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class="vector-menu-content-list"> <li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q1068283" title="Lien vers l’élément dans le dépôt de données connecté [g]" accesskey="g"><span>Élément Wikidata</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Outils de la page"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Apparence"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Apparence</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">déplacer vers la barre latérale</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">masquer</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="fr" dir="ltr"><div class="bandeau-container metadata bandeau-article bandeau-niveau-ebauche"><div class="bandeau-cell bandeau-icone" style="display:table-cell;padding-right:0.5em"><span style="white-space:nowrap;word-spacing:5px"><span class="noviewer" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Fichier:Consistency.png" class="mw-file-description"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/33/Consistency.png/45px-Consistency.png" decoding="async" width="45" height="10" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/33/Consistency.png/68px-Consistency.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/33/Consistency.png 2x" data-file-width="70" data-file-height="15" /></a></span> <span class="noviewer" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Fichier:Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg" class="mw-file-description"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg/35px-Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg.png" decoding="async" width="35" height="35" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg/53px-Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg/70px-Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg.png 2x" data-file-width="128" data-file-height="128" /></a></span></span></div><div class="bandeau-cell" style="display:table-cell;padding-right:0.5em"> <p><strong class="bandeau-titre">Cet article est une <a href="/wiki/Aide:%C3%89bauche" title="Aide:Ébauche">ébauche</a> concernant la <a href="/wiki/Logique" title="Logique">logique</a> et les <a href="/wiki/Math%C3%A9matiques" title="Mathématiques">mathématiques</a>.</strong> </p><p>Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (<b><a href="/wiki/Aide:Comment_modifier_une_page" title="Aide:Comment modifier une page">comment ?</a></b>) selon les recommandations des <a href="/wiki/Projet:Accueil" title="Projet:Accueil">projets correspondants</a>. </p> </div></div> <p>En <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_des_mod%C3%A8les" title="Théorie des modèles">théorie des modèles</a>, le <b>théorème de Löwenheim-Skolem</b>, énoncé par <a href="/wiki/Leopold_L%C3%B6wenheim" title="Leopold Löwenheim">Leopold Löwenheim</a> en 1915 et démontré entièrement en 1920 par <a href="/wiki/Thoralf_Skolem" title="Thoralf Skolem">Thoralf Skolem</a>, établit que si un ensemble de <a href="/wiki/Formule_(math%C3%A9matiques)" title="Formule (mathématiques)">formules</a> closes de la <a href="/wiki/Logique_du_premier_ordre" class="mw-redirect" title="Logique du premier ordre">logique du premier ordre</a> admet un <a href="/wiki/Structure_(logique_math%C3%A9matique)" title="Structure (logique mathématique)">modèle</a> <a href="/wiki/Ensemble_infini" title="Ensemble infini">infini</a>, alors il admet un modèle de n'importe quelle <a href="/wiki/Cardinalit%C3%A9_(math%C3%A9matiques)" title="Cardinalité (mathématiques)">cardinalité</a> infinie supérieure ou égale au cardinal du langage et de l'ensemble de formules. Le résultat est souvent présenté sous la forme de deux <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me" title="Théorème">théorèmes</a> : le <b>théorème de Löwenheim-Skolem ascendant</b> et le <b>théorème de Löwenheim-Skolem descendant</b>. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Formulations">Formulations</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9or%C3%A8me_de_L%C3%B6wenheim-Skolem&veaction=edit&section=1" title="Modifier la section : Formulations" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9or%C3%A8me_de_L%C3%B6wenheim-Skolem&action=edit&section=1" title="Modifier le code source de la section : Formulations"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Cas_d'un_langage_dénombrable"><span id="Cas_d.27un_langage_d.C3.A9nombrable"></span>Cas d'un langage dénombrable</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9or%C3%A8me_de_L%C3%B6wenheim-Skolem&veaction=edit&section=2" title="Modifier la section : Cas d'un langage dénombrable" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9or%C3%A8me_de_L%C3%B6wenheim-Skolem&action=edit&section=2" title="Modifier le code source de la section : Cas d'un langage dénombrable"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Considérons que le langage est dénombrable (c'est souvent une hypothèse raisonnable notamment en informatique et c'est une hypothèse faite dans certains ouvrages de logique en informatique<sup id="cite_ref-:0_1-0" class="reference"><a href="#cite_note-:0-1"><span class="cite_crochet">[</span>1<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>). Le théorème de Löwenheim-Skolem peut alors s'énoncer par : si une formule est <a href="/wiki/Satisfaisabilit%C3%A9" title="Satisfaisabilité">satisfaisable</a> alors elle admet un modèle au plus dénombrable<sup id="cite_ref-:0_1-1" class="reference"><a href="#cite_note-:0-1"><span class="cite_crochet">[</span>1<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. Ou plus généralement : si un ensemble <i>T</i> (dénombrable) de formules closes est satisfaisable alors <i>T</i> admet un modèle au plus dénombrable<sup id="cite_ref-:0_1-2" class="reference"><a href="#cite_note-:0-1"><span class="cite_crochet">[</span>1<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Théorèmes_de_Löwenheim-Skolem_pour_tout_cardinal"><span id="Th.C3.A9or.C3.A8mes_de_L.C3.B6wenheim-Skolem_pour_tout_cardinal"></span>Théorèmes de Löwenheim-Skolem pour tout cardinal</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9or%C3%A8me_de_L%C3%B6wenheim-Skolem&veaction=edit&section=3" title="Modifier la section : Théorèmes de Löwenheim-Skolem pour tout cardinal" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9or%C3%A8me_de_L%C3%B6wenheim-Skolem&action=edit&section=3" title="Modifier le code source de la section : Théorèmes de Löwenheim-Skolem pour tout cardinal"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Lowenheim-skolem.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/66/Lowenheim-skolem.svg/440px-Lowenheim-skolem.svg.png" decoding="async" width="440" height="347" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/66/Lowenheim-skolem.svg/660px-Lowenheim-skolem.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/66/Lowenheim-skolem.svg/880px-Lowenheim-skolem.svg.png 2x" data-file-width="345" data-file-height="272" /></a><figcaption>À partir de <i>M</i>, il existe un modèle <i>N</i> de cardinal κ tels que <i>M</i> et <i>N</i> soient élémentairement équivalents et si κ est plus petit que le cardinal du domaine de <i>M</i>, alors <i>N</i> est un sous-modèle de <i>M</i> et sinon <i>M</i> est un sous-modèle de <i>N</i>.</figcaption></figure> <p>Soit σ une <a href="/wiki/Signature_(logique)" title="Signature (logique)">signature</a> pour un langage du premier ordre qui contient l'égalité. Soit κ un <a href="/wiki/Nombre_cardinal" title="Nombre cardinal">cardinal</a> infini tel que |σ| ≤ κ. Soit <i>M</i> un modèle infini sur la signature σ. Alors il existe un modèle <i>N</i> de cardinal κ tel que : </p> <ul><li>(théorème de Löwenheim-Skolem descendant) <i>N</i> est une sous-structure<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite_crochet">[</span>2<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> <a href="/w/index.php?title=Sous-structure_%C3%A9l%C3%A9mentaire&action=edit&redlink=1" class="new" title="Sous-structure élémentaire (page inexistante)">élémentaire</a> <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Elementare_Unterstruktur" class="extiw" title="de:Elementare Unterstruktur"><span class="indicateur-langue" title="Article en allemand : « Elementare Unterstruktur »">(de)</span></a> de <i>M</i> si κ < |<i>M</i>| ;</li> <li>(théorème de Löwenheim-Skolem ascendant) <i>M</i> est une sous-structure élémentaire de <i>N</i> si κ > |<i>M</i>|.</li></ul> <p>En particulier, <i>M</i> et <i>N</i> sont alors <a href="/wiki/%C3%89quivalence_%C3%A9l%C3%A9mentaire" title="Équivalence élémentaire">élémentairement équivalents</a><sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite_crochet">[</span>3<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Idées_des_démonstrations"><span id="Id.C3.A9es_des_d.C3.A9monstrations"></span>Idées des démonstrations</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9or%C3%A8me_de_L%C3%B6wenheim-Skolem&veaction=edit&section=4" title="Modifier la section : Idées des démonstrations" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9or%C3%A8me_de_L%C3%B6wenheim-Skolem&action=edit&section=4" title="Modifier le code source de la section : Idées des démonstrations"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Théorème_de_Löwenheim-Skolem_ascendant"><span id="Th.C3.A9or.C3.A8me_de_L.C3.B6wenheim-Skolem_ascendant"></span>Théorème de Löwenheim-Skolem ascendant</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9or%C3%A8me_de_L%C3%B6wenheim-Skolem&veaction=edit&section=5" title="Modifier la section : Théorème de Löwenheim-Skolem ascendant" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9or%C3%A8me_de_L%C3%B6wenheim-Skolem&action=edit&section=5" title="Modifier le code source de la section : Théorème de Löwenheim-Skolem ascendant"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Soit σ, κ, <i>M</i> comme dans l'hypothèse du théorème ascendant : |σ| ≤ κ et |<i>M</i>| < κ . Ajoutons une constante <i>c<sub>a</sub></i> pour tout élément <i>a</i> du domaine de <i>M</i> et appelons σ<sup>+</sup> la signature σ augmentée de ces constantes <i>c<sub>a</sub></i>. Soit <i>M</i><sup>+</sup> défini comme le modèle <i>M</i> mais où l'on interprète chaque constante <i>c<sub>a</sub></i> par l'élément a du domaine de <i>M</i>. Soit <i>T</i><sup>+</sup> l'ensemble des formules closes vraies dans <i>M</i><sup>+</sup> sur le langage de signature σ<sup>+</sup> (c'est le <a href="/w/index.php?title=Diagramme_%C3%A9l%C3%A9mentaire&action=edit&redlink=1" class="new" title="Diagramme élémentaire (page inexistante)">diagramme élémentaire</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Elementary_diagram" class="extiw" title="en:Elementary diagram"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « Elementary diagram »">(en)</span></a> de <i>M</i>). </p><p>On considère maintenant un ensemble <i>E</i> de cardinal κ et des constantes <i>d<sub>i</sub></i> pour tout <i>i</i> dans <i>E</i>. On considère alors la théorie <i>T'</i> contenant <i>T</i><sup>+</sup> et les formules <i>d<sub>i</sub></i> ≠ <i>d<sub>j</sub></i> pour <i>i</i> ≠ <i>j</i>. Toute partie finie <i>T</i><sub>0</sub> de <i>T'</i> est satisfiable : par exemple <i>T</i><sub>0</sub> admet comme modèle le modèle <i>M'</i>, défini comme étant <i>M</i><sup>+</sup> dans lequel on interprète les constantes <i>d<sub>i</sub></i> de manière que les <i>d<sub>i</sub></i> intervenant dans <i>T</i><sub>0</sub> soient interprétés par des éléments distincts ; ceci est possible puisque <i>T</i><sub>0</sub> est finie et <i>M</i> infini. Par le <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_compacit%C3%A9" title="Théorème de compacité">théorème de compacité</a>, <i>T'</i> admet un modèle <i>N'</i> dont le cardinal du domaine est au moins κ par définition de <i>T'</i>, et qui est une extension élémentaire de <i>M</i> puisque <i>T'</i> contient le diagramme élémentaire <i>T</i><sup>+</sup> de <i>M</i>. Par le théorème de Löwenheim-Skolem descendant, il existe donc <i>N''</i> qui est une sous-structure élémentaire de <i>N''</i> et qui contient <i>M</i>, donc une extension élémentaire de <i>M</i>. Soit <i>N</i> le modèle <i>N''</i> restreint à la signature σ ; c'est le modèle cherché<sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span class="cite_crochet">[</span>4<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Théorème_de_Löwenheim-Skolem_descendant"><span id="Th.C3.A9or.C3.A8me_de_L.C3.B6wenheim-Skolem_descendant"></span>Théorème de Löwenheim-Skolem descendant</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9or%C3%A8me_de_L%C3%B6wenheim-Skolem&veaction=edit&section=6" title="Modifier la section : Théorème de Löwenheim-Skolem descendant" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9or%C3%A8me_de_L%C3%B6wenheim-Skolem&action=edit&section=6" title="Modifier le code source de la section : Théorème de Löwenheim-Skolem descendant"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>La partie descendante se montre en utilisant par exemple le <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_compl%C3%A9tude" class="mw-redirect" title="Théorème de complétude">théorème de complétude</a>, ou au minimum la complétion du langage par des témoins de Henkin utilisée dans les versions modernes de la démonstration du <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_compl%C3%A9tude" class="mw-redirect" title="Théorème de complétude">théorème de complétude</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Corollaires">Corollaires</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9or%C3%A8me_de_L%C3%B6wenheim-Skolem&veaction=edit&section=7" title="Modifier la section : Corollaires" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9or%C3%A8me_de_L%C3%B6wenheim-Skolem&action=edit&section=7" title="Modifier le code source de la section : Corollaires"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>Le théorème de Löwenheim-Skolem permet par exemple de montrer que l'expressivité de la logique du premier ordre est strictement inférieure à celle de la <a href="/wiki/Logique_d%27ordre_sup%C3%A9rieur" title="Logique d'ordre supérieur">logique du second ordre</a> : en effet, la logique du second ordre permet de définir des théories cohérentes dont tous les modèles sont dénombrables, ce qui n'est pas possible avec la logique du premier ordre d'après le théorème de Löwenheim-Skolem ascendant.</li> <li>Considérons la signature de l'arithmétique 0, 1, +, ×, ≤ et le modèle des réels <i>M</i> = (R, 0, 1, +, ×, ≤). D'après le théorème de Löwenheim-Skolem, l'ensemble des formules vraies sur <i>M</i> admet un modèle dénombrable.</li> <li>Si l'on applique le théorème descendant à la théorie des ensembles, par exemple <a href="/wiki/ZFC" class="mw-redirect" title="ZFC">ZFC</a>, ou à une autre théorie axiomatique destinée à fonder les théorèmes de Cantor, on obtient un univers dénombrable de tous les ensembles définis dans ZFC. Mais le <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cantor" title="Théorème de Cantor">théorème de Cantor</a> permet de prouver dans ZFC qu'il existe des ensembles non dénombrables : c'est le <a href="/wiki/Paradoxe_de_Skolem" title="Paradoxe de Skolem">paradoxe de Skolem</a>, qui n'est contradictoire qu'en apparence. Le terme « dénombrable » est utilisé dans deux sens différents, au sens de la métathéorie pour « univers dénombrable », au sens de la théorie pour « il existe des ensembles non dénombrables ».</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Notes_et_références"><span id="Notes_et_r.C3.A9f.C3.A9rences"></span>Notes et références</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9or%C3%A8me_de_L%C3%B6wenheim-Skolem&veaction=edit&section=8" title="Modifier la section : Notes et références" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9or%C3%A8me_de_L%C3%B6wenheim-Skolem&action=edit&section=8" title="Modifier le code source de la section : Notes et références"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="references-small decimal" style=""><div class="mw-references-wrap"><ol class="references"> <li id="cite_note-:0-1"><span class="mw-cite-backlink noprint">↑ <sup><a href="#cite_ref-:0_1-0">a</a> <a href="#cite_ref-:0_1-1">b</a> et <a href="#cite_ref-:0_1-2">c</a></sup> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Ben-Ari2012"><span class="ouvrage" id=":Mordechai_Ben-Ari2012"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="/w/index.php?title=Mordechai_Ben-Ari&action=edit&redlink=1" class="new" title="Mordechai Ben-Ari (page inexistante)">Mordechai Ben-Ari</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Mordechai_Ben-Ari" class="extiw" title="en:Mordechai Ben-Ari"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « Mordechai Ben-Ari »">(en)</span></a>, <cite class="italique" lang="en">Mathematical Logic for Computer Science</cite>, London, <a href="/wiki/Springer_Science%2BBusiness_Media" title="Springer Science+Business Media">Springer</a>, <time>2012</time>, 346 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-1-4471-4129-7" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-1-4471-4129-7"><span class="nowrap">978-1-4471-4129-7</span></a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="//books.google.com/books?id=TQ1n03kEBOkC">lire en ligne</a>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Mathematical+Logic+for+Computer+Science&rft.place=London&rft.pub=Springer&rft.aulast=Ben-Ari&rft.aufirst=%3AMordechai&rft.date=2012&rft.tpages=346&rft.isbn=978-1-4471-4129-7&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ATh%C3%A9or%C3%A8me+de+L%C3%B6wenheim-Skolem"></span></span></span>.</span> </li> <li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-2">↑</a> </span><span class="reference-text">C'est-à-dire que le domaine de <i>N</i> est inclus dans le domaine de <i>M</i> et que les interprétations des fonctions et prédicats dans <i>M</i> sont les restrictions des interprétations dans <i>N</i>.</span> </li> <li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-3">↑</a> </span><span class="reference-text">C'est-à-dire que <i>M</i> et <i>N</i> satisfont les mêmes formules closes.</span> </li> <li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-4">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Malitz1987"><span class="ouvrage" id="J._Malitz1987"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> J. Malitz, <cite class="italique" lang="en">Introduction to Mathematical Logic</cite>, Springer-Verlag, <time>1987</time> <small style="line-height:1em;">(<a rel="nofollow" class="external text" href="//books.google.com/books?id=cXTgBwAAQBAJ">lire en ligne</a>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Introduction+to+Mathematical+Logic&rft.pub=Springer-Verlag&rft.aulast=Malitz&rft.aufirst=J.&rft.date=1987&rft_id=%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3DcXTgBwAAQBAJ&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ATh%C3%A9or%C3%A8me+de+L%C3%B6wenheim-Skolem"></span></span></span>.</span> </li> </ol></div> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Voir_aussi">Voir aussi</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9or%C3%A8me_de_L%C3%B6wenheim-Skolem&veaction=edit&section=9" title="Modifier la section : Voir aussi" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9or%C3%A8me_de_L%C3%B6wenheim-Skolem&action=edit&section=9" title="Modifier le code source de la section : Voir aussi"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Articles_connexes">Articles connexes</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9or%C3%A8me_de_L%C3%B6wenheim-Skolem&veaction=edit&section=10" title="Modifier la section : Articles connexes" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9or%C3%A8me_de_L%C3%B6wenheim-Skolem&action=edit&section=10" title="Modifier le code source de la section : Articles connexes"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Lindstr%C3%B6m" title="Théorème de Lindström">Théorème de Lindström</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Nombre_de_L%C3%B6wenheim&action=edit&redlink=1" class="new" title="Nombre de Löwenheim (page inexistante)">Nombre de Löwenheim</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/L%C3%B6wenheim_number" class="extiw" title="en:Löwenheim number"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « Löwenheim number »">(en)</span></a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bibliographie">Bibliographie</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9or%C3%A8me_de_L%C3%B6wenheim-Skolem&veaction=edit&section=11" title="Modifier la section : Bibliographie" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9or%C3%A8me_de_L%C3%B6wenheim-Skolem&action=edit&section=11" title="Modifier le code source de la section : Bibliographie"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span class="ouvrage" id="Cori-Lascar_II"><a href="/wiki/Ren%C3%A9_Cori" title="René Cori">René <span class="nom_auteur">Cori</span></a> et Daniel <span class="nom_auteur">Lascar</span>, <cite class="italique">Logique <span class="nowrap">mathématique <abbr class="abbr" title="2"><span class="romain" style="text-transform:uppercase">II</span></abbr></span>. Fonctions récursives, théorème de Gödel, théorie des ensembles, théorie des modèles</cite> <small>[<a href="/wiki/R%C3%A9f%C3%A9rence:Logique_math%C3%A9matique_2_(Cori-Lascar)" title="Référence:Logique mathématique 2 (Cori-Lascar)">détail des éditions</a>]</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Logique+math%C3%A9matique+II.+Fonctions+r%C3%A9cursives%2C+th%C3%A9or%C3%A8me+de+G%C3%B6del%2C+th%C3%A9orie+des+ensembles%2C+th%C3%A9orie+des+mod%C3%A8les&rft.aulast=Cori&rft.aufirst=Ren%C3%A9&rft.au=Lascar%2C+Daniel&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ATh%C3%A9or%C3%A8me+de+L%C3%B6wenheim-Skolem"></span></span></li> <li><a href="/wiki/Jean_Ladri%C3%A8re" title="Jean Ladrière">Jean Ladrière</a>, « Le théorème de Löwenheim-Skolem », <i>Cahiers pour l'analyse</i>, vol. 10 : <i>La formalisation</i>, 1969. <small>[<a rel="nofollow" class="external text" href="http://cahiers.kingston.ac.uk/pdf/cpa10.6.ladriere.pdf">lire en ligne</a>]</small> <abbr class="abbr indicateur-format format-pdf" title="Document au format Portable Document Format (PDF)">[PDF]</abbr></li></ul> <ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail"><li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><span class="noviewer skin-invert-image" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Portail:Logique" title="Portail de la logique"><img alt="icône décorative" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e7/Logic.svg/48px-Logic.svg.png" decoding="async" width="48" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e7/Logic.svg/72px-Logic.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e7/Logic.svg/96px-Logic.svg.png 2x" data-file-width="85" data-file-height="28" /></a></span></span> <span class="bandeau-portail-texte"><a href="/wiki/Portail:Logique" title="Portail:Logique">Portail de la logique</a></span> </span></li> <li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><span class="noviewer skin-invert-image" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Portail:Math%C3%A9matiques" title="Portail des mathématiques"><img alt="icône décorative" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg/24px-Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg.png" decoding="async" width="24" height="24" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg/36px-Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg/48px-Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg.png 2x" data-file-width="128" data-file-height="128" /></a></span></span> <span class="bandeau-portail-texte"><a href="/wiki/Portail:Math%C3%A9matiques" title="Portail:Mathématiques">Portail des mathématiques</a></span> </span></li> </ul>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Ce document provient de « <a dir="ltr" href="https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Théorème_de_Löwenheim-Skolem&oldid=217591236">https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Théorème_de_Löwenheim-Skolem&oldid=217591236</a> ».</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Accueil" title="Catégorie:Accueil">Catégories</a> : <ul><li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Th%C3%A9orie_des_mod%C3%A8les" title="Catégorie:Théorie des modèles">Théorie des modèles</a></li><li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Th%C3%A9or%C3%A8me_de_logique_math%C3%A9matique" title="Catégorie:Théorème de logique mathématique">Théorème de logique mathématique</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Catégories cachées : <ul><li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Article_contenant_un_appel_%C3%A0_traduction_en_anglais" title="Catégorie:Article contenant un appel à traduction en anglais">Article contenant un appel à traduction en anglais</a></li><li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Wikip%C3%A9dia:%C3%A9bauche_logique" title="Catégorie:Wikipédia:ébauche logique">Wikipédia:ébauche logique</a></li><li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Wikip%C3%A9dia:%C3%A9bauche_math%C3%A9matiques" title="Catégorie:Wikipédia:ébauche mathématiques">Wikipédia:ébauche mathématiques</a></li><li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Article_contenant_un_appel_%C3%A0_traduction_en_allemand" title="Catégorie:Article contenant un appel à traduction en allemand">Article contenant un appel à traduction en allemand</a></li><li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Portail:Logique/Articles_li%C3%A9s" title="Catégorie:Portail:Logique/Articles liés">Portail:Logique/Articles liés</a></li><li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Projet:Math%C3%A9matiques/Articles" title="Catégorie:Projet:Mathématiques/Articles">Projet:Mathématiques/Articles</a></li><li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Portail:Sciences/Articles_li%C3%A9s" title="Catégorie:Portail:Sciences/Articles liés">Portail:Sciences/Articles liés</a></li><li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Portail:Math%C3%A9matiques/Articles_li%C3%A9s" title="Catégorie:Portail:Mathématiques/Articles liés">Portail:Mathématiques/Articles liés</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> La dernière modification de cette page a été faite le 11 août 2024 à 16:33.</li> <li id="footer-info-copyright"><span style="white-space: normal"><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Citation_et_r%C3%A9utilisation_du_contenu_de_Wikip%C3%A9dia" title="Wikipédia:Citation et réutilisation du contenu de Wikipédia">Droit d'auteur</a> : les textes sont disponibles sous <a rel="nofollow" class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.fr">licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes conditions</a> ; 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