CINXE.COM

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-disabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available" lang="he" dir="rtl"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>חוג (מבנה אלגברי) – ויקיפדיה</title> <script>(function(){var className="client-js vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-disabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )hewikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":["",""],"wgDigitTransformTable":["",""],"wgDefaultDateFormat":"dmy" ,"wgMonthNames":["","ינואר","פברואר","מרץ","אפריל","מאי","יוני","יולי","אוגוסט","ספטמבר","אוקטובר","נובמבר","דצמבר"],"wgRequestId":"5134aac3-3bb1-47b6-92ae-8282569e6a2d","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"חוג_(מבנה_אלגברי)","wgTitle":"חוג (מבנה אלגברי)","wgCurRevisionId":39041759,"wgRevisionId":39041759,"wgArticleId":7010,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":["ערכים עם תבנית בריטניקה","ויקיפדיה: ערכים עם מזהה J9U","ויקיפדיה: ערכים עם מזהה BNE","ויקיפדיה: ערכים עם מזהה BNF","ויקיפדיה: ערכים עם מזהה GND","ויקיפדיה: ערכים עם מזהה LCCN","ויקיפדיה: ערכים עם מזהה NKC","מבנים אלגבריים","תורת החוגים"], "wgPageViewLanguage":"he","wgPageContentLanguage":"he","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"חוג_(מבנה_אלגברי)","wgRelevantArticleId":7010,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"he","pageLanguageDir":"rtl","pageVariantFallbacks":"he"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":10000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgCentralAuthMobileDomain":false,"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":false,"wgVector2022LanguageInHeader":true,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q161172","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":[ "brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false,"wgSiteNoticeId":"2.254"};RLSTATE={"ext.gadget.ExternalLinkIcon":"ready","ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.math.styles":"ready","ext.cite.styles":"ready","skins.vector.search.codex.styles":"ready","skins.vector.styles":"ready","skins.vector.icons":"ready","ext.wikimediamessages.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","ext.relatedArticles.styles":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready","ext.dismissableSiteNotice.styles":"ready"};RLPAGEMODULES=["ext.cite.ux-enhancements","site","mediawiki.page.ready", "mediawiki.toc","skins.vector.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.gadget.EditToolbar","ext.gadget.TemplateParamWizard","ext.gadget.Summarieslist","ext.gadget.refsToLeft","ext.gadget.Wdsearch","ext.gadget.catSexSelector","ext.gadget.feedback","ext.gadget.wikibugs","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.relatedArticles.readMore.bootstrap","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.cx.uls.quick.actions","wikibase.client.vector-2022","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","wikibase.sidebar.tracking","ext.dismissableSiteNotice"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); }];});});</script> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=he&modules=ext.cite.styles%7Cext.dismissableSiteNotice.styles%7Cext.math.styles%7Cext.relatedArticles.styles%7Cext.uls.interlanguage%7Cext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript%7Cext.wikimediaBadges%7Cext.wikimediamessages.styles%7Cskins.vector.icons%2Cstyles%7Cskins.vector.search.codex.styles%7Cwikibase.client.init&only=styles&skin=vector-2022"> <script async="" src="/w/load.php?lang=he&modules=startup&only=scripts&raw=1&skin=vector-2022"></script> <meta name="ResourceLoaderDynamicStyles" content=""> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=he&modules=ext.gadget.ExternalLinkIcon&only=styles&skin=vector-2022"> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=he&modules=site.styles&only=styles&skin=vector-2022"> <meta name="generator" content="MediaWiki 1.44.0-wmf.4"> <meta name="referrer" content="origin"> <meta name="referrer" content="origin-when-cross-origin"> <meta name="robots" content="max-image-preview:standard"> <meta name="format-detection" content="telephone=no"> <meta name="viewport" content="width=1120"> <meta property="og:title" content="חוג (מבנה אלגברי) – ויקיפדיה"> <meta property="og:type" content="website"> <link rel="preconnect" href="//upload.wikimedia.org"> <link rel="alternate" media="only screen and (max-width: 640px)" href="//he.m.wikipedia.org/wiki/%D7%97%D7%95%D7%92_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)"> <link rel="alternate" type="application/x-wiki" title="עריכה" href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%95%D7%92_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)&action=edit"> <link rel="apple-touch-icon" href="/static/apple-touch/wikipedia.png"> <link rel="icon" href="/static/favicon/wikipedia.ico"> <link rel="search" type="application/opensearchdescription+xml" href="/w/rest.php/v1/search" title="ויקיפדיה"> <link rel="EditURI" type="application/rsd+xml" href="//he.wikipedia.org/w/api.php?action=rsd"> <link rel="canonical" href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%97%D7%95%D7%92_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)"> <link rel="license" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.he"> <link rel="alternate" type="application/atom+xml" title="הזנת Atom של ויקיפדיה" href="/w/index.php?title=%D7%9E%D7%99%D7%95%D7%97%D7%93:%D7%A9%D7%99%D7%A0%D7%95%D7%99%D7%99%D7%9D_%D7%90%D7%97%D7%A8%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%9D&feed=atom"> <link rel="dns-prefetch" href="//meta.wikimedia.org" /> <link rel="dns-prefetch" href="//login.wikimedia.org"> </head> <body class="skin--responsive skin-vector skin-vector-search-vue mediawiki rtl sitedir-rtl mw-hide-empty-elt ns-0 ns-subject mw-editable page-חוג_מבנה_אלגברי rootpage-חוג_מבנה_אלגברי skin-vector-2022 action-view"><a class="mw-jump-link" href="#bodyContent">לדלג לתוכן</a> <div class="vector-header-container"> <header class="vector-header mw-header"> <div class="vector-header-start"> <nav class="vector-main-menu-landmark" aria-label="אתר"> <div id="vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown vector-main-menu-dropdown vector-button-flush-left vector-button-flush-right" > <input type="checkbox" id="vector-main-menu-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="תפריט ראשי" > <label id="vector-main-menu-dropdown-label" for="vector-main-menu-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-menu mw-ui-icon-wikimedia-menu"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">תפריט ראשי</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-main-menu-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-main-menu" class="vector-main-menu vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-main-menu-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="main-menu-pinned" data-pinnable-element-id="vector-main-menu" data-pinned-container-id="vector-main-menu-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-main-menu-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">תפריט ראשי</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.pin">העברה לסרגל הצד</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.unpin">הסתרה</button> </div> <div id="p-navigation" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-navigation" > <div class="vector-menu-heading"> ניווט </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-mainpage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%A2%D7%9E%D7%95%D7%93_%D7%A8%D7%90%D7%A9%D7%99" title="ביקור בעמוד הראשי [z]" accesskey="z"><span>עמוד ראשי</span></a></li><li id="n-welcomepage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94:%D7%91%D7%A8%D7%95%D7%9B%D7%99%D7%9D_%D7%94%D7%91%D7%90%D7%99%D7%9D"><span>ברוכים הבאים</span></a></li><li id="n-recentchanges" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%9E%D7%99%D7%95%D7%97%D7%93:%D7%A9%D7%99%D7%A0%D7%95%D7%99%D7%99%D7%9D_%D7%90%D7%97%D7%A8%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%9D" title="רשימת השינויים האחרונים באתר [r]" accesskey="r"><span>שינויים אחרונים</span></a></li><li id="n-featured-articles" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%A8%D7%98%D7%9C:%D7%A2%D7%A8%D7%9B%D7%99%D7%9D_%D7%9E%D7%95%D7%9E%D7%9C%D7%A6%D7%99%D7%9D"><span>ערכים מומלצים</span></a></li><li id="n-portals" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%A8%D7%98%D7%9C:%D7%A4%D7%95%D7%A8%D7%98%D7%9C%D7%99%D7%9D"><span>פורטלים</span></a></li><li id="n-randompage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%9E%D7%99%D7%95%D7%97%D7%93:%D7%90%D7%A7%D7%A8%D7%90%D7%99" title="טעינת דף אקראי [x]" accesskey="x"><span>ערך אקראי</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-community" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-community" > <div class="vector-menu-heading"> קהילה </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-portal" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94:%D7%A9%D7%A2%D7%A8_%D7%94%D7%A7%D7%94%D7%99%D7%9C%D7%94" title="אודות המיזם, איך אפשר לעזור, איפה למצוא דברים"><span>שער הקהילה</span></a></li><li id="n-help" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%A2%D7%96%D7%A8%D7%94:%D7%AA%D7%A4%D7%A8%D7%99%D7%98_%D7%A8%D7%90%D7%A9%D7%99" title="המקום למצוא מידע"><span>עזרה</span></a></li><li id="n-Ask-q" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94:%D7%99%D7%99%D7%A2%D7%95%D7%A5" title="דפים להתייעצות טכנית, לשונית וכו'"><span>ייעוץ</span></a></li><li id="n-village-pump" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94:%D7%9E%D7%96%D7%A0%D7%95%D7%9F" title="דיוני מדיניות ודיונים כלליים על ויקיפדיה"><span>מזנון</span></a></li><li id="n-Town-square" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94:%D7%9B%D7%99%D7%9B%D7%A8_%D7%94%D7%A2%D7%99%D7%A8" title="המקום בוויקיפדיה לשתף את הקהילה בדעותיכם בנושאים שאינם קשורים ישירות לוויקיפדיה"><span>כיכר העיר</span></a></li><li id="n-news" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94:%D7%97%D7%93%D7%A9%D7%95%D7%AA" title="חדשות בנושאי ויקיפדיה שונים"><span>חדשות</span></a></li><li id="n-notice-board" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94:%D7%9C%D7%95%D7%97_%D7%9E%D7%95%D7%93%D7%A2%D7%95%D7%AA" title="לוח מודעות להפניית הוויקיפדים לדיונים בדפי שיחה שלא זכו לתשומת לב מספקת"><span>לוח מודעות</span></a></li><li id="n-contactUs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94:%D7%99%D7%A6%D7%99%D7%A8%D7%AA_%D7%A7%D7%A9%D7%A8" title="איך ליצור קשר עם ויקיפדיה לצורך תיקונים, בירורים או שאלות אחרות"><span>יצירת קשר</span></a></li><li id="n-guestbook" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94:%D7%A1%D7%A4%D7%A8_%D7%90%D7%95%D7%A8%D7%97%D7%99%D7%9D" title="שתפו אותנו במשוב כללי על התרשמותכם מוויקיפדיה ומידת שביעות רצונכם ממנה"><span>ספר אורחים</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> <a href="/wiki/%D7%A2%D7%9E%D7%95%D7%93_%D7%A8%D7%90%D7%A9%D7%99" class="mw-logo"> <img class="mw-logo-icon" src="/static/images/icons/wikipedia.png" alt="" aria-hidden="true" height="50" width="50"> <span class="mw-logo-container skin-invert"> <img class="mw-logo-wordmark" alt="ויקיפדיה" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-wordmark-he.svg" style="width: 7.5em; height: 1.75em;"> <img class="mw-logo-tagline" alt="האנציקלופדיה החופשית" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-tagline-he.svg" width="120" height="12" style="width: 7.5em; height: 0.75em;"> </span> </a> </div> <div class="vector-header-end"> <div id="p-search" role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-collapses vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box-auto-expand-width vector-search-box"> <a href="/wiki/%D7%9E%D7%99%D7%95%D7%97%D7%93:%D7%97%D7%99%D7%A4%D7%95%D7%A9" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only search-toggle" title="‏חיפוש בוויקיפדיה‏ [f]" accesskey="f"><span class="vector-icon mw-ui-icon-search mw-ui-icon-wikimedia-search"></span> <span>חיפוש</span> </a> <div class="vector-typeahead-search-container"> <div class="cdx-typeahead-search cdx-typeahead-search--show-thumbnail cdx-typeahead-search--auto-expand-width"> <form action="/w/index.php" id="searchform" class="cdx-search-input cdx-search-input--has-end-button"> <div id="simpleSearch" class="cdx-search-input__input-wrapper" data-search-loc="header-moved"> <div class="cdx-text-input cdx-text-input--has-start-icon"> <input class="cdx-text-input__input" type="search" name="search" placeholder="חיפוש בוויקיפדיה" aria-label="חיפוש בוויקיפדיה" autocapitalize="sentences" title="‏חיפוש בוויקיפדיה‏ [f]" accesskey="f" id="searchInput" > <span class="cdx-text-input__icon cdx-text-input__start-icon"></span> </div> <input type="hidden" name="title" value="מיוחד:חיפוש"> </div> <button class="cdx-button cdx-search-input__end-button">חיפוש</button> </form> </div> </div> </div> <nav class="vector-user-links vector-user-links-wide" aria-label="כלים אישיים"> <div class="vector-user-links-main"> <div id="p-vector-user-menu-preferences" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-userpage" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="מראה"> <div id="vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown " title="שינוי המראה של גודל הגופן, הרוחב והצבע של הדף" > <input type="checkbox" id="vector-appearance-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="מראה" > <label id="vector-appearance-dropdown-label" for="vector-appearance-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-appearance mw-ui-icon-wikimedia-appearance"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">מראה</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-appearance-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <div id="p-vector-user-menu-notifications" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-overflow" class="vector-menu mw-portlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_he.wikipedia.org&uselang=he" class=""><span>תרומה לוויקיפדיה</span></a> </li> <li id="pt-createaccount-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=%D7%9E%D7%99%D7%95%D7%97%D7%93:%D7%94%D7%A8%D7%A9%D7%9E%D7%94_%D7%9C%D7%97%D7%A9%D7%91%D7%95%D7%9F&returnto=%D7%97%D7%95%D7%92+%28%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94+%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99%29" title="מומלץ ליצור חשבון ולהיכנס אליו, אך אין חובה לעשות זאת" class=""><span>יצירת חשבון</span></a> </li> <li id="pt-login-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=%D7%9E%D7%99%D7%95%D7%97%D7%93:%D7%9B%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%94_%D7%9C%D7%97%D7%A9%D7%91%D7%95%D7%9F&returnto=%D7%97%D7%95%D7%92+%28%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94+%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99%29" title="מומלץ להיכנס לחשבון, אך אין חובה לעשות זאת [o]" accesskey="o" class=""><span>כניסה לחשבון</span></a> </li> </ul> </div> </div> </div> <div id="vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown vector-user-menu vector-button-flush-right vector-user-menu-logged-out" title="אפשרויות נוספות" > <input type="checkbox" id="vector-user-links-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="כלים אישיים" > <label id="vector-user-links-dropdown-label" for="vector-user-links-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-ellipsis mw-ui-icon-wikimedia-ellipsis"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">כלים אישיים</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-personal" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-personal user-links-collapsible-item" title="תפריט משתמש" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_he.wikipedia.org&uselang=he"><span>תרומה לוויקיפדיה</span></a></li><li id="pt-createaccount" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D7%9E%D7%99%D7%95%D7%97%D7%93:%D7%94%D7%A8%D7%A9%D7%9E%D7%94_%D7%9C%D7%97%D7%A9%D7%91%D7%95%D7%9F&returnto=%D7%97%D7%95%D7%92+%28%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94+%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99%29" title="מומלץ ליצור חשבון ולהיכנס אליו, אך אין חובה לעשות זאת"><span class="vector-icon mw-ui-icon-userAdd mw-ui-icon-wikimedia-userAdd"></span> <span>יצירת חשבון</span></a></li><li id="pt-login" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D7%9E%D7%99%D7%95%D7%97%D7%93:%D7%9B%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%94_%D7%9C%D7%97%D7%A9%D7%91%D7%95%D7%9F&returnto=%D7%97%D7%95%D7%92+%28%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94+%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99%29" title="מומלץ להיכנס לחשבון, אך אין חובה לעשות זאת [o]" accesskey="o"><span class="vector-icon mw-ui-icon-logIn mw-ui-icon-wikimedia-logIn"></span> <span>כניסה לחשבון</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-user-menu-anon-editor" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-user-menu-anon-editor" > <div class="vector-menu-heading"> דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון <a href="/wiki/%D7%A2%D7%96%D7%A8%D7%94:%D7%91%D7%A8%D7%95%D7%9B%D7%99%D7%9D_%D7%94%D7%91%D7%90%D7%99%D7%9D" aria-label="מידע נוסף על עריכה"><span>מידע נוסף</span></a> </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%9E%D7%99%D7%95%D7%97%D7%93:%D7%94%D7%AA%D7%A8%D7%95%D7%9E%D7%95%D7%AA_%D7%A9%D7%9C%D7%99" title="רשימת העריכות שנעשו מכתובת IP זו [y]" accesskey="y"><span>תרומות</span></a></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%9E%D7%99%D7%95%D7%97%D7%93:%D7%94%D7%A9%D7%99%D7%97%D7%94_%D7%A9%D7%9C%D7%99" title="דיון על העריכות שנעשו מכתובת IP זו [n]" accesskey="n"><span>שיחה</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </header> </div> <div class="mw-page-container"> <div class="mw-page-container-inner"> <div class="vector-sitenotice-container"> <div id="siteNotice"><div id="mw-dismissablenotice-anonplace"></div><script>(function(){var node=document.getElementById("mw-dismissablenotice-anonplace");if(node){node.outerHTML="\u003Cdiv class=\"mw-dismissable-notice\"\u003E\u003Cdiv class=\"mw-dismissable-notice-close\"\u003E[\u003Ca tabindex=\"0\" role=\"button\"\u003Eהסתרה\u003C/a\u003E]\u003C/div\u003E\u003Cdiv class=\"mw-dismissable-notice-body\"\u003E\u003C!-- CentralNotice --\u003E\u003Cdiv id=\"localNotice\" data-nosnippet=\"\"\u003E\u003Cdiv class=\"anonnotice\" lang=\"he\" dir=\"rtl\"\u003E\u003Cp\u003E\u003Cb\u003Eתמיד רציתם לכתוב בוויקיפדיה אבל לא ידעתם איך? אתם מוזמנים לסדנת עריכה בוויקיפדיה. הסדנה תתקיים בספרייה הלאומית (בבניינה החדש) בירושלים ביום שישי, 06.12.24, בשעה 09:00. להרשמה לחצו \u003Ca href=\"/wiki/%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94:%D7%9E%D7%99%D7%96%D7%9E%D7%99_%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94/%D7%92%D7%9C%D7%90%D7%9D/%D7%94%D7%A1%D7%A4%D7%A8%D7%99%D7%99%D7%94_%D7%94%D7%9C%D7%90%D7%95%D7%9E%D7%99%D7%AA/%D7%90%D7%99%D7%A8%D7%95%D7%A2%D7%99%D7%9D/%D7%A1%D7%93%D7%A0%D7%AA_%D7%A2%D7%A8%D7%99%D7%9B%D7%94_%D7%93%D7%A6%D7%9E%D7%91%D7%A8_2024\" title=\"ויקיפדיה:מיזמי ויקיפדיה/גלאם/הספרייה הלאומית/אירועים/סדנת עריכה דצמבר 2024\"\u003Eכאן\u003C/a\u003E.\u003C/b\u003E\n\u003C/p\u003E\u003C/div\u003E\u003C/div\u003E\u003C/div\u003E\u003C/div\u003E";}}());</script></div> </div> <div class="vector-column-start"> <div class="vector-main-menu-container"> <div id="mw-navigation"> <nav id="mw-panel" class="vector-main-menu-landmark" aria-label="אתר"> <div id="vector-main-menu-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> </div> </div> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav id="mw-panel-toc" aria-label="תוכן עניינים" data-event-name="ui.sidebar-toc" class="mw-table-of-contents-container vector-toc-landmark"> <div id="vector-toc-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-toc" class="vector-toc vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-toc-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="toc-pinned" data-pinnable-element-id="vector-toc" > <h2 class="vector-pinnable-header-label">תוכן עניינים</h2> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.pin">העברה לסרגל הצד</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.unpin">הסתרה</button> </div> <ul class="vector-toc-contents" id="mw-panel-toc-list"> <li id="toc-mw-content-text" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a href="#" class="vector-toc-link"> <div class="vector-toc-text">התחלה</div> </a> </li> <li id="toc-הגדרה_ומבנים_יסודיים" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#הגדרה_ומבנים_יסודיים"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1</span> <span>הגדרה ומבנים יסודיים</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-הגדרה_ומבנים_יסודיים-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>שינוי מצב התת־פרק הגדרה ומבנים יסודיים</span> </button> <ul id="toc-הגדרה_ומבנים_יסודיים-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-קיום_איבר_יחידה" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#קיום_איבר_יחידה"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.1</span> <span>קיום איבר יחידה</span> </div> </a> <ul id="toc-קיום_איבר_יחידה-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-היסטוריה" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#היסטוריה"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.2</span> <span>היסטוריה</span> </div> </a> <ul id="toc-היסטוריה-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-הומומורפיזמים_ואידיאלים" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#הומומורפיזמים_ואידיאלים"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.3</span> <span>הומומורפיזמים ואידיאלים</span> </div> </a> <ul id="toc-הומומורפיזמים_ואידיאלים-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-תת_חוגים" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#תת_חוגים"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.4</span> <span>תת חוגים</span> </div> </a> <ul id="toc-תת_חוגים-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-בניות_של_חוגים" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#בניות_של_חוגים"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>בניות של חוגים</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-בניות_של_חוגים-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>שינוי מצב התת־פרק בניות של חוגים</span> </button> <ul id="toc-בניות_של_חוגים-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-מכפלה" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#מכפלה"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.1</span> <span>מכפלה</span> </div> </a> <ul id="toc-מכפלה-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-פולינומים" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#פולינומים"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.2</span> <span>פולינומים</span> </div> </a> <ul id="toc-פולינומים-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-מנה" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#מנה"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.3</span> <span>מנה</span> </div> </a> <ul id="toc-מנה-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-מטריצות" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#מטריצות"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.4</span> <span>מטריצות</span> </div> </a> <ul id="toc-מטריצות-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-דוגמאות" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#דוגמאות"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>דוגמאות</span> </div> </a> <ul id="toc-דוגמאות-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-תורת_המבנה" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#תורת_המבנה"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>תורת המבנה</span> </div> </a> <ul id="toc-תורת_המבנה-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-ראו_גם" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#ראו_גם"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>ראו גם</span> </div> </a> <ul id="toc-ראו_גם-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-קישורים_חיצוניים" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#קישורים_חיצוניים"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>קישורים חיצוניים</span> </div> </a> <ul id="toc-קישורים_חיצוניים-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-הערות_שוליים" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#הערות_שוליים"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>הערות שוליים</span> </div> </a> <ul id="toc-הערות_שוליים-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="תוכן עניינים" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="מצב תוכן העניינים" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">מצב תוכן העניינים</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">חוג (מבנה אלגברי)</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="מעבר לערך בשפה אחרת. זמין ב־66 שפות" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-66" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">66 שפות</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Ring_(mathematics)" title="Ring (mathematics) – אנגלית" lang="en" hreflang="en" data-title="Ring (mathematics)" data-language-autonym="English" data-language-local-name="אנגלית" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%AD%D9%84%D9%82%D8%A9_(%D8%B1%D9%8A%D8%A7%D8%B6%D9%8A%D8%A7%D8%AA)" title="حلقة (رياضيات) – ערבית" lang="ar" hreflang="ar" data-title="حلقة (رياضيات)" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="ערבית" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ba mw-list-item"><a href="https://ba.wikipedia.org/wiki/%D2%A0%D1%83%D0%BB%D1%81%D0%B0_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Ҡулса (математика) – בשקירית" lang="ba" hreflang="ba" data-title="Ҡулса (математика)" data-language-autonym="Башҡортса" data-language-local-name="בשקירית" class="interlanguage-link-target"><span>Башҡортса</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D1%86%D0%BE_(%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0)" title="Кальцо (алгебра) – בלארוסית" lang="be" hreflang="be" data-title="Кальцо (алгебра)" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="בלארוסית" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D1%8A%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BD_(%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0)" title="Пръстен (алгебра) – בולגרית" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Пръстен (алгебра)" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="בולגרית" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Prsten_(matematika)" title="Prsten (matematika) – בוסנית" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Prsten (matematika)" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="בוסנית" class="interlanguage-link-target"><span>Bosanski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Anell_(matem%C3%A0tiques)" title="Anell (matemàtiques) – קטלאנית" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Anell (matemàtiques)" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="קטלאנית" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Okruh_(algebra)" title="Okruh (algebra) – צ׳כית" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Okruh (algebra)" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="צ׳כית" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D0%BD%D0%BA%C4%83_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Ункă (математика) – צ׳ובשית" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Ункă (математика)" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="צ׳ובשית" class="interlanguage-link-target"><span>Чӑвашла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cy mw-list-item"><a href="https://cy.wikipedia.org/wiki/Modrwy_(mathemateg)" title="Modrwy (mathemateg) – ולשית" lang="cy" hreflang="cy" data-title="Modrwy (mathemateg)" data-language-autonym="Cymraeg" data-language-local-name="ולשית" class="interlanguage-link-target"><span>Cymraeg</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Ring_(matematik)" title="Ring (matematik) – דנית" lang="da" hreflang="da" data-title="Ring (matematik)" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="דנית" class="interlanguage-link-target"><span>Dansk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Ring_(Algebra)" title="Ring (Algebra) – גרמנית" lang="de" hreflang="de" data-title="Ring (Algebra)" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="גרמנית" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%94%CE%B1%CE%BA%CF%84%CF%8D%CE%BB%CE%B9%CE%BF%CF%82_(%CE%AC%CE%BB%CE%B3%CE%B5%CE%B2%CF%81%CE%B1)" title="Δακτύλιος (άλγεβρα) – יוונית" lang="el" hreflang="el" data-title="Δακτύλιος (άλγεβρα)" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="יוונית" class="interlanguage-link-target"><span>Ελληνικά</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Ringo_(algebro)" title="Ringo (algebro) – אספרנטו" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Ringo (algebro)" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="אספרנטו" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_(matem%C3%A1tica)" title="Anillo (matemática) – ספרדית" lang="es" hreflang="es" data-title="Anillo (matemática)" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="ספרדית" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Ring_(algebra)" title="Ring (algebra) – אסטונית" lang="et" hreflang="et" data-title="Ring (algebra)" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="אסטונית" class="interlanguage-link-target"><span>Eesti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Eraztun_(matematika)" title="Eraztun (matematika) – בסקית" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Eraztun (matematika)" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="בסקית" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%AD%D9%84%D9%82%D9%87_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C%D8%A7%D8%AA)" title="حلقه (ریاضیات) – פרסית" lang="fa" hreflang="fa" data-title="حلقه (ریاضیات)" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="פרסית" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Rengas_(matematiikka)" title="Rengas (matematiikka) – פינית" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Rengas (matematiikka)" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="פינית" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Anneau_(math%C3%A9matiques)" title="Anneau (mathématiques) – צרפתית" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Anneau (mathématiques)" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="צרפתית" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ga mw-list-item"><a href="https://ga.wikipedia.org/wiki/F%C3%A1inne_(matamaitic)" title="Fáinne (matamaitic) – אירית" lang="ga" hreflang="ga" data-title="Fáinne (matamaitic)" data-language-autonym="Gaeilge" data-language-local-name="אירית" class="interlanguage-link-target"><span>Gaeilge</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Anel_(%C3%A1lxebra)" title="Anel (álxebra) – גליסית" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Anel (álxebra)" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="גליסית" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Prsten_(matematika)" title="Prsten (matematika) – קרואטית" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Prsten (matematika)" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="קרואטית" class="interlanguage-link-target"><span>Hrvatski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Gy%C5%B1r%C5%B1_(matematika)" title="Gyűrű (matematika) – הונגרית" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Gyűrű (matematika)" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="הונגרית" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D5%95%D5%B2%D5%A1%D5%AF_(%D5%B4%D5%A1%D5%A9%D5%A5%D5%B4%D5%A1%D5%BF%D5%AB%D5%AF%D5%A1)" title="Օղակ (մաթեմատիկա) – ארמנית" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Օղակ (մաթեմատիկա)" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="ארמנית" class="interlanguage-link-target"><span>Հայերեն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ia mw-list-item"><a href="https://ia.wikipedia.org/wiki/Anello_(algebra)" title="Anello (algebra) – ‏אינטרלינגואה" lang="ia" hreflang="ia" data-title="Anello (algebra)" data-language-autonym="Interlingua" data-language-local-name="‏אינטרלינגואה" class="interlanguage-link-target"><span>Interlingua</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Gelanggang_(matematika)" title="Gelanggang (matematika) – אינדונזית" lang="id" hreflang="id" data-title="Gelanggang (matematika)" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="אינדונזית" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Anello_(algebra)" title="Anello (algebra) – איטלקית" lang="it" hreflang="it" data-title="Anello (algebra)" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="איטלקית" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%92%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="環 (数学) – יפנית" lang="ja" hreflang="ja" data-title="環 (数学)" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="יפנית" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ka mw-list-item"><a href="https://ka.wikipedia.org/wiki/%E1%83%A0%E1%83%92%E1%83%9D%E1%83%9A%E1%83%98_(%E1%83%9B%E1%83%90%E1%83%97%E1%83%94%E1%83%9B%E1%83%90%E1%83%A2%E1%83%98%E1%83%99%E1%83%90)" title="რგოლი (მათემატიკა) – גאורגית" lang="ka" hreflang="ka" data-title="რგოლი (მათემატიკა)" data-language-autonym="ქართული" data-language-local-name="גאורגית" class="interlanguage-link-target"><span>ქართული</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kn mw-list-item"><a href="https://kn.wikipedia.org/wiki/%E0%B2%B0%E0%B2%BF%E0%B2%82%E0%B2%97%E0%B3%8D" title="ರಿಂಗ್ – קנאדה" lang="kn" hreflang="kn" data-title="ರಿಂಗ್" data-language-autonym="ಕನ್ನಡ" data-language-local-name="קנאדה" class="interlanguage-link-target"><span>ಕನ್ನಡ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%99%98_(%EC%88%98%ED%95%99)" title="환 (수학) – קוריאנית" lang="ko" hreflang="ko" data-title="환 (수학)" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="קוריאנית" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Anellus" title="Anellus – לטינית" lang="la" hreflang="la" data-title="Anellus" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="לטינית" class="interlanguage-link-target"><span>Latina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lb mw-list-item"><a href="https://lb.wikipedia.org/wiki/Rank_(Algeber)" title="Rank (Algeber) – לוקסמבורגית" lang="lb" hreflang="lb" data-title="Rank (Algeber)" data-language-autonym="Lëtzebuergesch" data-language-local-name="לוקסמבורגית" class="interlanguage-link-target"><span>Lëtzebuergesch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lmo mw-list-item"><a href="https://lmo.wikipedia.org/wiki/Anell_(matematega)" title="Anell (matematega) – לומברדית" lang="lmo" hreflang="lmo" data-title="Anell (matematega)" data-language-autonym="Lombard" data-language-local-name="לומברדית" class="interlanguage-link-target"><span>Lombard</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%B5%E0%B4%B2%E0%B4%AF%E0%B4%82_(%E0%B4%97%E0%B4%A3%E0%B4%BF%E0%B4%A4%E0%B4%82)" title="വലയം (ഗണിതം) – מליאלאם" lang="ml" hreflang="ml" data-title="വലയം (ഗണിതം)" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="מליאלאם" class="interlanguage-link-target"><span>മലയാളം</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mr mw-list-item"><a href="https://mr.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%82%E0%A4%97" title="रिंग – מראטהית" lang="mr" hreflang="mr" data-title="रिंग" data-language-autonym="मराठी" data-language-local-name="מראטהית" class="interlanguage-link-target"><span>मराठी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Gelanggang_(matematik)" title="Gelanggang (matematik) – מלאית" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Gelanggang (matematik)" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="מלאית" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Melayu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Ring_(wiskunde)" title="Ring (wiskunde) – הולנדית" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Ring (wiskunde)" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="הולנדית" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Ring_i_matematikk" title="Ring i matematikk – נורווגית חדשה" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Ring i matematikk" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="נורווגית חדשה" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Ring_(matematikk)" title="Ring (matematikk) – נורווגית ספרותית" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Ring (matematikk)" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="נורווגית ספרותית" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nov mw-list-item"><a href="https://nov.wikipedia.org/wiki/Ringe_(matematike)" title="Ringe (matematike) – נוביאל" lang="nov" hreflang="nov" data-title="Ringe (matematike)" data-language-autonym="Novial" data-language-local-name="נוביאל" class="interlanguage-link-target"><span>Novial</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Pier%C5%9Bcie%C5%84_(matematyka)" title="Pierścień (matematyka) – פולנית" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Pierścień (matematyka)" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="פולנית" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pms mw-list-item"><a href="https://pms.wikipedia.org/wiki/Anel" title="Anel – פיימונטית" lang="pms" hreflang="pms" data-title="Anel" data-language-autonym="Piemontèis" data-language-local-name="פיימונטית" class="interlanguage-link-target"><span>Piemontèis</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Anel_(matem%C3%A1tica)" title="Anel (matemática) – פורטוגזית" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Anel (matemática)" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="פורטוגזית" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Inel_(matematic%C4%83)" title="Inel (matematică) – רומנית" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Inel (matematică)" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="רומנית" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%86%D0%BE_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Кольцо (математика) – רוסית" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Кольцо (математика)" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="רוסית" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-scn mw-list-item"><a href="https://scn.wikipedia.org/wiki/Aneddu_(matim%C3%A0tica)" title="Aneddu (matimàtica) – סיציליאנית" lang="scn" hreflang="scn" data-title="Aneddu (matimàtica)" data-language-autonym="Sicilianu" data-language-local-name="סיציליאנית" class="interlanguage-link-target"><span>Sicilianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Algebarski_prsten" title="Algebarski prsten – סרבו-קרואטית" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Algebarski prsten" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="סרבו-קרואטית" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Ring_(mathematics)" title="Ring (mathematics) – אנגלית פשוטה" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Ring (mathematics)" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="אנגלית פשוטה" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Okruh_(algebra)" title="Okruh (algebra) – סלובקית" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Okruh (algebra)" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="סלובקית" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Kolobar_(algebra)" title="Kolobar (algebra) – סלובנית" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Kolobar (algebra)" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="סלובנית" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D0%B0%D1%80%D1%81%D0%BA%D0%B8_%D0%BF%D1%80%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BD" title="Алгебарски прстен – סרבית" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Алгебарски прстен" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="סרבית" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Ring_(matematik)" title="Ring (matematik) – שוודית" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Ring (matematik)" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="שוודית" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%B5%E0%AE%B3%E0%AF%88%E0%AE%AF%E0%AE%AE%E0%AF%8D_(%E0%AE%95%E0%AE%A3%E0%AE%BF%E0%AE%A4%E0%AE%AE%E0%AF%8D)" title="வளையம் (கணிதம்) – טמילית" lang="ta" hreflang="ta" data-title="வளையம் (கணிதம்)" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="טמילית" class="interlanguage-link-target"><span>தமிழ்</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%87_(%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%A8%E0%B8%B2%E0%B8%AA%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B9%8C)" title="ริง (คณิตศาสตร์) – תאית" lang="th" hreflang="th" data-title="ริง (คณิตศาสตร์)" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="תאית" class="interlanguage-link-target"><span>ไทย</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Halka" title="Halka – טורקית" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Halka" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="טורקית" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%96%D0%BB%D1%8C%D1%86%D0%B5_(%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0)" title="Кільце (алгебра) – אוקראינית" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Кільце (алгебра)" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="אוקראינית" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ur mw-list-item"><a href="https://ur.wikipedia.org/wiki/%D8%AD%D9%84%D9%82%DB%81_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C)" title="حلقہ (ریاضی) – אורדו" lang="ur" hreflang="ur" data-title="حلقہ (ریاضی)" data-language-autonym="اردو" data-language-local-name="אורדו" class="interlanguage-link-target"><span>اردو</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/V%C3%A0nh" title="Vành – וייטנאמית" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Vành" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="וייטנאמית" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vls mw-list-item"><a href="https://vls.wikipedia.org/wiki/Rienk_(algebra)" title="Rienk (algebra) – פלמית מערבית" lang="vls" hreflang="vls" data-title="Rienk (algebra)" data-language-autonym="West-Vlams" data-language-local-name="פלמית מערבית" class="interlanguage-link-target"><span>West-Vlams</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E7%8E%AF%EF%BC%88%E4%BB%A3%E6%95%B0%EF%BC%89" title="环（代数） – סינית וו" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="环（代数）" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="סינית וו" class="interlanguage-link-target"><span>吴语</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%8E%AF_(%E4%BB%A3%E6%95%B0)" title="环 (代数) – סינית" lang="zh" hreflang="zh" data-title="环 (代数)" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="סינית" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-classical mw-list-item"><a href="https://zh-classical.wikipedia.org/wiki/%E7%92%B0_(%E4%BB%A3%E6%95%B8)" title="環 (代數) – סינית קלאסית" lang="lzh" hreflang="lzh" data-title="環 (代數)" data-language-autonym="文言" data-language-local-name="סינית קלאסית" class="interlanguage-link-target"><span>文言</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-min-nan mw-list-item"><a href="https://zh-min-nan.wikipedia.org/wiki/Kh%C3%B4an" title="Khôan – מין נאנית" lang="nan" hreflang="nan" data-title="Khôan" data-language-autonym="閩南語 / Bân-lâm-gú" data-language-local-name="מין נאנית" class="interlanguage-link-target"><span>閩南語 / Bân-lâm-gú</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E7%92%B0_(%E4%BB%A3%E6%95%B8)" title="環 (代數) – קנטונזית" lang="yue" hreflang="yue" data-title="環 (代數)" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="קנטונזית" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q161172#sitelinks-wikipedia" title="עריכת קישורים בין־לשוניים" class="wbc-editpage">עריכת הקישורים</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="מרחבי שם"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%97%D7%95%D7%92_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)" title="צפייה בדף התוכן [c]" accesskey="c"><span>ערך</span></a></li><li id="ca-talk" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%A9%D7%99%D7%97%D7%94:%D7%97%D7%95%D7%92_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)" rel="discussion" title="שיחה על דף התוכן [t]" accesskey="t"><span>שיחה</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input type="checkbox" id="vector-variants-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="שינוי הגוון השפה" > <label id="vector-variants-dropdown-label" for="vector-variants-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">עברית</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-variants" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation" class="vector-collapsible"> <nav aria-label="צפיות"> <div id="p-views" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-views" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%97%D7%95%D7%92_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)"><span>קריאה</span></a></li><li id="ca-edit" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%95%D7%92_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)&action=edit" title="עריכת קוד המקור של הדף הזה [e]" accesskey="e"><span>עריכת קוד מקור</span></a></li><li id="ca-ve-edit" class="collapsible vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%95%D7%92_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)&veaction=edit" title="עריכת הדף הזה [v]" accesskey="v"><span>עריכה</span></a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%95%D7%92_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)&action=history" title="גרסאות קודמות של דף זה [h]" accesskey="h"><span>גרסאות קודמות</span></a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="כלי דף"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="כלים" > <label id="vector-page-tools-dropdown-label" for="vector-page-tools-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">כלים</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-tools-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-page-tools" class="vector-page-tools vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-page-tools-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="page-tools-pinned" data-pinnable-element-id="vector-page-tools" data-pinned-container-id="vector-page-tools-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-page-tools-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">כלים</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.pin">העברה לסרגל הצד</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.unpin">הסתרה</button> </div> <div id="p-cactions" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-has-collapsible-items" title="אפשרויות נוספות" > <div class="vector-menu-heading"> פעולות </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-more-view" class="selected vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%97%D7%95%D7%92_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)"><span>קריאה</span></a></li><li id="ca-more-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%95%D7%92_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)&action=edit" title="עריכת קוד המקור של הדף הזה [e]" accesskey="e"><span>עריכת קוד מקור</span></a></li><li id="ca-more-ve-edit" class="collapsible vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%95%D7%92_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)&veaction=edit" title="עריכת הדף הזה [v]" accesskey="v"><span>עריכה</span></a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%95%D7%92_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)&action=history"><span>גרסאות קודמות</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> כללי </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%9E%D7%99%D7%95%D7%97%D7%93:%D7%93%D7%A4%D7%99%D7%9D_%D7%94%D7%9E%D7%A7%D7%95%D7%A9%D7%A8%D7%99%D7%9D_%D7%9C%D7%9B%D7%90%D7%9F/%D7%97%D7%95%D7%92_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)" title="רשימה של כל דפי הוויקי שמקשרים לדף הזה [j]" accesskey="j"><span>דפים המקושרים לכאן</span></a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%9E%D7%99%D7%95%D7%97%D7%93:%D7%A9%D7%99%D7%A0%D7%95%D7%99%D7%99%D7%9D_%D7%91%D7%93%D7%A4%D7%99%D7%9D_%D7%94%D7%9E%D7%A7%D7%95%D7%A9%D7%A8%D7%99%D7%9D/%D7%97%D7%95%D7%92_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)" rel="nofollow" title="השינויים האחרונים בדפים המקושרים מהדף הזה [k]" accesskey="k"><span>שינויים בדפים המקושרים</span></a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%9E%D7%99%D7%95%D7%97%D7%93:%D7%93%D7%A4%D7%99%D7%9D_%D7%9E%D7%99%D7%95%D7%97%D7%93%D7%99%D7%9D" title="רשימה של כל הדפים המיוחדים [q]" accesskey="q"><span>דפים מיוחדים</span></a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%95%D7%92_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)&oldid=39041759" title="קישור קבוע לגרסה הזאת של הדף הזה"><span>קישור קבוע</span></a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%95%D7%92_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)&action=info" title="מידע נוסף על הדף הזה"><span>מידע על הדף</span></a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D7%9E%D7%99%D7%95%D7%97%D7%93:%D7%A6%D7%99%D7%98%D7%95%D7%98_%D7%93%D7%A3_%D7%96%D7%94&page=%D7%97%D7%95%D7%92_%28%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99%29&id=39041759&wpFormIdentifier=titleform" title="מידע איך לצטט את הדף הזה"><span>ציטוט הדף הזה</span></a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D7%9E%D7%99%D7%95%D7%97%D7%93:%D7%9E%D7%A7%D7%A6%D7%A8_%D7%9B%D7%AA%D7%95%D7%91%D7%95%D7%AA&url=https%3A%2F%2Fhe.wikipedia.org%2Fwiki%2F%25D7%2597%25D7%2595%25D7%2592_%28%25D7%259E%25D7%2591%25D7%25A0%25D7%2594_%25D7%2590%25D7%259C%25D7%2592%25D7%2591%25D7%25A8%25D7%2599%29"><span>קבלת כתובת מקוצרת</span></a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D7%9E%D7%99%D7%95%D7%97%D7%93:QrCode&url=https%3A%2F%2Fhe.wikipedia.org%2Fwiki%2F%25D7%2597%25D7%2595%25D7%2592_%28%25D7%259E%25D7%2591%25D7%25A0%25D7%2594_%25D7%2590%25D7%259C%25D7%2592%25D7%2591%25D7%25A8%25D7%2599%29"><span>הורדת קוד QR</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-coll-print_export" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-coll-print_export" > <div class="vector-menu-heading"> הדפסה/יצוא </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D7%9E%D7%99%D7%95%D7%97%D7%93:%D7%A1%D7%A4%D7%A8&bookcmd=book_creator&referer=%D7%97%D7%95%D7%92+%28%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94+%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99%29"><span>יצירת ספר</span></a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D7%9E%D7%99%D7%95%D7%97%D7%93:DownloadAsPdf&page=%D7%97%D7%95%D7%92_%28%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99%29&action=show-download-screen"><span>הורדה כ־PDF</span></a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%95%D7%92_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)&printable=yes" title="גרסה להדפסה של הדף הזה [p]" accesskey="p"><span>גרסה להדפסה</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-wikibase-otherprojects" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects" > <div class="vector-menu-heading"> במיזמים אחרים </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q161172" title="קישור לפריט המשויך במאגר הנתונים [g]" accesskey="g"><span>פריט ויקינתונים</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="כלי דף"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="מראה"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">מראה</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">העברה לסרגל הצד</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">הסתרה</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-rtl mw-parser-output" lang="he" dir="rtl"><p>ב<a href="/wiki/%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94" title="מתמטיקה">מתמטיקה</a>, <b>חוג</b> הוא <a href="/wiki/%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99" title="מבנה אלגברי">מבנה אלגברי</a> בעל שתי <a href="/wiki/%D7%A4%D7%A2%D7%95%D7%9C%D7%94_%D7%91%D7%99%D7%A0%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%AA" title="פעולה בינארית">פעולות בינאריות</a>, המקיימות מספר <a href="/wiki/%D7%90%D7%A7%D7%A1%D7%99%D7%95%D7%9E%D7%94" title="אקסיומה">אקסיומות</a> (שיפורטו להלן), ה<a href="/wiki/%D7%94%D7%9B%D7%9C%D7%9C%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)" title="הכללה (מתמטיקה)">מכלילות</a> כמה תכונות בסיסיות של <a href="/wiki/%D7%97%D7%95%D7%92_%D7%94%D7%9E%D7%A1%D7%A4%D7%A8%D7%99%D7%9D_%D7%94%D7%A9%D7%9C%D7%9E%D7%99%D7%9D" title="חוג המספרים השלמים">חוג המספרים השלמים</a> ושל <a href="/wiki/%D7%97%D7%95%D7%92_%D7%9E%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%A6%D7%95%D7%AA" title="חוג מטריצות">חוג המטריצות</a> מעל <a href="/wiki/%D7%A9%D7%93%D7%94_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)" title="שדה (מבנה אלגברי)">שדה</a>. </p><p><a href="/wiki/%D7%AA%D7%95%D7%A8%D7%AA_%D7%94%D7%97%D7%95%D7%92%D7%99%D7%9D" title="תורת החוגים">תורת החוגים</a>, העוסקת במבנה של חוגים שונים, היא מן התחומים המרכזיים ב<a href="/wiki/%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%94" title="אלגברה">אלגברה</a>. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="הגדרה_ומבנים_יסודיים"><span id=".D7.94.D7.92.D7.93.D7.A8.D7.94_.D7.95.D7.9E.D7.91.D7.A0.D7.99.D7.9D_.D7.99.D7.A1.D7.95.D7.93.D7.99.D7.99.D7.9D"></span>הגדרה ומבנים יסודיים</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%95%D7%92_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)&action=edit&section=1" title="עריכת קוד המקור של הפרק: הגדרה ומבנים יסודיים"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%95%D7%92_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)&veaction=edit&section=1" title="עריכת פסקה: "הגדרה ומבנים יסודיים"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><b>חוג</b> הוא מבנה הכולל <a href="/wiki/%D7%A7%D7%91%D7%95%D7%A6%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)" title="קבוצה (מתמטיקה)">קבוצה</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}"></span> עם שתי <a href="/wiki/%D7%A4%D7%A2%D7%95%D7%9C%D7%94_%D7%91%D7%99%D7%A0%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%AA" title="פעולה בינארית">פעולות בינאריות</a> המסומנות "<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle +}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>+</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle +}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle +}"></span>" ו-"<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \cdot }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>⋅</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cdot }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba2c023bad1bd39ed49080f729cbf26bc448c9ba" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: 0.439ex; margin-bottom: -0.61ex; width:0.647ex; height:1.176ex;" alt="{\displaystyle \cdot }"></span>", המקיימות מספר אקסיומות: </p> <ol><li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}"></span> היא <a href="/wiki/%D7%97%D7%91%D7%95%D7%A8%D7%94_%D7%90%D7%91%D7%9C%D7%99%D7%AA" title="חבורה אבלית">חבורה אבלית</a> ביחס לחיבור, כלומר: החיבור <a href="/wiki/%D7%A4%D7%A2%D7%95%D7%9C%D7%94_%D7%90%D7%A1%D7%95%D7%A6%D7%99%D7%90%D7%98%D7%99%D7%91%D7%99%D7%AA" title="פעולה אסוציאטיבית">אסוציאטיבי</a> ו<a href="/wiki/%D7%A4%D7%A2%D7%95%D7%9C%D7%94_%D7%A7%D7%95%D7%9E%D7%95%D7%98%D7%98%D7%99%D7%91%D7%99%D7%AA" title="פעולה קומוטטיבית">קומוטטיבי</a> (חילופי), יש איבר אפס, ולכל איבר יש נגדי;</li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}"></span> הוא <a href="/wiki/%D7%9E%D7%95%D7%A0%D7%95%D7%90%D7%99%D7%93_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)" title="מונואיד (מבנה אלגברי)">מונואיד</a> ביחס לכפל, כלומר: הכפל אסוציאטיבי ויש לו איבר יחידה;</li> <li>הכפל <a href="/wiki/%D7%97%D7%95%D7%A7_%D7%94%D7%A4%D7%99%D7%9C%D7%95%D7%92" title="חוק הפילוג">דיסטריבוטיבי</a> ביחס לחיבור (כלומר <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo>+</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo>⋅</mo> <mi>y</mi> <mo>+</mo> <mi>x</mi> <mo>⋅</mo> <mi>z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bef04839940b9b2f33028670da2930e139873789" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.102ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z}"></span> וכן <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo>⋅</mo> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <mi>y</mi> <mo>⋅</mo> <mi>z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5edb71a956a66fcc38e4b7048f1ee7d6c255a52" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.861ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z}"></span>).</li></ol> <p>אם פעולת הכפל גם היא חילופית (קומוטטיבית), החוג נקרא "חוג חילופי" (או: "קומוטטיבי"). לדוגמה, <a href="/wiki/%D7%97%D7%95%D7%92_%D7%94%D7%9E%D7%A1%D7%A4%D7%A8%D7%99%D7%9D_%D7%94%D7%A9%D7%9C%D7%9E%D7%99%D7%9D" title="חוג המספרים השלמים">חוג המספרים השלמים</a> חילופי, אך חוג ה<a href="/wiki/%D7%9E%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%A6%D7%94" title="מטריצה">מטריצות</a> אינו חילופי. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="קיום_איבר_יחידה"><span id=".D7.A7.D7.99.D7.95.D7.9D_.D7.90.D7.99.D7.91.D7.A8_.D7.99.D7.97.D7.99.D7.93.D7.94"></span>קיום איבר יחידה</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%95%D7%92_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)&action=edit&section=2" title="עריכת קוד המקור של הפרק: קיום איבר יחידה"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%95%D7%92_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)&veaction=edit&section=2" title="עריכת פסקה: "קיום איבר יחידה"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>מבנה אלגברי שבו מתקיימות כל האקסיומות, פרט לקיומו של <a href="/wiki/%D7%90%D7%99%D7%91%D7%A8_%D7%99%D7%97%D7%99%D7%93%D7%94" title="איבר יחידה">איבר יחידה</a>, נקרא "חוג בלי יחידה". לעיתים משתמשים בטרמינולוגיה הפוכה, וחוג מציין מבנה המקיים את האקסיומות לעיל ללא איבר היחידה. באנגלית מקובל גם הסימון rng לציון חוג-בלי-יחידה (לעומת ring לציון חוג). ייתכן שבחוג-בלי-יחידה תהיה "יחידה-משמאל" (איבר <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>e</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle e}"></span> המקיים <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ex=x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>e</mi> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ex=x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/739b19d1a364ba3cd52d89bf2c47574385825847" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.841ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle ex=x}"></span> לכל <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"></span>), ואף יחידות-משמאל רבות; או יחידה-מימין, ואף יחידות-מימין רבות; אבל אם יש גם יחידה-מימין וגם יחידה-משמאל, אז יש לחוג איבר יחידה אחד ויחיד. <a href="/wiki/%D7%97%D7%95%D7%92_%D7%94%D7%90%D7%A4%D7%A1" title="חוג האפס">חוג האפס</a>, הכולל רק איבר אחד, הוא חוג בלי יחידה. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="היסטוריה"><span id=".D7.94.D7.99.D7.A1.D7.98.D7.95.D7.A8.D7.99.D7.94"></span>היסטוריה</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%95%D7%92_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)&action=edit&section=3" title="עריכת קוד המקור של הפרק: היסטוריה"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%95%D7%92_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)&veaction=edit&section=3" title="עריכת פסקה: "היסטוריה"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>הגדרה אקסיומטית ראשונה של חוג ניתנה בשנת <a href="/wiki/1914" title="1914">1914</a> על ידי <a href="/wiki/%D7%90%D7%91%D7%A8%D7%94%D7%9D_%D7%94%D7%9C%D7%95%D7%99_%D7%A4%D7%A8%D7%A0%D7%A7%D7%9C" title="אברהם הלוי פרנקל">אברהם הלוי פרנקל</a>,<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> בהשפעת הגישה האקסיומטית של שטייניץ ל<a href="/wiki/%D7%A9%D7%93%D7%94_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)" title="שדה (מבנה אלגברי)">שדות</a>, האסכולה האמריקאית של <a href="/w/index.php?title=%D7%90%D7%9C%D7%99%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%9D_%D7%94%D7%99%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%A0%D7%92%D7%A1_%D7%9E%D7%95%D7%A8&action=edit&redlink=1" class="new" title="אלייקים הייסטינגס מור (הדף אינו קיים)">א.ה. מור</a>, ובעיקר עבודתו תחת <a href="/wiki/%D7%A7%D7%95%D7%A8%D7%98_%D7%94%D7%A0%D7%96%D7%9C" title="קורט הנזל">קורט הנזל</a> על <a href="/wiki/%D7%A9%D7%93%D7%94_%D7%94%D7%9E%D7%A1%D7%A4%D7%A8%D7%99%D7%9D_%D7%94-p-%D7%90%D7%93%D7%99%D7%99%D7%9D" title="שדה המספרים ה-p-אדיים">שדה המספרים ה-p-אדיים</a>.<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> האקסיומות של פרנקל תארו מה שמוכר היום כחוג עם יחידה, שבו כל איבר רגולרי הוא הפיך ("<a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%95%D7%92_%D7%A7%D7%9C%D7%90%D7%A1%D7%99&action=edit&redlink=1" class="new" title="חוג קלאסי (הדף אינו קיים)">חוג קלאסי</a>"), וכך שלכל שני איברים <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/181523deba732fda302fd176275a0739121d3bc8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.261ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b}"></span> יש איברים רגולריים <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u,v}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>u</mi> <mo>,</mo> <mi>v</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u,v}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e66f4b32a0181923cc1337a5634f38241e5c697" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.491ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle u,v}"></span> כך ש-<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ab=bau=vba}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <mi>b</mi> <mi>a</mi> <mi>u</mi> <mo>=</mo> <mi>v</mi> <mi>b</mi> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ab=bau=vba}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dba00ba512780266ee2681d78407c86d93ab4edf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:15.336ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle ab=bau=vba}"></span>. ב-1921 פרסמה <a href="/wiki/%D7%90%D7%9E%D7%99_%D7%A0%D7%AA%D7%A8" title="אמי נתר">אמי נתר</a> מאמר פורץ דרך,<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> ובו נתנה את ההגדרה המקובלת כיום לחוג חילופי. אחד ההבדלים בין פרנקל לנתר הוא בשאלה האם נדרש איבר יחידה לכפל. פרנקל דרש זאת, ואילו נתר לא דרשה זאת. עד ל<a href="/wiki/%D7%A9%D7%A0%D7%95%D7%AA_%D7%94-60_%D7%A9%D7%9C_%D7%94%D7%9E%D7%90%D7%94_%D7%94-20" title="שנות ה-60 של המאה ה-20">שנות ה־60 של המאה ה־20</a> הייתה מקובלת במרבית ספרי האלגברה גישתה של נתר, אך החל ממועד זה הלכו והתרבו הספרים, בפרט ספרים מתקדמים מאת מחברים נודעים כ<a href="/wiki/%D7%90%D7%9E%D7%99%D7%9C_%D7%90%D7%A8%D7%98%D7%99%D7%9F" title="אמיל ארטין">אמיל ארטין</a>, <a href="/wiki/%D7%9E%D7%99%D7%99%D7%A7%D7%9C_%D7%A2%D7%98%D7%99%D7%94" title="מייקל עטיה">מייקל עטיה</a> ו<a href="/w/index.php?title=%D7%90%D7%99%D7%90%D7%9F_%D7%9E%D7%A7%D7%93%D7%95%D7%A0%D7%9C%D7%93&action=edit&redlink=1" class="new" title="איאן מקדונלד (הדף אינו קיים)">איאן מקדונלד</a>, <a href="/wiki/%D7%A0%D7%99%D7%A7%D7%95%D7%9C%D7%90_%D7%91%D7%95%D7%A8%D7%91%D7%90%D7%A7%D7%99" title="ניקולא בורבאקי">ניקולא בורבאקי</a> ו<a href="/w/index.php?title=%D7%A1%D7%A8%D7%96%27_%D7%9C%D7%90%D7%A0%D7%92&action=edit&redlink=1" class="new" title="סרז' לאנג (הדף אינו קיים)">סרז' לאנג</a>, שקיבלו את גישתו של פרנקל. עם זאת, עדיין נפוצים ספרים המתבססים על גישתה של נתר. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="הומומורפיזמים_ואידיאלים"><span id=".D7.94.D7.95.D7.9E.D7.95.D7.9E.D7.95.D7.A8.D7.A4.D7.99.D7.96.D7.9E.D7.99.D7.9D_.D7.95.D7.90.D7.99.D7.93.D7.99.D7.90.D7.9C.D7.99.D7.9D"></span>הומומורפיזמים ואידיאלים</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%95%D7%92_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)&action=edit&section=4" title="עריכת קוד המקור של הפרק: הומומורפיזמים ואידיאלים"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%95%D7%92_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)&veaction=edit&section=4" title="עריכת פסקה: "הומומורפיזמים ואידיאלים"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%94" title="פונקציה">פונקציה</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f:A\to B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f:A\to B}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20040a52d9391f2fe271f0aaa300bf7887a0c7b1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.337ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f:A\to B}"></span> מחוג לחוג היא "<a href="/wiki/%D7%94%D7%95%D7%9E%D7%95%D7%9E%D7%95%D7%A8%D7%A4%D7%99%D7%96%D7%9D" title="הומומורפיזם">הומומורפיזם</a> של חוגים", אם היא שומרת על החיבור והכפל ועל איבר היחידה. ה<a href="/wiki/%D7%92%D7%A8%D7%A2%D7%99%D7%9F_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)" class="mw-redirect" title="גרעין (מתמטיקה)">גרעין</a> של הומומורפיזם הוא <a href="/wiki/%D7%90%D7%99%D7%93%D7%99%D7%90%D7%9C_(%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%94)" title="אידיאל (אלגברה)">אידיאל</a> של החוג <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"></span>, ו"משפט האיזומורפיזם הראשון" קושר את החוגים שהומומורפיזם מגדיר באופן טבעי: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A/\ker(f)\cong {\text{Im}}(f)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>ker</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>Im</mtext> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A/\ker(f)\cong {\text{Im}}(f)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40bf89b69a80022b147bb41118243609d9c64e16" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.514ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A/\ker(f)\cong {\text{Im}}(f)}"></span>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="תת_חוגים"><span id=".D7.AA.D7.AA_.D7.97.D7.95.D7.92.D7.99.D7.9D"></span>תת חוגים</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%95%D7%92_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)&action=edit&section=5" title="עריכת קוד המקור של הפרק: תת חוגים"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%95%D7%92_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)&veaction=edit&section=5" title="עריכת פסקה: "תת חוגים"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>תת קבוצה של חוג <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S\subset R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>S</mi> <mo>⊂</mo> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S\subset R}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac4856f56f929a99358b6e20515b8b7396cc145f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.362ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S\subset R}"></span> שהיא חוג בפני עצמה, ביחס לאותן פעולות וקבועים, נקראת "תת-חוג". למשל, <a href="/wiki/%D7%97%D7%95%D7%92_%D7%94%D7%9E%D7%A1%D7%A4%D7%A8%D7%99%D7%9D_%D7%94%D7%A9%D7%9C%D7%9E%D7%99%D7%9D" title="חוג המספרים השלמים">חוג המספרים השלמים</a> הוא תת-חוג של <a href="/wiki/%D7%A9%D7%93%D7%94_%D7%94%D7%9E%D7%A1%D7%A4%D7%A8%D7%99%D7%9D_%D7%94%D7%A8%D7%A6%D7%99%D7%95%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%99%D7%9D" title="שדה המספרים הרציונליים">שדה המספרים הרציונליים</a> (המהווה <a href="/wiki/%D7%A9%D7%93%D7%94_%D7%A9%D7%91%D7%A8%D7%99%D7%9D" title="שדה שברים">שדה שברים</a> שלו). אפשר להגדיר גם תת-חוג-בלי-יחידה, שממנו אין דורשים להכיל איבר יחידה. לדוגמה, אוסף המספרים הזוגיים הוא תת-חוג-בלי-יחידה של חוג המספרים השלמים. לדוגמה, ה<b>מרכז</b> של חוג, הכולל על-פי ההגדרה את כל האיברים <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c\in R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>c</mi> <mo>∈</mo> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c\in R}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/480fab09d4a38ea5b5c7555a182fd85fcdf9ce55" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.612ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle c\in R}"></span> המקיימים <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c\cdot r=r\cdot c}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>c</mi> <mo>⋅</mo> <mi>r</mi> <mo>=</mo> <mi>r</mi> <mo>⋅</mo> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c\cdot r=r\cdot c}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c515fac888eb1c7d9c52dcb34fc33c55444c7f39" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.568ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c\cdot r=r\cdot c}"></span> לכל <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r\in R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> <mo>∈</mo> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r\in R}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca49c66b5e9b5f32249a737e4429c3df136c33f0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.653ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle r\in R}"></span>, הוא תת-חוג קומוטטיבי של החוג (אם כי יכולים להיות לחוג תת-חוגים קומוטטיביים גדולים יותר). </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="בניות_של_חוגים"><span id=".D7.91.D7.A0.D7.99.D7.95.D7.AA_.D7.A9.D7.9C_.D7.97.D7.95.D7.92.D7.99.D7.9D"></span>בניות של חוגים</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%95%D7%92_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)&action=edit&section=6" title="עריכת קוד המקור של הפרק: בניות של חוגים"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%95%D7%92_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)&veaction=edit&section=6" title="עריכת פסקה: "בניות של חוגים"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>תורת החוגים עשירה בדרכים לבנות חוגים חדשים. בין הפשוטות והמוכרות ביותר: </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="מכפלה"><span id=".D7.9E.D7.9B.D7.A4.D7.9C.D7.94"></span>מכפלה</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%95%D7%92_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)&action=edit&section=7" title="עריכת קוד המקור של הפרק: מכפלה"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%95%D7%92_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)&veaction=edit&section=7" title="עריכת פסקה: "מכפלה"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>המכפלה של שני חוגים <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R,S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> <mo>,</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R,S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/369b318eb1a5dcd7aceef09dd85d8641b3c1ac98" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.297ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle R,S}"></span>, היא <a href="/wiki/%D7%9E%D7%9B%D7%A4%D7%9C%D7%94_%D7%A7%D7%A8%D7%98%D7%96%D7%99%D7%AA" title="מכפלה קרטזית">מכפלה הקרטזית</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R\times S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> <mo>×</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R\times S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55c3ff61b6cca09ae2b3fb47ba9417b51d83b94e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.104ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R\times S}"></span> עם הפעולות על הרכיבים. <a href="/wiki/%D7%9E%D7%A9%D7%A4%D7%98_%D7%94%D7%A9%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%95%D7%AA_%D7%94%D7%A1%D7%99%D7%A0%D7%99" title="משפט השאריות הסיני">משפט השאריות הסיני</a> קובע כי ה<a href="/wiki/%D7%97%D7%95%D7%92_%D7%9E%D7%A0%D7%94" title="חוג מנה">מנה</a> של חוג נתון מעל מכפלת אידיאלים קו-מקסימליים שלו איזומורפית למכפלת המנות. </p><p>ביתר כלליות, ניתן להגדיר מכפלה של כל משפחת חוגים <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{R_{i}\}_{i\in I}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msub> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>∈</mo> <mi>I</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{R_{i}\}_{i\in I}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3529aeee3065c53fbf0acea4d91c1f40e3bd1b6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.613ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{R_{i}\}_{i\in I}}"></span> כקבוצה <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \prod _{i\in I}R_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mo>∏</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>∈</mo> <mi>I</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \prod _{i\in I}R_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3069e8701aa21bce21773ae6edb5efd67b30d808" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:5.92ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \prod _{i\in I}R_{i}}"></span> עם פעולות רכיב רכיב. מהמכפלה ניתן להגדיר הטלות <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bab39399bf5424f25d957cdc57c84a0622626d2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:2.059ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p_{i}}"></span> לכל אחד מהחוגים המשתתפים בה, אך אי אפשר לשכן אותם באופן טבעי במכפלה – ההעתקה המעבירה איבר לקואורדינטה המתאימה לו איננה הומומורפיזם, שכן איננה שומרת יחידה. המכפלה מקיימת את ה<a href="/wiki/%D7%AA%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%91%D7%A8%D7%A1%D7%9C%D7%99%D7%AA" class="mw-redirect" title="תכונה אוניברסלית">תכונה האוניברסלית</a> הבאה: אם <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}"></span> חוג כלשהו, ונתונות העתקות <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{f_{i}:R_{i}\to S\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>:</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>S</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{f_{i}:R_{i}\to S\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95e072b3094892305fc2f760f8eface1345b673e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.878ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{f_{i}:R_{i}\to S\}}"></span>, אז קיים ויחיד הומומורפיזם <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f:\prod _{i\in I}R_{i}\to S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <munder> <mo>∏</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>∈</mo> <mi>I</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f:\prod _{i\in I}R_{i}\to S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a3f576f39b9cc9fb30a49de12df3bdfbae6ca25" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:14.249ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle f:\prod _{i\in I}R_{i}\to S}"></span> המקיים <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{i}\circ f=f_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>∘</mo> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{i}\circ f=f_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4599098c2f99c89c28773f0972bc9216c25fd9de" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:10.569ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle p_{i}\circ f=f_{i}}"></span>. כלומר, כל הומומורפיזם מכל החוגים "עובר דרך" המכפלה. </p><p>במקרה של מכפלה סופית, יש התאמה מוחלטת בין ה<a href="/wiki/%D7%90%D7%99%D7%93%D7%99%D7%90%D7%9C_(%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%94)" title="אידיאל (אלגברה)">אידיאלים</a> של החוגים לאידיאלים של המכפלה - כל אידיאל של המכפלה הוא בהכרח מהצורה <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I_{1}\times \cdots \times I_{t}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>I</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>×</mo> <mo>⋯</mo> <mo>×</mo> <msub> <mi>I</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I_{1}\times \cdots \times I_{t}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2449858b34159ec0f95f06cee215da046f85e8dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.33ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle I_{1}\times \cdots \times I_{t}}"></span>, כאשר <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>I</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d896cad5ad71ce7719175ca29d4d109333d4c320" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.823ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle I_{i}}"></span> אידיאל של <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db421291be9d0103404ced7495b363437b67b6b1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.564ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle R_{i}}"></span>. במקרה האינסופי אין זה נכון (יש עוד אידיאלים). יש גם התאמה בין ה<a href="/wiki/%D7%A1%D7%A4%D7%A7%D7%98%D7%A8%D7%95%D7%9D_%D7%A9%D7%9C_%D7%97%D7%95%D7%92" title="ספקטרום של חוג">ספקטרום</a> של המכפלה הסופית לספקטרום של החוגים - אידיאל במכפלה הוא ראשוני אם ורק אם הוא מהצורה <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R_{1}\times \cdots \times R_{j-1}\times I_{j}\times R_{j+1}\times \cdots \times R_{t}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>×</mo> <mo>⋯</mo> <mo>×</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>×</mo> <msub> <mi>I</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>×</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>×</mo> <mo>⋯</mo> <mo>×</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R_{1}\times \cdots \times R_{j-1}\times I_{j}\times R_{j+1}\times \cdots \times R_{t}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4fec5361c451276139f3397d7009dfbd2c5dc43" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:39.378ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle R_{1}\times \cdots \times R_{j-1}\times I_{j}\times R_{j+1}\times \cdots \times R_{t}}"></span>, כאשר <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I_{j}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>I</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I_{j}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7cb04680c2246f78082e43ec912f72afe7af266" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:1.933ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle I_{j}}"></span> <a href="/wiki/%D7%90%D7%99%D7%93%D7%99%D7%90%D7%9C_%D7%A8%D7%90%D7%A9%D7%95%D7%A0%D7%99" title="אידיאל ראשוני">אידיאל ראשוני</a> של <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I_{j}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>I</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I_{j}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7cb04680c2246f78082e43ec912f72afe7af266" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:1.933ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle I_{j}}"></span>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="פולינומים"><span id=".D7.A4.D7.95.D7.9C.D7.99.D7.A0.D7.95.D7.9E.D7.99.D7.9D"></span>פולינומים</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%95%D7%92_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)&action=edit&section=8" title="עריכת קוד המקור של הפרק: פולינומים"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%95%D7%92_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)&veaction=edit&section=8" title="עריכת פסקה: "פולינומים"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <dl><dd><span typeof="mw:File"><span><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d0/Postscript-viewer-blue.svg/25px-Postscript-viewer-blue.svg.png" decoding="async" width="25" height="25" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d0/Postscript-viewer-blue.svg/38px-Postscript-viewer-blue.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d0/Postscript-viewer-blue.svg/50px-Postscript-viewer-blue.svg.png 2x" data-file-width="60" data-file-height="60" /></span></span> ערך מורחב – <b><a href="/wiki/%D7%97%D7%95%D7%92_%D7%A4%D7%95%D7%9C%D7%99%D7%A0%D7%95%D7%9E%D7%99%D7%9D" title="חוג פולינומים">חוג פולינומים</a></b><br /></dd></dl> <p>לכל חוג <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}"></span>, אוסף הפולינומים במשתנה בלתי תלוי <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"></span> עם מקדמים מ-<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}"></span> הוא חוג, ביחס לפעולות החיבור והכפל של פולינומים, המסומן <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R[x]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R[x]}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ce54622cb380383ab3a42441b056626ea0d2440" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.387ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle R[x]}"></span>. הוא מכיל את <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}"></span> כתת-חוג. את הבניה הזו אפשר להכליל למספר כלשהו של משתנים- לאו דווקא סופי או בן-מניה, אך הפולינומים סופיים. אם <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}"></span> הוא שדה, אז <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F[x]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F[x]}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39bc9f9d8679fc385df3bccf9694283b796f3216" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.364ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F[x]}"></span> הוא <a href="/wiki/%D7%97%D7%95%D7%92_%D7%90%D7%95%D7%A7%D7%9C%D7%99%D7%93%D7%99" title="חוג אוקלידי">חוג אוקלידי</a> ו<a href="/wiki/%D7%AA%D7%97%D7%95%D7%9D_%D7%A8%D7%90%D7%A9%D7%99" title="תחום ראשי">תחום ראשי</a>, וגם ההפך נכון. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="מנה"><span id=".D7.9E.D7.A0.D7.94"></span>מנה</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%95%D7%92_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)&action=edit&section=9" title="עריכת קוד המקור של הפרק: מנה"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%95%D7%92_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)&veaction=edit&section=9" title="עריכת פסקה: "מנה"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <dl><dd><span typeof="mw:File"><span><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d0/Postscript-viewer-blue.svg/25px-Postscript-viewer-blue.svg.png" decoding="async" width="25" height="25" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d0/Postscript-viewer-blue.svg/38px-Postscript-viewer-blue.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d0/Postscript-viewer-blue.svg/50px-Postscript-viewer-blue.svg.png 2x" data-file-width="60" data-file-height="60" /></span></span> ערך מורחב – <b><a href="/wiki/%D7%97%D7%95%D7%92_%D7%9E%D7%A0%D7%94" title="חוג מנה">חוג מנה</a></b><br /></dd></dl> <p>בהינתן חוג <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}"></span> ואידיאל (שמאלי) <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>I</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.172ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle I}"></span>, למנה <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R/I}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>I</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R/I}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0650c975ee7bf3b39ce3144a5de71179c40ee493" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.098ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle R/I}"></span> יש מבנה של חוג. בדרך זו אפשר לבנות חוגים רבים נוספים. לדוגמה, כל חוג קומוטטיבי הוא מנה של <a href="/wiki/%D7%97%D7%95%D7%92_%D7%A4%D7%95%D7%9C%D7%99%D7%A0%D7%95%D7%9E%D7%99%D7%9D" title="חוג פולינומים">חוג פולינומים</a> במספר (אולי אינסופי) משתנים מעל חוג השלמים <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/449494a083e0a1fda2b61c62b2f09b6bee4633dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.55ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} }"></span>. </p><p>חוגי מנה הם הבסיס בדרך להבנת <a href="/wiki/%D7%9E%D7%A9%D7%A4%D7%98%D7%99_%D7%94%D7%90%D7%99%D7%96%D7%95%D7%9E%D7%95%D7%A8%D7%A4%D7%99%D7%96%D7%9D" title="משפטי האיזומורפיזם">משפטי האיזומורפיזם</a> של חוגים, ויש להם תפקיד בסיסי ומרכזי בתאוריה. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="מטריצות"><span id=".D7.9E.D7.98.D7.A8.D7.99.D7.A6.D7.95.D7.AA"></span>מטריצות</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%95%D7%92_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)&action=edit&section=10" title="עריכת קוד המקור של הפרק: מטריצות"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%95%D7%92_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)&veaction=edit&section=10" title="עריכת פסקה: "מטריצות"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <dl><dd><span typeof="mw:File"><span><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d0/Postscript-viewer-blue.svg/25px-Postscript-viewer-blue.svg.png" decoding="async" width="25" height="25" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d0/Postscript-viewer-blue.svg/38px-Postscript-viewer-blue.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d0/Postscript-viewer-blue.svg/50px-Postscript-viewer-blue.svg.png 2x" data-file-width="60" data-file-height="60" /></span></span> ערך מורחב – <b><a href="/wiki/%D7%97%D7%95%D7%92_%D7%9E%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%A6%D7%95%D7%AA" title="חוג מטריצות">חוג מטריצות</a></b><br /></dd></dl> <p><a href="/wiki/%D7%97%D7%95%D7%92_%D7%9E%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%A6%D7%95%D7%AA" title="חוג מטריצות">חוג מטריצות</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\text{M}}_{n}(R)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>M</mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>R</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\text{M}}_{n}(R)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e14be22a9a69b4f5b39dc6bea99c37c36457ced3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.923ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\text{M}}_{n}(R)}"></span> מורכב מן המטריצות מסדר <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span> שרכיביהן שייכים ל-<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}"></span>, יחד עם פעולות החיבור רכיב-רכיב וכפל המטריצות, המושרות מפעולות החוג. גם כאן, אפשר לזהות את <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}"></span> עם תת-החוג הכולל את המטריצות הסקלריות. החוג הזה לעולם אינו קומוטטיבי (אלא אם <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9ec7e1edc2e6d98f5aec2a39ae5f1c99d1e1425" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n=1}"></span>), איננו חוג עם חילוק ואף בעל <a href="/wiki/%D7%90%D7%99%D7%91%D7%A8_%D7%A0%D7%99%D7%9C%D7%A4%D7%95%D7%98%D7%A0%D7%98%D7%99" title="איבר נילפוטנטי">נילפוטנטים</a>. יש התאמה מלאה בין האידיאלים של <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}"></span> לאידיאלים של חוג המטריצות מעליו, ולכן, כאשר <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}"></span> <a href="/wiki/%D7%97%D7%95%D7%92_%D7%A4%D7%A9%D7%95%D7%98" title="חוג פשוט">חוג פשוט</a>, גם החוג <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\text{M}}_{n}(R)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>M</mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>R</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\text{M}}_{n}(R)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e14be22a9a69b4f5b39dc6bea99c37c36457ced3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.923ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\text{M}}_{n}(R)}"></span> פשוט. אם <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}"></span> הוא <a href="/wiki/%D7%97%D7%95%D7%92_%D7%A2%D7%9D_%D7%97%D7%99%D7%9C%D7%95%D7%A7" title="חוג עם חילוק">חוג עם חילוק</a>, אז חוג מטריצות מעליו הוא <a href="/wiki/%D7%97%D7%95%D7%92_%D7%90%D7%A8%D7%98%D7%99%D7%A0%D7%99" title="חוג ארטיני">ארטיני</a> ופשוט. ההפך נכון לפי <a href="/wiki/%D7%9E%D7%A9%D7%A4%D7%98_%D7%95%D7%93%D7%A8%D7%91%D7%A8%D7%9F-%D7%90%D7%A8%D7%98%D7%99%D7%9F" title="משפט ודרברן-ארטין">משפט ודרברן-ארטין</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="דוגמאות"><span id=".D7.93.D7.95.D7.92.D7.9E.D7.90.D7.95.D7.AA"></span>דוגמאות</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%95%D7%92_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)&action=edit&section=11" title="עריכת קוד המקור של הפרק: דוגמאות"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%95%D7%92_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)&veaction=edit&section=11" title="עריכת פסקה: "דוגמאות"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>כל <a href="/wiki/%D7%A9%D7%93%D7%94_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)" title="שדה (מבנה אלגברי)">שדה</a> הוא חוג קומוטטיבי עם יחידה.</li> <li><a href="/wiki/%D7%97%D7%95%D7%92_%D7%94%D7%9E%D7%A1%D7%A4%D7%A8%D7%99%D7%9D_%D7%94%D7%A9%D7%9C%D7%9E%D7%99%D7%9D" title="חוג המספרים השלמים">חוג המספרים השלמים</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/449494a083e0a1fda2b61c62b2f09b6bee4633dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.55ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} }"></span> הוא חוג קומוטטיבי. זהו <a href="/wiki/%D7%AA%D7%97%D7%95%D7%9D_%D7%A9%D7%9C%D7%9E%D7%95%D7%AA" title="תחום שלמות">תחום שלמות</a> <a href="/wiki/%D7%97%D7%95%D7%92_%D7%90%D7%95%D7%A7%D7%9C%D7%99%D7%93%D7%99" title="חוג אוקלידי">אוקלידי</a>. חוג השלמים הוא חוג קומוטטיבי בסיסי ביותר, המהווה דוגמה ומוטיבציה להגדרות רבות בתורת החוגים, כמו ב<a href="/wiki/%D7%AA%D7%95%D7%A8%D7%AA_%D7%94%D7%9E%D7%A1%D7%A4%D7%A8%D7%99%D7%9D_%D7%94%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99%D7%AA" title="תורת המספרים האלגברית">תורת המספרים האלגברית</a>.</li> <li><a href="/wiki/%D7%97%D7%95%D7%92_%D7%94%D7%A9%D7%9C%D7%9E%D7%99%D7%9D_%D7%A9%D7%9C_%D7%92%D7%90%D7%95%D7%A1" title="חוג השלמים של גאוס">חוג השלמים של גאוס</a> מהווה אף הוא חוג קומוטטיבי עם יחידה.</li> <li>אוסף ה<a href="/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%94_%D7%9E%D7%9E%D7%A9%D7%99%D7%AA" title="פונקציה ממשית">פונקציות הממשיות</a>, עם חיבור וכפל של פונקציות, מהווה חוג חילופי. איבר בו הוא הפיך אם ורק אם איננו מתאפס (כפונקציה). אוסף ה<a href="/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%94_%D7%A8%D7%A6%D7%99%D7%A4%D7%94_(%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94)" title="פונקציה רציפה (אנליזה)">פונקציות הממשיות הרציפות</a> גם הוא חוג, המהווה תת-חוג של אוסף הפונקציות.</li> <li><a href="/wiki/%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%AA_%D7%94%D7%A7%D7%95%D7%95%D7%98%D7%A8%D7%A0%D7%99%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%9D_%D7%A9%D7%9C_%D7%94%D7%9E%D7%99%D7%9C%D7%98%D7%95%D7%9F" title="אלגברת הקווטרניונים של המילטון">אלגברת הקווטרניונים של המילטון</a> היא הדוגמה הבסיסית ביותר ל<a href="/wiki/%D7%97%D7%95%D7%92_%D7%A2%D7%9D_%D7%97%D7%99%D7%9C%D7%95%D7%A7" title="חוג עם חילוק">חוג עם חילוק</a> (שאיננו קומוטטיבי). באופן כללי, כל אלגברה עם חילוק מממד 4 מעל שדה כלשהו היא <a href="/wiki/%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%AA_%D7%A7%D7%95%D7%95%D7%98%D7%A8%D7%A0%D7%99%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%9D" title="אלגברת קווטרניונים">אלגברת קווטרניונים</a>.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="תורת_המבנה"><span id=".D7.AA.D7.95.D7.A8.D7.AA_.D7.94.D7.9E.D7.91.D7.A0.D7.94"></span>תורת המבנה</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%95%D7%92_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)&action=edit&section=12" title="עריכת קוד המקור של הפרק: תורת המבנה"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%95%D7%92_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)&veaction=edit&section=12" title="עריכת פסקה: "תורת המבנה"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>תורת המבנה של החוגים האסוציאטיביים התפתחה באינטנסיביות במהלך המאה ה-20, עם קפיצות מדרגה בשנות ה-30 (פיתוח תורת ה<a href="/wiki/%D7%A8%D7%93%D7%99%D7%A7%D7%9C_(%D7%AA%D7%95%D7%A8%D7%AA_%D7%94%D7%97%D7%95%D7%92%D7%99%D7%9D)" title="רדיקל (תורת החוגים)">רדיקלים</a>) ושנות ה-60 (<a href="/w/index.php?title=%D7%9E%D7%A9%D7%A4%D7%98_%D7%92%D7%95%D7%9C%D7%93%D7%99&action=edit&redlink=1" class="new" title="משפט גולדי (הדף אינו קיים)">משפטי גולדי</a>). כיום מזוהים בספרות המקצועית מאות משפחות של חוגים, שביניהן אפשר למנות: חוגים <a href="/wiki/%D7%97%D7%95%D7%92_%D7%90%D7%A8%D7%98%D7%99%D7%A0%D7%99" title="חוג ארטיני">ארטיניים</a>, <a href="/wiki/%D7%97%D7%95%D7%92_%D7%A0%D7%AA%D7%A8%D7%99" title="חוג נתרי">נתריים</a>, <a href="/wiki/%D7%97%D7%95%D7%92_%D7%A8%D7%90%D7%A9%D7%95%D7%A0%D7%99" title="חוג ראשוני">ראשוניים</a>, <a href="/wiki/%D7%97%D7%95%D7%92_%D7%A4%D7%A8%D7%99%D7%9E%D7%99%D7%98%D7%99%D7%91%D7%99" title="חוג פרימיטיבי">פרימיטיביים</a> ו<a href="/wiki/%D7%97%D7%95%D7%92_%D7%A4%D7%A9%D7%95%D7%98" title="חוג פשוט">פשוטים</a>, <a href="/wiki/%D7%AA%D7%97%D7%95%D7%9D_%D7%A9%D7%9C%D7%9E%D7%95%D7%AA" title="תחום שלמות">תחומי שלמות</a>, ועוד רבים אחרים. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="ראו_גם"><span id=".D7.A8.D7.90.D7.95_.D7.92.D7.9D"></span>ראו גם</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%95%D7%92_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)&action=edit&section=13" title="עריכת קוד המקור של הפרק: ראו גם"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%95%D7%92_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)&veaction=edit&section=13" title="עריכת פסקה: "ראו גם"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/%D7%9E%D7%95%D7%93%D7%95%D7%9C_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)" title="מודול (מבנה אלגברי)">מודול</a></li> <li><a href="/wiki/%D7%94%D7%A8%D7%97%D7%91%D7%AA_%D7%97%D7%95%D7%92" title="הרחבת חוג">הרחבת חוג</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="קישורים_חיצוניים"><span id=".D7.A7.D7.99.D7.A9.D7.95.D7.A8.D7.99.D7.9D_.D7.97.D7.99.D7.A6.D7.95.D7.A0.D7.99.D7.99.D7.9D"></span>קישורים חיצוניים</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%95%D7%92_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)&action=edit&section=14" title="עריכת קוד המקור של הפרק: קישורים חיצוניים"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%95%D7%92_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)&veaction=edit&section=14" title="עריכת פסקה: "קישורים חיצוניים"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathworld.wolfram.com/Ring.html">חוג</a>, באתר <a href="/wiki/MathWorld" title="MathWorld">MathWorld</a> <span dir="rtl" class="languageicon">(באנגלית)</span><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r36549940">.mw-parser-output .languageicon{font-size:0.95em;font-weight:bold;color:#555}</style></li> <li><a href="/wiki/%D7%9C%D7%99%D7%90%D7%95_%D7%A7%D7%95%D7%A8%D7%99" title="ליאו קורי">Leo Corry</a>, "<a rel="nofollow" class="external text" href="https://projecteuclid.org/journals/modern-logic/volume-8/issue-1-2/The-origins-of-the-definition-of-abstract-rings/rml/1081878062.pdf">The Origins of the Definition of Abstract Rings</a>", Gazette des Mathématiciens, 83 (Janvier 2000), 28-47. (Reprint: Modern Logic, 8 (1-2), 1998-2000: 5-27.)</li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.britannica.com/topic/ring-mathematics,">topic/ring-with-unity חוג</a>, באתר <a href="/wiki/%D7%90%D7%A0%D7%A6%D7%99%D7%A7%D7%9C%D7%95%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94_%D7%91%D7%A8%D7%99%D7%98%D7%A0%D7%99%D7%A7%D7%94" title="אנציקלופדיה בריטניקה">אנציקלופדיה בריטניקה</a> <span dir="rtl" class="languageicon">(באנגלית)</span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r36549940"></li> <li><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:National_Library_IL_logo.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/df/National_Library_IL_logo.svg/20px-National_Library_IL_logo.svg.png" decoding="async" width="20" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/df/National_Library_IL_logo.svg/30px-National_Library_IL_logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/df/National_Library_IL_logo.svg/40px-National_Library_IL_logo.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="397" /></a></span> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.nli.org.il/he/a-topic/987007538867405171">חוגים (אלגברה)</a>, דף שער ב<a href="/wiki/%D7%94%D7%A1%D7%A4%D7%A8%D7%99%D7%99%D7%94_%D7%94%D7%9C%D7%90%D7%95%D7%9E%D7%99%D7%AA" title="הספרייה הלאומית">ספרייה הלאומית</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="הערות_שוליים"><span id=".D7.94.D7.A2.D7.A8.D7.95.D7.AA_.D7.A9.D7.95.D7.9C.D7.99.D7.99.D7.9D"></span>הערות שוליים</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%95%D7%92_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)&action=edit&section=15" title="עריכת קוד המקור של הפרק: הערות שוליים"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%95%D7%92_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)&veaction=edit&section=15" title="עריכת פסקה: "הערות שוליים"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div dir="ltr" class="reflist references-small" style="overflow: auto"> <div class="mw-references-wrap"><ol class="references"> <li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">^</a></span> <span class="reference-text">Fraenkel, A. (1914). "Über die Teiler der Null und die Zerlegung von Ringen". J. reine angew. Math. 145: 139–176.</span> </li> <li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">^</a></span> <span class="reference-text"><a href="/wiki/%D7%9C%D7%99%D7%90%D7%95_%D7%A7%D7%95%D7%A8%D7%99" title="ליאו קורי">ליאו קורי</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.rml/1081878062">The Origins of the definition of abstract rings</a></span> </li> <li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">^</a></span> <span class="reference-text">Noether, Emmy (1921). "Idealtheorie in Ringbereichen". Math. Annalen 83: 24–66.</span> </li> </ol></div></div> <p><br /> </p> <table class="navbox nowraplinks" style="width: 90%; clear: both; margin: 0.5em auto; margin-top: 0.5em; margin-bottom: 0.5em; padding: 0.2em; text-align: right;"> <tbody><tr> <th colspan="3" style="text-align: center; padding-top: 0.1em; padding-bottom: 0.1em; color: black; background:#d1eeee; font-weight: bold;"><a href="/wiki/%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%94_%D7%9E%D7%95%D7%A4%D7%A9%D7%98%D7%AA" title="אלגברה מופשטת">אלגברה מופשטת</a> </th></tr> <tr> <td style="background-color: #F2F3F4; text-align: right; font-weight: bold; padding-left: 5px;">ענפים </td> <td style="padding-right: 5px; text-align: right;"><a href="/wiki/%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%94_%D7%9C%D7%99%D7%A0%D7%99%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%AA" title="אלגברה ליניארית">אלגברה ליניארית</a> • <a href="/wiki/%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%94_%D7%91%D7%95%D7%9C%D7%99%D7%90%D7%A0%D7%99%D7%AA" title="אלגברה בוליאנית">אלגברה בוליאנית</a> • <a href="/wiki/%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%94_%D7%93%D7%99%D7%A4%D7%A8%D7%A0%D7%A6%D7%99%D7%90%D7%9C%D7%99%D7%AA" title="אלגברה דיפרנציאלית">אלגברה דיפרנציאלית</a> • <a href="/wiki/%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%94_%D7%94%D7%95%D7%9E%D7%95%D7%9C%D7%95%D7%92%D7%99%D7%AA" title="אלגברה הומולוגית">אלגברה הומולוגית</a> • <a href="/wiki/%D7%92%D7%90%D7%95%D7%9E%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99%D7%AA" title="גאומטריה אלגברית">גאומטריה אלגברית</a> • <a href="/wiki/%D7%98%D7%95%D7%A4%D7%95%D7%9C%D7%95%D7%92%D7%99%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99%D7%AA" title="טופולוגיה אלגברית">טופולוגיה אלגברית</a> • <a href="/wiki/%D7%AA%D7%95%D7%A8%D7%AA_%D7%92%D7%9C%D7%95%D7%90%D7%94" title="תורת גלואה">תורת גלואה</a> • <a href="/wiki/%D7%AA%D7%95%D7%A8%D7%AA_%D7%94%D7%97%D7%91%D7%95%D7%A8%D7%95%D7%AA" title="תורת החבורות">תורת החבורות</a> • <a href="/wiki/%D7%AA%D7%95%D7%A8%D7%AA_%D7%94%D7%97%D7%95%D7%92%D7%99%D7%9D" title="תורת החוגים">תורת החוגים</a> • <a href="/wiki/%D7%AA%D7%95%D7%A8%D7%AA_%D7%94%D7%9E%D7%A1%D7%A4%D7%A8%D7%99%D7%9D_%D7%94%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99%D7%AA" title="תורת המספרים האלגברית">תורת המספרים האלגברית</a> • <a href="/wiki/%D7%AA%D7%95%D7%A8%D7%AA_%D7%94%D7%A7%D7%98%D7%92%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%95%D7%AA" title="תורת הקטגוריות">תורת הקטגוריות</a> • <a href="/w/index.php?title=%D7%AA%D7%95%D7%A8%D7%AA_%D7%94%D7%A9%D7%93%D7%95%D7%AA&action=edit&redlink=1" class="new" title="תורת השדות (הדף אינו קיים)">תורת השדות</a> </td></tr> <tr> <td style="background-color: #F2F3F4; text-align: right; font-weight: bold; padding-left: 5px;"><a href="/wiki/%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99" title="מבנה אלגברי">מבנים אלגבריים</a> </td> <td style="padding-right: 5px; text-align: right;"><a href="/wiki/%D7%9E%D7%90%D7%92%D7%9E%D7%94_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)" title="מאגמה (מבנה אלגברי)">מאגמה</a> • <a href="/wiki/%D7%97%D7%91%D7%95%D7%A8%D7%94_%D7%9C%D7%9E%D7%97%D7%A6%D7%94" title="חבורה למחצה">חבורה למחצה</a> • <a href="/wiki/%D7%9E%D7%95%D7%A0%D7%95%D7%90%D7%99%D7%93_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)" title="מונואיד (מבנה אלגברי)">מונואיד</a> • <a href="/wiki/%D7%97%D7%91%D7%95%D7%A8%D7%94_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)" title="חבורה (מבנה אלגברי)">חבורה</a> • <a href="/wiki/%D7%97%D7%91%D7%95%D7%A8%D7%94_%D7%90%D7%91%D7%9C%D7%99%D7%AA" title="חבורה אבלית">חבורה אַבּלִית</a> • <a class="mw-selflink selflink">חוג</a> • <a href="/wiki/%D7%AA%D7%97%D7%95%D7%9D_%D7%A9%D7%9C%D7%9E%D7%95%D7%AA" title="תחום שלמות">תחום שלמות</a> • <a href="/wiki/%D7%A9%D7%93%D7%94_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)" title="שדה (מבנה אלגברי)">שדה</a> • <a href="/wiki/%D7%9E%D7%95%D7%93%D7%95%D7%9C_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)" title="מודול (מבנה אלגברי)">מודול</a> • <a href="/wiki/%D7%9E%D7%A8%D7%97%D7%91_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99" title="מרחב וקטורי">מרחב וקטורי</a> • <a href="/wiki/%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%94_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)" title="אלגברה (מבנה אלגברי)">אלגברה (מבנה אלגברי)</a> • <a href="/wiki/%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%AA_%D7%9C%D7%99" title="אלגברת לי">אלגברת לי</a> • <a href="/wiki/%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%AA_%D7%94%D7%A7%D7%95%D7%95%D7%98%D7%A8%D7%A0%D7%99%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%9D_%D7%A9%D7%9C_%D7%94%D7%9E%D7%99%D7%9C%D7%98%D7%95%D7%9F" title="אלגברת הקווטרניונים של המילטון">אלגברת הקווטרניונים של המילטון</a> • <a href="/wiki/%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%94_%D7%9C%D7%90_%D7%90%D7%A1%D7%95%D7%A6%D7%99%D7%90%D7%98%D7%99%D7%91%D7%99%D7%AA" title="אלגברה לא אסוציאטיבית">אלגברה לא אסוציאטיבית</a> </td></tr> <tr> <td style="background-color: #F2F3F4; text-align: right; font-weight: bold; padding-left: 5px;">מושגי יסוד </td> <td style="padding-right: 5px; text-align: right;"><a href="/wiki/%D7%94%D7%95%D7%9E%D7%95%D7%9E%D7%95%D7%A8%D7%A4%D7%99%D7%96%D7%9D" title="הומומורפיזם">הומומורפיזם</a> • <a href="/wiki/%D7%9E%D7%A9%D7%A4%D7%98%D7%99_%D7%94%D7%90%D7%99%D7%96%D7%95%D7%9E%D7%95%D7%A8%D7%A4%D7%99%D7%96%D7%9D" title="משפטי האיזומורפיזם">משפטי האיזומורפיזם</a> • <a href="/wiki/%D7%AA%D7%AA-%D7%97%D7%91%D7%95%D7%A8%D7%94_%D7%A0%D7%95%D7%A8%D7%9E%D7%9C%D7%99%D7%AA" title="תת-חבורה נורמלית">תת-חבורה נורמלית</a> • <a href="/wiki/%D7%90%D7%99%D7%93%D7%99%D7%90%D7%9C_(%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%94)" title="אידיאל (אלגברה)">אידיאל</a> • <a href="/wiki/%D7%9C%D7%95%D7%A7%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%A6%D7%99%D7%94_(%D7%AA%D7%95%D7%A8%D7%AA_%D7%94%D7%97%D7%95%D7%92%D7%99%D7%9D)" title="לוקליזציה (תורת החוגים)">לוקליזציה</a> • <a href="/wiki/%D7%9E%D7%9B%D7%A4%D7%9C%D7%94_%D7%98%D7%A0%D7%96%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA" title="מכפלה טנזורית">מכפלה טנזורית</a> • <a href="/wiki/%D7%94%D7%A6%D7%92%D7%94_%D7%9C%D7%99%D7%A0%D7%99%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%AA" title="הצגה ליניארית">הצגה ליניארית</a> </td></tr> </tbody></table> <div role="navigation" class="navbox authority-control" aria-labelledby="בקרת_זהויות_15px&#124;link=https&#58;//www.wikidata.org/wiki/Q161172?uselang=he&#124;עריכת_הנתון_בוויקינתונים" style="padding:3px"><table class="nowraplinks hlist navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th id="בקרת_זהויות_15px&#124;link=https&#58;//www.wikidata.org/wiki/Q161172?uselang=he&#124;עריכת_הנתון_בוויקינתונים" scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%D7%A2%D7%96%D7%A8%D7%94:%D7%91%D7%A7%D7%A8%D7%AA_%D7%96%D7%94%D7%95%D7%99%D7%95%D7%AA" title="עזרה:בקרת זהויות">בקרת זהויות</a> <span typeof="mw:File"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q161172?uselang=he" title="עריכת הנתון בוויקינתונים"><img alt="עריכת הנתון בוויקינתונים" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5e/Blue_pencil_RTL.svg/15px-Blue_pencil_RTL.svg.png" decoding="async" width="15" height="15" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5e/Blue_pencil_RTL.svg/23px-Blue_pencil_RTL.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5e/Blue_pencil_RTL.svg/30px-Blue_pencil_RTL.svg.png 2x" data-file-width="600" data-file-height="600" /></a></span></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-right-width:2px;border-right-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"><div dir="ltr"> <ul><li><span class="nowrap"><a href="/wiki/%D7%94%D7%A1%D7%A4%D7%A8%D7%99%D7%99%D7%94_%D7%94%D7%9C%D7%90%D7%95%D7%9E%D7%99%D7%AA" title="הספרייה הלאומית">NLI</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://olduli.nli.org.il/F/?func=find-b&local_base=NLX10&find_code=UID&request=987007538867405171">987007538867405171</a></span></span></li> <li><span class="nowrap"><a href="/wiki/%D7%94%D7%A1%D7%A4%D7%A8%D7%99%D7%99%D7%94_%D7%94%D7%9C%D7%90%D7%95%D7%9E%D7%99%D7%AA_%D7%A9%D7%9C_%D7%A1%D7%A4%D7%A8%D7%93" title="הספרייה הלאומית של ספרד">BNE</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://catalogo.bne.es/uhtbin/authoritybrowse.cgi?action=display&authority_id=XX531097">XX531097</a></span></span></li> <li><span class="nowrap"><a href="/wiki/%D7%94%D7%A1%D7%A4%D7%A8%D7%99%D7%99%D7%94_%D7%94%D7%9C%D7%90%D7%95%D7%9E%D7%99%D7%AA_%D7%A9%D7%9C_%D7%A6%D7%A8%D7%A4%D7%AA" title="הספרייה הלאומית של צרפת">BnF</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb131630283">cb131630283</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://data.bnf.fr/ark:/12148/cb131630283">(data)</a></span></span></li> <li><span class="nowrap"><a href="/wiki/%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5_%D7%91%D7%A7%D7%A8%D7%94_%D7%9E%D7%A9%D7%95%D7%9C%D7%91" title="קובץ בקרה משולב">GND</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4128084-2">4128084-2</a></span></span></li> <li><span class="nowrap"><a href="/wiki/%D7%A9%D7%99%D7%98%D7%AA_%D7%A1%D7%A4%D7%A8%D7%99%D7%99%D7%AA_%D7%94%D7%A7%D7%95%D7%A0%D7%92%D7%A8%D7%A1" title="שיטת ספריית הקונגרס">LCCN</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.loc.gov/authorities/subjects/sh85114140">sh85114140</a></span></span></li> <li><span class="nowrap"><a href="/wiki/%D7%94%D7%A1%D7%A4%D7%A8%D7%99%D7%99%D7%94_%D7%94%D7%9C%D7%90%D7%95%D7%9E%D7%99%D7%AA_%D7%A9%D7%9C_%D7%A6%27%D7%9B%D7%99%D7%94" title="הספרייה הלאומית של צ'כיה">NKC</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://aleph.nkp.cz/F/?func=find-c&local_base=aut&ccl_term=ica=ph126754&CON_LNG=ENG">ph126754</a></span></span></li></ul> </div></div></td></tr></tbody></table></div>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">אוחזר מתוך "<a dir="ltr" href="https://he.wikipedia.org/w/index.php?title=חוג_(מבנה_אלגברי)&oldid=39041759">https://he.wikipedia.org/w/index.php?title=חוג_(מבנה_אלגברי)&oldid=39041759</a>"</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94:%D7%A7%D7%98%D7%92%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%94" title="ויקיפדיה:קטגוריה">קטגוריות</a>: <ul><li><a href="/wiki/%D7%A7%D7%98%D7%92%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%94:%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%99%D7%9D_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99%D7%99%D7%9D" title="קטגוריה:מבנים אלגבריים">מבנים אלגבריים</a></li><li><a href="/wiki/%D7%A7%D7%98%D7%92%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%94:%D7%AA%D7%95%D7%A8%D7%AA_%D7%94%D7%97%D7%95%D7%92%D7%99%D7%9D" title="קטגוריה:תורת החוגים">תורת החוגים</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">קטגוריות מוסתרות: <ul><li><a href="/wiki/%D7%A7%D7%98%D7%92%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%94:%D7%A2%D7%A8%D7%9B%D7%99%D7%9D_%D7%A2%D7%9D_%D7%AA%D7%91%D7%A0%D7%99%D7%AA_%D7%91%D7%A8%D7%99%D7%98%D7%A0%D7%99%D7%A7%D7%94" title="קטגוריה:ערכים עם תבנית בריטניקה">ערכים עם תבנית בריטניקה</a></li><li><a href="/wiki/%D7%A7%D7%98%D7%92%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%94:%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94:_%D7%A2%D7%A8%D7%9B%D7%99%D7%9D_%D7%A2%D7%9D_%D7%9E%D7%96%D7%94%D7%94_J9U" title="קטגוריה:ויקיפדיה: ערכים עם מזהה J9U">ויקיפדיה: ערכים עם מזהה J9U</a></li><li><a href="/wiki/%D7%A7%D7%98%D7%92%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%94:%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94:_%D7%A2%D7%A8%D7%9B%D7%99%D7%9D_%D7%A2%D7%9D_%D7%9E%D7%96%D7%94%D7%94_BNE" title="קטגוריה:ויקיפדיה: ערכים עם מזהה BNE">ויקיפדיה: ערכים עם מזהה BNE</a></li><li><a href="/wiki/%D7%A7%D7%98%D7%92%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%94:%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94:_%D7%A2%D7%A8%D7%9B%D7%99%D7%9D_%D7%A2%D7%9D_%D7%9E%D7%96%D7%94%D7%94_BNF" title="קטגוריה:ויקיפדיה: ערכים עם מזהה BNF">ויקיפדיה: ערכים עם מזהה BNF</a></li><li><a href="/wiki/%D7%A7%D7%98%D7%92%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%94:%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94:_%D7%A2%D7%A8%D7%9B%D7%99%D7%9D_%D7%A2%D7%9D_%D7%9E%D7%96%D7%94%D7%94_GND" title="קטגוריה:ויקיפדיה: ערכים עם מזהה GND">ויקיפדיה: ערכים עם מזהה GND</a></li><li><a href="/wiki/%D7%A7%D7%98%D7%92%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%94:%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94:_%D7%A2%D7%A8%D7%9B%D7%99%D7%9D_%D7%A2%D7%9D_%D7%9E%D7%96%D7%94%D7%94_LCCN" title="קטגוריה:ויקיפדיה: ערכים עם מזהה LCCN">ויקיפדיה: ערכים עם מזהה LCCN</a></li><li><a href="/wiki/%D7%A7%D7%98%D7%92%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%94:%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94:_%D7%A2%D7%A8%D7%9B%D7%99%D7%9D_%D7%A2%D7%9D_%D7%9E%D7%96%D7%94%D7%94_NKC" title="קטגוריה:ויקיפדיה: ערכים עם מזהה NKC">ויקיפדיה: ערכים עם מזהה NKC</a></li></ul></div></div> </div> </main> <div id='mw-data-after-content'> <div class="read-more-container"></div> </div> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> דף זה נערך לאחרונה ב־16 ביולי 2024, בשעה 19:50.</li> <li id="footer-info-copyright">הטקסט מוגש בכפוף לרישיון <a rel="nofollow" class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.he">Creative Commons ייחוס-שיתוף זהה 4.0</a>; ייתכן שישנם תנאים נוספים. ר׳ את <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Terms_of_Use">תנאי השימוש</a> לפרטים.</li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy">מדיניות פרטיות</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94:%D7%90%D7%95%D7%93%D7%95%D7%AA">אודות ויקיפדיה</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94:%D7%94%D7%91%D7%94%D7%A8%D7%95%D7%AA_%D7%9E%D7%A9%D7%A4%D7%98%D7%99%D7%95%D7%AA">הבהרות משפטיות</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">קוד התנהגות</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">מפתחים</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/he.wikipedia.org">סטטיסטיקות</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">הצהרה על עוגיות</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//he.m.wikipedia.org/w/index.php?title=%D7%97%D7%95%D7%92_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">תצוגת מכשירים ניידים</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> </div> </div> </div> <div class="vector-settings" id="p-dock-bottom"> <ul></ul> </div><script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-694cf4987f-hvrjm","wgBackendResponseTime":155,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.176","walltime":"0.353","ppvisitednodes":{"value":1142,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":16347,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":4990,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":10,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":11,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":0,"limit":20},"unstrip-size":{"value":3664,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":1,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 176.650 1 -total"," 31.92% 56.386 1 תבנית:MathWorld"," 19.17% 33.871 1 תבנית:אלגברה_מופשטת"," 14.95% 26.402 1 תבנית:מילה_ראשונה"," 14.44% 25.504 3 תבנית:הערה"," 13.95% 24.643 4 תבנית:ויקינתונים"," 12.48% 22.046 1 תבנית:בקרת_זהויות"," 10.65% 18.810 3 תבנית:ערך_מורחב"," 7.84% 13.853 1 תבנית:ניווט_קבוצות"," 7.25% 12.802 2 תבנית:אנגלית"]},"scribunto":{"limitreport-timeusage":{"value":"0.044","limit":"10.000"},"limitreport-memusage":{"value":1707343,"limit":52428800}},"cachereport":{"origin":"mw-web.eqiad.main-7f58d5dcf5-kt2l6","timestamp":"20241111080435","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"\u05d7\u05d5\u05d2 (\u05de\u05d1\u05e0\u05d4 \u05d0\u05dc\u05d2\u05d1\u05e8\u05d9)","url":"https:\/\/he.wikipedia.org\/wiki\/%D7%97%D7%95%D7%92_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q161172","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q161172","author":{"@type":"Organization","name":"\u05ea\u05d5\u05e8\u05de\u05d9\u05dd \u05dc\u05de\u05d9\u05d6\u05de\u05d9 \u05d5\u05d9\u05e7\u05d9\u05de\u05d3\u05d9\u05d4"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Wikimedia Foundation, Inc.","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2004-01-25T15:55:02Z","dateModified":"2024-07-16T17:50:51Z"}</script> </body> </html>