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vector-toc-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="toc-pinned" data-pinnable-element-id="vector-toc" > <h2 class="vector-pinnable-header-label">目次</h2> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.pin">サイドバーに移動</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.unpin">非表示</button> </div> <ul class="vector-toc-contents" id="mw-panel-toc-list"> <li id="toc-mw-content-text" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a href="#" class="vector-toc-link"> <div class="vector-toc-text">ページ先頭</div> </a> </li> <li id="toc-定義" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#定義"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1</span> <span>定義</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-定義-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>定義サブセクションを切り替えます</span> </button> <ul id="toc-定義-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-生成子と次元" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#生成子と次元"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.1</span> <span>生成子と次元</span> </div> </a> <ul id="toc-生成子と次元-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-準同型、部分代数、イデアル" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#準同型、部分代数、イデアル"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.2</span> <span>準同型、部分代数、イデアル</span> </div> </a> <ul id="toc-準同型、部分代数、イデアル-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-直和" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#直和"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.3</span> <span>直和</span> </div> </a> <ul id="toc-直和-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-性質" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#性質"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>性質</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-性質-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>性質サブセクションを切り替えます</span> </button> <ul id="toc-性質-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-包絡代数を持つ" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#包絡代数を持つ"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.1</span> <span>包絡代数を持つ</span> </div> </a> <ul id="toc-包絡代数を持つ-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-表現" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#表現"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.2</span> <span>表現</span> </div> </a> <ul id="toc-表現-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-例" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#例"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>例</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-例-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>例サブセクションを切り替えます</span> </button> <ul id="toc-例-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-ベクトル空間" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#ベクトル空間"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.1</span> <span>ベクトル空間</span> </div> </a> <ul id="toc-ベクトル空間-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-部分空間" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#部分空間"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.2</span> <span>部分空間</span> </div> </a> <ul id="toc-部分空間-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-実行列群" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#実行列群"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.3</span> <span>実行列群</span> </div> </a> <ul id="toc-実行列群-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-3次元" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#3次元"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.4</span> <span>3次元</span> </div> </a> <ul id="toc-3次元-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-無限次元" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#無限次元"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.5</span> <span>無限次元</span> </div> </a> <ul id="toc-無限次元-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-構造論と分類" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#構造論と分類"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>構造論と分類</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-構造論と分類-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>構造論と分類サブセクションを切り替えます</span> </button> <ul id="toc-構造論と分類-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-可換性、冪零性、可解性" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#可換性、冪零性、可解性"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.1</span> <span>可換性、冪零性、可解性</span> </div> </a> <ul id="toc-可換性、冪零性、可解性-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-単純性と半単純性" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#単純性と半単純性"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.2</span> <span>単純性と半単純性</span> </div> </a> <ul id="toc-単純性と半単純性-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-カルタンの判定条件" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#カルタンの判定条件"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.3</span> <span>カルタンの判定条件</span> </div> </a> <ul id="toc-カルタンの判定条件-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-分類" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#分類"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.4</span> <span>分類</span> </div> </a> <ul id="toc-分類-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-リー群との関係" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#リー群との関係"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>リー群との関係</span> </div> </a> <ul id="toc-リー群との関係-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-圏論的な定義" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#圏論的な定義"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>圏論的な定義</span> </div> </a> <ul id="toc-圏論的な定義-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-リー環_(Lie_ring)" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#リー環_(Lie_ring)"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>リー環 (Lie ring)</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-リー環_(Lie_ring)-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>リー環 (Lie ring)サブセクションを切り替えます</span> </button> <ul id="toc-リー環_(Lie_ring)-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-厳密な定義" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#厳密な定義"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7.1</span> <span>厳密な定義</span> </div> </a> <ul id="toc-厳密な定義-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-例_2" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#例_2"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7.2</span> <span>例</span> </div> </a> <ul id="toc-例_2-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-関連項目" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#関連項目"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8</span> <span>関連項目</span> </div> </a> <ul id="toc-関連項目-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-脚注" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#脚注"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9</span> <span>脚注</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-脚注-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>脚注サブセクションを切り替えます</span> </button> <ul id="toc-脚注-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-注釈" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#注釈"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9.1</span> <span>注釈</span> </div> </a> <ul id="toc-注釈-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-出典" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#出典"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9.2</span> <span>出典</span> </div> </a> <ul id="toc-出典-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-参考文献" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#参考文献"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">10</span> <span>参考文献</span> </div> </a> <ul id="toc-参考文献-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-外部リンク" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" 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class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">目次の表示・非表示を切り替え</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">リー代数</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="特定の記事の別の言語版に移動します。利用可能な言語29件" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-29" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">29の言語版</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%AC%D8%A8%D8%B1_%D9%84%D9%8A" title="アラビア語: جبر لي" lang="ar" hreflang="ar" data-title="جبر لي" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="アラビア語" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/%C3%80lgebra_de_Lie" title="カタロニア語: Àlgebra de Lie" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Àlgebra de Lie" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="カタロニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Lieova_algebra" title="チェコ語: Lieova algebra" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Lieova algebra" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="チェコ語" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Lie-Algebra" title="ドイツ語: Lie-Algebra" lang="de" hreflang="de" data-title="Lie-Algebra" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="ドイツ語" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Lie_algebra" title="英語: Lie algebra" lang="en" hreflang="en" data-title="Lie algebra" data-language-autonym="English" data-language-local-name="英語" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Al%C4%9Debro_de_Lie" title="エスペラント語: Alĝebro de Lie" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Alĝebro de Lie" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="エスペラント語" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_de_Lie" title="スペイン語: Álgebra de Lie" lang="es" hreflang="es" data-title="Álgebra de Lie" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="スペイン語" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%AC%D8%A8%D8%B1_%D9%84%DB%8C" title="ペルシア語: جبر لی" lang="fa" hreflang="fa" data-title="جبر لی" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="ペルシア語" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Alg%C3%A8bre_de_Lie" title="フランス語: Algèbre de Lie" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Algèbre de Lie" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="フランス語" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/%C3%81lxebra_de_Lie" title="ガリシア語: Álxebra de Lie" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Álxebra de Lie" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="ガリシア語" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%AA_%D7%9C%D7%99" title="ヘブライ語: אלגברת לי" lang="he" hreflang="he" data-title="אלגברת לי" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="ヘブライ語" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Lie-algebra" title="ハンガリー語: Lie-algebra" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Lie-algebra" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="ハンガリー語" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ia mw-list-item"><a href="https://ia.wikipedia.org/wiki/Algebra_de_Lie" title="インターリングア: Algebra de Lie" lang="ia" hreflang="ia" data-title="Algebra de Lie" data-language-autonym="Interlingua" data-language-local-name="インターリングア" class="interlanguage-link-target"><span>Interlingua</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_Lie" title="インドネシア語: Aljabar Lie" lang="id" hreflang="id" data-title="Aljabar Lie" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="インドネシア語" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Algebra_di_Lie" title="イタリア語: Algebra di 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title="オランダ語: Lie-algebra" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Lie-algebra" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="オランダ語" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Liealgebra" title="ノルウェー語(ニーノシュク): Liealgebra" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Liealgebra" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="ノルウェー語(ニーノシュク)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pa mw-list-item"><a href="https://pa.wikipedia.org/wiki/%E0%A8%B2%E0%A9%80_%E0%A8%85%E0%A8%B2%E0%A8%9C%E0%A8%AC%E0%A8%B0%E0%A8%BE" title="パンジャブ語: ਲੀ ਅਲਜਬਰਾ" lang="pa" hreflang="pa" data-title="ਲੀ ਅਲਜਬਰਾ" data-language-autonym="ਪੰਜਾਬੀ" data-language-local-name="パンジャブ語" class="interlanguage-link-target"><span>ਪੰਜਾਬੀ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Algebra_Liego" title="ポーランド語: Algebra Liego" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Algebra Liego" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="ポーランド語" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_de_Lie" title="ポルトガル語: Álgebra de Lie" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Álgebra de Lie" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="ポルトガル語" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_%D0%9B%D0%B8" title="ロシア語: Алгебра Ли" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Алгебра Ли" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="ロシア語" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%B8%D1%98%D0%B5%D0%B2%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0" title="セルビア語: Лијева алгебра" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Лијева алгебра" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="セルビア語" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Liealgebra" title="スウェーデン語: Liealgebra" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Liealgebra" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="スウェーデン語" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Lie_cebiri" title="トルコ語: Lie cebiri" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Lie cebiri" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="トルコ語" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_%D0%9B%D1%96" title="ウクライナ語: Алгебра Лі" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Алгебра Лі" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ウクライナ語" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_Lie" title="ベトナム語: Đại số Lie" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Đại số Lie" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="ベトナム語" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9D%8E%E4%BB%A3%E6%95%B8" title="中国語: 李代數" lang="zh" hreflang="zh" data-title="李代數" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="中国語" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q664495#sitelinks-wikipedia" title="言語間リンクを編集" class="wbc-editpage">リンクを編集</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="名前空間"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0" title="本文を閲覧 [c]" accesskey="c"><span>ページ</span></a></li><li id="ca-talk" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/%E3%83%8E%E3%83%BC%E3%83%88:%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0" rel="discussion" title="本文ページについての議論 [t]" accesskey="t"><span>ノート</span></a></li> </ul> 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3.3em}@media(max-width:640px){body.mediawiki .mw-parser-output .sidebar{width:100%!important;clear:both;float:none!important;margin-left:0!important;margin-right:0!important}}body.skin--responsive .mw-parser-output .sidebar a>img{max-width:none!important}@media screen{html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .sidebar:not(.notheme) .sidebar-list-title,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .sidebar:not(.notheme) .sidebar-title-with-pretitle{background:transparent!important}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .sidebar:not(.notheme) .sidebar-title-with-pretitle a{color:var(--color-progressive)!important}}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .sidebar:not(.notheme) .sidebar-list-title,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .sidebar:not(.notheme) .sidebar-title-with-pretitle{background:transparent!important}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .sidebar:not(.notheme) .sidebar-title-with-pretitle a{color:var(--color-progressive)!important}}@media print{body.ns-0 .mw-parser-output .sidebar{display:none!important}}</style><table class="sidebar sidebar-collapse nomobile nowraplinks"><tbody><tr><th class="sidebar-title"><span style="font-size: 8pt; font-weight: none"><a href="/wiki/%E7%BE%A4%E8%AB%96" title="群論">群論</a> → <b>リー群</b></span><br /><a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4" title="リー群">リー群</a></th></tr><tr><td class="sidebar-image" style="padding-bottom:0.9em;"><span typeof="mw:File/Frameless"><a href="/wiki/E8_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="E8 (数学)"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/14/E8Petrie.svg/180px-E8Petrie.svg.png" decoding="async" width="180" height="181" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/14/E8Petrie.svg/270px-E8Petrie.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/14/E8Petrie.svg/360px-E8Petrie.svg.png 2x" data-file-width="2852" data-file-height="2863" /></a></span></td></tr><tr><td class="sidebar-content"> <div class="sidebar-list mw-collapsible mw-collapsed"><div class="sidebar-list-title"><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%8F%A4%E5%85%B8%E7%BE%A4&action=edit&redlink=1" class="new" title="古典群 (存在しないページ)">古典群</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/classical_group" class="extiw" title="en:classical group">英語版</a>）</span></span></div><div class="sidebar-list-content mw-collapsible-content"><div class="plainlist"> <ul><li><a href="/wiki/%E4%B8%80%E8%88%AC%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E7%BE%A4" title="一般線型群">一般線型</a> GL(<i>n</i>)</li> <li><a href="/wiki/%E7%89%B9%E6%AE%8A%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E7%BE%A4" title="特殊線型群">特殊線型</a> SL(<i>n</i>)</li> <li><a href="/wiki/%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E7%BE%A4" title="直交群">直交</a> O(<i>n</i>)</li> <li><a href="/wiki/%E7%89%B9%E6%AE%8A%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E7%BE%A4" class="mw-redirect" title="特殊直交群">特殊直交</a> SO(<i>n</i>)</li> <li><a href="/wiki/%E3%83%A6%E3%83%8B%E3%82%BF%E3%83%AA%E7%BE%A4" title="ユニタリ群">ユニタリ</a> U(<i>n</i>)</li> <li><a href="/wiki/%E7%89%B9%E6%AE%8A%E3%83%A6%E3%83%8B%E3%82%BF%E3%83%AA%E7%BE%A4" title="特殊ユニタリ群">特殊ユニタリ</a> SU(<i>n</i>)</li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B7%E3%83%B3%E3%83%97%E3%83%AC%E3%82%AF%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%83%E3%82%AF%E7%BE%A4" class="mw-redirect" title="シンプレクティック群">シンプレクティック</a> Sp(<i>n</i>)</li></ul> </div></div></div></td> </tr><tr><td class="sidebar-content"> <div class="sidebar-list mw-collapsible mw-collapsed"><div class="sidebar-list-title"><a href="/wiki/%E5%8D%98%E7%B4%94%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4" title="単純リー群">単純リー群</a></div><div class="sidebar-list-content mw-collapsible-content"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r103029389"><table class="sidebar nomobile nowraplinks hlist" style="border-collapse:collapse; border-spacing:0px; border:none; width:100%; margin:0px; font-size:100%; clear:none; float:none"><tbody><tr><td class="sidebar-content"> <ul><li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%8D%98%E7%B4%94%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4%E4%B8%80%E8%A6%A7%E8%A1%A8&action=edit&redlink=1" class="new" title="単純リー群一覧表 (存在しないページ)">単純リー群一覧表</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_simple_Lie_groups" class="extiw" title="en:List of simple Lie groups">英語版</a>）</span></span></li></ul></td> </tr><tr><th class="sidebar-heading" style="font-weight:normal; font-style:italic;"> 古典型</th></tr><tr><td class="sidebar-content"> <ul><li><a href="/wiki/%E5%8D%98%E7%B4%94%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4#A_系列" title="単純リー群">A<sub><i>n</i></sub></a></li> <li><a href="/wiki/%E5%8D%98%E7%B4%94%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4#B_系列" title="単純リー群">B<sub><i>n</i></sub></a></li> <li><a href="/wiki/%E5%8D%98%E7%B4%94%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4#C_系列" title="単純リー群">C<sub><i>n</i></sub></a></li> <li><a href="/wiki/%E5%8D%98%E7%B4%94%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4#D_系列" title="単純リー群">D<sub><i>n</i></sub></a></li></ul></td> </tr><tr><th class="sidebar-heading" style="font-weight:normal; font-style:italic;"> 例外型</th></tr><tr><td class="sidebar-content"> <ul><li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=G2_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&redlink=1" class="new" title="G2 (数学) (存在しないページ)">G<sub>2</sub></a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/G2_(mathematics)" class="extiw" title="en:G2 (mathematics)">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=F4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&redlink=1" class="new" title="F4 (数学) (存在しないページ)">F<sub>4</sub></a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/F4_(mathematics)" class="extiw" title="en:F4 (mathematics)">英語版</a>）</span></span><br /></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=E6_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&redlink=1" class="new" title="E6 (数学) (存在しないページ)">E<sub>6</sub></a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/E6_(mathematics)" class="extiw" title="en:E6 (mathematics)">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=E7_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&redlink=1" class="new" title="E7 (数学) (存在しないページ)">E<sub>7</sub></a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/E7_(mathematics)" class="extiw" title="en:E7 (mathematics)">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだ不十分なため、加筆や他言語版からの追加翻訳が望まれます。"><a href="/wiki/E8_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="E8 (数学)">E<sub>8</sub></a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/E8_(mathematics)" class="extiw" title="en:E8 (mathematics)">英語版</a>）</span></span></li></ul></td> </tr></tbody></table></div></div></td> </tr><tr><td class="sidebar-content"> <div class="sidebar-list mw-collapsible mw-collapsed"><div class="sidebar-list-title"><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4%E4%B8%80%E8%A6%A7%E8%A1%A8&action=edit&redlink=1" class="new" title="リー群一覧表 (存在しないページ)">他のリー群</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Table_of_Lie_groups" class="extiw" title="en:Table of Lie groups">英語版</a>）</span></span></div><div class="sidebar-list-content mw-collapsible-content"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r101550662">.mw-parser-output .plainlist--only-child>ol,.mw-parser-output .plainlist--only-child>ul{line-height:inherit;list-style:none none;margin:0;padding-left:0}.mw-parser-output .plainlist--only-child>ol li,.mw-parser-output .plainlist--only-child>ul li{margin-bottom:0}</style><div class="plainlist"><ul><li><span title="リンク先の項目はまだ不十分なため、加筆や他言語版からの追加翻訳が望まれます。"><a href="/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%BE%A4" title="円周群">円周</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Circle_group" class="extiw" title="en:Circle group">英語版</a>）</span></span></li><li><a href="/wiki/%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%83%84%E7%BE%A4" title="ローレンツ群">ローレンツ</a></li><li><a href="/wiki/%E3%83%9D%E3%83%AF%E3%83%B3%E3%82%AB%E3%83%AC%E7%BE%A4" class="mw-redirect" title="ポワンカレ群">ポワンカレ</a></li><li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%85%B1%E5%BD%A2%E7%BE%A4&action=edit&redlink=1" class="new" title="共形群 (存在しないページ)">共形</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Conformal_group" class="extiw" title="en:Conformal group">英語版</a>）</span></span></li><li><a href="/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E5%90%8C%E7%9B%B8%E5%86%99%E5%83%8F" title="微分同相写像">微分同相写像</a></li><li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AB%E3%83%BC%E3%83%97%E7%BE%A4&action=edit&redlink=1" class="new" title="ループ群 (存在しないページ)">ループ</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Loop_group" class="extiw" title="en:Loop group">英語版</a>）</span></span></li></ul></div></div></div></td> </tr><tr><td class="sidebar-content"> <div class="sidebar-list mw-collapsible mw-collapsed"><div class="sidebar-list-title"><a class="mw-selflink selflink">リー環</a></div><div class="sidebar-list-content mw-collapsible-content"><div class="plainlist"> <ul><li><a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%92%B0%E3%81%AE%E6%8C%87%E6%95%B0%E5%86%99%E5%83%8F" title="リー環の指数写像">指数写像</a></li> <li><div style="padding:0.2em 0.4em; line-height:1.2em;"><a href="/wiki/%E9%9A%8F%E4%BC%B4%E8%A1%A8%E7%8F%BE" title="随伴表現">随伴表現</a> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r103358373">.mw-parser-output .hlist dl,.mw-parser-output .hlist ol,.mw-parser-output .hlist ul{margin:0;padding:0}.mw-parser-output .hlist dd,.mw-parser-output .hlist dt,.mw-parser-output .hlist li{margin:0;display:inline-block;word-break:keep-all}.mw-parser-output .hlist.inline,.mw-parser-output .hlist.inline dl,.mw-parser-output .hlist.inline ol,.mw-parser-output .hlist.inline ul,.mw-parser-output .hlist dl dl,.mw-parser-output .hlist dl ol,.mw-parser-output .hlist dl ul,.mw-parser-output .hlist ol dl,.mw-parser-output .hlist ol ol,.mw-parser-output .hlist ol ul,.mw-parser-output .hlist ul dl,.mw-parser-output .hlist ul ol,.mw-parser-output .hlist ul ul{display:inline}.mw-parser-output .hlist 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algebra">英語版</a>）</span></span></li></ul></div></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=Lie_point_symmetry&action=edit&redlink=1" class="new" title="Lie point symmetry (存在しないページ)">Lie point symmetry</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Lie_point_symmetry" class="extiw" title="en:Lie point symmetry">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E5%8D%98%E7%B4%94%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%92%B0" class="mw-redirect" title="単純リー環">単純リー環</a></li></ul> </div></div></div></td> </tr><tr><td class="sidebar-content"> <div class="sidebar-list mw-collapsible mw-collapsed"><div class="sidebar-list-title"><a href="/wiki/%E5%8D%8A%E5%8D%98%E7%B4%94%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%92%B0" class="mw-redirect" title="半単純リー環">半単純リー環</a></div><div class="sidebar-list-content mw-collapsible-content"><div class="plainlist"> <ul><li><a href="/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%B3%E3%82%AD%E3%83%B3%E5%9B%B3%E5%BD%A2" title="ディンキン図形">ディンキン図形</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%AB%E3%83%AB%E3%82%BF%E3%83%B3%E9%83%A8%E5%88%86%E7%92%B0" title="カルタン部分環">カルタン部分環</a></li> <li><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r103358373"><div class="hlist"><ul><li><a href="/wiki/%E3%83%AB%E3%83%BC%E3%83%88%E7%B3%BB" title="ルート系">ルート系</a></li><li><a href="/wiki/%E3%83%AF%E3%82%A4%E3%83%AB%E7%BE%A4" title="ワイル群">ワイル群</a></li></ul></div></li> <li><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r103358373"><div class="hlist"><ul><li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%AE%9F%E5%BD%A2&action=edit&redlink=1" class="new" title="実形 (存在しないページ)">実形</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Real_form_(Lie_theory)" class="extiw" title="en:Real form (Lie theory)">英語版</a>）</span></span></li><li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E8%A4%87%E7%B4%A0%E5%8C%96_(%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4)&action=edit&redlink=1" class="new" title="複素化 (リー群) (存在しないページ)">複素化</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Complexification_(Lie_group)" class="extiw" title="en:Complexification (Lie group)">英語版</a>）</span></span></li></ul></div></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%88%86%E8%A3%82%E5%9E%8B%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%92%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="分裂型リー環 (存在しないページ)">分裂型リー環</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Split_Lie_algebra" class="extiw" title="en:Split Lie algebra">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%91%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%92%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="コンパクトリー環 (存在しないページ)">コンパクトリー環</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Compact_Lie_algebra" class="extiw" title="en:Compact Lie algebra">英語版</a>）</span></span></li></ul> </div></div></div></td> </tr><tr><td class="sidebar-content"> <div class="sidebar-list mw-collapsible mw-collapsed"><div class="sidebar-list-title"><a href="/wiki/%E7%AD%89%E8%B3%AA%E7%A9%BA%E9%96%93" title="等質空間">等質空間</a></div><div class="sidebar-list-content mw-collapsible-content"><div class="plainlist"> <ul><li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%9C%E3%83%AC%E3%83%AB%EF%BC%9D%E3%83%89%E3%83%BB%E3%82%B7%E3%83%90%E3%83%B3%E3%82%BF%E3%83%AB%E7%90%86%E8%AB%96&action=edit&redlink=1" class="new" title="ボレル＝ド・シバンタル理論 (存在しないページ)">閉部分群</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Borel%E2%80%93de_Siebenthal_theory" class="extiw" title="en:Borel–de Siebenthal theory">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E6%94%BE%E7%89%A9%E5%9E%8B%E9%83%A8%E5%88%86%E7%BE%A4&action=edit&redlink=1" class="new" title="放物型部分群 (存在しないページ)">放物型部分群</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Parabolic_subgroup" class="extiw" title="en:Parabolic subgroup">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E7%A9%BA%E9%96%93&action=edit&redlink=1" class="new" title="対称空間 (存在しないページ)">対称空間</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Symmetric_space" class="extiw" title="en:Symmetric space">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%83%9F%E3%83%BC%E3%83%88%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E7%A9%BA%E9%96%93&action=edit&redlink=1" class="new" title="エルミート対称空間 (存在しないページ)">エルミート対称空間</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Hermitian_symmetric_space" class="extiw" title="en:Hermitian symmetric space">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%88%B6%E9%99%90%E3%83%AB%E3%83%BC%E3%83%88%E7%B3%BB&action=edit&redlink=1" class="new" title="制限ルート系 (存在しないページ)">制限ルート系</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Restricted_root_system" class="extiw" title="en:Restricted root system">英語版</a>）</span></span></li></ul> </div></div></div></td> </tr><tr><td class="sidebar-content"> <div class="sidebar-list mw-collapsible mw-collapsed"><div class="sidebar-list-title"><a href="/wiki/%E8%A1%A8%E7%8F%BE%E8%AB%96" title="表現論">表現論</a></div><div class="sidebar-list-content mw-collapsible-content"><div class="plainlist"> <ul><li><a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4%E3%81%AE%E8%A1%A8%E7%8F%BE" title="リー群の表現">リー群表現</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%81%AE%E8%A1%A8%E7%8F%BE" title="リー代数の表現">リー環表現</a></li></ul> </div></div></div></td> </tr><tr><td class="sidebar-content"> <div class="sidebar-list mw-collapsible mw-collapsed"><div class="sidebar-list-title"><a href="/wiki/%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6" title="物理学">物理学</a>におけるリー群</div><div class="sidebar-list-content mw-collapsible-content"><div class="plainlist"> <ul><li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E7%B4%A0%E7%B2%92%E5%AD%90%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6%E3%81%A8%E8%A1%A8%E7%8F%BE%E8%AB%96&action=edit&redlink=1" class="new" title="素粒子物理学と表現論 (存在しないページ)">素粒子物理学と表現論</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Particle_physics_and_representation_theory" class="extiw" title="en:Particle physics and representation theory">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%83%84%E7%BE%A4%E3%81%AE%E8%A1%A8%E7%8F%BE%E8%AB%96&action=edit&redlink=1" class="new" title="ローレンツ群の表現論 (存在しないページ)">ローレンツ群表現</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Representation_theory_of_the_Lorentz_group" class="extiw" title="en:Representation theory of the Lorentz group">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%9D%E3%83%AF%E3%83%B3%E3%82%AB%E3%83%AC%E7%BE%A4%E3%81%AE%E8%A1%A8%E7%8F%BE%E8%AB%96&action=edit&redlink=1" class="new" title="ポワンカレ群の表現論 (存在しないページ)">ポワンカレ群表現</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Representation_theory_of_the_Poincar%C3%A9_group" class="extiw" title="en:Representation theory of the Poincaré group">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%82%AC%E3%83%AA%E3%83%AC%E3%82%A4%E7%BE%A4%E3%81%AE%E8%A1%A8%E7%8F%BE%E8%AB%96&action=edit&redlink=1" class="new" title="ガリレイ群の表現論 (存在しないページ)">ガリレイ群表現</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Representation_theory_of_the_Galilean_group" class="extiw" title="en:Representation theory of the Galilean group">英語版</a>）</span></span></li></ul> </div></div></div></td> </tr><tr><td class="sidebar-content"> <div class="sidebar-list mw-collapsible mw-collapsed"><div class="sidebar-list-title">科学者</div><div class="sidebar-list-content mw-collapsible-content"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101550662"><div class="plainlist"><ul><li><a href="/wiki/%E3%82%BD%E3%83%95%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%83%AA%E3%83%BC" title="ソフス・リー">ソフス・リー</a></li><li><a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%83%B3%E3%83%AA%E3%83%BB%E3%83%9D%E3%82%A2%E3%83%B3%E3%82%AB%E3%83%AC" title="アンリ・ポアンカレ">アンリ・ポアンカレ</a></li><li><a href="/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%83%AB%E3%83%98%E3%83%AB%E3%83%A0%E3%83%BB%E3%82%AD%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%82%B0" title="ヴィルヘルム・キリング">ヴィルヘルム・キリング</a></li><li><a href="/wiki/%E3%82%A8%E3%83%AA%E3%83%BB%E3%82%AB%E3%83%AB%E3%82%BF%E3%83%B3" title="エリ・カルタン">エリ・カルタン</a></li><li><a href="/wiki/%E3%83%98%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%AF%E3%82%A4%E3%83%AB" title="ヘルマン・ワイル">ヘルマン・ワイル</a></li><li><a href="/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%89%E3%83%BB%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%B4%E3%82%A1%E3%83%AC%E3%83%BC" title="クロード・シュヴァレー">クロード・シュヴァレー</a></li><li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%8F%E3%83%AA%E3%83%83%E3%82%B7%E3%83%A5%EF%BC%9D%E3%83%81%E3%83%A3%E3%83%B3%E3%83%89%E3%83%A9&action=edit&redlink=1" class="new" title="ハリッシュ＝チャンドラ (存在しないページ)">ハリッシュ＝チャンドラ</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Harish-Chandra" class="extiw" title="en:Harish-Chandra">英語版</a>）</span></span></li><li><a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%9C%E3%83%AC%E3%83%AB" title="アルマン・ボレル">アルマン・ボレル</a></li></ul></div></div></div></td> </tr><tr><td class="sidebar-below plainlist"> <ul><li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4%E4%B8%80%E8%A6%A7%E8%A1%A8&action=edit&redlink=1" class="new" title="リー群一覧表 (存在しないページ)">リー群一覧表</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Table_of_Lie_groups" class="extiw" title="en:Table of Lie groups">英語版</a>）</span></span></li></ul></td></tr><tr><td class="sidebar-navbar"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r103358373"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r96787822">.mw-parser-output .navbar{display:inline;font-size:75%;font-weight:normal}.mw-parser-output .navbar-collapse{float:left;text-align:left}.mw-parser-output .navbar-boxtext{word-spacing:0}.mw-parser-output .navbar ul{display:inline-block;white-space:nowrap;line-height:inherit}.mw-parser-output .navbar-brackets::before{margin-right:-0.125em;content:"[ "}.mw-parser-output .navbar-brackets::after{margin-left:-0.125em;content:" ]"}.mw-parser-output .navbar li{word-spacing:-0.125em}.mw-parser-output .navbar-mini abbr{font-variant:small-caps;border-bottom:none;text-decoration:none;cursor:inherit}.mw-parser-output .navbar-ct-full{font-size:114%;margin:0 7em}.mw-parser-output .navbar-ct-mini{font-size:114%;margin:0 4em}.mw-parser-output .infobox 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algebra</span>)、もしくは<b>リー環</b>（リーかん）<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>注 1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>は、「リー括弧積」（リーブラケット、Lie bracket）と呼ばれる<a href="/wiki/%E5%88%86%E9%85%8D%E5%A4%9A%E5%85%83%E7%92%B0" title="分配多元環">非結合的な</a>乗法 [<i>x</i>, <i>y</i>] を備えたベクトル空間である。<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E7%84%A1%E9%99%90%E5%B0%8F%E5%A4%89%E6%8F%9B&action=edit&redlink=1" class="new" title="無限小変換 (存在しないページ)">無限小変換</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/infinitesimal_transformation" class="extiw" title="en:infinitesimal transformation">英語版</a>）</span></span> (<span lang="en">infinitesimal transformation</span>) の概念を研究するために導入された。"Lie algebra" という言葉は、<a href="/wiki/%E3%82%BD%E3%83%95%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%83%AA%E3%83%BC" title="ソフス・リー">ソフス・リー</a>に因んで、1930年代に<a href="/wiki/%E3%83%98%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%AF%E3%82%A4%E3%83%AB" title="ヘルマン・ワイル">ヘルマン・ワイル</a>により導入された。古い文献では、<b>無限小群</b> (infinitesimal group) という言葉も使われている。 </p><p>リー代数は<a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4" title="リー群">リー群</a>と密接な関係にある。リー群とは<a href="/wiki/%E7%BE%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="群 (数学)">群</a>でも<a href="/wiki/%E6%BB%91%E3%82%89%E3%81%8B%E3%81%AA%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93" class="mw-redirect" title="滑らかな多様体">滑らかな多様体</a>でもあるようなもので、積と逆元を取る群演算が<a href="/wiki/%E6%BB%91%E3%82%89%E3%81%8B%E3%81%AA%E9%96%A2%E6%95%B0" title="滑らかな関数">滑らか</a>であるようなものである。任意のリー群からリー代数が生じる。逆に、実数あるいは複素数上の任意の有限次元リー代数に対し、対応する<a href="/wiki/%E9%80%A3%E7%B5%90%E7%A9%BA%E9%96%93" title="連結空間">連結</a>リー群が<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E8%A2%AB%E8%A6%86%E7%BE%A4&action=edit&redlink=1" class="new" title="被覆群 (存在しないページ)">被覆</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/covering_group" class="extiw" title="en:covering group">英語版</a>）</span></span>による<a href="/wiki/%E9%81%95%E3%81%84%E3%82%92%E9%99%A4%E3%81%84%E3%81%A6" title="違いを除いて">違いを除いて</a>一意的に存在する（<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%81%AE%E7%AC%AC%E4%B8%89%E5%AE%9A%E7%90%86&action=edit&redlink=1" class="new" title="リーの第三定理 (存在しないページ)">リーの第三定理</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Lie%27s_third_theorem" class="extiw" title="en:Lie's third theorem">英語版</a>）</span></span>）。この<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4%E3%81%A8%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%92%B0%E3%81%AE%E5%AF%BE%E5%BF%9C&action=edit&redlink=1" class="new" title="リー群とリー環の対応 (存在しないページ)">リー群とリー代数の間の対応</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Lie_group%E2%80%93Lie_algebra_correspondence" class="extiw" title="en:Lie group–Lie algebra correspondence">英語版</a>）</span></span>によってリー群をリー代数によって研究することができる。 </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="定義"><span id=".E5.AE.9A.E7.BE.A9"></span>定義</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0&action=edit&section=1" title="節を編集: 定義"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><b>リー代数</b>は、ある<a href="/wiki/%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E4%BD%93" title="可換体">体</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \,\mathbb {F} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">F</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \,\mathbb {F} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f46d3613d5f182358e1d5ae72b351ef031668bc5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.807ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \,\mathbb {F} }"></span> 上の<a href="/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93" title="ベクトル空間">ベクトル空間</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \,{\mathfrak {g}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \,{\mathfrak {g}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f2ce751877a6bbb69f97060e119554b71b2d79c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.559ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \,{\mathfrak {g}}}"></span> であって、<b>リーブラケット</b> (<span lang="en">Lie bracket</span>)、あるいは<b>括弧積</b>と呼ばれる、次の公理を満たす<a href="/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E6%BC%94%E7%AE%97" title="二項演算">二項演算</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\colon {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mo>⋅</mo> <mo>,</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\colon {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05d6eb7382ea0aec11abacb3ecdde0f4e41cc400" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.625ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\colon {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}"></span> が与えられている場合を言う。 </p> <dl><dt><a href="/wiki/%E5%8F%8C%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%86%99%E5%83%8F" title="双線型写像">双線型性</a></dt> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \,\mathbb {F} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">F</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \,\mathbb {F} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f46d3613d5f182358e1d5ae72b351ef031668bc5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.807ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \,\mathbb {F} }"></span> の全ての元（スカラー）<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">a, b</span> と <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {g}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a913b1503ed9ec94361b99f7fd59ef60705c28" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.172ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"></span> の全ての元 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x, y, z</span> に対して、 <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [ax+by,z]=a[x,z]+b[y,z],\quad [z,ax+by]=a[z,x]+b[z,y]\ .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>z</mi> <mo>,</mo> <mi>a</mi> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>z</mi> <mo>,</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>z</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mtext> </mtext> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [ax+by,z]=a[x,z]+b[y,z],\quad [z,ax+by]=a[z,x]+b[z,y]\ .}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7afd36c35ea17e3a3f919ca7fc5f72b6770aef05" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:61.487ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [ax+by,z]=a[x,z]+b[y,z],\quad [z,ax+by]=a[z,x]+b[z,y]\ .}"></span></dd></dl></dd></dl> <dl><dt><a href="/wiki/%E5%A4%96%E7%A9%8D%E4%BB%A3%E6%95%B0#双対性" title="外積代数">交代性</a></dt> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {g}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a913b1503ed9ec94361b99f7fd59ef60705c28" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.172ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"></span> の全ての元 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span> に対し、 <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [x,x]=0\ .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mtext> </mtext> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [x,x]=0\ .}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b82d815bbcdceeab2dd4f4227dbb5e441da6c954" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.475ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [x,x]=0\ .}"></span></dd></dl></dd></dl> <dl><dt><a href="/wiki/%E3%83%A4%E3%82%B3%E3%83%93%E6%81%92%E7%AD%89%E5%BC%8F" title="ヤコビ恒等式">ヤコビ恒等式</a></dt> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {g}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a913b1503ed9ec94361b99f7fd59ef60705c28" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.172ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"></span> の全ての元 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x, y, z</span> に対し、 <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [x,[y,z]]+[z,[x,y]]+[y,[z,x]]=0\ .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>z</mi> <mo>,</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>z</mi> <mo>,</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mtext> </mtext> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [x,[y,z]]+[z,[x,y]]+[y,[z,x]]=0\ .}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e43fd2b4310ae71f8b2bc6943cd6de5de0f6cdf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:35.855ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [x,[y,z]]+[z,[x,y]]+[y,[z,x]]=0\ .}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>双線型性と交代性により、<a href="/wiki/%E5%8F%8D%E4%BA%A4%E6%8F%9B%E9%96%A2%E4%BF%82" class="mw-redirect" title="反交換関係">反交換関係</a>、すなわち、<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {g}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a913b1503ed9ec94361b99f7fd59ef60705c28" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.172ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"></span> の全ての元 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x, y</span> に対し、<span lang="en" class="texhtml">[<i>x, y</i>] = −[<i>y, x</i>]</span> が成り立つ。逆に、反交換関係は、体の<a href="/wiki/%E6%A8%99%E6%95%B0" title="標数">標数</a>が <span lang="en" class="texhtml">2</span> ではないとき、交代性があることを意味する<sup id="cite_ref-FOOTNOTEHumphreys19721_2-0" class="reference"><a href="#cite_note-FOOTNOTEHumphreys19721-2"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {g}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a913b1503ed9ec94361b99f7fd59ef60705c28" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.172ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"></span> のように、普通、リー代数は<a href="/wiki/%E3%83%95%E3%83%A9%E3%82%AF%E3%83%88%E3%82%A5%E3%83%BC%E3%83%AB" title="フラクトゥール">フラクトゥール</a>の小文字で表される。リー代数が<a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4" title="リー群">リー群</a>に付随していると、リー代数のスペルはリー群と同じにする（書体は異なる）。例えば、<a href="/wiki/%E7%89%B9%E6%AE%8A%E3%83%A6%E3%83%8B%E3%82%BF%E3%83%AA%E7%BE%A4" title="特殊ユニタリ群">特殊ユニタリ群</a>の <span lang="en" class="texhtml">SU(<i>n</i>)</span> のリー代数は <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">s</mi> <mi mathvariant="fraktur">u</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b77ffdb2c34631352744c0a3ea94ff2a70406f90" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.041ex; width:5.477ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}"></span> と書かれる。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="生成子と次元"><span id=".E7.94.9F.E6.88.90.E5.AD.90.E3.81.A8.E6.AC.A1.E5.85.83"></span>生成子と次元</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0&action=edit&section=2" title="節を編集: 生成子と次元"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>リー代数 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {g}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a913b1503ed9ec94361b99f7fd59ef60705c28" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.172ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"></span> の元からなる集合が<b><a href="/wiki/%E7%94%9F%E6%88%90_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" class="mw-disambig" title="生成 (数学)">生成子</a></b>であるとは、その集合を含む <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {g}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a913b1503ed9ec94361b99f7fd59ef60705c28" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.172ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"></span> の最小のリー部分代数が全体 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {g}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a913b1503ed9ec94361b99f7fd59ef60705c28" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.172ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"></span> と一致することである。リー代数の <b>次元</b>は、<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \,\mathbb {F} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">F</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \,\mathbb {F} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f46d3613d5f182358e1d5ae72b351ef031668bc5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.807ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \,\mathbb {F} }"></span> 上のベクトル空間としての次元で定める。リー代数の生成集合の最小個数は、常に次元以下である。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="準同型、部分代数、イデアル"><span id=".E6.BA.96.E5.90.8C.E5.9E.8B.E3.80.81.E9.83.A8.E5.88.86.E4.BB.A3.E6.95.B0.E3.80.81.E3.82.A4.E3.83.87.E3.82.A2.E3.83.AB"></span>準同型、部分代数、イデアル</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0&action=edit&section=3" title="節を編集: 準同型、部分代数、イデアル"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>必ずしも <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [[x,y],z]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [[x,y],z]}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d1355c94372444268d5200cf3079e4b2e8c5510" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.229ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [[x,y],z]}"></span> と <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [x,[y,z]]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [x,[y,z]]}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99c3a3b210ab676378107460425cdcd01b90d839" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.229ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [x,[y,z]]}"></span> とが等しいとは限らないので、一般にはリーブラケットは<a href="/wiki/%E7%B5%90%E5%90%88%E6%B3%95%E5%89%87" title="結合法則">結合法則</a>を満たさない。しかし、結合的な<a href="/wiki/%E7%92%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="環 (数学)">環</a>や<a href="/wiki/%E7%B5%90%E5%90%88%E5%A4%9A%E5%85%83%E7%92%B0" title="結合多元環">結合多元環</a>の理論での用語の多くは、リー代数でも共通して使われる。リーブラケットで閉じている部分空間 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">h</mi> </mrow> </mrow> <mo>⊆</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b9eb86731488d60dc9a732a2975720c3c331eb2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.481ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}}"></span> を<b>リー部分代数</b> (<span lang="en">Lie subalgebra</span>) と呼ぶ。部分空間 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I\subseteq {\mathfrak {g}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>I</mi> <mo>⊆</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I\subseteq {\mathfrak {g}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e808b57bf5bff3b443855b092eb7491331dba6b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.442ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle I\subseteq {\mathfrak {g}}}"></span> がより強い条件 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [{\mathfrak {g}},I]\subseteq I}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mi>I</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>⊆</mo> <mi>I</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [{\mathfrak {g}},I]\subseteq I}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d68863173b4cf90ca34d1868f89c30f1a95aa61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.941ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [{\mathfrak {g}},I]\subseteq I}"></span></dd></dl> <p>を満たすとき、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">I</span> をリー代数 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {g}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a913b1503ed9ec94361b99f7fd59ef60705c28" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.172ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"></span> の<b><a href="/wiki/%E3%82%A4%E3%83%87%E3%82%A2%E3%83%AB" class="mw-redirect mw-disambig" title="イデアル">イデアル</a></b>と言う<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>注 2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。（同じ係数体の上の）リー代数の間の<b><a href="/wiki/%E6%BA%96%E5%90%8C%E5%9E%8B" title="準同型">準同型</a></b>とは、<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {g}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a913b1503ed9ec94361b99f7fd59ef60705c28" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.172ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"></span> の全ての元 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x, y</span> に対し、交換関係が </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g'}},\quad f([x,y])=[f(x),f(y)]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> <mo>′</mo> </msup> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g'}},\quad f([x,y])=[f(x),f(y)]}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83959e61136d51b2968b5a709b18aea0deb811d2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:34.299ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g'}},\quad f([x,y])=[f(x),f(y)]}"></span></dd></dl> <p>と整合している線型写像を言う。リー代数 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {g}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a913b1503ed9ec94361b99f7fd59ef60705c28" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.172ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"></span> とイデアル <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">I</span> が与えられると、環の理論のように、イデアルはちょうど準同型の<a href="/wiki/%E6%A0%B8_(%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="核 (代数学)">核</a>であり、<b>商代数</b> (<span lang="en">factor algebra</span>) <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {g}}/I}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>I</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {g}}/I}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f0baa5c4c991d315da383303fddd08194ab808f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.506ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {g}}/I}"></span> を構成することができ、リー代数に対しても<a href="/wiki/%E5%90%8C%E5%9E%8B%E5%AE%9A%E7%90%86" title="同型定理">同型定理</a>が成り立つ。 </p><p><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">S</span> を <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {g}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a913b1503ed9ec94361b99f7fd59ef60705c28" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.172ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"></span> の部分集合とする。<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">S</span> の全ての元 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">s</span> に対し <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [x,s]=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [x,s]=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d0c59be9a3f82f93b1bbec9570d9da279a0f847" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.009ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [x,s]=0}"></span> となるような元 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span> 全体の集合は、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">S</span> の<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E4%B8%AD%E5%BF%83%E5%8C%96%E9%83%A8%E5%88%86%E4%BB%A3%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="中心化部分代数 (存在しないページ)">中心化部分代数</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Centralizer_and_normalizer" class="extiw" title="en:Centralizer and normalizer">英語版</a>）</span></span> (<span lang="en">centralizer</span>) を構成する。<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {g}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a913b1503ed9ec94361b99f7fd59ef60705c28" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.172ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"></span> 自身の中心化代数は、<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {g}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a913b1503ed9ec94361b99f7fd59ef60705c28" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.172ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"></span> の<a href="/wiki/%E4%B8%AD%E5%BF%83_(%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="中心 (代数学)"><b>中心</b></a>と呼ばれる。中心化と同様に、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">S</span> の全ての元 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">s</span> に対し <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [x,s]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [x,s]}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2529013a6e9e9fd509c374d27bd7500d85a5a8d7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.748ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [x,s]}"></span> が <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">S</span> の元となるような <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span> の集合は、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">S</span> の部分代数を構成する。この部分代数は <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">S</span> の<b>正規化部分代数</b> (normalizer of <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">S</span>) と呼ばれる<sup id="cite_ref-FOOTNOTEJacobson196228_4-0" class="reference"><a href="#cite_note-FOOTNOTEJacobson196228-4"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="直和"><span id=".E7.9B.B4.E5.92.8C"></span>直和</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0&action=edit&section=4" title="節を編集: 直和"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>2 つのリー代数 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {g}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a913b1503ed9ec94361b99f7fd59ef60705c28" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.172ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"></span> と <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {g'}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> <mo>′</mo> </msup> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {g'}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/823449e4762cb82bafcb361aee006abeb2a3aaf3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.856ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {g'}}}"></span> が与えられると、それらの<a href="/wiki/%E7%9B%B4%E5%92%8C" class="mw-disambig" title="直和">直和</a>は、<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d0f2fbc85e0c0a5747dc189789423f21695a43f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.342ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}"></span> と <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x'\in {\mathfrak {g'}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> <mo>′</mo> </msup> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x'\in {\mathfrak {g'}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9954c7e06733c6c52d7c001a74bdd61833a23d1c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.712ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x'\in {\mathfrak {g'}}}"></span> の対 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x,x')}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>x</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x,x')}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/036af2b69d3a6cdd3e5f0231b0bdbd7b388f80be" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.187ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle (x,x')}"></span> からなるベクトル空間 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {g'}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> <mo>⊕</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> <mo>′</mo> </msup> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {g'}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/419cc418f2c2a2575afc030b9d6f3708c620d478" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.869ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {g'}}}"></span> であり、リーブラケットは </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [(x,x'),(y,y')]=([x,y],[x',y']),\quad x,y\in {\mathfrak {g}},\,x',y'\in {\mathfrak {g'}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>x</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>y</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>,</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <msup> <mi>x</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mi>y</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">]</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <msup> <mi>x</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mi>y</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> <mo>′</mo> </msup> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [(x,x'),(y,y')]=([x,y],[x',y']),\quad x,y\in {\mathfrak {g}},\,x',y'\in {\mathfrak {g'}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a07c33f4233bf98c005692d2002a5f49164ad75f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:53.2ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle [(x,x'),(y,y')]=([x,y],[x',y']),\quad x,y\in {\mathfrak {g}},\,x',y'\in {\mathfrak {g'}}}"></span></dd></dl> <p>で定める<sup id="cite_ref-FOOTNOTEJacobson196218_5-0" class="reference"><a href="#cite_note-FOOTNOTEJacobson196218-5"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="性質"><span id=".E6.80.A7.E8.B3.AA"></span>性質</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0&action=edit&section=5" title="節を編集: 性質"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="包絡代数を持つ"><span id=".E5.8C.85.E7.B5.A1.E4.BB.A3.E6.95.B0.E3.82.92.E6.8C.81.E3.81.A4"></span>包絡代数を持つ</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0&action=edit&section=6" title="節を編集: 包絡代数を持つ"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→「<a href="/wiki/%E6%99%AE%E9%81%8D%E5%8C%85%E7%B5%A1%E4%BB%A3%E6%95%B0" title="普遍包絡代数">普遍包絡代数</a>」も参照</div> <p>乗法 <span lang="en" class="texhtml">*</span> を持つ任意の<a href="/wiki/%E7%B5%90%E5%90%88%E5%A4%9A%E5%85%83%E7%92%B0" title="結合多元環">結合代数</a> <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">A</span> に対し、リー代数 <span lang="en" class="texhtml"><i>L</i>(<i>A</i>)</span> を構成できる。ベクトル空間としては、<span lang="en" class="texhtml"><i>L</i>(<i>A</i>)</span> は <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">A</span> と同じである。<span lang="en" class="texhtml"><i>L</i>(<i>A</i>)</span> の 2 つの元のリーブラケットは、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">A</span> における<a href="/wiki/%E4%BA%A4%E6%8F%9B%E5%AD%90#環論における交換子" title="交換子">交換子</a>として定義される。すなわち </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [a,b]=a*b-b*a.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo>∗</mo> <mi>b</mi> <mo>−</mo> <mi>b</mi> <mo>∗</mo> <mi>a</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [a,b]=a*b-b*a.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd0315fe25b5146ffc2d2a748fae19649423cf80" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.985ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [a,b]=a*b-b*a.}"></span></dd></dl> <p><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">A</span> の乗法 <span lang="en" class="texhtml">*</span> の結合性は、<span lang="en" class="texhtml"><i>L</i>(<i>A</i>)</span> の交換子の<a href="/wiki/%E3%83%A4%E3%82%B3%E3%83%93%E6%81%92%E7%AD%89%E5%BC%8F" title="ヤコビ恒等式">ヤコビ恒等式</a>を意味する。例えば、体 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">F</span> 上の <span lang="en" class="texhtml"><i>n</i> × <i>n</i></span> 行列の結合代数から、<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E4%B8%80%E8%88%AC%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="一般線型リー代数 (存在しないページ)">一般線型リー代数</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/general_linear_Lie_algebra" class="extiw" title="en:general linear Lie algebra">英語版</a>）</span></span> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(F)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> <mi mathvariant="fraktur">l</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(F)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6669cabb0fba8387a1f4983120e4008add69eed9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.592ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(F)}"></span> が生じる。結合代数 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">A</span> をリー代数 <span lang="en" class="texhtml"><i>L</i>(<i>A</i>)</span> の<b>包絡代数</b> (<span lang="en">enveloping algebra</span>) と呼ぶ。全てのリー代数はこのようにして結合代数から作られたリー代数へ埋め込むことができる。<a href="/wiki/%E6%99%AE%E9%81%8D%E5%8C%85%E7%B5%A1%E4%BB%A3%E6%95%B0" title="普遍包絡代数">普遍包絡代数</a>を参照。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="表現"><span id=".E8.A1.A8.E7.8F.BE"></span>表現</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0&action=edit&section=7" title="節を編集: 表現"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>ベクトル空間 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">V</span> が与えられたとして、<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> <mi mathvariant="fraktur">l</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>V</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ff2fd2cad20f84f28573b770667f3475816df68" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.42ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}"></span> で <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">V</span> の全ての線型<a href="/wiki/%E8%87%AA%E5%B7%B1%E6%BA%96%E5%90%8C%E5%9E%8B" title="自己準同型">自己準同型</a>からなる結合代数から生じるリー代数を表すとする。リー代数 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {g}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a913b1503ed9ec94361b99f7fd59ef60705c28" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.172ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"></span> の <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">V</span> 上の<a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%81%AE%E8%A1%A8%E7%8F%BE" title="リー代数の表現">表現</a> (<span lang="en">representation</span>) とは、リー代数の準同型 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>π</mi> <mo>:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> <mi mathvariant="fraktur">l</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>V</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63b51446e4bc84122f0222d1c85d140861d7de13" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.572ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \pi \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}"></span></dd></dl> <p>である。 </p><p>表現は、核が自明のときに、<b>忠実</b> (<span lang="en">faithful</span>) であるという。全ての有限次元リー代数はある有限次元ベクトル空間上の忠実な表現を持っている（<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%82%A2%E3%83%89%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86&action=edit&redlink=1" class="new" title="アドの定理 (存在しないページ)">アドの定理</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Ado%27s_theorem" class="extiw" title="en:Ado's theorem">英語版</a>）</span></span>）<sup id="cite_ref-6" class="reference"><a href="#cite_note-6"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p><p>例えば、<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {ad} (x)(y)=[x,y]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ad</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {ad} (x)(y)=[x,y]}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/883d113b6039d5f39214bec543d5198c7a16aa6b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.47ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {ad} (x)(y)=[x,y]}"></span> により与えられる </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ad</mi> <mo>:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> <mi mathvariant="fraktur">l</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/268e3e9e71122e75f2351e3bf09393b3dbeab8f9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.079ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})}"></span></dd></dl> <p>は、<a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%81%AE%E9%9A%8F%E4%BC%B4%E8%A1%A8%E7%8F%BE" title="リー代数の随伴表現">随伴表現</a>と呼ばれる、ベクトル空間 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {g}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a913b1503ed9ec94361b99f7fd59ef60705c28" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.172ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"></span> 上の <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {g}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a913b1503ed9ec94361b99f7fd59ef60705c28" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.172ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"></span> の表現である。リー代数 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {g}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a913b1503ed9ec94361b99f7fd59ef60705c28" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.172ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"></span> （実は任意の<a href="/wiki/%E5%88%86%E9%85%8D%E5%A4%9A%E5%85%83%E7%92%B0" title="分配多元環">非結合的代数</a>でもよい）の上の<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%BE%AE%E5%88%86_(%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&redlink=1" class="new" title="微分 (代数学) (存在しないページ)">微分</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/derivation_(abstract_algebra)" class="extiw" title="en:derivation (abstract algebra)">英語版</a>）</span></span>とは、<a href="/wiki/%E4%B8%80%E8%88%AC%E3%81%AE%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%97%E3%83%8B%E3%83%83%E3%83%84%E3%81%AE%E6%B3%95%E5%89%87" title="一般のライプニッツの法則">ライプニッツ則</a>、すなわち、<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {g}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a913b1503ed9ec94361b99f7fd59ef60705c28" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.172ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"></span> のすべての元 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x, y</span> に対して </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta ([x,y])=[\delta (x),y]+[x,\delta (y)]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>δ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>δ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>δ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta ([x,y])=[\delta (x),y]+[x,\delta (y)]}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f87aef094b6b41ea9f7592abc397e6c714b87f7d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:28.951ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \delta ([x,y])=[\delta (x),y]+[x,\delta (y)]}"></span></dd></dl> <p>が成り立つような<a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%86%99%E5%83%8F" title="線型写像">線型写像</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta \colon {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>δ</mi> <mo>:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta \colon {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cddcb6453663127cb4ffeb5c163b48c83c76d02" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.04ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \delta \colon {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}}"></span> のことである。ヤコビ恒等式より、任意の <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span> に対し、<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {ad} (x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ad</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {ad} (x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd69c6f40f0d1c0c359eb866f2511185631b9101" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.594ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {ad} (x)}"></span> は微分である。従って、<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {ad} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ad</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {ad} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6c5f86fb3e66e47a40666e2356def7b22ffb8b5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.455ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {ad} }"></span> の像は、<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {g}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a913b1503ed9ec94361b99f7fd59ef60705c28" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.172ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"></span> 上の微分からなる <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> <mi mathvariant="fraktur">l</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5aeea7898eb1d4fe55cd0e9ffc5d885b721684f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.804ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})}"></span> の部分代数 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {Der} ({\mathfrak {g}})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Der</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Der} ({\mathfrak {g}})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d4433058bcadd2e980a4c8c362825ebb6269953" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.701ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Der} ({\mathfrak {g}})}"></span> に含まれる。<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {ad} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ad</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {ad} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6c5f86fb3e66e47a40666e2356def7b22ffb8b5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.455ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {ad} }"></span> の像に属する微分は、<a href="/w/index.php?title=%E5%86%85%E9%83%A8%E5%BE%AE%E5%88%86&action=edit&redlink=1" class="new" title="内部微分 (存在しないページ)">内部微分</a> (inner derivation) と呼ばれる。<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {g}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a913b1503ed9ec94361b99f7fd59ef60705c28" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.172ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"></span> が<a href="/wiki/%E5%8D%8A%E5%8D%98%E7%B4%94%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%92%B0" class="mw-redirect" title="半単純リー環">半単純</a>であれば、<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {g}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a913b1503ed9ec94361b99f7fd59ef60705c28" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.172ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"></span> 上の全て微分は内部微分である。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="例"><span id=".E4.BE.8B"></span>例</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0&action=edit&section=8" title="節を編集: 例"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="ベクトル空間"><span id=".E3.83.99.E3.82.AF.E3.83.88.E3.83.AB.E7.A9.BA.E9.96.93"></span>ベクトル空間</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0&action=edit&section=9" title="節を編集: ベクトル空間"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>任意のベクトル空間 <i>V</i> にリーブラケットを恒等的に 0 として定めたものはリー代数となる。そのようなリー代数は可換と呼ばれる（以下を参照）。体上の任意の <span lang="en" class="texhtml">1</span> 次元リー代数は、<a href="#定義">リーブラケットの反対称性</a>により、可換である。</li> <li>全ての <span lang="en" class="texhtml"><i>n</i> × <i>n</i></span> <a href="/wiki/%E6%AD%AA%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%83%9F%E3%83%BC%E3%83%88%E8%A1%8C%E5%88%97" title="歪エルミート行列">歪エルミート行列</a>からなる実ベクトル空間は、交換子の下に閉じているので、実リー代数をなし、<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {u}}(n)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">u</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {u}}(n)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35a3f8b39878e3239985d192b7d46156b27cc79a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.406ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {u}}(n)}"></span> で表される。これは<a href="/wiki/%E3%83%A6%E3%83%8B%E3%82%BF%E3%83%AA%E7%BE%A4" title="ユニタリ群">ユニタリ群</a> <span lang="en" class="texhtml"><i>U</i>(<i>n</i>)</span> のリー代数である。</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="部分空間"><span id=".E9.83.A8.E5.88.86.E7.A9.BA.E9.96.93"></span>部分空間</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0&action=edit&section=10" title="節を編集: 部分空間"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>一般線型リー代数 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(F)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> <mi mathvariant="fraktur">l</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(F)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6669cabb0fba8387a1f4983120e4008add69eed9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.592ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(F)}"></span> の<a href="/wiki/%E8%B7%A1_(%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="跡 (線型代数学)">トレース</a> 0 の行列全体からなる部分空間は部分リー代数であり<sup id="cite_ref-7" class="reference"><a href="#cite_note-7"><span class="cite-bracket">[</span>5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>、<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E7%89%B9%E6%AE%8A%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="特殊線型リー代数 (存在しないページ)">特殊線型リー代数</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/special_linear_Lie_algebra" class="extiw" title="en:special linear Lie algebra">英語版</a>）</span></span>と呼ばれ、<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}(F)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">s</mi> <mi mathvariant="fraktur">l</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}(F)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cfd7214c92d5aebdf17817a5da4456104dc1ad0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.041ex; width:6.491ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}(F)}"></span> と記す。</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="実行列群"><span id=".E5.AE.9F.E8.A1.8C.E5.88.97.E7.BE.A4"></span>実行列群</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0&action=edit&section=11" title="節を編集: 実行列群"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>任意の<a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4" title="リー群">リー群</a> <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">G</span> から、付随する実リー代数 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mi>Lie</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b6699cc1e98ff9a154b1506ddbb428301d109d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.038ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)}"></span> が定義される。一般の定義はいくらか技術的であるが、実<a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E7%BE%A4" title="行列群">行列群</a>の場合には、<a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%92%B0%E3%81%AE%E6%8C%87%E6%95%B0%E5%86%99%E5%83%8F" title="リー環の指数写像">指数写像</a>、すなわち行列の指数関数を通じて構成することができる。リー代数 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {g}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a913b1503ed9ec94361b99f7fd59ef60705c28" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.172ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"></span> は、全ての実数 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">t</span> に対して <span lang="en" class="texhtml">exp(<i>tX</i>) ∈ <i>G</i></span> となるような行列 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">X</span> 全体からなる。</li></ul> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {g}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a913b1503ed9ec94361b99f7fd59ef60705c28" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.172ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"></span> のリーブラケットは行列の交換子により与えられる。具体的な例として、成分が実数で行列式が 1 の <i>n</i> × <i>n</i> 行列からなる<a href="/wiki/%E7%89%B9%E6%AE%8A%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E7%BE%A4" title="特殊線型群">特殊線型群</a> SL(<i>n</i>, <b>R</b>) を考える。これは行列リー群であり、そのリー代数は、実数を成分とするトレースが 0 の <i>n</i> × <i>n</i> 行列全体からなる。</dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="3次元"><span id="3.E6.AC.A1.E5.85.83"></span>3次元</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0&action=edit&section=12" title="節を編集: 3次元"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/%E7%A9%BA%E9%96%93%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB" title="空間ベクトル">ベクトル</a>の<a href="/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AD%E3%82%B9%E7%A9%8D" title="クロス積">クロス積</a>により与えられるリーブラケットを持つ 3次元<a href="/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%89%E7%A9%BA%E9%96%93" title="ユークリッド空間">ユークリッド空間</a> <b>R</b><sup>3</sup> は、3次元リー代数である。</li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%8F%E3%82%A4%E3%82%BC%E3%83%B3%E3%83%99%E3%83%AB%E3%82%AF%E4%BB%A3%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="ハイゼンベルク代数 (存在しないページ)">ハイゼンベルク代数</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Heisenberg_algebra" class="extiw" title="en:Heisenberg algebra">英語版</a>）</span></span> <i>H</i><sub>3</sub>(R) は、次の関係式を満たすリーブラケットを持つ要素 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span>, <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">y</span>, <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">z</span> によって生成される3次元リー代数である：</li></ul> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [x,y]=z,\quad [x,z]=0,\quad [y,z]=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>=</mo> <mi>z</mi> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [x,y]=z,\quad [x,z]=0,\quad [y,z]=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4360eb6f88b60ae723e133e389c76b208658a816" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:33.551ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [x,y]=z,\quad [x,z]=0,\quad [y,z]=0}"></span></dd></dl></dd> <dd>この代数は、3×3 の狭義上三角行列全体からなる空間に、リーブラケットを行列の交換子によって与えたものとして、明示的に構成される。 <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=\left[{\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{array}}\right],\quad y=\left[{\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{array}}\right],\quad z=\left[{\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{array}}\right]~\quad }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mo>[</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="center center center" rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mo>[</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="center center center" rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mo>[</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="center center center" rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mtext> </mtext> <mspace width="1em" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=\left[{\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{array}}\right],\quad y=\left[{\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{array}}\right],\quad z=\left[{\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{array}}\right]~\quad }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db2126e5e36cd75e4cf6d6b8939897bbba62122d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:59.6ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle x=\left[{\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{array}}\right],\quad y=\left[{\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{array}}\right],\quad z=\left[{\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{array}}\right]~\quad }"></span></dd></dl></dd></dl> <dl><dd>したがって、<a href="/wiki/%E3%83%8F%E3%82%A4%E3%82%BC%E3%83%B3%E3%83%99%E3%83%AB%E3%82%AF%E7%BE%A4" title="ハイゼンベルク群">ハイゼンベルク群</a>の任意の元は、群の生成元、すなわちリー代数のこれらの生成元の、<a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E6%8C%87%E6%95%B0%E9%96%A2%E6%95%B0" title="行列指数関数">行列指数関数</a>の積 <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\end{array}}\right]=e^{by}e^{cz}e^{ax}~}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>[</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="center center center" rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mi>a</mi> </mtd> <mtd> <mi>c</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mi>b</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>c</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mtext> </mtext> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\end{array}}\right]=e^{by}e^{cz}e^{ax}~}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/551dcc8b1ddd80cab5e9c6202527881e896be142" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:24.492ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\end{array}}\right]=e^{by}e^{cz}e^{ax}~}"></span></dd></dl></dd> <dd>として表現可能である。</dd></dl> <ul><li><a href="/wiki/%E9%87%8F%E5%AD%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="量子力学">量子力学</a>における<a href="/wiki/%E8%A7%92%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F" title="角運動量">角運動量</a>演算子の <i>x</i>, <i>y</i>, <i>z</i> 成分の間の交換関係は、<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">s</mi> <mi mathvariant="fraktur">u</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/369267d5eae15a7478ebb52c71fcec1449a10dc9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.041ex; width:5.244ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}"></span> と <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">s</mi> <mi mathvariant="fraktur">o</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>3</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb4f1d3d3bf3da64b92af1a1018ce00545808b9d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.041ex; width:5.179ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}"></span> のそれと同じである：</li></ul> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [L_{x},L_{y}]=i\hbar L_{z},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <msub> <mi>L</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>L</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>=</mo> <mi>i</mi> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <msub> <mi>L</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [L_{x},L_{y}]=i\hbar L_{z},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9006b7ce925320362e506d3bcea5427789c83bf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:16.154ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle [L_{x},L_{y}]=i\hbar L_{z},}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [L_{y},L_{z}]=i\hbar L_{x},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <msub> <mi>L</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>L</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>=</mo> <mi>i</mi> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <msub> <mi>L</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [L_{y},L_{z}]=i\hbar L_{x},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fbea85d4b40f3f307f030384e1989ddea95abb1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:16.154ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle [L_{y},L_{z}]=i\hbar L_{x},}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [L_{z},L_{x}]=i\hbar L_{y}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <msub> <mi>L</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>L</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>=</mo> <mi>i</mi> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <msub> <mi>L</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [L_{z},L_{x}]=i\hbar L_{y}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/052c27eb403514e9d700a24acb6868131c8027d7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:16.154ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle [L_{z},L_{x}]=i\hbar L_{y}.}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>但し、物理学の慣例により、リー代数の元に因子 <span lang="en" class="texhtml"><i>i</i>=<span class="nowrap"><span style="vertical-align:0.02em;">√</span><span style="border-top:1px solid; padding:0 0.1em;">-1</span></span></span> を乗じた関係式を用いている。角運動量演算子の問題は、このリー代数の全ての有限次元表現を求めることに帰着する。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="無限次元"><span id=".E7.84.A1.E9.99.90.E6.AC.A1.E5.85.83"></span>無限次元</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0&action=edit&section=13" title="節を編集: 無限次元"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>無限次元実リー代数の重要なクラスは、<a href="/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E3%83%88%E3%83%9D%E3%83%AD%E3%82%B8%E3%83%BC" class="mw-redirect" title="微分トポロジー">微分トポロジー</a>で生じる。<a href="/wiki/%E5%8F%AF%E5%BE%AE%E5%88%86%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93" title="可微分多様体">可微分多様体</a> <i>M</i> 上の滑らかな<a href="/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E5%A0%B4" title="ベクトル場">ベクトル場</a>の空間はリー代数をなす。ここでリーブラケットはベクトル場の交換子として定義される。リーブラケットを表現する1つの方法は、<a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E5%BE%AE%E5%88%86" title="リー微分">リー微分</a>の形式化によるものである。ベクトル場 <i>X</i> を滑らかな関数上に作用する一階の偏微分作用素 <i>L</i><sub><i>X</i></sub> と次のようにして同一視する、すなわち <i>L</i><sub><i>X</i></sub>(<i>f</i>) を関数 <i>f</i> の <i>X</i> の方向の方向微分とする。2つのベクトル場のリーブラケット [<i>X</i>, <i>Y</i>] は次の式による関数へのその作用を通じて定義されるベクトル場である：</li></ul> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L_{[X,Y]}f=L_{X}(L_{Y}f)-L_{Y}(L_{X}f).\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>L</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>Y</mi> <mo stretchy="false">]</mo> </mrow> </msub> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>L</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>L</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <msub> <mi>L</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>L</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> </mrow> </msub> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L_{[X,Y]}f=L_{X}(L_{Y}f)-L_{Y}(L_{X}f).\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2744f4fa1f6829787912d0f27fd27fe5047422d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:32.837ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle L_{[X,Y]}f=L_{X}(L_{Y}f)-L_{Y}(L_{X}f).\,}"></span></dd></dl></dd></dl> <ul><li><a href="/wiki/%E3%82%AB%E3%83%83%E3%83%84%E3%83%BB%E3%83%A0%E3%83%BC%E3%83%87%E3%82%A3%E4%BB%A3%E6%95%B0" title="カッツ・ムーディ代数">カッツ・ムーディ代数</a>は無限次元リー代数の例である。</li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%A2%E3%83%BC%E3%83%A4%E3%83%AB%E3%83%96%E3%83%A9%E3%82%B1%E3%83%83%E3%83%88&action=edit&redlink=1" class="new" title="モーヤルブラケット (存在しないページ)">モーヤル代数</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Moyal_bracket" class="extiw" title="en:Moyal bracket">英語版</a>）</span></span>は、すべての<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%8F%A4%E5%85%B8%E5%9E%8B%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4&action=edit&redlink=1" class="new" title="古典型リー群 (存在しないページ)">古典型リー代数</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Classical_Lie_groups#Relationship_with_bilinear_forms" class="extiw" title="en:Classical Lie groups">英語版</a>）</span></span>を部分代数として含む無限次元リー代数である。</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="構造論と分類"><span id=".E6.A7.8B.E9.80.A0.E8.AB.96.E3.81.A8.E5.88.86.E9.A1.9E"></span>構造論と分類</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0&action=edit&section=14" title="節を編集: 構造論と分類"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>リー代数は、ある程度、分類することが可能である。特に、このことはリー群の分類に応用される。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="可換性、冪零性、可解性"><span id=".E5.8F.AF.E6.8F.9B.E6.80.A7.E3.80.81.E5.86.AA.E9.9B.B6.E6.80.A7.E3.80.81.E5.8F.AF.E8.A7.A3.E6.80.A7"></span>可換性、冪零性、可解性</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0&action=edit&section=15" title="節を編集: 可換性、冪零性、可解性"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>導来部分群のことばで定義される、可換群、冪零群、可解群と同様に、可換、冪零、可解リー代数を定義することができる。 </p><p>リー代数 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {g}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a913b1503ed9ec94361b99f7fd59ef60705c28" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.172ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"></span> が<b>可換</b><span class="anchor" id="可換リー代数"></span> (abelian) であるとは、リーブラケットが消えていること、すなわち、<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {g}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a913b1503ed9ec94361b99f7fd59ef60705c28" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.172ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"></span> の全ての元 <i>x</i> と <i>y' に対して [</i>x<i>, </i>y<i>] = 0 となることをいう。可換リー代数は、ベクトル空間 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>K</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d63366b3d00300e06eee81786182062b98775c5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.312ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle K^{n}}"></span> や<a href="/wiki/%E3%83%88%E3%83%BC%E3%83%A9%E3%82%B9" title="トーラス">トーラス</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>T</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7a5182df16f38b52918786915cbaa047bb46a02" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.938ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle T^{n}}"></span> のような、<a href="/wiki/%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E7%BE%A4" class="mw-redirect" title="可換群">可換</a>連結リー群に対応していて、すべて <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {k}}^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">k</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {k}}^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6bd88f441770fabd2adbafbb2d4958698b86e5a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.123ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {k}}^{n}}"></span> の形である、つまり自明なリーブラケットをもつ </i>n<i> 次元ベクトル空間である。</i> </p><p>リー代数のより一般的なクラスは、与えられた長さのすべての交換子が消えることによって定義される。リー代数 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {g}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a913b1503ed9ec94361b99f7fd59ef60705c28" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.172ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"></span> が、<b><a href="/wiki/%E3%81%B9%E3%81%8D%E9%9B%B6%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="べき零リー代数">冪零</a></b> (nilpotent) とは、<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E9%99%8D%E4%B8%AD%E5%BF%83%E5%88%97&action=edit&redlink=1" class="new" title="降中心列 (存在しないページ)">降中心列</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/lower_central_series" class="extiw" title="en:lower central series">英語版</a>）</span></span> </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {g}}>[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]>[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}]>[[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}]>\cdots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> <mo>></mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>></mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>></mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>></mo> <mo>⋯</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {g}}>[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]>[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}]>[[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}]>\cdots }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fbc7736bc5f43a440623e77833ea7de0cfa99fe" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:40.8ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {g}}>[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]>[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}]>[[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}]>\cdots }"></span></dd></dl> <p>が有限回でゼロに達することを言う。<a href="/wiki/%E3%82%A8%E3%83%B3%E3%82%B2%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86" title="エンゲルの定理">エンゲルの定理</a>により、リー代数が冪零であることと、<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {g}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a913b1503ed9ec94361b99f7fd59ef60705c28" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.172ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"></span> の全ての元 <i>u</i> に対し、<a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%81%AE%E9%9A%8F%E4%BC%B4%E8%A1%A8%E7%8F%BE" title="リー代数の随伴表現">随伴自己準同型</a> </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {ad} (u)\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}},\quad \operatorname {ad} (u)v=[u,v]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ad</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mi>ad</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>v</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>u</mi> <mo>,</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {ad} (u)\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}},\quad \operatorname {ad} (u)v=[u,v]}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56caca697c40775dc3a90df8160c4a7d02ccebc0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:30.547ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {ad} (u)\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}},\quad \operatorname {ad} (u)v=[u,v]}"></span></dd></dl> <p>が冪零であることは同値である。 </p><p>さらにより一般的なものとして、リー代数 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {g}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a913b1503ed9ec94361b99f7fd59ef60705c28" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.172ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"></span> が<b><a href="/wiki/%E5%8F%AF%E8%A7%A3%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="可解リー代数">可解</a></b> (solvable) であるとは、<a href="/wiki/%E4%BA%A4%E6%8F%9B%E5%AD%90%E9%83%A8%E5%88%86%E7%BE%A4#導来列" title="交換子部分群">導来列</a> </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {g}}>[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]>[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]>[[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]],[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]]>\cdots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> <mo>></mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>></mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>,</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">]</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>></mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>,</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">]</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>,</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>,</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">]</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>></mo> <mo>⋯</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {g}}>[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]>[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]>[[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]],[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]]>\cdots }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55be9f812e367366f54c391ec9559604163654ab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:58.297ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {g}}>[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]>[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]>[[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]],[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]]>\cdots }"></span></dd></dl> <p>が有限回でゼロに達することを言う。 </p><p>全ての有限次元リー代数は、<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%81%AE%E6%A0%B9%E5%9F%BA&action=edit&redlink=1" class="new" title="リー代数の根基 (存在しないページ)">根基</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/radical_of_a_Lie_algebra" class="extiw" title="en:radical of a Lie algebra">英語版</a>）</span></span> (radical) と呼ばれる一意的な極大可解イデアルを持つ。リー対応の下、連結なべき零リー群、連結な可解リー群はそれぞれ、べき零、可解リー代数に対応する。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="単純性と半単純性"><span id=".E5.8D.98.E7.B4.94.E6.80.A7.E3.81.A8.E5.8D.8A.E5.8D.98.E7.B4.94.E6.80.A7"></span>単純性と半単純性</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0&action=edit&section=16" title="節を編集: 単純性と半単純性"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<a href="/wiki/%E5%8D%8A%E5%8D%98%E7%B4%94%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0" title="半単純リー代数">半単純リー代数</a>」を参照</div> <p>リー代数が<b><a href="/wiki/%E5%8D%98%E7%B4%94%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="単純リー代数">単純</a></b> (simple) とは、非自明なイデアルを持たず、可換でないときを言う。リー代数 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {g}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a913b1503ed9ec94361b99f7fd59ef60705c28" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.172ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"></span> が<b><a href="/wiki/%E5%8D%8A%E5%8D%98%E7%B4%94%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0" title="半単純リー代数">半単純</a></b>とは、根基がゼロであるときを言う。同じことであるが、<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {g}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a913b1503ed9ec94361b99f7fd59ef60705c28" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.172ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"></span> が半単純とは、ゼロでない可換イデアルを持たないときを言う。特に、単純リー代数は半単純である。逆に、任意の半単純リー代数は、その極小イデアルの直和であることが証明できる。この極小イデアルは、自然に決定される単純リー代数である。 </p><p>リー代数の半単純性の概念は、リー代数の表現の完全可約性（半単純性）と密接に関連している。基礎体 <i>F</i> の<a href="/wiki/%E6%A8%99%E6%95%B0" title="標数">標数</a>が 0 のとき、半単純リー代数の任意の有限次元表現は半単純（つまり、既約表現の直和）である。一般に、リー代数が<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E7%B0%A1%E7%B4%84%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="簡約リー代数 (存在しないページ)">簡約</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/reductive_Lie_algebra" class="extiw" title="en:reductive Lie algebra">英語版</a>）</span></span>(reductive)とは、随伴表現が半単純であるときを言う。したがって、半単純リー代数は簡約である。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="カルタンの判定条件"><span id=".E3.82.AB.E3.83.AB.E3.82.BF.E3.83.B3.E3.81.AE.E5.88.A4.E5.AE.9A.E6.9D.A1.E4.BB.B6"></span>カルタンの判定条件</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0&action=edit&section=17" title="節を編集: カルタンの判定条件"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%82%AB%E3%83%AB%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%88%A4%E5%AE%9A%E6%9D%A1%E4%BB%B6&action=edit&redlink=1" class="new" title="カルタンの判定条件 (存在しないページ)">カルタンの判定条件</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Cartan%27s_criterion" class="extiw" title="en:Cartan's criterion">英語版</a>）</span></span>は、リー代数がべき零、可解、あるいは半単純であるための判定条件を与える。この判定条件は、<a href="/wiki/%E3%82%AD%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%82%B0%E5%BD%A2%E5%BC%8F" title="キリング形式">キリング形式</a>の考え方を基礎としている。キリング形式とは、 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K(u,v)=\operatorname {tr} (\operatorname {ad} (u)\operatorname {ad} (v))}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>K</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>u</mi> <mo>,</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>tr</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ad</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>ad</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K(u,v)=\operatorname {tr} (\operatorname {ad} (u)\operatorname {ad} (v))}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1efa6d460dc288233513f995462ed0c52677cba0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.463ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle K(u,v)=\operatorname {tr} (\operatorname {ad} (u)\operatorname {ad} (v))}"></span></dd></dl> <p>で定義された、<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {g}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a913b1503ed9ec94361b99f7fd59ef60705c28" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.172ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"></span> 上の<a href="/wiki/%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E5%8F%8C%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%BD%A2%E5%BC%8F" title="対称双線型形式">対称双線型形式</a>である。ここで tr は線型写像の<a href="/wiki/%E8%B7%A1_(%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="跡 (線型代数学)">トレース</a>を表す。リー代数 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {g}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a913b1503ed9ec94361b99f7fd59ef60705c28" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.172ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"></span> が半単純であることと、キリング形式が<a href="/wiki/%E9%80%80%E5%8C%96%E5%BD%A2%E5%BC%8F" title="退化形式">非退化</a>であることは同値である<sup id="cite_ref-FOOTNOTEHumphreys197222_8-0" class="reference"><a href="#cite_note-FOOTNOTEHumphreys197222-8"><span class="cite-bracket">[</span>6<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。リー代数 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {g}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a913b1503ed9ec94361b99f7fd59ef60705c28" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.172ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"></span> が可解であることと、<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K({\mathfrak {g}},[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}])=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>K</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">]</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K({\mathfrak {g}},[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}])=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/721a5c5992ef82b0da8bf6473542c28e44b32340" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.013ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle K({\mathfrak {g}},[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}])=0}"></span> であることとは同値である。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="分類"><span id=".E5.88.86.E9.A1.9E"></span>分類</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0&action=edit&section=18" title="節を編集: 分類"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AC%E3%83%B4%E3%82%A3%E5%88%86%E8%A7%A3&action=edit&redlink=1" class="new" title="レヴィ分解 (存在しないページ)">レヴィ分解</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Levi_decomposition" class="extiw" title="en:Levi decomposition">英語版</a>）</span></span>は、任意のリー代数を、可解な根基と半単純リー代数の<a href="/wiki/%E5%8D%8A%E7%9B%B4%E7%A9%8D" title="半直積">半直和</a>として、ほぼ標準的に表す。さらに、代数的閉体上の半単純リー代数は、<a href="/wiki/%E3%83%AB%E3%83%BC%E3%83%88%E7%B3%BB" title="ルート系">ルート系</a>を通して完全に分類されている。しかし、可解リー代数の分類は「手に負えない」問題であり、一般には完成できない<sup class="noprint Template-Fact">[<i><a href="/wiki/Template:%E8%A6%81%E8%AA%AC%E6%98%8E" title="Template:要説明"><span title="このタグがつけられた文章には説明が求められています。（April 2009）">要説明</span></a></i>]</sup>。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="リー群との関係"><span id=".E3.83.AA.E3.83.BC.E7.BE.A4.E3.81.A8.E3.81.AE.E9.96.A2.E4.BF.82"></span>リー群との関係</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0&action=edit&section=19" title="節を編集: リー群との関係"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>リー代数は多くの場合それ自体で研究されているが、歴史的にはリー群の研究のための方法として生まれた。 </p><p>リーの基本定理は、<a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4" title="リー群">リー群</a>とリー代数の関係を記述している。特に、任意のリー群はリー代数を標準的に決定し（具体的には、<i>単位元における接空間</i>）、逆に任意のリー代数に対し、対応する連結リー群が存在する（<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%81%AE%E7%AC%AC%E4%B8%89%E5%AE%9A%E7%90%86&action=edit&redlink=1" class="new" title="リーの第三定理 (存在しないページ)">リーの第三定理</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Lie%27s_third_theorem" class="extiw" title="en:Lie's third theorem">英語版</a>）</span></span>。<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%99%E3%82%A4%E3%82%AB%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%82%AD%E3%83%A3%E3%83%B3%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%8F%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%83%89%E3%83%AB%E3%83%95%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F&action=edit&redlink=1" class="new" title="ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式 (存在しないページ)">ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Baker%E2%80%93Campbell%E2%80%93Hausdorff_formula" class="extiw" title="en:Baker–Campbell–Hausdorff formula">英語版</a>）</span></span>を参照）。このリー群は一意には決まらないが、同じリー代数をもつ任意の2つの連結リー群は<i>局所同型</i>であり、特に同じ<a href="/wiki/%E8%A2%AB%E8%A6%86%E7%A9%BA%E9%96%93#普遍被覆" title="被覆空間">普遍被覆</a>を持つ。例えば、<a href="/wiki/%E7%89%B9%E6%AE%8A%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E7%BE%A4" class="mw-redirect" title="特殊直交群">特殊直交群</a> <span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=SO(3)&action=edit&redlink=1" class="new" title="SO(3) (存在しないページ)">SO(3)</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/SO(3)" class="extiw" title="en:SO(3)">英語版</a>）</span></span> と<a href="/wiki/%E7%89%B9%E6%AE%8A%E3%83%A6%E3%83%8B%E3%82%BF%E3%83%AA%E7%BE%A4" title="特殊ユニタリ群">特殊ユニタリ群</a> <span title="リンク先の項目はリダイレクトなため、新規作成や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/wiki/SU(2)" class="mw-redirect" title="SU(2)">SU(2)</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/SU(2)" class="extiw" title="en:SU(2)">英語版</a>）</span></span> からは、同じリー代数が生じる。これはクロス積をもつ <b>R</b><sup>3</sup> に同型である。一方、SU(2) は SO(3) の単連結な二重被覆である。 </p><p>リー群が与えられると、リー代数を次のいずれかの方法によって結びつけることができる。<a href="/wiki/%E5%8D%98%E4%BD%8D%E5%85%83" title="単位元">単位元</a>における<a href="/wiki/%E6%8E%A5%E7%A9%BA%E9%96%93" class="mw-redirect" title="接空間">接空間</a>に<a href="/w/index.php?title=%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4%E3%81%AE%E9%9A%8F%E4%BC%B4%E8%A1%A8%E7%8F%BE&action=edit&redlink=1" class="new" title="リー群の随伴表現 (存在しないページ)">随伴写像</a>の<a href="/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86_(%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93)" class="mw-redirect" title="微分 (多様体)">微分</a>を与えるか、あるいは、例の中で述べたように、左不変ベクトル場を考える。実<a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E7%BE%A4" title="行列群">行列群</a>の場合、リー代数 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {g}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a913b1503ed9ec94361b99f7fd59ef60705c28" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.172ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"></span> は、全ての実数 <i>t</i> に対し exp(<i>tX</i>) ∈ <i>G</i> となるような行列 <i>X</i> 全体から構成される。ここに exp は<a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E6%8C%87%E6%95%B0%E9%96%A2%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="行列の指数関数">行列の指数関数</a>である。 </p><p>リー群に付随するリー代数の例を挙げる。 </p> <ul><li>群 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\rm {GL}}_{n}(\mathbb {C} )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">G</mi> <mi mathvariant="normal">L</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\rm {GL}}_{n}(\mathbb {C} )}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e700710795ff18e35675216a739482c05793e6b2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.983ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\rm {GL}}_{n}(\mathbb {C} )}"></span> のリー代数 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {C} )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> <mi mathvariant="fraktur">l</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {C} )}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/823eee4a097d3c7fc1a27ea026916d7942811f11" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.529ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {C} )}"></span> は、複素 <i>n</i>×<i>n</i> 行列全体からなる代数である。</li> <li>群 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\rm {SL}}_{n}(\mathbb {C} )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">S</mi> <mi mathvariant="normal">L</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\rm {SL}}_{n}(\mathbb {C} )}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b52c855662868ed502ae8af9ba076eafa5267d60" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.451ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\rm {SL}}_{n}(\mathbb {C} )}"></span> のリー代数 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {C} )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">s</mi> <mi mathvariant="fraktur">l</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {C} )}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fcdb184fdd03505396827e9d02d1b21ce49a235" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.041ex; width:6.428ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {C} )}"></span> は、トレースが 0 である複素　<i>n</i>×<i>n</i> 行列の代数である。</li> <li>群 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {O} (n)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">O</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {O} (n)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28f7f458aa3984ec5c1aa798f95eb3d5182849c8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.012ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {O} (n)}"></span> のリー代数 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {o}}(n)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">o</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {o}}(n)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da63f213b8858f46f0a20e2dbbaf32ca89d549b9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.341ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {o}}(n)}"></span> と、群 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {SO} (n)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>SO</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {SO} (n)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79c49648527ab4aacf6c03c15633727606cc7d22" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.305ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {SO} (n)}"></span> のリー代数 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {so}}(n)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">s</mi> <mi mathvariant="fraktur">o</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {so}}(n)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57c18bd074c7bdc79ea650563edde2e2bc080321" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.041ex; width:5.412ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {so}}(n)}"></span> は、いずれも実反対称 <i>n</i>×<i>n</i> 行列の代数である。（議論は<a href="/wiki/%E4%BA%A4%E4%BB%A3%E8%A1%8C%E5%88%97#無限小回転" title="交代行列">交代行列#無限小回転</a>を参照。）</li> <li>群 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {U} (n)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">U</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {U} (n)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c87a50f9d99d0bf5a1506d6d37ccbd31d31e3d5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.947ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {U} (n)}"></span> のリー代数 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {u}}(n)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">u</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {u}}(n)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35a3f8b39878e3239985d192b7d46156b27cc79a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.406ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {u}}(n)}"></span> は、歪エルミート複素 <i>n</i>×<i>n</i> 行列の代数であり、他方、<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {SU} (n)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>SU</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {SU} (n)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31937ff2e5d88617cd98e982a475a6bf481b321c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.24ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {SU} (n)}"></span> のリー代数 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">s</mi> <mi mathvariant="fraktur">u</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b77ffdb2c34631352744c0a3ea94ff2a70406f90" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.041ex; width:5.477ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}"></span> は、トレースが 0 の歪エルミート複素 <i>n</i>×<i>n</i> 行列の代数である。</li></ul> <p>上記の例では、（リー代数の行列 <i>X</i> と <i>Y</i> に対する）リーブラケット <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [X,Y]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>Y</mi> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [X,Y]}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94470b44d283fde62130212956058ca6b727da37" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.081ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [X,Y]}"></span> は <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [X,Y]=XY-YX}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>Y</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>=</mo> <mi>X</mi> <mi>Y</mi> <mo>−</mo> <mi>Y</mi> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [X,Y]=XY-YX}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/838f73010b4f791eeaf245317fb4b6e07c45d741" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.526ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [X,Y]=XY-YX}"></span> として定義する。 </p><p>生成子 <i>T<sup>a</sup></i> の集合が与えられると、<b><a href="/wiki/%E6%A7%8B%E9%80%A0%E5%AE%9A%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="構造定数 (数学)">構造定数</a></b> <i>f <sup>abc</sup></i> は、生成子の対のリーブラケットを生成子の線型結合として表す、すなわち <span lang="en" class="texhtml">[<i>T<sup>a</sup>, T<sup>b</sup></i>] = <i>f <sup>abc</sup> T<sup>c</sup></i></span>．構造定数はリー代数の元のリーブラケットを決定し、したがってリー群の群構造をほぼ完全に決定する。単位元の近くのリー群の構造は、<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%99%E3%82%A4%E3%82%AB%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%82%AD%E3%83%A3%E3%83%B3%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%8F%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%83%89%E3%83%AB%E3%83%95%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F&action=edit&redlink=1" class="new" title="ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式 (存在しないページ)">ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Baker%E2%80%93Campbell%E2%80%93Hausdorff_formula" class="extiw" title="en:Baker–Campbell–Hausdorff formula">英語版</a>）</span></span>により明示的に表される。この公式は、リー代数の元 <span lang="en" class="texhtml"><i>X</i>, <i>Y</i></span> とその（入れ子になった）リーブラケットによる展開によって単一の冪で表す： <span lang="en" class="texhtml">exp(<i>tX</i>) exp(<i>tY</i>) = exp(<i>tX</i>+<i>tY</i>+½ <i>t<sup>2</sup></i>[<i>X,Y</i>] + O(<i>t<sup>3</sup></i>) )</span>. </p><p>リー群からリー代数への写像は<a href="/wiki/%E9%96%A2%E6%89%8B" title="関手">関手</a>的である。これはリー群の準同型がリー代数の準同型に持ち上がることを意味し、様々な性質がこの持ち上げによって満たされる。合成と可換であり、リー群の部分リー群、核、商、余核をそれぞれリー代数の部分代数、核、商、余核に写す。 </p><p>各リー群をそのリー代数に写し、各準同型をその微分へ写す<a href="/wiki/%E9%96%A2%E6%89%8B" title="関手">関手</a> <b>L</b> は、<a href="/wiki/%E5%BF%A0%E5%AE%9F%E9%96%A2%E6%89%8B" class="mw-redirect" title="忠実関手">忠実</a>かつ<a href="/wiki/%E5%AE%8C%E5%85%A8%E9%96%A2%E6%89%8B" title="完全関手">完全</a>である。しかしながら、<a href="/wiki/%E5%9C%8F%E5%90%8C%E5%80%A4" title="圏同値">圏同値</a>ではない。異なるリー群が同型なリー代数を持つかもしれず（例えば <a href="/wiki/%E7%89%B9%E6%AE%8A%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E7%BE%A4" class="mw-redirect" title="特殊直交群">SO(3)</a> と <a href="/wiki/%E7%89%B9%E6%AE%8A%E3%83%A6%E3%83%8B%E3%82%BF%E3%83%AA%E7%BE%A4" title="特殊ユニタリ群">SU(2)</a>）、また、いかなるリー群にも伴わない（無限次元の）リー代数が存在するからである<sup id="cite_ref-9" class="reference"><a href="#cite_note-9"><span class="cite-bracket">[</span>7<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p><p>しかしながら、リー代数 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {g}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a913b1503ed9ec94361b99f7fd59ef60705c28" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.172ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"></span> が有限次元のときは、<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {g}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a913b1503ed9ec94361b99f7fd59ef60705c28" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.172ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"></span> をリー代数としてもつ<a href="/wiki/%E5%8D%98%E9%80%A3%E7%B5%90%E7%A9%BA%E9%96%93" title="単連結空間">単連結</a>リー群が存在する。より正確には、リー代数の関手 <b>L</b> は、有限次元（実）リー代数からリー群への<a href="/wiki/%E9%9A%8F%E4%BC%B4%E9%96%A2%E6%89%8B" title="随伴関手">左随伴関手</a> <b>Γ</b> を持っていて、単連結リー群の充満部分圏を通して分解する<sup id="cite_ref-10" class="reference"><a href="#cite_note-10"><span class="cite-bracket">[</span>8<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。言い換えると、双関手の自然同型 </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {Hom} (\Gamma ({\mathfrak {g}}),H)\cong \mathrm {Hom} ({\mathfrak {g}},\mathrm {L} (H))}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">H</mi> <mi mathvariant="normal">o</mi> <mi mathvariant="normal">m</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>H</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">H</mi> <mi mathvariant="normal">o</mi> <mi mathvariant="normal">m</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">L</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>H</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {Hom} (\Gamma ({\mathfrak {g}}),H)\cong \mathrm {Hom} ({\mathfrak {g}},\mathrm {L} (H))}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dec406c0f065e39724b2d544794d95f92e5516b8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:31.463ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {Hom} (\Gamma ({\mathfrak {g}}),H)\cong \mathrm {Hom} ({\mathfrak {g}},\mathrm {L} (H))}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>が存在する。随伴 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {g}}\rightarrow \mathrm {L} (\Gamma ({\mathfrak {g}}))}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">L</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {g}}\rightarrow \mathrm {L} (\Gamma ({\mathfrak {g}}))}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcdf66e5279f3993d3b3be91fc7502d94b4e164a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.482ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {g}}\rightarrow \mathrm {L} (\Gamma ({\mathfrak {g}}))}"></span>（<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma ({\mathfrak {g}})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma ({\mathfrak {g}})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16e9f2e45910e689e2c919a3e37c3268941f2087" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.434ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Gamma ({\mathfrak {g}})}"></span> 上の単位元に対応させる）は同型射であり、他の随伴 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma (\mathrm {L} (H))\rightarrow H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">L</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>H</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma (\mathrm {L} (H))\rightarrow H}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e68bef9b833593c5a81af77f47f7ea79eae88ad" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.265ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Gamma (\mathrm {L} (H))\rightarrow H}"></span> は、<i>H</i> の単位元成分の<a href="/wiki/%E8%A2%AB%E8%A6%86%E7%A9%BA%E9%96%93" title="被覆空間">普遍被覆</a>群から <i>H</i> への射影準同型である。このことから直ちに次のことが従う。<i>G</i> が単連結であれば、リー代数関手は、リー群の準同型 <i>G</i> → <i>H</i> たちとリー代数の準同型 <b>L</b>(<i>G</i>) → <b>L</b>(<i>H</i>) たちの間の全単射を確立する。 </p><p>上記の普遍被覆群は<a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%92%B0%E3%81%AE%E6%8C%87%E6%95%B0%E5%86%99%E5%83%8F" title="リー環の指数写像">指数写像</a>によるリー代数の像として構成することができる。より一般的に、リー代数は単位元の<a href="/wiki/%E8%BF%91%E5%82%8D_(%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93%E8%AB%96)" title="近傍 (位相空間論)">近傍</a>に<a href="/wiki/%E5%90%8C%E7%9B%B8" class="mw-redirect" title="同相">同相</a>である。しかし大域的には、リー群がコンパクトであれば指数写像は<a href="/wiki/%E5%8D%98%E5%B0%84" title="単射">単射</a>ではなく、リー群が連結、<a href="/wiki/%E5%8D%98%E9%80%A3%E7%B5%90%E7%A9%BA%E9%96%93" title="単連結空間">単連結</a>、あるいは<a href="/wiki/%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%91%E3%82%AF%E3%83%88%E7%A9%BA%E9%96%93" title="コンパクト空間">コンパクト</a>でなければ、指数写像は<a href="/wiki/%E5%85%A8%E5%B0%84" title="全射">全射</a>とは限らない。 </p><p>リー代数が無限次元であれば、問題はより微妙なものとなる。多くの例では、指数写像は局所的にさえ<a href="/wiki/%E5%90%8C%E7%9B%B8%E5%86%99%E5%83%8F" class="mw-redirect" title="同相写像">同相写像</a>でない（例えば、<span lang="en" class="texhtml">Diff(<b>S</b><sup>1</sup>)</span> において、<span lang="en" class="texhtml">exp</span> の像に入らないような単位元にいくらでも近い微分同相写像を見つけることができる）。さらに、無限次元リー代数には、どんな群のリー代数でもないようなものがある。 </p><p>リー代数とリー群の間の対応はいろいろなことに使われる。例えば、<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%8D%98%E7%B4%94%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4%E3%81%AE%E4%B8%80%E8%A6%A7%E8%A1%A8&action=edit&redlink=1" class="new" title="単純リー群の一覧表 (存在しないページ)">リー群の分類</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/list_of_simple_Lie_groups" class="extiw" title="en:list of simple Lie groups">英語版</a>）</span></span>や、それに関連して<a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4%E3%81%AE%E8%A1%A8%E7%8F%BE" title="リー群の表現">リー群の表現論</a>の問題。リー代数の全ての表現は、対応する連結で単連結なリー群の表現に一意的に持ち上がり、逆に、任意のリー群のすべての表現は、そのリー群のリー代数の表現を誘導する。表現は 1 対 1 に対応する。従って、リー代数の表現を知ることで、群の表現の問題が解決される。 </p><p>分類に関しては、与えられたリー代数をもつ任意の連結リー群は普遍被覆をある離散的な中心的部分群で割ったものに同型であることを示すことができる。従って、リー群の分類は、リー代数の分類が分かってしまえば（<a href="/wiki/%E5%8D%8A%E5%8D%98%E7%B4%94%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0" title="半単純リー代数">半単純</a>な場合は、<a href="/wiki/%E3%82%A8%E3%83%AA%E3%83%BB%E3%82%AB%E3%83%AB%E3%82%BF%E3%83%B3" title="エリ・カルタン">カルタン</a>らにより解かれた）、単純に<a href="/wiki/%E4%B8%AD%E5%BF%83_(%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="中心 (代数学)">中心</a>の離散部分群を数えあげる問題となる。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="圏論的な定義"><span id=".E5.9C.8F.E8.AB.96.E7.9A.84.E3.81.AA.E5.AE.9A.E7.BE.A9"></span>圏論的な定義</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0&action=edit&section=20" title="節を編集: 圏論的な定義"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/%E5%9C%8F%E8%AB%96" title="圏論">圏論</a>のことばを使うと、<b>リー代数</b>は、<b>Vec</b><sub><i>k</i></sub> の<a href="/wiki/%E5%B0%84_(%E5%9C%8F%E8%AB%96)" title="射 (圏論)">射</a> [., .]: <i>A</i> ⊗ <i>A</i> → <i>A</i> を伴った対象 <i>A</i> として定義できる。ここで <b>Vec</b><sub><i>k</i></sub> は標数が 2 ではない体 <i>k</i> 上の<a href="/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93%E3%81%AE%E5%9C%8F" class="mw-redirect" title="ベクトル空間の圏">ベクトル空間の圏</a>であり、⊗ は <b>Vec</b><sub><i>k</i></sub> の次のような<a href="/wiki/%E3%83%A2%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%89%E5%9C%8F" title="モノイド圏">モノイド積</a>を表す。 </p> <ul><li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\circ (\mathrm {id} +\tau _{A,A})=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mo>⋅</mo> <mo>,</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>∘</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">i</mi> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>τ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> <mo>,</mo> <mi>A</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\circ (\mathrm {id} +\tau _{A,A})=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0189f4a028d82f6e8e745879d213970770bcb00" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:20.837ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\circ (\mathrm {id} +\tau _{A,A})=0}"></span></li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\circ ([\cdot ,\cdot ]\otimes \mathrm {id} )\circ (\mathrm {id} +\sigma +\sigma ^{2})=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mo>⋅</mo> <mo>,</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>∘</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mo>⋅</mo> <mo>,</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>⊗</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">i</mi> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∘</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">i</mi> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mo>+</mo> <mi>σ</mi> <mo>+</mo> <msup> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\circ ([\cdot ,\cdot ]\otimes \mathrm {id} )\circ (\mathrm {id} +\sigma +\sigma ^{2})=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35dc458c8f493e3af5dc04f5b7c6466196786091" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:35.626ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\circ ([\cdot ,\cdot ]\otimes \mathrm {id} )\circ (\mathrm {id} +\sigma +\sigma ^{2})=0}"></span></li></ul> <p>ここに、τ (a ⊗ b) := b ⊗ a であり、σ は (id ⊗ τ<sub>A,A</sub>) ° (τ<sub>A,A</sub> ⊗ id) を組み上げる<a href="/wiki/%E5%B7%A1%E5%9B%9E%E7%BD%AE%E6%8F%9B" class="mw-redirect" title="巡回置換">巡回置換</a>である。<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%9A%E3%83%B3%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%82%BA%E5%9B%B3%E5%BC%8F&action=edit&redlink=1" class="new" title="ペンローズ図式 (存在しないページ)">図式</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Diagrammatic_Notation" class="extiw" title="en:Diagrammatic Notation">英語版</a>）</span></span>にすると以下のようになる。 </p> <dl><dd><center><span class="mw-default-size" typeof="mw:File"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Liealgebra.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d2/Liealgebra.png" decoding="async" width="144" height="189" class="mw-file-element" data-file-width="144" data-file-height="189" /></a></span></center></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="リー環_(Lie_ring)"><span id=".E3.83.AA.E3.83.BC.E7.92.B0_.28Lie_ring.29"></span>リー環 (Lie ring)</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0&action=edit&section=21" title="節を編集: リー環 (Lie ring)"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6" title="数学">数学</a>における（狭義の）<b>リー環</b><sup id="cite_ref-japanese_11-0" class="reference"><a href="#cite_note-japanese-11"><span class="cite-bracket">[</span>注 3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>（リーかん、<a href="/wiki/%E8%8B%B1%E8%AA%9E" title="英語">英</a>: <span lang="en"><i>Lie ring</i></span>）は<b>リー代数</b>とよく似た構造で、リー代数を一般化した<a href="/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%A7%8B%E9%80%A0" title="代数的構造">代数的構造</a>と見ることもできるが、<a href="/wiki/%E7%BE%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="群 (数学)">群</a>の<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E9%99%8D%E4%B8%AD%E5%BF%83%E5%88%97&action=edit&redlink=1" class="new" title="降中心列 (存在しないページ)">降中心列</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/lower_central_series" class="extiw" title="en:lower central series">英語版</a>）</span></span>の研究においても自然に生じてくる。 </p><p>リー環と関連する概念として<a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4" title="リー群">リー群</a>や<b>リー代数</b>があるが、（<a href="/wiki/%E7%92%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="環 (数学)">環</a>が加法に関して<a href="/wiki/%E7%BE%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="群 (数学)">群</a>になるのとは異なり）リー環は加法に関して必ずしもリー群を成さず、他方で任意の<b>リー代数</b>はリー環の例である。任意の<a href="/wiki/%E7%92%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="環 (数学)">結合環</a>は<a href="/wiki/%E4%BA%A4%E6%8F%9B%E5%AD%90" title="交換子">交換子</a>括弧積 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [x,y]=xy-yx}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mi>y</mi> <mo>−</mo> <mi>y</mi> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [x,y]=xy-yx}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42b4220c8122ebd2a21c517ca80639581679cfa6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.722ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [x,y]=xy-yx}"></span> を考えればリー環になる。逆に、任意のリー環には<a href="/wiki/%E6%99%AE%E9%81%8D%E5%8C%85%E7%B5%A1%E4%BB%A3%E6%95%B0" title="普遍包絡代数">普遍包絡環</a>（普遍展開環）と呼ばれる結合環を対応させることができる。 </p><p>リー環は、<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%A9%E3%82%B6%E3%83%BC%E3%83%AB%E5%AF%BE%E5%BF%9C&action=edit&redlink=1" class="new" title="ラザール対応 (存在しないページ)">ラザール対応</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Lazard_correspondence" class="extiw" title="en:Lazard correspondence">英語版</a>）</span></span>を通じて<a href="/wiki/P%E7%BE%A4" class="mw-redirect" title="P群"><i>p</i>-群</a>の研究に用いられる。<i>p</i>-群の降中心因子は有限アーベル <i>p</i>-群だから、これを <b>Z</b>/<i>p</i><b>Z</b> 上の加群と見ることができる。降中心因子すべての（加群としての）直和には、2つの剰余類の括弧積を代表元の<a href="/wiki/%E4%BA%A4%E6%8F%9B%E5%AD%90" title="交換子">交換子積</a>を代表元とする剰余類を割り当てるものと定義して、リー環の構造を入れることができる。このリー環は、もう1つ <i>p</i>-乗冪写像と呼ばれる加群の準同型によって豊饒化することができ、そうして得られたリー環がいわゆる制限リー環である。 </p><p>リー環をリー代数の類似と見る立場からは、<a href="/wiki/P%E9%80%B2%E6%95%B4%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="P進整数"><i>p</i>-進整数環</a>のような整数環上のリー代数の研究などを通じて、<a href="/w/index.php?title=P%E9%80%B2%E8%A7%A3%E6%9E%90%E7%BE%A4&action=edit&redlink=1" class="new" title="P進解析群 (存在しないページ)"><i>p</i>-進解析的な位相群</a>やその自己準同型を定義するのにもリー環は有用である。<a href="/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%89%E3%83%BB%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%B4%E3%82%A1%E3%83%AC%E3%83%BC" title="クロード・シュヴァレー">シュヴァレー</a>による<a href="/w/index.php?title=%E3%83%AA%E3%83%BC%E5%9E%8B%E3%81%AE%E7%BE%A4&action=edit&redlink=1" class="new" title="リー型の群 (存在しないページ)">リー型の有限群</a>の定義は、複素数体上のリー代数を有理整数環上に<a href="/wiki/%E4%BF%82%E6%95%B0%E5%88%B6%E9%99%90" class="mw-redirect" title="係数制限">係数制限</a>し、さらに法 <i>p</i> で割って考えることにより<a href="/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E4%BD%93" title="有限体">有限体</a>上のリー代数を得るものである。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="厳密な定義"><span id=".E5.8E.B3.E5.AF.86.E3.81.AA.E5.AE.9A.E7.BE.A9"></span>厳密な定義</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0&action=edit&section=22" title="節を編集: 厳密な定義"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><b>リー環</b>は<a href="/wiki/%E3%83%A4%E3%82%B3%E3%83%93%E6%81%92%E7%AD%89%E5%BC%8F" title="ヤコビ恒等式">ヤコビ恒等式</a>を満足する<a href="/wiki/%E5%8F%8D%E4%BA%A4%E6%8F%9B%E6%B3%95%E5%89%87" title="反交換法則">交代的</a>な乗法を持つ<a href="/w/index.php?title=%E9%9D%9E%E7%B5%90%E5%90%88%E7%92%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="非結合環 (存在しないページ)">非結合環</a>として定義される。より具体的に述べれば、リー環 <i>L</i> = (<i>L</i>, +, [·,·]) は<a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB%E7%BE%A4" title="アーベル群">アーベル群</a> (<i>L</i>, +, 0) の構造を持ち、以下の性質： </p> <ul><li><a href="/wiki/%E5%88%86%E9%85%8D%E6%B3%95%E5%89%87" title="分配法則">双加法性</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [x+y,z]=[x,z]+[y,z],\quad [z,x+y]=[z,x]+[z,y]\qquad (\forall x,y,z\in L)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>z</mi> <mo>,</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>z</mi> <mo>,</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>z</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mspace width="2em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>∈</mo> <mi>L</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [x+y,z]=[x,z]+[y,z],\quad [z,x+y]=[z,x]+[z,y]\qquad (\forall x,y,z\in L)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e76ff6ff4cbb8b1c54a387ccf47dfd9b048805b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:69.162ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [x+y,z]=[x,z]+[y,z],\quad [z,x+y]=[z,x]+[z,y]\qquad (\forall x,y,z\in L)}"></span></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%A4%E3%82%B3%E3%83%93%E6%81%92%E7%AD%89%E5%BC%8F" title="ヤコビ恒等式">ヤコビ恒等式</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0\qquad (\forall x,y,z\in L)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>z</mi> <mo>,</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>z</mi> <mo>,</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mspace width="2em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>∈</mo> <mi>L</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0\qquad (\forall x,y,z\in L)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bf85cd9c94b828eeb6459fadc6608e7be582bc9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:52.439ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0\qquad (\forall x,y,z\in L)}"></span></li> <li>複零性: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [x,x]=0\quad (\forall x\in L)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>L</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [x,x]=0\quad (\forall x\in L)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f0c53a0895742aeefa60482894642808a7f58bf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.425ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [x,x]=0\quad (\forall x\in L)}"></span></li></ul> <p>を満たす<a href="/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E6%BC%94%E7%AE%97" title="二項演算">二項演算</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mo>⋅</mo> <mo>,</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28dd4c22d60192519c1c12cf645b040f368db9e9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.621ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}"></span> を備えるものを言う<sup id="cite_ref-japanese_11-1" class="reference"><a href="#cite_note-japanese-11"><span class="cite-bracket">[</span>注 3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p><p>2つのリー環 <i>L</i><sub>1</sub>, <i>L</i><sub>2</sub> の間の写像 <i>f</i>: <i>L</i><sub>1</sub> → <i>L</i><sub>2</sub> がリー環準同型であるとは、それがリー環の2つの演算を保つときにいう。即ちリー環準同型 <i>f</i> は </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}f(x+_{1}y)&=f(x)+_{2}f(y)\\f([x,y]_{1})&=[f(x),f(y)]_{2}\end{aligned}}\quad (\forall x,y\in L_{1})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <msub> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <msub> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <msub> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <msub> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>∈</mo> <msub> <mi>L</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}f(x+_{1}y)&=f(x)+_{2}f(y)\\f([x,y]_{1})&=[f(x),f(y)]_{2}\end{aligned}}\quad (\forall x,y\in L_{1})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0aa942481bac56a21b8d941b22a92e59c83c588" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:40.294ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}f(x+_{1}y)&=f(x)+_{2}f(y)\\f([x,y]_{1})&=[f(x),f(y)]_{2}\end{aligned}}\quad (\forall x,y\in L_{1})}"></span></dd></dl> <p>を満たす（演算の下付き添字はそれぞれの空間における演算であることを示す）。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="例_2"><span id=".E4.BE.8B_2"></span>例</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0&action=edit&section=23" title="節を編集: 例"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E4%BD%93" title="可換体">体</a>の代わりに一般の<a href="/wiki/%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E7%92%B0" title="可換環">可換環</a>上で考えた任意のリー代数はリー環の例である。リー環とは言うものの、リー環は加法に関して<a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4" title="リー群">リー群</a>になるというわけではない。</li> <li>任意の結合環は（加法はそのままで積を）括弧積と呼ばれる演算 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [x,y]=xy-yx}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mi>y</mi> <mo>−</mo> <mi>y</mi> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [x,y]=xy-yx}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42b4220c8122ebd2a21c517ca80639581679cfa6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.722ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [x,y]=xy-yx}"></span> に取り換えることによりリー環になる。</li> <li><a href="/wiki/%E7%BE%A4%E8%AB%96" title="群論">群論</a>から生じるリー環の例を挙げよう。群 <i>G</i> とその上に交換子積 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x,y)=x^{-1}y^{-1}xy}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>x</mi> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x,y)=x^{-1}y^{-1}xy}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0173977b85f53e1ff59bfd90cb5048cbac852ece" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.068ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (x,y)=x^{-1}y^{-1}xy}"></span> を考え、<div style="margin: 1ex 2em"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G=G_{0}\supseteq G_{1}\supseteq G_{2}\supseteq \cdots \supseteq G_{n}\supseteq \cdots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>⊇</mo> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⊇</mo> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>⊇</mo> <mo>⋯</mo> <mo>⊇</mo> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>⊇</mo> <mo>⋯</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G=G_{0}\supseteq G_{1}\supseteq G_{2}\supseteq \cdots \supseteq G_{n}\supseteq \cdots }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c52728fbb493510b236246301323be912d35042d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:37.552ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle G=G_{0}\supseteq G_{1}\supseteq G_{2}\supseteq \cdots \supseteq G_{n}\supseteq \cdots }"></span></div> を <i>G</i> の<a href="/w/index.php?title=%E4%B8%AD%E5%BF%83%E5%88%97&action=edit&redlink=1" class="new" title="中心列 (存在しないページ)">中心列</a>とする（このとき、各 <i>i</i>, <i>j</i> について交換子部分群 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (G_{i},G_{j})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (G_{i},G_{j})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a9edb7355323f28950ec2bf452bb9f264a0f10c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:8.206ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle (G_{i},G_{j})}"></span> は <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G_{i+j}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>+</mo> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G_{i+j}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a28ad8ad55a4e6a53f702e39108e41e02a1b42c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:4.582ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle G_{i+j}}"></span> に含まれる）。ここで <div style="margin: 1ex 2em"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L=\bigoplus G_{i}/G_{i+1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>L</mi> <mo>=</mo> <mo>⨁</mo> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L=\bigoplus G_{i}/G_{i+1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cffe58f3f19b0ac7ad961be429a20abf3514fa69" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:17.095ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle L=\bigoplus G_{i}/G_{i+1}}"></span></div> と置けば、<i>L</i> の直和成分ごとの群演算（各直和因子はそれぞれアーベル群であることに注意）を加法とし、括弧積を <div style="margin: 1ex 2em"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [xG_{i},yG_{j}]=(x,y)G_{i+j}\ }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>x</mi> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>+</mo> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mtext> </mtext> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [xG_{i},yG_{j}]=(x,y)G_{i+j}\ }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/065718391adabdf7f84dfea6bcce72c1b8e62447" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:23.766ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle [xG_{i},yG_{j}]=(x,y)G_{i+j}\ }"></span></div> を線型に拡張したもので定めて <i>L</i> はリー環になる。ここで、交換子の定める括弧積が、リー環で言うところの括弧積の性質を持つことに、列の中心性が効いてくることに注意。</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="関連項目"><span id=".E9.96.A2.E9.80.A3.E9.A0.85.E7.9B.AE"></span>関連項目</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0&action=edit&section=24" title="節を編集: 関連項目"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div>   <table class="multicol" role="presentation" style="border-collapse: collapse; padding: 0; border: 0; color: inherit; background:transparent; width:100%;"><tbody><tr> <td style="width: 50%;text-align: left; vertical-align: top;"> <ul><li><a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%81%AE%E9%9A%8F%E4%BC%B4%E8%A1%A8%E7%8F%BE" title="リー代数の随伴表現">リー代数の随伴表現</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=Anyonic_Lie_algebra&action=edit&redlink=1" class="new" title="Anyonic Lie algebra (存在しないページ)">Anyonic Lie algebra</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Anyonic_Lie_algebra" class="extiw" title="en:Anyonic Lie algebra">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=Chiral_Lie_algebra&action=edit&redlink=1" class="new" title="Chiral Lie algebra (存在しないページ)">Chiral Lie algebra</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Chiral_Lie_algebra" class="extiw" title="en:Chiral Lie algebra">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E6%AC%A1%E6%95%B0%E4%BB%98%E3%81%8D%E5%BE%AE%E5%88%86%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="次数付き微分リー代数 (存在しないページ)">次数付き微分リー代数</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Differential_graded_Lie_algebra" class="extiw" title="en:Differential graded Lie algebra">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%81%AE%E6%8C%87%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="リー代数の指数 (存在しないページ)">リー代数の指数</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Index_of_a_Lie_algebra" class="extiw" title="en:Index of a Lie algebra">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%AD%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%82%B0%E5%BD%A2%E5%BC%8F" title="キリング形式">キリング形式</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%81%AE%E3%82%B3%E3%83%9B%E3%83%A2%E3%83%AD%E3%82%B8%E3%83%BC" class="mw-redirect" title="リー代数のコホモロジー">リー代数のコホモロジー</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%81%AE%E8%A1%A8%E7%8F%BE" title="リー代数の表現">リー代数の表現</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%8F%8C%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="双リー代数 (存在しないページ)">双リー代数</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Lie_bialgebra" class="extiw" title="en:Lie bialgebra">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E4%BD%99%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="余リー代数 (存在しないページ)">余リー代数</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Lie_coalgebra" class="extiw" title="en:Lie coalgebra">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E7%B4%A0%E7%B2%92%E5%AD%90%E7%89%A9%E7%90%86%E3%81%A8%E8%A1%A8%E7%8F%BE%E8%AB%96&action=edit&redlink=1" class="new" title="素粒子物理と表現論 (存在しないページ)">素粒子物理と表現論</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Particle_physics_and_representation_theory" class="extiw" title="en:Particle physics and representation theory">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E7%BE%A4%E8%AB%96%E3%81%AE%E7%94%A8%E8%AA%9E" title="群論の用語">群論の用語</a></li></ul> <p>  </p> </td> <td style="width: 50%;text-align: left; vertical-align: top;"> <ul><li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E8%B6%85%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="超リー代数 (存在しないページ)">超リー代数</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Lie_superalgebra" class="extiw" title="en:Lie superalgebra">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97" title="行列">行列</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%9D%E3%82%A2%E3%82%BD%E3%83%B3%E4%BB%A3%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="ポアソン代数 (存在しないページ)">ポアソン代数</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_algebra" class="extiw" title="en:Poisson algebra">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E9%87%8F%E5%AD%90%E7%BE%A4" title="量子群">量子群</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%A2%E3%83%BC%E3%83%A4%E3%83%AB%E3%83%96%E3%83%A9%E3%82%B1%E3%83%83%E3%83%88&action=edit&redlink=1" class="new" title="モーヤルブラケット (存在しないページ)">モーヤル代数</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Moyal_bracket" class="extiw" title="en:Moyal bracket">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E6%BA%96%E3%83%95%E3%83%AD%E3%83%99%E3%83%8B%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0" title="準フロベニウスリー代数">準フロベニウスリー代数</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E6%BA%96%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="準リー代数 (存在しないページ)">準リー代数</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Quasi-Lie_algebra" class="extiw" title="en:Quasi-Lie algebra">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%88%B6%E9%99%90%E4%BB%98%E3%81%8D%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="制限付きリー代数 (存在しないページ)">制限付きリー代数</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Restricted_Lie_algebra" class="extiw" title="en:Restricted Lie algebra">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=Simplicial_Lie_algebra&action=edit&redlink=1" class="new" title="Simplicial Lie algebra (存在しないページ)">Simplicial Lie algebra</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Simplicial_Lie_algebra" class="extiw" title="en:Simplicial Lie algebra">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=Symmetric_Lie_algebra&action=edit&redlink=1" class="new" title="Symmetric Lie algebra (存在しないページ)">Symmetric Lie algebra</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Symmetric_Lie_algebra" class="extiw" title="en:Symmetric Lie algebra">英語版</a>）</span></span></li></ul> <p>  </p> </td></tr></tbody></table></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="脚注"><span id=".E8.84.9A.E6.B3.A8"></span>脚注</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0&action=edit&section=25" title="節を編集: 脚注"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="注釈"><span id=".E6.B3.A8.E9.87.88"></span>注釈</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0&action=edit&section=26" title="節を編集: 注釈"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="reflist" style="list-style-type: decimal;"> <ol class="references"> <li id="cite_note-1"><b><a href="#cite_ref-1">^</a></b> <span class="reference-text">日本語ではしばしば Lie algebra のことをリー環と呼ぶが、後述の <a href="#リー環_(Lie_ring)">Lie ring</a> はより一般的な概念である。本項ではこの2つの用語を区別して用いる。</span> </li> <li id="cite_note-3"><b><a href="#cite_ref-3">^</a></b> <span class="reference-text">交換子の反交換関係により、右イデアルと左イデアルは一致する (<a href="#CITEREFHumphreys1972">Humphreys 1972</a>, p. 6)。</span> </li> <li id="cite_note-japanese-11">^ <a href="#cite_ref-japanese_11-0"><sup><i><b>a</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-japanese_11-1"><sup><i><b>b</b></i></sup></a> <span class="reference-text">『代数学とは何か』p. 262 [訳注] "日本では次に定義するリー代数のことをリー環と言うことが多く（言葉の誤用ではあるが），ここに定義する意味でのリー環はあまり意識的には使われない．しかし本書のように両方の概念を同時に扱うような場合は，リー環とリー代数を区別して呼ぶことになる．"</span> </li> </ol></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="出典"><span id=".E5.87.BA.E5.85.B8"></span>出典</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0&action=edit&section=27" title="節を編集: 出典"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="reflist" style="-moz-column-count:auto; -webkit-column-count:auto; column-count:auto; -moz-column-width: 30em; -webkit-column-width: 30em; column-width: 30em; list-style-type: decimal;"> <ol class="references"> <li id="cite_note-FOOTNOTEHumphreys19721-2"><b><a href="#cite_ref-FOOTNOTEHumphreys19721_2-0">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="#CITEREFHumphreys1972">Humphreys 1972</a>, p. 1.</span> </li> <li id="cite_note-FOOTNOTEJacobson196228-4"><b><a href="#cite_ref-FOOTNOTEJacobson196228_4-0">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="#CITEREFJacobson1962">Jacobson 1962</a>, p. 28.</span> </li> <li id="cite_note-FOOTNOTEJacobson196218-5"><b><a href="#cite_ref-FOOTNOTEJacobson196218_5-0">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="#CITEREFJacobson1962">Jacobson 1962</a>, p. 18.</span> </li> <li id="cite_note-6"><b><a href="#cite_ref-6">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="#CITEREFJacobson1962">Jacobson 1962</a>, Ch. VI</span> </li> <li id="cite_note-7"><b><a href="#cite_ref-7">^</a></b> <span class="reference-text">Humphreys p. 2</span> </li> <li id="cite_note-FOOTNOTEHumphreys197222-8"><b><a href="#cite_ref-FOOTNOTEHumphreys197222_8-0">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="#CITEREFHumphreys1972">Humphreys 1972</a>, p. 22.</span> </li> <li id="cite_note-9"><b><a href="#cite_ref-9">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="#CITEREFBeltita2005">Beltita 2005</a>, pg. 75</span> </li> <li id="cite_note-10"><b><a href="#cite_ref-10">^</a></b> <span class="reference-text">随伴性は、Hofman & Morris (2007) (e.g., page 130) においてより一般的な文脈で議論されるが、例えば Bourbaki (1989) Theorem 1 of page 305 and Theorem 3 of page 310 からすぐ出る結果でもある。</span> </li> </ol></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="参考文献"><span id=".E5.8F.82.E8.80.83.E6.96.87.E7.8C.AE"></span>参考文献</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0&action=edit&section=28" title="節を編集: 参考文献"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101304250"><table class="box-参照方法 plainlinks metadata ambox mbox-small-left ambox-content" role="presentation" style="width:auto;"><tbody><tr><td class="mbox-image"><span typeof="mw:File"><span><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a1/2017-fr.wp-orange-source.svg/45px-2017-fr.wp-orange-source.svg.png" decoding="async" width="45" height="45" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a1/2017-fr.wp-orange-source.svg/68px-2017-fr.wp-orange-source.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a1/2017-fr.wp-orange-source.svg/90px-2017-fr.wp-orange-source.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="512" /></span></span></td><td class="mbox-text"><div class="mbox-text-span"><b><a href="/wiki/Wikipedia:%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%8B%E3%83%A5%E3%82%A2%E3%83%AB_(%E3%83%AC%E3%82%A4%E3%82%A2%E3%82%A6%E3%83%88)#参考文献" class="mw-redirect" title="Wikipedia:スタイルマニュアル (レイアウト)">出典</a>は列挙するだけでなく、<a href="/wiki/Help:%E8%84%9A%E6%B3%A8" title="Help:脚注">脚注</a>などを用いて<a href="/wiki/Wikipedia:%E5%87%BA%E5%85%B8%E3%82%92%E6%98%8E%E8%A8%98%E3%81%99%E3%82%8B#出典の示し方" title="Wikipedia:出典を明記する">どの記述の情報源であるかを明記</a>してください。</b><span class="hide-when-compact"> 記事の<a href="/wiki/Wikipedia:%E6%A4%9C%E8%A8%BC%E5%8F%AF%E8%83%BD%E6%80%A7" title="Wikipedia:検証可能性">信頼性向上</a>にご協力をお願いいたします。<small>（<span title="2014年7月">2014年7月</span>）</small></span></div></td></tr></tbody></table> <ul><li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREFBeltita2005">Beltita, Daniel (2005). <i>Smooth Homogeneous Structures in Operator Theory</i>. CRC Press. <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r101121245">.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation.cs-ja1 q,.mw-parser-output .citation.cs-ja2 q{quotes:"「""」""『""』"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg")right 0.1em center/12px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:none;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;color:var(--color-error,#d33)}.mw-parser-output .cs1-visible-error{color:var(--color-error,#d33)}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:var(--color-success,#3a3);margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}</style><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-1-4200-3480-6" title="特別:文献資料/978-1-4200-3480-6">978-1-4200-3480-6</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Smooth+Homogeneous+Structures+in+Operator+Theory&rft.aulast=Beltita&rft.aufirst=Daniel&rft.au=Beltita%2C%26%2332%3BDaniel&rft.date=2005&rft.pub=CRC+Press&rft.isbn=978-1-4200-3480-6&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREFBourbaki1989">Bourbaki, Nicolas (1989). <i>Lie Groups and Lie Algebras -- Chapters 1-3</i>. Springer. <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/3-540-64242-0" title="特別:文献資料/3-540-64242-0">3-540-64242-0</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Lie+Groups+and+Lie+Algebras+--+Chapters+1-3&rft.aulast=Bourbaki&rft.aufirst=Nicolas&rft.au=Bourbaki%2C%26%2332%3BNicolas&rft.date=1989&rft.pub=Springer&rft.isbn=3-540-64242-0&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREFHofmanMorris2007">Hofman, Karl; Morris, Sidney (2007). <i>The Lie Theory of Connected Pro-Lie Groups</i>. <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/European_Mathematical_Society" class="extiw" title="en:European Mathematical Society">European Mathematical Society</a>. <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-3-03719-032-6" title="特別:文献資料/978-3-03719-032-6">978-3-03719-032-6</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=The+Lie+Theory+of+Connected+Pro-Lie+Groups&rft.aulast=Hofman&rft.aufirst=Karl&rft.au=Hofman%2C%26%2332%3BKarl&rft.au=Morris%2C%26%2332%3BSidney&rft.date=2007&rft.pub=%5B%5B%3Aen%3AEuropean+Mathematical+Society%7CEuropean+Mathematical+Society%5D%5D&rft.isbn=978-3-03719-032-6&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREFHumphreys1972">Humphreys, James E. 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Springer-Verlag. <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-0-387-90053-7" title="特別:文献資料/978-0-387-90053-7">978-0-387-90053-7</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%5Bhttp%3A%2F%2Fwww.springer.com%2Fmathematics%2Falgebra%2Fbook%2F978-0-387-90053-7+Introduction+to+Lie+Algebras+and+Representation+Theory%5D&rft.aulast=Humphreys&rft.aufirst=James+E.&rft.au=Humphreys%2C%26%2332%3BJames+E.&rft.date=1972&rft.series=Graduate+Texts+in+Mathematics&rft.volume=9&rft.pub=Springer-Verlag&rft.isbn=978-0-387-90053-7&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREFJacobson1962">Jacobson, Nathan (1962). <i><a rel="nofollow" class="external text" href="http://store.doverpublications.com/0486638324.html">Lie algebra</a></i>. 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Springer. <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/0-387-90969-9" title="特別:文献資料/0-387-90969-9">0-387-90969-9</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Lie+Groups%2C+Lie+Algebras%2C+and+Their+Representations&rft.aulast=Varadarajan&rft.aufirst=V.S.&rft.au=Varadarajan%2C%26%2332%3BV.S.&rft.date=2004&rft.edition=1st&rft.pub=Springer&rft.isbn=0-387-90969-9&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0"><span style="display: none;"> </span></span></li></ul> <p>和書： </p> <ul><li>松島与三：「リー環論」、共立出版（1956年12月).</li> <li>ブルバキ(著)、杉浦光夫(編・訳)：「リー群とリー環」全3巻、東京図書、ISBN(4-48900211-4、4-48900212-2、4-48900213-0),(1968年12月～1973年5月).</li> <li>佐武一郎：「リー環の話」、日本評論社、<a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/4535781575" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 4-535-78157-5</a> (1987年6月10日).</li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book">シャファレヴィッチ 著、蟹江幸博訳『代数学とは何か』<a href="/wiki/%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%97%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%82%AC%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%83%95%E3%82%A7%E3%82%A2%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%82%AF%E6%9D%B1%E4%BA%AC" class="mw-redirect" title="シュプリンガー・フェアラーク東京">シュプリンガー・フェアラーク東京</a>。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%A8%E3%81%AF%E4%BD%95%E3%81%8B&rft.aulast=%E3%82%B7%E3%83%A3%E3%83%95%E3%82%A1%E3%83%AC%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%83%83%E3%83%81&rft.au=%E3%82%B7%E3%83%A3%E3%83%95%E3%82%A1%E3%83%AC%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%83%83%E3%83%81&rft.pub=%5B%5B%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%97%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%82%AC%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%83%95%E3%82%A7%E3%82%A2%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%82%AF%E6%9D%B1%E4%BA%AC%5D%5D&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li>東郷重明：「無限次元リー代数」、槇書店、<a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/4837505856" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 4-83750585-6</a> (1990年3月).</li> <li>佐藤肇：「リー代数入門 : 線形代数の続編として」、裳華房、<a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/9784785315238" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-4-78531523-8</a> (2000年10月).</li> <li>谷崎俊之：「リー代数と量子群」、共立出版、<a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/4320016920" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 4-320-01692-0</a> (2002年4月).</li> <li>脇本実：「無限次元リー環」、岩波書店、<a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/9784000060486" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-4-00-006048-6</a> (2007年7月).</li> <li>窪田高弘：「物理のためのリー群とリー代数」、サイエンス社(SGCライブラリ66）、(2008年9月).</li> <li>竹内外史：「復刊リー代数と素粒子論」、裳華房、<a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/9784785310387" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-4-78531038-7</a>（2010年9月）.</li> <li>H. ジョージァイ(著)、九後汰一郎(訳)：「物理学におけるリー代数：アイソスピンから統一理論へ」、吉岡書店、<a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/9784842703572" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-4-84270357-2</a> (2010年10月).</li> <li>井ノ口順一:「はじめて学ぶリー環：線型代数から始めよう」、現代数学社、<a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/9784768704714" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-4-76870471-4</a> (2018年2月).</li> <li>山下博：「表現論入門セミナー[新装版]第II巻：リー代数と表現論」、日本評論社、<a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/9784535789692" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-4-535-78969-2</a> (2022年9月).</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="外部リンク"><span id=".E5.A4.96.E9.83.A8.E3.83.AA.E3.83.B3.E3.82.AF"></span>外部リンク</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0&action=edit&section=29" title="節を編集: 外部リンク"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFHazewinkel2001">Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Lie_algebra">“Lie algebra”</a>, <i><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Encyclopedia_of_Mathematics" class="extiw" title="en:Encyclopedia of Mathematics">Encyclopedia of Mathematics</a></i>, Springer, <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-1-55608-010-4" title="特別:文献資料/978-1-55608-010-4">978-1-55608-010-4</a><span style="display:none;">, <a rel="nofollow" class="external free" href="https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Lie_algebra">https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Lie_algebra</a></span></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.btitle=Lie+algebra&rft.atitle=%5B%5B%3Aen%3AEncyclopedia+of+Mathematics%7CEncyclopedia+of+Mathematics%5D%5D&rft.date=2001&rft.pub=Springer&rft.isbn=978-1-55608-010-4&rft_id=&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0"><span style="display: none;"> </span></span></li></ul> <div role="navigation" class="navbox authority-control" aria-labelledby="典拠管理データベース_frameless&#124;text-top&#124;10px&#124;alt=ウィキデータを編集&#124;link=https&#58;//www.wikidata.org/wiki/Q664495#identifiers&#124;class=noprint&#124;ウィキデータを編集" style="padding:3px"><table class="nowraplinks hlist mw-collapsible autocollapse navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th scope="col" class="navbox-title" colspan="2"><div id="典拠管理データベース_frameless&#124;text-top&#124;10px&#124;alt=ウィキデータを編集&#124;link=https&#58;//www.wikidata.org/wiki/Q664495#identifiers&#124;class=noprint&#124;ウィキデータを編集" style="font-size:110%;margin:0 4em"><a href="/wiki/Help:%E5%85%B8%E6%8B%A0%E7%AE%A1%E7%90%86" title="Help:典拠管理">典拠管理データベース</a> <span class="mw-valign-text-top noprint" typeof="mw:File/Frameless"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q664495#identifiers" title="ウィキデータを編集"><img alt="ウィキデータを編集" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/10px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png" decoding="async" width="10" height="10" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/15px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/20px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png 2x" data-file-width="20" data-file-height="20" /></a></span></div></th></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">全般</th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://id.worldcat.org/fast/998125/">FAST</a></span></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">国立図書館</th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://catalogo.bne.es/uhtbin/authoritybrowse.cgi?action=display&authority_id=XX535297">スペイン</a></span></li> <li><span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb119444791">フランス</a></span></li> <li><span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://data.bnf.fr/ark:/12148/cb119444791">BnF data</a></span></li> <li><span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4130355-6">ドイツ</a></span></li> <li><span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://olduli.nli.org.il/F/?func=find-b&local_base=NLX10&find_code=UID&request=987007529233905171">イスラエル</a></span></li> <li><span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.loc.gov/authorities/sh85076782">アメリカ</a></span></li> <li><span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.ndl.go.jp/auth/ndlna/00567367">日本</a></span></li> <li><span class="uid"><abbr title="Lieovy algebry"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://aleph.nkp.cz/F/?func=find-c&local_base=aut&ccl_term=ica=ph234835&CON_LNG=ENG">チェコ</a></abbr></span></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">その他</th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.idref.fr/027392600">IdRef</a></span></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?useformat=desktop&type=1x1&usesul3=0" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">「<a dir="ltr" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=リー代数&oldid=102925398">https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=リー代数&oldid=102925398</a>」から取得</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E3%82%AB%E3%83%86%E3%82%B4%E3%83%AA" title="特別:カテゴリ">カテゴリ</a>: <ul><li><a href="/wiki/Category:%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%92%B0%E8%AB%96" title="Category:リー環論">リー環論</a></li><li><a href="/wiki/Category:%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4%E8%AB%96" title="Category:リー群論">リー群論</a></li><li><a href="/wiki/Category:%E6%8A%BD%E8%B1%A1%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6" title="Category:抽象代数学">抽象代数学</a></li><li><a href="/w/index.php?title=Category:%E9%9D%9E%E7%B5%90%E5%90%88%E7%92%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="Category:非結合環 (存在しないページ)">非結合環</a></li><li><a href="/wiki/Category:%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%AB%E9%96%A2%E3%81%99%E3%82%8B%E8%A8%98%E4%BA%8B" title="Category:数学に関する記事">数学に関する記事</a></li><li><a href="/wiki/Category:%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%AE%E3%82%A8%E3%83%9D%E3%83%8B%E3%83%A0" title="Category:数学のエポニム">数学のエポニム</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">隠しカテゴリ: <ul><li><a href="/wiki/Category:%E6%94%B9%E8%A8%B3%E3%81%8C%E5%BF%85%E8%A6%81%E3%81%AA%E3%83%9A%E3%83%BC%E3%82%B8" 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