Géométrie différentielle des surfaces

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available" lang="fr" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Géométrie différentielle des surfaces — Wikipédia</title> <script>(function(){var className="client-js vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )frwikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t."," \t,"],"wgDigitTransformTable":["",""], "wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","janvier","février","mars","avril","mai","juin","juillet","août","septembre","octobre","novembre","décembre"],"wgRequestId":"12edb8ed-836a-4351-b7f5-1f96aa7e25a3","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Géométrie_différentielle_des_surfaces","wgTitle":"Géométrie différentielle des surfaces","wgCurRevisionId":215324227,"wgRevisionId":215324227,"wgArticleId":5285014,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":["Article contenant un appel à traduction en anglais","Portail:Géométrie/Articles liés","Portail:Mathématiques/Articles liés","Portail:Sciences/Articles liés","Bon article","Géométrie différentielle","Géométrie riemannienne","Surface"],"wgPageViewLanguage":"fr","wgPageContentLanguage":"fr","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Géométrie_différentielle_des_surfaces", "wgRelevantArticleId":5285014,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"fr","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"fr"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":100000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgCentralAuthMobileDomain":false,"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":false,"wgVector2022LanguageInHeader":true,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q2502381","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"], "GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={"ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.cite.styles":"ready","ext.math.styles":"ready","skins.vector.search.codex.styles":"ready","skins.vector.styles":"ready","skins.vector.icons":"ready","ext.wikimediamessages.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["ext.cite.ux-enhancements","mediawiki.page.media","site","mediawiki.page.ready","mediawiki.toc","skins.vector.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.gadget.ArchiveLinks","ext.gadget.Wdsearch","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap", "ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.cx.uls.quick.actions","wikibase.client.vector-2022","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","wikibase.sidebar.tracking"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); }];});});</script> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=fr&modules=ext.cite.styles%7Cext.math.styles%7Cext.uls.interlanguage%7Cext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript%7Cext.wikimediaBadges%7Cext.wikimediamessages.styles%7Cskins.vector.icons%2Cstyles%7Cskins.vector.search.codex.styles%7Cwikibase.client.init&only=styles&skin=vector-2022"> <script async="" src="/w/load.php?lang=fr&modules=startup&only=scripts&raw=1&skin=vector-2022"></script> <meta name="ResourceLoaderDynamicStyles" content=""> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=fr&modules=site.styles&only=styles&skin=vector-2022"> <meta name="generator" content="MediaWiki 1.44.0-wmf.4"> <meta name="referrer" content="origin"> <meta name="referrer" content="origin-when-cross-origin"> <meta name="robots" content="max-image-preview:standard"> <meta name="format-detection" content="telephone=no"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/33/Bendixen_-_Carl_Friedrich_Gau%C3%9F%2C_1828.jpg"> <meta property="og:image:width" content="1200"> <meta property="og:image:height" content="1364"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/33/Bendixen_-_Carl_Friedrich_Gau%C3%9F%2C_1828.jpg"> <meta property="og:image:width" content="800"> <meta property="og:image:height" content="909"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/33/Bendixen_-_Carl_Friedrich_Gau%C3%9F%2C_1828.jpg/640px-Bendixen_-_Carl_Friedrich_Gau%C3%9F%2C_1828.jpg"> <meta property="og:image:width" content="640"> <meta property="og:image:height" content="727"> <meta name="viewport" content="width=1120"> <meta property="og:title" content="Géométrie différentielle des surfaces — Wikipédia"> <meta property="og:type" content="website"> <link rel="preconnect" href="//upload.wikimedia.org"> <link rel="alternate" media="only screen and (max-width: 640px)" href="//fr.m.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces"> <link rel="alternate" type="application/x-wiki" title="Modifier" href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&action=edit"> <link rel="apple-touch-icon" href="/static/apple-touch/wikipedia.png"> <link rel="icon" href="/static/favicon/wikipedia.ico"> <link rel="search" type="application/opensearchdescription+xml" href="/w/rest.php/v1/search" title="Wikipédia (fr)"> <link rel="EditURI" type="application/rsd+xml" href="//fr.wikipedia.org/w/api.php?action=rsd"> <link rel="canonical" href="https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces"> <link rel="license" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.fr"> <link rel="alternate" type="application/atom+xml" title="Flux Atom de Wikipédia" href="/w/index.php?title=Sp%C3%A9cial:Modifications_r%C3%A9centes&feed=atom"> <link rel="dns-prefetch" href="//meta.wikimedia.org" /> <link rel="dns-prefetch" href="//login.wikimedia.org"> </head> <body class="skin--responsive skin-vector skin-vector-search-vue mediawiki ltr sitedir-ltr mw-hide-empty-elt ns-0 ns-subject mw-editable page-Géométrie_différentielle_des_surfaces rootpage-Géométrie_différentielle_des_surfaces skin-vector-2022 action-view"><a class="mw-jump-link" href="#bodyContent">Aller au contenu</a> <div class="vector-header-container"> <header class="vector-header mw-header"> <div class="vector-header-start"> <nav class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Site"> <div id="vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown vector-main-menu-dropdown vector-button-flush-left vector-button-flush-right" > <input type="checkbox" id="vector-main-menu-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Menu principal" > <label id="vector-main-menu-dropdown-label" for="vector-main-menu-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" > Menu principal </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-main-menu-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-main-menu" class="vector-main-menu vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-main-menu-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="main-menu-pinned" data-pinnable-element-id="vector-main-menu" data-pinned-container-id="vector-main-menu-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-main-menu-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Menu principal</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.pin">déplacer vers la barre latérale</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.unpin">masquer</button> </div> <div id="p-navigation" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-navigation" > <div class="vector-menu-heading"> Navigation </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-mainpage-description" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Accueil_principal" title="Accueil général [z]" accesskey="z">Accueil</a></li><li id="n-thema" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Portail:Accueil">Portails thématiques</a></li><li id="n-randompage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Page_au_hasard" title="Affiche un article au hasard [x]" accesskey="x">Article au hasard</a></li><li id="n-contact" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Contact">Contact</a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-Contribuer" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-Contribuer" > <div class="vector-menu-heading"> Contribuer </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-aboutwp" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Aide:D%C3%A9buter">Débuter sur Wikipédia</a></li><li id="n-help" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Aide:Accueil" title="Accès à l’aide">Aide</a></li><li id="n-portal" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Accueil_de_la_communaut%C3%A9" title="À propos du projet, ce que vous pouvez faire, où trouver les informations">Communauté</a></li><li id="n-recentchanges" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Modifications_r%C3%A9centes" title="Liste des modifications récentes sur le wiki [r]" accesskey="r">Modifications récentes</a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> <a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Accueil_principal" class="mw-logo"> <img class="mw-logo-icon" src="/static/images/icons/wikipedia.png" alt="" aria-hidden="true" height="50" width="50"> <img class="mw-logo-wordmark" alt="Wikipédia" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-wordmark-fr.svg" style="width: 7.4375em; height: 1.125em;"> <img class="mw-logo-tagline" alt="l'encyclopédie libre" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-tagline-fr.svg" width="120" height="13" style="width: 7.5em; height: 0.8125em;"> </a> </div> <div class="vector-header-end"> <div id="p-search" role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-collapses vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box-auto-expand-width vector-search-box"> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Recherche" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only search-toggle" title="Rechercher sur Wikipédia [f]" accesskey="f"> Rechercher </a> <div class="vector-typeahead-search-container"> <div class="cdx-typeahead-search cdx-typeahead-search--show-thumbnail cdx-typeahead-search--auto-expand-width"> <form action="/w/index.php" id="searchform" class="cdx-search-input cdx-search-input--has-end-button"> <div id="simpleSearch" class="cdx-search-input__input-wrapper" data-search-loc="header-moved"> <div class="cdx-text-input cdx-text-input--has-start-icon"> <input class="cdx-text-input__input" type="search" name="search" placeholder="Rechercher sur Wikipédia" aria-label="Rechercher sur Wikipédia" autocapitalize="sentences" title="Rechercher sur Wikipédia [f]" accesskey="f" id="searchInput" > </div> <input type="hidden" name="title" value="Spécial:Recherche"> </div> <button class="cdx-button cdx-search-input__end-button">Rechercher</button> </form> </div> </div> </div> <nav class="vector-user-links vector-user-links-wide" aria-label="Outils personnels"> <div class="vector-user-links-main"> <div id="p-vector-user-menu-preferences" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-userpage" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Apparence"> <div id="vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown " title="Modifier l'apparence de la taille, de la largeur et de la couleur de la police de la page" > <input type="checkbox" id="vector-appearance-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Apparence" > <label id="vector-appearance-dropdown-label" for="vector-appearance-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" > Apparence </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-appearance-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <div id="p-vector-user-menu-notifications" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-overflow" class="vector-menu mw-portlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_fr.wikipedia.org&uselang=fr" class="">Faire un don</a> </li> <li id="pt-createaccount-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Sp%C3%A9cial:Cr%C3%A9er_un_compte&returnto=G%C3%A9om%C3%A9trie+diff%C3%A9rentielle+des+surfaces" title="Nous vous encourageons à créer un compte utilisateur et vous connecter ; ce n’est cependant pas obligatoire." class="">Créer un compte</a> </li> <li id="pt-login-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Sp%C3%A9cial:Connexion&returnto=G%C3%A9om%C3%A9trie+diff%C3%A9rentielle+des+surfaces" title="Nous vous encourageons à vous connecter ; ce n’est cependant pas obligatoire. [o]" accesskey="o" class="">Se connecter</a> </li> </ul> </div> </div> </div> <div id="vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown vector-user-menu vector-button-flush-right vector-user-menu-logged-out" title="Plus d’options" > <input type="checkbox" id="vector-user-links-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Outils personnels" > <label id="vector-user-links-dropdown-label" for="vector-user-links-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" > Outils personnels </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-personal" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-personal user-links-collapsible-item" title="Menu utilisateur" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_fr.wikipedia.org&uselang=fr">Faire un don</a></li><li id="pt-createaccount" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Sp%C3%A9cial:Cr%C3%A9er_un_compte&returnto=G%C3%A9om%C3%A9trie+diff%C3%A9rentielle+des+surfaces" title="Nous vous encourageons à créer un compte utilisateur et vous connecter ; ce n’est cependant pas obligatoire."> Créer un compte</a></li><li id="pt-login" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Sp%C3%A9cial:Connexion&returnto=G%C3%A9om%C3%A9trie+diff%C3%A9rentielle+des+surfaces" title="Nous vous encourageons à vous connecter ; ce n’est cependant pas obligatoire. [o]" accesskey="o"> Se connecter</a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-user-menu-anon-editor" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-user-menu-anon-editor" > <div class="vector-menu-heading"> Pages pour les contributeurs déconnectés <a href="/wiki/Aide:Premiers_pas" aria-label="En savoir plus sur la contribution">en savoir plus</a> </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Mes_contributions" title="Une liste des modifications effectuées depuis cette adresse IP [y]" accesskey="y">Contributions</a></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Mes_discussions" title="La page de discussion pour les contributions depuis cette adresse IP [n]" accesskey="n">Discussion</a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </header> </div> <div class="mw-page-container"> <div class="mw-page-container-inner"> <div class="vector-sitenotice-container"> <div id="siteNotice"></div> </div> <div class="vector-column-start"> <div class="vector-main-menu-container"> <div id="mw-navigation"> <nav id="mw-panel" class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Site"> <div id="vector-main-menu-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> </div> </div> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav id="mw-panel-toc" aria-label="Sommaire" data-event-name="ui.sidebar-toc" class="mw-table-of-contents-container vector-toc-landmark"> <div id="vector-toc-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-toc" class="vector-toc vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-toc-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="toc-pinned" data-pinnable-element-id="vector-toc" > <h2 class="vector-pinnable-header-label">Sommaire</h2> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.pin">déplacer vers la barre latérale</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.unpin">masquer</button> </div> <ul class="vector-toc-contents" id="mw-panel-toc-list"> <li id="toc-mw-content-text" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a href="#" class="vector-toc-link"> <div class="vector-toc-text">Début</div> </a> </li> <li id="toc-Histoire_de_la_théorie_des_surfaces" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Histoire_de_la_théorie_des_surfaces"> <div class="vector-toc-text"> 1 Histoire de la théorie des surfaces </div> </a> <ul id="toc-Histoire_de_la_théorie_des_surfaces-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Courbure_des_surfaces_de_E3" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Courbure_des_surfaces_de_E3"> <div class="vector-toc-text"> 2 Courbure des surfaces de E3 </div> </a> <ul id="toc-Courbure_des_surfaces_de_E3-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Exemples" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Exemples"> <div class="vector-toc-text"> 3 Exemples </div> </a> <button aria-controls="toc-Exemples-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> Afficher / masquer la sous-section Exemples </button> <ul id="toc-Exemples-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Surfaces_de_révolution" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Surfaces_de_révolution"> <div class="vector-toc-text"> 3.1 Surfaces de révolution </div> </a> <ul id="toc-Surfaces_de_révolution-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Quadriques" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Quadriques"> <div class="vector-toc-text"> 3.2 Quadriques </div> </a> <ul id="toc-Quadriques-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Surfaces_réglées" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Surfaces_réglées"> <div class="vector-toc-text"> 3.3 Surfaces réglées </div> </a> <ul id="toc-Surfaces_réglées-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Surfaces_minimales" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Surfaces_minimales"> <div class="vector-toc-text"> 3.4 Surfaces minimales </div> </a> <ul id="toc-Surfaces_minimales-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Surfaces_de_courbure_constante" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Surfaces_de_courbure_constante"> <div class="vector-toc-text"> 3.5 Surfaces de courbure constante </div> </a> <ul id="toc-Surfaces_de_courbure_constante-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Structure_métrique_locale" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Structure_métrique_locale"> <div class="vector-toc-text"> 4 Structure métrique locale </div> </a> <button aria-controls="toc-Structure_métrique_locale-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> Afficher / masquer la sous-section Structure métrique locale </button> <ul id="toc-Structure_métrique_locale-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Éléments_de_longueur_et_d'aire" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Éléments_de_longueur_et_d'aire"> <div class="vector-toc-text"> 4.1 Éléments de longueur et d'aire </div> </a> <ul id="toc-Éléments_de_longueur_et_d'aire-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Seconde_forme_fondamentale" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Seconde_forme_fondamentale"> <div class="vector-toc-text"> 4.2 Seconde forme fondamentale </div> </a> <ul id="toc-Seconde_forme_fondamentale-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Opérateur_de_forme" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Opérateur_de_forme"> <div class="vector-toc-text"> 4.3 Opérateur de forme </div> </a> <ul id="toc-Opérateur_de_forme-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Géodésiques_sur_une_surface" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Géodésiques_sur_une_surface"> <div class="vector-toc-text"> 5 Géodésiques sur une surface </div> </a> <button aria-controls="toc-Géodésiques_sur_une_surface-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> Afficher / masquer la sous-section Géodésiques sur une surface </button> <ul id="toc-Géodésiques_sur_une_surface-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Géodésiques" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Géodésiques"> <div class="vector-toc-text"> 5.1 Géodésiques </div> </a> <ul id="toc-Géodésiques-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Courbure_géodésique" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Courbure_géodésique"> <div class="vector-toc-text"> 5.2 Courbure géodésique </div> </a> <ul id="toc-Courbure_géodésique-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Le_problème_du_plongement_isométrique" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Le_problème_du_plongement_isométrique"> <div class="vector-toc-text"> 5.3 Le problème du plongement isométrique </div> </a> <ul id="toc-Le_problème_du_plongement_isométrique-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Coordonnées_orthogonales" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Coordonnées_orthogonales"> <div class="vector-toc-text"> 5.4 Coordonnées orthogonales </div> </a> <ul id="toc-Coordonnées_orthogonales-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Coordonnées_géodésiques_polaires" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Coordonnées_géodésiques_polaires"> <div class="vector-toc-text"> 6 Coordonnées géodésiques polaires </div> </a> <button aria-controls="toc-Coordonnées_géodésiques_polaires-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> Afficher / masquer la sous-section Coordonnées géodésiques polaires </button> <ul id="toc-Coordonnées_géodésiques_polaires-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Application_exponentielle" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Application_exponentielle"> <div class="vector-toc-text"> 6.1 Application exponentielle </div> </a> <ul id="toc-Application_exponentielle-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Calcul_de_coordonnées_normales" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Calcul_de_coordonnées_normales"> <div class="vector-toc-text"> 6.2 Calcul de coordonnées normales </div> </a> <ul id="toc-Calcul_de_coordonnées_normales-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Lemme_de_Gauss" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Lemme_de_Gauss"> <div class="vector-toc-text"> 6.3 Lemme de Gauss </div> </a> <ul id="toc-Lemme_de_Gauss-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Theorema_egregium" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Theorema_egregium"> <div class="vector-toc-text"> 6.4 Theorema egregium </div> </a> <ul id="toc-Theorema_egregium-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Équation_de_Gauss-Jacobi" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Équation_de_Gauss-Jacobi"> <div class="vector-toc-text"> 6.5 Équation de Gauss-Jacobi </div> </a> <ul id="toc-Équation_de_Gauss-Jacobi-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Opérateur_de_Laplace-Beltrami" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Opérateur_de_Laplace-Beltrami"> <div class="vector-toc-text"> 6.6 Opérateur de Laplace-Beltrami </div> </a> <ul id="toc-Opérateur_de_Laplace-Beltrami-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Formule_de_Gauss-Bonnet" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Formule_de_Gauss-Bonnet"> <div class="vector-toc-text"> 7 Formule de Gauss-Bonnet </div> </a> <button aria-controls="toc-Formule_de_Gauss-Bonnet-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> Afficher / masquer la sous-section Formule de Gauss-Bonnet </button> <ul id="toc-Formule_de_Gauss-Bonnet-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Triangles_géodésiques" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Triangles_géodésiques"> <div class="vector-toc-text"> 7.1 Triangles géodésiques </div> </a> <ul id="toc-Triangles_géodésiques-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Théorème_de_Gauss-Bonnet" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Théorème_de_Gauss-Bonnet"> <div class="vector-toc-text"> 7.2 Théorème de Gauss-Bonnet </div> </a> <ul id="toc-Théorème_de_Gauss-Bonnet-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Courbure_et_plongements" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Courbure_et_plongements"> <div class="vector-toc-text"> 7.3 Courbure et plongements </div> </a> <ul id="toc-Courbure_et_plongements-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Surfaces_de_courbure_constante_2" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Surfaces_de_courbure_constante_2"> <div class="vector-toc-text"> 8 Surfaces de courbure constante </div> </a> <button aria-controls="toc-Surfaces_de_courbure_constante_2-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> Afficher / masquer la sous-section Surfaces de courbure constante </button> <ul id="toc-Surfaces_de_courbure_constante_2-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Géométrie_euclidienne" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Géométrie_euclidienne"> <div class="vector-toc-text"> 8.1 Géométrie euclidienne </div> </a> <ul id="toc-Géométrie_euclidienne-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Géométrie_sphérique" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Géométrie_sphérique"> <div class="vector-toc-text"> 8.2 Géométrie sphérique </div> </a> <ul id="toc-Géométrie_sphérique-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Géométrie_hyperbolique" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Géométrie_hyperbolique"> <div class="vector-toc-text"> 8.3 Géométrie hyperbolique </div> </a> <ul id="toc-Géométrie_hyperbolique-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Uniformisation" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Uniformisation"> <div class="vector-toc-text"> 8.4 Uniformisation </div> </a> <ul id="toc-Uniformisation-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Surfaces_de_courbure_négative" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Surfaces_de_courbure_négative"> <div class="vector-toc-text"> 9 Surfaces de courbure négative </div> </a> <button aria-controls="toc-Surfaces_de_courbure_négative-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> Afficher / masquer la sous-section Surfaces de courbure négative </button> <ul id="toc-Surfaces_de_courbure_négative-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-L'inégalité_d'Alexandrov" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#L'inégalité_d'Alexandrov"> <div class="vector-toc-text"> 9.1 L'inégalité d'Alexandrov </div> </a> <ul id="toc-L'inégalité_d'Alexandrov-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Existence_et_unicité_des_géodésiques" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Existence_et_unicité_des_géodésiques"> <div class="vector-toc-text"> 9.2 Existence et unicité des géodésiques </div> </a> <ul id="toc-Existence_et_unicité_des_géodésiques-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Théorème_de_Von_Mangoldt-Hadamard" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Théorème_de_Von_Mangoldt-Hadamard"> <div class="vector-toc-text"> 9.3 Théorème de Von Mangoldt-Hadamard </div> </a> <ul id="toc-Théorème_de_Von_Mangoldt-Hadamard-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Connexion_riemannienne_et_transport_parallèle" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Connexion_riemannienne_et_transport_parallèle"> <div class="vector-toc-text"> 10 Connexion riemannienne et transport parallèle </div> </a> <button aria-controls="toc-Connexion_riemannienne_et_transport_parallèle-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> Afficher / masquer la sous-section Connexion riemannienne et transport parallèle </button> <ul id="toc-Connexion_riemannienne_et_transport_parallèle-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Dérivée_covariante" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Dérivée_covariante"> <div class="vector-toc-text"> 10.1 Dérivée covariante </div> </a> <ul id="toc-Dérivée_covariante-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Transport_parallèle" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Transport_parallèle"> <div class="vector-toc-text"> 10.2 Transport parallèle </div> </a> <ul id="toc-Transport_parallèle-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-1-forme_de_connexion" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#1-forme_de_connexion"> <div class="vector-toc-text"> 10.3 1-forme de connexion </div> </a> <ul id="toc-1-forme_de_connexion-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Géométrie_différentielle_globale_des_surfaces" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Géométrie_différentielle_globale_des_surfaces"> <div class="vector-toc-text"> 11 Géométrie différentielle globale des surfaces </div> </a> <ul id="toc-Géométrie_différentielle_globale_des_surfaces-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Notes_et_références" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Notes_et_références"> <div class="vector-toc-text"> 12 Notes et références </div> </a> <button aria-controls="toc-Notes_et_références-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> Afficher / masquer la sous-section Notes et références </button> <ul id="toc-Notes_et_références-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Notes" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Notes"> <div class="vector-toc-text"> 12.1 Notes </div> </a> <ul id="toc-Notes-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Références" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Références"> <div class="vector-toc-text"> 12.2 Références </div> </a> <ul id="toc-Références-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-En_français" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#En_français"> <div class="vector-toc-text"> 12.2.1 En français </div> </a> <ul id="toc-En_français-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Autres" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Autres"> <div class="vector-toc-text"> 12.2.2 Autres </div> </a> <ul id="toc-Autres-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Article_connexe" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Article_connexe"> <div class="vector-toc-text"> 13 Article connexe </div> </a> <ul id="toc-Article_connexe-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Sommaire" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Basculer la table des matières" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" > Basculer la table des matières </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Géométrie différentielle des surfaces</h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Aller à un article dans une autre langue. Disponible en 8 langues." > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-8" aria-hidden="true" > 8 langues </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Geometria_diferencial_de_superf%C3%ADcies" title="Geometria diferencial de superfícies – catalan" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Geometria diferencial de superfícies" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="catalan" class="interlanguage-link-target">Català</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Weingartenabbildung" title="Weingartenabbildung – allemand" lang="de" hreflang="de" data-title="Weingartenabbildung" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="allemand" class="interlanguage-link-target">Deutsch</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Differential_geometry_of_surfaces" title="Differential geometry of surfaces – anglais" lang="en" hreflang="en" data-title="Differential geometry of surfaces" data-language-autonym="English" data-language-local-name="anglais" class="interlanguage-link-target">English</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_diferencial_de_superficies" title="Geometría diferencial de superficies – espagnol" lang="es" hreflang="es" data-title="Geometría diferencial de superficies" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="espagnol" class="interlanguage-link-target">Español</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Differentiaalmeetkunde_van_oppervlakken" title="Differentiaalmeetkunde van oppervlakken – néerlandais" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Differentiaalmeetkunde van oppervlakken" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="néerlandais" class="interlanguage-link-target">Nederlands</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Differensiell_flategeometri" title="Differensiell flategeometri – norvégien bokmål" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Differensiell flategeometri" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="norvégien bokmål" class="interlanguage-link-target">Norsk bokmål</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%B9" title="Дифференциальная геометрия поверхностей – russe" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Дифференциальная геометрия поверхностей" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="russe" class="interlanguage-link-target">Русский</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D0%BE%D0%BD%D1%8C" title="Диференціальна геометрія поверхонь – ukrainien" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Диференціальна геометрія поверхонь" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ukrainien" class="interlanguage-link-target">Українська</a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q2502381#sitelinks-wikipedia" title="Modifier les liens interlangues" class="wbc-editpage">Modifier les liens</a></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Espaces de noms"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces" title="Voir le contenu de la page [c]" accesskey="c">Article</a></li><li id="ca-talk" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Discussion:G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces" rel="discussion" title="Discussion au sujet de cette page de contenu [t]" accesskey="t">Discussion</a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input type="checkbox" id="vector-variants-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Modifier la variante de langue" > <label id="vector-variants-dropdown-label" for="vector-variants-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" >français </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-variants" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation" class="vector-collapsible"> <nav aria-label="Affichages"> <div id="p-views" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-views" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces">Lire</a></li><li id="ca-ve-edit" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&veaction=edit" title="Modifier cette page [v]" accesskey="v">Modifier</a></li><li id="ca-edit" class="collapsible vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&action=edit" title="Modifier le wikicode de cette page [e]" accesskey="e">Modifier le code</a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&action=history" title="Historique des versions de cette page [h]" accesskey="h">Voir l’historique</a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Outils de la page"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Outils" > <label id="vector-page-tools-dropdown-label" for="vector-page-tools-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" >Outils </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-tools-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-page-tools" class="vector-page-tools vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-page-tools-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="page-tools-pinned" data-pinnable-element-id="vector-page-tools" data-pinned-container-id="vector-page-tools-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-page-tools-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Outils</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.pin">déplacer vers la barre latérale</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.unpin">masquer</button> </div> <div id="p-cactions" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-has-collapsible-items" title="Plus d’options" > <div class="vector-menu-heading"> Actions </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-more-view" class="selected vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces">Lire</a></li><li id="ca-more-ve-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&veaction=edit" title="Modifier cette page [v]" accesskey="v">Modifier</a></li><li id="ca-more-edit" class="collapsible vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&action=edit" title="Modifier le wikicode de cette page [e]" accesskey="e">Modifier le code</a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&action=history">Voir l’historique</a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> Général </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Pages_li%C3%A9es/G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces" title="Liste des pages liées qui pointent sur celle-ci [j]" accesskey="j">Pages liées</a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Suivi_des_liens/G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces" rel="nofollow" title="Liste des modifications récentes des pages appelées par celle-ci [k]" accesskey="k">Suivi des pages liées</a></li><li id="t-upload" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Aide:Importer_un_fichier" title="Téléverser des fichiers [u]" accesskey="u">Téléverser un fichier</a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Pages_sp%C3%A9ciales" title="Liste de toutes les pages spéciales [q]" accesskey="q">Pages spéciales</a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&oldid=215324227" title="Adresse permanente de cette version de cette page">Lien permanent</a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&action=info" title="Davantage d’informations sur cette page">Informations sur la page</a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Sp%C3%A9cial:Citer&page=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&id=215324227&wpFormIdentifier=titleform" title="Informations sur la manière de citer cette page">Citer cette page</a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Sp%C3%A9cial:UrlShortener&url=https%3A%2F%2Ffr.wikipedia.org%2Fwiki%2FG%25C3%25A9om%25C3%25A9trie_diff%25C3%25A9rentielle_des_surfaces">Obtenir l'URL raccourcie</a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Sp%C3%A9cial:QrCode&url=https%3A%2F%2Ffr.wikipedia.org%2Fwiki%2FG%25C3%25A9om%25C3%25A9trie_diff%25C3%25A9rentielle_des_surfaces">Télécharger le code QR</a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-coll-print_export" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-coll-print_export" > <div class="vector-menu-heading"> Imprimer / exporter </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Sp%C3%A9cial:Livre&bookcmd=book_creator&referer=G%C3%A9om%C3%A9trie+diff%C3%A9rentielle+des+surfaces">Créer un livre</a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Sp%C3%A9cial:DownloadAsPdf&page=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&action=show-download-screen">Télécharger comme PDF</a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&printable=yes" title="Version imprimable de cette page [p]" accesskey="p">Version imprimable</a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-wikibase-otherprojects" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects" > <div class="vector-menu-heading"> Dans d’autres projets </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-commons mw-list-item"><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Differential_geometry_of_surfaces" hreflang="en">Wikimedia Commons</a></li><li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q2502381" title="Lien vers l’élément dans le dépôt de données connecté [g]" accesskey="g">Élément Wikidata</a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Outils de la page"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Apparence"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Apparence</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">déplacer vers la barre latérale</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">masquer</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="fr" dir="ltr"><div class="bandeau-container metadata homonymie hatnote bandeau-entete-label"><div class="bandeau-cell bandeau-icone" style="display:table-cell;padding-right:0.5em"><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Bons_articles" title="Wikipédia:Bons articles"><img alt="Wikipédia:Bons articles" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/11/Bon_article.svg/15px-Bon_article.svg.png" decoding="async" width="15" height="15" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/11/Bon_article.svg/23px-Bon_article.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/11/Bon_article.svg/30px-Bon_article.svg.png 2x" data-file-width="20" data-file-height="20" /></a></div><div class="bandeau-cell" style="display:table-cell;padding-right:0.5em"> Vous lisez un « <a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Bons_articles" title="Wikipédia:Bons articles">bon article</a> » labellisé en 2011. </div></div> En <a href="/wiki/Math%C3%A9matiques" title="Mathématiques">mathématiques</a>, la <dfn>géométrie différentielle des surfaces</dfn> est la branche de la <a href="/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle" title="Géométrie différentielle">géométrie différentielle</a> qui traite des <a href="/wiki/Surface_(g%C3%A9om%C3%A9trie_analytique)" title="Surface (géométrie analytique)">surfaces</a> (les objets géométriques de l'<a href="/wiki/Espace_euclidien" title="Espace euclidien">espace usuel E3</a>, ou leur généralisation que sont les <a href="/wiki/Vari%C3%A9t%C3%A9_diff%C3%A9rentielle" title="Variété différentielle">variétés</a> de dimension 2), munies éventuellement de structures supplémentaires, le plus souvent une <a href="/wiki/M%C3%A9trique_riemannienne" title="Métrique riemannienne">métrique riemannienne</a>. Outre les surfaces classiques de la <a href="/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_euclidienne" title="Géométrie euclidienne">géométrie euclidienne</a> (<a href="/wiki/Sph%C3%A8re" title="Sphère">sphères</a>, <a href="/wiki/C%C3%B4ne_(g%C3%A9om%C3%A9trie)" title="Cône (géométrie)">cônes</a>, <a href="/wiki/Cylindre" title="Cylindre">cylindres</a>, etc.), des surfaces apparaissent naturellement en tant que graphes de <a href="/wiki/Fonction_de_plusieurs_variables" title="Fonction de plusieurs variables">fonctions de deux variables</a>, ou sous forme paramétrique, comme ensembles décrits par une famille de courbes de l'espace. Les surfaces ont été étudiées à partir de divers points de vue : <a href="/wiki/Surface_(g%C3%A9om%C3%A9trie_analytique)" title="Surface (géométrie analytique)">de façon extrinsèque</a>, en s'intéressant à leur <a href="/wiki/Plongement" title="Plongement">plongement</a> dans l'<a href="/wiki/Espace_euclidien" title="Espace euclidien">espace euclidien</a>, et de façon intrinsèque, en ne se préoccupant que des propriétés qui peuvent être déterminées à partir des distances mesurées le long de courbes tracées sur la surface. Un des concepts fondamentaux découverts ainsi est la <a href="/wiki/Courbure_de_Gauss" title="Courbure de Gauss">courbure de Gauss</a>, étudiée en profondeur par <a href="/wiki/Carl_Friedrich_Gauss" title="Carl Friedrich Gauss">Carl Friedrich Gauss</a> (entre 1825 et 1827), qui montra son caractère intrinsèque. Dans l'esprit du <a href="/wiki/Programme_d%27Erlangen" title="Programme d'Erlangen">programme d'Erlangen</a>, les <a href="/wiki/Groupe_de_Lie" title="Groupe de Lie">groupes de Lie</a>, plus précisément les groupes de symétrie du plan euclidien, de la sphère et du plan hyperbolique, ont joué un rôle important dans l'étude des surfaces. Ces groupes permettent de décrire les surfaces de courbure constante ; ils forment aussi un outil essentiel dans l'approche moderne de la géométrie différentielle intrinsèque à l'aide de <a href="/wiki/Connexion_(math%C3%A9matiques)" title="Connexion (mathématiques)">connexions</a>. Les propriétés extrinsèques dépendant du plongement d'une surface dans l'espace euclidien ont été également largement étudiées. Les relations entre ces deux approches sont bien illustrées par le cas des <a href="/wiki/%C3%89quation_d%27Euler-Lagrange" title="Équation d'Euler-Lagrange">équations d'Euler-Lagrange</a> du <a href="/wiki/Calcul_des_variations" title="Calcul des variations">calcul des variations</a> : bien qu'Euler ait utilisé les équations à une variable pour déterminer les <a href="/wiki/G%C3%A9od%C3%A9sique" title="Géodésique">géodésiques</a>, que l'on peut définir de manière intrinsèque, l'une des applications principales que fit Lagrange des équations à deux variables fut l'étude des <a href="/wiki/Surface_minimale" title="Surface minimale">surfaces minimales</a>, un concept extrinsèque qui n'a de sens que pour les plongements. <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Bendixen_-_Carl_Friedrich_Gau%C3%9F,_1828.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/33/Bendixen_-_Carl_Friedrich_Gau%C3%9F%2C_1828.jpg/220px-Bendixen_-_Carl_Friedrich_Gau%C3%9F%2C_1828.jpg" decoding="async" width="220" height="250" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/33/Bendixen_-_Carl_Friedrich_Gau%C3%9F%2C_1828.jpg/330px-Bendixen_-_Carl_Friedrich_Gau%C3%9F%2C_1828.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/33/Bendixen_-_Carl_Friedrich_Gau%C3%9F%2C_1828.jpg/440px-Bendixen_-_Carl_Friedrich_Gau%C3%9F%2C_1828.jpg 2x" data-file-width="644" data-file-height="732" /></a><figcaption><a href="/wiki/Carl_Friedrich_Gauss" title="Carl Friedrich Gauss">Carl Friedrich Gauss</a> en 1828.</figcaption></figure> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Histoire_de_la_théorie_des_surfaces">Histoire de la théorie des surfaces</h2>[<a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&veaction=edit&section=1" title="Modifier la section : Histoire de la théorie des surfaces" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&action=edit&section=1" title="Modifier le code source de la section : Histoire de la théorie des surfaces">modifier le code</a>]</div> Certaines propriétés des <a href="/wiki/Surface_de_r%C3%A9volution" title="Surface de révolution">surfaces de révolution</a> étaient déjà connues d'<a href="/wiki/Archim%C3%A8de" title="Archimède">Archimède</a>. Le développement du <a href="/wiki/Calcul_infinit%C3%A9simal" title="Calcul infinitésimal">calcul infinitésimal</a> au <abbr class="abbr" title="17ᵉ siècle">XVIIe</abbr> siècle permit de les analyser de manière plus systématique, obtenant par exemple les <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8mes_de_Guldin" title="Théorèmes de Guldin">théorèmes de Guldin</a>. Des surfaces plus générales furent étudiées par <a href="/wiki/Leonhard_Euler" title="Leonhard Euler">Euler</a> ; en 1760(<a href="#Euler1760">Euler 1760</a>), il obtint une formule donnant la courbure d'une section plane d'une surface quelconque, et en 1771(<a href="#Euler1771">Euler 1771</a>), il s'intéressa aux surfaces représentées sous une forme paramétrique. <a href="/wiki/Gaspard_Monge" title="Gaspard Monge">Monge</a> énonça les principes fondamentaux de cette théorie dans son mémoire classique L'Application de l'analyse à la géométrie, qui parut en 1795. La contribution véritablement fondatrice de la théorie des surfaces vint de <a href="/wiki/Carl_Friedrich_Gauss" title="Carl Friedrich Gauss">Gauss</a> dans deux articles remarquables écrits en 1825 et 1827(<a href="#Gauss1827">Gauss 1827</a>). Pour la première fois, Gauss y considérait la géométrie intrinsèque d'une surface, c'est-à-dire les propriétés déterminées seulement par la distance géodésique entre les points, indépendamment du plongement particulier de la surface dans l'espace euclidien ambiant<a href="#cite_note-1">[N 1]</a>. Le couronnement de ce travail, le <a href="/wiki/Theorema_egregium" title="Theorema egregium">theorema egregium</a>, montrait que la <a href="/wiki/Courbure_de_Gauss" title="Courbure de Gauss">courbure de Gauss</a> est un invariant intrinsèque, inchangé par des <a href="/wiki/Isom%C3%A9trie" title="Isométrie">isométries</a> locales. Ce point de vue fut étendu aux espaces de dimension supérieure par <a href="/wiki/Bernhard_Riemann" title="Bernhard Riemann">Bernhard Riemann</a>, aboutissant à ce qui est aujourd'hui appelé la <a href="/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_riemannienne" title="Géométrie riemannienne">géométrie riemannienne</a>. Le <abbr class="abbr" title="19ᵉ siècle">XIXe</abbr> siècle fut l'âge d'or de la théorie des surfaces, que ce soit du point de vue topologique ou différentiel, la plupart des géomètres s'étant alors intéressés à leur étude. <a href="/wiki/Gaston_Darboux" title="Gaston Darboux">Darboux</a> réunit beaucoup de leurs résultats dans son traité en quatre volumes Théorie des surfaces (1887-1896)<a href="#cite_note-2">[1]</a>. Au tournant du siècle, <a href="/wiki/Henri_Poincar%C3%A9" title="Henri Poincaré">Poincaré</a> devait faire progresser encore la théorie, en la combinant (entre autres) avec les méthodes de la <a href="/wiki/Topologie_alg%C3%A9brique" title="Topologie algébrique">topologie algébrique</a>. À partir des années 1920, la théorie des surfaces se voyait dotée d'un cadre conceptuel plus puissant par l'introduction de la notion de <a href="/wiki/Connexion_(math%C3%A9matiques)" title="Connexion (mathématiques)">connexion</a>, sous l'impulsion de <a href="/wiki/Tullio_Levi-Civita" title="Tullio Levi-Civita">Tullio Levi-Civita</a>, <a href="/wiki/%C3%89lie_Cartan" title="Élie Cartan">Élie Cartan</a> et <a href="/wiki/Hermann_Weyl" title="Hermann Weyl">Hermann Weyl</a> (motivés en particulier par des idées venues de la physique, et plus précisément de la <a href="/wiki/Relativit%C3%A9_g%C3%A9n%C3%A9rale" title="Relativité générale">relativité générale</a>). <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Courbure_des_surfaces_de_E3">Courbure des surfaces de E3</h2>[<a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&veaction=edit&section=2" title="Modifier la section : Courbure des surfaces de E3" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&action=edit&section=2" title="Modifier le code source de la section : Courbure des surfaces de E3">modifier le code</a>]</div> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Minimal_surface_curvature_planes-fr.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/49/Minimal_surface_curvature_planes-fr.svg/220px-Minimal_surface_curvature_planes-fr.svg.png" decoding="async" width="220" height="150" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/49/Minimal_surface_curvature_planes-fr.svg/330px-Minimal_surface_curvature_planes-fr.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/49/Minimal_surface_curvature_planes-fr.svg/440px-Minimal_surface_curvature_planes-fr.svg.png 2x" data-file-width="850" data-file-height="580" /></a><figcaption>Les <a href="/wiki/Courbure_principale" title="Courbure principale">courbures principales</a> en un point d'une surface.</figcaption></figure> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Surface_normal.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f6/Surface_normal.png/220px-Surface_normal.png" decoding="async" width="220" height="106" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f6/Surface_normal.png/330px-Surface_normal.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f6/Surface_normal.png/440px-Surface_normal.png 2x" data-file-width="499" data-file-height="241" /></a><figcaption>L'<a href="/wiki/Application_de_Gauss" title="Application de Gauss">application de Gauss</a> envoie un point de la surface sur le vecteur normal unitaire dirigé vers l'extérieur, représenté par un point de la sphère unité S2.</figcaption></figure> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Articles détaillés : <a href="/wiki/Courbure_de_Gauss" title="Courbure de Gauss">courbure de Gauss</a>, <a href="/wiki/Courbure_moyenne" title="Courbure moyenne">courbure moyenne</a> et <a href="/wiki/Application_de_Gauss" title="Application de Gauss">application de Gauss</a>.</div></div> Initialement, Gauss définissait (de manière non rigoureuse) la courbure d'une surface à l'aide de celle de certaines courbes planes lui étant associées. Il découvrit par la suite un ensemble de définitions équivalentes ; l'une de celles-ci utilisait les propriétés de transformation de l'aire par l'application de Gauss, application envoyant la surface sur une sphère (de dimension 2). Cependant, pour pouvoir obtenir une définition plus intrinsèque en termes d'aire et de périmètre de petits triangles, Gauss devait étudier en profondeur les propriétés des géodésiques de la surface, c'est-à-dire des chemins de plus courte longueur entre deux points donnés<a href="#cite_note-3">[N 2]</a>, comme on le verra ci-dessous. La <a href="/wiki/Courbure_de_Gauss" title="Courbure de Gauss">courbure de Gauss</a> en un point d'une surface (lisse) plongée dans l'<a href="/wiki/Espace_euclidien" title="Espace euclidien">espace euclidien</a> usuel E3 (identifié à R3 par un système de coordonnées cartésiennes) et donnée localement dans E3 par l'équation z = F(x,y) est définie comme le produit des <a href="/wiki/Courbure_principale" title="Courbure principale">courbures principales</a> en ce point(<a href="#Berger2003">Berger 2003</a>) ; la <a href="/wiki/Courbure_moyenne" title="Courbure moyenne">courbure moyenne</a> est définie comme étant leur demi-somme. Les courbures principales sont les courbures maximum et minimum des courbes (planes) obtenues en coupant la surface par des plans perpendiculaires au plan tangent au point étudié. Si ce point est choisi comme origine du repère, (0, 0, 0), et que le plan tangent est donné par z = 0, alors, après une rotation convenable autour de l'axe des z annulant le terme en xy, F admet le développement en <a href="/wiki/S%C3%A9rie_de_Taylor" title="Série de Taylor">série de Taylor</a> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(x,y)={\frac {1}{2}}k_{1}x^{2}+{\frac {1}{2}}k_{2}y^{2}+\ldots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msub> <mi>k</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msub> <mi>k</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo>…</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(x,y)={\frac {1}{2}}k_{1}x^{2}+{\frac {1}{2}}k_{2}y^{2}+\ldots }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2813a4a78a1439a87fa30ed123403bf17b6f826" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:31.698ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle F(x,y)={\frac {1}{2}}k_{1}x^{2}+{\frac {1}{2}}k_{2}y^{2}+\ldots }"></dd></dl> Dans ce cas, les courbures principales sont k1 et k2, la courbure de Gauss est donnée par <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K=k_{1}k_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>K</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>k</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K=k_{1}k_{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dfd43c4f34ed3e6efeaab964c0a225ea2aea65d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.695ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle K=k_{1}k_{2}}">, et la courbure moyenne par <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \scriptstyle K_{m}={\tfrac {k_{1}+k_{2}}{2}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="1"> <msub> <mi>K</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>k</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \scriptstyle K_{m}={\tfrac {k_{1}+k_{2}}{2}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08037e054a345b11dbad6cc8f43dcea11de14370" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:9.5ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle \scriptstyle K_{m}={\tfrac {k_{1}+k_{2}}{2}}}">. Comme K et Km sont invariants par les <a href="/wiki/Isom%C3%A9trie" title="Isométrie">isométries</a> de E3, on obtient finalement dans le cas général <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}K&={\frac {{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y^{2}}}-\left({\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y}}\right)^{2}}{\left(1+\left({\frac {\partial F}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial F}{\partial y}}\right)^{2}\right)^{2}}}={\frac {F_{xx}F_{yy}-F_{xy}^{2}}{\left(1+F_{x}^{2}+F_{y}^{2}\right)^{2}}}\ \ \end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>K</mi> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>F</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>F</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>F</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>x</mi> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>F</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>F</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msubsup> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mi>y</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}K&={\frac {{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y^{2}}}-\left({\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y}}\right)^{2}}{\left(1+\left({\frac {\partial F}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial F}{\partial y}}\right)^{2}\right)^{2}}}={\frac {F_{xx}F_{yy}-F_{xy}^{2}}{\left(1+F_{x}^{2}+F_{y}^{2}\right)^{2}}}\ \ \end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdd09f226ec861b75c5bec463b95ac99e850290c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.671ex; width:52.589ex; height:12.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}K&={\frac {{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y^{2}}}-\left({\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y}}\right)^{2}}{\left(1+\left({\frac {\partial F}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial F}{\partial y}}\right)^{2}\right)^{2}}}={\frac {F_{xx}F_{yy}-F_{xy}^{2}}{\left(1+F_{x}^{2}+F_{y}^{2}\right)^{2}}}\ \ \end{aligned}}}"></dd></dl> et <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \ {\begin{aligned}K_{m}&={\frac {\left(1+\left({\frac {\partial F}{\partial x}}\right)^{2}\right){\frac {\partial ^{2}F}{\partial y^{2}}}-2{\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y}}+\left(1+\left({\frac {\partial F}{\partial y}}\right)^{2}\right){\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}}{2\left(1+\left({\frac {\partial F}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial F}{\partial y}}\right)^{2}\right)^{3/2}}}={\frac {\left(1+F_{x}^{2}\right)F_{yy}-2F_{x}F_{y}F_{xy}+\left(1+F_{y}^{2}\right)F_{xx}}{2\left(1+F_{x}^{2}+F_{y}^{2}\right)^{3/2}}}\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>K</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>F</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>F</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>F</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>F</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>F</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>x</mi> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>F</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>F</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>F</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>F</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \ {\begin{aligned}K_{m}&={\frac {\left(1+\left({\frac {\partial F}{\partial x}}\right)^{2}\right){\frac {\partial ^{2}F}{\partial y^{2}}}-2{\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y}}+\left(1+\left({\frac {\partial F}{\partial y}}\right)^{2}\right){\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}}{2\left(1+\left({\frac {\partial F}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial F}{\partial y}}\right)^{2}\right)^{3/2}}}={\frac {\left(1+F_{x}^{2}\right)F_{yy}-2F_{x}F_{y}F_{xy}+\left(1+F_{y}^{2}\right)F_{xx}}{2\left(1+F_{x}^{2}+F_{y}^{2}\right)^{3/2}}}\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/140f07c4c3dc4248d14f27a20fad88284f7a5d64" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.171ex; width:108.99ex; height:13.509ex;" alt="{\displaystyle \ \ {\begin{aligned}K_{m}&={\frac {\left(1+\left({\frac {\partial F}{\partial x}}\right)^{2}\right){\frac {\partial ^{2}F}{\partial y^{2}}}-2{\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y}}+\left(1+\left({\frac {\partial F}{\partial y}}\right)^{2}\right){\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}}{2\left(1+\left({\frac {\partial F}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial F}{\partial y}}\right)^{2}\right)^{3/2}}}={\frac {\left(1+F_{x}^{2}\right)F_{yy}-2F_{x}F_{y}F_{xy}+\left(1+F_{y}^{2}\right)F_{xx}}{2\left(1+F_{x}^{2}+F_{y}^{2}\right)^{3/2}}}\end{aligned}}}">,</dd></dl> où les dérivées partielles sont prises au point étudié(<a href="#Eisenhart2004">Eisenhart 2004</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 123). Pour une surface orientée, l’<a href="/wiki/Application_de_Gauss" title="Application de Gauss">application de Gauss</a> envoie chaque point de la surface vers le <a href="/wiki/Normale_%C3%A0_une_surface" class="mw-redirect" title="Normale à une surface">vecteur normal</a> unitaire au plan tangent en ce point (dirigé vers l'extérieur), ce vecteur étant identifié à un point de la sphère unité. Cette application envoie donc le point de coordonnées <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x,y,z)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x,y,z)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22a8c93372e8f8b6e24d523bd5545aed3430baf4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.45ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x,y,z)}"> vers <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \scriptstyle N(x,y,z)=(F_{x}^{2}+F_{y}^{2}+1)^{-1/2}\cdot (F_{x},F_{y},-1)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="1"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msubsup> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \scriptstyle N(x,y,z)=(F_{x}^{2}+F_{y}^{2}+1)^{-1/2}\cdot (F_{x},F_{y},-1)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a56a6f46c9eb03f6ca5322971420cc0f6ee83cb4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:28.172ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \scriptstyle N(x,y,z)=(F_{x}^{2}+F_{y}^{2}+1)^{-1/2}\cdot (F_{x},F_{y},-1)}"> ; un calcul direct(<a href="#SingerThorpe1967">Singer et Thorpe 1967</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 223) montre alors que la courbure de Gauss est la <a href="/wiki/Vari%C3%A9t%C3%A9_jacobienne" title="Variété jacobienne">jacobienne</a> de l'application de Gauss. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Exemples">Exemples</h2>[<a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&veaction=edit&section=3" title="Modifier la section : Exemples" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&action=edit&section=3" title="Modifier le code source de la section : Exemples">modifier le code</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Surfaces_de_révolution">Surfaces de révolution</h3>[<a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&veaction=edit&section=4" title="Modifier la section : Surfaces de révolution" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&action=edit&section=4" title="Modifier le code source de la section : Surfaces de révolution">modifier le code</a>]</div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Surface_of_revolution_illustration.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a2/Surface_of_revolution_illustration.png/110px-Surface_of_revolution_illustration.png" decoding="async" width="110" height="140" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a2/Surface_of_revolution_illustration.png/165px-Surface_of_revolution_illustration.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a2/Surface_of_revolution_illustration.png/220px-Surface_of_revolution_illustration.png 2x" data-file-width="693" data-file-height="885" /></a><figcaption>La surface de révolution obtenue par rotation de la courbe x = 2 + cos z autour de l'axe des z.</figcaption></figure> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Surface_de_r%C3%A9volution" title="Surface de révolution">surface de révolution</a>.</div></div> Une <a href="/wiki/Surface_de_r%C3%A9volution" title="Surface de révolution">surface de révolution</a> peut par exemple être obtenue en faisant tourner une courbe du plan xz autour de l'axe des z, en supposant que la courbe ne coupe pas cet axe. En supposant que la courbe soit donnée par <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=\varphi (t),\,\,z=\psi (t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>φ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=\varphi (t),\,\,z=\psi (t)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9039c57a0a228945dfb2c5f4f3030165802a4302" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.754ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x=\varphi (t),\,\,z=\psi (t)}"> (avec t variant de a à b), et que le point paramétré par t se déplace sur la courbe à vitesse unité (t est donc la longueur de l'arc), c'est-à-dire que <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {\varphi }}^{2}+{\dot {\psi }}^{2}=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>φ</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>ψ</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\varphi }}^{2}+{\dot {\psi }}^{2}=1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a06df4cb3281d49a3c0a18060dafcd61462c4b2e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.34ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\dot {\varphi }}^{2}+{\dot {\psi }}^{2}=1}">, la surface de révolution est alors l'ensemble de points <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{M(\varphi (t)\cos \theta ,\varphi (t)\sin \theta ,\psi (t))\colon t\in ]a,b[,\theta \in [0,2\pi [\}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>M</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>φ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> <mo>,</mo> <mi>φ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> <mo>,</mo> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:</mo> <mi>t</mi> <mo>∈</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">[</mo> <mo>,</mo> <mi>θ</mi> <mo>∈</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mo stretchy="false">[</mo> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{M(\varphi (t)\cos \theta ,\varphi (t)\sin \theta ,\psi (t))\colon t\in ]a,b[,\theta \in [0,2\pi [\}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7be6e75593dfc289f1dcbaa0c687fa840882692" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:51.061ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{M(\varphi (t)\cos \theta ,\varphi (t)\sin \theta ,\psi (t))\colon t\in ]a,b[,\theta \in [0,2\pi [\}.}"> La courbure de Gauss et la courbure moyenne sont alors données par(<a href="#do_Carmo1976">do Carmo 1976</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 161-162) : <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K=-{{\ddot {\varphi }} \over \varphi },\,\,K_{m}={-{\dot {\psi }}+\varphi ({\dot {\psi }}{\ddot {\varphi }}-{\ddot {\psi }}{\dot {\varphi }}) \over 2\varphi }.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>K</mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>φ</mi> <mo>¨</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mi>φ</mi> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mi>K</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>ψ</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mi>φ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>ψ</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>φ</mi> <mo>¨</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>ψ</mi> <mo>¨</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>φ</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>φ</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K=-{{\ddot {\varphi }} \over \varphi },\,\,K_{m}={-{\dot {\psi }}+\varphi ({\dot {\psi }}{\ddot {\varphi }}-{\ddot {\psi }}{\dot {\varphi }}) \over 2\varphi }.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28305bdb4b5488d1537ee67825bae8682fc51dcc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:38.056ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle K=-{{\ddot {\varphi }} \over \varphi },\,\,K_{m}={-{\dot {\psi }}+\varphi ({\dot {\psi }}{\ddot {\varphi }}-{\ddot {\psi }}{\dot {\varphi }}) \over 2\varphi }.}"></dd></dl> Les géodésiques d'une surface de révolution obéissent à la <a href="/wiki/Relation_de_Clairaut" title="Relation de Clairaut">relation de Clairaut</a> : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r(t)\cos \theta (t)=C^{te}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>C</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> <mi>e</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r(t)\cos \theta (t)=C^{te}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d717d0f5b91bba7b8ebbe0e416fc0638a85c6cc6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.811ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle r(t)\cos \theta (t)=C^{te}}"> , où r(t) est la distance à l’axe et θ(t) est cette l'angle entre le vecteur tangent à la géodésique et le cercle de rayon r(t). <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Quadriques">Quadriques</h3>[<a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&veaction=edit&section=5" title="Modifier la section : Quadriques" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&action=edit&section=5" title="Modifier le code source de la section : Quadriques">modifier le code</a>]</div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Quadric_Ellipsoid.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a1/Quadric_Ellipsoid.jpg" decoding="async" width="192" height="144" class="mw-file-element" data-file-width="192" data-file-height="144" /></a><figcaption>Une quadrique (un <a href="/wiki/Ellipso%C3%AFde" title="Ellipsoïde">ellipsoïde</a>, correspondant à a, b et c positifs).</figcaption></figure> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Quadrique" title="Quadrique">quadrique</a>.</div></div> Soit la <a href="/wiki/Quadrique" title="Quadrique">quadrique</a> définie par <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {x^{2} \over a}+{y^{2} \over b}+{z^{2} \over c}=1.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>a</mi> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>b</mi> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>c</mi> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>1.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {x^{2} \over a}+{y^{2} \over b}+{z^{2} \over c}=1.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b55f2d4e889bd01f88aec2c51cf36a158f406bf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:19.84ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {x^{2} \over a}+{y^{2} \over b}+{z^{2} \over c}=1.}"></dd></dl> Cette surface peut être paramétrée(<a href="#Eisenhart2004">Eisenhart 2004</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 228-229) par <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x={\sqrt {a(a-u)(a-v) \over (a-b)(a-c)}},\,\,y={\sqrt {b(b-u)(b-v) \over (b-a)(b-c)}},\,\,z={\sqrt {c(c-u)(c-v) \over (c-b)(c-a)}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mfrac> <mrow> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>−</mo> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>−</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>−</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>−</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mfrac> </msqrt> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mfrac> <mrow> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo>−</mo> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo>−</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo>−</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mfrac> </msqrt> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>c</mi> <mo>−</mo> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>c</mi> <mo>−</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>c</mi> <mo>−</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>c</mi> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mfrac> </msqrt> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x={\sqrt {a(a-u)(a-v) \over (a-b)(a-c)}},\,\,y={\sqrt {b(b-u)(b-v) \over (b-a)(b-c)}},\,\,z={\sqrt {c(c-u)(c-v) \over (c-b)(c-a)}}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd27a885dfc346cf15b9cc3e3e206c7792fa4482" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:71.584ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle x={\sqrt {a(a-u)(a-v) \over (a-b)(a-c)}},\,\,y={\sqrt {b(b-u)(b-v) \over (b-a)(b-c)}},\,\,z={\sqrt {c(c-u)(c-v) \over (c-b)(c-a)}}.}"></dd></dl> où u et v sont deux réels (rendant les radicandes positifs) La courbure de Gauss et la courbure moyenne sont alors données par <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K={abc \over u^{2}v^{2}},\,\,K_{m}=-{u+v \over 2}{\sqrt {abc \over u^{3}v^{3}}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>K</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mi>c</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mi>K</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>u</mi> <mo>+</mo> <mi>v</mi> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mfrac> <mrow> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mi>c</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </msqrt> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K={abc \over u^{2}v^{2}},\,\,K_{m}=-{u+v \over 2}{\sqrt {abc \over u^{3}v^{3}}}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7327d3eb61077d56f00dd2403f2e6a1854b84ff" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:35.435ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle K={abc \over u^{2}v^{2}},\,\,K_{m}=-{u+v \over 2}{\sqrt {abc \over u^{3}v^{3}}}.}"></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Surfaces_réglées">Surfaces réglées</h3>[<a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&veaction=edit&section=6" title="Modifier la section : Surfaces réglées" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&action=edit&section=6" title="Modifier le code source de la section : Surfaces réglées">modifier le code</a>]</div> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Ruled_hyperboloid.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ad/Ruled_hyperboloid.jpg/110px-Ruled_hyperboloid.jpg" decoding="async" width="110" height="188" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ad/Ruled_hyperboloid.jpg/165px-Ruled_hyperboloid.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ad/Ruled_hyperboloid.jpg/220px-Ruled_hyperboloid.jpg 2x" data-file-width="375" data-file-height="640" /></a><figcaption>Un <a href="/wiki/Hyperbolo%C3%AFde" title="Hyperboloïde">hyperboloïde</a> à une nappe, surface doublement réglée.</figcaption></figure> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Surface_r%C3%A9gl%C3%A9e" title="Surface réglée">surface réglée</a>.</div></div> Une <a href="/wiki/Surface_r%C3%A9gl%C3%A9e" title="Surface réglée">surface réglée</a> est une surface qui peut être engendrée par le déplacement d'une ligne droite dans E3<a href="#cite_note-4">[2]</a>. Choisissant une directrice sur la surface, c'est-à-dire une courbe différentiable c(t), parcourue à vitesse unité, et orthogonale aux droites, et choisissant ensuite des vecteurs unitaires u(t) directeurs en chaque point c(t) de la droite passant par ce point, le vecteur vitesse v(t) =ct vérifie <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u\cdot v=0,\,\,\|u\|=1,\,\,\|v\|=1.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>u</mi> <mo>⋅</mo> <mi>v</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mi>u</mi> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mi>v</mi> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mo>=</mo> <mn>1.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u\cdot v=0,\,\,\|u\|=1,\,\,\|v\|=1.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/820e11beae218d382f488ad45283d9d7f4e87580" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:28.289ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle u\cdot v=0,\,\,\|u\|=1,\,\,\|v\|=1.}"></dd></dl> La surface est formée des points <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c(t)+s\times u(t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>s</mi> <mo>×</mo> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c(t)+s\times u(t)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81fb34eafd160d82f2b1c32d8c1f96e17a0ede3c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.406ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle c(t)+s\times u(t)}"> avec s et t quelconques. Alors, en posant <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a=\|u_{t}\|,\,\,b=u_{t}\cdot v,\,\,\alpha =-b/a^{2},\,\,\beta =(a^{2}-b^{2})/a^{4}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <mi>v</mi> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>α</mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>β</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a=\|u_{t}\|,\,\,b=u_{t}\cdot v,\,\,\alpha =-b/a^{2},\,\,\beta =(a^{2}-b^{2})/a^{4}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/269015dbdeb618a0785899f221ea888c2fe4029b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:50.992ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle a=\|u_{t}\|,\,\,b=u_{t}\cdot v,\,\,\alpha =-b/a^{2},\,\,\beta =(a^{2}-b^{2})/a^{4}}"> (où, comme pour v, ut désigne la dérivée par rapport à t), la courbure de Gauss et la courbure moyenne sont données par <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K=-{\beta ^{2} \over (s-\alpha )^{2}+\beta ^{2}},\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>K</mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>β</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>s</mi> <mo>−</mo> <mi>α</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>β</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K=-{\beta ^{2} \over (s-\alpha )^{2}+\beta ^{2}},\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad913598a950ab8b4b837a80f9839c79f4faf16a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:22.356ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle K=-{\beta ^{2} \over (s-\alpha )^{2}+\beta ^{2}},\,}"></dd></dl> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \,K_{m}=-{r[(s-\alpha )^{2}+\beta ^{2})]+\beta _{t}(s-\alpha )+\beta \alpha _{t} \over 2[(s-\alpha )^{2}+\beta ^{2}]^{3/2}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mi>K</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">[</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>s</mi> <mo>−</mo> <mi>α</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>β</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>β</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>s</mi> <mo>−</mo> <mi>α</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>β</mi> <msub> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">[</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>s</mi> <mo>−</mo> <mi>α</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>β</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \,K_{m}=-{r[(s-\alpha )^{2}+\beta ^{2})]+\beta _{t}(s-\alpha )+\beta \alpha _{t} \over 2[(s-\alpha )^{2}+\beta ^{2}]^{3/2}}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0afe55b3ecf24c3086c7d26ade161c657591886e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:45.881ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \,K_{m}=-{r[(s-\alpha )^{2}+\beta ^{2})]+\beta _{t}(s-\alpha )+\beta \alpha _{t} \over 2[(s-\alpha )^{2}+\beta ^{2}]^{3/2}}.}"></dd></dl> La courbure de Gauss s'annule si et seulement si les deux vecteurs ut et v sont colinéaires(<a href="#do_Carmo1976">do Carmo 1976</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 194). Cette condition est équivalente à ce que la surface soit l'<a href="/wiki/Enveloppe_(g%C3%A9om%C3%A9trie)#Enveloppe_d.27une_famille_de_surfaces" title="Enveloppe (géométrie)">enveloppe</a> de la famille des plans définis par les points de la courbe, le vecteur tangent v et le vecteur orthogonal u, c'est-à-dire à ce que la surface soit <a href="/wiki/Surface_d%C3%A9veloppable" title="Surface développable">développable</a> le long de la courbe(<a href="#Eisenhart2004">Eisenhart 2004</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 61-65). Plus généralement, une surface de E3 est de courbure de Gauss nulle au voisinage d'un point si et seulement si elle est développable près de ce point(<a href="#Eisenhart2004">Eisenhart 2004</a>) (une condition équivalente utilisant la métrique sera donnée plus bas). <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Surfaces_minimales">Surfaces minimales</h3>[<a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&veaction=edit&section=7" title="Modifier la section : Surfaces minimales" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&action=edit&section=7" title="Modifier le code source de la section : Surfaces minimales">modifier le code</a>]</div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Surface_minimale" title="Surface minimale">surface minimale</a>.</div></div> En 1760, <a href="/wiki/Joseph-Louis_Lagrange" title="Joseph-Louis Lagrange">Lagrange</a> généralisa au cas de deux variables les résultats d'<a href="/wiki/Leonhard_Euler" title="Leonhard Euler">Euler</a> concernant le <a href="/wiki/Calcul_des_variations" title="Calcul des variations">calcul des variations</a> pour les intégrales à une variable<a href="#cite_note-5">[3]</a>. Il cherchait à résoudre le problème suivant : « Étant donnée une courbe fermée de E3, déterminer une surface d'aire minimale ayant cette courbe comme frontière. » Une telle surface s'appelle une <a href="/wiki/Surface_minimale" title="Surface minimale">surface minimale</a>. En 1776, <a href="/wiki/Jean-Baptiste_Marie_Meusnier_de_La_Place" class="mw-redirect" title="Jean-Baptiste Marie Meusnier de La Place">Meusnier</a> montra que l'équation différentielle obtenue par Lagrange était équivalente à une condition sur la courbure moyenne : « Une surface est minimale si et seulement si sa courbure moyenne en tout point est nulle. » Les surfaces minimales ont une interprétation physique concrète : elles ont la forme que prend un <a href="/wiki/Bulle_de_savon" title="Bulle de savon">film de savon</a> s'appuyant sur un fil métallique. Cela permet d'obtenir expérimentalement des solutions dans les cas simples, méthode employée par le physicien belge <a href="/wiki/Joseph_Plateau" title="Joseph Plateau">Joseph Plateau</a> au milieu du <abbr class="abbr" title="19ᵉ siècle">XIXe</abbr> siècle ; la question de savoir si, pour un contour donné, il existe toujours une surface minimale, fut appelée le <a href="/wiki/Probl%C3%A8me_de_Plateau" title="Problème de Plateau">problème de Plateau</a>, et fut résolue (par l'affirmative) en 1930 par <a href="/wiki/Jesse_Douglas" title="Jesse Douglas">Jesse Douglas</a> et <a href="/wiki/Tibor_Rad%C3%B3" title="Tibor Radó">Tibor Radó</a> ; Douglas reçut pour ce travail une des premières <a href="/wiki/M%C3%A9daille_Fields" title="Médaille Fields">médailles Fields</a> en 1936<a href="#cite_note-6">[4]</a>. On connait de nombreux exemples explicites de surfaces minimales, telles que la <a href="/wiki/Cat%C3%A9no%C3%AFde" title="Caténoïde">caténoïde</a>, l'<a href="/wiki/H%C3%A9lico%C3%AFde" title="Hélicoïde">hélicoïde</a>, les <a href="/wiki/Surfaces_de_Scherk" title="Surfaces de Scherk">surfaces de Scherk</a> et la <a href="/wiki/Surface_d%27Enneper" title="Surface d'Enneper">surface d'Enneper</a>. C'est un domaine de recherche étendu, dont on trouvera une synthèse dans (<a href="#Osserman2002">Osserman 2002</a>). En particulier, un résultat d'<a href="/wiki/Robert_Osserman" title="Robert Osserman">Osserman</a> montre que pour toute surface minimale non plane, son image par l'application de Gauss est dense dans S2. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Surfaces_de_courbure_constante">Surfaces de courbure constante</h3>[<a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&veaction=edit&section=8" title="Modifier la section : Surfaces de courbure constante" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&action=edit&section=8" title="Modifier le code source de la section : Surfaces de courbure constante">modifier le code</a>]</div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Gaussian_curvature.PNG" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Gaussian_curvature.PNG/220px-Gaussian_curvature.PNG" decoding="async" width="220" height="173" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Gaussian_curvature.PNG/330px-Gaussian_curvature.PNG 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Gaussian_curvature.PNG/440px-Gaussian_curvature.PNG 2x" data-file-width="906" data-file-height="713" /></a><figcaption>Surfaces ayant des courbures de Gauss constantes : de gauche à droite, courbure négative, nulle et positive.</figcaption></figure> Une surface de courbure constante est une surface ayant la même courbure de Gauss en chaque point<a href="#cite_note-7">[5]</a>. <ul><li>La <a href="/wiki/Sph%C3%A8re" title="Sphère">sphère</a> unité de E3 est de courbure constante +1.</li> <li>Le <a href="/wiki/Plan_(math%C3%A9matiques)" title="Plan (mathématiques)">plan</a> euclidien et le <a href="/wiki/Cylindre" title="Cylindre">cylindre</a> sont de courbure constante nulle. Les <a href="/wiki/C%C3%B4ne_(g%C3%A9om%C3%A9trie)" title="Cône (géométrie)">cônes</a>, et plus généralement, toutes les <a href="/wiki/Surface_d%C3%A9veloppable" title="Surface développable">surfaces développables</a>, fournissent d'autres exemples de surfaces de courbure nulle.</li> <li>Les surfaces de révolution engendrées (avec les notations précédentes) par une courbe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=\varphi (t),z=\psi (t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>φ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=\varphi (t),z=\psi (t)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d67a4b7d134404c91a2dc1917185ebfac75b27a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.98ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x=\varphi (t),z=\psi (t)}">, avec t <a href="/wiki/Abscisse_curviligne" title="Abscisse curviligne">abscisse curviligne</a> de la courbe, sont de courbure constante si et seulement si <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\ddot {\varphi }}{\varphi }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>φ</mi> <mo>¨</mo> </mover> </mrow> <mi>φ</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\ddot {\varphi }}{\varphi }}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e19dbae2537432a83835abcf6988b83c0929543a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:2.371ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\ddot {\varphi }}{\varphi }}}"> est constante. En effet, ce quotient est opposé à la courbure. Des cas particuliers donnant la courbure 1 sont donnés par <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi =C\sin(t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>φ</mi> <mo>=</mo> <mi>C</mi> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi =C\sin(t)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dde59ba6bddd82951433ec8f729d8c5cf4a75dda" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.277ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \varphi =C\sin(t)}">. Le cas C = 1 redonne la sphère unité. La détermination des autres surfaces de courbure 1 nécessite l'utilisation d'<a href="/wiki/Int%C3%A9grale_elliptique#Deuxième_espèce" title="Intégrale elliptique">intégrales elliptiques</a> pour exprimer z. Pour la courbure <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/704fb0427140d054dd267925495e78164fee9aac" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:2.971ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle -1}">, on a par exemple <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi (t)=Ce^{t},C\cosh(t),C\sinh(t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>φ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>C</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mi>C</mi> <mi>cosh</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>C</mi> <mi>sinh</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi (t)=Ce^{t},C\cosh(t),C\sinh(t)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff97649f92e6657e3c20a0e698e1e8aa8b6b0925" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:31.168ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \varphi (t)=Ce^{t},C\cosh(t),C\sinh(t)}"> <a href="#cite_note-8">[6]</a>. Le premier cas avec C=1 correspond à la <a href="/wiki/Pseudosph%C3%A8re" title="Pseudosphère">pseudosphère</a> classique engendrée par rotation d'une <a href="/wiki/Tractrice" title="Tractrice">tractrice</a> autour de son asymptote. En 1868, <a href="/wiki/Eugenio_Beltrami" title="Eugenio Beltrami">Eugenio Beltrami</a> montra que la géométrie de la pseudosphère était directement liée à celle du <a href="/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_hyperbolique" title="Géométrie hyperbolique">plan hyperbolique</a>, découverte indépendamment par <a href="/wiki/Nikola%C3%AF_Ivanovitch_Lobatchevski" title="Nikolaï Ivanovitch Lobatchevski">Lobatchevski</a> (en 1830) et <a href="/wiki/J%C3%A1nos_Bolyai" title="János Bolyai">Bolyai</a> (en 1832). Dès 1840, <a href="/wiki/Ferdinand_Minding" title="Ferdinand Minding">Ferdinand Minding</a>, prolongeant les travaux de Gauss, avait obtenu des relations trigonométriques pour la pseudosphère identiques à celles du plan hyperbolique(<a href="#Stillwell1996">Stillwell 1996</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 1-5). Cette surface est à présent mieux comprise en utilisant la <a href="/wiki/M%C3%A9trique_de_Poincar%C3%A9" title="Métrique de Poincaré">métrique de Poincaré</a> sur le demi-plan ou sur le disque unité, et est également décrite par d'autres modèles tels que le <a href="/wiki/Mod%C3%A8le_de_Klein" title="Modèle de Klein">modèle de Klein</a> ou le <a href="/wiki/Mod%C3%A8le_de_l%27hyperbolo%C3%AFde" title="Modèle de l'hyperboloïde">modèle de Minkowski</a> obtenu en considérant l'<a href="/wiki/Hyperbolo%C3%AFde#Hyperboloïde_à_deux_nappes" title="Hyperboloïde">hyperboloïde à deux nappes</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-z^{2}=-1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-z^{2}=-1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e146671362ae7f6a3d6c11e22aa9e3efcd23255e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:30.112ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle q(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-z^{2}=-1}"> dans l'<a href="/wiki/Espace_de_Minkowski" title="Espace de Minkowski">espace de Minkowski</a> à trois dimensions(<a href="#Wilson2008">Wilson 2008</a>).</li></ul> Chacune de ces surfaces possède un groupe de symétries qui est un <a href="/wiki/Groupe_de_Lie" title="Groupe de Lie">groupe de Lie</a> <a href="/wiki/Action_de_groupe_(math%C3%A9matiques)#Action_transitive" title="Action de groupe (mathématiques)">transitif</a>. Ce résultat a de nombreuses conséquences, d'autant plus importantes que ces surfaces particulières jouent un rôle central dans l'étude de la géométrie des surfaces générales, en raison du <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_d%27uniformisation" title="Théorème d'uniformisation">théorème d'uniformisation</a> de Poincaré, comme on le verra plus loin. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Structure_métrique_locale">Structure métrique locale</h2>[<a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&veaction=edit&section=9" title="Modifier la section : Structure métrique locale" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&action=edit&section=9" title="Modifier le code source de la section : Structure métrique locale">modifier le code</a>]</div> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Sphere_with_chart.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/29/Sphere_with_chart.svg/110px-Sphere_with_chart.svg.png" decoding="async" width="110" height="178" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/29/Sphere_with_chart.svg/165px-Sphere_with_chart.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/29/Sphere_with_chart.svg/220px-Sphere_with_chart.svg.png 2x" data-file-width="366" data-file-height="591" /></a><figcaption>Une carte pour l'hémisphère supérieur de la 2-sphère, obtenue en la projetant sur le plan x-y.</figcaption></figure> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Transition.gif" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/70/Transition.gif/220px-Transition.gif" decoding="async" width="220" height="138" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/70/Transition.gif/330px-Transition.gif 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/70/Transition.gif/440px-Transition.gif 2x" data-file-width="581" data-file-height="364" /></a><figcaption>Les changements de coordonnées entre différentes cartes locales doivent être différentiables.</figcaption></figure> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Vari%C3%A9t%C3%A9_riemannienne" title="Variété riemannienne">variété riemannienne</a>.</div></div> Pour toute surface plongée dans l'espace euclidien de dimension 3 ou plus, il est possible de mesurer la longueur d'une courbe de la surface, l'angle entre deux courbes, et l'aire d'une région quelconque bornée de la surface. Cette structure peut être représentée « infinitésimalement » par une <a href="/wiki/M%C3%A9trique_riemannienne" title="Métrique riemannienne">métrique riemannienne</a> mesurant sur la surface les « éléments de longueur » et les « éléments d'aire ». Jusqu'au début du <abbr class="abbr" title="20ᵉ siècle">XXe</abbr> siècle, seules les surfaces plongées dans R3 étaient envisagées, et la métrique était donnée par une <a href="/wiki/Matrice_d%C3%A9finie_positive" title="Matrice définie positive">matrice définie positive</a> d'ordre 2, définie en chaque point (de façon différentiable) dans une représentation paramétrique locale de la surface. Ces idées de représentations paramétriques locales permettant un changement de coordonnées furent par la suite formalisées pour aboutir à la notion moderne de <a href="/wiki/Vari%C3%A9t%C3%A9_diff%C3%A9rentielle" title="Variété différentielle">variété différentielle</a>, où la structure différentielle est donnée par une collection de <a href="/wiki/Carte_locale" title="Carte locale">cartes locales</a> de la variété, exactement comme la Terre est actuellement représentée par des <a href="/wiki/Atlas_g%C3%A9ographique" class="mw-redirect" title="Atlas géographique">atlas</a><a href="#cite_note-9">[N 3]</a>. Le recollement, par changement de coordonnées entre différentes cartes de la même région, doit être différentiable. Pour chaque carte locale, une métrique riemannienne est donnée par une matrice (définie positive d'ordre 2) en chaque point ; ces matrices se transforment, en passant d'une carte à une autre, à l'aide de la <a href="/wiki/Matrice_jacobienne" title="Matrice jacobienne">matrice jacobienne</a> du changement de coordonnées. On définit ainsi une <a href="/wiki/Vari%C3%A9t%C3%A9_riemannienne" title="Variété riemannienne">variété riemannienne</a> de dimension 2. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Éléments_de_longueur_et_d'aire">Éléments de longueur et d'aire</h3>[<a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&veaction=edit&section=10" title="Modifier la section : Éléments de longueur et d'aire" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&action=edit&section=10" title="Modifier le code source de la section : Éléments de longueur et d'aire">modifier le code</a>]</div> En projetant par exemple la surface sur le plan <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}">-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}"> (d'équation <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z=0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b92bfc06485cc90286474b14a516a68d8bfdd7b3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.349ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle z=0}">), on obtient une carte locale pour laquelle les éléments de longueur <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {d} s}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>s</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} s}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5496d5dfa7c75b160324a51bc702b3c7abfdb717" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.383ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} s}"> et d'aire <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {d} A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c176b538dffc74abcc1a74bbf51a65b18dc4ef5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.036ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} A}"> peuvent s'écrire <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=E\,\mathrm {d} x^{2}+2F\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y+G\,\mathrm {d} y^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <msup> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>E</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>F</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>x</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>y</mi> <mo>+</mo> <mi>G</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=E\,\mathrm {d} x^{2}+2F\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y+G\,\mathrm {d} y^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e5d5950ccbfe7a56112759db774673d6d0ff57d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:32.524ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=E\,\mathrm {d} x^{2}+2F\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y+G\,\mathrm {d} y^{2}}"></dd></dl> et <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {d} A={\sqrt {EG-F^{2}}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>E</mi> <mi>G</mi> <mo>−</mo> <msup> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>x</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} A={\sqrt {EG-F^{2}}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd5148ffe94569b4a53f0387c28b27f32893831e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.614ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} A={\sqrt {EG-F^{2}}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}">,</dd></dl> L'expression <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E\mathrm {d} x^{2}+2F\mathrm {d} x\mathrm {d} y+G\mathrm {d} y^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>y</mi> <mo>+</mo> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E\mathrm {d} x^{2}+2F\mathrm {d} x\mathrm {d} y+G\mathrm {d} y^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee3d9739e02da2e0914bcb2f3a764185b6192e53" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:24.44ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle E\mathrm {d} x^{2}+2F\mathrm {d} x\mathrm {d} y+G\mathrm {d} y^{2}}"> est appelée la <a href="/wiki/Premi%C3%A8re_forme_fondamentale" title="Première forme fondamentale">première forme fondamentale</a>(<a href="#Eisenhart2004">Eisenhart 2004</a>). La matrice <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{pmatrix}E(x,y)&F(x,y)\\F(x,y)&G(x,y)\end{pmatrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{pmatrix}E(x,y)&F(x,y)\\F(x,y)&G(x,y)\end{pmatrix}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1f084622be981ecaa36f2ebacea8e35e73bbc71" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:20.754ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{pmatrix}E(x,y)&F(x,y)\\F(x,y)&G(x,y)\end{pmatrix}}}"></dd></dl> doit être <a href="/wiki/Matrice_d%C3%A9finie_positive" title="Matrice définie positive">définie positive</a>, et ses coefficients doivent être des fonctions dérivables de <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}">. Plus généralement, il est ainsi possible, par l'intermédiaire des cartes locales, d'associer des éléments différentiels de longueur et d'aire à chaque point d'une <a href="/wiki/Vari%C3%A9t%C3%A9_riemannienne" title="Variété riemannienne">variété riemannienne</a> (abstraite) de dimension 2. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Seconde_forme_fondamentale">Seconde forme fondamentale</h3>[<a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&veaction=edit&section=11" title="Modifier la section : Seconde forme fondamentale" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&action=edit&section=11" title="Modifier le code source de la section : Seconde forme fondamentale">modifier le code</a>]</div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Seconde_forme_fondamentale" title="Seconde forme fondamentale">seconde forme fondamentale</a>.</div></div> La géométrie extrinsèque des surfaces étudie les propriétés des surfaces plongées dans un espace euclidien, en général E3. Du point de vue de la géométrie intrinsèque, deux surfaces sont « les mêmes » s'il est possible d'étaler l'une sur l'autre sans l'étirer, c'est-à-dire qu'il existe une application de l'une vers l'autre préservant les distances. Ainsi, un cylindre est localement « semblable » au plan. En géométrie extrinsèque, deux surfaces sont « les mêmes » si elles sont <a href="/wiki/Congruence_(g%C3%A9om%C3%A9trie)" title="Congruence (géométrie)">congruentes</a> dans l'espace euclidien ambiant, c'est-à-dire qu'il existe une <a href="/wiki/Isom%C3%A9trie" title="Isométrie">isométrie</a> de E3 envoyant l'une sur l'autre. Cette définition plus rigide différencie le cylindre du plan. Bien que les principaux invariants dans l'étude de la géométrie intrinsèque d'une surface soient la métrique (la première forme fondamentale) et la courbure de Gauss, d'autres propriétés dépendent du plongement dans un espace euclidien. L'exemple le plus important est la seconde forme fondamentale, définie classiquement ainsi<a href="#cite_note-10">[7]</a> : soit un point (x, y) de la surface dans une carte locale. Le carré de la distance (euclidienne) entre un point proche (x + dx, y + dy) et le plan tangent en (x, y), c'est-à-dire le carré de la distance de ce point à sa projection orthogonale, est de la forme <dl><dd>e dx2 + 2f dx dy + g dy2</dd></dl> à des corrections d'ordre supérieur près. Cette expression, une <a href="/wiki/Forme_bilin%C3%A9aire_sym%C3%A9trique" title="Forme bilinéaire symétrique">forme bilinéaire symétrique</a> en chaque point (mais qui n'est pas définie positive en général), est la <a href="/wiki/Seconde_forme_fondamentale" title="Seconde forme fondamentale">seconde forme fondamentale</a>. Elle peut se représenter par une <a href="/wiki/Matrice_sym%C3%A9trique" title="Matrice symétrique">matrice symétrique</a> d'ordre 2 : <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{pmatrix}e(x,y)&f(x,y)\\f(x,y)&g(x,y)\end{pmatrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>e</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{pmatrix}e(x,y)&f(x,y)\\f(x,y)&g(x,y)\end{pmatrix}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a625de6beb7d0a4368c1ee856e02a76e2e15c13a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:19.709ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{pmatrix}e(x,y)&f(x,y)\\f(x,y)&g(x,y)\end{pmatrix}}}"></dd></dl> dont les coefficients dépendent (de façon différentiable) de x et y. La courbure de Gauss est alors donnée par le quotient des déterminants des deux formes fondamentales : <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K={eg-f^{2} \over EG-F^{2}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>K</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>e</mi> <mi>g</mi> <mo>−</mo> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mi>E</mi> <mi>G</mi> <mo>−</mo> <msup> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K={eg-f^{2} \over EG-F^{2}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/686bf880ffdd1a8d4d73bf501dbe4663dca6a280" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:15.312ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle K={eg-f^{2} \over EG-F^{2}}}"></dd></dl> Ce nombre est un invariant intrinsèque ; ce fait remarquable fut démontré par Gauss (c'est son <a href="/wiki/Theorema_egregium" title="Theorema egregium">theorema egregium</a>, qui sera discuté plus loin). La <a href="/wiki/Courbure_moyenne" title="Courbure moyenne">courbure moyenne</a> Km, définie comme la demi-somme des courbures principales, est un autre invariant extrinsèque important (mais il n'est pas intrinsèque : la courbure moyenne d'un cylindre est non nulle, contrairement à celle du plan). Elle est donnée par la formule(<a href="#Eisenhart2004">Eisenhart 2004</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 123) : <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K_{m}={1 \over 2}\cdot {eG+gE-2fF \over EG-F^{2}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>K</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>e</mi> <mi>G</mi> <mo>+</mo> <mi>g</mi> <mi>E</mi> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi>f</mi> <mi>F</mi> </mrow> <mrow> <mi>E</mi> <mi>G</mi> <mo>−</mo> <msup> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K_{m}={1 \over 2}\cdot {eG+gE-2fF \over EG-F^{2}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3103597c5650cb01b4840ae3a7af79d76ac649ff" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:26.925ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle K_{m}={1 \over 2}\cdot {eG+gE-2fF \over EG-F^{2}}}"></dd></dl> Les coefficients des deux formes fondamentales satisfont certaines conditions de compatibilité connues sous le nom d'<a href="/wiki/%C3%89quations_de_Gauss-Codazzi" title="Équations de Gauss-Codazzi">équations de Gauss-Codazzi</a>, lesquelles font intervenir les <a href="/wiki/Symboles_de_Christoffel" title="Symboles de Christoffel">symboles de Christoffel</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54d6c913ed873bfa56bdf2e3dab2b3ea9225638a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:2.93ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}}"> associés à la première forme fondamentale(<a href="#Eisenhart2004">Eisenhart 2004</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 156) : <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e_{y}-f_{x}=e\Gamma _{12}^{1}+f(\Gamma _{12}^{2}-\Gamma _{11}^{1})-g\Gamma _{11}^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>e</mi> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>12</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>12</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>11</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>g</mi> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>11</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e_{y}-f_{x}=e\Gamma _{12}^{1}+f(\Gamma _{12}^{2}-\Gamma _{11}^{1})-g\Gamma _{11}^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7c567f2eecbbd743d920818cd9ab6642ad870ab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:37.508ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle e_{y}-f_{x}=e\Gamma _{12}^{1}+f(\Gamma _{12}^{2}-\Gamma _{11}^{1})-g\Gamma _{11}^{2}}"></dd> <dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{y}-g_{x}=e\Gamma _{22}^{1}+f(\Gamma _{22}^{2}-\Gamma _{12}^{1})-g\Gamma _{12}^{2}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>e</mi> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>22</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>22</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>12</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>g</mi> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>12</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{y}-g_{x}=e\Gamma _{22}^{1}+f(\Gamma _{22}^{2}-\Gamma _{12}^{1})-g\Gamma _{12}^{2}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9e36ad931b308fa4e49b197176bf8141c5db09c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:38.18ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f_{y}-g_{x}=e\Gamma _{22}^{1}+f(\Gamma _{22}^{2}-\Gamma _{12}^{1})-g\Gamma _{12}^{2}.}"></dd></dl> Ces équations peuvent aussi être obtenues (de manière plus succincte<a href="#cite_note-11">[8]</a>) dans le langage des formes de connexion dû à <a href="/wiki/%C3%89lie_Cartan" title="Élie Cartan">Élie Cartan</a>(<a href="#O'Neill1997">O'Neill 1997</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 257). <a href="/wiki/Pierre-Ossian_Bonnet" title="Pierre-Ossian Bonnet">Pierre Bonnet</a> montra que deux <a href="/wiki/Forme_quadratique" title="Forme quadratique">formes quadratiques</a> satisfaisant les équations de Gauss-Codazzi déterminent toujours (localement) une surface plongée et une seule(<a href="#do_Carmo1976">do Carmo 1976</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 309-314). Pour cette raison, ces équations sont souvent appelées les équations fondamentales des plongements de surfaces, identifiant précisément l'origine des courbures intrinsèques et extrinsèques. Elles possèdent des généralisations aux surfaces plongées dans des <a href="/wiki/Vari%C3%A9t%C3%A9_riemannienne" title="Variété riemannienne">variétés riemanniennes</a> quelconques. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Opérateur_de_forme">Opérateur de forme</h3>[<a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&veaction=edit&section=12" title="Modifier la section : Opérateur de forme" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&action=edit&section=12" title="Modifier le code source de la section : Opérateur de forme">modifier le code</a>]</div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Wilhelm_Blaschke.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cf/Wilhelm_Blaschke.jpg/220px-Wilhelm_Blaschke.jpg" decoding="async" width="220" height="294" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/cf/Wilhelm_Blaschke.jpg 1.5x" data-file-width="277" data-file-height="370" /></a><figcaption><a href="/wiki/Wilhelm_Blaschke" title="Wilhelm Blaschke">Wilhelm Blaschke</a> (1885-1962).</figcaption></figure> La <a href="/wiki/Diff%C3%A9rentielle" title="Différentielle">différentielle</a> df de l'application de Gauss f permet de définir une autre sorte de courbure extrinsèque, appelée opérateur de forme<a href="#cite_note-12">[9]</a>, ou application de Weingarten. Cet opérateur apparut d'abord sous forme implicite dans les travaux de <a href="/wiki/Wilhelm_Blaschke" title="Wilhelm Blaschke">Wilhelm Blaschke</a>, et fut par la suite explicité dans un traité écrit par <a href="/wiki/Cesare_Burali-Forti" title="Cesare Burali-Forti">Burali-Forti</a> et Burgati(<a href="#GrayAbbenaSalamon2006">Gray, Abbena et Salamon 2006</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 386). Comme en chaque point x de la surface, le plan tangent est muni d'un produit scalaire, l'opérateur de forme Sx peut être défini comme une <a href="/wiki/Application_lin%C3%A9aire" title="Application linéaire">application linéaire</a> de cet espace par la formule <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (S_{x}v,w)=\langle df(v),w\rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mi>v</mi> <mo>,</mo> <mi>w</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>d</mi> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>w</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (S_{x}v,w)=\langle df(v),w\rangle }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d1a05e3d2d8229c8fadf2ae995d4975788a6b6f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.27ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (S_{x}v,w)=\langle df(v),w\rangle }"></dd></dl> pour tous les vecteurs tangents v et w (le produit scalaire est bien défini, df(v) et w étant des vecteurs de E3)<a href="#cite_note-13">[N 4]</a>. Le membre de droite est symétrique en v et w, aussi l'opérateur de forme est un <a href="/wiki/Endomorphisme_autoadjoint" title="Endomorphisme autoadjoint">endomorphisme autoadjoint</a> de l'espace tangent. Les <a href="/wiki/Valeur_propre,_vecteur_propre_et_espace_propre" title="Valeur propre, vecteur propre et espace propre">valeurs propres</a> de Sx sont les courbures principales k1 et k2 en x, et il en résulte que le <a href="/wiki/D%C3%A9terminant_(math%C3%A9matiques)" title="Déterminant (mathématiques)">déterminant</a> de l'opérateur de forme est la courbure de Gauss, tandis que sa <a href="/wiki/Trace_(alg%C3%A8bre)" title="Trace (algèbre)">trace</a> est le double de la courbure moyenne. Les <a href="/wiki/Valeur_propre,_vecteur_propre_et_espace_propre" title="Valeur propre, vecteur propre et espace propre">vecteurs propres</a> déterminent les directions des courbures principales, c'est-à-dire celles qu'une courbe tracée sur la surface doit suivre pour avoir les courbures maximales et minimales. L'opérateur de forme est relié aux coefficients des formes fondamentales par les <a href="/wiki/%C3%89quations_de_Weingarten" title="Équations de Weingarten">équations de Weingarten</a>(<a href="#GrayAbbenaSalamon2006">Gray, Abbena et Salamon 2006</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 394) : <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S={\frac {1}{EG-F^{2}}}{\begin{pmatrix}eG-fF&fG-gF\\fE-eF&gE-fF\end{pmatrix}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>S</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>E</mi> <mi>G</mi> <mo>−</mo> <msup> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>e</mi> <mi>G</mi> <mo>−</mo> <mi>f</mi> <mi>F</mi> </mtd> <mtd> <mi>f</mi> <mi>G</mi> <mo>−</mo> <mi>g</mi> <mi>F</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>f</mi> <mi>E</mi> <mo>−</mo> <mi>e</mi> <mi>F</mi> </mtd> <mtd> <mi>g</mi> <mi>E</mi> <mo>−</mo> <mi>f</mi> <mi>F</mi> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S={\frac {1}{EG-F^{2}}}{\begin{pmatrix}eG-fF&fG-gF\\fE-eF&gE-fF\end{pmatrix}}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75b81d62e060c7cd1ef2d65d98db8927abeb11f9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:39.46ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle S={\frac {1}{EG-F^{2}}}{\begin{pmatrix}eG-fF&fG-gF\\fE-eF&gE-fF\end{pmatrix}}.}"></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Géodésiques_sur_une_surface">Géodésiques sur une surface</h2>[<a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&veaction=edit&section=13" title="Modifier la section : Géodésiques sur une surface" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&action=edit&section=13" title="Modifier le code source de la section : Géodésiques sur une surface">modifier le code</a>]</div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Articles détaillés : <a href="/wiki/G%C3%A9od%C3%A9sique" title="Géodésique">géodésique</a> et <a href="/wiki/Longueur_d%27un_arc" title="Longueur d'un arc">longueur d'un arc</a>.</div></div> Les courbes d'une surface qui minimisent la longueur entre leurs extrémités sont appelées des <a href="/wiki/G%C3%A9od%C3%A9sique" title="Géodésique">géodésiques</a> ; elles ont la forme que prendrait un ruban élastique tendu entre deux points. Leur détermination mathématique revient à la résolution d'<a href="/wiki/%C3%89quation_aux_d%C3%A9riv%C3%A9es_partielles" title="Équation aux dérivées partielles">équations aux dérivées partielles</a> venant du <a href="/wiki/Calcul_des_variations" title="Calcul des variations">calcul des variations</a>. Elles constituent un outil essentiel pour l'étude de la géométrie différentielle des surfaces. Par exemple, la question de savoir si toute métrique riemannienne sur une surface peut provenir d'un plongement (local) dans un espace tridimensionnel est toujours ouverte ; la théorie des géodésiques a permis de montrer que ce résultat est vrai dans le cas important où les composantes de la métrique sont <a href="/wiki/Fonction_analytique" title="Fonction analytique">analytiques</a>. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Géodésiques">Géodésiques</h3>[<a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&veaction=edit&section=14" title="Modifier la section : Géodésiques" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&action=edit&section=14" title="Modifier le code source de la section : Géodésiques">modifier le code</a>]</div> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Spherical_triangle.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6a/Spherical_triangle.svg/220px-Spherical_triangle.svg.png" decoding="async" width="220" height="221" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6a/Spherical_triangle.svg/330px-Spherical_triangle.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6a/Spherical_triangle.svg/440px-Spherical_triangle.svg.png 2x" data-file-width="356" data-file-height="358" /></a><figcaption>Un triangle géodésique sur la sphère. Les géodésiques sont des arcs de <a href="/wiki/Grand_cercle" title="Grand cercle">grands cercles</a>.</figcaption></figure> Étant donné un arc paramétré dérivable par morceaux c(t) = (x(t), y(t)) pour t dans [a, b] (les coordonnées étant prises dans une carte locale), sa <a href="/wiki/Longueur_d%27un_arc" title="Longueur d'un arc">longueur</a> est définie par : <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L(c)=\int _{a}^{b}(E{\dot {x}}^{2}+2F{\dot {x}}{\dot {y}}+G{\dot {y}}^{2})^{1/2}\,\mathrm {d} t}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>L</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>E</mi> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>y</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mi>G</mi> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>y</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L(c)=\int _{a}^{b}(E{\dot {x}}^{2}+2F{\dot {x}}{\dot {y}}+G{\dot {y}}^{2})^{1/2}\,\mathrm {d} t}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba9e79706aa1ba0b905e2ea397b122893f2d893e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:37.485ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle L(c)=\int _{a}^{b}(E{\dot {x}}^{2}+2F{\dot {x}}{\dot {y}}+G{\dot {y}}^{2})^{1/2}\,\mathrm {d} t}"></dd></dl> et son énergie<a href="#cite_note-14">[N 5]</a> par <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E(c)=\int _{a}^{b}(E{\dot {x}}^{2}+2F{\dot {x}}{\dot {y}}+G{\dot {y}}^{2})\,\mathrm {d} t.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>E</mi> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>y</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mi>G</mi> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>y</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E(c)=\int _{a}^{b}(E{\dot {x}}^{2}+2F{\dot {x}}{\dot {y}}+G{\dot {y}}^{2})\,\mathrm {d} t.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8049130ff56152af06feabdc4993bf6e8a125969" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:35.626ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle E(c)=\int _{a}^{b}(E{\dot {x}}^{2}+2F{\dot {x}}{\dot {y}}+G{\dot {y}}^{2})\,\mathrm {d} t.}"></dd></dl> La longueur ne dépend pas du paramétrage choisi. D'après les <a href="/wiki/%C3%89quations_d%27Euler-Lagrange" class="mw-redirect" title="Équations d'Euler-Lagrange">équations d'Euler-Lagrange</a> du <a href="/wiki/Calcul_des_variations#Géodésiques_d'une_variété_riemannienne" title="Calcul des variations">calcul des variations</a>, si c(t) est un chemin de longueur minimale, paramétré par la longueur de l'arc (l'<a href="/wiki/Abscisse_curviligne" title="Abscisse curviligne">abscisse curviligne</a>), il doit satisfaire les relations : <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\ddot {x}}+\Gamma ^{1}{}_{11}{\dot {x}}^{2}+2\Gamma ^{1}{}_{12}{\dot {x}}{\dot {y}}+\Gamma ^{1}{}_{22}{\dot {y}}^{2}=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo>¨</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <msup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>11</mn> </mrow> </msub> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <msup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>12</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>y</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <msup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>22</mn> </mrow> </msub> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>y</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\ddot {x}}+\Gamma ^{1}{}_{11}{\dot {x}}^{2}+2\Gamma ^{1}{}_{12}{\dot {x}}{\dot {y}}+\Gamma ^{1}{}_{22}{\dot {y}}^{2}=0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/027825fbc51c1e6345990523f5d3fb0873a1dca1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:35.796ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\ddot {x}}+\Gamma ^{1}{}_{11}{\dot {x}}^{2}+2\Gamma ^{1}{}_{12}{\dot {x}}{\dot {y}}+\Gamma ^{1}{}_{22}{\dot {y}}^{2}=0}"></dd> <dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\ddot {y}}+\Gamma ^{2}{}_{11}{\dot {x}}^{2}+2\Gamma ^{2}{}_{12}{\dot {x}}{\dot {y}}+\Gamma ^{2}{}_{22}{\dot {y}}^{2}=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>y</mi> <mo>¨</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <msup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>11</mn> </mrow> </msub> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <msup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>12</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>y</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <msup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>22</mn> </mrow> </msub> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>y</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\ddot {y}}+\Gamma ^{2}{}_{11}{\dot {x}}^{2}+2\Gamma ^{2}{}_{12}{\dot {x}}{\dot {y}}+\Gamma ^{2}{}_{22}{\dot {y}}^{2}=0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76b0cc3a723aecbd1ecf67911278573b43996111" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:35.769ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\ddot {y}}+\Gamma ^{2}{}_{11}{\dot {x}}^{2}+2\Gamma ^{2}{}_{12}{\dot {x}}{\dot {y}}+\Gamma ^{2}{}_{22}{\dot {y}}^{2}=0}"></dd></dl> où les <a href="/wiki/Symboles_de_Christoffel" title="Symboles de Christoffel">symboles de Christoffel</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma ^{k}{}_{ij}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma ^{k}{}_{ij}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7e4ec7aee48f357858d3b563fdb772cc6857ffe" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:4.019ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \Gamma ^{k}{}_{ij}}"> sont donnés par <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma ^{k}{}_{ij}={1 \over 2}\sum _{m}g^{km}(\partial _{j}g_{im}+\partial _{i}g_{jm}-\partial _{m}g_{ij})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </munder> <msup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mi>m</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma ^{k}{}_{ij}={1 \over 2}\sum _{m}g^{km}(\partial _{j}g_{im}+\partial _{i}g_{jm}-\partial _{m}g_{ij})}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a853b98ff76b29793ba8c9ba7f948c2778458398" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:40.872ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \Gamma ^{k}{}_{ij}={1 \over 2}\sum _{m}g^{km}(\partial _{j}g_{im}+\partial _{i}g_{jm}-\partial _{m}g_{ij})}"></dd></dl> avec <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g_{11}=E}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>11</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>E</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g_{11}=E}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03cf5739139bb5c25f0170b2cc60018c349e30f2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.859ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle g_{11}=E}">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g_{12}=F}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>12</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>F</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g_{12}=F}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cfa405f78ad8cc7fc5eb38e91eadff3a09a903f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.824ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle g_{12}=F}">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g_{22}=G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>22</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g_{22}=G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bbb7b8d1fe8f2381f034d306cabf4b39c509dcb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.91ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle g_{22}=G}">, et où <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (g^{ij})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (g^{ij})}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97a118942d5a393dfae16ff86285a23a2ddbc3c9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.405ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (g^{ij})}"> est la <a href="/wiki/Matrice_inversible" title="Matrice inversible">matrice inverse</a> de <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (g_{ij})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (g_{ij})}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaa25b58cc122d18cf3013026c56dc45af0f47e7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:4.395ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle (g_{ij})}">. Un chemin qui satisfait ces équations est appelé une <a href="/wiki/G%C3%A9od%C3%A9sique" title="Géodésique">géodésique</a>. D'après l'<a href="/wiki/In%C3%A9galit%C3%A9_de_Cauchy-Schwarz" title="Inégalité de Cauchy-Schwarz">inégalité de Cauchy-Schwarz</a>, un chemin minimisant l'énergie est une géodésique paramétrée par la longueur d'arc ; plus généralement, pour toute géodésique, le paramètre t est proportionnel à la longueur d'arc<a href="#cite_note-15">[10]</a>. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Courbure_géodésique">Courbure géodésique</h3>[<a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&veaction=edit&section=15" title="Modifier la section : Courbure géodésique" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&action=edit&section=15" title="Modifier le code source de la section : Courbure géodésique">modifier le code</a>]</div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article connexe : <a href="/wiki/Rep%C3%A8re_de_Darboux" title="Repère de Darboux">repère de Darboux</a>.</div></div> La courbure géodésique <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k_{g}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>k</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>g</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k_{g}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb19f8a2620a8c782b2c4d20decb0bdc20ff582b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.233ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle k_{g}}"> en un point d'une courbe c(t) d'une surface orientée, paramétrée par la longueur d'arc, est définie par<a href="#cite_note-16">[11]</a> : <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k_{g}={\ddot {c}}(t)\cdot \mathbf {g} (t).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>k</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>g</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>c</mi> <mo>¨</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">g</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k_{g}={\ddot {c}}(t)\cdot \mathbf {g} (t).}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1211b6285ea456a418352ed685d84aa88b52e421" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:15.583ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle k_{g}={\ddot {c}}(t)\cdot \mathbf {g} (t).}"></dd></dl> où g(t) est le <a href="/wiki/Vecteur_unitaire" title="Vecteur unitaire">vecteur unitaire</a> géodésique, normal à la courbe, construit en faisant tourner dans le plan tangent le vecteur unitaire tangent à la courbe, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {c}}(t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>c</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {c}}(t)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/873e42bd21867b63cc9e0a0d716d636263444d91" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.941ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\dot {c}}(t)}">, d'un angle droit positif. <ul><li>La courbure géodésique en un point est un invariant intrinsèque, ne dépendant que de la métrique au voisinage du point.</li> <li>Une courbe parcourue à vitesse constante sur une surface est une géodésique si et seulement si sa courbure géodésique s'annule en tout point.</li> <li>Une courbe c(t) parcourue à vitesse constante sur une surface plongée dans l'espace est une géodésique si et seulement si son vecteur accélération <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\ddot {c}}(t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>c</mi> <mo>¨</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\ddot {c}}(t)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/362a8f5516291ea170e8543370264747c015a19f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.941ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\ddot {c}}(t)}"> est normal à la surface en tout point.</li></ul> La courbure géodésique mesure précisément en chaque point l'écart entre une courbe et la géodésique tangente en ce point. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Le_problème_du_plongement_isométrique">Le problème du plongement isométrique</h3>[<a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&veaction=edit&section=16" title="Modifier la section : Le problème du plongement isométrique" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&action=edit&section=16" title="Modifier le code source de la section : Le problème du plongement isométrique">modifier le code</a>]</div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article connexe : <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_plongement_de_Nash" title="Théorème de plongement de Nash">théorème de plongement de Nash</a>.</div></div> Un résultat de (<a href="#Jacobowitz1972">Jacobowitz 1972</a>) et (<a href="#Poznjak1973">Poznjak 1973</a>) montre que toute structure métrique sur une surface vient d'un <a href="/wiki/Plongement" title="Plongement">plongement</a> local dans E4. En dehors de certains cas particuliers, la question de savoir si cela est toujours possible dans E3 reste ouverte, et est connue comme le « problème de Weyl »(<a href="#HanHong2006">Han et Hong 2006</a>). En 1926, Maurice Janet montra que ce résultat était vrai si E, F et G sont <a href="/wiki/Fonction_analytique" title="Fonction analytique">analytiques</a> ; peu de temps après, <a href="/wiki/%C3%89lie_Cartan" title="Élie Cartan">Élie Cartan</a> généralisa ce résultat aux plongements locaux des <a href="/wiki/Vari%C3%A9t%C3%A9_riemannienne" title="Variété riemannienne">variétés riemanniennes</a> de dimension n dans Em, avec m = ½(n2 +n). Pour démontrer le théorème de Janet au voisinage de (0,0), le <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cauchy-Kowalevski" title="Théorème de Cauchy-Kowalevski">théorème de Cauchy-Kowalevski</a> est utilisé deux fois pour construire des géodésiques analytiques orthogonales à l'axe des y et à l'axe des x, puis pour effectuer un changement de coordonnées analytique après lequel E=1 et F=0 : un plongement isométrique u doit vérifier <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}u_{x}\cdot u_{x}&=1\\u_{x}\cdot u_{y}&=0\\u_{y}\cdot u_{y}&=G.\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>G</mi> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}u_{x}\cdot u_{x}&=1\\u_{x}\cdot u_{y}&=0\\u_{y}\cdot u_{y}&=G.\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4c48f369fec4d8915568e8074f7d5438b35e1fb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:13.007ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}u_{x}\cdot u_{x}&=1\\u_{x}\cdot u_{y}&=0\\u_{y}\cdot u_{y}&=G.\end{aligned}}}"></dd></dl> En dérivant, on obtient les trois équations supplémentaires <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}u_{xx}\cdot u_{y}&=0\\u_{xx}\cdot u_{x}&=0\\u_{xx}\cdot u_{yy}&=u_{xy}\cdot u_{xy}-{\tfrac {1}{2}}G_{xx}\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}u_{xx}\cdot u_{y}&=0\\u_{xx}\cdot u_{x}&=0\\u_{xx}\cdot u_{yy}&=u_{xy}\cdot u_{xy}-{\tfrac {1}{2}}G_{xx}\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b06a3cc252bcba6ab35d1fd29ce6e193a6beaad" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.338ex; width:28.923ex; height:9.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}u_{xx}\cdot u_{y}&=0\\u_{xx}\cdot u_{x}&=0\\u_{xx}\cdot u_{yy}&=u_{xy}\cdot u_{xy}-{\tfrac {1}{2}}G_{xx}\end{aligned}}}"></dd></dl> avec u(0,y) et ux(0,y) fixés. Ces équations peuvent être résolues près de (0,0) grâce au théorème de Cauchy-Kowalevski, donnant une solution au problème de plongement initial. Cependant, la résolution effective globale de ce problème, même dans le cas simple du <a href="/wiki/Tore" title="Tore">tore</a> « plat » (c'est-à-dire de la <a href="/wiki/Vari%C3%A9t%C3%A9_(g%C3%A9om%C3%A9trie)#Identifier_des_points_d'une_variété" title="Variété (géométrie)">variété quotient</a> de R2 par Z2) a longtemps semblé inaccessible ; après la démonstration de l'existence de solutions globales<a href="#cite_note-17">[12]</a> par <a href="/wiki/John_Forbes_Nash" title="John Forbes Nash">John Nash</a> et <a href="/wiki/Nicolaas_Kuiper" title="Nicolaas Kuiper">Nicolaas Kuiper</a> vers 1960, l'utilisation de nouvelles techniques (dont l'intégration convexe, due à <a href="/wiki/Mikha%C3%AFl_Gromov" title="Mikhaïl Gromov">Mikhaïl Gromov</a><a href="#cite_note-18">[13]</a>) a finalement permis en 2012 la construction de programmes graphiques permettant de visualiser la surface correspondante<a href="#cite_note-19">[14]</a>. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Coordonnées_orthogonales">Coordonnées orthogonales</h3>[<a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&veaction=edit&section=17" title="Modifier la section : Coordonnées orthogonales" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&action=edit&section=17" title="Modifier le code source de la section : Coordonnées orthogonales">modifier le code</a>]</div> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Tangency_Example_2.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fe/Tangency_Example_2.svg/220px-Tangency_Example_2.svg.png" decoding="async" width="220" height="165" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fe/Tangency_Example_2.svg/330px-Tangency_Example_2.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fe/Tangency_Example_2.svg/440px-Tangency_Example_2.svg.png 2x" data-file-width="300" data-file-height="225" /></a><figcaption>En coordonnées orthogonales, φ est l'angle entre l'axe des x et la tangente L à la géodésique C.</figcaption></figure> Lorsque le coefficient F de la métrique est nul, les parallèles aux axes des x et des y sont <a href="/wiki/Orthogonalit%C3%A9" title="Orthogonalité">orthogonales</a> et construisent un système de <a href="/wiki/Coordonn%C3%A9es_orthogonales" title="Coordonnées orthogonales">coordonnées orthogonales</a>. Si on pose <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H=(EG)^{\frac {1}{2}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>E</mi> <mi>G</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H=(EG)^{\frac {1}{2}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbe6737acf816f29e7fcef60fb73c6a0bd230a04" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.309ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle H=(EG)^{\frac {1}{2}}}">, la courbure de Gauss est donnée par<a href="#cite_note-20">[15]</a> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K=-{1 \over 2H}\left[\partial _{x}(G_{x}/H)+\partial _{y}(E_{y}/H)\right]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>K</mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mi>H</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>H</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>E</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>H</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K=-{1 \over 2H}\left[\partial _{x}(G_{x}/H)+\partial _{y}(E_{y}/H)\right]}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/142765757a5e9d4eb06518bbaacdd8ab0a3502f1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:36.081ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle K=-{1 \over 2H}\left[\partial _{x}(G_{x}/H)+\partial _{y}(E_{y}/H)\right]}"></dd></dl> Si, de plus, E=1 (et donc <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H=EG^{\frac {1}{2}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> <mo>=</mo> <mi>E</mi> <msup> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H=EG^{\frac {1}{2}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/177fae928d767a05b87da4a758eed750ddefa7aa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.5ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle H=EG^{\frac {1}{2}}}">), l'angle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>φ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }"> d'intersection entre la géodésique (x(t),y(t)) et la droite y = constante est donné par l'équation <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tan \varphi =H\cdot {\frac {\dot {y}}{\dot {x}}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>tan</mi> <mo>⁡</mo> <mi>φ</mi> <mo>=</mo> <mi>H</mi> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>y</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tan \varphi =H\cdot {\frac {\dot {y}}{\dot {x}}}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35c0d538652cc9be2e1d1574d153268ec901956b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:14.921ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle \tan \varphi =H\cdot {\frac {\dot {y}}{\dot {x}}}.}"></dd></dl> La dérivée de <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>φ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }"> est donnée par la formule classique due à Gauss<a href="#cite_note-21">[16]</a> : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {\varphi }}=-H_{x}\cdot {\dot {y}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>φ</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>y</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\varphi }}=-H_{x}\cdot {\dot {y}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29aa593d6df165f1ba328dbf633a568dbbea5da1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.526ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\dot {\varphi }}=-H_{x}\cdot {\dot {y}}}">. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Coordonnées_géodésiques_polaires">Coordonnées géodésiques polaires</h2>[<a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&veaction=edit&section=18" title="Modifier la section : Coordonnées géodésiques polaires" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&action=edit&section=18" title="Modifier le code source de la section : Coordonnées géodésiques polaires">modifier le code</a>]</div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Carl_Jacobi.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/90/Carl_Jacobi.jpg/220px-Carl_Jacobi.jpg" decoding="async" width="220" height="252" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/90/Carl_Jacobi.jpg/330px-Carl_Jacobi.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/90/Carl_Jacobi.jpg/440px-Carl_Jacobi.jpg 2x" data-file-width="879" data-file-height="1008" /></a><figcaption><a href="/wiki/Carl_Gustav_Jakob_Jacobi" class="mw-redirect" title="Carl Gustav Jakob Jacobi">Carl Jacobi</a> (1804-1851).</figcaption></figure> Une métrique étant donnée sur une surface, et un point fixé pris pour origine, il y a une géodésique unique reliant l'origine à chaque point voisin suffisamment proche ; réciproquement, la direction de cette géodésique à l'origine et la distance déterminent uniquement le point atteint. Ces deux réels déterminent un unique vecteur tangent à l'origine, et l'application ainsi définie, allant de l'ensemble des vecteurs tangents vers les points de la surface, est différentiable et a pour <a href="/wiki/Image_(math%C3%A9matiques)" title="Image (mathématiques)">image</a> un voisinage de l'origine ; cette application est appelée l'<a href="/wiki/Application_exponentielle" title="Application exponentielle">application exponentielle</a> et elle définit un système de coordonnées locales près de l'origine. L'image de l'application exponentielle possède des propriétés analogues à celles des boules de l'espace usuel ; ainsi, deux points quelconques sont reliés par une géodésique unique, une propriété connue sous le nom de « <a href="/wiki/Ensemble_convexe" title="Ensemble convexe">convexité</a> géodésique ». Les coordonnées correspondantes, appelées « coordonnées normales », ou coordonnées géodésiques polaires, généralisent les <a href="/wiki/Coordonn%C3%A9es_polaires" title="Coordonnées polaires">coordonnées polaires</a> usuelles. Le calcul explicite des coordonnées normales peut se faire à l'aide de l'équation différentielle satisfaite par les géodésiques. La propriété de convexité est conséquence d'un <a href="/wiki/Lemme_de_Gauss_(g%C3%A9om%C3%A9trie_riemannienne)" title="Lemme de Gauss (géométrie riemannienne)">lemme dû à Gauss</a> et de ses généralisations. La courbure de Gauss est alors donnée par les déviations (au second ordre) de la métrique par rapport à la métrique euclidienne ; en particulier, c'est un invariant de la métrique. Ce résultat est le célèbre <a href="/wiki/Theorema_egregium" title="Theorema egregium">theorema egregium</a> de Gauss. Une façon commode d'envisager la courbure part d'une équation différentielle, étudiée d'abord par Gauss, puis généralisée par <a href="/wiki/Charles_Gustave_Jacob_Jacobi" title="Charles Gustave Jacob Jacobi">Jacobi</a>, apparaissant lorsqu'on détermine le changement de coordonnées normales entre deux points distincts. Cette équation donne un autre moyen de calculer la courbure de Gauss ; en termes géométriques, elle décrit l'évolution d'une géodésique partant d'un point fixe lorsque son autre extrémité décrit un petit arc de courbe ; on peut à partir de cette image « dériver » les géodésiques, obtenant un champ de vecteurs tangents appelé le <a href="/wiki/Champ_de_Jacobi" title="Champ de Jacobi">champ de Jacobi</a> (<a href="#do_Carmo1976">do Carmo 1976</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 357). <a href="/wiki/Marston_Morse" title="Marston Morse">Marston Morse</a> a donné une interprétation plus conceptuelle du champ de Jacobi en termes de dérivées secondes de la fonction énergie sur la <a href="/wiki/Vari%C3%A9t%C3%A9_lisse" title="Variété lisse">variété de Hilbert</a> des chemins(<a href="#Milnor1963">Milnor 1963</a>). <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Application_exponentielle">Application exponentielle</h3>[<a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&veaction=edit&section=19" title="Modifier la section : Application exponentielle" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&action=edit&section=19" title="Modifier le code source de la section : Application exponentielle">modifier le code</a>]</div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Application_exponentielle" title="Application exponentielle">application exponentielle</a>.</div></div> La théorie des <a href="/wiki/%C3%89quation_diff%C3%A9rentielle_ordinaire" title="Équation différentielle ordinaire">équations différentielles ordinaires</a> montre que si f(t, v) est différentiable, l'équation différentielle dv/dt = f(t,v) avec pour conditions initiales v(0) = v0 a une solution unique pour |t| assez petit, et que la solution dépend de façon différentiable de t et v0. Cela entraîne que, en un point donné p = (x0,y0), et pour des vecteurs tangents v assez petits, il y a une géodésique cv(t) définie sur (−2,2) avec cv(0) = (x0,y0) et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {c}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>c</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {c}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85e868a3cc43600dd45a555423fe95047cf374cc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.292ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\dot {c}}}">v(0) = v. De plus, si |s| ≤ 1, alors csv = cv(st). L’<a href="/wiki/Application_exponentielle#Géométrie_riemannienne" title="Application exponentielle">application exponentielle</a> est alors définie par <dl><dd>expp(v) = cv (1) ;</dd></dl> c'est un <a href="/wiki/Diff%C3%A9omorphisme" title="Difféomorphisme">difféomorphisme</a> entre un disque ||v|| < δ et un voisinage de p ; plus généralement, l'application envoyant (p,v) vers expp(v) est un difféomorphisme local sur un voisinage de (p,v). L'application exponentielle permet de construire des <a href="/wiki/Coordonn%C3%A9es_normales" title="Coordonnées normales">coordonnées normales</a> géodésiques près de p(<a href="#Wilson2008">Wilson 2008</a>). <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Calcul_de_coordonnées_normales">Calcul de coordonnées normales</h3>[<a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&veaction=edit&section=20" title="Modifier la section : Calcul de coordonnées normales" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&action=edit&section=20" title="Modifier le code source de la section : Calcul de coordonnées normales">modifier le code</a>]</div> On trouvera par exemple dans (<a href="#Berger2003">Berger 2003</a>) la méthode suivante pour calculer le changement de variables amenant à des coordonnées normales u, v en un point : si les coordonnées x, y en (0,0) sont localement orthogonales, on écrit <dl><dd>x(u,v) = α u + L(u,v) + λ(u,v) + ···</dd> <dd>y(u,v) = β v + M(u,v) + μ(u,v) + ···</dd></dl> où L, M sont des polynômes homogènes de degré 2 et λ, μ des polynômes homogènes de degré 3 en u et v. Si u et v sont fixés, x(t) =x(tu,tv) et y(t) = y(tu, tv) peuvent être vus comme des <a href="/wiki/S%C3%A9rie_formelle" title="Série formelle">séries formelles</a> solutions des équations d'Euler ; cela détermine (de manière unique) α, β, L, M, λ et μ. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Lemme_de_Gauss">Lemme de Gauss</h3>[<a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&veaction=edit&section=21" title="Modifier la section : Lemme de Gauss" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&action=edit&section=21" title="Modifier le code source de la section : Lemme de Gauss">modifier le code</a>]</div> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Polar_coordinates.PNG" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a6/Polar_coordinates.PNG/220px-Polar_coordinates.PNG" decoding="async" width="220" height="200" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a6/Polar_coordinates.PNG/330px-Polar_coordinates.PNG 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a6/Polar_coordinates.PNG 2x" data-file-width="335" data-file-height="305" /></a><figcaption>En coordonnées polaires géodésiques, les géodésiques partant de l'origine coupent à angle droit les cercles correspondant à un rayon constant. Les distances radiales sont identiques aux distances réelles, mais les petits arcs des cercles concentriques ont pour longueur H(r,θ) = G(r,θ)½ fois l'angle qu'ils sous-tendent.</figcaption></figure> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Lemme_de_Gauss_(g%C3%A9om%C3%A9trie_riemannienne)" title="Lemme de Gauss (géométrie riemannienne)">lemme de Gauss (géométrie riemannienne)</a>.</div></div> Dans ces coordonnées, la matrice g(x) vérifie g(0) = I et les « droites » <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t\mapsto tv}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">↦</mo> <mi>t</mi> <mi>v</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t\mapsto tv}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9973b27eab66beb7aa7e156335bf46028fa8755" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.421ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t\mapsto tv}"> sont des géodésiques passant par 0. Les équations d'Euler entraînent l'équation matricielle g(v)v = v ; ce résultat essentiel est généralement appelé le <a href="/wiki/Lemme_de_Gauss_(g%C3%A9om%C3%A9trie_riemannienne)" title="Lemme de Gauss (géométrie riemannienne)">lemme de Gauss</a>. Géométriquement, il affirme que <dl><dd>Les géodésiques passant par l'origine sont <a href="/wiki/Orthogonalit%C3%A9" title="Orthogonalité">orthogonales</a> aux cercles ayant pour centre l'origine.</dd></dl> En <a href="/wiki/Coordonn%C3%A9es_polaires" title="Coordonnées polaires">coordonnées polaires</a> (r,θ), il en résulte que la métrique est de la forme ds2 = dr2 + G(r,θ) dθ2. En coordonnées géodésiques, les géodésiques (passant par 0) minimisent la longueur. La topologie de la variété riemannienne est donc donnée par une <a href="/wiki/Distance_(math%C3%A9matiques)" title="Distance (mathématiques)">distance</a> d(p, q), valant la <a href="/wiki/Borne_sup%C3%A9rieure_et_borne_inf%C3%A9rieure" title="Borne supérieure et borne inférieure">borne inférieure</a> des longueurs des chemins entre p et q ; cette distance est réalisée localement par des géodésiques, et donc, en coordonnées normales, d(0,v) = ||v||. Si le rayon δ est suffisamment petit, un léger raffinement du lemme de Gauss montre que l'image U du disque ||v|| < δ par l'application exponentielle est géodésiquement convexe, c'est-à-dire que deux points de U sont reliés par une géodésique unique entièrement contenue dans U(<a href="#Berger2003">Berger 2003</a>). <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Theorema_egregium">Theorema egregium</h3>[<a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&veaction=edit&section=22" title="Modifier la section : Theorema egregium" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&action=edit&section=22" title="Modifier le code source de la section : Theorema egregium">modifier le code</a>]</div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Theorema_egregium" title="Theorema egregium">Theorema egregium</a>.</div></div> En prenant des coordonnées telles que l'équation d'une surface de E3 soit z= F(x,y) = k1 x2 + k2 y2 + ···, la métrique, en coordonnées normales (u, v), est (au second ordre près)(<a href="#BergerGostiaux1992">Berger et Gostiaux 1992</a>) <dl><dd>ds2 = du2 + dv2 + K(u dv – v du)2 + o(u2 + v2).</dd></dl> Ce résultat de Gauss, le <a href="/wiki/Theorema_egregium" title="Theorema egregium">theorema egregium</a> (« théorème remarquable », en <a href="/wiki/Latin" title="Latin">latin</a>), montre que la courbure de Gauss d'une surface peut être calculée uniquement à l'aide de la métrique, et est donc un invariant intrinsèque (ne dépendant pas de son plongement dans E³). En particulier, les isométries préservent la courbure de Gauss(<a href="#Berger2003">Berger 2003</a>). <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Équation_de_Gauss-Jacobi">Équation de Gauss-Jacobi</h3>[<a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&veaction=edit&section=23" title="Modifier la section : Équation de Gauss-Jacobi" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&action=edit&section=23" title="Modifier le code source de la section : Équation de Gauss-Jacobi">modifier le code</a>]</div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Champ_de_Jacobi" title="Champ de Jacobi">Champ de Jacobi</a>.</div></div> Un changement de coordonnées passant des coordonnées normales en p à celles en un point voisin q amène à une <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_de_Sturm-Liouville" title="Théorie de Sturm-Liouville">équation de Sturm-Liouville</a> vérifiée par <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \scriptstyle H(r,\theta )=G(r,\theta )^{\frac {1}{2}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="1"> <mi>H</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>θ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>θ</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </msup> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \scriptstyle H(r,\theta )=G(r,\theta )^{\frac {1}{2}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/124ff631b9ca5646766a01e683d8802b378a7494" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.196ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle \scriptstyle H(r,\theta )=G(r,\theta )^{\frac {1}{2}}}">, équation découverte par Gauss et <a href="/wiki/Champ_de_Jacobi" title="Champ de Jacobi">généralisée par la suite</a> par <a href="/wiki/Carl_Gustav_Jakob_Jacobi" class="mw-redirect" title="Carl Gustav Jakob Jacobi">Jacobi</a>, <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}H=-KH}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mi>H</mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mi>K</mi> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}H=-KH}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e737d3868f3dce9efa2f59fbb7cd0cc3d3655661" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:15.357ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}H=-KH}"></dd></dl> La <a href="/wiki/Matrice_jacobienne" title="Matrice jacobienne">matrice jacobienne</a> de ce changement de coordonnées est égale (en q) à <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \scriptstyle {\frac {\partial }{\partial r}}H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="1"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mi>H</mi> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \scriptstyle {\frac {\partial }{\partial r}}H}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d26fd5bb520a075bfa7105de2f30c9b8fb8ce710" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:3.654ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \scriptstyle {\frac {\partial }{\partial r}}H}">. Cela donne une autre démonstration du caractère intrinsèque de la courbure de Gauss : comme <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H(r,\theta )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>θ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H(r,\theta )}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/190c56c4152df7ed51b2bf1a1b706d292ce533e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.046ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle H(r,\theta )}"> peut être interprétée comme la longueur d'un élément de géodésique dans la direction θ, l'équation de Gauss-Jacobi montre que la courbure en un point mesure la façon dont les géodésiques s'écartent quand on s'éloigne de ce point(<a href="#O'Neill1997">O'Neill 1997</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 395). <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Opérateur_de_Laplace-Beltrami">Opérateur de Laplace-Beltrami</h3>[<a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&veaction=edit&section=24" title="Modifier la section : Opérateur de Laplace-Beltrami" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&action=edit&section=24" title="Modifier le code source de la section : Opérateur de Laplace-Beltrami">modifier le code</a>]</div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Beltrami.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2d/Beltrami.jpg" decoding="async" width="188" height="320" class="mw-file-element" data-file-width="188" data-file-height="320" /></a><figcaption><a href="/wiki/Eugenio_Beltrami" title="Eugenio Beltrami">Eugenio Beltrami</a> (1835-1899).</figcaption></figure> Pour une surface de métrique locale <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ds^{2}=E\,dx^{2}+2F\,dx\,dy+G\,dy^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> <msup> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>E</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>F</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>y</mi> <mo>+</mo> <mi>G</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ds^{2}=E\,dx^{2}+2F\,dx\,dy+G\,dy^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2783ec9a2b1fc161099b9b8f93baac41aa3b8c73" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:32.141ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle ds^{2}=E\,dx^{2}+2F\,dx\,dy+G\,dy^{2}}"></dd></dl> ayant pour <a href="/wiki/Op%C3%A9rateur_de_Laplace-Beltrami" title="Opérateur de Laplace-Beltrami">opérateur de Laplace-Beltrami</a> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta f={1 \over H}\left(\partial _{x}{G \over H}\partial _{x}f-\partial _{x}{F \over H}\partial _{y}f-\partial _{y}{F \over H}\partial _{x}f+\partial _{y}{E \over H}\partial _{y}f\right),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>H</mi> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>G</mi> <mi>H</mi> </mfrac> </mrow> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mi>f</mi> <mo>−</mo> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>F</mi> <mi>H</mi> </mfrac> </mrow> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mi>f</mi> <mo>−</mo> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>F</mi> <mi>H</mi> </mfrac> </mrow> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mi>f</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>E</mi> <mi>H</mi> </mfrac> </mrow> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mi>f</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta f={1 \over H}\left(\partial _{x}{G \over H}\partial _{x}f-\partial _{x}{F \over H}\partial _{y}f-\partial _{y}{F \over H}\partial _{x}f+\partial _{y}{E \over H}\partial _{y}f\right),}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb642ef02f0ac668d59cc4df2bbc1b6839de4eaf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:58.052ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta f={1 \over H}\left(\partial _{x}{G \over H}\partial _{x}f-\partial _{x}{F \over H}\partial _{y}f-\partial _{y}{F \over H}\partial _{x}f+\partial _{y}{E \over H}\partial _{y}f\right),}"></dd></dl> où H2 = EG – F 2, la courbure de Gauss en un point est donnée par<a href="#cite_note-22">[17]</a> : <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K=-3\lim _{r\rightarrow 0}\Delta (\log r),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>K</mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mn>3</mn> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mn>0</mn> </mrow> </munder> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K=-3\lim _{r\rightarrow 0}\Delta (\log r),}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65c6ac6c6c444955db4ac27d9699a85017893937" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:20.938ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle K=-3\lim _{r\rightarrow 0}\Delta (\log r),}"></dd></dl> r désignant la distance géodésique à partir de ce point. Puisque Δ est un invariant intrinsèque, cela donne encore une autre démonstration du caractère intrinsèque de la courbure de Gauss. En <a href="/wiki/Coordonn%C3%A9es_isothermales" title="Coordonnées isothermales">coordonnées isothermales</a>, lesquelles furent envisagées d'abord par Gauss, la métrique prend la forme particulière <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ds^{2}={\rm {e}}^{\varphi }(dx^{2}+dy^{2}).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> <msup> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">e</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>φ</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>d</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>d</mi> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ds^{2}={\rm {e}}^{\varphi }(dx^{2}+dy^{2}).}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77692bd8d670fa8e50f7b4c1262ac9e36dc5507a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.126ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle ds^{2}={\rm {e}}^{\varphi }(dx^{2}+dy^{2}).}"></dd></dl> Dans ce cas, l'opérateur de Laplace-Beltrami est donné par <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta ={\rm {e}}^{-\varphi }\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mo>=</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">e</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>φ</mi> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta ={\rm {e}}^{-\varphi }\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/461c832cfe7fc3653804d48f072dd33d72b34988" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:24.208ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \Delta ={\rm {e}}^{-\varphi }\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)}"></dd></dl> et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>φ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }"> vérifie l'<a href="/wiki/%C3%89quation_de_Liouville" title="Équation de Liouville">équation de Liouville</a>(<a href="#O'Neill1997">O'Neill 1997</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 286) <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta \varphi =-2K.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>φ</mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi>K</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta \varphi =-2K.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64bcd05ceb9f6843a0c04b9753dfe6b5c640d43e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.238ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \Delta \varphi =-2K.}"></dd></dl> Les coordonnées isothermales existent au voisinage de tout point de la surface, mais les seules preuves connues de ce résultat reposent sur des résultats non triviaux de la théorie des <a href="/wiki/%C3%89quation_aux_d%C3%A9riv%C3%A9es_partielles" title="Équation aux dérivées partielles">équations aux dérivées partielles</a>(<a href="#do_Carmo1976">do Carmo 1976</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 227). Cependant, il en existe une démonstration élémentaire dans le cas des surfaces minimales(<a href="#Osserman2002">Osserman 2002</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 31-32). <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Formule_de_Gauss-Bonnet">Formule de Gauss-Bonnet</h2>[<a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&veaction=edit&section=25" title="Modifier la section : Formule de Gauss-Bonnet" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&action=edit&section=25" title="Modifier le code source de la section : Formule de Gauss-Bonnet">modifier le code</a>]</div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Formule_de_Gauss-Bonnet" title="Formule de Gauss-Bonnet">Formule de Gauss-Bonnet</a>.</div></div> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Toroidal_polyhedron.gif" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/84/Toroidal_polyhedron.gif" decoding="async" width="160" height="160" class="mw-file-element" data-file-width="160" data-file-height="160" /></a><figcaption>Une triangulation du <a href="/wiki/Tore" title="Tore">tore</a>.</figcaption></figure> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Spherical_triangle_3d.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Spherical_triangle_3d.png/220px-Spherical_triangle_3d.png" decoding="async" width="220" height="228" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Spherical_triangle_3d.png/330px-Spherical_triangle_3d.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Spherical_triangle_3d.png/440px-Spherical_triangle_3d.png 2x" data-file-width="595" data-file-height="617" /></a><figcaption>L'aire d'un <a href="/wiki/Trigonom%C3%A9trie_sph%C3%A9rique" title="Trigonométrie sphérique">triangle sphérique</a> sur la sphère unité est α + β + γ - π.</figcaption></figure> Sur une <a href="/wiki/Sph%C3%A8re" title="Sphère">sphère</a> ou un <a href="/wiki/Hyperbolo%C3%AFde" title="Hyperboloïde">hyperboloïde</a>, l'aire d'un triangle dont tous les côtés sont des géodésiques est proportionnelle à la différence entre la <a href="/wiki/Somme_des_angles_d%27un_triangle" title="Somme des angles d'un triangle">somme des angles intérieurs</a> et π. La constante de proportionnalité est la courbure de Gauss (laquelle est constante pour ces surfaces). Sur un tore ou un cylindre, la différence est nulle, tout comme la courbure de Gauss. Gauss généralisa ces résultats à une surface arbitraire en montrant que l'intégrale de la courbure de Gauss sur l'intérieur d'un triangle géodésique est encore égale à cette différence angulaire. Il est donc possible de calculer cette intégrale sur la surface entière en la décomposant en triangles, et, cas particulier de ce qui est à présent connu comme la <a href="/wiki/Formule_de_Gauss-Bonnet" title="Formule de Gauss-Bonnet">formule de Gauss-Bonnet</a>, Gauss montra que cette intégrale est toujours un multiple entier de 2π, obtenant ainsi un invariant topologique de la surface appelé la <a href="/wiki/Caract%C3%A9ristique_d%27Euler" title="Caractéristique d'Euler">caractéristique d'Euler</a>. Cette relation inattendue entre l'analyse et la topologie devait être suivie de nombreux résultats géométriques du même ordre, culminant avec le <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_l%27indice_d%27Atiyah-Singer" title="Théorème de l'indice d'Atiyah-Singer">théorème de l'indice d'Atiyah-Singer</a>. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Triangles_géodésiques">Triangles géodésiques</h3>[<a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&veaction=edit&section=26" title="Modifier la section : Triangles géodésiques" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&action=edit&section=26" title="Modifier le code source de la section : Triangles géodésiques">modifier le code</a>]</div> Gauss montra que, si Δ est un triangle géodésique d'angles α, β et γ aux sommets A, B et C (c'est-à-dire que, par exemple, AB et AC sont des géodésiques dont les vecteurs tangents en A forment un angle de α), alors <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int _{\Delta }K\,\mathrm {d} A=\alpha +\beta +\gamma -\pi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> </mrow> </msub> <mi>K</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <mi>α</mi> <mo>+</mo> <mi>β</mi> <mo>+</mo> <mi>γ</mi> <mo>−</mo> <mi>π</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{\Delta }K\,\mathrm {d} A=\alpha +\beta +\gamma -\pi }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e43c0d7c57384a6c7fc0dd195ac96de9120d1d0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:25.803ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \int _{\Delta }K\,\mathrm {d} A=\alpha +\beta +\gamma -\pi }">.</dd></dl> En effet, se plaçant en coordonnées polaires géodésiques d'origine A, avec AB et AC d'angles polaires 0 et α, <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int _{\Delta }K\,\mathrm {d} A=\int _{\Delta }KH\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta =-\int _{0}^{\alpha }\int _{0}^{r_{\theta }}H_{rr}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta =\int _{0}^{\alpha }(1-H_{r}(r_{\theta },\theta ))\,\mathrm {d} \theta =\int _{0}^{\alpha }\,\mathrm {d} \theta +\int _{\pi -\beta }^{\gamma }\,\mathrm {d} \varphi =\alpha +\beta +\gamma -\pi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> </mrow> </msub> <mi>K</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <msub> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> </mrow> </msub> <mi>K</mi> <mi>H</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>r</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>θ</mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>θ</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msubsup> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>r</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>θ</mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> </mrow> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>θ</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mi>θ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>θ</mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> </mrow> </msubsup> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>θ</mi> <mo>+</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>π</mi> <mo>−</mo> <mi>β</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>γ</mi> </mrow> </msubsup> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>φ</mi> <mo>=</mo> <mi>α</mi> <mo>+</mo> <mi>β</mi> <mo>+</mo> <mi>γ</mi> <mo>−</mo> <mi>π</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{\Delta }K\,\mathrm {d} A=\int _{\Delta }KH\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta =-\int _{0}^{\alpha }\int _{0}^{r_{\theta }}H_{rr}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta =\int _{0}^{\alpha }(1-H_{r}(r_{\theta },\theta ))\,\mathrm {d} \theta =\int _{0}^{\alpha }\,\mathrm {d} \theta +\int _{\pi -\beta }^{\gamma }\,\mathrm {d} \varphi =\alpha +\beta +\gamma -\pi }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d694909c27bc25c370f6c78fb0b578f58e9e8b9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:110.437ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \int _{\Delta }K\,\mathrm {d} A=\int _{\Delta }KH\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta =-\int _{0}^{\alpha }\int _{0}^{r_{\theta }}H_{rr}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta =\int _{0}^{\alpha }(1-H_{r}(r_{\theta },\theta ))\,\mathrm {d} \theta =\int _{0}^{\alpha }\,\mathrm {d} \theta +\int _{\pi -\beta }^{\gamma }\,\mathrm {d} \varphi =\alpha +\beta +\gamma -\pi }">,</dd></dl> où la seconde égalité résulte de l'équation de Gauss-Jacobi et la quatrième de la formule de dérivation de Gauss dans les coordonnées orthogonales (r,θ). La formule de Gauss montre que la courbure en un point peut être calculée comme la limite du quotient de l’excès angulaire α + β + γ − π par l’aire pour des triangles géodésiques de plus en plus petits entourant le point. En particulier, qualitativement, le signe de la courbure est le même que celui de l'excès angulaire pour des triangles assez petits(<a href="#Eisenhart2004">Eisenhart 2004</a>). <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Théorème_de_Gauss-Bonnet">Théorème de Gauss-Bonnet</h3>[<a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&veaction=edit&section=27" title="Modifier la section : Théorème de Gauss-Bonnet" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&action=edit&section=27" title="Modifier le code source de la section : Théorème de Gauss-Bonnet">modifier le code</a>]</div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Icosahedron.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b7/Icosahedron.svg/220px-Icosahedron.svg.png" decoding="async" width="220" height="211" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b7/Icosahedron.svg/330px-Icosahedron.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b7/Icosahedron.svg/440px-Icosahedron.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="492" /></a><figcaption>La caractéristique d'Euler de la sphère, calculée sur une triangulation <a href="/wiki/Icosa%C3%A8dre" title="Icosaèdre">icosaédrique</a>, est S - A + F = 12 - 30 + 20 = 2.</figcaption></figure> Comme toute surface compacte orientable M peut être <a href="/wiki/Triangulation" title="Triangulation">triangulée</a> par de petits triangles géodésiques, il s'ensuit que <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int _{M}K\mathrm {d} A=2\pi \cdot \chi (M),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>M</mi> </mrow> </msub> <mi>K</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mo>⋅</mo> <mi>χ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>M</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{M}K\mathrm {d} A=2\pi \cdot \chi (M),}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57b9c637384b2a3c6c2b9411f6214d9f52ba21fa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:22.366ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \int _{M}K\mathrm {d} A=2\pi \cdot \chi (M),}"></dd></dl> où χ(M) est la <a href="/wiki/Caract%C3%A9ristique_d%27Euler" title="Caractéristique d'Euler">caractéristique d'Euler</a> de la surface ; s'il y a F faces, A arêtes et S sommets, alors 3F = 2A et l'intégrale vaut π(2S – F) = 2π(S – A + F) = 2π.χ(M). Ce résultat est le célèbre <a href="/wiki/Formule_de_Gauss-Bonnet" title="Formule de Gauss-Bonnet">théorème de Gauss-Bonnet</a> : il montre que l'intégrale de la courbure de Gauss est un invariant topologique de la surface. Ce théorème admet de nombreuses interprétations ; parmi ses conséquences les plus lointaines se trouve le théorème de l'indice pour un <a href="/wiki/Op%C3%A9rateur_diff%C3%A9rentiel#Opérateur_elliptique" title="Opérateur différentiel">opérateur elliptique</a> sur M, lui-même un des cas les plus simples du <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_l%27indice_d%27Atiyah-Singer" title="Théorème de l'indice d'Atiyah-Singer">théorème de l'indice d'Atiyah-Singer</a>. Un autre résultat important pouvant être démontré à l'aide de la formule de Gauss-Bonnet est le <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Poincar%C3%A9-Hopf" title="Théorème de Poincaré-Hopf">théorème de Poincaré-Hopf</a> concernant les champs de vecteurs sur M s'annulant en un nombre fini de points : il affirme que la somme des <a href="/wiki/Indice_(analyse_complexe)" title="Indice (analyse complexe)">indices</a><a href="#cite_note-23">[N 6]</a> en ces points est égal à la caractéristique d'Euler de M(<a href="#Eisenhart2004">Eisenhart 2004</a>). <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Courbure_et_plongements">Courbure et plongements</h3>[<a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&veaction=edit&section=28" title="Modifier la section : Courbure et plongements" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&action=edit&section=28" title="Modifier le code source de la section : Courbure et plongements">modifier le code</a>]</div> Si la courbure de Gauss d'une surface M est partout positive, sa caractéristique d'Euler est positive, et donc M est homéomorphe (et même difféomorphe) à la sphère S2. Si de plus la surface est plongée isométriquement dans E3, l'application de Gauss est un difféomorphisme explicite. Comme l'a observé <a href="/wiki/Jacques_Hadamard" title="Jacques Hadamard">Hadamard</a>, la surface est alors <a href="/wiki/Ensemble_convexe" title="Ensemble convexe">convexe</a> ; ce critère de convexité peut être vu comme une généralisation à deux dimensions du critère de convexité des courbes planes utilisant la <a href="/wiki/D%C3%A9riv%C3%A9e_seconde" title="Dérivée seconde">dérivée seconde</a>. <a href="/wiki/David_Hilbert" title="David Hilbert">Hilbert</a> montra que toute surface compacte plongée isométriquement admet au moins un point de courbure positive. Ainsi, une surface fermée de courbure négative ne peut être plongée isométriquement dans E3 ; cependant, comme <a href="/wiki/Adriano_Garsia" title="Adriano Garsia">Adriano Garsia</a> l'a montré en utilisant l'<a href="/wiki/Coordonn%C3%A9es_isothermales" title="Coordonnées isothermales">équation de Beltrami</a> pour les <a href="/wiki/Application_quasi_conforme" title="Application quasi conforme">applications quasi conformes</a>, ce plongement est toujours possible pour une métrique conformément équivalente à la métrique initiale<a href="#cite_note-24">[18]</a>. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Surfaces_de_courbure_constante_2">Surfaces de courbure constante</h2>[<a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&veaction=edit&section=29" title="Modifier la section : Surfaces de courbure constante" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&action=edit&section=29" title="Modifier le code source de la section : Surfaces de courbure constante">modifier le code</a>]</div> Les surfaces <a href="/wiki/Connexit%C3%A9_simple" title="Connexité simple">simplement connexes</a> de courbure constante 0, +1 et –1 sont le plan euclidien, la sphère unité E3 et le <a href="/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_hyperbolique" title="Géométrie hyperbolique">plan hyperbolique</a>. Chacune de ces surfaces possède un groupe d'<a href="/wiki/Isom%C3%A9trie" title="Isométrie">isométries</a> (préservant l'orientation) qui est un <a href="/wiki/Groupe_de_Lie" title="Groupe de Lie">groupe de Lie</a> G, et qui permet d'étudier leur géométrie. Plus généralement, toute surface M de courbure constante admettra l'une de ces trois surfaces comme <a href="/wiki/Rev%C3%AAtement_(math%C3%A9matiques)#Revêtements_universels" title="Revêtement (mathématiques)">revêtement universel</a>. D'après le <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_d%27uniformisation" title="Théorème d'uniformisation">théorème d'uniformisation de Poincaré</a>, il en résulte que toute variété riemannienne orientable compacte de dimension 2 est conformément équivalente à une surface de courbure constante 0, +1 ou –1 (ce nombre étant le signe de la caractéristique d'Euler de la variété)<a href="#cite_note-25">[19]</a>, d'où l'intérêt de l'étude des trois géométries correspondantes<a href="#cite_note-26">[N 7]</a>. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Géométrie_euclidienne">Géométrie euclidienne</h3>[<a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&veaction=edit&section=30" title="Modifier la section : Géométrie euclidienne" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&action=edit&section=30" title="Modifier le code source de la section : Géométrie euclidienne">modifier le code</a>]</div> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Triangle.Labels.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bf/Triangle.Labels.svg/220px-Triangle.Labels.svg.png" decoding="async" width="220" height="108" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bf/Triangle.Labels.svg/330px-Triangle.Labels.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bf/Triangle.Labels.svg/440px-Triangle.Labels.svg.png 2x" data-file-width="142" data-file-height="70" /></a><figcaption>Un triangle du plan.</figcaption></figure> Dans le cas du plan euclidien, le groupe des symétries est le <a href="/wiki/Isom%C3%A9trie_affine" title="Isométrie affine">groupe des déplacements</a>, <a href="/wiki/Produit_semi-direct" title="Produit semi-direct">produit semi-direct</a> du groupe des translations par le groupe des rotations<a href="#cite_note-27">[20]</a>. Les géodésiques sont les droites, et la géométrie se ramène aux formules élémentaires de <a href="/wiki/Trigonom%C3%A9trie" title="Trigonométrie">trigonométrie</a> (elles-mêmes liées à l'existence d'un <a href="/wiki/Produit_scalaire" title="Produit scalaire">produit scalaire</a>), telles que la <a href="/wiki/Loi_des_cosinus" title="Loi des cosinus">formule d'Al Kashi</a> pour un triangle de côtés a, b, c et d'angles α, β, γ : <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\,\cos \gamma .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>γ</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\,\cos \gamma .}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b016ed68462544f9290c147632dbed9d6ab90fbc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.748ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\,\cos \gamma .}"></dd></dl> Les surfaces compactes de courbure nulle sont les <a href="/wiki/Tore" title="Tore">tores</a>, obtenus en prenant le quotient de R2 par un <a href="/wiki/R%C3%A9seau_(g%C3%A9om%C3%A9trie)" title="Réseau (géométrie)">réseau</a>, c'est-à-dire un sous-groupe de rang 2. Ces surfaces ne peuvent être plongées isométriquement dans E3, mais cela est possible dans E4 ; cela vient de ce qu'un tore s'identifie à un produit de deux cercles de E2 (<a href="#do_Carmo1976">do Carmo 1976</a>). <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Géométrie_sphérique">Géométrie sphérique</h3>[<a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&veaction=edit&section=31" title="Modifier la section : Géométrie sphérique" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&action=edit&section=31" title="Modifier le code source de la section : Géométrie sphérique">modifier le code</a>]</div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Triangles_(spherical_geometry).jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/97/Triangles_%28spherical_geometry%29.jpg/220px-Triangles_%28spherical_geometry%29.jpg" decoding="async" width="220" height="181" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/97/Triangles_%28spherical_geometry%29.jpg/330px-Triangles_%28spherical_geometry%29.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/97/Triangles_%28spherical_geometry%29.jpg/440px-Triangles_%28spherical_geometry%29.jpg 2x" data-file-width="2489" data-file-height="2048" /></a><figcaption>Sur une sphère, la somme des <a href="/wiki/Angle" title="Angle">angles</a> intérieurs d'un triangle n'est pas égale à 180°. Cependant, dans un petit <a href="/wiki/Triangle" title="Triangle">triangle</a>, la somme des angles se rapproche de la valeur euclidienne de 180°.</figcaption></figure> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:RechtwKugeldreieck.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/50/RechtwKugeldreieck.svg/220px-RechtwKugeldreieck.svg.png" decoding="async" width="220" height="221" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/50/RechtwKugeldreieck.svg/330px-RechtwKugeldreieck.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/50/RechtwKugeldreieck.svg/440px-RechtwKugeldreieck.svg.png 2x" data-file-width="356" data-file-height="358" /></a><figcaption>Un triangle sphérique.</figcaption></figure> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_sph%C3%A9rique" title="Géométrie sphérique">géométrie sphérique</a>.</div></div> Le groupe d'isométries de la sphère unité de E'3, S2, est le <a href="/wiki/Groupe_orthogonal" title="Groupe orthogonal">groupe orthogonal</a> O(3), <a href="/wiki/Produit_semi-direct" title="Produit semi-direct">produit semi-direct</a> du <a href="/wiki/Rotation_dans_l%27espace" title="Rotation dans l'espace">groupe des rotations</a> SO(3) avec l'<a href="/wiki/Point_antipodal" title="Point antipodal">application antipodale</a> envoyant x vers –x<a href="#cite_note-28">[21]</a>. Le groupe SO(3) <a href="/wiki/Action_de_groupe_(math%C3%A9matiques)#Action_transitive" title="Action de groupe (mathématiques)">agit transitivement</a> sur S2. Le <a href="/wiki/Action_de_groupe_(math%C3%A9matiques)#Stabilisateur_d'un_élément" title="Action de groupe (mathématiques)">stabilisateur</a> du vecteur unité (0,0,1) peut être identifié à SO(2), et donc S2 = SO(3)/SO(2). Les géodésiques entre deux points de la sphère sont des arcs de <a href="/wiki/Grand_cercle" title="Grand cercle">grand cercle</a>. Si les points ne sont pas antipodaux, il y a un arc unique minimisant la distance entre eux. Un triangle géodésique de la sphère est appelé un <a href="/wiki/Trigonom%C3%A9trie_sph%C3%A9rique" title="Trigonométrie sphérique">triangle sphérique</a>. Il est défini par trois points A, B, C, les côtés BC, CA, AB étant des arcs de grands cercles de longueur inférieure à π. Si les longueurs des côtés sont a, b, c et les angles entre les côtés<a href="#cite_note-29">[N 8]</a> α, β, γ, alors la <a href="/wiki/Trigonom%C3%A9trie_sph%C3%A9rique#Formule_des_cosinus_et_relation_duale" title="Trigonométrie sphérique">formule des cosinus</a> (que l'on peut voir comme un analogue sphérique de la <a href="/wiki/Loi_des_cosinus" title="Loi des cosinus">formule d'Al-Kashi</a>) dit que <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \cos c=\cos a\,\cos b+\sin a\,\sin b\,\cos \gamma .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>c</mi> <mo>=</mo> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>a</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>b</mi> <mo>+</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>a</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>b</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>γ</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cos c=\cos a\,\cos b+\sin a\,\sin b\,\cos \gamma .}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48bd6eab1c3cd54d762c56bfd1c3590e5f33793d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:36.11ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \cos c=\cos a\,\cos b+\sin a\,\sin b\,\cos \gamma .}"></dd></dl> L'aire du triangle est α + β + γ - π. À l'aide d'une <a href="/wiki/Projection_st%C3%A9r%C3%A9ographique" title="Projection stéréographique">projection stéréographique</a> à partir du pôle nord, la sphère peur être identifiée à la <a href="/wiki/Sph%C3%A8re_de_Riemann" title="Sphère de Riemann">sphère de Riemann</a> C <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \cup }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∪</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cup }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8ff7d0293ad19b43524a133ae5129f3d71f2040" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.55ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \cup }"> {∞}. La forme explicite de cette application est <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi (x,y,z)={x+iy \over 1-z}\equiv u+iv.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>π</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mi>y</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>≡</mo> <mi>u</mi> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mi>v</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi (x,y,z)={x+iy \over 1-z}\equiv u+iv.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aaff76f9796bdbbe85962aa1d3d334fbb783300" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:28.691ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle \pi (x,y,z)={x+iy \over 1-z}\equiv u+iv.}"></dd></dl> Par cette application, chaque rotation de S2 correspond à une <a href="/wiki/Transformation_de_M%C3%B6bius" title="Transformation de Möbius">transformation de Möbius</a> du <a href="/wiki/Groupe_sp%C3%A9cial_unitaire" title="Groupe spécial unitaire">groupe spécial unitaire</a> SU(2), unique au signe près<a href="#cite_note-30">[22]</a>. Dans les coordonnées du plan complexe (u, v), la métrique de la sphère devient(<a href="#Eisenhart2004">Eisenhart 2004</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 110) <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ds^{2}={4(du^{2}+dv^{2}) \over (1+u^{2}+v^{2})^{2}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> <msup> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>4</mn> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>d</mi> <msup> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>d</mi> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ds^{2}={4(du^{2}+dv^{2}) \over (1+u^{2}+v^{2})^{2}}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bc987902128873bc63df3737dd953f85a4ea379" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:22.215ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle ds^{2}={4(du^{2}+dv^{2}) \over (1+u^{2}+v^{2})^{2}}.}"></dd></dl> La sphère unité est la seule variété compacte de courbure constante +1. Le quotient SO(3)/O(2) peut être identifié au <a href="/wiki/Plan_projectif_r%C3%A9el" title="Plan projectif réel">plan projectif réel</a>. Il est non orientable et s'identifie également au quotient de S2 par la multiplication par –1. La sphère est simplement connexe, alors que le <a href="/wiki/Groupe_fondamental" title="Groupe fondamental">groupe fondamental</a> du plan projectif est Z2. Les <a href="/wiki/Groupe_ponctuel_de_sym%C3%A9trie" title="Groupe ponctuel de symétrie">sous-groupes finis de SO(3)</a>, correspondant aux sous-groupes finis de O(2) et aux groupes de symétries des <a href="/wiki/Solide_de_Platon" title="Solide de Platon">solides platoniciens</a>, n'agissent pas librement sur S2 ; les quotients correspondants ne sont donc pas des variétés, mais seulement des <a href="/wiki/Orbifold" title="Orbifold">orbifolds</a>. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Géométrie_hyperbolique">Géométrie hyperbolique</h3>[<a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&veaction=edit&section=32" title="Modifier la section : Géométrie hyperbolique" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&action=edit&section=32" title="Modifier le code source de la section : Géométrie hyperbolique">modifier le code</a>]</div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_hyperbolique" title="Géométrie hyperbolique">géométrie hyperbolique</a>.</div></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Felix_Klein.jpeg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e2/Felix_Klein.jpeg/220px-Felix_Klein.jpeg" decoding="async" width="220" height="246" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e2/Felix_Klein.jpeg 1.5x" data-file-width="291" data-file-height="326" /></a><figcaption><a href="/wiki/Felix_Klein" title="Felix Klein">Felix Klein</a> (1849-1925).</figcaption></figure> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Poincare.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ed/Poincare.jpg/220px-Poincare.jpg" decoding="async" width="220" height="302" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/ed/Poincare.jpg 1.5x" data-file-width="283" data-file-height="388" /></a><figcaption><a href="/wiki/Henri_Poincar%C3%A9" title="Henri Poincaré">Henri Poincaré</a> (1854-1912).</figcaption></figure> La <a href="/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_non_euclidienne" title="Géométrie non euclidienne">géométrie non euclidienne</a><a href="#cite_note-31">[23]</a> fit sa première apparition dans des lettres de Gauss au début du <abbr class="abbr" title="19ᵉ siècle">XIXe</abbr> siècle ; il en construisit d'importants développements analytiques qui circulèrent à titre privé seulement. <a href="/wiki/Nikola%C3%AF_Ivanovitch_Lobatchevski" title="Nikolaï Ivanovitch Lobatchevski">Lobatchevski</a> en 1830 et, indépendamment, <a href="/wiki/J%C3%A1nos_Bolyai" title="János Bolyai">Bolyai</a> (fils d'<a href="/wiki/Farkas_Bolyai" title="Farkas Bolyai">un des correspondants de Gauss</a>) en 1832, publièrent des approches synthétiques de cette nouvelle géométrie, qui leur valurent de sévères critiques. Cependant, il fallut attendre 1868 pour que <a href="/wiki/Eugenio_Beltrami" title="Eugenio Beltrami">Beltrami</a>, suivi par <a href="/wiki/Felix_Klein" title="Felix Klein">Klein</a> en 1871 et <a href="/wiki/Henri_Poincar%C3%A9" title="Henri Poincaré">Poincaré</a> en 1882, donnent des modèles analytiques concrets de ce que Klein baptisa la <a href="/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_hyperbolique" title="Géométrie hyperbolique">géométrie hyperbolique</a>. Quatre modèles de la géométrie hyperbolique à deux dimensions furent ainsi construits : <ol><li>le <a href="/wiki/Mod%C3%A8le_de_Klein" title="Modèle de Klein">modèle de Beltrami-Klein</a> ;</li> <li>le <a href="/wiki/Mod%C3%A8le_de_l%27hyperbolo%C3%AFde" title="Modèle de l'hyperboloïde">modèle de l'hyperboloïde</a> dans l'<a href="/wiki/Espace_de_Minkowski" title="Espace de Minkowski">espace de Minkowski</a> à trois dimensions, dû à <a href="/wiki/Wilhelm_Killing" title="Wilhelm Killing">Wilhelm Killing</a>.</li> <li>le <a href="/wiki/Disque_de_Poincar%C3%A9" title="Disque de Poincaré">disque de Poincaré</a> ;</li> <li>le <a href="/wiki/Demi-plan_de_Poincar%C3%A9" title="Demi-plan de Poincaré">demi-plan de Poincaré</a> ;</li></ol> Le premier de ces modèles, basé sur un disque, a pour géodésiques de véritables droites euclidiennes (ou, plus précisément, l'intersection de ces droites avec le disque unité ouvert). Le deuxième utilise une construction complètement analogue à celle de la <a href="/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_sph%C3%A9rique" title="Géométrie sphérique">géométrie sphérique</a> (c'est en fait une géométrie sphérique « imaginaire »). Cependant, en raison de leurs applications à l'analyse complexe, les modèles de Poincaré sont les plus fréquemment utilisés ; ils sont interchangeables, en raison des transformations de Möbius entre le disque et le demi-plan. Soit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D=\{z\,\colon |z|<1\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>z</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mo>:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo><</mo> <mn>1</mn> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D=\{z\,\colon |z|<1\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a9a6fd1b3689fec74429c6333a78f1d998459f6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.5ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle D=\{z\,\colon |z|<1\}}"> le disque unité dans le plan complexe, muni de la <a href="/wiki/M%C3%A9trique_de_Poincar%C3%A9" title="Métrique de Poincaré">métrique de Poincaré</a> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ds^{2}={4(dx^{2}+dy^{2}) \over (1-x^{2}-y^{2})^{2}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> <msup> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>4</mn> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>d</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>d</mi> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ds^{2}={4(dx^{2}+dy^{2}) \over (1-x^{2}-y^{2})^{2}}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/643b7ed4247e0ba349ed23dfdf1d2c3a7b9e4743" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:22.247ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle ds^{2}={4(dx^{2}+dy^{2}) \over (1-x^{2}-y^{2})^{2}}.}"></dd></dl> En coordonnées polaires (r, θ), la métrique est donnée par <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ds^{2}={4(dr^{2}+r^{2}\,d\theta ^{2}) \over (1-r^{2})^{2}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> <msup> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>4</mn> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>d</mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <msup> <mi>θ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ds^{2}={4(dr^{2}+r^{2}\,d\theta ^{2}) \over (1-r^{2})^{2}}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/faf48eabd4ed97ab4e2f8488510cc85b9340a9b9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:22.923ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle ds^{2}={4(dr^{2}+r^{2}\,d\theta ^{2}) \over (1-r^{2})^{2}}.}"></dd></dl> La longueur d'une courbe γ:[a,b] <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \rightarrow }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">→</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rightarrow }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53e574cc3aa5b4bf5f3f5906caf121a378eef08b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.324ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle \rightarrow }"> D est donnée par <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ell (\gamma )=\int _{a}^{b}{2|\gamma ^{\prime }(t)|\,dt \over 1-|\gamma (t)|^{2}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ℓ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>γ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msup> <mi>γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-variant" mathvariant="normal">′</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>γ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ell (\gamma )=\int _{a}^{b}{2|\gamma ^{\prime }(t)|\,dt \over 1-|\gamma (t)|^{2}}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2550c8eab3d948104212357be7dc13b729cb3174" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:22.674ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle \ell (\gamma )=\int _{a}^{b}{2|\gamma ^{\prime }(t)|\,dt \over 1-|\gamma (t)|^{2}}.}"></dd></dl> Le groupe G = <a href="/wiki/Groupe_sp%C3%A9cial_unitaire" title="Groupe spécial unitaire">SU(1,1)</a> donné par <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G=\left\{{\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}:\alpha ,\beta \in \mathbf {C} ,\,|\alpha |^{2}-|\beta |^{2}=1\right\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>α</mi> </mtd> <mtd> <mi>β</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>β</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>α</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>:</mo> <mi>α</mi> <mo>,</mo> <mi>β</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">C</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>α</mi> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>β</mi> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G=\left\{{\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}:\alpha ,\beta \in \mathbf {C} ,\,|\alpha |^{2}-|\beta |^{2}=1\right\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c6f28aff562596ada6e7ff71c41fe2d7a2f3311" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:44.597ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle G=\left\{{\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}:\alpha ,\beta \in \mathbf {C} ,\,|\alpha |^{2}-|\beta |^{2}=1\right\}}"></dd></dl> agit transitivement sur D par les <a href="/wiki/Transformation_de_M%C3%B6bius" title="Transformation de Möbius">transformations de Möbius</a>, et le <a href="/wiki/Action_de_groupe_(math%C3%A9matiques)#Stabilisateur_d'un_élément" title="Action de groupe (mathématiques)">stabilisateur</a> de 0 est le groupe des rotations <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K=\left\{{\begin{pmatrix}\zeta &0\\0&{\overline {\zeta }}\end{pmatrix}}:\zeta \in \mathbf {C} ,\,|\zeta |=1\right\}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>K</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>ζ</mi> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>ζ</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>:</mo> <mi>ζ</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">C</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>ζ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K=\left\{{\begin{pmatrix}\zeta &0\\0&{\overline {\zeta }}\end{pmatrix}}:\zeta \in \mathbf {C} ,\,|\zeta |=1\right\}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1584e2d0a88c6c8ca3e546949139cdfd107ab81c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:34.477ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle K=\left\{{\begin{pmatrix}\zeta &0\\0&{\overline {\zeta }}\end{pmatrix}}:\zeta \in \mathbf {C} ,\,|\zeta |=1\right\}.}"></dd></dl> Le groupe quotient SU(1,1)/±I est le groupe des isométries de D préservant l'orientation. Deux points quelconques z et w de D sont reliés par une géodésique unique, portée par la droite ou le cercle passant par z et w qui est orthogonal au cercle unité frontière de D. La distance entre z et w est donnée par <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d(z,w)=2\operatorname {artanh} |z-w|/|1-{\overline {w}}z|.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo>,</mo> <mi>w</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>artanh</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>z</mi> <mo>−</mo> <mi>w</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>w</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d(z,w)=2\operatorname {artanh} |z-w|/|1-{\overline {w}}z|.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ba6f6e9530edfc43f290565e9e90496e091d40a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:35.432ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle d(z,w)=2\operatorname {artanh} |z-w|/|1-{\overline {w}}z|.}"></dd></dl> En particulier, d(0,r) = 2 artanh r, et c(t) = tanh t/2 est la géodésique correspondant à l'axe des réels, paramétrée par la longueur d'arc. La topologie définie par cette métrique est la topologie usuelle, mais, en tant qu'espace métrique, (D,d) est <a href="/wiki/Espace_complet" title="Espace complet">complet</a>. <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Triangolo_iperbolico.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/34/Triangolo_iperbolico.svg/220px-Triangolo_iperbolico.svg.png" decoding="async" width="220" height="220" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/34/Triangolo_iperbolico.svg/330px-Triangolo_iperbolico.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/34/Triangolo_iperbolico.svg/440px-Triangolo_iperbolico.svg.png 2x" data-file-width="360" data-file-height="360" /></a><figcaption>Un triangle hyperbolique dans le disque de Poincaré.</figcaption></figure> Un triangle hyperbolique est un triangle géodésique pour cette métrique. Si les côtés sont de longueurs a, b, c, les angles correspondants étant notés α, β, γ, alors la « <a href="/wiki/Loi_des_cosinus" title="Loi des cosinus">formule d'Al-Kashi</a> hyperbolique » est <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \cosh c=\cosh a\,\cosh b-\sinh a\,\sinh b\,\cos \gamma .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>cosh</mi> <mo>⁡</mo> <mi>c</mi> <mo>=</mo> <mi>cosh</mi> <mo>⁡</mo> <mi>a</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>cosh</mi> <mo>⁡</mo> <mi>b</mi> <mo>−</mo> <mi>sinh</mi> <mo>⁡</mo> <mi>a</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>sinh</mi> <mo>⁡</mo> <mi>b</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>γ</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cosh c=\cosh a\,\cosh b-\sinh a\,\sinh b\,\cos \gamma .}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b48074ead30946194fc797fbd9d5afc6e062c389" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:42.573ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \cosh c=\cosh a\,\cosh b-\sinh a\,\sinh b\,\cos \gamma .}"></dd></dl> L'aire de ce triangle vaut<a href="#cite_note-32">[24]</a> π – α – β – γ. Le disque unité et le demi-plan supérieur <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H=\{w=x+iy\,\colon \,y>0\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>w</mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mi>y</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mo>:</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>y</mi> <mo>></mo> <mn>0</mn> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H=\{w=x+iy\,\colon \,y>0\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8dcd0496567ea231db2de4171643d9365851d1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.602ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle H=\{w=x+iy\,\colon \,y>0\}}"> sont en bijection conforme par les transformations de Möbius (liées à la <a href="/wiki/Transformation_de_Cayley" title="Transformation de Cayley">transformation de Cayley</a>) <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w=i{1+z \over 1-z},\,\,z={w-i \over w+i}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>w</mi> <mo>=</mo> <mi>i</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>w</mi> <mo>−</mo> <mi>i</mi> </mrow> <mrow> <mi>w</mi> <mo>+</mo> <mi>i</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w=i{1+z \over 1-z},\,\,z={w-i \over w+i}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ec572dcf528869edf37aaafa92e4a17f7df77e2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:24.277ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle w=i{1+z \over 1-z},\,\,z={w-i \over w+i}.}"></dd></dl> Par cette correspondance, l'action de SL(2,R) sur H correspond à celle de SU(1,1) sur D. La métrique sur H est donnée par <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ds^{2}={dx^{2}+dy^{2} \over y^{2}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> <msup> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>d</mi> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ds^{2}={dx^{2}+dy^{2} \over y^{2}}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c81c3844d43ddd8e36b9516bb6d34eaa7ef1dc03" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:17.813ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle ds^{2}={dx^{2}+dy^{2} \over y^{2}}.}"></dd></dl> Les cercles étant préservés par les transformations de Möbius, les géodésiques sont des droites ou des cercles orthogonaux à l'axe des réels. Le disque unité muni de la métrique de Poincaré est la seule surface orientable simplement connexe de courbure constante -1. Les autres surfaces orientables M de courbure constante -1 admettent D comme revêtement universel. Leur <a href="/wiki/Groupe_fondamental" title="Groupe fondamental">groupe fondamental</a> peut être identifié à un sous-groupe compact sans torsion Γ de SU(1,1), tel que <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M=\Gamma \;\backslash \;G/K.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mspace width="thickmathspace" /> <mi class="MJX-variant" mathvariant="normal">∖</mi> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>K</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M=\Gamma \;\backslash \;G/K.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b88a536116b4e6089b9ba6e35bd62028f2260f3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.148ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle M=\Gamma \;\backslash \;G/K.}"></dd></dl> Γ est alors un <a href="/wiki/Pr%C3%A9sentation_d%27un_groupe" title="Présentation d'un groupe">groupe de présentation finie</a>. On peut coder les générateurs de ce groupe et leurs relations à l'aide d'un polygone géodésique fondamental de D (ou de H), dont les côtés correspondent à des géodésiques fermées de M. Cette construction donne, par exemple, la <a href="/wiki/Surface_de_Bolza" title="Surface de Bolza">surface de Bolza</a>, de genre 2, la <a href="/wiki/Quartique_de_Klein" title="Quartique de Klein">quartique de Klein</a>, de genre 3, la <a href="/wiki/Surface_de_Macbeath" title="Surface de Macbeath">surface de Macbeath</a>, de genre 7, ou encore le premier triplet de Hurwitz, de genre 14. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Uniformisation">Uniformisation</h3>[<a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&veaction=edit&section=33" title="Modifier la section : Uniformisation" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&action=edit&section=33" title="Modifier le code source de la section : Uniformisation">modifier le code</a>]</div> Étant donnée une surface fermée orientable M de courbure de Gauss K, la métrique de M peut être changée de façon conforme en la multipliant par un facteur e2u. La nouvelle courbure K’ est alors donnée par <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K^{\prime }(x)={\rm {e}}^{-2u}(K(x)-\Delta u),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>K</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-variant" mathvariant="normal">′</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">e</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi>u</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>K</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K^{\prime }(x)={\rm {e}}^{-2u}(K(x)-\Delta u),}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19a8a50713bf45c47495c8a5b9917db0b71ae903" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.089ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle K^{\prime }(x)={\rm {e}}^{-2u}(K(x)-\Delta u),}"></dd></dl> où Δ est le <a href="/wiki/Laplacien" class="mw-redirect" title="Laplacien">laplacien</a> de la métrique initiale. Ainsi, pour montrer qu'une surface donnée est conformément équivalente à une métrique de courbure constante K’, il suffit de résoudre la variante suivante de l'<a href="/wiki/%C3%89quation_de_Liouville" title="Équation de Liouville">équation de Liouville</a> : <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta u=K^{\prime }{\rm {e}}^{2u}+K(x).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>u</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>K</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-variant" mathvariant="normal">′</mi> </mrow> </msup> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">e</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mi>u</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>K</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta u=K^{\prime }{\rm {e}}^{2u}+K(x).}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edc9fa8936e630fe05568ffa6a0fcd023e3406d3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.862ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta u=K^{\prime }{\rm {e}}^{2u}+K(x).}"></dd></dl> Quand M est de caractéristique d'Euler nulle, et donc difféomorphe à un tore, K’ = 0, et cela revient à résoudre <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta u=K(x).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>u</mi> <mo>=</mo> <mi>K</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta u=K(x).}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68c0bedd9854086d2c1d413aace5eb30eeb236c4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.216ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Delta u=K(x).}"></dd></dl> La théorie classique des <a href="/wiki/Op%C3%A9rateur_diff%C3%A9rentiel#Opérateur_elliptique" title="Opérateur différentiel">opérateurs elliptiques</a> montre que ces solutions existent, car l'intégrale de K sur M est nulle, d'après le théorème de Gauss-Bonnet<a href="#cite_note-33">[25]</a>. Lorsque M est de caractéristique d'Euler négative, K’ = -1, et l'équation devient : <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta u=-{\rm {e}}^{2u}+K(x).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>u</mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">e</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mi>u</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>K</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta u=-{\rm {e}}^{2u}+K(x).}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c3e03886803762a96fc9c4e8935d59f49cd0f6c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.891ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta u=-{\rm {e}}^{2u}+K(x).}"></dd></dl> Utilisant la continuité de l'application exponentielle sur les <a href="/wiki/Espace_de_Sobolev" title="Espace de Sobolev">espaces de Sobolev</a>, un résultat dû à <a href="/wiki/Neil_Trudinger" title="Neil Trudinger">Neil Trudinger</a>, on montre que cette équation non linéaire possède toujours des solutions<a href="#cite_note-34">[26]</a>. Enfin, dans le cas de la 2-sphère, K’ = 1 et l'équation devient : <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta u={\rm {e}}^{2u}+K(x).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>u</mi> <mo>=</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">e</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mi>u</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>K</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta u={\rm {e}}^{2u}+K(x).}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe51220dcdd8f111fcf3f0a371c2747f2a644d59" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.083ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta u={\rm {e}}^{2u}+K(x).}"></dd></dl> Cette équation non linéaire n'a pas encore été analysée directement, mais des résultats classiques tels que le <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Riemann-Roch" title="Théorème de Riemann-Roch">théorème de Riemann-Roch</a> permettent de montrer qu'elle admet toujours des solutions. La méthode du <a href="/wiki/Flot_de_Ricci" class="mw-redirect" title="Flot de Ricci">flot de Ricci</a>, développée par <a href="/wiki/Richard_S._Hamilton" title="Richard S. Hamilton">Richard S. Hamilton</a>, donne une autre preuve basée sur l'étude des <a href="/wiki/%C3%89quation_aux_d%C3%A9riv%C3%A9es_partielles" title="Équation aux dérivées partielles">équations aux dérivées partielles</a> non linéaires<a href="#cite_note-35">[27]</a>. En fait, le flot de Ricci sur les métriques conformes de S2 est défini pour des fonctions u(x, t) par <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u_{t}=4\pi -K'(x,t)=4\pi -{\rm {e}}^{-2u}(K(x)-\Delta u).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>4</mn> <mi>π</mi> <mo>−</mo> <msup> <mi>K</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>4</mn> <mi>π</mi> <mo>−</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">e</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi>u</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>K</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u_{t}=4\pi -K'(x,t)=4\pi -{\rm {e}}^{-2u}(K(x)-\Delta u).}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc8e492254f4b1ddbe5911c4be77c943ced25915" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:44.886ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle u_{t}=4\pi -K'(x,t)=4\pi -{\rm {e}}^{-2u}(K(x)-\Delta u).}"></dd></dl> Chow a démontré que K’ devient positif en un temps fini ; des résultats antérieurs de Hamilton permettent alors de montrer que K’ converge vers +1<a href="#cite_note-36">[28]</a>. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Surfaces_de_courbure_négative">Surfaces de courbure négative</h2>[<a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&veaction=edit&section=34" title="Modifier la section : Surfaces de courbure négative" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&action=edit&section=34" title="Modifier le code source de la section : Surfaces de courbure négative">modifier le code</a>]</div> Dans une région de la surface où K≤0, les triangles géodésiques vérifient les inégalités de la géométrie de comparaison des <a href="/wiki/Espace_de_Cartan-Alexandrov-Toponogov" title="Espace de Cartan-Alexandrov-Toponogov">espaces CAT(0)</a>, ou <a href="/w/index.php?title=Espace_de_Hadamard&action=edit&redlink=1" class="new" title="Espace de Hadamard (page inexistante)">espaces de Hadamard</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Hadamard_space" class="extiw" title="en:Hadamard space">(en)</a>, étudiée par <a href="/wiki/%C3%89lie_Cartan" title="Élie Cartan">Cartan</a>, <a href="/wiki/Alexandre_Alexandrov" title="Alexandre Alexandrov">Alexandrov</a> et <a href="/w/index.php?title=Victor_Andreevich_Toponogov&action=edit&redlink=1" class="new" title="Victor Andreevich Toponogov (page inexistante)">Toponogov</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Victor_Andreevich_Toponogov" class="extiw" title="en:Victor Andreevich Toponogov">(en)</a>, et envisagée par la suite <a href="/wiki/Immeuble_de_Bruhat-Tits" title="Immeuble de Bruhat-Tits">d'un point de vue différent</a> par <a href="/wiki/Fran%C3%A7ois_Bruhat" title="François Bruhat">Bruhat</a> et <a href="/wiki/Jacques_Tits" title="Jacques Tits">Tits</a> ; grâce aux travaux de <a href="/wiki/Mikha%C3%AFl_Gromov" title="Mikhaïl Gromov">Gromov</a>, cette caractérisation de la courbure négative en termes de la distance géodésique a eu un profond impact sur la géométrie moderne, et en particulier sur la <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_g%C3%A9om%C3%A9trique_des_groupes" title="Théorie géométrique des groupes">théorie géométrique des groupes</a>. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="L'inégalité_d'Alexandrov">L'inégalité d'Alexandrov</h3>[<a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&veaction=edit&section=35" title="Modifier la section : L'inégalité d'Alexandrov" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&action=edit&section=35" title="Modifier le code source de la section : L'inégalité d'Alexandrov">modifier le code</a>]</div> La forme la plus simple des inégalités de comparaison, d'abord démontrée pour les surfaces de courbure négative par <a href="/wiki/Alexandre_Alexandrov" title="Alexandre Alexandrov">Alexandrov</a> vers 1940, affirme que : <dl><dd>La distance entre un sommet d'un triangle géodésique et le milieu du côté opposé est toujours inférieure à la longueur de la médiane correspondante du triangle de comparaison, c'est-à-dire du triangle euclidien ayant les mêmes longueurs de côtés.</dd></dl> Cette inégalité résulte de ce que si c(t) décrit une géodésique paramétrée par la longueur d'arc, et a est un point fixé, alors <dl><dd>f(t) = d(a,c(t))2 − t2</dd></dl> est une <a href="/wiki/Fonction_convexe" title="Fonction convexe">fonction convexe</a>, et donc <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\ddot {f}}(t)\geq 0.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>f</mi> <mo>¨</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≥</mo> <mn>0.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\ddot {f}}(t)\geq 0.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d54dbbe8c81bd7ad729c795292d37712ff374b4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.256ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\ddot {f}}(t)\geq 0.}"></dd></dl> En coordonnées polaires géodésiques d'origine a, avec ||c(t)|| = r(t), la convexité est équivalente à <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r{\ddot {r}}+{\dot {r}}^{2}\geq 1.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo>¨</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>≥</mo> <mn>1.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r{\ddot {r}}+{\dot {r}}^{2}\geq 1.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c493a3ac2235353b387335ed096599c8d14d7d5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:12.434ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle r{\ddot {r}}+{\dot {r}}^{2}\geq 1.}"></dd></dl> En coordonnées normales u, v à c(t), cette inégalité devient <dl><dd>u2 + H − 1 Hr v2 ≥ 1,</dd></dl> où (u,v) correspond au vecteur unitaire <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {c}}(t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>c</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {c}}(t)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/873e42bd21867b63cc9e0a0d716d636263444d91" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.941ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\dot {c}}(t)}">. Cela résulte de l'inégalité Hr ≥ H, conséquence de ce que la dérivée du <a href="/wiki/Wronskien" title="Wronskien">wronskien</a> de H et r (venant de la <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_de_Sturm-Liouville" title="Théorie de Sturm-Liouville">théorie de Sturm-Liouville</a>) est non positive<a href="#cite_note-37">[29]</a>. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Existence_et_unicité_des_géodésiques">Existence et unicité des géodésiques</h3>[<a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&veaction=edit&section=36" title="Modifier la section : Existence et unicité des géodésiques" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&action=edit&section=36" title="Modifier le code source de la section : Existence et unicité des géodésiques">modifier le code</a>]</div> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:George_David_Birkhoff_1.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/52/George_David_Birkhoff_1.jpg/110px-George_David_Birkhoff_1.jpg" decoding="async" width="110" height="134" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/52/George_David_Birkhoff_1.jpg/165px-George_David_Birkhoff_1.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/52/George_David_Birkhoff_1.jpg/220px-George_David_Birkhoff_1.jpg 2x" data-file-width="268" data-file-height="326" /></a><figcaption><a href="/wiki/George_Birkhoff" class="mw-redirect" title="George Birkhoff">George Birkhoff</a> (1884-1944).</figcaption></figure> Sur une surface <a href="/wiki/Connexit%C3%A9_(math%C3%A9matiques)" title="Connexité (mathématiques)">connexe</a> <a href="/wiki/Espace_complet" title="Espace complet">complète</a>, deux points sont toujours reliés par au moins une géodésique. C'est un cas particulier du <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Hopf-Rinow" title="Théorème de Hopf-Rinow">théorème de Hopf-Rinow</a>, lequel s'applique à des variétés de dimension quelconque. L'hypothèse de complétude est nécessaire : dans le plan euclidien privé d'un point, il n'y a pas de géodésique reliant deux points symétriques par rapport à celui-ci. Si de plus la surface est de courbure partout strictement négative, la géodésique joignant deux points quelconques est unique. Bien qu'on connaisse des approches classiques de ce résultat(<a href="#Milnor1963">Milnor 1963</a>), <a href="/wiki/George_David_Birkhoff" title="George David Birkhoff">George Birkhoff</a> en a trouvé une démonstration qui s'applique plus généralement à n'importe quelle variété riemannienne de courbure négative ; elle s'appuie sur sa méthode de raccourcissement, publiée en 1917, qui devait lui valoir le prestigieux <a href="/wiki/Prix_B%C3%B4cher" title="Prix Bôcher">prix Bôcher</a> et avoir une profonde influence sur le développement par <a href="/wiki/Marston_Morse" title="Marston Morse">Marston Morse</a> de la <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_de_Morse" title="Théorie de Morse">théorie de Morse</a> en dimension infinie(<a href="#Milnor1963">Milnor 1963</a>), ainsi que sur la <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_dynamique" title="Système dynamique">théorie des systèmes dynamiques</a>. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Théorème_de_Von_Mangoldt-Hadamard">Théorème de Von Mangoldt-Hadamard</h3>[<a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&veaction=edit&section=37" title="Modifier la section : Théorème de Von Mangoldt-Hadamard" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&action=edit&section=37" title="Modifier le code source de la section : Théorème de Von Mangoldt-Hadamard">modifier le code</a>]</div> Pour des surfaces compactes de courbure négative, <a href="/wiki/Hans_Carl_Friedrich_von_Mangoldt" title="Hans Carl Friedrich von Mangoldt">von Mangoldt</a> (1881) et <a href="/wiki/Jacques_Hadamard" title="Jacques Hadamard">Hadamard</a> (1898) ont démontré que l'application exponentielle en un point est un <a href="/wiki/Rev%C3%AAtement_(math%C3%A9matiques)" title="Revêtement (mathématiques)">revêtement</a>, et donc que le <a href="/wiki/Rev%C3%AAtement_(math%C3%A9matiques)" title="Revêtement (mathématiques)">revêtement universel</a> de la variété est E². Ce résultat fut généralisé en dimension supérieure par <a href="/wiki/%C3%89lie_Cartan" title="Élie Cartan">Cartan</a> et, sous cette forme, est connu sous le nom de <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cartan-Hadamard" title="Théorème de Cartan-Hadamard">théorème de Cartan-Hadamard</a>. Pour les surfaces, il découle des trois importants résultats suivants<a href="#cite_note-38">[30]</a> : <ul><li>La jacobienne de l'application exponentielle ne s’annule jamais pour des surfaces de courbure négative, puisque Hr ne s'annule pas.</li> <li>Les géodésiques « s'étendent à l'infini », c'est-à-dire que c(t) ne se rapproche pas d'un point limite quand t tend vers l'infini ; c'est une autre conséquence du <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Hopf-Rinow" title="Théorème de Hopf-Rinow">théorème de Hopf-Rinow</a>.</li> <li>Chaque classe d'<a href="/wiki/Homotopie" title="Homotopie">homotopie</a> de l'ensemble des chemins reliant deux points ne contient qu'une géodésique, comme on l'a vu précédemment.</li></ul> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Georg_Friedrich_Bernhard_Riemann.jpeg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/82/Georg_Friedrich_Bernhard_Riemann.jpeg/110px-Georg_Friedrich_Bernhard_Riemann.jpeg" decoding="async" width="110" height="120" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/82/Georg_Friedrich_Bernhard_Riemann.jpeg/165px-Georg_Friedrich_Bernhard_Riemann.jpeg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/82/Georg_Friedrich_Bernhard_Riemann.jpeg/220px-Georg_Friedrich_Bernhard_Riemann.jpeg 2x" data-file-width="903" data-file-height="986" /></a><figcaption><a href="/wiki/Bernhard_Riemann" title="Bernhard Riemann">Bernhard Riemann</a> (1826-1866).</figcaption></figure> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Connexion_riemannienne_et_transport_parallèle">Connexion riemannienne et transport parallèle</h2>[<a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&veaction=edit&section=38" title="Modifier la section : Connexion riemannienne et transport parallèle" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&action=edit&section=38" title="Modifier le code source de la section : Connexion riemannienne et transport parallèle">modifier le code</a>]</div> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Levi-Civita_1930.jpeg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/25/Levi-Civita_1930.jpeg/110px-Levi-Civita_1930.jpeg" decoding="async" width="110" height="148" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/25/Levi-Civita_1930.jpeg/165px-Levi-Civita_1930.jpeg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/25/Levi-Civita_1930.jpeg/220px-Levi-Civita_1930.jpeg 2x" data-file-width="242" data-file-height="326" /></a><figcaption><a href="/wiki/Tullio_Levi-Civita" title="Tullio Levi-Civita">Tullio Levi-Civita</a> (1873-1941).</figcaption></figure> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Articles détaillés : <a href="/wiki/Connexion_(math%C3%A9matiques)" title="Connexion (mathématiques)">connexion</a> ; <a href="/w/index.php?title=Connexion_riemannienne_sur_une_surface&action=edit&redlink=1" class="new" title="Connexion riemannienne sur une surface (page inexistante)">connexion riemannienne sur une surface</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Riemannian_connection_on_a_surface" class="extiw" title="en:Riemannian connection on a surface">(en)</a>.</div></div> Les concepts de <a href="/wiki/Vari%C3%A9t%C3%A9_riemannienne" title="Variété riemannienne">variété riemannienne</a> (introduit par <a href="/wiki/Bernhard_Riemann" title="Bernhard Riemann">Bernhard Riemann</a> vers 1850) et de <a href="/wiki/Connexion_(math%C3%A9matiques)" title="Connexion (mathématiques)">connexion</a> (développé par <a href="/wiki/Tullio_Levi-Civita" title="Tullio Levi-Civita">Tullio Levi-Civita</a>, <a href="/wiki/%C3%89lie_Cartan" title="Élie Cartan">Élie Cartan</a> et <a href="/wiki/Hermann_Weyl" title="Hermann Weyl">Hermann Weyl</a> au début du <abbr class="abbr" title="20ᵉ siècle">XXe</abbr> siècle) devaient permettre une approche plus conceptuelle et uniforme de la notion de courbure que l'approche classique de Gauss<a href="#cite_note-39">[31]</a>, non seulement généralisable à des variétés de dimension supérieure, mais permettant de définir de nouveaux invariants géométriques, les <a href="/wiki/Classe_caract%C3%A9ristique" title="Classe caractéristique">classes caractéristiques</a><a href="#cite_note-40">[32]</a>. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Dérivée_covariante">Dérivée covariante</h3>[<a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&veaction=edit&section=39" title="Modifier la section : Dérivée covariante" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&action=edit&section=39" title="Modifier le code source de la section : Dérivée covariante">modifier le code</a>]</div> Les connexions sur une surface peuvent être définies par plusieurs méthodes équivalentes. La connexion riemannienne, également appelée la <a href="/wiki/Connexion_de_Levi-Civita" title="Connexion de Levi-Civita">connexion de Levi-Civita</a>(<a href="#Levi-Civita1917">Levi-Civita 1917</a>) se comprend peut-être plus facilement comme relèvement de <a href="/wiki/Champ_de_vecteurs" title="Champ de vecteurs">champs de vecteurs</a>, considérés comme des <a href="/wiki/Op%C3%A9rateur_diff%C3%A9rentiel" title="Opérateur différentiel">opérateurs différentiels</a> du premier ordre (agissant sur les fonctions définies sur la variété), vers des opérateurs du <a href="/wiki/Fibr%C3%A9_tangent" title="Fibré tangent">fibré tangent</a> ou du <a href="/wiki/Fibr%C3%A9_des_rep%C3%A8res" title="Fibré des repères">fibré des repères</a>. Dans le cas d'une surface plongée dans R3, ce relèvement, appelé la dérivée covariante, se décrit simplement à l'aide de la projection orthogonale. Un champ de vecteurs sur la surface peut être considéré comme une fonction allant de la surface vers R3. Un autre champ de vecteurs agit alors comme un opérateur différentiel sur chaque composante. Le champ résultant n'est pas tangent à la surface, mais il suffit de le projeter en chaque point sur le plan tangent correspondant. Comme <a href="/wiki/Gregorio_Ricci-Curbastro" title="Gregorio Ricci-Curbastro">Ricci</a> et <a href="/wiki/Tullio_Levi-Civita" title="Tullio Levi-Civita">Levi-Civita</a> s'en rendirent compte, cette procédure ne dépend que de la métrique, et peut s'exprimer localement à l'aide des <a href="/wiki/Symboles_de_Christoffel" title="Symboles de Christoffel">symboles de Christoffel</a>. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Transport_parallèle">Transport parallèle</h3>[<a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&veaction=edit&section=40" title="Modifier la section : Transport parallèle" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&action=edit&section=40" title="Modifier le code source de la section : Transport parallèle">modifier le code</a>]</div> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Parallel_transport.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6d/Parallel_transport.png/220px-Parallel_transport.png" decoding="async" width="220" height="246" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6d/Parallel_transport.png/330px-Parallel_transport.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6d/Parallel_transport.png/440px-Parallel_transport.png 2x" data-file-width="510" data-file-height="570" /></a><figcaption>Transport parallèle d'un vecteur autour d'un triangle géodésique de la sphère.</figcaption></figure> La notion de transport parallèle d'un vecteur le long d'une courbe fut introduite ensuite par <a href="/wiki/Tullio_Levi-Civita" title="Tullio Levi-Civita">Levi-Civita</a>(<a href="#Levi-Civita1917">Levi-Civita 1917</a>). On peut la définir comme la <a href="/wiki/Monodromie" title="Monodromie">monodromie</a> de l'équation différentielle définie sur la courbe par la dérivée covariante par rapport au vecteur vitesse de la courbe. Le long de géodésiques, cela revient à dire que le transport parallèle d'un vecteur d'un plan tangent est l'unique champ de vecteurs le contenant, formé de vecteurs de norme constante, et faisant un angle constant avec le vecteur tangent à la géodésique. Pour une courbe générale, une description analogue est possible, utilisant la courbure géodésique(<a href="#Berger2003">Berger 2003</a>) : <ul><li>Un champ de vecteurs v(t), le long d'une courbe c(t) parcourue à vitesse unité, de courbure géodésique kg(t), est dit parallèle (le long de la courbe) si <ul><li>il est de norme constante</li> <li>l'angle θ(t) avec le vecteur vitesse <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {c}}(t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>c</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {c}}(t)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/873e42bd21867b63cc9e0a0d716d636263444d91" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.941ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\dot {c}}(t)}"> vérifie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {\theta }}(t)=-k_{g}(t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>θ</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>g</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\theta }}(t)=-k_{g}(t)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/347b5adefa63913162d9dbf64c47cb703a535b9e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:13.793ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\dot {\theta }}(t)=-k_{g}(t)}">.</li></ul></li></ul> Cette approche permet de montrer l'existence du transport parallèle, θ(t) pouvant être calculé comme l'<a href="/wiki/Int%C3%A9gration_(math%C3%A9matiques)" title="Intégration (mathématiques)">intégrale</a> de la courbure géodésique. Comme elle dépend continument de la norme L2 de kg, le transport parallèle pour une courbe arbitraire peut aussi être obtenu comme limite de transports parallèles sur des approximations par des courbes géodésiques par morceaux<a href="#cite_note-41">[33]</a>. La connexion peut ainsi être décrite par des relèvements des chemins de la variété vers des chemins du fibré tangent ou du fibré des repères, formalisant la théorie classique du « <a href="/w/index.php?title=Rep%C3%A8re_mobile&action=edit&redlink=1" class="new" title="Repère mobile (page inexistante)">repère mobile</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/moving_frame" class="extiw" title="en:moving frame">(en)</a> »(<a href="#Darboux_1887">Darboux 1887</a>). Le relèvement de lacets autour d'un point donne naissance au <a href="/wiki/Holonomie" title="Holonomie">groupe d'holonomie</a> en ce point. La courbure de Gauss peut être obtenue par des relèvements de lacets de plus en plus petits, ou, de façon équivalente, calculée directement de manière « infinitésimale » grâce aux <a href="/wiki/Crochet_de_Lie" title="Crochet de Lie">crochets de Lie</a> des relèvements des champs de vecteurs. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="1-forme_de_connexion">1-forme de connexion</h3>[<a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&veaction=edit&section=41" title="Modifier la section : 1-forme de connexion" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&action=edit&section=41" title="Modifier le code source de la section : 1-forme de connexion">modifier le code</a>]</div> L'approche de Cartan et de Weyl, utilisant des 1-formes de connexion sur le <a href="/wiki/Fibr%C3%A9_des_rep%C3%A8res" title="Fibré des repères">fibré des repères</a> de M, est encore une autre voie pour définir les connexions riemanniennes. Ils remarquèrent que le transport parallèle impose que le relèvement d'un chemin sur la surface soit un chemin dans le fibré des repères tel que ses vecteurs tangents appartiennent à un sous-espace bien précis de codimension 1 dans l'espace tangent tridimensionnel du fibré. La projection sur ce sous-espace est définie par une 1-forme différentielle sur le fibré des repères, la <a href="/wiki/Forme_de_connexion" title="Forme de connexion">forme de connexion</a>. Ceci permet de coder les propriétés de courbure de la surface à l'aide de <a href="/wiki/Forme_diff%C3%A9rentielle" title="Forme différentielle">formes différentielles</a>, et de formules mettant en jeu leurs <a href="/wiki/D%C3%A9riv%C3%A9e_ext%C3%A9rieure" title="Dérivée extérieure">dérivées extérieures</a>. Cette approche est particulièrement simple dans le cas d'une surface plongée dans E3. Grâce à un résultat de (<a href="#Kobayashi_1956">Kobayashi 1956</a>), on montre que la forme de connexion est alors simplement l'image réciproque, par l'application de Gauss, de la forme de connexion sur S2 (<a href="#KobayashiNomizu1969">Kobayashi et Nomizu 1969</a>). Identifiant S2 avec l'<a href="/wiki/Espace_homog%C3%A8ne" title="Espace homogène">espace homogène</a> SO(3)/SO(2), cette forme est une composante de la <a href="/wiki/Forme_de_Maurer-Cartan" title="Forme de Maurer-Cartan">forme de Maurer-Cartan</a> sur SO(3)(<a href="#IveyLandsberg2003">Ivey et Landsberg 2003</a>). <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Géométrie_différentielle_globale_des_surfaces">Géométrie différentielle globale des surfaces</h2>[<a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&veaction=edit&section=42" title="Modifier la section : Géométrie différentielle globale des surfaces" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&action=edit&section=42" title="Modifier le code source de la section : Géométrie différentielle globale des surfaces">modifier le code</a>]</div> Bien que la caractérisation de la courbure ne mette en jeu que la géométrie locale d'une surface, on a vu qu'elle est liée à d'importants aspects globaux tels que le <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Gauss-Bonnet" class="mw-redirect" title="Théorème de Gauss-Bonnet">théorème de Gauss-Bonnet</a> ou le <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_d%27uniformisation" title="Théorème d'uniformisation">théorème d'uniformisation</a>. D'autres questions globales passent également par ces méthodes<a href="#cite_note-42">[34]</a> ; en voici quelques exemples. <ul><li>L'étude du <a href="/wiki/Rayon_d%27injectivit%C3%A9" title="Rayon d'injectivité">rayon d'injectivité</a>, défini comme le plus grand r tel que deux points à une distance inférieure à r soient joints par une géodésique unique. <a href="/wiki/Wilhelm_Klingenberg" title="Wilhelm Klingenberg">Wilhelm Klingenberg</a> montra en 1959 que le rayon d'injectivité d'une surface fermée est minoré par <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta =\pi /{\sqrt {\sup K}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>δ</mi> <mo>=</mo> <mi>π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mo movablelimits="true" form="prefix">sup</mo> <mi>K</mi> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta =\pi /{\sqrt {\sup K}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/789bf9bd4edb9860b20402e11a38db6fbf62c497" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:14.92ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \delta =\pi /{\sqrt {\sup K}}}"> (où K est la courbure de Gauss) et par la longueur de sa plus petite géodésique. C'était une amélioration d'un résultat de Bonnet de 1855, montrant que le diamètre d'une surface fermée de courbure positive était toujours majoré par δ, autrement dit, qu'une géodésique entre deux points réalisant la distance minimale ne pouvait être de longueur supérieure à δ.</li> <li>Rigidité. En 1927, <a href="/wiki/Stephan_Cohn-Vossen" title="Stephan Cohn-Vossen">Cohn-Vossen</a> montra que si deux surfaces fermées de E3 de courbures positives sont isométriques, elles sont nécessairement congruentes par une isométrie de E3. De plus, une telle surface, de courbure moyenne constante, est nécessairement une sphère (Liebmann 1899). <a href="/wiki/Heinz_Hopf" title="Heinz Hopf">Heinz Hopf</a> montra en 1950 qu'une surface de courbure moyenne constante et homéomorphe à une sphère en est une ; enfin, en 1955, Alexandrov montra qu'on pouvait se passer de l'hypothèse topologique.</li> <li>La conjecture de <a href="/wiki/Constantin_Carath%C3%A9odory" title="Constantin Carathéodory">Carathéodory</a> : cette conjecture affirme qu'une surface fermée convexe trois fois différentiable admet au moins deux points ombilicaux, c'est-à-dire des points où les deux courbures principales sont égales.</li></ul> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:TorusSystoleLoop.png" class="mw-file-description"><img alt="Systole" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8c/TorusSystoleLoop.png/220px-TorusSystoleLoop.png" decoding="async" width="220" height="181" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8c/TorusSystoleLoop.png/330px-TorusSystoleLoop.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8c/TorusSystoleLoop.png/440px-TorusSystoleLoop.png 2x" data-file-width="1078" data-file-height="887" /></a><figcaption><a href="/wiki/Systole_(math%C3%A9matiques)" title="Systole (mathématiques)">Systole</a> sur un tore.</figcaption></figure> <ul><li><a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_isop%C3%A9rim%C3%A9trique" title="Théorème isopérimétrique">Inégalités isopérimétriques</a>. En 1939, Schmidt montra que l'inégalité isopérimétrique classique pour les courbes planes est encore valable sur la sphère ou dans le plan hyperbolique, c'est-à-dire que parmi toutes les courbes bornant un domaine d'aire fixée, le périmètre minimal est atteint pour des cercles (au sens de la métrique). D'autres généralisations sont abordées dans l'article <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_isop%C3%A9rim%C3%A9trique" title="Théorème isopérimétrique">Théorème isopérimétrique</a>.</li> <li>Inégalités systoliques. La <a href="/wiki/Systole_(math%C3%A9matiques)" title="Systole (mathématiques)">systole</a> d'une surface fermée est la plus petite longueur d'une courbe non contractible tracée sur elle. En 1949, <a href="/wiki/Charles_Loewner" title="Charles Loewner">Charles Loewner</a> montra une <a href="/wiki/In%C3%A9galit%C3%A9_torique_de_Loewner" title="Inégalité torique de Loewner">inégalité torique</a> concernant les métriques, à savoir que l'aire du tore divisée par le carré de sa systole est minoré par <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {3}}/2}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>3</mn> </msqrt> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {3}}/2}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3245e1141ec36a954dd702c886bba16d8c6cb057" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.423ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {3}}/2}">, l'égalité ayant lieu quand la courbure est constante. Des inégalités similaires existent pour le plan projectif (avec une borne inférieure de 2/π) et pour la bouteille de Klein (avec une borne inférieure de <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {8}}/\pi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>8</mn> </msqrt> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>π</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {8}}/\pi }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95298340a2a9697053bfbf9d48a03e010973be07" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.593ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {8}}/\pi }">) ; plus généralement, <a href="/wiki/Mikha%C3%AFl_Gromov" title="Mikhaïl Gromov">Mikhaïl Gromov</a> a établi des bornes (non optimales) pour des surfaces de genre g quelconque(<a href="#Katz2007">Katz 2007</a>).</li></ul> <div class="clear" style="clear:both;"></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Notes_et_références">Notes et références</h2>[<a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&veaction=edit&section=43" title="Modifier la section : Notes et références" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&action=edit&section=43" title="Modifier le code source de la section : Notes et références">modifier le code</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Notes">Notes</h3>[<a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&veaction=edit&section=44" title="Modifier la section : Notes" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&action=edit&section=44" title="Modifier le code source de la section : Notes">modifier le code</a>]</div> <div class="references-small decimal" style=""><div class="mw-references-wrap"><ol class="references"> <li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> Gauss avait exécuté des travaux de <a href="/wiki/Cartographie" title="Cartographie">cartographie</a> pour le roi <a href="/wiki/George_III_du_Royaume-Uni" class="mw-redirect" title="George III du Royaume-Uni">George III</a> ; cela pourrait expliquer que ces articles contiennent à titre d'exemple des calculs effectifs de la courbure de la Terre basés uniquement sur des mesures de distances à sa surface. </li> <li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> Cela correspond également à la forme que prendrait un ruban élastique tendu sur la surface entre ces deux points. </li> <li id="cite_note-9"><a href="#cite_ref-9">↑</a> « Atlas » est d'ailleurs également le nom donné, en <a href="/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle" title="Géométrie différentielle">géométrie différentielle</a>, à ces ensembles d'applications. </li> <li id="cite_note-13"><a href="#cite_ref-13">↑</a> Dans certains textes récents, c'est cette forme bilinéaire symétrique qui est appelée la seconde forme fondamentale, mais elle ne correspond pas en général à la forme classique définie précédemment. </li> <li id="cite_note-14"><a href="#cite_ref-14">↑</a> C'est une intégrale introduite en référence à l'<a href="/wiki/%C3%89nergie" title="Énergie">énergie</a> physique et modélisant l'énergie du ruban élastique mentionné précédemment. </li> <li id="cite_note-23"><a href="#cite_ref-23">↑</a> Sur un petit cercle autour de chaque zéro isolé du champ, celui-ci définit une application sur le cercle unité, le « nombre de tours » (l'<a href="/wiki/Indice_(analyse_complexe)" title="Indice (analyse complexe)">indice</a> au sens des applications holomorphes) effectué par cette dernière est l'indice du point. </li> <li id="cite_note-26"><a href="#cite_ref-26">↑</a> Ce résultat se généralise très difficilement aux variétés de dimension supérieure ; en dimension 3, on ne peut faire mieux que la <a href="/wiki/Conjecture_de_g%C3%A9om%C3%A9trisation" class="mw-redirect" title="Conjecture de géométrisation">conjecture de géométrisation</a> de Thurston, démontrée en 2003 par <a href="/wiki/Grigori_Perelman" title="Grigori Perelman">Grigori Perelman</a>. </li> <li id="cite_note-29"><a href="#cite_ref-29">↑</a> En fait, d'un point de vue extrinsèque, il s'agit des angles entre les plans des grands cercles. </li> </ol></div> </div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Références">Références</h3>[<a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&veaction=edit&section=45" title="Modifier la section : Références" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&action=edit&section=45" title="Modifier le code source de la section : Références">modifier le code</a>]</div> <div class="references-small decimal" style=""><div class="mw-references-wrap mw-references-columns"><ol class="references"> <li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> Ce traité est consultable (mais non numérisé) sur <a href="/wiki/Gallica" title="Gallica">Gallica</a>, ainsi que <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.hti.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=ABV4153.0001.001">sur le site de l'université du Michigan</a> : voici le <a rel="nofollow" class="external text" href="https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k77831k.image.r=darboux.langFR.f17.pagination">fac-similé d'une de ses pages</a>. </li> <li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> <a href="#Eisenhart2004">Eisenhart 2004</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 241-250 ; <a href="#do_Carmo1976">do Carmo 1976</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 188-197. </li> <li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> <a href="#Eisenhart2004">Eisenhart 2004</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 250-269 ; <a href="#do_Carmo1976">do Carmo 1976</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 197-213. </li> <li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> La solution de Douglas est décrite dans <a href="#Courant1950">Courant 1950</a>. </li> <li id="cite_note-7"><a href="#cite_ref-7">↑</a> <a href="#Eisenhart2004">Eisenhart 2004</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 270-291 ; <a href="#O'Neill1997">O'Neill 1997</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 249-251 ; <a href="#Hilbert_et_Cohn-Vossen_1952">Hilbert et Cohn-Vossen 1952</a>. </li> <li id="cite_note-8"><a href="#cite_ref-8">↑</a> <a href="#O'Neill1997">O'Neill 1997</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 249-251 ; <a href="#do_Carmo1976">do Carmo 1976</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 168-170 ; <a href="#GrayAbbenaSalamon2006">Gray, Abbena et Salamon 2006</a>. </li> <li id="cite_note-10"><a href="#cite_ref-10">↑</a> <a href="#Eisenhart2004">Eisenhart 2004</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 114-115 ; <a href="#Pressley2001">Pressley 2001</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 123-124 ; <a href="#Wilson2008">Wilson 2008</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 123-124. </li> <li id="cite_note-11"><a href="#cite_ref-11">↑</a> Voir la section consacrée aux équations de Gauss-Codazzi dans <a href="/w/index.php?title=Connexion_de_Riemann_sur_une_surface&action=edit&redlink=1" class="new" title="Connexion de Riemann sur une surface (page inexistante)">l'article Connexion de Riemann sur une surface</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Riemannian_connection_on_a_surface#Gauss-Codazzi_equations" class="extiw" title="en:Riemannian connection on a surface">(en)</a>. </li> <li id="cite_note-12"><a href="#cite_ref-12">↑</a> <a href="#O'Neill1997">O'Neill 1997</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 195-216 ; <a href="#do_Carmo1976">do Carmo 1976</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 134-153 ; <a href="#SingerThorpe1967">Singer et Thorpe 1967</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 216-224. </li> <li id="cite_note-15"><a href="#cite_ref-15">↑</a> <a href="#Berger2003">Berger 2003</a>, <a href="#Wilson2008">Wilson 2008</a>, <a href="#Milnor1963">Milnor 1963</a>. </li> <li id="cite_note-16"><a href="#cite_ref-16">↑</a> <a href="#Eisenhart_1947">Eisenhart 1947</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 131 ; <a href="#Berger2003">Berger 2003</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 39 ; <a href="#do_Carmo1976">do Carmo 1976</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 248 ; <a href="#O'Neill1997">O'Neill 1997</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 237. </li> <li id="cite_note-17"><a href="#cite_ref-17">↑</a> Voir le <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_plongement_de_Nash" title="Théorème de plongement de Nash">théorème de plongement de Nash</a>. </li> <li id="cite_note-18"><a href="#cite_ref-18">↑</a> David Spring, Convex integration theory - solutions to the h-principle in geometry and topology, Monographs in Mathematics 92, Birkhauser-Verlag, 1998 </li> <li id="cite_note-19"><a href="#cite_ref-19">↑</a> Vincent Borelli, « <a rel="nofollow" class="external text" href="http://images.math.cnrs.fr/Gnash-un-tore-plat.html"><cite style="font-style:normal;">Gnash, un tore plat</cite></a> », sur <a href="/wiki/Images_des_Maths" class="mw-redirect" title="Images des Maths">images des Maths</a>. </li> <li id="cite_note-20"><a href="#cite_ref-20">↑</a> <a href="#Eisenhart2004">Eisenhart 2004</a> ; <a href="#Taylor1996a">Taylor 1996a</a>, Appendix C. </li> <li id="cite_note-21"><a href="#cite_ref-21">↑</a> <a href="#Eisenhart2004">Eisenhart 2004</a>, <a href="#Berger2003">Berger 2003</a>. </li> <li id="cite_note-22"><a href="#cite_ref-22">↑</a> <a href="#Helgason">Helgason</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 92 </li> <li id="cite_note-24"><a href="#cite_ref-24">↑</a> <a href="#SingerThorpe1967">Singer et Thorpe 1967</a> et <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Adriano M. Garsia, « <cite style="font-style:normal" lang="en">An imbedding of closed Riemann surfaces in Euclidean space</cite> », Comment. Math. Helv., <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 35,‎ <time>1961</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> 93-110 (<a href="/wiki/Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">DOI</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://dx.doi.org/10.1007/BF02567009">10.1007/BF02567009</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=An+imbedding+of+closed+Riemann+surfaces+in+Euclidean+space&rft.jtitle=Comment.+Math.+Helv.&rft.aulast=Garsia&rft.aufirst=Adriano+M.&rft.date=1961&rft.volume=35&rft.pages=93-110&rft_id=info%3Adoi%2F10.1007%2FBF02567009&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AG%C3%A9om%C3%A9trie+diff%C3%A9rentielle+des+surfaces">. </li> <li id="cite_note-25"><a href="#cite_ref-25">↑</a> <a href="#Berger1977">Berger 1977</a>, <a href="#Taylor1996a">Taylor 1996a</a>. </li> <li id="cite_note-27"><a href="#cite_ref-27">↑</a> <a href="#Wilson2008">Wilson 2008</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 1-23, chap. I, Euclidean geometry. </li> <li id="cite_note-28"><a href="#cite_ref-28">↑</a> <a href="#Wilson2008">Wilson 2008</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 25-49, Chapter II, Spherical geometry. </li> <li id="cite_note-30"><a href="#cite_ref-30">↑</a> <a href="#Wilson2008">Wilson 2008</a>, chap. 2. </li> <li id="cite_note-31"><a href="#cite_ref-31">↑</a> <a href="#Stillwell1996">Stillwell 1996</a> ; <a href="#BonolaCarslawEnriques1955">Bonola, Carslaw et Enriques 1955</a>. </li> <li id="cite_note-32"><a href="#cite_ref-32">↑</a> <a href="#Wilson2008">Wilson 2008</a>, chap. 5. </li> <li id="cite_note-33"><a href="#cite_ref-33">↑</a> <a href="#Taylor1996b">Taylor 1996b</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 107 ; <a href="#Berger1977">Berger 1977</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 341-343. </li> <li id="cite_note-34"><a href="#cite_ref-34">↑</a> <a href="#Berger1977">Berger 1977</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 222-225 ; <a href="#Taylor1996b">Taylor 1996b</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 101-108. </li> <li id="cite_note-35"><a href="#cite_ref-35">↑</a> <a href="#Chow1991">Chow 1991</a>, <a href="#Taylor1996b">Taylor 1996b</a>. </li> <li id="cite_note-36"><a href="#cite_ref-36">↑</a> <a href="#Chen,_Lu_et_Gang_2006">Chen, Lu et Gang 2006</a> complétèrent une étape manquante dans l'approche de Hamilton et Chow. </li> <li id="cite_note-37"><a href="#cite_ref-37">↑</a> <a href="#Berger2003">Berger 2003</a> et <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="/wiki/J%C3%BCrgen_Jost" title="Jürgen Jost">Jürgen Jost</a>, <cite class="italique" lang="en">Nonpositive curvature : geometric and analytic aspects</cite>, Basel, ETH Zurich, <abbr class="abbr" title="collection">coll.</abbr> « Lectures in Mathematics », <time>1997</time>, 112 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> (<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-3-7643-5736-8" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-3-7643-5736-8">978-3-7643-5736-8</a>, <a href="/wiki/Num%C3%A9ro_de_contr%C3%B4le_de_la_Biblioth%C3%A8que_du_Congr%C3%A8s" title="Numéro de contrôle de la Bibliothèque du Congrès">LCCN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://lccn.loc.gov/97011973">97011973</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=RWZY20dD2YoC&printsec=frontcover">lire en ligne</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Nonpositive+curvature&rft.place=Basel&rft.pub=ETH+Zurich&rft.stitle=geometric+and+analytic+aspects&rft.aulast=Jost&rft.aufirst=J%C3%BCrgen&rft.date=1997&rft.tpages=112&rft.isbn=978-3-7643-5736-8&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AG%C3%A9om%C3%A9trie+diff%C3%A9rentielle+des+surfaces">. </li> <li id="cite_note-38"><a href="#cite_ref-38">↑</a> <a href="#do_Carmo1976">do Carmo 1976</a>, <a href="#Berger2003">Berger 2003</a>. </li> <li id="cite_note-39"><a href="#cite_ref-39">↑</a> <a href="#Eisenhart2004">Eisenhart 2004</a>, <a href="#Kreyszig_1991">Kreyszig 1991</a>, <a href="#Berger2003">Berger 2003</a>, <a href="#Wilson2008">Wilson 2008</a>. </li> <li id="cite_note-40"><a href="#cite_ref-40">↑</a> <a href="#KobayashiNomizu1969">Kobayashi et Nomizu 1969</a>, chap. XII. </li> <li id="cite_note-41"><a href="#cite_ref-41">↑</a> <a href="#Arnold1989">Arnold 1989</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 301-306, Appendix I ; <a href="#Berger2003">Berger 2003</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 263-264. </li> <li id="cite_note-42"><a href="#cite_ref-42">↑</a> <a href="#Berger2003">Berger 2003</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 145-161 ; <a href="#do_Carmo1976">do Carmo 1976</a> ; <a href="#Chern1967">Chern 1967</a> ; <a href="#Hopf1989">Hopf 1989</a>. </li> </ol></div> </div> <ul><li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « <a class="external text" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Differential_geometry_of_surfaces?oldid=413064348">Differential geometry of surfaces</a> » (<a class="external text" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Differential_geometry_of_surfaces?action=history">voir la liste des auteurs</a>).</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="En_français">En français</h4>[<a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&veaction=edit&section=46" title="Modifier la section : En français" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&action=edit&section=46" title="Modifier le code source de la section : En français">modifier le code</a>]</div> <ul><li><a href="/wiki/Marcel_Berger" title="Marcel Berger">Marcel Berger</a> et Bernard Gostiaux, <cite class="italique">Géométrie différentielle : variétés, courbes et surfaces</cite>, <time>1992</time> [<a href="/wiki/R%C3%A9f%C3%A9rence:G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_(Berger,_Gostiaux)" title="Référence:Géométrie différentielle (Berger, Gostiaux)">détail des éditions</a>]<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=G%C3%A9om%C3%A9trie+diff%C3%A9rentielle&rft.stitle=vari%C3%A9t%C3%A9s%2C+courbes+et+surfaces&rft.aulast=Berger&rft.aufirst=Marcel&rft.au=Gostiaux%2C+Bernard&rft.date=1992&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AG%C3%A9om%C3%A9trie+diff%C3%A9rentielle+des+surfaces"></li> <li><a href="/wiki/%C3%89lie_Cartan" title="Élie Cartan">Élie Cartan</a>, <cite class="italique">Leçons sur la géométrie des espaces de Riemann</cite>, Paris, Gauthier-Villard, <time>1946</time>, <abbr class="abbr" title="deuxième">2e</abbr> <abbr class="abbr" title="édition">éd.</abbr>, 378 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> (<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-2-87647-008-8" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-2-87647-008-8">978-2-87647-008-8</a> et <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/2-87647-008-X" title="Spécial:Ouvrages de référence/2-87647-008-X">2-87647-008-X</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Le%C3%A7ons+sur+la+g%C3%A9om%C3%A9trie+des+espaces+de+Riemann&rft.place=Paris&rft.pub=Gauthier-Villard&rft.edition=2&rft.aulast=Cartan&rft.aufirst=%C3%89lie&rft.date=1946&rft.tpages=378&rft.isbn=978-2-87647-008-8&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AG%C3%A9om%C3%A9trie+diff%C3%A9rentielle+des+surfaces"></li> <li><a href="/wiki/Gaston_Darboux" title="Gaston Darboux">Gaston Darboux</a>, <cite class="italique">Leçons sur la théorie générale des surfaces: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.hti.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=ABV4153.0001.001">Volume I</a>,<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.hti.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=ABV4153.0002.001">Volume II</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.hti.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=ABV4153.0003.001">Volume III</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.hti.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=ABV4153.0004.001">Volume IV</a></cite>, <a href="/wiki/Gauthier-Villars" title="Gauthier-Villars">Gauthier-Villars</a>, 1887,1889,1896<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Le%C3%A7ons+sur+la+th%C3%A9orie+g%C3%A9n%C3%A9rale+des+surfaces%3A+Volume+I%2CVolume+II%2C+Volume+III%2C+Volume+IV&rft.pub=Gauthier-Villars&rft.aulast=Darboux&rft.aufirst=Gaston&rft.date=1889&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AG%C3%A9om%C3%A9trie+diff%C3%A9rentielle+des+surfaces"></li> <li><a href="/wiki/Leonhard_Euler" title="Leonhard Euler">Leonhard Euler</a>, « <cite style="font-style:normal">Recherches sur la courbure des surfaces</cite> », Mémoires de l'académie des sciences de Berlin, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 16,‎ <time>1760</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> 119-143 (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://math.dartmouth.edu/~euler/pages/E333.html">lire en ligne</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=Recherches+sur+la+courbure+des+surfaces&rft.jtitle=M%C3%A9moires+de+l%27acad%C3%A9mie+des+sciences+de+Berlin&rft.aulast=Euler&rft.aufirst=Leonhard&rft.date=1760&rft.volume=16&rft.pages=119-143&rft_id=http%3A%2F%2Fmath.dartmouth.edu%2F~euler%2Fpages%2FE333.html&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AG%C3%A9om%C3%A9trie+diff%C3%A9rentielle+des+surfaces"> (publié en 1767)</li> <li><a href="/wiki/Georges_Valiron" title="Georges Valiron">Georges Valiron</a>, <cite class="italique">Traité d'Analyse (tome 2 : Équations fonctionnelles)</cite>, <time>1950</time><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Trait%C3%A9+d%27Analyse+%28tome+2&rft.stitle=%C3%89quations+fonctionnelles%29&rft.aulast=Valiron&rft.aufirst=Georges&rft.date=1950&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AG%C3%A9om%C3%A9trie+diff%C3%A9rentielle+des+surfaces"> ; traduit en anglais par <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> James Glazebrook, <cite class="italique" lang="en">The Classical Differential Geometry of Curves and Surfaces</cite>, Brookline, Math Sci Press, <time>1986</time>, 268 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> (<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-0-915692-39-2" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-0-915692-39-2">978-0-915692-39-2</a> et <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/0915692392" title="Spécial:Ouvrages de référence/0915692392">0915692392</a>, <a href="/wiki/Num%C3%A9ro_de_contr%C3%B4le_de_la_Biblioth%C3%A8que_du_Congr%C3%A8s" title="Numéro de contrôle de la Bibliothèque du Congrès">LCCN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://lccn.loc.gov/86023882">86023882</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=IQXstKvWsHMC&printsec=frontcover&dq=valiron+surfaces">lire en ligne</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=The+Classical+Differential+Geometry+of+Curves+and+Surfaces&rft.place=Brookline&rft.pub=Math+Sci+Press&rft.aulast=Glazebrook&rft.aufirst=James&rft.date=1986&rft.tpages=268&rft.isbn=978-0-915692-39-2&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AG%C3%A9om%C3%A9trie+diff%C3%A9rentielle+des+surfaces"></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Autres">Autres</h4>[<a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&veaction=edit&section=47" title="Modifier la section : Autres" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&action=edit&section=47" title="Modifier le code source de la section : Autres">modifier le code</a>]</div> <ul><li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="/wiki/Aleksandr_Aleksandrov" class="mw-redirect" title="Aleksandr Aleksandrov">A.D. Aleksandrov</a> et <a href="/w/index.php?title=Victor_Zalgaller&action=edit&redlink=1" class="new" title="Victor Zalgaller (page inexistante)">V.A. Zalgaller</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Victor_Zalgaller" class="extiw" title="en:Victor Zalgaller">(en)</a>, <cite class="italique" lang="en">Intrinsic Geometry of Surfaces</cite>, <a href="/wiki/American_Mathematical_Society" title="American Mathematical Society">AMS</a>, <abbr class="abbr" title="collection">coll.</abbr> « Translations of Mathematical Monographs » (<abbr class="abbr" title="numéro">no</abbr> 15), <time>1967</time><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Intrinsic+Geometry+of+Surfaces&rft.pub=AMS&rft.aulast=Aleksandrov&rft.aufirst=A.D.&rft.au=V.A.+Zalgaller&rft.date=1967&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AG%C3%A9om%C3%A9trie+diff%C3%A9rentielle+des+surfaces"></li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="/wiki/Vladimir_Arnold" title="Vladimir Arnold">V. I. Arnold</a>, <cite class="italique" lang="en">Mathematical methods of classical mechanics</cite>, New York, Springer-Verlag, <abbr class="abbr" title="collection">coll.</abbr> « <a href="/wiki/Graduate_Texts_in_Mathematics" title="Graduate Texts in Mathematics">GTM</a> » (<abbr class="abbr" title="numéro">no</abbr> 60), <time>1989</time>, <abbr class="abbr" title="deuxième">2e</abbr> <abbr class="abbr" title="édition">éd.</abbr><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Mathematical+methods+of+classical+mechanics&rft.place=New+York&rft.pub=Springer-Verlag&rft.edition=2&rft.aulast=Arnold&rft.aufirst=V.+I.&rft.date=1989&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AG%C3%A9om%C3%A9trie+diff%C3%A9rentielle+des+surfaces"> ; traduit du russe par K. Vogtmann et A. Weinstein</li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="/wiki/Marcel_Berger" title="Marcel Berger">Marcel Berger</a>, <cite class="italique" lang="en">A Panoramic View of Riemannian Geometry</cite>, <time>2003</time><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=A+Panoramic+View+of+Riemannian+Geometry&rft.aulast=Berger&rft.aufirst=Marcel&rft.date=2003&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AG%C3%A9om%C3%A9trie+diff%C3%A9rentielle+des+surfaces"> [<a href="/wiki/R%C3%A9f%C3%A9rence:G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_(Berger)" title="Référence:Géométrie différentielle (Berger)">détail des éditions</a>]</li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Melvyn S. Berger, <cite class="italique" lang="en">Nonlinearity and Functional Analysis</cite>, New York, Academic Press, <time>1977</time>, 417 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> (<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-0-12-090350-4" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-0-12-090350-4">978-0-12-090350-4</a> et <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/0-12-090350-4" title="Spécial:Ouvrages de référence/0-12-090350-4">0-12-090350-4</a>, <a href="/wiki/Num%C3%A9ro_de_contr%C3%B4le_de_la_Biblioth%C3%A8que_du_Congr%C3%A8s" title="Numéro de contrôle de la Bibliothèque du Congrès">LCCN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://lccn.loc.gov/76026039">76026039</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Nonlinearity+and+Functional+Analysis&rft.place=New+York&rft.pub=Academic+Press&rft.aulast=Berger&rft.aufirst=Melvyn+S.&rft.date=1977&rft.tpages=417&rft.isbn=978-0-12-090350-4&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AG%C3%A9om%C3%A9trie+diff%C3%A9rentielle+des+surfaces"></li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="/wiki/Roberto_Bonola" title="Roberto Bonola">Roberto Bonola</a>, H. S. Carslaw et F. Enriques, <cite class="italique" lang="en">Non-Euclidean Geometry : A Critical and Historical Study of Its Development</cite>, New York, Dover, <time>1955</time>, <abbr class="abbr" title="première">1re</abbr> <abbr class="abbr" title="édition">éd.</abbr>, 389 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr>, poche (<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-0-486-60027-7" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-0-486-60027-7">978-0-486-60027-7</a> et <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/0-486-60027-0" title="Spécial:Ouvrages de référence/0-486-60027-0">0-486-60027-0</a>, <a href="/wiki/Num%C3%A9ro_de_contr%C3%B4le_de_la_Biblioth%C3%A8que_du_Congr%C3%A8s" title="Numéro de contrôle de la Bibliothèque du Congrès">LCCN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://lccn.loc.gov/55014932">55014932</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=oGr41Y_Hgr8C&printsec=frontcover">lire en ligne</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Non-Euclidean+Geometry&rft.place=New+York&rft.pub=Dover&rft.edition=1&rft.stitle=A+Critical+and+Historical+Study+of+Its+Development&rft.aulast=Bonola&rft.aufirst=Roberto&rft.au=Carslaw%2C+H.+S.&rft.au=Enriques%2C+F.&rft.date=1955&rft.tpages=389&rft.isbn=978-0-486-60027-7&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AG%C3%A9om%C3%A9trie+diff%C3%A9rentielle+des+surfaces"></li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="/wiki/%C3%89lie_Cartan" title="Élie Cartan">Élie Cartan</a>, <cite class="italique" lang="en">Riemannian Geometry in an Orthogonal Frame (from lectures delivered by É. Cartan at the Sorbonne in 1926-27)</cite>, World Scientific, <time>2001</time>, 259 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> (<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-981-02-4747-8" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-981-02-4747-8">978-981-02-4747-8</a> et <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/981-02-4747-8" title="Spécial:Ouvrages de référence/981-02-4747-8">981-02-4747-8</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://ebooks.worldscinet.com/mathematics/9789812799715/preserved-docs/9789812799715.pdf">lire en ligne</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Riemannian+Geometry+in+an+Orthogonal+Frame+%28from+lectures+delivered+by+%C3%89.+Cartan+at+the+Sorbonne+in+1926-27%29&rft.pub=World+Scientific&rft.aulast=Cartan&rft.aufirst=%C3%89lie&rft.date=2001&rft.tpages=259&rft.isbn=978-981-02-4747-8&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AG%C3%A9om%C3%A9trie+diff%C3%A9rentielle+des+surfaces"> ; traduit du russe par V. V. Goldberg avec une préface de <a href="/wiki/Shiing-Shen_Chern" title="Shiing-Shen Chern">Shiing-Shen Chern</a>.</li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Xiuxiong Chen, Peng Lu et <a href="/wiki/Gang_Tian" title="Gang Tian">Tian Gang</a>, « <cite style="font-style:normal" lang="en">A note on uniformization of Riemann surfaces by Ricci flow</cite> », <a href="/wiki/Proceedings_of_the_American_Mathematical_Society" title="Proceedings of the American Mathematical Society">Proc. Amer. Math. Soc.</a>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 134,‎ <time>2006</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> 3391-3393 (<a href="/wiki/Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">DOI</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://dx.doi.org/10.1090/S0002-9939-06-08360-2">10.1090/S0002-9939-06-08360-2</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=A+note+on+uniformization+of+Riemann+surfaces+by+Ricci+flow&rft.jtitle=Proc.+Amer.+Math.+Soc.&rft.aulast=Chen&rft.aufirst=Xiuxiong&rft.au=Lu%2C+Peng&rft.au=Tian+Gang&rft.date=2006&rft.volume=134&rft.pages=3391-3393&rft_id=info%3Adoi%2F10.1090%2FS0002-9939-06-08360-2&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AG%C3%A9om%C3%A9trie+diff%C3%A9rentielle+des+surfaces"></li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="/wiki/Shiing-Shen_Chern" title="Shiing-Shen Chern">S. S. Chern</a>, <cite class="italique" lang="en">Curves and Surfaces in Euclidean Spaces</cite>, <a href="/wiki/Mathematical_Association_of_America" title="Mathematical Association of America">MAA</a>, <abbr class="abbr" title="collection">coll.</abbr> « MAA Studies in Mathematics », <time>1967</time><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Curves+and+Surfaces+in+Euclidean+Spaces&rft.pub=MAA&rft.aulast=Chern&rft.aufirst=S.+S.&rft.date=1967&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AG%C3%A9om%C3%A9trie+diff%C3%A9rentielle+des+surfaces"></li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> B. Chow, « <cite style="font-style:normal" lang="en">The Ricci flow on a 2-sphere</cite> », J. Diff. Geom., <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 33,‎ <time>1991</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> 325-334<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=The+Ricci+flow+on+a+2-sphere&rft.jtitle=J.+Diff.+Geom.&rft.aulast=Chow&rft.aufirst=B.&rft.date=1991&rft.volume=33&rft.pages=325-334&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AG%C3%A9om%C3%A9trie+diff%C3%A9rentielle+des+surfaces"></li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="/wiki/Richard_Courant" title="Richard Courant">Richard Courant</a>, <cite class="italique" lang="en">Dirichlet's Principle, Conformal Mapping and Minimal Surfaces</cite>, <a href="/wiki/John_Wiley_%26_Sons" title="John Wiley & Sons">John Wiley & Sons</a>, <time>1950</time> (<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-0-470-17886-7" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-0-470-17886-7">978-0-470-17886-7</a> et <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/0-470-17886-8" title="Spécial:Ouvrages de référence/0-470-17886-8">0-470-17886-8</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Dirichlet%27s+Principle%2C+Conformal+Mapping+and+Minimal+Surfaces&rft.pub=John+Wiley+%26+Sons&rft.aulast=Courant&rft.aufirst=Richard&rft.date=1950&rft.isbn=978-0-470-17886-7&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AG%C3%A9om%C3%A9trie+diff%C3%A9rentielle+des+surfaces"></li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> W. Ding, « <cite style="font-style:normal" lang="en">A proof of the uniformization theorem on S2</cite> », J. Partial Differential Equations, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 14,‎ <time>2001</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> 247-250<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=A+proof+of+the+uniformization+theorem+on+S2&rft.jtitle=J.+Partial+Differential+Equations&rft.aulast=Ding&rft.aufirst=W.&rft.date=2001&rft.volume=14&rft.pages=247-250&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AG%C3%A9om%C3%A9trie+diff%C3%A9rentielle+des+surfaces"></li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="/wiki/Manfredo_do_Carmo" title="Manfredo do Carmo">Manfredo P. do Carmo</a>, <cite class="italique" lang="en">Differential Geometry of Curves and Surfaces</cite>, Upper Saddle River, Prentice-Hall, <time>1976</time> (<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-0-13-212589-5" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-0-13-212589-5">978-0-13-212589-5</a> et <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/0-13-212589-7" title="Spécial:Ouvrages de référence/0-13-212589-7">0-13-212589-7</a>, <a href="/wiki/Num%C3%A9ro_de_contr%C3%B4le_de_la_Biblioth%C3%A8que_du_Congr%C3%A8s" title="Numéro de contrôle de la Bibliothèque du Congrès">LCCN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://lccn.loc.gov/75022094">75022094</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www2.ing.unipi.it/griff/files/dC.pdf">lire en ligne</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Differential+Geometry+of+Curves+and+Surfaces&rft.place=Upper+Saddle+River&rft.pub=Prentice-Hall&rft.aulast=do+Carmo&rft.aufirst=Manfredo+P.&rft.date=1976&rft.isbn=978-0-13-212589-5&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AG%C3%A9om%C3%A9trie+diff%C3%A9rentielle+des+surfaces"></li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="/w/index.php?title=Luther_Eisenhart&action=edit&redlink=1" class="new" title="Luther Eisenhart (page inexistante)">Luther Eisenhart</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Luther_Eisenhart" class="extiw" title="en:Luther Eisenhart">(en)</a>, <cite class="italique" lang="en">An Introduction to Differential Geometry with Use of the Tensor Calculus</cite>, <a href="/wiki/Princeton_University_Press" title="Princeton University Press">PUP</a>, <abbr class="abbr" title="collection">coll.</abbr> « Princeton Mathematical Series » (<abbr class="abbr" title="numéro">no</abbr> 3), <time>1947</time><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=An+Introduction+to+Differential+Geometry+with+Use+of+the+Tensor+Calculus&rft.pub=PUP&rft.aulast=%3ALuther+Eisenhart&rft.date=1947&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AG%C3%A9om%C3%A9trie+diff%C3%A9rentielle+des+surfaces"></li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Luther Eisenhart, <cite class="italique" lang="en">A Treatise on the Differential Geometry of Curves and Surfaces</cite>, Mineola, Dover, <time>2004</time>, 474 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> (<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-0-486-43820-7" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-0-486-43820-7">978-0-486-43820-7</a> et <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/0-486-43820-1" title="Spécial:Ouvrages de référence/0-486-43820-1">0-486-43820-1</a>, <a href="/wiki/Num%C3%A9ro_de_contr%C3%B4le_de_la_Biblioth%C3%A8que_du_Congr%C3%A8s" title="Numéro de contrôle de la Bibliothèque du Congrès">LCCN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://lccn.loc.gov/2005271929">2005271929</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=jVy12Q60t_AC&printsec=frontcover">lire en ligne</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=A+Treatise+on+the+Differential+Geometry+of+Curves+and+Surfaces&rft.place=Mineola&rft.pub=Dover&rft.aulast=Eisenhart&rft.aufirst=Luther&rft.date=2004&rft.tpages=474&rft.isbn=978-0-486-43820-7&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AG%C3%A9om%C3%A9trie+diff%C3%A9rentielle+des+surfaces"> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/treatonthediffer00eiserich">Full 1909 text</a> (now out of copyright)</li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : latin">(la)</abbr> Leonhard Euler, « <cite style="font-style:normal" lang="la">De solidis quorum superficiem in planum explicare licet</cite> », Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 16,‎ <time>1771</time> (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://math.dartmouth.edu/~euler/pages/E419.html">lire en ligne</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=De+solidis+quorum+superficiem+in+planum+explicare+licet&rft.jtitle=Novi+Commentarii+academiae+scientiarum+Petropolitanae&rft.aulast=Euler&rft.aufirst=Leonhard&rft.date=1771&rft.volume=16&rft_id=http%3A%2F%2Fmath.dartmouth.edu%2F~euler%2Fpages%2FE419.html&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AG%C3%A9om%C3%A9trie+diff%C3%A9rentielle+des+surfaces"> (publié en 1772)</li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="/wiki/Carl_Friedrich_Gauss" title="Carl Friedrich Gauss">Carl Friedrich Gauss</a>, <cite class="italique" lang="en">General Investigations of Curved Surfaces</cite>, New York, Raven Press, <time>1965</time> (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=ABR1255">lire en ligne</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=General+Investigations+of+Curved+Surfaces&rft.place=New+York&rft.pub=Raven+Press&rft.aulast=Gauss&rft.aufirst=Carl+Friedrich&rft.date=1965&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AG%C3%A9om%C3%A9trie+diff%C3%A9rentielle+des+surfaces"> traduit du latin par A.M.Hiltebeitel et J.C.Morehead ; <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : latin">(la)</abbr> Carl Friedrich Gauss, « <cite style="font-style:normal" lang="la">Disquisitiones generales circa superficies curvas</cite> », Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Recentiores, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> VI,‎ <time>1827</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> 99-146 (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www-gdz.sub.uni-goettingen.de/cgi-bin/digbib.cgi?PPN35283028X_0006_2NS">lire en ligne</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=Disquisitiones+generales+circa+superficies+curvas&rft.jtitle=Commentationes+Societatis+Regiae+Scientiarum+Gottingesis+Recentiores&rft.aulast=Gauss&rft.aufirst=Carl+Friedrich&rft.date=1827&rft.volume=VI&rft.pages=99-146&rft_id=http%3A%2F%2Fwww-gdz.sub.uni-goettingen.de%2Fcgi-bin%2Fdigbib.cgi%3FPPN35283028X_0006_2NS&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AG%C3%A9om%C3%A9trie+diff%C3%A9rentielle+des+surfaces"></li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Alfred Gray, Elsa Abbena et Simon Salamon, <cite class="italique" lang="en">Modern Differential Geometry of Curves And Surfaces With Mathematica</cite>, <a href="/wiki/CRC_Press" title="CRC Press">CRC Press</a>, <time>2006</time> (<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/1-58488-448-7" title="Spécial:Ouvrages de référence/1-58488-448-7">1-58488-448-7</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Modern+Differential+Geometry+of+Curves+And+Surfaces+With+Mathematica&rft.pub=CRC+Press&rft.aulast=Gray&rft.aufirst=Alfred&rft.au=Abbena%2C+Elsa&rft.au=Salamon%2C+Simon&rft.date=2006&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AG%C3%A9om%C3%A9trie+diff%C3%A9rentielle+des+surfaces"></li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Qing Han et Jia-Xing Hong, <cite class="italique" lang="en">Isometric Embedding of Riemannian Manifolds in Euclidean Spaces</cite>, Providence, AMS, <time>2006</time>, 260 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> (<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-0-8218-4071-9" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-0-8218-4071-9">978-0-8218-4071-9</a> et <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/0-8218-4071-1" title="Spécial:Ouvrages de référence/0-8218-4071-1">0-8218-4071-1</a>, <a href="/wiki/Num%C3%A9ro_de_contr%C3%B4le_de_la_Biblioth%C3%A8que_du_Congr%C3%A8s" title="Numéro de contrôle de la Bibliothèque du Congrès">LCCN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://lccn.loc.gov/2006045898">2006045898</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=R3rzBwAAQBAJ&printsec=frontcover">lire en ligne</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Isometric+Embedding+of+Riemannian+Manifolds+in+Euclidean+Spaces&rft.place=Providence&rft.pub=AMS&rft.aulast=Han&rft.aufirst=Qing&rft.au=Hong%2C+Jia-Xing&rft.date=2006&rft.tpages=260&rft.isbn=978-0-8218-4071-9&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AG%C3%A9om%C3%A9trie+diff%C3%A9rentielle+des+surfaces"></li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> David Hilbert et Stephan Cohn-Vossen, <cite class="italique" lang="en">Geometry and the Imagination</cite> [<a href="/wiki/R%C3%A9f%C3%A9rence:Geoandim" title="Référence:Geoandim">détail des éditions</a>]<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Geometry+and+the+Imagination&rft.aulast=David+Hilbert+et+Stephan+Cohn-Vossen&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AG%C3%A9om%C3%A9trie+diff%C3%A9rentielle+des+surfaces"></li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="/wiki/Heinz_Hopf" title="Heinz Hopf">Heinz Hopf</a>, <cite class="italique" lang="en">Lectures on Differential Geometry in the Large</cite>, Springer-Verlag, <abbr class="abbr" title="collection">coll.</abbr> « Lecture Notes in Mathematics » (<abbr class="abbr" title="numéro">no</abbr> 1000), <time>1989</time><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Lectures+on+Differential+Geometry+in+the+Large&rft.pub=Springer-Verlag&rft.aulast=Hopf&rft.aufirst=Heinz&rft.date=1989&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AG%C3%A9om%C3%A9trie+diff%C3%A9rentielle+des+surfaces"></li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Y. Imayoshi et M. Taniguchi, <cite class="italique" lang="en">An Introduction to Teichmüller spaces</cite>, Tōkyō, Springer-Verlag, <time>1992</time>, 279 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> (<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-0-387-70088-5" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-0-387-70088-5">978-0-387-70088-5</a> et <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/0-387-70088-9" title="Spécial:Ouvrages de référence/0-387-70088-9">0-387-70088-9</a>, <a href="/wiki/Num%C3%A9ro_de_contr%C3%B4le_de_la_Biblioth%C3%A8que_du_Congr%C3%A8s" title="Numéro de contrôle de la Bibliothèque du Congrès">LCCN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://lccn.loc.gov/92013893">92013893</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=An+Introduction+to+Teichm%C3%BCller+spaces&rft.place=T%C5%8Dky%C5%8D&rft.pub=Springer-Verlag&rft.aulast=Imayoshi&rft.aufirst=Y.&rft.au=Taniguchi%2C+M.&rft.date=1992&rft.tpages=279&rft.isbn=978-0-387-70088-5&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AG%C3%A9om%C3%A9trie+diff%C3%A9rentielle+des+surfaces"></li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Thomas A. Ivey et J. M. Landsberg, <cite class="italique" lang="en">Cartan for Beginners : Differential Geometry via Moving Frames and Exterior Systems</cite>, AMS, <abbr class="abbr" title="collection">coll.</abbr> « Graduate Studies in Mathematics » (<abbr class="abbr" title="numéro">no</abbr> 61), <time>2003</time> (<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-0-8218-3375-9" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-0-8218-3375-9">978-0-8218-3375-9</a> et <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/0-8218-3375-8" title="Spécial:Ouvrages de référence/0-8218-3375-8">0-8218-3375-8</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.fr/books?id=8fxN1A7MLBQC">lire en ligne</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Cartan+for+Beginners+%3A+Differential+Geometry+via+Moving+Frames+and+Exterior+Systems&rft.pub=AMS&rft.aulast=Ivey&rft.aufirst=Thomas+A.&rft.au=Landsberg%2C+J.+M.&rft.date=2003&rft.isbn=978-0-8218-3375-9&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AG%C3%A9om%C3%A9trie+diff%C3%A9rentielle+des+surfaces"></li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Howard Jacobowitz, « <cite style="font-style:normal" lang="en">Local Isometric Embeddings of Surfaces into Euclidean Four Space</cite> », Indiana Univ. Math. J., <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 21,‎ <time>1972</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> 249-254 (<a href="/wiki/Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">DOI</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://dx.doi.org/10.1512/iumj.1971.21.21019">10.1512/iumj.1971.21.21019</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.iumj.indiana.edu/IUMJ/FULLTEXT/1972/21/21019">lire en ligne</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=Local+Isometric+Embeddings+of+Surfaces+into+Euclidean+Four+Space&rft.jtitle=Indiana+Univ.+Math.+J.&rft.aulast=Jacobowitz&rft.aufirst=Howard&rft.date=1972&rft.volume=21&rft.pages=249-254&rft_id=info%3Adoi%2F10.1512%2Fiumj.1971.21.21019&rft_id=http%3A%2F%2Fwww.iumj.indiana.edu%2FIUMJ%2FFULLTEXT%2F1972%2F21%2F21019&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AG%C3%A9om%C3%A9trie+diff%C3%A9rentielle+des+surfaces"></li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Mikhail G. Katz, <cite class="italique" lang="en">Systolic geometry and topology</cite>, Providence, AMS, <abbr class="abbr" title="collection">coll.</abbr> « Mathematical Surveys and Monographs » (<abbr class="abbr" title="numéro">no</abbr> 137), <time>2007</time>, 222 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> (<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-0-8218-4177-8" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-0-8218-4177-8">978-0-8218-4177-8</a>, <a href="/wiki/Num%C3%A9ro_de_contr%C3%B4le_de_la_Biblioth%C3%A8que_du_Congr%C3%A8s" title="Numéro de contrôle de la Bibliothèque du Congrès">LCCN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://lccn.loc.gov/2007060668">2007060668</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=R5_zBwAAQBAJ&printsec=frontcover">lire en ligne</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Systolic+geometry+and+topology&rft.place=Providence&rft.pub=AMS&rft.aulast=Katz&rft.aufirst=Mikhail+G.&rft.date=2007&rft.tpages=222&rft.isbn=978-0-8218-4177-8&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AG%C3%A9om%C3%A9trie+diff%C3%A9rentielle+des+surfaces"></li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="/w/index.php?title=Shoshichi_Kobayashi&action=edit&redlink=1" class="new" title="Shoshichi Kobayashi (page inexistante)">Shoshichi Kobayashi</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Shoshichi_Kobayashi" class="extiw" title="en:Shoshichi Kobayashi">(en)</a>, « <cite style="font-style:normal" lang="en">Induced connections and imbedded Riemannian space</cite> », Nagoya Math. J., <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 10,‎ <time>1956</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> 15-25<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=Induced+connections+and+imbedded+Riemannian+space&rft.jtitle=Nagoya+Math.+J.&rft.aulast=%3AShoshichi+Kobayashi&rft.date=1956&rft.volume=10&rft.pages=15-25&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AG%C3%A9om%C3%A9trie+diff%C3%A9rentielle+des+surfaces"></li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Shoshichi Kobayashi, « <cite style="font-style:normal" lang="en">Theory of connections</cite> », Annali di Matematica Pura ed Applicata. Serie Quarta, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 43,‎ <time>1957</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> 119-194 (<a href="/wiki/Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">DOI</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://dx.doi.org/10.1007/BF02411907">10.1007/BF02411907</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=Theory+of+connections&rft.jtitle=Annali+di+Matematica+Pura+ed+Applicata.+Serie+Quarta&rft.aulast=Kobayashi&rft.aufirst=Shoshichi&rft.date=1957&rft.volume=43&rft.pages=119-194&rft_id=info%3Adoi%2F10.1007%2FBF02411907&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AG%C3%A9om%C3%A9trie+diff%C3%A9rentielle+des+surfaces"></li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Shoshichi Kobayashi et <a href="/w/index.php?title=Katsumi_Nomizu&action=edit&redlink=1" class="new" title="Katsumi Nomizu (page inexistante)">Katsumi Nomizu</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Katsumi_Nomizu" class="extiw" title="en:Katsumi Nomizu">(en)</a>, <cite class="italique" lang="en">Foundations of differential geometry</cite>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> I, <a href="/wiki/John_Wiley_%26_Sons" title="John Wiley & Sons">Wiley</a>, <time>1996</time> (<abbr class="abbr" title="première">1re</abbr> <abbr class="abbr" title="édition">éd.</abbr> 1963), 344 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> (<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-0-471-15733-5" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-0-471-15733-5">978-0-471-15733-5</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Foundations+of+differential+geometry&rft.pub=Wiley&rft.aulast=Kobayashi&rft.aufirst=Shoshichi&rft.au=%3AKatsumi+Nomizu&rft.date=1996&rft.volume=I&rft.tpages=344&rft.isbn=978-0-471-15733-5&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AG%C3%A9om%C3%A9trie+diff%C3%A9rentielle+des+surfaces"></li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Shoshichi Kobayashi et Katsumi Nomizu, <cite class="italique" lang="en">Foundations of differential geometry</cite>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> II, New York, Wiley, <time>1969</time>, 799 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> (<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-0-470-49648-0" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-0-470-49648-0">978-0-470-49648-0</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Foundations+of+differential+geometry&rft.place=New+York&rft.pub=Wiley&rft.aulast=Kobayashi&rft.aufirst=Shoshichi&rft.au=Nomizu%2C+Katsumi&rft.date=1969&rft.volume=II&rft.tpages=799&rft.isbn=978-0-470-49648-0&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AG%C3%A9om%C3%A9trie+diff%C3%A9rentielle+des+surfaces"></li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="/wiki/Erwin_Kreyszig" title="Erwin Kreyszig">Erwin Kreyszig</a>, <cite class="italique" lang="en">Differential Geometry</cite>, New York, Dover, <time>1991</time>, 352 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr>, poche (<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-0-486-66721-8" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-0-486-66721-8">978-0-486-66721-8</a> et <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/0-486-66721-9" title="Spécial:Ouvrages de référence/0-486-66721-9">0-486-66721-9</a>, <a href="/wiki/Num%C3%A9ro_de_contr%C3%B4le_de_la_Biblioth%C3%A8que_du_Congr%C3%A8s" title="Numéro de contrôle de la Bibliothèque du Congrès">LCCN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://lccn.loc.gov/91014321">91014321</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=B7yxgFaQKNAC&printsec=frontcover">lire en ligne</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Differential+Geometry&rft.place=New+York&rft.pub=Dover&rft.aulast=Kreyszig&rft.aufirst=Erwin&rft.date=1991&rft.tpages=352&rft.isbn=978-0-486-66721-8&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AG%C3%A9om%C3%A9trie+diff%C3%A9rentielle+des+surfaces"></li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Wolfgang Kühnel (<abbr class="abbr" title="traduction">trad.</abbr> de l'allemand), <cite class="italique" lang="en">Differential Geometry : Curves - Surfaces : Manifolds</cite>, Providence, AMS, <time>2006</time>, <abbr class="abbr" title="deuxième">2e</abbr> <abbr class="abbr" title="édition">éd.</abbr>, 380 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> (<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-0-8218-3988-1" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-0-8218-3988-1">978-0-8218-3988-1</a> et <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/0-8218-3988-8" title="Spécial:Ouvrages de référence/0-8218-3988-8">0-8218-3988-8</a>, <a href="/wiki/Num%C3%A9ro_de_contr%C3%B4le_de_la_Biblioth%C3%A8que_du_Congr%C3%A8s" title="Numéro de contrôle de la Bibliothèque du Congrès">LCCN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://lccn.loc.gov/2005052798">2005052798</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=TyqUnlyV4Y4C&printsec=frontcover">lire en ligne</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Differential+Geometry&rft.place=Providence&rft.pub=AMS&rft.edition=2&rft.stitle=Curves+-+Surfaces+%3A+Manifolds&rft.aulast=K%C3%BChnel&rft.aufirst=Wolfgang&rft.date=2006&rft.tpages=380&rft.isbn=978-0-8218-3988-1&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AG%C3%A9om%C3%A9trie+diff%C3%A9rentielle+des+surfaces"></li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : italien">(it)</abbr> <a href="/wiki/Tullio_Levi-Civita" title="Tullio Levi-Civita">Tullio Levi-Civita</a>, « <cite style="font-style:normal" lang="it">Nozione di parallelismo in una varieta qualunque</cite> », Rend. Circ. Mat. Palermo, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 42,‎ <time>1917</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> 173-205 (<a href="/wiki/Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">DOI</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://dx.doi.org/10.1007/BF03014898">10.1007/BF03014898</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=Nozione+di+parallelismo+in+una+varieta+qualunque&rft.jtitle=Rend.+Circ.+Mat.+Palermo&rft.aulast=Levi-Civita&rft.aufirst=Tullio&rft.date=1917&rft.volume=42&rft.pages=173-205&rft_id=info%3Adoi%2F10.1007%2FBF03014898&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AG%C3%A9om%C3%A9trie+diff%C3%A9rentielle+des+surfaces"></li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="/wiki/John_Milnor" title="John Milnor">John Milnor</a>, <cite class="italique" lang="en">Morse theory</cite>, Princeton, NJ, PUP, <abbr class="abbr" title="collection">coll.</abbr> « Annals of Mathematics Studies » (<abbr class="abbr" title="numéro">no</abbr> 51), <time>1963</time>, <abbr class="abbr" title="cinquième">5e</abbr> <abbr class="abbr" title="édition">éd.</abbr>, 153 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> (<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-0-691-08008-6" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-0-691-08008-6">978-0-691-08008-6</a> et <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/0-691-08008-9" title="Spécial:Ouvrages de référence/0-691-08008-9">0-691-08008-9</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=A9QZZ3S_QxwC&printsec=frontcover">lire en ligne</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Morse+theory&rft.place=Princeton%2C+NJ&rft.pub=PUP&rft.edition=5&rft.aulast=Milnor&rft.aufirst=John&rft.date=1963&rft.tpages=153&rft.isbn=978-0-691-08008-6&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AG%C3%A9om%C3%A9trie+diff%C3%A9rentielle+des+surfaces">, notes par <a href="/wiki/Michael_Spivak" title="Michael Spivak">M. Spivak</a> et R. Wells</li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Barrett O'Neill, <cite class="italique" lang="en">Elementary Differential Geometry</cite>, San Diego, Academic Press, <time>1997</time>, <abbr class="abbr" title="deuxième">2e</abbr> <abbr class="abbr" title="édition">éd.</abbr>, 482 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> (<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-0-12-526745-8" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-0-12-526745-8">978-0-12-526745-8</a> et <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/0-12-526745-2" title="Spécial:Ouvrages de référence/0-12-526745-2">0-12-526745-2</a>, <a href="/wiki/Num%C3%A9ro_de_contr%C3%B4le_de_la_Biblioth%C3%A8que_du_Congr%C3%A8s" title="Numéro de contrôle de la Bibliothèque du Congrès">LCCN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://lccn.loc.gov/96041799">96041799</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Elementary+Differential+Geometry&rft.place=San+Diego&rft.pub=Academic+Press&rft.edition=2&rft.aulast=O%27Neill&rft.aufirst=Barrett&rft.date=1997&rft.tpages=482&rft.isbn=978-0-12-526745-8&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AG%C3%A9om%C3%A9trie+diff%C3%A9rentielle+des+surfaces"></li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="/wiki/Robert_Osserman" title="Robert Osserman">Robert Osserman</a>, <cite class="italique" lang="en">A Survey of Minimal Surfaces</cite>, New York, Dover, <time>2002</time>, 207 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> (<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-0-486-49514-9" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-0-486-49514-9">978-0-486-49514-9</a> et <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/0-486-49514-0" title="Spécial:Ouvrages de référence/0-486-49514-0">0-486-49514-0</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=A+Survey+of+Minimal+Surfaces&rft.place=New+York&rft.pub=Dover&rft.aulast=Osserman&rft.aufirst=Robert&rft.date=2002&rft.tpages=207&rft.isbn=978-0-486-49514-9&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AG%C3%A9om%C3%A9trie+diff%C3%A9rentielle+des+surfaces"></li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> E.G. Poznjak, « <cite style="font-style:normal" lang="en">Isometric imbedding of two-dimensional Riemannian metrics in Euclidean spaces</cite> », Russian Math. Surveys, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 28,‎ <time>1973</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> 47-77 (<a href="/wiki/Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">DOI</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://dx.doi.org/10.1070/RM1973v028n04ABEH001591">10.1070/RM1973v028n04ABEH001591</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=Isometric+imbedding+of+two-dimensional+Riemannian+metrics+in+Euclidean+spaces&rft.jtitle=Russian+Math.+Surveys&rft.aulast=Poznjak&rft.aufirst=E.G.&rft.date=1973&rft.volume=28&rft.pages=47-77&rft_id=info%3Adoi%2F10.1070%2FRM1973v028n04ABEH001591&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AG%C3%A9om%C3%A9trie+diff%C3%A9rentielle+des+surfaces"></li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Andrew Pressley, <cite class="italique" lang="en">Elementary Differential Geometry</cite>, Londres, Springer-Verlag, <abbr class="abbr" title="collection">coll.</abbr> « Springer Undergraduate Mathematics Series », <time>2001</time>, <abbr class="abbr" title="septième">7e</abbr> <abbr class="abbr" title="édition">éd.</abbr>, 332 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr>, poche (<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-1-85233-152-8" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-1-85233-152-8">978-1-85233-152-8</a> et <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/1-85233-152-6" title="Spécial:Ouvrages de référence/1-85233-152-6">1-85233-152-6</a>, <a href="/wiki/Num%C3%A9ro_de_contr%C3%B4le_de_la_Biblioth%C3%A8que_du_Congr%C3%A8s" title="Numéro de contrôle de la Bibliothèque du Congrès">LCCN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://lccn.loc.gov/00058345">00058345</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=UXPyquQaO6EC&printsec=frontcover">lire en ligne</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Elementary+Differential+Geometry&rft.place=Londres&rft.pub=Springer-Verlag&rft.edition=7&rft.aulast=Pressley&rft.aufirst=Andrew&rft.date=2001&rft.tpages=332&rft.isbn=978-1-85233-152-8&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AG%C3%A9om%C3%A9trie+diff%C3%A9rentielle+des+surfaces"></li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> J. Sacks et <a href="/wiki/Karen_Uhlenbeck" title="Karen Uhlenbeck">Karen Uhlenbeck</a>, « <cite style="font-style:normal" lang="en">The existence of minimal immersions of 2-spheres</cite> », <a href="/wiki/Annals_of_Mathematics" title="Annals of Mathematics">Ann. Math.</a>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 112, <abbr class="abbr" title="numéro">no</abbr> 1,‎ <time>1981</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> 1-24 (<a href="/wiki/Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">DOI</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://dx.doi.org/10.2307/1971131">10.2307/1971131</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://jstor.org/stable/1971131">lire en ligne</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=The+existence+of+minimal+immersions+of+2-spheres&rft.jtitle=Ann.+Math.&rft.issue=1&rft.aulast=Sacks&rft.aufirst=J.&rft.au=Uhlenbeck%2C+Karen&rft.date=1981&rft.volume=112&rft.pages=1-24&rft_id=info%3Adoi%2F10.2307%2F1971131&rft_id=http%3A%2F%2Fjstor.org%2Fstable%2F1971131&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AG%C3%A9om%C3%A9trie+diff%C3%A9rentielle+des+surfaces"></li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="/wiki/Isadore_Singer" title="Isadore Singer">Isadore M. Singer</a> et John A. Thorpe, <cite class="italique" lang="en">Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry</cite>, New York, Springer-Verlag, <time>1967</time>, 232 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> (<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-0-387-90202-9" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-0-387-90202-9">978-0-387-90202-9</a> et <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/0-387-90202-3" title="Spécial:Ouvrages de référence/0-387-90202-3">0-387-90202-3</a>, <a href="/wiki/Num%C3%A9ro_de_contr%C3%B4le_de_la_Biblioth%C3%A8que_du_Congr%C3%A8s" title="Numéro de contrôle de la Bibliothèque du Congrès">LCCN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://lccn.loc.gov/76026137">76026137</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=CMAnleiiD1kC&printsec=frontcover">lire en ligne</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Lecture+Notes+on+Elementary+Topology+and+Geometry&rft.place=New+York&rft.pub=Springer-Verlag&rft.aulast=Singer&rft.aufirst=Isadore+M.&rft.au=Thorpe%2C+John+A.&rft.date=1967&rft.tpages=232&rft.isbn=978-0-387-90202-9&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AG%C3%A9om%C3%A9trie+diff%C3%A9rentielle+des+surfaces"></li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="/wiki/John_Stillwell" title="John Stillwell">John Stillwell</a>, <cite class="italique" lang="en">Sources of Hyperbolic Geometry</cite>, Providence, AMS, <time>1996</time>, 153 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr>, poche (<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-0-8218-0922-8" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-0-8218-0922-8">978-0-8218-0922-8</a> et <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/0-8218-0922-9" title="Spécial:Ouvrages de référence/0-8218-0922-9">0-8218-0922-9</a>, <a href="/wiki/Num%C3%A9ro_de_contr%C3%B4le_de_la_Biblioth%C3%A8que_du_Congr%C3%A8s" title="Numéro de contrôle de la Bibliothèque du Congrès">LCCN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://lccn.loc.gov/96003894">96003894</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=ZQjBXxxQsucC&printsec=frontcover">lire en ligne</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Sources+of+Hyperbolic+Geometry&rft.place=Providence&rft.pub=AMS&rft.aulast=Stillwell&rft.aufirst=John&rft.date=1996&rft.tpages=153&rft.isbn=978-0-8218-0922-8&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AG%C3%A9om%C3%A9trie+diff%C3%A9rentielle+des+surfaces"></li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="/wiki/Dirk_Jan_Struik" title="Dirk Jan Struik">Dirk Jan Struik</a>, <cite class="italique" lang="en">Lectures on classical differential geometry : Second Edition</cite>, New York, Dover, <time>1988</time>, <abbr class="abbr" title="deuxième">2e</abbr> <abbr class="abbr" title="édition">éd.</abbr>, 232 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr>, poche (<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-0-486-65609-0" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-0-486-65609-0">978-0-486-65609-0</a> et <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/0-486-65609-8" title="Spécial:Ouvrages de référence/0-486-65609-8">0-486-65609-8</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=TIXg4hSXmFAC&printsec=frontcover">lire en ligne</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Lectures+on+classical+differential+geometry&rft.place=New+York&rft.pub=Dover&rft.edition=2&rft.stitle=Second+Edition&rft.aulast=Dirk+Jan+Struik&rft.date=1988&rft.tpages=232&rft.isbn=978-0-486-65609-0&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AG%C3%A9om%C3%A9trie+diff%C3%A9rentielle+des+surfaces"></li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Michael E. Taylor, <cite class="italique" lang="en">Partial Differential Equations II : Qualitative Studies of Linear Equations</cite>, New York, Springer-Verlag, 1996a, <abbr class="abbr" title="deuxième">2e</abbr> <abbr class="abbr" title="édition">éd.</abbr>, 610 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> (<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-0-387-94651-1" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-0-387-94651-1">978-0-387-94651-1</a> et <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/0-387-94651-9" title="Spécial:Ouvrages de référence/0-387-94651-9">0-387-94651-9</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Partial+Differential+Equations+II&rft.place=New+York&rft.pub=Springer-Verlag&rft.edition=2&rft.stitle=Qualitative+Studies+of+Linear+Equations&rft.aulast=Taylor&rft.aufirst=Michael+E.&rft.date=1996&rft.tpages=610&rft.isbn=978-0-387-94651-1&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AG%C3%A9om%C3%A9trie+diff%C3%A9rentielle+des+surfaces"></li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Michael E. Taylor, <cite class="italique" lang="en">Partial Differential Equations III : Nonlinear equations</cite>, New York, Springer-Verlag, 1996b, <abbr class="abbr" title="deuxième">2e</abbr> <abbr class="abbr" title="édition">éd.</abbr>, 610 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> (<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-0-387-94652-8" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-0-387-94652-8">978-0-387-94652-8</a> et <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/0-387-94652-7" title="Spécial:Ouvrages de référence/0-387-94652-7">0-387-94652-7</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Partial+Differential+Equations+III&rft.place=New+York&rft.pub=Springer-Verlag&rft.edition=2&rft.stitle=Nonlinear+equations&rft.aulast=Taylor&rft.aufirst=Michael+E.&rft.date=1996&rft.tpages=610&rft.isbn=978-0-387-94652-8&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AG%C3%A9om%C3%A9trie+diff%C3%A9rentielle+des+surfaces"></li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="/w/index.php?title=Victor_Toponogov&action=edit&redlink=1" class="new" title="Victor Toponogov (page inexistante)">Victor Toponogov</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Victor_Toponogov" class="extiw" title="en:Victor Toponogov">(en)</a>, <cite class="italique" lang="en">Differential Geometry of Curves and Surfaces : A Concise Guide</cite>, Boston, Springer-Verlag, <time>2005</time>, 206 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> (<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-0-8176-4384-3" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-0-8176-4384-3">978-0-8176-4384-3</a> et <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/0-8176-4384-2" title="Spécial:Ouvrages de référence/0-8176-4384-2">0-8176-4384-2</a>, <a href="/wiki/Num%C3%A9ro_de_contr%C3%B4le_de_la_Biblioth%C3%A8que_du_Congr%C3%A8s" title="Numéro de contrôle de la Bibliothèque du Congrès">LCCN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://lccn.loc.gov/2005048111">2005048111</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=bwwRg7I02-4C&printsec=frontcover">lire en ligne</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Differential+Geometry+of+Curves+and+Surfaces&rft.place=Boston&rft.pub=Springer-Verlag&rft.stitle=A+Concise+Guide&rft.aulast=%3AVictor+Toponogov&rft.date=2005&rft.tpages=206&rft.isbn=978-0-8176-4384-3&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AG%C3%A9om%C3%A9trie+diff%C3%A9rentielle+des+surfaces"></li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Pelham Wilson, <cite class="italique" lang="en">Curved Space : From Classical Geometries to Elementary Differential Geometry</cite>, Cambridge, <a href="/wiki/Cambridge_University_Press" title="Cambridge University Press">Cambridge University Press</a>, <time>2008</time>, 186 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> (<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-0-521-71390-0" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-0-521-71390-0">978-0-521-71390-0</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Curved+Space+%3A+From+Classical+Geometries+to+Elementary+Differential+Geometry&rft.place=Cambridge&rft.pub=Cambridge+University+Press&rft.aulast=Wilson&rft.aufirst=Pelham&rft.date=2008&rft.tpages=186&rft.isbn=978-0-521-71390-0&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AG%C3%A9om%C3%A9trie+diff%C3%A9rentielle+des+surfaces"></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Article_connexe">Article connexe</h2>[<a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&veaction=edit&section=48" title="Modifier la section : Article connexe" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&action=edit&section=48" title="Modifier le code source de la section : Article connexe">modifier le code</a>]</div> <ul><li><a href="/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_courbes&action=edit&redlink=1" class="new" title="Géométrie différentielle des courbes (page inexistante)">Géométrie différentielle des courbes</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Differential_geometry_of_curves" class="extiw" title="en:Differential geometry of curves">(en)</a></li></ul> <div class="navbox-container" style="clear:both;"> <table class="navbox collapsible noprint autocollapse" style=""> <tbody><tr><th class="navbox-title" colspan="2" style=""><div style="float:left; width:6em; text-align:left"><div class="noprint plainlinks nowrap tnavbar" style="padding:0; font-size:xx-small; color:var(--color-emphasized, #000000);"><a href="/wiki/Mod%C3%A8le:Palette_Courbure_en_g%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle" title="Modèle:Palette Courbure en géométrie différentielle"><abbr class="abbr" title="Voir ce modèle.">v</abbr></a> · <a class="external text" href="https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Mod%C3%A8le:Palette_Courbure_en_g%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle&action=edit"><abbr class="abbr" title="Modifier ce modèle. Merci de prévisualiser avant de sauvegarder.">m</abbr></a></div></div><div style="font-size:110%"><a href="/wiki/Courbure" title="Courbure">Courbure</a> en <a href="/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle" title="Géométrie différentielle">géométrie différentielle</a></div></th> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="width:220px">Géométrie différentielle des <a href="/wiki/Courbe" title="Courbe">courbes</a></th> <td class="navbox-list" style=""><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Courbure_d%27un_arc" title="Courbure d'un arc">Courbure d'un arc</a></li> <li><a href="/wiki/Torsion_d%27une_courbe" title="Torsion d'une courbe">Torsion d'une courbe</a></li> <li><a href="/wiki/Rep%C3%A8re_de_Frenet" title="Repère de Frenet">Repère de Frenet</a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="width:220px"><a class="mw-selflink selflink">Géométrie différentielle des surfaces</a></th> <td class="navbox-list navbox-even" style=""><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Courbure_principale" title="Courbure principale">Courbure principale</a></li> <li><a href="/wiki/Courbure_de_Gauss" title="Courbure de Gauss">Courbure de Gauss</a></li> <li><a href="/wiki/Courbure_moyenne" title="Courbure moyenne">Courbure moyenne</a></li> <li><a href="/wiki/Rep%C3%A8re_de_Darboux" title="Repère de Darboux">Repère de Darboux</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%89quations_de_Gauss-Codazzi" title="Équations de Gauss-Codazzi">Équations de Gauss-Codazzi</a></li> <li><a href="/wiki/Premi%C3%A8re_forme_fondamentale" title="Première forme fondamentale">Première forme fondamentale</a></li> <li><a href="/wiki/Seconde_forme_fondamentale" title="Seconde forme fondamentale">Seconde forme fondamentale</a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="width:220px"><a href="/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_riemannienne" title="Géométrie riemannienne">Géométrie riemannienne</a></th> <td class="navbox-list" style=""><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Tenseur_de_Riemann" title="Tenseur de Riemann">Tenseur de Riemann</a></li> <li><a href="/wiki/Tenseur_de_Ricci" title="Tenseur de Ricci">Tenseur de Ricci</a></li> <li><a href="/wiki/Courbure_scalaire" title="Courbure scalaire">Courbure scalaire</a></li> <li><a href="/wiki/Courbure_sectionnelle" title="Courbure sectionnelle">Courbure sectionnelle</a></li> <li><a href="/wiki/Connexion_d%27Ehresmann" title="Connexion d'Ehresmann">Connexion d'Ehresmann</a></li> <li><a href="/wiki/D%C3%A9riv%C3%A9e_covariante" title="Dérivée covariante">Dérivée covariante</a></li> <li><a href="/wiki/Symboles_de_Christoffel" title="Symboles de Christoffel">Symboles de Christoffel</a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="width:220px"><a href="/wiki/Connexion_(math%C3%A9matiques)" title="Connexion (mathématiques)">Connexion</a></th> <td class="navbox-list navbox-even" style=""><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Holonomie" title="Holonomie">Holonomie</a></li></ul> </div></td> </tr> </tbody></table> </div> <ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail"><li><a href="/wiki/Portail:G%C3%A9om%C3%A9trie" title="Portail de la géométrie"><img alt="icône décorative" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/79/Circle-icons-rulertriangle.svg/24px-Circle-icons-rulertriangle.svg.png" decoding="async" width="24" height="24" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/79/Circle-icons-rulertriangle.svg/36px-Circle-icons-rulertriangle.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/79/Circle-icons-rulertriangle.svg/48px-Circle-icons-rulertriangle.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="512" /></a> <a href="/wiki/Portail:G%C3%A9om%C3%A9trie" title="Portail:Géométrie">Portail de la géométrie</a> </li> </ul> <div id="article_de_qualite" class="bandeau-container metadata bandeau-simple bandeau-niveau-neutre" style="background-color:#FFFBFB;"><div class="bandeau-centrer"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css grosse-icone etoile-argent" style="display:table-cell;padding-right:0.5em"> <div class="noprint">Cet article est reconnu comme « <a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Bons_articles" title="Wikipédia:Bons articles">bon article</a> » depuis sa <a class="external text" href="https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&oldid=64545061">version du 21 avril 2011</a> (<a class="external text" href="https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&oldid=64545061&diff=cur">comparer avec la version actuelle</a>). Pour toute information complémentaire, consulter sa <a href="/wiki/Discussion:G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces" title="Discussion:Géométrie différentielle des surfaces">page de discussion</a> et le <a href="/wiki/Discussion:G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces/Bon_article" title="Discussion:Géométrie différentielle des surfaces/Bon article">vote l'ayant promu</a>.</div><div class="printcssonly">La version du 21 avril 2011 de cet article a été reconnue comme « bon article », c'est-à-dire qu'elle répond à des critères de qualité concernant le style, la clarté, la pertinence, la citation des sources et l'illustration.</div> </div></div></div>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Ce document provient de « <a dir="ltr" href="https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Géométrie_différentielle_des_surfaces&oldid=215324227">https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Géométrie_différentielle_des_surfaces&oldid=215324227</a> ».</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Accueil" title="Catégorie:Accueil">Catégories</a> : <ul><li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle" title="Catégorie:Géométrie différentielle">Géométrie différentielle</a></li><li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:G%C3%A9om%C3%A9trie_riemannienne" title="Catégorie:Géométrie riemannienne">Géométrie riemannienne</a></li><li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Surface" title="Catégorie:Surface">Surface</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Catégories cachées : <ul><li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Article_contenant_un_appel_%C3%A0_traduction_en_anglais" title="Catégorie:Article contenant un appel à traduction en anglais">Article contenant un appel à traduction en anglais</a></li><li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Portail:G%C3%A9om%C3%A9trie/Articles_li%C3%A9s" title="Catégorie:Portail:Géométrie/Articles liés">Portail:Géométrie/Articles liés</a></li><li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Portail:Math%C3%A9matiques/Articles_li%C3%A9s" title="Catégorie:Portail:Mathématiques/Articles liés">Portail:Mathématiques/Articles liés</a></li><li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Portail:Sciences/Articles_li%C3%A9s" title="Catégorie:Portail:Sciences/Articles liés">Portail:Sciences/Articles liés</a></li><li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Bon_article" title="Catégorie:Bon article">Bon article</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> La dernière modification de cette page a été faite le 23 mai 2024 à 10:02.</li> <li id="footer-info-copyright"><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Citation_et_r%C3%A9utilisation_du_contenu_de_Wikip%C3%A9dia" title="Wikipédia:Citation et réutilisation du contenu de Wikipédia">Droit d'auteur</a> : les textes sont disponibles sous <a rel="nofollow" class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.fr">licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes conditions</a> ; d’autres conditions peuvent s’appliquer. Voyez les <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Policy:Terms_of_Use/fr">conditions d’utilisation</a> pour plus de détails, ainsi que les <a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Cr%C3%A9dits_graphiques" title="Wikipédia:Crédits graphiques">crédits graphiques</a>. En cas de réutilisation des textes de cette page, voyez <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Citer/G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces" title="Spécial:Citer/Géométrie différentielle des surfaces">comment citer les auteurs et mentionner la licence</a>. Wikipedia® est une marque déposée de la <a rel="nofollow" class="external text" href="https://wikimediafoundation.org/">Wikimedia Foundation, Inc.</a>, organisation de bienfaisance régie par le paragraphe <a href="/wiki/501c" title="501c">501(c)(3)</a> du code fiscal des États-Unis. </li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy/fr">Politique de confidentialité</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:%C3%80_propos_de_Wikip%C3%A9dia">À propos de Wikipédia</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Avertissements_g%C3%A9n%C3%A9raux">Avertissements</a></li> <li id="footer-places-contact"><a href="//fr.wikipedia.org/wiki/Wikipédia:Contact">Contact</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">Code de conduite</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Développeurs</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/fr.wikipedia.org">Statistiques</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">Déclaration sur les témoins (cookies)</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//fr.m.wikipedia.org/w/index.php?title=G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Version mobile</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> </div> </div> </div> <div class="vector-settings" id="p-dock-bottom"> <ul></ul> </div><script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-6df7948d6c-gdtn9","wgBackendResponseTime":230,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.780","walltime":"1.056","ppvisitednodes":{"value":13172,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":205081,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":10579,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":12,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":11,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":0,"limit":20},"unstrip-size":{"value":28954,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":1,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 566.602 1 -total"," 24.41% 138.299 2 Modèle:Références"," 16.23% 91.954 40 Modèle:Ouvrage"," 11.12% 63.029 13 Modèle:Article"," 9.37% 53.064 1 Modèle:Portail"," 7.93% 44.937 49 Modèle:Harv"," 7.54% 42.701 59 Modèle:Harvsp"," 7.51% 42.569 18 Modèle:Méta_bandeau_de_section"," 6.56% 37.182 49 Modèle:Référence_Harvard_sans_parenthèses"," 5.54% 31.379 1 Modèle:Entête_label"]},"scribunto":{"limitreport-timeusage":{"value":"0.197","limit":"10.000"},"limitreport-memusage":{"value":6112270,"limit":52428800}},"cachereport":{"origin":"mw-web.eqiad.main-5dc468848-wqlbg","timestamp":"20241124142915","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"G\u00e9om\u00e9trie diff\u00e9rentielle des surfaces","url":"https:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle_des_surfaces","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q2502381","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q2502381","author":{"@type":"Organization","name":"Contributeurs aux projets Wikimedia"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Fondation Wikimedia, Inc.","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2011-02-10T06:44:14Z","dateModified":"2024-05-23T09:02:48Z","image":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/3\/33\/Bendixen_-_Carl_Friedrich_Gau%C3%9F%2C_1828.jpg"}</script> </body> </html>

CINXE.COM

Géométrie différentielle des surfaces — Wikipédia