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<span class="vector-toc-numb">3.3</span> <span>Dempués de Euclides</span> </div> </a> <ul id="toc-Dempués_de_Euclides-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Los_trés_problemes_xeométricos_de_l'Antigüedá" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Los_trés_problemes_xeométricos_de_l'Antigüedá"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.4</span> <span>Los trés problemes xeométricos de l'Antigüedá</span> </div> </a> <ul id="toc-Los_trés_problemes_xeométricos_de_l'Antigüedá-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-La_duplicación_del_cubu" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#La_duplicación_del_cubu"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.4.1</span> <span>La duplicación del cubu</span> </div> </a> <ul id="toc-La_duplicación_del_cubu-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-La_triseición_del_ángulu" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#La_triseición_del_ángulu"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.4.2</span> <span>La triseición del ángulu</span> </div> </a> <ul id="toc-La_triseición_del_ángulu-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-La_cuadradura_del_círculu" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#La_cuadradura_del_círculu"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.4.3</span> <span>La cuadradura del círculu</span> </div> </a> <ul id="toc-La_cuadradura_del_círculu-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-La_Xeometría_na_Edá_Media" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#La_Xeometría_na_Edá_Media"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>La Xeometría na Edá Media</span> </div> </a> <ul id="toc-La_Xeometría_na_Edá_Media-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-La_Xeometría_Proyectiva" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#La_Xeometría_Proyectiva"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>La Xeometría Proyectiva</span> </div> </a> <ul id="toc-La_Xeometría_Proyectiva-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-La_Xeometría_Cartesiana" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#La_Xeometría_Cartesiana"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>La Xeometría Cartesiana</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-La_Xeometría_Cartesiana-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Alternar subsección La Xeometría Cartesiana</span> </button> <ul id="toc-La_Xeometría_Cartesiana-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Escosamientu_del_métodu_sintéticu" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Escosamientu_del_métodu_sintéticu"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6.1</span> <span>Escosamientu del métodu sintéticu</span> </div> </a> <ul id="toc-Escosamientu_del_métodu_sintéticu-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Les_llendes_del_métodu_alxebraicu" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Les_llendes_del_métodu_alxebraicu"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6.2</span> <span>Les llendes del métodu alxebraicu</span> </div> </a> <ul id="toc-Les_llendes_del_métodu_alxebraicu-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-El_Cálculu_Infinitesimal" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#El_Cálculu_Infinitesimal"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6.3</span> <span>El Cálculu Infinitesimal</span> </div> </a> <ul id="toc-El_Cálculu_Infinitesimal-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-La_Xeometría_na_Edá_Contemporánea" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#La_Xeometría_na_Edá_Contemporánea"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>La Xeometría na Edá Contemporánea</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-La_Xeometría_na_Edá_Contemporánea-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Alternar subsección La Xeometría na Edá Contemporánea</span> </button> <ul id="toc-La_Xeometría_na_Edá_Contemporánea-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Carl_Friedrich_Gauss" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Carl_Friedrich_Gauss"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7.1</span> <span>Carl Friedrich Gauss</span> </div> </a> <ul id="toc-Carl_Friedrich_Gauss-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-El_final_de_los_grandes_problemes_de_l'antigüedá" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#El_final_de_los_grandes_problemes_de_l'antigüedá"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7.2</span> <span>El final de los grandes problemes de l'antigüedá</span> </div> </a> <ul id="toc-El_final_de_los_grandes_problemes_de_l'antigüedá-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-El_discutiniu_sobre'l_V_postuláu" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#El_discutiniu_sobre'l_V_postuláu"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7.2.1</span> <span>El discutiniu sobre'l V postuláu</span> </div> </a> <ul id="toc-El_discutiniu_sobre'l_V_postuláu-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-La_triseición_del_ángulu_y_la_duplicación_del_cubu" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#La_triseición_del_ángulu_y_la_duplicación_del_cubu"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7.2.2</span> <span>La triseición del ángulu y la duplicación del cubu</span> </div> </a> <ul id="toc-La_triseición_del_ángulu_y_la_duplicación_del_cubu-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-La_cuadradura_del_círculu_2" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#La_cuadradura_del_círculu_2"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7.2.3</span> <span>La cuadradura del círculu</span> </div> </a> <ul id="toc-La_cuadradura_del_círculu_2-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Xeometría_intrínseca" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Xeometría_intrínseca"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8</span> <span>Xeometría intrínseca</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Xeometría_intrínseca-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Alternar subsección Xeometría intrínseca</span> </button> <ul id="toc-Xeometría_intrínseca-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Nuevos_espacios_con_estrañes_propiedaes" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Nuevos_espacios_con_estrañes_propiedaes"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8.1</span> <span>Nuevos espacios con estrañes propiedaes</span> </div> </a> <ul id="toc-Nuevos_espacios_con_estrañes_propiedaes-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Riemann" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Riemann"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8.2</span> <span>Riemann</span> </div> </a> <ul id="toc-Riemann-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Variedaes_riemannianas_y_el_tensor_combadura" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Variedaes_riemannianas_y_el_tensor_combadura"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8.2.1</span> <span>Variedaes riemannianas y el tensor combadura</span> </div> </a> <ul id="toc-Variedaes_riemannianas_y_el_tensor_combadura-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-El_modelu_del_Universu" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#El_modelu_del_Universu"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8.2.2</span> <span>El modelu del Universu</span> </div> </a> <ul id="toc-El_modelu_del_Universu-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Klein" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Klein"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8.3</span> <span>Klein</span> </div> </a> <ul id="toc-Klein-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-El_Programa_de_Erlangen" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#El_Programa_de_Erlangen"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8.3.1</span> <span>El Programa de Erlangen</span> </div> </a> <ul id="toc-El_Programa_de_Erlangen-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-¿Qué_ye_entós_la_Xeometría?" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-4"> <a class="vector-toc-link" href="#¿Qué_ye_entós_la_Xeometría?"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8.3.1.1</span> <span>¿Qué ye entós la Xeometría?</span> </div> </a> <ul id="toc-¿Qué_ye_entós_la_Xeometría?-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Ver_tamién" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Ver_tamién"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9</span> <span>Ver tamién</span> </div> </a> <ul id="toc-Ver_tamién-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Referencies" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Referencies"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">10</span> <span>Referencies</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Referencies-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Alternar subsección Referencies</span> </button> <ul id="toc-Referencies-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Bibliografía" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Bibliografía"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">10.1</span> <span>Bibliografía</span> </div> </a> <ul id="toc-Bibliografía-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Enllaces_esternos" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Enllaces_esternos"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">11</span> <span>Enllaces esternos</span> </div> </a> <ul id="toc-Enllaces_esternos-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Conteníu" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Cambiar a la tabla de contenidos" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Cambiar a la tabla de contenidos</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Historia de la xeometría</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Ir a un artículo en otro idioma. Disponible en 19 idiomas" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-19" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">19 llingües</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%D8%A7%D8%B1%D9%8A%D8%AE_%D8%A7%D9%84%D9%87%D9%86%D8%AF%D8%B3%D8%A9_%D8%A7%D9%84%D8%B1%D9%8A%D8%A7%D8%B6%D9%8A%D8%A9" title="تاريخ الهندسة الرياضية – árabe" lang="ar" hreflang="ar" data-title="تاريخ الهندسة الرياضية" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="árabe" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%9C%E0%A7%8D%E0%A6%AF%E0%A6%BE%E0%A6%AE%E0%A6%BF%E0%A6%A4%E0%A6%BF%E0%A6%B0_%E0%A6%87%E0%A6%A4%E0%A6%BF%E0%A6%B9%E0%A6%BE%E0%A6%B8" title="জ্যামিতির ইতিহাস – bengalín" lang="bn" hreflang="bn" data-title="জ্যামিতির ইতিহাস" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="bengalín" class="interlanguage-link-target"><span>বাংলা</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de badge-Q70894304 mw-list-item" title=""><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Geschichte_der_Geometrie" title="Geschichte der Geometrie – alemán" lang="de" hreflang="de" data-title="Geschichte der Geometrie" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="alemán" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/History_of_geometry" title="History of geometry – inglés" lang="en" hreflang="en" data-title="History of geometry" data-language-autonym="English" data-language-local-name="inglés" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Historia_de_la_geometr%C3%ADa" title="Historia de la geometría – español" lang="es" hreflang="es" data-title="Historia de la geometría" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="español" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%D8%A7%D8%B1%DB%8C%D8%AE_%D9%87%D9%86%D8%AF%D8%B3%D9%87" title="تاریخ هندسه – persa" lang="fa" hreflang="fa" data-title="تاریخ هندسه" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="persa" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Histoire_de_la_g%C3%A9om%C3%A9trie" title="Histoire de la géométrie – francés" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Histoire de la géométrie" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="francés" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%9C%E0%A5%8D%E0%A4%AF%E0%A4%BE%E0%A4%AE%E0%A4%BF%E0%A4%A4%E0%A4%BF_%E0%A4%95%E0%A4%BE_%E0%A4%87%E0%A4%A4%E0%A4%BF%E0%A4%B9%E0%A4%BE%E0%A4%B8" title="ज्यामिति का इतिहास – hindi" lang="hi" hreflang="hi" data-title="ज्यामिति का इतिहास" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="hindi" class="interlanguage-link-target"><span>हिन्दी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D4%B5%D6%80%D5%AF%D6%80%D5%A1%D5%B9%D5%A1%D6%83%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%A1%D5%B6_%D5%BA%D5%A1%D5%BF%D5%B4%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Երկրաչափության պատմություն – armeniu" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Երկրաչափության պատմություն" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="armeniu" class="interlanguage-link-target"><span>Հայերեն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B8%B0%ED%95%98%ED%95%99%EC%82%AC" title="기하학사 – coreanu" lang="ko" hreflang="ko" data-title="기하학사" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="coreanu" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Geschiedenis_van_de_meetkunde" title="Geschiedenis van de meetkunde – neerlandés" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Geschiedenis van de meetkunde" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="neerlandés" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Hist%C3%B3ria_da_geometria" title="História da geometria – portugués" lang="pt" hreflang="pt" data-title="História da geometria" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portugués" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Istoria_geometriei" title="Istoria geometriei – rumanu" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Istoria geometriei" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="rumanu" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Historia_e_gjeometris%C3%AB" title="Historia e gjeometrisë – albanu" 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href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%86%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%97" title="Історія геометрії – ucraín" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Історія геометрії" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ucraín" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/L%E1%BB%8Bch_s%E1%BB%AD_h%C3%ACnh_h%E1%BB%8Dc" title="Lịch sử hình học – vietnamín" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Lịch sử hình học" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="vietnamín" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%B8%E5%8F%B2" title="幾何學史 – cantonés" lang="yue" hreflang="yue" data-title="幾何學史" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="cantonés" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q2393733#sitelinks-wikipedia" title="Editar los enllaces d'interllingua" class="wbc-editpage">Editar los enllaces</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Espacios de nome"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Historia_de_la_xeometr%C3%ADa" title="Ver la páxina de conteníu [c]" accesskey="c"><span>Páxina</span></a></li><li id="ca-talk" class="new vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Alderique:Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&action=edit&redlink=1" rel="discussion" class="new" title="Alderique tocante al conteníu de la páxina (la páxina nun esiste) [t]" accesskey="t"><span>Alderique</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input type="checkbox" id="vector-variants-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Cambiar variante de idioma" > <label id="vector-variants-dropdown-label" for="vector-variants-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">asturianu</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-variants" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation" class="vector-collapsible"> <nav aria-label="Vistes"> <div id="p-views" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-views" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Historia_de_la_xeometr%C3%ADa"><span>Lleer</span></a></li><li id="ca-ve-edit" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&veaction=edit" title="Editar esta páxina [v]" accesskey="v"><span>Editar</span></a></li><li id="ca-edit" class="collapsible vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&action=edit" title="Editar el códigu fonte d'esta páxina [e]" accesskey="e"><span>Editar la fonte</span></a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&action=history" title="Versiones antigües d'esta páxina [h]" accesskey="h"><span>Ver historial</span></a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Ferramientes de páxina"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Ferramientes" > <label id="vector-page-tools-dropdown-label" for="vector-page-tools-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">Ferramientes</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-tools-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-page-tools" class="vector-page-tools vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-page-tools-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="page-tools-pinned" data-pinnable-element-id="vector-page-tools" data-pinned-container-id="vector-page-tools-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-page-tools-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Ferramientes</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.pin">mover a la barra llateral</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.unpin">despintar</button> </div> <div id="p-cactions" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-has-collapsible-items" title="Más opciones" > <div class="vector-menu-heading"> Aiciones </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-more-view" class="selected vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/wiki/Historia_de_la_xeometr%C3%ADa"><span>Lleer</span></a></li><li id="ca-more-ve-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&veaction=edit" title="Editar esta páxina [v]" accesskey="v"><span>Editar</span></a></li><li id="ca-more-edit" class="collapsible vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&action=edit" title="Editar el códigu fonte d'esta páxina [e]" accesskey="e"><span>Editar la fonte</span></a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&action=history"><span>Ver historial</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> Xeneral </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:LoQueEnlazaAqu%C3%AD/Historia_de_la_xeometr%C3%ADa" title="Llista de toles páxines wiki qu'enllacien equí [j]" accesskey="j"><span>Lo qu'enllaza equí</span></a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:CambiosEnEnlazadas/Historia_de_la_xeometr%C3%ADa" rel="nofollow" title="Cambios recientes nes páxines enllazaes dende esta [k]" accesskey="k"><span>Cambios rellacionaos</span></a></li><li id="t-upload" class="mw-list-item"><a href="//commons.wikimedia.org/wiki/Special:UploadWizard?uselang=ast" title="Xubir ficheros [u]" accesskey="u"><span>Xubir ficheru</span></a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:P%C3%A1ginasEspeciales" title="Llista de toles páxines especiales [q]" accesskey="q"><span>Páxines especiales</span></a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&oldid=4177672" title="Enllaz permanente a esta revisión de la páxina"><span>Enllaz permanente</span></a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&action=info" title="Más información sobro esta páxina"><span>Información de la páxina</span></a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:Citar&page=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&id=4177672&wpFormIdentifier=titleform" title="Información tocante a cómo citar esta páxina"><span>Citar esta páxina</span></a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:Acortador_de_URL&url=https%3A%2F%2Fast.wikipedia.org%2Fwiki%2FHistoria_de_la_xeometr%25C3%25ADa"><span>Llograr la URL encurtiada</span></a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:QrCode&url=https%3A%2F%2Fast.wikipedia.org%2Fwiki%2FHistoria_de_la_xeometr%25C3%25ADa"><span>Xenerar códigu QR</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-coll-print_export" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-coll-print_export" > <div class="vector-menu-heading"> Imprentar/esportar </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:Libro&bookcmd=book_creator&referer=Historia+de+la+xeometr%C3%ADa"><span>Crear un llibru</span></a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:DownloadAsPdf&page=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&action=show-download-screen"><span>Descargar como PDF</span></a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&printable=yes" title="Versión imprentable d'esta páxina [p]" accesskey="p"><span>Versión pa 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id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Apariencia"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Apariencia</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">mover a la barra llateral</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">despintar</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> <div id="mw-indicator-tradubot" class="mw-indicator"><div class="mw-parser-output"><span typeof="mw:File"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Historia_de_la_geometr%C3%ADa" title="Esti artículu foi traducíu automáticamente y precisa revisase manualmente"><img alt="Esti artículu foi traducíu automáticamente y precisa revisase manualmente" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/05/Robot_icon.svg/16px-Robot_icon.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/05/Robot_icon.svg/24px-Robot_icon.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/05/Robot_icon.svg/32px-Robot_icon.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="512" /></a></span></div></div> </div> <div id="siteSub" class="noprint">De Wikipedia</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="ast" dir="ltr"><p>La <b>xeometría</b> ye una de les <a href="/wiki/Ciencies" class="mw-redirect" title="Ciencies">ciencies</a> más antigües. Primeramente, constituyía un cuerpu de conocencies práutiques en rellación coles <a href="/wiki/Llargor" title="Llargor">llargores</a>, <a href="/wiki/%C3%81rea" class="mw-disambig" title="Área">árees</a> y <a href="/wiki/Volumen" class="mw-redirect" title="Volumen">volumen</a>. Nel <a href="/wiki/Antiguu_Exiptu" class="mw-redirect" title="Antiguu Exiptu">antiguu Exiptu</a> taba bien desenvuelta, según los testos de <a href="/wiki/Herodoto" class="mw-redirect" title="Herodoto">Herodoto</a>, <a href="/wiki/Estrab%C3%B3n" title="Estrabón">Estrabón</a> y <a href="/wiki/Diodoro_S%C3%ADculo" title="Diodoro Sículo">Diodoro Sículo</a>, <a href="/wiki/Euclides" title="Euclides">Euclides</a>, nel sieglu III e.C. configuró la xeometría en forma <a href="/wiki/Axoma" title="Axoma">axomática</a>, tratamientu qu'estableció una norma a siguir mientres munchos sieglos: la <a href="/wiki/Xeometr%C3%ADa_euclidiana" title="Xeometría euclidiana">xeometría euclidiana</a> descrita en <i><a href="/w/index.php?title=Los_Elementos&action=edit&redlink=1" class="new" title="Los Elementos (la páxina nun esiste)">Los Elementos</a></i>. </p> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Ficheru:Unibibliotek_Salzburg_Artes_liberales_Geometria.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/52/Unibibliotek_Salzburg_Artes_liberales_Geometria.jpg/220px-Unibibliotek_Salzburg_Artes_liberales_Geometria.jpg" decoding="async" width="220" height="323" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/52/Unibibliotek_Salzburg_Artes_liberales_Geometria.jpg/330px-Unibibliotek_Salzburg_Artes_liberales_Geometria.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/52/Unibibliotek_Salzburg_Artes_liberales_Geometria.jpg/440px-Unibibliotek_Salzburg_Artes_liberales_Geometria.jpg 2x" data-file-width="900" data-file-height="1322" /></a><figcaption>La <a href="/wiki/Xeometr%C3%ADa" title="Xeometría">Xeometría</a> como una de les Artes Lliberales y Euclides.</figcaption></figure> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="La_xeometría_en_Babilonia"><span id="La_xeometr.C3.ADa_en_Babilonia"></span>La xeometría en Babilonia</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&veaction=edit&section=1" title="Editar seición: La xeometría en Babilonia" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&action=edit&section=1" title="Editar el código fuente de la sección: La xeometría en Babilonia"><span>editar la fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>La <a href="/wiki/Babilonia_(ciud%C3%A1)" title="Babilonia (ciudá)">Civilización Babilónica</a> atribúyese-yos la invención de la <a href="/wiki/Rueda" title="Rueda">rueda</a>, ye por eso qu'amás se -yos da la so contribución a la investigación del llargor de les <a href="/wiki/Circunferencia" title="Circunferencia">circunferencies</a> en rellación cola so <a href="/wiki/Di%C3%A1metru" title="Diámetru">diámetru</a>, siendo este'l númberu 3, esti descubrimientu dexó a los Babilónicos considerar que'l llargor de les circunferencies yera un valor entemediu ente los perímetros de los cuadraos inscritu y circunscrito nuna circunferencia. Por aciu l'usu de l'<a href="/wiki/Astronom%C3%ADa" title="Astronomía">astronomía</a>, una y bones l'añu estremábase 360 díes establecieron que la circunferencia estremar en 360 partes, llogrando'l <a href="/wiki/Grau_sesaxesimal" title="Grau sesaxesimal">grau sesaxesimal</a>. Atribúyese-yos la conocencia de cómo trazar un <a href="/w/index.php?title=Hex%C3%A1gonu_regular&action=edit&redlink=1" class="new" title="Hexágonu regular (la páxina nun esiste)">hexágonu regular</a> inscritu, amás de topar l'área del <a href="/wiki/Trapeciu_(xeometr%C3%ADa)" title="Trapeciu (xeometría)">trapeciu rectángulu</a> </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="La_xeometría_nel_Antiguu_Exiptu"><span id="La_xeometr.C3.ADa_nel_Antiguu_Exiptu"></span>La xeometría nel Antiguu Exiptu</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&veaction=edit&section=2" title="Editar seición: La xeometría nel Antiguu Exiptu" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&action=edit&section=2" title="Editar el código fuente de la sección: La xeometría nel Antiguu Exiptu"><span>editar la fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Ficheru:Egyptian_A%27h-mos%C3%A8_or_Rhind_Papyrus_(1065x1330).png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4b/Egyptian_A%27h-mos%C3%A8_or_Rhind_Papyrus_%281065x1330%29.png/220px-Egyptian_A%27h-mos%C3%A8_or_Rhind_Papyrus_%281065x1330%29.png" decoding="async" width="220" height="275" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4b/Egyptian_A%27h-mos%C3%A8_or_Rhind_Papyrus_%281065x1330%29.png/330px-Egyptian_A%27h-mos%C3%A8_or_Rhind_Papyrus_%281065x1330%29.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4b/Egyptian_A%27h-mos%C3%A8_or_Rhind_Papyrus_%281065x1330%29.png/440px-Egyptian_A%27h-mos%C3%A8_or_Rhind_Papyrus_%281065x1330%29.png 2x" data-file-width="1065" data-file-height="1330" /></a><figcaption><a href="/wiki/Papiru_d%27Ahmes" title="Papiru d'Ahmes">Papiru d'Ahmes</a>.</figcaption></figure> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r4219085">.mw-parser-output .hatnote{font-style:italic}.mw-parser-output div.hatnote{padding-left:1.6em;margin-bottom:0.5em}.mw-parser-output .hatnote i{font-style:normal}.mw-parser-output .hatnote+link+.hatnote{margin-top:-0.5em}@media print{body.ns-0 .mw-parser-output .hatnote{display:none!important}}</style><div role="note" class="hatnote navigation-not-searchable">Artículu principal: <a href="/w/index.php?title=Xeometr%C3%ADa_nel_Antiguu_Exiptu&action=edit&redlink=1" class="new" title="Xeometría nel Antiguu Exiptu (la páxina nun esiste)">Xeometría nel Antiguu Exiptu</a></div> <p>Les primeres civilizaciones mediterránees adquieren adulces ciertes conocencies xeométriques de calter eminentemente práuticu. La <a href="/wiki/Xeometr%C3%ADa" title="Xeometría">xeometría</a> nel <a href="/wiki/Antiguu_Exiptu" class="mw-redirect" title="Antiguu Exiptu">antiguu Exiptu</a> taba bien desenvuelta, como almitieron <a href="/wiki/Her%C3%B3doto" class="mw-redirect" title="Heródoto">Heródoto</a>, <a href="/wiki/Estrab%C3%B3n" title="Estrabón">Estrabón</a> y <a href="/w/index.php?title=Diodoro&action=edit&redlink=1" class="new" title="Diodoro (la páxina nun esiste)">Diodoro</a>, qu'aceptaben que los exipcios habíen "inventáu" la xeometría y haber enseñáu a los griegos; anque lo único que perduró son delles fórmules –o, meyor dichu, algoritmos espresaos en forma de "receta"– pa calcular volumes, árees y llargores, que la so finalidá yera práutica. Con elles pretendíase, por casu, calcular la dimensión de les parceles de tierra, pa reconstruyiles dempués de los hinchentes añales. D'ellí'l nome <i>γεωμετρία</i>, <i>xeometría</i>: "midida de la tierra" (de γῆ (gê) 'tierra' más μετρία (metría), 'midida'). </p><p>Los denominaos <a href="/wiki/Papiru_d%27Ahmes" title="Papiru d'Ahmes">Papiru d'Ahmes</a> y <a href="/wiki/Papiru_de_Mosc%C3%BA" title="Papiru de Moscú">Papiru de Moscú</a> amuesen conxuntos de métodos práuticos pa llograr diverses árees y volúmenes, destinaos al aprendizaxe d'escribes. Ye discutible si estos documentos impliquen fondes conocencies o representen sicasí tou la conocencia que los antiguos exipcios teníen sobre la xeometría. </p><p>Los historiadores antiguos rellatáronnos que la conocencia d'esta civilización sobre xeometría –según los de les cultures mesopotámiques– pasó íntegramente a la cultura griega al traviés de <a href="/wiki/Tales_de_Mileto" title="Tales de Mileto">Tales de Mileto</a>, los <a href="/w/index.php?title=Pitag%C3%B3ricos&action=edit&redlink=1" class="new" title="Pitagóricos (la páxina nun esiste)">pitagóricos</a> y, esencialmente, d'<a href="/wiki/Euclides" title="Euclides">Euclides</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="La_Xeometría_griega"><span id="La_Xeometr.C3.ADa_griega"></span>La Xeometría griega</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&veaction=edit&section=3" title="Editar seición: La Xeometría griega" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&action=edit&section=3" title="Editar el código fuente de la sección: La Xeometría griega"><span>editar la fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r4219085"><div role="note" class="hatnote navigation-not-searchable">Ver tamién: <a href="/w/index.php?title=Xeometr%C3%ADa_cl%C3%A1sica&action=edit&redlink=1" class="new" title="Xeometría clásica (la páxina nun esiste)">Xeometría clásica</a></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="La_Xeometría_griega_antes_de_Euclides"><span id="La_Xeometr.C3.ADa_griega_antes_de_Euclides"></span><i>La Xeometría griega antes de Euclides</i></h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&veaction=edit&section=4" title="Editar seición: La Xeometría griega antes de Euclides" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&action=edit&section=4" title="Editar el código fuente de la sección: La Xeometría griega antes de Euclides"><span>editar la fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Ficheru:Pythagoras_proof.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/84/Pythagoras_proof.svg/220px-Pythagoras_proof.svg.png" decoding="async" width="220" height="220" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/84/Pythagoras_proof.svg/330px-Pythagoras_proof.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/84/Pythagoras_proof.svg/440px-Pythagoras_proof.svg.png 2x" data-file-width="350" data-file-height="350" /></a><figcaption>La primer demostración del teorema de Pitágoras Probablemente usó una diagrama como'l que s'amuesa.</figcaption></figure> <p>La Xeometría Griega foi la primera en ser formal. Parte de les conocencies concretes y práuticos de <a href="/wiki/Tesis" title="Tesis">tesis</a>. La veracidá de la tesis va depender de la validez del razonamientu col que s'estrayxo (esto va ser estudiáu por <a href="/wiki/Arist%C3%B3teles" title="Aristóteles">Aristóteles</a> al crear la <a href="/wiki/L%C3%B3xica" title="Lóxica">Lóxica</a>) y de la veracidá de les hipótesis. Pero entós tenemos de partir d'hipótesis ciertes pa poder afirmar con rotundidá la tesis. Pa poder determinar la veracidá de les hipótesis, va haber que considerar caúna como tesis d'otru razonamientu, que les sos hipótesis vamos deber tamién comprobar. Éntrase aparentemente nun procesu ensin fin nel que, indefinidamente, les hipótesis convertir en tesis a probar. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Euclides_y_Los_elementos">Euclides y <i>Los elementos</i></h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&veaction=edit&section=5" title="Editar seición: Euclides y Los elementos" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&action=edit&section=5" title="Editar el código fuente de la sección: Euclides y Los elementos"><span>editar la fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Ficheru:P._Oxy._I_29.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8d/P._Oxy._I_29.jpg/220px-P._Oxy._I_29.jpg" decoding="async" width="220" height="134" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8d/P._Oxy._I_29.jpg/330px-P._Oxy._I_29.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8d/P._Oxy._I_29.jpg/440px-P._Oxy._I_29.jpg 2x" data-file-width="1694" data-file-height="1032" /></a><figcaption> Estazo d'unu de los <a href="/wiki/Papiros_de_Oxirrinco" class="mw-redirect" title="Papiros de Oxirrinco">Papiros de Oxirrinco</a> con unes llinies de <i><a href="/w/index.php?title=Los_elementos&action=edit&redlink=1" class="new" title="Los elementos (la páxina nun esiste)">Los elementos</a></i> d'<a href="/wiki/Euclides" title="Euclides">Euclides</a>.</figcaption></figure> <p><a href="/wiki/Euclides" title="Euclides">Euclides</a>, venceyáu al <a href="/w/index.php?title=Mus%C3%A9u_d%27Alexandr%C3%ADa&action=edit&redlink=1" class="new" title="Muséu d'Alexandría (la páxina nun esiste)">Muséu d'Alexandría</a> y al so <a href="/wiki/Biblioteca_d%27Alexandr%C3%ADa" title="Biblioteca d'Alexandría">Biblioteca</a>, ataya la cuestión al proponer un sistema d'estudiu nel que se da por sentáu la veracidá de ciertes proposiciones por ser intuitivamente clares, y deducir d'elles tolos demás resultaos. El so sistema sintetizar na so obra cume, <i><a href="/w/index.php?title=Los_elementos&action=edit&redlink=1" class="new" title="Los elementos (la páxina nun esiste)">Los elementos</a></i>, modelu de <a href="/w/index.php?title=Sistema_formal&action=edit&redlink=1" class="new" title="Sistema formal (la páxina nun esiste)">sistema axomáticu-deductivu</a>. Sobre tan solo cinco <a href="/w/index.php?title=Postulaos_de_Euclides&action=edit&redlink=1" class="new" title="Postulaos de Euclides (la páxina nun esiste)">postulaos</a> y les <a href="/w/index.php?title=Definici%C3%B3n&action=edit&redlink=1" class="new" title="Definición (la páxina nun esiste)">definiciones</a> que precisa constrúi tola Xeometría y l'Aritmética conocíes hasta'l momentu. La so obra, en trece volúmenes, va perdurar como única verdá xeométrica hasta entráu'l sieglu XIX. </p><p>Ente los postulaos nos que <a href="/wiki/Euclides" title="Euclides">Euclides</a> sofítase hai unu (el <a href="/w/index.php?title=Quintu_postul%C3%A1u_de_Euclides&action=edit&redlink=1" class="new" title="Quintu postuláu de Euclides (la páxina nun esiste)">quintu postuláu</a>) que trai problemes dende'l principiu. Nun se ponía en dulda la so veracidá, pero tal que apaez espresáu na obra, munchos consideren que de xuru podía deducise del restu de postulaos. Mientres los siguientes sieglos, unu de los principales problemes de la Xeometría va ser determinar si'l V postuláu ye o non independiente de los otros cuatro, esto ye, si ye necesariu consideralo como un postuláu o ye un <a href="/wiki/Teorema" title="Teorema">teorema</a>, esto ye, puede deducise de los otros, y polo tanto asitiase ente'l restu de resultaos de la obra. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Dempués_de_Euclides"><span id="Dempu.C3.A9s_de_Euclides"></span>Dempués de Euclides</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&veaction=edit&section=6" title="Editar seición: Dempués de Euclides" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&action=edit&section=6" title="Editar el código fuente de la sección: Dempués de Euclides"><span>editar la fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Euclides casi cierra definitivamente la xeometría griega –y por estensión la del mundu antiguu–, sacante les figures d'<a href="/wiki/Arqu%C3%ADmedes" title="Arquímedes">Arquímedes</a> y <a href="/wiki/Apolonio_de_Perge" title="Apolonio de Perge">Apolonio de Perge</a>. </p><p>Arquímedes analizó exhaustivamente les <a href="/w/index.php?title=Seiciones_c%C3%B3niques&action=edit&redlink=1" class="new" title="Seiciones cóniques (la páxina nun esiste)">seiciones cóniques</a>, ya introdució en xeometría otres curves como la <a href="/w/index.php?title=Espiral_de_Arqu%C3%ADmedes&action=edit&redlink=1" class="new" title="Espiral de Arquímedes (la páxina nun esiste)">espiral que lleva'l so nome</a>, amás del so famosu cálculu del volume de la esfera, basáu nos del <a href="/wiki/Cilindru" title="Cilindru">cilindru</a> y el conu. </p> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Ficheru:AllFourConics.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2e/AllFourConics.png/220px-AllFourConics.png" decoding="async" width="220" height="188" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2e/AllFourConics.png/330px-AllFourConics.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2e/AllFourConics.png/440px-AllFourConics.png 2x" data-file-width="591" data-file-height="505" /></a><figcaption>Esquema de los trés seiciones cóniques: <a href="/wiki/Elipse" title="Elipse">elipse</a>, <a href="/w/index.php?title=Par%C3%A1bola_(matem%C3%A1tica)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Parábola (matemática) (la páxina nun esiste)">parábola</a> y <a href="/wiki/Hip%C3%A9rbola" title="Hipérbola">hipérbola</a> (más la circunferencia).</figcaption></figure> <center><span typeof="mw:Error mw:File"><a href="//commons.wikimedia.org/wiki/Special:UploadWizard?uselang=ast&wpDestFile=Seiciones_Conicas.svg" class="new" title="Ficheru:Seiciones Conicas.svg"><span class="mw-file-element mw-broken-media" data-width="350">Ficheru:Seiciones Conicas.svg</span></a></span></center> <p><a href="/w/index.php?title=Apolonio_de_P%C3%A9rgamo&action=edit&redlink=1" class="new" title="Apolonio de Pérgamo (la páxina nun esiste)">Apolonio</a> trabayó en delles construcciones de tangencias ente círculos, según en seiciones cóniques y otres curves. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Los_trés_problemes_xeométricos_de_l'Antigüedá"><span id="Los_tr.C3.A9s_problemes_xeom.C3.A9tricos_de_l.27Antig.C3.BCed.C3.A1"></span>Los trés problemes xeométricos de l'Antigüedá</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&veaction=edit&section=7" title="Editar seición: Los trés problemes xeométricos de l'Antigüedá" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&action=edit&section=7" title="Editar el código fuente de la sección: Los trés problemes xeométricos de l'Antigüedá"><span>editar la fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>La xeometría griega yera incapaz de resolver trés famosos problemes xeométricos (que van heredar los matemáticos posteriores), yá que teníen de ser resueltos utilizando namái la <a href="/w/index.php?title=Regla_y_comp%C3%A1s&action=edit&redlink=1" class="new" title="Regla y compás (la páxina nun esiste)">regla y compás</a> «ideales», únicos preseos válidos na xeometría griega. Estos trés problemes son los siguientes: </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="La_duplicación_del_cubu"><span id="La_duplicaci.C3.B3n_del_cubu"></span>La duplicación del cubu</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&veaction=edit&section=8" title="Editar seición: La duplicación del cubu" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&action=edit&section=8" title="Editar el código fuente de la sección: La duplicación del cubu"><span>editar la fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Cunta la lleenda qu'una tarrecible <a href="/wiki/Peste" title="Peste">peste</a> afaraba la ciudá d'<a href="/wiki/Atenes" title="Atenes">Atenes</a>, hasta'l puntu de llevar a la muerte a <a href="/wiki/Pericles" title="Pericles">Pericles</a>. Una embaxada de la ciudá foi al <a href="/w/index.php?title=Or%C3%A1culu_de_Delfos&action=edit&redlink=1" class="new" title="Oráculu de Delfos (la páxina nun esiste)">oráculu de Delfos</a>, consagráu a <a href="/wiki/Apolo" class="mw-redirect" title="Apolo">Apolo</a>, pa consultar qué se debía faer pa erradicar la mortal enfermedá. En consultando al Oráculu, la respuesta foi que se debía doblar l'altar consagráu a Apolo na isla de Delos. L'altar tenía una peculiaridá: la so forma cúbica. Prontamente, los atenienses construyeron un altar cúbicu que los sos llaos yeren el doble de les del altar de <a href="/w/index.php?title=Delos&action=edit&redlink=1" class="new" title="Delos (la páxina nun esiste)">Delos</a>, pero la peste nun cesó, volvióse más mortífera. Consultáu de nuevu, l'oráculu alvirtió a los atenienses que l'altar nun yera'l doble de grande, sinón ocho veces mayor, yá que el volume del cubu ye'l cubu del so llau (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (2l)^{3}=2^{3}l^{3}=8l^{3}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mi>l</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>l</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>8</mn> <msup> <mi>l</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (2l)^{3}=2^{3}l^{3}=8l^{3}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46801eb975f84a1eaed88c08583afdc8de507c9f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.79ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (2l)^{3}=2^{3}l^{3}=8l^{3}}"></span>). Naide supo cómo construyir un cubu que'l so volume fora esautamente'l doble del volume d'otru cubu dau, y el problema matemáticu persistió mientres sieglos (non asina la enfermedá). </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="La_triseición_del_ángulu"><span id="La_triseici.C3.B3n_del_.C3.A1ngulu"></span>La triseición del ángulu</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&veaction=edit&section=9" title="Editar seición: La triseición del ángulu" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&action=edit&section=9" title="Editar el código fuente de la sección: La triseición del ángulu"><span>editar la fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="La_cuadradura_del_círculu"><span id="La_cuadradura_del_c.C3.ADrculu"></span>La cuadradura del círculu</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&veaction=edit&section=10" title="Editar seición: La cuadradura del círculu" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&action=edit&section=10" title="Editar el código fuente de la sección: La cuadradura del círculu"><span>editar la fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r4219085"><div role="note" class="hatnote navigation-not-searchable">Artículu principal: <a href="/w/index.php?title=Cuadradura_del_c%C3%ADrculu&action=edit&redlink=1" class="new" title="Cuadradura del círculu (la páxina nun esiste)">Cuadradura del círculu</a></div> <p>La <a href="/w/index.php?title=Cuadradura_del_c%C3%ADrculu&action=edit&redlink=1" class="new" title="Cuadradura del círculu (la páxina nun esiste)">cuadradura del círculu</a> consiste en tratar de llograr un cuadráu que la so área mida esautamente lo mesmo que l'área d'un círculu dau. <a href="/w/index.php?title=Anax%C3%A1goras&action=edit&redlink=1" class="new" title="Anaxágoras (la páxina nun esiste)">Anaxágoras</a> foi'l primeru n'intentar resolvelo, dibuxando nes parés de la so celda. Foi prindáu por esplicar diversos fenómenos que los griegos atribuyíen a los dioses. Tampoco pudo ser resueltu polos xeómetres de l'antigüedá, y aportó a el paradigma de lo imposible. Como interés, el filósofu inglés <a href="/wiki/David_Hume" title="David Hume">David Hume</a> llegó a escribir un llibru con supuestos métodos pa resolver el problema. Hume nun tenía abondes conocencies matemátiques, y nunca aceptó que los sos métodos nun funcionar. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="La_Xeometría_na_Edá_Media"><span id="La_Xeometr.C3.ADa_na_Ed.C3.A1_Media"></span>La Xeometría na Edá Media</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&veaction=edit&section=11" title="Editar seición: La Xeometría na Edá Media" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&action=edit&section=11" title="Editar el código fuente de la sección: La Xeometría na Edá Media"><span>editar la fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Mientres los siguientes sieglos la Matemática empieza nuevos caminos de la mano d'hindús y árabes en <a href="/wiki/Trigonometr%C3%ADa" title="Trigonometría">Trigonometría</a> y <a href="/wiki/%C3%81lxebra" title="Álxebra">Álxebra</a> (l'usu de la <a href="/wiki/Notaci%C3%B3n_posicional" title="Notación posicional">notación posicional</a> y del <a href="/wiki/Cero" title="Cero">cero</a>), anque rellacionaes cola <a href="/wiki/Astronom%C3%ADa" title="Astronomía">Astronomía</a> y l'<a href="/wiki/Astrolox%C3%ADa" title="Astroloxía">Astroloxía</a>; pero en xeometría apenes hai nueves aportaciones. N'Occidente, a pesar de que la Xeometría ye una de los siete <a href="/wiki/Artes_lliberales" title="Artes lliberales">Artes lliberales</a> (encuadrada nel <a href="/wiki/Quadrivium" title="Quadrivium">Quadrivium</a>), les escueles y universidaes llindar a enseñar los "Elementos", y nun hai aportaciones. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="La_Xeometría_Proyectiva"><span id="La_Xeometr.C3.ADa_Proyectiva"></span>La Xeometría Proyectiva</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&veaction=edit&section=12" title="Editar seición: La Xeometría Proyectiva" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&action=edit&section=12" title="Editar el código fuente de la sección: La Xeometría Proyectiva"><span>editar la fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Ye nel <a href="/wiki/Renacimientu" title="Renacimientu">Renacimientu</a> cuando les nueves necesidaes de representación del arte y de la téunica emburrien a ciertos humanistes a estudiar propiedaes xeométriques pa llograr nuevos preseos que-yos dexen representar la realidá. Equí enmárcase la figura del matemáticu y arquiteutu <a href="/w/index.php?title=Luca_Pacioli&action=edit&redlink=1" class="new" title="Luca Pacioli (la páxina nun esiste)">Luca Pacioli</a>, de <a href="/wiki/Leonardo_da_Vinci" title="Leonardo da Vinci">Leonardo da Vinci</a>, d'<a href="/wiki/Alberto_Durero" class="mw-redirect" title="Alberto Durero">Alberto Durero</a>, de <a href="/w/index.php?title=Leone_Battista_Alberti&action=edit&redlink=1" class="new" title="Leone Battista Alberti (la páxina nun esiste)">Leone Battista Alberti</a>, de <a href="/wiki/Piero_della_Francesca" title="Piero della Francesca">Piero della Francesca</a>, por citar namái dalgunos. Toos ellos, al afayar la perspeutiva y la seición, crean la necesidá de sentar les bases formales na qu'encimentar les nueves formes de Xeometría qu'ésta implica: la <a href="/w/index.php?title=Xeometr%C3%ADa_proyectiva&action=edit&redlink=1" class="new" title="Xeometría proyectiva (la páxina nun esiste)">Xeometría proyectiva</a>, que los sos principios fundamentales apaecen de la mano de <a href="/w/index.php?title=G%C3%A9rard_Desargues&action=edit&redlink=1" class="new" title="Gérard Desargues (la páxina nun esiste)">Desargues</a> nel sieglu XVII. Esta nueva xeometría de Desargues foi estudiada ampliamante yá por <a href="/wiki/Blaise_Pascal" title="Blaise Pascal">Pascal</a> o por <a href="/w/index.php?title=Philippe_de_la_Hire&action=edit&redlink=1" class="new" title="Philippe de la Hire (la páxina nun esiste)">de la Hire</a>, pero debíu al interés amenáu pola Xeometría Cartesiana y los sos métodos, nun algamar tanto espardimientu como merecía hasta la llegada a principios del sieglu XIX de <a href="/wiki/Gaspard_Monge" title="Gaspard Monge">Gaspard Monge</a> en primer llugar y sobremanera de <a href="/wiki/Jean-Victor_Poncelet" title="Jean-Victor Poncelet">Poncelet</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="La_Xeometría_Cartesiana"><span id="La_Xeometr.C3.ADa_Cartesiana"></span>La Xeometría Cartesiana</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&veaction=edit&section=13" title="Editar seición: La Xeometría Cartesiana" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&action=edit&section=13" title="Editar el código fuente de la sección: La Xeometría Cartesiana"><span>editar la fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Ficheru:Frans_Hals_-_Portret_van_Ren%C3%A9_Descartes.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Frans_Hals_-_Portret_van_Ren%C3%A9_Descartes.jpg/220px-Frans_Hals_-_Portret_van_Ren%C3%A9_Descartes.jpg" decoding="async" width="220" height="269" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Frans_Hals_-_Portret_van_Ren%C3%A9_Descartes.jpg/330px-Frans_Hals_-_Portret_van_Ren%C3%A9_Descartes.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Frans_Hals_-_Portret_van_Ren%C3%A9_Descartes.jpg/440px-Frans_Hals_-_Portret_van_Ren%C3%A9_Descartes.jpg 2x" data-file-width="817" data-file-height="1000" /></a><figcaption><a href="/wiki/Ren%C3%A9_Descartes" title="René Descartes">René Descartes</a>.</figcaption></figure> <p>Pero ye ensin dulda l'apaición de la <a href="/wiki/Xeometr%C3%ADa_anal%C3%ADtica" title="Xeometría analítica">xeometría analítica</a> lo que marca la Xeometría na <a href="/wiki/Ed%C3%A1_Moderna" title="Edá Moderna">Edá Moderna</a>. <a href="/wiki/Descartes" class="mw-redirect" title="Descartes">Descartes</a> propón un nuevu métodu de resolver problemes xeométricos, y por estensión, d'investigar en xeometría. </p><p>El nuevu métodu analiza la xeometría utilizando ecuaciones alxebraiques. Camúdase la <a href="/w/index.php?title=Regla_y_comp%C3%A1s&action=edit&redlink=1" class="new" title="Regla y compás (la páxina nun esiste)">regla y compás</a> clásicos por espresiones numbériques que pueden representase por aciu <a href="/wiki/Coordenaes_cartesianes" title="Coordenaes cartesianes">coordenaes cartesianes</a>. Utilizando notación actual, dichu métodu esprésase asina: </p><p>Nun planu trácense dos rectes perpendiculares (exes) –que por conveniu se tracen de manera que una d'elles seya horizontal y la otra vertical–, y cada puntu del planu queda unívocamente determináu poles distancies de dichu puntu a cada unu de les exes, siempres y cuando se dea tamién un criteriu pa determinar sobre qué <a href="/w/index.php?title=Semiplanu&action=edit&redlink=1" class="new" title="Semiplanu (la páxina nun esiste)">semiplanu</a> determináu por caúna de les rectes hai que tomar esa distancia, criteriu que vien dau por un signu. Esi par de númberos, les <a href="/wiki/Coordenaes" class="mw-redirect" title="Coordenaes">coordenaes</a>, va quedar representáu por un par ordenáu <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x,y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x,y)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41cf50e4a314ca8e2c30964baa8d26e5be7a9386" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.328ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x,y)}"></span>, siendo <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"></span> la distancia a unu de les exes (por conveniu va ser la distancia a la exa vertical) y <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}"></span> la distancia a la otra exa (al horizontal). </p><p>Na coordenada <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"></span>, el signu positivu (que suel omitise) significa que la distancia tomar escontra la derecha de la exa vertical (<b>exa d'ordenaes</b>), y el signu negativu (nunca s'omite) indica que la distancia tomar escontra la esquierda. Pa la coordenada <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}"></span>, el signu positivu (tamién se suel omitir) indica que la distancia tómase escontra riba de la exa horizontal (<b>exa d'ascises</b>), tomándose escontra baxo si'l signu ye negativu (tampoco s'omite nunca nesti casu). A la coordenada <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"></span> soler denominar <i>ascisa</i> del puntu, ente que a la <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}"></span> denominar <i>ordenada</i> del puntu. </p> <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Ficheru:Cartesian-coordinate-system.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0e/Cartesian-coordinate-system.svg/300px-Cartesian-coordinate-system.svg.png" decoding="async" width="300" height="297" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0e/Cartesian-coordinate-system.svg/450px-Cartesian-coordinate-system.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0e/Cartesian-coordinate-system.svg/600px-Cartesian-coordinate-system.svg.png 2x" data-file-width="661" data-file-height="654" /></a><figcaption>Exes coordenaes.</figcaption></figure> <p>Esiste una ciertu discutiniu (entá güei) sobre la verdadera paternidá d'esti métodu. Lo único ciertu ye que se publicar per primer vegada como "Xeometría Analítica", apéndiz al "<a href="/wiki/Discursu_del_m%C3%A9todu" title="Discursu del métodu">Discursu del Métodu</a>", de Descartes, magar se sabe que <a href="/wiki/Pierre_de_Fermat" title="Pierre de Fermat">Pierre de Fermat</a> conocía y utilizaba el métodu antes de la so publicación por Descartes. Anque <a href="/w/index.php?title=Omar_Khayyam&action=edit&redlink=1" class="new" title="Omar Khayyam (la páxina nun esiste)">Omar Khayyam</a> yá nel sieglu XI utilizara un métodu bien paecíu pa determinar ciertes interseiciones ente curves, ye imposible que dalgún de los citaos matemáticos franceses tuviera accesu a la so obra. </p><p>Lo novedoso de la <a href="/w/index.php?title=Xeometr%C3%ADa_Anal%C3%ADtica&action=edit&redlink=1" class="new" title="Xeometría Analítica (la páxina nun esiste)">Xeometría Analítica</a> (como tamién se conoz a esti métodu) ye que dexa representar figures xeométriques por aciu fórmules del tipu <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x,y)=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x,y)=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01ede27471a9cc9a0c5eb6e1ebdc7afc8a086543" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.868ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x,y)=0}"></span>, onde <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"></span> representa una <a href="/wiki/Funci%C3%B3n_(matem%C3%A1tiques)" class="mw-redirect" title="Función (matemátiques)">función</a>. En particular, les rectes pueden espresase como <a href="/wiki/Ecuaci%C3%B3n" title="Ecuación">ecuaciones polinómiques</a> de grau 1 (v.g.: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2x+6y=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>6</mn> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2x+6y=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f27787bc03d8b9b0b218d5299037499be6d5ce89" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.911ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 2x+6y=0}"></span>) y les circunferencies y el restu de cóniques como ecuaciones polinómiques de grau 2 (v.g.: la circunferencia <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{2}+y^{2}=4}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>4</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{2}+y^{2}=4}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b41e02c83bfa96c6d425137298c311a50eeac17" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.7ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle x^{2}+y^{2}=4}"></span>, la hipérbola <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle xy=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle xy=1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc7028e7e873eb4ec50f53be53ad478ded8351c1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.746ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle xy=1}"></span> ). Esto convertía tola Xeometría griega nel estudiu de les rellaciones qu'esisten ente polinomios de graos 1 y 2. Dende un puntu de vista formal (anque ellos entá saber), les xeómetres d'esta dómina atoparon una rellación fundamental ente la estructura lóxica qu'usaben les xeómetres griegos (el planu, la regla, el compás...) y la <a href="/w/index.php?title=Estructura_(teor%C3%ADa_de_les_categor%C3%ADes)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Estructura (teoría de les categoríes) (la páxina nun esiste)">estructura alxebraica</a> del <a href="/w/index.php?title=Ideal&action=edit&redlink=1" class="new" title="Ideal (la páxina nun esiste)">ideal</a> formáu polos <a href="/wiki/Polinomiu" title="Polinomiu">polinomios</a> de graos 0, 1 y 2 del <a href="/w/index.php?title=Aniellu_de_polinomios&action=edit&redlink=1" class="new" title="Aniellu de polinomios (la páxina nun esiste)">Aniellu de polinomios</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} [x,y]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} [x,y]}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de78aea249c4a765d912587db125dfdbacc3d432" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.491ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} [x,y]}"></span>, resultando que dambes estructures son equivalentes. Esti fechu fundamental (non vistu con nitidez hasta'l desenvolvimientu del <a href="/wiki/%C3%81lxebra_astracta" class="mw-redirect" title="Álxebra astracta">Álxebra Moderna</a> y de la <a href="/wiki/L%C3%B3xica_matem%C3%A1tica" title="Lóxica matemática">Lóxica Matemática</a> ente finales del sieglu XIX y principios del sieglu XX) resulta fundamental pa entender por qué la Xeometría de los griegos puede esprendese de los sos <a href="/w/index.php?title=Sistema_formal&action=edit&redlink=1" class="new" title="Sistema formal (la páxina nun esiste)">axomes</a> y estudiase direutamente usando l'<a href="/w/index.php?title=Axomes_de_Zermelo-Fraenkel&action=edit&redlink=1" class="new" title="Axomes de Zermelo-Fraenkel (la páxina nun esiste)">axomática de Zermelo-Fraenkel</a>, como'l restu de la Matemática. </p><p>El métodu orixinal de Descartes nun ye esautamente'l que s'acaba d'esplicar. Descartes utiliza solamente la exa d'ascises, calculando'l valor de la segunda componente del puntu <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x,y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x,y)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41cf50e4a314ca8e2c30964baa8d26e5be7a9386" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.328ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x,y)}"></span> por aciu la ecuación de la curva, dándo-y valores a la magnitú <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"></span>. Per otru llau, Descartes namái considera valores positivos de les cantidaes <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"></span> y <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}"></span>, yá que na dómina entá resultaben "sospechosos" los númberos negativos. De resultes, nos sos estudios esisten ciertes anomalíes y apaecen curves sesgadas. Col tiempu aceptaron les cambeos qu'amuesen el métodu tal que lu conocemos anguaño. </p><p>== La evolución de la xeometría ==. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Escosamientu_del_métodu_sintéticu"><span id="Escosamientu_del_m.C3.A9todu_sint.C3.A9ticu"></span>Escosamientu del métodu sintéticu</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&veaction=edit&section=14" title="Editar seición: Escosamientu del métodu sintéticu" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&action=edit&section=14" title="Editar el código fuente de la sección: Escosamientu del métodu sintéticu"><span>editar la fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>L'apaición de la Xeometría Analítica trai consigo una nueva forma d'entender la Xeometría. El nuevu métodu, alxebraicu, sustitúi al antiguu, el sintéticu, consiste n'establecer, unos axomes, unes definiciones y deducir d'ellos los teoremas. El métodu sintéticu ta a estes altures casi escosu (anque entá va dar delles resultaos interesantes, como la <a href="/w/index.php?title=Carauter%C3%ADstica_de_Euler&action=edit&redlink=1" class="new" title="Carauterística de Euler (la páxina nun esiste)">carauterística de Euler</a>, la naturaleza d'estos resultaos nun ye yá tanto xeométrica como topolóxica, y los resultaos realmente importantes que se faigan d'equí p'arriba nel campu de la Xeometría yá van venir de la mano de métodos alxebraicos o diferenciales), da pasu al métodu alxebraicu: estudiu de los oxetos xeométricos como representaciones nel espaciu de ciertes ecuaciones polinómiques, o dichu otra manera, del conxuntu de <a href="/w/index.php?title=Raiga%C3%B1u_(matem%C3%A1tiques)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Raigañu (matemátiques) (la páxina nun esiste)">raigaños</a> de polinomios. El métodu sintéticu namái volverá encetase cuando apaezan les xeometríes non euclídeas, y definitivamente dexa de ser un preséu d'investigación xeométrica a principios del sieglu XX, quedando apostráu a un conxuntu de preseos y ferramientes pal resolución de problemes, pero yá como una disciplina zarrada. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Les_llendes_del_métodu_alxebraicu"><span id="Les_llendes_del_m.C3.A9todu_alxebraicu"></span>Les llendes del métodu alxebraicu</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&veaction=edit&section=15" title="Editar seición: Les llendes del métodu alxebraicu" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&action=edit&section=15" title="Editar el código fuente de la sección: Les llendes del métodu alxebraicu"><span>editar la fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>El métodu alxebraicu vese fechu posible por una meyora n'Álxebra fechu mientres el sieglu XVI, el resolución de les ecuaciones de grau 3º y 4º. Esto dexa xeneralizar la Xeometría, al estudiar curves que nun son daes por polinomios de segundu grau, y que nun pueden construyise con <a href="/w/index.php?title=Regla_y_comp%C3%A1s&action=edit&redlink=1" class="new" title="Regla y compás (la páxina nun esiste)">regla y compás</a> —amás de les cóniques, escluyendo a la circunferencia, claro—. Pero esti métodu, que va terminar constituyendo una disciplina propia, la <a href="/wiki/Xeometr%C3%ADa_alxebraica" title="Xeometría alxebraica">Xeometría Alxebraica</a>, va tardar entá enforma —sieglu XX— en salir d'unes poques nociones iniciales, práuticamente inalteraes dende Descartes, Fermat y <a href="/wiki/Isaac_Newton" title="Isaac Newton">Newton</a>. La razón va ser la imposibilidá de resolver por radicales la ecuación de quintu grau, fechu non afayáu hasta'l sieglu XIX, y el desenvolvimientu de la <a href="/w/index.php?title=Aniellu_(matem%C3%A1tiques)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Aniellu (matemátiques) (la páxina nun esiste)">Teoría d'Aniellos</a> y del <a href="/wiki/%C3%81lxebra_conmutativa" title="Álxebra conmutativa">Álxebra Conmutativa</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="El_Cálculu_Infinitesimal"><span id="El_C.C3.A1lculu_Infinitesimal"></span>El Cálculu Infinitesimal</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&veaction=edit&section=16" title="Editar seición: El Cálculu Infinitesimal" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&action=edit&section=16" title="Editar el código fuente de la sección: El Cálculu Infinitesimal"><span>editar la fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>El métodu alxebraicu tien otra xeneralización natural, que ye la de considerar una curva non solo como una ecuación polinómica, sinón como una ecuación <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x,y)=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x,y)=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01ede27471a9cc9a0c5eb6e1ebdc7afc8a086543" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.868ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x,y)=0}"></span> na que'l polinomiu ye agora sustituyíu por una función cualesquier <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"></span>. La xeneralización de too esto dende'l planu (2 coordenaes) al estereoespacio (3 coordenaes) facer de forma natural añadiendo una tercer exa perpendicular (exa z) a los dos yá consideraos, y les funciones van tomar la forma <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x,y,z)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x,y,z)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5d48dce2c4341575269f1709237a2e18923237a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.729ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x,y,z)}"></span>. </p><p>Yá <a href="/wiki/Isaac_Barrow" title="Isaac Barrow">Isaac Barrow</a> afaya gracies a la Xeometría Analítica la rellación ente la tanxente a una curva y l'área que zarra ente dos puntos y les exes coordenaes na so famosa <a href="/w/index.php?title=Regla_de_Barrow&action=edit&redlink=1" class="new" title="Regla de Barrow (la páxina nun esiste)">Regla de Barrow</a>, antes inclusive de que Newton y Leibnitz dieren cada unu la so esposición del <a href="/w/index.php?title=C%C3%A1lculu_infinitesimal&action=edit&redlink=1" class="new" title="Cálculu infinitesimal (la páxina nun esiste)">Cálculu Infinitesimal</a>. La rellación ente l'<a href="/w/index.php?title=Anal%C3%ADs_Matem%C3%A1ticu&action=edit&redlink=1" class="new" title="Analís Matemáticu (la páxina nun esiste)">Analís Matemáticu</a> y la <a href="/wiki/Xeometr%C3%ADa" title="Xeometría">Xeometría</a> ye asina perangosta dende inclusive los oríxenes d'aquél. Les idees xeométriques non yá fueron la base de los preseos iniciales del Cálculu Infinitesimal, sinón que fueron en gran midida la so inspiración. Por eso resulta natural que nun primer momentu, Descartes, Newton o los <a href="/w/index.php?title=Bernoulli&action=edit&redlink=1" class="new" title="Bernoulli (la páxina nun esiste)">Bernoulli</a> nun estremaren ente los conceutos de curva y de función d'una variable (o si quierse, de curva y los ceros d'una función de dos variables). Foi <a href="/wiki/Euler" class="mw-redirect" title="Euler">Euler</a> el primeru n'empezar a albidrar la diferencia, y el primeru tamién n'ampliar esti tipu d'estudios a les superficies (como función de dos variables o como'l conxuntu de los ceros d'una función de trés variables). El trabayu de Monge sigue per esta llinia. </p><p>D'equí p'arriba, y hasta l'apaición de <a href="/wiki/Gauss" title="Gauss">Gauss</a>, la Xeometría queda supeditada a les sos aplicaciones en <a href="/wiki/Mec%C3%A1nica" title="Mecánica">Mecánica</a> y otres cañes de la <a href="/wiki/F%C3%ADsica" title="Física">Física</a> per mediu de la resolución d'<a href="/w/index.php?title=Ecuaciones_Diferenciales&action=edit&redlink=1" class="new" title="Ecuaciones Diferenciales (la páxina nun esiste)">Ecuaciones Diferenciales</a>. Estúdiase n'especial la interpretación xeométrica de les ecuaciones diferenciales (tantu de la solución en sí como problemes acomuñaos a elles, como pue ser el de les curves ortogonales). Nesta dómina apaez el que va ser el caballu de batalla de la <a href="/wiki/Xeometr%C3%ADa_diferencial" title="Xeometría diferencial">Xeometría Diferencial</a>: el <a href="/w/index.php?title=Teorema_de_la_Funci%C3%B3n_Impl%C3%ADcita&action=edit&redlink=1" class="new" title="Teorema de la Función Implícita (la páxina nun esiste)">Teorema de la Función Implícita</a>. </p><p>Foi <a href="/w/index.php?title=Huygens&action=edit&redlink=1" class="new" title="Huygens (la páxina nun esiste)">Huygens</a> el primeru n'estudiar la <a href="/w/index.php?title=Combadura&action=edit&redlink=1" class="new" title="Combadura (la páxina nun esiste)">combadura</a> d'una curva plana, anque paez que foi <a href="/w/index.php?title=Alexis_Clairault&action=edit&redlink=1" class="new" title="Alexis Clairault (la páxina nun esiste)">Clairaut</a> el qu'usa con maestría y afita el conceutu. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="La_Xeometría_na_Edá_Contemporánea"><span id="La_Xeometr.C3.ADa_na_Ed.C3.A1_Contempor.C3.A1nea"></span>La Xeometría na Edá Contemporánea</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&veaction=edit&section=17" title="Editar seición: La Xeometría na Edá Contemporánea" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&action=edit&section=17" title="Editar el código fuente de la sección: La Xeometría na Edá Contemporánea"><span>editar la fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Carl_Friedrich_Gauss">Carl Friedrich Gauss</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&veaction=edit&section=18" title="Editar seición: Carl Friedrich Gauss" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&action=edit&section=18" title="Editar el código fuente de la sección: Carl Friedrich Gauss"><span>editar la fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Ficheru:Carl_Friedrich_Gauss.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9b/Carl_Friedrich_Gauss.jpg/220px-Carl_Friedrich_Gauss.jpg" decoding="async" width="220" height="283" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9b/Carl_Friedrich_Gauss.jpg/330px-Carl_Friedrich_Gauss.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9b/Carl_Friedrich_Gauss.jpg/440px-Carl_Friedrich_Gauss.jpg 2x" data-file-width="917" data-file-height="1180" /></a><figcaption><a href="/wiki/Carl_Friedrich_Gauss" title="Carl Friedrich Gauss">Carl Friedrich Gauss</a>.</figcaption></figure> <p><a href="/wiki/Carl_Friedrich_Gauss" title="Carl Friedrich Gauss">Gauss</a> devuelve'l calter xeométricu que trescala parte del <a href="/wiki/Anal%C3%ADs_matem%C3%A1ticu" title="Analís matemáticu">analís matemáticu</a>, fundamentalmente con dos contribuciones: la nacencia del <a href="/wiki/Anal%C3%ADs_complexu" title="Analís complexu">analís complexu</a> y de la <a href="/wiki/Xeometr%C3%ADa_diferencial" title="Xeometría diferencial">xeometría diferencial</a>. </p><p>Pero nun son les úniques contribuciones d'ésti xeniu al campu de la xeometría. Na so adolescencia viose estremáu ente dedicase a la <a href="/wiki/Filolox%C3%ADa" title="Filoloxía">filoloxía</a> o a la <a href="/wiki/Matem%C3%A1tica" class="mw-redirect" title="Matemática">matemática</a>. A los 17 afayó la manera de <a href="/w/index.php?title=Pol%C3%ADgonu_construible&action=edit&redlink=1" class="new" title="Polígonu construible (la páxina nun esiste)">construyir el polígonu</a> regular de 17 llaos, y la condición necesario y abondo por que un polígonu regular pueda construyise. Esto determinó la so vocación. </p><p>Na so primer demostración del <a href="/wiki/Teorema_fundamental_de_l%27%C3%A1lxebra" title="Teorema fundamental de l'álxebra">teorema fundamental de l'álxebra</a> (de los cinco que realizó a lo llargo de la so carrera) sentó les bases del analís de <a href="/wiki/Anal%C3%ADs_complexu" title="Analís complexu">variable complexa</a>, usando la interpretación xeométrica de los númberos complexos como vectores fixos del planu (non nesti llinguaxe, que va ser introducíu muncho más tarde). A éstes atribúyese a Gauss la paternidá d'esta idea. Primero <a href="/w/index.php?title=Caspar_Wessel&action=edit&redlink=1" class="new" title="Caspar Wessel (la páxina nun esiste)">Wessel</a> y depués <a href="/w/index.php?title=Jean-Robert_Argand&action=edit&redlink=1" class="new" title="Jean-Robert Argand (la páxina nun esiste)">Argand</a> antemanáronse-y, pero naide conocía los estudios de dambos. Anque nun ye puramente obra so, pos el <a href="/wiki/Anal%C3%ADs_complexu" title="Analís complexu">analís complexu</a> ta desenvuelta fundamentalmente por <a href="/w/index.php?title=Cauchy&action=edit&redlink=1" class="new" title="Cauchy (la páxina nun esiste)">Cauchy</a>, sí ye'l primeru n'encetala seriamente, y sobremanera da-y una interpretación xeométrica que va marcar el desenvolvimientu d'esta caña. </p><p>Pero la principal contribución de Gauss a la xeometría ye la creación de la <a href="/wiki/Xeometr%C3%ADa_diferencial" title="Xeometría diferencial">xeometría diferencial</a>, retomando les idees que sobre les rellaciones ente l'analís matemáticu y la xeometría había hasta entós y desenvolviéndoles llargamente. </p><p>Partiendo de la base de que la xeometría estudia l'espaciu, les <a href="/wiki/Curva" title="Curva">curves</a> y les <a href="/wiki/Superficie_(matem%C3%A1tica)" class="mw-redirect" title="Superficie (matemática)">superficies</a>, establez la noción fundamental de <a href="/w/index.php?title=Combadura&action=edit&redlink=1" class="new" title="Combadura (la páxina nun esiste)">combadura</a> d'una superficie. Gracies a ella, y a la definición de <a href="/w/index.php?title=Xeod%C3%A9sica&action=edit&redlink=1" class="new" title="Xeodésica (la páxina nun esiste)">xeodésica</a>, demuestra que si consideramos qu'una xeodésica ye una curva con menor distancia ente dos puntos sobre una superficie (esto ye, si tenemos dos puntos sobre una superficie, el camín más curtiu ente esos dos puntos ensin salinos de la superficie ye un segmentu de xeodésica), conceutu totalmente análogu sobre la superficie al de recta nel planu, esisten superficies nes que los triángulos formaos poles xeodésiques miden más de la midida de dos ángulos rectos, y otres nes que mide menos. Esto, esencialmente, ye contradicir el <a href="/w/index.php?title=V_postul%C3%A1u_de_Euclides&action=edit&redlink=1" class="new" title="V postuláu de Euclides (la páxina nun esiste)">V postuláu de Euclides</a>. </p><p>Estes considerancies llevaron a Gauss a considerar la posibilidá de crear <a href="/w/index.php?title=Xeometr%C3%ADes_non_eucl%C3%ADdeas&action=edit&redlink=1" class="new" title="Xeometríes non euclídeas (la páxina nun esiste)">xeometríes non euclídeas</a>, pero anque a esos altores yá yera'l matemáticu más prestixosu d'Europa, consideró que la mentalidá de la dómina nun taba preparada pa un resultáu de tal magnitú, y nunca publicó eses resultaos. Namái vieron la lluz cuando <a href="/w/index.php?title=J%C3%A1nos_Bolyai&action=edit&redlink=1" class="new" title="János Bolyai (la páxina nun esiste)">Bolyai</a> publicó la so xeometría non euclídea, y comprobó que la comunidá científica xeneral aceptaba la resultancia. </p><p>Asina que, per un sitiu, Gauss foi'l primeru en crear una xeometría non euclídea, y por otru foi'l creador de la xeometría diferencial y precursor de la variable complexa. </p><p>Amás, Gauss ye'l primeru en considerar una nueva propiedá na xeometría: la orientación. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="El_final_de_los_grandes_problemes_de_l'antigüedá"><span id="El_final_de_los_grandes_problemes_de_l.27antig.C3.BCed.C3.A1"></span>El final de los grandes problemes de l'antigüedá</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&veaction=edit&section=19" title="Editar seición: El final de los grandes problemes de l'antigüedá" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&action=edit&section=19" title="Editar el código fuente de la sección: El final de los grandes problemes de l'antigüedá"><span>editar la fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="El_discutiniu_sobre'l_V_postuláu"><span id="El_discutiniu_sobre.27l_V_postul.C3.A1u"></span>El discutiniu sobre'l V postuláu</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&veaction=edit&section=20" title="Editar seición: El discutiniu sobre'l V postuláu" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&action=edit&section=20" title="Editar el código fuente de la sección: El discutiniu sobre'l V postuláu"><span>editar la fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Ficheru:JanosBolyai.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4c/JanosBolyai.jpg/220px-JanosBolyai.jpg" decoding="async" width="220" height="268" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/JanosBolyai.jpg 1.5x" data-file-width="268" data-file-height="326" /></a><figcaption><a href="/w/index.php?title=J%C3%A1nos_Bolyai&action=edit&redlink=1" class="new" title="János Bolyai (la páxina nun esiste)">János Bolyai</a>.</figcaption></figure> <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Ficheru:Nikolay_Ivanovich_Lobachevsky.jpeg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c5/Nikolay_Ivanovich_Lobachevsky.jpeg" decoding="async" width="230" height="352" class="mw-file-element" data-file-width="230" data-file-height="352" /></a><figcaption><a href="/w/index.php?title=Nikolai_Ivanovich_Lobachevsky&action=edit&redlink=1" class="new" title="Nikolai Ivanovich Lobachevsky (la páxina nun esiste)">Nikolai Ivanovich Lobatchevsky</a>.</figcaption></figure> <p>Como yá s'adelantró, Gauss ye'l primeru en construyir una xeometría (un modelu del espaciu) nel que nun se cumple'l V postuláu de Euclides, pero nun publicar el so descubrimientu. Son Bolyai y <a href="/w/index.php?title=Nikolai_Ivanovich_Lobachevsky&action=edit&redlink=1" class="new" title="Nikolai Ivanovich Lobachevsky (la páxina nun esiste)">Lobatchevsky</a> quien, de manera independiente y simultáneamente publiquen cada unu una xeometría distinta na que nun se verifica tampoco'l V postuláu. </p><p>¿Qué quier dicir esto? Tanto Bolyai como Lobatchevsky parten d'un oxetu xeométricu y establecen sobre él unos postulaos que son idénticos a los de Euclides en Los Elementos, sacante'l quintu. Pretenden orixinalmente razonar por amenorgamientu al absurdu: si'l V postuláu depende de los otros cuatro, cuando lo sustituya por aquél que diz esautamente lo contrario, he de llegar a dalguna contradicción lóxica. Lo sorprendente ye que nun se llega a contradicción nenguna, lo cual quier dicir dos cuesas: </p><p>1º El V postuláu ye independiente de los otros cuatro, esto ye, nun puede deducise de los otros cuatro, nun ye un teorema, y Euclides fixo bien en consideralo como un postuláu. </p><p>2º Esisten modelos del espaciu nos que, en contra de toa intuición, por un puntu que nun tea nuna cierta recta nun pasa una única recta paralela a la dada. Esto ye tremendamente antiintuitivo, pos nun podemos concebir tal cosa, nun podemos imaxinar (nin tanto dibuxar) una situación asina, ensin reinterpretar los conceutos de recta, planu, etc. Pero dende'l puntu de vista lóxicu ye perfectamente válidu. </p><p>Como ye d'imaxinar, esto supunxo una fuerte crisis na Matemática del sieglu XIX, que vieno sumase a otros discutinios. </p><p>Ye importante señalar que les xeometríes de Bolyai y de Lobatchevsky, nun depende de si constrúyense usando métodos analíticos o sintéticos. Esisten formes de construyiles tantu de manera sintética como analítica. El modelu ye'l mesmu llegue como se llegue, lo qu'abonda na so veracidá. </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="La_triseición_del_ángulu_y_la_duplicación_del_cubu"><span id="La_triseici.C3.B3n_del_.C3.A1ngulu_y_la_duplicaci.C3.B3n_del_cubu"></span>La triseición del ángulu y la duplicación del cubu</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&veaction=edit&section=21" title="Editar seición: La triseición del ángulu y la duplicación del cubu" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&action=edit&section=21" title="Editar el código fuente de la sección: La triseición del ángulu y la duplicación del cubu"><span>editar la fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Un fechu aparentemente alloñáu n'Álxebra va dar como resultáu la resolución d'estos dos problemes. <a href="/w/index.php?title=Galois&action=edit&redlink=1" class="new" title="Galois (la páxina nun esiste)">Galois</a> muerre a los 21 años d'edá dexando un "testamentu" llenu d'idees apresuradamente escrites. Ente elles atopen les bases de la <a href="/w/index.php?title=Teor%C3%ADa_de_grupo&action=edit&redlink=1" class="new" title="Teoría de grupo (la páxina nun esiste)">teoría de Grupos</a> y de la <a href="/wiki/Teor%C3%ADa_de_Galois" title="Teoría de Galois">teoría de Galois</a>. Galois resolvió'l problema d'atopar una fórmula pa solucionar les ecuaciones de 5º grau, pero esta resultancia nun aportar# a publicáu en (la so curtia) vida. Concluyó qu'una ecuación de grau 5 o mayor nun puede ser resoluble por radicales (esto ye, por aciu una fórmula con un númberu finito d'operaciones alxebraiques). La so manera d'encetar el problema abre una nueva vía dientro de la Matemática. </p><p>Pero la teoría de Galois (una caña de l'álxebra que trata sobre cuándo ye posible resolver una ecuación polinómica estudiando'l conxuntu de númberos nos que s'espresa esa ecuación) nun da namái esos frutos. Tamién demuestra que tou lo construible con regla y compás tien una traducción a polinomios bien concreta. Demuéstrase que trisecar un ángulu o doblar un cubu precisa de polinomios que nun tienen esa forma, y poro, ye imposible cola sola ayuda de la regla y el compás trisecar un ángulu cualesquier o doblar un cubu. </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="La_cuadradura_del_círculu_2"><span id="La_cuadradura_del_c.C3.ADrculu_2"></span>La cuadradura del círculu</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&veaction=edit&section=22" title="Editar seición: La cuadradura del círculu" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&action=edit&section=22" title="Editar el código fuente de la sección: La cuadradura del círculu"><span>editar la fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>En <a href="/wiki/1862" title="1862">1862</a>, Lindemann demuestra que'l númberu <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>π</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.332ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \pi }"></span> ye trascendente, esto ye, nun puede ser raigañu de nengún polinomiu con coeficientes enteros. Esto implica que nun ye un <a href="/w/index.php?title=N%C3%BAmberu_construible&action=edit&redlink=1" class="new" title="Númberu construible (la páxina nun esiste)">númberu que pueda construyise</a> con regla y compás, y demuestra que nun ye posible construyir con namái estos preseos un cuadráu d'área igual a la d'un círculu dau. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Xeometría_intrínseca"><span id="Xeometr.C3.ADa_intr.C3.ADnseca"></span>Xeometría intrínseca</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&veaction=edit&section=23" title="Editar seición: Xeometría intrínseca" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&action=edit&section=23" title="Editar el código fuente de la sección: Xeometría intrínseca"><span>editar la fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Resulta complicáu establecer una fecha precisa na que les xeómetres empezaron a interesase por cuestiones de xeometría intrínseca. La matemática griega plantegó los problemes xeométricos faciendo referencia a les propiedaes métriques d'un conxuntu de puntos definíos y alcontraos <i>nel planu</i> y <i>nel espaciu</i>. La perspeutiva yera, por tanto, estrínseca. </p><p>Tradicionalmente, atribúyese-y a <a href="/wiki/Leonhard_Euler" title="Leonhard Euler">Euler</a> el descubrimientu en 1752 d'una propiedá de los <a href="/wiki/Poliedru" title="Poliedru">poliedros</a> convexos.<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Llamando <i>S</i>, <i>A</i> y <i>F</i> al númberu de vértices, arestes y cares, Euler demostró la rellación d'igualdá <i>S-A+F=2</i>, conocida güei como <a href="/w/index.php?title=Carauter%C3%ADstica_de_Euler&action=edit&redlink=1" class="new" title="Carauterística de Euler (la páxina nun esiste)">carauterística de Euler</a>. La resultancia yera sorprendente porque nun faía intervenir nin el llargor nin l'área. </p><p>En <a href="/wiki/1813" title="1813">1813</a> <a href="/w/index.php?title=Simon_Antoine_Jean_L%27Huillier&action=edit&redlink=1" class="new" title="Simon Antoine Jean L'Huillier (la páxina nun esiste)">Simon Antoine Jean L'Huillier</a> diose cuenta de que la fórmula de Euler modificar pa un poliedru non convexu, cola forma, por casu, d'un sólidu con furacos (como'l <a href="/w/index.php?title=Toru_(matem%C3%A1tiques)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Toru (matemátiques) (la páxina nun esiste)">toru</a>: <i>S-A+F=2-2g</i>, siendo <i>g</i> el númberu de furacos).<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Ésti ye'l primer cálculu d'un <a href="/w/index.php?title=Invariante&action=edit&redlink=1" class="new" title="Invariante (la páxina nun esiste)">invariante</a> topolóxicu que dexó clasificar les superficies del espaciu. Sicasí, la perspeutiva siguía siendo estrínseca, pos los furacos ver dende l'esterior. ¿Cómo, por casu, una formiga qu'anduviera per una habitación ensin techu podría representase'l furacu? </p><p><a href="/wiki/Carl_Friedrich_Gauss" title="Carl Friedrich Gauss">Carl Friedrich Gauss</a>, interesáu pola xeometría de les superficies, estableció un resultáu ensin precedentes: el <a href="/w/index.php?title=Teorema_egregium&action=edit&redlink=1" class="new" title="Teorema egregium (la páxina nun esiste)">teorema egregium</a>: "la <a href="/w/index.php?title=Combadura_de_Gauss&action=edit&redlink=1" class="new" title="Combadura de Gauss (la páxina nun esiste)">combadura de Gauss</a> d'una superficie del espaciu nun depende de la manera nel qu'ésta s'enserta nel espaciu ambiente.<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>" </p><p>La <a href="/w/index.php?title=F%C3%B3rmula_de_Gauss-Bonnet&action=edit&redlink=1" class="new" title="Fórmula de Gauss-Bonnet (la páxina nun esiste)">fórmula de Gauss-Bonnet</a>, presentida por Gauss y demostrada por <a href="/w/index.php?title=Pierre-Ossian_Bonnet&action=edit&redlink=1" class="new" title="Pierre-Ossian Bonnet (la páxina nun esiste)">Pierre-Ossian Bonnet</a> en 1848, va espresar la carauterística de Euler en términos de combadura, evidenciando la imbricación ente les considerancies xeométricu y topolóxicu. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Nuevos_espacios_con_estrañes_propiedaes"><span id="Nuevos_espacios_con_estra.C3.B1es_propiedaes"></span>Nuevos espacios con estrañes propiedaes</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&veaction=edit&section=24" title="Editar seición: Nuevos espacios con estrañes propiedaes" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&action=edit&section=24" title="Editar el código fuente de la sección: Nuevos espacios con estrañes propiedaes"><span>editar la fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>La <a href="/w/index.php?title=Xeometr%C3%ADa_non_euclidiana&action=edit&redlink=1" class="new" title="Xeometría non euclidiana (la páxina nun esiste)">xeometría non euclidiana</a> naz de la imposibilidá de demostrar el <a href="/w/index.php?title=Quintu_postul%C3%A1u_de_Euclides&action=edit&redlink=1" class="new" title="Quintu postuláu de Euclides (la páxina nun esiste)">quintu postuláu de Euclides</a>. El primer intentu de demostralo por amenorgamientu al absurdu foi ensayáu por <a href="/w/index.php?title=Giovanni_Gerolamo_Saccheri&action=edit&redlink=1" class="new" title="Giovanni Gerolamo Saccheri (la páxina nun esiste)">Saccheri</a> en <a href="/wiki/1733" title="1733">1733</a>.<sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> <a href="/wiki/Carl_Friedrich_Gauss" title="Carl Friedrich Gauss">Gauss</a> foi'l primeru n'entender la posibilidá de qu'esistieren xeometríes alternatives a la euclídea.<sup id="cite_ref-5" class="reference"><a href="#cite_note-5"><span class="cite-bracket">[</span>5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Estes xeometríes seríen desenvueltes por <a href="/w/index.php?title=Nikolai_Ivanovich_Lobachevski&action=edit&redlink=1" class="new" title="Nikolai Ivanovich Lobachevski (la páxina nun esiste)">Lobatchevsky</a> y <a href="/w/index.php?title=J%C3%A1nos_Bolyai&action=edit&redlink=1" class="new" title="János Bolyai (la páxina nun esiste)">Bolyai</a>. </p><p>La <a href="/w/index.php?title=Cinta_de_M%C3%B6bius&action=edit&redlink=1" class="new" title="Cinta de Möbius (la páxina nun esiste)">cinta de Möbius</a>, introducida casi simultáneamente en <a href="/wiki/1858" title="1858">1858</a> por dos matemáticos alemanes <a href="/w/index.php?title=August_Ferdinand_M%C3%B6bius&action=edit&redlink=1" class="new" title="August Ferdinand Möbius (la páxina nun esiste)">August Ferdinand Möbius</a> y <a href="/w/index.php?title=Johann_Benedict_Listing&action=edit&redlink=1" class="new" title="Johann Benedict Listing (la páxina nun esiste)">Johann Benedict Listing</a> foi'l primer exemplu de superficie non orientable. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Riemann">Riemann</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&veaction=edit&section=25" title="Editar seición: Riemann" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&action=edit&section=25" title="Editar el código fuente de la sección: Riemann"><span>editar la fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Ficheru:Georg_Friedrich_Bernhard_Riemann.jpeg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/82/Georg_Friedrich_Bernhard_Riemann.jpeg/220px-Georg_Friedrich_Bernhard_Riemann.jpeg" decoding="async" width="220" height="240" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/82/Georg_Friedrich_Bernhard_Riemann.jpeg/330px-Georg_Friedrich_Bernhard_Riemann.jpeg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/82/Georg_Friedrich_Bernhard_Riemann.jpeg/440px-Georg_Friedrich_Bernhard_Riemann.jpeg 2x" data-file-width="903" data-file-height="986" /></a><figcaption>Bernhard Riemann.</figcaption></figure> <p>El 10 de xunu de <a href="/wiki/1854" title="1854">1854</a>, Bernhard <a href="/w/index.php?title=Riemann&action=edit&redlink=1" class="new" title="Riemann (la páxina nun esiste)">Riemann</a> da una conferencia na Universidá de <a href="/wiki/G%C3%B6ttingen" title="Göttingen">Göttingen</a> pa completar la so habilitación (grau que-y dexaría optar a una plaza de catedráticu). La tema de la conferencia foi la Xeometría, a eleición de Gauss, el so proteutor y antiguu profesor mientres la llicenciatura y el doctoráu. La conferencia, que'l so títulu foi <i>Über die Hypothesen, Welche der Geometrie zu Grunde liegen</i> (<i>Sobre les hipótesis que tán nos fundamentos de la xeometría</i>), pasa por ser una de les más celebraes de la historia de la Matemática, y unu de los mayores llogros científicos de la humanidá. D'ente los presentes dizse que namái Gauss foi capaz d'entender el so conteníu, y hai que dicir que-y entusiasmó. </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Variedaes_riemannianas_y_el_tensor_combadura">Variedaes riemannianas y el tensor combadura</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&veaction=edit&section=26" title="Editar seición: Variedaes riemannianas y el tensor combadura" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&action=edit&section=26" title="Editar el código fuente de la sección: Variedaes riemannianas y el tensor combadura"><span>editar la fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Na primer parte de la conferencia, Riemann pregúntase qué problema hai n'aumentar el númberu de <a href="/wiki/Dimensi%C3%B3n" title="Dimensión">dimensiones</a> del espaciu. Riemann, usando entá un llinguaxe intuitivu y ensin faer demostraciones, introduz primero'l conceutu de <a href="/w/index.php?title=Varied%C3%A1_diferenciable&action=edit&redlink=1" class="new" title="Variedá diferenciable (la páxina nun esiste)">variedá diferenciable</a>, xeneralización del conceutu de <a href="/wiki/Superficie_(matem%C3%A1tica)" class="mw-redirect" title="Superficie (matemática)">superficie</a> a cualquier númberu (<a href="/wiki/N%C3%BAmberos_enteros" class="mw-redirect" title="Númberos enteros">enteru positivu</a>) arbitrariu de dimensiones. Ello ye que el nome <i>variedá</i> fai referencia a les varies coordenaes que variaríen pa dir llogrando los puntos del oxetu. Les superficies seríen les variedaes de dimensión 2, ente que les curves seríen les variedaes de dimensión 1, y entá los puntos les de dimensión 0. De toes formes, esti aproximamientu al conceutu ye demasiáu imprecisa, pos el puntu clave de la definición formal d'una variedá diferenciable (definición ensin esponer correutamente hasta 1913 por <a href="/wiki/Hermann_Weyl" title="Hermann Weyl">Hermann Weyl</a>) ye qu'esto ye ciertu <b>llocalmente</b>, esto ye, cada puntu de la variedá tien dalgún <a href="/w/index.php?title=Redolada_(topolox%C3%ADa)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Redolada (topoloxía) (la páxina nun esiste)">redolada</a> <a href="/w/index.php?title=Homeomorfismo&action=edit&redlink=1" class="new" title="Homeomorfismo (la páxina nun esiste)">homeomorfo</a> a un abiertu del <a href="/wiki/Espaciu_euclideu" title="Espaciu euclideu">espaciu euclideu</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}"></span>, de manera que cuando l'inversu d'unu d'estos homeomorfismos componer con otru d'estos homeomorfismo llógrase una [[función diferenciable]] d'un <a href="/wiki/Espaciu_topol%C3%B3xicu" title="Espaciu topolóxicu">abiertu</a> de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}"></span> n'otru abiertu de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}"></span>. Pero como dicimos fixeron falta casi 60 años por que la definición terminara de cuayar. </p><p>Nun yera la primer vegada que s'especulaba cola posibilidá de la esistencia d'espacios de dimensión cimera a 3. De fechu esta tema foi tratáu na Historia en delles ocasiones, pero siempres dende un puntu de vista de la realidá sensible (pa negar la so esistencia) o metafísicu. Ye <a href="/w/index.php?title=Arthur_Cayley&action=edit&redlink=1" class="new" title="Arthur Cayley (la páxina nun esiste)">Cayley</a> quien en 1843 trata explícitamente la tema per primer vegada, y va volver a él nuevamente en repitíes ocasiones. Siguiránlu <a href="/w/index.php?title=Sylvester&action=edit&redlink=1" class="new" title="Sylvester (la páxina nun esiste)">Sylvester</a>, <a href="/w/index.php?title=William_Kingdon_Clifford&action=edit&redlink=1" class="new" title="William Kingdon Clifford (la páxina nun esiste)">Clifford</a>, <a href="/w/index.php?title=Hermann_Grassmann&action=edit&redlink=1" class="new" title="Hermann Grassmann (la páxina nun esiste)">Grassmann</a> y <a href="/w/index.php?title=Ludwig_Schl%C3%A4fli&action=edit&redlink=1" class="new" title="Ludwig Schläfli (la páxina nun esiste)">Schläfli</a> ente otros, anque hai que dicir que la visión de toos ellos ye muncho más alxebraica que xeométrica. </p><p>Ye probable que l'estudiu de les <a href="/wiki/Superficie_de_Riemann" title="Superficie de Riemann">superficies de Riemann</a>, oxetos a que'l so estudio dedicara la so tesis doctoral, induxeren a Riemann a pensar nesti conceutu de variedá de dimensión arbitraria. </p><p>Si tomamos unes exes coordenaes y dibuxamos tolos puntos <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x,f(x))}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x,f(x))}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b21dd0c5c5815bc0516f679f631fd588ceb458d6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.59ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x,f(x))}"></span>, onde <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"></span> varia nun <a href="/w/index.php?title=Intervalu_(matem%C3%A1tica)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Intervalu (matemática) (la páxina nun esiste)">intervalu</a> y <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"></span> ye una función real, derivable y definida sobre esi mesmu intervalu, vamos llograr la curva (dimensión 1) dada pola gráfica d'una función. </p><p>Si en llugar de ser una función d'una variable tenemos una función de dos variables <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x,y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x,y)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29473ed0c4e838ac9dbe074535e507166c0e9101" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.607ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x,y)}"></span>, al dibuxar tolos puntos <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x,y,f(x,y))}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x,y,f(x,y))}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e51139e10ed2cc56b90c242d444dccfc3f2f0f3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.969ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x,y,f(x,y))}"></span>, onde <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x,y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x,y)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41cf50e4a314ca8e2c30964baa8d26e5be7a9386" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.328ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x,y)}"></span> son d'una rexón del planu onde tea definida <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"></span>, llogramos una superficie (dimensión 2). Riemann estudia funciones complexes de variable complexa, esto ye, funciones que la so gráfica tendría por puntos cuesas de la forma <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x,y,o(x,y),v(x,y))}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>o</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x,y,o(x,y),v(x,y))}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e966e3037b8bef9c5b097124d81ec689b85c5ed" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.308ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x,y,o(x,y),v(x,y))}"></span>, siendo tantu <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle o(x,y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>o</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle o(x,y)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d58dfdb55499f1ea7ea3369ca4ceae65d95e7073" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.456ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle o(x,y)}"></span> como <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v(x,y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v(x,y)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca1cc47d643640c35af2867bd47f907af79574d4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.456ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle v(x,y)}"></span> funciones reales (esto ye, cada unu representa un númberu real). Les gráfiques d'esti tipu de funciones tendríen dimensión 2, esto ye, seríen superficies, pero taríen nun espaciu de 4 dimensiones. </p><p>Una <a href="/w/index.php?title=Varied%C3%A1_riemanniana&action=edit&redlink=1" class="new" title="Variedá riemanniana (la páxina nun esiste)">variedá riemanniana</a> nun ye namái un oxetu xeométricu n-dimensional. Ye una variedá diferencial a la qu'amás hai que dotar d'una <a href="/wiki/Espaciu_m%C3%A9tricu" title="Espaciu métricu">métrica</a>. Una <b>métrica</b> ye un <b>campu de tensores diferenciable de grau 2</b>. Veamos: en cada puntu d'una variedá diferencial puede calculase l'<a href="/w/index.php?title=Espacio_tangente&action=edit&redlink=1" class="new" title="Espacio tangente (la páxina nun esiste)">espacio tangente</a> a la variedá nesi puntu, al igual que nuna superficie (nidia), en cada puntu podemos calcular el <a href="/w/index.php?title=Planu_tanxente&action=edit&redlink=1" class="new" title="Planu tanxente (la páxina nun esiste)">planu tanxente</a> nesi puntu a la superficie, y nuna <a href="/w/index.php?title=Curva_nidia&action=edit&redlink=1" class="new" title="Curva nidia (la páxina nun esiste)">curva nidia</a> podemos calcular en cada puntu la <a href="/w/index.php?title=Recta_tanxente&action=edit&redlink=1" class="new" title="Recta tanxente (la páxina nun esiste)">recta tanxente</a> a la curva en dichu puntu. </p><p>Esi espaciu tanxente va tener la mesma dimensión que la variedá (nel casu de curves, l'espaciu tanxente -la recta tanxente- tien dimensión 1, nel de superficies tien dimensión 2). Una métrica (o <b>estructura riemanniana</b>) sobre una variedá ye una <a href="/wiki/Funci%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)" class="mw-redirect" title="Función (matemática)">aplicación</a> qu'a cada puntu de la variedá asígna-y un <a href="/w/index.php?title=Productu_angular&action=edit&redlink=1" class="new" title="Productu angular (la páxina nun esiste)">productu angular</a> nel espaciu tanxente a la variedá nesi puntu, y esa aplicación ye <a href="/w/index.php?title=Funci%C3%B3n_diferenciable&action=edit&redlink=1" class="new" title="Función diferenciable (la páxina nun esiste)">diferenciable</a>. Un productu angular ye, pa entendenos, una regla que nos dexa calcular llargores de segmentos y ángulos ente rectes. Al traviés d'una métrica, pueden definise sobre una variedá conceutos como <a href="/w/index.php?title=Llargor_d%27arco&action=edit&redlink=1" class="new" title="Llargor d'arco (la páxina nun esiste)">longitud d'una curva</a> o'l <a href="/w/index.php?title=%C3%81ngulu_ente_dos_curves&action=edit&redlink=1" class="new" title="Ángulu ente dos curves (la páxina nun esiste)">ángulu ente dos curves</a>, xeneralizar a variedaes el conceutu de <a href="/w/index.php?title=Xeod%C3%A9sica&action=edit&redlink=1" class="new" title="Xeodésica (la páxina nun esiste)">xeodésica</a>, yá utilizáu por Gauss pa superficies, que vien ser (güeyu, esto ye una esplicación de cómo ye una xeodésica, nun ye una definición) una curva dibuxada sobre una superficie (o nel nuesu casu sobre una variedá) de tala forma que ente dos de los sos puntos embriva la distancia midida sobre la superficie (variedá). Por casu, si tenemos un globu y marcamos dos puntos sobre él, la distancia más curtia va calculase, como sabemos, pola midida del segmentu de recta que traviesa'l globu por dambos puntos. Sicasí, si lo que pretendemos ye buscar el camín más curtiu pa llegar d'un puntu a otru ensin salinos de la superficie del globu, vamos tener que dibuxar sobre él una curva qu'una los puntos y se combe pola mesma "combadura" del globu. Esa curva sería un segmentu de xeodésica na superficie del globu. </p><p>El puntu culminante de la primer parte de la conferencia llegó cuando Riemann, utilizando les xeodésiques, define'l <a href="/w/index.php?title=Combadura_seccional&action=edit&redlink=1" class="new" title="Combadura seccional (la páxina nun esiste)">tensor combadura seccional</a>, que ye la xeneralización a variedaes del conceutu de combadura estudiáu por Gauss. Esti preséu dexa "midir la combadura" d'una variedá. </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="El_modelu_del_Universu">El modelu del Universu</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&veaction=edit&section=27" title="Editar seición: El modelu del Universu" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&action=edit&section=27" title="Editar el código fuente de la sección: El modelu del Universu"><span>editar la fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Na segunda parte de la conferencia, Riemann preguntar pol modelu que debe de siguir l'espaciu físicu, l'espaciu nel que movemos, cuál ye la so dimensión, cuál ye la so xeometría. </p><p>Les idees de Riemann, decididamente bien avanzaes pa la so dómina, cuayaron definitivamente cuando <a href="/wiki/Albert_Einstein" title="Albert Einstein">Einstein</a> y <a href="/wiki/Henri_Poincar%C3%A9" title="Henri Poincaré">Poincaré</a>, coles mesmes pero de manera independiente, aplicar al espaciu físicu pa crear la <a href="/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_Relativid%C3%A1" class="mw-redirect" title="Teoría de la Relatividá">Teoría de la Relatividá</a>. </p><p>La nueva manera de Riemann d'estudiar la Xeometría considera que cualesquier modelu d'espaciu (yá sía'l planu, l'espaciu tridimensional, o cualesquier otru) pue ser estudiáu como una variedá diferenciable, y que al introducir nella una métrica ta determinándose la xeometría que gobierna esi oxetu. Por casu, el planu nun ye, por sigo solo, euclidianu nin non euclidianu, sinón qu'introduciendo la <a href="/w/index.php?title=Distancia_euclidiana&action=edit&redlink=1" class="new" title="Distancia euclidiana (la páxina nun esiste)">métrica euclídea</a> ye cuando nel planu verifica'l V postuláu de Euclides. Si en llugar de considerar esa métrica introducir nel planu otra métrica, como la de Lobatchevsky, dexa de verificase'l mesmu postuláu. La propiedá de les xeodésiques d'embrivir el llargor ente dos de los sos puntos ensin salise de la variedá recuerda enforma a la definición de les rectes como aquelles llinies que determinen la menor distancia ente dos puntos. Considérase que les xeodésiques son a les variedaes riemannianas lo que les rectes al espaciu euclidianu, esto ye, les xeodésiques son como <i>les rectes</i> de les variedaes. </p><p>Esta nueva visión dexa estudiar toles nueves xeometríes non euclídeas, según la xeometría euclidiana so la mesma óptica de la nueva <a href="/w/index.php?title=Xeometr%C3%ADa_riemanniana&action=edit&redlink=1" class="new" title="Xeometría riemanniana (la páxina nun esiste)">Xeometría Riemanniana</a>. </p><p>Cuando les idees de Riemann consiguen estendese, la Xeometría pasa yá definitivamente a ser l'estudiu de les variedaes, dexando de ser definitivamente l'estudiu de triángulos, circunferencies, polígonos, etc. </p><p>Los puntos básicos de la conferencia de Riemann son, per un sitiu, la posibilidá d'aumentar indefinidamente'l númberu de dimensiones del espaciu (l'Álxebra y l'Analís tán yá creando la maquinaria necesaria pa poder operar en dimensión finita arbitraria, colo que definitivamente se podrá estudiar Xeometría más allá de la so visualización gráfica), esto ye, d'estudiar espacios de 3, 4, 5...dimensiones, y per otru llau dotar a les xeómetres d'un preséu, el tensor combadura, que-yos dexa estudiar les propiedaes intrínseques d'esos nuevos oxetos, esos nuevos espacios, les variedaes. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Klein">Klein</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&veaction=edit&section=28" title="Editar seición: Klein" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&action=edit&section=28" title="Editar el código fuente de la sección: Klein"><span>editar la fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Ficheru:Felix_Klein.jpeg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e2/Felix_Klein.jpeg/200px-Felix_Klein.jpeg" decoding="async" width="200" height="224" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e2/Felix_Klein.jpeg 1.5x" data-file-width="291" data-file-height="326" /></a><figcaption>Felix Klein.</figcaption></figure> <p><a href="/wiki/Felix_Klein" title="Felix Klein">Felix Klein</a> ye la otra gran pieza clave de la Xeometría nel sieglu XIX. En 1871 afayó que la xeometría euclidiana y les non euclidianes pueden considerase como casos particulares de la xeometría d'una superficie proyectiva con una seición cónica adxunta. Esto implicaba dos cuesas: la primera ye que la xeometría euclidiana y les non euclidianes podíen considerase como casos particulares de la xeometría proyectiva (o meyor dichu, de la xeometría d'una superficie nun espaciu proyectivo). La segunda, que la xeometría euclidiana ye consistente (esto ye, nun puede llevar a contradicciones) si y namái si ser les xeometríes non euclidianes. </p><p>Con esto da fin al discutiniu de si les xeometríes non euclidianes tienen sentíu o non, anque l'asuntu coleará entá unos años ante l'escepticismu de quien van considerar erróneu l'argumentu de Klein. </p><p>Pero l'aportación más importante de Klein a la Xeometría ye'l so famosu <i><a href="/w/index.php?title=Programa_de_Erlangen&action=edit&redlink=1" class="new" title="Programa de Erlangen (la páxina nun esiste)">Programa de Erlangen</a></i>, onde da una nueva definición de Xeometría. </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="El_Programa_de_Erlangen">El Programa de Erlangen</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&veaction=edit&section=29" title="Editar seición: El Programa de Erlangen" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&action=edit&section=29" title="Editar el código fuente de la sección: El Programa de Erlangen"><span>editar la fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Por cuenta de el so ingresu como profesor na Facultá de Filosofía y al Senáu de la Universidá de Erlangen, Klein escribió una memoria en 1872 (que por cierto nun llegó a lleer en públicu) que puede considerase, xunto a la Conferencia de Riemann y a los Elementos d'Euclides, como los puntos esenciales del estudiu de la Xeometría. </p><p>La idea de la memoria, conocida como'l <i><a href="/w/index.php?title=Programa_de_Erlangen&action=edit&redlink=1" class="new" title="Programa de Erlangen (la páxina nun esiste)">Programa de Erlangen</a></i>, ye bastante senciella. Trátase de dar una definición formal de lo que ye una xeometría, más allá de la idea más o menos intuitiva que tenemos d'ella. </p><p>Ante l'apaición de les nueves xeometríes non euclidianes, paez lóxicu preguntar qué ye la Xeometría, máxime cuando la mesma idea de la xeometría euclidiana habíase vistu modificada dende la irrupción de los métodos alxebraicu y analíticu. Empieza a nun tar tan claro que la Xeometría seya l'estudiu de puntos, llinies (rectes o curves) y superficies, yá que el mesmu Analís Matemáticu (sobremanera nel estudiu d'Ecuaciones Diferenciales) paez que tamién estudia tales oxetos. Per otra parte, los métodos analíticu y alxebraicu tamién son aplicables a les xeometríes non euclidianes. Hai, digamos, dos niveles de distinciones: per un sitiu, la de les xeometríes non euclidianes y la xeometría euclidiana, per otru llau, la distinción ente'l métodu sintéticu, l'alxebraicu y l'analíticu. </p> <div class="mw-heading mw-heading5"><h5 id="¿Qué_ye_entós_la_Xeometría?"><span id=".C2.BFQu.C3.A9_ye_ent.C3.B3s_la_Xeometr.C3.ADa.3F"></span>¿Qué ye entós la Xeometría?</h5><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&veaction=edit&section=30" title="Editar seición: ¿Qué ye entós la Xeometría?" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&action=edit&section=30" title="Editar el código fuente de la sección: ¿Qué ye entós la Xeometría?"><span>editar la fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/Felix_Klein" title="Felix Klein">Klein</a> da respuesta a esta entruga introduciendo na Xeometría un nuevu conceutu de calter alxebraicu: el conceutu de <a href="/w/index.php?title=Grupu_(matem%C3%A1tica)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Grupu (matemática) (la páxina nun esiste)">grupu</a>. Un grupu ye un conxuntu <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}"></span> nel qu'hai definida una <a href="/wiki/Operaci%C3%B3n_binaria" title="Operación binaria">operación</a>, esto ye, una aplicación <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G\times G\longrightarrow G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mo>×</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">⟶</mo> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G\times G\longrightarrow G}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7103195277c12226abf65147f6d0aef89d8d91d6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:13.416ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G\times G\longrightarrow G}"></span> qu'a cada par d'elementos del conxuntu asígna-y otru elementu del conxuntu (que va ser la resultancia d'operar dichos dos elementos). Ente que la mayoría de la xente ta familiarizada coles operaciones numbériques, resúlta-yos difícil imaxinar que puedan operase puntos, rectes, etc. Puede faese, y nun hai más que pensar en, por casu, la operación "tomar el puntu mediu", qu'a cada par de puntos asígna-y el puntu mediu del segmentu que xune los dos primeros puntos. </p><p>Por que un conxuntu nel qu'haya una operación seya un grupu deben de cumplise ciertes condiciones, que son: </p> <ul><li>La operación tien de ser asociativa: esto quier dicir que si tomamos cualesquier trés elementos <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b,c}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b,c}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f13f068df656c1b1911ae9f81628c49a6181194d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.302ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b,c}"></span> del conxuntu, la resultancia d'operar los dos primeros (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"></span> y <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"></span>) y operar la resultancia d'ello col terceru (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}"></span>) debe de ser lo mesmo que si primero operamos el segundu y el terceru (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"></span> y <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}"></span>) y el resultancia operar col primeru (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"></span>). Esto ye, si la operación la denotamos por <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \star }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>⋆</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \star }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd316a21eeb5079a850f223b1d096a06bfa788c0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: 0.035ex; margin-bottom: -0.206ex; width:1.162ex; height:1.509ex;" alt="{\displaystyle \star }"></span> hai d'asoceder que <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\star (b\star c)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>⋆</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo>⋆</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\star (b\star c)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01f1f242ec817ec30478a1ac25e1b70a478fc680" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.433ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a\star (b\star c)}"></span> debe de ser lo mesmo que <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a\star b)\star c}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>⋆</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋆</mo> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a\star b)\star c}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/203fa3d57057ee9aaf5091f4d78eac350ec907e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.433ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a\star b)\star c}"></span>.</li></ul> <ul><li>Tien De esistir un elementu neutru: esto quier dicir qu'hai d'haber un elementu <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}"></span> del conxuntu de manera que si tomo cualesquier otru elementu <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"></span> del conxuntu y operar con él, entós la resultancia vuelve ser l'elementu <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"></span>, esto ye, ye como si al elementu <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"></span> nun lo operara. Asina, cola nuesa notación, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y\star a=a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>⋆</mo> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y\star a=a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6925f7b9963e635a7b63810749a81b697f1067ea" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.908ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y\star a=a}"></span> y <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\star y=a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>⋆</mo> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\star y=a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01cce8760448ba92645a55e4638bb75481437675" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.908ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a\star y=a}"></span>.</li></ul> <ul><li>A lo último, cada elementu tien de tener un elementu simétricu: esto quier dicir que si yo tomo un elementu cualesquier <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"></span> del conxuntu, entós puedo atopar otru elementu <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {a}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {a}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/233a5bda7c263f804b049be11c03d12e3d65103a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\hat {a}}}"></span> del conxuntu de tal manera que al operar dambos, la resultancia que llogro ye l'elementu neutru: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\star {\hat {a}}={\hat {a}}\star a=y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>⋆</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>⋆</mo> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\star {\hat {a}}={\hat {a}}\star a=y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c99278cae32046cc5f7c616e7c3083c6cd222eb2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:16.661ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a\star {\hat {a}}={\hat {a}}\star a=y}"></span>.</li></ul> <p>El conceutu de grupu nun ye invención de Klein, pero ye él quien afaya un fechu fundamental que lu rellaciona coles distintes xeometríes: cada xeometría ye l'estudiu de ciertes propiedaes que nun camuden cuando se-y apliquen un tipu de tresformamientos. Eses propiedaes, por non camudar, denominar <a href="/w/index.php?title=Invariante&action=edit&redlink=1" class="new" title="Invariante (la páxina nun esiste)">invariantes</a>, y los tresformamientos qu'a un invariante nun-y faen camudar han de tener estructura de grupu so la operación de composición (componer dos transformación ye faer una d'elles y aplica-y l'otru tresformamientu al resultáu de la primera). Resumiendo, Klein define soterradamente una xeometría como dar el subgrupu de les biyecciones d'un conxuntu en sí mesmu qu'unu va almitir como <i>grupu principal</i>. Los <i>conceutos</i> o <i>definiciones</i> van ser los invariantes por esi grupu principal, y los <i>teoremas</i> van ser les rellaciones ente los conceutos. </p><p>Asina Klein afaya que, por casu, la xeometría euclidiana ye l'estudiu de los invariantes por aciu el grupu de los movimientos ríxidos (como les simetríes, xiros y traslaciones), que la xeometría allegada ye l'estudiu de los invariantes por aciu el grupu de les tresllaciones, que la xeometría proyectiva ye l'estudiu de los invariantes por aciu el grupu de les proyectividades, ya inclusive que la Topoloxía ye l'estudiu de los invariantes por aciu el grupu de les funciones continues y d'inversa continua, ente otres. </p><p>Ello ye que Klein afirma que la comprensión de "tener una xeometría, entós hai un <i>grupu principal</i>" ye más bien al aviesu. Unu a priori diz qué tipu de tresformamientos va almitir (esto ye, da'l grupu) y tou lo demás puede reconstruyise a partir d'él. Demuéstrase inclusive, que si unu da un subgrupu de les biyecciones d'un conxuntu en sí mesmu isomorfu a dalgún grupu clásicu (simetríes, tresllaciones, proyectividades) entós tolos teoremas d'esa xeometría son válidos n'este. </p><p>El descubrimientu de Klein ye fundamental, yá que per un sitiu déxanos clasificar les xeometríes, entendiendo cuál ye una "subgeometría" de cual, per otru llau déxanos entender qué ye l'estudiu xeneral de la Xeometría (como disciplina matemática) y a lo último, pero non menos importante, ye la confirmación de que los métodos sintético y alxebraico nun dan xeometríes distintes, sinón que realmente estudien la mesma xeometría en cada casu. Ponse fin asina a la distinción ente'l métodu sintéticu y l'alxebraicu-analíticu. Na so dómina supunxo la consagración de la <a href="/w/index.php?title=Xeometr%C3%ADa_proyectiva&action=edit&redlink=1" class="new" title="Xeometría proyectiva (la páxina nun esiste)">Xeometría proyectiva</a> como la <i>Reina de les Xeometríes</i>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Ver_tamién"><span id="Ver_tami.C3.A9n"></span>Ver tamién</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&veaction=edit&section=31" title="Editar seición: Ver tamién" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&action=edit&section=31" title="Editar el código fuente de la sección: Ver tamién"><span>editar la fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_gnom%C3%B3nica&action=edit&redlink=1" class="new" title="Historia de la gnomónica (la páxina nun esiste)">Historia de la gnomónica</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Referencies">Referencies</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&veaction=edit&section=32" title="Editar seición: Referencies" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&action=edit&section=32" title="Editar el código fuente de la sección: Referencies"><span>editar la fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r3503771">@media only screen and (max-width:600px){.mw-parser-output .llistaref{column-count:1!important}}</style><div class="llistaref" style="list-style-type: decimal;"><ol class="references"> <li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text">Otros atribúin la paternidá del descubrimientu a <a href="/wiki/Ren%C3%A9_Descartes" title="René Descartes">Descartes</a>. Cfr. M. De Jonquières, <i>Note sur un Mémoire de Descartes longtemps inédit, et sur les titres de son auteur à la priorité d'une découverte dans la théorie des polyèdre</i>, Académie des sciences (France). Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. 1835. 1890 (T. 110). p261-266</span> </li> <li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="/w/index.php?title=Simon_Antoine_Jean_L%27Huillier&action=edit&redlink=1" class="new" title="Simon Antoine Jean L'Huillier (la páxina nun esiste)">S.A.J. L' Huillier</a>, <i>Mémoire sur la polyédrométrie, contenant une démonstration direute du théorème d'Euler sur les polyèdres et un exame des diverses exceptions auxquelles ce théorème est assujetti</i>, annales de mathématiques pures et appliquées, 1812-13</span> </li> <li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="/wiki/Carl_Friedrich_Gauss" title="Carl Friedrich Gauss">C.F. Gauss</a>, Disquisitiones xenerales circa superficies curves, 1827</span> </li> <li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-4">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="/w/index.php?title=Giovanni_Gerolamo_Saccheri&action=edit&redlink=1" class="new" title="Giovanni Gerolamo Saccheri (la páxina nun esiste)">Saccheri</a>, <i>Euclides ab omni naevo vindicatus</i>, 1733</span> </li> <li id="cite_note-5"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-5">↑</a></span> <span class="reference-text">Vease <span class="citation cita-genérica">O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., «<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Gauss.html">Historia de la xeometría</a>»<span style="color:var(--color-subtle, #54595d);"> (n'inglés)</span>, <i><a href="/w/index.php?title=MacTutor_History_of_Mathematics_archive&action=edit&redlink=1" class="new" title="MacTutor History of Mathematics archive (la páxina nun esiste)">MacTutor History of Mathematics archive</a></i>, <a href="/w/index.php?title=Universid%C3%A1_de_Saint_Andrews&action=edit&redlink=1" class="new" title="Universidá de Saint Andrews (la páxina nun esiste)">Universidá de Saint Andrews</a><span class="printonly">, <a rel="nofollow" class="external free" href="http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Gauss.html">http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Gauss.html</a></span></span><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.btitle=Historia+de+la+xeometr%C3%ADa&rft.atitle=%5B%5BMacTutor+History+of+Mathematics+archive%5D%5D&rft.aulast=O%27Connor&rft.aufirst=John+J.&rft.au=O%27Connor%2C%26%2332%3BJohn+J.&rft.au=Robertson%2C%26%2332%3BEdmund+F.&rft.pub=%5B%5BUniversid%C3%A1+de+Saint+Andrews%5D%5D&rft_id=http%3A%2F%2Fwww-history.mcs.st-andrews.ac.uk%2FBiographies%2FGauss.html&rfr_id=info:sid/ast.wikipedia.org:Historia_de_la_xeometr%C3%ADa"><span style="display: none;"> </span></span>.</span> </li> </ol></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bibliografía"><span id="Bibliograf.C3.ADa"></span>Bibliografía</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&veaction=edit&section=33" title="Editar seición: Bibliografía" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&action=edit&section=33" title="Editar el código fuente de la sección: Bibliografía"><span>editar la fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><cite style="font-style:normal" id="Baldor">Baldor, Dr. J. A. (2001). <i>Geometría Plana y De l'Espaciu y Trigonometría</i>, Décima Séptima Reimpresión, Méxicu 2001, Miami Florida: Públicaciones Cultural. <a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/968-439-214-1" title="Especial:FuentesDeLibros/968-439-214-1">ISBN 968-439-214-1</a>.</cite></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Enllaces_esternos">Enllaces esternos</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&veaction=edit&section=34" title="Editar seición: Enllaces esternos" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&action=edit&section=34" title="Editar el código fuente de la sección: Enllaces esternos"><span>editar la fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/3/Usrn/fundoro/web_fcohc/005_publicaciones/seminario/geometria.htm"><i>Historia de la Xeometría Griega</i></a></li></ul> <p><br /> </p><p><br /> </p><p><br /> </p><p><br /> </p> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r2260362">.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox hr:last-child{display:none}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox+.mw-mf-linked-projects{display:none}.mw-parser-output .mw-authority-control .mw-mf-linked-projects{display:flex;padding:0.5em;border:1px solid #c8ccd1;background-color:#eaecf0;color:#222222}.mw-parser-output .mw-authority-control .mw-mf-linked-projects ul li{margin-bottom:0}</style><div class="mw-authority-control navigation-not-searchable"><div class="navbox-styles"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r4075543">.mw-parser-output .hlist dl,.mw-parser-output .hlist ol,.mw-parser-output .hlist ul{margin:0;padding:0}.mw-parser-output .hlist dd,.mw-parser-output .hlist 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src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/20px-Wikidata-logo.svg.png" decoding="async" width="20" height="11" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/30px-Wikidata-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/40px-Wikidata-logo.svg.png 2x" data-file-width="1050" data-file-height="590" /></a></span> Datos:</span> <span class="uid"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q2393733" class="extiw" title="wikidata:Q2393733">Q2393733</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikimedia_Commons" title="Commonscat"><img alt="Commonscat" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/15px-Commons-logo.svg.png" decoding="async" width="15" height="20" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/23px-Commons-logo.svg.png 1.5x, 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/></a></span> Datos:</span> <span class="uid"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q2393733" class="extiw" title="wikidata:Q2393733">Q2393733</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikimedia_Commons" title="Commonscat"><img alt="Commonscat" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/15px-Commons-logo.svg.png" decoding="async" width="15" height="20" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/23px-Commons-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/30px-Commons-logo.svg.png 2x" data-file-width="1024" data-file-height="1376" /></a></span> Multimedia:</span> <span class="uid"><span class="plainlinks"><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:History_of_geometry">History of geometry</a></span></span></li></ul> </div></div>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1&useformat=desktop" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Sacáu de «<a dir="ltr" href="https://ast.wikipedia.org/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometría&oldid=4177672">https://ast.wikipedia.org/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometría&oldid=4177672</a>»</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Especial:Categor%C3%ADas" title="Especial:Categorías">Categoríes</a>: <ul><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:Wikipedia:Art%C3%ADculos_con_plant%C3%ADes_de_notes_d%27encabezamientu_enllaciando_a_p%C3%A1xines_que_nun_esisten" title="Categoría:Wikipedia:Artículos con plantíes de notes d'encabezamientu enllaciando a páxines que nun esisten">Wikipedia:Artículos con plantíes de notes d'encabezamientu enllaciando a páxines que nun 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por disciplines</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Categoríes anubríes: <ul><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:Wikipedia:P%C3%A1xines_con_enllaces_fra%C3%B1%C3%ADos_a_ficheros" title="Categoría:Wikipedia:Páxines con enllaces frañíos a ficheros">Wikipedia:Páxines con enllaces frañíos a ficheros</a></li><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:Wikipedia:Tradubot" title="Categoría:Wikipedia:Tradubot">Wikipedia:Tradubot</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> La última edición d'esta páxina foi'l 8 abr 2024 a les 06:42.</li> <li id="footer-info-copyright">El testu ta disponible baxo la <a rel="nofollow" class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.es">Llicencia Creative Commons Reconocimientu/CompartirIgual 4.0</a>; puen aplicase términos adicionales. Llei <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Terms_of_Use">les condiciones d'usu</a> pa más detalles.</li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy/es">Política d'intimidá</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/Wikipedia:Tocante_a">Tocante a Wikipedia</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/Wikipedia:Avisu_xeneral">Avisu llegal</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">Códigu de conducta</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Desendolcadores</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/ast.wikipedia.org">Estadístiques</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement/es">Declaración de cookies</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//ast.m.wikipedia.org/w/index.php?title=Historia_de_la_xeometr%C3%ADa&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Vista pa móvil</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> </div> </div> </div> <div class="vector-settings" id="p-dock-bottom"> <ul></ul> </div><script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-5c59558b9d-ls4tw","wgBackendResponseTime":159,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.313","walltime":"0.692","ppvisitednodes":{"value":1400,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":10827,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":1724,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":14,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":4,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":0,"limit":20},"unstrip-size":{"value":11859,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":2,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 223.751 1 -total"," 50.79% 113.654 1 Plantía:Control_d'autoridaes"," 19.30% 43.192 2 Plantía:AP"," 16.68% 37.316 1 Plantía:Llistaref"," 12.57% 28.126 1 Plantía:MacTutor"," 11.34% 25.376 1 Plantía:Obra_citada/núcleo"," 4.51% 10.087 1 Plantía:Tradubot"," 3.86% 8.627 1 Plantía:EN"," 3.16% 7.067 1 Plantía:Cita_llibru"," 2.32% 5.187 1 Plantía:Plain_text"]},"scribunto":{"limitreport-timeusage":{"value":"0.110","limit":"10.000"},"limitreport-memusage":{"value":1373456,"limit":52428800}},"cachereport":{"origin":"mw-web.eqiad.main-5dc468848-klg92","timestamp":"20241124020545","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"Historia de la xeometr\u00eda","url":"https:\/\/ast.wikipedia.org\/wiki\/Historia_de_la_xeometr%C3%ADa","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q2393733","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q2393733","author":{"@type":"Organization","name":"Collaboradores de los proyeutos de Wikimedia"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Wikimedia Foundation, Inc.","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2018-08-25T12:14:14Z","dateModified":"2024-04-08T06:42:50Z","image":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/5\/52\/Unibibliotek_Salzburg_Artes_liberales_Geometria.jpg"}</script> </body> </html>