href="/wiki/Zero" title="Zero">zero</a>, i la <a href="/wiki/Derivada_direccional" title="Derivada direccional">derivada direccional</a>, en la direcció de la <a href="/wiki/Tangent" title="Tangent">tangent</a>, canvia signe (la direcció de la tangent és la direcció del <a href="/wiki/Pendent_(matem%C3%A0tiques)" title="Pendent (matemàtiques)">pendent</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lim(g'(t)/f'(t))}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>g</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <msup> <mi>f</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lim(g'(t)/f'(t))}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84355067a38e2cdc6e5449224eb3e5167d93f7bb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.307ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \lim(g'(t)/f'(t))}"></span>). </p><p>La cúspide és una <i>singularitat local</i> en el sentit que impliquen només un valor del <a href="/wiki/Par%C3%A0metre" title="Paràmetre">paràmetre</a> <i>t</i>, a diferència dels <a href="/wiki/Intersecci%C3%B3_(geometria)" title="Intersecció (geometria)">punts d'intersecció</a> lliures que impliquen més d'un valor. En alguns contexts, es pot ometre la condició de la derivada direccional, encara que, en aquest cas, la singularitat pot semblar un <a href="/wiki/Punt_(geometria)" title="Punt (geometria)">punt</a> normal. </p><p>Per a una corba definida per una equació implícita <a href="/wiki/Funci%C3%B3_cont%C3%ADnuament_diferenciable" title="Funció contínuament diferenciable">contínuament diferenciable</a> </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(x,y)=0,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(x,y)=0,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23114792c399e36883fae6a06fcf7d34a3cb65e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.977ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F(x,y)=0,}"></span></dd></dl> <p>les cúspides són punts on els termes de menor <a href="/wiki/Grau_d%27un_polinomi" title="Grau d'un polinomi">grau</a> de la <a href="/wiki/S%C3%A8rie_de_Taylor" title="Sèrie de Taylor">sèrie de Taylo</a>r de <i>F</i> són una <a href="/wiki/Potenciaci%C3%B3" title="Potenciació">potència</a> d'un <a href="/wiki/Polinomi" title="Polinomi">polinomi</a> lineal; no obstant això, no tots els punts singulars que tenen aquesta propietat són cúspides. La teoria de la <a href="/w/index.php?title=S%C3%A8rie_de_Puiseux&action=edit&redlink=1" class="new" title="Sèrie de Puiseux (encara no existeix)">sèrie de Puiseux</a> implica que, si <i>F</i> és una <a href="/wiki/Funci%C3%B3_anal%C3%ADtica" title="Funció analítica">funció analítica</a> (per exemple, un polinomi), un canvi lineal de <a href="/wiki/Sistema_de_coordenades" title="Sistema de coordenades">coordenades</a> permet parametritzar la corba, en un <a href="/wiki/Ve%C3%AFnat_(matem%C3%A0tiques)" title="Veïnat (matemàtiques)">veïnat</a> de la cúspide, com </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}x&=at^{m}\\y&=S(t),\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>x</mi> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <msup> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>y</mi> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}x&=at^{m}\\y&=S(t),\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edfaf62e190cd544fcb462aa91e568245af0464c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:9.975ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}x&=at^{m}\\y&=S(t),\end{aligned}}}"></span></dd></dl> <p>on <i>a</i> és un <a href="/wiki/Nombre_real" title="Nombre real">nombre real</a>, <i>m</i> és un <a href="/wiki/Enter_positiu" class="mw-redirect" title="Enter positiu">enter positiu</a>, i <i>S(t)</i> és una <a href="/wiki/S%C3%A8rie_de_pot%C3%A8ncies_enteres" title="Sèrie de potències enteres">sèrie de potències</a> d'ordre <i>k</i> (grau del terme no-zero del grau més baix) més gran que <i>m</i>. El nombre <i>m</i> es denomina de vegades <i>ordre</i> o <i>multiplicitat</i> de la cúspide, i és igual al grau de la part no-zero del grau més baix de <i>F</i>. </p><p>Aquestes definicions s'han generalitzat a les corbes definides per <a href="/wiki/Funci%C3%B3_diferenciable" title="Funció diferenciable">funcions diferenciables</a> per <a href="/wiki/Ren%C3%A9_Thom" title="René Thom">René Thom</a> i <a href="/wiki/Vlad%C3%ADmir_Arnold" title="Vladímir Arnold">Vladimir Arnold</a> de la següent manera: <i>Una corba té una cúspide en un punt si hi ha un <a href="/wiki/Difeomorfisme" title="Difeomorfisme">difeomorfisme</a> d'un <a href="/wiki/Ve%C3%AFnat_(matem%C3%A0tiques)" title="Veïnat (matemàtiques)">veïnat</a> del punt en l'espai ambient, que assigna la corba a una de les cúspides abans esmentades.</i> </p><p>En alguns contexts i en la resta d'aquest article, la definició d'una cúspide està restringida al cas de cúspides d'ordre dos, és a dir, el cas on <i>m = 2</i>. Les cúspides de <a href="/wiki/Corba_plana" class="mw-redirect" title="Corba plana">corbes planes</a> (d'ordre dos) es poden posar per <a href="/wiki/Difeomorfisme" title="Difeomorfisme">difeomorfisme</a> al pla amb la forma <i>x</i>² − <i>y</i><sup>2<i>k</i>+1</sup> = 0, on <i>k</i> és un <a href="/wiki/Nombre_enter" title="Nombre enter">nombre enter</a> <a href="/wiki/Nombre_positiu" title="Nombre positiu">positiu</a> (k≥ 1). </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definició"><span id="Definici.C3.B3"></span>Definició</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=C%C3%BAspide_(matem%C3%A0tiques)&action=edit&section=1" title="Modifica la secció: Definició"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Una corba <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}"></span> en el <a href="/wiki/Pla" title="Pla">pla</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e150115ab9f63023215109595b76686a1ff890fd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.732ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}"></span> es defineix per l'<a href="/wiki/Equaci%C3%B3" title="Equació">equació</a> </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x,y)=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x,y)=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01ede27471a9cc9a0c5eb6e1ebdc7afc8a086543" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.868ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x,y)=0}"></span>.</dd></dl> <p>Un punt sobre la corba <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x,y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x,y)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41cf50e4a314ca8e2c30964baa8d26e5be7a9386" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.328ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x,y)}"></span> és una singularitat quan </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)={\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)={\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4934edbe895348dbc6182c226246e1dc31fc17fa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:24.933ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)={\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0}"></span>,</dd></dl> <p>i aquesta singularitat és una cúspide si a més </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \det \left({\begin{array}{cc}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(x,y)&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}(x,y)\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}(x,y)&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}(x,y)\end{array}}\right)=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo movablelimits="true" form="prefix">det</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="center center" rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>x</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>y</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \det \left({\begin{array}{cc}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(x,y)&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}(x,y)\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}(x,y)&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}(x,y)\end{array}}\right)=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/838dfe7c9ecda0466c7ad6f6b40cbcaf4e9c829f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.505ex; width:35.364ex; height:10.176ex;" alt="{\displaystyle \det \left({\begin{array}{cc}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(x,y)&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}(x,y)\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}(x,y)&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}(x,y)\end{array}}\right)=0}"></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Classificació"><span id="Classificaci.C3.B3"></span>Classificació</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=C%C3%BAspide_(matem%C3%A0tiques)&action=edit&section=2" title="Modifica la secció: Classificació"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Cada cúspide pot ser modelada per una reparameterització local </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{2}-y^{2k+1}=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{2}-y^{2k+1}=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea77e4818e5348c06ddd92dad8111447b63fd26c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.657ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle x^{2}-y^{2k+1}=0}"></span></dd></dl> <p>amb <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k\geq 1,k\in \mathbb {Z} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> <mo>≥</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k\geq 1,k\in \mathbb {Z} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d36676b6de430016848ad63b2d06181ccd9ec7a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.108ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle k\geq 1,k\in \mathbb {Z} }"></span>. En la classificació de singularitats, aquesta cúspide correspon a una singularitat de tipus <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{k}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{k}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72095229db907e86eb4343cb4736429fcc56507d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.832ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{k}}"></span> </p> <ul><li>Per a <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k=1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c035ffa69b5bca8bf2d16c3da3aaad79a8bcbfa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.472ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k=1}"></span> s'obté la <i>cúspide ordinària</i>, com per exemple <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{2}-y^{3}=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{2}-y^{3}=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8d1ab634a2b619934125231f98659c710c12ea8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.7ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle x^{2}-y^{3}=0}"></span>.</li> <li>Per a <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k=2}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k=2}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bd301789e1f25a3da4be297ff637754ebee5f5d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.472ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k=2}"></span> s'obté una <i>cúspide ramfoide</i>, com per exemple <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{2}-y^{5}=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>5</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{2}-y^{5}=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cfe87079a5ee2551ee144e421f2588d199cfad5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.7ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle x^{2}-y^{5}=0}"></span>.</li></ul> <p>Consideri una <a href="/wiki/Funci%C3%B3_real" title="Funció real">funció real</a> <a href="/wiki/Funci%C3%B3_cont%C3%ADnuament_diferenciable" title="Funció contínuament diferenciable">contínuament diferenciable</a> de dues <a href="/wiki/Variable_(matem%C3%A0tiques)" title="Variable (matemàtiques)">variables</a>, <i>f (x, y),</i> on <i>x</i> i <i>y</i> són nombres reals. Així <i>f</i> és una funció del pla a la línia. L'espai de totes les funcions contínuament diferenciables és <a href="/wiki/Acci%C3%B3_(matem%C3%A0tiques)" title="Acció (matemàtiques)">actuat</a> pel <a href="/wiki/Grup_(matem%C3%A0tiques)" title="Grup (matemàtiques)">grup</a> de difeomorfismes del pla i els difeomorfismes de la línia (és a dir, canvis difeomorfs de la coordenada tant a la <a href="/wiki/Domini_(matem%C3%A0tiques)" title="Domini (matemàtiques)">font</a> com a l'<a href="/wiki/Rang_(%C3%A0lgebra_lineal)" title="Rang (àlgebra lineal)">objectiu</a>). Aquesta acció divideix tot l'<a href="/wiki/Espai_funcional" title="Espai funcional">espai funcional</a> dins de la <a href="/wiki/Classe_d%27equival%C3%A8ncia" title="Classe d'equivalència">classes d'equivalència</a> (és a dir, òrbites de l'<a href="/wiki/Acci%C3%B3_de_grup" class="mw-redirect" title="Acció de grup">acció del grup</a>). </p><p>Una d'aquestes famílies de classes d'equivalència s'indica amb <a href="/w/index.php?title=Singularitat_Ak&action=edit&redlink=1" class="new" title="Singularitat Ak (encara no existeix)"><i>A<sub>k</sub></i><sup>±</sup></a>, on <i>k</i> és un enter positiu. Aquesta notació va ser introduïda pel matemàtic rus <a href="/wiki/Vlad%C3%ADmir_Arnold" title="Vladímir Arnold">Vladímir Arnold</a>. Es diu que una funció <i>f</i> és del tipus <i>A<sub>k</sub></i><sup>±</sup> si es troba a l'òrbita de <i>x</i>² ± <i>y</i><sup><i>k</i>+1</sup>, és a dir, existeix un canvi de coordenada difeomòrfica en origen i objectiu que es <i>f</i> en una d'aquestes formes. Aquestes formes simples <i>x</i>² ± <i>y</i><sup><i>k</i>+1</sup> donen formes normals per a la singularitat de tipus <i>A<sub>k</sub></i><sup>±</sup>. Tingui en compte que les <i>A</i><sub>2<i>n</i></sub><sup>+</sup> són les mateixes que les <i>A</i><sub>2<i>n</i></sub><sup>−</sup>, ja que el canvi de coordenada (x, y) → (x, -y) a la font pren <i>x</i>² + <i>y</i><sup>2<i>n</i>+1</sup> a <i>x</i>² − <i>y</i><sup>2<i>n</i>+1</sup>. Per tant, podem deixar anar la notació ± de <i>A₂</i><sub><i>n</i></sub><sup><i>±</i></sup>. </p><p>Les cúspides són donades pels conjunts de nivell zero dels representants de les <i>A₂</i><sub><i>n</i></sub> classes d'equivalència, on <i>n ≥ 1</i> és un nombre enter. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Exemples">Exemples</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=C%C3%BAspide_(matem%C3%A0tiques)&action=edit&section=3" title="Modifica la secció: Exemples"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>Una <i>cúspide ordinària</i> ve donada per <i>x² − y<sup>3</sup> = 0</i>, és a dir, el conjunt de nivell zero d'una singularitat de tipus <i>A₂</i>. Sigui <i>f(x, y)</i> una funció contínuament diferenciable de <i>x</i> i <i>y</i> i assumeixi, per simplicitat, que <i>f(0,0) = 0</i>. Llavors, una singularitat de tipus <i>A</i>₂ de <i>f</i> a <i>(0,0)</i> es pot caracteritzar per:</li></ul> <ol><li>Tenir una part quadràtica degenerada, és a dir, els termes quadràtics a la sèrie de Taylor de <i>f</i> formen un <a href="/wiki/Quadrat_perfecte" title="Quadrat perfecte">quadrat perfecte</a>, diguem <i>L(x, y)²</i>, on <i>L</i>(<i>x</i>, <i>y</i>) és lineal a <i>x</i> i <i>y.</i></li> <li><i>L</i>(<i>x</i>, <i>y</i>) no divideix els termes cúbics a la sèrie de Taylor de <i>f</i>(<i>x</i>, <i>y</i>).</li></ol> <ul><li>Una <i>cúspide ramfoide</i> (provinent del <a href="/wiki/Grec_antic" title="Grec antic">grec</a> «en forma de bec») designava originalment una cúspide que ambdues branques estan al mateix costat de la tangent, com per exemple la corba d'equació <i>x² - x<sup>4</sup> - x⁵ = 0</i>. Com a tal, es troba una singularitat en la mateixa classe diferencial que la cúspide de l'equació <i>x² - x⁵ = 0</i>, que és una singularitat del tipus <i>A</i>₄, el terme s'ha ampliat a totes aquestes singularitats. Aquestes cúspides no són genèriques com els caústics i els fronts d'ona. La cúspide i la cúspide ordinària no són difeomorfes</li></ul> <p>Per a una singularitat de tipus <i>A₄</i>, necessitem <i>f</i> per tenir una part quadràtica degenerada (això dona una singularitat de tipus <i>A<sub>≥2</sub></i>), que <i>L</i> divideix els termes cúbics (això dona una singularitat de tipus <i>A<sub>≥3</sub></i>), una altra condició de divisibilitat (donant una singularitat de tipus <i>A<sub>≥4</sub></i>), i una condició definitiva de no divisibilitat (donant exactament una singularitat de tipus <i>A₄</i>). </p><p>Per veure on venen aquestes condicions addicionals de divisibilitat, suposem que <i>f</i> té una part quadràtica degenerada <i>L²</i> i que <i>L</i> divideix els termes cúbics. Es dedueix que la sèrie de Taylor de tercer ordre de <i>f</i> és donada per <i>L² ± LQ</i> on <i>Q</i> és quadràtica en <i>x</i> i <i>y</i>. Podem completar el quadrat per mostrar que <i>L² ± LQ = (L ± ½Q)² - ¼Q<sup>4</sup></i>. Ara podem fer un canvi de variable difeomòrfica (en aquest cas, simplement substituïm polinomis amb parts lineals <a href="/wiki/Independ%C3%A8ncia_lineal" title="Independència lineal">linealment independents</a>) de manera que <i>(L ± ½Q)² - ¼Q<sup>4</sup> → x<sub>1</sub>² + P<sub>1</sub></i> on <i>P<sub>1</sub></i> és un polinomi de grau quatre en x<sub>1</sub> i y<sub>1</sub>. La condició de divisibilitat per al tipus <i>A</i><sub>≥4</sub> és que x<sub>1</sub> divideix P<sub>1</sub>. Si x<sub>1</sub> no divideix P<sub>1</sub>, tenim el tipus exactament A₃ (el nivell zero establert aquí és un <a href="/w/index.php?title=Tacnode&action=edit&redlink=1" class="new" title="Tacnode (encara no existeix)">tacnode</a> o cúpside doble). Si x<sub>1</sub> divideix P<sub>1</sub> completem el quadrat a x<sub>1</sub>² + P<sub>1</sub> i canviem les coordenades, obtenim x₂² + P₂ on P₂ és un polinomi d'ordre cinc a x₂ i y₂. Si x₂ no divideix P₂, tenim exactament una singularitat de tipus A₄, és a dir, el punt zero serà una cúspide ramfoide. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Aplicacions">Aplicacions</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=C%C3%BAspide_(matem%C3%A0tiques)&action=edit&section=4" title="Modifica la secció: Aplicacions"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fitxer:Caustic00.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8c/Caustic00.jpg/220px-Caustic00.jpg" decoding="async" width="220" height="146" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8c/Caustic00.jpg/330px-Caustic00.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8c/Caustic00.jpg 2x" data-file-width="400" data-file-height="266" /></a><figcaption>Una cúspide ordinària que es produeix com la <a href="/w/index.php?title=C%C3%A0ustica_(%C3%B2ptica)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Càustica (òptica) (encara no existeix)">càustica</a> <a href="/wiki/Nefroide" title="Nefroide">nefroide</a> dels raigs de llum al fons d'una tassa de te.</figcaption></figure> <p>Les cúspides apareixen de manera natural quan es <a href="/wiki/Projecci%C3%B3_(matem%C3%A0tiques)" title="Projecció (matemàtiques)">projecta</a> en un pla una corba contínuament diferenciable en l'<a href="/wiki/Espai_tridimensional" title="Espai tridimensional">espai tridimensional</a> <a href="/wiki/Espai_euclidi%C3%A0" title="Espai euclidià">euclidià</a>. En general, aquesta projecció és una corba que té singularitats com punts d'intersecció lliures i cúspides ordinàries. Els punts d'intersecció apareixen quan dos punts diferents de les corbes tenen la mateixa projecció. Les cúspides ordinàries apareixen quan la tangent a la corba és paral·lela a la direcció de projecció (és a dir, quan la tangent projecta en un sol punt). Les singularitats més complicades es produeixen quan es produeixen diversos fenòmens simultàniament. Per exemple, les cúspides ramfoides es produeixen per als <a href="/wiki/Punt_d%27inflexi%C3%B3" title="Punt d'inflexió">punts d'inflexió</a> (i per a <a href="/wiki/Punt_d%27inflexi%C3%B3" title="Punt d'inflexió">punts d'inflexió</a>) per als quals la tangent és paral·lela a la direcció de projecció. </p><p>En molts casos, i normalment en la <a href="/wiki/Visi%C3%B3_artificial" title="Visió artificial">visió artificial</a> i els <a href="/wiki/Infografia" title="Infografia">gràfics per ordinador</a>, la corba que es projecta és la corba dels punts crítics de la restricció a un objecte espacial (continu) de la projecció. Una cúspide apareix així com una singularitat del contorn de la imatge de l'objecte (visió) o de la seva ombra (gràfics per ordinador). </p><p>Les <a href="/w/index.php?title=C%C3%A0ustica_(%C3%B2ptica)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Càustica (òptica) (encara no existeix)">càustiques</a> i els <a href="/wiki/Front_d%27ona" title="Front d'ona">fronts d'ona</a> són altres exemples de corbes amb cúspides que són visibles al món real. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Bibliografia">Bibliografia</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=C%C3%BAspide_(matem%C3%A0tiques)&action=edit&section=5" title="Modifica la secció: Bibliografia"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span class="citation book" style="font-style:normal" id="CITEREFBruceGiblin1984"><span style="font-variant: small-caps;">Bruce</span>, J. W.; <a href="/wiki/Peter_Giblin" title="Peter Giblin"><span style="font-variant: small-caps;">Giblin</span>, Peter</a>. <i>Curves and Singularities</i>.  <a href="/wiki/Cambridge_University_Press" title="Cambridge University Press">Cambridge University Press</a>, 1984. <span style="font-size:90%; white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Especial:Fonts_bibliogr%C3%A0fiques/0-521-42999-4" title="Especial:Fonts bibliogràfiques/0-521-42999-4">ISBN 0-521-42999-4</a></span>.</span><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Curves+and+Singularities&rft.aulast=Bruce&rft.aufirst=J.+W.&rft.date=1984&rft.pub=%5B%5BCambridge+University+Press%5D%5D&rft.isbn=0-521-42999-4"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><span class="citation book" style="font-style:normal" id="CITEREFPorteous1994"><a href="/w/index.php?title=Ian_Robertson_Porteous&action=edit&redlink=1" class="new" title="Ian Robertson Porteous (encara no existeix)"><span style="font-variant: small-caps;">Porteous</span>, Ian</a>. <i>Geometric Differentiation</i>.  Cambridge University Press, 1994. <span style="font-size:90%; white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Especial:Fonts_bibliogr%C3%A0fiques/0-521-39063-X" title="Especial:Fonts bibliogràfiques/0-521-39063-X">ISBN 0-521-39063-X</a></span>.</span><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Geometric+Differentiation&rft.aulast=Porteous&rft.aufirst=Ian&rft.date=1994&rft.pub=Cambridge+University+Press&rft.isbn=0-521-39063-X"><span style="display: none;"> </span></span></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Vegeu_també"><span id="Vegeu_tamb.C3.A9"></span>Vegeu també</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=C%C3%BAspide_(matem%C3%A0tiques)&action=edit&section=6" title="Modifica la secció: Vegeu també"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Cardioide" title="Cardioide">Cardioide</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_de_les_cat%C3%A0strofes" title="Teoria de les catàstrofes">Teoria de les catàstrofes</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Enllaços_externs"><span id="Enlla.C3.A7os_externs"></span>Enllaços externs</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=C%C3%BAspide_(matem%C3%A0tiques)&action=edit&section=7" title="Modifica la secció: Enllaços externs"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.sciencedaily.com/releases/2009/04/090414160801.htm">Physicists See The Cosmos In A Coffee Cup</a></li></ul>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Obtingut de «<a dir="ltr" href="https://ca.wikipedia.org/w/index.php?title=Cúspide_(matemàtiques)&oldid=32855206">https://ca.wikipedia.org/w/index.php?title=Cúspide_(matemàtiques)&oldid=32855206</a>»</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Especial:Categorias" title="Especial:Categorias">Categories</a>: <ul><li><a href="/wiki/Categoria:%C3%80lgebra_abstracta" title="Categoria:Àlgebra abstracta">Àlgebra abstracta</a></li><li><a href="/wiki/Categoria:An%C3%A0lisi_matem%C3%A0tica" title="Categoria:Anàlisi matemàtica">Anàlisi matemàtica</a></li><li><a href="/wiki/Categoria:Geometria" title="Categoria:Geometria">Geometria</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Categoria oculta: <ul><li><a href="/wiki/Categoria:Control_d%27autoritats" title="Categoria:Control d'autoritats">Control d'autoritats</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> La pàgina va ser modificada per darrera vegada el 26 des 2023 a les 21:52.</li> <li id="footer-info-copyright">El text està disponible sota la <a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:Text_de_la_llic%C3%A8ncia_de_Creative_Commons_Reconeixement-Compartir_Igual_4.0_No_adaptada" title="Viquipèdia:Text de la llicència de Creative Commons Reconeixement-Compartir Igual 4.0 No adaptada"> Llicència de Creative Commons Reconeixement i Compartir-Igual</a>; es poden aplicar termes addicionals. Vegeu les <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Terms_of_Use/ca">Condicions d'ús</a>. Wikipedia® (Viquipèdia™) és una <a href="/wiki/Marca_comercial" title="Marca comercial">marca registrada</a> de <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.wikimediafoundation.org">Wikimedia Foundation, Inc</a>.<br /></li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy">Política de privadesa</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:Quant_a_la_Viquip%C3%A8dia">Quant al projecte Viquipèdia</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:Av%C3%ADs_d%27exempci%C3%B3_de_responsabilitat">Descàrrec de responsabilitat</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">Codi de conducta</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Desenvolupadors</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/ca.wikipedia.org">Estadístiques</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">Declaració de cookies</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//ca.m.wikipedia.org/w/index.php?title=C%C3%BAspide_(matem%C3%A0tiques)&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Versió per a mòbils</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> </div> </div> </div> <div class="vector-settings" id="p-dock-bottom"> <ul></ul> </div><script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-57488d5c7d-ps994","wgBackendResponseTime":158,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.087","walltime":"0.427","ppvisitednodes":{"value":801,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":3250,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":839,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":10,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":0,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":0,"limit":20},"unstrip-size":{"value":613,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":1,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 58.971 1 -total"," 53.30% 31.429 2 Plantilla:Ref-llibre"," 46.43% 27.383 1 Plantilla:Autoritat"," 37.18% 21.927 2 Plantilla:If_both"]},"scribunto":{"limitreport-timeusage":{"value":"0.017","limit":"10.000"},"limitreport-memusage":{"value":839194,"limit":52428800}},"cachereport":{"origin":"mw-web.eqiad.canary-596f7fdd5-84bff","timestamp":"20241126000510","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"C\u00faspide (matem\u00e0tiques)","url":"https:\/\/ca.wikipedia.org\/wiki\/C%C3%BAspide_(matem%C3%A0tiques)","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q655275","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q655275","author":{"@type":"Organization","name":"Contributors to Wikimedia projects"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Wikimedia Foundation, Inc.","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2014-04-20T11:04:55Z","dateModified":"2023-12-26T20:52:34Z","image":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/a\/a3\/Cusp.svg"}</script> </body> </html>