CINXE.COM

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available" lang="el" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Πολυώνυμο - Βικιπαίδεια</title> <script>(function(){var className="client-js vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )elwikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t.",".\t,"],"wgDigitTransformTable":["",""], "wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","Ιανουάριος","Φεβρουάριος","Μάρτιος","Απριλίου","Μαΐου","Ιουνίου","Ιουλίου","Αύγουστος","Σεπτέμβριος","Οκτώβριος","Νοέμβριος","Δεκέμβριος"],"wgRequestId":"df08f545-ab89-4c55-95ef-7fc4c6c0d6a3","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Πολυώνυμο","wgTitle":"Πολυώνυμο","wgCurRevisionId":10812521,"wgRevisionId":10812521,"wgArticleId":77330,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":["Σελίδες που χρησιμοποιούν μαγικούς συνδέσμους ISBN","Λήμματα Βικιπαίδειας με αναγνωριστικά LCCN","Λήμματα Βικιπαίδειας με αναγνωριστικά BNF","Άλγεβρα","Πολυώνυμα"],"wgPageViewLanguage":"el", "wgPageContentLanguage":"el","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Πολυώνυμο","wgRelevantArticleId":77330,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"el","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"el"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":100000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgCentralAuthMobileDomain":false,"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":false,"wgVector2022LanguageInHeader":true,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q43260","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness", "fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false,"wgSiteNoticeId":"2.74"};RLSTATE={"ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.math.styles":"ready","ext.cite.styles":"ready","mediawiki.page.gallery.styles":"ready","skins.vector.search.codex.styles":"ready","skins.vector.styles":"ready","skins.vector.icons":"ready","ext.wikimediamessages.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready","ext.dismissableSiteNotice.styles":"ready"};RLPAGEMODULES=["ext.cite.ux-enhancements","mediawiki.page.media","site","mediawiki.page.ready","mediawiki.toc","skins.vector.js", "ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.gadget.imagelinks","ext.gadget.wikibugs","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.cx.uls.quick.actions","wikibase.client.vector-2022","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","wikibase.sidebar.tracking","ext.dismissableSiteNotice"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); }];});});</script> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=el&modules=ext.cite.styles%7Cext.dismissableSiteNotice.styles%7Cext.math.styles%7Cext.uls.interlanguage%7Cext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript%7Cext.wikimediaBadges%7Cext.wikimediamessages.styles%7Cmediawiki.page.gallery.styles%7Cskins.vector.icons%2Cstyles%7Cskins.vector.search.codex.styles%7Cwikibase.client.init&only=styles&skin=vector-2022"> <script async="" src="/w/load.php?lang=el&modules=startup&only=scripts&raw=1&skin=vector-2022"></script> <meta name="ResourceLoaderDynamicStyles" content=""> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=el&modules=site.styles&only=styles&skin=vector-2022"> <meta name="generator" content="MediaWiki 1.44.0-wmf.4"> <meta name="referrer" content="origin"> <meta name="referrer" content="origin-when-cross-origin"> <meta name="robots" content="max-image-preview:standard"> <meta name="format-detection" content="telephone=no"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a3/Polynomialdeg3.svg/1200px-Polynomialdeg3.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="1200"> <meta property="og:image:height" content="1200"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a3/Polynomialdeg3.svg/800px-Polynomialdeg3.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="800"> <meta property="og:image:height" content="800"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a3/Polynomialdeg3.svg/640px-Polynomialdeg3.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="640"> <meta property="og:image:height" content="640"> <meta name="viewport" content="width=1120"> <meta property="og:title" content="Πολυώνυμο - Βικιπαίδεια"> <meta property="og:type" content="website"> <link rel="preconnect" href="//upload.wikimedia.org"> <link rel="alternate" media="only screen and (max-width: 640px)" href="//el.m.wikipedia.org/wiki/%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF"> <link rel="alternate" type="application/x-wiki" title="Επεξεργασία" href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&action=edit"> <link rel="apple-touch-icon" href="/static/apple-touch/wikipedia.png"> <link rel="icon" href="/static/favicon/wikipedia.ico"> <link rel="search" type="application/opensearchdescription+xml" href="/w/rest.php/v1/search" title="Βικιπαίδεια (el)"> <link rel="EditURI" type="application/rsd+xml" href="//el.wikipedia.org/w/api.php?action=rsd"> <link rel="canonical" href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF"> <link rel="license" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.el"> <link rel="alternate" type="application/atom+xml" title="Βικιπαίδεια ροή Atom" href="/w/index.php?title=%CE%95%CE%B9%CE%B4%CE%B9%CE%BA%CF%8C:%CE%A0%CF%81%CF%8C%CF%83%CF%86%CE%B1%CF%84%CE%B5%CF%82%CE%91%CE%BB%CE%BB%CE%B1%CE%B3%CE%AD%CF%82&feed=atom"> <link rel="dns-prefetch" href="//meta.wikimedia.org" /> <link rel="dns-prefetch" href="//login.wikimedia.org"> </head> <body class="skin--responsive skin-vector skin-vector-search-vue mediawiki ltr sitedir-ltr mw-hide-empty-elt ns-0 ns-subject mw-editable page-Πολυώνυμο rootpage-Πολυώνυμο skin-vector-2022 action-view"><a class="mw-jump-link" href="#bodyContent">Μετάβαση στο περιεχόμενο</a> <div class="vector-header-container"> <header class="vector-header mw-header"> <div class="vector-header-start"> <nav class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Ιστότοπος"> <div id="vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown vector-main-menu-dropdown vector-button-flush-left vector-button-flush-right" > <input type="checkbox" id="vector-main-menu-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Κύριο μενού" > <label id="vector-main-menu-dropdown-label" for="vector-main-menu-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" > Κύριο μενού </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-main-menu-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-main-menu" class="vector-main-menu vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-main-menu-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="main-menu-pinned" data-pinnable-element-id="vector-main-menu" data-pinned-container-id="vector-main-menu-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-main-menu-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Κύριο μενού</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.pin">μετακίνηση στην πλαϊνή μπάρα</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.unpin">απόκρυψη</button> </div> <div id="p-navigation" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-navigation" > <div class="vector-menu-heading"> Πλοήγηση </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-mainpage-description" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%CE%A0%CF%8D%CE%BB%CE%B7:%CE%9A%CF%8D%CF%81%CE%B9%CE%B1" title="Επισκεφθείτε την αρχική σελίδα [z]" accesskey="z">Κύρια πύλη</a></li><li id="n-Θεματικές-πύλες" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%CE%A0%CF%8D%CE%BB%CE%B7:%CE%98%CE%AD%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B1">Θεματικές πύλες</a></li><li id="n-Featuredcontent" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%CE%92%CE%B9%CE%BA%CE%B9%CF%80%CE%B1%CE%AF%CE%B4%CE%B5%CE%B9%CE%B1:%CE%A0%CF%81%CE%BF%CE%B2%CE%B5%CE%B2%CE%BB%CE%B7%CE%BC%CE%AD%CE%BD%CE%B1_%CE%BB%CE%AE%CE%BC%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B1">Προβεβλημένα λήμματα</a></li><li id="n-currentevents" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%CE%A0%CF%8D%CE%BB%CE%B7:%CE%A4%CF%81%CE%AD%CF%87%CE%BF%CE%BD%CF%84%CE%B1_%CE%B3%CE%B5%CE%B3%CE%BF%CE%BD%CF%8C%CF%84%CE%B1" title="Βρείτε βασικές πληροφορίες για τρέχοντα γεγονότα">Τρέχοντα γεγονότα</a></li><li id="n-randompage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%CE%95%CE%B9%CE%B4%CE%B9%CE%BA%CF%8C:%CE%A4%CF%85%CF%87%CE%B1%CE%AF%CE%B1" title="Φόρτωση μιας τυχαίας σελίδας [x]" accesskey="x">Τυχαίο λήμμα</a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-Συμμετοχή" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-Συμμετοχή" > <div class="vector-menu-heading"> Συμμετοχή </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-help" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%CE%92%CE%B9%CE%BA%CE%B9%CF%80%CE%B1%CE%AF%CE%B4%CE%B5%CE%B9%CE%B1:%CE%92%CE%BF%CE%AE%CE%B8%CE%B5%CE%B9%CE%B1" title="Το μέρος για να βρείτε αυτό που ψάχνετε">Βοήθεια</a></li><li id="n-portal" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%CE%92%CE%B9%CE%BA%CE%B9%CF%80%CE%B1%CE%AF%CE%B4%CE%B5%CE%B9%CE%B1:%CE%A0%CF%8D%CE%BB%CE%B7_%CE%9A%CE%BF%CE%B9%CE%BD%CF%8C%CF%84%CE%B7%CF%84%CE%B1%CF%82" title="Σχετικά με το εγχείρημα, τι μπορείτε να κάνετε, πού μπορείτε να βρείτε τι">Πύλη Κοινότητας</a></li><li id="n-pump" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%CE%92%CE%B9%CE%BA%CE%B9%CF%80%CE%B1%CE%AF%CE%B4%CE%B5%CE%B9%CE%B1:%CE%91%CE%B3%CE%BF%CF%81%CE%AC">Αγορά</a></li><li id="n-recentchanges" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%CE%95%CE%B9%CE%B4%CE%B9%CE%BA%CF%8C:%CE%A0%CF%81%CF%8C%CF%83%CF%86%CE%B1%CF%84%CE%B5%CF%82%CE%91%CE%BB%CE%BB%CE%B1%CE%B3%CE%AD%CF%82" title="Λίστα πρόσφατων αλλαγών στο wiki [r]" accesskey="r">Πρόσφατες αλλαγές</a></li><li id="n-Επικοινωνία" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%CE%92%CE%B9%CE%BA%CE%B9%CF%80%CE%B1%CE%AF%CE%B4%CE%B5%CE%B9%CE%B1:%CE%95%CF%80%CE%B9%CE%BA%CE%BF%CE%B9%CE%BD%CF%89%CE%BD%CE%AF%CE%B1">Επικοινωνία</a></li><li id="n-Δωρεές" class="mw-list-item"><a href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserLandingPage?uselang=el&country=GR">Δωρεές</a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> <a href="/wiki/%CE%A0%CF%8D%CE%BB%CE%B7:%CE%9A%CF%8D%CF%81%CE%B9%CE%B1" class="mw-logo"> <img class="mw-logo-icon" src="/static/images/icons/wikipedia.png" alt="" aria-hidden="true" height="50" width="50"> <img class="mw-logo-wordmark" alt="Βικιπαίδεια" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-wordmark-el.svg" style="width: 7.5em; height: 1.125em;"> <img class="mw-logo-tagline" alt="Η Ελεύθερη Εγκυκλοπαίδεια" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-tagline-el.svg" width="120" height="10" style="width: 7.5em; height: 0.625em;"> </a> </div> <div class="vector-header-end"> <div id="p-search" role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-collapses vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box-auto-expand-width vector-search-box"> <a href="/wiki/%CE%95%CE%B9%CE%B4%CE%B9%CE%BA%CF%8C:%CE%91%CE%BD%CE%B1%CE%B6%CE%AE%CF%84%CE%B7%CF%83%CE%B7" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only search-toggle" title="Αναζήτηση στη Βικιπαίδεια [f]" accesskey="f"> Αναζήτηση </a> <div class="vector-typeahead-search-container"> <div class="cdx-typeahead-search cdx-typeahead-search--show-thumbnail cdx-typeahead-search--auto-expand-width"> <form action="/w/index.php" id="searchform" class="cdx-search-input cdx-search-input--has-end-button"> <div id="simpleSearch" class="cdx-search-input__input-wrapper" data-search-loc="header-moved"> <div class="cdx-text-input cdx-text-input--has-start-icon"> <input class="cdx-text-input__input" type="search" name="search" placeholder="Αναζήτηση σε Βικιπαίδεια" aria-label="Αναζήτηση σε Βικιπαίδεια" autocapitalize="sentences" title="Αναζήτηση στη Βικιπαίδεια [f]" accesskey="f" id="searchInput" > </div> <input type="hidden" name="title" value="Ειδικό:Αναζήτηση"> </div> <button class="cdx-button cdx-search-input__end-button">Αναζήτηση</button> </form> </div> </div> </div> <nav class="vector-user-links vector-user-links-wide" aria-label="Προσωπικά εργαλεία"> <div class="vector-user-links-main"> <div id="p-vector-user-menu-preferences" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-userpage" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Εμφάνιση"> <div id="vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown " title="Change the appearance of the page's font size, width, and color" > <input type="checkbox" id="vector-appearance-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Εμφάνιση" > <label id="vector-appearance-dropdown-label" for="vector-appearance-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" > Εμφάνιση </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-appearance-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <div id="p-vector-user-menu-notifications" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-overflow" class="vector-menu mw-portlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_el.wikipedia.org&uselang=el" class="">Δωρεές</a> </li> <li id="pt-createaccount-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=%CE%95%CE%B9%CE%B4%CE%B9%CE%BA%CF%8C:%CE%94%CE%B7%CE%BC%CE%B9%CE%BF%CF%85%CF%81%CE%B3%CE%AF%CE%B1%CE%9B%CE%BF%CE%B3%CE%B1%CF%81%CE%B9%CE%B1%CF%83%CE%BC%CE%BF%CF%8D&returnto=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF" title="Σας ενθαρρύνουμε να δημιουργήσετε ένα λογαριασμό και να συνδεθείτε· ωστόσο, δεν είναι υποχρεωτικό" class="">Δημιουργία λογαριασμού</a> </li> <li id="pt-login-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=%CE%95%CE%B9%CE%B4%CE%B9%CE%BA%CF%8C:%CE%A3%CF%8D%CE%BD%CE%B4%CE%B5%CF%83%CE%B7%CE%A7%CF%81%CE%AE%CF%83%CF%84%CE%B7&returnto=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF" title="Σας ενθαρρύνουμε να συνδεθείτε· ωστόσο, δεν είναι υποχρεωτικό [o]" accesskey="o" class="">Σύνδεση</a> </li> </ul> </div> </div> </div> <div id="vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown vector-user-menu vector-button-flush-right vector-user-menu-logged-out" title="Περισσότερες επιλογές" > <input type="checkbox" id="vector-user-links-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Προσωπικά εργαλεία" > <label id="vector-user-links-dropdown-label" for="vector-user-links-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" > Προσωπικά εργαλεία </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-personal" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-personal user-links-collapsible-item" title="Μενού χρήστη" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_el.wikipedia.org&uselang=el">Δωρεές</a></li><li id="pt-createaccount" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%CE%95%CE%B9%CE%B4%CE%B9%CE%BA%CF%8C:%CE%94%CE%B7%CE%BC%CE%B9%CE%BF%CF%85%CF%81%CE%B3%CE%AF%CE%B1%CE%9B%CE%BF%CE%B3%CE%B1%CF%81%CE%B9%CE%B1%CF%83%CE%BC%CE%BF%CF%8D&returnto=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF" title="Σας ενθαρρύνουμε να δημιουργήσετε ένα λογαριασμό και να συνδεθείτε· ωστόσο, δεν είναι υποχρεωτικό"> Δημιουργία λογαριασμού</a></li><li id="pt-login" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%CE%95%CE%B9%CE%B4%CE%B9%CE%BA%CF%8C:%CE%A3%CF%8D%CE%BD%CE%B4%CE%B5%CF%83%CE%B7%CE%A7%CF%81%CE%AE%CF%83%CF%84%CE%B7&returnto=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF" title="Σας ενθαρρύνουμε να συνδεθείτε· ωστόσο, δεν είναι υποχρεωτικό [o]" accesskey="o"> Σύνδεση</a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-user-menu-anon-editor" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-user-menu-anon-editor" > <div class="vector-menu-heading"> Σελίδες για αποσυνδεμένους συντάκτες <a href="/wiki/%CE%92%CE%BF%CE%AE%CE%B8%CE%B5%CE%B9%CE%B1:%CE%95%CE%B9%CF%83%CE%B1%CE%B3%CF%89%CE%B3%CE%AE" aria-label="Μάθετε περισσότερα σχετικά με την επεξεργασία">μάθετε περισσότερα</a> </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%CE%95%CE%B9%CE%B4%CE%B9%CE%BA%CF%8C:%CE%9F%CE%B9%CE%A3%CF%85%CE%BD%CE%B5%CE%B9%CF%83%CF%86%CE%BF%CF%81%CE%AD%CF%82%CE%9C%CE%BF%CF%85" title="Μια λίστα με τις επεξεργασίες που έγιναν από αυτή τη διεύθυνση IP [y]" accesskey="y">Συνεισφορές</a></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%CE%95%CE%B9%CE%B4%CE%B9%CE%BA%CF%8C:%CE%97%CE%A3%CF%85%CE%B6%CE%AE%CF%84%CE%B7%CF%83%CE%AE%CE%9C%CE%BF%CF%85" title="Συζήτηση σχετικά με τις αλλαγές που έγιναν από αυτή τη διεύθυνση IP [n]" accesskey="n">Συζήτηση για αυτή την IP</a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </header> </div> <div class="mw-page-container"> <div class="mw-page-container-inner"> <div class="vector-sitenotice-container"> <div id="siteNotice"><div id="mw-dismissablenotice-anonplace"></div><script>(function(){var node=document.getElementById("mw-dismissablenotice-anonplace");if(node){node.outerHTML="\u003Cdiv class=\"mw-dismissable-notice\"\u003E\u003Cdiv class=\"mw-dismissable-notice-close\"\u003E[\u003Ca tabindex=\"0\" role=\"button\"\u003Eκλείσιμο\u003C/a\u003E]\u003C/div\u003E\u003Cdiv class=\"mw-dismissable-notice-body\"\u003E\u003C!-- CentralNotice --\u003E\u003Cdiv id=\"localNotice\" data-nosnippet=\"\"\u003E\u003Cdiv class=\"sitenotice\" lang=\"el\" dir=\"ltr\"\u003E\u003Cdiv style=\"border: solid 1px #333; border-radius: 0.5em;box-shadow: 0 4px 4px #999; background:#FCFFE5; margin-bottom: 1.5em; display: table; width: 100%;padding-top:5px;text-align: center;\"\u003E\n\u003Cdiv style=\"display: table-cell; vertical-align: middle;\"\u003E\u003Cspan typeof=\"mw:File\"\u003E\u003Ca href=\"/wiki/%CE%92%CE%B9%CE%BA%CE%B9%CF%80%CE%B1%CE%AF%CE%B4%CE%B5%CE%B9%CE%B1:%CE%9C%CE%AE%CE%BD%CE%B1%CF%82_%CE%91%CF%83%CE%AF%CE%B1%CF%82_%CF%84%CE%B7%CF%82_%CE%92%CE%B9%CE%BA%CE%B9%CF%80%CE%B1%CE%AF%CE%B4%CE%B5%CE%B9%CE%B1%CF%82\" title=\"Βικιπαίδεια:Μήνας Ασίας της Βικιπαίδειας\"\u003E\u003Cimg alt=\"Wikipedia Asian Month\" src=\"//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7c/Asian_month_banner_logo.svg/500px-Asian_month_banner_logo.svg.png\" decoding=\"async\" width=\"500\" height=\"129\" class=\"mw-file-element\" srcset=\"//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7c/Asian_month_banner_logo.svg/750px-Asian_month_banner_logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7c/Asian_month_banner_logo.svg/1000px-Asian_month_banner_logo.svg.png 2x\" data-file-width=\"3047\" data-file-height=\"789\" /\u003E\u003C/a\u003E\u003C/span\u003E \u003Cspan style=\"margin-left:2em;\"\u003E\u003Ca href=\"/wiki/%CE%92%CE%B9%CE%BA%CE%B9%CF%80%CE%B1%CE%AF%CE%B4%CE%B5%CE%B9%CE%B1:%CE%9C%CE%AE%CE%BD%CE%B1%CF%82_%CE%91%CF%83%CE%AF%CE%B1%CF%82_%CF%84%CE%B7%CF%82_%CE%92%CE%B9%CE%BA%CE%B9%CF%80%CE%B1%CE%AF%CE%B4%CE%B5%CE%B9%CE%B1%CF%82\" title=\"Βικιπαίδεια:Μήνας Ασίας της Βικιπαίδειας\"\u003E\u003Cspan class=\"mw-ui-button mw-ui-progressive mw-ui\"\u003EΛάβετε μέρος\u003C/span\u003E\u003C/a\u003E\u003C/span\u003E\u003C/div\u003E\u003C/div\u003E\u003C/div\u003E\u003C/div\u003E\u003C/div\u003E\u003C/div\u003E";}}());</script></div> </div> <div class="vector-column-start"> <div class="vector-main-menu-container"> <div id="mw-navigation"> <nav id="mw-panel" class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Ιστότοπος"> <div id="vector-main-menu-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> </div> </div> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav id="mw-panel-toc" aria-label="Περιεχόμενα" data-event-name="ui.sidebar-toc" class="mw-table-of-contents-container vector-toc-landmark"> <div id="vector-toc-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-toc" class="vector-toc vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-toc-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="toc-pinned" data-pinnable-element-id="vector-toc" > <h2 class="vector-pinnable-header-label">Περιεχόμενα</h2> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.pin">μετακίνηση στην πλαϊνή μπάρα</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.unpin">απόκρυψη</button> </div> <ul class="vector-toc-contents" id="mw-panel-toc-list"> <li id="toc-mw-content-text" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a href="#" class="vector-toc-link"> <div class="vector-toc-text">Αρχή</div> </a> </li> <li id="toc-Ετυμολογία" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Ετυμολογία"> <div class="vector-toc-text"> 1 Ετυμολογία </div> </a> <ul id="toc-Ετυμολογία-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Πολυωνυμική_συνάρτηση" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Πολυωνυμική_συνάρτηση"> <div class="vector-toc-text"> 2 Πολυωνυμική συνάρτηση </div> </a> <ul id="toc-Πολυωνυμική_συνάρτηση-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Επισκόπηση" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Επισκόπηση"> <div class="vector-toc-text"> 3 Επισκόπηση </div> </a> <button aria-controls="toc-Επισκόπηση-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> Εναλλαγή Επισκόπηση υποενότητας </button> <ul id="toc-Επισκόπηση-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Εναλλακτικές_μορφές" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Εναλλακτικές_μορφές"> <div class="vector-toc-text"> 3.1 Εναλλακτικές μορφές </div> </a> <ul id="toc-Εναλλακτικές_μορφές-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Πράξεις_με_πολυώνυμα" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Πράξεις_με_πολυώνυμα"> <div class="vector-toc-text"> 4 Πράξεις με πολυώνυμα </div> </a> <button aria-controls="toc-Πράξεις_με_πολυώνυμα-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> Εναλλαγή Πράξεις με πολυώνυμα υποενότητας </button> <ul id="toc-Πράξεις_με_πολυώνυμα-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Πρόσθεση_πολυωνύμων" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Πρόσθεση_πολυωνύμων"> <div class="vector-toc-text"> 4.1 Πρόσθεση πολυωνύμων </div> </a> <ul id="toc-Πρόσθεση_πολυωνύμων-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Πολλαπλασιασμός_πολυωνύμων" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Πολλαπλασιασμός_πολυωνύμων"> <div class="vector-toc-text"> 4.2 Πολλαπλασιασμός πολυωνύμων </div> </a> <ul id="toc-Πολλαπλασιασμός_πολυωνύμων-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Διαίρεση_πολυωνύμων" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Διαίρεση_πολυωνύμων"> <div class="vector-toc-text"> 4.3 Διαίρεση πολυωνύμων </div> </a> <ul id="toc-Διαίρεση_πολυωνύμων-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Αφαίρεση_πολυωνύμων" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Αφαίρεση_πολυωνύμων"> <div class="vector-toc-text"> 4.4 Αφαίρεση πολυωνύμων </div> </a> <ul id="toc-Αφαίρεση_πολυωνύμων-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Σύνθεση_πολυωνύμων" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Σύνθεση_πολυωνύμων"> <div class="vector-toc-text"> 4.5 Σύνθεση πολυωνύμων </div> </a> <ul id="toc-Σύνθεση_πολυωνύμων-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Παράγωγος_πολυωνύμου" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Παράγωγος_πολυωνύμου"> <div class="vector-toc-text"> 4.6 Παράγωγος πολυωνύμου </div> </a> <ul id="toc-Παράγωγος_πολυωνύμου-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Παράγουσα_πολυωνύμου" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Παράγουσα_πολυωνύμου"> <div class="vector-toc-text"> 4.7 Παράγουσα πολυωνύμου </div> </a> <ul id="toc-Παράγουσα_πολυωνύμου-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Πολυωνυμικές_εξισώσεις" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Πολυωνυμικές_εξισώσεις"> <div class="vector-toc-text"> 4.8 Πολυωνυμικές εξισώσεις </div> </a> <ul id="toc-Πολυωνυμικές_εξισώσεις-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Παραγοντοποίηση_πολυωνύμων" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Παραγοντοποίηση_πολυωνύμων"> <div class="vector-toc-text"> 4.9 Παραγοντοποίηση πολυωνύμων </div> </a> <ul id="toc-Παραγοντοποίηση_πολυωνύμων-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Τιμή_πολυωνύμου" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Τιμή_πολυωνύμου"> <div class="vector-toc-text"> 4.10 Τιμή πολυωνύμου </div> </a> <ul id="toc-Τιμή_πολυωνύμου-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Εύρεση_πολυωνυμικών_ριζών" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Εύρεση_πολυωνυμικών_ριζών"> <div class="vector-toc-text"> 4.11 Εύρεση πολυωνυμικών ριζών </div> </a> <ul id="toc-Εύρεση_πολυωνυμικών_ριζών-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Σύστημα_πολυωνυμικών_εξισώσεων" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Σύστημα_πολυωνυμικών_εξισώσεων"> <div class="vector-toc-text"> 4.12 Σύστημα πολυωνυμικών εξισώσεων </div> </a> <ul id="toc-Σύστημα_πολυωνυμικών_εξισώσεων-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Στοιχειώδεις_ιδιότητες_πολυωνύμων" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Στοιχειώδεις_ιδιότητες_πολυωνύμων"> <div class="vector-toc-text"> 5 Στοιχειώδεις ιδιότητες πολυωνύμων </div> </a> <button aria-controls="toc-Στοιχειώδεις_ιδιότητες_πολυωνύμων-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> Εναλλαγή Στοιχειώδεις ιδιότητες πολυωνύμων υποενότητας </button> <ul id="toc-Στοιχειώδεις_ιδιότητες_πολυωνύμων-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Πρόσθεση" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Πρόσθεση"> <div class="vector-toc-text"> 5.1 Πρόσθεση </div> </a> <ul id="toc-Πρόσθεση-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Διαίρεση" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Διαίρεση"> <div class="vector-toc-text"> 5.2 Διαίρεση </div> </a> <ul id="toc-Διαίρεση-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Ισότητα_δύο_πολυωνύμων" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Ισότητα_δύο_πολυωνύμων"> <div class="vector-toc-text"> 6 Ισότητα δύο πολυωνύμων </div> </a> <ul id="toc-Ισότητα_δύο_πολυωνύμων-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Πολυωνυμική_συνάρτηση_2" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Πολυωνυμική_συνάρτηση_2"> <div class="vector-toc-text"> 7 Πολυωνυμική συνάρτηση </div> </a> <ul id="toc-Πολυωνυμική_συνάρτηση_2-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Ανάπτυγμα_σειράς_Τέιλορ" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Ανάπτυγμα_σειράς_Τέιλορ"> <div class="vector-toc-text"> 8 Ανάπτυγμα σειράς Τέιλορ </div> </a> <ul id="toc-Ανάπτυγμα_σειράς_Τέιλορ-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Ιστορία" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Ιστορία"> <div class="vector-toc-text"> 9 Ιστορία </div> </a> <button aria-controls="toc-Ιστορία-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> Εναλλαγή Ιστορία υποενότητας </button> <ul id="toc-Ιστορία-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Σημειογραφία" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Σημειογραφία"> <div class="vector-toc-text"> 9.1 Σημειογραφία </div> </a> <ul id="toc-Σημειογραφία-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Λύση_πολυωνυμικών_εξισώσεων" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Λύση_πολυωνυμικών_εξισώσεων"> <div class="vector-toc-text"> 10 Λύση πολυωνυμικών εξισώσεων </div> </a> <ul id="toc-Λύση_πολυωνυμικών_εξισώσεων-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Γραφήματα" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Γραφήματα"> <div class="vector-toc-text"> 11 Γραφήματα </div> </a> <ul id="toc-Γραφήματα-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Πολυώνυμα_και_λογισμός" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Πολυώνυμα_και_λογισμός"> <div class="vector-toc-text"> 12 Πολυώνυμα και λογισμός </div> </a> <ul id="toc-Πολυώνυμα_και_λογισμός-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Θεωρητική_άλγεβρα" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Θεωρητική_άλγεβρα"> <div class="vector-toc-text"> 13 Θεωρητική άλγεβρα </div> </a> <button aria-controls="toc-Θεωρητική_άλγεβρα-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> Εναλλαγή Θεωρητική άλγεβρα υποενότητας </button> <ul id="toc-Θεωρητική_άλγεβρα-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Διαιρετότητα" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Διαιρετότητα"> <div class="vector-toc-text"> 13.1 Διαιρετότητα </div> </a> <ul id="toc-Διαιρετότητα-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Κατηγοριοποίηση" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Κατηγοριοποίηση"> <div class="vector-toc-text"> 14 Κατηγοριοποίηση </div> </a> <button aria-controls="toc-Κατηγοριοποίηση-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> Εναλλαγή Κατηγοριοποίηση υποενότητας </button> <ul id="toc-Κατηγοριοποίηση-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Αριθμός_μεταβλητών" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Αριθμός_μεταβλητών"> <div class="vector-toc-text"> 14.1 Αριθμός μεταβλητών </div> </a> <ul id="toc-Αριθμός_μεταβλητών-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Βαθμός" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Βαθμός"> <div class="vector-toc-text"> 14.2 Βαθμός </div> </a> <ul id="toc-Βαθμός-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Συντελεστές" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Συντελεστές"> <div class="vector-toc-text"> 14.3 Συντελεστές </div> </a> <ul id="toc-Συντελεστές-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Αριθμός_μη_μηδενικών_όρων" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Αριθμός_μη_μηδενικών_όρων"> <div class="vector-toc-text"> 14.4 Αριθμός μη μηδενικών όρων </div> </a> <ul id="toc-Αριθμός_μη_μηδενικών_όρων-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Εφαρμογές" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Εφαρμογές"> <div class="vector-toc-text"> 15 Εφαρμογές </div> </a> <button aria-controls="toc-Εφαρμογές-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> Εναλλαγή Εφαρμογές υποενότητας </button> <ul id="toc-Εφαρμογές-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Προσέγγιση_συναρτήσεων" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Προσέγγιση_συναρτήσεων"> <div class="vector-toc-text"> 15.1 Προσέγγιση συναρτήσεων </div> </a> <ul id="toc-Προσέγγιση_συναρτήσεων-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Χαρακτηριστικό_πολυώνυμο" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Χαρακτηριστικό_πολυώνυμο"> <div class="vector-toc-text"> 15.2 Χαρακτηριστικό πολυώνυμο </div> </a> <ul id="toc-Χαρακτηριστικό_πολυώνυμο-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Κωδικοποίηση_πληροφοριών" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Κωδικοποίηση_πληροφοριών"> <div class="vector-toc-text"> 15.3 Κωδικοποίηση πληροφοριών </div> </a> <ul id="toc-Κωδικοποίηση_πληροφοριών-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Επεκτάσεις_της_έννοιας_ενός_πολυωνύμου" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Επεκτάσεις_της_έννοιας_ενός_πολυωνύμου"> <div class="vector-toc-text"> 16 Επεκτάσεις της έννοιας ενός πολυωνύμου </div> </a> <ul id="toc-Επεκτάσεις_της_έννοιας_ενός_πολυωνύμου-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Περαιτέρω_ανάγνωση" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Περαιτέρω_ανάγνωση"> <div class="vector-toc-text"> 17 Περαιτέρω ανάγνωση </div> </a> <button aria-controls="toc-Περαιτέρω_ανάγνωση-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> Εναλλαγή Περαιτέρω ανάγνωση υποενότητας </button> <ul id="toc-Περαιτέρω_ανάγνωση-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Εξωτερικοί_σύνδεσμοι" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Εξωτερικοί_σύνδεσμοι"> <div class="vector-toc-text"> 17.1 Εξωτερικοί σύνδεσμοι </div> </a> <ul id="toc-Εξωτερικοί_σύνδεσμοι-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Ελληνικά_άρθρα" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Ελληνικά_άρθρα"> <div class="vector-toc-text"> 17.2 Ελληνικά άρθρα </div> </a> <ul id="toc-Ελληνικά_άρθρα-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Ξενόγλωσσα_άρθρα" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Ξενόγλωσσα_άρθρα"> <div class="vector-toc-text"> 17.3 Ξενόγλωσσα άρθρα </div> </a> <ul id="toc-Ξενόγλωσσα_άρθρα-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Βιβλιογραφία" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Βιβλιογραφία"> <div class="vector-toc-text"> 17.4 Βιβλιογραφία </div> </a> <ul id="toc-Βιβλιογραφία-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Δείτε_επίσης" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Δείτε_επίσης"> <div class="vector-toc-text"> 18 Δείτε επίσης </div> </a> <ul id="toc-Δείτε_επίσης-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Παραπομπές" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Παραπομπές"> <div class="vector-toc-text"> 19 Παραπομπές </div> </a> <ul id="toc-Παραπομπές-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Εξωτερικοί_σύνδεσμοι_2" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Εξωτερικοί_σύνδεσμοι_2"> <div class="vector-toc-text"> 20 Εξωτερικοί σύνδεσμοι </div> </a> <ul id="toc-Εξωτερικοί_σύνδεσμοι_2-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Περιεχόμενα" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Εναλλαγή του πίνακα περιεχομένων" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" > Εναλλαγή του πίνακα περιεχομένων </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Πολυώνυμο</h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Μεταβείτε σε ένα λήμμα σε άλλη γλώσσα. Διαθέσιμο σε 82 γλώσσες" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-82" aria-hidden="true" > 82 γλώσσες </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-af mw-list-item"><a href="https://af.wikipedia.org/wiki/Polinoom" title="Polinoom – Αφρικάανς" lang="af" hreflang="af" data-title="Polinoom" data-language-autonym="Afrikaans" data-language-local-name="Αφρικάανς" class="interlanguage-link-target">Afrikaans</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D9%85%D8%AA%D8%B9%D8%AF%D8%AF%D8%A9_%D8%A7%D9%84%D8%AD%D8%AF%D9%88%D8%AF" title="متعددة الحدود – Αραβικά" lang="ar" hreflang="ar" data-title="متعددة الحدود" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="Αραβικά" class="interlanguage-link-target">العربية</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/Polinomiu" title="Polinomiu – Αστουριανά" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Polinomiu" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="Αστουριανά" class="interlanguage-link-target">Asturianu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/%C3%87oxh%C9%99dli" title="Çoxhədli – Αζερμπαϊτζανικά" lang="az" hreflang="az" data-title="Çoxhədli" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="Αζερμπαϊτζανικά" class="interlanguage-link-target">Azərbaycanca</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ba mw-list-item"><a href="https://ba.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D2%AF%D0%BF%D0%B1%D1%8B%D1%83%D1%8B%D0%BD" title="Күпбыуын – Μπασκίρ" lang="ba" hreflang="ba" data-title="Күпбыуын" data-language-autonym="Башҡортса" data-language-local-name="Μπασκίρ" class="interlanguage-link-target">Башҡортса</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%B0%D0%B3%D0%B0%D1%87%D0%BB%D0%B5%D0%BD" title="Мнагачлен – Λευκορωσικά" lang="be" hreflang="be" data-title="Мнагачлен" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="Λευκορωσικά" class="interlanguage-link-target">Беларуская</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be-x-old mw-list-item"><a href="https://be-tarask.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%B0%D0%B3%D0%B0%D1%81%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4" title="Мнагасклад – Belarusian (Taraškievica orthography)" lang="be-tarask" hreflang="be-tarask" data-title="Мнагасклад" data-language-autonym="Беларуская (тарашкевіца)" data-language-local-name="Belarusian (Taraškievica orthography)" class="interlanguage-link-target">Беларуская (тарашкевіца)</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D1%87%D0%BB%D0%B5%D0%BD" title="Многочлен – Βουλγαρικά" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Многочлен" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="Βουλγαρικά" class="interlanguage-link-target">Български</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%AC%E0%A6%B9%E0%A7%81%E0%A6%AA%E0%A6%A6%E0%A7%80" title="বহুপদী – Βεγγαλικά" lang="bn" hreflang="bn" data-title="বহুপদী" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="Βεγγαλικά" class="interlanguage-link-target">বাংলা</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Polinom" title="Polinom – Βοσνιακά" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Polinom" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="Βοσνιακά" class="interlanguage-link-target">Bosanski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Polinomi" title="Polinomi – Καταλανικά" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Polinomi" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="Καταλανικά" class="interlanguage-link-target">Català</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%DA%95%D8%A7%D8%AF%DB%95%D8%AF%D8%A7%D8%B1" title="ڕادەدار – Κεντρικά Κουρδικά" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="ڕادەدار" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="Κεντρικά Κουρδικά" class="interlanguage-link-target">کوردی</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Polynom" title="Polynom – Τσεχικά" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Polynom" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="Τσεχικά" class="interlanguage-link-target">Čeština</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%BC" title="Полином – Τσουβασικά" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Полином" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="Τσουβασικά" class="interlanguage-link-target">Чӑвашла</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cy mw-list-item"><a href="https://cy.wikipedia.org/wiki/Polynomial" title="Polynomial – Ουαλικά" lang="cy" hreflang="cy" data-title="Polynomial" data-language-autonym="Cymraeg" data-language-local-name="Ουαλικά" class="interlanguage-link-target">Cymraeg</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Polynomium" title="Polynomium – Δανικά" lang="da" hreflang="da" data-title="Polynomium" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="Δανικά" class="interlanguage-link-target">Dansk</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Polynom" title="Polynom – Γερμανικά" lang="de" hreflang="de" data-title="Polynom" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="Γερμανικά" class="interlanguage-link-target">Deutsch</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-diq mw-list-item"><a href="https://diq.wikipedia.org/wiki/Polinom" title="Polinom – Zazaki" lang="diq" hreflang="diq" data-title="Polinom" data-language-autonym="Zazaki" data-language-local-name="Zazaki" class="interlanguage-link-target">Zazaki</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial" title="Polynomial – Αγγλικά" lang="en" hreflang="en" data-title="Polynomial" data-language-autonym="English" data-language-local-name="Αγγλικά" class="interlanguage-link-target">English</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Polinomo" title="Polinomo – Εσπεράντο" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Polinomo" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="Εσπεράντο" class="interlanguage-link-target">Esperanto</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio" title="Polinomio – Ισπανικά" lang="es" hreflang="es" data-title="Polinomio" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="Ισπανικά" class="interlanguage-link-target">Español</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%BCnoom" title="Polünoom – Εσθονικά" lang="et" hreflang="et" data-title="Polünoom" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="Εσθονικά" class="interlanguage-link-target">Eesti</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Polinomio" title="Polinomio – Βασκικά" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Polinomio" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="Βασκικά" class="interlanguage-link-target">Euskara</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%DA%86%D9%86%D8%AF%D8%AC%D9%85%D9%84%D9%87%E2%80%8C%D8%A7%DB%8C" title="چندجمله‌ای – Περσικά" lang="fa" hreflang="fa" data-title="چندجمله‌ای" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="Περσικά" class="interlanguage-link-target">فارسی</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Polynomi" title="Polynomi – Φινλανδικά" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Polynomi" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="Φινλανδικά" class="interlanguage-link-target">Suomi</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Polyn%C3%B4me" title="Polynôme – Γαλλικά" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Polynôme" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="Γαλλικά" class="interlanguage-link-target">Français</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fy mw-list-item"><a href="https://fy.wikipedia.org/wiki/Mearterm" title="Mearterm – Δυτικά Φριζικά" lang="fy" hreflang="fy" data-title="Mearterm" data-language-autonym="Frysk" data-language-local-name="Δυτικά Φριζικά" class="interlanguage-link-target">Frysk</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ga mw-list-item"><a href="https://ga.wikipedia.org/wiki/Ilt%C3%A9armach" title="Iltéarmach – Ιρλανδικά" lang="ga" hreflang="ga" data-title="Iltéarmach" data-language-autonym="Gaeilge" data-language-local-name="Ιρλανδικά" class="interlanguage-link-target">Gaeilge</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Polinomio" title="Polinomio – Γαλικιανά" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Polinomio" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="Γαλικιανά" class="interlanguage-link-target">Galego</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%9C%D7%99%D7%A0%D7%95%D7%9D" title="פולינום – Εβραϊκά" lang="he" hreflang="he" data-title="פולינום" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="Εβραϊκά" class="interlanguage-link-target">עברית</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%AC%E0%A4%B9%E0%A5%81%E0%A4%AA%E0%A4%A6" title="बहुपद – Χίντι" lang="hi" hreflang="hi" data-title="बहुपद" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="Χίντι" class="interlanguage-link-target">हिन्दी</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Polinom" title="Polinom – Κροατικά" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Polinom" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="Κροατικά" class="interlanguage-link-target">Hrvatski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Polinom" title="Polinom – Ουγγρικά" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Polinom" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="Ουγγρικά" class="interlanguage-link-target">Magyar</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D4%B2%D5%A1%D5%A6%D5%B4%D5%A1%D5%B6%D5%A4%D5%A1%D5%B4" title="Բազմանդամ – Αρμενικά" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Բազմանդամ" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="Αρμενικά" class="interlanguage-link-target">Հայերեն</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-iba mw-list-item"><a href="https://iba.wikipedia.org/wiki/Polinomial" title="Polinomial – Ιμπάν" lang="iba" hreflang="iba" data-title="Polinomial" data-language-autonym="Jaku Iban" data-language-local-name="Ιμπάν" class="interlanguage-link-target">Jaku Iban</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Polinomial" title="Polinomial – Ινδονησιακά" lang="id" hreflang="id" data-title="Polinomial" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="Ινδονησιακά" class="interlanguage-link-target">Bahasa Indonesia</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-io mw-list-item"><a href="https://io.wikipedia.org/wiki/Polinomio" title="Polinomio – Ίντο" lang="io" hreflang="io" data-title="Polinomio" data-language-autonym="Ido" data-language-local-name="Ίντο" class="interlanguage-link-target">Ido</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/Margli%C3%B0a" title="Margliða – Ισλανδικά" lang="is" hreflang="is" data-title="Margliða" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="Ισλανδικά" class="interlanguage-link-target">Íslenska</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Polinomio" title="Polinomio – Ιταλικά" lang="it" hreflang="it" data-title="Polinomio" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="Ιταλικά" class="interlanguage-link-target">Italiano</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F" title="多項式 – Ιαπωνικά" lang="ja" hreflang="ja" data-title="多項式" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="Ιαπωνικά" class="interlanguage-link-target">日本語</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ka mw-list-item"><a href="https://ka.wikipedia.org/wiki/%E1%83%9B%E1%83%A0%E1%83%90%E1%83%95%E1%83%90%E1%83%9A%E1%83%AC%E1%83%94%E1%83%95%E1%83%A0%E1%83%98" title="მრავალწევრი – Γεωργιανά" lang="ka" hreflang="ka" data-title="მრავალწევრი" data-language-autonym="ქართული" data-language-local-name="Γεωργιανά" class="interlanguage-link-target">ქართული</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D3%A9%D0%BF%D0%BC%D2%AF%D1%88%D0%B5%D0%BB%D1%96%D0%BA" title="Көпмүшелік – Καζακικά" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Көпмүшелік" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="Καζακικά" class="interlanguage-link-target">Қазақша</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-km mw-list-item"><a href="https://km.wikipedia.org/wiki/%E1%9E%96%E1%9E%A0%E1%9E%BB%E1%9E%92%E1%9E%B6" title="ពហុធា – Χμερ" lang="km" hreflang="km" data-title="ពហុធា" data-language-autonym="ភាសាខ្មែរ" data-language-local-name="Χμερ" class="interlanguage-link-target">ភាសាខ្មែរ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%8B%A4%ED%95%AD%EC%8B%9D" title="다항식 – Κορεατικά" lang="ko" hreflang="ko" data-title="다항식" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="Κορεατικά" class="interlanguage-link-target">한국어</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Polynomium" title="Polynomium – Λατινικά" lang="la" hreflang="la" data-title="Polynomium" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="Λατινικά" class="interlanguage-link-target">Latina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Polinomas" title="Polinomas – Λιθουανικά" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Polinomas" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="Λιθουανικά" class="interlanguage-link-target">Lietuvių</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Polinoms" title="Polinoms – Λετονικά" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Polinoms" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="Λετονικά" class="interlanguage-link-target">Latviešu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mg mw-list-item"><a href="https://mg.wikipedia.org/wiki/Maromiantoana" title="Maromiantoana – Μαλγασικά" lang="mg" hreflang="mg" data-title="Maromiantoana" data-language-autonym="Malagasy" data-language-local-name="Μαλγασικά" class="interlanguage-link-target">Malagasy</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%BC" title="Полином – Σλαβομακεδονικά" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Полином" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="Σλαβομακεδονικά" class="interlanguage-link-target">Македонски</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%AC%E0%B4%B9%E0%B5%81%E0%B4%AA%E0%B4%A6%E0%B4%82" title="ബഹുപദം – Μαλαγιαλαμικά" lang="ml" hreflang="ml" data-title="ബഹുപദം" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="Μαλαγιαλαμικά" class="interlanguage-link-target">മലയാളം</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mr mw-list-item"><a href="https://mr.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%AC%E0%A4%B9%E0%A5%81%E0%A4%AA%E0%A4%A6%E0%A5%80" title="बहुपदी – Μαραθικά" lang="mr" hreflang="mr" data-title="बहुपदी" data-language-autonym="मराठी" data-language-local-name="Μαραθικά" class="interlanguage-link-target">मराठी</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Polinomial" title="Polinomial – Μαλαισιανά" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Polinomial" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="Μαλαισιανά" class="interlanguage-link-target">Bahasa Melayu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Polynoom" title="Polynoom – Ολλανδικά" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Polynoom" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="Ολλανδικά" class="interlanguage-link-target">Nederlands</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Polynom" title="Polynom – Νορβηγικά Νινόρσκ" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Polynom" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="Νορβηγικά Νινόρσκ" class="interlanguage-link-target">Norsk nynorsk</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Polynom" title="Polynom – Νορβηγικά Μποκμάλ" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Polynom" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="Νορβηγικά Μποκμάλ" class="interlanguage-link-target">Norsk bokmål</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Wielomian" title="Wielomian – Πολωνικά" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Wielomian" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="Πολωνικά" class="interlanguage-link-target">Polski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt badge-Q70893996 mw-list-item" title=""><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Polin%C3%B3mio" title="Polinómio – Πορτογαλικά" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Polinómio" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="Πορτογαλικά" class="interlanguage-link-target">Português</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Polinom" title="Polinom – Ρουμανικά" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Polinom" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="Ρουμανικά" class="interlanguage-link-target">Română</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D1%87%D0%BB%D0%B5%D0%BD" title="Многочлен – Ρωσικά" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Многочлен" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="Ρωσικά" class="interlanguage-link-target">Русский</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Polinom" title="Polinom – Σερβοκροατικά" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Polinom" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="Σερβοκροατικά" class="interlanguage-link-target">Srpskohrvatski / српскохрватски</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-si mw-list-item"><a href="https://si.wikipedia.org/wiki/%E0%B6%B6%E0%B7%84%E0%B7%94_%E0%B6%B4%E0%B6%AF%E0%B6%BA" title="බහු පදය – Σινχαλεζικά" lang="si" hreflang="si" data-title="බහු පදය" data-language-autonym="සිංහල" data-language-local-name="Σινχαλεζικά" class="interlanguage-link-target">සිංහල</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Polynomial" title="Polynomial – Simple English" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Polynomial" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target">Simple English</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Mnoho%C4%8Dlen" title="Mnohočlen – Σλοβακικά" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Mnohočlen" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="Σλοβακικά" class="interlanguage-link-target">Slovenčina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Polinom" title="Polinom – Σλοβενικά" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Polinom" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="Σλοβενικά" class="interlanguage-link-target">Slovenščina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Polinomet" title="Polinomet – Αλβανικά" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Polinomet" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="Αλβανικά" class="interlanguage-link-target">Shqip</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%BC" title="Полином – Σερβικά" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Полином" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="Σερβικά" class="interlanguage-link-target">Српски / srpski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Polynom" title="Polynom – Σουηδικά" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Polynom" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="Σουηδικά" class="interlanguage-link-target">Svenska</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%AA%E0%AE%B2%E0%AF%8D%E0%AE%B2%E0%AF%81%E0%AE%B1%E0%AF%81%E0%AE%AA%E0%AF%8D%E0%AE%AA%E0%AF%81%E0%AE%95%E0%AF%8D%E0%AE%95%E0%AF%8B%E0%AE%B5%E0%AF%88" title="பல்லுறுப்புக்கோவை – Ταμιλικά" lang="ta" hreflang="ta" data-title="பல்லுறுப்புக்கோவை" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="Ταμιλικά" class="interlanguage-link-target">தமிழ்</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tg mw-list-item"><a href="https://tg.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%B8%D1%81%D1%91%D1%80%D1%8A%D1%83%D0%B7%D0%B2%D0%B0" title="Бисёръузва – Τατζικικά" lang="tg" hreflang="tg" data-title="Бисёръузва" data-language-autonym="Тоҷикӣ" data-language-local-name="Τατζικικά" class="interlanguage-link-target">Тоҷикӣ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%9E%E0%B8%AB%E0%B8%B8%E0%B8%99%E0%B8%B2%E0%B8%A1" title="พหุนาม – Ταϊλανδικά" lang="th" hreflang="th" data-title="พหุนาม" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="Ταϊλανδικά" class="interlanguage-link-target">ไทย</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tl mw-list-item"><a href="https://tl.wikipedia.org/wiki/Polynomial" title="Polynomial – Τάγκαλογκ" lang="tl" hreflang="tl" data-title="Polynomial" data-language-autonym="Tagalog" data-language-local-name="Τάγκαλογκ" class="interlanguage-link-target">Tagalog</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Polinom" title="Polinom – Τουρκικά" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Polinom" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="Τουρκικά" class="interlanguage-link-target">Türkçe</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D1%87%D0%BB%D0%B5%D0%BD" title="Многочлен – Ουκρανικά" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Многочлен" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="Ουκρανικά" class="interlanguage-link-target">Українська</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ur mw-list-item"><a href="https://ur.wikipedia.org/wiki/%DA%A9%D8%AB%DB%8C%D8%B1_%D8%A7%D9%84%D8%A7%D8%B3%D9%85%DB%8C" title="کثیر الاسمی – Ούρντου" lang="ur" hreflang="ur" data-title="کثیر الاسمی" data-language-autonym="اردو" data-language-local-name="Ούρντου" class="interlanguage-link-target">اردو</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uz mw-list-item"><a href="https://uz.wikipedia.org/wiki/Ko%CA%BBphad" title="Koʻphad – Ουζμπεκικά" lang="uz" hreflang="uz" data-title="Koʻphad" data-language-autonym="Oʻzbekcha / ўзбекча" data-language-local-name="Ουζμπεκικά" class="interlanguage-link-target">Oʻzbekcha / ўзбекча</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/%C4%90a_th%E1%BB%A9c" title="Đa thức – Βιετναμικά" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Đa thức" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="Βιετναμικά" class="interlanguage-link-target">Tiếng Việt</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%A1%B9%E5%BC%8F" title="多项式 – Κινεζικά Γου" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="多项式" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="Κινεζικά Γου" class="interlanguage-link-target">吴语</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-yi mw-list-item"><a href="https://yi.wikipedia.org/wiki/%D7%A4%D7%90%D7%9C%D7%99%D7%A0%D7%90%D7%9D" title="פאלינאם – Γίντις" lang="yi" hreflang="yi" data-title="פאלינאם" data-language-autonym="ייִדיש" data-language-local-name="Γίντις" class="interlanguage-link-target">ייִדיש</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-yo badge-Q17437798 badge-goodarticle mw-list-item" title="καλό λήμμα"><a href="https://yo.wikipedia.org/wiki/On%C3%ADr%C3%BAiyep%C3%BAp%E1%BB%8D%CC%80" title="Onírúiyepúpọ̀ – Γιορούμπα" lang="yo" hreflang="yo" data-title="Onírúiyepúpọ̀" data-language-autonym="Yorùbá" data-language-local-name="Γιορούμπα" class="interlanguage-link-target">Yorùbá</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F" title="多項式 – Κινεζικά" lang="zh" hreflang="zh" data-title="多項式" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="Κινεζικά" class="interlanguage-link-target">中文</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-classical mw-list-item"><a href="https://zh-classical.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F" title="多項式 – Literary Chinese" lang="lzh" hreflang="lzh" data-title="多項式" data-language-autonym="文言" data-language-local-name="Literary Chinese" class="interlanguage-link-target">文言</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F" title="多項式 – Καντονέζικα" lang="yue" hreflang="yue" data-title="多項式" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="Καντονέζικα" class="interlanguage-link-target">粵語</a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q43260#sitelinks-wikipedia" title="Επεξεργασία διαγλωσσικών συνδέσεων" class="wbc-editpage">Επεξεργασία συνδέσμων</a></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Ονοματοχώροι"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF" title="Προβολή της σελίδας περιεχομένου [c]" accesskey="c">Λήμμα</a></li><li id="ca-talk" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/%CE%A3%CF%85%CE%B6%CE%AE%CF%84%CE%B7%CF%83%CE%B7:%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF" rel="discussion" title="Συζήτηση για τη σελίδα περιεχομένου [t]" accesskey="t">Συζήτηση</a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input type="checkbox" id="vector-variants-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Αλλαγή παραλλαγής γλώσσας" > <label id="vector-variants-dropdown-label" for="vector-variants-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" >Ελληνικά </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-variants" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation" class="vector-collapsible"> <nav aria-label="Προβολές"> <div id="p-views" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-views" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF">Ανάγνωση</a></li><li id="ca-ve-edit" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&veaction=edit" title="Επεξεργασία αυτής της σελίδας [v]" accesskey="v">Επεξεργασία</a></li><li id="ca-edit" class="collapsible vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&action=edit" title="Επεξεργασία του πηγαίου κώδικα της σελίδας [e]" accesskey="e">Επεξεργασία κώδικα</a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&action=history" title="Παλιές αναθεωρήσεις της σελίδας [h]" accesskey="h">Προβολή ιστορικού</a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Εργαλεία σελίδων"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Εργαλεία" > <label id="vector-page-tools-dropdown-label" for="vector-page-tools-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" >Εργαλεία </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-tools-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-page-tools" class="vector-page-tools vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-page-tools-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="page-tools-pinned" data-pinnable-element-id="vector-page-tools" data-pinned-container-id="vector-page-tools-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-page-tools-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Εργαλεία</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.pin">μετακίνηση στην πλαϊνή μπάρα</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.unpin">απόκρυψη</button> </div> <div id="p-cactions" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-has-collapsible-items" title="Περισσότερες επιλογές" > <div class="vector-menu-heading"> Ενέργειες </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-more-view" class="selected vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/wiki/%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF">Ανάγνωση</a></li><li id="ca-more-ve-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&veaction=edit" title="Επεξεργασία αυτής της σελίδας [v]" accesskey="v">Επεξεργασία</a></li><li id="ca-more-edit" class="collapsible vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&action=edit" title="Επεξεργασία του πηγαίου κώδικα της σελίδας [e]" accesskey="e">Επεξεργασία κώδικα</a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&action=history">Προβολή ιστορικού</a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> Γενικά </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%CE%95%CE%B9%CE%B4%CE%B9%CE%BA%CF%8C:%CE%A4%CE%B9%CE%A3%CF%85%CE%BD%CE%B4%CE%AD%CE%B5%CE%B9%CE%95%CE%B4%CF%8E/%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF" title="Κατάλογος όλων των σελίδων wiki που έχουν συνδέσμους προς εδώ [j]" accesskey="j">Συνδέσεις προς εδώ</a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%CE%95%CE%B9%CE%B4%CE%B9%CE%BA%CF%8C:%CE%A3%CF%85%CE%BD%CE%B4%CE%B5%CE%B4%CE%B5%CE%BC%CE%AD%CE%BD%CE%B5%CF%82%CE%A0%CF%81%CF%8C%CF%83%CF%86%CE%B1%CF%84%CE%B5%CF%82%CE%91%CE%BB%CE%BB%CE%B1%CE%B3%CE%AD%CF%82/%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF" rel="nofollow" title="Πρόσφατες αλλαγές σε σελίδες που παραπέμπουν οι σύνδεσμοι αυτής της σελίδας [k]" accesskey="k">Σχετικές αλλαγές</a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%CE%95%CE%B9%CE%B4%CE%B9%CE%BA%CF%8C:%CE%95%CE%B9%CE%B4%CE%B9%CE%BA%CE%AD%CF%82%CE%A3%CE%B5%CE%BB%CE%AF%CE%B4%CE%B5%CF%82" title="Κατάλογος με όλες τις ειδικές σελίδες [q]" accesskey="q">Ειδικές σελίδες</a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&oldid=10812521" title="Μόνιμος σύνδεσμος προς αυτήν την αναθεώρηση αυτής της σελίδας">Σταθερός σύνδεσμος</a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&action=info" title="Περισσότερες πληροφορίες σχετικά με αυτήν τη σελίδα">Πληροφορίες σελίδας</a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%CE%95%CE%B9%CE%B4%CE%B9%CE%BA%CF%8C:%CE%A0%CE%B1%CF%81%CE%B1%CF%80%CE%BF%CE%BC%CF%80%CE%AE%CE%91%CF%85%CF%84%CE%AE%CE%A4%CE%B7%CE%A3%CE%B5%CE%BB%CE%AF%CE%B4%CE%B1&page=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&id=10812521&wpFormIdentifier=titleform" title="Πληροφορίες για το πώς να δημιουργήσετε παραπομπή αυτής της σελίδας">Παραπομπή</a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%CE%95%CE%B9%CE%B4%CE%B9%CE%BA%CF%8C:UrlShortener&url=https%3A%2F%2Fel.wikipedia.org%2Fwiki%2F%25CE%25A0%25CE%25BF%25CE%25BB%25CF%2585%25CF%258E%25CE%25BD%25CF%2585%25CE%25BC%25CE%25BF">Λάβετε συντομευμένη διεύθυνση URL</a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%CE%95%CE%B9%CE%B4%CE%B9%CE%BA%CF%8C:QrCode&url=https%3A%2F%2Fel.wikipedia.org%2Fwiki%2F%25CE%25A0%25CE%25BF%25CE%25BB%25CF%2585%25CF%258E%25CE%25BD%25CF%2585%25CE%25BC%25CE%25BF">Λήψη κωδικού QR</a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-coll-print_export" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-coll-print_export" > <div class="vector-menu-heading"> Εκτύπωση/εξαγωγή </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%CE%95%CE%B9%CE%B4%CE%B9%CE%BA%CF%8C:%CE%A3%CF%85%CE%BB%CE%BB%CE%BF%CE%B3%CE%AE&bookcmd=book_creator&referer=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF">Δημιουργία βιβλίου</a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%CE%95%CE%B9%CE%B4%CE%B9%CE%BA%CF%8C:DownloadAsPdf&page=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&action=show-download-screen">Κατέβασμα ως PDF</a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&printable=yes" title="Εκτυπώσιμη έκδοση αυτής της σελίδας [p]" accesskey="p">Εκτυπώσιμη έκδοση</a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-wikibase-otherprojects" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects" > <div class="vector-menu-heading"> Σε άλλα εγχειρήματα </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-commons mw-list-item"><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Polynomial" hreflang="en">Wikimedia Commons</a></li><li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q43260" title="Σύνδεσμος προς το συνδεδεμένο αντικείμενο δεδομένων [g]" accesskey="g">Αντικείμενο Wikidata</a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Εργαλεία σελίδων"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Εμφάνιση"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Εμφάνιση</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">μετακίνηση στην πλαϊνή μπάρα</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">απόκρυψη</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="el" dir="ltr"><figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%CE%91%CF%81%CF%87%CE%B5%CE%AF%CE%BF:Polynomialdeg3.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a3/Polynomialdeg3.svg/170px-Polynomialdeg3.svg.png" decoding="async" width="170" height="170" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a3/Polynomialdeg3.svg/255px-Polynomialdeg3.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a3/Polynomialdeg3.svg/340px-Polynomialdeg3.svg.png 2x" data-file-width="400" data-file-height="400" /></a><figcaption>Το <a href="/w/index.php?title=%CE%93%CF%81%CE%AC%CF%86%CE%B7%CE%BC%CE%B1&action=edit&redlink=1" class="new" title="Γράφημα (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">γράφημα</a> πολυωνυμικής συνάρτησης βαθμού 3 </figcaption></figure> <table class="infobox" style="text-align:center; width:280px;"> <tbody><tr> <th style="background:#ccccff;"><big><a href="/wiki/%CE%A3%CF%85%CE%BD%CE%AC%CF%81%CF%84%CE%B7%CF%83%CE%B7" title="Συνάρτηση">Μαθηματικές Συναρτήσεις</a></big> </th></tr> <tr> <th style="background:#ccccff;">Συναρτήσεις μίας μεταβλητής </th></tr> <tr> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {y} =f(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">y</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {y} =f(x)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87d066f80f54985faf52f79c560fec65c75bc3a3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.927ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {y} =f(x)}"> </td></tr> <tr> <th style="background:#ccccff;">Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών </th></tr> <tr> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {z} =f(x_{1},\ldots ,x_{n})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">z</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {z} =f(x_{1},\ldots ,x_{n})}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e64f0a62f2f246da6780fa62c95eb9da4e71f10f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.485ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {z} =f(x_{1},\ldots ,x_{n})}"> </td></tr> <tr> <td> <table class="wikitable collapsible collapsed" style="left: right; font-size: 100%; margin:0 0 0 0em; width:280px;"> <tbody><tr> <th style="text-align:left; background:#ccccff;">Βασικές έννοιες συναρτήσεων </th></tr> <tr> <td><a href="/wiki/%CE%9C%CE%BF%CE%BD%CE%BF%CF%84%CE%BF%CE%BD%CE%AF%CE%B1_%CF%83%CF%85%CE%BD%CE%AC%CF%81%CF%84%CE%B7%CF%83%CE%B7%CF%82" title="Μονοτονία συνάρτησης">Μονοτονία συνάρτησης</a> </td></tr> <tr> <td><a href="/wiki/%CE%9A%CF%85%CF%81%CF%84%CF%8C%CF%84%CE%B7%CF%84%CE%B1_%CF%83%CF%85%CE%BD%CE%AC%CF%81%CF%84%CE%B7%CF%83%CE%B7%CF%82" class="mw-redirect" title="Κυρτότητα συνάρτησης">Κυρτότητα συνάρτησης</a> </td></tr> <tr> <td><a href="/wiki/%CE%A3%CF%85%CE%BC%CE%BC%CE%B5%CF%84%CF%81%CE%B9%CE%BA%CE%AE_%CF%83%CF%85%CE%BD%CE%AC%CF%81%CF%84%CE%B7%CF%83%CE%B7" title="Συμμετρική συνάρτηση">Συμμετρία συνάρτησης</a> </td></tr> <tr> <td><a href="/w/index.php?title=%CE%91%CE%BA%CF%81%CF%8C%CF%84%CE%B1%CF%84%CE%B1_%CF%83%CF%85%CE%BD%CE%AC%CF%81%CF%84%CE%B7%CF%83%CE%B7%CF%82&action=edit&redlink=1" class="new" title="Ακρότατα συνάρτησης (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">Ακρότατα συνάρτησης</a> </td></tr> <tr> <td><a href="/wiki/%CE%91%CF%83%CF%8D%CE%BC%CF%80%CF%84%CF%89%CF%84%CE%B5%CF%82_%CF%83%CF%85%CE%BD%CE%AC%CF%81%CF%84%CE%B7%CF%83%CE%B7%CF%82" class="mw-redirect" title="Ασύμπτωτες συνάρτησης">Ασύμπτωτες συνάρτησης</a> </td></tr> <tr> <td><a href="/wiki/%CE%8C%CF%81%CE%B9%CE%BF_%CF%83%CF%85%CE%BD%CE%AC%CF%81%CF%84%CE%B7%CF%83%CE%B7%CF%82" title="Όριο συνάρτησης">Όριο συνάρτησης</a> </td></tr> <tr> <td><a href="/wiki/%CE%A3%CF%85%CE%BD%CE%AD%CF%87%CE%B5%CE%B9%CE%B1_%CF%83%CF%85%CE%BD%CE%AC%CF%81%CF%84%CE%B7%CF%83%CE%B7%CF%82" title="Συνέχεια συνάρτησης">Συνέχεια συνάρτησης</a> </td></tr> <tr> <td><a href="/wiki/%CE%A0%CE%B1%CF%81%CE%AC%CE%B3%CF%89%CE%B3%CE%BF%CF%82" title="Παράγωγος">Παραγώγιση συνάρτησης</a> </td></tr> <tr> <td><a href="/wiki/%CE%9F%CE%BB%CE%BF%CE%BA%CE%BB%CE%AE%CF%81%CF%89%CE%BC%CE%B1" title="Ολοκλήρωμα">Ολοκλήρωση συνάρτησης</a> </td></tr></tbody></table> </td></tr> <tr> <td> <table class="wikitable collapsible collapsed" style="left: right; font-size: 100%; margin:0 0 0 0em; width:280px;"> <tbody><tr> <th style="text-align:left; background:#ccccff;">Κατηγορίες συναρτήσεων </th></tr> <tr> <td><a href="/wiki/%CE%86%CF%81%CF%84%CE%B9%CE%B5%CF%82_%CF%83%CF%85%CE%BD%CE%B1%CF%81%CF%84%CE%AE%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82" class="mw-redirect" title="Άρτιες συναρτήσεις">Άρτιες συναρτήσεις</a> </td></tr> <tr> <td><a href="/wiki/%CE%A0%CE%B5%CF%81%CE%B9%CF%84%CF%84%CE%AD%CF%82_%CF%83%CF%85%CE%BD%CE%B1%CF%81%CF%84%CE%AE%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82" class="mw-redirect" title="Περιττές συναρτήσεις">Περιττές συναρτήσεις</a> </td></tr> <tr> <td><a href="/wiki/%CE%A0%CE%B5%CF%81%CE%B9%CE%BF%CE%B4%CE%B9%CE%BA%CE%AD%CF%82_%CF%83%CF%85%CE%BD%CE%B1%CF%81%CF%84%CE%AE%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82" class="mw-redirect" title="Περιοδικές συναρτήσεις">Περιοδικές συναρτήσεις</a> </td></tr> <tr> <td><a href="/wiki/%CE%A3%CF%8D%CE%BD%CE%B8%CE%B5%CF%83%CE%B7_%CF%83%CF%85%CE%BD%CE%AC%CF%81%CF%84%CE%B7%CF%83%CE%B7%CF%82" title="Σύνθεση συνάρτησης">Σύνθετες συναρτήσεις</a> </td></tr> <tr> <td><a href="/w/index.php?title=%CE%91%CE%BD%CF%84%CE%AF%CF%83%CF%84%CF%81%CE%BF%CF%86%CE%B5%CF%82_%CF%83%CF%85%CE%BD%CE%B1%CF%81%CF%84%CE%AE%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82&action=edit&redlink=1" class="new" title="Αντίστροφες συναρτήσεις (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">Αντίστροφες συναρτήσεις</a> </td></tr> <tr> <td><a href="/w/index.php?title=%CE%91%CE%BB%CE%B3%CE%B5%CE%B2%CF%81%CE%B9%CE%BA%CE%AD%CF%82_%CF%83%CF%85%CE%BD%CE%B1%CF%81%CF%84%CE%AE%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82&action=edit&redlink=1" class="new" title="Αλγεβρικές συναρτήσεις (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">Αλγεβρικές συναρτήσεις</a> </td></tr> <tr> <td><a href="/w/index.php?title=%CE%A5%CF%80%CE%B5%CF%81%CE%B2%CE%B1%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AD%CF%82_%CF%83%CF%85%CE%BD%CE%B1%CF%81%CF%84%CE%AE%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82&action=edit&redlink=1" class="new" title="Υπερβατικές συναρτήσεις (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">Υπερβατικές συναρτήσεις</a> </td></tr> </tbody></table> </td></tr> <tr> <td> <table class="wikitable collapsible collapsed" style="left: right; font-size: 100%; margin:0 0 0 0em; width:280px;"> <tbody><tr> <th style="text-align:left; background:#ccccff;">Αλγεβρικές συναρτήσεις </th></tr> <tr> <th style="background:#ccccff;"><a href="/wiki/%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%89%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%B9%CE%BA%CE%AE_%CF%83%CF%85%CE%BD%CE%AC%CF%81%CF%84%CE%B7%CF%83%CE%B7" class="mw-redirect" title="Πολυωνυμική συνάρτηση">Πολυωνυμική συνάρτηση</a> </th></tr> <tr> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=ax^{n}+bx^{n-1}+...+cx+d}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>d</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=ax^{n}+bx^{n-1}+...+cx+d}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53231944cf973f694e38b97c8e67c0d4a5fca904" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:29.629ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle y=ax^{n}+bx^{n-1}+...+cx+d}"> </td></tr> <tr> <th style="background:#ccccff"><a href="/wiki/%CE%A1%CE%B7%CF%84%CE%AE_%CF%83%CF%85%CE%BD%CE%AC%CF%81%CF%84%CE%B7%CF%83%CE%B7" title="Ρητή συνάρτηση">Ρητή συνάρτηση</a> </th></tr> <tr> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y={\frac {a_{1}x^{n}+b_{1}x^{n-1}+...+c_{1}x+d_{1}}{a_{2}x^{m}+b_{2}x^{m-1}+...+c_{2}x+d_{2}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y={\frac {a_{1}x^{n}+b_{1}x^{n-1}+...+c_{1}x+d_{1}}{a_{2}x^{m}+b_{2}x^{m-1}+...+c_{2}x+d_{2}}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86da7dffb1f8660e49cfaceace70248230ceb370" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:35.589ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle y={\frac {a_{1}x^{n}+b_{1}x^{n-1}+...+c_{1}x+d_{1}}{a_{2}x^{m}+b_{2}x^{m-1}+...+c_{2}x+d_{2}}}}"> </td></tr> <tr> <th style="background:#ccccff"><a href="/wiki/%CE%86%CF%81%CF%81%CE%B7%CF%84%CE%B7_%CF%83%CF%85%CE%BD%CE%AC%CF%81%CF%84%CE%B7%CF%83%CE%B7" title="Άρρητη συνάρτηση">Άρρητη συνάρτηση</a> </th></tr> <tr> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y={\sqrt[{n}]{ax^{n}+bx^{n-1}+...+cx+d}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mroot> <mrow> <mi>a</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>d</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </mroot> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y={\sqrt[{n}]{ax^{n}+bx^{n-1}+...+cx+d}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9670d60c36c3ff2f226232d4c0fbdb16a2a201b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:31.953ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle y={\sqrt[{n}]{ax^{n}+bx^{n-1}+...+cx+d}}}"> </td></tr></tbody></table> </td></tr> <tr> <td> <table class="wikitable collapsible collapsed" style="left: right; font-size: 100%; margin:0 0 0 0em; width:280px;"> <tbody><tr> <th style="text-align:left; background:#ccccff;">Υπερβατικές συναρτήσεις </th></tr> <tr> <th style="background:#ccccff"><a href="/wiki/%CE%95%CE%BA%CE%B8%CE%B5%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AE_%CF%83%CF%85%CE%BD%CE%AC%CF%81%CF%84%CE%B7%CF%83%CE%B7" title="Εκθετική συνάρτηση">Εκθετική συνάρτηση</a> </th></tr> <tr> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=a^{x}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=a^{x}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7018380b0c5a0f6ceb32a2f3811592d86571675" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.656ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle y=a^{x}}"> </td></tr> <tr> <th style="background:#ccccff"><a href="/wiki/%CE%9B%CE%BF%CE%B3%CE%B1%CF%81%CE%B9%CE%B8%CE%BC%CE%B9%CE%BA%CE%AE_%CF%83%CF%85%CE%BD%CE%AC%CF%81%CF%84%CE%B7%CF%83%CE%B7" title="Λογαριθμική συνάρτηση">Λογαριθμική συνάρτηση</a> </th></tr> <tr> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=\log _{a}(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>log</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=\log _{a}(x)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b08e61d87fe09f5d56c676b40977ebfced6e913" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.467ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y=\log _{a}(x)}"> </td></tr> <tr> <th style="background:#ccccff"><a href="/wiki/%CE%A4%CF%81%CE%B9%CE%B3%CF%89%CE%BD%CE%BF%CE%BC%CE%B5%CF%84%CF%81%CE%B9%CE%BA%CE%AE_%CF%83%CF%85%CE%BD%CE%AC%CF%81%CF%84%CE%B7%CF%83%CE%B7" title="Τριγωνομετρική συνάρτηση">Τριγωνομετρικές συναρτήσεις</a> </th></tr> <tr> <td>Ημίτονο <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=\sin x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=\sin x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75f04ad790e245abb858bc25e22ee149dea3b53f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.826ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle y=\sin x}"> </td></tr> <tr> <td>Συνημίτονο <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=\cos x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=\cos x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cc93bec784869ca4c12bd95497de8dd4dedc237" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.082ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y=\cos x}"> </td></tr> <tr> <td>Εφαπτομένη <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=\tan x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mi>tan</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=\tan x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/247dd7b155b84467fbb810704c2ff864d7c5c356" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.33ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle y=\tan x}"> </td></tr></tbody></table> </td></tr></tbody></table> Στα <a href="/wiki/%CE%9C%CE%B1%CE%B8%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AC" title="Μαθηματικά">μαθηματικά</a>, τα πολυώνυμα είναι η απλούστερη τάξη <a href="/w/index.php?title=%CE%9C%CE%B1%CE%B8%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AE_%CF%80%CE%B1%CF%81%CE%AC%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7&action=edit&redlink=1" class="new" title="Μαθηματική παράσταση (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">μαθηματικών παραστάσεων</a> (πέρα απ τους αριθμούς και τις εκφράσεις που αφορούν αριθμούς). Ένα πολυώνυμο είναι μια έκφραση κατασκευασμένη από <a href="/wiki/%CE%9C%CE%B5%CF%84%CE%B1%CE%B2%CE%BB%CE%B7%CF%84%CE%AE_(%CE%BC%CE%B1%CE%B8%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AC)" title="Μεταβλητή (μαθηματικά)">μεταβλητές</a> (που λέγονται επίσης άγνωστοι) και <a href="/wiki/%CE%A3%CF%84%CE%B1%CE%B8%CE%B5%CF%81%CE%AC_(%CE%BC%CE%B1%CE%B8%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AC)" class="mw-redirect" title="Σταθερά (μαθηματικά)">σταθερές</a> (συνήθως αριθμοί άλλα όχι πάντα), χρησιμοποιώντας μόνο τις πράξεις της <a href="/wiki/%CE%A0%CF%81%CF%8C%CF%83%CE%B8%CE%B5%CF%83%CE%B7" title="Πρόσθεση">πρόσθεσης</a>, <a href="/wiki/%CE%91%CF%86%CE%B1%CE%AF%CF%81%CE%B5%CF%83%CE%B7" title="Αφαίρεση">αφαίρεσης</a>, <a href="/wiki/%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CE%BB%CE%B1%CF%80%CE%BB%CE%B1%CF%83%CE%B9%CE%B1%CF%83%CE%BC%CF%8C%CF%82" title="Πολλαπλασιασμός">πολλαπλασιασμού</a>, και μη αρνητικών <a href="/wiki/%CE%91%CE%BA%CE%AD%CF%81%CE%B1%CE%B9%CE%BF%CF%82" class="mw-redirect" title="Ακέραιος">ακεραίων</a> <a href="/wiki/%CE%94%CF%8D%CE%BD%CE%B1%CE%BC%CE%B7_(%CE%BC%CE%B1%CE%B8%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AC)" title="Δύναμη (μαθηματικά)">δυνάμεων</a> (οι οποίες είναι συντομογραφία πολλαπλών πολλαπλασιασμών της ίδιας τιμής). Ωστόσο, επιτρέπεται η διαίρεση με σταθερά , επειδή η <a href="/wiki/%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CE%BB%CE%B1%CF%80%CE%BB%CE%B1%CF%83%CE%B9%CE%B1%CF%83%CF%84%CE%B9%CE%BA%CF%8C%CF%82_%CE%B1%CE%BD%CF%84%CE%AF%CF%83%CF%84%CF%81%CE%BF%CF%86%CE%BF%CF%82" title="Πολλαπλασιαστικός αντίστροφος">πολλαπλασιαστική αντιστροφή</a> μιας μη μηδενικής σταθεράς είναι επίσης σταθερά. Για παράδειγμα, x2 − x/4 + 7 είναι ένα πολυώνυμο, αλλά x2 − 4/x + 7x3/2 είναι μια <a href="/wiki/%CE%91%CE%BB%CE%B3%CE%B5%CE%B2%CF%81%CE%B9%CE%BA%CE%AE_%CF%80%CE%B1%CF%81%CE%AC%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7" title="Αλγεβρική παράσταση">αλγεβρική παράσταση</a> που δεν είναι πολυώνυμο, επειδή ο δεύτερος <a href="/wiki/%CE%8C%CF%81%CE%BF%CF%82_(%CE%BC%CE%B1%CE%B8%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AC)" class="mw-disambig" title="Όρος (μαθηματικά)">όρος</a> περιέχει μια διαίρεση με την μεταβλητή x (ο όρος 4/x), και επίσης επειδή ο τρίτος όρος περιέχει έναν εκθέτη που δεν είναι μη αρνητικός ακέραιος (3/2). <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Ετυμολογία">Ετυμολογία</h2>[<a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&veaction=edit&section=1" title="Επεξεργασία ενότητας: Ετυμολογία" class="mw-editsection-visualeditor">Επεξεργασία</a> | <a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&action=edit&section=1" title="Επεξεργαστείτε τον πηγαίο κώδικα της ενότητας: Ετυμολογία">επεξεργασία κώδικα</a>]</div> Η λέξη πολυώνυμο προέρχεται από το Ελληνικό πολύ, και το Λατινικό binomium, «binomial».<a href="#cite_note-1">[1]</a><a href="#cite_note-2">[2]</a><a href="#cite_note-3">[3]</a> Η λέξη εισήχθηκε στην λατινική γλώσσα από τον <a href="/wiki/%CE%A6%CF%81%CE%B1%CE%B3%CE%BA%CE%AF%CF%83%CE%BA%CE%BF%CF%82_%CE%92%CE%B9%CE%B5%CF%84%CE%AC" title="Φραγκίσκος Βιετά">Φραγκίσκο Βιετά</a>.<a href="#cite_note-4">[4]</a> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Πολυωνυμική_συνάρτηση">Πολυωνυμική συνάρτηση</h2>[<a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&veaction=edit&section=2" title="Επεξεργασία ενότητας: Πολυωνυμική συνάρτηση" class="mw-editsection-visualeditor">Επεξεργασία</a> | <a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&action=edit&section=2" title="Επεξεργαστείτε τον πηγαίο κώδικα της ενότητας: Πολυωνυμική συνάρτηση">επεξεργασία κώδικα</a>]</div> Μία πολυωνυμική συνάρτηση είναι μία συνάρτηση που προσδιορίζεται από ένα πολυώνυμο. Μερικές φορές, ο όρος πολυώνυμο αφορά τα πολυώνυμα που είναι αναλυτικά γραμμένα ως το άθροισμα (ή την διαφορά) των όρων περιλαμβάνοντας μόνο πολλαπλασιασμούς και δυνάμεις με μη μηδενικούς ακέραιους εκθέτες. Σε αυτήν την περίπτωση, τα άλλα πολυώνυμα ονομάζονται πολυωνυμικές εκφράσεις. Για παράδειγμα, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x-y)^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mi>y</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x-y)^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ef892b476a2605a8484308d31d9677f32670168" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.189ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (x-y)^{2}}"> είναι μία μαθηματική παράσταση που αντιπροσωπεύει το ίδιο πράγμα με το πολυώνυμο <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{2}-2xy+y^{2}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi>x</mi> <mi>y</mi> <mo>+</mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{2}-2xy+y^{2}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c80adf9a512e10860499fec1b01750047df063c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.574ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle x^{2}-2xy+y^{2}.}"> Ο όρος "πολυώνυμο", σαν ουσιαστικό, μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για ποσότητες που μπορούν να εκφραστούν ως πολυώνυμα κάποιων παραμέτρων, όπως στον <a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%89%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%B9%CE%BA%CF%8C%CF%82_%CF%87%CF%81%CF%8C%CE%BD%CE%BF%CF%82&action=edit&redlink=1" class="new" title="Πολυωνυμικός χρόνος (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">πολυωνυμικό χρόνο</a>, που χρησιμοποιείται στην <a href="/wiki/%CE%98%CE%B5%CF%89%CF%81%CE%AF%CE%B1_%CF%80%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%80%CE%BB%CE%BF%CE%BA%CF%8C%CF%84%CE%B7%CF%84%CE%B1%CF%82" title="Θεωρία πολυπλοκότητας">θεωρία πολυπλοκότητας</a>. Τα πολυώνυμα εμφανίζονται σε πολλούς τομείς των μαθηματικών και της επιστήμης. Για παράδειγμα, με πολυωνυμικές εξισώσεις μπορούν να εκφραστούν αρκετά προβλήματα από την <a href="/wiki/%CE%A7%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%AF%CE%B1" title="Χημεία">χημεία</a> και <a href="/wiki/%CE%A6%CF%85%CF%83%CE%B9%CE%BA%CE%AE" title="Φυσική">φυσική</a> ως τα <a href="/wiki/%CE%9F%CE%B9%CE%BA%CE%BF%CE%BD%CE%BF%CE%BC%CE%B9%CE%BA%CE%AC" title="Οικονομικά">οικονομικά</a> και την <a href="/wiki/%CE%9A%CE%BF%CE%B9%CE%BD%CF%89%CE%BD%CE%B9%CE%BF%CE%BB%CE%BF%CE%B3%CE%AF%CE%B1" title="Κοινωνιολογία">κοινωνιολογία</a>. Επίσης στην <a href="/wiki/%CE%9C%CE%B1%CE%B8%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AE_%CE%B1%CE%BD%CE%AC%CE%BB%CF%85%CF%83%CE%B7" title="Μαθηματική ανάλυση">μαθηματική ανάλυση</a> και την <a href="/wiki/%CE%91%CF%81%CE%B9%CE%B8%CE%BC%CE%B7%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AE_%CE%B1%CE%BD%CE%AC%CE%BB%CF%85%CF%83%CE%B7" title="Αριθμητική ανάλυση">αριθμητική ανάλυση</a> τα πολυώνυμα χρησιμοπιούνται για την προσέγγιση άλλων συναρτήσεων. Στα ανώτερα μαθηματικά, τα πολυώνυμα χρησιμοποιούνται για την κατασκευή <a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%89%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%B9%CE%BA%CF%8C%CF%82_%CE%B4%CE%B1%CE%BA%CF%84%CF%8D%CE%BB%CE%B9%CE%BF%CF%82&action=edit&redlink=1" class="new" title="Πολυωνυμικός δακτύλιος (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">πολυωνυμικών δακτυλίων</a>, μία βασική διαδικασία στην <a href="/wiki/%CE%86%CE%BB%CE%B3%CE%B5%CE%B2%CF%81%CE%B1" title="Άλγεβρα">άλγεβρα</a> και την <a href="/wiki/%CE%91%CE%BB%CE%B3%CE%B5%CE%B2%CF%81%CE%B9%CE%BA%CE%AE_%CE%B3%CE%B5%CF%89%CE%BC%CE%B5%CF%84%CF%81%CE%AF%CE%B1" title="Αλγεβρική γεωμετρία">αλγεβρική γεωμετρία</a>. Αυτοί οι πολυωνυμικοί δακτύλιοι με την σειρά τους βρίσκουν εφαρμογές στην <a href="/wiki/%CE%9A%CF%81%CF%85%CF%80%CF%84%CE%BF%CE%B3%CF%81%CE%B1%CF%86%CE%AF%CE%B1" title="Κρυπτογραφία">κρυπτογραφία</a> και την <a href="/wiki/%CE%98%CE%B5%CF%89%CF%81%CE%AF%CE%B1_%CE%BA%CF%89%CE%B4%CE%B9%CE%BA%CE%BF%CF%80%CE%BF%CE%AF%CE%B7%CF%83%CE%B7%CF%82" title="Θεωρία κωδικοποίησης">θεωρία κωδικοποίησης</a>. <a href="/wiki/%CE%9C%CE%BF%CE%BD%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF" title="Μονώνυμο">Μονώνυμο</a> είναι το γινόμενο μιας σταθεράς με μια μεταβλητή υψωμένη σε οποιαδήποτε φυσική δύναμη, π.χ. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 3\cdot x^{5}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>3</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>5</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3\cdot x^{5}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c032f88a22cd1fa97c6dbbb35ebe023c945743b8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.225ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 3\cdot x^{5}}">. Η σταθερά ονομάζεται σταθερό μέρος ή συντελεστής, ενώ η υψωμένη μεταβλητή μεταβλητό μέρος. Ως μονώνυμο, επίσης, ορίζεται και οποιαδήποτε σταθερά. Πολυώνυμο είναι <a href="/wiki/%CE%86%CE%BB%CE%B3%CE%B5%CE%B2%CF%81%CE%B1" title="Άλγεβρα">αλγεβρική</a> <a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%B1%CF%81%CE%AC%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7_(%CE%BC%CE%B1%CE%B8%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AC)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Παράσταση (μαθηματικά) (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">παράσταση</a> <a href="/wiki/%CE%A3%CF%84%CE%B1%CE%B8%CE%B5%CF%81%CE%AC_(%CE%BC%CE%B1%CE%B8%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AC)" class="mw-redirect" title="Σταθερά (μαθηματικά)">σταθερών</a> και μιας <a href="/wiki/%CE%9C%CE%B5%CF%84%CE%B1%CE%B2%CE%BB%CE%B7%CF%84%CE%AE_(%CE%BC%CE%B1%CE%B8%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AC)" title="Μεταβλητή (μαθηματικά)">μεταβλητής</a> που συνδέονται μεταξύ τους μόνο με τις πράξεις της <a href="/wiki/%CE%A0%CF%81%CF%8C%CF%83%CE%B8%CE%B5%CF%83%CE%B7" title="Πρόσθεση">πρόσθεσης</a> και του <a href="/wiki/%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CE%BB%CE%B1%CF%80%CE%BB%CE%B1%CF%83%CE%B9%CE%B1%CF%83%CE%BC%CF%8C%CF%82" title="Πολλαπλασιασμός">πολλαπλασιασμού</a>, ενώ η μεταβλητή μπορεί να εμφανίζεται υψωμένη σε διάφορες <a href="/wiki/%CE%A6%CF%85%CF%83%CE%B9%CE%BA%CE%BF%CE%AF_%CE%B1%CF%81%CE%B9%CE%B8%CE%BC%CE%BF%CE%AF" class="mw-redirect" title="Φυσικοί αριθμοί">φυσικές</a> <a href="/wiki/%CE%94%CF%8D%CE%BD%CE%B1%CE%BC%CE%B7_(%CE%BC%CE%B1%CE%B8%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AC)" title="Δύναμη (μαθηματικά)">δυνάμεις</a>. Ουσιαστικά το πολυώνυμο είναι άθροισμα μονωνύμων της ίδιας μεταβλητής. Κάθε δύναμη εμφανίζεται μία φορά στο πολυώνυμο, δηλαδή στην τελική μορφή του αθροίσματος δεν εμφανίζονται δύο μονώνυμα με την ίδια δύναμη της μεταβλητής. Οι συντελεστές των μονωνύμων θεωρούνται και ως συντελεστές του πολυωνύμου. Συνήθως το πολυώνυμο της μεταβλητής <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> συμβολίζεται με <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(x)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89833156eff2c51bfb8750db3306a0544ce34e14" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.884ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P(x)}">. Οι συντελεστές συμβολίζονται με ένα γράμμα με δείκτη συνήθως τη δύναμη της μεταβλητής που συνοδεύει. Ο σταθερός όρος έχει συνήθως δείκτη μηδέν. Έτσι, η γενική μορφή του πολυωνύμου είναι: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(x)=a^{n}\cdot x^{n}+a^{n-1}\cdot x^{n-1}+\ldots +a_{k}\cdot x^{k}+\ldots +a_{1}\cdot x^{1}+a_{0}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>⋅</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>⋅</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo>…</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo>…</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(x)=a^{n}\cdot x^{n}+a^{n-1}\cdot x^{n-1}+\ldots +a_{k}\cdot x^{k}+\ldots +a_{1}\cdot x^{1}+a_{0}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b4e26a6dffd025d83d6a4be544c63b39a5e60a8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:63.718ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle P(x)=a^{n}\cdot x^{n}+a^{n-1}\cdot x^{n-1}+\ldots +a_{k}\cdot x^{k}+\ldots +a_{1}\cdot x^{1}+a_{0}.}"></dd></dl> Σταθερό πολυώνυμο θεωρείται μια οποιαδήποτε σταθερά, ενώ αν η σταθερά είναι μηδέν, τότε το πολυώνυμο λέγεται μηδενικό πολυώνυμο. Το μηδενικό πολυώνυμο συμβολίζεται με <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {0} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn mathvariant="bold">0</mn> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {0} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62e8c650763635a93ddc69768c3c0c100afe985d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.337ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {0} }">, το οποίο είναι πάντα έντονα γραμμένο για να διακρίνεται από τον αριθμό μηδέν. <a href="/wiki/%CE%92%CE%B1%CE%B8%CE%BC%CF%8C%CF%82_%CF%80%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%89%CE%BD%CF%8D%CE%BC%CE%BF%CF%85" title="Βαθμός πολυωνύμου">Βαθμός του πολυωνύμου</a> ονομάζεται η μέγιστη δύναμη της μεταβλητής με μη μηδενικό συντελεστή. Σε σταθερό πολυώνυμο ορίζεται ως βαθμός του πολυωνύμου το μηδέν, ενώ σε μηδενικό πολυώνυμο δεν ορίζεται βαθμός. Ο βαθμός του πολυωνύμου <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(x)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89833156eff2c51bfb8750db3306a0544ce34e14" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.884ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P(x)}"> συμβολίζεται με <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {deg} P(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>deg</mi> <mo>⁡</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {deg} P(x)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eba11feb31fb03c8240fe29d6d7a27be01184600" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.759ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {deg} P(x)}">. Πλήρες πολυώνυμο ονομάζεται ένα στο οποίο <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{0}\neq 0,\ldots ,a_{n}\neq 0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>≠</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>≠</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{0}\neq 0,\ldots ,a_{n}\neq 0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/177884ff0a0287dc203b2c86702484fea7f6497c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.432ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a_{0}\neq 0,\ldots ,a_{n}\neq 0}">, διαφορετικά λέγεται ελλιπές. Για παράδειγμα, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(x)=2x^{3}+x^{2}+4x-2}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(x)=2x^{3}+x^{2}+4x-2}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/702627bfd6a3194a9755c77b01d85bb7652b1e2c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.089ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle P(x)=2x^{3}+x^{2}+4x-2}"> είναι πλήρες ενώ το <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(x)=2x^{3}+4x-2}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(x)=2x^{3}+4x-2}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63029149474a4111eb7b7c034d7ac459b5d763c0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.865ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle P(x)=2x^{3}+4x-2}"> είναι ελλιπές. Ορισμένες εξαιρέσεις στους παραπάνω ορισμούς οφείλονται στο γεγονός ότι το <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0^{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mn>0</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0^{0}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/106f0c4e1cbccbfcbb61001a8c17b8427c65366d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.217ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 0^{0}}"> δεν ορίζεται, αλλά οι ιδιότητες των πολυωνύμων θέλουμε να ισχύουν για όλους τους <a href="/wiki/%CE%A0%CF%81%CE%B1%CE%B3%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%BF%CF%8D%CF%82_%CE%B1%CF%81%CE%B9%CE%B8%CE%BC%CE%BF%CF%8D%CF%82" class="mw-redirect" title="Πραγματικούς αριθμούς">πραγματικούς αριθμούς</a>, ακόμα και για το μηδέν. Προσέξτε ότι στη γενική μορφή του πολυωνύμου ο τελευταίος όρος δεν είναι <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{0}x^{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{0}x^{0}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/191b7e459931c9d078ed628ccc8cc9e3224d8a27" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.668ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle a_{0}x^{0}}">, αλλά <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{0}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/693ad9f934775838bd72406b41ada4a59785d7ba" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.284ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{0}}">. Πραγματικό πολυώνυμο είναι ένα πολυώνυμο όπου όλοι οι συντελεστές είναι <a href="/wiki/%CE%A0%CF%81%CE%B1%CE%B3%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B9%CE%BA%CF%8C%CF%82_%CE%B1%CF%81%CE%B9%CE%B8%CE%BC%CF%8C%CF%82" title="Πραγματικός αριθμός">πραγματικοί αριθμοί</a>. Σε ένα πραγματικό πολυώνυμο οι μεταβλητές μπορεί να παίρνουν είτε πραγματικές είτε <a href="/wiki/%CE%9C%CE%B9%CE%B3%CE%B1%CE%B4%CE%B9%CE%BA%CF%8C%CF%82_%CE%B1%CF%81%CE%B9%CE%B8%CE%BC%CF%8C%CF%82" title="Μιγαδικός αριθμός">μιγαδικές τιμές</a>, αλλά μία πραγματική πολυωνυμική συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού τους πραγματικούς αριθμούς. Αντίστοιχα ένα ακέραιο πολυώνυμο έχει συντελεστές που είναι <a href="/wiki/%CE%91%CE%BA%CE%AD%CF%81%CE%B1%CE%B9%CE%BF%CF%82_%CE%B1%CF%81%CE%B9%CE%B8%CE%BC%CF%8C%CF%82" title="Ακέραιος αριθμός">ακέραιοι</a> και ένα μιγαδικό πολυώνυμο έχει συντελεστές που είναι μιγαδικοί. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Επισκόπηση">Επισκόπηση</h2>[<a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&veaction=edit&section=3" title="Επεξεργασία ενότητας: Επισκόπηση" class="mw-editsection-visualeditor">Επεξεργασία</a> | <a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&action=edit&section=3" title="Επεξεργαστείτε τον πηγαίο κώδικα της ενότητας: Επισκόπηση">επεξεργασία κώδικα</a>]</div> Ένα πολυώνυμο είτε θα είναι μηδενικό είτε θα γράφεται σαν το άθροισμα πεπερασμένου αριθμού μη μηδενικών όρων. κάθε όρος αποτελείται από μια σταθερά (που ονομάζεται <a href="/wiki/%CE%A3%CF%85%CE%BD%CF%84%CE%B5%CE%BB%CE%B5%CF%83%CF%84%CE%AE%CF%82" title="Συντελεστής">συντελεστής</a> του όρου) και ένα πεπερασμένο αριθμό μεταβλητών (οι οποίες αντιπροσωπεύονται από γράμματα), επίσης ονομάζονται άγνωστοι, υψωμένες σε όλες τις δυνάμεις αριθμών.<a href="#cite_note-5">[5]</a> ο εκθέτης μιας μεταβλητής σε έναν όρο ονομάζεται βαθμός της μεταβλητής; ο βαθμός του όρου είναι το άθροισμα των βαθμών των μεταβλητών του όρου, και ο βαθμός του πολυωνύμου είναι ο μεγαλύτερος βαθμός απ όλους τους όρους. Ο βαθμός μιας μεταβλητής χωρίς εκθέτη είναι ένα. Ένας όρος χωρίς μεταβλητές ονομάζεται <a href="/wiki/%CE%A3%CF%84%CE%B1%CE%B8%CE%B5%CF%81%CF%8C%CF%82_%CF%8C%CF%81%CE%BF%CF%82" title="Σταθερός όρος">σταθερός όρος</a>, η απλά σταθερά; ο βαθμός μιας (μη μηδενικής) σταθεράς είναι 0. Ο συντελεστής ενός όρου μπορεί να είναι κάθε αριθμός από ένα ορισμένο σύνολο. Αν αυτό είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών, μιλάμε για «πολυώνυμα πάνω απ τους πραγματικούς». Άλλα παρόμοια είδη πολυωνύμων είναι πολυώνυμα με ακέραιους συντελεστές, πολυώνυμα με μιγαδικούς συντελεστές, και πολυώνυμα που οι συντελεστές τους είναι ακέραιοι <a href="/w/index.php?title=Modulo&action=edit&redlink=1" class="new" title="Modulo (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">modulo</a> κάποιου <a href="/wiki/%CE%A0%CF%81%CF%8E%CF%84%CE%BF%CF%82_%CE%B1%CF%81%CE%B9%CE%B8%CE%BC%CF%8C%CF%82" title="Πρώτος αριθμός">πρώτου αριθμού</a> p. Στα περισσότερα παραδείγματα που θα δούμε οι συντελεστές είναι ακέραιοι. Για παράδειγμα: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -5x^{2}y\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> <mn>5</mn> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>y</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -5x^{2}y\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e753937de84738cefa173ce2f7a8b4e35a5d04f9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.897ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle -5x^{2}y\,}"></dd></dl> είναι ένας όρος. Ο συντελεστής του είναι <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -5}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> <mn>5</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -5}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffa50dcaacd32d77fb512af521f6066839464c82" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:2.971ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle -5}">, οι μεταβλητές είναι οι <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> και <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}">, ο βαθμός του <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> είναι <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/901fc910c19990d0dbaaefe4726ceb1a4e217a0f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2}">, ενώ ο βαθμός του <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}"> είναι ένα. Ο βαθμός του όρου είναι το άθροισμα των βαθμών των δύο μεταβλητών, έτσι έχουμε <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2+1=3}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>=</mo> <mn>3</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2+1=3}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdca0e15ed01800bb3f8a2c4725d8a1bd98429c1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:9.426ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 2+1=3}">. Το άθροισμα πολλών όρων μαζί μας δίνει ένα πολυώνυμο. Για παράδειγμα, το παρακάτω είναι ένα πολυώνυμο: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \underbrace {3x^{2}} _{1{\text{ος όρος}}}\quad \underbrace {-_{\,}5x} _{2{\text{ος όρος}}}\quad \underbrace {+_{\,}4} _{3{\text{ος όρος}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits"> <munder> <mrow> <mn>3</mn> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mo>⏟</mo> </munder> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>ος όρος</mtext> </mrow> </mrow> </munder> <mspace width="1em" /> <munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits"> <munder> <mrow> <msub> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mspace width="thinmathspace" /> </mrow> </msub> <mn>5</mn> <mi>x</mi> </mrow> <mo>⏟</mo> </munder> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>ος όρος</mtext> </mrow> </mrow> </munder> <mspace width="1em" /> <munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits"> <munder> <mrow> <msub> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mspace width="thinmathspace" /> </mrow> </msub> <mn>4</mn> </mrow> <mo>⏟</mo> </munder> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>ος όρος</mtext> </mrow> </mrow> </munder> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \underbrace {3x^{2}} _{1{\text{ος όρος}}}\quad \underbrace {-_{\,}5x} _{2{\text{ος όρος}}}\quad \underbrace {+_{\,}4} _{3{\text{ος όρος}}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/355c68754f14e30e9530638097dfbadae1979ebe" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.005ex; margin-right: -0.069ex; width:22.843ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle \underbrace {3x^{2}} _{1{\text{ος όρος}}}\quad \underbrace {-_{\,}5x} _{2{\text{ος όρος}}}\quad \underbrace {+_{\,}4} _{3{\text{ος όρος}}}}">.</dd></dl> Αποτελείται από τρεις όρους: ο πρώτος είναι βαθμού 2, ο δεύτερος έχει βαθμό 1, και ο τρίτος είναι μηδενικού βαθμού. Η <a href="/wiki/%CE%91%CE%BD%CF%84%CE%B9%CE%BC%CE%B5%CF%84%CE%B1%CE%B8%CE%B5%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AE_%CE%B9%CE%B4%CE%B9%CF%8C%CF%84%CE%B7%CF%84%CE%B1" title="Αντιμεταθετική ιδιότητα">αντιμεταθετική ιδιότητα</a> της πρόσθεσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να βάλουμε τους όρους στην κατάλληλη σειρά. Σε πολυώνυμα μιας μεταβλητής, οι όροι συνήθως τοποθετούνται ανάλογα με τον βαθμό, είτε «μειώνοντας τις δυνάμεις του <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}">», με τον όρο με τη μεγαλύτερη δύναμη πρώτο, είτε «αυξάνοντας τις δυνάμεις του <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}">». Το πολυώνυμο στο προηγούμενο παράδειγμα είναι γραμμένο μειώνοντας τις δυνάμεις του <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}">. Ο πρώτος όρος έχει συντελεστή 3, μεταβλητή <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}">, και εκθέτη 2. Στον δεύτερο όρο, ο συντελεστής είναι –5. Ο τρίτος όρος είναι σταθερά. Αφού o βαθμός ενός μη μηδενικού πολυωνύμου είναι ο μεγαλύτερος απ του βαθμούς των όρων, αυτό το πολυώνυμο έχει βαθμό 2. Δύο όροι με την ίδια μεταβλητή υψωμένοι στην ίδια δύναμη ονομάζονται όμοιοι όροι, και μπορούν να συνδυαστούν, χρησιμοποιώντας την <a href="/wiki/%CE%95%CF%80%CE%B9%CE%BC%CE%B5%CF%81%CE%B9%CF%83%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AE_%CE%B9%CE%B4%CE%B9%CF%8C%CF%84%CE%B7%CF%84%CE%B1" title="Επιμεριστική ιδιότητα">επιμεριστική ιδιότητα</a>, σε έναν όρο του οποίου οι συντελεστές είναι το άθροισμα των συντελεστών των όρων που συνδυάστηκαν. Αυτό μπορεί να κάνει τον συντελεστή 0. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Εναλλακτικές_μορφές">Εναλλακτικές μορφές</h3>[<a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&veaction=edit&section=4" title="Επεξεργασία ενότητας: Εναλλακτικές μορφές" class="mw-editsection-visualeditor">Επεξεργασία</a> | <a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&action=edit&section=4" title="Επεξεργαστείτε τον πηγαίο κώδικα της ενότητας: Εναλλακτικές μορφές">επεξεργασία κώδικα</a>]</div> Γενικά κάθε παράσταση μπορεί να θεωρηθεί πολυώνυμο αν αποτελείται από μεταβλητές και σταθερές χρησιμοποιώντας μόνο <a href="/wiki/%CE%A0%CF%81%CF%8C%CF%83%CE%B8%CE%B5%CF%83%CE%B7" title="Πρόσθεση">πρόσθεση</a>, <a href="/wiki/%CE%91%CF%86%CE%B1%CE%AF%CF%81%CE%B5%CF%83%CE%B7" title="Αφαίρεση">αφαίρεση</a>, <a href="/wiki/%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CE%BB%CE%B1%CF%80%CE%BB%CE%B1%CF%83%CE%B9%CE%B1%CF%83%CE%BC%CF%8C%CF%82" title="Πολλαπλασιασμός">πολλαπλασιασμό</a>, και δυνάμεις αριθμών. Έτσι ώστε να μπορεί να γραφεί σαν άθροισμα όρων. Για παράδειγμα, (x + 1)3 είναι ένα πολυώνυμο; με κανονική μορφή is x3 + 3x2 + 3x + 1. Ωστόσο, σε κάποιες περιπτώσεις, χρειάζεται μία πιο ακριβείς ορολογία για να μην υπάρχουν παρανοήσεις. Σε μια τέτοια περίπτωση, μπορούμε να πούμε: (x + 1)3 είναι μια πολυωνυμική παράσταση που μπορεί να επεκταθεί ή να ξαναγραφεί στο πολυώνυμο x3 + 3x2 + 3x + 1. Παρ όλες τις διαφορές σαν εκφράσεις, είναι ίσες στον <a href="/wiki/%CE%94%CE%B1%CE%BA%CF%84%CF%8D%CE%BB%CE%B9%CE%BF%CF%82_(%CE%AC%CE%BB%CE%B3%CE%B5%CE%B2%CF%81%CE%B1)" title="Δακτύλιος (άλγεβρα)">δακτύλιο</a> των πολυωνύμων με άγνωστο x και ακέραιους συντελεστές. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Πράξεις_με_πολυώνυμα">Πράξεις με πολυώνυμα</h2>[<a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&veaction=edit&section=5" title="Επεξεργασία ενότητας: Πράξεις με πολυώνυμα" class="mw-editsection-visualeditor">Επεξεργασία</a> | <a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&action=edit&section=5" title="Επεξεργαστείτε τον πηγαίο κώδικα της ενότητας: Πράξεις με πολυώνυμα">επεξεργασία κώδικα</a>]</div> Μία πολυωνυμική συνάρτηση είναι μία πράξη η οποία μπορεί να προσδιοριστεί αξιολογώντας ένα πολυώνυμο. Μία συνάρτηση ƒ μιας μεταβλητής καλείται πολυωνυμική πράξη εάν ικανοποιεί <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c874579fb2ec935af90c97c7c3d82e373556dc5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:49.588ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\,}"></dd></dl> για όλες τις παραμέτρους x, όπου n ένας μη αρνητικός ακέραιος και a0, a1,a2, ..., an είναι σταθεροί συντελεστές. Για παράδειγμα, η συνάρτηση ƒ, η οποία αντιστοιχεί πραγματικούς σε πραγματικούς, ορίζεται από <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=x^{3}-x\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mi>x</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=x^{3}-x\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0feca4e633b08c4800ae3f6fe81736e3715fe11e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.457ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f(x)=x^{3}-x\,}"></dd></dl> είναι μία πολυωνυμική συνάρτηση μιας μεταβλητής. Πολυωνυμικές συναρτήσεις περισσότερων μεταβλητών μπορούν επίσης να προσδιοριστούν, χρησιμοποιώντας πολυώνυμα περισσότερων μεταβλητών, όπως <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x,y)=2x^{3}+4x^{2}y+xy^{5}+y^{2}-7}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>y</mi> <mo>+</mo> <mi>x</mi> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>5</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>7</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x,y)=2x^{3}+4x^{2}y+xy^{5}+y^{2}-7}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a81c47ce01d7c412943029803e0c1dd029b9f360" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:36.237ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f(x,y)=2x^{3}+4x^{2}y+xy^{5}+y^{2}-7}">.</dd></dl> Ένα παράδειγμα είναι επίσης <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=\cos(2\arccos(x))}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mi>arccos</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=\cos(2\arccos(x))}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/215fa38393108511742697930c899fb350ab4d99" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.343ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)=\cos(2\arccos(x))}"> η οποία, παρ'όλο που δεν μοιάζει με πολυώνυμο, είναι μια πολυωνυμική συνάρτηση αφού για κάθε x ισχύει <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=2x^{2}-1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=2x^{2}-1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85e3fbd860d887140d48ba1d39664d3008fcc87f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.065ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f(x)=2x^{2}-1}"> (δείτε <a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%B1_Chebyshev&action=edit&redlink=1" class="new" title="Πολυώνυμα Chebyshev (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">πολυώνυμα Chebyshev</a>). Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις είναι μία κατηγορία συναρτήσεων που έχουν πολλές σημαντικές ιδιότητες. Είναι όλες <a href="/wiki/%CE%A3%CF%85%CE%BD%CE%AD%CF%87%CE%B5%CE%B9%CE%B1_%CF%83%CF%85%CE%BD%CE%AC%CF%81%CF%84%CE%B7%CF%83%CE%B7%CF%82" title="Συνέχεια συνάρτησης">συνεχείς</a>, ομαλές, πλήρεις, <a href="/wiki/%CE%A5%CF%80%CE%BF%CE%BB%CE%BF%CE%B3%CE%AF%CF%83%CE%B9%CE%BC%CE%B7_%CF%83%CF%85%CE%BD%CE%AC%CF%81%CF%84%CE%B7%CF%83%CE%B7" title="Υπολογίσιμη συνάρτηση">υπολογίσιμες</a>, κτλ. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Πρόσθεση_πολυωνύμων">Πρόσθεση πολυωνύμων</h3>[<a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&veaction=edit&section=6" title="Επεξεργασία ενότητας: Πρόσθεση πολυωνύμων" class="mw-editsection-visualeditor">Επεξεργασία</a> | <a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&action=edit&section=6" title="Επεξεργαστείτε τον πηγαίο κώδικα της ενότητας: Πρόσθεση πολυωνύμων">επεξεργασία κώδικα</a>]</div> Τα πολυώνυμα μπορούν να προστεθούν χρησιμοποιώντας την <a href="/wiki/%CE%A0%CF%81%CE%BF%CF%83%CE%B5%CF%84%CE%B1%CE%B9%CF%81%CE%B9%CF%83%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AE_%CE%B9%CE%B4%CE%B9%CF%8C%CF%84%CE%B7%CF%84%CE%B1" title="Προσεταιριστική ιδιότητα">προσεταιριστική ιδιότητα</a> της πρόσθεσης (βάζοντας όλους τους όρους τους μαζί σε ένα κοινό άθροισμα), ανακατατάσσοντας τους όρους, και συνδυάζοντας τους όμοιους. Για παράδειγμα, αν <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(x,y)=3x^{2}-2x+5xy-2}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>3</mn> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>5</mn> <mi>x</mi> <mi>y</mi> <mo>−</mo> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(x,y)=3x^{2}-2x+5xy-2}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28fc0442f9e00332b0af356af8da435a4178b12a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.542ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle P(x,y)=3x^{2}-2x+5xy-2}">,</dd> <dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q(x,y)=-3x^{2}+3x+4y^{2}+8}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mn>3</mn> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>8</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q(x,y)=-3x^{2}+3x+4y^{2}+8}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2279701e687f4eb6867bffe0c80b9cb5a52c209a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:31.173ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle Q(x,y)=-3x^{2}+3x+4y^{2}+8}">,</dd></dl> τότε <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (P+Q)(x,y)=3x^{2}-2x+5xy-2-3x^{2}+3x+4y^{2}+8}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mo>+</mo> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>3</mn> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>5</mn> <mi>x</mi> <mi>y</mi> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mo>−</mo> <mn>3</mn> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>8</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (P+Q)(x,y)=3x^{2}-2x+5xy-2-3x^{2}+3x+4y^{2}+8}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ffdd7bd84cf804543b6819ca6fb979957daf2b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:57.97ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (P+Q)(x,y)=3x^{2}-2x+5xy-2-3x^{2}+3x+4y^{2}+8}">,</dd></dl> που μπορεί να απλοποιηθεί στο <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (P+Q)(x,y)=x+5xy+4y^{2}+6}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mo>+</mo> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>5</mn> <mi>x</mi> <mi>y</mi> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>6</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (P+Q)(x,y)=x+5xy+4y^{2}+6}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1ab9c0edecdc0561224bf476b2d8511ca7dcbce" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:34.698ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (P+Q)(x,y)=x+5xy+4y^{2}+6}">.</dd></dl> Για πολυώνυμα μίας μεταβλητής <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f695568eae8df4a96e805d6032b59758030c61d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:15.884ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}}"> και <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q(x)=\sum _{i=0}^{n}b_{i}x^{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q(x)=\sum _{i=0}^{n}b_{i}x^{i}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0d9576f6b9ed58e97e9c36e838401d4d8a31dce" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:15.744ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle Q(x)=\sum _{i=0}^{n}b_{i}x^{i}}">, το άθροισμά τους είναι το πολυώνυμο <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R(x)=\sum _{i=0}^{n}c_{i}x^{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R(x)=\sum _{i=0}^{n}c_{i}x^{i}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95af1fb2a66cdec92920df4416f8fdd54d06c567" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:15.679ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle R(x)=\sum _{i=0}^{n}c_{i}x^{i}}"> με συντελεστές <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{i}=a_{i}+b_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{i}=a_{i}+b_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77c1392307c776a9197bd63ce0b4fdbbf667895f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.572ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle c_{i}=a_{i}+b_{i}}"> για κάθε <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i=0,1,\ldots ,n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i=0,1,\ldots ,n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a803474800982840b06511d8086736a29816c641" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.833ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle i=0,1,\ldots ,n}">. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Πολλαπλασιασμός_πολυωνύμων">Πολλαπλασιασμός πολυωνύμων</h3>[<a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&veaction=edit&section=7" title="Επεξεργασία ενότητας: Πολλαπλασιασμός πολυωνύμων" class="mw-editsection-visualeditor">Επεξεργασία</a> | <a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&action=edit&section=7" title="Επεξεργαστείτε τον πηγαίο κώδικα της ενότητας: Πολλαπλασιασμός πολυωνύμων">επεξεργασία κώδικα</a>]</div> Για να υπολογίσουμε το γινόμενο δύο πολυωνύμων, εφαρμόζουμε επανειλημμένα την επιμεριστική ιδιότητα, τα αποτελέσματα της οποίας σε κάθε όρο ενός πολυωνύμου πολλαπλασιάζονται με κάθε όρο του άλλου. Για παράδειγμα, αν <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\color {BrickRed}P(x,y){=}2x+3y+5}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle mathcolor="#B6321C"> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>=</mo> </mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <mi>y</mi> <mo>+</mo> <mn>5</mn> </mstyle> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\color {BrickRed}P(x,y){=}2x+3y+5}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e4ac00ee3dd128e74601cccb8737764e2261957" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.535ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\color {BrickRed}P(x,y){=}2x+3y+5}}"></dd> <dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\color {RoyalBlue}Q(x,y){=}2x+5y+xy+1},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle mathcolor="#0071BC"> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>=</mo> </mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>5</mn> <mi>y</mi> <mo>+</mo> <mi>x</mi> <mi>y</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\color {RoyalBlue}Q(x,y){=}2x+5y+xy+1},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bba6422e3d29c6fcc3c77f7269bd1c08ad3b17e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.601ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\color {RoyalBlue}Q(x,y){=}2x+5y+xy+1},}"></dd></dl> τότε <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{array}{rccrcrcrcr}({\color {BrickRed}P}{\color {RoyalBlue}Q})(x,y)&{=}&&({\color {BrickRed}2x}\cdot {\color {RoyalBlue}2x})&+&({\color {BrickRed}2x}\cdot {\color {RoyalBlue}5y})&+&({\color {BrickRed}2x}\cdot {\color {RoyalBlue}xy})&+&({\color {BrickRed}2x}\cdot {\color {RoyalBlue}1})\\&&+&({\color {BrickRed}3y}\cdot {\color {RoyalBlue}2x})&+&({\color {BrickRed}3y}\cdot {\color {RoyalBlue}5y})&+&({\color {BrickRed}3y}\cdot {\color {RoyalBlue}xy})&+&({\color {BrickRed}3y}\cdot {\color {RoyalBlue}1})\\&&+&({\color {BrickRed}5}\cdot {\color {RoyalBlue}2x})&+&({\color {BrickRed}5}\cdot {\color {RoyalBlue}5y})&+&({\color {BrickRed}5}\cdot {\color {RoyalBlue}xy})&+&({\color {BrickRed}5}\cdot {\color {RoyalBlue}1})\end{array}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right center center right center right center right center right" rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle mathcolor="#B6321C"> <mi>P</mi> </mstyle> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle mathcolor="#0071BC"> <mi>Q</mi> </mstyle> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>=</mo> </mrow> </mtd> <mtd /> <mtd> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle mathcolor="#B6321C"> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle mathcolor="#0071BC"> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mo>+</mo> </mtd> <mtd> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle mathcolor="#B6321C"> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle mathcolor="#0071BC"> <mn>5</mn> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mo>+</mo> </mtd> <mtd> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle mathcolor="#B6321C"> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle mathcolor="#0071BC"> <mi>x</mi> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mo>+</mo> </mtd> <mtd> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle mathcolor="#B6321C"> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle mathcolor="#0071BC"> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd /> <mtd> <mo>+</mo> </mtd> <mtd> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle mathcolor="#B6321C"> <mn>3</mn> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle mathcolor="#0071BC"> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mo>+</mo> </mtd> <mtd> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle mathcolor="#B6321C"> <mn>3</mn> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle mathcolor="#0071BC"> <mn>5</mn> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mo>+</mo> </mtd> <mtd> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle mathcolor="#B6321C"> <mn>3</mn> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle mathcolor="#0071BC"> <mi>x</mi> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mo>+</mo> </mtd> <mtd> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle mathcolor="#B6321C"> <mn>3</mn> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle mathcolor="#0071BC"> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd /> <mtd> <mo>+</mo> </mtd> <mtd> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle mathcolor="#B6321C"> <mn>5</mn> </mstyle> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle mathcolor="#0071BC"> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mo>+</mo> </mtd> <mtd> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle mathcolor="#B6321C"> <mn>5</mn> </mstyle> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle mathcolor="#0071BC"> <mn>5</mn> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mo>+</mo> </mtd> <mtd> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle mathcolor="#B6321C"> <mn>5</mn> </mstyle> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle mathcolor="#0071BC"> <mi>x</mi> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mo>+</mo> </mtd> <mtd> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle mathcolor="#B6321C"> <mn>5</mn> </mstyle> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle mathcolor="#0071BC"> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{array}{rccrcrcrcr}({\color {BrickRed}P}{\color {RoyalBlue}Q})(x,y)&{=}&&({\color {BrickRed}2x}\cdot {\color {RoyalBlue}2x})&+&({\color {BrickRed}2x}\cdot {\color {RoyalBlue}5y})&+&({\color {BrickRed}2x}\cdot {\color {RoyalBlue}xy})&+&({\color {BrickRed}2x}\cdot {\color {RoyalBlue}1})\\&&+&({\color {BrickRed}3y}\cdot {\color {RoyalBlue}2x})&+&({\color {BrickRed}3y}\cdot {\color {RoyalBlue}5y})&+&({\color {BrickRed}3y}\cdot {\color {RoyalBlue}xy})&+&({\color {BrickRed}3y}\cdot {\color {RoyalBlue}1})\\&&+&({\color {BrickRed}5}\cdot {\color {RoyalBlue}2x})&+&({\color {BrickRed}5}\cdot {\color {RoyalBlue}5y})&+&({\color {BrickRed}5}\cdot {\color {RoyalBlue}xy})&+&({\color {BrickRed}5}\cdot {\color {RoyalBlue}1})\end{array}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ccf42e36cb130d0324ae42f9492058d1bf6c108" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.338ex; width:73.797ex; height:9.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{array}{rccrcrcrcr}({\color {BrickRed}P}{\color {RoyalBlue}Q})(x,y)&{=}&&({\color {BrickRed}2x}\cdot {\color {RoyalBlue}2x})&+&({\color {BrickRed}2x}\cdot {\color {RoyalBlue}5y})&+&({\color {BrickRed}2x}\cdot {\color {RoyalBlue}xy})&+&({\color {BrickRed}2x}\cdot {\color {RoyalBlue}1})\\&&+&({\color {BrickRed}3y}\cdot {\color {RoyalBlue}2x})&+&({\color {BrickRed}3y}\cdot {\color {RoyalBlue}5y})&+&({\color {BrickRed}3y}\cdot {\color {RoyalBlue}xy})&+&({\color {BrickRed}3y}\cdot {\color {RoyalBlue}1})\\&&+&({\color {BrickRed}5}\cdot {\color {RoyalBlue}2x})&+&({\color {BrickRed}5}\cdot {\color {RoyalBlue}5y})&+&({\color {BrickRed}5}\cdot {\color {RoyalBlue}xy})&+&({\color {BrickRed}5}\cdot {\color {RoyalBlue}1})\end{array}}}"></dd></dl> που μπορεί να απλοποιηθεί στο <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (PQ)(x,y)=4x^{2}+21xy+2x^{2}y+12x+15y^{2}+3xy^{2}+28y+5}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>4</mn> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>21</mn> <mi>x</mi> <mi>y</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>y</mi> <mo>+</mo> <mn>12</mn> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>15</mn> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <mi>x</mi> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>28</mn> <mi>y</mi> <mo>+</mo> <mn>5</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (PQ)(x,y)=4x^{2}+21xy+2x^{2}y+12x+15y^{2}+3xy^{2}+28y+5}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b05d031e39568fdd54350b3a18d89e4e1202c4c8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:64.305ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (PQ)(x,y)=4x^{2}+21xy+2x^{2}y+12x+15y^{2}+3xy^{2}+28y+5}">.</dd></dl> Για πολυώνυμα μίας μεταβλητής <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f695568eae8df4a96e805d6032b59758030c61d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:15.884ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}}"> και <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q(x)=\sum _{i=0}^{n}b_{i}x^{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q(x)=\sum _{i=0}^{n}b_{i}x^{i}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0d9576f6b9ed58e97e9c36e838401d4d8a31dce" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:15.744ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle Q(x)=\sum _{i=0}^{n}b_{i}x^{i}}">, το γινόμενό τους είναι το πολυώνυμο <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R(x)=\sum _{i=0}^{n}c_{i}x^{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R(x)=\sum _{i=0}^{n}c_{i}x^{i}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95af1fb2a66cdec92920df4416f8fdd54d06c567" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:15.679ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle R(x)=\sum _{i=0}^{n}c_{i}x^{i}}"> με συντελεστές <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{i}=a_{0}b_{i}+a_{1}b_{i-1}+\ldots +a_{i-1}b_{1}+a_{i}b_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mo>…</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{i}=a_{0}b_{i}+a_{1}b_{i-1}+\ldots +a_{i-1}b_{1}+a_{i}b_{0}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dd229e16e3d4f1c66f0b2e13356a160a3ba405d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:39.516ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle c_{i}=a_{0}b_{i}+a_{1}b_{i-1}+\ldots +a_{i-1}b_{1}+a_{i}b_{0}}"> για κάθε <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i=0,1,\ldots ,n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i=0,1,\ldots ,n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a803474800982840b06511d8086736a29816c641" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.833ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle i=0,1,\ldots ,n}">. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Διαίρεση_πολυωνύμων">Διαίρεση πολυωνύμων</h3>[<a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&veaction=edit&section=8" title="Επεξεργασία ενότητας: Διαίρεση πολυωνύμων" class="mw-editsection-visualeditor">Επεξεργασία</a> | <a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&action=edit&section=8" title="Επεξεργαστείτε τον πηγαίο κώδικα της ενότητας: Διαίρεση πολυωνύμων">επεξεργασία κώδικα</a>]</div> Για τους ακεραίους, υπάρχουν δύο είδη διαιρέσεων για τα πολυώνυμα. Η <a href="/w/index.php?title=%CE%95%CF%85%CE%BA%CE%BB%CE%B5%CE%AF%CE%B4%CE%B5%CE%B9%CE%B1_%CE%B4%CE%B9%CE%B1%CE%AF%CF%81%CE%B5%CF%83%CE%B7_%CF%80%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%89%CE%BD%CF%8D%CE%BC%CF%89%CE%BD&action=edit&redlink=1" class="new" title="Ευκλείδεια διαίρεση πολυωνύμων (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">Ευκλείδεια διαίρεση πολυωνύμων</a> η οποία είναι γενίκευση της Ευκλείδειας διαίρεσης ακεραίων. Από αυτήν προκύπτουν δύο πολυώνυμα, ένα πηλίκο και ένα υπόλοιπο που έχουν την παρακάτω χαρακτηριστική ιδιότητα των πολυωνύμων: δοθέντων δύο πολυωνύμων a και b έτσι ώστε b ≠ 0, υπάρχει μοναδικό ζευγάρι πολυωνύμων, q, το πηλίκο, και r, το υπόλοιπο, έτσι ώστε a = b q + r και ο βαθμός <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {deg} (r)<\operatorname {deg} (b)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>deg</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo><</mo> <mi>deg</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {deg} (r)<\operatorname {deg} (b)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d02e0a33125d4d7308d1b52fd666acb609f4b0c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.738ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {deg} (r)<\operatorname {deg} (b)}"> (το μηδενικό πολυώνυμο θεωρείται ότι έχει αρνητικό βαθμό). Είτε με το χέρι είτε με υπολογιστή, αυτή η διαίρεση μπορεί να γίνει σύμφωνα με τον αλγόριθμο της <a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%89%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%B9%CE%BA%CE%AE%CF%82_%CE%B4%CE%B9%CE%B1%CE%AF%CF%81%CE%B5%CF%83%CE%B7%CF%82&action=edit&redlink=1" class="new" title="Πολυωνυμικής διαίρεσης (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">πολυωνυμικής διαίρεσης</a>.<a href="#cite_note-6">[6]</a> Μία μορφή πηλίκου πολυωνύμων είναι το <a href="/w/index.php?title=%CE%91%CE%BB%CE%B3%CE%B5%CE%B2%CF%81%CE%B9%CE%BA%CF%8C_%CE%BA%CE%BB%CE%AC%CF%83%CE%BC%CE%B1&action=edit&redlink=1" class="new" title="Αλγεβρικό κλάσμα (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">αλγεβρικό κλάσμα</a>, όπου ο αριθμητής και ο παρονομαστής είναι πολυώνυμα, ονομάζεται «<a href="/wiki/%CE%A1%CE%B7%CF%84%CE%AE_%CF%83%CF%85%CE%BD%CE%AC%CF%81%CF%84%CE%B7%CF%83%CE%B7" title="Ρητή συνάρτηση">ρητή συνάρτηση</a>» η «ρητό κλάσμα» και δεν είναι, γενικά, πολυώνυμο. Η διαίρεση πολυωνύμου με αριθμό, ωστόσο, δίνει ένα άλλο πολυώνυμο. Για παράδειγμα, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{3}/12}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>12</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{3}/12}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e50b75ef338fa56754741350bf3e828e2fd8628" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.871ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle x^{3}/12}"> είναι ένας κανονικό όρος πολυωνύμου (και ένα πολυώνυμο μόνο του) επειδή είναι ισοδύναμο με το <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {1}{12}}\cdot x^{3}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>12</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>⋅</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {1}{12}}\cdot x^{3}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b1b1f46363e75115228bda9c2a10b6f4b61bbff" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:6.543ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {1}{12}}\cdot x^{3}}"> και το <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {1}{12}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>12</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {1}{12}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/421fdcb29205f9b03bdbda76332610e37742d54b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:2.48ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {1}{12}}}"> είναι απλά μια σταθερά. Όταν αυτή η παράσταση χρησιμοποιείται σαν όρος, ο συντελεστής της είναι <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {1}{12}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>12</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {1}{12}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/421fdcb29205f9b03bdbda76332610e37742d54b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:2.48ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {1}{12}}}">. Για παρόμοιους λόγους, αν υπάρχουν μιγαδικοί συντελεστές, μπορεί να υπάρχει όρος (2 + 3i) x3; παρ όλο που φαίνεται ότι μπορεί να χωριστεί σε δύο όρους, ο μιγαδικός αριθμός 2 + 3i είναι ένα μιγαδικός αριθμός, και είναι ο συντελεστής αυτούς του όρου. Η παράσταση 1/(x2 + 1) δεν είναι πολυώνυμο επειδή περιέχει διαίρεση με ένα μη πολυώνυμο. Η παράσταση (5 + y)x δεν είναι πολυώνυμο, επειδή χρησιμοποιεί μία μεταβλητή σαν εκθέτη. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Αφαίρεση_πολυωνύμων">Αφαίρεση πολυωνύμων</h3>[<a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&veaction=edit&section=9" title="Επεξεργασία ενότητας: Αφαίρεση πολυωνύμων" class="mw-editsection-visualeditor">Επεξεργασία</a> | <a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&action=edit&section=9" title="Επεξεργαστείτε τον πηγαίο κώδικα της ενότητας: Αφαίρεση πολυωνύμων">επεξεργασία κώδικα</a>]</div> Αφού η αφαίρεση μπορεί να αντικατασταθεί με την πρόσθεση της αντίθετης ποσότητας, και οι εκθέτες μπορούν να αντικατασταθούν από επαναλαμβανόμενους πολλαπλασιασμούς, όλα τα πολυώνυμα μπορούν να κατασκευαστούν με σταθερές και μεταβλητές χρησιμοποιώντας μόνο πρόσθεση και πολλαπλασιασμό. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Σύνθεση_πολυωνύμων">Σύνθεση πολυωνύμων</h3>[<a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&veaction=edit&section=10" title="Επεξεργασία ενότητας: Σύνθεση πολυωνύμων" class="mw-editsection-visualeditor">Επεξεργασία</a> | <a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&action=edit&section=10" title="Επεξεργαστείτε τον πηγαίο κώδικα της ενότητας: Σύνθεση πολυωνύμων">επεξεργασία κώδικα</a>]</div> Η <a href="/wiki/%CE%A3%CF%8D%CE%BD%CE%B8%CE%B5%CF%83%CE%B7_%CF%83%CF%85%CE%BD%CE%AC%CF%81%CF%84%CE%B7%CF%83%CE%B7%CF%82" title="Σύνθεση συνάρτησης">σύνθεση</a> δύο πολυωνύμων μίας μεταβλητής είναι ένα πολυώνυμο μίας μεταβλητής. Για παράδειγμα, η σύνθεση των πολυωνύμων <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(x)=x^{2}+4x+3}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>3</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(x)=x^{2}+4x+3}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7d588f2660a36c43774edcff4250ca7b8702e31" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.702ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle P(x)=x^{2}+4x+3}">, και</dd> <dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q(x)=x^{3}+1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q(x)=x^{3}+1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1387dd3c3ce730d685cce16fc57a00d15c829c1a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.463ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle Q(x)=x^{3}+1}">,</dd></dl> δίνει το πολυώνυμο <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (P\circ Q)(x)=(x^{3}+1)^{2}+4\cdot (x^{3}+1)+3=(x^{6}+2x^{3}+1)+4x^{3}+4+3=x^{6}+4x^{3}+8}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mo>∘</mo> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>6</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>6</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>8</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (P\circ Q)(x)=(x^{3}+1)^{2}+4\cdot (x^{3}+1)+3=(x^{6}+2x^{3}+1)+4x^{3}+4+3=x^{6}+4x^{3}+8}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7794f54a55babcb52a85009c9f6bc8a11c39c34" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:88.902ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (P\circ Q)(x)=(x^{3}+1)^{2}+4\cdot (x^{3}+1)+3=(x^{6}+2x^{3}+1)+4x^{3}+4+3=x^{6}+4x^{3}+8}">.</dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Παράγωγος_πολυωνύμου">Παράγωγος πολυωνύμου</h3>[<a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&veaction=edit&section=11" title="Επεξεργασία ενότητας: Παράγωγος πολυωνύμου" class="mw-editsection-visualeditor">Επεξεργασία</a> | <a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&action=edit&section=11" title="Επεξεργαστείτε τον πηγαίο κώδικα της ενότητας: Παράγωγος πολυωνύμου">επεξεργασία κώδικα</a>]</div> Η <a href="/wiki/%CE%A0%CE%B1%CF%81%CE%AC%CE%B3%CF%89%CE%B3%CE%BF%CF%82" title="Παράγωγος">παράγωγος</a> ενός πολυωνύμου <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo>…</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9defbfd539a8a50cb7e6f9699dd91761ff350448" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:42.159ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}}">,</dd></dl> είναι το πολυώνυμο <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P'(x)=n\cdot a_{n}x^{n-1}+(n-1)\cdot a_{n-1}x^{n-2}+\ldots +2a_{2}x+a_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>P</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>n</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo>…</mo> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P'(x)=n\cdot a_{n}x^{n-1}+(n-1)\cdot a_{n-1}x^{n-2}+\ldots +2a_{2}x+a_{1}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/475547835c6309e622de09d212a79cf5d06b1d63" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:58.143ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle P'(x)=n\cdot a_{n}x^{n-1}+(n-1)\cdot a_{n-1}x^{n-2}+\ldots +2a_{2}x+a_{1}}">.</dd></dl> Αν ο δακτύλιος των συντελεστών δεν περιέχει τους ακεραίους (για παράδειγμα αν οι συντελεστές είναι ακέραιοι modulo κάποιου <a href="/wiki/%CE%A0%CF%81%CF%8E%CF%84%CE%BF%CF%82_%CE%B1%CF%81%CE%B9%CE%B8%CE%BC%CF%8C%CF%82" title="Πρώτος αριθμός">πρώτου αριθμού</a> p), τότε kak πρέπει να ερμηνευθεί ως το άθροισμα του ak με τον εαυτό του, k φορές. Για παράδειγμα, πάνω απ τους ακεραίους modulo p, η παράγωγος ενός πολυωνύμου xp+1 είναι το πολυώνυμο 0. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Παράγουσα_πολυωνύμου">Παράγουσα πολυωνύμου</h3>[<a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&veaction=edit&section=12" title="Επεξεργασία ενότητας: Παράγουσα πολυωνύμου" class="mw-editsection-visualeditor">Επεξεργασία</a> | <a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&action=edit&section=12" title="Επεξεργαστείτε τον πηγαίο κώδικα της ενότητας: Παράγουσα πολυωνύμου">επεξεργασία κώδικα</a>]</div> Η <a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%B1%CF%81%CE%AC%CE%B3%CE%BF%CF%85%CF%83%CE%B1&action=edit&redlink=1" class="new" title="Παράγουσα (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">παράγουσα</a> του πολυωνύμου <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo>…</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9defbfd539a8a50cb7e6f9699dd91761ff350448" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:42.159ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}}">,</dd></dl> είναι το πολυώνυμο <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q_{c}(x)={\frac {a_{n}}{n+1}}x^{n+1}+{\frac {a_{n-1}}{n}}x^{n}+\ldots +{\frac {a_{1}}{2}}x^{2}+a_{0}x+c}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>Q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>n</mi> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo>…</mo> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q_{c}(x)={\frac {a_{n}}{n+1}}x^{n+1}+{\frac {a_{n-1}}{n}}x^{n}+\ldots +{\frac {a_{1}}{2}}x^{2}+a_{0}x+c}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/015d7aa6d0f1da73910af63bcd28a015b57c074e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:54.885ex; height:5.009ex;" alt="{\displaystyle Q_{c}(x)={\frac {a_{n}}{n+1}}x^{n+1}+{\frac {a_{n-1}}{n}}x^{n}+\ldots +{\frac {a_{1}}{2}}x^{2}+a_{0}x+c}">,</dd></dl> όπου c είναι μία αυθαίρετη σταθερά. Τα πολυώνυμα στους ακεραίους, δεν έχουνε αναγκαστικά παράγουσα. Για παράδειγμα, το πολυώνυμο x2+1 δεν έχει παράγουσα στους ακεραίους. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Πολυωνυμικές_εξισώσεις">Πολυωνυμικές εξισώσεις</h3>[<a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&veaction=edit&section=13" title="Επεξεργασία ενότητας: Πολυωνυμικές εξισώσεις" class="mw-editsection-visualeditor">Επεξεργασία</a> | <a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&action=edit&section=13" title="Επεξεργαστείτε τον πηγαίο κώδικα της ενότητας: Πολυωνυμικές εξισώσεις">επεξεργασία κώδικα</a>]</div> <div class="hatnote noprint">Κύριο λήμμα: <a href="/w/index.php?title=%CE%91%CE%BB%CE%B3%CE%B5%CE%B2%CF%81%CE%B9%CE%BA%CE%AE_%CE%B5%CE%BE%CE%AF%CF%83%CF%89%CF%83%CE%B7&action=edit&redlink=1" class="new" title="Αλγεβρική εξίσωση (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">Αλγεβρική εξίσωση</a></div> Μία πολυωνυμική εξίσωση, καλείται επίσης <a href="/w/index.php?title=%CE%91%CE%BB%CE%B3%CE%B5%CE%B2%CF%81%CE%B9%CE%BA%CE%AE_%CE%B5%CE%BE%CE%AF%CF%83%CF%89%CF%83%CE%B7&action=edit&redlink=1" class="new" title="Αλγεβρική εξίσωση (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">αλγεβρική εξίσωση</a>, είναι μία <a href="/wiki/%CE%95%CE%BE%CE%AF%CF%83%CF%89%CF%83%CE%B7" title="Εξίσωση">εξίσωση</a> στην οποία ένα πολυώνυμο τίθεται ίσο με ένα άλλο πολυώνυμο. Για παράδειγμα, <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 3x^{2}+4x-5=0\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>3</mn> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mn>5</mn> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3x^{2}+4x-5=0\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41b6778ffddf43d9fe4b562f82ad1f63f7529263" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:17.53ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 3x^{2}+4x-5=0\,}"></dd></dl> είναι μία πολυωνυμική εξίσωση. Στην περίπτωση πολυωνυμικής εξίσωσης μίας μεταβλητής, η μεταβλητή θεωρείται ως άγνωστη, και προσπαθούμε να βρούμε τις πιθανές τιμές για τις οποίες και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης είναι ίσα για την ίδια τιμή (γενικά μπορεί να υπάρχουν περισσότερες από μία λύσεις). Μία πολυωνυμική εξίσωση έρχεται σε αντίθεση με μία πολυωνυμική ταυτότητα όπως (x + y)(x – y) = x2 – y2, όπου και τα δύο μέλη αντιπροσωπεύουν το ίδιο πολυώνυμο σε διαφορετικές μορφές, και σαν συνέπεια για κάθε τιμή των μεταβλητών <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> και <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}">, τα δύο μέλη είναι ίσα. Αυτό σημαίνει ότι μια πολυωνυμική ταυτότητα είναι μία πολυωνυμική εξίσωση για την οποία όλες οι πιθανές τιμές των αγνώστων είναι λύσεις. Στην απλή <a href="/wiki/%CE%86%CE%BB%CE%B3%CE%B5%CE%B2%CF%81%CE%B1" title="Άλγεβρα">άλγεβρα</a>, δίνονται μέθοδοι για την λύση όλων των πρωτοβάθμιων και δευτεροβάθμιων πολυωνυμικών εξισώσεων μιας μεταβλητής. Υπάρχουν επίσης μέθοδοι για τριτοβάθμια και τεταρτοβάθμια. Για μεγαλύτερης τάξης, το <a href="/w/index.php?title=%CE%98%CE%B5%CF%8E%CF%81%CE%B7%CE%BC%CE%B1_Abel-Ruffini&action=edit&redlink=1" class="new" title="Θεώρημα Abel-Ruffini (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">θεώρημα Abel-Ruffini</a> βεβαιώνει ότι δεν μπορεί να υπάρξει μία γενική μέθοδος. Ωστόσο, μόνο η <a href="/w/index.php?title=%CE%91%CF%81%CE%B9%CE%B8%CE%BC%CE%B7%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AE_%CF%80%CF%81%CE%BF%CF%83%CE%AD%CE%B3%CE%B3%CE%B9%CF%83%CE%B7&action=edit&redlink=1" class="new" title="Αριθμητική προσέγγιση (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">αριθμητική προσέγγιση</a> των ριζών μπορεί να υπολογιστεί (δες <a href="/w/index.php?title=%CE%91%CE%BB%CE%B3%CF%8C%CF%81%CE%B9%CE%B8%CE%BC%CE%BF%CF%82_%CE%B5%CF%8D%CF%81%CE%B5%CF%83%CE%B7%CF%82_%CF%81%CE%B9%CE%B6%CF%8E%CE%BD&action=edit&redlink=1" class="new" title="Αλγόριθμος εύρεσης ριζών (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">αλγόριθμος εύρεσης ριζών</a>). Ο αριθμός των λύσεων μπορεί να μην υπερβαίνει τον βαθμό του πολυωνύμου, και είναι ίσος με τον βαθμό όταν οι μιγαδικές ρίζες υπολογίζονται με την δική τους πολλαπλότητα. Αυτό το γεγονός ονομάζεται <a href="/w/index.php?title=%CE%98%CE%B5%CE%BC%CE%B5%CE%BB%CE%B9%CF%8E%CE%B4%CE%B5%CF%82_%CE%B8%CE%B5%CF%8E%CF%81%CE%B7%CE%BC%CE%B1_%CF%84%CE%B7%CF%82_%CE%86%CE%BB%CE%B3%CE%B5%CE%B2%CF%81%CE%B1%CF%82&action=edit&redlink=1" class="new" title="Θεμελιώδες θεώρημα της Άλγεβρας (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">θεμελιώδες θεώρημα της Άλγεβρας</a>. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Παραγοντοποίηση_πολυωνύμων">Παραγοντοποίηση πολυωνύμων</h3>[<a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&veaction=edit&section=14" title="Επεξεργασία ενότητας: Παραγοντοποίηση πολυωνύμων" class="mw-editsection-visualeditor">Επεξεργασία</a> | <a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&action=edit&section=14" title="Επεξεργαστείτε τον πηγαίο κώδικα της ενότητας: Παραγοντοποίηση πολυωνύμων">επεξεργασία κώδικα</a>]</div> Όλα τα πολυώνυμα έχουν μία εκτεταμένη μορφή, στην οποία η επιμεριστική και <a href="/wiki/%CE%A0%CF%81%CE%BF%CF%83%CE%B5%CF%84%CE%B1%CE%B9%CF%81%CE%B9%CF%83%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AE_%CE%B9%CE%B4%CE%B9%CF%8C%CF%84%CE%B7%CF%84%CE%B1" title="Προσεταιριστική ιδιότητα">προσεταιριστική ιδιότητα</a> χρησιμοποιούνται για να διώξουμε όλα τα κενά και η <a href="/wiki/%CE%91%CE%BD%CF%84%CE%B9%CE%BC%CE%B5%CF%84%CE%B1%CE%B8%CE%B5%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AE_%CE%B9%CE%B4%CE%B9%CF%8C%CF%84%CE%B7%CF%84%CE%B1" title="Αντιμεταθετική ιδιότητα">αντιμεταθετική ιδιότητα</a> χρησιμοποιείται για να φτιάξει τις κατάλληλες συνθήκες για τα επόμενα και να τα συνδυάσει. όλα τα πολυώνυμα με συντελεστές σε μία <a href="/w/index.php?title=%CE%9C%CE%BF%CE%BD%CE%B1%CE%B4%CE%B9%CE%BA%CE%AE_%CF%80%CE%B1%CF%81%CE%B1%CE%B3%CE%BF%CE%BD%CF%84%CE%BF%CF%80%CE%BF%CE%B9%CE%AE%CF%83%CE%B9%CE%BC%CE%B7_%CE%BA%CE%B1%CF%84%CE%B7%CE%B3%CE%BF%CF%81%CE%AF%CE%B1&action=edit&redlink=1" class="new" title="Μοναδική παραγοντοποιήσιμη κατηγορία (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">μοναδική παραγοντοποιήσιμη κατηγορία</a> (για παράδειγμα, οι ακέραιοι η ένα <a href="/wiki/%CE%A3%CF%8E%CE%BC%CE%B1_(%CE%AC%CE%BB%CE%B3%CE%B5%CE%B2%CF%81%CE%B1)" title="Σώμα (άλγεβρα)">σώμα</a>) επίσης έχουν παραγοντοποιημένη μορφή στην οποία το πολυώνυμο είναι γραμμένο ως το παράγωγο ενός αμείωτου πολυώνυμου και μιας σταθεράς. Στην περίπτωση των μιγαδικών αριθμών, τα αμείωτα πολυώνυμα είναι γραμμικά. Για παράδειγμα, η παραγοντοποιημένη μορφή του <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 5x^{3}-5}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>5</mn> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>5</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 5x^{3}-5}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db4d1e50aa4cca56c80a7d53c8af5b2fc7140557" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.549ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 5x^{3}-5}"></dd></dl> είναι <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 5(x-1)(x^{2}+x+1),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>5</mn> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 5(x-1)(x^{2}+x+1),}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b80dd23644aea33edf2f5d65f3d47163ef08ed3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.317ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle 5(x-1)(x^{2}+x+1),}"></dd></dl> πάνω απ τους ακεραίους και <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 5(x-1)\left(x+{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{2}}\right)\left(x+{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{2}}\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>5</mn> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>3</mn> </msqrt> </mrow> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>i</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>3</mn> </msqrt> </mrow> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 5(x-1)\left(x+{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{2}}\right)\left(x+{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{2}}\right)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/286cd27fa6537dfce68f8621ff6cebb373994446" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:41.741ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle 5(x-1)\left(x+{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{2}}\right)\left(x+{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{2}}\right)}"></dd></dl> πάνω απ τους μιγαδικούς. Η παραγοντοποιημένη μορφή ενός μη μηδενικού πολυωνύμου μιας μεταβλητής προσδιορίζεται μοναδικά και έχει την μορφή <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e90604c4b13e7695572308d60f7ecc889484108c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:42.332ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0},}"></dd></dl> όπου <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{n}\neq 0.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>≠</mo> <mn>0.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{n}\neq 0.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1589e14cd20fbed8c70e5fe04372af1969ddfe7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.356ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a_{n}\neq 0.}"> Αυτη η μορφή μερικές φορές θεωρείται ο ορισμός του πολυωνύμου μιας μεταβλητής. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Τιμή_πολυωνύμου">Τιμή πολυωνύμου</h3>[<a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&veaction=edit&section=15" title="Επεξεργασία ενότητας: Τιμή πολυωνύμου" class="mw-editsection-visualeditor">Επεξεργασία</a> | <a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&action=edit&section=15" title="Επεξεργαστείτε τον πηγαίο κώδικα της ενότητας: Τιμή πολυωνύμου">επεξεργασία κώδικα</a>]</div> Η τιμή ενός πολυωνύμου προϋποθέτει την ανάθεση τιμής σε κάθε μεταβλητή και έπειτα την διεξαγωγή πολλαπλασιασμών και προσθέσεων. Για πολυώνυμα μιας μεταβλητής, η εκτίμηση είναι πιο αποτελεσματική χρησιμοποιώντας το <a href="/w/index.php?title=%CE%A3%CF%87%CE%AE%CE%BC%CE%B1_Horner&action=edit&redlink=1" class="new" title="Σχήμα Horner (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">σχήμα Horner</a>: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (((\dotsb ((a_{n}x+a_{n-1})x+a_{n-2})x+\dotsb +a_{3})x+a_{2})x+a_{1})x+a_{0}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>⋯</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (((\dotsb ((a_{n}x+a_{n-1})x+a_{n-2})x+\dotsb +a_{3})x+a_{2})x+a_{1})x+a_{0}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccfdd7ba61e5b29ea8abb6c0759d20cec60cef41" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:64.07ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (((\dotsb ((a_{n}x+a_{n-1})x+a_{n-2})x+\dotsb +a_{3})x+a_{2})x+a_{1})x+a_{0}.}"></dd></dl> Η εκτίμηση πολυωνύμων μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του υπολοίπου της <a href="/w/index.php?title=Euclidean_division_of_polynomials&action=edit&redlink=1" class="new" title="Euclidean division of polynomials (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">πολυωνυμικής διαίρεσης</a> μέσω πολυωνύμων βαθμού ένα, αφού το υπόλοιπο της διαίρεσης του f(x) by (x-a) είναι f(a); δείτε <a href="/w/index.php?title=%CE%98%CE%B5%CF%8E%CF%81%CE%B7%CE%BC%CE%B1_%CE%B3%CE%B9%CE%B1_%CF%80%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%89%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%B9%CE%BA%CE%AC_%CF%85%CF%80%CF%8C%CE%BB%CE%BF%CE%B9%CF%80%CE%B1&action=edit&redlink=1" class="new" title="Θεώρημα για πολυωνυμικά υπόλοιπα (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">Θεώρημα για πολυωνυμικά υπόλοιπα</a>. Αυτό είναι πιο αποτελεσματικό απ τον συνηθισμένο αλγόριθμο της διαίρεσης όταν το πηλίκο δεν χρειάζεται. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Εύρεση_πολυωνυμικών_ριζών">Εύρεση πολυωνυμικών ριζών</h3>[<a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&veaction=edit&section=16" title="Επεξεργασία ενότητας: Εύρεση πολυωνυμικών ριζών" class="mw-editsection-visualeditor">Επεξεργασία</a> | <a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&action=edit&section=16" title="Επεξεργαστείτε τον πηγαίο κώδικα της ενότητας: Εύρεση πολυωνυμικών ριζών">επεξεργασία κώδικα</a>]</div> Στην απλή <a href="/wiki/%CE%86%CE%BB%CE%B3%CE%B5%CE%B2%CF%81%CE%B1" title="Άλγεβρα">άλγεβρα</a>, δίνονται μέθοδοι για την λύση όλων των πρωτοβάθμιων και δευτεροβάθμιων πολυωνυμικών εξισώσεων μιας μεταβλητής. Υπάρχουν επίσης μέθοδοι για τριτοβάθμια και τεταρτοβάθμια. Για μεγαλύτερης τάξης, το <a href="/w/index.php?title=%CE%98%CE%B5%CF%8E%CF%81%CE%B7%CE%BC%CE%B1_Abel-Ruffini&action=edit&redlink=1" class="new" title="Θεώρημα Abel-Ruffini (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">θεώρημα Abel-Ruffini</a> βεβαιώνει ότι δεν μπορεί να υπάρξει μία γενική μέθοδος. Ωστόσο, μόνο η <a href="/w/index.php?title=%CE%91%CF%81%CE%B9%CE%B8%CE%BC%CE%B7%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AE_%CF%80%CF%81%CE%BF%CF%83%CE%AD%CE%B3%CE%B3%CE%B9%CF%83%CE%B7&action=edit&redlink=1" class="new" title="Αριθμητική προσέγγιση (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">αριθμητική προσέγγιση</a> των ριζών μπορεί να υπολογιστεί (δες <a href="/w/index.php?title=%CE%91%CE%BB%CE%B3%CF%8C%CF%81%CE%B9%CE%B8%CE%BC%CE%BF%CF%82_%CE%B5%CF%8D%CF%81%CE%B5%CF%83%CE%B7%CF%82_%CF%81%CE%B9%CE%B6%CF%8E%CE%BD&action=edit&redlink=1" class="new" title="Αλγόριθμος εύρεσης ριζών (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">αλγόριθμος εύρεσης ριζών</a>). Ο αριθμός των λύσεων μπορεί να μην υπερβαίνει τον βαθμό του πολυωνύμου, και είναι ίσος με τον βαθμό όταν οι μιγαδικές ρίζες υπολογίζονται με την δική τους πολλαπλότητα. Αυτό το γεγονός ονομάζεται <a href="/w/index.php?title=%CE%98%CE%B5%CE%BC%CE%B5%CE%BB%CE%B9%CF%8E%CE%B4%CE%B5%CF%82_%CE%B8%CE%B5%CF%8E%CF%81%CE%B7%CE%BC%CE%B1_%CF%84%CE%B7%CF%82_%CE%86%CE%BB%CE%B3%CE%B5%CE%B2%CF%81%CE%B1%CF%82&action=edit&redlink=1" class="new" title="Θεμελιώδες θεώρημα της Άλγεβρας (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">θεμελιώδες θεώρημα της Άλγεβρας</a>. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Σύστημα_πολυωνυμικών_εξισώσεων">Σύστημα πολυωνυμικών εξισώσεων</h3>[<a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&veaction=edit&section=17" title="Επεξεργασία ενότητας: Σύστημα πολυωνυμικών εξισώσεων" class="mw-editsection-visualeditor">Επεξεργασία</a> | <a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&action=edit&section=17" title="Επεξεργαστείτε τον πηγαίο κώδικα της ενότητας: Σύστημα πολυωνυμικών εξισώσεων">επεξεργασία κώδικα</a>]</div> Ένα <a href="/w/index.php?title=%CE%A3%CF%8D%CF%83%CF%84%CE%B7%CE%BC%CE%B1_%CF%80%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%89%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%B9%CE%BA%CF%8E%CE%BD_%CE%B5%CE%BE%CE%B9%CF%83%CF%8E%CF%83%CE%B5%CF%89%CE%BD&action=edit&redlink=1" class="new" title="Σύστημα πολυωνυμικών εξισώσεων (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">σύστημα πολυωνυμικών εξισώσεων</a> είναι ένα σύνολο εξισώσεων στις οποίες κάθε μεταβλητή παίρνει την ίδια την ίδια τιμή κάθε φορά που εμφανίζεται σε οποιαδήποτε απ τις εξισώσεις. <a href="/wiki/%CE%93%CF%81%CE%B1%CE%BC%CE%BC%CE%B9%CE%BA%CE%AE_%CE%AC%CE%BB%CE%B3%CE%B5%CE%B2%CF%81%CE%B1" title="Γραμμική άλγεβρα">Γραμμική άλγεβρα</a> είναι, βασικά, η μελέτη της μεθόδου λύσης ενός <a href="/w/index.php?title=%CE%A3%CF%85%CF%83%CF%84%CE%AE%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%BF%CF%82_%CE%B3%CF%81%CE%B1%CE%BC%CE%BC%CE%B9%CE%BA%CF%8E%CE%BD_%CE%B5%CE%BE%CE%B9%CF%83%CF%8E%CF%83%CE%B5%CF%89%CE%BD&action=edit&redlink=1" class="new" title="Συστήματος γραμμικών εξισώσεων (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">συστήματος γραμμικών εξισώσεων</a> με πολλούς αγνώστους. Αν υπάρχουν περισσότεροι άγνωστοι απ τις εξισώσεις, το σύστημα καλείται αδύνατο. Αν υπάρχουν περισσότερες εξισώσεις από τους αγνώστους, το σύστημα καλείται αόριστο. Τα αόριστα συστήματα είναι κοινά σε πρακτικές εφαρμογές. Για παράδειγμα, για μια χαρτογράφηση των Η.Π.Α. χρησιμοποιούνται υπολογιστές για την λύση 2,5 εκατομμυρίων εξισώσεων με 400.000 αγνώστους.<a href="#cite_note-7">[7]</a> Η <a href="/w/index.php?title=%CE%9C%CE%AD%CE%B8%CE%BF%CE%B4%CE%BF%CF%82_%CE%92%CE%B9%CE%AD%CF%84&action=edit&redlink=1" class="new" title="Μέθοδος Βιέτ (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">μέθοδος Βιέτ</a> σχετίζει τους συντελεστές ενός πολυωνύμου με <a href="/wiki/%CE%A3%CF%85%CE%BC%CE%BC%CE%B5%CF%84%CF%81%CE%B9%CE%BA%CE%AC_%CF%80%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%B1" class="mw-redirect" title="Συμμετρικά πολυώνυμα">συμμετρικά πολυώνυμα</a> συνάρτηση των ριζών του. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Στοιχειώδεις_ιδιότητες_πολυωνύμων">Στοιχειώδεις ιδιότητες πολυωνύμων</h2>[<a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&veaction=edit&section=18" title="Επεξεργασία ενότητας: Στοιχειώδεις ιδιότητες πολυωνύμων" class="mw-editsection-visualeditor">Επεξεργασία</a> | <a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&action=edit&section=18" title="Επεξεργαστείτε τον πηγαίο κώδικα της ενότητας: Στοιχειώδεις ιδιότητες πολυωνύμων">επεξεργασία κώδικα</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Πρόσθεση">Πρόσθεση</h3>[<a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&veaction=edit&section=19" title="Επεξεργασία ενότητας: Πρόσθεση" class="mw-editsection-visualeditor">Επεξεργασία</a> | <a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&action=edit&section=19" title="Επεξεργαστείτε τον πηγαίο κώδικα της ενότητας: Πρόσθεση">επεξεργασία κώδικα</a>]</div> Ο κάθε συντελεστής του νέου πολυωνύμου είναι το άθροισμα των συντελεστών των αντίστοιχων δυνάμεων της μεταβλητής. Αν η αντίστοιχη δύναμη σε ένα πολυώνυμο δεν υπάρχει ο συντελεστής μπορεί να θεωρηθεί ως μηδέν. Παράδειγμα:<div style="text-align: center;"> (2x3 -3x2) + (3x2 +4x) = (2x3 -3x2 +0x) + (0x3 +3x2 +4x) = (2x3 + 0x3) + (-3x2 +3x2) + (0x +4x) = 2x3 +0x2 +4x = 2x3 +4x </div> Αν ένας συντελεστής του αποτελέσματος είναι μηδέν τότε η αντίστοιχη δύναμη δεν αναγράφεται στο άθροισμα. Έτσι, ο βαθμός του πολυωνύμου αποτελέσματος είναι ίσος με το βαθμό του πολυωνύμου με το μεγαλύτερο βαθμό. Αν οι βαθμοί είναι ίσοι τότε ο βαθμός του αποτελέσματος μπορεί να είναι ίσος ή μικρότερος ή να μην ορίζεται. Η αφαίρεση μπορεί να γίνει με την πρόσθεση του πολυωνύμου με αντίθετους συντελεστές. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Διαίρεση">Διαίρεση</h3>[<a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&veaction=edit&section=20" title="Επεξεργασία ενότητας: Διαίρεση" class="mw-editsection-visualeditor">Επεξεργασία</a> | <a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&action=edit&section=20" title="Επεξεργαστείτε τον πηγαίο κώδικα της ενότητας: Διαίρεση">επεξεργασία κώδικα</a>]</div> Στη διαίρεση των πολυωνύμων Q(x) διά P(x) το πρόβλημα είναι να βρεθούν δύο άλλων πολυωνύμων q(x) και υ(x), ώστε Q(x)=P(x)q(x)+υ(x), με degυ(x)<degP(x). Αποδεικνύεται ότι τα δύο αυτά πολυώνυμα είναι μοναδικά σε κάθε διαίρεση. Το πολυώνυμο q(x) ονομάζεται πηλίκο, ενώ το πολυώνυμο υ(x) ονομάζεται υπόλοιπο. Αν υ(x)=0, τότε το πολυώνυμο P(x) ονομάζεται παράγοντας του Q(x) και η διαίρεση τέλεια. Ισχύει ότι degq(x)=degQ(x)-degP(x), αν ορίζονται βαθμοί στα δύο αρχικά πολυώνυμα. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Ισότητα_δύο_πολυωνύμων">Ισότητα δύο πολυωνύμων</h2>[<a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&veaction=edit&section=21" title="Επεξεργασία ενότητας: Ισότητα δύο πολυωνύμων" class="mw-editsection-visualeditor">Επεξεργασία</a> | <a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&action=edit&section=21" title="Επεξεργαστείτε τον πηγαίο κώδικα της ενότητας: Ισότητα δύο πολυωνύμων">επεξεργασία κώδικα</a>]</div> Δύο πολυώνυμα είναι ίσα μεταξύ τους αν και μόνο αν έχουν τον ίδιο βαθμό και κάθε συντελεστής του ενός πολυωνύμου που αντιστοιχεί στη δύναμη α ισούται με το συντελεστή του άλλου πολυωνύμου που αντιστοιχεί επίσης στη δύναμη α. Πιο αυστηρά, ισχύει: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(x)=Q(x)\Leftrightarrow {\begin{cases}\operatorname {deg} (P)=\operatorname {deg} (Q)\\a_{n}=b_{n},a_{n-1}=b_{n-1},\ldots ,a_{1}=b_{1},a_{0}=b_{0}\end{cases}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">⇔</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>{</mo> <mtable columnalign="left left" rowspacing=".2em" columnspacing="1em" displaystyle="false"> <mtr> <mtd> <mi>deg</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>deg</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> <mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"></mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(x)=Q(x)\Leftrightarrow {\begin{cases}\operatorname {deg} (P)=\operatorname {deg} (Q)\\a_{n}=b_{n},a_{n-1}=b_{n-1},\ldots ,a_{1}=b_{1},a_{0}=b_{0}\end{cases}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7421bc6dadc02e2cc489be2c7695263dfc095c80" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:60.91ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle P(x)=Q(x)\Leftrightarrow {\begin{cases}\operatorname {deg} (P)=\operatorname {deg} (Q)\\a_{n}=b_{n},a_{n-1}=b_{n-1},\ldots ,a_{1}=b_{1},a_{0}=b_{0}\end{cases}}}"> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Πολυωνυμική_συνάρτηση_2">Πολυωνυμική συνάρτηση</h2>[<a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&veaction=edit&section=22" title="Επεξεργασία ενότητας: Πολυωνυμική συνάρτηση" class="mw-editsection-visualeditor">Επεξεργασία</a> | <a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&action=edit&section=22" title="Επεξεργαστείτε τον πηγαίο κώδικα της ενότητας: Πολυωνυμική συνάρτηση">επεξεργασία κώδικα</a>]</div> Μια <a href="/wiki/%CE%A3%CF%85%CE%BD%CE%AC%CF%81%CF%84%CE%B7%CF%83%CE%B7" title="Συνάρτηση">συνάρτηση</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p:R\rightarrow R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> <mo>:</mo> <mi>R</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p:R\rightarrow R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7593a81c04f2dd0f86dbc025875c0e4088db7c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:10.338ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle p:R\rightarrow R}"> ονομάζεται πολυώνυμο ή πολυωνυμική συνάρτηση, αν υπάρχει πεπερασμένη <a href="/wiki/%CE%91%CE%BA%CE%BF%CE%BB%CE%BF%CF%85%CE%B8%CE%AF%CE%B1" title="Ακολουθία">ακολουθία</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a_{0},a_{1},...,a_{\nu })\in \mathbb {R} ^{\nu +1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ν</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∈</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ν</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a_{0},a_{1},...,a_{\nu })\in \mathbb {R} ^{\nu +1}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70bfd57463ed7e852beb3cc1587461ff62e0bfb3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.637ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (a_{0},a_{1},...,a_{\nu })\in \mathbb {R} ^{\nu +1}}"> τέτοια ώστε να ισχύει: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p(x)=a_{0}+\sum _{k=1}^{\nu }a_{k}x^{k}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ν</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p(x)=a_{0}+\sum _{k=1}^{\nu }a_{k}x^{k}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68fc268031931bf1f6fe1282e4032e8a5dd4270d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; margin-left: -0.089ex; width:21.1ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle p(x)=a_{0}+\sum _{k=1}^{\nu }a_{k}x^{k}}">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9c6d458566aec47a7259762034790c8981aefab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.848ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in \mathbb {R} }"></dd></dl> Η <a href="/wiki/%CE%A4%CE%B1%CF%85%CF%84%CF%8C%CF%84%CE%B7%CF%84%CE%B1_(%CE%BC%CE%B1%CE%B8%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AC)" title="Ταυτότητα (μαθηματικά)">ταυτότητα</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p(x)=a_{0}+\sum _{k=1}^{\nu }a_{k}x^{k}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ν</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p(x)=a_{0}+\sum _{k=1}^{\nu }a_{k}x^{k}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68fc268031931bf1f6fe1282e4032e8a5dd4270d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; margin-left: -0.089ex; width:21.1ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle p(x)=a_{0}+\sum _{k=1}^{\nu }a_{k}x^{k}}"> ονομάζεται αναπαράσταση του πολυωνύμου p και τα <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{0},a_{1},...,a_{\nu }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ν</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{0},a_{1},...,a_{\nu }}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6a37c76f728833d571bf6d3edf641bd784fcd0f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.105ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{0},a_{1},...,a_{\nu }}"> συντελεστές του πολυωνύμου. Η αναπαράσταση ενός πολυωνύμου είναι μοναδική. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Ανάπτυγμα_σειράς_Τέιλορ">Ανάπτυγμα σειράς Τέιλορ</h2>[<a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&veaction=edit&section=23" title="Επεξεργασία ενότητας: Ανάπτυγμα σειράς Τέιλορ" class="mw-editsection-visualeditor">Επεξεργασία</a> | <a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&action=edit&section=23" title="Επεξεργαστείτε τον πηγαίο κώδικα της ενότητας: Ανάπτυγμα σειράς Τέιλορ">επεξεργασία κώδικα</a>]</div> Έστω μία πραγματική συνάρτηση f πραγματικής μεταβλητής ορισμένη στους πραγματικούς αριθμούς η οποία είναι παραγωγίσιμη και κάθε <a href="/wiki/%CE%A0%CE%B1%CF%81%CE%AC%CE%B3%CF%89%CE%B3%CE%BF%CF%82" title="Παράγωγος">παράγωγός</a> της είναι παραγωγίσιμη. Αποδεικνύεται ότι για κάθε σημείο x0 του πεδίου ορισμού της ισχύει:<a href="#cite_note-8">[8]</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=f(x_{0})+{\frac {f^{1}(x_{0})}{1!}}(x-x_{0})+{\frac {f^{2}(x_{0})}{2!}}(x-x_{0})^{2}+...+{\frac {f^{\kappa }(x_{0})}{\kappa !}}(x-x_{0})^{\kappa }+...\\&=\sum _{\nu =0}^{\infty }{\frac {f^{\nu }(x_{0})}{\nu !}}(x-x_{0})^{\nu }\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>κ</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi>κ</mi> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>κ</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ν</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ν</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi>ν</mi> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ν</mi> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=f(x_{0})+{\frac {f^{1}(x_{0})}{1!}}(x-x_{0})+{\frac {f^{2}(x_{0})}{2!}}(x-x_{0})^{2}+...+{\frac {f^{\kappa }(x_{0})}{\kappa !}}(x-x_{0})^{\kappa }+...\\&=\sum _{\nu =0}^{\infty }{\frac {f^{\nu }(x_{0})}{\nu !}}(x-x_{0})^{\nu }\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e86c4c02a93f0374a6f8ce9767bea969a33f1ffb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:80.321ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=f(x_{0})+{\frac {f^{1}(x_{0})}{1!}}(x-x_{0})+{\frac {f^{2}(x_{0})}{2!}}(x-x_{0})^{2}+...+{\frac {f^{\kappa }(x_{0})}{\kappa !}}(x-x_{0})^{\kappa }+...\\&=\sum _{\nu =0}^{\infty }{\frac {f^{\nu }(x_{0})}{\nu !}}(x-x_{0})^{\nu }\end{aligned}}}"> Όπου fν(x0) η νιοστή παράγωγος της f στο x0. Δηλαδή κάθε τέτοια συνάρτηση είναι πολυώνυμο άπειρων όρων. Επειδή ορίζονται δυνάμεις με <a href="/wiki/%CE%9C%CE%B9%CE%B3%CE%B1%CE%B4%CE%B9%CE%BA%CF%8C%CF%82_%CE%B1%CF%81%CE%B9%CE%B8%CE%BC%CF%8C%CF%82" title="Μιγαδικός αριθμός">μιγαδικές</a> βάσεις το ανάπτυγμα της <a href="/wiki/%CE%A3%CE%B5%CE%B9%CF%81%CE%AC_Taylor" class="mw-redirect" title="Σειρά Taylor">σειράς Τέιλορ</a> μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επέκταση των συναρτήσεων στους μιγαδικούς αριθμούς. Με βάση τη σειρά Τέιλορ μπορούμε να υπολογίσουμε προσεγγίσεις της συνάρτησης, ειδικά αν η τελευταία είναι περίπλοκη. Συνήθως στους υπολογιστές ή τη μηχανική και τη φυσική, ανάλογα με την επιθυμητή ακρίβεια, αποφασίζουμε τους μ πρώτους όρους της σειράς, ώστε να μπορούμε να υπολογίζουμε με πιο εύχρηστο τύπο προσεγγίσεις μιας συνάρτησης. Αν λαμβάνουμε υπόψιν μόνο τους δύο πρώτους όρους, τότε η διαδικασία ονομάζεται γραμμικοποίηση. Η ακρίβεια της προσέγγισης της σειράς εξαρτάται από την επιλογή του σημείου x0 και των μ πρώτων όρων που θα επιλέξουμε. Όσο πιο κοντά στο x0 και με όσους περισσότερους όρους υπολογίζουμε την προσέγγιση, τόσο καλύτερη είναι. Προφανώς, η ανάπτυξη της σειράς Τέιλορ, αν η f είναι πολυωνυμική, είναι η ίδια η f. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Ιστορία">Ιστορία</h2>[<a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&veaction=edit&section=24" title="Επεξεργασία ενότητας: Ιστορία" class="mw-editsection-visualeditor">Επεξεργασία</a> | <a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&action=edit&section=24" title="Επεξεργαστείτε τον πηγαίο κώδικα της ενότητας: Ιστορία">επεξεργασία κώδικα</a>]</div> Η εκτίμηση των ριζών των πολυωνύμων, ή η «λύση αλγεβρικών εξισώσεων», είναι ανάμεσα στα παλαιότερα προβλήματα των μαθηματικών.Ωστόσο,η σημειογραφία που χρησιμοποιούμε σήμερα καθιερώθηκε μόλις τον 15ο αιώνα. Πριν από αυτό, οι εξισώσεις γράφονταν με λέξεις. Για παράδειγμα, ένα αλγεβρικό πρόβλημα απ τους Κινέζους Η αριθμητική σε εννιά στάδια, περίπου στα 200 π.Χ, ξεκινάει «Τρία μέρη μιας καλής σοδειάς, δύο μέρη μιας μέτριας σοδειάς, και ένα μέρος μιας κακής σοδειάς πωλούνται για 29 dou.» Θα έπρεπε να γράψουμε 3x + 2y + z = 29. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Σημειογραφία">Σημειογραφία</h3>[<a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&veaction=edit&section=25" title="Επεξεργασία ενότητας: Σημειογραφία" class="mw-editsection-visualeditor">Επεξεργασία</a> | <a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&action=edit&section=25" title="Επεξεργαστείτε τον πηγαίο κώδικα της ενότητας: Σημειογραφία">επεξεργασία κώδικα</a>]</div> Η πιο πρόσφατη γνωστή χρήση του συμβόλου της εξίσωσης γίνεται στο βιβλίο του <a href="/wiki/Robert_Recorde" class="mw-redirect" title="Robert Recorde">Robert Recorde</a> <a href="/w/index.php?title=The_Whetstone_of_Witte&action=edit&redlink=1" class="new" title="The Whetstone of Witte (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">The Whetstone of Witte</a>,το 1557. Το σύμβολο + για την πρόσθεση, − για την αφαίρεση, και η χρήση ενός γράμματος για έναν άγνωστο εμφανίζεται στο βιβλίο του <a href="/w/index.php?title=Michael_Stifel&action=edit&redlink=1" class="new" title="Michael Stifel (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">Michael Stifel</a> Arithemetica integra, το 1544.Ο <a href="/wiki/Ren%C3%A9_Descartes" class="mw-redirect" title="René Descartes">René Descartes</a>, στο La géometrie,το 1637, εισήγαγε το μοντέλο του γραφήματος μιας πολυωνυμικής εξίσωσης. Καθιέρωσε τα γράμματα απ την αρχή του αλφαβήτου για να τις σταθερές και τα γράμματα απ το τέλος του αλφαβήτου για τις μεταβλητές, όπως φαίνεται απ τα παραπάνω, στην γενική μορφή για ένα πολυώνυμο μιας μεταβλητής, τα a δηλώνουν σταθερές και τα x δηλώνουν μεταβλητές.Ο Descartes εισήγαγε την χρήση των εκθετών.<a href="#cite_note-9">[9]</a> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Λύση_πολυωνυμικών_εξισώσεων">Λύση πολυωνυμικών εξισώσεων</h2>[<a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&veaction=edit&section=26" title="Επεξεργασία ενότητας: Λύση πολυωνυμικών εξισώσεων" class="mw-editsection-visualeditor">Επεξεργασία</a> | <a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&action=edit&section=26" title="Επεξεργαστείτε τον πηγαίο κώδικα της ενότητας: Λύση πολυωνυμικών εξισώσεων">επεξεργασία κώδικα</a>]</div> Κάθε πολυώνυμο P με μεταβλητή x αντιπροσωπεύει μία συνάρτηση, ƒ(x) = P (όπου οι λύσεις του x στο P αντιστοιχούν σε τιμές της ƒ), ονομάζεται πολυωνυμική συνάρτηση του P; η εξίσωση του x που γίνεται f(x) = 0 είναι η πολυωνυμική εξίσωση που αντιστοιχεί στο P. Οι λύσεις αυτής της εξίσωσης, που ονομάζονται ρίζες του πολυωνύμου, είναι τα σημεία που μηδενίζεται η συνάρτηση ƒ (είναι τα σημεία όπου το γράφημα της ƒ τέμνει τον άξονα x). Ένας αριθμός a είναι μία λύση του P αν και μόνο αν το x − a (of degree one in x) διαιρεί το P. Αυτό μπορεί να σημαίνει ότι το x − a διαιρεί το P περισσότερες από μία φορά: Εάν το (x − a)2 διαιρεί το P τότε a καλείται πολλαπλή ρίζα του P, διαφορετικά a καλείται απλή ρίζα του P. Εάν P είναι ένα μη μηδενικό πολυώνυμο, υπάρχει η μεγαλύτερη δύναμη m όπως (x − a)m που διαιρεί το P, η οποία καλείται πολλαπλότητα της ρίζας a στο P. Όταν P είναι το μηδενικό πολυώνυμο, η αντίστοιχη πολυωνυμική εξίσωση είναι ασήμαντη, και σε αυτήν την περίπτωση είναι σύνηθες να παραλείπεται όταν όταν με τους παραπάνω ορισμούς κάθε αριθμός μπορεί να είναι ρίζα ενός μηδενικού πολυωνύμου, με απροσδιόριστη (ή άπειρη) πολλαπλότητα. Με αυτήν την εξαίρεση, ο αριθμός των ριζών του P, ακόμη και να μετρηθεί με τις αντίστοιχες πολλαπλότητες, δεν μπορεί να υπερβαίνει τον βαθμό του P. Μερικά πολυώνυμα, όπως το x2 + 1, δεν έχουν καθόλου ρίζες στους <a href="/wiki/%CE%A0%CF%81%CE%B1%CE%B3%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%BF%CF%8D%CF%82_%CE%B1%CF%81%CE%B9%CE%B8%CE%BC%CE%BF%CF%8D%CF%82" class="mw-redirect" title="Πραγματικούς αριθμούς">πραγματικούς αριθμούς</a>. Εάν, ωστόσο, επεκτείνουμε το πεδίο των ριζών στους μιγαδικούς αριθμούς, κάθε μη σταθερό έχει τουλάχιστον μία ρίζα αυτό είναι το <a href="/w/index.php?title=%CE%98%CE%B5%CE%BC%CE%B5%CE%BB%CE%B9%CF%8E%CE%B4%CE%B5%CF%82_%CE%B8%CE%B5%CF%8E%CF%81%CE%B7%CE%BC%CE%B1_%CF%84%CE%B7%CF%82_%CE%86%CE%BB%CE%B3%CE%B5%CE%B2%CF%81%CE%B1%CF%82&action=edit&redlink=1" class="new" title="Θεμελιώδες θεώρημα της Άλγεβρας (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">θεμελιώδες θεώρημα της Άλγεβρας</a>. Αν χωρίσουμε διαδοχικά τους παράγοντες του x − a, κάποιος βλέπει ότι κάθε πολυώνυμο με μιγαδικούς συντελεστές μπορεί να γραφεί σαν σταθερό. Ο αριθμός των μιγαδικών ριζών με τις πολλαπλότητες τους είναι ακριβώς ίσως με τον βαθμό του πολυωνύμου. Υπάρχει μία διαφορά ανάμεσα στην εκτίμηση και τον υπολογισμό των ριζών. Μέθοδοι για τον υπολογισμό ριζών πολυωνύμου βαθμού 2, με συνθήκες τετραγώνου είναι γνωστές απ την αρχαιότητα (quadratic equation),και για πολυώνυμα βαθμού 3 η 4 παρόμοιες μέθοδοι (που χρησιμοποιούν κυβικές ρίζες όμως) έχουν βρεθεί τον 16ο αιώνα (<a href="/w/index.php?title=%CE%9A%CF%85%CE%B2%CE%B9%CE%BA%CE%AE_%CE%B5%CE%BE%CE%AF%CF%83%CF%89%CF%83%CE%B7&action=edit&redlink=1" class="new" title="Κυβική εξίσωση (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">κυβική εξίσωση</a> και <a href="/w/index.php?title=%CE%A4%CE%B5%CF%84%CE%B1%CF%81%CF%84%CE%BF%CE%B2%CE%AC%CE%B8%CE%BC%CE%B9%CE%B1_%CE%B5%CE%BE%CE%AF%CF%83%CF%89%CF%83%CE%B7&action=edit&redlink=1" class="new" title="Τεταρτοβάθμια εξίσωση (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">τεταρτοβάθμια εξίσωση</a> για τις μεθόδους και <a href="/wiki/%CE%9D%CE%B9%CE%BA%CE%BF%CE%BB%CF%8C_%CE%A6%CE%BF%CE%BD%CF%84%CE%AC%CE%BD%CE%B1_%CE%A4%CE%B1%CF%81%CF%84%CE%AC%CE%BB%CE%B9%CE%B1" class="mw-redirect" title="Νικολό Φοντάνα Ταρτάλια">Νικολό Φοντάνα Ταρτάλια</a>, <a href="/wiki/%CE%9B%CE%BF%CE%BD%CF%84%CE%BF%CE%B2%CE%AF%CE%BA%CE%BF_%CE%A6%CE%B5%CF%81%CE%AC%CF%81%CE%B9" class="mw-redirect" title="Λοντοβίκο Φεράρι">Λοντοβίκο Φεράρι</a>, <a href="/wiki/%CE%A4%CE%B6%CE%B5%CF%81%CF%8C%CE%BB%CE%B1%CE%BC%CE%BF_%CE%9A%CE%B1%CF%81%CE%BD%CF%84%CE%AC%CE%BD%CE%BF" title="Τζερόλαμο Καρντάνο">Τζερόλαμο Καρντάνο</a>, και <a href="/w/index.php?title=%CE%A6%CF%81%CE%B1%CE%BD%CF%83%CE%BF%CF%85%CE%AC_%CE%92%CE%B9%CE%B5%CF%84&action=edit&redlink=1" class="new" title="Φρανσουά Βιετ (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">Βιετά</a> για ιστορικές λεπτομέρειες). Αλλά μέθοδοι για 5ου βαθμού πολυώνυμα δεν έχουν βρεθεί ακόμη. Το 1824,ο <a href="/w/index.php?title=Niels_Henrik_Abel&action=edit&redlink=1" class="new" title="Niels Henrik Abel (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">Niels Henrik Abel</a> απέδειξε το πολύ σημαντικό αποτέλεσμα ότι δεν μπορεί να υπάρξει γενικά μέθοδος, που να περιλαμβάνει μόνο αριθμητικές πράξεις, που να υπολογίζει τις ρίζες ενός πολυωνύμου βαθμού 5 η μεγαλύτερου (δες Abel-Ruffini theorem). Το 1830,ο <a href="/wiki/%CE%95%CE%B2%CE%B1%CF%81%CE%AF%CF%83%CF%84_%CE%93%CE%BA%CE%B1%CE%BB%CE%BF%CF%85%CE%AC" title="Εβαρίστ Γκαλουά">Εβαρίστ Γκαλουά</a>, μελέτησε την μεταλλαγή των ριζών ενός πολυωνύμου, επεκτείνοντας το <a href="/w/index.php?title=%CE%98%CE%B5%CF%8E%CF%81%CE%B7%CE%BC%CE%B1_%CE%86%CE%BC%CF%80%CE%B5%CE%BB-%CE%A1%CE%BF%CF%85%CF%86%CE%AF%CE%BD%CE%B9&action=edit&redlink=1" class="new" title="Θεώρημα Άμπελ-Ρουφίνι (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">θεώρημα Άμπελ-Ρουφίνι</a> δοθείσας μιας πολυωνυμικής εξίσωσης, κάποιος μπορεί να αποφασίσει αν είναι επιλύσιμο με πρωτογενή αναλυση, και αν είναι, να το λύσει. Αυτό το αποτέλεσμα σημάδεψε την <a href="/wiki/%CE%98%CE%B5%CF%89%CF%81%CE%AF%CE%B1_%CE%93%CE%BA%CE%B1%CE%BB%CE%BF%CF%85%CE%AC" title="Θεωρία Γκαλουά">Θεωρία Γκαλουά</a> και <a href="/wiki/%CE%98%CE%B5%CF%89%CF%81%CE%AF%CE%B1_%CE%BF%CE%BC%CE%AC%CE%B4%CF%89%CE%BD" title="Θεωρία ομάδων">Θεωρία ομάδων</a>, δύο σημαντικούς τομείς των σύγχρονων μαθηματικών. Ο Galois ο ίδιος παρατήρησε ότι οι υπολογισμοί με την μέθοδο του είναι ανέφικτοι. Παρόλα αυτά, μέθοδοι για επιλύσιμες εξισώσεις βαθμού 5 και 6 έχουν δημοσιευθεί. Αριθμητικές εκτιμήσεις των ριζών μιας πολυωνυμικής εξίσωσης με έναν άγνωστο είναι εύκολο να γίνουν σε έναν υπολογιστή με την <a href="/w/index.php?title=%CE%9C%CE%AD%CE%B8%CE%BF%CE%B4%CE%BF_%CE%A4%CE%B6%CE%AD%CE%BD%CE%BA%CE%B9%CE%BD%CF%82-%CE%A4%CF%81%CE%AC%CE%BF%CF%85%CE%BC%CF%80&action=edit&redlink=1" class="new" title="Μέθοδο Τζένκινς-Τράουμπ (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">μέθοδο Τζένκινς-Τράουμπ</a>, <a href="/w/index.php?title=%CE%9C%CE%AD%CE%B8%CE%BF%CE%B4%CE%BF_%CE%9B%CE%B1%CE%B3%CE%BA%CE%AD%CF%81&action=edit&redlink=1" class="new" title="Μέθοδο Λαγκέρ (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">μέθοδο Λαγκέρ</a>, <a href="/w/index.php?title=%CE%9C%CE%AD%CE%B8%CE%BF%CE%B4%CE%BF_%CE%9D%CF%84%CE%BF%CF%85%CF%81%CE%AC%CE%BD%CF%84-%CE%9A%CE%AD%CF%81%CE%BD%CE%B5%CF%81&action=edit&redlink=1" class="new" title="Μέθοδο Ντουράντ-Κέρνερ (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">μέθοδο Ντουράντ-Κέρνερ</a> η με κάποιους άλλους αλγορίθμους εύρεσης ριζών. Για πολυώνυμα περισσότερων μεταβλητών η εντύπωση μιας ρίζας δεν υπάρχει, και υπάρχουν συνήθως άπειροι συνδυασμοί για τις τιμές των μεταβλητών για τις οποίες η πολυωνυμική συνάρτηση παίρνει την τιμή μηδέν. Ωστόσο οι βέβαιοι συνδυασμοί για τέτοια πολυώνυμα μας δείχνουν ότι μόνο για πεπερασμένους συνδυασμούς όλες οι πολυωνυμικές συναρτήσεις παίρνουν την τιμή μηδέν. Για ένα σύστημα πολυωνυμικών εξισώσεων με πολλούς αγνώστους , υπάρχουν <a href="/wiki/%CE%91%CE%BB%CE%B3%CF%8C%CF%81%CE%B9%CE%B8%CE%BC%CE%BF%CF%82" title="Αλγόριθμος">αλγόριθμοι</a> που μας δείχνουν αν έχουν έναν πεπερασμένο αριθμό μιγαδικών ριζών. Αν ο αριθμός των ριζών είναι πεπερασμένος, υπάρχουν αλγόριθμοι για να υπολογίσουν τις ρίζες. Οι μέθοδοι που υπάρχουν σ αυτούς τους αλγόριθμους περιγράφονται στο άρθρο systems of polynomial equations. Η ειδική περίπτωση που όλα τα πολυώνυμα είναι βαθμού ένα καλείται <a href="/wiki/%CE%A3%CF%8D%CF%83%CF%84%CE%B7%CE%BC%CE%B1_%CE%B3%CF%81%CE%B1%CE%BC%CE%BC%CE%B9%CE%BA%CF%8E%CE%BD_%CE%B5%CE%BE%CE%B9%CF%83%CF%8E%CF%83%CE%B5%CF%89%CE%BD" title="Σύστημα γραμμικών εξισώσεων">σύστημα γραμμικών εξισώσεων</a>, για το οποίο ένα άλλο σύνολο από μεθόδους λύσεις υπάρχει, περιλαμβανομένου και του κλασσικού της Γκαουσιανής απόρριψης. Έχει δειχτεί από τον Ρίτσαρντ Μπίρκελαντ και τον Καρλ Μέιρ ότι οι ρίζες κάθε πολυωνύμου μπορούν να εκφραστούν σε συνθήκες πολλαπλών μεταβλητών συναρτήσεων υπερβολικής γεωμετρίας. Ο <a href="/wiki/%CE%A6%CE%AD%CF%81%CE%BD%CF%84%CE%B9%CE%BD%CE%B1%CE%BD%CF%84_%CF%86%CE%BF%CE%BD_%CE%9B%CE%AF%CE%BD%CF%84%CE%B5%CE%BC%CE%B1%CE%BD" title="Φέρντιναντ φον Λίντεμαν">Φέρντιναντ φον Λίντεμαν</a> και ο Χιρόσι Ουμεμούρα έδειξαν ότι οι λύσεις μπορούν επίσης να εκφραστούν σε συνθήκες Siegel modular functions, γενικεύσεις του θεωρήματος theta που εμφανίζονται στην θεωρία <a href="/w/index.php?title=%CE%95%CE%BB%CE%BB%CE%B5%CE%B9%CF%80%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AD%CF%82_%CF%83%CF%85%CE%BD%CE%B1%CF%81%CF%84%CE%AE%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82&action=edit&redlink=1" class="new" title="Ελλειπτικές συναρτήσεις (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">ελλειπτικών συναρτήσεων</a>. Αυτοί οι χαρακτηρισμοί των ριζών των τυχαίων πολυωνύμων είναι γενικεύσεις των μεθόδων που είχαν ανακαλυφθεί για την λύση της εξίσωσης quintic. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Γραφήματα">Γραφήματα</h2>[<a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&veaction=edit&section=27" title="Επεξεργασία ενότητας: Γραφήματα" class="mw-editsection-visualeditor">Επεξεργασία</a> | <a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&action=edit&section=27" title="Επεξεργαστείτε τον πηγαίο κώδικα της ενότητας: Γραφήματα">επεξεργασία κώδικα</a>]</div> Μια πολυωνυμική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής μπορεί να αναπαρασταθεί με ένα γράφημα. <ul><li>Το γράφημα του μηδενικού πολυωνύμου</li></ul> <dl><dd><dl><dd>f(x) = 0</dd></dl></dd> <dd>είναι ο άξονας των x.</dd></dl> <ul><li>Το γράφημα πολυωνύμου βαθμού 0</li></ul> <dl><dd><dl><dd>f(x) = a0, όπου a0 ≠ 0,</dd></dl></dd> <dd>είναι μία οριζόντια γραμμή με τομή στον άξονα των y στο a0</dd></dl> <ul><li>Το γράφημα πολυωνύμου βαθμού 1 (η γραμμικής συνάρτησης)</li></ul> <dl><dd><dl><dd>f(x) = a0 + a1x ,όπου a1 ≠ 0,</dd></dl></dd> <dd>είναι μία πλάγια γραμμή με τομή στον άξονα των y στοa0 και <a href="/wiki/%CE%9A%CE%BB%CE%AF%CF%83%CE%B7_%CF%83%CF%85%CE%BD%CE%AC%CF%81%CF%84%CE%B7%CF%83%CE%B7%CF%82" title="Κλίση συνάρτησης">κλίση</a> a1.</dd></dl> <ul><li>Το γράφημα πολυωνύμου βαθμού 2</li></ul> <dl><dd><dl><dd>f(x) = a0 + a1x + a2x2, όπου a2 ≠ 0</dd></dl></dd> <dd>είναι <a href="/wiki/%CE%A0%CE%B1%CF%81%CE%B1%CE%B2%CE%BF%CE%BB%CE%AE_(%CE%B3%CE%B5%CF%89%CE%BC%CE%B5%CF%84%CF%81%CE%AF%CE%B1)" title="Παραβολή (γεωμετρία)">παραβολή</a>.</dd></dl> <ul><li>Το γράφημα πολυωνύμου βαθμού 3</li></ul> <dl><dd><dl><dd>f(x) = a0 + a1x + a2x2, + a3x3, όπου a3 ≠ 0</dd></dl></dd> <dd>είναι μία κυβική καμπύλη.</dd></dl> <ul><li>Το γράφημα πολυωνύμου βαθμού 2 η μεγαλύτερου</li></ul> <dl><dd><dl><dd>f(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn , όπου an ≠ 0 and n ≥ 2</dd></dl></dd> <dd>είναι μία συνεχής μη γραμμική καμπύλη.</dd></dl> Το γράφημα ενός μη σταθερού πολυωνύμου (μιας μεταβλητής) πάντα <a href="/wiki/Infinity#Calculus" title="Infinity">τείνει στο άπειρο</a> όταν η μεταβλητή αυξάνει (κατά <a href="/wiki/%CE%91%CF%80%CF%8C%CE%BB%CF%85%CF%84%CE%B7_%CF%84%CE%B9%CE%BC%CE%AE" title="Απόλυτη τιμή">απόλυτη τιμή</a>). Τα γραφήματα των πολυωνύμων αναλύονται στον λογισμό με την χρήση τομών, κλίσεων, concavity,και συμπεριφοράς. Οι εικόνες παρακάτω δείχνουν γραφήματα πολυωνύμων. <ul class="gallery mw-gallery-traditional" style="max-width: 729px;"> <li class="gallerybox" style="width: 235px"> <div class="thumb" style="width: 230px; height: 230px;"><a href="/wiki/%CE%91%CF%81%CF%87%CE%B5%CE%AF%CE%BF:Polynomialdeg2.svg" class="mw-file-description" title="Πολυώνυμο βαθμού 2: f(x) = x2 - x - 2 = (x+1)(x-2)"><img alt="Πολυώνυμο βαθμού 2: f(x) = x2 - x - 2 = (x+1)(x-2)" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f8/Polynomialdeg2.svg/200px-Polynomialdeg2.svg.png" decoding="async" width="200" height="200" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f8/Polynomialdeg2.svg/300px-Polynomialdeg2.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f8/Polynomialdeg2.svg/400px-Polynomialdeg2.svg.png 2x" data-file-width="320" data-file-height="320" /></a></div> <div class="gallerytext">Πολυώνυμο βαθμού 2: f(x) = x2 - x - 2 = (x+1)(x-2)</div> </li> <li class="gallerybox" style="width: 235px"> <div class="thumb" style="width: 230px; height: 230px;"><a href="/wiki/%CE%91%CF%81%CF%87%CE%B5%CE%AF%CE%BF:Polynomialdeg3.svg" class="mw-file-description" title="Πολυώνυμο βαθμού 3: f(x) = x3/4 + 3x2/4 - 3x/2 - 2 = 1/4 (x+4)(x+1)(x-2)"><img alt="Πολυώνυμο βαθμού 3: f(x) = x3/4 + 3x2/4 - 3x/2 - 2 = 1/4 (x+4)(x+1)(x-2)" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a3/Polynomialdeg3.svg/200px-Polynomialdeg3.svg.png" decoding="async" width="200" height="200" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a3/Polynomialdeg3.svg/300px-Polynomialdeg3.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a3/Polynomialdeg3.svg/400px-Polynomialdeg3.svg.png 2x" data-file-width="400" data-file-height="400" /></a></div> <div class="gallerytext">Πολυώνυμο βαθμού 3: f(x) = x3/4 + 3x2/4 - 3x/2 - 2 = 1/4 (x+4)(x+1)(x-2)</div> </li> <li class="gallerybox" style="width: 235px"> <div class="thumb" style="width: 230px; height: 230px;"><a href="/wiki/%CE%91%CF%81%CF%87%CE%B5%CE%AF%CE%BF:Polynomialdeg4.svg" class="mw-file-description" title="Πολυώνυμο βαθμού 4: f(x) = 1/14 (x+4)(x+1)(x-1)(x-3) + 0.5"><img alt="Πολυώνυμο βαθμού 4: f(x) = 1/14 (x+4)(x+1)(x-1)(x-3) + 0.5" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3c/Polynomialdeg4.svg/200px-Polynomialdeg4.svg.png" decoding="async" width="200" height="200" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3c/Polynomialdeg4.svg/300px-Polynomialdeg4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3c/Polynomialdeg4.svg/400px-Polynomialdeg4.svg.png 2x" data-file-width="400" data-file-height="400" /></a></div> <div class="gallerytext">Πολυώνυμο βαθμού 4: f(x) = 1/14 (x+4)(x+1)(x-1)(x-3) + 0.5</div> </li> <li class="gallerybox" style="width: 235px"> <div class="thumb" style="width: 230px; height: 230px;"><a href="/wiki/%CE%91%CF%81%CF%87%CE%B5%CE%AF%CE%BF:Polynomialdeg5.svg" class="mw-file-description" title="Πολυώνυμο βαθμού 5: f(x) = 1/20 (x+4)(x+2)(x+1)(x-1)(x-3) + 2"><img alt="Πολυώνυμο βαθμού 5: f(x) = 1/20 (x+4)(x+2)(x+1)(x-1)(x-3) + 2" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/55/Polynomialdeg5.svg/200px-Polynomialdeg5.svg.png" decoding="async" width="200" height="154" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/55/Polynomialdeg5.svg/300px-Polynomialdeg5.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/55/Polynomialdeg5.svg/400px-Polynomialdeg5.svg.png 2x" data-file-width="233" data-file-height="179" /></a></div> <div class="gallerytext">Πολυώνυμο βαθμού 5: f(x) = 1/20 (x+4)(x+2)(x+1)(x-1)(x-3) + 2</div> </li> <li class="gallerybox" style="width: 235px"> <div class="thumb" style="width: 230px; height: 230px;"><a href="/wiki/%CE%91%CF%81%CF%87%CE%B5%CE%AF%CE%BF:Sextic_Graph.svg" class="mw-file-description" title="Πολυώνυμο βαθμού 6: f(x) = 1/30 (x+3.5)(x+2)(x+1)(x-1)(x-3)(x-4) + 2"><img alt="Πολυώνυμο βαθμού 6: f(x) = 1/30 (x+3.5)(x+2)(x+1)(x-1)(x-3)(x-4) + 2" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c3/Sextic_Graph.svg/200px-Sextic_Graph.svg.png" decoding="async" width="200" height="200" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c3/Sextic_Graph.svg/300px-Sextic_Graph.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c3/Sextic_Graph.svg/400px-Sextic_Graph.svg.png 2x" data-file-width="340" data-file-height="340" /></a></div> <div class="gallerytext">Πολυώνυμο βαθμού 6: f(x) = 1/30 (x+3.5)(x+2)(x+1)(x-1)(x-3)(x-4) + 2</div> </li> <li class="gallerybox" style="width: 235px"> <div class="thumb" style="width: 230px; height: 230px;"><a href="/wiki/%CE%91%CF%81%CF%87%CE%B5%CE%AF%CE%BF:Septic_graph.svg" class="mw-file-description" title="Πολυώνυμο βαθμού 7: f(x) = (x-3)(x-2)(x-1)(x)(x+1)(x+2)(x+3)"><img alt="Πολυώνυμο βαθμού 7: f(x) = (x-3)(x-2)(x-1)(x)(x+1)(x+2)(x+3)" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bf/Septic_graph.svg/200px-Septic_graph.svg.png" decoding="async" width="200" height="200" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bf/Septic_graph.svg/300px-Septic_graph.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bf/Septic_graph.svg/400px-Septic_graph.svg.png 2x" data-file-width="340" data-file-height="340" /></a></div> <div class="gallerytext">Πολυώνυμο βαθμού 7: f(x) = (x-3)(x-2)(x-1)(x)(x+1)(x+2)(x+3)</div> </li> </ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Πολυώνυμα_και_λογισμός">Πολυώνυμα και λογισμός</h2>[<a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&veaction=edit&section=28" title="Επεξεργασία ενότητας: Πολυώνυμα και λογισμός" class="mw-editsection-visualeditor">Επεξεργασία</a> | <a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&action=edit&section=28" title="Επεξεργαστείτε τον πηγαίο κώδικα της ενότητας: Πολυώνυμα και λογισμός">επεξεργασία κώδικα</a>]</div> Ένα σημαντικό θέμα του λογισμού είναι η ανάλυση σύνθετων συναρτήσεων και η προσέγγιση τους με πολυωνυμικές συναρτήσεις . Η κορύφωση αυτών των προσπαθειών είναι το <a href="/w/index.php?title=%CE%98%CE%B5%CF%8E%CF%81%CE%B7%CE%BC%CE%B1_Taylor&action=edit&redlink=1" class="new" title="Θεώρημα Taylor (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">Θεώρημα Taylor</a>, το οποίο γενικά κάνει κάθε <a href="/w/index.php?title=%CE%A3%CF%8D%CE%BD%CE%B8%CE%B5%CF%84%CE%B7&action=edit&redlink=1" class="new" title="Σύνθετη (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">σύνθετη</a> συνάρτηση τοπικά να μοιάζει με πολυωνυμική, και το <a href="/w/index.php?title=%CE%98%CE%B5%CF%8E%CF%81%CE%B7%CE%BC%CE%B1_Stone-Weierstrass&action=edit&redlink=1" class="new" title="Θεώρημα Stone-Weierstrass (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">θεώρημα Stone-Weierstrass</a>, το οποίο λέει ότι κάθε <a href="/wiki/%CE%A3%CF%85%CE%BD%CE%B5%CF%87%CE%AE%CF%82_%CF%83%CF%85%CE%BD%CE%AC%CF%81%CF%84%CE%B7%CF%83%CE%B7" class="mw-redirect" title="Συνεχής συνάρτηση">συνεχής συνάρτηση</a> οριοθετεί μια <a href="/w/index.php?title=Compact_space&action=edit&redlink=1" class="new" title="Compact space (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">compact</a> <a href="/w/index.php?title=Interval_(mathematics)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Interval (mathematics) (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">interval</a> του άξονα των πραγματικών μπορεί να προσεγγιστεί όσο κοντά θέλουμε από μία πολυωνυμική συνάρτηση. Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις συνήθως χρησιμοποιούνται σε παρεμβολές συναρτήσεων. Ο υπολογισμός παραγώγων και ολοκληρωμάτων πολυωνυμικών συναρτήσεων είναι εξαιρετικά απλή. Για την πολυωνυμική συνάρτηση <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a0e85d7b902bbaef8ee58c8c9ef2ed23223663c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:7.901ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}}"></dd></dl> η παράγωγος με μεταβλητή το x είναι <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}ix^{i-1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mi>i</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}ix^{i-1}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d3c78a35070089a61340f005e93b1d23e14c1c5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:10.804ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}ix^{i-1}}"></dd></dl> και το άπειρο ολοκλήρωμα <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{a_{i} \over i+1}x^{i+1}+c.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mi>i</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{a_{i} \over i+1}x^{i+1}+c.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fda83c84a3463984deb0327cf5dcab24ab3bdd91" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:18.107ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{a_{i} \over i+1}x^{i+1}+c.}"></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Θεωρητική_άλγεβρα">Θεωρητική άλγεβρα</h2>[<a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&veaction=edit&section=29" title="Επεξεργασία ενότητας: Θεωρητική άλγεβρα" class="mw-editsection-visualeditor">Επεξεργασία</a> | <a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&action=edit&section=29" title="Επεξεργαστείτε τον πηγαίο κώδικα της ενότητας: Θεωρητική άλγεβρα">επεξεργασία κώδικα</a>]</div> <div class="hatnote noprint">Κύριο λήμμα: <a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%89%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%B9%CE%BA%CF%8C%CF%82_%CE%B4%CE%B1%CE%BA%CF%84%CF%8D%CE%BB%CE%B9%CE%BF%CF%82&action=edit&redlink=1" class="new" title="Πολυωνυμικός δακτύλιος (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">Πολυωνυμικός δακτύλιος</a></div> Στη <a href="/w/index.php?title=%CE%98%CE%B5%CF%89%CF%81%CE%B7%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AE_%CE%AC%CE%BB%CE%B3%CE%B5%CE%B2%CF%81%CE%B1&action=edit&redlink=1" class="new" title="Θεωρητική άλγεβρα (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">θεωρητική άλγεβρα</a>, υπάρχει διαφορά μεταξύ πολυωνύμων και πολωνυμικών συναρτήσεων. Ένα πολυώνυμο f μιας μεταβλητής X πάνω από ένα δακτύλιο του R ορίζεται με την μορφή <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X^{1}+a_{0}X^{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msup> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X^{1}+a_{0}X^{0}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e62b6283cc56708e18b26c03f90b91c6f123ee2e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:44.66ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X^{1}+a_{0}X^{0}}"></dd></dl> όπου n ένας φυσικός αριθμός, οι συντελεστές <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/403d004cd76aacd38b6432fdc449ddbc226075f7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.911ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}"> είναι στοιχεία του R, και το X είναι επίσημο σύμβολο, του οποίου οι δυνάμεις Xi είναι απλά για αντικατάσταση των συντελεστών ai, έτσι η δοθείσα μορφή είναι ένας τρόπος κωδικοποίησης της ακολουθίας <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a_{0},a_{1},\ldots )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a_{0},a_{1},\ldots )}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9d364e02aaf79b42ed7e26cab7baba3938848e5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.169ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a_{0},a_{1},\ldots )}">, με n και ai = 0 για κάθε i > n. Δύο πολυώνυμα με την ίδια τιμή του n θεωρούνται ίσα αν και μόνο αν η ακολουθίες των παραγόντων τους είναι ίσες επιπλέον κάθε πολυώνυμο είναι ίσο με κάθε πολυώνυμο με μεγαλύτερη τιμή για το n αν του τοποθετήσουμε την μεταβλητή μπροστά από κάθε παράγοντα που είναι ίσως με τον μηδέν. Αυτά τα πολυώνυμα δημιουργούνται προσθέτοντας απλός αντιπροσώπους στους παράγοντες (ο κανόνας της επέκτασης με μηδενικούς συντελεστές μπορεί να χρησιμοποιηθεί ότι τέτοιοι παράγοντες υπάρχουν). Έτσι κάθε πολυώνυμο είναι ίσο με το άθροισμα των όρων που χρησιμοποιούνται στην κανονική του μορφή, αν ένας όρος aiXi ερμηνεύεται σαν πολυώνυμο με μηδενικούς παράγοντες σε όλες τις δυνάμεις του X εκτός από Xi. Έπειτα για να προσδιορίσουμε την πολλαπλότητα, αρκεί ο distributive law για να περιγράψει το παράγωγο 2 όρων, το οποίο δίνεται απ τον τύπο <dl><dd><div style="vertical-align:30%;display:inline"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle aX^{k}\;bX^{l}=abX^{k+l}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <msup> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>b</mi> <msup> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <msup> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mi>l</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle aX^{k}\;bX^{l}=abX^{k+l}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8854bd6c40d56cc6e2f4e1f4f708f99b56dcc0e5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:18.858ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle aX^{k}\;bX^{l}=abX^{k+l}}"></div> για όλα τα στοιχεία a, b του δακτυλίου R και όλους τους <a href="/wiki/%CE%A6%CF%85%CF%83%CE%B9%CE%BA%CE%BF%CE%AF_%CE%B1%CF%81%CE%B9%CE%B8%CE%BC%CE%BF%CE%AF" class="mw-redirect" title="Φυσικοί αριθμοί">φυσικούς αριθμούς</a> k και l.</dd></dl> Έτσι το σύνολο όλων των πολυωνύμων με συντελεστές απ τον δακτύλιο του R αποτελεί ξεχωριστό δακτύλιο, τον πολυωνυμικό δακτύλιο πάνω από το R, που συμβολίζεται με R[X]. Η αντιστοιχία από το R στο R[X] που στέλνει το r στο rX0 είναι ένας ομομορφισμός δακτυλίων, με το R να θεωρείται υποδακτύλιος του R[X]. Αν το R είναι αντιμεταθετικό, τότε το R[X] είναι μία άλγεβρα πάνω από το R. Κάτι που μπορούμε να παρατηρήσουμε για τον δακτύλιο του R[X] είναι ότι προκύπτει από το R προσθέτοντας ένα νέο στοιχείο X στο R, και επεκτείνοντας το κατά ελάχιστο τρόπο σε δακτύλιο στο οποίο το X δεν ικανοποιεί άλλες σχέσεις παρά μόνο τις υποχρεωτικές, συν την αντιμεταθετικότητα με όλα τα στοιχεία του R (δηλαδή Xr = rX). Για να γίνει αυτό, πρέπει να προσθέσουμε όλες τις δυνάμεις του X και τους γραμμικούς τους συνδυασμούς επίσης . Η διάταξη τον πολυωνυμικών δακτυλίων, μαζί με ιδεώδη, είναι σημαντικά εργαλεία για την κατασκευή νέων δακτυλίων μέσα από τους γνωστούς. Για παράδειγμα, ο δακτύλιος των μιγαδικών αριθμών, ο οποίος μπορεί να κατασκευαστεί από τον πολυωνυμικό R[X] πάνω από τους πραγματικούς αριθμούς με την προσθήκη του ιδεώδους των πολλαπλοτήτων του πολυωνύμου X2 + 1. Ένα άλλο παράδειγμα είναι η κατασκευή πεπερασμένων πεδίων, που γίνεται παρόμοια, αρχίζοντας απ το πεδίο των ακεραίων modulo κάτι <a href="/wiki/%CE%A0%CF%81%CF%8E%CF%84%CE%BF%CF%82_%CE%B1%CF%81%CE%B9%CE%B8%CE%BC%CF%8C%CF%82" title="Πρώτος αριθμός">πρώτος αριθμός</a> ως συντελεστής του δακτυλίου R (δες modular arithmetic). Αν R είναι αντιμεταθετικό, τότε η μοναδιαία συνάρτηση μπορεί να συσχετιστεί με κάθε πολυώνυμο P στον R[X], μία πολυωνυμική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού και πεδίο τιμών ίσο με το R (πιο γενικά η μοναδιαία συνάρτηση έχει ίδιο πεδίο ορισμού και τιμών <a href="/w/index.php?title=Unital_algebra&action=edit&redlink=1" class="new" title="Unital algebra (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">unital</a> associative algebra πάνω από το R). Η μοναδιαία συνάρτηση διατηρεί την τιμή f(r) υποκαθιστώντας την τιμή r με το σύμβολο X στο P. Ένας λόγος που διαχωρίζουμε τα πολυώνυμα απ τις πολυωνυμικές συναρτήσεις είναι ότι πάνω από κάποιους δακτυλίους διαφορετικά πολυώνυμα μπορεί να μας δώσουν την ίδια πολυωνυμική συνάρτηση (δες <a href="/wiki/%CE%9C%CE%B9%CE%BA%CF%81%CF%8C_%CE%B8%CE%B5%CF%8E%CF%81%CE%B7%CE%BC%CE%B1_%CF%84%CE%BF%CF%85_%CE%A6%CE%B5%CF%81%CE%BC%CE%AC" title="Μικρό θεώρημα του Φερμά">μικρό θεώρημα του Φερμά</a>) για παράδειγμα όπου R είναι οι ακέραιοι modulo p). Αυτή δεν είναι η περίπτωση όταν το R είναι πραγματικοί η μιγαδικοί αριθμοί,πως οι δύο περιπτώσεις διαχωρίζονται στην ανάλυση. Ένας ακόμη πιο σημαντικός λόγος για να διαχωρίσουμε τα πολυώνυμα και τις πολυωνυμικές συναρτήσεις είναι ότι οι πράξεις στα πολυώνυμα (όπως η <a href="/w/index.php?title=%CE%95%CF%85%CE%BA%CE%BB%CE%B5%CE%AF%CE%B4%CE%B5%CE%B9%CE%B1_%CE%B4%CE%B9%CE%B1%CE%AF%CF%81%CE%B5%CF%83%CE%B7&action=edit&redlink=1" class="new" title="Ευκλείδεια διαίρεση (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">Ευκλείδεια διαίρεση</a>) χρειάζονται να κοιτάξεις από τι αποτελείται ένα πολυώνυμο σαν έκφραση από το να εκτιμήσεις σαν σταθερή τιμή για το X. Και πρέπει να σημειωθεί ότι αν το R δεν είναι αντιμεταθετικό, δεν υπάρχει καμία (λειτουργικής) περίπτωση πωλυωνυμικής συνάρτησης. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Διαιρετότητα">Διαιρετότητα</h3>[<a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&veaction=edit&section=30" title="Επεξεργασία ενότητας: Διαιρετότητα" class="mw-editsection-visualeditor">Επεξεργασία</a> | <a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&action=edit&section=30" title="Επεξεργαστείτε τον πηγαίο κώδικα της ενότητας: Διαιρετότητα">επεξεργασία κώδικα</a>]</div> Στην <a href="/wiki/%CE%91%CE%BD%CF%84%CE%B9%CE%BC%CE%B5%CF%84%CE%B1%CE%B8%CE%B5%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AE_%CE%AC%CE%BB%CE%B3%CE%B5%CE%B2%CF%81%CE%B1" title="Αντιμεταθετική άλγεβρα">αντιμεταθετική άλγεβρα</a>, ένα κύριο στοιχείο μελέτης είναι η διαιρετότητα ανάμεσα στα πολυώνυμα. Αν το R είναι μια <a href="/wiki/%CE%91%CE%BA%CE%AD%CF%81%CE%B1%CE%B9%CE%B1_%CF%80%CE%B5%CF%81%CE%B9%CE%BF%CF%87%CE%AE" title="Ακέραια περιοχή">ακέραια περιοχή</a> και f και g πολυώνυμα του R[X], ισχύει ότι f διαιρεί τοg η f είναι διαιρέτης του g εάν υπάρχει ένα πολυώνυμο q του R[X] τέτοιο ώστε f q = g. Κάτι που δείχνει ότι κάθε μηδενικό δίνει ένα γραμμικό διαιρέτη, η πιο σωστά, αν f είναι ένα πολυώνυμο του R[X] και r είναι ένα στοιχείο του R τέτοιο ώστε f(r) = 0, τότε το πολυώνυμο (X − r) διαιρεί το f. Ισχύει και το αντίθετο. Το πηλίκο μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας την ατελή διαίρεση πολυωνύμων. Αν F είναι ένα πεδίο και fκαι g πολυώνυμα στο F[X] με g ≠ 0, τότε υπάρχουν μοναδικά πολυώνυμα q και r στο F[X] με <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f=q\,g+r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mi>q</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>g</mi> <mo>+</mo> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f=q\,g+r}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd736cabd100d712293746d60defd82f495f8347" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.839ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f=q\,g+r}"></dd></dl> και τέτοια ώστε ο βαθμός του r είναι μικρότερος απ τον βαθμό του g (χρησιμοποιώντας τη σύμβαση ότι το πολυώνυμο 0 έχει αρνητικό βαθμό). Τα πολυώνυμα q και r είναι μοναδικά προσδιορισμένα από τηνf και την g. Αυτό ονομάζεται Ευκλείδεια διαίρεση, διαίρεση με υπόλοιπο η ατελής πολυωνυμική διαίρεση και δείχνει ότι ο δακτύλιος F[X] είναι ένας <a href="/wiki/%CE%95%CF%85%CE%BA%CE%BB%CE%B5%CE%AF%CE%B4%CE%B5%CE%B9%CE%BF%CF%82_%CF%87%CF%8E%CF%81%CE%BF%CF%82" title="Ευκλείδειος χώρος">Ευκλείδειος χώρος</a>. Αναλογικά, τα πρώτα πολυώνυμα (πιο σωστά, αμείωτα πολυώνυμα) μπορούν να θεωρηθούν ως πολυώνυμα που δεν μπορούν να χωριστούν σε γινόμενο δύο μη σταθερών πολυωνύμων. Κάθε πολυώνυμο μπορεί να διασπαστεί σε γινόμενο ενός σταθερού με ένα αμείωτο πολυώνυμο. Αυτή η διάσπαση είναι μοναδική και εξαρτάται απ την τάξη των παραγόντων και το γινόμενο κάθε σταθερού με έναν σταθερό (και διαίρεση ενός σταθερού παράγοντα με τον ίδιο σταθερό. όταν οι συντελεστές ανήκουν σε ένα πεπερασμένο πεδίο ή είναι ρητοί αριθμοί, υπάρχουν αλγόριθμοι που ελέγχουν πόσο μπορεί να μειωθεί ένα πολυώνυμο και να υπολογιστεί η παρογοντοποιησιμότητα μέσα στα αμείωτα πολυώνυμα. Αυτοί οι αλγόριθμοι δεν είναι πρακτικοί για υπολογισμούς με το χέρι, αλλά είναι διαθέσιμοι για κάθε <a href="/w/index.php?title=%CE%A5%CF%80%CE%BF%CE%BB%CE%BF%CE%B3%CE%B9%CF%83%CF%84%CE%B9%CE%BA%CF%8C_%CE%B1%CE%BB%CE%B3%CE%B5%CE%B2%CF%81%CE%B9%CE%BA%CF%8C_%CF%83%CF%8D%CF%83%CF%84%CE%B7%CE%BC%CE%B1&action=edit&redlink=1" class="new" title="Υπολογιστικό αλγεβρικό σύστημα (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">υπολογιστικό αλγεβρικό σύστημα</a> (δες τον αλγόριθμο του Berlekamp) για την περίπτωση στην οποία οι συντελεστές ανήκουν σε ένα περιορισμένο πεδίο η ο <a href="/w/index.php?title=%CE%91%CE%BB%CE%B3%CF%8C%CF%81%CE%B9%CE%B8%CE%BC%CE%BF%CF%82_%CF%84%CE%BF%CF%85_Berlekamp%E2%80%93Zassenhaus&action=edit&redlink=1" class="new" title="Αλγόριθμος του Berlekamp–Zassenhaus (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">αλγόριθμος του Berlekamp–Zassenhaus</a> δουλεύει πάνω απ τους ρητούς αριθμούς<a href="#cite_note-10">[10]</a>). Το <a href="/w/index.php?title=%CE%9A%CF%81%CE%B9%CF%84%CE%AE%CF%81%CE%B9%CE%BF_Eisenstein&action=edit&redlink=1" class="new" title="Κριτήριο Eisenstein (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">κριτήριο Eisenstein</a> μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί σε μερικές περιπτώσεις για τον έλεγχο της μειωσιμότητας. Δείτε επίσης: <a href="/w/index.php?title=%CE%9C%CE%AD%CE%B3%CE%B9%CF%83%CF%84%CE%BF%CF%82_%CE%BA%CE%BF%CE%B9%CE%BD%CF%8C%CF%82_%CE%B4%CE%B9%CE%B1%CE%B9%CF%81%CE%AD%CF%84%CE%B7%CF%82_%CE%B4%CF%8D%CE%BF_%CF%80%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%89%CE%BD%CF%8D%CE%BC%CF%89%CE%BD&action=edit&redlink=1" class="new" title="Μέγιστος κοινός διαιρέτης δύο πολυωνύμων (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">Μέγιστος κοινός διαιρέτης δύο πολυωνύμων</a>. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Κατηγοριοποίηση">Κατηγοριοποίηση</h2>[<a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&veaction=edit&section=31" title="Επεξεργασία ενότητας: Κατηγοριοποίηση" class="mw-editsection-visualeditor">Επεξεργασία</a> | <a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&action=edit&section=31" title="Επεξεργαστείτε τον πηγαίο κώδικα της ενότητας: Κατηγοριοποίηση">επεξεργασία κώδικα</a>]</div> Τα πολυώνυμα κατηγοριοποιούνται σύμφωνα με πολλές διαφορετικές ιδιότητες. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Αριθμός_μεταβλητών">Αριθμός μεταβλητών</h3>[<a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&veaction=edit&section=32" title="Επεξεργασία ενότητας: Αριθμός μεταβλητών" class="mw-editsection-visualeditor">Επεξεργασία</a> | <a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&action=edit&section=32" title="Επεξεργαστείτε τον πηγαίο κώδικα της ενότητας: Αριθμός μεταβλητών">επεξεργασία κώδικα</a>]</div> Μία κατηγοριοποίηση των πολυωνύμων βασίζεται στον αριθμό των διαφορετικών μεταβλητών. Ένα πολυώνυμο μιας μεταβλητής ονομάζεται <a href="/w/index.php?title=%CE%9C%CE%BF%CE%BD%CE%BF%CF%80%CE%B1%CF%81%CE%B1%CE%BC%CE%B5%CF%84%CE%B9%CE%BA%CF%8C&action=edit&redlink=1" class="new" title="Μονοπαραμετικό (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">μονοπαραμετικό</a> πολυώνυμο, ένα πολυώνυμο με περισσότερες από μία μεταβλητή πολυπαραμετρικό πολυώνυμο. Είναι δυνατόν να ταξινομήσουμε περαιτέρω τα πολυπαραμετρικά πολυώνυμα σαν δυπαραμετρικά, τρειπαραμετρικά, και ούτω καθεξής, ανάλογα με τον μέγιστο αριθμό μεταβλητών που περιέχουν. Είναι ξεκάθαρο ότι κάθε διπαραμετρικό πολυώνυμο είναι και τριπαραμετρικό, και ούτω καθ'εξής. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Βαθμός">Βαθμός</h3>[<a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&veaction=edit&section=33" title="Επεξεργασία ενότητας: Βαθμός" class="mw-editsection-visualeditor">Επεξεργασία</a> | <a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&action=edit&section=33" title="Επεξεργαστείτε τον πηγαίο κώδικα της ενότητας: Βαθμός">επεξεργασία κώδικα</a>]</div> <div class="hatnote noprint">Κύριο λήμμα: <a href="/wiki/%CE%92%CE%B1%CE%B8%CE%BC%CF%8C%CF%82_%CF%80%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%89%CE%BD%CF%8D%CE%BC%CE%BF%CF%85" title="Βαθμός πολυωνύμου">Βαθμός πολυωνύμου</a></div> Ένας δεύτερος βασικός διαχωρισμός των πολυωνύμων γίνεται με βάση των βαθμό τους. Θυμηθείτε ότι ο βαθμός ενός όρου είναι το άθροισμα των εκθετών στις μεταβλητές, και ο βαθμός του πολυωνύμου είναι ο μεγαλύτερος από τους βαθμούς των όρων. <table class="wikitable" style="text-align:center"> <caption>Κατηγοριοποίηση πολυωνύμων με βάση των βαθμό </caption> <tbody><tr> <th>Βαθμός </th> <th>Όνομα </th> <th>Παράδειγμα </th></tr> <tr> <td>απροσδιόριστο </td> <td>μηδενικό </td> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}"> </td></tr> <tr> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}"> </td> <td>(μη μηδενικό) σταθερό </td> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1}"> </td></tr> <tr> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1}"> </td> <td><a href="/w/index.php?title=Linear_equation&action=edit&redlink=1" class="new" title="Linear equation (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">γραμμικό</a> </td> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x+1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x+1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16df430ed7a23df9b160a5bbd957f306a0c3baa7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.333ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x+1}"> </td></tr> <tr> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/901fc910c19990d0dbaaefe4726ceb1a4e217a0f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2}"> </td> <td>τετραγωνικό </td> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{2}+1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{2}+1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92a3a8d23f9f8123651e496dcf8490990c65cf9a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.387ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x^{2}+1}"> </td></tr> <tr> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 3}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>3</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/991e33c6e207b12546f15bdfee8b5726eafbbb2f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 3}"> </td> <td>κυβικό </td> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{3}+1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{3}+1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59910af0f956f1094dde63d34c4c5e632928bab6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.387ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x^{3}+1}"> </td></tr> <tr> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 4}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>4</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 4}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/295b4bf1de7cd3500e740e0f4f0635db22d87b42" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 4}"> </td> <td>τεταρτοβάθμιο (ή διτετράγωνο) </td> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{4}+1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{4}+1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a1cf298905bd161243f1f6ca7a414c1290f245d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.387ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x^{4}+1}"> </td></tr> <tr> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 5}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>5</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 5}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29483407999b8763f0ea335cf715a6a5e809f44b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 5}"> </td> <td>πεμπτοβάθμιο </td> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{5}+1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>5</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{5}+1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d1d8757deb65ce40f8a8afd38562a9d96ac9647" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.387ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x^{5}+1}"> </td></tr> <tr> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 6}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>6</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 6}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39d81124420a058a7474dfeda48228fb6ee1e253" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 6}"> </td> <td>εκτοβάθμιο </td> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{6}+1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>6</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{6}+1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18e39fbd7ae65de516ca37c94a757e244debdf7d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.387ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x^{6}+1}"> </td></tr> <tr> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 7}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>7</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 7}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee716ec61382a6b795092c0edd859d12e64cbba8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 7}"> </td> <td>επταβάθμιο </td> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{7}+1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>7</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{7}+1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4cc822554b6f49b97d2a6088490ab77013480ce" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.387ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x^{7}+1}"> </td></tr> <tr> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 8}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>8</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 8}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aaa997e6ad67716cfaa9a02c4df860bf60a95b5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 8}"> </td> <td>οκταβάθμιο </td> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{8}+1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>8</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{8}+1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d725302154ad202fee94c7e163dfe4e30c84db94" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.387ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x^{8}+1}"> </td></tr> <tr> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 9}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>9</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 9}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32d3d1e1f9dfe0254c628379e69a69711fe4eabd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 9}"> </td> <td>εννιαβάθμιο </td> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{9}+1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>9</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{9}+1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99340422057f489b3da26de57f3a82f8566c5bbf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.387ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x^{9}+1}"> </td></tr> <tr> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 10}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>10</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 10}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ec811eb07dcac7ea67b413c5665390a1671ecb0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.325ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 10}"> </td> <td>δεκαβάθμιο </td> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{10}+1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>10</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{10}+1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bfad5b225f551fc45aff288058b2ba5509da619" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.209ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x^{10}+1}"> </td></tr> <tr> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 100}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>100</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 100}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0572cd017c6d7936a12737c9d614a2f801f94a36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.487ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 100}"> </td> <td>εκατοβάθμιο </td> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{100}+1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>100</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{100}+1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/973402d225f889aae6fa8b23975f328866f363d9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:8.031ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x^{100}+1}"> </td></tr></tbody></table> Συνήθως, ένα πολυώνυμο βαθμού n, για n μεγαλύτερο του 3, ονομάζεται πολυώνυμο βαθμού n, ωστόσο οι φράσεις τεταρτοβάθμιο και πεμπτοβάθμιο χρησιμοποιούνται μερικές φορές. Η χρήση ονομάτων για βαθμούς μεγαλύτερους του 5 είναι ακόμη πιο σπάνια. Τα ονόματα των βαθμών μπορεί να αφορούν τα πολυώνυμα ή τους όρους τους. Για παράδειγμα, στο <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{2}+2x+1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{2}+2x+1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/044d597c158b2f1106185cdb438c5785f7c21514" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:11.719ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x^{2}+2x+1}"> ο όρος <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e50b849d3a7cd902f0ae3fa6ad6d1cad49987c39" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.492ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2x}"> είναι ένας όρος πρώτου βαθμού σε ένα δευτεροβάθμιο πολυώνυμο. Στο ευρύτερο πλαίσιο της πολυωνυμικής παρεμβολής υπάρχει ένα μπέρδεμα των δύο παραπάνω κατηγοριοποιήσεων. Για παράδειγμα, μια <a href="/w/index.php?title=%CE%94%CE%B9%CE%B3%CF%81%CE%B1%CE%BC%CE%BC%CE%B9%CE%BA%CE%AE_%CF%80%CE%B1%CF%81%CE%B5%CE%BC%CE%B2%CE%BF%CE%BB%CE%AE&action=edit&redlink=1" class="new" title="Διγραμμική παρεμβολή (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">διγραμμική παρεμβολή</a>, είναι το παράγωγο δύο μονοπαραμετρικών πολυωνύμων, <a href="/w/index.php?title=Linear_interpolation&action=edit&redlink=1" class="new" title="Linear interpolation (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">είναι διπαραμετρικό αλλά δεν είναι γραμμικό</a>; παρόμοια αμφισημία επηρεάζει και την <a href="/w/index.php?title=%CE%94%CE%B9%CE%BA%CF%85%CE%B2%CE%B9%CE%BA%CE%AE_%CF%80%CE%B1%CF%81%CE%B5%CE%BC%CE%B2%CE%BF%CE%BB%CE%AE&action=edit&redlink=1" class="new" title="Δικυβική παρεμβολή (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">δικυβική παρεμβολή</a>. Το πολυώνυμο <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {0} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn mathvariant="bold">0</mn> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {0} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62e8c650763635a93ddc69768c3c0c100afe985d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.337ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {0} }">, που θεωρούμε ότι δεν έχει καθόλου όρους, ονομάζεται μηδενικό πολυώνυμο. Αντίθετα σε άλλα σταθερά πολυώνυμα, οι βαθμοί τους δεν είναι μηδενικοί. Ο βαθμός του μηδενικού πολυωνύμου είναι απροσδιόριστος, η προσδιορίζεται σαν αρνητικός (ανάμεσα στο –1 και –∞).<a href="#cite_note-11">[11]</a> Αυτές οι συμβάσεις είναι σημαντικές όταν εξηγούμε την <a href="/w/index.php?title=%CE%95%CF%85%CE%BA%CE%BB%CE%B5%CE%AF%CE%B4%CE%B5%CE%B9%CE%B1_%CE%B4%CE%B9%CE%B1%CE%AF%CF%81%CE%B5%CF%83%CE%B7&action=edit&redlink=1" class="new" title="Ευκλείδεια διαίρεση (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">Ευκλείδεια διαίρεση</a> των πολυωνύμων. Το μηδενικό πολυώνυμο είναι επίσης μοναδικό σε αυτό είναι το μόνο πολυώνυμο που έχει άπειρο αριθμό <a href="/wiki/%CE%A1%CE%AF%CE%B6%CE%B1_(%CE%BC%CE%B1%CE%B8%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AC)" title="Ρίζα (μαθηματικά)">ριζών</a>. <table class="wikitable" style="text-align:center"> <caption>Ταξινόμηση πολυωνύμων με βάση τους μη μηδενικούς όρους </caption> <tbody><tr> <th>Αριθμός μη μηδενικών όρων </th> <th>Όνομα </th> <th>Παράδειγμα </th></tr> <tr> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}"> </td> <td>μηδενικό πολυώνυμο </td> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}"> </td></tr> <tr> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1}"> </td> <td>μονώνυμο </td> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf0bf28fd28f45d07e1ceb909ce333c18c558c93" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.384ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle x^{2}}"> </td></tr> <tr> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/901fc910c19990d0dbaaefe4726ceb1a4e217a0f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2}"> </td> <td>διώνυμο </td> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{2}+1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{2}+1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92a3a8d23f9f8123651e496dcf8490990c65cf9a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.387ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x^{2}+1}"> </td></tr> <tr> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 3}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>3</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/991e33c6e207b12546f15bdfee8b5726eafbbb2f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 3}"> </td> <td>τριώνυμο </td> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{2}+x+1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{2}+x+1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78235883dfed13f5c0c7b6fb5aa82c002a1ac649" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:10.557ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x^{2}+x+1}"> </td></tr></tbody></table> Αν ένα πολυώνυμο έχει μόνο μία μεταβλητή, τότε οι όροι του συνήθως γράφονται απ τον μεγιστοβάθμιο προς αυτόν με την μικρότερη δύναμη («μείωση δυνάμεων») η απ τον μικρότερου βαθμού στον μεγιστοβάθμιο («αύξηση δυνάμεων»). Ένα μονοπαραμετρικό πολυώνυμο του x βαθμού n έχει την γενική μορφή <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{n}x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots +c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{n}x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots +c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c3c2ef201b6fea90baf836e1f3a340bdb0bea6e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:40.57ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle c_{n}x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots +c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0}}"></dd></dl> όπου <dl><dd>cn ≠ 0, cn-1, ..., c2, c1 και c0 είναι σταθερές, οι συντελεστές του πολυωνύμου.</dd></dl> Εδώ ο όρος cnxn ονομάζεται πρωτεύων όρος και ο συντελεστής του cn ο πρωτεύων συντελεστής; αν ο πρωτεύων συντελεστής είναι 1, το μονοπαραμετρικό πολυώνυμο ονομάζεται μονικό. Σημειώνεται εξαιρουμένου του πρωτεύοντος συντελεστή cn (το οποίο πρέπει να είναι μη μηδενικό διαφορετικά το πολυώνυμο δεν θα είναι βαθμού n) αυτή η γενική μορφή επιτρέπει στους παράγοντες να είναι μηδέν; όταν αυτό συμβαίνει ο αντίστοιχος όρος είναι μηδέν και μπορεί να βγει απ το άθροισμα χωρίς να αλλάζει το πολυώνυμο. Πρέπει ωστόσο να αναφέρουμε ότι ο ci είναι παράγοντας του xi, ακόμη και όταν ci είναι ίσο με 0, έτσι ώστε xi να μην αποτελεί όρο; για παράδειγμα κάποιος μπορεί να πει για τον <a href="/w/index.php?title=%CE%A3%CF%84%CE%B1%CE%B8%CE%B5%CF%81%CF%8C_%CF%8C%CF%81%CE%BF&action=edit&redlink=1" class="new" title="Σταθερό όρο (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">σταθερό όρο</a> του πολυωνύμου,εννοώντας c0 ακόμη και αν αυτός είναι ίσος με μηδέν. Στην περίπτωση πολυωνύμων περισσότερων μεταβλητών, ένα πολυώνυμο ονομάζεται ομογενές βαθμού n αν όλοι οι όροι του έχουν βαθμό n. Για παράδειγμα, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{3}y^{2}+7x^{2}y^{3}-3x^{5}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>7</mn> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>3</mn> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>5</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{3}y^{2}+7x^{2}y^{3}-3x^{5}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dc39ffcb09900ddf537ae7ab0621408ef9f27f0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:19.587ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle x^{3}y^{2}+7x^{2}y^{3}-3x^{5}}"> είναι ομογενές βαθμού 5. Για λεπτομέρειες, δες <a href="/wiki/%CE%9F%CE%BC%CE%BF%CE%B3%CE%B5%CE%BD%CE%AD%CF%82_%CF%80%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF" title="Ομογενές πολυώνυμο">Ομογενές πολυώνυμο</a>. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Συντελεστές">Συντελεστές</h3>[<a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&veaction=edit&section=34" title="Επεξεργασία ενότητας: Συντελεστές" class="mw-editsection-visualeditor">Επεξεργασία</a> | <a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&action=edit&section=34" title="Επεξεργαστείτε τον πηγαίο κώδικα της ενότητας: Συντελεστές">επεξεργασία κώδικα</a>]</div> Μία άλλη κατηγοριοποίηση των πολυωνύμων γίνεται με βάση το είδος των συντελεστών τους. Υπάρχουν πολυώνυμα με ακέραιους, ρητούς, πραγματικούς, ή μιγαδικούς συντελεστές, και στην θεωρητική άλγεβρα πολυώνυμα με πολλούς άλλους τύπους συντελεστών, όπως συντελεστές που είναι <a href="/w/index.php?title=Modular_arithmetic&action=edit&redlink=1" class="new" title="Modular arithmetic (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">ακέραιοι modulo p</a>. Ειδικό ενδιαφέρον παρουσιάζει η περίπτωση των πολυωνύμων που έχουν συντελεστές πολυώνυμα με άλλες μεταβλητές. Αυτό δείχνει ότι ένα πολυώνυμο, για παράδειγμα, x, y, z μπορεί να θεωρηθεί σαν μονοπαραμετρικό στο z με τους συντελεστές του να είναι διπαραμετρικοι στο x καιy. Αυτό χρησιμοποιείται συχνά στη θεωρία πολυπαραμετρικών πολυωνύμων. Στην κατηγοριοποίηση με βάση των αριθμό μεταβλητών, όταν εργαζόμαστε με συντελεστές από ένα γνωστό σύνολο, όπως είναι οι μιγαδικοί αριθμοί, μπορούμε να χρησιμοποιούμε συντελεστές και από κάθε υποσύνολο αυτού. Έτσι <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{2}+3x-5}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mn>5</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{2}+3x-5}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb3f192c3102523313b421be886820a3d16da9d5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:11.719ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x^{2}+3x-5}"> είναι ένα πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές,αλλά είναι επίσης και ένα πολυώνυμο με μιγαδικούς συντελεστές, επειδή οι ακέραιοι είναι υποσύνολο των μιγαδικών. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Αριθμός_μη_μηδενικών_όρων">Αριθμός μη μηδενικών όρων</h3>[<a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&veaction=edit&section=35" title="Επεξεργασία ενότητας: Αριθμός μη μηδενικών όρων" class="mw-editsection-visualeditor">Επεξεργασία</a> | <a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&action=edit&section=35" title="Επεξεργαστείτε τον πηγαίο κώδικα της ενότητας: Αριθμός μη μηδενικών όρων">επεξεργασία κώδικα</a>]</div> Τα πολυώνυμα μπορούν επίσης να κατηγοριοποιηθούν με βάση τους όρους με μη μηδενικούς παράγοντες, έτσι ένα πολυώνυμο με έναν όρο καλείται μονόνυμο, με δύο όρους δυόνυμο, και ούτω καθ εξής. (Μερικοί συγγραφείς με την λέξη «μονόνυμο» εννοούν το «μονικό μονόνυμο».<a href="#cite_note-Knapp-12">[12]</a>) <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Εφαρμογές">Εφαρμογές</h2>[<a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&veaction=edit&section=36" title="Επεξεργασία ενότητας: Εφαρμογές" class="mw-editsection-visualeditor">Επεξεργασία</a> | <a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&action=edit&section=36" title="Επεξεργαστείτε τον πηγαίο κώδικα της ενότητας: Εφαρμογές">επεξεργασία κώδικα</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Προσέγγιση_συναρτήσεων">Προσέγγιση συναρτήσεων</h3>[<a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&veaction=edit&section=37" title="Επεξεργασία ενότητας: Προσέγγιση συναρτήσεων" class="mw-editsection-visualeditor">Επεξεργασία</a> | <a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&action=edit&section=37" title="Επεξεργαστείτε τον πηγαίο κώδικα της ενότητας: Προσέγγιση συναρτήσεων">επεξεργασία κώδικα</a>]</div> Τα πολυώνυμα χρησιμοποιούνται για την εκτίμηση συναρτήσεων, όπως το <a href="/wiki/%CE%97%CE%BC%CE%AF%CF%84%CE%BF%CE%BD%CE%BF" title="Ημίτονο">ημίτονο</a>, <a href="/wiki/%CE%A3%CF%85%CE%BD%CE%B7%CE%BC%CE%AF%CF%84%CE%BF%CE%BD%CE%BF" title="Συνημίτονο">συνημίτονο</a> και η εκθετική. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Χαρακτηριστικό_πολυώνυμο">Χαρακτηριστικό πολυώνυμο</h3>[<a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&veaction=edit&section=38" title="Επεξεργασία ενότητας: Χαρακτηριστικό πολυώνυμο" class="mw-editsection-visualeditor">Επεξεργασία</a> | <a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&action=edit&section=38" title="Επεξεργαστείτε τον πηγαίο κώδικα της ενότητας: Χαρακτηριστικό πολυώνυμο">επεξεργασία κώδικα</a>]</div> Το <a href="/w/index.php?title=%CE%A7%CE%B1%CF%81%CE%B1%CE%BA%CF%84%CE%B7%CF%81%CE%B9%CF%83%CF%84%CE%B9%CE%BA%CF%8C_%CF%80%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&action=edit&redlink=1" class="new" title="Χαρακτηριστικό πολυώνυμο (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">χαρακτηριστικό πολυώνυμο</a> ενός πίνακα περιέχει πληροφορίες για τις <a href="/wiki/%CE%99%CE%B4%CE%B9%CE%BF%CF%84%CE%B9%CE%BC%CE%AD%CF%82_%CE%BA%CE%B1%CE%B9_%CE%B9%CE%B4%CE%B9%CE%BF%CE%B4%CE%B9%CE%B1%CE%BD%CF%8D%CF%83%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B1" title="Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα">ιδιοτιμές</a> του. Το <a href="/w/index.php?title=Minimal_polynomial_(field_theory)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Minimal polynomial (field theory) (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">ελάχιστο πολυώνυμο</a> ενός <a href="/w/index.php?title=%CE%91%CE%BB%CE%B3%CE%B5%CE%B2%CF%81%CE%B9%CE%BA%CE%BF%CF%8D_%CF%83%CF%84%CE%BF%CE%B9%CF%87%CE%B5%CE%AF%CE%BF%CF%85&action=edit&redlink=1" class="new" title="Αλγεβρικού στοιχείου (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">αλγεβρικού στοιχείου</a> καταγράφει την απλούστερη αλγεβρική σχέση που ικανοποιείται από αυτό το στοιχείο. Το <a href="/w/index.php?title=%CE%A7%CF%81%CF%89%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B9%CE%BA%CF%8C_%CF%80%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&action=edit&redlink=1" class="new" title="Χρωματικό πολυώνυμο (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">χρωματικό πολυώνυμο</a> ενός <a href="/wiki/%CE%93%CF%81%CE%AC%CF%86%CE%BF%CF%82" title="Γράφος">γράφου</a> μετράει τον αριθμό των κατάλληλων χρωματισμών του γραφήματος. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Κωδικοποίηση_πληροφοριών">Κωδικοποίηση πληροφοριών</h3>[<a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&veaction=edit&section=39" title="Επεξεργασία ενότητας: Κωδικοποίηση πληροφοριών" class="mw-editsection-visualeditor">Επεξεργασία</a> | <a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&action=edit&section=39" title="Επεξεργαστείτε τον πηγαίο κώδικα της ενότητας: Κωδικοποίηση πληροφοριών">επεξεργασία κώδικα</a>]</div> Τα πολυώνυμα συχνά χρησιμοποιούνται για την κωδικοποίηση πληροφοριών. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Επεκτάσεις_της_έννοιας_ενός_πολυωνύμου"><span id=".CE.95.CF.80.CE.B5.CE.BA.CF.84.CE.AC.CF.83.CE.B5.CE.B9.CF.82_.CF.84.CE.B7.CF.82_.CE.AD.CE.BD.CE.BD.CE.BF.CE.B9.CE.B1.CF.82_.CE.B5.CE.BD.CF.8C.CF.82_.CF.80.CE.BF.CE.BB.CF.85.CF.89.CE.BD.CF.8D.CE.BC.CE.BF.CF.85">Επεκτάσεις της έννοιας ενός πολυωνύμου</h2>[<a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&veaction=edit&section=40" title="Επεξεργασία ενότητας: Επεκτάσεις της έννοιας ενός πολυωνύμου" class="mw-editsection-visualeditor">Επεξεργασία</a> | <a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&action=edit&section=40" title="Επεξεργαστείτε τον πηγαίο κώδικα της ενότητας: Επεκτάσεις της έννοιας ενός πολυωνύμου">επεξεργασία κώδικα</a>]</div> Τα πολυώνυμα μπορεί να περιέχουν περισσότερες από μία παραμέτρους, τέτοια ονομάζονται πολυπαραμετρικά. Οι δακτύλιοι πολυωνύμων με πεπερασμένο αριθμό μεταβλητών είναι θεμελιώδους σημασίας στην <a href="/wiki/%CE%91%CE%BB%CE%B3%CE%B5%CE%B2%CF%81%CE%B9%CE%BA%CE%AE_%CE%B3%CE%B5%CF%89%CE%BC%CE%B5%CF%84%CF%81%CE%AF%CE%B1" title="Αλγεβρική γεωμετρία">αλγεβρική γεωμετρία</a> η οποία μελετά τον ταυτόχρονο μηδενισμό όλων πολυπαραμετρικών πολυωνύμων. Αυτοί οι δακτύλιοι εναλλακτικά μπορούν να κατασκευαστούν επαναλαμβάνοντας την κατασκευή ενός δακτυλίου με μονοπαραμετρικά πολυώνυμα και συντελεστές άλλους δακτυλίους: έτσι ο δακτύλιος R[X,Y] πολυωνύμων του X και του Y μπορεί να θεωρηθεί σαν δακτύλιος (R[X])[Y] πολυωνύμων του Y με συντελεστές πολυώνυμα του X, ή ο δακτύλιος (R[Y])[X] πολυωνύμων του X με συντελεστές πολυώνυμα του Y. αυτές οι παρατηρήσεις συμφωνούν με τις αριθμητικές πράξεις (είναι <a href="/w/index.php?title=%CE%99%CF%83%CE%BF%CE%BC%CE%BF%CF%81%CF%86%CE%B9%CF%83%CE%BC%CE%BF%CE%AF&action=edit&redlink=1" class="new" title="Ισομορφισμοί (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">ισομορφισμοί</a> δακτυλίων), αλλά μερικά σημεία όπως ο βαθμός ή πότε ένα πολυώνυμο θεωρείται μονικό μπορεί να διαφέρουν. Μπορούν να κατασκευαστούν δακτύλιοι πολυωνύμων με άπειρες παραμέτρους, αλλά απ την στιγμή που τα πολυώνυμα είναι (πεπερασμένες) εκφράσεις, κάθε πολυώνυμο μπορεί να περιέχει μόνο πεπερασμένο αριθμό παραμέτρων. Ένα δυαδικό πολυώνυμο που η δεύτερη παράμετρος έχει την μορφή εκθετικής συνάρτησης, για παράδειγμα το P(X,eX ), ονομάζεται <a href="/w/index.php?title=%CE%95%CE%BA%CE%B8%CE%B5%CF%84%CE%B9%CE%BA%CF%8C_%CF%80%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&action=edit&redlink=1" class="new" title="Εκθετικό πολυώνυμο (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">εκθετικό πολυώνυμο</a>. Τα <a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%B1_Laurent&action=edit&redlink=1" class="new" title="Πολυώνυμα Laurent (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">πολυώνυμα Laurent</a>, επιτρέπουν να υπάρχουν αρνητικές δυνάμεις στις παραμέτρους τους. Τα <a href="/wiki/%CE%A0%CE%B7%CE%BB%CE%AF%CE%BA%CE%BF" title="Πηλίκο">πηλίκα</a> πολυωνύμων ονομάζονται ρητές εκφράσεις (ή ρητά κλάσματα), και συναρτήσεις που υπολογίζουν ρητές εκφράσεις ονομάζονται <a href="/w/index.php?title=%CE%A1%CE%B7%CF%84%CE%AD%CF%82_%CF%83%CF%85%CE%BD%CE%B1%CF%81%CF%84%CE%AE%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82&action=edit&redlink=1" class="new" title="Ρητές συναρτήσεις (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">ρητές συναρτήσεις</a>. Τα ρητά κλάσματα είναι μορφές πηλίκων πολυωνύμων (αποτελούνται από πολυώνυμα όπως οι <a href="/wiki/%CE%A1%CE%B7%CF%84%CE%BF%CE%AF_%CE%B1%CF%81%CE%B9%CE%B8%CE%BC%CE%BF%CE%AF" class="mw-redirect" title="Ρητοί αριθμοί">ρητοί αριθμοί</a> αποτελούνται από ακεραίους,γράφοντας ένα κλάσμα με δύο από αυτούς). Η ρητή συνάρτηση που προσδιορίζεται από ένα ρητό κλάσμα είναι το πηλίκο των πολυωνυμικών συναρτήσεων που προσδιορίζεται απ τον αριθμητή και τον παρονομαστή των ρητών κλασμάτων. Τα ρητά κλάσματα περιλαμβάνουν τα πολυώνυμα Laurent, αλλά δεν αποκλείουν τους παρονομαστές απ τις δυνάμεις των παραμέτρων. Ενώ οι πολυωνυμικές συναρτήσεις προσδιορίζονται για κάθε τιμή των παραμέτρων, μία ρητή συνάρτηση προσδιορίζεται μόνο για τιμές των παραμέτρων γα τις οποίες ο παρονομαστής δεν είναι μηδέν. Μια ρητή συνάρτηση δίνει ρητό αποτέλεσμα για κάθε τιμή για την οποία ορίζεται; αυτό δεν ισχύει για άλλες συναρτήσεις όπως τις <a href="/wiki/%CE%A4%CF%81%CE%B9%CE%B3%CF%89%CE%BD%CE%BF%CE%BC%CE%B5%CF%84%CF%81%CE%AF%CE%B1" title="Τριγωνομετρία">τριγωνομετρικές</a>, <a href="/wiki/%CE%9B%CE%BF%CE%B3%CE%AC%CF%81%CE%B9%CE%B8%CE%BC%CE%BF%CF%82" title="Λογάριθμος">λογαριθμικές</a> και εκθετικές Η σειρά δύναμης είναι σαν τα πολυώνυμα, αλλά μπορεί να περιέχει άπειρους μη μηδενικούς όρους, όποτε δεν έχει πεπερασμένο βαθμό. Σε αντίθεση με τα πολυώνυμα δεν μπορούν να γραφούν λεπτομερώς (όπως δεν μπορούν και οι πραγματικοί αριθμοί), αλλά γενικά ισχύουν οι ίδιοι κανόνες με τα πολυώνυμα. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Περαιτέρω_ανάγνωση">Περαιτέρω ανάγνωση</h2>[<a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&veaction=edit&section=41" title="Επεξεργασία ενότητας: Περαιτέρω ανάγνωση" class="mw-editsection-visualeditor">Επεξεργασία</a> | <a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&action=edit&section=41" title="Επεξεργαστείτε τον πηγαίο κώδικα της ενότητας: Περαιτέρω ανάγνωση">επεξεργασία κώδικα</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Εξωτερικοί_σύνδεσμοι">Εξωτερικοί σύνδεσμοι</h3>[<a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&veaction=edit&section=42" title="Επεξεργασία ενότητας: Εξωτερικοί σύνδεσμοι" class="mw-editsection-visualeditor">Επεξεργασία</a> | <a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&action=edit&section=42" title="Επεξεργαστείτε τον πηγαίο κώδικα της ενότητας: Εξωτερικοί σύνδεσμοι">επεξεργασία κώδικα</a>]</div> <ul><li>Hazewinkel, Michiel, επιμ.. (2001), <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/p073690">«Polynomial»</a>, <a href="/wiki/Encyclopedia_of_Mathematics" class="mw-redirect" title="Encyclopedia of Mathematics">Encyclopedia of Mathematics</a>, <a href="/wiki/Springer_Science%2BBusiness_Media" title="Springer Science+Business Media">Springer</a>, <a href="/wiki/%CE%94%CE%B9%CE%B5%CE%B8%CE%BD%CE%AE%CF%82_%CF%80%CF%81%CF%8C%CF%84%CF%85%CF%80%CE%BF%CF%82_%CE%B1%CF%81%CE%B9%CE%B8%CE%BC%CF%8C%CF%82_%CE%B2%CE%B9%CE%B2%CE%BB%CE%AF%CE%BF%CF%85" title="Διεθνής πρότυπος αριθμός βιβλίου">ISBN</a> <a href="/wiki/%CE%95%CE%B9%CE%B4%CE%B9%CE%BA%CF%8C:%CE%A0%CE%B7%CE%B3%CE%AD%CF%82%CE%92%CE%B9%CE%B2%CE%BB%CE%AF%CF%89%CE%BD/978-1-55608-010-4" title="Ειδικό:ΠηγέςΒιβλίων/978-1-55608-010-4">978-1-55608-010-4</a>, <a rel="nofollow" class="external free" href="http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/p073690">http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/p073690</a><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.btitle=Polynomial&rft.atitle=%5B%5BEncyclopedia+of+Mathematics%5D%5D&rft.date=2001&rft.pub=%5B%5BSpringer+Science%2BBusiness+Media%7CSpringer%5D%5D&rft.isbn=978-1-55608-010-4&rft_id=&rfr_id=info:sid/el.wikipedia.org:%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF"> </li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20070625162103/http://mathdl.maa.org/convergence/1/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=640&bodyId=1038">Η δουλειά του Όιλερ στα μιγαδικά πολυώνυμα</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ελληνικά_άρθρα">Ελληνικά άρθρα</h3>[<a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&veaction=edit&section=43" title="Επεξεργασία ενότητας: Ελληνικά άρθρα" class="mw-editsection-visualeditor">Επεξεργασία</a> | <a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&action=edit&section=43" title="Επεξεργαστείτε τον πηγαίο κώδικα της ενότητας: Ελληνικά άρθρα">επεξεργασία κώδικα</a>]</div> <ul><li>Χριστόπουλος, Θανάσης (Οκτωβρίου 2021). <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.hms.gr/sites/default/files/subsites/problems/material/EYKLEIDHS_B_t122_2021.pdf">«Πολυώνυμα μίας μεταβλητής»</a>. <a href="/wiki/%CE%95%CF%85%CE%BA%CE%BB%CE%B5%CE%AF%CE%B4%CE%B7%CF%82_%CE%92%CE%84" title="Ευκλείδης Β΄">Ευκλείδης Β΄</a> (122): 39-42. <a rel="nofollow" class="external free" href="http://www.hms.gr/sites/default/files/subsites/problems/material/EYKLEIDHS_B_t122_2021.pdf">http://www.hms.gr/sites/default/files/subsites/problems/material/EYKLEIDHS_B_t122_2021.pdf</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%B1+%CE%BC%CE%AF%CE%B1%CF%82+%CE%BC%CE%B5%CF%84%CE%B1%CE%B2%CE%BB%CE%B7%CF%84%CE%AE%CF%82&rft.jtitle=%5B%5B%CE%95%CF%85%CE%BA%CE%BB%CE%B5%CE%AF%CE%B4%CE%B7%CF%82+%CE%92%CE%84%5D%5D&rft.aulast=%CE%A7%CF%81%CE%B9%CF%83%CF%84%CF%8C%CF%80%CE%BF%CF%85%CE%BB%CE%BF%CF%82&rft.aufirst=%CE%98%CE%B1%CE%BD%CE%AC%CF%83%CE%B7%CF%82&rft.au=%CE%A7%CF%81%CE%B9%CF%83%CF%84%CF%8C%CF%80%CE%BF%CF%85%CE%BB%CE%BF%CF%82%2C%26%2332%3B%CE%98%CE%B1%CE%BD%CE%AC%CF%83%CE%B7%CF%82&rft.date=%CE%9F%CE%BA%CF%84%CF%89%CE%B2%CF%81%CE%AF%CE%BF%CF%85+2021&rft.issue=122&rft.pages=39-42&rft_id=http%3A%2F%2Fwww.hms.gr%2Fsites%2Fdefault%2Ffiles%2Fsubsites%2Fproblems%2Fmaterial%2FEYKLEIDHS_B_t122_2021.pdf&rfr_id=info:sid/el.wikipedia.org:%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF"> </li> <li>Θάνος Μάγκος (Δεκεμβρίου 2019). <a rel="nofollow" class="external text" href="http://ekthetis.gr/Ekthetis021.pdf">«Περί Αναγωγισιμότητας Πολυωνύμων»</a>. Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας (21): 1-13. <a rel="nofollow" class="external free" href="http://ekthetis.gr/Ekthetis021.pdf">http://ekthetis.gr/Ekthetis021.pdf</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=%CE%A0%CE%B5%CF%81%CE%AF+%CE%91%CE%BD%CE%B1%CE%B3%CF%89%CE%B3%CE%B9%CF%83%CE%B9%CE%BC%CF%8C%CF%84%CE%B7%CF%84%CE%B1%CF%82+%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%89%CE%BD%CF%8D%CE%BC%CF%89%CE%BD&rft.jtitle=%CE%95%CE%BA%CE%B8%CE%AD%CF%84%CE%B7%CF%82+%CE%A6%CF%8D%CE%BB%CE%BB%CE%B1+%CE%9C%CE%B1%CE%B8%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AE%CF%82+%CE%A0%CE%B1%CE%B9%CE%B4%CE%B5%CE%AF%CE%B1%CF%82&rft.aulast=%CE%98%CE%AC%CE%BD%CE%BF%CF%82+%CE%9C%CE%AC%CE%B3%CE%BA%CE%BF%CF%82&rft.au=%CE%98%CE%AC%CE%BD%CE%BF%CF%82+%CE%9C%CE%AC%CE%B3%CE%BA%CE%BF%CF%82&rft.date=%CE%94%CE%B5%CE%BA%CE%B5%CE%BC%CE%B2%CF%81%CE%AF%CE%BF%CF%85+2019&rft.issue=21&rft.pages=1-13&rft_id=http%3A%2F%2Fekthetis.gr%2FEkthetis021.pdf&rfr_id=info:sid/el.wikipedia.org:%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF"> </li> <li>Τασσόπουλος, Γιώργος Σ. (Οκτώβριος 2013). <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.hms.gr/sites/default/files/subsites/publications/issues_files/EYKLEIDHS_B_T90.pdf">«Περί πολυωνύμων (ασάφειες και παρανοήσεις)»</a>. <a href="/wiki/%CE%95%CF%85%CE%BA%CE%BB%CE%B5%CE%AF%CE%B4%CE%B7%CF%82_%CE%92%CE%84" title="Ευκλείδης Β΄">Ευκλείδης Β΄</a> (90): 71-74. <a rel="nofollow" class="external free" href="http://www.hms.gr/sites/default/files/subsites/publications/issues_files/EYKLEIDHS_B_T90.pdf">http://www.hms.gr/sites/default/files/subsites/publications/issues_files/EYKLEIDHS_B_T90.pdf</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=%CE%A0%CE%B5%CF%81%CE%AF+%CF%80%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%89%CE%BD%CF%8D%CE%BC%CF%89%CE%BD+%28%CE%B1%CF%83%CE%AC%CF%86%CE%B5%CE%B9%CE%B5%CF%82+%CE%BA%CE%B1%CE%B9+%CF%80%CE%B1%CF%81%CE%B1%CE%BD%CE%BF%CE%AE%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82%29&rft.jtitle=%5B%5B%CE%95%CF%85%CE%BA%CE%BB%CE%B5%CE%AF%CE%B4%CE%B7%CF%82+%CE%92%CE%84%5D%5D&rft.aulast=%CE%A4%CE%B1%CF%83%CF%83%CF%8C%CF%80%CE%BF%CF%85%CE%BB%CE%BF%CF%82&rft.aufirst=%CE%93%CE%B9%CF%8E%CF%81%CE%B3%CE%BF%CF%82+%CE%A3.&rft.au=%CE%A4%CE%B1%CF%83%CF%83%CF%8C%CF%80%CE%BF%CF%85%CE%BB%CE%BF%CF%82%2C%26%2332%3B%CE%93%CE%B9%CF%8E%CF%81%CE%B3%CE%BF%CF%82+%CE%A3.&rft.date=%CE%9F%CE%BA%CF%84%CF%8E%CE%B2%CF%81%CE%B9%CE%BF%CF%82+2013&rft.issue=90&rft.pages=71-74&rft_id=http%3A%2F%2Fwww.hms.gr%2Fsites%2Fdefault%2Ffiles%2Fsubsites%2Fpublications%2Fissues_files%2FEYKLEIDHS_B_T90.pdf&rfr_id=info:sid/el.wikipedia.org:%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF"> </li> <li>Μήτσιου Κώστας; Σκούρας Αθανάσιος (1992). <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3488">«Πολυώνυμα-Πολυωνυμικές Εξισώσεις»</a>. <a href="/wiki/%CE%95%CF%85%CE%BA%CE%BB%CE%B5%CE%AF%CE%B4%CE%B7%CF%82_%CE%92%CE%84" title="Ευκλείδης Β΄">Ευκλείδης Β΄</a> (2): 21-24. <a rel="nofollow" class="external free" href="http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3488">http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3488</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%B1-%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%89%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%B9%CE%BA%CE%AD%CF%82+%CE%95%CE%BE%CE%B9%CF%83%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82&rft.jtitle=%5B%5B%CE%95%CF%85%CE%BA%CE%BB%CE%B5%CE%AF%CE%B4%CE%B7%CF%82+%CE%92%CE%84%5D%5D&rft.aulast=%CE%9C%CE%AE%CF%84%CF%83%CE%B9%CE%BF%CF%85+%CE%9A%CF%8E%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%82&rft.au=%CE%9C%CE%AE%CF%84%CF%83%CE%B9%CE%BF%CF%85+%CE%9A%CF%8E%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%82&rft.au=%CE%A3%CE%BA%CE%BF%CF%8D%CF%81%CE%B1%CF%82+%CE%91%CE%B8%CE%B1%CE%BD%CE%AC%CF%83%CE%B9%CE%BF%CF%82&rft.date=1992&rft.issue=2&rft.pages=21-24&rft_id=http%3A%2F%2Fwww.hms.gr%2Fapothema%2F%3Fs%3Dsa%26i%3D3488&rfr_id=info:sid/el.wikipedia.org:%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF"> </li> <li>Ν. Παπαδόπουλος (1985). <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3164">«Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις με πραγματικούς συντελεστές και λύσεις στο σύνολο R, των πραγματικών αριθμών»</a>. <a href="/wiki/%CE%95%CF%85%CE%BA%CE%BB%CE%B5%CE%AF%CE%B4%CE%B7%CF%82_%CE%92%CE%84" title="Ευκλείδης Β΄">Ευκλείδης Β΄</a> (1): 20-26. <a rel="nofollow" class="external free" href="http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3164">http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3164</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%89%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%B9%CE%BA%CE%AD%CF%82+%CE%B5%CE%BE%CE%B9%CF%83%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82+%CE%BA%CE%B1%CE%B9+%CE%B1%CE%BD%CE%B9%CF%83%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82+%CE%BC%CE%B5+%CF%80%CF%81%CE%B1%CE%B3%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%BF%CF%8D%CF%82+%CF%83%CF%85%CE%BD%CF%84%CE%B5%CE%BB%CE%B5%CF%83%CF%84%CE%AD%CF%82+%CE%BA%CE%B1%CE%B9+%CE%BB%CF%8D%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82+%CF%83%CF%84%CE%BF+%CF%83%CF%8D%CE%BD%CE%BF%CE%BB%CE%BF+R%2C+%CF%84%CF%89%CE%BD+%CF%80%CF%81%CE%B1%CE%B3%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B9%CE%BA%CF%8E%CE%BD+%CE%B1%CF%81%CE%B9%CE%B8%CE%BC%CF%8E%CE%BD&rft.jtitle=%5B%5B%CE%95%CF%85%CE%BA%CE%BB%CE%B5%CE%AF%CE%B4%CE%B7%CF%82+%CE%92%CE%84%5D%5D&rft.aulast=%CE%9D.+%CE%A0%CE%B1%CF%80%CE%B1%CE%B4%CF%8C%CF%80%CE%BF%CF%85%CE%BB%CE%BF%CF%82&rft.au=%CE%9D.+%CE%A0%CE%B1%CF%80%CE%B1%CE%B4%CF%8C%CF%80%CE%BF%CF%85%CE%BB%CE%BF%CF%82&rft.date=1985&rft.issue=1&rft.pages=20-26&rft_id=http%3A%2F%2Fwww.hms.gr%2Fapothema%2F%3Fs%3Dsa%26i%3D3164&rfr_id=info:sid/el.wikipedia.org:%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF"> </li> <li>Α. Γκικάκη (1984). <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3164">«Ρίζες Πολυωνύμων»</a>. <a href="/wiki/%CE%95%CF%85%CE%BA%CE%BB%CE%B5%CE%AF%CE%B4%CE%B7%CF%82_%CE%92%CE%84" title="Ευκλείδης Β΄">Ευκλείδης Β΄</a> (3): 31-34. <a rel="nofollow" class="external free" href="http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3164">http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3164</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=%CE%A1%CE%AF%CE%B6%CE%B5%CF%82+%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%89%CE%BD%CF%8D%CE%BC%CF%89%CE%BD&rft.jtitle=%5B%5B%CE%95%CF%85%CE%BA%CE%BB%CE%B5%CE%AF%CE%B4%CE%B7%CF%82+%CE%92%CE%84%5D%5D&rft.aulast=%CE%91.+%CE%93%CE%BA%CE%B9%CE%BA%CE%AC%CE%BA%CE%B7&rft.au=%CE%91.+%CE%93%CE%BA%CE%B9%CE%BA%CE%AC%CE%BA%CE%B7&rft.date=1984&rft.issue=3&rft.pages=31-34&rft_id=http%3A%2F%2Fwww.hms.gr%2Fapothema%2F%3Fs%3Dsa%26i%3D3164&rfr_id=info:sid/el.wikipedia.org:%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF"> </li> <li>Α. Γκικάκη (1982). <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=2972">«Πολυώνυμα μίας μεταβλητής»</a>. <a href="/wiki/%CE%95%CF%85%CE%BA%CE%BB%CE%B5%CE%AF%CE%B4%CE%B7%CF%82_%CE%92%CE%84" title="Ευκλείδης Β΄">Ευκλείδης Β΄</a> (3): 33-34. <a rel="nofollow" class="external free" href="http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=2972">http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=2972</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%B1+%CE%BC%CE%AF%CE%B1%CF%82+%CE%BC%CE%B5%CF%84%CE%B1%CE%B2%CE%BB%CE%B7%CF%84%CE%AE%CF%82&rft.jtitle=%5B%5B%CE%95%CF%85%CE%BA%CE%BB%CE%B5%CE%AF%CE%B4%CE%B7%CF%82+%CE%92%CE%84%5D%5D&rft.aulast=%CE%91.+%CE%93%CE%BA%CE%B9%CE%BA%CE%AC%CE%BA%CE%B7&rft.au=%CE%91.+%CE%93%CE%BA%CE%B9%CE%BA%CE%AC%CE%BA%CE%B7&rft.date=1982&rft.issue=3&rft.pages=33-34&rft_id=http%3A%2F%2Fwww.hms.gr%2Fapothema%2F%3Fs%3Dsa%26i%3D2972&rfr_id=info:sid/el.wikipedia.org:%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF"> </li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ξενόγλωσσα_άρθρα">Ξενόγλωσσα άρθρα</h3>[<a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&veaction=edit&section=44" title="Επεξεργασία ενότητας: Ξενόγλωσσα άρθρα" class="mw-editsection-visualeditor">Επεξεργασία</a> | <a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&action=edit&section=44" title="Επεξεργαστείτε τον πηγαίο κώδικα της ενότητας: Ξενόγλωσσα άρθρα">επεξεργασία κώδικα</a>]</div> <ul><li>Gordon, Sheldon P. (1992). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.jstor.org/stable/27967915">«Social Security Polynomials»</a>. The Mathematics Teacher 85 (9): 758-760. <a rel="nofollow" class="external free" href="https://www.jstor.org/stable/27967915">https://www.jstor.org/stable/27967915</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=Social+Security+Polynomials&rft.jtitle=The+Mathematics+Teacher&rft.aulast=Gordon&rft.aufirst=Sheldon+P.&rft.au=Gordon%2C%26%2332%3BSheldon+P.&rft.date=1992&rft.volume=85&rft.issue=9&rft.pages=758-760&rft_id=https%3A%2F%2Fwww.jstor.org%2Fstable%2F27967915&rfr_id=info:sid/el.wikipedia.org:%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF"> </li> <li>Kelly, J. B. (Μαΐου 1966). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1966-05_73_5/page/464">«Polynomials and Polyominoes»</a>. The American Mathematical Monthly 73 (5): 464–471. <a href="/wiki/Digital_object_identifier" class="mw-redirect" title="Digital object identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://dx.doi.org/10.1080%2F00029890.1966.11970784">10.1080/00029890.1966.11970784</a>. <a rel="nofollow" class="external free" href="https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1966-05_73_5/page/464">https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1966-05_73_5/page/464</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=Polynomials+and+Polyominoes&rft.jtitle=The+American+Mathematical+Monthly&rft.aulast=Kelly&rft.aufirst=J.+B.&rft.au=Kelly%2C%26%2332%3BJ.+B.&rft.date=%CE%9C%CE%B1%CE%90%CE%BF%CF%85+1966&rft.volume=73&rft.issue=5&rft.pages=464%E2%80%93471&rft_id=info:doi/10.1080%2F00029890.1966.11970784&rft_id=https%3A%2F%2Farchive.org%2Fdetails%2Fsim_american-mathematical-monthly_1966-05_73_5%2Fpage%2F464&rfr_id=info:sid/el.wikipedia.org:%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF"> </li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Βιβλιογραφία">Βιβλιογραφία</h3>[<a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&veaction=edit&section=45" title="Επεξεργασία ενότητας: Βιβλιογραφία" class="mw-editsection-visualeditor">Επεξεργασία</a> | <a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&action=edit&section=45" title="Επεξεργαστείτε τον πηγαίο κώδικα της ενότητας: Βιβλιογραφία">επεξεργασία κώδικα</a>]</div> <ul><li>Αλέξανδρος Π. Τραγανίτης, Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου, Α΄ Τεύχος, εκδ. Σαβάλλας</li> <li>Άλγεβρα Β΄ Γενικού Λυκείου, εκδόσεις ΟΕΔΒ 2007, <a href="/wiki/%CE%95%CE%B9%CE%B4%CE%B9%CE%BA%CF%8C:%CE%A0%CE%B7%CE%B3%CE%AD%CF%82%CE%92%CE%B9%CE%B2%CE%BB%CE%AF%CF%89%CE%BD/960060357X" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 960-06-0357-X</a></li> <li><cite class="citation book">Βουκούτης, Ναπολέων. Πολυώνυμα. Αθήνα: Gutenberg.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%B1&rft.place=%CE%91%CE%B8%CE%AE%CE%BD%CE%B1&rft.pub=Gutenberg&rft.aulast=%CE%92%CE%BF%CF%85%CE%BA%CE%BF%CF%8D%CF%84%CE%B7%CF%82&rft.aufirst=%CE%9D%CE%B1%CF%80%CE%BF%CE%BB%CE%AD%CF%89%CE%BD&rfr_id=info%3Asid%2Fel.wikipedia.org%3A%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF" class="Z3988"> </li> <li><cite class="citation book">Καζαντζής, Θεόδωρος Ν. (1977). Πολυώνυμα. Θεσσαλονίκη.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%B1&rft.place=%CE%98%CE%B5%CF%83%CF%83%CE%B1%CE%BB%CE%BF%CE%BD%CE%AF%CE%BA%CE%B7&rft.date=1977&rft.aulast=%CE%9A%CE%B1%CE%B6%CE%B1%CE%BD%CF%84%CE%B6%CE%AE%CF%82&rft.aufirst=%CE%98%CE%B5%CF%8C%CE%B4%CF%89%CF%81%CE%BF%CF%82+%CE%9D.&rfr_id=info%3Asid%2Fel.wikipedia.org%3A%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF" class="Z3988"> </li> <li><cite class="citation book">Μπασογιάννης, Αθανάσιος Μ. Πολυώνυμα: Θεωρία, μέθοδοι, ασκήσεις. Ιωάννινα.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%B1%3A+%CE%98%CE%B5%CF%89%CF%81%CE%AF%CE%B1%2C+%CE%BC%CE%AD%CE%B8%CE%BF%CE%B4%CE%BF%CE%B9%2C+%CE%B1%CF%83%CE%BA%CE%AE%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82&rft.place=%CE%99%CF%89%CE%AC%CE%BD%CE%BD%CE%B9%CE%BD%CE%B1&rft.aulast=%CE%9C%CF%80%CE%B1%CF%83%CE%BF%CE%B3%CE%B9%CE%AC%CE%BD%CE%BD%CE%B7%CF%82&rft.aufirst=%CE%91%CE%B8%CE%B1%CE%BD%CE%AC%CF%83%CE%B9%CE%BF%CF%82+%CE%9C.&rfr_id=info%3Asid%2Fel.wikipedia.org%3A%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF" class="Z3988"> </li> <li><cite class="citation book">Παπαγιάννης, Ορέστης Β. Λυμέναι ασκήσεις άλγεβρας-αναλύσεως: πολυώνυμα. Αθήνα: Λεούσης-Μαστρογιάννης.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%CE%9B%CF%85%CE%BC%CE%AD%CE%BD%CE%B1%CE%B9+%CE%B1%CF%83%CE%BA%CE%AE%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82+%CE%AC%CE%BB%CE%B3%CE%B5%CE%B2%CF%81%CE%B1%CF%82-%CE%B1%CE%BD%CE%B1%CE%BB%CF%8D%CF%83%CE%B5%CF%89%CF%82%3A+%CF%80%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%B1&rft.place=%CE%91%CE%B8%CE%AE%CE%BD%CE%B1&rft.pub=%CE%9B%CE%B5%CE%BF%CF%8D%CF%83%CE%B7%CF%82-%CE%9C%CE%B1%CF%83%CF%84%CF%81%CE%BF%CE%B3%CE%B9%CE%AC%CE%BD%CE%BD%CE%B7%CF%82&rft.aulast=%CE%A0%CE%B1%CF%80%CE%B1%CE%B3%CE%B9%CE%AC%CE%BD%CE%BD%CE%B7%CF%82&rft.aufirst=%CE%9F%CF%81%CE%AD%CF%83%CF%84%CE%B7%CF%82+%CE%92.&rfr_id=info%3Asid%2Fel.wikipedia.org%3A%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF" class="Z3988"> </li> <li><cite class="citation book">Ποσταντζής, Δημήτρης (1977). Πολυώνυμα: Μεθοδολογία. Αθήνα.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%B1%3A+%CE%9C%CE%B5%CE%B8%CE%BF%CE%B4%CE%BF%CE%BB%CE%BF%CE%B3%CE%AF%CE%B1&rft.place=%CE%91%CE%B8%CE%AE%CE%BD%CE%B1&rft.date=1977&rft.aulast=%CE%A0%CE%BF%CF%83%CF%84%CE%B1%CE%BD%CF%84%CE%B6%CE%AE%CF%82&rft.aufirst=%CE%94%CE%B7%CE%BC%CE%AE%CF%84%CF%81%CE%B7%CF%82&rfr_id=info%3Asid%2Fel.wikipedia.org%3A%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF" class="Z3988"> </li> <li><cite class="citation book">Ρούτσης, Νίκος (1972). Πολυώνυμα. Αθήνα.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%B1&rft.place=%CE%91%CE%B8%CE%AE%CE%BD%CE%B1&rft.date=1972&rft.aulast=%CE%A1%CE%BF%CF%8D%CF%84%CF%83%CE%B7%CF%82&rft.aufirst=%CE%9D%CE%AF%CE%BA%CE%BF%CF%82&rfr_id=info%3Asid%2Fel.wikipedia.org%3A%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF" class="Z3988"> </li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Δείτε_επίσης">Δείτε επίσης</h2>[<a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&veaction=edit&section=46" title="Επεξεργασία ενότητας: Δείτε επίσης" class="mw-editsection-visualeditor">Επεξεργασία</a> | <a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&action=edit&section=46" title="Επεξεργαστείτε τον πηγαίο κώδικα της ενότητας: Δείτε επίσης">επεξεργασία κώδικα</a>]</div> <ul><li><a href="/wiki/%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF_Bernstein" class="mw-redirect" title="Πολυώνυμο Bernstein">Πολυώνυμο Bernstein</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%CE%99%CE%B4%CE%B9%CF%8C%CF%84%CE%B7%CF%84%CE%B5%CF%82_%CF%80%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%89%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%B9%CE%BA%CF%8E%CE%BD_%CF%81%CE%B9%CE%B6%CF%8E%CE%BD&action=edit&redlink=1" class="new" title="Ιδιότητες πολυωνυμικών ριζών (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">Ιδιότητες πολυωνυμικών ριζών</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%CE%94%CE%B9%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&action=edit&redlink=1" class="new" title="Διώνυμο (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">Διώνυμο</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%CE%9C%CE%AD%CE%B8%CE%BF%CE%B4%CE%BF%CF%82_%CF%84%CE%BF%CF%85_Lill&action=edit&redlink=1" class="new" title="Μέθοδος του Lill (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">Μέθοδος του Lill</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%CE%9B%CE%AF%CF%83%CF%84%CE%B1_%CE%BC%CE%B5_%CF%80%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%89%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%B9%CE%BA%CE%AC_%CE%B8%CE%AD%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B1&action=edit&redlink=1" class="new" title="Λίστα με πολυωνυμικά θέματα (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">Λίστα με πολυωνυμικά θέματα</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%B1_%CF%83%CF%84%CE%BF%CE%BD_%CE%B4%CE%B9%CE%B1%CE%BD%CF%85%CF%83%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B9%CE%BA%CF%8C_%CF%87%CF%8E%CF%81%CE%BF&action=edit&redlink=1" class="new" title="Πολυώνυμα στον διανυσματικό χώρο (δεν έχει γραφτεί ακόμα)">Πολυώνυμα στον διανυσματικό χώρο</a></li> <li><a href="/wiki/%CE%94%CF%85%CE%BD%CE%B1%CE%BC%CE%BF%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%81%CE%AD%CF%82" title="Δυναμοσειρές">Δυναμοσειρές</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Παραπομπές">Παραπομπές</h2>[<a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&veaction=edit&section=47" title="Επεξεργασία ενότητας: Παραπομπές" class="mw-editsection-visualeditor">Επεξεργασία</a> | <a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&action=edit&section=47" title="Επεξεργαστείτε τον πηγαίο κώδικα της ενότητας: Παραπομπές">επεξεργασία κώδικα</a>]</div> <div class="mw-references-wrap mw-references-columns"><ol class="references"> <li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> CNTRL (French National Center for Textual and Lexical Resources), etymology of binôme <a rel="nofollow" class="external autonumber" href="http://www.cnrtl.fr/etymologie/bin%C3%B4me">[1]</a> </li> <li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> Etymology of "polynomial" Compact Oxford English Dictionary </li> <li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.etymonline.com/index.php?term=binomial">Online Etymology Dictionary "binomial"</a> </li> <li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> <cite class="citation book">Florian Cajori (1991). A History of Mathematics. AMS. <a href="/wiki/%CE%94%CE%B9%CE%B5%CE%B8%CE%BD%CE%AE%CF%82_%CF%80%CF%81%CF%8C%CF%84%CF%85%CF%80%CE%BF%CF%82_%CE%B1%CF%81%CE%B9%CE%B8%CE%BC%CF%8C%CF%82_%CE%B2%CE%B9%CE%B2%CE%BB%CE%AF%CE%BF%CF%85" title="Διεθνής πρότυπος αριθμός βιβλίου">ISBN</a> <a href="/wiki/%CE%95%CE%B9%CE%B4%CE%B9%CE%BA%CF%8C:%CE%A0%CE%B7%CE%B3%CE%AD%CF%82%CE%92%CE%B9%CE%B2%CE%BB%CE%AF%CF%89%CE%BD/978-0-8218-2102-2" title="Ειδικό:ΠηγέςΒιβλίων/978-0-8218-2102-2">978-0-8218-2102-2</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=A+History+of+Mathematics&rft.pub=AMS&rft.date=1991&rft.isbn=978-0-8218-2102-2&rft.au=Florian+Cajori&rfr_id=info%3Asid%2Fel.wikipedia.org%3A%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF" class="Z3988"> |<a rel="nofollow" class="external autonumber" href="http://books.google.fr/books?id=mGJRjIC9fZgC&pg=PA139">[2]</a> </li> <li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> Ο όρος άγνωστοι είναι πιο κατάλληλος, και, στην θεωρία, το μεταβλητή θα πρέπει να χρησιμοποιείται μόνο όταν έχουμε μία συνάρτηση που προσδιορίζεται από πολυώνυμο. Στην πράξη, οι περισσότεροι συγγραφείς δεν ξεχωρίζουν τις δυο λέξεις. </li> <li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> <cite class="citation book">Selby, Peter H.· Slavin, Steve (1991). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/practicalalgebra00selb_1">Practical algebra: a self teaching guide</a> (2η, [Nachdr.] έκδοση). New York: Wiley. <a href="/wiki/%CE%94%CE%B9%CE%B5%CE%B8%CE%BD%CE%AE%CF%82_%CF%80%CF%81%CF%8C%CF%84%CF%85%CF%80%CE%BF%CF%82_%CE%B1%CF%81%CE%B9%CE%B8%CE%BC%CF%8C%CF%82_%CE%B2%CE%B9%CE%B2%CE%BB%CE%AF%CE%BF%CF%85" title="Διεθνής πρότυπος αριθμός βιβλίου">ISBN</a> <a href="/wiki/%CE%95%CE%B9%CE%B4%CE%B9%CE%BA%CF%8C:%CE%A0%CE%B7%CE%B3%CE%AD%CF%82%CE%92%CE%B9%CE%B2%CE%BB%CE%AF%CF%89%CE%BD/978-0471530121" title="Ειδικό:ΠηγέςΒιβλίων/978-0471530121">978-0471530121</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Practical+algebra%3A+a+self+teaching+guide&rft.place=New+York&rft.edition=2%CE%B7%2C+%5BNachdr.%5D&rft.pub=Wiley&rft.date=1991&rft.isbn=978-0471530121&rft.aulast=Selby&rft.aufirst=Peter+H.&rft.au=Slavin%2C+Steve&rft_id=https%3A%2F%2Farchive.org%2Fdetails%2Fpracticalalgebra00selb_1&rfr_id=info%3Asid%2Fel.wikipedia.org%3A%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF" class="Z3988">  </li> <li id="cite_note-7"><a href="#cite_ref-7">↑</a> Gilbert Strang, Linear Algebra and its Applications, Fourth Edition, Thompson Brooks/Cole, <a href="/wiki/%CE%95%CE%B9%CE%B4%CE%B9%CE%BA%CF%8C:%CE%A0%CE%B7%CE%B3%CE%AD%CF%82%CE%92%CE%B9%CE%B2%CE%BB%CE%AF%CF%89%CE%BD/0030105676" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 0-03-010567-6</a>. </li> <li id="cite_note-8"><a href="#cite_ref-8">↑</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://mathworld.wolfram.com/TaylorSeries.html">Σειρά Taylor από το mathworld </a> </li> <li id="cite_note-9"><a href="#cite_ref-9">↑</a> Howard Eves, An Introduction to the History of Mathematics, Sixth Edition, Saunders, <a href="/wiki/%CE%95%CE%B9%CE%B4%CE%B9%CE%BA%CF%8C:%CE%A0%CE%B7%CE%B3%CE%AD%CF%82%CE%92%CE%B9%CE%B2%CE%BB%CE%AF%CF%89%CE%BD/0030295580" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 0-03-029558-0</a> </li> <li id="cite_note-10"><a href="#cite_ref-10">↑</a> <a rel="nofollow" class="external free" href="http://mathworld.wolfram.com/Berlekamp-ZassenhausAlgorithm.html">http://mathworld.wolfram.com/Berlekamp-ZassenhausAlgorithm.html</a> </li> <li id="cite_note-11"><a href="#cite_ref-11">↑</a> Weisstein, Eric W., "<a rel="nofollow" class="external text" href="http://mathworld.wolfram.com/ZeroPolynomial.html">Zero Polynomial</a>" από το <a href="/wiki/MathWorld" title="MathWorld">MathWorld</a>. </li> <li id="cite_note-Knapp-12"><a href="#cite_ref-Knapp_12-0">↑</a> <cite class="citation book">Anthony W. Knapp (2007). Advanced Algebra: Along with a Companion Volume Basic Algebra. Springer. σελ. 457. <a href="/wiki/%CE%94%CE%B9%CE%B5%CE%B8%CE%BD%CE%AE%CF%82_%CF%80%CF%81%CF%8C%CF%84%CF%85%CF%80%CE%BF%CF%82_%CE%B1%CF%81%CE%B9%CE%B8%CE%BC%CF%8C%CF%82_%CE%B2%CE%B9%CE%B2%CE%BB%CE%AF%CE%BF%CF%85" title="Διεθνής πρότυπος αριθμός βιβλίου">ISBN</a> <a href="/wiki/%CE%95%CE%B9%CE%B4%CE%B9%CE%BA%CF%8C:%CE%A0%CE%B7%CE%B3%CE%AD%CF%82%CE%92%CE%B9%CE%B2%CE%BB%CE%AF%CF%89%CE%BD/0-8176-4522-5" title="Ειδικό:ΠηγέςΒιβλίων/0-8176-4522-5">0-8176-4522-5</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Advanced+Algebra%3A+Along+with+a+Companion+Volume+Basic+Algebra&rft.pages=457&rft.pub=Springer&rft.date=2007&rft.isbn=0-8176-4522-5&rft.au=Anthony+W.+Knapp&rfr_id=info%3Asid%2Fel.wikipedia.org%3A%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF" class="Z3988">  </li> </ol></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Εξωτερικοί_σύνδεσμοι_2">Εξωτερικοί σύνδεσμοι</h2>[<a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&veaction=edit&section=48" title="Επεξεργασία ενότητας: Εξωτερικοί σύνδεσμοι" class="mw-editsection-visualeditor">Επεξεργασία</a> | <a href="/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&action=edit&section=48" title="Επεξεργαστείτε τον πηγαίο κώδικα της ενότητας: Εξωτερικοί σύνδεσμοι">επεξεργασία κώδικα</a>]</div> <ul><li><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/12px-Commons-logo.svg.png" decoding="async" width="12" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/18px-Commons-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/24px-Commons-logo.svg.png 2x" data-file-width="1024" data-file-height="1376" /> Πολυμέσα σχετικά με το θέμα <a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Polynomials" class="extiw" title="commons:Category:Polynomials"> Polynomials</a> στο Wikimedia Commons</li> <li><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/de/Wiktionary-logo-el-without-text.svg/16px-Wiktionary-logo-el-without-text.svg.png" decoding="async" width="16" height="15" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/de/Wiktionary-logo-el-without-text.svg/24px-Wiktionary-logo-el-without-text.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/de/Wiktionary-logo-el-without-text.svg/32px-Wiktionary-logo-el-without-text.svg.png 2x" data-file-width="370" data-file-height="350" /> Λεξιλογικός ορισμός του <a href="https://el.wiktionary.org/wiki/el:%CF%80%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF" class="extiw" title="wikt:el:πολυώνυμο">πολυώνυμο </a> στο Βικιλεξικό</li></ul> <div class="navbox-styles"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r10730911">.mw-parser-output .navbox{box-sizing:border-box;border:1px solid #a2a9b1;width:100%;clear:both;font-size:88%;text-align:center;padding:1px;margin:1em auto 0}.mw-parser-output .navbox .navbox{margin-top:0}.mw-parser-output .navbox+.navbox,.mw-parser-output .navbox+.navbox-styles+.navbox{margin-top:-1px}.mw-parser-output .navbox-inner,.mw-parser-output .navbox-subgroup{width:100%}.mw-parser-output .navbox-group,.mw-parser-output .navbox-title,.mw-parser-output .navbox-abovebelow{padding:0.25em 1em;line-height:1.5em;text-align:center}.mw-parser-output .navbox-group{white-space:nowrap;text-align:right}.mw-parser-output .navbox,.mw-parser-output .navbox-subgroup{background-color:#fdfdfd}.mw-parser-output .navbox-list{line-height:1.5em;border-color:#fdfdfd}.mw-parser-output .navbox-list-with-group{text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid}.mw-parser-output tr+tr>.navbox-abovebelow,.mw-parser-output tr+tr>.navbox-group,.mw-parser-output tr+tr>.navbox-image,.mw-parser-output tr+tr>.navbox-list{border-top:2px solid #fdfdfd}.mw-parser-output .navbox-title{background-color:#ccf}.mw-parser-output .navbox-abovebelow,.mw-parser-output .navbox-group,.mw-parser-output .navbox-subgroup .navbox-title{background-color:#ddf}.mw-parser-output .navbox-subgroup .navbox-group,.mw-parser-output .navbox-subgroup .navbox-abovebelow{background-color:#e6e6ff}.mw-parser-output .navbox-even{background-color:#f7f7f7}.mw-parser-output .navbox-odd{background-color:transparent}.mw-parser-output .navbox .hlist td dl,.mw-parser-output .navbox .hlist td ol,.mw-parser-output .navbox .hlist td ul,.mw-parser-output .navbox td.hlist dl,.mw-parser-output .navbox td.hlist ol,.mw-parser-output .navbox td.hlist ul{padding:0.125em 0}.mw-parser-output .navbox .navbar{display:block;font-size:100%}.mw-parser-output .navbox-title .navbar{float:left;text-align:left;margin-right:0.5em}body.skin--responsive .mw-parser-output .navbox-image img{max-width:none!important}@media print{body.ns-0 .mw-parser-output .navbox{display:none!important}}</style></div><div role="navigation" class="navbox" aria-label="Navbox" style="padding:3px"><table class="nowraplinks noprint navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><td colspan="2" class="navbox-list navbox-odd" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"><ul><li style="display:inline;white-space:nowrap"><a href="/wiki/%CE%A0%CF%8D%CE%BB%CE%B7:%CE%9C%CE%B1%CE%B8%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AC" title="Πύλη:Μαθηματικά"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3e/Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg/32px-Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg.png" decoding="async" width="32" height="32" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3e/Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg/48px-Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3e/Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg/64px-Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg.png 2x" data-file-width="128" data-file-height="128" /></a><a href="/wiki/%CE%A0%CF%8D%CE%BB%CE%B7:%CE%9C%CE%B1%CE%B8%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AC" title="Πύλη:Μαθηματικά">Πύλη:Μαθηματικά</a></li></ul></div></td></tr></tbody></table></div> <div class="navbox-styles"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r10387572">.mw-parser-output .hlist dl,.mw-parser-output .hlist ol,.mw-parser-output .hlist ul{margin:0;padding:0}.mw-parser-output .hlist dd,.mw-parser-output .hlist dt,.mw-parser-output .hlist li{margin:0;display:inline}.mw-parser-output .hlist.inline,.mw-parser-output .hlist.inline dl,.mw-parser-output .hlist.inline ol,.mw-parser-output .hlist.inline ul,.mw-parser-output .hlist dl dl,.mw-parser-output .hlist dl ol,.mw-parser-output .hlist dl ul,.mw-parser-output .hlist ol dl,.mw-parser-output .hlist ol ol,.mw-parser-output .hlist ol ul,.mw-parser-output .hlist ul dl,.mw-parser-output .hlist ul ol,.mw-parser-output .hlist ul ul{display:inline}.mw-parser-output .hlist .mw-empty-li{display:none}.mw-parser-output .hlist dt::after{content:": "}.mw-parser-output .hlist dd::after,.mw-parser-output .hlist li::after{content:" · ";font-weight:bold}.mw-parser-output .hlist dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li:last-child::after{content:none}.mw-parser-output .hlist dd dd:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dd dt:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dd li:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dt dd:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dt dt:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dt li:first-child::before,.mw-parser-output .hlist li dd:first-child::before,.mw-parser-output .hlist li dt:first-child::before,.mw-parser-output .hlist li li:first-child::before{content:" (";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist dd dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dd dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dd li:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt li:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li li:last-child::after{content:")";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist ol{counter-reset:listitem}.mw-parser-output .hlist ol>li{counter-increment:listitem}.mw-parser-output .hlist ol>li::before{content:" "counter(listitem)"\a0 "}.mw-parser-output .hlist dd ol>li:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dt ol>li:first-child::before,.mw-parser-output .hlist li ol>li:first-child::before{content:" ("counter(listitem)"\a0 "}</style><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r10730911"></div><div role="navigation" class="navbox" aria-labelledby="Καθιερωμένοι_όροι" style="padding:3px"><table class="nowraplinks hlist navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th id="Καθιερωμένοι_όροι" scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%CE%9A%CE%B1%CF%84%CE%AC%CE%BB%CE%BF%CE%B3%CE%BF%CF%82_%CE%BA%CE%B1%CE%B8%CE%B9%CE%B5%CF%81%CF%89%CE%BC%CE%AD%CE%BD%CF%89%CE%BD_%CF%8C%CF%81%CF%89%CE%BD" title="Κατάλογος καθιερωμένων όρων">Καθιερωμένοι όροι</a></th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-odd" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/Library_of_Congress_Control_Number" class="mw-redirect" title="Library of Congress Control Number">LCCN</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://id.loc.gov/authorities/subjects/sh85104702">sh85104702</a></li> <li><a href="/wiki/Biblioth%C3%A8que_nationale_de_France" class="mw-redirect" title="Bibliothèque nationale de France">BNF</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb119786822">cb119786822</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://data.bnf.fr/ark:/12148/cb119786822">(data)</a></li> <li><a href="/wiki/National_Diet_Library" class="mw-redirect" title="National Diet Library">NDL</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://id.ndl.go.jp/auth/ndlna/00572625">00572625</a></li> <li><a href="/wiki/National_Library_of_the_Czech_Republic" class="mw-redirect" title="National Library of the Czech Republic">NKC</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://aleph.nkp.cz/F/?func=find-c&local_base=aut&ccl_term=ica=ph135425&CON_LNG=ENG">ph135425</a></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Ανακτήθηκε από "<a dir="ltr" href="https://el.wikipedia.org/w/index.php?title=Πολυώνυμο&oldid=10812521">https://el.wikipedia.org/w/index.php?title=Πολυώνυμο&oldid=10812521</a>"</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/%CE%95%CE%B9%CE%B4%CE%B9%CE%BA%CF%8C:%CE%9A%CE%B1%CF%84%CE%B7%CE%B3%CE%BF%CF%81%CE%AF%CE%B5%CF%82" title="Ειδικό:Κατηγορίες">Κατηγορίες</a>: <ul><li><a href="/wiki/%CE%9A%CE%B1%CF%84%CE%B7%CE%B3%CE%BF%CF%81%CE%AF%CE%B1:%CE%86%CE%BB%CE%B3%CE%B5%CE%B2%CF%81%CE%B1" title="Κατηγορία:Άλγεβρα">Άλγεβρα</a></li><li><a href="/wiki/%CE%9A%CE%B1%CF%84%CE%B7%CE%B3%CE%BF%CF%81%CE%AF%CE%B1:%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%B1" title="Κατηγορία:Πολυώνυμα">Πολυώνυμα</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Κρυμμένες κατηγορίες: <ul><li><a href="/wiki/%CE%9A%CE%B1%CF%84%CE%B7%CE%B3%CE%BF%CF%81%CE%AF%CE%B1:%CE%A3%CE%B5%CE%BB%CE%AF%CE%B4%CE%B5%CF%82_%CF%80%CE%BF%CF%85_%CF%87%CF%81%CE%B7%CF%83%CE%B9%CE%BC%CE%BF%CF%80%CE%BF%CE%B9%CE%BF%CF%8D%CE%BD_%CE%BC%CE%B1%CE%B3%CE%B9%CE%BA%CE%BF%CF%8D%CF%82_%CF%83%CF%85%CE%BD%CE%B4%CE%AD%CF%83%CE%BC%CE%BF%CF%85%CF%82_ISBN" title="Κατηγορία:Σελίδες που χρησιμοποιούν μαγικούς συνδέσμους ISBN">Σελίδες που χρησιμοποιούν μαγικούς συνδέσμους ISBN</a></li><li><a href="/wiki/%CE%9A%CE%B1%CF%84%CE%B7%CE%B3%CE%BF%CF%81%CE%AF%CE%B1:%CE%9B%CE%AE%CE%BC%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B1_%CE%92%CE%B9%CE%BA%CE%B9%CF%80%CE%B1%CE%AF%CE%B4%CE%B5%CE%B9%CE%B1%CF%82_%CE%BC%CE%B5_%CE%B1%CE%BD%CE%B1%CE%B3%CE%BD%CF%89%CF%81%CE%B9%CF%83%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AC_LCCN" title="Κατηγορία:Λήμματα Βικιπαίδειας με αναγνωριστικά LCCN">Λήμματα Βικιπαίδειας με αναγνωριστικά LCCN</a></li><li><a href="/wiki/%CE%9A%CE%B1%CF%84%CE%B7%CE%B3%CE%BF%CF%81%CE%AF%CE%B1:%CE%9B%CE%AE%CE%BC%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B1_%CE%92%CE%B9%CE%BA%CE%B9%CF%80%CE%B1%CE%AF%CE%B4%CE%B5%CE%B9%CE%B1%CF%82_%CE%BC%CE%B5_%CE%B1%CE%BD%CE%B1%CE%B3%CE%BD%CF%89%CF%81%CE%B9%CF%83%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AC_BNF" title="Κατηγορία:Λήμματα Βικιπαίδειας με αναγνωριστικά BNF">Λήμματα Βικιπαίδειας με αναγνωριστικά BNF</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> Τελευταία τροποποίηση 12:16, 30 Οκτωβρίου 2024.</li> <li id="footer-info-copyright">Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την <a rel="nofollow" class="external text" href="//creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.el">Creative Commons Attribution-ShareAlike License</a>· μπορεί να ισχύουν και πρόσθετοι όροι. Χρησιμοποιώντας αυτό τον ιστότοπο, συμφωνείτε στους <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Terms_of_Use/el">Όρους Χρήσης</a> και την <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy">Πολιτική Ιδιωτικότητας</a>. Το Wikipedia® είναι καταχωρημένο σήμα του <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.wikimediafoundation.org/">Wikimedia Foundation, Inc.</a>, ενός μη κερδοσκοπικού οργανισμού.</li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy">Πολιτική προσωπικών δεδομένων</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/%CE%92%CE%B9%CE%BA%CE%B9%CF%80%CE%B1%CE%AF%CE%B4%CE%B5%CE%B9%CE%B1:%CE%A3%CF%87%CE%B5%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AC">Για τη Βικιπαίδεια</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/%CE%92%CE%B9%CE%BA%CE%B9%CF%80%CE%B1%CE%AF%CE%B4%CE%B5%CE%B9%CE%B1:%CE%91%CF%80%CE%BF%CF%80%CE%BF%CE%AF%CE%B7%CF%83%CE%B7_%CE%B5%CF%85%CE%B8%CF%85%CE%BD%CF%8E%CE%BD">Αποποίηση ευθυνών</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">Κώδικας συμπεριφοράς</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Προγραμματιστές</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/el.wikipedia.org">Στατιστικά</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">Δήλωση cookie</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//el.m.wikipedia.org/w/index.php?title=%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Προβολή κινητού</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> </div> </div> </div> <div class="vector-settings" id="p-dock-bottom"> <ul></ul> </div><script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-57488d5c7d-rrfjt","wgBackendResponseTime":211,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.429","walltime":"0.698","ppvisitednodes":{"value":7654,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":79582,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":16584,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":16,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":0,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":0,"limit":20},"unstrip-size":{"value":26525,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":1,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 317.354 1 -total"," 18.96% 60.166 1 Πρότυπο:Authority_control"," 17.66% 56.054 9 Πρότυπο:Cite_book"," 16.82% 53.366 9 Πρότυπο:Cite_journal"," 15.97% 50.684 10 Πρότυπο:Citation/core"," 12.77% 40.533 1 Πρότυπο:Portal_bar"," 6.19% 19.629 5 Πρότυπο:Anchor"," 6.03% 19.129 1 Πρότυπο:Springer"," 4.90% 15.559 1 Πρότυπο:Citation"," 2.66% 8.445 1 Πρότυπο:Commonscat2"]},"scribunto":{"limitreport-timeusage":{"value":"0.117","limit":"10.000"},"limitreport-memusage":{"value":2669742,"limit":52428800}},"cachereport":{"origin":"mw-web.eqiad.main-68db4b6789-9qqpm","timestamp":"20241126053054","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"\u03a0\u03bf\u03bb\u03c5\u03ce\u03bd\u03c5\u03bc\u03bf","url":"https:\/\/el.wikipedia.org\/wiki\/%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q43260","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q43260","author":{"@type":"Organization","name":"\u03a3\u03c5\u03bd\u03b5\u03b9\u03c3\u03c6\u03ad\u03c1\u03bf\u03bd\u03c4\u03b5\u03c2 \u03c3\u03c4\u03b1 \u03b5\u03b3\u03c7\u03b5\u03b9\u03c1\u03ae\u03bc\u03b1\u03c4\u03b1 Wikimedia"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Wikimedia Foundation, Inc.","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2007-07-27T16:49:00Z","dateModified":"2024-10-30T12:16:54Z","image":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/a\/a3\/Polynomialdeg3.svg","headline":"\u03bc\u03b1\u03b8\u03b7\u03bc\u03b1\u03c4\u03b9\u03ba\u03ae \u03c0\u03b1\u03c1\u03ac\u03c3\u03c4\u03b1\u03c3\u03b7 \u03b7 \u03bf\u03c0\u03bf\u03af\u03b1 \u03b5\u03af\u03bd\u03b1\u03b9 \u03c4\u03bf \u03ac\u03b8\u03c1\u03bf\u03b9\u03c3\u03bc\u03b1 \u03b3\u03b9\u03bd\u03bf\u03bc\u03ad\u03bd\u03c9\u03bd \u03bc\u03b5\u03c4\u03b1\u03b2\u03bb\u03b7\u03c4\u03ce\u03bd \u03ba\u03b1\u03b9 \u03c3\u03c4\u03b1\u03b8\u03b5\u03c1\u03ce\u03bd"}</script> </body> </html>