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</li> <li id="toc-例" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#例"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>例</span> </div> </a> <ul id="toc-例-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-性質" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#性質"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>性質</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-性質-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>性質サブセクションを切り替えます</span> </button> <ul id="toc-性質-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-右可逆性" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#右可逆性"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.1</span> <span>右可逆性</span> </div> </a> <ul id="toc-右可逆性-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-全型射との関係" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#全型射との関係"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.2</span> <span>全型射との関係</span> </div> </a> <ul id="toc-全型射との関係-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-二項関係としての全射" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#二項関係としての全射"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.3</span> <span>二項関係としての全射</span> </div> </a> <ul id="toc-二項関係としての全射-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-全射の始域の濃度" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#全射の始域の濃度"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.4</span> <span>全射の始域の濃度</span> </div> </a> <ul id="toc-全射の始域の濃度-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-合成と分解" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#合成と分解"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.5</span> <span>合成と分解</span> </div> </a> <ul id="toc-合成と分解-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-誘導された全射・双射" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#誘導された全射・双射"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.6</span> <span>誘導された全射・双射</span> </div> </a> <ul id="toc-誘導された全射・双射-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-数え上げ" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#数え上げ"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.7</span> <span>数え上げ</span> </div> </a> <ul id="toc-数え上げ-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-脚注" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#脚注"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>脚注</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-脚注-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>脚注サブセクションを切り替えます</span> </button> <ul id="toc-脚注-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-注釈" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#注釈"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.1</span> <span>注釈</span> </div> </a> <ul id="toc-注釈-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-出典" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#出典"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.2</span> <span>出典</span> </div> </a> <ul id="toc-出典-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-参考文献" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#参考文献"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>参考文献</span> </div> </a> <ul id="toc-参考文献-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-関連項目" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#関連項目"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>関連項目</span> </div> </a> <ul id="toc-関連項目-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-外部リンク" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#外部リンク"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>外部リンク</span> </div> </a> <ul id="toc-外部リンク-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="目次" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="目次の表示・非表示を切り替え" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">目次の表示・非表示を切り替え</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">全射</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="特定の記事の別の言語版に移動します。利用可能な言語54件" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-54" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">54の言語版</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%AF%D8%A7%D9%84%D8%A9_%D8%BA%D8%A7%D9%85%D8%B1%D8%A9" title="アラビア語: دالة غامرة" lang="ar" hreflang="ar" data-title="دالة غامرة" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="アラビア語" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1%8E%D1%80%E2%80%99%D0%B5%D0%BA%D1%86%D1%8B%D1%8F" title="ベラルーシ語: Сюр’екцыя" lang="be" hreflang="be" data-title="Сюр’екцыя" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="ベラルーシ語" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1%8E%D1%80%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F" title="ブルガリア語: Сюрекция" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Сюрекция" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="ブルガリア語" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%B8%E0%A6%BE%E0%A6%B0%E0%A7%8D%E0%A6%AC%E0%A6%BF%E0%A6%95_%E0%A6%AB%E0%A6%BE%E0%A6%82%E0%A6%B6%E0%A6%A8" title="ベンガル語: সার্বিক ফাংশন" lang="bn" hreflang="bn" data-title="সার্বিক ফাংশন" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="ベンガル語" class="interlanguage-link-target"><span>বাংলা</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Surjektivna_funkcija" title="ボスニア語: Surjektivna funkcija" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Surjektivna funkcija" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="ボスニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Bosanski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3_exhaustiva" title="カタロニア語: Funció exhaustiva" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Funció exhaustiva" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="カタロニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%D9%81%D8%A7%D9%86%DA%A9%D8%B4%D9%86%DB%8C_%DA%AF%D8%B4%D8%AA%DA%AF%D8%B1" title="中央クルド語: فانکشنی گشتگر" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="فانکشنی گشتگر" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="中央クルド語" class="interlanguage-link-target"><span>کوردی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Surjekce" title="チェコ語: Surjekce" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Surjekce" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="チェコ語" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Surjektiv" title="デンマーク語: Surjektiv" lang="da" hreflang="da" data-title="Surjektiv" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="デンマーク語" 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data-language-autonym="English" data-language-local-name="英語" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Sur%C4%B5eto" title="エスペラント語: Surĵeto" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Surĵeto" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="エスペラント語" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_sobreyectiva" title="スペイン語: Función sobreyectiva" lang="es" hreflang="es" data-title="Función sobreyectiva" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="スペイン語" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Funtzio_supraiektibo" title="バスク語: Funtzio supraiektibo" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Funtzio supraiektibo" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="バスク語" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9_%D9%BE%D9%88%D8%B4%D8%A7" title="ペルシア語: تابع پوشا" lang="fa" hreflang="fa" data-title="تابع پوشا" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="ペルシア語" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Surjektio" title="フィンランド語: Surjektio" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Surjektio" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="フィンランド語" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Surjection" title="フランス語: Surjection" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Surjection" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="フランス語" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_sobrexectiva" title="ガリシア語: Función sobrexectiva" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Función sobrexectiva" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="ガリシア語" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%94_%D7%A2%D7%9C" title="ヘブライ語: פונקציה על" lang="he" hreflang="he" data-title="פונקציה על" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="ヘブライ語" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Surjektivna_funkcija" title="クロアチア語: Surjektivna funkcija" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Surjektivna funkcija" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="クロアチア語" class="interlanguage-link-target"><span>Hrvatski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Sz%C3%BCrjekci%C3%B3" title="ハンガリー語: Szürjekció" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Szürjekció" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="ハンガリー語" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ia mw-list-item"><a href="https://ia.wikipedia.org/wiki/Surjection" title="インターリングア: Surjection" lang="ia" hreflang="ia" data-title="Surjection" data-language-autonym="Interlingua" data-language-local-name="インターリングア" class="interlanguage-link-target"><span>Interlingua</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Fungsi_surjektif" title="インドネシア語: Fungsi surjektif" lang="id" hreflang="id" data-title="Fungsi surjektif" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="インドネシア語" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-io mw-list-item"><a href="https://io.wikipedia.org/wiki/Surjektio" title="イド語: Surjektio" lang="io" hreflang="io" data-title="Surjektio" data-language-autonym="Ido" data-language-local-name="イド語" class="interlanguage-link-target"><span>Ido</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/%C3%81t%C3%A6k_v%C3%B6rpun" title="アイスランド語: Átæk vörpun" lang="is" hreflang="is" data-title="Átæk vörpun" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="アイスランド語" class="interlanguage-link-target"><span>Íslenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_suriettiva" title="イタリア語: Funzione suriettiva" lang="it" hreflang="it" data-title="Funzione suriettiva" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="イタリア語" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%A0%84%EC%82%AC_%ED%95%A8%EC%88%98" title="韓国語: 전사 함수" lang="ko" hreflang="ko" data-title="전사 함수" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="韓国語" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Functio_superiectiva" title="ラテン語: Functio superiectiva" lang="la" hreflang="la" data-title="Functio superiectiva" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="ラテン語" class="interlanguage-link-target"><span>Latina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lmo mw-list-item"><a href="https://lmo.wikipedia.org/wiki/Fonzion_suriettiva" title="ロンバルド語: Fonzion suriettiva" lang="lmo" hreflang="lmo" data-title="Fonzion suriettiva" data-language-autonym="Lombard" data-language-local-name="ロンバルド語" class="interlanguage-link-target"><span>Lombard</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Siurjekcija" title="リトアニア語: Siurjekcija" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Siurjekcija" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="リトアニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Lietuvių</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1%83%D1%80%D1%98%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B0_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%98%D0%B0" title="マケドニア語: Сурјективна функција" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Сурјективна функција" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="マケドニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Македонски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mn mw-list-item"><a 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class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Surjektiv_funksjon" title="ノルウェー語(ブークモール): Surjektiv funksjon" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Surjektiv funksjon" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="ノルウェー語(ブークモール)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-oc mw-list-item"><a href="https://oc.wikipedia.org/wiki/Subrejeccion" title="オック語: Subrejeccion" lang="oc" hreflang="oc" data-title="Subrejeccion" data-language-autonym="Occitan" data-language-local-name="オック語" class="interlanguage-link-target"><span>Occitan</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Surjekcja" title="ポーランド語: Surjekcja" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Surjekcja" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="ポーランド語" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li 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data-title="Surjektivna preslikava" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="スロベニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1%83%D1%80%D1%98%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%BE_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D1%81%D0%BB%D0%B8%D0%BA%D0%B0%D0%B2%D0%B0%D1%9A%D0%B5" title="セルビア語: Сурјективно пресликавање" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Сурјективно пресликавање" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="セルビア語" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Surjektiv_funktion" title="スウェーデン語: Surjektiv funktion" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Surjektiv funktion" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="スウェーデン語" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-szl mw-list-item"><a href="https://szl.wikipedia.org/wiki/Surjekcyjo" title="シレジア語: Surjekcyjo" lang="szl" hreflang="szl" data-title="Surjekcyjo" data-language-autonym="Ślůnski" data-language-local-name="シレジア語" class="interlanguage-link-target"><span>Ślůnski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%AE%E0%AF%81%E0%AE%B4%E0%AF%81%E0%AE%95%E0%AF%8D%E0%AE%95%E0%AF%8B%E0%AE%AA%E0%AF%8D%E0%AE%AA%E0%AF%81" title="タミル語: முழுக்கோப்பு" lang="ta" hreflang="ta" data-title="முழுக்கோப்பு" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="タミル語" class="interlanguage-link-target"><span>தமிழ்</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%9F%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%97%E0%B8%B1%E0%B9%88%E0%B8%A7%E0%B8%96%E0%B8%B6%E0%B8%87" title="タイ語: ฟังก์ชันทั่วถึง" lang="th" 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id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="ja" dir="ltr"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r101304250">.mw-parser-output .ambox{border:1px solid #a2a9b1;border-left:10px solid #36c;background-color:#fbfbfb;box-sizing:border-box}.mw-parser-output .ambox+link+.ambox,.mw-parser-output .ambox+link+style+.ambox,.mw-parser-output .ambox+link+link+.ambox,.mw-parser-output .ambox+.mw-empty-elt+link+.ambox,.mw-parser-output .ambox+.mw-empty-elt+link+style+.ambox,.mw-parser-output .ambox+.mw-empty-elt+link+link+.ambox{margin-top:-1px}html body.mediawiki .mw-parser-output .ambox.mbox-small-left{margin:4px 1em 4px 0;overflow:hidden;width:238px;border-collapse:collapse;font-size:88%;line-height:1.25em}.mw-parser-output .ambox-speedy{border-left:10px solid #b32424;background-color:#fee7e6}.mw-parser-output .ambox-delete{border-left:10px solid #b32424}.mw-parser-output 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class="mbox-image-div"><span typeof="mw:File"><span><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/64/Question_book-4.svg/50px-Question_book-4.svg.png" decoding="async" width="50" height="39" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/64/Question_book-4.svg/75px-Question_book-4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/64/Question_book-4.svg/100px-Question_book-4.svg.png 2x" data-file-width="262" data-file-height="204" /></span></span></div></td><td class="mbox-text"><div class="mbox-text-span"><b><a href="/wiki/Wikipedia:%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%8B%E3%83%A5%E3%82%A2%E3%83%AB_(%E3%83%AC%E3%82%A4%E3%82%A2%E3%82%A6%E3%83%88)#参考文献" class="mw-redirect" title="Wikipedia:スタイルマニュアル (レイアウト)">出典</a>は列挙するだけでなく、<a href="/wiki/Help:%E8%84%9A%E6%B3%A8" title="Help:脚注">脚注</a>などを用いて<a href="/wiki/Wikipedia:%E5%87%BA%E5%85%B8%E3%82%92%E6%98%8E%E8%A8%98%E3%81%99%E3%82%8B#出典の示し方" title="Wikipedia:出典を明記する">どの記述の情報源であるかを明記</a>してください。</b><span class="hide-when-compact"> 記事の<a href="/wiki/Wikipedia:%E6%A4%9C%E8%A8%BC%E5%8F%AF%E8%83%BD%E6%80%A7" title="Wikipedia:検証可能性">信頼性向上</a>にご協力をお願いいたします。<small>（<span title="2021年12月">2021年12月</span>）</small></span></div></td></tr></tbody></table> <p><a href="/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6" title="数学">数学</a>において、<a href="/wiki/%E5%86%99%E5%83%8F" title="写像">写像</a>が<b>全射的</b>（ぜんしゃてき、<a href="/wiki/%E8%8B%B1%E8%AA%9E" title="英語">英</a>: <span lang="en">surjective, onto</span>）であるとは、その終域となる集合の<a href="/wiki/%E5%85%83_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="元 (数学)">元</a>はどれもその<a href="/wiki/%E5%86%99%E5%83%8F" title="写像">写像</a>の像として得られることを言う。即ち、<a href="/wiki/%E9%9B%86%E5%90%88" title="集合">集合</a> <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">X</span> から集合 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">Y</span> への写像 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> について、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">Y</span> の各元 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">y</span> に対し <span lang="en" class="texhtml"><i>f</i>(<i>x</i>) = <i>y</i></span> となるような <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">X</span> の元 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span> が（一般には複数あってもよいが）対応させられるとき、写像 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> は<b>全射</b> <span lang="en">(surjection, onto mapping/function)</span> であるという。<b>全写</b>（あるいは全写像）とも書く。 </p> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Codomain2.SVG" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/64/Codomain2.SVG/220px-Codomain2.SVG.png" decoding="async" width="220" height="165" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/64/Codomain2.SVG/330px-Codomain2.SVG.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/64/Codomain2.SVG/440px-Codomain2.SVG.png 2x" data-file-width="800" data-file-height="600" /></a><figcaption><a href="/w/index.php?title=%E5%A7%8B%E5%9F%9F&action=edit&redlink=1" class="new" title="「始域」 (存在しないページ)">域</a> <i>X</i>（赤）から<a href="/wiki/%E7%B5%82%E5%9F%9F" title="終域">余域</a> <i>Y</i>（青+黄）への写像 <i>f</i> の模式図（余域 <i>Y</i> の内側の小さい楕円（黄）は <i>f</i> の<a href="/wiki/%E5%83%8F_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="像 (数学)">値域</a>）。これは一般には全射を表していない（一つも青に塗られる点がないときのみ全射）。</figcaption></figure> <p>全射（および単射、双射）の語は20世紀フランスの数学結社<a href="/wiki/%E3%83%8B%E3%82%B3%E3%83%A9%E3%83%BB%E3%83%96%E3%83%AB%E3%83%90%E3%82%AD" title="ニコラ・ブルバキ">ブルバキ</a>（1935年以降『<a href="/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%8E%9F%E8%AB%96" title="数学原論">数学原論</a>』シリーズを刊行している）により導入されたものである。接頭辞 <span lang="fr">sur-</span> はフランス語で「上の」を意味し、写像の始域が終域全体をすっぽり覆い尽くすように写し込まれるイメージを反映したものになっている。sur, in, bi, jection いずれもラテン語源である。 </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="定義"><span id=".E5.AE.9A.E7.BE.A9"></span>定義</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%85%A8%E5%B0%84&action=edit&section=1" title="節を編集: 定義"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>写像 <span lang="en" class="texhtml"><i>f</i>: <i>A</i> → <i>B</i></span> について、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> の<a href="/wiki/%E5%83%8F_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="像 (数学)">値域</a> <span lang="en" class="texhtml"><i>f</i>(<i>A</i>) ≔ {<i>f</i>(<i>a</i>)  |  <i>a</i> ∈ <i>A</i>}</span> が終域（余域）<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">B</span> を含む（つまり <span lang="en" class="texhtml"><i>B</i> ⊆ <i>f</i>(<i>A</i>)</span>）ならば、写像 <span lang="en" class="texhtml"><i>f</i>: <i>A</i> → <i>B</i></span> は <b>全射</b> (<i>surjection</i>) であるという。<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> は余域 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">B</span> への<b>全射的</b> (surjective) な写像である、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">B</span> の<b>上への</b> (onto) 写像であるなどともいう<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>注釈 1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。記号で書けば、<span lang="en" class="texhtml"><i>f</i>: <i>A</i> → <i>B</i></span> が全射であるとは <span lang="en" class="texhtml">∀<i>b</i> ∈ <i>B</i>, ∃<i>a</i> ∈ <i>A</i>, <i>f</i>(<i>a</i>) = <i>b</i></span> を満足することである。このとき、しばしば鏃が二つの矢印を使って <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon A\twoheadrightarrow B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">↠</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon A\twoheadrightarrow B}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4464cc69dafcbc42e295746adc690685d118afe6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.434ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon A\twoheadrightarrow B}"></span> と表す。 </p> <ul class="gallery mw-gallery-traditional"> <li class="gallerybox" style="width: 155px"> <div class="thumb" style="width: 150px; height: 150px;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Surjection.svg" class="mw-file-description" title="全射であり単射でない"><img alt="全射であり単射でない" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6c/Surjection.svg/120px-Surjection.svg.png" decoding="async" width="120" height="120" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6c/Surjection.svg/180px-Surjection.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6c/Surjection.svg/240px-Surjection.svg.png 2x" data-file-width="200" data-file-height="200" /></a></span></div> <div class="gallerytext">全射であり単射でない</div> </li> <li class="gallerybox" style="width: 155px"> <div class="thumb" style="width: 150px; height: 150px;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Injection.svg" class="mw-file-description" title="単射であり全射でない"><img alt="単射であり全射でない" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/02/Injection.svg/120px-Injection.svg.png" decoding="async" width="120" height="120" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/02/Injection.svg/180px-Injection.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/02/Injection.svg/240px-Injection.svg.png 2x" data-file-width="200" data-file-height="200" /></a></span></div> <div class="gallerytext">単射であり全射でない</div> </li> <li class="gallerybox" style="width: 155px"> <div class="thumb" style="width: 150px; height: 150px;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Bijection.svg" class="mw-file-description" title="全単射"><img alt="全単射" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a5/Bijection.svg/120px-Bijection.svg.png" decoding="async" width="120" height="120" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a5/Bijection.svg/180px-Bijection.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a5/Bijection.svg/240px-Bijection.svg.png 2x" data-file-width="200" data-file-height="200" /></a></span></div> <div class="gallerytext">全単射</div> </li> <li class="gallerybox" style="width: 155px"> <div class="thumb" style="width: 150px; height: 150px;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Total_function.svg" class="mw-file-description" title="全射でも単射でもない"><img alt="全射でも単射でもない" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/02/Total_function.svg/120px-Total_function.svg.png" decoding="async" width="120" height="120" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/02/Total_function.svg/180px-Total_function.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/02/Total_function.svg/240px-Total_function.svg.png 2x" data-file-width="200" data-file-height="200" /></a></span></div> <div class="gallerytext">全射でも単射でもない</div> </li> </ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="例"><span id=".E4.BE.8B"></span>例</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%85%A8%E5%B0%84&action=edit&section=2" title="節を編集: 例"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0" title="実数">実数</a> <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span> に対し、その<a href="/wiki/%E8%87%AA%E4%B9%97" title="自乗">自乗</a> <span lang="en" class="texhtml"><i>x</i><sup>2</sup></span> を対応させる<a href="/wiki/%E9%9D%9E%E8%B2%A0" class="mw-redirect" title="非負">非負</a>実数値写像 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \ni x\mapsto x^{2}\in \mathbb {R} _{+}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo>∋</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">↦</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>∈</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>+</mo> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \ni x\mapsto x^{2}\in \mathbb {R} _{+}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/983bc1d03e38758591e9e365b7b226b1685a9563" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:20.188ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \ni x\mapsto x^{2}\in \mathbb {R} _{+}}"></span> は全射である。ただし <span lang="en" class="texhtml"><b>R</b><sub>+</sub></span> で非負実数全体の集合を表している。実際、<span lang="en" class="texhtml"><i>x</i> ≥ 0</span> に対し、その非負<a href="/wiki/%E5%B9%B3%E6%96%B9%E6%A0%B9" title="平方根">平方根</a> <span lang="en" class="texhtml"><span class="nowrap"><span style="vertical-align:0.02em;">√</span><span style="border-top:1px solid; padding:0 0.1em;"><i>x</i></span></span></span> をとれば、<span lang="en" class="texhtml"><i>f</i>(<span class="nowrap"><span style="vertical-align:0.02em;">√</span><span style="border-top:1px solid; padding:0 0.1em;"><i>x</i></span></span>) = <i>x</i></span> とすることができる（負の平方根 <span lang="en" class="texhtml">−<span class="nowrap"><span style="vertical-align:0.02em;">√</span><span style="border-top:1px solid; padding:0 0.1em;"><i>x</i></span></span></span> をとっても構わない）。終域を変更して、単に実関数 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \ni x\mapsto x^{2}\in \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo>∋</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">↦</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \ni x\mapsto x^{2}\in \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/342baebc9988104f224d48c0589f4f3c02a60353" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:18.678ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \ni x\mapsto x^{2}\in \mathbb {R} }"></span> と考えたのでは全射にはならない。自乗して負になる実数は存在しないからである。</li> <li>任意の集合 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">X</span> において、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">X</span> 上の<a href="/wiki/%E6%81%92%E7%AD%89%E5%A4%89%E6%8F%9B" class="mw-redirect" title="恒等変換">恒等変換</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\text{id}}_{X}\colon X\ni x\mapsto x\in X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>id</mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> </mrow> </msub> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo>∋</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">↦</mo> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\text{id}}_{X}\colon X\ni x\mapsto x\in X}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/201422560cebe9beb92e40f202d41ae3df4406dd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:20.52ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\text{id}}_{X}\colon X\ni x\mapsto x\in X}"></span> は全射（実は<a href="/wiki/%E5%8F%8C%E5%B0%84" class="mw-redirect" title="双射">双射</a>）である。</li> <li><a href="/wiki/%E7%9B%B4%E7%A9%8D%E9%9B%86%E5%90%88" title="直積集合">デカルト積</a> <span lang="en" class="texhtml"><i>A</i> × <i>B</i></span> の各成分への<a href="/wiki/%E5%B0%84%E5%BD%B1_(%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96)" title="射影 (集合論)">射影</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{A}\colon A\times B\ni (a,b)\mapsto a\in A,\ p_{B}\colon A\times B\ni (a,b)\mapsto b\in B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> </mrow> </msub> <mo>:</mo> <mi>A</mi> <mo>×</mo> <mi>B</mi> <mo>∋</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">↦</mo> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <mi>A</mi> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <mo>:</mo> <mi>A</mi> <mo>×</mo> <mi>B</mi> <mo>∋</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">↦</mo> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{A}\colon A\times B\ni (a,b)\mapsto a\in A,\ p_{B}\colon A\times B\ni (a,b)\mapsto b\in B}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6c2e87171205808429d6e58eb8b84658fdb1117" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:56.217ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle p_{A}\colon A\times B\ni (a,b)\mapsto a\in A,\ p_{B}\colon A\times B\ni (a,b)\mapsto b\in B}"></span>は全射である。</li> <li>実2次<a href="/wiki/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F" title="多項式">多項式</a>全体 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} _{2}[x]:=\{ax^{2}+bx+c\ ;\ (a,b,c)\in (\mathbb {R} \setminus \{0\})\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>:=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>a</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mtext> </mtext> <mo>;</mo> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∈</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo class="MJX-variant">∖</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>0</mn> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} _{2}[x]:=\{ax^{2}+bx+c\ ;\ (a,b,c)\in (\mathbb {R} \setminus \{0\})\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e52bdf98f8701ae59e24c1fcaf867cce2ed204f4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:54.408ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} _{2}[x]:=\{ax^{2}+bx+c\ ;\ (a,b,c)\in (\mathbb {R} \setminus \{0\})\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \}}"></span> から <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }"></span> への写像 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">D</span> を <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D(ax^{2}+bx+c):=b^{2}-4ac}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:=</mo> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>4</mn> <mi>a</mi> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D(ax^{2}+bx+c):=b^{2}-4ac}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c25684bf6cedf741f1ff06978ed517901473644" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:28.399ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle D(ax^{2}+bx+c):=b^{2}-4ac}"></span> と定義すると、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">D</span> は全射である（任意の <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r\in \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r\in \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79ada4fd070acfeeee62081f256be1c106346359" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.567ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle r\in \mathbb {R} }"></span> に対して、例えば <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{2}-r/4\mapsto r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>4</mn> <mo stretchy="false">↦</mo> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{2}-r/4\mapsto r}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37e283442c9dc23168d74504f370e807a4f13667" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.261ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle x^{2}-r/4\mapsto r}"></span> である）。</li> <li>正の整数 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">n</span> に対し、<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \det \colon M_{n}(\mathbb {R} )\ni A\mapsto \det A\in \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo movablelimits="true" form="prefix">det</mo> <mo>:</mo> <msub> <mi>M</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∋</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">↦</mo> <mo movablelimits="true" form="prefix">det</mo> <mi>A</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \det \colon M_{n}(\mathbb {R} )\ni A\mapsto \det A\in \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76ee9671fd1bb41c0bdf74474a0bb0cbaa7c51ab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.3ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \det \colon M_{n}(\mathbb {R} )\ni A\mapsto \det A\in \mathbb {R} }"></span>は全射である（ここで <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M_{n}(\mathbb {R} )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>M</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M_{n}(\mathbb {R} )}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3260737a99bf9c22cd56e77a02a9dbe62b8c1609" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.96ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle M_{n}(\mathbb {R} )}"></span>は実 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">n</span> 次<a href="/wiki/%E6%AD%A3%E6%96%B9%E8%A1%8C%E5%88%97" title="正方行列">正方行列</a>全体であり， <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \det A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo movablelimits="true" form="prefix">det</mo> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \det A}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f2d8fe180a2f848cf11e82a535b193cfe718742" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.36ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \det A}"></span>は<a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F" title="行列式">行列式</a>を表す）．実際，任意の実数 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">r</span> に対して、対角行列 <span lang="en" class="texhtml">diag(<i>r</i>, 1, …, 1)</span> の行列式は <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">r</span> である。</li> <li><a href="/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E9%96%A2%E6%95%B0" title="指数関数">指数関数</a><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \exp \colon \mathbb {R} \ni x\mapsto e^{x}\in (0,\infty )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>exp</mi> <mo>:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo>∋</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">↦</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>∈</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \exp \colon \mathbb {R} \ni x\mapsto e^{x}\in (0,\infty )}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/309b335fe1380622c38b25a37565ed8834ec56ad" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.475ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \exp \colon \mathbb {R} \ni x\mapsto e^{x}\in (0,\infty )}"></span> は全射である．実際，任意の<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y\in (0,\infty )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>∈</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y\in (0,\infty )}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64419f04fa7c57c1d3082545f5223c40dbc5f946" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.326ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y\in (0,\infty )}"></span> に対して，<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x:=\log y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>:=</mo> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x:=\log y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4b671ee1ffceae9c179c0ad750ab4cd475be98e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.589ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x:=\log y}"></span> ととれば<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \exp(x)=e^{x}=y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>exp</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \exp(x)=e^{x}=y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c5207af9182f5604f9fd2a5f31940ca45122c8e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.3ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \exp(x)=e^{x}=y}"></span>である．</li> <li><a href="/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="複素数">複素数</a>に対してその<a href="/wiki/%E5%AE%9F%E9%83%A8" class="mw-redirect" title="実部">実部</a>，<a href="/wiki/%E8%99%9A%E9%83%A8" class="mw-redirect" title="虚部">虚部</a>，<a href="/wiki/%E7%B5%B6%E5%AF%BE%E5%80%A4" title="絶対値">絶対値</a>を与える写像<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Re \colon \mathbb {C} \ni z\mapsto (z+{\overline {z}})/2\in \mathbb {R} ,\ \Im \colon \mathbb {C} \ni z\mapsto (z-{\overline {z}})/2i\in \mathbb {R} ,\ |\cdot |\colon \mathbb {C} \ni z\mapsto {\sqrt {\Re (z)^{2}+\Im (z)^{2}}}\in \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">ℜ</mi> <mo>:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mo>∋</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">↦</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>z</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mi mathvariant="normal">ℑ</mi> <mo>:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mo>∋</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">↦</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>z</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> <mi>i</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mo>∋</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">↦</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi mathvariant="normal">ℜ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi mathvariant="normal">ℑ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Re \colon \mathbb {C} \ni z\mapsto (z+{\overline {z}})/2\in \mathbb {R} ,\ \Im \colon \mathbb {C} \ni z\mapsto (z-{\overline {z}})/2i\in \mathbb {R} ,\ |\cdot |\colon \mathbb {C} \ni z\mapsto {\sqrt {\Re (z)^{2}+\Im (z)^{2}}}\in \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a639e59550f13c79e2d0b3a0e5b55c17261c9421" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.671ex; width:89.358ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \Re \colon \mathbb {C} \ni z\mapsto (z+{\overline {z}})/2\in \mathbb {R} ,\ \Im \colon \mathbb {C} \ni z\mapsto (z-{\overline {z}})/2i\in \mathbb {R} ,\ |\cdot |\colon \mathbb {C} \ni z\mapsto {\sqrt {\Re (z)^{2}+\Im (z)^{2}}}\in \mathbb {R} }"></span>はいずれも全射である．</li></ul> <figure class="mw-halign-center" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Surjective_function.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4d/Surjective_function.svg/500px-Surjective_function.svg.png" decoding="async" width="500" height="261" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4d/Surjective_function.svg/750px-Surjective_function.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4d/Surjective_function.svg/1000px-Surjective_function.svg.png 2x" data-file-width="1000" data-file-height="522" /></a><figcaption>平面上に表した<b>全射</b>の模式図。函数 <i>f</i>: <i>X</i> → <i>Y</i>; <i>y</i> = <i>f</i>(<i>x</i>)（<i>X</i> = 函数の定義域, <i>Y</i> = 函数の値域）。値域の各元の上に定義域の元が規則 <i>f</i> に従って写される（定義域の複数の元が値域の同じ元に写ってもよい）。<div>左： <i>f</i> が全射になるような定義域の一つ。</div><div>右：二つの定義域 <i>X</i><sub>1</sub>, <i>X</i><sub>2</sub> が示されているが、何れの場合も <i>f</i> は全射になる。</div></figcaption></figure> <figure class="mw-halign-center" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Non-surjective_function.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f5/Non-surjective_function.svg/500px-Non-surjective_function.svg.png" decoding="async" width="500" height="294" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f5/Non-surjective_function.svg/750px-Non-surjective_function.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f5/Non-surjective_function.svg/1000px-Non-surjective_function.svg.png 2x" data-file-width="1055" data-file-height="621" /></a><figcaption>平面上に表した<b>全射でない</b>場合の模式図。余域 <i>Y</i> の一部の元 <i>y</i> は適当な <i>x</i> ∈ <i>X</i> をとって <i>y</i> = <i>f</i>(<i>x</i>) と書けるが、そうは書けない部分もある。<div>左： <i>y</i><sub>0</sub> は <i>Y</i> に属すが、<i>y</i><sub>0</sub> = <i>f</i>(<i>x</i><sub>0</sub>) となる <i>x</i><sub>0</sub> ∈ <i>X</i> がない。</div><div>右： <i>y</i><sub>1</sub>, <i>y</i><sub>2</sub>, および <i>y</i><sub>3</sub> は <i>Y</i> の元だが、<i>y</i><sub>1</sub> = <i>f</i>(<i>x</i><sub>1</sub>), <i>y</i><sub>2</sub> = <i>f</i>(<i>x</i><sub>2</sub>), および <i>y</i><sub>3</sub> = <i>f</i>(<i>x</i><sub>3</sub>) となるような <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, および <i>x</i><sub>3</sub> は <i>X</i> の中には無い。</div></figcaption></figure> <div style="clear:both;"></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="性質"><span id=".E6.80.A7.E8.B3.AA"></span>性質</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%85%A8%E5%B0%84&action=edit&section=3" title="節を編集: 性質"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>写像が<a href="/wiki/%E5%85%A8%E5%8D%98%E5%B0%84" title="全単射">双射</a>（全単射）となるのは、それが<a href="/wiki/%E5%8D%98%E5%B0%84" title="単射">単射</a>かつ全射となることと同値である。 </p><p>函数を（よくやるように）その<a href="/wiki/%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%95_(%E5%87%BD%E6%95%B0)" class="mw-redirect" title="グラフ (函数)">グラフ</a>と同一視して考えるとき、単射性とは異なり、全射性を函数のグラフのみから読み取ることはできない。全射性は函数自体の性質というよりは函数と余域との関係性と見るべきものである。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="右可逆性"><span id=".E5.8F.B3.E5.8F.AF.E9.80.86.E6.80.A7"></span>右可逆性</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%85%A8%E5%B0%84&action=edit&section=4" title="節を編集: 右可逆性"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>写像 <span lang="en" class="texhtml"><i>g</i>: <i>Y</i> → <i>X</i></span> が写像 <span lang="en" class="texhtml"><i>f</i>: <i>X</i> → <i>Y</i></span> の<a href="/wiki/%E9%80%86%E5%86%99%E5%83%8F#右逆写像" title="逆写像">右逆写像</a>であるとは、<span lang="en" class="texhtml"><i>f</i>(<i>g</i>(<i>y</i>)) = <i>y</i></span>（つまり <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">g</span> の効果が <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> によって打ち消される）が <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">Y</span> の各元 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">y</span> で成り立つときに言う。言葉を変えれば、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">g</span> と <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> とのこの順番での<a href="/wiki/%E5%86%99%E5%83%8F%E3%81%AE%E5%90%88%E6%88%90" title="写像の合成">合成</a> <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f ∘ g</span> が <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">g</span> の定義域 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">Y</span> 上の<a href="/wiki/%E6%81%92%E7%AD%89%E5%86%99%E5%83%8F" title="恒等写像">恒等写像</a> <span lang="en" class="texhtml">id<sub><i>Y</i></sub></span> となるとき、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">g</span> が <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> の右逆であるという。逆順の <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">g ∘ f</span> が <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> の定義域 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">X</span> 上の恒等写像でないかもしれないから、写像 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">g</span> は必ずしも <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> の（完全）<a href="/wiki/%E9%80%86%E5%86%99%E5%83%8F" title="逆写像">逆写像</a>であるわけではない。即ち、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> は <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">g</span> を打ち消すが、逆は必ずしも成り立たない。 </p><p>右逆を持つ任意の写像は全射であるが、「任意の全射が右逆写像を持つ」という命題は<a href="/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86" title="選択公理">選択公理</a>に同値である。 </p><p><span lang="en" class="texhtml"><i>f</i>: <i>X</i> → <i>Y</i></span> が全射で <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">B</span> が <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">Y</span> の<a href="/wiki/%E9%83%A8%E5%88%86%E9%9B%86%E5%90%88" title="部分集合">部分集合</a>であるとき、<span lang="en" class="texhtml"><i>f</i>(<i>f</i><sup> −1</sup>(<i>B</i>)) = <i>B</i></span> が成り立つ。つまり <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">B</span> はその<a href="/wiki/%E5%8E%9F%E5%83%8F" class="mw-redirect" title="原像">原像</a> <span lang="en" class="texhtml"><i>f</i><sup> −1</sup>(<i>B</i>)</span> から回復される。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="全型射との関係"><span id=".E5.85.A8.E5.9E.8B.E5.B0.84.E3.81.A8.E3.81.AE.E9.96.A2.E4.BF.82"></span>全型射との関係</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%85%A8%E5%B0%84&action=edit&section=5" title="節を編集: 全型射との関係"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<span title="リンク先の項目はまだ不十分なため、加筆や他言語版からの追加翻訳が望まれます。"><a href="/wiki/%E3%82%A8%E3%83%94%E5%B0%84" title="エピ射">全型射</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Epimorphism" class="extiw" title="en:Epimorphism">英語版</a>）</span></span>」を参照</div> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Epimorphism-01.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/17/Epimorphism-01.png" decoding="async" width="208" height="42" class="mw-file-element" data-file-width="208" data-file-height="42" /></a><figcaption>右消約性</figcaption></figure> <p>写像 <span lang="en" class="texhtml"><i>f</i>: <i>X</i> → <i>Y</i></span> が全射となる必要十分条件は、それが<a href="/wiki/%E5%8F%B3%E6%B6%88%E7%B4%84%E7%9A%84" class="mw-redirect" title="右消約的">右消約的</a>であること<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>、即ち「与えられた写像 <span lang="en" class="texhtml"><span style="white-space:normal"><i>g</i><sub>1</sub>, <i>g</i><sub>2</sub>: <i>Y</i> → <i>Z</i></span></span> が <span lang="en" class="texhtml"><i>g</i><sub>1</sub> ∘ <i>f</i> = <i>g</i><sub>2</sub> ∘ <i>f</i></span> を満たす限り常に <span lang="en" class="texhtml"><i>g</i><sub>1</sub> = <i>g</i><sub>2</sub></span> が言えること」である。この性質は、写像とその<a href="/wiki/%E5%86%99%E5%83%8F%E3%81%AE%E5%90%88%E6%88%90" title="写像の合成">合成</a>によって定式化されているから、より一般に圏における<a href="/wiki/%E5%B0%84_(%E5%9C%8F%E8%AB%96)" title="射 (圏論)">射</a> (morphism) とその合成についての性質に一般化できる。即ち、右消約的な射はエピ射あるいは<a href="/wiki/%E5%85%A8%E5%9E%8B%E5%B0%84" class="mw-redirect" title="全型射">全型射</a>（<a href="/wiki/%E5%85%A8%E5%B0%84_(%E5%9C%8F%E8%AB%96)" class="mw-redirect" title="全射 (圏論)">圏論的全射</a>）であるという。写像が（集合論的）全射 (surjection) ならば、それはちょうど<a href="/wiki/%E9%9B%86%E5%90%88%E3%81%AE%E5%9C%8F" title="集合の圏">集合の圏</a>における全型射 (epimorphism) になっている。接頭辞の <span lang="el"><i>ἐπί</i></span> はギリシャ語で「上の」を意味する言葉である。 </p><p>右逆型射をもつ任意の射は全型射であるが、逆は一般には正しくない。射 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> の右逆 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">g</span> は <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> に対する<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%88%87%E6%96%AD_(%E5%9C%8F%E8%AB%96)&action=edit&redlink=1" class="new" title="「切断 (圏論)」 (存在しないページ)">切断</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Section_(category_theory)" class="extiw" title="en:Section (category theory)">英語版</a>）</span></span>と呼ばれ、右逆を持つ射は<b>分裂型全型射</b> (split epimorphism) であるという。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="二項関係としての全射"><span id=".E4.BA.8C.E9.A0.85.E9.96.A2.E4.BF.82.E3.81.A8.E3.81.97.E3.81.A6.E3.81.AE.E5.85.A8.E5.B0.84"></span>二項関係としての全射</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%85%A8%E5%B0%84&action=edit&section=6" title="節を編集: 二項関係としての全射"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>域 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">X</span> および余域 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">Y</span> を持つ任意の写像は（そのグラフと同一視することにより）、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">X</span> と <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">Y</span> との間の<a href="/wiki/%E5%B7%A6%E5%85%A8%E5%9F%9F%E9%96%A2%E4%BF%82" class="mw-redirect" title="左全域関係">左全域的</a>かつ<a href="/wiki/%E5%8F%B3%E4%B8%80%E6%84%8F%E9%96%A2%E4%BF%82" class="mw-redirect" title="右一意関係">右一意</a>な<a href="/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E9%96%A2%E4%BF%82" title="二項関係">二項関係</a>と見ることができる。従って、域 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">X</span>, 余域 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">Y</span> をもつ全射は、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">X</span> と <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">Y</span> との間の左全域的、右一意かつ<a href="/wiki/%E5%8F%B3%E5%85%A8%E5%9F%9F%E9%96%A2%E4%BF%82" class="mw-redirect" title="右全域関係">右全域的</a>な二項関係ということになる。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="全射の始域の濃度"><span id=".E5.85.A8.E5.B0.84.E3.81.AE.E5.A7.8B.E5.9F.9F.E3.81.AE.E6.BF.83.E5.BA.A6"></span>全射の始域の濃度</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%85%A8%E5%B0%84&action=edit&section=7" title="節を編集: 全射の始域の濃度"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>全射の始域の<a href="/wiki/%E6%BF%83%E5%BA%A6_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="濃度 (数学)">濃度</a>は、余域の濃度以上である。つまり <span lang="en" class="texhtml"><i>f</i>: <i>X</i> → <i>Y</i></span> が全射ならば、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">X</span> は少なくとも <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">Y</span> の元の（濃度の意味での）個数と等しい数の元を含む。ただし、このことの証明には、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">Y</span> の任意の元 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">y</span> に対して <span lang="en" class="texhtml"><i>f</i>(<i>g</i>(<i>y</i>)) = <i>y</i></span> を満たす写像 <span lang="en" class="texhtml"><i>g</i>: <i>Y</i> → <i>X</i></span> の存在を言うために<a href="/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86" title="選択公理">選択公理</a>が必要になる。<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">g</span> が単射であることを見るのは容易であるから、<a href="/wiki/%E6%BF%83%E5%BA%A6_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)#厳密な定義" title="濃度 (数学)">定義</a>により <span lang="en" class="texhtml">|<i>Y</i>| ≤ |<i>X</i>|</span> が得られる。 </p><p>特に、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">X</span> と <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">Y</span> が同じ数の元を持つ<a href="/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E9%9B%86%E5%90%88" title="有限集合">有限集合</a>であるときには、<span lang="en" class="texhtml"><i>f</i>: <i>X</i> → <i>Y</i></span> が全射であることと <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> が<a href="/wiki/%E5%8D%98%E5%B0%84" title="単射">単射</a>であることとが同値になる。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="合成と分解"><span id=".E5.90.88.E6.88.90.E3.81.A8.E5.88.86.E8.A7.A3"></span>合成と分解</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%85%A8%E5%B0%84&action=edit&section=8" title="節を編集: 合成と分解"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Surjective_composition.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a2/Surjective_composition.svg/220px-Surjective_composition.svg.png" decoding="async" width="220" height="147" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a2/Surjective_composition.svg/330px-Surjective_composition.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a2/Surjective_composition.svg/440px-Surjective_composition.svg.png 2x" data-file-width="300" data-file-height="200" /></a><figcaption>合成が全射（先に施す写像が全射でなくともよいことがわかる）</figcaption></figure> <p>全射同士の<a href="/wiki/%E5%86%99%E5%83%8F%E3%81%AE%E5%90%88%E6%88%90" title="写像の合成">合成</a>は常に全射である。即ち、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> および <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">g</span> がともに全射で、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">g</span> の余域が <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> の定義域と等しいとき、合成写像 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f ∘ g</span> は全射になる。逆に、合成 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f ∘ g</span> が全射ならば <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> は全射（だが先に施すほうの <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">g</span> は必ずしも全射でなくてよい）。この性質は、<a href="/wiki/%E9%9B%86%E5%90%88%E3%81%AE%E5%9C%8F" title="集合の圏">集合の圏</a>における全射から任意の<a href="/wiki/%E5%9C%8F_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="圏 (数学)">圏</a>における任意の<a href="/wiki/%E5%85%A8%E5%B0%84_(%E5%9C%8F%E8%AB%96)" class="mw-redirect" title="全射 (圏論)">全射</a>に一般化される。 </p><p>任意の写像は、全射と<a href="/wiki/%E5%8D%98%E5%B0%84" title="単射">単射</a>との合成の形に分解することができる。即ち、<span lang="en" class="texhtml"><i>h</i>: <i>X</i> → <i>Z</i></span> を任意の写像とすれば、全射 <span lang="en" class="texhtml"><i>f</i>: <i>X</i> → <i>Y</i></span> と単射 <span lang="en" class="texhtml"><i>g</i>: <i>Y</i> → <i>Z</i></span> で <span lang="en" class="texhtml"><i>h</i> = <i>g</i> ∘ <i>f</i></span> を満たすものが存在する。これを見るには、集合 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">Y</span> は <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">X</span> の部分集合族 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle Y:=\{h^{-1}(z)=\{x\in X\mid h(x)=z\}\mid z\in h(X)\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mi>Y</mi> <mo>:=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <msup> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> <mo>∣</mo> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>z</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo>∣</mo> <mi>z</mi> <mo>∈</mo> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle Y:=\{h^{-1}(z)=\{x\in X\mid h(x)=z\}\mid z\in h(X)\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/207b349becdd5b40e0beb396606f492cc744280c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:47.582ex; height:3.009ex;" alt="{\textstyle Y:=\{h^{-1}(z)=\{x\in X\mid h(x)=z\}\mid z\in h(X)\}}"></span> として定めればよい。ここに現れた原像は<a href="/wiki/%E7%B4%A0%E9%9B%86%E5%90%88" title="素集合">互いに交わりを持たず</a>、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">X</span> の<a href="/wiki/%E9%9B%86%E5%90%88%E3%81%AE%E5%88%86%E5%89%B2" title="集合の分割">分割</a>を与える。このとき、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> として各元 <span lang="en" class="texhtml"><i>x</i> ∈ <i>X</i></span> を <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span> を含む <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">Y</span> の元へ写す写像 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle f\colon x\mapsto \{x'\in X\mid h(x')=h(x)\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">↦</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <msup> <mi>x</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> <mo>∣</mo> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>x</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle f\colon x\mapsto \{x'\in X\mid h(x')=h(x)\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5370cc7d1917c84306bca9386e0fa90aa116356d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:31.093ex; height:2.843ex;" alt="{\textstyle f\colon x\mapsto \{x'\in X\mid h(x')=h(x)\}}"></span> をとり、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">g</span> として <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">Y</span> の各元が含む <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">X</span> の元が <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">h</span> によって写されるところの <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">Z</span> の元へ写す写像 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle g\colon h^{-1}(z)\mapsto z}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mi>g</mi> <mo>:</mo> <msup> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">↦</mo> <mi>z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle g\colon h^{-1}(z)\mapsto z}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d769279ed47ce2990268a44aa99dbaa4be6fce3f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.421ex; height:3.009ex;" alt="{\textstyle g\colon h^{-1}(z)\mapsto z}"></span> とすれば、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> は射影ゆえ全射で、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">g</span> は作り方から単射となり、<span lang="en" class="texhtml"><i>h</i> = <i>g</i> ∘ <i>f</i></span> が成り立つ。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="誘導された全射・双射"><span id=".E8.AA.98.E5.B0.8E.E3.81.95.E3.82.8C.E3.81.9F.E5.85.A8.E5.B0.84.E3.83.BB.E5.8F.8C.E5.B0.84"></span>誘導された全射・双射</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%85%A8%E5%B0%84&action=edit&section=9" title="節を編集: 誘導された全射・双射"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>任意の写像はその終域を値域にまで制限することにより全射を誘導し、任意の全射は同じ決まった値に写るような定義域の元を同一視して潰すような<a href="/wiki/%E5%95%86%E9%9B%86%E5%90%88" class="mw-redirect" title="商集合">商集合</a>の上の全単射を誘導する。きちんと述べれば、任意の全射 <span lang="en" class="texhtml"><i>f</i>: <i>A</i> → <i>B</i></span> は以下に述べるように全単射と射影の合成に分解される。<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">A/∼</span> を <span lang="en" class="texhtml"><i>x</i> ∼ <i>y</i> ⇔ <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>f</i>(<i>y</i>)</span> で定められる<a href="/wiki/%E5%90%8C%E5%80%A4%E9%96%A2%E4%BF%82" title="同値関係">同値関係</a>による <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">A</span> の<a href="/wiki/%E5%90%8C%E5%80%A4%E9%A1%9E" title="同値類">同値類</a>全体の成す集合とする。<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">A/∼</span> を <i>f</i> による原像全体の成す集合とするといっても同じことである。写像 <span lang="en" class="texhtml"><i>P</i><sub>~</sub>: <i>A</i> ↠ <i>A</i>/∼</span> を <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">A</span> の各元 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span> をその同値類 <span lang="en" class="texhtml">[<i>x</i>]<sub>~</sub></span> へ写す射影とし、<span lang="en" class="texhtml"><i>f<sub>P</sub></i>: <i>A</i>/∼ → <i>B</i></span> を <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{P}([x]_{\sim }):=f(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>P</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>x</mi> <msub> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∼</mo> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{P}([x]_{\sim }):=f(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d257d5d6ee04ab1f4b9ba3195e9ea83449b25093" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.712ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f_{P}([x]_{\sim }):=f(x)}"></span> で与えられる<a href="/wiki/Well-defined" title="Well-defined">よく定義された</a>写像とすればこれは全単射で、<span lang="en" class="texhtml"><i>f</i> = <i>f<sub>P</sub></i> ∘ <i>P</i><sub>~</sub></span> が成り立つ。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="数え上げ"><span id=".E6.95.B0.E3.81.88.E4.B8.8A.E3.81.92"></span>数え上げ</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%85%A8%E5%B0%84&action=edit&section=10" title="節を編集: 数え上げ"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/%E5%8C%85%E9%99%A4%E5%8E%9F%E7%90%86" title="包除原理">包除原理</a>の応用として、有限集合 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">X</span> から <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">Y</span> への全射の数は </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n!S(m,n)=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(n-k)^{m}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>!</mo> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>m</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">(</mo> </mrow> <mfrac linethickness="0"> <mi>n</mi> <mi>k</mi> </mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">)</mo> </mrow> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mi>k</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n!S(m,n)=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(n-k)^{m}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef940fd80ed59ed4d747ba0d921472b889df494d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:35.888ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle n!S(m,n)=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(n-k)^{m}}"></span></dd></dl> <p>により与えられる<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。ここで <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">m</span>, <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">n</span> は有限集合 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">X</span>, <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">Y</span> の濃度であり、<span lang="en" class="texhtml"><i>S</i>(<i>m</i>, <i>n</i>)</span> は<a href="/wiki/%E7%AC%AC%E4%BA%8C%E7%A8%AE%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%82%B0%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="第二種スターリング数">第二種スターリング数</a>である。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="脚注"><span id=".E8.84.9A.E6.B3.A8"></span>脚注</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%85%A8%E5%B0%84&action=edit&section=11" title="節を編集: 脚注"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint" style="float:right; font-size:90%;">[<a href="/wiki/Help:%E8%84%9A%E6%B3%A8/%E8%AA%AD%E8%80%85%E5%90%91%E3%81%91" title="Help:脚注/読者向け"><span title="この欄の操作法">脚注の使い方</span></a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="注釈"><span id=".E6.B3.A8.E9.87.88"></span>注釈</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%85%A8%E5%B0%84&action=edit&section=12" title="節を編集: 注釈"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="reflist" style="list-style-type: decimal;"> <ol class="references"> <li id="cite_note-1"><b><a href="#cite_ref-1">^</a></b> <span class="reference-text">全射の代わりに「上への」という言葉を用いる文献では、<a href="/wiki/%E5%8D%98%E5%B0%84" title="単射">単射</a>の代わりに「一対一」(one-to-one) という言葉が使われるが、後者は<a href="/wiki/%E5%85%A8%E5%8D%98%E5%B0%84" title="全単射">全単射</a>を表す「一対一対応 (one-to-one correspondence)」とまぎらわしい。容易に類推されるように「中への」(into) という言葉が<b>全射でない</b>写像を表すのに用いられる場合が稀にある（例えば、<a href="#CITEREFケリー1968">ケリー (1968)</a>,<a href="#CITEREF彌永小平1961">彌永 & 小平 (1961)</a>）。体の準同型（これは常に単射）が全射（従って同型）でないとき、「中への同型」と呼ぶことはよくある。</span> </li> </ol></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="出典"><span id=".E5.87.BA.E5.85.B8"></span>出典</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%85%A8%E5%B0%84&action=edit&section=13" title="節を編集: 出典"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="reflist" style="-moz-column-count:2; -webkit-column-count:2; column-count:2; -moz-column-width: 20em; -webkit-column-width: 20em; column-width: 20em; list-style-type: decimal;"> <ol class="references"> <li id="cite_note-2"><b><a href="#cite_ref-2">^</a></b> <span class="reference-text"><cite style="font-style:normal" class="citation book">Goldblatt, Robert (2006) [1984]. <a rel="nofollow" class="external text" href="http://historical.library.cornell.edu/cgi-bin/cul.math/docviewer?did=Gold010&id=3"><i>Topoi, the Categorial Analysis of Logic</i></a> (Revised ed.). <a href="/wiki/Dover_Publications" class="mw-redirect" title="Dover Publications">Dover Publications</a>. <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r101121245">.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation.cs-ja1 q,.mw-parser-output .citation.cs-ja2 q{quotes:"「""」""『""』"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg")right 0.1em center/12px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:none;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;color:var(--color-error,#d33)}.mw-parser-output .cs1-visible-error{color:var(--color-error,#d33)}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:var(--color-success,#3a3);margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}</style><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-0486450261" title="特別:文献資料/978-0486450261">978-0486450261</a><span style="display:none;">. <a rel="nofollow" class="external free" href="http://historical.library.cornell.edu/cgi-bin/cul.math/docviewer?did=Gold010&id=3">http://historical.library.cornell.edu/cgi-bin/cul.math/docviewer?did=Gold010&id=3</a></span> <span class="reference-accessdate"><span title="">2009年11月25日</span>閲覧。</span></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Topoi%2C+the+Categorial+Analysis+of+Logic&rft.aulast=Goldblatt&rft.aufirst=Robert&rft.au=Goldblatt%2C%26%2332%3BRobert&rft.date=2006&rft.edition=Revised&rft.pub=%5B%5BDover+Publications%5D%5D&rft.isbn=978-0486450261&rft_id=http%3A%2F%2Fhistorical.library.cornell.edu%2Fcgi-bin%2Fcul.math%2Fdocviewer%3Fdid%3DGold010%26id%3D3&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E5%85%A8%E5%B0%84"><span style="display: none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-3"><b><a href="#cite_ref-3">^</a></b> <span class="reference-text"><cite style="font-style:normal" class="citation book">Cioabă, S. M.; Murty, M. R. (2009). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.co.jp/books?id=sfJdDwAAQBAJ&pg=PA25">“3.3. Counting Surjective Maps”</a>. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.co.jp/books?id=sfJdDwAAQBAJ"><i>A First Course in Graph Theory and Combinatorics</i></a>. Hindustan Book Agency. <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-81-85931-98-2" title="特別:文献資料/978-81-85931-98-2">978-81-85931-98-2</a><span style="display:none;">. <a rel="nofollow" class="external free" href="https://books.google.co.jp/books?id=sfJdDwAAQBAJ&pg=PA25">https://books.google.co.jp/books?id=sfJdDwAAQBAJ&pg=PA25</a></span></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.btitle=3.3.+Counting+Surjective+Maps&rft.atitle=A+First+Course+in+Graph+Theory+and+Combinatorics&rft.aulast=Cioab%C4%83&rft.aufirst=S.+M.&rft.au=Cioab%C4%83%2C%26%2332%3BS.+M.&rft.au=Murty%2C%26%2332%3BM.+R.&rft.date=2009&rft.pub=Hindustan+Book+Agency&rft.isbn=978-81-85931-98-2&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.co.jp%2Fbooks%3Fid%3DsfJdDwAAQBAJ&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E5%85%A8%E5%B0%84"><span style="display: none;"> </span></span></span> </li> </ol></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="参考文献"><span id=".E5.8F.82.E8.80.83.E6.96.87.E7.8C.AE"></span>参考文献</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%85%A8%E5%B0%84&action=edit&section=14" title="節を編集: 参考文献"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><cite style="font-style:normal" class="citation book">松坂和夫『集合・位相入門』岩波書店、1968年。<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-4000054249" title="特別:文献資料/978-4000054249">978-4000054249</a>。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%E9%9B%86%E5%90%88%E3%83%BB%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E5%85%A5%E9%96%80&rft.aulast=%E6%9D%BE%E5%9D%82%E5%92%8C%E5%A4%AB&rft.au=%E6%9D%BE%E5%9D%82%E5%92%8C%E5%A4%AB&rft.date=1968&rft.pub=%E5%B2%A9%E6%B3%A2%E6%9B%B8%E5%BA%97&rft.isbn=978-4000054249&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E5%85%A8%E5%B0%84"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book">ジョン.L.ケリ－ 著、児玉之宏訳『位相空間論』吉岡書店、1968年。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93%E8%AB%96&rft.aulast=%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%83%B3.L.%E3%82%B1%E3%83%AA%EF%BC%8D&rft.au=%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%83%B3.L.%E3%82%B1%E3%83%AA%EF%BC%8D&rft.date=1968&rft.pub=%E5%90%89%E5%B2%A1%E6%9B%B8%E5%BA%97&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E5%85%A8%E5%B0%84"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREF彌永小平1961"><a href="/wiki/%E5%BD%8C%E6%B0%B8%E6%98%8C%E5%90%89" title="彌永昌吉">彌永昌吉</a>; <a href="/wiki/%E5%B0%8F%E5%B9%B3%E9%82%A6%E5%BD%A6" title="小平邦彦">小平邦彦</a>『現代数学概説』 1巻、岩波書店、1961年。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%E7%8F%BE%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6%E6%A6%82%E8%AA%AC&rft.aulast=%E5%BD%8C%E6%B0%B8&rft.aufirst=%E6%98%8C%E5%90%89&rft.au=%E5%BD%8C%E6%B0%B8%E6%98%8C%E5%90%89&rft.au=%E5%B0%8F%E5%B9%B3%E9%82%A6%E5%BD%A6&rft.date=1961&rft.pub=%E5%B2%A9%E6%B3%A2%E6%9B%B8%E5%BA%97&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E5%85%A8%E5%B0%84"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="bourbaki"><a href="/wiki/%E3%83%8B%E3%82%B3%E3%83%A9%E3%83%BB%E3%83%96%E3%83%AB%E3%83%90%E3%82%AD" title="ニコラ・ブルバキ">Bourbaki, Nicolas</a> (2004) [1968]. <i>Theory of Sets</i>. Springer. <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-3540225256" title="特別:文献資料/978-3540225256">978-3540225256</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Theory+of+Sets&rft.aulast=Bourbaki&rft.aufirst=Nicolas&rft.au=Bourbaki%2C%26%2332%3BNicolas&rft.date=2004&rft.pub=Springer&rft.isbn=978-3540225256&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E5%85%A8%E5%B0%84"><span style="display: none;"> </span></span></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="関連項目"><span id=".E9.96.A2.E9.80.A3.E9.A0.85.E7.9B.AE"></span>関連項目</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%85%A8%E5%B0%84&action=edit&section=15" title="節を編集: 関連項目"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/%E5%8D%98%E5%B0%84" title="単射">単射</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%85%A8%E5%8D%98%E5%B0%84" title="全単射">全単射</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%90%8C%E5%80%A4%E9%96%A2%E4%BF%82" title="同値関係">同値関係</a></li> <li><a href="/wiki/%E4%B8%AD%E3%81%B8%E3%81%AE%E5%86%99%E5%83%8F" class="mw-redirect" title="中への写像">中への写像</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="外部リンク"><span id=".E5.A4.96.E9.83.A8.E3.83.AA.E3.83.B3.E3.82.AF"></span>外部リンク</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%85%A8%E5%B0%84&action=edit&section=16" title="節を編集: 外部リンク"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span class="citation mathworld" id="Reference-Mathworld-Surjection"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><cite id="CITEREFWeisstein" class="citation web cs1 cs1-prop-foreign-lang-source">Weisstein, Eric W. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathworld.wolfram.com/Surjection.html">"Surjection"</a>. <i>mathworld.wolfram.com</i> (英語).</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=unknown&rft.jtitle=mathworld.wolfram.com&rft.atitle=Surjection&rft.aulast=Weisstein&rft.aufirst=Eric+W.&rft_id=https%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2FSurjection.html&rfr_id=info%3Asid%2Fja.wikipedia.org%3A%E5%85%A8%E5%B0%84" class="Z3988"></span></span></li> <li><i><a rel="nofollow" class="external text" href="https://planetmath.org/Surjective">surjective</a></i> - <a href="/wiki/PlanetMath" title="PlanetMath">PlanetMath</a>.<span class="tmpl-language-icon" style="font-size:0.95em; font-weight:bold; color:#555">（英語）</span></li></ul>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: 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