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<!DOCTYPE html> <html lang="en"> <head> <meta content="text/html; charset=utf-8" http-equiv="content-type"/> <title>Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision</title>  <meta content="width=device-width, initial-scale=1, shrink-to-fit=no" name="viewport"/> <link href="https://cdn.jsdelivr.net/npm/bootstrap@5.3.0/dist/css/bootstrap.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/ar5iv.0.7.9.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/ar5iv-fonts.0.7.9.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/latexml_styles.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/bootstrap@5.3.0/dist/js/bootstrap.bundle.min.js"></script> <script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/html2canvas/1.3.3/html2canvas.min.js"></script> <script src="/static/browse/0.3.4/js/addons_new.js"></script> <script src="/static/browse/0.3.4/js/feedbackOverlay.js"></script> <meta content="" lang="en" name="keywords"/> <base href="/html/2411.10166v1/"/></head> <body> <nav class="ltx_page_navbar"> <nav class="ltx_TOC"> <ol class="ltx_toclist"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S1" title="In Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">I </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps">Introduction</span></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S2" title="In Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">II </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps">Mathematical Formulation</span></span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S2.SS1" title="In II Mathematical Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref"><span class="ltx_text">II-A</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic">First-stage Economic Dispatch Plan</span></span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_subsection"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsubsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S2.SS1.SSS1" title="In II-A First-stage Economic Dispatch Plan ‣ II Mathematical Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref"><span class="ltx_text">II-A</span>1 </span>Objective function</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsubsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S2.SS1.SSS2" title="In II-A First-stage Economic Dispatch Plan ‣ II Mathematical Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref"><span class="ltx_text">II-A</span>2 </span>DGs constraints</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsubsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S2.SS1.SSS3" title="In II-A First-stage Economic Dispatch Plan ‣ II Mathematical Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref"><span class="ltx_text">II-A</span>3 </span>ESSs constraints</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsubsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S2.SS1.SSS4" title="In II-A First-stage Economic Dispatch Plan ‣ II Mathematical Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref"><span class="ltx_text">II-A</span>4 </span>Power flow constraints</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsubsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S2.SS1.SSS5" title="In II-A First-stage Economic Dispatch Plan ‣ II Mathematical Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref"><span class="ltx_text">II-A</span>5 </span>Network security constraints</span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S2.SS2" title="In II Mathematical Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref"><span class="ltx_text">II-B</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic">Second-stage Recourse Control Stage</span></span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_subsection"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsubsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S2.SS2.SSS1" title="In II-B Second-stage Recourse Control Stage ‣ II Mathematical Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref"><span class="ltx_text">II-B</span>1 </span>Objective function</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsubsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S2.SS2.SSS2" title="In II-B Second-stage Recourse Control Stage ‣ II Mathematical Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref"><span class="ltx_text">II-B</span>2 </span>DGs recourse constraints</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsubsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S2.SS2.SSS3" title="In II-B Second-stage Recourse Control Stage ‣ II Mathematical Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref"><span class="ltx_text">II-B</span>3 </span>Power flow and voltage constraints</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsubsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S2.SS2.SSS4" title="In II-B Second-stage Recourse Control Stage ‣ II Mathematical Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref"><span class="ltx_text">II-B</span>4 </span>Networks security constraints</span></a></li> </ol> </li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S3" title="In Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">III </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps">Confidence Level-Based Distributionally Information Gap decision Formulation</span></span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S3.SS1" title="In III Confidence Level-Based Distributionally Information Gap decision Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref"><span class="ltx_text">III-A</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic">Deterministic Model</span></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S3.SS2" title="In III Confidence Level-Based Distributionally Information Gap decision Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref"><span class="ltx_text">III-B</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic">Information-Gap Decision Model</span></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S3.SS3" title="In III Confidence Level-Based Distributionally Information Gap decision Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref"><span class="ltx_text">III-C</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic">Confidence Level Based Information Gap Decision Model</span></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S3.SS4" title="In III Confidence Level-Based Distributionally Information Gap decision Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref"><span class="ltx_text">III-D</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic">Construction of the Ambiguity Set</span></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S3.SS5" title="In III Confidence Level-Based Distributionally Information Gap decision Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref"><span class="ltx_text">III-E</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic">Selection of the Worst-case Distribution</span></span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S4" title="In Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">IV </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps">Solution Methodology</span></span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S4.SS1" title="In IV Solution Methodology ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref"><span class="ltx_text">IV-A</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic">Calculation of Optimal Uncertainty Set</span></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S4.SS2" title="In IV Solution Methodology ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref"><span class="ltx_text">IV-B</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic">Iteration Solving Procedure</span></span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S5" title="In Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">V </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps">Case Study and Discussion</span></span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S5.SS1" title="In V Case Study and Discussion ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref"><span class="ltx_text">V-A</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic">Optimal Operation Results for Distribution Networks</span></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S5.SS2" title="In V Case Study and Discussion ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref"><span class="ltx_text">V-B</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic">Ambiguity Sets within Proposed Framework</span></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S5.SS3" title="In V Case Study and Discussion ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref"><span class="ltx_text">V-C</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic">Optimal Uncertainty Sets of Different Approaches</span></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S5.SS4" title="In V Case Study and Discussion ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref"><span class="ltx_text">V-D</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic">Post-Evaluation of Different Approaches</span></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S5.SS5" title="In V Case Study and Discussion ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref"><span class="ltx_text">V-E</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic">Sensitivity Analysis</span></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S5.SS6" title="In V Case Study and Discussion ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref"><span class="ltx_text">V-F</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic">Accuracy of the Optimal Solutions</span></span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S6" title="In Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">VI </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps">Conclusion</span></span></a></li> </ol></nav> </nav> <div class="ltx_page_main"> <div class="ltx_page_content"> <article class="ltx_document ltx_authors_1line" lang="en"> <h1 class="ltx_title ltx_title_document">Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision</h1> <div class="ltx_authors"> <span class="ltx_creator ltx_role_author"> <span class="ltx_personname">Zhisheng Xiong, Bo Zeng, Peter Palensky, Pedro P. Vergara, </span><span class="ltx_author_notes">Zhisheng Xiong, Peter Palensky and Pedro P. Vergara are with the Intelligent Electrical Power Grids (IEPG) group, Delft University of Technology, 2628 CD Delft, Netherlands (e-mail: {z.xiong, p.palensky, p.p.vergarabarrios}@tudelft.nl). Bo Zeng is with the Department of Industrial Engineering and the Department of Electrical and Computer Engineering, University of Pittsburgh, Pittsburgh, PA 15106 USA (e-mail: bzeng@pitt.edu).</span></span> </div> <div class="ltx_abstract"> <h6 class="ltx_title ltx_title_abstract">Abstract</h6> <p class="ltx_p" id="id1.id1"><span class="ltx_text" id="id1.id1.1">This paper presents a confidence level-based distributionally information gap decision theory (CL-DIGDT) framework for the two-stage robust optimal operation of distribution networks, aiming at deriving an optimal operational scheme capable of addressing uncertainties related to renewable energy and load demands. Building on conventional IGDT, the proposed framework utilizes the confidence level to capture the asymmetric characteristics of uncertainties and maximize the risk-averse capability of the solution in a probabilistic manner. To account for the probabilistic consideration, the imprecise Dirichlet model is employed to construct the ambiguity sets of uncertainties, reducing reliance on precise probability distributions. Consequently, a two-stage robust optimal operation model for distribution networks using CL-DIGDT is developed. An iterative method is proposed to solve the model and determine the upper and lower bounds of the objective function. Case study demonstrates that the proposed approach yields a more robust and statistically optimized solution with required accuracy compared to existing method, contributing to a reduction in first-stage cost by 0.84%, second-stage average cost by 6.7%, and significantly increasing the reliability of the solution by 8%.</span></p> </div> <div class="ltx_keywords"> <h6 class="ltx_title ltx_title_keywords">Index Terms: </h6> <span class="ltx_text" id="id2.id1"> Robust optimization, information gap decision theory, probability, ambiguity set, distribution networks. </span> </div> <section class="ltx_section" id="Sx1"> <h2 class="ltx_title ltx_font_smallcaps ltx_title_section">Nomenclature</h2> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="Sx1.p1"> <p class="ltx_p" id="Sx1.p1.1"><em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="Sx1.p1.1.1">A. Sets</em>:</p> <dl class="ltx_description" id="Sx1.I1"> <dt class="ltx_item" id="Sx1.I1.ix1"><span class="ltx_tag ltx_tag_item"><math alttext="{\cal N}" class="ltx_Math" display="inline" id="Sx1.I1.ix1.1.1.m1.1"><semantics id="Sx1.I1.ix1.1.1.m1.1b"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Sx1.I1.ix1.1.1.m1.1.1" mathsize="90%" xref="Sx1.I1.ix1.1.1.m1.1.1.cmml">𝒩</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Sx1.I1.ix1.1.1.m1.1c"><ci id="Sx1.I1.ix1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Sx1.I1.ix1.1.1.m1.1.1">𝒩</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Sx1.I1.ix1.1.1.m1.1d">{\cal N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Sx1.I1.ix1.1.1.m1.1e">caligraphic_N</annotation></semantics></math></span></dt> <dd class="ltx_item"> <div class="ltx_para" id="Sx1.I1.ix1.p1"> <p class="ltx_p" id="Sx1.I1.ix1.p1.1">Set of nodes of the distribution network</p> </div> </dd> <dt class="ltx_item" id="Sx1.I1.ix2"><span class="ltx_tag ltx_tag_item"><math alttext="{\cal L}" class="ltx_Math" display="inline" id="Sx1.I1.ix2.1.1.m1.1"><semantics id="Sx1.I1.ix2.1.1.m1.1b"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Sx1.I1.ix2.1.1.m1.1.1" mathsize="90%" xref="Sx1.I1.ix2.1.1.m1.1.1.cmml">ℒ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Sx1.I1.ix2.1.1.m1.1c"><ci id="Sx1.I1.ix2.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Sx1.I1.ix2.1.1.m1.1.1">ℒ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Sx1.I1.ix2.1.1.m1.1d">{\cal L}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Sx1.I1.ix2.1.1.m1.1e">caligraphic_L</annotation></semantics></math></span></dt> <dd class="ltx_item"> <div class="ltx_para" id="Sx1.I1.ix2.p1"> <p class="ltx_p" id="Sx1.I1.ix2.p1.1">Set of lines</p> </div> </dd> <dt class="ltx_item" id="Sx1.I1.ix3"><span class="ltx_tag ltx_tag_item"><math alttext="{\cal G}" class="ltx_Math" display="inline" id="Sx1.I1.ix3.1.1.m1.1"><semantics id="Sx1.I1.ix3.1.1.m1.1b"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Sx1.I1.ix3.1.1.m1.1.1" mathsize="90%" xref="Sx1.I1.ix3.1.1.m1.1.1.cmml">𝒢</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Sx1.I1.ix3.1.1.m1.1c"><ci id="Sx1.I1.ix3.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Sx1.I1.ix3.1.1.m1.1.1">𝒢</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Sx1.I1.ix3.1.1.m1.1d">{\cal G}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Sx1.I1.ix3.1.1.m1.1e">caligraphic_G</annotation></semantics></math></span></dt> <dd class="ltx_item"> <div class="ltx_para" id="Sx1.I1.ix3.p1"> <p class="ltx_p" id="Sx1.I1.ix3.p1.1">Set of nodes in which a DG unit is connected, <math alttext="{\cal G}\subset{\cal N}" class="ltx_Math" display="inline" id="Sx1.I1.ix3.p1.1.m1.1"><semantics id="Sx1.I1.ix3.p1.1.m1.1a"><mrow id="Sx1.I1.ix3.p1.1.m1.1.1" xref="Sx1.I1.ix3.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Sx1.I1.ix3.p1.1.m1.1.1.2" xref="Sx1.I1.ix3.p1.1.m1.1.1.2.cmml">𝒢</mi><mo id="Sx1.I1.ix3.p1.1.m1.1.1.1" xref="Sx1.I1.ix3.p1.1.m1.1.1.1.cmml">⊂</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Sx1.I1.ix3.p1.1.m1.1.1.3" xref="Sx1.I1.ix3.p1.1.m1.1.1.3.cmml">𝒩</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Sx1.I1.ix3.p1.1.m1.1b"><apply id="Sx1.I1.ix3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="Sx1.I1.ix3.p1.1.m1.1.1"><subset id="Sx1.I1.ix3.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Sx1.I1.ix3.p1.1.m1.1.1.1"></subset><ci id="Sx1.I1.ix3.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Sx1.I1.ix3.p1.1.m1.1.1.2">𝒢</ci><ci id="Sx1.I1.ix3.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Sx1.I1.ix3.p1.1.m1.1.1.3">𝒩</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Sx1.I1.ix3.p1.1.m1.1c">{\cal G}\subset{\cal N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Sx1.I1.ix3.p1.1.m1.1d">caligraphic_G ⊂ caligraphic_N</annotation></semantics></math></p> </div> </dd> <dt class="ltx_item" id="Sx1.I1.ix4"><span class="ltx_tag ltx_tag_item"><math alttext="{\cal B}" class="ltx_Math" display="inline" id="Sx1.I1.ix4.1.1.m1.1"><semantics id="Sx1.I1.ix4.1.1.m1.1b"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Sx1.I1.ix4.1.1.m1.1.1" mathsize="90%" xref="Sx1.I1.ix4.1.1.m1.1.1.cmml">ℬ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Sx1.I1.ix4.1.1.m1.1c"><ci id="Sx1.I1.ix4.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Sx1.I1.ix4.1.1.m1.1.1">ℬ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Sx1.I1.ix4.1.1.m1.1d">{\cal B}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Sx1.I1.ix4.1.1.m1.1e">caligraphic_B</annotation></semantics></math></span></dt> <dd class="ltx_item"> <div class="ltx_para" id="Sx1.I1.ix4.p1"> <p class="ltx_p" id="Sx1.I1.ix4.p1.1">Set of nodes in which an ESS is connected, <math alttext="{\cal B}\subset{\cal N}" class="ltx_Math" display="inline" id="Sx1.I1.ix4.p1.1.m1.1"><semantics id="Sx1.I1.ix4.p1.1.m1.1a"><mrow id="Sx1.I1.ix4.p1.1.m1.1.1" xref="Sx1.I1.ix4.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Sx1.I1.ix4.p1.1.m1.1.1.2" xref="Sx1.I1.ix4.p1.1.m1.1.1.2.cmml">ℬ</mi><mo id="Sx1.I1.ix4.p1.1.m1.1.1.1" xref="Sx1.I1.ix4.p1.1.m1.1.1.1.cmml">⊂</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Sx1.I1.ix4.p1.1.m1.1.1.3" xref="Sx1.I1.ix4.p1.1.m1.1.1.3.cmml">𝒩</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Sx1.I1.ix4.p1.1.m1.1b"><apply id="Sx1.I1.ix4.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="Sx1.I1.ix4.p1.1.m1.1.1"><subset id="Sx1.I1.ix4.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Sx1.I1.ix4.p1.1.m1.1.1.1"></subset><ci id="Sx1.I1.ix4.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Sx1.I1.ix4.p1.1.m1.1.1.2">ℬ</ci><ci id="Sx1.I1.ix4.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Sx1.I1.ix4.p1.1.m1.1.1.3">𝒩</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Sx1.I1.ix4.p1.1.m1.1c">{\cal B}\subset{\cal N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Sx1.I1.ix4.p1.1.m1.1d">caligraphic_B ⊂ caligraphic_N</annotation></semantics></math></p> </div> </dd> <dt class="ltx_item" id="Sx1.I1.ix5"><span class="ltx_tag ltx_tag_item"><math alttext="{\cal T}" class="ltx_Math" display="inline" id="Sx1.I1.ix5.1.1.m1.1"><semantics id="Sx1.I1.ix5.1.1.m1.1b"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Sx1.I1.ix5.1.1.m1.1.1" mathsize="90%" xref="Sx1.I1.ix5.1.1.m1.1.1.cmml">𝒯</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Sx1.I1.ix5.1.1.m1.1c"><ci id="Sx1.I1.ix5.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Sx1.I1.ix5.1.1.m1.1.1">𝒯</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Sx1.I1.ix5.1.1.m1.1d">{\cal T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Sx1.I1.ix5.1.1.m1.1e">caligraphic_T</annotation></semantics></math></span></dt> <dd class="ltx_item"> <div class="ltx_para" id="Sx1.I1.ix5.p1"> <p class="ltx_p" id="Sx1.I1.ix5.p1.1">Set of time-periods</p> </div> </dd> </dl> <p class="ltx_p" id="Sx1.p1.2"><em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="Sx1.p1.2.1">B. Indexes</em>:</p> <dl class="ltx_description" id="Sx1.I2"> <dt class="ltx_item" id="Sx1.I2.ix1"><span class="ltx_tag ltx_tag_item"><math alttext="ij" class="ltx_Math" display="inline" id="Sx1.I2.ix1.1.1.m1.1"><semantics id="Sx1.I2.ix1.1.1.m1.1b"><mrow id="Sx1.I2.ix1.1.1.m1.1.1" xref="Sx1.I2.ix1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Sx1.I2.ix1.1.1.m1.1.1.2" mathsize="90%" xref="Sx1.I2.ix1.1.1.m1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="Sx1.I2.ix1.1.1.m1.1.1.1" xref="Sx1.I2.ix1.1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="Sx1.I2.ix1.1.1.m1.1.1.3" mathsize="90%" xref="Sx1.I2.ix1.1.1.m1.1.1.3.cmml">j</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Sx1.I2.ix1.1.1.m1.1c"><apply id="Sx1.I2.ix1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Sx1.I2.ix1.1.1.m1.1.1"><times id="Sx1.I2.ix1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Sx1.I2.ix1.1.1.m1.1.1.1"></times><ci id="Sx1.I2.ix1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Sx1.I2.ix1.1.1.m1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="Sx1.I2.ix1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Sx1.I2.ix1.1.1.m1.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Sx1.I2.ix1.1.1.m1.1d">ij</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Sx1.I2.ix1.1.1.m1.1e">italic_i italic_j</annotation></semantics></math></span></dt> <dd class="ltx_item"> <div class="ltx_para" id="Sx1.I2.ix1.p1"> <p class="ltx_p" id="Sx1.I2.ix1.p1.1">Line <math alttext="ij\in{\cal L}" class="ltx_Math" display="inline" id="Sx1.I2.ix1.p1.1.m1.1"><semantics id="Sx1.I2.ix1.p1.1.m1.1a"><mrow id="Sx1.I2.ix1.p1.1.m1.1.1" xref="Sx1.I2.ix1.p1.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="Sx1.I2.ix1.p1.1.m1.1.1.2" xref="Sx1.I2.ix1.p1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="Sx1.I2.ix1.p1.1.m1.1.1.2.2" xref="Sx1.I2.ix1.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml">i</mi><mo id="Sx1.I2.ix1.p1.1.m1.1.1.2.1" xref="Sx1.I2.ix1.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="Sx1.I2.ix1.p1.1.m1.1.1.2.3" xref="Sx1.I2.ix1.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="Sx1.I2.ix1.p1.1.m1.1.1.1" xref="Sx1.I2.ix1.p1.1.m1.1.1.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Sx1.I2.ix1.p1.1.m1.1.1.3" xref="Sx1.I2.ix1.p1.1.m1.1.1.3.cmml">ℒ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Sx1.I2.ix1.p1.1.m1.1b"><apply id="Sx1.I2.ix1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="Sx1.I2.ix1.p1.1.m1.1.1"><in id="Sx1.I2.ix1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Sx1.I2.ix1.p1.1.m1.1.1.1"></in><apply id="Sx1.I2.ix1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Sx1.I2.ix1.p1.1.m1.1.1.2"><times id="Sx1.I2.ix1.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="Sx1.I2.ix1.p1.1.m1.1.1.2.1"></times><ci id="Sx1.I2.ix1.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="Sx1.I2.ix1.p1.1.m1.1.1.2.2">𝑖</ci><ci id="Sx1.I2.ix1.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="Sx1.I2.ix1.p1.1.m1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="Sx1.I2.ix1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Sx1.I2.ix1.p1.1.m1.1.1.3">ℒ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Sx1.I2.ix1.p1.1.m1.1c">ij\in{\cal L}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Sx1.I2.ix1.p1.1.m1.1d">italic_i italic_j ∈ caligraphic_L</annotation></semantics></math></p> </div> </dd> <dt class="ltx_item" id="Sx1.I2.ix2"><span class="ltx_tag ltx_tag_item"><math alttext="i" class="ltx_Math" display="inline" id="Sx1.I2.ix2.1.1.m1.1"><semantics id="Sx1.I2.ix2.1.1.m1.1b"><mi id="Sx1.I2.ix2.1.1.m1.1.1" mathsize="90%" xref="Sx1.I2.ix2.1.1.m1.1.1.cmml">i</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Sx1.I2.ix2.1.1.m1.1c"><ci id="Sx1.I2.ix2.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Sx1.I2.ix2.1.1.m1.1.1">𝑖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Sx1.I2.ix2.1.1.m1.1d">i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Sx1.I2.ix2.1.1.m1.1e">italic_i</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Sx1.I2.ix2.2.2.1" style="font-size:90%;">, <math alttext="j" class="ltx_Math" display="inline" id="Sx1.I2.ix2.2.2.1.m1.1"><semantics id="Sx1.I2.ix2.2.2.1.m1.1b"><mi id="Sx1.I2.ix2.2.2.1.m1.1.1" xref="Sx1.I2.ix2.2.2.1.m1.1.1.cmml">j</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Sx1.I2.ix2.2.2.1.m1.1c"><ci id="Sx1.I2.ix2.2.2.1.m1.1.1.cmml" xref="Sx1.I2.ix2.2.2.1.m1.1.1">𝑗</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Sx1.I2.ix2.2.2.1.m1.1d">j</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Sx1.I2.ix2.2.2.1.m1.1e">italic_j</annotation></semantics></math></span></span></dt> <dd class="ltx_item"> <div class="ltx_para" id="Sx1.I2.ix2.p1"> <p class="ltx_p" id="Sx1.I2.ix2.p1.2">Nodes <math alttext="i\in{\cal N}" class="ltx_Math" display="inline" id="Sx1.I2.ix2.p1.1.m1.1"><semantics id="Sx1.I2.ix2.p1.1.m1.1a"><mrow id="Sx1.I2.ix2.p1.1.m1.1.1" xref="Sx1.I2.ix2.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Sx1.I2.ix2.p1.1.m1.1.1.2" xref="Sx1.I2.ix2.p1.1.m1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="Sx1.I2.ix2.p1.1.m1.1.1.1" xref="Sx1.I2.ix2.p1.1.m1.1.1.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Sx1.I2.ix2.p1.1.m1.1.1.3" xref="Sx1.I2.ix2.p1.1.m1.1.1.3.cmml">𝒩</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Sx1.I2.ix2.p1.1.m1.1b"><apply id="Sx1.I2.ix2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="Sx1.I2.ix2.p1.1.m1.1.1"><in id="Sx1.I2.ix2.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Sx1.I2.ix2.p1.1.m1.1.1.1"></in><ci id="Sx1.I2.ix2.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Sx1.I2.ix2.p1.1.m1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="Sx1.I2.ix2.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Sx1.I2.ix2.p1.1.m1.1.1.3">𝒩</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Sx1.I2.ix2.p1.1.m1.1c">i\in{\cal N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Sx1.I2.ix2.p1.1.m1.1d">italic_i ∈ caligraphic_N</annotation></semantics></math> and <math alttext="j\in{\cal N}" class="ltx_Math" display="inline" id="Sx1.I2.ix2.p1.2.m2.1"><semantics id="Sx1.I2.ix2.p1.2.m2.1a"><mrow id="Sx1.I2.ix2.p1.2.m2.1.1" xref="Sx1.I2.ix2.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Sx1.I2.ix2.p1.2.m2.1.1.2" xref="Sx1.I2.ix2.p1.2.m2.1.1.2.cmml">j</mi><mo id="Sx1.I2.ix2.p1.2.m2.1.1.1" xref="Sx1.I2.ix2.p1.2.m2.1.1.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Sx1.I2.ix2.p1.2.m2.1.1.3" xref="Sx1.I2.ix2.p1.2.m2.1.1.3.cmml">𝒩</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Sx1.I2.ix2.p1.2.m2.1b"><apply id="Sx1.I2.ix2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="Sx1.I2.ix2.p1.2.m2.1.1"><in id="Sx1.I2.ix2.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Sx1.I2.ix2.p1.2.m2.1.1.1"></in><ci id="Sx1.I2.ix2.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Sx1.I2.ix2.p1.2.m2.1.1.2">𝑗</ci><ci id="Sx1.I2.ix2.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Sx1.I2.ix2.p1.2.m2.1.1.3">𝒩</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Sx1.I2.ix2.p1.2.m2.1c">j\in{\cal N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Sx1.I2.ix2.p1.2.m2.1d">italic_j ∈ caligraphic_N</annotation></semantics></math></p> </div> </dd> <dt class="ltx_item" id="Sx1.I2.ix3"><span class="ltx_tag ltx_tag_item"><math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="Sx1.I2.ix3.1.1.m1.1"><semantics id="Sx1.I2.ix3.1.1.m1.1b"><mi id="Sx1.I2.ix3.1.1.m1.1.1" mathsize="90%" xref="Sx1.I2.ix3.1.1.m1.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Sx1.I2.ix3.1.1.m1.1c"><ci id="Sx1.I2.ix3.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Sx1.I2.ix3.1.1.m1.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Sx1.I2.ix3.1.1.m1.1d">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Sx1.I2.ix3.1.1.m1.1e">italic_t</annotation></semantics></math></span></dt> <dd class="ltx_item"> <div class="ltx_para" id="Sx1.I2.ix3.p1"> <p class="ltx_p" id="Sx1.I2.ix3.p1.1">Time interval <math alttext="t\in{\cal T}" class="ltx_Math" display="inline" id="Sx1.I2.ix3.p1.1.m1.1"><semantics id="Sx1.I2.ix3.p1.1.m1.1a"><mrow id="Sx1.I2.ix3.p1.1.m1.1.1" xref="Sx1.I2.ix3.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Sx1.I2.ix3.p1.1.m1.1.1.2" xref="Sx1.I2.ix3.p1.1.m1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="Sx1.I2.ix3.p1.1.m1.1.1.1" xref="Sx1.I2.ix3.p1.1.m1.1.1.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Sx1.I2.ix3.p1.1.m1.1.1.3" xref="Sx1.I2.ix3.p1.1.m1.1.1.3.cmml">𝒯</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Sx1.I2.ix3.p1.1.m1.1b"><apply id="Sx1.I2.ix3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="Sx1.I2.ix3.p1.1.m1.1.1"><in id="Sx1.I2.ix3.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Sx1.I2.ix3.p1.1.m1.1.1.1"></in><ci id="Sx1.I2.ix3.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Sx1.I2.ix3.p1.1.m1.1.1.2">𝑡</ci><ci id="Sx1.I2.ix3.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Sx1.I2.ix3.p1.1.m1.1.1.3">𝒯</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Sx1.I2.ix3.p1.1.m1.1c">t\in{\cal T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Sx1.I2.ix3.p1.1.m1.1d">italic_t ∈ caligraphic_T</annotation></semantics></math></p> </div> </dd> </dl> <p class="ltx_p" id="Sx1.p1.3"><em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="Sx1.p1.3.1">C. Parameters</em>:</p> <dl class="ltx_description" id="Sx1.I3"> <dt class="ltx_item" id="Sx1.I3.ix1"><span class="ltx_tag ltx_tag_item"><math alttext="c_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="Sx1.I3.ix1.1.1.m1.1"><semantics id="Sx1.I3.ix1.1.1.m1.1b"><msub id="Sx1.I3.ix1.1.1.m1.1.1" xref="Sx1.I3.ix1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Sx1.I3.ix1.1.1.m1.1.1.2" mathsize="90%" xref="Sx1.I3.ix1.1.1.m1.1.1.2.cmml">c</mi><mi id="Sx1.I3.ix1.1.1.m1.1.1.3" mathsize="90%" xref="Sx1.I3.ix1.1.1.m1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Sx1.I3.ix1.1.1.m1.1c"><apply id="Sx1.I3.ix1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Sx1.I3.ix1.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Sx1.I3.ix1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Sx1.I3.ix1.1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Sx1.I3.ix1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Sx1.I3.ix1.1.1.m1.1.1.2">𝑐</ci><ci id="Sx1.I3.ix1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Sx1.I3.ix1.1.1.m1.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Sx1.I3.ix1.1.1.m1.1d">c_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Sx1.I3.ix1.1.1.m1.1e">italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Sx1.I3.ix1.2.2.1" style="font-size:90%;">, <math alttext="\hat{c}_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="Sx1.I3.ix1.2.2.1.m1.1"><semantics id="Sx1.I3.ix1.2.2.1.m1.1b"><msub id="Sx1.I3.ix1.2.2.1.m1.1.1" xref="Sx1.I3.ix1.2.2.1.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="Sx1.I3.ix1.2.2.1.m1.1.1.2" xref="Sx1.I3.ix1.2.2.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="Sx1.I3.ix1.2.2.1.m1.1.1.2.2" xref="Sx1.I3.ix1.2.2.1.m1.1.1.2.2.cmml">c</mi><mo id="Sx1.I3.ix1.2.2.1.m1.1.1.2.1" xref="Sx1.I3.ix1.2.2.1.m1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="Sx1.I3.ix1.2.2.1.m1.1.1.3" xref="Sx1.I3.ix1.2.2.1.m1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Sx1.I3.ix1.2.2.1.m1.1c"><apply id="Sx1.I3.ix1.2.2.1.m1.1.1.cmml" xref="Sx1.I3.ix1.2.2.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Sx1.I3.ix1.2.2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Sx1.I3.ix1.2.2.1.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="Sx1.I3.ix1.2.2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Sx1.I3.ix1.2.2.1.m1.1.1.2"><ci id="Sx1.I3.ix1.2.2.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="Sx1.I3.ix1.2.2.1.m1.1.1.2.1">^</ci><ci id="Sx1.I3.ix1.2.2.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="Sx1.I3.ix1.2.2.1.m1.1.1.2.2">𝑐</ci></apply><ci id="Sx1.I3.ix1.2.2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Sx1.I3.ix1.2.2.1.m1.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Sx1.I3.ix1.2.2.1.m1.1d">\hat{c}_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Sx1.I3.ix1.2.2.1.m1.1e">over^ start_ARG italic_c end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></span></span></dt> <dd class="ltx_item"> <div class="ltx_para" id="Sx1.I3.ix1.p1"> <p class="ltx_p" id="Sx1.I3.ix1.p1.1">First/Second-stage DGs operational cost</p> </div> </dd> <dt class="ltx_item" id="Sx1.I3.ix2"><span class="ltx_tag ltx_tag_item"><math alttext="d_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="Sx1.I3.ix2.1.1.m1.1"><semantics id="Sx1.I3.ix2.1.1.m1.1b"><msub id="Sx1.I3.ix2.1.1.m1.1.1" xref="Sx1.I3.ix2.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Sx1.I3.ix2.1.1.m1.1.1.2" mathsize="90%" xref="Sx1.I3.ix2.1.1.m1.1.1.2.cmml">d</mi><mi id="Sx1.I3.ix2.1.1.m1.1.1.3" mathsize="90%" xref="Sx1.I3.ix2.1.1.m1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Sx1.I3.ix2.1.1.m1.1c"><apply id="Sx1.I3.ix2.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Sx1.I3.ix2.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Sx1.I3.ix2.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Sx1.I3.ix2.1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Sx1.I3.ix2.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Sx1.I3.ix2.1.1.m1.1.1.2">𝑑</ci><ci id="Sx1.I3.ix2.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Sx1.I3.ix2.1.1.m1.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Sx1.I3.ix2.1.1.m1.1d">d_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Sx1.I3.ix2.1.1.m1.1e">italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Sx1.I3.ix2.2.2.1" style="font-size:90%;">, <math alttext="\hat{d}_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="Sx1.I3.ix2.2.2.1.m1.1"><semantics id="Sx1.I3.ix2.2.2.1.m1.1b"><msub id="Sx1.I3.ix2.2.2.1.m1.1.1" xref="Sx1.I3.ix2.2.2.1.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="Sx1.I3.ix2.2.2.1.m1.1.1.2" xref="Sx1.I3.ix2.2.2.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="Sx1.I3.ix2.2.2.1.m1.1.1.2.2" xref="Sx1.I3.ix2.2.2.1.m1.1.1.2.2.cmml">d</mi><mo id="Sx1.I3.ix2.2.2.1.m1.1.1.2.1" xref="Sx1.I3.ix2.2.2.1.m1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="Sx1.I3.ix2.2.2.1.m1.1.1.3" xref="Sx1.I3.ix2.2.2.1.m1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Sx1.I3.ix2.2.2.1.m1.1c"><apply id="Sx1.I3.ix2.2.2.1.m1.1.1.cmml" xref="Sx1.I3.ix2.2.2.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Sx1.I3.ix2.2.2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Sx1.I3.ix2.2.2.1.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="Sx1.I3.ix2.2.2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Sx1.I3.ix2.2.2.1.m1.1.1.2"><ci id="Sx1.I3.ix2.2.2.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="Sx1.I3.ix2.2.2.1.m1.1.1.2.1">^</ci><ci id="Sx1.I3.ix2.2.2.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="Sx1.I3.ix2.2.2.1.m1.1.1.2.2">𝑑</ci></apply><ci id="Sx1.I3.ix2.2.2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Sx1.I3.ix2.2.2.1.m1.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Sx1.I3.ix2.2.2.1.m1.1d">\hat{d}_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Sx1.I3.ix2.2.2.1.m1.1e">over^ start_ARG italic_d end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></span></span></dt> <dd class="ltx_item"> <div class="ltx_para" id="Sx1.I3.ix2.p1"> <p class="ltx_p" id="Sx1.I3.ix2.p1.1">First/Second-stage electricity purchase cost</p> </div> </dd> <dt class="ltx_item" id="Sx1.I3.ix3"><span class="ltx_tag ltx_tag_item"><math alttext="\overline{e}_{i,t}" class="ltx_Math" display="inline" id="Sx1.I3.ix3.1.1.m1.2"><semantics id="Sx1.I3.ix3.1.1.m1.2b"><msub 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xref="Sx1.I3.ix3.1.1.m1.2.3.2"><ci id="Sx1.I3.ix3.1.1.m1.2.3.2.1.cmml" xref="Sx1.I3.ix3.1.1.m1.2.3.2.1">¯</ci><ci id="Sx1.I3.ix3.1.1.m1.2.3.2.2.cmml" xref="Sx1.I3.ix3.1.1.m1.2.3.2.2">𝑒</ci></apply><list id="Sx1.I3.ix3.1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="Sx1.I3.ix3.1.1.m1.2.2.2.4"><ci id="Sx1.I3.ix3.1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="Sx1.I3.ix3.1.1.m1.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="Sx1.I3.ix3.1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="Sx1.I3.ix3.1.1.m1.2.2.2.2">𝑡</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Sx1.I3.ix3.1.1.m1.2d">\overline{e}_{i,t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Sx1.I3.ix3.1.1.m1.2e">over¯ start_ARG italic_e end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Sx1.I3.ix3.2.2.1" style="font-size:90%;">, <math alttext="\underline{e}_{i,t}" class="ltx_Math" display="inline" id="Sx1.I3.ix3.2.2.1.m1.2"><semantics id="Sx1.I3.ix3.2.2.1.m1.2b"><msub 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xref="Sx1.I3.ix3.2.2.1.m1.2.3.2"><ci id="Sx1.I3.ix3.2.2.1.m1.2.3.2.1.cmml" xref="Sx1.I3.ix3.2.2.1.m1.2.3.2.1">¯</ci><ci id="Sx1.I3.ix3.2.2.1.m1.2.3.2.2.cmml" xref="Sx1.I3.ix3.2.2.1.m1.2.3.2.2">𝑒</ci></apply><list id="Sx1.I3.ix3.2.2.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="Sx1.I3.ix3.2.2.1.m1.2.2.2.4"><ci id="Sx1.I3.ix3.2.2.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="Sx1.I3.ix3.2.2.1.m1.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="Sx1.I3.ix3.2.2.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="Sx1.I3.ix3.2.2.1.m1.2.2.2.2">𝑡</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Sx1.I3.ix3.2.2.1.m1.2d">\underline{e}_{i,t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Sx1.I3.ix3.2.2.1.m1.2e">under¯ start_ARG italic_e end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></span></span></dt> <dd class="ltx_item"> <div class="ltx_para" id="Sx1.I3.ix3.p1"> <p class="ltx_p" id="Sx1.I3.ix3.p1.1">Maximum/Minimum energy capacity of ESSs</p> </div> </dd> <dt class="ltx_item" id="Sx1.I3.ix4"><span class="ltx_tag ltx_tag_item"><math alttext="\overline{p}^{B+}" class="ltx_Math" display="inline" id="Sx1.I3.ix4.1.1.m1.1"><semantics id="Sx1.I3.ix4.1.1.m1.1b"><msup id="Sx1.I3.ix4.1.1.m1.1.1" xref="Sx1.I3.ix4.1.1.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="Sx1.I3.ix4.1.1.m1.1.1.2" xref="Sx1.I3.ix4.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="Sx1.I3.ix4.1.1.m1.1.1.2.2" mathsize="90%" xref="Sx1.I3.ix4.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">p</mi><mo id="Sx1.I3.ix4.1.1.m1.1.1.2.1" mathsize="90%" xref="Sx1.I3.ix4.1.1.m1.1.1.2.1.cmml">¯</mo></mover><mrow id="Sx1.I3.ix4.1.1.m1.1.1.3" xref="Sx1.I3.ix4.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="Sx1.I3.ix4.1.1.m1.1.1.3.2" mathsize="90%" xref="Sx1.I3.ix4.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">B</mi><mo id="Sx1.I3.ix4.1.1.m1.1.1.3.3" mathsize="90%" xref="Sx1.I3.ix4.1.1.m1.1.1.3.3.cmml">+</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Sx1.I3.ix4.1.1.m1.1c"><apply id="Sx1.I3.ix4.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Sx1.I3.ix4.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Sx1.I3.ix4.1.1.m1.1.1.1.cmml" 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id="Sx1.I3.ix4.2.2.1" style="font-size:90%;">, <math alttext="\underline{p}^{B+}" class="ltx_Math" display="inline" id="Sx1.I3.ix4.2.2.1.m1.1"><semantics id="Sx1.I3.ix4.2.2.1.m1.1b"><msup id="Sx1.I3.ix4.2.2.1.m1.1.1" xref="Sx1.I3.ix4.2.2.1.m1.1.1.cmml"><munder accentunder="true" id="Sx1.I3.ix4.2.2.1.m1.1.1.2" xref="Sx1.I3.ix4.2.2.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="Sx1.I3.ix4.2.2.1.m1.1.1.2.2" xref="Sx1.I3.ix4.2.2.1.m1.1.1.2.2.cmml">p</mi><mo id="Sx1.I3.ix4.2.2.1.m1.1.1.2.1" xref="Sx1.I3.ix4.2.2.1.m1.1.1.2.1.cmml">¯</mo></munder><mrow id="Sx1.I3.ix4.2.2.1.m1.1.1.3" xref="Sx1.I3.ix4.2.2.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="Sx1.I3.ix4.2.2.1.m1.1.1.3.2" xref="Sx1.I3.ix4.2.2.1.m1.1.1.3.2.cmml">B</mi><mo id="Sx1.I3.ix4.2.2.1.m1.1.1.3.3" xref="Sx1.I3.ix4.2.2.1.m1.1.1.3.3.cmml">+</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Sx1.I3.ix4.2.2.1.m1.1c"><apply id="Sx1.I3.ix4.2.2.1.m1.1.1.cmml" xref="Sx1.I3.ix4.2.2.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Sx1.I3.ix4.2.2.1.m1.1.1.1.cmml" 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alttext="\overline{\hat{p}}_{i}^{G}" class="ltx_Math" display="inline" id="Sx1.I3.ix8.1.1.m1.1"><semantics id="Sx1.I3.ix8.1.1.m1.1b"><msubsup id="Sx1.I3.ix8.1.1.m1.1.1" xref="Sx1.I3.ix8.1.1.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="Sx1.I3.ix8.1.1.m1.1.1.2.2" xref="Sx1.I3.ix8.1.1.m1.1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="Sx1.I3.ix8.1.1.m1.1.1.2.2.2" xref="Sx1.I3.ix8.1.1.m1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="Sx1.I3.ix8.1.1.m1.1.1.2.2.2.2" mathsize="90%" xref="Sx1.I3.ix8.1.1.m1.1.1.2.2.2.2.cmml">p</mi><mo id="Sx1.I3.ix8.1.1.m1.1.1.2.2.2.1" mathsize="90%" xref="Sx1.I3.ix8.1.1.m1.1.1.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="Sx1.I3.ix8.1.1.m1.1.1.2.2.1" mathsize="90%" xref="Sx1.I3.ix8.1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">¯</mo></mover><mi id="Sx1.I3.ix8.1.1.m1.1.1.2.3" mathsize="90%" xref="Sx1.I3.ix8.1.1.m1.1.1.2.3.cmml">i</mi><mi id="Sx1.I3.ix8.1.1.m1.1.1.3" mathsize="90%" xref="Sx1.I3.ix8.1.1.m1.1.1.3.cmml">G</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Sx1.I3.ix8.1.1.m1.1c"><apply 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ltx_tag_item"><math alttext="\overline{\hat{q}}_{i}^{G}" class="ltx_Math" display="inline" id="Sx1.I3.ix9.1.1.m1.1"><semantics id="Sx1.I3.ix9.1.1.m1.1b"><msubsup id="Sx1.I3.ix9.1.1.m1.1.1" xref="Sx1.I3.ix9.1.1.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="Sx1.I3.ix9.1.1.m1.1.1.2.2" xref="Sx1.I3.ix9.1.1.m1.1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="Sx1.I3.ix9.1.1.m1.1.1.2.2.2" xref="Sx1.I3.ix9.1.1.m1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="Sx1.I3.ix9.1.1.m1.1.1.2.2.2.2" mathsize="90%" xref="Sx1.I3.ix9.1.1.m1.1.1.2.2.2.2.cmml">q</mi><mo id="Sx1.I3.ix9.1.1.m1.1.1.2.2.2.1" mathsize="90%" xref="Sx1.I3.ix9.1.1.m1.1.1.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="Sx1.I3.ix9.1.1.m1.1.1.2.2.1" mathsize="90%" xref="Sx1.I3.ix9.1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">¯</mo></mover><mi id="Sx1.I3.ix9.1.1.m1.1.1.2.3" mathsize="90%" xref="Sx1.I3.ix9.1.1.m1.1.1.2.3.cmml">i</mi><mi id="Sx1.I3.ix9.1.1.m1.1.1.3" mathsize="90%" xref="Sx1.I3.ix9.1.1.m1.1.1.3.cmml">G</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Sx1.I3.ix9.1.1.m1.1c"><apply 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id="Sx1.I3.ix9.2.2.1.m1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="Sx1.I3.ix9.2.2.1.m1.1.1.2.2.2.1">^</ci><ci id="Sx1.I3.ix9.2.2.1.m1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="Sx1.I3.ix9.2.2.1.m1.1.1.2.2.2.2">𝑞</ci></apply></apply><ci id="Sx1.I3.ix9.2.2.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="Sx1.I3.ix9.2.2.1.m1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="Sx1.I3.ix9.2.2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Sx1.I3.ix9.2.2.1.m1.1.1.3">𝐺</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Sx1.I3.ix9.2.2.1.m1.1d">\underline{\hat{q}}_{i}^{G}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Sx1.I3.ix9.2.2.1.m1.1e">under¯ start_ARG over^ start_ARG italic_q end_ARG end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_G end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></span></span></dt> <dd class="ltx_item"> <div class="ltx_para" id="Sx1.I3.ix9.p1"> <p class="ltx_p" id="Sx1.I3.ix9.p1.1">Maximum/Minimum reactive power of the DGs</p> </div> </dd> <dt class="ltx_item" id="Sx1.I3.ix10"><span class="ltx_tag ltx_tag_item"><math alttext="\overline{p}^{l}" class="ltx_Math" display="inline" id="Sx1.I3.ix10.1.1.m1.1"><semantics id="Sx1.I3.ix10.1.1.m1.1b"><msup id="Sx1.I3.ix10.1.1.m1.1.1" xref="Sx1.I3.ix10.1.1.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="Sx1.I3.ix10.1.1.m1.1.1.2" xref="Sx1.I3.ix10.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="Sx1.I3.ix10.1.1.m1.1.1.2.2" mathsize="90%" xref="Sx1.I3.ix10.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">p</mi><mo id="Sx1.I3.ix10.1.1.m1.1.1.2.1" mathsize="90%" xref="Sx1.I3.ix10.1.1.m1.1.1.2.1.cmml">¯</mo></mover><mi id="Sx1.I3.ix10.1.1.m1.1.1.3" mathsize="90%" xref="Sx1.I3.ix10.1.1.m1.1.1.3.cmml">l</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Sx1.I3.ix10.1.1.m1.1c"><apply id="Sx1.I3.ix10.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Sx1.I3.ix10.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Sx1.I3.ix10.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Sx1.I3.ix10.1.1.m1.1.1">superscript</csymbol><apply id="Sx1.I3.ix10.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Sx1.I3.ix10.1.1.m1.1.1.2"><ci id="Sx1.I3.ix10.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="Sx1.I3.ix10.1.1.m1.1.1.2.1">¯</ci><ci id="Sx1.I3.ix10.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="Sx1.I3.ix10.1.1.m1.1.1.2.2">𝑝</ci></apply><ci id="Sx1.I3.ix10.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Sx1.I3.ix10.1.1.m1.1.1.3">𝑙</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Sx1.I3.ix10.1.1.m1.1d">\overline{p}^{l}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Sx1.I3.ix10.1.1.m1.1e">over¯ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT italic_l end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></span></dt> <dd class="ltx_item"> <div class="ltx_para" id="Sx1.I3.ix10.p1"> <p class="ltx_p" id="Sx1.I3.ix10.p1.1">Maximum power flow limit</p> </div> </dd> <dt class="ltx_item" id="Sx1.I3.ix11"><span class="ltx_tag ltx_tag_item"><math alttext="\overline{v}" class="ltx_Math" display="inline" id="Sx1.I3.ix11.1.1.m1.1"><semantics id="Sx1.I3.ix11.1.1.m1.1b"><mover accent="true" id="Sx1.I3.ix11.1.1.m1.1.1" xref="Sx1.I3.ix11.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Sx1.I3.ix11.1.1.m1.1.1.2" mathsize="90%" xref="Sx1.I3.ix11.1.1.m1.1.1.2.cmml">v</mi><mo id="Sx1.I3.ix11.1.1.m1.1.1.1" mathsize="90%" xref="Sx1.I3.ix11.1.1.m1.1.1.1.cmml">¯</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Sx1.I3.ix11.1.1.m1.1c"><apply id="Sx1.I3.ix11.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Sx1.I3.ix11.1.1.m1.1.1"><ci id="Sx1.I3.ix11.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Sx1.I3.ix11.1.1.m1.1.1.1">¯</ci><ci id="Sx1.I3.ix11.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Sx1.I3.ix11.1.1.m1.1.1.2">𝑣</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Sx1.I3.ix11.1.1.m1.1d">\overline{v}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Sx1.I3.ix11.1.1.m1.1e">over¯ start_ARG italic_v end_ARG</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Sx1.I3.ix11.2.2.1" style="font-size:90%;">, <math alttext="\underline{v}" class="ltx_Math" display="inline" id="Sx1.I3.ix11.2.2.1.m1.1"><semantics id="Sx1.I3.ix11.2.2.1.m1.1b"><munder accentunder="true" id="Sx1.I3.ix11.2.2.1.m1.1.1" xref="Sx1.I3.ix11.2.2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Sx1.I3.ix11.2.2.1.m1.1.1.2" xref="Sx1.I3.ix11.2.2.1.m1.1.1.2.cmml">v</mi><mo id="Sx1.I3.ix11.2.2.1.m1.1.1.1" xref="Sx1.I3.ix11.2.2.1.m1.1.1.1.cmml">¯</mo></munder><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Sx1.I3.ix11.2.2.1.m1.1c"><apply id="Sx1.I3.ix11.2.2.1.m1.1.1.cmml" xref="Sx1.I3.ix11.2.2.1.m1.1.1"><ci id="Sx1.I3.ix11.2.2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Sx1.I3.ix11.2.2.1.m1.1.1.1">¯</ci><ci id="Sx1.I3.ix11.2.2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Sx1.I3.ix11.2.2.1.m1.1.1.2">𝑣</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Sx1.I3.ix11.2.2.1.m1.1d">\underline{v}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Sx1.I3.ix11.2.2.1.m1.1e">under¯ start_ARG italic_v end_ARG</annotation></semantics></math></span></span></dt> <dd class="ltx_item"> <div class="ltx_para" id="Sx1.I3.ix11.p1"> <p class="ltx_p" id="Sx1.I3.ix11.p1.1">Maximum/Minimum limit of <math alttext="\hat{v}_{i,t}" class="ltx_Math" display="inline" id="Sx1.I3.ix11.p1.1.m1.2"><semantics id="Sx1.I3.ix11.p1.1.m1.2a"><msub id="Sx1.I3.ix11.p1.1.m1.2.3" xref="Sx1.I3.ix11.p1.1.m1.2.3.cmml"><mover accent="true" id="Sx1.I3.ix11.p1.1.m1.2.3.2" xref="Sx1.I3.ix11.p1.1.m1.2.3.2.cmml"><mi id="Sx1.I3.ix11.p1.1.m1.2.3.2.2" mathsize="90%" xref="Sx1.I3.ix11.p1.1.m1.2.3.2.2.cmml">v</mi><mo id="Sx1.I3.ix11.p1.1.m1.2.3.2.1" mathsize="90%" xref="Sx1.I3.ix11.p1.1.m1.2.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="Sx1.I3.ix11.p1.1.m1.2.2.2.4" xref="Sx1.I3.ix11.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="Sx1.I3.ix11.p1.1.m1.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="Sx1.I3.ix11.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="Sx1.I3.ix11.p1.1.m1.2.2.2.4.1" mathsize="90%" xref="Sx1.I3.ix11.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="Sx1.I3.ix11.p1.1.m1.2.2.2.2" mathsize="90%" xref="Sx1.I3.ix11.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml">t</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Sx1.I3.ix11.p1.1.m1.2b"><apply id="Sx1.I3.ix11.p1.1.m1.2.3.cmml" xref="Sx1.I3.ix11.p1.1.m1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Sx1.I3.ix11.p1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="Sx1.I3.ix11.p1.1.m1.2.3">subscript</csymbol><apply id="Sx1.I3.ix11.p1.1.m1.2.3.2.cmml" xref="Sx1.I3.ix11.p1.1.m1.2.3.2"><ci id="Sx1.I3.ix11.p1.1.m1.2.3.2.1.cmml" xref="Sx1.I3.ix11.p1.1.m1.2.3.2.1">^</ci><ci id="Sx1.I3.ix11.p1.1.m1.2.3.2.2.cmml" xref="Sx1.I3.ix11.p1.1.m1.2.3.2.2">𝑣</ci></apply><list id="Sx1.I3.ix11.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="Sx1.I3.ix11.p1.1.m1.2.2.2.4"><ci id="Sx1.I3.ix11.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="Sx1.I3.ix11.p1.1.m1.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="Sx1.I3.ix11.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="Sx1.I3.ix11.p1.1.m1.2.2.2.2">𝑡</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Sx1.I3.ix11.p1.1.m1.2c">\hat{v}_{i,t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Sx1.I3.ix11.p1.1.m1.2d">over^ start_ARG italic_v end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></p> </div> </dd> <dt class="ltx_item" id="Sx1.I3.ix12"><span class="ltx_tag ltx_tag_item"><math alttext="r_{ij}" class="ltx_Math" display="inline" id="Sx1.I3.ix12.1.1.m1.1"><semantics id="Sx1.I3.ix12.1.1.m1.1b"><msub id="Sx1.I3.ix12.1.1.m1.1.1" xref="Sx1.I3.ix12.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Sx1.I3.ix12.1.1.m1.1.1.2" mathsize="90%" xref="Sx1.I3.ix12.1.1.m1.1.1.2.cmml">r</mi><mrow id="Sx1.I3.ix12.1.1.m1.1.1.3" xref="Sx1.I3.ix12.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="Sx1.I3.ix12.1.1.m1.1.1.3.2" mathsize="90%" xref="Sx1.I3.ix12.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="Sx1.I3.ix12.1.1.m1.1.1.3.1" xref="Sx1.I3.ix12.1.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Sx1.I3.ix12.1.1.m1.1.1.3.3" mathsize="90%" xref="Sx1.I3.ix12.1.1.m1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Sx1.I3.ix12.1.1.m1.1c"><apply id="Sx1.I3.ix12.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Sx1.I3.ix12.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Sx1.I3.ix12.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Sx1.I3.ix12.1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Sx1.I3.ix12.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Sx1.I3.ix12.1.1.m1.1.1.2">𝑟</ci><apply id="Sx1.I3.ix12.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Sx1.I3.ix12.1.1.m1.1.1.3"><times id="Sx1.I3.ix12.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="Sx1.I3.ix12.1.1.m1.1.1.3.1"></times><ci id="Sx1.I3.ix12.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="Sx1.I3.ix12.1.1.m1.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="Sx1.I3.ix12.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="Sx1.I3.ix12.1.1.m1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Sx1.I3.ix12.1.1.m1.1d">r_{ij}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Sx1.I3.ix12.1.1.m1.1e">italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></span></dt> <dd class="ltx_item"> <div class="ltx_para" id="Sx1.I3.ix12.p1"> <p class="ltx_p" id="Sx1.I3.ix12.p1.1">Line resistance</p> </div> </dd> <dt class="ltx_item" id="Sx1.I3.ix13"><span class="ltx_tag ltx_tag_item"><math alttext="x_{ij}" class="ltx_Math" display="inline" id="Sx1.I3.ix13.1.1.m1.1"><semantics id="Sx1.I3.ix13.1.1.m1.1b"><msub id="Sx1.I3.ix13.1.1.m1.1.1" xref="Sx1.I3.ix13.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Sx1.I3.ix13.1.1.m1.1.1.2" mathsize="90%" xref="Sx1.I3.ix13.1.1.m1.1.1.2.cmml">x</mi><mrow id="Sx1.I3.ix13.1.1.m1.1.1.3" xref="Sx1.I3.ix13.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="Sx1.I3.ix13.1.1.m1.1.1.3.2" mathsize="90%" xref="Sx1.I3.ix13.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="Sx1.I3.ix13.1.1.m1.1.1.3.1" xref="Sx1.I3.ix13.1.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Sx1.I3.ix13.1.1.m1.1.1.3.3" mathsize="90%" xref="Sx1.I3.ix13.1.1.m1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Sx1.I3.ix13.1.1.m1.1c"><apply id="Sx1.I3.ix13.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Sx1.I3.ix13.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Sx1.I3.ix13.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Sx1.I3.ix13.1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Sx1.I3.ix13.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Sx1.I3.ix13.1.1.m1.1.1.2">𝑥</ci><apply id="Sx1.I3.ix13.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Sx1.I3.ix13.1.1.m1.1.1.3"><times id="Sx1.I3.ix13.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="Sx1.I3.ix13.1.1.m1.1.1.3.1"></times><ci id="Sx1.I3.ix13.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="Sx1.I3.ix13.1.1.m1.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="Sx1.I3.ix13.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="Sx1.I3.ix13.1.1.m1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Sx1.I3.ix13.1.1.m1.1d">x_{ij}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Sx1.I3.ix13.1.1.m1.1e">italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></span></dt> <dd class="ltx_item"> <div class="ltx_para" id="Sx1.I3.ix13.p1"> <p class="ltx_p" id="Sx1.I3.ix13.p1.1">Line reactance</p> </div> </dd> <dt class="ltx_item" id="Sx1.I3.ix14"><span class="ltx_tag ltx_tag_item"><math alttext="RU_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="Sx1.I3.ix14.1.1.m1.1"><semantics id="Sx1.I3.ix14.1.1.m1.1b"><mrow id="Sx1.I3.ix14.1.1.m1.1.1" xref="Sx1.I3.ix14.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Sx1.I3.ix14.1.1.m1.1.1.2" mathsize="90%" xref="Sx1.I3.ix14.1.1.m1.1.1.2.cmml">R</mi><mo id="Sx1.I3.ix14.1.1.m1.1.1.1" xref="Sx1.I3.ix14.1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="Sx1.I3.ix14.1.1.m1.1.1.3" xref="Sx1.I3.ix14.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="Sx1.I3.ix14.1.1.m1.1.1.3.2" mathsize="90%" xref="Sx1.I3.ix14.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">U</mi><mi id="Sx1.I3.ix14.1.1.m1.1.1.3.3" mathsize="90%" xref="Sx1.I3.ix14.1.1.m1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Sx1.I3.ix14.1.1.m1.1c"><apply id="Sx1.I3.ix14.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Sx1.I3.ix14.1.1.m1.1.1"><times id="Sx1.I3.ix14.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Sx1.I3.ix14.1.1.m1.1.1.1"></times><ci id="Sx1.I3.ix14.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Sx1.I3.ix14.1.1.m1.1.1.2">𝑅</ci><apply id="Sx1.I3.ix14.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Sx1.I3.ix14.1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Sx1.I3.ix14.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="Sx1.I3.ix14.1.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Sx1.I3.ix14.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="Sx1.I3.ix14.1.1.m1.1.1.3.2">𝑈</ci><ci id="Sx1.I3.ix14.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="Sx1.I3.ix14.1.1.m1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Sx1.I3.ix14.1.1.m1.1d">RU_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Sx1.I3.ix14.1.1.m1.1e">italic_R italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Sx1.I3.ix14.2.2.1" style="font-size:90%;">, <math alttext="RD_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="Sx1.I3.ix14.2.2.1.m1.1"><semantics id="Sx1.I3.ix14.2.2.1.m1.1b"><mrow id="Sx1.I3.ix14.2.2.1.m1.1.1" xref="Sx1.I3.ix14.2.2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Sx1.I3.ix14.2.2.1.m1.1.1.2" xref="Sx1.I3.ix14.2.2.1.m1.1.1.2.cmml">R</mi><mo id="Sx1.I3.ix14.2.2.1.m1.1.1.1" xref="Sx1.I3.ix14.2.2.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="Sx1.I3.ix14.2.2.1.m1.1.1.3" xref="Sx1.I3.ix14.2.2.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="Sx1.I3.ix14.2.2.1.m1.1.1.3.2" xref="Sx1.I3.ix14.2.2.1.m1.1.1.3.2.cmml">D</mi><mi id="Sx1.I3.ix14.2.2.1.m1.1.1.3.3" xref="Sx1.I3.ix14.2.2.1.m1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Sx1.I3.ix14.2.2.1.m1.1c"><apply id="Sx1.I3.ix14.2.2.1.m1.1.1.cmml" xref="Sx1.I3.ix14.2.2.1.m1.1.1"><times id="Sx1.I3.ix14.2.2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Sx1.I3.ix14.2.2.1.m1.1.1.1"></times><ci id="Sx1.I3.ix14.2.2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Sx1.I3.ix14.2.2.1.m1.1.1.2">𝑅</ci><apply id="Sx1.I3.ix14.2.2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Sx1.I3.ix14.2.2.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Sx1.I3.ix14.2.2.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="Sx1.I3.ix14.2.2.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Sx1.I3.ix14.2.2.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="Sx1.I3.ix14.2.2.1.m1.1.1.3.2">𝐷</ci><ci id="Sx1.I3.ix14.2.2.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="Sx1.I3.ix14.2.2.1.m1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Sx1.I3.ix14.2.2.1.m1.1d">RD_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Sx1.I3.ix14.2.2.1.m1.1e">italic_R italic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></span></span></dt> <dd class="ltx_item"> <div class="ltx_para" id="Sx1.I3.ix14.p1"> <p class="ltx_p" id="Sx1.I3.ix14.p1.1">Ramp up/down limit of the DGs</p> </div> </dd> <dt class="ltx_item" id="Sx1.I3.ix15"><span class="ltx_tag ltx_tag_item"><math alttext="p^{PV,cap}" class="ltx_Math" display="inline" id="Sx1.I3.ix15.1.1.m1.2"><semantics id="Sx1.I3.ix15.1.1.m1.2b"><msup id="Sx1.I3.ix15.1.1.m1.2.3" xref="Sx1.I3.ix15.1.1.m1.2.3.cmml"><mi id="Sx1.I3.ix15.1.1.m1.2.3.2" mathsize="90%" xref="Sx1.I3.ix15.1.1.m1.2.3.2.cmml">p</mi><mrow id="Sx1.I3.ix15.1.1.m1.2.2.2.2" xref="Sx1.I3.ix15.1.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mrow id="Sx1.I3.ix15.1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="Sx1.I3.ix15.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Sx1.I3.ix15.1.1.m1.1.1.1.1.1.2" mathsize="90%" xref="Sx1.I3.ix15.1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">P</mi><mo id="Sx1.I3.ix15.1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="Sx1.I3.ix15.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="Sx1.I3.ix15.1.1.m1.1.1.1.1.1.3" mathsize="90%" xref="Sx1.I3.ix15.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">V</mi></mrow><mo id="Sx1.I3.ix15.1.1.m1.2.2.2.2.3" mathsize="90%" xref="Sx1.I3.ix15.1.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="Sx1.I3.ix15.1.1.m1.2.2.2.2.2" xref="Sx1.I3.ix15.1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="Sx1.I3.ix15.1.1.m1.2.2.2.2.2.2" mathsize="90%" xref="Sx1.I3.ix15.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">c</mi><mo id="Sx1.I3.ix15.1.1.m1.2.2.2.2.2.1" xref="Sx1.I3.ix15.1.1.m1.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="Sx1.I3.ix15.1.1.m1.2.2.2.2.2.3" mathsize="90%" xref="Sx1.I3.ix15.1.1.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">a</mi><mo id="Sx1.I3.ix15.1.1.m1.2.2.2.2.2.1b" xref="Sx1.I3.ix15.1.1.m1.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="Sx1.I3.ix15.1.1.m1.2.2.2.2.2.4" mathsize="90%" xref="Sx1.I3.ix15.1.1.m1.2.2.2.2.2.4.cmml">p</mi></mrow></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Sx1.I3.ix15.1.1.m1.2c"><apply id="Sx1.I3.ix15.1.1.m1.2.3.cmml" xref="Sx1.I3.ix15.1.1.m1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Sx1.I3.ix15.1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="Sx1.I3.ix15.1.1.m1.2.3">superscript</csymbol><ci id="Sx1.I3.ix15.1.1.m1.2.3.2.cmml" xref="Sx1.I3.ix15.1.1.m1.2.3.2">𝑝</ci><list id="Sx1.I3.ix15.1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="Sx1.I3.ix15.1.1.m1.2.2.2.2"><apply id="Sx1.I3.ix15.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Sx1.I3.ix15.1.1.m1.1.1.1.1.1"><times id="Sx1.I3.ix15.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Sx1.I3.ix15.1.1.m1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="Sx1.I3.ix15.1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Sx1.I3.ix15.1.1.m1.1.1.1.1.1.2">𝑃</ci><ci id="Sx1.I3.ix15.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Sx1.I3.ix15.1.1.m1.1.1.1.1.1.3">𝑉</ci></apply><apply id="Sx1.I3.ix15.1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="Sx1.I3.ix15.1.1.m1.2.2.2.2.2"><times id="Sx1.I3.ix15.1.1.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="Sx1.I3.ix15.1.1.m1.2.2.2.2.2.1"></times><ci id="Sx1.I3.ix15.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="Sx1.I3.ix15.1.1.m1.2.2.2.2.2.2">𝑐</ci><ci id="Sx1.I3.ix15.1.1.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="Sx1.I3.ix15.1.1.m1.2.2.2.2.2.3">𝑎</ci><ci id="Sx1.I3.ix15.1.1.m1.2.2.2.2.2.4.cmml" xref="Sx1.I3.ix15.1.1.m1.2.2.2.2.2.4">𝑝</ci></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Sx1.I3.ix15.1.1.m1.2d">p^{PV,cap}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Sx1.I3.ix15.1.1.m1.2e">italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_P italic_V , italic_c italic_a italic_p end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></span></dt> <dd class="ltx_item"> <div class="ltx_para" id="Sx1.I3.ix15.p1"> <p class="ltx_p" id="Sx1.I3.ix15.p1.1">Capacity of solar panels</p> </div> </dd> <dt class="ltx_item" id="Sx1.I3.ix16"><span class="ltx_tag ltx_tag_item"><math alttext="\Delta t" class="ltx_Math" display="inline" id="Sx1.I3.ix16.1.1.m1.1"><semantics id="Sx1.I3.ix16.1.1.m1.1b"><mrow id="Sx1.I3.ix16.1.1.m1.1.1" xref="Sx1.I3.ix16.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Sx1.I3.ix16.1.1.m1.1.1.2" mathsize="90%" mathvariant="normal" xref="Sx1.I3.ix16.1.1.m1.1.1.2.cmml">Δ</mi><mo id="Sx1.I3.ix16.1.1.m1.1.1.1" xref="Sx1.I3.ix16.1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="Sx1.I3.ix16.1.1.m1.1.1.3" mathsize="90%" xref="Sx1.I3.ix16.1.1.m1.1.1.3.cmml">t</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Sx1.I3.ix16.1.1.m1.1c"><apply id="Sx1.I3.ix16.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Sx1.I3.ix16.1.1.m1.1.1"><times id="Sx1.I3.ix16.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Sx1.I3.ix16.1.1.m1.1.1.1"></times><ci id="Sx1.I3.ix16.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Sx1.I3.ix16.1.1.m1.1.1.2">Δ</ci><ci id="Sx1.I3.ix16.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Sx1.I3.ix16.1.1.m1.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Sx1.I3.ix16.1.1.m1.1d">\Delta t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Sx1.I3.ix16.1.1.m1.1e">roman_Δ italic_t</annotation></semantics></math></span></dt> <dd class="ltx_item"> <div class="ltx_para" id="Sx1.I3.ix16.p1"> <p class="ltx_p" id="Sx1.I3.ix16.p1.1">Time step period</p> </div> </dd> </dl> <p class="ltx_p" id="Sx1.p1.4"><em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="Sx1.p1.4.1">D. Continuous Variables</em>:</p> <dl class="ltx_description" id="Sx1.I4"> <dt class="ltx_item" id="Sx1.I4.ix1"><span class="ltx_tag ltx_tag_item"><math alttext="e_{i,t}" class="ltx_Math" display="inline" id="Sx1.I4.ix1.1.1.m1.2"><semantics id="Sx1.I4.ix1.1.1.m1.2b"><msub id="Sx1.I4.ix1.1.1.m1.2.3" xref="Sx1.I4.ix1.1.1.m1.2.3.cmml"><mi id="Sx1.I4.ix1.1.1.m1.2.3.2" mathsize="90%" xref="Sx1.I4.ix1.1.1.m1.2.3.2.cmml">e</mi><mrow id="Sx1.I4.ix1.1.1.m1.2.2.2.4" xref="Sx1.I4.ix1.1.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="Sx1.I4.ix1.1.1.m1.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="Sx1.I4.ix1.1.1.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="Sx1.I4.ix1.1.1.m1.2.2.2.4.1" mathsize="90%" xref="Sx1.I4.ix1.1.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="Sx1.I4.ix1.1.1.m1.2.2.2.2" mathsize="90%" xref="Sx1.I4.ix1.1.1.m1.2.2.2.2.cmml">t</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Sx1.I4.ix1.1.1.m1.2c"><apply id="Sx1.I4.ix1.1.1.m1.2.3.cmml" xref="Sx1.I4.ix1.1.1.m1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Sx1.I4.ix1.1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="Sx1.I4.ix1.1.1.m1.2.3">subscript</csymbol><ci id="Sx1.I4.ix1.1.1.m1.2.3.2.cmml" xref="Sx1.I4.ix1.1.1.m1.2.3.2">𝑒</ci><list id="Sx1.I4.ix1.1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="Sx1.I4.ix1.1.1.m1.2.2.2.4"><ci id="Sx1.I4.ix1.1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="Sx1.I4.ix1.1.1.m1.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="Sx1.I4.ix1.1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="Sx1.I4.ix1.1.1.m1.2.2.2.2">𝑡</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Sx1.I4.ix1.1.1.m1.2d">e_{i,t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Sx1.I4.ix1.1.1.m1.2e">italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></span></dt> <dd class="ltx_item"> <div class="ltx_para" id="Sx1.I4.ix1.p1"> <p class="ltx_p" id="Sx1.I4.ix1.p1.1">Energy of the ESSs</p> </div> </dd> <dt class="ltx_item" id="Sx1.I4.ix2"><span class="ltx_tag ltx_tag_item"><math alttext="\widehat{p}_{i,t}^{G}" class="ltx_Math" display="inline" id="Sx1.I4.ix2.1.1.m1.2"><semantics id="Sx1.I4.ix2.1.1.m1.2b"><msubsup id="Sx1.I4.ix2.1.1.m1.2.3" xref="Sx1.I4.ix2.1.1.m1.2.3.cmml"><mover accent="true" id="Sx1.I4.ix2.1.1.m1.2.3.2.2" xref="Sx1.I4.ix2.1.1.m1.2.3.2.2.cmml"><mi id="Sx1.I4.ix2.1.1.m1.2.3.2.2.2" mathsize="90%" xref="Sx1.I4.ix2.1.1.m1.2.3.2.2.2.cmml">p</mi><mo id="Sx1.I4.ix2.1.1.m1.2.3.2.2.1" mathsize="90%" xref="Sx1.I4.ix2.1.1.m1.2.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="Sx1.I4.ix2.1.1.m1.2.2.2.4" xref="Sx1.I4.ix2.1.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="Sx1.I4.ix2.1.1.m1.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="Sx1.I4.ix2.1.1.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="Sx1.I4.ix2.1.1.m1.2.2.2.4.1" mathsize="90%" xref="Sx1.I4.ix2.1.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="Sx1.I4.ix2.1.1.m1.2.2.2.2" mathsize="90%" xref="Sx1.I4.ix2.1.1.m1.2.2.2.2.cmml">t</mi></mrow><mi id="Sx1.I4.ix2.1.1.m1.2.3.3" mathsize="90%" xref="Sx1.I4.ix2.1.1.m1.2.3.3.cmml">G</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Sx1.I4.ix2.1.1.m1.2c"><apply id="Sx1.I4.ix2.1.1.m1.2.3.cmml" xref="Sx1.I4.ix2.1.1.m1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Sx1.I4.ix2.1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="Sx1.I4.ix2.1.1.m1.2.3">superscript</csymbol><apply id="Sx1.I4.ix2.1.1.m1.2.3.2.cmml" xref="Sx1.I4.ix2.1.1.m1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Sx1.I4.ix2.1.1.m1.2.3.2.1.cmml" xref="Sx1.I4.ix2.1.1.m1.2.3">subscript</csymbol><apply id="Sx1.I4.ix2.1.1.m1.2.3.2.2.cmml" xref="Sx1.I4.ix2.1.1.m1.2.3.2.2"><ci id="Sx1.I4.ix2.1.1.m1.2.3.2.2.1.cmml" xref="Sx1.I4.ix2.1.1.m1.2.3.2.2.1">^</ci><ci id="Sx1.I4.ix2.1.1.m1.2.3.2.2.2.cmml" xref="Sx1.I4.ix2.1.1.m1.2.3.2.2.2">𝑝</ci></apply><list id="Sx1.I4.ix2.1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="Sx1.I4.ix2.1.1.m1.2.2.2.4"><ci id="Sx1.I4.ix2.1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="Sx1.I4.ix2.1.1.m1.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="Sx1.I4.ix2.1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="Sx1.I4.ix2.1.1.m1.2.2.2.2">𝑡</ci></list></apply><ci id="Sx1.I4.ix2.1.1.m1.2.3.3.cmml" xref="Sx1.I4.ix2.1.1.m1.2.3.3">𝐺</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Sx1.I4.ix2.1.1.m1.2d">\widehat{p}_{i,t}^{G}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Sx1.I4.ix2.1.1.m1.2e">over^ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_G end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></span></dt> <dd class="ltx_item"> <div class="ltx_para" id="Sx1.I4.ix2.p1"> <p class="ltx_p" id="Sx1.I4.ix2.p1.1">Active output of the DGs after recourse action</p> </div> </dd> <dt class="ltx_item" id="Sx1.I4.ix3"><span class="ltx_tag ltx_tag_item"><math alttext="p_{t}^{S}" class="ltx_Math" display="inline" id="Sx1.I4.ix3.1.1.m1.1"><semantics id="Sx1.I4.ix3.1.1.m1.1b"><msubsup id="Sx1.I4.ix3.1.1.m1.1.1" xref="Sx1.I4.ix3.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Sx1.I4.ix3.1.1.m1.1.1.2.2" mathsize="90%" xref="Sx1.I4.ix3.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">p</mi><mi id="Sx1.I4.ix3.1.1.m1.1.1.2.3" mathsize="90%" xref="Sx1.I4.ix3.1.1.m1.1.1.2.3.cmml">t</mi><mi id="Sx1.I4.ix3.1.1.m1.1.1.3" mathsize="90%" xref="Sx1.I4.ix3.1.1.m1.1.1.3.cmml">S</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Sx1.I4.ix3.1.1.m1.1c"><apply id="Sx1.I4.ix3.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Sx1.I4.ix3.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Sx1.I4.ix3.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Sx1.I4.ix3.1.1.m1.1.1">superscript</csymbol><apply id="Sx1.I4.ix3.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Sx1.I4.ix3.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Sx1.I4.ix3.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="Sx1.I4.ix3.1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Sx1.I4.ix3.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="Sx1.I4.ix3.1.1.m1.1.1.2.2">𝑝</ci><ci id="Sx1.I4.ix3.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="Sx1.I4.ix3.1.1.m1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="Sx1.I4.ix3.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Sx1.I4.ix3.1.1.m1.1.1.3">𝑆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Sx1.I4.ix3.1.1.m1.1d">p_{t}^{S}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Sx1.I4.ix3.1.1.m1.1e">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_S end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Sx1.I4.ix3.2.2.1" style="font-size:90%;">, <math alttext="\hat{p}_{t}^{S}" class="ltx_Math" display="inline" id="Sx1.I4.ix3.2.2.1.m1.1"><semantics id="Sx1.I4.ix3.2.2.1.m1.1b"><msubsup id="Sx1.I4.ix3.2.2.1.m1.1.1" xref="Sx1.I4.ix3.2.2.1.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="Sx1.I4.ix3.2.2.1.m1.1.1.2.2" xref="Sx1.I4.ix3.2.2.1.m1.1.1.2.2.cmml"><mi id="Sx1.I4.ix3.2.2.1.m1.1.1.2.2.2" xref="Sx1.I4.ix3.2.2.1.m1.1.1.2.2.2.cmml">p</mi><mo id="Sx1.I4.ix3.2.2.1.m1.1.1.2.2.1" xref="Sx1.I4.ix3.2.2.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="Sx1.I4.ix3.2.2.1.m1.1.1.2.3" xref="Sx1.I4.ix3.2.2.1.m1.1.1.2.3.cmml">t</mi><mi id="Sx1.I4.ix3.2.2.1.m1.1.1.3" xref="Sx1.I4.ix3.2.2.1.m1.1.1.3.cmml">S</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Sx1.I4.ix3.2.2.1.m1.1c"><apply id="Sx1.I4.ix3.2.2.1.m1.1.1.cmml" xref="Sx1.I4.ix3.2.2.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Sx1.I4.ix3.2.2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Sx1.I4.ix3.2.2.1.m1.1.1">superscript</csymbol><apply id="Sx1.I4.ix3.2.2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Sx1.I4.ix3.2.2.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Sx1.I4.ix3.2.2.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="Sx1.I4.ix3.2.2.1.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="Sx1.I4.ix3.2.2.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="Sx1.I4.ix3.2.2.1.m1.1.1.2.2"><ci id="Sx1.I4.ix3.2.2.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="Sx1.I4.ix3.2.2.1.m1.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="Sx1.I4.ix3.2.2.1.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="Sx1.I4.ix3.2.2.1.m1.1.1.2.2.2">𝑝</ci></apply><ci id="Sx1.I4.ix3.2.2.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="Sx1.I4.ix3.2.2.1.m1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="Sx1.I4.ix3.2.2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Sx1.I4.ix3.2.2.1.m1.1.1.3">𝑆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Sx1.I4.ix3.2.2.1.m1.1d">\hat{p}_{t}^{S}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Sx1.I4.ix3.2.2.1.m1.1e">over^ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_S end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></span></span></dt> <dd class="ltx_item"> <div class="ltx_para" id="Sx1.I4.ix3.p1"> <p class="ltx_p" id="Sx1.I4.ix3.p1.1">First/Second-stage purchased power</p> </div> </dd> <dt class="ltx_item" id="Sx1.I4.ix4"><span class="ltx_tag ltx_tag_item"><math alttext="p_{ij,t}" class="ltx_Math" display="inline" id="Sx1.I4.ix4.1.1.m1.2"><semantics id="Sx1.I4.ix4.1.1.m1.2b"><msub id="Sx1.I4.ix4.1.1.m1.2.3" xref="Sx1.I4.ix4.1.1.m1.2.3.cmml"><mi id="Sx1.I4.ix4.1.1.m1.2.3.2" mathsize="90%" xref="Sx1.I4.ix4.1.1.m1.2.3.2.cmml">p</mi><mrow id="Sx1.I4.ix4.1.1.m1.2.2.2.2" xref="Sx1.I4.ix4.1.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mrow id="Sx1.I4.ix4.1.1.m1.2.2.2.2.1" xref="Sx1.I4.ix4.1.1.m1.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="Sx1.I4.ix4.1.1.m1.2.2.2.2.1.2" mathsize="90%" xref="Sx1.I4.ix4.1.1.m1.2.2.2.2.1.2.cmml">i</mi><mo id="Sx1.I4.ix4.1.1.m1.2.2.2.2.1.1" xref="Sx1.I4.ix4.1.1.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="Sx1.I4.ix4.1.1.m1.2.2.2.2.1.3" mathsize="90%" xref="Sx1.I4.ix4.1.1.m1.2.2.2.2.1.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="Sx1.I4.ix4.1.1.m1.2.2.2.2.2" 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xref="Sx1.I4.ix4.1.1.m1.1.1.1.1">𝑡</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Sx1.I4.ix4.1.1.m1.2d">p_{ij,t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Sx1.I4.ix4.1.1.m1.2e">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j , italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Sx1.I4.ix4.2.2.1" style="font-size:90%;">, <math alttext="\hat{p}_{ij,t}" class="ltx_Math" display="inline" id="Sx1.I4.ix4.2.2.1.m1.2"><semantics id="Sx1.I4.ix4.2.2.1.m1.2b"><msub id="Sx1.I4.ix4.2.2.1.m1.2.3" xref="Sx1.I4.ix4.2.2.1.m1.2.3.cmml"><mover accent="true" id="Sx1.I4.ix4.2.2.1.m1.2.3.2" xref="Sx1.I4.ix4.2.2.1.m1.2.3.2.cmml"><mi id="Sx1.I4.ix4.2.2.1.m1.2.3.2.2" xref="Sx1.I4.ix4.2.2.1.m1.2.3.2.2.cmml">p</mi><mo id="Sx1.I4.ix4.2.2.1.m1.2.3.2.1" xref="Sx1.I4.ix4.2.2.1.m1.2.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="Sx1.I4.ix4.2.2.1.m1.2.2.2.2" xref="Sx1.I4.ix4.2.2.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mrow 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xref="Sx1.I4.ix4.2.2.1.m1.2.3.2.2">𝑝</ci></apply><list id="Sx1.I4.ix4.2.2.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="Sx1.I4.ix4.2.2.1.m1.2.2.2.2"><apply id="Sx1.I4.ix4.2.2.1.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="Sx1.I4.ix4.2.2.1.m1.2.2.2.2.1"><times id="Sx1.I4.ix4.2.2.1.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="Sx1.I4.ix4.2.2.1.m1.2.2.2.2.1.1"></times><ci id="Sx1.I4.ix4.2.2.1.m1.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="Sx1.I4.ix4.2.2.1.m1.2.2.2.2.1.2">𝑖</ci><ci id="Sx1.I4.ix4.2.2.1.m1.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="Sx1.I4.ix4.2.2.1.m1.2.2.2.2.1.3">𝑗</ci></apply><ci id="Sx1.I4.ix4.2.2.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="Sx1.I4.ix4.2.2.1.m1.1.1.1.1">𝑡</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Sx1.I4.ix4.2.2.1.m1.2d">\hat{p}_{ij,t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Sx1.I4.ix4.2.2.1.m1.2e">over^ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j , italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></span></span></dt> <dd class="ltx_item"> <div class="ltx_para" id="Sx1.I4.ix4.p1"> <p class="ltx_p" id="Sx1.I4.ix4.p1.1">First/Second-stage active power flow</p> </div> </dd> <dt class="ltx_item" id="Sx1.I4.ix5"><span class="ltx_tag ltx_tag_item"><math alttext="q_{ij,t},\hat{q}_{ij,t}" class="ltx_Math" display="inline" id="Sx1.I4.ix5.1.1.m1.6"><semantics id="Sx1.I4.ix5.1.1.m1.6b"><mrow id="Sx1.I4.ix5.1.1.m1.6.6.2" xref="Sx1.I4.ix5.1.1.m1.6.6.3.cmml"><msub id="Sx1.I4.ix5.1.1.m1.5.5.1.1" xref="Sx1.I4.ix5.1.1.m1.5.5.1.1.cmml"><mi id="Sx1.I4.ix5.1.1.m1.5.5.1.1.2" mathsize="90%" xref="Sx1.I4.ix5.1.1.m1.5.5.1.1.2.cmml">q</mi><mrow id="Sx1.I4.ix5.1.1.m1.2.2.2.2" xref="Sx1.I4.ix5.1.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mrow id="Sx1.I4.ix5.1.1.m1.2.2.2.2.1" xref="Sx1.I4.ix5.1.1.m1.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="Sx1.I4.ix5.1.1.m1.2.2.2.2.1.2" mathsize="90%" xref="Sx1.I4.ix5.1.1.m1.2.2.2.2.1.2.cmml">i</mi><mo id="Sx1.I4.ix5.1.1.m1.2.2.2.2.1.1" xref="Sx1.I4.ix5.1.1.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="Sx1.I4.ix5.1.1.m1.2.2.2.2.1.3" mathsize="90%" xref="Sx1.I4.ix5.1.1.m1.2.2.2.2.1.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="Sx1.I4.ix5.1.1.m1.2.2.2.2.2" mathsize="90%" xref="Sx1.I4.ix5.1.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="Sx1.I4.ix5.1.1.m1.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="Sx1.I4.ix5.1.1.m1.1.1.1.1.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="Sx1.I4.ix5.1.1.m1.6.6.2.3" mathsize="90%" xref="Sx1.I4.ix5.1.1.m1.6.6.3.cmml">,</mo><msub id="Sx1.I4.ix5.1.1.m1.6.6.2.2" xref="Sx1.I4.ix5.1.1.m1.6.6.2.2.cmml"><mover accent="true" id="Sx1.I4.ix5.1.1.m1.6.6.2.2.2" xref="Sx1.I4.ix5.1.1.m1.6.6.2.2.2.cmml"><mi id="Sx1.I4.ix5.1.1.m1.6.6.2.2.2.2" mathsize="90%" xref="Sx1.I4.ix5.1.1.m1.6.6.2.2.2.2.cmml">q</mi><mo id="Sx1.I4.ix5.1.1.m1.6.6.2.2.2.1" mathsize="90%" xref="Sx1.I4.ix5.1.1.m1.6.6.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="Sx1.I4.ix5.1.1.m1.4.4.2.2" xref="Sx1.I4.ix5.1.1.m1.4.4.2.3.cmml"><mrow id="Sx1.I4.ix5.1.1.m1.4.4.2.2.1" xref="Sx1.I4.ix5.1.1.m1.4.4.2.2.1.cmml"><mi id="Sx1.I4.ix5.1.1.m1.4.4.2.2.1.2" mathsize="90%" xref="Sx1.I4.ix5.1.1.m1.4.4.2.2.1.2.cmml">i</mi><mo id="Sx1.I4.ix5.1.1.m1.4.4.2.2.1.1" xref="Sx1.I4.ix5.1.1.m1.4.4.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="Sx1.I4.ix5.1.1.m1.4.4.2.2.1.3" mathsize="90%" xref="Sx1.I4.ix5.1.1.m1.4.4.2.2.1.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="Sx1.I4.ix5.1.1.m1.4.4.2.2.2" mathsize="90%" xref="Sx1.I4.ix5.1.1.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="Sx1.I4.ix5.1.1.m1.3.3.1.1" mathsize="90%" xref="Sx1.I4.ix5.1.1.m1.3.3.1.1.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Sx1.I4.ix5.1.1.m1.6c"><list id="Sx1.I4.ix5.1.1.m1.6.6.3.cmml" xref="Sx1.I4.ix5.1.1.m1.6.6.2"><apply id="Sx1.I4.ix5.1.1.m1.5.5.1.1.cmml" xref="Sx1.I4.ix5.1.1.m1.5.5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Sx1.I4.ix5.1.1.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="Sx1.I4.ix5.1.1.m1.5.5.1.1">subscript</csymbol><ci id="Sx1.I4.ix5.1.1.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="Sx1.I4.ix5.1.1.m1.5.5.1.1.2">𝑞</ci><list id="Sx1.I4.ix5.1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="Sx1.I4.ix5.1.1.m1.2.2.2.2"><apply id="Sx1.I4.ix5.1.1.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="Sx1.I4.ix5.1.1.m1.2.2.2.2.1"><times id="Sx1.I4.ix5.1.1.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" 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alttext="v_{i,t},\hat{v}_{i,t}" class="ltx_Math" display="inline" id="Sx1.I4.ix6.1.1.m1.6"><semantics id="Sx1.I4.ix6.1.1.m1.6b"><mrow id="Sx1.I4.ix6.1.1.m1.6.6.2" xref="Sx1.I4.ix6.1.1.m1.6.6.3.cmml"><msub id="Sx1.I4.ix6.1.1.m1.5.5.1.1" xref="Sx1.I4.ix6.1.1.m1.5.5.1.1.cmml"><mi id="Sx1.I4.ix6.1.1.m1.5.5.1.1.2" mathsize="90%" xref="Sx1.I4.ix6.1.1.m1.5.5.1.1.2.cmml">v</mi><mrow id="Sx1.I4.ix6.1.1.m1.2.2.2.4" xref="Sx1.I4.ix6.1.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="Sx1.I4.ix6.1.1.m1.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="Sx1.I4.ix6.1.1.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="Sx1.I4.ix6.1.1.m1.2.2.2.4.1" mathsize="90%" xref="Sx1.I4.ix6.1.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="Sx1.I4.ix6.1.1.m1.2.2.2.2" mathsize="90%" xref="Sx1.I4.ix6.1.1.m1.2.2.2.2.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="Sx1.I4.ix6.1.1.m1.6.6.2.3" mathsize="90%" xref="Sx1.I4.ix6.1.1.m1.6.6.3.cmml">,</mo><msub id="Sx1.I4.ix6.1.1.m1.6.6.2.2" xref="Sx1.I4.ix6.1.1.m1.6.6.2.2.cmml"><mover accent="true" id="Sx1.I4.ix6.1.1.m1.6.6.2.2.2" 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id="Sx1.I4.ix6.1.1.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="Sx1.I4.ix6.1.1.m1.5.5.1.1.2">𝑣</ci><list id="Sx1.I4.ix6.1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="Sx1.I4.ix6.1.1.m1.2.2.2.4"><ci id="Sx1.I4.ix6.1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="Sx1.I4.ix6.1.1.m1.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="Sx1.I4.ix6.1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="Sx1.I4.ix6.1.1.m1.2.2.2.2">𝑡</ci></list></apply><apply id="Sx1.I4.ix6.1.1.m1.6.6.2.2.cmml" xref="Sx1.I4.ix6.1.1.m1.6.6.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Sx1.I4.ix6.1.1.m1.6.6.2.2.1.cmml" xref="Sx1.I4.ix6.1.1.m1.6.6.2.2">subscript</csymbol><apply id="Sx1.I4.ix6.1.1.m1.6.6.2.2.2.cmml" xref="Sx1.I4.ix6.1.1.m1.6.6.2.2.2"><ci id="Sx1.I4.ix6.1.1.m1.6.6.2.2.2.1.cmml" xref="Sx1.I4.ix6.1.1.m1.6.6.2.2.2.1">^</ci><ci id="Sx1.I4.ix6.1.1.m1.6.6.2.2.2.2.cmml" xref="Sx1.I4.ix6.1.1.m1.6.6.2.2.2.2">𝑣</ci></apply><list id="Sx1.I4.ix6.1.1.m1.4.4.2.3.cmml" xref="Sx1.I4.ix6.1.1.m1.4.4.2.4"><ci id="Sx1.I4.ix6.1.1.m1.3.3.1.1.cmml" xref="Sx1.I4.ix6.1.1.m1.3.3.1.1">𝑖</ci><ci id="Sx1.I4.ix6.1.1.m1.4.4.2.2.cmml" xref="Sx1.I4.ix6.1.1.m1.4.4.2.2">𝑡</ci></list></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Sx1.I4.ix6.1.1.m1.6d">v_{i,t},\hat{v}_{i,t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Sx1.I4.ix6.1.1.m1.6e">italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_t end_POSTSUBSCRIPT , over^ start_ARG italic_v end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></span></dt> <dd class="ltx_item"> <div class="ltx_para" id="Sx1.I4.ix6.p1"> <p class="ltx_p" id="Sx1.I4.ix6.p1.1">First/Second-stage square of bus voltage magnitude</p> </div> </dd> <dt class="ltx_item" id="Sx1.I4.ix7"><span class="ltx_tag ltx_tag_item"><math alttext="\delta_{i,t}" class="ltx_Math" display="inline" id="Sx1.I4.ix7.1.1.m1.2"><semantics id="Sx1.I4.ix7.1.1.m1.2b"><msub id="Sx1.I4.ix7.1.1.m1.2.3" xref="Sx1.I4.ix7.1.1.m1.2.3.cmml"><mi id="Sx1.I4.ix7.1.1.m1.2.3.2" mathsize="90%" xref="Sx1.I4.ix7.1.1.m1.2.3.2.cmml">δ</mi><mrow id="Sx1.I4.ix7.1.1.m1.2.2.2.4" xref="Sx1.I4.ix7.1.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="Sx1.I4.ix7.1.1.m1.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="Sx1.I4.ix7.1.1.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="Sx1.I4.ix7.1.1.m1.2.2.2.4.1" mathsize="90%" xref="Sx1.I4.ix7.1.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="Sx1.I4.ix7.1.1.m1.2.2.2.2" mathsize="90%" xref="Sx1.I4.ix7.1.1.m1.2.2.2.2.cmml">t</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Sx1.I4.ix7.1.1.m1.2c"><apply id="Sx1.I4.ix7.1.1.m1.2.3.cmml" xref="Sx1.I4.ix7.1.1.m1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Sx1.I4.ix7.1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="Sx1.I4.ix7.1.1.m1.2.3">subscript</csymbol><ci id="Sx1.I4.ix7.1.1.m1.2.3.2.cmml" xref="Sx1.I4.ix7.1.1.m1.2.3.2">𝛿</ci><list id="Sx1.I4.ix7.1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="Sx1.I4.ix7.1.1.m1.2.2.2.4"><ci id="Sx1.I4.ix7.1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="Sx1.I4.ix7.1.1.m1.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="Sx1.I4.ix7.1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="Sx1.I4.ix7.1.1.m1.2.2.2.2">𝑡</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Sx1.I4.ix7.1.1.m1.2d">\delta_{i,t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Sx1.I4.ix7.1.1.m1.2e">italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></span></dt> <dd class="ltx_item"> <div class="ltx_para" id="Sx1.I4.ix7.p1"> <p class="ltx_p" id="Sx1.I4.ix7.p1.1">Power factor angle</p> </div> </dd> </dl> </div> </section> <section class="ltx_section" id="S1"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">I </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps" id="S1.1.1">Introduction</span> </h2> <div class="ltx_para" id="S1.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.p1.1">Distribution networks (DNs) are increasingly integrating high shares of renewable energy sources (RESs). The intermittent and volatile nature of RESs, along with the uncertainty in load demands, can affect both the economics and security of the networks <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#bib.bib1" title="">1</a>]</cite>. For instance, failure to appropriately address uncertainty may increase operational costs due to actions such as load shedding, RESs curtailment, and the need for excessive reserves. Moreover, potential risks may incur, such as voltage violations and line overloading. These significant challenges to the optimal operation of DNs may undermine the transition to more sustainable energy systems. Accordingly, numerous studies have been conducted to manage the uncertainties associated with RESs and load demands, aiming to develop robust operational strategies that enhance the cost-effectiveness and reliability of DNs.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p2"> <p class="ltx_p" id="S1.p2.1">Most research on the optimal operation of DNs under uncertainty relies on varying levels of information about the random variables: complete, partial, or none at all. Ref. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#bib.bib2" title="">2</a>]</cite> models the wind power loss and line overloading as chance constraints using a truncated normal distribution, establishing a two-stage stochastic programming (SP) model for unit commitment. Ref. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#bib.bib3" title="">3</a>]</cite> presents a two-stage stochastic dynamic economic dispatch model that effectively addresses wind power uncertainty. This model improves cost efficiency and reliability by pre-dispatching generator output to avoid network congestion in the first stage and re-dispatching resources after the realization of the wind scenarios. Ref. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#bib.bib4" title="">4</a>]</cite> incorporates multiple correlations of RESs through probability distributions (PDs) and scenario analysis into a multi-time scale SP framework. By managing slow- and fast-response resources to coordinate active and reactive power, the economical performance and the secure operation of the system are ensured under RESs uncertainty. SP features the need for PDs or uncertain scenarios, making its performance closely tied to the accuracy of PDs or the number of scenarios, which can be well guaranteed with an incredibly large amount of historical data.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p3"> <p class="ltx_p" id="S1.p3.1">Robust optimization (RO) uses the boundary information of uncertainties, making it a practical choice for the optimal operation of DNs. However, solutions derived from RO tend to be conservative because they focus solely on the worst-case scenario within a predefined uncertainty set, ignoring any information on the uncertainties. To mitigate the conservatism, Ref. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#bib.bib5" title="">5</a>]</cite> searches the extreme scenarios to redesign traditional uncertainty sets within a two-stage RO framework, yielding a less conservative yet robust solution for determining the tap ratio of transformers and the capacity of switching capacitors. Similarly, Ref. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#bib.bib6" title="">6</a>]</cite> reconstructs the uncertainty set of wind power based on historical data, aiming to reduce conservatism in economic dispatch. In addition to RO, distributionally robust optimization (DRO) incorporates partial information on uncertainties to minimize operational cost over the worst-case PD within ambiguity sets constructed from historical data. This approach leverages available information on uncertainties, thereby reducing conservatism. For instance, Ref. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#bib.bib7" title="">7</a>]</cite> introduces a moment-based DRO to characterize renewable generation uncertainty for real-time power dispatch in DNs. Ref. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#bib.bib8" title="">8</a>]</cite> constructs an ambiguity set of wind power using Wasserstein-based DRO, followed by a chance constraint-based DRO model for reactive power dispatch. In Ref. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#bib.bib9" title="">9</a>]</cite>, the imprecise Dirichlet model (IDM) is used to construct the ambiguity set of wind power, with a conditional value at risk (CVaR) indicator to identify the worst-case distribution, aiming to balance operational costs and the risks of wind curtailment in real-time energy dispatch.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p4"> <p class="ltx_p" id="S1.p4.1">It is well-established that a larger uncertainty set (ambiguity set) increases robustness whereas reduces economic performance. Several critical challenges thus arise in the optimization process, such as the size of the predefined uncertainty set, the amount of operational cost budget allocated, as well as the trade-off between robustness and economic performance. Many of the aforementioned approaches fail to simultaneously address these challenges effectively. Information gap decision theory (IGDT) provides a robust decision-making framework for handling severe uncertainties without requiring any information or a predefined uncertainty set <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#bib.bib10" title="">10</a>]</cite>. Risk-averse based-IGDT seeks to optimize the uncertainty set within a preset financial budget, which is particularly useful when there is a clear target, such as a desired budget for the operation of DNs. For example, Ref. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#bib.bib11" title="">11</a>]</cite> models the uncertainty of load demand with limited data to provide a robust optimal decision for IGDT-based three-phase optimal power flow. To address frequency excursions resulting from load and RESs fluctuations, an IGDT-based energy management system is proposed for islanded microgrids in Ref. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#bib.bib12" title="">12</a>]</cite>. Ref. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#bib.bib13" title="">13</a>]</cite> utilizes IGDT to find a robust operation scheme against uncertainties in wind power, solar power, and load for resiliency-oriented DNs. The envelop-bound uncertainty modeling of IGDT has extensively applied in DNs operation <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#bib.bib11" title="">11</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#bib.bib12" title="">12</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#bib.bib13" title="">13</a>]</cite>, network planning <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#bib.bib14" title="">14</a>]</cite>, electricity market offering strategy <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#bib.bib15" title="">15</a>]</cite>, etc., due to its capability to handle forecasted types of uncertainty sources <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#bib.bib10" title="">10</a>]</cite>. Despite the advantages of IGDT, its uncertainty modelling does not incorporate specific information on uncertainties, and the real-valued symmetric uncertainty sets limit the approach to capture the asymmetric characteristics of uncertainties. The asymmetry of uncertainties primarily refers to scenarios that deviate significantly from the expected scenarios but still have a relatively high probability of occurrence, such as those found in the heavy tails of PDs. These scenarios can have substantial impacts when they occur. However, many existing uncertainty modelling approaches fail to account for these significant scenarios probabilistically, or neglect to incorporate the desired operational cost budget when defining uncertainty sets. While SP considers the probability of scenarios, as previously discussed, its accuracy is highly dependent on the distribution type and the size of the dataset.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p5"> <p class="ltx_p" id="S1.p5.1">Base on the above discussion, we propose a novel uncertainty modelling approach that utilizes confidence level to capture the asymmetric characteristics of uncertain parameters and maximize risk-averse capability in a probabilistic manner within the IGDT framework, while adhering to a desired budget. The IDM is employed to construct the ambiguity sets, leveraging available data and mitigating the dependency on PDs. Consequently, the confidence level-based distributionally IGDT (CL-DIGDT) framework is developed for the two-stage robust optimal operation of DNs. An iterative method is proposed to solve the model and determine the upper and lower bounds of the objective function. Overall, the main contributions of this paper are as follows:</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p6"> <ul class="ltx_itemize" id="S1.I1"> <li class="ltx_item" id="S1.I1.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para" id="S1.I1.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.I1.i1.p1.1">A two-stage DNs optimal operation model is constructed using CL-DIGDT. In the proposed framework, the confidence interval replaces the real-valued symmetric interval of IGDT, which captures the asymmetric characteristics of the uncertainties associated with RESs and load demands. Additionally, the newly defined objective function ensures the robustness of the solution by describing better the risk-averse capability in a probabilistic way, compared with the traditional IGDT.</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S1.I1.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para" id="S1.I1.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.I1.i2.p1.1">IDM is utilized to construct the ambiguity sets for RESs and load demands, and integrated into the proposed optimization model. This method reduces reliance on precise PDs and leverages the available data at hand.</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S1.I1.i3" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para" id="S1.I1.i3.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.I1.i3.p1.1">To solve the integrated model, an iterative method is employed to determine the upper and lower bounds of the objective function. The iterative process continues until the objective value converges to a specified accuracy, at which point the solution is deemed sufficiently precise.</p> </div> </li> </ul> </div> </section> <section class="ltx_section" id="S2"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">II </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps" id="S2.1.1">Mathematical Formulation</span> </h2> <div class="ltx_para" id="S2.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.p1.1">The necessity for a two-stage operation model arises from the challenges of multi-time scale control in DNs <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#bib.bib7" title="">7</a>]</cite>. Consequently, this section introduces an optimization model for DNs optimal operation problem, consisting of an economic dispatch plan and a recourse control stage. In the first stage, the approximate active power plan is scheduled based on expected uncertain scenarios. In the second stage, both active and reactive power regulation are implemented based on the real realization of uncertain scenarios, aiming to minimize resource costs and ensure system security. Two types of distributed energy resources are considered dispatchable: distributed generators (DGs) and energy storage systems (ESSs).</p> </div> <section class="ltx_subsection" id="S2.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection"><span class="ltx_text" id="S2.SS1.4.1.1">II-A</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.SS1.5.2">First-stage Economic Dispatch Plan</span> </h3> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p1.4">In the first stage, decisions regarding the active power of DGs (<math alttext="p_{i,t}^{G}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.1.m1.2"><semantics id="S2.SS1.p1.1.m1.2a"><msubsup id="S2.SS1.p1.1.m1.2.3" xref="S2.SS1.p1.1.m1.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.1.m1.2.3.2.2" xref="S2.SS1.p1.1.m1.2.3.2.2.cmml">p</mi><mrow id="S2.SS1.p1.1.m1.2.2.2.4" xref="S2.SS1.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.SS1.p1.1.m1.2.2.2.4.1" xref="S2.SS1.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.SS1.p1.1.m1.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml">t</mi></mrow><mi id="S2.SS1.p1.1.m1.2.3.3" xref="S2.SS1.p1.1.m1.2.3.3.cmml">G</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.1.m1.2b"><apply id="S2.SS1.p1.1.m1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.1.m1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.1.m1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p1.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.1.m1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.1.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.1.m1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.1.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.1.m1.2.3.2.2">𝑝</ci><list id="S2.SS1.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.1.m1.2.2.2.4"><ci id="S2.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S2.SS1.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.1.m1.2.2.2.2">𝑡</ci></list></apply><ci id="S2.SS1.p1.1.m1.2.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.1.m1.2.3.3">𝐺</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.1.m1.2c">p_{i,t}^{G}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.1.m1.2d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_G end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>) and the charging/discharging power of ESSs (<math alttext="p_{i,t}^{B+}/p_{i,t}^{B-}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.2.m2.4"><semantics id="S2.SS1.p1.2.m2.4a"><mrow id="S2.SS1.p1.2.m2.4.5" xref="S2.SS1.p1.2.m2.4.5.cmml"><msubsup id="S2.SS1.p1.2.m2.4.5.2" xref="S2.SS1.p1.2.m2.4.5.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.2.m2.4.5.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.2.m2.4.5.2.2.2.cmml">p</mi><mrow id="S2.SS1.p1.2.m2.2.2.2.4" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.SS1.p1.2.m2.2.2.2.4.1" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.cmml">t</mi></mrow><mrow id="S2.SS1.p1.2.m2.4.5.2.3" xref="S2.SS1.p1.2.m2.4.5.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.2.m2.4.5.2.3.2" xref="S2.SS1.p1.2.m2.4.5.2.3.2.cmml">B</mi><mo id="S2.SS1.p1.2.m2.4.5.2.3.3" xref="S2.SS1.p1.2.m2.4.5.2.3.3.cmml">+</mo></mrow></msubsup><mo id="S2.SS1.p1.2.m2.4.5.1" xref="S2.SS1.p1.2.m2.4.5.1.cmml">/</mo><msubsup id="S2.SS1.p1.2.m2.4.5.3" xref="S2.SS1.p1.2.m2.4.5.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.2.m2.4.5.3.2.2" xref="S2.SS1.p1.2.m2.4.5.3.2.2.cmml">p</mi><mrow id="S2.SS1.p1.2.m2.4.4.2.4" xref="S2.SS1.p1.2.m2.4.4.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1" xref="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.SS1.p1.2.m2.4.4.2.4.1" xref="S2.SS1.p1.2.m2.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2" xref="S2.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.cmml">t</mi></mrow><mrow id="S2.SS1.p1.2.m2.4.5.3.3" xref="S2.SS1.p1.2.m2.4.5.3.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.2.m2.4.5.3.3.2" xref="S2.SS1.p1.2.m2.4.5.3.3.2.cmml">B</mi><mo id="S2.SS1.p1.2.m2.4.5.3.3.3" xref="S2.SS1.p1.2.m2.4.5.3.3.3.cmml">−</mo></mrow></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.2.m2.4b"><apply id="S2.SS1.p1.2.m2.4.5.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.4.5"><divide id="S2.SS1.p1.2.m2.4.5.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.4.5.1"></divide><apply id="S2.SS1.p1.2.m2.4.5.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.4.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.2.m2.4.5.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.4.5.2">superscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p1.2.m2.4.5.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.4.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.2.m2.4.5.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.4.5.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.2.m2.4.5.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.4.5.2.2.2">𝑝</ci><list id="S2.SS1.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.2.2.4"><ci id="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S2.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2">𝑡</ci></list></apply><apply id="S2.SS1.p1.2.m2.4.5.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.4.5.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS1.p1.2.m2.4.5.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.4.5.2.3">limit-from</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.2.m2.4.5.2.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.4.5.2.3.2">𝐵</ci><plus id="S2.SS1.p1.2.m2.4.5.2.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.4.5.2.3.3"></plus></apply></apply><apply id="S2.SS1.p1.2.m2.4.5.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.4.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.2.m2.4.5.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.4.5.3">superscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p1.2.m2.4.5.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.4.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.2.m2.4.5.3.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.4.5.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.2.m2.4.5.3.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.4.5.3.2.2">𝑝</ci><list id="S2.SS1.p1.2.m2.4.4.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.4.4.2.4"><ci id="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1">𝑖</ci><ci id="S2.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2">𝑡</ci></list></apply><apply id="S2.SS1.p1.2.m2.4.5.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.4.5.3.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS1.p1.2.m2.4.5.3.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.4.5.3.3">limit-from</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.2.m2.4.5.3.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.4.5.3.3.2">𝐵</ci><minus id="S2.SS1.p1.2.m2.4.5.3.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.4.5.3.3.3"></minus></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.2.m2.4c">p_{i,t}^{B+}/p_{i,t}^{B-}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.2.m2.4d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_B + end_POSTSUPERSCRIPT / italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_B - end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>) are defined based on expected forecasts for renewable energy (<math alttext="\tilde{p}_{i,t}^{PV}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.3.m3.2"><semantics id="S2.SS1.p1.3.m3.2a"><msubsup id="S2.SS1.p1.3.m3.2.3" xref="S2.SS1.p1.3.m3.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S2.SS1.p1.3.m3.2.3.2.2" xref="S2.SS1.p1.3.m3.2.3.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.3.m3.2.3.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.3.m3.2.3.2.2.2.cmml">p</mi><mo id="S2.SS1.p1.3.m3.2.3.2.2.1" xref="S2.SS1.p1.3.m3.2.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S2.SS1.p1.3.m3.2.2.2.4" xref="S2.SS1.p1.3.m3.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.3.m3.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.SS1.p1.3.m3.2.2.2.4.1" xref="S2.SS1.p1.3.m3.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.cmml">t</mi></mrow><mrow id="S2.SS1.p1.3.m3.2.3.3" xref="S2.SS1.p1.3.m3.2.3.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.3.m3.2.3.3.2" xref="S2.SS1.p1.3.m3.2.3.3.2.cmml">P</mi><mo id="S2.SS1.p1.3.m3.2.3.3.1" xref="S2.SS1.p1.3.m3.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.p1.3.m3.2.3.3.3" xref="S2.SS1.p1.3.m3.2.3.3.3.cmml">V</mi></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.3.m3.2b"><apply id="S2.SS1.p1.3.m3.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.3.m3.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m3.2.3">superscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p1.3.m3.2.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.3.m3.2.3.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m3.2.3">subscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p1.3.m3.2.3.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m3.2.3.2.2"><ci id="S2.SS1.p1.3.m3.2.3.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m3.2.3.2.2.1">~</ci><ci id="S2.SS1.p1.3.m3.2.3.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m3.2.3.2.2.2">𝑝</ci></apply><list id="S2.SS1.p1.3.m3.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m3.2.2.2.4"><ci id="S2.SS1.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m3.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S2.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2">𝑡</ci></list></apply><apply id="S2.SS1.p1.3.m3.2.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m3.2.3.3"><times id="S2.SS1.p1.3.m3.2.3.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m3.2.3.3.1"></times><ci id="S2.SS1.p1.3.m3.2.3.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m3.2.3.3.2">𝑃</ci><ci id="S2.SS1.p1.3.m3.2.3.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m3.2.3.3.3">𝑉</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.3.m3.2c">\tilde{p}_{i,t}^{PV}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.3.m3.2d">over~ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_P italic_V end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>) and load demands (<math alttext="\tilde{p}_{i,t}^{L}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.4.m4.2"><semantics id="S2.SS1.p1.4.m4.2a"><msubsup id="S2.SS1.p1.4.m4.2.3" xref="S2.SS1.p1.4.m4.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S2.SS1.p1.4.m4.2.3.2.2" xref="S2.SS1.p1.4.m4.2.3.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.4.m4.2.3.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.4.m4.2.3.2.2.2.cmml">p</mi><mo id="S2.SS1.p1.4.m4.2.3.2.2.1" xref="S2.SS1.p1.4.m4.2.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S2.SS1.p1.4.m4.2.2.2.4" xref="S2.SS1.p1.4.m4.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.SS1.p1.4.m4.2.2.2.4.1" xref="S2.SS1.p1.4.m4.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.cmml">t</mi></mrow><mi id="S2.SS1.p1.4.m4.2.3.3" xref="S2.SS1.p1.4.m4.2.3.3.cmml">L</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.4.m4.2b"><apply id="S2.SS1.p1.4.m4.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.4.m4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.4.m4.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.4.m4.2.3">superscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p1.4.m4.2.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.4.m4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.4.m4.2.3.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.4.m4.2.3">subscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p1.4.m4.2.3.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.4.m4.2.3.2.2"><ci id="S2.SS1.p1.4.m4.2.3.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.4.m4.2.3.2.2.1">~</ci><ci id="S2.SS1.p1.4.m4.2.3.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.4.m4.2.3.2.2.2">𝑝</ci></apply><list id="S2.SS1.p1.4.m4.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.4.m4.2.2.2.4"><ci id="S2.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S2.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2">𝑡</ci></list></apply><ci id="S2.SS1.p1.4.m4.2.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.4.m4.2.3.3">𝐿</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.4.m4.2c">\tilde{p}_{i,t}^{L}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.4.m4.2d">over~ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_L end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>), to determine the approximate active power output plan.</p> </div> <section class="ltx_subsubsection" id="S2.SS1.SSS1"> <h4 class="ltx_title ltx_title_subsubsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsubsection"><span class="ltx_text" id="S2.SS1.SSS1.4.1.1">II-A</span>1 </span>Objective function</h4> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.SSS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.SSS1.p1.1">The operational costs <math alttext="(\Lambda_{1})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS1.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.SS1.SSS1.p1.1.m1.1a"><mrow id="S2.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.1" xref="S2.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S2.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S2.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml">Λ</mi><mn id="S2.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS1.p1.1.m1.1b"><apply id="S2.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.1.1.2">Λ</ci><cn id="S2.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS1.p1.1.m1.1c">(\Lambda_{1})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS1.p1.1.m1.1d">( roman_Λ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> include the cost of active power output from the DGs and the cost of electricity purchased from the upstream main grid.</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E1"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\min\Lambda_{1}=\sum_{t\in{\cal T}}\left(\sum_{i\in{\cal G}}c_{i}p_{i,t}^{G}+d% _{t}p_{t}^{S}\right)" class="ltx_Math" display="block" id="S2.E1.m1.3"><semantics id="S2.E1.m1.3a"><mrow id="S2.E1.m1.3.3" xref="S2.E1.m1.3.3.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.3.3.3" xref="S2.E1.m1.3.3.3.cmml"><mi id="S2.E1.m1.3.3.3.1" xref="S2.E1.m1.3.3.3.1.cmml">min</mi><mo id="S2.E1.m1.3.3.3a" lspace="0.167em" xref="S2.E1.m1.3.3.3.cmml">⁡</mo><msub id="S2.E1.m1.3.3.3.2" xref="S2.E1.m1.3.3.3.2.cmml"><mi id="S2.E1.m1.3.3.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.E1.m1.3.3.3.2.2.cmml">Λ</mi><mn id="S2.E1.m1.3.3.3.2.3" xref="S2.E1.m1.3.3.3.2.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="S2.E1.m1.3.3.2" rspace="0.111em" xref="S2.E1.m1.3.3.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.E1.m1.3.3.1" xref="S2.E1.m1.3.3.1.cmml"><munder id="S2.E1.m1.3.3.1.2" xref="S2.E1.m1.3.3.1.2.cmml"><mo id="S2.E1.m1.3.3.1.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S2.E1.m1.3.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.E1.m1.3.3.1.2.3" xref="S2.E1.m1.3.3.1.2.3.cmml"><mi id="S2.E1.m1.3.3.1.2.3.2" xref="S2.E1.m1.3.3.1.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S2.E1.m1.3.3.1.2.3.1" xref="S2.E1.m1.3.3.1.2.3.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E1.m1.3.3.1.2.3.3" xref="S2.E1.m1.3.3.1.2.3.3.cmml">𝒯</mi></mrow></munder><mrow id="S2.E1.m1.3.3.1.1.1" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><munder id="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml"><mo id="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.2" lspace="0em" movablelimits="false" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.3" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.3.cmml"><mi id="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.3.2" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.3.1" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.3.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.3.3" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.3.3.cmml">𝒢</mi></mrow></munder><mrow id="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml"><msub id="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">c</mi><mi id="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.2.2" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.2.2.cmml">p</mi><mrow id="S2.E1.m1.2.2.2.4" xref="S2.E1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E1.m1.1.1.1.1" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.E1.m1.2.2.2.4.1" xref="S2.E1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E1.m1.2.2.2.2" xref="S2.E1.m1.2.2.2.2.cmml">t</mi></mrow><mi id="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">G</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.cmml">d</mi><mi id="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">p</mi><mi id="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">t</mi><mi id="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.3.cmml">S</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E1.m1.3b"><apply id="S2.E1.m1.3.3.cmml" xref="S2.E1.m1.3.3"><eq id="S2.E1.m1.3.3.2.cmml" xref="S2.E1.m1.3.3.2"></eq><apply id="S2.E1.m1.3.3.3.cmml" xref="S2.E1.m1.3.3.3"><min id="S2.E1.m1.3.3.3.1.cmml" xref="S2.E1.m1.3.3.3.1"></min><apply id="S2.E1.m1.3.3.3.2.cmml" xref="S2.E1.m1.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.3.3.3.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.3.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E1.m1.3.3.3.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.3.3.3.2.2">Λ</ci><cn id="S2.E1.m1.3.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E1.m1.3.3.3.2.3">1</cn></apply></apply><apply id="S2.E1.m1.3.3.1.cmml" xref="S2.E1.m1.3.3.1"><apply id="S2.E1.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S2.E1.m1.3.3.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.3.3.1.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.3.3.1.2">subscript</csymbol><sum id="S2.E1.m1.3.3.1.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.3.3.1.2.2"></sum><apply id="S2.E1.m1.3.3.1.2.3.cmml" xref="S2.E1.m1.3.3.1.2.3"><in id="S2.E1.m1.3.3.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E1.m1.3.3.1.2.3.1"></in><ci id="S2.E1.m1.3.3.1.2.3.2.cmml" xref="S2.E1.m1.3.3.1.2.3.2">𝑡</ci><ci id="S2.E1.m1.3.3.1.2.3.3.cmml" xref="S2.E1.m1.3.3.1.2.3.3">𝒯</ci></apply></apply><apply id="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.1"><plus id="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2"><apply id="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1">subscript</csymbol><sum id="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.2"></sum><apply id="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.3"><in id="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.3.1"></in><ci id="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.3.2.cmml" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.3.2">𝑖</ci><ci id="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.3.3.cmml" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.3.3">𝒢</ci></apply></apply><apply id="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2"><times id="S2.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.cmml" 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end_POSTSUPERSCRIPT + italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_S end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(1)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </section> <section class="ltx_subsubsection" id="S2.SS1.SSS2"> <h4 class="ltx_title ltx_title_subsubsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsubsection"><span class="ltx_text" id="S2.SS1.SSS2.4.1.1">II-A</span>2 </span>DGs constraints</h4> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.SSS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.SSS2.p1.1">The DGs constraints are composed of the active output limits (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S2.E2.1" title="In 2 ‣ II-A2 DGs constraints ‣ II-A First-stage Economic Dispatch Plan ‣ II Mathematical Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2a</span></a>), and the ramp up/down limits (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S2.E2.2" title="In 2 ‣ II-A2 DGs constraints ‣ II-A First-stage Economic Dispatch Plan ‣ II Mathematical Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2b</span></a>)–(<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S2.E2.3" title="In 2 ‣ II-A2 DGs constraints ‣ II-A First-stage Economic Dispatch Plan ‣ II Mathematical Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2c</span></a>).</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_table" id="S2.E2"> <tbody> <tr class="ltx_eqn_row" id="S6.EGx1"><td class="ltx_eqn_cell" colspan="5"></td></tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S2.E2.1"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"><math alttext="\displaystyle\underline{p}_{i}^{G}\leq p_{i,t}^{G}\leq\overline{p}_{i}^{G},% \forall i\in{\cal G},\forall t\in{\cal T}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E2.1.m2.4"><semantics id="S2.E2.1.m2.4a"><mrow id="S2.E2.1.m2.4.4.2" xref="S2.E2.1.m2.4.4.3.cmml"><mrow id="S2.E2.1.m2.3.3.1.1" xref="S2.E2.1.m2.3.3.1.1.cmml"><msubsup id="S2.E2.1.m2.3.3.1.1.2" xref="S2.E2.1.m2.3.3.1.1.2.cmml"><munder accentunder="true" id="S2.E2.1.m2.3.3.1.1.2.2.2" xref="S2.E2.1.m2.3.3.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E2.1.m2.3.3.1.1.2.2.2.2" xref="S2.E2.1.m2.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml">p</mi><mo id="S2.E2.1.m2.3.3.1.1.2.2.2.1" xref="S2.E2.1.m2.3.3.1.1.2.2.2.1.cmml">¯</mo></munder><mi id="S2.E2.1.m2.3.3.1.1.2.2.3" xref="S2.E2.1.m2.3.3.1.1.2.2.3.cmml">i</mi><mi id="S2.E2.1.m2.3.3.1.1.2.3" xref="S2.E2.1.m2.3.3.1.1.2.3.cmml">G</mi></msubsup><mo id="S2.E2.1.m2.3.3.1.1.3" xref="S2.E2.1.m2.3.3.1.1.3.cmml">≤</mo><msubsup id="S2.E2.1.m2.3.3.1.1.4" xref="S2.E2.1.m2.3.3.1.1.4.cmml"><mi id="S2.E2.1.m2.3.3.1.1.4.2.2" xref="S2.E2.1.m2.3.3.1.1.4.2.2.cmml">p</mi><mrow id="S2.E2.1.m2.2.2.2.4" xref="S2.E2.1.m2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E2.1.m2.1.1.1.1" xref="S2.E2.1.m2.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.E2.1.m2.2.2.2.4.1" xref="S2.E2.1.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E2.1.m2.2.2.2.2" xref="S2.E2.1.m2.2.2.2.2.cmml">t</mi></mrow><mi id="S2.E2.1.m2.3.3.1.1.4.3" xref="S2.E2.1.m2.3.3.1.1.4.3.cmml">G</mi></msubsup><mo id="S2.E2.1.m2.3.3.1.1.5" xref="S2.E2.1.m2.3.3.1.1.5.cmml">≤</mo><msubsup id="S2.E2.1.m2.3.3.1.1.6" xref="S2.E2.1.m2.3.3.1.1.6.cmml"><mover 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id="S2.E2.2"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"><math alttext="\displaystyle p_{i,t}^{G}-p_{i,t-1}^{G}\leq RU_{i},\forall i\in{\cal G},% \forall t\in{\cal T}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E2.2.m2.6"><semantics id="S2.E2.2.m2.6a"><mrow id="S2.E2.2.m2.6.6.2" xref="S2.E2.2.m2.6.6.3.cmml"><mrow id="S2.E2.2.m2.5.5.1.1" xref="S2.E2.2.m2.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S2.E2.2.m2.5.5.1.1.2" xref="S2.E2.2.m2.5.5.1.1.2.cmml"><msubsup id="S2.E2.2.m2.5.5.1.1.2.2" xref="S2.E2.2.m2.5.5.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.E2.2.m2.5.5.1.1.2.2.2.2" xref="S2.E2.2.m2.5.5.1.1.2.2.2.2.cmml">p</mi><mrow id="S2.E2.2.m2.2.2.2.4" xref="S2.E2.2.m2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E2.2.m2.1.1.1.1" xref="S2.E2.2.m2.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.E2.2.m2.2.2.2.4.1" xref="S2.E2.2.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E2.2.m2.2.2.2.2" xref="S2.E2.2.m2.2.2.2.2.cmml">t</mi></mrow><mi id="S2.E2.2.m2.5.5.1.1.2.2.3" xref="S2.E2.2.m2.5.5.1.1.2.2.3.cmml">G</mi></msubsup><mo id="S2.E2.2.m2.5.5.1.1.2.1" xref="S2.E2.2.m2.5.5.1.1.2.1.cmml">−</mo><msubsup id="S2.E2.2.m2.5.5.1.1.2.3" xref="S2.E2.2.m2.5.5.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.E2.2.m2.5.5.1.1.2.3.2.2" xref="S2.E2.2.m2.5.5.1.1.2.3.2.2.cmml">p</mi><mrow id="S2.E2.2.m2.4.4.2.2" xref="S2.E2.2.m2.4.4.2.3.cmml"><mi id="S2.E2.2.m2.3.3.1.1" xref="S2.E2.2.m2.3.3.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.E2.2.m2.4.4.2.2.2" xref="S2.E2.2.m2.4.4.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S2.E2.2.m2.4.4.2.2.1" xref="S2.E2.2.m2.4.4.2.2.1.cmml"><mi id="S2.E2.2.m2.4.4.2.2.1.2" xref="S2.E2.2.m2.4.4.2.2.1.2.cmml">t</mi><mo id="S2.E2.2.m2.4.4.2.2.1.1" xref="S2.E2.2.m2.4.4.2.2.1.1.cmml">−</mo><mn id="S2.E2.2.m2.4.4.2.2.1.3" xref="S2.E2.2.m2.4.4.2.2.1.3.cmml">1</mn></mrow></mrow><mi id="S2.E2.2.m2.5.5.1.1.2.3.3" xref="S2.E2.2.m2.5.5.1.1.2.3.3.cmml">G</mi></msubsup></mrow><mo id="S2.E2.2.m2.5.5.1.1.1" 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xref="S2.E2.2.m2.6.6.2.2.1.1.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E2.2.m2.6.6.2.2.1.1.3" xref="S2.E2.2.m2.6.6.2.2.1.1.3.cmml">𝒢</mi></mrow><mo id="S2.E2.2.m2.6.6.2.2.2.3" xref="S2.E2.2.m2.6.6.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.E2.2.m2.6.6.2.2.2.2" xref="S2.E2.2.m2.6.6.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S2.E2.2.m2.6.6.2.2.2.2.2" xref="S2.E2.2.m2.6.6.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S2.E2.2.m2.6.6.2.2.2.2.2.1" rspace="0.167em" xref="S2.E2.2.m2.6.6.2.2.2.2.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S2.E2.2.m2.6.6.2.2.2.2.2.2" xref="S2.E2.2.m2.6.6.2.2.2.2.2.2.cmml">t</mi></mrow><mo id="S2.E2.2.m2.6.6.2.2.2.2.1" xref="S2.E2.2.m2.6.6.2.2.2.2.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E2.2.m2.6.6.2.2.2.2.3" xref="S2.E2.2.m2.6.6.2.2.2.2.3.cmml">𝒯</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E2.2.m2.6b"><apply id="S2.E2.2.m2.6.6.3.cmml" xref="S2.E2.2.m2.6.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.2.m2.6.6.3a.cmml" xref="S2.E2.2.m2.6.6.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.E2.2.m2.5.5.1.1.cmml" xref="S2.E2.2.m2.5.5.1.1"><leq id="S2.E2.2.m2.5.5.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.2.m2.5.5.1.1.1"></leq><apply id="S2.E2.2.m2.5.5.1.1.2.cmml" xref="S2.E2.2.m2.5.5.1.1.2"><minus id="S2.E2.2.m2.5.5.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E2.2.m2.5.5.1.1.2.1"></minus><apply id="S2.E2.2.m2.5.5.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E2.2.m2.5.5.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.2.m2.5.5.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E2.2.m2.5.5.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S2.E2.2.m2.5.5.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E2.2.m2.5.5.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.2.m2.5.5.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E2.2.m2.5.5.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E2.2.m2.5.5.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E2.2.m2.5.5.1.1.2.2.2.2">𝑝</ci><list id="S2.E2.2.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E2.2.m2.2.2.2.4"><ci id="S2.E2.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.2.m2.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S2.E2.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E2.2.m2.2.2.2.2">𝑡</ci></list></apply><ci id="S2.E2.2.m2.5.5.1.1.2.2.3.cmml" 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t\in{\cal T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E2.2.m2.6d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_G end_POSTSUPERSCRIPT - italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_t - 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_G end_POSTSUPERSCRIPT ≤ italic_R italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT , ∀ italic_i ∈ caligraphic_G , ∀ italic_t ∈ caligraphic_T</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(2b)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S2.E2.3"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"><math alttext="\displaystyle p_{i,t-1}^{G}-p_{i,t}^{G}\leq RD_{i},\forall i\in{\cal G},% \forall t\in{\cal T}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E2.3.m2.6"><semantics id="S2.E2.3.m2.6a"><mrow id="S2.E2.3.m2.6.6.2" xref="S2.E2.3.m2.6.6.3.cmml"><mrow id="S2.E2.3.m2.5.5.1.1" xref="S2.E2.3.m2.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S2.E2.3.m2.5.5.1.1.2" xref="S2.E2.3.m2.5.5.1.1.2.cmml"><msubsup id="S2.E2.3.m2.5.5.1.1.2.2" xref="S2.E2.3.m2.5.5.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.E2.3.m2.5.5.1.1.2.2.2.2" xref="S2.E2.3.m2.5.5.1.1.2.2.2.2.cmml">p</mi><mrow id="S2.E2.3.m2.2.2.2.2" xref="S2.E2.3.m2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E2.3.m2.1.1.1.1" xref="S2.E2.3.m2.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.E2.3.m2.2.2.2.2.2" xref="S2.E2.3.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S2.E2.3.m2.2.2.2.2.1" xref="S2.E2.3.m2.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S2.E2.3.m2.2.2.2.2.1.2" xref="S2.E2.3.m2.2.2.2.2.1.2.cmml">t</mi><mo id="S2.E2.3.m2.2.2.2.2.1.1" xref="S2.E2.3.m2.2.2.2.2.1.1.cmml">−</mo><mn id="S2.E2.3.m2.2.2.2.2.1.3" xref="S2.E2.3.m2.2.2.2.2.1.3.cmml">1</mn></mrow></mrow><mi id="S2.E2.3.m2.5.5.1.1.2.2.3" xref="S2.E2.3.m2.5.5.1.1.2.2.3.cmml">G</mi></msubsup><mo id="S2.E2.3.m2.5.5.1.1.2.1" xref="S2.E2.3.m2.5.5.1.1.2.1.cmml">−</mo><msubsup id="S2.E2.3.m2.5.5.1.1.2.3" xref="S2.E2.3.m2.5.5.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.E2.3.m2.5.5.1.1.2.3.2.2" xref="S2.E2.3.m2.5.5.1.1.2.3.2.2.cmml">p</mi><mrow id="S2.E2.3.m2.4.4.2.4" xref="S2.E2.3.m2.4.4.2.3.cmml"><mi id="S2.E2.3.m2.3.3.1.1" xref="S2.E2.3.m2.3.3.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.E2.3.m2.4.4.2.4.1" xref="S2.E2.3.m2.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E2.3.m2.4.4.2.2" xref="S2.E2.3.m2.4.4.2.2.cmml">t</mi></mrow><mi id="S2.E2.3.m2.5.5.1.1.2.3.3" xref="S2.E2.3.m2.5.5.1.1.2.3.3.cmml">G</mi></msubsup></mrow><mo id="S2.E2.3.m2.5.5.1.1.1" xref="S2.E2.3.m2.5.5.1.1.1.cmml">≤</mo><mrow id="S2.E2.3.m2.5.5.1.1.3" xref="S2.E2.3.m2.5.5.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E2.3.m2.5.5.1.1.3.2" xref="S2.E2.3.m2.5.5.1.1.3.2.cmml">R</mi><mo id="S2.E2.3.m2.5.5.1.1.3.1" xref="S2.E2.3.m2.5.5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E2.3.m2.5.5.1.1.3.3" xref="S2.E2.3.m2.5.5.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.E2.3.m2.5.5.1.1.3.3.2" xref="S2.E2.3.m2.5.5.1.1.3.3.2.cmml">D</mi><mi id="S2.E2.3.m2.5.5.1.1.3.3.3" xref="S2.E2.3.m2.5.5.1.1.3.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S2.E2.3.m2.6.6.2.3" xref="S2.E2.3.m2.6.6.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.E2.3.m2.6.6.2.2.2" xref="S2.E2.3.m2.6.6.2.2.3.cmml"><mrow id="S2.E2.3.m2.6.6.2.2.1.1" xref="S2.E2.3.m2.6.6.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.E2.3.m2.6.6.2.2.1.1.2" xref="S2.E2.3.m2.6.6.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E2.3.m2.6.6.2.2.1.1.2.1" rspace="0.167em" xref="S2.E2.3.m2.6.6.2.2.1.1.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S2.E2.3.m2.6.6.2.2.1.1.2.2" xref="S2.E2.3.m2.6.6.2.2.1.1.2.2.cmml">i</mi></mrow><mo id="S2.E2.3.m2.6.6.2.2.1.1.1" xref="S2.E2.3.m2.6.6.2.2.1.1.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E2.3.m2.6.6.2.2.1.1.3" xref="S2.E2.3.m2.6.6.2.2.1.1.3.cmml">𝒢</mi></mrow><mo id="S2.E2.3.m2.6.6.2.2.2.3" 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xref="S2.E2.3.m2.5.5.1.1.3.1"></times><ci id="S2.E2.3.m2.5.5.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E2.3.m2.5.5.1.1.3.2">𝑅</ci><apply id="S2.E2.3.m2.5.5.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E2.3.m2.5.5.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.3.m2.5.5.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E2.3.m2.5.5.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E2.3.m2.5.5.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.E2.3.m2.5.5.1.1.3.3.2">𝐷</ci><ci id="S2.E2.3.m2.5.5.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.E2.3.m2.5.5.1.1.3.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.E2.3.m2.6.6.2.2.3.cmml" xref="S2.E2.3.m2.6.6.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.3.m2.6.6.2.2.3a.cmml" xref="S2.E2.3.m2.6.6.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.E2.3.m2.6.6.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E2.3.m2.6.6.2.2.1.1"><in id="S2.E2.3.m2.6.6.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.3.m2.6.6.2.2.1.1.1"></in><apply id="S2.E2.3.m2.6.6.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.E2.3.m2.6.6.2.2.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.E2.3.m2.6.6.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E2.3.m2.6.6.2.2.1.1.2.1">for-all</csymbol><ci id="S2.E2.3.m2.6.6.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E2.3.m2.6.6.2.2.1.1.2.2">𝑖</ci></apply><ci id="S2.E2.3.m2.6.6.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.E2.3.m2.6.6.2.2.1.1.3">𝒢</ci></apply><apply id="S2.E2.3.m2.6.6.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E2.3.m2.6.6.2.2.2.2"><in id="S2.E2.3.m2.6.6.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E2.3.m2.6.6.2.2.2.2.1"></in><apply id="S2.E2.3.m2.6.6.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E2.3.m2.6.6.2.2.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.E2.3.m2.6.6.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E2.3.m2.6.6.2.2.2.2.2.1">for-all</csymbol><ci id="S2.E2.3.m2.6.6.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E2.3.m2.6.6.2.2.2.2.2.2">𝑡</ci></apply><ci id="S2.E2.3.m2.6.6.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E2.3.m2.6.6.2.2.2.2.3">𝒯</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E2.3.m2.6c">\displaystyle p_{i,t-1}^{G}-p_{i,t}^{G}\leq RD_{i},\forall i\in{\cal G},% \forall t\in{\cal T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E2.3.m2.6d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_t - 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_G end_POSTSUPERSCRIPT - italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_G end_POSTSUPERSCRIPT ≤ italic_R italic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT , ∀ italic_i ∈ caligraphic_G , ∀ italic_t ∈ caligraphic_T</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(2c)</span></td> </tr> </tbody> </table> </div> </section> <section class="ltx_subsubsection" id="S2.SS1.SSS3"> <h4 class="ltx_title ltx_title_subsubsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsubsection"><span class="ltx_text" id="S2.SS1.SSS3.4.1.1">II-A</span>3 </span>ESSs constraints</h4> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.SS1.SSS3.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.SSS3.p1.4">The ESSs constraints include the energy storage capacity (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S2.E3.1" title="In 3 ‣ II-A3 ESSs constraints ‣ II-A First-stage Economic Dispatch Plan ‣ II Mathematical Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3a</span></a>), the capacity limits (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S2.E3.2" title="In 3 ‣ II-A3 ESSs constraints ‣ II-A First-stage Economic Dispatch Plan ‣ II Mathematical Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3b</span></a>), and the charging/discharging limits (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S2.E3.3" title="In 3 ‣ II-A3 ESSs constraints ‣ II-A First-stage Economic Dispatch Plan ‣ II Mathematical Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3c</span></a>)–(<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S2.E3.4" title="In 3 ‣ II-A3 ESSs constraints ‣ II-A First-stage Economic Dispatch Plan ‣ II Mathematical Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3d</span></a>).</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_table" id="S2.E3"> <tbody> <tr class="ltx_eqn_row" id="S6.EGx2"><td class="ltx_eqn_cell" colspan="5"></td></tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S2.E3.1"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"><math alttext="\displaystyle e_{i,t}=e_{i,t-1}+\eta_{B}p_{i,t}^{B+}\Delta t-\frac{p_{i,t}^{B-% }}{\eta_{B}}\Delta t,\forall i\in{\cal B},\forall t\in{\cal T}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E3.1.m2.10"><semantics id="S2.E3.1.m2.10a"><mrow id="S2.E3.1.m2.10.10.2" xref="S2.E3.1.m2.10.10.3.cmml"><mrow id="S2.E3.1.m2.9.9.1.1" xref="S2.E3.1.m2.9.9.1.1.cmml"><msub id="S2.E3.1.m2.9.9.1.1.2" xref="S2.E3.1.m2.9.9.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E3.1.m2.9.9.1.1.2.2" xref="S2.E3.1.m2.9.9.1.1.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S2.E3.1.m2.2.2.2.4" xref="S2.E3.1.m2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E3.1.m2.1.1.1.1" xref="S2.E3.1.m2.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.E3.1.m2.2.2.2.4.1" xref="S2.E3.1.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E3.1.m2.2.2.2.2" xref="S2.E3.1.m2.2.2.2.2.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S2.E3.1.m2.9.9.1.1.1" xref="S2.E3.1.m2.9.9.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.E3.1.m2.9.9.1.1.3" xref="S2.E3.1.m2.9.9.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.E3.1.m2.9.9.1.1.3.2" xref="S2.E3.1.m2.9.9.1.1.3.2.cmml"><msub id="S2.E3.1.m2.9.9.1.1.3.2.2" xref="S2.E3.1.m2.9.9.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S2.E3.1.m2.9.9.1.1.3.2.2.2" xref="S2.E3.1.m2.9.9.1.1.3.2.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S2.E3.1.m2.4.4.2.2" xref="S2.E3.1.m2.4.4.2.3.cmml"><mi id="S2.E3.1.m2.3.3.1.1" xref="S2.E3.1.m2.3.3.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.E3.1.m2.4.4.2.2.2" xref="S2.E3.1.m2.4.4.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S2.E3.1.m2.4.4.2.2.1" xref="S2.E3.1.m2.4.4.2.2.1.cmml"><mi id="S2.E3.1.m2.4.4.2.2.1.2" xref="S2.E3.1.m2.4.4.2.2.1.2.cmml">t</mi><mo id="S2.E3.1.m2.4.4.2.2.1.1" xref="S2.E3.1.m2.4.4.2.2.1.1.cmml">−</mo><mn id="S2.E3.1.m2.4.4.2.2.1.3" xref="S2.E3.1.m2.4.4.2.2.1.3.cmml">1</mn></mrow></mrow></msub><mo id="S2.E3.1.m2.9.9.1.1.3.2.1" xref="S2.E3.1.m2.9.9.1.1.3.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.E3.1.m2.9.9.1.1.3.2.3" xref="S2.E3.1.m2.9.9.1.1.3.2.3.cmml"><msub id="S2.E3.1.m2.9.9.1.1.3.2.3.2" xref="S2.E3.1.m2.9.9.1.1.3.2.3.2.cmml"><mi id="S2.E3.1.m2.9.9.1.1.3.2.3.2.2" xref="S2.E3.1.m2.9.9.1.1.3.2.3.2.2.cmml">η</mi><mi id="S2.E3.1.m2.9.9.1.1.3.2.3.2.3" xref="S2.E3.1.m2.9.9.1.1.3.2.3.2.3.cmml">B</mi></msub><mo id="S2.E3.1.m2.9.9.1.1.3.2.3.1" xref="S2.E3.1.m2.9.9.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S2.E3.1.m2.9.9.1.1.3.2.3.3" xref="S2.E3.1.m2.9.9.1.1.3.2.3.3.cmml"><mi id="S2.E3.1.m2.9.9.1.1.3.2.3.3.2.2" xref="S2.E3.1.m2.9.9.1.1.3.2.3.3.2.2.cmml">p</mi><mrow id="S2.E3.1.m2.6.6.2.4" xref="S2.E3.1.m2.6.6.2.3.cmml"><mi id="S2.E3.1.m2.5.5.1.1" xref="S2.E3.1.m2.5.5.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.E3.1.m2.6.6.2.4.1" xref="S2.E3.1.m2.6.6.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E3.1.m2.6.6.2.2" xref="S2.E3.1.m2.6.6.2.2.cmml">t</mi></mrow><mrow id="S2.E3.1.m2.9.9.1.1.3.2.3.3.3" xref="S2.E3.1.m2.9.9.1.1.3.2.3.3.3.cmml"><mi id="S2.E3.1.m2.9.9.1.1.3.2.3.3.3.2" xref="S2.E3.1.m2.9.9.1.1.3.2.3.3.3.2.cmml">B</mi><mo id="S2.E3.1.m2.9.9.1.1.3.2.3.3.3.3" xref="S2.E3.1.m2.9.9.1.1.3.2.3.3.3.3.cmml">+</mo></mrow></msubsup><mo id="S2.E3.1.m2.9.9.1.1.3.2.3.1a" xref="S2.E3.1.m2.9.9.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E3.1.m2.9.9.1.1.3.2.3.4" mathvariant="normal" xref="S2.E3.1.m2.9.9.1.1.3.2.3.4.cmml">Δ</mi><mo id="S2.E3.1.m2.9.9.1.1.3.2.3.1b" xref="S2.E3.1.m2.9.9.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E3.1.m2.9.9.1.1.3.2.3.5" xref="S2.E3.1.m2.9.9.1.1.3.2.3.5.cmml">t</mi></mrow></mrow><mo id="S2.E3.1.m2.9.9.1.1.3.1" xref="S2.E3.1.m2.9.9.1.1.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S2.E3.1.m2.9.9.1.1.3.3" xref="S2.E3.1.m2.9.9.1.1.3.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E3.1.m2.8.8" xref="S2.E3.1.m2.8.8.cmml"><mfrac id="S2.E3.1.m2.8.8a" xref="S2.E3.1.m2.8.8.cmml"><msubsup id="S2.E3.1.m2.8.8.2" xref="S2.E3.1.m2.8.8.2.cmml"><mi id="S2.E3.1.m2.8.8.2.4.2" xref="S2.E3.1.m2.8.8.2.4.2.cmml">p</mi><mrow id="S2.E3.1.m2.8.8.2.2.2.4" xref="S2.E3.1.m2.8.8.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E3.1.m2.7.7.1.1.1.1" xref="S2.E3.1.m2.7.7.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.E3.1.m2.8.8.2.2.2.4.1" xref="S2.E3.1.m2.8.8.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E3.1.m2.8.8.2.2.2.2" xref="S2.E3.1.m2.8.8.2.2.2.2.cmml">t</mi></mrow><mrow id="S2.E3.1.m2.8.8.2.5" xref="S2.E3.1.m2.8.8.2.5.cmml"><mi id="S2.E3.1.m2.8.8.2.5.2" xref="S2.E3.1.m2.8.8.2.5.2.cmml">B</mi><mo id="S2.E3.1.m2.8.8.2.5.3" xref="S2.E3.1.m2.8.8.2.5.3.cmml">−</mo></mrow></msubsup><msub id="S2.E3.1.m2.8.8.4" xref="S2.E3.1.m2.8.8.4.cmml"><mi id="S2.E3.1.m2.8.8.4.2" xref="S2.E3.1.m2.8.8.4.2.cmml">η</mi><mi id="S2.E3.1.m2.8.8.4.3" xref="S2.E3.1.m2.8.8.4.3.cmml">B</mi></msub></mfrac></mstyle><mo id="S2.E3.1.m2.9.9.1.1.3.3.1" xref="S2.E3.1.m2.9.9.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E3.1.m2.9.9.1.1.3.3.2" mathvariant="normal" xref="S2.E3.1.m2.9.9.1.1.3.3.2.cmml">Δ</mi><mo id="S2.E3.1.m2.9.9.1.1.3.3.1a" xref="S2.E3.1.m2.9.9.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E3.1.m2.9.9.1.1.3.3.3" xref="S2.E3.1.m2.9.9.1.1.3.3.3.cmml">t</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E3.1.m2.10.10.2.3" xref="S2.E3.1.m2.10.10.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.E3.1.m2.10.10.2.2.2" xref="S2.E3.1.m2.10.10.2.2.3.cmml"><mrow id="S2.E3.1.m2.10.10.2.2.1.1" xref="S2.E3.1.m2.10.10.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.E3.1.m2.10.10.2.2.1.1.2" 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id="S2.E3.1.m2.10.10.2.2.2.2.3" xref="S2.E3.1.m2.10.10.2.2.2.2.3.cmml">𝒯</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E3.1.m2.10b"><apply id="S2.E3.1.m2.10.10.3.cmml" xref="S2.E3.1.m2.10.10.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.1.m2.10.10.3a.cmml" xref="S2.E3.1.m2.10.10.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.E3.1.m2.9.9.1.1.cmml" xref="S2.E3.1.m2.9.9.1.1"><eq id="S2.E3.1.m2.9.9.1.1.1.cmml" xref="S2.E3.1.m2.9.9.1.1.1"></eq><apply id="S2.E3.1.m2.9.9.1.1.2.cmml" xref="S2.E3.1.m2.9.9.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.1.m2.9.9.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E3.1.m2.9.9.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E3.1.m2.9.9.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E3.1.m2.9.9.1.1.2.2">𝑒</ci><list id="S2.E3.1.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E3.1.m2.2.2.2.4"><ci id="S2.E3.1.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E3.1.m2.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S2.E3.1.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E3.1.m2.2.2.2.2">𝑡</ci></list></apply><apply id="S2.E3.1.m2.9.9.1.1.3.cmml" xref="S2.E3.1.m2.9.9.1.1.3"><minus 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xref="S2.E3.1.m2.10.10.2.2.1.1.2.1">for-all</csymbol><ci id="S2.E3.1.m2.10.10.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E3.1.m2.10.10.2.2.1.1.2.2">𝑖</ci></apply><ci id="S2.E3.1.m2.10.10.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.E3.1.m2.10.10.2.2.1.1.3">ℬ</ci></apply><apply id="S2.E3.1.m2.10.10.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E3.1.m2.10.10.2.2.2.2"><in id="S2.E3.1.m2.10.10.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E3.1.m2.10.10.2.2.2.2.1"></in><apply id="S2.E3.1.m2.10.10.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E3.1.m2.10.10.2.2.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.E3.1.m2.10.10.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E3.1.m2.10.10.2.2.2.2.2.1">for-all</csymbol><ci id="S2.E3.1.m2.10.10.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E3.1.m2.10.10.2.2.2.2.2.2">𝑡</ci></apply><ci id="S2.E3.1.m2.10.10.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E3.1.m2.10.10.2.2.2.2.3">𝒯</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E3.1.m2.10c">\displaystyle e_{i,t}=e_{i,t-1}+\eta_{B}p_{i,t}^{B+}\Delta t-\frac{p_{i,t}^{B-% }}{\eta_{B}}\Delta t,\forall i\in{\cal B},\forall t\in{\cal T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E3.1.m2.10d">italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_t end_POSTSUBSCRIPT = italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_t - 1 end_POSTSUBSCRIPT + italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_B end_POSTSUBSCRIPT italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_B + end_POSTSUPERSCRIPT roman_Δ italic_t - divide start_ARG italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_B - end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_B end_POSTSUBSCRIPT end_ARG roman_Δ italic_t , ∀ italic_i ∈ caligraphic_B , ∀ italic_t ∈ caligraphic_T</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(3a)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S2.E3.2"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"><math alttext="\displaystyle\underline{e}_{i}\leq e_{i,t}\leq\overline{e}_{i},\forall i\in{% \cal B},\forall t\in{\cal T}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E3.2.m2.4"><semantics id="S2.E3.2.m2.4a"><mrow id="S2.E3.2.m2.4.4.2" xref="S2.E3.2.m2.4.4.3.cmml"><mrow id="S2.E3.2.m2.3.3.1.1" xref="S2.E3.2.m2.3.3.1.1.cmml"><msub id="S2.E3.2.m2.3.3.1.1.2" xref="S2.E3.2.m2.3.3.1.1.2.cmml"><munder accentunder="true" id="S2.E3.2.m2.3.3.1.1.2.2" xref="S2.E3.2.m2.3.3.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.E3.2.m2.3.3.1.1.2.2.2" xref="S2.E3.2.m2.3.3.1.1.2.2.2.cmml">e</mi><mo id="S2.E3.2.m2.3.3.1.1.2.2.1" xref="S2.E3.2.m2.3.3.1.1.2.2.1.cmml">¯</mo></munder><mi id="S2.E3.2.m2.3.3.1.1.2.3" xref="S2.E3.2.m2.3.3.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S2.E3.2.m2.3.3.1.1.3" xref="S2.E3.2.m2.3.3.1.1.3.cmml">≤</mo><msub id="S2.E3.2.m2.3.3.1.1.4" xref="S2.E3.2.m2.3.3.1.1.4.cmml"><mi id="S2.E3.2.m2.3.3.1.1.4.2" xref="S2.E3.2.m2.3.3.1.1.4.2.cmml">e</mi><mrow id="S2.E3.2.m2.2.2.2.4" xref="S2.E3.2.m2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E3.2.m2.1.1.1.1" xref="S2.E3.2.m2.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.E3.2.m2.2.2.2.4.1" xref="S2.E3.2.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E3.2.m2.2.2.2.2" xref="S2.E3.2.m2.2.2.2.2.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S2.E3.2.m2.3.3.1.1.5" xref="S2.E3.2.m2.3.3.1.1.5.cmml">≤</mo><msub id="S2.E3.2.m2.3.3.1.1.6" xref="S2.E3.2.m2.3.3.1.1.6.cmml"><mover accent="true" id="S2.E3.2.m2.3.3.1.1.6.2" xref="S2.E3.2.m2.3.3.1.1.6.2.cmml"><mi id="S2.E3.2.m2.3.3.1.1.6.2.2" xref="S2.E3.2.m2.3.3.1.1.6.2.2.cmml">e</mi><mo id="S2.E3.2.m2.3.3.1.1.6.2.1" xref="S2.E3.2.m2.3.3.1.1.6.2.1.cmml">¯</mo></mover><mi id="S2.E3.2.m2.3.3.1.1.6.3" xref="S2.E3.2.m2.3.3.1.1.6.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S2.E3.2.m2.4.4.2.3" xref="S2.E3.2.m2.4.4.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.E3.2.m2.4.4.2.2.2" xref="S2.E3.2.m2.4.4.2.2.3.cmml"><mrow id="S2.E3.2.m2.4.4.2.2.1.1" xref="S2.E3.2.m2.4.4.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.E3.2.m2.4.4.2.2.1.1.2" xref="S2.E3.2.m2.4.4.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E3.2.m2.4.4.2.2.1.1.2.1" rspace="0.167em" xref="S2.E3.2.m2.4.4.2.2.1.1.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S2.E3.2.m2.4.4.2.2.1.1.2.2" xref="S2.E3.2.m2.4.4.2.2.1.1.2.2.cmml">i</mi></mrow><mo id="S2.E3.2.m2.4.4.2.2.1.1.1" xref="S2.E3.2.m2.4.4.2.2.1.1.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E3.2.m2.4.4.2.2.1.1.3" xref="S2.E3.2.m2.4.4.2.2.1.1.3.cmml">ℬ</mi></mrow><mo id="S2.E3.2.m2.4.4.2.2.2.3" xref="S2.E3.2.m2.4.4.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.E3.2.m2.4.4.2.2.2.2" xref="S2.E3.2.m2.4.4.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S2.E3.2.m2.4.4.2.2.2.2.2" xref="S2.E3.2.m2.4.4.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S2.E3.2.m2.4.4.2.2.2.2.2.1" rspace="0.167em" xref="S2.E3.2.m2.4.4.2.2.2.2.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S2.E3.2.m2.4.4.2.2.2.2.2.2" xref="S2.E3.2.m2.4.4.2.2.2.2.2.2.cmml">t</mi></mrow><mo id="S2.E3.2.m2.4.4.2.2.2.2.1" xref="S2.E3.2.m2.4.4.2.2.2.2.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E3.2.m2.4.4.2.2.2.2.3" xref="S2.E3.2.m2.4.4.2.2.2.2.3.cmml">𝒯</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E3.2.m2.4b"><apply id="S2.E3.2.m2.4.4.3.cmml" xref="S2.E3.2.m2.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.2.m2.4.4.3a.cmml" xref="S2.E3.2.m2.4.4.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.E3.2.m2.3.3.1.1.cmml" xref="S2.E3.2.m2.3.3.1.1"><and id="S2.E3.2.m2.3.3.1.1a.cmml" xref="S2.E3.2.m2.3.3.1.1"></and><apply id="S2.E3.2.m2.3.3.1.1b.cmml" xref="S2.E3.2.m2.3.3.1.1"><leq id="S2.E3.2.m2.3.3.1.1.3.cmml" xref="S2.E3.2.m2.3.3.1.1.3"></leq><apply id="S2.E3.2.m2.3.3.1.1.2.cmml" xref="S2.E3.2.m2.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.2.m2.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E3.2.m2.3.3.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S2.E3.2.m2.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E3.2.m2.3.3.1.1.2.2"><ci 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id="S2.E3.2.m2.3.3.1.1.6.cmml" xref="S2.E3.2.m2.3.3.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.2.m2.3.3.1.1.6.1.cmml" xref="S2.E3.2.m2.3.3.1.1.6">subscript</csymbol><apply id="S2.E3.2.m2.3.3.1.1.6.2.cmml" xref="S2.E3.2.m2.3.3.1.1.6.2"><ci id="S2.E3.2.m2.3.3.1.1.6.2.1.cmml" xref="S2.E3.2.m2.3.3.1.1.6.2.1">¯</ci><ci id="S2.E3.2.m2.3.3.1.1.6.2.2.cmml" xref="S2.E3.2.m2.3.3.1.1.6.2.2">𝑒</ci></apply><ci id="S2.E3.2.m2.3.3.1.1.6.3.cmml" xref="S2.E3.2.m2.3.3.1.1.6.3">𝑖</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.E3.2.m2.4.4.2.2.3.cmml" xref="S2.E3.2.m2.4.4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.2.m2.4.4.2.2.3a.cmml" xref="S2.E3.2.m2.4.4.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.E3.2.m2.4.4.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E3.2.m2.4.4.2.2.1.1"><in id="S2.E3.2.m2.4.4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.E3.2.m2.4.4.2.2.1.1.1"></in><apply id="S2.E3.2.m2.4.4.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.E3.2.m2.4.4.2.2.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.E3.2.m2.4.4.2.2.1.1.2.1.cmml" 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id="S2.E3.2.m2.4d">under¯ start_ARG italic_e end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ≤ italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_t end_POSTSUBSCRIPT ≤ over¯ start_ARG italic_e end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT , ∀ italic_i ∈ caligraphic_B , ∀ italic_t ∈ caligraphic_T</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(3b)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S2.E3.3"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"><math alttext="\displaystyle z_{i,t}\underline{p}^{B+}\leq p_{i,t}^{B+}\leq z_{i,t}\overline{% p}^{B+},\forall i\in{\cal 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end_POSTSUPERSCRIPT ≤ italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_B + end_POSTSUPERSCRIPT ≤ italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_t end_POSTSUBSCRIPT over¯ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT italic_B + end_POSTSUPERSCRIPT , ∀ italic_i ∈ caligraphic_B , ∀ italic_t ∈ caligraphic_T</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(3c)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S2.E3.4"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"><math alttext="\displaystyle(1-z_{i,t})\underline{p}^{B-}\leq p_{i,t}^{B-}\leq(1-z_{i,t})% \overline{p}^{B-},\forall i\in{\cal B},\forall t\in{\cal T}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E3.4.m2.8"><semantics id="S2.E3.4.m2.8a"><mrow id="S2.E3.4.m2.8.8.2" xref="S2.E3.4.m2.8.8.3.cmml"><mrow id="S2.E3.4.m2.7.7.1.1" xref="S2.E3.4.m2.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S2.E3.4.m2.7.7.1.1.1" xref="S2.E3.4.m2.7.7.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E3.4.m2.7.7.1.1.1.1.1" xref="S2.E3.4.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E3.4.m2.7.7.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E3.4.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E3.4.m2.7.7.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E3.4.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S2.E3.4.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E3.4.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S2.E3.4.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E3.4.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S2.E3.4.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E3.4.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E3.4.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E3.4.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">z</mi><mrow id="S2.E3.4.m2.2.2.2.4" 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id="S2.E3.4.m2.8.8.3a.cmml" xref="S2.E3.4.m2.8.8.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.E3.4.m2.7.7.1.1.cmml" xref="S2.E3.4.m2.7.7.1.1"><and id="S2.E3.4.m2.7.7.1.1a.cmml" xref="S2.E3.4.m2.7.7.1.1"></and><apply id="S2.E3.4.m2.7.7.1.1b.cmml" xref="S2.E3.4.m2.7.7.1.1"><leq id="S2.E3.4.m2.7.7.1.1.4.cmml" xref="S2.E3.4.m2.7.7.1.1.4"></leq><apply id="S2.E3.4.m2.7.7.1.1.1.cmml" xref="S2.E3.4.m2.7.7.1.1.1"><times id="S2.E3.4.m2.7.7.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E3.4.m2.7.7.1.1.1.2"></times><apply id="S2.E3.4.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E3.4.m2.7.7.1.1.1.1.1"><minus id="S2.E3.4.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E3.4.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S2.E3.4.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.E3.4.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="S2.E3.4.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E3.4.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.4.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E3.4.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E3.4.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" 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xref="S2.E3.4.m2.7.7.1.1.5.3.3"></minus></apply></apply></apply><apply id="S2.E3.4.m2.7.7.1.1c.cmml" xref="S2.E3.4.m2.7.7.1.1"><leq id="S2.E3.4.m2.7.7.1.1.6.cmml" xref="S2.E3.4.m2.7.7.1.1.6"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S2.E3.4.m2.7.7.1.1.5.cmml" id="S2.E3.4.m2.7.7.1.1d.cmml" xref="S2.E3.4.m2.7.7.1.1"></share><apply id="S2.E3.4.m2.7.7.1.1.2.cmml" xref="S2.E3.4.m2.7.7.1.1.2"><times id="S2.E3.4.m2.7.7.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E3.4.m2.7.7.1.1.2.2"></times><apply id="S2.E3.4.m2.7.7.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S2.E3.4.m2.7.7.1.1.2.1.1"><minus id="S2.E3.4.m2.7.7.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E3.4.m2.7.7.1.1.2.1.1.1.1"></minus><cn id="S2.E3.4.m2.7.7.1.1.2.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.E3.4.m2.7.7.1.1.2.1.1.1.2">1</cn><apply id="S2.E3.4.m2.7.7.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E3.4.m2.7.7.1.1.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.4.m2.7.7.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E3.4.m2.7.7.1.1.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E3.4.m2.7.7.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml" 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cd="latexml" id="S2.E3.4.m2.8.8.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E3.4.m2.8.8.2.2.2.2.2.1">for-all</csymbol><ci id="S2.E3.4.m2.8.8.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E3.4.m2.8.8.2.2.2.2.2.2">𝑡</ci></apply><ci id="S2.E3.4.m2.8.8.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E3.4.m2.8.8.2.2.2.2.3">𝒯</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E3.4.m2.8c">\displaystyle(1-z_{i,t})\underline{p}^{B-}\leq p_{i,t}^{B-}\leq(1-z_{i,t})% \overline{p}^{B-},\forall i\in{\cal B},\forall t\in{\cal T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E3.4.m2.8d">( 1 - italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_t end_POSTSUBSCRIPT ) under¯ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT italic_B - end_POSTSUPERSCRIPT ≤ italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_B - end_POSTSUPERSCRIPT ≤ ( 1 - italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_t end_POSTSUBSCRIPT ) over¯ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT italic_B - end_POSTSUPERSCRIPT , ∀ italic_i ∈ caligraphic_B , ∀ italic_t ∈ caligraphic_T</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(3d)</span></td> </tr> </tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.SSS3.p1.3">where <math alttext="z_{i,t}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS3.p1.1.m1.2"><semantics id="S2.SS1.SSS3.p1.1.m1.2a"><msub id="S2.SS1.SSS3.p1.1.m1.2.3" xref="S2.SS1.SSS3.p1.1.m1.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS3.p1.1.m1.2.3.2" xref="S2.SS1.SSS3.p1.1.m1.2.3.2.cmml">z</mi><mrow id="S2.SS1.SSS3.p1.1.m1.2.2.2.4" xref="S2.SS1.SSS3.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS3.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.SSS3.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.SS1.SSS3.p1.1.m1.2.2.2.4.1" xref="S2.SS1.SSS3.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.SS1.SSS3.p1.1.m1.2.2.2.2" xref="S2.SS1.SSS3.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml">t</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS3.p1.1.m1.2b"><apply id="S2.SS1.SSS3.p1.1.m1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS3.p1.1.m1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.SSS3.p1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS3.p1.1.m1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.SSS3.p1.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS3.p1.1.m1.2.3.2">𝑧</ci><list id="S2.SS1.SSS3.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS3.p1.1.m1.2.2.2.4"><ci id="S2.SS1.SSS3.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS3.p1.1.m1.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S2.SS1.SSS3.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS3.p1.1.m1.2.2.2.2">𝑡</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS3.p1.1.m1.2c">z_{i,t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS3.p1.1.m1.2d">italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the binary variable that models the operational mode of ESSs, with <math alttext="z_{i,t}=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS3.p1.2.m2.2"><semantics id="S2.SS1.SSS3.p1.2.m2.2a"><mrow id="S2.SS1.SSS3.p1.2.m2.2.3" xref="S2.SS1.SSS3.p1.2.m2.2.3.cmml"><msub id="S2.SS1.SSS3.p1.2.m2.2.3.2" xref="S2.SS1.SSS3.p1.2.m2.2.3.2.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS3.p1.2.m2.2.3.2.2" xref="S2.SS1.SSS3.p1.2.m2.2.3.2.2.cmml">z</mi><mrow id="S2.SS1.SSS3.p1.2.m2.2.2.2.4" xref="S2.SS1.SSS3.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS3.p1.2.m2.1.1.1.1" xref="S2.SS1.SSS3.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.SS1.SSS3.p1.2.m2.2.2.2.4.1" xref="S2.SS1.SSS3.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.SS1.SSS3.p1.2.m2.2.2.2.2" xref="S2.SS1.SSS3.p1.2.m2.2.2.2.2.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S2.SS1.SSS3.p1.2.m2.2.3.1" xref="S2.SS1.SSS3.p1.2.m2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.SS1.SSS3.p1.2.m2.2.3.3" xref="S2.SS1.SSS3.p1.2.m2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS3.p1.2.m2.2b"><apply id="S2.SS1.SSS3.p1.2.m2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS3.p1.2.m2.2.3"><eq id="S2.SS1.SSS3.p1.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS3.p1.2.m2.2.3.1"></eq><apply id="S2.SS1.SSS3.p1.2.m2.2.3.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS3.p1.2.m2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.SSS3.p1.2.m2.2.3.2.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS3.p1.2.m2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.SSS3.p1.2.m2.2.3.2.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS3.p1.2.m2.2.3.2.2">𝑧</ci><list id="S2.SS1.SSS3.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS3.p1.2.m2.2.2.2.4"><ci id="S2.SS1.SSS3.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS3.p1.2.m2.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S2.SS1.SSS3.p1.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS3.p1.2.m2.2.2.2.2">𝑡</ci></list></apply><cn id="S2.SS1.SSS3.p1.2.m2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.SSS3.p1.2.m2.2.3.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS3.p1.2.m2.2c">z_{i,t}=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS3.p1.2.m2.2d">italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_t end_POSTSUBSCRIPT = 1</annotation></semantics></math> indicating the charging mode and <math alttext="z_{i,t}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS3.p1.3.m3.2"><semantics id="S2.SS1.SSS3.p1.3.m3.2a"><mrow id="S2.SS1.SSS3.p1.3.m3.2.3" xref="S2.SS1.SSS3.p1.3.m3.2.3.cmml"><msub id="S2.SS1.SSS3.p1.3.m3.2.3.2" xref="S2.SS1.SSS3.p1.3.m3.2.3.2.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS3.p1.3.m3.2.3.2.2" xref="S2.SS1.SSS3.p1.3.m3.2.3.2.2.cmml">z</mi><mrow id="S2.SS1.SSS3.p1.3.m3.2.2.2.4" xref="S2.SS1.SSS3.p1.3.m3.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS3.p1.3.m3.1.1.1.1" xref="S2.SS1.SSS3.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.SS1.SSS3.p1.3.m3.2.2.2.4.1" xref="S2.SS1.SSS3.p1.3.m3.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.SS1.SSS3.p1.3.m3.2.2.2.2" xref="S2.SS1.SSS3.p1.3.m3.2.2.2.2.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S2.SS1.SSS3.p1.3.m3.2.3.1" xref="S2.SS1.SSS3.p1.3.m3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.SS1.SSS3.p1.3.m3.2.3.3" xref="S2.SS1.SSS3.p1.3.m3.2.3.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS3.p1.3.m3.2b"><apply id="S2.SS1.SSS3.p1.3.m3.2.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS3.p1.3.m3.2.3"><eq id="S2.SS1.SSS3.p1.3.m3.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS3.p1.3.m3.2.3.1"></eq><apply id="S2.SS1.SSS3.p1.3.m3.2.3.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS3.p1.3.m3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.SSS3.p1.3.m3.2.3.2.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS3.p1.3.m3.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.SSS3.p1.3.m3.2.3.2.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS3.p1.3.m3.2.3.2.2">𝑧</ci><list id="S2.SS1.SSS3.p1.3.m3.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS3.p1.3.m3.2.2.2.4"><ci id="S2.SS1.SSS3.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS3.p1.3.m3.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S2.SS1.SSS3.p1.3.m3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS3.p1.3.m3.2.2.2.2">𝑡</ci></list></apply><cn id="S2.SS1.SSS3.p1.3.m3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.SSS3.p1.3.m3.2.3.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS3.p1.3.m3.2c">z_{i,t}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS3.p1.3.m3.2d">italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_t end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math> the discharging mode.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsubsection" id="S2.SS1.SSS4"> <h4 class="ltx_title ltx_title_subsubsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsubsection"><span class="ltx_text" id="S2.SS1.SSS4.4.1.1">II-A</span>4 </span>Power flow constraints</h4> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.SSS4.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.SSS4.p1.1">Constraints (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S2.E4.1" title="In 4 ‣ II-A4 Power flow constraints ‣ II-A First-stage Economic Dispatch Plan ‣ II Mathematical Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4a</span></a>) model the active power balance equations, and constraints (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S2.E4.2" title="In 4 ‣ II-A4 Power flow constraints ‣ II-A First-stage Economic Dispatch Plan ‣ II Mathematical Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4b</span></a>) consider the net active loads <math alttext="(p_{i,t})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS4.p1.1.m1.3"><semantics id="S2.SS1.SSS4.p1.1.m1.3a"><mrow id="S2.SS1.SSS4.p1.1.m1.3.3.1" xref="S2.SS1.SSS4.p1.1.m1.3.3.1.1.cmml"><mo id="S2.SS1.SSS4.p1.1.m1.3.3.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.SSS4.p1.1.m1.3.3.1.1.cmml">(</mo><msub id="S2.SS1.SSS4.p1.1.m1.3.3.1.1" xref="S2.SS1.SSS4.p1.1.m1.3.3.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS4.p1.1.m1.3.3.1.1.2" xref="S2.SS1.SSS4.p1.1.m1.3.3.1.1.2.cmml">p</mi><mrow id="S2.SS1.SSS4.p1.1.m1.2.2.2.4" xref="S2.SS1.SSS4.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS4.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.SSS4.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.SS1.SSS4.p1.1.m1.2.2.2.4.1" xref="S2.SS1.SSS4.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.SS1.SSS4.p1.1.m1.2.2.2.2" xref="S2.SS1.SSS4.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S2.SS1.SSS4.p1.1.m1.3.3.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.SSS4.p1.1.m1.3.3.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS4.p1.1.m1.3b"><apply id="S2.SS1.SSS4.p1.1.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS4.p1.1.m1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.SSS4.p1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS4.p1.1.m1.3.3.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.SSS4.p1.1.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS4.p1.1.m1.3.3.1.1.2">𝑝</ci><list id="S2.SS1.SSS4.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS4.p1.1.m1.2.2.2.4"><ci id="S2.SS1.SSS4.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS4.p1.1.m1.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S2.SS1.SSS4.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS4.p1.1.m1.2.2.2.2">𝑡</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS4.p1.1.m1.3c">(p_{i,t})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS4.p1.1.m1.3d">( italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_t end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>.</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_table" id="S2.E4"> <tbody> <tr class="ltx_eqn_row" id="S6.EGx3"><td class="ltx_eqn_cell" colspan="5"></td></tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S2.E4.1"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"><math alttext="\displaystyle\sum_{hi\in\mathcal{L}}p_{hi,t}-\sum_{ij\in\mathcal{L}}p_{ij,t}=p% _{i,t},\forall i\in\mathcal{N},\forall t\in\mathcal{T}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E4.1.m2.8"><semantics id="S2.E4.1.m2.8a"><mrow id="S2.E4.1.m2.8.8.2" xref="S2.E4.1.m2.8.8.3.cmml"><mrow id="S2.E4.1.m2.7.7.1.1" xref="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2" xref="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.cmml"><mrow id="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.2" xref="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.2.1" xref="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.cmml"><munder id="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.2.1a" xref="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.cmml"><mo id="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.2" movablelimits="false" xref="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.3" xref="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.cmml"><mrow id="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.2" xref="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.2.cmml"><mi id="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.2.2" xref="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.2.2.cmml">h</mi><mo id="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.2.1" xref="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.2.3" xref="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.2.3.cmml">i</mi></mrow><mo id="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.1" xref="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.3" xref="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.3.cmml">ℒ</mi></mrow></munder></mstyle><msub id="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.2.2" xref="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.2.2.2" xref="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.2.2.2.cmml">p</mi><mrow id="S2.E4.1.m2.2.2.2.2" xref="S2.E4.1.m2.2.2.2.3.cmml"><mrow id="S2.E4.1.m2.2.2.2.2.1" xref="S2.E4.1.m2.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S2.E4.1.m2.2.2.2.2.1.2" xref="S2.E4.1.m2.2.2.2.2.1.2.cmml">h</mi><mo id="S2.E4.1.m2.2.2.2.2.1.1" xref="S2.E4.1.m2.2.2.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E4.1.m2.2.2.2.2.1.3" xref="S2.E4.1.m2.2.2.2.2.1.3.cmml">i</mi></mrow><mo id="S2.E4.1.m2.2.2.2.2.2" xref="S2.E4.1.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E4.1.m2.1.1.1.1" xref="S2.E4.1.m2.1.1.1.1.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.1" xref="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.3" xref="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.3.1" xref="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.cmml"><munder id="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.3.1a" xref="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.2" movablelimits="false" xref="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.3" xref="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.cmml"><mrow id="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.2" xref="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.2.cmml"><mi id="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.2.2" xref="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.2.2.cmml">i</mi><mo id="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.2.1" xref="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.2.3" xref="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.2.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.1" xref="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.3" xref="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.3.cmml">ℒ</mi></mrow></munder></mstyle><msub id="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.3.2" xref="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.3.2.2" xref="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.3.2.2.cmml">p</mi><mrow id="S2.E4.1.m2.4.4.2.2" xref="S2.E4.1.m2.4.4.2.3.cmml"><mrow id="S2.E4.1.m2.4.4.2.2.1" xref="S2.E4.1.m2.4.4.2.2.1.cmml"><mi id="S2.E4.1.m2.4.4.2.2.1.2" xref="S2.E4.1.m2.4.4.2.2.1.2.cmml">i</mi><mo id="S2.E4.1.m2.4.4.2.2.1.1" xref="S2.E4.1.m2.4.4.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E4.1.m2.4.4.2.2.1.3" xref="S2.E4.1.m2.4.4.2.2.1.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="S2.E4.1.m2.4.4.2.2.2" xref="S2.E4.1.m2.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E4.1.m2.3.3.1.1" xref="S2.E4.1.m2.3.3.1.1.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.1" xref="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.1.cmml">=</mo><msub id="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.3" xref="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.3.2" xref="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.3.2.cmml">p</mi><mrow id="S2.E4.1.m2.6.6.2.4" xref="S2.E4.1.m2.6.6.2.3.cmml"><mi id="S2.E4.1.m2.5.5.1.1" xref="S2.E4.1.m2.5.5.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.E4.1.m2.6.6.2.4.1" xref="S2.E4.1.m2.6.6.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E4.1.m2.6.6.2.2" xref="S2.E4.1.m2.6.6.2.2.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S2.E4.1.m2.8.8.2.3" xref="S2.E4.1.m2.8.8.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.E4.1.m2.8.8.2.2.2" xref="S2.E4.1.m2.8.8.2.2.3.cmml"><mrow id="S2.E4.1.m2.8.8.2.2.1.1" xref="S2.E4.1.m2.8.8.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.E4.1.m2.8.8.2.2.1.1.2" xref="S2.E4.1.m2.8.8.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E4.1.m2.8.8.2.2.1.1.2.1" rspace="0.167em" xref="S2.E4.1.m2.8.8.2.2.1.1.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S2.E4.1.m2.8.8.2.2.1.1.2.2" xref="S2.E4.1.m2.8.8.2.2.1.1.2.2.cmml">i</mi></mrow><mo id="S2.E4.1.m2.8.8.2.2.1.1.1" xref="S2.E4.1.m2.8.8.2.2.1.1.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E4.1.m2.8.8.2.2.1.1.3" xref="S2.E4.1.m2.8.8.2.2.1.1.3.cmml">𝒩</mi></mrow><mo id="S2.E4.1.m2.8.8.2.2.2.3" xref="S2.E4.1.m2.8.8.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.E4.1.m2.8.8.2.2.2.2" xref="S2.E4.1.m2.8.8.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S2.E4.1.m2.8.8.2.2.2.2.2" xref="S2.E4.1.m2.8.8.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S2.E4.1.m2.8.8.2.2.2.2.2.1" rspace="0.167em" xref="S2.E4.1.m2.8.8.2.2.2.2.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S2.E4.1.m2.8.8.2.2.2.2.2.2" xref="S2.E4.1.m2.8.8.2.2.2.2.2.2.cmml">t</mi></mrow><mo id="S2.E4.1.m2.8.8.2.2.2.2.1" xref="S2.E4.1.m2.8.8.2.2.2.2.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E4.1.m2.8.8.2.2.2.2.3" xref="S2.E4.1.m2.8.8.2.2.2.2.3.cmml">𝒯</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E4.1.m2.8b"><apply id="S2.E4.1.m2.8.8.3.cmml" xref="S2.E4.1.m2.8.8.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E4.1.m2.8.8.3a.cmml" xref="S2.E4.1.m2.8.8.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.cmml" xref="S2.E4.1.m2.7.7.1.1"><eq id="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.1.cmml" xref="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.1"></eq><apply id="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.cmml" xref="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2"><minus id="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.1"></minus><apply id="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.2"><apply id="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.2.1">subscript</csymbol><sum id="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.2"></sum><apply id="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.3"><in id="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.1.cmml" xref="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.1"></in><apply id="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.2.cmml" xref="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.2"><times id="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.2.1"></times><ci id="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.2.2">ℎ</ci><ci id="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.2.3.cmml" xref="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.3.cmml" xref="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.3">ℒ</ci></apply></apply><apply id="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.2.2.2">𝑝</ci><list id="S2.E4.1.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E4.1.m2.2.2.2.2"><apply id="S2.E4.1.m2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E4.1.m2.2.2.2.2.1"><times id="S2.E4.1.m2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E4.1.m2.2.2.2.2.1.1"></times><ci id="S2.E4.1.m2.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S2.E4.1.m2.2.2.2.2.1.2">ℎ</ci><ci id="S2.E4.1.m2.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S2.E4.1.m2.2.2.2.2.1.3">𝑖</ci></apply><ci id="S2.E4.1.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E4.1.m2.1.1.1.1">𝑡</ci></list></apply></apply><apply id="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.3"><apply id="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.1.cmml" xref="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.3.1">subscript</csymbol><sum id="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.2.cmml" xref="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.2"></sum><apply id="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.cmml" xref="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.3"><in id="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.1.cmml" xref="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.1"></in><apply id="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.2.cmml" xref="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.2"><times id="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.2.1"></times><ci id="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.2.2">𝑖</ci><ci id="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.2.3.cmml" xref="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.3.cmml" xref="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.3">ℒ</ci></apply></apply><apply id="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.2.3.2.2">𝑝</ci><list id="S2.E4.1.m2.4.4.2.3.cmml" xref="S2.E4.1.m2.4.4.2.2"><apply id="S2.E4.1.m2.4.4.2.2.1.cmml" xref="S2.E4.1.m2.4.4.2.2.1"><times id="S2.E4.1.m2.4.4.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E4.1.m2.4.4.2.2.1.1"></times><ci id="S2.E4.1.m2.4.4.2.2.1.2.cmml" xref="S2.E4.1.m2.4.4.2.2.1.2">𝑖</ci><ci id="S2.E4.1.m2.4.4.2.2.1.3.cmml" xref="S2.E4.1.m2.4.4.2.2.1.3">𝑗</ci></apply><ci id="S2.E4.1.m2.3.3.1.1.cmml" xref="S2.E4.1.m2.3.3.1.1">𝑡</ci></list></apply></apply></apply><apply id="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.3.cmml" xref="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E4.1.m2.7.7.1.1.3.2">𝑝</ci><list id="S2.E4.1.m2.6.6.2.3.cmml" xref="S2.E4.1.m2.6.6.2.4"><ci id="S2.E4.1.m2.5.5.1.1.cmml" xref="S2.E4.1.m2.5.5.1.1">𝑖</ci><ci id="S2.E4.1.m2.6.6.2.2.cmml" xref="S2.E4.1.m2.6.6.2.2">𝑡</ci></list></apply></apply><apply id="S2.E4.1.m2.8.8.2.2.3.cmml" xref="S2.E4.1.m2.8.8.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E4.1.m2.8.8.2.2.3a.cmml" xref="S2.E4.1.m2.8.8.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.E4.1.m2.8.8.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E4.1.m2.8.8.2.2.1.1"><in id="S2.E4.1.m2.8.8.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.E4.1.m2.8.8.2.2.1.1.1"></in><apply id="S2.E4.1.m2.8.8.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.E4.1.m2.8.8.2.2.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.E4.1.m2.8.8.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E4.1.m2.8.8.2.2.1.1.2.1">for-all</csymbol><ci id="S2.E4.1.m2.8.8.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E4.1.m2.8.8.2.2.1.1.2.2">𝑖</ci></apply><ci id="S2.E4.1.m2.8.8.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.E4.1.m2.8.8.2.2.1.1.3">𝒩</ci></apply><apply id="S2.E4.1.m2.8.8.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E4.1.m2.8.8.2.2.2.2"><in id="S2.E4.1.m2.8.8.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E4.1.m2.8.8.2.2.2.2.1"></in><apply id="S2.E4.1.m2.8.8.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E4.1.m2.8.8.2.2.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.E4.1.m2.8.8.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E4.1.m2.8.8.2.2.2.2.2.1">for-all</csymbol><ci id="S2.E4.1.m2.8.8.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E4.1.m2.8.8.2.2.2.2.2.2">𝑡</ci></apply><ci id="S2.E4.1.m2.8.8.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E4.1.m2.8.8.2.2.2.2.3">𝒯</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E4.1.m2.8c">\displaystyle\sum_{hi\in\mathcal{L}}p_{hi,t}-\sum_{ij\in\mathcal{L}}p_{ij,t}=p% _{i,t},\forall i\in\mathcal{N},\forall t\in\mathcal{T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E4.1.m2.8d">∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_h italic_i ∈ caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_h italic_i , italic_t end_POSTSUBSCRIPT - ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j ∈ caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j , italic_t end_POSTSUBSCRIPT = italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_t end_POSTSUBSCRIPT , ∀ italic_i ∈ caligraphic_N , ∀ italic_t ∈ caligraphic_T</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(4a)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S2.E4.2"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"><math alttext="\displaystyle\begin{aligned} p_{i,t}=p_{i,t}^{G}+p_{i,t}^{B+}&-p_{i,t}^{B-}\\ &+\tilde{p}_{i,t}^{PV}-\tilde{p}_{i,t}^{L},\forall i\in\mathcal{N},\forall t% \in\mathcal{T}\end{aligned}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E4.2.m2.14"><semantics id="S2.E4.2.m2.14a"><mtable columnspacing="0pt" id="S2.E4.2.m2.14.14" rowspacing="0.0pt" xref="S2.E4.2.m2.14.14.cmml"><mtr id="S2.E4.2.m2.14.14a" xref="S2.E4.2.m2.14.14.cmml"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S2.E4.2.m2.14.14b" xref="S2.E4.2.m2.14.14.cmml"><mrow id="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6" xref="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.cmml"><msub id="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.8" xref="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.8.cmml"><mi id="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.8.2" xref="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.8.2.cmml">p</mi><mrow id="S2.E4.2.m2.2.2.2.2.2.2.2.4" xref="S2.E4.2.m2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E4.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E4.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.E4.2.m2.2.2.2.2.2.2.2.4.1" xref="S2.E4.2.m2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E4.2.m2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S2.E4.2.m2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.7" xref="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.7.cmml">=</mo><mrow id="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.9" xref="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.9.cmml"><msubsup id="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.9.2" xref="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.9.2.cmml"><mi id="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.9.2.2.2" xref="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.9.2.2.2.cmml">p</mi><mrow id="S2.E4.2.m2.4.4.4.4.4.4.2.4" xref="S2.E4.2.m2.4.4.4.4.4.4.2.3.cmml"><mi id="S2.E4.2.m2.3.3.3.3.3.3.1.1" xref="S2.E4.2.m2.3.3.3.3.3.3.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.E4.2.m2.4.4.4.4.4.4.2.4.1" xref="S2.E4.2.m2.4.4.4.4.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E4.2.m2.4.4.4.4.4.4.2.2" xref="S2.E4.2.m2.4.4.4.4.4.4.2.2.cmml">t</mi></mrow><mi id="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.9.2.3" xref="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.9.2.3.cmml">G</mi></msubsup><mo id="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.9.1" xref="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.9.1.cmml">+</mo><msubsup id="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.9.3" xref="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.9.3.cmml"><mi id="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.9.3.2.2" xref="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.9.3.2.2.cmml">p</mi><mrow id="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.6.2.4" xref="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.6.2.3.cmml"><mi id="S2.E4.2.m2.5.5.5.5.5.5.1.1" xref="S2.E4.2.m2.5.5.5.5.5.5.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.6.2.4.1" xref="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.6.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.6.2.2" xref="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.6.2.2.cmml">t</mi></mrow><mrow id="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.9.3.3" xref="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.9.3.3.cmml"><mi id="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.9.3.3.2" xref="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.9.3.3.2.cmml">B</mi><mo id="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.9.3.3.3" xref="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.9.3.3.3.cmml">+</mo></mrow></msubsup></mrow></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S2.E4.2.m2.14.14c" xref="S2.E4.2.m2.14.14.cmml"><mrow id="S2.E4.2.m2.8.8.8.8.2" xref="S2.E4.2.m2.8.8.8.8.2.cmml"><mo id="S2.E4.2.m2.8.8.8.8.2a" xref="S2.E4.2.m2.8.8.8.8.2.cmml">−</mo><msubsup id="S2.E4.2.m2.8.8.8.8.2.4" xref="S2.E4.2.m2.8.8.8.8.2.4.cmml"><mi id="S2.E4.2.m2.8.8.8.8.2.4.2.2" xref="S2.E4.2.m2.8.8.8.8.2.4.2.2.cmml">p</mi><mrow id="S2.E4.2.m2.8.8.8.8.2.2.2.4" xref="S2.E4.2.m2.8.8.8.8.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E4.2.m2.7.7.7.7.1.1.1.1" xref="S2.E4.2.m2.7.7.7.7.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.E4.2.m2.8.8.8.8.2.2.2.4.1" xref="S2.E4.2.m2.8.8.8.8.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E4.2.m2.8.8.8.8.2.2.2.2" xref="S2.E4.2.m2.8.8.8.8.2.2.2.2.cmml">t</mi></mrow><mrow id="S2.E4.2.m2.8.8.8.8.2.4.3" xref="S2.E4.2.m2.8.8.8.8.2.4.3.cmml"><mi id="S2.E4.2.m2.8.8.8.8.2.4.3.2" xref="S2.E4.2.m2.8.8.8.8.2.4.3.2.cmml">B</mi><mo id="S2.E4.2.m2.8.8.8.8.2.4.3.3" xref="S2.E4.2.m2.8.8.8.8.2.4.3.3.cmml">−</mo></mrow></msubsup></mrow></mtd></mtr><mtr id="S2.E4.2.m2.14.14d" xref="S2.E4.2.m2.14.14.cmml"><mtd id="S2.E4.2.m2.14.14e" xref="S2.E4.2.m2.14.14.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S2.E4.2.m2.14.14f" xref="S2.E4.2.m2.14.14.cmml"><mrow id="S2.E4.2.m2.14.14.14.6.6.6" xref="S2.E4.2.m2.14.14.14.6.6.7.cmml"><mrow id="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1" xref="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.cmml"><mrow id="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.2.2" xref="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.2.3.cmml"><mrow id="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1" xref="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.2" xref="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.2a" xref="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><msubsup id="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">p</mi><mo id="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.1" xref="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S2.E4.2.m2.10.10.10.2.2.2.2.4" xref="S2.E4.2.m2.10.10.10.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E4.2.m2.9.9.9.1.1.1.1.1" xref="S2.E4.2.m2.9.9.9.1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.E4.2.m2.10.10.10.2.2.2.2.4.1" xref="S2.E4.2.m2.10.10.10.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E4.2.m2.10.10.10.2.2.2.2.2" xref="S2.E4.2.m2.10.10.10.2.2.2.2.2.cmml">t</mi></mrow><mrow id="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">P</mi><mo id="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.2.2.3.3" 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id="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.3.3.cmml">L</mi></msubsup></mrow><mo id="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.2.2.3" xref="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.2.2.2" xref="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.2.2.2.cmml"><mo id="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.2.2.2.1" rspace="0.167em" xref="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.2.2.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.2.2.2.2" xref="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.2.2.2.2.cmml">i</mi></mrow></mrow><mo id="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.3" xref="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.3.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.4" xref="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.4.cmml">𝒩</mi></mrow><mo id="S2.E4.2.m2.14.14.14.6.6.6.3" xref="S2.E4.2.m2.14.14.14.6.6.7a.cmml">,</mo><mrow id="S2.E4.2.m2.14.14.14.6.6.6.2" xref="S2.E4.2.m2.14.14.14.6.6.6.2.cmml"><mrow id="S2.E4.2.m2.14.14.14.6.6.6.2.2" xref="S2.E4.2.m2.14.14.14.6.6.6.2.2.cmml"><mo id="S2.E4.2.m2.14.14.14.6.6.6.2.2.1" rspace="0.167em" xref="S2.E4.2.m2.14.14.14.6.6.6.2.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S2.E4.2.m2.14.14.14.6.6.6.2.2.2" xref="S2.E4.2.m2.14.14.14.6.6.6.2.2.2.cmml">t</mi></mrow><mo id="S2.E4.2.m2.14.14.14.6.6.6.2.1" xref="S2.E4.2.m2.14.14.14.6.6.6.2.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E4.2.m2.14.14.14.6.6.6.2.3" xref="S2.E4.2.m2.14.14.14.6.6.6.2.3.cmml">𝒯</mi></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E4.2.m2.14b"><matrix id="S2.E4.2.m2.14.14.cmml" xref="S2.E4.2.m2.14.14"><matrixrow id="S2.E4.2.m2.14.14a.cmml" xref="S2.E4.2.m2.14.14"><apply id="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.cmml" xref="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6"><eq id="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.7.cmml" xref="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.7"></eq><apply id="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.8.cmml" xref="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.8.1.cmml" xref="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.8">subscript</csymbol><ci id="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.8.2.cmml" xref="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.8.2">𝑝</ci><list id="S2.E4.2.m2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E4.2.m2.2.2.2.2.2.2.2.4"><ci id="S2.E4.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E4.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S2.E4.2.m2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E4.2.m2.2.2.2.2.2.2.2.2">𝑡</ci></list></apply><apply id="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.9.cmml" xref="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.9"><plus id="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.9.1.cmml" xref="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.9.1"></plus><apply id="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.9.2.cmml" xref="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.9.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.9.2.1.cmml" xref="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.9.2">superscript</csymbol><apply id="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.9.2.2.cmml" xref="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.9.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.9.2.2.1.cmml" xref="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.9.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.9.2.2.2.cmml" xref="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.9.2.2.2">𝑝</ci><list id="S2.E4.2.m2.4.4.4.4.4.4.2.3.cmml" xref="S2.E4.2.m2.4.4.4.4.4.4.2.4"><ci id="S2.E4.2.m2.3.3.3.3.3.3.1.1.cmml" xref="S2.E4.2.m2.3.3.3.3.3.3.1.1">𝑖</ci><ci id="S2.E4.2.m2.4.4.4.4.4.4.2.2.cmml" xref="S2.E4.2.m2.4.4.4.4.4.4.2.2">𝑡</ci></list></apply><ci id="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.9.2.3.cmml" xref="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.9.2.3">𝐺</ci></apply><apply id="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.9.3.cmml" xref="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.9.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.9.3.1.cmml" xref="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.9.3">superscript</csymbol><apply id="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.9.3.2.cmml" xref="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.9.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.9.3.2.1.cmml" xref="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.9.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.9.3.2.2.cmml" xref="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.9.3.2.2">𝑝</ci><list id="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.6.2.3.cmml" xref="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.6.2.4"><ci id="S2.E4.2.m2.5.5.5.5.5.5.1.1.cmml" xref="S2.E4.2.m2.5.5.5.5.5.5.1.1">𝑖</ci><ci id="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.6.2.2.cmml" xref="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.6.2.2">𝑡</ci></list></apply><apply id="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.9.3.3.cmml" xref="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.9.3.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.9.3.3.1.cmml" xref="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.9.3.3">limit-from</csymbol><ci id="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.9.3.3.2.cmml" xref="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.9.3.3.2">𝐵</ci><plus id="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.9.3.3.3.cmml" xref="S2.E4.2.m2.6.6.6.6.6.9.3.3.3"></plus></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.E4.2.m2.8.8.8.8.2.cmml" xref="S2.E4.2.m2.8.8.8.8.2"><minus id="S2.E4.2.m2.8.8.8.8.2.3.cmml" xref="S2.E4.2.m2.8.8.8.8.2"></minus><apply id="S2.E4.2.m2.8.8.8.8.2.4.cmml" xref="S2.E4.2.m2.8.8.8.8.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E4.2.m2.8.8.8.8.2.4.1.cmml" xref="S2.E4.2.m2.8.8.8.8.2.4">superscript</csymbol><apply id="S2.E4.2.m2.8.8.8.8.2.4.2.cmml" xref="S2.E4.2.m2.8.8.8.8.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E4.2.m2.8.8.8.8.2.4.2.1.cmml" xref="S2.E4.2.m2.8.8.8.8.2.4">subscript</csymbol><ci id="S2.E4.2.m2.8.8.8.8.2.4.2.2.cmml" xref="S2.E4.2.m2.8.8.8.8.2.4.2.2">𝑝</ci><list id="S2.E4.2.m2.8.8.8.8.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E4.2.m2.8.8.8.8.2.2.2.4"><ci id="S2.E4.2.m2.7.7.7.7.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E4.2.m2.7.7.7.7.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S2.E4.2.m2.8.8.8.8.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E4.2.m2.8.8.8.8.2.2.2.2">𝑡</ci></list></apply><apply id="S2.E4.2.m2.8.8.8.8.2.4.3.cmml" xref="S2.E4.2.m2.8.8.8.8.2.4.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.E4.2.m2.8.8.8.8.2.4.3.1.cmml" xref="S2.E4.2.m2.8.8.8.8.2.4.3">limit-from</csymbol><ci id="S2.E4.2.m2.8.8.8.8.2.4.3.2.cmml" xref="S2.E4.2.m2.8.8.8.8.2.4.3.2">𝐵</ci><minus id="S2.E4.2.m2.8.8.8.8.2.4.3.3.cmml" xref="S2.E4.2.m2.8.8.8.8.2.4.3.3"></minus></apply></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="S2.E4.2.m2.14.14b.cmml" xref="S2.E4.2.m2.14.14"><cerror id="S2.E4.2.m2.14.14c.cmml" xref="S2.E4.2.m2.14.14"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E4.2.m2.14.14d.cmml" xref="S2.E4.2.m2.14.14">missing-subexpression</csymbol></cerror><apply id="S2.E4.2.m2.14.14.14.6.6.7.cmml" xref="S2.E4.2.m2.14.14.14.6.6.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E4.2.m2.14.14.14.6.6.7a.cmml" xref="S2.E4.2.m2.14.14.14.6.6.6.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.cmml" xref="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1"><in id="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.3.cmml" xref="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.3"></in><list id="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.2.3.cmml" xref="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.2.2"><apply id="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1"><minus id="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.2"><plus id="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.2"></plus><apply id="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2"><ci id="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.1">~</ci><ci id="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝑝</ci></apply><list id="S2.E4.2.m2.10.10.10.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E4.2.m2.10.10.10.2.2.2.2.4"><ci id="S2.E4.2.m2.9.9.9.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E4.2.m2.9.9.9.1.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S2.E4.2.m2.10.10.10.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E4.2.m2.10.10.10.2.2.2.2.2">𝑡</ci></list></apply><apply id="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.2.2.3"><times id="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑃</ci><ci id="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑉</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.3.2.2"><ci id="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.3.2.2.1">~</ci><ci id="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑝</ci></apply><list id="S2.E4.2.m2.12.12.12.4.4.4.2.3.cmml" xref="S2.E4.2.m2.12.12.12.4.4.4.2.4"><ci id="S2.E4.2.m2.11.11.11.3.3.3.1.1.cmml" xref="S2.E4.2.m2.11.11.11.3.3.3.1.1">𝑖</ci><ci id="S2.E4.2.m2.12.12.12.4.4.4.2.2.cmml" xref="S2.E4.2.m2.12.12.12.4.4.4.2.2">𝑡</ci></list></apply><ci id="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.3.3">𝐿</ci></apply></apply><apply id="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.2.2.2.1">for-all</csymbol><ci id="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.2.2.2.2">𝑖</ci></apply></list><ci id="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.4.cmml" xref="S2.E4.2.m2.13.13.13.5.5.5.1.4">𝒩</ci></apply><apply id="S2.E4.2.m2.14.14.14.6.6.6.2.cmml" xref="S2.E4.2.m2.14.14.14.6.6.6.2"><in id="S2.E4.2.m2.14.14.14.6.6.6.2.1.cmml" xref="S2.E4.2.m2.14.14.14.6.6.6.2.1"></in><apply id="S2.E4.2.m2.14.14.14.6.6.6.2.2.cmml" xref="S2.E4.2.m2.14.14.14.6.6.6.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.E4.2.m2.14.14.14.6.6.6.2.2.1.cmml" xref="S2.E4.2.m2.14.14.14.6.6.6.2.2.1">for-all</csymbol><ci id="S2.E4.2.m2.14.14.14.6.6.6.2.2.2.cmml" xref="S2.E4.2.m2.14.14.14.6.6.6.2.2.2">𝑡</ci></apply><ci id="S2.E4.2.m2.14.14.14.6.6.6.2.3.cmml" xref="S2.E4.2.m2.14.14.14.6.6.6.2.3">𝒯</ci></apply></apply></matrixrow></matrix></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E4.2.m2.14c">\displaystyle\begin{aligned} p_{i,t}=p_{i,t}^{G}+p_{i,t}^{B+}&-p_{i,t}^{B-}\\ &+\tilde{p}_{i,t}^{PV}-\tilde{p}_{i,t}^{L},\forall i\in\mathcal{N},\forall t% \in\mathcal{T}\end{aligned}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E4.2.m2.14d">start_ROW start_CELL italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_t end_POSTSUBSCRIPT = italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_G end_POSTSUPERSCRIPT + italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_B + end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL - italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_B - end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL + over~ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_P italic_V end_POSTSUPERSCRIPT - over~ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_L end_POSTSUPERSCRIPT , ∀ italic_i ∈ caligraphic_N , ∀ italic_t ∈ caligraphic_T end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(4b)</span></td> </tr> </tbody> </table> </div> </section> <section class="ltx_subsubsection" id="S2.SS1.SSS5"> <h4 class="ltx_title ltx_title_subsubsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsubsection"><span class="ltx_text" id="S2.SS1.SSS5.4.1.1">II-A</span>5 </span>Network security constraints</h4> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.SSS5.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.SSS5.p1.1">The maximum power flow limits are enforced by constraints (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S2.E5" title="In II-A5 Network security constraints ‣ II-A First-stage Economic Dispatch Plan ‣ II Mathematical Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a>).</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E5"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="-\overline{p}^{l}\leq p_{ij,t}\leq\overline{p}^{l},\forall ij\in{\cal L},% \forall t\in{\cal T}\vspace{-0.95em}" class="ltx_Math" display="block" id="S2.E5.m1.4"><semantics id="S2.E5.m1.4a"><mrow id="S2.E5.m1.4.4.2" xref="S2.E5.m1.4.4.3.cmml"><mrow id="S2.E5.m1.3.3.1.1" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.E5.m1.3.3.1.1.2" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E5.m1.3.3.1.1.2a" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.2.cmml">−</mo><msup id="S2.E5.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.E5.m1.3.3.1.1.2.2.2" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E5.m1.3.3.1.1.2.2.2.2" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml">p</mi><mo id="S2.E5.m1.3.3.1.1.2.2.2.1" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.cmml">¯</mo></mover><mi id="S2.E5.m1.3.3.1.1.2.2.3" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml">l</mi></msup></mrow><mo id="S2.E5.m1.3.3.1.1.3" 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, ∀ italic_i italic_j ∈ caligraphic_L , ∀ italic_t ∈ caligraphic_T</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(5)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </section> </section> <section class="ltx_subsection" id="S2.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection"><span class="ltx_text" id="S2.SS2.4.1.1">II-B</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.SS2.5.2">Second-stage Recourse Control Stage</span> </h3> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p1.4">Decisions on the recourse actions involving the active and reactive power outputs of DGs (<math alttext="\hat{p}_{i,t}^{G}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.1.m1.2"><semantics id="S2.SS2.p1.1.m1.2a"><msubsup id="S2.SS2.p1.1.m1.2.3" xref="S2.SS2.p1.1.m1.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S2.SS2.p1.1.m1.2.3.2.2" xref="S2.SS2.p1.1.m1.2.3.2.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.1.m1.2.3.2.2.2" xref="S2.SS2.p1.1.m1.2.3.2.2.2.cmml">p</mi><mo id="S2.SS2.p1.1.m1.2.3.2.2.1" xref="S2.SS2.p1.1.m1.2.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S2.SS2.p1.1.m1.2.2.2.4" xref="S2.SS2.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.SS2.p1.1.m1.2.2.2.4.1" xref="S2.SS2.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2" xref="S2.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml">t</mi></mrow><mi id="S2.SS2.p1.1.m1.2.3.3" xref="S2.SS2.p1.1.m1.2.3.3.cmml">G</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.1.m1.2b"><apply id="S2.SS2.p1.1.m1.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.1.m1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.1.m1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S2.SS2.p1.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.1.m1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p1.1.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.1.m1.2.3">subscript</csymbol><apply id="S2.SS2.p1.1.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.1.m1.2.3.2.2"><ci id="S2.SS2.p1.1.m1.2.3.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.1.m1.2.3.2.2.1">^</ci><ci id="S2.SS2.p1.1.m1.2.3.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.1.m1.2.3.2.2.2">𝑝</ci></apply><list id="S2.SS2.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.1.m1.2.2.2.4"><ci id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S2.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.1.m1.2.2.2.2">𝑡</ci></list></apply><ci id="S2.SS2.p1.1.m1.2.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.1.m1.2.3.3">𝐺</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.1.m1.2c">\hat{p}_{i,t}^{G}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.1.m1.2d">over^ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_G end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>/<math alttext="\hat{q}_{i,t}^{G}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.2.m2.2"><semantics id="S2.SS2.p1.2.m2.2a"><msubsup id="S2.SS2.p1.2.m2.2.3" xref="S2.SS2.p1.2.m2.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S2.SS2.p1.2.m2.2.3.2.2" xref="S2.SS2.p1.2.m2.2.3.2.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.2.m2.2.3.2.2.2" xref="S2.SS2.p1.2.m2.2.3.2.2.2.cmml">q</mi><mo id="S2.SS2.p1.2.m2.2.3.2.2.1" xref="S2.SS2.p1.2.m2.2.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S2.SS2.p1.2.m2.2.2.2.4" xref="S2.SS2.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.SS2.p1.2.m2.2.2.2.4.1" xref="S2.SS2.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.SS2.p1.2.m2.2.2.2.2" xref="S2.SS2.p1.2.m2.2.2.2.2.cmml">t</mi></mrow><mi id="S2.SS2.p1.2.m2.2.3.3" xref="S2.SS2.p1.2.m2.2.3.3.cmml">G</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.2.m2.2b"><apply id="S2.SS2.p1.2.m2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p1.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.2.3">superscript</csymbol><apply id="S2.SS2.p1.2.m2.2.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p1.2.m2.2.3.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.2.3">subscript</csymbol><apply id="S2.SS2.p1.2.m2.2.3.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.2.3.2.2"><ci id="S2.SS2.p1.2.m2.2.3.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.2.3.2.2.1">^</ci><ci id="S2.SS2.p1.2.m2.2.3.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.2.3.2.2.2">𝑞</ci></apply><list id="S2.SS2.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.2.2.2.4"><ci id="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S2.SS2.p1.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.2.2.2.2">𝑡</ci></list></apply><ci id="S2.SS2.p1.2.m2.2.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.2.3.3">𝐺</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.2.m2.2c">\hat{q}_{i,t}^{G}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.2.m2.2d">over^ start_ARG italic_q end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_G end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>) are defined based on the real realizations of renewable energy (<math alttext="p_{i,t}^{PV}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.3.m3.2"><semantics id="S2.SS2.p1.3.m3.2a"><msubsup id="S2.SS2.p1.3.m3.2.3" xref="S2.SS2.p1.3.m3.2.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.3.m3.2.3.2.2" xref="S2.SS2.p1.3.m3.2.3.2.2.cmml">p</mi><mrow id="S2.SS2.p1.3.m3.2.2.2.4" xref="S2.SS2.p1.3.m3.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.SS2.p1.3.m3.2.2.2.4.1" xref="S2.SS2.p1.3.m3.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2" xref="S2.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.cmml">t</mi></mrow><mrow id="S2.SS2.p1.3.m3.2.3.3" xref="S2.SS2.p1.3.m3.2.3.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.3.m3.2.3.3.2" xref="S2.SS2.p1.3.m3.2.3.3.2.cmml">P</mi><mo id="S2.SS2.p1.3.m3.2.3.3.1" xref="S2.SS2.p1.3.m3.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS2.p1.3.m3.2.3.3.3" xref="S2.SS2.p1.3.m3.2.3.3.3.cmml">V</mi></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.3.m3.2b"><apply id="S2.SS2.p1.3.m3.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.3.m3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p1.3.m3.2.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.3.m3.2.3">superscript</csymbol><apply id="S2.SS2.p1.3.m3.2.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.3.m3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p1.3.m3.2.3.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.3.m3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p1.3.m3.2.3.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.3.m3.2.3.2.2">𝑝</ci><list id="S2.SS2.p1.3.m3.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.3.m3.2.2.2.4"><ci id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S2.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2">𝑡</ci></list></apply><apply id="S2.SS2.p1.3.m3.2.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.3.m3.2.3.3"><times id="S2.SS2.p1.3.m3.2.3.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.3.m3.2.3.3.1"></times><ci id="S2.SS2.p1.3.m3.2.3.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.3.m3.2.3.3.2">𝑃</ci><ci id="S2.SS2.p1.3.m3.2.3.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.3.m3.2.3.3.3">𝑉</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.3.m3.2c">p_{i,t}^{PV}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.3.m3.2d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_P italic_V end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>) and load demands (<math alttext="p_{i,t}^{L}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.4.m4.2"><semantics id="S2.SS2.p1.4.m4.2a"><msubsup id="S2.SS2.p1.4.m4.2.3" xref="S2.SS2.p1.4.m4.2.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.4.m4.2.3.2.2" xref="S2.SS2.p1.4.m4.2.3.2.2.cmml">p</mi><mrow id="S2.SS2.p1.4.m4.2.2.2.4" xref="S2.SS2.p1.4.m4.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.4.m4.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p1.4.m4.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.SS2.p1.4.m4.2.2.2.4.1" xref="S2.SS2.p1.4.m4.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.SS2.p1.4.m4.2.2.2.2" xref="S2.SS2.p1.4.m4.2.2.2.2.cmml">t</mi></mrow><mi id="S2.SS2.p1.4.m4.2.3.3" xref="S2.SS2.p1.4.m4.2.3.3.cmml">L</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.4.m4.2b"><apply id="S2.SS2.p1.4.m4.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.4.m4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p1.4.m4.2.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.4.m4.2.3">superscript</csymbol><apply id="S2.SS2.p1.4.m4.2.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.4.m4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p1.4.m4.2.3.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.4.m4.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p1.4.m4.2.3.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.4.m4.2.3.2.2">𝑝</ci><list id="S2.SS2.p1.4.m4.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.4.m4.2.2.2.4"><ci id="S2.SS2.p1.4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.4.m4.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S2.SS2.p1.4.m4.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.4.m4.2.2.2.2">𝑡</ci></list></apply><ci id="S2.SS2.p1.4.m4.2.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.4.m4.2.3.3">𝐿</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.4.m4.2c">p_{i,t}^{L}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.4.m4.2d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_L end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>), to guarantee the minimal recourse control cost and the system security. The proposed model aims to enhance operational flexibility and coordination, ensuring a less-conservative strategy under actual operating conditions.</p> </div> <section class="ltx_subsubsection" id="S2.SS2.SSS1"> <h4 class="ltx_title ltx_title_subsubsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsubsection"><span class="ltx_text" id="S2.SS2.SSS1.4.1.1">II-B</span>1 </span>Objective function</h4> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.SSS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.SSS1.p1.1">The recourse control cost <math alttext="(\Lambda_{2})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.1a"><mrow id="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.1" xref="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml">Λ</mi><mn id="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.1b"><apply id="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.1.1.2">Λ</ci><cn id="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.1c">(\Lambda_{2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.1d">( roman_Λ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> is determined by the cost of recourse active power output of the DGs and the cost of additional electricity purchased from the main grid.</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx4"> <tbody id="S2.E6"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"><math alttext="\displaystyle\min\Lambda_{2}=\sum_{t\in{\cal T}}\left(\sum_{i\in{\cal G}}\hat{% c}_{i}\hat{p}_{i,t}^{G}+\hat{d}_{t}(\hat{p}_{t}^{S}-p_{t}^{S})\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E6.m1.3"><semantics id="S2.E6.m1.3a"><mrow id="S2.E6.m1.3.3" xref="S2.E6.m1.3.3.cmml"><mrow id="S2.E6.m1.3.3.3" xref="S2.E6.m1.3.3.3.cmml"><mi id="S2.E6.m1.3.3.3.1" xref="S2.E6.m1.3.3.3.1.cmml">min</mi><mo id="S2.E6.m1.3.3.3a" lspace="0.167em" xref="S2.E6.m1.3.3.3.cmml">⁡</mo><msub id="S2.E6.m1.3.3.3.2" xref="S2.E6.m1.3.3.3.2.cmml"><mi id="S2.E6.m1.3.3.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.E6.m1.3.3.3.2.2.cmml">Λ</mi><mn id="S2.E6.m1.3.3.3.2.3" xref="S2.E6.m1.3.3.3.2.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S2.E6.m1.3.3.2" xref="S2.E6.m1.3.3.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.E6.m1.3.3.1" xref="S2.E6.m1.3.3.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E6.m1.3.3.1.2" xref="S2.E6.m1.3.3.1.2.cmml"><munder id="S2.E6.m1.3.3.1.2a" xref="S2.E6.m1.3.3.1.2.cmml"><mo id="S2.E6.m1.3.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="S2.E6.m1.3.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.E6.m1.3.3.1.2.3" xref="S2.E6.m1.3.3.1.2.3.cmml"><mi id="S2.E6.m1.3.3.1.2.3.2" xref="S2.E6.m1.3.3.1.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S2.E6.m1.3.3.1.2.3.1" xref="S2.E6.m1.3.3.1.2.3.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E6.m1.3.3.1.2.3.3" xref="S2.E6.m1.3.3.1.2.3.3.cmml">𝒯</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml"><munder id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.1a" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.2" movablelimits="false" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.3" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.3.cmml"><mi id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.3.2" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.3.1" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.3.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.3.3" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.3.3.cmml">𝒢</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml"><msub id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.2.2" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml">c</mi><mo id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.2.1" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.1" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.2.2" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml"><mi id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.2.2.2" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.2.2.2.cmml">p</mi><mo id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.2.2.1" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S2.E6.m1.2.2.2.4" xref="S2.E6.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E6.m1.1.1.1.1" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.E6.m1.2.2.2.4.1" xref="S2.E6.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E6.m1.2.2.2.2" xref="S2.E6.m1.2.2.2.2.cmml">t</mi></mrow><mi id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">G</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">d</mi><mo id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">p</mi><mo id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">t</mi><mi id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">S</mi></msubsup><mo id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msubsup id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">p</mi><mi id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">t</mi><mi id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">S</mi></msubsup></mrow><mo id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E6.m1.3b"><apply id="S2.E6.m1.3.3.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3"><eq id="S2.E6.m1.3.3.2.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.2"></eq><apply id="S2.E6.m1.3.3.3.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.3"><min id="S2.E6.m1.3.3.3.1.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.3.1"></min><apply id="S2.E6.m1.3.3.3.2.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E6.m1.3.3.3.2.1.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E6.m1.3.3.3.2.2.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.3.2.2">Λ</ci><cn id="S2.E6.m1.3.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E6.m1.3.3.3.2.3">2</cn></apply></apply><apply id="S2.E6.m1.3.3.1.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1"><apply id="S2.E6.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E6.m1.3.3.1.2.1.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.2">subscript</csymbol><sum id="S2.E6.m1.3.3.1.2.2.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.2.2"></sum><apply id="S2.E6.m1.3.3.1.2.3.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.2.3"><in id="S2.E6.m1.3.3.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.2.3.1"></in><ci id="S2.E6.m1.3.3.1.2.3.2.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.2.3.2">𝑡</ci><ci id="S2.E6.m1.3.3.1.2.3.3.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.2.3.3">𝒯</ci></apply></apply><apply id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1"><plus id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.2"></plus><apply id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3"><apply id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.2"></sum><apply id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.3.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.3"><in id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.3.1.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.3.1"></in><ci id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.3.2.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.3.2">𝑖</ci><ci id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.3.3.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.3.3">𝒢</ci></apply></apply><apply id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.2"><times id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.1"></times><apply id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><apply id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.2"><ci id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.2.1">^</ci><ci id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.2.2">𝑐</ci></apply><ci id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3">superscript</csymbol><apply id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><apply id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.2.2"><ci id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.2.2.1.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.2.2.1">^</ci><ci id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.2.2.2.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.2.2.2">𝑝</ci></apply><list id="S2.E6.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E6.m1.2.2.2.4"><ci id="S2.E6.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S2.E6.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E6.m1.2.2.2.2">𝑡</ci></list></apply><ci id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.3">𝐺</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1"><times id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.1">^</ci><ci id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑑</ci></apply><ci id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply><apply id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><ci id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1">^</ci><ci id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝑝</ci></apply><ci id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑆</ci></apply><apply id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑝</ci><ci id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑆</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E6.m1.3c">\displaystyle\min\Lambda_{2}=\sum_{t\in{\cal T}}\left(\sum_{i\in{\cal G}}\hat{% c}_{i}\hat{p}_{i,t}^{G}+\hat{d}_{t}(\hat{p}_{t}^{S}-p_{t}^{S})\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E6.m1.3d">roman_min roman_Λ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t ∈ caligraphic_T end_POSTSUBSCRIPT ( ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i ∈ caligraphic_G end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_c end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_G end_POSTSUPERSCRIPT + over^ start_ARG italic_d end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( over^ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_S end_POSTSUPERSCRIPT - italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_S end_POSTSUPERSCRIPT ) )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(6)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </section> <section class="ltx_subsubsection" id="S2.SS2.SSS2"> <h4 class="ltx_title ltx_title_subsubsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsubsection"><span class="ltx_text" id="S2.SS2.SSS2.4.1.1">II-B</span>2 </span>DGs recourse constraints</h4> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.SSS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.SSS2.p1.1">The DGs constraints are composed of the recourse capability limits (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S2.E7.1" title="In 7 ‣ II-B2 DGs recourse constraints ‣ II-B Second-stage Recourse Control Stage ‣ II Mathematical Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7a</span></a>), the reactive output limits (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S2.E7.2" title="In 7 ‣ II-B2 DGs recourse constraints ‣ II-B Second-stage Recourse Control Stage ‣ II Mathematical Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7b</span></a>), the active output after recourse control (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S2.E7.3" title="In 7 ‣ II-B2 DGs recourse constraints ‣ II-B Second-stage Recourse Control Stage ‣ II Mathematical Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7c</span></a>) as well as the ramp up/down limits of the active output after recourse control (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S2.E7.4" title="In 7 ‣ II-B2 DGs recourse constraints ‣ II-B Second-stage Recourse Control Stage ‣ II Mathematical Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7d</span></a>)–(<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S2.E7.5" title="In 7 ‣ II-B2 DGs recourse constraints ‣ II-B Second-stage Recourse Control Stage ‣ II Mathematical Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7e</span></a>).</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_table" id="S2.E7"> <tbody> <tr class="ltx_eqn_row" id="S6.EGx5"><td class="ltx_eqn_cell" colspan="5"></td></tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S2.E7.1"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"><math alttext="\displaystyle\underline{\hat{p}}_{i}^{G}\leq\hat{p}_{i,t}^{G}\leq\overline{% \hat{p}}_{i}^{G},\forall i\in{\cal G},\forall t\in{\cal T}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E7.1.m2.4"><semantics id="S2.E7.1.m2.4a"><mrow id="S2.E7.1.m2.4.4.2" xref="S2.E7.1.m2.4.4.3.cmml"><mrow id="S2.E7.1.m2.3.3.1.1" xref="S2.E7.1.m2.3.3.1.1.cmml"><msubsup id="S2.E7.1.m2.3.3.1.1.2" xref="S2.E7.1.m2.3.3.1.1.2.cmml"><munderover accent="true" accentunder="true" id="S2.E7.1.m2.3.3.1.1.2.2.2" xref="S2.E7.1.m2.3.3.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E7.1.m2.3.3.1.1.2.2.2.2.2" xref="S2.E7.1.m2.3.3.1.1.2.2.2.2.2.cmml">p</mi><mo id="S2.E7.1.m2.3.3.1.1.2.2.2.1" mathsize="142%" xref="S2.E7.1.m2.3.3.1.1.2.2.2.1.cmml">¯</mo><mo id="S2.E7.1.m2.3.3.1.1.2.2.2.2.1" xref="S2.E7.1.m2.3.3.1.1.2.2.2.2.1.cmml">^</mo></munderover><mi id="S2.E7.1.m2.3.3.1.1.2.2.3" xref="S2.E7.1.m2.3.3.1.1.2.2.3.cmml">i</mi><mi id="S2.E7.1.m2.3.3.1.1.2.3" xref="S2.E7.1.m2.3.3.1.1.2.3.cmml">G</mi></msubsup><mo id="S2.E7.1.m2.3.3.1.1.3" xref="S2.E7.1.m2.3.3.1.1.3.cmml">≤</mo><msubsup id="S2.E7.1.m2.3.3.1.1.4" xref="S2.E7.1.m2.3.3.1.1.4.cmml"><mover accent="true" id="S2.E7.1.m2.3.3.1.1.4.2.2" xref="S2.E7.1.m2.3.3.1.1.4.2.2.cmml"><mi id="S2.E7.1.m2.3.3.1.1.4.2.2.2" xref="S2.E7.1.m2.3.3.1.1.4.2.2.2.cmml">p</mi><mo id="S2.E7.1.m2.3.3.1.1.4.2.2.1" xref="S2.E7.1.m2.3.3.1.1.4.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S2.E7.1.m2.2.2.2.4" xref="S2.E7.1.m2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E7.1.m2.1.1.1.1" xref="S2.E7.1.m2.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.E7.1.m2.2.2.2.4.1" xref="S2.E7.1.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E7.1.m2.2.2.2.2" xref="S2.E7.1.m2.2.2.2.2.cmml">t</mi></mrow><mi id="S2.E7.1.m2.3.3.1.1.4.3" xref="S2.E7.1.m2.3.3.1.1.4.3.cmml">G</mi></msubsup><mo id="S2.E7.1.m2.3.3.1.1.5" xref="S2.E7.1.m2.3.3.1.1.5.cmml">≤</mo><msubsup id="S2.E7.1.m2.3.3.1.1.6" xref="S2.E7.1.m2.3.3.1.1.6.cmml"><mover accent="true" id="S2.E7.1.m2.3.3.1.1.6.2.2" xref="S2.E7.1.m2.3.3.1.1.6.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.E7.1.m2.3.3.1.1.6.2.2.2" xref="S2.E7.1.m2.3.3.1.1.6.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E7.1.m2.3.3.1.1.6.2.2.2.2" 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start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_G end_POSTSUPERSCRIPT ≤ over¯ start_ARG over^ start_ARG italic_p end_ARG end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_G end_POSTSUPERSCRIPT , ∀ italic_i ∈ caligraphic_G , ∀ italic_t ∈ caligraphic_T</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(7a)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S2.E7.2"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"><math alttext="\displaystyle\underline{\hat{q}}_{i}^{G}\leq\hat{q}_{i,t}^{G}\leq\overline{% \hat{q}}_{i}^{G},\forall i\in{\cal G},\forall t\in{\cal T}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E7.2.m2.4"><semantics id="S2.E7.2.m2.4a"><mrow id="S2.E7.2.m2.4.4.2" xref="S2.E7.2.m2.4.4.3.cmml"><mrow id="S2.E7.2.m2.3.3.1.1" xref="S2.E7.2.m2.3.3.1.1.cmml"><msubsup id="S2.E7.2.m2.3.3.1.1.2" xref="S2.E7.2.m2.3.3.1.1.2.cmml"><munderover accent="true" accentunder="true" id="S2.E7.2.m2.3.3.1.1.2.2.2" xref="S2.E7.2.m2.3.3.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E7.2.m2.3.3.1.1.2.2.2.2.2" xref="S2.E7.2.m2.3.3.1.1.2.2.2.2.2.cmml">q</mi><mo id="S2.E7.2.m2.3.3.1.1.2.2.2.1" mathsize="142%" xref="S2.E7.2.m2.3.3.1.1.2.2.2.1.cmml">¯</mo><mo id="S2.E7.2.m2.3.3.1.1.2.2.2.2.1" xref="S2.E7.2.m2.3.3.1.1.2.2.2.2.1.cmml">^</mo></munderover><mi id="S2.E7.2.m2.3.3.1.1.2.2.3" xref="S2.E7.2.m2.3.3.1.1.2.2.3.cmml">i</mi><mi id="S2.E7.2.m2.3.3.1.1.2.3" xref="S2.E7.2.m2.3.3.1.1.2.3.cmml">G</mi></msubsup><mo id="S2.E7.2.m2.3.3.1.1.3" xref="S2.E7.2.m2.3.3.1.1.3.cmml">≤</mo><msubsup id="S2.E7.2.m2.3.3.1.1.4" 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start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_G end_POSTSUPERSCRIPT ≤ over¯ start_ARG over^ start_ARG italic_q end_ARG end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_G end_POSTSUPERSCRIPT , ∀ italic_i ∈ caligraphic_G , ∀ italic_t ∈ caligraphic_T</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(7b)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S2.E7.3"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"><math alttext="\displaystyle\widehat{p}_{i,t}^{G}=p_{i,t}^{G}+\hat{p}_{i,t}^{G},\forall i\in{% \cal G},\forall t\in{\cal T}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E7.3.m2.8"><semantics id="S2.E7.3.m2.8a"><mrow id="S2.E7.3.m2.8.8.2" xref="S2.E7.3.m2.8.8.3.cmml"><mrow id="S2.E7.3.m2.7.7.1.1" xref="S2.E7.3.m2.7.7.1.1.cmml"><msubsup id="S2.E7.3.m2.7.7.1.1.2" xref="S2.E7.3.m2.7.7.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.E7.3.m2.7.7.1.1.2.2.2" xref="S2.E7.3.m2.7.7.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E7.3.m2.7.7.1.1.2.2.2.2" xref="S2.E7.3.m2.7.7.1.1.2.2.2.2.cmml">p</mi><mo id="S2.E7.3.m2.7.7.1.1.2.2.2.1" xref="S2.E7.3.m2.7.7.1.1.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S2.E7.3.m2.2.2.2.4" xref="S2.E7.3.m2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E7.3.m2.1.1.1.1" xref="S2.E7.3.m2.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.E7.3.m2.2.2.2.4.1" xref="S2.E7.3.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E7.3.m2.2.2.2.2" xref="S2.E7.3.m2.2.2.2.2.cmml">t</mi></mrow><mi id="S2.E7.3.m2.7.7.1.1.2.3" xref="S2.E7.3.m2.7.7.1.1.2.3.cmml">G</mi></msubsup><mo id="S2.E7.3.m2.7.7.1.1.1" xref="S2.E7.3.m2.7.7.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.E7.3.m2.7.7.1.1.3" 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class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"><math alttext="\displaystyle\widehat{p}_{i,t}^{G}-\widehat{p}_{i,t-1}^{G}\leq RU_{i},\forall i% \in{\cal G},\forall t\in{\cal T}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E7.4.m2.6"><semantics id="S2.E7.4.m2.6a"><mrow id="S2.E7.4.m2.6.6.2" xref="S2.E7.4.m2.6.6.3.cmml"><mrow id="S2.E7.4.m2.5.5.1.1" xref="S2.E7.4.m2.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S2.E7.4.m2.5.5.1.1.2" xref="S2.E7.4.m2.5.5.1.1.2.cmml"><msubsup id="S2.E7.4.m2.5.5.1.1.2.2" xref="S2.E7.4.m2.5.5.1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.E7.4.m2.5.5.1.1.2.2.2.2" xref="S2.E7.4.m2.5.5.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E7.4.m2.5.5.1.1.2.2.2.2.2" xref="S2.E7.4.m2.5.5.1.1.2.2.2.2.2.cmml">p</mi><mo id="S2.E7.4.m2.5.5.1.1.2.2.2.2.1" xref="S2.E7.4.m2.5.5.1.1.2.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow 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end_POSTSUPERSCRIPT - over^ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_t - 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_G end_POSTSUPERSCRIPT ≤ italic_R italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT , ∀ italic_i ∈ caligraphic_G , ∀ italic_t ∈ caligraphic_T</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(7d)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S2.E7.5"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"><math alttext="\displaystyle\widehat{p}_{i,t-1}^{G}-\widehat{p}_{i,t}^{G}\leq RD_{i},\forall i% \in{\cal G},\forall t\in{\cal T}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E7.5.m2.6"><semantics id="S2.E7.5.m2.6a"><mrow id="S2.E7.5.m2.6.6.2" xref="S2.E7.5.m2.6.6.3.cmml"><mrow id="S2.E7.5.m2.5.5.1.1" xref="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.2" xref="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.2.cmml"><msubsup id="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.2.2" xref="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.2.2.2.2" xref="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.2.2.2.2.2" xref="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.2.2.2.2.2.cmml">p</mi><mo id="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.2.2.2.2.1" xref="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.2.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S2.E7.5.m2.2.2.2.2" xref="S2.E7.5.m2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E7.5.m2.1.1.1.1" xref="S2.E7.5.m2.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.E7.5.m2.2.2.2.2.2" xref="S2.E7.5.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S2.E7.5.m2.2.2.2.2.1" xref="S2.E7.5.m2.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S2.E7.5.m2.2.2.2.2.1.2" xref="S2.E7.5.m2.2.2.2.2.1.2.cmml">t</mi><mo id="S2.E7.5.m2.2.2.2.2.1.1" xref="S2.E7.5.m2.2.2.2.2.1.1.cmml">−</mo><mn id="S2.E7.5.m2.2.2.2.2.1.3" xref="S2.E7.5.m2.2.2.2.2.1.3.cmml">1</mn></mrow></mrow><mi id="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.2.2.3" xref="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.2.2.3.cmml">G</mi></msubsup><mo id="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.2.1" xref="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.2.1.cmml">−</mo><msubsup id="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.2.3" xref="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.2.3.2.2" xref="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.2.3.2.2.cmml"><mi id="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.2.3.2.2.2" xref="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.2.3.2.2.2.cmml">p</mi><mo id="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.2.3.2.2.1" xref="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.2.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S2.E7.5.m2.4.4.2.4" xref="S2.E7.5.m2.4.4.2.3.cmml"><mi id="S2.E7.5.m2.3.3.1.1" xref="S2.E7.5.m2.3.3.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.E7.5.m2.4.4.2.4.1" xref="S2.E7.5.m2.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E7.5.m2.4.4.2.2" xref="S2.E7.5.m2.4.4.2.2.cmml">t</mi></mrow><mi id="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.2.3.3" xref="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.2.3.3.cmml">G</mi></msubsup></mrow><mo id="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.1" xref="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.1.cmml">≤</mo><mrow id="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.3" xref="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.3.2" xref="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.3.2.cmml">R</mi><mo id="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.3.1" xref="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.3.3" xref="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.3.3.2" xref="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.3.3.2.cmml">D</mi><mi id="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.3.3.3" xref="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.3.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S2.E7.5.m2.6.6.2.3" xref="S2.E7.5.m2.6.6.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.E7.5.m2.6.6.2.2.2" xref="S2.E7.5.m2.6.6.2.2.3.cmml"><mrow id="S2.E7.5.m2.6.6.2.2.1.1" xref="S2.E7.5.m2.6.6.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.E7.5.m2.6.6.2.2.1.1.2" xref="S2.E7.5.m2.6.6.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E7.5.m2.6.6.2.2.1.1.2.1" rspace="0.167em" xref="S2.E7.5.m2.6.6.2.2.1.1.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S2.E7.5.m2.6.6.2.2.1.1.2.2" xref="S2.E7.5.m2.6.6.2.2.1.1.2.2.cmml">i</mi></mrow><mo id="S2.E7.5.m2.6.6.2.2.1.1.1" xref="S2.E7.5.m2.6.6.2.2.1.1.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E7.5.m2.6.6.2.2.1.1.3" xref="S2.E7.5.m2.6.6.2.2.1.1.3.cmml">𝒢</mi></mrow><mo id="S2.E7.5.m2.6.6.2.2.2.3" xref="S2.E7.5.m2.6.6.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.E7.5.m2.6.6.2.2.2.2" xref="S2.E7.5.m2.6.6.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S2.E7.5.m2.6.6.2.2.2.2.2" xref="S2.E7.5.m2.6.6.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S2.E7.5.m2.6.6.2.2.2.2.2.1" rspace="0.167em" xref="S2.E7.5.m2.6.6.2.2.2.2.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S2.E7.5.m2.6.6.2.2.2.2.2.2" xref="S2.E7.5.m2.6.6.2.2.2.2.2.2.cmml">t</mi></mrow><mo id="S2.E7.5.m2.6.6.2.2.2.2.1" xref="S2.E7.5.m2.6.6.2.2.2.2.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E7.5.m2.6.6.2.2.2.2.3" xref="S2.E7.5.m2.6.6.2.2.2.2.3.cmml">𝒯</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E7.5.m2.6b"><apply id="S2.E7.5.m2.6.6.3.cmml" xref="S2.E7.5.m2.6.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E7.5.m2.6.6.3a.cmml" xref="S2.E7.5.m2.6.6.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.cmml" xref="S2.E7.5.m2.5.5.1.1"><leq id="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.1.cmml" xref="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.1"></leq><apply id="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.2.cmml" xref="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.2"><minus id="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.2.1"></minus><apply id="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.2.2.2.2"><ci id="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.2.2.2.2.1">^</ci><ci id="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.2.2.2.2.2">𝑝</ci></apply><list id="S2.E7.5.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E7.5.m2.2.2.2.2"><ci id="S2.E7.5.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E7.5.m2.1.1.1.1">𝑖</ci><apply id="S2.E7.5.m2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E7.5.m2.2.2.2.2.1"><minus id="S2.E7.5.m2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E7.5.m2.2.2.2.2.1.1"></minus><ci id="S2.E7.5.m2.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S2.E7.5.m2.2.2.2.2.1.2">𝑡</ci><cn id="S2.E7.5.m2.2.2.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.E7.5.m2.2.2.2.2.1.3">1</cn></apply></list></apply><ci id="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.2.2.3">𝐺</ci></apply><apply id="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.2.3">subscript</csymbol><apply id="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.2.3.2.2"><ci id="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.2.3.2.2.1.cmml" xref="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.2.3.2.2.1">^</ci><ci id="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.2.3.2.2.2.cmml" xref="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.2.3.2.2.2">𝑝</ci></apply><list id="S2.E7.5.m2.4.4.2.3.cmml" xref="S2.E7.5.m2.4.4.2.4"><ci id="S2.E7.5.m2.3.3.1.1.cmml" xref="S2.E7.5.m2.3.3.1.1">𝑖</ci><ci id="S2.E7.5.m2.4.4.2.2.cmml" xref="S2.E7.5.m2.4.4.2.2">𝑡</ci></list></apply><ci id="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.2.3.3">𝐺</ci></apply></apply><apply id="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.3.cmml" xref="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.3"><times id="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.3.1"></times><ci id="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.3.2">𝑅</ci><apply id="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.3.3.2">𝐷</ci><ci id="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.E7.5.m2.5.5.1.1.3.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.E7.5.m2.6.6.2.2.3.cmml" xref="S2.E7.5.m2.6.6.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E7.5.m2.6.6.2.2.3a.cmml" xref="S2.E7.5.m2.6.6.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.E7.5.m2.6.6.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E7.5.m2.6.6.2.2.1.1"><in id="S2.E7.5.m2.6.6.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.E7.5.m2.6.6.2.2.1.1.1"></in><apply id="S2.E7.5.m2.6.6.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.E7.5.m2.6.6.2.2.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.E7.5.m2.6.6.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E7.5.m2.6.6.2.2.1.1.2.1">for-all</csymbol><ci id="S2.E7.5.m2.6.6.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E7.5.m2.6.6.2.2.1.1.2.2">𝑖</ci></apply><ci id="S2.E7.5.m2.6.6.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.E7.5.m2.6.6.2.2.1.1.3">𝒢</ci></apply><apply id="S2.E7.5.m2.6.6.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E7.5.m2.6.6.2.2.2.2"><in id="S2.E7.5.m2.6.6.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E7.5.m2.6.6.2.2.2.2.1"></in><apply id="S2.E7.5.m2.6.6.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E7.5.m2.6.6.2.2.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.E7.5.m2.6.6.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E7.5.m2.6.6.2.2.2.2.2.1">for-all</csymbol><ci id="S2.E7.5.m2.6.6.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E7.5.m2.6.6.2.2.2.2.2.2">𝑡</ci></apply><ci id="S2.E7.5.m2.6.6.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E7.5.m2.6.6.2.2.2.2.3">𝒯</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E7.5.m2.6c">\displaystyle\widehat{p}_{i,t-1}^{G}-\widehat{p}_{i,t}^{G}\leq RD_{i},\forall i% \in{\cal G},\forall t\in{\cal T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E7.5.m2.6d">over^ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_t - 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_G end_POSTSUPERSCRIPT - over^ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_G end_POSTSUPERSCRIPT ≤ italic_R italic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT , ∀ italic_i ∈ caligraphic_G , ∀ italic_t ∈ caligraphic_T</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(7e)</span></td> </tr> </tbody> </table> </div> </section> <section class="ltx_subsubsection" id="S2.SS2.SSS3"> <h4 class="ltx_title ltx_title_subsubsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsubsection"><span class="ltx_text" id="S2.SS2.SSS3.4.1.1">II-B</span>3 </span>Power flow and voltage constraints</h4> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.SSS3.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.SSS3.p1.1">Constraints (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S2.E8.1" title="In 8 ‣ II-B3 Power flow and voltage constraints ‣ II-B Second-stage Recourse Control Stage ‣ II Mathematical Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">8a</span></a>)-(<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S2.E8.2" title="In 8 ‣ II-B3 Power flow and voltage constraints ‣ II-B Second-stage Recourse Control Stage ‣ II Mathematical Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">8b</span></a>) model the active/reactive power balance equations. Constraints (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S2.E8.3" title="In 8 ‣ II-B3 Power flow and voltage constraints ‣ II-B Second-stage Recourse Control Stage ‣ II Mathematical Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">8c</span></a>)-(<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S2.E8.5" title="In 8 ‣ II-B3 Power flow and voltage constraints ‣ II-B Second-stage Recourse Control Stage ‣ II Mathematical Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">8e</span></a>) consider the net active/reactive loads <math alttext="(\hat{p}_{i,t}/\hat{q}_{i,t})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.5"><semantics id="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.5a"><mrow id="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.5.5.1" xref="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.5.5.1.1.cmml"><mo id="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.5.5.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.5.5.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.5.5.1.1" xref="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.5.5.1.1.cmml"><msub id="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.5.5.1.1.2" xref="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.5.5.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.5.5.1.1.2.2" xref="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.5.5.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.5.5.1.1.2.2.2" xref="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.5.5.1.1.2.2.2.cmml">p</mi><mo id="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.5.5.1.1.2.2.1" xref="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.5.5.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.2.2.2.4" xref="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.2.2.2.4.1" xref="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.2.2.2.2" xref="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.5.5.1.1.1" xref="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.5.5.1.1.1.cmml">/</mo><msub id="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.5.5.1.1.3" xref="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.5.5.1.1.3.2" xref="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.5.5.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.5.5.1.1.3.2.2" xref="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.5.5.1.1.3.2.2.cmml">q</mi><mo id="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.5.5.1.1.3.2.1" xref="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.5.5.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.4.4.2.4" xref="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.3.3.1.1" xref="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.3.3.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.4.4.2.4.1" xref="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.4.4.2.2" xref="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.4.4.2.2.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.5.5.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.5.5.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.5b"><apply id="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.5.5.1"><divide id="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.5.5.1.1.1"></divide><apply id="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.5.5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.5.5.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.5.5.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.5.5.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.5.5.1.1.2.2"><ci id="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.5.5.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.5.5.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.5.5.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.5.5.1.1.2.2.2">𝑝</ci></apply><list id="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.2.2.2.4"><ci id="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.2.2.2.2">𝑡</ci></list></apply><apply id="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.5.5.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.5.5.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.5.5.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.5.5.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.5.5.1.1.3.2"><ci id="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.5.5.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.5.5.1.1.3.2.1">^</ci><ci id="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.5.5.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.5.5.1.1.3.2.2">𝑞</ci></apply><list id="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.4.4.2.4"><ci id="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.3.3.1.1">𝑖</ci><ci id="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.4.4.2.2">𝑡</ci></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.5c">(\hat{p}_{i,t}/\hat{q}_{i,t})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.SSS3.p1.1.m1.5d">( over^ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_t end_POSTSUBSCRIPT / over^ start_ARG italic_q end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_t end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>, and (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S2.E8.6" title="In 8 ‣ II-B3 Power flow and voltage constraints ‣ II-B Second-stage Recourse Control Stage ‣ II Mathematical Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">8f</span></a>) is the voltage magnitude drop in the lines.</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_table" id="S2.E8"> <tbody> <tr class="ltx_eqn_row" id="S6.EGx6"><td class="ltx_eqn_cell" colspan="5"></td></tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S2.E8.1"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"><math alttext="\displaystyle\sum_{hi\in\mathcal{L}}\hat{p}_{hi,t}-\sum_{ij\in\mathcal{L}}\hat% {p}_{ij,t}=\hat{p}_{i,t},\forall i\in\mathcal{N},\forall t\in\mathcal{T}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E8.1.m2.8"><semantics id="S2.E8.1.m2.8a"><mrow id="S2.E8.1.m2.8.8.2" xref="S2.E8.1.m2.8.8.3.cmml"><mrow id="S2.E8.1.m2.7.7.1.1" xref="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2" xref="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.cmml"><mrow id="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.2" xref="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.2.1" xref="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.cmml"><munder id="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.2.1a" xref="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.cmml"><mo id="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.2" movablelimits="false" xref="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.3" xref="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.cmml"><mrow id="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.2" xref="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.2.cmml"><mi id="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.2.2" xref="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.2.2.cmml">h</mi><mo id="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.2.1" xref="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.2.3" xref="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.2.3.cmml">i</mi></mrow><mo id="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.1" xref="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.3" xref="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.3.cmml">ℒ</mi></mrow></munder></mstyle><msub id="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.2.2" xref="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.2.2.2" xref="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.2.2.2.2" xref="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.2.2.2.2.cmml">p</mi><mo id="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.2.2.2.1" xref="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S2.E8.1.m2.2.2.2.2" xref="S2.E8.1.m2.2.2.2.3.cmml"><mrow id="S2.E8.1.m2.2.2.2.2.1" xref="S2.E8.1.m2.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S2.E8.1.m2.2.2.2.2.1.2" xref="S2.E8.1.m2.2.2.2.2.1.2.cmml">h</mi><mo id="S2.E8.1.m2.2.2.2.2.1.1" xref="S2.E8.1.m2.2.2.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E8.1.m2.2.2.2.2.1.3" xref="S2.E8.1.m2.2.2.2.2.1.3.cmml">i</mi></mrow><mo id="S2.E8.1.m2.2.2.2.2.2" xref="S2.E8.1.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E8.1.m2.1.1.1.1" xref="S2.E8.1.m2.1.1.1.1.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.1" xref="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.3" xref="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.3.1" xref="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.cmml"><munder id="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.3.1a" xref="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.2" movablelimits="false" xref="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.3" xref="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.cmml"><mrow id="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.2" xref="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.2.cmml"><mi id="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.2.2" xref="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.2.2.cmml">i</mi><mo id="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.2.1" xref="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.2.3" xref="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.2.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.1" xref="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.3" xref="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.3.cmml">ℒ</mi></mrow></munder></mstyle><msub id="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.3.2" xref="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.3.2.2" xref="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.3.2.2.cmml"><mi id="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.3.2.2.2" xref="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.3.2.2.2.cmml">p</mi><mo id="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.3.2.2.1" xref="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S2.E8.1.m2.4.4.2.2" xref="S2.E8.1.m2.4.4.2.3.cmml"><mrow id="S2.E8.1.m2.4.4.2.2.1" xref="S2.E8.1.m2.4.4.2.2.1.cmml"><mi id="S2.E8.1.m2.4.4.2.2.1.2" xref="S2.E8.1.m2.4.4.2.2.1.2.cmml">i</mi><mo id="S2.E8.1.m2.4.4.2.2.1.1" xref="S2.E8.1.m2.4.4.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E8.1.m2.4.4.2.2.1.3" xref="S2.E8.1.m2.4.4.2.2.1.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="S2.E8.1.m2.4.4.2.2.2" xref="S2.E8.1.m2.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E8.1.m2.3.3.1.1" xref="S2.E8.1.m2.3.3.1.1.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.1" xref="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.1.cmml">=</mo><msub id="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.3" xref="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.3.2" xref="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.3.2.2" xref="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.3.2.2.cmml">p</mi><mo id="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.3.2.1" xref="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S2.E8.1.m2.6.6.2.4" xref="S2.E8.1.m2.6.6.2.3.cmml"><mi id="S2.E8.1.m2.5.5.1.1" xref="S2.E8.1.m2.5.5.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.E8.1.m2.6.6.2.4.1" xref="S2.E8.1.m2.6.6.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E8.1.m2.6.6.2.2" xref="S2.E8.1.m2.6.6.2.2.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S2.E8.1.m2.8.8.2.3" xref="S2.E8.1.m2.8.8.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.E8.1.m2.8.8.2.2.2" xref="S2.E8.1.m2.8.8.2.2.3.cmml"><mrow id="S2.E8.1.m2.8.8.2.2.1.1" xref="S2.E8.1.m2.8.8.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.E8.1.m2.8.8.2.2.1.1.2" xref="S2.E8.1.m2.8.8.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E8.1.m2.8.8.2.2.1.1.2.1" rspace="0.167em" xref="S2.E8.1.m2.8.8.2.2.1.1.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S2.E8.1.m2.8.8.2.2.1.1.2.2" xref="S2.E8.1.m2.8.8.2.2.1.1.2.2.cmml">i</mi></mrow><mo id="S2.E8.1.m2.8.8.2.2.1.1.1" xref="S2.E8.1.m2.8.8.2.2.1.1.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E8.1.m2.8.8.2.2.1.1.3" xref="S2.E8.1.m2.8.8.2.2.1.1.3.cmml">𝒩</mi></mrow><mo id="S2.E8.1.m2.8.8.2.2.2.3" xref="S2.E8.1.m2.8.8.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.E8.1.m2.8.8.2.2.2.2" xref="S2.E8.1.m2.8.8.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S2.E8.1.m2.8.8.2.2.2.2.2" xref="S2.E8.1.m2.8.8.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S2.E8.1.m2.8.8.2.2.2.2.2.1" rspace="0.167em" 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cd="ambiguous" id="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.2.1">subscript</csymbol><sum id="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.2"></sum><apply id="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.3"><in id="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.1.cmml" xref="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.1"></in><apply id="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.2.cmml" xref="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.2"><times id="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.2.1"></times><ci id="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.2.2">ℎ</ci><ci id="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.2.3.cmml" xref="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.3.cmml" xref="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.3">ℒ</ci></apply></apply><apply id="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.2.2.2"><ci id="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.2.2.2.1">^</ci><ci id="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.2.2.2.2">𝑝</ci></apply><list id="S2.E8.1.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E8.1.m2.2.2.2.2"><apply id="S2.E8.1.m2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E8.1.m2.2.2.2.2.1"><times id="S2.E8.1.m2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E8.1.m2.2.2.2.2.1.1"></times><ci id="S2.E8.1.m2.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S2.E8.1.m2.2.2.2.2.1.2">ℎ</ci><ci id="S2.E8.1.m2.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S2.E8.1.m2.2.2.2.2.1.3">𝑖</ci></apply><ci id="S2.E8.1.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E8.1.m2.1.1.1.1">𝑡</ci></list></apply></apply><apply id="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.3"><apply id="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.1.cmml" xref="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.3.1">subscript</csymbol><sum id="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.2.cmml" xref="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.2"></sum><apply id="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.cmml" xref="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.3"><in id="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.1.cmml" xref="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.1"></in><apply id="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.2.cmml" xref="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.2"><times id="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.2.1"></times><ci id="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.2.2">𝑖</ci><ci id="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.2.3.cmml" xref="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.3.cmml" xref="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.3">ℒ</ci></apply></apply><apply id="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.3.2">subscript</csymbol><apply id="S2.E8.1.m2.7.7.1.1.2.3.2.2.cmml" 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id="S2.E8.1.m2.8.8.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E8.1.m2.8.8.2.2.2.2"><in id="S2.E8.1.m2.8.8.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E8.1.m2.8.8.2.2.2.2.1"></in><apply id="S2.E8.1.m2.8.8.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E8.1.m2.8.8.2.2.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.E8.1.m2.8.8.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E8.1.m2.8.8.2.2.2.2.2.1">for-all</csymbol><ci id="S2.E8.1.m2.8.8.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E8.1.m2.8.8.2.2.2.2.2.2">𝑡</ci></apply><ci id="S2.E8.1.m2.8.8.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E8.1.m2.8.8.2.2.2.2.3">𝒯</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E8.1.m2.8c">\displaystyle\sum_{hi\in\mathcal{L}}\hat{p}_{hi,t}-\sum_{ij\in\mathcal{L}}\hat% {p}_{ij,t}=\hat{p}_{i,t},\forall i\in\mathcal{N},\forall t\in\mathcal{T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E8.1.m2.8d">∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_h italic_i ∈ caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_h italic_i , italic_t end_POSTSUBSCRIPT - ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j ∈ caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j , italic_t end_POSTSUBSCRIPT = over^ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_t end_POSTSUBSCRIPT , ∀ italic_i ∈ caligraphic_N , ∀ italic_t ∈ caligraphic_T</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(8a)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S2.E8.2"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"><math alttext="\displaystyle\sum_{hi\in\mathcal{L}}\hat{q}_{hi,t}-\sum_{ij\in\mathcal{L}}\hat% {q}_{ij,t}=\hat{q}_{i,t},\forall i\in\mathcal{N},\forall t\in\mathcal{T}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E8.2.m2.8"><semantics id="S2.E8.2.m2.8a"><mrow id="S2.E8.2.m2.8.8.2" xref="S2.E8.2.m2.8.8.3.cmml"><mrow id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.cmml"><mrow id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.2" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.2.1" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.2.1.cmml"><munder id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.2.1a" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.2.1.cmml"><mo id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.2.1.2" movablelimits="false" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.2.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.2.1.3" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.cmml"><mrow id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.2" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.2.cmml"><mi id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.2.2" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.2.2.cmml">h</mi><mo id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.2.1" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.2.3" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.2.3.cmml">i</mi></mrow><mo id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.1" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.3" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.3.cmml">ℒ</mi></mrow></munder></mstyle><msub id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.2.2" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.2.2.2" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.2.2.2.2" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.2.2.2.2.cmml">q</mi><mo id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.2.2.2.1" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S2.E8.2.m2.2.2.2.2" xref="S2.E8.2.m2.2.2.2.3.cmml"><mrow id="S2.E8.2.m2.2.2.2.2.1" xref="S2.E8.2.m2.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S2.E8.2.m2.2.2.2.2.1.2" xref="S2.E8.2.m2.2.2.2.2.1.2.cmml">h</mi><mo id="S2.E8.2.m2.2.2.2.2.1.1" xref="S2.E8.2.m2.2.2.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E8.2.m2.2.2.2.2.1.3" xref="S2.E8.2.m2.2.2.2.2.1.3.cmml">i</mi></mrow><mo id="S2.E8.2.m2.2.2.2.2.2" xref="S2.E8.2.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E8.2.m2.1.1.1.1" xref="S2.E8.2.m2.1.1.1.1.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.1" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.3" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.3.1" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.3.1.cmml"><munder id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.3.1a" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.3.1.2" movablelimits="false" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.3.1.3" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.cmml"><mrow id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.2" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.2.cmml"><mi id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.2.2" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.2.2.cmml">i</mi><mo id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.2.1" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.2.3" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.2.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.1" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.3" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.3.cmml">ℒ</mi></mrow></munder></mstyle><msub id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.3.2" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.3.2.2" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.3.2.2.cmml"><mi id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.3.2.2.2" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.3.2.2.2.cmml">q</mi><mo id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.3.2.2.1" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S2.E8.2.m2.4.4.2.2" xref="S2.E8.2.m2.4.4.2.3.cmml"><mrow id="S2.E8.2.m2.4.4.2.2.1" xref="S2.E8.2.m2.4.4.2.2.1.cmml"><mi id="S2.E8.2.m2.4.4.2.2.1.2" xref="S2.E8.2.m2.4.4.2.2.1.2.cmml">i</mi><mo id="S2.E8.2.m2.4.4.2.2.1.1" xref="S2.E8.2.m2.4.4.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E8.2.m2.4.4.2.2.1.3" xref="S2.E8.2.m2.4.4.2.2.1.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="S2.E8.2.m2.4.4.2.2.2" xref="S2.E8.2.m2.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E8.2.m2.3.3.1.1" xref="S2.E8.2.m2.3.3.1.1.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.1" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.1.cmml">=</mo><msub id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.3" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.3.2" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.3.2.2" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.3.2.2.cmml">q</mi><mo id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.3.2.1" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S2.E8.2.m2.6.6.2.4" xref="S2.E8.2.m2.6.6.2.3.cmml"><mi id="S2.E8.2.m2.5.5.1.1" xref="S2.E8.2.m2.5.5.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.E8.2.m2.6.6.2.4.1" xref="S2.E8.2.m2.6.6.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E8.2.m2.6.6.2.2" xref="S2.E8.2.m2.6.6.2.2.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S2.E8.2.m2.8.8.2.3" xref="S2.E8.2.m2.8.8.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.E8.2.m2.8.8.2.2.2" xref="S2.E8.2.m2.8.8.2.2.3.cmml"><mrow id="S2.E8.2.m2.8.8.2.2.1.1" xref="S2.E8.2.m2.8.8.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.E8.2.m2.8.8.2.2.1.1.2" xref="S2.E8.2.m2.8.8.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E8.2.m2.8.8.2.2.1.1.2.1" rspace="0.167em" xref="S2.E8.2.m2.8.8.2.2.1.1.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S2.E8.2.m2.8.8.2.2.1.1.2.2" xref="S2.E8.2.m2.8.8.2.2.1.1.2.2.cmml">i</mi></mrow><mo id="S2.E8.2.m2.8.8.2.2.1.1.1" xref="S2.E8.2.m2.8.8.2.2.1.1.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E8.2.m2.8.8.2.2.1.1.3" xref="S2.E8.2.m2.8.8.2.2.1.1.3.cmml">𝒩</mi></mrow><mo id="S2.E8.2.m2.8.8.2.2.2.3" xref="S2.E8.2.m2.8.8.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.E8.2.m2.8.8.2.2.2.2" xref="S2.E8.2.m2.8.8.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S2.E8.2.m2.8.8.2.2.2.2.2" xref="S2.E8.2.m2.8.8.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S2.E8.2.m2.8.8.2.2.2.2.2.1" rspace="0.167em" xref="S2.E8.2.m2.8.8.2.2.2.2.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S2.E8.2.m2.8.8.2.2.2.2.2.2" xref="S2.E8.2.m2.8.8.2.2.2.2.2.2.cmml">t</mi></mrow><mo id="S2.E8.2.m2.8.8.2.2.2.2.1" xref="S2.E8.2.m2.8.8.2.2.2.2.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E8.2.m2.8.8.2.2.2.2.3" xref="S2.E8.2.m2.8.8.2.2.2.2.3.cmml">𝒯</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E8.2.m2.8b"><apply id="S2.E8.2.m2.8.8.3.cmml" xref="S2.E8.2.m2.8.8.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8.2.m2.8.8.3a.cmml" xref="S2.E8.2.m2.8.8.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.cmml" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1"><eq id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.1.cmml" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.1"></eq><apply id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.cmml" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2"><minus id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.1"></minus><apply id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.2"><apply id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.2.1">subscript</csymbol><sum id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.2.1.2"></sum><apply id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.2.1.3"><in id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.1.cmml" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.1"></in><apply id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.2.cmml" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.2"><times id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.2.1"></times><ci id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.2.2">ℎ</ci><ci id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.2.3.cmml" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.3.cmml" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.2.1.3.3">ℒ</ci></apply></apply><apply id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.2.2.2"><ci id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.2.2.2.1">^</ci><ci id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.2.2.2.2">𝑞</ci></apply><list id="S2.E8.2.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E8.2.m2.2.2.2.2"><apply id="S2.E8.2.m2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E8.2.m2.2.2.2.2.1"><times id="S2.E8.2.m2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E8.2.m2.2.2.2.2.1.1"></times><ci id="S2.E8.2.m2.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S2.E8.2.m2.2.2.2.2.1.2">ℎ</ci><ci id="S2.E8.2.m2.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S2.E8.2.m2.2.2.2.2.1.3">𝑖</ci></apply><ci id="S2.E8.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E8.2.m2.1.1.1.1">𝑡</ci></list></apply></apply><apply id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.3"><apply id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.3.1.1.cmml" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.3.1">subscript</csymbol><sum id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.3.1.2.cmml" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.3.1.2"></sum><apply id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.cmml" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.3.1.3"><in id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.1.cmml" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.1"></in><apply id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.2.cmml" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.2"><times id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.2.1"></times><ci id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.2.2">𝑖</ci><ci id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.2.3.cmml" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.3.cmml" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.3.1.3.3">ℒ</ci></apply></apply><apply id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.3.2">subscript</csymbol><apply id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.3.2.2"><ci id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.3.2.2.1.cmml" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.3.2.2.1">^</ci><ci id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.3.2.2.2.cmml" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.2.3.2.2.2">𝑞</ci></apply><list id="S2.E8.2.m2.4.4.2.3.cmml" xref="S2.E8.2.m2.4.4.2.2"><apply id="S2.E8.2.m2.4.4.2.2.1.cmml" xref="S2.E8.2.m2.4.4.2.2.1"><times id="S2.E8.2.m2.4.4.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E8.2.m2.4.4.2.2.1.1"></times><ci id="S2.E8.2.m2.4.4.2.2.1.2.cmml" xref="S2.E8.2.m2.4.4.2.2.1.2">𝑖</ci><ci id="S2.E8.2.m2.4.4.2.2.1.3.cmml" xref="S2.E8.2.m2.4.4.2.2.1.3">𝑗</ci></apply><ci id="S2.E8.2.m2.3.3.1.1.cmml" xref="S2.E8.2.m2.3.3.1.1">𝑡</ci></list></apply></apply></apply><apply id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.3.cmml" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.3.2"><ci id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.3.2.1">^</ci><ci id="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E8.2.m2.7.7.1.1.3.2.2">𝑞</ci></apply><list id="S2.E8.2.m2.6.6.2.3.cmml" xref="S2.E8.2.m2.6.6.2.4"><ci id="S2.E8.2.m2.5.5.1.1.cmml" xref="S2.E8.2.m2.5.5.1.1">𝑖</ci><ci id="S2.E8.2.m2.6.6.2.2.cmml" xref="S2.E8.2.m2.6.6.2.2">𝑡</ci></list></apply></apply><apply id="S2.E8.2.m2.8.8.2.2.3.cmml" xref="S2.E8.2.m2.8.8.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8.2.m2.8.8.2.2.3a.cmml" xref="S2.E8.2.m2.8.8.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.E8.2.m2.8.8.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E8.2.m2.8.8.2.2.1.1"><in id="S2.E8.2.m2.8.8.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.E8.2.m2.8.8.2.2.1.1.1"></in><apply id="S2.E8.2.m2.8.8.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.E8.2.m2.8.8.2.2.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.E8.2.m2.8.8.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E8.2.m2.8.8.2.2.1.1.2.1">for-all</csymbol><ci id="S2.E8.2.m2.8.8.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E8.2.m2.8.8.2.2.1.1.2.2">𝑖</ci></apply><ci id="S2.E8.2.m2.8.8.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.E8.2.m2.8.8.2.2.1.1.3">𝒩</ci></apply><apply id="S2.E8.2.m2.8.8.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E8.2.m2.8.8.2.2.2.2"><in id="S2.E8.2.m2.8.8.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E8.2.m2.8.8.2.2.2.2.1"></in><apply id="S2.E8.2.m2.8.8.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E8.2.m2.8.8.2.2.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.E8.2.m2.8.8.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E8.2.m2.8.8.2.2.2.2.2.1">for-all</csymbol><ci id="S2.E8.2.m2.8.8.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E8.2.m2.8.8.2.2.2.2.2.2">𝑡</ci></apply><ci id="S2.E8.2.m2.8.8.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E8.2.m2.8.8.2.2.2.2.3">𝒯</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E8.2.m2.8c">\displaystyle\sum_{hi\in\mathcal{L}}\hat{q}_{hi,t}-\sum_{ij\in\mathcal{L}}\hat% {q}_{ij,t}=\hat{q}_{i,t},\forall i\in\mathcal{N},\forall t\in\mathcal{T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E8.2.m2.8d">∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_h italic_i ∈ caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_q end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_h italic_i , italic_t end_POSTSUBSCRIPT - ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j ∈ caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_q end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j , italic_t end_POSTSUBSCRIPT = over^ start_ARG italic_q end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_t end_POSTSUBSCRIPT , ∀ italic_i ∈ caligraphic_N , ∀ italic_t ∈ caligraphic_T</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(8b)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S2.E8.3"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"><math alttext="\displaystyle\begin{aligned} \hat{p}_{i,t}=\widehat{p}_{i,t}^{G}+p_{i,t}^{B+}&% -p_{i,t}^{B-}\\ &+p_{i,t}^{PV}-p_{i,t}^{L},\forall i\in\mathcal{N},\forall t\in\mathcal{T}\end% {aligned}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E8.3.m2.14"><semantics id="S2.E8.3.m2.14a"><mtable columnspacing="0pt" id="S2.E8.3.m2.14.14" rowspacing="0.0pt" xref="S2.E8.3.m2.14.14.cmml"><mtr id="S2.E8.3.m2.14.14a" xref="S2.E8.3.m2.14.14.cmml"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S2.E8.3.m2.14.14b" xref="S2.E8.3.m2.14.14.cmml"><mrow id="S2.E8.3.m2.6.6.6.6.6" xref="S2.E8.3.m2.6.6.6.6.6.cmml"><msub id="S2.E8.3.m2.6.6.6.6.6.8" xref="S2.E8.3.m2.6.6.6.6.6.8.cmml"><mover accent="true" id="S2.E8.3.m2.6.6.6.6.6.8.2" xref="S2.E8.3.m2.6.6.6.6.6.8.2.cmml"><mi id="S2.E8.3.m2.6.6.6.6.6.8.2.2" xref="S2.E8.3.m2.6.6.6.6.6.8.2.2.cmml">p</mi><mo id="S2.E8.3.m2.6.6.6.6.6.8.2.1" xref="S2.E8.3.m2.6.6.6.6.6.8.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S2.E8.3.m2.2.2.2.2.2.2.2.4" xref="S2.E8.3.m2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E8.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E8.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.E8.3.m2.2.2.2.2.2.2.2.4.1" xref="S2.E8.3.m2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E8.3.m2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S2.E8.3.m2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S2.E8.3.m2.6.6.6.6.6.7" xref="S2.E8.3.m2.6.6.6.6.6.7.cmml">=</mo><mrow id="S2.E8.3.m2.6.6.6.6.6.9" xref="S2.E8.3.m2.6.6.6.6.6.9.cmml"><msubsup id="S2.E8.3.m2.6.6.6.6.6.9.2" xref="S2.E8.3.m2.6.6.6.6.6.9.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.E8.3.m2.6.6.6.6.6.9.2.2.2" xref="S2.E8.3.m2.6.6.6.6.6.9.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E8.3.m2.6.6.6.6.6.9.2.2.2.2" xref="S2.E8.3.m2.6.6.6.6.6.9.2.2.2.2.cmml">p</mi><mo id="S2.E8.3.m2.6.6.6.6.6.9.2.2.2.1" xref="S2.E8.3.m2.6.6.6.6.6.9.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S2.E8.3.m2.4.4.4.4.4.4.2.4" xref="S2.E8.3.m2.4.4.4.4.4.4.2.3.cmml"><mi id="S2.E8.3.m2.3.3.3.3.3.3.1.1" xref="S2.E8.3.m2.3.3.3.3.3.3.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.E8.3.m2.4.4.4.4.4.4.2.4.1" xref="S2.E8.3.m2.4.4.4.4.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E8.3.m2.4.4.4.4.4.4.2.2" xref="S2.E8.3.m2.4.4.4.4.4.4.2.2.cmml">t</mi></mrow><mi id="S2.E8.3.m2.6.6.6.6.6.9.2.3" xref="S2.E8.3.m2.6.6.6.6.6.9.2.3.cmml">G</mi></msubsup><mo id="S2.E8.3.m2.6.6.6.6.6.9.1" xref="S2.E8.3.m2.6.6.6.6.6.9.1.cmml">+</mo><msubsup id="S2.E8.3.m2.6.6.6.6.6.9.3" xref="S2.E8.3.m2.6.6.6.6.6.9.3.cmml"><mi id="S2.E8.3.m2.6.6.6.6.6.9.3.2.2" xref="S2.E8.3.m2.6.6.6.6.6.9.3.2.2.cmml">p</mi><mrow id="S2.E8.3.m2.6.6.6.6.6.6.2.4" xref="S2.E8.3.m2.6.6.6.6.6.6.2.3.cmml"><mi id="S2.E8.3.m2.5.5.5.5.5.5.1.1" xref="S2.E8.3.m2.5.5.5.5.5.5.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.E8.3.m2.6.6.6.6.6.6.2.4.1" xref="S2.E8.3.m2.6.6.6.6.6.6.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E8.3.m2.6.6.6.6.6.6.2.2" xref="S2.E8.3.m2.6.6.6.6.6.6.2.2.cmml">t</mi></mrow><mrow id="S2.E8.3.m2.6.6.6.6.6.9.3.3" xref="S2.E8.3.m2.6.6.6.6.6.9.3.3.cmml"><mi id="S2.E8.3.m2.6.6.6.6.6.9.3.3.2" xref="S2.E8.3.m2.6.6.6.6.6.9.3.3.2.cmml">B</mi><mo id="S2.E8.3.m2.6.6.6.6.6.9.3.3.3" xref="S2.E8.3.m2.6.6.6.6.6.9.3.3.3.cmml">+</mo></mrow></msubsup></mrow></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S2.E8.3.m2.14.14c" xref="S2.E8.3.m2.14.14.cmml"><mrow id="S2.E8.3.m2.8.8.8.8.2" xref="S2.E8.3.m2.8.8.8.8.2.cmml"><mo id="S2.E8.3.m2.8.8.8.8.2a" xref="S2.E8.3.m2.8.8.8.8.2.cmml">−</mo><msubsup id="S2.E8.3.m2.8.8.8.8.2.4" xref="S2.E8.3.m2.8.8.8.8.2.4.cmml"><mi id="S2.E8.3.m2.8.8.8.8.2.4.2.2" xref="S2.E8.3.m2.8.8.8.8.2.4.2.2.cmml">p</mi><mrow id="S2.E8.3.m2.8.8.8.8.2.2.2.4" xref="S2.E8.3.m2.8.8.8.8.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E8.3.m2.7.7.7.7.1.1.1.1" xref="S2.E8.3.m2.7.7.7.7.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.E8.3.m2.8.8.8.8.2.2.2.4.1" xref="S2.E8.3.m2.8.8.8.8.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E8.3.m2.8.8.8.8.2.2.2.2" xref="S2.E8.3.m2.8.8.8.8.2.2.2.2.cmml">t</mi></mrow><mrow id="S2.E8.3.m2.8.8.8.8.2.4.3" xref="S2.E8.3.m2.8.8.8.8.2.4.3.cmml"><mi id="S2.E8.3.m2.8.8.8.8.2.4.3.2" xref="S2.E8.3.m2.8.8.8.8.2.4.3.2.cmml">B</mi><mo id="S2.E8.3.m2.8.8.8.8.2.4.3.3" xref="S2.E8.3.m2.8.8.8.8.2.4.3.3.cmml">−</mo></mrow></msubsup></mrow></mtd></mtr><mtr id="S2.E8.3.m2.14.14d" xref="S2.E8.3.m2.14.14.cmml"><mtd id="S2.E8.3.m2.14.14e" xref="S2.E8.3.m2.14.14.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S2.E8.3.m2.14.14f" xref="S2.E8.3.m2.14.14.cmml"><mrow id="S2.E8.3.m2.14.14.14.6.6.6" xref="S2.E8.3.m2.14.14.14.6.6.7.cmml"><mrow id="S2.E8.3.m2.13.13.13.5.5.5.1" xref="S2.E8.3.m2.13.13.13.5.5.5.1.cmml"><mrow id="S2.E8.3.m2.13.13.13.5.5.5.1.2.2" xref="S2.E8.3.m2.13.13.13.5.5.5.1.2.3.cmml"><mrow id="S2.E8.3.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1" xref="S2.E8.3.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E8.3.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.2" xref="S2.E8.3.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E8.3.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.2a" xref="S2.E8.3.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><msubsup id="S2.E8.3.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E8.3.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.E8.3.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S2.E8.3.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">p</mi><mrow id="S2.E8.3.m2.10.10.10.2.2.2.2.4" xref="S2.E8.3.m2.10.10.10.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E8.3.m2.9.9.9.1.1.1.1.1" xref="S2.E8.3.m2.9.9.9.1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.E8.3.m2.10.10.10.2.2.2.2.4.1" xref="S2.E8.3.m2.10.10.10.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E8.3.m2.10.10.10.2.2.2.2.2" xref="S2.E8.3.m2.10.10.10.2.2.2.2.2.cmml">t</mi></mrow><mrow id="S2.E8.3.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.E8.3.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E8.3.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S2.E8.3.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">P</mi><mo id="S2.E8.3.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S2.E8.3.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E8.3.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S2.E8.3.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">V</mi></mrow></msubsup></mrow><mo id="S2.E8.3.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.1" xref="S2.E8.3.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msubsup id="S2.E8.3.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.3" xref="S2.E8.3.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E8.3.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E8.3.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.3.2.2.cmml">p</mi><mrow id="S2.E8.3.m2.12.12.12.4.4.4.2.4" xref="S2.E8.3.m2.12.12.12.4.4.4.2.3.cmml"><mi id="S2.E8.3.m2.11.11.11.3.3.3.1.1" xref="S2.E8.3.m2.11.11.11.3.3.3.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.E8.3.m2.12.12.12.4.4.4.2.4.1" xref="S2.E8.3.m2.12.12.12.4.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E8.3.m2.12.12.12.4.4.4.2.2" xref="S2.E8.3.m2.12.12.12.4.4.4.2.2.cmml">t</mi></mrow><mi id="S2.E8.3.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E8.3.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.3.3.cmml">L</mi></msubsup></mrow><mo id="S2.E8.3.m2.13.13.13.5.5.5.1.2.2.3" xref="S2.E8.3.m2.13.13.13.5.5.5.1.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S2.E8.3.m2.13.13.13.5.5.5.1.2.2.2" xref="S2.E8.3.m2.13.13.13.5.5.5.1.2.2.2.cmml"><mo id="S2.E8.3.m2.13.13.13.5.5.5.1.2.2.2.1" rspace="0.167em" xref="S2.E8.3.m2.13.13.13.5.5.5.1.2.2.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S2.E8.3.m2.13.13.13.5.5.5.1.2.2.2.2" xref="S2.E8.3.m2.13.13.13.5.5.5.1.2.2.2.2.cmml">i</mi></mrow></mrow><mo id="S2.E8.3.m2.13.13.13.5.5.5.1.3" xref="S2.E8.3.m2.13.13.13.5.5.5.1.3.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E8.3.m2.13.13.13.5.5.5.1.4" xref="S2.E8.3.m2.13.13.13.5.5.5.1.4.cmml">𝒩</mi></mrow><mo id="S2.E8.3.m2.14.14.14.6.6.6.3" xref="S2.E8.3.m2.14.14.14.6.6.7a.cmml">,</mo><mrow id="S2.E8.3.m2.14.14.14.6.6.6.2" xref="S2.E8.3.m2.14.14.14.6.6.6.2.cmml"><mrow id="S2.E8.3.m2.14.14.14.6.6.6.2.2" xref="S2.E8.3.m2.14.14.14.6.6.6.2.2.cmml"><mo id="S2.E8.3.m2.14.14.14.6.6.6.2.2.1" rspace="0.167em" xref="S2.E8.3.m2.14.14.14.6.6.6.2.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S2.E8.3.m2.14.14.14.6.6.6.2.2.2" xref="S2.E8.3.m2.14.14.14.6.6.6.2.2.2.cmml">t</mi></mrow><mo id="S2.E8.3.m2.14.14.14.6.6.6.2.1" xref="S2.E8.3.m2.14.14.14.6.6.6.2.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E8.3.m2.14.14.14.6.6.6.2.3" xref="S2.E8.3.m2.14.14.14.6.6.6.2.3.cmml">𝒯</mi></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E8.3.m2.14b"><matrix id="S2.E8.3.m2.14.14.cmml" xref="S2.E8.3.m2.14.14"><matrixrow id="S2.E8.3.m2.14.14a.cmml" 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xref="S2.E8.3.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S2.E8.3.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E8.3.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8.3.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E8.3.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E8.3.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E8.3.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.3.2.2">𝑝</ci><list id="S2.E8.3.m2.12.12.12.4.4.4.2.3.cmml" xref="S2.E8.3.m2.12.12.12.4.4.4.2.4"><ci id="S2.E8.3.m2.11.11.11.3.3.3.1.1.cmml" xref="S2.E8.3.m2.11.11.11.3.3.3.1.1">𝑖</ci><ci id="S2.E8.3.m2.12.12.12.4.4.4.2.2.cmml" xref="S2.E8.3.m2.12.12.12.4.4.4.2.2">𝑡</ci></list></apply><ci id="S2.E8.3.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E8.3.m2.13.13.13.5.5.5.1.1.1.1.3.3">𝐿</ci></apply></apply><apply id="S2.E8.3.m2.13.13.13.5.5.5.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E8.3.m2.13.13.13.5.5.5.1.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.E8.3.m2.13.13.13.5.5.5.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E8.3.m2.13.13.13.5.5.5.1.2.2.2.1">for-all</csymbol><ci id="S2.E8.3.m2.13.13.13.5.5.5.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E8.3.m2.13.13.13.5.5.5.1.2.2.2.2">𝑖</ci></apply></list><ci id="S2.E8.3.m2.13.13.13.5.5.5.1.4.cmml" xref="S2.E8.3.m2.13.13.13.5.5.5.1.4">𝒩</ci></apply><apply id="S2.E8.3.m2.14.14.14.6.6.6.2.cmml" xref="S2.E8.3.m2.14.14.14.6.6.6.2"><in id="S2.E8.3.m2.14.14.14.6.6.6.2.1.cmml" xref="S2.E8.3.m2.14.14.14.6.6.6.2.1"></in><apply id="S2.E8.3.m2.14.14.14.6.6.6.2.2.cmml" xref="S2.E8.3.m2.14.14.14.6.6.6.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.E8.3.m2.14.14.14.6.6.6.2.2.1.cmml" xref="S2.E8.3.m2.14.14.14.6.6.6.2.2.1">for-all</csymbol><ci id="S2.E8.3.m2.14.14.14.6.6.6.2.2.2.cmml" xref="S2.E8.3.m2.14.14.14.6.6.6.2.2.2">𝑡</ci></apply><ci id="S2.E8.3.m2.14.14.14.6.6.6.2.3.cmml" xref="S2.E8.3.m2.14.14.14.6.6.6.2.3">𝒯</ci></apply></apply></matrixrow></matrix></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E8.3.m2.14c">\displaystyle\begin{aligned} \hat{p}_{i,t}=\widehat{p}_{i,t}^{G}+p_{i,t}^{B+}&% -p_{i,t}^{B-}\\ &+p_{i,t}^{PV}-p_{i,t}^{L},\forall i\in\mathcal{N},\forall t\in\mathcal{T}\end% {aligned}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E8.3.m2.14d">start_ROW start_CELL over^ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_t end_POSTSUBSCRIPT = over^ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_G end_POSTSUPERSCRIPT + italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_B + end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL - italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_B - end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL + italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_P italic_V end_POSTSUPERSCRIPT - italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_L end_POSTSUPERSCRIPT , ∀ italic_i ∈ caligraphic_N , ∀ italic_t ∈ caligraphic_T end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(8c)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S2.E8.4"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"><math alttext="\displaystyle\hat{q}_{i,t}=\hat{q}_{i,t}^{G}-q_{i,t}^{L},\forall i\in\mathcal{% N},\forall t\in\mathcal{T}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E8.4.m2.8"><semantics id="S2.E8.4.m2.8a"><mrow id="S2.E8.4.m2.8.8.2" xref="S2.E8.4.m2.8.8.3.cmml"><mrow 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xref="S2.E8.4.m2.7.7.1.1.3.2.2.2.2.cmml">q</mi><mo id="S2.E8.4.m2.7.7.1.1.3.2.2.2.1" xref="S2.E8.4.m2.7.7.1.1.3.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S2.E8.4.m2.4.4.2.4" xref="S2.E8.4.m2.4.4.2.3.cmml"><mi id="S2.E8.4.m2.3.3.1.1" xref="S2.E8.4.m2.3.3.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.E8.4.m2.4.4.2.4.1" xref="S2.E8.4.m2.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E8.4.m2.4.4.2.2" xref="S2.E8.4.m2.4.4.2.2.cmml">t</mi></mrow><mi id="S2.E8.4.m2.7.7.1.1.3.2.3" xref="S2.E8.4.m2.7.7.1.1.3.2.3.cmml">G</mi></msubsup><mo id="S2.E8.4.m2.7.7.1.1.3.1" xref="S2.E8.4.m2.7.7.1.1.3.1.cmml">−</mo><msubsup id="S2.E8.4.m2.7.7.1.1.3.3" xref="S2.E8.4.m2.7.7.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.E8.4.m2.7.7.1.1.3.3.2.2" xref="S2.E8.4.m2.7.7.1.1.3.3.2.2.cmml">q</mi><mrow id="S2.E8.4.m2.6.6.2.4" xref="S2.E8.4.m2.6.6.2.3.cmml"><mi id="S2.E8.4.m2.5.5.1.1" xref="S2.E8.4.m2.5.5.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.E8.4.m2.6.6.2.4.1" xref="S2.E8.4.m2.6.6.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E8.4.m2.6.6.2.2" xref="S2.E8.4.m2.6.6.2.2.cmml">t</mi></mrow><mi id="S2.E8.4.m2.7.7.1.1.3.3.3" xref="S2.E8.4.m2.7.7.1.1.3.3.3.cmml">L</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S2.E8.4.m2.8.8.2.3" xref="S2.E8.4.m2.8.8.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.E8.4.m2.8.8.2.2.2" xref="S2.E8.4.m2.8.8.2.2.3.cmml"><mrow id="S2.E8.4.m2.8.8.2.2.1.1" xref="S2.E8.4.m2.8.8.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.E8.4.m2.8.8.2.2.1.1.2" xref="S2.E8.4.m2.8.8.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E8.4.m2.8.8.2.2.1.1.2.1" rspace="0.167em" xref="S2.E8.4.m2.8.8.2.2.1.1.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S2.E8.4.m2.8.8.2.2.1.1.2.2" xref="S2.E8.4.m2.8.8.2.2.1.1.2.2.cmml">i</mi></mrow><mo id="S2.E8.4.m2.8.8.2.2.1.1.1" xref="S2.E8.4.m2.8.8.2.2.1.1.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E8.4.m2.8.8.2.2.1.1.3" xref="S2.E8.4.m2.8.8.2.2.1.1.3.cmml">𝒩</mi></mrow><mo id="S2.E8.4.m2.8.8.2.2.2.3" xref="S2.E8.4.m2.8.8.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.E8.4.m2.8.8.2.2.2.2" xref="S2.E8.4.m2.8.8.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S2.E8.4.m2.8.8.2.2.2.2.2" xref="S2.E8.4.m2.8.8.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S2.E8.4.m2.8.8.2.2.2.2.2.1" 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italic_L end_POSTSUPERSCRIPT , ∀ italic_i ∈ caligraphic_N , ∀ italic_t ∈ caligraphic_T</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(8d)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S2.E8.5"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"><math alttext="\displaystyle q_{i,t}^{L}=p_{i,t}^{L}\tan\delta_{i,t},\forall i\in\mathcal{N},% \forall t\in\mathcal{T}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E8.5.m2.8"><semantics id="S2.E8.5.m2.8a"><mrow id="S2.E8.5.m2.8.8.2" xref="S2.E8.5.m2.8.8.3.cmml"><mrow id="S2.E8.5.m2.7.7.1.1" xref="S2.E8.5.m2.7.7.1.1.cmml"><msubsup 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ltx_align_baseline" id="S2.E8.6"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"><math alttext="\displaystyle\begin{aligned} \hat{v}_{i,t}-\hat{v}_{j,t}&=\frac{1}{1-\varphi_{% ij}}(r_{ij}\hat{p}_{ij,t}+x_{ij}\hat{q}_{ij,t}),\forall ij\in\mathcal{L},% \forall t\in\mathcal{T}\end{aligned}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E8.6.m2.10"><semantics id="S2.E8.6.m2.10a"><mtable columnspacing="0pt" id="S2.E8.6.m2.10.10" xref="S2.E8.6.m2.10.10.cmml"><mtr id="S2.E8.6.m2.10.10a" xref="S2.E8.6.m2.10.10.cmml"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S2.E8.6.m2.10.10b" xref="S2.E8.6.m2.10.10.cmml"><mrow id="S2.E8.6.m2.4.4.4.4.4" xref="S2.E8.6.m2.4.4.4.4.4.cmml"><msub id="S2.E8.6.m2.4.4.4.4.4.6" xref="S2.E8.6.m2.4.4.4.4.4.6.cmml"><mover accent="true" id="S2.E8.6.m2.4.4.4.4.4.6.2" xref="S2.E8.6.m2.4.4.4.4.4.6.2.cmml"><mi id="S2.E8.6.m2.4.4.4.4.4.6.2.2" xref="S2.E8.6.m2.4.4.4.4.4.6.2.2.cmml">v</mi><mo id="S2.E8.6.m2.4.4.4.4.4.6.2.1" xref="S2.E8.6.m2.4.4.4.4.4.6.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S2.E8.6.m2.2.2.2.2.2.2.2.4" xref="S2.E8.6.m2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E8.6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E8.6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.E8.6.m2.2.2.2.2.2.2.2.4.1" xref="S2.E8.6.m2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E8.6.m2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S2.E8.6.m2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S2.E8.6.m2.4.4.4.4.4.5" xref="S2.E8.6.m2.4.4.4.4.4.5.cmml">−</mo><msub id="S2.E8.6.m2.4.4.4.4.4.7" xref="S2.E8.6.m2.4.4.4.4.4.7.cmml"><mover accent="true" id="S2.E8.6.m2.4.4.4.4.4.7.2" xref="S2.E8.6.m2.4.4.4.4.4.7.2.cmml"><mi id="S2.E8.6.m2.4.4.4.4.4.7.2.2" xref="S2.E8.6.m2.4.4.4.4.4.7.2.2.cmml">v</mi><mo id="S2.E8.6.m2.4.4.4.4.4.7.2.1" xref="S2.E8.6.m2.4.4.4.4.4.7.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S2.E8.6.m2.4.4.4.4.4.4.2.4" xref="S2.E8.6.m2.4.4.4.4.4.4.2.3.cmml"><mi id="S2.E8.6.m2.3.3.3.3.3.3.1.1" xref="S2.E8.6.m2.3.3.3.3.3.3.1.1.cmml">j</mi><mo id="S2.E8.6.m2.4.4.4.4.4.4.2.4.1" xref="S2.E8.6.m2.4.4.4.4.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E8.6.m2.4.4.4.4.4.4.2.2" xref="S2.E8.6.m2.4.4.4.4.4.4.2.2.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S2.E8.6.m2.10.10c" xref="S2.E8.6.m2.10.10.cmml"><mrow id="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6" xref="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.7.cmml"><mrow id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.cmml"><mi id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.3" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.3.cmml"></mi><mo id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.2" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.3" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.3.cmml"><mfrac id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.3a" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.3.cmml"><mn id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.3.2" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.3.2.cmml">1</mn><mrow id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.3.3" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.3.3.cmml"><mn id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.3.3.2" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.3.3.2.cmml">1</mn><mo id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.3.3.1" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.3.3.1.cmml">−</mo><msub id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.3.3.3" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.3.3.3.2" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.3.3.3.2.cmml">φ</mi><mrow id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.3.3.3.3" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.3.3.3.3.2" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.3.3.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.3.3.3.3.1" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.3.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.3.3.3.3.3" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.3.3.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.2" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">r</mi><mrow id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.2.1" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">p</mi><mo id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.2.3.2.1" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S2.E8.6.m2.6.6.6.6.2.2.2.2" xref="S2.E8.6.m2.6.6.6.6.2.2.2.3.cmml"><mrow id="S2.E8.6.m2.6.6.6.6.2.2.2.2.1" xref="S2.E8.6.m2.6.6.6.6.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S2.E8.6.m2.6.6.6.6.2.2.2.2.1.2" xref="S2.E8.6.m2.6.6.6.6.2.2.2.2.1.2.cmml">i</mi><mo id="S2.E8.6.m2.6.6.6.6.2.2.2.2.1.1" xref="S2.E8.6.m2.6.6.6.6.2.2.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E8.6.m2.6.6.6.6.2.2.2.2.1.3" xref="S2.E8.6.m2.6.6.6.6.2.2.2.2.1.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="S2.E8.6.m2.6.6.6.6.2.2.2.2.2" xref="S2.E8.6.m2.6.6.6.6.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E8.6.m2.5.5.5.5.1.1.1.1" xref="S2.E8.6.m2.5.5.5.5.1.1.1.1.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">x</mi><mrow id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">q</mi><mo id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.3.3.2.1" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S2.E8.6.m2.8.8.8.8.4.4.2.2" xref="S2.E8.6.m2.8.8.8.8.4.4.2.3.cmml"><mrow id="S2.E8.6.m2.8.8.8.8.4.4.2.2.1" xref="S2.E8.6.m2.8.8.8.8.4.4.2.2.1.cmml"><mi id="S2.E8.6.m2.8.8.8.8.4.4.2.2.1.2" xref="S2.E8.6.m2.8.8.8.8.4.4.2.2.1.2.cmml">i</mi><mo id="S2.E8.6.m2.8.8.8.8.4.4.2.2.1.1" xref="S2.E8.6.m2.8.8.8.8.4.4.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E8.6.m2.8.8.8.8.4.4.2.2.1.3" xref="S2.E8.6.m2.8.8.8.8.4.4.2.2.1.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="S2.E8.6.m2.8.8.8.8.4.4.2.2.2" xref="S2.E8.6.m2.8.8.8.8.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E8.6.m2.7.7.7.7.3.3.1.1" xref="S2.E8.6.m2.7.7.7.7.3.3.1.1.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.3" xref="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.7a.cmml">,</mo><mrow id="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.2.2" xref="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.2.3.cmml"><mrow id="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.2.1.1" xref="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.2.1.1.2" xref="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.2.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.2.1.1.2.1" rspace="0.167em" xref="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.2.1.1.2.1.cmml">∀</mo><mrow id="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.2.1.1.2.2" xref="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.2.1.1.2.2.2" xref="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.2.1.1.2.2.2.cmml">i</mi><mo id="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.2.1.1.2.2.1" xref="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.2.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.2.1.1.2.2.3" xref="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.2.1.1.2.2.3.cmml">j</mi></mrow></mrow><mo id="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.2.1.1.1" xref="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.2.1.1.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.2.1.1.3" xref="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.2.1.1.3.cmml">ℒ</mi></mrow><mo id="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.2.2.3" xref="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.2.2.2" xref="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.2.2.2.cmml"><mrow id="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.2.2.2.2" xref="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.2.2.2.2.cmml"><mo id="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.2.2.2.2.1" rspace="0.167em" xref="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.2.2.2.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.2.2.2.2.2" xref="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.2.2.2.2.2.cmml">t</mi></mrow><mo id="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.2.2.2.1" xref="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.2.2.2.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.2.2.2.3" xref="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.2.2.2.3.cmml">𝒯</mi></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E8.6.m2.10b"><matrix id="S2.E8.6.m2.10.10.cmml" xref="S2.E8.6.m2.10.10"><matrixrow id="S2.E8.6.m2.10.10a.cmml" xref="S2.E8.6.m2.10.10"><apply id="S2.E8.6.m2.4.4.4.4.4.cmml" xref="S2.E8.6.m2.4.4.4.4.4"><minus id="S2.E8.6.m2.4.4.4.4.4.5.cmml" xref="S2.E8.6.m2.4.4.4.4.4.5"></minus><apply id="S2.E8.6.m2.4.4.4.4.4.6.cmml" xref="S2.E8.6.m2.4.4.4.4.4.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8.6.m2.4.4.4.4.4.6.1.cmml" xref="S2.E8.6.m2.4.4.4.4.4.6">subscript</csymbol><apply id="S2.E8.6.m2.4.4.4.4.4.6.2.cmml" xref="S2.E8.6.m2.4.4.4.4.4.6.2"><ci id="S2.E8.6.m2.4.4.4.4.4.6.2.1.cmml" xref="S2.E8.6.m2.4.4.4.4.4.6.2.1">^</ci><ci id="S2.E8.6.m2.4.4.4.4.4.6.2.2.cmml" xref="S2.E8.6.m2.4.4.4.4.4.6.2.2">𝑣</ci></apply><list id="S2.E8.6.m2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E8.6.m2.2.2.2.2.2.2.2.4"><ci id="S2.E8.6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E8.6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S2.E8.6.m2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E8.6.m2.2.2.2.2.2.2.2.2">𝑡</ci></list></apply><apply id="S2.E8.6.m2.4.4.4.4.4.7.cmml" xref="S2.E8.6.m2.4.4.4.4.4.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8.6.m2.4.4.4.4.4.7.1.cmml" xref="S2.E8.6.m2.4.4.4.4.4.7">subscript</csymbol><apply id="S2.E8.6.m2.4.4.4.4.4.7.2.cmml" xref="S2.E8.6.m2.4.4.4.4.4.7.2"><ci id="S2.E8.6.m2.4.4.4.4.4.7.2.1.cmml" xref="S2.E8.6.m2.4.4.4.4.4.7.2.1">^</ci><ci id="S2.E8.6.m2.4.4.4.4.4.7.2.2.cmml" xref="S2.E8.6.m2.4.4.4.4.4.7.2.2">𝑣</ci></apply><list id="S2.E8.6.m2.4.4.4.4.4.4.2.3.cmml" xref="S2.E8.6.m2.4.4.4.4.4.4.2.4"><ci id="S2.E8.6.m2.3.3.3.3.3.3.1.1.cmml" xref="S2.E8.6.m2.3.3.3.3.3.3.1.1">𝑗</ci><ci id="S2.E8.6.m2.4.4.4.4.4.4.2.2.cmml" xref="S2.E8.6.m2.4.4.4.4.4.4.2.2">𝑡</ci></list></apply></apply><apply id="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.7.cmml" xref="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.7a.cmml" xref="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.cmml" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1"><eq id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.2.cmml" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.3.cmml" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.3">absent</csymbol><apply id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.cmml" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1"><times id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.2.cmml" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.2"></times><apply id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.3.cmml" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.3"><divide id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.3"></divide><cn id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.3.2">1</cn><apply id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.3.3"><minus id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.3.3.1"></minus><cn id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.3.3.2">1</cn><apply id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.3.3.3.2">𝜑</ci><apply id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.3.3.3.3"><times id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.3.3.3.3.1"></times><ci id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.3.3.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.3.3.3.3.3.cmml" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.3.3.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1"><plus id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.2"><times id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑟</ci><apply id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.2.2.3"><times id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><apply id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.2.3.2"><ci id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.2.3.2.1">^</ci><ci id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝑝</ci></apply><list id="S2.E8.6.m2.6.6.6.6.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E8.6.m2.6.6.6.6.2.2.2.2"><apply id="S2.E8.6.m2.6.6.6.6.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E8.6.m2.6.6.6.6.2.2.2.2.1"><times id="S2.E8.6.m2.6.6.6.6.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E8.6.m2.6.6.6.6.2.2.2.2.1.1"></times><ci id="S2.E8.6.m2.6.6.6.6.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S2.E8.6.m2.6.6.6.6.2.2.2.2.1.2">𝑖</ci><ci id="S2.E8.6.m2.6.6.6.6.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S2.E8.6.m2.6.6.6.6.2.2.2.2.1.3">𝑗</ci></apply><ci id="S2.E8.6.m2.5.5.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E8.6.m2.5.5.5.5.1.1.1.1">𝑡</ci></list></apply></apply><apply id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.3"><times id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑥</ci><apply id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.3.3.2"><ci id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.3.3.2.1">^</ci><ci id="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S2.E8.6.m2.9.9.9.9.5.5.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝑞</ci></apply><list id="S2.E8.6.m2.8.8.8.8.4.4.2.3.cmml" xref="S2.E8.6.m2.8.8.8.8.4.4.2.2"><apply id="S2.E8.6.m2.8.8.8.8.4.4.2.2.1.cmml" xref="S2.E8.6.m2.8.8.8.8.4.4.2.2.1"><times id="S2.E8.6.m2.8.8.8.8.4.4.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E8.6.m2.8.8.8.8.4.4.2.2.1.1"></times><ci id="S2.E8.6.m2.8.8.8.8.4.4.2.2.1.2.cmml" xref="S2.E8.6.m2.8.8.8.8.4.4.2.2.1.2">𝑖</ci><ci id="S2.E8.6.m2.8.8.8.8.4.4.2.2.1.3.cmml" xref="S2.E8.6.m2.8.8.8.8.4.4.2.2.1.3">𝑗</ci></apply><ci id="S2.E8.6.m2.7.7.7.7.3.3.1.1.cmml" xref="S2.E8.6.m2.7.7.7.7.3.3.1.1">𝑡</ci></list></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.2.3.cmml" xref="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.2.3a.cmml" xref="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.2.1.1.cmml" xref="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.2.1.1"><in id="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.2.1.1.1.cmml" xref="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.2.1.1.1"></in><apply id="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.2.1.1.2.cmml" xref="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.2.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.2.1.1.2.1">for-all</csymbol><apply id="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.2.1.1.2.2"><times id="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.2.1.1.2.2.1"></times><ci id="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.2.1.1.2.2.2">𝑖</ci><ci id="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.2.1.1.2.2.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.2.1.1.3.cmml" xref="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.2.1.1.3">ℒ</ci></apply><apply id="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.2.2.2.cmml" xref="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.2.2.2"><in id="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.2.2.2.1"></in><apply id="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.2.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.2.2.2.2.1">for-all</csymbol><ci id="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.2.2.2.2.2">𝑡</ci></apply><ci id="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E8.6.m2.10.10.10.10.6.6.2.2.2.3">𝒯</ci></apply></apply></apply></matrixrow></matrix></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E8.6.m2.10c">\displaystyle\begin{aligned} \hat{v}_{i,t}-\hat{v}_{j,t}&=\frac{1}{1-\varphi_{% ij}}(r_{ij}\hat{p}_{ij,t}+x_{ij}\hat{q}_{ij,t}),\forall ij\in\mathcal{L},% \forall t\in\mathcal{T}\end{aligned}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E8.6.m2.10d">start_ROW start_CELL over^ start_ARG italic_v end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_t end_POSTSUBSCRIPT - over^ start_ARG italic_v end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_t end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 1 - italic_φ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ( italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j , italic_t end_POSTSUBSCRIPT + italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_q end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j , italic_t end_POSTSUBSCRIPT ) , ∀ italic_i italic_j ∈ caligraphic_L , ∀ italic_t ∈ caligraphic_T end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(8f)</span></td> </tr> </tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.SSS3.p2"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.SSS3.p2.1">The Lossy DistFlow formulation <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#bib.bib16" title="">16</a>]</cite> is employed to approximate the loss terms in voltage magnitude drop calculations within the traditional DistFlow model, as shown in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S2.E8.6" title="In 8 ‣ II-B3 Power flow and voltage constraints ‣ II-B Second-stage Recourse Control Stage ‣ II Mathematical Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">8f</span></a>). This approach linearizes the voltage calculations while preserving a degree of accuracy.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsubsection" id="S2.SS2.SSS4"> <h4 class="ltx_title ltx_title_subsubsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsubsection"><span class="ltx_text" id="S2.SS2.SSS4.4.1.1">II-B</span>4 </span>Networks security constraints</h4> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.SSS4.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.SSS4.p1.1">The maximum power flow limits and voltage magnitude limits are enforced by constraints (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S2.E9.1" title="In 9 ‣ II-B4 Networks security constraints ‣ II-B Second-stage Recourse Control Stage ‣ II Mathematical Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">9a</span></a>)-(<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S2.E9.2" title="In 9 ‣ II-B4 Networks security constraints ‣ II-B Second-stage Recourse Control Stage ‣ II Mathematical Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">9b</span></a>).</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_table" id="S2.E9"> <tbody> <tr class="ltx_eqn_row" id="S6.EGx7"><td class="ltx_eqn_cell" colspan="5"></td></tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S2.E9.1"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"><math alttext="\displaystyle-\overline{p}^{l}\leq\hat{p}_{ij,t}\leq\overline{p}^{l},\forall ij% \in{\cal L},\forall t\in{\cal T}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E9.1.m2.4"><semantics id="S2.E9.1.m2.4a"><mrow id="S2.E9.1.m2.4.4.2" xref="S2.E9.1.m2.4.4.3.cmml"><mrow id="S2.E9.1.m2.3.3.1.1" xref="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.2" xref="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.2a" xref="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.2.cmml">−</mo><msup id="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.2.2" xref="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.2.2.2" xref="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.2.2.2.2" xref="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml">p</mi><mo id="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.2.2.2.1" xref="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.2.2.2.1.cmml">¯</mo></mover><mi id="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.2.2.3" xref="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.2.2.3.cmml">l</mi></msup></mrow><mo id="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.3" xref="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.3.cmml">≤</mo><msub id="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.4" xref="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.4.cmml"><mover accent="true" id="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.4.2" xref="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.4.2.cmml"><mi id="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.4.2.2" xref="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.4.2.2.cmml">p</mi><mo id="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.4.2.1" xref="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.4.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S2.E9.1.m2.2.2.2.2" xref="S2.E9.1.m2.2.2.2.3.cmml"><mrow id="S2.E9.1.m2.2.2.2.2.1" xref="S2.E9.1.m2.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S2.E9.1.m2.2.2.2.2.1.2" xref="S2.E9.1.m2.2.2.2.2.1.2.cmml">i</mi><mo id="S2.E9.1.m2.2.2.2.2.1.1" xref="S2.E9.1.m2.2.2.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E9.1.m2.2.2.2.2.1.3" xref="S2.E9.1.m2.2.2.2.2.1.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="S2.E9.1.m2.2.2.2.2.2" xref="S2.E9.1.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E9.1.m2.1.1.1.1" xref="S2.E9.1.m2.1.1.1.1.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.5" xref="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.5.cmml">≤</mo><msup id="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.6" xref="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.6.cmml"><mover accent="true" id="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.6.2" xref="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.6.2.cmml"><mi id="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.6.2.2" xref="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.6.2.2.cmml">p</mi><mo id="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.6.2.1" xref="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.6.2.1.cmml">¯</mo></mover><mi id="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.6.3" xref="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.6.3.cmml">l</mi></msup></mrow><mo id="S2.E9.1.m2.4.4.2.3" xref="S2.E9.1.m2.4.4.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.E9.1.m2.4.4.2.2.2" xref="S2.E9.1.m2.4.4.2.2.3.cmml"><mrow id="S2.E9.1.m2.4.4.2.2.1.1" xref="S2.E9.1.m2.4.4.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.E9.1.m2.4.4.2.2.1.1.2" xref="S2.E9.1.m2.4.4.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E9.1.m2.4.4.2.2.1.1.2.1" rspace="0.167em" xref="S2.E9.1.m2.4.4.2.2.1.1.2.1.cmml">∀</mo><mrow id="S2.E9.1.m2.4.4.2.2.1.1.2.2" xref="S2.E9.1.m2.4.4.2.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.E9.1.m2.4.4.2.2.1.1.2.2.2" xref="S2.E9.1.m2.4.4.2.2.1.1.2.2.2.cmml">i</mi><mo id="S2.E9.1.m2.4.4.2.2.1.1.2.2.1" xref="S2.E9.1.m2.4.4.2.2.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E9.1.m2.4.4.2.2.1.1.2.2.3" xref="S2.E9.1.m2.4.4.2.2.1.1.2.2.3.cmml">j</mi></mrow></mrow><mo id="S2.E9.1.m2.4.4.2.2.1.1.1" xref="S2.E9.1.m2.4.4.2.2.1.1.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E9.1.m2.4.4.2.2.1.1.3" xref="S2.E9.1.m2.4.4.2.2.1.1.3.cmml">ℒ</mi></mrow><mo id="S2.E9.1.m2.4.4.2.2.2.3" 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id="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.3.cmml" xref="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.3"></leq><apply id="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.2.cmml" xref="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.2"><minus id="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.2"></minus><apply id="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.2.2.2"><ci id="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.2.2.2.1">¯</ci><ci id="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.2.2.2.2">𝑝</ci></apply><ci id="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.2.2.3">𝑙</ci></apply></apply><apply id="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.4.cmml" xref="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.4.1.cmml" xref="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.4">subscript</csymbol><apply id="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.4.2.cmml" xref="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.4.2"><ci id="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.4.2.1.cmml" xref="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.4.2.1">^</ci><ci id="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.4.2.2.cmml" xref="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.4.2.2">𝑝</ci></apply><list id="S2.E9.1.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E9.1.m2.2.2.2.2"><apply id="S2.E9.1.m2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E9.1.m2.2.2.2.2.1"><times id="S2.E9.1.m2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E9.1.m2.2.2.2.2.1.1"></times><ci id="S2.E9.1.m2.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S2.E9.1.m2.2.2.2.2.1.2">𝑖</ci><ci id="S2.E9.1.m2.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S2.E9.1.m2.2.2.2.2.1.3">𝑗</ci></apply><ci id="S2.E9.1.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E9.1.m2.1.1.1.1">𝑡</ci></list></apply></apply><apply id="S2.E9.1.m2.3.3.1.1c.cmml" xref="S2.E9.1.m2.3.3.1.1"><leq id="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.5.cmml" xref="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S2.E9.1.m2.3.3.1.1.4.cmml" id="S2.E9.1.m2.3.3.1.1d.cmml" xref="S2.E9.1.m2.3.3.1.1"></share><apply id="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.6.cmml" xref="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E9.1.m2.3.3.1.1.6.1.cmml" 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id="S2.E9.1.m2.4.4.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E9.1.m2.4.4.2.2.1.1.2.2.1"></times><ci id="S2.E9.1.m2.4.4.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E9.1.m2.4.4.2.2.1.1.2.2.2">𝑖</ci><ci id="S2.E9.1.m2.4.4.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E9.1.m2.4.4.2.2.1.1.2.2.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="S2.E9.1.m2.4.4.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.E9.1.m2.4.4.2.2.1.1.3">ℒ</ci></apply><apply id="S2.E9.1.m2.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E9.1.m2.4.4.2.2.2.2"><in id="S2.E9.1.m2.4.4.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E9.1.m2.4.4.2.2.2.2.1"></in><apply id="S2.E9.1.m2.4.4.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E9.1.m2.4.4.2.2.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.E9.1.m2.4.4.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E9.1.m2.4.4.2.2.2.2.2.1">for-all</csymbol><ci id="S2.E9.1.m2.4.4.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E9.1.m2.4.4.2.2.2.2.2.2">𝑡</ci></apply><ci id="S2.E9.1.m2.4.4.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E9.1.m2.4.4.2.2.2.2.3">𝒯</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E9.1.m2.4c">\displaystyle-\overline{p}^{l}\leq\hat{p}_{ij,t}\leq\overline{p}^{l},\forall ij% \in{\cal L},\forall t\in{\cal T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E9.1.m2.4d">- over¯ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT italic_l end_POSTSUPERSCRIPT ≤ over^ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j , italic_t end_POSTSUBSCRIPT ≤ over¯ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT italic_l end_POSTSUPERSCRIPT , ∀ italic_i italic_j ∈ caligraphic_L , ∀ italic_t ∈ caligraphic_T</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(9a)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S2.E9.2"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"><math alttext="\displaystyle\underline{v}\leq\hat{v}_{i,t}\leq\overline{v},\forall i\in{\cal N% },\forall t\in{\cal T}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E9.2.m2.4"><semantics id="S2.E9.2.m2.4a"><mrow id="S2.E9.2.m2.4.4.2" xref="S2.E9.2.m2.4.4.3.cmml"><mrow id="S2.E9.2.m2.3.3.1.1" xref="S2.E9.2.m2.3.3.1.1.cmml"><munder accentunder="true" id="S2.E9.2.m2.3.3.1.1.2" xref="S2.E9.2.m2.3.3.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E9.2.m2.3.3.1.1.2.2" xref="S2.E9.2.m2.3.3.1.1.2.2.cmml">v</mi><mo id="S2.E9.2.m2.3.3.1.1.2.1" xref="S2.E9.2.m2.3.3.1.1.2.1.cmml">¯</mo></munder><mo id="S2.E9.2.m2.3.3.1.1.3" xref="S2.E9.2.m2.3.3.1.1.3.cmml">≤</mo><msub id="S2.E9.2.m2.3.3.1.1.4" xref="S2.E9.2.m2.3.3.1.1.4.cmml"><mover accent="true" id="S2.E9.2.m2.3.3.1.1.4.2" xref="S2.E9.2.m2.3.3.1.1.4.2.cmml"><mi id="S2.E9.2.m2.3.3.1.1.4.2.2" xref="S2.E9.2.m2.3.3.1.1.4.2.2.cmml">v</mi><mo id="S2.E9.2.m2.3.3.1.1.4.2.1" xref="S2.E9.2.m2.3.3.1.1.4.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S2.E9.2.m2.2.2.2.4" xref="S2.E9.2.m2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E9.2.m2.1.1.1.1" xref="S2.E9.2.m2.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.E9.2.m2.2.2.2.4.1" xref="S2.E9.2.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E9.2.m2.2.2.2.2" xref="S2.E9.2.m2.2.2.2.2.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S2.E9.2.m2.3.3.1.1.5" xref="S2.E9.2.m2.3.3.1.1.5.cmml">≤</mo><mover accent="true" id="S2.E9.2.m2.3.3.1.1.6" xref="S2.E9.2.m2.3.3.1.1.6.cmml"><mi id="S2.E9.2.m2.3.3.1.1.6.2" xref="S2.E9.2.m2.3.3.1.1.6.2.cmml">v</mi><mo id="S2.E9.2.m2.3.3.1.1.6.1" xref="S2.E9.2.m2.3.3.1.1.6.1.cmml">¯</mo></mover></mrow><mo id="S2.E9.2.m2.4.4.2.3" xref="S2.E9.2.m2.4.4.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.E9.2.m2.4.4.2.2.2" xref="S2.E9.2.m2.4.4.2.2.3.cmml"><mrow id="S2.E9.2.m2.4.4.2.2.1.1" xref="S2.E9.2.m2.4.4.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.E9.2.m2.4.4.2.2.1.1.2" xref="S2.E9.2.m2.4.4.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E9.2.m2.4.4.2.2.1.1.2.1" rspace="0.167em" xref="S2.E9.2.m2.4.4.2.2.1.1.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S2.E9.2.m2.4.4.2.2.1.1.2.2" xref="S2.E9.2.m2.4.4.2.2.1.1.2.2.cmml">i</mi></mrow><mo id="S2.E9.2.m2.4.4.2.2.1.1.1" xref="S2.E9.2.m2.4.4.2.2.1.1.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E9.2.m2.4.4.2.2.1.1.3" xref="S2.E9.2.m2.4.4.2.2.1.1.3.cmml">𝒩</mi></mrow><mo id="S2.E9.2.m2.4.4.2.2.2.3" xref="S2.E9.2.m2.4.4.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.E9.2.m2.4.4.2.2.2.2" xref="S2.E9.2.m2.4.4.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S2.E9.2.m2.4.4.2.2.2.2.2" xref="S2.E9.2.m2.4.4.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S2.E9.2.m2.4.4.2.2.2.2.2.1" rspace="0.167em" xref="S2.E9.2.m2.4.4.2.2.2.2.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S2.E9.2.m2.4.4.2.2.2.2.2.2" xref="S2.E9.2.m2.4.4.2.2.2.2.2.2.cmml">t</mi></mrow><mo id="S2.E9.2.m2.4.4.2.2.2.2.1" xref="S2.E9.2.m2.4.4.2.2.2.2.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E9.2.m2.4.4.2.2.2.2.3" xref="S2.E9.2.m2.4.4.2.2.2.2.3.cmml">𝒯</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E9.2.m2.4b"><apply id="S2.E9.2.m2.4.4.3.cmml" xref="S2.E9.2.m2.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E9.2.m2.4.4.3a.cmml" xref="S2.E9.2.m2.4.4.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.E9.2.m2.3.3.1.1.cmml" xref="S2.E9.2.m2.3.3.1.1"><and id="S2.E9.2.m2.3.3.1.1a.cmml" xref="S2.E9.2.m2.3.3.1.1"></and><apply id="S2.E9.2.m2.3.3.1.1b.cmml" xref="S2.E9.2.m2.3.3.1.1"><leq id="S2.E9.2.m2.3.3.1.1.3.cmml" xref="S2.E9.2.m2.3.3.1.1.3"></leq><apply id="S2.E9.2.m2.3.3.1.1.2.cmml" xref="S2.E9.2.m2.3.3.1.1.2"><ci id="S2.E9.2.m2.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E9.2.m2.3.3.1.1.2.1">¯</ci><ci id="S2.E9.2.m2.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E9.2.m2.3.3.1.1.2.2">𝑣</ci></apply><apply id="S2.E9.2.m2.3.3.1.1.4.cmml" xref="S2.E9.2.m2.3.3.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E9.2.m2.3.3.1.1.4.1.cmml" xref="S2.E9.2.m2.3.3.1.1.4">subscript</csymbol><apply id="S2.E9.2.m2.3.3.1.1.4.2.cmml" xref="S2.E9.2.m2.3.3.1.1.4.2"><ci id="S2.E9.2.m2.3.3.1.1.4.2.1.cmml" xref="S2.E9.2.m2.3.3.1.1.4.2.1">^</ci><ci id="S2.E9.2.m2.3.3.1.1.4.2.2.cmml" xref="S2.E9.2.m2.3.3.1.1.4.2.2">𝑣</ci></apply><list id="S2.E9.2.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E9.2.m2.2.2.2.4"><ci id="S2.E9.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E9.2.m2.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S2.E9.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E9.2.m2.2.2.2.2">𝑡</ci></list></apply></apply><apply id="S2.E9.2.m2.3.3.1.1c.cmml" xref="S2.E9.2.m2.3.3.1.1"><leq id="S2.E9.2.m2.3.3.1.1.5.cmml" xref="S2.E9.2.m2.3.3.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S2.E9.2.m2.3.3.1.1.4.cmml" id="S2.E9.2.m2.3.3.1.1d.cmml" xref="S2.E9.2.m2.3.3.1.1"></share><apply id="S2.E9.2.m2.3.3.1.1.6.cmml" xref="S2.E9.2.m2.3.3.1.1.6"><ci id="S2.E9.2.m2.3.3.1.1.6.1.cmml" xref="S2.E9.2.m2.3.3.1.1.6.1">¯</ci><ci id="S2.E9.2.m2.3.3.1.1.6.2.cmml" xref="S2.E9.2.m2.3.3.1.1.6.2">𝑣</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.E9.2.m2.4.4.2.2.3.cmml" xref="S2.E9.2.m2.4.4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E9.2.m2.4.4.2.2.3a.cmml" xref="S2.E9.2.m2.4.4.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.E9.2.m2.4.4.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E9.2.m2.4.4.2.2.1.1"><in id="S2.E9.2.m2.4.4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.E9.2.m2.4.4.2.2.1.1.1"></in><apply id="S2.E9.2.m2.4.4.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.E9.2.m2.4.4.2.2.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.E9.2.m2.4.4.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E9.2.m2.4.4.2.2.1.1.2.1">for-all</csymbol><ci id="S2.E9.2.m2.4.4.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E9.2.m2.4.4.2.2.1.1.2.2">𝑖</ci></apply><ci id="S2.E9.2.m2.4.4.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.E9.2.m2.4.4.2.2.1.1.3">𝒩</ci></apply><apply id="S2.E9.2.m2.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E9.2.m2.4.4.2.2.2.2"><in id="S2.E9.2.m2.4.4.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E9.2.m2.4.4.2.2.2.2.1"></in><apply id="S2.E9.2.m2.4.4.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E9.2.m2.4.4.2.2.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.E9.2.m2.4.4.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E9.2.m2.4.4.2.2.2.2.2.1">for-all</csymbol><ci id="S2.E9.2.m2.4.4.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E9.2.m2.4.4.2.2.2.2.2.2">𝑡</ci></apply><ci id="S2.E9.2.m2.4.4.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E9.2.m2.4.4.2.2.2.2.3">𝒯</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E9.2.m2.4c">\displaystyle\underline{v}\leq\hat{v}_{i,t}\leq\overline{v},\forall i\in{\cal N% },\forall t\in{\cal T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E9.2.m2.4d">under¯ start_ARG italic_v end_ARG ≤ over^ start_ARG italic_v end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_t end_POSTSUBSCRIPT ≤ over¯ start_ARG italic_v end_ARG , ∀ italic_i ∈ caligraphic_N , ∀ italic_t ∈ caligraphic_T</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(9b)</span></td> </tr> </tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.SSS4.p2"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.SSS4.p2.1">Given the uncertainties of RESs and load demands, integrating the economic dispatch plan with a recourse control stage enhances operational flexibility. Compared to a single-stage approach, this model allows for dynamic adjustments by making recourse decisions in response to real-time variations in uncertainties, and co-optimizes active and reactive power dispatch across different timescales, thereby minimizing the need for conservative strategies and ensuring system security against uncertain scenarios <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#bib.bib7" title="">7</a>]</cite>.</p> </div> </section> </section> </section> <section class="ltx_section" id="S3"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">III </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps" id="S3.1.1">Confidence Level-Based Distributionally Information Gap decision Formulation</span> </h2> <section class="ltx_subsection" id="S3.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection"><span class="ltx_text" id="S3.SS1.4.1.1">III-A</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.SS1.5.2">Deterministic Model</span> </h3> <div class="ltx_para" id="S3.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p1.1">A compact matrix-vector form of the optimization model presented in Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S2" title="II Mathematical Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II</span></a> is provided below for subsequent reformulation purpose.</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_table" id="S3.E10"> <tbody> <tr class="ltx_eqn_row" id="S6.EGx8"><td class="ltx_eqn_cell" colspan="5"></td></tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E10.1"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"><math alttext="\displaystyle\min_{\bm{x},\bm{y}}\quad" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E10.1.m1.3"><semantics id="S3.E10.1.m1.3a"><mrow id="S3.E10.1.m1.3.3.1" xref="S3.E10.1.m1.3.3.1.1.cmml"><munder id="S3.E10.1.m1.3.3.1.1" xref="S3.E10.1.m1.3.3.1.1.cmml"><mi id="S3.E10.1.m1.3.3.1.1.2" xref="S3.E10.1.m1.3.3.1.1.2.cmml">min</mi><mrow id="S3.E10.1.m1.2.2.2.4" xref="S3.E10.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E10.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.E10.1.m1.1.1.1.1.cmml">𝒙</mi><mo id="S3.E10.1.m1.2.2.2.4.1" xref="S3.E10.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.E10.1.m1.2.2.2.2" xref="S3.E10.1.m1.2.2.2.2.cmml">𝒚</mi></mrow></munder><mspace id="S3.E10.1.m1.3.3.1.2" width="1.167em" xref="S3.E10.1.m1.3.3.1.1.cmml"></mspace></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E10.1.m1.3b"><apply id="S3.E10.1.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E10.1.m1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E10.1.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.E10.1.m1.3.3.1">subscript</csymbol><min id="S3.E10.1.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.E10.1.m1.3.3.1.1.2"></min><list id="S3.E10.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E10.1.m1.2.2.2.4"><ci id="S3.E10.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E10.1.m1.1.1.1.1">𝒙</ci><ci id="S3.E10.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E10.1.m1.2.2.2.2">𝒚</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E10.1.m1.3c">\displaystyle\min_{\bm{x},\bm{y}}\quad</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E10.1.m1.3d">roman_min start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_x , bold_italic_y end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"><math alttext="\displaystyle\Lambda(\bm{x},\bm{y},\bm{\tilde{\xi}})=\bm{c}^{T}\bm{x}+\bm{d}^{% T}\bm{y}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E10.1.m2.3"><semantics id="S3.E10.1.m2.3a"><mrow id="S3.E10.1.m2.3.4" xref="S3.E10.1.m2.3.4.cmml"><mrow id="S3.E10.1.m2.3.4.2" xref="S3.E10.1.m2.3.4.2.cmml"><mi id="S3.E10.1.m2.3.4.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.E10.1.m2.3.4.2.2.cmml">Λ</mi><mo id="S3.E10.1.m2.3.4.2.1" xref="S3.E10.1.m2.3.4.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E10.1.m2.3.4.2.3.2" xref="S3.E10.1.m2.3.4.2.3.1.cmml"><mo id="S3.E10.1.m2.3.4.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E10.1.m2.3.4.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E10.1.m2.1.1" xref="S3.E10.1.m2.1.1.cmml">𝒙</mi><mo id="S3.E10.1.m2.3.4.2.3.2.2" xref="S3.E10.1.m2.3.4.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E10.1.m2.2.2" xref="S3.E10.1.m2.2.2.cmml">𝒚</mi><mo id="S3.E10.1.m2.3.4.2.3.2.3" xref="S3.E10.1.m2.3.4.2.3.1.cmml">,</mo><mover accent="true" id="S3.E10.1.m2.3.3" xref="S3.E10.1.m2.3.3.cmml"><mi id="S3.E10.1.m2.3.3.2" xref="S3.E10.1.m2.3.3.2.cmml">𝝃</mi><mo class="ltx_mathvariant_bold" id="S3.E10.1.m2.3.3.1" mathvariant="bold" xref="S3.E10.1.m2.3.3.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.E10.1.m2.3.4.2.3.2.4" stretchy="false" xref="S3.E10.1.m2.3.4.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E10.1.m2.3.4.1" xref="S3.E10.1.m2.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.E10.1.m2.3.4.3" xref="S3.E10.1.m2.3.4.3.cmml"><mrow id="S3.E10.1.m2.3.4.3.2" xref="S3.E10.1.m2.3.4.3.2.cmml"><msup id="S3.E10.1.m2.3.4.3.2.2" xref="S3.E10.1.m2.3.4.3.2.2.cmml"><mi id="S3.E10.1.m2.3.4.3.2.2.2" xref="S3.E10.1.m2.3.4.3.2.2.2.cmml">𝒄</mi><mi id="S3.E10.1.m2.3.4.3.2.2.3" xref="S3.E10.1.m2.3.4.3.2.2.3.cmml">T</mi></msup><mo id="S3.E10.1.m2.3.4.3.2.1" xref="S3.E10.1.m2.3.4.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E10.1.m2.3.4.3.2.3" xref="S3.E10.1.m2.3.4.3.2.3.cmml">𝒙</mi></mrow><mo id="S3.E10.1.m2.3.4.3.1" xref="S3.E10.1.m2.3.4.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.E10.1.m2.3.4.3.3" xref="S3.E10.1.m2.3.4.3.3.cmml"><msup id="S3.E10.1.m2.3.4.3.3.2" xref="S3.E10.1.m2.3.4.3.3.2.cmml"><mi id="S3.E10.1.m2.3.4.3.3.2.2" xref="S3.E10.1.m2.3.4.3.3.2.2.cmml">𝒅</mi><mi id="S3.E10.1.m2.3.4.3.3.2.3" xref="S3.E10.1.m2.3.4.3.3.2.3.cmml">T</mi></msup><mo id="S3.E10.1.m2.3.4.3.3.1" xref="S3.E10.1.m2.3.4.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E10.1.m2.3.4.3.3.3" xref="S3.E10.1.m2.3.4.3.3.3.cmml">𝒚</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E10.1.m2.3b"><apply id="S3.E10.1.m2.3.4.cmml" xref="S3.E10.1.m2.3.4"><eq id="S3.E10.1.m2.3.4.1.cmml" xref="S3.E10.1.m2.3.4.1"></eq><apply id="S3.E10.1.m2.3.4.2.cmml" xref="S3.E10.1.m2.3.4.2"><times id="S3.E10.1.m2.3.4.2.1.cmml" xref="S3.E10.1.m2.3.4.2.1"></times><ci id="S3.E10.1.m2.3.4.2.2.cmml" xref="S3.E10.1.m2.3.4.2.2">Λ</ci><vector id="S3.E10.1.m2.3.4.2.3.1.cmml" xref="S3.E10.1.m2.3.4.2.3.2"><ci id="S3.E10.1.m2.1.1.cmml" xref="S3.E10.1.m2.1.1">𝒙</ci><ci id="S3.E10.1.m2.2.2.cmml" xref="S3.E10.1.m2.2.2">𝒚</ci><apply id="S3.E10.1.m2.3.3.cmml" xref="S3.E10.1.m2.3.3"><ci id="S3.E10.1.m2.3.3.1.cmml" xref="S3.E10.1.m2.3.3.1">bold-~</ci><ci id="S3.E10.1.m2.3.3.2.cmml" xref="S3.E10.1.m2.3.3.2">𝝃</ci></apply></vector></apply><apply id="S3.E10.1.m2.3.4.3.cmml" xref="S3.E10.1.m2.3.4.3"><plus id="S3.E10.1.m2.3.4.3.1.cmml" xref="S3.E10.1.m2.3.4.3.1"></plus><apply id="S3.E10.1.m2.3.4.3.2.cmml" xref="S3.E10.1.m2.3.4.3.2"><times id="S3.E10.1.m2.3.4.3.2.1.cmml" 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xref="S3.E10.1.m2.3.4.3.3.3">𝒚</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E10.1.m2.3c">\displaystyle\Lambda(\bm{x},\bm{y},\bm{\tilde{\xi}})=\bm{c}^{T}\bm{x}+\bm{d}^{% T}\bm{y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E10.1.m2.3d">roman_Λ ( bold_italic_x , bold_italic_y , overbold_~ start_ARG bold_italic_ξ end_ARG ) = bold_italic_c start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_italic_x + bold_italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_italic_y</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(10a)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E10.2"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"><span class="ltx_text ltx_markedasmath" id="S3.E10.2.2.1.1.1">s.t.</span></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"><math alttext="\displaystyle\bm{A}\bm{x}\leq\bm{b}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E10.2.m2.1"><semantics id="S3.E10.2.m2.1a"><mrow id="S3.E10.2.m2.1.1" xref="S3.E10.2.m2.1.1.cmml"><mrow id="S3.E10.2.m2.1.1.2" xref="S3.E10.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E10.2.m2.1.1.2.2" xref="S3.E10.2.m2.1.1.2.2.cmml">𝑨</mi><mo id="S3.E10.2.m2.1.1.2.1" xref="S3.E10.2.m2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E10.2.m2.1.1.2.3" xref="S3.E10.2.m2.1.1.2.3.cmml">𝒙</mi></mrow><mo id="S3.E10.2.m2.1.1.1" xref="S3.E10.2.m2.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="S3.E10.2.m2.1.1.3" xref="S3.E10.2.m2.1.1.3.cmml">𝒃</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E10.2.m2.1b"><apply id="S3.E10.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.E10.2.m2.1.1"><leq id="S3.E10.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.E10.2.m2.1.1.1"></leq><apply id="S3.E10.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.E10.2.m2.1.1.2"><times id="S3.E10.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E10.2.m2.1.1.2.1"></times><ci id="S3.E10.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E10.2.m2.1.1.2.2">𝑨</ci><ci id="S3.E10.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E10.2.m2.1.1.2.3">𝒙</ci></apply><ci id="S3.E10.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.E10.2.m2.1.1.3">𝒃</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E10.2.m2.1c">\displaystyle\bm{A}\bm{x}\leq\bm{b}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E10.2.m2.1d">bold_italic_A bold_italic_x ≤ bold_italic_b</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(10b)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E10.3"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"><math alttext="\displaystyle\bm{E}\bm{x}\leq\bm{F}\bm{\tilde{\xi}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E10.3.m2.1"><semantics id="S3.E10.3.m2.1a"><mrow id="S3.E10.3.m2.1.1" xref="S3.E10.3.m2.1.1.cmml"><mrow id="S3.E10.3.m2.1.1.2" xref="S3.E10.3.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E10.3.m2.1.1.2.2" xref="S3.E10.3.m2.1.1.2.2.cmml">𝑬</mi><mo id="S3.E10.3.m2.1.1.2.1" xref="S3.E10.3.m2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E10.3.m2.1.1.2.3" xref="S3.E10.3.m2.1.1.2.3.cmml">𝒙</mi></mrow><mo id="S3.E10.3.m2.1.1.1" xref="S3.E10.3.m2.1.1.1.cmml">≤</mo><mrow id="S3.E10.3.m2.1.1.3" xref="S3.E10.3.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E10.3.m2.1.1.3.2" xref="S3.E10.3.m2.1.1.3.2.cmml">𝑭</mi><mo id="S3.E10.3.m2.1.1.3.1" xref="S3.E10.3.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S3.E10.3.m2.1.1.3.3" xref="S3.E10.3.m2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E10.3.m2.1.1.3.3.2" xref="S3.E10.3.m2.1.1.3.3.2.cmml">𝝃</mi><mo class="ltx_mathvariant_bold" id="S3.E10.3.m2.1.1.3.3.1" mathvariant="bold" xref="S3.E10.3.m2.1.1.3.3.1.cmml">~</mo></mover></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E10.3.m2.1b"><apply id="S3.E10.3.m2.1.1.cmml" xref="S3.E10.3.m2.1.1"><leq id="S3.E10.3.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.E10.3.m2.1.1.1"></leq><apply id="S3.E10.3.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.E10.3.m2.1.1.2"><times id="S3.E10.3.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E10.3.m2.1.1.2.1"></times><ci id="S3.E10.3.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E10.3.m2.1.1.2.2">𝑬</ci><ci id="S3.E10.3.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E10.3.m2.1.1.2.3">𝒙</ci></apply><apply id="S3.E10.3.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.E10.3.m2.1.1.3"><times id="S3.E10.3.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E10.3.m2.1.1.3.1"></times><ci id="S3.E10.3.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E10.3.m2.1.1.3.2">𝑭</ci><apply id="S3.E10.3.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E10.3.m2.1.1.3.3"><ci id="S3.E10.3.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E10.3.m2.1.1.3.3.1">bold-~</ci><ci id="S3.E10.3.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E10.3.m2.1.1.3.3.2">𝝃</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E10.3.m2.1c">\displaystyle\bm{E}\bm{x}\leq\bm{F}\bm{\tilde{\xi}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E10.3.m2.1d">bold_italic_E bold_italic_x ≤ bold_italic_F overbold_~ start_ARG bold_italic_ξ end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(10c)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E10.4"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"><math alttext="\displaystyle\bm{G}\bm{x}+\bm{H}\bm{y}\leq\bm{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E10.4.m2.1"><semantics id="S3.E10.4.m2.1a"><mrow id="S3.E10.4.m2.1.1" xref="S3.E10.4.m2.1.1.cmml"><mrow id="S3.E10.4.m2.1.1.2" xref="S3.E10.4.m2.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.E10.4.m2.1.1.2.2" xref="S3.E10.4.m2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E10.4.m2.1.1.2.2.2" xref="S3.E10.4.m2.1.1.2.2.2.cmml">𝑮</mi><mo id="S3.E10.4.m2.1.1.2.2.1" xref="S3.E10.4.m2.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E10.4.m2.1.1.2.2.3" xref="S3.E10.4.m2.1.1.2.2.3.cmml">𝒙</mi></mrow><mo id="S3.E10.4.m2.1.1.2.1" xref="S3.E10.4.m2.1.1.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.E10.4.m2.1.1.2.3" xref="S3.E10.4.m2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E10.4.m2.1.1.2.3.2" xref="S3.E10.4.m2.1.1.2.3.2.cmml">𝑯</mi><mo id="S3.E10.4.m2.1.1.2.3.1" xref="S3.E10.4.m2.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E10.4.m2.1.1.2.3.3" xref="S3.E10.4.m2.1.1.2.3.3.cmml">𝒚</mi></mrow></mrow><mo id="S3.E10.4.m2.1.1.1" xref="S3.E10.4.m2.1.1.1.cmml">≤</mo><mn id="S3.E10.4.m2.1.1.3" xref="S3.E10.4.m2.1.1.3.cmml">𝟎</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E10.4.m2.1b"><apply id="S3.E10.4.m2.1.1.cmml" xref="S3.E10.4.m2.1.1"><leq id="S3.E10.4.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.E10.4.m2.1.1.1"></leq><apply id="S3.E10.4.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.E10.4.m2.1.1.2"><plus id="S3.E10.4.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E10.4.m2.1.1.2.1"></plus><apply id="S3.E10.4.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E10.4.m2.1.1.2.2"><times id="S3.E10.4.m2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E10.4.m2.1.1.2.2.1"></times><ci id="S3.E10.4.m2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E10.4.m2.1.1.2.2.2">𝑮</ci><ci id="S3.E10.4.m2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E10.4.m2.1.1.2.2.3">𝒙</ci></apply><apply id="S3.E10.4.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E10.4.m2.1.1.2.3"><times id="S3.E10.4.m2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E10.4.m2.1.1.2.3.1"></times><ci id="S3.E10.4.m2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E10.4.m2.1.1.2.3.2">𝑯</ci><ci id="S3.E10.4.m2.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.E10.4.m2.1.1.2.3.3">𝒚</ci></apply></apply><cn id="S3.E10.4.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E10.4.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E10.4.m2.1c">\displaystyle\bm{G}\bm{x}+\bm{H}\bm{y}\leq\bm{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E10.4.m2.1d">bold_italic_G bold_italic_x + bold_italic_H bold_italic_y ≤ bold_0</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(10d)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E10.5"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"><math alttext="\displaystyle\bm{I}\bm{x}+\bm{J}\bm{y}\leq\bm{L}\bm{\tilde{\xi}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E10.5.m2.1"><semantics id="S3.E10.5.m2.1a"><mrow id="S3.E10.5.m2.1.1" xref="S3.E10.5.m2.1.1.cmml"><mrow id="S3.E10.5.m2.1.1.2" xref="S3.E10.5.m2.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.E10.5.m2.1.1.2.2" xref="S3.E10.5.m2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E10.5.m2.1.1.2.2.2" xref="S3.E10.5.m2.1.1.2.2.2.cmml">𝑰</mi><mo id="S3.E10.5.m2.1.1.2.2.1" xref="S3.E10.5.m2.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E10.5.m2.1.1.2.2.3" xref="S3.E10.5.m2.1.1.2.2.3.cmml">𝒙</mi></mrow><mo id="S3.E10.5.m2.1.1.2.1" xref="S3.E10.5.m2.1.1.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.E10.5.m2.1.1.2.3" xref="S3.E10.5.m2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E10.5.m2.1.1.2.3.2" xref="S3.E10.5.m2.1.1.2.3.2.cmml">𝑱</mi><mo id="S3.E10.5.m2.1.1.2.3.1" xref="S3.E10.5.m2.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E10.5.m2.1.1.2.3.3" xref="S3.E10.5.m2.1.1.2.3.3.cmml">𝒚</mi></mrow></mrow><mo id="S3.E10.5.m2.1.1.1" xref="S3.E10.5.m2.1.1.1.cmml">≤</mo><mrow id="S3.E10.5.m2.1.1.3" xref="S3.E10.5.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E10.5.m2.1.1.3.2" xref="S3.E10.5.m2.1.1.3.2.cmml">𝑳</mi><mo id="S3.E10.5.m2.1.1.3.1" xref="S3.E10.5.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S3.E10.5.m2.1.1.3.3" xref="S3.E10.5.m2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E10.5.m2.1.1.3.3.2" xref="S3.E10.5.m2.1.1.3.3.2.cmml">𝝃</mi><mo class="ltx_mathvariant_bold" id="S3.E10.5.m2.1.1.3.3.1" mathvariant="bold" xref="S3.E10.5.m2.1.1.3.3.1.cmml">~</mo></mover></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E10.5.m2.1b"><apply id="S3.E10.5.m2.1.1.cmml" xref="S3.E10.5.m2.1.1"><leq id="S3.E10.5.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.E10.5.m2.1.1.1"></leq><apply id="S3.E10.5.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.E10.5.m2.1.1.2"><plus id="S3.E10.5.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E10.5.m2.1.1.2.1"></plus><apply id="S3.E10.5.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E10.5.m2.1.1.2.2"><times id="S3.E10.5.m2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E10.5.m2.1.1.2.2.1"></times><ci id="S3.E10.5.m2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E10.5.m2.1.1.2.2.2">𝑰</ci><ci id="S3.E10.5.m2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E10.5.m2.1.1.2.2.3">𝒙</ci></apply><apply id="S3.E10.5.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E10.5.m2.1.1.2.3"><times id="S3.E10.5.m2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E10.5.m2.1.1.2.3.1"></times><ci id="S3.E10.5.m2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E10.5.m2.1.1.2.3.2">𝑱</ci><ci id="S3.E10.5.m2.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.E10.5.m2.1.1.2.3.3">𝒚</ci></apply></apply><apply id="S3.E10.5.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.E10.5.m2.1.1.3"><times id="S3.E10.5.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E10.5.m2.1.1.3.1"></times><ci id="S3.E10.5.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E10.5.m2.1.1.3.2">𝑳</ci><apply id="S3.E10.5.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E10.5.m2.1.1.3.3"><ci id="S3.E10.5.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E10.5.m2.1.1.3.3.1">bold-~</ci><ci id="S3.E10.5.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E10.5.m2.1.1.3.3.2">𝝃</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E10.5.m2.1c">\displaystyle\bm{I}\bm{x}+\bm{J}\bm{y}\leq\bm{L}\bm{\tilde{\xi}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E10.5.m2.1d">bold_italic_I bold_italic_x + bold_italic_J bold_italic_y ≤ bold_italic_L overbold_~ start_ARG bold_italic_ξ end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(10e)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E10.6"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"><math alttext="\displaystyle\bm{M}\bm{y}\leq\bm{g}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E10.6.m2.1"><semantics id="S3.E10.6.m2.1a"><mrow id="S3.E10.6.m2.1.1" xref="S3.E10.6.m2.1.1.cmml"><mrow id="S3.E10.6.m2.1.1.2" xref="S3.E10.6.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E10.6.m2.1.1.2.2" xref="S3.E10.6.m2.1.1.2.2.cmml">𝑴</mi><mo id="S3.E10.6.m2.1.1.2.1" xref="S3.E10.6.m2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E10.6.m2.1.1.2.3" xref="S3.E10.6.m2.1.1.2.3.cmml">𝒚</mi></mrow><mo id="S3.E10.6.m2.1.1.1" xref="S3.E10.6.m2.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="S3.E10.6.m2.1.1.3" xref="S3.E10.6.m2.1.1.3.cmml">𝒈</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E10.6.m2.1b"><apply id="S3.E10.6.m2.1.1.cmml" xref="S3.E10.6.m2.1.1"><leq id="S3.E10.6.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.E10.6.m2.1.1.1"></leq><apply id="S3.E10.6.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.E10.6.m2.1.1.2"><times id="S3.E10.6.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E10.6.m2.1.1.2.1"></times><ci id="S3.E10.6.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E10.6.m2.1.1.2.2">𝑴</ci><ci id="S3.E10.6.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E10.6.m2.1.1.2.3">𝒚</ci></apply><ci id="S3.E10.6.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.E10.6.m2.1.1.3">𝒈</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E10.6.m2.1c">\displaystyle\bm{M}\bm{y}\leq\bm{g}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E10.6.m2.1d">bold_italic_M bold_italic_y ≤ bold_italic_g</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(10f)</span></td> </tr> </tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p2.15">In the above deterministic formulation, the total operational cost is indicated by <math alttext="\Lambda(\bm{x},\bm{y},\bm{\tilde{\xi}})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.1.m1.3"><semantics id="S3.SS1.p2.1.m1.3a"><mrow id="S3.SS1.p2.1.m1.3.4" xref="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.2.cmml">Λ</mi><mo id="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.1" xref="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.3.2" xref="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.3.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS1.p2.1.m1.1.1" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml">𝒙</mi><mo id="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.3.2.2" xref="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS1.p2.1.m1.2.2" xref="S3.SS1.p2.1.m1.2.2.cmml">𝒚</mi><mo id="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.3.2.3" xref="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.3.1.cmml">,</mo><mover accent="true" id="S3.SS1.p2.1.m1.3.3" xref="S3.SS1.p2.1.m1.3.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.1.m1.3.3.2" xref="S3.SS1.p2.1.m1.3.3.2.cmml">𝝃</mi><mo class="ltx_mathvariant_bold" id="S3.SS1.p2.1.m1.3.3.1" mathvariant="bold" xref="S3.SS1.p2.1.m1.3.3.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.3.2.4" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.1.m1.3b"><apply id="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.3.4"><times id="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.1"></times><ci id="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.2">Λ</ci><vector id="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.3.2"><ci id="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.1">𝒙</ci><ci id="S3.SS1.p2.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.2.2">𝒚</ci><apply id="S3.SS1.p2.1.m1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.3.3"><ci id="S3.SS1.p2.1.m1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.3.3.1">bold-~</ci><ci id="S3.SS1.p2.1.m1.3.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.3.3.2">𝝃</ci></apply></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.1.m1.3c">\Lambda(\bm{x},\bm{y},\bm{\tilde{\xi}})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.1.m1.3d">roman_Λ ( bold_italic_x , bold_italic_y , overbold_~ start_ARG bold_italic_ξ end_ARG )</annotation></semantics></math>, where <math alttext="\bm{x}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.2.m2.1"><semantics id="S3.SS1.p2.2.m2.1a"><mi id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.cmml">𝒙</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.2.m2.1b"><ci id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1">𝒙</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.2.m2.1c">\bm{x}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.2.m2.1d">bold_italic_x</annotation></semantics></math> refers to the first-stage decision variable including <math alttext="[p_{i,t}^{G},p_{i,t}^{B+},p_{i,t}^{B-},z_{i,t}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.3.m3.12"><semantics id="S3.SS1.p2.3.m3.12a"><mrow id="S3.SS1.p2.3.m3.12.12.4" xref="S3.SS1.p2.3.m3.12.12.5.cmml"><mo id="S3.SS1.p2.3.m3.12.12.4.5" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.3.m3.12.12.5.cmml">[</mo><msubsup id="S3.SS1.p2.3.m3.9.9.1.1" xref="S3.SS1.p2.3.m3.9.9.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.3.m3.9.9.1.1.2.2" xref="S3.SS1.p2.3.m3.9.9.1.1.2.2.cmml">p</mi><mrow id="S3.SS1.p2.3.m3.2.2.2.4" xref="S3.SS1.p2.3.m3.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.SS1.p2.3.m3.2.2.2.4.1" xref="S3.SS1.p2.3.m3.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.SS1.p2.3.m3.2.2.2.2" xref="S3.SS1.p2.3.m3.2.2.2.2.cmml">t</mi></mrow><mi id="S3.SS1.p2.3.m3.9.9.1.1.3" xref="S3.SS1.p2.3.m3.9.9.1.1.3.cmml">G</mi></msubsup><mo id="S3.SS1.p2.3.m3.12.12.4.6" xref="S3.SS1.p2.3.m3.12.12.5.cmml">,</mo><msubsup id="S3.SS1.p2.3.m3.10.10.2.2" xref="S3.SS1.p2.3.m3.10.10.2.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.3.m3.10.10.2.2.2.2" xref="S3.SS1.p2.3.m3.10.10.2.2.2.2.cmml">p</mi><mrow id="S3.SS1.p2.3.m3.4.4.2.4" xref="S3.SS1.p2.3.m3.4.4.2.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.3.m3.3.3.1.1" xref="S3.SS1.p2.3.m3.3.3.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.SS1.p2.3.m3.4.4.2.4.1" xref="S3.SS1.p2.3.m3.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.SS1.p2.3.m3.4.4.2.2" xref="S3.SS1.p2.3.m3.4.4.2.2.cmml">t</mi></mrow><mrow id="S3.SS1.p2.3.m3.10.10.2.2.3" xref="S3.SS1.p2.3.m3.10.10.2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.3.m3.10.10.2.2.3.2" xref="S3.SS1.p2.3.m3.10.10.2.2.3.2.cmml">B</mi><mo id="S3.SS1.p2.3.m3.10.10.2.2.3.3" xref="S3.SS1.p2.3.m3.10.10.2.2.3.3.cmml">+</mo></mrow></msubsup><mo id="S3.SS1.p2.3.m3.12.12.4.7" 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id="S3.SS1.p2.3.m3.8.8.2.4" xref="S3.SS1.p2.3.m3.8.8.2.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.3.m3.7.7.1.1" xref="S3.SS1.p2.3.m3.7.7.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.SS1.p2.3.m3.8.8.2.4.1" xref="S3.SS1.p2.3.m3.8.8.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.SS1.p2.3.m3.8.8.2.2" xref="S3.SS1.p2.3.m3.8.8.2.2.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S3.SS1.p2.3.m3.12.12.4.9" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.3.m3.12.12.5.cmml">]</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.3.m3.12b"><list id="S3.SS1.p2.3.m3.12.12.5.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m3.12.12.4"><apply id="S3.SS1.p2.3.m3.9.9.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m3.9.9.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.3.m3.9.9.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m3.9.9.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.SS1.p2.3.m3.9.9.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m3.9.9.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.3.m3.9.9.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m3.9.9.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p2.3.m3.9.9.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m3.9.9.1.1.2.2">𝑝</ci><list id="S3.SS1.p2.3.m3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m3.2.2.2.4"><ci id="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.SS1.p2.3.m3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m3.2.2.2.2">𝑡</ci></list></apply><ci id="S3.SS1.p2.3.m3.9.9.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m3.9.9.1.1.3">𝐺</ci></apply><apply id="S3.SS1.p2.3.m3.10.10.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m3.10.10.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.3.m3.10.10.2.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m3.10.10.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.SS1.p2.3.m3.10.10.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m3.10.10.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.3.m3.10.10.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m3.10.10.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p2.3.m3.10.10.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m3.10.10.2.2.2.2">𝑝</ci><list id="S3.SS1.p2.3.m3.4.4.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m3.4.4.2.4"><ci id="S3.SS1.p2.3.m3.3.3.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m3.3.3.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.SS1.p2.3.m3.4.4.2.2.cmml" 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id="S3.SS1.p2.5.m5.4.4.2.2" xref="S3.SS1.p2.5.m5.4.4.2.2.cmml">t</mi></mrow><mi id="S3.SS1.p2.5.m5.6.6.2.2.3" xref="S3.SS1.p2.5.m5.6.6.2.2.3.cmml">G</mi></msubsup><mo id="S3.SS1.p2.5.m5.6.6.2.5" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.5.m5.6.6.3.cmml">]</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.5.m5.6b"><interval closure="closed" id="S3.SS1.p2.5.m5.6.6.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m5.6.6.2"><apply id="S3.SS1.p2.5.m5.5.5.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m5.5.5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.5.m5.5.5.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m5.5.5.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.SS1.p2.5.m5.5.5.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m5.5.5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.5.m5.5.5.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m5.5.5.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.SS1.p2.5.m5.5.5.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m5.5.5.1.1.2.2"><ci id="S3.SS1.p2.5.m5.5.5.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m5.5.5.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="S3.SS1.p2.5.m5.5.5.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m5.5.5.1.1.2.2.2">𝑝</ci></apply><list id="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.4"><ci id="S3.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2">𝑡</ci></list></apply><ci id="S3.SS1.p2.5.m5.5.5.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m5.5.5.1.1.3">𝐺</ci></apply><apply id="S3.SS1.p2.5.m5.6.6.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m5.6.6.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.5.m5.6.6.2.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m5.6.6.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.SS1.p2.5.m5.6.6.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m5.6.6.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.5.m5.6.6.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m5.6.6.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.SS1.p2.5.m5.6.6.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m5.6.6.2.2.2.2"><ci id="S3.SS1.p2.5.m5.6.6.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m5.6.6.2.2.2.2.1">^</ci><ci id="S3.SS1.p2.5.m5.6.6.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m5.6.6.2.2.2.2.2">𝑞</ci></apply><list id="S3.SS1.p2.5.m5.4.4.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m5.4.4.2.4"><ci id="S3.SS1.p2.5.m5.3.3.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m5.3.3.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.SS1.p2.5.m5.4.4.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m5.4.4.2.2">𝑡</ci></list></apply><ci id="S3.SS1.p2.5.m5.6.6.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m5.6.6.2.2.3">𝐺</ci></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.5.m5.6c">[\hat{p}_{i,t}^{G},\hat{q}_{i,t}^{G}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.5.m5.6d">[ over^ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_G end_POSTSUPERSCRIPT , over^ start_ARG italic_q end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_G end_POSTSUPERSCRIPT ]</annotation></semantics></math>, and <math alttext="\bm{\tilde{\xi}}=\bm{\tilde{p}^{L}}-\bm{\tilde{p}^{PV}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.6.m6.1"><semantics id="S3.SS1.p2.6.m6.1a"><mrow id="S3.SS1.p2.6.m6.1.1" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.2" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.2.2" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.2.2.cmml">𝝃</mi><mo class="ltx_mathvariant_bold" id="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.2.1" mathvariant="bold" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.1" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.3" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.3.cmml"><msup id="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.3.2.2" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.3.2.2.2" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.3.2.2.2.cmml">𝒑</mi><mo class="ltx_mathvariant_bold" id="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.3.2.2.1" mathvariant="bold" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.3.2.3" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.3.2.3.cmml">𝑳</mi></msup><mo id="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.3.1" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.3.1.cmml">−</mo><msup id="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.3.3" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.3.3.2" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.3.3.2.2" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.3.3.2.2.cmml">𝒑</mi><mo class="ltx_mathvariant_bold" id="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.3.3.2.1" mathvariant="bold" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.3.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.3.3.3" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.3.3.3.2" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.3.3.3.2.cmml">𝑷</mi><mo id="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.3.3.3.1" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.3.3.3.3" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.3.3.3.3.cmml">𝑽</mi></mrow></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.6.m6.1b"><apply id="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.1"><eq id="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.1"></eq><apply id="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.2"><ci id="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.2.1">bold-~</ci><ci id="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.2.2">𝝃</ci></apply><apply id="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.3"><minus id="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.3.1"></minus><apply id="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.3.2.2"><ci id="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.3.2.2.1">bold-~</ci><ci id="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.3.2.2.2">𝒑</ci></apply><ci id="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.3.2.3">𝑳</ci></apply><apply id="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.3.3.2"><ci id="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.3.3.2.1">bold-~</ci><ci id="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.3.3.2.2">𝒑</ci></apply><apply id="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.3.3.3"><times id="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.3.3.3.1"></times><ci id="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.3.3.3.2">𝑷</ci><ci id="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.3.3.3.3">𝑽</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.6.m6.1c">\bm{\tilde{\xi}}=\bm{\tilde{p}^{L}}-\bm{\tilde{p}^{PV}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.6.m6.1d">overbold_~ start_ARG bold_italic_ξ end_ARG = overbold_~ start_ARG bold_italic_p end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT bold_italic_L end_POSTSUPERSCRIPT - overbold_~ start_ARG bold_italic_p end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT bold_italic_P bold_italic_V end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> denotes the uncertain vector related to load demands and renewable energy, which adopt their forecasted values in the deterministic model. The variable <math alttext="\bm{x}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.7.m7.1"><semantics id="S3.SS1.p2.7.m7.1a"><mi id="S3.SS1.p2.7.m7.1.1" xref="S3.SS1.p2.7.m7.1.1.cmml">𝒙</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.7.m7.1b"><ci id="S3.SS1.p2.7.m7.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.7.m7.1.1">𝒙</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.7.m7.1c">\bm{x}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.7.m7.1d">bold_italic_x</annotation></semantics></math> is constrained by (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S3.E10.2" title="In 10 ‣ III-A Deterministic Model ‣ III Confidence Level-Based Distributionally Information Gap decision Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">10b</span></a>), corresponding to constraints (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S2.E2" title="In II-A2 DGs constraints ‣ II-A First-stage Economic Dispatch Plan ‣ II Mathematical Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>)-(<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S2.E3" title="In II-A3 ESSs constraints ‣ II-A First-stage Economic Dispatch Plan ‣ II Mathematical Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>), (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S2.E4.1" title="In 4 ‣ II-A4 Power flow constraints ‣ II-A First-stage Economic Dispatch Plan ‣ II Mathematical Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4a</span></a>) and (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S2.E5" title="In II-A5 Network security constraints ‣ II-A First-stage Economic Dispatch Plan ‣ II Mathematical Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a>). Constraint (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S3.E10.3" title="In 10 ‣ III-A Deterministic Model ‣ III Confidence Level-Based Distributionally Information Gap decision Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">10c</span></a>) correlates <math alttext="\bm{x}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.8.m8.1"><semantics id="S3.SS1.p2.8.m8.1a"><mi id="S3.SS1.p2.8.m8.1.1" xref="S3.SS1.p2.8.m8.1.1.cmml">𝒙</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.8.m8.1b"><ci id="S3.SS1.p2.8.m8.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m8.1.1">𝒙</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.8.m8.1c">\bm{x}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.8.m8.1d">bold_italic_x</annotation></semantics></math> with the forecasted value of uncertain vector <math alttext="\bm{\tilde{\xi}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.9.m9.1"><semantics id="S3.SS1.p2.9.m9.1a"><mover accent="true" id="S3.SS1.p2.9.m9.1.1" xref="S3.SS1.p2.9.m9.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.9.m9.1.1.2" xref="S3.SS1.p2.9.m9.1.1.2.cmml">𝝃</mi><mo class="ltx_mathvariant_bold" id="S3.SS1.p2.9.m9.1.1.1" mathvariant="bold" xref="S3.SS1.p2.9.m9.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.9.m9.1b"><apply id="S3.SS1.p2.9.m9.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.9.m9.1.1"><ci id="S3.SS1.p2.9.m9.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.9.m9.1.1.1">bold-~</ci><ci id="S3.SS1.p2.9.m9.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.9.m9.1.1.2">𝝃</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.9.m9.1c">\bm{\tilde{\xi}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.9.m9.1d">overbold_~ start_ARG bold_italic_ξ end_ARG</annotation></semantics></math>, corresponding to constraint (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S2.E4.2" title="In 4 ‣ II-A4 Power flow constraints ‣ II-A First-stage Economic Dispatch Plan ‣ II Mathematical Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4b</span></a>). Constraint (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S3.E10.4" title="In 10 ‣ III-A Deterministic Model ‣ III Confidence Level-Based Distributionally Information Gap decision Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">10d</span></a>) builds the relationship between <math alttext="\bm{x}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.10.m10.1"><semantics id="S3.SS1.p2.10.m10.1a"><mi id="S3.SS1.p2.10.m10.1.1" xref="S3.SS1.p2.10.m10.1.1.cmml">𝒙</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.10.m10.1b"><ci id="S3.SS1.p2.10.m10.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.10.m10.1.1">𝒙</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.10.m10.1c">\bm{x}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.10.m10.1d">bold_italic_x</annotation></semantics></math> and <math alttext="\bm{y}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.11.m11.1"><semantics id="S3.SS1.p2.11.m11.1a"><mi id="S3.SS1.p2.11.m11.1.1" xref="S3.SS1.p2.11.m11.1.1.cmml">𝒚</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.11.m11.1b"><ci id="S3.SS1.p2.11.m11.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.11.m11.1.1">𝒚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.11.m11.1c">\bm{y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.11.m11.1d">bold_italic_y</annotation></semantics></math>, corresponding to constraint (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S2.E7.3" title="In 7 ‣ II-B2 DGs recourse constraints ‣ II-B Second-stage Recourse Control Stage ‣ II Mathematical Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7c</span></a>). Constraint (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S3.E10.5" title="In 10 ‣ III-A Deterministic Model ‣ III Confidence Level-Based Distributionally Information Gap decision Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">10e</span></a>) correlates <math alttext="\bm{x}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.12.m12.1"><semantics id="S3.SS1.p2.12.m12.1a"><mi id="S3.SS1.p2.12.m12.1.1" xref="S3.SS1.p2.12.m12.1.1.cmml">𝒙</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.12.m12.1b"><ci id="S3.SS1.p2.12.m12.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.12.m12.1.1">𝒙</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.12.m12.1c">\bm{x}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.12.m12.1d">bold_italic_x</annotation></semantics></math> and <math alttext="\bm{y}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.13.m13.1"><semantics id="S3.SS1.p2.13.m13.1a"><mi id="S3.SS1.p2.13.m13.1.1" xref="S3.SS1.p2.13.m13.1.1.cmml">𝒚</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.13.m13.1b"><ci id="S3.SS1.p2.13.m13.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.13.m13.1.1">𝒚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.13.m13.1c">\bm{y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.13.m13.1d">bold_italic_y</annotation></semantics></math> with the forecasted value of uncertain vector <math alttext="\bm{\tilde{\xi}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.14.m14.1"><semantics id="S3.SS1.p2.14.m14.1a"><mover accent="true" id="S3.SS1.p2.14.m14.1.1" xref="S3.SS1.p2.14.m14.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.14.m14.1.1.2" xref="S3.SS1.p2.14.m14.1.1.2.cmml">𝝃</mi><mo class="ltx_mathvariant_bold" id="S3.SS1.p2.14.m14.1.1.1" mathvariant="bold" xref="S3.SS1.p2.14.m14.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.14.m14.1b"><apply id="S3.SS1.p2.14.m14.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.14.m14.1.1"><ci id="S3.SS1.p2.14.m14.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.14.m14.1.1.1">bold-~</ci><ci id="S3.SS1.p2.14.m14.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.14.m14.1.1.2">𝝃</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.14.m14.1c">\bm{\tilde{\xi}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.14.m14.1d">overbold_~ start_ARG bold_italic_ξ end_ARG</annotation></semantics></math>, corresponding to constraints (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S2.E8.3" title="In 8 ‣ II-B3 Power flow and voltage constraints ‣ II-B Second-stage Recourse Control Stage ‣ II Mathematical Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">8c</span></a>)-(<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S2.E8.5" title="In 8 ‣ II-B3 Power flow and voltage constraints ‣ II-B Second-stage Recourse Control Stage ‣ II Mathematical Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">8e</span></a>). Finally, the remaining constraints concerning <math alttext="\bm{y}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.15.m15.1"><semantics id="S3.SS1.p2.15.m15.1a"><mi id="S3.SS1.p2.15.m15.1.1" xref="S3.SS1.p2.15.m15.1.1.cmml">𝒚</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.15.m15.1b"><ci id="S3.SS1.p2.15.m15.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.15.m15.1.1">𝒚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.15.m15.1c">\bm{y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.15.m15.1d">bold_italic_y</annotation></semantics></math> is represented by (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S3.E10.6" title="In 10 ‣ III-A Deterministic Model ‣ III Confidence Level-Based Distributionally Information Gap decision Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">10f</span></a>).</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S3.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection"><span class="ltx_text" id="S3.SS2.4.1.1">III-B</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.SS2.5.2">Information-Gap Decision Model</span> </h3> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p1.2">DNs face significant uncertainties associated with RESs and load demands, necessitating a framework for uncertainty management. IGDT offers a non-probabilistic, non-fuzzy alternative that effectively handles uncertainties without the need to predefine the uncertainty extent <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#bib.bib10" title="">10</a>]</cite>. The commonly used envelope-bound modelling by IGDT is shown below:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx9"> <tbody id="S3.E11"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"><math alttext="\displaystyle\bm{\mathit{\Psi}}(\bm{\tilde{\xi}},\delta)=\left\{\bm{\xi}\mid% \left|(\bm{\xi}-\bm{\tilde{\xi}})\right|/\bm{\tilde{\xi}}\leq\delta,\delta\geq 0\right\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E11.m1.4"><semantics id="S3.E11.m1.4a"><mrow id="S3.E11.m1.4.4" xref="S3.E11.m1.4.4.cmml"><mrow id="S3.E11.m1.4.4.3" xref="S3.E11.m1.4.4.3.cmml"><mi id="S3.E11.m1.4.4.3.2" xref="S3.E11.m1.4.4.3.2.cmml">𝜳</mi><mo id="S3.E11.m1.4.4.3.1" xref="S3.E11.m1.4.4.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E11.m1.4.4.3.3.2" xref="S3.E11.m1.4.4.3.3.1.cmml"><mo id="S3.E11.m1.4.4.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E11.m1.4.4.3.3.1.cmml">(</mo><mover accent="true" id="S3.E11.m1.1.1" xref="S3.E11.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.E11.m1.1.1.2" xref="S3.E11.m1.1.1.2.cmml">𝝃</mi><mo class="ltx_mathvariant_bold" id="S3.E11.m1.1.1.1" mathvariant="bold" xref="S3.E11.m1.1.1.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.E11.m1.4.4.3.3.2.2" xref="S3.E11.m1.4.4.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E11.m1.2.2" xref="S3.E11.m1.2.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.E11.m1.4.4.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.E11.m1.4.4.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E11.m1.4.4.2" xref="S3.E11.m1.4.4.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.E11.m1.4.4.1.1" xref="S3.E11.m1.4.4.1.2.cmml"><mo id="S3.E11.m1.4.4.1.1.2" xref="S3.E11.m1.4.4.1.2.1.cmml">{</mo><mi id="S3.E11.m1.3.3" xref="S3.E11.m1.3.3.cmml">𝝃</mi><mo fence="true" id="S3.E11.m1.4.4.1.1.3" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.E11.m1.4.4.1.2.1.cmml">∣</mo><mrow id="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝝃</mi><mo id="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mover accent="true" id="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">𝝃</mi><mo class="ltx_mathvariant_bold" id="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" mathvariant="bold" xref="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">~</mo></mover></mrow><mo id="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">/</mo><mover accent="true" id="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">𝝃</mi><mo class="ltx_mathvariant_bold" id="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1" mathvariant="bold" xref="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">~</mo></mover></mrow><mo id="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">≤</mo><mi id="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml">δ</mi></mrow><mo id="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.2.3" xref="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.2.2" xref="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.2.2.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.2.2.1" xref="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.2.2.1.cmml">≥</mo><mn id="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.2.2.3.cmml">0</mn></mrow></mrow><mo id="S3.E11.m1.4.4.1.1.4" xref="S3.E11.m1.4.4.1.2.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E11.m1.4b"><apply id="S3.E11.m1.4.4.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4"><eq id="S3.E11.m1.4.4.2.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2"></eq><apply id="S3.E11.m1.4.4.3.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.3"><times id="S3.E11.m1.4.4.3.1.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.3.1"></times><ci id="S3.E11.m1.4.4.3.2.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.3.2">𝜳</ci><interval closure="open" id="S3.E11.m1.4.4.3.3.1.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.3.3.2"><apply id="S3.E11.m1.1.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1"><ci id="S3.E11.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1">bold-~</ci><ci id="S3.E11.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.2">𝝃</ci></apply><ci id="S3.E11.m1.2.2.cmml" xref="S3.E11.m1.2.2">𝛿</ci></interval></apply><apply id="S3.E11.m1.4.4.1.2.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E11.m1.4.4.1.2.1.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.1.1.2">conditional-set</csymbol><ci id="S3.E11.m1.3.3.cmml" xref="S3.E11.m1.3.3">𝝃</ci><apply id="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1"><leq id="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.2"></leq><apply id="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"><divide id="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2"></divide><apply id="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1"><abs id="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝝃</ci><apply id="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><ci id="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1">bold-~</ci><ci id="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝝃</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3"><ci id="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1">bold-~</ci><ci id="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2">𝝃</ci></apply></apply><ci id="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.3">𝛿</ci></apply><apply id="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.2.2"><geq id="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.2.2.1"></geq><ci id="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.2.2.2">𝛿</ci><cn id="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E11.m1.4.4.1.1.1.2.2.3">0</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E11.m1.4c">\displaystyle\bm{\mathit{\Psi}}(\bm{\tilde{\xi}},\delta)=\left\{\bm{\xi}\mid% \left|(\bm{\xi}-\bm{\tilde{\xi}})\right|/\bm{\tilde{\xi}}\leq\delta,\delta\geq 0\right\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E11.m1.4d">bold_italic_Ψ ( overbold_~ start_ARG bold_italic_ξ end_ARG , italic_δ ) = { bold_italic_ξ ∣ | ( bold_italic_ξ - overbold_~ start_ARG bold_italic_ξ end_ARG ) | / overbold_~ start_ARG bold_italic_ξ end_ARG ≤ italic_δ , italic_δ ≥ 0 }</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(11)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p1.1">where the variable <math alttext="\delta" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p1.1.m1.1a"><mi id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml">δ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p1.1.m1.1b"><ci id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1">𝛿</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p1.1.m1.1c">\delta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p1.1.m1.1d">italic_δ</annotation></semantics></math> represents the uncertainty extent.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p2.3">The uncertainty modelling <math alttext="\bm{\mathit{\Psi}}(\tilde{\bm{\xi}},\delta)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.1.m1.2"><semantics id="S3.SS2.p2.1.m1.2a"><mrow id="S3.SS2.p2.1.m1.2.3" xref="S3.SS2.p2.1.m1.2.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.1.m1.2.3.2" xref="S3.SS2.p2.1.m1.2.3.2.cmml">𝜳</mi><mo id="S3.SS2.p2.1.m1.2.3.1" xref="S3.SS2.p2.1.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.p2.1.m1.2.3.3.2" xref="S3.SS2.p2.1.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p2.1.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.1.m1.2.3.3.1.cmml">(</mo><mover accent="true" id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.2.cmml">𝝃</mi><mo id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.1" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.SS2.p2.1.m1.2.3.3.2.2" xref="S3.SS2.p2.1.m1.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.p2.1.m1.2.2" xref="S3.SS2.p2.1.m1.2.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.SS2.p2.1.m1.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.1.m1.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.1.m1.2b"><apply id="S3.SS2.p2.1.m1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.2.3"><times id="S3.SS2.p2.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.2.3.1"></times><ci id="S3.SS2.p2.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.2.3.2">𝜳</ci><interval closure="open" id="S3.SS2.p2.1.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.2.3.3.2"><apply id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1"><ci id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.1">~</ci><ci id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.2">𝝃</ci></apply><ci id="S3.SS2.p2.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.2.2">𝛿</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.1.m1.2c">\bm{\mathit{\Psi}}(\tilde{\bm{\xi}},\delta)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.1.m1.2d">bold_italic_Ψ ( over~ start_ARG bold_italic_ξ end_ARG , italic_δ )</annotation></semantics></math> highlights the gap between the forecasted values and unknown information. For a given <math alttext="\tilde{\bm{\xi}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.2.m2.1"><semantics id="S3.SS2.p2.2.m2.1a"><mover accent="true" id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.2.cmml">𝝃</mi><mo id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.1" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.2.m2.1b"><apply id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1"><ci id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.1">~</ci><ci id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.2">𝝃</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.2.m2.1c">\tilde{\bm{\xi}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.2.m2.1d">over~ start_ARG bold_italic_ξ end_ARG</annotation></semantics></math>, an increasing <math alttext="\delta" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.3.m3.1"><semantics id="S3.SS2.p2.3.m3.1a"><mi id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.cmml">δ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.3.m3.1b"><ci id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1">𝛿</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.3.m3.1c">\delta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.3.m3.1d">italic_δ</annotation></semantics></math> enhances the risk-averse capability, leading to a more costly solution, as it requires more resources to ensure performance and reliability under uncertainty.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S3.F1"> <div class="ltx_flex_figure"> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_3"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S3.F1.sf1"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_square" height="172" id="S3.F1.sf1.g1" src="x1.png" width="191"/> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S3.F1.sf1.2.1.1" style="font-size:80%;">(a)</span> </span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_3"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S3.F1.sf2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_square" height="171" id="S3.F1.sf2.g1" src="x2.png" width="207"/> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S3.F1.sf2.2.1.1" style="font-size:80%;">(b)</span> </span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_3"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S3.F1.sf3"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_square" height="166" id="S3.F1.sf3.g1" src="x3.png" width="182"/> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S3.F1.sf3.2.1.1" style="font-size:80%;">(c)</span> </span><span class="ltx_text" id="S3.F1.sf3.3.2" style="font-size:80%;"> </span></figcaption> </figure> </div> </div> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure 1: </span>(a) The symmetric uncertainty set aligns perfectly with the shortest confidence interval of uncertain parameter characterized by symmetric probability density function; (b) For uncertain parameter with asymmetric characteristics, the symmetric uncertainty set no longer matches the shortest confidence interval; (c) The confidence level-driven uncertainty set captures the most probable uncertain scenarios, unlike the symmetric uncertainty set.</figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p3"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p3.5">A major achievement of IGDT is its risk-averse capability, which refers to the maximum uncertainty extent obtained by driving the actual system performance towards the desired target. As Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S3.F1.sf1" title="In Figure 1 ‣ III-B Information-Gap Decision Model ‣ III Confidence Level-Based Distributionally Information Gap decision Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1(a)</span></a> shows, IGDT maximizes the uncertainty extent (safe region) to enable robust operational strategies. This is particularly advantageous in the energy dispatch field when the clear performance targets, such as the operational cost, are set by the distribution system operators. Under the desired target, the risk-averse capability against uncertainties associated with RESs and load demands is maximized. Consequently, this paper applies IGDT to handle the uncertain parameters in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S3.E10" title="In III-A Deterministic Model ‣ III Confidence Level-Based Distributionally Information Gap decision Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">10</span></a>), which thus can be reformulated as follows:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_table" id="S3.E12"> <tbody> <tr class="ltx_eqn_row" id="S6.EGx10"><td class="ltx_eqn_cell" colspan="5"></td></tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E12.1"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"><math alttext="\displaystyle\max_{\bm{x},\bm{y}}\quad" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E12.1.m1.3"><semantics id="S3.E12.1.m1.3a"><mrow id="S3.E12.1.m1.3.3.1" xref="S3.E12.1.m1.3.3.1.1.cmml"><munder id="S3.E12.1.m1.3.3.1.1" xref="S3.E12.1.m1.3.3.1.1.cmml"><mi id="S3.E12.1.m1.3.3.1.1.2" xref="S3.E12.1.m1.3.3.1.1.2.cmml">max</mi><mrow id="S3.E12.1.m1.2.2.2.4" xref="S3.E12.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E12.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.E12.1.m1.1.1.1.1.cmml">𝒙</mi><mo id="S3.E12.1.m1.2.2.2.4.1" xref="S3.E12.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.E12.1.m1.2.2.2.2" xref="S3.E12.1.m1.2.2.2.2.cmml">𝒚</mi></mrow></munder><mspace id="S3.E12.1.m1.3.3.1.2" width="1.167em" xref="S3.E12.1.m1.3.3.1.1.cmml"></mspace></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E12.1.m1.3b"><apply id="S3.E12.1.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E12.1.m1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E12.1.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.E12.1.m1.3.3.1">subscript</csymbol><max id="S3.E12.1.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.E12.1.m1.3.3.1.1.2"></max><list id="S3.E12.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E12.1.m1.2.2.2.4"><ci id="S3.E12.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E12.1.m1.1.1.1.1">𝒙</ci><ci id="S3.E12.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E12.1.m1.2.2.2.2">𝒚</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E12.1.m1.3c">\displaystyle\max_{\bm{x},\bm{y}}\quad</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E12.1.m1.3d">roman_max start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_x , bold_italic_y end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"><math alttext="\displaystyle\delta" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E12.1.m2.1"><semantics id="S3.E12.1.m2.1a"><mi id="S3.E12.1.m2.1.1" xref="S3.E12.1.m2.1.1.cmml">δ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E12.1.m2.1b"><ci id="S3.E12.1.m2.1.1.cmml" xref="S3.E12.1.m2.1.1">𝛿</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E12.1.m2.1c">\displaystyle\delta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E12.1.m2.1d">italic_δ</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(12a)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E12.2"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"><span class="ltx_text ltx_markedasmath" id="S3.E12.2.2.1.1.1">s.t.</span></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"><math alttext="\displaystyle\bm{A}\bm{x}\leq\bm{b}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E12.2.m2.1"><semantics id="S3.E12.2.m2.1a"><mrow id="S3.E12.2.m2.1.1" xref="S3.E12.2.m2.1.1.cmml"><mrow id="S3.E12.2.m2.1.1.2" xref="S3.E12.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E12.2.m2.1.1.2.2" xref="S3.E12.2.m2.1.1.2.2.cmml">𝑨</mi><mo id="S3.E12.2.m2.1.1.2.1" xref="S3.E12.2.m2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E12.2.m2.1.1.2.3" xref="S3.E12.2.m2.1.1.2.3.cmml">𝒙</mi></mrow><mo id="S3.E12.2.m2.1.1.1" xref="S3.E12.2.m2.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="S3.E12.2.m2.1.1.3" xref="S3.E12.2.m2.1.1.3.cmml">𝒃</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E12.2.m2.1b"><apply id="S3.E12.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.E12.2.m2.1.1"><leq id="S3.E12.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.E12.2.m2.1.1.1"></leq><apply id="S3.E12.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.E12.2.m2.1.1.2"><times id="S3.E12.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E12.2.m2.1.1.2.1"></times><ci id="S3.E12.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E12.2.m2.1.1.2.2">𝑨</ci><ci id="S3.E12.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E12.2.m2.1.1.2.3">𝒙</ci></apply><ci id="S3.E12.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.E12.2.m2.1.1.3">𝒃</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E12.2.m2.1c">\displaystyle\bm{A}\bm{x}\leq\bm{b}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E12.2.m2.1d">bold_italic_A bold_italic_x ≤ bold_italic_b</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(12b)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E12.3"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"><math alttext="\displaystyle\bm{E}\bm{x}\leq\bm{F}\bm{\tilde{\xi}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E12.3.m1.1"><semantics id="S3.E12.3.m1.1a"><mrow id="S3.E12.3.m1.1.1" xref="S3.E12.3.m1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E12.3.m1.1.1.2" xref="S3.E12.3.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E12.3.m1.1.1.2.2" xref="S3.E12.3.m1.1.1.2.2.cmml">𝑬</mi><mo id="S3.E12.3.m1.1.1.2.1" xref="S3.E12.3.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E12.3.m1.1.1.2.3" xref="S3.E12.3.m1.1.1.2.3.cmml">𝒙</mi></mrow><mo id="S3.E12.3.m1.1.1.1" xref="S3.E12.3.m1.1.1.1.cmml">≤</mo><mrow id="S3.E12.3.m1.1.1.3" xref="S3.E12.3.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E12.3.m1.1.1.3.2" xref="S3.E12.3.m1.1.1.3.2.cmml">𝑭</mi><mo id="S3.E12.3.m1.1.1.3.1" xref="S3.E12.3.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S3.E12.3.m1.1.1.3.3" xref="S3.E12.3.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E12.3.m1.1.1.3.3.2" xref="S3.E12.3.m1.1.1.3.3.2.cmml">𝝃</mi><mo class="ltx_mathvariant_bold" id="S3.E12.3.m1.1.1.3.3.1" mathvariant="bold" xref="S3.E12.3.m1.1.1.3.3.1.cmml">~</mo></mover></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E12.3.m1.1b"><apply id="S3.E12.3.m1.1.1.cmml" xref="S3.E12.3.m1.1.1"><leq id="S3.E12.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.E12.3.m1.1.1.1"></leq><apply id="S3.E12.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.E12.3.m1.1.1.2"><times id="S3.E12.3.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E12.3.m1.1.1.2.1"></times><ci id="S3.E12.3.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E12.3.m1.1.1.2.2">𝑬</ci><ci id="S3.E12.3.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E12.3.m1.1.1.2.3">𝒙</ci></apply><apply id="S3.E12.3.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.E12.3.m1.1.1.3"><times id="S3.E12.3.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E12.3.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.E12.3.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E12.3.m1.1.1.3.2">𝑭</ci><apply id="S3.E12.3.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E12.3.m1.1.1.3.3"><ci id="S3.E12.3.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E12.3.m1.1.1.3.3.1">bold-~</ci><ci id="S3.E12.3.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E12.3.m1.1.1.3.3.2">𝝃</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E12.3.m1.1c">\displaystyle\bm{E}\bm{x}\leq\bm{F}\bm{\tilde{\xi}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E12.3.m1.1d">bold_italic_E bold_italic_x ≤ bold_italic_F overbold_~ start_ARG bold_italic_ξ end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(12c)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E12.4"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"><math alttext="\displaystyle\bm{G}\bm{x}+\bm{H}\bm{y}(\bm{\xi})\leq\bm{0},\forall\bm{\xi}\in% \bm{\mathit{\Psi}(\bm{\tilde{\xi}},\delta)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E12.4.m1.5"><semantics id="S3.E12.4.m1.5a"><mrow id="S3.E12.4.m1.5.5.2" xref="S3.E12.4.m1.5.5.3.cmml"><mrow id="S3.E12.4.m1.4.4.1.1" xref="S3.E12.4.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S3.E12.4.m1.4.4.1.1.2" xref="S3.E12.4.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.E12.4.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S3.E12.4.m1.4.4.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E12.4.m1.4.4.1.1.2.2.2" xref="S3.E12.4.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml">𝑮</mi><mo id="S3.E12.4.m1.4.4.1.1.2.2.1" xref="S3.E12.4.m1.4.4.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E12.4.m1.4.4.1.1.2.2.3" xref="S3.E12.4.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml">𝒙</mi></mrow><mo id="S3.E12.4.m1.4.4.1.1.2.1" xref="S3.E12.4.m1.4.4.1.1.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.E12.4.m1.4.4.1.1.2.3" xref="S3.E12.4.m1.4.4.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E12.4.m1.4.4.1.1.2.3.2" xref="S3.E12.4.m1.4.4.1.1.2.3.2.cmml">𝑯</mi><mo id="S3.E12.4.m1.4.4.1.1.2.3.1" xref="S3.E12.4.m1.4.4.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E12.4.m1.4.4.1.1.2.3.3" xref="S3.E12.4.m1.4.4.1.1.2.3.3.cmml">𝒚</mi><mo id="S3.E12.4.m1.4.4.1.1.2.3.1a" xref="S3.E12.4.m1.4.4.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E12.4.m1.4.4.1.1.2.3.4.2" xref="S3.E12.4.m1.4.4.1.1.2.3.cmml"><mo id="S3.E12.4.m1.4.4.1.1.2.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.E12.4.m1.4.4.1.1.2.3.cmml">(</mo><mi id="S3.E12.4.m1.1.1" xref="S3.E12.4.m1.1.1.cmml">𝝃</mi><mo id="S3.E12.4.m1.4.4.1.1.2.3.4.2.2" stretchy="false" xref="S3.E12.4.m1.4.4.1.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E12.4.m1.4.4.1.1.1" xref="S3.E12.4.m1.4.4.1.1.1.cmml">≤</mo><mn id="S3.E12.4.m1.4.4.1.1.3" xref="S3.E12.4.m1.4.4.1.1.3.cmml">𝟎</mn></mrow><mo id="S3.E12.4.m1.5.5.2.3" xref="S3.E12.4.m1.5.5.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.E12.4.m1.5.5.2.2" xref="S3.E12.4.m1.5.5.2.2.cmml"><mrow id="S3.E12.4.m1.5.5.2.2.2" xref="S3.E12.4.m1.5.5.2.2.2.cmml"><mo id="S3.E12.4.m1.5.5.2.2.2.1" rspace="0.167em" xref="S3.E12.4.m1.5.5.2.2.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S3.E12.4.m1.5.5.2.2.2.2" xref="S3.E12.4.m1.5.5.2.2.2.2.cmml">𝝃</mi></mrow><mo id="S3.E12.4.m1.5.5.2.2.1" xref="S3.E12.4.m1.5.5.2.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.E12.4.m1.5.5.2.2.3" xref="S3.E12.4.m1.5.5.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E12.4.m1.5.5.2.2.3.2" xref="S3.E12.4.m1.5.5.2.2.3.2.cmml">𝜳</mi><mo id="S3.E12.4.m1.5.5.2.2.3.1" xref="S3.E12.4.m1.5.5.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E12.4.m1.5.5.2.2.3.3.2" xref="S3.E12.4.m1.5.5.2.2.3.3.1.cmml"><mo class="ltx_mathvariant_bold" id="S3.E12.4.m1.5.5.2.2.3.3.2.1" mathvariant="bold" stretchy="false" xref="S3.E12.4.m1.5.5.2.2.3.3.1.cmml">(</mo><mover accent="true" id="S3.E12.4.m1.2.2" xref="S3.E12.4.m1.2.2.cmml"><mi id="S3.E12.4.m1.2.2.2" xref="S3.E12.4.m1.2.2.2.cmml">𝝃</mi><mo class="ltx_mathvariant_bold" id="S3.E12.4.m1.2.2.1" mathvariant="bold" xref="S3.E12.4.m1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mo class="ltx_mathvariant_bold" id="S3.E12.4.m1.5.5.2.2.3.3.2.2" mathvariant="bold" xref="S3.E12.4.m1.5.5.2.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E12.4.m1.3.3" xref="S3.E12.4.m1.3.3.cmml">𝜹</mi><mo class="ltx_mathvariant_bold" id="S3.E12.4.m1.5.5.2.2.3.3.2.3" mathvariant="bold" stretchy="false" xref="S3.E12.4.m1.5.5.2.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E12.4.m1.5b"><apply id="S3.E12.4.m1.5.5.3.cmml" xref="S3.E12.4.m1.5.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E12.4.m1.5.5.3a.cmml" xref="S3.E12.4.m1.5.5.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.E12.4.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S3.E12.4.m1.4.4.1.1"><leq id="S3.E12.4.m1.4.4.1.1.1.cmml" 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<td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"><math alttext="\displaystyle\bm{I}\bm{x}+\bm{J}\bm{y}(\bm{\xi})\leq\bm{L}\bm{\xi},\forall\bm{% \xi}\in\bm{\mathit{\Psi}(\bm{\tilde{\xi}},\delta)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E12.5.m1.5"><semantics id="S3.E12.5.m1.5a"><mrow id="S3.E12.5.m1.5.5.2" xref="S3.E12.5.m1.5.5.3.cmml"><mrow id="S3.E12.5.m1.4.4.1.1" xref="S3.E12.5.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S3.E12.5.m1.4.4.1.1.2" xref="S3.E12.5.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.E12.5.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S3.E12.5.m1.4.4.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E12.5.m1.4.4.1.1.2.2.2" xref="S3.E12.5.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml">𝑰</mi><mo id="S3.E12.5.m1.4.4.1.1.2.2.1" xref="S3.E12.5.m1.4.4.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E12.5.m1.4.4.1.1.2.2.3" xref="S3.E12.5.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml">𝒙</mi></mrow><mo id="S3.E12.5.m1.4.4.1.1.2.1" xref="S3.E12.5.m1.4.4.1.1.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.E12.5.m1.4.4.1.1.2.3" xref="S3.E12.5.m1.4.4.1.1.2.3.cmml"><mi 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id="S3.E12.6.m1.5.5.2.2.3.1" xref="S3.E12.6.m1.5.5.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E12.6.m1.5.5.2.2.3.3.2" xref="S3.E12.6.m1.5.5.2.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.E12.6.m1.5.5.2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E12.6.m1.5.5.2.2.3.3.1.cmml">(</mo><mover accent="true" id="S3.E12.6.m1.2.2" xref="S3.E12.6.m1.2.2.cmml"><mi id="S3.E12.6.m1.2.2.2" xref="S3.E12.6.m1.2.2.2.cmml">𝝃</mi><mo class="ltx_mathvariant_bold" id="S3.E12.6.m1.2.2.1" mathvariant="bold" xref="S3.E12.6.m1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.E12.6.m1.5.5.2.2.3.3.2.2" xref="S3.E12.6.m1.5.5.2.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E12.6.m1.3.3" xref="S3.E12.6.m1.3.3.cmml">δ</mi><mo id="S3.E12.6.m1.5.5.2.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.E12.6.m1.5.5.2.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E12.6.m1.5b"><apply id="S3.E12.6.m1.5.5.3.cmml" xref="S3.E12.6.m1.5.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E12.6.m1.5.5.3a.cmml" xref="S3.E12.6.m1.5.5.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.E12.6.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S3.E12.6.m1.4.4.1.1"><leq id="S3.E12.6.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S3.E12.6.m1.4.4.1.1.1"></leq><apply id="S3.E12.6.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S3.E12.6.m1.4.4.1.1.2"><times id="S3.E12.6.m1.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E12.6.m1.4.4.1.1.2.1"></times><ci id="S3.E12.6.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E12.6.m1.4.4.1.1.2.2">𝑴</ci><ci id="S3.E12.6.m1.4.4.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E12.6.m1.4.4.1.1.2.3">𝒚</ci><ci id="S3.E12.6.m1.1.1.cmml" xref="S3.E12.6.m1.1.1">𝝃</ci></apply><ci id="S3.E12.6.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S3.E12.6.m1.4.4.1.1.3">𝒈</ci></apply><apply id="S3.E12.6.m1.5.5.2.2.cmml" xref="S3.E12.6.m1.5.5.2.2"><in id="S3.E12.6.m1.5.5.2.2.1.cmml" xref="S3.E12.6.m1.5.5.2.2.1"></in><apply id="S3.E12.6.m1.5.5.2.2.2.cmml" xref="S3.E12.6.m1.5.5.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.E12.6.m1.5.5.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E12.6.m1.5.5.2.2.2.1">for-all</csymbol><ci id="S3.E12.6.m1.5.5.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E12.6.m1.5.5.2.2.2.2">𝝃</ci></apply><apply id="S3.E12.6.m1.5.5.2.2.3.cmml" xref="S3.E12.6.m1.5.5.2.2.3"><times id="S3.E12.6.m1.5.5.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E12.6.m1.5.5.2.2.3.1"></times><ci id="S3.E12.6.m1.5.5.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E12.6.m1.5.5.2.2.3.2">𝜳</ci><interval closure="open" id="S3.E12.6.m1.5.5.2.2.3.3.1.cmml" xref="S3.E12.6.m1.5.5.2.2.3.3.2"><apply id="S3.E12.6.m1.2.2.cmml" xref="S3.E12.6.m1.2.2"><ci id="S3.E12.6.m1.2.2.1.cmml" xref="S3.E12.6.m1.2.2.1">bold-~</ci><ci id="S3.E12.6.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.E12.6.m1.2.2.2">𝝃</ci></apply><ci id="S3.E12.6.m1.3.3.cmml" xref="S3.E12.6.m1.3.3">𝛿</ci></interval></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E12.6.m1.5c">\displaystyle\bm{M}\bm{y}(\bm{\xi})\leq\bm{g},\forall\bm{\xi}\in\bm{\mathit{% \Psi}}(\bm{\tilde{\xi}},\delta)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E12.6.m1.5d">bold_italic_M bold_italic_y ( bold_italic_ξ ) ≤ bold_italic_g , ∀ bold_italic_ξ ∈ bold_italic_Ψ ( overbold_~ start_ARG bold_italic_ξ end_ARG , italic_δ )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(12f)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E12.7"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"><math alttext="\displaystyle\overline{\Lambda}\leq(1+\sigma)\Lambda_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E12.7.m1.1"><semantics id="S3.E12.7.m1.1a"><mrow id="S3.E12.7.m1.1.1" xref="S3.E12.7.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.E12.7.m1.1.1.3" xref="S3.E12.7.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E12.7.m1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.E12.7.m1.1.1.3.2.cmml">Λ</mi><mo id="S3.E12.7.m1.1.1.3.1" xref="S3.E12.7.m1.1.1.3.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S3.E12.7.m1.1.1.2" xref="S3.E12.7.m1.1.1.2.cmml">≤</mo><mrow id="S3.E12.7.m1.1.1.1" xref="S3.E12.7.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E12.7.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E12.7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E12.7.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E12.7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E12.7.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E12.7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.E12.7.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E12.7.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S3.E12.7.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E12.7.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S3.E12.7.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E12.7.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">σ</mi></mrow><mo id="S3.E12.7.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E12.7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E12.7.m1.1.1.1.2" xref="S3.E12.7.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E12.7.m1.1.1.1.3" xref="S3.E12.7.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E12.7.m1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.E12.7.m1.1.1.1.3.2.cmml">Λ</mi><mn id="S3.E12.7.m1.1.1.1.3.3" xref="S3.E12.7.m1.1.1.1.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E12.7.m1.1b"><apply id="S3.E12.7.m1.1.1.cmml" xref="S3.E12.7.m1.1.1"><leq id="S3.E12.7.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.E12.7.m1.1.1.2"></leq><apply id="S3.E12.7.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.E12.7.m1.1.1.3"><ci id="S3.E12.7.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E12.7.m1.1.1.3.1">¯</ci><ci id="S3.E12.7.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E12.7.m1.1.1.3.2">Λ</ci></apply><apply id="S3.E12.7.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.E12.7.m1.1.1.1"><times id="S3.E12.7.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E12.7.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E12.7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E12.7.m1.1.1.1.1.1"><plus id="S3.E12.7.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E12.7.m1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><cn id="S3.E12.7.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.E12.7.m1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><ci id="S3.E12.7.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E12.7.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝜎</ci></apply><apply id="S3.E12.7.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E12.7.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E12.7.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E12.7.m1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E12.7.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E12.7.m1.1.1.1.3.2">Λ</ci><cn id="S3.E12.7.m1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E12.7.m1.1.1.1.3.3">0</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E12.7.m1.1c">\displaystyle\overline{\Lambda}\leq(1+\sigma)\Lambda_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E12.7.m1.1d">over¯ start_ARG roman_Λ end_ARG ≤ ( 1 + italic_σ ) roman_Λ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(12g)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E12.8"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"><math alttext="\displaystyle\begin{aligned} \overline{\Lambda}&=\max_{\bm{\xi}\in\bm{\mathit{% \Psi}}(\bm{\tilde{\xi}},\delta)}\Lambda\left(\bm{x},\bm{y}(\bm{\xi}),\bm{\xi}% \right)\\ &=\bm{c}^{T}\bm{x}+\max_{\bm{\xi}\in\bm{\mathit{\Psi}}(\bm{\tilde{\xi}},\delta% )}\bm{d}^{T}\bm{y}(\bm{\xi})\end{aligned}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E12.8.m1.9"><semantics id="S3.E12.8.m1.9a"><mtable columnspacing="0pt" id="S3.E12.8.m1.9.9" rowspacing="0.0pt" xref="S3.E12.8.m1.9.9.cmml"><mtr id="S3.E12.8.m1.9.9a" xref="S3.E12.8.m1.9.9.cmml"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S3.E12.8.m1.9.9b" xref="S3.E12.8.m1.9.9.cmml"><mover accent="true" id="S3.E12.8.m1.6.6.6.7.1" xref="S3.E12.8.m1.6.6.6.7.1.cmml"><mi id="S3.E12.8.m1.6.6.6.7.1.2" mathvariant="normal" xref="S3.E12.8.m1.6.6.6.7.1.2.cmml">Λ</mi><mo id="S3.E12.8.m1.6.6.6.7.1.1" xref="S3.E12.8.m1.6.6.6.7.1.1.cmml">¯</mo></mover></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S3.E12.8.m1.9.9c" xref="S3.E12.8.m1.9.9.cmml"><mrow id="S3.E12.8.m1.6.6.6.6.6" xref="S3.E12.8.m1.6.6.6.6.6.cmml"><mi id="S3.E12.8.m1.6.6.6.6.6.8" xref="S3.E12.8.m1.6.6.6.6.6.8.cmml"></mi><mo id="S3.E12.8.m1.6.6.6.6.6.7" xref="S3.E12.8.m1.6.6.6.6.6.7.cmml">=</mo><mrow id="S3.E12.8.m1.6.6.6.6.6.6" xref="S3.E12.8.m1.6.6.6.6.6.6.cmml"><mrow id="S3.E12.8.m1.6.6.6.6.6.6.3" xref="S3.E12.8.m1.6.6.6.6.6.6.3.cmml"><munder id="S3.E12.8.m1.6.6.6.6.6.6.3.1" xref="S3.E12.8.m1.6.6.6.6.6.6.3.1.cmml"><mi id="S3.E12.8.m1.6.6.6.6.6.6.3.1.2" xref="S3.E12.8.m1.6.6.6.6.6.6.3.1.2.cmml">max</mi><mrow id="S3.E12.8.m1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.E12.8.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E12.8.m1.2.2.2.2.2.2.2.4" xref="S3.E12.8.m1.2.2.2.2.2.2.2.4.cmml">𝝃</mi><mo id="S3.E12.8.m1.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S3.E12.8.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">∈</mo><mrow id="S3.E12.8.m1.2.2.2.2.2.2.2.5" xref="S3.E12.8.m1.2.2.2.2.2.2.2.5.cmml"><mi id="S3.E12.8.m1.2.2.2.2.2.2.2.5.2" xref="S3.E12.8.m1.2.2.2.2.2.2.2.5.2.cmml">𝜳</mi><mo id="S3.E12.8.m1.2.2.2.2.2.2.2.5.1" xref="S3.E12.8.m1.2.2.2.2.2.2.2.5.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E12.8.m1.2.2.2.2.2.2.2.5.3.2" xref="S3.E12.8.m1.2.2.2.2.2.2.2.5.3.1.cmml"><mo id="S3.E12.8.m1.2.2.2.2.2.2.2.5.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E12.8.m1.2.2.2.2.2.2.2.5.3.1.cmml">(</mo><mover accent="true" id="S3.E12.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E12.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E12.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E12.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝝃</mi><mo class="ltx_mathvariant_bold" id="S3.E12.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" mathvariant="bold" xref="S3.E12.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.E12.8.m1.2.2.2.2.2.2.2.5.3.2.2" xref="S3.E12.8.m1.2.2.2.2.2.2.2.5.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E12.8.m1.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.E12.8.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.E12.8.m1.2.2.2.2.2.2.2.5.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.E12.8.m1.2.2.2.2.2.2.2.5.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></munder><mo id="S3.E12.8.m1.6.6.6.6.6.6.3a" lspace="0.167em" xref="S3.E12.8.m1.6.6.6.6.6.6.3.cmml">⁡</mo><mi id="S3.E12.8.m1.6.6.6.6.6.6.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.E12.8.m1.6.6.6.6.6.6.3.2.cmml">Λ</mi></mrow><mo id="S3.E12.8.m1.6.6.6.6.6.6.2" xref="S3.E12.8.m1.6.6.6.6.6.6.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E12.8.m1.6.6.6.6.6.6.1.1" xref="S3.E12.8.m1.6.6.6.6.6.6.1.2.cmml"><mo id="S3.E12.8.m1.6.6.6.6.6.6.1.1.2" xref="S3.E12.8.m1.6.6.6.6.6.6.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.E12.8.m1.4.4.4.4.4.4" xref="S3.E12.8.m1.4.4.4.4.4.4.cmml">𝒙</mi><mo id="S3.E12.8.m1.6.6.6.6.6.6.1.1.3" xref="S3.E12.8.m1.6.6.6.6.6.6.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S3.E12.8.m1.6.6.6.6.6.6.1.1.1" xref="S3.E12.8.m1.6.6.6.6.6.6.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E12.8.m1.6.6.6.6.6.6.1.1.1.2" xref="S3.E12.8.m1.6.6.6.6.6.6.1.1.1.2.cmml">𝒚</mi><mo id="S3.E12.8.m1.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1" xref="S3.E12.8.m1.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E12.8.m1.6.6.6.6.6.6.1.1.1.3.2" xref="S3.E12.8.m1.6.6.6.6.6.6.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E12.8.m1.6.6.6.6.6.6.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E12.8.m1.6.6.6.6.6.6.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E12.8.m1.3.3.3.3.3.3" xref="S3.E12.8.m1.3.3.3.3.3.3.cmml">𝝃</mi><mo id="S3.E12.8.m1.6.6.6.6.6.6.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E12.8.m1.6.6.6.6.6.6.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E12.8.m1.6.6.6.6.6.6.1.1.4" xref="S3.E12.8.m1.6.6.6.6.6.6.1.2.cmml">,</mo><mi id="S3.E12.8.m1.5.5.5.5.5.5" xref="S3.E12.8.m1.5.5.5.5.5.5.cmml">𝝃</mi><mo id="S3.E12.8.m1.6.6.6.6.6.6.1.1.5" xref="S3.E12.8.m1.6.6.6.6.6.6.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S3.E12.8.m1.9.9d" xref="S3.E12.8.m1.9.9.cmml"><mtd id="S3.E12.8.m1.9.9e" xref="S3.E12.8.m1.9.9.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S3.E12.8.m1.9.9f" xref="S3.E12.8.m1.9.9.cmml"><mrow id="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3" xref="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.cmml"><mi id="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.5" xref="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.5.cmml"></mi><mo id="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.4" xref="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.4.cmml">=</mo><mrow id="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6" xref="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.cmml"><mrow id="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.2" xref="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.2.cmml"><msup id="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.2.2" xref="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.2.2.cmml"><mi id="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.2.2.2" xref="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.2.2.2.cmml">𝒄</mi><mi id="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.2.2.3" xref="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.2.2.3.cmml">T</mi></msup><mo id="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.2.1" xref="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.2.3" xref="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.2.3.cmml">𝒙</mi></mrow><mo id="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.1" xref="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.3" xref="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.3.cmml"><mrow id="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.3.2" xref="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.3.2.cmml"><munder id="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.3.2.1" xref="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.3.2.1.cmml"><mi id="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.3.2.1.2" xref="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.3.2.1.2.cmml">max</mi><mrow id="S3.E12.8.m1.8.8.8.2.2.2.2" xref="S3.E12.8.m1.8.8.8.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E12.8.m1.8.8.8.2.2.2.2.4" xref="S3.E12.8.m1.8.8.8.2.2.2.2.4.cmml">𝝃</mi><mo id="S3.E12.8.m1.8.8.8.2.2.2.2.3" xref="S3.E12.8.m1.8.8.8.2.2.2.2.3.cmml">∈</mo><mrow id="S3.E12.8.m1.8.8.8.2.2.2.2.5" xref="S3.E12.8.m1.8.8.8.2.2.2.2.5.cmml"><mi id="S3.E12.8.m1.8.8.8.2.2.2.2.5.2" xref="S3.E12.8.m1.8.8.8.2.2.2.2.5.2.cmml">𝜳</mi><mo id="S3.E12.8.m1.8.8.8.2.2.2.2.5.1" xref="S3.E12.8.m1.8.8.8.2.2.2.2.5.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E12.8.m1.8.8.8.2.2.2.2.5.3.2" xref="S3.E12.8.m1.8.8.8.2.2.2.2.5.3.1.cmml"><mo id="S3.E12.8.m1.8.8.8.2.2.2.2.5.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E12.8.m1.8.8.8.2.2.2.2.5.3.1.cmml">(</mo><mover accent="true" id="S3.E12.8.m1.7.7.7.1.1.1.1.1" xref="S3.E12.8.m1.7.7.7.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E12.8.m1.7.7.7.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E12.8.m1.7.7.7.1.1.1.1.1.2.cmml">𝝃</mi><mo class="ltx_mathvariant_bold" id="S3.E12.8.m1.7.7.7.1.1.1.1.1.1" mathvariant="bold" xref="S3.E12.8.m1.7.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.E12.8.m1.8.8.8.2.2.2.2.5.3.2.2" xref="S3.E12.8.m1.8.8.8.2.2.2.2.5.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E12.8.m1.8.8.8.2.2.2.2.2" xref="S3.E12.8.m1.8.8.8.2.2.2.2.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.E12.8.m1.8.8.8.2.2.2.2.5.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.E12.8.m1.8.8.8.2.2.2.2.5.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></munder><mo id="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.3.2a" lspace="0.167em" xref="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.3.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.3.2.2" xref="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.3.2.2.cmml"><msup id="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.3.2.2.2" xref="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.3.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.3.2.2.2.2" xref="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.3.2.2.2.2.cmml">𝒅</mi><mi id="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.3.2.2.2.3" xref="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.3.2.2.2.3.cmml">T</mi></msup><mo id="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.3.2.2.1" xref="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.3.2.2.3" xref="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.3.2.2.3.cmml">𝒚</mi></mrow></mrow><mo id="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.3.1" xref="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.3.3.2" xref="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.3.cmml"><mo id="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.3.cmml">(</mo><mi id="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.3" xref="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.3.cmml">𝝃</mi><mo id="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E12.8.m1.9b"><matrix id="S3.E12.8.m1.9.9.cmml" xref="S3.E12.8.m1.9.9"><matrixrow id="S3.E12.8.m1.9.9a.cmml" xref="S3.E12.8.m1.9.9"><apply id="S3.E12.8.m1.6.6.6.7.1.cmml" xref="S3.E12.8.m1.6.6.6.7.1"><ci id="S3.E12.8.m1.6.6.6.7.1.1.cmml" xref="S3.E12.8.m1.6.6.6.7.1.1">¯</ci><ci id="S3.E12.8.m1.6.6.6.7.1.2.cmml" 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id="S3.E12.8.m1.2.2.2.2.2.2.2.4.cmml" xref="S3.E12.8.m1.2.2.2.2.2.2.2.4">𝝃</ci><apply id="S3.E12.8.m1.2.2.2.2.2.2.2.5.cmml" xref="S3.E12.8.m1.2.2.2.2.2.2.2.5"><times id="S3.E12.8.m1.2.2.2.2.2.2.2.5.1.cmml" xref="S3.E12.8.m1.2.2.2.2.2.2.2.5.1"></times><ci id="S3.E12.8.m1.2.2.2.2.2.2.2.5.2.cmml" xref="S3.E12.8.m1.2.2.2.2.2.2.2.5.2">𝜳</ci><interval closure="open" id="S3.E12.8.m1.2.2.2.2.2.2.2.5.3.1.cmml" xref="S3.E12.8.m1.2.2.2.2.2.2.2.5.3.2"><apply id="S3.E12.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E12.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><ci id="S3.E12.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E12.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">bold-~</ci><ci id="S3.E12.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E12.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝝃</ci></apply><ci id="S3.E12.8.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E12.8.m1.2.2.2.2.2.2.2.2">𝛿</ci></interval></apply></apply></apply><ci id="S3.E12.8.m1.6.6.6.6.6.6.3.2.cmml" xref="S3.E12.8.m1.6.6.6.6.6.6.3.2">Λ</ci></apply><vector id="S3.E12.8.m1.6.6.6.6.6.6.1.2.cmml" xref="S3.E12.8.m1.6.6.6.6.6.6.1.1"><ci id="S3.E12.8.m1.4.4.4.4.4.4.cmml" xref="S3.E12.8.m1.4.4.4.4.4.4">𝒙</ci><apply id="S3.E12.8.m1.6.6.6.6.6.6.1.1.1.cmml" xref="S3.E12.8.m1.6.6.6.6.6.6.1.1.1"><times id="S3.E12.8.m1.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E12.8.m1.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1"></times><ci id="S3.E12.8.m1.6.6.6.6.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E12.8.m1.6.6.6.6.6.6.1.1.1.2">𝒚</ci><ci id="S3.E12.8.m1.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="S3.E12.8.m1.3.3.3.3.3.3">𝝃</ci></apply><ci id="S3.E12.8.m1.5.5.5.5.5.5.cmml" xref="S3.E12.8.m1.5.5.5.5.5.5">𝝃</ci></vector></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="S3.E12.8.m1.9.9b.cmml" xref="S3.E12.8.m1.9.9"><cerror id="S3.E12.8.m1.9.9c.cmml" xref="S3.E12.8.m1.9.9"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E12.8.m1.9.9d.cmml" xref="S3.E12.8.m1.9.9">missing-subexpression</csymbol></cerror><apply id="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.cmml" xref="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3"><eq id="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.4.cmml" xref="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.4"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.5.cmml" xref="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.5">absent</csymbol><apply id="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.cmml" xref="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6"><plus id="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.1.cmml" xref="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.1"></plus><apply id="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.2.cmml" xref="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.2"><times id="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.2.1.cmml" xref="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.2.1"></times><apply id="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.2.2.cmml" xref="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.2.2.1.cmml" xref="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.2.2.2.cmml" xref="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.2.2.2">𝒄</ci><ci id="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.2.2.3.cmml" xref="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.2.2.3">𝑇</ci></apply><ci id="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.2.3.cmml" xref="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.2.3">𝒙</ci></apply><apply id="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.3.cmml" xref="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.3"><times id="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.3.1.cmml" xref="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.3.1"></times><apply id="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.3.2.cmml" xref="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.3.2"><apply id="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.3.2.1.cmml" xref="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.3.2.1.1.cmml" xref="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.3.2.1">subscript</csymbol><max id="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.3.2.1.2.cmml" xref="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.3.2.1.2"></max><apply id="S3.E12.8.m1.8.8.8.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E12.8.m1.8.8.8.2.2.2.2"><in id="S3.E12.8.m1.8.8.8.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E12.8.m1.8.8.8.2.2.2.2.3"></in><ci id="S3.E12.8.m1.8.8.8.2.2.2.2.4.cmml" xref="S3.E12.8.m1.8.8.8.2.2.2.2.4">𝝃</ci><apply id="S3.E12.8.m1.8.8.8.2.2.2.2.5.cmml" xref="S3.E12.8.m1.8.8.8.2.2.2.2.5"><times id="S3.E12.8.m1.8.8.8.2.2.2.2.5.1.cmml" xref="S3.E12.8.m1.8.8.8.2.2.2.2.5.1"></times><ci id="S3.E12.8.m1.8.8.8.2.2.2.2.5.2.cmml" xref="S3.E12.8.m1.8.8.8.2.2.2.2.5.2">𝜳</ci><interval closure="open" id="S3.E12.8.m1.8.8.8.2.2.2.2.5.3.1.cmml" xref="S3.E12.8.m1.8.8.8.2.2.2.2.5.3.2"><apply id="S3.E12.8.m1.7.7.7.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E12.8.m1.7.7.7.1.1.1.1.1"><ci id="S3.E12.8.m1.7.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E12.8.m1.7.7.7.1.1.1.1.1.1">bold-~</ci><ci id="S3.E12.8.m1.7.7.7.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E12.8.m1.7.7.7.1.1.1.1.1.2">𝝃</ci></apply><ci id="S3.E12.8.m1.8.8.8.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E12.8.m1.8.8.8.2.2.2.2.2">𝛿</ci></interval></apply></apply></apply><apply id="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.3.2.2.cmml" xref="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.3.2.2"><times id="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.3.2.2.1"></times><apply id="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.3.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.3.2.2.2.2">𝒅</ci><ci id="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.3.2.2.2.3">𝑇</ci></apply><ci id="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.3.2.2.3.cmml" xref="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.6.3.2.2.3">𝒚</ci></apply></apply><ci id="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.3.cmml" xref="S3.E12.8.m1.9.9.9.3.3.3">𝝃</ci></apply></apply></apply></matrixrow></matrix></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E12.8.m1.9c">\displaystyle\begin{aligned} \overline{\Lambda}&=\max_{\bm{\xi}\in\bm{\mathit{% \Psi}}(\bm{\tilde{\xi}},\delta)}\Lambda\left(\bm{x},\bm{y}(\bm{\xi}),\bm{\xi}% \right)\\ &=\bm{c}^{T}\bm{x}+\max_{\bm{\xi}\in\bm{\mathit{\Psi}}(\bm{\tilde{\xi}},\delta% )}\bm{d}^{T}\bm{y}(\bm{\xi})\end{aligned}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E12.8.m1.9d">start_ROW start_CELL over¯ start_ARG roman_Λ end_ARG end_CELL start_CELL = roman_max start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_ξ ∈ bold_italic_Ψ ( overbold_~ start_ARG bold_italic_ξ end_ARG , italic_δ ) end_POSTSUBSCRIPT roman_Λ ( bold_italic_x , bold_italic_y ( bold_italic_ξ ) , bold_italic_ξ ) end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL = bold_italic_c start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_italic_x + roman_max start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_ξ ∈ bold_italic_Ψ ( overbold_~ start_ARG bold_italic_ξ end_ARG , italic_δ ) end_POSTSUBSCRIPT bold_italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_italic_y ( bold_italic_ξ ) end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(12h)</span></td> </tr> </tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p3.4">IGDT formulation in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S3.E12" title="In III-B Information-Gap Decision Model ‣ III Confidence Level-Based Distributionally Information Gap decision Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">12</span></a>) is a two-level optimization model. At the upper level, the objective is to maximize the uncertainty extent while enforcing the constraints (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S3.E12.2" title="In 12 ‣ III-B Information-Gap Decision Model ‣ III Confidence Level-Based Distributionally Information Gap decision Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">12b</span></a>)-(<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S3.E12.7" title="In 12 ‣ III-B Information-Gap Decision Model ‣ III Confidence Level-Based Distributionally Information Gap decision Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">12g</span></a>). The lower level is specified in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S3.E12.7" title="In 12 ‣ III-B Information-Gap Decision Model ‣ III Confidence Level-Based Distributionally Information Gap decision Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">12g</span></a>)-(<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S3.E12.8" title="In 12 ‣ III-B Information-Gap Decision Model ‣ III Confidence Level-Based Distributionally Information Gap decision Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">12h</span></a>), where <math alttext="\sigma" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p3.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p3.1.m1.1a"><mi id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.cmml">σ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p3.1.m1.1b"><ci id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1">𝜎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p3.1.m1.1c">\sigma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p3.1.m1.1d">italic_σ</annotation></semantics></math> represents the deviation factor that defines the acceptable degree of budget excess, and <math alttext="\Lambda_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p3.2.m2.1"><semantics id="S3.SS2.p3.2.m2.1a"><msub id="S3.SS2.p3.2.m2.1.1" xref="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.2.cmml">Λ</mi><mn id="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p3.2.m2.1b"><apply id="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.2">Λ</ci><cn id="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p3.2.m2.1c">\Lambda_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p3.2.m2.1d">roman_Λ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the system performance under the expected scenario. Through this two-level framework, robust performance <math alttext="\overline{\Lambda}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p3.3.m3.1"><semantics id="S3.SS2.p3.3.m3.1a"><mover accent="true" id="S3.SS2.p3.3.m3.1.1" xref="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.2.cmml">Λ</mi><mo id="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.1" xref="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.1.cmml">¯</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p3.3.m3.1b"><apply id="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.3.m3.1.1"><ci id="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.1">¯</ci><ci id="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.2">Λ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p3.3.m3.1c">\overline{\Lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p3.3.m3.1d">over¯ start_ARG roman_Λ end_ARG</annotation></semantics></math> is deliberately driven towards the desired budget <math alttext="(1+\sigma)\Lambda_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p3.4.m4.1"><semantics id="S3.SS2.p3.4.m4.1a"><mrow id="S3.SS2.p3.4.m4.1.1" xref="S3.SS2.p3.4.m4.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS2.p3.4.m4.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p3.4.m4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p3.4.m4.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p3.4.m4.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS2.p3.4.m4.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p3.4.m4.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.SS2.p3.4.m4.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p3.4.m4.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S3.SS2.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S3.SS2.p3.4.m4.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p3.4.m4.1.1.1.1.1.3.cmml">σ</mi></mrow><mo id="S3.SS2.p3.4.m4.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p3.4.m4.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.SS2.p3.4.m4.1.1.2" xref="S3.SS2.p3.4.m4.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.SS2.p3.4.m4.1.1.3" xref="S3.SS2.p3.4.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p3.4.m4.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p3.4.m4.1.1.3.2.cmml">Λ</mi><mn id="S3.SS2.p3.4.m4.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p3.4.m4.1.1.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p3.4.m4.1b"><apply id="S3.SS2.p3.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.4.m4.1.1"><times id="S3.SS2.p3.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.4.m4.1.1.2"></times><apply id="S3.SS2.p3.4.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.4.m4.1.1.1.1"><plus id="S3.SS2.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1"></plus><cn id="S3.SS2.p3.4.m4.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p3.4.m4.1.1.1.1.1.2">1</cn><ci id="S3.SS2.p3.4.m4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p3.4.m4.1.1.1.1.1.3">𝜎</ci></apply><apply id="S3.SS2.p3.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p3.4.m4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p3.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.4.m4.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p3.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.4.m4.1.1.3.2">Λ</ci><cn id="S3.SS2.p3.4.m4.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p3.4.m4.1.1.3.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p3.4.m4.1c">(1+\sigma)\Lambda_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p3.4.m4.1d">( 1 + italic_σ ) roman_Λ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, ultimately enabling the optimal uncertainty extent.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p4"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p4.1">The above uncertainty modelling requires little information on uncertainties, and it is well-suited for uncertain parameters exhibiting symmetric features. As shown in Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S3.F1.sf1" title="In Figure 1 ‣ III-B Information-Gap Decision Model ‣ III Confidence Level-Based Distributionally Information Gap decision Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1(a)</span></a>, such uncertainty set can perfectly capture the scenarios most likely to occur. Uncertain parameters like renewable generation and load demands, however, typically do not follow a symmetric distribution <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#bib.bib17" title="">17</a>]</cite>. As demonstrated in Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S3.F1.sf2" title="In Figure 1 ‣ III-B Information-Gap Decision Model ‣ III Confidence Level-Based Distributionally Information Gap decision Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1(b)</span></a>, this misalignment can result in issues such as some safe regions being overlooked where actual scenarios would have occurred with high probability. For instance, scenarios where low renewable generation and high load demand, while significantly deviating from expected values, are uncommon yet still possible and may be excluded from the uncertainty set. Should they occur, these scenarios can compromise DNs safe operation. Additionally, the safe regions can be unnecessarily large due to the inclusion of impossible scenarios, leading to conservatism.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S3.SS3"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection"><span class="ltx_text" id="S3.SS3.4.1.1">III-C</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.SS3.5.2">Confidence Level Based Information Gap Decision Model</span> </h3> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS3.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p1.7">To mitigate the aforementioned drawbacks and better handle the asymmetric characteristics of uncertain parameters, we propose utilizing confidence level-driven uncertainty set instead of the real-value symmetric one. This approach transforms the uncertainty set into a suboptimization problem:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx11"> <tbody id="S3.E13"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell" colspan="2" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"><math alttext="\displaystyle\begin{split}\bm{U}(\alpha)=\Bigg{\{}\bm{\xi}\mid\bm{\xi}\in\Big{% [}&\underline{\bm{\xi}}(\alpha),\overline{\bm{\xi}}(\alpha)\Big{]}=\arg\min_{% \overline{\bm{\xi}},\underline{\bm{\xi}}}(\overline{\bm{\xi}}-\underline{\bm{% \xi}}):\\ &F_{\bm{\xi}}(\overline{\bm{\xi}})-F_{\bm{\xi}}(\underline{\bm{\xi}})\geq% \alpha,0\leq\alpha\leq 1\Bigg{\}}\end{split}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E13.m1.52"><semantics id="S3.E13.m1.52a"><mtable columnspacing="0pt" id="S3.E13.m1.51.51a" rowspacing="0.0pt" xref="S3.E13.m1.52.52.1.cmml"><mtr id="S3.E13.m1.51.51aa" xref="S3.E13.m1.52.52.1.cmml"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S3.E13.m1.51.51ab" xref="S3.E13.m1.52.52.1.cmml"><mrow id="S3.E13.m1.11.11.11.11.11a" xref="S3.E13.m1.52.52.1.cmml"><mi id="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">𝑼</mi><mrow id="S3.E13.m1.11.11.11.11.11a.12" xref="S3.E13.m1.52.52.1.cmml"><mo id="S3.E13.m1.2.2.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.E13.m1.52.52.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E13.m1.3.3.3.3.3.3" xref="S3.E13.m1.3.3.3.3.3.3.cmml">α</mi><mo id="S3.E13.m1.4.4.4.4.4.4" stretchy="false" xref="S3.E13.m1.52.52.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E13.m1.5.5.5.5.5.5" xref="S3.E13.m1.5.5.5.5.5.5.cmml">=</mo><mrow id="S3.E13.m1.11.11.11.11.11a.13" xref="S3.E13.m1.52.52.1.cmml"><mo id="S3.E13.m1.6.6.6.6.6.6" maxsize="260%" minsize="260%" xref="S3.E13.m1.52.52.1.cmml">{</mo><mi id="S3.E13.m1.7.7.7.7.7.7" xref="S3.E13.m1.7.7.7.7.7.7.cmml">𝝃</mi><mo id="S3.E13.m1.8.8.8.8.8.8" lspace="0em" rspace="0.167em" xref="S3.E13.m1.52.52.1.cmml">∣</mo><mi id="S3.E13.m1.9.9.9.9.9.9" xref="S3.E13.m1.9.9.9.9.9.9.cmml">𝝃</mi><mo id="S3.E13.m1.10.10.10.10.10.10" xref="S3.E13.m1.10.10.10.10.10.10.cmml">∈</mo><mo id="S3.E13.m1.11.11.11.11.11.11" maxsize="160%" minsize="160%" xref="S3.E13.m1.52.52.1.cmml">[</mo></mrow></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S3.E13.m1.51.51ac" xref="S3.E13.m1.52.52.1.cmml"><mrow id="S3.E13.m1.31.31.31.31.20a" xref="S3.E13.m1.52.52.1.cmml"><munder accentunder="true" id="S3.E13.m1.12.12.12.12.1.1" xref="S3.E13.m1.12.12.12.12.1.1.cmml"><mi id="S3.E13.m1.12.12.12.12.1.1.2" xref="S3.E13.m1.12.12.12.12.1.1.2.cmml">𝝃</mi><mo id="S3.E13.m1.12.12.12.12.1.1.1" xref="S3.E13.m1.12.12.12.12.1.1.1.cmml">¯</mo></munder><mrow id="S3.E13.m1.31.31.31.31.20a.21" xref="S3.E13.m1.52.52.1.cmml"><mo id="S3.E13.m1.13.13.13.13.2.2" stretchy="false" xref="S3.E13.m1.52.52.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E13.m1.14.14.14.14.3.3" xref="S3.E13.m1.14.14.14.14.3.3.cmml">α</mi><mo id="S3.E13.m1.15.15.15.15.4.4" stretchy="false" xref="S3.E13.m1.52.52.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E13.m1.16.16.16.16.5.5" xref="S3.E13.m1.52.52.1.cmml">,</mo><mover accent="true" id="S3.E13.m1.17.17.17.17.6.6" xref="S3.E13.m1.17.17.17.17.6.6.cmml"><mi id="S3.E13.m1.17.17.17.17.6.6.2" xref="S3.E13.m1.17.17.17.17.6.6.2.cmml">𝝃</mi><mo id="S3.E13.m1.17.17.17.17.6.6.1" xref="S3.E13.m1.17.17.17.17.6.6.1.cmml">¯</mo></mover><mrow id="S3.E13.m1.31.31.31.31.20a.22" xref="S3.E13.m1.52.52.1.cmml"><mo id="S3.E13.m1.18.18.18.18.7.7" stretchy="false" xref="S3.E13.m1.52.52.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E13.m1.19.19.19.19.8.8" xref="S3.E13.m1.19.19.19.19.8.8.cmml">α</mi><mo id="S3.E13.m1.20.20.20.20.9.9" stretchy="false" xref="S3.E13.m1.52.52.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E13.m1.21.21.21.21.10.10" maxsize="160%" minsize="160%" xref="S3.E13.m1.52.52.1.cmml">]</mo><mo id="S3.E13.m1.22.22.22.22.11.11" xref="S3.E13.m1.22.22.22.22.11.11.cmml">=</mo><mi id="S3.E13.m1.23.23.23.23.12.12" xref="S3.E13.m1.23.23.23.23.12.12.cmml">arg</mi><mi id="S3.E13.m1.24.24.24.24.13.13" xref="S3.E13.m1.24.24.24.24.13.13.cmml">min</mi><msub id="S3.E13.m1.31.31.31.31.20a.23" xref="S3.E13.m1.52.52.1.cmml"><mi id="S3.E13.m1.31.31.31.31.20a.23a" xref="S3.E13.m1.52.52.1.cmml"></mi><mrow id="S3.E13.m1.25.25.25.25.14.14.1.4" xref="S3.E13.m1.25.25.25.25.14.14.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.E13.m1.25.25.25.25.14.14.1.1" xref="S3.E13.m1.25.25.25.25.14.14.1.1.cmml"><mi id="S3.E13.m1.25.25.25.25.14.14.1.1.2" xref="S3.E13.m1.25.25.25.25.14.14.1.1.2.cmml">𝝃</mi><mo id="S3.E13.m1.25.25.25.25.14.14.1.1.1" xref="S3.E13.m1.25.25.25.25.14.14.1.1.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S3.E13.m1.25.25.25.25.14.14.1.4.1" xref="S3.E13.m1.25.25.25.25.14.14.1.3.cmml">,</mo><munder accentunder="true" id="S3.E13.m1.25.25.25.25.14.14.1.2" xref="S3.E13.m1.25.25.25.25.14.14.1.2.cmml"><mi id="S3.E13.m1.25.25.25.25.14.14.1.2.2" xref="S3.E13.m1.25.25.25.25.14.14.1.2.2.cmml">𝝃</mi><mo id="S3.E13.m1.25.25.25.25.14.14.1.2.1" xref="S3.E13.m1.25.25.25.25.14.14.1.2.1.cmml">¯</mo></munder></mrow></msub><mo id="S3.E13.m1.26.26.26.26.15.15" stretchy="false" xref="S3.E13.m1.52.52.1.cmml">(</mo><mover accent="true" id="S3.E13.m1.27.27.27.27.16.16" xref="S3.E13.m1.27.27.27.27.16.16.cmml"><mi id="S3.E13.m1.27.27.27.27.16.16.2" xref="S3.E13.m1.27.27.27.27.16.16.2.cmml">𝝃</mi><mo id="S3.E13.m1.27.27.27.27.16.16.1" xref="S3.E13.m1.27.27.27.27.16.16.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S3.E13.m1.28.28.28.28.17.17" xref="S3.E13.m1.28.28.28.28.17.17.cmml">−</mo><munder accentunder="true" id="S3.E13.m1.29.29.29.29.18.18" xref="S3.E13.m1.29.29.29.29.18.18.cmml"><mi id="S3.E13.m1.29.29.29.29.18.18.2" xref="S3.E13.m1.29.29.29.29.18.18.2.cmml">𝝃</mi><mo id="S3.E13.m1.29.29.29.29.18.18.1" xref="S3.E13.m1.29.29.29.29.18.18.1.cmml">¯</mo></munder><mo id="S3.E13.m1.30.30.30.30.19.19" rspace="0.278em" stretchy="false" xref="S3.E13.m1.52.52.1.cmml">)</mo><mo id="S3.E13.m1.31.31.31.31.20.20" xref="S3.E13.m1.31.31.31.31.20.20.cmml">:</mo></mrow></mtd></mtr><mtr id="S3.E13.m1.51.51ad" xref="S3.E13.m1.52.52.1.cmml"><mtd id="S3.E13.m1.51.51ae" xref="S3.E13.m1.52.52.1.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S3.E13.m1.51.51af" xref="S3.E13.m1.52.52.1.cmml"><mrow id="S3.E13.m1.51.51.51.20.20a" xref="S3.E13.m1.52.52.1.cmml"><msub id="S3.E13.m1.51.51.51.20.20a.21" xref="S3.E13.m1.52.52.1.cmml"><mi id="S3.E13.m1.32.32.32.1.1.1" xref="S3.E13.m1.32.32.32.1.1.1.cmml">F</mi><mi id="S3.E13.m1.33.33.33.2.2.2.1" xref="S3.E13.m1.33.33.33.2.2.2.1.cmml">𝝃</mi></msub><mrow id="S3.E13.m1.51.51.51.20.20a.22" xref="S3.E13.m1.52.52.1.cmml"><mo id="S3.E13.m1.34.34.34.3.3.3" stretchy="false" xref="S3.E13.m1.52.52.1.cmml">(</mo><mover accent="true" id="S3.E13.m1.35.35.35.4.4.4" xref="S3.E13.m1.35.35.35.4.4.4.cmml"><mi id="S3.E13.m1.35.35.35.4.4.4.2" xref="S3.E13.m1.35.35.35.4.4.4.2.cmml">𝝃</mi><mo id="S3.E13.m1.35.35.35.4.4.4.1" xref="S3.E13.m1.35.35.35.4.4.4.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S3.E13.m1.36.36.36.5.5.5" stretchy="false" xref="S3.E13.m1.52.52.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E13.m1.37.37.37.6.6.6" xref="S3.E13.m1.37.37.37.6.6.6.cmml">−</mo><msub id="S3.E13.m1.51.51.51.20.20a.23" xref="S3.E13.m1.52.52.1.cmml"><mi id="S3.E13.m1.38.38.38.7.7.7" xref="S3.E13.m1.38.38.38.7.7.7.cmml">F</mi><mi id="S3.E13.m1.39.39.39.8.8.8.1" xref="S3.E13.m1.39.39.39.8.8.8.1.cmml">𝝃</mi></msub><mrow id="S3.E13.m1.51.51.51.20.20a.24" xref="S3.E13.m1.52.52.1.cmml"><mo id="S3.E13.m1.40.40.40.9.9.9" stretchy="false" xref="S3.E13.m1.52.52.1.cmml">(</mo><munder accentunder="true" id="S3.E13.m1.41.41.41.10.10.10" xref="S3.E13.m1.41.41.41.10.10.10.cmml"><mi id="S3.E13.m1.41.41.41.10.10.10.2" xref="S3.E13.m1.41.41.41.10.10.10.2.cmml">𝝃</mi><mo id="S3.E13.m1.41.41.41.10.10.10.1" xref="S3.E13.m1.41.41.41.10.10.10.1.cmml">¯</mo></munder><mo id="S3.E13.m1.42.42.42.11.11.11" stretchy="false" xref="S3.E13.m1.52.52.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E13.m1.43.43.43.12.12.12" xref="S3.E13.m1.43.43.43.12.12.12.cmml">≥</mo><mi id="S3.E13.m1.44.44.44.13.13.13" xref="S3.E13.m1.44.44.44.13.13.13.cmml">α</mi><mo id="S3.E13.m1.45.45.45.14.14.14" xref="S3.E13.m1.52.52.1.cmml">,</mo><mn id="S3.E13.m1.46.46.46.15.15.15" xref="S3.E13.m1.46.46.46.15.15.15.cmml">0</mn><mo id="S3.E13.m1.47.47.47.16.16.16" xref="S3.E13.m1.47.47.47.16.16.16.cmml">≤</mo><mi id="S3.E13.m1.48.48.48.17.17.17" xref="S3.E13.m1.48.48.48.17.17.17.cmml">α</mi><mo id="S3.E13.m1.49.49.49.18.18.18" xref="S3.E13.m1.49.49.49.18.18.18.cmml">≤</mo><mn id="S3.E13.m1.50.50.50.19.19.19" xref="S3.E13.m1.50.50.50.19.19.19.cmml">1</mn><mo id="S3.E13.m1.51.51.51.20.20.20" maxsize="260%" minsize="260%" xref="S3.E13.m1.52.52.1.cmml">}</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E13.m1.52b"><apply id="S3.E13.m1.52.52.1.cmml" xref="S3.E13.m1.51.51a"><eq id="S3.E13.m1.5.5.5.5.5.5.cmml" xref="S3.E13.m1.5.5.5.5.5.5"></eq><apply id="S3.E13.m1.52.52.1.3.cmml" xref="S3.E13.m1.51.51a"><times id="S3.E13.m1.52.52.1.3.1.cmml" xref="S3.E13.m1.51.51a"></times><ci id="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.1.1">𝑼</ci><ci id="S3.E13.m1.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.3.3.3.3">𝛼</ci></apply><apply id="S3.E13.m1.52.52.1.1.2.cmml" xref="S3.E13.m1.51.51a"><csymbol cd="latexml" id="S3.E13.m1.52.52.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E13.m1.51.51a">conditional-set</csymbol><ci id="S3.E13.m1.7.7.7.7.7.7.cmml" xref="S3.E13.m1.7.7.7.7.7.7">𝝃</ci><apply id="S3.E13.m1.52.52.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.51.51a"><ci id="S3.E13.m1.31.31.31.31.20.20.cmml" xref="S3.E13.m1.31.31.31.31.20.20">:</ci><apply id="S3.E13.m1.52.52.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.E13.m1.51.51a"><and id="S3.E13.m1.52.52.1.1.1.1.4a.cmml" xref="S3.E13.m1.51.51a"></and><apply id="S3.E13.m1.52.52.1.1.1.1.4b.cmml" xref="S3.E13.m1.51.51a"><in id="S3.E13.m1.10.10.10.10.10.10.cmml" xref="S3.E13.m1.10.10.10.10.10.10"></in><ci id="S3.E13.m1.9.9.9.9.9.9.cmml" xref="S3.E13.m1.9.9.9.9.9.9">𝝃</ci><interval closure="closed" id="S3.E13.m1.52.52.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E13.m1.51.51a"><apply id="S3.E13.m1.52.52.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.51.51a"><times id="S3.E13.m1.52.52.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.51.51a"></times><apply id="S3.E13.m1.12.12.12.12.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.12.12.12.12.1.1"><ci id="S3.E13.m1.12.12.12.12.1.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.12.12.12.12.1.1.1">¯</ci><ci id="S3.E13.m1.12.12.12.12.1.1.2.cmml" xref="S3.E13.m1.12.12.12.12.1.1.2">𝝃</ci></apply><ci id="S3.E13.m1.14.14.14.14.3.3.cmml" xref="S3.E13.m1.14.14.14.14.3.3">𝛼</ci></apply><apply id="S3.E13.m1.52.52.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E13.m1.51.51a"><times id="S3.E13.m1.52.52.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E13.m1.51.51a"></times><apply id="S3.E13.m1.17.17.17.17.6.6.cmml" xref="S3.E13.m1.17.17.17.17.6.6"><ci id="S3.E13.m1.17.17.17.17.6.6.1.cmml" xref="S3.E13.m1.17.17.17.17.6.6.1">¯</ci><ci id="S3.E13.m1.17.17.17.17.6.6.2.cmml" xref="S3.E13.m1.17.17.17.17.6.6.2">𝝃</ci></apply><ci id="S3.E13.m1.19.19.19.19.8.8.cmml" xref="S3.E13.m1.19.19.19.19.8.8">𝛼</ci></apply></interval></apply><apply id="S3.E13.m1.52.52.1.1.1.1.4c.cmml" xref="S3.E13.m1.51.51a"><eq id="S3.E13.m1.22.22.22.22.11.11.cmml" xref="S3.E13.m1.22.22.22.22.11.11"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S3.E13.m1.52.52.1.1.1.1.2.2.cmml" id="S3.E13.m1.52.52.1.1.1.1.4d.cmml" xref="S3.E13.m1.51.51a"></share><apply id="S3.E13.m1.52.52.1.1.1.1.4.4.cmml" xref="S3.E13.m1.51.51a"><arg id="S3.E13.m1.23.23.23.23.12.12.cmml" xref="S3.E13.m1.23.23.23.23.12.12"></arg><apply id="S3.E13.m1.52.52.1.1.1.1.4.4.2.3.cmml" xref="S3.E13.m1.51.51a"><apply id="S3.E13.m1.52.52.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.51.51a"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E13.m1.52.52.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.51.51a">subscript</csymbol><min id="S3.E13.m1.24.24.24.24.13.13.cmml" xref="S3.E13.m1.24.24.24.24.13.13"></min><list id="S3.E13.m1.25.25.25.25.14.14.1.3.cmml" xref="S3.E13.m1.25.25.25.25.14.14.1.4"><apply id="S3.E13.m1.25.25.25.25.14.14.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.25.25.25.25.14.14.1.1"><ci id="S3.E13.m1.25.25.25.25.14.14.1.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.25.25.25.25.14.14.1.1.1">¯</ci><ci id="S3.E13.m1.25.25.25.25.14.14.1.1.2.cmml" xref="S3.E13.m1.25.25.25.25.14.14.1.1.2">𝝃</ci></apply><apply id="S3.E13.m1.25.25.25.25.14.14.1.2.cmml" xref="S3.E13.m1.25.25.25.25.14.14.1.2"><ci id="S3.E13.m1.25.25.25.25.14.14.1.2.1.cmml" xref="S3.E13.m1.25.25.25.25.14.14.1.2.1">¯</ci><ci id="S3.E13.m1.25.25.25.25.14.14.1.2.2.cmml" xref="S3.E13.m1.25.25.25.25.14.14.1.2.2">𝝃</ci></apply></list></apply><apply id="S3.E13.m1.52.52.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E13.m1.51.51a"><minus id="S3.E13.m1.28.28.28.28.17.17.cmml" xref="S3.E13.m1.28.28.28.28.17.17"></minus><apply id="S3.E13.m1.27.27.27.27.16.16.cmml" xref="S3.E13.m1.27.27.27.27.16.16"><ci id="S3.E13.m1.27.27.27.27.16.16.1.cmml" xref="S3.E13.m1.27.27.27.27.16.16.1">¯</ci><ci id="S3.E13.m1.27.27.27.27.16.16.2.cmml" xref="S3.E13.m1.27.27.27.27.16.16.2">𝝃</ci></apply><apply id="S3.E13.m1.29.29.29.29.18.18.cmml" xref="S3.E13.m1.29.29.29.29.18.18"><ci id="S3.E13.m1.29.29.29.29.18.18.1.cmml" xref="S3.E13.m1.29.29.29.29.18.18.1">¯</ci><ci id="S3.E13.m1.29.29.29.29.18.18.2.cmml" xref="S3.E13.m1.29.29.29.29.18.18.2">𝝃</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E13.m1.52.52.1.1.1.1.6.3.cmml" xref="S3.E13.m1.51.51a"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E13.m1.52.52.1.1.1.1.6.3a.cmml" xref="S3.E13.m1.51.51a">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.E13.m1.52.52.1.1.1.1.5.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.51.51a"><geq id="S3.E13.m1.43.43.43.12.12.12.cmml" xref="S3.E13.m1.43.43.43.12.12.12"></geq><apply id="S3.E13.m1.52.52.1.1.1.1.5.1.1.2.cmml" xref="S3.E13.m1.51.51a"><minus id="S3.E13.m1.37.37.37.6.6.6.cmml" xref="S3.E13.m1.37.37.37.6.6.6"></minus><apply id="S3.E13.m1.52.52.1.1.1.1.5.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E13.m1.51.51a"><times id="S3.E13.m1.52.52.1.1.1.1.5.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E13.m1.51.51a"></times><apply id="S3.E13.m1.52.52.1.1.1.1.5.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E13.m1.51.51a"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E13.m1.52.52.1.1.1.1.5.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E13.m1.51.51a">subscript</csymbol><ci id="S3.E13.m1.32.32.32.1.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.32.32.32.1.1.1">𝐹</ci><ci id="S3.E13.m1.33.33.33.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E13.m1.33.33.33.2.2.2.1">𝝃</ci></apply><apply id="S3.E13.m1.35.35.35.4.4.4.cmml" xref="S3.E13.m1.35.35.35.4.4.4"><ci id="S3.E13.m1.35.35.35.4.4.4.1.cmml" xref="S3.E13.m1.35.35.35.4.4.4.1">¯</ci><ci id="S3.E13.m1.35.35.35.4.4.4.2.cmml" xref="S3.E13.m1.35.35.35.4.4.4.2">𝝃</ci></apply></apply><apply id="S3.E13.m1.52.52.1.1.1.1.5.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E13.m1.51.51a"><times id="S3.E13.m1.52.52.1.1.1.1.5.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E13.m1.51.51a"></times><apply id="S3.E13.m1.52.52.1.1.1.1.5.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E13.m1.51.51a"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E13.m1.52.52.1.1.1.1.5.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S3.E13.m1.51.51a">subscript</csymbol><ci id="S3.E13.m1.38.38.38.7.7.7.cmml" xref="S3.E13.m1.38.38.38.7.7.7">𝐹</ci><ci id="S3.E13.m1.39.39.39.8.8.8.1.cmml" xref="S3.E13.m1.39.39.39.8.8.8.1">𝝃</ci></apply><apply id="S3.E13.m1.41.41.41.10.10.10.cmml" xref="S3.E13.m1.41.41.41.10.10.10"><ci id="S3.E13.m1.41.41.41.10.10.10.1.cmml" xref="S3.E13.m1.41.41.41.10.10.10.1">¯</ci><ci id="S3.E13.m1.41.41.41.10.10.10.2.cmml" xref="S3.E13.m1.41.41.41.10.10.10.2">𝝃</ci></apply></apply></apply><ci id="S3.E13.m1.44.44.44.13.13.13.cmml" xref="S3.E13.m1.44.44.44.13.13.13">𝛼</ci></apply><apply id="S3.E13.m1.52.52.1.1.1.1.6.2.2.cmml" xref="S3.E13.m1.51.51a"><and id="S3.E13.m1.52.52.1.1.1.1.6.2.2a.cmml" xref="S3.E13.m1.51.51a"></and><apply id="S3.E13.m1.52.52.1.1.1.1.6.2.2b.cmml" xref="S3.E13.m1.51.51a"><leq id="S3.E13.m1.47.47.47.16.16.16.cmml" xref="S3.E13.m1.47.47.47.16.16.16"></leq><cn id="S3.E13.m1.46.46.46.15.15.15.cmml" type="integer" xref="S3.E13.m1.46.46.46.15.15.15">0</cn><ci id="S3.E13.m1.48.48.48.17.17.17.cmml" xref="S3.E13.m1.48.48.48.17.17.17">𝛼</ci></apply><apply id="S3.E13.m1.52.52.1.1.1.1.6.2.2c.cmml" xref="S3.E13.m1.51.51a"><leq id="S3.E13.m1.49.49.49.18.18.18.cmml" xref="S3.E13.m1.49.49.49.18.18.18"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S3.E13.m1.52.52.1.1.1.1.6.2.2.4.cmml" id="S3.E13.m1.52.52.1.1.1.1.6.2.2d.cmml" xref="S3.E13.m1.51.51a"></share><cn id="S3.E13.m1.50.50.50.19.19.19.cmml" type="integer" xref="S3.E13.m1.50.50.50.19.19.19">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E13.m1.52c">\displaystyle\begin{split}\bm{U}(\alpha)=\Bigg{\{}\bm{\xi}\mid\bm{\xi}\in\Big{% [}&\underline{\bm{\xi}}(\alpha),\overline{\bm{\xi}}(\alpha)\Big{]}=\arg\min_{% \overline{\bm{\xi}},\underline{\bm{\xi}}}(\overline{\bm{\xi}}-\underline{\bm{% \xi}}):\\ &F_{\bm{\xi}}(\overline{\bm{\xi}})-F_{\bm{\xi}}(\underline{\bm{\xi}})\geq% \alpha,0\leq\alpha\leq 1\Bigg{\}}\end{split}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E13.m1.52d">start_ROW start_CELL bold_italic_U ( italic_α ) = { bold_italic_ξ ∣ bold_italic_ξ ∈ [ end_CELL start_CELL under¯ start_ARG bold_italic_ξ end_ARG ( italic_α ) , over¯ start_ARG bold_italic_ξ end_ARG ( italic_α ) ] = roman_arg roman_min start_POSTSUBSCRIPT over¯ start_ARG bold_italic_ξ end_ARG , under¯ start_ARG bold_italic_ξ end_ARG end_POSTSUBSCRIPT ( over¯ start_ARG bold_italic_ξ end_ARG - under¯ start_ARG bold_italic_ξ end_ARG ) : end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL italic_F start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_ξ end_POSTSUBSCRIPT ( over¯ start_ARG bold_italic_ξ end_ARG ) - italic_F start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_ξ end_POSTSUBSCRIPT ( under¯ start_ARG bold_italic_ξ end_ARG ) ≥ italic_α , 0 ≤ italic_α ≤ 1 } end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(13)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p1.6">where <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS3.p1.1.m1.1a"><mi id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.1.m1.1b"><ci id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.1.m1.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.1.m1.1d">italic_α</annotation></semantics></math> represents the confidence level of the uncertainty set; <math alttext="\overline{\bm{\xi}}(\alpha)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.SS3.p1.2.m2.1a"><mrow id="S3.SS3.p1.2.m2.1.2" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS3.p1.2.m2.1.2.2" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.2.2.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.2.m2.1.2.2.2" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.2.2.2.cmml">𝝃</mi><mo id="S3.SS3.p1.2.m2.1.2.2.1" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.2.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S3.SS3.p1.2.m2.1.2.1" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS3.p1.2.m2.1.2.3.2" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.2.cmml"><mo id="S3.SS3.p1.2.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS3.p1.2.m2.1.1" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.cmml">α</mi><mo id="S3.SS3.p1.2.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.2.m2.1b"><apply id="S3.SS3.p1.2.m2.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.2"><times id="S3.SS3.p1.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.2.1"></times><apply id="S3.SS3.p1.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.2.2"><ci id="S3.SS3.p1.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.2.2.1">¯</ci><ci id="S3.SS3.p1.2.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.2.2.2">𝝃</ci></apply><ci id="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.1">𝛼</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.2.m2.1c">\overline{\bm{\xi}}(\alpha)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.2.m2.1d">over¯ start_ARG bold_italic_ξ end_ARG ( italic_α )</annotation></semantics></math> and <math alttext="\underline{\bm{\xi}}(\alpha)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.3.m3.1"><semantics id="S3.SS3.p1.3.m3.1a"><mrow id="S3.SS3.p1.3.m3.1.2" xref="S3.SS3.p1.3.m3.1.2.cmml"><munder accentunder="true" id="S3.SS3.p1.3.m3.1.2.2" xref="S3.SS3.p1.3.m3.1.2.2.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.3.m3.1.2.2.2" xref="S3.SS3.p1.3.m3.1.2.2.2.cmml">𝝃</mi><mo id="S3.SS3.p1.3.m3.1.2.2.1" xref="S3.SS3.p1.3.m3.1.2.2.1.cmml">¯</mo></munder><mo id="S3.SS3.p1.3.m3.1.2.1" xref="S3.SS3.p1.3.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS3.p1.3.m3.1.2.3.2" xref="S3.SS3.p1.3.m3.1.2.cmml"><mo id="S3.SS3.p1.3.m3.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS3.p1.3.m3.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS3.p1.3.m3.1.1" xref="S3.SS3.p1.3.m3.1.1.cmml">α</mi><mo id="S3.SS3.p1.3.m3.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.p1.3.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.3.m3.1b"><apply id="S3.SS3.p1.3.m3.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.3.m3.1.2"><times id="S3.SS3.p1.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.3.m3.1.2.1"></times><apply id="S3.SS3.p1.3.m3.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.3.m3.1.2.2"><ci id="S3.SS3.p1.3.m3.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.3.m3.1.2.2.1">¯</ci><ci id="S3.SS3.p1.3.m3.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.3.m3.1.2.2.2">𝝃</ci></apply><ci id="S3.SS3.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.3.m3.1.1">𝛼</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.3.m3.1c">\underline{\bm{\xi}}(\alpha)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.3.m3.1d">under¯ start_ARG bold_italic_ξ end_ARG ( italic_α )</annotation></semantics></math> are the upper and lower bounds of the set, respectively, functions of <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.4.m4.1"><semantics id="S3.SS3.p1.4.m4.1a"><mi id="S3.SS3.p1.4.m4.1.1" xref="S3.SS3.p1.4.m4.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.4.m4.1b"><ci id="S3.SS3.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.4.m4.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.4.m4.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.4.m4.1d">italic_α</annotation></semantics></math>; <math alttext="F_{\bm{\xi}}(\cdot)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.5.m5.1"><semantics id="S3.SS3.p1.5.m5.1a"><mrow id="S3.SS3.p1.5.m5.1.2" xref="S3.SS3.p1.5.m5.1.2.cmml"><msub id="S3.SS3.p1.5.m5.1.2.2" xref="S3.SS3.p1.5.m5.1.2.2.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.5.m5.1.2.2.2" xref="S3.SS3.p1.5.m5.1.2.2.2.cmml">F</mi><mi id="S3.SS3.p1.5.m5.1.2.2.3" xref="S3.SS3.p1.5.m5.1.2.2.3.cmml">𝝃</mi></msub><mo id="S3.SS3.p1.5.m5.1.2.1" xref="S3.SS3.p1.5.m5.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS3.p1.5.m5.1.2.3.2" xref="S3.SS3.p1.5.m5.1.2.cmml"><mo id="S3.SS3.p1.5.m5.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS3.p1.5.m5.1.2.cmml">(</mo><mo id="S3.SS3.p1.5.m5.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S3.SS3.p1.5.m5.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.p1.5.m5.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.5.m5.1b"><apply id="S3.SS3.p1.5.m5.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.5.m5.1.2"><times id="S3.SS3.p1.5.m5.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.5.m5.1.2.1"></times><apply id="S3.SS3.p1.5.m5.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.5.m5.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p1.5.m5.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.5.m5.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p1.5.m5.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.5.m5.1.2.2.2">𝐹</ci><ci id="S3.SS3.p1.5.m5.1.2.2.3.cmml" xref="S3.SS3.p1.5.m5.1.2.2.3">𝝃</ci></apply><ci id="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.5.m5.1.1">⋅</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.5.m5.1c">F_{\bm{\xi}}(\cdot)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.5.m5.1d">italic_F start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_ξ end_POSTSUBSCRIPT ( ⋅ )</annotation></semantics></math> indicates the cumulative probability function (CDF) of <math alttext="\bm{\xi}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.6.m6.1"><semantics id="S3.SS3.p1.6.m6.1a"><mi id="S3.SS3.p1.6.m6.1.1" xref="S3.SS3.p1.6.m6.1.1.cmml">𝝃</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.6.m6.1b"><ci id="S3.SS3.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.6.m6.1.1">𝝃</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.6.m6.1c">\bm{\xi}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.6.m6.1d">bold_italic_ξ</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS3.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p2.1">As illustrated in Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S3.F1.sf3" title="In Figure 1 ‣ III-B Information-Gap Decision Model ‣ III Confidence Level-Based Distributionally Information Gap decision Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1(c)</span></a>, the new uncertainty set covers the scenarios that are most likely to occur, which corresponds to the shortest confidence interval. This achieves the highest robustness with the least conservatism. Accordingly, the objective of IGDT is now to maximize <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p2.1.m1.1"><semantics id="S3.SS3.p2.1.m1.1a"><mi id="S3.SS3.p2.1.m1.1.1" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p2.1.m1.1b"><ci id="S3.SS3.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p2.1.m1.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p2.1.m1.1d">italic_α</annotation></semantics></math> to allow the uncertainty set to capture as many of the probable uncertain scenarios as possible, significantly mitigating misalignment issues. The improved IGDT model can be transformed as follows:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_table" id="S3.E14"> <tbody> <tr class="ltx_eqn_row" id="S6.EGx12"><td class="ltx_eqn_cell" colspan="5"></td></tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E14.1"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"><math alttext="\displaystyle\max_{\bm{x},\bm{y}}\quad" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E14.1.m1.3"><semantics id="S3.E14.1.m1.3a"><mrow id="S3.E14.1.m1.3.3.1" xref="S3.E14.1.m1.3.3.1.1.cmml"><munder id="S3.E14.1.m1.3.3.1.1" xref="S3.E14.1.m1.3.3.1.1.cmml"><mi id="S3.E14.1.m1.3.3.1.1.2" xref="S3.E14.1.m1.3.3.1.1.2.cmml">max</mi><mrow id="S3.E14.1.m1.2.2.2.4" xref="S3.E14.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E14.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.E14.1.m1.1.1.1.1.cmml">𝒙</mi><mo id="S3.E14.1.m1.2.2.2.4.1" xref="S3.E14.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.E14.1.m1.2.2.2.2" xref="S3.E14.1.m1.2.2.2.2.cmml">𝒚</mi></mrow></munder><mspace id="S3.E14.1.m1.3.3.1.2" width="1.167em" xref="S3.E14.1.m1.3.3.1.1.cmml"></mspace></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E14.1.m1.3b"><apply id="S3.E14.1.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E14.1.m1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E14.1.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.E14.1.m1.3.3.1">subscript</csymbol><max id="S3.E14.1.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.E14.1.m1.3.3.1.1.2"></max><list id="S3.E14.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E14.1.m1.2.2.2.4"><ci id="S3.E14.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E14.1.m1.1.1.1.1">𝒙</ci><ci id="S3.E14.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E14.1.m1.2.2.2.2">𝒚</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E14.1.m1.3c">\displaystyle\max_{\bm{x},\bm{y}}\quad</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E14.1.m1.3d">roman_max start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_x , bold_italic_y end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"><math alttext="\displaystyle\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E14.1.m2.1"><semantics id="S3.E14.1.m2.1a"><mi id="S3.E14.1.m2.1.1" xref="S3.E14.1.m2.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E14.1.m2.1b"><ci id="S3.E14.1.m2.1.1.cmml" xref="S3.E14.1.m2.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E14.1.m2.1c">\displaystyle\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E14.1.m2.1d">italic_α</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(14a)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E14.2"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"><span class="ltx_text ltx_markedasmath" id="S3.E14.2.2.1.1.1">s.t.</span></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"><math alttext="\displaystyle\bm{A}\bm{x}\leq\bm{b}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E14.2.m2.1"><semantics id="S3.E14.2.m2.1a"><mrow id="S3.E14.2.m2.1.1" xref="S3.E14.2.m2.1.1.cmml"><mrow id="S3.E14.2.m2.1.1.2" xref="S3.E14.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E14.2.m2.1.1.2.2" xref="S3.E14.2.m2.1.1.2.2.cmml">𝑨</mi><mo id="S3.E14.2.m2.1.1.2.1" xref="S3.E14.2.m2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E14.2.m2.1.1.2.3" xref="S3.E14.2.m2.1.1.2.3.cmml">𝒙</mi></mrow><mo id="S3.E14.2.m2.1.1.1" xref="S3.E14.2.m2.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="S3.E14.2.m2.1.1.3" xref="S3.E14.2.m2.1.1.3.cmml">𝒃</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E14.2.m2.1b"><apply id="S3.E14.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.E14.2.m2.1.1"><leq id="S3.E14.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.E14.2.m2.1.1.1"></leq><apply id="S3.E14.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.E14.2.m2.1.1.2"><times id="S3.E14.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E14.2.m2.1.1.2.1"></times><ci id="S3.E14.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E14.2.m2.1.1.2.2">𝑨</ci><ci id="S3.E14.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E14.2.m2.1.1.2.3">𝒙</ci></apply><ci id="S3.E14.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.E14.2.m2.1.1.3">𝒃</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E14.2.m2.1c">\displaystyle\bm{A}\bm{x}\leq\bm{b}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E14.2.m2.1d">bold_italic_A bold_italic_x ≤ bold_italic_b</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(14b)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E14.3"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"><math alttext="\displaystyle\bm{E}\bm{x}\leq\bm{F}\bm{\tilde{\xi}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E14.3.m1.1"><semantics id="S3.E14.3.m1.1a"><mrow id="S3.E14.3.m1.1.1" xref="S3.E14.3.m1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E14.3.m1.1.1.2" xref="S3.E14.3.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E14.3.m1.1.1.2.2" xref="S3.E14.3.m1.1.1.2.2.cmml">𝑬</mi><mo id="S3.E14.3.m1.1.1.2.1" xref="S3.E14.3.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E14.3.m1.1.1.2.3" xref="S3.E14.3.m1.1.1.2.3.cmml">𝒙</mi></mrow><mo id="S3.E14.3.m1.1.1.1" xref="S3.E14.3.m1.1.1.1.cmml">≤</mo><mrow id="S3.E14.3.m1.1.1.3" xref="S3.E14.3.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E14.3.m1.1.1.3.2" xref="S3.E14.3.m1.1.1.3.2.cmml">𝑭</mi><mo id="S3.E14.3.m1.1.1.3.1" xref="S3.E14.3.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S3.E14.3.m1.1.1.3.3" xref="S3.E14.3.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E14.3.m1.1.1.3.3.2" xref="S3.E14.3.m1.1.1.3.3.2.cmml">𝝃</mi><mo class="ltx_mathvariant_bold" id="S3.E14.3.m1.1.1.3.3.1" mathvariant="bold" xref="S3.E14.3.m1.1.1.3.3.1.cmml">~</mo></mover></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E14.3.m1.1b"><apply id="S3.E14.3.m1.1.1.cmml" xref="S3.E14.3.m1.1.1"><leq id="S3.E14.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.E14.3.m1.1.1.1"></leq><apply id="S3.E14.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.E14.3.m1.1.1.2"><times id="S3.E14.3.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E14.3.m1.1.1.2.1"></times><ci id="S3.E14.3.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E14.3.m1.1.1.2.2">𝑬</ci><ci id="S3.E14.3.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E14.3.m1.1.1.2.3">𝒙</ci></apply><apply id="S3.E14.3.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.E14.3.m1.1.1.3"><times id="S3.E14.3.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E14.3.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.E14.3.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E14.3.m1.1.1.3.2">𝑭</ci><apply id="S3.E14.3.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E14.3.m1.1.1.3.3"><ci id="S3.E14.3.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E14.3.m1.1.1.3.3.1">bold-~</ci><ci id="S3.E14.3.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E14.3.m1.1.1.3.3.2">𝝃</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E14.3.m1.1c">\displaystyle\bm{E}\bm{x}\leq\bm{F}\bm{\tilde{\xi}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E14.3.m1.1d">bold_italic_E bold_italic_x ≤ bold_italic_F overbold_~ start_ARG bold_italic_ξ end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(14c)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E14.4"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"><math alttext="\displaystyle\bm{G}\bm{x}+\bm{H}\bm{y}(\bm{\xi})\leq\bm{0},\forall\bm{\xi}\in% \bm{U}(\alpha)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E14.4.m1.4"><semantics id="S3.E14.4.m1.4a"><mrow id="S3.E14.4.m1.4.4.2" xref="S3.E14.4.m1.4.4.3.cmml"><mrow id="S3.E14.4.m1.3.3.1.1" xref="S3.E14.4.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.E14.4.m1.3.3.1.1.2" xref="S3.E14.4.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.E14.4.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S3.E14.4.m1.3.3.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E14.4.m1.3.3.1.1.2.2.2" xref="S3.E14.4.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml">𝑮</mi><mo id="S3.E14.4.m1.3.3.1.1.2.2.1" xref="S3.E14.4.m1.3.3.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E14.4.m1.3.3.1.1.2.2.3" xref="S3.E14.4.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml">𝒙</mi></mrow><mo id="S3.E14.4.m1.3.3.1.1.2.1" xref="S3.E14.4.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.E14.4.m1.3.3.1.1.2.3" xref="S3.E14.4.m1.3.3.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E14.4.m1.3.3.1.1.2.3.2" xref="S3.E14.4.m1.3.3.1.1.2.3.2.cmml">𝑯</mi><mo id="S3.E14.4.m1.3.3.1.1.2.3.1" xref="S3.E14.4.m1.3.3.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E14.4.m1.3.3.1.1.2.3.3" xref="S3.E14.4.m1.3.3.1.1.2.3.3.cmml">𝒚</mi><mo id="S3.E14.4.m1.3.3.1.1.2.3.1a" xref="S3.E14.4.m1.3.3.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E14.4.m1.3.3.1.1.2.3.4.2" xref="S3.E14.4.m1.3.3.1.1.2.3.cmml"><mo id="S3.E14.4.m1.3.3.1.1.2.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.E14.4.m1.3.3.1.1.2.3.cmml">(</mo><mi id="S3.E14.4.m1.1.1" xref="S3.E14.4.m1.1.1.cmml">𝝃</mi><mo id="S3.E14.4.m1.3.3.1.1.2.3.4.2.2" stretchy="false" xref="S3.E14.4.m1.3.3.1.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E14.4.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.E14.4.m1.3.3.1.1.1.cmml">≤</mo><mn id="S3.E14.4.m1.3.3.1.1.3" xref="S3.E14.4.m1.3.3.1.1.3.cmml">𝟎</mn></mrow><mo id="S3.E14.4.m1.4.4.2.3" xref="S3.E14.4.m1.4.4.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.E14.4.m1.4.4.2.2" xref="S3.E14.4.m1.4.4.2.2.cmml"><mrow id="S3.E14.4.m1.4.4.2.2.2" xref="S3.E14.4.m1.4.4.2.2.2.cmml"><mo id="S3.E14.4.m1.4.4.2.2.2.1" rspace="0.167em" xref="S3.E14.4.m1.4.4.2.2.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S3.E14.4.m1.4.4.2.2.2.2" xref="S3.E14.4.m1.4.4.2.2.2.2.cmml">𝝃</mi></mrow><mo id="S3.E14.4.m1.4.4.2.2.1" xref="S3.E14.4.m1.4.4.2.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.E14.4.m1.4.4.2.2.3" xref="S3.E14.4.m1.4.4.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E14.4.m1.4.4.2.2.3.2" xref="S3.E14.4.m1.4.4.2.2.3.2.cmml">𝑼</mi><mo id="S3.E14.4.m1.4.4.2.2.3.1" xref="S3.E14.4.m1.4.4.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E14.4.m1.4.4.2.2.3.3.2" xref="S3.E14.4.m1.4.4.2.2.3.cmml"><mo id="S3.E14.4.m1.4.4.2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E14.4.m1.4.4.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S3.E14.4.m1.2.2" xref="S3.E14.4.m1.2.2.cmml">α</mi><mo id="S3.E14.4.m1.4.4.2.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E14.4.m1.4.4.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E14.4.m1.4b"><apply id="S3.E14.4.m1.4.4.3.cmml" xref="S3.E14.4.m1.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E14.4.m1.4.4.3a.cmml" xref="S3.E14.4.m1.4.4.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.E14.4.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E14.4.m1.3.3.1.1"><leq 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id="S3.E14.5.m1.4.4.2.2.1" xref="S3.E14.5.m1.4.4.2.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.E14.5.m1.4.4.2.2.3" xref="S3.E14.5.m1.4.4.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E14.5.m1.4.4.2.2.3.2" xref="S3.E14.5.m1.4.4.2.2.3.2.cmml">𝑼</mi><mo id="S3.E14.5.m1.4.4.2.2.3.1" xref="S3.E14.5.m1.4.4.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E14.5.m1.4.4.2.2.3.3.2" xref="S3.E14.5.m1.4.4.2.2.3.cmml"><mo id="S3.E14.5.m1.4.4.2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E14.5.m1.4.4.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S3.E14.5.m1.2.2" xref="S3.E14.5.m1.2.2.cmml">α</mi><mo id="S3.E14.5.m1.4.4.2.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E14.5.m1.4.4.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E14.5.m1.4b"><apply id="S3.E14.5.m1.4.4.3.cmml" xref="S3.E14.5.m1.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E14.5.m1.4.4.3a.cmml" xref="S3.E14.5.m1.4.4.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.E14.5.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E14.5.m1.3.3.1.1"><leq id="S3.E14.5.m1.3.3.1.1.1.cmml" 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id="S3.E14.5.m1.4c">\displaystyle\bm{I}\bm{x}+\bm{J}\bm{y}(\bm{\xi})\leq\bm{L}\bm{\xi},\forall\bm{% \xi}\in\bm{U}(\alpha)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E14.5.m1.4d">bold_italic_I bold_italic_x + bold_italic_J bold_italic_y ( bold_italic_ξ ) ≤ bold_italic_L bold_italic_ξ , ∀ bold_italic_ξ ∈ bold_italic_U ( italic_α )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(14e)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E14.6"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"><math alttext="\displaystyle\bm{M}\bm{y}(\bm{\xi})\leq\bm{g},\forall\bm{\xi}\in\bm{U}(\alpha)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E14.6.m1.4"><semantics id="S3.E14.6.m1.4a"><mrow id="S3.E14.6.m1.4.4.2" xref="S3.E14.6.m1.4.4.3.cmml"><mrow id="S3.E14.6.m1.3.3.1.1" xref="S3.E14.6.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.E14.6.m1.3.3.1.1.2" xref="S3.E14.6.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E14.6.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S3.E14.6.m1.3.3.1.1.2.2.cmml">𝑴</mi><mo id="S3.E14.6.m1.3.3.1.1.2.1" xref="S3.E14.6.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E14.6.m1.3.3.1.1.2.3" xref="S3.E14.6.m1.3.3.1.1.2.3.cmml">𝒚</mi><mo id="S3.E14.6.m1.3.3.1.1.2.1a" xref="S3.E14.6.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E14.6.m1.3.3.1.1.2.4.2" xref="S3.E14.6.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E14.6.m1.3.3.1.1.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.E14.6.m1.3.3.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.E14.6.m1.1.1" xref="S3.E14.6.m1.1.1.cmml">𝝃</mi><mo id="S3.E14.6.m1.3.3.1.1.2.4.2.2" stretchy="false" xref="S3.E14.6.m1.3.3.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E14.6.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.E14.6.m1.3.3.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="S3.E14.6.m1.3.3.1.1.3" xref="S3.E14.6.m1.3.3.1.1.3.cmml">𝒈</mi></mrow><mo id="S3.E14.6.m1.4.4.2.3" xref="S3.E14.6.m1.4.4.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.E14.6.m1.4.4.2.2" xref="S3.E14.6.m1.4.4.2.2.cmml"><mrow id="S3.E14.6.m1.4.4.2.2.2" xref="S3.E14.6.m1.4.4.2.2.2.cmml"><mo id="S3.E14.6.m1.4.4.2.2.2.1" rspace="0.167em" xref="S3.E14.6.m1.4.4.2.2.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S3.E14.6.m1.4.4.2.2.2.2" xref="S3.E14.6.m1.4.4.2.2.2.2.cmml">𝝃</mi></mrow><mo id="S3.E14.6.m1.4.4.2.2.1" xref="S3.E14.6.m1.4.4.2.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.E14.6.m1.4.4.2.2.3" xref="S3.E14.6.m1.4.4.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E14.6.m1.4.4.2.2.3.2" xref="S3.E14.6.m1.4.4.2.2.3.2.cmml">𝑼</mi><mo id="S3.E14.6.m1.4.4.2.2.3.1" xref="S3.E14.6.m1.4.4.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E14.6.m1.4.4.2.2.3.3.2" xref="S3.E14.6.m1.4.4.2.2.3.cmml"><mo id="S3.E14.6.m1.4.4.2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E14.6.m1.4.4.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S3.E14.6.m1.2.2" xref="S3.E14.6.m1.2.2.cmml">α</mi><mo id="S3.E14.6.m1.4.4.2.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E14.6.m1.4.4.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E14.6.m1.4b"><apply id="S3.E14.6.m1.4.4.3.cmml" xref="S3.E14.6.m1.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E14.6.m1.4.4.3a.cmml" xref="S3.E14.6.m1.4.4.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.E14.6.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E14.6.m1.3.3.1.1"><leq id="S3.E14.6.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.E14.6.m1.3.3.1.1.1"></leq><apply id="S3.E14.6.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.E14.6.m1.3.3.1.1.2"><times id="S3.E14.6.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E14.6.m1.3.3.1.1.2.1"></times><ci id="S3.E14.6.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E14.6.m1.3.3.1.1.2.2">𝑴</ci><ci id="S3.E14.6.m1.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E14.6.m1.3.3.1.1.2.3">𝒚</ci><ci id="S3.E14.6.m1.1.1.cmml" xref="S3.E14.6.m1.1.1">𝝃</ci></apply><ci id="S3.E14.6.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S3.E14.6.m1.3.3.1.1.3">𝒈</ci></apply><apply id="S3.E14.6.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S3.E14.6.m1.4.4.2.2"><in id="S3.E14.6.m1.4.4.2.2.1.cmml" xref="S3.E14.6.m1.4.4.2.2.1"></in><apply id="S3.E14.6.m1.4.4.2.2.2.cmml" xref="S3.E14.6.m1.4.4.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.E14.6.m1.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E14.6.m1.4.4.2.2.2.1">for-all</csymbol><ci id="S3.E14.6.m1.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E14.6.m1.4.4.2.2.2.2">𝝃</ci></apply><apply id="S3.E14.6.m1.4.4.2.2.3.cmml" xref="S3.E14.6.m1.4.4.2.2.3"><times id="S3.E14.6.m1.4.4.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E14.6.m1.4.4.2.2.3.1"></times><ci id="S3.E14.6.m1.4.4.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E14.6.m1.4.4.2.2.3.2">𝑼</ci><ci id="S3.E14.6.m1.2.2.cmml" xref="S3.E14.6.m1.2.2">𝛼</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E14.6.m1.4c">\displaystyle\bm{M}\bm{y}(\bm{\xi})\leq\bm{g},\forall\bm{\xi}\in\bm{U}(\alpha)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E14.6.m1.4d">bold_italic_M bold_italic_y ( bold_italic_ξ ) ≤ bold_italic_g , ∀ bold_italic_ξ ∈ bold_italic_U ( italic_α )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(14f)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E14.7"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"><math alttext="\displaystyle\overline{\Lambda}\leq(1+\sigma)\Lambda_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E14.7.m1.1"><semantics id="S3.E14.7.m1.1a"><mrow id="S3.E14.7.m1.1.1" xref="S3.E14.7.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.E14.7.m1.1.1.3" xref="S3.E14.7.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E14.7.m1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.E14.7.m1.1.1.3.2.cmml">Λ</mi><mo id="S3.E14.7.m1.1.1.3.1" xref="S3.E14.7.m1.1.1.3.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S3.E14.7.m1.1.1.2" 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encoding="MathML-Content" id="S3.E14.7.m1.1b"><apply id="S3.E14.7.m1.1.1.cmml" xref="S3.E14.7.m1.1.1"><leq id="S3.E14.7.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.E14.7.m1.1.1.2"></leq><apply id="S3.E14.7.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.E14.7.m1.1.1.3"><ci id="S3.E14.7.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E14.7.m1.1.1.3.1">¯</ci><ci id="S3.E14.7.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E14.7.m1.1.1.3.2">Λ</ci></apply><apply id="S3.E14.7.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.E14.7.m1.1.1.1"><times id="S3.E14.7.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E14.7.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E14.7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E14.7.m1.1.1.1.1.1"><plus id="S3.E14.7.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E14.7.m1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><cn id="S3.E14.7.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.E14.7.m1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><ci id="S3.E14.7.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E14.7.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝜎</ci></apply><apply id="S3.E14.7.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E14.7.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E14.7.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E14.7.m1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E14.7.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E14.7.m1.1.1.1.3.2">Λ</ci><cn id="S3.E14.7.m1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E14.7.m1.1.1.1.3.3">0</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E14.7.m1.1c">\displaystyle\overline{\Lambda}\leq(1+\sigma)\Lambda_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E14.7.m1.1d">over¯ start_ARG roman_Λ end_ARG ≤ ( 1 + italic_σ ) roman_Λ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(14g)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E14.8"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"><math alttext="\displaystyle\begin{aligned} \overline{\Lambda}&=\max_{\bm{\xi}\in\bm{U}(% \alpha)}\Lambda\left(\bm{x},\bm{y}(\bm{\xi}),\bm{\xi}\right)\\ &=\bm{c}^{T}\bm{x}+\max_{\bm{\xi}\in\bm{U}(\alpha)}\bm{d}^{T}\bm{y}(\bm{\xi})% \end{aligned}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E14.8.m1.7"><semantics id="S3.E14.8.m1.7a"><mtable columnspacing="0pt" id="S3.E14.8.m1.7.7" rowspacing="0.0pt" xref="S3.E14.8.m1.7.7.cmml"><mtr id="S3.E14.8.m1.7.7a" xref="S3.E14.8.m1.7.7.cmml"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S3.E14.8.m1.7.7b" xref="S3.E14.8.m1.7.7.cmml"><mover accent="true" id="S3.E14.8.m1.5.5.5.6.1" xref="S3.E14.8.m1.5.5.5.6.1.cmml"><mi id="S3.E14.8.m1.5.5.5.6.1.2" mathvariant="normal" xref="S3.E14.8.m1.5.5.5.6.1.2.cmml">Λ</mi><mo id="S3.E14.8.m1.5.5.5.6.1.1" xref="S3.E14.8.m1.5.5.5.6.1.1.cmml">¯</mo></mover></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S3.E14.8.m1.7.7c" xref="S3.E14.8.m1.7.7.cmml"><mrow id="S3.E14.8.m1.5.5.5.5.5" xref="S3.E14.8.m1.5.5.5.5.5.cmml"><mi id="S3.E14.8.m1.5.5.5.5.5.7" xref="S3.E14.8.m1.5.5.5.5.5.7.cmml"></mi><mo id="S3.E14.8.m1.5.5.5.5.5.6" xref="S3.E14.8.m1.5.5.5.5.5.6.cmml">=</mo><mrow id="S3.E14.8.m1.5.5.5.5.5.5" xref="S3.E14.8.m1.5.5.5.5.5.5.cmml"><mrow id="S3.E14.8.m1.5.5.5.5.5.5.3" xref="S3.E14.8.m1.5.5.5.5.5.5.3.cmml"><munder id="S3.E14.8.m1.5.5.5.5.5.5.3.1" xref="S3.E14.8.m1.5.5.5.5.5.5.3.1.cmml"><mi id="S3.E14.8.m1.5.5.5.5.5.5.3.1.2" xref="S3.E14.8.m1.5.5.5.5.5.5.3.1.2.cmml">max</mi><mrow id="S3.E14.8.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E14.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E14.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E14.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝝃</mi><mo id="S3.E14.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E14.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="S3.E14.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.E14.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.E14.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.E14.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">𝑼</mi><mo id="S3.E14.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.1" xref="S3.E14.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E14.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S3.E14.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mo id="S3.E14.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E14.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">(</mo><mi id="S3.E14.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E14.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">α</mi><mo id="S3.E14.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E14.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></munder><mo id="S3.E14.8.m1.5.5.5.5.5.5.3a" lspace="0.167em" xref="S3.E14.8.m1.5.5.5.5.5.5.3.cmml">⁡</mo><mi id="S3.E14.8.m1.5.5.5.5.5.5.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.E14.8.m1.5.5.5.5.5.5.3.2.cmml">Λ</mi></mrow><mo id="S3.E14.8.m1.5.5.5.5.5.5.2" xref="S3.E14.8.m1.5.5.5.5.5.5.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E14.8.m1.5.5.5.5.5.5.1.1" xref="S3.E14.8.m1.5.5.5.5.5.5.1.2.cmml"><mo id="S3.E14.8.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.2" xref="S3.E14.8.m1.5.5.5.5.5.5.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.E14.8.m1.3.3.3.3.3.3" xref="S3.E14.8.m1.3.3.3.3.3.3.cmml">𝒙</mi><mo id="S3.E14.8.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.3" xref="S3.E14.8.m1.5.5.5.5.5.5.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S3.E14.8.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.1" xref="S3.E14.8.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E14.8.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.1.2" xref="S3.E14.8.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.1.2.cmml">𝒚</mi><mo id="S3.E14.8.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1" xref="S3.E14.8.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E14.8.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.1.3.2" xref="S3.E14.8.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E14.8.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E14.8.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E14.8.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S3.E14.8.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">𝝃</mi><mo id="S3.E14.8.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E14.8.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E14.8.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.4" xref="S3.E14.8.m1.5.5.5.5.5.5.1.2.cmml">,</mo><mi id="S3.E14.8.m1.4.4.4.4.4.4" xref="S3.E14.8.m1.4.4.4.4.4.4.cmml">𝝃</mi><mo id="S3.E14.8.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.5" xref="S3.E14.8.m1.5.5.5.5.5.5.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S3.E14.8.m1.7.7d" xref="S3.E14.8.m1.7.7.cmml"><mtd id="S3.E14.8.m1.7.7e" xref="S3.E14.8.m1.7.7.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S3.E14.8.m1.7.7f" xref="S3.E14.8.m1.7.7.cmml"><mrow id="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2" xref="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.cmml"><mi id="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.4" xref="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.4.cmml"></mi><mo id="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.3" xref="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5" xref="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.cmml"><mrow id="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.2" xref="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.2.cmml"><msup id="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.2.2" xref="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.2.2.cmml"><mi id="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.2.2.2" xref="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.2.2.2.cmml">𝒄</mi><mi id="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.2.2.3" xref="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.2.2.3.cmml">T</mi></msup><mo id="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.2.1" xref="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.2.3" xref="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.2.3.cmml">𝒙</mi></mrow><mo id="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.1" xref="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.3" xref="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.3.cmml"><mrow id="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.3.2" xref="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.3.2.cmml"><munder id="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.3.2.1" xref="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.3.2.1.cmml"><mi id="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.3.2.1.2" xref="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.3.2.1.2.cmml">max</mi><mrow id="S3.E14.8.m1.6.6.6.1.1.1.1" xref="S3.E14.8.m1.6.6.6.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E14.8.m1.6.6.6.1.1.1.1.3" xref="S3.E14.8.m1.6.6.6.1.1.1.1.3.cmml">𝝃</mi><mo id="S3.E14.8.m1.6.6.6.1.1.1.1.2" xref="S3.E14.8.m1.6.6.6.1.1.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="S3.E14.8.m1.6.6.6.1.1.1.1.4" xref="S3.E14.8.m1.6.6.6.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.E14.8.m1.6.6.6.1.1.1.1.4.2" xref="S3.E14.8.m1.6.6.6.1.1.1.1.4.2.cmml">𝑼</mi><mo id="S3.E14.8.m1.6.6.6.1.1.1.1.4.1" xref="S3.E14.8.m1.6.6.6.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E14.8.m1.6.6.6.1.1.1.1.4.3.2" xref="S3.E14.8.m1.6.6.6.1.1.1.1.4.cmml"><mo id="S3.E14.8.m1.6.6.6.1.1.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E14.8.m1.6.6.6.1.1.1.1.4.cmml">(</mo><mi id="S3.E14.8.m1.6.6.6.1.1.1.1.1" xref="S3.E14.8.m1.6.6.6.1.1.1.1.1.cmml">α</mi><mo id="S3.E14.8.m1.6.6.6.1.1.1.1.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E14.8.m1.6.6.6.1.1.1.1.4.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></munder><mo id="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.3.2a" lspace="0.167em" xref="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.3.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.3.2.2" xref="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.3.2.2.cmml"><msup id="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.3.2.2.2" xref="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.3.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.3.2.2.2.2" xref="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.3.2.2.2.2.cmml">𝒅</mi><mi id="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.3.2.2.2.3" xref="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.3.2.2.2.3.cmml">T</mi></msup><mo id="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.3.2.2.1" xref="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.3.2.2.3" xref="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.3.2.2.3.cmml">𝒚</mi></mrow></mrow><mo id="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.3.1" xref="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.3.3.2" xref="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.3.cmml"><mo id="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.3.cmml">(</mo><mi id="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.2" xref="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.2.cmml">𝝃</mi><mo id="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E14.8.m1.7b"><matrix id="S3.E14.8.m1.7.7.cmml" xref="S3.E14.8.m1.7.7"><matrixrow id="S3.E14.8.m1.7.7a.cmml" xref="S3.E14.8.m1.7.7"><apply id="S3.E14.8.m1.5.5.5.6.1.cmml" xref="S3.E14.8.m1.5.5.5.6.1"><ci id="S3.E14.8.m1.5.5.5.6.1.1.cmml" xref="S3.E14.8.m1.5.5.5.6.1.1">¯</ci><ci id="S3.E14.8.m1.5.5.5.6.1.2.cmml" 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id="S3.E14.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E14.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝝃</ci><apply id="S3.E14.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.E14.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.4"><times id="S3.E14.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.E14.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.1"></times><ci id="S3.E14.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.E14.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝑼</ci><ci id="S3.E14.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E14.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1">𝛼</ci></apply></apply></apply><ci id="S3.E14.8.m1.5.5.5.5.5.5.3.2.cmml" xref="S3.E14.8.m1.5.5.5.5.5.5.3.2">Λ</ci></apply><vector id="S3.E14.8.m1.5.5.5.5.5.5.1.2.cmml" xref="S3.E14.8.m1.5.5.5.5.5.5.1.1"><ci id="S3.E14.8.m1.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="S3.E14.8.m1.3.3.3.3.3.3">𝒙</ci><apply id="S3.E14.8.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.1.cmml" xref="S3.E14.8.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.1"><times id="S3.E14.8.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E14.8.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1"></times><ci id="S3.E14.8.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E14.8.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.1.2">𝒚</ci><ci id="S3.E14.8.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E14.8.m1.2.2.2.2.2.2">𝝃</ci></apply><ci id="S3.E14.8.m1.4.4.4.4.4.4.cmml" xref="S3.E14.8.m1.4.4.4.4.4.4">𝝃</ci></vector></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="S3.E14.8.m1.7.7b.cmml" xref="S3.E14.8.m1.7.7"><cerror id="S3.E14.8.m1.7.7c.cmml" xref="S3.E14.8.m1.7.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E14.8.m1.7.7d.cmml" xref="S3.E14.8.m1.7.7">missing-subexpression</csymbol></cerror><apply id="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.cmml" xref="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2"><eq id="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.3.cmml" xref="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.3"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.4.cmml" xref="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.4">absent</csymbol><apply id="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.cmml" xref="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5"><plus id="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.1.cmml" xref="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.1"></plus><apply id="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.2.cmml" xref="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.2"><times id="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.2.1.cmml" xref="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.2.1"></times><apply id="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.2.2.cmml" xref="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.2.2.1.cmml" xref="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.2.2.2.cmml" xref="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.2.2.2">𝒄</ci><ci id="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.2.2.3.cmml" xref="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.2.2.3">𝑇</ci></apply><ci id="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.2.3.cmml" xref="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.2.3">𝒙</ci></apply><apply id="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.3.cmml" xref="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.3"><times id="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.3.1.cmml" xref="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.3.1"></times><apply id="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.3.2.cmml" xref="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.3.2"><apply id="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.3.2.1.cmml" xref="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.3.2.1.1.cmml" xref="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.3.2.1">subscript</csymbol><max id="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.3.2.1.2.cmml" xref="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.3.2.1.2"></max><apply id="S3.E14.8.m1.6.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E14.8.m1.6.6.6.1.1.1.1"><in id="S3.E14.8.m1.6.6.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E14.8.m1.6.6.6.1.1.1.1.2"></in><ci id="S3.E14.8.m1.6.6.6.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E14.8.m1.6.6.6.1.1.1.1.3">𝝃</ci><apply id="S3.E14.8.m1.6.6.6.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.E14.8.m1.6.6.6.1.1.1.1.4"><times id="S3.E14.8.m1.6.6.6.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.E14.8.m1.6.6.6.1.1.1.1.4.1"></times><ci id="S3.E14.8.m1.6.6.6.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.E14.8.m1.6.6.6.1.1.1.1.4.2">𝑼</ci><ci id="S3.E14.8.m1.6.6.6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E14.8.m1.6.6.6.1.1.1.1.1">𝛼</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.3.2.2.cmml" xref="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.3.2.2"><times id="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.3.2.2.1"></times><apply id="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.3.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.3.2.2.2.2">𝒅</ci><ci id="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.3.2.2.2.3">𝑇</ci></apply><ci id="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.3.2.2.3.cmml" xref="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.5.3.2.2.3">𝒚</ci></apply></apply><ci id="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.2.cmml" xref="S3.E14.8.m1.7.7.7.2.2.2">𝝃</ci></apply></apply></apply></matrixrow></matrix></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E14.8.m1.7c">\displaystyle\begin{aligned} \overline{\Lambda}&=\max_{\bm{\xi}\in\bm{U}(% \alpha)}\Lambda\left(\bm{x},\bm{y}(\bm{\xi}),\bm{\xi}\right)\\ &=\bm{c}^{T}\bm{x}+\max_{\bm{\xi}\in\bm{U}(\alpha)}\bm{d}^{T}\bm{y}(\bm{\xi})% \end{aligned}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E14.8.m1.7d">start_ROW start_CELL over¯ start_ARG roman_Λ end_ARG end_CELL start_CELL = roman_max start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_ξ ∈ bold_italic_U ( italic_α ) end_POSTSUBSCRIPT roman_Λ ( bold_italic_x , bold_italic_y ( bold_italic_ξ ) , bold_italic_ξ ) end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL = bold_italic_c start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_italic_x + roman_max start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_ξ ∈ bold_italic_U ( italic_α ) end_POSTSUBSCRIPT bold_italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_italic_y ( bold_italic_ξ ) end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(14h)</span></td> </tr> </tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS3.p3"> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p3.2">By analysing the formulation in Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S2" title="II Mathematical Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II</span></a>, it is evident that the largest operational cost occurs when the electricity supply is at its peak, i.e., when renewable generation and load demands reach their bounds <math alttext="\bm{\xi}^{*}(\alpha)=\overline{\bm{p}}^{L}(\alpha)-\underline{\bm{p}}^{PV}(\alpha)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p3.1.m1.3"><semantics id="S3.SS3.p3.1.m1.3a"><mrow id="S3.SS3.p3.1.m1.3.4" xref="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.cmml"><mrow id="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.2" xref="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.2.cmml"><msup id="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.2.2" xref="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.2.2.cmml"><mi id="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.2.2.2" xref="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.2.2.2.cmml">𝝃</mi><mo id="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.2.2.3" xref="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.2.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.2.1" xref="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.2.3.2" xref="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.2.cmml"><mo id="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.2.3.2.1" stretchy="false" 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id="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS3.p3.1.m1.2.2" xref="S3.SS3.p3.1.m1.2.2.cmml">α</mi><mo id="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.1" xref="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.3" xref="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.3.cmml"><msup id="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.3.2" xref="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.3.2.cmml"><munder accentunder="true" id="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.3.2.2" xref="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.3.2.2.cmml"><mi id="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.3.2.2.2" xref="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.3.2.2.2.cmml">𝒑</mi><mo id="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.3.2.2.1" xref="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.3.2.2.1.cmml">¯</mo></munder><mrow id="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.3.2.3" xref="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.3.2.3.cmml"><mi id="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.3.2.3.2" xref="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.3.2.3.2.cmml">P</mi><mo id="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.3.2.3.1" xref="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.3.2.3.3" xref="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.3.2.3.3.cmml">V</mi></mrow></msup><mo id="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.3.1" xref="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.3.3.2" xref="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.3.cmml"><mo id="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.3.cmml">(</mo><mi id="S3.SS3.p3.1.m1.3.3" xref="S3.SS3.p3.1.m1.3.3.cmml">α</mi><mo id="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p3.1.m1.3b"><apply id="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.cmml" xref="S3.SS3.p3.1.m1.3.4"><eq id="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.1"></eq><apply id="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.2.cmml" xref="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.2"><times id="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.2.1"></times><apply id="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.2.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.2.2.2">𝝃</ci><times id="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.2.2.3.cmml" xref="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.2.2.3"></times></apply><ci id="S3.SS3.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.1.m1.1.1">𝛼</ci></apply><apply id="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.cmml" xref="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3"><minus id="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.1"></minus><apply id="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.2.cmml" xref="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.2"><times id="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.2.1"></times><apply id="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.2.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.2.2.2"><ci id="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.2.2.2.1">¯</ci><ci id="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.2.2.2.2">𝒑</ci></apply><ci id="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.2.2.3.cmml" xref="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.2.2.3">𝐿</ci></apply><ci id="S3.SS3.p3.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p3.1.m1.2.2">𝛼</ci></apply><apply id="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.3.cmml" xref="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.3"><times id="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.3.1"></times><apply id="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.3.2.cmml" xref="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.3.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.3.2">superscript</csymbol><apply id="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.3.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.3.2.2"><ci id="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.3.2.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.3.2.2.1">¯</ci><ci id="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.3.2.2.2">𝒑</ci></apply><apply id="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.3.2.3.cmml" xref="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.3.2.3"><times id="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.3.2.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.3.2.3.1"></times><ci id="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.3.2.3.2.cmml" xref="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.3.2.3.2">𝑃</ci><ci id="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.3.2.3.3.cmml" xref="S3.SS3.p3.1.m1.3.4.3.3.2.3.3">𝑉</ci></apply></apply><ci id="S3.SS3.p3.1.m1.3.3.cmml" xref="S3.SS3.p3.1.m1.3.3">𝛼</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p3.1.m1.3c">\bm{\xi}^{*}(\alpha)=\overline{\bm{p}}^{L}(\alpha)-\underline{\bm{p}}^{PV}(\alpha)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p3.1.m1.3d">bold_italic_ξ start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_α ) = over¯ start_ARG bold_italic_p end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT italic_L end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_α ) - under¯ start_ARG bold_italic_p end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT italic_P italic_V end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_α )</annotation></semantics></math> within the uncertainty sets. Consequently, the two-level optimization model can be simplified into a single level one. Additionally, in standard IGDT, the use of a single variable <math alttext="\delta" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p3.2.m2.1"><semantics id="S3.SS3.p3.2.m2.1a"><mi id="S3.SS3.p3.2.m2.1.1" xref="S3.SS3.p3.2.m2.1.1.cmml">δ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p3.2.m2.1b"><ci id="S3.SS3.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.2.m2.1.1">𝛿</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p3.2.m2.1c">\delta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p3.2.m2.1d">italic_δ</annotation></semantics></math> becomes less practical when multiple uncertain parameters are involved. For the proposed model, however, we utilize probability to describe multiple uncertainties collectively, portraying the risk-averse capability in a probabilistic manner.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S3.SS4"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection"><span class="ltx_text" id="S3.SS4.4.1.1">III-D</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.SS4.5.2">Construction of the Ambiguity Set</span> </h3> <div class="ltx_para" id="S3.SS4.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS4.p1.1">Introducing a confidence level <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS4.p1.1.m1.1a"><mi id="S3.SS4.p1.1.m1.1.1" xref="S3.SS4.p1.1.m1.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p1.1.m1.1b"><ci id="S3.SS4.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.1.m1.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p1.1.m1.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p1.1.m1.1d">italic_α</annotation></semantics></math> in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S3.E13" title="In III-C Confidence Level Based Information Gap Decision Model ‣ III Confidence Level-Based Distributionally Information Gap decision Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">13</span></a>) and (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S3.E14" title="In III-C Confidence Level Based Information Gap Decision Model ‣ III Confidence Level-Based Distributionally Information Gap decision Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">14</span></a>) necessitates the CDFs, which may inherit the limitations associated with SP method. To address this challenge, we draw inspiration from DRO and propose constructing ambiguity sets of CDFs. By fully utilizing available historical data and exploiting the implicit information it contains, the worst-case distribution can serve as a surrogate for the precise distribution.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS4.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.SS4.p2.6">Consider a dataset <math alttext="\mathcal{D}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p2.1.m1.1"><semantics id="S3.SS4.p2.1.m1.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.cmml">𝒟</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p2.1.m1.1b"><ci id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1">𝒟</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p2.1.m1.1c">\mathcal{D}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p2.1.m1.1d">caligraphic_D</annotation></semantics></math> of a random variable <math alttext="\xi" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p2.2.m2.1"><semantics id="S3.SS4.p2.2.m2.1a"><mi id="S3.SS4.p2.2.m2.1.1" xref="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.cmml">ξ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p2.2.m2.1b"><ci id="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.2.m2.1.1">𝜉</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p2.2.m2.1c">\xi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p2.2.m2.1d">italic_ξ</annotation></semantics></math> with <math alttext="K" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p2.3.m3.1"><semantics id="S3.SS4.p2.3.m3.1a"><mi id="S3.SS4.p2.3.m3.1.1" xref="S3.SS4.p2.3.m3.1.1.cmml">K</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p2.3.m3.1b"><ci id="S3.SS4.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.3.m3.1.1">𝐾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p2.3.m3.1c">K</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p2.3.m3.1d">italic_K</annotation></semantics></math> different values <math alttext="\xi_{k},k=1,...,K" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p2.4.m4.5"><semantics id="S3.SS4.p2.4.m4.5a"><mrow id="S3.SS4.p2.4.m4.5.5.2" xref="S3.SS4.p2.4.m4.5.5.3.cmml"><mrow id="S3.SS4.p2.4.m4.4.4.1.1" xref="S3.SS4.p2.4.m4.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS4.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1" xref="S3.SS4.p2.4.m4.4.4.1.1.1.2.cmml"><msub id="S3.SS4.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.1" xref="S3.SS4.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS4.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">ξ</mi><mi id="S3.SS4.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS4.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.SS4.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.2" xref="S3.SS4.p2.4.m4.4.4.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S3.SS4.p2.4.m4.1.1" xref="S3.SS4.p2.4.m4.1.1.cmml">k</mi></mrow><mo id="S3.SS4.p2.4.m4.4.4.1.1.2" xref="S3.SS4.p2.4.m4.4.4.1.1.2.cmml">=</mo><mn id="S3.SS4.p2.4.m4.4.4.1.1.3" xref="S3.SS4.p2.4.m4.4.4.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.SS4.p2.4.m4.5.5.2.3" xref="S3.SS4.p2.4.m4.5.5.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.SS4.p2.4.m4.5.5.2.2.2" xref="S3.SS4.p2.4.m4.5.5.2.2.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p2.4.m4.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS4.p2.4.m4.2.2.cmml">…</mi><mo id="S3.SS4.p2.4.m4.5.5.2.2.2.1" xref="S3.SS4.p2.4.m4.5.5.2.2.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS4.p2.4.m4.3.3" xref="S3.SS4.p2.4.m4.3.3.cmml">K</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p2.4.m4.5b"><apply id="S3.SS4.p2.4.m4.5.5.3.cmml" xref="S3.SS4.p2.4.m4.5.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p2.4.m4.5.5.3a.cmml" xref="S3.SS4.p2.4.m4.5.5.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.SS4.p2.4.m4.4.4.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.4.m4.4.4.1.1"><eq id="S3.SS4.p2.4.m4.4.4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p2.4.m4.4.4.1.1.2"></eq><list id="S3.SS4.p2.4.m4.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1"><apply id="S3.SS4.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.2">𝜉</ci><ci id="S3.SS4.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS4.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply><ci id="S3.SS4.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.4.m4.1.1">𝑘</ci></list><cn id="S3.SS4.p2.4.m4.4.4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS4.p2.4.m4.4.4.1.1.3">1</cn></apply><list id="S3.SS4.p2.4.m4.5.5.2.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.4.m4.5.5.2.2.2"><ci id="S3.SS4.p2.4.m4.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p2.4.m4.2.2">…</ci><ci id="S3.SS4.p2.4.m4.3.3.cmml" xref="S3.SS4.p2.4.m4.3.3">𝐾</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p2.4.m4.5c">\xi_{k},k=1,...,K</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p2.4.m4.5d">italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_k = 1 , … , italic_K</annotation></semantics></math>, arranged in an increasing order. Each value has an associated count <math alttext="n_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p2.5.m5.1"><semantics id="S3.SS4.p2.5.m5.1a"><msub id="S3.SS4.p2.5.m5.1.1" xref="S3.SS4.p2.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p2.5.m5.1.1.2" xref="S3.SS4.p2.5.m5.1.1.2.cmml">n</mi><mi id="S3.SS4.p2.5.m5.1.1.3" xref="S3.SS4.p2.5.m5.1.1.3.cmml">k</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p2.5.m5.1b"><apply id="S3.SS4.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p2.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.5.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p2.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p2.5.m5.1.1.2">𝑛</ci><ci id="S3.SS4.p2.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S3.SS4.p2.5.m5.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p2.5.m5.1c">n_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p2.5.m5.1d">italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and an occurrence probability <math alttext="\theta_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p2.6.m6.1"><semantics id="S3.SS4.p2.6.m6.1a"><msub id="S3.SS4.p2.6.m6.1.1" xref="S3.SS4.p2.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p2.6.m6.1.1.2" xref="S3.SS4.p2.6.m6.1.1.2.cmml">θ</mi><mi id="S3.SS4.p2.6.m6.1.1.3" xref="S3.SS4.p2.6.m6.1.1.3.cmml">k</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p2.6.m6.1b"><apply id="S3.SS4.p2.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p2.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.6.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p2.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p2.6.m6.1.1.2">𝜃</ci><ci id="S3.SS4.p2.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S3.SS4.p2.6.m6.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p2.6.m6.1c">\theta_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p2.6.m6.1d">italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, respectively. A multinomial distribution can be used to model the uncertainty in these counts:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E15"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\Pr(N_{1}=n_{1},\ldots,N_{K}=n_{K})=\frac{n!}{\prod_{k=1}^{K}n_{k}!}\prod_{k=1% }^{K}\theta_{k}^{n_{k}}" class="ltx_Math" display="block" id="S3.E15.m1.4"><semantics id="S3.E15.m1.4a"><mrow id="S3.E15.m1.4.4" xref="S3.E15.m1.4.4.cmml"><mrow id="S3.E15.m1.4.4.2.2" xref="S3.E15.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S3.E15.m1.1.1" xref="S3.E15.m1.1.1.cmml">Pr</mi><mo id="S3.E15.m1.4.4.2.2a" xref="S3.E15.m1.4.4.2.3.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.E15.m1.4.4.2.2.2" xref="S3.E15.m1.4.4.2.3.cmml"><mo id="S3.E15.m1.4.4.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.E15.m1.4.4.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S3.E15.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E15.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E15.m1.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">N</mi><mn id="S3.E15.m1.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><msub id="S3.E15.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E15.m1.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">n</mi><mn id="S3.E15.m1.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="S3.E15.m1.4.4.2.2.2.4" xref="S3.E15.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.E15.m1.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.E15.m1.2.2.cmml">…</mi><mo id="S3.E15.m1.4.4.2.2.2.5" xref="S3.E15.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S3.E15.m1.4.4.2.2.2.2" xref="S3.E15.m1.4.4.2.2.2.2.cmml"><msub id="S3.E15.m1.4.4.2.2.2.2.2" xref="S3.E15.m1.4.4.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E15.m1.4.4.2.2.2.2.2.2" xref="S3.E15.m1.4.4.2.2.2.2.2.2.cmml">N</mi><mi id="S3.E15.m1.4.4.2.2.2.2.2.3" xref="S3.E15.m1.4.4.2.2.2.2.2.3.cmml">K</mi></msub><mo id="S3.E15.m1.4.4.2.2.2.2.1" xref="S3.E15.m1.4.4.2.2.2.2.1.cmml">=</mo><msub id="S3.E15.m1.4.4.2.2.2.2.3" xref="S3.E15.m1.4.4.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E15.m1.4.4.2.2.2.2.3.2" xref="S3.E15.m1.4.4.2.2.2.2.3.2.cmml">n</mi><mi id="S3.E15.m1.4.4.2.2.2.2.3.3" xref="S3.E15.m1.4.4.2.2.2.2.3.3.cmml">K</mi></msub></mrow><mo id="S3.E15.m1.4.4.2.2.2.6" stretchy="false" xref="S3.E15.m1.4.4.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E15.m1.4.4.3" xref="S3.E15.m1.4.4.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.E15.m1.4.4.4" xref="S3.E15.m1.4.4.4.cmml"><mfrac id="S3.E15.m1.4.4.4.2" xref="S3.E15.m1.4.4.4.2.cmml"><mrow id="S3.E15.m1.4.4.4.2.2" xref="S3.E15.m1.4.4.4.2.2.cmml"><mi id="S3.E15.m1.4.4.4.2.2.2" xref="S3.E15.m1.4.4.4.2.2.2.cmml">n</mi><mo id="S3.E15.m1.4.4.4.2.2.1" xref="S3.E15.m1.4.4.4.2.2.1.cmml">!</mo></mrow><mrow id="S3.E15.m1.4.4.4.2.3" xref="S3.E15.m1.4.4.4.2.3.cmml"><msubsup id="S3.E15.m1.4.4.4.2.3.1" xref="S3.E15.m1.4.4.4.2.3.1.cmml"><mo id="S3.E15.m1.4.4.4.2.3.1.2.2" xref="S3.E15.m1.4.4.4.2.3.1.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S3.E15.m1.4.4.4.2.3.1.2.3" xref="S3.E15.m1.4.4.4.2.3.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E15.m1.4.4.4.2.3.1.2.3.2" xref="S3.E15.m1.4.4.4.2.3.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.E15.m1.4.4.4.2.3.1.2.3.1" xref="S3.E15.m1.4.4.4.2.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.E15.m1.4.4.4.2.3.1.2.3.3" xref="S3.E15.m1.4.4.4.2.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.E15.m1.4.4.4.2.3.1.3" xref="S3.E15.m1.4.4.4.2.3.1.3.cmml">K</mi></msubsup><mrow id="S3.E15.m1.4.4.4.2.3.2" xref="S3.E15.m1.4.4.4.2.3.2.cmml"><msub id="S3.E15.m1.4.4.4.2.3.2.2" xref="S3.E15.m1.4.4.4.2.3.2.2.cmml"><mi id="S3.E15.m1.4.4.4.2.3.2.2.2" xref="S3.E15.m1.4.4.4.2.3.2.2.2.cmml">n</mi><mi id="S3.E15.m1.4.4.4.2.3.2.2.3" xref="S3.E15.m1.4.4.4.2.3.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.E15.m1.4.4.4.2.3.2.1" xref="S3.E15.m1.4.4.4.2.3.2.1.cmml">!</mo></mrow></mrow></mfrac><mo id="S3.E15.m1.4.4.4.1" xref="S3.E15.m1.4.4.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E15.m1.4.4.4.3" 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xref="S3.E15.m1.4.4.4.3.2.3.3.cmml">k</mi></msub></msubsup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E15.m1.4b"><apply id="S3.E15.m1.4.4.cmml" xref="S3.E15.m1.4.4"><eq id="S3.E15.m1.4.4.3.cmml" xref="S3.E15.m1.4.4.3"></eq><apply id="S3.E15.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S3.E15.m1.4.4.2.2"><ci id="S3.E15.m1.1.1.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1">Pr</ci><apply id="S3.E15.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.1.1"><eq id="S3.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S3.E15.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E15.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E15.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.1.1.2.2">𝑁</ci><cn id="S3.E15.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S3.E15.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E15.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E15.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.1.1.3.2">𝑛</ci><cn id="S3.E15.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.E15.m1.2.2.cmml" xref="S3.E15.m1.2.2">…</ci><apply id="S3.E15.m1.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E15.m1.4.4.2.2.2.2"><eq id="S3.E15.m1.4.4.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E15.m1.4.4.2.2.2.2.1"></eq><apply id="S3.E15.m1.4.4.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E15.m1.4.4.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E15.m1.4.4.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E15.m1.4.4.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E15.m1.4.4.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E15.m1.4.4.2.2.2.2.2.2">𝑁</ci><ci id="S3.E15.m1.4.4.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E15.m1.4.4.2.2.2.2.2.3">𝐾</ci></apply><apply id="S3.E15.m1.4.4.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E15.m1.4.4.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E15.m1.4.4.2.2.2.2.3.1.cmml" 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id="S3.E15.m1.4.4.4.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E15.m1.4.4.4.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.E15.m1.4.4.4.3.1.3.cmml" xref="S3.E15.m1.4.4.4.3.1.3">𝐾</ci></apply><apply id="S3.E15.m1.4.4.4.3.2.cmml" xref="S3.E15.m1.4.4.4.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E15.m1.4.4.4.3.2.1.cmml" xref="S3.E15.m1.4.4.4.3.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E15.m1.4.4.4.3.2.2.cmml" xref="S3.E15.m1.4.4.4.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E15.m1.4.4.4.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E15.m1.4.4.4.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E15.m1.4.4.4.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E15.m1.4.4.4.3.2.2.2">𝜃</ci><ci id="S3.E15.m1.4.4.4.3.2.2.3.cmml" xref="S3.E15.m1.4.4.4.3.2.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.E15.m1.4.4.4.3.2.3.cmml" xref="S3.E15.m1.4.4.4.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E15.m1.4.4.4.3.2.3.1.cmml" xref="S3.E15.m1.4.4.4.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E15.m1.4.4.4.3.2.3.2.cmml" xref="S3.E15.m1.4.4.4.3.2.3.2">𝑛</ci><ci id="S3.E15.m1.4.4.4.3.2.3.3.cmml" xref="S3.E15.m1.4.4.4.3.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E15.m1.4c">\Pr(N_{1}=n_{1},\ldots,N_{K}=n_{K})=\frac{n!}{\prod_{k=1}^{K}n_{k}!}\prod_{k=1% }^{K}\theta_{k}^{n_{k}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E15.m1.4d">roman_Pr ( italic_N start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = italic_n start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_K end_POSTSUBSCRIPT = italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_K end_POSTSUBSCRIPT ) = divide start_ARG italic_n ! end_ARG start_ARG ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_k = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K end_POSTSUPERSCRIPT italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ! end_ARG ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_k = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K end_POSTSUPERSCRIPT italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(15)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS4.p3"> <p class="ltx_p" id="S3.SS4.p3.3">According to the Law of Large Numbers, parameter <math alttext="\theta_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p3.1.m1.1"><semantics id="S3.SS4.p3.1.m1.1a"><msub id="S3.SS4.p3.1.m1.1.1" xref="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.2.cmml">θ</mi><mi id="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p3.1.m1.1b"><apply id="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p3.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p3.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.2">𝜃</ci><ci id="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS4.p3.1.m1.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p3.1.m1.1c">\theta_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p3.1.m1.1d">italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is estimated as <math alttext="\theta_{k}=n_{k}/n" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p3.2.m2.1"><semantics id="S3.SS4.p3.2.m2.1a"><mrow id="S3.SS4.p3.2.m2.1.1" xref="S3.SS4.p3.2.m2.1.1.cmml"><msub id="S3.SS4.p3.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS4.p3.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS4.p3.2.m2.1.1.2.2" xref="S3.SS4.p3.2.m2.1.1.2.2.cmml">θ</mi><mi id="S3.SS4.p3.2.m2.1.1.2.3" xref="S3.SS4.p3.2.m2.1.1.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.SS4.p3.2.m2.1.1.1" xref="S3.SS4.p3.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS4.p3.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS4.p3.2.m2.1.1.3.cmml"><msub id="S3.SS4.p3.2.m2.1.1.3.2" xref="S3.SS4.p3.2.m2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.SS4.p3.2.m2.1.1.3.2.2" xref="S3.SS4.p3.2.m2.1.1.3.2.2.cmml">n</mi><mi id="S3.SS4.p3.2.m2.1.1.3.2.3" xref="S3.SS4.p3.2.m2.1.1.3.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.SS4.p3.2.m2.1.1.3.1" xref="S3.SS4.p3.2.m2.1.1.3.1.cmml">/</mo><mi id="S3.SS4.p3.2.m2.1.1.3.3" xref="S3.SS4.p3.2.m2.1.1.3.3.cmml">n</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p3.2.m2.1b"><apply id="S3.SS4.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p3.2.m2.1.1"><eq id="S3.SS4.p3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p3.2.m2.1.1.1"></eq><apply id="S3.SS4.p3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p3.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p3.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p3.2.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p3.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p3.2.m2.1.1.2.2">𝜃</ci><ci id="S3.SS4.p3.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS4.p3.2.m2.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.SS4.p3.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS4.p3.2.m2.1.1.3"><divide id="S3.SS4.p3.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS4.p3.2.m2.1.1.3.1"></divide><apply id="S3.SS4.p3.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS4.p3.2.m2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p3.2.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p3.2.m2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p3.2.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p3.2.m2.1.1.3.2.2">𝑛</ci><ci id="S3.SS4.p3.2.m2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.SS4.p3.2.m2.1.1.3.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S3.SS4.p3.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS4.p3.2.m2.1.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p3.2.m2.1c">\theta_{k}=n_{k}/n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p3.2.m2.1d">italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT = italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT / italic_n</annotation></semantics></math> as the total counts of sample <math alttext="n\to\infty" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p3.3.m3.1"><semantics id="S3.SS4.p3.3.m3.1a"><mrow id="S3.SS4.p3.3.m3.1.1" xref="S3.SS4.p3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p3.3.m3.1.1.2" xref="S3.SS4.p3.3.m3.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S3.SS4.p3.3.m3.1.1.1" stretchy="false" xref="S3.SS4.p3.3.m3.1.1.1.cmml">→</mo><mi id="S3.SS4.p3.3.m3.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.SS4.p3.3.m3.1.1.3.cmml">∞</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p3.3.m3.1b"><apply id="S3.SS4.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p3.3.m3.1.1"><ci id="S3.SS4.p3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p3.3.m3.1.1.1">→</ci><ci id="S3.SS4.p3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p3.3.m3.1.1.2">𝑛</ci><infinity id="S3.SS4.p3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.SS4.p3.3.m3.1.1.3"></infinity></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p3.3.m3.1c">n\to\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p3.3.m3.1d">italic_n → ∞</annotation></semantics></math>. However, the limited size of historical dataset introduces inaccuracy into these probability estimates.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS4.p4"> <p class="ltx_p" id="S3.SS4.p4.2">To quantify the imprecision in <math alttext="\theta_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p4.1.m1.1"><semantics id="S3.SS4.p4.1.m1.1a"><msub id="S3.SS4.p4.1.m1.1.1" xref="S3.SS4.p4.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p4.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS4.p4.1.m1.1.1.2.cmml">θ</mi><mi id="S3.SS4.p4.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS4.p4.1.m1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p4.1.m1.1b"><apply id="S3.SS4.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p4.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p4.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p4.1.m1.1.1.2">𝜃</ci><ci id="S3.SS4.p4.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS4.p4.1.m1.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p4.1.m1.1c">\theta_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p4.1.m1.1d">italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, the interval-valued probability is applied based on imprecise probability theory. IDM, an extension of the deterministic Dirichlet model, was proposed in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#bib.bib18" title="">18</a>]</cite> to estimate these intervals. IDM serves as a conjugate prior to the multinomial distribution, and utilizes a set of prior distributions rather than a single one, making it well-suited to model prior ignorance of <math alttext="\theta_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p4.2.m2.1"><semantics id="S3.SS4.p4.2.m2.1a"><msub id="S3.SS4.p4.2.m2.1.1" xref="S3.SS4.p4.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p4.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS4.p4.2.m2.1.1.2.cmml">θ</mi><mi id="S3.SS4.p4.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS4.p4.2.m2.1.1.3.cmml">k</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p4.2.m2.1b"><apply id="S3.SS4.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p4.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p4.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p4.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p4.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p4.2.m2.1.1.2">𝜃</ci><ci id="S3.SS4.p4.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS4.p4.2.m2.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p4.2.m2.1c">\theta_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p4.2.m2.1d">italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, as shown in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S3.E16" title="In III-D Construction of the Ambiguity Set ‣ III Confidence Level-Based Distributionally Information Gap decision Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">16</span></a>):</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS4.p5"> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_table" id="S3.E16"> <tbody> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E16X"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle f(\bm{\theta})=\frac{\Gamma(\lambda)}{\prod_{k=1}^{K}\Gamma(% \lambda\cdot r_{k})}\prod_{k=1}^{K}\theta_{k}^{\lambda\cdot r_{k}-1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E16X.2.1.1.m1.3"><semantics id="S3.E16X.2.1.1.m1.3a"><mrow id="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.cmml"><mrow id="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.2" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.2.cmml"><mi id="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.2.2" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.2.2.cmml">f</mi><mo id="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.2.1" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.2.3.2" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.2.cmml"><mo id="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.2.cmml">(</mo><mi id="S3.E16X.2.1.1.m1.3.3" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.3.3.cmml">𝜽</mi><mo id="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.1" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.cmml"><mfrac id="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2a" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.cmml"><mrow id="S3.E16X.2.1.1.m1.1.1.1" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E16X.2.1.1.m1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.1.1.1.3.cmml">Γ</mi><mo id="S3.E16X.2.1.1.m1.1.1.1.2" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E16X.2.1.1.m1.1.1.1.4.2" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E16X.2.1.1.m1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E16X.2.1.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.1.1.1.1.cmml">λ</mi><mo id="S3.E16X.2.1.1.m1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mrow id="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.2" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.2.cmml"><msubsup id="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.2.2" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.2.2.cmml"><mo id="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.2.2.2.3" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.2.2.2.3.2" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.2.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.2.2.2.3.1" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.2.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.2.2.2.3.3" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.2.2.3" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.2.2.3.cmml">K</mi></msubsup><mrow id="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.2.1" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.2.1.cmml"><mi id="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.2.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.2.1.3.cmml">Γ</mi><mo id="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.2.1.2" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.2.1.1.1" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⋅</mo><msub id="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">r</mi><mi id="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.1" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.1" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.1.cmml"><munderover id="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.1a" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.1.cmml"><mo id="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.1.2.2" movablelimits="false" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.1.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.1.2.3" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.1.2.3.2" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.1.2.3.1" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.1.2.3.3" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.1.3" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.1.3.cmml">K</mi></munderover></mstyle><msubsup id="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.2" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.2.cmml"><mi id="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.2.2.2" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.2.2.2.cmml">θ</mi><mi id="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.2.2.3" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.2.2.3.cmml">k</mi><mrow id="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.2.3" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.2.3.cmml"><mrow id="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.2.3.2" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.2.3.2.cmml"><mi id="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.2.3.2.2" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.2.3.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.2.3.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.2.3.2.1.cmml">⋅</mo><msub id="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.2.3.2.3" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.2.3.2.3.2" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.2.3.2.3.2.cmml">r</mi><mi id="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.2.3.2.3.3" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.2.3.2.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.2.3.1" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.2.3.3" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msubsup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E16X.2.1.1.m1.3b"><apply id="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.cmml" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4"><eq id="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.1.cmml" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.1"></eq><apply id="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.2.cmml" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.2"><times id="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.2.1.cmml" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.2.1"></times><ci id="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.2.2.cmml" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.2.2">𝑓</ci><ci id="S3.E16X.2.1.1.m1.3.3.cmml" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.3.3">𝜽</ci></apply><apply id="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.cmml" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3"><times id="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.1.cmml" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.1"></times><apply id="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2"><divide id="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2"></divide><apply id="S3.E16X.2.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.1.1.1"><times id="S3.E16X.2.1.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E16X.2.1.1.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.1.1.1.3">Γ</ci><ci id="S3.E16X.2.1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.1.1.1.1">𝜆</ci></apply><apply id="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.2"><apply id="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.2.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.2.2.2.2">product</csymbol><apply id="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.2.2.2.3"><eq id="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.2.2.2.3.1"></eq><ci id="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.2.2.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.2.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.2.2.3">𝐾</ci></apply><apply id="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.2.1"><times id="S3.E16X.2.1.1.m1.2.2.2.1.2.cmml" 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xref="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.2.2.2">𝜃</ci><ci id="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.2.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.2.3.cmml" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.2.3"><minus id="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.2.3.1"></minus><apply id="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.2.3.2"><ci id="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.2.3.2.1.cmml" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.2.3.2.1">⋅</ci><ci id="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.2.3.2.2.cmml" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.2.3.2.2">𝜆</ci><apply id="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.2.3.2.3.cmml" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.2.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.2.3.2.3.1.cmml" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.2.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.2.3.2.3.2.cmml" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.2.3.2.3.2">𝑟</ci><ci id="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.2.3.2.3.3.cmml" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.2.3.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply><cn id="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E16X.2.1.1.m1.3.4.3.2.2.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E16X.2.1.1.m1.3c">\displaystyle f(\bm{\theta})=\frac{\Gamma(\lambda)}{\prod_{k=1}^{K}\Gamma(% \lambda\cdot r_{k})}\prod_{k=1}^{K}\theta_{k}^{\lambda\cdot r_{k}-1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E16X.2.1.1.m1.3d">italic_f ( bold_italic_θ ) = divide start_ARG roman_Γ ( italic_λ ) end_ARG start_ARG ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_k = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K end_POSTSUPERSCRIPT roman_Γ ( italic_λ ⋅ italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) end_ARG ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_k = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K end_POSTSUPERSCRIPT italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_λ ⋅ italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="2"><span class="ltx_tag ltx_tag_equationgroup ltx_align_right">(16)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E16Xa"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\forall r_{k}\in[0,1],\sum_{k=1}^{K}r_{k}=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E16Xa.2.1.1.m1.4"><semantics id="S3.E16Xa.2.1.1.m1.4a"><mrow id="S3.E16Xa.2.1.1.m1.4.4.2" xref="S3.E16Xa.2.1.1.m1.4.4.3.cmml"><mrow id="S3.E16Xa.2.1.1.m1.3.3.1.1" xref="S3.E16Xa.2.1.1.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.E16Xa.2.1.1.m1.3.3.1.1.2" xref="S3.E16Xa.2.1.1.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E16Xa.2.1.1.m1.3.3.1.1.2.1" rspace="0.167em" xref="S3.E16Xa.2.1.1.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">∀</mo><msub id="S3.E16Xa.2.1.1.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S3.E16Xa.2.1.1.m1.3.3.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E16Xa.2.1.1.m1.3.3.1.1.2.2.2" xref="S3.E16Xa.2.1.1.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml">r</mi><mi id="S3.E16Xa.2.1.1.m1.3.3.1.1.2.2.3" xref="S3.E16Xa.2.1.1.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S3.E16Xa.2.1.1.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.E16Xa.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.E16Xa.2.1.1.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S3.E16Xa.2.1.1.m1.3.3.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.E16Xa.2.1.1.m1.3.3.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E16Xa.2.1.1.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">[</mo><mn id="S3.E16Xa.2.1.1.m1.1.1" xref="S3.E16Xa.2.1.1.m1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.E16Xa.2.1.1.m1.3.3.1.1.3.2.2" xref="S3.E16Xa.2.1.1.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">,</mo><mn id="S3.E16Xa.2.1.1.m1.2.2" xref="S3.E16Xa.2.1.1.m1.2.2.cmml">1</mn><mo id="S3.E16Xa.2.1.1.m1.3.3.1.1.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.E16Xa.2.1.1.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E16Xa.2.1.1.m1.4.4.2.3" xref="S3.E16Xa.2.1.1.m1.4.4.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.E16Xa.2.1.1.m1.4.4.2.2" xref="S3.E16Xa.2.1.1.m1.4.4.2.2.cmml"><mrow id="S3.E16Xa.2.1.1.m1.4.4.2.2.2" xref="S3.E16Xa.2.1.1.m1.4.4.2.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E16Xa.2.1.1.m1.4.4.2.2.2.1" xref="S3.E16Xa.2.1.1.m1.4.4.2.2.2.1.cmml"><munderover id="S3.E16Xa.2.1.1.m1.4.4.2.2.2.1a" xref="S3.E16Xa.2.1.1.m1.4.4.2.2.2.1.cmml"><mo id="S3.E16Xa.2.1.1.m1.4.4.2.2.2.1.2.2" movablelimits="false" xref="S3.E16Xa.2.1.1.m1.4.4.2.2.2.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.E16Xa.2.1.1.m1.4.4.2.2.2.1.2.3" xref="S3.E16Xa.2.1.1.m1.4.4.2.2.2.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E16Xa.2.1.1.m1.4.4.2.2.2.1.2.3.2" xref="S3.E16Xa.2.1.1.m1.4.4.2.2.2.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.E16Xa.2.1.1.m1.4.4.2.2.2.1.2.3.1" xref="S3.E16Xa.2.1.1.m1.4.4.2.2.2.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.E16Xa.2.1.1.m1.4.4.2.2.2.1.2.3.3" xref="S3.E16Xa.2.1.1.m1.4.4.2.2.2.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.E16Xa.2.1.1.m1.4.4.2.2.2.1.3" xref="S3.E16Xa.2.1.1.m1.4.4.2.2.2.1.3.cmml">K</mi></munderover></mstyle><msub id="S3.E16Xa.2.1.1.m1.4.4.2.2.2.2" xref="S3.E16Xa.2.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E16Xa.2.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2" xref="S3.E16Xa.2.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.cmml">r</mi><mi id="S3.E16Xa.2.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.3" xref="S3.E16Xa.2.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S3.E16Xa.2.1.1.m1.4.4.2.2.1" xref="S3.E16Xa.2.1.1.m1.4.4.2.2.1.cmml">=</mo><mn id="S3.E16Xa.2.1.1.m1.4.4.2.2.3" xref="S3.E16Xa.2.1.1.m1.4.4.2.2.3.cmml">1</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E16Xa.2.1.1.m1.4b"><apply id="S3.E16Xa.2.1.1.m1.4.4.3.cmml" xref="S3.E16Xa.2.1.1.m1.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E16Xa.2.1.1.m1.4.4.3a.cmml" xref="S3.E16Xa.2.1.1.m1.4.4.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.E16Xa.2.1.1.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E16Xa.2.1.1.m1.3.3.1.1"><in id="S3.E16Xa.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.E16Xa.2.1.1.m1.3.3.1.1.1"></in><apply id="S3.E16Xa.2.1.1.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.E16Xa.2.1.1.m1.3.3.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.E16Xa.2.1.1.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E16Xa.2.1.1.m1.3.3.1.1.2.1">for-all</csymbol><apply id="S3.E16Xa.2.1.1.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E16Xa.2.1.1.m1.3.3.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E16Xa.2.1.1.m1.3.3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E16Xa.2.1.1.m1.3.3.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E16Xa.2.1.1.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E16Xa.2.1.1.m1.3.3.1.1.2.2.2">𝑟</ci><ci id="S3.E16Xa.2.1.1.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E16Xa.2.1.1.m1.3.3.1.1.2.2.3">𝑘</ci></apply></apply><interval closure="closed" id="S3.E16Xa.2.1.1.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E16Xa.2.1.1.m1.3.3.1.1.3.2"><cn id="S3.E16Xa.2.1.1.m1.1.1.cmml" 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xref="S3.E16Xa.2.1.1.m1.4.4.2.2.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E16Xa.2.1.1.m1.4c">\displaystyle\forall r_{k}\in[0,1],\sum_{k=1}^{K}r_{k}=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E16Xa.2.1.1.m1.4d">∀ italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∈ [ 0 , 1 ] , ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_k = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K end_POSTSUPERSCRIPT italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT = 1</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> </tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS4.p5.6">where <math alttext="\bm{\theta}=[\theta_{1},...,\theta_{K}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p5.1.m1.3"><semantics id="S3.SS4.p5.1.m1.3a"><mrow id="S3.SS4.p5.1.m1.3.3" xref="S3.SS4.p5.1.m1.3.3.cmml"><mi id="S3.SS4.p5.1.m1.3.3.4" xref="S3.SS4.p5.1.m1.3.3.4.cmml">𝜽</mi><mo id="S3.SS4.p5.1.m1.3.3.3" xref="S3.SS4.p5.1.m1.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS4.p5.1.m1.3.3.2.2" xref="S3.SS4.p5.1.m1.3.3.2.3.cmml"><mo id="S3.SS4.p5.1.m1.3.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS4.p5.1.m1.3.3.2.3.cmml">[</mo><msub id="S3.SS4.p5.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.SS4.p5.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p5.1.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S3.SS4.p5.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">θ</mi><mn id="S3.SS4.p5.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.SS4.p5.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.SS4.p5.1.m1.3.3.2.2.4" xref="S3.SS4.p5.1.m1.3.3.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.SS4.p5.1.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.SS4.p5.1.m1.1.1.cmml">…</mi><mo id="S3.SS4.p5.1.m1.3.3.2.2.5" xref="S3.SS4.p5.1.m1.3.3.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.SS4.p5.1.m1.3.3.2.2.2" xref="S3.SS4.p5.1.m1.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS4.p5.1.m1.3.3.2.2.2.2" xref="S3.SS4.p5.1.m1.3.3.2.2.2.2.cmml">θ</mi><mi id="S3.SS4.p5.1.m1.3.3.2.2.2.3" xref="S3.SS4.p5.1.m1.3.3.2.2.2.3.cmml">K</mi></msub><mo id="S3.SS4.p5.1.m1.3.3.2.2.6" stretchy="false" xref="S3.SS4.p5.1.m1.3.3.2.3.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p5.1.m1.3b"><apply id="S3.SS4.p5.1.m1.3.3.cmml" xref="S3.SS4.p5.1.m1.3.3"><eq id="S3.SS4.p5.1.m1.3.3.3.cmml" xref="S3.SS4.p5.1.m1.3.3.3"></eq><ci id="S3.SS4.p5.1.m1.3.3.4.cmml" xref="S3.SS4.p5.1.m1.3.3.4">𝜽</ci><list id="S3.SS4.p5.1.m1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.SS4.p5.1.m1.3.3.2.2"><apply id="S3.SS4.p5.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p5.1.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p5.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p5.1.m1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p5.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p5.1.m1.2.2.1.1.1.2">𝜃</ci><cn id="S3.SS4.p5.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS4.p5.1.m1.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S3.SS4.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p5.1.m1.1.1">…</ci><apply id="S3.SS4.p5.1.m1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p5.1.m1.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p5.1.m1.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p5.1.m1.3.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p5.1.m1.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p5.1.m1.3.3.2.2.2.2">𝜃</ci><ci id="S3.SS4.p5.1.m1.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS4.p5.1.m1.3.3.2.2.2.3">𝐾</ci></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p5.1.m1.3c">\bm{\theta}=[\theta_{1},...,\theta_{K}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p5.1.m1.3d">bold_italic_θ = [ italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_K end_POSTSUBSCRIPT ]</annotation></semantics></math>, and <math alttext="\bm{r}=[r_{1},...,r_{K}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p5.2.m2.3"><semantics id="S3.SS4.p5.2.m2.3a"><mrow id="S3.SS4.p5.2.m2.3.3" xref="S3.SS4.p5.2.m2.3.3.cmml"><mi id="S3.SS4.p5.2.m2.3.3.4" xref="S3.SS4.p5.2.m2.3.3.4.cmml">𝒓</mi><mo id="S3.SS4.p5.2.m2.3.3.3" xref="S3.SS4.p5.2.m2.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS4.p5.2.m2.3.3.2.2" xref="S3.SS4.p5.2.m2.3.3.2.3.cmml"><mo id="S3.SS4.p5.2.m2.3.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS4.p5.2.m2.3.3.2.3.cmml">[</mo><msub id="S3.SS4.p5.2.m2.2.2.1.1.1" xref="S3.SS4.p5.2.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p5.2.m2.2.2.1.1.1.2" xref="S3.SS4.p5.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">r</mi><mn id="S3.SS4.p5.2.m2.2.2.1.1.1.3" xref="S3.SS4.p5.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.SS4.p5.2.m2.3.3.2.2.4" xref="S3.SS4.p5.2.m2.3.3.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.SS4.p5.2.m2.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.SS4.p5.2.m2.1.1.cmml">…</mi><mo id="S3.SS4.p5.2.m2.3.3.2.2.5" xref="S3.SS4.p5.2.m2.3.3.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.SS4.p5.2.m2.3.3.2.2.2" xref="S3.SS4.p5.2.m2.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS4.p5.2.m2.3.3.2.2.2.2" xref="S3.SS4.p5.2.m2.3.3.2.2.2.2.cmml">r</mi><mi id="S3.SS4.p5.2.m2.3.3.2.2.2.3" xref="S3.SS4.p5.2.m2.3.3.2.2.2.3.cmml">K</mi></msub><mo id="S3.SS4.p5.2.m2.3.3.2.2.6" stretchy="false" xref="S3.SS4.p5.2.m2.3.3.2.3.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p5.2.m2.3b"><apply id="S3.SS4.p5.2.m2.3.3.cmml" xref="S3.SS4.p5.2.m2.3.3"><eq id="S3.SS4.p5.2.m2.3.3.3.cmml" xref="S3.SS4.p5.2.m2.3.3.3"></eq><ci id="S3.SS4.p5.2.m2.3.3.4.cmml" xref="S3.SS4.p5.2.m2.3.3.4">𝒓</ci><list id="S3.SS4.p5.2.m2.3.3.2.3.cmml" xref="S3.SS4.p5.2.m2.3.3.2.2"><apply id="S3.SS4.p5.2.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p5.2.m2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p5.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p5.2.m2.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p5.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p5.2.m2.2.2.1.1.1.2">𝑟</ci><cn id="S3.SS4.p5.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS4.p5.2.m2.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S3.SS4.p5.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p5.2.m2.1.1">…</ci><apply id="S3.SS4.p5.2.m2.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p5.2.m2.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p5.2.m2.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p5.2.m2.3.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p5.2.m2.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p5.2.m2.3.3.2.2.2.2">𝑟</ci><ci id="S3.SS4.p5.2.m2.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS4.p5.2.m2.3.3.2.2.2.3">𝐾</ci></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p5.2.m2.3c">\bm{r}=[r_{1},...,r_{K}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p5.2.m2.3d">bold_italic_r = [ italic_r start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_K end_POSTSUBSCRIPT ]</annotation></semantics></math>. <math alttext="r_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p5.3.m3.1"><semantics id="S3.SS4.p5.3.m3.1a"><msub id="S3.SS4.p5.3.m3.1.1" xref="S3.SS4.p5.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p5.3.m3.1.1.2" xref="S3.SS4.p5.3.m3.1.1.2.cmml">r</mi><mi id="S3.SS4.p5.3.m3.1.1.3" xref="S3.SS4.p5.3.m3.1.1.3.cmml">k</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p5.3.m3.1b"><apply id="S3.SS4.p5.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p5.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p5.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p5.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p5.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p5.3.m3.1.1.2">𝑟</ci><ci id="S3.SS4.p5.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.SS4.p5.3.m3.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p5.3.m3.1c">r_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p5.3.m3.1d">italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p5.4.m4.1"><semantics id="S3.SS4.p5.4.m4.1a"><mi id="S3.SS4.p5.4.m4.1.1" xref="S3.SS4.p5.4.m4.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p5.4.m4.1b"><ci id="S3.SS4.p5.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p5.4.m4.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p5.4.m4.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p5.4.m4.1d">italic_k</annotation></semantics></math>th prior weight factor, <math alttext="\lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p5.5.m5.1"><semantics id="S3.SS4.p5.5.m5.1a"><mi id="S3.SS4.p5.5.m5.1.1" xref="S3.SS4.p5.5.m5.1.1.cmml">λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p5.5.m5.1b"><ci id="S3.SS4.p5.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p5.5.m5.1.1">𝜆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p5.5.m5.1c">\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p5.5.m5.1d">italic_λ</annotation></semantics></math> indicates the total prior strength, and <math alttext="\Gamma(\cdot)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p5.6.m6.1"><semantics id="S3.SS4.p5.6.m6.1a"><mrow id="S3.SS4.p5.6.m6.1.2" xref="S3.SS4.p5.6.m6.1.2.cmml"><mi id="S3.SS4.p5.6.m6.1.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS4.p5.6.m6.1.2.2.cmml">Γ</mi><mo id="S3.SS4.p5.6.m6.1.2.1" xref="S3.SS4.p5.6.m6.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS4.p5.6.m6.1.2.3.2" xref="S3.SS4.p5.6.m6.1.2.cmml"><mo id="S3.SS4.p5.6.m6.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS4.p5.6.m6.1.2.cmml">(</mo><mo id="S3.SS4.p5.6.m6.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.SS4.p5.6.m6.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S3.SS4.p5.6.m6.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS4.p5.6.m6.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p5.6.m6.1b"><apply id="S3.SS4.p5.6.m6.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p5.6.m6.1.2"><times id="S3.SS4.p5.6.m6.1.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p5.6.m6.1.2.1"></times><ci id="S3.SS4.p5.6.m6.1.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p5.6.m6.1.2.2">Γ</ci><ci id="S3.SS4.p5.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p5.6.m6.1.1">⋅</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p5.6.m6.1c">\Gamma(\cdot)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p5.6.m6.1d">roman_Γ ( ⋅ )</annotation></semantics></math> represents the Gamma function.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS4.p6"> <p class="ltx_p" id="S3.SS4.p6.1">According to the property of PDF, the normalisation function <math alttext="R(\lambda\cdot r_{k})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p6.1.m1.1"><semantics id="S3.SS4.p6.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS4.p6.1.m1.1.1" xref="S3.SS4.p6.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p6.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS4.p6.1.m1.1.1.3.cmml">R</mi><mo id="S3.SS4.p6.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS4.p6.1.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS4.p6.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.SS4.p6.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS4.p6.1.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS4.p6.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS4.p6.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS4.p6.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p6.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS4.p6.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.SS4.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.SS4.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">⋅</mo><msub id="S3.SS4.p6.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS4.p6.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS4.p6.1.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS4.p6.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">r</mi><mi id="S3.SS4.p6.1.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.SS4.p6.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S3.SS4.p6.1.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS4.p6.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p6.1.m1.1b"><apply id="S3.SS4.p6.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p6.1.m1.1.1"><times id="S3.SS4.p6.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p6.1.m1.1.1.2"></times><ci id="S3.SS4.p6.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS4.p6.1.m1.1.1.3">𝑅</ci><apply id="S3.SS4.p6.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p6.1.m1.1.1.1.1"><ci id="S3.SS4.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1">⋅</ci><ci id="S3.SS4.p6.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p6.1.m1.1.1.1.1.1.2">𝜆</ci><apply id="S3.SS4.p6.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS4.p6.1.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p6.1.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS4.p6.1.m1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p6.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS4.p6.1.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝑟</ci><ci id="S3.SS4.p6.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS4.p6.1.m1.1.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p6.1.m1.1c">R(\lambda\cdot r_{k})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p6.1.m1.1d">italic_R ( italic_λ ⋅ italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> can be obtained:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E17"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="R(\lambda\cdot r_{k})=\frac{\prod_{k=1}^{K}\Gamma(\lambda\cdot r_{k})}{\Gamma(% \lambda)}=\int\prod_{k=1}^{K}\theta_{k}^{\lambda\cdot r_{k}-1}" class="ltx_Math" display="block" id="S3.E17.m1.3"><semantics id="S3.E17.m1.3a"><mrow id="S3.E17.m1.3.3" xref="S3.E17.m1.3.3.cmml"><mrow id="S3.E17.m1.3.3.1" xref="S3.E17.m1.3.3.1.cmml"><mi id="S3.E17.m1.3.3.1.3" xref="S3.E17.m1.3.3.1.3.cmml">R</mi><mo id="S3.E17.m1.3.3.1.2" xref="S3.E17.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E17.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">⋅</mo><msub id="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">r</mi><mi id="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E17.m1.3.3.3" xref="S3.E17.m1.3.3.3.cmml">=</mo><mfrac id="S3.E17.m1.2.2" xref="S3.E17.m1.2.2.cmml"><mrow id="S3.E17.m1.1.1.1" xref="S3.E17.m1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.E17.m1.1.1.1.2" xref="S3.E17.m1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E17.m1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E17.m1.1.1.1.2.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S3.E17.m1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E17.m1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E17.m1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S3.E17.m1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.E17.m1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S3.E17.m1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.E17.m1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S3.E17.m1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.E17.m1.1.1.1.2.3" xref="S3.E17.m1.1.1.1.2.3.cmml">K</mi></msubsup><mrow id="S3.E17.m1.1.1.1.1" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E17.m1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.cmml">Γ</mi><mo id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⋅</mo><msub id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">r</mi><mi id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mrow id="S3.E17.m1.2.2.2" xref="S3.E17.m1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E17.m1.2.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.E17.m1.2.2.2.3.cmml">Γ</mi><mo id="S3.E17.m1.2.2.2.2" xref="S3.E17.m1.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E17.m1.2.2.2.4.2" xref="S3.E17.m1.2.2.2.cmml"><mo id="S3.E17.m1.2.2.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.E17.m1.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.E17.m1.2.2.2.1" xref="S3.E17.m1.2.2.2.1.cmml">λ</mi><mo id="S3.E17.m1.2.2.2.4.2.2" stretchy="false" xref="S3.E17.m1.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac><mo id="S3.E17.m1.3.3.4" rspace="0.111em" xref="S3.E17.m1.3.3.4.cmml">=</mo><mrow id="S3.E17.m1.3.3.5" xref="S3.E17.m1.3.3.5.cmml"><mo id="S3.E17.m1.3.3.5.1" rspace="0em" xref="S3.E17.m1.3.3.5.1.cmml">∫</mo><mrow id="S3.E17.m1.3.3.5.2" xref="S3.E17.m1.3.3.5.2.cmml"><munderover id="S3.E17.m1.3.3.5.2.1" xref="S3.E17.m1.3.3.5.2.1.cmml"><mo id="S3.E17.m1.3.3.5.2.1.2.2" movablelimits="false" xref="S3.E17.m1.3.3.5.2.1.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S3.E17.m1.3.3.5.2.1.2.3" xref="S3.E17.m1.3.3.5.2.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E17.m1.3.3.5.2.1.2.3.2" xref="S3.E17.m1.3.3.5.2.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.E17.m1.3.3.5.2.1.2.3.1" xref="S3.E17.m1.3.3.5.2.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.E17.m1.3.3.5.2.1.2.3.3" xref="S3.E17.m1.3.3.5.2.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.E17.m1.3.3.5.2.1.3" xref="S3.E17.m1.3.3.5.2.1.3.cmml">K</mi></munderover><msubsup id="S3.E17.m1.3.3.5.2.2" xref="S3.E17.m1.3.3.5.2.2.cmml"><mi id="S3.E17.m1.3.3.5.2.2.2.2" xref="S3.E17.m1.3.3.5.2.2.2.2.cmml">θ</mi><mi id="S3.E17.m1.3.3.5.2.2.2.3" xref="S3.E17.m1.3.3.5.2.2.2.3.cmml">k</mi><mrow id="S3.E17.m1.3.3.5.2.2.3" xref="S3.E17.m1.3.3.5.2.2.3.cmml"><mrow id="S3.E17.m1.3.3.5.2.2.3.2" xref="S3.E17.m1.3.3.5.2.2.3.2.cmml"><mi id="S3.E17.m1.3.3.5.2.2.3.2.2" xref="S3.E17.m1.3.3.5.2.2.3.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.E17.m1.3.3.5.2.2.3.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.E17.m1.3.3.5.2.2.3.2.1.cmml">⋅</mo><msub id="S3.E17.m1.3.3.5.2.2.3.2.3" xref="S3.E17.m1.3.3.5.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="S3.E17.m1.3.3.5.2.2.3.2.3.2" xref="S3.E17.m1.3.3.5.2.2.3.2.3.2.cmml">r</mi><mi id="S3.E17.m1.3.3.5.2.2.3.2.3.3" xref="S3.E17.m1.3.3.5.2.2.3.2.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S3.E17.m1.3.3.5.2.2.3.1" xref="S3.E17.m1.3.3.5.2.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.E17.m1.3.3.5.2.2.3.3" xref="S3.E17.m1.3.3.5.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msubsup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E17.m1.3b"><apply id="S3.E17.m1.3.3.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3"><and id="S3.E17.m1.3.3a.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3"></and><apply id="S3.E17.m1.3.3b.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3"><eq id="S3.E17.m1.3.3.3.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.3"></eq><apply id="S3.E17.m1.3.3.1.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.1"><times id="S3.E17.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.1.2"></times><ci id="S3.E17.m1.3.3.1.3.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.1.3">𝑅</ci><apply id="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.1"><ci id="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.1">⋅</ci><ci id="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.2">𝜆</ci><apply id="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.3.2">𝑟</ci><ci id="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E17.m1.2.2.cmml" xref="S3.E17.m1.2.2"><divide id="S3.E17.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.E17.m1.2.2"></divide><apply id="S3.E17.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1"><apply id="S3.E17.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E17.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E17.m1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E17.m1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S3.E17.m1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.2.2.2">product</csymbol><apply id="S3.E17.m1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.2.2.3"><eq id="S3.E17.m1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="S3.E17.m1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.2.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S3.E17.m1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E17.m1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.E17.m1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.2.3">𝐾</ci></apply><apply id="S3.E17.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1"><times id="S3.E17.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E17.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.3">Γ</ci><apply id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1"><ci id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1">⋅</ci><ci id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜆</ci><apply id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑟</ci><ci id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E17.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.E17.m1.2.2.2"><times id="S3.E17.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E17.m1.2.2.2.2"></times><ci id="S3.E17.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E17.m1.2.2.2.3">Γ</ci><ci id="S3.E17.m1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E17.m1.2.2.2.1">𝜆</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E17.m1.3.3c.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3"><eq id="S3.E17.m1.3.3.4.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.4"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S3.E17.m1.2.2.cmml" id="S3.E17.m1.3.3d.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3"></share><apply id="S3.E17.m1.3.3.5.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.5"><int id="S3.E17.m1.3.3.5.1.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.5.1"></int><apply id="S3.E17.m1.3.3.5.2.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.5.2"><apply id="S3.E17.m1.3.3.5.2.1.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.5.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E17.m1.3.3.5.2.1.1.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.5.2.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E17.m1.3.3.5.2.1.2.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.5.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E17.m1.3.3.5.2.1.2.1.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.5.2.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S3.E17.m1.3.3.5.2.1.2.2.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.5.2.1.2.2">product</csymbol><apply id="S3.E17.m1.3.3.5.2.1.2.3.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.5.2.1.2.3"><eq id="S3.E17.m1.3.3.5.2.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.5.2.1.2.3.1"></eq><ci id="S3.E17.m1.3.3.5.2.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.5.2.1.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S3.E17.m1.3.3.5.2.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E17.m1.3.3.5.2.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.E17.m1.3.3.5.2.1.3.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.5.2.1.3">𝐾</ci></apply><apply id="S3.E17.m1.3.3.5.2.2.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.5.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E17.m1.3.3.5.2.2.1.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.5.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E17.m1.3.3.5.2.2.2.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.5.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E17.m1.3.3.5.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.5.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E17.m1.3.3.5.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.5.2.2.2.2">𝜃</ci><ci id="S3.E17.m1.3.3.5.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.5.2.2.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.E17.m1.3.3.5.2.2.3.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.5.2.2.3"><minus id="S3.E17.m1.3.3.5.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.5.2.2.3.1"></minus><apply id="S3.E17.m1.3.3.5.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.5.2.2.3.2"><ci id="S3.E17.m1.3.3.5.2.2.3.2.1.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.5.2.2.3.2.1">⋅</ci><ci id="S3.E17.m1.3.3.5.2.2.3.2.2.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.5.2.2.3.2.2">𝜆</ci><apply id="S3.E17.m1.3.3.5.2.2.3.2.3.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.5.2.2.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E17.m1.3.3.5.2.2.3.2.3.1.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.5.2.2.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E17.m1.3.3.5.2.2.3.2.3.2.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.5.2.2.3.2.3.2">𝑟</ci><ci id="S3.E17.m1.3.3.5.2.2.3.2.3.3.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.5.2.2.3.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply><cn id="S3.E17.m1.3.3.5.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E17.m1.3.3.5.2.2.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E17.m1.3c">R(\lambda\cdot r_{k})=\frac{\prod_{k=1}^{K}\Gamma(\lambda\cdot r_{k})}{\Gamma(% \lambda)}=\int\prod_{k=1}^{K}\theta_{k}^{\lambda\cdot r_{k}-1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E17.m1.3d">italic_R ( italic_λ ⋅ italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) = divide start_ARG ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_k = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K end_POSTSUPERSCRIPT roman_Γ ( italic_λ ⋅ italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) end_ARG start_ARG roman_Γ ( italic_λ ) end_ARG = ∫ ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_k = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K end_POSTSUPERSCRIPT italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_λ ⋅ italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(17)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS4.p7"> <p class="ltx_p" id="S3.SS4.p7.1">Within the Bayesian framework, the posterior distribution of <math alttext="\bm{\theta}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p7.1.m1.1"><semantics id="S3.SS4.p7.1.m1.1a"><mi id="S3.SS4.p7.1.m1.1.1" xref="S3.SS4.p7.1.m1.1.1.cmml">𝜽</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p7.1.m1.1b"><ci id="S3.SS4.p7.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p7.1.m1.1.1">𝜽</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p7.1.m1.1c">\bm{\theta}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p7.1.m1.1d">bold_italic_θ</annotation></semantics></math> is continually updated based on newly observed data, to consistently mitigate the prior ignorance. This dynamic adjustment is illustrated below.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS4.p8"> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E18"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\begin{split}f(\bm{\theta}\mid\mathcal{D})&=\frac{\prod_{k=1}^{K}\theta_{k}^{n% _{k}}\cdot\frac{1}{R(\lambda\cdot r_{k})}\prod_{k=1}^{K}\theta_{k}^{\lambda% \cdot r_{k}-1}}{\int\frac{1}{R(\lambda\cdot r_{k})}\prod_{k=1}^{K}\theta_{k}^{% \lambda\cdot r_{k}-1}d\bm{\theta}}\\ &=\frac{1}{R(\lambda\cdot r_{k}+n_{k})}\prod_{k=1}^{K}\theta_{k}^{\lambda\cdot r% _{k}+n_{k}-1}\end{split}" class="ltx_Math" display="block" id="S3.E18.m1.18"><semantics id="S3.E18.m1.18a"><mtable columnspacing="0pt" displaystyle="true" id="S3.E18.m1.18.18.2" rowspacing="0.0pt" xref="S3.E18.m1.17.17.1.cmml"><mtr id="S3.E18.m1.18.18.2a" xref="S3.E18.m1.17.17.1.cmml"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S3.E18.m1.18.18.2b" xref="S3.E18.m1.17.17.1.cmml"><mrow id="S3.E18.m1.18.18.2.17.9.7" xref="S3.E18.m1.17.17.1.cmml"><mi id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">f</mi><mo id="S3.E18.m1.18.18.2.17.9.7.8" xref="S3.E18.m1.17.17.1a.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E18.m1.18.18.2.17.9.7.7.1" xref="S3.E18.m1.17.17.1.cmml"><mo id="S3.E18.m1.2.2.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.E18.m1.17.17.1a.cmml">(</mo><mrow id="S3.E18.m1.18.18.2.17.9.7.7.1.1" xref="S3.E18.m1.17.17.1.cmml"><mi id="S3.E18.m1.3.3.3.3.3.3" xref="S3.E18.m1.3.3.3.3.3.3.cmml">𝜽</mi><mo id="S3.E18.m1.4.4.4.4.4.4" xref="S3.E18.m1.4.4.4.4.4.4.cmml">∣</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E18.m1.5.5.5.5.5.5" xref="S3.E18.m1.5.5.5.5.5.5.cmml">𝒟</mi></mrow><mo id="S3.E18.m1.6.6.6.6.6.6" stretchy="false" xref="S3.E18.m1.17.17.1a.cmml">)</mo></mrow></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S3.E18.m1.18.18.2c" xref="S3.E18.m1.17.17.1.cmml"><mrow id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2" xref="S3.E18.m1.17.17.1.cmml"><mi id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.3" xref="S3.E18.m1.17.17.1a.cmml"></mi><mo id="S3.E18.m1.7.7.7.7.1.1" xref="S3.E18.m1.7.7.7.7.1.1.cmml">=</mo><mfrac id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.cmml"><mrow id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.cmml"><msubsup id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.2" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.2.2.2" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.2.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.2.2.3" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.2.2.3.2" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.2.2.3.1" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.2.2.3.3" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.2.3" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.2.3.cmml">K</mi></msubsup><mrow id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.cmml"><mrow id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.2" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.2.cmml"><msubsup id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.2.2" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.2.2.cmml"><mi id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.2.2.2.2" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.2.2.2.2.cmml">θ</mi><mi id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.2.2.2.3" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.2.2.2.3.cmml">k</mi><msub id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.2.2.3" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.2.2.3.2" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.2.2.3.2.cmml">n</mi><mi id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.2.2.3.3" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.2.2.3.3.cmml">k</mi></msub></msubsup><mo id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.2.1.cmml">⋅</mo><mfrac id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.1" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.1.cmml"><mn id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.1.3" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.1.3.cmml">1</mn><mrow id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.1.1" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.1.1.3" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.1.1.3.cmml">R</mi><mo id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.1.1.2" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⋅</mo><msub id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">r</mi><mi id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac></mrow><mo id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.1" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.cmml"><msubsup id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.1" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.1.cmml"><mo id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.1.2.2" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.1.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.1.2.3" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.1.2.3.2" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.1.2.3.1" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.1.2.3.3" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.1.3" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.1.3.cmml">K</mi></msubsup><msubsup id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.2" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.2.cmml"><mi id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.2.2.2" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.2.2.2.cmml">θ</mi><mi id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.2.2.3" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.2.2.3.cmml">k</mi><mrow id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.2.3" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.2.3.cmml"><mrow id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.2.3.2" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.2.3.2.cmml"><mi id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.2.3.2.2" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.2.3.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.2.3.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.2.3.2.1.cmml">⋅</mo><msub id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.2.3.2.3" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.2.3.2.3.cmml"><mi id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.2.3.2.3.2" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.2.3.2.3.2.cmml">r</mi><mi id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.2.3.2.3.3" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.2.3.2.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.2.3.1" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.2.3.3" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msubsup></mrow></mrow></mrow><mrow id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.cmml"><mo id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.2" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.2.cmml">∫</mo><mrow id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.cmml"><mfrac id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.1" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.1.cmml"><mn id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.1.3" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.1.3.cmml">1</mn><mrow id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.1.1" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.1.1.3" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.1.1.3.cmml">R</mi><mo id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.1.1.2" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.1.1.1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⋅</mo><msub id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">r</mi><mi id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac><mo id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.1" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.cmml"><msubsup id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.1" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.1.cmml"><mo id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.1.2.2" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.1.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.1.2.3" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.1.2.3.2" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.1.2.3.1" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.1.2.3.3" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.1.3" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.1.3.cmml">K</mi></msubsup><mrow id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.cmml"><msubsup id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.2" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.2.2.2" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.2.2.2.cmml">θ</mi><mi id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.2.2.3" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.2.2.3.cmml">k</mi><mrow id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.2.3" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.2.3.cmml"><mrow id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.2.3.2" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.2.3.2.2" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.2.3.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.2.3.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.2.3.2.1.cmml">⋅</mo><msub id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.2.3.2.3" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.2.3.2.3.2" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.2.3.2.3.2.cmml">r</mi><mi id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.2.3.2.3.3" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.2.3.2.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.2.3.1" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.2.3.3" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.1" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.3" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.3.cmml">d</mi><mo id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.1a" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.4" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.4.cmml">𝜽</mi></mrow></mrow></mrow></mrow></mfrac></mrow></mtd></mtr><mtr id="S3.E18.m1.18.18.2d" xref="S3.E18.m1.17.17.1.cmml"><mtd id="S3.E18.m1.18.18.2e" xref="S3.E18.m1.17.17.1a.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S3.E18.m1.18.18.2f" xref="S3.E18.m1.17.17.1.cmml"><mrow id="S3.E18.m1.16.16.16.8.8" xref="S3.E18.m1.17.17.1.cmml"><mi id="S3.E18.m1.16.16.16.8.8.9" xref="S3.E18.m1.17.17.1a.cmml"></mi><mo id="S3.E18.m1.9.9.9.1.1.1" xref="S3.E18.m1.9.9.9.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.E18.m1.16.16.16.8.8.10" xref="S3.E18.m1.17.17.1.cmml"><mfrac id="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2" xref="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.cmml"><mn id="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.3" xref="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.3.cmml">1</mn><mrow id="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.1" xref="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.1.cmml"><mi id="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.1.3" xref="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.1.3.cmml">R</mi><mo id="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.1.2" xref="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.1.1.1" xref="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.1.1.1.1.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">⋅</mo><msub id="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml">r</mi><mi id="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msub id="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">n</mi><mi id="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac><mo id="S3.E18.m1.16.16.16.8.8.10.1" xref="S3.E18.m1.17.17.1a.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E18.m1.16.16.16.8.8.10.2" xref="S3.E18.m1.17.17.1.cmml"><munderover id="S3.E18.m1.16.16.16.8.8.10.2.1" xref="S3.E18.m1.17.17.1.cmml"><mo id="S3.E18.m1.11.11.11.3.3.3" movablelimits="false" xref="S3.E18.m1.11.11.11.3.3.3.cmml">∏</mo><mrow id="S3.E18.m1.12.12.12.4.4.4.1" xref="S3.E18.m1.12.12.12.4.4.4.1.cmml"><mi id="S3.E18.m1.12.12.12.4.4.4.1.2" xref="S3.E18.m1.12.12.12.4.4.4.1.2.cmml">k</mi><mo id="S3.E18.m1.12.12.12.4.4.4.1.1" xref="S3.E18.m1.12.12.12.4.4.4.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.E18.m1.12.12.12.4.4.4.1.3" xref="S3.E18.m1.12.12.12.4.4.4.1.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.E18.m1.13.13.13.5.5.5.1" xref="S3.E18.m1.13.13.13.5.5.5.1.cmml">K</mi></munderover><msubsup id="S3.E18.m1.16.16.16.8.8.10.2.2" xref="S3.E18.m1.17.17.1.cmml"><mi id="S3.E18.m1.14.14.14.6.6.6" xref="S3.E18.m1.14.14.14.6.6.6.cmml">θ</mi><mi id="S3.E18.m1.15.15.15.7.7.7.1" xref="S3.E18.m1.15.15.15.7.7.7.1.cmml">k</mi><mrow id="S3.E18.m1.16.16.16.8.8.8.1" xref="S3.E18.m1.16.16.16.8.8.8.1.cmml"><mrow id="S3.E18.m1.16.16.16.8.8.8.1.2" xref="S3.E18.m1.16.16.16.8.8.8.1.2.cmml"><mrow id="S3.E18.m1.16.16.16.8.8.8.1.2.2" xref="S3.E18.m1.16.16.16.8.8.8.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E18.m1.16.16.16.8.8.8.1.2.2.2" xref="S3.E18.m1.16.16.16.8.8.8.1.2.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.E18.m1.16.16.16.8.8.8.1.2.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.E18.m1.16.16.16.8.8.8.1.2.2.1.cmml">⋅</mo><msub id="S3.E18.m1.16.16.16.8.8.8.1.2.2.3" xref="S3.E18.m1.16.16.16.8.8.8.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E18.m1.16.16.16.8.8.8.1.2.2.3.2" xref="S3.E18.m1.16.16.16.8.8.8.1.2.2.3.2.cmml">r</mi><mi id="S3.E18.m1.16.16.16.8.8.8.1.2.2.3.3" xref="S3.E18.m1.16.16.16.8.8.8.1.2.2.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S3.E18.m1.16.16.16.8.8.8.1.2.1" xref="S3.E18.m1.16.16.16.8.8.8.1.2.1.cmml">+</mo><msub id="S3.E18.m1.16.16.16.8.8.8.1.2.3" xref="S3.E18.m1.16.16.16.8.8.8.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E18.m1.16.16.16.8.8.8.1.2.3.2" xref="S3.E18.m1.16.16.16.8.8.8.1.2.3.2.cmml">n</mi><mi id="S3.E18.m1.16.16.16.8.8.8.1.2.3.3" xref="S3.E18.m1.16.16.16.8.8.8.1.2.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S3.E18.m1.16.16.16.8.8.8.1.1" xref="S3.E18.m1.16.16.16.8.8.8.1.1.cmml">−</mo><mn id="S3.E18.m1.16.16.16.8.8.8.1.3" xref="S3.E18.m1.16.16.16.8.8.8.1.3.cmml">1</mn></mrow></msubsup></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E18.m1.18b"><apply id="S3.E18.m1.17.17.1.cmml" xref="S3.E18.m1.18.18.2"><and id="S3.E18.m1.17.17.1a.cmml" xref="S3.E18.m1.18.18.2.17.9.7.8"></and><apply id="S3.E18.m1.17.17.1b.cmml" xref="S3.E18.m1.18.18.2"><eq id="S3.E18.m1.7.7.7.7.1.1.cmml" xref="S3.E18.m1.7.7.7.7.1.1"></eq><apply id="S3.E18.m1.17.17.1.1.cmml" xref="S3.E18.m1.18.18.2"><times id="S3.E18.m1.17.17.1.1.2.cmml" xref="S3.E18.m1.18.18.2.17.9.7.8"></times><ci id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1">𝑓</ci><apply id="S3.E18.m1.17.17.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E18.m1.18.18.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.E18.m1.4.4.4.4.4.4.cmml" xref="S3.E18.m1.4.4.4.4.4.4">conditional</csymbol><ci id="S3.E18.m1.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="S3.E18.m1.3.3.3.3.3.3">𝜽</ci><ci id="S3.E18.m1.5.5.5.5.5.5.cmml" xref="S3.E18.m1.5.5.5.5.5.5">𝒟</ci></apply></apply><apply id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2"><divide id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.3.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2"></divide><apply id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1"><apply id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.2.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.2.1.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.2.2.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.2.2.2">product</csymbol><apply id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.2.2.3"><eq id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.2.2.3.1"></eq><ci id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.2.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.2.3.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.2.3">𝐾</ci></apply><apply id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3"><times id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.1.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.1"></times><apply id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.2.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.2"><ci id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.2.1">⋅</ci><apply id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.2.2.2.2">𝜃</ci><ci id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.2.2.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.2.2.3.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.2.2.3.2">𝑛</ci><ci id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.2.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.1"><divide id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.1"></divide><cn id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.1.3">1</cn><apply id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.1.1"><times id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.1.1.3">𝑅</ci><apply id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.1.1.1.1"><ci id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.1">⋅</ci><ci id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.2">𝜆</ci><apply id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑟</ci><ci id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3"><apply id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.1.2.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.1.2.1.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.1.2.2.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.1.2.2">product</csymbol><apply id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.1.2.3.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.1.2.3"><eq id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.1.2.3.1"></eq><ci id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.1.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.1.3.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.1.3">𝐾</ci></apply><apply id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.2.2.2">𝜃</ci><ci id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.2.2.3.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.2.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.2.3"><minus id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.2.3.1"></minus><apply id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.2.3.2"><ci id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.2.3.2.1.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.2.3.2.1">⋅</ci><ci id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.2.3.2.2.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.2.3.2.2">𝜆</ci><apply id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.2.3.2.3.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.2.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.2.3.2.3.1.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.2.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.2.3.2.3.2.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.2.3.2.3.2">𝑟</ci><ci id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.2.3.2.3.3.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.2.3.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply><cn id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.1.3.3.2.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2"><int id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.2"></int><apply id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3"><times id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.1"></times><apply id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.1"><divide id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.1"></divide><cn id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.1.3">1</cn><apply id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.1.1"><times id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.1.1.2"></times><ci id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.1.1.3">𝑅</ci><apply id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.1.1.1.1"><ci id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.1.1.1.1.1.1">⋅</ci><ci id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.1.1.1.1.1.2">𝜆</ci><apply id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.1.1.1.1.1.3.2">𝑟</ci><ci id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.1.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2"><apply id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.1.1.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.1.2.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.1.2.1.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.1.2.2.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.1.2.2">product</csymbol><apply id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.1.2.3.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.1.2.3"><eq id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.1.2.3.1"></eq><ci id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.1.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.1.3.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.1.3">𝐾</ci></apply><apply id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2"><times id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.1"></times><apply id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.2.2.2">𝜃</ci><ci id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.2.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.2.3"><minus id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.2.3.1"></minus><apply id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.2.3.2"><ci id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.2.3.2.1">⋅</ci><ci id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.2.3.2.2">𝜆</ci><apply id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.2.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.2.3.2.3.1.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.2.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.2.3.2.3.2.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.2.3.2.3.2">𝑟</ci><ci id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.2.3.2.3.3.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.2.3.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply><cn id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.3.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.3">𝑑</ci><ci id="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.4.cmml" xref="S3.E18.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.2.4">𝜽</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E18.m1.17.17.1c.cmml" xref="S3.E18.m1.18.18.2"><eq id="S3.E18.m1.9.9.9.1.1.1.cmml" xref="S3.E18.m1.9.9.9.1.1.1"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S3.E18.m1.17.17.1.4.cmml" id="S3.E18.m1.17.17.1d.cmml" xref="S3.E18.m1.18.18.2.17.9.7.8"></share><apply id="S3.E18.m1.17.17.1.6.cmml" xref="S3.E18.m1.18.18.2"><times id="S3.E18.m1.17.17.1.6.1.cmml" xref="S3.E18.m1.18.18.2.17.9.7.8"></times><apply id="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.cmml" xref="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2"><divide id="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2"></divide><cn id="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.3">1</cn><apply id="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.1"><times id="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.1.2"></times><ci id="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.1.3.cmml" xref="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.1.3">𝑅</ci><apply id="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.1.1.1"><plus id="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.1.1.1.1.2"><ci id="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.1.1.1.1.2.1">⋅</ci><ci id="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.1.1.1.1.2.2">𝜆</ci><apply id="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.1.1.1.1.2.3.2">𝑟</ci><ci id="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.1.1.1.1.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.1.1.1.1.3.2">𝑛</ci><ci id="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E18.m1.10.10.10.2.2.2.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E18.m1.17.17.1.6.3.cmml" xref="S3.E18.m1.18.18.2"><apply id="S3.E18.m1.17.17.1.6.3.1.cmml" xref="S3.E18.m1.18.18.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E18.m1.17.17.1.6.3.1.1.cmml" xref="S3.E18.m1.18.18.2.17.9.7.8">superscript</csymbol><apply id="S3.E18.m1.17.17.1.6.3.1.2.cmml" xref="S3.E18.m1.18.18.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E18.m1.17.17.1.6.3.1.2.1.cmml" xref="S3.E18.m1.18.18.2.17.9.7.8">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S3.E18.m1.11.11.11.3.3.3.cmml" xref="S3.E18.m1.11.11.11.3.3.3">product</csymbol><apply id="S3.E18.m1.12.12.12.4.4.4.1.cmml" xref="S3.E18.m1.12.12.12.4.4.4.1"><eq id="S3.E18.m1.12.12.12.4.4.4.1.1.cmml" xref="S3.E18.m1.12.12.12.4.4.4.1.1"></eq><ci id="S3.E18.m1.12.12.12.4.4.4.1.2.cmml" xref="S3.E18.m1.12.12.12.4.4.4.1.2">𝑘</ci><cn id="S3.E18.m1.12.12.12.4.4.4.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E18.m1.12.12.12.4.4.4.1.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.E18.m1.13.13.13.5.5.5.1.cmml" xref="S3.E18.m1.13.13.13.5.5.5.1">𝐾</ci></apply><apply id="S3.E18.m1.17.17.1.6.3.2.cmml" xref="S3.E18.m1.18.18.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E18.m1.17.17.1.6.3.2.1.cmml" xref="S3.E18.m1.18.18.2.17.9.7.8">superscript</csymbol><apply id="S3.E18.m1.17.17.1.6.3.2.2.cmml" xref="S3.E18.m1.18.18.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E18.m1.17.17.1.6.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E18.m1.18.18.2.17.9.7.8">subscript</csymbol><ci id="S3.E18.m1.14.14.14.6.6.6.cmml" xref="S3.E18.m1.14.14.14.6.6.6">𝜃</ci><ci id="S3.E18.m1.15.15.15.7.7.7.1.cmml" xref="S3.E18.m1.15.15.15.7.7.7.1">𝑘</ci></apply><apply id="S3.E18.m1.16.16.16.8.8.8.1.cmml" xref="S3.E18.m1.16.16.16.8.8.8.1"><minus id="S3.E18.m1.16.16.16.8.8.8.1.1.cmml" xref="S3.E18.m1.16.16.16.8.8.8.1.1"></minus><apply id="S3.E18.m1.16.16.16.8.8.8.1.2.cmml" xref="S3.E18.m1.16.16.16.8.8.8.1.2"><plus id="S3.E18.m1.16.16.16.8.8.8.1.2.1.cmml" xref="S3.E18.m1.16.16.16.8.8.8.1.2.1"></plus><apply id="S3.E18.m1.16.16.16.8.8.8.1.2.2.cmml" xref="S3.E18.m1.16.16.16.8.8.8.1.2.2"><ci id="S3.E18.m1.16.16.16.8.8.8.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E18.m1.16.16.16.8.8.8.1.2.2.1">⋅</ci><ci id="S3.E18.m1.16.16.16.8.8.8.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E18.m1.16.16.16.8.8.8.1.2.2.2">𝜆</ci><apply id="S3.E18.m1.16.16.16.8.8.8.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E18.m1.16.16.16.8.8.8.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E18.m1.16.16.16.8.8.8.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E18.m1.16.16.16.8.8.8.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E18.m1.16.16.16.8.8.8.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E18.m1.16.16.16.8.8.8.1.2.2.3.2">𝑟</ci><ci id="S3.E18.m1.16.16.16.8.8.8.1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.E18.m1.16.16.16.8.8.8.1.2.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.E18.m1.16.16.16.8.8.8.1.2.3.cmml" xref="S3.E18.m1.16.16.16.8.8.8.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E18.m1.16.16.16.8.8.8.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E18.m1.16.16.16.8.8.8.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E18.m1.16.16.16.8.8.8.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E18.m1.16.16.16.8.8.8.1.2.3.2">𝑛</ci><ci id="S3.E18.m1.16.16.16.8.8.8.1.2.3.3.cmml" xref="S3.E18.m1.16.16.16.8.8.8.1.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply><cn id="S3.E18.m1.16.16.16.8.8.8.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E18.m1.16.16.16.8.8.8.1.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E18.m1.18c">\begin{split}f(\bm{\theta}\mid\mathcal{D})&=\frac{\prod_{k=1}^{K}\theta_{k}^{n% _{k}}\cdot\frac{1}{R(\lambda\cdot r_{k})}\prod_{k=1}^{K}\theta_{k}^{\lambda% \cdot r_{k}-1}}{\int\frac{1}{R(\lambda\cdot r_{k})}\prod_{k=1}^{K}\theta_{k}^{% \lambda\cdot r_{k}-1}d\bm{\theta}}\\ &=\frac{1}{R(\lambda\cdot r_{k}+n_{k})}\prod_{k=1}^{K}\theta_{k}^{\lambda\cdot r% _{k}+n_{k}-1}\end{split}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E18.m1.18d">start_ROW start_CELL italic_f ( bold_italic_θ ∣ caligraphic_D ) end_CELL start_CELL = divide start_ARG ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_k = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K end_POSTSUPERSCRIPT italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ⋅ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_R ( italic_λ ⋅ italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) end_ARG ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_k = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K end_POSTSUPERSCRIPT italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_λ ⋅ italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG ∫ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_R ( italic_λ ⋅ italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) end_ARG ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_k = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K end_POSTSUPERSCRIPT italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_λ ⋅ italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d bold_italic_θ end_ARG end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_R ( italic_λ ⋅ italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT + italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) end_ARG ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_k = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K end_POSTSUPERSCRIPT italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_λ ⋅ italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT + italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(18)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS4.p9"> <p class="ltx_p" id="S3.SS4.p9.2">Consequently, the imprecise parameter <math alttext="\bm{\theta}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p9.1.m1.1"><semantics id="S3.SS4.p9.1.m1.1a"><mi id="S3.SS4.p9.1.m1.1.1" xref="S3.SS4.p9.1.m1.1.1.cmml">𝜽</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p9.1.m1.1b"><ci id="S3.SS4.p9.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p9.1.m1.1.1">𝜽</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p9.1.m1.1c">\bm{\theta}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p9.1.m1.1d">bold_italic_θ</annotation></semantics></math> of the multinomial distribution can be estimated by the expected values of (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S3.E18" title="In III-D Construction of the Ambiguity Set ‣ III Confidence Level-Based Distributionally Information Gap decision Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">18</span></a>). Considering the bounds of <math alttext="r_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p9.2.m2.1"><semantics id="S3.SS4.p9.2.m2.1a"><msub id="S3.SS4.p9.2.m2.1.1" xref="S3.SS4.p9.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p9.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS4.p9.2.m2.1.1.2.cmml">r</mi><mi id="S3.SS4.p9.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS4.p9.2.m2.1.1.3.cmml">k</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p9.2.m2.1b"><apply id="S3.SS4.p9.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p9.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p9.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p9.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p9.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p9.2.m2.1.1.2">𝑟</ci><ci id="S3.SS4.p9.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS4.p9.2.m2.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p9.2.m2.1c">r_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p9.2.m2.1d">italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, the probability intervals are computed as shown in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S3.E19" title="In III-D Construction of the Ambiguity Set ‣ III Confidence Level-Based Distributionally Information Gap decision Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">19</span></a>). As more data accumulates, the associated intervals narrow, indicating greater precision <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#bib.bib19" title="">19</a>]</cite>.</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E19"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\theta_{k}=[\frac{n_{k}}{n+\lambda},\frac{n_{k}+\lambda}{n+\lambda}],k=1,...,K" class="ltx_Math" display="block" id="S3.E19.m1.7"><semantics id="S3.E19.m1.7a"><mrow id="S3.E19.m1.7.7.2" xref="S3.E19.m1.7.7.3.cmml"><mrow id="S3.E19.m1.6.6.1.1" xref="S3.E19.m1.6.6.1.1.cmml"><msub id="S3.E19.m1.6.6.1.1.2" xref="S3.E19.m1.6.6.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E19.m1.6.6.1.1.2.2" xref="S3.E19.m1.6.6.1.1.2.2.cmml">θ</mi><mi id="S3.E19.m1.6.6.1.1.2.3" xref="S3.E19.m1.6.6.1.1.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.E19.m1.6.6.1.1.1" xref="S3.E19.m1.6.6.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.E19.m1.6.6.1.1.3.2" xref="S3.E19.m1.6.6.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.E19.m1.6.6.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E19.m1.6.6.1.1.3.1.cmml">[</mo><mfrac id="S3.E19.m1.1.1" xref="S3.E19.m1.1.1.cmml"><msub id="S3.E19.m1.1.1.2" xref="S3.E19.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E19.m1.1.1.2.2" xref="S3.E19.m1.1.1.2.2.cmml">n</mi><mi id="S3.E19.m1.1.1.2.3" xref="S3.E19.m1.1.1.2.3.cmml">k</mi></msub><mrow id="S3.E19.m1.1.1.3" xref="S3.E19.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E19.m1.1.1.3.2" xref="S3.E19.m1.1.1.3.2.cmml">n</mi><mo id="S3.E19.m1.1.1.3.1" xref="S3.E19.m1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mi id="S3.E19.m1.1.1.3.3" xref="S3.E19.m1.1.1.3.3.cmml">λ</mi></mrow></mfrac><mo id="S3.E19.m1.6.6.1.1.3.2.2" xref="S3.E19.m1.6.6.1.1.3.1.cmml">,</mo><mfrac id="S3.E19.m1.2.2" xref="S3.E19.m1.2.2.cmml"><mrow id="S3.E19.m1.2.2.2" xref="S3.E19.m1.2.2.2.cmml"><msub id="S3.E19.m1.2.2.2.2" xref="S3.E19.m1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E19.m1.2.2.2.2.2" xref="S3.E19.m1.2.2.2.2.2.cmml">n</mi><mi id="S3.E19.m1.2.2.2.2.3" xref="S3.E19.m1.2.2.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.E19.m1.2.2.2.1" xref="S3.E19.m1.2.2.2.1.cmml">+</mo><mi id="S3.E19.m1.2.2.2.3" xref="S3.E19.m1.2.2.2.3.cmml">λ</mi></mrow><mrow id="S3.E19.m1.2.2.3" xref="S3.E19.m1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E19.m1.2.2.3.2" xref="S3.E19.m1.2.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="S3.E19.m1.2.2.3.1" xref="S3.E19.m1.2.2.3.1.cmml">+</mo><mi id="S3.E19.m1.2.2.3.3" xref="S3.E19.m1.2.2.3.3.cmml">λ</mi></mrow></mfrac><mo id="S3.E19.m1.6.6.1.1.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.E19.m1.6.6.1.1.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E19.m1.7.7.2.3" xref="S3.E19.m1.7.7.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.E19.m1.7.7.2.2" xref="S3.E19.m1.7.7.2.2.cmml"><mi id="S3.E19.m1.7.7.2.2.2" xref="S3.E19.m1.7.7.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.E19.m1.7.7.2.2.1" xref="S3.E19.m1.7.7.2.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.E19.m1.7.7.2.2.3.2" xref="S3.E19.m1.7.7.2.2.3.1.cmml"><mn id="S3.E19.m1.3.3" xref="S3.E19.m1.3.3.cmml">1</mn><mo id="S3.E19.m1.7.7.2.2.3.2.1" xref="S3.E19.m1.7.7.2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E19.m1.4.4" mathvariant="normal" xref="S3.E19.m1.4.4.cmml">…</mi><mo id="S3.E19.m1.7.7.2.2.3.2.2" xref="S3.E19.m1.7.7.2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E19.m1.5.5" xref="S3.E19.m1.5.5.cmml">K</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E19.m1.7b"><apply id="S3.E19.m1.7.7.3.cmml" xref="S3.E19.m1.7.7.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E19.m1.7.7.3a.cmml" xref="S3.E19.m1.7.7.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.E19.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S3.E19.m1.6.6.1.1"><eq id="S3.E19.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="S3.E19.m1.6.6.1.1.1"></eq><apply id="S3.E19.m1.6.6.1.1.2.cmml" xref="S3.E19.m1.6.6.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E19.m1.6.6.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E19.m1.6.6.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E19.m1.6.6.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E19.m1.6.6.1.1.2.2">𝜃</ci><ci id="S3.E19.m1.6.6.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E19.m1.6.6.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><interval closure="closed" id="S3.E19.m1.6.6.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E19.m1.6.6.1.1.3.2"><apply id="S3.E19.m1.1.1.cmml" xref="S3.E19.m1.1.1"><divide id="S3.E19.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.E19.m1.1.1"></divide><apply id="S3.E19.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.E19.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E19.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E19.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E19.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E19.m1.1.1.2.2">𝑛</ci><ci id="S3.E19.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E19.m1.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.E19.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.E19.m1.1.1.3"><plus id="S3.E19.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E19.m1.1.1.3.1"></plus><ci id="S3.E19.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E19.m1.1.1.3.2">𝑛</ci><ci id="S3.E19.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E19.m1.1.1.3.3">𝜆</ci></apply></apply><apply id="S3.E19.m1.2.2.cmml" xref="S3.E19.m1.2.2"><divide id="S3.E19.m1.2.2.1.cmml" xref="S3.E19.m1.2.2"></divide><apply id="S3.E19.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.E19.m1.2.2.2"><plus id="S3.E19.m1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E19.m1.2.2.2.1"></plus><apply id="S3.E19.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E19.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E19.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E19.m1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E19.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E19.m1.2.2.2.2.2">𝑛</ci><ci id="S3.E19.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E19.m1.2.2.2.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S3.E19.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E19.m1.2.2.2.3">𝜆</ci></apply><apply id="S3.E19.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.E19.m1.2.2.3"><plus id="S3.E19.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E19.m1.2.2.3.1"></plus><ci id="S3.E19.m1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E19.m1.2.2.3.2">𝑛</ci><ci id="S3.E19.m1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.E19.m1.2.2.3.3">𝜆</ci></apply></apply></interval></apply><apply id="S3.E19.m1.7.7.2.2.cmml" xref="S3.E19.m1.7.7.2.2"><eq id="S3.E19.m1.7.7.2.2.1.cmml" xref="S3.E19.m1.7.7.2.2.1"></eq><ci id="S3.E19.m1.7.7.2.2.2.cmml" xref="S3.E19.m1.7.7.2.2.2">𝑘</ci><list id="S3.E19.m1.7.7.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E19.m1.7.7.2.2.3.2"><cn id="S3.E19.m1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E19.m1.3.3">1</cn><ci id="S3.E19.m1.4.4.cmml" xref="S3.E19.m1.4.4">…</ci><ci id="S3.E19.m1.5.5.cmml" xref="S3.E19.m1.5.5">𝐾</ci></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E19.m1.7c">\theta_{k}=[\frac{n_{k}}{n+\lambda},\frac{n_{k}+\lambda}{n+\lambda}],k=1,...,K</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E19.m1.7d">italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT = [ divide start_ARG italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_n + italic_λ end_ARG , divide start_ARG italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT + italic_λ end_ARG start_ARG italic_n + italic_λ end_ARG ] , italic_k = 1 , … , italic_K</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(19)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS4.p10"> <p class="ltx_p" id="S3.SS4.p10.5">Since the CDF of <math alttext="\xi" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p10.1.m1.1"><semantics id="S3.SS4.p10.1.m1.1a"><mi id="S3.SS4.p10.1.m1.1.1" xref="S3.SS4.p10.1.m1.1.1.cmml">ξ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p10.1.m1.1b"><ci id="S3.SS4.p10.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p10.1.m1.1.1">𝜉</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p10.1.m1.1c">\xi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p10.1.m1.1d">italic_ξ</annotation></semantics></math> is defined as <math alttext="F_{\xi}(x)=\Pr(\xi\leq x)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p10.2.m2.3"><semantics id="S3.SS4.p10.2.m2.3a"><mrow id="S3.SS4.p10.2.m2.3.3" xref="S3.SS4.p10.2.m2.3.3.cmml"><mrow id="S3.SS4.p10.2.m2.3.3.3" xref="S3.SS4.p10.2.m2.3.3.3.cmml"><msub id="S3.SS4.p10.2.m2.3.3.3.2" xref="S3.SS4.p10.2.m2.3.3.3.2.cmml"><mi id="S3.SS4.p10.2.m2.3.3.3.2.2" xref="S3.SS4.p10.2.m2.3.3.3.2.2.cmml">F</mi><mi id="S3.SS4.p10.2.m2.3.3.3.2.3" xref="S3.SS4.p10.2.m2.3.3.3.2.3.cmml">ξ</mi></msub><mo id="S3.SS4.p10.2.m2.3.3.3.1" xref="S3.SS4.p10.2.m2.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS4.p10.2.m2.3.3.3.3.2" xref="S3.SS4.p10.2.m2.3.3.3.cmml"><mo id="S3.SS4.p10.2.m2.3.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS4.p10.2.m2.3.3.3.cmml">(</mo><mi id="S3.SS4.p10.2.m2.1.1" xref="S3.SS4.p10.2.m2.1.1.cmml">x</mi><mo id="S3.SS4.p10.2.m2.3.3.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS4.p10.2.m2.3.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS4.p10.2.m2.3.3.2" xref="S3.SS4.p10.2.m2.3.3.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS4.p10.2.m2.3.3.1.1" xref="S3.SS4.p10.2.m2.3.3.1.2.cmml"><mi id="S3.SS4.p10.2.m2.2.2" xref="S3.SS4.p10.2.m2.2.2.cmml">Pr</mi><mo id="S3.SS4.p10.2.m2.3.3.1.1a" xref="S3.SS4.p10.2.m2.3.3.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.SS4.p10.2.m2.3.3.1.1.1" xref="S3.SS4.p10.2.m2.3.3.1.2.cmml"><mo id="S3.SS4.p10.2.m2.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS4.p10.2.m2.3.3.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS4.p10.2.m2.3.3.1.1.1.1" xref="S3.SS4.p10.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p10.2.m2.3.3.1.1.1.1.2" xref="S3.SS4.p10.2.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml">ξ</mi><mo id="S3.SS4.p10.2.m2.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.SS4.p10.2.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="S3.SS4.p10.2.m2.3.3.1.1.1.1.3" xref="S3.SS4.p10.2.m2.3.3.1.1.1.1.3.cmml">x</mi></mrow><mo id="S3.SS4.p10.2.m2.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS4.p10.2.m2.3.3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p10.2.m2.3b"><apply id="S3.SS4.p10.2.m2.3.3.cmml" xref="S3.SS4.p10.2.m2.3.3"><eq id="S3.SS4.p10.2.m2.3.3.2.cmml" xref="S3.SS4.p10.2.m2.3.3.2"></eq><apply id="S3.SS4.p10.2.m2.3.3.3.cmml" xref="S3.SS4.p10.2.m2.3.3.3"><times id="S3.SS4.p10.2.m2.3.3.3.1.cmml" xref="S3.SS4.p10.2.m2.3.3.3.1"></times><apply id="S3.SS4.p10.2.m2.3.3.3.2.cmml" xref="S3.SS4.p10.2.m2.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p10.2.m2.3.3.3.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p10.2.m2.3.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p10.2.m2.3.3.3.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p10.2.m2.3.3.3.2.2">𝐹</ci><ci id="S3.SS4.p10.2.m2.3.3.3.2.3.cmml" xref="S3.SS4.p10.2.m2.3.3.3.2.3">𝜉</ci></apply><ci id="S3.SS4.p10.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p10.2.m2.1.1">𝑥</ci></apply><apply id="S3.SS4.p10.2.m2.3.3.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p10.2.m2.3.3.1.1"><ci id="S3.SS4.p10.2.m2.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p10.2.m2.2.2">Pr</ci><apply id="S3.SS4.p10.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p10.2.m2.3.3.1.1.1.1"><leq id="S3.SS4.p10.2.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p10.2.m2.3.3.1.1.1.1.1"></leq><ci id="S3.SS4.p10.2.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p10.2.m2.3.3.1.1.1.1.2">𝜉</ci><ci id="S3.SS4.p10.2.m2.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS4.p10.2.m2.3.3.1.1.1.1.3">𝑥</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p10.2.m2.3c">F_{\xi}(x)=\Pr(\xi\leq x)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p10.2.m2.3d">italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_ξ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x ) = roman_Pr ( italic_ξ ≤ italic_x )</annotation></semantics></math>, it is easy to calculate the imprecise cumulative probability is <math alttext="[\frac{n^{*}_{k}}{n+\lambda},\frac{n^{*}_{k}+\lambda}{n+\lambda}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p10.3.m3.2"><semantics id="S3.SS4.p10.3.m3.2a"><mrow id="S3.SS4.p10.3.m3.2.3.2" xref="S3.SS4.p10.3.m3.2.3.1.cmml"><mo id="S3.SS4.p10.3.m3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS4.p10.3.m3.2.3.1.cmml">[</mo><mfrac id="S3.SS4.p10.3.m3.1.1" xref="S3.SS4.p10.3.m3.1.1.cmml"><msubsup id="S3.SS4.p10.3.m3.1.1.2" xref="S3.SS4.p10.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS4.p10.3.m3.1.1.2.2.2" xref="S3.SS4.p10.3.m3.1.1.2.2.2.cmml">n</mi><mi id="S3.SS4.p10.3.m3.1.1.2.3" xref="S3.SS4.p10.3.m3.1.1.2.3.cmml">k</mi><mo id="S3.SS4.p10.3.m3.1.1.2.2.3" xref="S3.SS4.p10.3.m3.1.1.2.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mrow id="S3.SS4.p10.3.m3.1.1.3" xref="S3.SS4.p10.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS4.p10.3.m3.1.1.3.2" xref="S3.SS4.p10.3.m3.1.1.3.2.cmml">n</mi><mo id="S3.SS4.p10.3.m3.1.1.3.1" xref="S3.SS4.p10.3.m3.1.1.3.1.cmml">+</mo><mi id="S3.SS4.p10.3.m3.1.1.3.3" xref="S3.SS4.p10.3.m3.1.1.3.3.cmml">λ</mi></mrow></mfrac><mo id="S3.SS4.p10.3.m3.2.3.2.2" xref="S3.SS4.p10.3.m3.2.3.1.cmml">,</mo><mfrac id="S3.SS4.p10.3.m3.2.2" xref="S3.SS4.p10.3.m3.2.2.cmml"><mrow id="S3.SS4.p10.3.m3.2.2.2" xref="S3.SS4.p10.3.m3.2.2.2.cmml"><msubsup id="S3.SS4.p10.3.m3.2.2.2.2" xref="S3.SS4.p10.3.m3.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS4.p10.3.m3.2.2.2.2.2.2" xref="S3.SS4.p10.3.m3.2.2.2.2.2.2.cmml">n</mi><mi id="S3.SS4.p10.3.m3.2.2.2.2.3" xref="S3.SS4.p10.3.m3.2.2.2.2.3.cmml">k</mi><mo id="S3.SS4.p10.3.m3.2.2.2.2.2.3" xref="S3.SS4.p10.3.m3.2.2.2.2.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S3.SS4.p10.3.m3.2.2.2.1" xref="S3.SS4.p10.3.m3.2.2.2.1.cmml">+</mo><mi id="S3.SS4.p10.3.m3.2.2.2.3" xref="S3.SS4.p10.3.m3.2.2.2.3.cmml">λ</mi></mrow><mrow id="S3.SS4.p10.3.m3.2.2.3" xref="S3.SS4.p10.3.m3.2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS4.p10.3.m3.2.2.3.2" xref="S3.SS4.p10.3.m3.2.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="S3.SS4.p10.3.m3.2.2.3.1" xref="S3.SS4.p10.3.m3.2.2.3.1.cmml">+</mo><mi id="S3.SS4.p10.3.m3.2.2.3.3" xref="S3.SS4.p10.3.m3.2.2.3.3.cmml">λ</mi></mrow></mfrac><mo id="S3.SS4.p10.3.m3.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS4.p10.3.m3.2.3.1.cmml">]</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p10.3.m3.2b"><interval closure="closed" id="S3.SS4.p10.3.m3.2.3.1.cmml" xref="S3.SS4.p10.3.m3.2.3.2"><apply id="S3.SS4.p10.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p10.3.m3.1.1"><divide id="S3.SS4.p10.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p10.3.m3.1.1"></divide><apply id="S3.SS4.p10.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p10.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p10.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p10.3.m3.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S3.SS4.p10.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p10.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p10.3.m3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p10.3.m3.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p10.3.m3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p10.3.m3.1.1.2.2.2">𝑛</ci><times id="S3.SS4.p10.3.m3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.SS4.p10.3.m3.1.1.2.2.3"></times></apply><ci id="S3.SS4.p10.3.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS4.p10.3.m3.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.SS4.p10.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.SS4.p10.3.m3.1.1.3"><plus id="S3.SS4.p10.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS4.p10.3.m3.1.1.3.1"></plus><ci id="S3.SS4.p10.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS4.p10.3.m3.1.1.3.2">𝑛</ci><ci id="S3.SS4.p10.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS4.p10.3.m3.1.1.3.3">𝜆</ci></apply></apply><apply id="S3.SS4.p10.3.m3.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p10.3.m3.2.2"><divide id="S3.SS4.p10.3.m3.2.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p10.3.m3.2.2"></divide><apply id="S3.SS4.p10.3.m3.2.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p10.3.m3.2.2.2"><plus id="S3.SS4.p10.3.m3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p10.3.m3.2.2.2.1"></plus><apply id="S3.SS4.p10.3.m3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p10.3.m3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p10.3.m3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p10.3.m3.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.SS4.p10.3.m3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p10.3.m3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p10.3.m3.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p10.3.m3.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p10.3.m3.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p10.3.m3.2.2.2.2.2.2">𝑛</ci><times id="S3.SS4.p10.3.m3.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS4.p10.3.m3.2.2.2.2.2.3"></times></apply><ci id="S3.SS4.p10.3.m3.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS4.p10.3.m3.2.2.2.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S3.SS4.p10.3.m3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS4.p10.3.m3.2.2.2.3">𝜆</ci></apply><apply id="S3.SS4.p10.3.m3.2.2.3.cmml" xref="S3.SS4.p10.3.m3.2.2.3"><plus id="S3.SS4.p10.3.m3.2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS4.p10.3.m3.2.2.3.1"></plus><ci id="S3.SS4.p10.3.m3.2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS4.p10.3.m3.2.2.3.2">𝑛</ci><ci id="S3.SS4.p10.3.m3.2.2.3.3.cmml" xref="S3.SS4.p10.3.m3.2.2.3.3">𝜆</ci></apply></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p10.3.m3.2c">[\frac{n^{*}_{k}}{n+\lambda},\frac{n^{*}_{k}+\lambda}{n+\lambda}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p10.3.m3.2d">[ divide start_ARG italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_n + italic_λ end_ARG , divide start_ARG italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT + italic_λ end_ARG start_ARG italic_n + italic_λ end_ARG ]</annotation></semantics></math>, where <math alttext="n^{*}_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p10.4.m4.1"><semantics id="S3.SS4.p10.4.m4.1a"><msubsup id="S3.SS4.p10.4.m4.1.1" xref="S3.SS4.p10.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p10.4.m4.1.1.2.2" xref="S3.SS4.p10.4.m4.1.1.2.2.cmml">n</mi><mi id="S3.SS4.p10.4.m4.1.1.3" xref="S3.SS4.p10.4.m4.1.1.3.cmml">k</mi><mo id="S3.SS4.p10.4.m4.1.1.2.3" xref="S3.SS4.p10.4.m4.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p10.4.m4.1b"><apply id="S3.SS4.p10.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p10.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p10.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p10.4.m4.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.SS4.p10.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p10.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p10.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p10.4.m4.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p10.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p10.4.m4.1.1.2.2">𝑛</ci><times id="S3.SS4.p10.4.m4.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS4.p10.4.m4.1.1.2.3"></times></apply><ci id="S3.SS4.p10.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.SS4.p10.4.m4.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p10.4.m4.1c">n^{*}_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p10.4.m4.1d">italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the cumulative counts corresponding to <math alttext="\xi\leq\xi_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p10.5.m5.1"><semantics id="S3.SS4.p10.5.m5.1a"><mrow id="S3.SS4.p10.5.m5.1.1" xref="S3.SS4.p10.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p10.5.m5.1.1.2" xref="S3.SS4.p10.5.m5.1.1.2.cmml">ξ</mi><mo id="S3.SS4.p10.5.m5.1.1.1" xref="S3.SS4.p10.5.m5.1.1.1.cmml">≤</mo><msub id="S3.SS4.p10.5.m5.1.1.3" xref="S3.SS4.p10.5.m5.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS4.p10.5.m5.1.1.3.2" xref="S3.SS4.p10.5.m5.1.1.3.2.cmml">ξ</mi><mi id="S3.SS4.p10.5.m5.1.1.3.3" xref="S3.SS4.p10.5.m5.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p10.5.m5.1b"><apply id="S3.SS4.p10.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p10.5.m5.1.1"><leq id="S3.SS4.p10.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p10.5.m5.1.1.1"></leq><ci id="S3.SS4.p10.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p10.5.m5.1.1.2">𝜉</ci><apply id="S3.SS4.p10.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S3.SS4.p10.5.m5.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p10.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS4.p10.5.m5.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p10.5.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS4.p10.5.m5.1.1.3.2">𝜉</ci><ci id="S3.SS4.p10.5.m5.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS4.p10.5.m5.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p10.5.m5.1c">\xi\leq\xi_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p10.5.m5.1d">italic_ξ ≤ italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS4.p11"> <p class="ltx_p" id="S3.SS4.p11.6">The interval estimated by IDM includes all possible probabilities corresponding to different priors. A probability interval with a quantitative confidence index, however, might be more suitable to construct the ambiguity set of RESs and load demands. The interval of cumulative probability can be estimated using credible index corresponding to IDM <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#bib.bib18" title="">18</a>]</cite>, <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#bib.bib20" title="">20</a>]</cite>:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E20"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\begin{cases}\underline{\theta}_{k}=0,\overline{\theta}_{k}=W^{-1}\left(\frac{% 1+\gamma}{2}\right),\hfill n^{*}_{k}=0\\ \underline{\theta}_{k}=V^{-1}\left(\frac{1-\gamma}{2}\right),\overline{\theta}% _{k}=W^{-1}\left(\frac{1+\gamma}{2}\right),\hfill 0\leq n^{*}_{k}\leq n\\ \underline{\theta}_{k}=V^{-1}\left(\frac{1-\gamma}{2}\right),\overline{\theta}% _{k}=1,\hfill n^{*}_{k}=n\end{cases}" class="ltx_Math" display="block" id="S3.E20.m1.3"><semantics id="S3.E20.m1.3a"><mrow id="S3.E20.m1.3.3" xref="S3.E20.m1.3.4.1.cmml"><mo id="S3.E20.m1.3.3.4" xref="S3.E20.m1.3.4.1.1.cmml">{</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S3.E20.m1.3.3.3" rowspacing="0pt" xref="S3.E20.m1.3.4.1.cmml"><mtr id="S3.E20.m1.3.3.3a" xref="S3.E20.m1.3.4.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S3.E20.m1.3.3.3b" xref="S3.E20.m1.3.4.1.cmml"><mrow id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mrow id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"><msub id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml"><munder accentunder="true" id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.2" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.2.2" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.2.2.cmml">θ</mi><mo id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.2.1" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.2.1.cmml">¯</mo></munder><mi id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.4a.cmml">,</mo><mrow id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mrow id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.cmml"><msub id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.2" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.2.2" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.2.2.2" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.2.2.2.cmml">θ</mi><mo id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.2.2.1" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.2.2.1.cmml">¯</mo></mover><mi id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.2.3" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3.cmml"><msup id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3.2" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3.2.2" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3.2.2.cmml">W</mi><mrow id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3.2.3" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3.2.3.cmml"><mo id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3.2.3a" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3.2.3.cmml">−</mo><mn id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3.2.3.2" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3.1" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3.3.2" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3.3.2.1" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="false" id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mo id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">+</mo><mi id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">γ</mi></mrow><mn id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3.3.2.2" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml"><msubsup id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.cmml">n</mi><mi id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.cmml">k</mi><mo id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.1" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml">=</mo><mn id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml">0</mn></mrow></mrow></mrow></mtd><mtd id="S3.E20.m1.3.3.3c" xref="S3.E20.m1.3.4.1.1.cmml"></mtd></mtr><mtr id="S3.E20.m1.3.3.3d" xref="S3.E20.m1.3.4.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S3.E20.m1.3.3.3e" xref="S3.E20.m1.3.4.1.cmml"><mrow id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.5.cmml"><mrow id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.3.1" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml"><msub id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.cmml"><munder accentunder="true" id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.2" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.2.2" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.2.2.cmml">θ</mi><mo id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.2.1" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.2.1.cmml">¯</mo></munder><mi id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.3" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.3" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.3.cmml"><msup id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.3.2" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.3.2.2" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.3.2.2.cmml">V</mi><mrow id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.3.2.3" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.3.2.3.cmml"><mo id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.3.2.3a" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.3.2.3.cmml">−</mo><mn id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.3.2.3.2" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.3.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.3.1" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.3.3.2" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.3.3.2.1" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="false" id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mfrac id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.1a" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mn id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mo id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.1" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml">−</mo><mi id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">γ</mi></mrow><mn id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.3.3.2.2" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.3" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.5a.cmml">,</mo><mrow id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.2" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.3.cmml"><mrow id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1.1" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1.1.cmml"><msub id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1.1.2" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1.1.2.2" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1.1.2.2.2" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1.1.2.2.2.cmml">θ</mi><mo id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1.1.2.2.1" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1.1.2.2.1.cmml">¯</mo></mover><mi id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1.1.2.3" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1.1.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1.1.1" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1.1.3" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1.1.3.cmml"><msup id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1.1.3.2" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1.1.3.2.2" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1.1.3.2.2.cmml">W</mi><mrow id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1.1.3.2.3" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1.1.3.2.3.cmml"><mo id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1.1.3.2.3a" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1.1.3.2.3.cmml">−</mo><mn id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1.1.3.2.3.2" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1.1.3.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1.1.3.1" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1.1.3.3.2" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1.1.3.3.2.1" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="false" id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.2" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><mfrac id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.2a" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.2.2" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml"><mn id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.1" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.1.cmml">+</mo><mi id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.3" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.3.cmml">γ</mi></mrow><mn id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.2.3" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1.1.3.3.2.2" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.2.3" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.2.2" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.2.2.cmml"><mn id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.2.2.2" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.2.2.3" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.2.2.3.cmml">≤</mo><msubsup id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.2.2.4" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.2.2.4.cmml"><mi id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.2.2.4.2.2" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.2.2.4.2.2.cmml">n</mi><mi id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.2.2.4.3" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.2.2.4.3.cmml">k</mi><mo id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.2.2.4.2.3" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.2.2.4.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.2.2.5" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.2.2.5.cmml">≤</mo><mi id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.2.2.6" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.2.2.6.cmml">n</mi></mrow></mrow></mrow></mtd><mtd id="S3.E20.m1.3.3.3f" xref="S3.E20.m1.3.4.1.1.cmml"></mtd></mtr><mtr id="S3.E20.m1.3.3.3g" xref="S3.E20.m1.3.4.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S3.E20.m1.3.3.3h" xref="S3.E20.m1.3.4.1.cmml"><mrow id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.4.cmml"><mrow id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.2.1" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.cmml"><msub id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.cmml"><munder accentunder="true" id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.2" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.2.2" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.2.2.cmml">θ</mi><mo id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.2.1" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.2.1.cmml">¯</mo></munder><mi id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.3" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.3" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.3.cmml"><msup id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.3.2" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.3.2.2" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.3.2.2.cmml">V</mi><mrow id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.3.2.3" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.3.2.3.cmml"><mo id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.3.2.3a" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.3.2.3.cmml">−</mo><mn id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.3.2.3.2" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.3.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.3.1" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.3.3.2" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.3.3.2.1" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="false" id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.1" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.1.cmml"><mfrac id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.1a" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.1.2" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.1.2.cmml"><mn id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.1.2.2" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mo id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.1.2.1" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.1.2.1.cmml">−</mo><mi id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.1.2.3" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.1.2.3.cmml">γ</mi></mrow><mn id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.1.3" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.1.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.3.3.2.2" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.3" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.4a.cmml">,</mo><mrow id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.2" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.3.cmml"><mrow id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.1.1" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.1.1.cmml"><msub id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.1.1.2" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.1.1.2.2" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.1.1.2.2.2" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.1.1.2.2.2.cmml">θ</mi><mo id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.1.1.2.2.1" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.1.1.2.2.1.cmml">¯</mo></mover><mi id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.1.1.2.3" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.1.1.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.1.1.1" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.1.1.3" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.2.3" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.2.2" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.2.2.cmml"><msubsup id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.2.2.2" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.2.2.2.2.2" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.2.2.2.2.2.cmml">n</mi><mi id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.2.2.2.3" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.2.2.2.3.cmml">k</mi><mo id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.2.2.2.2.3" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.2.2.2.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.2.2.1" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.2.2.1.cmml">=</mo><mi id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.2.2.3" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.2.2.3.cmml">n</mi></mrow></mrow></mrow></mtd><mtd id="S3.E20.m1.3.3.3i" xref="S3.E20.m1.3.4.1.1.cmml"></mtd></mtr></mtable></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E20.m1.3b"><apply id="S3.E20.m1.3.4.1.cmml" xref="S3.E20.m1.3.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.E20.m1.3.4.1.1.cmml" xref="S3.E20.m1.3.3.4">cases</csymbol><apply id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" 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id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3a.cmml" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1"><eq id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1"></eq><apply id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.2.2"><ci id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.2.2.1">¯</ci><ci id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.2.2.2">𝜃</ci></apply><ci id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3.cmml" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3"><times id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3.1"></times><apply id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3.2.2">𝑊</ci><apply id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3.2.3"><minus id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3.2.3"></minus><cn id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3.2.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3.3.2"><divide id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3.3.2"></divide><apply id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"><plus id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></plus><cn id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">1</cn><ci id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝛾</ci></apply><cn id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2"><eq id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.1"></eq><apply id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2">𝑛</ci><times id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3"></times></apply><ci id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3">𝑘</ci></apply><cn id="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3">0</cn></apply></apply></apply><ci id="S3.E20.m1.3.4.1.3a.cmml" xref="S3.E20.m1.3.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.E20.m1.3.4.1.3.cmml" xref="S3.E20.m1.3.3.4">otherwise</mtext></ci><apply id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.5.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.5a.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.3.1"><eq id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1"></eq><apply id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.1.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2">subscript</csymbol><apply id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.2.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.2"><ci id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.2.1">¯</ci><ci id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.2.2">𝜃</ci></apply><ci id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.3.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.3.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.3"><times id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.3.1.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.3.1"></times><apply id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.3.2.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.3.2.2">𝑉</ci><apply id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.3.2.3"><minus id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.3.2.3"></minus><cn id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.3.2.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.3.3.2"><divide id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.3.3.2"></divide><apply id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.1.2"><minus id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.1"></minus><cn id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2">1</cn><ci id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3">𝛾</ci></apply><cn id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.3.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.3a.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1.1.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1.1"><eq id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1.1.1"></eq><apply id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1.1.2.2"><ci id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1.1.2.2.1">¯</ci><ci id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1.1.2.2.2">𝜃</ci></apply><ci id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1.1.3.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1.1.3"><times id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1.1.3.1"></times><apply id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1.1.3.2.2">𝑊</ci><apply id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1.1.3.2.3"><minus id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1.1.3.2.3"></minus><cn id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1.1.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1.1.3.2.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1.1.3.3.2"><divide id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1.1.3.3.2"></divide><apply id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.2.2"><plus id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.1"></plus><cn id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2">1</cn><ci id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.3">𝛾</ci></apply><cn id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.2.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.2.2.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.2.2"><and id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.2.2a.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.2.2"></and><apply id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.2.2b.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.2.2"><leq id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.2.2.3"></leq><cn id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.2.2.2">0</cn><apply id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.2.2.4.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.2.2.4.1.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.2.2.4">subscript</csymbol><apply id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.2.2.4.2.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.2.2.4.2.1.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.2.2.4">superscript</csymbol><ci id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.2.2.4.2.2.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.2.2.4.2.2">𝑛</ci><times id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.2.2.4.2.3.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.2.2.4.2.3"></times></apply><ci id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.2.2.4.3.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.2.2.4.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.2.2c.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.2.2"><leq id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.2.2.5.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.2.2.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.2.2.4.cmml" id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.2.2d.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.2.2"></share><ci id="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.2.2.6.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.2.2.6">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply><ci id="S3.E20.m1.3.4.1.5a.cmml" xref="S3.E20.m1.3.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.E20.m1.3.4.1.5.cmml" xref="S3.E20.m1.3.3.4">otherwise</mtext></ci><apply id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.4.cmml" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.4a.cmml" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.2.1"><eq id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.cmml" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1"></eq><apply id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.cmml" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2">subscript</csymbol><apply id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.2.cmml" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.2"><ci id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.2.1">¯</ci><ci id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.2.2">𝜃</ci></apply><ci id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.3.cmml" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.3.cmml" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.3"><times id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.3.1"></times><apply id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.3.2.cmml" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.3.2.2">𝑉</ci><apply id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.3.2.3"><minus id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.3.2.3"></minus><cn id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.3.2.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.3.3.2"><divide id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.3.3.2"></divide><apply id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.1.2"><minus id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.1.2.1"></minus><cn id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.1.2.2">1</cn><ci id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.1.2.3">𝛾</ci></apply><cn id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.3a.cmml" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.1.1"><eq id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.1.1.1"></eq><apply id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.1.1.2.2"><ci id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.1.1.2.2.1">¯</ci><ci id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.1.1.2.2.2">𝜃</ci></apply><ci id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><cn id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.2.2"><eq id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.2.2.1"></eq><apply id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.2.2.2.2.2">𝑛</ci><times id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.2.2.2.2.3"></times></apply><ci id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.2.2.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E20.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.2.2.3">𝑛</ci></apply></apply></apply><ci id="S3.E20.m1.3.4.1.7a.cmml" xref="S3.E20.m1.3.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.E20.m1.3.4.1.7.cmml" xref="S3.E20.m1.3.3.4">otherwise</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E20.m1.3c">\begin{cases}\underline{\theta}_{k}=0,\overline{\theta}_{k}=W^{-1}\left(\frac{% 1+\gamma}{2}\right),\hfill n^{*}_{k}=0\\ \underline{\theta}_{k}=V^{-1}\left(\frac{1-\gamma}{2}\right),\overline{\theta}% _{k}=W^{-1}\left(\frac{1+\gamma}{2}\right),\hfill 0\leq n^{*}_{k}\leq n\\ \underline{\theta}_{k}=V^{-1}\left(\frac{1-\gamma}{2}\right),\overline{\theta}% _{k}=1,\hfill n^{*}_{k}=n\end{cases}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E20.m1.3d">{ start_ROW start_CELL under¯ start_ARG italic_θ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT = 0 , over¯ start_ARG italic_θ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT = italic_W start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( divide start_ARG 1 + italic_γ end_ARG start_ARG 2 end_ARG ) , italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT = 0 end_CELL start_CELL end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL under¯ start_ARG italic_θ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT = italic_V start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( divide start_ARG 1 - italic_γ end_ARG start_ARG 2 end_ARG ) , over¯ start_ARG italic_θ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT = italic_W start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( divide start_ARG 1 + italic_γ end_ARG start_ARG 2 end_ARG ) , 0 ≤ italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ≤ italic_n end_CELL start_CELL end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL under¯ start_ARG italic_θ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT = italic_V start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( divide start_ARG 1 - italic_γ end_ARG start_ARG 2 end_ARG ) , over¯ start_ARG italic_θ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT = 1 , italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT = italic_n end_CELL start_CELL end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(20)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS4.p11.5">where <math alttext="\gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p11.1.m1.1"><semantics id="S3.SS4.p11.1.m1.1a"><mi id="S3.SS4.p11.1.m1.1.1" xref="S3.SS4.p11.1.m1.1.1.cmml">γ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p11.1.m1.1b"><ci id="S3.SS4.p11.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p11.1.m1.1.1">𝛾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p11.1.m1.1c">\gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p11.1.m1.1d">italic_γ</annotation></semantics></math> is the confidence index to estimate the probability interval. <math alttext="V(\cdot)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p11.2.m2.1"><semantics id="S3.SS4.p11.2.m2.1a"><mrow id="S3.SS4.p11.2.m2.1.2" xref="S3.SS4.p11.2.m2.1.2.cmml"><mi id="S3.SS4.p11.2.m2.1.2.2" xref="S3.SS4.p11.2.m2.1.2.2.cmml">V</mi><mo id="S3.SS4.p11.2.m2.1.2.1" xref="S3.SS4.p11.2.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS4.p11.2.m2.1.2.3.2" xref="S3.SS4.p11.2.m2.1.2.cmml"><mo id="S3.SS4.p11.2.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS4.p11.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mo id="S3.SS4.p11.2.m2.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.SS4.p11.2.m2.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S3.SS4.p11.2.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS4.p11.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p11.2.m2.1b"><apply id="S3.SS4.p11.2.m2.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p11.2.m2.1.2"><times id="S3.SS4.p11.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p11.2.m2.1.2.1"></times><ci id="S3.SS4.p11.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p11.2.m2.1.2.2">𝑉</ci><ci id="S3.SS4.p11.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p11.2.m2.1.1">⋅</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p11.2.m2.1c">V(\cdot)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p11.2.m2.1d">italic_V ( ⋅ )</annotation></semantics></math> and <math alttext="W(\cdot)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p11.3.m3.1"><semantics id="S3.SS4.p11.3.m3.1a"><mrow id="S3.SS4.p11.3.m3.1.2" xref="S3.SS4.p11.3.m3.1.2.cmml"><mi id="S3.SS4.p11.3.m3.1.2.2" xref="S3.SS4.p11.3.m3.1.2.2.cmml">W</mi><mo id="S3.SS4.p11.3.m3.1.2.1" xref="S3.SS4.p11.3.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS4.p11.3.m3.1.2.3.2" xref="S3.SS4.p11.3.m3.1.2.cmml"><mo id="S3.SS4.p11.3.m3.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS4.p11.3.m3.1.2.cmml">(</mo><mo id="S3.SS4.p11.3.m3.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.SS4.p11.3.m3.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S3.SS4.p11.3.m3.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS4.p11.3.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p11.3.m3.1b"><apply id="S3.SS4.p11.3.m3.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p11.3.m3.1.2"><times id="S3.SS4.p11.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p11.3.m3.1.2.1"></times><ci id="S3.SS4.p11.3.m3.1.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p11.3.m3.1.2.2">𝑊</ci><ci id="S3.SS4.p11.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p11.3.m3.1.1">⋅</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p11.3.m3.1c">W(\cdot)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p11.3.m3.1d">italic_W ( ⋅ )</annotation></semantics></math> are the CDFs of Beta distribution, i.e., <math alttext="\text{Beta}(n^{*}_{k},s+n-n^{*}_{k})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p11.4.m4.2"><semantics id="S3.SS4.p11.4.m4.2a"><mrow id="S3.SS4.p11.4.m4.2.2" xref="S3.SS4.p11.4.m4.2.2.cmml"><mtext id="S3.SS4.p11.4.m4.2.2.4" xref="S3.SS4.p11.4.m4.2.2.4a.cmml">Beta</mtext><mo id="S3.SS4.p11.4.m4.2.2.3" xref="S3.SS4.p11.4.m4.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS4.p11.4.m4.2.2.2.2" xref="S3.SS4.p11.4.m4.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.SS4.p11.4.m4.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS4.p11.4.m4.2.2.2.3.cmml">(</mo><msubsup id="S3.SS4.p11.4.m4.1.1.1.1.1" xref="S3.SS4.p11.4.m4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p11.4.m4.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.SS4.p11.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.cmml">n</mi><mi id="S3.SS4.p11.4.m4.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS4.p11.4.m4.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi><mo id="S3.SS4.p11.4.m4.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.SS4.p11.4.m4.1.1.1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S3.SS4.p11.4.m4.2.2.2.2.4" xref="S3.SS4.p11.4.m4.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S3.SS4.p11.4.m4.2.2.2.2.2" xref="S3.SS4.p11.4.m4.2.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.SS4.p11.4.m4.2.2.2.2.2.2" xref="S3.SS4.p11.4.m4.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS4.p11.4.m4.2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.SS4.p11.4.m4.2.2.2.2.2.2.2.cmml">s</mi><mo id="S3.SS4.p11.4.m4.2.2.2.2.2.2.1" xref="S3.SS4.p11.4.m4.2.2.2.2.2.2.1.cmml">+</mo><mi id="S3.SS4.p11.4.m4.2.2.2.2.2.2.3" xref="S3.SS4.p11.4.m4.2.2.2.2.2.2.3.cmml">n</mi></mrow><mo id="S3.SS4.p11.4.m4.2.2.2.2.2.1" xref="S3.SS4.p11.4.m4.2.2.2.2.2.1.cmml">−</mo><msubsup id="S3.SS4.p11.4.m4.2.2.2.2.2.3" xref="S3.SS4.p11.4.m4.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS4.p11.4.m4.2.2.2.2.2.3.2.2" xref="S3.SS4.p11.4.m4.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml">n</mi><mi id="S3.SS4.p11.4.m4.2.2.2.2.2.3.3" xref="S3.SS4.p11.4.m4.2.2.2.2.2.3.3.cmml">k</mi><mo id="S3.SS4.p11.4.m4.2.2.2.2.2.3.2.3" xref="S3.SS4.p11.4.m4.2.2.2.2.2.3.2.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow><mo id="S3.SS4.p11.4.m4.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.SS4.p11.4.m4.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p11.4.m4.2b"><apply id="S3.SS4.p11.4.m4.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p11.4.m4.2.2"><times id="S3.SS4.p11.4.m4.2.2.3.cmml" xref="S3.SS4.p11.4.m4.2.2.3"></times><ci id="S3.SS4.p11.4.m4.2.2.4a.cmml" xref="S3.SS4.p11.4.m4.2.2.4"><mtext id="S3.SS4.p11.4.m4.2.2.4.cmml" xref="S3.SS4.p11.4.m4.2.2.4">Beta</mtext></ci><interval closure="open" id="S3.SS4.p11.4.m4.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS4.p11.4.m4.2.2.2.2"><apply id="S3.SS4.p11.4.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p11.4.m4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p11.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p11.4.m4.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.SS4.p11.4.m4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p11.4.m4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p11.4.m4.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p11.4.m4.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p11.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p11.4.m4.1.1.1.1.1.2.2">𝑛</ci><times id="S3.SS4.p11.4.m4.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS4.p11.4.m4.1.1.1.1.1.2.3"></times></apply><ci id="S3.SS4.p11.4.m4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS4.p11.4.m4.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.SS4.p11.4.m4.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p11.4.m4.2.2.2.2.2"><minus id="S3.SS4.p11.4.m4.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p11.4.m4.2.2.2.2.2.1"></minus><apply id="S3.SS4.p11.4.m4.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p11.4.m4.2.2.2.2.2.2"><plus id="S3.SS4.p11.4.m4.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p11.4.m4.2.2.2.2.2.2.1"></plus><ci id="S3.SS4.p11.4.m4.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p11.4.m4.2.2.2.2.2.2.2">𝑠</ci><ci id="S3.SS4.p11.4.m4.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS4.p11.4.m4.2.2.2.2.2.2.3">𝑛</ci></apply><apply id="S3.SS4.p11.4.m4.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS4.p11.4.m4.2.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p11.4.m4.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS4.p11.4.m4.2.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><apply id="S3.SS4.p11.4.m4.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS4.p11.4.m4.2.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p11.4.m4.2.2.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p11.4.m4.2.2.2.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p11.4.m4.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p11.4.m4.2.2.2.2.2.3.2.2">𝑛</ci><times id="S3.SS4.p11.4.m4.2.2.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="S3.SS4.p11.4.m4.2.2.2.2.2.3.2.3"></times></apply><ci id="S3.SS4.p11.4.m4.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.SS4.p11.4.m4.2.2.2.2.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p11.4.m4.2c">\text{Beta}(n^{*}_{k},s+n-n^{*}_{k})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p11.4.m4.2d">Beta ( italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_s + italic_n - italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> and <math alttext="\text{Beta}(s+n^{*}_{k},n-n^{*}_{k})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p11.5.m5.2"><semantics id="S3.SS4.p11.5.m5.2a"><mrow id="S3.SS4.p11.5.m5.2.2" xref="S3.SS4.p11.5.m5.2.2.cmml"><mtext id="S3.SS4.p11.5.m5.2.2.4" xref="S3.SS4.p11.5.m5.2.2.4a.cmml">Beta</mtext><mo id="S3.SS4.p11.5.m5.2.2.3" xref="S3.SS4.p11.5.m5.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS4.p11.5.m5.2.2.2.2" xref="S3.SS4.p11.5.m5.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.SS4.p11.5.m5.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS4.p11.5.m5.2.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS4.p11.5.m5.1.1.1.1.1" xref="S3.SS4.p11.5.m5.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p11.5.m5.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS4.p11.5.m5.1.1.1.1.1.2.cmml">s</mi><mo id="S3.SS4.p11.5.m5.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS4.p11.5.m5.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msubsup id="S3.SS4.p11.5.m5.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS4.p11.5.m5.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS4.p11.5.m5.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.SS4.p11.5.m5.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">n</mi><mi id="S3.SS4.p11.5.m5.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.SS4.p11.5.m5.1.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi><mo id="S3.SS4.p11.5.m5.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.SS4.p11.5.m5.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow><mo id="S3.SS4.p11.5.m5.2.2.2.2.4" xref="S3.SS4.p11.5.m5.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S3.SS4.p11.5.m5.2.2.2.2.2" xref="S3.SS4.p11.5.m5.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS4.p11.5.m5.2.2.2.2.2.2" xref="S3.SS4.p11.5.m5.2.2.2.2.2.2.cmml">n</mi><mo id="S3.SS4.p11.5.m5.2.2.2.2.2.1" xref="S3.SS4.p11.5.m5.2.2.2.2.2.1.cmml">−</mo><msubsup id="S3.SS4.p11.5.m5.2.2.2.2.2.3" xref="S3.SS4.p11.5.m5.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS4.p11.5.m5.2.2.2.2.2.3.2.2" xref="S3.SS4.p11.5.m5.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml">n</mi><mi id="S3.SS4.p11.5.m5.2.2.2.2.2.3.3" xref="S3.SS4.p11.5.m5.2.2.2.2.2.3.3.cmml">k</mi><mo id="S3.SS4.p11.5.m5.2.2.2.2.2.3.2.3" xref="S3.SS4.p11.5.m5.2.2.2.2.2.3.2.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow><mo id="S3.SS4.p11.5.m5.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.SS4.p11.5.m5.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p11.5.m5.2b"><apply id="S3.SS4.p11.5.m5.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p11.5.m5.2.2"><times id="S3.SS4.p11.5.m5.2.2.3.cmml" xref="S3.SS4.p11.5.m5.2.2.3"></times><ci id="S3.SS4.p11.5.m5.2.2.4a.cmml" xref="S3.SS4.p11.5.m5.2.2.4"><mtext id="S3.SS4.p11.5.m5.2.2.4.cmml" xref="S3.SS4.p11.5.m5.2.2.4">Beta</mtext></ci><interval closure="open" id="S3.SS4.p11.5.m5.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS4.p11.5.m5.2.2.2.2"><apply id="S3.SS4.p11.5.m5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p11.5.m5.1.1.1.1.1"><plus id="S3.SS4.p11.5.m5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p11.5.m5.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S3.SS4.p11.5.m5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p11.5.m5.1.1.1.1.1.2">𝑠</ci><apply id="S3.SS4.p11.5.m5.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS4.p11.5.m5.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p11.5.m5.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS4.p11.5.m5.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S3.SS4.p11.5.m5.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS4.p11.5.m5.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p11.5.m5.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p11.5.m5.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p11.5.m5.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p11.5.m5.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑛</ci><times id="S3.SS4.p11.5.m5.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.SS4.p11.5.m5.1.1.1.1.1.3.2.3"></times></apply><ci id="S3.SS4.p11.5.m5.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS4.p11.5.m5.1.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.SS4.p11.5.m5.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p11.5.m5.2.2.2.2.2"><minus id="S3.SS4.p11.5.m5.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p11.5.m5.2.2.2.2.2.1"></minus><ci id="S3.SS4.p11.5.m5.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p11.5.m5.2.2.2.2.2.2">𝑛</ci><apply id="S3.SS4.p11.5.m5.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS4.p11.5.m5.2.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p11.5.m5.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS4.p11.5.m5.2.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><apply id="S3.SS4.p11.5.m5.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS4.p11.5.m5.2.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p11.5.m5.2.2.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p11.5.m5.2.2.2.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p11.5.m5.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p11.5.m5.2.2.2.2.2.3.2.2">𝑛</ci><times id="S3.SS4.p11.5.m5.2.2.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="S3.SS4.p11.5.m5.2.2.2.2.2.3.2.3"></times></apply><ci id="S3.SS4.p11.5.m5.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.SS4.p11.5.m5.2.2.2.2.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p11.5.m5.2c">\text{Beta}(s+n^{*}_{k},n-n^{*}_{k})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p11.5.m5.2d">Beta ( italic_s + italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_n - italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>, respectively.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS4.p12"> <p class="ltx_p" id="S3.SS4.p12.1">To make the CDFs smoother due to the limited sample points in <math alttext="\mathcal{D}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p12.1.m1.1"><semantics id="S3.SS4.p12.1.m1.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS4.p12.1.m1.1.1" xref="S3.SS4.p12.1.m1.1.1.cmml">𝒟</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p12.1.m1.1b"><ci id="S3.SS4.p12.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p12.1.m1.1.1">𝒟</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p12.1.m1.1c">\mathcal{D}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p12.1.m1.1d">caligraphic_D</annotation></semantics></math>, a simple interpolation method is applied to obtain the probability intervals at non-sample points <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#bib.bib9" title="">9</a>]</cite>. The interval-valued probability at non-sample points can be expressed as:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E21"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\begin{cases}\underline{\Pr}(\xi\leq\xi_{\kappa})=\underline{\theta}_{k},% \hfill\kappa\in[k,k+1)\\ \overline{\Pr}(\xi\leq\xi_{\kappa})=\overline{\theta}_{k+1},\hfill\kappa\in(k,% k+1]\end{cases}" class="ltx_Math" display="block" id="S3.E21.m1.2"><semantics id="S3.E21.m1.2a"><mrow id="S3.E21.m1.2.2" xref="S3.E21.m1.2.3.1.cmml"><mo id="S3.E21.m1.2.2.3" xref="S3.E21.m1.2.3.1.1.cmml">{</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S3.E21.m1.2.2.2" rowspacing="0pt" xref="S3.E21.m1.2.3.1.cmml"><mtr id="S3.E21.m1.2.2.2a" xref="S3.E21.m1.2.3.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S3.E21.m1.2.2.2b" xref="S3.E21.m1.2.3.1.cmml"><mrow id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mrow id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"><mrow id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><munder accentunder="true" id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml">Pr</mi><mo id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.1" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.1.cmml">¯</mo></munder><mo id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml">ξ</mi><mo id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml">≤</mo><msub id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">ξ</mi><mi id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml">κ</mi></msub></mrow><mo id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml">=</mo><msub id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.cmml"><munder accentunder="true" id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.2" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.2.2" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.2.2.cmml">θ</mi><mo id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.2.1" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.2.1.cmml">¯</mo></munder><mi id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.3" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.4a.cmml">,</mo><mrow id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">κ</mi><mo id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">∈</mo><mrow id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.2.cmml"><mo id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.2.cmml">[</mo><mi id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mtd><mtd id="S3.E21.m1.2.2.2c" xref="S3.E21.m1.2.3.1.1.cmml"></mtd></mtr><mtr id="S3.E21.m1.2.2.2d" xref="S3.E21.m1.2.3.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S3.E21.m1.2.2.2e" xref="S3.E21.m1.2.3.1.cmml"><mrow id="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.4.cmml"><mrow id="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1" xref="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml"><mrow id="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1" xref="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.3" xref="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.3.2" xref="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.3.2.cmml">Pr</mi><mo id="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.3.1" xref="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.3.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.2" xref="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1" xref="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml">ξ</mi><mo id="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml">≤</mo><msub id="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">ξ</mi><mi id="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml">κ</mi></msub></mrow><mo id="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.2" xref="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.2.cmml">=</mo><msub id="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.3" xref="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.3.2" xref="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.3.2.2" xref="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.3.2.2.cmml">θ</mi><mo id="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.3.2.1" xref="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mrow id="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.3.3" xref="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.3.3.2" xref="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.3.3.1" xref="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.3.3.3" xref="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow><mo id="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.3.3" xref="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.4a.cmml">,</mo><mrow id="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.3" xref="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml">κ</mi><mo id="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.2" xref="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml">∈</mo><mrow id="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.1.1" xref="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.1.2.cmml"><mo id="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.1.1.3" xref="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.1.1.1" xref="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.1.1.1.2" xref="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.1.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1" xref="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3" xref="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.1.2.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow></mtd><mtd id="S3.E21.m1.2.2.2f" xref="S3.E21.m1.2.3.1.1.cmml"></mtd></mtr></mtable></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E21.m1.2b"><apply id="S3.E21.m1.2.3.1.cmml" xref="S3.E21.m1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.E21.m1.2.3.1.1.cmml" xref="S3.E21.m1.2.2.3">cases</csymbol><apply id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.4a.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1"><eq id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2"></eq><apply id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"><times id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2"></times><apply id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3"><ci id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.1">¯</ci><ci id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2">Pr</ci></apply><apply id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1"><leq id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1"></leq><ci id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2">𝜉</ci><apply id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2">𝜉</ci><ci id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3">𝜅</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3">subscript</csymbol><apply id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.2.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.2"><ci id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.2.1">¯</ci><ci id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.2.2">𝜃</ci></apply><ci id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.3.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.3.2"><in id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2"></in><ci id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝜅</ci><interval closure="closed-open" id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.2.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1"><ci id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1">𝑘</ci><apply id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1"><plus id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1"></plus><ci id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2">𝑘</ci><cn id="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E21.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3">1</cn></apply></interval></apply></apply><ci id="S3.E21.m1.2.3.1.3a.cmml" xref="S3.E21.m1.2.2"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.E21.m1.2.3.1.3.cmml" xref="S3.E21.m1.2.2.3">otherwise</mtext></ci><apply id="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.4.cmml" xref="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.4a.cmml" xref="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.3.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1"><eq id="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.2.cmml" xref="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.2"></eq><apply id="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.cmml" xref="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1"><times id="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.2"></times><apply id="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.3"><ci id="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.3.1">¯</ci><ci id="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.3.2">Pr</ci></apply><apply id="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1"><leq id="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1"></leq><ci id="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2">𝜉</ci><apply id="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2">𝜉</ci><ci id="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3">𝜅</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.3.cmml" xref="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.3">subscript</csymbol><apply id="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.3.2.cmml" xref="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.3.2"><ci id="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.3.2.1">¯</ci><ci id="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.3.2.2">𝜃</ci></apply><apply id="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.3.3.cmml" xref="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.3.3"><plus id="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.3.3.1"></plus><ci id="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.3.3.2">𝑘</ci><cn id="S3.E21.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.3.3.3.cmml" type="integer" 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class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.E21.m1.2.3.1.5.cmml" xref="S3.E21.m1.2.2.3">otherwise</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E21.m1.2c">\begin{cases}\underline{\Pr}(\xi\leq\xi_{\kappa})=\underline{\theta}_{k},% \hfill\kappa\in[k,k+1)\\ \overline{\Pr}(\xi\leq\xi_{\kappa})=\overline{\theta}_{k+1},\hfill\kappa\in(k,% k+1]\end{cases}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E21.m1.2d">{ start_ROW start_CELL under¯ start_ARG roman_Pr end_ARG ( italic_ξ ≤ italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT italic_κ end_POSTSUBSCRIPT ) = under¯ start_ARG italic_θ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_κ ∈ [ italic_k , italic_k + 1 ) end_CELL start_CELL end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL over¯ start_ARG roman_Pr end_ARG ( italic_ξ ≤ italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT italic_κ end_POSTSUBSCRIPT ) = over¯ start_ARG italic_θ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_κ ∈ ( italic_k , italic_k + 1 ] end_CELL start_CELL end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(21)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS4.p12.4">where <math alttext="\kappa" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p12.2.m1.1"><semantics id="S3.SS4.p12.2.m1.1a"><mi id="S3.SS4.p12.2.m1.1.1" xref="S3.SS4.p12.2.m1.1.1.cmml">κ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p12.2.m1.1b"><ci id="S3.SS4.p12.2.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p12.2.m1.1.1">𝜅</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p12.2.m1.1c">\kappa</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p12.2.m1.1d">italic_κ</annotation></semantics></math> indicates the non-sample points between two sample points <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p12.3.m2.1"><semantics id="S3.SS4.p12.3.m2.1a"><mi id="S3.SS4.p12.3.m2.1.1" xref="S3.SS4.p12.3.m2.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p12.3.m2.1b"><ci id="S3.SS4.p12.3.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p12.3.m2.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p12.3.m2.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p12.3.m2.1d">italic_k</annotation></semantics></math> and <math alttext="k+1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p12.4.m3.1"><semantics id="S3.SS4.p12.4.m3.1a"><mrow id="S3.SS4.p12.4.m3.1.1" xref="S3.SS4.p12.4.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p12.4.m3.1.1.2" xref="S3.SS4.p12.4.m3.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="S3.SS4.p12.4.m3.1.1.1" xref="S3.SS4.p12.4.m3.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S3.SS4.p12.4.m3.1.1.3" xref="S3.SS4.p12.4.m3.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p12.4.m3.1b"><apply id="S3.SS4.p12.4.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p12.4.m3.1.1"><plus id="S3.SS4.p12.4.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p12.4.m3.1.1.1"></plus><ci id="S3.SS4.p12.4.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p12.4.m3.1.1.2">𝑘</ci><cn id="S3.SS4.p12.4.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS4.p12.4.m3.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p12.4.m3.1c">k+1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p12.4.m3.1d">italic_k + 1</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS4.p13"> <p class="ltx_p" id="S3.SS4.p13.1">Finally, the ambiguity set is constructed by connecting the upper and lower bounds of these probability intervals, which can be constructed as:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E22"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathcal{A}=\{F_{\xi}\mid F_{\xi}(x)\in[\underline{\Pr}({\xi}\leq x),\overline% {\Pr}({\xi}\leq x)]\}\vspace{-1em}" class="ltx_Math" display="block" id="S3.E22.m1.3"><semantics id="S3.E22.m1.3a"><mrow id="S3.E22.m1.3.3" xref="S3.E22.m1.3.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E22.m1.3.3.4" xref="S3.E22.m1.3.3.4.cmml">𝒜</mi><mo id="S3.E22.m1.3.3.3" xref="S3.E22.m1.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.E22.m1.3.3.2.2" xref="S3.E22.m1.3.3.2.3.cmml"><mo id="S3.E22.m1.3.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.E22.m1.3.3.2.3.1.cmml">{</mo><msub id="S3.E22.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.E22.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E22.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S3.E22.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">F</mi><mi id="S3.E22.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.E22.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">ξ</mi></msub><mo fence="true" id="S3.E22.m1.3.3.2.2.4" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.E22.m1.3.3.2.3.1.cmml">∣</mo><mrow id="S3.E22.m1.3.3.2.2.2" xref="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.4" xref="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.4.cmml"><msub id="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.4.2" xref="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.4.2.cmml"><mi id="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.4.2.2" xref="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.4.2.2.cmml">F</mi><mi id="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.4.2.3" xref="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.4.2.3.cmml">ξ</mi></msub><mo id="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.4.1" xref="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.4.3.2" xref="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.4.cmml"><mo id="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.4.cmml">(</mo><mi id="S3.E22.m1.1.1" xref="S3.E22.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.3" xref="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.3.cmml">∈</mo><mrow id="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.2.2" xref="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.2.3.cmml">[</mo><mrow id="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.1.1.1" xref="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.1.1.1.cmml"><munder accentunder="true" id="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.1.1.1.3" xref="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">Pr</mi><mo id="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.1.1.1.3.1" xref="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml">¯</mo></munder><mo id="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.1.1.1.2" xref="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ξ</mi><mo id="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">x</mi></mrow><mo id="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.2.2.4" xref="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.2.2.2" xref="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.3" xref="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">Pr</mi><mo id="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.3.1" xref="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.1.1" xref="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.1.1.1" xref="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">ξ</mi><mo id="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">x</mi></mrow><mo id="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.2.3.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E22.m1.3.3.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.E22.m1.3.3.2.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E22.m1.3b"><apply id="S3.E22.m1.3.3.cmml" xref="S3.E22.m1.3.3"><eq id="S3.E22.m1.3.3.3.cmml" xref="S3.E22.m1.3.3.3"></eq><ci id="S3.E22.m1.3.3.4.cmml" xref="S3.E22.m1.3.3.4">𝒜</ci><apply id="S3.E22.m1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.E22.m1.3.3.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.E22.m1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S3.E22.m1.3.3.2.2.3">conditional-set</csymbol><apply id="S3.E22.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E22.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E22.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E22.m1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E22.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E22.m1.2.2.1.1.1.2">𝐹</ci><ci id="S3.E22.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E22.m1.2.2.1.1.1.3">𝜉</ci></apply><apply id="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E22.m1.3.3.2.2.2"><in id="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.3"></in><apply id="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.4.cmml" xref="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.4"><times id="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.4.1.cmml" xref="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.4.1"></times><apply id="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.4.2.cmml" xref="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.4.2.1.cmml" xref="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.4.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.4.2.2.cmml" xref="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.4.2.2">𝐹</ci><ci id="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.4.2.3.cmml" xref="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.4.2.3">𝜉</ci></apply><ci id="S3.E22.m1.1.1.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1">𝑥</ci></apply><interval closure="closed" id="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.2.2"><apply id="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.1.1.1"><times id="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.1.1.1.3"><ci id="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.1.1.1.3.1">¯</ci><ci id="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.1.1.1.3.2">Pr</ci></apply><apply id="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.1.1.1.1.1"><leq id="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></leq><ci id="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2">𝜉</ci><ci id="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3">𝑥</ci></apply></apply><apply id="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.2.2.2"><times id="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.2"></times><apply id="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.3"><ci id="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.3.1">¯</ci><ci id="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.3.2">Pr</ci></apply><apply id="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.1.1"><leq id="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1"></leq><ci id="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2">𝜉</ci><ci id="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E22.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3">𝑥</ci></apply></apply></interval></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E22.m1.3c">\mathcal{A}=\{F_{\xi}\mid F_{\xi}(x)\in[\underline{\Pr}({\xi}\leq x),\overline% {\Pr}({\xi}\leq x)]\}\vspace{-1em}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E22.m1.3d">caligraphic_A = { italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_ξ end_POSTSUBSCRIPT ∣ italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_ξ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x ) ∈ [ under¯ start_ARG roman_Pr end_ARG ( italic_ξ ≤ italic_x ) , over¯ start_ARG roman_Pr end_ARG ( italic_ξ ≤ italic_x ) ] }</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(22)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S3.SS5"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection"><span class="ltx_text" id="S3.SS5.4.1.1">III-E</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.SS5.5.2">Selection of the Worst-case Distribution</span> </h3> <div class="ltx_para" id="S3.SS5.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS5.p1.2">After calculating the accumulative counts of different values of solar power <math alttext="p^{PV}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS5.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS5.p1.1.m1.1a"><msup id="S3.SS5.p1.1.m1.1.1" xref="S3.SS5.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS5.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS5.p1.1.m1.1.1.2.cmml">p</mi><mrow id="S3.SS5.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS5.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS5.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="S3.SS5.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml">P</mi><mo id="S3.SS5.p1.1.m1.1.1.3.1" xref="S3.SS5.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS5.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="S3.SS5.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml">V</mi></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS5.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.SS5.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS5.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS5.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS5.p1.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS5.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS5.p1.1.m1.1.1.2">𝑝</ci><apply id="S3.SS5.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS5.p1.1.m1.1.1.3"><times id="S3.SS5.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS5.p1.1.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.SS5.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS5.p1.1.m1.1.1.3.2">𝑃</ci><ci id="S3.SS5.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS5.p1.1.m1.1.1.3.3">𝑉</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS5.p1.1.m1.1c">p^{PV}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS5.p1.1.m1.1d">italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_P italic_V end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, for example, (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S3.E20" title="In III-D Construction of the Ambiguity Set ‣ III Confidence Level-Based Distributionally Information Gap decision Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">20</span></a>) and (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S3.E21" title="In III-D Construction of the Ambiguity Set ‣ III Confidence Level-Based Distributionally Information Gap decision Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">21</span></a>) can be used to calculate the interval-valued cumulative probability and then construct the ambiguity set <math alttext="\mathcal{A}_{PV}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS5.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.SS5.p1.2.m2.1a"><msub id="S3.SS5.p1.2.m2.1.1" xref="S3.SS5.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS5.p1.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS5.p1.2.m2.1.1.2.cmml">𝒜</mi><mrow id="S3.SS5.p1.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS5.p1.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS5.p1.2.m2.1.1.3.2" xref="S3.SS5.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml">P</mi><mo id="S3.SS5.p1.2.m2.1.1.3.1" xref="S3.SS5.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS5.p1.2.m2.1.1.3.3" xref="S3.SS5.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml">V</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS5.p1.2.m2.1b"><apply id="S3.SS5.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS5.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS5.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS5.p1.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS5.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS5.p1.2.m2.1.1.2">𝒜</ci><apply id="S3.SS5.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS5.p1.2.m2.1.1.3"><times id="S3.SS5.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS5.p1.2.m2.1.1.3.1"></times><ci id="S3.SS5.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS5.p1.2.m2.1.1.3.2">𝑃</ci><ci id="S3.SS5.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS5.p1.2.m2.1.1.3.3">𝑉</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS5.p1.2.m2.1c">\mathcal{A}_{PV}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS5.p1.2.m2.1d">caligraphic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_P italic_V end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, as depicted in Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S3.F2" title="Figure 2 ‣ III-E Selection of the Worst-case Distribution ‣ III Confidence Level-Based Distributionally Information Gap decision Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S3.F2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="191" id="S3.F2.g1" src="x4.png" width="249"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure 2: </span>Ambiguity set of solar power. Given <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F2.2.m1.1"><semantics id="S3.F2.2.m1.1b"><mi id="S3.F2.2.m1.1.1" xref="S3.F2.2.m1.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F2.2.m1.1c"><ci id="S3.F2.2.m1.1.1.cmml" xref="S3.F2.2.m1.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F2.2.m1.1d">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F2.2.m1.1e">italic_α</annotation></semantics></math>, the optimal uncertainty set over the worst-case distribution (illustrated with purple dots) is the longest compared to those derived from alternative distributions (represented by black dots). This suggests that alternative distributions are not the worst-case distribution which necessitates consideration of a wider fluctuation range, resulting in higher operational costs.</figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="S3.SS5.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.SS5.p2.1">When actual solar power disturbances remain within the safe region obtained by IGDT method, the total operational cost is constrained within the preset budget while ensuring network security. Conversely, disturbances that extend beyond this region into the risk area may require additional actions to address unexpected conditions, or even potentially compromise the network security.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS5.p3"> <p class="ltx_p" id="S3.SS5.p3.1">To quantify the associated operational risk, the indicator CVaR is utilized <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#bib.bib9" title="">9</a>]</cite>. It is assumed that the upside risk is caused by excessive solar power, whereas the downside risk is due to insufficient solar power.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS5.p4"> <p class="ltx_p" id="S3.SS5.p4.1">The downside risk <math alttext="(\underline{\phi}^{PV})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS5.p4.1.m1.1"><semantics id="S3.SS5.p4.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS5.p4.1.m1.1.1.1" xref="S3.SS5.p4.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS5.p4.1.m1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS5.p4.1.m1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.SS5.p4.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.SS5.p4.1.m1.1.1.1.1.cmml"><munder accentunder="true" id="S3.SS5.p4.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS5.p4.1.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS5.p4.1.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.SS5.p4.1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S3.SS5.p4.1.m1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.SS5.p4.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">¯</mo></munder><mrow id="S3.SS5.p4.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS5.p4.1.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS5.p4.1.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS5.p4.1.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">P</mi><mo id="S3.SS5.p4.1.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.SS5.p4.1.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS5.p4.1.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.SS5.p4.1.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">V</mi></mrow></msup><mo id="S3.SS5.p4.1.m1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS5.p4.1.m1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS5.p4.1.m1.1b"><apply id="S3.SS5.p4.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS5.p4.1.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS5.p4.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS5.p4.1.m1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.SS5.p4.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS5.p4.1.m1.1.1.1.1.2"><ci id="S3.SS5.p4.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS5.p4.1.m1.1.1.1.1.2.1">¯</ci><ci id="S3.SS5.p4.1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS5.p4.1.m1.1.1.1.1.2.2">italic-ϕ</ci></apply><apply id="S3.SS5.p4.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS5.p4.1.m1.1.1.1.1.3"><times id="S3.SS5.p4.1.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS5.p4.1.m1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.SS5.p4.1.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS5.p4.1.m1.1.1.1.1.3.2">𝑃</ci><ci id="S3.SS5.p4.1.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS5.p4.1.m1.1.1.1.1.3.3">𝑉</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS5.p4.1.m1.1c">(\underline{\phi}^{PV})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS5.p4.1.m1.1d">( under¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT italic_P italic_V end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> is quantified as follows:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E23"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\begin{split}\underline{\phi}^{PV}&=\int_{0}^{\underline{p}^{PV}}(\underline{p% }^{PV}-x)f_{p^{PV}}(x)\,dx\\ &=\int_{0}^{\underline{p}^{PV}}F_{p^{PV}}(x)\,dx\end{split}" class="ltx_Math" display="block" id="S3.E23.m1.32"><semantics id="S3.E23.m1.32a"><mtable columnspacing="0pt" displaystyle="true" id="S3.E23.m1.32.32.2" rowspacing="0.0pt" xref="S3.E23.m1.31.31.1.cmml"><mtr id="S3.E23.m1.32.32.2a" xref="S3.E23.m1.31.31.1.cmml"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S3.E23.m1.32.32.2b" xref="S3.E23.m1.31.31.1.cmml"><msup id="S3.E23.m1.2.2.2.2.2" xref="S3.E23.m1.31.31.1.cmml"><munder accentunder="true" id="S3.E23.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E23.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E23.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E23.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S3.E23.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E23.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">¯</mo></munder><mrow id="S3.E23.m1.2.2.2.2.2.2.1" xref="S3.E23.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S3.E23.m1.2.2.2.2.2.2.1.2" xref="S3.E23.m1.2.2.2.2.2.2.1.2.cmml">P</mi><mo id="S3.E23.m1.2.2.2.2.2.2.1.1" xref="S3.E23.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E23.m1.2.2.2.2.2.2.1.3" xref="S3.E23.m1.2.2.2.2.2.2.1.3.cmml">V</mi></mrow></msup></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S3.E23.m1.32.32.2c" xref="S3.E23.m1.31.31.1.cmml"><mrow id="S3.E23.m1.32.32.2.31.20.18" xref="S3.E23.m1.31.31.1.cmml"><mi id="S3.E23.m1.32.32.2.31.20.18.19" xref="S3.E23.m1.31.31.1a.cmml"></mi><mo id="S3.E23.m1.3.3.3.3.1.1" rspace="0.111em" xref="S3.E23.m1.3.3.3.3.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.E23.m1.32.32.2.31.20.18.18" xref="S3.E23.m1.31.31.1.cmml"><msubsup id="S3.E23.m1.32.32.2.31.20.18.18.2" xref="S3.E23.m1.31.31.1.cmml"><mo id="S3.E23.m1.4.4.4.4.2.2" rspace="0em" xref="S3.E23.m1.4.4.4.4.2.2.cmml">∫</mo><mn id="S3.E23.m1.5.5.5.5.3.3.1" xref="S3.E23.m1.5.5.5.5.3.3.1.cmml">0</mn><msup id="S3.E23.m1.6.6.6.6.4.4.1" xref="S3.E23.m1.6.6.6.6.4.4.1.cmml"><munder accentunder="true" id="S3.E23.m1.6.6.6.6.4.4.1.2" xref="S3.E23.m1.6.6.6.6.4.4.1.2.cmml"><mi id="S3.E23.m1.6.6.6.6.4.4.1.2.2" xref="S3.E23.m1.6.6.6.6.4.4.1.2.2.cmml">p</mi><mo id="S3.E23.m1.6.6.6.6.4.4.1.2.1" xref="S3.E23.m1.6.6.6.6.4.4.1.2.1.cmml">¯</mo></munder><mrow id="S3.E23.m1.6.6.6.6.4.4.1.3" xref="S3.E23.m1.6.6.6.6.4.4.1.3.cmml"><mi id="S3.E23.m1.6.6.6.6.4.4.1.3.2" xref="S3.E23.m1.6.6.6.6.4.4.1.3.2.cmml">P</mi><mo id="S3.E23.m1.6.6.6.6.4.4.1.3.1" xref="S3.E23.m1.6.6.6.6.4.4.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E23.m1.6.6.6.6.4.4.1.3.3" xref="S3.E23.m1.6.6.6.6.4.4.1.3.3.cmml">V</mi></mrow></msup></msubsup><mrow id="S3.E23.m1.32.32.2.31.20.18.18.1" xref="S3.E23.m1.31.31.1.cmml"><mrow id="S3.E23.m1.32.32.2.31.20.18.18.1.1.1" xref="S3.E23.m1.31.31.1.cmml"><mo id="S3.E23.m1.7.7.7.7.5.5" stretchy="false" xref="S3.E23.m1.31.31.1a.cmml">(</mo><mrow id="S3.E23.m1.32.32.2.31.20.18.18.1.1.1.1" xref="S3.E23.m1.31.31.1.cmml"><msup id="S3.E23.m1.32.32.2.31.20.18.18.1.1.1.1.1" xref="S3.E23.m1.31.31.1.cmml"><munder accentunder="true" id="S3.E23.m1.8.8.8.8.6.6" xref="S3.E23.m1.8.8.8.8.6.6.cmml"><mi id="S3.E23.m1.8.8.8.8.6.6.2" xref="S3.E23.m1.8.8.8.8.6.6.2.cmml">p</mi><mo id="S3.E23.m1.8.8.8.8.6.6.1" xref="S3.E23.m1.8.8.8.8.6.6.1.cmml">¯</mo></munder><mrow id="S3.E23.m1.9.9.9.9.7.7.1" xref="S3.E23.m1.9.9.9.9.7.7.1.cmml"><mi id="S3.E23.m1.9.9.9.9.7.7.1.2" xref="S3.E23.m1.9.9.9.9.7.7.1.2.cmml">P</mi><mo id="S3.E23.m1.9.9.9.9.7.7.1.1" xref="S3.E23.m1.9.9.9.9.7.7.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E23.m1.9.9.9.9.7.7.1.3" xref="S3.E23.m1.9.9.9.9.7.7.1.3.cmml">V</mi></mrow></msup><mo id="S3.E23.m1.10.10.10.10.8.8" xref="S3.E23.m1.10.10.10.10.8.8.cmml">−</mo><mi id="S3.E23.m1.11.11.11.11.9.9" xref="S3.E23.m1.11.11.11.11.9.9.cmml">x</mi></mrow><mo id="S3.E23.m1.12.12.12.12.10.10" stretchy="false" xref="S3.E23.m1.31.31.1a.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E23.m1.32.32.2.31.20.18.18.1.2" xref="S3.E23.m1.31.31.1a.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E23.m1.32.32.2.31.20.18.18.1.3" xref="S3.E23.m1.31.31.1.cmml"><mi id="S3.E23.m1.13.13.13.13.11.11" xref="S3.E23.m1.13.13.13.13.11.11.cmml">f</mi><msup id="S3.E23.m1.14.14.14.14.12.12.1" xref="S3.E23.m1.14.14.14.14.12.12.1.cmml"><mi id="S3.E23.m1.14.14.14.14.12.12.1.2" xref="S3.E23.m1.14.14.14.14.12.12.1.2.cmml">p</mi><mrow id="S3.E23.m1.14.14.14.14.12.12.1.3" xref="S3.E23.m1.14.14.14.14.12.12.1.3.cmml"><mi id="S3.E23.m1.14.14.14.14.12.12.1.3.2" xref="S3.E23.m1.14.14.14.14.12.12.1.3.2.cmml">P</mi><mo id="S3.E23.m1.14.14.14.14.12.12.1.3.1" xref="S3.E23.m1.14.14.14.14.12.12.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E23.m1.14.14.14.14.12.12.1.3.3" xref="S3.E23.m1.14.14.14.14.12.12.1.3.3.cmml">V</mi></mrow></msup></msub><mo id="S3.E23.m1.32.32.2.31.20.18.18.1.2a" xref="S3.E23.m1.31.31.1a.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E23.m1.32.32.2.31.20.18.18.1.4" xref="S3.E23.m1.31.31.1.cmml"><mo id="S3.E23.m1.15.15.15.15.13.13" stretchy="false" xref="S3.E23.m1.31.31.1a.cmml">(</mo><mi id="S3.E23.m1.16.16.16.16.14.14" xref="S3.E23.m1.16.16.16.16.14.14.cmml">x</mi><mo id="S3.E23.m1.17.17.17.17.15.15" stretchy="false" xref="S3.E23.m1.31.31.1a.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E23.m1.32.32.2.31.20.18.18.1.2b" lspace="0.170em" xref="S3.E23.m1.31.31.1a.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E23.m1.32.32.2.31.20.18.18.1.5" xref="S3.E23.m1.31.31.1.cmml"><mo id="S3.E23.m1.18.18.18.18.16.16" rspace="0em" xref="S3.E23.m1.18.18.18.18.16.16.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.E23.m1.19.19.19.19.17.17" xref="S3.E23.m1.19.19.19.19.17.17.cmml">x</mi></mrow></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S3.E23.m1.32.32.2d" xref="S3.E23.m1.31.31.1.cmml"><mtd id="S3.E23.m1.32.32.2e" xref="S3.E23.m1.31.31.1a.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S3.E23.m1.32.32.2f" xref="S3.E23.m1.31.31.1.cmml"><mrow id="S3.E23.m1.30.30.30.11.11" xref="S3.E23.m1.31.31.1.cmml"><mi id="S3.E23.m1.30.30.30.11.11.12" xref="S3.E23.m1.31.31.1a.cmml"></mi><mo id="S3.E23.m1.20.20.20.1.1.1" rspace="0.111em" xref="S3.E23.m1.20.20.20.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.E23.m1.30.30.30.11.11.13" xref="S3.E23.m1.31.31.1.cmml"><msubsup id="S3.E23.m1.30.30.30.11.11.13.1" xref="S3.E23.m1.31.31.1.cmml"><mo id="S3.E23.m1.21.21.21.2.2.2" xref="S3.E23.m1.21.21.21.2.2.2.cmml">∫</mo><mn id="S3.E23.m1.22.22.22.3.3.3.1" xref="S3.E23.m1.22.22.22.3.3.3.1.cmml">0</mn><msup id="S3.E23.m1.23.23.23.4.4.4.1" xref="S3.E23.m1.23.23.23.4.4.4.1.cmml"><munder accentunder="true" id="S3.E23.m1.23.23.23.4.4.4.1.2" xref="S3.E23.m1.23.23.23.4.4.4.1.2.cmml"><mi id="S3.E23.m1.23.23.23.4.4.4.1.2.2" xref="S3.E23.m1.23.23.23.4.4.4.1.2.2.cmml">p</mi><mo id="S3.E23.m1.23.23.23.4.4.4.1.2.1" xref="S3.E23.m1.23.23.23.4.4.4.1.2.1.cmml">¯</mo></munder><mrow id="S3.E23.m1.23.23.23.4.4.4.1.3" xref="S3.E23.m1.23.23.23.4.4.4.1.3.cmml"><mi id="S3.E23.m1.23.23.23.4.4.4.1.3.2" xref="S3.E23.m1.23.23.23.4.4.4.1.3.2.cmml">P</mi><mo id="S3.E23.m1.23.23.23.4.4.4.1.3.1" xref="S3.E23.m1.23.23.23.4.4.4.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E23.m1.23.23.23.4.4.4.1.3.3" xref="S3.E23.m1.23.23.23.4.4.4.1.3.3.cmml">V</mi></mrow></msup></msubsup><mrow id="S3.E23.m1.30.30.30.11.11.13.2" xref="S3.E23.m1.31.31.1.cmml"><msub id="S3.E23.m1.30.30.30.11.11.13.2.2" xref="S3.E23.m1.31.31.1.cmml"><mi id="S3.E23.m1.24.24.24.5.5.5" xref="S3.E23.m1.24.24.24.5.5.5.cmml">F</mi><msup id="S3.E23.m1.25.25.25.6.6.6.1" xref="S3.E23.m1.25.25.25.6.6.6.1.cmml"><mi id="S3.E23.m1.25.25.25.6.6.6.1.2" xref="S3.E23.m1.25.25.25.6.6.6.1.2.cmml">p</mi><mrow id="S3.E23.m1.25.25.25.6.6.6.1.3" xref="S3.E23.m1.25.25.25.6.6.6.1.3.cmml"><mi id="S3.E23.m1.25.25.25.6.6.6.1.3.2" xref="S3.E23.m1.25.25.25.6.6.6.1.3.2.cmml">P</mi><mo id="S3.E23.m1.25.25.25.6.6.6.1.3.1" xref="S3.E23.m1.25.25.25.6.6.6.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E23.m1.25.25.25.6.6.6.1.3.3" xref="S3.E23.m1.25.25.25.6.6.6.1.3.3.cmml">V</mi></mrow></msup></msub><mo id="S3.E23.m1.30.30.30.11.11.13.2.1" xref="S3.E23.m1.31.31.1a.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E23.m1.30.30.30.11.11.13.2.3" xref="S3.E23.m1.31.31.1.cmml"><mo id="S3.E23.m1.26.26.26.7.7.7" stretchy="false" xref="S3.E23.m1.31.31.1a.cmml">(</mo><mi id="S3.E23.m1.27.27.27.8.8.8" xref="S3.E23.m1.27.27.27.8.8.8.cmml">x</mi><mo id="S3.E23.m1.28.28.28.9.9.9" stretchy="false" xref="S3.E23.m1.31.31.1a.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E23.m1.30.30.30.11.11.13.2.1a" lspace="0.170em" xref="S3.E23.m1.31.31.1a.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E23.m1.30.30.30.11.11.13.2.4" xref="S3.E23.m1.31.31.1.cmml"><mo id="S3.E23.m1.29.29.29.10.10.10" rspace="0em" xref="S3.E23.m1.29.29.29.10.10.10.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.E23.m1.30.30.30.11.11.11" xref="S3.E23.m1.30.30.30.11.11.11.cmml">x</mi></mrow></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E23.m1.32b"><apply id="S3.E23.m1.31.31.1.cmml" xref="S3.E23.m1.32.32.2"><and id="S3.E23.m1.31.31.1a.cmml" xref="S3.E23.m1.32.32.2.31.20.18.19"></and><apply id="S3.E23.m1.31.31.1b.cmml" xref="S3.E23.m1.32.32.2"><eq id="S3.E23.m1.3.3.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E23.m1.3.3.3.3.1.1"></eq><apply id="S3.E23.m1.31.31.1.3.cmml" xref="S3.E23.m1.32.32.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E23.m1.31.31.1.3.1.cmml" xref="S3.E23.m1.32.32.2.31.20.18.19">superscript</csymbol><apply id="S3.E23.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E23.m1.1.1.1.1.1.1"><ci id="S3.E23.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E23.m1.1.1.1.1.1.1.1">¯</ci><ci id="S3.E23.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E23.m1.1.1.1.1.1.1.2">italic-ϕ</ci></apply><apply id="S3.E23.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E23.m1.2.2.2.2.2.2.1"><times id="S3.E23.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E23.m1.2.2.2.2.2.2.1.1"></times><ci id="S3.E23.m1.2.2.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.E23.m1.2.2.2.2.2.2.1.2">𝑃</ci><ci id="S3.E23.m1.2.2.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S3.E23.m1.2.2.2.2.2.2.1.3">𝑉</ci></apply></apply><apply id="S3.E23.m1.31.31.1.1.cmml" xref="S3.E23.m1.32.32.2"><apply id="S3.E23.m1.31.31.1.1.2.cmml" xref="S3.E23.m1.32.32.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E23.m1.31.31.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E23.m1.32.32.2.31.20.18.19">superscript</csymbol><apply id="S3.E23.m1.31.31.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E23.m1.32.32.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E23.m1.31.31.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E23.m1.32.32.2.31.20.18.19">subscript</csymbol><int id="S3.E23.m1.4.4.4.4.2.2.cmml" xref="S3.E23.m1.4.4.4.4.2.2"></int><cn id="S3.E23.m1.5.5.5.5.3.3.1.cmml" type="integer" 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id="S3.E23.m1.31.31.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E23.m1.32.32.2"><minus id="S3.E23.m1.10.10.10.10.8.8.cmml" xref="S3.E23.m1.10.10.10.10.8.8"></minus><apply id="S3.E23.m1.31.31.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E23.m1.32.32.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E23.m1.31.31.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E23.m1.32.32.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E23.m1.8.8.8.8.6.6.cmml" xref="S3.E23.m1.8.8.8.8.6.6"><ci id="S3.E23.m1.8.8.8.8.6.6.1.cmml" xref="S3.E23.m1.8.8.8.8.6.6.1">¯</ci><ci id="S3.E23.m1.8.8.8.8.6.6.2.cmml" xref="S3.E23.m1.8.8.8.8.6.6.2">𝑝</ci></apply><apply id="S3.E23.m1.9.9.9.9.7.7.1.cmml" xref="S3.E23.m1.9.9.9.9.7.7.1"><times id="S3.E23.m1.9.9.9.9.7.7.1.1.cmml" xref="S3.E23.m1.9.9.9.9.7.7.1.1"></times><ci id="S3.E23.m1.9.9.9.9.7.7.1.2.cmml" xref="S3.E23.m1.9.9.9.9.7.7.1.2">𝑃</ci><ci id="S3.E23.m1.9.9.9.9.7.7.1.3.cmml" xref="S3.E23.m1.9.9.9.9.7.7.1.3">𝑉</ci></apply></apply><ci id="S3.E23.m1.11.11.11.11.9.9.cmml" xref="S3.E23.m1.11.11.11.11.9.9">𝑥</ci></apply><apply 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id="S3.E23.m1.25.25.25.6.6.6.1.3.2.cmml" xref="S3.E23.m1.25.25.25.6.6.6.1.3.2">𝑃</ci><ci id="S3.E23.m1.25.25.25.6.6.6.1.3.3.cmml" xref="S3.E23.m1.25.25.25.6.6.6.1.3.3">𝑉</ci></apply></apply></apply><ci id="S3.E23.m1.27.27.27.8.8.8.cmml" xref="S3.E23.m1.27.27.27.8.8.8">𝑥</ci><apply id="S3.E23.m1.31.31.1.6.2.4.cmml" xref="S3.E23.m1.32.32.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.E23.m1.29.29.29.10.10.10.cmml" xref="S3.E23.m1.29.29.29.10.10.10">differential-d</csymbol><ci id="S3.E23.m1.30.30.30.11.11.11.cmml" xref="S3.E23.m1.30.30.30.11.11.11">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E23.m1.32c">\begin{split}\underline{\phi}^{PV}&=\int_{0}^{\underline{p}^{PV}}(\underline{p% }^{PV}-x)f_{p^{PV}}(x)\,dx\\ &=\int_{0}^{\underline{p}^{PV}}F_{p^{PV}}(x)\,dx\end{split}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E23.m1.32d">start_ROW start_CELL under¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT italic_P italic_V end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL = ∫ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT under¯ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT italic_P italic_V end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ( under¯ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT italic_P italic_V end_POSTSUPERSCRIPT - italic_x ) italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_P italic_V end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x ) italic_d italic_x end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL = ∫ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT under¯ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT italic_P italic_V end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_P italic_V end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x ) italic_d italic_x end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(23)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS5.p5"> <p class="ltx_p" id="S3.SS5.p5.1">Considering the ambiguity in CDFs, the maximal downside risk is:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E24"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\max_{F_{p^{PV}}\in\mathcal{A}_{PV}}\underline{\phi}^{PV}=\max_{F_{p^{PV}}\in% \mathcal{A}_{PV}}\int_{0}^{\underline{p}^{PV}}F_{p^{PV}}(x)\,dx" class="ltx_Math" display="block" id="S3.E24.m1.1"><semantics id="S3.E24.m1.1a"><mrow id="S3.E24.m1.1.2" xref="S3.E24.m1.1.2.cmml"><mrow id="S3.E24.m1.1.2.2" xref="S3.E24.m1.1.2.2.cmml"><munder id="S3.E24.m1.1.2.2.1" xref="S3.E24.m1.1.2.2.1.cmml"><mi id="S3.E24.m1.1.2.2.1.2" xref="S3.E24.m1.1.2.2.1.2.cmml">max</mi><mrow id="S3.E24.m1.1.2.2.1.3" xref="S3.E24.m1.1.2.2.1.3.cmml"><msub id="S3.E24.m1.1.2.2.1.3.2" xref="S3.E24.m1.1.2.2.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E24.m1.1.2.2.1.3.2.2" xref="S3.E24.m1.1.2.2.1.3.2.2.cmml">F</mi><msup id="S3.E24.m1.1.2.2.1.3.2.3" xref="S3.E24.m1.1.2.2.1.3.2.3.cmml"><mi id="S3.E24.m1.1.2.2.1.3.2.3.2" xref="S3.E24.m1.1.2.2.1.3.2.3.2.cmml">p</mi><mrow id="S3.E24.m1.1.2.2.1.3.2.3.3" xref="S3.E24.m1.1.2.2.1.3.2.3.3.cmml"><mi id="S3.E24.m1.1.2.2.1.3.2.3.3.2" xref="S3.E24.m1.1.2.2.1.3.2.3.3.2.cmml">P</mi><mo id="S3.E24.m1.1.2.2.1.3.2.3.3.1" xref="S3.E24.m1.1.2.2.1.3.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E24.m1.1.2.2.1.3.2.3.3.3" xref="S3.E24.m1.1.2.2.1.3.2.3.3.3.cmml">V</mi></mrow></msup></msub><mo id="S3.E24.m1.1.2.2.1.3.1" xref="S3.E24.m1.1.2.2.1.3.1.cmml">∈</mo><msub id="S3.E24.m1.1.2.2.1.3.3" xref="S3.E24.m1.1.2.2.1.3.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E24.m1.1.2.2.1.3.3.2" xref="S3.E24.m1.1.2.2.1.3.3.2.cmml">𝒜</mi><mrow id="S3.E24.m1.1.2.2.1.3.3.3" xref="S3.E24.m1.1.2.2.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.E24.m1.1.2.2.1.3.3.3.2" xref="S3.E24.m1.1.2.2.1.3.3.3.2.cmml">P</mi><mo id="S3.E24.m1.1.2.2.1.3.3.3.1" xref="S3.E24.m1.1.2.2.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E24.m1.1.2.2.1.3.3.3.3" xref="S3.E24.m1.1.2.2.1.3.3.3.3.cmml">V</mi></mrow></msub></mrow></munder><mo id="S3.E24.m1.1.2.2a" lspace="0.167em" xref="S3.E24.m1.1.2.2.cmml">⁡</mo><msup id="S3.E24.m1.1.2.2.2" xref="S3.E24.m1.1.2.2.2.cmml"><munder accentunder="true" id="S3.E24.m1.1.2.2.2.2" xref="S3.E24.m1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E24.m1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.E24.m1.1.2.2.2.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S3.E24.m1.1.2.2.2.2.1" xref="S3.E24.m1.1.2.2.2.2.1.cmml">¯</mo></munder><mrow id="S3.E24.m1.1.2.2.2.3" xref="S3.E24.m1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E24.m1.1.2.2.2.3.2" xref="S3.E24.m1.1.2.2.2.3.2.cmml">P</mi><mo id="S3.E24.m1.1.2.2.2.3.1" xref="S3.E24.m1.1.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E24.m1.1.2.2.2.3.3" xref="S3.E24.m1.1.2.2.2.3.3.cmml">V</mi></mrow></msup></mrow><mo id="S3.E24.m1.1.2.1" 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id="S3.E24.m1.1.2.3.3.2.2.3.3.2" xref="S3.E24.m1.1.2.3.3.2.2.3.3.2.cmml">P</mi><mo id="S3.E24.m1.1.2.3.3.2.2.3.3.1" xref="S3.E24.m1.1.2.3.3.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E24.m1.1.2.3.3.2.2.3.3.3" xref="S3.E24.m1.1.2.3.3.2.2.3.3.3.cmml">V</mi></mrow></msup></msub><mo id="S3.E24.m1.1.2.3.3.2.1" xref="S3.E24.m1.1.2.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E24.m1.1.2.3.3.2.3.2" xref="S3.E24.m1.1.2.3.3.2.cmml"><mo id="S3.E24.m1.1.2.3.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E24.m1.1.2.3.3.2.cmml">(</mo><mi id="S3.E24.m1.1.1" xref="S3.E24.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S3.E24.m1.1.2.3.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E24.m1.1.2.3.3.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E24.m1.1.2.3.3.2.1a" lspace="0.170em" xref="S3.E24.m1.1.2.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E24.m1.1.2.3.3.2.4" xref="S3.E24.m1.1.2.3.3.2.4.cmml"><mo id="S3.E24.m1.1.2.3.3.2.4.1" rspace="0em" xref="S3.E24.m1.1.2.3.3.2.4.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.E24.m1.1.2.3.3.2.4.2" 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id="S3.E24.m1.1.2.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E24.m1.1.2.3.3.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E24.m1.1.2.3.3.1.2.cmml" xref="S3.E24.m1.1.2.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E24.m1.1.2.3.3.1.2.1.cmml" xref="S3.E24.m1.1.2.3.3.1">subscript</csymbol><int id="S3.E24.m1.1.2.3.3.1.2.2.cmml" xref="S3.E24.m1.1.2.3.3.1.2.2"></int><cn id="S3.E24.m1.1.2.3.3.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E24.m1.1.2.3.3.1.2.3">0</cn></apply><apply id="S3.E24.m1.1.2.3.3.1.3.cmml" xref="S3.E24.m1.1.2.3.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E24.m1.1.2.3.3.1.3.1.cmml" xref="S3.E24.m1.1.2.3.3.1.3">superscript</csymbol><apply id="S3.E24.m1.1.2.3.3.1.3.2.cmml" xref="S3.E24.m1.1.2.3.3.1.3.2"><ci id="S3.E24.m1.1.2.3.3.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E24.m1.1.2.3.3.1.3.2.1">¯</ci><ci id="S3.E24.m1.1.2.3.3.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E24.m1.1.2.3.3.1.3.2.2">𝑝</ci></apply><apply id="S3.E24.m1.1.2.3.3.1.3.3.cmml" xref="S3.E24.m1.1.2.3.3.1.3.3"><times id="S3.E24.m1.1.2.3.3.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E24.m1.1.2.3.3.1.3.3.1"></times><ci id="S3.E24.m1.1.2.3.3.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E24.m1.1.2.3.3.1.3.3.2">𝑃</ci><ci id="S3.E24.m1.1.2.3.3.1.3.3.3.cmml" xref="S3.E24.m1.1.2.3.3.1.3.3.3">𝑉</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E24.m1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S3.E24.m1.1.2.3.3.2"><times id="S3.E24.m1.1.2.3.3.2.1.cmml" xref="S3.E24.m1.1.2.3.3.2.1"></times><apply id="S3.E24.m1.1.2.3.3.2.2.cmml" xref="S3.E24.m1.1.2.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E24.m1.1.2.3.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E24.m1.1.2.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E24.m1.1.2.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E24.m1.1.2.3.3.2.2.2">𝐹</ci><apply id="S3.E24.m1.1.2.3.3.2.2.3.cmml" xref="S3.E24.m1.1.2.3.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E24.m1.1.2.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E24.m1.1.2.3.3.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E24.m1.1.2.3.3.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E24.m1.1.2.3.3.2.2.3.2">𝑝</ci><apply id="S3.E24.m1.1.2.3.3.2.2.3.3.cmml" xref="S3.E24.m1.1.2.3.3.2.2.3.3"><times id="S3.E24.m1.1.2.3.3.2.2.3.3.1.cmml" xref="S3.E24.m1.1.2.3.3.2.2.3.3.1"></times><ci id="S3.E24.m1.1.2.3.3.2.2.3.3.2.cmml" xref="S3.E24.m1.1.2.3.3.2.2.3.3.2">𝑃</ci><ci id="S3.E24.m1.1.2.3.3.2.2.3.3.3.cmml" xref="S3.E24.m1.1.2.3.3.2.2.3.3.3">𝑉</ci></apply></apply></apply><ci id="S3.E24.m1.1.1.cmml" xref="S3.E24.m1.1.1">𝑥</ci><apply id="S3.E24.m1.1.2.3.3.2.4.cmml" xref="S3.E24.m1.1.2.3.3.2.4"><csymbol cd="latexml" id="S3.E24.m1.1.2.3.3.2.4.1.cmml" xref="S3.E24.m1.1.2.3.3.2.4.1">differential-d</csymbol><ci id="S3.E24.m1.1.2.3.3.2.4.2.cmml" xref="S3.E24.m1.1.2.3.3.2.4.2">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E24.m1.1c">\max_{F_{p^{PV}}\in\mathcal{A}_{PV}}\underline{\phi}^{PV}=\max_{F_{p^{PV}}\in% \mathcal{A}_{PV}}\int_{0}^{\underline{p}^{PV}}F_{p^{PV}}(x)\,dx</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E24.m1.1d">roman_max start_POSTSUBSCRIPT italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_P italic_V end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ∈ caligraphic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_P italic_V end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT under¯ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT italic_P italic_V end_POSTSUPERSCRIPT = roman_max start_POSTSUBSCRIPT italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_P italic_V end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ∈ caligraphic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_P italic_V end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ∫ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT under¯ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT italic_P italic_V end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_P italic_V end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x ) italic_d italic_x</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(24)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS5.p6"> <p class="ltx_p" id="S3.SS5.p6.5">As illustrated in Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S3.F2" title="Figure 2 ‣ III-E Selection of the Worst-case Distribution ‣ III Confidence Level-Based Distributionally Information Gap decision Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>, the maximal downside risk equals to the shaded area between <math alttext="F_{p^{PV}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS5.p6.1.m1.1"><semantics id="S3.SS5.p6.1.m1.1a"><msub id="S3.SS5.p6.1.m1.1.1" xref="S3.SS5.p6.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS5.p6.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS5.p6.1.m1.1.1.2.cmml">F</mi><msup id="S3.SS5.p6.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS5.p6.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS5.p6.1.m1.1.1.3.2" xref="S3.SS5.p6.1.m1.1.1.3.2.cmml">p</mi><mrow id="S3.SS5.p6.1.m1.1.1.3.3" xref="S3.SS5.p6.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.SS5.p6.1.m1.1.1.3.3.2" xref="S3.SS5.p6.1.m1.1.1.3.3.2.cmml">P</mi><mo id="S3.SS5.p6.1.m1.1.1.3.3.1" xref="S3.SS5.p6.1.m1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS5.p6.1.m1.1.1.3.3.3" xref="S3.SS5.p6.1.m1.1.1.3.3.3.cmml">V</mi></mrow></msup></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS5.p6.1.m1.1b"><apply id="S3.SS5.p6.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS5.p6.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS5.p6.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS5.p6.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS5.p6.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS5.p6.1.m1.1.1.2">𝐹</ci><apply id="S3.SS5.p6.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS5.p6.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS5.p6.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS5.p6.1.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS5.p6.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS5.p6.1.m1.1.1.3.2">𝑝</ci><apply id="S3.SS5.p6.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS5.p6.1.m1.1.1.3.3"><times id="S3.SS5.p6.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS5.p6.1.m1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S3.SS5.p6.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.SS5.p6.1.m1.1.1.3.3.2">𝑃</ci><ci id="S3.SS5.p6.1.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.SS5.p6.1.m1.1.1.3.3.3">𝑉</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS5.p6.1.m1.1c">F_{p^{PV}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS5.p6.1.m1.1d">italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_P italic_V end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and the interval <math alttext="[0,\underline{p}^{PV}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS5.p6.2.m2.2"><semantics id="S3.SS5.p6.2.m2.2a"><mrow id="S3.SS5.p6.2.m2.2.2.1" xref="S3.SS5.p6.2.m2.2.2.2.cmml"><mo id="S3.SS5.p6.2.m2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS5.p6.2.m2.2.2.2.cmml">[</mo><mn id="S3.SS5.p6.2.m2.1.1" xref="S3.SS5.p6.2.m2.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.SS5.p6.2.m2.2.2.1.3" xref="S3.SS5.p6.2.m2.2.2.2.cmml">,</mo><msup id="S3.SS5.p6.2.m2.2.2.1.1" xref="S3.SS5.p6.2.m2.2.2.1.1.cmml"><munder accentunder="true" id="S3.SS5.p6.2.m2.2.2.1.1.2" xref="S3.SS5.p6.2.m2.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS5.p6.2.m2.2.2.1.1.2.2" xref="S3.SS5.p6.2.m2.2.2.1.1.2.2.cmml">p</mi><mo id="S3.SS5.p6.2.m2.2.2.1.1.2.1" xref="S3.SS5.p6.2.m2.2.2.1.1.2.1.cmml">¯</mo></munder><mrow id="S3.SS5.p6.2.m2.2.2.1.1.3" xref="S3.SS5.p6.2.m2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS5.p6.2.m2.2.2.1.1.3.2" xref="S3.SS5.p6.2.m2.2.2.1.1.3.2.cmml">P</mi><mo id="S3.SS5.p6.2.m2.2.2.1.1.3.1" xref="S3.SS5.p6.2.m2.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS5.p6.2.m2.2.2.1.1.3.3" xref="S3.SS5.p6.2.m2.2.2.1.1.3.3.cmml">V</mi></mrow></msup><mo id="S3.SS5.p6.2.m2.2.2.1.4" stretchy="false" xref="S3.SS5.p6.2.m2.2.2.2.cmml">]</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS5.p6.2.m2.2b"><interval closure="closed" id="S3.SS5.p6.2.m2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS5.p6.2.m2.2.2.1"><cn id="S3.SS5.p6.2.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.SS5.p6.2.m2.1.1">0</cn><apply id="S3.SS5.p6.2.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.SS5.p6.2.m2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS5.p6.2.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS5.p6.2.m2.2.2.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.SS5.p6.2.m2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS5.p6.2.m2.2.2.1.1.2"><ci id="S3.SS5.p6.2.m2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS5.p6.2.m2.2.2.1.1.2.1">¯</ci><ci id="S3.SS5.p6.2.m2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS5.p6.2.m2.2.2.1.1.2.2">𝑝</ci></apply><apply id="S3.SS5.p6.2.m2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS5.p6.2.m2.2.2.1.1.3"><times id="S3.SS5.p6.2.m2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS5.p6.2.m2.2.2.1.1.3.1"></times><ci id="S3.SS5.p6.2.m2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS5.p6.2.m2.2.2.1.1.3.2">𝑃</ci><ci id="S3.SS5.p6.2.m2.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS5.p6.2.m2.2.2.1.1.3.3">𝑉</ci></apply></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS5.p6.2.m2.2c">[0,\underline{p}^{PV}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS5.p6.2.m2.2d">[ 0 , under¯ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT italic_P italic_V end_POSTSUPERSCRIPT ]</annotation></semantics></math>. Obviously, <math alttext="\overline{F}_{p^{PV}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS5.p6.3.m3.1"><semantics id="S3.SS5.p6.3.m3.1a"><msub id="S3.SS5.p6.3.m3.1.1" xref="S3.SS5.p6.3.m3.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS5.p6.3.m3.1.1.2" xref="S3.SS5.p6.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS5.p6.3.m3.1.1.2.2" xref="S3.SS5.p6.3.m3.1.1.2.2.cmml">F</mi><mo id="S3.SS5.p6.3.m3.1.1.2.1" xref="S3.SS5.p6.3.m3.1.1.2.1.cmml">¯</mo></mover><msup id="S3.SS5.p6.3.m3.1.1.3" xref="S3.SS5.p6.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS5.p6.3.m3.1.1.3.2" xref="S3.SS5.p6.3.m3.1.1.3.2.cmml">p</mi><mrow id="S3.SS5.p6.3.m3.1.1.3.3" xref="S3.SS5.p6.3.m3.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.SS5.p6.3.m3.1.1.3.3.2" xref="S3.SS5.p6.3.m3.1.1.3.3.2.cmml">P</mi><mo id="S3.SS5.p6.3.m3.1.1.3.3.1" xref="S3.SS5.p6.3.m3.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS5.p6.3.m3.1.1.3.3.3" xref="S3.SS5.p6.3.m3.1.1.3.3.3.cmml">V</mi></mrow></msup></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS5.p6.3.m3.1b"><apply id="S3.SS5.p6.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS5.p6.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS5.p6.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS5.p6.3.m3.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.SS5.p6.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS5.p6.3.m3.1.1.2"><ci id="S3.SS5.p6.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS5.p6.3.m3.1.1.2.1">¯</ci><ci id="S3.SS5.p6.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS5.p6.3.m3.1.1.2.2">𝐹</ci></apply><apply id="S3.SS5.p6.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.SS5.p6.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS5.p6.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS5.p6.3.m3.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS5.p6.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS5.p6.3.m3.1.1.3.2">𝑝</ci><apply id="S3.SS5.p6.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS5.p6.3.m3.1.1.3.3"><times id="S3.SS5.p6.3.m3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS5.p6.3.m3.1.1.3.3.1"></times><ci id="S3.SS5.p6.3.m3.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.SS5.p6.3.m3.1.1.3.3.2">𝑃</ci><ci id="S3.SS5.p6.3.m3.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.SS5.p6.3.m3.1.1.3.3.3">𝑉</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS5.p6.3.m3.1c">\overline{F}_{p^{PV}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS5.p6.3.m3.1d">over¯ start_ARG italic_F end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_P italic_V end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> leads to the highest downside risk, thus representing the worst-case distribution when the actual solar power exceeds its left boundary of the uncertainty set. Similarly, <math alttext="\underline{F}_{p^{PV}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS5.p6.4.m4.1"><semantics id="S3.SS5.p6.4.m4.1a"><msub id="S3.SS5.p6.4.m4.1.1" xref="S3.SS5.p6.4.m4.1.1.cmml"><munder accentunder="true" id="S3.SS5.p6.4.m4.1.1.2" xref="S3.SS5.p6.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS5.p6.4.m4.1.1.2.2" xref="S3.SS5.p6.4.m4.1.1.2.2.cmml">F</mi><mo id="S3.SS5.p6.4.m4.1.1.2.1" xref="S3.SS5.p6.4.m4.1.1.2.1.cmml">¯</mo></munder><msup id="S3.SS5.p6.4.m4.1.1.3" xref="S3.SS5.p6.4.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS5.p6.4.m4.1.1.3.2" xref="S3.SS5.p6.4.m4.1.1.3.2.cmml">p</mi><mrow id="S3.SS5.p6.4.m4.1.1.3.3" xref="S3.SS5.p6.4.m4.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.SS5.p6.4.m4.1.1.3.3.2" xref="S3.SS5.p6.4.m4.1.1.3.3.2.cmml">P</mi><mo id="S3.SS5.p6.4.m4.1.1.3.3.1" xref="S3.SS5.p6.4.m4.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS5.p6.4.m4.1.1.3.3.3" xref="S3.SS5.p6.4.m4.1.1.3.3.3.cmml">V</mi></mrow></msup></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS5.p6.4.m4.1b"><apply id="S3.SS5.p6.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS5.p6.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS5.p6.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS5.p6.4.m4.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.SS5.p6.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS5.p6.4.m4.1.1.2"><ci id="S3.SS5.p6.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS5.p6.4.m4.1.1.2.1">¯</ci><ci id="S3.SS5.p6.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS5.p6.4.m4.1.1.2.2">𝐹</ci></apply><apply id="S3.SS5.p6.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.SS5.p6.4.m4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS5.p6.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS5.p6.4.m4.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS5.p6.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS5.p6.4.m4.1.1.3.2">𝑝</ci><apply id="S3.SS5.p6.4.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS5.p6.4.m4.1.1.3.3"><times id="S3.SS5.p6.4.m4.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS5.p6.4.m4.1.1.3.3.1"></times><ci id="S3.SS5.p6.4.m4.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.SS5.p6.4.m4.1.1.3.3.2">𝑃</ci><ci id="S3.SS5.p6.4.m4.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.SS5.p6.4.m4.1.1.3.3.3">𝑉</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS5.p6.4.m4.1c">\underline{F}_{p^{PV}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS5.p6.4.m4.1d">under¯ start_ARG italic_F end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_P italic_V end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> achieves the highest upside risk, representing the worst-case distribution when the real solar power exceeds the right boundary of the uncertainty set. The worst-case distribution of solar power <math alttext="F^{*}_{p^{PV}}(\cdot)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS5.p6.5.m5.1"><semantics id="S3.SS5.p6.5.m5.1a"><mrow id="S3.SS5.p6.5.m5.1.2" xref="S3.SS5.p6.5.m5.1.2.cmml"><msubsup id="S3.SS5.p6.5.m5.1.2.2" xref="S3.SS5.p6.5.m5.1.2.2.cmml"><mi id="S3.SS5.p6.5.m5.1.2.2.2.2" xref="S3.SS5.p6.5.m5.1.2.2.2.2.cmml">F</mi><msup id="S3.SS5.p6.5.m5.1.2.2.3" xref="S3.SS5.p6.5.m5.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS5.p6.5.m5.1.2.2.3.2" xref="S3.SS5.p6.5.m5.1.2.2.3.2.cmml">p</mi><mrow id="S3.SS5.p6.5.m5.1.2.2.3.3" xref="S3.SS5.p6.5.m5.1.2.2.3.3.cmml"><mi id="S3.SS5.p6.5.m5.1.2.2.3.3.2" xref="S3.SS5.p6.5.m5.1.2.2.3.3.2.cmml">P</mi><mo id="S3.SS5.p6.5.m5.1.2.2.3.3.1" xref="S3.SS5.p6.5.m5.1.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS5.p6.5.m5.1.2.2.3.3.3" xref="S3.SS5.p6.5.m5.1.2.2.3.3.3.cmml">V</mi></mrow></msup><mo id="S3.SS5.p6.5.m5.1.2.2.2.3" xref="S3.SS5.p6.5.m5.1.2.2.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S3.SS5.p6.5.m5.1.2.1" xref="S3.SS5.p6.5.m5.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS5.p6.5.m5.1.2.3.2" xref="S3.SS5.p6.5.m5.1.2.cmml"><mo id="S3.SS5.p6.5.m5.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS5.p6.5.m5.1.2.cmml">(</mo><mo id="S3.SS5.p6.5.m5.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.SS5.p6.5.m5.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S3.SS5.p6.5.m5.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS5.p6.5.m5.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS5.p6.5.m5.1b"><apply id="S3.SS5.p6.5.m5.1.2.cmml" xref="S3.SS5.p6.5.m5.1.2"><times id="S3.SS5.p6.5.m5.1.2.1.cmml" xref="S3.SS5.p6.5.m5.1.2.1"></times><apply id="S3.SS5.p6.5.m5.1.2.2.cmml" xref="S3.SS5.p6.5.m5.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS5.p6.5.m5.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS5.p6.5.m5.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.SS5.p6.5.m5.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS5.p6.5.m5.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS5.p6.5.m5.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS5.p6.5.m5.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS5.p6.5.m5.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS5.p6.5.m5.1.2.2.2.2">𝐹</ci><times id="S3.SS5.p6.5.m5.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS5.p6.5.m5.1.2.2.2.3"></times></apply><apply id="S3.SS5.p6.5.m5.1.2.2.3.cmml" xref="S3.SS5.p6.5.m5.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS5.p6.5.m5.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS5.p6.5.m5.1.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS5.p6.5.m5.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS5.p6.5.m5.1.2.2.3.2">𝑝</ci><apply id="S3.SS5.p6.5.m5.1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.SS5.p6.5.m5.1.2.2.3.3"><times id="S3.SS5.p6.5.m5.1.2.2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS5.p6.5.m5.1.2.2.3.3.1"></times><ci id="S3.SS5.p6.5.m5.1.2.2.3.3.2.cmml" xref="S3.SS5.p6.5.m5.1.2.2.3.3.2">𝑃</ci><ci id="S3.SS5.p6.5.m5.1.2.2.3.3.3.cmml" xref="S3.SS5.p6.5.m5.1.2.2.3.3.3">𝑉</ci></apply></apply></apply><ci id="S3.SS5.p6.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS5.p6.5.m5.1.1">⋅</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS5.p6.5.m5.1c">F^{*}_{p^{PV}}(\cdot)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS5.p6.5.m5.1d">italic_F start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_P italic_V end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( ⋅ )</annotation></semantics></math> can be expressed as:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E25"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="F^{*}_{p^{PV}}(x)=\begin{cases}\overline{F}_{p^{PV}}(x),&p^{PV}\leq\underline{% p}^{PV}\\ \underline{F}_{p^{PV}}(x),&p^{PV}\geq\overline{p}^{PV}\end{cases}" class="ltx_Math" display="block" id="S3.E25.m1.5"><semantics id="S3.E25.m1.5a"><mrow id="S3.E25.m1.5.6" xref="S3.E25.m1.5.6.cmml"><mrow id="S3.E25.m1.5.6.2" xref="S3.E25.m1.5.6.2.cmml"><msubsup id="S3.E25.m1.5.6.2.2" xref="S3.E25.m1.5.6.2.2.cmml"><mi id="S3.E25.m1.5.6.2.2.2.2" xref="S3.E25.m1.5.6.2.2.2.2.cmml">F</mi><msup id="S3.E25.m1.5.6.2.2.3" xref="S3.E25.m1.5.6.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E25.m1.5.6.2.2.3.2" xref="S3.E25.m1.5.6.2.2.3.2.cmml">p</mi><mrow id="S3.E25.m1.5.6.2.2.3.3" xref="S3.E25.m1.5.6.2.2.3.3.cmml"><mi id="S3.E25.m1.5.6.2.2.3.3.2" xref="S3.E25.m1.5.6.2.2.3.3.2.cmml">P</mi><mo id="S3.E25.m1.5.6.2.2.3.3.1" xref="S3.E25.m1.5.6.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E25.m1.5.6.2.2.3.3.3" xref="S3.E25.m1.5.6.2.2.3.3.3.cmml">V</mi></mrow></msup><mo id="S3.E25.m1.5.6.2.2.2.3" xref="S3.E25.m1.5.6.2.2.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S3.E25.m1.5.6.2.1" xref="S3.E25.m1.5.6.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E25.m1.5.6.2.3.2" xref="S3.E25.m1.5.6.2.cmml"><mo id="S3.E25.m1.5.6.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E25.m1.5.6.2.cmml">(</mo><mi id="S3.E25.m1.5.5" xref="S3.E25.m1.5.5.cmml">x</mi><mo id="S3.E25.m1.5.6.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E25.m1.5.6.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E25.m1.5.6.1" xref="S3.E25.m1.5.6.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.E25.m1.4.4" xref="S3.E25.m1.5.6.3.1.cmml"><mo id="S3.E25.m1.4.4.5" xref="S3.E25.m1.5.6.3.1.1.cmml">{</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S3.E25.m1.4.4.4" rowspacing="0pt" xref="S3.E25.m1.5.6.3.1.cmml"><mtr id="S3.E25.m1.4.4.4a" xref="S3.E25.m1.5.6.3.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S3.E25.m1.4.4.4b" xref="S3.E25.m1.5.6.3.1.cmml"><mrow id="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"><mrow id="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"><msub id="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2" xref="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.2" xref="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.2.2" xref="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.2.2.cmml">F</mi><mo id="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.2.1" xref="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.2.1.cmml">¯</mo></mover><msup id="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3" xref="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.2" xref="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.2.cmml">p</mi><mrow id="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.3" xref="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.3.cmml"><mi id="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.3.2" xref="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.3.2.cmml">P</mi><mo id="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.3.1" xref="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.3.3" xref="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.3.3.cmml">V</mi></mrow></msup></msub><mo id="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.2" xref="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"><mo id="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">,</mo></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S3.E25.m1.4.4.4c" 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xref="S3.E25.m1.2.2.2.2.2.1.3.2.1.cmml">¯</mo></munder><mrow id="S3.E25.m1.2.2.2.2.2.1.3.3" xref="S3.E25.m1.2.2.2.2.2.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E25.m1.2.2.2.2.2.1.3.3.2" xref="S3.E25.m1.2.2.2.2.2.1.3.3.2.cmml">P</mi><mo id="S3.E25.m1.2.2.2.2.2.1.3.3.1" xref="S3.E25.m1.2.2.2.2.2.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E25.m1.2.2.2.2.2.1.3.3.3" xref="S3.E25.m1.2.2.2.2.2.1.3.3.3.cmml">V</mi></mrow></msup></mrow></mtd></mtr><mtr id="S3.E25.m1.4.4.4d" xref="S3.E25.m1.5.6.3.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S3.E25.m1.4.4.4e" xref="S3.E25.m1.5.6.3.1.cmml"><mrow id="S3.E25.m1.3.3.3.3.1.1.2" xref="S3.E25.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.cmml"><mrow id="S3.E25.m1.3.3.3.3.1.1.2.1" xref="S3.E25.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.cmml"><msub id="S3.E25.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2" xref="S3.E25.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.cmml"><munder accentunder="true" id="S3.E25.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.2" xref="S3.E25.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E25.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.2.2" xref="S3.E25.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.2.2.cmml">F</mi><mo id="S3.E25.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.2.1" xref="S3.E25.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.2.1.cmml">¯</mo></munder><msup id="S3.E25.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.3" xref="S3.E25.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E25.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.3.2" xref="S3.E25.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.3.2.cmml">p</mi><mrow id="S3.E25.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.3.3" xref="S3.E25.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.3.3.cmml"><mi id="S3.E25.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.3.3.2" xref="S3.E25.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.3.3.2.cmml">P</mi><mo id="S3.E25.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.3.3.1" xref="S3.E25.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E25.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.3.3.3" xref="S3.E25.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.3.3.3.cmml">V</mi></mrow></msup></msub><mo id="S3.E25.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1" xref="S3.E25.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E25.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.3.2" xref="S3.E25.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.cmml"><mo id="S3.E25.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E25.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E25.m1.3.3.3.3.1.1.1" xref="S3.E25.m1.3.3.3.3.1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S3.E25.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E25.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E25.m1.3.3.3.3.1.1.2.2" xref="S3.E25.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.cmml">,</mo></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S3.E25.m1.4.4.4f" xref="S3.E25.m1.5.6.3.1.cmml"><mrow id="S3.E25.m1.4.4.4.4.2.1" xref="S3.E25.m1.4.4.4.4.2.1.cmml"><msup id="S3.E25.m1.4.4.4.4.2.1.2" xref="S3.E25.m1.4.4.4.4.2.1.2.cmml"><mi id="S3.E25.m1.4.4.4.4.2.1.2.2" xref="S3.E25.m1.4.4.4.4.2.1.2.2.cmml">p</mi><mrow id="S3.E25.m1.4.4.4.4.2.1.2.3" xref="S3.E25.m1.4.4.4.4.2.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E25.m1.4.4.4.4.2.1.2.3.2" xref="S3.E25.m1.4.4.4.4.2.1.2.3.2.cmml">P</mi><mo id="S3.E25.m1.4.4.4.4.2.1.2.3.1" xref="S3.E25.m1.4.4.4.4.2.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E25.m1.4.4.4.4.2.1.2.3.3" xref="S3.E25.m1.4.4.4.4.2.1.2.3.3.cmml">V</mi></mrow></msup><mo id="S3.E25.m1.4.4.4.4.2.1.1" xref="S3.E25.m1.4.4.4.4.2.1.1.cmml">≥</mo><msup id="S3.E25.m1.4.4.4.4.2.1.3" xref="S3.E25.m1.4.4.4.4.2.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.E25.m1.4.4.4.4.2.1.3.2" xref="S3.E25.m1.4.4.4.4.2.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E25.m1.4.4.4.4.2.1.3.2.2" xref="S3.E25.m1.4.4.4.4.2.1.3.2.2.cmml">p</mi><mo id="S3.E25.m1.4.4.4.4.2.1.3.2.1" xref="S3.E25.m1.4.4.4.4.2.1.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mrow id="S3.E25.m1.4.4.4.4.2.1.3.3" xref="S3.E25.m1.4.4.4.4.2.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E25.m1.4.4.4.4.2.1.3.3.2" xref="S3.E25.m1.4.4.4.4.2.1.3.3.2.cmml">P</mi><mo id="S3.E25.m1.4.4.4.4.2.1.3.3.1" xref="S3.E25.m1.4.4.4.4.2.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E25.m1.4.4.4.4.2.1.3.3.3" xref="S3.E25.m1.4.4.4.4.2.1.3.3.3.cmml">V</mi></mrow></msup></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E25.m1.5b"><apply id="S3.E25.m1.5.6.cmml" xref="S3.E25.m1.5.6"><eq id="S3.E25.m1.5.6.1.cmml" xref="S3.E25.m1.5.6.1"></eq><apply id="S3.E25.m1.5.6.2.cmml" xref="S3.E25.m1.5.6.2"><times id="S3.E25.m1.5.6.2.1.cmml" 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id="S3.E25.m1.5.6.2.2.3.3.3.cmml" xref="S3.E25.m1.5.6.2.2.3.3.3">𝑉</ci></apply></apply></apply><ci id="S3.E25.m1.5.5.cmml" xref="S3.E25.m1.5.5">𝑥</ci></apply><apply id="S3.E25.m1.5.6.3.1.cmml" xref="S3.E25.m1.4.4"><csymbol cd="latexml" id="S3.E25.m1.5.6.3.1.1.cmml" xref="S3.E25.m1.4.4.5">cases</csymbol><apply id="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"></times><apply id="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2">subscript</csymbol><apply id="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.2.cmml" xref="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.2"><ci id="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.2.1">¯</ci><ci id="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.2.2">𝐹</ci></apply><apply id="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.cmml" xref="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.2">𝑝</ci><apply id="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.3.cmml" xref="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.3"><times id="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.3.1.cmml" xref="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.3.1"></times><ci id="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.3.2.cmml" xref="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.3.2">𝑃</ci><ci id="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.3.3.cmml" xref="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.3.3">𝑉</ci></apply></apply></apply><ci id="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E25.m1.1.1.1.1.1.1.1">𝑥</ci></apply><apply id="S3.E25.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E25.m1.2.2.2.2.2.1"><leq id="S3.E25.m1.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E25.m1.2.2.2.2.2.1.1"></leq><apply id="S3.E25.m1.2.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.E25.m1.2.2.2.2.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E25.m1.2.2.2.2.2.1.2.1.cmml" xref="S3.E25.m1.2.2.2.2.2.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E25.m1.2.2.2.2.2.1.2.2.cmml" xref="S3.E25.m1.2.2.2.2.2.1.2.2">𝑝</ci><apply id="S3.E25.m1.2.2.2.2.2.1.2.3.cmml" xref="S3.E25.m1.2.2.2.2.2.1.2.3"><times id="S3.E25.m1.2.2.2.2.2.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E25.m1.2.2.2.2.2.1.2.3.1"></times><ci id="S3.E25.m1.2.2.2.2.2.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E25.m1.2.2.2.2.2.1.2.3.2">𝑃</ci><ci id="S3.E25.m1.2.2.2.2.2.1.2.3.3.cmml" xref="S3.E25.m1.2.2.2.2.2.1.2.3.3">𝑉</ci></apply></apply><apply id="S3.E25.m1.2.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S3.E25.m1.2.2.2.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E25.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.cmml" xref="S3.E25.m1.2.2.2.2.2.1.3">superscript</csymbol><apply id="S3.E25.m1.2.2.2.2.2.1.3.2.cmml" xref="S3.E25.m1.2.2.2.2.2.1.3.2"><ci id="S3.E25.m1.2.2.2.2.2.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E25.m1.2.2.2.2.2.1.3.2.1">¯</ci><ci id="S3.E25.m1.2.2.2.2.2.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E25.m1.2.2.2.2.2.1.3.2.2">𝑝</ci></apply><apply id="S3.E25.m1.2.2.2.2.2.1.3.3.cmml" xref="S3.E25.m1.2.2.2.2.2.1.3.3"><times id="S3.E25.m1.2.2.2.2.2.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E25.m1.2.2.2.2.2.1.3.3.1"></times><ci id="S3.E25.m1.2.2.2.2.2.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E25.m1.2.2.2.2.2.1.3.3.2">𝑃</ci><ci id="S3.E25.m1.2.2.2.2.2.1.3.3.3.cmml" xref="S3.E25.m1.2.2.2.2.2.1.3.3.3">𝑉</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E25.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E25.m1.3.3.3.3.1.1.2"><times id="S3.E25.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.cmml" xref="S3.E25.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1"></times><apply id="S3.E25.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.cmml" xref="S3.E25.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E25.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="S3.E25.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2">subscript</csymbol><apply id="S3.E25.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.2.cmml" xref="S3.E25.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.2"><ci id="S3.E25.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E25.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.2.1">¯</ci><ci id="S3.E25.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E25.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.2.2">𝐹</ci></apply><apply id="S3.E25.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.3.cmml" xref="S3.E25.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E25.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E25.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E25.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E25.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.3.2">𝑝</ci><apply id="S3.E25.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.3.3.cmml" xref="S3.E25.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.3.3"><times id="S3.E25.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.3.3.1.cmml" xref="S3.E25.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.3.3.1"></times><ci id="S3.E25.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.3.3.2.cmml" xref="S3.E25.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.3.3.2">𝑃</ci><ci id="S3.E25.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.3.3.3.cmml" xref="S3.E25.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.3.3.3">𝑉</ci></apply></apply></apply><ci id="S3.E25.m1.3.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.E25.m1.3.3.3.3.1.1.1">𝑥</ci></apply><apply id="S3.E25.m1.4.4.4.4.2.1.cmml" xref="S3.E25.m1.4.4.4.4.2.1"><geq id="S3.E25.m1.4.4.4.4.2.1.1.cmml" xref="S3.E25.m1.4.4.4.4.2.1.1"></geq><apply id="S3.E25.m1.4.4.4.4.2.1.2.cmml" xref="S3.E25.m1.4.4.4.4.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E25.m1.4.4.4.4.2.1.2.1.cmml" xref="S3.E25.m1.4.4.4.4.2.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E25.m1.4.4.4.4.2.1.2.2.cmml" xref="S3.E25.m1.4.4.4.4.2.1.2.2">𝑝</ci><apply id="S3.E25.m1.4.4.4.4.2.1.2.3.cmml" xref="S3.E25.m1.4.4.4.4.2.1.2.3"><times id="S3.E25.m1.4.4.4.4.2.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E25.m1.4.4.4.4.2.1.2.3.1"></times><ci id="S3.E25.m1.4.4.4.4.2.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E25.m1.4.4.4.4.2.1.2.3.2">𝑃</ci><ci id="S3.E25.m1.4.4.4.4.2.1.2.3.3.cmml" xref="S3.E25.m1.4.4.4.4.2.1.2.3.3">𝑉</ci></apply></apply><apply id="S3.E25.m1.4.4.4.4.2.1.3.cmml" xref="S3.E25.m1.4.4.4.4.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E25.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.cmml" xref="S3.E25.m1.4.4.4.4.2.1.3">superscript</csymbol><apply id="S3.E25.m1.4.4.4.4.2.1.3.2.cmml" xref="S3.E25.m1.4.4.4.4.2.1.3.2"><ci id="S3.E25.m1.4.4.4.4.2.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E25.m1.4.4.4.4.2.1.3.2.1">¯</ci><ci id="S3.E25.m1.4.4.4.4.2.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E25.m1.4.4.4.4.2.1.3.2.2">𝑝</ci></apply><apply id="S3.E25.m1.4.4.4.4.2.1.3.3.cmml" xref="S3.E25.m1.4.4.4.4.2.1.3.3"><times id="S3.E25.m1.4.4.4.4.2.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E25.m1.4.4.4.4.2.1.3.3.1"></times><ci id="S3.E25.m1.4.4.4.4.2.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E25.m1.4.4.4.4.2.1.3.3.2">𝑃</ci><ci id="S3.E25.m1.4.4.4.4.2.1.3.3.3.cmml" xref="S3.E25.m1.4.4.4.4.2.1.3.3.3">𝑉</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E25.m1.5c">F^{*}_{p^{PV}}(x)=\begin{cases}\overline{F}_{p^{PV}}(x),&p^{PV}\leq\underline{% p}^{PV}\\ \underline{F}_{p^{PV}}(x),&p^{PV}\geq\overline{p}^{PV}\end{cases}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E25.m1.5d">italic_F start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_P italic_V end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x ) = { start_ROW start_CELL over¯ start_ARG italic_F end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_P italic_V end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x ) , end_CELL start_CELL italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_P italic_V end_POSTSUPERSCRIPT ≤ under¯ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT italic_P italic_V end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL under¯ start_ARG italic_F end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_P italic_V end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x ) , end_CELL start_CELL italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_P italic_V end_POSTSUPERSCRIPT ≥ over¯ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT italic_P italic_V end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(25)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS5.p7"> <p class="ltx_p" id="S3.SS5.p7.1">With the construction of the ambiguity sets and the selection of the worst-case distribution pairs, the confidence level-driven uncertainty set in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S3.E13" title="In III-C Confidence Level Based Information Gap Decision Model ‣ III Confidence Level-Based Distributionally Information Gap decision Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">13</span></a>), which was originally based on precise CDFs, is now replaced by the one constructed using ambiguity sets, as (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S3.E26" title="In III-E Selection of the Worst-case Distribution ‣ III Confidence Level-Based Distributionally Information Gap decision Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">26</span></a>) shows.</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx13"> <tbody id="S3.E26"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell" colspan="2" style="padding-top:0pt;padding-bottom:0pt;"><math alttext="\displaystyle\begin{split}\bm{U}(&\alpha)=\Bigg{\{}\bm{\xi}\mid\bm{\xi}\in\Big% {[}\underline{\bm{\xi}}(\alpha),\overline{\bm{\xi}}(\alpha)\Big{]}=\arg\min_{% \overline{\bm{\xi}},\underline{\bm{\xi}}}(\overline{\bm{\xi}}-\underline{\bm{% \xi}}):\\ &\underline{F}_{\bm{\xi}}(\overline{\bm{\xi}})-\overline{F}_{\bm{\xi}}(% \underline{\bm{\xi}})\geq\alpha,0\leq\alpha\leq 1\mid\underline{F}_{\bm{\xi}},% \overline{F}_{\bm{\xi}}\in\mathcal{A}\Bigg{\}}\end{split}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E26.m1.60"><semantics id="S3.E26.m1.60a"><mtable columnspacing="0pt" id="S3.E26.m1.59.59a" rowspacing="0.0pt" xref="S3.E26.m1.60.60.1.cmml"><mtr id="S3.E26.m1.59.59aa" xref="S3.E26.m1.60.60.1.cmml"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S3.E26.m1.59.59ab" xref="S3.E26.m1.60.60.1.cmml"><mrow id="S3.E26.m1.2.2.2.2.2a" xref="S3.E26.m1.60.60.1.cmml"><mi id="S3.E26.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E26.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">𝑼</mi><mo id="S3.E26.m1.2.2.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.E26.m1.60.60.1.cmml">(</mo></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S3.E26.m1.59.59ac" xref="S3.E26.m1.60.60.1.cmml"><mrow id="S3.E26.m1.31.31.31.31.29a" xref="S3.E26.m1.60.60.1.cmml"><mi id="S3.E26.m1.3.3.3.3.1.1" xref="S3.E26.m1.3.3.3.3.1.1.cmml">α</mi><mo id="S3.E26.m1.4.4.4.4.2.2" stretchy="false" xref="S3.E26.m1.60.60.1.cmml">)</mo><mo id="S3.E26.m1.5.5.5.5.3.3" xref="S3.E26.m1.5.5.5.5.3.3.cmml">=</mo><mo id="S3.E26.m1.6.6.6.6.4.4" maxsize="260%" minsize="260%" xref="S3.E26.m1.60.60.1.cmml">{</mo><mi id="S3.E26.m1.7.7.7.7.5.5" xref="S3.E26.m1.7.7.7.7.5.5.cmml">𝝃</mi><mo id="S3.E26.m1.8.8.8.8.6.6" lspace="0em" rspace="0.167em" xref="S3.E26.m1.60.60.1.cmml">∣</mo><mi id="S3.E26.m1.9.9.9.9.7.7" xref="S3.E26.m1.9.9.9.9.7.7.cmml">𝝃</mi><mo id="S3.E26.m1.10.10.10.10.8.8" xref="S3.E26.m1.10.10.10.10.8.8.cmml">∈</mo><mrow id="S3.E26.m1.31.31.31.31.29a.30" xref="S3.E26.m1.60.60.1.cmml"><mo id="S3.E26.m1.11.11.11.11.9.9" maxsize="160%" minsize="160%" xref="S3.E26.m1.60.60.1.cmml">[</mo><munder accentunder="true" id="S3.E26.m1.12.12.12.12.10.10" xref="S3.E26.m1.12.12.12.12.10.10.cmml"><mi id="S3.E26.m1.12.12.12.12.10.10.2" xref="S3.E26.m1.12.12.12.12.10.10.2.cmml">𝝃</mi><mo id="S3.E26.m1.12.12.12.12.10.10.1" xref="S3.E26.m1.12.12.12.12.10.10.1.cmml">¯</mo></munder><mrow id="S3.E26.m1.31.31.31.31.29a.30.1" xref="S3.E26.m1.60.60.1.cmml"><mo id="S3.E26.m1.13.13.13.13.11.11" stretchy="false" xref="S3.E26.m1.60.60.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E26.m1.14.14.14.14.12.12" xref="S3.E26.m1.14.14.14.14.12.12.cmml">α</mi><mo id="S3.E26.m1.15.15.15.15.13.13" stretchy="false" xref="S3.E26.m1.60.60.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E26.m1.16.16.16.16.14.14" xref="S3.E26.m1.60.60.1.cmml">,</mo><mover accent="true" id="S3.E26.m1.17.17.17.17.15.15" xref="S3.E26.m1.17.17.17.17.15.15.cmml"><mi id="S3.E26.m1.17.17.17.17.15.15.2" xref="S3.E26.m1.17.17.17.17.15.15.2.cmml">𝝃</mi><mo id="S3.E26.m1.17.17.17.17.15.15.1" xref="S3.E26.m1.17.17.17.17.15.15.1.cmml">¯</mo></mover><mrow id="S3.E26.m1.31.31.31.31.29a.30.2" xref="S3.E26.m1.60.60.1.cmml"><mo id="S3.E26.m1.18.18.18.18.16.16" stretchy="false" xref="S3.E26.m1.60.60.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E26.m1.19.19.19.19.17.17" xref="S3.E26.m1.19.19.19.19.17.17.cmml">α</mi><mo id="S3.E26.m1.20.20.20.20.18.18" stretchy="false" xref="S3.E26.m1.60.60.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E26.m1.21.21.21.21.19.19" maxsize="160%" minsize="160%" xref="S3.E26.m1.60.60.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S3.E26.m1.22.22.22.22.20.20" xref="S3.E26.m1.22.22.22.22.20.20.cmml">=</mo><mi id="S3.E26.m1.23.23.23.23.21.21" xref="S3.E26.m1.23.23.23.23.21.21.cmml">arg</mi><munder id="S3.E26.m1.31.31.31.31.29a.31" xref="S3.E26.m1.60.60.1.cmml"><mi id="S3.E26.m1.24.24.24.24.22.22" xref="S3.E26.m1.24.24.24.24.22.22.cmml">min</mi><mrow id="S3.E26.m1.25.25.25.25.23.23.1.4" xref="S3.E26.m1.25.25.25.25.23.23.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.E26.m1.25.25.25.25.23.23.1.1" xref="S3.E26.m1.25.25.25.25.23.23.1.1.cmml"><mi id="S3.E26.m1.25.25.25.25.23.23.1.1.2" xref="S3.E26.m1.25.25.25.25.23.23.1.1.2.cmml">𝝃</mi><mo id="S3.E26.m1.25.25.25.25.23.23.1.1.1" xref="S3.E26.m1.25.25.25.25.23.23.1.1.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S3.E26.m1.25.25.25.25.23.23.1.4.1" xref="S3.E26.m1.25.25.25.25.23.23.1.3.cmml">,</mo><munder accentunder="true" id="S3.E26.m1.25.25.25.25.23.23.1.2" xref="S3.E26.m1.25.25.25.25.23.23.1.2.cmml"><mi id="S3.E26.m1.25.25.25.25.23.23.1.2.2" xref="S3.E26.m1.25.25.25.25.23.23.1.2.2.cmml">𝝃</mi><mo id="S3.E26.m1.25.25.25.25.23.23.1.2.1" xref="S3.E26.m1.25.25.25.25.23.23.1.2.1.cmml">¯</mo></munder></mrow></munder><mrow id="S3.E26.m1.31.31.31.31.29a.32" xref="S3.E26.m1.60.60.1.cmml"><mo id="S3.E26.m1.26.26.26.26.24.24" stretchy="false" xref="S3.E26.m1.60.60.1.cmml">(</mo><mover accent="true" id="S3.E26.m1.27.27.27.27.25.25" xref="S3.E26.m1.27.27.27.27.25.25.cmml"><mi id="S3.E26.m1.27.27.27.27.25.25.2" xref="S3.E26.m1.27.27.27.27.25.25.2.cmml">𝝃</mi><mo id="S3.E26.m1.27.27.27.27.25.25.1" xref="S3.E26.m1.27.27.27.27.25.25.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S3.E26.m1.28.28.28.28.26.26" xref="S3.E26.m1.28.28.28.28.26.26.cmml">−</mo><munder accentunder="true" id="S3.E26.m1.29.29.29.29.27.27" xref="S3.E26.m1.29.29.29.29.27.27.cmml"><mi id="S3.E26.m1.29.29.29.29.27.27.2" xref="S3.E26.m1.29.29.29.29.27.27.2.cmml">𝝃</mi><mo id="S3.E26.m1.29.29.29.29.27.27.1" xref="S3.E26.m1.29.29.29.29.27.27.1.cmml">¯</mo></munder><mo id="S3.E26.m1.30.30.30.30.28.28" rspace="0.278em" stretchy="false" xref="S3.E26.m1.60.60.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E26.m1.31.31.31.31.29.29" xref="S3.E26.m1.31.31.31.31.29.29.cmml">:</mo></mrow></mtd></mtr><mtr id="S3.E26.m1.59.59ad" xref="S3.E26.m1.60.60.1.cmml"><mtd id="S3.E26.m1.59.59ae" xref="S3.E26.m1.60.60.1.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S3.E26.m1.59.59af" xref="S3.E26.m1.60.60.1.cmml"><mrow id="S3.E26.m1.59.59.59.28.28a" xref="S3.E26.m1.60.60.1.cmml"><msub id="S3.E26.m1.59.59.59.28.28a.29" xref="S3.E26.m1.60.60.1.cmml"><munder accentunder="true" id="S3.E26.m1.32.32.32.1.1.1" xref="S3.E26.m1.32.32.32.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E26.m1.32.32.32.1.1.1.2" xref="S3.E26.m1.32.32.32.1.1.1.2.cmml">F</mi><mo id="S3.E26.m1.32.32.32.1.1.1.1" xref="S3.E26.m1.32.32.32.1.1.1.1.cmml">¯</mo></munder><mi id="S3.E26.m1.33.33.33.2.2.2.1" xref="S3.E26.m1.33.33.33.2.2.2.1.cmml">𝝃</mi></msub><mrow id="S3.E26.m1.59.59.59.28.28a.30" xref="S3.E26.m1.60.60.1.cmml"><mo id="S3.E26.m1.34.34.34.3.3.3" stretchy="false" xref="S3.E26.m1.60.60.1.cmml">(</mo><mover accent="true" id="S3.E26.m1.35.35.35.4.4.4" xref="S3.E26.m1.35.35.35.4.4.4.cmml"><mi id="S3.E26.m1.35.35.35.4.4.4.2" xref="S3.E26.m1.35.35.35.4.4.4.2.cmml">𝝃</mi><mo id="S3.E26.m1.35.35.35.4.4.4.1" xref="S3.E26.m1.35.35.35.4.4.4.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S3.E26.m1.36.36.36.5.5.5" stretchy="false" xref="S3.E26.m1.60.60.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E26.m1.37.37.37.6.6.6" xref="S3.E26.m1.37.37.37.6.6.6.cmml">−</mo><msub id="S3.E26.m1.59.59.59.28.28a.31" xref="S3.E26.m1.60.60.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.E26.m1.38.38.38.7.7.7" xref="S3.E26.m1.38.38.38.7.7.7.cmml"><mi id="S3.E26.m1.38.38.38.7.7.7.2" xref="S3.E26.m1.38.38.38.7.7.7.2.cmml">F</mi><mo id="S3.E26.m1.38.38.38.7.7.7.1" xref="S3.E26.m1.38.38.38.7.7.7.1.cmml">¯</mo></mover><mi id="S3.E26.m1.39.39.39.8.8.8.1" xref="S3.E26.m1.39.39.39.8.8.8.1.cmml">𝝃</mi></msub><mrow id="S3.E26.m1.59.59.59.28.28a.32" xref="S3.E26.m1.60.60.1.cmml"><mo id="S3.E26.m1.40.40.40.9.9.9" stretchy="false" xref="S3.E26.m1.60.60.1.cmml">(</mo><munder accentunder="true" id="S3.E26.m1.41.41.41.10.10.10" xref="S3.E26.m1.41.41.41.10.10.10.cmml"><mi id="S3.E26.m1.41.41.41.10.10.10.2" xref="S3.E26.m1.41.41.41.10.10.10.2.cmml">𝝃</mi><mo id="S3.E26.m1.41.41.41.10.10.10.1" xref="S3.E26.m1.41.41.41.10.10.10.1.cmml">¯</mo></munder><mo id="S3.E26.m1.42.42.42.11.11.11" stretchy="false" xref="S3.E26.m1.60.60.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E26.m1.43.43.43.12.12.12" xref="S3.E26.m1.43.43.43.12.12.12.cmml">≥</mo><mi id="S3.E26.m1.44.44.44.13.13.13" xref="S3.E26.m1.44.44.44.13.13.13.cmml">α</mi><mo id="S3.E26.m1.45.45.45.14.14.14" xref="S3.E26.m1.60.60.1.cmml">,</mo><mn id="S3.E26.m1.46.46.46.15.15.15" xref="S3.E26.m1.46.46.46.15.15.15.cmml">0</mn><mo id="S3.E26.m1.47.47.47.16.16.16" xref="S3.E26.m1.47.47.47.16.16.16.cmml">≤</mo><mi id="S3.E26.m1.48.48.48.17.17.17" xref="S3.E26.m1.48.48.48.17.17.17.cmml">α</mi><mo id="S3.E26.m1.49.49.49.18.18.18" xref="S3.E26.m1.49.49.49.18.18.18.cmml">≤</mo><mn id="S3.E26.m1.50.50.50.19.19.19" xref="S3.E26.m1.50.50.50.19.19.19.cmml">1</mn><mo id="S3.E26.m1.51.51.51.20.20.20" lspace="0em" rspace="0.167em" xref="S3.E26.m1.51.51.51.20.20.20.cmml">∣</mo><msub id="S3.E26.m1.59.59.59.28.28a.33" xref="S3.E26.m1.60.60.1.cmml"><munder accentunder="true" id="S3.E26.m1.52.52.52.21.21.21" xref="S3.E26.m1.52.52.52.21.21.21.cmml"><mi id="S3.E26.m1.52.52.52.21.21.21.2" xref="S3.E26.m1.52.52.52.21.21.21.2.cmml">F</mi><mo id="S3.E26.m1.52.52.52.21.21.21.1" xref="S3.E26.m1.52.52.52.21.21.21.1.cmml">¯</mo></munder><mi id="S3.E26.m1.53.53.53.22.22.22.1" xref="S3.E26.m1.53.53.53.22.22.22.1.cmml">𝝃</mi></msub><mo id="S3.E26.m1.54.54.54.23.23.23" xref="S3.E26.m1.60.60.1.cmml">,</mo><msub id="S3.E26.m1.59.59.59.28.28a.34" xref="S3.E26.m1.60.60.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.E26.m1.55.55.55.24.24.24" xref="S3.E26.m1.55.55.55.24.24.24.cmml"><mi id="S3.E26.m1.55.55.55.24.24.24.2" xref="S3.E26.m1.55.55.55.24.24.24.2.cmml">F</mi><mo id="S3.E26.m1.55.55.55.24.24.24.1" xref="S3.E26.m1.55.55.55.24.24.24.1.cmml">¯</mo></mover><mi id="S3.E26.m1.56.56.56.25.25.25.1" xref="S3.E26.m1.56.56.56.25.25.25.1.cmml">𝝃</mi></msub><mo id="S3.E26.m1.57.57.57.26.26.26" xref="S3.E26.m1.57.57.57.26.26.26.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E26.m1.58.58.58.27.27.27" xref="S3.E26.m1.58.58.58.27.27.27.cmml">𝒜</mi><mo id="S3.E26.m1.59.59.59.28.28.28" maxsize="260%" minsize="260%" xref="S3.E26.m1.60.60.1.cmml">}</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E26.m1.60b"><apply id="S3.E26.m1.60.60.1.cmml" xref="S3.E26.m1.59.59a"><eq id="S3.E26.m1.5.5.5.5.3.3.cmml" xref="S3.E26.m1.5.5.5.5.3.3"></eq><apply id="S3.E26.m1.60.60.1.3.cmml" xref="S3.E26.m1.59.59a"><times id="S3.E26.m1.60.60.1.3.1.cmml" xref="S3.E26.m1.59.59a"></times><ci id="S3.E26.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E26.m1.1.1.1.1.1.1">𝑼</ci><ci id="S3.E26.m1.3.3.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E26.m1.3.3.3.3.1.1">𝛼</ci></apply><apply id="S3.E26.m1.60.60.1.1.2.cmml" xref="S3.E26.m1.59.59a"><csymbol cd="latexml" id="S3.E26.m1.60.60.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E26.m1.59.59a">conditional-set</csymbol><ci id="S3.E26.m1.7.7.7.7.5.5.cmml" xref="S3.E26.m1.7.7.7.7.5.5">𝝃</ci><apply id="S3.E26.m1.60.60.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E26.m1.59.59a"><ci id="S3.E26.m1.31.31.31.31.29.29.cmml" xref="S3.E26.m1.31.31.31.31.29.29">:</ci><apply id="S3.E26.m1.60.60.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.E26.m1.59.59a"><and id="S3.E26.m1.60.60.1.1.1.1.4a.cmml" xref="S3.E26.m1.59.59a"></and><apply id="S3.E26.m1.60.60.1.1.1.1.4b.cmml" xref="S3.E26.m1.59.59a"><in id="S3.E26.m1.10.10.10.10.8.8.cmml" xref="S3.E26.m1.10.10.10.10.8.8"></in><ci id="S3.E26.m1.9.9.9.9.7.7.cmml" xref="S3.E26.m1.9.9.9.9.7.7">𝝃</ci><interval closure="closed" id="S3.E26.m1.60.60.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E26.m1.59.59a"><apply id="S3.E26.m1.60.60.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E26.m1.59.59a"><times id="S3.E26.m1.60.60.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E26.m1.59.59a"></times><apply id="S3.E26.m1.12.12.12.12.10.10.cmml" xref="S3.E26.m1.12.12.12.12.10.10"><ci id="S3.E26.m1.12.12.12.12.10.10.1.cmml" xref="S3.E26.m1.12.12.12.12.10.10.1">¯</ci><ci id="S3.E26.m1.12.12.12.12.10.10.2.cmml" xref="S3.E26.m1.12.12.12.12.10.10.2">𝝃</ci></apply><ci id="S3.E26.m1.14.14.14.14.12.12.cmml" xref="S3.E26.m1.14.14.14.14.12.12">𝛼</ci></apply><apply id="S3.E26.m1.60.60.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E26.m1.59.59a"><times id="S3.E26.m1.60.60.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E26.m1.59.59a"></times><apply id="S3.E26.m1.17.17.17.17.15.15.cmml" xref="S3.E26.m1.17.17.17.17.15.15"><ci id="S3.E26.m1.17.17.17.17.15.15.1.cmml" xref="S3.E26.m1.17.17.17.17.15.15.1">¯</ci><ci id="S3.E26.m1.17.17.17.17.15.15.2.cmml" xref="S3.E26.m1.17.17.17.17.15.15.2">𝝃</ci></apply><ci id="S3.E26.m1.19.19.19.19.17.17.cmml" xref="S3.E26.m1.19.19.19.19.17.17">𝛼</ci></apply></interval></apply><apply id="S3.E26.m1.60.60.1.1.1.1.4c.cmml" xref="S3.E26.m1.59.59a"><eq id="S3.E26.m1.22.22.22.22.20.20.cmml" xref="S3.E26.m1.22.22.22.22.20.20"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S3.E26.m1.60.60.1.1.1.1.2.2.cmml" 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xref="S3.E26.m1.25.25.25.25.23.23.1.2"><ci id="S3.E26.m1.25.25.25.25.23.23.1.2.1.cmml" xref="S3.E26.m1.25.25.25.25.23.23.1.2.1">¯</ci><ci id="S3.E26.m1.25.25.25.25.23.23.1.2.2.cmml" xref="S3.E26.m1.25.25.25.25.23.23.1.2.2">𝝃</ci></apply></list></apply><apply id="S3.E26.m1.60.60.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E26.m1.59.59a"><minus id="S3.E26.m1.28.28.28.28.26.26.cmml" xref="S3.E26.m1.28.28.28.28.26.26"></minus><apply id="S3.E26.m1.27.27.27.27.25.25.cmml" xref="S3.E26.m1.27.27.27.27.25.25"><ci id="S3.E26.m1.27.27.27.27.25.25.1.cmml" xref="S3.E26.m1.27.27.27.27.25.25.1">¯</ci><ci id="S3.E26.m1.27.27.27.27.25.25.2.cmml" xref="S3.E26.m1.27.27.27.27.25.25.2">𝝃</ci></apply><apply id="S3.E26.m1.29.29.29.29.27.27.cmml" xref="S3.E26.m1.29.29.29.29.27.27"><ci id="S3.E26.m1.29.29.29.29.27.27.1.cmml" xref="S3.E26.m1.29.29.29.29.27.27.1">¯</ci><ci id="S3.E26.m1.29.29.29.29.27.27.2.cmml" xref="S3.E26.m1.29.29.29.29.27.27.2">𝝃</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E26.m1.60.60.1.1.1.1.6.3.cmml" xref="S3.E26.m1.59.59a"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E26.m1.60.60.1.1.1.1.6.3a.cmml" xref="S3.E26.m1.59.59a">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.E26.m1.60.60.1.1.1.1.5.1.1.cmml" xref="S3.E26.m1.59.59a"><geq id="S3.E26.m1.43.43.43.12.12.12.cmml" xref="S3.E26.m1.43.43.43.12.12.12"></geq><apply id="S3.E26.m1.60.60.1.1.1.1.5.1.1.2.cmml" xref="S3.E26.m1.59.59a"><minus id="S3.E26.m1.37.37.37.6.6.6.cmml" xref="S3.E26.m1.37.37.37.6.6.6"></minus><apply id="S3.E26.m1.60.60.1.1.1.1.5.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E26.m1.59.59a"><times id="S3.E26.m1.60.60.1.1.1.1.5.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E26.m1.59.59a"></times><apply id="S3.E26.m1.60.60.1.1.1.1.5.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E26.m1.59.59a"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E26.m1.60.60.1.1.1.1.5.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E26.m1.59.59a">subscript</csymbol><apply id="S3.E26.m1.32.32.32.1.1.1.cmml" xref="S3.E26.m1.32.32.32.1.1.1"><ci id="S3.E26.m1.32.32.32.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E26.m1.32.32.32.1.1.1.1">¯</ci><ci id="S3.E26.m1.32.32.32.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E26.m1.32.32.32.1.1.1.2">𝐹</ci></apply><ci id="S3.E26.m1.33.33.33.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E26.m1.33.33.33.2.2.2.1">𝝃</ci></apply><apply id="S3.E26.m1.35.35.35.4.4.4.cmml" xref="S3.E26.m1.35.35.35.4.4.4"><ci id="S3.E26.m1.35.35.35.4.4.4.1.cmml" xref="S3.E26.m1.35.35.35.4.4.4.1">¯</ci><ci id="S3.E26.m1.35.35.35.4.4.4.2.cmml" xref="S3.E26.m1.35.35.35.4.4.4.2">𝝃</ci></apply></apply><apply id="S3.E26.m1.60.60.1.1.1.1.5.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E26.m1.59.59a"><times id="S3.E26.m1.60.60.1.1.1.1.5.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E26.m1.59.59a"></times><apply id="S3.E26.m1.60.60.1.1.1.1.5.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E26.m1.59.59a"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E26.m1.60.60.1.1.1.1.5.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S3.E26.m1.59.59a">subscript</csymbol><apply id="S3.E26.m1.38.38.38.7.7.7.cmml" xref="S3.E26.m1.38.38.38.7.7.7"><ci id="S3.E26.m1.38.38.38.7.7.7.1.cmml" xref="S3.E26.m1.38.38.38.7.7.7.1">¯</ci><ci id="S3.E26.m1.38.38.38.7.7.7.2.cmml" xref="S3.E26.m1.38.38.38.7.7.7.2">𝐹</ci></apply><ci id="S3.E26.m1.39.39.39.8.8.8.1.cmml" xref="S3.E26.m1.39.39.39.8.8.8.1">𝝃</ci></apply><apply id="S3.E26.m1.41.41.41.10.10.10.cmml" xref="S3.E26.m1.41.41.41.10.10.10"><ci id="S3.E26.m1.41.41.41.10.10.10.1.cmml" xref="S3.E26.m1.41.41.41.10.10.10.1">¯</ci><ci id="S3.E26.m1.41.41.41.10.10.10.2.cmml" xref="S3.E26.m1.41.41.41.10.10.10.2">𝝃</ci></apply></apply></apply><ci id="S3.E26.m1.44.44.44.13.13.13.cmml" xref="S3.E26.m1.44.44.44.13.13.13">𝛼</ci></apply><apply id="S3.E26.m1.60.60.1.1.1.1.6.2.2.cmml" xref="S3.E26.m1.59.59a"><and id="S3.E26.m1.60.60.1.1.1.1.6.2.2a.cmml" xref="S3.E26.m1.59.59a"></and><apply id="S3.E26.m1.60.60.1.1.1.1.6.2.2b.cmml" xref="S3.E26.m1.59.59a"><leq id="S3.E26.m1.47.47.47.16.16.16.cmml" xref="S3.E26.m1.47.47.47.16.16.16"></leq><cn id="S3.E26.m1.46.46.46.15.15.15.cmml" type="integer" xref="S3.E26.m1.46.46.46.15.15.15">0</cn><ci id="S3.E26.m1.48.48.48.17.17.17.cmml" xref="S3.E26.m1.48.48.48.17.17.17">𝛼</ci></apply><apply id="S3.E26.m1.60.60.1.1.1.1.6.2.2c.cmml" xref="S3.E26.m1.59.59a"><leq id="S3.E26.m1.49.49.49.18.18.18.cmml" xref="S3.E26.m1.49.49.49.18.18.18"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S3.E26.m1.60.60.1.1.1.1.6.2.2.6.cmml" id="S3.E26.m1.60.60.1.1.1.1.6.2.2d.cmml" xref="S3.E26.m1.59.59a"></share><apply id="S3.E26.m1.60.60.1.1.1.1.6.2.2.2.cmml" xref="S3.E26.m1.59.59a"><ci id="S3.E26.m1.51.51.51.20.20.20.cmml" xref="S3.E26.m1.51.51.51.20.20.20">∣</ci><cn id="S3.E26.m1.50.50.50.19.19.19.cmml" type="integer" xref="S3.E26.m1.50.50.50.19.19.19">1</cn><list id="S3.E26.m1.60.60.1.1.1.1.6.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E26.m1.59.59a"><apply id="S3.E26.m1.60.60.1.1.1.1.6.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E26.m1.59.59a"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E26.m1.60.60.1.1.1.1.6.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E26.m1.59.59a">subscript</csymbol><apply id="S3.E26.m1.52.52.52.21.21.21.cmml" xref="S3.E26.m1.52.52.52.21.21.21"><ci id="S3.E26.m1.52.52.52.21.21.21.1.cmml" xref="S3.E26.m1.52.52.52.21.21.21.1">¯</ci><ci id="S3.E26.m1.52.52.52.21.21.21.2.cmml" xref="S3.E26.m1.52.52.52.21.21.21.2">𝐹</ci></apply><ci id="S3.E26.m1.53.53.53.22.22.22.1.cmml" xref="S3.E26.m1.53.53.53.22.22.22.1">𝝃</ci></apply><apply id="S3.E26.m1.60.60.1.1.1.1.6.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E26.m1.59.59a"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E26.m1.60.60.1.1.1.1.6.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E26.m1.59.59a">subscript</csymbol><apply id="S3.E26.m1.55.55.55.24.24.24.cmml" xref="S3.E26.m1.55.55.55.24.24.24"><ci id="S3.E26.m1.55.55.55.24.24.24.1.cmml" xref="S3.E26.m1.55.55.55.24.24.24.1">¯</ci><ci id="S3.E26.m1.55.55.55.24.24.24.2.cmml" xref="S3.E26.m1.55.55.55.24.24.24.2">𝐹</ci></apply><ci id="S3.E26.m1.56.56.56.25.25.25.1.cmml" xref="S3.E26.m1.56.56.56.25.25.25.1">𝝃</ci></apply></list></apply></apply><apply id="S3.E26.m1.60.60.1.1.1.1.6.2.2e.cmml" xref="S3.E26.m1.59.59a"><in id="S3.E26.m1.57.57.57.26.26.26.cmml" xref="S3.E26.m1.57.57.57.26.26.26"></in><share href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S3.E26.m1.60.60.1.1.1.1.6.2.2.2.cmml" id="S3.E26.m1.60.60.1.1.1.1.6.2.2f.cmml" xref="S3.E26.m1.59.59a"></share><ci id="S3.E26.m1.58.58.58.27.27.27.cmml" xref="S3.E26.m1.58.58.58.27.27.27">𝒜</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E26.m1.60c">\displaystyle\begin{split}\bm{U}(&\alpha)=\Bigg{\{}\bm{\xi}\mid\bm{\xi}\in\Big% {[}\underline{\bm{\xi}}(\alpha),\overline{\bm{\xi}}(\alpha)\Big{]}=\arg\min_{% \overline{\bm{\xi}},\underline{\bm{\xi}}}(\overline{\bm{\xi}}-\underline{\bm{% \xi}}):\\ &\underline{F}_{\bm{\xi}}(\overline{\bm{\xi}})-\overline{F}_{\bm{\xi}}(% \underline{\bm{\xi}})\geq\alpha,0\leq\alpha\leq 1\mid\underline{F}_{\bm{\xi}},% \overline{F}_{\bm{\xi}}\in\mathcal{A}\Bigg{\}}\end{split}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E26.m1.60d">start_ROW start_CELL bold_italic_U ( end_CELL start_CELL italic_α ) = { bold_italic_ξ ∣ bold_italic_ξ ∈ [ under¯ start_ARG bold_italic_ξ end_ARG ( italic_α ) , over¯ start_ARG bold_italic_ξ end_ARG ( italic_α ) ] = roman_arg roman_min start_POSTSUBSCRIPT over¯ start_ARG bold_italic_ξ end_ARG , under¯ start_ARG bold_italic_ξ end_ARG end_POSTSUBSCRIPT ( over¯ start_ARG bold_italic_ξ end_ARG - under¯ start_ARG bold_italic_ξ end_ARG ) : end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL under¯ start_ARG italic_F end_ARG start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_ξ end_POSTSUBSCRIPT ( over¯ start_ARG bold_italic_ξ end_ARG ) - over¯ start_ARG italic_F end_ARG start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_ξ end_POSTSUBSCRIPT ( under¯ start_ARG bold_italic_ξ end_ARG ) ≥ italic_α , 0 ≤ italic_α ≤ 1 ∣ under¯ start_ARG italic_F end_ARG start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_ξ end_POSTSUBSCRIPT , over¯ start_ARG italic_F end_ARG start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_ξ end_POSTSUBSCRIPT ∈ caligraphic_A } end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(26)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </section> </section> <section class="ltx_section" id="S4"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">IV </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps" id="S4.1.1">Solution Methodology</span> </h2> <div class="ltx_para" id="S4.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.p1.1">This section presents the methodology to solve the proposed optimization framework shown in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S3.E14" title="In III-C Confidence Level Based Information Gap Decision Model ‣ III Confidence Level-Based Distributionally Information Gap decision Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">14</span></a>) and (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S3.E26" title="In III-E Selection of the Worst-case Distribution ‣ III Confidence Level-Based Distributionally Information Gap decision Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">26</span></a>). A piecewise linearization approximation (PLA) method is utilized to linearize the CDFs that lack closed-form expressions, thereby facilitating the obtaining of the optimal uncertainty set offline. The optimization formulation is thus transformed into a mixed integer linear programming (MILP) model. An iterative method is introduced to determine the upper and lower bounds of the optimal <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.p1.1.m1.1a"><mi id="S4.p1.1.m1.1.1" xref="S4.p1.1.m1.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p1.1.m1.1b"><ci id="S4.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p1.1.m1.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p1.1.m1.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p1.1.m1.1d">italic_α</annotation></semantics></math> until the required accuracy is achieved. Overall, the proposed methodology is outlined in Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S4.F3" title="Figure 3 ‣ IV Solution Methodology ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S4.F3"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="233" id="S4.F3.g1" src="x5.png" width="415"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure 3: </span>Flowchart of the solution methodology.</figcaption> </figure> <section class="ltx_subsection" id="S4.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection"><span class="ltx_text" id="S4.SS1.4.1.1">IV-A</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.SS1.5.2">Calculation of Optimal Uncertainty Set</span> </h3> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p1.1">Explicitly expressing the uncertainty set in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S3.E26" title="In III-E Selection of the Worst-case Distribution ‣ III Confidence Level-Based Distributionally Information Gap decision Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">26</span></a>) is challenging, as the suboptimization problem lacks closed-form distributions which are constructed by a series of discrete points, and thus deriving the optimality conditions is inapplicable. However, leveraging the structure of the proposed framework, we devise a method to calculate the optimal uncertainty set offline, and subsequently integrate it into the original model.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p2.1">Assume the optimal objective value is <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p2.1.m1.1"><semantics id="S4.SS1.p2.1.m1.1a"><mi id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p2.1.m1.1b"><ci id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p2.1.m1.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p2.1.m1.1d">italic_α</annotation></semantics></math> in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S3.E26" title="In III-E Selection of the Worst-case Distribution ‣ III Confidence Level-Based Distributionally Information Gap decision Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">26</span></a>). The PLA method <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#bib.bib21" title="">21</a>]</cite> enables the approximated transformation of (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S3.E26" title="In III-E Selection of the Worst-case Distribution ‣ III Confidence Level-Based Distributionally Information Gap decision Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">26</span></a>) into a MILP, thereby facilitating the derivation of the optimal uncertainty set. Again, we take solar power as an example.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p3"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p3.4"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.SS1.p3.4.1">Step 1:</span> The range of <math alttext="p^{PV}_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p3.1.m1.1"><semantics id="S4.SS1.p3.1.m1.1a"><msubsup id="S4.SS1.p3.1.m1.1.1" xref="S4.SS1.p3.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.1.m1.1.1.2.2" xref="S4.SS1.p3.1.m1.1.1.2.2.cmml">p</mi><mi id="S4.SS1.p3.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS1.p3.1.m1.1.1.3.cmml">t</mi><mrow id="S4.SS1.p3.1.m1.1.1.2.3" xref="S4.SS1.p3.1.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.1.m1.1.1.2.3.2" xref="S4.SS1.p3.1.m1.1.1.2.3.2.cmml">P</mi><mo id="S4.SS1.p3.1.m1.1.1.2.3.1" xref="S4.SS1.p3.1.m1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS1.p3.1.m1.1.1.2.3.3" xref="S4.SS1.p3.1.m1.1.1.2.3.3.cmml">V</mi></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p3.1.m1.1b"><apply id="S4.SS1.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p3.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.1.1.2.2">𝑝</ci><apply id="S4.SS1.p3.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.1.1.2.3"><times id="S4.SS1.p3.1.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S4.SS1.p3.1.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.1.1.2.3.2">𝑃</ci><ci id="S4.SS1.p3.1.m1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.1.1.2.3.3">𝑉</ci></apply></apply><ci id="S4.SS1.p3.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p3.1.m1.1c">p^{PV}_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p3.1.m1.1d">italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_P italic_V end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is segmented into equal intervals marked by a series of breakpoints <math alttext="o_{t,s},s=1,...,S" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p3.2.m2.7"><semantics id="S4.SS1.p3.2.m2.7a"><mrow id="S4.SS1.p3.2.m2.7.7.2" xref="S4.SS1.p3.2.m2.7.7.3.cmml"><mrow id="S4.SS1.p3.2.m2.6.6.1.1" xref="S4.SS1.p3.2.m2.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS1.p3.2.m2.6.6.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p3.2.m2.6.6.1.1.1.2.cmml"><msub id="S4.SS1.p3.2.m2.6.6.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p3.2.m2.6.6.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.2.m2.6.6.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p3.2.m2.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml">o</mi><mrow id="S4.SS1.p3.2.m2.2.2.2.4" xref="S4.SS1.p3.2.m2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.SS1.p3.2.m2.2.2.2.4.1" xref="S4.SS1.p3.2.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.SS1.p3.2.m2.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p3.2.m2.2.2.2.2.cmml">s</mi></mrow></msub><mo id="S4.SS1.p3.2.m2.6.6.1.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p3.2.m2.6.6.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S4.SS1.p3.2.m2.3.3" xref="S4.SS1.p3.2.m2.3.3.cmml">s</mi></mrow><mo id="S4.SS1.p3.2.m2.6.6.1.1.2" xref="S4.SS1.p3.2.m2.6.6.1.1.2.cmml">=</mo><mn id="S4.SS1.p3.2.m2.6.6.1.1.3" xref="S4.SS1.p3.2.m2.6.6.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.SS1.p3.2.m2.7.7.2.3" xref="S4.SS1.p3.2.m2.7.7.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.SS1.p3.2.m2.7.7.2.2.2" xref="S4.SS1.p3.2.m2.7.7.2.2.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.2.m2.4.4" mathvariant="normal" xref="S4.SS1.p3.2.m2.4.4.cmml">…</mi><mo id="S4.SS1.p3.2.m2.7.7.2.2.2.1" xref="S4.SS1.p3.2.m2.7.7.2.2.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS1.p3.2.m2.5.5" xref="S4.SS1.p3.2.m2.5.5.cmml">S</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p3.2.m2.7b"><apply id="S4.SS1.p3.2.m2.7.7.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m2.7.7.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.2.m2.7.7.3a.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m2.7.7.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.SS1.p3.2.m2.6.6.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m2.6.6.1.1"><eq id="S4.SS1.p3.2.m2.6.6.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m2.6.6.1.1.2"></eq><list id="S4.SS1.p3.2.m2.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m2.6.6.1.1.1.1"><apply id="S4.SS1.p3.2.m2.6.6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m2.6.6.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.2.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m2.6.6.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p3.2.m2.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m2.6.6.1.1.1.1.1.2">𝑜</ci><list id="S4.SS1.p3.2.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m2.2.2.2.4"><ci id="S4.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1">𝑡</ci><ci id="S4.SS1.p3.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m2.2.2.2.2">𝑠</ci></list></apply><ci id="S4.SS1.p3.2.m2.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m2.3.3">𝑠</ci></list><cn id="S4.SS1.p3.2.m2.6.6.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p3.2.m2.6.6.1.1.3">1</cn></apply><list id="S4.SS1.p3.2.m2.7.7.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m2.7.7.2.2.2"><ci id="S4.SS1.p3.2.m2.4.4.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m2.4.4">…</ci><ci id="S4.SS1.p3.2.m2.5.5.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m2.5.5">𝑆</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p3.2.m2.7c">o_{t,s},s=1,...,S</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p3.2.m2.7d">italic_o start_POSTSUBSCRIPT italic_t , italic_s end_POSTSUBSCRIPT , italic_s = 1 , … , italic_S</annotation></semantics></math>. Each interval is associated with a binary variable <math alttext="a_{t,s}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p3.3.m3.2"><semantics id="S4.SS1.p3.3.m3.2a"><msub id="S4.SS1.p3.3.m3.2.3" xref="S4.SS1.p3.3.m3.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.3.m3.2.3.2" xref="S4.SS1.p3.3.m3.2.3.2.cmml">a</mi><mrow id="S4.SS1.p3.3.m3.2.2.2.4" xref="S4.SS1.p3.3.m3.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.SS1.p3.3.m3.2.2.2.4.1" xref="S4.SS1.p3.3.m3.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.SS1.p3.3.m3.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p3.3.m3.2.2.2.2.cmml">s</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p3.3.m3.2b"><apply id="S4.SS1.p3.3.m3.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.3.m3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.3.m3.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.3.m3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p3.3.m3.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.3.m3.2.3.2">𝑎</ci><list id="S4.SS1.p3.3.m3.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.3.m3.2.2.2.4"><ci id="S4.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1">𝑡</ci><ci id="S4.SS1.p3.3.m3.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.3.m3.2.2.2.2">𝑠</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p3.3.m3.2c">a_{t,s}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p3.3.m3.2d">italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_t , italic_s end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> to determine whether the actual lower bound <math alttext="\underline{p}^{PV}_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p3.4.m4.1"><semantics id="S4.SS1.p3.4.m4.1a"><msubsup id="S4.SS1.p3.4.m4.1.1" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.1.cmml"><munder accentunder="true" id="S4.SS1.p3.4.m4.1.1.2.2" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.4.m4.1.1.2.2.2" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.1.2.2.2.cmml">p</mi><mo id="S4.SS1.p3.4.m4.1.1.2.2.1" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.1.2.2.1.cmml">¯</mo></munder><mi id="S4.SS1.p3.4.m4.1.1.3" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.1.3.cmml">t</mi><mrow id="S4.SS1.p3.4.m4.1.1.2.3" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.4.m4.1.1.2.3.2" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.1.2.3.2.cmml">P</mi><mo id="S4.SS1.p3.4.m4.1.1.2.3.1" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS1.p3.4.m4.1.1.2.3.3" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.1.2.3.3.cmml">V</mi></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p3.4.m4.1b"><apply id="S4.SS1.p3.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p3.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p3.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.1.2.2"><ci id="S4.SS1.p3.4.m4.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.1.2.2.1">¯</ci><ci id="S4.SS1.p3.4.m4.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.1.2.2.2">𝑝</ci></apply><apply id="S4.SS1.p3.4.m4.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.1.2.3"><times id="S4.SS1.p3.4.m4.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.1.2.3.1"></times><ci id="S4.SS1.p3.4.m4.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.1.2.3.2">𝑃</ci><ci id="S4.SS1.p3.4.m4.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.1.2.3.3">𝑉</ci></apply></apply><ci id="S4.SS1.p3.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p3.4.m4.1c">\underline{p}^{PV}_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p3.4.m4.1d">under¯ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT italic_P italic_V end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, for instance, falls within this interval, which can be expressed as:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E27"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\begin{cases}\underline{p}^{PV}_{t}=\sum_{s=1}^{S-1}\underline{p}^{PV}_{t,s}\\ \sum_{s=1}^{S-1}a_{t,s}=1\\ a_{t,s}o_{t,s}\leq\underline{p}^{PV}_{t,s}\leq a_{t,s}o_{t,s+1}\end{cases}" class="ltx_Math" display="block" id="S4.E27.m1.3"><semantics id="S4.E27.m1.3a"><mrow id="S4.E27.m1.3.3" xref="S4.E27.m1.3.4.1.cmml"><mo id="S4.E27.m1.3.3.4" xref="S4.E27.m1.3.4.1.1.cmml">{</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S4.E27.m1.3.3.3" rowspacing="0pt" xref="S4.E27.m1.3.4.1.cmml"><mtr id="S4.E27.m1.3.3.3a" xref="S4.E27.m1.3.4.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E27.m1.3.3.3b" xref="S4.E27.m1.3.4.1.cmml"><mrow id="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><munder accentunder="true" id="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml"><mi id="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml">p</mi><mo id="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.1" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.1.cmml">¯</mo></munder><mi id="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">t</mi><mrow id="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml"><mi id="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml">P</mi><mo id="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.1" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml">V</mi></mrow></msubsup><mo id="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.5" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.5.1" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.5.1.cmml"><msubsup id="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.5.1a" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.5.1.cmml"><mo id="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.5.1.2.2" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.5.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.5.1.2.3" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.5.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.5.1.2.3.2" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.5.1.2.3.2.cmml">s</mi><mo id="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.5.1.2.3.1" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.5.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.5.1.2.3.3" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.5.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.5.1.3" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.5.1.3.cmml"><mi id="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.5.1.3.2" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.5.1.3.2.cmml">S</mi><mo id="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.5.1.3.1" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.5.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.5.1.3.3" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.5.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msubsup></mstyle><msubsup id="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.5.2" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml"><munder accentunder="true" id="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.5.2.2.2" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.5.2.2.2.cmml"><mi id="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.5.2.2.2.2" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.5.2.2.2.2.cmml">p</mi><mo id="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.5.2.2.2.1" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.5.2.2.2.1.cmml">¯</mo></munder><mrow id="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.4" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.1" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">s</mi></mrow><mrow id="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.5.2.2.3" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.5.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.5.2.2.3.2" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.5.2.2.3.2.cmml">P</mi><mo id="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.5.2.2.3.1" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.5.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.5.2.2.3.3" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.5.2.2.3.3.cmml">V</mi></mrow></msubsup></mrow></mrow></mtd><mtd id="S4.E27.m1.3.3.3c" xref="S4.E27.m1.3.4.1.1.cmml"></mtd></mtr><mtr id="S4.E27.m1.3.3.3d" xref="S4.E27.m1.3.4.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E27.m1.3.3.3e" xref="S4.E27.m1.3.4.1.cmml"><mrow id="S4.E27.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S4.E27.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.E27.m1.2.2.2.2.1.1.4" xref="S4.E27.m1.2.2.2.2.1.1.4.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S4.E27.m1.2.2.2.2.1.1.4.1" xref="S4.E27.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.cmml"><msubsup id="S4.E27.m1.2.2.2.2.1.1.4.1a" xref="S4.E27.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.cmml"><mo id="S4.E27.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.2.2" xref="S4.E27.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.E27.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.2.3" xref="S4.E27.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E27.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.2.3.2" xref="S4.E27.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.2.3.2.cmml">s</mi><mo id="S4.E27.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.2.3.1" xref="S4.E27.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.E27.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.2.3.3" xref="S4.E27.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="S4.E27.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.3" xref="S4.E27.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.3.cmml"><mi id="S4.E27.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.3.2" xref="S4.E27.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.3.2.cmml">S</mi><mo id="S4.E27.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.3.1" xref="S4.E27.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="S4.E27.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.3.3" xref="S4.E27.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msubsup></mstyle><msub id="S4.E27.m1.2.2.2.2.1.1.4.2" xref="S4.E27.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.cmml"><mi id="S4.E27.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.2" xref="S4.E27.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.2.cmml">a</mi><mrow id="S4.E27.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.4" xref="S4.E27.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E27.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.E27.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.E27.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.4.1" xref="S4.E27.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.E27.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2" xref="S4.E27.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.cmml">s</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S4.E27.m1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S4.E27.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml">=</mo><mn id="S4.E27.m1.2.2.2.2.1.1.5" xref="S4.E27.m1.2.2.2.2.1.1.5.cmml">1</mn></mrow></mtd><mtd id="S4.E27.m1.3.3.3f" xref="S4.E27.m1.3.4.1.1.cmml"></mtd></mtr><mtr id="S4.E27.m1.3.3.3g" xref="S4.E27.m1.3.4.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E27.m1.3.3.3h" xref="S4.E27.m1.3.4.1.cmml"><mrow id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.12" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.12.cmml"><msub id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.12.2" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.12.2.cmml"><mi id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.12.2.2" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.12.2.2.cmml">a</mi><mrow id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.4" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.4.1" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.2" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.2.cmml">s</mi></mrow></msub><mo id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.12.1" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.12.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.12.3" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.12.3.cmml"><mi id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.12.3.2" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.12.3.2.cmml">o</mi><mrow id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.4.2.4" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.4.2.3.cmml"><mi id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.3.1.1" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.3.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.4.2.4.1" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.4.2.2" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.4.2.2.cmml">s</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.13" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.13.cmml">≤</mo><msubsup id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.14" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.14.cmml"><munder accentunder="true" id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.14.2.2" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.14.2.2.cmml"><mi id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.14.2.2.2" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.14.2.2.2.cmml">p</mi><mo id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.14.2.2.1" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.14.2.2.1.cmml">¯</mo></munder><mrow id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.6.2.4" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.6.2.3.cmml"><mi id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.1" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.6.2.4.1" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.6.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.6.2.2" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.6.2.2.cmml">s</mi></mrow><mrow id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.14.2.3" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.14.2.3.cmml"><mi id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.14.2.3.2" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.14.2.3.2.cmml">P</mi><mo id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.14.2.3.1" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.14.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.14.2.3.3" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.14.2.3.3.cmml">V</mi></mrow></msubsup><mo id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.15" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.15.cmml">≤</mo><mrow id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.16" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.16.cmml"><msub id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.16.2" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.16.2.cmml"><mi id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.16.2.2" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.16.2.2.cmml">a</mi><mrow id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.8.2.4" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.8.2.3.cmml"><mi id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.7.1.1" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.7.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.8.2.4.1" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.8.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.8.2.2" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.8.2.2.cmml">s</mi></mrow></msub><mo id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.16.1" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.16.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.16.3" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.16.3.cmml"><mi id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.16.3.2" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.16.3.2.cmml">o</mi><mrow id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.10.2.2" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.10.2.3.cmml"><mi id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.9.1.1" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.9.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.10.2.2.2" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.10.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.10.2.2.1" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.10.2.2.1.cmml"><mi id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.10.2.2.1.2" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.10.2.2.1.2.cmml">s</mi><mo id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.10.2.2.1.1" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.10.2.2.1.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.10.2.2.1.3" 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id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.14.2.3.cmml" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.14.2.3"><times id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.14.2.3.1.cmml" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.14.2.3.1"></times><ci id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.14.2.3.2.cmml" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.14.2.3.2">𝑃</ci><ci id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.14.2.3.3.cmml" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.14.2.3.3">𝑉</ci></apply></apply><list id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.6.2.3.cmml" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.6.2.4"><ci id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.1.cmml" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.1">𝑡</ci><ci id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.6.2.2.cmml" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.6.2.2">𝑠</ci></list></apply></apply><apply id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1c.cmml" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1"><leq id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.15.cmml" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.15"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.14.cmml" id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1d.cmml" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1"></share><apply id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.16.cmml" 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xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.10.2.2"><ci id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.9.1.1.cmml" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.9.1.1">𝑡</ci><apply id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.10.2.2.1.cmml" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.10.2.2.1"><plus id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.10.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.10.2.2.1.1"></plus><ci id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.10.2.2.1.2.cmml" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.10.2.2.1.2">𝑠</ci><cn id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.10.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.10.2.2.1.3">1</cn></apply></list></apply></apply></apply></apply><ci id="S4.E27.m1.3.4.1.7a.cmml" xref="S4.E27.m1.3.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S4.E27.m1.3.4.1.7.cmml" xref="S4.E27.m1.3.3.4">otherwise</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E27.m1.3c">\begin{cases}\underline{p}^{PV}_{t}=\sum_{s=1}^{S-1}\underline{p}^{PV}_{t,s}\\ \sum_{s=1}^{S-1}a_{t,s}=1\\ a_{t,s}o_{t,s}\leq\underline{p}^{PV}_{t,s}\leq a_{t,s}o_{t,s+1}\end{cases}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E27.m1.3d">{ start_ROW start_CELL under¯ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT italic_P italic_V end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_s = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_S - 1 end_POSTSUPERSCRIPT under¯ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT italic_P italic_V end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_t , italic_s end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_s = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_S - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_t , italic_s end_POSTSUBSCRIPT = 1 end_CELL start_CELL end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_t , italic_s end_POSTSUBSCRIPT italic_o start_POSTSUBSCRIPT italic_t , italic_s end_POSTSUBSCRIPT ≤ under¯ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT italic_P italic_V end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_t , italic_s end_POSTSUBSCRIPT ≤ italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_t , italic_s end_POSTSUBSCRIPT italic_o start_POSTSUBSCRIPT italic_t , italic_s + 1 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(27)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p4"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p4.3"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.SS1.p4.3.1">Step 2:</span> The cumulative probability of <math alttext="\underline{p}^{PV}_{t,s}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p4.1.m1.2"><semantics id="S4.SS1.p4.1.m1.2a"><msubsup id="S4.SS1.p4.1.m1.2.3" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.cmml"><munder accentunder="true" id="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.2.2" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.2.2.2" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.2.2.2.cmml">p</mi><mo id="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.2.2.1" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.2.2.1.cmml">¯</mo></munder><mrow id="S4.SS1.p4.1.m1.2.2.2.4" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p4.1.m1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.SS1.p4.1.m1.2.2.2.4.1" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.SS1.p4.1.m1.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.2.2.2.cmml">s</mi></mrow><mrow id="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.2.3" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.2.3.2" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.2.3.2.cmml">P</mi><mo id="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.2.3.1" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.2.3.3" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.2.3.3.cmml">V</mi></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p4.1.m1.2b"><apply id="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.3">subscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.2.2"><ci id="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.2.2.1">¯</ci><ci id="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.2.2.2">𝑝</ci></apply><apply id="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.2.3"><times id="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.2.3.1"></times><ci id="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.2.3.2">𝑃</ci><ci id="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.2.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.2.3.3">𝑉</ci></apply></apply><list id="S4.SS1.p4.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.2.2.4"><ci id="S4.SS1.p4.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.1.1.1">𝑡</ci><ci id="S4.SS1.p4.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.2.2.2">𝑠</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p4.1.m1.2c">\underline{p}^{PV}_{t,s}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p4.1.m1.2d">under¯ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT italic_P italic_V end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_t , italic_s end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> can be obtained as <math alttext="F_{p^{PV}_{t}}(o_{t,s})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p4.2.m2.3"><semantics id="S4.SS1.p4.2.m2.3a"><mrow id="S4.SS1.p4.2.m2.3.3" xref="S4.SS1.p4.2.m2.3.3.cmml"><msub id="S4.SS1.p4.2.m2.3.3.3" xref="S4.SS1.p4.2.m2.3.3.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p4.2.m2.3.3.3.2" xref="S4.SS1.p4.2.m2.3.3.3.2.cmml">F</mi><msubsup id="S4.SS1.p4.2.m2.3.3.3.3" xref="S4.SS1.p4.2.m2.3.3.3.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p4.2.m2.3.3.3.3.2.2" xref="S4.SS1.p4.2.m2.3.3.3.3.2.2.cmml">p</mi><mi id="S4.SS1.p4.2.m2.3.3.3.3.3" xref="S4.SS1.p4.2.m2.3.3.3.3.3.cmml">t</mi><mrow id="S4.SS1.p4.2.m2.3.3.3.3.2.3" xref="S4.SS1.p4.2.m2.3.3.3.3.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p4.2.m2.3.3.3.3.2.3.2" xref="S4.SS1.p4.2.m2.3.3.3.3.2.3.2.cmml">P</mi><mo id="S4.SS1.p4.2.m2.3.3.3.3.2.3.1" xref="S4.SS1.p4.2.m2.3.3.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS1.p4.2.m2.3.3.3.3.2.3.3" xref="S4.SS1.p4.2.m2.3.3.3.3.2.3.3.cmml">V</mi></mrow></msubsup></msub><mo id="S4.SS1.p4.2.m2.3.3.2" xref="S4.SS1.p4.2.m2.3.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p4.2.m2.3.3.1.1" xref="S4.SS1.p4.2.m2.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p4.2.m2.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p4.2.m2.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.SS1.p4.2.m2.3.3.1.1.1" xref="S4.SS1.p4.2.m2.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p4.2.m2.3.3.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p4.2.m2.3.3.1.1.1.2.cmml">o</mi><mrow id="S4.SS1.p4.2.m2.2.2.2.4" xref="S4.SS1.p4.2.m2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.SS1.p4.2.m2.2.2.2.4.1" xref="S4.SS1.p4.2.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.SS1.p4.2.m2.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p4.2.m2.2.2.2.2.cmml">s</mi></mrow></msub><mo id="S4.SS1.p4.2.m2.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p4.2.m2.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p4.2.m2.3b"><apply id="S4.SS1.p4.2.m2.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m2.3.3"><times id="S4.SS1.p4.2.m2.3.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m2.3.3.2"></times><apply id="S4.SS1.p4.2.m2.3.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m2.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p4.2.m2.3.3.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m2.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p4.2.m2.3.3.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m2.3.3.3.2">𝐹</ci><apply id="S4.SS1.p4.2.m2.3.3.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m2.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p4.2.m2.3.3.3.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m2.3.3.3.3">subscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p4.2.m2.3.3.3.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m2.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p4.2.m2.3.3.3.3.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m2.3.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p4.2.m2.3.3.3.3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m2.3.3.3.3.2.2">𝑝</ci><apply id="S4.SS1.p4.2.m2.3.3.3.3.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m2.3.3.3.3.2.3"><times id="S4.SS1.p4.2.m2.3.3.3.3.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m2.3.3.3.3.2.3.1"></times><ci id="S4.SS1.p4.2.m2.3.3.3.3.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m2.3.3.3.3.2.3.2">𝑃</ci><ci id="S4.SS1.p4.2.m2.3.3.3.3.2.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m2.3.3.3.3.2.3.3">𝑉</ci></apply></apply><ci id="S4.SS1.p4.2.m2.3.3.3.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m2.3.3.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S4.SS1.p4.2.m2.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m2.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p4.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m2.3.3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p4.2.m2.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m2.3.3.1.1.1.2">𝑜</ci><list id="S4.SS1.p4.2.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m2.2.2.2.4"><ci id="S4.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1">𝑡</ci><ci id="S4.SS1.p4.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m2.2.2.2.2">𝑠</ci></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p4.2.m2.3c">F_{p^{PV}_{t}}(o_{t,s})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p4.2.m2.3d">italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_P italic_V end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_o start_POSTSUBSCRIPT italic_t , italic_s end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> when it is exactly equal to the breakpoint, i.e., <math alttext="\underline{p}^{PV}_{t,s}=o_{t,s}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p4.3.m3.4"><semantics id="S4.SS1.p4.3.m3.4a"><mrow id="S4.SS1.p4.3.m3.4.5" xref="S4.SS1.p4.3.m3.4.5.cmml"><msubsup id="S4.SS1.p4.3.m3.4.5.2" xref="S4.SS1.p4.3.m3.4.5.2.cmml"><munder accentunder="true" id="S4.SS1.p4.3.m3.4.5.2.2.2" xref="S4.SS1.p4.3.m3.4.5.2.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p4.3.m3.4.5.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p4.3.m3.4.5.2.2.2.2.cmml">p</mi><mo id="S4.SS1.p4.3.m3.4.5.2.2.2.1" xref="S4.SS1.p4.3.m3.4.5.2.2.2.1.cmml">¯</mo></munder><mrow id="S4.SS1.p4.3.m3.2.2.2.4" xref="S4.SS1.p4.3.m3.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.SS1.p4.3.m3.2.2.2.4.1" xref="S4.SS1.p4.3.m3.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.SS1.p4.3.m3.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p4.3.m3.2.2.2.2.cmml">s</mi></mrow><mrow id="S4.SS1.p4.3.m3.4.5.2.2.3" xref="S4.SS1.p4.3.m3.4.5.2.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p4.3.m3.4.5.2.2.3.2" xref="S4.SS1.p4.3.m3.4.5.2.2.3.2.cmml">P</mi><mo id="S4.SS1.p4.3.m3.4.5.2.2.3.1" xref="S4.SS1.p4.3.m3.4.5.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS1.p4.3.m3.4.5.2.2.3.3" xref="S4.SS1.p4.3.m3.4.5.2.2.3.3.cmml">V</mi></mrow></msubsup><mo id="S4.SS1.p4.3.m3.4.5.1" xref="S4.SS1.p4.3.m3.4.5.1.cmml">=</mo><msub id="S4.SS1.p4.3.m3.4.5.3" xref="S4.SS1.p4.3.m3.4.5.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p4.3.m3.4.5.3.2" xref="S4.SS1.p4.3.m3.4.5.3.2.cmml">o</mi><mrow id="S4.SS1.p4.3.m3.4.4.2.4" xref="S4.SS1.p4.3.m3.4.4.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p4.3.m3.3.3.1.1" xref="S4.SS1.p4.3.m3.3.3.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.SS1.p4.3.m3.4.4.2.4.1" xref="S4.SS1.p4.3.m3.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.SS1.p4.3.m3.4.4.2.2" xref="S4.SS1.p4.3.m3.4.4.2.2.cmml">s</mi></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p4.3.m3.4b"><apply id="S4.SS1.p4.3.m3.4.5.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m3.4.5"><eq id="S4.SS1.p4.3.m3.4.5.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m3.4.5.1"></eq><apply id="S4.SS1.p4.3.m3.4.5.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m3.4.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p4.3.m3.4.5.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m3.4.5.2">subscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p4.3.m3.4.5.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m3.4.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p4.3.m3.4.5.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m3.4.5.2">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p4.3.m3.4.5.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m3.4.5.2.2.2"><ci id="S4.SS1.p4.3.m3.4.5.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m3.4.5.2.2.2.1">¯</ci><ci id="S4.SS1.p4.3.m3.4.5.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m3.4.5.2.2.2.2">𝑝</ci></apply><apply id="S4.SS1.p4.3.m3.4.5.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m3.4.5.2.2.3"><times id="S4.SS1.p4.3.m3.4.5.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m3.4.5.2.2.3.1"></times><ci id="S4.SS1.p4.3.m3.4.5.2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m3.4.5.2.2.3.2">𝑃</ci><ci id="S4.SS1.p4.3.m3.4.5.2.2.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m3.4.5.2.2.3.3">𝑉</ci></apply></apply><list id="S4.SS1.p4.3.m3.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m3.2.2.2.4"><ci id="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1">𝑡</ci><ci id="S4.SS1.p4.3.m3.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m3.2.2.2.2">𝑠</ci></list></apply><apply id="S4.SS1.p4.3.m3.4.5.3.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m3.4.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p4.3.m3.4.5.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m3.4.5.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p4.3.m3.4.5.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m3.4.5.3.2">𝑜</ci><list id="S4.SS1.p4.3.m3.4.4.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m3.4.4.2.4"><ci id="S4.SS1.p4.3.m3.3.3.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m3.3.3.1.1">𝑡</ci><ci id="S4.SS1.p4.3.m3.4.4.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m3.4.4.2.2">𝑠</ci></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p4.3.m3.4c">\underline{p}^{PV}_{t,s}=o_{t,s}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p4.3.m3.4d">under¯ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT italic_P italic_V end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_t , italic_s end_POSTSUBSCRIPT = italic_o start_POSTSUBSCRIPT italic_t , italic_s end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S4.SS1.p5"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p5.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.SS1.p5.1.1">Step 3:</span> The general expression of worst-case cumulative probability of <math alttext="\underline{p}_{t}^{PV}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p5.1.m1.1"><semantics id="S4.SS1.p5.1.m1.1a"><msubsup id="S4.SS1.p5.1.m1.1.1" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.cmml"><munder accentunder="true" id="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.2.2" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.2.2.2" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.2.2.2.cmml">p</mi><mo id="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.2.2.1" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">¯</mo></munder><mi id="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.2.3" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.2.3.cmml">t</mi><mrow id="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.3.2" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.3.2.cmml">P</mi><mo id="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.3.1" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.3.3" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.3.3.cmml">V</mi></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p5.1.m1.1b"><apply id="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.2.2"><ci id="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.2.2.1">¯</ci><ci id="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.2.2.2">𝑝</ci></apply><ci id="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.3"><times id="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.3.2">𝑃</ci><ci id="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.3.3">𝑉</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p5.1.m1.1c">\underline{p}_{t}^{PV}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p5.1.m1.1d">under¯ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_P italic_V end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> can be linearized as:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E28"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\begin{split}\overline{F}_{p^{PV}_{t}}(\underline{p}^{PV}_{t})&=\int_{0}^{o_{t% ,s}}\overline{f}_{p^{PV}_{t}}(x)dx+(\underline{p}^{PV}_{t,s}-o_{t,s})\overline% {f}_{p^{PV}_{t}}(o_{t,s})\\ &=\sum_{s=1}^{S-1}\omega_{t,s}\underline{p}^{PV}_{t,s}+\beta_{t,s}a_{t,s}\end{split}" class="ltx_Math" display="block" id="S4.E28.m1.53"><semantics id="S4.E28.m1.53a"><mtable columnspacing="0pt" displaystyle="true" id="S4.E28.m1.53.53.6" rowspacing="0.0pt" xref="S4.E28.m1.50.50.3.cmml"><mtr id="S4.E28.m1.53.53.6a" xref="S4.E28.m1.50.50.3.cmml"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S4.E28.m1.53.53.6b" xref="S4.E28.m1.50.50.3.cmml"><mrow id="S4.E28.m1.51.51.4.48.34.8" xref="S4.E28.m1.50.50.3.cmml"><msub id="S4.E28.m1.51.51.4.48.34.8.10" xref="S4.E28.m1.50.50.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.E28.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E28.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">F</mi><mo id="S4.E28.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">¯</mo></mover><msubsup id="S4.E28.m1.2.2.2.2.2.2.1" xref="S4.E28.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S4.E28.m1.2.2.2.2.2.2.1.2.2" xref="S4.E28.m1.2.2.2.2.2.2.1.2.2.cmml">p</mi><mi id="S4.E28.m1.2.2.2.2.2.2.1.3" xref="S4.E28.m1.2.2.2.2.2.2.1.3.cmml">t</mi><mrow id="S4.E28.m1.2.2.2.2.2.2.1.2.3" xref="S4.E28.m1.2.2.2.2.2.2.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E28.m1.2.2.2.2.2.2.1.2.3.2" xref="S4.E28.m1.2.2.2.2.2.2.1.2.3.2.cmml">P</mi><mo id="S4.E28.m1.2.2.2.2.2.2.1.2.3.1" xref="S4.E28.m1.2.2.2.2.2.2.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E28.m1.2.2.2.2.2.2.1.2.3.3" xref="S4.E28.m1.2.2.2.2.2.2.1.2.3.3.cmml">V</mi></mrow></msubsup></msub><mo id="S4.E28.m1.51.51.4.48.34.8.9" xref="S4.E28.m1.50.50.3a.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E28.m1.51.51.4.48.34.8.8.1" xref="S4.E28.m1.50.50.3.cmml"><mo id="S4.E28.m1.3.3.3.3.3.3" stretchy="false" xref="S4.E28.m1.50.50.3a.cmml">(</mo><msubsup id="S4.E28.m1.51.51.4.48.34.8.8.1.1" xref="S4.E28.m1.50.50.3.cmml"><munder accentunder="true" id="S4.E28.m1.4.4.4.4.4.4" xref="S4.E28.m1.4.4.4.4.4.4.cmml"><mi id="S4.E28.m1.4.4.4.4.4.4.2" xref="S4.E28.m1.4.4.4.4.4.4.2.cmml">p</mi><mo id="S4.E28.m1.4.4.4.4.4.4.1" xref="S4.E28.m1.4.4.4.4.4.4.1.cmml">¯</mo></munder><mi id="S4.E28.m1.6.6.6.6.6.6.1" xref="S4.E28.m1.6.6.6.6.6.6.1.cmml">t</mi><mrow id="S4.E28.m1.5.5.5.5.5.5.1" xref="S4.E28.m1.5.5.5.5.5.5.1.cmml"><mi id="S4.E28.m1.5.5.5.5.5.5.1.2" xref="S4.E28.m1.5.5.5.5.5.5.1.2.cmml">P</mi><mo id="S4.E28.m1.5.5.5.5.5.5.1.1" xref="S4.E28.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E28.m1.5.5.5.5.5.5.1.3" xref="S4.E28.m1.5.5.5.5.5.5.1.3.cmml">V</mi></mrow></msubsup><mo id="S4.E28.m1.7.7.7.7.7.7" stretchy="false" xref="S4.E28.m1.50.50.3a.cmml">)</mo></mrow></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E28.m1.53.53.6c" xref="S4.E28.m1.50.50.3.cmml"><mrow id="S4.E28.m1.53.53.6.50.36.28" xref="S4.E28.m1.50.50.3.cmml"><mi id="S4.E28.m1.53.53.6.50.36.28.29" xref="S4.E28.m1.50.50.3a.cmml"></mi><mo id="S4.E28.m1.8.8.8.8.1.1" rspace="0.111em" xref="S4.E28.m1.8.8.8.8.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E28.m1.53.53.6.50.36.28.28" xref="S4.E28.m1.50.50.3.cmml"><mrow id="S4.E28.m1.53.53.6.50.36.28.28.3" xref="S4.E28.m1.50.50.3.cmml"><msubsup id="S4.E28.m1.53.53.6.50.36.28.28.3.1" xref="S4.E28.m1.50.50.3.cmml"><mo id="S4.E28.m1.9.9.9.9.2.2" xref="S4.E28.m1.9.9.9.9.2.2.cmml">∫</mo><mn id="S4.E28.m1.10.10.10.10.3.3.1" xref="S4.E28.m1.10.10.10.10.3.3.1.cmml">0</mn><msub id="S4.E28.m1.11.11.11.11.4.4.1" xref="S4.E28.m1.11.11.11.11.4.4.1.cmml"><mi id="S4.E28.m1.11.11.11.11.4.4.1.4" xref="S4.E28.m1.11.11.11.11.4.4.1.4.cmml">o</mi><mrow id="S4.E28.m1.11.11.11.11.4.4.1.2.2.4" xref="S4.E28.m1.11.11.11.11.4.4.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E28.m1.11.11.11.11.4.4.1.1.1.1" xref="S4.E28.m1.11.11.11.11.4.4.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.E28.m1.11.11.11.11.4.4.1.2.2.4.1" xref="S4.E28.m1.11.11.11.11.4.4.1.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.E28.m1.11.11.11.11.4.4.1.2.2.2" xref="S4.E28.m1.11.11.11.11.4.4.1.2.2.2.cmml">s</mi></mrow></msub></msubsup><mrow id="S4.E28.m1.53.53.6.50.36.28.28.3.2" xref="S4.E28.m1.50.50.3.cmml"><msub id="S4.E28.m1.53.53.6.50.36.28.28.3.2.2" xref="S4.E28.m1.50.50.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.E28.m1.12.12.12.12.5.5" xref="S4.E28.m1.12.12.12.12.5.5.cmml"><mi id="S4.E28.m1.12.12.12.12.5.5.2" xref="S4.E28.m1.12.12.12.12.5.5.2.cmml">f</mi><mo id="S4.E28.m1.12.12.12.12.5.5.1" xref="S4.E28.m1.12.12.12.12.5.5.1.cmml">¯</mo></mover><msubsup id="S4.E28.m1.13.13.13.13.6.6.1" xref="S4.E28.m1.13.13.13.13.6.6.1.cmml"><mi id="S4.E28.m1.13.13.13.13.6.6.1.2.2" xref="S4.E28.m1.13.13.13.13.6.6.1.2.2.cmml">p</mi><mi id="S4.E28.m1.13.13.13.13.6.6.1.3" xref="S4.E28.m1.13.13.13.13.6.6.1.3.cmml">t</mi><mrow id="S4.E28.m1.13.13.13.13.6.6.1.2.3" xref="S4.E28.m1.13.13.13.13.6.6.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E28.m1.13.13.13.13.6.6.1.2.3.2" xref="S4.E28.m1.13.13.13.13.6.6.1.2.3.2.cmml">P</mi><mo id="S4.E28.m1.13.13.13.13.6.6.1.2.3.1" xref="S4.E28.m1.13.13.13.13.6.6.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E28.m1.13.13.13.13.6.6.1.2.3.3" xref="S4.E28.m1.13.13.13.13.6.6.1.2.3.3.cmml">V</mi></mrow></msubsup></msub><mo id="S4.E28.m1.53.53.6.50.36.28.28.3.2.1" xref="S4.E28.m1.50.50.3a.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E28.m1.53.53.6.50.36.28.28.3.2.3" xref="S4.E28.m1.50.50.3.cmml"><mo id="S4.E28.m1.14.14.14.14.7.7" stretchy="false" xref="S4.E28.m1.50.50.3a.cmml">(</mo><mi id="S4.E28.m1.15.15.15.15.8.8" xref="S4.E28.m1.15.15.15.15.8.8.cmml">x</mi><mo id="S4.E28.m1.16.16.16.16.9.9" stretchy="false" xref="S4.E28.m1.50.50.3a.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E28.m1.53.53.6.50.36.28.28.3.2.1a" lspace="0em" xref="S4.E28.m1.50.50.3a.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E28.m1.53.53.6.50.36.28.28.3.2.4" xref="S4.E28.m1.50.50.3.cmml"><mo id="S4.E28.m1.17.17.17.17.10.10" rspace="0em" xref="S4.E28.m1.17.17.17.17.10.10.cmml">𝑑</mo><mi id="S4.E28.m1.18.18.18.18.11.11" xref="S4.E28.m1.18.18.18.18.11.11.cmml">x</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E28.m1.19.19.19.19.12.12" xref="S4.E28.m1.19.19.19.19.12.12.cmml">+</mo><mrow id="S4.E28.m1.53.53.6.50.36.28.28.2" xref="S4.E28.m1.50.50.3.cmml"><mrow id="S4.E28.m1.52.52.5.49.35.27.27.1.1.1" xref="S4.E28.m1.50.50.3.cmml"><mo id="S4.E28.m1.20.20.20.20.13.13" stretchy="false" xref="S4.E28.m1.50.50.3a.cmml">(</mo><mrow id="S4.E28.m1.52.52.5.49.35.27.27.1.1.1.1" xref="S4.E28.m1.50.50.3.cmml"><msubsup id="S4.E28.m1.52.52.5.49.35.27.27.1.1.1.1.1" xref="S4.E28.m1.50.50.3.cmml"><munder accentunder="true" id="S4.E28.m1.21.21.21.21.14.14" xref="S4.E28.m1.21.21.21.21.14.14.cmml"><mi id="S4.E28.m1.21.21.21.21.14.14.2" xref="S4.E28.m1.21.21.21.21.14.14.2.cmml">p</mi><mo id="S4.E28.m1.21.21.21.21.14.14.1" xref="S4.E28.m1.21.21.21.21.14.14.1.cmml">¯</mo></munder><mrow id="S4.E28.m1.23.23.23.23.16.16.1.4" xref="S4.E28.m1.23.23.23.23.16.16.1.3.cmml"><mi id="S4.E28.m1.23.23.23.23.16.16.1.1" xref="S4.E28.m1.23.23.23.23.16.16.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.E28.m1.23.23.23.23.16.16.1.4.1" xref="S4.E28.m1.23.23.23.23.16.16.1.3.cmml">,</mo><mi id="S4.E28.m1.23.23.23.23.16.16.1.2" xref="S4.E28.m1.23.23.23.23.16.16.1.2.cmml">s</mi></mrow><mrow id="S4.E28.m1.22.22.22.22.15.15.1" xref="S4.E28.m1.22.22.22.22.15.15.1.cmml"><mi id="S4.E28.m1.22.22.22.22.15.15.1.2" xref="S4.E28.m1.22.22.22.22.15.15.1.2.cmml">P</mi><mo id="S4.E28.m1.22.22.22.22.15.15.1.1" xref="S4.E28.m1.22.22.22.22.15.15.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E28.m1.22.22.22.22.15.15.1.3" xref="S4.E28.m1.22.22.22.22.15.15.1.3.cmml">V</mi></mrow></msubsup><mo id="S4.E28.m1.24.24.24.24.17.17" xref="S4.E28.m1.24.24.24.24.17.17.cmml">−</mo><msub id="S4.E28.m1.52.52.5.49.35.27.27.1.1.1.1.2" xref="S4.E28.m1.50.50.3.cmml"><mi id="S4.E28.m1.25.25.25.25.18.18" xref="S4.E28.m1.25.25.25.25.18.18.cmml">o</mi><mrow id="S4.E28.m1.26.26.26.26.19.19.1.4" xref="S4.E28.m1.26.26.26.26.19.19.1.3.cmml"><mi id="S4.E28.m1.26.26.26.26.19.19.1.1" xref="S4.E28.m1.26.26.26.26.19.19.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.E28.m1.26.26.26.26.19.19.1.4.1" xref="S4.E28.m1.26.26.26.26.19.19.1.3.cmml">,</mo><mi id="S4.E28.m1.26.26.26.26.19.19.1.2" xref="S4.E28.m1.26.26.26.26.19.19.1.2.cmml">s</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S4.E28.m1.27.27.27.27.20.20" stretchy="false" xref="S4.E28.m1.50.50.3a.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E28.m1.53.53.6.50.36.28.28.2.3" xref="S4.E28.m1.50.50.3a.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E28.m1.53.53.6.50.36.28.28.2.4" xref="S4.E28.m1.50.50.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.E28.m1.28.28.28.28.21.21" xref="S4.E28.m1.28.28.28.28.21.21.cmml"><mi id="S4.E28.m1.28.28.28.28.21.21.2" xref="S4.E28.m1.28.28.28.28.21.21.2.cmml">f</mi><mo id="S4.E28.m1.28.28.28.28.21.21.1" xref="S4.E28.m1.28.28.28.28.21.21.1.cmml">¯</mo></mover><msubsup id="S4.E28.m1.29.29.29.29.22.22.1" xref="S4.E28.m1.29.29.29.29.22.22.1.cmml"><mi id="S4.E28.m1.29.29.29.29.22.22.1.2.2" xref="S4.E28.m1.29.29.29.29.22.22.1.2.2.cmml">p</mi><mi id="S4.E28.m1.29.29.29.29.22.22.1.3" xref="S4.E28.m1.29.29.29.29.22.22.1.3.cmml">t</mi><mrow id="S4.E28.m1.29.29.29.29.22.22.1.2.3" xref="S4.E28.m1.29.29.29.29.22.22.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E28.m1.29.29.29.29.22.22.1.2.3.2" xref="S4.E28.m1.29.29.29.29.22.22.1.2.3.2.cmml">P</mi><mo id="S4.E28.m1.29.29.29.29.22.22.1.2.3.1" xref="S4.E28.m1.29.29.29.29.22.22.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E28.m1.29.29.29.29.22.22.1.2.3.3" xref="S4.E28.m1.29.29.29.29.22.22.1.2.3.3.cmml">V</mi></mrow></msubsup></msub><mo id="S4.E28.m1.53.53.6.50.36.28.28.2.3a" xref="S4.E28.m1.50.50.3a.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E28.m1.53.53.6.50.36.28.28.2.2.1" xref="S4.E28.m1.50.50.3.cmml"><mo id="S4.E28.m1.30.30.30.30.23.23" stretchy="false" xref="S4.E28.m1.50.50.3a.cmml">(</mo><msub id="S4.E28.m1.53.53.6.50.36.28.28.2.2.1.1" xref="S4.E28.m1.50.50.3.cmml"><mi id="S4.E28.m1.31.31.31.31.24.24" xref="S4.E28.m1.31.31.31.31.24.24.cmml">o</mi><mrow id="S4.E28.m1.32.32.32.32.25.25.1.4" xref="S4.E28.m1.32.32.32.32.25.25.1.3.cmml"><mi id="S4.E28.m1.32.32.32.32.25.25.1.1" xref="S4.E28.m1.32.32.32.32.25.25.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.E28.m1.32.32.32.32.25.25.1.4.1" xref="S4.E28.m1.32.32.32.32.25.25.1.3.cmml">,</mo><mi id="S4.E28.m1.32.32.32.32.25.25.1.2" xref="S4.E28.m1.32.32.32.32.25.25.1.2.cmml">s</mi></mrow></msub><mo id="S4.E28.m1.33.33.33.33.26.26" stretchy="false" xref="S4.E28.m1.50.50.3a.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.E28.m1.53.53.6d" xref="S4.E28.m1.50.50.3.cmml"><mtd id="S4.E28.m1.53.53.6e" xref="S4.E28.m1.50.50.3a.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E28.m1.53.53.6f" xref="S4.E28.m1.50.50.3.cmml"><mrow id="S4.E28.m1.47.47.47.14.14" xref="S4.E28.m1.50.50.3.cmml"><mi id="S4.E28.m1.47.47.47.14.14.15" xref="S4.E28.m1.50.50.3a.cmml"></mi><mo id="S4.E28.m1.34.34.34.1.1.1" rspace="0.111em" xref="S4.E28.m1.34.34.34.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E28.m1.47.47.47.14.14.16" xref="S4.E28.m1.50.50.3.cmml"><mrow id="S4.E28.m1.47.47.47.14.14.16.1" xref="S4.E28.m1.50.50.3.cmml"><munderover id="S4.E28.m1.47.47.47.14.14.16.1.1" xref="S4.E28.m1.50.50.3.cmml"><mo id="S4.E28.m1.35.35.35.2.2.2" movablelimits="false" xref="S4.E28.m1.35.35.35.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.E28.m1.36.36.36.3.3.3.1" xref="S4.E28.m1.36.36.36.3.3.3.1.cmml"><mi id="S4.E28.m1.36.36.36.3.3.3.1.2" xref="S4.E28.m1.36.36.36.3.3.3.1.2.cmml">s</mi><mo id="S4.E28.m1.36.36.36.3.3.3.1.1" xref="S4.E28.m1.36.36.36.3.3.3.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.E28.m1.36.36.36.3.3.3.1.3" xref="S4.E28.m1.36.36.36.3.3.3.1.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="S4.E28.m1.37.37.37.4.4.4.1" xref="S4.E28.m1.37.37.37.4.4.4.1.cmml"><mi id="S4.E28.m1.37.37.37.4.4.4.1.2" xref="S4.E28.m1.37.37.37.4.4.4.1.2.cmml">S</mi><mo id="S4.E28.m1.37.37.37.4.4.4.1.1" xref="S4.E28.m1.37.37.37.4.4.4.1.1.cmml">−</mo><mn id="S4.E28.m1.37.37.37.4.4.4.1.3" xref="S4.E28.m1.37.37.37.4.4.4.1.3.cmml">1</mn></mrow></munderover><mrow id="S4.E28.m1.47.47.47.14.14.16.1.2" xref="S4.E28.m1.50.50.3.cmml"><msub id="S4.E28.m1.47.47.47.14.14.16.1.2.2" xref="S4.E28.m1.50.50.3.cmml"><mi id="S4.E28.m1.38.38.38.5.5.5" xref="S4.E28.m1.38.38.38.5.5.5.cmml">ω</mi><mrow id="S4.E28.m1.39.39.39.6.6.6.1.4" xref="S4.E28.m1.39.39.39.6.6.6.1.3.cmml"><mi id="S4.E28.m1.39.39.39.6.6.6.1.1" xref="S4.E28.m1.39.39.39.6.6.6.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.E28.m1.39.39.39.6.6.6.1.4.1" xref="S4.E28.m1.39.39.39.6.6.6.1.3.cmml">,</mo><mi id="S4.E28.m1.39.39.39.6.6.6.1.2" xref="S4.E28.m1.39.39.39.6.6.6.1.2.cmml">s</mi></mrow></msub><mo id="S4.E28.m1.47.47.47.14.14.16.1.2.1" xref="S4.E28.m1.50.50.3a.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E28.m1.47.47.47.14.14.16.1.2.3" xref="S4.E28.m1.50.50.3.cmml"><munder accentunder="true" 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id="S4.E28.m1.47.47.47.14.14.14.1.1" xref="S4.E28.m1.47.47.47.14.14.14.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.E28.m1.47.47.47.14.14.14.1.4.1" xref="S4.E28.m1.47.47.47.14.14.14.1.3.cmml">,</mo><mi id="S4.E28.m1.47.47.47.14.14.14.1.2" xref="S4.E28.m1.47.47.47.14.14.14.1.2.cmml">s</mi></mrow></msub></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E28.m1.53b"><apply id="S4.E28.m1.50.50.3.cmml" xref="S4.E28.m1.53.53.6"><and id="S4.E28.m1.50.50.3a.cmml" xref="S4.E28.m1.51.51.4.48.34.8.9"></and><apply id="S4.E28.m1.50.50.3b.cmml" xref="S4.E28.m1.53.53.6"><eq id="S4.E28.m1.8.8.8.8.1.1.cmml" xref="S4.E28.m1.8.8.8.8.1.1"></eq><apply id="S4.E28.m1.48.48.1.1.cmml" xref="S4.E28.m1.53.53.6"><times id="S4.E28.m1.48.48.1.1.2.cmml" xref="S4.E28.m1.51.51.4.48.34.8.9"></times><apply id="S4.E28.m1.48.48.1.1.3.cmml" xref="S4.E28.m1.53.53.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E28.m1.48.48.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E28.m1.51.51.4.48.34.8.9">subscript</csymbol><apply 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xref="S4.E28.m1.12.12.12.12.5.5.1">¯</ci><ci id="S4.E28.m1.12.12.12.12.5.5.2.cmml" xref="S4.E28.m1.12.12.12.12.5.5.2">𝑓</ci></apply><apply id="S4.E28.m1.13.13.13.13.6.6.1.cmml" xref="S4.E28.m1.13.13.13.13.6.6.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E28.m1.13.13.13.13.6.6.1.1.cmml" xref="S4.E28.m1.13.13.13.13.6.6.1">subscript</csymbol><apply id="S4.E28.m1.13.13.13.13.6.6.1.2.cmml" xref="S4.E28.m1.13.13.13.13.6.6.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E28.m1.13.13.13.13.6.6.1.2.1.cmml" xref="S4.E28.m1.13.13.13.13.6.6.1">superscript</csymbol><ci id="S4.E28.m1.13.13.13.13.6.6.1.2.2.cmml" xref="S4.E28.m1.13.13.13.13.6.6.1.2.2">𝑝</ci><apply id="S4.E28.m1.13.13.13.13.6.6.1.2.3.cmml" xref="S4.E28.m1.13.13.13.13.6.6.1.2.3"><times id="S4.E28.m1.13.13.13.13.6.6.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E28.m1.13.13.13.13.6.6.1.2.3.1"></times><ci id="S4.E28.m1.13.13.13.13.6.6.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E28.m1.13.13.13.13.6.6.1.2.3.2">𝑃</ci><ci id="S4.E28.m1.13.13.13.13.6.6.1.2.3.3.cmml" xref="S4.E28.m1.13.13.13.13.6.6.1.2.3.3">𝑉</ci></apply></apply><ci id="S4.E28.m1.13.13.13.13.6.6.1.3.cmml" xref="S4.E28.m1.13.13.13.13.6.6.1.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S4.E28.m1.15.15.15.15.8.8.cmml" xref="S4.E28.m1.15.15.15.15.8.8">𝑥</ci><apply id="S4.E28.m1.50.50.3.3.4.2.4.cmml" xref="S4.E28.m1.53.53.6"><csymbol cd="latexml" id="S4.E28.m1.17.17.17.17.10.10.cmml" xref="S4.E28.m1.17.17.17.17.10.10">differential-d</csymbol><ci id="S4.E28.m1.18.18.18.18.11.11.cmml" xref="S4.E28.m1.18.18.18.18.11.11">𝑥</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E28.m1.50.50.3.3.2.cmml" xref="S4.E28.m1.53.53.6"><times id="S4.E28.m1.50.50.3.3.2.3.cmml" xref="S4.E28.m1.51.51.4.48.34.8.9"></times><apply id="S4.E28.m1.49.49.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E28.m1.53.53.6"><minus id="S4.E28.m1.24.24.24.24.17.17.cmml" xref="S4.E28.m1.24.24.24.24.17.17"></minus><apply id="S4.E28.m1.49.49.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E28.m1.53.53.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E28.m1.49.49.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E28.m1.53.53.6">subscript</csymbol><apply id="S4.E28.m1.49.49.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E28.m1.53.53.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E28.m1.49.49.2.2.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E28.m1.53.53.6">superscript</csymbol><apply id="S4.E28.m1.21.21.21.21.14.14.cmml" xref="S4.E28.m1.21.21.21.21.14.14"><ci id="S4.E28.m1.21.21.21.21.14.14.1.cmml" xref="S4.E28.m1.21.21.21.21.14.14.1">¯</ci><ci id="S4.E28.m1.21.21.21.21.14.14.2.cmml" xref="S4.E28.m1.21.21.21.21.14.14.2">𝑝</ci></apply><apply id="S4.E28.m1.22.22.22.22.15.15.1.cmml" xref="S4.E28.m1.22.22.22.22.15.15.1"><times id="S4.E28.m1.22.22.22.22.15.15.1.1.cmml" xref="S4.E28.m1.22.22.22.22.15.15.1.1"></times><ci id="S4.E28.m1.22.22.22.22.15.15.1.2.cmml" xref="S4.E28.m1.22.22.22.22.15.15.1.2">𝑃</ci><ci id="S4.E28.m1.22.22.22.22.15.15.1.3.cmml" xref="S4.E28.m1.22.22.22.22.15.15.1.3">𝑉</ci></apply></apply><list id="S4.E28.m1.23.23.23.23.16.16.1.3.cmml" xref="S4.E28.m1.23.23.23.23.16.16.1.4"><ci id="S4.E28.m1.23.23.23.23.16.16.1.1.cmml" xref="S4.E28.m1.23.23.23.23.16.16.1.1">𝑡</ci><ci id="S4.E28.m1.23.23.23.23.16.16.1.2.cmml" xref="S4.E28.m1.23.23.23.23.16.16.1.2">𝑠</ci></list></apply><apply id="S4.E28.m1.49.49.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E28.m1.53.53.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E28.m1.49.49.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E28.m1.53.53.6">subscript</csymbol><ci id="S4.E28.m1.25.25.25.25.18.18.cmml" xref="S4.E28.m1.25.25.25.25.18.18">𝑜</ci><list id="S4.E28.m1.26.26.26.26.19.19.1.3.cmml" xref="S4.E28.m1.26.26.26.26.19.19.1.4"><ci id="S4.E28.m1.26.26.26.26.19.19.1.1.cmml" xref="S4.E28.m1.26.26.26.26.19.19.1.1">𝑡</ci><ci id="S4.E28.m1.26.26.26.26.19.19.1.2.cmml" xref="S4.E28.m1.26.26.26.26.19.19.1.2">𝑠</ci></list></apply></apply><apply id="S4.E28.m1.50.50.3.3.2.4.cmml" xref="S4.E28.m1.53.53.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E28.m1.50.50.3.3.2.4.1.cmml" xref="S4.E28.m1.51.51.4.48.34.8.9">subscript</csymbol><apply id="S4.E28.m1.28.28.28.28.21.21.cmml" xref="S4.E28.m1.28.28.28.28.21.21"><ci id="S4.E28.m1.28.28.28.28.21.21.1.cmml" xref="S4.E28.m1.28.28.28.28.21.21.1">¯</ci><ci id="S4.E28.m1.28.28.28.28.21.21.2.cmml" xref="S4.E28.m1.28.28.28.28.21.21.2">𝑓</ci></apply><apply id="S4.E28.m1.29.29.29.29.22.22.1.cmml" xref="S4.E28.m1.29.29.29.29.22.22.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E28.m1.29.29.29.29.22.22.1.1.cmml" xref="S4.E28.m1.29.29.29.29.22.22.1">subscript</csymbol><apply id="S4.E28.m1.29.29.29.29.22.22.1.2.cmml" xref="S4.E28.m1.29.29.29.29.22.22.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E28.m1.29.29.29.29.22.22.1.2.1.cmml" xref="S4.E28.m1.29.29.29.29.22.22.1">superscript</csymbol><ci id="S4.E28.m1.29.29.29.29.22.22.1.2.2.cmml" xref="S4.E28.m1.29.29.29.29.22.22.1.2.2">𝑝</ci><apply id="S4.E28.m1.29.29.29.29.22.22.1.2.3.cmml" xref="S4.E28.m1.29.29.29.29.22.22.1.2.3"><times id="S4.E28.m1.29.29.29.29.22.22.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E28.m1.29.29.29.29.22.22.1.2.3.1"></times><ci id="S4.E28.m1.29.29.29.29.22.22.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E28.m1.29.29.29.29.22.22.1.2.3.2">𝑃</ci><ci id="S4.E28.m1.29.29.29.29.22.22.1.2.3.3.cmml" xref="S4.E28.m1.29.29.29.29.22.22.1.2.3.3">𝑉</ci></apply></apply><ci id="S4.E28.m1.29.29.29.29.22.22.1.3.cmml" xref="S4.E28.m1.29.29.29.29.22.22.1.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S4.E28.m1.50.50.3.3.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E28.m1.53.53.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E28.m1.50.50.3.3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E28.m1.53.53.6">subscript</csymbol><ci id="S4.E28.m1.31.31.31.31.24.24.cmml" xref="S4.E28.m1.31.31.31.31.24.24">𝑜</ci><list id="S4.E28.m1.32.32.32.32.25.25.1.3.cmml" xref="S4.E28.m1.32.32.32.32.25.25.1.4"><ci id="S4.E28.m1.32.32.32.32.25.25.1.1.cmml" xref="S4.E28.m1.32.32.32.32.25.25.1.1">𝑡</ci><ci id="S4.E28.m1.32.32.32.32.25.25.1.2.cmml" xref="S4.E28.m1.32.32.32.32.25.25.1.2">𝑠</ci></list></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E28.m1.50.50.3c.cmml" xref="S4.E28.m1.53.53.6"><eq id="S4.E28.m1.34.34.34.1.1.1.cmml" xref="S4.E28.m1.34.34.34.1.1.1"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S4.E28.m1.50.50.3.3.cmml" id="S4.E28.m1.50.50.3d.cmml" xref="S4.E28.m1.51.51.4.48.34.8.9"></share><apply id="S4.E28.m1.50.50.3.7.cmml" xref="S4.E28.m1.53.53.6"><plus id="S4.E28.m1.43.43.43.10.10.10.cmml" xref="S4.E28.m1.43.43.43.10.10.10"></plus><apply id="S4.E28.m1.50.50.3.7.2.cmml" xref="S4.E28.m1.53.53.6"><apply id="S4.E28.m1.50.50.3.7.2.1.cmml" xref="S4.E28.m1.53.53.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E28.m1.50.50.3.7.2.1.1.cmml" xref="S4.E28.m1.51.51.4.48.34.8.9">superscript</csymbol><apply id="S4.E28.m1.50.50.3.7.2.1.2.cmml" xref="S4.E28.m1.53.53.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E28.m1.50.50.3.7.2.1.2.1.cmml" xref="S4.E28.m1.51.51.4.48.34.8.9">subscript</csymbol><sum id="S4.E28.m1.35.35.35.2.2.2.cmml" xref="S4.E28.m1.35.35.35.2.2.2"></sum><apply id="S4.E28.m1.36.36.36.3.3.3.1.cmml" xref="S4.E28.m1.36.36.36.3.3.3.1"><eq id="S4.E28.m1.36.36.36.3.3.3.1.1.cmml" xref="S4.E28.m1.36.36.36.3.3.3.1.1"></eq><ci id="S4.E28.m1.36.36.36.3.3.3.1.2.cmml" xref="S4.E28.m1.36.36.36.3.3.3.1.2">𝑠</ci><cn id="S4.E28.m1.36.36.36.3.3.3.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E28.m1.36.36.36.3.3.3.1.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.E28.m1.37.37.37.4.4.4.1.cmml" xref="S4.E28.m1.37.37.37.4.4.4.1"><minus id="S4.E28.m1.37.37.37.4.4.4.1.1.cmml" xref="S4.E28.m1.37.37.37.4.4.4.1.1"></minus><ci id="S4.E28.m1.37.37.37.4.4.4.1.2.cmml" xref="S4.E28.m1.37.37.37.4.4.4.1.2">𝑆</ci><cn id="S4.E28.m1.37.37.37.4.4.4.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E28.m1.37.37.37.4.4.4.1.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.E28.m1.50.50.3.7.2.2.cmml" xref="S4.E28.m1.53.53.6"><times id="S4.E28.m1.50.50.3.7.2.2.1.cmml" xref="S4.E28.m1.51.51.4.48.34.8.9"></times><apply id="S4.E28.m1.50.50.3.7.2.2.2.cmml" xref="S4.E28.m1.53.53.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E28.m1.50.50.3.7.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E28.m1.51.51.4.48.34.8.9">subscript</csymbol><ci id="S4.E28.m1.38.38.38.5.5.5.cmml" xref="S4.E28.m1.38.38.38.5.5.5">𝜔</ci><list id="S4.E28.m1.39.39.39.6.6.6.1.3.cmml" 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xref="S4.E28.m1.41.41.41.8.8.8.1.1"></times><ci id="S4.E28.m1.41.41.41.8.8.8.1.2.cmml" xref="S4.E28.m1.41.41.41.8.8.8.1.2">𝑃</ci><ci id="S4.E28.m1.41.41.41.8.8.8.1.3.cmml" xref="S4.E28.m1.41.41.41.8.8.8.1.3">𝑉</ci></apply></apply><list id="S4.E28.m1.42.42.42.9.9.9.1.3.cmml" xref="S4.E28.m1.42.42.42.9.9.9.1.4"><ci id="S4.E28.m1.42.42.42.9.9.9.1.1.cmml" xref="S4.E28.m1.42.42.42.9.9.9.1.1">𝑡</ci><ci id="S4.E28.m1.42.42.42.9.9.9.1.2.cmml" xref="S4.E28.m1.42.42.42.9.9.9.1.2">𝑠</ci></list></apply></apply></apply><apply id="S4.E28.m1.50.50.3.7.3.cmml" xref="S4.E28.m1.53.53.6"><times id="S4.E28.m1.50.50.3.7.3.1.cmml" xref="S4.E28.m1.51.51.4.48.34.8.9"></times><apply id="S4.E28.m1.50.50.3.7.3.2.cmml" xref="S4.E28.m1.53.53.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E28.m1.50.50.3.7.3.2.1.cmml" xref="S4.E28.m1.51.51.4.48.34.8.9">subscript</csymbol><ci id="S4.E28.m1.44.44.44.11.11.11.cmml" xref="S4.E28.m1.44.44.44.11.11.11">𝛽</ci><list id="S4.E28.m1.45.45.45.12.12.12.1.3.cmml" xref="S4.E28.m1.45.45.45.12.12.12.1.4"><ci id="S4.E28.m1.45.45.45.12.12.12.1.1.cmml" xref="S4.E28.m1.45.45.45.12.12.12.1.1">𝑡</ci><ci id="S4.E28.m1.45.45.45.12.12.12.1.2.cmml" xref="S4.E28.m1.45.45.45.12.12.12.1.2">𝑠</ci></list></apply><apply id="S4.E28.m1.50.50.3.7.3.3.cmml" xref="S4.E28.m1.53.53.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E28.m1.50.50.3.7.3.3.1.cmml" xref="S4.E28.m1.51.51.4.48.34.8.9">subscript</csymbol><ci id="S4.E28.m1.46.46.46.13.13.13.cmml" xref="S4.E28.m1.46.46.46.13.13.13">𝑎</ci><list id="S4.E28.m1.47.47.47.14.14.14.1.3.cmml" xref="S4.E28.m1.47.47.47.14.14.14.1.4"><ci id="S4.E28.m1.47.47.47.14.14.14.1.1.cmml" xref="S4.E28.m1.47.47.47.14.14.14.1.1">𝑡</ci><ci id="S4.E28.m1.47.47.47.14.14.14.1.2.cmml" xref="S4.E28.m1.47.47.47.14.14.14.1.2">𝑠</ci></list></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E28.m1.53c">\begin{split}\overline{F}_{p^{PV}_{t}}(\underline{p}^{PV}_{t})&=\int_{0}^{o_{t% ,s}}\overline{f}_{p^{PV}_{t}}(x)dx+(\underline{p}^{PV}_{t,s}-o_{t,s})\overline% {f}_{p^{PV}_{t}}(o_{t,s})\\ &=\sum_{s=1}^{S-1}\omega_{t,s}\underline{p}^{PV}_{t,s}+\beta_{t,s}a_{t,s}\end{split}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E28.m1.53d">start_ROW start_CELL over¯ start_ARG italic_F end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_P italic_V end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( under¯ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT italic_P italic_V end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ) end_CELL start_CELL = ∫ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_o start_POSTSUBSCRIPT italic_t , italic_s end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT over¯ start_ARG italic_f end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_P italic_V end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x ) italic_d italic_x + ( under¯ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT italic_P italic_V end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_t , italic_s end_POSTSUBSCRIPT - italic_o start_POSTSUBSCRIPT italic_t , italic_s end_POSTSUBSCRIPT ) over¯ start_ARG italic_f end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_P italic_V end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_o start_POSTSUBSCRIPT italic_t , italic_s end_POSTSUBSCRIPT ) end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_s = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_S - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ω start_POSTSUBSCRIPT italic_t , italic_s end_POSTSUBSCRIPT under¯ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT italic_P italic_V end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_t , italic_s end_POSTSUBSCRIPT + italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_t , italic_s end_POSTSUBSCRIPT italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_t , italic_s end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(28)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p5.2">where</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex1"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\begin{split}&\omega_{t,s}=\frac{\overline{F}_{p^{PV}_{t}}(o_{t,s+1})-% \overline{F}_{p^{PV}_{t}}(o_{t,s})}{o_{t,s+1}-o_{t,s}}\\ &\beta_{t,s}=-\frac{\overline{F}_{p^{PV}_{t}}(o_{t,s+1})-\overline{F}_{p^{PV}_% {t}}(o_{t,s})}{o_{t,s+1}-o_{t,s}}o_{t,s}+\overline{F}_{p^{PV}_{t}}(o_{t,s})% \end{split}" class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex1.m1.20"><semantics id="S4.Ex1.m1.20a"><mtable columnspacing="0pt" displaystyle="true" id="S4.Ex1.m1.20.20.2" rowspacing="0.0pt" xref="S4.Ex1.m1.19.19.1.cmml"><mtr id="S4.Ex1.m1.20.20.2a" xref="S4.Ex1.m1.19.19.1.cmml"><mtd id="S4.Ex1.m1.20.20.2b" xref="S4.Ex1.m1.19.19.1a.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.Ex1.m1.20.20.2c" xref="S4.Ex1.m1.19.19.1.cmml"><mrow id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4" xref="S4.Ex1.m1.19.19.1.cmml"><msub id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.5" xref="S4.Ex1.m1.19.19.1.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">ω</mi><mrow id="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.2.2.1.4" xref="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.2.2.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.2.2.1.4.1" xref="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.2.2.1.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.2.2.1.2" xref="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.2.2.1.2.cmml">s</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3" xref="S4.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.cmml">=</mo><mfrac id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.cmml"><mrow id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.cmml"><mrow id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.5.5" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.5.5.cmml"><msub id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.5.5.3" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.5.5.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.5.5.3.2" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.5.5.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.5.5.3.2.2" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.5.5.3.2.2.cmml">F</mi><mo id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.5.5.3.2.1" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.5.5.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><msubsup id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.5.5.3.3" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.5.5.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.5.5.3.3.2.2" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.5.5.3.3.2.2.cmml">p</mi><mi id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.5.5.3.3.3" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.5.5.3.3.3.cmml">t</mi><mrow id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.5.5.3.3.2.3" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.5.5.3.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.5.5.3.3.2.3.2" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.5.5.3.3.2.3.2.cmml">P</mi><mo id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.5.5.3.3.2.3.1" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.5.5.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.5.5.3.3.2.3.3" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.5.5.3.3.2.3.3.cmml">V</mi></mrow></msubsup></msub><mo id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.5.5.2" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.5.5.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.5.5.1.1" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.5.5.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.5.5.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.5.5.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.5.5.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.5.5.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.5.5.1.1.1.2" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.5.5.1.1.1.2.cmml">o</mi><mrow id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.2.2.2.2" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.2.2.2.2.1" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.2.2.2.2.1.2" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.2.2.2.2.1.2.cmml">s</mi><mo id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.2.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.2.2.2.2.1.1.cmml">+</mo><mn id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.2.2.2.2.1.3" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.2.2.2.2.1.3.cmml">1</mn></mrow></mrow></msub><mo id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.5.5.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.5.5.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.7" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.7.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.cmml"><msub id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.3" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.3.2" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.3.2.2" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.3.2.2.cmml">F</mi><mo id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.3.2.1" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><msubsup id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.3.3" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.3.3.2.2" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.3.3.2.2.cmml">p</mi><mi id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.3.3.3" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.3.3.3.cmml">t</mi><mrow id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.3.3.2.3" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.3.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.3.3.2.3.2" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.3.3.2.3.2.cmml">P</mi><mo id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.3.3.2.3.1" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.3.3.2.3.3" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.3.3.2.3.3.cmml">V</mi></mrow></msubsup></msub><mo id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.2" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.1.1" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.1.1.1.2" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.1.1.1.2.cmml">o</mi><mrow id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.4" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.3.3.1.1" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.3.3.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.4.1" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2.cmml">s</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mrow id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.10" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.10.cmml"><msub id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.10.6" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.10.6.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.10.6.2" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.10.6.2.cmml">o</mi><mrow id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.8.2.2.2" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.8.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.7.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.7.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.8.2.2.2.2" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.8.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.8.2.2.2.1" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.8.2.2.2.1.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.8.2.2.2.1.2" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.8.2.2.2.1.2.cmml">s</mi><mo id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.8.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.8.2.2.2.1.1.cmml">+</mo><mn id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.8.2.2.2.1.3" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.8.2.2.2.1.3.cmml">1</mn></mrow></mrow></msub><mo id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.10.5" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.10.5.cmml">−</mo><msub id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.10.7" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.10.7.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.10.7.2" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.10.7.2.cmml">o</mi><mrow id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.10.4.2.4" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.10.4.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.9.3.1.1" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.9.3.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.10.4.2.4.1" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.10.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.10.4.2.2" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.10.4.2.2.cmml">s</mi></mrow></msub></mrow></mfrac></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.Ex1.m1.20.20.2d" xref="S4.Ex1.m1.19.19.1.cmml"><mtd id="S4.Ex1.m1.20.20.2e" xref="S4.Ex1.m1.19.19.1a.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.Ex1.m1.20.20.2f" xref="S4.Ex1.m1.19.19.1.cmml"><mrow id="S4.Ex1.m1.20.20.2.19.15.15" xref="S4.Ex1.m1.19.19.1.cmml"><msub id="S4.Ex1.m1.20.20.2.19.15.15.16" xref="S4.Ex1.m1.19.19.1.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.5.5.5.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.5.5.5.1.1.1.cmml">β</mi><mrow id="S4.Ex1.m1.6.6.6.2.2.2.1.4" xref="S4.Ex1.m1.6.6.6.2.2.2.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.6.6.6.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex1.m1.6.6.6.2.2.2.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex1.m1.6.6.6.2.2.2.1.4.1" xref="S4.Ex1.m1.6.6.6.2.2.2.1.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex1.m1.6.6.6.2.2.2.1.2" xref="S4.Ex1.m1.6.6.6.2.2.2.1.2.cmml">s</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex1.m1.7.7.7.3.3.3" xref="S4.Ex1.m1.7.7.7.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex1.m1.20.20.2.19.15.15.15" xref="S4.Ex1.m1.19.19.1.cmml"><mrow id="S4.Ex1.m1.20.20.2.19.15.15.15.2" xref="S4.Ex1.m1.19.19.1.cmml"><mo id="S4.Ex1.m1.20.20.2.19.15.15.15.2a" xref="S4.Ex1.m1.19.19.1a.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex1.m1.20.20.2.19.15.15.15.2.1" xref="S4.Ex1.m1.19.19.1.cmml"><mfrac id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.cmml"><mrow id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.6" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.6.cmml"><mrow id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.5.5" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.5.5.cmml"><msub id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.5.5.3" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.5.5.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.5.5.3.2" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.5.5.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.5.5.3.2.2" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.5.5.3.2.2.cmml">F</mi><mo id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.5.5.3.2.1" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.5.5.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><msubsup id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.5.5.3.3" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.5.5.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.5.5.3.3.2.2" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.5.5.3.3.2.2.cmml">p</mi><mi id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.5.5.3.3.3" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.5.5.3.3.3.cmml">t</mi><mrow id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.5.5.3.3.2.3" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.5.5.3.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.5.5.3.3.2.3.2" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.5.5.3.3.2.3.2.cmml">P</mi><mo id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.5.5.3.3.2.3.1" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.5.5.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.5.5.3.3.2.3.3" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.5.5.3.3.2.3.3.cmml">V</mi></mrow></msubsup></msub><mo id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.5.5.2" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.5.5.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.5.5.1.1" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.5.5.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.5.5.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.5.5.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.5.5.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.5.5.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.5.5.1.1.1.2" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.5.5.1.1.1.2.cmml">o</mi><mrow id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.2.2.2.2" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.1.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.2.2.2.2.1" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.2.2.2.2.1.2" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.2.2.2.2.1.2.cmml">s</mi><mo id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.2.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.2.2.2.2.1.1.cmml">+</mo><mn id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.2.2.2.2.1.3" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.2.2.2.2.1.3.cmml">1</mn></mrow></mrow></msub><mo id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.5.5.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.5.5.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.6.7" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.6.7.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.6.6" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.6.6.cmml"><msub id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.6.6.3" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.6.6.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.6.6.3.2" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.6.6.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.6.6.3.2.2" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.6.6.3.2.2.cmml">F</mi><mo id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.6.6.3.2.1" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.6.6.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><msubsup id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.6.6.3.3" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.6.6.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.6.6.3.3.2.2" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.6.6.3.3.2.2.cmml">p</mi><mi id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.6.6.3.3.3" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.6.6.3.3.3.cmml">t</mi><mrow id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.6.6.3.3.2.3" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.6.6.3.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.6.6.3.3.2.3.2" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.6.6.3.3.2.3.2.cmml">P</mi><mo id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.6.6.3.3.2.3.1" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.6.6.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.6.6.3.3.2.3.3" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.6.6.3.3.2.3.3.cmml">V</mi></mrow></msubsup></msub><mo id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.6.6.2" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.6.6.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.6.6.1.1" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.6.6.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.6.6.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.6.6.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.6.6.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.6.6.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.6.6.1.1.1.2" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.6.6.1.1.1.2.cmml">o</mi><mrow id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.4.4.2.4" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.4.4.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.3.3.1.1" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.3.3.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.4.4.2.4.1" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.4.4.2.2" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.4.4.2.2.cmml">s</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.6.6.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.6.6.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mrow id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.10" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.10.cmml"><msub id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.10.6" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.10.6.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.10.6.2" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.10.6.2.cmml">o</mi><mrow id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.8.2.2.2" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.8.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.7.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.7.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.8.2.2.2.2" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.8.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.8.2.2.2.1" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.8.2.2.2.1.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.8.2.2.2.1.2" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.8.2.2.2.1.2.cmml">s</mi><mo id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.8.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.8.2.2.2.1.1.cmml">+</mo><mn id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.8.2.2.2.1.3" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.8.2.2.2.1.3.cmml">1</mn></mrow></mrow></msub><mo id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.10.5" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.10.5.cmml">−</mo><msub id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.10.7" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.10.7.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.10.7.2" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.10.7.2.cmml">o</mi><mrow id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.10.4.2.4" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.10.4.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.9.3.1.1" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.9.3.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.10.4.2.4.1" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.10.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.10.4.2.2" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.10.4.2.2.cmml">s</mi></mrow></msub></mrow></mfrac><mo id="S4.Ex1.m1.20.20.2.19.15.15.15.2.1.1" xref="S4.Ex1.m1.19.19.1a.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex1.m1.20.20.2.19.15.15.15.2.1.2" xref="S4.Ex1.m1.19.19.1.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.10.10.10.6.6.6" xref="S4.Ex1.m1.10.10.10.6.6.6.cmml">o</mi><mrow id="S4.Ex1.m1.11.11.11.7.7.7.1.4" xref="S4.Ex1.m1.11.11.11.7.7.7.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.11.11.11.7.7.7.1.1" xref="S4.Ex1.m1.11.11.11.7.7.7.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex1.m1.11.11.11.7.7.7.1.4.1" xref="S4.Ex1.m1.11.11.11.7.7.7.1.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex1.m1.11.11.11.7.7.7.1.2" xref="S4.Ex1.m1.11.11.11.7.7.7.1.2.cmml">s</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="S4.Ex1.m1.12.12.12.8.8.8" xref="S4.Ex1.m1.12.12.12.8.8.8.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex1.m1.20.20.2.19.15.15.15.1" xref="S4.Ex1.m1.19.19.1.cmml"><msub id="S4.Ex1.m1.20.20.2.19.15.15.15.1.3" xref="S4.Ex1.m1.19.19.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex1.m1.13.13.13.9.9.9" xref="S4.Ex1.m1.13.13.13.9.9.9.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.13.13.13.9.9.9.2" xref="S4.Ex1.m1.13.13.13.9.9.9.2.cmml">F</mi><mo id="S4.Ex1.m1.13.13.13.9.9.9.1" xref="S4.Ex1.m1.13.13.13.9.9.9.1.cmml">¯</mo></mover><msubsup id="S4.Ex1.m1.14.14.14.10.10.10.1" xref="S4.Ex1.m1.14.14.14.10.10.10.1.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.14.14.14.10.10.10.1.2.2" xref="S4.Ex1.m1.14.14.14.10.10.10.1.2.2.cmml">p</mi><mi id="S4.Ex1.m1.14.14.14.10.10.10.1.3" xref="S4.Ex1.m1.14.14.14.10.10.10.1.3.cmml">t</mi><mrow id="S4.Ex1.m1.14.14.14.10.10.10.1.2.3" xref="S4.Ex1.m1.14.14.14.10.10.10.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.14.14.14.10.10.10.1.2.3.2" xref="S4.Ex1.m1.14.14.14.10.10.10.1.2.3.2.cmml">P</mi><mo id="S4.Ex1.m1.14.14.14.10.10.10.1.2.3.1" xref="S4.Ex1.m1.14.14.14.10.10.10.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex1.m1.14.14.14.10.10.10.1.2.3.3" xref="S4.Ex1.m1.14.14.14.10.10.10.1.2.3.3.cmml">V</mi></mrow></msubsup></msub><mo id="S4.Ex1.m1.20.20.2.19.15.15.15.1.2" xref="S4.Ex1.m1.19.19.1a.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex1.m1.20.20.2.19.15.15.15.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.19.19.1.cmml"><mo id="S4.Ex1.m1.15.15.15.11.11.11" stretchy="false" xref="S4.Ex1.m1.19.19.1a.cmml">(</mo><msub id="S4.Ex1.m1.20.20.2.19.15.15.15.1.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.19.19.1.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.16.16.16.12.12.12" xref="S4.Ex1.m1.16.16.16.12.12.12.cmml">o</mi><mrow id="S4.Ex1.m1.17.17.17.13.13.13.1.4" xref="S4.Ex1.m1.17.17.17.13.13.13.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.17.17.17.13.13.13.1.1" xref="S4.Ex1.m1.17.17.17.13.13.13.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex1.m1.17.17.17.13.13.13.1.4.1" xref="S4.Ex1.m1.17.17.17.13.13.13.1.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex1.m1.17.17.17.13.13.13.1.2" xref="S4.Ex1.m1.17.17.17.13.13.13.1.2.cmml">s</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex1.m1.18.18.18.14.14.14" stretchy="false" xref="S4.Ex1.m1.19.19.1a.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex1.m1.20b"><apply id="S4.Ex1.m1.19.19.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.20.20.2"><and id="S4.Ex1.m1.19.19.1a.cmml" xref="S4.Ex1.m1.20.20.2b"></and><apply id="S4.Ex1.m1.19.19.1b.cmml" xref="S4.Ex1.m1.20.20.2"><eq id="S4.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3"></eq><apply id="S4.Ex1.m1.19.19.1.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.20.20.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1.m1.19.19.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.20.20.2b">subscript</csymbol><ci 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xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.2.2.2.2.1"><plus id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.2.2.2.2.1.1"></plus><ci id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.2.2.2.2.1.2">𝑠</ci><cn id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.2.2.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.2.2.2.2.1.3">1</cn></apply></list></apply></apply><apply id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6"><times id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.2"></times><apply id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.3.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.3">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.3.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.3.2"><ci id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.3.2.1">¯</ci><ci id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.3.2.2">𝐹</ci></apply><apply id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.3.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.3.3">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.3.3.2.2">𝑝</ci><apply id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.3.3.2.3"><times id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.3.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.3.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.3.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.3.3.2.3.2">𝑃</ci><ci id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.3.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.3.3.2.3.3">𝑉</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.6.6.1.1.1.2">𝑜</ci><list id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.4"><ci id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.3.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.3.3.1.1">𝑡</ci><ci id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2">𝑠</ci></list></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.10.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.10"><minus id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.10.5.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.10.5"></minus><apply id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.10.6.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.10.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.10.6.1.cmml" 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xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.10.7.2">𝑜</ci><list id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.10.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.10.4.2.4"><ci id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.9.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.9.3.1.1">𝑡</ci><ci id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.10.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.10.4.2.2">𝑠</ci></list></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex1.m1.19.19.1.5.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.20.20.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1.m1.19.19.1.5.3.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.20.20.2b">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex1.m1.5.5.5.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.5.1.1.1">𝛽</ci><list id="S4.Ex1.m1.6.6.6.2.2.2.1.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.6.6.6.2.2.2.1.4"><ci id="S4.Ex1.m1.6.6.6.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.6.6.6.2.2.2.1.1">𝑡</ci><ci id="S4.Ex1.m1.6.6.6.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.6.6.6.2.2.2.1.2">𝑠</ci></list></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex1.m1.19.19.1c.cmml" xref="S4.Ex1.m1.20.20.2"><eq id="S4.Ex1.m1.7.7.7.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.7.7.7.3.3.3"></eq><share 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xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.1.1.1.1">𝑡</ci><apply id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.2.2.2.2.1"><plus id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.2.2.2.2.1.1"></plus><ci id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.2.2.2.2.1.2">𝑠</ci><cn id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.2.2.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.2.2.2.2.1.3">1</cn></apply></list></apply></apply><apply id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.6.6.cmml" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.6.6"><times id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.6.6.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.6.6.2"></times><apply id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.6.6.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.6.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.6.6.3.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.6.6.3">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.6.6.3.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.6.6.3.2"><ci id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.6.6.3.2.1.cmml" 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id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.6.6.3.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.6.6.3.3.2.3.3">𝑉</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.6.6.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.6.6.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.6.6.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.6.6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.6.6.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.6.6.1.1.1.2">𝑜</ci><list id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.4.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.4.4.2.4"><ci id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.3.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.3.3.1.1">𝑡</ci><ci id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.4.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.4.4.2.2">𝑠</ci></list></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.10.cmml" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.10"><minus id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.10.5.cmml" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.10.5"></minus><apply id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.10.6.cmml" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.10.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.10.6.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.10.6">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.10.6.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.10.6.2">𝑜</ci><list id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.8.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.8.2.2.2"><ci id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.7.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.7.1.1.1">𝑡</ci><apply id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.8.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.8.2.2.2.1"><plus id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.8.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.8.2.2.2.1.1"></plus><ci id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.8.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.8.2.2.2.1.2">𝑠</ci><cn id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.8.2.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.8.2.2.2.1.3">1</cn></apply></list></apply><apply id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.10.7.cmml" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.10.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1.m1.9.9.9.5.5.5.10.7.1.cmml" 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id="S4.Ex1.m1.19.19.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.20.20.2"><times id="S4.Ex1.m1.19.19.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.20.20.2b"></times><apply id="S4.Ex1.m1.19.19.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.20.20.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1.m1.19.19.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.20.20.2b">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex1.m1.13.13.13.9.9.9.cmml" xref="S4.Ex1.m1.13.13.13.9.9.9"><ci id="S4.Ex1.m1.13.13.13.9.9.9.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.13.13.13.9.9.9.1">¯</ci><ci id="S4.Ex1.m1.13.13.13.9.9.9.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.13.13.13.9.9.9.2">𝐹</ci></apply><apply id="S4.Ex1.m1.14.14.14.10.10.10.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.14.14.14.10.10.10.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1.m1.14.14.14.10.10.10.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.14.14.14.10.10.10.1">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex1.m1.14.14.14.10.10.10.1.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.14.14.14.10.10.10.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1.m1.14.14.14.10.10.10.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.14.14.14.10.10.10.1">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex1.m1.14.14.14.10.10.10.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.14.14.14.10.10.10.1.2.2">𝑝</ci><apply id="S4.Ex1.m1.14.14.14.10.10.10.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.14.14.14.10.10.10.1.2.3"><times id="S4.Ex1.m1.14.14.14.10.10.10.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.14.14.14.10.10.10.1.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex1.m1.14.14.14.10.10.10.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.14.14.14.10.10.10.1.2.3.2">𝑃</ci><ci id="S4.Ex1.m1.14.14.14.10.10.10.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.14.14.14.10.10.10.1.2.3.3">𝑉</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex1.m1.14.14.14.10.10.10.1.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.14.14.14.10.10.10.1.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex1.m1.19.19.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.20.20.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1.m1.19.19.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.20.20.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex1.m1.16.16.16.12.12.12.cmml" xref="S4.Ex1.m1.16.16.16.12.12.12">𝑜</ci><list id="S4.Ex1.m1.17.17.17.13.13.13.1.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.17.17.17.13.13.13.1.4"><ci id="S4.Ex1.m1.17.17.17.13.13.13.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.17.17.17.13.13.13.1.1">𝑡</ci><ci id="S4.Ex1.m1.17.17.17.13.13.13.1.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.17.17.17.13.13.13.1.2">𝑠</ci></list></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex1.m1.20c">\begin{split}&\omega_{t,s}=\frac{\overline{F}_{p^{PV}_{t}}(o_{t,s+1})-% \overline{F}_{p^{PV}_{t}}(o_{t,s})}{o_{t,s+1}-o_{t,s}}\\ &\beta_{t,s}=-\frac{\overline{F}_{p^{PV}_{t}}(o_{t,s+1})-\overline{F}_{p^{PV}_% {t}}(o_{t,s})}{o_{t,s+1}-o_{t,s}}o_{t,s}+\overline{F}_{p^{PV}_{t}}(o_{t,s})% \end{split}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex1.m1.20d">start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL italic_ω start_POSTSUBSCRIPT italic_t , italic_s end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG over¯ start_ARG italic_F end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_P italic_V end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( 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italic_P italic_V end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_o start_POSTSUBSCRIPT italic_t , italic_s end_POSTSUBSCRIPT ) end_ARG start_ARG italic_o start_POSTSUBSCRIPT italic_t , italic_s + 1 end_POSTSUBSCRIPT - italic_o start_POSTSUBSCRIPT italic_t , italic_s end_POSTSUBSCRIPT end_ARG italic_o start_POSTSUBSCRIPT italic_t , italic_s end_POSTSUBSCRIPT + over¯ start_ARG italic_F end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_P italic_V end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_o start_POSTSUBSCRIPT italic_t , italic_s end_POSTSUBSCRIPT ) end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p6"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p6.4">For this approach, only the cumulative probabilities at breakpoints are necessary. Likewise, the worst-case distributions <math alttext="\underline{F}_{p^{PV}_{t}}(\overline{p}^{PV}_{t})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p6.1.m1.1"><semantics id="S4.SS1.p6.1.m1.1a"><mrow id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.cmml"><munder accentunder="true" id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.2" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.2.2" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.2.2.cmml">F</mi><mo id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.2.1" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.2.1.cmml">¯</mo></munder><msubsup id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.3" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.3.2.2.cmml">p</mi><mi id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.3.3" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.3.3.cmml">t</mi><mrow id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.3.2.3.2" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.3.2.3.2.cmml">P</mi><mo id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.3.2.3.1" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.3.2.3.3" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.3.2.3.3.cmml">V</mi></mrow></msubsup></msub><mo id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.2" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">p</mi><mo id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">¯</mo></mover><mi id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">t</mi><mrow id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">P</mi><mo id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">V</mi></mrow></msubsup><mo id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p6.1.m1.1b"><apply id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1"><times id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.2"></times><apply id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.2"><ci id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.2.1">¯</ci><ci id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.2.2">𝐹</ci></apply><apply id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.3.2.2">𝑝</ci><apply id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.3.2.3"><times id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.3.2.3.1"></times><ci id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.3.2.3.2">𝑃</ci><ci id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.3.2.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.3.2.3.3">𝑉</ci></apply></apply><ci id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.2.2"><ci id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.1">¯</ci><ci id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑝</ci></apply><apply id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑃</ci><ci id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑉</ci></apply></apply><ci id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.3">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p6.1.m1.1c">\underline{F}_{p^{PV}_{t}}(\overline{p}^{PV}_{t})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p6.1.m1.1d">under¯ start_ARG italic_F end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_P italic_V end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( over¯ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT italic_P italic_V end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>, <math alttext="\overline{F}_{p^{L}_{t}}(\underline{p}^{L}_{t})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p6.2.m2.1"><semantics id="S4.SS1.p6.2.m2.1a"><mrow id="S4.SS1.p6.2.m2.1.1" xref="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.cmml"><msub id="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.3" xref="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.3.2" xref="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.3.2.2" xref="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.3.2.2.cmml">F</mi><mo 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xref="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.1.1.1.2.2"><ci id="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.1">¯</ci><ci id="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑝</ci></apply><ci id="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.1.1.1.2.3">𝐿</ci></apply><ci id="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.1.1.1.3">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p6.2.m2.1c">\overline{F}_{p^{L}_{t}}(\underline{p}^{L}_{t})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p6.2.m2.1d">over¯ start_ARG italic_F end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_L end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( under¯ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT italic_L end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>, and <math alttext="\underline{F}_{p^{L}_{t}}(\overline{p}^{L}_{t})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p6.3.m3.1"><semantics id="S4.SS1.p6.3.m3.1a"><mrow id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.cmml"><msub id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.3" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.3.cmml"><munder accentunder="true" id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.3.2" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.3.2.2" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.3.2.2.cmml">F</mi><mo id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.3.2.1" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.3.2.1.cmml">¯</mo></munder><msubsup id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.3.3" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.3.3.2.2" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.3.3.2.2.cmml">p</mi><mi id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.3.3.3" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.3.3.3.cmml">t</mi><mi id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.3.3.2.3" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.3.3.2.3.cmml">L</mi></msubsup></msub><mo id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.2" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">p</mi><mo id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">¯</mo></mover><mi id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml">t</mi><mi id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.cmml">L</mi></msubsup><mo id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p6.3.m3.1b"><apply id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1"><times id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.2"></times><apply id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.3.2"><ci id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.3.2.1">¯</ci><ci id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.3.2.2">𝐹</ci></apply><apply id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.3.3.2.2">𝑝</ci><ci id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.3.3.2.3">𝐿</ci></apply><ci id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.2"><ci id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.2.1">¯</ci><ci id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑝</ci></apply><ci id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1.2.3">𝐿</ci></apply><ci id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.1.1.1.3">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p6.3.m3.1c">\underline{F}_{p^{L}_{t}}(\overline{p}^{L}_{t})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p6.3.m3.1d">under¯ start_ARG italic_F end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_L end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( over¯ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT italic_L end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> can also be transformed into mixed integer linear equations. Consequently, the suboptimization problem of calculating optimal uncertainty set becomes a MILP, which can be addressed using a commercial solver, provided a specific <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p6.4.m4.1"><semantics id="S4.SS1.p6.4.m4.1a"><mi id="S4.SS1.p6.4.m4.1.1" xref="S4.SS1.p6.4.m4.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p6.4.m4.1b"><ci id="S4.SS1.p6.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.4.m4.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p6.4.m4.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p6.4.m4.1d">italic_α</annotation></semantics></math> is given.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S4.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection"><span class="ltx_text" id="S4.SS2.4.1.1">IV-B</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.SS2.5.2">Iteration Solving Procedure</span> </h3> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p1.1">The optimal uncertainty set depends on the optimal <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.SS2.p1.1.m1.1a"><mi id="S4.SS2.p1.1.m1.1.1" xref="S4.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.1.m1.1b"><ci id="S4.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.1.m1.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.1.m1.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.1.m1.1d">italic_α</annotation></semantics></math>, which remains unknown until the problem is solved. Fortunately, given the range of the objective function is from 0 to 1, the structured nature of the optimization problem can be exploited to allow for an iterative method, where a larger objective value will lead to a higher worst-case cost. The solving procedure is shown in Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S4.F3" title="Figure 3 ‣ IV Solution Methodology ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>, and the details are as follows.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S4.SS2.p2"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p2.5"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.SS2.p2.5.1">Step 1:</span> The initial step is set as <math alttext="itr=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p2.1.m1.1"><semantics id="S4.SS2.p2.1.m1.1a"><mrow id="S4.SS2.p2.1.m1.1.1" xref="S4.SS2.p2.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS2.p2.1.m1.1.1.2" xref="S4.SS2.p2.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p2.1.m1.1.1.2.2" xref="S4.SS2.p2.1.m1.1.1.2.2.cmml">i</mi><mo id="S4.SS2.p2.1.m1.1.1.2.1" xref="S4.SS2.p2.1.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS2.p2.1.m1.1.1.2.3" xref="S4.SS2.p2.1.m1.1.1.2.3.cmml">t</mi><mo id="S4.SS2.p2.1.m1.1.1.2.1a" xref="S4.SS2.p2.1.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS2.p2.1.m1.1.1.2.4" xref="S4.SS2.p2.1.m1.1.1.2.4.cmml">r</mi></mrow><mo id="S4.SS2.p2.1.m1.1.1.1" xref="S4.SS2.p2.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS2.p2.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS2.p2.1.m1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p2.1.m1.1b"><apply id="S4.SS2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.1.m1.1.1"><eq id="S4.SS2.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.1.m1.1.1.1"></eq><apply id="S4.SS2.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p2.1.m1.1.1.2"><times id="S4.SS2.p2.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.1.m1.1.1.2.1"></times><ci id="S4.SS2.p2.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p2.1.m1.1.1.2.2">𝑖</ci><ci id="S4.SS2.p2.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p2.1.m1.1.1.2.3">𝑡</ci><ci id="S4.SS2.p2.1.m1.1.1.2.4.cmml" xref="S4.SS2.p2.1.m1.1.1.2.4">𝑟</ci></apply><cn id="S4.SS2.p2.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p2.1.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p2.1.m1.1c">itr=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p2.1.m1.1d">italic_i italic_t italic_r = 1</annotation></semantics></math>. Assume that <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p2.2.m2.1"><semantics id="S4.SS2.p2.2.m2.1a"><mi id="S4.SS2.p2.2.m2.1.1" xref="S4.SS2.p2.2.m2.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p2.2.m2.1b"><ci id="S4.SS2.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.2.m2.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p2.2.m2.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p2.2.m2.1d">italic_α</annotation></semantics></math> takes values from ten equal intervals separated by discrete points, <math alttext="0,0.1,...,1.0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p2.3.m3.4"><semantics id="S4.SS2.p2.3.m3.4a"><mrow id="S4.SS2.p2.3.m3.4.5.2" xref="S4.SS2.p2.3.m3.4.5.1.cmml"><mn id="S4.SS2.p2.3.m3.1.1" xref="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.cmml">0</mn><mo id="S4.SS2.p2.3.m3.4.5.2.1" xref="S4.SS2.p2.3.m3.4.5.1.cmml">,</mo><mn id="S4.SS2.p2.3.m3.2.2" xref="S4.SS2.p2.3.m3.2.2.cmml">0.1</mn><mo id="S4.SS2.p2.3.m3.4.5.2.2" xref="S4.SS2.p2.3.m3.4.5.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS2.p2.3.m3.3.3" mathvariant="normal" xref="S4.SS2.p2.3.m3.3.3.cmml">…</mi><mo id="S4.SS2.p2.3.m3.4.5.2.3" xref="S4.SS2.p2.3.m3.4.5.1.cmml">,</mo><mn id="S4.SS2.p2.3.m3.4.4" xref="S4.SS2.p2.3.m3.4.4.cmml">1.0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p2.3.m3.4b"><list id="S4.SS2.p2.3.m3.4.5.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.3.m3.4.5.2"><cn id="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p2.3.m3.1.1">0</cn><cn id="S4.SS2.p2.3.m3.2.2.cmml" type="float" xref="S4.SS2.p2.3.m3.2.2">0.1</cn><ci id="S4.SS2.p2.3.m3.3.3.cmml" xref="S4.SS2.p2.3.m3.3.3">…</ci><cn id="S4.SS2.p2.3.m3.4.4.cmml" type="float" xref="S4.SS2.p2.3.m3.4.4">1.0</cn></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p2.3.m3.4c">0,0.1,...,1.0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p2.3.m3.4d">0 , 0.1 , … , 1.0</annotation></semantics></math>. Binary variables <math alttext="u_{m},m=1,...,10" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p2.4.m4.5"><semantics id="S4.SS2.p2.4.m4.5a"><mrow id="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.2" xref="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.3.cmml"><mrow id="S4.SS2.p2.4.m4.4.4.1.1" xref="S4.SS2.p2.4.m4.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1" xref="S4.SS2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.2.cmml"><msub id="S4.SS2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.1" xref="S4.SS2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">u</mi><mi id="S4.SS2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S4.SS2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.2" xref="S4.SS2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S4.SS2.p2.4.m4.1.1" xref="S4.SS2.p2.4.m4.1.1.cmml">m</mi></mrow><mo id="S4.SS2.p2.4.m4.4.4.1.1.2" xref="S4.SS2.p2.4.m4.4.4.1.1.2.cmml">=</mo><mn id="S4.SS2.p2.4.m4.4.4.1.1.3" xref="S4.SS2.p2.4.m4.4.4.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.2.3" xref="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.2.2.2" xref="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.2.2.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p2.4.m4.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.SS2.p2.4.m4.2.2.cmml">…</mi><mo id="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.2.2.2.1" xref="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.2.2.1.cmml">,</mo><mn id="S4.SS2.p2.4.m4.3.3" xref="S4.SS2.p2.4.m4.3.3.cmml">10</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p2.4.m4.5b"><apply id="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.3.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.3a.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.SS2.p2.4.m4.4.4.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m4.4.4.1.1"><eq id="S4.SS2.p2.4.m4.4.4.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m4.4.4.1.1.2"></eq><list id="S4.SS2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1"><apply id="S4.SS2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.2">𝑢</ci><ci id="S4.SS2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.3">𝑚</ci></apply><ci id="S4.SS2.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m4.1.1">𝑚</ci></list><cn id="S4.SS2.p2.4.m4.4.4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p2.4.m4.4.4.1.1.3">1</cn></apply><list id="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.2.2.2"><ci id="S4.SS2.p2.4.m4.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m4.2.2">…</ci><cn id="S4.SS2.p2.4.m4.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p2.4.m4.3.3">10</cn></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p2.4.m4.5c">u_{m},m=1,...,10</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p2.4.m4.5d">italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT , italic_m = 1 , … , 10</annotation></semantics></math> are utilized to determine which interval <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p2.5.m5.1"><semantics id="S4.SS2.p2.5.m5.1a"><mi id="S4.SS2.p2.5.m5.1.1" xref="S4.SS2.p2.5.m5.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p2.5.m5.1b"><ci id="S4.SS2.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.5.m5.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p2.5.m5.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p2.5.m5.1d">italic_α</annotation></semantics></math> falls into, as shown below.</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E29"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\begin{cases}\alpha=\sum_{m=1}^{10}\alpha_{m}\\ \underline{\alpha}_{m}^{(itr)}\cdot u_{m}\leq\alpha_{m}\leq\overline{\alpha}_{% m}^{(itr)}\cdot u_{m},\forall m\\ \sum_{m=1}^{10}u_{m}=1\end{cases}" class="ltx_Math" display="block" id="S4.E29.m1.3"><semantics id="S4.E29.m1.3a"><mrow id="S4.E29.m1.3.3" xref="S4.E29.m1.3.4.1.cmml"><mo id="S4.E29.m1.3.3.4" xref="S4.E29.m1.3.4.1.1.cmml">{</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S4.E29.m1.3.3.3" rowspacing="0pt" xref="S4.E29.m1.3.4.1.cmml"><mtr id="S4.E29.m1.3.3.3a" xref="S4.E29.m1.3.4.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E29.m1.3.3.3b" xref="S4.E29.m1.3.4.1.cmml"><mrow id="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">α</mi><mo id="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><msubsup id="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.2" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.1" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.3" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mn id="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.cmml">10</mn></msubsup></mstyle><msub id="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">α</mi><mi id="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">m</mi></msub></mrow></mrow></mtd><mtd id="S4.E29.m1.3.3.3c" xref="S4.E29.m1.3.4.1.1.cmml"></mtd></mtr><mtr id="S4.E29.m1.3.3.3d" xref="S4.E29.m1.3.4.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E29.m1.3.3.3e" xref="S4.E29.m1.3.4.1.cmml"><mrow id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.4" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.5.cmml"><mrow id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml"><mrow id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.cmml"><msubsup id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.2" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.2.cmml"><munder accentunder="true" id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.2.2.2" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.2.2.2.2" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.2.2.2.2.cmml">α</mi><mo id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.2.2.2.1" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.2.2.2.1.cmml">¯</mo></munder><mi id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.2.2.3" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.2.2.3.cmml">m</mi><mrow id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">t</mi><mo id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4.cmml">r</mi></mrow><mo id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.1.cmml">⋅</mo><msub id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.3" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.3.2" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.3.2.cmml">u</mi><mi id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.3.3" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.3.3.cmml">m</mi></msub></mrow><mo id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.3" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.3.cmml">≤</mo><msub id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.4" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.4.cmml"><mi id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.4.2" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.4.2.cmml">α</mi><mi id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.4.3" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.4.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.5" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.5.cmml">≤</mo><mrow id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.6" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.6.cmml"><msubsup id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.6.2" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.6.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.6.2.2.2" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.6.2.2.2.cmml"><mi id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.6.2.2.2.2" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.6.2.2.2.2.cmml">α</mi><mo id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.6.2.2.2.1" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.6.2.2.2.1.cmml">¯</mo></mover><mi id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.6.2.2.3" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.6.2.2.3.cmml">m</mi><mrow id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.cmml">t</mi><mo id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1a" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.4" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.4.cmml">r</mi></mrow><mo id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.6.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.6.1.cmml">⋅</mo><msub id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.6.3" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.6.3.cmml"><mi id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.6.3.2" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.6.3.2.cmml">u</mi><mi id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.6.3.3" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.6.3.3.cmml">m</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.4.3" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.5a.cmml">,</mo><mrow id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.4.2" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.cmml"><mo id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1" rspace="0.167em" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.2" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.2.cmml">m</mi></mrow></mrow></mtd><mtd id="S4.E29.m1.3.3.3f" xref="S4.E29.m1.3.4.1.1.cmml"></mtd></mtr><mtr id="S4.E29.m1.3.3.3g" xref="S4.E29.m1.3.4.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E29.m1.3.3.3h" xref="S4.E29.m1.3.4.1.cmml"><mrow id="S4.E29.m1.3.3.3.3.1.1" xref="S4.E29.m1.3.3.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S4.E29.m1.3.3.3.3.1.1.2" xref="S4.E29.m1.3.3.3.3.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S4.E29.m1.3.3.3.3.1.1.2.1" xref="S4.E29.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.cmml"><msubsup id="S4.E29.m1.3.3.3.3.1.1.2.1a" xref="S4.E29.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.cmml"><mo id="S4.E29.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.2" xref="S4.E29.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.E29.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.3" xref="S4.E29.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E29.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.3.2" xref="S4.E29.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="S4.E29.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.3.1" xref="S4.E29.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.E29.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.3.3" xref="S4.E29.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mn id="S4.E29.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.3" xref="S4.E29.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.3.cmml">10</mn></msubsup></mstyle><msub id="S4.E29.m1.3.3.3.3.1.1.2.2" xref="S4.E29.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.E29.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.2" xref="S4.E29.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.2.cmml">u</mi><mi id="S4.E29.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.3" xref="S4.E29.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.3.cmml">m</mi></msub></mrow><mo id="S4.E29.m1.3.3.3.3.1.1.1" xref="S4.E29.m1.3.3.3.3.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.E29.m1.3.3.3.3.1.1.3" xref="S4.E29.m1.3.3.3.3.1.1.3.cmml">1</mn></mrow></mtd><mtd id="S4.E29.m1.3.3.3i" xref="S4.E29.m1.3.4.1.1.cmml"></mtd></mtr></mtable></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E29.m1.3b"><apply id="S4.E29.m1.3.4.1.cmml" xref="S4.E29.m1.3.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.E29.m1.3.4.1.1.cmml" xref="S4.E29.m1.3.3.4">cases</csymbol><apply id="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1"><eq id="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1"></eq><ci id="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝛼</ci><apply id="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.3"><apply id="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.3.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.1.cmml" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.2.cmml" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.2"></sum><apply id="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.cmml" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3"><eq id="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.1"></eq><ci id="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2">𝑚</ci><cn id="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><cn id="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3">10</cn></apply><apply id="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝛼</ci><ci id="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑚</ci></apply></apply></apply><ci id="S4.E29.m1.3.4.1.3a.cmml" xref="S4.E29.m1.3.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S4.E29.m1.3.4.1.3.cmml" xref="S4.E29.m1.3.3.4">otherwise</mtext></ci><apply id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.5.cmml" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.5a.cmml" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.4.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1"><and id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1a.cmml" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1"></and><apply id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1b.cmml" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1"><leq id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.3.cmml" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.3"></leq><apply id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.cmml" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2"><ci id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.1.cmml" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.1">⋅</ci><apply id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.2.cmml" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.2.2.2"><ci id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.2.2.2.1">¯</ci><ci id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.2.2.2.2">𝛼</ci></apply><ci id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.2.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1"><times id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3">𝑡</ci><ci id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.3.cmml" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.3.2">𝑢</ci><ci id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.3.3.cmml" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.3.3">𝑚</ci></apply></apply><apply id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.4.cmml" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.4.1.cmml" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.4">subscript</csymbol><ci id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.4.2.cmml" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.4.2">𝛼</ci><ci id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.4.3.cmml" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.4.3">𝑚</ci></apply></apply><apply id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1c.cmml" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1"><leq id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.5.cmml" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.4.cmml" id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1d.cmml" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1"></share><apply id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.6.cmml" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.6"><ci id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.6.1.cmml" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.6.1">⋅</ci><apply id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.6.2.cmml" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.6.2.1.cmml" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.6.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.6.2.2.cmml" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.6.2.2.1.cmml" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.6.2">subscript</csymbol><apply id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.6.2.2.2.cmml" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.6.2.2.2"><ci id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.6.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.6.2.2.2.1">¯</ci><ci id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.6.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.6.2.2.2.2">𝛼</ci></apply><ci id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.6.2.2.3.cmml" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.6.2.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1"><times id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1"></times><ci id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3">𝑡</ci><ci id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.4">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.6.3.cmml" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.6.3.1.cmml" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.6.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.6.3.2.cmml" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.6.3.2">𝑢</ci><ci id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.6.3.3.cmml" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.6.3.3">𝑚</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.cmml" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.4.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1.cmml" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1">for-all</csymbol><ci id="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.2.cmml" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.2">𝑚</ci></apply></apply><ci id="S4.E29.m1.3.4.1.5a.cmml" xref="S4.E29.m1.3.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S4.E29.m1.3.4.1.5.cmml" xref="S4.E29.m1.3.3.4">otherwise</mtext></ci><apply id="S4.E29.m1.3.3.3.3.1.1.cmml" xref="S4.E29.m1.3.3.3.3.1.1"><eq id="S4.E29.m1.3.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.E29.m1.3.3.3.3.1.1.1"></eq><apply id="S4.E29.m1.3.3.3.3.1.1.2.cmml" xref="S4.E29.m1.3.3.3.3.1.1.2"><apply id="S4.E29.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E29.m1.3.3.3.3.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E29.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.cmml" xref="S4.E29.m1.3.3.3.3.1.1.2.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E29.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.cmml" xref="S4.E29.m1.3.3.3.3.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E29.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="S4.E29.m1.3.3.3.3.1.1.2.1">subscript</csymbol><sum id="S4.E29.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.2.cmml" xref="S4.E29.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.2"></sum><apply id="S4.E29.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.3.cmml" xref="S4.E29.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.3"><eq id="S4.E29.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E29.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.3.1"></eq><ci id="S4.E29.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E29.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.3.2">𝑚</ci><cn id="S4.E29.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E29.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><cn id="S4.E29.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E29.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.3">10</cn></apply><apply id="S4.E29.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E29.m1.3.3.3.3.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E29.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E29.m1.3.3.3.3.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E29.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E29.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.2">𝑢</ci><ci id="S4.E29.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E29.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.3">𝑚</ci></apply></apply><cn id="S4.E29.m1.3.3.3.3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E29.m1.3.3.3.3.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S4.E29.m1.3.4.1.7a.cmml" xref="S4.E29.m1.3.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S4.E29.m1.3.4.1.7.cmml" xref="S4.E29.m1.3.3.4">otherwise</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E29.m1.3c">\begin{cases}\alpha=\sum_{m=1}^{10}\alpha_{m}\\ \underline{\alpha}_{m}^{(itr)}\cdot u_{m}\leq\alpha_{m}\leq\overline{\alpha}_{% m}^{(itr)}\cdot u_{m},\forall m\\ \sum_{m=1}^{10}u_{m}=1\end{cases}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E29.m1.3d">{ start_ROW start_CELL italic_α = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_m = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 10 end_POSTSUPERSCRIPT italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL under¯ start_ARG italic_α end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i italic_t italic_r ) end_POSTSUPERSCRIPT ⋅ italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT ≤ italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT ≤ over¯ start_ARG italic_α end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i italic_t italic_r ) end_POSTSUPERSCRIPT ⋅ italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT , ∀ italic_m end_CELL start_CELL end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_m = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 10 end_POSTSUPERSCRIPT italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT = 1 end_CELL start_CELL end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(29)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p2.6">where</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E30"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\begin{split}&\underline{\alpha}_{m}^{(itr)}=10^{-itr}(m-1)\\ &\overline{\alpha}_{m}^{(itr)}=10^{-itr}m\end{split}" class="ltx_Math" display="block" id="S4.E30.m1.20"><semantics id="S4.E30.m1.20a"><mtable columnspacing="0pt" displaystyle="true" id="S4.E30.m1.20.20.2" rowspacing="0.0pt" xref="S4.E30.m1.19.19.1.cmml"><mtr id="S4.E30.m1.20.20.2a" xref="S4.E30.m1.19.19.1.cmml"><mtd id="S4.E30.m1.20.20.2b" xref="S4.E30.m1.19.19.1a.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E30.m1.20.20.2c" xref="S4.E30.m1.19.19.1.cmml"><mrow id="S4.E30.m1.20.20.2.19.12.12" xref="S4.E30.m1.19.19.1.cmml"><msubsup id="S4.E30.m1.20.20.2.19.12.12.13" xref="S4.E30.m1.19.19.1.cmml"><munder accentunder="true" id="S4.E30.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E30.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E30.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E30.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">α</mi><mo id="S4.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">¯</mo></munder><mi id="S4.E30.m1.2.2.2.2.2.2.1" xref="S4.E30.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml">m</mi><mrow id="S4.E30.m1.3.3.3.3.3.3.1.1" xref="S4.E30.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E30.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E30.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E30.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1" xref="S4.E30.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E30.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.2" xref="S4.E30.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S4.E30.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1" xref="S4.E30.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E30.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.3" xref="S4.E30.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.3.cmml">t</mi><mo id="S4.E30.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1a" xref="S4.E30.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E30.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.4" xref="S4.E30.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.4.cmml">r</mi></mrow><mo id="S4.E30.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E30.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S4.E30.m1.4.4.4.4.4.4" xref="S4.E30.m1.4.4.4.4.4.4.cmml">=</mo><mrow id="S4.E30.m1.20.20.2.19.12.12.12" xref="S4.E30.m1.19.19.1.cmml"><msup id="S4.E30.m1.20.20.2.19.12.12.12.3" xref="S4.E30.m1.19.19.1.cmml"><mn id="S4.E30.m1.5.5.5.5.5.5" xref="S4.E30.m1.5.5.5.5.5.5.cmml">10</mn><mrow id="S4.E30.m1.6.6.6.6.6.6.1" xref="S4.E30.m1.6.6.6.6.6.6.1.cmml"><mo id="S4.E30.m1.6.6.6.6.6.6.1a" xref="S4.E30.m1.6.6.6.6.6.6.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.E30.m1.6.6.6.6.6.6.1.2" xref="S4.E30.m1.6.6.6.6.6.6.1.2.cmml"><mi id="S4.E30.m1.6.6.6.6.6.6.1.2.2" xref="S4.E30.m1.6.6.6.6.6.6.1.2.2.cmml">i</mi><mo id="S4.E30.m1.6.6.6.6.6.6.1.2.1" xref="S4.E30.m1.6.6.6.6.6.6.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E30.m1.6.6.6.6.6.6.1.2.3" xref="S4.E30.m1.6.6.6.6.6.6.1.2.3.cmml">t</mi><mo id="S4.E30.m1.6.6.6.6.6.6.1.2.1a" xref="S4.E30.m1.6.6.6.6.6.6.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E30.m1.6.6.6.6.6.6.1.2.4" xref="S4.E30.m1.6.6.6.6.6.6.1.2.4.cmml">r</mi></mrow></mrow></msup><mo id="S4.E30.m1.20.20.2.19.12.12.12.2" xref="S4.E30.m1.19.19.1a.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E30.m1.20.20.2.19.12.12.12.1.1" xref="S4.E30.m1.19.19.1.cmml"><mo id="S4.E30.m1.7.7.7.7.7.7" stretchy="false" xref="S4.E30.m1.19.19.1a.cmml">(</mo><mrow id="S4.E30.m1.20.20.2.19.12.12.12.1.1.1" xref="S4.E30.m1.19.19.1.cmml"><mi id="S4.E30.m1.8.8.8.8.8.8" xref="S4.E30.m1.8.8.8.8.8.8.cmml">m</mi><mo id="S4.E30.m1.9.9.9.9.9.9" xref="S4.E30.m1.9.9.9.9.9.9.cmml">−</mo><mn id="S4.E30.m1.10.10.10.10.10.10" xref="S4.E30.m1.10.10.10.10.10.10.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.E30.m1.11.11.11.11.11.11" stretchy="false" xref="S4.E30.m1.19.19.1a.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.E30.m1.20.20.2d" 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xref="S4.E30.m1.14.14.14.3.3.3.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S4.E30.m1.14.14.14.3.3.3.1.1.1.1" xref="S4.E30.m1.14.14.14.3.3.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E30.m1.14.14.14.3.3.3.1.1.1.3" xref="S4.E30.m1.14.14.14.3.3.3.1.1.1.3.cmml">t</mi><mo id="S4.E30.m1.14.14.14.3.3.3.1.1.1.1a" xref="S4.E30.m1.14.14.14.3.3.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E30.m1.14.14.14.3.3.3.1.1.1.4" xref="S4.E30.m1.14.14.14.3.3.3.1.1.1.4.cmml">r</mi></mrow><mo id="S4.E30.m1.14.14.14.3.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E30.m1.14.14.14.3.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S4.E30.m1.15.15.15.4.4.4" xref="S4.E30.m1.15.15.15.4.4.4.cmml">=</mo><mrow id="S4.E30.m1.18.18.18.7.7.9" xref="S4.E30.m1.19.19.1.cmml"><msup id="S4.E30.m1.18.18.18.7.7.9.2" xref="S4.E30.m1.19.19.1.cmml"><mn id="S4.E30.m1.16.16.16.5.5.5" xref="S4.E30.m1.16.16.16.5.5.5.cmml">10</mn><mrow id="S4.E30.m1.17.17.17.6.6.6.1" xref="S4.E30.m1.17.17.17.6.6.6.1.cmml"><mo id="S4.E30.m1.17.17.17.6.6.6.1a" xref="S4.E30.m1.17.17.17.6.6.6.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.E30.m1.17.17.17.6.6.6.1.2" xref="S4.E30.m1.17.17.17.6.6.6.1.2.cmml"><mi id="S4.E30.m1.17.17.17.6.6.6.1.2.2" xref="S4.E30.m1.17.17.17.6.6.6.1.2.2.cmml">i</mi><mo id="S4.E30.m1.17.17.17.6.6.6.1.2.1" xref="S4.E30.m1.17.17.17.6.6.6.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E30.m1.17.17.17.6.6.6.1.2.3" xref="S4.E30.m1.17.17.17.6.6.6.1.2.3.cmml">t</mi><mo id="S4.E30.m1.17.17.17.6.6.6.1.2.1a" xref="S4.E30.m1.17.17.17.6.6.6.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E30.m1.17.17.17.6.6.6.1.2.4" xref="S4.E30.m1.17.17.17.6.6.6.1.2.4.cmml">r</mi></mrow></mrow></msup><mo id="S4.E30.m1.18.18.18.7.7.9.1" xref="S4.E30.m1.19.19.1a.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E30.m1.18.18.18.7.7.7" xref="S4.E30.m1.18.18.18.7.7.7.cmml">m</mi></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E30.m1.20b"><apply id="S4.E30.m1.19.19.1.cmml" xref="S4.E30.m1.20.20.2"><and id="S4.E30.m1.19.19.1a.cmml" xref="S4.E30.m1.20.20.2b"></and><apply id="S4.E30.m1.19.19.1b.cmml" xref="S4.E30.m1.20.20.2"><eq id="S4.E30.m1.4.4.4.4.4.4.cmml" xref="S4.E30.m1.4.4.4.4.4.4"></eq><apply id="S4.E30.m1.19.19.1.3.cmml" xref="S4.E30.m1.20.20.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E30.m1.19.19.1.3.1.cmml" xref="S4.E30.m1.20.20.2b">superscript</csymbol><apply id="S4.E30.m1.19.19.1.3.2.cmml" xref="S4.E30.m1.20.20.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E30.m1.19.19.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E30.m1.20.20.2b">subscript</csymbol><apply id="S4.E30.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E30.m1.1.1.1.1.1.1"><ci id="S4.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E30.m1.1.1.1.1.1.1.1">¯</ci><ci id="S4.E30.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E30.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝛼</ci></apply><ci id="S4.E30.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E30.m1.2.2.2.2.2.2.1">𝑚</ci></apply><apply id="S4.E30.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.E30.m1.3.3.3.3.3.3.1.1"><times id="S4.E30.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E30.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1"></times><ci id="S4.E30.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E30.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="S4.E30.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E30.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.3">𝑡</ci><ci id="S4.E30.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E30.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.4">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S4.E30.m1.19.19.1.1.cmml" xref="S4.E30.m1.20.20.2"><times id="S4.E30.m1.19.19.1.1.2.cmml" xref="S4.E30.m1.20.20.2b"></times><apply id="S4.E30.m1.19.19.1.1.3.cmml" xref="S4.E30.m1.20.20.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E30.m1.19.19.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E30.m1.20.20.2b">superscript</csymbol><cn id="S4.E30.m1.5.5.5.5.5.5.cmml" type="integer" xref="S4.E30.m1.5.5.5.5.5.5">10</cn><apply id="S4.E30.m1.6.6.6.6.6.6.1.cmml" xref="S4.E30.m1.6.6.6.6.6.6.1"><minus id="S4.E30.m1.6.6.6.6.6.6.1.1.cmml" xref="S4.E30.m1.6.6.6.6.6.6.1"></minus><apply id="S4.E30.m1.6.6.6.6.6.6.1.2.cmml" xref="S4.E30.m1.6.6.6.6.6.6.1.2"><times id="S4.E30.m1.6.6.6.6.6.6.1.2.1.cmml" xref="S4.E30.m1.6.6.6.6.6.6.1.2.1"></times><ci id="S4.E30.m1.6.6.6.6.6.6.1.2.2.cmml" xref="S4.E30.m1.6.6.6.6.6.6.1.2.2">𝑖</ci><ci id="S4.E30.m1.6.6.6.6.6.6.1.2.3.cmml" xref="S4.E30.m1.6.6.6.6.6.6.1.2.3">𝑡</ci><ci id="S4.E30.m1.6.6.6.6.6.6.1.2.4.cmml" xref="S4.E30.m1.6.6.6.6.6.6.1.2.4">𝑟</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E30.m1.19.19.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E30.m1.20.20.2"><minus id="S4.E30.m1.9.9.9.9.9.9.cmml" xref="S4.E30.m1.9.9.9.9.9.9"></minus><ci id="S4.E30.m1.8.8.8.8.8.8.cmml" xref="S4.E30.m1.8.8.8.8.8.8">𝑚</ci><cn id="S4.E30.m1.10.10.10.10.10.10.cmml" type="integer" xref="S4.E30.m1.10.10.10.10.10.10">1</cn></apply><apply id="S4.E30.m1.19.19.1.1.4.cmml" xref="S4.E30.m1.20.20.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E30.m1.19.19.1.1.4.1.cmml" xref="S4.E30.m1.20.20.2b">superscript</csymbol><apply id="S4.E30.m1.19.19.1.1.4.2.cmml" xref="S4.E30.m1.20.20.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E30.m1.19.19.1.1.4.2.1.cmml" xref="S4.E30.m1.20.20.2b">subscript</csymbol><apply id="S4.E30.m1.12.12.12.1.1.1.cmml" xref="S4.E30.m1.12.12.12.1.1.1"><ci id="S4.E30.m1.12.12.12.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E30.m1.12.12.12.1.1.1.1">¯</ci><ci id="S4.E30.m1.12.12.12.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E30.m1.12.12.12.1.1.1.2">𝛼</ci></apply><ci id="S4.E30.m1.13.13.13.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E30.m1.13.13.13.2.2.2.1">𝑚</ci></apply><apply id="S4.E30.m1.14.14.14.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.E30.m1.14.14.14.3.3.3.1.1"><times id="S4.E30.m1.14.14.14.3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E30.m1.14.14.14.3.3.3.1.1.1.1"></times><ci id="S4.E30.m1.14.14.14.3.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E30.m1.14.14.14.3.3.3.1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="S4.E30.m1.14.14.14.3.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E30.m1.14.14.14.3.3.3.1.1.1.3">𝑡</ci><ci id="S4.E30.m1.14.14.14.3.3.3.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E30.m1.14.14.14.3.3.3.1.1.1.4">𝑟</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E30.m1.19.19.1c.cmml" xref="S4.E30.m1.20.20.2"><eq id="S4.E30.m1.15.15.15.4.4.4.cmml" xref="S4.E30.m1.15.15.15.4.4.4"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S4.E30.m1.19.19.1.1.cmml" id="S4.E30.m1.19.19.1d.cmml" xref="S4.E30.m1.20.20.2b"></share><apply id="S4.E30.m1.19.19.1.6.cmml" xref="S4.E30.m1.20.20.2"><times id="S4.E30.m1.19.19.1.6.1.cmml" xref="S4.E30.m1.20.20.2b"></times><apply id="S4.E30.m1.19.19.1.6.2.cmml" xref="S4.E30.m1.20.20.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E30.m1.19.19.1.6.2.1.cmml" xref="S4.E30.m1.20.20.2b">superscript</csymbol><cn id="S4.E30.m1.16.16.16.5.5.5.cmml" type="integer" xref="S4.E30.m1.16.16.16.5.5.5">10</cn><apply id="S4.E30.m1.17.17.17.6.6.6.1.cmml" xref="S4.E30.m1.17.17.17.6.6.6.1"><minus id="S4.E30.m1.17.17.17.6.6.6.1.1.cmml" xref="S4.E30.m1.17.17.17.6.6.6.1"></minus><apply id="S4.E30.m1.17.17.17.6.6.6.1.2.cmml" xref="S4.E30.m1.17.17.17.6.6.6.1.2"><times id="S4.E30.m1.17.17.17.6.6.6.1.2.1.cmml" xref="S4.E30.m1.17.17.17.6.6.6.1.2.1"></times><ci id="S4.E30.m1.17.17.17.6.6.6.1.2.2.cmml" xref="S4.E30.m1.17.17.17.6.6.6.1.2.2">𝑖</ci><ci id="S4.E30.m1.17.17.17.6.6.6.1.2.3.cmml" xref="S4.E30.m1.17.17.17.6.6.6.1.2.3">𝑡</ci><ci id="S4.E30.m1.17.17.17.6.6.6.1.2.4.cmml" xref="S4.E30.m1.17.17.17.6.6.6.1.2.4">𝑟</ci></apply></apply></apply><ci id="S4.E30.m1.18.18.18.7.7.7.cmml" xref="S4.E30.m1.18.18.18.7.7.7">𝑚</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E30.m1.20c">\begin{split}&\underline{\alpha}_{m}^{(itr)}=10^{-itr}(m-1)\\ &\overline{\alpha}_{m}^{(itr)}=10^{-itr}m\end{split}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E30.m1.20d">start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL under¯ start_ARG italic_α end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i italic_t italic_r ) end_POSTSUPERSCRIPT = 10 start_POSTSUPERSCRIPT - italic_i italic_t italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_m - 1 ) end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL over¯ start_ARG italic_α end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i italic_t italic_r ) end_POSTSUPERSCRIPT = 10 start_POSTSUPERSCRIPT - italic_i italic_t italic_r end_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(30)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.p3"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p3.3"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.SS2.p3.3.1">Step 2:</span> Given the values of each known <math alttext="\underline{\alpha}_{m}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p3.1.m1.1"><semantics id="S4.SS2.p3.1.m1.1a"><msub id="S4.SS2.p3.1.m1.1.1" xref="S4.SS2.p3.1.m1.1.1.cmml"><munder accentunder="true" id="S4.SS2.p3.1.m1.1.1.2" xref="S4.SS2.p3.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p3.1.m1.1.1.2.2" xref="S4.SS2.p3.1.m1.1.1.2.2.cmml">α</mi><mo id="S4.SS2.p3.1.m1.1.1.2.1" xref="S4.SS2.p3.1.m1.1.1.2.1.cmml">¯</mo></munder><mi id="S4.SS2.p3.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS2.p3.1.m1.1.1.3.cmml">m</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p3.1.m1.1b"><apply id="S4.SS2.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.1.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.1.m1.1.1.2"><ci id="S4.SS2.p3.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.1.m1.1.1.2.1">¯</ci><ci id="S4.SS2.p3.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.1.m1.1.1.2.2">𝛼</ci></apply><ci id="S4.SS2.p3.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p3.1.m1.1.1.3">𝑚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p3.1.m1.1c">\underline{\alpha}_{m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p3.1.m1.1d">under¯ start_ARG italic_α end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, the corresponding optimal uncertainty set of solar power and load demands can be obtained offline by using the approach in Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S4.SS1" title="IV-A Calculation of Optimal Uncertainty Set ‣ IV Solution Methodology ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag"><span class="ltx_text">IV-A</span></span></a>, i.e., <math alttext="U_{t}^{PV}(\underline{\alpha}_{m})=[\underline{p}_{t}^{PV}(\underline{\alpha}_% {m}),\overline{p}_{t}^{PV}(\underline{\alpha}_{m})]" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p3.2.m2.3"><semantics id="S4.SS2.p3.2.m2.3a"><mrow id="S4.SS2.p3.2.m2.3.3" xref="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.cmml"><mrow id="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1.3" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1.3.2.2" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1.3.2.2.cmml">U</mi><mi id="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1.3.2.3" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1.3.2.3.cmml">t</mi><mrow id="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1.3.3" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1.3.3.2" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1.3.3.2.cmml">P</mi><mo id="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1.3.3.1" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1.3.3.3" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1.3.3.3.cmml">V</mi></mrow></msubsup><mo id="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1.2" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><munder accentunder="true" id="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">α</mi><mo id="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">¯</mo></munder><mi id="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.4" xref="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.4.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.3.2" xref="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.3.3.cmml"><mo id="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.3.3.cmml">[</mo><mrow id="S4.SS2.p3.2.m2.2.2.2.1.1" xref="S4.SS2.p3.2.m2.2.2.2.1.1.cmml"><msubsup id="S4.SS2.p3.2.m2.2.2.2.1.1.3" xref="S4.SS2.p3.2.m2.2.2.2.1.1.3.cmml"><munder accentunder="true" id="S4.SS2.p3.2.m2.2.2.2.1.1.3.2.2" xref="S4.SS2.p3.2.m2.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p3.2.m2.2.2.2.1.1.3.2.2.2" xref="S4.SS2.p3.2.m2.2.2.2.1.1.3.2.2.2.cmml">p</mi><mo id="S4.SS2.p3.2.m2.2.2.2.1.1.3.2.2.1" xref="S4.SS2.p3.2.m2.2.2.2.1.1.3.2.2.1.cmml">¯</mo></munder><mi id="S4.SS2.p3.2.m2.2.2.2.1.1.3.2.3" xref="S4.SS2.p3.2.m2.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml">t</mi><mrow id="S4.SS2.p3.2.m2.2.2.2.1.1.3.3" 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id="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.3.2.2.3.3.1" xref="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.3.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.3.2.2.3.3.3" xref="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.3.2.2.3.3.3.cmml">V</mi></mrow></msubsup><mo id="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.3.2.2.2" xref="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.3.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.3.2.2.1.1" xref="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.3.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.3.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.3.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.3.2.2.1.1.1" xref="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.3.2.2.1.1.1.cmml"><munder accentunder="true" id="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.3.2.2.1.1.1.2" xref="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.3.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.3.2.2.1.1.1.2.2" xref="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.3.2.2.1.1.1.2.2.cmml">α</mi><mo id="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.3.2.2.1.1.1.2.1" xref="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.3.2.2.1.1.1.2.1.cmml">¯</mo></munder><mi id="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.3.2.2.1.1.1.3" xref="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.3.2.2.1.1.1.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.3.2.2.1.1.3" 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id="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1.3.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1.3.3"><times id="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1.3.3.2">𝑃</ci><ci id="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1.3.3.3">𝑉</ci></apply></apply><apply id="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.1">¯</ci><ci id="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.2">𝛼</ci></apply><ci id="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1.1.1.1.3">𝑚</ci></apply></apply><interval closure="closed" id="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.3.3.cmml" xref="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.3.2"><apply id="S4.SS2.p3.2.m2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.2.m2.2.2.2.1.1"><times id="S4.SS2.p3.2.m2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.2.m2.2.2.2.1.1.2"></times><apply id="S4.SS2.p3.2.m2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p3.2.m2.2.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p3.2.m2.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.2.m2.2.2.2.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p3.2.m2.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.2.m2.2.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p3.2.m2.2.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.2.m2.2.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p3.2.m2.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.2.m2.2.2.2.1.1.3.2.2"><ci id="S4.SS2.p3.2.m2.2.2.2.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.2.m2.2.2.2.1.1.3.2.2.1">¯</ci><ci id="S4.SS2.p3.2.m2.2.2.2.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.2.m2.2.2.2.1.1.3.2.2.2">𝑝</ci></apply><ci id="S4.SS2.p3.2.m2.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml" 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xref="S4.SS2.p3.2.m2.2.2.2.1.1.1.1.1.3">𝑚</ci></apply></apply><apply id="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.3.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.3.2.2"><times id="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.3.2.2.2"></times><apply id="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.3.2.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.3.2.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.3.2.2.3.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.3.2.2.3">subscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.3.2.2.3.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.3.2.2.3.2.2"><ci id="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.3.2.2.3.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.3.2.2.3.2.2.1">¯</ci><ci id="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.3.2.2.3.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.3.2.2.3.2.2.2">𝑝</ci></apply><ci id="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.3.2.2.3.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.3.2.2.3.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.3.2.2.3.3.cmml" xref="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.3.2.2.3.3"><times id="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.3.2.2.3.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.3.2.2.3.3.1"></times><ci id="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.3.2.2.3.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.3.2.2.3.3.2">𝑃</ci><ci id="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.3.2.2.3.3.3.cmml" xref="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.3.2.2.3.3.3">𝑉</ci></apply></apply><apply id="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.3.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.3.2.2.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.3.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.3.2.2.1.1.1.2"><ci id="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.3.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.3.2.2.1.1.1.2.1">¯</ci><ci id="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.3.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.3.2.2.1.1.1.2.2">𝛼</ci></apply><ci id="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.3.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p3.2.m2.3.3.3.2.2.1.1.1.3">𝑚</ci></apply></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p3.2.m2.3c">U_{t}^{PV}(\underline{\alpha}_{m})=[\underline{p}_{t}^{PV}(\underline{\alpha}_% {m}),\overline{p}_{t}^{PV}(\underline{\alpha}_{m})]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p3.2.m2.3d">italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_P italic_V end_POSTSUPERSCRIPT ( under¯ start_ARG italic_α end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT ) = [ under¯ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_P italic_V end_POSTSUPERSCRIPT ( under¯ start_ARG italic_α end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT ) , over¯ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_P italic_V end_POSTSUPERSCRIPT ( under¯ start_ARG italic_α end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT ) ]</annotation></semantics></math> and <math alttext="U_{t}^{L}(\underline{\alpha}_{m})=[\underline{p}_{t}^{L}(\underline{\alpha}_{m% }),\overline{p}_{t}^{L}(\underline{\alpha}_{m})],\forall t,\forall m=m\cup\{11\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p3.3.m3.3"><semantics id="S4.SS2.p3.3.m3.3a"><mrow id="S4.SS2.p3.3.m3.3.3.2" xref="S4.SS2.p3.3.m3.3.3.3.cmml"><mrow id="S4.SS2.p3.3.m3.2.2.1.1" xref="S4.SS2.p3.3.m3.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS2.p3.3.m3.2.2.1.1.1" xref="S4.SS2.p3.3.m3.2.2.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.SS2.p3.3.m3.2.2.1.1.1.3" xref="S4.SS2.p3.3.m3.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="S4.SS2.p3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">U</mi><mi id="S4.SS2.p3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="S4.SS2.p3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml">t</mi><mi id="S4.SS2.p3.3.m3.2.2.1.1.1.3.3" xref="S4.SS2.p3.3.m3.2.2.1.1.1.3.3.cmml">L</mi></msubsup><mo id="S4.SS2.p3.3.m3.2.2.1.1.1.2" xref="S4.SS2.p3.3.m3.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS2.p3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.SS2.p3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS2.p3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.p3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.SS2.p3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS2.p3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><munder accentunder="true" id="S4.SS2.p3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS2.p3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS2.p3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">α</mi><mo id="S4.SS2.p3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.SS2.p3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">¯</mo></munder><mi id="S4.SS2.p3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS2.p3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S4.SS2.p3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS2.p3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS2.p3.3.m3.2.2.1.1.4" xref="S4.SS2.p3.3.m3.2.2.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS2.p3.3.m3.2.2.1.1.3.2" xref="S4.SS2.p3.3.m3.2.2.1.1.3.3.cmml"><mrow id="S4.SS2.p3.3.m3.2.2.1.1.2.1.1.2" 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id="S4.SS2.p3.3.m3.2.2.1.1.2.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.3.m3.2.2.1.1.2.1.1.2.2.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p3.3.m3.2.2.1.1.2.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.3.m3.2.2.1.1.2.1.1.2.2.1.1.1.2"><ci id="S4.SS2.p3.3.m3.2.2.1.1.2.1.1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.3.m3.2.2.1.1.2.1.1.2.2.1.1.1.2.1">¯</ci><ci id="S4.SS2.p3.3.m3.2.2.1.1.2.1.1.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.3.m3.2.2.1.1.2.1.1.2.2.1.1.1.2.2">𝛼</ci></apply><ci id="S4.SS2.p3.3.m3.2.2.1.1.2.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p3.3.m3.2.2.1.1.2.1.1.2.2.1.1.1.3">𝑚</ci></apply></apply></interval><apply id="S4.SS2.p3.3.m3.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.3.m3.2.2.1.1.3.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS2.p3.3.m3.2.2.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.3.m3.2.2.1.1.3.2.2.1">for-all</csymbol><ci id="S4.SS2.p3.3.m3.2.2.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.3.m3.2.2.1.1.3.2.2.2">𝑡</ci></apply></list></apply><apply id="S4.SS2.p3.3.m3.3.3.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.3.m3.3.3.2.2"><eq id="S4.SS2.p3.3.m3.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.3.m3.3.3.2.2.1"></eq><apply id="S4.SS2.p3.3.m3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.3.m3.3.3.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS2.p3.3.m3.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.3.m3.3.3.2.2.2.1">for-all</csymbol><ci id="S4.SS2.p3.3.m3.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.3.m3.3.3.2.2.2.2">𝑚</ci></apply><apply id="S4.SS2.p3.3.m3.3.3.2.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p3.3.m3.3.3.2.2.3"><union id="S4.SS2.p3.3.m3.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.3.m3.3.3.2.2.3.1"></union><ci id="S4.SS2.p3.3.m3.3.3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.3.m3.3.3.2.2.3.2">𝑚</ci><set id="S4.SS2.p3.3.m3.3.3.2.2.3.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.3.m3.3.3.2.2.3.3.2"><cn id="S4.SS2.p3.3.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p3.3.m3.1.1">11</cn></set></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p3.3.m3.3c">U_{t}^{L}(\underline{\alpha}_{m})=[\underline{p}_{t}^{L}(\underline{\alpha}_{m% }),\overline{p}_{t}^{L}(\underline{\alpha}_{m})],\forall t,\forall m=m\cup\{11\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p3.3.m3.3d">italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_L end_POSTSUPERSCRIPT ( under¯ start_ARG italic_α end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT ) = [ under¯ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_L end_POSTSUPERSCRIPT ( under¯ start_ARG italic_α end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT ) , over¯ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_L end_POSTSUPERSCRIPT ( under¯ start_ARG italic_α end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT ) ] , ∀ italic_t , ∀ italic_m = italic_m ∪ { 11 }</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.p4"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p4.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.SS2.p4.2.1">Step 3:</span> The optimal uncertainty sets corresponding to different <math alttext="\underline{\alpha}_{m}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p4.1.m1.1"><semantics id="S4.SS2.p4.1.m1.1a"><msub id="S4.SS2.p4.1.m1.1.1" xref="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.cmml"><munder accentunder="true" id="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.2" xref="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.2.2" xref="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.2.2.cmml">α</mi><mo id="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.2.1" xref="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.2.1.cmml">¯</mo></munder><mi id="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.3.cmml">m</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p4.1.m1.1b"><apply id="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.1.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.2"><ci id="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.2.1">¯</ci><ci id="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.2.2">𝛼</ci></apply><ci id="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.3">𝑚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p4.1.m1.1c">\underline{\alpha}_{m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p4.1.m1.1d">under¯ start_ARG italic_α end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are formulated as a series of constraints and then embed into the original optimization problem. The big M technique is utilized to determine which set of constraints associated with the optimal <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p4.2.m2.1"><semantics id="S4.SS2.p4.2.m2.1a"><mi id="S4.SS2.p4.2.m2.1.1" xref="S4.SS2.p4.2.m2.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p4.2.m2.1b"><ci id="S4.SS2.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.2.m2.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p4.2.m2.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p4.2.m2.1d">italic_α</annotation></semantics></math> are active, as shown below.</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E31"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\begin{cases}\begin{aligned} \underline{p}_{t}^{PV}(\underline{\alpha}_{m})&-M% (1-u_{m})\leq p_{t}^{PV}\\ &\leq\overline{p}_{t}^{PV}(\underline{\alpha}_{m})+M(1-u_{m}),\end{aligned}\\ \begin{aligned} \underline{p}_{t}^{L}(\underline{\alpha}_{m})&-M(1-u_{m})\leq p% _{t}^{L}\\ &\leq\overline{p}_{t}^{L}(\underline{\alpha}_{m})+M(1-u_{m})\end{aligned}\end{cases}" class="ltx_Math" display="block" id="S4.E31.m1.2"><semantics id="S4.E31.m1.2a"><mrow id="S4.E31.m1.2.2" xref="S4.E31.m1.2.3.1.cmml"><mo id="S4.E31.m1.2.2.3" xref="S4.E31.m1.2.3.1.1.cmml">{</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S4.E31.m1.2.2.2" rowspacing="0pt" xref="S4.E31.m1.2.3.1.cmml"><mtr id="S4.E31.m1.2.2.2a" xref="S4.E31.m1.2.3.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E31.m1.2.2.2b" xref="S4.E31.m1.2.3.1.cmml"><mtable columnspacing="0pt" displaystyle="true" id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1" rowspacing="0.0pt" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mtr id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1b" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><munder accentunder="true" id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">p</mi><mo id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">¯</mo></munder><mi id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">t</mi><mrow id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">P</mi><mo id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">V</mi></mrow></msubsup><mo id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><munder accentunder="true" id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">α</mi><mo id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">¯</mo></munder><mi id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1c" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml"><mrow id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1a" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.cmml">M</mi><mo id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">u</mi><mi id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">m</mi></msub></mrow><mo id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.2" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.2.cmml">≤</mo><msubsup id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.3" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.cmml"><mi id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.2.2" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.2.2.cmml">p</mi><mi id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.2.3" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.2.3.cmml">t</mi><mrow id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.3" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.3.cmml"><mi id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.3.2" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.3.2.cmml">P</mi><mo id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.3.1" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.3.3" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.3.3.cmml">V</mi></mrow></msubsup></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1d" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1e" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1f" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.4" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.4.cmml"></mi><mo id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">≤</mo><mrow id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">p</mi><mo id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">¯</mo></mover><mi id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">t</mi><mrow id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">P</mi><mo id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">V</mi></mrow></msubsup><mo id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><munder accentunder="true" id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">α</mi><mo id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">¯</mo></munder><mi id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml">M</mi><mo id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mn id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.cmml">u</mi><mi id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3.cmml">m</mi></msub></mrow><mo id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow></mtd></mtr></mtable></mtd><mtd id="S4.E31.m1.2.2.2c" xref="S4.E31.m1.2.3.1.1.cmml"></mtd></mtr><mtr id="S4.E31.m1.2.2.2d" xref="S4.E31.m1.2.3.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E31.m1.2.2.2e" xref="S4.E31.m1.2.3.1.cmml"><mtable columnspacing="0pt" displaystyle="true" id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1" rowspacing="0.0pt" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mtr id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1a" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1b" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><munder accentunder="true" id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">p</mi><mo id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">¯</mo></munder><mi id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">t</mi><mi id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">L</mi></msubsup><mo id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><munder accentunder="true" id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">α</mi><mo id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">¯</mo></munder><mi id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1c" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.cmml"><mrow id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.1" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.1a" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.3.cmml">M</mi><mo id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">u</mi><mi id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">m</mi></msub></mrow><mo id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.2" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.2.cmml">≤</mo><msubsup id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.3" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.3.cmml"><mi id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.3.2.2" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.3.2.2.cmml">p</mi><mi id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.3.2.3" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.3.2.3.cmml">t</mi><mi id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.3.3" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.3.3.cmml">L</mi></msubsup></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1d" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mtd id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1e" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1f" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.4.4.2.2" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.4.4.2.2.cmml"><mi id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.4.4.2.2.4" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.4.4.2.2.4.cmml"></mi><mo id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.4.4.2.2.3" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.4.4.2.2.3.cmml">≤</mo><mrow id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.4.4.2.2.2" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.4.4.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">p</mi><mo id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">¯</mo></mover><mi id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.cmml">t</mi><mi id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">L</mi></msubsup><mo id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><munder accentunder="true" id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">α</mi><mo id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">¯</mo></munder><mi id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.4.4.2.2.2.3" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.4.4.2.2.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.4.4.2.2.2.2" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.4.4.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.4.4.2.2.2.2.3" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.4.4.2.2.2.2.3.cmml">M</mi><mo id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.4.4.2.2.2.2.2" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.4.4.2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.4.4.2.2.2.2.1.1" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.4.4.2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.4.4.2.2.2.2.1.1.1" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mn id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">u</mi><mi id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml">m</mi></msub></mrow><mo id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.4.4.2.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable></mtd><mtd id="S4.E31.m1.2.2.2f" xref="S4.E31.m1.2.3.1.1.cmml"></mtd></mtr></mtable></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E31.m1.2b"><apply 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id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1">¯</ci><ci id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑝</ci></apply><ci id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><times id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑃</ci><ci id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑉</ci></apply></apply><apply id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1">¯</ci><ci id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝛼</ci></apply><ci id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑚</ci></apply></apply><apply id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1"><leq id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.2"></leq><apply id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1"><minus id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1"></minus><apply id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1"><times id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2"></times><ci id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3">𝑀</ci><apply id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1"><minus id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑢</ci><ci id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑚</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.1.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.2.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.2.2">𝑝</ci><ci id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.3.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.3"><times id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.3.1"></times><ci id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.3.2">𝑃</ci><ci id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.3.3.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.3.3">𝑉</ci></apply></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1b.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1"><cerror id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1c.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1d.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1">missing-subexpression</csymbol></cerror><apply id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1"><leq id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.3"></leq><csymbol cd="latexml" id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.4">absent</csymbol><apply id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.2"><plus id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.2.3"></plus><apply id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2"><ci id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1">¯</ci><ci id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑝</ci></apply><ci id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3"><times id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑃</ci><ci id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑉</ci></apply></apply><apply id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1">¯</ci><ci id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝛼</ci></apply><ci id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑚</ci></apply></apply><apply id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.2.2"><times id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.2.2.2"></times><ci id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.2.2.3">𝑀</ci><apply id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1"><minus id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1"></minus><cn id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2">1</cn><apply id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2">𝑢</ci><ci id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3">𝑚</ci></apply></apply></apply></apply></apply></matrixrow></matrix><ci id="S4.E31.m1.2.3.1.3a.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S4.E31.m1.2.3.1.3.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.3">otherwise</mtext></ci><matrix id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1"><matrixrow id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1a.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1"><apply id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2"><ci id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1">¯</ci><ci id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑝</ci></apply><ci id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3">𝐿</ci></apply><apply id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1">¯</ci><ci id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝛼</ci></apply><ci id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑚</ci></apply></apply><apply id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1"><leq id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.2"></leq><apply id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.1"><minus id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.1"></minus><apply id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1"><times id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.2"></times><ci id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.3">𝑀</ci><apply id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1"><minus id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑢</ci><ci id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑚</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.3.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.3.1.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.3.2.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.3.2.2">𝑝</ci><ci id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.3.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.3.3.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.3.3">𝐿</ci></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1b.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1"><cerror id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1c.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1d.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1">missing-subexpression</csymbol></cerror><apply id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.4.4.2.2.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.4.4.2.2"><leq id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.4.4.2.2.3.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.4.4.2.2.3"></leq><csymbol cd="latexml" id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.4.4.2.2.4.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.4.4.2.2.4">absent</csymbol><apply id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.4.4.2.2.2.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.4.4.2.2.2"><plus id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.4.4.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.4.4.2.2.2.3"></plus><apply id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1"><times id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.3.2.2"><ci id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.1">¯</ci><ci id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑝</ci></apply><ci id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.3.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.3.3">𝐿</ci></apply><apply id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1">¯</ci><ci id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝛼</ci></apply><ci id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑚</ci></apply></apply><apply id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.4.4.2.2.2.2"><times id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.4.4.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.4.4.2.2.2.2.2"></times><ci id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.4.4.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.4.4.2.2.2.2.3">𝑀</ci><apply id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.4.4.2.2.2.2.1.1"><minus id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1"></minus><cn id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.2">1</cn><apply id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.3.2">𝑢</ci><ci id="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.2.2.1.1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.3.3">𝑚</ci></apply></apply></apply></apply></apply></matrixrow></matrix><ci id="S4.E31.m1.2.3.1.5a.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S4.E31.m1.2.3.1.5.cmml" xref="S4.E31.m1.2.2.3">otherwise</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E31.m1.2c">\begin{cases}\begin{aligned} \underline{p}_{t}^{PV}(\underline{\alpha}_{m})&-M% (1-u_{m})\leq p_{t}^{PV}\\ &\leq\overline{p}_{t}^{PV}(\underline{\alpha}_{m})+M(1-u_{m}),\end{aligned}\\ \begin{aligned} \underline{p}_{t}^{L}(\underline{\alpha}_{m})&-M(1-u_{m})\leq p% _{t}^{L}\\ &\leq\overline{p}_{t}^{L}(\underline{\alpha}_{m})+M(1-u_{m})\end{aligned}\end{cases}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E31.m1.2d">{ start_ROW start_CELL start_ROW start_CELL under¯ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_P italic_V end_POSTSUPERSCRIPT ( under¯ start_ARG italic_α end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT ) end_CELL start_CELL - italic_M ( 1 - italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT ) ≤ italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_P italic_V end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL ≤ over¯ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_P italic_V end_POSTSUPERSCRIPT ( under¯ start_ARG italic_α end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT ) + italic_M ( 1 - italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT ) , end_CELL end_ROW end_CELL start_CELL end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL start_ROW start_CELL under¯ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_L end_POSTSUPERSCRIPT ( under¯ start_ARG italic_α end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT ) end_CELL start_CELL - italic_M ( 1 - italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT ) ≤ italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_L end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL ≤ over¯ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_L end_POSTSUPERSCRIPT ( under¯ start_ARG italic_α end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT ) + italic_M ( 1 - italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT ) end_CELL end_ROW end_CELL start_CELL end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(31)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.p5"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p5.8"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.SS2.p5.8.1">Step 4:</span> The original problem now consists of a series of mixed integer linear constraints, transforming the entire optimization problem into a MILP, which can be solved directly by commercial solvers. Since <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p5.1.m1.1"><semantics id="S4.SS2.p5.1.m1.1a"><mi id="S4.SS2.p5.1.m1.1.1" xref="S4.SS2.p5.1.m1.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p5.1.m1.1b"><ci id="S4.SS2.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p5.1.m1.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p5.1.m1.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p5.1.m1.1d">italic_α</annotation></semantics></math> assumes taking value from only ten intervals, the incumbent solution may lack precision. The boundaries of the interval which the incumbent <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p5.2.m2.1"><semantics id="S4.SS2.p5.2.m2.1a"><mi id="S4.SS2.p5.2.m2.1.1" xref="S4.SS2.p5.2.m2.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p5.2.m2.1b"><ci id="S4.SS2.p5.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p5.2.m2.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p5.2.m2.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p5.2.m2.1d">italic_α</annotation></semantics></math> falls into <math alttext="[\underline{\alpha}^{(itr*)},\overline{\alpha}^{(itr*)}]" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S4.SS2.p5.3.m3.2"><semantics id="S4.SS2.p5.3.m3.2a"><mrow id="S4.SS2.p5.3.m3.2.2.2"><mo id="S4.SS2.p5.3.m3.2.2.2.3" stretchy="false">[</mo><msup id="S4.SS2.p5.3.m3.1.1.1.1"><munder accentunder="true" id="S4.SS2.p5.3.m3.1.1.1.1.2"><mi id="S4.SS2.p5.3.m3.1.1.1.1.2.2">α</mi><mo id="S4.SS2.p5.3.m3.1.1.1.1.2.1">¯</mo></munder><mrow id="S4.SS2.p5.3.m3.1.1.1.1.3"><mo id="S4.SS2.p5.3.m3.1.1.1.1.3.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S4.SS2.p5.3.m3.1.1.1.1.3.2">i</mi><mi id="S4.SS2.p5.3.m3.1.1.1.1.3.3">t</mi><mi id="S4.SS2.p5.3.m3.1.1.1.1.3.4">r</mi><mo id="S4.SS2.p5.3.m3.1.1.1.1.3.5" lspace="0.222em" rspace="0em">∗</mo><mo id="S4.SS2.p5.3.m3.1.1.1.1.3.6" stretchy="false">)</mo></mrow></msup><mo id="S4.SS2.p5.3.m3.2.2.2.4">,</mo><msup id="S4.SS2.p5.3.m3.2.2.2.2"><mover accent="true" id="S4.SS2.p5.3.m3.2.2.2.2.2"><mi id="S4.SS2.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2">α</mi><mo id="S4.SS2.p5.3.m3.2.2.2.2.2.1">¯</mo></mover><mrow id="S4.SS2.p5.3.m3.2.2.2.2.3"><mo id="S4.SS2.p5.3.m3.2.2.2.2.3.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S4.SS2.p5.3.m3.2.2.2.2.3.2">i</mi><mi id="S4.SS2.p5.3.m3.2.2.2.2.3.3">t</mi><mi id="S4.SS2.p5.3.m3.2.2.2.2.3.4">r</mi><mo id="S4.SS2.p5.3.m3.2.2.2.2.3.5" lspace="0.222em" rspace="0em">∗</mo><mo id="S4.SS2.p5.3.m3.2.2.2.2.3.6" stretchy="false">)</mo></mrow></msup><mo id="S4.SS2.p5.3.m3.2.2.2.5" stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p5.3.m3.2b">[\underline{\alpha}^{(itr*)},\overline{\alpha}^{(itr*)}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p5.3.m3.2c">[ under¯ start_ARG italic_α end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i italic_t italic_r ∗ ) end_POSTSUPERSCRIPT , over¯ start_ARG italic_α end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i italic_t italic_r ∗ ) end_POSTSUPERSCRIPT ]</annotation></semantics></math> serve as the lower bound <math alttext="LB" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p5.4.m4.1"><semantics id="S4.SS2.p5.4.m4.1a"><mrow id="S4.SS2.p5.4.m4.1.1" xref="S4.SS2.p5.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p5.4.m4.1.1.2" xref="S4.SS2.p5.4.m4.1.1.2.cmml">L</mi><mo id="S4.SS2.p5.4.m4.1.1.1" xref="S4.SS2.p5.4.m4.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS2.p5.4.m4.1.1.3" xref="S4.SS2.p5.4.m4.1.1.3.cmml">B</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p5.4.m4.1b"><apply id="S4.SS2.p5.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p5.4.m4.1.1"><times id="S4.SS2.p5.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p5.4.m4.1.1.1"></times><ci id="S4.SS2.p5.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p5.4.m4.1.1.2">𝐿</ci><ci id="S4.SS2.p5.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p5.4.m4.1.1.3">𝐵</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p5.4.m4.1c">LB</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p5.4.m4.1d">italic_L italic_B</annotation></semantics></math> and upper bound <math alttext="UB" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p5.5.m5.1"><semantics id="S4.SS2.p5.5.m5.1a"><mrow id="S4.SS2.p5.5.m5.1.1" xref="S4.SS2.p5.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p5.5.m5.1.1.2" xref="S4.SS2.p5.5.m5.1.1.2.cmml">U</mi><mo id="S4.SS2.p5.5.m5.1.1.1" xref="S4.SS2.p5.5.m5.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS2.p5.5.m5.1.1.3" xref="S4.SS2.p5.5.m5.1.1.3.cmml">B</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p5.5.m5.1b"><apply id="S4.SS2.p5.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p5.5.m5.1.1"><times id="S4.SS2.p5.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p5.5.m5.1.1.1"></times><ci id="S4.SS2.p5.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p5.5.m5.1.1.2">𝑈</ci><ci id="S4.SS2.p5.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p5.5.m5.1.1.3">𝐵</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p5.5.m5.1c">UB</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p5.5.m5.1d">italic_U italic_B</annotation></semantics></math> of the optimal <math alttext="\alpha^{*}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p5.6.m6.1"><semantics id="S4.SS2.p5.6.m6.1a"><msup id="S4.SS2.p5.6.m6.1.1" xref="S4.SS2.p5.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p5.6.m6.1.1.2" xref="S4.SS2.p5.6.m6.1.1.2.cmml">α</mi><mo id="S4.SS2.p5.6.m6.1.1.3" xref="S4.SS2.p5.6.m6.1.1.3.cmml">∗</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p5.6.m6.1b"><apply id="S4.SS2.p5.6.m6.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p5.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p5.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p5.6.m6.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p5.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p5.6.m6.1.1.2">𝛼</ci><times id="S4.SS2.p5.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p5.6.m6.1.1.3"></times></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p5.6.m6.1c">\alpha^{*}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p5.6.m6.1d">italic_α start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, respectively. To obtain more accurate result, we further divide the obtained interval into ten updated smaller intervals, and set the iteration <math alttext="itr" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p5.7.m7.1"><semantics id="S4.SS2.p5.7.m7.1a"><mrow id="S4.SS2.p5.7.m7.1.1" xref="S4.SS2.p5.7.m7.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p5.7.m7.1.1.2" xref="S4.SS2.p5.7.m7.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S4.SS2.p5.7.m7.1.1.1" xref="S4.SS2.p5.7.m7.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS2.p5.7.m7.1.1.3" xref="S4.SS2.p5.7.m7.1.1.3.cmml">t</mi><mo id="S4.SS2.p5.7.m7.1.1.1a" xref="S4.SS2.p5.7.m7.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS2.p5.7.m7.1.1.4" xref="S4.SS2.p5.7.m7.1.1.4.cmml">r</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p5.7.m7.1b"><apply id="S4.SS2.p5.7.m7.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p5.7.m7.1.1"><times id="S4.SS2.p5.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p5.7.m7.1.1.1"></times><ci id="S4.SS2.p5.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p5.7.m7.1.1.2">𝑖</ci><ci id="S4.SS2.p5.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p5.7.m7.1.1.3">𝑡</ci><ci id="S4.SS2.p5.7.m7.1.1.4.cmml" xref="S4.SS2.p5.7.m7.1.1.4">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p5.7.m7.1c">itr</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p5.7.m7.1d">italic_i italic_t italic_r</annotation></semantics></math> to <math alttext="itr+1" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p5.8.m8.1"><semantics id="S4.SS2.p5.8.m8.1a"><mrow id="S4.SS2.p5.8.m8.1.1" xref="S4.SS2.p5.8.m8.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS2.p5.8.m8.1.1.2" xref="S4.SS2.p5.8.m8.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p5.8.m8.1.1.2.2" xref="S4.SS2.p5.8.m8.1.1.2.2.cmml">i</mi><mo id="S4.SS2.p5.8.m8.1.1.2.1" xref="S4.SS2.p5.8.m8.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS2.p5.8.m8.1.1.2.3" xref="S4.SS2.p5.8.m8.1.1.2.3.cmml">t</mi><mo id="S4.SS2.p5.8.m8.1.1.2.1a" xref="S4.SS2.p5.8.m8.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS2.p5.8.m8.1.1.2.4" xref="S4.SS2.p5.8.m8.1.1.2.4.cmml">r</mi></mrow><mo id="S4.SS2.p5.8.m8.1.1.1" xref="S4.SS2.p5.8.m8.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S4.SS2.p5.8.m8.1.1.3" xref="S4.SS2.p5.8.m8.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p5.8.m8.1b"><apply id="S4.SS2.p5.8.m8.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p5.8.m8.1.1"><plus id="S4.SS2.p5.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p5.8.m8.1.1.1"></plus><apply id="S4.SS2.p5.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p5.8.m8.1.1.2"><times id="S4.SS2.p5.8.m8.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p5.8.m8.1.1.2.1"></times><ci id="S4.SS2.p5.8.m8.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p5.8.m8.1.1.2.2">𝑖</ci><ci id="S4.SS2.p5.8.m8.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p5.8.m8.1.1.2.3">𝑡</ci><ci id="S4.SS2.p5.8.m8.1.1.2.4.cmml" xref="S4.SS2.p5.8.m8.1.1.2.4">𝑟</ci></apply><cn id="S4.SS2.p5.8.m8.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p5.8.m8.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p5.8.m8.1c">itr+1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p5.8.m8.1d">italic_i italic_t italic_r + 1</annotation></semantics></math>.</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E32"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\begin{cases}\alpha=\sum_{m=1}^{10}\alpha_{m}\\ (\underline{\alpha}^{(itr*)}+\underline{\alpha}_{m}^{(itr)})\cdot u^{\prime}_{% m}\leq\alpha_{m}\leq(\underline{\alpha}^{(itr*)}+\overline{\alpha}_{m}^{(itr)}% )\cdot u^{\prime}_{m},\forall m\\ \sum_{m=1}^{10}u^{\prime}_{m}=1\end{cases}" class="ltx_math_unparsed" display="block" id="S4.E32.m1.3"><semantics id="S4.E32.m1.3a"><mrow id="S4.E32.m1.3.3"><mo id="S4.E32.m1.3.3.4">{</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S4.E32.m1.3.3.3" rowspacing="0pt"><mtr id="S4.E32.m1.3.3.3a"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E32.m1.3.3.3b"><mrow id="S4.E32.m1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S4.E32.m1.1.1.1.1.1.1.2">α</mi><mo id="S4.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1">=</mo><mrow id="S4.E32.m1.1.1.1.1.1.1.3"><mstyle displaystyle="false" id="S4.E32.m1.1.1.1.1.1.1.3.1"><msubsup id="S4.E32.m1.1.1.1.1.1.1.3.1a"><mo id="S4.E32.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.2">∑</mo><mrow id="S4.E32.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3"><mi id="S4.E32.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2">m</mi><mo id="S4.E32.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.1">=</mo><mn id="S4.E32.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.3">1</mn></mrow><mn id="S4.E32.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3">10</mn></msubsup></mstyle><msub id="S4.E32.m1.1.1.1.1.1.1.3.2"><mi id="S4.E32.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">α</mi><mi id="S4.E32.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">m</mi></msub></mrow></mrow></mtd><mtd id="S4.E32.m1.3.3.3c"></mtd></mtr><mtr id="S4.E32.m1.3.3.3d"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E32.m1.3.3.3e"><mrow id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.4"><mrow id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.3.1"><mrow id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1"><mrow id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1"><mo id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1"><msup id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.2"><munder accentunder="true" id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.2.2"><mi id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.2.2.2">α</mi><mo id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.2.2.1">¯</mo></munder><mrow id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.2.3"><mo id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.2.3.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.2.3.2">i</mi><mi id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.2.3.3">t</mi><mi id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.2.3.4">r</mi><mo id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.2.3.5" lspace="0.222em" rspace="0em">∗</mo><mo id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.2.3.6" stretchy="false">)</mo></mrow></msup><mo id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1">+</mo><msubsup id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.3"><munder accentunder="true" id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.3.2.2"><mi id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.3.2.2.2">α</mi><mo id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.3.2.2.1">¯</mo></munder><mi id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.3.2.3">m</mi><mrow id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1"><mo id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1"><mi id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2">i</mi><mo id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1">⁢</mo><mi id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3">t</mi><mo id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1a">⁢</mo><mi id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4">r</mi></mrow><mo id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow></msubsup></mrow><mo id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.3" rspace="0.055em" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.2" rspace="0.222em">⋅</mo><msubsup id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.3"><mi id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.3.2.2">u</mi><mi id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.3.3">m</mi><mo id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.3.2.3">′</mo></msubsup></mrow><mo id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.4">≤</mo><msub id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.5"><mi id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.5.2">α</mi><mi id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.5.3">m</mi></msub><mo id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.6">≤</mo><mrow id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2"><mrow id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.1.1"><mo id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.1.1.1"><msup id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.1.1.1.2"><munder accentunder="true" id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.1.1.1.2.2"><mi id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.1.1.1.2.2.2">α</mi><mo id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.1.1.1.2.2.1">¯</mo></munder><mrow id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.1.1.1.2.3"><mo id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.1.1.1.2.3.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.1.1.1.2.3.2">i</mi><mi id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.1.1.1.2.3.3">t</mi><mi id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.1.1.1.2.3.4">r</mi><mo id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.1.1.1.2.3.5" lspace="0.222em" rspace="0em">∗</mo><mo id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.1.1.1.2.3.6" stretchy="false">)</mo></mrow></msup><mo id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.1.1.1.1">+</mo><msubsup id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.1.1.1.3"><mover accent="true" id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.1.1.1.3.2.2"><mi id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.1.1.1.3.2.2.2">α</mi><mo id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.1.1.1.3.2.2.1">¯</mo></mover><mi id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.1.1.1.3.2.3">m</mi><mrow id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1"><mo id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1"><mi id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2">i</mi><mo id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1">⁢</mo><mi id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3">t</mi><mo id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1a">⁢</mo><mi id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.4">r</mi></mrow><mo id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow></msubsup></mrow><mo id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.1.1.3" rspace="0.055em" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.2" rspace="0.222em">⋅</mo><msubsup id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.3"><mi id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.3.2.2">u</mi><mi id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.3.3">m</mi><mo id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.2.3.2.3">′</mo></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.4.3">,</mo><mrow id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.4.2"><mo id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1" rspace="0.167em">∀</mo><mi id="S4.E32.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.2">m</mi></mrow></mrow></mtd><mtd id="S4.E32.m1.3.3.3f"></mtd></mtr><mtr id="S4.E32.m1.3.3.3g"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E32.m1.3.3.3h"><mrow id="S4.E32.m1.3.3.3.3.1.1"><mrow id="S4.E32.m1.3.3.3.3.1.1.2"><mstyle displaystyle="false" id="S4.E32.m1.3.3.3.3.1.1.2.1"><msubsup id="S4.E32.m1.3.3.3.3.1.1.2.1a"><mo id="S4.E32.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.2">∑</mo><mrow id="S4.E32.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.3"><mi id="S4.E32.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.3.2">m</mi><mo id="S4.E32.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.3.1">=</mo><mn id="S4.E32.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.3.3">1</mn></mrow><mn id="S4.E32.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.3">10</mn></msubsup></mstyle><msubsup id="S4.E32.m1.3.3.3.3.1.1.2.2"><mi id="S4.E32.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.2.2">u</mi><mi id="S4.E32.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.3">m</mi><mo id="S4.E32.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.2.3">′</mo></msubsup></mrow><mo id="S4.E32.m1.3.3.3.3.1.1.1">=</mo><mn id="S4.E32.m1.3.3.3.3.1.1.3">1</mn></mrow></mtd><mtd id="S4.E32.m1.3.3.3i"></mtd></mtr></mtable></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E32.m1.3b">\begin{cases}\alpha=\sum_{m=1}^{10}\alpha_{m}\\ (\underline{\alpha}^{(itr*)}+\underline{\alpha}_{m}^{(itr)})\cdot u^{\prime}_{% m}\leq\alpha_{m}\leq(\underline{\alpha}^{(itr*)}+\overline{\alpha}_{m}^{(itr)}% )\cdot u^{\prime}_{m},\forall m\\ \sum_{m=1}^{10}u^{\prime}_{m}=1\end{cases}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E32.m1.3c">{ start_ROW start_CELL italic_α = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_m = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 10 end_POSTSUPERSCRIPT italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL ( under¯ start_ARG italic_α end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i italic_t italic_r ∗ ) end_POSTSUPERSCRIPT + under¯ start_ARG italic_α end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i italic_t italic_r ) end_POSTSUPERSCRIPT ) ⋅ italic_u start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT ≤ italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT ≤ ( under¯ start_ARG italic_α end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i italic_t italic_r ∗ ) end_POSTSUPERSCRIPT + over¯ start_ARG italic_α end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i italic_t italic_r ) end_POSTSUPERSCRIPT ) ⋅ italic_u start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT , ∀ italic_m end_CELL start_CELL end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_m = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 10 end_POSTSUPERSCRIPT italic_u start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT = 1 end_CELL start_CELL end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(32)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.p6"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p6.3">Given ten new discrete values, the corresponding optimal uncertainty set can be calculated offline again. Embed them into the original optimization problem and resolve it, so the new information can be updated as <math alttext="UB=\overline{\alpha}^{(itr*)}" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S4.SS2.p6.1.m1.1"><semantics id="S4.SS2.p6.1.m1.1a"><mrow id="S4.SS2.p6.1.m1.1.1"><mrow id="S4.SS2.p6.1.m1.1.1.2"><mi id="S4.SS2.p6.1.m1.1.1.2.2">U</mi><mo id="S4.SS2.p6.1.m1.1.1.2.1">⁢</mo><mi id="S4.SS2.p6.1.m1.1.1.2.3">B</mi></mrow><mo id="S4.SS2.p6.1.m1.1.1.1">=</mo><msup id="S4.SS2.p6.1.m1.1.1.3"><mover accent="true" id="S4.SS2.p6.1.m1.1.1.3.2"><mi id="S4.SS2.p6.1.m1.1.1.3.2.2">α</mi><mo id="S4.SS2.p6.1.m1.1.1.3.2.1">¯</mo></mover><mrow id="S4.SS2.p6.1.m1.1.1.3.3"><mo id="S4.SS2.p6.1.m1.1.1.3.3.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S4.SS2.p6.1.m1.1.1.3.3.2">i</mi><mi id="S4.SS2.p6.1.m1.1.1.3.3.3">t</mi><mi id="S4.SS2.p6.1.m1.1.1.3.3.4">r</mi><mo id="S4.SS2.p6.1.m1.1.1.3.3.5" lspace="0.222em" rspace="0em">∗</mo><mo id="S4.SS2.p6.1.m1.1.1.3.3.6" stretchy="false">)</mo></mrow></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p6.1.m1.1b">UB=\overline{\alpha}^{(itr*)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p6.1.m1.1c">italic_U italic_B = over¯ start_ARG italic_α end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i italic_t italic_r ∗ ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="LB=\underline{\alpha}^{(itr*)}" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S4.SS2.p6.2.m2.1"><semantics id="S4.SS2.p6.2.m2.1a"><mrow id="S4.SS2.p6.2.m2.1.1"><mrow id="S4.SS2.p6.2.m2.1.1.2"><mi id="S4.SS2.p6.2.m2.1.1.2.2">L</mi><mo id="S4.SS2.p6.2.m2.1.1.2.1">⁢</mo><mi id="S4.SS2.p6.2.m2.1.1.2.3">B</mi></mrow><mo id="S4.SS2.p6.2.m2.1.1.1">=</mo><msup id="S4.SS2.p6.2.m2.1.1.3"><munder accentunder="true" id="S4.SS2.p6.2.m2.1.1.3.2"><mi id="S4.SS2.p6.2.m2.1.1.3.2.2">α</mi><mo id="S4.SS2.p6.2.m2.1.1.3.2.1">¯</mo></munder><mrow id="S4.SS2.p6.2.m2.1.1.3.3"><mo id="S4.SS2.p6.2.m2.1.1.3.3.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S4.SS2.p6.2.m2.1.1.3.3.2">i</mi><mi id="S4.SS2.p6.2.m2.1.1.3.3.3">t</mi><mi id="S4.SS2.p6.2.m2.1.1.3.3.4">r</mi><mo id="S4.SS2.p6.2.m2.1.1.3.3.5" lspace="0.222em" rspace="0em">∗</mo><mo id="S4.SS2.p6.2.m2.1.1.3.3.6" stretchy="false">)</mo></mrow></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p6.2.m2.1b">LB=\underline{\alpha}^{(itr*)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p6.2.m2.1c">italic_L italic_B = under¯ start_ARG italic_α end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i italic_t italic_r ∗ ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, and <math alttext="itr=itr+1" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p6.3.m3.1"><semantics id="S4.SS2.p6.3.m3.1a"><mrow id="S4.SS2.p6.3.m3.1.1" xref="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.2" xref="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.2.2" xref="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.2.2.cmml">i</mi><mo id="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.2.1" xref="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.2.3" xref="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.2.3.cmml">t</mi><mo id="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.2.1a" xref="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.2.4" xref="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.2.4.cmml">r</mi></mrow><mo id="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.1" xref="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.3" xref="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.3.2" xref="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.3.2.2" xref="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.3.2.2.cmml">i</mi><mo id="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.3.2.1" xref="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.3.2.3" xref="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.3.2.3.cmml">t</mi><mo id="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.3.2.1a" xref="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.3.2.4" xref="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.3.2.4.cmml">r</mi></mrow><mo id="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.3.1" xref="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.3.3" xref="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p6.3.m3.1b"><apply id="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p6.3.m3.1.1"><eq id="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.1"></eq><apply id="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.2"><times id="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.2.1"></times><ci id="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.2.2">𝑖</ci><ci id="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.2.3">𝑡</ci><ci id="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.2.4.cmml" xref="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.2.4">𝑟</ci></apply><apply id="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.3"><plus id="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.3.1"></plus><apply id="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.3.2"><times id="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.3.2.1"></times><ci id="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.3.2.2">𝑖</ci><ci id="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.3.2.3">𝑡</ci><ci id="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.3.2.4.cmml" xref="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.3.2.4">𝑟</ci></apply><cn id="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p6.3.m3.1c">itr=itr+1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p6.3.m3.1d">italic_i italic_t italic_r = italic_i italic_t italic_r + 1</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.p7"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p7.3"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.SS2.p7.3.1">Step 5:</span> Further segmentation of <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p7.1.m1.1"><semantics id="S4.SS2.p7.1.m1.1a"><mi id="S4.SS2.p7.1.m1.1.1" xref="S4.SS2.p7.1.m1.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p7.1.m1.1b"><ci id="S4.SS2.p7.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p7.1.m1.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p7.1.m1.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p7.1.m1.1d">italic_α</annotation></semantics></math> into smaller intervals is possible if <math alttext="\it{UB}-\it{LB}\leq\epsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p7.2.m2.1"><semantics id="S4.SS2.p7.2.m2.1a"><mrow id="S4.SS2.p7.2.m2.1.1" xref="S4.SS2.p7.2.m2.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS2.p7.2.m2.1.1.2" xref="S4.SS2.p7.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p7.2.m2.1.1.2.2" xref="S4.SS2.p7.2.m2.1.1.2.2.cmml">𝑈𝐵</mi><mo id="S4.SS2.p7.2.m2.1.1.2.1" xref="S4.SS2.p7.2.m2.1.1.2.1.cmml">−</mo><mi id="S4.SS2.p7.2.m2.1.1.2.3" xref="S4.SS2.p7.2.m2.1.1.2.3.cmml">𝐿𝐵</mi></mrow><mo id="S4.SS2.p7.2.m2.1.1.1" xref="S4.SS2.p7.2.m2.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="S4.SS2.p7.2.m2.1.1.3" xref="S4.SS2.p7.2.m2.1.1.3.cmml">ϵ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p7.2.m2.1b"><apply id="S4.SS2.p7.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p7.2.m2.1.1"><leq id="S4.SS2.p7.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p7.2.m2.1.1.1"></leq><apply id="S4.SS2.p7.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p7.2.m2.1.1.2"><minus id="S4.SS2.p7.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p7.2.m2.1.1.2.1"></minus><ci id="S4.SS2.p7.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p7.2.m2.1.1.2.2">𝑈𝐵</ci><ci id="S4.SS2.p7.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p7.2.m2.1.1.2.3">𝐿𝐵</ci></apply><ci id="S4.SS2.p7.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p7.2.m2.1.1.3">italic-ϵ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p7.2.m2.1c">\it{UB}-\it{LB}\leq\epsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p7.2.m2.1d">italic_UB - italic_LB ≤ italic_ϵ</annotation></semantics></math> does not satisfy, where <math alttext="\epsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p7.3.m3.1"><semantics id="S4.SS2.p7.3.m3.1a"><mi id="S4.SS2.p7.3.m3.1.1" xref="S4.SS2.p7.3.m3.1.1.cmml">ϵ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p7.3.m3.1b"><ci id="S4.SS2.p7.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p7.3.m3.1.1">italic-ϵ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p7.3.m3.1c">\epsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p7.3.m3.1d">italic_ϵ</annotation></semantics></math> indicates the specified accuracy. <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.SS2.p7.3.2">Step 4</span> with smaller resolution will be repeated, or the optimal solution is assumed to be reached.</p> </div> </section> </section> <section class="ltx_section" id="S5"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">V </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps" id="S5.1.1">Case Study and Discussion</span> </h2> <div class="ltx_para" id="S5.p1"> <p class="ltx_p" id="S5.p1.2">The proposed framework was tested on modified IEEE 33-bus system, as illustrated in Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S5.F4" title="Figure 4 ‣ V Case Study and Discussion ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>. The system data is available in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#bib.bib22" title="">22</a>]</cite>, and the data for DGs and ESSs is given in Table <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S5.T1" title="Table I ‣ V Case Study and Discussion ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">I</span></a> and Table <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S5.T2" title="Table II ‣ V Case Study and Discussion ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II</span></a>, respectively. All simulations were implemented on a 64-bit PC with a 3.00-GHz CPU and 16 GB RAM using Gurobi API in PyCharm. The time period were set to one day, with a resolution of one hour. Solar power and load demand for each bus are deemed to be uncertain sources. Approximately one year of historical data were used to construct the ambiguity sets. The confidence index <math alttext="\gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p1.1.m1.1"><semantics id="S5.p1.1.m1.1a"><mi id="S5.p1.1.m1.1.1" xref="S5.p1.1.m1.1.1.cmml">γ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p1.1.m1.1b"><ci id="S5.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.p1.1.m1.1.1">𝛾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p1.1.m1.1c">\gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p1.1.m1.1d">italic_γ</annotation></semantics></math> and total prior strength <math alttext="\lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p1.2.m2.1"><semantics id="S5.p1.2.m2.1a"><mi id="S5.p1.2.m2.1.1" xref="S5.p1.2.m2.1.1.cmml">λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p1.2.m2.1b"><ci id="S5.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.p1.2.m2.1.1">𝜆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p1.2.m2.1c">\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p1.2.m2.1d">italic_λ</annotation></semantics></math> for IDM are set to 0.95 and 1 <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#bib.bib20" title="">20</a>]</cite>, respectively.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S5.F4"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="179" id="S5.F4.g1" src="x6.png" width="346"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure 4: </span>Modified IEEE 33-bus system.</figcaption> </figure> <figure class="ltx_table" id="S5.T1"> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_table">Table I: </span>DGs Information</figcaption> <div class="ltx_inline-block ltx_align_center ltx_transformed_outer" id="S5.T1.7" style="width:245.1pt;height:63pt;vertical-align:-0.0pt;"><span class="ltx_transformed_inner" style="transform:translate(-52.5pt,13.5pt) scale(0.7,0.7) ;"> <table class="ltx_tabular ltx_guessed_headers ltx_align_middle" id="S5.T1.7.7"> <thead class="ltx_thead"> <tr class="ltx_tr" id="S5.T1.7.7.7"> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_column ltx_border_tt" id="S5.T1.7.7.7.8">Label</th> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_column ltx_border_tt" id="S5.T1.1.1.1.1"> <math alttext="\overline{p}^{G}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S5.T1.1.1.1.1.m1.1a"><msup id="S5.T1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S5.T1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S5.T1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S5.T1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.T1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2" xref="S5.T1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">p</mi><mo id="S5.T1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1" xref="S5.T1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml">¯</mo></mover><mi id="S5.T1.1.1.1.1.m1.1.1.3" xref="S5.T1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml">G</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S5.T1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.T1.1.1.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.T1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.T1.1.1.1.1.m1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.T1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.T1.1.1.1.1.m1.1.1.2"><ci id="S5.T1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.T1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1">¯</ci><ci id="S5.T1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.T1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2">𝑝</ci></apply><ci id="S5.T1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.T1.1.1.1.1.m1.1.1.3">𝐺</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T1.1.1.1.1.m1.1c">\overline{p}^{G}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T1.1.1.1.1.m1.1d">over¯ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT italic_G end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>(kW)</th> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_column ltx_border_tt" id="S5.T1.2.2.2.2"> <math alttext="\underline{p}^{G}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T1.2.2.2.2.m1.1"><semantics id="S5.T1.2.2.2.2.m1.1a"><msup id="S5.T1.2.2.2.2.m1.1.1" xref="S5.T1.2.2.2.2.m1.1.1.cmml"><munder accentunder="true" id="S5.T1.2.2.2.2.m1.1.1.2" xref="S5.T1.2.2.2.2.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.T1.2.2.2.2.m1.1.1.2.2" xref="S5.T1.2.2.2.2.m1.1.1.2.2.cmml">p</mi><mo id="S5.T1.2.2.2.2.m1.1.1.2.1" xref="S5.T1.2.2.2.2.m1.1.1.2.1.cmml">¯</mo></munder><mi id="S5.T1.2.2.2.2.m1.1.1.3" xref="S5.T1.2.2.2.2.m1.1.1.3.cmml">G</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T1.2.2.2.2.m1.1b"><apply id="S5.T1.2.2.2.2.m1.1.1.cmml" xref="S5.T1.2.2.2.2.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.T1.2.2.2.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.T1.2.2.2.2.m1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.T1.2.2.2.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.T1.2.2.2.2.m1.1.1.2"><ci id="S5.T1.2.2.2.2.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.T1.2.2.2.2.m1.1.1.2.1">¯</ci><ci id="S5.T1.2.2.2.2.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.T1.2.2.2.2.m1.1.1.2.2">𝑝</ci></apply><ci id="S5.T1.2.2.2.2.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.T1.2.2.2.2.m1.1.1.3">𝐺</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T1.2.2.2.2.m1.1c">\underline{p}^{G}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T1.2.2.2.2.m1.1d">under¯ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT italic_G end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>(kW)</th> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_column ltx_border_tt" id="S5.T1.3.3.3.3"> <math alttext="RU" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T1.3.3.3.3.m1.1"><semantics id="S5.T1.3.3.3.3.m1.1a"><mrow id="S5.T1.3.3.3.3.m1.1.1" xref="S5.T1.3.3.3.3.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.T1.3.3.3.3.m1.1.1.2" xref="S5.T1.3.3.3.3.m1.1.1.2.cmml">R</mi><mo id="S5.T1.3.3.3.3.m1.1.1.1" xref="S5.T1.3.3.3.3.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.T1.3.3.3.3.m1.1.1.3" xref="S5.T1.3.3.3.3.m1.1.1.3.cmml">U</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T1.3.3.3.3.m1.1b"><apply id="S5.T1.3.3.3.3.m1.1.1.cmml" xref="S5.T1.3.3.3.3.m1.1.1"><times id="S5.T1.3.3.3.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.T1.3.3.3.3.m1.1.1.1"></times><ci id="S5.T1.3.3.3.3.m1.1.1.2.cmml" 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ltx_border_tt" id="S5.T1.6.6.6.6"> <math alttext="\underline{q}^{G}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T1.6.6.6.6.m1.1"><semantics id="S5.T1.6.6.6.6.m1.1a"><msup id="S5.T1.6.6.6.6.m1.1.1" xref="S5.T1.6.6.6.6.m1.1.1.cmml"><munder accentunder="true" id="S5.T1.6.6.6.6.m1.1.1.2" xref="S5.T1.6.6.6.6.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.T1.6.6.6.6.m1.1.1.2.2" xref="S5.T1.6.6.6.6.m1.1.1.2.2.cmml">q</mi><mo id="S5.T1.6.6.6.6.m1.1.1.2.1" xref="S5.T1.6.6.6.6.m1.1.1.2.1.cmml">¯</mo></munder><mi id="S5.T1.6.6.6.6.m1.1.1.3" xref="S5.T1.6.6.6.6.m1.1.1.3.cmml">G</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T1.6.6.6.6.m1.1b"><apply id="S5.T1.6.6.6.6.m1.1.1.cmml" xref="S5.T1.6.6.6.6.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.T1.6.6.6.6.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.T1.6.6.6.6.m1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.T1.6.6.6.6.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.T1.6.6.6.6.m1.1.1.2"><ci id="S5.T1.6.6.6.6.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.T1.6.6.6.6.m1.1.1.2.1">¯</ci><ci id="S5.T1.6.6.6.6.m1.1.1.2.2.cmml" 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class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T1.7.7.10.3.7">-150</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T1.7.7.10.3.8">2.5</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S5.T1.7.7.11.4"> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_bb ltx_border_t" id="S5.T1.7.7.11.4.1">DG4</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_bb ltx_border_t" id="S5.T1.7.7.11.4.2">50</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_bb ltx_border_t" id="S5.T1.7.7.11.4.3">10</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_bb ltx_border_t" id="S5.T1.7.7.11.4.4">15</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_bb ltx_border_t" id="S5.T1.7.7.11.4.5">15</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_bb ltx_border_t" id="S5.T1.7.7.11.4.6">40</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_bb ltx_border_t" id="S5.T1.7.7.11.4.7">-25</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_bb ltx_border_t" id="S5.T1.7.7.11.4.8">2.0</td> </tr> </tbody> </table> </span></div> </figure> <figure class="ltx_table" id="S5.T2"> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_table">Table II: </span>ESSs Information</figcaption> <div class="ltx_inline-block ltx_align_center ltx_transformed_outer" id="S5.T2.4" style="width:164.0pt;height:63pt;vertical-align:-0.0pt;"><span class="ltx_transformed_inner" style="transform:translate(-35.1pt,13.5pt) scale(0.7,0.7) ;"> <table class="ltx_tabular ltx_guessed_headers ltx_align_middle" id="S5.T2.4.4"> <thead class="ltx_thead"> <tr class="ltx_tr" id="S5.T2.4.4.4"> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_column ltx_border_tt" id="S5.T2.4.4.4.5">Label</th> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_column ltx_border_tt" id="S5.T2.1.1.1.1"> <math alttext="\overline{p}^{B}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T2.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S5.T2.1.1.1.1.m1.1a"><msup id="S5.T2.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S5.T2.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S5.T2.1.1.1.1.m1.1.1.2" 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id="S5.T2.1.1.1.1.m1.1d">over¯ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT italic_B end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>(kW)</th> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_column ltx_border_tt" id="S5.T2.2.2.2.2"> <math alttext="\underline{p}^{B}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T2.2.2.2.2.m1.1"><semantics id="S5.T2.2.2.2.2.m1.1a"><msup id="S5.T2.2.2.2.2.m1.1.1" xref="S5.T2.2.2.2.2.m1.1.1.cmml"><munder accentunder="true" id="S5.T2.2.2.2.2.m1.1.1.2" xref="S5.T2.2.2.2.2.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.T2.2.2.2.2.m1.1.1.2.2" xref="S5.T2.2.2.2.2.m1.1.1.2.2.cmml">p</mi><mo id="S5.T2.2.2.2.2.m1.1.1.2.1" xref="S5.T2.2.2.2.2.m1.1.1.2.1.cmml">¯</mo></munder><mi id="S5.T2.2.2.2.2.m1.1.1.3" xref="S5.T2.2.2.2.2.m1.1.1.3.cmml">B</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T2.2.2.2.2.m1.1b"><apply id="S5.T2.2.2.2.2.m1.1.1.cmml" xref="S5.T2.2.2.2.2.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.T2.2.2.2.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.T2.2.2.2.2.m1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.T2.2.2.2.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.T2.2.2.2.2.m1.1.1.2"><ci id="S5.T2.2.2.2.2.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.T2.2.2.2.2.m1.1.1.2.1">¯</ci><ci id="S5.T2.2.2.2.2.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.T2.2.2.2.2.m1.1.1.2.2">𝑝</ci></apply><ci id="S5.T2.2.2.2.2.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.T2.2.2.2.2.m1.1.1.3">𝐵</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T2.2.2.2.2.m1.1c">\underline{p}^{B}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T2.2.2.2.2.m1.1d">under¯ start_ARG italic_p end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT italic_B end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>(kW)</th> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_column ltx_border_tt" id="S5.T2.3.3.3.3"> <math alttext="\overline{e}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T2.3.3.3.3.m1.1"><semantics id="S5.T2.3.3.3.3.m1.1a"><mover accent="true" id="S5.T2.3.3.3.3.m1.1.1" xref="S5.T2.3.3.3.3.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.T2.3.3.3.3.m1.1.1.2" xref="S5.T2.3.3.3.3.m1.1.1.2.cmml">e</mi><mo id="S5.T2.3.3.3.3.m1.1.1.1" xref="S5.T2.3.3.3.3.m1.1.1.1.cmml">¯</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T2.3.3.3.3.m1.1b"><apply id="S5.T2.3.3.3.3.m1.1.1.cmml" xref="S5.T2.3.3.3.3.m1.1.1"><ci id="S5.T2.3.3.3.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.T2.3.3.3.3.m1.1.1.1">¯</ci><ci id="S5.T2.3.3.3.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.T2.3.3.3.3.m1.1.1.2">𝑒</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T2.3.3.3.3.m1.1c">\overline{e}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T2.3.3.3.3.m1.1d">over¯ start_ARG italic_e end_ARG</annotation></semantics></math>(kW)</th> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_column ltx_border_tt" id="S5.T2.4.4.4.6"> <span class="ltx_text ltx_framed ltx_framed_underline" id="S5.T2.4.4.4.6.1">e</span>(kW)</th> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_column ltx_border_tt" id="S5.T2.4.4.4.4"><math alttext="\eta_{B}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T2.4.4.4.4.m1.1"><semantics id="S5.T2.4.4.4.4.m1.1a"><msub id="S5.T2.4.4.4.4.m1.1.1" xref="S5.T2.4.4.4.4.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.T2.4.4.4.4.m1.1.1.2" xref="S5.T2.4.4.4.4.m1.1.1.2.cmml">η</mi><mi id="S5.T2.4.4.4.4.m1.1.1.3" xref="S5.T2.4.4.4.4.m1.1.1.3.cmml">B</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T2.4.4.4.4.m1.1b"><apply id="S5.T2.4.4.4.4.m1.1.1.cmml" xref="S5.T2.4.4.4.4.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.T2.4.4.4.4.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.T2.4.4.4.4.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.T2.4.4.4.4.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.T2.4.4.4.4.m1.1.1.2">𝜂</ci><ci id="S5.T2.4.4.4.4.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.T2.4.4.4.4.m1.1.1.3">𝐵</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T2.4.4.4.4.m1.1c">\eta_{B}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T2.4.4.4.4.m1.1d">italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_B end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></th> </tr> </thead> <tbody class="ltx_tbody"> <tr class="ltx_tr" id="S5.T2.4.4.5.1"> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T2.4.4.5.1.1">ESS1</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T2.4.4.5.1.2">120</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T2.4.4.5.1.3">120</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T2.4.4.5.1.4">600</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T2.4.4.5.1.5">120</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T2.4.4.5.1.6">0.9</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S5.T2.4.4.6.2"> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T2.4.4.6.2.1">ESS2</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T2.4.4.6.2.2">40</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T2.4.4.6.2.3">40</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T2.4.4.6.2.4">200</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T2.4.4.6.2.5">40</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T2.4.4.6.2.6">0.9</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S5.T2.4.4.7.3"> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T2.4.4.7.3.1">ESS3</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T2.4.4.7.3.2">60</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T2.4.4.7.3.3">60</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T2.4.4.7.3.4">300</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T2.4.4.7.3.5">60</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T2.4.4.7.3.6">0.9</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S5.T2.4.4.8.4"> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_bb ltx_border_t" id="S5.T2.4.4.8.4.1">ESS4</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_bb ltx_border_t" id="S5.T2.4.4.8.4.2">80</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_bb ltx_border_t" id="S5.T2.4.4.8.4.3">80</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_bb ltx_border_t" id="S5.T2.4.4.8.4.4">400</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_bb ltx_border_t" id="S5.T2.4.4.8.4.5">80</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_bb ltx_border_t" id="S5.T2.4.4.8.4.6">0.9</td> </tr> </tbody> </table> </span></div> </figure> <section class="ltx_subsection" id="S5.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection"><span class="ltx_text" id="S5.SS1.4.1.1">V-A</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S5.SS1.5.2">Optimal Operation Results for Distribution Networks</span> </h3> <div class="ltx_para" id="S5.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S5.SS1.p1.1">To illustrate the basic results of the proposed method, DT- and IGDT-based approaches are chosen as benchmarks. The deviation factor <math alttext="\sigma" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p1.1.m1.1"><semantics id="S5.SS1.p1.1.m1.1a"><mi id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml">σ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p1.1.m1.1b"><ci id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1">𝜎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p1.1.m1.1c">\sigma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p1.1.m1.1d">italic_σ</annotation></semantics></math> is set as 30%, and all other parameters remain consistent. The optimal cost of DT is 216,773$, which determines the desired budget for IGDT and CL-DIGDT. The optimal uncertainty extent obtained by IGDT is 0.183. This result indicates that, by implementing the optimal operational scheme, whenever the actual solar power and load demands fall within the safe regions where deviations are within 18.3% of their predicted values, system safety is ensured and the total operational cost will remain within the preset budget, or otherwise no guarantees can be made. For CL-DIGDT, the optimal probability is 0.665. The same explanation applies, but the safe regions are defined by the shortest confidence intervals corresponding to this probability.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S5.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection"><span class="ltx_text" id="S5.SS2.4.1.1">V-B</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S5.SS2.5.2">Ambiguity Sets within Proposed Framework</span> </h3> <div class="ltx_para" id="S5.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S5.SS2.p1.1">According to the previous research in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#bib.bib19" title="">19</a>]</cite> and <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#bib.bib9" title="">9</a>]</cite>, as the sample size consistently increases, the ambiguity set shrinks and the worst-case distribution is expected to be converged towards the true distribution. Consequently, the optimal uncertainty sets obtained should become progressively shorter, thereby reducing conservatism. Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S5.F5" title="Figure 5 ‣ V-B Ambiguity Sets within Proposed Framework ‣ V Case Study and Discussion ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a> illustrates the ambiguity sets of solar power constructed using varying sizes of historical data and the optimal uncertainty set corresponding to each size, given <math alttext="\alpha=0.6" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.p1.1.m1.1"><semantics id="S5.SS2.p1.1.m1.1a"><mrow id="S5.SS2.p1.1.m1.1.1" xref="S5.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.1.m1.1.1.2" xref="S5.SS2.p1.1.m1.1.1.2.cmml">α</mi><mo id="S5.SS2.p1.1.m1.1.1.1" xref="S5.SS2.p1.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.SS2.p1.1.m1.1.1.3" xref="S5.SS2.p1.1.m1.1.1.3.cmml">0.6</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.p1.1.m1.1b"><apply id="S5.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.1.m1.1.1"><eq id="S5.SS2.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S5.SS2.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.1.m1.1.1.2">𝛼</ci><cn id="S5.SS2.p1.1.m1.1.1.3.cmml" type="float" xref="S5.SS2.p1.1.m1.1.1.3">0.6</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.p1.1.m1.1c">\alpha=0.6</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.p1.1.m1.1d">italic_α = 0.6</annotation></semantics></math>. Interestingly, as the data size increases, the ambiguity set enlarges slightly in some areas (e.g., those highlighted in ellipses), and the optimal uncertainty sets do not completely envelop the one obtained from a larger data size, which appears to contradict the theory to some extent. Upon further analysis, two reasons for this contradiction emerge.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S5.F5"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="191" id="S5.F5.g1" src="x7.png" width="346"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure 5: </span>Ambiguity sets of solar power with different data size.</figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="S5.SS2.p2"> <p class="ltx_p" id="S5.SS2.p2.1">Firstly, the distribution’s shape can initially be rough when the data size is small. This explains the significant change in the shape of the ambiguity set initially, but eventually stabilizing and approaching its real shape as more data is incorporated. Secondly, the initial sample size may be insufficient, and thus the limited discrete points inadequately represent the confidence level of 0.6, causing a deviation in the uncertainty set. It is suggested that with a sufficiently large dataset, the actual distribution and the optimal uncertainty set will be accurately captured, thereby reducing conservatism and aligning with theoretical expectations.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S5.SS3"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection"><span class="ltx_text" id="S5.SS3.4.1.1">V-C</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S5.SS3.5.2">Optimal Uncertainty Sets of Different Approaches</span> </h3> <figure class="ltx_figure" id="S5.F6"> <div class="ltx_flex_figure"> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_4"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F6.sf1"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_landscape" height="110" id="S5.F6.sf1.g1" src="x8.png" width="199"/> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F6.sf1.2.1.1" style="font-size:80%;">(a)</span> </span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_4"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F6.sf2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_landscape" height="107" id="S5.F6.sf2.g1" src="x9.png" width="199"/> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F6.sf2.2.1.1" style="font-size:80%;">(b)</span> </span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_4"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F6.sf3"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_landscape" height="110" id="S5.F6.sf3.g1" src="x10.png" width="199"/> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F6.sf3.2.1.1" style="font-size:80%;">(c)</span> </span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_4"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F6.sf4"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_landscape" height="112" id="S5.F6.sf4.g1" src="x11.png" width="199"/> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F6.sf4.2.1.1" style="font-size:80%;">(d)</span> </span></figcaption> </figure> </div> </div> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure 6: </span>Optimal uncertainty sets. (a) Solar power for time period 11:00-12:00; (b) Load demand at node 20 for time period 1:00–2:00; (c) Solar power for time period 8:00-9:00; (d) Load demand at node 21 for time period 13:00–14:00.</figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="S5.SS3.p1"> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.p1.1">As shown in Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S5.F6.sf1" title="In Figure 6 ‣ V-C Optimal Uncertainty Sets of Different Approaches ‣ V Case Study and Discussion ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6(a)</span></a>, the uncertainty set (safe region) obtained by CL-DIGDT method is notably larger than that obtained by IGDT. Though larger uncertainty sets can lead to higher costs, it is probabilistically worthwhile to guarantee robustness at the expense of economic performance. It is because the safe region of the proposed method nearly (considering ambiguity) encompasses the scenarios with the highest probability of occurrence, whereas the uncertainty set obtained by IGDT is centered around its predictive value and includes some unnecessary scenarios (those highlighted in ellipse).</p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.SS3.p2"> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.p2.1">In contrast, Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S5.F6.sf2" title="In Figure 6 ‣ V-C Optimal Uncertainty Sets of Different Approaches ‣ V Case Study and Discussion ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6(b)</span></a> illustrates the shorter uncertainty set obtained by CL-DIGDT than IGDT. In this case, the most probable scenarios are relatively centered around its predictive value. To probabilistically ensure economic performance, scenarios with low probabilities of occurrence are excluded from the safe region to shorten the uncertainty set. It is also worth noting that the differences between the uncertainty sets obtained by the two approaches are reduced compared to Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S5.F6.sf1" title="In Figure 6 ‣ V-C Optimal Uncertainty Sets of Different Approaches ‣ V Case Study and Discussion ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6(a)</span></a>, as the asymmetry of the distribution is significantly mitigated. It is reasonable to infer that if the distribution exhibits symmetric characteristics, such as a Gaussian distribution, the difference in uncertainty set will diminish further, potentially becoming nearly identical. Therefore, the trade-off between economic performance (smaller uncertainty set) and robustness (larger uncertainty set) can be guaranteed in a probabilistic manner, depending on the feature of the data.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.SS3.p3"> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.p3.3">To further explore the superiority of the proposed uncertainty modelling, the optimal intervals under different <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.p3.1.m1.1"><semantics id="S5.SS3.p3.1.m1.1a"><mi id="S5.SS3.p3.1.m1.1.1" xref="S5.SS3.p3.1.m1.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.p3.1.m1.1b"><ci id="S5.SS3.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.p3.1.m1.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.p3.1.m1.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.p3.1.m1.1d">italic_α</annotation></semantics></math> were examined. Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S5.F6.sf3" title="In Figure 6 ‣ V-C Optimal Uncertainty Sets of Different Approaches ‣ V Case Study and Discussion ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6(c)</span></a> shows that interval remains stable even though <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.p3.2.m2.1"><semantics id="S5.SS3.p3.2.m2.1a"><mi id="S5.SS3.p3.2.m2.1.1" xref="S5.SS3.p3.2.m2.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.p3.2.m2.1b"><ci id="S5.SS3.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.SS3.p3.2.m2.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.p3.2.m2.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.p3.2.m2.1d">italic_α</annotation></semantics></math> increases from 0.2 to 0.5. While <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.p3.3.m3.1"><semantics id="S5.SS3.p3.3.m3.1a"><mi id="S5.SS3.p3.3.m3.1.1" xref="S5.SS3.p3.3.m3.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.p3.3.m3.1b"><ci id="S5.SS3.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.SS3.p3.3.m3.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.p3.3.m3.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.p3.3.m3.1d">italic_α</annotation></semantics></math> reaches 0.8, this interval changes noticeably. The nonlinear expansion of the interval occurs since the solar power is predominantly centered around zero. For load demands without any distribution pattern shown in Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S5.F6.sf4" title="In Figure 6 ‣ V-C Optimal Uncertainty Sets of Different Approaches ‣ V Case Study and Discussion ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6(d)</span></a>, the interval also expands nonlinearly rather than linearly as IGDT method. This indicates nonlinear robustness is considered in the proposed method.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S5.SS4"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection"><span class="ltx_text" id="S5.SS4.4.1.1">V-D</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S5.SS4.5.2">Post-Evaluation of Different Approaches</span> </h3> <div class="ltx_para" id="S5.SS4.p1"> <p class="ltx_p" id="S5.SS4.p1.3">The ‘here-and-now’ decision <math alttext="\bm{x}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS4.p1.1.m1.1"><semantics id="S5.SS4.p1.1.m1.1a"><mi id="S5.SS4.p1.1.m1.1.1" xref="S5.SS4.p1.1.m1.1.1.cmml">𝒙</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS4.p1.1.m1.1b"><ci id="S5.SS4.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.1.m1.1.1">𝒙</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS4.p1.1.m1.1c">\bm{x}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS4.p1.1.m1.1d">bold_italic_x</annotation></semantics></math> is robustly optimized and serves as the final scheme, while the ‘wait-and-see’ decisions <math alttext="\bm{y}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS4.p1.2.m2.1"><semantics id="S5.SS4.p1.2.m2.1a"><mi id="S5.SS4.p1.2.m2.1.1" xref="S5.SS4.p1.2.m2.1.1.cmml">𝒚</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS4.p1.2.m2.1b"><ci id="S5.SS4.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.2.m2.1.1">𝒚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS4.p1.2.m2.1c">\bm{y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS4.p1.2.m2.1d">bold_italic_y</annotation></semantics></math> can dynamically adjust in response to the realization of the uncertain scenarios. To assess the risk-averse capability of CL-DIGDT solution, post-evaluation is conducted on <math alttext="\bm{x}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS4.p1.3.m3.1"><semantics id="S5.SS4.p1.3.m3.1a"><mi id="S5.SS4.p1.3.m3.1.1" xref="S5.SS4.p1.3.m3.1.1.cmml">𝒙</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS4.p1.3.m3.1b"><ci id="S5.SS4.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.3.m3.1.1">𝒙</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS4.p1.3.m3.1c">\bm{x}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS4.p1.3.m3.1d">bold_italic_x</annotation></semantics></math>, using 50 randomly selected scenarios which did not include in the ambiguity sets. The performance metric is the expected project budget (EPB) <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#bib.bib23" title="">23</a>]</cite> defined in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S5.E33" title="In V-D Post-Evaluation of Different Approaches ‣ V Case Study and Discussion ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">33</span></a>), and the reliability of the solutions, which refers to the percentage of feasible solutions.</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.E33"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="EPB=\bm{c}^{T}\bm{x}+\frac{1}{NF}\sum_{n=1}^{NF}\bm{d}^{T}\bm{y}_{n}" class="ltx_Math" display="block" id="S5.E33.m1.1"><semantics id="S5.E33.m1.1a"><mrow id="S5.E33.m1.1.1" xref="S5.E33.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E33.m1.1.1.2" xref="S5.E33.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.E33.m1.1.1.2.2" xref="S5.E33.m1.1.1.2.2.cmml">E</mi><mo id="S5.E33.m1.1.1.2.1" xref="S5.E33.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E33.m1.1.1.2.3" xref="S5.E33.m1.1.1.2.3.cmml">P</mi><mo id="S5.E33.m1.1.1.2.1a" xref="S5.E33.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E33.m1.1.1.2.4" xref="S5.E33.m1.1.1.2.4.cmml">B</mi></mrow><mo id="S5.E33.m1.1.1.1" xref="S5.E33.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.E33.m1.1.1.3" xref="S5.E33.m1.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.E33.m1.1.1.3.2" xref="S5.E33.m1.1.1.3.2.cmml"><msup id="S5.E33.m1.1.1.3.2.2" xref="S5.E33.m1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S5.E33.m1.1.1.3.2.2.2" xref="S5.E33.m1.1.1.3.2.2.2.cmml">𝒄</mi><mi id="S5.E33.m1.1.1.3.2.2.3" xref="S5.E33.m1.1.1.3.2.2.3.cmml">T</mi></msup><mo id="S5.E33.m1.1.1.3.2.1" xref="S5.E33.m1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E33.m1.1.1.3.2.3" xref="S5.E33.m1.1.1.3.2.3.cmml">𝒙</mi></mrow><mo id="S5.E33.m1.1.1.3.1" xref="S5.E33.m1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.E33.m1.1.1.3.3" xref="S5.E33.m1.1.1.3.3.cmml"><mfrac id="S5.E33.m1.1.1.3.3.2" xref="S5.E33.m1.1.1.3.3.2.cmml"><mn id="S5.E33.m1.1.1.3.3.2.2" xref="S5.E33.m1.1.1.3.3.2.2.cmml">1</mn><mrow id="S5.E33.m1.1.1.3.3.2.3" xref="S5.E33.m1.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S5.E33.m1.1.1.3.3.2.3.2" xref="S5.E33.m1.1.1.3.3.2.3.2.cmml">N</mi><mo id="S5.E33.m1.1.1.3.3.2.3.1" xref="S5.E33.m1.1.1.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E33.m1.1.1.3.3.2.3.3" xref="S5.E33.m1.1.1.3.3.2.3.3.cmml">F</mi></mrow></mfrac><mo id="S5.E33.m1.1.1.3.3.1" xref="S5.E33.m1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.E33.m1.1.1.3.3.3" xref="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.cmml"><munderover id="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.1" xref="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.1.cmml"><mo id="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.1.2.3" xref="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.1.2.3.cmml"><mi id="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.1.2.3.2" xref="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.1.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.1.2.3.1" xref="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.1.2.3.3" xref="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.1.3" xref="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.1.3.cmml"><mi id="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.1.3.2" xref="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.1.3.2.cmml">N</mi><mo id="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.1.3.1" xref="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.1.3.3" xref="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.1.3.3.cmml">F</mi></mrow></munderover><mrow id="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.2" xref="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.2.cmml"><msup id="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.2.2" xref="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.2.2.cmml"><mi id="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.2.2.2" xref="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.2.2.2.cmml">𝒅</mi><mi id="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.2.2.3" xref="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.2.2.3.cmml">T</mi></msup><mo id="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.2.1" xref="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.2.3" xref="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.2.3.cmml"><mi id="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.2.3.2" xref="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.2.3.2.cmml">𝒚</mi><mi id="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.2.3.3" xref="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.2.3.3.cmml">n</mi></msub></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E33.m1.1b"><apply id="S5.E33.m1.1.1.cmml" xref="S5.E33.m1.1.1"><eq id="S5.E33.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.E33.m1.1.1.1"></eq><apply id="S5.E33.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.E33.m1.1.1.2"><times id="S5.E33.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E33.m1.1.1.2.1"></times><ci id="S5.E33.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.E33.m1.1.1.2.2">𝐸</ci><ci id="S5.E33.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.E33.m1.1.1.2.3">𝑃</ci><ci id="S5.E33.m1.1.1.2.4.cmml" xref="S5.E33.m1.1.1.2.4">𝐵</ci></apply><apply id="S5.E33.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.E33.m1.1.1.3"><plus id="S5.E33.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E33.m1.1.1.3.1"></plus><apply id="S5.E33.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E33.m1.1.1.3.2"><times id="S5.E33.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.E33.m1.1.1.3.2.1"></times><apply id="S5.E33.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.E33.m1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E33.m1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S5.E33.m1.1.1.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S5.E33.m1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S5.E33.m1.1.1.3.2.2.2">𝒄</ci><ci id="S5.E33.m1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S5.E33.m1.1.1.3.2.2.3">𝑇</ci></apply><ci id="S5.E33.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.E33.m1.1.1.3.2.3">𝒙</ci></apply><apply id="S5.E33.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.E33.m1.1.1.3.3"><times id="S5.E33.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.E33.m1.1.1.3.3.1"></times><apply id="S5.E33.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.E33.m1.1.1.3.3.2"><divide id="S5.E33.m1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S5.E33.m1.1.1.3.3.2"></divide><cn id="S5.E33.m1.1.1.3.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.E33.m1.1.1.3.3.2.2">1</cn><apply id="S5.E33.m1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S5.E33.m1.1.1.3.3.2.3"><times id="S5.E33.m1.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S5.E33.m1.1.1.3.3.2.3.1"></times><ci id="S5.E33.m1.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S5.E33.m1.1.1.3.3.2.3.2">𝑁</ci><ci id="S5.E33.m1.1.1.3.3.2.3.3.cmml" xref="S5.E33.m1.1.1.3.3.2.3.3">𝐹</ci></apply></apply><apply id="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.E33.m1.1.1.3.3.3"><apply id="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.1.1.cmml" xref="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.1">superscript</csymbol><apply id="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.1.2.cmml" xref="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.1.2.1.cmml" xref="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.1">subscript</csymbol><sum id="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.1.2.2.cmml" xref="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.1.2.2"></sum><apply id="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.1.2.3.cmml" xref="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.1.2.3"><eq id="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.1.2.3.1.cmml" xref="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.1.2.3.1"></eq><ci id="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.1.2.3.2.cmml" xref="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.1.2.3.2">𝑛</ci><cn id="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.1.3.cmml" xref="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.1.3"><times id="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.1.3.1.cmml" xref="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.1.3.1"></times><ci id="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.1.3.2.cmml" xref="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.1.3.2">𝑁</ci><ci id="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.1.3.3.cmml" xref="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.1.3.3">𝐹</ci></apply></apply><apply id="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.2"><times id="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.2.1.cmml" xref="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.2.1"></times><apply id="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.2.2.cmml" xref="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.2.2.1.cmml" xref="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.2.2.2">𝒅</ci><ci id="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.2.2.3.cmml" xref="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.2.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.2.3.cmml" xref="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.2.3.1.cmml" xref="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.2.3.2.cmml" xref="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.2.3.2">𝒚</ci><ci id="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.2.3.3.cmml" xref="S5.E33.m1.1.1.3.3.3.2.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E33.m1.1c">EPB=\bm{c}^{T}\bm{x}+\frac{1}{NF}\sum_{n=1}^{NF}\bm{d}^{T}\bm{y}_{n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E33.m1.1d">italic_E italic_P italic_B = bold_italic_c start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_italic_x + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_N italic_F end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N italic_F end_POSTSUPERSCRIPT bold_italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(33)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS4.p1.4">where <math alttext="NF" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS4.p1.4.m1.1"><semantics id="S5.SS4.p1.4.m1.1a"><mrow id="S5.SS4.p1.4.m1.1.1" xref="S5.SS4.p1.4.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS4.p1.4.m1.1.1.2" xref="S5.SS4.p1.4.m1.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S5.SS4.p1.4.m1.1.1.1" xref="S5.SS4.p1.4.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS4.p1.4.m1.1.1.3" xref="S5.SS4.p1.4.m1.1.1.3.cmml">F</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS4.p1.4.m1.1b"><apply id="S5.SS4.p1.4.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.4.m1.1.1"><times id="S5.SS4.p1.4.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS4.p1.4.m1.1.1.1"></times><ci id="S5.SS4.p1.4.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS4.p1.4.m1.1.1.2">𝑁</ci><ci id="S5.SS4.p1.4.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS4.p1.4.m1.1.1.3">𝐹</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS4.p1.4.m1.1c">NF</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS4.p1.4.m1.1d">italic_N italic_F</annotation></semantics></math> represents the number of common feasible solutions shared by different approaches.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.SS4.p2"> <p class="ltx_p" id="S5.SS4.p2.1">As shown in Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S5.F7" title="Figure 7 ‣ V-D Post-Evaluation of Different Approaches ‣ V Case Study and Discussion ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7</span></a>, the DT method incurs the highest <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S5.SS4.p2.1.1">EPB</span> and yields the lowest reliability. The optimal <math alttext="\bm{x}^{*}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS4.p2.1.m1.1"><semantics id="S5.SS4.p2.1.m1.1a"><msup id="S5.SS4.p2.1.m1.1.1" xref="S5.SS4.p2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS4.p2.1.m1.1.1.2" xref="S5.SS4.p2.1.m1.1.1.2.cmml">𝒙</mi><mo id="S5.SS4.p2.1.m1.1.1.3" xref="S5.SS4.p2.1.m1.1.1.3.cmml">∗</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS4.p2.1.m1.1b"><apply id="S5.SS4.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS4.p2.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS4.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS4.p2.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.SS4.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS4.p2.1.m1.1.1.2">𝒙</ci><times id="S5.SS4.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS4.p2.1.m1.1.1.3"></times></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS4.p2.1.m1.1c">\bm{x}^{*}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS4.p2.1.m1.1d">bold_italic_x start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> contributes to the lowest first-stage cost because it is just optimized under a single expected scenario. Without considering any potential uncertainty, the solution lacks risk-averse capability and requires substantial adjustments to compensate for the impact of the uncertain scenarios that were not taken into consideration during the decision process, thus resulting in an extremely high second-stage cost and the lowest reliability. In contrast, the robustness of the IGDT solution is achieved by investing 30% more budget. By considering possible uncertain scenarios, higher first-stage cost is incurred but a significant reduction in the second-stage cost and a substantial increase in the reliability of the solutions are expected.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S5.F7"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="167" id="S5.F7.g1" src="x12.png" width="332"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure 7: </span>Results of post-evaluation obtained by different approaches.</figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="S5.SS4.p3"> <p class="ltx_p" id="S5.SS4.p3.1">The CL-DIGDT approach further reduces <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S5.SS4.p3.1.1">EPB</span> and enhances reliability by accounting for the asymmetric feature of uncertainties and leveraging implicit patterns within the historical data to optimize <math alttext="\bm{x}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS4.p3.1.m1.1"><semantics id="S5.SS4.p3.1.m1.1a"><mi id="S5.SS4.p3.1.m1.1.1" xref="S5.SS4.p3.1.m1.1.1.cmml">𝒙</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS4.p3.1.m1.1b"><ci id="S5.SS4.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS4.p3.1.m1.1.1">𝒙</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS4.p3.1.m1.1c">\bm{x}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS4.p3.1.m1.1d">bold_italic_x</annotation></semantics></math>. Compared to the IGDT, the proposed approach reduced the first-stage cost by 0.84% and the second-stage average cost by 6.7%. As discussed in Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S5.SS3" title="V-C Optimal Uncertainty Sets of Different Approaches ‣ V Case Study and Discussion ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag"><span class="ltx_text">V-C</span></span></a>, unnecessary robustness is avoided (which reduces the cost) while necessary robustness is maintained (which increases the cost). These two cases offset each other, so as to ensure the best trade-off between risk-averse capability and economic performance (which can be demonstrated in Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S5.F7" title="Figure 7 ‣ V-D Post-Evaluation of Different Approaches ‣ V Case Study and Discussion ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7</span></a> by the lower first-stage cost still contributing to lower second-stage cost and higher reliability). This explains why the improvement in economic performance, relative to the total operational costs, is relatively modest, while the reliability of the solutions is fairly enhanced by 8% compared to IGDT. Consequently, the proposed approach achieves a more robust and statistically optimized solution. Furthermore, it is safe to suggest the superiority will be more pronounced if the asymmetric characteristics of uncertainties become more severe.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S5.SS5"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection"><span class="ltx_text" id="S5.SS5.4.1.1">V-E</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S5.SS5.5.2">Sensitivity Analysis</span> </h3> <div class="ltx_para" id="S5.SS5.p1"> <p class="ltx_p" id="S5.SS5.p1.6">The impact of the deviation factor <math alttext="\sigma" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS5.p1.1.m1.1"><semantics id="S5.SS5.p1.1.m1.1a"><mi id="S5.SS5.p1.1.m1.1.1" xref="S5.SS5.p1.1.m1.1.1.cmml">σ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS5.p1.1.m1.1b"><ci id="S5.SS5.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS5.p1.1.m1.1.1">𝜎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS5.p1.1.m1.1c">\sigma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS5.p1.1.m1.1d">italic_σ</annotation></semantics></math> on the objective functions of IGDT and CL-DIGDT methods is analyzed. Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S5.F8" title="Figure 8 ‣ V-E Sensitivity Analysis ‣ V Case Study and Discussion ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">8</span></a> illustrates their corresponding values of <math alttext="\delta" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS5.p1.2.m2.1"><semantics id="S5.SS5.p1.2.m2.1a"><mi id="S5.SS5.p1.2.m2.1.1" xref="S5.SS5.p1.2.m2.1.1.cmml">δ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS5.p1.2.m2.1b"><ci id="S5.SS5.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.SS5.p1.2.m2.1.1">𝛿</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS5.p1.2.m2.1c">\delta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS5.p1.2.m2.1d">italic_δ</annotation></semantics></math> and <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS5.p1.3.m3.1"><semantics id="S5.SS5.p1.3.m3.1a"><mi id="S5.SS5.p1.3.m3.1.1" xref="S5.SS5.p1.3.m3.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS5.p1.3.m3.1b"><ci id="S5.SS5.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.SS5.p1.3.m3.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS5.p1.3.m3.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS5.p1.3.m3.1d">italic_α</annotation></semantics></math>, which indicate the risk-averse capability of the optimal solutions with regards to the varying <math alttext="\sigma" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS5.p1.4.m4.1"><semantics id="S5.SS5.p1.4.m4.1a"><mi id="S5.SS5.p1.4.m4.1.1" xref="S5.SS5.p1.4.m4.1.1.cmml">σ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS5.p1.4.m4.1b"><ci id="S5.SS5.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S5.SS5.p1.4.m4.1.1">𝜎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS5.p1.4.m4.1c">\sigma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS5.p1.4.m4.1d">italic_σ</annotation></semantics></math>. The risk-averse capability increases linearly as more budget is allocated, meaning that both approaches provide higher robustness at the expense of economical performance. However, as discussed in Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S5.SS3" title="V-C Optimal Uncertainty Sets of Different Approaches ‣ V Case Study and Discussion ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag"><span class="ltx_text">V-C</span></span></a>, the uncertainty sets of CL-DIGDT increases nonlinearly even with a linear increase in <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS5.p1.5.m5.1"><semantics id="S5.SS5.p1.5.m5.1a"><mi id="S5.SS5.p1.5.m5.1.1" xref="S5.SS5.p1.5.m5.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS5.p1.5.m5.1b"><ci id="S5.SS5.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S5.SS5.p1.5.m5.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS5.p1.5.m5.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS5.p1.5.m5.1d">italic_α</annotation></semantics></math>, unlike the linear response of IGDT method. Notably, when <math alttext="\sigma" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS5.p1.6.m6.1"><semantics id="S5.SS5.p1.6.m6.1a"><mi id="S5.SS5.p1.6.m6.1.1" xref="S5.SS5.p1.6.m6.1.1.cmml">σ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS5.p1.6.m6.1b"><ci id="S5.SS5.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="S5.SS5.p1.6.m6.1.1">𝜎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS5.p1.6.m6.1c">\sigma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS5.p1.6.m6.1d">italic_σ</annotation></semantics></math> approaches around 0.4, the risk-averse capability plateaus for both approaches, signifying that the maximum level of robustness has been reached due to the limited availability of dispatchable resources within the DNs. This suggests that the risk-averse capability may further enhance if additional dispatchable resources are considered.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S5.F8"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="159" id="S5.F8.g1" src="x13.png" width="304"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure 8: </span>Sensitivity analysis of deviation factor.</figcaption> </figure> </section> <section class="ltx_subsection" id="S5.SS6"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection"><span class="ltx_text" id="S5.SS6.4.1.1">V-F</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S5.SS6.5.2">Accuracy of the Optimal Solutions</span> </h3> <div class="ltx_para" id="S5.SS6.p1"> <p class="ltx_p" id="S5.SS6.p1.3">The iteration method in Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S4" title="IV Solution Methodology ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">IV</span></a> is to determine the upper and lower bounds of the objective function in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S3.E14.1" title="In 14 ‣ III-C Confidence Level Based Information Gap Decision Model ‣ III Confidence Level-Based Distributionally Information Gap decision Formulation ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">14a</span></a>). To test the validity of the proposed method, different accuracy requirements were tested. As iterations progress, the incumbent <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS6.p1.1.m1.1"><semantics id="S5.SS6.p1.1.m1.1a"><mi id="S5.SS6.p1.1.m1.1.1" xref="S5.SS6.p1.1.m1.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS6.p1.1.m1.1b"><ci id="S5.SS6.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS6.p1.1.m1.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS6.p1.1.m1.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS6.p1.1.m1.1d">italic_α</annotation></semantics></math> becomes more accurate, as Table <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.10166v1#S5.T3" title="Table III ‣ V-F Accuracy of the Optimal Solutions ‣ V Case Study and Discussion ‣ Two-Stage Robust Optimal Operation of Distribution Networks using Confidence Level Based Distributionally Information Gap Decision"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">III</span></a> shows, thus leading to increasingly refined confidence level-driven uncertainty sets. Additionally, as the accuracy of <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS6.p1.2.m2.1"><semantics id="S5.SS6.p1.2.m2.1a"><mi id="S5.SS6.p1.2.m2.1.1" xref="S5.SS6.p1.2.m2.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS6.p1.2.m2.1b"><ci id="S5.SS6.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.SS6.p1.2.m2.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS6.p1.2.m2.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS6.p1.2.m2.1d">italic_α</annotation></semantics></math> improves, the <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S5.SS6.p1.3.1">EPB</span> decreases and the reliability of the solutions is enhanced. This indicates that the incumbent solution progressively moves towards the optimal <math alttext="\alpha^{*}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS6.p1.3.m3.1"><semantics id="S5.SS6.p1.3.m3.1a"><msup id="S5.SS6.p1.3.m3.1.1" xref="S5.SS6.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S5.SS6.p1.3.m3.1.1.2" xref="S5.SS6.p1.3.m3.1.1.2.cmml">α</mi><mo id="S5.SS6.p1.3.m3.1.1.3" xref="S5.SS6.p1.3.m3.1.1.3.cmml">∗</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS6.p1.3.m3.1b"><apply id="S5.SS6.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.SS6.p1.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS6.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.SS6.p1.3.m3.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.SS6.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.SS6.p1.3.m3.1.1.2">𝛼</ci><times id="S5.SS6.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S5.SS6.p1.3.m3.1.1.3"></times></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS6.p1.3.m3.1c">\alpha^{*}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS6.p1.3.m3.1d">italic_α start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. Once the preset accuracy threshold is met, the incumbent solution is considered sufficiently optimal.</p> </div> <figure class="ltx_table" id="S5.T3"> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_table">Table III: </span>Accuracy of the optimal solutions</figcaption> <div class="ltx_inline-block ltx_align_center ltx_transformed_outer" id="S5.T3.2" style="width:222.5pt;height:63pt;vertical-align:-0.0pt;"><span class="ltx_transformed_inner" style="transform:translate(-47.7pt,13.5pt) scale(0.7,0.7) ;"> <table class="ltx_tabular ltx_guessed_headers ltx_align_middle" id="S5.T3.2.2"> <thead class="ltx_thead"> <tr class="ltx_tr" id="S5.T3.2.2.2"> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_column ltx_border_tt" id="S5.T3.2.2.2.3">Iterations</th> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_column ltx_border_tt" id="S5.T3.1.1.1.1">Incumbent <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T3.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S5.T3.1.1.1.1.m1.1a"><mi id="S5.T3.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S5.T3.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T3.1.1.1.1.m1.1b"><ci id="S5.T3.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.T3.1.1.1.1.m1.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T3.1.1.1.1.m1.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T3.1.1.1.1.m1.1d">italic_α</annotation></semantics></math> </th> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_column ltx_border_tt" id="S5.T3.2.2.2.2">Range of <math alttext="\alpha^{*}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T3.2.2.2.2.m1.1"><semantics id="S5.T3.2.2.2.2.m1.1a"><msup id="S5.T3.2.2.2.2.m1.1.1" xref="S5.T3.2.2.2.2.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.T3.2.2.2.2.m1.1.1.2" xref="S5.T3.2.2.2.2.m1.1.1.2.cmml">α</mi><mo id="S5.T3.2.2.2.2.m1.1.1.3" xref="S5.T3.2.2.2.2.m1.1.1.3.cmml">∗</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T3.2.2.2.2.m1.1b"><apply id="S5.T3.2.2.2.2.m1.1.1.cmml" xref="S5.T3.2.2.2.2.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.T3.2.2.2.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.T3.2.2.2.2.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.T3.2.2.2.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.T3.2.2.2.2.m1.1.1.2">𝛼</ci><times id="S5.T3.2.2.2.2.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.T3.2.2.2.2.m1.1.1.3"></times></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T3.2.2.2.2.m1.1c">\alpha^{*}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T3.2.2.2.2.m1.1d">italic_α start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> </th> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_column ltx_border_tt" id="S5.T3.2.2.2.4"> <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S5.T3.2.2.2.4.1">EPB</span> ($)</th> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_column ltx_border_tt" id="S5.T3.2.2.2.5">Reliability</th> </tr> </thead> <tbody class="ltx_tbody"> <tr class="ltx_tr" id="S5.T3.2.2.3.1"> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T3.2.2.3.1.1">1</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T3.2.2.3.1.2">0.6</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T3.2.2.3.1.3">[0.60,0.69]</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T3.2.2.3.1.4">223453</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T3.2.2.3.1.5">96%</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S5.T3.2.2.4.2"> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T3.2.2.4.2.1">2</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T3.2.2.4.2.2">0.66</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T3.2.2.4.2.3">[0.660,0.669]</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T3.2.2.4.2.4">223434</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T3.2.2.4.2.5">98%</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S5.T3.2.2.5.3"> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T3.2.2.5.3.1">3</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T3.2.2.5.3.2">0.665</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T3.2.2.5.3.3">[0.6650,0.6659]</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T3.2.2.5.3.4">223421</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T3.2.2.5.3.5">98%</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S5.T3.2.2.6.4"> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_bb ltx_border_t" id="S5.T3.2.2.6.4.1">4</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_bb ltx_border_t" id="S5.T3.2.2.6.4.2">0.6651</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_bb ltx_border_t" id="S5.T3.2.2.6.4.3">[0.66510,0.66519]</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_bb ltx_border_t" id="S5.T3.2.2.6.4.4">223404</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_bb ltx_border_t" id="S5.T3.2.2.6.4.5">98%</td> </tr> </tbody> </table> </span></div> </figure> </section> </section> <section class="ltx_section" id="S6"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">VI </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps" id="S6.1.1">Conclusion</span> </h2> <div class="ltx_para" id="S6.p1"> <p class="ltx_p" id="S6.p1.1">This paper proposes a CL-DIGDT framework for the two-stage optimal operation of distribution networks. The proposed method incorporates a confidence level to capture the asymmetric characteristics of uncertainties and to maximize the risk-averse capability of the operational scheme in a probabilistic manner. The IDM is used to construct the ambiguity sets for solar power and load demands, thereby reducing the dependence on precise CDFs. An iterative method is introduced to solve the proposed optimization model.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S6.p2"> <p class="ltx_p" id="S6.p2.1">The results illustrate that, as data size increases, the ambiguity sets and confidence level-driven uncertainty sets become more accurate. As additional budget is allocated, the risk-averse capability of the solution obtained by CL-DIGDT increases linearly but eventually plateaus due to the limited dispatchable resources, whereas the corresponding uncertainty sets expand nonlinearly. Post-evaluation demonstrates the operational scheme obtained by the proposed method achieves the best trade-off between economic performance and robustness, with a reduction in the first-stage cost by 0.84% and the second-stage average cost by 6.7%, and the reliability of the solution increased significantly by 8%. The effectiveness of the proposed solution methodology is proved by less <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S6.p2.1.1">EPB</span> and higher reliability with the increased iterations.</p> </div> </section> <section class="ltx_bibliography" id="bib"> <h2 class="ltx_title ltx_title_bibliography">References</h2> <ul class="ltx_biblist"> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib1"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[1]</span> <span class="ltx_bibblock"> J. Hu, X. Liu, M. Shahidehpour, and S. 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