CINXE.COM
Fundamentalgrupp – Wikipedia
<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-disabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available" lang="sv" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Fundamentalgrupp – Wikipedia</title> <script>(function(){var className="client-js vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-disabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )svwikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t."," \t,"],"wgDigitTransformTable":["",""], "wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","januari","februari","mars","april","maj","juni","juli","augusti","september","oktober","november","december"],"wgRequestId":"c586f989-6a61-4f1e-be56-07caeebc1df6","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Fundamentalgrupp","wgTitle":"Fundamentalgrupp","wgCurRevisionId":55007341,"wgRevisionId":55007341,"wgArticleId":220402,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":["Artiklar som behöver källor 2021-06","Alla artiklar märkta med mallen källor","Alla artiklar som behöver källor","Algebraisk topologi","Homotopiteori"],"wgPageViewLanguage":"sv","wgPageContentLanguage":"sv","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Fundamentalgrupp","wgRelevantArticleId":220402,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia", "wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"sv","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"sv"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":10000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":false,"wgVector2022LanguageInHeader":true,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q662830","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={"ext.gadget.babel":"ready","ext.gadget.geo":"ready", "ext.gadget.warnings":"ready","ext.gadget.tags":"ready","ext.gadget.error":"ready","ext.gadget.referenser":"ready","ext.gadget.printonly":"ready","ext.gadget.tables":"ready","ext.gadget.toccolours":"ready","ext.gadget.smallTagFontSize":"ready","ext.gadget.videoPlayButton":"ready","ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.math.styles":"ready","skins.vector.search.codex.styles":"ready","skins.vector.styles":"ready","skins.vector.icons":"ready","ext.wikimediamessages.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["site","mediawiki.page.ready","mediawiki.toc","skins.vector.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.gadget.editsection0","ext.gadget.ProtectionIndicators","ext.gadget.GeoboxLocatorMulti", "ext.gadget.InterwikiBadges","ext.gadget.collapsibleTables","ext.gadget.NewSection","ext.gadget.ExkluderaRobotskapadeSidor","ext.gadget.Nearby","ext.gadget.InterProjectLinks","ext.gadget.cgiircbox","ext.gadget.withJS","ext.gadget.CommonsFileLinks","ext.gadget.tableSorterCollation","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.cx.uls.quick.actions","wikibase.client.vector-2022","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","wikibase.sidebar.tracking"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); }];});});</script> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=sv&modules=ext.math.styles%7Cext.uls.interlanguage%7Cext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript%7Cext.wikimediaBadges%7Cext.wikimediamessages.styles%7Cskins.vector.icons%2Cstyles%7Cskins.vector.search.codex.styles%7Cwikibase.client.init&only=styles&skin=vector-2022"> <script async="" src="/w/load.php?lang=sv&modules=startup&only=scripts&raw=1&skin=vector-2022"></script> <meta name="ResourceLoaderDynamicStyles" content=""> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=sv&modules=ext.gadget.babel%2Cerror%2Cgeo%2Cprintonly%2Creferenser%2CsmallTagFontSize%2Ctables%2Ctags%2Ctoccolours%2CvideoPlayButton%2Cwarnings&only=styles&skin=vector-2022"> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=sv&modules=site.styles&only=styles&skin=vector-2022"> <meta name="generator" content="MediaWiki 1.44.0-wmf.5"> <meta name="referrer" content="origin"> <meta name="referrer" content="origin-when-cross-origin"> <meta name="robots" content="max-image-preview:standard"> <meta name="format-detection" content="telephone=no"> <meta name="viewport" content="width=1120"> <meta property="og:title" content="Fundamentalgrupp – Wikipedia"> <meta property="og:type" content="website"> <link rel="preconnect" href="//upload.wikimedia.org"> <link rel="alternate" media="only screen and (max-width: 640px)" href="//sv.m.wikipedia.org/wiki/Fundamentalgrupp"> <link rel="alternate" type="application/x-wiki" title="Redigera" href="/w/index.php?title=Fundamentalgrupp&action=edit"> <link rel="apple-touch-icon" href="/static/apple-touch/wikipedia.png"> <link rel="icon" href="/static/favicon/wikipedia.ico"> <link rel="search" type="application/opensearchdescription+xml" href="/w/rest.php/v1/search" title="Wikipedia (sv)"> <link rel="EditURI" type="application/rsd+xml" href="//sv.wikipedia.org/w/api.php?action=rsd"> <link rel="canonical" href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Fundamentalgrupp"> <link rel="license" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.sv"> <link rel="alternate" type="application/atom+xml" title="Wikipedia Atom-flöde" href="/w/index.php?title=Special:Senaste_%C3%A4ndringar&feed=atom"> <link rel="dns-prefetch" href="//meta.wikimedia.org" /> <link rel="dns-prefetch" href="//login.wikimedia.org"> </head> <body class="skin--responsive skin-vector skin-vector-search-vue mediawiki ltr sitedir-ltr mw-hide-empty-elt ns-0 ns-subject mw-editable page-Fundamentalgrupp rootpage-Fundamentalgrupp skin-vector-2022 action-view"><a class="mw-jump-link" href="#bodyContent">Hoppa till innehållet</a> <div class="vector-header-container"> <header class="vector-header mw-header"> <div class="vector-header-start"> <nav class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Webbplats"> <div id="vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown vector-main-menu-dropdown vector-button-flush-left vector-button-flush-right" > <input type="checkbox" id="vector-main-menu-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Huvudmeny" > <label id="vector-main-menu-dropdown-label" for="vector-main-menu-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-menu mw-ui-icon-wikimedia-menu"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Huvudmeny</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-main-menu-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-main-menu" class="vector-main-menu vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-main-menu-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="main-menu-pinned" data-pinnable-element-id="vector-main-menu" data-pinned-container-id="vector-main-menu-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-main-menu-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Huvudmeny</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.pin">flytta till sidofältet</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.unpin">dölj</button> </div> <div id="p-navigation" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-navigation" > <div class="vector-menu-heading"> Navigering </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-mainpage-description" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Portal:Huvudsida" title="Besök huvudsidan [z]" accesskey="z"><span>Huvudsida</span></a></li><li id="n-Introduktion" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Introduktion"><span>Introduktion</span></a></li><li id="n-portal" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Deltagarportalen" title="Om projektet, vad du kan göra, var man kan hitta saker"><span>Deltagarportalen</span></a></li><li id="n-Bybrunnen" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Bybrunnen"><span>Bybrunnen</span></a></li><li id="n-recentchanges" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Special:Senaste_%C3%A4ndringar" title="Lista över de senaste ändringarna på wikin [r]" accesskey="r"><span>Senaste ändringarna</span></a></li><li id="n-randompage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Special:Slumpsida" title="Gå till en slumpmässigt vald sida [x]" accesskey="x"><span>Slumpartikel</span></a></li><li id="n-filuppladdning" class="mw-list-item"><a href="//commons.wikimedia.org/wiki/Special:UploadWizard" title="Ladda upp filer till Wikimedia Commons"><span>Ladda upp filer</span></a></li><li id="n-Kontakta-Wikipedia" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Kontakt"><span>Kontakta Wikipedia</span></a></li><li id="n-help" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Hj%C3%A4lp" title="Platsen där du hittar hjälp"><span>Hjälp</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> <a href="/wiki/Portal:Huvudsida" class="mw-logo"> <img class="mw-logo-icon" src="/static/images/icons/wikipedia.png" alt="" aria-hidden="true" height="50" width="50"> <span class="mw-logo-container skin-invert"> <img class="mw-logo-wordmark" alt="Wikipedia" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-wordmark-en.svg" style="width: 7.5em; height: 1.125em;"> <img class="mw-logo-tagline" alt="" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-tagline-sv.svg" width="120" height="13" style="width: 7.5em; height: 0.8125em;"> </span> </a> </div> <div class="vector-header-end"> <div id="p-search" role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-collapses vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box-auto-expand-width vector-search-box"> <a href="/wiki/Special:S%C3%B6k" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only search-toggle" title="Sök i svenskspråkiga Wikipedia [f]" accesskey="f"><span class="vector-icon mw-ui-icon-search mw-ui-icon-wikimedia-search"></span> <span>Sök</span> </a> <div class="vector-typeahead-search-container"> <div class="cdx-typeahead-search cdx-typeahead-search--show-thumbnail cdx-typeahead-search--auto-expand-width"> <form action="/w/index.php" id="searchform" class="cdx-search-input cdx-search-input--has-end-button"> <div id="simpleSearch" class="cdx-search-input__input-wrapper" data-search-loc="header-moved"> <div class="cdx-text-input cdx-text-input--has-start-icon"> <input class="cdx-text-input__input" type="search" name="search" placeholder="Sök på Wikipedia" aria-label="Sök på Wikipedia" autocapitalize="sentences" title="Sök i svenskspråkiga Wikipedia [f]" accesskey="f" id="searchInput" > <span class="cdx-text-input__icon cdx-text-input__start-icon"></span> </div> <input type="hidden" name="title" value="Special:Sök"> </div> <button class="cdx-button cdx-search-input__end-button">Sök</button> </form> </div> </div> </div> <nav class="vector-user-links vector-user-links-wide" aria-label="Personliga verktyg"> <div class="vector-user-links-main"> <div id="p-vector-user-menu-preferences" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-userpage" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Utseende"> <div id="vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown " title="Ändra utseendet på sidans teckenstorlek, bredd och färg" > <input type="checkbox" id="vector-appearance-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Utseende" > <label id="vector-appearance-dropdown-label" for="vector-appearance-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-appearance mw-ui-icon-wikimedia-appearance"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Utseende</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-appearance-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <div id="p-vector-user-menu-notifications" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-overflow" class="vector-menu mw-portlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_sv.wikipedia.org&uselang=sv" class=""><span>Stöd Wikipedia</span></a> </li> <li id="pt-createaccount-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Special:Skapa_konto&returnto=Fundamentalgrupp" title="Du uppmuntras att skapa ett konto och logga in, men det är inte obligatoriskt" class=""><span>Skapa konto</span></a> </li> <li id="pt-login-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Special:Inloggning&returnto=Fundamentalgrupp" title="Inloggning ger tillgång till fler funktioner för den som vill skriva och redigera artiklar. [o]" accesskey="o" class=""><span>Logga in</span></a> </li> </ul> </div> </div> </div> <div id="vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown vector-user-menu vector-button-flush-right vector-user-menu-logged-out" title="Fler alternativ" > <input type="checkbox" id="vector-user-links-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Personliga verktyg" > <label id="vector-user-links-dropdown-label" for="vector-user-links-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-ellipsis mw-ui-icon-wikimedia-ellipsis"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Personliga verktyg</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-personal" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-personal user-links-collapsible-item" title="Användarmeny" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_sv.wikipedia.org&uselang=sv"><span>Stöd Wikipedia</span></a></li><li id="pt-createaccount" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Special:Skapa_konto&returnto=Fundamentalgrupp" title="Du uppmuntras att skapa ett konto och logga in, men det är inte obligatoriskt"><span class="vector-icon mw-ui-icon-userAdd mw-ui-icon-wikimedia-userAdd"></span> <span>Skapa konto</span></a></li><li id="pt-login" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Special:Inloggning&returnto=Fundamentalgrupp" title="Inloggning ger tillgång till fler funktioner för den som vill skriva och redigera artiklar. [o]" accesskey="o"><span class="vector-icon mw-ui-icon-logIn mw-ui-icon-wikimedia-logIn"></span> <span>Logga in</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-user-menu-anon-editor" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-user-menu-anon-editor" > <div class="vector-menu-heading"> Sidor för utloggade redigerare <a href="/wiki/Hj%C3%A4lp:Introduktion" aria-label="Läs mer om redigering"><span>läs mer</span></a> </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Special:Mina_bidrag" title="En lista över redigeringar från denna IP-adress [y]" accesskey="y"><span>Bidrag</span></a></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Special:Min_diskussion" title="Diskussion om redigeringar från det här IP-numret [n]" accesskey="n"><span>Diskussion</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </header> </div> <div class="mw-page-container"> <div class="mw-page-container-inner"> <div class="vector-sitenotice-container"> <div id="siteNotice"><!-- CentralNotice --></div> </div> <div class="vector-column-start"> <div class="vector-main-menu-container"> <div id="mw-navigation"> <nav id="mw-panel" class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Webbplats"> <div id="vector-main-menu-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> </div> </div> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav id="mw-panel-toc" aria-label="Innehåll" data-event-name="ui.sidebar-toc" class="mw-table-of-contents-container vector-toc-landmark"> <div id="vector-toc-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-toc" class="vector-toc vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-toc-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="toc-pinned" data-pinnable-element-id="vector-toc" > <h2 class="vector-pinnable-header-label">Innehåll</h2> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.pin">flytta till sidofältet</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.unpin">dölj</button> </div> <ul class="vector-toc-contents" id="mw-panel-toc-list"> <li id="toc-mw-content-text" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a href="#" class="vector-toc-link"> <div class="vector-toc-text">Inledning</div> </a> </li> <li id="toc-Intuition_och_definition" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Intuition_och_definition"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1</span> <span>Intuition och definition</span> </div> </a> <ul id="toc-Intuition_och_definition-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Exempel" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Exempel"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>Exempel</span> </div> </a> <ul id="toc-Exempel-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Tillämpningsexempel" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Tillämpningsexempel"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>Tillämpningsexempel</span> </div> </a> <ul id="toc-Tillämpningsexempel-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Funktorialitet" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Funktorialitet"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>Funktorialitet</span> </div> </a> <ul id="toc-Funktorialitet-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Relationen_till_första_homologigruppen" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Relationen_till_första_homologigruppen"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>Relationen till första homologigruppen</span> </div> </a> <ul id="toc-Relationen_till_första_homologigruppen-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Besläktade_begrepp" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Besläktade_begrepp"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>Besläktade begrepp</span> </div> </a> <ul id="toc-Besläktade_begrepp-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Externa_länkar" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Externa_länkar"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>Externa länkar</span> </div> </a> <ul id="toc-Externa_länkar-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Innehåll" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Växla innehållsförteckningen" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Växla innehållsförteckningen</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Fundamentalgrupp</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Gå till en artikel på ett annat språk. Tillgänglig på 28 språk" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-28" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">28 språk</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%B2%D9%85%D8%B1%D8%A9_%D8%A3%D8%B3%D8%A7%D8%B3%D9%8A%D8%A9" title="زمرة أساسية – arabiska" lang="ar" hreflang="ar" data-title="زمرة أساسية" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="arabiska" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/Grupu_fundamental" title="Grupu fundamental – asturiska" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Grupu fundamental" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="asturiska" class="interlanguage-link-target"><span>Asturianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ba mw-list-item"><a href="https://ba.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D0%BB%D1%8C_%D1%82%D3%A9%D1%80%D0%BA%D3%A9%D0%BC" title="Фундаменталь төркөм – basjkiriska" lang="ba" hreflang="ba" data-title="Фундаменталь төркөм" data-language-autonym="Башҡортса" data-language-local-name="basjkiriska" class="interlanguage-link-target"><span>Башҡортса</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Grup_fonamental" title="Grup fonamental – katalanska" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Grup fonamental" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="katalanska" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Fundament%C3%A1ln%C3%AD_grupa" title="Fundamentální grupa – tjeckiska" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Fundamentální grupa" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="tjeckiska" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalgruppe" title="Fundamentalgruppe – tyska" lang="de" hreflang="de" data-title="Fundamentalgruppe" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="tyska" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_group" title="Fundamental group – engelska" lang="en" hreflang="en" data-title="Fundamental group" data-language-autonym="English" data-language-local-name="engelska" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Grupo_fundamental" title="Grupo fundamental – spanska" lang="es" hreflang="es" data-title="Grupo fundamental" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="spanska" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Oinarrizko_talde" title="Oinarrizko talde – baskiska" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Oinarrizko talde" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="baskiska" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%DA%AF%D8%B1%D9%88%D9%87_%D8%A8%D9%86%DB%8C%D8%A7%D8%AF%DB%8C" title="گروه بنیادی – persiska" lang="fa" hreflang="fa" data-title="گروه بنیادی" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="persiska" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_fondamental" title="Groupe fondamental – franska" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Groupe fondamental" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="franska" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Grupo_fundamental" title="Grupo fundamental – galiciska" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Grupo fundamental" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="galiciska" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B8%B0%EB%B3%B8%EA%B5%B0" title="기본군 – koreanska" lang="ko" hreflang="ko" data-title="기본군" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="koreanska" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Grup_dasar" title="Grup dasar – indonesiska" lang="id" hreflang="id" data-title="Grup dasar" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="indonesiska" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Gruppo_fondamentale" title="Gruppo fondamentale – italienska" lang="it" hreflang="it" data-title="Gruppo fondamentale" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="italienska" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%97%D7%91%D7%95%D7%A8%D7%94_%D7%99%D7%A1%D7%95%D7%93%D7%99%D7%AA" title="חבורה יסודית – hebreiska" lang="he" hreflang="he" data-title="חבורה יסודית" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="hebreiska" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Fundament%C3%A1lis_csoport" title="Fundamentális csoport – ungerska" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Fundamentális csoport" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="ungerska" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Fundamentaalgroep" title="Fundamentaalgroep – nederländska" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Fundamentaalgroep" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="nederländska" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E7%BE%A4" title="基本群 – japanska" lang="ja" hreflang="ja" data-title="基本群" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japanska" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Grupa_podstawowa" title="Grupa podstawowa – polska" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Grupa podstawowa" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="polska" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Grupo_fundamental" title="Grupo fundamental – portugisiska" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Grupo fundamental" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portugisiska" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0" title="Фундаментальная группа – ryska" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Фундаментальная группа" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="ryska" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/Fundamentalna_grupa" title="Fundamentalna grupa – serbiska" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Fundamentalna grupa" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="serbiska" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Temel_grup" title="Temel grup – turkiska" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Temel grup" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="turkiska" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%B0" title="Фундаментальна група – ukrainska" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Фундаментальна група" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ukrainska" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/Nh%C3%B3m_c%C6%A1_b%E1%BA%A3n" title="Nhóm cơ bản – vietnamesiska" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Nhóm cơ bản" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="vietnamesiska" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E7%BE%A3" title="基本羣 – kantonesiska" lang="yue" hreflang="yue" data-title="基本羣" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="kantonesiska" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E7%BE%A4" title="基本群 – kinesiska" lang="zh" hreflang="zh" data-title="基本群" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="kinesiska" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q662830#sitelinks-wikipedia" title="Redigera interwikilänkar" class="wbc-editpage">Redigera länkar</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Namnrymder"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Fundamentalgrupp" title="Visa innehållssidan [c]" accesskey="c"><span>Artikel</span></a></li><li id="ca-talk" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Diskussion:Fundamentalgrupp" rel="discussion" title="Diskussion om innehållssidan [t]" accesskey="t"><span>Diskussion</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input type="checkbox" id="vector-variants-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Ändra språkvariant" > <label id="vector-variants-dropdown-label" for="vector-variants-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">svenska</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-variants" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation" class="vector-collapsible"> <nav aria-label="Visningar"> <div id="p-views" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-views" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Fundamentalgrupp"><span>Läs</span></a></li><li id="ca-ve-edit" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Fundamentalgrupp&veaction=edit" title="Redigera denna sida [v]" accesskey="v"><span>Redigera</span></a></li><li id="ca-edit" class="collapsible vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Fundamentalgrupp&action=edit" title="Redigera wikitexten för den här sidan [e]" accesskey="e"><span>Redigera wikitext</span></a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Fundamentalgrupp&action=history" title="Tidigare versioner av sidan [h]" accesskey="h"><span>Visa historik</span></a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Sidverktyg"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Verktyg" > <label id="vector-page-tools-dropdown-label" for="vector-page-tools-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">Verktyg</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-tools-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-page-tools" class="vector-page-tools vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-page-tools-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="page-tools-pinned" data-pinnable-element-id="vector-page-tools" data-pinned-container-id="vector-page-tools-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-page-tools-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Verktyg</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.pin">flytta till sidofältet</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.unpin">dölj</button> </div> <div id="p-cactions" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-has-collapsible-items" title="Fler alternativ" > <div class="vector-menu-heading"> Åtgärder </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-more-view" class="selected vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/wiki/Fundamentalgrupp"><span>Läs</span></a></li><li id="ca-more-ve-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Fundamentalgrupp&veaction=edit" title="Redigera denna sida [v]" accesskey="v"><span>Redigera</span></a></li><li id="ca-more-edit" class="collapsible vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Fundamentalgrupp&action=edit" title="Redigera wikitexten för den här sidan [e]" accesskey="e"><span>Redigera wikitext</span></a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Fundamentalgrupp&action=history"><span>Visa historik</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> Allmänt </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Special:L%C3%A4nkar_hit/Fundamentalgrupp" title="Lista över alla wikisidor som länkar hit [j]" accesskey="j"><span>Sidor som länkar hit</span></a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Special:Senaste_relaterade_%C3%A4ndringar/Fundamentalgrupp" rel="nofollow" title="Visa senaste ändringarna av sidor som den här sidan länkar till [k]" accesskey="k"><span>Relaterade ändringar</span></a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Special:Specialsidor" title="Lista över alla specialsidor [q]" accesskey="q"><span>Specialsidor</span></a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Fundamentalgrupp&oldid=55007341" title="Permanent länk till den här versionen av sidan"><span>Permanent länk</span></a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Fundamentalgrupp&action=info" title="Mer information om denna sida"><span>Sidinformation</span></a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Special:Citera&page=Fundamentalgrupp&id=55007341&wpFormIdentifier=titleform" title="Information om hur den här artikeln kan användas som referens"><span>Använd som referens</span></a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Special:UrlShortener&url=https%3A%2F%2Fsv.wikipedia.org%2Fwiki%2FFundamentalgrupp"><span>Hämta förkortad url</span></a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Special:QrCode&url=https%3A%2F%2Fsv.wikipedia.org%2Fwiki%2FFundamentalgrupp"><span>Ladda ner QR-kod</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-coll-print_export" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-coll-print_export" > <div class="vector-menu-heading"> Skriv ut/exportera </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Special:Bok&bookcmd=book_creator&referer=Fundamentalgrupp"><span>Skapa en bok</span></a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Special:DownloadAsPdf&page=Fundamentalgrupp&action=show-download-screen"><span>Ladda ned som PDF</span></a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Fundamentalgrupp&printable=yes" title="Utskriftsvänlig version av den här sidan [p]" accesskey="p"><span>Utskriftsvänlig version</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-wikibase-otherprojects" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects" > <div class="vector-menu-heading"> På andra projekt </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-commons mw-list-item"><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Fundamental_group" hreflang="en"><span>Commons</span></a></li><li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q662830" title="Länk till anslutet databasobjekt [g]" accesskey="g"><span>Wikidata-objekt</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Sidverktyg"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Utseende"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Utseende</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">flytta till sidofältet</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">dölj</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">Från Wikipedia</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="sv" dir="ltr"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r51224235">.mw-parser-output table.ambox{margin:0 10%;border-collapse:collapse;background:#fbfbfb;border:1px solid #aaa;border-left:10px solid #608ec2}.mw-parser-output table.ambox th.ambox-text,.mw-parser-output table.ambox td.ambox-text{padding:.25em .5em;width:100%}.mw-parser-output table.ambox td.ambox-image{padding:2px 0 2px .5em;text-align:center;vertical-align:middle}.mw-parser-output table.ambox td.ambox-imageright{padding:2px 4px 2px 0;text-align:center;vertical-align:middle}.mw-parser-output table.ambox-notice{border-left:10px solid #608ec2}.mw-parser-output table.ambox-delete,.mw-parser-output table.ambox-serious{border-left:10px solid #b22222}.mw-parser-output table.ambox-content{border-left:10px solid #f28500}.mw-parser-output table.ambox-style{border-left:10px solid #f4c430}.mw-parser-output table.ambox-merge{border-left:10px solid #9932cc}.mw-parser-output table.ambox-protection{border-left:10px solid #bba}.mw-parser-output .ambox+link+.ambox{border-top-width:0}.mw-parser-output .messagebox{border:1px solid #aaaaaa;background-color:#f8f9fa;width:80%;margin:0 auto 1em auto;padding:.2em}.mw-parser-output .messagebox.merge{border:1px solid #c0b8cc;background-color:#f0e5ff;text-align:center}.mw-parser-output .messagebox.cleanup{border:1px solid #9f9fff;background-color:#efefff;text-align:center}.mw-parser-output .messagebox.standard-talk{border:1px solid #c0c090;background-color:#f8eaba}.mw-parser-output .messagebox.nested-talk{border:1px solid #c0c090;background-color:#f8eaba;width:100%;margin:2px 4px}</style><table class="metadata ambox ambox-content" style=""> <tbody><tr> <td class="ambox-image"> <div style="width:52px;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Fil:Question_book-4.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/64/Question_book-4.svg/40px-Question_book-4.svg.png" decoding="async" width="40" height="31" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/64/Question_book-4.svg/60px-Question_book-4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/64/Question_book-4.svg/80px-Question_book-4.svg.png 2x" data-file-width="262" data-file-height="204" /></a></span></div></td> <td class="ambox-text">Den här artikeln <b>behöver <a href="/wiki/Wikipedia:K%C3%A4llh%C3%A4nvisningar" title="Wikipedia:Källhänvisningar">källhänvisningar</a> för att kunna <a href="/wiki/Wikipedia:Verifierbarhet" title="Wikipedia:Verifierbarhet">verifieras</a>.</b> <small>(2021-06)</small> <br /><small>Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (<a href="/wiki/Wikipedia:Introduktion_till_k%C3%A4llh%C3%A4nvisningar" title="Wikipedia:Introduktion till källhänvisningar">gärna som fotnoter</a>). Uppgifter utan källhänvisning kan <a href="/wiki/Mall:K%C3%A4lla_beh%C3%B6vs" title="Mall:Källa behövs">ifrågasättas</a> och tas bort utan att det behöver diskuteras på <a href="/wiki/Diskussion:Fundamentalgrupp" title="Diskussion:Fundamentalgrupp">diskussionssidan</a>.</small></td> </tr> </tbody></table> <p>Begreppet <b>fundamentalgrupp</b> är ett av de mest grundläggande i <a href="/wiki/Algebraisk_topologi" title="Algebraisk topologi">algebraisk topologi</a>. För varje punkt i ett <a href="/wiki/Topologiskt_rum" class="mw-redirect" title="Topologiskt rum">topologiskt rum</a> finns en fundamentalgrupp, en <a href="/wiki/Grupp_(matematik)" title="Grupp (matematik)">grupp</a> i matematisk mening, som ger information om rummets endimensionella struktur. Fundamentalgruppen är en <a href="/wiki/Topologisk_invariant" class="mw-redirect" title="Topologisk invariant">topologisk invariant</a> och utgör den första <a href="/wiki/Homotopi" title="Homotopi">homotopigruppen</a>. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Intuition_och_definition">Intuition och definition</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Fundamentalgrupp&veaction=edit&section=1" title="Redigera avsnitt: Intuition och definition" class="mw-editsection-visualeditor"><span>redigera</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Fundamentalgrupp&action=edit&section=1" title="Redigera avsnitts källkod: Intuition och definition"><span>redigera wikitext</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Innan vi ger oss på en definition av fundamentalgruppen ska vi försöka ge en mer intuitiv, icke-matematisk beskrivning av grundidén bakom den. </p><p>Tänk dig en underjordisk myrstack med en liten utgång uppe vid markytan. Varje dag ger sig myrorna ut på promenad i olika riktningar. Myrorna är nyfikna kryp med god <a href="/wiki/Orienteringsf%C3%B6rm%C3%A5ga" class="mw-redirect" title="Orienteringsförmåga">orienteringsförmåga</a> - de återvänder aldrig till myrstacken tillbaka längs den väg de kom, men hittar ändå alltid tillbaka hem. Två myror som promenerar parallellt med varandra börjar med tiden slå följe längs med en gemensam bana. Efter en viss tid återstår bara de promenader som åtskiljs av någon form av hinder, exempelvis hål i marken, så att promenaderna inte kan kombineras till en. Varje myrstack, eller punkt i rummet, är associerad med en grupp sådana promenader, eller slingor, som beskriver det omgivande rummets grundläggande struktur - var hålen finns etc. Dessa promenader bildar rummets fundamentalgrupp. </p><p>En mer exakt definition: Låt <i>X</i> vara ett topologiskt rum låt <i>x</i><sub>0</sub> var en punkt i <i>X</i>, och låt som vanligt [0,1] beteckna det slutna <a href="/wiki/Intervall_(matematik)" title="Intervall (matematik)">intervallet</a> av reella tal mellan 0 och 1. Vi betraktar mängden <a href="/wiki/Kontinuerlig_funktion" title="Kontinuerlig funktion">kontinuerliga funktioner</a> <i>f</i> : [0,1] → <i>X</i> med egenskapen <i>f</i>(0) = <i>x</i><sub>0</sub> = <i>f</i>(1). Dessa funktioner kallas <i><a href="/wiki/Sluten_kurva" class="mw-redirect" title="Sluten kurva">slutna kurvor</a></i> eller <i><a href="/w/index.php?title=%C3%96gla_(topologi)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Ögla (topologi) [inte skriven än]">öglor</a></i> med <i>baspunkt</i> <i>x</i><sub>0</sub>. Två sådana öglor, <i>f</i> och <i>g</i>, sägs vara <a href="/wiki/Homotopi" title="Homotopi">homotopa</a> om det finns en kontinuerlig funktion <i>h</i> : [0,1] × [0,1] → <i>X</i> sådan att för alla <i>t</i> i [0,1] är <i>h</i>(<i>t</i>,0) = <i>f</i>(<i>t</i>), <i>h</i>(<i>t</i>,1) = <i>g</i>(<i>t</i>) och <i>h</i>(0,<i>t</i>) = <i>x</i><sub>0</sub> = <i>h</i>(1,<i>t</i>). En funktion <i>h</i> med dessa egenskaper sägs vara en <b>homotopi</b> mellan <i>f</i> och <i>g</i>. Egenskapen "att vara homotop med" utgör en <a href="/wiki/Ekvivalensrelation" title="Ekvivalensrelation">ekvivalensrelation</a>, och de motsvarande ekvivalensklasserna kallas <b>homotopiklasser</b>, och homotopiklassen av <i>f</i> betecknas med [<i>f</i>]. Fundamentalgruppen av <i>X</i> i punkten <i>x</i> består som mängd av alla homotopiklasser av öglor i <i>X</i> med baspunkt <i>x</i>. </p><p>Produkten <i>f</i> * <i>g</i> av två öglor <i>f</i> och <i>g</i> definieras genom att låta (<i>f</i> * <i>g</i>)(t) = <i>f</i>(2<i>t</i>) om <i>t</i> finns i [0,1/2] och (<i>f</i> * <i>g</i>)(t) = <i>g</i>(2<i>t</i>-1) om <i>t</i> finns i [1/2,1]. Detta betyder att öglan <i>f</i> * <i>g</i> först följer öglan <i>f</i> med "dubbla hastigheten" och sedan <i>g</i> med dubbla hastigheten. Produkten av två homotopiklasser av öglor [<i>f</i>] och [<i>g</i>] kan sedan definieras som [<i>f</i> * <i>g</i>]. Man kan visa att en sådan produkt är oberoende av vilka instanser av <i>f</i> och <i>g</i> man väljer, och att produkten uppfyller <a href="/wiki/Grupp_(matematik)" title="Grupp (matematik)">gruppaxiomen</a>. <a href="/wiki/Identitetselement" class="mw-redirect" title="Identitetselement">Identitetselementet</a> är den konstanta avbildningen till baspunkten och <a href="/wiki/Inverst_element" title="Inverst element">inversen</a> uppfyller att [<i>f</i>]<sup>−1</sup> = [<i>g</i>], om <i>g</i>(t) = <i>f</i>(1-t), dvs "en invers av en ögla är öglan genomlupen baklänges". </p><p>Fundamentalgruppen av <i>X</i> i punkten <i>x</i><sub>o</sub> betecknas π<sub>1</sub>(<i>X</i>,<i>x</i><sub>0</sub>) eller enklare π(<i>X</i>,<i>x</i><sub>0</sub>) </p><p>I det allmänna fallet är fundamentalgruppen beroende av vilken baspunkt man väljer, men det visar sig att <a href="/w/index.php?title=Upp_till_isomorfi&action=edit&redlink=1" class="new" title="Upp till isomorfi [inte skriven än]">upp till isomorfi</a> har valet inte någon betydelse om rummet <i>X</i> är <a href="/wiki/Sammanh%C3%A4ngande" class="mw-redirect" title="Sammanhängande">bågvis sammanhängande</a>. För sådana <i>X</i> kan fundamentalgruppen därför definieras utan hänsyn till <i>x</i><sub>0</sub> och därför betecknas π(<i>X</i>) istället för π(<i>X</i>, <i>x</i><sub>0</sub>) utan att tvetydigheter uppstår så länge vi inte skiljer på isomorfa strukturer. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Exempel">Exempel</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Fundamentalgrupp&veaction=edit&section=2" title="Redigera avsnitt: Exempel" class="mw-editsection-visualeditor"><span>redigera</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Fundamentalgrupp&action=edit&section=2" title="Redigera avsnitts källkod: Exempel"><span>redigera wikitext</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>I många rum, som <b>R</b><sup><i>n</i></sup> eller någon konvex delmängd av <b>R</b><sup><i>n</i></sup>, bildar alla öglor en enda homotopiklass och fundamentalgruppen blir därför trivial. Ett bågvis sammanhängande rum med en trivial fundamentalgrupp sägs vara <a href="/wiki/Enkelt_sammanh%C3%A4ngande" class="mw-redirect" title="Enkelt sammanhängande">enkelt sammanhängande</a>. </p><p>Ett intressantare fall är <a href="/wiki/Cirkel" title="Cirkel">cirkeln</a> där varje homotopiklass består av alla öglor som lindar sig runt cirkeln ett visst antal gånger (medurs eller moturs). Produkten av en slinga som lindar sig runt cirkeln <i>m</i> gånger och slingan som lindar sig runt <i>n</i> gånger är en slinga som lindar sig runt <i>m</i> + <i>n</i> gånger. Cirkelns fundamentalgrupp är alltså isomorf med <b>Z</b>, gruppen av alla <a href="/wiki/Heltal" title="Heltal">heltal</a>. Detta faktum kan användas för att hitta bevis för <a href="/wiki/Brouwers_fixpunktssats" title="Brouwers fixpunktssats">Brouwers fixpunktssats</a> och <a href="/w/index.php?title=Borsuk-Ulams_sats&action=edit&redlink=1" class="new" title="Borsuk-Ulams sats [inte skriven än]">Borsuk-Ulams sats</a> i två dimensioner. </p><p>Eftersom fundamentalgruppen är en homotopiinvariant är teorin om det komplexa planets <a href="/wiki/Omloppstal" title="Omloppstal">omloppstal</a> minus en punkt densamma som för cirkeln. </p><p>Till skillnad från <a href="/wiki/Homologi_(matematik)" title="Homologi (matematik)">homologi</a>- och homotopigrupper för topologiska rum av högre dimension, behöver inte fundamentalgruppen vara en <a href="/wiki/Abelsk_grupp" title="Abelsk grupp">abelsk grupp</a>. Till exempel är fundamentalgruppen för en <a href="/wiki/Graf_(grafteori)" title="Graf (grafteori)">graf</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}"></span> en <a href="/w/index.php?title=Fri_grupp&action=edit&redlink=1" class="new" title="Fri grupp [inte skriven än]">fri grupp</a> med <a href="/wiki/Kardinalitet" title="Kardinalitet">kardinalitet</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1-\chi <(G)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>χ<!-- χ --></mi> <mo><</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1-\chi <(G)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca15274babd08a90ee23b0a58a6ae462eab19a0f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.192ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 1-\chi <(G)}"></span>, 1 minus <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}"></span>:s <a href="/wiki/Eulerkarakteristik" title="Eulerkarakteristik">Eulerkarakteristik</a>. Ett mer komplicerat fall av ett rum med en icke-abelsk fundamentalgrupp är <a href="/wiki/Trekl%C3%B6verknut" title="Treklöverknut">treklöverknutens</a> komplement i <b>R</b><sup>3</sup>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Tillämpningsexempel"><span id="Till.C3.A4mpningsexempel"></span>Tillämpningsexempel</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Fundamentalgrupp&veaction=edit&section=3" title="Redigera avsnitt: Tillämpningsexempel" class="mw-editsection-visualeditor"><span>redigera</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Fundamentalgrupp&action=edit&section=3" title="Redigera avsnitts källkod: Tillämpningsexempel"><span>redigera wikitext</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Fundamentalgruppen kan användas som hjälpmedel för att analysera värdet av <a href="/wiki/Kurvintegral" title="Kurvintegral">kurvintegraler</a>, i situationer där nollhomotopa kurvor har integralen noll. </p><p>Ett exempel på detta ger varje analytisk funktion som är definierad i ett <a href="/wiki/B%C3%A5gvis_sammanh%C3%A4ngande" class="mw-redirect" title="Bågvis sammanhängande">bågvis sammanhängande</a> men inte enkelt sammanhängande öppet delområde Ω av det <a href="/wiki/Komplexa_tal" title="Komplexa tal">komplexa talplanet</a>. Integralen för en ögla (<a href="/wiki/Sluten_kurva" class="mw-redirect" title="Sluten kurva">sluten kurva</a>) i Ω beror bara av öglans homotopiklass, och kan därför ofta bestämmas genom listiga val av homotopa öglor; och integralen för kurva mellan olika punkter i Ω bestäms genom att man bestämmer integralen för <i>någon</i> kurva mellan dessa punkter, samt för den slutna kurva som dessa två bestämmer tillsammans. Detta är grunden för <a href="/wiki/Residykalkyl" title="Residykalkyl">residykalkylen</a>. </p><p>Ett annat exempel ger energiförändringen för en punktformig kropp som rör i ett <a href="/w/index.php?title=Fysikaliskt_kraftf%C3%A4lt&action=edit&redlink=1" class="new" title="Fysikaliskt kraftfält [inte skriven än]">fysikaliskt kraftfält</a>, definierat i ett område sådant att varje enkelt sammanhängande delområde är <a href="/w/index.php?title=Konservativt_kraftf%C3%A4lt&action=edit&redlink=1" class="new" title="Konservativt kraftfält [inte skriven än]">konservativt</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Funktorialitet">Funktorialitet</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Fundamentalgrupp&veaction=edit&section=4" title="Redigera avsnitt: Funktorialitet" class="mw-editsection-visualeditor"><span>redigera</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Fundamentalgrupp&action=edit&section=4" title="Redigera avsnitts källkod: Funktorialitet"><span>redigera wikitext</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Om <i>f</i> : <i>X</i> → <i>Y</i> är en kontinuerlig avbildning, <i>x</i><sub>0</sub>∈<i>X</i>, <i>y</i><sub>0</sub>∈<i>Y</i> och <i>f</i>(<i>x</i><sub>0</sub>) = <i>y</i><sub>0</sub>, kan varje slinga i <i>X</i> med baspunkt <i>x</i><sub>0</sub> avbildas med <i>f</i> till en slinga i <i>Y</i> med baspunkt <i>y</i><sub>0</sub>. Denna operation är kompatibel med homotopiekvivalensrelationen och bildandet av slingor, vilket gör att vi får en <a href="/wiki/Homomorfism" class="mw-redirect" title="Homomorfism">grupphomomorfism</a> från π(<i>X</i>, <i>x</i><sub>0</sub>) till π(<i>Y</i>, <i>y</i><sub>0</sub>). Denna homomorfism betecknas π(<i>f</i>) eller <i>f</i><sub>*</sub>. Vi får alltså en <a href="/wiki/Kategoriteori" title="Kategoriteori">funktor</a> från kategorin med topologiska rum med en baspunkt till kategorin med grupper. </p><p>Denna funktor, visar det sig, kan inte urskilja kontinuerliga avbildningar som är <a href="/wiki/Homotopi" title="Homotopi">homotopiska</a> gentemot baspunkten: Om <i>f</i> och <i>g</i> : <i>X</i> → <i>Y</i> är kontinuerliga avbildningar där <i>f</i>(<i>x</i><sub>0</sub>) = <i>g</i>(<i>x</i><sub>0</sub>) = <i>y</i><sub>0</sub>, och <i>f</i> och <i>g</i> är homotopiska visavi <i>x</i><sub>0</sub>, då är <i>f</i><sub>*</sub> = <i>g</i><sub>*</sub>. Följaktligen har två homotopiskt ekvivalenta bågvis sammanhängande rum isomorfa fundamentalgrupper. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Relationen_till_första_homologigruppen"><span id="Relationen_till_f.C3.B6rsta_homologigruppen"></span>Relationen till första homologigruppen</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Fundamentalgrupp&veaction=edit&section=5" title="Redigera avsnitt: Relationen till första homologigruppen" class="mw-editsection-visualeditor"><span>redigera</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Fundamentalgrupp&action=edit&section=5" title="Redigera avsnitts källkod: Relationen till första homologigruppen"><span>redigera wikitext</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Det finns ett samband mellan fundamentalgrupperna hos ett topologiskt rum <i>X</i> och dess första singulära <a href="/wiki/Homologi_(matematik)" title="Homologi (matematik)">homologigrupp</a> eftersom en slinga också är en singulär 1-cykel. En avbildning av varje slingas homotopiklass i baspunkt <i>x</i><sub>0</sub> på slingans homologiklass ger en homomorfism från fundamentalgruppen π(<i>X</i>,<i>x</i><sub>0</sub>) till homologigruppen <i>H</i><sub>1</sub>(<i>X</i>). </p><p>Om <i>X</i> är bågvis sammanhängande är denna homomorfism <a href="/wiki/Surjektiv" class="mw-redirect" title="Surjektiv">surjektiv</a> och dess <a href="/wiki/K%C3%A4rna_(algebra)" class="mw-redirect" title="Kärna (algebra)">kärna</a> är <a href="/w/index.php?title=Kommutatordelgrupp&action=edit&redlink=1" class="new" title="Kommutatordelgrupp [inte skriven än]">kommutatordelgruppen</a> till π(<i>X</i>,<i>x</i><sub>0</sub>) vilket gör <i>H</i><sub>1</sub>(<i>X</i>) isomorft med den homomorfism som knyter fundamentalgruppen π(<i>X</i>.<i>x</i><sub>0</sub>) till en abelsk grupp. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Besläktade_begrepp"><span id="Besl.C3.A4ktade_begrepp"></span>Besläktade begrepp</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Fundamentalgrupp&veaction=edit&section=6" title="Redigera avsnitt: Besläktade begrepp" class="mw-editsection-visualeditor"><span>redigera</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Fundamentalgrupp&action=edit&section=6" title="Redigera avsnitts källkod: Besläktade begrepp"><span>redigera wikitext</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Fundamentalgruppen mäter strukturen för 1-dimensionella hål hos ett rum. För att studera hål av högre dimension används <a href="/wiki/Homotopi" title="Homotopi">homotopigrupper</a> av högre ordning, där elementen i den <i>n</i>:te homotopigruppen av <i>X</i> utgörs av homotopiklasser av avbildningar (som bevarar en baspunkt) av sfären <i>S</i><sup><i>n</i></sup> till <i>X</i>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Externa_länkar"><span id="Externa_l.C3.A4nkar"></span>Externa länkar</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Fundamentalgrupp&veaction=edit&section=7" title="Redigera avsnitt: Externa länkar" class="mw-editsection-visualeditor"><span>redigera</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Fundamentalgrupp&action=edit&section=7" title="Redigera avsnitts källkod: Externa länkar"><span>redigera wikitext</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span typeof="mw:File"><span><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/15px-Commons-logo.svg.png" decoding="async" width="15" height="20" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/23px-Commons-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/30px-Commons-logo.svg.png 2x" data-file-width="1024" data-file-height="1376" /></span></span> Wikimedia Commons har media som rör <a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Fundamental_group" class="extiw" title="commons:Category:Fundamental group">Fundamentalgrupp</a>.<div class="interProject commons" style="display:none;"><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Fundamental_group" class="extiw" title="commons:Category:Fundamental group">Bilder & media</a></div></li></ul> <!-- NewPP limit report Parsed by mw‐web.codfw.main‐6b7f745dd4‐cbfxx Cached time: 20241125115657 Cache expiry: 2592000 Reduced expiry: false Complications: [show‐toc] CPU time usage: 0.088 seconds Real time usage: 0.162 seconds Preprocessor visited node count: 261/1000000 Post‐expand include size: 3403/2097152 bytes Template argument size: 713/2097152 bytes Highest expansion depth: 10/100 Expensive parser function count: 0/500 Unstrip recursion depth: 0/20 Unstrip post‐expand size: 1740/5000000 bytes Lua time usage: 0.018/10.000 seconds Lua memory usage: 724382/52428800 bytes Number of Wikibase entities loaded: 1/400 --> <!-- Transclusion expansion time report (%,ms,calls,template) 100.00% 81.724 1 -total 59.74% 48.819 1 Mall:Källor 48.27% 39.450 1 Mall:Källor_metamall 44.40% 36.287 1 Mall:Ambox 39.82% 32.546 1 Mall:Commonscat 2.68% 2.192 1 Mall:Omsubst 2.02% 1.649 1 Mall:Iwcommonscat --> <!-- Saved in parser cache with key svwiki:pcache:220402:|#|:idhash:canonical and timestamp 20241125115657 and revision id 55007341. Rendering was triggered because: page-view --> </div><!--esi <esi:include src="/esitest-fa8a495983347898/content" /> --><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1&useformat=desktop" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Hämtad från ”<a dir="ltr" href="https://sv.wikipedia.org/w/index.php?title=Fundamentalgrupp&oldid=55007341">https://sv.wikipedia.org/w/index.php?title=Fundamentalgrupp&oldid=55007341</a>”</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Wikipedia:Kategorier" title="Wikipedia:Kategorier">Kategorier</a>: <ul><li><a href="/wiki/Kategori:Algebraisk_topologi" title="Kategori:Algebraisk topologi">Algebraisk topologi</a></li><li><a href="/wiki/Kategori:Homotopiteori" title="Kategori:Homotopiteori">Homotopiteori</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Dolda kategorier: <ul><li><a href="/wiki/Kategori:Artiklar_som_beh%C3%B6ver_k%C3%A4llor_2021-06" title="Kategori:Artiklar som behöver källor 2021-06">Artiklar som behöver källor 2021-06</a></li><li><a href="/wiki/Kategori:Alla_artiklar_m%C3%A4rkta_med_mallen_k%C3%A4llor" title="Kategori:Alla artiklar märkta med mallen källor">Alla artiklar märkta med mallen källor</a></li><li><a href="/wiki/Kategori:Alla_artiklar_som_beh%C3%B6ver_k%C3%A4llor" title="Kategori:Alla artiklar som behöver källor">Alla artiklar som behöver källor</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> Sidan redigerades senast den 24 juni 2024 kl. 10.49.</li> <li id="footer-info-copyright">Wikipedias text är tillgänglig under licensen <a rel="nofollow" class="external text" href="//creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.sv">Creative Commons Erkännande-dela-lika 4.0 Unported</a>. För bilder, se respektive bildsida (klicka på bilden). Se vidare <a href="/wiki/Wikipedia:Upphovsr%C3%A4tt" title="Wikipedia:Upphovsrätt">Wikipedia:Upphovsrätt</a> och <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Terms_of_Use">användarvillkor</a>.</li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy">Wikimedias integritetspolicy</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/Wikipedia:Om">Om Wikipedia</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/Wikipedia:Allm%C3%A4nt_f%C3%B6rbeh%C3%A5ll">Förbehåll</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">Uppförandekod</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Utvecklare</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/sv.wikipedia.org">Statistik</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">Information om kakor</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//sv.m.wikipedia.org/w/index.php?title=Fundamentalgrupp&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Mobilvy</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> </div> </div> </div> <div class="vector-settings" id="p-dock-bottom"> <ul></ul> </div><script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.canary-556c5f94cd-4qvbt","wgBackendResponseTime":181,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.088","walltime":"0.162","ppvisitednodes":{"value":261,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":3403,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":713,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":10,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":0,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":0,"limit":20},"unstrip-size":{"value":1740,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":1,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 81.724 1 -total"," 59.74% 48.819 1 Mall:Källor"," 48.27% 39.450 1 Mall:Källor_metamall"," 44.40% 36.287 1 Mall:Ambox"," 39.82% 32.546 1 Mall:Commonscat"," 2.68% 2.192 1 Mall:Omsubst"," 2.02% 1.649 1 Mall:Iwcommonscat"]},"scribunto":{"limitreport-timeusage":{"value":"0.018","limit":"10.000"},"limitreport-memusage":{"value":724382,"limit":52428800}},"cachereport":{"origin":"mw-web.codfw.main-6b7f745dd4-cbfxx","timestamp":"20241125115657","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"Fundamentalgrupp","url":"https:\/\/sv.wikipedia.org\/wiki\/Fundamentalgrupp","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q662830","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q662830","author":{"@type":"Organization","name":"Bidragsgivare till Wikimedia-projekten"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Wikimedia Foundation, Inc.","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2005-11-01T19:13:46Z","dateModified":"2024-06-24T09:49:09Z"}</script> </body> </html>