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<span class="vector-toc-numb">1.1</span> <span>Definição</span> </div> </a> <ul id="toc-Definição-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Primeiros_exemplos" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Primeiros_exemplos"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.2</span> <span>Primeiros exemplos</span> </div> </a> <ul id="toc-Primeiros_exemplos-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Ideais_e_Espectro" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Ideais_e_Espectro"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>Ideais e Espectro</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Ideais_e_Espectro-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Alternar a subsecção Ideais e Espectro</span> </button> <ul id="toc-Ideais_e_Espectro-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Ideais_e_anel_quociente" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Ideais_e_anel_quociente"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.1</span> <span>Ideais e anel quociente</span> </div> </a> <ul id="toc-Ideais_e_anel_quociente-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Localizações" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Localizações"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.2</span> <span>Localizações</span> </div> </a> <ul id="toc-Localizações-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Ideais_primos_e_o_espectro" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Ideais_primos_e_o_espectro"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.3</span> <span>Ideais primos e o espectro</span> </div> </a> <ul id="toc-Ideais_primos_e_o_espectro-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Homomorfismos_de_anéis" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Homomorfismos_de_anéis"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>Homomorfismos de anéis</span> </div> </a> <ul id="toc-Homomorfismos_de_anéis-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Módulos" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Módulos"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>Módulos</span> </div> </a> <ul id="toc-Módulos-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Anéis_noetherianos" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Anéis_noetherianos"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>Anéis noetherianos</span> </div> </a> <ul id="toc-Anéis_noetherianos-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Dimensão" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Dimensão"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>Dimensão</span> </div> </a> <ul id="toc-Dimensão-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Construindo_anéis_comutativos" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Construindo_anéis_comutativos"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>Construindo anéis comutativos</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Construindo_anéis_comutativos-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Alternar a subsecção Construindo anéis comutativos</span> </button> <ul id="toc-Construindo_anéis_comutativos-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Completamentos" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Completamentos"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7.1</span> <span>Completamentos</span> </div> </a> <ul id="toc-Completamentos-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Propriedades" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Propriedades"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8</span> <span>Propriedades</span> </div> </a> <ul id="toc-Propriedades-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Referências" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Referências"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9</span> <span>Referências</span> </div> </a> <ul id="toc-Referências-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Conteúdo" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" title="Índice" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Alternar o índice" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Alternar o índice</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Anel comutativo</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Ir para um artigo noutra língua. Disponível em 36 línguas" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-36" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">36 línguas</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%AD%D9%84%D9%82%D8%A9_%D8%AA%D8%A8%D8%A7%D8%AF%D9%84%D9%8A%D8%A9" title="حلقة تبادلية — árabe" lang="ar" hreflang="ar" data-title="حلقة تبادلية" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="árabe" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/Aniellu_conmutativu" title="Aniellu conmutativu — asturiano" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Aniellu conmutativu" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="asturiano" class="interlanguage-link-target"><span>Asturianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ba mw-list-item"><a href="https://ba.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BC%D1%83%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2_%D2%A1%D1%83%D0%BB%D1%81%D0%B0" title="Коммутатив ҡулса — bashkir" lang="ba" hreflang="ba" data-title="Коммутатив ҡулса" data-language-autonym="Башҡортса" data-language-local-name="bashkir" class="interlanguage-link-target"><span>Башҡортса</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Anell_commutatiu" title="Anell commutatiu — catalão" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Anell commutatiu" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="catalão" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Komutativn%C3%AD_okruh" title="Komutativní okruh — checo" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Komutativní okruh" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="checo" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Kommutativ_ring" title="Kommutativ ring — dinamarquês" lang="da" hreflang="da" data-title="Kommutativ ring" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="dinamarquês" class="interlanguage-link-target"><span>Dansk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de badge-Q70894304 mw-list-item" title=""><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Kommutativer_Ring" title="Kommutativer Ring — alemão" lang="de" hreflang="de" data-title="Kommutativer Ring" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="alemão" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%91%CE%BD%CF%84%CE%B9%CE%BC%CE%B5%CF%84%CE%B1%CE%B8%CE%B5%CF%84%CE%B9%CE%BA%CF%8C%CF%82_%CE%B4%CE%B1%CE%BA%CF%84%CF%8D%CE%BB%CE%B9%CE%BF%CF%82" title="Αντιμεταθετικός δακτύλιος — grego" lang="el" hreflang="el" data-title="Αντιμεταθετικός δακτύλιος" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="grego" class="interlanguage-link-target"><span>Ελληνικά</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Commutative_ring" title="Commutative ring — inglês" lang="en" hreflang="en" data-title="Commutative ring" data-language-autonym="English" data-language-local-name="inglês" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Komuta_ringo" title="Komuta ringo — esperanto" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Komuta ringo" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="esperanto" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_conmutativo" title="Anillo conmutativo — espanhol" lang="es" hreflang="es" data-title="Anillo conmutativo" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="espanhol" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Eraztun_trukakor" title="Eraztun trukakor — basco" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Eraztun trukakor" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="basco" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%AD%D9%84%D9%82%D9%87_%D8%AC%D8%A7%D8%A8%D9%87%E2%80%8C%D8%AC%D8%A7%DB%8C%DB%8C" title="حلقه جابه‌جایی — persa" lang="fa" hreflang="fa" data-title="حلقه جابه‌جایی" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="persa" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Kommutoiva_rengas" title="Kommutoiva rengas — finlandês" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Kommutoiva rengas" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="finlandês" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Anneau_commutatif" title="Anneau commutatif — francês" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Anneau commutatif" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="francês" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Anel_conmutativo" title="Anel conmutativo — galego" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Anel conmutativo" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="galego" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Komutativni_prsten" title="Komutativni prsten — croata" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Komutativni prsten" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="croata" class="interlanguage-link-target"><span>Hrvatski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Gelanggang_komutatif" title="Gelanggang komutatif — indonésio" lang="id" hreflang="id" data-title="Gelanggang komutatif" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="indonésio" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Anello_commutativo" title="Anello commutativo — italiano" lang="it" hreflang="it" data-title="Anello commutativo" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="italiano" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E7%92%B0" title="可換環 — japonês" lang="ja" hreflang="ja" data-title="可換環" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japonês" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B0%80%ED%99%98%ED%99%98" title="가환환 — coreano" lang="ko" hreflang="ko" data-title="가환환" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="coreano" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Commutatieve_ring" title="Commutatieve ring — neerlandês" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Commutatieve ring" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="neerlandês" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Kommutativ_ring" title="Kommutativ ring — norueguês nynorsk" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Kommutativ ring" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="norueguês nynorsk" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Pier%C5%9Bcie%C5%84_przemienny" title="Pierścień przemienny — polaco" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Pierścień przemienny" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="polaco" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Inel_comutativ" title="Inel comutativ — romeno" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Inel comutativ" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="romeno" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BC%D1%83%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%86%D0%BE" title="Коммутативное кольцо — russo" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Коммутативное кольцо" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="russo" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Komutativni_prsten" title="Komutativni prsten — servo-croata" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Komutativni prsten" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="servo-croata" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Commutative_ring" title="Commutative ring — Simple English" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Commutative ring" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D1%83%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B8_%D0%BF%D1%80%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BD" title="Комутативни прстен — sérvio" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Комутативни прстен" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="sérvio" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Kommutativ_ring" title="Kommutativ ring — sueco" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Kommutativ ring" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="sueco" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%AA%E0%AE%B0%E0%AE%BF%E0%AE%AE%E0%AE%BE%E0%AE%B1%E0%AF%8D%E0%AE%B1%E0%AF%81_%E0%AE%B5%E0%AE%B3%E0%AF%88%E0%AE%AF%E0%AE%AE%E0%AF%8D" title="பரிமாற்று வளையம் — tâmil" lang="ta" hreflang="ta" data-title="பரிமாற்று வளையம்" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="tâmil" class="interlanguage-link-target"><span>தமிழ்</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/De%C4%9Fi%C5%9Fmeli_halka" title="Değişmeli halka — turco" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Değişmeli halka" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="turco" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D1%83%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B5_%D0%BA%D1%96%D0%BB%D1%8C%D1%86%D0%B5" title="Комутативне кільце — ucraniano" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Комутативне кільце" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ucraniano" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/V%C3%A0nh_giao_ho%C3%A1n" title="Vành giao hoán — vietnamita" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Vành giao hoán" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="vietnamita" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%A4%E6%8D%A2%E7%8E%AF" title="交换环 — chinês" lang="zh" hreflang="zh" data-title="交换环" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="chinês" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%A4%E6%8F%9B%E7%92%B0" title="交換環 — cantonês" lang="yue" hreflang="yue" data-title="交換環" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="cantonês" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q858656#sitelinks-wikipedia" title="Editar hiperligações interlínguas" class="wbc-editpage">Editar 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.tmbox{background-color:#2e2505}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .tmbox-speedy{background-color:#310402}}body.skin--responsive .mw-parser-output table.tmbox img{max-width:none!important}</style><table class="box-Mais_notas plainlinks metadata ambox ambox-content ambox-Refimprove" role="presentation"><tbody><tr><td class="mbox-image"><div style="width:52px"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Ficheiro:Question_book-new.svg" class="mw-file-description"><img alt="Esta página cita fontes, mas não cobrem todo o conteúdo" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/99/Question_book-new.svg/50px-Question_book-new.svg.png" decoding="async" width="50" height="39" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/99/Question_book-new.svg/75px-Question_book-new.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/99/Question_book-new.svg/100px-Question_book-new.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="399" /></a></span></div></td><td class="mbox-text"><div class="mbox-text-span">Esta página <a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Livro_de_estilo/Cite_as_fontes" title="Wikipédia:Livro de estilo/Cite as fontes">cita fontes</a>, mas que <b><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:V" class="mw-redirect" title="Wikipédia:V">não cobrem</a> todo o conteúdo</b>.<span class="hide-when-compact"> Ajude a <a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Livro_de_estilo/Refer%C3%AAncias_e_notas_de_rodap%C3%A9" title="Wikipédia:Livro de estilo/Referências e notas de rodapé">inserir referências</a> (<small><i>Encontre fontes:</i> <span class="plainlinks"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://wikipedialibrary.wmflabs.org/">ABW</a>  •  <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.periodicos.capes.gov.br">CAPES</a>  •  <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.google.com/search?as_eq=wikipedia&as_epq=Anel+comutativo">Google</a> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.google.com/search?hl=pt&tbm=nws&q=Anel+comutativo&oq=Anel+comutativo">notícias</a> • <a rel="nofollow" class="external text" href="http://books.google.com/books?&as_brr=0&as_epq=Anel+comutativo">livros</a> • <a rel="nofollow" class="external text" href="https://scholar.google.com/scholar?hl=pt&q=Anel+comutativo">acadêmico</a>)</span></small>).</span> <small class="date-container"><i>(<span class="date">Janeiro de 2015</span>)</i></small></div></td></tr></tbody></table> <p>Em <a href="/wiki/Matem%C3%A1tica" title="Matemática">matemática</a>, mais especificamente em <a href="/wiki/%C3%81lgebra" title="Álgebra">álgebra</a>, um <b>anel comutativo</b> é um <a href="/wiki/Anel_(%C3%A1lgebra)" class="mw-redirect" title="Anel (álgebra)">anel</a> em que a <a href="/wiki/Multiplica%C3%A7%C3%A3o" title="Multiplicação">multiplicação</a> é <a href="/wiki/Comutatividade" title="Comutatividade">comutativa</a>. A área da álgebra que estuda anéis comutativos é chamada <a href="/wiki/%C3%81lgebra_comutativa" title="Álgebra comutativa">álgebra comutativa</a>.<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span>[</span>1<span>]</span></a></sup> </p><p>Alguns tipos de anéis comutativos são listados na seguinte cadeia de inclusão de classes: </p> <dl><dd><b>Anéis Comutativos</b> ⊃ <b><a href="/wiki/Dom%C3%ADnio_de_integridade" title="Domínio de integridade">domínios de integridade</a></b> ⊃ <b><a href="/wiki/Dom%C3%ADnio_integralmente_fechado" title="Domínio integralmente fechado">domínios integralmente fechados</a></b> ⊃ <b><a href="/wiki/Dom%C3%ADnio_de_fatora%C3%A7%C3%A3o_%C3%BAnica" class="mw-redirect" title="Domínio de fatoração única">domínios de fatoração única</a></b> ⊃ <b><a href="/wiki/Dom%C3%ADnio_principal" title="Domínio principal">domínios principais</a></b> ⊃ <b><a href="/wiki/Dom%C3%ADnio_euclidiano" title="Domínio euclidiano">domínio euclidianos</a></b> ⊃ <b><a href="/wiki/Corpo_(matem%C3%A1tica)" title="Corpo (matemática)">corpos</a></b></dd></dl> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Primeiras_definições_e_exemplos"><span id="Primeiras_defini.C3.A7.C3.B5es_e_exemplos"></span>Primeiras definições e exemplos</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Anel_comutativo&veaction=edit&section=1" title="Editar secção: Primeiras definições e exemplos" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Anel_comutativo&action=edit&section=1" title="Editar código-fonte da secção: Primeiras definições e exemplos"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Definição"><span id="Defini.C3.A7.C3.A3o"></span>Definição</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Anel_comutativo&veaction=edit&section=2" title="Editar secção: Definição" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Anel_comutativo&action=edit&section=2" title="Editar código-fonte da secção: Definição"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Um <i>anel</i> é um <a href="/wiki/Conjunto_(matem%C3%A1tica)" class="mw-redirect" title="Conjunto (matemática)">conjunto</a> <i><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"></span></i> munido com duas operações binárias, isto é, que combinam dois elementos de <i><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"></span></i> num único elemento de <i><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"></span></i>. Estas operações são chamadas <i><a href="/wiki/Adi%C3%A7%C3%A3o" title="Adição">adição</a></i> e <i><a href="/wiki/Multiplica%C3%A7%C3%A3o" title="Multiplicação">multiplicação</a></i> e geralmente são denotadas "+" e "⋅", por exemplo <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a+b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a+b}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2391acf09244b9dba74eb940e871a6be7e7973a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.068ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a+b}"></span> e <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\cdot b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\cdot b}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/620419d3ed53abc98659a5fc0f3a5eb6177830ae" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.906ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\cdot b}"></span>. Para formar um anel estas operações devem satisfazer certas propriedades: o anel tem que ser um <a href="/wiki/Grupo_abeliano" title="Grupo abeliano">grupo abeliano</a> sobre a adição e um <a href="/wiki/Monoide" title="Monoide">monoide</a> sobre a multiplicação, com a multiplicação <a href="/wiki/Distributividade" title="Distributividade">distributiva</a> sobre a adição, ou seja, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0969d65db9f1f1097aa4f72bcddac8c46f1ca6ef" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.943ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)}"></span>. As identidades para adição e multiplicação são denotadas por 0 e 1 respectivamente. <sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span>[</span>2<span>]</span></a></sup> </p><p>Se além disso, a multiplicação for comutativa: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <mi>b</mi> <mo>⋅</mo> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a4b7dede7493e0231b3ad6ff9b54f4eae954108" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.911ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}"></span></dd></dl> <p>o anel <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"></span> é chamado <i>comutativo</i>. No resto deste artigo todos os anéis serão comutativos a menos que seja dito o contrário. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Primeiros_exemplos">Primeiros exemplos</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Anel_comutativo&veaction=edit&section=3" title="Editar secção: Primeiros exemplos" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Anel_comutativo&action=edit&section=3" title="Editar código-fonte da secção: Primeiros exemplos"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Um exemplo importante, e em certo sentido crucial, é o anel dos <a href="/wiki/N%C3%BAmeros_inteiros" class="mw-redirect" title="Números inteiros">números inteiros</a> é comutativo <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/449494a083e0a1fda2b61c62b2f09b6bee4633dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.55ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} }"></span> com as operações de adição e multiplicação. Como a multiplicação de inteiros é comutativa, este é um anel comutativo. O anel dos inteiros é denotado normalmente por <b><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/449494a083e0a1fda2b61c62b2f09b6bee4633dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.55ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} }"></span></b> como uma abreviação da palavra <a href="/wiki/L%C3%ADngua_alem%C3%A3" title="Língua alemã">alemã</a> <i>Zahlen</i> (números). </p><p>Um <a href="/wiki/Corpo_(matem%C3%A1tica)" title="Corpo (matemática)">corpo</a> é um anel comutativo no qual todo elemento não-<a href="/wiki/Zero" class="mw-redirect" title="Zero">nulo</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"></span> é invertível; isto é, tem um inverso <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"></span> tal que <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\cdot b=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\cdot b=1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/943794bd7ed5a52298d3c7e44eceea37724e2d1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.167ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\cdot b=1}"></span>. Assim , por definição, qualquer corpo é um anel comutativo. Os <a href="/wiki/N%C3%BAmero_racional" title="Número racional">racionais</a>, <a href="/wiki/N%C3%BAmero_real" title="Número real">reais</a> e os <a href="/wiki/N%C3%BAmero_complexo" title="Número complexo">complexos</a> são corpos. </p><p>O anel das <a href="/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)" title="Matriz (matemática)">matrizes</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\times n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>×</mo> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\times n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59d2b4cb72e304526cf5b5887147729ea259da78" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.63ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n\times n}"></span> não é comutativo para todo <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n>1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>></mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n>1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee74e1cc07e7041edf0fcbd4481f5cd32ad17b64" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n>1}"></span>. De fato o exemplo abaixo mostra que a multiplicação de matrizes <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2\times 2}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> <mo>×</mo> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2\times 2}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8a0e3400ffb97d67c00267ed50cddfe824cbe80" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.165ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2\times 2}"></span> não é comutativa e pode-se fazer exemplos análogos para <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span> maior. </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}2&1\\1&0\\\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}1&2\\1&1\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>2</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>2</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}2&1\\1&0\\\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}1&2\\1&1\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ec56d1fb48ea0152094a2abab6d8eda9bb0a791" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.671ex; width:29.091ex; height:12.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}2&1\\1&0\\\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}1&2\\1&1\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}}"></span></dd></dl> <p>Se <i><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"></span></i> é um anel comutativo dado, então o conjunto de todos os <a href="/wiki/Polin%C3%B4mio" class="mw-redirect" title="Polinômio">polinômios</a> na variável <i>X</i> com coeficientes em <i><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"></span></i> forma o <a href="/wiki/Anel_de_polin%C3%B4mios" title="Anel de polinômios">anel de polinômios</a>, denotado <i>R</i>[<i>X</i>]. O mesmo vale para várias variáveis. </p><p>Se <i>V</i> é algum <a href="/wiki/Espa%C3%A7o_topol%C3%B3gico" title="Espaço topológico">espaço topológico</a>, por exemplo um <a href="/wiki/Subconjunto" title="Subconjunto">subconjunto</a> de algum <b>R</b><sup><i>n</i></sup>, as <a href="/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_cont%C3%ADnua" title="Função contínua">funções contínuas</a> em <i>V</i>, com valores reais ou complexos ou num anel qualquer, formam um anel comutativo. O mesmo é válido para <a href="/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_diferenci%C3%A1vel" title="Função diferenciável">diferenciável</a> ou <a href="/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_holomorfa" title="Função holomorfa">holomorfa</a> no lugar de contínua. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Ideais_e_Espectro">Ideais e Espectro</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Anel_comutativo&veaction=edit&section=4" title="Editar secção: Ideais e Espectro" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Anel_comutativo&action=edit&section=4" title="Editar código-fonte da secção: Ideais e Espectro"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Nesta seção <i>A</i> denota um anel comutativo. </p><p>Em contraste com corpos, onde cada elemento não nulo é invertível, a teoria de anéis é mais complicada. Existem várias noções para lidar com esta situação. Primeiro, um elemento <i>a</i> de <i><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"></span></i> é chamado <a href="/w/index.php?title=Unidade_(%C3%A1lgebra)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Unidade (álgebra) (página não existe)">unidade</a> se ele possui inverso multiplicativo. Um elemento <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"></span> é chamado <a href="/wiki/Divisor_de_zero" title="Divisor de zero">divisor de zero</a> se existe um elemento <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"></span> do anel tal que <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\cdot b=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\cdot b=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4071e9cfdc140c0e0c92a814cd4f758d2a7ed3de" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.167ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\cdot b=0}"></span>. Se <i><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"></span></i> não possui divisores de zero ele é chamado <a href="/wiki/Dom%C3%ADnio_integral" class="mw-redirect" title="Domínio integral">domínio integral</a> pois ele lembra os inteiros sob alguns aspectos. </p><p>Muitas das noções seguintes existem para anéis não necessariamente comutativos, mas as definições e propriedades são geralmente mais complicadas. Por exemplo, todos os ideais à esquerda são também ideais à esquerda e vice-versa, o que simplifica as coisas consideravelmente. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ideais_e_anel_quociente">Ideais e anel quociente</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Anel_comutativo&veaction=edit&section=5" title="Editar secção: Ideais e anel quociente" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Anel_comutativo&action=edit&section=5" title="Editar código-fonte da secção: Ideais e anel quociente"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r69236695">.mw-parser-output .hatnote{font-style:italic}.mw-parser-output div.hatnote{padding-left:1.6em;margin-bottom:0.5em}.mw-parser-output .hatnote i{font-style:normal}.mw-parser-output .hatnote+link+.hatnote{margin-top:-0.5em}</style><div role="note" class="hatnote navigation-not-searchable"><span typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/17px-Magnifying_glass_01.svg.png" decoding="async" width="17" height="17" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/26px-Magnifying_glass_01.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/34px-Magnifying_glass_01.svg.png 2x" data-file-width="663" data-file-height="659" /></span></span> Ver artigos principais: <a href="/wiki/Ideal_(teoria_dos_an%C3%A9is)" title="Ideal (teoria dos anéis)">Ideal</a> e <a href="/wiki/Anel_quociente" title="Anel quociente">Anel quociente</a></div> <p>A estrutura interna de um anel comutativo é determinada considerando seus ideais, isto é, <a href="/wiki/Conjunto" title="Conjunto">conjuntos</a> <a href="/wiki/Conjunto_vazio" title="Conjunto vazio">não-vazios</a> que são fechados sobre a multiplicação com elementos quaisquer do anel e sobre a adição: para todo <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r\in }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> <mo>∈</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r\in }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e38bf7125c64d933b361b5ec1dd0f9692e11f832" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.244ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle r\in }"></span> <i><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"></span></i>, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>i</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}"></span> e <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle j}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>j</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle j}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f461e54f5c093e92a55547b9764291390f0b5d0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.027ex; width:0.985ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle j}"></span> em <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle l}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>l</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle l}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/829091f745070b9eb97a80244129025440a1cfac" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.693ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle l}"></span>, ambos <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ri}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> <mi>i</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ri}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bbaf2ab121a373b9a5c18bcfcadd025bc70860b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.851ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle ri}"></span> e <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i+j}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>i</mi> <mo>+</mo> <mi>j</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i+j}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea2c2b111f44787702a0e16807f7d66b541d1c59" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.601ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle i+j}"></span> estão em <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle l}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>l</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle l}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/829091f745070b9eb97a80244129025440a1cfac" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.693ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle l}"></span>. Dado um <a href="/wiki/Subconjunto" title="Subconjunto">subconjunto</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F=\{f_{j}\}_{j\in J}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msub> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mo>∈</mo> <mi>J</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F=\{f_{j}\}_{j\in J}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45c814e6c24dda6d448f94a418ebb73995bae6c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:12.259ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle F=\{f_{j}\}_{j\in J}}"></span>de <i><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"></span></i> (onde <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle J}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>J</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/359e4f407b49910e02c27c2f52e87a36cd74c053" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.471ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle J}"></span> é um conjunto de índices), o ideal <i>gerado por</i> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}"></span> é o menor ideal que contém <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}"></span>. Equivalentemente, ele é dado pelas <a href="/wiki/Combina%C3%A7%C3%A3o_linear" title="Combinação linear">combinações lineares</a> finitas </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}r_{k}\cdot f_{k}=r_{1}\cdot f_{1}+r_{2}\cdot f_{2}+\cdots +r_{n}\cdot f_{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}r_{k}\cdot f_{k}=r_{1}\cdot f_{1}+r_{2}\cdot f_{2}+\cdots +r_{n}\cdot f_{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c1bc1aefefd45610014a6b85df4248d9366655e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:42.384ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}r_{k}\cdot f_{k}=r_{1}\cdot f_{1}+r_{2}\cdot f_{2}+\cdots +r_{n}\cdot f_{n}}"></span></dd></dl> <p>Um ideal gerado por um único elemento é chamado <a href="/wiki/Ideal_principal" title="Ideal principal">ideal principal</a>. Um anel no qual todos os ideais são principais é chamado um <a href="/wiki/Dom%C3%ADnio_principal" title="Domínio principal">anel de ideais principais</a> ou anel principal ou domínio principal (quando <i><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"></span></i> é domínio). Dois casos importante são <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/449494a083e0a1fda2b61c62b2f09b6bee4633dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.55ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} }"></span> e <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {k} [X]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">k</mi> </mrow> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {k} [X]}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb6f8d8823f8de8196c15f62c9f7d0c1b8d9b872" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.566ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {k} [X]}"></span> , o anel de polinômios sobre o corpo <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {k} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">k</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {k} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21ff8b374f407dec6b1b2f35866c8e8cd0fb150d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.293ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {k} }"></span>. Qualquer anel tem pelo menos dois ideais, a saber o <a href="/w/index.php?title=Ideal_nulo&action=edit&redlink=1" class="new" title="Ideal nulo (página não existe)">ideal nulo</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{0\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>0</mn> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{0\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ff0df9ef65c0572eb676580ce1c02b8ec40f694" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.487ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{0\}}"></span> e o anel inteiro <i><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"></span></i>. Qualquer ideal que não está contido em nenhum ideal <a href="/wiki/Subconjunto_pr%C3%B3prio" class="mw-redirect" title="Subconjunto próprio">próprio</a> (isto é ≠<i><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"></span></i>) é chamado <a href="/w/index.php?title=Ideal_maximal&action=edit&redlink=1" class="new" title="Ideal maximal (página não existe)">ideal maximal</a>. Todo anel possui pelo menos um ideal maximal, isto decorre do <a href="/wiki/Lema_de_Zorn" title="Lema de Zorn">lema de Zorn</a> que é equivalente ao <a href="/wiki/Axioma_da_escolha" title="Axioma da escolha">axioma da escolha</a>. </p><p>A definição de ideais é tal que "quocientando" por <i>I</i> nos dá outro anel, o anel quociente <i>A</i>/<i>I</i>: ele é o conjunto de classes de <i>I</i> junto com as operações </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a+I)+(b+I)=(a+b)+I}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>I</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo>+</mo> <mi>I</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>I</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a+I)+(b+I)=(a+b)+I}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7debba6c9ceb70f061211f7be2fb63cba01144e2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:30.698ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a+I)+(b+I)=(a+b)+I}"></span> e <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a+I)(b+I)=ab+I}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>I</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo>+</mo> <mi>I</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mo>+</mo> <mi>I</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a+I)(b+I)=ab+I}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af558a29cee670a0f48efa63054ddb7ddafdb088" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.208ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a+I)(b+I)=ab+I}"></span></dd></dl> <p>Por exemplo, o anel <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2120ebbc85f91df66c6de5446367bf9fd620844" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.658ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }"></span> (também denotado <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b729c334a9863c47f0b7e3ad61342c2f0881bdb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.769ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}"></span>), onde <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span> é um inteiro, é o anel dos inteiros módulo <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span>. Isto é a base da <a href="/wiki/Aritm%C3%A9tica_modular" title="Aritmética modular">aritmética modular</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Localizações"><span id="Localiza.C3.A7.C3.B5es"></span>Localizações</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Anel_comutativo&veaction=edit&section=6" title="Editar secção: Localizações" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Anel_comutativo&action=edit&section=6" title="Editar código-fonte da secção: Localizações"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r69236695"><div role="note" class="hatnote navigation-not-searchable"><span typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/17px-Magnifying_glass_01.svg.png" decoding="async" width="17" height="17" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/26px-Magnifying_glass_01.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/34px-Magnifying_glass_01.svg.png 2x" data-file-width="663" data-file-height="659" /></span></span> Ver artigo principal: <a href="/w/index.php?title=Localiza%C3%A7%C3%A3o_de_um_anel&action=edit&redlink=1" class="new" title="Localização de um anel (página não existe)">Localização de um anel</a></div> <p>A <i>localização</i> de um anel é em certo sentido o conceito dual do anel quociente. Enquanto no quociente <i><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A/l}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>l</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A/l}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f1284884998427d04c9853380d226fbb5e4eb44" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.599ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A/l}"></span></i> certos elementos (a saber, os elementos de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle l}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>l</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle l}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/829091f745070b9eb97a80244129025440a1cfac" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.693ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle l}"></span>) se tornam zero, na localização certos elementos são tornados invertíveis, isto é, inversos multiplicativos são incluídos no anel. Formalmente, se <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}"></span> é um <a href="/w/index.php?title=Subconjunto_multiplicativamente_fechado&action=edit&redlink=1" class="new" title="Subconjunto multiplicativamente fechado (página não existe)">subconjunto multiplicativamente fechado</a> de <i><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"></span></i> (ou seja, para todos <i>s</i>, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t\in S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>t</mi> <mo>∈</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t\in S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4e4de5cbd0086a33eceb5150ae9c19a73dde4be" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.18ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle t\in S}"></span> tem-se <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle st\in S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>s</mi> <mi>t</mi> <mo>∈</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle st\in S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b19c2f8996820a42480624167a3c7a5673cb0d16" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.27ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle st\in S}"></span>) então a <i>localização</i> de <i><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"></span></i> em <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}"></span>, ou o <i>anel de frações</i> com denominadores em <i><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}"></span></i>, denotada por <i><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S^{-1}A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S^{-1}A}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e889df122c76b0025fc5311c4f298d544d41b6bd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.598ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle S^{-1}A}"></span></i> consiste dos símbolos </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {r}{s}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>r</mi> <mi>s</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {r}{s}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8eed615832363b6ebab6609b7f628281a2cdd9c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:1.927ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {r}{s}}}"></span> com <i><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r\in A,s\in S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> <mo>∈</mo> <mi>A</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> <mo>∈</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r\in A,s\in S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c66e1aa7996629726c636537c244f02899bb06bc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.097ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle r\in A,s\in S}"></span></i></dd></dl> <p>sujeitos a certas regras que imitam o cancelamento familiar dos números racionais. De fato, nesta linguagem <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Q} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Q</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Q} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5909f0b54e4718fa24d5fd34d54189d24a66e9a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.808ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Q} }"></span> é a localização de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/449494a083e0a1fda2b61c62b2f09b6bee4633dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.55ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} }"></span> em <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/449494a083e0a1fda2b61c62b2f09b6bee4633dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.55ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} }"></span><b><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -\{0\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>0</mn> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -\{0\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/782d91c2e063976d6002f2a14cb5d0d1dee2942b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.296ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle -\{0\}}"></span></b>. Esta construção funciona para qualquer domínio de integridade <i><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"></span></i> no lugar de <b>Z</b>. A localização de <i><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (A-\{0\})^{-1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo>−</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>0</mn> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (A-\{0\})^{-1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69023647728b0f23a67d5b7915a533256b438063" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.213ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (A-\{0\})^{-1}}"></span></i>. <i><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"></span></i> é chamada <a href="/wiki/Corpo_de_fra%C3%A7%C3%B5es" title="Corpo de frações">corpo de frações</a> de <i><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"></span></i>. Se <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}"></span> consiste de potências de um elemento fixado <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"></span>, então a localização é escrita <i><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{f}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{f}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e9cba7c44dc1773496e4ffc9c7e0be19c591369" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.879ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A_{f}}"></span></i>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ideais_primos_e_o_espectro">Ideais primos e o espectro</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Anel_comutativo&veaction=edit&section=7" title="Editar secção: Ideais primos e o espectro" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Anel_comutativo&action=edit&section=7" title="Editar código-fonte da secção: Ideais primos e o espectro"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r69236695"><div role="note" class="hatnote navigation-not-searchable"><span typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/17px-Magnifying_glass_01.svg.png" decoding="async" width="17" height="17" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/26px-Magnifying_glass_01.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/34px-Magnifying_glass_01.svg.png 2x" data-file-width="663" data-file-height="659" /></span></span> Ver artigos principais: <a href="/wiki/Ideal_primo" title="Ideal primo">Ideal primo</a> e <a href="/wiki/Espectro_de_um_anel" title="Espectro de um anel">Espectro de um anel</a></div> <p>Um tipo de ideais particularmente importante são os <i>ideais primos</i>, frequentemente denotados <i>p</i>. Esta noção apareceu quando os algebristas (no século XIX) perceberam que, diferentemente de <b>Z</b>, em muitos anéis não existe <a href="/wiki/Teorema_fundamental_da_aritm%C3%A9tica" title="Teorema fundamental da aritmética">fatoração única em números primos</a>. (Anéis nos quais este resultado vale são chamados <a href="/wiki/Dom%C3%ADnio_de_fatora%C3%A7%C3%A3o_%C3%BAnica" class="mw-redirect" title="Domínio de fatoração única">domínios de fatoração única</a>. )Por definição, um ideal é primo se ele é próprio e é tal que sempre que um produto <i>ab</i> de dois elementos do anel está em <i>p</i>, ao menos um deles está em <i>p</i>.(A conclusão reversa vale para todo anel, por definição) Equivalentemente, o anel quociente <i><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"></span></i>/<i>p</i> é um domínio de integridade. Ainda outra maneira de expressar isto é dizer que o conjunto <i>A</i>\<i>p</i> é multiplicativamente fechado. A localização (<i><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"></span></i> \ <i>p</i>)<sup>−1</sup><i>A</i> é importante o bastante para ter sua própria notação: <i><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{p}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{p}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1ea46c20042fba4142a87ecd1f7c29776a6ce46" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.802ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A_{p}}"></span></i>. Este anel tem um único ideal maximal, a saber <i>pA</i><sub><i>p</i></sub>. Ideais com um único ideal maximal são chamados <a href="/wiki/Anel_local" title="Anel local">anéis locais</a>. </p><p>Todo ideal maximal é primo. Provar que um ideal é primo, ou equivalentemente que um anel não tem divisores de zero pode ser muito difícil. </p> <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Ficheiro:Spec_Z.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/94/Spec_Z.png/400px-Spec_Z.png" decoding="async" width="400" height="67" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/94/Spec_Z.png 1.5x" data-file-width="565" data-file-height="95" /></a><figcaption>Espectro de <b>Z</b>.</figcaption></figure> <p>Ideais primos são o passo chave para interpretar um anel <i>geometricamente</i>, através do <i>espectro do anel</i> <i>Spec A</i>: este é o conjunto de todos os ideais primos de <i>A</i>. Como notado acima cada anel tem pelo menos um ideal maximal e portanto pelo menos um ideal primo, assim o espectro de um anel é não vazio. Se <i>A</i> é um corpo, o único ideal primo é o ideal zero e assim o espectro tem um ponto só. O espectro de <b>Z</b>, no entanto, contém um ponto para o ideal zero e um ponto para cada número primo <i>p</i> (que gera o ideal primo <i>p</i><b>Z</b>). O espectro é munido com uma <a href="/wiki/Topologia_(matem%C3%A1tica)" title="Topologia (matemática)">topologia (matemática)</a> chamada <a href="/wiki/Topologia_de_Zariski" title="Topologia de Zariski">Topologia de Zariski</a>, que é determinada especificando os subconjuntos <i>D</i>(<i>f</i>)={<i>p</i> ∈ <i>Spec A</i>, <i>f</i> ∉ <i>p</i>}, onde <i>f</i> é qualquer elemento do anel, como abertos. Esta topologia tende a ser diferente da encontrada em <a href="/wiki/An%C3%A1lise_matem%C3%A1tica" title="Análise matemática">análise</a> ou <a href="/wiki/Geometria_diferencial" title="Geometria diferencial">geometria diferencial</a>; por exemplo, existiram pontos que não são fechados. O <a href="/wiki/Fecho_(topologia)" class="mw-redirect" title="Fecho (topologia)">fecho</a> de um <a href="/wiki/Ponto_gen%C3%A9rico" title="Ponto genérico">ponto correspondendo ao ideal zero</a> 0 ⊂ <b>Z</b>, por exemplo, é o espectro inteiro de <b>Z</b>. </p><p>A noção de espectro é a base comum da álgebra comutativa e <a href="/wiki/Geometria_alg%C3%A9brica" title="Geometria algébrica">geometria algébrica</a>. Geometria algébrica procede munindo <i>Spec A</i> com um <a href="/wiki/Feixe_(matem%C3%A1tica)" class="mw-redirect" title="Feixe (matemática)">feixe</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {O}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">O</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {O}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6ae2ed4058fb748a183d9ada8aea50a00d0c89f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.85ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {O}}}"></span> (uma entidade cujos elementos são funções definidas localmente). Um espaço junto com seu feixe é chamado um <a href="/wiki/Esquema_afim" class="mw-redirect" title="Esquema afim">esquema afim</a>. Dado um esquema afim, o anel subjacente <i>A</i> pode ser recuperado como a seção global de do feixe <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {O}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">O</mi> </mrow> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {O}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b72c331152d4ea2b75e0ca22814f6e216e61b476" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.497ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {O}}.}"></span> Além disso, a correspondência um a um entre anéis e esquemas afins também é compatível com os homomorfismos de anéis: qualquer <i>f</i> : <i>A</i> → <i>B</i> induz uma função contínua na direção oposta <i>Spec B</i> → <i>Spec A</i>, <i>q</i> ↦ <i>f</i><sup>−1</sup>(<i>q</i>) , isto é, qualquer ideal primo de <i>B</i> é levado na sua <a href="/wiki/Pr%C3%A9-imagem" class="mw-redirect" title="Pré-imagem">pré-imagem</a> por <i>f</i>, que é um ideal primo de <i>A</i>. </p><p>O espectro também faz precisa a intuição que localização e quociente são conceitos complementares: as aplicações naturais <i>A</i> → <i>A</i><sub><i>f</i></sub> e <i>R</i> → <i>R</i> / <i>fR</i> correspondem, depois de munir o espectro dos anéis em questão com suas topologias de Zariski, a <a href="/wiki/Conjunto_aberto" title="Conjunto aberto">abertos</a> e <a href="/wiki/Conjunto_fechado" title="Conjunto fechado">fechados</a> complementares. </p><p>As <a href="/wiki/Equival%C3%AAncia" class="mw-redirect" title="Equivalência">equivalências</a> das duas categorias acima serve para refletir as propriedades algébricas dos anéis de uma forma geométrica. Esquemas afins são modelos locais para os <a href="/wiki/Esquema" class="mw-disambig" title="Esquema">esquemas</a> da mesma forma que as <a href="/wiki/Variedade_(matem%C3%A1tica)" title="Variedade (matemática)">variedades</a> são dadas localmente por abertos de <b>R</b><sup><i>n</i></sup>. Esquemas são o objeto principal de estudo em geometria algébrica. Assim, muitas noções que se aplicam a anéis e homomorfismos nascem da intuição geométrica. <sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span>[</span>3<span>]</span></a></sup> </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Homomorfismos_de_anéis"><span id="Homomorfismos_de_an.C3.A9is"></span>Homomorfismos de anéis</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Anel_comutativo&veaction=edit&section=8" title="Editar secção: Homomorfismos de anéis" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Anel_comutativo&action=edit&section=8" title="Editar código-fonte da secção: Homomorfismos de anéis"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r69236695"><div role="note" class="hatnote navigation-not-searchable"><span typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/17px-Magnifying_glass_01.svg.png" decoding="async" width="17" height="17" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/26px-Magnifying_glass_01.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/34px-Magnifying_glass_01.svg.png 2x" data-file-width="663" data-file-height="659" /></span></span> Ver artigo principal: <a href="/wiki/Homomorfismo_de_an%C3%A9is" title="Homomorfismo de anéis">Homomorfismo de anéis</a></div> <p>Como ocorre geralmente em álgebra, uma função <i>f</i> entre dois objetos que respeita as estruturas dos objetos em questão é chamada <a href="/wiki/Homomorfismo" title="Homomorfismo">homomorfismo</a>. No caso de anéis, um <i>homomorfismo de anéis</i> é uma aplicação <i>f</i> : <i><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"></span></i> → <i>B</i> tal que </p> <dl><dd><i>f</i>(<i>a</i> + <i>b</i>) = <i>f</i>(<i>a</i>) + <i>f</i>(<i>b</i>), <i>f</i>(<i>ab</i>) = <i>f</i>(<i>a</i>)<i>f</i>(<i>b</i>) e <i>f</i>(1) = 1.</dd></dl> <p>Estas condições garantem que <i>f</i>(0)=0, mas o requerimento que a identidade da multiplicação 1 é preservada sobre <i>f</i> não segue das duas primeiras propriedades. Numa situação destas <i>B</i> é também chamada uma <i>A</i>-álgebra, entendendo que <i>b</i> em <i>B</i> pode ser multiplicado por <i>a</i> de <i>A</i> pondo </p> <dl><dd><i>a</i> · <i>b</i> := <i>f</i>(<i>a</i>) · <i>b</i>.</dd></dl> <p>O <i>núcleo</i> e <i>imagem</i> de <i>f</i> são definidos por nuc(<i>f</i>) = {<i>a</i> ∈ <i>A</i>, <i>f</i>(<i>a</i>) = 0} e im (<i>f</i>) = <i>f</i>(<i>A</i>) = {<i>f</i>(<i>a</i>), <i>a</i> ∈ <i>A</i>}. Ambos núcleo e imagem são <a href="/w/index.php?title=Subanel&action=edit&redlink=1" class="new" title="Subanel (página não existe)">subanéis</a> de <i>A</i> e <i>B</i> respectivamente, mas o núcleo é sempre um ideal de <i>A</i> e a imagem nem sempre é um ideal de <i>B</i>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Módulos"><span id="M.C3.B3dulos"></span>Módulos</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Anel_comutativo&veaction=edit&section=9" title="Editar secção: Módulos" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Anel_comutativo&action=edit&section=9" title="Editar código-fonte da secção: Módulos"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r69236695"><div role="note" class="hatnote navigation-not-searchable"><span typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/17px-Magnifying_glass_01.svg.png" decoding="async" width="17" height="17" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/26px-Magnifying_glass_01.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/34px-Magnifying_glass_01.svg.png 2x" data-file-width="663" data-file-height="659" /></span></span> Ver artigo principal: <a href="/w/index.php?title=M%C3%B3dulo_(matem%C3%A1tica)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Módulo (matemática) (página não existe)">Módulo (matemática)</a></div> <p>A estrutura externa de um anel comutativo é determinada considerando <a href="/wiki/%C3%81lgebra_linear" title="Álgebra linear">álgebra linear</a> sobre este anel, ou seja, investigando a teoria de <a href="/w/index.php?title=M%C3%B3dulo_(matem%C3%A1tica)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Módulo (matemática) (página não existe)">módulos</a>, que são similares a <a href="/wiki/Espa%C3%A7o_vetorial" title="Espaço vetorial">espaços vetoriais</a>, exceto pelo fato que a base não precisa ser necessariamente um corpo, mas podendo ser um anel <i>A</i>. A teoria dos <i>A</i>-módulos é significativamente mais complicada que a álgebra linear dos espaços vetoriais. Teoria de módulos tem dificuldades tais como módulos que não tem bases, módulos com <a href="/w/index.php?title=Posto_de_um_m%C3%B3dulo_livre&action=edit&redlink=1" class="new" title="Posto de um módulo livre (página não existe)">posto</a> (análogo à dimensão dos espaços vetoriais) que pode não ser bem definido e com submódulos de um módulo finitamente gerado que não são finitamente gerados (a menos que <i>A</i> seja noetheriano). </p><p>Ideais em um anel <i>A</i> podem ser caracterizados como os <i>A</i>-módulos que são submódulos de <i>A</i>. Por outro lado, um bom entendimento dos <i>A</i>-módulos precisa de informação suficiente a respeito de <i>A</i>. Reciprocamente, no entanto, várias técnicas de álgebra comutativa que estudam a estrutura de <i>A</i> examinando seus ideais, procedem estudando seus módulos em geral. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anéis_noetherianos"><span id="An.C3.A9is_noetherianos"></span>Anéis noetherianos</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Anel_comutativo&veaction=edit&section=10" title="Editar secção: Anéis noetherianos" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Anel_comutativo&action=edit&section=10" title="Editar código-fonte da secção: Anéis noetherianos"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r69236695"><div role="note" class="hatnote navigation-not-searchable"><span typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/17px-Magnifying_glass_01.svg.png" decoding="async" width="17" height="17" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/26px-Magnifying_glass_01.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/34px-Magnifying_glass_01.svg.png 2x" data-file-width="663" data-file-height="659" /></span></span> Ver artigo principal: <a href="/wiki/Anel_noetheriano" title="Anel noetheriano">Anel noetheriano</a></div> <p>Um anel é chamado <i>Noetheriano</i> (em homenagem a <a href="/wiki/Emmy_Noether" title="Emmy Noether">Emmy Noether</a>, que desenvolveu este conceito) se cada cadeia ascendente de ideais </p> <dl><dd>0 ⊆ <i>I</i><sub>0</sub> ⊆ <i>I</i><sub>1</sub> ... ⊆ <i>I</i><sub><i>n</i></sub> ⊆ <i>I</i><sub><i>n</i> + 1</sub> ⊆ ...</dd></dl> <p>é estacionária, ou seja, fica constante depois de algum índice <i>n</i>. Equivalentemente, qualquer ideal é finitamente gerado, ou, ainda equivalentemente, se submódulos de módulos finitamente gerados são finitamente gerados. Um anel é chamado <i><a href="/wiki/Anel_artiniano" title="Anel artiniano">Artiniano</a></i> (em homenagem a <a href="/wiki/Emil_Artin" title="Emil Artin">Emil Artin</a>) se cada cadeia descendente de ideais </p> <dl><dd><i>A</i> ⊇ <i>I</i><sub>0</sub> ⊇ <i>I</i><sub>1</sub> ... ⊇ <i>I</i><sub><i>n</i></sub> ⊇ <i>I</i><sub><i>n</i> + 1</sub> ⊇ ...</dd></dl> <p>é estacionária. Apesar das duas condições parecerem simétricas, anéis noetherianos são muito mais gerais do que anéis artinianos. Por exemplo, <b>Z</b> é noetheriano, pois cada ideal pode ser gerado por um elemento, mas não é artiniano, como mostra a seguinte cadeia </p> <dl><dd><b>Z</b> ⊋ 2<b>Z</b> ⊋ 4<b>Z</b> ⊋ 8<b>Z</b> ⊋ ... .</dd></dl> <p>Na verdade, todo anel artiniano é noetheriano. </p><p>Ser noetheriano é uma condição de finitude extremamente importante. A condição é preservada sobre operações que ocorrem frequentemente em geometria algébrica: se <i>A</i> é noetheriano, então também é noetheriano o anel de polinômios <span style="white-space:nowrap;"><i>A</i>[<i>X</i><sub>1</sub>, <i>X</i><sub>2</sub>, ..., <i>X</i><sub><i>n</i></sub>]</span> (pelo <a href="/wiki/Teorema_da_base_de_Hilbert" title="Teorema da base de Hilbert">Teorema da base de Hilbert</a>), qualquer localização <i>S</i><sup>−1</sup><i>A</i> e qualquer quociente <i>A</i>/<i>I</i>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Dimensão"><span id="Dimens.C3.A3o"></span>Dimensão</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Anel_comutativo&veaction=edit&section=11" title="Editar secção: Dimensão" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Anel_comutativo&action=edit&section=11" title="Editar código-fonte da secção: Dimensão"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r69236695"><div role="note" class="hatnote navigation-not-searchable"><span typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/17px-Magnifying_glass_01.svg.png" decoding="async" width="17" height="17" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/26px-Magnifying_glass_01.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/34px-Magnifying_glass_01.svg.png 2x" data-file-width="663" data-file-height="659" /></span></span> Ver artigo principal: <a href="/w/index.php?title=Dimens%C3%A3o_de_Krull&action=edit&redlink=1" class="new" title="Dimensão de Krull (página não existe)">Dimensão de Krull</a></div> <p>A <i>dimensão de Krull</i> (ou simplesmente dimensão) <i>dim A</i> de um anel <i>A</i> é uma noção da medida do "tamanho" de um anel, grosso modo, contando os elementos independentes em <i>A</i>. Precisamente, ela é definida como o supremo dos comprimentos <i>n</i> das cadeias de ideais primos </p> <dl><dd>0 ⊆ <i>p</i><sub>0</sub> ⊆ <i>p</i><sub>1</sub> ⊆ ... ⊆ <i>p</i><sub><i>n</i></sub>.</dd></dl> <p>Por exemplo, um corpo tem dimensão zero, pois seu único ideal primo é o ideal nulo. Também é conhecido que um anel comutativo é artiniano se, e só se, ele é noetheriano e tem dimensão zero (ou seja, todos os seus ideais primos são maximais). Os inteiros tem dimensão 1: qualquer cadeia de ideais primos é da forma </p> <dl><dd>0 = <i>p</i><sub>0</sub> ⊆ <i>p</i><b>Z</b> = <i>p</i><sub>1</sub>, onde <i>p</i> é um <a href="/wiki/N%C3%BAmero_primo" title="Número primo">número primo</a></dd></dl> <p>pois cada ideal em <b>Z</b> é principal. </p><p>A dimensão se comporta bem se os anéis em questão são noetherianos: a igualdade esperada </p> <dl><dd>dim <i>A</i>[<i>X</i>] = dim <i>A</i> +1</dd></dl> <p>se verifica neste caso (em geral, só se tem <i>A</i> + 1 ≤ dim <i>A</i>[<i>X</i>] ≤ 2 · dim <i>A</i> + 1). Além disso, como a dimensão depende apenas da cadeia maximal, a dimensão de <i>A</i> é o supremo de todas as dimensões das localizações <i>A</i><sub><i>p</i></sub>, onde <i>p</i> é um ideal primo arbitrário. Intuitivamente, a dimensão de <i>A</i> é uma propriedade local do espectro de <i>A</i>. Assim, a dimensão é frequentemente considerada apenas para anéis locais, também como anéis noetherianos em geral podem ter dimensão infinita, mesmo com suas localizações tendo dimensão finita. </p><p>Determinar a dimensão de, digamos, </p> <dl><dd><i>k</i>[<i>X</i><sub>1</sub>, <i>X</i><sub>2</sub>, ..., <i>X</i><sub><i>n</i></sub>] / (<i>f</i><sub>1</sub>, <i>f</i><sub>2</sub>, ..., <i>f</i><sub><i>m</i></sub>), onde <i>k</i> é um corpo e os <i>f</i><sub><i>i</i></sub> são polinômios em <i>n</i> variáveis,</dd></dl> <p>não é fácil em geral. Para <i>A</i> noetheriano, a dimensão cai o quanto possível, isto é, dim <i>A</i>/<i>I</i> = dim <i>A</i> -<i>n</i>, e <i>A</i>/<i>I</i> é chamado uma <a href="/w/index.php?title=Interse%C3%A7%C3%A3o_completa&action=edit&redlink=1" class="new" title="Interseção completa (página não existe)">interseção completa</a>. </p><p>Um anel local <i>A</i>, ou seja, com um único ideal maximal <i>m</i>, é chamado <a href="/w/index.php?title=Anel_local_regular&action=edit&redlink=1" class="new" title="Anel local regular (página não existe)">regular</a>, se a sua dimensão (de Krull) é igual à dimensão (como espaço vetorial sobre o corpo <i>A</i>/<i>m</i>) do espaço cotangente <i>m</i>/<i>m</i><sup>2</sup>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Construindo_anéis_comutativos"><span id="Construindo_an.C3.A9is_comutativos"></span>Construindo anéis comutativos</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Anel_comutativo&veaction=edit&section=12" title="Editar secção: Construindo anéis comutativos" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Anel_comutativo&action=edit&section=12" title="Editar código-fonte da secção: Construindo anéis comutativos"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Existem diversas maneiras de construir novos anéis a partir de outros já conhecidos. O objetivo de tais construções é geralmente melhorar certas propriedades do anel e assim tornar ele mais compreensível. Por exemplo, um domínio de integridade que é <a href="/w/index.php?title=Integralmente_fechado&action=edit&redlink=1" class="new" title="Integralmente fechado (página não existe)">integralmente fechado</a> no seu <a href="/wiki/Corpo_de_fra%C3%A7%C3%B5es" title="Corpo de frações">corpo de frações</a> é chamado <a href="/w/index.php?title=Anel_normal&action=edit&redlink=1" class="new" title="Anel normal (página não existe)">normal</a>. Esta é uma propriedade desejável, por exemplo qualquer anel normal de dimensão 1 é necessariamente <a href="/w/index.php?title=Anel_regular&action=edit&redlink=1" class="new" title="Anel regular (página não existe)">regular</a>. O processo de tornar um anel normal é conhecido como normalização. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Completamentos">Completamentos</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Anel_comutativo&veaction=edit&section=13" title="Editar secção: Completamentos" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Anel_comutativo&action=edit&section=13" title="Editar código-fonte da secção: Completamentos"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Se <i>I</i> é um ideal num anel comutativo <i>A</i>, as potências de <i>I</i> formam uma <a href="/wiki/Vizinhan%C3%A7a_(topologia)" class="mw-redirect" title="Vizinhança (topologia)">vizinhança topológica</a> de <i>0</i> que permite que <i>A</i> seja visto como um <a href="/wiki/Anel_topol%C3%B3gico" title="Anel topológico">anel topológico</a>. <i>A</i> pode ser então completado com respeito a esta topologia. Formalmente, o completamento <i>I</i>-ádico é o <a href="/w/index.php?title=Limite_inverso&action=edit&redlink=1" class="new" title="Limite inverso (página não existe)">limite inverso</a> dos anéis <i>A</i>/<i>I</i><sup> n</sup>. Por exemplo, se <i>k</i> é um corpo, <i>k</i><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [[X]],}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [[X]],}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f5514a724f8516e2767e8d48ac85d6de8036d64" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.214ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [[X]],}"></span> o anel das <a href="/wiki/S%C3%A9rie_de_pot%C3%AAncia_formal" title="Série de potência formal">séries de potências formais</a> em uma variável sobre <i>k</i>, é o completamento <i>I</i>-ádico de <i>k</i>[<i>X</i>] onde <i>I</i> é o ideal principal gerado por <i>X</i>. Analogamente, o anel dos inteiros <i>p</i>-ádicos é o completamento <i>I</i>-ádico de <b>Z</b> onde <i>I</i> é o ideal principal gerado por <i>p</i>. Qualquer anel que é isomorfo ao seu completamento é chamado <a href="/w/index.php?title=Anel_completo&action=edit&redlink=1" class="new" title="Anel completo (página não existe)">completo</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Propriedades">Propriedades</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Anel_comutativo&veaction=edit&section=14" title="Editar secção: Propriedades" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Anel_comutativo&action=edit&section=14" title="Editar código-fonte da secção: Propriedades"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Pelo <a href="/wiki/Teorema_de_Wedderburn" title="Teorema de Wedderburn">Teorema de Wedderburn</a>, cada <a href="/wiki/Anel_de_divis%C3%A3o" class="mw-redirect" title="Anel de divisão">anel de divisão</a> finito é comutativo, e portanto é um <a href="/wiki/Corpo_finito" title="Corpo finito">corpo finito</a>. Outra condição que garante a comutatividade de um anel, devido a <a href="/wiki/Nathan_Jacobson" title="Nathan Jacobson">Jacobson</a>, é a seguinte: para cada elemento <i>r</i> de <i>A</i> existe um inteiro <span style="white-space:nowrap;"><i>n</i> > 1</span> tal que <span style="white-space:nowrap;"><i>r</i><sup><i>n</i></sup> = <i>r</i></span>. Se, <i>r</i><sup>2</sup> = <i>r</i> para cada <i>r</i>, o anel é chamado de <a href="/wiki/Anel_booliano" title="Anel booliano">anel booliano</a>. Condições mais gerais que garantem que um anel é comutativo também são conhecidas. </p> <h2 id="Referências" style="cursor: help;" title="Esta seção foi configurada para não ser editável diretamente. Edite a página toda ou a seção anterior em vez disso."><span id="Refer.C3.AAncias"></span>Referências</h2> <div class="reflist" style="list-style-type: decimal;"><div class="mw-references-wrap"><ol class="references"> <li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text">Atiyah Macdonald , "Introdution to Commutative Algebra" ,Hardcover 1969, <a href="/wiki/Especial:Fontes_de_livros/0201003619" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 0-201-00361-9</a>; Paperback 1994, <a href="/wiki/Especial:Fontes_de_livros/0201407515" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 0-201-40751-5</a>)</span> </li> <li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text">Arnaldo Garcia e Yves Lequain. Elementos de Álgebra - Rio de Janeiro, IMPA, 2002. 326 páginas (Projeto Euclides), <a href="/wiki/Especial:Fontes_de_livros/9788524401909" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-85-244-0190-9</a></span> </li> <li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite class="citation book"><a href="/wiki/Robin_Hartshorne" title="Robin Hartshorne">Robin Hartshorne</a> (1977). <i><a href="/w/index.php?title=Hartshorne%27s_Algebraic_Geometry&action=edit&redlink=1" class="new" title="Hartshorne's Algebraic Geometry (página não existe)">Algebraic Geometry</a></i>. [S.l.]: <a href="/wiki/Springer_Science%2BBusiness_Media" title="Springer Science+Business Media">Springer-Verlag</a>. <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:Fontes_de_livros/0-387-90244-9" title="Especial:Fontes de livros/0-387-90244-9">0-387-90244-9</a>. <a href="/wiki/Zentralblatt_MATH" title="Zentralblatt MATH">Zbl</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//zbmath.org/?format=complete&q=an:0367.14001">0367.14001</a></cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fpt.wikipedia.org%3AAnel+comutativo&rft.au=Robin+Hartshorne&rft.btitle=Algebraic+Geometry&rft.date=1977&rft.genre=book&rft.isbn=0-387-90244-9&rft.pub=Springer-Verlag&rft_id=%2F%2Fzbmath.org%2F%3Fformat%3Dcomplete%26q%3Dan%3A0367.14001&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span> página 74</span> </li> </ol></div></div>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?useformat=desktop&type=1x1&usesul3=0" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Obtida de "<a dir="ltr" href="https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Anel_comutativo&oldid=54083319">https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Anel_comutativo&oldid=54083319</a>"</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Especial:Categorias" title="Especial:Categorias">Categorias</a>: <ul><li><a href="/wiki/Categoria:%C3%81lgebra_abstrata" title="Categoria:Álgebra abstrata">Álgebra abstrata</a></li><li><a href="/wiki/Categoria:Teoria_dos_an%C3%A9is" title="Categoria:Teoria dos anéis">Teoria dos anéis</a></li><li><a href="/wiki/Categoria:%C3%81lgebra_comutativa" title="Categoria:Álgebra comutativa">Álgebra comutativa</a></li><li><a href="/wiki/Categoria:%C3%81lgebra" title="Categoria:Álgebra">Álgebra</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Categorias ocultas: <ul><li><a href="/wiki/Categoria:!P%C3%A1ginas_que_usam_hiperliga%C3%A7%C3%B5es_m%C3%A1gicas_ISBN" title="Categoria:!Páginas que usam hiperligações mágicas ISBN">!Páginas que usam hiperligações mágicas ISBN</a></li><li><a href="/wiki/Categoria:!Artigos_que_carecem_de_notas_de_rodap%C3%A9_desde_janeiro_de_2015" title="Categoria:!Artigos que carecem de notas de rodapé desde janeiro de 2015">!Artigos que carecem de notas de rodapé desde janeiro de 2015</a></li><li><a href="/wiki/Categoria:!Artigos_de_ci%C3%AAncia_que_carecem_de_notas_de_rodap%C3%A9" title="Categoria:!Artigos de ciência que carecem de notas de rodapé">!Artigos de ciência que carecem de notas de rodapé</a></li><li><a href="/wiki/Categoria:!Artigos_com_predefini%C3%A7%C3%B5es_de_nota_de_cabe%C3%A7alho_direcionados_para_uma_p%C3%A1gina_inexistente" title="Categoria:!Artigos com predefinições de nota de cabeçalho direcionados para uma página inexistente">!Artigos com predefinições de nota de cabeçalho direcionados para uma página inexistente</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> Esta página foi editada pela última vez às 02h48min de 19 de janeiro de 2019.</li> <li id="footer-info-copyright">Este texto é disponibilizado nos termos da licença <a rel="nofollow" class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.pt">Atribuição-CompartilhaIgual 4.0 Internacional (CC BY-SA 4.0) da Creative Commons</a>; pode estar sujeito a condições adicionais. 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