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複素線積分 - Wikipedia
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data-event-name="pinnable-header.vector-toc.unpin">非表示</button> </div> <ul class="vector-toc-contents" id="mw-panel-toc-list"> <li id="toc-mw-content-text" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a href="#" class="vector-toc-link"> <div class="vector-toc-text">ページ先頭</div> </a> </li> <li id="toc-複素平面内の曲線" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#複素平面内の曲線"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1</span> <span>複素平面内の曲線 </span> </div> </a> <button aria-controls="toc-複素平面内の曲線-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>複素平面内の曲線 サブセクションを切り替えます</span> </button> <ul id="toc-複素平面内の曲線-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-向き付けられた滑らかな曲線" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#向き付けられた滑らかな曲線"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.1</span> <span>向き付けられた滑らかな曲線</span> </div> </a> <ul id="toc-向き付けられた滑らかな曲線-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-積分路" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#積分路"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.2</span> <span>積分路 </span> </div> </a> <ul id="toc-積分路-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-路に沿う積分" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#路に沿う積分"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>路に沿う積分 </span> </div> </a> <button aria-controls="toc-路に沿う積分-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>路に沿う積分 サブセクションを切り替えます</span> </button> <ul id="toc-路に沿う積分-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-連続関数の場合" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#連続関数の場合"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.1</span> <span>連続関数の場合 </span> </div> </a> <ul id="toc-連続関数の場合-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-リーマン積分の一般化として" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#リーマン積分の一般化として"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.2</span> <span>リーマン積分の一般化として </span> </div> </a> <ul id="toc-リーマン積分の一般化として-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-直接的な方法" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#直接的な方法"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>直接的な方法 </span> </div> </a> <button aria-controls="toc-直接的な方法-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>直接的な方法 サブセクションを切り替えます</span> </button> <ul id="toc-直接的な方法-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-例" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#例"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.1</span> <span>例 </span> </div> </a> <ul id="toc-例-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-積分定理の応用" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#積分定理の応用"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>積分定理の応用 </span> </div> </a> <button aria-controls="toc-積分定理の応用-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>積分定理の応用 サブセクションを切り替えます</span> </button> <ul id="toc-積分定理の応用-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-例_2" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#例_2"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.1</span> <span>例 </span> </div> </a> <ul id="toc-例_2-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-コーシーの積分公式を使う" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#コーシーの積分公式を使う"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.1.1</span> <span>コーシーの積分公式を使う </span> </div> </a> <ul id="toc-コーシーの積分公式を使う-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-留数の方法を使う" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#留数の方法を使う"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.1.2</span> <span>留数の方法を使う </span> </div> </a> <ul id="toc-留数の方法を使う-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-積分路についての注意" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#積分路についての注意"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.1.3</span> <span>積分路についての注意 </span> </div> </a> <ul id="toc-積分路についての注意-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-例_II:_コーシー分布" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#例_II:_コーシー分布"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.2</span> <span>例 II: コーシー分布 </span> </div> </a> <ul id="toc-例_II:_コーシー分布-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-例_III:_三角関数の積分" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#例_III:_三角関数の積分"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.3</span> <span>例 III: 三角関数の積分 </span> </div> </a> <ul id="toc-例_III:_三角関数の積分-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-例_IIIa:_三角関数の積分、一般的な手続き" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#例_IIIa:_三角関数の積分、一般的な手続き"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.4</span> <span>例 IIIa: 三角関数の積分、一般的な手続き </span> </div> </a> <ul id="toc-例_IIIa:_三角関数の積分、一般的な手続き-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-例_IV:_分岐切断" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#例_IV:_分岐切断"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.5</span> <span>例 IV: 分岐切断 </span> </div> </a> <ul id="toc-例_IV:_分岐切断-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-例_V:_対数関数の平方を利用した積分" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#例_V:_対数関数の平方を利用した積分"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.6</span> <span>例 V: 対数関数の平方を利用した積分 </span> </div> </a> <ul id="toc-例_V:_対数関数の平方を利用した積分-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-例_VI:_対数関数と、無限遠点での留数" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#例_VI:_対数関数と、無限遠点での留数"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.7</span> <span>例 VI: 対数関数と、無限遠点での留数 </span> </div> </a> <ul id="toc-例_VI:_対数関数と、無限遠点での留数-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-積分表現" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#積分表現"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>積分表現</span> </div> </a> <ul id="toc-積分表現-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-関連項目" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#関連項目"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>関連項目 </span> </div> </a> <ul id="toc-関連項目-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-出典" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#出典"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>出典 </span> </div> </a> <ul id="toc-出典-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-注釈" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#注釈"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8</span> <span>注釈 </span> </div> </a> <ul id="toc-注釈-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-関連文献" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#関連文献"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9</span> <span>関連文献 </span> </div> </a> <ul id="toc-関連文献-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-外部リンク" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#外部リンク"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">10</span> <span>外部リンク</span> </div> </a> <ul id="toc-外部リンク-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="目次" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="目次の表示・非表示を切り替え" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">目次の表示・非表示を切り替え</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 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mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%D9%83%D8%A7%D9%85%D9%84_%D9%85%D8%AD%D9%8A%D8%B7%D9%8A" title="アラビア語: تكامل محيطي" lang="ar" hreflang="ar" data-title="تكامل محيطي" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="アラビア語" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Contour_integration" title="英語: Contour integration" lang="en" hreflang="en" data-title="Contour integration" data-language-autonym="English" data-language-local-name="英語" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%A7%D9%86%D8%AA%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%84%E2%80%8C%DA%AF%DB%8C%D8%B1%DB%8C_%DA%A9%D8%A7%D9%86%D8%AA%D9%88%D8%B1" title="ペルシア語: انتگرالگیری کانتور" lang="fa" hreflang="fa" data-title="انتگرالگیری کانتور" data-language-autonym="فارسی" 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href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B2%BD%EB%A1%9C%EC%A0%81%EB%B6%84%EB%B2%95" title="韓国語: 경로적분법" lang="ko" hreflang="ko" data-title="경로적분법" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="韓国語" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Contour_integral" title="シンプル英語: Contour integral" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Contour integral" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="シンプル英語" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4%D0%B5_%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D1%82%D1%83%D1%80%D0%BD%D0%B5_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%98%D0%B5" title="セルビア語: Методе контурне интеграције" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Методе контурне интеграције" 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title="線積分">線積分</a>」をご覧ください。</td> </tr></tbody></table></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r101304250">.mw-parser-output .ambox{border:1px solid #a2a9b1;border-left:10px solid #36c;background-color:#fbfbfb;box-sizing:border-box}.mw-parser-output .ambox+link+.ambox,.mw-parser-output .ambox+link+style+.ambox,.mw-parser-output .ambox+link+link+.ambox,.mw-parser-output .ambox+.mw-empty-elt+link+.ambox,.mw-parser-output .ambox+.mw-empty-elt+link+style+.ambox,.mw-parser-output .ambox+.mw-empty-elt+link+link+.ambox{margin-top:-1px}html body.mediawiki .mw-parser-output .ambox.mbox-small-left{margin:4px 1em 4px 0;overflow:hidden;width:238px;border-collapse:collapse;font-size:88%;line-height:1.25em}.mw-parser-output .ambox-speedy{border-left:10px solid #b32424;background-color:#fee7e6}.mw-parser-output .ambox-delete{border-left:10px solid #b32424}.mw-parser-output .ambox-content{border-left:10px solid #f28500}.mw-parser-output .ambox-style{border-left:10px solid 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src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a5/Fundamental_Theorem_of_Calculus.svg/200px-Fundamental_Theorem_of_Calculus.svg.png" decoding="async" width="200" height="51" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a5/Fundamental_Theorem_of_Calculus.svg/300px-Fundamental_Theorem_of_Calculus.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a5/Fundamental_Theorem_of_Calculus.svg/400px-Fundamental_Theorem_of_Calculus.svg.png 2x" data-file-width="117" data-file-height="30" /></a></span></td></tr><tr><td class="sidebar-above" style="padding:0.15em 0.25em 0.3em;font-weight:normal;"> <ul><li><a href="/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E7%A9%8D%E5%88%86%E5%AD%A6%E3%81%AE%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%AE%9A%E7%90%86" title="微分積分学の基本定理">基本定理</a></li></ul> <div class="hlist hlist-separated"> <ul><li><a href="/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81%AE%E6%A5%B5%E9%99%90" title="関数の極限">関数の極限</a></li> <li><a href="/wiki/%E9%80%A3%E7%B6%9A%E5%86%99%E5%83%8F" title="連続写像">連続性</a></li></ul> </div><div class="hlist hlist-separated"> <ul><li><a href="/wiki/%E5%B9%B3%E5%9D%87%E5%80%A4%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86" title="平均値の定理">平均値の定理</a></li></ul> </div></td></tr><tr><td class="sidebar-content"> <div class="sidebar-list mw-collapsible mw-collapsed"><div class="sidebar-list-title" style="text-align:center;;display:block;margin-top:0.65em;"><span style="font-size:110%;"><a href="/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%B3%95" title="微分法">微分法</a></span></div><div class="sidebar-list-content mw-collapsible-content" style="border-top:1px solid #aaa;padding-top:0.15em;border-bottom:1px solid #aaa;"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101384370"><table class="sidebar nomobile nowraplinks" style="border-collapse:collapse; border-spacing:0px; border:none; width:100%; margin:0px; font-size:100%; clear:none; float:none"><tbody><tr><th class="sidebar-heading"> 定義</th></tr><tr><td class="sidebar-content hlist"> <ul><li><a href="/wiki/%E5%B0%8E%E9%96%A2%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="導関数">導関数</a> (<span title="リンク先の項目はまだ不十分なため、加筆や他言語版からの追加翻訳が望まれます。"><a href="/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E3%81%AE%E4%B8%80%E8%88%AC%E5%8C%96" title="微分の一般化">一般化</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Generalizations_of_the_derivative" class="extiw" title="en:Generalizations of the derivative">英語版</a>）</span></span>)</li></ul> <div class="hlist hlist-separated" style="padding:0.1em 0;line-height:1.2em;"> <ul><li>微分 <ul><li><a href="/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E5%B0%8F" title="微分小">無限小</a></li> <li><a href="/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%BE%AE%E5%88%86" title="関数の微分">関数の</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%85%A8%E5%BE%AE%E5%88%86" title="全微分">全</a></li></ul></li></ul> </div></td> </tr><tr><th class="sidebar-heading"> 概念</th></tr><tr><td class="sidebar-content hlist"> <div class="hlist hlist-separated"> <ul><li><a href="/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E3%81%AE%E8%A8%98%E6%B3%95" title="微分の記法">微分の記法</a></li> <li><a href="/wiki/%E4%BA%8C%E9%9A%8E%E5%B0%8E%E9%96%A2%E6%95%B0" title="二階導関数">二階導関数</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E4%B8%89%E9%9A%8E%E5%B0%8E%E9%96%A2%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="「三階導関数」 (存在しないページ)">三階導関数</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Third_derivative" class="extiw" title="en:Third derivative">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%A4%89%E6%95%B0%E5%A4%89%E6%8F%9B&action=edit&redlink=1" class="new" title="「変数変換」 (存在しないページ)">変数変換</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Change_of_variables" class="extiw" title="en:Change of variables">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E9%99%B0%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%BE%AE%E5%88%86" class="mw-redirect" title="陰函数微分">陰関数の微分</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=Related_rates&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Related rates」 (存在しないページ)">Related rates</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Related_rates" class="extiw" title="en:Related rates">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%86%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86" title="テイラーの定理">テイラーの定理</a></li></ul> </div></td> </tr><tr><th class="sidebar-heading"> <span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%BE%AE%E5%88%86%E3%81%AE%E6%B3%95%E5%89%87&action=edit&redlink=1" class="new" title="「微分の法則」 (存在しないページ)">法則と恒等式</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Differentiation_rules" class="extiw" title="en:Differentiation rules">英語版</a>）</span></span></th></tr><tr><td class="sidebar-content hlist"> <div class="hlist hlist-separated"> <ul><li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%92%8C%E3%81%AE%E5%BE%AE%E5%88%86&action=edit&redlink=1" class="new" title="「和の微分」 (存在しないページ)">和</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Sum_rule_in_differentiation" class="extiw" title="en:Sum rule in differentiation">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E7%A9%8D%E3%81%AE%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%B3%95%E5%89%87" title="積の微分法則">積</a></li> <li><a href="/wiki/%E9%80%A3%E9%8E%96%E5%BE%8B" title="連鎖律">合成</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%86%AA%E3%81%AE%E5%BE%AE%E5%88%86&action=edit&redlink=1" class="new" title="「冪の微分」 (存在しないページ)">冪</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Power_rule" class="extiw" title="en:Power rule">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E5%95%86%E3%81%AE%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%B3%95%E5%89%87" title="商の微分法則">商</a></li> <li><a href="/wiki/%E4%B8%80%E8%88%AC%E3%81%AE%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%97%E3%83%8B%E3%83%83%E3%83%84%E3%81%AE%E6%B3%95%E5%89%87" title="一般のライプニッツの法則">一般ライプニッツ</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%95%E3%82%A1%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BB%E3%83%96%E3%83%AB%E3%83%BC%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F&action=edit&redlink=1" class="new" title="「ファー・ディ・ブルーノの公式」 (存在しないページ)">ファー・ディ・ブルーノの公式</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Fa%C3%A0_di_Bruno%27s_formula" class="extiw" title="en:Faà di Bruno's formula">英語版</a>）</span></span></li></ul> </div></td> </tr></tbody></table></div></div></td> </tr><tr><td class="sidebar-content"> <div class="sidebar-list mw-collapsible mw-collapsed"><div class="sidebar-list-title" style="text-align:center;"><span style="font-size:110%;"><a href="/wiki/%E7%A9%8D%E5%88%86%E6%B3%95" title="積分法">積分法</a></span></div><div class="sidebar-list-content mw-collapsible-content" style="border-top:1px solid #aaa;padding-top:0.15em;border-bottom:1px solid #aaa;"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101384370"><table class="sidebar nomobile nowraplinks" style="border-collapse:collapse; border-spacing:0px; border:none; width:100%; margin:0px; font-size:100%; clear:none; float:none"><tbody><tr><td class="sidebar-content hlist"> <ul><li><a href="/wiki/%E5%8E%9F%E5%A7%8B%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81%AE%E4%B8%80%E8%A6%A7" title="原始関数の一覧">積分一覧</a></li></ul></td> </tr><tr><th class="sidebar-heading"> 定義</th></tr><tr><td class="sidebar-content hlist"> <ul><li><a href="/wiki/%E4%B8%8D%E5%AE%9A%E7%A9%8D%E5%88%86" title="不定積分">不定積分</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%A9%8D%E5%88%86" class="mw-redirect" title="積分">積分</a> (<a href="/wiki/%E5%BA%83%E7%BE%A9%E7%A9%8D%E5%88%86" title="広義積分">広義</a>)</li> <li><a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E7%A9%8D%E5%88%86" title="リーマン積分">リーマン積分</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%BC%E3%82%B0%E7%A9%8D%E5%88%86" title="ルベーグ積分">ルベーグ積分</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%B7%9A%E7%A9%8D%E5%88%86" title="線積分">線積分</a></li> <li><a class="mw-selflink selflink">複素線積分</a></li></ul></td> </tr><tr><th class="sidebar-heading"> 道具</th></tr><tr><td class="sidebar-content hlist"> <ul><li><a href="/wiki/%E9%83%A8%E5%88%86%E7%A9%8D%E5%88%86" title="部分積分">部分</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=Disc_integration&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Disc integration」 (存在しないページ)">Discs</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Disc_integration" class="extiw" title="en:Disc integration">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%90%E3%82%A6%E3%83%A0%E3%82%AF%E3%83%BC%E3%83%98%E3%83%B3%E7%A9%8D%E5%88%86" title="バウムクーヘン積分">円殻（バウムクーヘン）</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%BD%AE%E6%8F%9B%E7%A9%8D%E5%88%86" title="置換積分">置換</a> <ul><li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E4%B8%89%E8%A7%92%E7%BD%AE%E6%8F%9B%E7%A9%8D%E5%88%86&action=edit&redlink=1" class="new" title="「三角置換積分」 (存在しないページ)">三角置換</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_substitution" class="extiw" title="en:Trigonometric substitution">英語版</a>）</span></span></li></ul></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E9%83%A8%E5%88%86%E5%88%86%E6%95%B0%E5%88%86%E8%A7%A3%E3%81%AB%E3%82%88%E3%82%8B%E6%9C%89%E7%90%86%E5%87%BD%E6%95%B0%E3%81%AE%E7%A9%8D%E5%88%86&action=edit&redlink=1" class="new" title="「部分分数分解による有理函数の積分」 (存在しないページ)">部分分数</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Partial_fractions_in_integration" class="extiw" title="en:Partial fractions in integration">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E7%A9%8D%E5%88%86%E3%81%AE%E9%A0%86%E5%BA%8F&action=edit&redlink=1" class="new" title="「積分の順序」 (存在しないページ)">順序</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Order_of_integration_(calculus)" class="extiw" title="en:Order of integration (calculus)">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E6%BC%B8%E5%8C%96%E5%BC%8F%E3%81%AB%E3%82%88%E3%82%8B%E7%A9%8D%E5%88%86" title="漸化式による積分">漸化式</a></li></ul></td> </tr></tbody></table></div></div></td> </tr><tr><td class="sidebar-content"> <div class="sidebar-list mw-collapsible mw-collapsed"><div class="sidebar-list-title" style="text-align:center;"><span style="font-size:110%;"><a href="/wiki/%E7%B4%9A%E6%95%B0" title="級数">級数</a></span></div><div class="sidebar-list-content mw-collapsible-content" style="border-top:1px solid #aaa;padding-top:0.15em;border-bottom:1px solid #aaa;"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101384370"><table class="sidebar nomobile nowraplinks" style="border-collapse:collapse; border-spacing:0px; border:none; width:100%; margin:0px; font-size:100%; clear:none; float:none"><tbody><tr><td class="sidebar-content hlist"> <ul><li><a href="/wiki/%E5%B9%BE%E4%BD%95%E7%B4%9A%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="幾何級数">幾何</a> (<a href="/wiki/%E7%AE%97%E8%A1%93%E5%B9%BE%E4%BD%95%E6%95%B0%E5%88%97" title="算術幾何数列">算術幾何</a>)</li> <li><a href="/wiki/%E8%AA%BF%E5%92%8C%E7%B4%9A%E6%95%B0" title="調和級数">調和</a></li> <li><a href="/wiki/%E4%BA%A4%E9%A0%85%E7%B4%9A%E6%95%B0" title="交項級数">交代</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%86%AA%E7%B4%9A%E6%95%B0" title="冪級数">冪</a></li> <li><a href="/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E7%B4%9A%E6%95%B0" title="二項級数">二項</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%86%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%B4%9A%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="テイラー級数">テイラー</a></li></ul></td> </tr><tr><th class="sidebar-heading"> <span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%8F%8E%E6%9D%9F%E5%88%A4%E5%AE%9A%E6%B3%95&action=edit&redlink=1" class="new" title="「収束判定法」 (存在しないページ)">収束判定法</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Convergence_tests" class="extiw" title="en:Convergence tests">英語版</a>）</span></span></th></tr><tr><td class="sidebar-content hlist"> <ul><li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E9%A0%85%E5%88%A4%E5%AE%9A%E6%B3%95&action=edit&redlink=1" class="new" title="「項判定法」 (存在しないページ)">項の極限（項判定法）</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Term_test" class="extiw" title="en:Term test">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%80%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%99%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%8F%8E%E6%9D%9F%E5%88%A4%E5%AE%9A%E6%B3%95" title="ダランベールの収束判定法">比</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%86%AA%E6%A0%B9%E5%88%A4%E5%AE%9A%E6%B3%95" title="コーシーの冪根判定法">冪根</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%A9%8D%E5%88%86%E5%88%A4%E5%AE%9A%E6%B3%95" title="積分判定法">積分</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%AF%94%E8%BC%83%E5%88%A4%E5%AE%9A%E6%B3%95" title="比較判定法">比較</a></li> <li><br /><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E6%A5%B5%E9%99%90%E6%AF%94%E8%BC%83%E5%88%A4%E5%AE%9A%E6%B3%95&action=edit&redlink=1" class="new" title="「極限比較判定法」 (存在しないページ)">極限比較</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Limit_comparison_test" class="extiw" title="en:Limit comparison test">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E4%BA%A4%E4%BB%A3%E7%B4%9A%E6%95%B0%E5%88%A4%E5%AE%9A%E6%B3%95&action=edit&redlink=1" class="new" title="「交代級数判定法」 (存在しないページ)">交代級数</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Alternating_series_test" class="extiw" title="en:Alternating series test">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%87%9D%E9%9B%86%E5%88%A4%E5%AE%9A%E6%B3%95" title="コーシーの凝集判定法">凝集</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%AA%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%81%AE%E5%88%A4%E5%AE%9A%E6%B3%95" title="ディリクレの判定法">ディリクレ</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%88%A4%E5%AE%9A%E6%B3%95&action=edit&redlink=1" class="new" title="「アーベルの判定法」 (存在しないページ)">アーベル</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Abel%27s_test" class="extiw" title="en:Abel's test">英語版</a>）</span></span></li></ul></td> </tr></tbody></table></div></div></td> </tr><tr><td class="sidebar-content"> <div class="sidebar-list mw-collapsible mw-collapsed"><div class="sidebar-list-title" style="text-align:center;"><span style="font-size:110%;"><a href="/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E8%A7%A3%E6%9E%90" title="ベクトル解析">ベクトル</a></span></div><div class="sidebar-list-content mw-collapsible-content" style="border-top:1px solid #aaa;padding-top:0.15em;border-bottom:1px solid #aaa;"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101384370"><table class="sidebar nomobile nowraplinks" style="border-collapse:collapse; border-spacing:0px; border:none; width:100%; margin:0px; font-size:100%; clear:none; float:none"><tbody><tr><td class="sidebar-content hlist"> <ul><li><a href="/wiki/%E5%8B%BE%E9%85%8D_(%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E8%A7%A3%E6%9E%90)" title="勾配 (ベクトル解析)">勾配</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%99%BA%E6%95%A3_(%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E8%A7%A3%E6%9E%90)" title="発散 (ベクトル解析)">発散</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%9B%9E%E8%BB%A2_(%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E8%A7%A3%E6%9E%90)" title="回転 (ベクトル解析)">回転</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%A9%E3%83%97%E3%83%A9%E3%82%B9%E4%BD%9C%E7%94%A8%E7%B4%A0" title="ラプラス作用素">ラプラシアン</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%96%B9%E5%90%91%E5%BE%AE%E5%88%86" title="方向微分">方向微分</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E8%A7%A3%E6%9E%90%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F&action=edit&redlink=1" class="new" title="「ベクトル解析の公式」 (存在しないページ)">公式</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Vector_calculus_identities" class="extiw" title="en:Vector calculus identities">英語版</a>）</span></span></li></ul></td> </tr><tr><th class="sidebar-heading"> 定理</th></tr><tr><td class="sidebar-content hlist"> <ul><li><a href="/wiki/%E7%99%BA%E6%95%A3%E5%AE%9A%E7%90%86" title="発散定理">発散</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%8B%BE%E9%85%8D%E5%AE%9A%E7%90%86&action=edit&redlink=1" class="new" title="「勾配定理」 (存在しないページ)">勾配</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Gradient_theorem" class="extiw" title="en:Gradient theorem">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B0%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86" title="グリーンの定理">グリーン</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B1%E3%83%AB%E3%83%93%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%82%B9%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86" title="ケルビン・ストークスの定理">ケルビン・ストークス</a></li></ul></td> </tr></tbody></table></div></div></td> </tr><tr><td class="sidebar-content"> <div class="sidebar-list mw-collapsible mw-collapsed"><div class="sidebar-list-title" style="text-align:center;"><span style="font-size:110%;"><a href="/wiki/%E5%A4%9A%E5%A4%89%E6%95%B0%E5%BE%AE%E5%88%86%E7%A9%8D%E5%88%86%E5%AD%A6" title="多変数微分積分学">多変数</a></span></div><div class="sidebar-list-content mw-collapsible-content" style="border-top:1px solid #aaa;padding-top:0.15em;border-bottom:1px solid #aaa;"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101384370"><table class="sidebar nomobile nowraplinks" style="border-collapse:collapse; border-spacing:0px; border:none; width:100%; margin:0px; font-size:100%; clear:none; float:none"><tbody><tr><th class="sidebar-heading"> 形式と枠組み</th></tr><tr><td class="sidebar-content hlist"> <ul><li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E5%BE%AE%E5%88%86%E7%A9%8D%E5%88%86%E5%AD%A6&action=edit&redlink=1" class="new" title="「行列の微分積分学」 (存在しないページ)">行列</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_calculus" class="extiw" title="en:Matrix calculus">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB%E8%A7%A3%E6%9E%90" title="テンソル解析">テンソル</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%A4%96%E5%BE%AE%E5%88%86" title="外微分">外</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6%E7%9A%84%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%AD%A6&action=edit&redlink=1" class="new" title="「幾何学的解析学」 (存在しないページ)">幾何学的</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_calculus" class="extiw" title="en:Geometric calculus">英語版</a>）</span></span></li></ul></td> </tr><tr><th class="sidebar-heading"> 定義</th></tr><tr><td class="sidebar-content hlist"> <ul><li><a href="/wiki/%E5%81%8F%E5%BE%AE%E5%88%86" title="偏微分">偏微分</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%A4%9A%E9%87%8D%E7%A9%8D%E5%88%86" title="多重積分">多重積分</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%B7%9A%E7%A9%8D%E5%88%86" title="線積分">線積分</a></li> <li><a href="/wiki/%E9%9D%A2%E7%A9%8D%E5%88%86" title="面積分">面積分</a></li> <li><a href="/wiki/%E4%BD%93%E7%A9%8D%E7%A9%8D%E5%88%86" title="体積積分">体積分</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%A4%E3%82%B3%E3%83%93%E8%A1%8C%E5%88%97" title="ヤコビ行列">ヤコビアン</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%98%E3%83%83%E3%82%BB%E8%A1%8C%E5%88%97" title="ヘッセ行列">ヘッセ行列</a></li></ul></td> </tr></tbody></table></div></div></td> </tr><tr><td class="sidebar-content"> <div class="sidebar-list mw-collapsible mw-collapsed"><div class="sidebar-list-title" style="text-align:center;"><span style="font-size:110%;">特殊化</span></div><div class="sidebar-list-content mw-collapsible-content" style="border-top:1px solid #aaa;padding-top:0.15em;border-bottom:1px solid #aaa;"><div class="hlist hlist-separated"> <ul><li><a href="/wiki/%E5%88%86%E6%95%B0%E9%9A%8E%E5%BE%AE%E7%A9%8D%E5%88%86%E5%AD%A6" title="分数階微積分学">分数階微積分</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E6%8E%A5%E7%B6%9A" title="解析接続">解析接続</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%9E%E3%83%AA%E3%82%A2%E3%83%B4%E3%82%A1%E3%83%B3%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%AD%A6&action=edit&redlink=1" class="new" title="「マリアヴァン解析学」 (存在しないページ)">マリアヴァン</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Malliavin_calculus" class="extiw" title="en:Malliavin calculus">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだ不十分なため、加筆や他言語版からの追加翻訳が望まれます。"><a href="/wiki/%E7%A2%BA%E7%8E%87%E8%A7%A3%E6%9E%90" title="確率解析">確率</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Stochastic_calculus" class="extiw" title="en:Stochastic calculus">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E5%A4%89%E5%88%86%E6%B3%95" title="変分法">変分</a></li></ul> </div></div></div></td> </tr><tr><td class="sidebar-content"> <div class="sidebar-list mw-collapsible mw-collapsed"><div class="sidebar-list-title" style="text-align:center;"><span style="font-size:110%;">その他</span></div><div class="sidebar-list-content mw-collapsible-content" style="border-top:1px solid #aaa;padding-top:0.15em;border-bottom:1px solid #aaa;"> <ul><li><a href="/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%A8%98%E5%8F%B7%E3%81%AE%E8%A1%A8#解析学の記号" title="数学記号の表">解析学記号</a></li></ul></div></div></td> </tr><tr><td class="sidebar-navbar"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r99966302">.mw-parser-output .hlist ul,.mw-parser-output .hlist ol{padding-left:0}.mw-parser-output .hlist li,.mw-parser-output .hlist dd,.mw-parser-output .hlist dt{margin-right:0;display:inline-block;white-space:nowrap}.mw-parser-output .hlist dt:after,.mw-parser-output .hlist dd:after,.mw-parser-output .hlist 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ol>li:first-child:before,.mw-parser-output .hlist dt ol>li:first-child:before,.mw-parser-output .hlist li ol>li:first-child:before{content:" ("counter(listitem)" "}</style><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r96787822">.mw-parser-output .navbar{display:inline;font-size:75%;font-weight:normal}.mw-parser-output .navbar-collapse{float:left;text-align:left}.mw-parser-output .navbar-boxtext{word-spacing:0}.mw-parser-output .navbar ul{display:inline-block;white-space:nowrap;line-height:inherit}.mw-parser-output .navbar-brackets::before{margin-right:-0.125em;content:"[ "}.mw-parser-output .navbar-brackets::after{margin-left:-0.125em;content:" ]"}.mw-parser-output .navbar li{word-spacing:-0.125em}.mw-parser-output .navbar-mini abbr{font-variant:small-caps;border-bottom:none;text-decoration:none;cursor:inherit}.mw-parser-output .navbar-ct-full{font-size:114%;margin:0 7em}.mw-parser-output .navbar-ct-mini{font-size:114%;margin:0 4em}.mw-parser-output .infobox .navbar{font-size:88%}.mw-parser-output .navbox .navbar{display:block;font-size:88%}.mw-parser-output .navbox-title .navbar{float:left;text-align:left;margin-right:0.5em}</style><div class="navbar plainlinks hlist navbar-mini"><ul><li class="nv-view"><a href="/wiki/Template:Calculus" title="Template:Calculus"><abbr title="参照先のページを表示します。">表</abbr></a></li><li class="nv-talk"><a href="/w/index.php?title=Template%E2%80%90%E3%83%8E%E3%83%BC%E3%83%88:Calculus&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Template‐ノート:Calculus」 (存在しないページ)"><abbr title="参照先のノートを表示します。">話</abbr></a></li><li class="nv-edit"><a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=Template:Calculus&action=edit"><abbr title="参照先のページを編集します。">編</abbr></a></li><li class="nv-hist"><a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=Template:Calculus&action=history"><abbr title="参照先のページの履歴を表示します。">歴</abbr></a></li></ul></div></td></tr></tbody></table></div> <p><a href="/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E8%A7%A3%E6%9E%90" title="複素解析">複素解析</a>における<b>線積分</b>（せんせきぶん、<a href="/wiki/%E8%8B%B1%E8%AA%9E" title="英語">英</a>: <span lang="en">line integral</span>）とは、<a href="/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E5%B9%B3%E9%9D%A2" title="複素平面">複素平面</a>内の道に沿った<a href="/wiki/%E7%A9%8D%E5%88%86" class="mw-redirect" title="積分">積分</a>であり<sup id="cite_ref-Stalker_1-0" class="reference"><a href="#cite_note-Stalker-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-Bak_2-0" class="reference"><a href="#cite_note-Bak-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-Krantz_3-0" class="reference"><a href="#cite_note-Krantz-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>、特に道が<a href="/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%83%AB%E3%83%80%E3%83%B3%E6%9B%B2%E7%B7%9A" title="ジョルダン曲線">ジョルダン曲線</a>の場合の線積分を<b>周回積分</b>（しゅうかいせきぶん、<a href="/wiki/%E8%8B%B1%E8%AA%9E" title="英語">英</a>: <span lang="en">contour integral</span>）ということがある。 </p><p>線積分は<a href="/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E8%A7%A3%E6%9E%90" title="複素解析">複素解析</a>の手法である<a href="/wiki/%E7%95%99%E6%95%B0%E5%AE%9A%E7%90%86" class="mw-redirect" title="留数定理">留数計算</a>と密接に関連している<sup id="cite_ref-Mitrinovic1_4-0" class="reference"><a href="#cite_note-Mitrinovic1-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p><p>線積分のひとつの使い方として、実変数だけの方法を使うことでは容易には分からない、実数直線に沿った積分の計算がある<sup id="cite_ref-Mitrinovic2_5-0" class="reference"><a href="#cite_note-Mitrinovic2-5"><span class="cite-bracket">[</span>5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p><p>線積分の方法は以下を含む。 </p> <ul><li><a href="/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="複素数">複素数</a>値関数の複素平面内の曲線に沿った直接の積分、</li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E3%81%AE%E7%A9%8D%E5%88%86%E5%85%AC%E5%BC%8F" title="コーシーの積分公式">コーシーの積分公式</a>の応用、</li> <li><a href="/wiki/%E7%95%99%E6%95%B0%E5%AE%9A%E7%90%86" class="mw-redirect" title="留数定理">留数定理</a>の応用。</li></ul> <p>これらの積分や和を求めるために、これらのうちのひとつ、あるいは、複数を組み合わせた、また、極限をとる様々な方法を使うことができる。 </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="複素平面内の曲線"><span id=".E8.A4.87.E7.B4.A0.E5.B9.B3.E9.9D.A2.E5.86.85.E3.81.AE.E6.9B.B2.E7.B7.9A"></span>複素平面内の曲線 </h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E8%A4%87%E7%B4%A0%E7%B7%9A%E7%A9%8D%E5%88%86&action=edit&section=1" title="節を編集: 複素平面内の曲線 "><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E8%A7%A3%E6%9E%90" title="複素解析">複素解析</a>において、<b>積分路</b>は<a href="/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E5%B9%B3%E9%9D%A2" title="複素平面">複素平面</a>内の曲線の一種である。路に沿う積分では、積分路がその上で積分が適切に定義できる<a href="/wiki/%E6%9B%B2%E7%B7%9A" title="曲線">曲線</a>の正確な定義を与える。複素平面内の<b>曲線</b>は、<a href="/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0%E7%9B%B4%E7%B7%9A" title="実数直線">実数直線</a>の<a href="/wiki/%E9%96%89%E5%8C%BA%E9%96%93" class="mw-redirect" title="閉区間">閉区間</a>から複素平面への<a href="/wiki/%E9%80%A3%E7%B6%9A%E9%96%A2%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="連続関数">連続関数</a> <span lang="en" class="texhtml"><i>z</i>: [<i>a</i>, <i>b</i>] → <b>C</b></span> として定義される。 </p><p>曲線のこの定義は、直感的な概念と一致するが、閉区間からの連続関数による径数付けを含む。このより正確な定義により、曲線が積分に有用なためにもたなければならない性質が何であるかを考えることができる。以下の小節では、積分できる曲線を、向きを与えることができる有限個の連続曲線から作ることのできるものだけに絞る。さらに、「断片」は互いに交わらない場合だけを考え、各断片は有限の（消えない）連続微分を持つと仮定する。これらの仮定は次のような曲線だけを考えることと対応する。例えばペンによって、切れ目なく一筆書きで、曲線の新しい断片を始める時だけ止まり、ずっとペンは持ち上げないように、たどることができる<sup id="cite_ref-Saff_6-0" class="reference"><a href="#cite_note-Saff-6"><span class="cite-bracket">[</span>6<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="向き付けられた滑らかな曲線"><span id=".E5.90.91.E3.81.8D.E4.BB.98.E3.81.91.E3.82.89.E3.82.8C.E3.81.9F.E6.BB.91.E3.82.89.E3.81.8B.E3.81.AA.E6.9B.B2.E7.B7.9A"></span>向き付けられた滑らかな曲線</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E8%A4%87%E7%B4%A0%E7%B7%9A%E7%A9%8D%E5%88%86&action=edit&section=2" title="節を編集: 向き付けられた滑らかな曲線"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>積分路はしばしば向き付けられた滑らかな曲線のことばで定義される<sup id="cite_ref-Saff_6-1" class="reference"><a href="#cite_note-Saff-6"><span class="cite-bracket">[</span>6<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。これらは、滑らかな曲線の「断片」の正確な定義を与え、積分路は断片からなる。 </p><p><b>滑らかな曲線</b>とは、曲線 <span lang="en" class="texhtml"><i>z</i>: [<i>a</i>, <i>b</i>] → <b>C</b></span> であって、微分が消えず連続で、各点が一度だけ通過される（<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">z</span> が<a href="/wiki/%E5%8D%98%E5%B0%84" title="単射">単射</a>である）ものである、ただし終点が始点と一致する場合 <span lang="en" class="texhtml">(<i>z</i>(<i>a</i>) = <i>z</i>(<i>b</i>))</span> だけは例外である。終点が始点と一致するような場合には、曲線は閉曲線と呼ばれ、関数は他のいたるところ単射でなければならず、微分はその一致する点で連続でなければならない <span lang="en" class="texhtml">(<i>z<span style="padding-left:0.1em;">'</span></i>(<i>a</i>) = <i>z<span style="padding-left:0.1em;">'</span></i>(<i>b</i>))</span>。閉でない滑らかな曲線はしばしば滑らかな弧と呼ばれる<sup id="cite_ref-Saff_6-2" class="reference"><a href="#cite_note-Saff-6"><span class="cite-bracket">[</span>6<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p><p>曲線の<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%BE%84%E6%95%B0%E4%BB%98%E3%81%91&action=edit&redlink=1" class="new" title="「径数付け」 (存在しないページ)">径数付け</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/parametrization" class="extiw" title="en:parametrization">英語版</a>）</span></span>により曲線上の点に自然な順序が入る：<span lang="en" class="texhtml"><i>x</i> < <i>y</i></span> のとき <span lang="en" class="texhtml"><i>z</i>(<i>x</i>)</span> は <span lang="en" class="texhtml"><i>z</i>(<i>y</i>)</span> より"小さい"。このことは<b>向き付けられた滑らかな曲線</b> <span lang="en">(directed smooth curve)</span> の概念を導く。特定の径数付けに依存しない曲線を考えるのが最も有用である。このことは同じ方向を持つ滑らかな曲線の<a href="/wiki/%E5%90%8C%E5%80%A4%E9%A1%9E" title="同値類">同値類</a>を考えることによってなされる。すると<b>方向をもつ滑らかな曲線</b>は、ある滑らかな曲線の像である複素平面の点の集合に（径数付けから定まる）自然な順序をいれたものとして定義できる。点のすべての順序付けが滑らかな曲線の自然な順序であるわけではないことに注意。実は、与えられた滑らかな曲線は、そのような順序付けを2つしかもたない。また、ひとつの閉曲線は任意の点を終点として持つことができるが、滑らかな弧の終点となるのは2点のみである。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="積分路"><span id=".E7.A9.8D.E5.88.86.E8.B7.AF"></span>積分路 </h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E8%A4%87%E7%B4%A0%E7%B7%9A%E7%A9%8D%E5%88%86&action=edit&section=3" title="節を編集: 積分路 "><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>積分路はその上で路に沿う積分を定義する曲線のクラスである。<b>積分路</b>は向き付けられた滑らかな曲線の有限列 <span lang="en" class="texhtml"><i>γ</i><sub>1</sub>, ..., <i>γ</i><sub><i>n</i></sub></span> からなる向き付けられた曲線であって、すべての <span lang="en" class="texhtml">1 ≤ <i>i</i> < <i>n</i></span> に対して <span lang="en" class="texhtml"><i>γ</i><sub><i>i</i></sub></span> の終点が <span lang="en" class="texhtml"><i>γ</i><sub><i>i</i>+1</sub></span> の始点と一致するようなものである（そうすると向きが上手く定まる）。積分路はすべての向き付けられた滑らかな曲線を含む。また、複素平面の一点も積分路と考える。記号 <span lang="en" class="texhtml">+</span> が曲線をつないで新しい曲線を作ることを表すためにしばしば用いられる。したがって <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">n</span> 個の断片からなる積分路 <span lang="en" class="texhtml">Γ</span> を </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma =\gamma _{1}+\gamma _{2}+\cdots +\gamma _{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Γ<!-- Γ --></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>γ<!-- γ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>γ<!-- γ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mo>⋯<!-- ⋯ --></mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>γ<!-- γ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma =\gamma _{1}+\gamma _{2}+\cdots +\gamma _{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a7329918c3709cb8e948ff003b8057582251f3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.735ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \Gamma =\gamma _{1}+\gamma _{2}+\cdots +\gamma _{n}}"></span></dd></dl> <p>と書くことができる。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="路に沿う積分"><span id=".E8.B7.AF.E3.81.AB.E6.B2.BF.E3.81.86.E7.A9.8D.E5.88.86"></span>路に沿う積分 </h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E8%A4%87%E7%B4%A0%E7%B7%9A%E7%A9%8D%E5%88%86&action=edit&section=4" title="節を編集: 路に沿う積分 "><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E9%96%A2%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="複素関数">複素関数</a> <span lang="en" class="texhtml"><i>f</i>ː <b>C</b> → <b>C</b></span> の<b>路に沿う積分</b>（<span lang="en">contour integral</span>, 曲線に沿う積分、線積分）は、実数値関数の積分の一般化である。<a href="/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E5%B9%B3%E9%9D%A2" title="複素平面">複素平面</a>内の<a href="/wiki/%E9%80%A3%E7%B6%9A%E9%96%A2%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="連続関数">連続関数</a>に対し、路に沿う積分は<a href="/wiki/%E7%B7%9A%E7%A9%8D%E5%88%86" title="線積分">線積分</a>の類似で定義することができる。最初に向き付けられた滑らかな曲線に沿った積分を実数値のパラメータの上の積分のことばで定義するのである。より一般的な定義は、<a href="/wiki/%E5%8C%BA%E9%96%93%E3%81%AE%E5%88%86%E5%89%B2" title="区間の分割">区間の分割</a>との類似による積分路の分割と<a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E7%A9%8D%E5%88%86" title="リーマン積分">リーマン積分</a>のことばにより与えることができる。どちらの場合も路に沿う積分は積分路を構成する向き付けられた滑らかな曲線上の積分の和として定義される。 </p><p>積分路の終点が始点と一致するとき、路に沿う積分を周回積分ということがある。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="連続関数の場合"><span id=".E9.80.A3.E7.B6.9A.E9.96.A2.E6.95.B0.E3.81.AE.E5.A0.B4.E5.90.88"></span>連続関数の場合 </h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E8%A4%87%E7%B4%A0%E7%B7%9A%E7%A9%8D%E5%88%86&action=edit&section=5" title="節を編集: 連続関数の場合 "><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>この方法で路に沿う積分を定義するためにはまず実変数上の複素数値関数の積分を考えなければならない。<span lang="en" class="texhtml"><i>f</i>: <b>R</b> → <b>C</b></span> を実変数 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">t</span> の複素数値関数とする。<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> の実部と虚部はしばしばそれぞれ <span lang="en" class="texhtml"><i>u</i>(<i>t</i>)</span> と <span lang="en" class="texhtml"><i>v</i>(<i>t</i>)</span> と書かれる、つまり </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(t)=u(t)+iv(t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(t)=u(t)+iv(t)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d475c4b669b4f881123f63e33b8f21905f46d8fc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.424ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(t)=u(t)+iv(t)}"></span></dd></dl> <p>である。すると複素数値関数 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> の区間 <span lang="en" class="texhtml">[<i>a</i>, <i>b</i>]</span> 上の積分は次で与えられる： </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(t)\,dt&=\int _{a}^{b}{\big [}u(t)+iv(t){\big ]}\,dt\\&=\int _{a}^{b}u(t)\,dt+i\int _{a}^{b}v(t)\,dt.\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <msubsup> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msubsup> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">[</mo> </mrow> </mrow> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">]</mo> </mrow> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msubsup> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <msubsup> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msubsup> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>t</mi> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(t)\,dt&=\int _{a}^{b}{\big [}u(t)+iv(t){\big ]}\,dt\\&=\int _{a}^{b}u(t)\,dt+i\int _{a}^{b}v(t)\,dt.\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3daaf6e0888368de4434a7a375d8e8e6df2f8d3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.838ex; width:38.904ex; height:12.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(t)\,dt&=\int _{a}^{b}{\big [}u(t)+iv(t){\big ]}\,dt\\&=\int _{a}^{b}u(t)\,dt+i\int _{a}^{b}v(t)\,dt.\end{aligned}}}"></span></dd></dl> <p><span lang="en" class="texhtml"><i>f</i>: <b>C</b> → <b>C</b></span> を<a href="#向き付けられた滑らかな曲線">向き付けられた滑らかな曲線</a> <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">γ</span> 上の<a href="/wiki/%E9%80%A3%E7%B6%9A%E9%96%A2%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="連続関数">連続関数</a>とする。<span lang="en" class="texhtml"><i>z</i>: <b>R</b> → <b>C</b></span> をその順序（向き）と両立する <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">γ</span> の任意の径数付けとする。すると <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">γ</span> に沿った積分は </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>γ<!-- γ --></mi> </mrow> </msub> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>z</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e7cb770e99897e059cce57a15b8e2dfd5678bbb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:10.059ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz\,}"></span></dd></dl> <p>と記され、 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz=\int _{a}^{b}f(z(t))z'(t)\,dt}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>γ<!-- γ --></mi> </mrow> </msub> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msubsup> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <msup> <mi>z</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz=\int _{a}^{b}f(z(t))z'(t)\,dt}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d46277685190f714cd86b6c478f961a8f705cc8a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:30.25ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz=\int _{a}^{b}f(z(t))z'(t)\,dt}"></span></dd></dl> <p>によって与えられる<sup id="cite_ref-Saff_6-3" class="reference"><a href="#cite_note-Saff-6"><span class="cite-bracket">[</span>6<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p><p>この定義は well defined である。つまり、結果は選ばれた径数付けに依存しない<sup id="cite_ref-Saff_6-4" class="reference"><a href="#cite_note-Saff-6"><span class="cite-bracket">[</span>6<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。右辺の実積分が存在しない場合には <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">γ</span> に沿う積分は存在しないと言われる。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="リーマン積分の一般化として"><span id=".E3.83.AA.E3.83.BC.E3.83.9E.E3.83.B3.E7.A9.8D.E5.88.86.E3.81.AE.E4.B8.80.E8.88.AC.E5.8C.96.E3.81.A8.E3.81.97.E3.81.A6"></span>リーマン積分の一般化として </h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E8%A4%87%E7%B4%A0%E7%B7%9A%E7%A9%8D%E5%88%86&action=edit&section=6" title="節を編集: リーマン積分の一般化として "><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E7%A9%8D%E5%88%86" title="リーマン積分">リーマン積分</a>の複素変数の関数への一般化は実数からの関数に対する定義との完全な類似でなされる。向き付けられた滑らかな曲線 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">γ</span> の分割は <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">γ</span> 上の有限個の順序付けられた点の集合と定義される。その曲線上の積分は分割の点での関数値の有限和の極限である。極限は分割の連続する2点の（複素平面での）距離（分割の幅）の最大値が <span lang="en" class="texhtml">0</span> に行くようにとる。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="直接的な方法"><span id=".E7.9B.B4.E6.8E.A5.E7.9A.84.E3.81.AA.E6.96.B9.E6.B3.95"></span>直接的な方法 </h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E8%A4%87%E7%B4%A0%E7%B7%9A%E7%A9%8D%E5%88%86&action=edit&section=7" title="節を編集: 直接的な方法 "><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>直接的な方法は多変数解析学における線積分の計算と類似の手法による積分計算を含む。これは以下の手法を用いることを意味する： </p> <ul><li>積分路の径数付け</li></ul> <dl><dd>積分路は実変数の微分可能な複素数値関数によって径数付けられる、あるいは積分路は断片に分けられ別々に径数付けられる。</dd></dl> <ul><li>径数付けの被積分関数への代入</li></ul> <dl><dd>径数付けを被積分関数に代入することで積分が一実変数の積分となる。</dd></dl> <ul><li>直接計算</li></ul> <dl><dd>積分は実変数の積分と類似の手法で計算される。</dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="例"><span id=".E4.BE.8B"></span>例 </h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E8%A4%87%E7%B4%A0%E7%B7%9A%E7%A9%8D%E5%88%86&action=edit&section=8" title="節を編集: 例 "><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>複素解析における基本的な結果は <span lang="en" class="texhtml"><i>z</i><sup>−1</sup></span> の周回積分が <span lang="en" class="texhtml">2<i>πi</i></span> であることである、ただし積分路は単位円周を反時計回りに一周するものをとる（あるいは <span lang="en" class="texhtml">0</span> についての任意の正の向きの<a href="/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%83%AB%E3%83%80%E3%83%B3%E6%9B%B2%E7%B7%9A" title="ジョルダン曲線">ジョルダン曲線</a>でもよい）。単位円周の場合には積分 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \oint _{C}{1 \over z}\,dz}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mo>∮<!-- ∮ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>z</mi> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \oint _{C}{1 \over z}\,dz}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00f725cc74c4c8931f6dea2b56960a9874bf79d6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:7.851ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \oint _{C}{1 \over z}\,dz}"></span></dd></dl> <p>を計算する直接的な方法がある。この積分の計算では、単位円周 <span lang="en" class="texhtml">|<i>z</i>| = 1</span> を <span lang="en" class="texhtml"><i>z</i>(<i>t</i>) = <i>e<sup>it</sup></i> (<i>t</i> ∈ [0, 2<i>π</i>])</span> で径数付けしたものを積分路として使う。すると <span lang="en" class="texhtml"><i>dz</i>/<i>dt</i> = <i>ie<sup>it</sup></i></span> であり、積分は次のように計算される。 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \oint _{C}{1 \over z}\,dz=\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{e^{it}}}ie^{it}\,dt=i\int _{0}^{2\pi }dt=2\pi i.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mo>∮<!-- ∮ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>z</mi> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mi>π<!-- π --></mi> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>t</mi> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mi>i</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>t</mi> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mi>i</mi> <msubsup> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mi>π<!-- π --></mi> </mrow> </msubsup> <mi>d</mi> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>π<!-- π --></mi> <mi>i</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \oint _{C}{1 \over z}\,dz=\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{e^{it}}}ie^{it}\,dt=i\int _{0}^{2\pi }dt=2\pi i.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcd8145939efbe7279022118b685521448880c1f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:43.064ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \oint _{C}{1 \over z}\,dz=\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{e^{it}}}ie^{it}\,dt=i\int _{0}^{2\pi }dt=2\pi i.}"></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="積分定理の応用"><span id=".E7.A9.8D.E5.88.86.E5.AE.9A.E7.90.86.E3.81.AE.E5.BF.9C.E7.94.A8"></span>積分定理の応用 </h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E8%A4%87%E7%B4%A0%E7%B7%9A%E7%A9%8D%E5%88%86&action=edit&section=9" title="節を編集: 積分定理の応用 "><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>路に沿う積分を計算するために積分定理を用いることもしばしばある。これは実数値関数が路に沿う積分の計算と一緒に同時に計算されることを意味する。 </p><p><a href="/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E3%81%AE%E7%A9%8D%E5%88%86%E5%85%AC%E5%BC%8F" title="コーシーの積分公式">コーシーの積分公式</a>や<a href="/wiki/%E7%95%99%E6%95%B0%E5%AE%9A%E7%90%86" class="mw-redirect" title="留数定理">留数定理</a>のような積分定理は以下の手法において一般的に用いられる： </p> <ul><li>ある特定の閉じた積分路が選ばれる：</li></ul> <dl><dd>積分路は以下のように選ばれる。実数値積分を記述する複素平面の部分を通り、<a href="/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E3%81%AE%E7%A9%8D%E5%88%86%E5%85%AC%E5%BC%8F" title="コーシーの積分公式">コーシーの積分公式</a>や<a href="/wiki/%E7%95%99%E6%95%B0%E5%AE%9A%E7%90%86" class="mw-redirect" title="留数定理">留数定理</a>が使えるように被積分関数の特異点を囲む。</dd></dl> <ul><li><a href="/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%82%B0%E3%83%AB%E3%82%B5%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86" class="mw-redirect" title="コーシー・グルサの定理">コーシー・グルサの定理</a>の適用</li></ul> <dl><dd>積分は各極のまわりの小さい円周に沿う積分のみに簡約される。</dd></dl> <ul><li>コーシーの積分公式あるいは留数定理の適用</li></ul> <dl><dd>これらの積分公式を適用することで積分路全体の積分の値が得られる。</dd></dl> <ul><li>実部と虚部に沿う積分路への積分路の分割</li></ul> <dl><dd>積分路の全体は前に選んだように実数値積分を記述する複素平面の部分を通る積分路 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">R</span> と複素平面をお横断する積分路 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">I</span>に分割できる。積分路全体上の積分はこれらの積分路それぞれの上の積分の和である。</dd></dl> <ul><li>複素平面を横断する積分が和に影響しないことの証明</li></ul> <dl><dd><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">I</span> 上の積分が <span lang="en" class="texhtml">0</span> であることを示すことができるか、あるいは、求める実数値積分が広義積分のときは <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">I</span> 上の積分が <span lang="en" class="texhtml">0</span> に収束することを示せば、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">R</span> 上の積分は積分路 <span lang="en" class="texhtml"><i>R</i> + <i>I</i></span> に沿う積分に収束する。</dd></dl> <ul><li>結論</li></ul> <dl><dd>上記の段階を示すことができれば、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">R</span> 上の実数値積分を計算することができる。</dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="例_2"><span id=".E4.BE.8B_2"></span>例 </h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E8%A4%87%E7%B4%A0%E7%B7%9A%E7%A9%8D%E5%88%86&action=edit&section=10" title="節を編集: 例 "><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>次の積分を考える： </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{1 \over (x^{2}+1)^{2}}dx.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{1 \over (x^{2}+1)^{2}}dx.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03c1c140177dac9bdf10505ad509e6d972a70067" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:18.112ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{1 \over (x^{2}+1)^{2}}dx.}"></span></dd></dl> <p>この積分を計算するために、次の複素数値関数を見る： </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(z)={1 \over (z^{2}+1)^{2}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(z)={1 \over (z^{2}+1)^{2}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43f66456677d653da8700fe1c954e029ad318553" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:17.768ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle f(z)={1 \over (z^{2}+1)^{2}}.}"></span></dd></dl> <p>この関数は <span lang="en" class="texhtml"><i>i</i></span> と <span lang="en" class="texhtml">−<i>i</i></span> に<a href="/wiki/%E7%89%B9%E7%95%B0%E7%82%B9_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="特異点 (数学)">特異点</a>を持つ。積分路として実数値積分を含む積分路を選ぶ。ここでは実数直線上に境界の直径（<span lang="en" class="texhtml">−<i>a</i></span> から <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">a</span> まで）を持つ半円が便利である。この積分路を <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">C</span> と呼ぶ。 </p><p>2つのやり方がある。<a href="/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E3%81%AE%E7%A9%8D%E5%88%86%E5%85%AC%E5%BC%8F" title="コーシーの積分公式">コーシーの積分公式</a>を使う方法と留数の手法によるものである： </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="コーシーの積分公式を使う"><span id=".E3.82.B3.E3.83.BC.E3.82.B7.E3.83.BC.E3.81.AE.E7.A9.8D.E5.88.86.E5.85.AC.E5.BC.8F.E3.82.92.E4.BD.BF.E3.81.86"></span>コーシーの積分公式を使う </h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E8%A4%87%E7%B4%A0%E7%B7%9A%E7%A9%8D%E5%88%86&action=edit&section=11" title="節を編集: コーシーの積分公式を使う "><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>次に注意： </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=\int _{-a}^{a}f(z)\,dz+\int _{\text{Arc}}f(z)\,dz}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mo>∮<!-- ∮ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>a</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> </msubsup> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <msub> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>Arc</mtext> </mrow> </msub> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=\int _{-a}^{a}f(z)\,dz+\int _{\text{Arc}}f(z)\,dz}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33467f694a1b578d619de4f0e202ca4e4ba14886" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:38.28ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=\int _{-a}^{a}f(z)\,dz+\int _{\text{Arc}}f(z)\,dz}"></span></dd></dl> <p>したがって </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int _{-a}^{a}f(z)\,dz=\oint _{C}f(z)\,dz-\int _{\text{Arc}}f(z)\,dz.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>a</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> </msubsup> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <msub> <mo>∮<!-- ∮ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>z</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <msub> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>Arc</mtext> </mrow> </msub> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>z</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{-a}^{a}f(z)\,dz=\oint _{C}f(z)\,dz-\int _{\text{Arc}}f(z)\,dz.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ec5bfa727d1bf0b77a6bd17fbe9987361ac0385" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:38.927ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle \int _{-a}^{a}f(z)\,dz=\oint _{C}f(z)\,dz-\int _{\text{Arc}}f(z)\,dz.}"></span></dd></dl> <p>さらに次が成り立つ： </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(z)={1 \over (z^{2}+1)^{2}}={1 \over (z+i)^{2}(z-i)^{2}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>i</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(z)={1 \over (z^{2}+1)^{2}}={1 \over (z+i)^{2}(z-i)^{2}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97d76a5fa821a07a3995d43d9bd93b9ae20fa444" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:36.892ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle f(z)={1 \over (z^{2}+1)^{2}}={1 \over (z+i)^{2}(z-i)^{2}}.}"></span></dd></dl> <p>閉曲線の囲む領域内に二位の極 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">i</span> があるため、コーシーの積分公式を用いて、 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=2\pi i{\frac {d}{dz}}\left({1 \over (z+i)^{2}}\right){\Bigg |}_{z=i}=2\pi i\left({\frac {-2}{(z+i)^{3}}}\right){\Bigg |}_{z=i}={\frac {\pi }{2}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mo>∮<!-- ∮ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>π<!-- π --></mi> <mi>i</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>d</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="2.470em" minsize="2.470em">|</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>π<!-- π --></mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="2.470em" minsize="2.470em">|</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>π<!-- π --></mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=2\pi i{\frac {d}{dz}}\left({1 \over (z+i)^{2}}\right){\Bigg |}_{z=i}=2\pi i\left({\frac {-2}{(z+i)^{3}}}\right){\Bigg |}_{z=i}={\frac {\pi }{2}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bae7d8e3b4f72f090e75103e9b34d9625fadf47" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:64.113ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=2\pi i{\frac {d}{dz}}\left({1 \over (z+i)^{2}}\right){\Bigg |}_{z=i}=2\pi i\left({\frac {-2}{(z+i)^{3}}}\right){\Bigg |}_{z=i}={\frac {\pi }{2}}.}"></span></dd></dl> <p>半円の弧を <span lang="en" class="texhtml">Arc</span> と呼ぶことにすれば、<span lang="en" class="texhtml">Arc</span> 上の積分が <span lang="en" class="texhtml"><i>R</i> → ∞</span> のとき <span lang="en" class="texhtml">0</span> に収束することを示す必要がある。<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=Estimation_lemma&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Estimation lemma」 (存在しないページ)">estimation lemma</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/estimation_lemma" class="extiw" title="en:estimation lemma">英語版</a>）</span></span> を用いて </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left|\int _{\text{Arc}}f(z)\,dz\right|\leq ML}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <msub> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>Arc</mtext> </mrow> </msub> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>z</mi> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>≤<!-- ≤ --></mo> <mi>M</mi> <mi>L</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left|\int _{\text{Arc}}f(z)\,dz\right|\leq ML}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d564267f8e2d747651c51a45d8ccd6ec7724ec66" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:19.803ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \left|\int _{\text{Arc}}f(z)\,dz\right|\leq ML}"></span></dd></dl> <p>ただし <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">M</span> は <span lang="en" class="texhtml">Arc</span> 上の <span lang="en" class="texhtml">|<i>f</i>(<i>z</i>)|</span> の上界であり、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">L</span> は <span lang="en" class="texhtml">Arc</span> の長さである。今 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left|\int _{\text{Arc}}f(z)\,dz\right|\leq {\frac {R\pi }{(R^{2}-1)^{2}}}\to 0\quad (R\to \infty )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <msub> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>Arc</mtext> </mrow> </msub> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>z</mi> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>≤<!-- ≤ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>R</mi> <mi>π<!-- π --></mi> </mrow> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−<!-- − --></mo> <mn>1</mn> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">→<!-- → --></mo> <mn>0</mn> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>R</mi> <mo stretchy="false">→<!-- → --></mo> <mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left|\int _{\text{Arc}}f(z)\,dz\right|\leq {\frac {R\pi }{(R^{2}-1)^{2}}}\to 0\quad (R\to \infty )}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7cde9c427efc69782c23098e3992641c9aba552" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:42.909ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \left|\int _{\text{Arc}}f(z)\,dz\right|\leq {\frac {R\pi }{(R^{2}-1)^{2}}}\to 0\quad (R\to \infty )}"></span></dd></dl> <p>である。したがって </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{1 \over (x^{2}+1)^{2}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }f(z)\,dz=\lim _{a\to +\infty }\int _{-a}^{a}f(z)\,dz={\pi \over 2}.\quad \square }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi> </mrow> </msubsup> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">→<!-- → --></mo> <mo>+</mo> <mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi> </mrow> </munder> <msubsup> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>a</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> </msubsup> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>π<!-- π --></mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> <mspace width="1em" /> <mi>◻<!-- ◻ --></mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{1 \over (x^{2}+1)^{2}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }f(z)\,dz=\lim _{a\to +\infty }\int _{-a}^{a}f(z)\,dz={\pi \over 2}.\quad \square }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78f75c411151fb29547972c5c188cb38d0de5824" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:62.93ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{1 \over (x^{2}+1)^{2}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }f(z)\,dz=\lim _{a\to +\infty }\int _{-a}^{a}f(z)\,dz={\pi \over 2}.\quad \square }"></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="留数の方法を使う"><span id=".E7.95.99.E6.95.B0.E3.81.AE.E6.96.B9.E6.B3.95.E3.82.92.E4.BD.BF.E3.81.86"></span>留数の方法を使う </h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E8%A4%87%E7%B4%A0%E7%B7%9A%E7%A9%8D%E5%88%86&action=edit&section=12" title="節を編集: 留数の方法を使う "><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">i</span> の周りでの <span lang="en" class="texhtml"><i>f</i> (<i>z</i>)</span> の<a href="/wiki/%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%A9%E3%83%B3%E7%B4%9A%E6%95%B0" title="ローラン級数">ローラン展開</a>を考える（<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">i</span> は考える必要のある唯一の<a href="/wiki/%E7%89%B9%E7%95%B0%E7%82%B9_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="特異点 (数学)">特異点</a>である）。すると </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(z)={-1 \over 4(z-i)^{2}}+{-i \over 4(z-i)}+{3 \over 16}+{i \over 8}(z-i)+{-5 \over 64}(z-i)^{2}+\cdots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>i</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>i</mi> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>i</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>16</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>i</mi> <mn>8</mn> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>i</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mn>5</mn> </mrow> <mn>64</mn> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>i</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo>⋯<!-- ⋯ --></mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(z)={-1 \over 4(z-i)^{2}}+{-i \over 4(z-i)}+{3 \over 16}+{i \over 8}(z-i)+{-5 \over 64}(z-i)^{2}+\cdots }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2edabb4e6476a8463fadcf7dc1b54b2de7c04ec4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:65.433ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle f(z)={-1 \over 4(z-i)^{2}}+{-i \over 4(z-i)}+{3 \over 16}+{i \over 8}(z-i)+{-5 \over 64}(z-i)^{2}+\cdots }"></span></dd></dl> <p>となる（この級数の導出は<span title="リンク先の項目はまだ不十分なため、加筆や他言語版からの追加翻訳が望まれます。"><a href="/wiki/%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%A9%E3%83%B3%E7%B4%9A%E6%95%B0" title="ローラン級数">ローラン級数</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Laurent_series" class="extiw" title="en:Laurent series">英語版</a>）</span></span>の計算例を参照）。 </p><p>留数が <span lang="en" class="texhtml">−<i>i</i>/4</span> であることは見た目から明らかである（これを確かめるには、上の等式に <span lang="en" class="texhtml"><i>z</i> − <i>i</i></span> を掛けたものを考え、コーシーの積分公式を用いて両辺を積分すると、第二項のみが <span lang="en" class="texhtml">0</span> でない値となる）。よって<a href="/wiki/%E7%95%99%E6%95%B0%E5%AE%9A%E7%90%86" class="mw-redirect" title="留数定理">留数定理</a>より </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=\oint _{C}{1 \over (z^{2}+1)^{2}}\,dz=2\pi i\,\mathrm {Res} _{z=i}f={\frac {\pi }{2}}.\quad \square }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mo>∮<!-- ∮ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <msub> <mo>∮<!-- ∮ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>π<!-- π --></mi> <mi>i</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">R</mi> <mi mathvariant="normal">e</mi> <mi mathvariant="normal">s</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>π<!-- π --></mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> <mspace width="1em" /> <mi>◻<!-- ◻ --></mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=\oint _{C}{1 \over (z^{2}+1)^{2}}\,dz=2\pi i\,\mathrm {Res} _{z=i}f={\frac {\pi }{2}}.\quad \square }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcb9d4da5b54f882392f2ad54591f0f0dc1fb71f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:53.825ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=\oint _{C}{1 \over (z^{2}+1)^{2}}\,dz=2\pi i\,\mathrm {Res} _{z=i}f={\frac {\pi }{2}}.\quad \square }"></span></dd></dl> <p>したがって前と同じ結果が得られた。 </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="積分路についての注意"><span id=".E7.A9.8D.E5.88.86.E8.B7.AF.E3.81.AB.E3.81.A4.E3.81.84.E3.81.A6.E3.81.AE.E6.B3.A8.E6.84.8F"></span>積分路についての注意 </h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E8%A4%87%E7%B4%A0%E7%B7%9A%E7%A9%8D%E5%88%86&action=edit&section=13" title="節を編集: 積分路についての注意 "><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>余談ではあるが、<i>他の</i>特異点 <span lang="en" class="texhtml">−<i>i</i></span> を囲む半円を取らなかったことについて疑問が生じ得る。正しい向きに動いて実軸に沿って積分するには、その積分路は時計回り、つまり負の方向にまわらなければならず、積分全体の符号が逆になる。 </p><p>これは級数による留数の手法の使用に影響しない。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="例_II:_コーシー分布"><span id=".E4.BE.8B_II:_.E3.82.B3.E3.83.BC.E3.82.B7.E3.83.BC.E5.88.86.E5.B8.83"></span>例 II: コーシー分布 </h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E8%A4%87%E7%B4%A0%E7%B7%9A%E7%A9%8D%E5%88%86&action=edit&section=14" title="節を編集: 例 II: コーシー分布 "><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>積分 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{e^{itx} \over x^{2}+1}\,dx}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>t</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mrow> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{e^{itx} \over x^{2}+1}\,dx}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a14bfc1c60ac02763aaca58fcf2b8df325eb8a3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:14.989ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{e^{itx} \over x^{2}+1}\,dx}"></span></dd></dl> <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:ContourDiagram.svg" class="mw-file-description" title="積分路"><img alt="積分路" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a2/ContourDiagram.svg/275px-ContourDiagram.svg.png" decoding="async" width="275" height="146" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a2/ContourDiagram.svg/413px-ContourDiagram.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a2/ContourDiagram.svg/550px-ContourDiagram.svg.png 2x" data-file-width="179" data-file-height="95" /></a><figcaption>積分路</figcaption></figure> <p>（<a href="/wiki/%E7%A2%BA%E7%8E%87%E8%AB%96" title="確率論">確率論</a>において<a href="/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E5%88%86%E5%B8%83" title="コーシー分布">コーシー分布</a>の<a href="/wiki/%E7%89%B9%E6%80%A7%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E7%A2%BA%E7%8E%87%E8%AB%96)" title="特性関数 (確率論)">特性関数</a>のスカラー倍として生じる）は初等<a href="/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%AD%A6" title="解析学">解析学</a>のテクニックでは困難である。それを次の積分路 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">C</span> に沿った線積分の極限として表示することにより計算しよう：実数直線を <span lang="en" class="texhtml">−<i>a</i></span> から <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">a</span> まで沿って行き、<span lang="en" class="texhtml">0</span> を中心とする半円に沿って <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">a</span> から <span lang="en" class="texhtml">−<i>a</i></span> まで反時計回りに行く。<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">a</span> を <span lang="en" class="texhtml">1</span> よりも大きく取って、<a href="/wiki/%E8%99%9A%E6%95%B0%E5%8D%98%E4%BD%8D" title="虚数単位">虚数単位</a> <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">i</span> が曲線の内側に入るようにする。線積分は </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int _{C}{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>t</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msup> <mrow> <msup> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{C}{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f390bf4f55403245a48149577f8ed18b6b80b705" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:12.836ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \int _{C}{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz}"></span></dd></dl> <p>である。<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">e<sup>itz</sup></span> は<a href="/wiki/%E6%95%B4%E9%96%A2%E6%95%B0" title="整関数">整関数</a>（複素平面のどこにも特異点を持たない）だから、この関数は分母 <span lang="en" class="texhtml"><i>z</i><sup>2</sup> + 1</span> が <span lang="en" class="texhtml">0</span> になる点でのみ特異点を持つ。<span lang="en" class="texhtml"><i>z</i><sup>2</sup> + 1 = (<i>z</i> + <i>i</i>)(<i>z</i> − <i>i</i>)</span> であるから、それは <span lang="en" class="texhtml"><i>z</i> = <i>i</i></span> あるいは <span lang="en" class="texhtml"><i>z</i> = −<i>i</i></span> でのみ起こる。これらの点のうち1つだけが積分路で囲まれる領域に含まれる。<span lang="en" class="texhtml"><i>f</i>(<i>z</i>)</span> の <span lang="en" class="texhtml"><i>z</i> = <i>i</i></span> における<a href="/wiki/%E7%95%99%E6%95%B0" title="留数">留数</a>は </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {Res} _{z=i}f(z)=\lim _{z\to i}(z-i)f(z)=\lim _{z\to i}{e^{itz} \over z+i}={e^{-t} \over 2i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">R</mi> <mi mathvariant="normal">e</mi> <mi mathvariant="normal">s</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">→<!-- → --></mo> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>i</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">→<!-- → --></mo> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>t</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msup> <mrow> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <mi>i</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </mrow> </msup> <mrow> <mn>2</mn> <mi>i</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {Res} _{z=i}f(z)=\lim _{z\to i}(z-i)f(z)=\lim _{z\to i}{e^{itz} \over z+i}={e^{-t} \over 2i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/844f5c4a8065ce164495aa249a5d749f1d15ba97" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:47.132ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {Res} _{z=i}f(z)=\lim _{z\to i}(z-i)f(z)=\lim _{z\to i}{e^{itz} \over z+i}={e^{-t} \over 2i}}"></span></dd></dl> <p>である。<a href="/wiki/%E7%95%99%E6%95%B0%E5%AE%9A%E7%90%86" class="mw-redirect" title="留数定理">留数定理</a>により、 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int _{C}f(z)\,dz=2\pi i\operatorname {Res} _{z=i}f(z)=\pi e^{-t}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>π<!-- π --></mi> <mi>i</mi> <msub> <mi>Res</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡<!-- --></mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>π<!-- π --></mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{C}f(z)\,dz=2\pi i\operatorname {Res} _{z=i}f(z)=\pi e^{-t}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cfe2f3b6d32fdd2d6f9b4571417f27f09ecd9e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:35.499ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \int _{C}f(z)\,dz=2\pi i\operatorname {Res} _{z=i}f(z)=\pi e^{-t}}"></span></dd></dl> <p>となる。積分路 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">C</span> は「まっすぐな (straight)」部分と曲がった弧 (arc) とに分けられるので </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int _{\text{straight}}+\int _{\text{arc}}=\pi e^{-t}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>straight</mtext> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>arc</mtext> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>π<!-- π --></mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{\text{straight}}+\int _{\text{arc}}=\pi e^{-t}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd3ecb4e5a04bd33050504254f7870b5fb028168" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:21.034ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle \int _{\text{straight}}+\int _{\text{arc}}=\pi e^{-t}}"></span></dd></dl> <p>でありしたがって </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int _{-a}^{a}=\pi e^{-t}-\int _{\text{arc}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>a</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mi>π<!-- π --></mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </mrow> </msup> <mo>−<!-- − --></mo> <msub> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>arc</mtext> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{-a}^{a}=\pi e^{-t}-\int _{\text{arc}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8426c7b50d6d3dedaea888647c367fff0ea8774" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:17.853ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle \int _{-a}^{a}=\pi e^{-t}-\int _{\text{arc}}}"></span></dd></dl> <p>となる。<b><span lang="en" class="texhtml"><i>t</i> > 0</span> のとき</b> </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int _{\text{arc}}{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz\rightarrow 0{\text{ as }}a\rightarrow \infty }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>arc</mtext> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>t</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msup> <mrow> <msup> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">→<!-- → --></mo> <mn>0</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext> as </mtext> </mrow> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">→<!-- → --></mo> <mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{\text{arc}}{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz\rightarrow 0{\text{ as }}a\rightarrow \infty }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7417d55f19959797e34fd6ce750ac78fea829a76" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:28.967ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \int _{\text{arc}}{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz\rightarrow 0{\text{ as }}a\rightarrow \infty }"></span></dd></dl> <p>であることを示すことができる。よって <b><span lang="en" class="texhtml"><i>t</i> > 0</span> のとき</b> </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{e^{itx} \over x^{2}+1}\,dx=\pi e^{-t}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>t</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mrow> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>π<!-- π --></mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{e^{itx} \over x^{2}+1}\,dx=\pi e^{-t}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d53e16017e894bb853922161cdbd40f55f46ae18" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:22.608ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{e^{itx} \over x^{2}+1}\,dx=\pi e^{-t}}"></span></dd></dl> <p>である。<b><span lang="en" class="texhtml"><i>t</i> < 0</span> のとき</b>は <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">i</span> ではなく <span lang="en" class="texhtml">−<i>i</i></span> をまわる弧を用いた類似の議論によって </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{e^{itx} \over x^{2}+1}\,dx=\pi e^{t}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>t</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mrow> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>π<!-- π --></mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{e^{itx} \over x^{2}+1}\,dx=\pi e^{t}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ec9b7320561e6d46d5b18d3f88aad553f24df3d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:21.329ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{e^{itx} \over x^{2}+1}\,dx=\pi e^{t}}"></span></dd></dl> <p>が示される。よって最終的に次を得る： </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{e^{itx} \over x^{2}+1}\,dx=\pi e^{-\left|t\right|}.\quad \square }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>t</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mrow> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>π<!-- π --></mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mrow> <mo>|</mo> <mi>t</mi> <mo>|</mo> </mrow> </mrow> </msup> <mo>.</mo> <mspace width="1em" /> <mi>◻<!-- ◻ --></mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{e^{itx} \over x^{2}+1}\,dx=\pi e^{-\left|t\right|}.\quad \square }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a09ce38584c544fca976d7d3a662f2bb0acce388" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:28.687ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{e^{itx} \over x^{2}+1}\,dx=\pi e^{-\left|t\right|}.\quad \square }"></span></dd></dl> <p>（<span lang="en" class="texhtml"><i>t</i> = 0</span> のときは積分はただちに実数値の解析学の手法が使えてその値は <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">π</span> である。） </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="例_III:_三角関数の積分"><span id=".E4.BE.8B_III:_.E4.B8.89.E8.A7.92.E9.96.A2.E6.95.B0.E3.81.AE.E7.A9.8D.E5.88.86"></span>例 III: 三角関数の積分 </h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E8%A4%87%E7%B4%A0%E7%B7%9A%E7%A9%8D%E5%88%86&action=edit&section=15" title="節を編集: 例 III: 三角関数の積分 "><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E9%96%A2%E6%95%B0" title="三角関数">三角関数</a>を含む積分に対して、ある種の代入を行って複素有理関数へと変換することで積分値が算出できる場合がある。 </p><p>例として次のような積分を考える。 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }{1 \over 1+3(\cos {t})^{2}}\,dt.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>π<!-- π --></mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>π<!-- π --></mi> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>cos</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>t</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }{1 \over 1+3(\cos {t})^{2}}\,dt.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74feffb285205a3f8a1a527118468e378347c917" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:20.425ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }{1 \over 1+3(\cos {t})^{2}}\,dt.}"></span></dd></dl> <p><i>z</i> = <i>e<sup>it</sup></i> と変数変換する。 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \cos t={1 \over 2}\left(e^{it}+e^{-it}\right)={1 \over 2}\left(z+{1 \over z}\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>cos</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>t</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>i</mi> <mi>t</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>z</mi> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cos t={1 \over 2}\left(e^{it}+e^{-it}\right)={1 \over 2}\left(z+{1 \over z}\right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec4935341835d457ceb4154fd396cbeda5972bbe" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:35.857ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \cos t={1 \over 2}\left(e^{it}+e^{-it}\right)={1 \over 2}\left(z+{1 \over z}\right)}"></span></dd></dl> <p>および </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {dz \over dt}=iz,\ dt={dz \over iz}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>z</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mi>i</mi> <mi>z</mi> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mi>d</mi> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>z</mi> </mrow> <mrow> <mi>i</mi> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {dz \over dt}=iz,\ dt={dz \over iz}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7182f9f1579768fff33a0d876470a1aee5953cf5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:18.038ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {dz \over dt}=iz,\ dt={dz \over iz}}"></span></dd></dl> <p>であることを思い出すと、代入により積分は次のように書き直せる。<i>C</i> は単位円周。 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C}{1 \over 1+3({1 \over 2}(z+{1 \over z}))^{2}}\,{dz \over iz}&=\oint _{C}{1 \over 1+{3 \over 4}(z+{1 \over z})^{2}}{1 \over iz}\,dz\\&=\oint _{C}{-i \over z+{3 \over 4}z(z+{1 \over z})^{2}}\,dz\\&=-i\oint _{C}{1 \over z+{3 \over 4}z(z^{2}+2+{1 \over z^{2}})}\,dz\\&=-i\oint _{C}{1 \over z+{3 \over 4}(z^{3}+2z+{1 \over z})}\,dz\\&=-i\oint _{C}{1 \over {3 \over 4}z^{3}+{5 \over 2}z+{3 \over 4z}}\,dz\\&=-i\oint _{C}{4 \over 3z^{3}+10z+{3 \over z}}\,dz\\&=-4i\oint _{C}{1 \over 3z^{3}+10z+{3 \over z}}\,dz\\&=-4i\oint _{C}{z \over 3z^{4}+10z^{2}+3}\,dz\\&=-4i\oint _{C}{z \over 3(z+{\sqrt {3}}i)\left(z-{\sqrt {3}}i\right)\left(z+{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)\left(z-{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}\,dz\\&=-{4 \over 3}i\oint _{C}{z \over (z+{\sqrt {3}}i)(z-{\sqrt {3}}i)\left(z+{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)\left(z-{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}\,dz.\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <msub> <mo>∮<!-- ∮ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>z</mi> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>z</mi> </mrow> <mrow> <mi>i</mi> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mo>∮<!-- ∮ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>z</mi> </mfrac> </mrow> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>i</mi> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>z</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mo>∮<!-- ∮ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>i</mi> </mrow> <mrow> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>z</mi> </mfrac> </mrow> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>z</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>i</mi> <msub> <mo>∮<!-- ∮ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>z</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>i</mi> <msub> <mo>∮<!-- ∮ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>z</mi> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>z</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>i</mi> <msub> <mo>∮<!-- ∮ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>5</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>3</mn> <mrow> <mn>4</mn> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>z</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>i</mi> <msub> <mo>∮<!-- ∮ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>4</mn> <mrow> <mn>3</mn> <msup> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>10</mn> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>3</mn> <mi>z</mi> </mfrac> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>z</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mo>−<!-- − --></mo> <mn>4</mn> <mi>i</mi> <msub> <mo>∮<!-- ∮ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>3</mn> <msup> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>10</mn> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>3</mn> <mi>z</mi> </mfrac> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>z</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mo>−<!-- − --></mo> <mn>4</mn> <mi>i</mi> <msub> <mo>∮<!-- ∮ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>z</mi> <mrow> <mn>3</mn> <msup> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>10</mn> <msup> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>3</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>z</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mo>−<!-- − --></mo> <mn>4</mn> <mi>i</mi> <msub> <mo>∮<!-- ∮ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>z</mi> <mrow> <mn>3</mn> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>3</mn> </msqrt> </mrow> <mi>i</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>z</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>3</mn> </msqrt> </mrow> <mi>i</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>i</mi> <msqrt> <mn>3</mn> </msqrt> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>z</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>i</mi> <msqrt> <mn>3</mn> </msqrt> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>z</mi> </mtd> </mtr> 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width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>z</mi> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C}{1 \over 1+3({1 \over 2}(z+{1 \over z}))^{2}}\,{dz \over iz}&=\oint _{C}{1 \over 1+{3 \over 4}(z+{1 \over z})^{2}}{1 \over iz}\,dz\\&=\oint _{C}{-i \over z+{3 \over 4}z(z+{1 \over z})^{2}}\,dz\\&=-i\oint _{C}{1 \over z+{3 \over 4}z(z^{2}+2+{1 \over z^{2}})}\,dz\\&=-i\oint _{C}{1 \over z+{3 \over 4}(z^{3}+2z+{1 \over z})}\,dz\\&=-i\oint _{C}{1 \over {3 \over 4}z^{3}+{5 \over 2}z+{3 \over 4z}}\,dz\\&=-i\oint _{C}{4 \over 3z^{3}+10z+{3 \over z}}\,dz\\&=-4i\oint _{C}{1 \over 3z^{3}+10z+{3 \over z}}\,dz\\&=-4i\oint _{C}{z \over 3z^{4}+10z^{2}+3}\,dz\\&=-4i\oint _{C}{z \over 3(z+{\sqrt {3}}i)\left(z-{\sqrt {3}}i\right)\left(z+{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)\left(z-{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}\,dz\\&=-{4 \over 3}i\oint _{C}{z \over (z+{\sqrt {3}}i)(z-{\sqrt {3}}i)\left(z+{\frac {i}{\sqrt 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_{C}{z \over 3(z+{\sqrt {3}}i)\left(z-{\sqrt {3}}i\right)\left(z+{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)\left(z-{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}\,dz\\&=-{4 \over 3}i\oint _{C}{z \over (z+{\sqrt {3}}i)(z-{\sqrt {3}}i)\left(z+{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)\left(z-{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}\,dz.\end{aligned}}}"></span></dd></dl> <p>考える必要がある特異点は 3<sup>−1/2</sup><i>i</i>, −3<sup>−1/2</sup><i>i</i> の2つである。 </p><p><i>C</i><sub>1</sub> を 3<sup>−1/2</sup>i を囲む小さな円周、<i>C</i><sub>2</sub> を −3<sup>−1/2</sup><i>i</i> を囲む小さな円周として、以下のように計算できる。 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}&-{\frac {4}{3}}i\left[\oint _{C_{1}}{\frac {\frac {z}{(z+{\sqrt {3}}i)(z-{\sqrt {3}}i)\left(z+{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}{z-{\frac {i}{\sqrt {3}}}}}\,dz+\oint _{C_{2}}{\frac {\frac {z}{(z+{\sqrt {3}}i)(z-{\sqrt {3}}i)\left(z-{\frac {i}{\sqrt 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class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>16</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>π<!-- π --></mi> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}&-{\frac {4}{3}}i\left[\oint _{C_{1}}{\frac {\frac {z}{(z+{\sqrt {3}}i)(z-{\sqrt {3}}i)\left(z+{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}{z-{\frac {i}{\sqrt {3}}}}}\,dz+\oint _{C_{2}}{\frac {\frac {z}{(z+{\sqrt {3}}i)(z-{\sqrt {3}}i)\left(z-{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}{z+{\frac {i}{\sqrt {3}}}}}\,dz\right]\\&=-{\frac {4}{3}}i\left[2\pi i\left({\frac {z}{(z+{\sqrt {3}}i)(z-{\sqrt {3}}i)(z+{\frac {i}{\sqrt {3}}})}}\right){\Bigg |}_{z={\frac {i}{\sqrt {3}}}}+2\pi i\left({\frac {z}{(z+{\sqrt {3}}i)(z-{\sqrt {3}}i)(z-{\frac {i}{\sqrt {3}}})}}\right){\Bigg |}_{z=-{\frac {i}{\sqrt {3}}}}\right]\\&={\frac {8\pi }{3}}\left[{\frac {\frac {i}{\sqrt {3}}}{({\frac {i}{\sqrt {3}}}+{\sqrt {3}}i)({\frac {i}{\sqrt {3}}}-{\sqrt {3}}i)({\frac {i}{\sqrt {3}}}+{\frac {i}{\sqrt {3}}})}}+{\frac {-{\frac {i}{\sqrt {3}}}}{(-{\frac {i}{\sqrt {3}}}+{\sqrt {3}}i)(-{\frac {i}{\sqrt {3}}}-{\sqrt {3}}i)(-{\frac {i}{\sqrt {3}}}-{\frac {i}{\sqrt {3}}})}}\right]\\&={\frac {8\pi }{3}}\left[{\frac {\frac {i}{\sqrt {3}}}{({\frac {4}{\sqrt {3}}}i)(-{\frac {2}{i{\sqrt {3}}}})({\frac {2}{{\sqrt {3}}i}})}}+{\frac {-{\frac {i}{\sqrt {3}}}}{({\frac {2}{\sqrt {3}}}i)(-{\frac {4}{\sqrt {3}}}i)(-{\frac {2}{\sqrt {3}}}i)}}\right]\\&={\frac {8\pi }{3}}\left[{\frac {\frac {i}{\sqrt {3}}}{i({\frac {4}{\sqrt {3}}})({\frac {2}{\sqrt {3}}})({\frac {2}{\sqrt {3}}})}}+{\frac {-{\frac {i}{\sqrt {3}}}}{-i({\frac {2}{\sqrt {3}}})({\frac {4}{\sqrt {3}}})({\frac {2}{\sqrt {3}}})}}\right]\\&={\frac {8\pi }{3}}\left[{\frac {\frac {1}{\sqrt {3}}}{({\frac {4}{\sqrt {3}}})({\frac {2}{\sqrt {3}}})({\frac {2}{\sqrt {3}}})}}+{\frac {\frac {1}{\sqrt {3}}}{({\frac {2}{\sqrt {3}}})({\frac {4}{\sqrt {3}}})({\frac {2}{\sqrt {3}}})}}\right]\\&={\frac {8\pi }{3}}\left[{\frac {\frac {1}{\sqrt {3}}}{\frac {16}{3{\sqrt {3}}}}}+{\frac {\frac {1}{\sqrt {3}}}{\frac {16}{3{\sqrt {3}}}}}\right]\\&={\frac {8\pi }{3}}\left[{\frac {3}{16}}+{\frac {3}{16}}\right]=\pi .\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/337bba7c71f225f172b8d680a9b40f924e37a719" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -37.505ex; width:101.182ex; height:76.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}&-{\frac {4}{3}}i\left[\oint _{C_{1}}{\frac {\frac {z}{(z+{\sqrt {3}}i)(z-{\sqrt {3}}i)\left(z+{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}{z-{\frac {i}{\sqrt {3}}}}}\,dz+\oint _{C_{2}}{\frac {\frac {z}{(z+{\sqrt {3}}i)(z-{\sqrt {3}}i)\left(z-{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}{z+{\frac {i}{\sqrt {3}}}}}\,dz\right]\\&=-{\frac {4}{3}}i\left[2\pi i\left({\frac {z}{(z+{\sqrt {3}}i)(z-{\sqrt {3}}i)(z+{\frac {i}{\sqrt {3}}})}}\right){\Bigg |}_{z={\frac {i}{\sqrt {3}}}}+2\pi i\left({\frac {z}{(z+{\sqrt {3}}i)(z-{\sqrt {3}}i)(z-{\frac {i}{\sqrt {3}}})}}\right){\Bigg |}_{z=-{\frac {i}{\sqrt {3}}}}\right]\\&={\frac {8\pi }{3}}\left[{\frac {\frac {i}{\sqrt {3}}}{({\frac {i}{\sqrt {3}}}+{\sqrt {3}}i)({\frac {i}{\sqrt {3}}}-{\sqrt {3}}i)({\frac {i}{\sqrt {3}}}+{\frac {i}{\sqrt {3}}})}}+{\frac {-{\frac {i}{\sqrt {3}}}}{(-{\frac {i}{\sqrt {3}}}+{\sqrt {3}}i)(-{\frac {i}{\sqrt {3}}}-{\sqrt {3}}i)(-{\frac {i}{\sqrt {3}}}-{\frac {i}{\sqrt {3}}})}}\right]\\&={\frac {8\pi }{3}}\left[{\frac {\frac {i}{\sqrt {3}}}{({\frac {4}{\sqrt {3}}}i)(-{\frac {2}{i{\sqrt {3}}}})({\frac {2}{{\sqrt {3}}i}})}}+{\frac {-{\frac {i}{\sqrt {3}}}}{({\frac {2}{\sqrt {3}}}i)(-{\frac {4}{\sqrt {3}}}i)(-{\frac {2}{\sqrt {3}}}i)}}\right]\\&={\frac {8\pi }{3}}\left[{\frac {\frac {i}{\sqrt {3}}}{i({\frac {4}{\sqrt {3}}})({\frac {2}{\sqrt {3}}})({\frac {2}{\sqrt {3}}})}}+{\frac {-{\frac {i}{\sqrt {3}}}}{-i({\frac {2}{\sqrt {3}}})({\frac {4}{\sqrt {3}}})({\frac {2}{\sqrt {3}}})}}\right]\\&={\frac {8\pi }{3}}\left[{\frac {\frac {1}{\sqrt {3}}}{({\frac {4}{\sqrt {3}}})({\frac {2}{\sqrt {3}}})({\frac {2}{\sqrt {3}}})}}+{\frac {\frac {1}{\sqrt {3}}}{({\frac {2}{\sqrt {3}}})({\frac {4}{\sqrt {3}}})({\frac {2}{\sqrt {3}}})}}\right]\\&={\frac {8\pi }{3}}\left[{\frac {\frac {1}{\sqrt {3}}}{\frac {16}{3{\sqrt {3}}}}}+{\frac {\frac {1}{\sqrt {3}}}{\frac {16}{3{\sqrt {3}}}}}\right]\\&={\frac {8\pi }{3}}\left[{\frac {3}{16}}+{\frac {3}{16}}\right]=\pi .\end{aligned}}}"></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="例_IIIa:_三角関数の積分、一般的な手続き"><span id=".E4.BE.8B_IIIa:_.E4.B8.89.E8.A7.92.E9.96.A2.E6.95.B0.E3.81.AE.E7.A9.8D.E5.88.86.E3.80.81.E4.B8.80.E8.88.AC.E7.9A.84.E3.81.AA.E6.89.8B.E7.B6.9A.E3.81.8D"></span>例 IIIa: 三角関数の積分、一般的な手続き </h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E8%A4%87%E7%B4%A0%E7%B7%9A%E7%A9%8D%E5%88%86&action=edit&section=16" title="節を編集: 例 IIIa: 三角関数の積分、一般的な手続き "><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>上記の方法は、次の形をした全ての積分に適用できる。 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\frac {P(\sin(t),\sin(2t),\ldots ,\cos(t),\cos(2t),\ldots )}{Q(\sin(t),\sin(2t),\ldots ,\cos(t),\cos(2t),\ldots )}}\,dt}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mi>π<!-- π --></mi> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mo>…<!-- … --></mo> <mo>,</mo> <mi>cos</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>cos</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mo>…<!-- … --></mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mo>…<!-- … --></mo> <mo>,</mo> <mi>cos</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>cos</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mo>…<!-- … --></mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\frac {P(\sin(t),\sin(2t),\ldots ,\cos(t),\cos(2t),\ldots )}{Q(\sin(t),\sin(2t),\ldots ,\cos(t),\cos(2t),\ldots )}}\,dt}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b6b5ee1155d471e511203b801a6d353b440afd2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:47.631ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\frac {P(\sin(t),\sin(2t),\ldots ,\cos(t),\cos(2t),\ldots )}{Q(\sin(t),\sin(2t),\ldots ,\cos(t),\cos(2t),\ldots )}}\,dt}"></span></dd></dl> <p>ここで <i>P</i> と <i>Q</i> は多項式である（つまり、三角関数の有理関数の積分を考えている）。積分範囲は先の例のように π から -π まででも良いし、また 2π だけ離れた任意の区間でも良い。 </p><p>変数変換 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z=\exp(it)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mi>exp</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>i</mi> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z=\exp(it)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0ad3d98294cc14ace85465715faa3cc5aed5acc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.19ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle z=\exp(it)}"></span> を行うのが技巧である。このとき <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle dz=i\exp(it)\,dt}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mi>i</mi> <mi>exp</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>i</mi> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle dz=i\exp(it)\,dt}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffdfbe90b033fd8b015114fcbcbcefedf68b54d8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.038ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle dz=i\exp(it)\,dt}"></span> だから、 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{iz}}\,dz=dt.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>i</mi> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mi>d</mi> <mi>t</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{iz}}\,dz=dt.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5f34eeba67051ba9d68ad2e07cccb0702e312ac" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:11.219ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{iz}}\,dz=dt.}"></span></dd></dl> <p>この変換により閉区間 [0, 2π] は複素平面の単位円周に写される。さらに、 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sin(kt)={\frac {\exp(ikt)-\exp(-ikt)}{2i}}={\frac {z^{k}-z^{-k}}{2i}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>sin</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>k</mi> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>exp</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>i</mi> <mi>k</mi> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>exp</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>i</mi> <mi>k</mi> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>i</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mo>−<!-- − --></mo> <msup> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>k</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>i</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sin(kt)={\frac {\exp(ikt)-\exp(-ikt)}{2i}}={\frac {z^{k}-z^{-k}}{2i}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97cfbb5f443a6a23f0e7d72fe13527f49e3ff967" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:44.141ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \sin(kt)={\frac {\exp(ikt)-\exp(-ikt)}{2i}}={\frac {z^{k}-z^{-k}}{2i}}}"></span></dd></dl> <p>および </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \cos(kt)={\frac {\exp(ikt)+\exp(-ikt)}{2}}={\frac {z^{k}+z^{-k}}{2}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>cos</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>k</mi> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>exp</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>i</mi> <mi>k</mi> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>exp</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>i</mi> <mi>k</mi> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>k</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cos(kt)={\frac {\exp(ikt)+\exp(-ikt)}{2}}={\frac {z^{k}+z^{-k}}{2}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/032e28f1369756370a890627fcd613d8cbf37f6a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:44.396ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \cos(kt)={\frac {\exp(ikt)+\exp(-ikt)}{2}}={\frac {z^{k}+z^{-k}}{2}}}"></span></dd></dl> <p>であるから、変換によって <i>z</i> の有理関数 <i>f</i>(<i>z</i>) が得られ、積分は </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \oint _{|z|=1}f(z){\frac {1}{iz}}\,dz}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mo>∮<!-- ∮ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>i</mi> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \oint _{|z|=1}f(z){\frac {1}{iz}}\,dz}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fcc03affe3b92d19ae4105fe7a174e8bf39a6a7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:15.29ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle \oint _{|z|=1}f(z){\frac {1}{iz}}\,dz}"></span></dd></dl> <p>となる。この積分は <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(z){\frac {1}{iz}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>i</mi> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(z){\frac {1}{iz}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22c9ffbc8f5169e7b15d6b33934205077c84392c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:6.903ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle f(z){\frac {1}{iz}}}"></span> の、単位円板内にある留数の和をとることで計算できる。 </p> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:TrigonometricToComplex.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1e/TrigonometricToComplex.png" decoding="async" width="272" height="240" class="mw-file-element" data-file-width="272" data-file-height="240" /></a><figcaption></figcaption></figure> <p>右の図は </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{1+\sin(t)^{2}}}\,dt,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>I</mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>π<!-- π --></mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>t</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{1+\sin(t)^{2}}}\,dt,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3648d7a267e2cfedffe77d2eb62240564be94c39" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:23.442ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle I=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{1+\sin(t)^{2}}}\,dt,}"></span></dd></dl> <p>の場合を図示したものである。まず、 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I={\frac {1}{4}}\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{1+\sin(t)^{2}}}\,dt.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>I</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> <msubsup> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mi>π<!-- π --></mi> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>t</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I={\frac {1}{4}}\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{1+\sin(t)^{2}}}\,dt.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a7233b3976c7c2c93330640bcde2bb3c2190705" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:25.99ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle I={\frac {1}{4}}\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{1+\sin(t)^{2}}}\,dt.}"></span></dd></dl> <p>と変形して、変数変換をすると </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{4}}\oint _{|z|=1}{\frac {4iz}{z^{4}-6z^{2}+1}}\,dz=\oint _{|z|=1}{\frac {iz}{z^{4}-6z^{2}+1}}\,dz}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> <msub> <mo>∮<!-- ∮ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>4</mn> <mi>i</mi> <mi>z</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo>−<!-- − --></mo> <mn>6</mn> <msup> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <msub> <mo>∮<!-- ∮ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>i</mi> <mi>z</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo>−<!-- − --></mo> <mn>6</mn> <msup> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{4}}\oint _{|z|=1}{\frac {4iz}{z^{4}-6z^{2}+1}}\,dz=\oint _{|z|=1}{\frac {iz}{z^{4}-6z^{2}+1}}\,dz}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9bf6adda6f52987471517684d3e42ed7b0dd19e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:48.522ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{4}}\oint _{|z|=1}{\frac {4iz}{z^{4}-6z^{2}+1}}\,dz=\oint _{|z|=1}{\frac {iz}{z^{4}-6z^{2}+1}}\,dz}"></span></dd></dl> <p>となる。被積分関数の極は 1 ± √2 と −1 ± √2 である。これらのうち 1 + √2 と −1 −√2 は単位円板の外側にあり（赤い点で示した。縮尺は正確ではない）、一方 1 − √2 と −1 + √2 は単位円板の内側にある（青い点で示した）。 </p><p>対応する留数はいずれも −<i>i</i>√2/16 だから、求める積分値は </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I=2\pi i\;2\left(-{\frac {\sqrt {2}}{16}}i\right)=\pi {\frac {\sqrt {2}}{4}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>I</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>π<!-- π --></mi> <mi>i</mi> <mspace width="thickmathspace" /> <mn>2</mn> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> <mn>16</mn> </mfrac> </mrow> <mi>i</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>π<!-- π --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I=2\pi i\;2\left(-{\frac {\sqrt {2}}{16}}i\right)=\pi {\frac {\sqrt {2}}{4}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ab763107031870c328190a82015828df40b1fbe" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:28.093ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle I=2\pi i\;2\left(-{\frac {\sqrt {2}}{16}}i\right)=\pi {\frac {\sqrt {2}}{4}}}"></span></dd></dl> <p>となる。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="例_IV:_分岐切断"><span id=".E4.BE.8B_IV:_.E5.88.86.E5.B2.90.E5.88.87.E6.96.AD"></span>例 IV: 分岐切断 </h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E8%A4%87%E7%B4%A0%E7%B7%9A%E7%A9%8D%E5%88%86&action=edit&section=17" title="節を編集: 例 IV: 分岐切断 "><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>実関数積分 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{\sqrt {x}} \over x^{2}+6x+8}\,dx.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>x</mi> </msqrt> </mrow> <mrow> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>6</mn> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>8</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{\sqrt {x}} \over x^{2}+6x+8}\,dx.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6283ef3bfa4d2fe529071c0a07b85f73cf7134f5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:20.862ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{\sqrt {x}} \over x^{2}+6x+8}\,dx.}"></span></dd></dl> <p>を考える。次のように複素積分として書き直すところから始める。 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int _{C}{{\sqrt {z}} \over z^{2}+6z+8}\,dz=I.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>z</mi> </msqrt> </mrow> <mrow> <msup> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>6</mn> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <mn>8</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mi>I</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{C}{{\sqrt {z}} \over z^{2}+6z+8}\,dz=I.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85cd8d5d081b47e7094cfc3de87cbd843e8bf7b2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:22.844ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \int _{C}{{\sqrt {z}} \over z^{2}+6z+8}\,dz=I.}"></span></dd></dl> <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Keyhole_contour.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8d/Keyhole_contour.svg/180px-Keyhole_contour.svg.png" decoding="async" width="180" height="180" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8d/Keyhole_contour.svg/270px-Keyhole_contour.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8d/Keyhole_contour.svg/360px-Keyhole_contour.svg.png 2x" data-file-width="283" data-file-height="283" /></a><figcaption></figcaption></figure> <p>問題となる留数の値を得るため、再びコーシーの積分公式もしくは留数定理を用いることができる。しかしここで注意すべき重要なことは、<i>z</i><sup>1/2</sup> = <i>e</i><sup>(1/2)Log(<i>z</i>)</sup> であり、<i>z</i><sup>1/2</sup> には<a href="/wiki/%E5%88%86%E5%B2%90%E7%82%B9_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="分岐点 (数学)">分岐切断</a>があるということである。このことは、積分路 <i>C</i> の選び方に影響してくる。 </p><p>対数関数の分岐切断は、普通は実軸のうち負の部分と定めることが多いが、こうすると計算がやや面倒になる。そこでここでは、実軸の正の部分と定めることにする。 </p><p>ここで、次のような経路を順にたどって得られる、いわゆる「鍵穴積分路（keyhole contour）」を用いる。 </p> <ul><li>原点を中心として時計回りにほぼ1周する半径 ε の小さな円</li> <li>実軸に上半平面側から接近して（接触はしていない）平行な線分</li> <li>反時計回りにほぼ1周する半径 R の大きな円</li> <li>実軸に下半平面側から接近し平行な線分</li></ul> <p><i>z</i> = −2 と <i>z</i> = −4 は大円が囲む内部にあることに注意する。被積分関数の分母を因数分解すれば、これらが2個の極だとがわかる。分岐点は <i>z</i> = 0 だが、これは原点を迂回したことによって避けられている。 </p> <div style="clear:both;"></div> <p>γ を半径 ε の小円、Γ を半径 <i>R</i> の大円とする。このとき積分路は </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int _{C}=\int _{\varepsilon }^{R}+\int _{\Gamma }+\int _{R}^{\varepsilon }+\int _{\gamma }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ε<!-- ε --></mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>R</mi> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">Γ<!-- Γ --></mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msubsup> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ε<!-- ε --></mi> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>γ<!-- γ --></mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{C}=\int _{\varepsilon }^{R}+\int _{\Gamma }+\int _{R}^{\varepsilon }+\int _{\gamma }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17018f1a5fcca71278a402866d84b028eb340ce5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:25.995ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \int _{C}=\int _{\varepsilon }^{R}+\int _{\Gamma }+\int _{R}^{\varepsilon }+\int _{\gamma }}"></span></dd></dl> <p>と分解できる。 </p><p>Γ と γ に沿う積分は、先に行ったのと同様の議論で ε → 0, <i>R</i> → ∞ のときにいずれも 0 に収束することが示せて、積分は2項のみが残る。ここで <i>z</i><sup>1/2</sup> = <i>e</i><sup>(1/2)Log(<i>z</i>)</sup> であり、分岐切断の外側で γ に沿って動くとき、偏角は 2π だけ変わる。よって </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{R}^{\varepsilon }{{\sqrt {z}} \over z^{2}+6z+8}\,dz&=\int _{R}^{\varepsilon }{e^{{1 \over 2}\mathrm {Log} (z)} \over z^{2}+6z+8}\,dz\\&=\int _{R}^{\varepsilon }{e^{{1 \over 2}(\log {|z|}+i\arg {z})} \over z^{2}+6z+8}\,dz\\&=\int _{R}^{\varepsilon }{e^{{1 \over 2}\log {|z|}}e^{(1/2)(2\pi i)} \over z^{2}+6z+8}\,dz\\&=\int _{R}^{\varepsilon }{e^{{1 \over 2}\log {|z|}}e^{\pi i} \over z^{2}+6z+8}\,dz\\&=\int _{R}^{\varepsilon }{-{\sqrt {z}} \over z^{2}+6z+8}\,dz\\&=\int _{\varepsilon }^{R}{{\sqrt {z}} \over z^{2}+6z+8}\,dz.\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <msubsup> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ε<!-- ε --></mi> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>z</mi> </msqrt> </mrow> <mrow> <msup> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>6</mn> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <mn>8</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>z</mi> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ε<!-- ε --></mi> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">L</mi> <mi mathvariant="normal">o</mi> <mi mathvariant="normal">g</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mrow> <msup> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>6</mn> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <mn>8</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>z</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ε<!-- ε --></mi> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>log</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mi>arg</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mrow> <msup> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>6</mn> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <mn>8</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>z</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ε<!-- ε --></mi> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>log</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> </mrow> </mrow> </msup> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mi>π<!-- π --></mi> <mi>i</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <msup> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>6</mn> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <mn>8</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>z</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ε<!-- ε --></mi> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>log</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> </mrow> </mrow> </msup> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>π<!-- π --></mi> <mi>i</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <msup> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>6</mn> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <mn>8</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>z</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ε<!-- ε --></mi> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>z</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> <mrow> <msup> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>6</mn> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <mn>8</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>z</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ε<!-- ε --></mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>R</mi> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>z</mi> </msqrt> </mrow> <mrow> <msup> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>6</mn> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <mn>8</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>z</mi> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{R}^{\varepsilon }{{\sqrt {z}} \over z^{2}+6z+8}\,dz&=\int _{R}^{\varepsilon }{e^{{1 \over 2}\mathrm {Log} (z)} \over z^{2}+6z+8}\,dz\\&=\int _{R}^{\varepsilon }{e^{{1 \over 2}(\log {|z|}+i\arg {z})} \over z^{2}+6z+8}\,dz\\&=\int _{R}^{\varepsilon }{e^{{1 \over 2}\log {|z|}}e^{(1/2)(2\pi i)} \over z^{2}+6z+8}\,dz\\&=\int _{R}^{\varepsilon }{e^{{1 \over 2}\log {|z|}}e^{\pi i} \over z^{2}+6z+8}\,dz\\&=\int _{R}^{\varepsilon }{-{\sqrt {z}} \over z^{2}+6z+8}\,dz\\&=\int _{\varepsilon }^{R}{{\sqrt {z}} \over z^{2}+6z+8}\,dz.\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f238a7101656df94af4f19cffebbf26cabb400bd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -20.505ex; width:45.893ex; height:42.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{R}^{\varepsilon }{{\sqrt {z}} \over z^{2}+6z+8}\,dz&=\int _{R}^{\varepsilon }{e^{{1 \over 2}\mathrm {Log} (z)} \over z^{2}+6z+8}\,dz\\&=\int _{R}^{\varepsilon }{e^{{1 \over 2}(\log {|z|}+i\arg {z})} \over z^{2}+6z+8}\,dz\\&=\int _{R}^{\varepsilon }{e^{{1 \over 2}\log {|z|}}e^{(1/2)(2\pi i)} \over z^{2}+6z+8}\,dz\\&=\int _{R}^{\varepsilon }{e^{{1 \over 2}\log {|z|}}e^{\pi i} \over z^{2}+6z+8}\,dz\\&=\int _{R}^{\varepsilon }{-{\sqrt {z}} \over z^{2}+6z+8}\,dz\\&=\int _{\varepsilon }^{R}{{\sqrt {z}} \over z^{2}+6z+8}\,dz.\end{aligned}}}"></span></dd></dl> <p>ゆえに<sup id="cite_ref-7" class="reference"><a href="#cite_note-7"><span class="cite-bracket">[</span>注釈 1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int _{C}{{\sqrt {z}} \over z^{2}+6z+8}\,dz=2\int _{0}^{\infty }{{\sqrt {x}} \over x^{2}+6x+8}\,dx}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>z</mi> </msqrt> </mrow> <mrow> <msup> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>6</mn> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <mn>8</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <msubsup> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>x</mi> </msqrt> </mrow> <mrow> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>6</mn> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>8</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{C}{{\sqrt {z}} \over z^{2}+6z+8}\,dz=2\int _{0}^{\infty }{{\sqrt {x}} \over x^{2}+6x+8}\,dx}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2b4305f5e2473797458c81bf8e952dba460ca5e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:42.789ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \int _{C}{{\sqrt {z}} \over z^{2}+6z+8}\,dz=2\int _{0}^{\infty }{{\sqrt {x}} \over x^{2}+6x+8}\,dx}"></span></dd></dl> <p>留数定理を使うか、もしくはコーシーの積分公式を使う（まず被積分関数を部分分数分解して、2個の単純な円の周りの積分に書き直してから和をとる）かして、 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi i\left({i \over {\sqrt {2}}}-i\right)=\int _{0}^{\infty }{{\sqrt {x}} \over x^{2}+6x+8}\,dx=\pi \left(1-{1 \over {\sqrt {2}}}\right).\quad \square }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>π<!-- π --></mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>i</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>i</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>x</mi> </msqrt> </mrow> <mrow> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>6</mn> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>8</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>π<!-- π --></mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−<!-- − --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> <mspace width="1em" /> <mi>◻<!-- ◻ --></mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi i\left({i \over {\sqrt {2}}}-i\right)=\int _{0}^{\infty }{{\sqrt {x}} \over x^{2}+6x+8}\,dx=\pi \left(1-{1 \over {\sqrt {2}}}\right).\quad \square }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39651e51a1d3a9b36a8b18e88e1b42ea132a3451" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:58.561ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \pi i\left({i \over {\sqrt {2}}}-i\right)=\int _{0}^{\infty }{{\sqrt {x}} \over x^{2}+6x+8}\,dx=\pi \left(1-{1 \over {\sqrt {2}}}\right).\quad \square }"></span></dd></dl> <p>を得る。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="例_V:_対数関数の平方を利用した積分"><span id=".E4.BE.8B_V:_.E5.AF.BE.E6.95.B0.E9.96.A2.E6.95.B0.E3.81.AE.E5.B9.B3.E6.96.B9.E3.82.92.E5.88.A9.E7.94.A8.E3.81.97.E3.81.9F.E7.A9.8D.E5.88.86"></span>例 V: 対数関数の平方を利用した積分 </h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E8%A4%87%E7%B4%A0%E7%B7%9A%E7%A9%8D%E5%88%86&action=edit&section=18" title="節を編集: 例 V: 対数関数の平方を利用した積分 "><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:KeyholeContourLeft.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/67/KeyholeContourLeft.png" decoding="async" width="275" height="275" class="mw-file-element" data-file-width="275" data-file-height="275" /></a><figcaption></figcaption></figure> <p>この節では、 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\log(x)}{(1+x^{2})^{2}}}\,dx}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>log</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\log(x)}{(1+x^{2})^{2}}}\,dx}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05a753c2685af3d047f00bf04947a250959d7330" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:17.746ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\log(x)}{(1+x^{2})^{2}}}\,dx}"></span></dd></dl> <p>のようなタイプの積分を扱う。 </p><p>この積分を計算するのに、関数 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(z)=\left({\frac {\log(z)}{1+z^{2}}}\right)^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>log</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(z)=\left({\frac {\log(z)}{1+z^{2}}}\right)^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7223fa72a537e7b49c18b3a4e625199c46e016b5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:18.733ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle f(z)=\left({\frac {\log(z)}{1+z^{2}}}\right)^{2}}"></span></dd></dl> <p>を用い、<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -\pi <\arg(z)\leq \pi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>π<!-- π --></mi> <mo><</mo> <mi>arg</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≤<!-- ≤ --></mo> <mi>π<!-- π --></mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -\pi <\arg(z)\leq \pi }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/387ecfe26bfd30b14e0f47a6ff74ce9cc0714cc2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.803ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle -\pi <\arg(z)\leq \pi }"></span> に対応した対数関数の枝を考える。 </p><p><i>f</i>(<i>z</i>) の、右の図に示すような鍵穴積分路に沿った複素線積分を計算する。この積分は、冒頭に示した実積分の定数倍であることがわかり（後述）、積分値は留数定理により </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}\left(\int _{R}+\int _{M}+\int _{N}+\int _{r}\right)f(z)\,dz&=2\pi i\left(\mathrm {Res} _{z=i}f(z)+\mathrm {Res} _{z=-i}f(z)\right)\\&=2\pi i\left(-{\frac {\pi }{4}}+{\frac {1}{16}}i\pi ^{2}-{\frac {\pi }{4}}-{\frac {1}{16}}i\pi ^{2}\right)\\&=-i\pi ^{2}\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>R</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>M</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>N</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>z</mi> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>π<!-- π --></mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">R</mi> <mi mathvariant="normal">e</mi> <mi mathvariant="normal">s</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">R</mi> <mi mathvariant="normal">e</mi> <mi mathvariant="normal">s</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>π<!-- π --></mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>π<!-- π --></mi> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>16</mn> </mfrac> </mrow> <mi>i</mi> <msup> <mi>π<!-- π --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−<!-- − --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>π<!-- π --></mi> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>16</mn> </mfrac> </mrow> <mi>i</mi> <msup> <mi>π<!-- π --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>i</mi> <msup> <mi>π<!-- π --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\left(\int _{R}+\int _{M}+\int _{N}+\int _{r}\right)f(z)\,dz&=2\pi i\left(\mathrm {Res} _{z=i}f(z)+\mathrm {Res} _{z=-i}f(z)\right)\\&=2\pi i\left(-{\frac {\pi }{4}}+{\frac {1}{16}}i\pi ^{2}-{\frac {\pi }{4}}-{\frac {1}{16}}i\pi ^{2}\right)\\&=-i\pi ^{2}\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c641e11b3f6613174b9cf81680e16217523b550" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -7.171ex; width:68.021ex; height:15.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\left(\int _{R}+\int _{M}+\int _{N}+\int _{r}\right)f(z)\,dz&=2\pi i\left(\mathrm {Res} _{z=i}f(z)+\mathrm {Res} _{z=-i}f(z)\right)\\&=2\pi i\left(-{\frac {\pi }{4}}+{\frac {1}{16}}i\pi ^{2}-{\frac {\pi }{4}}-{\frac {1}{16}}i\pi ^{2}\right)\\&=-i\pi ^{2}\end{aligned}}}"></span></dd></dl> <p>と計算できる。 </p><p><i>R</i> と <i>r</i> をそれぞれ大円、小円の半径とし、上側の線分を <i>M</i>、下側の線分を <i>N</i> と書く。<i>R</i> → ∞ および <i>r</i> → 0 の極限はまだとっていない。2つの円周部分からの積分の寄与はいずれも極限をとると消える。例えば、ML補題により大円に沿った積分は次のように上から抑えられる： </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left|\int _{R}f(z)\,dz\right|\leq 2\pi R{\frac {(\log(R))^{2}+\pi ^{2}}{(R^{2}-1)^{2}}}\to 0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <msub> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>R</mi> </mrow> </msub> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>z</mi> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>≤<!-- ≤ --></mo> <mn>2</mn> <mi>π<!-- π --></mi> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>log</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>R</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>π<!-- π --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−<!-- − --></mo> <mn>1</mn> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">→<!-- → --></mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left|\int _{R}f(z)\,dz\right|\leq 2\pi R{\frac {(\log(R))^{2}+\pi ^{2}}{(R^{2}-1)^{2}}}\to 0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3e0e7ba5432d74be2c8bbfedfe19819fda415a5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:38.927ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle \left|\int _{R}f(z)\,dz\right|\leq 2\pi R{\frac {(\log(R))^{2}+\pi ^{2}}{(R^{2}-1)^{2}}}\to 0}"></span></dd></dl> <p><i>M</i>, <i>N</i> に沿った積分値を計算するため、<i>M</i> 上では <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z=-x+i\epsilon }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mi>ϵ<!-- ϵ --></mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z=-x+i\epsilon }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68eae4b65afba7c136cb870cd0a69ab47a8c1bf0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:11.911ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle z=-x+i\epsilon }"></span>、<i>N</i>上では <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z=-x-i\epsilon }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>x</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>i</mi> <mi>ϵ<!-- ϵ --></mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z=-x-i\epsilon }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f009b40684d185037c561f0c278ab9eb00dce9c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:11.911ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle z=-x-i\epsilon }"></span> (0 < <i>x</i> < ∞) ととると、 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}-i\pi ^{2}&=\left(\int _{R}+\int _{M}+\int _{N}+\int _{r}\right)f(z)\,dz\\&=\left(\int _{M}+\int _{N}\right)f(z)\,dz\qquad \int _{R},\int _{r}{\text{ vanish}}\\&=-\int _{\infty }^{0}\left({\frac {\log(-x+i\epsilon )}{1+(-x+i\epsilon )^{2}}}\right)^{2}\,dx-\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log(-x-i\epsilon )}{1+(-x-i\epsilon )^{2}}}\right)^{2}\,dx\\&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log(-x+i\epsilon )}{1+(-x+i\epsilon )^{2}}}\right)^{2}\,dx-\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log(-x-i\epsilon )}{1+(-x-i\epsilon )^{2}}}\right)^{2}\,dx\\&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log(x)+i\pi }{1+x^{2}}}\right)^{2}\,dx-\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log(x)-i\pi }{1+x^{2}}}\right)^{2}\,dx\qquad \epsilon \to 0\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {(\log(x)+i\pi )^{2}-(\log(x)-i\pi )^{2}}{(1+x^{2})^{2}}}\,dx\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {4\pi i\log(x)}{(1+x^{2})^{2}}}\,dx\\&=4\pi i\int _{0}^{\infty }{\frac {\log(x)}{(1+x^{2})^{2}}}\,dx\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>i</mi> <msup> <mi>π<!-- π --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>R</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>M</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>N</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>z</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>M</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>N</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>z</mi> <mspace width="2em" /> <msub> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>R</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext> vanish</mtext> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mo>−<!-- − --></mo> <msubsup> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msubsup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>log</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mi>ϵ<!-- ϵ --></mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mi>ϵ<!-- ϵ --></mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <msubsup> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi> </mrow> </msubsup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>log</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>x</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>i</mi> <mi>ϵ<!-- ϵ --></mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>x</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>i</mi> <mi>ϵ<!-- ϵ --></mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi> </mrow> </msubsup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>log</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mi>ϵ<!-- ϵ --></mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mi>ϵ<!-- ϵ --></mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <msubsup> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi> </mrow> </msubsup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>log</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>x</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>i</mi> <mi>ϵ<!-- ϵ --></mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>x</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>i</mi> <mi>ϵ<!-- ϵ --></mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi> </mrow> </msubsup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>log</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mi>π<!-- π --></mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <msubsup> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi> </mrow> </msubsup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>log</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>i</mi> <mi>π<!-- π --></mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mspace width="2em" /> <mi>ϵ<!-- ϵ --></mi> <mo stretchy="false">→<!-- → --></mo> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>log</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mi>π<!-- π --></mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−<!-- − --></mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>log</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>i</mi> <mi>π<!-- π --></mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>4</mn> <mi>π<!-- π --></mi> <mi>i</mi> <mi>log</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mn>4</mn> <mi>π<!-- π --></mi> <mi>i</mi> <msubsup> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>log</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}-i\pi ^{2}&=\left(\int _{R}+\int _{M}+\int _{N}+\int _{r}\right)f(z)\,dz\\&=\left(\int _{M}+\int _{N}\right)f(z)\,dz\qquad \int _{R},\int _{r}{\text{ vanish}}\\&=-\int _{\infty }^{0}\left({\frac {\log(-x+i\epsilon )}{1+(-x+i\epsilon )^{2}}}\right)^{2}\,dx-\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log(-x-i\epsilon )}{1+(-x-i\epsilon )^{2}}}\right)^{2}\,dx\\&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log(-x+i\epsilon )}{1+(-x+i\epsilon )^{2}}}\right)^{2}\,dx-\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log(-x-i\epsilon )}{1+(-x-i\epsilon )^{2}}}\right)^{2}\,dx\\&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log(x)+i\pi }{1+x^{2}}}\right)^{2}\,dx-\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log(x)-i\pi }{1+x^{2}}}\right)^{2}\,dx\qquad \epsilon \to 0\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {(\log(x)+i\pi )^{2}-(\log(x)-i\pi )^{2}}{(1+x^{2})^{2}}}\,dx\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {4\pi i\log(x)}{(1+x^{2})^{2}}}\,dx\\&=4\pi i\int _{0}^{\infty }{\frac {\log(x)}{(1+x^{2})^{2}}}\,dx\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46547edb958536ffc5785d513929167a27b9424c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -25.914ex; margin-bottom: -0.257ex; width:70.168ex; height:53.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}-i\pi ^{2}&=\left(\int _{R}+\int _{M}+\int _{N}+\int _{r}\right)f(z)\,dz\\&=\left(\int _{M}+\int _{N}\right)f(z)\,dz\qquad \int _{R},\int _{r}{\text{ vanish}}\\&=-\int _{\infty }^{0}\left({\frac {\log(-x+i\epsilon )}{1+(-x+i\epsilon )^{2}}}\right)^{2}\,dx-\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log(-x-i\epsilon )}{1+(-x-i\epsilon )^{2}}}\right)^{2}\,dx\\&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log(-x+i\epsilon )}{1+(-x+i\epsilon )^{2}}}\right)^{2}\,dx-\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log(-x-i\epsilon )}{1+(-x-i\epsilon )^{2}}}\right)^{2}\,dx\\&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log(x)+i\pi }{1+x^{2}}}\right)^{2}\,dx-\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log(x)-i\pi }{1+x^{2}}}\right)^{2}\,dx\qquad \epsilon \to 0\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {(\log(x)+i\pi )^{2}-(\log(x)-i\pi )^{2}}{(1+x^{2})^{2}}}\,dx\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {4\pi i\log(x)}{(1+x^{2})^{2}}}\,dx\\&=4\pi i\int _{0}^{\infty }{\frac {\log(x)}{(1+x^{2})^{2}}}\,dx\end{aligned}}}"></span></dd></dl> <p>以上より </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\log(x)}{(1+x^{2})^{2}}}\,dx=-{\frac {\pi }{4}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>log</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mo>−<!-- − --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>π<!-- π --></mi> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\log(x)}{(1+x^{2})^{2}}}\,dx=-{\frac {\pi }{4}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d76d91c98737077aafea21f9ef386096331368b3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:25.467ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\log(x)}{(1+x^{2})^{2}}}\,dx=-{\frac {\pi }{4}}.}"></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="例_VI:_対数関数と、無限遠点での留数"><span id=".E4.BE.8B_VI:_.E5.AF.BE.E6.95.B0.E9.96.A2.E6.95.B0.E3.81.A8.E3.80.81.E7.84.A1.E9.99.90.E9.81.A0.E7.82.B9.E3.81.A7.E3.81.AE.E7.95.99.E6.95.B0"></span>例 VI: 対数関数と、無限遠点での留数 </h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E8%A4%87%E7%B4%A0%E7%B7%9A%E7%A9%8D%E5%88%86&action=edit&section=19" title="節を編集: 例 VI: 対数関数と、無限遠点での留数 "><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:ContourLogs.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c5/ContourLogs.png" decoding="async" width="260" height="175" class="mw-file-element" data-file-width="260" data-file-height="175" /></a><figcaption></figcaption></figure> <p>次の積分を計算したい。 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I=\int _{0}^{3}{\frac {x^{\frac {3}{4}}(3-x)^{\frac {1}{4}}}{5-x}}\,dx.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>I</mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>3</mn> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>x</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mn>5</mn> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I=\int _{0}^{3}{\frac {x^{\frac {3}{4}}(3-x)^{\frac {1}{4}}}{5-x}}\,dx.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3ec4641dc7f0c8dd8d71f9c8596a10cfaf8e25a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:24.534ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle I=\int _{0}^{3}{\frac {x^{\frac {3}{4}}(3-x)^{\frac {1}{4}}}{5-x}}\,dx.}"></span></dd></dl> <p>これには、関数 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(z)=z^{\frac {3}{4}}(3-z)^{\frac {1}{4}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>3</mn> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>z</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(z)=z^{\frac {3}{4}}(3-z)^{\frac {1}{4}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dbf45a8aacebb9922966c8ed3b484a3f29d1ced" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.383ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle f(z)=z^{\frac {3}{4}}(3-z)^{\frac {1}{4}}.}"></span></dd></dl> <p>の精密な分析が必要である。<i>f</i>(<i>z</i>) を、分岐切断が図に赤で示したように [0, 3] となるよう構成する。これをするため、2つの対数関数を、枝がそれぞれ </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z^{\frac {3}{4}}=\exp \left({\frac {3}{4}}\log(z)\right)\quad {\mbox{where}}\quad -\pi \leq \arg(z)<\pi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>exp</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> <mi>log</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mspace width="1em" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext>where</mtext> </mstyle> </mrow> <mspace width="1em" /> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>π<!-- π --></mi> <mo>≤<!-- ≤ --></mo> <mi>arg</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo><</mo> <mi>π<!-- π --></mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z^{\frac {3}{4}}=\exp \left({\frac {3}{4}}\log(z)\right)\quad {\mbox{where}}\quad -\pi \leq \arg(z)<\pi }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dacc5d06fab2155ae9ddab958184e9302534ea9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:49.58ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle z^{\frac {3}{4}}=\exp \left({\frac {3}{4}}\log(z)\right)\quad {\mbox{where}}\quad -\pi \leq \arg(z)<\pi }"></span></dd></dl> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (3-z)^{\frac {1}{4}}=\exp \left({\frac {1}{4}}\log(3-z)\right)\quad {\mbox{where}}\quad 0\leq \arg(3-z)<2\pi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>3</mn> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>z</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>exp</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> <mi>log</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>3</mn> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mspace width="1em" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext>where</mtext> </mstyle> </mrow> <mspace width="1em" /> <mn>0</mn> <mo>≤<!-- ≤ --></mo> <mi>arg</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>3</mn> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo><</mo> <mn>2</mn> <mi>π<!-- π --></mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (3-z)^{\frac {1}{4}}=\exp \left({\frac {1}{4}}\log(3-z)\right)\quad {\mbox{where}}\quad 0\leq \arg(3-z)<2\pi }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/480b48110d90a1c9edb4fd43b3f2f81d37760225" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:61.549ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle (3-z)^{\frac {1}{4}}=\exp \left({\frac {1}{4}}\log(3-z)\right)\quad {\mbox{where}}\quad 0\leq \arg(3-z)<2\pi }"></span></dd></dl> <p>となるよう選ぶ。 </p><p>このとき、<i>z</i><sup>3/4</sup> の分岐切断は (−∞, 0] であり、(3−<i>z</i>)<sup>1/4</sup> の分岐切断は (−∞, 3] となる。これらの積、つまり <i>f</i>(<i>z</i>) の分岐切断は [0, 3] である。なぜなら、<i>f</i>(<i>z</i>) は実は (−∞, 0) をまたいで連続になるからである。このことは、<i>z</i> = −<i>r</i> < 0 として (−∞, 0) に向かって上半平面から近づくときの <i>f</i>(<i>z</i>) の値が </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r^{\frac {3}{4}}\exp({\tfrac {3\pi i}{4}})(3+r)^{\frac {1}{4}}\exp({\tfrac {2\pi i}{4}})=r^{\frac {3}{4}}(3+r)^{\frac {1}{4}}\exp({\tfrac {5\pi i}{4}})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> </msup> <mi>exp</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mrow> <mn>3</mn> <mi>π<!-- π --></mi> <mi>i</mi> </mrow> <mn>4</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>3</mn> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> </msup> <mi>exp</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>π<!-- π --></mi> <mi>i</mi> </mrow> <mn>4</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>3</mn> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> </msup> <mi>exp</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mrow> <mn>5</mn> <mi>π<!-- π --></mi> <mi>i</mi> </mrow> <mn>4</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r^{\frac {3}{4}}\exp({\tfrac {3\pi i}{4}})(3+r)^{\frac {1}{4}}\exp({\tfrac {2\pi i}{4}})=r^{\frac {3}{4}}(3+r)^{\frac {1}{4}}\exp({\tfrac {5\pi i}{4}})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9b28dd5fc20ee9ad557a0290e50f00fee6ef55a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:52.609ex; height:4.343ex;" alt="{\displaystyle r^{\frac {3}{4}}\exp({\tfrac {3\pi i}{4}})(3+r)^{\frac {1}{4}}\exp({\tfrac {2\pi i}{4}})=r^{\frac {3}{4}}(3+r)^{\frac {1}{4}}\exp({\tfrac {5\pi i}{4}})}"></span></dd></dl> <p>であり、一方下半平面から近づくときの <i>f</i>(<i>z</i>) の値が </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r^{\frac {3}{4}}\exp(-{\tfrac {3\pi i}{4}})(3+r)^{\frac {1}{4}}\exp({\tfrac {0\pi i}{4}})=r^{\frac {3}{4}}(3+r)^{\frac {1}{4}}\exp(-{\tfrac {3\pi i}{4}})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> </msup> <mi>exp</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−<!-- − --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mrow> <mn>3</mn> <mi>π<!-- π --></mi> <mi>i</mi> </mrow> <mn>4</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>3</mn> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> </msup> <mi>exp</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mrow> <mn>0</mn> <mi>π<!-- π --></mi> <mi>i</mi> </mrow> <mn>4</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>3</mn> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> </msup> <mi>exp</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−<!-- − --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mrow> <mn>3</mn> <mi>π<!-- π --></mi> <mi>i</mi> </mrow> <mn>4</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r^{\frac {3}{4}}\exp(-{\tfrac {3\pi i}{4}})(3+r)^{\frac {1}{4}}\exp({\tfrac {0\pi i}{4}})=r^{\frac {3}{4}}(3+r)^{\frac {1}{4}}\exp(-{\tfrac {3\pi i}{4}})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60d274810bec5d0d9c6b40f3297d785f662e3ed2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:56.225ex; height:4.343ex;" alt="{\displaystyle r^{\frac {3}{4}}\exp(-{\tfrac {3\pi i}{4}})(3+r)^{\frac {1}{4}}\exp({\tfrac {0\pi i}{4}})=r^{\frac {3}{4}}(3+r)^{\frac {1}{4}}\exp(-{\tfrac {3\pi i}{4}})}"></span></dd></dl> <p>となるが、 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \exp(-{\tfrac {3\pi i}{4}})=\exp({\tfrac {5\pi i}{4}})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>exp</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−<!-- − --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mrow> <mn>3</mn> <mi>π<!-- π --></mi> <mi>i</mi> </mrow> <mn>4</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>exp</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mrow> <mn>5</mn> <mi>π<!-- π --></mi> <mi>i</mi> </mrow> <mn>4</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \exp(-{\tfrac {3\pi i}{4}})=\exp({\tfrac {5\pi i}{4}})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8fb36924573549036a70f23113b7d5ac016efe6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:21.965ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \exp(-{\tfrac {3\pi i}{4}})=\exp({\tfrac {5\pi i}{4}})}"></span></dd></dl> <p>だから、この両者は (−∞, 0) を越えて連続となることからわかる。図中では、2個の向きのついた黒い円周が、それぞれ <i>z</i><sup>3/4</sup> と (3−<i>z</i>)<sup>1/4</sup> を定義している対数関数の偏角とともに示されている。 </p><p>図中の緑色の積分路を使うことにする。このため線分のすぐ上側と、すぐ下側を通る経路上の積分を考える。これらの経路は極限では（つまり2個の緑色の円周が半径0となるとき）、<i>z</i> = <i>r</i> (0 ≤ <i>r</i> ≤ 3) となる。線分の上側では、<i>f</i>(<i>z</i>) の値は </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r^{\frac {3}{4}}\exp({\tfrac {0\pi i}{4}})(3-r)^{\frac {1}{4}}\exp({\tfrac {2\pi i}{4}})=i\,r^{\frac {3}{4}}(3-r)^{\frac {1}{4}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> </msup> <mi>exp</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mrow> <mn>0</mn> <mi>π<!-- π --></mi> <mi>i</mi> </mrow> <mn>4</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>3</mn> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> </msup> <mi>exp</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>π<!-- π --></mi> <mi>i</mi> </mrow> <mn>4</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>i</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>3</mn> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r^{\frac {3}{4}}\exp({\tfrac {0\pi i}{4}})(3-r)^{\frac {1}{4}}\exp({\tfrac {2\pi i}{4}})=i\,r^{\frac {3}{4}}(3-r)^{\frac {1}{4}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ba2d8562199e840fe2369c26a73001688dbcbdd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:44.882ex; height:4.343ex;" alt="{\displaystyle r^{\frac {3}{4}}\exp({\tfrac {0\pi i}{4}})(3-r)^{\frac {1}{4}}\exp({\tfrac {2\pi i}{4}})=i\,r^{\frac {3}{4}}(3-r)^{\frac {1}{4}}}"></span></dd></dl> <p>と求まる。線分の下側では、 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r^{\frac {3}{4}}\exp({\tfrac {0\pi i}{4}})(3-r)^{\frac {1}{4}}\exp({\tfrac {0\pi i}{4}})=r^{\frac {3}{4}}(3-r)^{\frac {1}{4}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> </msup> <mi>exp</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mrow> <mn>0</mn> <mi>π<!-- π --></mi> <mi>i</mi> </mrow> <mn>4</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>3</mn> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> </msup> <mi>exp</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mrow> <mn>0</mn> <mi>π<!-- π --></mi> <mi>i</mi> </mrow> <mn>4</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>3</mn> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r^{\frac {3}{4}}\exp({\tfrac {0\pi i}{4}})(3-r)^{\frac {1}{4}}\exp({\tfrac {0\pi i}{4}})=r^{\frac {3}{4}}(3-r)^{\frac {1}{4}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a3e06fb6a8af649c3bd2b467bb7e89ba7792fc6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:43.693ex; height:4.343ex;" alt="{\displaystyle r^{\frac {3}{4}}\exp({\tfrac {0\pi i}{4}})(3-r)^{\frac {1}{4}}\exp({\tfrac {0\pi i}{4}})=r^{\frac {3}{4}}(3-r)^{\frac {1}{4}}}"></span></dd></dl> <p>となる。これらより </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {f(z)}{5-z}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mn>5</mn> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {f(z)}{5-z}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaf0add8309203173e8c984ecfce236c9661a5b5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:5.927ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {f(z)}{5-z}}}"></span></dd></dl> <p>の積分は、線分の上側を通るとき極限では −<i>iI</i> となり、下側を通るとき極限では <i>I</i> となることがわかる。 </p><p>2個の緑色の円周上の積分が極限では消えることを示せれば、留数定理によって <i>I</i> の値も得られる。緑色の円周の半径を ρ とし、ρ < 1/1000 を満たしつつ ρ → 0 と向かう状況を考える。 </p><p>ML不等式を左側の円周 <i>C<sub>L</sub></i> に適用すると、 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left|\int _{C_{L}}{\frac {f(z)}{5-z}}dz\right|\leq 2\pi \rho {\frac {\rho ^{\frac {3}{4}}(3+{\frac {1}{1000}})^{\frac {1}{4}}}{5-{\frac {1}{1000}}}}\in {\mathcal {O}}\left(\rho ^{\frac {7}{4}}\right)\to 0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <msub> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>C</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>L</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mn>5</mn> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mi>d</mi> <mi>z</mi> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>≤<!-- ≤ --></mo> <mn>2</mn> <mi>π<!-- π --></mi> <mi>ρ<!-- ρ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>ρ<!-- ρ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>3</mn> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>1000</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mn>5</mn> <mo>−<!-- − --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>1000</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>∈<!-- ∈ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">O</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>ρ<!-- ρ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>7</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">→<!-- → --></mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left|\int _{C_{L}}{\frac {f(z)}{5-z}}dz\right|\leq 2\pi \rho {\frac {\rho ^{\frac {3}{4}}(3+{\frac {1}{1000}})^{\frac {1}{4}}}{5-{\frac {1}{1000}}}}\in {\mathcal {O}}\left(\rho ^{\frac {7}{4}}\right)\to 0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c77662401246ab1eb83a8932111ef8c7738d4866" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.505ex; width:52.138ex; height:9.009ex;" alt="{\displaystyle \left|\int _{C_{L}}{\frac {f(z)}{5-z}}dz\right|\leq 2\pi \rho {\frac {\rho ^{\frac {3}{4}}(3+{\frac {1}{1000}})^{\frac {1}{4}}}{5-{\frac {1}{1000}}}}\in {\mathcal {O}}\left(\rho ^{\frac {7}{4}}\right)\to 0}"></span></dd></dl> <p>が得られる。同様に、右側の円周 <i>C</i><sub><i>R</i></sub> に適用すると、 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left|\int _{C_{R}}{\frac {f(z)}{5-z}}dz\right|\leq 2\pi \rho {\frac {(3+{\frac {1}{1000}})^{\frac {3}{4}}\rho ^{\frac {1}{4}}}{2-{\frac {1}{1000}}}}\in {\mathcal {O}}\left(\rho ^{\frac {5}{4}}\right)\to 0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <msub> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>C</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>R</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mn>5</mn> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mi>d</mi> <mi>z</mi> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>≤<!-- ≤ --></mo> <mn>2</mn> <mi>π<!-- π --></mi> <mi>ρ<!-- ρ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>3</mn> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>1000</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> </msup> <msup> <mi>ρ<!-- ρ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mo>−<!-- − --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>1000</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>∈<!-- ∈ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">O</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>ρ<!-- ρ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>5</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">→<!-- → --></mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left|\int _{C_{R}}{\frac {f(z)}{5-z}}dz\right|\leq 2\pi \rho {\frac {(3+{\frac {1}{1000}})^{\frac {3}{4}}\rho ^{\frac {1}{4}}}{2-{\frac {1}{1000}}}}\in {\mathcal {O}}\left(\rho ^{\frac {5}{4}}\right)\to 0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/668b76a47b53f4bb4aa042297d423dbe0f7031f3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.505ex; width:52.242ex; height:9.009ex;" alt="{\displaystyle \left|\int _{C_{R}}{\frac {f(z)}{5-z}}dz\right|\leq 2\pi \rho {\frac {(3+{\frac {1}{1000}})^{\frac {3}{4}}\rho ^{\frac {1}{4}}}{2-{\frac {1}{1000}}}}\in {\mathcal {O}}\left(\rho ^{\frac {5}{4}}\right)\to 0}"></span></dd></dl> <p>が得られる。 </p><p>ここで留数定理より（今考えている積分路は、内側には有限個の孤立特異点を囲めていない事に注意する）、 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (-i+1)I=-2\pi i\left(\mathrm {Res} _{z=5}{\frac {f(z)}{5-z}}+\mathrm {Res} _{z=\infty }{\frac {f(z)}{5-z}}\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>i</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>I</mi> <mo>=</mo> <mo>−<!-- − --></mo> <mn>2</mn> <mi>π<!-- π --></mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">R</mi> <mi mathvariant="normal">e</mi> <mi mathvariant="normal">s</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mn>5</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mn>5</mn> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">R</mi> <mi mathvariant="normal">e</mi> <mi mathvariant="normal">s</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mn>5</mn> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (-i+1)I=-2\pi i\left(\mathrm {Res} _{z=5}{\frac {f(z)}{5-z}}+\mathrm {Res} _{z=\infty }{\frac {f(z)}{5-z}}\right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e41900a64d51e02253519415b887d9324c1fa0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:50.645ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle (-i+1)I=-2\pi i\left(\mathrm {Res} _{z=5}{\frac {f(z)}{5-z}}+\mathrm {Res} _{z=\infty }{\frac {f(z)}{5-z}}\right)}"></span></dd></dl> <p>となる。ここで右辺の最初に負号がついているのは、特異点から見ると積分路は時計回りをしているからである。上で定めた対数関数の枝を使うと、明らかに </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {Res} _{z=5}{\frac {f(z)}{5-z}}=-5^{\frac {3}{4}}\exp \left({\tfrac {\log(-2)}{4}}\right).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">R</mi> <mi mathvariant="normal">e</mi> <mi mathvariant="normal">s</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mn>5</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mn>5</mn> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mo>−<!-- − --></mo> <msup> <mn>5</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> </msup> <mi>exp</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mrow> <mi>log</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−<!-- − --></mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mn>4</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {Res} _{z=5}{\frac {f(z)}{5-z}}=-5^{\frac {3}{4}}\exp \left({\tfrac {\log(-2)}{4}}\right).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2a248503bc81846b36c575c535874b5ef829b3d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:34.173ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {Res} _{z=5}{\frac {f(z)}{5-z}}=-5^{\frac {3}{4}}\exp \left({\tfrac {\log(-2)}{4}}\right).}"></span></dd></dl> <p>この極は図では青い点で示されている。値は単純化されて </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -5^{\frac {3}{4}}\exp \left({\tfrac {\log(2)+\pi i}{4}}\right)=-\exp({\tfrac {\pi i}{4}})5^{\frac {3}{4}}2^{\frac {1}{4}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−<!-- − --></mo> <msup> <mn>5</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> </msup> <mi>exp</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mrow> <mi>log</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>π<!-- π --></mi> <mi>i</mi> </mrow> <mn>4</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>exp</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mrow> <mi>π<!-- π --></mi> <mi>i</mi> </mrow> <mn>4</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <msup> <mn>5</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> </msup> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -5^{\frac {3}{4}}\exp \left({\tfrac {\log(2)+\pi i}{4}}\right)=-\exp({\tfrac {\pi i}{4}})5^{\frac {3}{4}}2^{\frac {1}{4}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/066ec3d6ef07dc097eef29939676d11d1214f3cb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:38.045ex; height:5.009ex;" alt="{\displaystyle -5^{\frac {3}{4}}\exp \left({\tfrac {\log(2)+\pi i}{4}}\right)=-\exp({\tfrac {\pi i}{4}})5^{\frac {3}{4}}2^{\frac {1}{4}}}"></span></dd></dl> <p>となる。 </p><p>無限遠点での留数を求めるのに、次の公式を使う。 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {Res} _{z=\infty }h(z)=\mathrm {Res} _{z=0}\left[-{\frac {1}{z^{2}}}h\left({\frac {1}{z}}\right)\right].}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">R</mi> <mi mathvariant="normal">e</mi> <mi mathvariant="normal">s</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi> </mrow> </msub> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">R</mi> <mi mathvariant="normal">e</mi> <mi mathvariant="normal">s</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mi>h</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>z</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {Res} _{z=\infty }h(z)=\mathrm {Res} _{z=0}\left[-{\frac {1}{z^{2}}}h\left({\frac {1}{z}}\right)\right].}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4613847fb0db7551db4310746bff50ea2af89663" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:37.49ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {Res} _{z=\infty }h(z)=\mathrm {Res} _{z=0}\left[-{\frac {1}{z^{2}}}h\left({\frac {1}{z}}\right)\right].}"></span></dd></dl> <p><i>z</i> を <i>1/z</i> に置き換えて、 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{5-{\frac {1}{z}}}}=-z\left(1+5z+5^{2}z^{2}+5^{3}z^{3}+\cdots \right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>5</mn> <mo>−<!-- − --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>z</mi> </mfrac> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mn>5</mn> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <msup> <mn>5</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mn>5</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo>⋯<!-- ⋯ --></mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{5-{\frac {1}{z}}}}=-z\left(1+5z+5^{2}z^{2}+5^{3}z^{3}+\cdots \right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53fe30a07fd0b26fdb622e31ae21097eceb533c5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:41.229ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{5-{\frac {1}{z}}}}=-z\left(1+5z+5^{2}z^{2}+5^{3}z^{3}+\cdots \right)}"></span></dd></dl> <p>および </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left({\frac {1}{z^{3}}}\left(3-{\frac {1}{z}}\right)\right)^{\frac {1}{4}}={\frac {1}{z}}(3z-1)^{\frac {1}{4}}={\frac {1}{z}}\exp({\tfrac {\pi i}{4}})(1-3z)^{\frac {1}{4}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>3</mn> <mo>−<!-- − --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>z</mi> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>z</mi> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>3</mn> <mi>z</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mn>1</mn> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>z</mi> </mfrac> </mrow> <mi>exp</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mrow> <mi>π<!-- π --></mi> <mi>i</mi> </mrow> <mn>4</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>−<!-- − --></mo> <mn>3</mn> <mi>z</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left({\frac {1}{z^{3}}}\left(3-{\frac {1}{z}}\right)\right)^{\frac {1}{4}}={\frac {1}{z}}(3z-1)^{\frac {1}{4}}={\frac {1}{z}}\exp({\tfrac {\pi i}{4}})(1-3z)^{\frac {1}{4}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ede07edc212d526eb4ed623442a9c709b40a13d3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:55.833ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle \left({\frac {1}{z^{3}}}\left(3-{\frac {1}{z}}\right)\right)^{\frac {1}{4}}={\frac {1}{z}}(3z-1)^{\frac {1}{4}}={\frac {1}{z}}\exp({\tfrac {\pi i}{4}})(1-3z)^{\frac {1}{4}}}"></span></dd></dl> <p>を得る。ここで、2番目の対数関数の枝について −1 = <i>e</i><sup><i>i</i>π</sup> であることを用いた。 </p><p>更に<a href="/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E7%B4%9A%E6%95%B0" title="二項級数">二項展開</a>から、 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{z}}\exp({\tfrac {\pi i}{4}})\left(1-{{\frac {1}{4}} \choose 1}3z+{{\frac {1}{4}} \choose 2}3^{2}z^{2}-{{\frac {1}{4}} \choose 3}3^{3}z^{3}+\cdots \right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>z</mi> </mfrac> </mrow> <mi>exp</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mrow> <mi>π<!-- π --></mi> <mi>i</mi> </mrow> <mn>4</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−<!-- − --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">(</mo> </mrow> <mfrac linethickness="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> <mn>1</mn> </mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">)</mo> </mrow> </mrow> </mrow> <mn>3</mn> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">(</mo> </mrow> <mfrac linethickness="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">)</mo> </mrow> </mrow> </mrow> <msup> <mn>3</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−<!-- − --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">(</mo> </mrow> <mfrac linethickness="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> <mn>3</mn> </mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">)</mo> </mrow> </mrow> </mrow> <msup> <mn>3</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo>⋯<!-- ⋯ --></mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{z}}\exp({\tfrac {\pi i}{4}})\left(1-{{\frac {1}{4}} \choose 1}3z+{{\frac {1}{4}} \choose 2}3^{2}z^{2}-{{\frac {1}{4}} \choose 3}3^{3}z^{3}+\cdots \right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d841aa685bff50254f70a21fbf945c15ee14097" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:55.619ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{z}}\exp({\tfrac {\pi i}{4}})\left(1-{{\frac {1}{4}} \choose 1}3z+{{\frac {1}{4}} \choose 2}3^{2}z^{2}-{{\frac {1}{4}} \choose 3}3^{3}z^{3}+\cdots \right)}"></span></dd></dl> <p>を得る。結論として、留数 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {Res} _{z=\infty }{\frac {f(z)}{5-z}}=\exp({\tfrac {\pi i}{4}})\left(5-{\frac {3}{4}}\right)=\exp({\tfrac {\pi i}{4}}){\frac {17}{4}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">R</mi> <mi mathvariant="normal">e</mi> <mi mathvariant="normal">s</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mn>5</mn> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mi>exp</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mrow> <mi>π<!-- π --></mi> <mi>i</mi> </mrow> <mn>4</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>5</mn> <mo>−<!-- − --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>exp</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mrow> <mi>π<!-- π --></mi> <mi>i</mi> </mrow> <mn>4</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>17</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {Res} _{z=\infty }{\frac {f(z)}{5-z}}=\exp({\tfrac {\pi i}{4}})\left(5-{\frac {3}{4}}\right)=\exp({\tfrac {\pi i}{4}}){\frac {17}{4}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5717802ce0a4847eccc9187b1454ef5a3bad689a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:48.092ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {Res} _{z=\infty }{\frac {f(z)}{5-z}}=\exp({\tfrac {\pi i}{4}})\left(5-{\frac {3}{4}}\right)=\exp({\tfrac {\pi i}{4}}){\frac {17}{4}}}"></span></dd></dl> <p>が得られた。 </p><p>以上より、最終的に <i>I</i> の値は </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}I&=2\pi i{\frac {\exp({\tfrac {\pi i}{4}})}{-1+i}}\left({\frac {17}{4}}-5^{\frac {3}{4}}2^{\frac {1}{4}}\right)=2\pi 2^{-{\frac {1}{2}}}\left({\frac {17}{4}}-5^{\frac {3}{4}}2^{\frac {1}{4}}\right)\\&={\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}\left(17-5^{\frac {3}{4}}2^{\frac {9}{4}}\right)={\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}\left(17-40^{\frac {3}{4}}\right)\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>I</mi> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>π<!-- π --></mi> <mi>i</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>exp</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mrow> <mi>π<!-- π --></mi> <mi>i</mi> </mrow> <mn>4</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>i</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>17</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <msup> <mn>5</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> </msup> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>π<!-- π --></mi> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>17</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <msup> <mn>5</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> </msup> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>π<!-- π --></mi> <mrow> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>17</mn> <mo>−<!-- − --></mo> <msup> <mn>5</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> </msup> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>9</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>π<!-- π --></mi> <mrow> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>17</mn> <mo>−<!-- − --></mo> <msup> <mn>40</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}I&=2\pi i{\frac {\exp({\tfrac {\pi i}{4}})}{-1+i}}\left({\frac {17}{4}}-5^{\frac {3}{4}}2^{\frac {1}{4}}\right)=2\pi 2^{-{\frac {1}{2}}}\left({\frac {17}{4}}-5^{\frac {3}{4}}2^{\frac {1}{4}}\right)\\&={\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}\left(17-5^{\frac {3}{4}}2^{\frac {9}{4}}\right)={\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}\left(17-40^{\frac {3}{4}}\right)\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b4a2ec4b05c6bb64db7827c286e1a4d36383181" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.171ex; width:57.844ex; height:13.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}I&=2\pi i{\frac {\exp({\tfrac {\pi i}{4}})}{-1+i}}\left({\frac {17}{4}}-5^{\frac {3}{4}}2^{\frac {1}{4}}\right)=2\pi 2^{-{\frac {1}{2}}}\left({\frac {17}{4}}-5^{\frac {3}{4}}2^{\frac {1}{4}}\right)\\&={\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}\left(17-5^{\frac {3}{4}}2^{\frac {9}{4}}\right)={\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}\left(17-40^{\frac {3}{4}}\right)\end{aligned}}}"></span></dd></dl> <p>と求まる。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="積分表現"><span id=".E7.A9.8D.E5.88.86.E8.A1.A8.E7.8F.BE"></span>積分表現</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E8%A4%87%E7%B4%A0%E7%B7%9A%E7%A9%8D%E5%88%86&action=edit&section=20" title="節を編集: 積分表現"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<a href="/w/index.php?title=%E7%A9%8D%E5%88%86%E8%A1%A8%E7%8F%BE&action=edit&redlink=1" class="new" title="「積分表現」 (存在しないページ)">積分表現</a>」を参照</div> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101304250"><table class="box-節スタブ plainlinks metadata ambox mbox-small-left ambox-content" role="presentation"><tbody><tr><td class="mbox-image"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Wiki_letter_w_cropped.svg" class="mw-file-description"><img alt="[icon]" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1c/Wiki_letter_w_cropped.svg/20px-Wiki_letter_w_cropped.svg.png" decoding="async" width="20" height="14" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1c/Wiki_letter_w_cropped.svg/30px-Wiki_letter_w_cropped.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1c/Wiki_letter_w_cropped.svg/40px-Wiki_letter_w_cropped.svg.png 2x" data-file-width="44" data-file-height="31" /></a></span></td><td class="mbox-text"><div class="mbox-text-span">この節の<a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=%E8%A4%87%E7%B4%A0%E7%B7%9A%E7%A9%8D%E5%88%86&action=edit">加筆</a>が望まれています。<span class="hide-when-compact">  <small>（<span title="November 2013">2013年11月</span>）</small></span></div></td></tr></tbody></table> <p>関数の<b>積分表現</b> (integral representation) とは路に沿う積分を含む関数の表示である。様々な積分表現が多くの<a href="/wiki/%E7%89%B9%E6%AE%8A%E9%96%A2%E6%95%B0" title="特殊関数">特殊関数</a>に対して知られている。積分表現は理論的な理由で重要となり得る。例えば<a href="/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E6%8E%A5%E7%B6%9A" title="解析接続">解析接続</a>や<a href="/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0%E7%AD%89%E5%BC%8F" class="mw-redirect" title="関数等式">関数等式</a>やときには<a href="/w/index.php?title=%E6%95%B0%E5%80%A4%E8%A9%95%E4%BE%A1&action=edit&redlink=1" class="new" title="「数値評価」 (存在しないページ)">数値評価</a>を与える。 </p> <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Hankel_contour.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/43/Hankel_contour.png/150px-Hankel_contour.png" decoding="async" width="150" height="150" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/43/Hankel_contour.png 1.5x" data-file-width="180" data-file-height="180" /></a><figcaption>ハンケルの積分路</figcaption></figure> <p>例えば、<a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E3%81%AE%E3%82%BC%E3%83%BC%E3%82%BF%E9%96%A2%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="リーマンのゼータ関数">リーマンのゼータ関数</a> <span lang="en" class="texhtml"><i>ζ</i>(<i>s</i>)</span> の<a href="/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%AA%E3%82%AF%E3%83%AC%E7%B4%9A%E6%95%B0" title="ディリクレ級数">ディリクレ級数</a>を用いたもともとの定義 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munderover> <mo>∑<!-- ∑ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>s</mi> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3279862a2f3320d1102324cb7884b56fddb10ebf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:6.976ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}"></span></dd></dl> <p>は <span lang="en" class="texhtml">Re(<i>s</i>) > 1</span> に対してのみ有効である。しかし </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \zeta (s)=-{\frac {\Gamma (1-s)}{2\pi i}}\int _{H}{\frac {(-t)^{s-1}}{e^{t}-1}}dt}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ζ<!-- ζ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>s</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo>−<!-- − --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">Γ<!-- Γ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>s</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>π<!-- π --></mi> <mi>i</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <msub> <mo>∫<!-- ∫ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>H</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>s</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msup> <mo>−<!-- − --></mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \zeta (s)=-{\frac {\Gamma (1-s)}{2\pi i}}\int _{H}{\frac {(-t)^{s-1}}{e^{t}-1}}dt}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/337e650749a99013168652add8b314cc1f2e4fcd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:32.304ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \zeta (s)=-{\frac {\Gamma (1-s)}{2\pi i}}\int _{H}{\frac {(-t)^{s-1}}{e^{t}-1}}dt}"></span></dd></dl> <p>（ただし積分は<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%8F%E3%83%B3%E3%82%B1%E3%83%AB%E3%81%AE%E7%A9%8D%E5%88%86%E8%B7%AF&action=edit&redlink=1" class="new" title="「ハンケルの積分路」 (存在しないページ)">ハンケルの積分路</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Hankel_contour" class="extiw" title="en:Hankel contour">英語版</a>）</span></span> <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">H</span> 上する）はすべての複素数 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">s</span> に対して有効である。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="関連項目"><span id=".E9.96.A2.E9.80.A3.E9.A0.85.E7.9B.AE"></span>関連項目 </h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E8%A4%87%E7%B4%A0%E7%B7%9A%E7%A9%8D%E5%88%86&action=edit&section=21" title="節を編集: 関連項目 "><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/%E7%95%99%E6%95%B0" title="留数">留数</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E3%81%AE%E4%B8%BB%E5%80%A4" title="コーシーの主値">コーシーの主値</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E3%83%9D%E3%82%A2%E3%82%BD%E3%83%B3%E7%A9%8D%E5%88%86&action=edit&redlink=1" class="new" title="「ポアソン積分」 (存在しないページ)">ポアソン積分</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%9D%E3%83%83%E3%83%9B%E3%83%8F%E3%83%9E%E3%83%BC%E3%81%AE%E7%A9%8D%E5%88%86%E8%B7%AF&action=edit&redlink=1" class="new" title="「ポッホハマーの積分路」 (存在しないページ)">ポッホハマーの積分路</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Pochhammer_contour" class="extiw" title="en:Pochhammer contour">英語版</a>）</span></span></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="出典"><span id=".E5.87.BA.E5.85.B8"></span>出典 </h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E8%A4%87%E7%B4%A0%E7%B7%9A%E7%A9%8D%E5%88%86&action=edit&section=22" title="節を編集: 出典 "><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="reflist" style="list-style-type: decimal;"> <ol class="references"> <li id="cite_note-Stalker-1"><b><a href="#cite_ref-Stalker_1-0">^</a></b> <span class="reference-text"><cite style="font-style:normal" class="citation book">John Stalker (1998). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=yl3GIXd3dFIC&pg=PP12&dq=%22calculus+of+residues%22#PPA77,M1"><i>Complex Analysis: Fundamentals of the Classical Theory of Functions</i></a>. Springer. p. 77. <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r101121245">.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation.cs-ja1 q,.mw-parser-output .citation.cs-ja2 q{quotes:"「""」""『""』"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg")right 0.1em center/12px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:none;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;color:var(--color-error,#d33)}.mw-parser-output .cs1-visible-error{color:var(--color-error,#d33)}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:var(--color-success,#3a3);margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}</style><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/0-8176-4038-X" title="特別:文献資料/0-8176-4038-X">0-8176-4038-X</a><span style="display:none;">. <a rel="nofollow" class="external free" href="https://books.google.com/books?id=yl3GIXd3dFIC&pg=PP12&dq=%22calculus+of+residues%22#PPA77,M1">https://books.google.com/books?id=yl3GIXd3dFIC&pg=PP12&dq=%22calculus+of+residues%22#PPA77,M1</a></span></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Complex+Analysis%3A+Fundamentals+of+the+Classical+Theory+of+Functions&rft.aulast=John+Stalker&rft.au=John+Stalker&rft.date=1998&rft.pages=p.%26nbsp%3B77&rft.pub=Springer&rft.isbn=0-8176-4038-X&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3Dyl3GIXd3dFIC%26pg%3DPP12%26dq%3D%2522calculus%2Bof%2Bresidues%2522%23PPA77%2CM1&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E8%A4%87%E7%B4%A0%E7%B7%9A%E7%A9%8D%E5%88%86"><span style="display: none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-Bak-2"><b><a href="#cite_ref-Bak_2-0">^</a></b> <span class="reference-text"><cite style="font-style:normal" class="citation book">Joseph Bak & Donald J. Newman (1997). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=JX2YSgfZwbYC&pg=PA130&dq=%22contour+integral%22#PPA130,M1"><i>Complex Analysis</i></a>. Springer. Chapters 11 & 12, pp. 130–156. <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/0-387-94756-6" title="特別:文献資料/0-387-94756-6">0-387-94756-6</a><span style="display:none;">. <a rel="nofollow" class="external free" href="https://books.google.com/books?id=JX2YSgfZwbYC&pg=PA130&dq=%22contour+integral%22#PPA130,M1">https://books.google.com/books?id=JX2YSgfZwbYC&pg=PA130&dq=%22contour+integral%22#PPA130,M1</a></span></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Complex+Analysis&rft.aulast=Joseph+Bak+%26+Donald+J.+Newman&rft.au=Joseph+Bak+%26+Donald+J.+Newman&rft.date=1997&rft.pages=Chapters+11+%26+12%2C+pp.+130%E2%80%93156&rft.pub=Springer&rft.isbn=0-387-94756-6&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3DJX2YSgfZwbYC%26pg%3DPA130%26dq%3D%2522contour%2Bintegral%2522%23PPA130%2CM1&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E8%A4%87%E7%B4%A0%E7%B7%9A%E7%A9%8D%E5%88%86"><span style="display: none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-Krantz-3"><b><a href="#cite_ref-Krantz_3-0">^</a></b> <span class="reference-text"><cite style="font-style:normal" class="citation book">Steven George Krantz (1999). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=aYU2AdF_0dIC&pg=PT13&dq=Calculus++Residues+inauthor:krantz#PPT47,M1">“Chapter 2”</a>. <i>Handbook of Complex Variables</i>. Springer. <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/0-8176-4011-8" title="特別:文献資料/0-8176-4011-8">0-8176-4011-8</a><span style="display:none;">. <a rel="nofollow" class="external free" href="https://books.google.com/books?id=aYU2AdF_0dIC&pg=PT13&dq=Calculus++Residues+inauthor:krantz#PPT47,M1">https://books.google.com/books?id=aYU2AdF_0dIC&pg=PT13&dq=Calculus++Residues+inauthor:krantz#PPT47,M1</a></span></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.btitle=Chapter+2&rft.atitle=Handbook+of+Complex+Variables&rft.aulast=Steven+George+Krantz&rft.au=Steven+George+Krantz&rft.date=1999&rft.pub=Springer&rft.isbn=0-8176-4011-8&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3DaYU2AdF_0dIC%26pg%3DPT13%26dq%3DCalculus%2B%2BResidues%2Binauthor%3Akrantz%23PPT47%2CM1&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E8%A4%87%E7%B4%A0%E7%B7%9A%E7%A9%8D%E5%88%86"><span style="display: none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-Mitrinovic1-4"><b><a href="#cite_ref-Mitrinovic1_4-0">^</a></b> <span class="reference-text"><cite style="font-style:normal" class="citation book">Dragoslav S. Mitrinovic & Jovan D. Keckic (1984). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=-suKhxfPH5AC&printsec=frontcover&dq=%22calculus+of+residues%22#PPA5,M1">“Chapter 2”</a>. <i>The Cauchy Method of Residues: Theory and Applications</i>. Springer. <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/90-277-1623-4" title="特別:文献資料/90-277-1623-4">90-277-1623-4</a><span style="display:none;">. <a rel="nofollow" class="external free" href="https://books.google.com/books?id=-suKhxfPH5AC&printsec=frontcover&dq=%22calculus+of+residues%22#PPA5,M1">https://books.google.com/books?id=-suKhxfPH5AC&printsec=frontcover&dq=%22calculus+of+residues%22#PPA5,M1</a></span></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.btitle=Chapter+2&rft.atitle=The+Cauchy+Method+of+Residues%3A+Theory+and+Applications&rft.aulast=Dragoslav+S.+Mitrinovic+%26+Jovan+D.+Keckic&rft.au=Dragoslav+S.+Mitrinovic+%26+Jovan+D.+Keckic&rft.date=1984&rft.pub=Springer&rft.isbn=90-277-1623-4&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3D-suKhxfPH5AC%26printsec%3Dfrontcover%26dq%3D%2522calculus%2Bof%2Bresidues%2522%23PPA5%2CM1&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E8%A4%87%E7%B4%A0%E7%B7%9A%E7%A9%8D%E5%88%86"><span style="display: none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-Mitrinovic2-5"><b><a href="#cite_ref-Mitrinovic2_5-0">^</a></b> <span class="reference-text"><cite style="font-style:normal" class="citation book">Dragoslav S. Mitrinovic & Jovan D. Keckic (1984). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=-suKhxfPH5AC&printsec=frontcover&dq=%22calculus+of+residues%22#PPA108,M1"><i>Chapter 5</i></a>. <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/90-277-1623-4" title="特別:文献資料/90-277-1623-4">90-277-1623-4</a><span style="display:none;">. <a rel="nofollow" class="external free" href="https://books.google.com/books?id=-suKhxfPH5AC&printsec=frontcover&dq=%22calculus+of+residues%22#PPA108,M1">https://books.google.com/books?id=-suKhxfPH5AC&printsec=frontcover&dq=%22calculus+of+residues%22#PPA108,M1</a></span></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Chapter+5&rft.aulast=Dragoslav+S.+Mitrinovic+%26+Jovan+D.+Keckic&rft.au=Dragoslav+S.+Mitrinovic+%26+Jovan+D.+Keckic&rft.date=1984&rft.isbn=90-277-1623-4&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3D-suKhxfPH5AC%26printsec%3Dfrontcover%26dq%3D%2522calculus%2Bof%2Bresidues%2522%23PPA108%2CM1&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E8%A4%87%E7%B4%A0%E7%B7%9A%E7%A9%8D%E5%88%86"><span style="display: none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-Saff-6">^ <a href="#cite_ref-Saff_6-0"><sup><i><b>a</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-Saff_6-1"><sup><i><b>b</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-Saff_6-2"><sup><i><b>c</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-Saff_6-3"><sup><i><b>d</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-Saff_6-4"><sup><i><b>e</b></i></sup></a> <span class="reference-text"><cite style="font-style:normal" class="citation book">Edward B. Saff & Arthur David Snider (2003). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=fVsZAQAAIAAJ&q=saff+%26+Snider&dq=saff+%26+Snider&hl=en&sa=X&ei=rT7PUPaiL4OE2gXvg4GoBQ&ved=0CFEQ6AEwAw"><i>Chapter 4</i></a>. <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/01-390-7874-6" title="特別:文献資料/01-390-7874-6">01-390-7874-6</a><span style="display:none;">. <a rel="nofollow" class="external free" href="https://books.google.com/books?id=fVsZAQAAIAAJ&q=saff+%26+Snider&dq=saff+%26+Snider&hl=en&sa=X&ei=rT7PUPaiL4OE2gXvg4GoBQ&ved=0CFEQ6AEwAw">https://books.google.com/books?id=fVsZAQAAIAAJ&q=saff+%26+Snider&dq=saff+%26+Snider&hl=en&sa=X&ei=rT7PUPaiL4OE2gXvg4GoBQ&ved=0CFEQ6AEwAw</a></span></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Chapter+4&rft.aulast=Edward+B.+Saff+%26+Arthur+David+Snider&rft.au=Edward+B.+Saff+%26+Arthur+David+Snider&rft.date=2003&rft.isbn=01-390-7874-6&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3DfVsZAQAAIAAJ%26q%3Dsaff%2B%2526%2BSnider%26dq%3Dsaff%2B%2526%2BSnider%26hl%3Den%26sa%3DX%26ei%3DrT7PUPaiL4OE2gXvg4GoBQ%26ved%3D0CFEQ6AEwAw&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E8%A4%87%E7%B4%A0%E7%B7%9A%E7%A9%8D%E5%88%86"><span style="display: none;"> </span></span></span> </li> </ol></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="注釈"><span id=".E6.B3.A8.E9.87.88"></span>注釈 </h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E8%A4%87%E7%B4%A0%E7%B7%9A%E7%A9%8D%E5%88%86&action=edit&section=23" title="節を編集: 注釈 "><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ol class="references"> <li id="cite_note-7"><b><a href="#cite_ref-7">^</a></b> <span class="reference-text">（訳注）実軸に平行な路に沿った複素線積分の収束性については、厳密にはもう少し議論が要るように思われる（これに続く例でも同様）。 この箇所の実軸下側の複素線積分について述べれば、例えば、<i>n</i> を自然数、<i>x</i> ∈ [0, +∞)、1<sub>A</sub>(・) を<a href="/wiki/%E6%8C%87%E7%A4%BA%E9%96%A2%E6%95%B0" title="指示関数">指示関数</a>として <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {e^{{1 \over 2}\log {|x-{\frac {i}{n}}|}}e^{(i/2)\arg {(x-{\frac {i}{n}})}} \over (x-{\frac {i}{n}})^{2}+6(x-{\frac {i}{n}})+8}\cdot 1_{[{\frac {1}{n}},n]}(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>log</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>x</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>i</mi> <mi>n</mi> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> </mrow> </mrow> </msup> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>i</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>arg</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>i</mi> <mi>n</mi> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>i</mi> <mi>n</mi> </mfrac> </mrow> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>6</mn> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>i</mi> <mi>n</mi> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mn>8</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>⋅<!-- ⋅ --></mo> <msub> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">[</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>n</mi> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">]</mo> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {e^{{1 \over 2}\log {|x-{\frac {i}{n}}|}}e^{(i/2)\arg {(x-{\frac {i}{n}})}} \over (x-{\frac {i}{n}})^{2}+6(x-{\frac {i}{n}})+8}\cdot 1_{[{\frac {1}{n}},n]}(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ed3daa19871026d7bce15bc6a89cdcf17f1f578" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:35.707ex; height:8.176ex;" alt="{\displaystyle {e^{{1 \over 2}\log {|x-{\frac {i}{n}}|}}e^{(i/2)\arg {(x-{\frac {i}{n}})}} \over (x-{\frac {i}{n}})^{2}+6(x-{\frac {i}{n}})+8}\cdot 1_{[{\frac {1}{n}},n]}(x)}"></span></dd></dl> は <i>n</i> によらずに [0, +∞) 上可積分かつ、可積分関数 <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {e^{{1 \over 2}\log {|x+1|}} \over x^{2}+6x+8}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>log</mi> <mo>⁡<!-- --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> </mrow> </mrow> </msup> <mrow> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>6</mn> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>8</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {e^{{1 \over 2}\log {|x+1|}} \over x^{2}+6x+8}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00f8b522eab28881a79cd351552947e0586b2f69" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:12.555ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle {e^{{1 \over 2}\log {|x+1|}} \over x^{2}+6x+8}}"></span></dd></dl> で絶対値が上から抑えられ、更に <i>n</i> → ∞ のとき <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {-{\sqrt {x}} \over x^{2}+6x+8}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>x</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> <mrow> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>6</mn> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>8</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {-{\sqrt {x}} \over x^{2}+6x+8}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11aadc871b99ea5dc7c56326aeeb461ebdc9bf74" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:12.555ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle {-{\sqrt {x}} \over x^{2}+6x+8}}"></span></dd></dl> に各点収束する。よって<a href="/wiki/%E5%84%AA%E5%8F%8E%E6%9D%9F%E5%AE%9A%E7%90%86" title="優収束定理">優収束定理</a>により、本文で述べているような変形が正当化される。</span> </li> </ol> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="関連文献"><span id=".E9.96.A2.E9.80.A3.E6.96.87.E7.8C.AE"></span>関連文献 </h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E8%A4%87%E7%B4%A0%E7%B7%9A%E7%A9%8D%E5%88%86&action=edit&section=24" title="節を編集: 関連文献 "><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFTitchmarsh1939"><a href="/w/index.php?title=E.C._Titchmarsh&action=edit&redlink=1" class="new" title="「E.C. Titchmarsh」 (存在しないページ)">Titchmarsh, E.C.</a> (1939), <i>The Theory of Functions</i> (2nd ed.), <a href="/wiki/Oxford_University_Press" class="mw-redirect" title="Oxford University Press">Oxford University Press</a>, <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/0-19-853349-7" title="特別:文献資料/0-19-853349-7">0-19-853349-7</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=The+Theory+of+Functions&rft.aulast=Titchmarsh&rft.aufirst=E.C.&rft.au=Titchmarsh%2C%26%2332%3BE.C.&rft.date=1939&rft.edition=2nd&rft.pub=%5B%5BOxford+University+Press%5D%5D&rft.isbn=0-19-853349-7&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E8%A4%87%E7%B4%A0%E7%B7%9A%E7%A9%8D%E5%88%86"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li>Jean Jacquelin, Marko Riedel, <i><a rel="nofollow" class="external text" href="http://les-mathematiques.u-strasbg.fr/phorum/read.php?f=2&i=333327&t=333327">Branche univalente</a>, Les-Mathematiques.net</i>, in French.</li> <li>Marko Riedel et al., <i><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,507617,507807#msg-507807">Problème d'intégrale</a>, Les-Mathematiques.net</i>, in French.</li> <li>Marko Riedel et al., <i><a rel="nofollow" class="external text" href="http://math.stackexchange.com/questions/1189503">Integral by residue</a>, math.stackexchange.com</i>.</li> <li>Various authors, <i><a rel="nofollow" class="external text" href="https://groups.google.com/g/es.ciencia.matematicas/c/A2pojJtrutM#2019491b71b209bd">sin límites ni cotas</a>, es.ciencia.matematicas</i>, in Spanish.</li> <li>W W L Chen, <i><a rel="nofollow" class="external text" href="http://rutherglen.science.mq.edu.au/wchen/lnicafolder/ica04.pdf">Introduction to Complex Analysis</a></i></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="外部リンク"><span id=".E5.A4.96.E9.83.A8.E3.83.AA.E3.83.B3.E3.82.AF"></span>外部リンク</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E8%A4%87%E7%B4%A0%E7%B7%9A%E7%A9%8D%E5%88%86&action=edit&section=25" title="節を編集: 外部リンク"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFHazewinkel2001">Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Complex_integration,_method_of">“Complex integration, method of”</a>, <i><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Encyclopedia_of_Mathematics" class="extiw" title="en:Encyclopedia of Mathematics">Encyclopedia of Mathematics</a></i>, Springer, <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-1-55608-010-4" title="特別:文献資料/978-1-55608-010-4">978-1-55608-010-4</a><span style="display:none;">, <a rel="nofollow" class="external free" href="https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Complex_integration,_method_of">https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Complex_integration,_method_of</a></span></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.btitle=Complex+integration%2C+method+of&rft.atitle=%5B%5B%3Aen%3AEncyclopedia+of+Mathematics%7CEncyclopedia+of+Mathematics%5D%5D&rft.date=2001&rft.pub=Springer&rft.isbn=978-1-55608-010-4&rft_id=&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E8%A4%87%E7%B4%A0%E7%B7%9A%E7%A9%8D%E5%88%86"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.exampleproblems.com/wiki/index.php/Complex_Variables#Complex_Integrals">A collection of examples</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://math.fullerton.edu/mathews/c2003/ResidueCalcMod.html">Residue Calculus Module by John H. Mathews</a></li></ul> <div class="navbox" aria-labelledby="積分" style="border-collapse:collapse;padding:3px"><table class="nowraplinks mw-collapsible autocollapse navbox-inner" style="background:transparent;color:inherit;min-width:100%;border-spacing:0px;border-collapse:separate"><tbody><tr><th scope="col" class="navbox-title" colspan="2"><div style="float:left;width:6em;text-align:left"><div class="noprint plainlinks navbar hlist" style="white-space:nowrap;font-size:60%;font-weight:normal;background-color:transparent;padding:0;color:#000;;border:none;"><ul style="display:inline"><li><a href="/wiki/Template:Integral" title="Template:Integral"><span title="このテンプレートを表示します" style="font-size:125%;;;border:none;">表</span></a></li><li><a href="/w/index.php?title=Template%E2%80%90%E3%83%8E%E3%83%BC%E3%83%88:Integral&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Template‐ノート:Integral」 (存在しないページ)"><span title="このテンプレートのノートを表示します" style="font-size:125%;color:#002bb8;;;border:none;">話</span></a></li><li><a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=Template%3AIntegral&action=edit"><span title="このテンプレートを編集します。保存の前にプレビューを忘れずに。" style="font-size:125%;color:#002bb8;;;border:none;">編</span></a></li><li><a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=Template%3AIntegral&action=history"><span title="このテンプレートの過去の版を表示します" style="font-size:125%;color:#002bb8;;;border:none;">歴</span></a></li></ul></div></div><div id="積分" style="font-size:110%;margin:0 6em"><a href="/wiki/%E7%A9%8D%E5%88%86" class="mw-redirect" title="積分">積分</a></div></th></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">積分法</th><td class="navbox-list navbox-odd hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E7%A9%8D%E5%88%86" title="リーマン積分">リーマン</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%BC%E3%82%B0%E7%A9%8D%E5%88%86" title="ルベーグ積分">ルベーグ</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%90%E3%83%BC%E3%82%AD%E3%83%AB%E7%A9%8D%E5%88%86&action=edit&redlink=1" class="new" title="「バーキル積分」 (存在しないページ)">バーキル</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Burkill_integral" class="extiw" title="en:Burkill integral">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%9C%E3%83%9B%E3%83%8A%E3%83%BC%E7%A9%8D%E5%88%86" title="ボホナー積分">ボホナー</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%80%E3%83%8B%E3%82%A8%E3%83%AB%E7%A9%8D%E5%88%86" title="ダニエル積分">ダニエル</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%80%E3%83%AB%E3%83%96%E3%83%BC%E7%A9%8D%E5%88%86&action=edit&redlink=1" class="new" title="「ダルブー積分」 (存在しないページ)">ダルブー</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Darboux_integral" class="extiw" title="en:Darboux integral">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%98%E3%83%B3%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%83%E3%82%AF%E2%80%93%E3%82%AF%E3%83%AB%E3%83%84%E3%83%B4%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB%E7%A9%8D%E5%88%86" class="mw-redirect" title="ヘンストック–クルツヴァイル積分">HK</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%98%E3%83%B3%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%83%E3%82%AF%E2%80%93%E3%82%AF%E3%83%AB%E3%83%84%E3%83%B4%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB%E7%A9%8D%E5%88%86#マクシェイン積分" class="mw-redirect" title="ヘンストック–クルツヴァイル積分">マクシェイン</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%8F%E3%83%BC%E3%83%AB%E6%B8%AC%E5%BA%A6" title="ハール測度">不変</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%98%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%82%AC%E3%83%BC%E7%A9%8D%E5%88%86&action=edit&redlink=1" class="new" title="「ヘリンガー積分」 (存在しないページ)">ヘリンガー</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Hellinger_integral" class="extiw" title="en:Hellinger integral">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%92%E3%83%B3%E3%83%81%E3%83%B3%E7%A9%8D%E5%88%86&action=edit&redlink=1" class="new" title="「ヒンチン積分」 (存在しないページ)">ヒンチン</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Khinchin_integral" class="extiw" title="en:Khinchin integral">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%82%B3%E3%83%AB%E3%83%A2%E3%82%B4%E3%83%AD%E3%83%95%E7%A9%8D%E5%88%86&action=edit&redlink=1" class="new" title="「コルモゴロフ積分」 (存在しないページ)">コルモゴロフ</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Kolmogorov_integral" class="extiw" title="en:Kolmogorov integral">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%BC%E3%82%B0%E2%80%93%E3%82%B9%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%AB%E3%83%81%E3%82%A7%E3%82%B9%E7%A9%8D%E5%88%86" class="mw-redirect" title="ルベーグ–スティルチェス積分">LS</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%9A%E3%83%86%E3%82%A3%E3%82%B9%E7%A9%8D%E5%88%86" title="ペティス積分">ペティス</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%97%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%83%E3%83%95%E3%82%A1%E3%83%BC%E7%A9%8D%E5%88%86&action=edit&redlink=1" class="new" title="「プフェッファー積分」 (存在しないページ)">プフェッファー</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Pfeffer_integral" class="extiw" title="en:Pfeffer integral">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E2%80%93%E3%82%B9%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%AB%E3%83%81%E3%82%A7%E3%82%B9%E7%A9%8D%E5%88%86" class="mw-redirect" title="リーマン–スティルチェス積分">RS</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%96%B9%E6%AD%A3%E7%A9%8D%E5%88%86" title="方正積分">方正</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">計算法</th><td class="navbox-list navbox-even hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E9%83%A8%E5%88%86%E7%A9%8D%E5%88%86" title="部分積分">部分積分</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%BD%AE%E6%8F%9B%E7%A9%8D%E5%88%86" title="置換積分">置換積分</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E9%80%86%E5%87%BD%E6%95%B0%E3%81%AE%E7%A9%8D%E5%88%86&action=edit&redlink=1" class="new" title="「逆函数の積分」 (存在しないページ)">逆函数の積分</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_function_integration" class="extiw" title="en:Inverse function integration">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E7%A9%8D%E5%88%86%E3%81%AE%E9%A0%86%E5%BA%8F&action=edit&redlink=1" class="new" title="「積分の順序」 (存在しないページ)">積分の順序</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Order_of_integration_(calculus)" class="extiw" title="en:Order of integration (calculus)">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%BD%AE%E6%8F%9B&action=edit&redlink=1" class="new" title="「三角函数置換」 (存在しないページ)">三角函数置換</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/trigonometric_substitution" class="extiw" title="en:trigonometric substitution">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E9%83%A8%E5%88%86%E5%88%86%E6%95%B0%E5%88%86%E8%A7%A3%E3%82%92%E9%80%9A%E3%81%98%E3%81%9F%E7%A9%8D%E5%88%86&action=edit&redlink=1" class="new" title="「部分分数分解を通じた積分」 (存在しないページ)">部分分数分解を通じた積分</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Integration_by_partial_fractions" class="extiw" title="en:Integration by partial fractions">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E6%BC%B8%E5%8C%96%E5%BC%8F%E3%81%AB%E3%82%88%E3%82%8B%E7%A9%8D%E5%88%86" title="漸化式による積分">漸化式による積分</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%AA%92%E4%BB%8B%E5%A4%89%E6%95%B0%E5%BE%AE%E5%88%86%E3%82%92%E7%94%A8%E3%81%84%E3%81%9F%E7%A9%8D%E5%88%86&action=edit&redlink=1" class="new" title="「媒介変数微分を用いた積分」 (存在しないページ)">媒介変数微分を用いた積分</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Integration_using_parametric_derivatives" class="extiw" title="en:Integration using parametric derivatives">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F%E3%82%92%E7%94%A8%E3%81%84%E3%81%9F%E7%A9%8D%E5%88%86&action=edit&redlink=1" class="new" title="「オイラーの公式を用いた積分」 (存在しないページ)">オイラーの公式を用いた積分</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Integration_using_Euler%27s_formula" class="extiw" title="en:Integration using Euler's formula">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E7%A9%8D%E5%88%86%E8%A8%98%E5%8F%B7%E4%B8%8B%E3%81%AE%E5%BE%AE%E5%88%86&action=edit&redlink=1" class="new" title="「積分記号下の微分」 (存在しないページ)">積分記号下の微分</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Differentiation_under_the_integral_sign" class="extiw" title="en:Differentiation under the integral sign">英語版</a>）</span></span></li> <li><a class="mw-selflink selflink">複素線積分</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E5%BA%83%E7%BE%A9%E7%A9%8D%E5%88%86" title="広義積分">広義積分</a></th><td class="navbox-list navbox-odd hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9%E7%A9%8D%E5%88%86" title="ガウス積分">ガウス積分</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%AC%E3%83%B3%E3%83%9E%E9%96%A2%E6%95%B0" title="ガンマ関数">ガンマ関数</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">確率積分</th><td class="navbox-list navbox-even hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E4%BC%8A%E8%97%A4%E7%A9%8D%E5%88%86&action=edit&redlink=1" class="new" title="「伊藤積分」 (存在しないページ)">伊藤積分</a><span style="font-size: 0.77em; 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