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</a> </li> <li id="toc-Introdução_e_definição" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Introdução_e_definição"> <div class="vector-toc-text"> 1 Introdução e definição </div> </a> <button aria-controls="toc-Introdução_e_definição-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> Alternar a subsecção Introdução e definição </button> <ul id="toc-Introdução_e_definição-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Primeiro_exemplo:_setas_em_um_plano" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Primeiro_exemplo:_setas_em_um_plano"> <div class="vector-toc-text"> 1.1 Primeiro exemplo: setas em um plano </div> </a> <ul id="toc-Primeiro_exemplo:_setas_em_um_plano-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Segundo_exemplo:_pares_ordenados_de_números" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Segundo_exemplo:_pares_ordenados_de_números"> <div class="vector-toc-text"> 1.2 Segundo exemplo: pares ordenados de números </div> </a> <ul id="toc-Segundo_exemplo:_pares_ordenados_de_números-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Definição" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Definição"> <div class="vector-toc-text"> 1.3 Definição </div> </a> <ul id="toc-Definição-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Formulações_alternativas_e_consequências_elementares" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Formulações_alternativas_e_consequências_elementares"> <div class="vector-toc-text"> 1.4 Formulações alternativas e consequências elementares </div> </a> <ul id="toc-Formulações_alternativas_e_consequências_elementares-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-História" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#História"> <div class="vector-toc-text"> 2 História </div> </a> <ul id="toc-História-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Exemplos" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Exemplos"> <div class="vector-toc-text"> 3 Exemplos </div> </a> <button aria-controls="toc-Exemplos-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> Alternar a subsecção Exemplos </button> <ul id="toc-Exemplos-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Espaço_do_vetor_nulo" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Espaço_do_vetor_nulo"> <div class="vector-toc-text"> 3.1 Espaço do vetor nulo </div> </a> <ul id="toc-Espaço_do_vetor_nulo-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Espaços_de_coordenada" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Espaços_de_coordenada"> <div class="vector-toc-text"> 3.2 Espaços de coordenada </div> </a> <ul id="toc-Espaços_de_coordenada-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Números_complexos_e_outras_extensões_de_corpos" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Números_complexos_e_outras_extensões_de_corpos"> <div class="vector-toc-text"> 3.3 Números complexos e outras extensões de corpos </div> </a> <ul id="toc-Números_complexos_e_outras_extensões_de_corpos-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Espaços_funcionais" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Espaços_funcionais"> <div class="vector-toc-text"> 3.4 Espaços funcionais </div> </a> <ul id="toc-Espaços_funcionais-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Equações_lineares" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Equações_lineares"> <div class="vector-toc-text"> 3.5 Equações lineares </div> </a> <ul id="toc-Equações_lineares-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Base_e_dimensão" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Base_e_dimensão"> <div class="vector-toc-text"> 4 Base e dimensão </div> </a> <ul id="toc-Base_e_dimensão-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Aplicações_lineares_e_matrizes" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Aplicações_lineares_e_matrizes"> <div class="vector-toc-text"> 5 Aplicações lineares e matrizes </div> </a> <button aria-controls="toc-Aplicações_lineares_e_matrizes-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> Alternar a subsecção Aplicações lineares e matrizes </button> <ul id="toc-Aplicações_lineares_e_matrizes-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Matrizes" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Matrizes"> <div class="vector-toc-text"> 5.1 Matrizes </div> </a> <ul id="toc-Matrizes-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Autovetores_e_autovalores" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Autovetores_e_autovalores"> <div class="vector-toc-text"> 5.2 Autovetores e autovalores </div> </a> <ul id="toc-Autovetores_e_autovalores-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Construções_básicas" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Construções_básicas"> <div class="vector-toc-text"> 6 Construções básicas </div> </a> <button aria-controls="toc-Construções_básicas-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> Alternar a subsecção Construções básicas </button> <ul id="toc-Construções_básicas-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Subespaços_e_espaços_quociente" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Subespaços_e_espaços_quociente"> <div class="vector-toc-text"> 6.1 Subespaços e espaços quociente </div> </a> <ul id="toc-Subespaços_e_espaços_quociente-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Produto_direto_e_soma_direta" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Produto_direto_e_soma_direta"> <div class="vector-toc-text"> 6.2 Produto direto e soma direta </div> </a> <ul id="toc-Produto_direto_e_soma_direta-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Produto_tensorial" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Produto_tensorial"> <div class="vector-toc-text"> 6.3 Produto tensorial </div> </a> <ul id="toc-Produto_tensorial-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Espaços_vetoriais_com_estrutura_adicional" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Espaços_vetoriais_com_estrutura_adicional"> <div class="vector-toc-text"> 7 Espaços vetoriais com estrutura adicional </div> </a> <button aria-controls="toc-Espaços_vetoriais_com_estrutura_adicional-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> Alternar a subsecção Espaços vetoriais com estrutura adicional </button> <ul id="toc-Espaços_vetoriais_com_estrutura_adicional-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Espaços_vetoriais_normados_e_com_produto_interno" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Espaços_vetoriais_normados_e_com_produto_interno"> <div class="vector-toc-text"> 7.1 Espaços vetoriais normados e com produto interno </div> </a> <ul id="toc-Espaços_vetoriais_normados_e_com_produto_interno-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Espaços_vetoriais_topológicos" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Espaços_vetoriais_topológicos"> <div class="vector-toc-text"> 7.2 Espaços vetoriais topológicos </div> </a> <ul id="toc-Espaços_vetoriais_topológicos-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Espaços_de_Banach" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Espaços_de_Banach"> <div class="vector-toc-text"> 7.2.1 Espaços de Banach </div> </a> <ul id="toc-Espaços_de_Banach-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Espaços_de_Hilbert" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Espaços_de_Hilbert"> <div class="vector-toc-text"> 7.2.2 Espaços de Hilbert </div> </a> <ul id="toc-Espaços_de_Hilbert-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Propriedades" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Propriedades"> <div class="vector-toc-text"> 8 Propriedades </div> </a> <ul id="toc-Propriedades-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Terminologia" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Terminologia"> <div class="vector-toc-text"> 9 Terminologia </div> </a> <ul id="toc-Terminologia-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Tipos_de_espaços_vectoriais" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Tipos_de_espaços_vectoriais"> <div class="vector-toc-text"> 10 Tipos de espaços vectoriais </div> </a> <ul id="toc-Tipos_de_espaços_vectoriais-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Ver_também" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Ver_também"> <div class="vector-toc-text"> 11 Ver também </div> </a> <ul id="toc-Ver_também-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Notas" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Notas"> <div class="vector-toc-text"> 12 Notas </div> </a> <ul id="toc-Notas-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Referências" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Referências"> <div class="vector-toc-text"> 13 Referências </div> </a> <ul id="toc-Referências-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Bibliografia" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Bibliografia"> <div class="vector-toc-text"> 14 Bibliografia </div> </a> <button aria-controls="toc-Bibliografia-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> Alternar a subsecção Bibliografia </button> <ul id="toc-Bibliografia-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Álgebra" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Álgebra"> <div class="vector-toc-text"> 14.1 Álgebra </div> </a> <ul id="toc-Álgebra-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Análise" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Análise"> <div class="vector-toc-text"> 14.2 Análise </div> </a> <ul id="toc-Análise-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Referências_históricas" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Referências_históricas"> <div class="vector-toc-text"> 14.3 Referências históricas </div> </a> <ul id="toc-Referências_históricas-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Referências_extras" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Referências_extras"> <div class="vector-toc-text"> 14.4 Referências extras </div> </a> <ul id="toc-Referências_extras-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Ligações_externas" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Ligações_externas"> <div class="vector-toc-text"> 15 Ligações externas </div> </a> <ul id="toc-Ligações_externas-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Conteúdo" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Alternar o índice" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" > Alternar o índice </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Espaço vetorial</h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Ir para um artigo noutra língua. Disponível em 77 línguas" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-77" aria-hidden="true" > 77 línguas </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-af mw-list-item"><a href="https://af.wikipedia.org/wiki/Vektorruimte" title="Vektorruimte — africanês" lang="af" hreflang="af" data-title="Vektorruimte" data-language-autonym="Afrikaans" data-language-local-name="africanês" class="interlanguage-link-target">Afrikaans</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D9%81%D8%B6%D8%A7%D8%A1_%D9%85%D8%AA%D8%AC%D9%87%D9%8A" title="فضاء متجهي — árabe" lang="ar" hreflang="ar" data-title="فضاء متجهي" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="árabe" class="interlanguage-link-target">العربية</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/Espaciu_vectorial" title="Espaciu vectorial — asturiano" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Espaciu vectorial" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="asturiano" class="interlanguage-link-target">Asturianu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ba mw-list-item"><a href="https://ba.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BB%D1%8B_%D0%B0%D1%80%D0%B0%D1%83%D1%8B%D2%A1" title="Векторлы арауыҡ — bashkir" lang="ba" hreflang="ba" data-title="Векторлы арауыҡ" data-language-autonym="Башҡортса" data-language-local-name="bashkir" class="interlanguage-link-target">Башҡортса</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BF%D1%80%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B0" title="Вектарная прастора — bielorrusso" lang="be" hreflang="be" data-title="Вектарная прастора" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="bielorrusso" class="interlanguage-link-target">Беларуская</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE" title="Линейно пространство — búlgaro" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Линейно пространство" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="búlgaro" class="interlanguage-link-target">Български</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bh mw-list-item"><a href="https://bh.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%B5%E0%A5%87%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%9F%E0%A4%B0_%E0%A4%B8%E0%A5%8D%E0%A4%AA%E0%A5%87%E0%A4%B8" title="वेक्टर स्पेस — Bhojpuri" lang="bh" hreflang="bh" data-title="वेक्टर स्पेस" data-language-autonym="भोजपुरी" data-language-local-name="Bhojpuri" class="interlanguage-link-target">भोजपुरी</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%B8%E0%A6%A6%E0%A6%BF%E0%A6%95_%E0%A6%B0%E0%A6%BE%E0%A6%B6%E0%A6%BF%E0%A6%B0_%E0%A6%AC%E0%A7%80%E0%A6%9C%E0%A6%97%E0%A6%A3%E0%A6%BF%E0%A6%A4" title="সদিক রাশির বীজগণিত — bengalês" lang="bn" hreflang="bn" data-title="সদিক রাশির বীজগণিত" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="bengalês" class="interlanguage-link-target">বাংলা</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Vektorski_prostor" title="Vektorski prostor — bósnio" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Vektorski prostor" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="bósnio" class="interlanguage-link-target">Bosanski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca badge-Q17437796 badge-featuredarticle mw-list-item" title="artigo destacado"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Espai_vectorial" title="Espai vectorial — catalão" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Espai vectorial" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="catalão" class="interlanguage-link-target">Català</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%D8%A8%DB%86%D8%B4%D8%A7%DB%8C%DB%8C%DB%8C_%D8%A6%D8%A7%DA%95%D8%A7%D8%B3%D8%AA%DB%95%D8%A8%DA%95%DB%95%DA%A9%D8%A7%D9%86" title="بۆشاییی ئاڕاستەبڕەکان — curdo central" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="بۆشاییی ئاڕاستەبڕەکان" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="curdo central" class="interlanguage-link-target">کوردی</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Vektorov%C3%BD_prostor" title="Vektorový prostor — checo" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Vektorový prostor" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="checo" class="interlanguage-link-target">Čeština</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BB%D0%B0_%D1%83%C3%A7%D0%BB%C4%83%D1%85" title="Векторла уçлăх — chuvash" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Векторла уçлăх" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="chuvash" class="interlanguage-link-target">Чӑвашла</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cy mw-list-item"><a href="https://cy.wikipedia.org/wiki/Gofod_fector" title="Gofod fector — galês" lang="cy" hreflang="cy" data-title="Gofod fector" data-language-autonym="Cymraeg" data-language-local-name="galês" class="interlanguage-link-target">Cymraeg</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Vektorrum" title="Vektorrum — dinamarquês" lang="da" hreflang="da" data-title="Vektorrum" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="dinamarquês" class="interlanguage-link-target">Dansk</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum" title="Vektorraum — alemão" lang="de" hreflang="de" data-title="Vektorraum" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="alemão" class="interlanguage-link-target">Deutsch</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BD%CF%85%CF%83%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B9%CE%BA%CF%8C%CF%82_%CF%87%CF%8E%CF%81%CE%BF%CF%82" title="Διανυσματικός χώρος — grego" lang="el" hreflang="el" data-title="Διανυσματικός χώρος" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="grego" class="interlanguage-link-target">Ελληνικά</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en badge-Q17437798 badge-goodarticle mw-list-item" title="artigo bom"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Vector_space" title="Vector space — inglês" lang="en" hreflang="en" data-title="Vector space" data-language-autonym="English" data-language-local-name="inglês" class="interlanguage-link-target">English</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Vektora_spaco" title="Vektora spaco — esperanto" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Vektora spaco" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="esperanto" class="interlanguage-link-target">Esperanto</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial" title="Espacio vectorial — espanhol" lang="es" hreflang="es" data-title="Espacio vectorial" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="espanhol" class="interlanguage-link-target">Español</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Vektorruum" title="Vektorruum — estónio" lang="et" hreflang="et" data-title="Vektorruum" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="estónio" class="interlanguage-link-target">Eesti</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Bektore_espazio" title="Bektore espazio — basco" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Bektore espazio" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="basco" class="interlanguage-link-target">Euskara</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%81%D8%B6%D8%A7%DB%8C_%D8%A8%D8%B1%D8%AF%D8%A7%D8%B1%DB%8C" title="فضای برداری — persa" lang="fa" hreflang="fa" data-title="فضای برداری" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="persa" class="interlanguage-link-target">فارسی</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Vektoriavaruus" title="Vektoriavaruus — finlandês" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Vektoriavaruus" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="finlandês" class="interlanguage-link-target">Suomi</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_vectoriel" title="Espace vectoriel — francês" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Espace vectoriel" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="francês" class="interlanguage-link-target">Français</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ga mw-list-item"><a href="https://ga.wikipedia.org/wiki/Sp%C3%A1s_veicteoireach" title="Spás veicteoireach — irlandês" lang="ga" hreflang="ga" data-title="Spás veicteoireach" data-language-autonym="Gaeilge" data-language-local-name="irlandês" class="interlanguage-link-target">Gaeilge</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Espazo_vectorial" title="Espazo vectorial — galego" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Espazo vectorial" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="galego" class="interlanguage-link-target">Galego</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%A8%D7%97%D7%91_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99" title="מרחב וקטורי — hebraico" lang="he" hreflang="he" data-title="מרחב וקטורי" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="hebraico" class="interlanguage-link-target">עברית</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%B8%E0%A4%A6%E0%A4%BF%E0%A4%B6_%E0%A4%AC%E0%A5%80%E0%A4%9C%E0%A4%97%E0%A4%A3%E0%A4%BF%E0%A4%A4" title="सदिश बीजगणित — hindi" lang="hi" hreflang="hi" data-title="सदिश बीजगणित" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="hindi" class="interlanguage-link-target">हिन्दी</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Vektorski_prostor" title="Vektorski prostor — croata" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Vektorski prostor" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="croata" class="interlanguage-link-target">Hrvatski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Vektort%C3%A9r" title="Vektortér — húngaro" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Vektortér" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="húngaro" class="interlanguage-link-target">Magyar</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D5%8E%D5%A5%D5%AF%D5%BF%D5%B8%D6%80%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%BF%D5%A1%D6%80%D5%A1%D5%AE%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Վեկտորական տարածություն — arménio" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Վեկտորական տարածություն" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="arménio" class="interlanguage-link-target">Հայերեն</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ia mw-list-item"><a href="https://ia.wikipedia.org/wiki/Spatio_vectorial" title="Spatio vectorial — interlíngua" lang="ia" hreflang="ia" data-title="Spatio vectorial" data-language-autonym="Interlingua" data-language-local-name="interlíngua" class="interlanguage-link-target">Interlingua</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Ruang_vektor" title="Ruang vektor — indonésio" lang="id" hreflang="id" data-title="Ruang vektor" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="indonésio" class="interlanguage-link-target">Bahasa Indonesia</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/Vigurr%C3%BAm" title="Vigurrúm — islandês" lang="is" hreflang="is" data-title="Vigurrúm" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="islandês" class="interlanguage-link-target">Íslenska</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_vettoriale" title="Spazio vettoriale — italiano" lang="it" hreflang="it" data-title="Spazio vettoriale" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="italiano" class="interlanguage-link-target">Italiano</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93" title="ベクトル空間 — japonês" lang="ja" hreflang="ja" data-title="ベクトル空間" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japonês" class="interlanguage-link-target">日本語</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%B2%A1%ED%84%B0_%EA%B3%B5%EA%B0%84" title="벡터 공간 — coreano" lang="ko" hreflang="ko" data-title="벡터 공간" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="coreano" class="interlanguage-link-target">한국어</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ky mw-list-item"><a href="https://ky.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B4%D1%83%D0%BA_%D0%BC%D0%B5%D0%B9%D0%BA%D0%B8%D0%BD%D0%B4%D0%B8%D0%BA" title="Вектордук мейкиндик — quirguiz" lang="ky" hreflang="ky" data-title="Вектордук мейкиндик" data-language-autonym="Кыргызча" data-language-local-name="quirguiz" class="interlanguage-link-target">Кыргызча</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Spatium_vectoriale" title="Spatium vectoriale — latim" lang="la" hreflang="la" data-title="Spatium vectoriale" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="latim" class="interlanguage-link-target">Latina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lmo mw-list-item"><a href="https://lmo.wikipedia.org/wiki/Spazzi_vettorial" title="Spazzi vettorial — lombardo" lang="lmo" hreflang="lmo" data-title="Spazzi vettorial" data-language-autonym="Lombard" data-language-local-name="lombardo" class="interlanguage-link-target">Lombard</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lo mw-list-item"><a href="https://lo.wikipedia.org/wiki/%E0%BB%80%E0%BA%A7%E0%BA%B1%E0%BA%81%E0%BB%80%E0%BA%95%E0%BA%B5" title="ເວັກເຕີ — laosiano" lang="lo" hreflang="lo" data-title="ເວັກເຕີ" data-language-autonym="ລາວ" data-language-local-name="laosiano" class="interlanguage-link-target">ລາວ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Vektorin%C4%97_erdv%C4%97" title="Vektorinė erdvė — lituano" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Vektorinė erdvė" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="lituano" class="interlanguage-link-target">Lietuvių</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Vektoru_telpa" title="Vektoru telpa — letão" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Vektoru telpa" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="letão" class="interlanguage-link-target">Latviešu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%81%D0%BA%D0%B8_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80" title="Векторски простор — macedónio" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Векторски простор" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="macedónio" class="interlanguage-link-target">Македонски</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%B8%E0%B4%A6%E0%B4%BF%E0%B4%B6%E0%B4%B8%E0%B4%AE%E0%B4%B7%E0%B5%8D%E0%B4%9F%E0%B4%BF" title="സദിശസമഷ്ടി — malaiala" lang="ml" hreflang="ml" data-title="സദിശസമഷ്ടി" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="malaiala" class="interlanguage-link-target">മലയാളം</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Ruang_vektor" title="Ruang vektor — malaio" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Ruang vektor" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="malaio" class="interlanguage-link-target">Bahasa Melayu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Vectorruimte" title="Vectorruimte — neerlandês" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Vectorruimte" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="neerlandês" class="interlanguage-link-target">Nederlands</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Vektorrom" title="Vektorrom — norueguês nynorsk" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Vektorrom" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="norueguês nynorsk" class="interlanguage-link-target">Norsk nynorsk</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Vektorrom" title="Vektorrom — norueguês bokmål" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Vektorrom" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="norueguês bokmål" class="interlanguage-link-target">Norsk bokmål</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-oc mw-list-item"><a href="https://oc.wikipedia.org/wiki/Espaci_vectoriau" title="Espaci vectoriau — occitano" lang="oc" hreflang="oc" data-title="Espaci vectoriau" data-language-autonym="Occitan" data-language-local-name="occitano" class="interlanguage-link-target">Occitan</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pa mw-list-item"><a href="https://pa.wikipedia.org/wiki/%E0%A8%B5%E0%A9%88%E0%A8%95%E0%A8%9F%E0%A8%B0_%E0%A8%B8%E0%A8%AA%E0%A9%87%E0%A8%B8" title="ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ — panjabi" lang="pa" hreflang="pa" data-title="ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ" data-language-autonym="ਪੰਜਾਬੀ" data-language-local-name="panjabi" class="interlanguage-link-target">ਪੰਜਾਬੀ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Przestrze%C5%84_liniowa" title="Przestrzeń liniowa — polaco" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Przestrzeń liniowa" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="polaco" class="interlanguage-link-target">Polski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pms mw-list-item"><a href="https://pms.wikipedia.org/wiki/Spassi_vetorial" title="Spassi vetorial — Piedmontese" lang="pms" hreflang="pms" data-title="Spassi vetorial" data-language-autonym="Piemontèis" data-language-local-name="Piedmontese" class="interlanguage-link-target">Piemontèis</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pnb mw-list-item"><a href="https://pnb.wikipedia.org/wiki/%D9%88%DB%8C%DA%A9%D9%B9%D8%B1_%D8%B3%D9%BE%DB%8C%D8%B3" title="ویکٹر سپیس — Western Punjabi" lang="pnb" hreflang="pnb" data-title="ویکٹر سپیس" data-language-autonym="پنجابی" data-language-local-name="Western Punjabi" class="interlanguage-link-target">پنجابی</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro badge-Q17437798 badge-goodarticle mw-list-item" title="artigo bom"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Spa%C8%9Biu_vectorial" title="Spațiu vectorial — romeno" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Spațiu vectorial" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="romeno" class="interlanguage-link-target">Română</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE" title="Векторное пространство — russo" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Векторное пространство" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="russo" class="interlanguage-link-target">Русский</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-scn mw-list-item"><a href="https://scn.wikipedia.org/wiki/Spazziu_vitturiali" title="Spazziu vitturiali — siciliano" lang="scn" hreflang="scn" data-title="Spazziu vitturiali" data-language-autonym="Sicilianu" data-language-local-name="siciliano" class="interlanguage-link-target">Sicilianu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Vektorski_prostor" title="Vektorski prostor — servo-croata" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Vektorski prostor" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="servo-croata" class="interlanguage-link-target">Srpskohrvatski / српскохрватски</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Vector_space" title="Vector space — Simple English" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Vector space" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target">Simple English</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Vektorov%C3%BD_priestor" title="Vektorový priestor — eslovaco" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Vektorový priestor" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="eslovaco" class="interlanguage-link-target">Slovenčina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Vektorski_prostor" title="Vektorski prostor — esloveno" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Vektorski prostor" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="esloveno" class="interlanguage-link-target">Slovenščina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Hap%C3%ABsira_vektoriale" title="Hapësira vektoriale — albanês" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Hapësira vektoriale" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="albanês" class="interlanguage-link-target">Shqip</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%81%D0%BA%D0%B8_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80" title="Векторски простор — sérvio" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Векторски простор" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="sérvio" class="interlanguage-link-target">Српски / srpski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Linj%C3%A4rt_rum" title="Linjärt rum — sueco" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Linjärt rum" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="sueco" class="interlanguage-link-target">Svenska</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%A4%E0%AE%BF%E0%AE%9A%E0%AF%88%E0%AE%AF%E0%AE%A9%E0%AF%8D_%E0%AE%B5%E0%AF%86%E0%AE%B3%E0%AE%BF" title="திசையன் வெளி — tâmil" lang="ta" hreflang="ta" data-title="திசையன் வெளி" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="tâmil" class="interlanguage-link-target">தமிழ்</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tl mw-list-item"><a href="https://tl.wikipedia.org/wiki/Espasyong_bektor" title="Espasyong bektor — tagalo" lang="tl" hreflang="tl" data-title="Espasyong bektor" data-language-autonym="Tagalog" data-language-local-name="tagalo" class="interlanguage-link-target">Tagalog</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Vekt%C3%B6r_uzay%C4%B1" title="Vektör uzayı — turco" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Vektör uzayı" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="turco" class="interlanguage-link-target">Türkçe</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80" title="Векторний простір — ucraniano" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Векторний простір" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ucraniano" class="interlanguage-link-target">Українська</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ur mw-list-item"><a href="https://ur.wikipedia.org/wiki/%D8%B3%D9%85%D8%AA%DB%8C%DB%81_%D9%85%DA%A9%D8%A7%DA%BA" title="سمتیہ مکاں — urdu" lang="ur" hreflang="ur" data-title="سمتیہ مکاں" data-language-autonym="اردو" data-language-local-name="urdu" class="interlanguage-link-target">اردو</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vec mw-list-item"><a href="https://vec.wikipedia.org/wiki/Spasio_vetorial" title="Spasio vetorial — Venetian" lang="vec" hreflang="vec" data-title="Spasio vetorial" data-language-autonym="Vèneto" data-language-local-name="Venetian" class="interlanguage-link-target">Vèneto</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/Kh%C3%B4ng_gian_vect%C6%A1" title="Không gian vectơ — vietnamita" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Không gian vectơ" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="vietnamita" class="interlanguage-link-target">Tiếng Việt</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E5%90%91%E9%87%8F%E7%A9%BA%E9%97%B4" title="向量空间 — wu" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="向量空间" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="wu" class="interlanguage-link-target">吴语</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%90%91%E9%87%8F%E7%A9%BA%E9%97%B4" title="向量空间 — chinês" lang="zh" hreflang="zh" data-title="向量空间" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="chinês" class="interlanguage-link-target">中文</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-classical mw-list-item"><a href="https://zh-classical.wikipedia.org/wiki/%E7%9F%A2%E9%87%8F%E7%A9%BA%E9%96%93" title="矢量空間 — Literary Chinese" lang="lzh" hreflang="lzh" data-title="矢量空間" data-language-autonym="文言" data-language-local-name="Literary Chinese" class="interlanguage-link-target">文言</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-min-nan mw-list-item"><a href="https://zh-min-nan.wikipedia.org/wiki/Hi%C3%B2ng-li%C5%8Dng_khong-kan" title="Hiòng-liōng khong-kan — min nan" lang="nan" hreflang="nan" data-title="Hiòng-liōng khong-kan" data-language-autonym="閩南語 / Bân-lâm-gú" data-language-local-name="min nan" class="interlanguage-link-target">閩南語 / Bân-lâm-gú</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E5%90%91%E9%87%8F%E7%A9%BA%E9%96%93" title="向量空間 — cantonês" lang="yue" hreflang="yue" data-title="向量空間" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="cantonês" class="interlanguage-link-target">粵語</a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q125977#sitelinks-wikipedia" title="Editar hiperligações interlínguas" class="wbc-editpage">Editar 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decoding="async" width="50" height="39" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/99/Question_book-new.svg/75px-Question_book-new.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/99/Question_book-new.svg/100px-Question_book-new.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="399" /></a></div></td><td class="mbox-text"><div class="mbox-text-span">Esta página <a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Livro_de_estilo/Cite_as_fontes" title="Wikipédia:Livro de estilo/Cite as fontes">cita fontes</a>, mas que <a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:V" class="mw-redirect" title="Wikipédia:V">não cobrem</a> todo o conteúdo. Ajude a <a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Livro_de_estilo/Refer%C3%AAncias_e_notas_de_rodap%C3%A9" title="Wikipédia:Livro de estilo/Referências e notas de rodapé">inserir referências</a> (Encontre fontes: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://wikipedialibrary.wmflabs.org/">ABW</a>  • <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.periodicos.capes.gov.br">CAPES</a>  • <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.google.com/search?as_eq=wikipedia&as_epq=Espa%C3%A7o+vetorial">Google</a> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.google.com/search?hl=pt&tbm=nws&q=Espa%C3%A7o+vetorial&oq=Espa%C3%A7o+vetorial">N</a> • <a rel="nofollow" class="external text" href="http://books.google.com/books?&as_brr=0&as_epq=Espa%C3%A7o+vetorial">L</a> • <a rel="nofollow" class="external text" href="https://scholar.google.com/scholar?hl=pt&q=Espa%C3%A7o+vetorial">A</a>)). (Novembro de 2013)</div></td></tr></tbody></table> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r68971778"><table class="box-Tradução_de plainlinks metadata ambox ambox-content ambox-content" role="presentation"><tbody><tr><td class="mbox-image"><div style="width:52px"><a href="/wiki/Ficheiro:Translation_arrow.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2a/Translation_arrow.svg/40px-Translation_arrow.svg.png" decoding="async" width="40" height="13" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2a/Translation_arrow.svg/60px-Translation_arrow.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2a/Translation_arrow.svg/80px-Translation_arrow.svg.png 2x" data-file-width="60" data-file-height="20" /></a></div></td><td class="mbox-text"><div class="mbox-text-span">Este artigo ou secção resulta, no todo ou em parte, de uma tradução do artigo «<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Vector_space" class="extiw" title="en:Vector space">Vector space</a>» na Wikipédia em inglês, na versão original. Você pode incluir conceitos culturais lusófonos de fontes em <a href="/wiki/L%C3%ADngua_portuguesa" title="Língua portuguesa">português</a> com <a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Verificabilidade" title="Wikipédia:Verificabilidade">referências</a> e <a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Livro_de_estilo/Cite_as_fontes" title="Wikipédia:Livro de estilo/Cite as fontes">inseri-las corretamente</a> no texto ou no <a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Livro_de_estilo/Refer%C3%AAncias_e_notas_de_rodap%C3%A9" title="Wikipédia:Livro de estilo/Referências e notas de rodapé">rodapé</a>. Também pode <a class="external text" href="https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial&action=edit">continuar traduzindo</a> ou colaborar em outras <a href="/wiki/Ajuda:Guia_de_edi%C3%A7%C3%A3o/Guia_de_tradu%C3%A7%C3%A3o" title="Ajuda:Guia de edição/Guia de tradução">traduções</a>. —Encontre fontes: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://wikipedialibrary.wmflabs.org/">ABW</a>  • <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.periodicos.capes.gov.br">CAPES</a>  • <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.google.com/search?as_eq=wikipedia&as_epq=Espa%C3%A7o+vetorial">Google</a> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.google.com/search?hl=pt&tbm=nws&q=Espa%C3%A7o+vetorial&oq=Espa%C3%A7o+vetorial">N</a> • <a rel="nofollow" class="external text" href="http://books.google.com/books?&as_brr=0&as_epq=Espa%C3%A7o+vetorial">L</a> • <a rel="nofollow" class="external text" href="https://scholar.google.com/scholar?hl=pt&q=Espa%C3%A7o+vetorial">A</a>)</div></td></tr></tbody></table> <div class="hatnote"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Disambig_grey.svg/20px-Disambig_grey.svg.png" decoding="async" width="20" height="15" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Disambig_grey.svg/30px-Disambig_grey.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Disambig_grey.svg/40px-Disambig_grey.svg.png 2x" data-file-width="260" data-file-height="200" /> Nota: Não confundir com <a href="/wiki/Campo_vetorial" title="Campo vetorial">Campo vetorial</a>.</div> <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Ficheiro:Vector_add_scale.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a6/Vector_add_scale.svg/300px-Vector_add_scale.svg.png" decoding="async" width="300" height="166" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a6/Vector_add_scale.svg/450px-Vector_add_scale.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a6/Vector_add_scale.svg/600px-Vector_add_scale.svg.png 2x" data-file-width="530" data-file-height="294" /></a><figcaption>Adição vetorial e multiplicação por escalar: um vetor v (azul) é adicionado a outro vetor w (vermelho, ilustração superior). Na imagem inferior, w está esticado por um fator de 2, acarretando a soma v + 2w.</figcaption></figure> Um espaço vetorial (também chamado de espaço linear) é uma coleção de objetos chamada vetores, que podem ser somados um a outro e <a href="/wiki/Multiplica%C3%A7%C3%A3o_escalar" title="Multiplicação escalar">multiplicados</a> ("escalonados") por números, denominados <a href="/wiki/Grandeza_escalar" title="Grandeza escalar">escalares</a>. Os <a href="/wiki/N%C3%BAmero_real" title="Número real">números reais</a> são escalares frequentemente utilizados, mas também existem espaços vetoriais com multiplicação por <a href="/wiki/N%C3%BAmero_complexo" title="Número complexo">números complexos</a>, <a href="/wiki/N%C3%BAmero_racional" title="Número racional">números racionais</a>; em geral, por qualquer <a href="/wiki/Corpo_(matem%C3%A1tica)" title="Corpo (matemática)">corpo</a>.<a href="#cite_note-Noble-85–86-1">[1]</a> As operações de adição de vetores e multiplicação por escalar precisam satisfazer certas propriedades, denominadas <a href="/wiki/Axiomas" class="mw-redirect" title="Axiomas">axiomas</a> (listados abaixo, em <a href="#Definição">§ Definição</a>). Para explicitar se os escalares são números reais ou complexo, os termos espaço vetorial real e espaço vetorial complexo são frequentemente utilizados. <a href="/wiki/Vetor_(matem%C3%A1tica)" title="Vetor (matemática)">Vetores euclidianos</a> são um exemplo de espaço vetorial. Eles representam <a href="/wiki/Grandeza_f%C3%ADsica" title="Grandeza física">quantidades físicas</a> como <a href="/wiki/For%C3%A7a" title="Força">forças</a>: quaisquer duas forças (do mesmo tipo) podem ser somadas para resultar em uma terceira, enquanto que a multiplicação de um vetor de força por um número real gera outro vetor de força. De forma semelhante, porém com um sentido mais <a href="/wiki/Geometria" title="Geometria">geométrico</a>, vetores que representam deslocamentos em um plano ou em um <a href="/wiki/Espa%C3%A7o_tridimensional" title="Espaço tridimensional">espaço tridimensional</a> também formam espaços vetoriais. Vetores em espaços vetoriais não necessitam ser objetos do tipo <a href="/wiki/Flecha" title="Flecha">seta</a>, como aparecem nos exemplos mencionados acima; vetores são tratados como entidades matemáticas abstratas com propriedades particulares, que, em alguns casos, podem ser visualizados por setas. Espaços vetoriais são o objeto de estudo da <a href="/wiki/%C3%81lgebra_linear" title="Álgebra linear">álgebra linear</a> e são bem caracterizados pela sua <a href="/wiki/Dimens%C3%A3o_(espa%C3%A7o_vetorial)" title="Dimensão (espaço vetorial)">dimensão</a>, que, grosso modo, especifica o número de direções independentes no espaço. Espaços vetoriais de dimensão infinita surgem naturalmente em <a href="/wiki/An%C3%A1lise_matem%C3%A1tica" title="Análise matemática">análise matemática</a>, como em <a href="/wiki/Espa%C3%A7o_funcional" title="Espaço funcional">espaços funcionais</a>, cujos vetores são <a href="/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_(matem%C3%A1tica)" title="Função (matemática)">funções</a>. Esses espaços vetoriais são munidos em geral de uma estrutura adicional, que pode ser uma <a href="/wiki/Topologia_(matem%C3%A1tica)" title="Topologia (matemática)">topologia</a>, permitindo a consideração de conceitos como proximidade e <a href="/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_cont%C3%ADnua" title="Função contínua">continuidade</a>. Dentre essas topologias, aquelas que são definidas por uma <a href="/wiki/Norma_(matem%C3%A1tica)" title="Norma (matemática)">norma</a> ou um <a href="/wiki/Produto_interno" title="Produto interno">produto interno</a> são mais frequentemente utilizadas, por possuírem uma noção de <a href="/wiki/M%C3%A9trica_(matem%C3%A1tica)" title="Métrica (matemática)">distância</a> entre dois vetores. Esse é o caso particularmente com os <a href="/wiki/Espa%C3%A7o_de_Banach" title="Espaço de Banach">espaços de Banach</a> e os <a href="/wiki/Espa%C3%A7o_de_Hilbert" title="Espaço de Hilbert">espaços de Hilbert</a>, que são fundamentais em análise matemática. Historicamente, as primeiras ideias que levaram ao conceito de espaços vetoriais podem ser associadas aos avanços, durante o <a href="/wiki/S%C3%A9culo_XVII" title="Século XVII">século XVII</a>, nas áreas de <a href="/wiki/Geometria_anal%C3%ADtica" title="Geometria analítica">geometria analítica</a>, <a href="/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)" title="Matriz (matemática)">matrizes</a>, <a href="/wiki/Sistema_de_equa%C3%A7%C3%B5es_lineares" title="Sistema de equações lineares">sistemas de equações lineares</a>, e vetores euclidianos. O tratamento moderno e mais abstrato, formulado pela primeira vez por <a href="/wiki/Giuseppe_Peano" title="Giuseppe Peano">Giuseppe Peano</a> em 1888, contém objetos mais gerais que o <a href="/wiki/Espa%C3%A7o_euclidiano" title="Espaço euclidiano">espaço euclidiano</a>, mas muito da teoria pode ser visto como uma extensão de ideias da geometria clássica como <a href="/wiki/Reta" title="Reta">retas</a>, <a href="/wiki/Plano_(geometria)" title="Plano (geometria)">planos</a>, e seus análogos de dimensão mais alta. Atualmente, os espaços vetoriais permeiam a <a href="/wiki/Matem%C3%A1tica" title="Matemática">matemática</a>, a <a href="/wiki/Ci%C3%AAncia" title="Ciência">ciência</a> e a <a href="/wiki/Engenharia" title="Engenharia">engenharia</a>. Eles são a noção apropriada da álgebra linear para lidar com <a href="/wiki/Sistema_de_equa%C3%A7%C3%B5es_lineares" title="Sistema de equações lineares">sistemas de equações lineares</a>. Eles oferecem um escopo para as <a href="/wiki/S%C3%A9rie_de_Fourier" title="Série de Fourier">séries de Fourier</a>, que são utilizadas em métodos de <a href="/wiki/Compress%C3%A3o_de_imagens" title="Compressão de imagens">compressão de imagens</a>, e eles fornecem um ambiente que pode ser utilizado para técnicas de solução de <a href="/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_diferencial_parcial" title="Equação diferencial parcial">equações diferenciais parciais</a>. Ademais, espaços vetoriais fornecem uma maneira abstrata, <a href="/wiki/Livre_de_coordenadas" title="Livre de coordenadas">livre de coordenadas</a>, de lidar com objetos geométricos e físicos como <a href="/wiki/Tensor" title="Tensor">tensores</a>. Isso por sua vez permite a análise de propriedades locais <a href="/wiki/Variedade_(matem%C3%A1tica)" title="Variedade (matemática)">variedades</a> por técnicas de linearização. Espaços vetoriais podem ser generalizados de diversas maneiras, acarretando noções mais avançadas em geometria e em <a href="/wiki/%C3%81lgebra_abstrata" title="Álgebra abstrata">álgebra abstrata</a>. Não é necessário que os vetores tenham interpretação geométrica, mas podem ser quaisquer objetos que satisfaçam os axiomas abaixo. <a href="/wiki/Polin%C3%B4mio" class="mw-redirect" title="Polinômio">Polinômios</a> de grau menor ou igual a <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\in \mathbb {N} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\in \mathbb {N} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d059936e77a2d707e9ee0a1d9575a1d693ce5d0b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.913ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n\in \mathbb {N} }">) formam um espaço vetorial,<a href="#cite_note-callioli-46-2">[2]</a> por exemplo, assim como grupos de <a href="/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)" title="Matriz (matemática)">matrizes</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m\times n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> <mo>×</mo> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m\times n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12b23d207d23dd430b93320539abbb0bde84870d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.276ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m\times n}"><a href="#cite_note-callioli-45-3">[3]</a> e o espaço de todas as <a href="/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_(matem%C3%A1tica)" title="Função (matemática)">funções</a> de um conjunto no conjunto R dos números reais. <table class="vertical-navbox nowraplinks plainlist" style="float:right;clear:right;width:22.0em;margin:0.5em 0 0.5em 1em;background:var(--background-color-neutral-subtle, #f8f9fa);color:inherit;border:1px solid #aaa;padding:0.2em;border-spacing:0.4em 0;text-align:center;line-height:1.4em;font-size:88%"><tbody><tr><th style="padding:0.2em 0.4em 0.2em;font-size:145%;line-height:1.2em;display:block;margin-bottom:0.35em;"><a href="/wiki/Estrutura_alg%C3%A9brica" title="Estrutura algébrica">Estruturas algébricas</a></th></tr><tr><td style="padding:0 0.1em 0.4em"> <div class="NavFrame collapsed" style="border:none;padding:0"><div class="NavHead" style="font-size:105%;background:transparent;text-align:left;color:inherit;text-align:center;">Tipo <a href="/wiki/Grupo_(matem%C3%A1tica)" title="Grupo (matemática)">grupo</a></div><div class="NavContent" style="font-size:105%;padding:0.2em 0 0.4em;text-align:center;border-top:1px solid #aaa;border-bottom:1px solid #aaa;"> <ul><li><a href="/wiki/Grupo_(matem%C3%A1tica)" title="Grupo (matemática)">Grupo</a></li> <li><a href="/wiki/Semigrupo" title="Semigrupo">Semigrupo</a> / <a href="/wiki/Monoide" title="Monoide">Monoide</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Racks_and_quandles&action=edit&redlink=1" class="new" title="Racks and quandles (página não existe)">Rack and quandle</a></li> <li><a href="/wiki/Quasegrupo" title="Quasegrupo">Quasegrupo</a></li></ul> <div class="hlist" style="margin-left: 0em;"> <ul><li><a href="/wiki/Grupo_abeliano" title="Grupo abeliano">Grupo abeliano</a></li> <li><a href="/wiki/Grupoide_(estrutura_alg%C3%A9brica)" class="mw-redirect" title="Grupoide (estrutura algébrica)">Grupoide</a></li> <li><a href="/wiki/Grupo_de_Lie" title="Grupo de Lie">Grupo de Lie</a></li></ul> </div> <a href="/wiki/Teoria_de_grupos" class="mw-redirect" title="Teoria de grupos">Teoria de grupos</a></div></div></td> </tr><tr><td style="padding:0 0.1em 0.4em"> <div class="NavFrame collapsed" style="border:none;padding:0"><div class="NavHead" style="font-size:105%;background:transparent;text-align:left;color:inherit;text-align:center;">Tipo <a href="/wiki/Anel_(matem%C3%A1tica)" title="Anel (matemática)">anel</a></div><div class="NavContent" style="font-size:105%;padding:0.2em 0 0.4em;text-align:center;border-top:1px solid #aaa;border-bottom:1px solid #aaa;"><div class="hlist" style="margin-left: 0em;"> <ul><li><a href="/wiki/Anel_(matem%C3%A1tica)" title="Anel (matemática)">Anel</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Semianel&action=edit&redlink=1" class="new" title="Semianel (página não existe)">Semianel</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Quase-anel&action=edit&redlink=1" class="new" title="Quase-anel (página não existe)">Quase-anel</a></li> <li><a href="/wiki/Anel_comutativo" title="Anel comutativo">Anel comutativo</a></li> <li><a href="/wiki/Dom%C3%ADnio_de_integridade" title="Domínio de integridade">Domínio de integridade</a></li> <li><a href="/wiki/Corpo_(matem%C3%A1tica)" title="Corpo (matemática)">Corpo</a></li> <li><a href="/wiki/Corpo_n%C3%A3o_comutativo" title="Corpo não comutativo">Corpo não comutativo</a></li></ul> </div> <a href="/wiki/Teoria_dos_an%C3%A9is" title="Teoria dos anéis">Teoria dos anéis</a></div></div></td> </tr><tr><td style="padding:0 0.1em 0.4em"> <div class="NavFrame collapsed" style="border:none;padding:0"><div class="NavHead" style="font-size:105%;background:transparent;text-align:left;color:inherit;text-align:center;">Tipo <a href="/wiki/Reticulado" title="Reticulado">reticulado</a></div><div class="NavContent" style="font-size:105%;padding:0.2em 0 0.4em;text-align:center;border-top:1px solid #aaa;border-bottom:1px solid #aaa;"><div class="hlist" style="margin-left: 0em;"> <ul><li><a href="/wiki/Reticulado" title="Reticulado">Reticulado</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Semireticulado&action=edit&redlink=1" class="new" title="Semireticulado (página não existe)">Semireticulado</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Reticulado_complementado&action=edit&redlink=1" class="new" title="Reticulado complementado (página não existe)">Reticulado complementado</a></li> <li><a href="/wiki/Ordem_total" class="mw-redirect" title="Ordem total">Ordem total</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%C3%81lgebra_de_Heyting&action=edit&redlink=1" class="new" title="Álgebra de Heyting (página não existe)">Álgebra de Heyting</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%81lgebra_booliana_(estrutura)" title="Álgebra booliana (estrutura)">Álgebra booliana</a></li></ul> </div> <ul><li><a href="/w/index.php?title=Mapa_de_reticulados&action=edit&redlink=1" class="new" title="Mapa de reticulados (página não existe)">Mapa de reticulados</a></li> <li><a href="/wiki/Reticulado" title="Reticulado">Teoria de reticulados</a></li></ul></div></div></td> </tr><tr><td style="padding:0 0.1em 0.4em"> <div class="NavFrame collapsed" style="border:none;padding:0"><div class="NavHead" style="font-size:105%;background:transparent;text-align:left;color:inherit;text-align:center;">Tipo <a href="/wiki/M%C3%B3dulo_(%C3%A1lgebra)" title="Módulo (álgebra)">módulo</a></div><div class="NavContent" style="font-size:105%;padding:0.2em 0 0.4em;text-align:center;border-top:1px solid #aaa;border-bottom:1px solid #aaa;"><div class="hlist" style="margin-left: 0em;"> <ul><li><a href="/wiki/M%C3%B3dulo_(%C3%A1lgebra)" title="Módulo (álgebra)">Módulo</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Grupo_com_operadores&action=edit&redlink=1" class="new" title="Grupo com operadores (página não existe)">Grupo com operadores</a></li> <li><a class="mw-selflink selflink">Espaço vetorial</a></li></ul> </div> <ul><li><a href="/wiki/%C3%81lgebra_linear" title="Álgebra linear">Álgebra linear</a></li></ul></div></div></td> </tr><tr><td style="padding:0 0.1em 0.4em"> <div class="NavFrame collapsed" style="border:none;padding:0"><div class="NavHead" style="font-size:105%;background:transparent;text-align:left;color:inherit;text-align:center;">Tipo <a href="/wiki/%C3%81lgebra_sobre_um_corpo" title="Álgebra sobre um corpo">álgebra</a></div><div class="NavContent" style="font-size:105%;padding:0.2em 0 0.4em;text-align:center;border-top:1px solid #aaa;border-bottom:1px solid #aaa;"> <ul><li><a href="/wiki/%C3%81lgebra_sobre_um_corpo" title="Álgebra sobre um corpo">Álgebra</a></li></ul> <div class="hlist" style="margin-left: 0em;"> <ul><li><a href="/wiki/%C3%81lgebra_associativa" title="Álgebra associativa">Associativa</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%C3%81lgebra_n%C3%A3o-associativa&action=edit&redlink=1" class="new" title="Álgebra não-associativa (página não existe)">Não-associativa</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%C3%81lgebra_de_composi%C3%A7%C3%A3o&action=edit&redlink=1" class="new" title="Álgebra de composição (página não existe)">Álgebra de composição</a></li></ul> <ul><li><a href="/wiki/%C3%81lgebra_de_Lie" title="Álgebra de Lie">Álgebra de Lie</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%81lgebra_graduada" title="Álgebra graduada">Graduada</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Bi%C3%A1lgebra&action=edit&redlink=1" class="new" title="Biálgebra (página não existe)">Biálgebra</a></li></ul> </div></div></div></td> </tr><tr><td style="text-align:right;font-size:115%;padding-top: 0.6em;"><div class="plainlinks hlist navbar mini"><ul><li class="nv-ver"><a href="/wiki/Predefini%C3%A7%C3%A3o:Estruturas_alg%C3%A9bricas" title="Predefinição:Estruturas algébricas"><abbr title="Ver esta predefinição">v</abbr></a></li><li class="nv-discutir"><a href="/w/index.php?title=Predefini%C3%A7%C3%A3o_Discuss%C3%A3o:Estruturas_alg%C3%A9bricas&action=edit&redlink=1" class="new" title="Predefinição Discussão:Estruturas algébricas (página não existe)"><abbr title="Discutir esta predefinição">d</abbr></a></li><li class="nv-editar"><a class="external text" href="https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Predefini%C3%A7%C3%A3o:Estruturas_alg%C3%A9bricas&action=edit"><abbr title="Editar esta predefinição">e</abbr></a></li></ul></div></td></tr></tbody></table> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Introdução_e_definição">Introdução e definição</h2>[<a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial&veaction=edit&section=1" title="Editar secção: Introdução e definição" class="mw-editsection-visualeditor">editar</a> | <a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial&action=edit&section=1" title="Editar código-fonte da secção: Introdução e definição">editar código-fonte</a>]</div> O conceito de espaço vetorial será primeiramente explicado pela descrição de dois exemplos específicos: <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Primeiro_exemplo:_setas_em_um_plano">Primeiro exemplo: setas em um plano</h3>[<a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial&veaction=edit&section=2" title="Editar secção: Primeiro exemplo: setas em um plano" class="mw-editsection-visualeditor">editar</a> | <a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial&action=edit&section=2" title="Editar código-fonte da secção: Primeiro exemplo: setas em um plano">editar código-fonte</a>]</div> O primeiro exemplo de um espaço vetorial consiste de <a href="/wiki/Seta_(s%C3%ADmbolo)" title="Seta (símbolo)">setas</a> em um <a href="/wiki/Plano_(geometria)" title="Plano (geometria)">plano</a> fixo, começando por um ponto fixo. Isso é usado em física para descrever <a href="/wiki/For%C3%A7a" title="Força">forças</a> ou <a href="/wiki/Velocidade" title="Velocidade">velocidades</a>. Dadas duas setas deste tipo, v e w, o <a href="/wiki/Paralelogramo" title="Paralelogramo">paralelogramo</a> formado por elas contém uma seta diagonal que também começa na origem. Essa nova seta é chamada de soma das setas anteriores e é denotada por v + w. No caso especial de duas setas na mesma linha, a soma delas é a seta na mesma linha cujo comprimento é a soma ou a diferença dos comprimentos, dependendo se as setas possuem mesmo sentido ou sentidos opostos. Uma outra operação que pode ser feita com setas é o seu escalonamento: dado qualquer <a href="/wiki/N%C3%BAmero_real" title="Número real">número real</a> positivo a, a seta que tem a mesma direção que v, mas está dilatada ou contraída ao multiplicar seu comprimento por a, é chamada multiplicação de v por a. É denotada por av. Quando a for negativo, av é definido como a seta apontando no sentido oposto. A seguir estão alguns exemplos: se a = 2, o vetor resultante aw tem a mesma direção que w, mas está esticado, tendo um comprimento que é o dobro de w (imagem abaixo, à direita). De forma equivalente, 2w é a soma de w + w. Além disso, (−1)v = −v tem o sentido oposto e o mesmo comprimento que v (vetor azul apontando para baixo, na imagem à direita). <table class="wikitable" style="text-align:center; margin:1em auto 1em auto;"> <tbody><tr> <td style="width: 50%;"><a href="/wiki/Ficheiro:Vector_addition3.svg" class="mw-file-description" title="Adição de vetores: a soma v + w (em preto) dos vetores v (azul) e w (vermelho) é mostrada."><img alt="Adição de vetores: a soma v + w (em preto) dos vetores v (azul) e w (vermelho) é mostrada." src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e6/Vector_addition3.svg/180px-Vector_addition3.svg.png" decoding="async" width="180" height="74" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e6/Vector_addition3.svg/270px-Vector_addition3.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e6/Vector_addition3.svg/360px-Vector_addition3.svg.png 2x" data-file-width="190" data-file-height="78" /></a> </td> <td style="width: 50%;"><a href="/wiki/Ficheiro:Scalar_multiplication.svg" class="mw-file-description" title="Multiplicação por escalares: os múltiplos −v e 2w são mostrados."><img alt="Multiplicação por escalares: os múltiplos −v e 2w são mostrados." src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/50/Scalar_multiplication.svg/230px-Scalar_multiplication.svg.png" decoding="async" width="230" height="78" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/50/Scalar_multiplication.svg/345px-Scalar_multiplication.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/50/Scalar_multiplication.svg/460px-Scalar_multiplication.svg.png 2x" data-file-width="312" data-file-height="106" /></a> </td></tr></tbody></table> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Segundo_exemplo:_pares_ordenados_de_números">Segundo exemplo: pares ordenados de números</h3>[<a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial&veaction=edit&section=3" title="Editar secção: Segundo exemplo: pares ordenados de números" class="mw-editsection-visualeditor">editar</a> | <a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial&action=edit&section=3" title="Editar código-fonte da secção: Segundo exemplo: pares ordenados de números">editar código-fonte</a>]</div> Um segundo exemplo chave de um espaço vetorial é fornecido por pares de números reais x e y. (A ordem das componentes x e y é importante, de modo que um par também seja chamado de <a href="/wiki/Par_ordenado" title="Par ordenado">par ordenado</a>.) Tal par é escrito como (x, y). A soma de dois desses pares e a multiplicação de um par por um número são definidas da seguinte maneira: <dl><dd>(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)</dd></dl> e <dl><dd>a (x, y) = (ax, ay).</dd></dl> O primeiro exemplo acima reduz-se a esse se as setas forem representadas por um par de <a href="/wiki/Coordenadas_cartesianas" class="mw-redirect" title="Coordenadas cartesianas">coordenadas cartesianas</a> do seus pontos finais. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Definição">Definição</h3>[<a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial&veaction=edit&section=4" title="Editar secção: Definição" class="mw-editsection-visualeditor">editar</a> | <a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial&action=edit&section=4" title="Editar código-fonte da secção: Definição">editar código-fonte</a>]</div> Neste artigo, os vetores são representados em negrito para distingui-los de escalares.<a href="#cite_note-4">[nota 1]</a> Um espaço vetorial sobre um <a href="/wiki/Corpo_(matem%C3%A1tica)" title="Corpo (matemática)">corpo</a> K é um <a href="/wiki/Conjunto" title="Conjunto">conjunto</a> V munido de duas operações que satisfazem os oito axiomas abaixo. <ul><li>A primeira operação, chamada de adição de vetores ou simplesmente adição + : V × V → V, leva quaisquer dois vetores v e w e associa a eles um terceiro vetor, normalmente escrito como v + w, e chamado de soma dos dois vetores iniciais. (O vetor resultante também é um elemento de V.)</li> <li>A segunda operação, chamada de <a href="/wiki/Multiplica%C3%A7%C3%A3o_escalar" title="Multiplicação escalar">multiplicação por escalar</a> · : K × V → V, toma qualquer escalar a e qualquer vetor v e fornece um outro vetor av. (Similarmente, um vetor av é um elemento do conjunto V.)</li></ul> Elementos de V são normalmente denominados vetores. Elementos de K são comumente denominados escalares. Nos dois exemplos acima, o corpo utilizado é o corpo dos números reais e o conjunto de vetores consiste das setas planas com um ponto fixo de início e de pares de números reais, respectivamente. Para qualificar um conjunto como sendo um espaço vetorial, ele V e suas operações de adição e multiplicação devem obedecer às condições impostas a seguir, denominadas <a href="/wiki/Axioma" title="Axioma">axiomas</a>.<a href="#cite_note-5">[4]</a> Na lista abaixo, sejam u, v e w vetores arbitrários de V, e a e b escalares em K. <table border="0" style="width:100%;" class="wikitable"> <tbody><tr> <th>Axioma</th> <th>Significado </th></tr> <tr> <td><a href="/wiki/Associatividade" title="Associatividade">Associatividade</a> da adição</td> <td>u + (v + w) = (u + v) + w. </td></tr> <tr style="background:#F8F4FF;"> <td><a href="/wiki/Comutatividade" title="Comutatividade">Comutatividade</a> da adição</td> <td>u + v = v + u. </td></tr> <tr> <td><a href="/wiki/Elemento_identidade" class="mw-redirect" title="Elemento identidade">Elemento identidade</a> da adição</td> <td>Existe um elemento 0 ∈ V, denominado <a href="/wiki/Vetor_nulo" class="mw-redirect" title="Vetor nulo">vetor nulo</a>, tal que v + 0 = v para todo v ∈ V. </td></tr> <tr style="background:#F8F4FF;"> <td><a href="/wiki/Elemento_inverso" title="Elemento inverso">Elemento inverso</a> da adição</td> <td>Para todo v ∈ V, existe um elemento −v ∈ V, chamado de <a href="/wiki/Inverso_aditivo" title="Inverso aditivo">inverso aditivo</a> de v, tal que v + (−v) = 0. </td></tr> <tr> <td><a href="/wiki/A%C3%A7%C3%A3o_de_semigrupo" title="Ação de semigrupo">Compatibilidade</a> da multiplicação por escalar com a multiplicação do corpo</td> <td>a(bv) = (ab)v. <a href="#cite_note-6">[nota 2]</a> </td></tr> <tr style="background:#F8F4FF;"> <td>Elemento identidade da multiplicação por escalar</td> <td>1v = v, em que 1 denota a <a href="/wiki/Identidade_multiplicativa" class="mw-redirect" title="Identidade multiplicativa">identidade multiplicativa</a> em K. </td></tr> <tr> <td><a href="/wiki/Distributividade" title="Distributividade">Distributividade</a> da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores  </td> <td>a(u + v) = au + av. </td></tr> <tr style="background:#F8F4FF;"> <td>Distributividade da multiplicação por escalar em relação a adição do corpo</td> <td>(a + b)v = av + bv. </td></tr></tbody></table> Esses axiomas generalizam as propriedades dos vetores introduzidos nos exemplos acima. De fato, o resultado da adição de dois pares ordenados (como no segundo exemplo acima) não depende da ordem dos somandos: <dl><dd>(xv, yv) + (xw, yw) = (xw, yw) + (xv, yv).</dd></dl> Da mesma forma, no exemplo geométrico de vetores como setas, v + w = w + v como o paralelogramo que define a soma dos vetores é independente da ordem dos vetores. Todos os outros axiomas podem ser verificados de forma semelhante nos outros exemplos. Portanto, ao ignorar a natureza concreta desse tipo particular de vetores, a definição incorpora esses dois exemplos e muitos outros em uma noção unificadora de espaço vetorial. A subtração de dois vetores e a divisão por escalar (não nulo) pode ser definido como <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} -\mathbf {w} &=\mathbf {v} +(-\mathbf {w} )\\{\frac {\mathbf {v} }{a}}&={\frac {1}{a}}\mathbf {v} \end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">v</mi> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">w</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">v</mi> </mrow> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">w</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">v</mi> </mrow> <mi>a</mi> </mfrac> </mrow> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>a</mi> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">v</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} -\mathbf {w} &=\mathbf {v} +(-\mathbf {w} )\\{\frac {\mathbf {v} }{a}}&={\frac {1}{a}}\mathbf {v} \end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b014c1f3d4c179b11f1968c48317434178de46e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.358ex; margin-bottom: -0.313ex; width:19.833ex; height:8.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} -\mathbf {w} &=\mathbf {v} +(-\mathbf {w} )\\{\frac {\mathbf {v} }{a}}&={\frac {1}{a}}\mathbf {v} \end{aligned}}}">.</dd></dl> Quando o corpo dos escalares K é o dos <a href="/wiki/N%C3%BAmeros_reais" class="mw-redirect" title="Números reais">números reais</a> R, o espaço vetorial é chamado de espaço vetorial real; quando for o dos <a href="/wiki/N%C3%BAmeros_complexos" class="mw-redirect" title="Números complexos">números complexos</a> C, o espaço vetorial é chamado de espaço vetorial complexo. Esses dois casos são aqueles mais frequentemente utilizados em engenharia. A definição geral de espaço vetorial permite que os escalares sejam elementos de qualquer <a href="/wiki/Corpo_(matem%C3%A1tica)" title="Corpo (matemática)">corpo</a> fixo K. A noção é então abstraída para um espaço vetorial sobre K. Um corpo é, essencialmente, um conjunto de números que possui as operações de <a href="/wiki/Adi%C3%A7%C3%A3o" title="Adição">adição</a>, <a href="/wiki/Subtra%C3%A7%C3%A3o" title="Subtração">subtração</a>, <a href="/wiki/Multiplica%C3%A7%C3%A3o" title="Multiplicação">multiplicação</a> e <a href="/wiki/Divis%C3%A3o" title="Divisão">divisão</a>.<a href="#cite_note-7">[nota 3]</a> Por exemplo, os <a href="/wiki/N%C3%BAmeros_racionais" class="mw-redirect" title="Números racionais">números racionais</a> formam um corpo. Em contraste com a intuição provinda de vetores em um plano ou em outros objetos de dimensão maior, existe, em espaços vetoriais gerais, a noção de <a href="/wiki/Vizinhan%C3%A7a_(matem%C3%A1tica)" title="Vizinhança (matemática)">vizinhanças</a>, <a href="/wiki/%C3%82ngulo" title="Ângulo">ângulos</a> e <a href="/wiki/Dist%C3%A2ncia" title="Distância">distâncias</a>. Para lidar com essas questões, tipos particulares de espaços vetoriais são introduzidos. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Formulações_alternativas_e_consequências_elementares">Formulações alternativas e consequências elementares</h3>[<a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial&veaction=edit&section=5" title="Editar secção: Formulações alternativas e consequências elementares" class="mw-editsection-visualeditor">editar</a> | <a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial&action=edit&section=5" title="Editar código-fonte da secção: Formulações alternativas e consequências elementares">editar código-fonte</a>]</div> A adição de vetores e a multiplicação por escalar são operações que satisfazem a propriedade de <a href="/wiki/Fechamento" title="Fechamento">fechamento</a>: u + v e av pertencem a V para todo a em K, e u, v em V. Algumas referências mais antigas mencionam essas propriedades como axiomas separados.<a href="#cite_note-8">[5]</a> No linguajar da <a href="/wiki/%C3%81lgebra_abstrata" title="Álgebra abstrata">álgebra abstrata</a>, os primeiros quatro axiomas são equivalentes a requerer que o conjunto de vetores seja um <a href="/wiki/Grupo_abeliano" title="Grupo abeliano">grupo abeliano</a> sob adição. Os axiomas restantes dão a esse a estrutura de <a href="/wiki/M%C3%B3dulo_(%C3%A1lgebra)" title="Módulo (álgebra)">módulo</a> sobre K. Em outras palavras, existe um <a href="/wiki/Homomorfismo_de_an%C3%A9is" title="Homomorfismo de anéis">homomorfismo de anéis</a> f do corpo K para o <a href="/w/index.php?title=Anel_de_endomorfismo&action=edit&redlink=1" class="new" title="Anel de endomorfismo (página não existe)">anel de endomorfismo</a> do grupo de vetores. A multiplicação por escalar av é então definida como (f(a))(v).<a href="#cite_note-9">[6]</a> Há várias outras consequências diretas dos axiomas de espaço vetorial. Algumas delas são derivadas <a href="/wiki/Teoria_dos_grupos" title="Teoria dos grupos">teoria dos grupos elementar</a>, aplicada ao grupo aditivo de vetores: por exemplo, o vetor nulo 0 de V e o inverso aditivo −v de um vetor v são únicos. Outras propriedades seguem ao empregar também a lei de distributividade da multiplicação por escalar; por exemplo, av é igual a 0 se e somente se a é igual a 0 ou v é igual a 0. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="História">História</h2>[<a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial&veaction=edit&section=6" title="Editar secção: História" class="mw-editsection-visualeditor">editar</a> | <a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial&action=edit&section=6" title="Editar código-fonte da secção: História">editar código-fonte</a>]</div> <div class="hatnote"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/17px-Magnifying_glass_01.svg.png" decoding="async" width="17" height="17" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/26px-Magnifying_glass_01.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/34px-Magnifying_glass_01.svg.png 2x" data-file-width="663" data-file-height="659" />Ver artigo principal: <a href="/wiki/Hist%C3%B3ria_da_%C3%A1lgebra" title="História da álgebra">História da álgebra</a></div> Espaços vetoriais têm sua origem no ramo da <a href="/wiki/Geometria_afim" title="Geometria afim">geometria afim</a>, surgindo a partir da introdução de <a href="/wiki/Coordenada" class="mw-redirect mw-disambig" title="Coordenada">coordenadas</a> no plano ou no espaço tridimensional. Por volta de 1636, os matemáticos franceses <a href="/wiki/Ren%C3%A9_Descartes" title="René Descartes">René Descartes</a> e <a href="/wiki/Pierre_de_Fermat" title="Pierre de Fermat">Pierre de Fermat</a> forneceram as bases da <a href="/wiki/Geometria_anal%C3%ADtica" title="Geometria analítica">geometria analítica</a> ao identificar soluções de uma equação a duas variáveis com pontos em uma <a href="/wiki/Curva" title="Curva">curva</a> plana.<a href="#cite_note-10">[7]</a> Para obter soluções geométricas sem utilizar-se de coordenadas, <a href="/wiki/Bernhard_Bolzano" class="mw-redirect" title="Bernhard Bolzano">Bolzano</a> introduziu, em 1804, certas operações com pontos, linhas e planos; hoje, esses objetos podem ser vistos como antecessores de vetores.<a href="#cite_note-11">[8]</a> Esse trabalho foi utilizado por <a href="/wiki/August_Ferdinand_M%C3%B6bius" title="August Ferdinand Möbius">Möbius</a> em 1827 para introduzir o conceito de <a href="/wiki/Coordenadas_baric%C3%AAntricas" title="Coordenadas baricêntricas">coordenadas baricêntricas</a>.<a href="#cite_note-12">[9]</a> A fundação para a definição de vetores foi a noção de <a href="/wiki/Giusto_Bellavitis" title="Giusto Bellavitis">Bellavitis</a> de um "duplo ponto" ("bipoint"), um segmento orientado em que uma das extremidades é a origem e a outra é um alvo. Vetores foram repensados com a apresentação de <a href="/wiki/N%C3%BAmeros_complexos" class="mw-redirect" title="Números complexos">números complexos</a> por <a href="/wiki/Jean-Robert_Argand" title="Jean-Robert Argand">Argand</a> e <a href="/wiki/William_Rowan_Hamilton" title="William Rowan Hamilton">Hamilton</a>, e pela criação dos <a href="/wiki/Quaterni%C3%B5es" class="mw-redirect" title="Quaterniões">quaterniões</a> pelo último.<a href="#cite_note-13">[10]</a> Eles são elementos em R2 e R4; o tratamento deles utilizando <a href="/wiki/Combina%C3%A7%C3%A3o_linear" title="Combinação linear">combinações lineares</a> remete a <a href="/wiki/Edmond_Laguerre" title="Edmond Laguerre">Laguerre</a> em 1867, que também definiu <a href="/wiki/Sistema_de_equa%C3%A7%C3%B5es_lineares" title="Sistema de equações lineares">sistema de equações lineares</a>. Em 1857, <a href="/wiki/Arthur_Cayley" title="Arthur Cayley">Cayley</a> introduziu a <a href="/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)#Notação" title="Matriz (matemática)">notação matricial</a> que permitiu a harmonização e a simplificação de mapas lineares. Na mesma época, <a href="/wiki/Hermann_Grassmann" title="Hermann Grassmann">Grassmann</a> estudou o cálculo baricêntrico iniciado por Möbius. Ele vislumbrou conjuntos de objetos abstratos munidos de certas operações.<a href="#cite_note-14">[11]</a> Em seu trabalho, os conceitos de <a href="/wiki/Independ%C3%AAncia_linear" title="Independência linear">independência linear</a> e <a href="/wiki/Dimens%C3%A3o_(matem%C3%A1tica)" class="mw-redirect" title="Dimensão (matemática)">dimensão</a>, bem como o de <a href="/wiki/Produto_escalar" title="Produto escalar">produtos escalares</a>, estavam presentes. De fato, a obra de Grassmann de 1844 excede o escopo dos espaços vetoriais atuais, já que ele também considera multiplicação entre vetores, o que caracteriza o conceito moderno de <a href="/wiki/%C3%81lgebra_sobre_um_corpo" title="Álgebra sobre um corpo">álgebra</a>. O matemático italiano <a href="/wiki/Giuseppe_Peano" title="Giuseppe Peano">Peano</a> foi o primeiro a fornecer uma definição moderna de espaços vetoriais e de transformações lineares em 1888.<a href="#cite_note-15">[12]</a> Um desenvolvimento importante dos espaços vetoriais foi a construção de <a href="/wiki/Espa%C3%A7o_funcional" title="Espaço funcional">espaços funcionais</a> por <a href="/wiki/Henri_Lebesgue" title="Henri Lebesgue">Henri Lebesgue</a>. Isso foi posteriormente formalizado por <a href="/wiki/Stefan_Banach" title="Stefan Banach">Banach</a> e <a href="/wiki/David_Hilbert" title="David Hilbert">Hilbert</a>, por volta de 1920.<a href="#cite_note-16">[13]</a> À época, a <a href="/wiki/%C3%81lgebra" title="Álgebra">álgebra</a> e o novo ramo da <a href="/wiki/An%C3%A1lise_funcional" title="Análise funcional">análise funcional</a> começaram a interagir, notavelmente com conceitos-chave como os <a href="/wiki/Espa%C3%A7o_Lp" title="Espaço Lp">espaços de funções p-integráveis</a> e os <a href="/wiki/Espa%C3%A7o_de_Hilbert" title="Espaço de Hilbert">espaços de Hilbert</a>.<a href="#cite_note-17">[14]</a> Também nessa época, iniciaram-se os primeiros estudos de espaços vetoriais de dimensão infinita. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Exemplos">Exemplos</h2>[<a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial&veaction=edit&section=7" title="Editar secção: Exemplos" class="mw-editsection-visualeditor">editar</a> | <a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial&action=edit&section=7" title="Editar código-fonte da secção: Exemplos">editar código-fonte</a>]</div> <div class="hatnote"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/17px-Magnifying_glass_01.svg.png" decoding="async" width="17" height="17" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/26px-Magnifying_glass_01.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/34px-Magnifying_glass_01.svg.png 2x" data-file-width="663" data-file-height="659" />Ver artigo principal: <a href="/w/index.php?title=Exemplos_de_espa%C3%A7os_vetoriais&action=edit&redlink=1" class="new" title="Exemplos de espaços vetoriais (página não existe)">Exemplos de espaços vetoriais</a></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Espaço_do_vetor_nulo">Espaço do vetor nulo</h3>[<a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial&veaction=edit&section=8" title="Editar secção: Espaço do vetor nulo" class="mw-editsection-visualeditor">editar</a> | <a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial&action=edit&section=8" title="Editar código-fonte da secção: Espaço do vetor nulo">editar código-fonte</a>]</div> Seja <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}"> formado por um único elemento <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b803da9c45c1186883bde55107e9ccb102c92c6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.877ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a.}"> Então, definindo-se <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a+a=a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a+a=a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7652b8688d5cebb9269afb49791644a2917e3eb2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:9.628ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a+a=a}"> e <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k\cdot a=a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> <mo>⋅</mo> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k\cdot a=a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0eeaf768b79047e5f6da05af1c5bbb96015c916b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.448ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k\cdot a=a}"> para todo elemento <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}"> de um corpo <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>K</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fea4b5006afa0eb81c21b577efe304ab545d571" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.713ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle K,}"> temos que <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}"> é um espaço vetorial com <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>K</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}"> como corpo de escalares. Obviamente, como <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"> é o elemento neutro de <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ace9595e3ce66fdec7e9d30202626accd676b11e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.434ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle V,}"> isto é, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a=0,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a=0,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b106b5e2bce95727ca9322bcc84f55059159825b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.138ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a=0,}"> este espaço vetorial é representado por <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V={0}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V={0}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96a3fd884b97a3484ad8615c452ea2c56f7cdd03" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.695ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V={0}.}"> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Espaços_de_coordenada">Espaços de coordenada</h3>[<a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial&veaction=edit&section=9" title="Editar secção: Espaços de coordenada" class="mw-editsection-visualeditor">editar</a> | <a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial&action=edit&section=9" title="Editar código-fonte da secção: Espaços de coordenada">editar código-fonte</a>]</div> <div class="hatnote"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/17px-Magnifying_glass_01.svg.png" decoding="async" width="17" height="17" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/26px-Magnifying_glass_01.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/34px-Magnifying_glass_01.svg.png 2x" data-file-width="663" data-file-height="659" />Ver artigo principal: <a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_de_coordenadas&action=edit&redlink=1" class="new" title="Espaço de coordenadas (página não existe)">Espaço de coordenadas</a></div> O exemplo mais simples de um espaço vetorial sobre um corpo K é o próprio corpo, equipado com suas adição e multiplicação padrão. De forma mais geral, todas <a href="/wiki/%C3%89nuplo" title="Énuplo">n-uplas</a> (sequências de comprimento n) <dl><dd>(a1, a2, ..., an)</dd></dl> de elementos do corpo K formam um espaço vetorial que é usualmente denotado por Kn e chamado de <a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_de_coordenadas&action=edit&redlink=1" class="new" title="Espaço de coordenadas (página não existe)">espaço de coordenadas</a>.<a href="#cite_note-18">[15]</a> O caso n = 1 é o caso mais simples mencionado acima, no qual o corpo K também é percebido como um espaço vetorial sobre si mesmo. O caso K = R e n = 2 foi discutido na introdução acima. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Números_complexos_e_outras_extensões_de_corpos">Números complexos e outras extensões de corpos</h3>[<a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial&veaction=edit&section=10" title="Editar secção: Números complexos e outras extensões de corpos" class="mw-editsection-visualeditor">editar</a> | <a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial&action=edit&section=10" title="Editar código-fonte da secção: Números complexos e outras extensões de corpos">editar código-fonte</a>]</div> O conjunto de <a href="/wiki/N%C3%BAmeros_complexos" class="mw-redirect" title="Números complexos">números complexos</a> C (isto é, números que podem ser escritos na forma x + iy, para <a href="/wiki/N%C3%BAmeros_reais" class="mw-redirect" title="Números reais">números reais</a> x e y, em que i é a <a href="/wiki/Unidade_imagin%C3%A1ria" title="Unidade imaginária">unidade imaginária</a>) formam um espaço vetorial sobre os reais com a adição e a multiplicação definidas usualmente: (x + iy) + (a + ib) = (x + a) + i(y + b) e c ⋅ (x + iy) = (c ⋅ x) + i(c ⋅ y) para números reais x, y, a, b e c. Os vários axiomas de um espaço vetorial seguem do fato de que as mesmas regras se mantêm para a aritmética dos números complexos. De fato, o exemplo dos números complexos é essencialmente o mesmo (isto é, é isomórfico) ao espaço vetorial de pares ordenados de números reais mencionado acima: se pensarmos no número complexo x + i y como uma representação do par ordenado (x, y) no <a href="/wiki/Plano_complexo" title="Plano complexo">plano complexo</a>, então percebe-se que as regras de soma e multiplicação de escalares correspondem exatamente ao exemplo anterior. De modo mais geral, <a href="/wiki/Extens%C3%A3o_de_corpo" title="Extensão de corpo">extensões de corpo</a> fornecem uma outra classe de exemplos de espaços vetoriais, particularmente em álgebras e em <a href="/wiki/Teoria_alg%C3%A9brica_dos_n%C3%BAmeros" title="Teoria algébrica dos números">teoria algébrica dos números</a>: um corpo K que contém um corpo menor E é um espaço vetorial em E, pelas mesmas operações de adição e multiplicação definidas para K.<a href="#cite_note-19">[16]</a> Por exemplo, os números complexos são um espaço vetorial sobre R, e a extensão de corpo <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {Q} (i{\sqrt {5}})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">Q</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>i</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>5</mn> </msqrt> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {Q} (i{\sqrt {5}})}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79cf13737fd8630f04a1028028c44e95b4729be0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.718ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {Q} (i{\sqrt {5}})}"> é um espaço vetorial sobre Q. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Espaços_funcionais">Espaços funcionais</h3>[<a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial&veaction=edit&section=11" title="Editar secção: Espaços funcionais" class="mw-editsection-visualeditor">editar</a> | <a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial&action=edit&section=11" title="Editar código-fonte da secção: Espaços funcionais">editar código-fonte</a>]</div> <div class="hatnote"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/17px-Magnifying_glass_01.svg.png" decoding="async" width="17" height="17" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/26px-Magnifying_glass_01.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/34px-Magnifying_glass_01.svg.png 2x" data-file-width="663" data-file-height="659" />Ver artigo principal: <a href="/wiki/Espa%C3%A7o_funcional" title="Espaço funcional">Espaço funcional</a></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Ficheiro:Example_for_addition_of_functions.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d7/Example_for_addition_of_functions.svg/220px-Example_for_addition_of_functions.svg.png" decoding="async" width="220" height="166" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d7/Example_for_addition_of_functions.svg/330px-Example_for_addition_of_functions.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d7/Example_for_addition_of_functions.svg/440px-Example_for_addition_of_functions.svg.png 2x" data-file-width="487" data-file-height="367" /></a><figcaption>Adição de funções: a soma das funções seno e exponencial é <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sin +\exp :\mathbb {R} \to \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>sin</mi> <mo>+</mo> <mi>exp</mi> <mo>:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sin +\exp :\mathbb {R} \to \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3afcecd5be8d1b1d1f1a990a4a5dac441daa9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:17.898ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \sin +\exp :\mathbb {R} \to \mathbb {R} }"> com <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\sin +\exp )(x)=\sin(x)+\exp(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>sin</mi> <mo>+</mo> <mi>exp</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>exp</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\sin +\exp )(x)=\sin(x)+\exp(x)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc39721fd4825bb41ad0bb72835e65db80e490f3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:32.563ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\sin +\exp )(x)=\sin(x)+\exp(x)}"></figcaption></figure> Funções de qualquer conjunto fixo Ω para um corpo K também formam espaços vetoriais, ao realizar adição e multiplicação por escalar ponto a ponto. Ou seja, a soma de duas funções f e g é a função (f + g) dada por <dl><dd>(f + g)(w) = f(w) + g(w),</dd></dl> e de modo semelhante para a multiplicação. Espaços funcionais desse tipo surgem em várias situações geométricas, quando Ω é a <a href="/wiki/Reta_real" title="Reta real">reta real</a> ou um <a href="/wiki/Intervalo_(matem%C3%A1tica)" title="Intervalo (matemática)">intervalo</a>, ou outros <a href="/wiki/Subconjunto" title="Subconjunto">subconjuntos</a> de R. Muitas noções em topologia e análise, como <a href="/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_cont%C3%ADnua" title="Função contínua">continuidade</a>, <a href="/wiki/Integral" title="Integral">integrabilidade</a> ou <a href="/wiki/Diferenciabilidade" class="mw-redirect" title="Diferenciabilidade">diferenciabilidade</a> são bem comportadas em relação à linearidade: somas e múltiplos escalares de funções com essas propriedades ainda as preservam.<a href="#cite_note-20">[17]</a> Portanto, o conjunto dessas funções é um espaço vetorial. Elas são estudadas em maior detalhe usando métodos de <a href="/wiki/An%C3%A1lise_funcional" title="Análise funcional">análise funcional</a>. Restrições algébricas também geram espaços vetoriais: o <a href="/wiki/Anel_de_polin%C3%B4mios" title="Anel de polinômios">espaço vetorial K[x]</a> é dado por <a href="/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_polinomial" title="Função polinomial">funções polinomiais</a>: <dl><dd>f(x) = r0 + r1x + ... + rn−1xn−1 + rnxn, em que os <a href="/wiki/Coeficiente" title="Coeficiente">coeficientes</a> r0, ..., rn estão em K.<a href="#cite_note-21">[18]</a></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Equações_lineares">Equações lineares</h3>[<a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial&veaction=edit&section=12" title="Editar secção: Equações lineares" class="mw-editsection-visualeditor">editar</a> | <a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial&action=edit&section=12" title="Editar código-fonte da secção: Equações lineares">editar código-fonte</a>]</div> <div class="hatnote"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/17px-Magnifying_glass_01.svg.png" decoding="async" width="17" height="17" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/26px-Magnifying_glass_01.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/34px-Magnifying_glass_01.svg.png 2x" data-file-width="663" data-file-height="659" />Ver artigos principais: <a href="/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_linear" title="Equação linear">Equação linear</a>, <a href="/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_diferencial_linear" title="Equação diferencial linear">Equação diferencial linear</a> e <a href="/wiki/Sistema_de_equa%C3%A7%C3%B5es_lineares" title="Sistema de equações lineares">Sistema de equações lineares</a></div> Sistemas de equações lineares homogêneas estão proximamente relacionados com os espaços vetoriais vector spaces.<a href="#cite_note-22">[19]</a> Por exemplo, as soluções de <dl><dd><table> <tbody><tr> <td style="text-align:right;">a </td> <td>+ </td> <td>3b </td> <td>+ </td> <td style="text-align:right;">c </td> <td>= 0 </td></tr> <tr> <td>4a </td> <td>+ </td> <td>2b </td> <td>+ </td> <td>2c </td> <td>= 0 </td></tr></tbody></table></dd></dl> são dadas por triplas com a arbitrário, de modo que b = a/2 e c = −5a/2. Elas formam um espaço vetorial: somas e múltiplos escalares de tais triplas precisam também satisfazer às mesmas razões entre as três variáveis; logo, elas também são soluções. <a href="/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)" title="Matriz (matemática)">Matrizes</a> podem ser usadas para condensar várias equações lineares como acima em uma equação vetorial, a saber <dl><dd>Ax = 0,</dd></dl> em que A = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&1\\4&2&2\end{bmatrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>3</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>4</mn> </mtd> <mtd> <mn>2</mn> </mtd> <mtd> <mn>2</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&1\\4&2&2\end{bmatrix}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d773b289c1df1a62dce2dde96400644d6ff130fe" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:11.339ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&1\\4&2&2\end{bmatrix}}}"> é a matriz que contém os coeficientes das equações que compõem o sistema, x é o vetor (a, b, c), Ax denota um <a href="/wiki/Produto_matricial" class="mw-redirect" title="Produto matricial">produto matricial</a>, e 0 = (0, 0) é o vetor nulo. De forma semelhante, as soluções de equações diferenciais lineares homogêneas formam espaços vetoriais. Por exemplo, <dl><dd>f′′(x) + 2f′(x) + f(x) = 0</dd></dl> implica que f(x) = a e−x + bx e−x, em que a e b são constantes arbitrárias, e ex é a <a href="/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_exponencial" title="Função exponencial">função exponencial</a>. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Base_e_dimensão">Base e dimensão</h2>[<a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial&veaction=edit&section=13" title="Editar secção: Base e dimensão" class="mw-editsection-visualeditor">editar</a> | <a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial&action=edit&section=13" title="Editar código-fonte da secção: Base e dimensão">editar código-fonte</a>]</div> <div class="hatnote"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/17px-Magnifying_glass_01.svg.png" decoding="async" width="17" height="17" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/26px-Magnifying_glass_01.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/34px-Magnifying_glass_01.svg.png 2x" data-file-width="663" data-file-height="659" />Ver artigos principais: <a href="/wiki/Base_(%C3%A1lgebra_linear)" title="Base (álgebra linear)">Base</a> e <a href="/wiki/Dimens%C3%A3o_(espa%C3%A7o_vetorial)" title="Dimensão (espaço vetorial)">Dimensão</a></div> <figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Ficheiro:Vector_components_and_base_change.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a6/Vector_components_and_base_change.svg/200px-Vector_components_and_base_change.svg.png" decoding="async" width="200" height="197" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a6/Vector_components_and_base_change.svg/300px-Vector_components_and_base_change.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a6/Vector_components_and_base_change.svg/400px-Vector_components_and_base_change.svg.png 2x" data-file-width="244" data-file-height="240" /></a><figcaption>Um vetor v em R2 (azul) expressado em termos de duas bases distintas: usando a <a href="/wiki/Base_can%C3%B4nica" title="Base canônica">base canônica</a> de R2 v = xe1 + ye2 (preto), e usando uma base não <a href="/wiki/Ortogonal" class="mw-redirect" title="Ortogonal">ortogonal</a>: v = f1 + f2 (vermelho).</figcaption></figure> Bases permitem representar vetores como uma <a href="/wiki/Sequ%C3%AAncia" title="Sequência">sequência</a> de escalares denominados coordenadas ou componentes. Uma base é um conjunto (finito ou infinito) B = {bi}i ∈ I de vetores bi, que por conveniência são frequentemente indexados por um conjunto de índices I, que gera todo o espaço é <a href="/wiki/Linearmente_independente" class="mw-redirect" title="Linearmente independente">linearmente independente</a>. "Gerar todo o espaço" significa que qualquer vetor v pode ser expresso por uma soma finita (chamada de <a href="/wiki/Combina%C3%A7%C3%A3o_linear" title="Combinação linear">combinação linear</a>) dos elementos da base: <dl><dd> <table role="presentation" style="border-collapse:collapse; margin:0; border:none;"> <tbody><tr> <td style="vertical-align:middle; border:none; padding:0.08em;" class="nowrap"><div style="margin:0;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {v} =a_{1}\mathbf {b} _{i_{1}}+a_{2}\mathbf {b} _{i_{2}}+\cdots +a_{n}\mathbf {b} _{i_{n}},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">v</mi> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>i</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>i</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>i</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {v} =a_{1}\mathbf {b} _{i_{1}}+a_{2}\mathbf {b} _{i_{2}}+\cdots +a_{n}\mathbf {b} _{i_{n}},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13b20befe0b69cc3787e92a72983180e11e18450" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:32.9ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {v} =a_{1}\mathbf {b} _{i_{1}}+a_{2}\mathbf {b} _{i_{2}}+\cdots +a_{n}\mathbf {b} _{i_{n}},}"></div> </td> <td style="vertical-align:middle; width:99%; border:none; padding:0.08em;"> <div style="margin:0;"> <table role="presentation" style="border-collapse:collapse; margin:0; border:none; width:99%;"> <tbody><tr> <td style="border:none; padding:0.08em;" rowspan="2">  </td> <td style="width:100%; border:none; padding:0.08em;">  </td> <td style="border:none; padding:0.08em;" rowspan="2">  </td></tr> <tr> <td style="border-left:none; border-top:0px none #e5e5e5; border-right:none; border-bottom:none; padding:0.08em;">   </td></tr></tbody></table> </div> </td> <td style="vertical-align:middle; border:none; padding:0.08em;" class="nowrap">(<a href="#math_1">1</a>) </td></tr></tbody></table></dd></dl> em que ak são escalares, chamados de coordenadas (ou de componentes) do vetor v em relação à base B, e bik (k = 1, ..., n) são os elementos de B. Independência linear significa que as coordenadas ak são univocamente determinadas para qualquer vetor no espaço vetorial. Por exemplo, os vetores de coordenadas e1 = (1, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, 0, ..., 0), até en = (0, 0, ..., 0, 1), formam uma base de Kn, chamada de <a href="/wiki/Base_can%C3%B4nica" title="Base canônica">base canônica</a>, já que qualquer vetor (x1, x2, ..., xn) pode ser expresso de forma única como uma combinação linear desses vetores: <dl><dd>(x1, x2, ..., xn) = x1(1, 0, ..., 0) + x2(0, 1, 0, ..., 0) + ... + xn(0, ..., 0, 1) = x1e1 + x2e2 + ... + xnen.</dd></dl> As coordenadas correspondentes x1, x2, ..., xn são exatamente as <a href="/wiki/Coordenadas_cartesianas" class="mw-redirect" title="Coordenadas cartesianas">coordenadas cartesianas</a> de um vetor. Todo espaço vetorial possui uma base. Isso é uma consequência do <a href="/wiki/Lema_de_Zorn" title="Lema de Zorn">lema de Zorn</a>, uma formulação equivalente do <a href="/wiki/Axioma_da_escolha" title="Axioma da escolha">axioma da escolha</a>.<a href="#cite_note-23">[20]</a> Dados os outros axiomas da <a href="/wiki/Axiomas_de_Zermelo-Fraenkel" title="Axiomas de Zermelo-Fraenkel">teoria de conjuntos de Zermelo–Fraenkel</a>, a existência de bases é equivalente ao axioma da escolha.<a href="#cite_note-24">[21]</a> O <a href="/wiki/Teorema_do_ideal_primo_booliano#O_Teorema_do_Ultrafiltro" title="Teorema do ideal primo booliano">teorema do ultrafiltro</a>, que é mais fraco do que o axioma da escolha, implica que todas as bases de um determinado espaço vetorial têm o mesmo número de elementos, ou <a href="/wiki/Cardinalidade" title="Cardinalidade">cardinalidade</a> (ver <a href="/w/index.php?title=Teorema_da_dimens%C3%A3o_para_espa%C3%A7os_vetoriais&action=edit&redlink=1" class="new" title="Teorema da dimensão para espaços vetoriais (página não existe)">Teorema da dimensão para espaços vetoriais</a>).<a href="#cite_note-25">[22]</a> Ela é chamada de dimensão do espaço vetorial, e é denotada por dim V. Se o espaço for gerado por um número finito de vetores, os enunciados acima podem ser provados sem um enfoque tão fundamental quanto o da teoria de conjuntos.<a href="#cite_note-26">[23]</a> A dimensão do espaço de coordenadas Kn é n, pelo que foi exibido acima. A dimensão do anel de polinômios K[x] introduzida <a class="mw-selflink-fragment" href="#Espaços_funcionais">acima</a> é <a href="/w/index.php?title=Infinito_enumer%C3%A1vel&action=edit&redlink=1" class="new" title="Infinito enumerável (página não existe)">enumeravelmente infinita</a>, sendo que uma base é 1, x, x2, ... <a href="/wiki/A_fortiori" title="A fortiori">A fortiori</a>, a dimensão de espaços funcionais mais gerais, tal como o espaço de funções em um intervalo (limitado ou ilimitado), é infinita.<a href="#cite_note-27">[nota 4]</a> Sob suposições adequadas de regularidade dos coeficientes envolvidos, a dimensão do espaço de solução de uma <a href="/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_diferencial_ordin%C3%A1ria" title="Equação diferencial ordinária">equação diferencial ordinária</a> homogênea é igual ao grau da equação.<a href="#cite_note-28">[24]</a> Por exemplo, os espaço de soluções da <a href="#equation1">equação acima</a> é gerado por e−x e {{xe−x}}. Essas duas funções são linearmente independentes sobre os reais R, de modo que a dimensão do espaço gerado seja 2, assim como o grau da equação. Uma extensão de corpo sobre os racionais Q pode ser pensada como um espaço vetorial sobre Q (ao definir a soma de vetores como a soma de elementos do corpo, e definir a multiplicação por escalar como a multiplicação por elementos de Q, e por outro lado ignorando a multiplicação do corpo). A dimensão (ou <a href="/w/index.php?title=Grau_de_uma_extens%C3%A3o_de_corpo&action=edit&redlink=1" class="new" title="Grau de uma extensão de corpo (página não existe)">grau</a>) da extensão de corpo Q(α) sobre Q depende de α. Se α satisfaz algumas equação polinomial <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q_{n}\alpha ^{n}+q_{n-1}\alpha ^{n-1}+\ldots +q_{0}=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo>…</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q_{n}\alpha ^{n}+q_{n-1}\alpha ^{n-1}+\ldots +q_{0}=0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11b5bb8bdad2192c81ccd7b5b32c31bb875b13e2" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:31.721ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle q_{n}\alpha ^{n}+q_{n-1}\alpha ^{n-1}+\ldots +q_{0}=0}"> com coeficientes racionais qn, ..., q0 (em outras palavras, se α é um <a href="/wiki/N%C3%BAmero_alg%C3%A9brico" title="Número algébrico">número algébrico</a>), a dimensão é finita. Mais precisamente, é igual ao grau do polinômio mínimo que tem α como <a href="/wiki/Raiz_(matem%C3%A1tica)" title="Raiz (matemática)">raiz</a>.<a href="#cite_note-29">[25]</a> Por exemplo, os números complexos C são um espaço vetorial real bidimensional, gerados por 1 e pela <a href="/wiki/Unidade_imagin%C3%A1ria" title="Unidade imaginária">unidade imaginária</a> i. A unidade imaginária satisfaz i2 + 1 = 0, uma equação de grau 2. Portanto, C é um espaço vetorial bidimensional sobre R (e, como qualquer corpo, unidimensional como um espaço vetorial sobre si mesmo, C). Se α não for algébrico, a dimensão de Q(α) sobre Q é infinita. De fato, para α = <a href="/wiki/Pi" title="Pi">π</a> não existe tal equação; em outras palavras, π é um <a href="/wiki/N%C3%BAmero_transcendental" class="mw-redirect" title="Número transcendental">número transcendental</a>.<a href="#cite_note-30">[26]</a> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Aplicações_lineares_e_matrizes">Aplicações lineares e matrizes</h2>[<a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial&veaction=edit&section=14" title="Editar secção: Aplicações lineares e matrizes" class="mw-editsection-visualeditor">editar</a> | <a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial&action=edit&section=14" title="Editar código-fonte da secção: Aplicações lineares e matrizes">editar código-fonte</a>]</div> <div class="hatnote"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/17px-Magnifying_glass_01.svg.png" decoding="async" width="17" height="17" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/26px-Magnifying_glass_01.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/34px-Magnifying_glass_01.svg.png 2x" data-file-width="663" data-file-height="659" />Ver artigo principal: <a href="/wiki/Transforma%C3%A7%C3%A3o_linear" title="Transformação linear">Transformação linear</a></div> A relação entre dois espaços vetoriais pode ser expressa como um mapeamento linear ou uma transformação linear. Elas são <a href="/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_(matem%C3%A1tica)" title="Função (matemática)">funções</a> que refletem a estrutura do espaço vetorial — isto é, elas preservam soma e multiplicação por escalar: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(\mathbf {v} +\mathbf {w} )=f(\mathbf {v} )+f(\mathbf {w} )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">v</mi> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">w</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">v</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">w</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(\mathbf {v} +\mathbf {w} )=f(\mathbf {v} )+f(\mathbf {w} )}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/252389d1ed925d91752c3ebef07015219cd578e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.727ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(\mathbf {v} +\mathbf {w} )=f(\mathbf {v} )+f(\mathbf {w} )}"> e f(a · v) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle =}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>=</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle =}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: 0.307ex; margin-bottom: -0.478ex; width:1.808ex; height:1.343ex;" alt="{\displaystyle =}"> a · f(v) para todo v e w em V, e todo a em K.<a href="#cite_note-31">[27]</a></dd></dl> Um <a href="/wiki/Isomorfismo" title="Isomorfismo">isomorfismo</a> é uma transformação linear f : V → W tal que exista uma <a href="/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_inversa" title="Função inversa">função inversa</a> g : W → V, a qual é um mapeamento tal que as duas possíveis <a href="/wiki/Composi%C3%A7%C3%A3o_de_fun%C3%A7%C3%B5es" title="Composição de funções">composições</a> f ∘ g : W → W e g ∘ f : V → V sejam a <a href="/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_identidade" title="Função identidade">função identidade</a>. De forma equivalente, f é um-pra-um (<a href="/wiki/Injetora" class="mw-redirect" title="Injetora">injetora</a>) e é sobre o contradomínio (<a href="/wiki/Sobrejetora" class="mw-redirect" title="Sobrejetora">sobrejetora</a>).<a href="#cite_note-32">[28]</a> Se existir um isomorfismo entre V e W, os dois espaços são ditos isomórficos; eles então são essencialmente o mesmo espaço vetorial, já que todas as identidades válidas em V são, através de f, levadas a identidades semelhantes em W, e vice-versa através de g. <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Ficheiro:Vector_components.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/Vector_components.svg/180px-Vector_components.svg.png" decoding="async" width="180" height="141" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/Vector_components.svg/270px-Vector_components.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/Vector_components.svg/360px-Vector_components.svg.png 2x" data-file-width="196" data-file-height="154" /></a><figcaption>Descrever um vetor de seta v pelas suas coordenadas x e y acarreta um isomorfismo de espaços vetoriais.</figcaption></figure> Por exemplo, as "setas em um plano" e os "pares ordenados de números", que são cada qual um espaço vetorial, são isomórficos: uma seta v em um plano que sai da <a href="/wiki/Origem_de_coordenadas" title="Origem de coordenadas">origem</a> de algum <a href="/wiki/Sistema_de_coordenadas" title="Sistema de coordenadas">sistema (fixo) de coordenadas</a> pode ser expresso por um par ordenado de números ao considerar as componentes x e y da seta, como mostrado na imagem ao lado. Por outro lado, dado um par (x, y), a seta que está à direita pela quantidade x (ou à esquerda, se x for negativo), e está para cima pela quantidade y (ou para baixo, se y for negativo) retorna a seta v. As transformações lineares V → W entre dois espaços vetoriais formam um espaço vetorial HomK(V, W), também denotado por L(V, W).<a href="#cite_note-33">[29]</a> O espaço das transformações lineares de V para o corpo K é chamado de <a href="/wiki/Espa%C3%A7o_dual" title="Espaço dual">espaço dual</a>, e é denotado por V∗.<a href="#cite_note-34">[30]</a> Através do mapa <a href="/w/index.php?title=Transforma%C3%A7%C3%A3o_natural&action=edit&redlink=1" class="new" title="Transformação natural (página não existe)">natural</a> injetivo V → V∗∗, qualquer espaço vetorial pode ser embutido no seu bidual; o mapeamento é um isoformismo se e somente se o espaço tem dimensão finita.<a href="#cite_note-35">[31]</a> Uma vez que uma base de V é escolhida, as transformações lineares f : V → W ficam completamente determinadas ao se especificar a imagem dos vetores da base, já que qualquer elemento de V é escrito de forma única como combinação linear desses vetores.<a href="#cite_note-36">[32]</a> Se dim V = dim W, uma <a href="/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_bijetora" class="mw-redirect" title="Função bijetora">correspondência 1-para-1</a> entre as bases fixadas de V e W acarreta uma aplicação linear que mapeia qualquer elemento da base de V ao elemento correspondente da base de W; isto é, por definição, um isomorfismo.<a href="#cite_note-37">[33]</a> Logo, dois espaços vetoriais são isomórficos se as suas dimensões são as mesmas. Outra forma de expressar isso é que qualquer espaço vetorial é completamente classificado (<a href="/wiki/Salvo_(matem%C3%A1tica)" title="Salvo (matemática)">a menos de</a> um isomorfismo) pela sua dimensão, um único número. Em particular, qualquer espaço vetorial n-dimensional V de tipo K é isomórfico a Kn. Não existe, no entanto, nenhum isomorfismo "canônico" ou preferencial; de fato, um isomorfismo φ : Kn → V é equivalente à escolha da base de V, ao mapear os vetores da base canônica de Kn para V, através de φ. A liberdade em escolher uma base conveniente é particularmente útil no contexto de dimensão infinita. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Matrizes">Matrizes</h3>[<a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial&veaction=edit&section=15" title="Editar secção: Matrizes" class="mw-editsection-visualeditor">editar</a> | <a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial&action=edit&section=15" title="Editar código-fonte da secção: Matrizes">editar código-fonte</a>]</div> <div class="hatnote"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/17px-Magnifying_glass_01.svg.png" decoding="async" width="17" height="17" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/26px-Magnifying_glass_01.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/34px-Magnifying_glass_01.svg.png 2x" data-file-width="663" data-file-height="659" />Ver artigos principais: <a href="/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)" title="Matriz (matemática)">Matriz</a> e <a href="/wiki/Determinante" title="Determinante">Determinante</a></div> <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Ficheiro:Matrix.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bb/Matrix.svg/200px-Matrix.svg.png" decoding="async" width="200" height="169" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bb/Matrix.svg/300px-Matrix.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bb/Matrix.svg/400px-Matrix.svg.png 2x" data-file-width="224" data-file-height="189" /></a><figcaption>Uma matriz típica.</figcaption></figure> Matrizes são uma noção útil para representar transformações lineares.<a href="#cite_note-38">[34]</a> Elas são escritas como uma tabela retangular de escalares (imagem ao lado). Qualquer matriz A m-por-n gera um mapeamento linear de Kn para Km da seguinte maneira: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})\mapsto \left(\sum _{j=1}^{n}a_{1j}x_{j},\sum _{j=1}^{n}a_{2j}x_{j},\cdots ,\sum _{j=1}^{n}a_{mj}x_{j}\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>⋯</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">↦</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>⋯</mo> <mo>,</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})\mapsto \left(\sum _{j=1}^{n}a_{1j}x_{j},\sum _{j=1}^{n}a_{2j}x_{j},\cdots ,\sum _{j=1}^{n}a_{mj}x_{j}\right)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/773c8d0448b4dee67c19c0ec5972a9ac5fb6fb1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:60.804ex; height:7.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})\mapsto \left(\sum _{j=1}^{n}a_{1j}x_{j},\sum _{j=1}^{n}a_{2j}x_{j},\cdots ,\sum _{j=1}^{n}a_{mj}x_{j}\right)}">, em que <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∑</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1d4e06539576633987e902f402ed46728d573b6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:3.355ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle \sum }"> denota um <a href="/wiki/Somat%C3%B3rio" title="Somatório">somatório</a>,</dd></dl> ou, usando <a href="/wiki/Multiplica%C3%A7%C3%A3o_de_matrizes" class="mw-redirect" title="Multiplicação de matrizes">multiplicação de matrizes</a> de A com o vetor de coordenadas x: <dl><dd>x ↦ Ax.</dd></dl> Ademais, após escolher bases de V e de W, qualquer transformação linear f : V → W é representada de forma única por uma matriz através desse procedimento.<a href="#cite_note-39">[35]</a> <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Ficheiro:Determinant_parallelepiped.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b9/Determinant_parallelepiped.svg/200px-Determinant_parallelepiped.svg.png" decoding="async" width="200" height="168" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b9/Determinant_parallelepiped.svg/300px-Determinant_parallelepiped.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b9/Determinant_parallelepiped.svg/400px-Determinant_parallelepiped.svg.png 2x" data-file-width="950" data-file-height="800" /></a><figcaption>O volume desse <a href="/wiki/Paralelep%C3%ADpedo" title="Paralelepípedo">paralelepípedo</a> é o valor absoluto do determinante da matriz 3-por-3 formada pelos vetores r1, r2, e r3.</figcaption></figure> O <a href="/wiki/Determinante" title="Determinante">determinante</a> det (A) de uma <a href="/wiki/Matriz_quadrada" class="mw-redirect" title="Matriz quadrada">matriz quadrada</a> A é um escalar que diz se o mapeamento associado à matriz é um isomorfismo ou não: para isso, é suficiente e necessário que o determinante seja não nulo.<a href="#cite_note-40">[36]</a> A transformação linear de Rn que corresponde a uma matriz n-by-n real <a href="/wiki/Sentido_(matem%C3%A1tica)" title="Sentido (matemática)">preserva a orientação</a> se e somente se seu determinante for positivo. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Autovetores_e_autovalores">Autovetores e autovalores</h3>[<a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial&veaction=edit&section=16" title="Editar secção: Autovetores e autovalores" class="mw-editsection-visualeditor">editar</a> | <a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial&action=edit&section=16" title="Editar código-fonte da secção: Autovetores e autovalores">editar código-fonte</a>]</div> <div class="hatnote"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/17px-Magnifying_glass_01.svg.png" decoding="async" width="17" height="17" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/26px-Magnifying_glass_01.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/34px-Magnifying_glass_01.svg.png 2x" data-file-width="663" data-file-height="659" />Ver artigo principal: <a href="/wiki/Autovalores_e_autovetores" title="Autovalores e autovetores">Autovalores e autovetores</a></div> <a href="/wiki/Endomorfismo" title="Endomorfismo">Endomorfismos</a>, aplicações lineares do tipo f : V → V, são particularmente importantes já que nesse caso vetores v podem ser comparados com a sua imagem sob f, f(v). Qualquer vetor não nulo v que satisfaz a condição λv = f(v), em que λ é um escalar, é denominado autovetor de f com autovalor λ.<a href="#cite_note-41">[37]</a> De maneira equivalente, v é um elemento do <a href="/wiki/N%C3%BAcleo_(%C3%A1lgebra_linear)" title="Núcleo (álgebra linear)">núcleo</a> da diferença f − λ · Id (em que Id é a <a href="/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_identidade" title="Função identidade">função identidade</a> V → V). Se V tem dimensão finita, essa afirmação pode ser reformulada usando determinantes: f ter um autovalor λ é equivalente a <dl><dd>det(f − λ · Id) = 0.</dd></dl> Ao desenvolvê-la através da definição de determinante, a expressão à esquerda pode ser analisada enquanto função polinomial de variável λ, chamada de <a href="/wiki/Polin%C3%B4mio_caracter%C3%ADstico" title="Polinômio característico">polinômio característico</a> de f.<a href="#cite_note-42">[38]</a> Se o corpo K for abrangente o suficiente para conter uma raiz desse polinômio (o que acontece automaticamente quando K for <a href="/wiki/Corpo_algebricamente_fechado" title="Corpo algebricamente fechado">algebricamente fechado</a>, tal como K = C), qualquer aplicação linear tem pelo menos um autovetor. O espaço vetorial V pode ou não possuir uma base de autovetores. Esse fenômeno é regido pela <a href="/wiki/Forma_can%C3%B4nica_de_Jordan" title="Forma canônica de Jordan">forma canônica de Jordan</a> da aplicação.<a href="#cite_note-43">[39]</a><a href="#cite_note-44">[nota 5]</a> O conjunto de todos os autovetores associados a um certo autovalor de f forma um espaço vetorial conhecido como <a href="/wiki/Autoespa%C3%A7o" class="mw-redirect" title="Autoespaço">autoespaço</a>. Para alcançar o <a href="/wiki/Teorema_espectral" title="Teorema espectral">teorema espectral</a>, a afirmação correspondente do caso em que a dimensão é infinita, as ferramentas da <a href="/wiki/An%C3%A1lise_funcional" title="Análise funcional">análise funcional</a> são necessárias. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Construções_básicas">Construções básicas</h2>[<a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial&veaction=edit&section=17" title="Editar secção: Construções básicas" class="mw-editsection-visualeditor">editar</a> | <a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial&action=edit&section=17" title="Editar código-fonte da secção: Construções básicas">editar código-fonte</a>]</div> Além dos exemplos concretos citados anteriormente, existem várias construções de álgebra linear padrão que acarretam espaços vetoriais a outros previamente fornecidos. Eles também são caracterizados pelas <a href="/wiki/Propriedade_universal" title="Propriedade universal">propriedades universais</a>, que determinam um objeto X ao especificar as transformações lineares dele para qualquer outro espaço vetorial. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Subespaços_e_espaços_quociente">Subespaços e espaços quociente</h3>[<a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial&veaction=edit&section=18" title="Editar secção: Subespaços e espaços quociente" class="mw-editsection-visualeditor">editar</a> | <a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial&action=edit&section=18" title="Editar código-fonte da secção: Subespaços e espaços quociente">editar código-fonte</a>]</div> <div class="hatnote"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/17px-Magnifying_glass_01.svg.png" decoding="async" width="17" height="17" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/26px-Magnifying_glass_01.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/34px-Magnifying_glass_01.svg.png 2x" data-file-width="663" data-file-height="659" />Ver artigos principais: <a href="/wiki/Subespa%C3%A7o_vetorial" title="Subespaço vetorial">Subespaço vetorial</a> e <a href="/wiki/Espa%C3%A7o_quociente_(%C3%A1lgebra_linear)" title="Espaço quociente (álgebra linear)">Espaço quociente</a></div> <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Ficheiro:Linear_subspaces_with_shading.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2f/Linear_subspaces_with_shading.svg/250px-Linear_subspaces_with_shading.svg.png" decoding="async" width="250" height="182" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2f/Linear_subspaces_with_shading.svg/375px-Linear_subspaces_with_shading.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2f/Linear_subspaces_with_shading.svg/500px-Linear_subspaces_with_shading.svg.png 2x" data-file-width="325" data-file-height="236" /></a><figcaption>Uma linha que passa pela <a href="/wiki/Origem_de_coordenadas" title="Origem de coordenadas">origem</a> (em azul, linha mais grossa) em <a href="/wiki/Espa%C3%A7o_euclidiano" title="Espaço euclidiano">R3</a> é um subespaço vetorial. Ela é a interseção de dois <a href="/wiki/Plano_(geometria)" title="Plano (geometria)">planos</a> (verde e amarelo).</figcaption></figure> Um <a href="/wiki/Subconjunto" title="Subconjunto">subconjunto</a> não-vazio W de um espaço vetorial V que é fechado sob adição e multiplicação por escalar (e portanto contém o vetor nulo 0 de V) é chamado de subespaço vetorial de V, ou simplesmente um subespaço de V, quando o objeto em questão for, de forma não ambígua, um espaço vetorial.<a href="#cite_note-45">[40]</a><a href="#cite_note-46">[nota 6]</a> Subespaços de V são espaços vetoriais próprios (sobre o mesmo corpo). A interseção de todos os subespaços contendo um determinado conjunto S de vetores é denominado como seu <a href="/wiki/Espa%C3%A7o_vetorial_gerado" class="mw-redirect" title="Espaço vetorial gerado">espaço vetorial gerado</a> (ou, ainda, ger ou span), e é o menor subespaço de V contendo o conjunto S. Expressado em termos de elementos, o span é o subespaço que contém todas as <a href="/wiki/Combina%C3%A7%C3%B5es_lineares" class="mw-redirect" title="Combinações lineares">combinações lineares</a> dos elementos de S.<a href="#cite_note-47">[41]</a> Um subespaço vetorial de dimensão 1 é uma linha vetorial. Um subespaço de dimensão 2 é um plano vetorial. Um subespaço vetorial que contém todos a menos de um dos elementos de uma base do espaço principal é um hiperplano vetorial. Em um espaço vetorial de dimensão finita n, um <a href="/wiki/Hiperplano" title="Hiperplano">hiperplano</a> de vetores é portanto um subespaço de dimensão n – 1. A contrapartida dos subespaços são os espaços vetoriais quocientes.<a href="#cite_note-48">[42]</a> Dado qualquer subespaço W ⊂ V, o espaço quociente V/W ("V módulo W") é definido da seguinte maneira: enquanto conjunto, ele consiste de v + W = {v + w : w ∈ W}, em que v é um vetor arbitrário em V; enquanto espaço vetorial, a soma de dois elementos desse tipo v1 + W e v2 + W é dada por (v1 + v2) + W, e a multiplicação por escalar obedece a relação a · (v + W) = (a · v) + W. A questão chave dessa definição é que v1 + W = v2 + W <a href="/wiki/Se_e_somente_se" title="Se e somente se">se e somente se</a> a diferença de v1 e v2 estiver em W.<a href="#cite_note-49">[nota 7]</a> Dessa maneira, o espaço quociente "esquece" da informação contida no subespaço W. O <a href="/wiki/N%C3%BAcleo_(%C3%A1lgebra_linear)" title="Núcleo (álgebra linear)">núcleo</a> ker(f) (do <a href="/wiki/L%C3%ADngua_inglesa" title="Língua inglesa">inglês</a>, kernel) de uma transformação linear f : V → W consiste em vetores v que são mapeados para o vetor 0 em W (o vetor nulo de W).<a href="#cite_note-50">[43]</a> Tanto o núcleo quanto a <a href="/wiki/Imagem_(matem%C3%A1tica)" class="mw-redirect" title="Imagem (matemática)">imagem</a> im(f) = {f(v) : v ∈ V} são subespaços de V e W, respectivamente.<a href="#cite_note-51">[44]</a> A existência de núcleos e imagens é parte do enunciado de que a <a href="/w/index.php?title=Categoria_de_espa%C3%A7os_vetoriais&action=edit&redlink=1" class="new" title="Categoria de espaços vetoriais (página não existe)">categoria de espaços vetoriais</a> (sobre um corpo fixo K) é uma <a href="/wiki/Categoria_abeliana" title="Categoria abeliana">categoria abeliana</a>, isto é, um corpo de objetos matemáticos e de transformações que preservem a estrutura entre eles (uma <a href="/wiki/Categoria_(matem%C3%A1tica)" class="mw-redirect" title="Categoria (matemática)">categoria</a>), que se comporta de forma muito semelhante a uma <a href="/wiki/Categoria_de_grupos_abelianos" title="Categoria de grupos abelianos">categoria de grupos abelianos</a>.<a href="#cite_note-52">[45]</a> Por causa disso, enunciados como o <a href="/wiki/Teorema_do_n%C3%BAcleo_e_da_imagem" title="Teorema do núcleo e da imagem">teorema do núcleo e da imagem</a> (também chamado de teorema do <a href="/wiki/Posto_(matem%C3%A1tica)" class="mw-redirect" title="Posto (matemática)">posto</a> e da <a href="/wiki/Nulidade" title="Nulidade">nulidade</a>, no contexto de matrizes), <dl><dd>V / ker(f) ≡ im(f),</dd></dl> podem ser formulados e provados de uma maneira similar ao que se faria para demonstrar enunciados equivalentes para <a href="/wiki/Grupo_(matem%C3%A1tica)" title="Grupo (matemática)">grupos</a>. Um exemplo importante é o do núcleo da transformação linear x ↦ Ax para alguma matriz fixa A. O núcleo dessa aplicação é o subespaço dos vetores x tais que Ax = 0, que é exatamente o conjunto das soluções do sistema de equações lineares homogêneas associadas a A. Esse conceito também se estende para equações diferenciais lineares, cuja forma geral é <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{0}f+a_{1}{\frac {df}{dx}}+a_{2}{\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}+\cdots +a_{n}{\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mi>f</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{0}f+a_{1}{\frac {df}{dx}}+a_{2}{\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}+\cdots +a_{n}{\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}=0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ac57ef219582eb288b66d6c8b6a6ea1ac4c60df" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:41.343ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle a_{0}f+a_{1}{\frac {df}{dx}}+a_{2}{\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}+\cdots +a_{n}{\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}=0}">, em que os coeficientes ai são também funções de x.</dd></dl> Na transformação linear correspondente <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\mapsto D(f)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}{\frac {d^{i}f}{dx^{i}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">↦</mo> <mi>D</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msup> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\mapsto D(f)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}{\frac {d^{i}f}{dx^{i}}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd8f704666325a4c630b9e751cf39fc0fe39e333" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:22.956ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle f\mapsto D(f)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}{\frac {d^{i}f}{dx^{i}}}}">,</dd></dl> as <a href="/wiki/Derivada" title="Derivada">derivadas</a> da função f aparecem de forma linear (ao contrário de f′′(x)2, por exemplo). Como a diferenciação é um procedimento linear (isto é, (f + g)′ = f′ + g ′ e (c·f)′ = c·f′ para uma constante c), essa transformação também é linear, denominada um <a href="/wiki/Operador_diferencial_linear" class="mw-redirect" title="Operador diferencial linear">operador diferencial linear</a>. Em particular, as soluções da equação diferencial D(f) = 0 formam um espaço vetorial (sobre R ou sobre C). <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Produto_direto_e_soma_direta">Produto direto e soma direta</h3>[<a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial&veaction=edit&section=19" title="Editar secção: Produto direto e soma direta" class="mw-editsection-visualeditor">editar</a> | <a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial&action=edit&section=19" title="Editar código-fonte da secção: Produto direto e soma direta">editar código-fonte</a>]</div> <div class="hatnote"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/17px-Magnifying_glass_01.svg.png" decoding="async" width="17" height="17" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/26px-Magnifying_glass_01.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/34px-Magnifying_glass_01.svg.png 2x" data-file-width="663" data-file-height="659" />Ver artigos principais: <a href="/w/index.php?title=Produto_direto&action=edit&redlink=1" class="new" title="Produto direto (página não existe)">Produto direto</a> e <a href="/wiki/Soma_direta" title="Soma direta">Soma direta</a></div> O produto direto de espaços vetoriais e a soma direta de espaços vetoriais são duas maneiras de combinar uma família indexada de espaços vetoriais em um novo espaço vetorial. O produto direto <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle {\prod _{i\in I}V_{i}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <munder> <mo>∏</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>∈</mo> <mi>I</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>V</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle {\prod _{i\in I}V_{i}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b7276b7a71c0022b5221c0a2a891548b1b01159" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:7.46ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \textstyle {\prod _{i\in I}V_{i}}}"> de uma família de espaços vetoriais Vi consiste em um conjunto de todas as <a href="/wiki/%C3%8Anupla" class="mw-redirect" title="Ênupla">ênuplas</a> (vi)i ∈ I, que especificam para cada índice i em algum <a href="/w/index.php?title=Conjunto_de_%C3%ADndices&action=edit&redlink=1" class="new" title="Conjunto de índices (página não existe)">conjunto de índices</a> I um elemento vi de Vi.<a href="#cite_note-53">[46]</a> Adição e multiplicação por escalar são realizadas componente a componente. Uma variação dessa construção é a soma direta <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \oplus _{i\in I}V_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mo>⊕</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>∈</mo> <mi>I</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>V</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \oplus _{i\in I}V_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aebf7954910c4fa74c07c53243f26346f5d8b474" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.688ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \oplus _{i\in I}V_{i}}"> (também chamada <a href="/wiki/Coproduto_categorial" title="Coproduto categorial">coproduto</a> e denotada por <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle {\coprod _{i\in I}V_{i}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <munder> <mo>∐</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>∈</mo> <mi>I</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>V</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle {\coprod _{i\in I}V_{i}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f9f1c6d6477a9f53e46c0f32ef80bc919745fb7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:7.46ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \textstyle {\coprod _{i\in I}V_{i}}}">), em que somente as ênuplas com um número finito de vetores nulos são permitidas. Se o conjunto de índices I é finito, as duas construções são a mesma; porém, de forma mais geral, elas são distintas. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Produto_tensorial">Produto tensorial</h3>[<a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial&veaction=edit&section=20" title="Editar secção: Produto tensorial" class="mw-editsection-visualeditor">editar</a> | <a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial&action=edit&section=20" title="Editar código-fonte da secção: Produto tensorial">editar código-fonte</a>]</div> <div class="hatnote"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/17px-Magnifying_glass_01.svg.png" decoding="async" width="17" height="17" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/26px-Magnifying_glass_01.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/34px-Magnifying_glass_01.svg.png 2x" data-file-width="663" data-file-height="659" />Ver artigo principal: <a href="/wiki/Produto_tensorial" title="Produto tensorial">Produto tensorial</a></div> O produto tensorial V ⊗F W, ou simplesmente V ⊗ W, de dois espaços vetoriais V e W é uma das noções centrais da <a href="/wiki/%C3%81lgebra_multilinear" title="Álgebra multilinear">álgebra multilinear</a>, que lida com noções estendidas como a de transformações lineares a várias variáveis. Um mapeamento g : <a href="/wiki/Produto_cartesiano" title="Produto cartesiano">V × W</a> → X é chamado de <a href="/w/index.php?title=Mapa_bilinear&action=edit&redlink=1" class="new" title="Mapa bilinear (página não existe)">bilinear</a> se g é linear em ambas as variáveis v e w. Isto é, para um w fixo o mapa v ↦ g(v, w) é linear no sentido acima; isso então também é válido para um v fixo. O produto tensorial é um espaço vetorial particular que é um receptor universal de mapeamentos bilineares g, como a seguir. Ele é definido como um espaço vetorial que consiste de somas (formais) finitas de símbolos chamados de <a href="/wiki/Tensor" title="Tensor">tensores</a> <dl><dd>v1 ⊗ w1 + v2 ⊗ w2 + ... + vn ⊗ wn,</dd></dl> sujeitos às regras <dl><dd>a · (v ⊗ w) = (a · v) ⊗ w = v ⊗ (a · w), em que a é um escalar,</dd> <dd>(v1 + v2) ⊗ w = v1 ⊗ w + v2 ⊗ w, e</dd> <dd>v ⊗ (w1 + w2) = v ⊗ w1 + v ⊗ w2.<a href="#cite_note-54">[47]</a></dd></dl> <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Ficheiro:Universal_tensor_prod.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d3/Universal_tensor_prod.svg/200px-Universal_tensor_prod.svg.png" decoding="async" width="200" height="115" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d3/Universal_tensor_prod.svg/300px-Universal_tensor_prod.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d3/Universal_tensor_prod.svg/400px-Universal_tensor_prod.svg.png 2x" data-file-width="248" data-file-height="142" /></a><figcaption><a href="/wiki/Diagrama_comutativo" title="Diagrama comutativo">Diagrama comutativo</a> evidenciando a propriedade universal do produto tensorial.</figcaption></figure> Essas regras garantem que o mapa f de V × W para V ⊗ W, que envia a <a href="/wiki/%C3%8Anupla" class="mw-redirect" title="Ênupla">ênupla</a> (v, w) para v ⊗ w, seja bilinear. A universalidade enuncia que dado qualquer espaço vetorial X e qualquer mapa bilinear g : V × W → X, existe um mapa único u, mostrado no diagrama com uma seta pontilhada, cuja <a href="/wiki/Composi%C3%A7%C3%A3o_de_fun%C3%A7%C3%B5es" title="Composição de funções">composição</a> com f é igual a g: u(v ⊗ w) = g(v, w).<a href="#cite_note-55">[48]</a> Isso é chamado de <a href="/wiki/Propriedade_universal" title="Propriedade universal">propriedade universal</a> do produto tensorial, uma ocorrência do método — muito utilizado em álgebra abstrata avançada — de indiretamente definir objetos ao especificar mapas de ou para esse objeto. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Espaços_vetoriais_com_estrutura_adicional">Espaços vetoriais com estrutura adicional</h2>[<a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial&veaction=edit&section=21" title="Editar secção: Espaços vetoriais com estrutura adicional" class="mw-editsection-visualeditor">editar</a> | <a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial&action=edit&section=21" title="Editar código-fonte da secção: Espaços vetoriais com estrutura adicional">editar código-fonte</a>]</div> Do ponto de vista da álgebra linear, os espaços vetoriais são completamente compreendidos na medida em que qualquer espaço vetorial é caracterizado, de modo isomórfico, pela sua dimensão. Contudo, espaços vetoriais por si só não oferecem um escopo no qual é possível responder à questão — essencial para análise — de quando, ou se, uma série de funções <a href="/wiki/Limite_de_uma_sequ%C3%AAncia" title="Limite de uma sequência">converge</a> para outra função. Da mesma forma, a álgebra linear não é adaptada para lidar com <a href="/wiki/S%C3%A9rie_(matem%C3%A1tica)" title="Série (matemática)">séries infinitas</a>, já que a operação de adição permite somente a soma de um número finito de termos. Assim, as demandas do ramo da <a href="/wiki/An%C3%A1lise_funcional" title="Análise funcional">análise funcional</a> fazem com que sejam considerados espaços vetoriais com estrutura adicional. Um espaço vetorial pode ser <a href="/wiki/Conjunto_parcialmente_ordenado" title="Conjunto parcialmente ordenado">parcialmente ordenado</a> ≤, de modo que certos vetores possam ser comparados.<a href="#cite_note-56">[49]</a> Por exemplo, um espaço vetorial real n-dimensional Rn pode ser ordenado ao se comparar os vetores componente à componente. <a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial_ordenado&action=edit&redlink=1" class="new" title="Espaço vetorial ordenado (página não existe)">Espaços vetoriais ordenados</a>, como os <a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_de_Riesz&action=edit&redlink=1" class="new" title="Espaço de Riesz (página não existe)">espaços de Riesz</a>, são fundamentais para a formulação da <a href="/wiki/Integral_de_Lebesgue" title="Integral de Lebesgue">integral de Lebesgue</a>, que requer que uma função qualquer seja expressa como a diferença de duas funções positivas <dl><dd>f = f+ − f−,</dd></dl> em que f+ denota a parte positiva de f e f− a parte negativa.<a href="#cite_note-57">[50]</a> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Espaços_vetoriais_normados_e_com_produto_interno">Espaços vetoriais normados e com produto interno</h3>[<a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial&veaction=edit&section=22" title="Editar secção: Espaços vetoriais normados e com produto interno" class="mw-editsection-visualeditor">editar</a> | <a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial&action=edit&section=22" title="Editar código-fonte da secção: Espaços vetoriais normados e com produto interno">editar código-fonte</a>]</div> <div class="hatnote"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/17px-Magnifying_glass_01.svg.png" decoding="async" width="17" height="17" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/26px-Magnifying_glass_01.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/34px-Magnifying_glass_01.svg.png 2x" data-file-width="663" data-file-height="659" />Ver artigos principais: <a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial_normado&action=edit&redlink=1" class="new" title="Espaço vetorial normado (página não existe)">Espaço vetorial normado</a> e <a href="/wiki/Espa%C3%A7o_com_produto_interno" class="mw-redirect" title="Espaço com produto interno">Espaço com produto interno</a></div> O processo de "medida" de vetores é feito ao se especificar uma <a href="/wiki/Norma_(matem%C3%A1tica)" title="Norma (matemática)">norma</a>, uma função que mede o comprimento de um vetor, ou definindo um <a href="/wiki/Produto_interno" title="Produto interno">produto interno</a>, que mede ângulos entre vetores. Normas e produtos internos são denotados por <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\mathbf {v} |}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">v</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\mathbf {v} |}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16a779e65de92152d395f5576ce1001c8e56d7f6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.705ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |\mathbf {v} |}"> e <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">v</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">w</mi> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18d022cb529f7cc349ef10f48eb80887f6ee4d6d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.185ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle }">, respectivamente. Espaços vetoriais dotados dessa estrutura são denominados espaços vetoriais normados e espaços com produto interno, respectivamente.<a href="#cite_note-58">[51]</a> É possível obter uma norma a partir de um produto interno, definindo-a como <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\mathbf {v} |:={\sqrt {\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">v</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>:=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">v</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">v</mi> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\mathbf {v} |:={\sqrt {\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd946189c9ab4d1689d75c0925254d573271b700" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:14.439ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle |\mathbf {v} |:={\sqrt {\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}}">. O espaço de coordenadas Kn pode ser equipado com o <a href="/wiki/Produto_escalar" title="Produto escalar">produto escalar</a> canônico: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =x_{1}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{n}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">y</mi> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">y</mi> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =x_{1}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{n}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94ccff40a4dd85b183730657b9874e0de84ad2cc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:34.897ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =x_{1}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{n}.}"></dd></dl> Em R2, isso reflete a noção comum de ângulo entre dois vetores x e y, pela <a href="/wiki/Lei_dos_cossenos" title="Lei dos cossenos">lei dos cossenos</a>: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\cos \left(\angle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\right)\cdot |\mathbf {x} |\cdot |\mathbf {y} |.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">y</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi mathvariant="normal">∠</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">y</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">y</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\cos \left(\angle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\right)\cdot |\mathbf {x} |\cdot |\mathbf {y} |.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3aebaa2199918778e31afd4e84b132d223dc6ce" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.278ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\cos \left(\angle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\right)\cdot |\mathbf {x} |\cdot |\mathbf {y} |.}"></dd></dl> Por causa disso, dois vetores que satisfaçam <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">y</mi> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91c94233efe3dbc09548f4716e5c44438c7ea8a0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.926ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =0}"> são chamados de <a href="/wiki/Ortogonal" class="mw-redirect" title="Ortogonal">ortogonais</a>. Uma variante importante do produto interno padrão é usado no <a href="/wiki/Espa%C3%A7o_de_Minkowski" title="Espaço de Minkowski">espaço de Minkowski</a>; isto é, o espaço R4 dotado do produto de Lorentz <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle \mathbf {x} |\mathbf {y} \rangle =x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}-x_{4}y_{4}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">y</mi> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle \mathbf {x} |\mathbf {y} \rangle =x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}-x_{4}y_{4}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0613e2ebaa3b76e545aaeeb8b8b7dfe2ddac4a89" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:35.854ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \langle \mathbf {x} |\mathbf {y} \rangle =x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}-x_{4}y_{4}.}"><a href="#cite_note-59">[52]</a></dd></dl> Em contraste com o produto escalar padrão, ele não é <a href="/wiki/Forma_quadr%C3%A1tica_definida" title="Forma quadrática definida">positivo definido</a>: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle \mathbf {x} |\mathbf {x} \rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle \mathbf {x} |\mathbf {x} \rangle }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c473743b12e418662333624c8a95e4f475e89e3e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.278ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \langle \mathbf {x} |\mathbf {x} \rangle }"> também pode assumir valores negativos, como por exemplo para <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {x} =(0,0,0,1)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {x} =(0,0,0,1)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0e33d3303e217615f941ef6154dc26573d0596c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.07ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {x} =(0,0,0,1)}">. Isolar a quarta temporada — <a href="/wiki/Espa%C3%A7o-tempo" title="Espaço-tempo">correspondente ao tempo</a>, em vez das três dimensões espaciais — é útil para o tratamento matemático da <a href="/wiki/Relatividade_restrita" title="Relatividade restrita">relatividade restrita</a>. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Espaços_vetoriais_topológicos">Espaços vetoriais topológicos</h3>[<a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial&veaction=edit&section=23" title="Editar secção: Espaços vetoriais topológicos" class="mw-editsection-visualeditor">editar</a> | <a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial&action=edit&section=23" title="Editar código-fonte da secção: Espaços vetoriais topológicos">editar código-fonte</a>]</div> <div class="hatnote"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/17px-Magnifying_glass_01.svg.png" decoding="async" width="17" height="17" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/26px-Magnifying_glass_01.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/34px-Magnifying_glass_01.svg.png 2x" data-file-width="663" data-file-height="659" />Ver artigo principal: <a href="/wiki/Espa%C3%A7o_vetorial_topol%C3%B3gico" class="mw-redirect" title="Espaço vetorial topológico">Espaço vetorial topológico</a></div> Questões de convergência são tratadas ao considerar espaços vetoriais que comportem uma <a href="/wiki/Espa%C3%A7o_topol%C3%B3gico" title="Espaço topológico">topologia</a> compatível, uma estrutura que permite descrever pontos como sendo <a href="/wiki/Vizinhan%C3%A7a_(matem%C3%A1tica)" title="Vizinhança (matemática)">próximos uns dos outros</a>.<a href="#cite_note-60">[53]</a><a href="#cite_note-61">[54]</a> A compatibilidade significa que a adição e a multiplicação por escalar precisam ser <a href="/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_cont%C3%ADnua" title="Função contínua">mapas contínuos</a>. Em resumo, se x e y em um espaço vetorial V e a no corpo K variarem por uma quantidade limitada, então x + y e ax variam limitadamente.<a href="#cite_note-62">[nota 8]</a> Para dar sentido em especificar o quanto um escalar varia, o corpo K também precisa carregar uma topologia nesse contexto; opções comuns de corpos são o dos números reais e o dos números complexos. Nesses espaços vetoriais topológicos é possível considerar <a href="/wiki/S%C3%A9rie_(matem%C3%A1tica)" title="Série (matemática)">série</a> de vetores. A soma infinita <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }f_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }f_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/699d98ae3393e8096a8f85d04f9158d1aec48a49" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:5.681ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }f_{i}}"></dd></dl> denota o <a href="/wiki/Limite_de_uma_sequ%C3%AAncia" title="Limite de uma sequência">limite</a> das somas parciais finitas correspondentes da sequência (fi)i∈N de elementos de V. Por exemplo, os elementos fi podem ser funções (reais ou complexas) pertencentes a algum <a href="/wiki/Espa%C3%A7o_funcional" title="Espaço funcional">espaço funcional</a> V, de modo que a soma infinita seja uma <a href="/wiki/S%C3%A9rie_de_fun%C3%A7%C3%B5es" title="Série de funções">série de funções</a>. O <a href="/w/index.php?title=Modos_de_converg%C3%AAncia&action=edit&redlink=1" class="new" title="Modos de convergência (página não existe)">modo de convergência</a> da série é dependente da topologia imposta ao espaço funcional. Nesses casos, <a href="/wiki/Converg%C3%AAncia_pontual" title="Convergência pontual">convergência pontual</a> e <a href="/wiki/Converg%C3%AAncia_uniforme" title="Convergência uniforme">convergência uniforme</a> são dois exemplos proeminentes. <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Ficheiro:Vector_norms2.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/02/Vector_norms2.svg/250px-Vector_norms2.svg.png" decoding="async" width="250" height="260" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/02/Vector_norms2.svg/375px-Vector_norms2.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/02/Vector_norms2.svg/500px-Vector_norms2.svg.png 2x" data-file-width="169" data-file-height="176" /></a><figcaption><a href="/w/index.php?title=Esfera_unit%C3%A1rias&action=edit&redlink=1" class="new" title="Esfera unitárias (página não existe)">"Esferas" unitárias</a> no R2 consistindo de vetores planos de norma 1. Estão ilustradas esferas em diferentes <a href="/wiki/Espa%C3%A7o_Lp" title="Espaço Lp">p-normas</a>, para p = 1, 2, e ∞. O diamante maior representa pontos com 1-norma igual a 2.</figcaption></figure> Uma maneira de garantir a existência de limites de certas séries infinitas é restringir o estudo a espaços onde qualquer <a href="/wiki/Sequ%C3%AAncia_de_Cauchy" class="mw-redirect" title="Sequência de Cauchy">sequência de Cauchy</a> possui limite; tais espaços vetoriais são denominados <a href="/wiki/Espa%C3%A7o_completo" title="Espaço completo">completos</a>. Simplificadamente, um espaço vetorial é dito completo contanto que contenha todos os limites necessários; o espaço vetorial dos polinômios nos <a href="/wiki/Intervalo_unit%C3%A1rio" title="Intervalo unitário">intervalo unitário</a> [0,1], equipado com a <a href="/w/index.php?title=Topologia_de_converg%C3%AAncia_uniforme&action=edit&redlink=1" class="new" title="Topologia de convergência uniforme (página não existe)">topologia de convergência uniforme</a>, não é completo, pois qualquer função contínua em [0,1] pode ser uniformemente aproximada por uma sequência de polinômios (<a href="/wiki/Teorema_de_Stone-Weierstrass" title="Teorema de Stone-Weierstrass">Teorema de Stone-Weierstrass</a>).<a href="#cite_note-63">[55]</a> Em contraste, o espaço de todas as funções contínuas em [0,1] equipado com a mesma topologia é completo.<a href="#cite_note-64">[56]</a> Uma norma acarreta uma topologia ao definir que uma sequência de vetores vn convirja para v se e somente se <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lim _{n\to \infty }|\mathbf {v} _{n}-\mathbf {v} |=0.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">v</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">v</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lim _{n\to \infty }|\mathbf {v} _{n}-\mathbf {v} |=0.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df0483d6124c00638b669967171f5883444ea222" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:17.742ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle \lim _{n\to \infty }|\mathbf {v} _{n}-\mathbf {v} |=0.}"></dd></dl> Espaços de Banach e Hilbert são espaços vetoriais topológicos completos cujas topologias são fornecidas, respectivamente, por uma norma e por um produto interno. O estudo deles — uma peça-chave da <a href="/wiki/An%C3%A1lise_funcional" title="Análise funcional">análise funcional</a> — tem como foco espaços vetoriais de dimensão infinita, já que todas as normas em espaços topológicos de dimensão finita fornecem a mesma noção de convergência.<a href="#cite_note-65">[57]</a> A imagem à direita mostra a equivalência da 1-norma e da ∞-norma no R2: com as "bolas" unitárias englobando-se umas às outras, uma sequência converge a zero em uma norma se e somente se o fizer em uma outra norma. No caso de dimensão infinita, entretanto, em geral existirão topologias não equivalentes, o que faz com que o estudo espaços vetoriais topológicos seja mais rico do que o de espaços vetoriais sem essa estrutura adicional. De um ponto de vista conceitual, todas as noções relacionadas a espaços vetoriais topológicos devem ser compatíveis com a topologia associada. Por exemplo, ao invés de considerar todas as transformações lineares (também chamadas de <a href="/wiki/Funcional" title="Funcional">funcionais</a>) V → W, exige-se que mapas entre espaços vetoriais topológicos sejam contínuos.<a href="#cite_note-66">[58]</a> Em particular, o espaço dual (topológico) V∗ consiste dos funcionais contínuos V → R (ou para C). O <a href="/wiki/Teorema_de_Hahn-Banach" title="Teorema de Hahn-Banach">teorema de Hahn-Banach</a> tem por objetivo a separação de subespaços de espaços vetoriais topológicos adequados por funcionais contínuos.<a href="#cite_note-67">[59]</a> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Espaços_de_Banach">Espaços de Banach</h4>[<a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial&veaction=edit&section=24" title="Editar secção: Espaços de Banach" class="mw-editsection-visualeditor">editar</a> | <a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial&action=edit&section=24" title="Editar código-fonte da secção: Espaços de Banach">editar código-fonte</a>]</div> <div class="hatnote"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/17px-Magnifying_glass_01.svg.png" decoding="async" width="17" height="17" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/26px-Magnifying_glass_01.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/34px-Magnifying_glass_01.svg.png 2x" data-file-width="663" data-file-height="659" />Ver artigo principal: <a href="/wiki/Espa%C3%A7o_de_Banach" title="Espaço de Banach">Espaço de Banach</a></div> Espaços de Banach, introduzidos por <a href="/wiki/Stefan_Banach" title="Stefan Banach">Stefan Banach</a>, são espaços vetoriais normados completos.<a href="#cite_note-68">[60]</a> Um primeiro exemplo é o <a href="/wiki/Espa%C3%A7o_Lp" title="Espaço Lp">espaço vetorial <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ell ^{p}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>ℓ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ell ^{p}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9c352341ab7260ca1a9004da44c897d1395203c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.029ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \ell ^{p}}"></a> composto de vetores com infinitas entradas reais <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {x} =\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},\ldots \right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {x} =\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},\ldots \right)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6e0cca1cbc4d8b2503004b51ccc5f8c92edae1a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.604ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {x} =\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},\ldots \right)}">, cuja <a href="/wiki/Espa%C3%A7o_Lp" title="Espaço Lp"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}">-norma</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (1\leq {p}\leq \infty )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>≤</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> <mo>≤</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (1\leq {p}\leq \infty )}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11bf2d7190b75e023b24d2cbb1891b18bf26cd9a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.662ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (1\leq {p}\leq \infty )}"> dado por <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left\Vert \mathbf {x} \right\Vert _{p}:=\left(\sum _{i}\left\vert x_{i}\right\vert ^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow> <mo symmetric="true">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo symmetric="true">‖</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo>:=</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msup> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>p</mi> </mfrac> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left\Vert \mathbf {x} \right\Vert _{p}:=\left(\sum _{i}\left\vert x_{i}\right\vert ^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/855876c19a4cc7634b6de62a95053b9168785e4b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:22.186ex; height:8.676ex;" alt="{\displaystyle \left\Vert \mathbf {x} \right\Vert _{p}:=\left(\sum _{i}\left\vert x_{i}\right\vert ^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}"> para <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p<\infty }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> <mo><</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p<\infty }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ded01e00d96bc3f0a04d23df325fdff72ac41e85" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:6.681ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle p<\infty }">   e    <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left\Vert \mathbf {x} \right\Vert _{\infty }:={\text{sup}}_{i}\left\vert x_{i}\right\vert }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow> <mo symmetric="true">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo symmetric="true">‖</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </msub> <mo>:=</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>sup</mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>|</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left\Vert \mathbf {x} \right\Vert _{\infty }:={\text{sup}}_{i}\left\vert x_{i}\right\vert }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19205aac6b5bfdc314acda8f229cfab6c67d0705" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:17.468ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \left\Vert \mathbf {x} \right\Vert _{\infty }:={\text{sup}}_{i}\left\vert x_{i}\right\vert }">.</dd></dl> As topologias do espaço <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ell ^{p}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>ℓ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ell ^{p}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9c352341ab7260ca1a9004da44c897d1395203c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.029ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \ell ^{p}}"> de dimensão infinita não são equivalentes para diferentes valores de <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}">. Como exemplo, a sequência de vetores <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {x} _{n}=\left(2^{-n},2^{-n},\ldots ,2^{-n},0,0,\ldots \right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {x} _{n}=\left(2^{-n},2^{-n},\ldots ,2^{-n},0,0,\ldots \right)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78e325d26c8f2a371aa1f7ce1734701d5c88594b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:33.198ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {x} _{n}=\left(2^{-n},2^{-n},\ldots ,2^{-n},0,0,\ldots \right)}">, em que as primeiras <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2^{n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8226f30650ee4fe4e640c6d2798127e80e9c160d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.381ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 2^{n}}"> componentes são <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2^{-n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2^{-n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0414b5d9e81c2eb5bd85a6ca4af24b69d5336dad" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.659ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 2^{-n}}"> e as seguintes são <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}">, converge para o <a href="/wiki/Vetor_nulo" class="mw-redirect" title="Vetor nulo">vetor nulo</a> para <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p=\infty }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p=\infty }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42846cbf8fc7db1ff19e51d0d43ca84c249b062b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:6.681ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p=\infty }">, mas não para <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p=1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c29a2f2fb3f642618036ed7a79712202e7ada924" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:5.52ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle p=1}">: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left\Vert \mathbf {x} _{n}\right\Vert _{_{\infty }}=\sup(2^{-n},0)=2^{-n}\rightarrow 0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow> <mo symmetric="true">‖</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo symmetric="true">‖</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo movablelimits="true" form="prefix">sup</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">→</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left\Vert \mathbf {x} _{n}\right\Vert _{_{\infty }}=\sup(2^{-n},0)=2^{-n}\rightarrow 0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e77e112e903c77bc7575600f9c1636cc5a085de7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:32.484ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \left\Vert \mathbf {x} _{n}\right\Vert _{_{\infty }}=\sup(2^{-n},0)=2^{-n}\rightarrow 0}">, mas <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left\Vert \mathbf {x} _{n}\right\Vert _{1}=\sum _{i=1}^{2^{n}}2^{-n}=2^{n}\cdot 2^{-n}=1.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow> <mo symmetric="true">‖</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo symmetric="true">‖</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mrow> </munderover> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>1.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left\Vert \mathbf {x} _{n}\right\Vert _{1}=\sum _{i=1}^{2^{n}}2^{-n}=2^{n}\cdot 2^{-n}=1.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/daa84750e61e06d06f7464ecdd6c1b00d0b2ff17" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:32.234ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle \left\Vert \mathbf {x} _{n}\right\Vert _{1}=\sum _{i=1}^{2^{n}}2^{-n}=2^{n}\cdot 2^{-n}=1.}"></dd></dl> De forma mais geral do que sequências de números reais, funções <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon \Omega \to \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi mathvariant="normal">Ω</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon \Omega \to \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79b5db51587979cab7e95987f81139d30b7a263d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.283ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon \Omega \to \mathbb {R} }"> são equipados com uma norma que substitui a soma acima pela <a href="/wiki/Integral_de_Lebesgue" title="Integral de Lebesgue">integral de Lebesgue</a> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left\Vert {f}\right\Vert _{p}:=\left(\int _{\Omega }\left\vert {f}\left(x\right)\right\vert ^{p}\,{d\mu \left(x\right)}\right)^{\frac {1}{p}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow> <mo symmetric="true">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> <mo symmetric="true">‖</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo>:=</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">Ω</mi> </mrow> </msub> <msup> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>d</mi> <mi>μ</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>p</mi> </mfrac> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left\Vert {f}\right\Vert _{p}:=\left(\int _{\Omega }\left\vert {f}\left(x\right)\right\vert ^{p}\,{d\mu \left(x\right)}\right)^{\frac {1}{p}}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d095f4b6517a3e7a9d5d7c092fbe5b08d8bc2a8c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:31.002ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle \left\Vert {f}\right\Vert _{p}:=\left(\int _{\Omega }\left\vert {f}\left(x\right)\right\vert ^{p}\,{d\mu \left(x\right)}\right)^{\frac {1}{p}}.}"></dd></dl> O espaço das <a href="/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_integr%C3%A1vel" class="mw-redirect" title="Função integrável">funções integráveis</a> em um dado <a href="/wiki/Dom%C3%ADnio_(matem%C3%A1tica)" title="Domínio (matemática)">domínio</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Omega }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Ω</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omega }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24b0d5ca6f381068d756f6337c08e0af9d1eeb6f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Omega }"> (por exemplo um intervalo) satisfazendo <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left\Vert {f}\right\Vert _{p}<\infty }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow> <mo symmetric="true">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> <mo symmetric="true">‖</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo><</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left\Vert {f}\right\Vert _{p}<\infty }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f77ee619caf1c2e5b9967b9631e4d0b063512053" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:10.085ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \left\Vert {f}\right\Vert _{p}<\infty }">, e equipado com essa norma são chamados de <a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_de_Lp&action=edit&redlink=1" class="new" title="Espaço de Lp (página não existe)">espaços de Lebesgue</a>, denotados como <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L^{\;\!p}\left(\Omega \right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>L</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mspace width="thickmathspace" /> <mspace width="negativethinmathspace" /> <mi>p</mi> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi mathvariant="normal">Ω</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L^{\;\!p}\left(\Omega \right)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cee8afc726d70498429b422ee66e656538cac284" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.775ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle L^{\;\!p}\left(\Omega \right)}">.<a href="#cite_note-69">[nota 9]</a> Esses espaços são completos.<a href="#cite_note-70">[61]</a> (Se, ao invés disso, a <a href="/wiki/Integral_de_Riemann" title="Integral de Riemann">integral de Riemann</a> for utilizada, o espaço não é completo, o que pode ser percebido como uma justificativa para a teoria de integração de Lebesgue.) Concretamente, isso significa que para qualquer sequência de funções do integráveis por Lebesgue    <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots ,f_{n},\ldots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots ,f_{n},\ldots }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9308903d6794c2e017f99ed5f3719c87cde17e0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:16.714ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots ,f_{n},\ldots }">   com <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left\Vert {f}_{n}\right\Vert _{p}<\infty }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow> <mo symmetric="true">‖</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo symmetric="true">‖</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo><</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left\Vert {f}_{n}\right\Vert _{p}<\infty }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/339b5ae8f960dc0f0e46df79fdaaa2dc37e5de6c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:11.164ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \left\Vert {f}_{n}\right\Vert _{p}<\infty }">, satisfazendo a condição <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lim _{k,\ n\to \infty }\int _{\Omega }\left\vert {f}_{k}(x)-{f}_{n}(x)\right\vert ^{p}\,{d\mu \left(x\right)}=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munder> <msub> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">Ω</mi> </mrow> </msub> <msup> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>d</mi> <mi>μ</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lim _{k,\ n\to \infty }\int _{\Omega }\left\vert {f}_{k}(x)-{f}_{n}(x)\right\vert ^{p}\,{d\mu \left(x\right)}=0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df6666bd38755d6894f93320c52868f224c86da0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:36.501ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \lim _{k,\ n\to \infty }\int _{\Omega }\left\vert {f}_{k}(x)-{f}_{n}(x)\right\vert ^{p}\,{d\mu \left(x\right)}=0}">.</dd></dl> Existe uma função <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {f}\left(x\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {f}\left(x\right)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bf37622e430d13e17dd2186386a3aab1d4514a5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.805ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {f}\left(x\right)}"> pertencente ao espaço vetorial <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L^{\;\!p}\left(\Omega \right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>L</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mspace width="thickmathspace" /> <mspace width="negativethinmathspace" /> <mi>p</mi> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi mathvariant="normal">Ω</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L^{\;\!p}\left(\Omega \right)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cee8afc726d70498429b422ee66e656538cac284" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.775ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle L^{\;\!p}\left(\Omega \right)}"> tal que <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{\Omega }\left\vert {f}\left(x\right)-{f}_{k}\left(x\right)\right\vert ^{p}\,{d\mu \left(x\right)}=0.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munder> <msub> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">Ω</mi> </mrow> </msub> <msup> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>−</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>d</mi> <mi>μ</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{\Omega }\left\vert {f}\left(x\right)-{f}_{k}\left(x\right)\right\vert ^{p}\,{d\mu \left(x\right)}=0.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3acd2b6b8d147768da77a5aa29329121f13e488" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:34.819ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{\Omega }\left\vert {f}\left(x\right)-{f}_{k}\left(x\right)\right\vert ^{p}\,{d\mu \left(x\right)}=0.}"></dd></dl> Impondo condições de limitação não somente à função, mas também às suas <a href="/wiki/Derivada" title="Derivada">derivadas</a> resulta nos <a href="/wiki/Espa%C3%A7os_de_Sobolev" title="Espaços de Sobolev">espaços de Sobolev</a>.<a href="#cite_note-71">[62]</a> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Espaços_de_Hilbert">Espaços de Hilbert</h4>[<a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial&veaction=edit&section=25" title="Editar secção: Espaços de Hilbert" class="mw-editsection-visualeditor">editar</a> | <a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial&action=edit&section=25" title="Editar código-fonte da secção: Espaços de Hilbert">editar código-fonte</a>]</div> <div class="hatnote"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/17px-Magnifying_glass_01.svg.png" decoding="async" width="17" height="17" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/26px-Magnifying_glass_01.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/34px-Magnifying_glass_01.svg.png 2x" data-file-width="663" data-file-height="659" />Ver artigo principal: <a href="/wiki/Espa%C3%A7o_de_Hilbert" title="Espaço de Hilbert">Espaço de Hilbert</a></div> <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Ficheiro:Periodic_identity_function.gif" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e8/Periodic_identity_function.gif/400px-Periodic_identity_function.gif" decoding="async" width="400" height="103" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e8/Periodic_identity_function.gif 1.5x" data-file-width="491" data-file-height="126" /></a><figcaption>As imagens sucessivas mostram a soma de 1 a 5 termos na aproximação de uma função periódica (azul) por uma soma finita de funções seno (vermelho).</figcaption></figure> Espaços com produto interno completo são conhecidos como espaços de Hilbert, em homenagem a <a href="/wiki/David_Hilbert" title="David Hilbert">David Hilbert</a>.<a href="#cite_note-72">[63]</a> O espaço de Hilbert L2(Ω), com produto interno dado por <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle f\ ,\ g\rangle =\int _{\Omega }f(x){\overline {g(x)}}\,dx,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>f</mi> <mtext> </mtext> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mi>g</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <msub> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">Ω</mi> </mrow> </msub> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle f\ ,\ g\rangle =\int _{\Omega }f(x){\overline {g(x)}}\,dx,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdcbee430122d5256abe43e80315dccef1cd5806" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:24.963ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \langle f\ ,\ g\rangle =\int _{\Omega }f(x){\overline {g(x)}}\,dx,}"></dd></dl> em que <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {g(x)}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {g(x)}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f968b7527fcc59e6aac917588d3d4c81b915828" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.37ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\overline {g(x)}}}"> denota o <a href="/wiki/Conjugado_complexo" class="mw-redirect" title="Conjugado complexo">conjugado complexo</a> de g(x),<a href="#cite_note-Dennery-73">[64]</a><a href="#cite_note-74">[nota 10]</a> é um caso chave. Por definição, em um espaço de Hilbert qualquer sequência de Cauchy converge para um limite. Dessa forma, encontrar uma sequência de funções fn com propriedades desejáveis que aproxime uma dada função limite torna-se crucial. O início da análise, na forma da <a href="/wiki/Aproxima%C3%A7%C3%A3o_de_Taylor" class="mw-redirect" title="Aproximação de Taylor">aproximação de Taylor</a>, estabeleceu uma aproximação de <a href="/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_diferenci%C3%A1vel" title="Função diferenciável">funções diferenciáveis</a> por polinômios.<a href="#cite_note-75">[65]</a> Pelo <a href="/wiki/Teorema_de_Stone-Weierstrass" title="Teorema de Stone-Weierstrass">teorema de Stone-Weierstrass</a>, toda função contínua em um intervalo [a, b] pode ser aproximada tão bem quanto desejado por um polinômio.<a href="#cite_note-76">[66]</a> Uma técnica de aproximação semelhante feita com <a href="/wiki/Fun%C3%A7%C3%B5es_trigonom%C3%A9tricas" class="mw-redirect" title="Funções trigonométricas">funções trigonométricas</a> é comumente chamada de <a href="/wiki/Expans%C3%A3o_de_Fourier" class="mw-redirect" title="Expansão de Fourier">expansão de Fourier</a>, e é muito aplicada em engenharia. De forma mais geral, e mais conceitual, o teorema permite uma descrição simples de quais "funções básicas", ou, no contexto de espaços abstratos de Hilbert, quais vetores básicos são suficientes para gerar o espaço de Hilbert H, no sentido de que o <a href="/wiki/Fecho" title="Fecho">fecho</a> do span desses vetores (isto é, combinações lineares finitas e seus limites) é o espaço inteiro. Tal conjunto de funções é chamada de uma base de H, sua cardinalidade é conhecida como a <a href="/wiki/Espa%C3%A7o_de_Hilbert" title="Espaço de Hilbert">dimensão do espaço de Hilbert</a>.<a href="#cite_note-77">[nota 11]</a> O teorema não apenas mostra funções adequadas para uma base como suficiente para fazer aproximações, mas também, aliado ao <a href="/wiki/Processo_de_Gram-Schmidt" title="Processo de Gram-Schmidt">processo de Gram-Schmidt</a>, permite a construção de uma <a href="/wiki/Base_ortogonal" title="Base ortogonal">base ortogonal de vetores</a>.<a href="#cite_note-78">[67]</a> Tais bases ortogonais são a generalização em espaços de Hilbert dos eixos de coordenadas em <a href="/wiki/Espa%C3%A7os_euclidianos" class="mw-redirect" title="Espaços euclidianos">espaços euclidianos</a>, de dimensão finita. As soluções para várias <a href="/wiki/Equa%C3%A7%C3%B5es_diferenciais" class="mw-redirect" title="Equações diferenciais">equações diferenciais</a> podem ser interpretadas em termos de espaços de Hilbert. Por exemplo, muitas áreas da física e da engenharia deparam-se com tais equações e frequentemente soluções com propriedades físicas particulares são utilizadas como funções de uma base, por vezes ortogonal.<a href="#cite_note-79">[68]</a> Na <a href="/wiki/F%C3%ADsica_qu%C3%A2ntica" class="mw-redirect" title="Física quântica">física quântica</a>, a <a href="/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_de_Schr%C3%B6dinger" title="Equação de Schrödinger">equação de Schrödinger</a> dependente do tempo descreve a mudança de propriedades físicas como função do tempo através de uma <a href="/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_diferencial_parcial" title="Equação diferencial parcial">equação diferencial parcial</a>, cujas soluções são chamadas de <a href="/wiki/Fun%C3%A7%C3%B5es_de_onda" class="mw-redirect" title="Funções de onda">funções de onda</a>.<a href="#cite_note-80">[69]</a> Valores definidos de grandezas físicas como <a href="/wiki/Energia" title="Energia">energia</a> e <a href="/wiki/Momento_linear" title="Momento linear">momento</a> correspondem a <a href="/wiki/Autovalor" class="mw-redirect" title="Autovalor">autovalores</a> de um certo <a href="/wiki/Operador_diferencial" title="Operador diferencial">operador diferencial</a> linear e as funções de onda associadas são chamadas de <a href="/wiki/Estado_qu%C3%A2ntico" title="Estado quântico">autoestados</a>. O <a href="/wiki/Teorema_espectral" title="Teorema espectral">teorema espectral</a> decompõe um <a href="/wiki/Operador_compacto" title="Operador compacto">operador linear compacto</a> que atua sobre uma função em termos dessas autofunções e desses autovalores.<a href="#cite_note-81">[70]</a> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Propriedades">Propriedades</h2>[<a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial&veaction=edit&section=26" title="Editar secção: Propriedades" class="mw-editsection-visualeditor">editar</a> | <a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial&action=edit&section=26" title="Editar código-fonte da secção: Propriedades">editar código-fonte</a>]</div> <ul><li>Se <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v\in V,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>v</mi> <mo>∈</mo> <mi>V</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v\in V,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0415927601750a7c5a284675cdf3b50c6481c294" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.402ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle v\in V,}"> então <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0\cdot v=0.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0</mn> <mo>⋅</mo> <mi>v</mi> <mo>=</mo> <mn>0.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0\cdot v=0.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2c5b8d73963e653cdfdf1cf426a218f1e329267" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.877ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0\cdot v=0.}"><a href="#cite_note-callioli-50-82">[71]</a> Isto é assim porque <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0=0\cdot v-0\cdot v=(0-0)\cdot v=0\cdot v.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0</mn> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>⋅</mo> <mi>v</mi> <mo>−</mo> <mn>0</mn> <mo>⋅</mo> <mi>v</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo>−</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mi>v</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>⋅</mo> <mi>v</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0=0\cdot v-0\cdot v=(0-0)\cdot v=0\cdot v.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a90d2421c488eebc4936c8d43acec0fd10017270" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:35.634ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 0=0\cdot v-0\cdot v=(0-0)\cdot v=0\cdot v.}"></dd></dl></li> <li>Se <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>v</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e07b00e7fc0847fbd16391c778d65bc25c452597" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.128ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle v}"> ∈ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ace9595e3ce66fdec7e9d30202626accd676b11e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.434ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle V,}"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (-1)\cdot v=-v.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mi>v</mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mi>v</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (-1)\cdot v=-v.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6aa32aa9baa229423e8bf7938fbce2342c66a80" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.268ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (-1)\cdot v=-v.}"> Isto é assim porque <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (-1)\cdot v+v=(-1)\cdot v+1\cdot v=((-1)+1)\cdot v=0\cdot v=0.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mi>v</mi> <mo>+</mo> <mi>v</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mi>v</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>⋅</mo> <mi>v</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mi>v</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>⋅</mo> <mi>v</mi> <mo>=</mo> <mn>0.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (-1)\cdot v+v=(-1)\cdot v+1\cdot v=((-1)+1)\cdot v=0\cdot v=0.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c2caa0112cbd2b4af67997993a149a32c1da5e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:57.522ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (-1)\cdot v+v=(-1)\cdot v+1\cdot v=((-1)+1)\cdot v=0\cdot v=0.}"></dd></dl></li> <li>Se <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"> ∈ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>K</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}"> e <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>v</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e07b00e7fc0847fbd16391c778d65bc25c452597" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.128ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle v}"> ∈ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ace9595e3ce66fdec7e9d30202626accd676b11e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.434ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle V,}"> então <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\cdot (-v)=-(a\cdot v).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\cdot (-v)=-(a\cdot v).}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22f36f1f39e26bc75a4fc535a085e4435f911076" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.053ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a\cdot (-v)=-(a\cdot v).}"><a href="#cite_note-callioli-50-82">[71]</a> Isto é assim porque <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\cdot (-v)+a\cdot v=a\cdot (-v+v)=a\cdot 0=0.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mi>v</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>v</mi> <mo>+</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mn>0</mn> <mo>=</mo> <mn>0.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\cdot (-v)+a\cdot v=a\cdot (-v+v)=a\cdot 0=0.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09e0fdd1574236c28fc8e3cfe8a4130fcdcaf184" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:41.329ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a\cdot (-v)+a\cdot v=a\cdot (-v+v)=a\cdot 0=0.}"></dd></dl></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Terminologia">Terminologia</h2>[<a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial&veaction=edit&section=27" title="Editar secção: Terminologia" class="mw-editsection-visualeditor">editar</a> | <a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial&action=edit&section=27" title="Editar código-fonte da secção: Terminologia">editar código-fonte</a>]</div> <ul><li>Um espaço vetorial sobre <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0522388d36b55de7babe4bbfc49475eaf590c2bd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.325ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ,}"> o conjuntos dos <a href="/wiki/N%C3%BAmeros_reais" class="mw-redirect" title="Números reais">números reais</a>, é chamado espaço vetorial real.</li> <li>Um espaço vetorial sobre <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} ,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} ,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6ff6a3dc2982018ff20f1d2c927afc74a217be6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.325ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} ,}"> o conjuntos dos <a href="/wiki/N%C3%BAmeros_complexos" class="mw-redirect" title="Números complexos">números complexos</a>, é chamado espaço vetorial complexo.</li> <li>Um espaço vetorial com um conceito definido de comprimento, isto é uma <a href="/wiki/Norma_(matem%C3%A1tica)" title="Norma (matemática)">norma</a> definida, é chamado espaço vectorial normado.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Tipos_de_espaços_vectoriais">Tipos de espaços vectoriais</h2>[<a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial&veaction=edit&section=28" title="Editar secção: Tipos de espaços vectoriais" class="mw-editsection-visualeditor">editar</a> | <a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial&action=edit&section=28" title="Editar código-fonte da secção: Tipos de espaços vectoriais">editar código-fonte</a>]</div> <ul><li><a href="/wiki/Espa%C3%A7o_Vectorial_Euclidiano" class="mw-redirect" title="Espaço Vectorial Euclidiano">Espaço Vectorial Euclidiano</a>: É qualquer espaço real que possui um número finito de dimensões e possui uma operação denominada <a href="/wiki/Produto_interno" title="Produto interno">produto interno</a>.<a href="#cite_note-callioli-159-83">[72]</a></li> <li><a href="/wiki/Espa%C3%A7o_de_Hilbert" title="Espaço de Hilbert">Espaço de Hilbert</a>: É qualquer espaço vetorial que possui uma operação denominada <a href="/wiki/Produto_interno" title="Produto interno">produto interno</a> e cuja <a href="/wiki/Espa%C3%A7o_m%C3%A9trico" title="Espaço métrico">métrica</a> gerada por esse produto interno o torne um <a href="/wiki/Espa%C3%A7o_completo" title="Espaço completo">espaço completo</a>.</li> <li><a href="/wiki/Espa%C3%A7os_normados" title="Espaços normados">Espaço normado</a>: É qualquer espaço vetorial que possui uma <a href="/wiki/Norma_(matem%C3%A1tica)" title="Norma (matemática)">norma</a> definida</li> <li><a href="/wiki/Espa%C3%A7o_de_Banach" title="Espaço de Banach">Espaço de Banach</a>: É um espaço normado <a href="/wiki/Espa%C3%A7o_completo" title="Espaço completo">completo</a> na métrica gerada por esta norma.</li> <li><a href="/wiki/Espa%C3%A7o_vectorial_topol%C3%B3gico" title="Espaço vectorial topológico">Espaço vectorial topológico</a>: se existe uma <a href="/wiki/Espa%C3%A7o_topol%C3%B3gico" title="Espaço topológico">topologia</a> compatível com as operações de espaço vectorial.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Ver_também">Ver também</h2>[<a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial&veaction=edit&section=29" title="Editar secção: Ver também" class="mw-editsection-visualeditor">editar</a> | <a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial&action=edit&section=29" title="Editar código-fonte da secção: Ver também">editar código-fonte</a>]</div> <ul><li><a href="/wiki/Base_(%C3%A1lgebra_linear)" title="Base (álgebra linear)">Base de um Espaço Vetorial</a></li> <li><a href="/wiki/Subespa%C3%A7o_vetorial" title="Subespaço vetorial">Subespaço vetorial</a></li> <li><a href="/wiki/M%C3%B3dulo_(%C3%A1lgebra)" title="Módulo (álgebra)">Módulo (álgebra)</a>: a generalização de espaço vetorial, quando o conjunto dos escalares é um <a href="/wiki/Anel_(%C3%A1lgebra)" class="mw-redirect" title="Anel (álgebra)">anel</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%81lgebra_sobre_um_corpo" title="Álgebra sobre um corpo">Álgebra sobre um corpo</a>: se existe uma multiplicação de vetores satisfazendo alguns axiomas</li></ul> <h2 id="Notas" style="cursor: help;" title="Esta seção foi configurada para não ser editável diretamente. Edite a página toda ou a seção anterior em vez disso.">Notas</h2> <div class="reflist" style="list-style-type: decimal;"><div class="mw-references-wrap mw-references-columns"><ol class="references"> <li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> Também é comum, especialmente na física, denotar vetores com uma seta superior à letra: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {v}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {v}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85820588abd7333ef4d0c56539cb31c20e730753" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.175ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {v}}}">. </li> <li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> Esse axioma e o próximo se referem a duas operações distintas: a multiplicação por escalar: bv; e a multiplicação do corpo: ab. Eles não afirmam a associatividade de nenhuma das operações. Mais formalmente, a multiplicação por escalar é uma <a href="/wiki/A%C3%A7%C3%A3o_de_semigrupo" title="Ação de semigrupo">ação monoide</a> do monoide multiplicativo do corpo K sobre o espaço vetorial V. </li> <li id="cite_note-7"><a href="#cite_ref-7">↑</a> Alguns autores (como Brown <a href="#CITEREFBrown1991">1991</a>) restringem sua atenção aos corpos R ou C, mas a maior parte da teoria permanece inalterada para um corpo qualquer. </li> <li id="cite_note-27"><a href="#cite_ref-27">↑</a> As <a href="/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_indicadora" title="Função indicadora">funções indicadoras</a> de intervalos (das quais há um número infinito) são linearmente independentes, por exemplo. </li> <li id="cite_note-44"><a href="#cite_ref-44">↑</a> Ver também o artigo <a href="/w/index.php?title=Decomposi%C3%A7%C3%A3o_de_Jordan%E2%80%93Chevalley&action=edit&redlink=1" class="new" title="Decomposição de Jordan–Chevalley (página não existe)">Decomposição de Jordan–Chevalley</a>. </li> <li id="cite_note-46"><a href="#cite_ref-46">↑</a> Esse é o caso típico quando um espaço vetorial também é considerado como um <a href="/wiki/Espa%C3%A7o_afim" title="Espaço afim">espaço afim</a>. Neste caso, um subespaço vetorial contém o <a href="/wiki/Vetor_nulo" class="mw-redirect" title="Vetor nulo">vetor nulo</a>, enquanto um subespaço afim não o contém necessariamente. </li> <li id="cite_note-49"><a href="#cite_ref-49">↑</a> Alguns autores (tais como Roman <a href="#CITEREFRoman2005">2005</a>) escolhem começar por essa <a href="/wiki/Rela%C3%A7%C3%A3o_de_equival%C3%AAncia" title="Relação de equivalência">relação de equivalência</a> e derivar a forma concreta de V/W a partir dela. </li> <li id="cite_note-62"><a href="#cite_ref-62">↑</a> Essa exigência implica que a topologia acarreta uma <a href="/w/index.php?title=Estrutura_uniforme&action=edit&redlink=1" class="new" title="Estrutura uniforme (página não existe)">estrutura uniforme</a>, Bourbaki <a href="#CITEREFBourbaki1989">1989</a>, cap. II. </li> <li id="cite_note-69"><a href="#cite_ref-69">↑</a> A <a href="/wiki/Desigualdade_triangular" title="Desigualdade triangular">desigualdade triangular</a> para <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left\Vert {f+g}\right\Vert _{p}\leq \left\Vert {f}\right\Vert _{p}+\left\Vert {g}\right\Vert _{p}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow> <mo symmetric="true">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> <mo>+</mo> <mi>g</mi> </mrow> <mo symmetric="true">‖</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo>≤</mo> <msub> <mrow> <mo symmetric="true">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> <mo symmetric="true">‖</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mrow> <mo symmetric="true">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>g</mi> </mrow> <mo symmetric="true">‖</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left\Vert {f+g}\right\Vert _{p}\leq \left\Vert {f}\right\Vert _{p}+\left\Vert {g}\right\Vert _{p}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b837b7ef295787218f26dd6e074f04326b7337e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:23.721ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \left\Vert {f+g}\right\Vert _{p}\leq \left\Vert {f}\right\Vert _{p}+\left\Vert {g}\right\Vert _{p}}"> é provida pela <a href="/wiki/Desigualdade_de_Minkowski" title="Desigualdade de Minkowski">desigualdade de Minkowski</a>. Por razões técnicas, no contexto de funções, é preciso identificar funções que concordem <a href="/w/index.php?title=Em_quase_todo_lugar&action=edit&redlink=1" class="new" title="Em quase todo lugar (página não existe)">em quase todo lugar</a> para se ter uma norma, e não só uma <a href="/wiki/Seminorma" title="Seminorma">seminorma</a>. </li> <li id="cite_note-74"><a href="#cite_ref-74">↑</a> Para p ≠2, Lp(Ω) não é um espaço de Hilbert. </li> <li id="cite_note-77"><a href="#cite_ref-77">↑</a> Uma base de um espaço de Hilbert não é o mesmo que uma base no contexto da álgebra linear, como exposto acima. Por distinção, a última é então chamada de <a href="/w/index.php?title=Base_de_Hamel&action=edit&redlink=1" class="new" title="Base de Hamel (página não existe)">base de Hamel</a>. </li> </ol></div></div> <div class="reflist" style="list-style-type: lower-alpha;"></div> <h2 id="Referências" style="cursor: help;" title="Esta seção foi configurada para não ser editável diretamente. Edite a página toda ou a seção anterior em vez disso.">Referências</h2> <div class="reflist" style="list-style-type: decimal;"><div class="mw-references-wrap mw-references-columns"><ol class="references"> <li id="cite_note-Noble-85–86-1"><a href="#cite_ref-Noble-85–86_1-0">↑</a> Noble & Daniel, 1986, p. 85–86 </li> <li id="cite_note-callioli-46-2"><a href="#cite_ref-callioli-46_2-0">↑</a> Callioli, Domingues & Costa, 1990, p. 46 </li> <li id="cite_note-callioli-45-3"><a href="#cite_ref-callioli-45_3-0">↑</a> Callioli, Domingues & Costa, 1990, p. 45 </li> <li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> Roman <a href="#CITEREFRoman2005">2005</a>, cap. 1, p. 27 </li> <li id="cite_note-8"><a href="#cite_ref-8">↑</a> van der Waerden <a href="#CITEREFvan_der_Waerden1993">1993</a>, Cap. 19 </li> <li id="cite_note-9"><a href="#cite_ref-9">↑</a> Bourbaki <a href="#CITEREFBourbaki1998">1998</a>, §II.1.1. Bourbaki chamava os homomorfismos de grupo f(a) homotetias. </li> <li id="cite_note-10"><a href="#cite_ref-10">↑</a> Bourbaki <a href="#CITEREFBourbaki1969">1969</a>, cap. "Algèbre linéaire et algèbre multilinéaire", pp. 78–91. </li> <li id="cite_note-11"><a href="#cite_ref-11">↑</a> Bolzano <a href="#CITEREFBolzano1804">1804</a>. </li> <li id="cite_note-12"><a href="#cite_ref-12">↑</a> Möbius <a href="#CITEREFMöbius1827">1827</a>. </li> <li id="cite_note-13"><a href="#cite_ref-13">↑</a> Hamilton <a href="#CITEREFHamilton1853">1853</a>. </li> <li id="cite_note-14"><a href="#cite_ref-14">↑</a> Grassmann <a href="#CITEREFGrassmann2000">2000</a>. </li> <li id="cite_note-15"><a href="#cite_ref-15">↑</a> Peano <a href="#CITEREFPeano1888">1888</a>, cap. IX. </li> <li id="cite_note-16"><a href="#cite_ref-16">↑</a> Banach <a href="#CITEREFBanach1922">1922</a>. </li> <li id="cite_note-17"><a href="#cite_ref-17">↑</a> Dorier <a href="#CITEREFDorier1995">1995</a>, Moore <a href="#CITEREFMoore1995">1995</a>. </li> <li id="cite_note-18"><a href="#cite_ref-18">↑</a> Lang <a href="#CITEREFLang1987">1987</a>, cap. I.1 </li> <li id="cite_note-19"><a href="#cite_ref-19">↑</a> Lang <a href="#CITEREFLang2002">2002</a>, cap. V.1 </li> <li id="cite_note-20"><a href="#cite_ref-20">↑</a> Lang <a href="#CITEREFLang1993">1993</a>, cap. XII.3., p. 335 </li> <li id="cite_note-21"><a href="#cite_ref-21">↑</a> Lang <a href="#CITEREFLang1987">1987</a>, cap. IX.1 </li> <li id="cite_note-22"><a href="#cite_ref-22">↑</a> Lang <a href="#CITEREFLang1987">1987</a>, cap. VI.3. </li> <li id="cite_note-23"><a href="#cite_ref-23">↑</a> Roman <a href="#CITEREFRoman2005">2005</a>, Teorema 1.9, p. 43 </li> <li id="cite_note-24"><a href="#cite_ref-24">↑</a> Blass <a href="#CITEREFBlass1984">1984</a> </li> <li id="cite_note-25"><a href="#cite_ref-25">↑</a> Halpern <a href="#CITEREFHalpern1966">1966</a>, pp. 670–673 </li> <li id="cite_note-26"><a href="#cite_ref-26">↑</a> Artin <a href="#CITEREFArtin1991">1991</a>, Teorema 3.3.13 </li> <li id="cite_note-28"><a href="#cite_ref-28">↑</a> Braun <a href="#CITEREFBraun1993">1993</a>, Th. 3.4.5, p. 291 </li> <li id="cite_note-29"><a href="#cite_ref-29">↑</a> Stewart <a href="#CITEREFStewart1975">1975</a>, Proposition 4.3, p. 52 </li> <li id="cite_note-30"><a href="#cite_ref-30">↑</a> Stewart <a href="#CITEREFStewart1975">1975</a>, Teorema 6.5, p. 74 </li> <li id="cite_note-31"><a href="#cite_ref-31">↑</a> Roman <a href="#CITEREFRoman2005">2005</a>, cap. 2, p. 45 </li> <li id="cite_note-32"><a href="#cite_ref-32">↑</a> Lang <a href="#CITEREFLang1987">1987</a>, cap. IV.4, Corolário, p. 106 </li> <li id="cite_note-33"><a href="#cite_ref-33">↑</a> Lang <a href="#CITEREFLang1987">1987</a>, Exemplo IV.2.6 </li> <li id="cite_note-34"><a href="#cite_ref-34">↑</a> Lang <a href="#CITEREFLang1987">1987</a>, cap. VI.6 </li> <li id="cite_note-35"><a href="#cite_ref-35">↑</a> Halmos <a href="#CITEREFHalmos1974">1974</a>, p. 28, Ex. 9 </li> <li id="cite_note-36"><a href="#cite_ref-36">↑</a> Lang <a href="#CITEREFLang1987">1987</a>, Teorema IV.2.1, p. 95 </li> <li id="cite_note-37"><a href="#cite_ref-37">↑</a> Roman <a href="#CITEREFRoman2005">2005</a>, Teorema 2.5 e 2.6, p. 49 </li> <li id="cite_note-38"><a href="#cite_ref-38">↑</a> Lang <a href="#CITEREFLang1987">1987</a>, cap. V.1 </li> <li id="cite_note-39"><a href="#cite_ref-39">↑</a> Lang <a href="#CITEREFLang1987">1987</a>, cap. V.3., Corolário, p. 106 </li> <li id="cite_note-40"><a href="#cite_ref-40">↑</a> Lang <a href="#CITEREFLang1987">1987</a>, Teorema VII.9.8, p. 198 </li> <li id="cite_note-41"><a href="#cite_ref-41">↑</a> Roman <a href="#CITEREFRoman2005">2005</a>, cap. 8, p. 135–156 </li> <li id="cite_note-42"><a href="#cite_ref-42">↑</a> Lang <a href="#CITEREFLang1987">1987</a>, cap. IX.4 </li> <li id="cite_note-43"><a href="#cite_ref-43">↑</a> Roman <a href="#CITEREFRoman2005">2005</a>, cap. 8, p. 140. </li> <li id="cite_note-45"><a href="#cite_ref-45">↑</a> Roman <a href="#CITEREFRoman2005">2005</a>, cap. 1, p. 29 </li> <li id="cite_note-47"><a href="#cite_ref-47">↑</a> Roman <a href="#CITEREFRoman2005">2005</a>, cap. 1, p. 35 </li> <li id="cite_note-48"><a href="#cite_ref-48">↑</a> Roman <a href="#CITEREFRoman2005">2005</a>, cap. 3, p. 64 </li> <li id="cite_note-50"><a href="#cite_ref-50">↑</a> Lang <a href="#CITEREFLang1987">1987</a>, cap. IV.3. </li> <li id="cite_note-51"><a href="#cite_ref-51">↑</a> Roman <a href="#CITEREFRoman2005">2005</a>, cap. 2, p. 48 </li> <li id="cite_note-52"><a href="#cite_ref-52">↑</a> Mac Lane <a href="#CITEREFMac_Lane1998">1998</a> </li> <li id="cite_note-53"><a href="#cite_ref-53">↑</a> Roman <a href="#CITEREFRoman2005">2005</a>, cap. 1, pp. 31–32 </li> <li id="cite_note-54"><a href="#cite_ref-54">↑</a> Lang <a href="#CITEREFLang2002">2002</a>, cap. XVI.1 </li> <li id="cite_note-55"><a href="#cite_ref-55">↑</a> Roman <a href="#CITEREFRoman2005">2005</a>, Teorema 14.3. Ver também <a href="/wiki/Lema_de_Yoneda" title="Lema de Yoneda">Lema de Yoneda</a>. </li> <li id="cite_note-56"><a href="#cite_ref-56">↑</a> Schaefer & Wolff <a href="#CITEREFSchaeferWolff1999">1999</a>, pp. 204–205 </li> <li id="cite_note-57"><a href="#cite_ref-57">↑</a> Bourbaki <a href="#CITEREFBourbaki2004">2004</a>, cap. 2, p. 48 </li> <li id="cite_note-58"><a href="#cite_ref-58">↑</a> Roman <a href="#CITEREFRoman2005">2005</a>, cap. 9 </li> <li id="cite_note-59"><a href="#cite_ref-59">↑</a> Naber <a href="#CITEREFNaber2003">2003</a>, cap. 1.2 </li> <li id="cite_note-60"><a href="#cite_ref-60">↑</a> Treves <a href="#CITEREFTreves1967">1967</a> </li> <li id="cite_note-61"><a href="#cite_ref-61">↑</a> Bourbaki <a href="#CITEREFBourbaki1987">1987</a> </li> <li id="cite_note-63"><a href="#cite_ref-63">↑</a> <a href="#CITEREFKreyszig1989">Kreyszig 1989</a>, §4.11-5 </li> <li id="cite_note-64"><a href="#cite_ref-64">↑</a> <a href="#CITEREFKreyszig1989">Kreyszig 1989</a>, §1.5-5 </li> <li id="cite_note-65"><a href="#cite_ref-65">↑</a> Choquet <a href="#CITEREFChoquet1966">1966</a>, Proposição III.7.2 </li> <li id="cite_note-66"><a href="#cite_ref-66">↑</a> Treves <a href="#CITEREFTreves1967">1967</a>, p. 34–36 </li> <li id="cite_note-67"><a href="#cite_ref-67">↑</a> Lang <a href="#CITEREFLang1983">1983</a>, Cor. 4.1.2, p. 69 </li> <li id="cite_note-68"><a href="#cite_ref-68">↑</a> Treves <a href="#CITEREFTreves1967">1967</a>, cap. 11 </li> <li id="cite_note-70"><a href="#cite_ref-70">↑</a> Treves <a href="#CITEREFTreves1967">1967</a>, Teorema 11.2, p. 102 </li> <li id="cite_note-71"><a href="#cite_ref-71">↑</a> Evans <a href="#CITEREFEvans1998">1998</a>, cap. 5 </li> <li id="cite_note-72"><a href="#cite_ref-72">↑</a> Treves <a href="#CITEREFTreves1967">1967</a>, cap. 12 </li> <li id="cite_note-Dennery-73"><a href="#cite_ref-Dennery_73-0">↑</a> Dennery <a href="#CITEREFDennery1996">1996</a>, p.190 </li> <li id="cite_note-75"><a href="#cite_ref-75">↑</a> Lang <a href="#CITEREFLang1993">1993</a>, Teorema XIII.6, p. 349 </li> <li id="cite_note-76"><a href="#cite_ref-76">↑</a> Lang <a href="#CITEREFLang1993">1993</a>, Teorema III.1.1 </li> <li id="cite_note-78"><a href="#cite_ref-78">↑</a> Choquet <a href="#CITEREFChoquet1966">1966</a>, Lema III.16.11 </li> <li id="cite_note-79"><a href="#cite_ref-79">↑</a> <a href="#CITEREFKreyszig1999Capítulo_11">Kreyszig & 1999 Capítulo 11</a> </li> <li id="cite_note-80"><a href="#cite_ref-80">↑</a> <a href="#CITEREFGriffiths1995Capítulo_1">Griffiths & 1995 Capítulo 1</a> </li> <li id="cite_note-81"><a href="#cite_ref-81">↑</a> Lang <a href="#CITEREFLang1993">1993</a>, cap. XVII.3 </li> <li id="cite_note-callioli-50-82">↑ <a href="#cite_ref-callioli-50_82-0">a</a> <a href="#cite_ref-callioli-50_82-1">b</a> Callioli, Domingues & Costa, 1990, p. 50 </li> <li id="cite_note-callioli-159-83"><a href="#cite_ref-callioli-159_83-0">↑</a> Callioli, Domingues & Costa, 1990, p. 159 </li> </ol></div></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Bibliografia">Bibliografia</h2>[<a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial&veaction=edit&section=30" title="Editar secção: Bibliografia" class="mw-editsection-visualeditor">editar</a> | <a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial&action=edit&section=30" title="Editar código-fonte da secção: Bibliografia">editar código-fonte</a>]</div> <ul><li><cite class="citation book">Callioli, Carlos A.; Domingues, Hygino H.; Costa, Roberto C. F. (1990). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://brogdomonzao.files.wordpress.com/2011/10/algebra_linear_e_aplicacoes_-_callioli.pdf">Álgebra Linear e Aplicações</a> (PDF) 6 ed. São Paulo: Atual. <a href="/wiki/Especial:Fontes_de_livros/9788570562975" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 9788570562975</a></cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fpt.wikipedia.org%3AEspa%C3%A7o+vetorial&rft.au=Costa%2C+Roberto+C.+F.&rft.au=Domingues%2C+Hygino+H.&rft.aufirst=Carlos+A.&rft.aulast=Callioli&rft.btitle=%C3%81lgebra+Linear+e+Aplica%C3%A7%C3%B5es&rft.date=1990&rft.edition=6&rft.genre=book&rft.place=S%C3%A3o+Paulo&rft.pub=Atual&rft_id=https%3A%2F%2Fbrogdomonzao.files.wordpress.com%2F2011%2F10%2Falgebra_linear_e_aplicacoes_-_callioli.pdf&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"> </li> <li><cite class="citation book">Noble, Ben; James W. Daniel (1986). Álgebra Linear Aplicada. Rio de Janeiro: Prentice-Hall do Brasil. <a href="/wiki/Especial:Fontes_de_livros/9788570540225" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 9788570540225</a></cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fpt.wikipedia.org%3AEspa%C3%A7o+vetorial&rft.au=James+W.+Daniel&rft.aufirst=Ben&rft.aulast=Noble&rft.btitle=%C3%81lgebra+Linear+Aplicada&rft.date=1986&rft.genre=book&rft.place=Rio+de+Janeiro&rft.pub=Prentice-Hall+do+Brasil&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"> </li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Álgebra">Álgebra</h3>[<a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial&veaction=edit&section=31" title="Editar secção: Álgebra" class="mw-editsection-visualeditor">editar</a> | <a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial&action=edit&section=31" title="Editar código-fonte da secção: Álgebra">editar código-fonte</a>]</div> <div style="-moz-column-count: 2; -webkit-column-count: 2; column-count: 2;"> <ul><li><cite id="CITEREFArtin1991" class="citation book"><a href="/wiki/Michael_Artin" title="Michael Artin">Artin, Michael</a> (1991). Algebra (em inglês). [S.l.]: <a href="/w/index.php?title=Prentice_Hall&action=edit&redlink=1" class="new" title="Prentice Hall (página não existe)">Prentice Hall</a>. <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:Fontes_de_livros/978-0-89871-510-1" title="Especial:Fontes de livros/978-0-89871-510-1">978-0-89871-510-1</a></cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fpt.wikipedia.org%3AEspa%C3%A7o+vetorial&rft.aufirst=Michael&rft.aulast=Artin&rft.btitle=Algebra&rft.date=1991&rft.genre=book&rft.isbn=978-0-89871-510-1&rft.pub=Prentice+Hall&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"> </li> <li><cite id="CITEREFBlass1984" class="citation">Blass, Andreas (1984), «Existence of bases implies the axiom of choice», Axiomatic set theory (Boulder, Colorado, 1983), Contemporary Mathematics, 31, Providence, R.I.: <a href="/wiki/American_Mathematical_Society" title="American Mathematical Society">American Mathematical Society</a>, p. 31–33, <a href="/wiki/Mathematical_Reviews" title="Mathematical Reviews">MR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=763890">763890</a></cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fpt.wikipedia.org%3AEspa%C3%A7o+vetorial&rft.atitle=Existence+of+bases+implies+the+axiom+of+choice&rft.aufirst=Andreas&rft.aulast=Blass&rft.btitle=Axiomatic+set+theory+%28Boulder%2C+Colorado%2C+1983%29&rft.date=1984&rft.genre=bookitem&rft.pages=31-33&rft.place=Providence%2C+R.I.&rft.pub=American+Mathematical+Society&rft.series=Contemporary+Mathematics&rft_id=%2F%2Fwww.ams.org%2Fmathscinet-getitem%3Fmr%3D763890&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"> </li> <li><cite id="CITEREFBrown1991" class="citation">Brown, William A. (1991), Matrices and vector spaces, <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:Fontes_de_livros/978-0-8247-8419-5" title="Especial:Fontes de livros/978-0-8247-8419-5">978-0-8247-8419-5</a>, New York: M. Dekker</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fpt.wikipedia.org%3AEspa%C3%A7o+vetorial&rft.aufirst=William+A.&rft.aulast=Brown&rft.btitle=Matrices+and+vector+spaces&rft.date=1991&rft.genre=book&rft.isbn=978-0-8247-8419-5&rft.place=New+York&rft.pub=M.+Dekker&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"> </li> <li><cite id="CITEREFLang1987" class="citation"><a href="/wiki/Serge_Lang" title="Serge Lang">Lang, Serge</a> (1987), Linear algebra, <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:Fontes_de_livros/978-0-387-96412-6" title="Especial:Fontes de livros/978-0-387-96412-6">978-0-387-96412-6</a>, Berlin, New York: <a href="/wiki/Springer-Verlag" class="mw-redirect" title="Springer-Verlag">Springer-Verlag</a></cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fpt.wikipedia.org%3AEspa%C3%A7o+vetorial&rft.aufirst=Serge&rft.aulast=Lang&rft.btitle=Linear+algebra&rft.date=1987&rft.genre=book&rft.isbn=978-0-387-96412-6&rft.place=Berlin%2C+New+York&rft.pub=Springer-Verlag&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"> </li> <li><a href="/w/index.php?title=Predefini%C3%A7%C3%A3o:Lang_Algebra&action=edit&redlink=1" class="new" title="Predefinição:Lang Algebra (página não existe)">Predefinição:Lang Algebra</a></li> <li><cite id="CITEREFMac_Lane1999" class="citation"><a href="/wiki/Saunders_Mac_Lane" title="Saunders Mac Lane">Mac Lane, Saunders</a> (1999), Algebra, <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:Fontes_de_livros/978-0-8218-1646-2" title="Especial:Fontes de livros/978-0-8218-1646-2">978-0-8218-1646-2</a> 3rd ed. , p. 193–222</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fpt.wikipedia.org%3AEspa%C3%A7o+vetorial&rft.aufirst=Saunders&rft.aulast=Mac+Lane&rft.btitle=Algebra&rft.date=1999&rft.edition=3rd&rft.genre=book&rft.isbn=978-0-8218-1646-2&rft.pages=193-222&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"> </li> <li><cite id="CITEREFMeyer2000" class="citation">Meyer, Carl D. 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-webkit-column-count: 2; column-count: 2;"> <ul><li><cite id="CITEREFBourbaki1987" class="citation"><a href="/wiki/Nicolas_Bourbaki" title="Nicolas Bourbaki">Bourbaki, Nicolas</a> (1987), Topological vector spaces, <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:Fontes_de_livros/978-3-540-13627-9" title="Especial:Fontes de livros/978-3-540-13627-9">978-3-540-13627-9</a>, Elements of mathematics, Berlin, New York: <a href="/wiki/Springer-Verlag" class="mw-redirect" title="Springer-Verlag">Springer-Verlag</a></cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fpt.wikipedia.org%3AEspa%C3%A7o+vetorial&rft.aufirst=Nicolas&rft.aulast=Bourbaki&rft.btitle=Topological+vector+spaces&rft.date=1987&rft.genre=book&rft.isbn=978-3-540-13627-9&rft.place=Berlin%2C+New+York&rft.pub=Springer-Verlag&rft.series=Elements+of+mathematics&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"> </li> <li><cite id="CITEREFBourbaki2004" class="citation"><a href="/wiki/Nicolas_Bourbaki" title="Nicolas Bourbaki">Bourbaki, Nicolas</a> (2004), Integration I, <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:Fontes_de_livros/978-3-540-41129-1" title="Especial:Fontes de livros/978-3-540-41129-1">978-3-540-41129-1</a>, Berlin, New York: <a href="/wiki/Springer-Verlag" class="mw-redirect" title="Springer-Verlag">Springer-Verlag</a></cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fpt.wikipedia.org%3AEspa%C3%A7o+vetorial&rft.aufirst=Nicolas&rft.aulast=Bourbaki&rft.btitle=Integration+I&rft.date=2004&rft.genre=book&rft.isbn=978-3-540-41129-1&rft.place=Berlin%2C+New+York&rft.pub=Springer-Verlag&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"> </li> <li><cite id="CITEREFBraun1993" class="citation">Braun, Martin (1993), Differential equations and their applications: an introduction to applied mathematics, <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:Fontes_de_livros/978-0-387-97894-9" title="Especial:Fontes de livros/978-0-387-97894-9">978-0-387-97894-9</a>, Berlin, New York: <a href="/wiki/Springer-Verlag" class="mw-redirect" title="Springer-Verlag">Springer-Verlag</a></cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fpt.wikipedia.org%3AEspa%C3%A7o+vetorial&rft.aufirst=Martin&rft.aulast=Braun&rft.btitle=Differential+equations+and+their+applications%3A+an+introduction+to+applied+mathematics&rft.date=1993&rft.genre=book&rft.isbn=978-0-387-97894-9&rft.place=Berlin%2C+New+York&rft.pub=Springer-Verlag&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"> </li> <li><cite id="CITEREFBSE-32001" class="citation">BSE-3 (2001), <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=T/t092180">«Tangent plane»</a>, in: Hazewinkel, Michiel, <a href="/wiki/Encyclopedia_of_Mathematics" title="Encyclopedia of Mathematics">Enciclopédia de Matemática</a>, <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:Fontes_de_livros/978-1-55608-010-4" title="Especial:Fontes de livros/978-1-55608-010-4">978-1-55608-010-4</a> (em inglês), <a href="/wiki/Springer_Science%2BBusiness_Media" title="Springer Science+Business Media">Springer</a></cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fpt.wikipedia.org%3AEspa%C3%A7o+vetorial&rft.atitle=Tangent+plane&rft.au=BSE-3&rft.btitle=Enciclop%C3%A9dia+de+Matem%C3%A1tica&rft.date=2001&rft.genre=bookitem&rft.isbn=978-1-55608-010-4&rft.pub=Springer&rft_id=https%3A%2F%2Fwww.encyclopediaofmath.org%2Findex.php%3Ftitle%3DT%2Ft092180&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"> </li> <li><cite id="CITEREFChoquet1966" class="citation"><a href="/wiki/Gustave_Choquet" title="Gustave Choquet">Choquet, Gustave</a> (1966), Topology, Boston, MA: <a href="/w/index.php?title=Academic_Press&action=edit&redlink=1" class="new" title="Academic Press (página não existe)">Academic Press</a></cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fpt.wikipedia.org%3AEspa%C3%A7o+vetorial&rft.aufirst=Gustave&rft.aulast=Choquet&rft.btitle=Topology&rft.date=1966&rft.genre=book&rft.place=Boston%2C+MA&rft.pub=Academic+Press&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"> </li> <li><cite id="CITEREFDenneryKrzywicki1996" class="citation">Dennery, Philippe; 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class="new" title="Academic Press (página não existe)">Academic Press</a></cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fpt.wikipedia.org%3AEspa%C3%A7o+vetorial&rft.aufirst=Fran%C3%A7ois&rft.aulast=Treves&rft.btitle=Topological+vector+spaces%2C+distributions+and+kernels&rft.date=1967&rft.genre=book&rft.place=Boston%2C+MA&rft.pub=Academic+Press&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"> </li></ul> </div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Referências_históricas">Referências históricas</h3>[<a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial&veaction=edit&section=33" title="Editar secção: Referências históricas" class="mw-editsection-visualeditor">editar</a> | <a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial&action=edit&section=33" title="Editar código-fonte da secção: Referências históricas">editar código-fonte</a>]</div> <div style="-moz-column-count: 2; -webkit-column-count: 2; column-count: 2;"> <ul><li><cite id="CITEREFBanach1922" class="citation"><a href="/wiki/Stefan_Banach" title="Stefan Banach">Banach, Stefan</a> (1922), <a rel="nofollow" class="external text" href="http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm3/fm3120.pdf">«Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales (On operations in abstract sets and their application to integral equations)»</a> (PDF), <a href="/wiki/Fundamenta_Mathematicae" title="Fundamenta Mathematicae">Fundamenta Mathematicae</a>, <a href="/wiki/International_Standard_Serial_Number" title="International Standard Serial Number">ISSN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.worldcat.org/issn/0016-2736">0016-2736</a> (em francês), 3: 133–181, <a href="/wiki/Digital_object_identifier" title="Digital object identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://dx.doi.org/10.4064%2Ffm-3-1-133-181">10.4064/fm-3-1-133-181</a></cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fpt.wikipedia.org%3AEspa%C3%A7o+vetorial&rft.atitle=Sur+les+op%C3%A9rations+dans+les+ensembles+abstraits+et+leur+application+aux+%C3%A9quations+int%C3%A9grales+%28On+operations+in+abstract+sets+and+their+application+to+integral+equations%29&rft.aufirst=Stefan&rft.aulast=Banach&rft.date=1922&rft.genre=article&rft.issn=0016-2736&rft.jtitle=Fundamenta+Mathematicae&rft.pages=133-181&rft.volume=3&rft_id=http%3A%2F%2Fmatwbn.icm.edu.pl%2Fksiazki%2Ffm%2Ffm3%2Ffm3120.pdf&rft_id=info%3Adoi%2F10.4064%2Ffm-3-1-133-181&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal" class="Z3988"> </li> <li><cite id="CITEREFBolzano1804" class="citation"><a href="/wiki/Bernard_Bolzano" title="Bernard Bolzano">Bolzano, Bernard</a> (1804), <a rel="nofollow" class="external text" href="http://dml.cz/handle/10338.dmlcz/400338">Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie (Considerations of some aspects of elementary geometry)</a> (em alemão)</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fpt.wikipedia.org%3AEspa%C3%A7o+vetorial&rft.aufirst=Bernard&rft.aulast=Bolzano&rft.btitle=Betrachtungen+%C3%BCber+einige+Gegenst%C3%A4nde+der+Elementargeometrie+%28Considerations+of+some+aspects+of+elementary+geometry%29&rft.date=1804&rft.genre=book&rft_id=http%3A%2F%2Fdml.cz%2Fhandle%2F10338.dmlcz%2F400338&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"> </li> <li><cite id="CITEREFBourbaki1969" class="citation"><a href="/wiki/Nicolas_Bourbaki" title="Nicolas Bourbaki">Bourbaki, Nicolas</a> (1969), Éléments d'histoire des mathématiques (Elements of history of mathematics) (em francês), Paris: Hermann</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fpt.wikipedia.org%3AEspa%C3%A7o+vetorial&rft.aufirst=Nicolas&rft.aulast=Bourbaki&rft.btitle=%C3%89l%C3%A9ments+d%27histoire+des+math%C3%A9matiques+%28Elements+of+history+of+mathematics%29&rft.date=1969&rft.genre=book&rft.place=Paris&rft.pub=Hermann&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"> </li> <li><cite id="CITEREFDorier1995" class="citation">Dorier, Jean-Luc (1995), <a rel="nofollow" class="external text" href="http://archive-ouverte.unige.ch/unige:16642">«A general outline of the genesis of vector space theory»</a>, <a href="/w/index.php?title=Historia_Mathematica&action=edit&redlink=1" class="new" title="Historia Mathematica (página não existe)">Historia Mathematica</a>, 22 (3): 227–261, <a href="/wiki/Mathematical_Reviews" title="Mathematical Reviews">MR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1347828">1347828</a>, <a href="/wiki/Digital_object_identifier" 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title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fpt.wikipedia.org%3AEspa%C3%A7o+vetorial&rft.atitle=A+general+outline+of+the+genesis+of+vector+space+theory&rft.aufirst=Jean-Luc&rft.aulast=Dorier&rft.date=1995&rft.genre=article&rft.issue=3&rft.jtitle=Historia+Mathematica&rft.pages=227-261&rft.volume=22&rft_id=%2F%2Fwww.ams.org%2Fmathscinet-getitem%3Fmr%3D1347828&rft_id=http%3A%2F%2Farchive-ouverte.unige.ch%2Funige%3A16642&rft_id=info%3Adoi%2F10.1006%2Fhmat.1995.1024&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal" class="Z3988"> </li> <li><cite id="CITEREFFourier1822" class="citation"><a href="/wiki/Joseph_Fourier" class="mw-redirect" title="Joseph Fourier">Fourier, Jean Baptiste Joseph</a> (1822), <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/?id=TDQJAAAAIAAJ">Théorie analytique de la chaleur</a> (em francês), Chez Firmin Didot, père et fils</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fpt.wikipedia.org%3AEspa%C3%A7o+vetorial&rft.aufirst=Jean+Baptiste+Joseph&rft.aulast=Fourier&rft.btitle=Th%C3%A9orie+analytique+de+la+chaleur&rft.date=1822&rft.genre=book&rft.pub=Chez+Firmin+Didot%2C+p%C3%A8re+et+fils&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com%2F%3Fid%3DTDQJAAAAIAAJ&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"> </li> <li><cite id="CITEREFGrassmann1844" class="citation"><a href="/wiki/Hermann_Grassmann" title="Hermann Grassmann">Grassmann, Hermann</a> (1844), <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/?id=bKgAAAAAMAAJ&pg=PA1">Die Lineale Ausdehnungslehre - Ein neuer Zweig der Mathematik</a> (em alemão), O. 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href="/wiki/Especial:Fontes_de_livros/978-0-387-94087-8" title="Especial:Fontes de livros/978-0-387-94087-8">978-0-387-94087-8</a> 3rd ed. , Berlin, New York: <a href="/wiki/Springer-Verlag" class="mw-redirect" title="Springer-Verlag">Springer-Verlag</a></cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fpt.wikipedia.org%3AEspa%C3%A7o+vetorial&rft.aufirst=Dale&rft.aulast=Husemoller&rft.btitle=Fibre+Bundles&rft.date=1994&rft.edition=3rd&rft.genre=book&rft.isbn=978-0-387-94087-8&rft.place=Berlin%2C+New+York&rft.pub=Springer-Verlag&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"> </li> <li><cite id="CITEREFJost2005" class="citation">Jost, Jürgen (2005), Riemannian Geometry and Geometric Analysis, <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:Fontes_de_livros/978-3-540-25907-7" title="Especial:Fontes de livros/978-3-540-25907-7">978-3-540-25907-7</a> 4th ed. , Berlin, New York: <a href="/wiki/Springer-Verlag" class="mw-redirect" title="Springer-Verlag">Springer-Verlag</a></cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fpt.wikipedia.org%3AEspa%C3%A7o+vetorial&rft.aufirst=J%C3%BCrgen&rft.aulast=Jost&rft.btitle=Riemannian+Geometry+and+Geometric+Analysis&rft.date=2005&rft.edition=4th&rft.genre=book&rft.isbn=978-3-540-25907-7&rft.place=Berlin%2C+New+York&rft.pub=Springer-Verlag&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"> </li> <li><cite id="CITEREFKreyszig1991" class="citation"><a href="/wiki/Erwin_Kreyszig" title="Erwin Kreyszig">Kreyszig, Erwin</a> (1991), Differential geometry, <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:Fontes_de_livros/978-0-486-66721-8" title="Especial:Fontes de livros/978-0-486-66721-8">978-0-486-66721-8</a>, New York: <a href="/wiki/Dover_Publications" title="Dover Publications">Dover Publications</a>, p. xiv+352</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fpt.wikipedia.org%3AEspa%C3%A7o+vetorial&rft.aufirst=Erwin&rft.aulast=Kreyszig&rft.btitle=Differential+geometry&rft.date=1991&rft.genre=book&rft.isbn=978-0-486-66721-8&rft.pages=xiv%2B352&rft.place=New+York&rft.pub=Dover+Publications&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"> </li> <li><cite id="CITEREFKreyszig1999" class="citation">Kreyszig, Erwin (1999), Advanced Engineering Mathematics, <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:Fontes_de_livros/978-0-471-15496-9" title="Especial:Fontes de livros/978-0-471-15496-9">978-0-471-15496-9</a> 8th ed. , New York: <a href="/wiki/John_Wiley_%26_Sons" title="John Wiley & Sons">John Wiley & Sons</a></cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fpt.wikipedia.org%3AEspa%C3%A7o+vetorial&rft.aufirst=Erwin&rft.aulast=Kreyszig&rft.btitle=Advanced+Engineering+Mathematics&rft.date=1999&rft.edition=8th&rft.genre=book&rft.isbn=978-0-471-15496-9&rft.place=New+York&rft.pub=John+Wiley+%26+Sons&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"> </li> <li><cite id="CITEREFLuenberger1997" class="citation">Luenberger, David (1997), Optimization by vector space methods, <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:Fontes_de_livros/978-0-471-18117-0" title="Especial:Fontes de livros/978-0-471-18117-0">978-0-471-18117-0</a>, New York: <a href="/wiki/John_Wiley_%26_Sons" title="John Wiley & Sons">John Wiley & Sons</a></cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fpt.wikipedia.org%3AEspa%C3%A7o+vetorial&rft.aufirst=David&rft.aulast=Luenberger&rft.btitle=Optimization+by+vector+space+methods&rft.date=1997&rft.genre=book&rft.isbn=978-0-471-18117-0&rft.place=New+York&rft.pub=John+Wiley+%26+Sons&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"> </li> <li><cite id="CITEREFMac_Lane1998" class="citation"><a href="/wiki/Saunders_Mac_Lane" title="Saunders Mac Lane">Mac Lane, Saunders</a> (1998), <a href="/w/index.php?title=Categories_for_the_Working_Mathematician&action=edit&redlink=1" class="new" title="Categories for the Working Mathematician (página não existe)">Categories for the Working Mathematician</a>, <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:Fontes_de_livros/978-0-387-98403-2" title="Especial:Fontes de livros/978-0-387-98403-2">978-0-387-98403-2</a> 2nd ed. , Berlin, New York: <a href="/wiki/Springer-Verlag" class="mw-redirect" title="Springer-Verlag">Springer-Verlag</a></cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fpt.wikipedia.org%3AEspa%C3%A7o+vetorial&rft.aufirst=Saunders&rft.aulast=Mac+Lane&rft.btitle=Categories+for+the+Working+Mathematician&rft.date=1998&rft.edition=2nd&rft.genre=book&rft.isbn=978-0-387-98403-2&rft.place=Berlin%2C+New+York&rft.pub=Springer-Verlag&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"> </li> <li><cite id="CITEREFMisnerThorneWheeler1973" class="citation"><a href="/w/index.php?title=Charles_W._Misner&action=edit&redlink=1" class="new" title="Charles W. 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(fevereiro de 1992), <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.csc.ncsu.edu/faculty/rhee/export/papers/TheJPEGStillPictureCompressionStandard.pdf">«The JPEG still picture compression standard»</a> (PDF), IEEE Transactions on Consumer Electronics, <a href="/wiki/International_Standard_Serial_Number" title="International Standard Serial Number">ISSN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.worldcat.org/issn/0098-3063">0098-3063</a>, 38 (1): xviii–xxxiv, <a href="/wiki/CiteSeerX" title="CiteSeerX">CiteSeerX</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.318.4292">10.1.1.318.4292</a><img alt="Acessível livremente" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/65/Lock-green.svg/9px-Lock-green.svg.png" decoding="async" width="9" height="14" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/65/Lock-green.svg/14px-Lock-green.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/65/Lock-green.svg/18px-Lock-green.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="813" />, <a href="/wiki/Digital_object_identifier" title="Digital object identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://dx.doi.org/10.1109%2F30.125072">10.1109/30.125072</a></cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fpt.wikipedia.org%3AEspa%C3%A7o+vetorial&rft.atitle=The+JPEG+still+picture+compression+standard&rft.aufirst=G.K.&rft.aulast=Wallace&rft.date=1992-02&rft.genre=article&rft.issn=0098-3063&rft.issue=1&rft.jtitle=IEEE+Transactions+on+Consumer+Electronics&rft.pages=xviii-xxxiv&rft.volume=38&rft_id=%2F%2Fciteseerx.ist.psu.edu%2Fviewdoc%2Fsummary%3Fdoi%3D10.1.1.318.4292&rft_id=http%3A%2F%2Fwww.csc.ncsu.edu%2Ffaculty%2Frhee%2Fexport%2Fpapers%2FTheJPEGStillPictureCompressionStandard.pdf&rft_id=info%3Adoi%2F10.1109%2F30.125072&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal" class="Z3988"> </li> <li><a href="/w/index.php?title=Predefini%C3%A7%C3%A3o:Weibel_IHA&action=edit&redlink=1" class="new" title="Predefinição:Weibel IHA (página não existe)">Predefinição:Weibel IHA</a></li></ul> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Ligações_externas">Ligações externas</h2>[<a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial&veaction=edit&section=35" title="Editar secção: Ligações externas" class="mw-editsection-visualeditor">editar</a> | <a href="/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_vetorial&action=edit&section=35" title="Editar código-fonte da secção: Ligações externas">editar código-fonte</a>]</div> <table class="infobox noprint" style="width:250px; line-height:2.2em; font-size:90%"> <tbody><tr style="line-height:1.3em"> <td colspan="2" style="text-align: center;">Outros projetos <a href="/wiki/Wikimedia" class="mw-redirect" title="Wikimedia">Wikimedia</a> também contêm material sobre este tema: </td></tr> <tr> <th style="width: 37px;"><a href="https://pt.wiktionary.org/wiki/Special:Search/Espa%C3%A7o_vetorial" title="Wikcionário"><img alt="Wikcionário" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2b/Wiktionary-logo-pt.png/25px-Wiktionary-logo-pt.png" decoding="async" width="25" height="24" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2b/Wiktionary-logo-pt.png/38px-Wiktionary-logo-pt.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2b/Wiktionary-logo-pt.png/50px-Wiktionary-logo-pt.png 2x" data-file-width="140" data-file-height="135" /></a> </th> <td><a href="https://pt.wiktionary.org/wiki/Special:Search/Espa%C3%A7o_vetorial" class="extiw" title="wikt:Special:Search/Espaço vetorial">Definições</a> no <a href="https://pt.wiktionary.org/wiki/P%C3%A1gina_principal" class="extiw" title="wikt:Página principal">Wikcionário</a> </td></tr> <tr> <th><a href="https://pt.wikibooks.org/wiki/Special:Search/%C3%81lgebra_linear/Espa%C3%A7os_vetoriais" title="Wikilivros"><img alt="Wikilivros" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikibooks-logo.svg/21px-Wikibooks-logo.svg.png" decoding="async" width="21" height="21" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikibooks-logo.svg/32px-Wikibooks-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikibooks-logo.svg/42px-Wikibooks-logo.svg.png 2x" data-file-width="300" data-file-height="300" /></a> </th> <td><a href="https://pt.wikibooks.org/wiki/Special:Search/%C3%81lgebra_linear/Espa%C3%A7os_vetoriais" class="extiw" title="b:Special:Search/Álgebra linear/Espaços vetoriais">Livros e manuais</a> no <a href="https://pt.wikibooks.org/wiki/P%C3%A1gina_principal" class="extiw" title="b:Página principal">Wikilivros</a> </td></tr> </tbody></table><div id="interProject" style="display:none;"> <ul><li><a href="https://pt.wikibooks.org/wiki/Special:Search/%C3%81lgebra_linear/Espa%C3%A7os_vetoriais" class="extiw" title="b:Special:Search/Álgebra linear/Espaços vetoriais">Wikilivros</a></li> <li><a href="https://pt.wiktionary.org/wiki/Special:Search/Espa%C3%A7o_vetorial" class="extiw" title="wikt:Special:Search/Espaço vetorial">Wikcionário</a></li></ul> </div> <ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://docs.ufpr.br/~jcvb/online/geo-1.pdf">Livro Álgebra Vetorial e Geometria Analítica</a>: Livro do Prof. Jacir J. Venturi, de 242 páginas, disponível na íntegra para acesso gratuito.</li></ul> <div role="navigation" class="navbox" aria-labelledby="Tópicos_principais_sobre_álgebra" style="padding:3px"><table class="nowraplinks hlist collapsible autocollapse navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th scope="col" class="navbox-title" colspan="2"><div class="plainlinks hlist navbar mini"><ul><li class="nv-ver"><a href="/wiki/Predefini%C3%A7%C3%A3o:%C3%81lgebra" title="Predefinição:Álgebra"><abbr title="Ver esta predefinição" style=";;background:none transparent;border:none;-moz-box-shadow:none;-webkit-box-shadow:none;box-shadow:none; padding:0;">v</abbr></a></li><li class="nv-discutir"><a href="/w/index.php?title=Predefini%C3%A7%C3%A3o_Discuss%C3%A3o:%C3%81lgebra&action=edit&redlink=1" class="new" title="Predefinição Discussão:Álgebra (página não existe)"><abbr title="Discutir esta predefinição" style=";;background:none transparent;border:none;-moz-box-shadow:none;-webkit-box-shadow:none;box-shadow:none; padding:0;">d</abbr></a></li><li class="nv-editar"><a class="external text" href="https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Predefini%C3%A7%C3%A3o:%C3%81lgebra&action=edit"><abbr title="Editar esta predefinição" style=";;background:none transparent;border:none;-moz-box-shadow:none;-webkit-box-shadow:none;box-shadow:none; padding:0;">e</abbr></a></li></ul></div><div id="Tópicos_principais_sobre_álgebra" style="font-size:114%;margin:0 4em">Tópicos principais sobre <a href="/wiki/%C3%81lgebra" title="Álgebra">álgebra</a></div></th></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">Geral</th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%C3%81lgebra_elementar" title="Álgebra elementar">Álgebra elementar</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%81lgebra_abstrata" title="Álgebra abstrata">Álgebra abstrata</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%81lgebra_comutativa" title="Álgebra comutativa">Álgebra comutativa</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_da_ordem" title="Teoria da ordem">Teoria da ordem</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_das_categorias" title="Teoria das categorias">Teoria das categorias</a></li> <li><a href="/wiki/K-Teoria_(matem%C3%A1tica)" class="mw-redirect" title="K-Teoria (matemática)">K-Teoria</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/Estrutura_alg%C3%A9brica" title="Estrutura algébrica">Estruturas algébricas</a></th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/Grupo_(matem%C3%A1tica)" title="Grupo (matemática)">Grupo</a> – <a href="/wiki/Teoria_dos_grupos" title="Teoria dos grupos">Teoria dos grupos</a></li> <li><a href="/wiki/Anel_(matem%C3%A1tica)" title="Anel (matemática)">Anel</a> – <a href="/wiki/Teoria_dos_an%C3%A9is" title="Teoria dos anéis">Teoria dos anéis</a></li> <li><a href="/wiki/Corpo_(matem%C3%A1tica)" title="Corpo (matemática)">Corpo</a> – <a href="/wiki/Teoria_dos_corpos" title="Teoria dos corpos">Teoria dos corpos</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%81lgebra_universal" title="Álgebra universal">Álgebra universal</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%C3%81lgebra_linear" title="Álgebra linear">Álgebra linear</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)" title="Matriz (matemática)">Teoria de matrizes</a></li> <li><a href="/wiki/Vetor_(matem%C3%A1tica)" title="Vetor (matemática)">Vetor</a> – <a class="mw-selflink selflink">Espaço vetorial</a></li> <li><a href="/wiki/Produto_interno" title="Produto interno">Produto interno</a> – <a href="/wiki/Produto_interno" title="Produto interno">Espaço com produto interno</a></li> <li><a href="/wiki/Espa%C3%A7o_de_Hilbert" title="Espaço de Hilbert">Espaço de Hilbert</a></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div> <div role="navigation" class="navbox" aria-labelledby="Tópicos_relacionados_com_álgebra_linear" style="padding:3px"><table class="nowraplinks collapsible autocollapse navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th scope="col" class="navbox-title" colspan="2"><div class="plainlinks hlist navbar mini"><ul><li class="nv-ver"><a href="/wiki/Predefini%C3%A7%C3%A3o:%C3%81lgebra_linear" title="Predefinição:Álgebra linear"><abbr title="Ver esta predefinição" style=";;background:none transparent;border:none;-moz-box-shadow:none;-webkit-box-shadow:none;box-shadow:none; padding:0;">v</abbr></a></li><li class="nv-discutir"><a href="/w/index.php?title=Predefini%C3%A7%C3%A3o_Discuss%C3%A3o:%C3%81lgebra_linear&action=edit&redlink=1" class="new" title="Predefinição Discussão:Álgebra linear (página não existe)"><abbr title="Discutir esta predefinição" style=";;background:none transparent;border:none;-moz-box-shadow:none;-webkit-box-shadow:none;box-shadow:none; padding:0;">d</abbr></a></li><li class="nv-editar"><a class="external text" href="https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Predefini%C3%A7%C3%A3o:%C3%81lgebra_linear&action=edit"><abbr title="Editar esta predefinição" style=";;background:none transparent;border:none;-moz-box-shadow:none;-webkit-box-shadow:none;box-shadow:none; padding:0;">e</abbr></a></li></ul></div><div id="Tópicos_relacionados_com_álgebra_linear" style="font-size:114%;margin:0 4em">Tópicos relacionados com <a href="/wiki/%C3%81lgebra_linear" title="Álgebra linear">álgebra linear</a></div></th></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">Conceitos básicos</th><td class="navbox-list navbox-odd hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/Grandeza_escalar" title="Grandeza escalar">Escalar</a></li> <li><a href="/wiki/Vetor_(matem%C3%A1tica)" title="Vetor (matemática)">Vetor</a></li> <li><a class="mw-selflink selflink">Espaço vetorial</a></li> <li><a href="/wiki/Proje%C3%A7%C3%A3o_de_um_vetor" title="Projeção de um vetor">Projeção de um vetor</a></li> <li><a href="/wiki/Espa%C3%A7o_vectorial_gerado" title="Espaço vectorial gerado">Espaço vetorial gerado</a></li> <li><a href="/wiki/Transforma%C3%A7%C3%A3o_linear" title="Transformação linear">Transformação linear</a></li> <li><a href="/wiki/Proje%C3%A7%C3%A3o_(matem%C3%A1tica)" title="Projeção (matemática)">Projeção</a></li> <li><a href="/wiki/Independ%C3%AAncia_linear" title="Independência linear">Independência linear</a></li> <li><a href="/wiki/Combina%C3%A7%C3%A3o_linear" title="Combinação linear">Combinação linear</a></li> <li><a href="/wiki/Base_(%C3%A1lgebra_linear)" title="Base (álgebra linear)">Base</a></li> <li><a href="/wiki/Espa%C3%A7o_coluna" class="mw-redirect" title="Espaço coluna">Espaço coluna</a></li> <li><a href="/wiki/Espa%C3%A7o_linha" class="mw-redirect" title="Espaço linha">Espaço linha</a></li> <li><a href="/wiki/Espa%C3%A7o_dual" title="Espaço dual">Espaço dual</a></li> <li><a href="/wiki/Perpendicularidade" title="Perpendicularidade">Ortogonalidade</a></li> <li><a href="/wiki/N%C3%BAcleo_(%C3%A1lgebra_linear)" title="Núcleo (álgebra linear)">Núcleo</a></li> <li><a href="/wiki/Valor_pr%C3%B3prio" class="mw-redirect" title="Valor próprio">Valor próprio</a></li> <li><a href="/wiki/M%C3%A9todo_dos_m%C3%ADnimos_quadrados" title="Método dos mínimos quadrados">Método dos mínimos quadrados</a></li> <li><a href="/wiki/Produto_di%C3%A1dico" title="Produto diádico">Produto diádico</a></li> <li><a href="/wiki/Produto_interno" title="Produto interno">Espaço com produto interno</a></li> <li><a href="/wiki/Produto_escalar" title="Produto escalar">Produto escalar</a></li> <li><a href="/wiki/Matriz_transposta" title="Matriz transposta">Transposição</a></li> <li><a href="/wiki/Processo_de_Gram-Schmidt" title="Processo de Gram-Schmidt">Processo de Gram-Schmidt</a></li> <li><a href="/wiki/Sistema_de_equa%C3%A7%C3%B5es_lineares" title="Sistema de equações lineares">Sistema de equações lineares</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)" title="Matriz (matemática)">Matrizes</a></th><td class="navbox-list navbox-even hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)" title="Matriz (matemática)">Matriz</a></li> <li><a href="/wiki/Produto_de_matrizes" title="Produto de matrizes">Produto de matrizes</a></li> <li><a href="/wiki/Decomposi%C3%A7%C3%A3o_LU" title="Decomposição LU">Decomposição LU</a></li> <li><a href="/wiki/Menor_(%C3%A1lgebra_linear)" title="Menor (álgebra linear)">Menor</a></li> <li><a href="/wiki/Posto_matricial" title="Posto matricial">Posto matricial</a></li> <li><a href="/wiki/Regra_de_Cramer" title="Regra de Cramer">Regra de Cramer</a></li> <li><a href="/wiki/Matriz_inversa" title="Matriz inversa">Matriz inversa</a></li> <li><a href="/wiki/Elimina%C3%A7%C3%A3o_de_Gauss" title="Eliminação de Gauss">Eliminação de Gauss</a></li> <li><a href="/wiki/Matriz_de_transforma%C3%A7%C3%A3o" title="Matriz de transformação">Matriz de transformação</a></li> <li><a href="/wiki/Matriz_em_bloco" title="Matriz em bloco">Matriz em bloco</a></li> <li><a href="/wiki/Matriz_unimodular" title="Matriz unimodular">Matriz unimodular</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%C3%81lgebra_linear_num%C3%A9rica" title="Álgebra linear numérica">Álgebra linear numérica</a></th><td class="navbox-list navbox-odd hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/V%C3%ADrgula_flutuante" title="Vírgula flutuante">Vírgula flutuante</a></li> <li><a href="/wiki/Estabilidade_num%C3%A9rica" title="Estabilidade numérica">Estabilidade numérica</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Basic_Linear_Algebra_Subprograms&action=edit&redlink=1" class="new" title="Basic Linear Algebra Subprograms (página não existe)">BLAS</a></li> <li><a href="/wiki/Matriz_esparsa" title="Matriz esparsa">Matriz esparsa</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Compara%C3%A7%C3%A3o_de_bibliotecas_de_%C3%A1lgebra_linear&action=edit&redlink=1" class="new" title="Comparação de bibliotecas de álgebra linear (página não existe)">Comparação de bibliotecas de álgebra linear</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Compara%C3%A7%C3%A3o_de_softwares_de_an%C3%A1lise_num%C3%A9rica&action=edit&redlink=1" class="new" title="Comparação de softwares de análise numérica (página não existe)">Comparação de softwares de análise numérica</a></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div> <ul class="noprint navigation-box" style="border-top: solid silver 1px; border-right: solid silver 1px; border-bottom:1px solid silver; border-left: solid silver 1px; padding:3px; background-color: #F9F9F9; text-align: center; margin-top:10px; margin-left: 0; clear: both;"><li style="display: inline;"><a href="/wiki/Ficheiro:Nuvola_apps_edu_mathematics-p.svg" title="Portal da matemática"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c2/Nuvola_apps_edu_mathematics-p.svg/25px-Nuvola_apps_edu_mathematics-p.svg.png" decoding="async" width="25" height="25" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c2/Nuvola_apps_edu_mathematics-p.svg/38px-Nuvola_apps_edu_mathematics-p.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c2/Nuvola_apps_edu_mathematics-p.svg/50px-Nuvola_apps_edu_mathematics-p.svg.png 2x" data-file-width="128" data-file-height="128" /></a> <a href="/wiki/Portal:Matem%C3%A1tica" title="Portal:Matemática">Portal da matemática</a></li> </ul> <div role="navigation" class="navbox" aria-labelledby="Controle_de_autoridade" style="padding:3px"><table class="nowraplinks hlist navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th id="Controle_de_autoridade" scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;width: 12%; text-align:center;"><a href="/wiki/Ajuda:Controle_de_autoridade" title="Ajuda:Controle de autoridade">Controle de autoridade</a></th><td class="navbox-list navbox-odd plainlinks" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Wikidata:Main_Page" title="Wikidata"><img alt="Wd" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/20px-Wikidata-logo.svg.png" decoding="async" width="20" height="11" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/30px-Wikidata-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/40px-Wikidata-logo.svg.png 2x" data-file-width="1050" data-file-height="590" /></a>: <a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q125977" class="extiw" title="wikidata:Q125977">Q125977</a></li> <li><a href="/wiki/Biblioteca_Nacional_Central_de_Floren%C3%A7a" title="Biblioteca Nacional Central de Florença">BNCF</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://thes.bncf.firenze.sbn.it/termine.php?id=8099">8099</a></li> <li><a href="/wiki/Biblioteca_Nacional_da_Fran%C3%A7a" title="Biblioteca Nacional da França">BNF</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb11947083w">11947083w</a></li> <li><a href="/wiki/Grande_Enciclop%C3%A9dia_Sovi%C3%A9tica" title="Grande Enciclopédia Soviética">BRE</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://old.bigenc.ru/text/1904281">1904281</a></li> <li><a href="/wiki/Encyclop%C3%A6dia_Britannica" title="Encyclopædia Britannica">EBID</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.britannica.com/topic/vector-space">ID</a></li> <li><a href="/wiki/Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4130622-3">4130622-3</a></li> <li><a href="/wiki/JSTOR" title="JSTOR">JSTOR</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/*/https://www.jstor.org/topic/vector-spaces">vector-spaces</a></li> <li><a href="/wiki/N%C3%BAmero_de_controle_da_Biblioteca_do_Congresso" title="Número de controle da Biblioteca do Congresso">LCCN</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.loc.gov/authorities/sh85142456">sh85142456</a></li> <li><a href="/wiki/Enciclop%C3%A9dia_Treccani" title="Enciclopédia Treccani">Treccani</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.treccani.it/enciclopedia/spazio-vettoriale">spazio-vettoriale</a></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1&useformat=desktop" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Obtida de "<a dir="ltr" href="https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Espaço_vetorial&oldid=68011047">https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Espaço_vetorial&oldid=68011047</a>"</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" 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