CINXE.COM

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-disabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available" lang="hu" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Osztály (halmazelmélet) – Wikipédia</title> <script>(function(){var className="client-js vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-disabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )huwikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t."," \t,"],"wgDigitTransformTable":["",""], "wgDefaultDateFormat":"ymd","wgMonthNames":["","január","február","március","április","május","június","július","augusztus","szeptember","október","november","december"],"wgRequestId":"b6b2aa47-3ac0-4ac2-9670-ca51bf5589a9","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Osztály_(halmazelmélet)","wgTitle":"Osztály (halmazelmélet)","wgCurRevisionId":26050586,"wgRevisionId":26050586,"wgArticleId":69711,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":["Forrással nem rendelkező lapok","Halmazelmélet"],"wgPageViewLanguage":"hu","wgPageContentLanguage":"hu","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Osztály_(halmazelmélet)","wgRelevantArticleId":69711,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgFlaggedRevsParams":{ "tags":{"accuracy":{"levels":2}}},"wgStableRevisionId":26050586,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"hu","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"hu"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":9000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgCentralAuthMobileDomain":false,"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":false,"wgVector2022LanguageInHeader":true,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q217594","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={ "ext.gadget.infobox":"ready","ext.gadget.wikiMenuStyles":"ready","ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.math.styles":"ready","skins.vector.search.codex.styles":"ready","skins.vector.styles":"ready","skins.vector.icons":"ready","ext.flaggedRevs.basic":"ready","mediawiki.codex.messagebox.styles":"ready","ext.wikimediamessages.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["site","mediawiki.page.ready","mediawiki.toc","skins.vector.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.flaggedRevs.advanced","ext.gadget.wdsearch","ext.gadget.irclogin","ext.gadget.ImageAnnotator.loader","ext.gadget.collapsible","ext.gadget.kepdia","ext.gadget.kinai","ext.gadget.poziciosTerkep","ext.gadget.wikiMenu","ext.gadget.wiwosm", "ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.cx.uls.quick.actions","wikibase.client.vector-2022","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","oojs-ui.styles.icons-media","oojs-ui-core.icons","wikibase.sidebar.tracking"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); }];});});</script> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=hu&modules=ext.flaggedRevs.basic%7Cext.math.styles%7Cext.uls.interlanguage%7Cext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript%7Cext.wikimediaBadges%7Cext.wikimediamessages.styles%7Cmediawiki.codex.messagebox.styles%7Cskins.vector.icons%2Cstyles%7Cskins.vector.search.codex.styles%7Cwikibase.client.init&only=styles&skin=vector-2022"> <script async="" src="/w/load.php?lang=hu&modules=startup&only=scripts&raw=1&skin=vector-2022"></script> <meta name="ResourceLoaderDynamicStyles" content=""> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=hu&modules=ext.gadget.infobox%2CwikiMenuStyles&only=styles&skin=vector-2022"> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=hu&modules=site.styles&only=styles&skin=vector-2022"> <meta name="generator" content="MediaWiki 1.44.0-wmf.4"> <meta name="referrer" content="origin"> <meta name="referrer" content="origin-when-cross-origin"> <meta name="robots" content="max-image-preview:standard"> <meta name="format-detection" content="telephone=no"> <meta name="viewport" content="width=1120"> <meta property="og:title" content="Osztály (halmazelmélet) – Wikipédia"> <meta property="og:type" content="website"> <link rel="preconnect" href="//upload.wikimedia.org"> <link rel="alternate" media="only screen and (max-width: 640px)" href="//hu.m.wikipedia.org/wiki/Oszt%C3%A1ly_(halmazelm%C3%A9let)"> <link rel="alternate" type="application/x-wiki" title="Szerkesztés" href="/w/index.php?title=Oszt%C3%A1ly_(halmazelm%C3%A9let)&action=edit"> <link rel="apple-touch-icon" href="/static/apple-touch/wikipedia.png"> <link rel="icon" href="/static/favicon/wikipedia.ico"> <link rel="search" type="application/opensearchdescription+xml" href="/w/rest.php/v1/search" title="Wikipédia (hu)"> <link rel="EditURI" type="application/rsd+xml" href="//hu.wikipedia.org/w/api.php?action=rsd"> <link rel="canonical" href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Oszt%C3%A1ly_(halmazelm%C3%A9let)"> <link rel="license" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.hu"> <link rel="alternate" type="application/atom+xml" title="Wikipédia Atom-hírcsatorna" href="/w/index.php?title=Speci%C3%A1lis:Friss_v%C3%A1ltoztat%C3%A1sok&feed=atom"> <link rel="dns-prefetch" href="//meta.wikimedia.org" /> <link rel="dns-prefetch" href="//login.wikimedia.org"> </head> <body class="skin--responsive skin-vector skin-vector-search-vue mediawiki ltr sitedir-ltr mw-hide-empty-elt ns-0 ns-subject mw-editable page-Osztály_halmazelmélet rootpage-Osztály_halmazelmélet skin-vector-2022 action-view"><a class="mw-jump-link" href="#bodyContent">Ugrás a tartalomhoz</a> <div class="vector-header-container"> <header class="vector-header mw-header"> <div class="vector-header-start"> <nav class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Wiki"> <div id="vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown vector-main-menu-dropdown vector-button-flush-left vector-button-flush-right" > <input type="checkbox" id="vector-main-menu-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Főmenü" > <label id="vector-main-menu-dropdown-label" for="vector-main-menu-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-menu mw-ui-icon-wikimedia-menu"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Főmenü</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-main-menu-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-main-menu" class="vector-main-menu vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-main-menu-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="main-menu-pinned" data-pinnable-element-id="vector-main-menu" data-pinned-container-id="vector-main-menu-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-main-menu-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Főmenü</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.pin">áthelyezés az oldalsávba</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.unpin">elrejtés</button> </div> <div id="p-navigation" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-navigation" > <div class="vector-menu-heading"> Navigáció </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-mainpage-description" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Kezd%C5%91lap" title="A kezdőlap megtekintése [z]" accesskey="z"><span>Kezdőlap</span></a></li><li id="n-sidebar-contents" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Tartalom"><span>Tartalom</span></a></li><li id="n-sidebar-featured" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Kiemelt_sz%C3%B3cikkek_list%C3%A1ja"><span>Kiemelt szócikkek</span></a></li><li id="n-recentchanges" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Speci%C3%A1lis:Friss_v%C3%A1ltoztat%C3%A1sok" title="A wikiben történt legutóbbi változtatások listája [r]" accesskey="r"><span>Friss változtatások</span></a></li><li id="n-randompage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Speci%C3%A1lis:Lap_tal%C3%A1lomra" title="Egy véletlenszerűen kiválasztott lap betöltése [x]" accesskey="x"><span>Lap találomra</span></a></li><li id="n-sidebar-enquiries" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Tudakoz%C3%B3"><span>Tudakozó</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-sidebar-participate" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-sidebar-participate" > <div class="vector-menu-heading"> Részvétel </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-sidebar-basics" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:%C3%9Aj_szerkeszt%C5%91knek"><span>Kezdőknek</span></a></li><li id="n-sidebar-help" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Seg%C3%ADts%C3%A9g"><span>Segítség</span></a></li><li id="n-portal" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Port%C3%A1l:K%C3%B6z%C3%B6ss%C3%A9g" title="A projektről, miben segíthetsz, mit hol találsz meg"><span>Közösségi portál</span></a></li><li id="n-sidebar-contact" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Kapcsolatfelv%C3%A9tel"><span>Kapcsolatfelvétel</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> <a href="/wiki/Kezd%C5%91lap" class="mw-logo"> <img class="mw-logo-icon" src="/static/images/icons/wikipedia.png" alt="" aria-hidden="true" height="50" width="50"> <span class="mw-logo-container skin-invert"> <img class="mw-logo-wordmark" alt="Wikipédia" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-wordmark-fr.svg" style="width: 7.4375em; height: 1.125em;"> <img class="mw-logo-tagline" alt="" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-tagline-hu.svg" width="120" height="13" style="width: 7.5em; height: 0.8125em;"> </span> </a> </div> <div class="vector-header-end"> <div id="p-search" role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-collapses vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box-auto-expand-width vector-search-box"> <a href="/wiki/Speci%C3%A1lis:Keres%C3%A9s" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only search-toggle" title="Keresés a Wikipédián [f]" accesskey="f"><span class="vector-icon mw-ui-icon-search mw-ui-icon-wikimedia-search"></span> <span>Keresés</span> </a> <div class="vector-typeahead-search-container"> <div class="cdx-typeahead-search cdx-typeahead-search--show-thumbnail cdx-typeahead-search--auto-expand-width"> <form action="/w/index.php" id="searchform" class="cdx-search-input cdx-search-input--has-end-button"> <div id="simpleSearch" class="cdx-search-input__input-wrapper" data-search-loc="header-moved"> <div class="cdx-text-input cdx-text-input--has-start-icon"> <input class="cdx-text-input__input" type="search" name="search" placeholder="Keresés a Wikipédián" aria-label="Keresés a Wikipédián" autocapitalize="sentences" title="Keresés a Wikipédián [f]" accesskey="f" id="searchInput" > <span class="cdx-text-input__icon cdx-text-input__start-icon"></span> </div> <input type="hidden" name="title" value="Speciális:Keresés"> </div> <button class="cdx-button cdx-search-input__end-button">Keresés</button> </form> </div> </div> </div> <nav class="vector-user-links vector-user-links-wide" aria-label="Személyes eszközök"> <div class="vector-user-links-main"> <div id="p-vector-user-menu-preferences" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-userpage" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Megjelenés"> <div id="vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown " title="Change the appearance of the page's font size, width, and color" > <input type="checkbox" id="vector-appearance-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Megjelenés" > <label id="vector-appearance-dropdown-label" for="vector-appearance-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-appearance mw-ui-icon-wikimedia-appearance"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Megjelenés</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-appearance-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <div id="p-vector-user-menu-notifications" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-overflow" class="vector-menu mw-portlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_hu.wikipedia.org&uselang=hu" class=""><span>Adományok</span></a> </li> <li id="pt-createaccount-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Speci%C3%A1lis:Szerkeszt%C5%91i_fi%C3%B3k_l%C3%A9trehoz%C3%A1sa&returnto=Oszt%C3%A1ly+%28halmazelm%C3%A9let%29" title="Arra bíztatunk, hogy hozz létre egy fiókot, és jelentkezz be, azonban ez nem kötelező" class=""><span>Fiók létrehozása</span></a> </li> <li id="pt-login-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Speci%C3%A1lis:Bel%C3%A9p%C3%A9s&returnto=Oszt%C3%A1ly+%28halmazelm%C3%A9let%29" title="Bejelentkezni javasolt, de nem kötelező [o]" accesskey="o" class=""><span>Bejelentkezés</span></a> </li> </ul> </div> </div> </div> <div id="vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown vector-user-menu vector-button-flush-right vector-user-menu-logged-out" title="További lehetőségek" > <input type="checkbox" id="vector-user-links-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Személyes eszközök" > <label id="vector-user-links-dropdown-label" for="vector-user-links-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-ellipsis mw-ui-icon-wikimedia-ellipsis"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Személyes eszközök</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-personal" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-personal user-links-collapsible-item" title="Felhasználói menü" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_hu.wikipedia.org&uselang=hu"><span>Adományok</span></a></li><li id="pt-createaccount" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Speci%C3%A1lis:Szerkeszt%C5%91i_fi%C3%B3k_l%C3%A9trehoz%C3%A1sa&returnto=Oszt%C3%A1ly+%28halmazelm%C3%A9let%29" title="Arra bíztatunk, hogy hozz létre egy fiókot, és jelentkezz be, azonban ez nem kötelező"><span class="vector-icon mw-ui-icon-userAdd mw-ui-icon-wikimedia-userAdd"></span> <span>Fiók létrehozása</span></a></li><li id="pt-login" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Speci%C3%A1lis:Bel%C3%A9p%C3%A9s&returnto=Oszt%C3%A1ly+%28halmazelm%C3%A9let%29" title="Bejelentkezni javasolt, de nem kötelező [o]" accesskey="o"><span class="vector-icon mw-ui-icon-logIn mw-ui-icon-wikimedia-logIn"></span> <span>Bejelentkezés</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-user-menu-anon-editor" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-user-menu-anon-editor" > <div class="vector-menu-heading"> Lapok kijelentkezett szerkesztőknek <a href="/wiki/Seg%C3%ADts%C3%A9g:Bevezet%C3%A9s" aria-label="Tudj meg többet a szerkesztésről"><span>további információk</span></a> </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Speci%C3%A1lis:K%C3%B6zrem%C5%B1k%C3%B6d%C3%A9seim" title="Erről az IP-címről végrehajtott szerkesztések listája [y]" accesskey="y"><span>Közreműködések</span></a></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Speci%C3%A1lis:Vit%C3%A1m" title="Az általad használt IP-címről végrehajtott szerkesztések megvitatása [n]" accesskey="n"><span>Vitalap</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </header> </div> <div class="mw-page-container"> <div class="mw-page-container-inner"> <div class="vector-sitenotice-container"> <div id="siteNotice"></div> </div> <div class="vector-column-start"> <div class="vector-main-menu-container"> <div id="mw-navigation"> <nav id="mw-panel" class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Wiki"> <div id="vector-main-menu-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> </div> </div> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav id="mw-panel-toc" aria-label="Tartalomjegyzék" data-event-name="ui.sidebar-toc" class="mw-table-of-contents-container vector-toc-landmark"> <div id="vector-toc-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-toc" class="vector-toc vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-toc-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="toc-pinned" data-pinnable-element-id="vector-toc" > <h2 class="vector-pinnable-header-label">Tartalomjegyzék</h2> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.pin">áthelyezés az oldalsávba</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.unpin">elrejtés</button> </div> <ul class="vector-toc-contents" id="mw-panel-toc-list"> <li id="toc-mw-content-text" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a href="#" class="vector-toc-link"> <div class="vector-toc-text">Bevezető</div> </a> </li> <li id="toc-Halmazok_és_osztályok" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Halmazok_és_osztályok"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1</span> <span>Halmazok és osztályok</span> </div> </a> <ul id="toc-Halmazok_és_osztályok-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Osztályok_a_formális_nyelvi_halmazelméletben" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Osztályok_a_formális_nyelvi_halmazelméletben"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>Osztályok a formális nyelvi halmazelméletben</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Osztályok_a_formális_nyelvi_halmazelméletben-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>A(z) Osztályok a formális nyelvi halmazelméletben alszakasz kinyitása/becsukása</span> </button> <ul id="toc-Osztályok_a_formális_nyelvi_halmazelméletben-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Zermelo–Fraenkel-halmazelmélet" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Zermelo–Fraenkel-halmazelmélet"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.1</span> <span>Zermelo–Fraenkel-halmazelmélet</span> </div> </a> <ul id="toc-Zermelo–Fraenkel-halmazelmélet-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélet" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélet"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.2</span> <span>Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélet</span> </div> </a> <ul id="toc-Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélet-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Műveletek_osztályokkal" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Műveletek_osztályokkal"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>Műveletek osztályokkal</span> </div> </a> <ul id="toc-Műveletek_osztályokkal-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Egyszerű_osztálykalkulus" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Egyszerű_osztálykalkulus"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>Egyszerű osztálykalkulus</span> </div> </a> <ul id="toc-Egyszerű_osztálykalkulus-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Külső_hivatkozások" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Külső_hivatkozások"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>Külső hivatkozások</span> </div> </a> <ul id="toc-Külső_hivatkozások-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Tartalomjegyzék" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Tartalomjegyzék kinyitása/becsukása" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Tartalomjegyzék kinyitása/becsukása</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Osztály (halmazelmélet)</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Ugrás egy más nyelvű szócikkre. Elérhető 30 nyelven" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-30" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">30 nyelv</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Class_(set_theory)" title="Class (set theory) – angol" lang="en" hreflang="en" data-title="Class (set theory)" data-language-autonym="English" data-language-local-name="angol" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Classe_(matem%C3%A0tiques)" title="Classe (matemàtiques) – katalán" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Classe (matemàtiques)" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="katalán" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/T%C5%99%C3%ADda_(matematika)" title="Třída (matematika) – cseh" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Třída (matematika)" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="cseh" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Klasse_(matematik)" title="Klasse (matematik) – dán" lang="da" hreflang="da" data-title="Klasse (matematik)" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="dán" class="interlanguage-link-target"><span>Dansk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Klasse_(Mengenlehre)" title="Klasse (Mengenlehre) – német" lang="de" hreflang="de" data-title="Klasse (Mengenlehre)" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="német" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Clase_(teor%C3%ADa_de_conjuntos)" title="Clase (teoría de conjuntos) – spanyol" lang="es" hreflang="es" data-title="Clase (teoría de conjuntos)" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="spanyol" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Klass_(matemaatika)" title="Klass (matemaatika) – észt" lang="et" hreflang="et" data-title="Klass (matemaatika)" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="észt" class="interlanguage-link-target"><span>Eesti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%DA%A9%D9%84%D8%A7%D8%B3_(%D9%86%D8%B8%D8%B1%DB%8C%D9%87_%D9%85%D8%AC%D9%85%D9%88%D8%B9%D9%87%E2%80%8C%D9%87%D8%A7)" title="کلاس (نظریه مجموعه‌ها) – perzsa" lang="fa" hreflang="fa" data-title="کلاس (نظریه مجموعه‌ها)" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="perzsa" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Luokka_(matematiikka)" title="Luokka (matematiikka) – finn" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Luokka (matematiikka)" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="finn" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Classe_(math%C3%A9matiques)" title="Classe (mathématiques) – francia" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Classe (mathématiques)" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="francia" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%97%D7%9C%D7%A7%D7%94_(%D7%AA%D7%95%D7%A8%D7%AA_%D7%94%D7%A7%D7%91%D7%95%D7%A6%D7%95%D7%AA)" title="מחלקה (תורת הקבוצות) – héber" lang="he" hreflang="he" data-title="מחלקה (תורת הקבוצות)" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="héber" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Klasa_(matematika)" title="Klasa (matematika) – horvát" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Klasa (matematika)" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="horvát" class="interlanguage-link-target"><span>Hrvatski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D4%B4%D5%A1%D5%BD_(%D5%A2%D5%A1%D5%A6%D5%B4%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6%D5%B6%D5%A5%D6%80%D5%AB_%D5%BF%D5%A5%D5%BD%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6)" title="Դաս (բազմությունների տեսություն) – örmény" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Դաս (բազմությունների տեսություն)" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="örmény" class="interlanguage-link-target"><span>Հայերեն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Kelas_(teori_himpunan)" title="Kelas (teori himpunan) – indonéz" lang="id" hreflang="id" data-title="Kelas (teori himpunan)" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="indonéz" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Classe_(matematica)" title="Classe (matematica) – olasz" lang="it" hreflang="it" data-title="Classe (matematica)" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="olasz" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%82%B9_(%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96)" title="クラス (集合論) – japán" lang="ja" hreflang="ja" data-title="クラス (集合論)" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japán" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%AA%A8%EC%9E%84_(%EC%A7%91%ED%95%A9%EB%A1%A0)" title="모임 (집합론) – koreai" lang="ko" hreflang="ko" data-title="모임 (집합론)" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="koreai" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lmo mw-list-item"><a href="https://lmo.wikipedia.org/wiki/Classa_(matem%C3%A0tica)" title="Classa (matemàtica) – lombard" lang="lmo" hreflang="lmo" data-title="Classa (matemàtica)" data-language-autonym="Lombard" data-language-local-name="lombard" class="interlanguage-link-target"><span>Lombard</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Klasse_(verzamelingenleer)" title="Klasse (verzamelingenleer) – holland" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Klasse (verzamelingenleer)" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="holland" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Klasse_i_matematikk" title="Klasse i matematikk – norvég (nynorsk)" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Klasse i matematikk" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="norvég (nynorsk)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Klasa_(matematyka)" title="Klasa (matematyka) – lengyel" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Klasa (matematyka)" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="lengyel" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Classe_(teoria_dos_conjuntos)" title="Classe (teoria dos conjuntos) – portugál" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Classe (teoria dos conjuntos)" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portugál" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Clas%C4%83_(matematic%C4%83)" title="Clasă (matematică) – román" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Clasă (matematică)" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="román" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Класс (математика) – orosz" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Класс (математика)" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="orosz" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Razred_(teorija_mno%C5%BEic)" title="Razred (teorija množic) – szlovén" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Razred (teorija množic)" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="szlovén" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Klass_(matematik)" title="Klass (matematik) – svéd" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Klass (matematik)" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="svéd" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%A4%E0%AF%8A%E0%AE%95%E0%AF%81%E0%AE%A4%E0%AE%BF_(%E0%AE%95%E0%AE%A3%E0%AE%95%E0%AF%8D_%E0%AE%95%E0%AF%8B%E0%AE%9F%E0%AF%8D%E0%AE%AA%E0%AE%BE%E0%AE%9F%E0%AF%81)" title="தொகுதி (கணக் கோட்பாடு) – tamil" lang="ta" hreflang="ta" data-title="தொகுதி (கணக் கோட்பாடு)" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="tamil" class="interlanguage-link-target"><span>தமிழ்</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BB%D0%B0%D1%81_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B8%D0%BD)" title="Клас (теорія множин) – ukrán" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Клас (теорія множин)" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ukrán" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/L%E1%BB%9Bp_(l%C3%BD_thuy%E1%BA%BFt_t%E1%BA%ADp_h%E1%BB%A3p)" title="Lớp (lý thuyết tập hợp) – vietnámi" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Lớp (lý thuyết tập hợp)" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="vietnámi" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%B1%BB_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="类 (数学) – kínai" lang="zh" hreflang="zh" data-title="类 (数学)" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="kínai" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q217594#sitelinks-wikipedia" title="Nyelvközi hivatkozások szerkesztése" class="wbc-editpage">Hivatkozások szerkesztése</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Névterek"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Oszt%C3%A1ly_(halmazelm%C3%A9let)" title="A lap megtekintése [c]" accesskey="c"><span>Szócikk</span></a></li><li id="ca-talk" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Vita:Oszt%C3%A1ly_(halmazelm%C3%A9let)" rel="discussion" title="Az oldal tartalmának megvitatása [t]" accesskey="t"><span>Vitalap</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input type="checkbox" id="vector-variants-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Nyelvvariáns váltása" > <label id="vector-variants-dropdown-label" for="vector-variants-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">magyar</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-variants" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation" class="vector-collapsible"> <nav aria-label="Nézetek"> <div id="p-views" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-views" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Oszt%C3%A1ly_(halmazelm%C3%A9let)"><span>Olvasás</span></a></li><li id="ca-edit" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Oszt%C3%A1ly_(halmazelm%C3%A9let)&action=edit" title="Az oldal forráskódjának szerkesztése [e]" accesskey="e"><span>Szerkesztés</span></a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Oszt%C3%A1ly_(halmazelm%C3%A9let)&action=history" title="A lap korábbi változatai [h]" accesskey="h"><span>Laptörténet</span></a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Oldal eszközök"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Eszközök" > <label id="vector-page-tools-dropdown-label" for="vector-page-tools-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">Eszközök</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-tools-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-page-tools" class="vector-page-tools vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-page-tools-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="page-tools-pinned" data-pinnable-element-id="vector-page-tools" data-pinned-container-id="vector-page-tools-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-page-tools-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Eszközök</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.pin">áthelyezés az oldalsávba</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.unpin">elrejtés</button> </div> <div id="p-cactions" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-has-collapsible-items" title="További lehetőségek" > <div class="vector-menu-heading"> Műveletek </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-more-view" class="selected vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/wiki/Oszt%C3%A1ly_(halmazelm%C3%A9let)"><span>Olvasás</span></a></li><li id="ca-more-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Oszt%C3%A1ly_(halmazelm%C3%A9let)&action=edit" title="Az oldal forráskódjának szerkesztése [e]" accesskey="e"><span>Szerkesztés</span></a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Oszt%C3%A1ly_(halmazelm%C3%A9let)&action=history"><span>Laptörténet</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> Általános </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Speci%C3%A1lis:Mi_hivatkozik_erre/Oszt%C3%A1ly_(halmazelm%C3%A9let)" title="Az erre a lapra hivatkozó más lapok listája [j]" accesskey="j"><span>Mi hivatkozik erre?</span></a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Speci%C3%A1lis:Kapcsol%C3%B3d%C3%B3_v%C3%A1ltoztat%C3%A1sok/Oszt%C3%A1ly_(halmazelm%C3%A9let)" rel="nofollow" title="Az erről a lapról hivatkozott lapok utolsó változtatásai [k]" accesskey="k"><span>Kapcsolódó változtatások</span></a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Speci%C3%A1lis:Speci%C3%A1lis_lapok" title="Az összes speciális lap listája [q]" accesskey="q"><span>Speciális lapok</span></a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Oszt%C3%A1ly_(halmazelm%C3%A9let)&oldid=26050586" title="Állandó hivatkozás ezen lap ezen változatához"><span>Hivatkozás erre a változatra</span></a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Oszt%C3%A1ly_(halmazelm%C3%A9let)&action=info" title="További információk erről a lapról"><span>Lapinformációk</span></a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Speci%C3%A1lis:Hivatkoz%C3%A1s&page=Oszt%C3%A1ly_%28halmazelm%C3%A9let%29&id=26050586&wpFormIdentifier=titleform" title="Információk a lap idézésével kapcsolatban"><span>Hogyan hivatkozz erre a lapra?</span></a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Speci%C3%A1lis:UrlShortener&url=https%3A%2F%2Fhu.wikipedia.org%2Fwiki%2FOszt%25C3%25A1ly_%28halmazelm%25C3%25A9let%29"><span>Rövidített URL készítése</span></a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Speci%C3%A1lis:QrCode&url=https%3A%2F%2Fhu.wikipedia.org%2Fwiki%2FOszt%25C3%25A1ly_%28halmazelm%25C3%25A9let%29"><span>QR-kód letöltése</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-coll-print_export" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-coll-print_export" > <div class="vector-menu-heading"> Nyomtatás/exportálás </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Speci%C3%A1lis:K%C3%B6nyv&bookcmd=book_creator&referer=Oszt%C3%A1ly+%28halmazelm%C3%A9let%29"><span>Könyv készítése</span></a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Speci%C3%A1lis:DownloadAsPdf&page=Oszt%C3%A1ly_%28halmazelm%C3%A9let%29&action=show-download-screen"><span>Letöltés PDF-ként</span></a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Oszt%C3%A1ly_(halmazelm%C3%A9let)&printable=yes" title="A lap nyomtatható változata [p]" accesskey="p"><span>Nyomtatható változat</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-wikibase-otherprojects" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects" > <div class="vector-menu-heading"> Társprojektek </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q217594" title="Kapcsolt adattárelem [g]" accesskey="g"><span>Wikidata-adatlap</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Oldal eszközök"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Megjelenés"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Megjelenés</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">áthelyezés az oldalsávba</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">elrejtés</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> <div id="mw-indicator-indicator-fr-review-status" class="mw-indicator"><indicator name="fr-review-status" class="mw-fr-review-status-indicator" id="mw-fr-revision-toggle"><span class="cdx-fr-css-icon-review--status--stable"></span><b>Ellenőrzött</b></indicator></div> </div> <div id="siteSub" class="noprint">A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"><div id="mw-fr-revision-messages"><div id="mw-fr-revision-details" class="mw-fr-revision-details-dialog" style="display:none;"><div tabindex="0"></div><div class="cdx-dialog cdx-dialog--horizontal-actions"><header class="cdx-dialog__header cdx-dialog__header--default"><div class="cdx-dialog__header__title-group"><h2 class="cdx-dialog__header__title">Változat állapota</h2><p class="cdx-dialog__header__subtitle">Ez a lap egy ellenőrzött változata</p></div><button class="cdx-button cdx-button--action-default cdx-button--weight-quiet
							cdx-button--size-medium cdx-button--icon-only cdx-dialog__header__close-button" aria-label="Close" onclick="document.getElementById("mw-fr-revision-details").style.display = "none";" type="submit"><span class="cdx-icon cdx-icon--medium
							cdx-fr-css-icon--close"></span></button></header><div class="cdx-dialog__body">Ez a <a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Jel%C3%B6lt_lapv%C3%A1ltozatok" title="Wikipédia:Jelölt lapváltozatok">közzétett változat</a>, <a class="external text" href="https://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=Speci%C3%A1lis:Rendszernapl%C3%B3k&type=review&page=Speci%C3%A1lis:Badtitle/Message">ellenőrizve</a>: <i>2023. április 24.</i><p><table id="mw-fr-revisionratings-box" class="flaggedrevs-color-1" style="margin: auto;" cellpadding="0"><tr><td class="fr-text" style="vertical-align: middle;">Pontosság</td><td class="fr-value40" style="vertical-align: middle;">ellenőrzött</td></tr></table></p></div></div><div tabindex="0"></div></div></div></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="hu" dir="ltr"><table style="" class="metadata plainlinks ambox ambox-content"> <tbody><tr> <td class="ambox-image mbox-image"> <div class="ambox-image-inner"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/F%C3%A1jl:Question_book-new.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/99/Question_book-new.svg/50px-Question_book-new.svg.png" decoding="async" width="50" height="39" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/99/Question_book-new.svg/75px-Question_book-new.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/99/Question_book-new.svg/100px-Question_book-new.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="399" /></a></span></div></td> <td class="ambox-text"><b>Ez a szócikk <a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:T%C3%BCntesd_fel_forr%C3%A1saidat!" title="Wikipédia:Tüntesd fel forrásaidat!"> nem tünteti fel a független forrásokat</a>, amelyeket felhasználtak a készítése során.</b> <small>Emiatt nem tudjuk közvetlenül ellenőrizni, hogy a szócikkben szereplő állítások helytállóak-e. Segíts <a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:T%C3%BCntesd_fel_forr%C3%A1saidat!" title="Wikipédia:Tüntesd fel forrásaidat!">megbízható forrásokat</a> találni az állításokhoz! Lásd még: <a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:A_Wikip%C3%A9dia_nem_az_els%C5%91_k%C3%B6zl%C3%A9s_helye" title="Wikipédia:A Wikipédia nem az első közlés helye">A Wikipédia nem az első közlés helye</a>.</small></td> </tr> </tbody></table> <p>Az <b>osztály</b> <a href="/wiki/Matematika" title="Matematika">matematikai</a> szakkifejezés arra a fogalomra, amit a mindennapi életben dolgok, tárgyak, fogalmak összességének nevezünk. Az osztályok legfontosabb tulajdonsága az úgy nevezett <i>extenzionalitás</i>, azaz hogy egy osztályt egyértelműen meghatározza az, hogy mely dolgok az elemei, ráadásul ez független az elemek felsorolási sorrendjétől és attól is, hogy egy elemet hányszor soroltunk fel. Tehát </p> <dl><dd>Az <i>A</i> osztály akkor és csak akkor egyenlő a <i>B</i> osztállyal, ha ugyanazok az elemeik.</dd></dl> <p>Az osztályelmélet jellegzetes kifejezései a {…|…} objektumok. A <i>P</i> tulajdonságnak eleget tévő dolgok osztályát </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{x\mid P(x)\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>x</mi> <mo>∣</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{x\mid P(x)\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50d836860f856fa5d612f0d9c2a727ba498bfe32" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.476ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{x\mid P(x)\}}"></span></dd></dl> <p>jelöli. Mivel ez egyezik a halmazok tulajdonsággal történő megadásával, ezért el is érkeztünk az osztályok elméletének leglényegesebb kérdéséhez, ahhoz, hogy mi a kapcsolatuk a halmazokkal. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Halmazok_és_osztályok"><span id="Halmazok_.C3.A9s_oszt.C3.A1lyok"></span>Halmazok és osztályok</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Oszt%C3%A1ly_(halmazelm%C3%A9let)&action=edit&section=1" title="Szakasz szerkesztése: Halmazok és osztályok"><span>szerkesztés</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Természetesen ha az osztályokra, mint matematikai dolgok <i>gyűjtemény</i>ére gondolunk, akkor szemléletünkre, tapasztalatainkra alapozzuk a vizsgálódásainkat. Ha ezt áthidalandó az osztályokat a <a href="/wiki/Halmaz_(matematika)" title="Halmaz (matematika)">halmaz</a> <a href="/wiki/Axiomatikus_halmazelm%C3%A9let" title="Axiomatikus halmazelmélet">axiomatikus</a> módon előállított matematikai fogalmával azonosítjuk, akkor az osztály fogalma két irányból is meghatározottá válik és ezáltal ellentmondásokat eredményezhet. Két út állhat ezeknek az ellentmondásoknak a leküzdésére. Egyrészt magát az osztály fogalmát is axiomatikusan vezetjük be (osztályelmélet), másrészt definiálhatjuk az osztály fogalmát a <a href="/wiki/Halmazelm%C3%A9let" title="Halmazelmélet">halmazelmélet</a> valamely formális nyelvében, kapcsolatba hozva a halmaz fogalmával és egyben attól meg is különböztetve. </p><p>A halmaz és az osztály fogalma megkülönböztetésének szükségessége nem mindig volt nyilvánvaló. Feloldhatatlannak tűnő ellentmondások kényszerítették a matematikusokat, hogy kezdjenek valamit a problémával. A <a href="/wiki/Russell-paradoxon" title="Russell-paradoxon">Russell-paradoxon</a>, a <a href="/w/index.php?title=Burali-Forti-paradoxon&action=edit&redlink=1" class="new" title="Burali-Forti-paradoxon (a lap nem létezik)">Burali-Forti-paradoxon</a> és a <a href="/wiki/Cantor-paradoxon" title="Cantor-paradoxon">Cantor-paradoxon</a> fellépése lassan érzékelhetővé tette, hogy bizonyos összességek semmilyen körülmények között nem lehetnek <i>elemei</i> vagy tagjai más összességeknek. Így tehát vannak <b>valódi osztály</b>ok, melyek „túl nagyok” ahhoz, hogy elemként is szerepeljenek és vannak a <b>halmaz</b>ok, melyek individuális tulajdonsággal is bírnak, azaz elemként szerepelhetnek más osztályokon belül. </p><p>Példák valódi osztályokra: </p> <dl><dd><i>Russell-osztály:</i> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {Ru} :=\{x\mid \;''x\;\;halmaz''\;\wedge \;x\notin x\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">R</mi> <mi mathvariant="bold">u</mi> </mrow> <mo>:=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>x</mi> <mo>∣</mo> <msup> <mspace width="thickmathspace" /> <mo>″</mo> </msup> <mi>x</mi> <mspace width="thickmathspace" /> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>h</mi> <mi>a</mi> <mi>l</mi> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <msup> <mi>z</mi> <mo>″</mo> </msup> <mspace width="thickmathspace" /> <mo>∧</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>x</mi> <mo>∉</mo> <mi>x</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {Ru} :=\{x\mid \;''x\;\;halmaz''\;\wedge \;x\notin x\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ba0a47a6e2c003a7a73f11c147b4e7ef5c93714" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:35.361ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {Ru} :=\{x\mid \;''x\;\;halmaz''\;\wedge \;x\notin x\}}"></span></dd></dl></dd> <dd><i>Halmazok-osztálya</i> vagy halmazelméleti univerzum: <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {Set} :=\{x\mid \;''x\;\;halmaz''\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">S</mi> <mi mathvariant="bold">e</mi> <mi mathvariant="bold">t</mi> </mrow> <mo>:=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>x</mi> <mo>∣</mo> <msup> <mspace width="thickmathspace" /> <mo>″</mo> </msup> <mi>x</mi> <mspace width="thickmathspace" /> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>h</mi> <mi>a</mi> <mi>l</mi> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <msup> <mi>z</mi> <mo>″</mo> </msup> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {Set} :=\{x\mid \;''x\;\;halmaz''\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac8240345a60d8701a1cd349d2718fa2a05e1248" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.249ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {Set} :=\{x\mid \;''x\;\;halmaz''\}}"></span></dd></dl></dd> <dd>A <i>H</i> halmaz <i>komplementer osztálya</i>: <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H^{C}:=\{x\mid \;''x\;\;halmaz''\;\wedge \;x\notin H\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> </msup> <mo>:=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>x</mi> <mo>∣</mo> <msup> <mspace width="thickmathspace" /> <mo>″</mo> </msup> <mi>x</mi> <mspace width="thickmathspace" /> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>h</mi> <mi>a</mi> <mi>l</mi> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <msup> <mi>z</mi> <mo>″</mo> </msup> <mspace width="thickmathspace" /> <mo>∧</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>x</mi> <mo>∉</mo> <mi>H</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H^{C}:=\{x\mid \;''x\;\;halmaz''\;\wedge \;x\notin H\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0051d03dcfef5467585392b452f9a4e87a40966" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:36.191ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle H^{C}:=\{x\mid \;''x\;\;halmaz''\;\wedge \;x\notin H\}}"></span></dd></dl></dd> <dd>A <i>C</i> valódi osztály <i>hatványosztálya</i> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {P}}(C):=\{x\mid \;''x\;\;halmaz''\;\wedge \;x\subseteq C\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">P</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>x</mi> <mo>∣</mo> <msup> <mspace width="thickmathspace" /> <mo>″</mo> </msup> <mi>x</mi> <mspace width="thickmathspace" /> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>h</mi> <mi>a</mi> <mi>l</mi> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <msup> <mi>z</mi> <mo>″</mo> </msup> <mspace width="thickmathspace" /> <mo>∧</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>x</mi> <mo>⊆</mo> <mi>C</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {P}}(C):=\{x\mid \;''x\;\;halmaz''\;\wedge \;x\subseteq C\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44f485f05198e0b883c90b4301dd9dc7548fecd2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:37.846ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {P}}(C):=\{x\mid \;''x\;\;halmaz''\;\wedge \;x\subseteq C\}}"></span></dd></dl></dd> <dd>Adott algebrai struktúrák osztálya, pl. az összes csoportok, T test feletti vektorterek, algebrák stb. osztálya: <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {Grp} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">G</mi> <mi mathvariant="bold">r</mi> <mi mathvariant="bold">p</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {Grp} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dba9beacc3a2b2c9d09b074614b27f63ba966488" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.688ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {Grp} }"></span>, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {Vect} _{T}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">V</mi> <mi mathvariant="bold">e</mi> <mi mathvariant="bold">c</mi> <mi mathvariant="bold">t</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>T</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {Vect} _{T}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf0cdef0410eb73ab9034d3a9535bee0bf5519b5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.861ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {Vect} _{T}}"></span>, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {Alg} _{T}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">A</mi> <mi mathvariant="bold">l</mi> <mi mathvariant="bold">g</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>T</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {Alg} _{T}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e64303b4a7b235b0980c612e55e43d9ac25684d3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.487ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {Alg} _{T}}"></span> stb.</dd></dl></dd></dl> <p>Azok a valódi osztályokkal kapcsolatos paradoxonok, melyek a <a href="/wiki/Naiv_halmazelm%C3%A9let" title="Naiv halmazelmélet">naiv halmazelméletben</a> ellentmondáshoz vezettek, az egyes <a href="/wiki/Axiomatikus_halmazelm%C3%A9let" title="Axiomatikus halmazelmélet">axiomatikus halmazelméletekben</a> ártalmatlan formulákká válnak és átváltoznak cáfolatokká, miszerint az adott osztály nem halmaz. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Osztályok_a_formális_nyelvi_halmazelméletben"><span id="Oszt.C3.A1lyok_a_form.C3.A1lis_nyelvi_halmazelm.C3.A9letben"></span>Osztályok a formális nyelvi halmazelméletben</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Oszt%C3%A1ly_(halmazelm%C3%A9let)&action=edit&section=2" title="Szakasz szerkesztése: Osztályok a formális nyelvi halmazelméletben"><span>szerkesztés</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Zermelo–Fraenkel-halmazelmélet"><span id="Zermelo.E2.80.93Fraenkel-halmazelm.C3.A9let"></span>Zermelo–Fraenkel-halmazelmélet</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Oszt%C3%A1ly_(halmazelm%C3%A9let)&action=edit&section=3" title="Szakasz szerkesztése: Zermelo–Fraenkel-halmazelmélet"><span>szerkesztés</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>A Zeremlo–Fraenkel-halmazelméletben (<b>ZF</b>) az „osztály” formális kifejezése nem szerepel, hiszen <b>ZF</b>-ben minden változó halmazváltozó, azaz individuumot jelöl. Lehetőség van azonban az osztályt meghatározó tulajdonságon keresztül hivatkozni az osztályra. Ha <i>P</i> predikátum, akkor { <i>x</i> | P(<i>x</i>) } szimbólumsor (úgy nevezett <i>osztályabsztrakció</i>) a metanyelv "olyan x-ek összessége, melyekre P teljesül" kifejezését rövidíti és lefordítható a tárgynyelvre az alábbi úgy nevezett kiküszöbölési szabályok segítségével. Jelöljük <i>K</i>-val az { <i>x</i> | P(<i>x</i>) } és <i>L</i>-lel az { <i>x</i> | Q(<i>x</i>) } osztályabsztrakciót és legyen <i>a</i> tetszőleges individuum. Ekkor: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\in K\Leftrightarrow _{def}P(a)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <mi>K</mi> <msub> <mo stretchy="false">⇔</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>d</mi> <mi>e</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\in K\Leftrightarrow _{def}P(a)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca52d81978ebd5ccafbda0e0cad02528c5b7f1e5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:17.297ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle a\in K\Leftrightarrow _{def}P(a)}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K\in a\Leftrightarrow _{def}(\exists y)((\forall x)(P(x)\Leftrightarrow x\in y)\wedge y\in a)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>K</mi> <mo>∈</mo> <mi>a</mi> <msub> <mo stretchy="false">⇔</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>d</mi> <mi>e</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">⇔</mo> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∧</mo> <mi>y</mi> <mo>∈</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K\in a\Leftrightarrow _{def}(\exists y)((\forall x)(P(x)\Leftrightarrow x\in y)\wedge y\in a)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/514591c31b962da15fa5617dad89c0f31283b6a9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:46.453ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle K\in a\Leftrightarrow _{def}(\exists y)((\forall x)(P(x)\Leftrightarrow x\in y)\wedge y\in a)}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K\in L\Leftrightarrow _{def}(\exists y)((\forall x)(P(x)\Leftrightarrow x\in y)\wedge Q(y))}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>K</mi> <mo>∈</mo> <mi>L</mi> <msub> <mo stretchy="false">⇔</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>d</mi> <mi>e</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">⇔</mo> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∧</mo> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K\in L\Leftrightarrow _{def}(\exists y)((\forall x)(P(x)\Leftrightarrow x\in y)\wedge Q(y))}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a75d32f4876127c9e93927339b68c631417a864b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:46.383ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle K\in L\Leftrightarrow _{def}(\exists y)((\forall x)(P(x)\Leftrightarrow x\in y)\wedge Q(y))}"></span></dd></dl> <p>Minden <i>K</i> = {x | P(x) } <i>valódi összesség</i>re (tehát az előző példákra is) igazolható, hogy <b>ZF</b>-ben tétel, miszerint </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \neg (\exists y)(\forall x)(x\in y\;\Leftrightarrow \;P(x))}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">¬</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>y</mi> <mspace width="thickmathspace" /> <mo stretchy="false">⇔</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \neg (\exists y)(\forall x)(x\in y\;\Leftrightarrow \;P(x))}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b18f32bacdaf8e6f29ec9f8260999960095abc7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.163ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \neg (\exists y)(\forall x)(x\in y\;\Leftrightarrow \;P(x))}"></span></dd></dl> <p>sőt a <b>Ru</b> összesség valódi osztály voltát már <b>ZF</b><sub>0</sub>-ban is igazolni lehet (azaz axiómák nélkül, csak pusztán logikai okokból teljesül). </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélet"><span id="Neumann.E2.80.93Bernays.E2.80.93G.C3.B6del-halmazelm.C3.A9let"></span>Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélet</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Oszt%C3%A1ly_(halmazelm%C3%A9let)&action=edit&section=4" title="Szakasz szerkesztése: Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélet"><span>szerkesztés</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Az <b>NBG</b>-ben minden változó <i>osztályváltozó</i>, így nem kell ügyeskedni az osztályok megnevezésével úgy, mint <b>ZF</b>-ben. A <i>K</i> osztály valódi, ha tétel a </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \neg (\exists x)(K\in x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">¬</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>K</mi> <mo>∈</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \neg (\exists x)(K\in x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dff632eae14ea5b47918bda87e6a21c7c9991441" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.027ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \neg (\exists x)(K\in x)}"></span></dd></dl> <p>formula és halmaz, ha tétel a </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\exists x)(K\in x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>K</mi> <mo>∈</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\exists x)(K\in x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed896ce6a9374de04b5440f15d9474e03d818c4e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.477ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\exists x)(K\in x)}"></span></dd></dl> <p>Set(K)-val rövidített formula. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Műveletek_osztályokkal"><span id="M.C5.B1veletek_oszt.C3.A1lyokkal"></span>Műveletek osztályokkal</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Oszt%C3%A1ly_(halmazelm%C3%A9let)&action=edit&section=5" title="Szakasz szerkesztése: Műveletek osztályokkal"><span>szerkesztés</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <dl><dd><i>Lásd még: <a href="/wiki/Neumann%E2%80%93Bernays%E2%80%93G%C3%B6del-halmazelm%C3%A9let" title="Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélet">Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélet</a></i></dd></dl> <p>Lényegében minden, a halmazelméletben is használatos "halmazművelet" értelmezett az osztályok között is (lévén a halmazok ontológiai értelemben osztályok). Így: </p> <dl><dd>Az <i>A</i> és a <i>B</i> osztály uniója: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\cup B:=\{x\mid x\in A\vee x\in B\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>∪</mo> <mi>B</mi> <mo>:=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>x</mi> <mo>∣</mo> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>A</mi> <mo>∨</mo> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>B</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\cup B:=\{x\mid x\in A\vee x\in B\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08329c685b6c13ff60a2ccf61ab79838d2c15aa1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.857ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A\cup B:=\{x\mid x\in A\vee x\in B\}}"></span></dd> <dd>Az <i>A</i> és a <i>B</i> osztály metszete: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\cap B:=\{x\mid x\in A\wedge x\in B\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>∩</mo> <mi>B</mi> <mo>:=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>x</mi> <mo>∣</mo> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>A</mi> <mo>∧</mo> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>B</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\cap B:=\{x\mid x\in A\wedge x\in B\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3e7a0013694f328c4c1849bb08f485c1bf2bfed" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.857ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A\cap B:=\{x\mid x\in A\wedge x\in B\}}"></span></dd> <dd>Az <i>A</i> osztály komplementere: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A^{C}:=\{x\mid x\notin A\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> </msup> <mo>:=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>x</mi> <mo>∣</mo> <mi>x</mi> <mo>∉</mo> <mi>A</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A^{C}:=\{x\mid x\notin A\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aac29b614de2ff92481c0c61416ef71510344322" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.475ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle A^{C}:=\{x\mid x\notin A\}}"></span></dd> <dd>Az <i>A</i> és a <i>B</i> osztály Descartes-szorzata: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\times B:=\{(x,y)\mid x\in A\wedge y\in B\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>×</mo> <mi>B</mi> <mo>:=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∣</mo> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>A</mi> <mo>∧</mo> <mi>y</mi> <mo>∈</mo> <mi>B</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\times B:=\{(x,y)\mid x\in A\wedge y\in B\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a86bc4e3d42ddfb7e22e560cbcb284d4d6b4ed8f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:33.939ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A\times B:=\{(x,y)\mid x\in A\wedge y\in B\}}"></span></dd> <dd>…</dd></dl> <p>Itt a változók individuumokat (halmazokat) jelentenek, (x,y) pedig a <a href="/wiki/Rendezett_p%C3%A1r" title="Rendezett pár">rendezett pár</a>. </p><p>Ezeken kívül értelmezett még a részosztálynak lenni reláció is: </p> <dl><dd>Az <i>A</i> osztály részosztálya a <i>B</i> osztálynak, ha minden <i>x</i> ∈ <i>A</i>-ra <i>x</i> ∈ <i>B</i> is teljesül. Jelben:</dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\subseteq B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>⊆</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\subseteq B}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b09068bd2f7ba899aeb883ebe670b2ad07b0c851" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.606ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle A\subseteq B}"></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Egyszerű_osztálykalkulus"><span id="Egyszer.C5.B1_oszt.C3.A1lykalkulus"></span>Egyszerű osztálykalkulus</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Oszt%C3%A1ly_(halmazelm%C3%A9let)&action=edit&section=6" title="Szakasz szerkesztése: Egyszerű osztálykalkulus"><span>szerkesztés</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <dl><dd><i>Lásd még: <a href="/w/index.php?title=Oszt%C3%A1lykalkulus&action=edit&redlink=1" class="new" title="Osztálykalkulus (a lap nem létezik)">osztálykalkulus</a></i></dd></dl> <p>Van az osztályoknak egy olyan elmélete, mely nincs beágyazva egyik halmazelméletbe sem. Természetesen ekkor a halmazelméletet meghatározó kétváltozós predikátumot a ∈ szimbólumot mellőznünk kell és ezzel együtt az összes, csak ezzel kifejezhető osztályt. </p><p>Az egyszerű osztálykalkulus egy formális matematikai elmélet, melynek változói osztályokat jelölnek (például <b>NBG</b>-beli osztályokat), egyetlen logikai relációjele pedig a részosztály tartalmazás vagy osztályinklúzió ⊆ szimbóluma. </p><p>Példaként nézzük a legfontosabb osztályműveletek definícióját: </p> <dl><dd><i>A</i> ∪ <i>B</i> az a legszűkebb <i>C</i> osztály, mely <i>A</i>-t is és <i>B</i>-t is részként tartalmazza, azaz melyre: <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (A\subseteq C)\wedge (B\subseteq C)\wedge (\forall D)((A\subseteq D\wedge B\subseteq D)\Rightarrow C\subseteq D)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo>⊆</mo> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∧</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>B</mi> <mo>⊆</mo> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∧</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>D</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo>⊆</mo> <mi>D</mi> <mo>∧</mo> <mi>B</mi> <mo>⊆</mo> <mi>D</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mi>C</mi> <mo>⊆</mo> <mi>D</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (A\subseteq C)\wedge (B\subseteq C)\wedge (\forall D)((A\subseteq D\wedge B\subseteq D)\Rightarrow C\subseteq D)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b976c06e90332835eae9b7fa7a6b5e7cf189393f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:57.203ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (A\subseteq C)\wedge (B\subseteq C)\wedge (\forall D)((A\subseteq D\wedge B\subseteq D)\Rightarrow C\subseteq D)}"></span></dd></dl></dd> <dd><i>A</i> ∩ <i>B</i> az a legbővebb <i>C</i> osztály, melyet <i>A</i> is és <i>B</i> is részként tartalmaz, azaz melyre: <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (C\subseteq A)\wedge (C\subseteq B)\wedge (\forall D)((D\subseteq A\wedge D\subseteq B)\Rightarrow D\subseteq C)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>C</mi> <mo>⊆</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∧</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>C</mi> <mo>⊆</mo> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∧</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>D</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>D</mi> <mo>⊆</mo> <mi>A</mi> <mo>∧</mo> <mi>D</mi> <mo>⊆</mo> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mi>D</mi> <mo>⊆</mo> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (C\subseteq A)\wedge (C\subseteq B)\wedge (\forall D)((D\subseteq A\wedge D\subseteq B)\Rightarrow D\subseteq C)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/745fd85a856859828147829106fafb1c70b603f4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:57.203ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (C\subseteq A)\wedge (C\subseteq B)\wedge (\forall D)((D\subseteq A\wedge D\subseteq B)\Rightarrow D\subseteq C)}"></span></dd></dl></dd> <dd><i>A</i><sup>C</sup> az a legbővebb <i>C</i> osztály, mely diszjunkt <i>A</i>-hoz, azaz melyre: <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (''C\cap A=\emptyset '')\wedge (\forall D)(''D\cap A=\emptyset ''\Rightarrow D\subseteq C)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>″</mo> </msup> <mi>C</mi> <mo>∩</mo> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi mathvariant="normal">∅</mi> <mo>″</mo> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∧</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>D</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>″</mo> </msup> <mi>D</mi> <mo>∩</mo> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi mathvariant="normal">∅</mi> <mo>″</mo> </msup> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mi>D</mi> <mo>⊆</mo> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (''C\cap A=\emptyset '')\wedge (\forall D)(''D\cap A=\emptyset ''\Rightarrow D\subseteq C)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93ea39c8e95c1dfe221a91297596bf7db69efe25" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:47.043ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle (''C\cap A=\emptyset '')\wedge (\forall D)(''D\cap A=\emptyset ''\Rightarrow D\subseteq C)}"></span></dd></dl></dd> <dd>ahol <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ''C\cap A=\emptyset ''}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi></mi> <mo>″</mo> </msup> <mi>C</mi> <mo>∩</mo> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi mathvariant="normal">∅</mi> <mo>″</mo> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ''C\cap A=\emptyset ''}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4e2528d4eed1af1a24fac77d2b4f0974fce4968" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:12.627ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle ''C\cap A=\emptyset ''}"></span> jelsor a következő formulát rövidíti: <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\forall D)(\forall E)(D\subseteq (C\cap A)\Rightarrow (D\subseteq E)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>D</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>D</mi> <mo>⊆</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>C</mi> <mo>∩</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>D</mi> <mo>⊆</mo> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\forall D)(\forall E)(D\subseteq (C\cap A)\Rightarrow (D\subseteq E)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b098ec9b9b24b5566348b3e50aa927b2514e217f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:35.954ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\forall D)(\forall E)(D\subseteq (C\cap A)\Rightarrow (D\subseteq E)}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>Az egyszerű osztálykalkulust nem azért nevezzük egyszerűnek, mert formulái rövidek lennének, hanem mert olyan osztályelmélet, melyben nem lép fel a <a href="/wiki/Russell-paradoxon" title="Russell-paradoxon">Russell-paradoxon</a>, mely ellentmondásmentes és melynek ismert negációteljes bővítése. Ellenben nem alkalmas a <a href="/wiki/Term%C3%A9szetes_sz%C3%A1mok" title="Természetes számok">természetes számok</a> modellálására, így a matematikában nem nagyon alkalmazható. Az alkalmazhatóság szempontjából jobb tulajdonságokkal rendelkező elmélet (az általános osztályelmélet) megalkotását <a href="/wiki/Bertrand_Russell" title="Bertrand Russell">Bertrand Russell</a> nevéhez köthetjük (ez az elmélet persze már nem feltétlenül teljes, nem feltétlenül ellentmondásmentes és a <a href="/wiki/G%C3%B6del_els%C5%91_nemteljess%C3%A9gi_t%C3%A9tele" title="Gödel első nemteljességi tétele">Gödel-tétel</a> hatása alá esik ). </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Külső_hivatkozások"><span id="K.C3.BCls.C5.91_hivatkoz.C3.A1sok"></span>Külső hivatkozások</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Oszt%C3%A1ly_(halmazelm%C3%A9let)&action=edit&section=7" title="Szakasz szerkesztése: Külső hivatkozások"><span>szerkesztés</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a rel="nofollow" class="external text" href="https://planetmath.org/encyclopedia/Class.html">A Planetmath <i>Class</i> szócikke</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20060213091617/http://planetmath.org/encyclopedia/Class.html">Archiválva</a> <span style="white-space:nowrap">2006. február 13-i</span> dátummal a <a href="/wiki/Internet_Archive" title="Internet Archive">Wayback Machine</a>-ben </p></div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">A lap eredeti címe: „<a dir="ltr" href="https://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=Osztály_(halmazelmélet)&oldid=26050586">https://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=Osztály_(halmazelmélet)&oldid=26050586</a>”</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Kateg%C3%B3ri%C3%A1k" title="Wikipédia:Kategóriák">Kategória</a>: <ul><li><a href="/wiki/Kateg%C3%B3ria:Halmazelm%C3%A9let" title="Kategória:Halmazelmélet">Halmazelmélet</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Rejtett kategória: <ul><li><a href="/wiki/Kateg%C3%B3ria:Forr%C3%A1ssal_nem_rendelkez%C5%91_lapok" title="Kategória:Forrással nem rendelkező lapok">Forrással nem rendelkező lapok</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> A lap utolsó módosítása: 2023. április 24., 12:21</li> <li id="footer-info-copyright">A lap szövege <a rel="nofollow" class="external text" href="http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.hu">Creative Commons Nevezd meg! – Így add tovább! 4.0</a> licenc alatt van; egyes esetekben más módon is felhasználható. Részletekért lásd a <a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Felhaszn%C3%A1l%C3%A1si_felt%C3%A9telek" title="Wikipédia:Felhasználási feltételek">felhasználási feltételeket</a>.</li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy">Adatvédelmi irányelvek</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:R%C3%B3lunk">A Wikipédiáról</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Jogi_nyilatkozat">Jogi nyilatkozat</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">Magatartási kódex</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Fejlesztők</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/hu.wikipedia.org">Statisztikák</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">Sütinyilatkozat</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//hu.m.wikipedia.org/w/index.php?title=Oszt%C3%A1ly_(halmazelm%C3%A9let)&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Mobil nézet</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> </div> </div> </div> <div class="vector-settings" id="p-dock-bottom"> <ul></ul> </div><script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-f69cdc8f6-m825k","wgBackendResponseTime":178,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.042","walltime":"0.142","ppvisitednodes":{"value":241,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":2188,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":746,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":7,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":0,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":0,"limit":20},"unstrip-size":{"value":864,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":0,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 8.857 1 -total"," 61.08% 5.410 1 Sablon:Nincs_forrás"," 34.02% 3.013 1 Sablon:Ambox"," 29.02% 2.570 1 Sablon:Wayback"]},"cachereport":{"origin":"mw-web.eqiad.main-7c479b968-hlfzd","timestamp":"20241117165716","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"Oszt\u00e1ly (halmazelm\u00e9let)","url":"https:\/\/hu.wikipedia.org\/wiki\/Oszt%C3%A1ly_(halmazelm%C3%A9let)","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q217594","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q217594","author":{"@type":"Organization","name":"Contributors to Wikimedia projects"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Wikimedia Foundation, Inc.","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2006-04-27T19:32:53Z","headline":"a matematik\u00e1ban a halmazok gy\u0171jtem\u00e9nye, amely a tagok valamely tulajdons\u00e1ga alapj\u00e1n defini\u00e1lhat\u00f3"}</script> </body> </html>