ハミルトン力学

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Гамильтонова механика" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Гамильтонова механика" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="ロシア語" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Hamiltonian_mechanics" title="シンプル英語: Hamiltonian mechanics" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Hamiltonian mechanics" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="シンプル英語" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Hamiltonova_mehanika" title="スロベニア語: Hamiltonova mehanika" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Hamiltonova mehanika" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="スロベニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a 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class="mbox-image"><div class="mbox-image-div"><span typeof="mw:File"><span><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/64/Question_book-4.svg/50px-Question_book-4.svg.png" decoding="async" width="50" height="39" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/64/Question_book-4.svg/75px-Question_book-4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/64/Question_book-4.svg/100px-Question_book-4.svg.png 2x" data-file-width="262" data-file-height="204" /></span></span></div></td><td class="mbox-text"><div class="mbox-text-span"><b>この記事は<a href="/wiki/Wikipedia:%E6%A4%9C%E8%A8%BC%E5%8F%AF%E8%83%BD%E6%80%A7" title="Wikipedia:検証可能性">検証可能</a>な<a href="/wiki/Wikipedia:%E4%BF%A1%E9%A0%BC%E3%81%A7%E3%81%8D%E3%82%8B%E6%83%85%E5%A0%B1%E6%BA%90" title="Wikipedia:信頼できる情報源">参考文献や出典</a>が全く示されていないか、不十分です。</b><span class="hide-when-compact"> <a href="/wiki/Wikipedia:%E5%87%BA%E5%85%B8%E3%82%92%E6%98%8E%E8%A8%98%E3%81%99%E3%82%8B" title="Wikipedia:出典を明記する">出典を追加</a>して記事の信頼性向上にご協力ください。<small>（<a href="/wiki/Template:%E5%87%BA%E5%85%B8%E3%81%AE%E6%98%8E%E8%A8%98/doc" title="Template:出典の明記/doc">このテンプレートの使い方</a>）</small><br /><small><span class="plainlinks">出典検索<a href="/wiki/Template:Find_sources_mainspace" title="Template:Find sources mainspace"><sup>?</sup></a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.google.co.jp/search?hl=ja&as_eq=wikipedia&q=%22%E3%83%8F%E3%83%9F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%B3%E5%8A%9B%E5%AD%A6%22&num=50">"ハミルトン力学"</a> – <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.google.co.jp/search?hl=ja&q=%22%E3%83%8F%E3%83%9F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%B3%E5%8A%9B%E5%AD%A6%22&tbm=nws">ニュース</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.google.co.jp/search?hl=ja&tbs=bks:1&q=%22%E3%83%8F%E3%83%9F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%B3%E5%8A%9B%E5%AD%A6%22">書籍</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="//scholar.google.co.jp/scholar?num=100&hl=ja&q=%22%E3%83%8F%E3%83%9F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%B3%E5%8A%9B%E5%AD%A6%22">スカラー</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://ci.nii.ac.jp/opensearch/search?lang=ja&q=%22%E3%83%8F%E3%83%9F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%B3%E5%8A%9B%E5%AD%A6%22&range=2&count=200&sortorder=1&type=0">CiNii</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.jstage.jst.go.jp/result/global/-char/ja?globalSearchKey=%22%E3%83%8F%E3%83%9F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%B3%E5%8A%9B%E5%AD%A6%22">J-STAGE</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://ndlsearch.ndl.go.jp/api/openurl?any=%22%E3%83%8F%E3%83%9F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%B3%E5%8A%9B%E5%AD%A6%22">NDL</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://dlib.jp/?q=%22%E3%83%8F%E3%83%9F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%B3%E5%8A%9B%E5%AD%A6%22">dlib.jp</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" 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{\boldsymbol {F}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(m{\boldsymbol {v}})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">F</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">v</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(m{\boldsymbol {v}})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdddc51063225693ec1d8e56df43f48584a21861" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:13.115ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(m{\boldsymbol {v}})}"></span><br /><small><a href="/wiki/%E9%81%8B%E5%8B%95%E3%81%AE%E7%AC%AC2%E6%B3%95%E5%89%87" title="運動の第2法則">運動の第2法則</a> </small></div> </td></tr> <tr style="line-height: 150%;"> <td><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%8F%A4%E5%85%B8%E5%8A%9B%E5%AD%A6%E3%81%AE%E6%AD%B4%E5%8F%B2&action=edit&redlink=1" class="new" title="「古典力学の歴史」 (存在しないページ)">歴史</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/History_of_classical_mechanics" class="extiw" title="en:History of classical mechanics">英語版</a>）</span></span> </td></tr> <tr> <td> <table class="mw-collapsible collapsed" style="width:100%"> <tbody><tr> <th scope="col" style="position:sticky; top:0; text-align: left; background-color: #87cefa;">分野 </th></tr> <tr style="line-height: 150%;"> <td> <p><span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E9%9D%99%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="静力学">静力学</a>  ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E5%8B%95%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="動力学">動力学</a> / 物理学における動力学  ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E9%81%8B%E5%8B%95%E5%AD%A6" title="運動学">運動学</a>  ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E5%BF%9C%E7%94%A8%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="応用力学">応用力学</a>  ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E5%A4%A9%E4%BD%93%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="天体力学">天体力学</a>  ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E9%80%A3%E7%B6%9A%E4%BD%93%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="連続体力学">連続体力学</a>  ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E7%B5%B1%E8%A8%88%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="統計力学">統計力学</a> </span> </p> </td></tr></tbody></table> <table class="mw-collapsible collapsed" style="width:100%"> <tbody><tr> <th scope="col" style="position:sticky; top:0; text-align: left; background-color: #87cefa;">定式化 </th></tr> <tr style="line-height: 150%;"> <td><div style="text-align:left;"> <ul><li><a href="/wiki/%E3%83%8B%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%B3%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="ニュートン力学">ニュートン力学</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="解析力学">解析力学</a>: <ul><li><a href="/wiki/%E3%83%A9%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%B8%E3%83%A5%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="ラグランジュ力学">ラグランジュ力学</a></li> <li><a class="mw-selflink selflink">ハミルトン力学</a> </li></ul></li></ul></div> </td></tr></tbody></table> <table class="mw-collapsible collapsed" style="width:100%"> <tbody><tr> <th scope="col" style="position:sticky; top:0; text-align: left; background-color: #87cefa;">基本概念 </th></tr> <tr style="line-height: 150%;"> <td> <p><span class="nowrap"><a href="/wiki/%E7%A9%BA%E9%96%93" title="空間">空間</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E6%99%82%E9%96%93" title="時間">時間</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E9%80%9F%E5%BA%A6" title="速度">速度</a> ·</span> <span class="nowrap"><a 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href="/wiki/%E6%85%A3%E6%80%A7%E7%B3%BB" title="慣性系">慣性系</a> ·</span> <span class="nowrap"> 非慣性系 ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E5%9B%9E%E8%BB%A2%E5%BA%A7%E6%A8%99%E7%B3%BB" title="回転座標系">回転座標系</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E6%85%A3%E6%80%A7%E5%8A%9B" title="慣性力">慣性力</a> ·</span> <span class="nowrap"> 平面粒子運動力学 ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E5%A4%89%E4%BD%8D" title="変位">変位</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E7%9B%B8%E5%AF%BE%E9%80%9F%E5%BA%A6" title="相対速度">相対速度</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E6%91%A9%E6%93%A6" title="摩擦">摩擦</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E5%8D%98%E6%8C%AF%E5%8B%95" title="単振動">単振動</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E8%AA%BF%E5%92%8C%E6%8C%AF%E5%8B%95%E5%AD%90" title="調和振動子">調和振動子</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/w/index.php?title=%E7%9F%AD%E5%91%A8%E6%9C%9F%E6%8C%AF%E5%8B%95&action=edit&redlink=1" class="new" title="「短周期振動」 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title="回転座標系">回転座標系</a>) ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/w/index.php?title=%E5%8F%8D%E5%BF%9C%E9%81%A0%E5%BF%83%E5%8A%9B&action=edit&redlink=1" class="new" title="「反応遠心力」 (存在しないページ)">反応遠心力</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E3%82%B3%E3%83%AA%E3%82%AA%E3%83%AA%E3%81%AE%E5%8A%9B" title="コリオリの力">コリオリの力</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E6%8C%AF%E3%82%8A%E5%AD%90" title="振り子">振り子</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E5%9B%9E%E8%BB%A2%E9%80%9F%E5%BA%A6" title="回転速度">回転速度</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E8%A7%92%E5%8A%A0%E9%80%9F%E5%BA%A6" title="角加速度">角加速度</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E8%A7%92%E9%80%9F%E5%BA%A6" title="角速度">角速度</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E8%A7%92%E5%91%A8%E6%B3%A2%E6%95%B0" title="角周波数">角周波数</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/w/index.php?title=%E5%81%8F%E4%BD%8D%E8%A7%92%E5%BA%A6&action=edit&redlink=1" class="new" title="「偏位角度」 (存在しないページ)">偏位角度</a></span> </p> </td></tr></tbody></table> <table class="mw-collapsible collapsed" style="width:100%"> <tbody><tr> <th scope="col" style="position:sticky; top:0; text-align: left; background-color: #87cefa;">科学者 </th></tr> <tr style="line-height: 150%;"> <td> <p><span class="nowrap"><a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%82%A4%E3%82%B6%E3%83%83%E3%82%AF%E3%83%BB%E3%83%8B%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%B3" title="アイザック・ニュートン">ニュートン</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E3%83%A8%E3%83%8F%E3%83%8D%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%82%B1%E3%83%97%E3%83%A9%E3%83%BC" title="ヨハネス・ケプラー">ケプラー</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E3%82%A8%E3%83%AC%E3%83%9F%E3%82%A2%E3%83%BB%E3%83%9B%E3%83%AD%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9" title="エレミア・ホロックス">ホロックス</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E3%83%AC%E3%82%AA%E3%83%B3%E3%83%8F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%BB%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC" title="レオンハルト・オイラー">オイラー</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A3%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%AD%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%80%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%99%E3%83%BC%E3%83%AB" title="ジャン・ル・ロン・ダランベール">ダランベール</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AC%E3%82%AF%E3%82%B7%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%83%AD%E3%83%BC" title="アレクシス・クレロー">クレロー</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%82%BC%E3%83%95%EF%BC%9D%E3%83%AB%E3%82%A4%E3%83%BB%E3%83%A9%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%B8%E3%83%A5" title="ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ">ラグランジュ</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E3%83%94%E3%82%A8%E3%83%BC%E3%83%AB%EF%BC%9D%E3%82%B7%E3%83%A2%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%A9%E3%83%97%E3%83%A9%E3%82%B9" title="ピエール＝シモン・ラプラス">ラプラス</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E3%82%A6%E3%82%A3%E3%83%AA%E3%82%A2%E3%83%A0%E3%83%BB%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%AF%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%8F%E3%83%9F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%B3" title="ウィリアム・ローワン・ハミルトン">ハミルトン</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E3%82%B7%E3%83%A1%E3%82%AA%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%89%E3%83%8B%E3%83%BB%E3%83%9D%E3%82%A2%E3%82%BD%E3%83%B3" title="シメオン・ドニ・ポアソン">ポアソン</a></span> </p> </td></tr></tbody></table> </td></tr> <tr style="text-align: center;"> <td><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r99966302">.mw-parser-output .hlist ul,.mw-parser-output .hlist ol{padding-left:0}.mw-parser-output .hlist li,.mw-parser-output .hlist dd,.mw-parser-output .hlist dt{margin-right:0;display:inline-block;white-space:nowrap}.mw-parser-output .hlist dt:after,.mw-parser-output .hlist dd:after,.mw-parser-output .hlist li:after{white-space:normal}.mw-parser-output .hlist li:after,.mw-parser-output .hlist dd:after{content:" ·\a0 ";font-weight:bold}.mw-parser-output .hlist dt:after{content:": "}.mw-parser-output .hlist-pipe dd:after,.mw-parser-output .hlist-pipe li:after{content:" |\a0 ";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist-hyphen dd:after,.mw-parser-output .hlist-hyphen li:after{content:" -\a0 ";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist-comma dd:after,.mw-parser-output .hlist-comma li:after{content:"、";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist-slash dd:after,.mw-parser-output .hlist-slash li:after{content:" /\a0 ";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist dd:last-child:after,.mw-parser-output .hlist dt:last-child:after,.mw-parser-output .hlist li:last-child:after{content:none}.mw-parser-output .hlist dd dd:first-child:before,.mw-parser-output .hlist dd dt:first-child:before,.mw-parser-output .hlist dd li:first-child:before,.mw-parser-output .hlist dt dd:first-child:before,.mw-parser-output .hlist dt dt:first-child:before,.mw-parser-output .hlist dt li:first-child:before,.mw-parser-output .hlist li dd:first-child:before,.mw-parser-output .hlist li dt:first-child:before,.mw-parser-output .hlist li li:first-child:before{content:" (";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist dd dd:last-child:after,.mw-parser-output .hlist dd dt:last-child:after,.mw-parser-output .hlist dd li:last-child:after,.mw-parser-output .hlist dt dd:last-child:after,.mw-parser-output .hlist dt dt:last-child:after,.mw-parser-output .hlist dt li:last-child:after,.mw-parser-output .hlist li dd:last-child:after,.mw-parser-output .hlist li dt:last-child:after,.mw-parser-output .hlist li li:last-child:after{content:")\a0 ";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist ol{counter-reset:listitem}.mw-parser-output .hlist ol>li{counter-increment:listitem}.mw-parser-output .hlist ol>li:before{content:" "counter(listitem)" ";white-space:nowrap}.mw-parser-output .hlist dd ol>li:first-child:before,.mw-parser-output .hlist dt ol>li:first-child:before,.mw-parser-output .hlist li ol>li:first-child:before{content:" ("counter(listitem)" "}</style><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r96787822">.mw-parser-output .navbar{display:inline;font-size:75%;font-weight:normal}.mw-parser-output .navbar-collapse{float:left;text-align:left}.mw-parser-output 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href="/w/index.php?title=Template%E2%80%90%E3%83%8E%E3%83%BC%E3%83%88:%E5%8F%A4%E5%85%B8%E5%8A%9B%E5%AD%A6&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Template‐ノート:古典力学」 (存在しないページ)"><abbr title="参照先のノートを表示します。">話</abbr></a></li><li class="nv-edit"><a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=Template:%E5%8F%A4%E5%85%B8%E5%8A%9B%E5%AD%A6&action=edit"><abbr title="参照先のページを編集します。">編</abbr></a></li><li class="nv-hist"><a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=Template:%E5%8F%A4%E5%85%B8%E5%8A%9B%E5%AD%A6&action=history"><abbr title="参照先のページの履歴を表示します。">歴</abbr></a></li></ul></div> </td></tr></tbody></table> <p><b>ハミルトン力学</b>（ハミルトンりきがく、<a href="/wiki/%E8%8B%B1%E8%AA%9E" title="英語">英語</a>：<span lang="en">Hamiltonian mechanics</span>）は、<a href="/wiki/%E4%B8%80%E8%88%AC%E5%8C%96%E5%BA%A7%E6%A8%99" class="mw-redirect" title="一般化座標">一般化座標</a>と一般化運動量を基本変数として記述された<a href="/wiki/%E5%8F%A4%E5%85%B8%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="古典力学">古典力学</a>である。<a href="/wiki/%E3%82%A4%E3%82%AE%E3%83%AA%E3%82%B9" title="イギリス">イギリス</a>の物理学者<a href="/wiki/%E3%82%A6%E3%82%A3%E3%83%AA%E3%82%A2%E3%83%A0%E3%83%BB%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%AF%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%8F%E3%83%9F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%B3" title="ウィリアム・ローワン・ハミルトン">ウィリアム・ローワン・ハミルトン</a>が創始した。<a href="/wiki/%E3%83%A9%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%B8%E3%83%A5%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="ラグランジュ力学">ラグランジュ力学</a>と同様に<a href="/wiki/%E3%83%8B%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%B3%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="ニュートン力学">ニュートン力学</a>を再定式化した<a href="/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="解析力学">解析力学</a>の一つの定式化/記述法である。 </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="概要"><span id=".E6.A6.82.E8.A6.81"></span>概要</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%8F%E3%83%9F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%B3%E5%8A%9B%E5%AD%A6&action=edit&section=1" title="節を編集: 概要"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>ハミルトン形式の解析力学は、<a href="/wiki/%E3%83%A9%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%B8%E3%83%A5%E5%BD%A2%E5%BC%8F" class="mw-redirect" title="ラグランジュ形式">ラグランジュ形式</a>から<b><a href="/wiki/%E3%83%AB%E3%82%B8%E3%83%A3%E3%83%B3%E3%83%89%E3%83%AB%E5%A4%89%E6%8F%9B" title="ルジャンドル変換">ルジャンドル変換</a></b>で移行することにより得られる。最初はニュートン力学の分野において成立したものであるが、ラグランジュ形式と同様に幅広い分野に応用されている。 </p><p>特に<a href="/wiki/%E9%87%8F%E5%AD%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="量子力学">量子力学</a>においては、古典力学のハミルトン形式での<a href="/wiki/%E7%89%A9%E7%90%86%E9%87%8F" title="物理量">物理量</a>を<a href="/wiki/%E6%BC%94%E7%AE%97%E5%AD%90_(%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6)" title="演算子 (物理学)">演算子</a>に置き換え、演算子の間に正準交換関係を設定する<a href="/wiki/%E6%AD%A3%E6%BA%96%E9%87%8F%E5%AD%90%E5%8C%96" title="正準量子化">正準量子化</a>の手続きによって量子化を行う。 </p><p>また量子多体論において用いられる<a href="/wiki/TDHF" class="mw-redirect" title="TDHF">TDHF</a>近似は、ある変換の下でハミルトン力学と等価である事が知られている。この事は<a href="/wiki/%E5%8F%A4%E5%85%B8%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="古典力学">古典力学</a>が単なる<a href="/wiki/%E9%87%8F%E5%AD%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="量子力学">量子力学</a>の近似ではなくて、この世界における何らかの事実を表しているという期待を持たせる。 </p><p>ハミルトン形式では運動方程式は<a href="/wiki/%E4%B8%80%E8%88%AC%E5%8C%96%E5%BA%A7%E6%A8%99" class="mw-redirect" title="一般化座標">一般化座標</a>と一般化運動量を用いて記述されており、その方程式は両者に対して（符号を除いて）対称的となっている。力学変数の数が2倍になるので運動方程式の数も増すが、二階微分方程式は一階微分方程式になる。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="定式化"><span id=".E5.AE.9A.E5.BC.8F.E5.8C.96"></span>定式化</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%8F%E3%83%9F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%B3%E5%8A%9B%E5%AD%A6&action=edit&section=2" title="節を編集: 定式化"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Hamiltonian_and_Equation_of_motion.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/03/Hamiltonian_and_Equation_of_motion.jpg/220px-Hamiltonian_and_Equation_of_motion.jpg" decoding="async" width="220" height="208" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/03/Hamiltonian_and_Equation_of_motion.jpg/330px-Hamiltonian_and_Equation_of_motion.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/03/Hamiltonian_and_Equation_of_motion.jpg/440px-Hamiltonian_and_Equation_of_motion.jpg 2x" data-file-width="940" data-file-height="887" /></a><figcaption>ハミルトン力学における<a href="/wiki/%E3%83%AB%E3%82%B8%E3%83%A3%E3%83%B3%E3%83%89%E3%83%AB%E5%A4%89%E6%8F%9B" title="ルジャンドル変換">ルジャンドル変換</a>に<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=Thermodynamic_square&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Thermodynamic square」 (存在しないページ)">Thermodynamic square</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Thermodynamic_square" class="extiw" title="en:Thermodynamic square">英語版</a>）</span></span>を適用したときの正準方程式。</figcaption></figure> <p>ハミルトン形式において、力学系の運動状態を指定する力学変数は<b><a href="/wiki/%E4%B8%80%E8%88%AC%E5%8C%96%E5%BA%A7%E6%A8%99" class="mw-redirect" title="一般化座標">一般化座標</a></b> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q(t)=(q_{1}(t),\ldots )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q(t)=(q_{1}(t),\ldots )}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a4d32158fb68dcf72fd2841aa9c1901b8bc36b2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.124ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle q(t)=(q_{1}(t),\ldots )}"></span> と<b>一般化運動量</b> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p(t)=(p_{1}(t),\ldots )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p(t)=(p_{1}(t),\ldots )}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d6f833b9288a74ad8bf6a652aa34af20e7e8e06" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:17.445ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle p(t)=(p_{1}(t),\ldots )}"></span> である。力学系の性質は一般化座標と一般化運動量、および時間を変数とする<b>ハミルトン関数</b>（<b>ハミルトニアン</b>） <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H(p,q;t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>p</mi> <mo>,</mo> <mi>q</mi> <mo>;</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H(p,q;t)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fdd65b3de66df1914db18d81859765aadbfabf1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.019ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle H(p,q;t)}"></span> によって記述される。 </p><p>ハミルトン形式において、作用汎関数は時間積分 </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S[p,q]=\int _{t_{\text{i}}}^{t_{\text{f}}}\left[\sum _{i}p_{i}(t)\,{\dot {q}}_{i}(t)-H(p,q;t)\right]dt}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>p</mi> <mo>,</mo> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>i</mtext> </mrow> </msub> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>f</mtext> </mrow> </msub> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>q</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>H</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>p</mi> <mo>,</mo> <mi>q</mi> <mo>;</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S[p,q]=\int _{t_{\text{i}}}^{t_{\text{f}}}\left[\sum _{i}p_{i}(t)\,{\dot {q}}_{i}(t)-H(p,q;t)\right]dt}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c9efeed8d3bff453e96c95e8622e1a075489b3e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:44.088ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle S[p,q]=\int _{t_{\text{i}}}^{t_{\text{f}}}\left[\sum _{i}p_{i}(t)\,{\dot {q}}_{i}(t)-H(p,q;t)\right]dt}"></span> </p> </div> <p>として与えられる。力学変数 p,q は束縛条件の下で可能なあらゆる運動状態を取り得るが、<a href="/wiki/%E6%9C%80%E5%B0%8F%E4%BD%9C%E7%94%A8%E3%81%AE%E5%8E%9F%E7%90%86" title="最小作用の原理">最小作用の原理</a>（変分原理、停留条件）により実際に起こる運動が導かれる。 </p><p>作用の停留条件から導かれる運動方程式は </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial S[p,q]}{\delta p_{i}(t)}}={\dot {q}}_{i}(t)-{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>p</mi> <mo>,</mo> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">]</mo> </mrow> <mrow> <mi>δ</mi> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>q</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>H</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial S[p,q]}{\delta p_{i}(t)}}={\dot {q}}_{i}(t)-{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24c31905fa9f8efcb72ba30cda800493413fde32" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:27.463ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial S[p,q]}{\delta p_{i}(t)}}={\dot {q}}_{i}(t)-{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}=0}"></span> </p> </div> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial S[p,q]}{\delta q_{i}(t)}}=-{\dot {p}}_{i}(t)-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>p</mi> <mo>,</mo> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">]</mo> </mrow> <mrow> <mi>δ</mi> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>H</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial S[p,q]}{\delta q_{i}(t)}}=-{\dot {p}}_{i}(t)-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a682f50ee8cad38def5f5cbd66bf0a635f56c13" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:29.254ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial S[p,q]}{\delta q_{i}(t)}}=-{\dot {p}}_{i}(t)-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}=0}"></span> </p> </div> <p>である。この運動方程式は<b>正準方程式</b>、或いは<b>ハミルトン方程式</b>と呼ばれる。 </p><p>ハミルトン形式において<a href="/wiki/%E7%89%A9%E7%90%86%E9%87%8F" title="物理量">物理量</a>は一般化座標、一般化運動量、および時間の関数 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}},t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">p</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">q</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}},t)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2b8e51d6b7095df4e3bfeba96c6ad36d435b580" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}},t)}"></span> として書かれる。物理量の時間微分は </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {A}}={\dot {q}}_{i}\,{\frac {\partial A}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial A}{\partial p_{i}}}{\dot {p}}_{i}+{\frac {\partial A}{\partial t}}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial A}{\partial q_{i}}}-{\frac {\partial A}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial A}{\partial t}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>A</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>q</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>A</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>A</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>A</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>H</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>A</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>A</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>H</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>A</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {A}}={\dot {q}}_{i}\,{\frac {\partial A}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial A}{\partial p_{i}}}{\dot {p}}_{i}+{\frac {\partial A}{\partial t}}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial A}{\partial q_{i}}}-{\frac {\partial A}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial A}{\partial t}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b520d086a4de6bc78e423325be38331709843f9b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:56.516ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\dot {A}}={\dot {q}}_{i}\,{\frac {\partial A}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial A}{\partial p_{i}}}{\dot {p}}_{i}+{\frac {\partial A}{\partial t}}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial A}{\partial q_{i}}}-{\frac {\partial A}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial A}{\partial t}}}"></span> </p> </div> <p>となる。特にハミルトニアンの時間微分は </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {H}}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}-{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial H}{\partial t}}={\frac {\partial H}{\partial t}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>H</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>H</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>H</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>H</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>H</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>H</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>H</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {H}}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}-{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial H}{\partial t}}={\frac {\partial H}{\partial t}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fffd5fb76539f8d7f52ed54326539380d0bf25c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:39.248ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\dot {H}}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}-{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial H}{\partial t}}={\frac {\partial H}{\partial t}}}"></span> </p> </div> <p>である。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="ハミルトニアン"><span id=".E3.83.8F.E3.83.9F.E3.83.AB.E3.83.88.E3.83.8B.E3.82.A2.E3.83.B3"></span>ハミルトニアン</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%8F%E3%83%9F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%B3%E5%8A%9B%E5%AD%A6&action=edit&section=3" title="節を編集: ハミルトニアン"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><b>ハミルトニアン</b>は<a href="/wiki/%E3%83%A9%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%B8%E3%82%A2%E3%83%B3" class="mw-redirect" title="ラグランジアン">ラグランジアン</a>から </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H(p,q,t)=\sum _{i}p_{i}\,{\dot {q}}_{i}(p,q,t)-L(q,{\dot {q}}(p,q,t),t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>p</mi> <mo>,</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>q</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>p</mi> <mo>,</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>L</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>q</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>p</mi> <mo>,</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H(p,q,t)=\sum _{i}p_{i}\,{\dot {q}}_{i}(p,q,t)-L(q,{\dot {q}}(p,q,t),t)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f567d6e2454300258b4dd55e102c4eadfd05fa6e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:45.891ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle H(p,q,t)=\sum _{i}p_{i}\,{\dot {q}}_{i}(p,q,t)-L(q,{\dot {q}}(p,q,t),t)}"></span> </p> </div> <p>で定義される。 </p><p>ラグランジアンが </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L(q,{\dot {q}},t)=\sum _{i}{\frac {\alpha _{i}(q)}{2}}{\dot {q}}_{i}^{2}-V(q)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>L</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>q</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>q</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <mi>V</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L(q,{\dot {q}},t)=\sum _{i}{\frac {\alpha _{i}(q)}{2}}{\dot {q}}_{i}^{2}-V(q)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3914bdda1f0a1f9443e0c54eb03415a02cc3313" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:31.527ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle L(q,{\dot {q}},t)=\sum _{i}{\frac {\alpha _{i}(q)}{2}}{\dot {q}}_{i}^{2}-V(q)}"></span> </p> </div> <p>の形で書かれている場合のハミルトニアンは </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H(p,q,t)=\sum _{i}{\frac {1}{2\alpha _{i}(q)}}p_{i}^{2}+V(q)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>p</mi> <mo>,</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <msubsup> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <mi>V</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H(p,q,t)=\sum _{i}{\frac {1}{2\alpha _{i}(q)}}p_{i}^{2}+V(q)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97a37567737b8fc80f5aca2237ccaf07b7332b26" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:32.755ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle H(p,q,t)=\sum _{i}{\frac {1}{2\alpha _{i}(q)}}p_{i}^{2}+V(q)}"></span> </p> </div> <p>となり、<a href="/wiki/%E9%81%8B%E5%8B%95%E3%82%A8%E3%83%8D%E3%83%AB%E3%82%AE%E3%83%BC" title="運動エネルギー">運動エネルギー</a>と<a href="/wiki/%E3%83%9D%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A3%E3%83%AB%E3%82%A8%E3%83%8D%E3%83%AB%E3%82%AE%E3%83%BC" class="mw-redirect" title="ポテンシャルエネルギー">ポテンシャルエネルギー</a>の和、すなわち、系の全<a href="/wiki/%E3%82%A8%E3%83%8D%E3%83%AB%E3%82%AE%E3%83%BC" title="エネルギー">エネルギー</a>であることが分かる。ハミルトニアンの時間微分は </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {H}}={\frac {\partial H}{\partial t}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>H</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>H</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {H}}={\frac {\partial H}{\partial t}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9bb80174e9423e8b5c6334d8edc789d8eaefcea" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:9.38ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\dot {H}}={\frac {\partial H}{\partial t}}}"></span> </p> </div> <p>であり、ハミルトニアンが陽に時間に依存しないときには全系のエネルギーが保存する。 </p><p>なお、ハミルトニアンは一般化座標、一般化運動量、および時間の関数として書かれている量であり、引数が違えば大きさが同じであってもハミルトニアンではない。ハミルトニアンの定義式内での一般化速度は、一般化運動量の定義式を逆に解いて一般化座標、一般化運動量、および時間の関数 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {q}}_{i}(p,q,t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>q</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>p</mi> <mo>,</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {q}}_{i}(p,q,t)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d3bc51d7690d4cb53d0a50f18ed203e4ce881ce" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.133ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\dot {q}}_{i}(p,q,t)}"></span> として書かれている。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="正準変換"><span id=".E6.AD.A3.E6.BA.96.E5.A4.89.E6.8F.9B"></span>正準変換</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%8F%E3%83%9F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%B3%E5%8A%9B%E5%AD%A6&action=edit&section=4" title="節を編集: 正準変換"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>一般化座標 q、一般化運動量 p から、変換を行って </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{i}=P_{i}(p,q,t),\quad Q_{i}=Q_{i}(p,q,t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>p</mi> <mo>,</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <msub> <mi>Q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>Q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>p</mi> <mo>,</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{i}=P_{i}(p,q,t),\quad Q_{i}=Q_{i}(p,q,t)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45a818b0021290d7e2aa98783d69700764e97dcb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:33.325ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P_{i}=P_{i}(p,q,t),\quad Q_{i}=Q_{i}(p,q,t)}"></span> </p> </div> <p>をしたとき、P,Q と時間の関数として書かれた新たなハミルトニアン H'(P,Q,t) を用いて、 </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {Q}}_{i}={\frac {\partial H'}{\partial P_{i}}},~{\dot {P}}_{i}=-{\frac {\partial H'}{\partial Q_{i}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>Q</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msup> <mi>H</mi> <mo>′</mo> </msup> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>P</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msup> <mi>H</mi> <mo>′</mo> </msup> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>Q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {Q}}_{i}={\frac {\partial H'}{\partial P_{i}}},~{\dot {P}}_{i}=-{\frac {\partial H'}{\partial Q_{i}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bf27facac7a9a9c76e2f2eb16107cd5b6c056c8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:24.754ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\dot {Q}}_{i}={\frac {\partial H'}{\partial P_{i}}},~{\dot {P}}_{i}=-{\frac {\partial H'}{\partial Q_{i}}}}"></span> </p> </div> <p>となるとき、この変換を<b>正準変換</b>と言う。一般化座標と一般化運動量は正準変換によって相互に混ざり合い、両者の区別は曖昧なものとなる。一般化座標と一般化運動量を総称して<b>正準共役量</b>と呼ぶ。 </p><p>正準共役量 p,q によって張られる空間は<a href="/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93_(%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6)" title="位相空間 (物理学)">位相空間</a>と呼ばれ、正準変換は二つの位相空間を対応付ける変換である。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="ポアソン括弧"><span id=".E3.83.9D.E3.82.A2.E3.82.BD.E3.83.B3.E6.8B.AC.E5.BC.A7"></span>ポアソン括弧</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%8F%E3%83%9F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%B3%E5%8A%9B%E5%AD%A6&action=edit&section=5" title="節を編集: ポアソン括弧"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><b><a href="/wiki/%E3%83%9D%E3%82%A2%E3%82%BD%E3%83%B3%E6%8B%AC%E5%BC%A7" title="ポアソン括弧">ポアソン括弧</a></b>（ポアソンの括弧式）とは、正準変数と時間の関数として書かれた<a href="/wiki/%E7%89%A9%E7%90%86%E9%87%8F" title="物理量">物理量</a> A, Bに対して、 </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{A,B\}=\sum _{i}{\biggl (}{\frac {\partial A}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial B}{\partial q_{i}}}-{\frac {\partial B}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial A}{\partial q_{i}}}{\biggr )}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>A</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">(</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>A</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>B</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>B</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>A</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">)</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{A,B\}=\sum _{i}{\biggl (}{\frac {\partial A}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial B}{\partial q_{i}}}-{\frac {\partial B}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial A}{\partial q_{i}}}{\biggr )}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5fbc6f6c1a018f9fdb7dbd30316469fcee59d5d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:36.197ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle \{A,B\}=\sum _{i}{\biggl (}{\frac {\partial A}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial B}{\partial q_{i}}}-{\frac {\partial B}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial A}{\partial q_{i}}}{\biggr )}}"></span> </p> </div> <p>で定義される物理量である。 </p><p>物理量の時間微分はハミルトニアンとのポアソン括弧を用いて </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {A}}=\{H,A\}+{\frac {\partial A}{\partial t}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>A</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>H</mi> <mo>,</mo> <mi>A</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>A</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {A}}=\{H,A\}+{\frac {\partial A}{\partial t}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ddeac73607302f21c0e0148ddd137ed4a67f47b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:18.777ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\dot {A}}=\{H,A\}+{\frac {\partial A}{\partial t}}}"></span> </p> </div> <p>となる。物理量が陽に時間に依存しないときは </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {A}}=\{H,A\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>A</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>H</mi> <mo>,</mo> <mi>A</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {A}}=\{H,A\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0aabbab04e2be79c3adef17302bc35c274d2b42e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.04ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\dot {A}}=\{H,A\}}"></span> </p> </div> <p>となる。 </p><p><a href="/wiki/%E9%87%8F%E5%AD%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="量子力学">量子力学</a>ではポアソン括弧は<a href="/wiki/%E6%AD%A3%E6%BA%96%E9%87%8F%E5%AD%90%E5%8C%96" title="正準量子化">正準量子化</a>の手続きによって、<a href="/wiki/%E6%AD%A3%E6%BA%96%E4%BA%A4%E6%8F%9B%E9%96%A2%E4%BF%82" class="mw-redirect" title="正準交換関係">正準交換関係</a>と対応付けられる。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="導出"><span id=".E5.B0.8E.E5.87.BA"></span>導出</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%8F%E3%83%9F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%B3%E5%8A%9B%E5%AD%A6&action=edit&section=6" title="節を編集: 導出"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>ラグランジアン <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L(q_{i},{\dot {q}}_{i},t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>L</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>q</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L(q_{i},{\dot {q}}_{i},t)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c73e1fea501bf7c8ea9dedf0a9be4454270599ad" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.313ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle L(q_{i},{\dot {q}}_{i},t)}"></span> の<a href="/wiki/%E5%85%A8%E5%BE%AE%E5%88%86" title="全微分">全微分</a>は </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle dL=\sum _{i}{\biggl (}dq_{i}\,{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}+d{\dot {q}}_{i}\,{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\biggr )}+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> <mi>L</mi> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">(</mo> </mrow> </mrow> <mi>d</mi> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>L</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mi>d</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>q</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>L</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>q</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">)</mo> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>L</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle dL=\sum _{i}{\biggl (}dq_{i}\,{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}+d{\dot {q}}_{i}\,{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\biggr )}+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99c020b2e2b1876804c3f3eccb4429579f800ffe" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:40.075ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle dL=\sum _{i}{\biggl (}dq_{i}\,{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}+d{\dot {q}}_{i}\,{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\biggr )}+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt}"></span> </p> </div> <p>である。一般化運動量は <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>L</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>q</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff9f730bbf0559ea59e59eafb7b852875676c62d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; margin-left: -0.089ex; width:9.488ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}}"></span> で定義され、<a href="/wiki/%E3%83%A9%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%B8%E3%83%A5%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="ラグランジュ力学">ラグランジュの運動方程式</a>から <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {p}}_{i}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>L</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {p}}_{i}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbd793ae8a0a7cfef0b8fc304c35fa6513bfa99a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; margin-left: -0.089ex; width:9.338ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\dot {p}}_{i}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}}"></span> である。これを用いて先ほどの全微分を書き換えれば、 </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}dL&=\sum _{i}(dq_{i}\,{\dot {p}}_{i}+d{\dot {q}}_{i}\,p_{i})+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\\&=\sum _{i}(dq_{i}\,{\dot {p}}_{i}-{\dot {q}}_{i}\,dp_{i}+d({\dot {q}}_{i}\,p_{i})]+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>d</mi> <mi>L</mi> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>d</mi> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>d</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>q</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>L</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>d</mi> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>q</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>d</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>q</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>L</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}dL&=\sum _{i}(dq_{i}\,{\dot {p}}_{i}+d{\dot {q}}_{i}\,p_{i})+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\\&=\sum _{i}(dq_{i}\,{\dot {p}}_{i}-{\dot {q}}_{i}\,dp_{i}+d({\dot {q}}_{i}\,p_{i})]+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f79f13c3fd5ee8912ed6097f4fed9a020208a48e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:44.775ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}dL&=\sum _{i}(dq_{i}\,{\dot {p}}_{i}+d{\dot {q}}_{i}\,p_{i})+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\\&=\sum _{i}(dq_{i}\,{\dot {p}}_{i}-{\dot {q}}_{i}\,dp_{i}+d({\dot {q}}_{i}\,p_{i})]+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\\\end{aligned}}}"></span> </p> </div> <p>となる。全微分を移項して </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d{\Bigl (}\sum _{i}{\dot {q}}_{i}\,p_{i}-L{\Bigr )}=\sum _{i}({\dot {q}}_{i}\,dp_{i}-dq_{i}\,{\dot {p}}_{i})-{\frac {\partial L}{\partial t}}dt}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN"> <mo maxsize="1.623em" minsize="1.623em">(</mo> </mrow> </mrow> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>q</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mi>L</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE"> <mo maxsize="1.623em" minsize="1.623em">)</mo> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>q</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mi>d</mi> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>L</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d{\Bigl (}\sum _{i}{\dot {q}}_{i}\,p_{i}-L{\Bigr )}=\sum _{i}({\dot {q}}_{i}\,dp_{i}-dq_{i}\,{\dot {p}}_{i})-{\frac {\partial L}{\partial t}}dt}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fd5303fd207970ffc26926d38ec2c65a16f9013" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:48.161ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle d{\Bigl (}\sum _{i}{\dot {q}}_{i}\,p_{i}-L{\Bigr )}=\sum _{i}({\dot {q}}_{i}\,dp_{i}-dq_{i}\,{\dot {p}}_{i})-{\frac {\partial L}{\partial t}}dt}"></span> </p> </div> <p>となる。ハミルトニアン </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H(p,q,t)=\sum _{i}{\dot {q}}_{i}(p,q,t)\,p_{i}-L(q,{\dot {q}}(p,q,t),t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>p</mi> <mo>,</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>q</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>p</mi> <mo>,</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mi>L</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>q</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>p</mi> <mo>,</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H(p,q,t)=\sum _{i}{\dot {q}}_{i}(p,q,t)\,p_{i}-L(q,{\dot {q}}(p,q,t),t)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/528f850c7950716792fd4467047eb0baf79dbdf0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:45.891ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle H(p,q,t)=\sum _{i}{\dot {q}}_{i}(p,q,t)\,p_{i}-L(q,{\dot {q}}(p,q,t),t)}"></span> </p> </div> <p>を定義すれば、 </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}dH&=\sum _{i}{\bigg (}{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}dp_{i}+dq_{i}{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}{\biggr )}+{\frac {\partial H}{\partial t}}dt=\sum _{i}({\dot {q}}_{i}\,dp_{i}-dq_{i}\,{\dot {p}}_{i})-{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>d</mi> <mi>H</mi> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">(</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>H</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mi>d</mi> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>d</mi> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>H</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">)</mo> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>H</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>q</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mi>d</mi> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>L</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}dH&=\sum _{i}{\bigg (}{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}dp_{i}+dq_{i}{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}{\biggr )}+{\frac {\partial H}{\partial t}}dt=\sum _{i}({\dot {q}}_{i}\,dp_{i}-dq_{i}\,{\dot {p}}_{i})-{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f89d3a86d704d8cacf812ebd05952cd72014c4c9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:72.004ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}dH&=\sum _{i}{\bigg (}{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}dp_{i}+dq_{i}{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}{\biggr )}+{\frac {\partial H}{\partial t}}dt=\sum _{i}({\dot {q}}_{i}\,dp_{i}-dq_{i}\,{\dot {p}}_{i})-{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\end{aligned}}}"></span> </p> </div> <p>となり、 </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {q}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}},~{\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}},~{\frac {\partial H}{\partial t}}=-{\frac {\partial L}{\partial t}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>q</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>H</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <msub> <mrow 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<ul><li><cite style="font-style:normal" class="citation book"><a href="/wiki/%E3%83%AC%E3%83%95%E3%83%BB%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%80%E3%82%A6" title="レフ・ランダウ">L.D.ランダウ</a>、<a href="/wiki/%E3%82%A8%E3%83%95%E3%82%B2%E3%83%8B%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%83%AA%E3%83%95%E3%82%B7%E3%83%83%E3%83%84" title="エフゲニー・リフシッツ">E.M.リフシッツ</a>『力学』<a href="/wiki/%E6%9D%B1%E4%BA%AC%E5%9B%B3%E6%9B%B8%E5%87%BA%E7%89%88" title="東京図書出版">東京図書出版</a>〈<a href="/wiki/%E7%90%86%E8%AB%96%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6%E6%95%99%E7%A8%8B" title="理論物理学教程">理論物理学教程</a>〉、1974年。<style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r101121245">.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation.cs-ja1 q,.mw-parser-output .citation.cs-ja2 q{quotes:"「""」""『""』"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free 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title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%E5%8A%9B%E5%AD%A6&rft.aulast=L.D.%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%80%E3%82%A6&rft.au=L.D.%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%80%E3%82%A6&rft.au=E.M.%E3%83%AA%E3%83%95%E3%82%B7%E3%83%83%E3%83%84&rft.date=1974&rft.series=%5B%5B%E7%90%86%E8%AB%96%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6%E6%95%99%E7%A8%8B%5D%5D&rft.pub=%5B%5B%E6%9D%B1%E4%BA%AC%E5%9B%B3%E6%9B%B8%E5%87%BA%E7%89%88%5D%5D&rft.isbn=4-489-01160-1&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E3%83%8F%E3%83%9F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%B3%E5%8A%9B%E5%AD%A6"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book"><a href="/wiki/%E6%B1%9F%E6%B2%A2%E6%B4%8B" title="江沢洋">江沢洋</a>『解析力学』<a href="/wiki/%E5%9F%B9%E9%A2%A8%E9%A4%A8" title="培風館">培風館</a>〈新物理学シリーズ〉、2007年。<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-4-563-02436-9" title="特別:文献資料/978-4-563-02436-9">978-4-563-02436-9</a>。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6&rft.aulast=%E6%B1%9F%E6%B2%A2%E6%B4%8B&rft.au=%E6%B1%9F%E6%B2%A2%E6%B4%8B&rft.date=2007&rft.series=%E6%96%B0%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6%E3%82%B7%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%82%BA&rft.pub=%5B%5B%E5%9F%B9%E9%A2%A8%E9%A4%A8%5D%5D&rft.isbn=978-4-563-02436-9&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E3%83%8F%E3%83%9F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%B3%E5%8A%9B%E5%AD%A6"><span style="display: none;"> </span></span></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="関連項目"><span id=".E9.96.A2.E9.80.A3.E9.A0.85.E7.9B.AE"></span>関連項目</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%8F%E3%83%9F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%B3%E5%8A%9B%E5%AD%A6&action=edit&section=8" title="節を編集: 関連項目"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/%E5%A4%89%E5%88%86%E5%8E%9F%E7%90%86" title="変分原理">変分原理</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B7%E3%83%B3%E3%83%97%E3%83%AC%E3%82%AF%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%83%E3%82%AF%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6" title="シンプレクティック幾何学">シンプレクティック幾何学</a> - <a href="/wiki/%E3%83%8F%E3%83%9F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%B3%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E5%A0%B4" title="ハミルトンベクトル場">ハミルトンベクトル場</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%8F%E3%83%9F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%B3%E5%A0%B4%E3%81%AE%E7%90%86%E8%AB%96" title="ハミルトン場の理論">ハミルトン場の理論</a></li></ul> <div role="navigation" class="navbox authority-control" aria-label="Navbox" style="padding:3px"><table class="nowraplinks hlist navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/Help:%E5%85%B8%E6%8B%A0%E7%AE%A1%E7%90%86" title="Help:典拠管理">典拠管理データベース</a>: 国立図書館 <span class="mw-valign-text-top noprint" typeof="mw:File/Frameless"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q477921#identifiers" title="ウィキデータを編集"><img alt="ウィキデータを編集" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/10px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png" decoding="async" width="10" height="10" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/15px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/20px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png 2x" data-file-width="20" data-file-height="20" /></a></span></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4376155-0">ドイツ</a></span></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1&useformat=desktop" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">「<a dir="ltr" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=ハミルトン力学&oldid=99347215">https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=ハミルトン力学&oldid=99347215</a>」から取得</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E3%82%AB%E3%83%86%E3%82%B4%E3%83%AA" title="特別:カテゴリ">カテゴリ</a>: <ul><li><a href="/wiki/Category:%E3%83%8F%E3%83%9F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%B3%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="Category:ハミルトン力学">ハミルトン力学</a></li><li><a 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> <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> 最終更新 2024年2月21日 (水) 13:19 （日時は<a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E5%80%8B%E4%BA%BA%E8%A8%AD%E5%AE%9A#mw-prefsection-rendering" title="特別:個人設定">個人設定</a>で未設定ならば<a href="/wiki/%E5%8D%94%E5%AE%9A%E4%B8%96%E7%95%8C%E6%99%82" title="協定世界時">UTC</a>）。</li> <li id="footer-info-copyright">テキストは<a rel="nofollow" class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.ja">クリエイティブ・コモンズ表示-継承ライセンス</a>のもとで利用できます。追加の条件が適用される場合があります。詳細については<a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Terms_of_Use">利用規約</a>を参照してください。</li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy/ja">プライバシー・ポリシー</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/Wikipedia:%E3%82%A6%E3%82%A3%E3%82%AD%E3%83%9A%E3%83%87%E3%82%A3%E3%82%A2%E3%81%AB%E3%81%A4%E3%81%84%E3%81%A6">ウィキペディアについて</a></li> <li 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