Hermitesche Funktion

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs" lang="de" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Hermitesche Funktion – Wikipedia</title> <script>(function(){var className="client-js";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )dewikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t.",".\t,"],"wgDigitTransformTable":["",""],"wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","Januar","Februar","März","April","Mai","Juni","Juli","August","September","Oktober","November","Dezember"],"wgRequestId":"500542ae-14c2-4915-8a4e-b2519d9e5ab0","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Hermitesche_Funktion","wgTitle":"Hermitesche 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Funktion</span></h1> <div id="bodyContent" class="vector-body"> <div id="siteSub" class="noprint">aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie</div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="contentSub2"></div> <div id="jump-to-nav"></div> <a class="mw-jump-link" href="#mw-head">Zur Navigation springen</a> <a class="mw-jump-link" href="#searchInput">Zur Suche springen</a> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Mplwp_hermitefunction04.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/db/Mplwp_hermitefunction04.svg/300px-Mplwp_hermitefunction04.svg.png" decoding="async" width="300" height="200" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/db/Mplwp_hermitefunction04.svg/450px-Mplwp_hermitefunction04.svg.png 1.5x, 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src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2746146c2ba2fbbe31925bb3a1eb6af968c7de94" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.696ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle h_{n}(x)}"></span> erhält man aus den <a href="/wiki/Hermitesches_Polynom" title="Hermitesches Polynom">Hermiteschen Polynomen</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{n}(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{n}(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505cd70a83ef6433715abc22c4d2ed86058c2738" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.289ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle H_{n}(x)}"></span>, indem man diese mit der Dichte der <a href="/wiki/Normalverteilung" title="Normalverteilung">Gaußschen Normalverteilung</a> multipliziert. </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h_{n}(x)={\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {2^{n}n!{\sqrt {\pi }}}}}e^{x^{2}/2}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}e^{-x^{2}}={\frac {1}{\sqrt {2^{n}n!{\sqrt {\pi }}}}}H_{n}(x)e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mrow> <msqrt> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mi>n</mi> <mo>!</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>π</mi> </msqrt> </mrow> </msqrt> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msqrt> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mi>n</mi> <mo>!</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>π</mi> </msqrt> </mrow> </msqrt> </mfrac> </mrow> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </msup> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h_{n}(x)={\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {2^{n}n!{\sqrt {\pi }}}}}e^{x^{2}/2}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm 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scriptlevel="0"> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </msubsup> <msub> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <msub> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mspace width="2em" /> <mspace width="2em" /> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }h_{n}(x)h_{m}(x)\,\mathrm {d} x=\delta _{n,m}\qquad \qquad n,m=0,1,2,\ldots }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7b7894b97eb5c68c499038fb38e29bf1c1a82b1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:53.112ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }h_{n}(x)h_{m}(x)\,\mathrm {d} x=\delta _{n,m}\qquad \qquad n,m=0,1,2,\ldots }"></span></dd></dl> <p>Sie sind ein sehr gutes Beispiel für die Definition (Erzeugung) einer <a href="/wiki/Orthonormalit%C3%A4t" class="mw-redirect" title="Orthonormalität">orthonormalen</a> <a href="/wiki/Hilbertbasis" class="mw-redirect" title="Hilbertbasis">Basis</a>, ähnlich der <a href="/wiki/Sinus" class="mw-redirect" title="Sinus">Sinus</a>-/<a href="/wiki/Kosinus" class="mw-redirect" title="Kosinus">Kosinusfunktionen</a>. Während letztere in der Lage sind, mittels der Spektralanalyse (<a href="/wiki/Fourieranalyse" class="mw-redirect" title="Fourieranalyse">Fourieranalyse</a>) ein periodisches Signal in ein Frequenzspektrum zu zerlegen, erlauben die Hermiteschen Funktionen die Beschreibung singulärer Ereignisse. </p><p>Eine wichtige Bedeutung haben sie in der Physik zur Konstruktion der <a href="/wiki/Orthonormalit%C3%A4t" class="mw-redirect" title="Orthonormalität">orthonormierten</a> Lösungsfunktionen des <a href="/wiki/Harmonischer_Oszillator_(Quantenmechanik)" title="Harmonischer Oszillator (Quantenmechanik)">quantenmechanischen harmonischen Oszillators</a>. Motiviert durch die <a href="/wiki/Harmonischer_Oszillator_(Quantenmechanik)#Die_Leiteroperatormethode" title="Harmonischer Oszillator (Quantenmechanik)">Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren</a> der Quantenmechanik erhält man folgende rekursive Darstellung der hermiteschen Funktionen </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h_{n}(x)=n^{-{\frac {1}{2}}}a^{\dagger }h_{n-1}(x),\qquad h_{0}(x)=\pi ^{-{\frac {1}{4}}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> </msup> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>†</mo> </mrow> </msup> <msub> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mspace width="2em" /> <msub> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> </msup> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </msup> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h_{n}(x)=n^{-{\frac {1}{2}}}a^{\dagger }h_{n-1}(x),\qquad h_{0}(x)=\pi ^{-{\frac {1}{4}}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12e8f1f751fa98dc39ce9a01edc9b45d6dbabc76" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:48.368ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle h_{n}(x)=n^{-{\frac {1}{2}}}a^{\dagger }h_{n-1}(x),\qquad h_{0}(x)=\pi ^{-{\frac {1}{4}}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},}"></span></dd></dl> <p>dabei ist der Operator <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{\dagger }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>†</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{\dagger }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab292dae7b377aefbd977dc19438b2b82da3303c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.192ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a^{\dagger }}"></span> definiert durch </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\Big (}x-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\Big )}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>†</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.623em" minsize="1.623em">(</mo> </mrow> </mrow> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.623em" minsize="1.623em">)</mo> </mrow> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\Big (}x-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\Big )}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52753c8ce188ebee5505010dc8de0c040b303003" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:20.276ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle a^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\Big (}x-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\Big )}.}"></span></dd></dl> <p>Singuläre Ereignisse werden in der Regel durch <a href="/wiki/Intensit%C3%A4t_(Physik)" title="Intensität (Physik)">Intensität</a>, <a href="/wiki/Mittelwert" title="Mittelwert">Mittelwert</a> und <a href="/wiki/Empirische_Standardabweichung" class="mw-redirect" title="Empirische Standardabweichung">Standardabweichung</a> charakterisiert. Diese Kennwerte können aber für verschiedene, sehr unterschiedliche Ereignisse identisch sein, so dass sie für die Charakterisierung nicht ausreichen. Daher bestimmt man die sogenannten „höheren statistischen <a href="/wiki/Moment_(Stochastik)" title="Moment (Stochastik)">Momente</a>“ als weitere Vergleichsgrößen. Diese sind jedoch sehr empfindlich auf <a href="/wiki/Rauschen_(Physik)" title="Rauschen (Physik)">Rauschen</a> und Drift der Nulllinie und daher nur bedingt geeignet. Entwickelt man eine Verteilung in Hermiteschen Funktionen, so sind die Koeffizienten sehr stabil, da die Funktionen nur im zentralen Bereich leben und somit weiter außenliegende Messdaten geeignet dämpfen. </p><p>Die Entwicklung einer ein Ereignis repräsentierenden Funktion nach Hermiteschen Funktionen hat eine gewisse Ähnlichkeit mit der <a href="/wiki/Wavelet-Transformation" title="Wavelet-Transformation">Wavelet-Transformation</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Hermitesche_Funktionen_als_Eigenfunktionen_der_Fourier-Transformation">Hermitesche Funktionen als Eigenfunktionen der Fourier-Transformation</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Hermitesche_Funktion&veaction=edit&section=1" title="Abschnitt bearbeiten: Hermitesche Funktionen als Eigenfunktionen der Fourier-Transformation" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Hermitesche_Funktion&action=edit&section=1" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Hermitesche Funktionen als Eigenfunktionen der Fourier-Transformation"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Die Hermiteschen Funktionen sind <a href="/wiki/Eigenfunktion" class="mw-redirect" title="Eigenfunktion">Eigenfunktionen</a> der <a href="/wiki/Fourier-Transformation" title="Fourier-Transformation">Fourier-Transformation</a> im Eindimensionalen zu den <a href="/wiki/Eigenwert" class="mw-redirect" title="Eigenwert">Eigenwerten</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left(-\mathrm {i} \right)^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">i</mi> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left(-\mathrm {i} \right)^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c56a5efa6ec2615286cfbf58afa7bab706ca073" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.483ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \left(-\mathrm {i} \right)^{n}}"></span>: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {F}}\,h_{n}=\left(-\mathrm {i} \right)^{n}\,h_{n}\qquad \left(n\in \mathbb {N} _{0}\right).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">F</mi> </mrow> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">i</mi> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mspace width="2em" /> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>∈</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {F}}\,h_{n}=\left(-\mathrm {i} \right)^{n}\,h_{n}\qquad \left(n\in \mathbb {N} _{0}\right).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/190bd961ac51d3511deda736406e2d807ab8120d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:31.24ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {F}}\,h_{n}=\left(-\mathrm {i} \right)^{n}\,h_{n}\qquad \left(n\in \mathbb {N} _{0}\right).}"></span></dd></dl> <p>Mehr noch, sie bilden ferner im <a href="/wiki/Lp-Raum#Der_Hilbertraum_L2" title="Lp-Raum">Raum <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L^{2}\left(\mathbb {R} \right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>L</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L^{2}\left(\mathbb {R} \right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2760f3b3d3b7bcce0170586909352fdc4564e857" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.512ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle L^{2}\left(\mathbb {R} \right)}"></span></a> ein <a href="/wiki/Vollst%C3%A4ndiges_Orthonormalsystem" class="mw-redirect" title="Vollständiges Orthonormalsystem">vollständiges Orthonormalsystem</a> von Eigenfunktionen.<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Hermitesche_Funktion&veaction=edit&section=2" title="Abschnitt bearbeiten: Literatur" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Hermitesche_Funktion&action=edit&section=2" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Literatur"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew (Begründer), Günter Grosche (Bearb.), <a href="/wiki/Eberhard_Zeidler_(Mathematiker)" title="Eberhard Zeidler (Mathematiker)">Eberhard Zeidler</a> (Hrsg.): <i><a href="/wiki/Taschenbuch_der_Mathematik" title="Taschenbuch der Mathematik">Teubner-Taschenbuch der Mathematik</a></i>. Teubner, Stuttgart 1996, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/3815420016" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 3-8154-2001-6</a>.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Hermitesche_Funktion&veaction=edit&section=3" title="Abschnitt bearbeiten: Einzelnachweise" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Hermitesche_Funktion&action=edit&section=3" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Einzelnachweise"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ol class="references"> <li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text">Helmut Fischer, Helmut Kaul: <i>Mathematik für Physiker, Band 2: Gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen, mathematische Grundlagen der Quantenmechanik</i>. 2. Aufl., B.G. Teubner, Wiesbaden 2004. <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/3519120801" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 3-519-12080-1</a>, §12 Abschn. 4.2, S. 300–301.</span> </li> </ol></div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1&useformat=desktop" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Abgerufen von „<a dir="ltr" href="https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Hermitesche_Funktion&oldid=189896639">https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Hermitesche_Funktion&oldid=189896639</a>“</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Wikipedia:Kategorien" title="Wikipedia:Kategorien">Kategorien</a>: <ul><li><a href="/wiki/Kategorie:Mathematische_Funktion" title="Kategorie:Mathematische Funktion">Mathematische Funktion</a></li><li><a href="/wiki/Kategorie:Quantenmechanik" title="Kategorie:Quantenmechanik">Quantenmechanik</a></li><li><a href="/wiki/Kategorie:Charles_Hermite_als_Namensgeber" title="Kategorie:Charles Hermite als Namensgeber">Charles Hermite als Namensgeber</a></li></ul></div></div> </div> </div> <div id="mw-navigation"> <h2>Navigationsmenü</h2> <div id="mw-head"> <nav id="p-personal" class="mw-portlet mw-portlet-personal vector-user-menu-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-personal-label" > <h3 id="p-personal-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Meine Werkzeuge</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anonuserpage" class="mw-list-item"><span title="Benutzerseite der IP-Adresse, von der aus du Änderungen durchführst">Nicht angemeldet</span></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Spezial:Meine_Diskussionsseite" title="Diskussion über Änderungen von dieser IP-Adresse [n]" accesskey="n"><span>Diskussionsseite</span></a></li><li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Spezial:Meine_Beitr%C3%A4ge" title="Eine Liste der Bearbeitungen, die von dieser IP-Adresse gemacht wurden [y]" accesskey="y"><span>Beiträge</span></a></li><li id="pt-createaccount" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Spezial:Benutzerkonto_anlegen&returnto=Hermitesche+Funktion" title="Wir ermutigen dich dazu, ein Benutzerkonto zu erstellen und dich anzumelden. Es ist jedoch nicht zwingend erforderlich."><span>Benutzerkonto erstellen</span></a></li><li id="pt-login" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Spezial:Anmelden&returnto=Hermitesche+Funktion" title="Anmelden ist zwar keine Pflicht, wird aber gerne gesehen. [o]" accesskey="o"><span>Anmelden</span></a></li> </ul> </div> </nav> <div id="left-navigation"> <nav id="p-namespaces" class="mw-portlet mw-portlet-namespaces vector-menu-tabs vector-menu-tabs-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-namespaces-label" > <h3 id="p-namespaces-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Namensräume</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected mw-list-item"><a href="/wiki/Hermitesche_Funktion" title="Seiteninhalt anzeigen [c]" accesskey="c"><span>Artikel</span></a></li><li id="ca-talk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Diskussion:Hermitesche_Funktion" rel="discussion" title="Diskussion zum Seiteninhalt [t]" accesskey="t"><span>Diskussion</span></a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-variants" class="mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet vector-menu-dropdown vector-menu" aria-labelledby="p-variants-label" > <input type="checkbox" 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VisualEditor bearbeiten [v]" accesskey="v"><span>Bearbeiten</span></a></li><li id="ca-edit" class="collapsible mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Hermitesche_Funktion&action=edit" title="Den Quelltext dieser Seite bearbeiten [e]" accesskey="e"><span>Quelltext bearbeiten</span></a></li><li id="ca-history" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Hermitesche_Funktion&action=history" title="Frühere Versionen dieser Seite [h]" accesskey="h"><span>Versionsgeschichte</span></a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-cactions" class="mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-menu-dropdown vector-menu" aria-labelledby="p-cactions-label" title="Weitere Optionen" > <input type="checkbox" id="p-cactions-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-cactions" class="vector-menu-checkbox" aria-labelledby="p-cactions-label" > <label id="p-cactions-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Weitere</span> </label> 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Hermitesche Funktion – Wikipedia