CINXE.COM

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available" lang="vi" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Tính giao hoán – Wikipedia tiếng Việt</title> <script>(function(){var className="client-js vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )viwikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t.",".\t,"],"wgDigitTransformTable":["",""], "wgDefaultDateFormat":"vi normal","wgMonthNames":["","tháng 1","tháng 2","tháng 3","tháng 4","tháng 5","tháng 6","tháng 7","tháng 8","tháng 9","tháng 10","tháng 11","tháng 12"],"wgRequestId":"535a9ef2-026a-4bb3-906a-58fe91fabde4","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Tính_giao_hoán","wgTitle":"Tính giao hoán","wgCurRevisionId":71100318,"wgRevisionId":71100318,"wgArticleId":55970,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":["Bài có mô tả ngắn","Mô tả ngắn khác với Wikidata","Kiểm soát tính nhất quán với 0 yếu tố","Tính chất của phép toán hai ngôi","Đại số sơ cấp","Quy tắc suy diễn","Đối xứng","Khái niệm vật lý","Giải tích hàm"],"wgPageViewLanguage":"vi","wgPageContentLanguage":"vi","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Tính_giao_hoán","wgRelevantArticleId":55970, "wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":false,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"vi","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"vi"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":20000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgCentralAuthMobileDomain":false,"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":false,"wgVector2022LanguageInHeader":true,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q165474","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true, "wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={"ext.gadget.charinsert-styles":"ready","ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.math.styles":"ready","ext.cite.styles":"ready","skins.vector.search.codex.styles":"ready","skins.vector.styles":"ready","skins.vector.icons":"ready","ext.wikimediamessages.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["ext.cite.ux-enhancements","mediawiki.page.media","ext.scribunto.logs","site","mediawiki.page.ready","mediawiki.toc","skins.vector.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.gadget.did_you_mean","ext.gadget.ReferenceTooltips","ext.gadget.AVIM","ext.gadget.AVIM_portlet", "ext.gadget.charinsert","ext.gadget.refToolbar","ext.gadget.wikibugs","ext.gadget.purgetab","ext.gadget.switcher","ext.gadget.AdvancedSiteNotices","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.cx.uls.quick.actions","wikibase.client.vector-2022","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","wikibase.sidebar.tracking"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); }];});});</script> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=vi&modules=ext.cite.styles%7Cext.math.styles%7Cext.uls.interlanguage%7Cext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript%7Cext.wikimediaBadges%7Cext.wikimediamessages.styles%7Cskins.vector.icons%2Cstyles%7Cskins.vector.search.codex.styles%7Cwikibase.client.init&only=styles&skin=vector-2022"> <script async="" src="/w/load.php?lang=vi&modules=startup&only=scripts&raw=1&skin=vector-2022"></script> <meta name="ResourceLoaderDynamicStyles" content=""> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=vi&modules=ext.gadget.charinsert-styles&only=styles&skin=vector-2022"> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=vi&modules=site.styles&only=styles&skin=vector-2022"> <meta name="generator" content="MediaWiki 1.44.0-wmf.4"> <meta name="referrer" content="origin"> <meta name="referrer" content="origin-when-cross-origin"> <meta name="robots" content="max-image-preview:standard"> <meta name="format-detection" content="telephone=no"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/17/Commutativity_of_binary_operations_%28without_question_mark%29.svg/1200px-Commutativity_of_binary_operations_%28without_question_mark%29.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="1200"> <meta property="og:image:height" content="687"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/17/Commutativity_of_binary_operations_%28without_question_mark%29.svg/800px-Commutativity_of_binary_operations_%28without_question_mark%29.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="800"> <meta property="og:image:height" content="458"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/17/Commutativity_of_binary_operations_%28without_question_mark%29.svg/640px-Commutativity_of_binary_operations_%28without_question_mark%29.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="640"> <meta property="og:image:height" content="366"> <meta name="viewport" content="width=1120"> <meta property="og:title" content="Tính giao hoán – Wikipedia tiếng Việt"> <meta property="og:type" content="website"> <link rel="preconnect" href="//upload.wikimedia.org"> <link rel="alternate" media="only screen and (max-width: 640px)" href="//vi.m.wikipedia.org/wiki/T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n"> <link rel="alternate" type="application/x-wiki" title="Sửa đổi" href="/w/index.php?title=T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n&action=edit"> <link rel="apple-touch-icon" href="/static/apple-touch/wikipedia.png"> <link rel="icon" href="/static/favicon/wikipedia.ico"> <link rel="search" type="application/opensearchdescription+xml" href="/w/rest.php/v1/search" title="Wikipedia (vi)"> <link rel="EditURI" type="application/rsd+xml" href="//vi.wikipedia.org/w/api.php?action=rsd"> <link rel="canonical" href="https://vi.wikipedia.org/wiki/T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n"> <link rel="license" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.vi"> <link rel="alternate" type="application/atom+xml" title="Nguồn cấp Atom của Wikipedia" href="/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Thay_%C4%91%E1%BB%95i_g%E1%BA%A7n_%C4%91%C3%A2y&feed=atom"> <link rel="dns-prefetch" href="//meta.wikimedia.org" /> <link rel="dns-prefetch" href="//login.wikimedia.org"> </head> <body class="skin--responsive skin-vector skin-vector-search-vue mediawiki ltr sitedir-ltr mw-hide-empty-elt ns-0 ns-subject mw-editable page-Tính_giao_hoán rootpage-Tính_giao_hoán skin-vector-2022 action-view"><a class="mw-jump-link" href="#bodyContent">Bước tới nội dung</a> <div class="vector-header-container"> <header class="vector-header mw-header"> <div class="vector-header-start"> <nav class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Trang Web"> <div id="vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown vector-main-menu-dropdown vector-button-flush-left vector-button-flush-right" > <input type="checkbox" id="vector-main-menu-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Trình đơn chính" > <label id="vector-main-menu-dropdown-label" for="vector-main-menu-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-menu mw-ui-icon-wikimedia-menu"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Trình đơn chính</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-main-menu-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-main-menu" class="vector-main-menu vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-main-menu-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="main-menu-pinned" data-pinnable-element-id="vector-main-menu" data-pinned-container-id="vector-main-menu-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-main-menu-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Trình đơn chính</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.pin">chuyển sang thanh bên</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.unpin">ẩn</button> </div> <div id="p-navigation" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-navigation" > <div class="vector-menu-heading"> Điều hướng </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-mainpage-description" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Trang_Ch%C3%ADnh" title="Xem trang chính [z]" accesskey="z"><span>Trang Chính</span></a></li><li id="n-wikipedia-featuredcontent" class="mw-list-item"><a href="/wiki/C%E1%BB%95ng_th%C3%B4ng_tin:N%E1%BB%99i_dung_ch%E1%BB%8Dn_l%E1%BB%8Dc"><span>Nội dung chọn lọc</span></a></li><li id="n-randompage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ng%E1%BA%ABu_nhi%C3%AAn" title="Xem trang ngẫu nhiên [x]" accesskey="x"><span>Bài viết ngẫu nhiên</span></a></li><li id="n-recentchanges" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Thay_%C4%91%E1%BB%95i_g%E1%BA%A7n_%C4%91%C3%A2y" title="Danh sách thay đổi gần đây trong wiki [r]" accesskey="r"><span>Thay đổi gần đây</span></a></li><li id="n-bug_in_article" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:B%C3%A1o_l%E1%BB%97i_b%C3%A0i_vi%E1%BA%BFt"><span>Báo lỗi nội dung</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-wikipedia-interaction" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikipedia-interaction" > <div class="vector-menu-heading"> Tương tác </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-wikipedia-helppage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:S%C3%A1ch_h%C6%B0%E1%BB%9Bng_d%E1%BA%ABn"><span>Hướng dẫn</span></a></li><li id="n-aboutsite" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Gi%E1%BB%9Bi_thi%E1%BB%87u"><span>Giới thiệu Wikipedia</span></a></li><li id="n-portal" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:C%E1%BB%99ng_%C4%91%E1%BB%93ng" title="Giới thiệu dự án, cách sử dụng và tìm kiếm thông tin ở đây"><span>Cộng đồng</span></a></li><li id="n-wikipedia-villagepump" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn"><span>Thảo luận chung</span></a></li><li id="n-wikipedia-helpdesk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Gi%C3%BAp_s%E1%BB%AD_d%E1%BB%A5ng_Wikipedia"><span>Giúp sử dụng</span></a></li><li id="n-contactpage" class="mw-list-item"><a href="//vi.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Liên_lạc"><span>Liên lạc</span></a></li><li id="n-upload" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Tr%C3%ACnh_t%E1%BA%A3i_l%C3%AAn_t%E1%BA%ADp_tin"><span>Tải lên tập tin</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> <a href="/wiki/Trang_Ch%C3%ADnh" class="mw-logo"> <img class="mw-logo-icon" src="/static/images/icons/wikipedia.png" alt="" aria-hidden="true" height="50" width="50"> <span class="mw-logo-container skin-invert"> <img class="mw-logo-wordmark" alt="Wikipedia" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-wordmark-en.svg" style="width: 7.5em; height: 1.125em;"> <img class="mw-logo-tagline" alt="Bách khoa toàn thư mở" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-tagline-vi.svg" width="120" height="10" style="width: 7.5em; height: 0.625em;"> </span> </a> </div> <div class="vector-header-end"> <div id="p-search" role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-collapses vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box-auto-expand-width vector-search-box"> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:T%C3%ACm_ki%E1%BA%BFm" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only search-toggle" title="Tìm kiếm Wikipedia [f]" accesskey="f"><span class="vector-icon mw-ui-icon-search mw-ui-icon-wikimedia-search"></span> <span>Tìm kiếm</span> </a> <div class="vector-typeahead-search-container"> <div class="cdx-typeahead-search cdx-typeahead-search--show-thumbnail cdx-typeahead-search--auto-expand-width"> <form action="/w/index.php" id="searchform" class="cdx-search-input cdx-search-input--has-end-button"> <div id="simpleSearch" class="cdx-search-input__input-wrapper" data-search-loc="header-moved"> <div class="cdx-text-input cdx-text-input--has-start-icon"> <input class="cdx-text-input__input" type="search" name="search" placeholder="Tìm kiếm trên Wikipedia" aria-label="Tìm kiếm trên Wikipedia" autocapitalize="sentences" title="Tìm kiếm Wikipedia [f]" accesskey="f" id="searchInput" > <span class="cdx-text-input__icon cdx-text-input__start-icon"></span> </div> <input type="hidden" name="title" value="Đặc_biệt:Tìm_kiếm"> </div> <button class="cdx-button cdx-search-input__end-button">Tìm kiếm</button> </form> </div> </div> </div> <nav class="vector-user-links vector-user-links-wide" aria-label="Công cụ cá nhân"> <div class="vector-user-links-main"> <div id="p-vector-user-menu-preferences" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-userpage" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Giao diện"> <div id="vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown " title="Change the appearance of the page's font size, width, and color" > <input type="checkbox" id="vector-appearance-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Giao diện" > <label id="vector-appearance-dropdown-label" for="vector-appearance-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-appearance mw-ui-icon-wikimedia-appearance"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Giao diện</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-appearance-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <div id="p-vector-user-menu-notifications" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-overflow" class="vector-menu mw-portlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_vi.wikipedia.org&uselang=vi" class=""><span>Quyên góp</span></a> </li> <li id="pt-createaccount-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:M%E1%BB%9F_t%C3%A0i_kho%E1%BA%A3n&returnto=T%C3%ADnh+giao+ho%C3%A1n" title="Bạn được khuyến khích mở tài khoản và đăng nhập; tuy nhiên, không bắt buộc phải có tài khoản" class=""><span>Tạo tài khoản</span></a> </li> <li id="pt-login-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:%C4%90%C4%83ng_nh%E1%BA%ADp&returnto=T%C3%ADnh+giao+ho%C3%A1n" title="Đăng nhập sẽ có lợi hơn, tuy nhiên không bắt buộc. [o]" accesskey="o" class=""><span>Đăng nhập</span></a> </li> </ul> </div> </div> </div> <div id="vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown vector-user-menu vector-button-flush-right vector-user-menu-logged-out" title="Thêm tùy chọn" > <input type="checkbox" id="vector-user-links-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Công cụ cá nhân" > <label id="vector-user-links-dropdown-label" for="vector-user-links-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-ellipsis mw-ui-icon-wikimedia-ellipsis"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Công cụ cá nhân</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-personal" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-personal user-links-collapsible-item" title="Bảng chọn thành viên" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_vi.wikipedia.org&uselang=vi"><span>Quyên góp</span></a></li><li id="pt-createaccount" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:M%E1%BB%9F_t%C3%A0i_kho%E1%BA%A3n&returnto=T%C3%ADnh+giao+ho%C3%A1n" title="Bạn được khuyến khích mở tài khoản và đăng nhập; tuy nhiên, không bắt buộc phải có tài khoản"><span class="vector-icon mw-ui-icon-userAdd mw-ui-icon-wikimedia-userAdd"></span> <span>Tạo tài khoản</span></a></li><li id="pt-login" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:%C4%90%C4%83ng_nh%E1%BA%ADp&returnto=T%C3%ADnh+giao+ho%C3%A1n" title="Đăng nhập sẽ có lợi hơn, tuy nhiên không bắt buộc. [o]" accesskey="o"><span class="vector-icon mw-ui-icon-logIn mw-ui-icon-wikimedia-logIn"></span> <span>Đăng nhập</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-user-menu-anon-editor" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-user-menu-anon-editor" > <div class="vector-menu-heading"> Trang dành cho người dùng chưa đăng nhập <a href="/wiki/Tr%E1%BB%A3_gi%C3%BAp:Gi%E1%BB%9Bi_thi%E1%BB%87u" aria-label="Tìm hiểu thêm về sửa đổi"><span>tìm hiểu thêm</span></a> </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:%C4%90%C3%B3ng_g%C3%B3p_c%E1%BB%A7a_t%C3%B4i" title="Danh sách các sửa đổi được thực hiện qua địa chỉ IP này [y]" accesskey="y"><span>Đóng góp</span></a></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn_t%C3%B4i" title="Thảo luận với địa chỉ IP này [n]" accesskey="n"><span>Thảo luận cho địa chỉ IP này</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </header> </div> <div class="mw-page-container"> <div class="mw-page-container-inner"> <div class="vector-sitenotice-container"> <div id="siteNotice"></div> </div> <div class="vector-column-start"> <div class="vector-main-menu-container"> <div id="mw-navigation"> <nav id="mw-panel" class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Trang Web"> <div id="vector-main-menu-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> </div> </div> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav id="mw-panel-toc" aria-label="Nội dung" data-event-name="ui.sidebar-toc" class="mw-table-of-contents-container vector-toc-landmark"> <div id="vector-toc-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-toc" class="vector-toc vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-toc-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="toc-pinned" data-pinnable-element-id="vector-toc" > <h2 class="vector-pinnable-header-label">Nội dung</h2> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.pin">chuyển sang thanh bên</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.unpin">ẩn</button> </div> <ul class="vector-toc-contents" id="mw-panel-toc-list"> <li id="toc-mw-content-text" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a href="#" class="vector-toc-link"> <div class="vector-toc-text">Đầu</div> </a> </li> <li id="toc-Định_nghĩa" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Định_nghĩa"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1</span> <span>Định nghĩa</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Định_nghĩa-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Hiện/ẩn mục Định nghĩa</span> </button> <ul id="toc-Định_nghĩa-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Lưu_ý" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Lưu_ý"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.1</span> <span>Lưu ý</span> </div> </a> <ul id="toc-Lưu_ý-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Các_ví_dụ" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Các_ví_dụ"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>Các ví dụ</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Các_ví_dụ-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Hiện/ẩn mục Các ví dụ</span> </button> <ul id="toc-Các_ví_dụ-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Phép_toán_giao_hoán" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Phép_toán_giao_hoán"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.1</span> <span>Phép toán giao hoán</span> </div> </a> <ul id="toc-Phép_toán_giao_hoán-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Phép_toán_không_giao_hoán" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Phép_toán_không_giao_hoán"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.2</span> <span>Phép toán không giao hoán</span> </div> </a> <ul id="toc-Phép_toán_không_giao_hoán-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Phép_chia,_phép_trừ_và_phép_mũ" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Phép_chia,_phép_trừ_và_phép_mũ"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.2.1</span> <span>Phép chia, phép trừ và phép mũ</span> </div> </a> <ul id="toc-Phép_chia,_phép_trừ_và_phép_mũ-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Hàm_chân_lý" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Hàm_chân_lý"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.2.2</span> <span>Hàm chân lý</span> </div> </a> <ul id="toc-Hàm_chân_lý-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Hợp_các_hàm_tuyến_tính" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Hợp_các_hàm_tuyến_tính"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.2.3</span> <span>Hợp các hàm tuyến tính</span> </div> </a> <ul id="toc-Hợp_các_hàm_tuyến_tính-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Phép_nhân_ma_trận" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Phép_nhân_ma_trận"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.2.4</span> <span>Phép nhân ma trận</span> </div> </a> <ul id="toc-Phép_nhân_ma_trận-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Tích_vectơ" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Tích_vectơ"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.2.5</span> <span>Tích vectơ</span> </div> </a> <ul id="toc-Tích_vectơ-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Lịch_sử_và_từ_nguyên_học" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Lịch_sử_và_từ_nguyên_học"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>Lịch sử và từ nguyên học</span> </div> </a> <ul id="toc-Lịch_sử_và_từ_nguyên_học-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Logic_mệnh_đề" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Logic_mệnh_đề"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>Logic mệnh đề</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Logic_mệnh_đề-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Hiện/ẩn mục Logic mệnh đề</span> </button> <ul id="toc-Logic_mệnh_đề-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Quy_tắc_thay" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Quy_tắc_thay"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.1</span> <span>Quy tắc thay</span> </div> </a> <ul id="toc-Quy_tắc_thay-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Liên_kết_logic_mệnh_đề" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Liên_kết_logic_mệnh_đề"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.2</span> <span>Liên kết logic mệnh đề</span> </div> </a> <ul id="toc-Liên_kết_logic_mệnh_đề-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Lý_thuyết_tập_hợp" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Lý_thuyết_tập_hợp"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>Lý thuyết tập hợp</span> </div> </a> <ul id="toc-Lý_thuyết_tập_hợp-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Giao_hoán_trong_các_cấu_trúc_toán_học" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Giao_hoán_trong_các_cấu_trúc_toán_học"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>Giao hoán trong các cấu trúc toán học</span> </div> </a> <ul id="toc-Giao_hoán_trong_các_cấu_trúc_toán_học-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Các_tính_chất_có_liên_quan" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Các_tính_chất_có_liên_quan"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>Các tính chất có liên quan</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Các_tính_chất_có_liên_quan-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Hiện/ẩn mục Các tính chất có liên quan</span> </button> <ul id="toc-Các_tính_chất_có_liên_quan-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Tính_kết_hợp" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Tính_kết_hợp"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7.1</span> <span>Tính kết hợp</span> </div> </a> <ul id="toc-Tính_kết_hợp-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Tính_phân_phối" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Tính_phân_phối"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7.2</span> <span>Tính phân phối</span> </div> </a> <ul id="toc-Tính_phân_phối-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Tính_đối_xứng" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Tính_đối_xứng"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7.3</span> <span>Tính đối xứng</span> </div> </a> <ul id="toc-Tính_đối_xứng-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Các_toán_tử_không_giao_hoán_trong_cơ_học_lượng_tử" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Các_toán_tử_không_giao_hoán_trong_cơ_học_lượng_tử"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8</span> <span>Các toán tử không giao hoán trong cơ học lượng tử</span> </div> </a> <ul id="toc-Các_toán_tử_không_giao_hoán_trong_cơ_học_lượng_tử-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Xem_thêm" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Xem_thêm"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9</span> <span>Xem thêm</span> </div> </a> <ul id="toc-Xem_thêm-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Chú_thích" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Chú_thích"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">10</span> <span>Chú thích</span> </div> </a> <ul id="toc-Chú_thích-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Tham_khảo" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Tham_khảo"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">11</span> <span>Tham khảo</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Tham_khảo-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Hiện/ẩn mục Tham khảo</span> </button> <ul id="toc-Tham_khảo-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Sách" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Sách"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">11.1</span> <span>Sách</span> </div> </a> <ul id="toc-Sách-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Thư_mục" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Thư_mục"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">11.2</span> <span>Thư mục</span> </div> </a> <ul id="toc-Thư_mục-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Nguồn_trên_mạng" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Nguồn_trên_mạng"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">11.3</span> <span>Nguồn trên mạng</span> </div> </a> <ul id="toc-Nguồn_trên_mạng-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Nội dung" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Đóng mở mục lục" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Đóng mở mục lục</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Tính giao hoán</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Xem bài viết trong ngôn ngữ khác. Bài có sẵn trong 70 ngôn ngữ" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-70" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">70 ngôn ngữ</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-af mw-list-item"><a href="https://af.wikipedia.org/wiki/Kommutatiewe_bewerking" title="Kommutatiewe bewerking – Tiếng Afrikaans" lang="af" hreflang="af" data-title="Kommutatiewe bewerking" data-language-autonym="Afrikaans" data-language-local-name="Tiếng Afrikaans" class="interlanguage-link-target"><span>Afrikaans</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%B9%D9%85%D9%84%D9%8A%D8%A9_%D8%AA%D8%A8%D8%AF%D9%8A%D9%84%D9%8A%D8%A9" title="عملية تبديلية – Tiếng Ả Rập" lang="ar" hreflang="ar" data-title="عملية تبديلية" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="Tiếng Ả Rập" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/Conmutativid%C3%A1" title="Conmutatividá – Tiếng Asturias" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Conmutatividá" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="Tiếng Asturias" class="interlanguage-link-target"><span>Asturianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/Kommutativlik_xass%C9%99si" title="Kommutativlik xassəsi – Tiếng Azerbaijan" lang="az" hreflang="az" data-title="Kommutativlik xassəsi" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="Tiếng Azerbaijan" class="interlanguage-link-target"><span>Azərbaycanca</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Sifat_komutatif" title="Sifat komutatif – Tiếng Indonesia" lang="id" hreflang="id" data-title="Sifat komutatif" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="Tiếng Indonesia" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Kalis_tukar_tertib" title="Kalis tukar tertib – Tiếng Mã Lai" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Kalis tukar tertib" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="Tiếng Mã Lai" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Melayu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%AC%E0%A6%BF%E0%A6%A8%E0%A6%BF%E0%A6%AE%E0%A6%AF%E0%A6%BC_%E0%A6%AC%E0%A7%88%E0%A6%B6%E0%A6%BF%E0%A6%B7%E0%A7%8D%E0%A6%9F%E0%A7%8D%E0%A6%AF" title="বিনিময় বৈশিষ্ট্য – Tiếng Bangla" lang="bn" hreflang="bn" data-title="বিনিময় বৈশিষ্ট্য" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="Tiếng Bangla" class="interlanguage-link-target"><span>বাংলা</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ba mw-list-item"><a href="https://ba.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BC%D1%83%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BB%D1%8B%D2%A1" title="Коммутативлыҡ – Tiếng Bashkir" lang="ba" hreflang="ba" data-title="Коммутативлыҡ" data-language-autonym="Башҡортса" data-language-local-name="Tiếng Bashkir" class="interlanguage-link-target"><span>Башҡортса</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B0%D0%BC%D1%83%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8B%D1%9E%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B0%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D1%8B%D1%8F" title="Камутатыўная аперацыя – Tiếng Belarus" lang="be" hreflang="be" data-title="Камутатыўная аперацыя" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="Tiếng Belarus" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Komutativnost" title="Komutativnost – Tiếng Bosnia" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Komutativnost" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="Tiếng Bosnia" class="interlanguage-link-target"><span>Bosanski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D1%83%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82" title="Комутативност – Tiếng Bulgaria" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Комутативност" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="Tiếng Bulgaria" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca badge-Q17437798 badge-goodarticle mw-list-item" title="bài viết tốt"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Propietat_commutativa" title="Propietat commutativa – Tiếng Catalan" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Propietat commutativa" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="Tiếng Catalan" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BC%D1%83%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BB%C4%83_%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8" title="Коммутативлă операци – Tiếng Chuvash" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Коммутативлă операци" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="Tiếng Chuvash" class="interlanguage-link-target"><span>Чӑвашла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Komutativita" title="Komutativita – Tiếng Séc" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Komutativita" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="Tiếng Séc" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Kommutativitet" title="Kommutativitet – Tiếng Đan Mạch" lang="da" hreflang="da" data-title="Kommutativitet" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="Tiếng Đan Mạch" class="interlanguage-link-target"><span>Dansk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Kommutativgesetz" title="Kommutativgesetz – Tiếng Đức" lang="de" hreflang="de" data-title="Kommutativgesetz" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="Tiếng Đức" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Kommutatiivsus" title="Kommutatiivsus – Tiếng Estonia" lang="et" hreflang="et" data-title="Kommutatiivsus" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="Tiếng Estonia" class="interlanguage-link-target"><span>Eesti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%91%CE%BD%CF%84%CE%B9%CE%BC%CE%B5%CF%84%CE%B1%CE%B8%CE%B5%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AE_%CE%B9%CE%B4%CE%B9%CF%8C%CF%84%CE%B7%CF%84%CE%B1" title="Αντιμεταθετική ιδιότητα – Tiếng Hy Lạp" lang="el" hreflang="el" data-title="Αντιμεταθετική ιδιότητα" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="Tiếng Hy Lạp" class="interlanguage-link-target"><span>Ελληνικά</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en badge-Q17437798 badge-goodarticle mw-list-item" title="bài viết tốt"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Commutative_property" title="Commutative property – Tiếng Anh" lang="en" hreflang="en" data-title="Commutative property" data-language-autonym="English" data-language-local-name="Tiếng Anh" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Conmutatividad" title="Conmutatividad – Tiếng Tây Ban Nha" lang="es" hreflang="es" data-title="Conmutatividad" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="Tiếng Tây Ban Nha" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Komuteco" title="Komuteco – Tiếng Quốc Tế Ngữ" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Komuteco" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="Tiếng Quốc Tế Ngữ" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Trukakortasun" title="Trukakortasun – Tiếng Basque" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Trukakortasun" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="Tiếng Basque" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5%DB%8C%D8%AA_%D8%AC%D8%A7%D8%A8%D9%87%E2%80%8C%D8%AC%D8%A7%DB%8C%DB%8C" title="خاصیت جابه‌جایی – Tiếng Ba Tư" lang="fa" hreflang="fa" data-title="خاصیت جابه‌جایی" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="Tiếng Ba Tư" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_commutative" title="Loi commutative – Tiếng Pháp" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Loi commutative" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="Tiếng Pháp" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ga mw-list-item"><a href="https://ga.wikipedia.org/wiki/Oibr%C3%ADocht_ch%C3%B3mhalartach" title="Oibríocht chómhalartach – Tiếng Ireland" lang="ga" hreflang="ga" data-title="Oibríocht chómhalartach" data-language-autonym="Gaeilge" data-language-local-name="Tiếng Ireland" class="interlanguage-link-target"><span>Gaeilge</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gd mw-list-item"><a href="https://gd.wikipedia.org/wiki/Co-iomlaideachd" title="Co-iomlaideachd – Tiếng Gael Scotland" lang="gd" hreflang="gd" data-title="Co-iomlaideachd" data-language-autonym="Gàidhlig" data-language-local-name="Tiếng Gael Scotland" class="interlanguage-link-target"><span>Gàidhlig</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Conmutatividade" title="Conmutatividade – Tiếng Galician" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Conmutatividade" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="Tiếng Galician" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B5%90%ED%99%98%EB%B2%95%EC%B9%99" title="교환법칙 – Tiếng Hàn" lang="ko" hreflang="ko" data-title="교환법칙" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="Tiếng Hàn" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D5%8F%D5%A5%D5%B2%D5%A1%D6%83%D5%B8%D5%AD%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Տեղափոխականություն – Tiếng Armenia" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Տեղափոխականություն" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="Tiếng Armenia" class="interlanguage-link-target"><span>Հայերեն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%AE%E0%A4%B5%E0%A4%BF%E0%A4%A8%E0%A4%BF%E0%A4%AE%E0%A5%87%E0%A4%AF%E0%A4%A4%E0%A4%BE" title="क्रमविनिमेयता – Tiếng Hindi" lang="hi" hreflang="hi" data-title="क्रमविनिमेयता" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="Tiếng Hindi" class="interlanguage-link-target"><span>हिन्दी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Komutativnost" title="Komutativnost – Tiếng Croatia" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Komutativnost" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="Tiếng Croatia" class="interlanguage-link-target"><span>Hrvatski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ia mw-list-item"><a href="https://ia.wikipedia.org/wiki/Commutativitate" title="Commutativitate – Tiếng Khoa Học Quốc Tế" lang="ia" hreflang="ia" data-title="Commutativitate" data-language-autonym="Interlingua" data-language-local-name="Tiếng Khoa Học Quốc Tế" class="interlanguage-link-target"><span>Interlingua</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/V%C3%ADxlregla" title="Víxlregla – Tiếng Iceland" lang="is" hreflang="is" data-title="Víxlregla" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="Tiếng Iceland" class="interlanguage-link-target"><span>Íslenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Commutativit%C3%A0" title="Commutatività – Tiếng Italy" lang="it" hreflang="it" data-title="Commutatività" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="Tiếng Italy" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A4%D7%A2%D7%95%D7%9C%D7%94_%D7%A7%D7%95%D7%9E%D7%95%D7%98%D7%98%D7%99%D7%91%D7%99%D7%AA" title="פעולה קומוטטיבית – Tiếng Do Thái" lang="he" hreflang="he" data-title="פעולה קומוטטיבית" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="Tiếng Do Thái" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%83%D1%8B%D1%81%D1%82%D1%8B%D1%80%D1%8B%D0%BC%D0%B4%D1%8B%D0%BB%D1%8B%D2%9B" title="Ауыстырымдылық – Tiếng Kazakh" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Ауыстырымдылық" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="Tiếng Kazakh" class="interlanguage-link-target"><span>Қазақша</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Commutativitas_(mathematica)" title="Commutativitas (mathematica) – Tiếng La-tinh" lang="la" hreflang="la" data-title="Commutativitas (mathematica)" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="Tiếng La-tinh" class="interlanguage-link-target"><span>Latina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Komutativit%C4%81te" title="Komutativitāte – Tiếng Latvia" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Komutativitāte" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="Tiếng Latvia" class="interlanguage-link-target"><span>Latviešu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Komutatyvumas" title="Komutatyvumas – Tiếng Litva" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Komutatyvumas" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="Tiếng Litva" class="interlanguage-link-target"><span>Lietuvių</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Kommutativit%C3%A1s" title="Kommutativitás – Tiếng Hungary" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Kommutativitás" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="Tiếng Hungary" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D1%83%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82" title="Комутативност – Tiếng Macedonia" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Комутативност" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="Tiếng Macedonia" class="interlanguage-link-target"><span>Македонски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%95%E0%B5%8D%E0%B4%B0%E0%B4%AE%E0%B4%A8%E0%B4%BF%E0%B4%AF%E0%B4%AE%E0%B4%82" title="ക്രമനിയമം – Tiếng Malayalam" lang="ml" hreflang="ml" data-title="ക്രമനിയമം" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="Tiếng Malayalam" class="interlanguage-link-target"><span>മലയാളം</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Commutativiteit" title="Commutativiteit – Tiếng Hà Lan" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Commutativiteit" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="Tiếng Hà Lan" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%A4%E6%8F%9B%E6%B3%95%E5%89%87" title="交換法則 – Tiếng Nhật" lang="ja" hreflang="ja" data-title="交換法則" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="Tiếng Nhật" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-frr mw-list-item"><a href="https://frr.wikipedia.org/wiki/Komutatiifgesets" title="Komutatiifgesets – Tiếng Frisia Miền Bắc" lang="frr" hreflang="frr" data-title="Komutatiifgesets" data-language-autonym="Nordfriisk" data-language-local-name="Tiếng Frisia Miền Bắc" class="interlanguage-link-target"><span>Nordfriisk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Kommutativ_lov" title="Kommutativ lov – Tiếng Na Uy (Bokmål)" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Kommutativ lov" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="Tiếng Na Uy (Bokmål)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Kommutativitet" title="Kommutativitet – Tiếng Na Uy (Nynorsk)" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Kommutativitet" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="Tiếng Na Uy (Nynorsk)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Przemienno%C5%9B%C4%87" title="Przemienność – Tiếng Ba Lan" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Przemienność" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="Tiếng Ba Lan" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Comutatividade" title="Comutatividade – Tiếng Bồ Đào Nha" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Comutatividade" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="Tiếng Bồ Đào Nha" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Comutativitate" title="Comutativitate – Tiếng Romania" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Comutativitate" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="Tiếng Romania" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BC%D1%83%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C" title="Коммутативность – Tiếng Nga" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Коммутативность" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="Tiếng Nga" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Vetia_e_nd%C3%ABrrimit" title="Vetia e ndërrimit – Tiếng Albania" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Vetia e ndërrimit" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="Tiếng Albania" class="interlanguage-link-target"><span>Shqip</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-si mw-list-item"><a href="https://si.wikipedia.org/wiki/%E0%B6%B1%E0%B7%8A%E2%80%8D%E0%B6%BA%E0%B7%8F%E0%B6%AF%E0%B7%9A%E0%B7%81%E0%B7%8A%E2%80%8D%E0%B6%BA_%E0%B6%B1%E0%B7%8A%E2%80%8D%E0%B6%BA%E0%B7%8F%E0%B6%BA" title="න්‍යාදේශ්‍ය න්‍යාය – Tiếng Sinhala" lang="si" hreflang="si" data-title="න්‍යාදේශ්‍ය න්‍යාය" data-language-autonym="සිංහල" data-language-local-name="Tiếng Sinhala" class="interlanguage-link-target"><span>සිංහල</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Commutative_property" title="Commutative property – Simple English" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Commutative property" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Komutat%C3%ADvnos%C5%A5" title="Komutatívnosť – Tiếng Slovak" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Komutatívnosť" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="Tiếng Slovak" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Komutativnost" title="Komutativnost – Tiếng Slovenia" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Komutativnost" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="Tiếng Slovenia" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B3%DB%8C%DB%95%D8%AA%DB%8C_%D8%A6%D8%A7%DA%B5%D9%88%DA%AF%DB%86%DA%95" title="خاسیەتی ئاڵوگۆڕ – Tiếng Kurd Miền Trung" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="خاسیەتی ئاڵوگۆڕ" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="Tiếng Kurd Miền Trung" class="interlanguage-link-target"><span>کوردی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D1%83%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82" title="Комутативност – Tiếng Serbia" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Комутативност" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="Tiếng Serbia" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Komutativnost" title="Komutativnost – Tiếng Serbo-Croatia" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Komutativnost" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="Tiếng Serbo-Croatia" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Vaihdannaisuus" title="Vaihdannaisuus – Tiếng Phần Lan" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Vaihdannaisuus" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="Tiếng Phần Lan" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Kommutativitet" title="Kommutativitet – Tiếng Thụy Điển" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Kommutativitet" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="Tiếng Thụy Điển" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%AA%E0%AE%B0%E0%AE%BF%E0%AE%AE%E0%AE%BE%E0%AE%B1%E0%AF%8D%E0%AE%B1%E0%AF%81%E0%AE%A4%E0%AF%8D%E0%AE%A4%E0%AE%A9%E0%AF%8D%E0%AE%AE%E0%AF%88" title="பரிமாற்றுத்தன்மை – Tiếng Tamil" lang="ta" hreflang="ta" data-title="பரிமாற்றுத்தன்மை" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="Tiếng Tamil" class="interlanguage-link-target"><span>தமிழ்</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tt mw-list-item"><a href="https://tt.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BC%D1%83%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BB%D1%8B%D0%BA" title="Коммутативлык – Tiếng Tatar" lang="tt" hreflang="tt" data-title="Коммутативлык" data-language-autonym="Татарча / tatarça" data-language-local-name="Tiếng Tatar" class="interlanguage-link-target"><span>Татарча / tatarça</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%AA%E0%B8%A1%E0%B8%9A%E0%B8%B1%E0%B8%95%E0%B8%B4%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%AA%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%9A%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B9%88" title="สมบัติการสลับที่ – Tiếng Thái" lang="th" hreflang="th" data-title="สมบัติการสลับที่" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="Tiếng Thái" class="interlanguage-link-target"><span>ไทย</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/De%C4%9Fi%C5%9Fme_%C3%B6zelli%C4%9Fi" title="Değişme özelliği – Tiếng Thổ Nhĩ Kỳ" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Değişme özelliği" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="Tiếng Thổ Nhĩ Kỳ" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D1%83%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C" title="Комутативність – Tiếng Ukraina" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Комутативність" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="Tiếng Ukraina" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vec mw-list-item"><a href="https://vec.wikipedia.org/wiki/Propiet%C3%A0_comutativa" title="Propietà comutativa – Venetian" lang="vec" hreflang="vec" data-title="Propietà comutativa" data-language-autonym="Vèneto" data-language-local-name="Venetian" class="interlanguage-link-target"><span>Vèneto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%A4%E6%8D%A2%E5%BE%8B" title="交换律 – Tiếng Ngô" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="交换律" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="Tiếng Ngô" class="interlanguage-link-target"><span>吴语</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%A4%E6%8F%9B%E5%BE%8B" title="交換律 – Tiếng Quảng Đông" lang="yue" hreflang="yue" data-title="交換律" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="Tiếng Quảng Đông" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%A4%E6%8F%9B%E5%BE%8B" title="交換律 – Tiếng Trung" lang="zh" hreflang="zh" data-title="交換律" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="Tiếng Trung" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q165474#sitelinks-wikipedia" title="Sửa liên kết giữa ngôn ngữ" class="wbc-editpage">Sửa liên kết</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Không gian tên"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n" title="Xem bài viết [c]" accesskey="c"><span>Bài viết</span></a></li><li id="ca-talk" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n" rel="discussion" title="Thảo luận về trang này [t]" accesskey="t"><span>Thảo luận</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input type="checkbox" id="vector-variants-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Thay đổi biến thể ngôn ngữ" > <label id="vector-variants-dropdown-label" for="vector-variants-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">Tiếng Việt</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-variants" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation" class="vector-collapsible"> <nav aria-label="Giao diện"> <div id="p-views" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-views" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n"><span>Đọc</span></a></li><li id="ca-ve-edit" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n&veaction=edit" title="Sửa đổi trang này [v]" accesskey="v"><span>Sửa đổi</span></a></li><li id="ca-edit" class="collapsible vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n&action=edit" title="Sửa đổi mã nguồn của trang này [e]" accesskey="e"><span>Sửa mã nguồn</span></a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n&action=history" title="Các phiên bản cũ của trang này [h]" accesskey="h"><span>Xem lịch sử</span></a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Công cụ trang"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Công cụ" > <label id="vector-page-tools-dropdown-label" for="vector-page-tools-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">Công cụ</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-tools-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-page-tools" class="vector-page-tools vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-page-tools-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="page-tools-pinned" data-pinnable-element-id="vector-page-tools" data-pinned-container-id="vector-page-tools-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-page-tools-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Công cụ</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.pin">chuyển sang thanh bên</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.unpin">ẩn</button> </div> <div id="p-cactions" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-has-collapsible-items" title="Thêm tùy chọn" > <div class="vector-menu-heading"> Tác vụ </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-more-view" class="selected vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/wiki/T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n"><span>Đọc</span></a></li><li id="ca-more-ve-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n&veaction=edit" title="Sửa đổi trang này [v]" accesskey="v"><span>Sửa đổi</span></a></li><li id="ca-more-edit" class="collapsible vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n&action=edit" title="Sửa đổi mã nguồn của trang này [e]" accesskey="e"><span>Sửa mã nguồn</span></a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n&action=history"><span>Xem lịch sử</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> Chung </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Li%C3%AAn_k%E1%BA%BFt_%C4%91%E1%BA%BFn_%C4%91%C3%A2y/T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n" title="Các trang liên kết đến đây [j]" accesskey="j"><span>Các liên kết đến đây</span></a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Thay_%C4%91%E1%BB%95i_li%C3%AAn_quan/T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n" rel="nofollow" title="Thay đổi gần đây của các trang liên kết đến đây [k]" accesskey="k"><span>Thay đổi liên quan</span></a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Trang_%C4%91%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t" title="Một danh sách chứa tất cả trang đặc biệt [q]" accesskey="q"><span>Trang đặc biệt</span></a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n&oldid=71100318" title="Liên kết thường trực đến phiên bản này của trang"><span>Liên kết thường trực</span></a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n&action=info" title="Thêm chi tiết về trang này"><span>Thông tin trang</span></a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Tr%C3%ADch_d%E1%BA%ABn&page=T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n&id=71100318&wpFormIdentifier=titleform" title="Hướng dẫn cách trích dẫn trang này"><span>Trích dẫn trang này</span></a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:UrlShortener&url=https%3A%2F%2Fvi.wikipedia.org%2Fwiki%2FT%25C3%25ADnh_giao_ho%25C3%25A1n"><span>Lấy URL ngắn gọn</span></a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:QrCode&url=https%3A%2F%2Fvi.wikipedia.org%2Fwiki%2FT%25C3%25ADnh_giao_ho%25C3%25A1n"><span>Tải mã QR</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-coll-print_export" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-coll-print_export" > <div class="vector-menu-heading"> In và xuất </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:S%C3%A1ch&bookcmd=book_creator&referer=T%C3%ADnh+giao+ho%C3%A1n"><span>Tạo một quyển sách</span></a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:DownloadAsPdf&page=T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n&action=show-download-screen"><span>Tải dưới dạng PDF</span></a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n&printable=yes" title="Bản để in ra của trang [p]" accesskey="p"><span>Bản để in ra</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-wikibase-otherprojects" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects" > <div class="vector-menu-heading"> Tại dự án khác </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-commons mw-list-item"><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Commutativity" hreflang="en"><span>Wikimedia Commons</span></a></li><li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q165474" title="Liên kết đến khoản mục kết nối trong kho dữ liệu [g]" accesskey="g"><span>Khoản mục Wikidata</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Công cụ trang"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Giao diện"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Giao diện</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">chuyển sang thanh bên</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">ẩn</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">Bách khoa toàn thư mở Wikipedia</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="vi" dir="ltr"><div class="shortdescription nomobile noexcerpt noprint searchaux" style="display:none">Tính chất của phép toán hai ngôi<a href="/w/index.php?title=B%E1%BA%A3n_m%E1%BA%ABu:SHORTDESC:T%C3%ADnh_ch%E1%BA%A5t_c%E1%BB%A7a_ph%C3%A9p_to%C3%A1n_hai_ng%C3%B4i&action=edit&redlink=1" class="new" title="Bản mẫu:SHORTDESC:Tính chất của phép toán hai ngôi (trang không tồn tại)">Bản mẫu:SHORTDESC:Tính chất của phép toán hai ngôi</a></div> <table class="infobox vcard" style="width:22em"><caption class="fn" style="padding-bottom:0.2em;">Tính giao hoán</caption><tbody><tr><td colspan="2" style="text-align:center"><span class="mw-default-size" typeof="mw:File/Frameless"><a href="/wiki/T%E1%BA%ADp_tin:Commutativity_of_binary_operations_(without_question_mark).svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/17/Commutativity_of_binary_operations_%28without_question_mark%29.svg/220px-Commutativity_of_binary_operations_%28without_question_mark%29.svg.png" decoding="async" width="220" height="126" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/17/Commutativity_of_binary_operations_%28without_question_mark%29.svg/330px-Commutativity_of_binary_operations_%28without_question_mark%29.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/17/Commutativity_of_binary_operations_%28without_question_mark%29.svg/440px-Commutativity_of_binary_operations_%28without_question_mark%29.svg.png 2x" data-file-width="248" data-file-height="142" /></a></span><div style="padding:5px">Phép toán <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \circ }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∘</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \circ }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99add39d2b681e2de7ff62422c32704a05c7ec31" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: 0.125ex; margin-bottom: -0.297ex; width:1.162ex; height:1.509ex;" alt="{\displaystyle \circ }"></span> có tính giao hoán <i><a href="/wiki/Khi_v%C3%A0_ch%E1%BB%89_khi" title="Khi và chỉ khi">khi và chỉ khi</a></i> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\circ y=y\circ x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>∘</mo> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mi>y</mi> <mo>∘</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\circ y=y\circ x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2578d2ab8b7ab36781793b5484c664d7f283e93c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.458ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x\circ y=y\circ x}"></span> với mọi <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"></span> và <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}"></span>. Bức ảnh này mô tả rõ khái niệm của phép toán dưới hình ảnh của "máy tính toán". Đầu ra của cỗ máy không phụ thuộc vào <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\circ y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>∘</mo> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\circ y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2ba86902ee98c41deb1275ddb8693977f27e1da" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.68ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x\circ y}"></span> hay <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y\circ x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>∘</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y\circ x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cd2f4a92fab96a47269e979f0659f85ee538a27" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.68ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y\circ x}"></span> tương ứng với các tham số đầu vào <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"></span> và <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}"></span> có – giá trị tính ra sẽ đều như nhau.</div></td></tr><tr><th scope="row">Loại</th><td><a href="/w/index.php?title=Nguy%C3%AAn_l%C3%BD&action=edit&redlink=1" class="new" title="Nguyên lý (trang không tồn tại)">Luật</a>, <a href="/w/index.php?title=Quy_t%E1%BA%AFc_thay&action=edit&redlink=1" class="new" title="Quy tắc thay (trang không tồn tại)">quy tắc thay</a></td></tr><tr><th scope="row">Lĩnh vực</th><td><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r70981351">.mw-parser-output .plainlist ol,.mw-parser-output .plainlist ul{line-height:inherit;list-style:none;margin:0;padding:0}.mw-parser-output .plainlist ol li,.mw-parser-output .plainlist ul li{margin-bottom:0}</style><div class="plainlist"> <ul><li><a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p" title="Đại số sơ cấp">Đại số sơ cấp</a></li> <li><a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_Boole" title="Đại số Boole">Đại số Boole</a></li> <li><a href="/wiki/L%C3%BD_thuy%E1%BA%BFt_nh%C3%B3m" title="Lý thuyết nhóm">Lý thuyết nhóm</a></li> <li><a href="/wiki/L%C3%BD_thuy%E1%BA%BFt_v%C3%A0nh" title="Lý thuyết vành">Lý thuyết vành</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Calculus_m%E1%BB%87nh_%C4%91%E1%BB%81&action=edit&redlink=1" class="new" title="Calculus mệnh đề (trang không tồn tại)">Calculus mệnh đề</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row">Phát biểu</th><td><a href="/wiki/Ph%C3%A9p_to%C3%A1n_hai_ng%C3%B4i" title="Phép toán hai ngôi">Phép toán hai ngôi</a> có <b>tính giao hoán</b> nếu thay đổi thứ tự hai <a href="/wiki/To%C3%A1n_h%E1%BA%A1ng" title="Toán hạng">toán hạng</a> không làm thay đổi kết quả.</td></tr><tr><th scope="row">Phát biểu tương đương</th><td><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r70981351"><div class="plainlist"> <ul><li>Định nghĩa 1: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x*y=y*x\qquad \forall x,y\in S.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>∗</mo> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mi>y</mi> <mo>∗</mo> <mi>x</mi> <mspace width="2em" /> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>∈</mo> <mi>S</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x*y=y*x\qquad \forall x,y\in S.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a5bf0f8cd1450d1c19a8f6275ec4e31ebfe7f06" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:26.902ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x*y=y*x\qquad \forall x,y\in S.}"></span></li> <li>Logic mệnh đề: <ul><li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (P\lor Q)\Leftrightarrow (Q\lor P)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mo>∨</mo> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">⇔</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>Q</mi> <mo>∨</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (P\lor Q)\Leftrightarrow (Q\lor P)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7b532501a03771c233967e3cba1f6157908a38a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.565ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (P\lor Q)\Leftrightarrow (Q\lor P)}"></span></li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (P\land Q)\Leftrightarrow (Q\land P)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mo>∧</mo> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">⇔</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>Q</mi> <mo>∧</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (P\land Q)\Leftrightarrow (Q\land P)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12e0fe7ca4b48406c2a7cf15d8c8a052755e2460" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.565ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (P\land Q)\Leftrightarrow (Q\land P)}"></span></li></ul></li></ul> </div></td></tr></tbody></table> <p>Trong <a href="/wiki/To%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc" title="Toán học">toán học</a>, một <a href="/wiki/Ph%C3%A9p_to%C3%A1n_hai_ng%C3%B4i" title="Phép toán hai ngôi">phép toán hai ngôi</a> có tính <b>giao hoán</b> khi thay đổi thứ tự của hai <a href="/wiki/To%C3%A1n_h%E1%BA%A1ng" title="Toán hạng">toán hạng</a> không làm thay đổi giá trị kết quả. Nó là tính chất cơ bản của nhiều phép toán hai ngôi và nhiều <a href="/wiki/Ch%E1%BB%A9ng_minh_to%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc" title="Chứng minh toán học">chứng minh toán học</a> dựa trên tính chất này. Các ví dụ dễ thấy của tính chất là <span class="nowrap">"3 + 4 = 4 + 3"</span> hay <span class="nowrap">"2 × 5 = 5 × 2"</span>. Lý do cần nhận biết tính giao hoán là bởi có những phép toán như <a href="/wiki/Ph%C3%A9p_chia" title="Phép chia">phép chia</a> và <a href="/wiki/Ph%C3%A9p_tr%E1%BB%AB" title="Phép trừ">phép trừ</a> không có nó (lấy ví dụ, <span class="nowrap">"3 − 5 ≠ 5 − 3"</span>); các phép toán đó <i>không</i> có tính giao hoán, nên thường được gọi là <i>phép toán không giao hoán</i>. Bởi ý tưởng rằng các phép toán đơn giản như <a href="/wiki/Ph%C3%A9p_nh%C3%A2n" title="Phép nhân">phép nhân</a> và <a href="/wiki/Ph%C3%A9p_c%E1%BB%99ng" title="Phép cộng">phép cộng</a> của số thực luôn có tính giao hoán, tính giao hoán thường được mặc định trước trong rất nhiều năm. Do đó, phải tới thế kỷ 19 khi toán học đang được chuẩn hoá tính chất này mới có cái tên riêng.<sup id="cite_ref-Cabillón_1-0" class="reference"><a href="#cite_note-Cabillón-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-Flood11_2-0" class="reference"><a href="#cite_note-Flood11-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Có một tính chất tương tự dành cho <a href="/wiki/Quan_h%E1%BB%87_hai_ng%C3%B4i" title="Quan hệ hai ngôi">quan hệ hai ngôi</a>; một quan hệ hai ngôi được gọi là <a href="/wiki/Quan_h%E1%BB%87_%C4%91%E1%BB%91i_x%E1%BB%A9ng" title="Quan hệ đối xứng">đối xứng</a> nếu quan hệ đúng bất kể thứ tự toán hạng trong đó; ví dụ, quan hệ <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B3ng_th%E1%BB%A9c" title="Đẳng thức">bằng nhau</a> đối xứng là vì hai <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%91i_t%C6%B0%E1%BB%A3ng_to%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc" title="Đối tượng toán học">đối tượng toán học</a> bằng nhau sẽ bằng nhau bất kể thứ tự của nó.<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Định_nghĩa"><span id=".C4.90.E1.BB.8Bnh_ngh.C4.A9a"></span>Định nghĩa</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n&veaction=edit&section=1" title="Sửa đổi phần “Định nghĩa”" class="mw-editsection-visualeditor"><span>sửa</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n&action=edit&section=1" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Định nghĩa"><span>sửa mã nguồn</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/Ph%C3%A9p_to%C3%A1n_hai_ng%C3%B4i" title="Phép toán hai ngôi">Phép toán hai ngôi</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle *}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∗</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle *}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e9972f426d9e07855984f73ee195a21dbc21755" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: 0.079ex; margin-bottom: -0.25ex; width:1.162ex; height:1.509ex;" alt="{\displaystyle *}"></span> trên <a href="/wiki/T%E1%BA%ADp_h%E1%BB%A3p_(to%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc)" title="Tập hợp (toán học)">tập</a> <i>S</i> được gọi là <i>giao hoán</i> nếu<sup id="cite_ref-Krowne,_p.1_4-0" class="reference"><a href="#cite_note-Krowne,_p.1-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-5" class="reference"><a href="#cite_note-5"><span class="cite-bracket">[</span>5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x*y=y*x\,{\mbox{với mọi }}x,y\in S.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>∗</mo> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mi>y</mi> <mo>∗</mo> <mi>x</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext>với mọi </mtext> </mstyle> </mrow> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>∈</mo> <mi>S</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x*y=y*x\,{\mbox{với mọi }}x,y\in S.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/064646e88d92e78599f39965881ccf09f4716276" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:29.803ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle x*y=y*x\,{\mbox{với mọi }}x,y\in S.}"></span> Phép toán không thoả mãn tính chất trên được gọi là phép toán <i>không giao hoán</i>. </p><p>Có thể nói <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span> <i>giao hoán</i> với <span class="texhtml"><i>y</i></span> hay <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span> và <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">y</span> <i>giao hoán</i> dưới phép toán <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle *}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∗</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle *}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e9972f426d9e07855984f73ee195a21dbc21755" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: 0.079ex; margin-bottom: -0.25ex; width:1.162ex; height:1.509ex;" alt="{\displaystyle *}"></span> nếu <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x*y=y*x.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>∗</mo> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mi>y</mi> <mo>∗</mo> <mi>x</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x*y=y*x.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/848e86c4b6f3f24d6cce3a5fb50665c08466cce6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.105ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x*y=y*x.}"></span> Nói cách khác, phép toán hai ngôi có tính giao hoán khi mọi cặp phần tử giao hoán dưới phép toán đó. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Lưu_ý"><span id="L.C6.B0u_.C3.BD"></span>Lưu ý</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n&veaction=edit&section=2" title="Sửa đổi phần “Lưu ý”" class="mw-editsection-visualeditor"><span>sửa</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n&action=edit&section=2" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Lưu ý"><span>sửa mã nguồn</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Tính giao hoán chỉ cho phép thứ tự toán hạng có thể thay đổi trong một cặp phần tử đang tính. Ta chỉ được phép thay đổi tuỳ ý thứ tự các toán hạng trong các biểu thức có nhiều hơn hai toán hạng khi phép toán hai ngôi đang xét vừa có <a href="/wiki/T%C3%ADnh_k%E1%BA%BFt_h%E1%BB%A3p" title="Tính kết hợp">tính kết hợp</a> vừa có tính giao hoán. Thật vậy, giả sử trong biểu thức a * b * c, ta muốn nhân a với c rồi mới nhân b. Thứ tự thực hiện phép toán như vậy không thể làm được bởi </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a*b*c=(a*b)*c=(b*a)*c\neq b*(a*c)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>∗</mo> <mi>b</mi> <mo>∗</mo> <mi>c</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>∗</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∗</mo> <mi>c</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo>∗</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∗</mo> <mi>c</mi> <mo>≠</mo> <mi>b</mi> <mo>∗</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>∗</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a*b*c=(a*b)*c=(b*a)*c\neq b*(a*c)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/754384ba5441e02bf24d289a3a0133e612a0ba6c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:45.218ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a*b*c=(a*b)*c=(b*a)*c\neq b*(a*c)}"></span> </p><p>và <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a*b*c\neq a*(b*c)=a*(c*b)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>∗</mo> <mi>b</mi> <mo>∗</mo> <mi>c</mi> <mo>≠</mo> <mi>a</mi> <mo>∗</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo>∗</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo>∗</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>c</mi> <mo>∗</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a*b*c\neq a*(b*c)=a*(c*b)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e70a425138d9a1d88954aabe5bb3b69fdb8a93b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:32.686ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a*b*c\neq a*(b*c)=a*(c*b)}"></span> </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Các_ví_dụ"><span id="C.C3.A1c_v.C3.AD_d.E1.BB.A5"></span>Các ví dụ</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n&veaction=edit&section=3" title="Sửa đổi phần “Các ví dụ”" class="mw-editsection-visualeditor"><span>sửa</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n&action=edit&section=3" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Các ví dụ"><span>sửa mã nguồn</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/T%E1%BA%ADp_tin:Commutative_Addition.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/36/Commutative_Addition.svg/220px-Commutative_Addition.svg.png" decoding="async" width="220" height="110" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/36/Commutative_Addition.svg/330px-Commutative_Addition.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/36/Commutative_Addition.svg/440px-Commutative_Addition.svg.png 2x" data-file-width="600" data-file-height="300" /></a><figcaption>Cộng số các quả táo với nhau được xem là phép cộng các số tự nhiên, là một ví dụ điển hình về tính giao hoán.</figcaption></figure> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Phép_toán_giao_hoán"><span id="Ph.C3.A9p_to.C3.A1n_giao_ho.C3.A1n"></span>Phép toán giao hoán</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n&veaction=edit&section=4" title="Sửa đổi phần “Phép toán giao hoán”" class="mw-editsection-visualeditor"><span>sửa</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n&action=edit&section=4" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Phép toán giao hoán"><span>sửa mã nguồn</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/T%E1%BA%ADp_tin:Vector_Addition.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3d/Vector_Addition.svg/220px-Vector_Addition.svg.png" decoding="async" width="220" height="220" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3d/Vector_Addition.svg/330px-Vector_Addition.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3d/Vector_Addition.svg/440px-Vector_Addition.svg.png 2x" data-file-width="400" data-file-height="400" /></a><figcaption>Phép cộng các vectơ có tính giao hoán bởi <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}={\vec {b}}+{\vec {a}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}={\vec {b}}+{\vec {a}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec2b7482da2847013fa5de8900757c561b98c815" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:13.427ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}={\vec {b}}+{\vec {a}}}"></span>.</figcaption></figure> <ul><li><a href="/wiki/Ph%C3%A9p_c%E1%BB%99ng" title="Phép cộng">Phép cộng</a> và <a href="/wiki/Ph%C3%A9p_nh%C3%A2n" title="Phép nhân">phép nhân</a> có tính giao hoán trong gần như mọi <a href="/wiki/H%E1%BB%87_th%E1%BB%91ng_s%E1%BB%91" class="mw-redirect" title="Hệ thống số">hệ thống số</a>, cụ thể là trong <a href="/wiki/S%E1%BB%91_t%E1%BB%B1_nhi%C3%AAn" title="Số tự nhiên">số tự nhiên</a>, <a href="/wiki/S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn" title="Số nguyên">số nguyên</a>, <a href="/wiki/S%E1%BB%91_h%E1%BB%AFu_t%E1%BB%89" title="Số hữu tỉ">số hữu tỉ</a>, <a href="/wiki/S%E1%BB%91_th%E1%BB%B1c" title="Số thực">số thực</a> và <a href="/wiki/S%E1%BB%91_ph%E1%BB%A9c" title="Số phức">số phức</a>. Tính chất này đúng trong tất cả các <a href="/wiki/Tr%C6%B0%E1%BB%9Dng_(to%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc)" class="mw-redirect" title="Trường (toán học)">trường</a>.</li> <li>Phép cộng trong mọi <a href="/wiki/Kh%C3%B4ng_gian_vect%C6%A1" title="Không gian vectơ">không gian vectơ</a> và trong mọi <a href="/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_tr%C3%AAn_tr%C6%B0%E1%BB%9Dng&action=edit&redlink=1" class="new" title="Đại số trên trường (trang không tồn tại)">đại số</a>.</li> <li>Phép <a href="/wiki/H%E1%BB%A3p_(l%C3%BD_thuy%E1%BA%BFt_t%E1%BA%ADp_h%E1%BB%A3p)" class="mw-redirect" title="Hợp (lý thuyết tập hợp)">hợp</a> và <a href="/wiki/Giao_(l%C3%BD_thuy%E1%BA%BFt_t%E1%BA%ADp_h%E1%BB%A3p)" class="mw-redirect" title="Giao (lý thuyết tập hợp)">giao</a> có tính giao hoán trên các tập hợp.</li> <li>"<a href="/w/index.php?title=Ph%C3%A9p_h%E1%BB%99i&action=edit&redlink=1" class="new" title="Phép hội (trang không tồn tại)">Hội</a>" và "<a href="/w/index.php?title=Ph%C3%A9p_tuy%E1%BA%BFn&action=edit&redlink=1" class="new" title="Phép tuyến (trang không tồn tại)">tuyển</a>" là hai <a href="/wiki/Ph%C3%A9p_to%C3%A1n_logic" class="mw-redirect" title="Phép toán logic">phép toán logic</a> có tính giao hoán.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Phép_toán_không_giao_hoán"><span id="Ph.C3.A9p_to.C3.A1n_kh.C3.B4ng_giao_ho.C3.A1n"></span>Phép toán không giao hoán</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n&veaction=edit&section=5" title="Sửa đổi phần “Phép toán không giao hoán”" class="mw-editsection-visualeditor"><span>sửa</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n&action=edit&section=5" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Phép toán không giao hoán"><span>sửa mã nguồn</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Một số phép toán không giao hoán:<sup id="cite_ref-6" class="reference"><a href="#cite_note-6"><span class="cite-bracket">[</span>6<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Phép_chia,_phép_trừ_và_phép_mũ"><span id="Ph.C3.A9p_chia.2C_ph.C3.A9p_tr.E1.BB.AB_v.C3.A0_ph.C3.A9p_m.C5.A9"></span>Phép chia, phép trừ và phép mũ</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n&veaction=edit&section=6" title="Sửa đổi phần “Phép chia, phép trừ và phép mũ”" class="mw-editsection-visualeditor"><span>sửa</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n&action=edit&section=6" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Phép chia, phép trừ và phép mũ"><span>sửa mã nguồn</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/Ph%C3%A9p_chia" title="Phép chia">Phép chia</a> không giao hoán, bởi <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1\div 2\neq 2\div 1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> <mo>÷</mo> <mn>2</mn> <mo>≠</mo> <mn>2</mn> <mo>÷</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1\div 2\neq 2\div 1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7784e4bb12fc8a2f7730b431aac47ed174c6b2d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.429ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 1\div 2\neq 2\div 1}"></span>. </p><p><a href="/wiki/Ph%C3%A9p_tr%E1%BB%AB" title="Phép trừ">Phép trừ</a> không giao hoán bởi <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0-1\neq 1-0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0</mn> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>≠</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0-1\neq 1-0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/beb89fedf760b003313ae21bb70bab6f6a12169c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.429ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 0-1\neq 1-0}"></span>. Tuy nhiên ta có thể gọi nó có tính <a href="/w/index.php?title=Ph%E1%BA%A3n_giao_ho%C3%A1n&action=edit&redlink=1" class="new" title="Phản giao hoán (trang không tồn tại)">phản giao hoán</a>, bởi <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0-1=-(1-0)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0</mn> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0-1=-(1-0)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c6022731a4f1dab82e9131c617525ef10e9c4dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.047ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 0-1=-(1-0)}"></span>. </p><p><a href="/wiki/Ph%C3%A9p_m%C5%A9" class="mw-redirect" title="Phép mũ">Phép mũ</a> không giao hoán bởi <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2^{3}\neq 3^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>≠</mo> <msup> <mn>3</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2^{3}\neq 3^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/170cfbfd71bd6828dbe7fb72a9eb6f135814693e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.532ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle 2^{3}\neq 3^{2}}"></span>. </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Hàm_chân_lý"><span id="H.C3.A0m_ch.C3.A2n_l.C3.BD"></span>Hàm chân lý</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n&veaction=edit&section=7" title="Sửa đổi phần “Hàm chân lý”" class="mw-editsection-visualeditor"><span>sửa</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n&action=edit&section=7" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Hàm chân lý"><span>sửa mã nguồn</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Một số <a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_ch%C3%A2n_l%C3%BD&action=edit&redlink=1" class="new" title="Hàm chân lý (trang không tồn tại)">hàm chân lý</a> không có tính giao hoán, bởi <a href="/w/index.php?title=B%E1%BA%A3ng_ch%C3%A2n_l%C3%BD&action=edit&redlink=1" class="new" title="Bảng chân lý (trang không tồn tại)">bảng chân lý</a> cho các hàm đó thay đổi khi ta thay đổi thứ tự toán hạng. Lấy ví dụ, bảng chân lý cho <span class="texhtml">(A ⇒ B) = (¬A ∨ B)</span> và <span class="texhtml">(B ⇒ A) = (A ∨ ¬B)</span> là </p> <dl><dd><table class="wikitable" style="text-align:center; width:20%;"><tbody><tr style="vertical-align:top"><th scope="col"> <span class="texhtml">A</span></th><th scope="col"> <span class="texhtml">B</span></th><th scope="col" style="width:30%;"> <span class="texhtml">A ⇒ B</span></th><th scope="col" style="width:30%;"> <span class="texhtml">B ⇒ A</span></th></tr><tr style="vertical-align:top"><td> F</td><td> F</td><td style="width:30%;"> T</td><td style="width:30%;"> T</td></tr><tr style="vertical-align:top"><td> F</td><td> T</td><td style="width:30%;"> T</td><td style="width:30%;"> F</td></tr><tr style="vertical-align:top"><td> T</td><td> F</td><td style="width:30%;"> F</td><td style="width:30%;"> T</td></tr><tr style="vertical-align:top"><td> T</td><td> T</td><td style="width:30%;"> T</td><td style="width:30%;"> T</td></tr></tbody></table></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Hợp_các_hàm_tuyến_tính"><span id="H.E1.BB.A3p_c.C3.A1c_h.C3.A0m_tuy.E1.BA.BFn_t.C3.ADnh"></span>Hợp các hàm tuyến tính</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n&veaction=edit&section=8" title="Sửa đổi phần “Hợp các hàm tuyến tính”" class="mw-editsection-visualeditor"><span>sửa</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n&action=edit&section=8" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Hợp các hàm tuyến tính"><span>sửa mã nguồn</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/H%C3%A0m_h%E1%BB%A3p" title="Hàm hợp">Phép hợp</a> các <a href="/wiki/H%C3%A0m_tuy%E1%BA%BFn_t%C3%ADnh" class="mw-redirect" title="Hàm tuyến tính">hàm tuyến tính</a> từ các <a href="/wiki/S%E1%BB%91_th%E1%BB%B1c" title="Số thực">số thực</a> sang số thực gần như luôn không giao hoán. Lấy ví dụ, đặt <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=2x+1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=2x+1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10ca6b62bf1326a2e8672de9d2a8bfa95240fd76" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.011ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)=2x+1}"></span> và <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g(x)=3x+7}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>3</mn> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>7</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g(x)=3x+7}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e23e30e18d8cb03b82552b98e9174bf5d8bc4f61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.848ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle g(x)=3x+7}"></span>. Khi đó </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))=2(3x+7)+1=6x+15}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo>∘</mo> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>3</mn> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>7</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>=</mo> <mn>6</mn> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>15</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))=2(3x+7)+1=6x+15}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84d79e32c51f1826f0e734c67bc2f94fb9f2f17e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:47.303ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))=2(3x+7)+1=6x+15}"></span></dd></dl> <p>và </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))=3(2x+1)+7=6x+10}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>g</mi> <mo>∘</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>3</mn> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mn>7</mn> <mo>=</mo> <mn>6</mn> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>10</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))=3(2x+1)+7=6x+10}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12c495d76e3a656080cd77df098f2c4105339ccf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:47.303ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))=3(2x+1)+7=6x+10}"></span></dd></dl> <p>Điều này cũng cho các biển đổi <a href="/wiki/%C3%81nh_x%E1%BA%A1_tuy%E1%BA%BFn_t%C3%ADnh" class="mw-redirect" title="Ánh xạ tuyến tính">tuyến tính</a> và <a href="/w/index.php?title=Bi%E1%BA%BFn_%C4%91%E1%BB%95i_affin&action=edit&redlink=1" class="new" title="Biến đổi affin (trang không tồn tại)">biến đổi affin</a> từ một không gian vectơ tới chính nó (xem biểu diễn ma trận bên dưới). </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Phép_nhân_ma_trận"><span id="Ph.C3.A9p_nh.C3.A2n_ma_tr.E1.BA.ADn"></span>Phép nhân ma trận</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n&veaction=edit&section=9" title="Sửa đổi phần “Phép nhân ma trận”" class="mw-editsection-visualeditor"><span>sửa</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n&action=edit&section=9" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Phép nhân ma trận"><span>sửa mã nguồn</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/Ph%C3%A9p_nh%C3%A2n_ma_tr%E1%BA%ADn" title="Phép nhân ma trận">Phép nhân</a> các <a href="/wiki/Ma_tr%E1%BA%ADn_vu%C3%B4ng" title="Ma trận vuông">ma trận vuông</a> gần như luôn không giao hoán, lấy ví dụ: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{bmatrix}0&2\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}\neq {\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>2</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mo>≠</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{bmatrix}0&2\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}\neq {\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/668291a5a8ba23c6bf436b331db5ccbcf3395719" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:56.419ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{bmatrix}0&2\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}\neq {\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}}"></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Tích_vectơ"><span id="T.C3.ADch_vect.C6.A1"></span>Tích vectơ</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n&veaction=edit&section=10" title="Sửa đổi phần “Tích vectơ”" class="mw-editsection-visualeditor"><span>sửa</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n&action=edit&section=10" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Tích vectơ"><span>sửa mã nguồn</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/T%C3%ADch_vect%C6%A1" title="Tích vectơ">Tích vectơ</a> của hai vectơ trong không gian ba chiều có tính <a href="/w/index.php?title=Ph%E1%BA%A3n_giao_ho%C3%A1n&action=edit&redlink=1" class="new" title="Phản giao hoán (trang không tồn tại)">phản giao hoán</a>; tức là <i>b</i> × <i>a</i> = −(<i>a</i> × <i>b</i>). </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Lịch_sử_và_từ_nguyên_học"><span id="L.E1.BB.8Bch_s.E1.BB.AD_v.C3.A0_t.E1.BB.AB_nguy.C3.AAn_h.E1.BB.8Dc"></span>Lịch sử và từ nguyên học</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n&veaction=edit&section=11" title="Sửa đổi phần “Lịch sử và từ nguyên học”" class="mw-editsection-visualeditor"><span>sửa</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n&action=edit&section=11" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Lịch sử và từ nguyên học"><span>sửa mã nguồn</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/T%E1%BA%ADp_tin:Commutative_Word_Origin.PNG" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/da/Commutative_Word_Origin.PNG/250px-Commutative_Word_Origin.PNG" decoding="async" width="250" height="130" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/da/Commutative_Word_Origin.PNG/375px-Commutative_Word_Origin.PNG 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/da/Commutative_Word_Origin.PNG/500px-Commutative_Word_Origin.PNG 2x" data-file-width="521" data-file-height="271" /></a><figcaption>Từ này lần đầu được dùng trong một tạp chí Pháp xuất bản vào năm 1814</figcaption></figure> <p>Các bản ghi lại sử dụng tính giao hoán đã có từ thời cổ đại. Người Ai Cập sử dụng tính giao hoán của <a href="/wiki/Ph%C3%A9p_nh%C3%A2n" title="Phép nhân">phép nhân</a> để đơn giản hoá các <a href="/wiki/T%C3%ADch_(to%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc)" title="Tích (toán học)">tích</a> trong tính toán.<sup id="cite_ref-7" class="reference"><a href="#cite_note-7"><span class="cite-bracket">[</span>7<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-8" class="reference"><a href="#cite_note-8"><span class="cite-bracket">[</span>8<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> <a href="/wiki/Euclid" title="Euclid">Euclid</a> được biết đã mặc định tính chất giao hoán của phép nhân trong cuốn <a href="/wiki/C%C6%A1_s%E1%BB%9F_(Euclid)" title="Cơ sở (Euclid)"><i>Elements</i></a> của ông.<sup id="cite_ref-9" class="reference"><a href="#cite_note-9"><span class="cite-bracket">[</span>9<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Sử dụng tính chất này theo cách chuẩn tắc bất đầu vào cuối thế kỷ 18 và đầu thế kỷ 19, khi các nhà toán học bắt đầu nghiên cứu lý thuyết của các hàm số. Nay tính giao hoán được biết rộng rãi và được sử dụng trong đa số các nhánh của toán học. </p><p>Từ <i>commutative</i> (nghĩa là có giao hoán) được viết lần đầu trong hồi ký năm 1814 của <a href="/w/index.php?title=Fran%C3%A7ois-Joseph_Servois&action=edit&redlink=1" class="new" title="François-Joseph Servois (trang không tồn tại)">François Servois</a>,<sup id="cite_ref-Cabillón_1-1" class="reference"><a href="#cite_note-Cabillón-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-10" class="reference"><a href="#cite_note-10"><span class="cite-bracket">[</span>10<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Bài viết sử dụng từ <i>commutatives</i> khi mô tả các hàm số có tính giao hoán. Từ này là kết hợp của từ <i>commuter</i> nghĩa là "để thay hoặc đổi" và hậu tố <i>-ative</i> nghĩa là "dẫn tới" nên toàn bộ từ có nghĩa "dẫn tới thay hoặc đổi". Thuật ngữ này xuất hiện trong tiếng Anh vào năm 1838<sup id="cite_ref-Flood11_2-1" class="reference"><a href="#cite_note-Flood11-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> và trong mục của <a href="/w/index.php?title=Duncan_Farquharson_Gregory&action=edit&redlink=1" class="new" title="Duncan Farquharson Gregory (trang không tồn tại)">Duncan Farquharson Gregory</a> với tiêu đề "Trên các tính chất tự nhiên của đại số ký hiệu", sau đó xuất bản vào năm 1840 trong các <a href="/w/index.php?title=Hi%E1%BB%87p_h%E1%BB%99i_ho%C3%A0ng_gia_x%E1%BB%A9_Edinburgh&action=edit&redlink=1" class="new" title="Hiệp hội hoàng gia xứ Edinburgh (trang không tồn tại)">kỷ yếu của hiệp hội hoàng gia xứ Edinburgh</a>.<sup id="cite_ref-11" class="reference"><a href="#cite_note-11"><span class="cite-bracket">[</span>11<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Logic_mệnh_đề"><span id="Logic_m.E1.BB.87nh_.C4.91.E1.BB.81"></span>Logic mệnh đề</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n&veaction=edit&section=12" title="Sửa đổi phần “Logic mệnh đề”" class="mw-editsection-visualeditor"><span>sửa</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n&action=edit&section=12" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Logic mệnh đề"><span>sửa mã nguồn</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Quy_tắc_thay"><span id="Quy_t.E1.BA.AFc_thay"></span>Quy tắc thay</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n&veaction=edit&section=13" title="Sửa đổi phần “Quy tắc thay”" class="mw-editsection-visualeditor"><span>sửa</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n&action=edit&section=13" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Quy tắc thay"><span>sửa mã nguồn</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Trong logic mệnh đề, <i>Giao hoán</i>,<sup id="cite_ref-12" class="reference"><a href="#cite_note-12"><span class="cite-bracket">[</span>12<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-13" class="reference"><a href="#cite_note-13"><span class="cite-bracket">[</span>13<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> hay <i>tính giao hoán</i><sup id="cite_ref-14" class="reference"><a href="#cite_note-14"><span class="cite-bracket">[</span>14<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> thường nhắc tới hai <a href="/w/index.php?title=Quy_t%E1%BA%AFc_thay&action=edit&redlink=1" class="new" title="Quy tắc thay (trang không tồn tại)">quy tắc thay</a> <a href="/w/index.php?title=H%E1%BB%A3p_l%E1%BB%87_(logic)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Hợp lệ (logic) (trang không tồn tại)">hợp lệ</a>. Hay quy tắc cho phép ta chuyển vị các <a href="/w/index.php?title=Bi%E1%BA%BFn_m%E1%BB%87nh_%C4%91%E1%BB%81&action=edit&redlink=1" class="new" title="Biến mệnh đề (trang không tồn tại)">biến mệnh đề</a> trong các <a href="/w/index.php?title=C%C3%B4ng_th%E1%BB%A9c_m%E1%BB%87nh_%C4%91%E1%BB%81&action=edit&redlink=1" class="new" title="Công thức mệnh đề (trang không tồn tại)">công thức mệnh đề</a> trong bài <a href="/w/index.php?title=Ch%E1%BB%A9ng_minh_h%C3%ACnh_th%E1%BB%A9c&action=edit&redlink=1" class="new" title="Chứng minh hình thức (trang không tồn tại)">chứng minh logic</a>. Các quy tắc thay như sau </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (P\lor Q)\Leftrightarrow (Q\lor P)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mo>∨</mo> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">⇔</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>Q</mi> <mo>∨</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (P\lor Q)\Leftrightarrow (Q\lor P)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7b532501a03771c233967e3cba1f6157908a38a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.565ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (P\lor Q)\Leftrightarrow (Q\lor P)}"></span></dd></dl> <p>và </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (P\land Q)\Leftrightarrow (Q\land P)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mo>∧</mo> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">⇔</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>Q</mi> <mo>∧</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (P\land Q)\Leftrightarrow (Q\land P)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12e0fe7ca4b48406c2a7cf15d8c8a052755e2460" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.565ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (P\land Q)\Leftrightarrow (Q\land P)}"></span></dd></dl> <p>trong đó "<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Leftrightarrow }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">⇔</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Leftrightarrow }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64812e13399c20cf3ce94e049d3bb2d85f26abcf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.324ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle \Leftrightarrow }"></span>" là <a href="/w/index.php?title=K%C3%BD_hi%E1%BB%87u_logic&action=edit&redlink=1" class="new" title="Ký hiệu logic (trang không tồn tại)">ký hiệu</a> <a href="/w/index.php?title=Metalogic&action=edit&redlink=1" class="new" title="Metalogic (trang không tồn tại)">metalogic</a> biểu diễn "có thể thay trong bài <a href="/w/index.php?title=Ch%E1%BB%A9ng_minh_h%C3%ACnh_th%E1%BB%A9c&action=edit&redlink=1" class="new" title="Chứng minh hình thức (trang không tồn tại)">chứng minh</a> với". </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Liên_kết_logic_mệnh_đề"><span id="Li.C3.AAn_k.E1.BA.BFt_logic_m.E1.BB.87nh_.C4.91.E1.BB.81"></span>Liên kết logic mệnh đề</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n&veaction=edit&section=14" title="Sửa đổi phần “Liên kết logic mệnh đề”" class="mw-editsection-visualeditor"><span>sửa</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n&action=edit&section=14" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Liên kết logic mệnh đề"><span>sửa mã nguồn</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><i>Tính giao hoán</i> là tính chất của một số <a href="/w/index.php?title=Li%C3%AAn_k%E1%BA%BFt_logic&action=edit&redlink=1" class="new" title="Liên kết logic (trang không tồn tại)">liên kết logic</a> của <a href="/w/index.php?title=Logic_m%E1%BB%87nh_%C4%91%E1%BB%81&action=edit&redlink=1" class="new" title="Logic mệnh đề (trang không tồn tại)">logic mệnh đề</a>. Các <a href="/wiki/T%C6%B0%C6%A1ng_%C4%91%C6%B0%C6%A1ng_logic" class="mw-redirect" title="Tương đương logic">tương đương logic</a> sau là ví dụ của các liên kết có tính chất giao hoán. </p> <dl><dt>Giao hoán của phép hội</dt> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (P\land Q)\leftrightarrow (Q\land P)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mo>∧</mo> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">↔</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>Q</mi> <mo>∧</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (P\land Q)\leftrightarrow (Q\land P)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d68a37da164fe75209f4998cbe69839a241d8c45" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.565ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (P\land Q)\leftrightarrow (Q\land P)}"></span></dd> <dt>Giao hoán của phép tuyển</dt> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (P\lor Q)\leftrightarrow (Q\lor P)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mo>∨</mo> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">↔</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>Q</mi> <mo>∨</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (P\lor Q)\leftrightarrow (Q\lor P)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63f4ed76e18831ba1a9bab333b467883e32a40f4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.565ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (P\lor Q)\leftrightarrow (Q\lor P)}"></span></dd> <dt>Giao hoán của phép kéo theo (hay còn gọi là phép kéo theo, hoặc là luật hoán vị)</dt> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (P\to (Q\to R))\leftrightarrow (Q\to (P\to R))}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>R</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">↔</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>R</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (P\to (Q\to R))\leftrightarrow (Q\to (P\to R))}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/214e8ee34775bbe6c5a0208b1eb3e47fedeff751" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:36.003ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (P\to (Q\to R))\leftrightarrow (Q\to (P\to R))}"></span></dd> <dt>Giao hoán của tương đương (hay còn gọi là luật tương đương)</dt> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (P\leftrightarrow Q)\leftrightarrow (Q\leftrightarrow P)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">↔</mo> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">↔</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">↔</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (P\leftrightarrow Q)\leftrightarrow (Q\leftrightarrow P)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5e78176e9a7a335f3a577a0355614d17a62f591" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.628ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (P\leftrightarrow Q)\leftrightarrow (Q\leftrightarrow P)}"></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Lý_thuyết_tập_hợp"><span id="L.C3.BD_thuy.E1.BA.BFt_t.E1.BA.ADp_h.E1.BB.A3p"></span>Lý thuyết tập hợp</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n&veaction=edit&section=15" title="Sửa đổi phần “Lý thuyết tập hợp”" class="mw-editsection-visualeditor"><span>sửa</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n&action=edit&section=15" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Lý thuyết tập hợp"><span>sửa mã nguồn</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Trong <a href="/wiki/L%C3%BD_thuy%E1%BA%BFt_nh%C3%B3m" title="Lý thuyết nhóm">lý thuyết nhóm</a> và <a href="/wiki/L%C3%BD_thuy%E1%BA%BFt_t%E1%BA%ADp_h%E1%BB%A3p" title="Lý thuyết tập hợp">lý thuyết tập hợp</a>, nhiều <a href="/wiki/C%E1%BA%A5u_tr%C3%BAc_%C4%91%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91" title="Cấu trúc đại số">cấu trúc đại số</a> được gọi là giao hoán khi phép toán của nó thoả mãn tính chất giao hoán. Trong các nhánh cao hơn của toán học như <a href="/wiki/Gi%E1%BA%A3i_t%C3%ADch_to%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc" title="Giải tích toán học">giải tích</a> hay <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_tuy%E1%BA%BFn_t%C3%ADnh" title="Đại số tuyến tính">đại số tuyến tính</a> thì tính giao hoán của phép cộng và phép nhân trên tập số thực và số phức thường được mặc định trước không nhắc đến trong các bài chứng minh.<sup id="cite_ref-15" class="reference"><a href="#cite_note-15"><span class="cite-bracket">[</span>15<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-Gallian,_p.34_16-0" class="reference"><a href="#cite_note-Gallian,_p.34-16"><span class="cite-bracket">[</span>16<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-17" class="reference"><a href="#cite_note-17"><span class="cite-bracket">[</span>17<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Giao_hoán_trong_các_cấu_trúc_toán_học"><span id="Giao_ho.C3.A1n_trong_c.C3.A1c_c.E1.BA.A5u_tr.C3.BAc_to.C3.A1n_h.E1.BB.8Dc"></span>Giao hoán trong các cấu trúc toán học</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n&veaction=edit&section=16" title="Sửa đổi phần “Giao hoán trong các cấu trúc toán học”" class="mw-editsection-visualeditor"><span>sửa</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n&action=edit&section=16" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Giao hoán trong các cấu trúc toán học"><span>sửa mã nguồn</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/w/index.php?title=N%E1%BB%ADa_nh%C3%B3m_giao_ho%C3%A1n&action=edit&redlink=1" class="new" title="Nửa nhóm giao hoán (trang không tồn tại)">Nửa nhóm giao hoán</a> là tập đi kèm phép toán đóng, giao hoán và kết hợp.</li> <li>Nếu nửa nhóm trên có thêm <a href="/wiki/Ph%E1%BA%A7n_t%E1%BB%AD_%C4%91%C6%A1n_v%E1%BB%8B" title="Phần tử đơn vị">phần tử đơn vị</a>, thì ta có <a href="/w/index.php?title=Monoid_giao_ho%C3%A1n&action=edit&redlink=1" class="new" title="Monoid giao hoán (trang không tồn tại)">monoid giao hoán</a></li> <li><a href="/wiki/Nh%C3%B3m_Abel" class="mw-redirect" title="Nhóm Abel">Nhóm Abel</a>, hay <i>nhóm giao hoán</i> là <a href="/wiki/Nh%C3%B3m_(to%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc)" title="Nhóm (toán học)">nhóm</a> mà phép toán nhóm có tính giao hoán.<sup id="cite_ref-Gallian,_p.34_16-1" class="reference"><a href="#cite_note-Gallian,_p.34-16"><span class="cite-bracket">[</span>16<span class="cite-bracket">]</span></a></sup></li> <li><a href="/wiki/V%C3%A0nh_giao_ho%C3%A1n" title="Vành giao hoán">Vành giao hoán</a> là <a href="/wiki/V%C3%A0nh" title="Vành">vành</a> mà <a href="/wiki/Ph%C3%A9p_nh%C3%A2n" title="Phép nhân">phép nhân</a> có tính giao hoán. (phép cộng trong vành luôn có tính giao hoán.)<sup id="cite_ref-18" class="reference"><a href="#cite_note-18"><span class="cite-bracket">[</span>18<span class="cite-bracket">]</span></a></sup></li> <li>Trong <a href="/wiki/Tr%C6%B0%E1%BB%9Dng_(to%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc)" class="mw-redirect" title="Trường (toán học)">trường</a>, cả hai phép cộng và nhân đều có tính giao hoán.<sup id="cite_ref-19" class="reference"><a href="#cite_note-19"><span class="cite-bracket">[</span>19<span class="cite-bracket">]</span></a></sup></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Các_tính_chất_có_liên_quan"><span id="C.C3.A1c_t.C3.ADnh_ch.E1.BA.A5t_c.C3.B3_li.C3.AAn_quan"></span>Các tính chất có liên quan</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n&veaction=edit&section=17" title="Sửa đổi phần “Các tính chất có liên quan”" class="mw-editsection-visualeditor"><span>sửa</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n&action=edit&section=17" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Các tính chất có liên quan"><span>sửa mã nguồn</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Tính_kết_hợp"><span id="T.C3.ADnh_k.E1.BA.BFt_h.E1.BB.A3p"></span>Tính kết hợp</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n&veaction=edit&section=18" title="Sửa đổi phần “Tính kết hợp”" class="mw-editsection-visualeditor"><span>sửa</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n&action=edit&section=18" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Tính kết hợp"><span>sửa mã nguồn</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div role="note" class="hatnote navigation-not-searchable">Bài chi tiết: <a href="/wiki/T%C3%ADnh_k%E1%BA%BFt_h%E1%BB%A3p" title="Tính kết hợp">Tính kết hợp</a></div> <p>Tính kết hợp có quan hệ gần gũi với tính giao hoán. Tính kết hợp trong biểu thức chứa hai hay nhiều hơn lần xuất hiện của cùng một phép toán phát biểu rằng thứ tự thực hiện phép toán không thay đổi kết quả cuối miễn là thứ tự các toán hạng không thay đổi. Ngược lại tính giao hoán phát biểu rằng thay đổi thứ tự các toán hạng khi tính trên một cặp sẽ không làm thay đổi kết quả cuối. </p><p>Các phép toán giao hoán thường thì sẽ cũng có tính kết hợp. Song, tính giao hoán không suy ra tính kết hợp. Một ví dụ phản chứng là hàm số sau </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x,y)={\frac {x+y}{2}},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>y</mi> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x,y)={\frac {x+y}{2}},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d98de0952342197fe32bd0736e79b1ec0073da81" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:16.514ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle f(x,y)={\frac {x+y}{2}},}"></span></dd></dl> <p>Hàm số này giao hoán (đổi <i>x</i> và <i>y</i> không thay đổi kết quả), nhưng nó không có tính kết hợp (bởi lấy ví dụ như <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(-4,f(0,+4))=-1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>4</mn> <mo>,</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(-4,f(0,+4))=-1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77da612e7edca77a81e11eac2f0db9b4a703c2ce" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.416ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(-4,f(0,+4))=-1}"></span> nhưng <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(f(-4,0),+4)=+1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>4</mn> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(f(-4,0),+4)=+1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8003a91094abcea66bc81ab7d4bb13019abce867" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.416ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(f(-4,0),+4)=+1}"></span>). Nhiều các ví dụ khác có thể tìm thấy trong các <a href="/w/index.php?title=Magma_giao_ho%C3%A1n_kh%C3%B4ng_k%E1%BA%BFt_h%E1%BB%A3p&action=edit&redlink=1" class="new" title="Magma giao hoán không kết hợp (trang không tồn tại)">magma giao hoán không kết hợp</a>. Ngược lại, tính kết hợp cũng không suy ra tính giao hoán. Lấy ví dụ, <a href="/wiki/Ph%C3%A9p_nh%C3%A2n_ma_tr%E1%BA%ADn" title="Phép nhân ma trận">phép nhân ma trận</a> luôn kết hợp nhưng chưa chắc đã giao hoán. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Tính_phân_phối"><span id="T.C3.ADnh_ph.C3.A2n_ph.E1.BB.91i"></span>Tính phân phối</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n&veaction=edit&section=19" title="Sửa đổi phần “Tính phân phối”" class="mw-editsection-visualeditor"><span>sửa</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n&action=edit&section=19" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Tính phân phối"><span>sửa mã nguồn</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div role="note" class="hatnote navigation-not-searchable">Bài chi tiết: <a href="/wiki/T%C3%ADnh_ph%C3%A2n_ph%E1%BB%91i" class="mw-redirect" title="Tính phân phối">Tính phân phối</a></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Tính_đối_xứng"><span id="T.C3.ADnh_.C4.91.E1.BB.91i_x.E1.BB.A9ng"></span>Tính đối xứng</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n&veaction=edit&section=20" title="Sửa đổi phần “Tính đối xứng”" class="mw-editsection-visualeditor"><span>sửa</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n&action=edit&section=20" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Tính đối xứng"><span>sửa mã nguồn</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/T%E1%BA%ADp_tin:Symmetry_Of_Addition.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Symmetry_Of_Addition.svg/200px-Symmetry_Of_Addition.svg.png" decoding="async" width="200" height="155" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Symmetry_Of_Addition.svg/300px-Symmetry_Of_Addition.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Symmetry_Of_Addition.svg/400px-Symmetry_Of_Addition.svg.png 2x" data-file-width="129" data-file-height="100" /></a><figcaption>Đồ thị cho thấy tính đối xứng của phép cộng</figcaption></figure> <p>Một số dạng của <a href="/w/index.php?title=%C4%90%E1%BB%91i_x%E1%BB%A9ng_trong_to%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc&action=edit&redlink=1" class="new" title="Đối xứng trong toán học (trang không tồn tại)">đối xứng</a> có thể liên hệ trực tiếp với tính giao hoán. Khi phép toán hai ngôi được viết thành <a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_nh%E1%BB%8B_ph%C3%A2n&action=edit&redlink=1" class="new" title="Hàm nhị phân (trang không tồn tại)">hàm nhị phân</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z=f(x,y),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z=f(x,y),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1269bfd7a8dbf5a109363ce2a7992efdf8e406a9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.44ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle z=f(x,y),}"></span> thì hàm số đó được gọi là <a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_%C4%91%E1%BB%91i_x%E1%BB%A9ng&action=edit&redlink=1" class="new" title="Hàm đối xứng (trang không tồn tại)">hàm đối xứng</a>, và <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%93_th%E1%BB%8B_h%C3%A0m_s%E1%BB%91" class="mw-redirect" title="Đồ thị hàm số">đồ thị</a> của nó trong <a href="/wiki/Kh%C3%B4ng_gian_ba_chi%E1%BB%81u" title="Không gian ba chiều">không gian ba chiều</a> đối xứng qua mặt phẳng <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0abe2e7da593fb7b41d44e87a97fefdd8998b77" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.584ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y=x}"></span>. Ví dụ nếu hàm <span class="texhtml"><i>f</i></span> định nghĩa là <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x,y)=x+y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x,y)=x+y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b56416bef45cdf8f146d331dbea5872fa1ed4acb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.031ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x,y)=x+y}"></span> thì <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"></span> là hàm đối xứng. </p><p>Trong đại số quan hệ, <a href="/wiki/Quan_h%E1%BB%87_%C4%91%E1%BB%91i_x%E1%BB%A9ng" title="Quan hệ đối xứng">quan hệ đối xứng</a> tương tự với tính giao hoán, nghĩa là nếu quan hệ <i>R</i> đối xứng thì <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle aRb\Leftrightarrow bRa}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mi>R</mi> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">⇔</mo> <mi>b</mi> <mi>R</mi> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle aRb\Leftrightarrow bRa}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5734e3e9c97749481edd4a7327ae973c4c6c36b0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:11.597ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle aRb\Leftrightarrow bRa}"></span>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Các_toán_tử_không_giao_hoán_trong_cơ_học_lượng_tử"><span id="C.C3.A1c_to.C3.A1n_t.E1.BB.AD_kh.C3.B4ng_giao_ho.C3.A1n_trong_c.C6.A1_h.E1.BB.8Dc_l.C6.B0.E1.BB.A3ng_t.E1.BB.AD"></span>Các toán tử không giao hoán trong cơ học lượng tử</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n&veaction=edit&section=21" title="Sửa đổi phần “Các toán tử không giao hoán trong cơ học lượng tử”" class="mw-editsection-visualeditor"><span>sửa</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n&action=edit&section=21" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Các toán tử không giao hoán trong cơ học lượng tử"><span>sửa mã nguồn</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div role="note" class="hatnote navigation-not-searchable">Bài chi tiết: <a href="/w/index.php?title=Quan_h%E1%BB%87_giao_ho%C3%A1n_ch%C3%ADnh_t%E1%BA%AFc&action=edit&redlink=1" class="new" title="Quan hệ giao hoán chính tắc (trang không tồn tại)">Quan hệ giao hoán chính tắc</a></div> <p>Trong phần <a href="/w/index.php?title=Gi%E1%BB%9Bi_thi%E1%BB%87u_v%E1%BB%81_c%C6%A1_h%E1%BB%8Dc_l%C6%B0%E1%BB%A3ng_t%E1%BB%AD&action=edit&redlink=1" class="new" title="Giới thiệu về cơ học lượng tử (trang không tồn tại)">cơ học lượng tử</a> viết bởi <a href="/wiki/Erwin_Schr%C3%B6dinger" title="Erwin Schrödinger">Schrödinger</a>, các biến vật lý được thay bằng các <a href="/wiki/To%C3%A1n_t%E1%BB%AD_tuy%E1%BA%BFn_t%C3%ADnh" class="mw-redirect" title="Toán tử tuyến tính">toán tử tuyến tính</a> như <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"></span> (nghĩa là nhân bởi <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"></span>), và <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle {\frac {d}{dx}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>d</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle {\frac {d}{dx}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62ce97a0649139023076f33481001a29d8d4ea4f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:2.636ex; height:3.843ex;" alt="{\textstyle {\frac {d}{dx}}}"></span>. Hai toán tử này không giao hoán khi xem kết quả <a href="/wiki/H%C3%A0m_h%E1%BB%A3p" title="Hàm hợp">hợp</a> của chúng <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle x{\frac {d}{dx}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>d</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle x{\frac {d}{dx}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c9e94277a782f4c0ff189a8262dc93c7f0d0347" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:3.966ex; height:3.843ex;" alt="{\textstyle x{\frac {d}{dx}}}"></span> và <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle {\frac {d}{dx}}x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>d</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle {\frac {d}{dx}}x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a993151be6c3159033cce9e5ba8033789a63050" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:3.966ex; height:3.843ex;" alt="{\textstyle {\frac {d}{dx}}x}"></span> (cũng được gọi là tích các toán tử) trên <a href="/wiki/H%C3%A0m_s%C3%B3ng" title="Hàm sóng">hàm sóng</a> một chiều <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi (x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi (x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a596a1fb4130a47f6b88c66150497338bd6cbccc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.652ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \psi (x)}"></span>: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\cdot {\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\psi =x\cdot \psi '\ \neq \ \psi +x\cdot \psi '={\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\left(x\cdot \psi \right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mi>ψ</mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo>⋅</mo> <msup> <mi>ψ</mi> <mo>′</mo> </msup> <mtext> </mtext> <mo>≠</mo> <mtext> </mtext> <mi>ψ</mi> <mo>+</mo> <mi>x</mi> <mo>⋅</mo> <msup> <mi>ψ</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>⋅</mo> <mi>ψ</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\cdot {\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\psi =x\cdot \psi '\ \neq \ \psi +x\cdot \psi '={\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\left(x\cdot \psi \right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f528887aba007e3af62da9c8c76b13b79c320f5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:43.381ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle x\cdot {\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\psi =x\cdot \psi '\ \neq \ \psi +x\cdot \psi '={\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\left(x\cdot \psi \right)}"></span></dd></dl> <p>Theo <a href="/wiki/Nguy%C3%AAn_l%C3%BD_b%E1%BA%A5t_%C4%91%E1%BB%8Bnh" title="Nguyên lý bất định">nguyên lý bất định</a> của <a href="/wiki/Werner_Heisenberg" title="Werner Heisenberg">Heisenberg</a>, nếu hai toán tử biểu diễn cặp phần tử không giao hoán nhau thì cặp hai phần tử đó <a href="/w/index.php?title=B%C3%B9_(v%E1%BA%ADt_l%C3%BD)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Bù (vật lý) (trang không tồn tại)">bù nhau</a>, nghĩa là chúng không thể đồng thời đo được hay biết được chính xác. Lấy ví dụ, vị trí và <a href="/wiki/M%C3%B4_men" class="mw-redirect" title="Mô men">mô men</a> tuyến tính trong hướng <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"></span> của một hạt được biểu diễn bởi <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"></span> và <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> <mi>i</mi> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab7fffcee704fc55eb36b137e0cc25132b5dc1bf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:7.401ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle -i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}}"></span>, tương ứng (trong đó <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \hbar }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \hbar }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de68de3a92517953436c93b5a76461d49160cc41" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.306ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \hbar }"></span> là <a href="/wiki/H%E1%BA%B1ng_s%E1%BB%91_Planck" title="Hằng số Planck">hằng số Planck đã rút gọn</a>). Ví dụ này tương tự ví dụ ngay trên nhưng thay vào đó là <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -i\hbar }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> <mi>i</mi> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -i\hbar }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c20ffda7dcb2d7857a3ae8f1da581ad799d517c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:3.917ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle -i\hbar }"></span>, do đó các toán tử không giao hoán, vào theo vật lý thì có nghĩa là vị trí và mô men tuyến tính theo một hướng đã cho sẽ bù nhau. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Xem_thêm"><span id="Xem_th.C3.AAm"></span>Xem thêm</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n&veaction=edit&section=22" title="Sửa đổi phần “Xem thêm”" class="mw-editsection-visualeditor"><span>sửa</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n&action=edit&section=22" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Xem thêm"><span>sửa mã nguồn</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r71936381">.mw-parser-output .side-box{margin:4px 0;box-sizing:border-box;border:1px solid #aaa;font-size:88%;line-height:1.25em;background-color:var(--background-color-interactive-subtle,#f8f9fa);display:flow-root}.mw-parser-output .side-box-abovebelow,.mw-parser-output .side-box-text{padding:0.25em 0.9em}.mw-parser-output .side-box-image{padding:2px 0 2px 0.9em;text-align:center}.mw-parser-output .side-box-imageright{padding:2px 0.9em 2px 0;text-align:center}@media(min-width:500px){.mw-parser-output .side-box-flex{display:flex;align-items:center}.mw-parser-output .side-box-text{flex:1;min-width:0}}@media(min-width:720px){.mw-parser-output .side-box{width:238px}.mw-parser-output .side-box-right{clear:right;float:right;margin-left:1em}.mw-parser-output .side-box-left{margin-right:1em}}</style><div class="side-box side-box-right plainlinks sistersitebox"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r70981351"> <div class="side-box-flex"> <div class="side-box-image"><span typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f9/Wiktionary_small.svg/40px-Wiktionary_small.svg.png" decoding="async" width="40" height="40" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f9/Wiktionary_small.svg/60px-Wiktionary_small.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f9/Wiktionary_small.svg/80px-Wiktionary_small.svg.png 2x" data-file-width="350" data-file-height="350" /></span></span></div> <div class="side-box-text plainlist">Tra <i><b><a href="https://vi.wiktionary.org/wiki/vi:%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Search/t%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n" class="extiw" title="wikt:vi:Đặc biệt:Search/tính giao hoán">tính giao hoán</a></b></i> trong từ điển mở tiếng Việt <a href="/wiki/Wiktionary" title="Wiktionary">Wiktionary</a></div></div> </div> <ul><li><a href="/w/index.php?title=T%C3%ADnh_ph%E1%BA%A3n_giao_ho%C3%A1n&action=edit&redlink=1" class="new" title="Tính phản giao hoán (trang không tồn tại)">Tính phản giao hoán</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=T%C3%A2m_ho%C3%A1&action=edit&redlink=1" class="new" title="Tâm hoá (trang không tồn tại)">Tâm hoá và chuẩn hoá</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Bi%E1%BB%83u_%C4%91%E1%BB%93_giao_ho%C3%A1n&action=edit&redlink=1" class="new" title="Biểu đồ giao hoán (trang không tồn tại)">Biểu đồ giao hoán</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Giao_ho%C3%A1n_(sinh_l%C3%BD_h%E1%BB%8Dc_th%E1%BA%A7n_kinh)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Giao hoán (sinh lý học thần kinh) (trang không tồn tại)">Giao hoán (sinh lý học thần kinh)</a></li> <li><a href="/wiki/Giao_ho%C3%A1n_t%E1%BB%AD" title="Giao hoán tử">Giao hoán tử</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Lu%E1%BA%ADt_h%C3%ACnh_b%C3%ACnh_h%C3%A0nh&action=edit&redlink=1" class="new" title="Luật hình bình hành (trang không tồn tại)">Luật hình bình hành</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=T%C3%ADnh_t%E1%BB%B1a_giao_ho%C3%A1n&action=edit&redlink=1" class="new" title="Tính tựa giao hoán (trang không tồn tại)">Tính tựa giao hoán</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Monoid_v%E1%BA%BFt&action=edit&redlink=1" class="new" title="Monoid vết (trang không tồn tại)">Monoid vết</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=X%C3%A1c_su%E1%BA%A5t_giao_ho%C3%A1n&action=edit&redlink=1" class="new" title="Xác suất giao hoán (trang không tồn tại)">Xác suất giao hoán</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Chú_thích"><span id="Ch.C3.BA_th.C3.ADch"></span>Chú thích</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n&veaction=edit&section=23" title="Sửa đổi phần “Chú thích”" class="mw-editsection-visualeditor"><span>sửa</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n&action=edit&section=23" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Chú thích"><span>sửa mã nguồn</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r71728118">.mw-parser-output .reflist{margin-bottom:0.5em;list-style-type:decimal}@media screen{.mw-parser-output .reflist{font-size:90%}}.mw-parser-output .reflist .references{font-size:100%;margin-bottom:0;list-style-type:inherit}.mw-parser-output .reflist-columns-2{column-width:30em}.mw-parser-output .reflist-columns-3{column-width:25em}.mw-parser-output .reflist-columns{margin-top:0.3em}.mw-parser-output .reflist-columns ol{margin-top:0}.mw-parser-output .reflist-columns li{page-break-inside:avoid;break-inside:avoid-column}.mw-parser-output .reflist-upper-alpha{list-style-type:upper-alpha}.mw-parser-output .reflist-upper-roman{list-style-type:upper-roman}.mw-parser-output .reflist-lower-alpha{list-style-type:lower-alpha}.mw-parser-output .reflist-lower-greek{list-style-type:lower-greek}.mw-parser-output .reflist-lower-roman{list-style-type:lower-roman}</style><div class="reflist columns references-column-count references-column-count-2" style="-moz-column-count: 2; -webkit-column-count: 2; column-count: 2; list-style-type: decimal;"> <ol class="references"> <li id="cite_note-Cabillón-1">^ <a href="#cite_ref-Cabillón_1-0"><sup><i><b>a</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-Cabillón_1-1"><sup><i><b>b</b></i></sup></a> <span class="reference-text"><a href="#CITEREFCabillónMiller">Cabillón & Miller</a>, <i>Commutative and Distributive</i></span> </li> <li id="cite_note-Flood11-2">^ <a href="#cite_ref-Flood11_2-0"><sup><i><b>a</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-Flood11_2-1"><sup><i><b>b</b></i></sup></a> <span class="reference-text"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r67233549">.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit}.mw-parser-output .citation q{quotes:"“""”""‘""’"}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:linear-gradient(transparent,transparent),url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:linear-gradient(transparent,transparent),url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:linear-gradient(transparent,transparent),url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-subscription,.mw-parser-output .cs1-registration{color:#555}.mw-parser-output .cs1-subscription span,.mw-parser-output .cs1-registration span{border-bottom:1px dotted;cursor:help}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:linear-gradient(transparent,transparent),url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg")right 0.1em center/12px no-repeat}.mw-parser-output code.cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:none;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;font-size:100%}.mw-parser-output .cs1-visible-error{font-size:100%}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:#33aa33;margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left,.mw-parser-output .cs1-kern-wl-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right,.mw-parser-output .cs1-kern-wl-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}</style><cite id="CITEREFFloodRiceWilson2011" class="citation book cs1">Flood, Raymond; Rice, Adrian; <a href="/w/index.php?title=Robin_Wilson_(mathematician)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Robin Wilson (mathematician) (trang không tồn tại)">Wilson, Robin</a> biên tập (2011). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=YruifIx88AQC&pg=PA4"><i>Mathematics in Victorian Britain</i></a>. <a href="/wiki/Oxford_University_Press" class="mw-redirect" title="Oxford University Press">Oxford University Press</a>. tr. 4. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/9780191627941" title="Đặc biệt:Nguồn sách/9780191627941"><bdi>9780191627941</bdi></a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Mathematics+in+Victorian+Britain&rft.pages=4&rft.pub=Oxford+University+Press&rft.date=2011&rft.isbn=9780191627941&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3DYruifIx88AQC%26pg%3DPA4&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AT%C3%ADnh+giao+ho%C3%A1n" class="Z3988"></span></span> </li> <li id="cite_note-3"><b><a href="#cite_ref-3">^</a></b> <span class="reference-text"><span class="citation mathworld" id="Reference-Mathworld-Symmetric_Relation"><a href="/wiki/Eric_W._Weisstein" title="Eric W. Weisstein">Weisstein, Eric W.</a>, "<a rel="nofollow" class="external text" href="http://mathworld.wolfram.com/.html">Symmetric Relation</a>" từ <a href="/wiki/MathWorld" title="MathWorld">MathWorld</a>.</span></span> </li> <li id="cite_note-Krowne,_p.1-4"><b><a href="#cite_ref-Krowne,_p.1_4-0">^</a></b> <span class="reference-text">Krowne, p.1</span> </li> <li id="cite_note-5"><b><a href="#cite_ref-5">^</a></b> <span class="reference-text">Weisstein, <i>Commute</i>, p.1</span> </li> <li id="cite_note-6"><b><a href="#cite_ref-6">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="#CITEREFYark">Yark</a>, tr. 1</span> </li> <li id="cite_note-7"><b><a href="#cite_ref-7">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="#CITEREFLumpkin1997">Lumpkin 1997</a>, tr. 11</span> </li> <li id="cite_note-8"><b><a href="#cite_ref-8">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="#CITEREFGayShute1987">Gay & Shute 1987</a></span> </li> <li id="cite_note-9"><b><a href="#cite_ref-9">^</a></b> <span class="reference-text">O'Conner & Robertson <i>Real Numbers</i></span> </li> <li id="cite_note-10"><b><a href="#cite_ref-10">^</a></b> <span class="reference-text">O'Conner & Robertson, <i>Servois</i></span> </li> <li id="cite_note-11"><b><a href="#cite_ref-11">^</a></b> <span class="reference-text"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFGregory1840" class="citation journal cs1">Gregory, D. F. (1840). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/transactionsofro14royal">“On the real nature of symbolical algebra”</a>. <i>Transactions of the Royal Society of Edinburgh</i>. <b>14</b>: 208–216.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=Transactions+of+the+Royal+Society+of+Edinburgh&rft.atitle=On+the+real+nature+of+symbolical+algebra&rft.volume=14&rft.pages=208-216&rft.date=1840&rft.aulast=Gregory&rft.aufirst=D.+F.&rft_id=https%3A%2F%2Farchive.org%2Fdetails%2Ftransactionsofro14royal&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AT%C3%ADnh+giao+ho%C3%A1n" class="Z3988"></span></span> </li> <li id="cite_note-12"><b><a href="#cite_ref-12">^</a></b> <span class="reference-text">Moore and Parker</span> </li> <li id="cite_note-13"><b><a href="#cite_ref-13">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="#CITEREFCopiCohen2005">Copi & Cohen 2005</a></span> </li> <li id="cite_note-14"><b><a href="#cite_ref-14">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="#CITEREFHurleyWatson2016">Hurley & Watson 2016</a></span> </li> <li id="cite_note-15"><b><a href="#cite_ref-15">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="#CITEREFAxler1997">Axler 1997</a>, tr. 2</span> </li> <li id="cite_note-Gallian,_p.34-16">^ <a href="#cite_ref-Gallian,_p.34_16-0"><sup><i><b>a</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-Gallian,_p.34_16-1"><sup><i><b>b</b></i></sup></a> <span class="reference-text"><a href="#CITEREFGallian2006">Gallian 2006</a>, tr. 34</span> </li> <li id="cite_note-17"><b><a href="#cite_ref-17">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="#CITEREFGallian2006">Gallian 2006</a>, tr. 26,87</span> </li> <li id="cite_note-18"><b><a href="#cite_ref-18">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="#CITEREFGallian2006">Gallian 2006</a>, tr. 236</span> </li> <li id="cite_note-19"><b><a href="#cite_ref-19">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="#CITEREFGallian2006">Gallian 2006</a>, tr. 250</span> </li> </ol></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Tham_khảo"><span id="Tham_kh.E1.BA.A3o"></span>Tham khảo</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n&veaction=edit&section=24" title="Sửa đổi phần “Tham khảo”" class="mw-editsection-visualeditor"><span>sửa</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n&action=edit&section=24" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Tham khảo"><span>sửa mã nguồn</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Sách"><span id="S.C3.A1ch"></span>Sách</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n&veaction=edit&section=25" title="Sửa đổi phần “Sách”" class="mw-editsection-visualeditor"><span>sửa</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n&action=edit&section=25" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Sách"><span>sửa mã nguồn</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFAxler1997" class="citation book cs1">Axler, Sheldon (1997). <i>Linear Algebra Done Right, 2e</i>. Springer. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0-387-98258-2" title="Đặc biệt:Nguồn sách/0-387-98258-2"><bdi>0-387-98258-2</bdi></a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Linear+Algebra+Done+Right%2C+2e&rft.pub=Springer&rft.date=1997&rft.isbn=0-387-98258-2&rft.aulast=Axler&rft.aufirst=Sheldon&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AT%C3%ADnh+giao+ho%C3%A1n" class="Z3988"></span> <dl><dd><i>Abstract algebra theory. Covers commutativity in that context. Uses property throughout book.</i></dd></dl></li> <li><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFCopiCohen2005" class="citation book cs1">Copi, Irving M.; Cohen, Carl (2005). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/isbn_9780536179364"><i>Introduction to Logic</i></a> (ấn bản thứ 12). Prentice Hall. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/9780131898349" title="Đặc biệt:Nguồn sách/9780131898349"><bdi>9780131898349</bdi></a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Introduction+to+Logic&rft.edition=12th&rft.pub=Prentice+Hall&rft.date=2005&rft.isbn=9780131898349&rft.aulast=Copi&rft.aufirst=Irving+M.&rft.au=Cohen%2C+Carl&rft_id=https%3A%2F%2Farchive.org%2Fdetails%2Fisbn_9780536179364&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AT%C3%ADnh+giao+ho%C3%A1n" class="Z3988"></span></li> <li><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFGallian2006" class="citation book cs1">Gallian, Joseph (2006). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/contemporaryabst0000gall"><i>Contemporary Abstract Algebra</i></a> . Houghton Mifflin. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0-618-51471-6" title="Đặc biệt:Nguồn sách/0-618-51471-6"><bdi>0-618-51471-6</bdi></a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Contemporary+Abstract+Algebra&rft.edition=6e&rft.pub=Houghton+Mifflin&rft.date=2006&rft.isbn=0-618-51471-6&rft.aulast=Gallian&rft.aufirst=Joseph&rft_id=https%3A%2F%2Farchive.org%2Fdetails%2Fcontemporaryabst0000gall&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AT%C3%ADnh+giao+ho%C3%A1n" class="Z3988"></span> <dl><dd><i>Linear algebra theory. Explains commutativity in chapter 1, uses it throughout.</i></dd></dl></li> <li><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFGoodman2003" class="citation book cs1">Goodman, Frederick (2003). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/algebraabstractc0000good_c6k2"><i>Algebra: Abstract and Concrete, Stressing Symmetry</i></a> . Prentice Hall. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0-13-067342-0" title="Đặc biệt:Nguồn sách/0-13-067342-0"><bdi>0-13-067342-0</bdi></a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Algebra%3A+Abstract+and+Concrete%2C+Stressing+Symmetry&rft.edition=2e&rft.pub=Prentice+Hall&rft.date=2003&rft.isbn=0-13-067342-0&rft.aulast=Goodman&rft.aufirst=Frederick&rft_id=https%3A%2F%2Farchive.org%2Fdetails%2Falgebraabstractc0000good_c6k2&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AT%C3%ADnh+giao+ho%C3%A1n" class="Z3988"></span> <dl><dd><i>Abstract algebra theory. Uses commutativity property throughout book.</i></dd></dl></li> <li><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFHurleyWatson2016" class="citation book cs1">Hurley, Patrick J.; Watson, Lori (2016). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=l-W5DQAAQBAJ&pg=PA675"><i>A Concise Introduction to Logic</i></a> (ấn bản thứ 12). Cengage Learning. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-1-337-51478-1" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-1-337-51478-1"><bdi>978-1-337-51478-1</bdi></a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=A+Concise+Introduction+to+Logic&rft.edition=12th&rft.pub=Cengage+Learning&rft.date=2016&rft.isbn=978-1-337-51478-1&rft.aulast=Hurley&rft.aufirst=Patrick+J.&rft.au=Watson%2C+Lori&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3Dl-W5DQAAQBAJ%26pg%3DPA675&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AT%C3%ADnh+giao+ho%C3%A1n" class="Z3988"></span></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Thư_mục"><span id="Th.C6.B0_m.E1.BB.A5c"></span>Thư mục</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n&veaction=edit&section=26" title="Sửa đổi phần “Thư mục”" class="mw-editsection-visualeditor"><span>sửa</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n&action=edit&section=26" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Thư mục"><span>sửa mã nguồn</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFLumpkin1997" class="citation web cs1">Lumpkin, B. (1997). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20070713072942/http://www.ethnomath.org/resources/lumpkin1997.pdf">“The Mathematical Legacy Of Ancient Egypt — A Response To Robert Palter”</a> <span class="cs1-format">(PDF)</span> (Unpublished manuscript). <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.ethnomath.org/resources/lumpkin1997.pdf">Bản gốc</a> <span class="cs1-format">(PDF)</span> lưu trữ 13 tháng Bảy năm 2007.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=unknown&rft.btitle=The+Mathematical+Legacy+Of+Ancient+Egypt+%E2%80%94+A+Response+To+Robert+Palter&rft.date=1997&rft.aulast=Lumpkin&rft.aufirst=B.&rft_id=http%3A%2F%2Fwww.ethnomath.org%2Fresources%2Flumpkin1997.pdf&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AT%C3%ADnh+giao+ho%C3%A1n" class="Z3988"></span> <dl><dd><i>Article describing the mathematical ability of ancient civilizations.</i></dd></dl></li> <li><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFGayShute1987" class="citation book cs1">Gay, Robins R.; Shute, Charles C. D. (1987). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/rhindmathematica0000robi_h8l4"><i>The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text</i></a>. British Museum. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0-7141-0944-4" title="Đặc biệt:Nguồn sách/0-7141-0944-4"><bdi>0-7141-0944-4</bdi></a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=The+Rhind+Mathematical+Papyrus%3A+An+Ancient+Egyptian+Text&rft.pub=British+Museum&rft.date=1987&rft.isbn=0-7141-0944-4&rft.aulast=Gay&rft.aufirst=Robins+R.&rft.au=Shute%2C+Charles+C.+D.&rft_id=https%3A%2F%2Farchive.org%2Fdetails%2Frhindmathematica0000robi_h8l4&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AT%C3%ADnh+giao+ho%C3%A1n" class="Z3988"></span> <dl><dd><i>Translation and interpretation of the <a href="/w/index.php?title=Rhind_Mathematical_Papyrus&action=edit&redlink=1" class="new" title="Rhind Mathematical Papyrus (trang không tồn tại)">Rhind Mathematical Papyrus</a>.</i></dd></dl></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Nguồn_trên_mạng"><span id="Ngu.E1.BB.93n_tr.C3.AAn_m.E1.BA.A1ng"></span>Nguồn trên mạng</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n&veaction=edit&section=27" title="Sửa đổi phần “Nguồn trên mạng”" class="mw-editsection-visualeditor"><span>sửa</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n&action=edit&section=27" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Nguồn trên mạng"><span>sửa mã nguồn</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFHazewinkel2001" class="citation cs2">Hazewinkel, Michiel biên tập (2001), <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/c023420">“Commutativity”</a>, <i><a href="/wiki/B%C3%A1ch_khoa_to%C3%A0n_th%C6%B0_To%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc" title="Bách khoa toàn thư Toán học">Bách khoa toàn thư Toán học</a></i>, <a href="/wiki/Springer_Science%2BBusiness_Media" title="Springer Science+Business Media">Springer</a>, <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-1-55608-010-4" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-1-55608-010-4"><bdi>978-1-55608-010-4</bdi></a></cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.atitle=Commutativity&rft.btitle=B%C3%A1ch+khoa+to%C3%A0n+th%C6%B0+To%C3%A1n+h%E1%BB%8Dc&rft.pub=Springer&rft.date=2001&rft.isbn=978-1-55608-010-4&rft_id=http%3A%2F%2Fwww.encyclopediaofmath.org%2Findex.php%3Ftitle%3Dp%2Fc023420&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AT%C3%ADnh+giao+ho%C3%A1n" class="Z3988"></span></li> <li>Krowne, Aaron, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://planetmath.org/Commutative">Commutative</a> tại trang <a href="/wiki/PlanetMath" title="PlanetMath">PlanetMath.org</a>., Accessed 8 August 2007. <dl><dd><i>Definition of commutativity and examples of commutative operations</i></dd></dl></li> <li><span class="citation mathworld" id="Reference-Mathworld-Commute"><a href="/wiki/Eric_W._Weisstein" title="Eric W. Weisstein">Weisstein, Eric W.</a>, "<a rel="nofollow" class="external text" href="http://mathworld.wolfram.com/Commute.html">Commute</a>" từ <a href="/wiki/MathWorld" title="MathWorld">MathWorld</a>.</span>, Accessed 8 August 2007. <dl><dd><i>Explanation of the term commute</i></dd></dl></li> <li><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFYark" class="citation web cs1"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://planetmath.org/?op=getuser&id=2760">“Yark”</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=unknown&rft.btitle=Yark&rft_id=http%3A%2F%2Fplanetmath.org%2F%3Fop%3Dgetuser%26id%3D2760&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AT%C3%ADnh+giao+ho%C3%A1n" class="Z3988"></span> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://planetmath.org/ExampleOfCommutative">Examples of non-commutative operations</a> tại trang <a href="/wiki/PlanetMath" title="PlanetMath">PlanetMath.org</a>., Accessed 8 August 2007 <dl><dd><i>Examples proving some noncommutative operations</i></dd></dl></li> <li><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFO'ConnerRobertson" class="citation web cs1">O'Conner, J.J.; Robertson, E.F. <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Real_numbers_1.html">“History of real numbers”</a>. <i>MacTutor</i><span class="reference-accessdate">. Truy cập 8 Tháng tám năm 2007</span>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=unknown&rft.jtitle=MacTutor&rft.atitle=History+of+real+numbers&rft.aulast=O%27Conner&rft.aufirst=J.J.&rft.au=Robertson%2C+E.F.&rft_id=http%3A%2F%2Fwww-history.mcs.st-andrews.ac.uk%2FHistTopics%2FReal_numbers_1.html&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AT%C3%ADnh+giao+ho%C3%A1n" class="Z3988"></span> <dl><dd><i>Article giving the history of the real numbers</i></dd></dl></li> <li><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFCabillónMiller" class="citation web cs1">Cabillón, Julio; Miller, Jeff. <a rel="nofollow" class="external text" href="http://jeff560.tripod.com/c.html">“Earliest Known Uses Of Mathematical Terms”</a><span class="reference-accessdate">. Truy cập 22 Tháng mười một năm 2008</span>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=unknown&rft.btitle=Earliest+Known+Uses+Of+Mathematical+Terms&rft.aulast=Cabill%C3%B3n&rft.aufirst=Julio&rft.au=Miller%2C+Jeff&rft_id=http%3A%2F%2Fjeff560.tripod.com%2Fc.html&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AT%C3%ADnh+giao+ho%C3%A1n" class="Z3988"></span> <dl><dd><i>Page covering the earliest uses of mathematical terms</i></dd></dl></li> <li><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFO'ConnerRobertson" class="citation web cs1">O'Conner, J.J.; Robertson, E.F. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20090902063524/http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Servois.html">“biography of François Servois”</a>. <i>MacTutor</i>. <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Servois.html">Bản gốc</a> lưu trữ 2 tháng Chín năm 2009<span class="reference-accessdate">. Truy cập 8 Tháng tám năm 2007</span>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=unknown&rft.jtitle=MacTutor&rft.atitle=biography+of+Fran%C3%A7ois+Servois&rft.aulast=O%27Conner&rft.aufirst=J.J.&rft.au=Robertson%2C+E.F.&rft_id=http%3A%2F%2Fwww-groups.dcs.st-and.ac.uk%2F~history%2FBiographies%2FServois.html&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AT%C3%ADnh+giao+ho%C3%A1n" class="Z3988"></span> <dl><dd><i>Biography of Francois Servois, who first used the term</i></dd></dl></li></ul>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Lấy từ “<a dir="ltr" href="https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Tính_giao_hoán&oldid=71100318">https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Tính_giao_hoán&oldid=71100318</a>”</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i" title="Đặc biệt:Thể loại">Thể loại</a>: <ul><li><a href="/w/index.php?title=Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:T%C3%ADnh_ch%E1%BA%A5t_c%E1%BB%A7a_ph%C3%A9p_to%C3%A1n_hai_ng%C3%B4i&action=edit&redlink=1" class="new" title="Thể loại:Tính chất của phép toán hai ngôi (trang không tồn tại)">Tính chất của phép toán hai ngôi</a></li><li><a href="/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p" title="Thể loại:Đại số sơ cấp">Đại số sơ cấp</a></li><li><a href="/w/index.php?title=Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:Quy_t%E1%BA%AFc_suy_di%E1%BB%85n&action=edit&redlink=1" class="new" title="Thể loại:Quy tắc suy diễn (trang không tồn tại)">Quy tắc suy diễn</a></li><li><a href="/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:%C4%90%E1%BB%91i_x%E1%BB%A9ng" title="Thể loại:Đối xứng">Đối xứng</a></li><li><a href="/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:Kh%C3%A1i_ni%E1%BB%87m_v%E1%BA%ADt_l%C3%BD" title="Thể loại:Khái niệm vật lý">Khái niệm vật lý</a></li><li><a href="/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:Gi%E1%BA%A3i_t%C3%ADch_h%C3%A0m" title="Thể loại:Giải tích hàm">Giải tích hàm</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Thể loại ẩn: <ul><li><a href="/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:B%C3%A0i_c%C3%B3_m%C3%B4_t%E1%BA%A3_ng%E1%BA%AFn" title="Thể loại:Bài có mô tả ngắn">Bài có mô tả ngắn</a></li><li><a href="/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:M%C3%B4_t%E1%BA%A3_ng%E1%BA%AFn_kh%C3%A1c_v%E1%BB%9Bi_Wikidata" title="Thể loại:Mô tả ngắn khác với Wikidata">Mô tả ngắn khác với Wikidata</a></li><li><a href="/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:Ki%E1%BB%83m_so%C3%A1t_t%C3%ADnh_nh%E1%BA%A5t_qu%C3%A1n_v%E1%BB%9Bi_0_y%E1%BA%BFu_t%E1%BB%91" title="Thể loại:Kiểm soát tính nhất quán với 0 yếu tố">Kiểm soát tính nhất quán với 0 yếu tố</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> Trang này được sửa đổi lần cuối vào ngày 30 tháng 1 năm 2024, 09:44.</li> <li id="footer-info-copyright">Văn bản được phát hành theo <a href="/wiki/Wikipedia:Nguy%C3%AAn_v%C4%83n_Gi%E1%BA%A5y_ph%C3%A9p_Creative_Commons_Ghi_c%C3%B4ng%E2%80%93Chia_s%E1%BA%BB_t%C6%B0%C6%A1ng_t%E1%BB%B1_phi%C3%AAn_b%E1%BA%A3n_4.0_Qu%E1%BB%91c_t%E1%BA%BF" title="Wikipedia:Nguyên văn Giấy phép Creative Commons Ghi công–Chia sẻ tương tự phiên bản 4.0 Quốc tế">Giấy phép Creative Commons Ghi công–Chia sẻ tương tự</a>; có thể áp dụng điều khoản bổ sung. Với việc sử dụng trang web này, bạn chấp nhận <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Terms_of_Use/vi">Điều khoản Sử dụng</a> và <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy/vi">Quy định quyền riêng tư</a>. Wikipedia® là thương hiệu đã đăng ký của <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.wikimediafoundation.org/">Wikimedia Foundation, Inc.</a>, một tổ chức phi lợi nhuận.</li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy">Quy định quyền riêng tư</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/Wikipedia:Gi%E1%BB%9Bi_thi%E1%BB%87u">Giới thiệu Wikipedia</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/Wikipedia:Ph%E1%BB%A7_nh%E1%BA%ADn_chung">Lời phủ nhận</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">Bộ Quy tắc Ứng xử Chung</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Lập trình viên</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/vi.wikipedia.org">Thống kê</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">Tuyên bố về cookie</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//vi.m.wikipedia.org/w/index.php?title=T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Phiên bản di động</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> </div> </div> </div> <div class="vector-settings" id="p-dock-bottom"> <ul></ul> </div><script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-7b7567855c-c9958","wgBackendResponseTime":162,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.536","walltime":"0.749","ppvisitednodes":{"value":2030,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":37379,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":2763,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":9,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":1,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":1,"limit":20},"unstrip-size":{"value":41269,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":1,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 537.174 1 -total"," 31.15% 167.338 1 Bản_mẫu:Reflist"," 23.67% 127.153 7 Bản_mẫu:Cite_book"," 14.71% 79.033 1 Bản_mẫu:Short_description"," 12.30% 66.078 1 Bản_mẫu:Authority_control"," 10.49% 56.328 1 Bản_mẫu:Infobox_mathematical_statement"," 9.77% 52.484 1 Bản_mẫu:Infobox"," 8.68% 46.603 5 Bản_mẫu:Chú_thích_web"," 7.87% 42.282 11 Bản_mẫu:Harvnb"," 6.63% 35.597 2 Bản_mẫu:Pagetype"]},"scribunto":{"limitreport-timeusage":{"value":"0.273","limit":"10.000"},"limitreport-memusage":{"value":6009505,"limit":52428800},"limitreport-logs":"anchor_id_list = table#1 {\n [\"CITEREFAxler1997\"] = 1,\n [\"CITEREFCabillónMiller\"] = 1,\n [\"CITEREFCopiCohen2005\"] = 1,\n [\"CITEREFFloodRiceWilson2011\"] = 1,\n [\"CITEREFGallian2006\"] = 1,\n [\"CITEREFGayShute1987\"] = 1,\n [\"CITEREFGoodman2003\"] = 1,\n [\"CITEREFGregory1840\"] = 1,\n [\"CITEREFHurleyWatson2016\"] = 1,\n [\"CITEREFLumpkin1997\"] = 1,\n [\"CITEREFO\u0026#039;ConnerRobertson\"] = 2,\n [\"CITEREFYark\"] = 1,\n}\ntemplate_list = table#1 {\n [\"=\"] = 2,\n [\"Aligned table\"] = 1,\n [\"Authority control\"] = 1,\n [\"Chú thích web\"] = 5,\n [\"Cite book\"] = 7,\n [\"Cite journal\"] = 1,\n [\"Harvid\"] = 1,\n [\"Harvnb\"] = 11,\n [\"Infobox mathematical statement\"] = 1,\n [\"Main\"] = 3,\n [\"Math\"] = 8,\n [\"MathWorld\"] = 2,\n [\"Mvar\"] = 3,\n [\"Nowrap\"] = 3,\n [\"PAGENAMEBASE\"] = 1,\n [\"Plainlist\"] = 2,\n [\"PlanetMath\"] = 2,\n [\"Reflist\"] = 1,\n [\"Short description\"] = 1,\n [\"Springer\"] = 1,\n [\"Use dmy dates\"] = 1,\n [\"Wiktionary\"] = 1,\n}\narticle_whitelist = table#1 {\n}\n"},"cachereport":{"origin":"mw-api-int.codfw.main-5457f5c844-6dkbj","timestamp":"20241120075236","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"T\u00ednh giao ho\u00e1n","url":"https:\/\/vi.wikipedia.org\/wiki\/T%C3%ADnh_giao_ho%C3%A1n","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q165474","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q165474","author":{"@type":"Organization","name":"Nh\u1eefng ng\u01b0\u1eddi \u0111\u00f3ng g\u00f3p v\u00e0o c\u00e1c d\u1ef1 \u00e1n Wikimedia"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Qu\u1ef9 Wikimedia","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2006-09-11T00:29:40Z","dateModified":"2024-01-30T09:44:47Z","image":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/1\/17\/Commutativity_of_binary_operations_%28without_question_mark%29.svg"}</script> </body> </html>