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<!DOCTYPE html> <html lang="en"> <head> <meta content="text/html; charset=utf-8" http-equiv="content-type"/> <title>Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION</title>  <meta content="width=device-width, initial-scale=1, shrink-to-fit=no" name="viewport"/> <link href="https://cdn.jsdelivr.net/npm/bootstrap@5.3.0/dist/css/bootstrap.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/ar5iv.0.7.9.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/ar5iv-fonts.0.7.9.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/latexml_styles.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/bootstrap@5.3.0/dist/js/bootstrap.bundle.min.js"></script> <script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/html2canvas/1.3.3/html2canvas.min.js"></script> <script src="/static/browse/0.3.4/js/addons_new.js"></script> <script src="/static/browse/0.3.4/js/feedbackOverlay.js"></script> <base href="/html/2503.13973v1/"/></head> <body> <nav class="ltx_page_navbar"> <nav class="ltx_TOC"> <ol class="ltx_toclist"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S1" title="In Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">1 </span>Introduction</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S1.SS1" title="In 1 Introduction ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">1.1 </span>Literature review</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S1.SS2" title="In 1 Introduction ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">1.2 </span>Summary of contribution</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S1.SS3" title="In 1 Introduction ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">1.3 </span>Paper organization</span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S2" title="In Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">2 </span>Mathematical formulation</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S2.SS1" title="In 2 Mathematical formulation ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">2.1 </span>System model description</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S2.SS2" title="In 2 Mathematical formulation ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">2.2 </span>Problem statement</span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S3" title="In Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3 </span>The EM method for identifying NCS-RSM</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S4" title="In Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">4 </span>Implementation details of the EM algorithm</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S4.SS1" title="In 4 Implementation details of the EM algorithm ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">4.1 </span>The E-step</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S4.SS2" title="In 4 Implementation details of the EM algorithm ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">4.2 </span>The M-step</span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S5" title="In Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">5 </span>Numerical examples</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S5.SS1" title="In 5 Numerical examples ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">5.1 </span>Example 1: Academic NCS-RSM</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S5.SS2" title="In 5 Numerical examples ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">5.2 </span>Example 2: The Department Store Inventory Price Index</span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S6" title="In Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">6 </span>Conclusion</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_appendix"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#A1" title="In Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">A </span>Technical proofs</span></a></li> </ol></nav> </nav> <div class="ltx_page_main"> <div class="ltx_page_content"> <article class="ltx_document ltx_fleqn"> <h1 class="ltx_title ltx_title_document">Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION</h1> <div class="ltx_authors"> <span class="ltx_creator ltx_role_author"> <span class="ltx_personname">Yanxin Zhang<sup class="ltx_sup" id="id1.1.1"><math alttext="\dagger" class="ltx_Math" display="inline" id="id1.1.1.m1.1"><semantics id="id1.1.1.m1.1a"><mo id="id1.1.1.m1.1.1" xref="id1.1.1.m1.1.1.cmml">†</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="id1.1.1.m1.1b"><ci id="id1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="id1.1.1.m1.1.1">†</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="id1.1.1.m1.1c">\dagger</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="id1.1.1.m1.1d">†</annotation></semantics></math></sup>, Chengpu Yu<sup class="ltx_sup" id="id2.2.2"><math alttext="\dagger" class="ltx_Math" display="inline" id="id2.2.2.m1.1"><semantics id="id2.2.2.m1.1a"><mo id="id2.2.2.m1.1.1" xref="id2.2.2.m1.1.1.cmml">†</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="id2.2.2.m1.1b"><ci id="id2.2.2.m1.1.1.cmml" xref="id2.2.2.m1.1.1">†</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="id2.2.2.m1.1c">\dagger</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="id2.2.2.m1.1d">†</annotation></semantics></math></sup>, and Filippo Fabiani<sup class="ltx_sup" id="id3.3.3"><math alttext="\ddagger" class="ltx_Math" display="inline" id="id3.3.3.m1.1"><semantics id="id3.3.3.m1.1a"><mo id="id3.3.3.m1.1.1" xref="id3.3.3.m1.1.1.cmml">‡</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="id3.3.3.m1.1b"><ci id="id3.3.3.m1.1.1.cmml" xref="id3.3.3.m1.1.1">‡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="id3.3.3.m1.1c">\ddagger</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="id3.3.3.m1.1d">‡</annotation></semantics></math></sup> </span><span class="ltx_author_notes"> <span class="ltx_contact ltx_role_address"><math alttext="\dagger" class="ltx_Math" display="inline" id="id4.4.m1.1"><semantics id="id4.4.m1.1a"><mo id="id4.4.m1.1.1" xref="id4.4.m1.1.1.cmml">†</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="id4.4.m1.1b"><ci id="id4.4.m1.1.1.cmml" xref="id4.4.m1.1.1">†</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="id4.4.m1.1c">\dagger</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="id4.4.m1.1d">†</annotation></semantics></math> School of Automation, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, PR China </span> <span class="ltx_contact ltx_role_address"><math alttext="\ddagger" class="ltx_Math" display="inline" id="id5.5.m1.1"><semantics id="id5.5.m1.1a"><mo id="id5.5.m1.1.1" xref="id5.5.m1.1.1.cmml">‡</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="id5.5.m1.1b"><ci id="id5.5.m1.1.1.cmml" xref="id5.5.m1.1.1">‡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="id5.5.m1.1c">\ddagger</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="id5.5.m1.1d">‡</annotation></semantics></math> IMT School for Advanced Studies Lucca, Piazza San Francesco 19, 55100, Lucca, Italy </span></span></span> </div> <div class="ltx_abstract"> <h6 class="ltx_title ltx_title_abstract">Abstract</h6> <p class="ltx_p" id="id6.id1">We consider the identification of non-causal systems with random switching modes (NCS-RSM), a class of models essential for describing typical power load management and department store inventory dynamics. The simultaneous identification of causal-and-anticausal subsystems, along with the presence of random switching sequences, however, make the overall identification problem particularly challenging. To this end, we develop an expectation-maximization (EM) based system identification technique, where the E-step proposes a modified Kalman filter (KF) to estimate the states and switching sequences of causal-and-anticausal subsystems, while the M-step consists in a switching least-squares algorithm to estimate the parameters of individual subsystems. We establish the main convergence features of the proposed identification procedure, also providing bounds on the parameter estimation errors under mild conditions. Finally, the effectiveness of our identification method is validated through two numerical simulations.</p> </div> <div class="ltx_classification"> <h6 class="ltx_title ltx_title_classification">keywords: </h6> Switching systems; Non-causal systems; Expectation maximization; Kalman filter </div> <section class="ltx_section" id="S1"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">1 </span>Introduction</h2> <div class="ltx_para" id="S1.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.p1.1">Non-causal switching dynamics arise in scenarios where actions depend on both historical and future states. In addition, these systems exhibit switching characteristics, potentially transitioning among different operational states, and thus leading to variations in the system behavior. In power systems, for instance, load management requires dedicated adjustments based on future demand <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#bib.bib1" title="">1</a>]</cite>. A controller can thus activate different modes to reduce load if a surge is anticipated, creating a dependency on future state. In traffic signal control <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#bib.bib2" title="">2</a>]</cite>, adaptive signal timing utilizes real-time vehicle flow predictions and synchronous historical/future data to enable autonomous phase adjustments without external centralized control. Its non-causal dependencies effectively prevent congestion propagation while enhancing traffic efficiency. In robotic systems <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#bib.bib3" title="">3</a>]</cite>, collaborative robots may require anticipatory motion planning to avoid collisions, where future positions of other agents influence current decisions. In supply chain management, inventory provision decisions often depend on future demand and supplier lead times, creating non-causal dependencies between current actions and future states <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#bib.bib4" title="">4</a>]</cite>. Financial time series data often exhibit characteristics of sharp peaks and heavy tails. For instance, stock trading volumes may exhibit abnormal fluctuations prior to the release of significant announcements, which can be interpreted as the influence of future data on current observations <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#bib.bib5" title="">5</a>]</cite>. These systems exhibit switching behaviors due to discrete operational mode transitions (e.g., emergency shutdowns in power grids, traffic signal phase shifts, the anticipatory motion planning in collaborative robots), and their non-causality stems from the need to model feedback loops with delayed effects or predictive decision-making. Understanding and managing the complexity of these systems is therefore crucial for enhancing efficiency, reliability, and adaptability, enabling them to better meet the demands of industrial production and operations. This essentially motivates the interest in modeling, analyzing, and controlling such type of systems.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p2"> <p class="ltx_p" id="S1.p2.1">In several identification problems for dynamical systems, the input-output data are accompanied by temporal mode sequences. As the system’s mode changes over time, each data point is associated with the active mode at that specific time. Hence, it is crucial to model the dynamics of different modes and infer transitions between modes <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#bib.bib7" title="">7</a>]</cite>. However, obtaining direct estimates of the dynamical system from input-output data is challenging and, in practice, prior knowledge about mode transitions is often unavailable. Therefore, estimating the switching behaviors poses a challenging yet highly significant problem that has attracted attention from researchers. Existing studies indeed propose algorithms to identify individual system dynamics and mode transition sequences from observed behaviors <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#bib.bib8" title="">8</a>]</cite>.</p> </div> <section class="ltx_subsection" id="S1.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">1.1 </span>Literature review</h3> <div class="ltx_para" id="S1.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.SS1.p1.2">Several works consider the identification of switching models <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#bib.bib9" title="">9</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#bib.bib10" title="">10</a>]</cite>. Among various switching system models, jump Markov linear systems (JMLS) have emerged as a powerful framework for capturing abrupt random behavioral changes. These systems utilize a probabilistic structure in which mode transitions follow a Markov chain, effectively modeling stochastic switching dynamics through discrete state transitions with memoryless properties. In <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#bib.bib11" title="">11</a>]</cite>, a joint smoothing algorithm based on the expectation-maximization (EM) framework is proposed, with an E-step solution introduced to address exponential complexity in the JMLS. In <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#bib.bib12" title="">12</a>]</cite>, a numerically efficient two-step estimation method is developed, iteratively updating parameters and the switching sequence. The flexibility of this technique lies in its adaptability to various loss functions used in jump models, which significantly influence their shape and switching behavior. Furthermore, the identification of jump Box–Jenkins (BJ) models is investigated in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#bib.bib13" title="">13</a>]</cite>. These models consist of a finite collection of linear dynamical submodels in BJ form, switching over time according to a Markov chain. The system parameters are estimated iteratively using the Gauss-Newton and prediction error methods. In <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#bib.bib14" title="">14</a>]</cite>, a switching least-squares algorithm for autonomous Markov jump linear systems is proposed. Here, the authors provide a formal proof of the method’s strong consistency and establish its convergence rate as <math alttext="\mathcal{O}(\sqrt{\log(T)/T})" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS1.p1.1.m1.2"><semantics id="S1.SS1.p1.1.m1.2a"><mrow id="S1.SS1.p1.1.m1.2.3" xref="S1.SS1.p1.1.m1.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S1.SS1.p1.1.m1.2.3.2" xref="S1.SS1.p1.1.m1.2.3.2.cmml">𝒪</mi><mo id="S1.SS1.p1.1.m1.2.3.1" xref="S1.SS1.p1.1.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.SS1.p1.1.m1.2.3.3.2" xref="S1.SS1.p1.1.m1.2.2.cmml"><mo id="S1.SS1.p1.1.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.SS1.p1.1.m1.2.2.cmml">(</mo><msqrt id="S1.SS1.p1.1.m1.2.2" xref="S1.SS1.p1.1.m1.2.2.cmml"><mrow id="S1.SS1.p1.1.m1.2.2.2" xref="S1.SS1.p1.1.m1.2.2.2.cmml"><mrow id="S1.SS1.p1.1.m1.2.2.2.4.2" xref="S1.SS1.p1.1.m1.2.2.2.4.1.cmml"><mi id="S1.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S1.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S1.SS1.p1.1.m1.2.2.2.4.2a" xref="S1.SS1.p1.1.m1.2.2.2.4.1.cmml">⁡</mo><mrow id="S1.SS1.p1.1.m1.2.2.2.4.2.1" xref="S1.SS1.p1.1.m1.2.2.2.4.1.cmml"><mo id="S1.SS1.p1.1.m1.2.2.2.4.2.1.1" stretchy="false" xref="S1.SS1.p1.1.m1.2.2.2.4.1.cmml">(</mo><mi id="S1.SS1.p1.1.m1.2.2.2.2" xref="S1.SS1.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml">T</mi><mo id="S1.SS1.p1.1.m1.2.2.2.4.2.1.2" stretchy="false" xref="S1.SS1.p1.1.m1.2.2.2.4.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.SS1.p1.1.m1.2.2.2.3" xref="S1.SS1.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml">/</mo><mi id="S1.SS1.p1.1.m1.2.2.2.5" xref="S1.SS1.p1.1.m1.2.2.2.5.cmml">T</mi></mrow></msqrt><mo id="S1.SS1.p1.1.m1.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.SS1.p1.1.m1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS1.p1.1.m1.2b"><apply id="S1.SS1.p1.1.m1.2.3.cmml" xref="S1.SS1.p1.1.m1.2.3"><times id="S1.SS1.p1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S1.SS1.p1.1.m1.2.3.1"></times><ci id="S1.SS1.p1.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S1.SS1.p1.1.m1.2.3.2">𝒪</ci><apply id="S1.SS1.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S1.SS1.p1.1.m1.2.3.3.2"><root id="S1.SS1.p1.1.m1.2.2a.cmml" xref="S1.SS1.p1.1.m1.2.3.3.2"></root><apply id="S1.SS1.p1.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S1.SS1.p1.1.m1.2.2.2"><divide id="S1.SS1.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S1.SS1.p1.1.m1.2.2.2.3"></divide><apply id="S1.SS1.p1.1.m1.2.2.2.4.1.cmml" xref="S1.SS1.p1.1.m1.2.2.2.4.2"><log id="S1.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1"></log><ci id="S1.SS1.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S1.SS1.p1.1.m1.2.2.2.2">𝑇</ci></apply><ci id="S1.SS1.p1.1.m1.2.2.2.5.cmml" xref="S1.SS1.p1.1.m1.2.2.2.5">𝑇</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS1.p1.1.m1.2c">\mathcal{O}(\sqrt{\log(T)/T})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS1.p1.1.m1.2d">caligraphic_O ( square-root start_ARG roman_log ( italic_T ) / italic_T end_ARG )</annotation></semantics></math>, where <math alttext="T" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS1.p1.2.m2.1"><semantics id="S1.SS1.p1.2.m2.1a"><mi id="S1.SS1.p1.2.m2.1.1" xref="S1.SS1.p1.2.m2.1.1.cmml">T</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS1.p1.2.m2.1b"><ci id="S1.SS1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.SS1.p1.2.m2.1.1">𝑇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS1.p1.2.m2.1c">T</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS1.p1.2.m2.1d">italic_T</annotation></semantics></math> is the time horizon. While existing literature primarily focuses on linear systems with Markov switching, these techniques may fail when mode transitions exhibit non-Markovian randomness. To address this limitation, methods for systems with random switching behavior have been proposed. For instance, <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#bib.bib15" title="">15</a>]</cite> employs a kernel-based approach to simultaneously solve estimation and classification problems in random switching systems. Similarly, <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#bib.bib16" title="">16</a>]</cite> proposes a maximum-likelihood algorithm combining Kalman filtering and likelihood estimation to stabilize error convergence in general switched linear systems.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.SS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S1.SS1.p2.1">Furthermore, Gaussian mixture models (GMMs) served as a cornerstone for identifying switching systems <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#bib.bib17" title="">17</a>]</cite>, where EM-based algorithms are widely adopted to estimate latent modes and subsystem parameters <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#bib.bib18" title="">18</a>]</cite>. However, classical GMM frameworks are inherently limited to causal dynamics with single switching sequences, failing to address systems governed by bidirectional dependencies and dual independent switching behaviors. Our work extends GMM principles to non-causal switching dynamics, where outputs depend on both historical and future states through two distinct switching sequences. However, to the best of our knowledge, there is no literature on the system identification problem of non-causal systems with random switching modes (NCS-RSM). Although, there are some studies available on system identification for non-causal systems, such as the subspace <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#bib.bib19" title="">19</a>]</cite> and the kernel methods <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#bib.bib20" title="">20</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#bib.bib21" title="">21</a>]</cite>, these studies can only handle a single, non-causal system, rather than <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.SS1.p2.1.1">switching non-causal systems</span>.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S1.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">1.2 </span>Summary of contribution</h3> <div class="ltx_para" id="S1.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.SS2.p1.1">In this paper, we focus on the identification of NCS-RSM. The proposed method is developed under the expectation-maximization (EM) framework, which can be divided into two main parts. Specifically, in the E-step we adopt a Bayesian rule to compute the posterior estimate of the switching sequence, along with a modified Kalman filter (KF) for estimating the state of the causal and non-causal parts. In the M-step, instead, we propose a switching least-squares method to obtain the closed-form solution for the parameters and establish the convergence rate of the estimated parameters. Our main contributions can hence be summarized as follows:</p> <ol class="ltx_enumerate" id="S1.I1"> <li class="ltx_item" id="S1.I1.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">1.</span> <div class="ltx_para" id="S1.I1.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.I1.i1.p1.1">To the best of our knowledge, this is the first work considering the identification of NCS-RSM. To contrast with causal systems <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#bib.bib12" title="">12</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#bib.bib13" title="">13</a>]</cite>, we propose a modified Kalman filter (KF) with bidirectional estimation (forward for causal states, backward for non-causal ones) to resolve the non-causal dependency.</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S1.I1.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">2.</span> <div class="ltx_para" id="S1.I1.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.I1.i2.p1.1">Unlike prior works <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#bib.bib11" title="">11</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#bib.bib14" title="">14</a>]</cite>, which focus on causal systems with Markov switching, our method explicitly handles bidirectional switching dynamics (causal and non-causal subsystems) and random (non-Markov) switching sequences. Moreover, the switching sequences of the two directions is allowed to differ from each other. This enables modeling real-world scenarios where outputs depend on both past and future states.</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S1.I1.i3" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">3.</span> <div class="ltx_para" id="S1.I1.i3.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.I1.i3.p1.1">We show that our method has a <math alttext="\mathcal{O}(\sqrt{\log(T)/T})" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.I1.i3.p1.1.m1.2"><semantics id="S1.I1.i3.p1.1.m1.2a"><mrow id="S1.I1.i3.p1.1.m1.2.3" xref="S1.I1.i3.p1.1.m1.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S1.I1.i3.p1.1.m1.2.3.2" xref="S1.I1.i3.p1.1.m1.2.3.2.cmml">𝒪</mi><mo id="S1.I1.i3.p1.1.m1.2.3.1" xref="S1.I1.i3.p1.1.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.I1.i3.p1.1.m1.2.3.3.2" xref="S1.I1.i3.p1.1.m1.2.2.cmml"><mo id="S1.I1.i3.p1.1.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.I1.i3.p1.1.m1.2.2.cmml">(</mo><msqrt id="S1.I1.i3.p1.1.m1.2.2" xref="S1.I1.i3.p1.1.m1.2.2.cmml"><mrow id="S1.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2" xref="S1.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2.cmml"><mrow id="S1.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2.4.2" xref="S1.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2.4.1.cmml"><mi id="S1.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S1.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S1.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2.4.2a" xref="S1.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2.4.1.cmml">⁡</mo><mrow id="S1.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2.4.2.1" xref="S1.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2.4.1.cmml"><mo id="S1.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2.4.2.1.1" stretchy="false" xref="S1.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2.4.1.cmml">(</mo><mi id="S1.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2.2" xref="S1.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml">T</mi><mo id="S1.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2.4.2.1.2" stretchy="false" xref="S1.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2.4.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2.3" xref="S1.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml">/</mo><mi id="S1.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2.5" xref="S1.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2.5.cmml">T</mi></mrow></msqrt><mo id="S1.I1.i3.p1.1.m1.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.I1.i3.p1.1.m1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.I1.i3.p1.1.m1.2b"><apply id="S1.I1.i3.p1.1.m1.2.3.cmml" xref="S1.I1.i3.p1.1.m1.2.3"><times id="S1.I1.i3.p1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S1.I1.i3.p1.1.m1.2.3.1"></times><ci id="S1.I1.i3.p1.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S1.I1.i3.p1.1.m1.2.3.2">𝒪</ci><apply id="S1.I1.i3.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S1.I1.i3.p1.1.m1.2.3.3.2"><root id="S1.I1.i3.p1.1.m1.2.2a.cmml" xref="S1.I1.i3.p1.1.m1.2.3.3.2"></root><apply id="S1.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S1.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2"><divide id="S1.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S1.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2.3"></divide><apply id="S1.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2.4.1.cmml" xref="S1.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2.4.2"><log id="S1.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.1"></log><ci id="S1.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S1.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2.2">𝑇</ci></apply><ci id="S1.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2.5.cmml" xref="S1.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2.5">𝑇</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.I1.i3.p1.1.m1.2c">\mathcal{O}(\sqrt{\log(T)/T})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.I1.i3.p1.1.m1.2d">caligraphic_O ( square-root start_ARG roman_log ( italic_T ) / italic_T end_ARG )</annotation></semantics></math> rate of convergence under the assumptions of average stability and martingale difference noise. This result is generalized from causal Markov systems <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#bib.bib14" title="">14</a>]</cite> to non-causal random ones.</p> </div> </li> </ol> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S1.SS3"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">1.3 </span>Paper organization</h3> <div class="ltx_para" id="S1.SS3.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.SS3.p1.1">The rest of the paper is organized as follows: in Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S2" title="2 Mathematical formulation ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a> we describe the considered system and formulate the related identification problem. In Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S3" title="3 The EM method for identifying NCS-RSM ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>, instead, we discuss our EM method for the identification of the NCS-RSM, while in Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S4" title="4 Implementation details of the EM algorithm ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a> we provide its implementation details, as well as characterize the related convergence properties. Two simulation examples are finally discussed in Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S5" title="5 Numerical examples ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a> to test the effectiveness of the proposed method numerically. The proofs of the technical results of the paper are all deferred to Appendix <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#A1" title="Appendix A Technical proofs ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">A</span></a>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.SS3.p2"> <p class="ltx_p" id="S1.SS3.p2.37"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.SS3.p2.37.1">Notation:</span> <math alttext="\mathbb{Z}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS3.p2.1.m1.1"><semantics id="S1.SS3.p2.1.m1.1a"><mi id="S1.SS3.p2.1.m1.1.1" xref="S1.SS3.p2.1.m1.1.1.cmml">ℤ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS3.p2.1.m1.1b"><ci id="S1.SS3.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.1.m1.1.1">ℤ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS3.p2.1.m1.1c">\mathbb{Z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS3.p2.1.m1.1d">blackboard_Z</annotation></semantics></math> and <math alttext="\mathbb{R}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS3.p2.2.m2.1"><semantics id="S1.SS3.p2.2.m2.1a"><mi id="S1.SS3.p2.2.m2.1.1" xref="S1.SS3.p2.2.m2.1.1.cmml">ℝ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS3.p2.2.m2.1b"><ci id="S1.SS3.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.2.m2.1.1">ℝ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS3.p2.2.m2.1c">\mathbb{R}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS3.p2.2.m2.1d">blackboard_R</annotation></semantics></math> denote the set of integer and real numbers, respectively. Given a matrix <math alttext="X" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS3.p2.3.m3.1"><semantics id="S1.SS3.p2.3.m3.1a"><mi id="S1.SS3.p2.3.m3.1.1" xref="S1.SS3.p2.3.m3.1.1.cmml">X</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS3.p2.3.m3.1b"><ci id="S1.SS3.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.3.m3.1.1">𝑋</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS3.p2.3.m3.1c">X</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS3.p2.3.m3.1d">italic_X</annotation></semantics></math>, <math alttext="\|X\|" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS3.p2.4.m4.1"><semantics id="S1.SS3.p2.4.m4.1a"><mrow id="S1.SS3.p2.4.m4.1.2.2" xref="S1.SS3.p2.4.m4.1.2.1.cmml"><mo id="S1.SS3.p2.4.m4.1.2.2.1" stretchy="false" xref="S1.SS3.p2.4.m4.1.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S1.SS3.p2.4.m4.1.1" xref="S1.SS3.p2.4.m4.1.1.cmml">X</mi><mo id="S1.SS3.p2.4.m4.1.2.2.2" stretchy="false" xref="S1.SS3.p2.4.m4.1.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS3.p2.4.m4.1b"><apply id="S1.SS3.p2.4.m4.1.2.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.4.m4.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S1.SS3.p2.4.m4.1.2.1.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.4.m4.1.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S1.SS3.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.4.m4.1.1">𝑋</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS3.p2.4.m4.1c">\|X\|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS3.p2.4.m4.1d">∥ italic_X ∥</annotation></semantics></math> and <math alttext="\|X\|_{\infty}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS3.p2.5.m5.1"><semantics id="S1.SS3.p2.5.m5.1a"><msub id="S1.SS3.p2.5.m5.1.2" xref="S1.SS3.p2.5.m5.1.2.cmml"><mrow id="S1.SS3.p2.5.m5.1.2.2.2" xref="S1.SS3.p2.5.m5.1.2.2.1.cmml"><mo id="S1.SS3.p2.5.m5.1.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S1.SS3.p2.5.m5.1.2.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S1.SS3.p2.5.m5.1.1" xref="S1.SS3.p2.5.m5.1.1.cmml">X</mi><mo id="S1.SS3.p2.5.m5.1.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S1.SS3.p2.5.m5.1.2.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mi id="S1.SS3.p2.5.m5.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S1.SS3.p2.5.m5.1.2.3.cmml">∞</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS3.p2.5.m5.1b"><apply id="S1.SS3.p2.5.m5.1.2.cmml" xref="S1.SS3.p2.5.m5.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.SS3.p2.5.m5.1.2.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.5.m5.1.2">subscript</csymbol><apply id="S1.SS3.p2.5.m5.1.2.2.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.5.m5.1.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S1.SS3.p2.5.m5.1.2.2.1.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.5.m5.1.2.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S1.SS3.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.5.m5.1.1">𝑋</ci></apply><infinity id="S1.SS3.p2.5.m5.1.2.3.cmml" xref="S1.SS3.p2.5.m5.1.2.3"></infinity></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS3.p2.5.m5.1c">\|X\|_{\infty}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS3.p2.5.m5.1d">∥ italic_X ∥ start_POSTSUBSCRIPT ∞ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> denote respectively its spectral and infinity norms, and <math alttext="\textrm{tr}(X)" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS3.p2.6.m6.1"><semantics id="S1.SS3.p2.6.m6.1a"><mrow id="S1.SS3.p2.6.m6.1.2" xref="S1.SS3.p2.6.m6.1.2.cmml"><mtext id="S1.SS3.p2.6.m6.1.2.2" xref="S1.SS3.p2.6.m6.1.2.2a.cmml">tr</mtext><mo id="S1.SS3.p2.6.m6.1.2.1" xref="S1.SS3.p2.6.m6.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.SS3.p2.6.m6.1.2.3.2" xref="S1.SS3.p2.6.m6.1.2.cmml"><mo id="S1.SS3.p2.6.m6.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.SS3.p2.6.m6.1.2.cmml">(</mo><mi id="S1.SS3.p2.6.m6.1.1" xref="S1.SS3.p2.6.m6.1.1.cmml">X</mi><mo id="S1.SS3.p2.6.m6.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.SS3.p2.6.m6.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS3.p2.6.m6.1b"><apply id="S1.SS3.p2.6.m6.1.2.cmml" xref="S1.SS3.p2.6.m6.1.2"><times id="S1.SS3.p2.6.m6.1.2.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.6.m6.1.2.1"></times><ci id="S1.SS3.p2.6.m6.1.2.2a.cmml" xref="S1.SS3.p2.6.m6.1.2.2"><mtext id="S1.SS3.p2.6.m6.1.2.2.cmml" xref="S1.SS3.p2.6.m6.1.2.2">tr</mtext></ci><ci id="S1.SS3.p2.6.m6.1.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.6.m6.1.1">𝑋</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS3.p2.6.m6.1c">\textrm{tr}(X)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS3.p2.6.m6.1d">tr ( italic_X )</annotation></semantics></math> denotes the trace. For a real symmetric matrix <math alttext="P" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS3.p2.7.m7.1"><semantics id="S1.SS3.p2.7.m7.1a"><mi id="S1.SS3.p2.7.m7.1.1" xref="S1.SS3.p2.7.m7.1.1.cmml">P</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS3.p2.7.m7.1b"><ci id="S1.SS3.p2.7.m7.1.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.7.m7.1.1">𝑃</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS3.p2.7.m7.1c">P</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS3.p2.7.m7.1d">italic_P</annotation></semantics></math>, <math alttext="\lambda_{\textrm{max}}(P)" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS3.p2.8.m8.1"><semantics id="S1.SS3.p2.8.m8.1a"><mrow id="S1.SS3.p2.8.m8.1.2" xref="S1.SS3.p2.8.m8.1.2.cmml"><msub id="S1.SS3.p2.8.m8.1.2.2" xref="S1.SS3.p2.8.m8.1.2.2.cmml"><mi id="S1.SS3.p2.8.m8.1.2.2.2" xref="S1.SS3.p2.8.m8.1.2.2.2.cmml">λ</mi><mtext id="S1.SS3.p2.8.m8.1.2.2.3" xref="S1.SS3.p2.8.m8.1.2.2.3a.cmml">max</mtext></msub><mo id="S1.SS3.p2.8.m8.1.2.1" xref="S1.SS3.p2.8.m8.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.SS3.p2.8.m8.1.2.3.2" xref="S1.SS3.p2.8.m8.1.2.cmml"><mo id="S1.SS3.p2.8.m8.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.SS3.p2.8.m8.1.2.cmml">(</mo><mi id="S1.SS3.p2.8.m8.1.1" xref="S1.SS3.p2.8.m8.1.1.cmml">P</mi><mo id="S1.SS3.p2.8.m8.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.SS3.p2.8.m8.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS3.p2.8.m8.1b"><apply id="S1.SS3.p2.8.m8.1.2.cmml" xref="S1.SS3.p2.8.m8.1.2"><times id="S1.SS3.p2.8.m8.1.2.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.8.m8.1.2.1"></times><apply id="S1.SS3.p2.8.m8.1.2.2.cmml" xref="S1.SS3.p2.8.m8.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.SS3.p2.8.m8.1.2.2.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.8.m8.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S1.SS3.p2.8.m8.1.2.2.2.cmml" xref="S1.SS3.p2.8.m8.1.2.2.2">𝜆</ci><ci id="S1.SS3.p2.8.m8.1.2.2.3a.cmml" xref="S1.SS3.p2.8.m8.1.2.2.3"><mtext id="S1.SS3.p2.8.m8.1.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S1.SS3.p2.8.m8.1.2.2.3">max</mtext></ci></apply><ci id="S1.SS3.p2.8.m8.1.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.8.m8.1.1">𝑃</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS3.p2.8.m8.1c">\lambda_{\textrm{max}}(P)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS3.p2.8.m8.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT max end_POSTSUBSCRIPT ( italic_P )</annotation></semantics></math> and <math alttext="\lambda_{\textrm{min}}(P)" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS3.p2.9.m9.1"><semantics id="S1.SS3.p2.9.m9.1a"><mrow id="S1.SS3.p2.9.m9.1.2" xref="S1.SS3.p2.9.m9.1.2.cmml"><msub id="S1.SS3.p2.9.m9.1.2.2" xref="S1.SS3.p2.9.m9.1.2.2.cmml"><mi id="S1.SS3.p2.9.m9.1.2.2.2" xref="S1.SS3.p2.9.m9.1.2.2.2.cmml">λ</mi><mtext id="S1.SS3.p2.9.m9.1.2.2.3" xref="S1.SS3.p2.9.m9.1.2.2.3a.cmml">min</mtext></msub><mo id="S1.SS3.p2.9.m9.1.2.1" xref="S1.SS3.p2.9.m9.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.SS3.p2.9.m9.1.2.3.2" xref="S1.SS3.p2.9.m9.1.2.cmml"><mo id="S1.SS3.p2.9.m9.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.SS3.p2.9.m9.1.2.cmml">(</mo><mi id="S1.SS3.p2.9.m9.1.1" xref="S1.SS3.p2.9.m9.1.1.cmml">P</mi><mo id="S1.SS3.p2.9.m9.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.SS3.p2.9.m9.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS3.p2.9.m9.1b"><apply id="S1.SS3.p2.9.m9.1.2.cmml" xref="S1.SS3.p2.9.m9.1.2"><times id="S1.SS3.p2.9.m9.1.2.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.9.m9.1.2.1"></times><apply id="S1.SS3.p2.9.m9.1.2.2.cmml" xref="S1.SS3.p2.9.m9.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.SS3.p2.9.m9.1.2.2.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.9.m9.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S1.SS3.p2.9.m9.1.2.2.2.cmml" xref="S1.SS3.p2.9.m9.1.2.2.2">𝜆</ci><ci id="S1.SS3.p2.9.m9.1.2.2.3a.cmml" xref="S1.SS3.p2.9.m9.1.2.2.3"><mtext id="S1.SS3.p2.9.m9.1.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S1.SS3.p2.9.m9.1.2.2.3">min</mtext></ci></apply><ci id="S1.SS3.p2.9.m9.1.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.9.m9.1.1">𝑃</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS3.p2.9.m9.1c">\lambda_{\textrm{min}}(P)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS3.p2.9.m9.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT min end_POSTSUBSCRIPT ( italic_P )</annotation></semantics></math> are respectively its maximum and minimum eigenvalues. <math alttext="\mathbb{P}[\cdot]" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS3.p2.10.m10.1"><semantics id="S1.SS3.p2.10.m10.1a"><mrow id="S1.SS3.p2.10.m10.1.2" xref="S1.SS3.p2.10.m10.1.2.cmml"><mi id="S1.SS3.p2.10.m10.1.2.2" xref="S1.SS3.p2.10.m10.1.2.2.cmml">ℙ</mi><mo id="S1.SS3.p2.10.m10.1.2.1" xref="S1.SS3.p2.10.m10.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.SS3.p2.10.m10.1.2.3.2" xref="S1.SS3.p2.10.m10.1.2.3.1.cmml"><mo id="S1.SS3.p2.10.m10.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.SS3.p2.10.m10.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mo id="S1.SS3.p2.10.m10.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S1.SS3.p2.10.m10.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S1.SS3.p2.10.m10.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.SS3.p2.10.m10.1.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS3.p2.10.m10.1b"><apply id="S1.SS3.p2.10.m10.1.2.cmml" xref="S1.SS3.p2.10.m10.1.2"><times id="S1.SS3.p2.10.m10.1.2.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.10.m10.1.2.1"></times><ci id="S1.SS3.p2.10.m10.1.2.2.cmml" xref="S1.SS3.p2.10.m10.1.2.2">ℙ</ci><apply id="S1.SS3.p2.10.m10.1.2.3.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.10.m10.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S1.SS3.p2.10.m10.1.2.3.1.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.10.m10.1.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S1.SS3.p2.10.m10.1.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.10.m10.1.1">⋅</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS3.p2.10.m10.1c">\mathbb{P}[\cdot]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS3.p2.10.m10.1d">blackboard_P [ ⋅ ]</annotation></semantics></math> and <math alttext="\mathbb{E}[\cdot]" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS3.p2.11.m11.1"><semantics id="S1.SS3.p2.11.m11.1a"><mrow id="S1.SS3.p2.11.m11.1.2" xref="S1.SS3.p2.11.m11.1.2.cmml"><mi id="S1.SS3.p2.11.m11.1.2.2" xref="S1.SS3.p2.11.m11.1.2.2.cmml">𝔼</mi><mo id="S1.SS3.p2.11.m11.1.2.1" xref="S1.SS3.p2.11.m11.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.SS3.p2.11.m11.1.2.3.2" xref="S1.SS3.p2.11.m11.1.2.3.1.cmml"><mo id="S1.SS3.p2.11.m11.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.SS3.p2.11.m11.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mo id="S1.SS3.p2.11.m11.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S1.SS3.p2.11.m11.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S1.SS3.p2.11.m11.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.SS3.p2.11.m11.1.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS3.p2.11.m11.1b"><apply id="S1.SS3.p2.11.m11.1.2.cmml" xref="S1.SS3.p2.11.m11.1.2"><times id="S1.SS3.p2.11.m11.1.2.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.11.m11.1.2.1"></times><ci id="S1.SS3.p2.11.m11.1.2.2.cmml" xref="S1.SS3.p2.11.m11.1.2.2">𝔼</ci><apply id="S1.SS3.p2.11.m11.1.2.3.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.11.m11.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S1.SS3.p2.11.m11.1.2.3.1.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.11.m11.1.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S1.SS3.p2.11.m11.1.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.11.m11.1.1">⋅</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS3.p2.11.m11.1c">\mathbb{E}[\cdot]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS3.p2.11.m11.1d">blackboard_E [ ⋅ ]</annotation></semantics></math> respectively denote a probability distribution and the related expected value. <math alttext="\mathbb{P}_{\theta}[\cdot]" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS3.p2.12.m12.1"><semantics id="S1.SS3.p2.12.m12.1a"><mrow id="S1.SS3.p2.12.m12.1.2" xref="S1.SS3.p2.12.m12.1.2.cmml"><msub id="S1.SS3.p2.12.m12.1.2.2" xref="S1.SS3.p2.12.m12.1.2.2.cmml"><mi id="S1.SS3.p2.12.m12.1.2.2.2" xref="S1.SS3.p2.12.m12.1.2.2.2.cmml">ℙ</mi><mi id="S1.SS3.p2.12.m12.1.2.2.3" xref="S1.SS3.p2.12.m12.1.2.2.3.cmml">θ</mi></msub><mo id="S1.SS3.p2.12.m12.1.2.1" xref="S1.SS3.p2.12.m12.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.SS3.p2.12.m12.1.2.3.2" xref="S1.SS3.p2.12.m12.1.2.3.1.cmml"><mo id="S1.SS3.p2.12.m12.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.SS3.p2.12.m12.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mo id="S1.SS3.p2.12.m12.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S1.SS3.p2.12.m12.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S1.SS3.p2.12.m12.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.SS3.p2.12.m12.1.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS3.p2.12.m12.1b"><apply id="S1.SS3.p2.12.m12.1.2.cmml" xref="S1.SS3.p2.12.m12.1.2"><times id="S1.SS3.p2.12.m12.1.2.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.12.m12.1.2.1"></times><apply id="S1.SS3.p2.12.m12.1.2.2.cmml" xref="S1.SS3.p2.12.m12.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.SS3.p2.12.m12.1.2.2.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.12.m12.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S1.SS3.p2.12.m12.1.2.2.2.cmml" xref="S1.SS3.p2.12.m12.1.2.2.2">ℙ</ci><ci id="S1.SS3.p2.12.m12.1.2.2.3.cmml" xref="S1.SS3.p2.12.m12.1.2.2.3">𝜃</ci></apply><apply id="S1.SS3.p2.12.m12.1.2.3.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.12.m12.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S1.SS3.p2.12.m12.1.2.3.1.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.12.m12.1.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S1.SS3.p2.12.m12.1.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.12.m12.1.1">⋅</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS3.p2.12.m12.1c">\mathbb{P}_{\theta}[\cdot]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS3.p2.12.m12.1d">blackboard_P start_POSTSUBSCRIPT italic_θ end_POSTSUBSCRIPT [ ⋅ ]</annotation></semantics></math> denotes the probability density function with <math alttext="\theta" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS3.p2.13.m13.1"><semantics id="S1.SS3.p2.13.m13.1a"><mi id="S1.SS3.p2.13.m13.1.1" xref="S1.SS3.p2.13.m13.1.1.cmml">θ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS3.p2.13.m13.1b"><ci id="S1.SS3.p2.13.m13.1.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.13.m13.1.1">𝜃</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS3.p2.13.m13.1c">\theta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS3.p2.13.m13.1d">italic_θ</annotation></semantics></math> as parameters. <math alttext="\mathbb{E}_{\theta}[\cdot]" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS3.p2.14.m14.1"><semantics id="S1.SS3.p2.14.m14.1a"><mrow id="S1.SS3.p2.14.m14.1.2" xref="S1.SS3.p2.14.m14.1.2.cmml"><msub id="S1.SS3.p2.14.m14.1.2.2" xref="S1.SS3.p2.14.m14.1.2.2.cmml"><mi id="S1.SS3.p2.14.m14.1.2.2.2" xref="S1.SS3.p2.14.m14.1.2.2.2.cmml">𝔼</mi><mi id="S1.SS3.p2.14.m14.1.2.2.3" xref="S1.SS3.p2.14.m14.1.2.2.3.cmml">θ</mi></msub><mo id="S1.SS3.p2.14.m14.1.2.1" xref="S1.SS3.p2.14.m14.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.SS3.p2.14.m14.1.2.3.2" xref="S1.SS3.p2.14.m14.1.2.3.1.cmml"><mo id="S1.SS3.p2.14.m14.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.SS3.p2.14.m14.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mo id="S1.SS3.p2.14.m14.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S1.SS3.p2.14.m14.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S1.SS3.p2.14.m14.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.SS3.p2.14.m14.1.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS3.p2.14.m14.1b"><apply id="S1.SS3.p2.14.m14.1.2.cmml" xref="S1.SS3.p2.14.m14.1.2"><times id="S1.SS3.p2.14.m14.1.2.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.14.m14.1.2.1"></times><apply id="S1.SS3.p2.14.m14.1.2.2.cmml" xref="S1.SS3.p2.14.m14.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.SS3.p2.14.m14.1.2.2.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.14.m14.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S1.SS3.p2.14.m14.1.2.2.2.cmml" xref="S1.SS3.p2.14.m14.1.2.2.2">𝔼</ci><ci id="S1.SS3.p2.14.m14.1.2.2.3.cmml" xref="S1.SS3.p2.14.m14.1.2.2.3">𝜃</ci></apply><apply id="S1.SS3.p2.14.m14.1.2.3.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.14.m14.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S1.SS3.p2.14.m14.1.2.3.1.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.14.m14.1.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S1.SS3.p2.14.m14.1.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.14.m14.1.1">⋅</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS3.p2.14.m14.1c">\mathbb{E}_{\theta}[\cdot]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS3.p2.14.m14.1d">blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_θ end_POSTSUBSCRIPT [ ⋅ ]</annotation></semantics></math> denotes the expectation operator with respect to the distribution <math alttext="\mathbb{P}_{\theta}[\cdot]" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS3.p2.15.m15.1"><semantics id="S1.SS3.p2.15.m15.1a"><mrow id="S1.SS3.p2.15.m15.1.2" xref="S1.SS3.p2.15.m15.1.2.cmml"><msub id="S1.SS3.p2.15.m15.1.2.2" xref="S1.SS3.p2.15.m15.1.2.2.cmml"><mi id="S1.SS3.p2.15.m15.1.2.2.2" xref="S1.SS3.p2.15.m15.1.2.2.2.cmml">ℙ</mi><mi id="S1.SS3.p2.15.m15.1.2.2.3" xref="S1.SS3.p2.15.m15.1.2.2.3.cmml">θ</mi></msub><mo id="S1.SS3.p2.15.m15.1.2.1" xref="S1.SS3.p2.15.m15.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.SS3.p2.15.m15.1.2.3.2" xref="S1.SS3.p2.15.m15.1.2.3.1.cmml"><mo id="S1.SS3.p2.15.m15.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.SS3.p2.15.m15.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mo id="S1.SS3.p2.15.m15.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S1.SS3.p2.15.m15.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S1.SS3.p2.15.m15.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.SS3.p2.15.m15.1.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS3.p2.15.m15.1b"><apply id="S1.SS3.p2.15.m15.1.2.cmml" xref="S1.SS3.p2.15.m15.1.2"><times id="S1.SS3.p2.15.m15.1.2.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.15.m15.1.2.1"></times><apply id="S1.SS3.p2.15.m15.1.2.2.cmml" xref="S1.SS3.p2.15.m15.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.SS3.p2.15.m15.1.2.2.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.15.m15.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S1.SS3.p2.15.m15.1.2.2.2.cmml" xref="S1.SS3.p2.15.m15.1.2.2.2">ℙ</ci><ci id="S1.SS3.p2.15.m15.1.2.2.3.cmml" xref="S1.SS3.p2.15.m15.1.2.2.3">𝜃</ci></apply><apply id="S1.SS3.p2.15.m15.1.2.3.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.15.m15.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S1.SS3.p2.15.m15.1.2.3.1.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.15.m15.1.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S1.SS3.p2.15.m15.1.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.15.m15.1.1">⋅</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS3.p2.15.m15.1c">\mathbb{P}_{\theta}[\cdot]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS3.p2.15.m15.1d">blackboard_P start_POSTSUBSCRIPT italic_θ end_POSTSUBSCRIPT [ ⋅ ]</annotation></semantics></math>. <math alttext="\mathbb{S}^{n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS3.p2.16.m16.1"><semantics id="S1.SS3.p2.16.m16.1a"><msup id="S1.SS3.p2.16.m16.1.1" xref="S1.SS3.p2.16.m16.1.1.cmml"><mi id="S1.SS3.p2.16.m16.1.1.2" xref="S1.SS3.p2.16.m16.1.1.2.cmml">𝕊</mi><mi id="S1.SS3.p2.16.m16.1.1.3" xref="S1.SS3.p2.16.m16.1.1.3.cmml">n</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS3.p2.16.m16.1b"><apply id="S1.SS3.p2.16.m16.1.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.16.m16.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.SS3.p2.16.m16.1.1.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.16.m16.1.1">superscript</csymbol><ci id="S1.SS3.p2.16.m16.1.1.2.cmml" xref="S1.SS3.p2.16.m16.1.1.2">𝕊</ci><ci id="S1.SS3.p2.16.m16.1.1.3.cmml" xref="S1.SS3.p2.16.m16.1.1.3">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS3.p2.16.m16.1c">\mathbb{S}^{n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS3.p2.16.m16.1d">blackboard_S start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is the space of <math alttext="n\times n" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS3.p2.17.m17.1"><semantics id="S1.SS3.p2.17.m17.1a"><mrow id="S1.SS3.p2.17.m17.1.1" xref="S1.SS3.p2.17.m17.1.1.cmml"><mi id="S1.SS3.p2.17.m17.1.1.2" xref="S1.SS3.p2.17.m17.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S1.SS3.p2.17.m17.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S1.SS3.p2.17.m17.1.1.1.cmml">×</mo><mi id="S1.SS3.p2.17.m17.1.1.3" xref="S1.SS3.p2.17.m17.1.1.3.cmml">n</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS3.p2.17.m17.1b"><apply id="S1.SS3.p2.17.m17.1.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.17.m17.1.1"><times id="S1.SS3.p2.17.m17.1.1.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.17.m17.1.1.1"></times><ci id="S1.SS3.p2.17.m17.1.1.2.cmml" xref="S1.SS3.p2.17.m17.1.1.2">𝑛</ci><ci id="S1.SS3.p2.17.m17.1.1.3.cmml" xref="S1.SS3.p2.17.m17.1.1.3">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS3.p2.17.m17.1c">n\times n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS3.p2.17.m17.1d">italic_n × italic_n</annotation></semantics></math> symmetric matrices and <math alttext="\mathbb{S}_{\succ 0}^{n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS3.p2.18.m18.1"><semantics id="S1.SS3.p2.18.m18.1a"><msubsup id="S1.SS3.p2.18.m18.1.1" xref="S1.SS3.p2.18.m18.1.1.cmml"><mi id="S1.SS3.p2.18.m18.1.1.2.2" xref="S1.SS3.p2.18.m18.1.1.2.2.cmml">𝕊</mi><mrow id="S1.SS3.p2.18.m18.1.1.2.3" xref="S1.SS3.p2.18.m18.1.1.2.3.cmml"><mi id="S1.SS3.p2.18.m18.1.1.2.3.2" xref="S1.SS3.p2.18.m18.1.1.2.3.2.cmml"></mi><mo id="S1.SS3.p2.18.m18.1.1.2.3.1" xref="S1.SS3.p2.18.m18.1.1.2.3.1.cmml">≻</mo><mn id="S1.SS3.p2.18.m18.1.1.2.3.3" xref="S1.SS3.p2.18.m18.1.1.2.3.3.cmml">0</mn></mrow><mi id="S1.SS3.p2.18.m18.1.1.3" xref="S1.SS3.p2.18.m18.1.1.3.cmml">n</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS3.p2.18.m18.1b"><apply id="S1.SS3.p2.18.m18.1.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.18.m18.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.SS3.p2.18.m18.1.1.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.18.m18.1.1">superscript</csymbol><apply id="S1.SS3.p2.18.m18.1.1.2.cmml" xref="S1.SS3.p2.18.m18.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.SS3.p2.18.m18.1.1.2.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.18.m18.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.SS3.p2.18.m18.1.1.2.2.cmml" xref="S1.SS3.p2.18.m18.1.1.2.2">𝕊</ci><apply id="S1.SS3.p2.18.m18.1.1.2.3.cmml" xref="S1.SS3.p2.18.m18.1.1.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S1.SS3.p2.18.m18.1.1.2.3.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.18.m18.1.1.2.3.1">succeeds</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S1.SS3.p2.18.m18.1.1.2.3.2.cmml" xref="S1.SS3.p2.18.m18.1.1.2.3.2">absent</csymbol><cn id="S1.SS3.p2.18.m18.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.SS3.p2.18.m18.1.1.2.3.3">0</cn></apply></apply><ci id="S1.SS3.p2.18.m18.1.1.3.cmml" xref="S1.SS3.p2.18.m18.1.1.3">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS3.p2.18.m18.1c">\mathbb{S}_{\succ 0}^{n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS3.p2.18.m18.1d">blackboard_S start_POSTSUBSCRIPT ≻ 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> (<math alttext="\mathbb{S}_{\succcurlyeq 0}^{n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS3.p2.19.m19.1"><semantics id="S1.SS3.p2.19.m19.1a"><msubsup id="S1.SS3.p2.19.m19.1.1" xref="S1.SS3.p2.19.m19.1.1.cmml"><mi id="S1.SS3.p2.19.m19.1.1.2.2" xref="S1.SS3.p2.19.m19.1.1.2.2.cmml">𝕊</mi><mrow id="S1.SS3.p2.19.m19.1.1.2.3" xref="S1.SS3.p2.19.m19.1.1.2.3.cmml"><mi id="S1.SS3.p2.19.m19.1.1.2.3.2" xref="S1.SS3.p2.19.m19.1.1.2.3.2.cmml"></mi><mo id="S1.SS3.p2.19.m19.1.1.2.3.1" xref="S1.SS3.p2.19.m19.1.1.2.3.1.cmml">≽</mo><mn id="S1.SS3.p2.19.m19.1.1.2.3.3" xref="S1.SS3.p2.19.m19.1.1.2.3.3.cmml">0</mn></mrow><mi id="S1.SS3.p2.19.m19.1.1.3" xref="S1.SS3.p2.19.m19.1.1.3.cmml">n</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS3.p2.19.m19.1b"><apply id="S1.SS3.p2.19.m19.1.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.19.m19.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.SS3.p2.19.m19.1.1.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.19.m19.1.1">superscript</csymbol><apply id="S1.SS3.p2.19.m19.1.1.2.cmml" xref="S1.SS3.p2.19.m19.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.SS3.p2.19.m19.1.1.2.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.19.m19.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.SS3.p2.19.m19.1.1.2.2.cmml" xref="S1.SS3.p2.19.m19.1.1.2.2">𝕊</ci><apply id="S1.SS3.p2.19.m19.1.1.2.3.cmml" xref="S1.SS3.p2.19.m19.1.1.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S1.SS3.p2.19.m19.1.1.2.3.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.19.m19.1.1.2.3.1">succeeds-or-equals</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S1.SS3.p2.19.m19.1.1.2.3.2.cmml" xref="S1.SS3.p2.19.m19.1.1.2.3.2">absent</csymbol><cn id="S1.SS3.p2.19.m19.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.SS3.p2.19.m19.1.1.2.3.3">0</cn></apply></apply><ci id="S1.SS3.p2.19.m19.1.1.3.cmml" xref="S1.SS3.p2.19.m19.1.1.3">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS3.p2.19.m19.1c">\mathbb{S}_{\succcurlyeq 0}^{n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS3.p2.19.m19.1d">blackboard_S start_POSTSUBSCRIPT ≽ 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>) is the cone of positive (semi-)definite matrices. Given two square matrices <math alttext="A" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS3.p2.20.m20.1"><semantics id="S1.SS3.p2.20.m20.1a"><mi id="S1.SS3.p2.20.m20.1.1" xref="S1.SS3.p2.20.m20.1.1.cmml">A</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS3.p2.20.m20.1b"><ci id="S1.SS3.p2.20.m20.1.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.20.m20.1.1">𝐴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS3.p2.20.m20.1c">A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS3.p2.20.m20.1d">italic_A</annotation></semantics></math>, <math alttext="B" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS3.p2.21.m21.1"><semantics id="S1.SS3.p2.21.m21.1a"><mi id="S1.SS3.p2.21.m21.1.1" xref="S1.SS3.p2.21.m21.1.1.cmml">B</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS3.p2.21.m21.1b"><ci id="S1.SS3.p2.21.m21.1.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.21.m21.1.1">𝐵</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS3.p2.21.m21.1c">B</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS3.p2.21.m21.1d">italic_B</annotation></semantics></math> of compatible dimension, <math alttext="A\succcurlyeq B" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS3.p2.22.m22.1"><semantics id="S1.SS3.p2.22.m22.1a"><mrow id="S1.SS3.p2.22.m22.1.1" xref="S1.SS3.p2.22.m22.1.1.cmml"><mi id="S1.SS3.p2.22.m22.1.1.2" xref="S1.SS3.p2.22.m22.1.1.2.cmml">A</mi><mo id="S1.SS3.p2.22.m22.1.1.1" xref="S1.SS3.p2.22.m22.1.1.1.cmml">≽</mo><mi id="S1.SS3.p2.22.m22.1.1.3" xref="S1.SS3.p2.22.m22.1.1.3.cmml">B</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS3.p2.22.m22.1b"><apply id="S1.SS3.p2.22.m22.1.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.22.m22.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S1.SS3.p2.22.m22.1.1.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.22.m22.1.1.1">succeeds-or-equals</csymbol><ci id="S1.SS3.p2.22.m22.1.1.2.cmml" xref="S1.SS3.p2.22.m22.1.1.2">𝐴</ci><ci id="S1.SS3.p2.22.m22.1.1.3.cmml" xref="S1.SS3.p2.22.m22.1.1.3">𝐵</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS3.p2.22.m22.1c">A\succcurlyeq B</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS3.p2.22.m22.1d">italic_A ≽ italic_B</annotation></semantics></math> means that <math alttext="A-B" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS3.p2.23.m23.1"><semantics id="S1.SS3.p2.23.m23.1a"><mrow id="S1.SS3.p2.23.m23.1.1" xref="S1.SS3.p2.23.m23.1.1.cmml"><mi id="S1.SS3.p2.23.m23.1.1.2" xref="S1.SS3.p2.23.m23.1.1.2.cmml">A</mi><mo id="S1.SS3.p2.23.m23.1.1.1" xref="S1.SS3.p2.23.m23.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S1.SS3.p2.23.m23.1.1.3" xref="S1.SS3.p2.23.m23.1.1.3.cmml">B</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS3.p2.23.m23.1b"><apply id="S1.SS3.p2.23.m23.1.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.23.m23.1.1"><minus id="S1.SS3.p2.23.m23.1.1.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.23.m23.1.1.1"></minus><ci id="S1.SS3.p2.23.m23.1.1.2.cmml" xref="S1.SS3.p2.23.m23.1.1.2">𝐴</ci><ci id="S1.SS3.p2.23.m23.1.1.3.cmml" xref="S1.SS3.p2.23.m23.1.1.3">𝐵</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS3.p2.23.m23.1c">A-B</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS3.p2.23.m23.1d">italic_A - italic_B</annotation></semantics></math> is positive semidefinite. For a random sequence <math alttext="\{x(t)\}_{t\geq 1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS3.p2.24.m24.2"><semantics id="S1.SS3.p2.24.m24.2a"><msub id="S1.SS3.p2.24.m24.2.2" xref="S1.SS3.p2.24.m24.2.2.cmml"><mrow id="S1.SS3.p2.24.m24.2.2.1.1" xref="S1.SS3.p2.24.m24.2.2.1.2.cmml"><mo id="S1.SS3.p2.24.m24.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.SS3.p2.24.m24.2.2.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S1.SS3.p2.24.m24.2.2.1.1.1" xref="S1.SS3.p2.24.m24.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S1.SS3.p2.24.m24.2.2.1.1.1.2" xref="S1.SS3.p2.24.m24.2.2.1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S1.SS3.p2.24.m24.2.2.1.1.1.1" xref="S1.SS3.p2.24.m24.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.SS3.p2.24.m24.2.2.1.1.1.3.2" xref="S1.SS3.p2.24.m24.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S1.SS3.p2.24.m24.2.2.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.SS3.p2.24.m24.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S1.SS3.p2.24.m24.1.1" xref="S1.SS3.p2.24.m24.1.1.cmml">t</mi><mo id="S1.SS3.p2.24.m24.2.2.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.SS3.p2.24.m24.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.SS3.p2.24.m24.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.SS3.p2.24.m24.2.2.1.2.cmml">}</mo></mrow><mrow id="S1.SS3.p2.24.m24.2.2.3" xref="S1.SS3.p2.24.m24.2.2.3.cmml"><mi id="S1.SS3.p2.24.m24.2.2.3.2" xref="S1.SS3.p2.24.m24.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S1.SS3.p2.24.m24.2.2.3.1" xref="S1.SS3.p2.24.m24.2.2.3.1.cmml">≥</mo><mn id="S1.SS3.p2.24.m24.2.2.3.3" xref="S1.SS3.p2.24.m24.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS3.p2.24.m24.2b"><apply id="S1.SS3.p2.24.m24.2.2.cmml" xref="S1.SS3.p2.24.m24.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.SS3.p2.24.m24.2.2.2.cmml" xref="S1.SS3.p2.24.m24.2.2">subscript</csymbol><set id="S1.SS3.p2.24.m24.2.2.1.2.cmml" xref="S1.SS3.p2.24.m24.2.2.1.1"><apply id="S1.SS3.p2.24.m24.2.2.1.1.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.24.m24.2.2.1.1.1"><times id="S1.SS3.p2.24.m24.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.24.m24.2.2.1.1.1.1"></times><ci id="S1.SS3.p2.24.m24.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S1.SS3.p2.24.m24.2.2.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S1.SS3.p2.24.m24.1.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.24.m24.1.1">𝑡</ci></apply></set><apply id="S1.SS3.p2.24.m24.2.2.3.cmml" xref="S1.SS3.p2.24.m24.2.2.3"><geq id="S1.SS3.p2.24.m24.2.2.3.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.24.m24.2.2.3.1"></geq><ci id="S1.SS3.p2.24.m24.2.2.3.2.cmml" xref="S1.SS3.p2.24.m24.2.2.3.2">𝑡</ci><cn id="S1.SS3.p2.24.m24.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.SS3.p2.24.m24.2.2.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS3.p2.24.m24.2c">\{x(t)\}_{t\geq 1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS3.p2.24.m24.2d">{ italic_x ( italic_t ) } start_POSTSUBSCRIPT italic_t ≥ 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="x(1:t)" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S1.SS3.p2.25.m25.1"><semantics id="S1.SS3.p2.25.m25.1a"><mrow id="S1.SS3.p2.25.m25.1b"><mi id="S1.SS3.p2.25.m25.1.1">x</mi><mrow id="S1.SS3.p2.25.m25.1.2"><mo id="S1.SS3.p2.25.m25.1.2.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S1.SS3.p2.25.m25.1.2.2">1</mn><mo id="S1.SS3.p2.25.m25.1.2.3" lspace="0.278em" rspace="0.278em">:</mo><mi id="S1.SS3.p2.25.m25.1.2.4">t</mi><mo id="S1.SS3.p2.25.m25.1.2.5" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS3.p2.25.m25.1c">x(1:t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS3.p2.25.m25.1d">italic_x ( 1 : italic_t )</annotation></semantics></math> denotes <math alttext="\{x(1),\cdots,x(t)\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS3.p2.26.m26.5"><semantics id="S1.SS3.p2.26.m26.5a"><mrow id="S1.SS3.p2.26.m26.5.5.2" xref="S1.SS3.p2.26.m26.5.5.3.cmml"><mo id="S1.SS3.p2.26.m26.5.5.2.3" stretchy="false" xref="S1.SS3.p2.26.m26.5.5.3.cmml">{</mo><mrow id="S1.SS3.p2.26.m26.4.4.1.1" xref="S1.SS3.p2.26.m26.4.4.1.1.cmml"><mi id="S1.SS3.p2.26.m26.4.4.1.1.2" xref="S1.SS3.p2.26.m26.4.4.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S1.SS3.p2.26.m26.4.4.1.1.1" xref="S1.SS3.p2.26.m26.4.4.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.SS3.p2.26.m26.4.4.1.1.3.2" xref="S1.SS3.p2.26.m26.4.4.1.1.cmml"><mo id="S1.SS3.p2.26.m26.4.4.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.SS3.p2.26.m26.4.4.1.1.cmml">(</mo><mn id="S1.SS3.p2.26.m26.1.1" xref="S1.SS3.p2.26.m26.1.1.cmml">1</mn><mo id="S1.SS3.p2.26.m26.4.4.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.SS3.p2.26.m26.4.4.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.SS3.p2.26.m26.5.5.2.4" xref="S1.SS3.p2.26.m26.5.5.3.cmml">,</mo><mi id="S1.SS3.p2.26.m26.3.3" mathvariant="normal" xref="S1.SS3.p2.26.m26.3.3.cmml">⋯</mi><mo id="S1.SS3.p2.26.m26.5.5.2.5" xref="S1.SS3.p2.26.m26.5.5.3.cmml">,</mo><mrow id="S1.SS3.p2.26.m26.5.5.2.2" xref="S1.SS3.p2.26.m26.5.5.2.2.cmml"><mi id="S1.SS3.p2.26.m26.5.5.2.2.2" xref="S1.SS3.p2.26.m26.5.5.2.2.2.cmml">x</mi><mo id="S1.SS3.p2.26.m26.5.5.2.2.1" xref="S1.SS3.p2.26.m26.5.5.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.SS3.p2.26.m26.5.5.2.2.3.2" xref="S1.SS3.p2.26.m26.5.5.2.2.cmml"><mo id="S1.SS3.p2.26.m26.5.5.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.SS3.p2.26.m26.5.5.2.2.cmml">(</mo><mi id="S1.SS3.p2.26.m26.2.2" xref="S1.SS3.p2.26.m26.2.2.cmml">t</mi><mo id="S1.SS3.p2.26.m26.5.5.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.SS3.p2.26.m26.5.5.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.SS3.p2.26.m26.5.5.2.6" stretchy="false" xref="S1.SS3.p2.26.m26.5.5.3.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS3.p2.26.m26.5b"><set id="S1.SS3.p2.26.m26.5.5.3.cmml" xref="S1.SS3.p2.26.m26.5.5.2"><apply id="S1.SS3.p2.26.m26.4.4.1.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.26.m26.4.4.1.1"><times id="S1.SS3.p2.26.m26.4.4.1.1.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.26.m26.4.4.1.1.1"></times><ci id="S1.SS3.p2.26.m26.4.4.1.1.2.cmml" xref="S1.SS3.p2.26.m26.4.4.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S1.SS3.p2.26.m26.1.1.cmml" type="integer" xref="S1.SS3.p2.26.m26.1.1">1</cn></apply><ci id="S1.SS3.p2.26.m26.3.3.cmml" xref="S1.SS3.p2.26.m26.3.3">⋯</ci><apply id="S1.SS3.p2.26.m26.5.5.2.2.cmml" xref="S1.SS3.p2.26.m26.5.5.2.2"><times id="S1.SS3.p2.26.m26.5.5.2.2.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.26.m26.5.5.2.2.1"></times><ci id="S1.SS3.p2.26.m26.5.5.2.2.2.cmml" xref="S1.SS3.p2.26.m26.5.5.2.2.2">𝑥</ci><ci id="S1.SS3.p2.26.m26.2.2.cmml" xref="S1.SS3.p2.26.m26.2.2">𝑡</ci></apply></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS3.p2.26.m26.5c">\{x(1),\cdots,x(t)\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS3.p2.26.m26.5d">{ italic_x ( 1 ) , ⋯ , italic_x ( italic_t ) }</annotation></semantics></math>, <math alttext="\sigma(x(1:t))" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S1.SS3.p2.27.m27.1"><semantics id="S1.SS3.p2.27.m27.1a"><mrow id="S1.SS3.p2.27.m27.1b"><mi id="S1.SS3.p2.27.m27.1.1">σ</mi><mrow id="S1.SS3.p2.27.m27.1.2"><mo id="S1.SS3.p2.27.m27.1.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S1.SS3.p2.27.m27.1.2.2">x</mi><mrow id="S1.SS3.p2.27.m27.1.2.3"><mo id="S1.SS3.p2.27.m27.1.2.3.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S1.SS3.p2.27.m27.1.2.3.2">1</mn><mo id="S1.SS3.p2.27.m27.1.2.3.3" lspace="0.278em" rspace="0.278em">:</mo><mi id="S1.SS3.p2.27.m27.1.2.3.4">t</mi><mo id="S1.SS3.p2.27.m27.1.2.3.5" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S1.SS3.p2.27.m27.1.2.4" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS3.p2.27.m27.1c">\sigma(x(1:t))</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS3.p2.27.m27.1d">italic_σ ( italic_x ( 1 : italic_t ) )</annotation></semantics></math> denotes the sigma field generated by random variables <math alttext="x(1:t)" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S1.SS3.p2.28.m28.1"><semantics id="S1.SS3.p2.28.m28.1a"><mrow id="S1.SS3.p2.28.m28.1b"><mi id="S1.SS3.p2.28.m28.1.1">x</mi><mrow id="S1.SS3.p2.28.m28.1.2"><mo id="S1.SS3.p2.28.m28.1.2.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S1.SS3.p2.28.m28.1.2.2">1</mn><mo id="S1.SS3.p2.28.m28.1.2.3" lspace="0.278em" rspace="0.278em">:</mo><mi id="S1.SS3.p2.28.m28.1.2.4">t</mi><mo id="S1.SS3.p2.28.m28.1.2.5" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS3.p2.28.m28.1c">x(1:t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS3.p2.28.m28.1d">italic_x ( 1 : italic_t )</annotation></semantics></math>. For a sequence <math alttext="\{s_{t}\}_{t\in\mathbb{N}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS3.p2.29.m29.1"><semantics id="S1.SS3.p2.29.m29.1a"><msub id="S1.SS3.p2.29.m29.1.1" xref="S1.SS3.p2.29.m29.1.1.cmml"><mrow id="S1.SS3.p2.29.m29.1.1.1.1" xref="S1.SS3.p2.29.m29.1.1.1.2.cmml"><mo id="S1.SS3.p2.29.m29.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.SS3.p2.29.m29.1.1.1.2.cmml">{</mo><msub id="S1.SS3.p2.29.m29.1.1.1.1.1" xref="S1.SS3.p2.29.m29.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.SS3.p2.29.m29.1.1.1.1.1.2" xref="S1.SS3.p2.29.m29.1.1.1.1.1.2.cmml">s</mi><mi id="S1.SS3.p2.29.m29.1.1.1.1.1.3" xref="S1.SS3.p2.29.m29.1.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S1.SS3.p2.29.m29.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.SS3.p2.29.m29.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><mrow id="S1.SS3.p2.29.m29.1.1.3" xref="S1.SS3.p2.29.m29.1.1.3.cmml"><mi id="S1.SS3.p2.29.m29.1.1.3.2" xref="S1.SS3.p2.29.m29.1.1.3.2.cmml">t</mi><mo id="S1.SS3.p2.29.m29.1.1.3.1" xref="S1.SS3.p2.29.m29.1.1.3.1.cmml">∈</mo><mi id="S1.SS3.p2.29.m29.1.1.3.3" xref="S1.SS3.p2.29.m29.1.1.3.3.cmml">ℕ</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS3.p2.29.m29.1b"><apply id="S1.SS3.p2.29.m29.1.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.29.m29.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.SS3.p2.29.m29.1.1.2.cmml" xref="S1.SS3.p2.29.m29.1.1">subscript</csymbol><set id="S1.SS3.p2.29.m29.1.1.1.2.cmml" xref="S1.SS3.p2.29.m29.1.1.1.1"><apply id="S1.SS3.p2.29.m29.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.29.m29.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.SS3.p2.29.m29.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.29.m29.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.SS3.p2.29.m29.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.SS3.p2.29.m29.1.1.1.1.1.2">𝑠</ci><ci id="S1.SS3.p2.29.m29.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.SS3.p2.29.m29.1.1.1.1.1.3">𝑡</ci></apply></set><apply id="S1.SS3.p2.29.m29.1.1.3.cmml" xref="S1.SS3.p2.29.m29.1.1.3"><in id="S1.SS3.p2.29.m29.1.1.3.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.29.m29.1.1.3.1"></in><ci id="S1.SS3.p2.29.m29.1.1.3.2.cmml" xref="S1.SS3.p2.29.m29.1.1.3.2">𝑡</ci><ci id="S1.SS3.p2.29.m29.1.1.3.3.cmml" xref="S1.SS3.p2.29.m29.1.1.3.3">ℕ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS3.p2.29.m29.1c">\{s_{t}\}_{t\in\mathbb{N}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS3.p2.29.m29.1d">{ italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT } start_POSTSUBSCRIPT italic_t ∈ blackboard_N end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="s_{T}=\mathcal{O}(T)" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS3.p2.30.m30.1"><semantics id="S1.SS3.p2.30.m30.1a"><mrow id="S1.SS3.p2.30.m30.1.2" xref="S1.SS3.p2.30.m30.1.2.cmml"><msub id="S1.SS3.p2.30.m30.1.2.2" xref="S1.SS3.p2.30.m30.1.2.2.cmml"><mi id="S1.SS3.p2.30.m30.1.2.2.2" xref="S1.SS3.p2.30.m30.1.2.2.2.cmml">s</mi><mi id="S1.SS3.p2.30.m30.1.2.2.3" xref="S1.SS3.p2.30.m30.1.2.2.3.cmml">T</mi></msub><mo id="S1.SS3.p2.30.m30.1.2.1" xref="S1.SS3.p2.30.m30.1.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S1.SS3.p2.30.m30.1.2.3" xref="S1.SS3.p2.30.m30.1.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S1.SS3.p2.30.m30.1.2.3.2" xref="S1.SS3.p2.30.m30.1.2.3.2.cmml">𝒪</mi><mo id="S1.SS3.p2.30.m30.1.2.3.1" xref="S1.SS3.p2.30.m30.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.SS3.p2.30.m30.1.2.3.3.2" xref="S1.SS3.p2.30.m30.1.2.3.cmml"><mo id="S1.SS3.p2.30.m30.1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.SS3.p2.30.m30.1.2.3.cmml">(</mo><mi id="S1.SS3.p2.30.m30.1.1" xref="S1.SS3.p2.30.m30.1.1.cmml">T</mi><mo id="S1.SS3.p2.30.m30.1.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.SS3.p2.30.m30.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS3.p2.30.m30.1b"><apply id="S1.SS3.p2.30.m30.1.2.cmml" xref="S1.SS3.p2.30.m30.1.2"><eq id="S1.SS3.p2.30.m30.1.2.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.30.m30.1.2.1"></eq><apply id="S1.SS3.p2.30.m30.1.2.2.cmml" xref="S1.SS3.p2.30.m30.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.SS3.p2.30.m30.1.2.2.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.30.m30.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S1.SS3.p2.30.m30.1.2.2.2.cmml" xref="S1.SS3.p2.30.m30.1.2.2.2">𝑠</ci><ci id="S1.SS3.p2.30.m30.1.2.2.3.cmml" xref="S1.SS3.p2.30.m30.1.2.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="S1.SS3.p2.30.m30.1.2.3.cmml" xref="S1.SS3.p2.30.m30.1.2.3"><times id="S1.SS3.p2.30.m30.1.2.3.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.30.m30.1.2.3.1"></times><ci id="S1.SS3.p2.30.m30.1.2.3.2.cmml" xref="S1.SS3.p2.30.m30.1.2.3.2">𝒪</ci><ci id="S1.SS3.p2.30.m30.1.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.30.m30.1.1">𝑇</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS3.p2.30.m30.1c">s_{T}=\mathcal{O}(T)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS3.p2.30.m30.1d">italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_T end_POSTSUBSCRIPT = caligraphic_O ( italic_T )</annotation></semantics></math> indicates that <math alttext="\lim\sup_{T\rightarrow\infty}s_{T}/T\textless\infty" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS3.p2.31.m31.1"><semantics id="S1.SS3.p2.31.m31.1a"><mrow id="S1.SS3.p2.31.m31.1.1" xref="S1.SS3.p2.31.m31.1.1.cmml"><mrow id="S1.SS3.p2.31.m31.1.1.2" xref="S1.SS3.p2.31.m31.1.1.2.cmml"><mo id="S1.SS3.p2.31.m31.1.1.2.1" rspace="0.0835em" xref="S1.SS3.p2.31.m31.1.1.2.1.cmml">lim</mo><mrow id="S1.SS3.p2.31.m31.1.1.2.2" xref="S1.SS3.p2.31.m31.1.1.2.2.cmml"><msub id="S1.SS3.p2.31.m31.1.1.2.2.1" xref="S1.SS3.p2.31.m31.1.1.2.2.1.cmml"><mo id="S1.SS3.p2.31.m31.1.1.2.2.1.2" lspace="0.0835em" rspace="0.167em" xref="S1.SS3.p2.31.m31.1.1.2.2.1.2.cmml">sup</mo><mrow id="S1.SS3.p2.31.m31.1.1.2.2.1.3" xref="S1.SS3.p2.31.m31.1.1.2.2.1.3.cmml"><mi id="S1.SS3.p2.31.m31.1.1.2.2.1.3.2" xref="S1.SS3.p2.31.m31.1.1.2.2.1.3.2.cmml">T</mi><mo id="S1.SS3.p2.31.m31.1.1.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S1.SS3.p2.31.m31.1.1.2.2.1.3.1.cmml">→</mo><mi id="S1.SS3.p2.31.m31.1.1.2.2.1.3.3" mathvariant="normal" xref="S1.SS3.p2.31.m31.1.1.2.2.1.3.3.cmml">∞</mi></mrow></msub><mrow id="S1.SS3.p2.31.m31.1.1.2.2.2" xref="S1.SS3.p2.31.m31.1.1.2.2.2.cmml"><msub id="S1.SS3.p2.31.m31.1.1.2.2.2.2" xref="S1.SS3.p2.31.m31.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S1.SS3.p2.31.m31.1.1.2.2.2.2.2" xref="S1.SS3.p2.31.m31.1.1.2.2.2.2.2.cmml">s</mi><mi id="S1.SS3.p2.31.m31.1.1.2.2.2.2.3" xref="S1.SS3.p2.31.m31.1.1.2.2.2.2.3.cmml">T</mi></msub><mo id="S1.SS3.p2.31.m31.1.1.2.2.2.1" xref="S1.SS3.p2.31.m31.1.1.2.2.2.1.cmml">/</mo><mi id="S1.SS3.p2.31.m31.1.1.2.2.2.3" xref="S1.SS3.p2.31.m31.1.1.2.2.2.3.cmml">T</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.SS3.p2.31.m31.1.1.1" xref="S1.SS3.p2.31.m31.1.1.1.cmml"><</mo><mi id="S1.SS3.p2.31.m31.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S1.SS3.p2.31.m31.1.1.3.cmml">∞</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS3.p2.31.m31.1b"><apply id="S1.SS3.p2.31.m31.1.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.31.m31.1.1"><lt id="S1.SS3.p2.31.m31.1.1.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.31.m31.1.1.1"></lt><apply id="S1.SS3.p2.31.m31.1.1.2.cmml" xref="S1.SS3.p2.31.m31.1.1.2"><limit id="S1.SS3.p2.31.m31.1.1.2.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.31.m31.1.1.2.1"></limit><apply id="S1.SS3.p2.31.m31.1.1.2.2.cmml" xref="S1.SS3.p2.31.m31.1.1.2.2"><apply id="S1.SS3.p2.31.m31.1.1.2.2.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.31.m31.1.1.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.SS3.p2.31.m31.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.31.m31.1.1.2.2.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S1.SS3.p2.31.m31.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S1.SS3.p2.31.m31.1.1.2.2.1.2">supremum</csymbol><apply id="S1.SS3.p2.31.m31.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="S1.SS3.p2.31.m31.1.1.2.2.1.3"><ci id="S1.SS3.p2.31.m31.1.1.2.2.1.3.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.31.m31.1.1.2.2.1.3.1">→</ci><ci id="S1.SS3.p2.31.m31.1.1.2.2.1.3.2.cmml" xref="S1.SS3.p2.31.m31.1.1.2.2.1.3.2">𝑇</ci><infinity id="S1.SS3.p2.31.m31.1.1.2.2.1.3.3.cmml" xref="S1.SS3.p2.31.m31.1.1.2.2.1.3.3"></infinity></apply></apply><apply id="S1.SS3.p2.31.m31.1.1.2.2.2.cmml" xref="S1.SS3.p2.31.m31.1.1.2.2.2"><divide id="S1.SS3.p2.31.m31.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.31.m31.1.1.2.2.2.1"></divide><apply id="S1.SS3.p2.31.m31.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S1.SS3.p2.31.m31.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.SS3.p2.31.m31.1.1.2.2.2.2.1.cmml" 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id="S1.SS3.p2.33.m33.1.1.2.2.2.cmml" xref="S1.SS3.p2.33.m33.1.1.2.2.2"><divide id="S1.SS3.p2.33.m33.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.33.m33.1.1.2.2.2.1"></divide><apply id="S1.SS3.p2.33.m33.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S1.SS3.p2.33.m33.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.SS3.p2.33.m33.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.33.m33.1.1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S1.SS3.p2.33.m33.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S1.SS3.p2.33.m33.1.1.2.2.2.2.2">𝑠</ci><ci id="S1.SS3.p2.33.m33.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S1.SS3.p2.33.m33.1.1.2.2.2.2.3">𝑇</ci></apply><ci id="S1.SS3.p2.33.m33.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S1.SS3.p2.33.m33.1.1.2.2.2.3">𝑇</ci></apply></apply></apply><cn id="S1.SS3.p2.33.m33.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.SS3.p2.33.m33.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS3.p2.33.m33.1c">\lim\sup_{T\rightarrow\infty}s_{T}/T=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS3.p2.33.m33.1d">roman_lim roman_sup start_POSTSUBSCRIPT italic_T → ∞ end_POSTSUBSCRIPT italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_T end_POSTSUBSCRIPT / italic_T = 0</annotation></semantics></math>. Finally, <math alttext="I" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS3.p2.34.m34.1"><semantics id="S1.SS3.p2.34.m34.1a"><mi id="S1.SS3.p2.34.m34.1.1" xref="S1.SS3.p2.34.m34.1.1.cmml">I</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS3.p2.34.m34.1b"><ci id="S1.SS3.p2.34.m34.1.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.34.m34.1.1">𝐼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS3.p2.34.m34.1c">I</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS3.p2.34.m34.1d">italic_I</annotation></semantics></math> identifies a standard identity matrix. <math alttext="\mathcal{N}(\mu,\Sigma^{2})" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS3.p2.35.m35.2"><semantics id="S1.SS3.p2.35.m35.2a"><mrow id="S1.SS3.p2.35.m35.2.2" xref="S1.SS3.p2.35.m35.2.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S1.SS3.p2.35.m35.2.2.3" xref="S1.SS3.p2.35.m35.2.2.3.cmml">𝒩</mi><mo id="S1.SS3.p2.35.m35.2.2.2" xref="S1.SS3.p2.35.m35.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.SS3.p2.35.m35.2.2.1.1" xref="S1.SS3.p2.35.m35.2.2.1.2.cmml"><mo id="S1.SS3.p2.35.m35.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.SS3.p2.35.m35.2.2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S1.SS3.p2.35.m35.1.1" xref="S1.SS3.p2.35.m35.1.1.cmml">μ</mi><mo id="S1.SS3.p2.35.m35.2.2.1.1.3" xref="S1.SS3.p2.35.m35.2.2.1.2.cmml">,</mo><msup id="S1.SS3.p2.35.m35.2.2.1.1.1" xref="S1.SS3.p2.35.m35.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S1.SS3.p2.35.m35.2.2.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S1.SS3.p2.35.m35.2.2.1.1.1.2.cmml">Σ</mi><mn id="S1.SS3.p2.35.m35.2.2.1.1.1.3" xref="S1.SS3.p2.35.m35.2.2.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S1.SS3.p2.35.m35.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S1.SS3.p2.35.m35.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS3.p2.35.m35.2b"><apply id="S1.SS3.p2.35.m35.2.2.cmml" xref="S1.SS3.p2.35.m35.2.2"><times id="S1.SS3.p2.35.m35.2.2.2.cmml" xref="S1.SS3.p2.35.m35.2.2.2"></times><ci id="S1.SS3.p2.35.m35.2.2.3.cmml" xref="S1.SS3.p2.35.m35.2.2.3">𝒩</ci><interval closure="open" id="S1.SS3.p2.35.m35.2.2.1.2.cmml" xref="S1.SS3.p2.35.m35.2.2.1.1"><ci id="S1.SS3.p2.35.m35.1.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.35.m35.1.1">𝜇</ci><apply id="S1.SS3.p2.35.m35.2.2.1.1.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.35.m35.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.SS3.p2.35.m35.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.35.m35.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S1.SS3.p2.35.m35.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S1.SS3.p2.35.m35.2.2.1.1.1.2">Σ</ci><cn id="S1.SS3.p2.35.m35.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.SS3.p2.35.m35.2.2.1.1.1.3">2</cn></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS3.p2.35.m35.2c">\mathcal{N}(\mu,\Sigma^{2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS3.p2.35.m35.2d">caligraphic_N ( italic_μ , roman_Σ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> denotes the normal distribution of a random variable with mean <math alttext="\mu" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS3.p2.36.m36.1"><semantics id="S1.SS3.p2.36.m36.1a"><mi id="S1.SS3.p2.36.m36.1.1" xref="S1.SS3.p2.36.m36.1.1.cmml">μ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS3.p2.36.m36.1b"><ci id="S1.SS3.p2.36.m36.1.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.36.m36.1.1">𝜇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS3.p2.36.m36.1c">\mu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS3.p2.36.m36.1d">italic_μ</annotation></semantics></math> and standard deviation <math alttext="\Sigma" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS3.p2.37.m37.1"><semantics id="S1.SS3.p2.37.m37.1a"><mi id="S1.SS3.p2.37.m37.1.1" mathvariant="normal" xref="S1.SS3.p2.37.m37.1.1.cmml">Σ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS3.p2.37.m37.1b"><ci id="S1.SS3.p2.37.m37.1.1.cmml" xref="S1.SS3.p2.37.m37.1.1">Σ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS3.p2.37.m37.1c">\Sigma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS3.p2.37.m37.1d">roman_Σ</annotation></semantics></math>. In the remainder we will use Standing Assumption to postulate properties that hold throughout the paper.</p> </div> </section> </section> <section class="ltx_section" id="S2"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">2 </span>Mathematical formulation</h2> <div class="ltx_para" id="S2.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.p1.1">We now describe the system concerned in this paper, together with the main assumptions, and successively formalize the problem to be addressed.</p> </div> <section class="ltx_subsection" id="S2.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">2.1 </span>System model description</h3> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p1.17">Consider the following discrete-time, non-causal system characterized by random switching modes:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_table" id="S2.E1"> <tbody> <tr class="ltx_eqn_row" id="A1.EGx1"><td class="ltx_eqn_cell" colspan="4"></td></tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S2.E1.1"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle x_{c}(t)=A_{c}(s_{c}(t))x_{c}(t-1)+v_{c}(t)," class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E1.1.m1.4"><semantics id="S2.E1.1.m1.4a"><mrow id="S2.E1.1.m1.4.4.1" xref="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S2.E1.1.m1.4.4.1.1" xref="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.4" xref="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.4.cmml"><msub id="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.4.2" xref="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.4.2.cmml"><mi id="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.4.2.2" xref="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.4.2.2.cmml">x</mi><mi id="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.4.2.3" xref="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.4.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.4.1" xref="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.4.3.2" xref="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.4.cmml"><mo id="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.4.cmml">(</mo><mi id="S2.E1.1.m1.1.1" xref="S2.E1.1.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.3" xref="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.2" xref="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mrow id="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.2.2.cmml"><msub id="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.2.2.4" xref="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.2.2.4.cmml"><mi id="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.2.2.4.2" xref="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.2.2.4.2.cmml">A</mi><mi id="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.2.2.4.3" xref="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.2.2.4.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.2.2.3" xref="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">s</mi><mi id="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.E1.1.m1.2.2" xref="S2.E1.1.m1.2.2.cmml">t</mi><mo id="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.2.2.3a" xref="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.2.2.5" xref="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.2.2.5.cmml"><mi id="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.2.2.5.2" xref="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.2.2.5.2.cmml">x</mi><mi id="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.2.2.5.3" xref="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.2.2.5.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.2.2.3b" xref="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1" xref="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1" xref="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.2" xref="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1" xref="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.3" xref="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.2.3" xref="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.2.4" xref="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.2.4.cmml"><msub id="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.2.4.2" xref="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.2.4.2.cmml"><mi id="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.2.4.2.2" xref="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.2.4.2.2.cmml">v</mi><mi id="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.2.4.2.3" xref="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.2.4.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.2.4.1" xref="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.2.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.2.4.3.2" xref="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.2.4.cmml"><mo id="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.2.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.2.4.cmml">(</mo><mi id="S2.E1.1.m1.3.3" xref="S2.E1.1.m1.3.3.cmml">t</mi><mo id="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.2.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.2.4.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E1.1.m1.4.4.1.2" xref="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E1.1.m1.4b"><apply id="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S2.E1.1.m1.4.4.1"><eq id="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.3"></eq><apply id="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.4.cmml" xref="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.4"><times id="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.4.1.cmml" xref="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.4.1"></times><apply id="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.4.2.cmml" xref="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.4.2.1.cmml" xref="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.4.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.4.2.2.cmml" xref="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.4.2.2">𝑥</ci><ci id="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.4.2.3.cmml" xref="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.4.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="S2.E1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.E1.1.m1.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.2"><plus id="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.2.3"></plus><apply id="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.2.2"><times id="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.2.2.3"></times><apply id="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.2.2.4.cmml" xref="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.1.m1.4.4.1.1.2.2.4.1.cmml" 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ltx_align_right">(1a)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S2.E1.2"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle x_{a}(t)=A_{a}(s_{a}(t))x_{a}(t+1)+v_{a}(t)," class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E1.2.m1.4"><semantics id="S2.E1.2.m1.4a"><mrow id="S2.E1.2.m1.4.4.1" xref="S2.E1.2.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S2.E1.2.m1.4.4.1.1" xref="S2.E1.2.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S2.E1.2.m1.4.4.1.1.4" xref="S2.E1.2.m1.4.4.1.1.4.cmml"><msub id="S2.E1.2.m1.4.4.1.1.4.2" xref="S2.E1.2.m1.4.4.1.1.4.2.cmml"><mi id="S2.E1.2.m1.4.4.1.1.4.2.2" xref="S2.E1.2.m1.4.4.1.1.4.2.2.cmml">x</mi><mi id="S2.E1.2.m1.4.4.1.1.4.2.3" xref="S2.E1.2.m1.4.4.1.1.4.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S2.E1.2.m1.4.4.1.1.4.1" xref="S2.E1.2.m1.4.4.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E1.2.m1.4.4.1.1.4.3.2" xref="S2.E1.2.m1.4.4.1.1.4.cmml"><mo id="S2.E1.2.m1.4.4.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" 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ltx_align_right">(1b)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S2.E1.3"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle y(t)=C_{c}(s_{c}(t))x_{c}(t)+C_{a}(s_{a}(t))x_{a}(t)+v_{m}(t)," class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E1.3.m1.7"><semantics id="S2.E1.3.m1.7a"><mrow id="S2.E1.3.m1.7.7.1" xref="S2.E1.3.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S2.E1.3.m1.7.7.1.1" xref="S2.E1.3.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S2.E1.3.m1.7.7.1.1.4" xref="S2.E1.3.m1.7.7.1.1.4.cmml"><mi id="S2.E1.3.m1.7.7.1.1.4.2" xref="S2.E1.3.m1.7.7.1.1.4.2.cmml">y</mi><mo id="S2.E1.3.m1.7.7.1.1.4.1" xref="S2.E1.3.m1.7.7.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E1.3.m1.7.7.1.1.4.3.2" xref="S2.E1.3.m1.7.7.1.1.4.cmml"><mo id="S2.E1.3.m1.7.7.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E1.3.m1.7.7.1.1.4.cmml">(</mo><mi id="S2.E1.3.m1.1.1" xref="S2.E1.3.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S2.E1.3.m1.7.7.1.1.4.3.2.2" stretchy="false" 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xref="S2.E1.3.m1.7.7.1.1.2.4.2.cmml"><mi id="S2.E1.3.m1.7.7.1.1.2.4.2.2" xref="S2.E1.3.m1.7.7.1.1.2.4.2.2.cmml">v</mi><mi id="S2.E1.3.m1.7.7.1.1.2.4.2.3" xref="S2.E1.3.m1.7.7.1.1.2.4.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S2.E1.3.m1.7.7.1.1.2.4.1" xref="S2.E1.3.m1.7.7.1.1.2.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E1.3.m1.7.7.1.1.2.4.3.2" xref="S2.E1.3.m1.7.7.1.1.2.4.cmml"><mo id="S2.E1.3.m1.7.7.1.1.2.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E1.3.m1.7.7.1.1.2.4.cmml">(</mo><mi id="S2.E1.3.m1.6.6" xref="S2.E1.3.m1.6.6.cmml">t</mi><mo id="S2.E1.3.m1.7.7.1.1.2.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E1.3.m1.7.7.1.1.2.4.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E1.3.m1.7.7.1.2" xref="S2.E1.3.m1.7.7.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E1.3.m1.7b"><apply id="S2.E1.3.m1.7.7.1.1.cmml" xref="S2.E1.3.m1.7.7.1"><eq id="S2.E1.3.m1.7.7.1.1.3.cmml" xref="S2.E1.3.m1.7.7.1.1.3"></eq><apply id="S2.E1.3.m1.7.7.1.1.4.cmml" xref="S2.E1.3.m1.7.7.1.1.4"><times id="S2.E1.3.m1.7.7.1.1.4.1.cmml" 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ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(1c)</span></td> </tr> </tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p1.16">where <math alttext="t\in\mathbb{Z}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.SS1.p1.1.m1.1a"><mrow id="S2.SS1.p1.1.m1.1.1" xref="S2.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.1.m1.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.1.m1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S2.SS1.p1.1.m1.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.1.m1.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S2.SS1.p1.1.m1.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.1.m1.1.1.3.cmml">ℤ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.1.m1.1b"><apply id="S2.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.1.m1.1.1"><in id="S2.SS1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.1.m1.1.1.1"></in><ci id="S2.SS1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.1.m1.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S2.SS1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.1.m1.1.1.3">ℤ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.1.m1.1c">t\in\mathbb{Z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.1.m1.1d">italic_t ∈ blackboard_Z</annotation></semantics></math> is the time instant, <math alttext="x_{c}(t)\in\mathbb{R}^{n_{x_{c}}},x_{a}(t)\in\mathbb{R}^{n_{x_{a}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.2.m2.4"><semantics id="S2.SS1.p1.2.m2.4a"><mrow id="S2.SS1.p1.2.m2.4.4.2" xref="S2.SS1.p1.2.m2.4.4.3.cmml"><mrow id="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1" xref="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.2.cmml"><msub id="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.2.2" xref="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.2.2.2.cmml">x</mi><mi id="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.2.2.3" xref="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.2.1" xref="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.2.3.2" xref="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p1.2.m2.1.1" xref="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.cmml">t</mi><mo id="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.3.2.cmml">ℝ</mi><msub id="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.3.3" xref="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.3.3.2" xref="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.3.3.2.cmml">n</mi><msub id="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.3.3.3" xref="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.3.3.3.2" xref="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.3.3.3.2.cmml">x</mi><mi id="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.3.3.3.3" xref="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.3.3.3.3.cmml">c</mi></msub></msub></msup></mrow><mo id="S2.SS1.p1.2.m2.4.4.2.3" xref="S2.SS1.p1.2.m2.4.4.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2" xref="S2.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.cmml"><mrow id="S2.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.2.cmml"><msub id="S2.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.2.2.2.cmml">x</mi><mi id="S2.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.2.2.3" xref="S2.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.2.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S2.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.2.1" xref="S2.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.2.3.2" xref="S2.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p1.2.m2.2.2" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.2.cmml">t</mi><mo id="S2.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.1" xref="S2.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.1.cmml">∈</mo><msup id="S2.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.3" xref="S2.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.3.2" xref="S2.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.3.2.cmml">ℝ</mi><msub id="S2.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.3.3" xref="S2.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.3.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.3.3.2" xref="S2.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.3.3.2.cmml">n</mi><msub id="S2.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.3.3.3" xref="S2.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.3.3.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.3.3.3.2" xref="S2.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.3.3.3.2.cmml">x</mi><mi id="S2.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.3.3.3.3" xref="S2.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.3.3.3.3.cmml">a</mi></msub></msub></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.2.m2.4b"><apply id="S2.SS1.p1.2.m2.4.4.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.2.m2.4.4.3a.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.4.4.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1"><in id="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.1"></in><apply id="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.2"><times id="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.2.1"></times><apply id="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.2.2.2">𝑥</ci><ci id="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.2.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.3.2">ℝ</ci><apply id="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.3.3.2">𝑛</ci><apply id="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.3.3.3.2">𝑥</ci><ci id="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.3.3.1.1.3.3.3.3">𝑐</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2"><in id="S2.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.1"></in><apply id="S2.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.2"><times id="S2.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.2.1"></times><apply id="S2.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" 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id="S2.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.3.3.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.3.3.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.3.3.3.2">𝑥</ci><ci id="S2.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.3.3.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.4.4.2.2.3.3.3.3">𝑎</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.2.m2.4c">x_{c}(t)\in\mathbb{R}^{n_{x_{c}}},x_{a}(t)\in\mathbb{R}^{n_{x_{a}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.2.m2.4d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT , italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> are the causal and non-causal state vectors, respectively, <math alttext="y(t)\in\mathbb{R}^{n_{y}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.3.m3.1"><semantics id="S2.SS1.p1.3.m3.1a"><mrow id="S2.SS1.p1.3.m3.1.2" xref="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.cmml"><mrow id="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.2" xref="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.2.2.cmml">y</mi><mo id="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.2.1" xref="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.2.3.2" xref="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p1.3.m3.1.1" xref="S2.SS1.p1.3.m3.1.1.cmml">t</mi><mo id="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.1" xref="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.1.cmml">∈</mo><msup id="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.3" xref="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.3.2" xref="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.3.2.cmml">ℝ</mi><msub id="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.3.3" xref="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.3.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.3.3.2" xref="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.3.3.2.cmml">n</mi><mi id="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.3.3.3" xref="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.3.3.3.cmml">y</mi></msub></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.3.m3.1b"><apply id="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m3.1.2"><in id="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.1"></in><apply id="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.2"><times id="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.2.1"></times><ci id="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.2.2">𝑦</ci><ci id="S2.SS1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m3.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.3.2">ℝ</ci><apply id="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.3.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.3.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.3.3.2">𝑛</ci><ci id="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.3.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m3.1.2.3.3.3">𝑦</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.3.m3.1c">y(t)\in\mathbb{R}^{n_{y}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.3.m3.1d">italic_y ( italic_t ) ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_y end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> denotes the system output, while <math alttext="s_{c}(t)\in\{1,2,\ldots,m_{c}\}\triangleq\Lambda_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.4.m4.5"><semantics id="S2.SS1.p1.4.m4.5a"><mrow id="S2.SS1.p1.4.m4.5.5" xref="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.cmml"><mrow id="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.3" xref="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.3.cmml"><msub id="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.3.2" xref="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.3.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.3.2.2" xref="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.3.2.2.cmml">s</mi><mi id="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.3.2.3" xref="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.3.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.3.1" xref="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.3.3.2" xref="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.3.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.3.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p1.4.m4.1.1" xref="S2.SS1.p1.4.m4.1.1.cmml">t</mi><mo id="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.4" xref="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.4.cmml">∈</mo><mrow id="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.1.1" xref="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.1.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.1.2.cmml">{</mo><mn id="S2.SS1.p1.4.m4.2.2" xref="S2.SS1.p1.4.m4.2.2.cmml">1</mn><mo id="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.1.2.cmml">,</mo><mn id="S2.SS1.p1.4.m4.3.3" xref="S2.SS1.p1.4.m4.3.3.cmml">2</mn><mo id="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.1.1.4" xref="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.1.2.cmml">,</mo><mi id="S2.SS1.p1.4.m4.4.4" mathvariant="normal" xref="S2.SS1.p1.4.m4.4.4.cmml">…</mi><mo id="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.1.1.5" xref="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.1.2.cmml">,</mo><msub id="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.1.1.1.2.cmml">m</mi><mi id="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.1.1.6" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.1.2.cmml">}</mo></mrow><mo id="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.5" xref="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.5.cmml">≜</mo><msub id="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.6" xref="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.6.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.6.2" mathvariant="normal" xref="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.6.2.cmml">Λ</mi><mi id="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.6.3" xref="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.6.3.cmml">c</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.4.m4.5b"><apply id="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.cmml" xref="S2.SS1.p1.4.m4.5.5"><and id="S2.SS1.p1.4.m4.5.5a.cmml" xref="S2.SS1.p1.4.m4.5.5"></and><apply id="S2.SS1.p1.4.m4.5.5b.cmml" xref="S2.SS1.p1.4.m4.5.5"><in id="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.4.cmml" xref="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.4"></in><apply id="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.3"><times id="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.3.1"></times><apply id="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.3.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.3.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.3.2.2">𝑠</ci><ci id="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.3.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.3.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="S2.SS1.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.4.m4.1.1">𝑡</ci></apply><set id="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.1.1"><cn id="S2.SS1.p1.4.m4.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p1.4.m4.2.2">1</cn><cn id="S2.SS1.p1.4.m4.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p1.4.m4.3.3">2</cn><ci id="S2.SS1.p1.4.m4.4.4.cmml" xref="S2.SS1.p1.4.m4.4.4">…</ci><apply id="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.1.1.1.2">𝑚</ci><ci id="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.1.1.1.3">𝑐</ci></apply></set></apply><apply id="S2.SS1.p1.4.m4.5.5c.cmml" xref="S2.SS1.p1.4.m4.5.5"><ci id="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.5.cmml" xref="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.5">≜</ci><share href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S2.SS1.p1.4.m4.5.5.1.cmml" id="S2.SS1.p1.4.m4.5.5d.cmml" xref="S2.SS1.p1.4.m4.5.5"></share><apply id="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.6.cmml" xref="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.6.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.6">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.6.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.6.2">Λ</ci><ci id="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.6.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.4.m4.5.5.6.3">𝑐</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.4.m4.5c">s_{c}(t)\in\{1,2,\ldots,m_{c}\}\triangleq\Lambda_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.4.m4.5d">italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ∈ { 1 , 2 , … , italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT } ≜ roman_Λ start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="s_{a}(t)\in\{1,2,\ldots,m_{a}\}\triangleq\Lambda_{a}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.5.m5.5"><semantics id="S2.SS1.p1.5.m5.5a"><mrow id="S2.SS1.p1.5.m5.5.5" xref="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.cmml"><mrow id="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.3" xref="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.3.cmml"><msub id="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.3.2" xref="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.3.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.3.2.2" xref="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.3.2.2.cmml">s</mi><mi id="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.3.2.3" xref="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.3.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.3.1" xref="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.3.3.2" xref="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.3.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.3.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p1.5.m5.1.1" xref="S2.SS1.p1.5.m5.1.1.cmml">t</mi><mo id="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.4" xref="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.4.cmml">∈</mo><mrow id="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.1.1" xref="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.1.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.1.2.cmml">{</mo><mn id="S2.SS1.p1.5.m5.2.2" xref="S2.SS1.p1.5.m5.2.2.cmml">1</mn><mo id="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.1.2.cmml">,</mo><mn id="S2.SS1.p1.5.m5.3.3" xref="S2.SS1.p1.5.m5.3.3.cmml">2</mn><mo id="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.1.1.4" xref="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.1.2.cmml">,</mo><mi id="S2.SS1.p1.5.m5.4.4" mathvariant="normal" xref="S2.SS1.p1.5.m5.4.4.cmml">…</mi><mo id="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.1.1.5" xref="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.1.2.cmml">,</mo><msub id="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.1.1.1.2.cmml">m</mi><mi id="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.1.1.1.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.1.1.6" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.1.2.cmml">}</mo></mrow><mo id="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.5" xref="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.5.cmml">≜</mo><msub id="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.6" xref="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.6.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.6.2" mathvariant="normal" xref="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.6.2.cmml">Λ</mi><mi id="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.6.3" xref="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.6.3.cmml">a</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.5.m5.5b"><apply id="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m5.5.5"><and id="S2.SS1.p1.5.m5.5.5a.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m5.5.5"></and><apply id="S2.SS1.p1.5.m5.5.5b.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m5.5.5"><in id="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.4.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.4"></in><apply id="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.3"><times id="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.3.1"></times><apply id="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.3.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.3.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.3.2.2">𝑠</ci><ci id="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.3.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.3.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="S2.SS1.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m5.1.1">𝑡</ci></apply><set id="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.1.1"><cn id="S2.SS1.p1.5.m5.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p1.5.m5.2.2">1</cn><cn id="S2.SS1.p1.5.m5.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p1.5.m5.3.3">2</cn><ci id="S2.SS1.p1.5.m5.4.4.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m5.4.4">…</ci><apply id="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.1.1.1.2">𝑚</ci><ci id="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.1.1.1.3">𝑎</ci></apply></set></apply><apply id="S2.SS1.p1.5.m5.5.5c.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m5.5.5"><ci id="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.5.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.5">≜</ci><share href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S2.SS1.p1.5.m5.5.5.1.cmml" id="S2.SS1.p1.5.m5.5.5d.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m5.5.5"></share><apply id="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.6.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.6.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.6">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.6.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.6.2">Λ</ci><ci id="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.6.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m5.5.5.6.3">𝑎</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.5.m5.5c">s_{a}(t)\in\{1,2,\ldots,m_{a}\}\triangleq\Lambda_{a}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.5.m5.5d">italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ∈ { 1 , 2 , … , italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT } ≜ roman_Λ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are two discrete variables representing the possible switching modes. In addition, <math alttext="v_{c}(t)\in\mathbb{R}^{n_{x_{c}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.6.m6.1"><semantics id="S2.SS1.p1.6.m6.1a"><mrow id="S2.SS1.p1.6.m6.1.2" xref="S2.SS1.p1.6.m6.1.2.cmml"><mrow id="S2.SS1.p1.6.m6.1.2.2" xref="S2.SS1.p1.6.m6.1.2.2.cmml"><msub id="S2.SS1.p1.6.m6.1.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.6.m6.1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.6.m6.1.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.6.m6.1.2.2.2.2.cmml">v</mi><mi id="S2.SS1.p1.6.m6.1.2.2.2.3" xref="S2.SS1.p1.6.m6.1.2.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S2.SS1.p1.6.m6.1.2.2.1" xref="S2.SS1.p1.6.m6.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p1.6.m6.1.2.2.3.2" xref="S2.SS1.p1.6.m6.1.2.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.6.m6.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.6.m6.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p1.6.m6.1.1" xref="S2.SS1.p1.6.m6.1.1.cmml">t</mi><mo id="S2.SS1.p1.6.m6.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.6.m6.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS1.p1.6.m6.1.2.1" xref="S2.SS1.p1.6.m6.1.2.1.cmml">∈</mo><msup id="S2.SS1.p1.6.m6.1.2.3" xref="S2.SS1.p1.6.m6.1.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.6.m6.1.2.3.2" xref="S2.SS1.p1.6.m6.1.2.3.2.cmml">ℝ</mi><msub id="S2.SS1.p1.6.m6.1.2.3.3" xref="S2.SS1.p1.6.m6.1.2.3.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.6.m6.1.2.3.3.2" xref="S2.SS1.p1.6.m6.1.2.3.3.2.cmml">n</mi><msub id="S2.SS1.p1.6.m6.1.2.3.3.3" xref="S2.SS1.p1.6.m6.1.2.3.3.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.6.m6.1.2.3.3.3.2" xref="S2.SS1.p1.6.m6.1.2.3.3.3.2.cmml">x</mi><mi id="S2.SS1.p1.6.m6.1.2.3.3.3.3" xref="S2.SS1.p1.6.m6.1.2.3.3.3.3.cmml">c</mi></msub></msub></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.6.m6.1b"><apply id="S2.SS1.p1.6.m6.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.6.m6.1.2"><in id="S2.SS1.p1.6.m6.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.6.m6.1.2.1"></in><apply id="S2.SS1.p1.6.m6.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.6.m6.1.2.2"><times id="S2.SS1.p1.6.m6.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.6.m6.1.2.2.1"></times><apply id="S2.SS1.p1.6.m6.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.6.m6.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.6.m6.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.6.m6.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.6.m6.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.6.m6.1.2.2.2.2">𝑣</ci><ci id="S2.SS1.p1.6.m6.1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.6.m6.1.2.2.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="S2.SS1.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.6.m6.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="S2.SS1.p1.6.m6.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.6.m6.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.6.m6.1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.6.m6.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.6.m6.1.2.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.6.m6.1.2.3.2">ℝ</ci><apply id="S2.SS1.p1.6.m6.1.2.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.6.m6.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.6.m6.1.2.3.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.6.m6.1.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.6.m6.1.2.3.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.6.m6.1.2.3.3.2">𝑛</ci><apply id="S2.SS1.p1.6.m6.1.2.3.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.6.m6.1.2.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.6.m6.1.2.3.3.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.6.m6.1.2.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.6.m6.1.2.3.3.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.6.m6.1.2.3.3.3.2">𝑥</ci><ci id="S2.SS1.p1.6.m6.1.2.3.3.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.6.m6.1.2.3.3.3.3">𝑐</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.6.m6.1c">v_{c}(t)\in\mathbb{R}^{n_{x_{c}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.6.m6.1d">italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="v_{a}(t)\in\mathbb{R}^{n_{x_{a}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.7.m7.1"><semantics id="S2.SS1.p1.7.m7.1a"><mrow id="S2.SS1.p1.7.m7.1.2" xref="S2.SS1.p1.7.m7.1.2.cmml"><mrow id="S2.SS1.p1.7.m7.1.2.2" xref="S2.SS1.p1.7.m7.1.2.2.cmml"><msub id="S2.SS1.p1.7.m7.1.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.7.m7.1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.7.m7.1.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.7.m7.1.2.2.2.2.cmml">v</mi><mi id="S2.SS1.p1.7.m7.1.2.2.2.3" xref="S2.SS1.p1.7.m7.1.2.2.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S2.SS1.p1.7.m7.1.2.2.1" xref="S2.SS1.p1.7.m7.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p1.7.m7.1.2.2.3.2" xref="S2.SS1.p1.7.m7.1.2.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.7.m7.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.7.m7.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p1.7.m7.1.1" xref="S2.SS1.p1.7.m7.1.1.cmml">t</mi><mo id="S2.SS1.p1.7.m7.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.7.m7.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS1.p1.7.m7.1.2.1" xref="S2.SS1.p1.7.m7.1.2.1.cmml">∈</mo><msup id="S2.SS1.p1.7.m7.1.2.3" xref="S2.SS1.p1.7.m7.1.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.7.m7.1.2.3.2" xref="S2.SS1.p1.7.m7.1.2.3.2.cmml">ℝ</mi><msub id="S2.SS1.p1.7.m7.1.2.3.3" xref="S2.SS1.p1.7.m7.1.2.3.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.7.m7.1.2.3.3.2" xref="S2.SS1.p1.7.m7.1.2.3.3.2.cmml">n</mi><msub id="S2.SS1.p1.7.m7.1.2.3.3.3" xref="S2.SS1.p1.7.m7.1.2.3.3.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.7.m7.1.2.3.3.3.2" xref="S2.SS1.p1.7.m7.1.2.3.3.3.2.cmml">x</mi><mi id="S2.SS1.p1.7.m7.1.2.3.3.3.3" xref="S2.SS1.p1.7.m7.1.2.3.3.3.3.cmml">a</mi></msub></msub></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.7.m7.1b"><apply id="S2.SS1.p1.7.m7.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.7.m7.1.2"><in id="S2.SS1.p1.7.m7.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.7.m7.1.2.1"></in><apply id="S2.SS1.p1.7.m7.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.7.m7.1.2.2"><times id="S2.SS1.p1.7.m7.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.7.m7.1.2.2.1"></times><apply id="S2.SS1.p1.7.m7.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.7.m7.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.7.m7.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.7.m7.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.7.m7.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.7.m7.1.2.2.2.2">𝑣</ci><ci id="S2.SS1.p1.7.m7.1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.7.m7.1.2.2.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="S2.SS1.p1.7.m7.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.7.m7.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="S2.SS1.p1.7.m7.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.7.m7.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.7.m7.1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.7.m7.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.7.m7.1.2.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.7.m7.1.2.3.2">ℝ</ci><apply id="S2.SS1.p1.7.m7.1.2.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.7.m7.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.7.m7.1.2.3.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.7.m7.1.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.7.m7.1.2.3.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.7.m7.1.2.3.3.2">𝑛</ci><apply id="S2.SS1.p1.7.m7.1.2.3.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.7.m7.1.2.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.7.m7.1.2.3.3.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.7.m7.1.2.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.7.m7.1.2.3.3.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.7.m7.1.2.3.3.3.2">𝑥</ci><ci id="S2.SS1.p1.7.m7.1.2.3.3.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.7.m7.1.2.3.3.3.3">𝑎</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.7.m7.1c">v_{a}(t)\in\mathbb{R}^{n_{x_{a}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.7.m7.1d">italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> are the system noise vectors, and <math alttext="v_{m}(t)\in\mathbb{R}^{n_{y}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.8.m8.1"><semantics id="S2.SS1.p1.8.m8.1a"><mrow id="S2.SS1.p1.8.m8.1.2" xref="S2.SS1.p1.8.m8.1.2.cmml"><mrow id="S2.SS1.p1.8.m8.1.2.2" xref="S2.SS1.p1.8.m8.1.2.2.cmml"><msub id="S2.SS1.p1.8.m8.1.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.8.m8.1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.8.m8.1.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.8.m8.1.2.2.2.2.cmml">v</mi><mi id="S2.SS1.p1.8.m8.1.2.2.2.3" xref="S2.SS1.p1.8.m8.1.2.2.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S2.SS1.p1.8.m8.1.2.2.1" xref="S2.SS1.p1.8.m8.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p1.8.m8.1.2.2.3.2" xref="S2.SS1.p1.8.m8.1.2.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.8.m8.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.8.m8.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p1.8.m8.1.1" xref="S2.SS1.p1.8.m8.1.1.cmml">t</mi><mo id="S2.SS1.p1.8.m8.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.8.m8.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS1.p1.8.m8.1.2.1" xref="S2.SS1.p1.8.m8.1.2.1.cmml">∈</mo><msup id="S2.SS1.p1.8.m8.1.2.3" xref="S2.SS1.p1.8.m8.1.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.8.m8.1.2.3.2" xref="S2.SS1.p1.8.m8.1.2.3.2.cmml">ℝ</mi><msub id="S2.SS1.p1.8.m8.1.2.3.3" xref="S2.SS1.p1.8.m8.1.2.3.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.8.m8.1.2.3.3.2" xref="S2.SS1.p1.8.m8.1.2.3.3.2.cmml">n</mi><mi id="S2.SS1.p1.8.m8.1.2.3.3.3" xref="S2.SS1.p1.8.m8.1.2.3.3.3.cmml">y</mi></msub></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.8.m8.1b"><apply id="S2.SS1.p1.8.m8.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.8.m8.1.2"><in id="S2.SS1.p1.8.m8.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.8.m8.1.2.1"></in><apply id="S2.SS1.p1.8.m8.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.8.m8.1.2.2"><times id="S2.SS1.p1.8.m8.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.8.m8.1.2.2.1"></times><apply id="S2.SS1.p1.8.m8.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.8.m8.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.8.m8.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.8.m8.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.8.m8.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.8.m8.1.2.2.2.2">𝑣</ci><ci id="S2.SS1.p1.8.m8.1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.8.m8.1.2.2.2.3">𝑚</ci></apply><ci id="S2.SS1.p1.8.m8.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.8.m8.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="S2.SS1.p1.8.m8.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.8.m8.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.8.m8.1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.8.m8.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.8.m8.1.2.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.8.m8.1.2.3.2">ℝ</ci><apply id="S2.SS1.p1.8.m8.1.2.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.8.m8.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.8.m8.1.2.3.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.8.m8.1.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.8.m8.1.2.3.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.8.m8.1.2.3.3.2">𝑛</ci><ci id="S2.SS1.p1.8.m8.1.2.3.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.8.m8.1.2.3.3.3">𝑦</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.8.m8.1c">v_{m}(t)\in\mathbb{R}^{n_{y}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.8.m8.1d">italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_y end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is the measurement noise vector. Finally, <math alttext="A_{c}:\Lambda_{c}\to\mathbb{R}^{n_{x_{c}}\times n_{x_{c}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.9.m9.1"><semantics id="S2.SS1.p1.9.m9.1a"><mrow id="S2.SS1.p1.9.m9.1.1" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.cmml"><msub id="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.2.2" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.2.2.cmml">A</mi><mi id="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.2.3" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.cmml"><msub id="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.2.2.cmml">Λ</mi><mi id="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.2.3" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.1.cmml">→</mo><msup id="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.3" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.3.2" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.3.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.3.3" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.3.3.cmml"><msub id="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.3.3.2" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.3.3.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.3.3.2.2" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.3.3.2.2.cmml">n</mi><msub id="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.3.3.2.3" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.3.3.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.3.3.2.3.2" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.3.3.2.3.2.cmml">x</mi><mi id="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.3.3.2.3.3" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.3.3.2.3.3.cmml">c</mi></msub></msub><mo id="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.3.3.1.cmml">×</mo><msub id="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.3.3.3" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.3.3.3.2" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.3.3.3.2.cmml">n</mi><msub id="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.3.3.3.3" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.3.3.3.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.3.3.3.3.2" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.3.3.3.3.2.cmml">x</mi><mi id="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.3.3.3.3.3" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.3.3.3.3.3.cmml">c</mi></msub></msub></mrow></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.9.m9.1b"><apply id="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.1"><ci id="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.1">:</ci><apply id="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.2.2">𝐴</ci><ci id="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.2.3">𝑐</ci></apply><apply id="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3"><ci id="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.1">→</ci><apply id="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.2.2">Λ</ci><ci id="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.2.3">𝑐</ci></apply><apply id="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.3.2">ℝ</ci><apply id="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.3.3"><times id="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.3.3.1"></times><apply id="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.3.3.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.3.3.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.3.3.2.2">𝑛</ci><apply id="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.3.3.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.3.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.3.3.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.3.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.3.3.2.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.3.3.2.3.2">𝑥</ci><ci id="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.3.3.2.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.3.3.2.3.3">𝑐</ci></apply></apply><apply id="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.3.3.3.2">𝑛</ci><apply id="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.3.3.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.3.3.3.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.3.3.3.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.3.3.3.3.2">𝑥</ci><ci id="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.9.m9.1.1.3.3.3.3.3.3">𝑐</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.9.m9.1c">A_{c}:\Lambda_{c}\to\mathbb{R}^{n_{x_{c}}\times n_{x_{c}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.9.m9.1d">italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT : roman_Λ start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT → blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT × italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="A_{a}:\Lambda_{a}\to\mathbb{R}^{n_{x_{a}}\times n_{x_{a}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.10.m10.1"><semantics id="S2.SS1.p1.10.m10.1a"><mrow id="S2.SS1.p1.10.m10.1.1" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.cmml"><msub id="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.2.2" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.2.2.cmml">A</mi><mi id="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.2.3" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.cmml"><msub id="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.2.2.cmml">Λ</mi><mi id="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.2.3" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.1.cmml">→</mo><msup id="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.3" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.3.2" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.3.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.3.3" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.3.3.cmml"><msub id="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.3.3.2" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.3.3.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.3.3.2.2" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.3.3.2.2.cmml">n</mi><msub id="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.3.3.2.3" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.3.3.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.3.3.2.3.2" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.3.3.2.3.2.cmml">x</mi><mi id="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.3.3.2.3.3" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.3.3.2.3.3.cmml">a</mi></msub></msub><mo id="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.3.3.1.cmml">×</mo><msub id="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.3.3.3" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.3.3.3.2" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.3.3.3.2.cmml">n</mi><msub id="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.3.3.3.3" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.3.3.3.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.3.3.3.3.2" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.3.3.3.3.2.cmml">x</mi><mi id="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.3.3.3.3.3" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.3.3.3.3.3.cmml">a</mi></msub></msub></mrow></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.10.m10.1b"><apply id="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.1"><ci id="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.1">:</ci><apply id="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.2.2">𝐴</ci><ci id="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.2.3">𝑎</ci></apply><apply id="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3"><ci id="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.1">→</ci><apply id="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.2.2">Λ</ci><ci id="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.2.3">𝑎</ci></apply><apply id="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.3.2">ℝ</ci><apply id="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.3.3"><times id="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.3.3.1"></times><apply id="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.3.3.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.3.3.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.3.3.2.2">𝑛</ci><apply id="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.3.3.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.3.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.3.3.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.3.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.3.3.2.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.3.3.2.3.2">𝑥</ci><ci id="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.3.3.2.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.3.3.2.3.3">𝑎</ci></apply></apply><apply id="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.3.3.3.2">𝑛</ci><apply id="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.3.3.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.3.3.3.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.3.3.3.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.3.3.3.3.2">𝑥</ci><ci id="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.10.m10.1.1.3.3.3.3.3.3">𝑎</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.10.m10.1c">A_{a}:\Lambda_{a}\to\mathbb{R}^{n_{x_{a}}\times n_{x_{a}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.10.m10.1d">italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT : roman_Λ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT → blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT × italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> denote the matrix functions associated to the causal and non-causal state dynamics, respectively, while <math alttext="C_{c}:\Lambda_{c}\to\mathbb{R}^{n_{y}\times n_{x_{c}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.11.m11.1"><semantics id="S2.SS1.p1.11.m11.1a"><mrow id="S2.SS1.p1.11.m11.1.1" xref="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.cmml"><msub id="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.2.2" xref="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.2.2.cmml">C</mi><mi id="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.2.3" xref="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.cmml"><msub id="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.2.2.cmml">Λ</mi><mi id="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.2.3" xref="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.1.cmml">→</mo><msup id="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.3" xref="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.3.2" xref="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.3.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.3.3" xref="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.3.3.cmml"><msub id="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.3.3.2" xref="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.3.3.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.3.3.2.2" xref="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.3.3.2.2.cmml">n</mi><mi id="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.3.3.2.3" xref="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.3.3.2.3.cmml">y</mi></msub><mo id="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.3.3.1.cmml">×</mo><msub id="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.3.3.3" xref="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.3.3.3.2" xref="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.3.3.3.2.cmml">n</mi><msub id="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.3.3.3.3" xref="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.3.3.3.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.3.3.3.3.2" xref="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.3.3.3.3.2.cmml">x</mi><mi id="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.3.3.3.3.3" xref="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.3.3.3.3.3.cmml">c</mi></msub></msub></mrow></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.11.m11.1b"><apply id="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m11.1.1"><ci id="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.1">:</ci><apply id="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.2.2">𝐶</ci><ci id="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.2.3">𝑐</ci></apply><apply id="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3"><ci id="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.1">→</ci><apply id="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.2.2">Λ</ci><ci id="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.2.3">𝑐</ci></apply><apply id="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.3.2">ℝ</ci><apply id="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.3.3"><times id="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.3.3.1"></times><apply id="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.3.3.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.3.3.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.3.3.2.2">𝑛</ci><ci id="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.3.3.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.3.3.2.3">𝑦</ci></apply><apply id="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.3.3.3.2">𝑛</ci><apply id="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.3.3.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.3.3.3.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.3.3.3.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.3.3.3.3.2">𝑥</ci><ci id="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m11.1.1.3.3.3.3.3.3">𝑐</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.11.m11.1c">C_{c}:\Lambda_{c}\to\mathbb{R}^{n_{y}\times n_{x_{c}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.11.m11.1d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT : roman_Λ start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT → blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_y end_POSTSUBSCRIPT × italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="C_{a}:\Lambda_{a}\to\mathbb{R}^{n_{y}\times n_{x_{a}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.12.m12.1"><semantics id="S2.SS1.p1.12.m12.1a"><mrow id="S2.SS1.p1.12.m12.1.1" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.cmml"><msub id="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.2.2" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.2.2.cmml">C</mi><mi id="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.2.3" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.cmml"><msub id="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.2.2.cmml">Λ</mi><mi id="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.2.3" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.1.cmml">→</mo><msup id="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.3" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.3.2" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.3.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.3.3" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.3.3.cmml"><msub id="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.3.3.2" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.3.3.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.3.3.2.2" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.3.3.2.2.cmml">n</mi><mi id="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.3.3.2.3" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.3.3.2.3.cmml">y</mi></msub><mo id="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.3.3.1.cmml">×</mo><msub id="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.3.3.3" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.3.3.3.2" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.3.3.3.2.cmml">n</mi><msub id="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.3.3.3.3" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.3.3.3.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.3.3.3.3.2" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.3.3.3.3.2.cmml">x</mi><mi id="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.3.3.3.3.3" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.3.3.3.3.3.cmml">a</mi></msub></msub></mrow></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.12.m12.1b"><apply id="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.1"><ci id="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.1">:</ci><apply id="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.2.2">𝐶</ci><ci id="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.2.3">𝑎</ci></apply><apply id="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3"><ci id="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.1">→</ci><apply id="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.2.2">Λ</ci><ci id="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.2.3">𝑎</ci></apply><apply id="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.3.2">ℝ</ci><apply id="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.3.3"><times id="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.3.3.1"></times><apply id="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.3.3.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.3.3.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.3.3.2.2">𝑛</ci><ci id="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.3.3.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.3.3.2.3">𝑦</ci></apply><apply id="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.3.3.3.2">𝑛</ci><apply id="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.3.3.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.3.3.3.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.3.3.3.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.3.3.3.3.2">𝑥</ci><ci id="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.12.m12.1.1.3.3.3.3.3.3">𝑎</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.12.m12.1c">C_{a}:\Lambda_{a}\to\mathbb{R}^{n_{y}\times n_{x_{a}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.12.m12.1d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT : roman_Λ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT → blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_y end_POSTSUBSCRIPT × italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> are those mapping the two state vectors to the measured output. Assume that the noise terms <math alttext="v_{c}(t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.13.m13.1"><semantics id="S2.SS1.p1.13.m13.1a"><mrow id="S2.SS1.p1.13.m13.1.2" xref="S2.SS1.p1.13.m13.1.2.cmml"><msub id="S2.SS1.p1.13.m13.1.2.2" xref="S2.SS1.p1.13.m13.1.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.13.m13.1.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.13.m13.1.2.2.2.cmml">v</mi><mi id="S2.SS1.p1.13.m13.1.2.2.3" xref="S2.SS1.p1.13.m13.1.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S2.SS1.p1.13.m13.1.2.1" xref="S2.SS1.p1.13.m13.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p1.13.m13.1.2.3.2" xref="S2.SS1.p1.13.m13.1.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.13.m13.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.13.m13.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p1.13.m13.1.1" xref="S2.SS1.p1.13.m13.1.1.cmml">t</mi><mo id="S2.SS1.p1.13.m13.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.13.m13.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.13.m13.1b"><apply id="S2.SS1.p1.13.m13.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.13.m13.1.2"><times id="S2.SS1.p1.13.m13.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.13.m13.1.2.1"></times><apply id="S2.SS1.p1.13.m13.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.13.m13.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.13.m13.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.13.m13.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.13.m13.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.13.m13.1.2.2.2">𝑣</ci><ci id="S2.SS1.p1.13.m13.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.13.m13.1.2.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="S2.SS1.p1.13.m13.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.13.m13.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.13.m13.1c">v_{c}(t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.13.m13.1d">italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t )</annotation></semantics></math>, <math alttext="v_{a}(t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.14.m14.1"><semantics id="S2.SS1.p1.14.m14.1a"><mrow id="S2.SS1.p1.14.m14.1.2" xref="S2.SS1.p1.14.m14.1.2.cmml"><msub id="S2.SS1.p1.14.m14.1.2.2" xref="S2.SS1.p1.14.m14.1.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.14.m14.1.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.14.m14.1.2.2.2.cmml">v</mi><mi id="S2.SS1.p1.14.m14.1.2.2.3" xref="S2.SS1.p1.14.m14.1.2.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S2.SS1.p1.14.m14.1.2.1" xref="S2.SS1.p1.14.m14.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p1.14.m14.1.2.3.2" xref="S2.SS1.p1.14.m14.1.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.14.m14.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.14.m14.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p1.14.m14.1.1" xref="S2.SS1.p1.14.m14.1.1.cmml">t</mi><mo id="S2.SS1.p1.14.m14.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.14.m14.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.14.m14.1b"><apply id="S2.SS1.p1.14.m14.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.14.m14.1.2"><times id="S2.SS1.p1.14.m14.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.14.m14.1.2.1"></times><apply id="S2.SS1.p1.14.m14.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.14.m14.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.14.m14.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.14.m14.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.14.m14.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.14.m14.1.2.2.2">𝑣</ci><ci id="S2.SS1.p1.14.m14.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.14.m14.1.2.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="S2.SS1.p1.14.m14.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.14.m14.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.14.m14.1c">v_{a}(t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.14.m14.1d">italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t )</annotation></semantics></math> and <math alttext="v_{m}(t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.15.m15.1"><semantics id="S2.SS1.p1.15.m15.1a"><mrow id="S2.SS1.p1.15.m15.1.2" xref="S2.SS1.p1.15.m15.1.2.cmml"><msub id="S2.SS1.p1.15.m15.1.2.2" xref="S2.SS1.p1.15.m15.1.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.15.m15.1.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.15.m15.1.2.2.2.cmml">v</mi><mi id="S2.SS1.p1.15.m15.1.2.2.3" xref="S2.SS1.p1.15.m15.1.2.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S2.SS1.p1.15.m15.1.2.1" xref="S2.SS1.p1.15.m15.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p1.15.m15.1.2.3.2" xref="S2.SS1.p1.15.m15.1.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.15.m15.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.15.m15.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p1.15.m15.1.1" xref="S2.SS1.p1.15.m15.1.1.cmml">t</mi><mo id="S2.SS1.p1.15.m15.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.15.m15.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.15.m15.1b"><apply id="S2.SS1.p1.15.m15.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.15.m15.1.2"><times id="S2.SS1.p1.15.m15.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.15.m15.1.2.1"></times><apply id="S2.SS1.p1.15.m15.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.15.m15.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.15.m15.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.15.m15.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.15.m15.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.15.m15.1.2.2.2">𝑣</ci><ci id="S2.SS1.p1.15.m15.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.15.m15.1.2.2.3">𝑚</ci></apply><ci id="S2.SS1.p1.15.m15.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.15.m15.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.15.m15.1c">v_{m}(t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.15.m15.1d">italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t )</annotation></semantics></math> are distributed according to a Gaussian distribution with zero mean and finite variance <math alttext="v_{c}(t)\sim\mathcal{N}(0,\Sigma_{c}(s_{c}(t))),v_{a}(t)\sim\mathcal{N}(0,% \Sigma_{a}(s_{a}(t))),v_{m}(t)\sim\mathcal{N}(0,\Sigma_{m})." class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.16.m16.9"><semantics id="S2.SS1.p1.16.m16.9a"><mrow id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1"><mrow id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.3.2.2.cmml">v</mi><mi id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.3.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.3.1" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p1.16.m16.1.1" xref="S2.SS1.p1.16.m16.1.1.cmml">t</mi><mo id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.2.cmml">∼</mo><mrow id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.3.cmml">𝒩</mi><mo id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mn id="S2.SS1.p1.16.m16.3.3" xref="S2.SS1.p1.16.m16.3.3.cmml">0</mn><mo id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Σ</mi><mi id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">s</mi><mi id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p1.16.m16.2.2" xref="S2.SS1.p1.16.m16.2.2.cmml">t</mi><mo id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.3" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.3.cmml"><mrow id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><msub id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.3.2.2" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.3.2.2.cmml">v</mi><mi id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.3.2.3" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.3.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.3.3.2" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p1.16.m16.4.4" xref="S2.SS1.p1.16.m16.4.4.cmml">t</mi><mo id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.2.cmml">∼</mo><mrow id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml">𝒩</mi><mo id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mn id="S2.SS1.p1.16.m16.6.6" xref="S2.SS1.p1.16.m16.6.6.cmml">0</mn><mo id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Σ</mi><mi id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">s</mi><mi id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p1.16.m16.5.5" xref="S2.SS1.p1.16.m16.5.5.cmml">t</mi><mo id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.3" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.3" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><msub id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.3.2.2" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.3.2.2.cmml">v</mi><mi id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.3.2.3" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.3.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.3.1" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.3.3.2" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p1.16.m16.7.7" xref="S2.SS1.p1.16.m16.7.7.cmml">t</mi><mo id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.2.cmml">∼</mo><mrow id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.1" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.1.3" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.1.3.cmml">𝒩</mi><mo id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.cmml">(</mo><mn id="S2.SS1.p1.16.m16.8.8" xref="S2.SS1.p1.16.m16.8.8.cmml">0</mn><mo id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.cmml">,</mo><msub id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">Σ</mi><mi id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.16.m16.9b"><apply id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.3a.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.2">similar-to</csymbol><apply id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.3"><times id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.3.2.2">𝑣</ci><ci id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.3.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="S2.SS1.p1.16.m16.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1"><times id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.3">𝒩</ci><interval closure="open" id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.1.1"><cn id="S2.SS1.p1.16.m16.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p1.16.m16.3.3">0</cn><apply id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">Σ</ci><ci id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑐</ci></apply><apply id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑠</ci><ci id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="S2.SS1.p1.16.m16.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.2.2">𝑡</ci></apply></apply></interval></apply></apply><apply id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.3a.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.2">similar-to</csymbol><apply id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.3"><times id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1"></times><apply id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.3.2.2">𝑣</ci><ci id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.3.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="S2.SS1.p1.16.m16.4.4.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.4.4">𝑡</ci></apply><apply id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1"><times id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.2"></times><ci id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.3">𝒩</ci><interval closure="open" id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1"><cn id="S2.SS1.p1.16.m16.6.6.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p1.16.m16.6.6">0</cn><apply id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2">Σ</ci><ci id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑎</ci></apply><apply id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑠</ci><ci id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="S2.SS1.p1.16.m16.5.5.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.5.5">𝑡</ci></apply></apply></interval></apply></apply><apply id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.2">similar-to</csymbol><apply id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.3"><times id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.3.1"></times><apply id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.3.2.2">𝑣</ci><ci id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.3.2.3">𝑚</ci></apply><ci id="S2.SS1.p1.16.m16.7.7.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.7.7">𝑡</ci></apply><apply id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.1"><times id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2"></times><ci id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.1.3">𝒩</ci><interval closure="open" id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1"><cn id="S2.SS1.p1.16.m16.8.8.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p1.16.m16.8.8">0</cn><apply id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2">Σ</ci><ci id="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.16.m16.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.3">𝑚</ci></apply></interval></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.16.m16.9c">v_{c}(t)\sim\mathcal{N}(0,\Sigma_{c}(s_{c}(t))),v_{a}(t)\sim\mathcal{N}(0,% \Sigma_{a}(s_{a}(t))),v_{m}(t)\sim\mathcal{N}(0,\Sigma_{m}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.16.m16.9d">italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ∼ caligraphic_N ( 0 , roman_Σ start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ) ) , italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ∼ caligraphic_N ( 0 , roman_Σ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ) ) , italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ∼ caligraphic_N ( 0 , roman_Σ start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_standing" id="Thmstanding1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmstanding1.1.1.1">Standing Assumption 1</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmstanding1.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmstanding1.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmstanding1.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmstanding1.p1.2.1">The NCS-RSM (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S2.E1" title="In 2.1 System model description ‣ 2 Mathematical formulation ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>) is stable in the average sense, which means</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx2"> <tbody id="S2.Ex1"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\lim\sup_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}\|x_{c}(t)% \|^{2}\textless\infty\quad" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex1.m1.2"><semantics id="S2.Ex1.m1.2a"><mrow id="S2.Ex1.m1.2.2.1" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.2" movablelimits="false" rspace="0.0835em" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">lim</mo><mrow id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><munder id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.2.2" lspace="0.0835em" movablelimits="false" rspace="0.167em" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">sup</mo><mrow id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml">T</mi><mo id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.1" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml">→</mo><mi id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.3" mathvariant="normal" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml">∞</mi></mrow></munder><mrow id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3a" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mi id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml">T</mi></mfrac></mstyle><mo id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><msup id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mi id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex1.m1.1.1" xref="S2.Ex1.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.2" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.2.cmml"><</mo><mi id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.3.cmml">∞</mi></mrow><mspace id="S2.Ex1.m1.2.2.1.2" width="1em" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.cmml"></mspace></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex1.m1.2b"><apply id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1"><lt id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.2"></lt><apply id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1"><limit id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.2"></limit><apply id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1"><apply id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.2.2">supremum</csymbol><apply id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.2.3"><ci id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.1">→</ci><ci id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.2">𝑇</ci><infinity id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.3"></infinity></apply></apply><apply id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1"><times id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3"><divide id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3"></divide><cn id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2">1</cn><ci id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3">𝑇</ci></apply><apply id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"><apply id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2"></sum><apply id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><eq id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑡</ci><cn id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" 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xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><msup id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">x</mi><mi id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">T</mi><mo id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">+</mo><mn id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Ex2.m1.1.1.2" xref="S2.Ex2.m1.1.1.2.cmml"><</mo><mi id="S2.Ex2.m1.1.1.3" mathvariant="normal" 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id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1"><times id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.3"></divide><cn id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn><ci id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.3.3">𝑇</ci></apply><apply id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"></sum><apply id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><eq id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑡</ci><cn id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑥</ci><ci id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑎</ci></apply><apply id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><plus id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></plus><ci id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑇</ci><cn id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><ci id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><cn id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply><infinity id="S2.Ex2.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.3"></infinity></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex2.m1.1c">\displaystyle\lim\sup_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}\|x_{a}(T+1% -t)\|^{2}\textless\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex2.m1.1d">roman_lim roman_sup start_POSTSUBSCRIPT italic_T → ∞ end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_T end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ∥ italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T + 1 - italic_t ) ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT < ∞</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmstanding1.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmstanding1.p1.1.1">where <math alttext="T" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmstanding1.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmstanding1.p1.1.1.m1.1a"><mi id="Thmstanding1.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmstanding1.p1.1.1.m1.1.1.cmml">T</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmstanding1.p1.1.1.m1.1b"><ci id="Thmstanding1.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmstanding1.p1.1.1.m1.1.1">𝑇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmstanding1.p1.1.1.m1.1c">T</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmstanding1.p1.1.1.m1.1d">italic_T</annotation></semantics></math> is the sample size of the available dataset.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p2.1">As a main consequence of Standing Assumption <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#Thmstanding1" title="Standing Assumption 1. ‣ 2.1 System model description ‣ 2 Mathematical formulation ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>, we note that the underlying stability requirement implies the existence of a stationary distribution for both causal and non-causal states, thereby ensuring the ergodicity of the system dynamics.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_remark" id="Thmremark1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmremark1.1.1.1">Remark 1</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmremark1.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmremark1.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmremark1.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmremark1.p1.2.2">Stability in the average sense is widely applied in linear systems <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#bib.bib14" title="">14</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#bib.bib22" title="">22</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#bib.bib23" title="">23</a>]</cite>. Compared to other commonly used notions (e.g., mean-square stability <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#bib.bib24" title="">24</a>]</cite>, which requires <math alttext="\lim_{T\rightarrow\infty}\mathbb{E}[\|x(T)\|^{2}]\textless 0" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmremark1.p1.1.1.m1.2"><semantics id="Thmremark1.p1.1.1.m1.2a"><mrow id="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.cmml"><mrow id="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.cmml"><msub id="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.2" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.2.2" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.2.2.cmml">lim</mo><mrow id="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.2.3" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.2.3.cmml"><mi id="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.2.3.2" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.2.3.2.cmml">T</mi><mo id="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.2.3.1" stretchy="false" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.2.3.1.cmml">→</mo><mi id="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.2.3.3" mathvariant="normal" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.2.3.3.cmml">∞</mi></mrow></msub><mrow id="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.1" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.3" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.3.cmml">𝔼</mi><mo id="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.2" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><msup id="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.cmml">T</mi><mo id="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.2" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.2.cmml"><</mo><mn id="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.3" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmremark1.p1.1.1.m1.2b"><apply id="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.cmml" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2"><lt id="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.2.cmml" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.2"></lt><apply id="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.cmml" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1"><apply id="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.2.cmml" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.2.1.cmml" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.2">subscript</csymbol><limit id="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.2.2.cmml" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.2.2"></limit><apply id="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.2.3.cmml" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.2.3"><ci id="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.2.3.1.cmml" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.2.3.1">→</ci><ci id="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.2.3.2.cmml" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.2.3.2">𝑇</ci><infinity id="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.2.3.3.cmml" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.2.3.3"></infinity></apply></apply><apply id="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.cmml" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.1"><times id="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.2"></times><ci id="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.3">𝔼</ci><apply id="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1">𝑇</ci></apply></apply><cn id="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><cn id="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmremark1.p1.1.1.m1.2.2.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmremark1.p1.1.1.m1.2c">\lim_{T\rightarrow\infty}\mathbb{E}[\|x(T)\|^{2}]\textless 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmremark1.p1.1.1.m1.2d">roman_lim start_POSTSUBSCRIPT italic_T → ∞ end_POSTSUBSCRIPT blackboard_E [ ∥ italic_x ( italic_T ) ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ] < 0</annotation></semantics></math>, and almost sure (a.s.) stability <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#bib.bib25" title="">25</a>]</cite>, ensuring <math alttext="\mathbb{P}[\lim_{T\rightarrow\infty}\|x(T)\|=0]=1" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2"><semantics id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2a"><mrow id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.cmml"><mrow id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.cmml"><mi id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.3" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.3.cmml">ℙ</mi><mo id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.2" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">lim</mo><mrow id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">T</mi><mo id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.1" stretchy="false" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">→</mo><mi id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.3" mathvariant="normal" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">∞</mi></mrow></msub><mrow id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="Thmremark1.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.1.1.cmml">T</mi><mo id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow></mrow><mo id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.2" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mn id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.3" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.2" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.2.cmml">=</mo><mn id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.3" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2b"><apply id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.cmml" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2"><eq id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.2.cmml" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.2"></eq><apply id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.cmml" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1"><times id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.2.cmml" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.2"></times><ci id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.3.cmml" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.3">ℙ</ci><apply id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.2.cmml" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1"><eq id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.2"></eq><apply id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1"><apply id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><limit id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2"></limit><apply id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.3"><ci id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.1">→</ci><ci id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑇</ci><infinity id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.3"></infinity></apply></apply><apply id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="Thmremark1.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.1.1">𝑇</ci></apply></apply></apply><cn id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.3">0</cn></apply></apply></apply><cn id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmremark1.p1.2.2.m2.2.2.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2c">\mathbb{P}[\lim_{T\rightarrow\infty}\|x(T)\|=0]=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmremark1.p1.2.2.m2.2d">blackboard_P [ roman_lim start_POSTSUBSCRIPT italic_T → ∞ end_POSTSUBSCRIPT ∥ italic_x ( italic_T ) ∥ = 0 ] = 1</annotation></semantics></math>), the assumption of stability in the average sense is weaker <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#bib.bib14" title="">14</a>]</cite>. Specifically, it only imposes convergence in a time-averaged sense, avoiding stricter pointwise or moment-based constraints.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p3"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p3.4">Assume the sample size is <math alttext="T" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p3.1.m1.1"><semantics id="S2.SS1.p3.1.m1.1a"><mi id="S2.SS1.p3.1.m1.1.1" xref="S2.SS1.p3.1.m1.1.1.cmml">T</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p3.1.m1.1b"><ci id="S2.SS1.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.1.m1.1.1">𝑇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p3.1.m1.1c">T</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p3.1.m1.1d">italic_T</annotation></semantics></math>. We denote the sigma field as <math alttext="\mathcal{G}_{t}=\sigma(x_{c}(1:t))" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S2.SS1.p3.2.m2.1"><semantics id="S2.SS1.p3.2.m2.1a"><mrow id="S2.SS1.p3.2.m2.1b"><msub id="S2.SS1.p3.2.m2.1.1"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.2">𝒢</mi><mi id="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.3">t</mi></msub><mo id="S2.SS1.p3.2.m2.1.2">=</mo><mi id="S2.SS1.p3.2.m2.1.3">σ</mi><mrow id="S2.SS1.p3.2.m2.1.4"><mo id="S2.SS1.p3.2.m2.1.4.1" stretchy="false">(</mo><msub id="S2.SS1.p3.2.m2.1.4.2"><mi id="S2.SS1.p3.2.m2.1.4.2.2">x</mi><mi id="S2.SS1.p3.2.m2.1.4.2.3">c</mi></msub><mrow id="S2.SS1.p3.2.m2.1.4.3"><mo id="S2.SS1.p3.2.m2.1.4.3.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S2.SS1.p3.2.m2.1.4.3.2">1</mn><mo id="S2.SS1.p3.2.m2.1.4.3.3" lspace="0.278em" rspace="0.278em">:</mo><mi id="S2.SS1.p3.2.m2.1.4.3.4">t</mi><mo id="S2.SS1.p3.2.m2.1.4.3.5" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S2.SS1.p3.2.m2.1.4.4" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p3.2.m2.1c">\mathcal{G}_{t}=\sigma(x_{c}(1:t))</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p3.2.m2.1d">caligraphic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT = italic_σ ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( 1 : italic_t ) )</annotation></semantics></math> for the causal part, <math alttext="\mathcal{G}^{{}^{\prime}}_{t}=\sigma(x_{a}(T:T+1-t))" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S2.SS1.p3.3.m3.1"><semantics id="S2.SS1.p3.3.m3.1a"><mrow id="S2.SS1.p3.3.m3.1b"><msubsup id="S2.SS1.p3.3.m3.1.1"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p3.3.m3.1.1.2.2">𝒢</mi><mi id="S2.SS1.p3.3.m3.1.1.3">t</mi><msup id="S2.SS1.p3.3.m3.1.1.2.3"><mi id="S2.SS1.p3.3.m3.1.1.2.3a"></mi><mo id="S2.SS1.p3.3.m3.1.1.2.3.1">′</mo></msup></msubsup><mo id="S2.SS1.p3.3.m3.1.2">=</mo><mi id="S2.SS1.p3.3.m3.1.3">σ</mi><mrow id="S2.SS1.p3.3.m3.1.4"><mo id="S2.SS1.p3.3.m3.1.4.1" stretchy="false">(</mo><msub id="S2.SS1.p3.3.m3.1.4.2"><mi id="S2.SS1.p3.3.m3.1.4.2.2">x</mi><mi id="S2.SS1.p3.3.m3.1.4.2.3">a</mi></msub><mrow id="S2.SS1.p3.3.m3.1.4.3"><mo id="S2.SS1.p3.3.m3.1.4.3.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S2.SS1.p3.3.m3.1.4.3.2">T</mi><mo id="S2.SS1.p3.3.m3.1.4.3.3" lspace="0.278em" rspace="0.278em">:</mo><mi id="S2.SS1.p3.3.m3.1.4.3.4">T</mi><mo id="S2.SS1.p3.3.m3.1.4.3.5">+</mo><mn id="S2.SS1.p3.3.m3.1.4.3.6">1</mn><mo id="S2.SS1.p3.3.m3.1.4.3.7">−</mo><mi id="S2.SS1.p3.3.m3.1.4.3.8">t</mi><mo id="S2.SS1.p3.3.m3.1.4.3.9" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S2.SS1.p3.3.m3.1.4.4" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p3.3.m3.1c">\mathcal{G}^{{}^{\prime}}_{t}=\sigma(x_{a}(T:T+1-t))</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p3.3.m3.1d">caligraphic_G start_POSTSUPERSCRIPT start_FLOATSUPERSCRIPT ′ end_FLOATSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT = italic_σ ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T : italic_T + 1 - italic_t ) )</annotation></semantics></math> for the non-causal part, and <math alttext="\mathcal{G}^{*}_{t}=\sigma(x_{c}(1:t),x_{a}(1:t))" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S2.SS1.p3.4.m4.1"><semantics id="S2.SS1.p3.4.m4.1a"><mrow id="S2.SS1.p3.4.m4.1b"><msubsup id="S2.SS1.p3.4.m4.1.1"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p3.4.m4.1.1.2.2">𝒢</mi><mi id="S2.SS1.p3.4.m4.1.1.3">t</mi><mo id="S2.SS1.p3.4.m4.1.1.2.3">∗</mo></msubsup><mo id="S2.SS1.p3.4.m4.1.2">=</mo><mi id="S2.SS1.p3.4.m4.1.3">σ</mi><mrow id="S2.SS1.p3.4.m4.1.4"><mo id="S2.SS1.p3.4.m4.1.4.1" stretchy="false">(</mo><msub id="S2.SS1.p3.4.m4.1.4.2"><mi id="S2.SS1.p3.4.m4.1.4.2.2">x</mi><mi id="S2.SS1.p3.4.m4.1.4.2.3">c</mi></msub><mrow id="S2.SS1.p3.4.m4.1.4.3"><mo id="S2.SS1.p3.4.m4.1.4.3.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S2.SS1.p3.4.m4.1.4.3.2">1</mn><mo id="S2.SS1.p3.4.m4.1.4.3.3" lspace="0.278em" rspace="0.278em">:</mo><mi id="S2.SS1.p3.4.m4.1.4.3.4">t</mi><mo id="S2.SS1.p3.4.m4.1.4.3.5" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S2.SS1.p3.4.m4.1.4.4">,</mo><msub id="S2.SS1.p3.4.m4.1.4.5"><mi id="S2.SS1.p3.4.m4.1.4.5.2">x</mi><mi id="S2.SS1.p3.4.m4.1.4.5.3">a</mi></msub><mrow id="S2.SS1.p3.4.m4.1.4.6"><mo id="S2.SS1.p3.4.m4.1.4.6.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S2.SS1.p3.4.m4.1.4.6.2">1</mn><mo id="S2.SS1.p3.4.m4.1.4.6.3" lspace="0.278em" rspace="0.278em">:</mo><mi id="S2.SS1.p3.4.m4.1.4.6.4">t</mi><mo id="S2.SS1.p3.4.m4.1.4.6.5" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S2.SS1.p3.4.m4.1.4.7" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p3.4.m4.1c">\mathcal{G}^{*}_{t}=\sigma(x_{c}(1:t),x_{a}(1:t))</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p3.4.m4.1d">caligraphic_G start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT = italic_σ ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( 1 : italic_t ) , italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( 1 : italic_t ) )</annotation></semantics></math> for the measured part.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_standing" id="Thmstanding2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmstanding2.1.1.1">Standing Assumption 2</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmstanding2.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmstanding2.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmstanding2.p1.5"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmstanding2.p1.5.5">The sequences of noise vectors <math alttext="v_{c}(1:t),v_{a}(T:T+1-t),v_{m}(1:t)" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="Thmstanding2.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmstanding2.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="Thmstanding2.p1.1.1.m1.1b"><msub id="Thmstanding2.p1.1.1.m1.1.1"><mi id="Thmstanding2.p1.1.1.m1.1.1.2">v</mi><mi id="Thmstanding2.p1.1.1.m1.1.1.3">c</mi></msub><mrow id="Thmstanding2.p1.1.1.m1.1.2"><mo id="Thmstanding2.p1.1.1.m1.1.2.1" stretchy="false">(</mo><mn id="Thmstanding2.p1.1.1.m1.1.2.2">1</mn><mo id="Thmstanding2.p1.1.1.m1.1.2.3" lspace="0.278em" rspace="0.278em">:</mo><mi id="Thmstanding2.p1.1.1.m1.1.2.4">t</mi><mo id="Thmstanding2.p1.1.1.m1.1.2.5" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="Thmstanding2.p1.1.1.m1.1.3">,</mo><msub id="Thmstanding2.p1.1.1.m1.1.4"><mi id="Thmstanding2.p1.1.1.m1.1.4.2">v</mi><mi id="Thmstanding2.p1.1.1.m1.1.4.3">a</mi></msub><mrow id="Thmstanding2.p1.1.1.m1.1.5"><mo id="Thmstanding2.p1.1.1.m1.1.5.1" stretchy="false">(</mo><mi id="Thmstanding2.p1.1.1.m1.1.5.2">T</mi><mo id="Thmstanding2.p1.1.1.m1.1.5.3" lspace="0.278em" rspace="0.278em">:</mo><mi id="Thmstanding2.p1.1.1.m1.1.5.4">T</mi><mo id="Thmstanding2.p1.1.1.m1.1.5.5">+</mo><mn id="Thmstanding2.p1.1.1.m1.1.5.6">1</mn><mo id="Thmstanding2.p1.1.1.m1.1.5.7">−</mo><mi id="Thmstanding2.p1.1.1.m1.1.5.8">t</mi><mo id="Thmstanding2.p1.1.1.m1.1.5.9" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="Thmstanding2.p1.1.1.m1.1.6">,</mo><msub id="Thmstanding2.p1.1.1.m1.1.7"><mi id="Thmstanding2.p1.1.1.m1.1.7.2">v</mi><mi id="Thmstanding2.p1.1.1.m1.1.7.3">m</mi></msub><mrow id="Thmstanding2.p1.1.1.m1.1.8"><mo id="Thmstanding2.p1.1.1.m1.1.8.1" stretchy="false">(</mo><mn id="Thmstanding2.p1.1.1.m1.1.8.2">1</mn><mo id="Thmstanding2.p1.1.1.m1.1.8.3" lspace="0.278em" rspace="0.278em">:</mo><mi id="Thmstanding2.p1.1.1.m1.1.8.4">t</mi><mo id="Thmstanding2.p1.1.1.m1.1.8.5" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmstanding2.p1.1.1.m1.1c">v_{c}(1:t),v_{a}(T:T+1-t),v_{m}(1:t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmstanding2.p1.1.1.m1.1d">italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( 1 : italic_t ) , italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T : italic_T + 1 - italic_t ) , italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT ( 1 : italic_t )</annotation></semantics></math> are the martingale difference sequences with respect to the filtrations <math alttext="\{\mathcal{G}_{t}\}_{t\geq 1},\{\mathcal{G}^{{}^{\prime}}_{t}\}_{t\geq 1},\{% \mathcal{G}^{*}_{t}\}_{t\geq 1}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.3"><semantics id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.3a"><mrow id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.3.3.3" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.3.3.4.cmml"><msub id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.1.1.1.1" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">{</mo><msub id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒢</mi><mi id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><mo id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><mrow id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.3" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.3.2" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.3.2.cmml">t</mi><mo id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.3.1" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.3.1.cmml">≥</mo><mn id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.3.3" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.3.3.3.4" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.2.2.2.2" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.2.2.2.2.cmml"><mrow id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.1" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.2.cmml"><mo id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.2.cmml">{</mo><msubsup id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.1.1" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">𝒢</mi><mi id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">t</mi><msup id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.3a" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml"></mi><mo id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.1" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml">′</mo></msup></msubsup><mo id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.2.cmml">}</mo></mrow><mrow id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.2" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.1" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.1.cmml">≥</mo><mn id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.3" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.3.3.3.5" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.3.3.3.3" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.3.3.3.3.cmml"><mrow id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.1" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.2.cmml"><mo id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.2.cmml">{</mo><msubsup id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.1.1" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.1.1.2.2" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.1.1.2.2.cmml">𝒢</mi><mi id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.1.1.3" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.1.1.3.cmml">t</mi><mo id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.1.1.2.3" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.2.cmml">}</mo></mrow><mrow id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.3.3.3.3.3" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.3.3.3.3.3.cmml"><mi id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.3.3.3.3.3.2" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.3.3.3.3.3.2.cmml">t</mi><mo id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.3.3.3.3.3.1" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.3.3.3.3.3.1.cmml">≥</mo><mn id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.3.3.3.3.3.3" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.3.3.3.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.3b"><list id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.3.3.4.cmml" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.3.3.3"><apply id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.1.1.1.1">subscript</csymbol><set id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1"><apply id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝒢</ci><ci id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑡</ci></apply></set><apply id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.3"><geq id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.3.1"></geq><ci id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.3.2">𝑡</ci><cn id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.2.2.2.2">subscript</csymbol><set id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.1"><apply id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.2">𝒢</ci><apply id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.3"><ci id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.1">′</ci></apply></apply><ci id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.3">𝑡</ci></apply></set><apply id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.cmml" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3"><geq id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.1"></geq><ci id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.2">𝑡</ci><cn id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.3.3.3.3.cmml" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.3.3.3.3.2.cmml" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.3.3.3.3">subscript</csymbol><set id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.2.cmml" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.1"><apply id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.1.1.2.2">𝒢</ci><times id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.1.1.2.3"></times></apply><ci id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.1.1.3">𝑡</ci></apply></set><apply id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.3.3.3.3.3.cmml" xref="Thmstanding2.p1.2.2.m2.3.3.3.3.3"><geq id="Thmstanding2.p1.2.2.m2.3.3.3.3.3.1.cmml" 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id="Thmstanding2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.3" xref="Thmstanding2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmstanding2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="Thmstanding2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">𝒢</mi><mrow id="Thmstanding2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="Thmstanding2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="Thmstanding2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.3.3.2" xref="Thmstanding2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml">t</mi><mo id="Thmstanding2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.3.3.1" xref="Thmstanding2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="Thmstanding2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.3.3.3" xref="Thmstanding2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow><mo id="Thmstanding2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmstanding2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="Thmstanding2.p1.3.3.m3.2.2.2" xref="Thmstanding2.p1.3.3.m3.2.2.2.cmml">=</mo><mn id="Thmstanding2.p1.3.3.m3.2.2.3" xref="Thmstanding2.p1.3.3.m3.2.2.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml 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cd="latexml" id="Thmstanding2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="Thmstanding2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="Thmstanding2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="Thmstanding2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="Thmstanding2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmstanding2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><apply id="Thmstanding2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmstanding2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.2"><times id="Thmstanding2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmstanding2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="Thmstanding2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmstanding2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmstanding2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="Thmstanding2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmstanding2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="Thmstanding2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.2.2.2">𝑣</ci><ci id="Thmstanding2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="Thmstanding2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.2.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="Thmstanding2.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmstanding2.p1.4.4.m4.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="Thmstanding2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmstanding2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmstanding2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmstanding2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="Thmstanding2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmstanding2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmstanding2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="Thmstanding2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="Thmstanding2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="Thmstanding2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.3.2.2">𝒢</ci><apply id="Thmstanding2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="Thmstanding2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.3.2.3"><ci id="Thmstanding2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="Thmstanding2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.3.2.3.1">′</ci></apply></apply><apply id="Thmstanding2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmstanding2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.3.3"><minus id="Thmstanding2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="Thmstanding2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.3.3.1"></minus><ci id="Thmstanding2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="Thmstanding2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.3.3.2">𝑡</ci><cn id="Thmstanding2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmstanding2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply><cn id="Thmstanding2.p1.4.4.m4.2.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmstanding2.p1.4.4.m4.2.2.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmstanding2.p1.4.4.m4.2c">\mathbb{E}[v_{a}(t)|\mathcal{G}^{{}^{\prime}}_{t-1}]=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmstanding2.p1.4.4.m4.2d">blackboard_E [ italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) | caligraphic_G start_POSTSUPERSCRIPT start_FLOATSUPERSCRIPT ′ end_FLOATSUPERSCRIPT 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id="Thmstanding2.p1.5.5.m5.2.2.2" xref="Thmstanding2.p1.5.5.m5.2.2.2.cmml">=</mo><mn id="Thmstanding2.p1.5.5.m5.2.2.3" xref="Thmstanding2.p1.5.5.m5.2.2.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmstanding2.p1.5.5.m5.2b"><apply id="Thmstanding2.p1.5.5.m5.2.2.cmml" xref="Thmstanding2.p1.5.5.m5.2.2"><eq id="Thmstanding2.p1.5.5.m5.2.2.2.cmml" xref="Thmstanding2.p1.5.5.m5.2.2.2"></eq><apply id="Thmstanding2.p1.5.5.m5.2.2.1.cmml" xref="Thmstanding2.p1.5.5.m5.2.2.1"><times id="Thmstanding2.p1.5.5.m5.2.2.1.2.cmml" xref="Thmstanding2.p1.5.5.m5.2.2.1.2"></times><ci id="Thmstanding2.p1.5.5.m5.2.2.1.3.cmml" xref="Thmstanding2.p1.5.5.m5.2.2.1.3">𝔼</ci><apply id="Thmstanding2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.2.cmml" xref="Thmstanding2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="Thmstanding2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="Thmstanding2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="Thmstanding2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="Thmstanding2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="Thmstanding2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmstanding2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><apply id="Thmstanding2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmstanding2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.2"><times id="Thmstanding2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmstanding2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="Thmstanding2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmstanding2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmstanding2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="Thmstanding2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmstanding2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="Thmstanding2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.2.2">𝑣</ci><ci id="Thmstanding2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="Thmstanding2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="Thmstanding2.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="Thmstanding2.p1.5.5.m5.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="Thmstanding2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmstanding2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmstanding2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmstanding2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="Thmstanding2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmstanding2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmstanding2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="Thmstanding2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="Thmstanding2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="Thmstanding2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.2.2">𝒢</ci><times id="Thmstanding2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="Thmstanding2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.2.3"></times></apply><apply id="Thmstanding2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmstanding2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.3"><minus id="Thmstanding2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="Thmstanding2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.3.1"></minus><ci id="Thmstanding2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="Thmstanding2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.3.2">𝑡</ci><cn id="Thmstanding2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmstanding2.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply><cn id="Thmstanding2.p1.5.5.m5.2.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmstanding2.p1.5.5.m5.2.2.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmstanding2.p1.5.5.m5.2c">\mathbb{E}[v_{c}(t)|\mathcal{G}^{*}_{t-1}]=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmstanding2.p1.5.5.m5.2d">blackboard_E [ italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) | caligraphic_G start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_t - 1 end_POSTSUBSCRIPT ] = 0</annotation></semantics></math> and satisfy the following conditions:</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx3"> <tbody id="S2.Ex3"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\lim\inf_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}v_{k}(t)v_{% k}(t)^{\top}\succ 0,\quad k\in\{c,m\}," class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex3.m1.5"><semantics id="S2.Ex3.m1.5a"><mrow id="S2.Ex3.m1.5.5.1"><mrow id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.2" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.1" movablelimits="false" rspace="0.0835em" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml">lim</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml"><munder id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.cmml"><mo id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.2" lspace="0.0835em" movablelimits="false" rspace="0.167em" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.2.cmml">inf</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.3" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.3.2" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.3.2.cmml">T</mi><mo id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.3.1.cmml">→</mo><mi id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.3.3" mathvariant="normal" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.3.3.cmml">∞</mi></mrow></munder><mrow id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mfrac id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2a" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mn id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">1</mn><mi id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">T</mi></mfrac></mstyle><mo id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.1" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml"><munderover id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.1a" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml"><mo id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.1.2.3" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.1.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.1.2.3.2" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.1.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.1.2.3.1" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.1.2.3.3" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.1.3" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.1.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><mrow id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.2" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml"><msub id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2.2" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2.2.cmml">v</mi><mi id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2.3" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.2.1" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3.2" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml"><mo id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex3.m1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.2.1a" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.2.4" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.2.4.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.2.4.2" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.2.4.2.cmml">v</mi><mi id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.2.4.3" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.2.4.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.2.1b" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.2.5" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.2.5.cmml"><mrow id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.2.5.2.2" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.2.5.cmml"><mo id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.2.5.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.2.5.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex3.m1.2.2" xref="S2.Ex3.m1.2.2.cmml">t</mi><mo id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.2.5.2.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.2.5.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.2.5.3" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.2.5.3.cmml">⊤</mo></msup></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml">≻</mo><mn id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.2.3" rspace="1.167em" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.2.2" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.2.2.2" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.2.2.1" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.2.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.2.2.3.2" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.2.2.3.1.cmml"><mo id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.2.2.3.1.cmml">{</mo><mi id="S2.Ex3.m1.3.3" xref="S2.Ex3.m1.3.3.cmml">c</mi><mo id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.2" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex3.m1.4.4" xref="S2.Ex3.m1.4.4.cmml">m</mi><mo id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.2.2.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Ex3.m1.5.5.1.2">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex3.m1.5b"><apply id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.3a.cmml" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.1">succeeds</csymbol><apply id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2"><limit id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.1"></limit><apply id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2"><apply id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.2">infimum</csymbol><apply id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.3"><ci id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.3.1">→</ci><ci id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.3.2">𝑇</ci><infinity id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.3.3"></infinity></apply></apply><apply id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2"><times id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.1"></times><apply id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2"><divide id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2"></divide><cn id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.2">1</cn><ci id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3"><apply id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.1">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.1.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.1">subscript</csymbol><sum id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.1.2.2"></sum><apply id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.1.2.3"><eq id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.1.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.1.2.3.1"></eq><ci id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.1.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.1.2.3.2">𝑡</ci><cn id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.1.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.1.3">𝑇</ci></apply><apply 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ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\lim\inf_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}v_{a}(T+1-t% )v_{a}(T+1-t)^{\top}\succ 0." class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex4.m1.1"><semantics id="S2.Ex4.m1.1a"><mrow id="S2.Ex4.m1.1.1.1" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.3" movablelimits="false" rspace="0.0835em" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">lim</mo><mrow id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><munder id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.3.2" lspace="0.0835em" movablelimits="false" rspace="0.167em" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">inf</mo><mrow id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml"><mi 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xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.4.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">T</mi><mo id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">+</mo><mn id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3a" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.5" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.5.cmml"><mi id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.5.2" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.5.2.cmml">v</mi><mi id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.5.3" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.5.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3b" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">T</mi><mo id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.1" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml">+</mo><mn id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.cmml">⊤</mo></msup></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.cmml">≻</mo><mn id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.4" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.4.cmml">0</mn></mrow><mo id="S2.Ex4.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex4.m1.1b"><apply id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3">succeeds</csymbol><apply id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2"><limit id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.3"></limit><apply id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2"><apply id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.3.2">infimum</csymbol><apply id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.3.3"><ci id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1">→</ci><ci id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2">𝑇</ci><infinity id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3"></infinity></apply></apply><apply id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2"><times id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.3"></times><apply id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.4.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.4"><divide id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.4.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.4"></divide><cn id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.4.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.4.2">1</cn><ci id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.4.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.4.3">𝑇</ci></apply><apply id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2"><apply id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><sum id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.2"></sum><apply id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.3"><eq id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.3.1"></eq><ci id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.3.2">𝑡</ci><cn id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3">𝑇</ci></apply><apply id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2"><times id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3"></times><apply id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.4.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.4.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.4.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.4.2">𝑣</ci><ci id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.4.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.4.3">𝑎</ci></apply><apply id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><plus id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></plus><ci id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑇</ci><cn id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><ci id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑡</ci></apply><apply id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.5.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.5.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.5">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.5.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.5.2">𝑣</ci><ci id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.5.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.5.3">𝑎</ci></apply><apply id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1"><minus id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1"></minus><apply id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2"><plus id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.1"></plus><ci id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2">𝑇</ci><cn id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3">1</cn></apply><ci id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3">𝑡</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3">top</csymbol></apply></apply></apply></apply></apply></apply><cn id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.4.cmml" type="integer" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.4">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex4.m1.1c">\displaystyle\lim\inf_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}v_{a}(T+1-t% )v_{a}(T+1-t)^{\top}\succ 0.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex4.m1.1d">roman_lim roman_inf start_POSTSUBSCRIPT italic_T → ∞ end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_T end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T + 1 - italic_t ) italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T + 1 - italic_t ) start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT ≻ 0 .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_remark" id="Thmremark2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmremark2.1.1.1">Remark 2</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmremark2.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmremark2.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmremark2.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmremark2.p1.1.1">A martingale is a sequence of random variables for which, at a particular time of the realized sequence, the expectation of the next value in the sequence is equal to the present observed value even given knowledge of all prior observed values. Standing Assumption <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#Thmstanding2" title="Standing Assumption 2. ‣ 2.1 System model description ‣ 2 Mathematical formulation ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a> denotes a common requirement for analyzing the convergence of system identification algorithms, enabling the noise process to exhibit non-stationary and heavy-tailed characteristics—see, e.g., <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#bib.bib29" title="">29</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#bib.bib30" title="">30</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#bib.bib31" title="">31</a>]</cite>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p4"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p4.8">The NCS-RSM in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S2.E1" title="In 2.1 System model description ‣ 2 Mathematical formulation ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>) thus consists of two state equations and one output equation. Specifically, the first state equation represents the dynamics of the causal state variables, while the second one the dynamics of the non-causal state variables. The system output is determined by both the causal and non-causal states. Furthermore, both the causal and non-causal parts of the system are composed of multiple subsystems, and their corresponding switching sequences are different. Given some <math alttext="T\in\mathbb{Z}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p4.1.m1.1"><semantics id="S2.SS1.p4.1.m1.1a"><mrow id="S2.SS1.p4.1.m1.1.1" xref="S2.SS1.p4.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.1.m1.1.1.2" xref="S2.SS1.p4.1.m1.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S2.SS1.p4.1.m1.1.1.1" xref="S2.SS1.p4.1.m1.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S2.SS1.p4.1.m1.1.1.3" xref="S2.SS1.p4.1.m1.1.1.3.cmml">ℤ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p4.1.m1.1b"><apply id="S2.SS1.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.1.m1.1.1"><in id="S2.SS1.p4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.1.m1.1.1.1"></in><ci id="S2.SS1.p4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.1.m1.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S2.SS1.p4.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.1.m1.1.1.3">ℤ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p4.1.m1.1c">T\in\mathbb{Z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p4.1.m1.1d">italic_T ∈ blackboard_Z</annotation></semantics></math>, which will denote the sample size of the available dataset, let the switching sequences of the causal and non-causal parts being denoted by <math alttext="\bm{s}_{c}\triangleq\{s_{c}(t)\}_{t=1}^{T}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p4.2.m2.2"><semantics id="S2.SS1.p4.2.m2.2a"><mrow id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.cmml"><msub id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.3" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.3.2" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.3.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.3.3" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.3.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.2" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.2.cmml">≜</mo><msubsup id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.1" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.1.cmml"><mrow id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">s</mi><mi id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p4.2.m2.1.1" xref="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.cmml">t</mi><mo id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><mrow id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.3" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.3.2.cmml">t</mi><mo id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.3.1" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.3.3" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.1.3" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.1.3.cmml">T</mi></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p4.2.m2.2b"><apply id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2"><ci id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.2">≜</ci><apply id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.3.2">𝒔</ci><ci id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.3.3">𝑐</ci></apply><apply id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.1">superscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.1">subscript</csymbol><set id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1"><apply id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1.1"><times id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2">𝑠</ci><ci id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.1.1">𝑡</ci></apply></set><apply id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.3"><eq id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.3.1"></eq><ci id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.3.2">𝑡</ci><cn id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.1.3">𝑇</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p4.2.m2.2c">\bm{s}_{c}\triangleq\{s_{c}(t)\}_{t=1}^{T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p4.2.m2.2d">bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ≜ { italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) } start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\bm{s}_{a}\triangleq\{s_{a}(t)\}_{t=1}^{T}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p4.3.m3.2"><semantics id="S2.SS1.p4.3.m3.2a"><mrow id="S2.SS1.p4.3.m3.2.2" xref="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.cmml"><msub id="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.3" xref="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.3.2" xref="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.3.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.3.3" xref="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.3.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.2" xref="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.2.cmml">≜</mo><msubsup id="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.1" xref="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.1.cmml"><mrow id="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.1.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">s</mi><mi id="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p4.3.m3.1.1" xref="S2.SS1.p4.3.m3.1.1.cmml">t</mi><mo id="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><mrow id="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.1.1.3" xref="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.1.1.3.2.cmml">t</mi><mo id="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.1.1.3.1" xref="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.1.1.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.1.1.3.3" xref="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.1.3" xref="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.1.3.cmml">T</mi></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p4.3.m3.2b"><apply id="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.3.m3.2.2"><ci id="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.2">≜</ci><apply id="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.3.2">𝒔</ci><ci id="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.3.3">𝑎</ci></apply><apply id="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.1">superscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.1">subscript</csymbol><set id="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.1.1.1.1"><apply id="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.1.1.1.1.1"><times id="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.2.2">𝑠</ci><ci id="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="S2.SS1.p4.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.3.m3.1.1">𝑡</ci></apply></set><apply id="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.1.1.3"><eq id="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.1.1.3.1"></eq><ci id="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.1.1.3.2">𝑡</ci><cn id="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.1.3">𝑇</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p4.3.m3.2c">\bm{s}_{a}\triangleq\{s_{a}(t)\}_{t=1}^{T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p4.3.m3.2d">bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ≜ { italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) } start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, respectively. Each of them corresponds to a set of parameters, i.e., <math alttext="s_{c}(t)=i" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p4.4.m4.1"><semantics id="S2.SS1.p4.4.m4.1a"><mrow id="S2.SS1.p4.4.m4.1.2" xref="S2.SS1.p4.4.m4.1.2.cmml"><mrow id="S2.SS1.p4.4.m4.1.2.2" xref="S2.SS1.p4.4.m4.1.2.2.cmml"><msub id="S2.SS1.p4.4.m4.1.2.2.2" xref="S2.SS1.p4.4.m4.1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.4.m4.1.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p4.4.m4.1.2.2.2.2.cmml">s</mi><mi id="S2.SS1.p4.4.m4.1.2.2.2.3" xref="S2.SS1.p4.4.m4.1.2.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S2.SS1.p4.4.m4.1.2.2.1" xref="S2.SS1.p4.4.m4.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p4.4.m4.1.2.2.3.2" xref="S2.SS1.p4.4.m4.1.2.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p4.4.m4.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.4.m4.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p4.4.m4.1.1" xref="S2.SS1.p4.4.m4.1.1.cmml">t</mi><mo id="S2.SS1.p4.4.m4.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.4.m4.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS1.p4.4.m4.1.2.1" xref="S2.SS1.p4.4.m4.1.2.1.cmml">=</mo><mi id="S2.SS1.p4.4.m4.1.2.3" xref="S2.SS1.p4.4.m4.1.2.3.cmml">i</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p4.4.m4.1b"><apply id="S2.SS1.p4.4.m4.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.4.m4.1.2"><eq id="S2.SS1.p4.4.m4.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.4.m4.1.2.1"></eq><apply id="S2.SS1.p4.4.m4.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.4.m4.1.2.2"><times id="S2.SS1.p4.4.m4.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.4.m4.1.2.2.1"></times><apply id="S2.SS1.p4.4.m4.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.4.m4.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.4.m4.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.4.m4.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p4.4.m4.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.4.m4.1.2.2.2.2">𝑠</ci><ci id="S2.SS1.p4.4.m4.1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.4.m4.1.2.2.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="S2.SS1.p4.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.4.m4.1.1">𝑡</ci></apply><ci id="S2.SS1.p4.4.m4.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.4.m4.1.2.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p4.4.m4.1c">s_{c}(t)=i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p4.4.m4.1d">italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) = italic_i</annotation></semantics></math> determines the model parameter <math alttext="\theta^{c}_{i}\triangleq\{A_{c}(i),C_{c}(i),\Sigma_{c}(i)\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p4.5.m5.6"><semantics id="S2.SS1.p4.5.m5.6a"><mrow id="S2.SS1.p4.5.m5.6.6" xref="S2.SS1.p4.5.m5.6.6.cmml"><msubsup id="S2.SS1.p4.5.m5.6.6.5" xref="S2.SS1.p4.5.m5.6.6.5.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.5.m5.6.6.5.2.2" xref="S2.SS1.p4.5.m5.6.6.5.2.2.cmml">θ</mi><mi id="S2.SS1.p4.5.m5.6.6.5.3" xref="S2.SS1.p4.5.m5.6.6.5.3.cmml">i</mi><mi id="S2.SS1.p4.5.m5.6.6.5.2.3" xref="S2.SS1.p4.5.m5.6.6.5.2.3.cmml">c</mi></msubsup><mo id="S2.SS1.p4.5.m5.6.6.4" xref="S2.SS1.p4.5.m5.6.6.4.cmml">≜</mo><mrow id="S2.SS1.p4.5.m5.6.6.3.3" xref="S2.SS1.p4.5.m5.6.6.3.4.cmml"><mo id="S2.SS1.p4.5.m5.6.6.3.3.4" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.5.m5.6.6.3.4.cmml">{</mo><mrow id="S2.SS1.p4.5.m5.4.4.1.1.1" xref="S2.SS1.p4.5.m5.4.4.1.1.1.cmml"><msub id="S2.SS1.p4.5.m5.4.4.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p4.5.m5.4.4.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.5.m5.4.4.1.1.1.2.2" xref="S2.SS1.p4.5.m5.4.4.1.1.1.2.2.cmml">A</mi><mi id="S2.SS1.p4.5.m5.4.4.1.1.1.2.3" xref="S2.SS1.p4.5.m5.4.4.1.1.1.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S2.SS1.p4.5.m5.4.4.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p4.5.m5.4.4.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p4.5.m5.4.4.1.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p4.5.m5.4.4.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p4.5.m5.4.4.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.5.m5.4.4.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p4.5.m5.1.1" xref="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.SS1.p4.5.m5.4.4.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.5.m5.4.4.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS1.p4.5.m5.6.6.3.3.5" xref="S2.SS1.p4.5.m5.6.6.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S2.SS1.p4.5.m5.5.5.2.2.2" xref="S2.SS1.p4.5.m5.5.5.2.2.2.cmml"><msub id="S2.SS1.p4.5.m5.5.5.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p4.5.m5.5.5.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.5.m5.5.5.2.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p4.5.m5.5.5.2.2.2.2.2.cmml">C</mi><mi id="S2.SS1.p4.5.m5.5.5.2.2.2.2.3" xref="S2.SS1.p4.5.m5.5.5.2.2.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S2.SS1.p4.5.m5.5.5.2.2.2.1" xref="S2.SS1.p4.5.m5.5.5.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p4.5.m5.5.5.2.2.2.3.2" xref="S2.SS1.p4.5.m5.5.5.2.2.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p4.5.m5.5.5.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.5.m5.5.5.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p4.5.m5.2.2" xref="S2.SS1.p4.5.m5.2.2.cmml">i</mi><mo id="S2.SS1.p4.5.m5.5.5.2.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.5.m5.5.5.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS1.p4.5.m5.6.6.3.3.6" xref="S2.SS1.p4.5.m5.6.6.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S2.SS1.p4.5.m5.6.6.3.3.3" xref="S2.SS1.p4.5.m5.6.6.3.3.3.cmml"><msub id="S2.SS1.p4.5.m5.6.6.3.3.3.2" xref="S2.SS1.p4.5.m5.6.6.3.3.3.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.5.m5.6.6.3.3.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.SS1.p4.5.m5.6.6.3.3.3.2.2.cmml">Σ</mi><mi id="S2.SS1.p4.5.m5.6.6.3.3.3.2.3" xref="S2.SS1.p4.5.m5.6.6.3.3.3.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S2.SS1.p4.5.m5.6.6.3.3.3.1" xref="S2.SS1.p4.5.m5.6.6.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p4.5.m5.6.6.3.3.3.3.2" xref="S2.SS1.p4.5.m5.6.6.3.3.3.cmml"><mo id="S2.SS1.p4.5.m5.6.6.3.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.5.m5.6.6.3.3.3.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p4.5.m5.3.3" xref="S2.SS1.p4.5.m5.3.3.cmml">i</mi><mo id="S2.SS1.p4.5.m5.6.6.3.3.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.5.m5.6.6.3.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS1.p4.5.m5.6.6.3.3.7" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.5.m5.6.6.3.4.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p4.5.m5.6b"><apply id="S2.SS1.p4.5.m5.6.6.cmml" xref="S2.SS1.p4.5.m5.6.6"><ci id="S2.SS1.p4.5.m5.6.6.4.cmml" xref="S2.SS1.p4.5.m5.6.6.4">≜</ci><apply id="S2.SS1.p4.5.m5.6.6.5.cmml" xref="S2.SS1.p4.5.m5.6.6.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.5.m5.6.6.5.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.5.m5.6.6.5">subscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p4.5.m5.6.6.5.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.5.m5.6.6.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.5.m5.6.6.5.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.5.m5.6.6.5">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p4.5.m5.6.6.5.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.5.m5.6.6.5.2.2">𝜃</ci><ci id="S2.SS1.p4.5.m5.6.6.5.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.5.m5.6.6.5.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="S2.SS1.p4.5.m5.6.6.5.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.5.m5.6.6.5.3">𝑖</ci></apply><set id="S2.SS1.p4.5.m5.6.6.3.4.cmml" xref="S2.SS1.p4.5.m5.6.6.3.3"><apply id="S2.SS1.p4.5.m5.4.4.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.5.m5.4.4.1.1.1"><times id="S2.SS1.p4.5.m5.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.5.m5.4.4.1.1.1.1"></times><apply id="S2.SS1.p4.5.m5.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.5.m5.4.4.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.5.m5.4.4.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.5.m5.4.4.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p4.5.m5.4.4.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.5.m5.4.4.1.1.1.2.2">𝐴</ci><ci id="S2.SS1.p4.5.m5.4.4.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.5.m5.4.4.1.1.1.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.5.m5.1.1">𝑖</ci></apply><apply id="S2.SS1.p4.5.m5.5.5.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.5.m5.5.5.2.2.2"><times id="S2.SS1.p4.5.m5.5.5.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.5.m5.5.5.2.2.2.1"></times><apply id="S2.SS1.p4.5.m5.5.5.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.5.m5.5.5.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.5.m5.5.5.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.5.m5.5.5.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p4.5.m5.5.5.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.5.m5.5.5.2.2.2.2.2">𝐶</ci><ci id="S2.SS1.p4.5.m5.5.5.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.5.m5.5.5.2.2.2.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="S2.SS1.p4.5.m5.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.5.m5.2.2">𝑖</ci></apply><apply id="S2.SS1.p4.5.m5.6.6.3.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.5.m5.6.6.3.3.3"><times id="S2.SS1.p4.5.m5.6.6.3.3.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.5.m5.6.6.3.3.3.1"></times><apply id="S2.SS1.p4.5.m5.6.6.3.3.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.5.m5.6.6.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.5.m5.6.6.3.3.3.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.5.m5.6.6.3.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p4.5.m5.6.6.3.3.3.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.5.m5.6.6.3.3.3.2.2">Σ</ci><ci id="S2.SS1.p4.5.m5.6.6.3.3.3.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.5.m5.6.6.3.3.3.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="S2.SS1.p4.5.m5.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.5.m5.3.3">𝑖</ci></apply></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p4.5.m5.6c">\theta^{c}_{i}\triangleq\{A_{c}(i),C_{c}(i),\Sigma_{c}(i)\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p4.5.m5.6d">italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_c end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ≜ { italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_i ) , italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_i ) , roman_Σ start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_i ) }</annotation></semantics></math> that is active at the time instant <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p4.6.m6.1"><semantics id="S2.SS1.p4.6.m6.1a"><mi id="S2.SS1.p4.6.m6.1.1" xref="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p4.6.m6.1b"><ci id="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.6.m6.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p4.6.m6.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p4.6.m6.1d">italic_t</annotation></semantics></math>. In particular, the sequences <math alttext="\bm{s}_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p4.7.m7.1"><semantics id="S2.SS1.p4.7.m7.1a"><msub id="S2.SS1.p4.7.m7.1.1" xref="S2.SS1.p4.7.m7.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.7.m7.1.1.2" xref="S2.SS1.p4.7.m7.1.1.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S2.SS1.p4.7.m7.1.1.3" xref="S2.SS1.p4.7.m7.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p4.7.m7.1b"><apply id="S2.SS1.p4.7.m7.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.7.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.7.m7.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p4.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.7.m7.1.1.2">𝒔</ci><ci id="S2.SS1.p4.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.7.m7.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p4.7.m7.1c">\bm{s}_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p4.7.m7.1d">bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\bm{s}_{a}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p4.8.m8.1"><semantics id="S2.SS1.p4.8.m8.1a"><msub id="S2.SS1.p4.8.m8.1.1" xref="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.2" xref="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.3" xref="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.3.cmml">a</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p4.8.m8.1b"><apply id="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.8.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.8.m8.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.2">𝒔</ci><ci id="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.8.m8.1.1.3">𝑎</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p4.8.m8.1c">\bm{s}_{a}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p4.8.m8.1d">bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> undergo random switches with certain (fixed) probabilities over time. Then, we have the following assumption:</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_standing" id="Thmstanding3"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmstanding3.1.1.1">Standing Assumption 3</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmstanding3.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmstanding3.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmstanding3.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmstanding3.p1.1.1">The following conditions hold true:</span></p> <ol class="ltx_enumerate" id="S2.I1"> <li class="ltx_item" id="S2.I1.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">1.</span> <div class="ltx_para" id="S2.I1.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.I1.i1.p1.8"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.I1.i1.p1.8.1">The switching sequences </span><math alttext="\bm{s}_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1a"><msub id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1b"><apply id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2">𝒔</ci><ci id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1c">\bm{s}_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1d">bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.I1.i1.p1.8.2">, </span><math alttext="\bm{s}_{a}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I1.i1.p1.2.m2.1"><semantics id="S2.I1.i1.p1.2.m2.1a"><msub id="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1" xref="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.2" xref="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.3" xref="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.3.cmml">a</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I1.i1.p1.2.m2.1b"><apply id="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.2">𝒔</ci><ci id="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.3">𝑎</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I1.i1.p1.2.m2.1c">\bm{s}_{a}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I1.i1.p1.2.m2.1d">bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.I1.i1.p1.8.3">, and the subsystem parameters </span><math alttext="\theta^{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1"><semantics id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1a"><msup id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1" xref="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2" xref="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.cmml">θ</mi><mi id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.3" xref="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.3.cmml">c</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1b"><apply id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2">𝜃</ci><ci id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1c">\theta^{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1d">italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_c end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.I1.i1.p1.8.4">, </span><math alttext="\theta^{a}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I1.i1.p1.4.m4.1"><semantics id="S2.I1.i1.p1.4.m4.1a"><msup id="S2.I1.i1.p1.4.m4.1.1" xref="S2.I1.i1.p1.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S2.I1.i1.p1.4.m4.1.1.2" xref="S2.I1.i1.p1.4.m4.1.1.2.cmml">θ</mi><mi id="S2.I1.i1.p1.4.m4.1.1.3" xref="S2.I1.i1.p1.4.m4.1.1.3.cmml">a</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I1.i1.p1.4.m4.1b"><apply id="S2.I1.i1.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i1.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.4.m4.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.I1.i1.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.4.m4.1.1.2">𝜃</ci><ci id="S2.I1.i1.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.4.m4.1.1.3">𝑎</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I1.i1.p1.4.m4.1c">\theta^{a}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I1.i1.p1.4.m4.1d">italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_a end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.I1.i1.p1.8.5"> are all independent among them, i.e., </span><math alttext="\mathbb{P}[\bm{s}_{c}|\theta^{c}]=\mathbb{P}[\bm{s}_{c}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I1.i1.p1.5.m5.2"><semantics id="S2.I1.i1.p1.5.m5.2a"><mrow id="S2.I1.i1.p1.5.m5.2.2" xref="S2.I1.i1.p1.5.m5.2.2.cmml"><mrow id="S2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1" xref="S2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.cmml"><mi id="S2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.3" xref="S2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.3.cmml">ℙ</mi><mo id="S2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.2" xref="S2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1" xref="S2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1" xref="S2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">c</mi></msub><mo fence="false" id="S2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">|</mo><msup id="S2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">θ</mi><mi id="S2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">c</mi></msup></mrow><mo id="S2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S2.I1.i1.p1.5.m5.2.2.3" xref="S2.I1.i1.p1.5.m5.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.I1.i1.p1.5.m5.2.2.2" xref="S2.I1.i1.p1.5.m5.2.2.2.cmml"><mi id="S2.I1.i1.p1.5.m5.2.2.2.3" xref="S2.I1.i1.p1.5.m5.2.2.2.3.cmml">ℙ</mi><mo id="S2.I1.i1.p1.5.m5.2.2.2.2" xref="S2.I1.i1.p1.5.m5.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.I1.i1.p1.5.m5.2.2.2.1.1" xref="S2.I1.i1.p1.5.m5.2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S2.I1.i1.p1.5.m5.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.I1.i1.p1.5.m5.2.2.2.1.2.1.cmml">[</mo><msub id="S2.I1.i1.p1.5.m5.2.2.2.1.1.1" xref="S2.I1.i1.p1.5.m5.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.I1.i1.p1.5.m5.2.2.2.1.1.1.2" xref="S2.I1.i1.p1.5.m5.2.2.2.1.1.1.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S2.I1.i1.p1.5.m5.2.2.2.1.1.1.3" xref="S2.I1.i1.p1.5.m5.2.2.2.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S2.I1.i1.p1.5.m5.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.I1.i1.p1.5.m5.2.2.2.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I1.i1.p1.5.m5.2b"><apply id="S2.I1.i1.p1.5.m5.2.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.5.m5.2.2"><eq id="S2.I1.i1.p1.5.m5.2.2.3.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.5.m5.2.2.3"></eq><apply id="S2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1"><times id="S2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.2"></times><ci id="S2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.3.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.3">ℙ</ci><apply id="S2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><apply id="S2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.2.2">𝒔</ci><ci id="S2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑐</ci></apply><apply id="S2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜃</ci><ci id="S2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑐</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.I1.i1.p1.5.m5.2.2.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.5.m5.2.2.2"><times id="S2.I1.i1.p1.5.m5.2.2.2.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.5.m5.2.2.2.2"></times><ci id="S2.I1.i1.p1.5.m5.2.2.2.3.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.5.m5.2.2.2.3">ℙ</ci><apply id="S2.I1.i1.p1.5.m5.2.2.2.1.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.5.m5.2.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.I1.i1.p1.5.m5.2.2.2.1.2.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.5.m5.2.2.2.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S2.I1.i1.p1.5.m5.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.5.m5.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i1.p1.5.m5.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.5.m5.2.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.I1.i1.p1.5.m5.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.5.m5.2.2.2.1.1.1.2">𝒔</ci><ci id="S2.I1.i1.p1.5.m5.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.5.m5.2.2.2.1.1.1.3">𝑐</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I1.i1.p1.5.m5.2c">\mathbb{P}[\bm{s}_{c}|\theta^{c}]=\mathbb{P}[\bm{s}_{c}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I1.i1.p1.5.m5.2d">blackboard_P [ bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT | italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_c end_POSTSUPERSCRIPT ] = blackboard_P [ bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ]</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.I1.i1.p1.8.6">, </span><math alttext="\mathbb{P}[\theta^{c}|\bm{s}_{c}]=\mathbb{P}[\theta^{c}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I1.i1.p1.6.m6.2"><semantics id="S2.I1.i1.p1.6.m6.2a"><mrow 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xref="S2.I1.i1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.I1.i1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.I1.i1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S2.I1.i1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.I1.i1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">c</mi></msub></mrow><mo id="S2.I1.i1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.I1.i1.p1.6.m6.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S2.I1.i1.p1.6.m6.2.2.3" xref="S2.I1.i1.p1.6.m6.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.I1.i1.p1.6.m6.2.2.2" xref="S2.I1.i1.p1.6.m6.2.2.2.cmml"><mi id="S2.I1.i1.p1.6.m6.2.2.2.3" xref="S2.I1.i1.p1.6.m6.2.2.2.3.cmml">ℙ</mi><mo id="S2.I1.i1.p1.6.m6.2.2.2.2" xref="S2.I1.i1.p1.6.m6.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.I1.i1.p1.6.m6.2.2.2.1.1" xref="S2.I1.i1.p1.6.m6.2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S2.I1.i1.p1.6.m6.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.I1.i1.p1.6.m6.2.2.2.1.2.1.cmml">[</mo><msup id="S2.I1.i1.p1.6.m6.2.2.2.1.1.1" xref="S2.I1.i1.p1.6.m6.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.I1.i1.p1.6.m6.2.2.2.1.1.1.2" 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cd="latexml" id="S2.I1.i1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><apply id="S2.I1.i1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.I1.i1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.2">𝜃</ci><ci id="S2.I1.i1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑐</ci></apply><apply id="S2.I1.i1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.I1.i1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.2">𝒔</ci><ci id="S2.I1.i1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑐</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.I1.i1.p1.6.m6.2.2.2.cmml" 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xref="S2.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑎</ci></apply><apply id="S2.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜃</ci><ci id="S2.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑎</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.I1.i1.p1.7.m7.2.2.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.7.m7.2.2.2"><times id="S2.I1.i1.p1.7.m7.2.2.2.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.7.m7.2.2.2.2"></times><ci id="S2.I1.i1.p1.7.m7.2.2.2.3.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.7.m7.2.2.2.3">ℙ</ci><apply id="S2.I1.i1.p1.7.m7.2.2.2.1.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.7.m7.2.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.I1.i1.p1.7.m7.2.2.2.1.2.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.7.m7.2.2.2.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S2.I1.i1.p1.7.m7.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.7.m7.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i1.p1.7.m7.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.7.m7.2.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.I1.i1.p1.7.m7.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.7.m7.2.2.2.1.1.1.2">𝒔</ci><ci id="S2.I1.i1.p1.7.m7.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.7.m7.2.2.2.1.1.1.3">𝑎</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I1.i1.p1.7.m7.2c">\mathbb{P}[\bm{s}_{a}|\theta^{a}]=\mathbb{P}[\bm{s}_{a}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I1.i1.p1.7.m7.2d">blackboard_P [ bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT | italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_a end_POSTSUPERSCRIPT ] = blackboard_P [ bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ]</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.I1.i1.p1.8.8">, </span><math alttext="\mathbb{P}[\theta^{a}|\bm{s}_{a}]=\mathbb{P}[\theta^{a}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I1.i1.p1.8.m8.2"><semantics id="S2.I1.i1.p1.8.m8.2a"><mrow id="S2.I1.i1.p1.8.m8.2.2" xref="S2.I1.i1.p1.8.m8.2.2.cmml"><mrow id="S2.I1.i1.p1.8.m8.1.1.1" xref="S2.I1.i1.p1.8.m8.1.1.1.cmml"><mi id="S2.I1.i1.p1.8.m8.1.1.1.3" xref="S2.I1.i1.p1.8.m8.1.1.1.3.cmml">ℙ</mi><mo id="S2.I1.i1.p1.8.m8.1.1.1.2" xref="S2.I1.i1.p1.8.m8.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.I1.i1.p1.8.m8.1.1.1.1.1" xref="S2.I1.i1.p1.8.m8.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.I1.i1.p1.8.m8.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.I1.i1.p1.8.m8.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S2.I1.i1.p1.8.m8.1.1.1.1.1.1" xref="S2.I1.i1.p1.8.m8.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.I1.i1.p1.8.m8.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.I1.i1.p1.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.I1.i1.p1.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.I1.i1.p1.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">θ</mi><mi id="S2.I1.i1.p1.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.I1.i1.p1.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">a</mi></msup><mo fence="false" id="S2.I1.i1.p1.8.m8.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.I1.i1.p1.8.m8.1.1.1.1.1.1.1.cmml">|</mo><msub 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cd="latexml" id="S2.I1.i1.p1.8.m8.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.8.m8.1.1.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><apply id="S2.I1.i1.p1.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.8.m8.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i1.p1.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.8.m8.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.I1.i1.p1.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.2">𝜃</ci><ci id="S2.I1.i1.p1.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑎</ci></apply><apply id="S2.I1.i1.p1.8.m8.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.8.m8.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i1.p1.8.m8.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.8.m8.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.I1.i1.p1.8.m8.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.8.m8.1.1.1.1.1.1.3.2">𝒔</ci><ci id="S2.I1.i1.p1.8.m8.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.8.m8.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑎</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.I1.i1.p1.8.m8.2.2.2.cmml" 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id="S2.I1.i1.p1.8.m8.2d">blackboard_P [ italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_a end_POSTSUPERSCRIPT | bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ] = blackboard_P [ italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_a end_POSTSUPERSCRIPT ]</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.I1.i1.p1.8.9">. </span></p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S2.I1.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">2.</span> <div class="ltx_para" id="S2.I1.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.I1.i2.p1.5"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.I1.i2.p1.5.1">The switching sequence follows a multinomial distribution, i.e., for any </span><math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1a"><mi id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1b"><ci id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1d">italic_t</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.I1.i2.p1.5.2">, we have </span><math alttext="\mathbb{P}[s_{c}(t)=i]=\pi^{c}_{i},\quad i=1,\ldots,m_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I1.i2.p1.2.m2.5"><semantics id="S2.I1.i2.p1.2.m2.5a"><mrow id="S2.I1.i2.p1.2.m2.5.5.2" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.5.5.3.cmml"><mrow id="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.1" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.1.3" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.1.3.cmml">ℙ</mi><mo id="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.1.1.1" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">s</mi><mi id="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.cmml">t</mi><mo id="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></mrow><mo id="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.2" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.2.cmml">=</mo><msubsup id="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.3" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.3.cmml"><mi id="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.3.2.2" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.3.2.2.cmml">π</mi><mi id="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.3.3" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.3.3.cmml">i</mi><mi id="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.3.2.3" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.3.2.3.cmml">c</mi></msubsup></mrow><mo id="S2.I1.i2.p1.2.m2.5.5.2.3" rspace="1.167em" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.5.5.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.I1.i2.p1.2.m2.5.5.2.2" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.5.5.2.2.cmml"><mi id="S2.I1.i2.p1.2.m2.5.5.2.2.3" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.5.5.2.2.3.cmml">i</mi><mo id="S2.I1.i2.p1.2.m2.5.5.2.2.2" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.5.5.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.I1.i2.p1.2.m2.5.5.2.2.1.1" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.5.5.2.2.1.2.cmml"><mn id="S2.I1.i2.p1.2.m2.2.2" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.2.2.cmml">1</mn><mo id="S2.I1.i2.p1.2.m2.5.5.2.2.1.1.2" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.5.5.2.2.1.2.cmml">,</mo><mi id="S2.I1.i2.p1.2.m2.3.3" mathvariant="normal" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.3.3.cmml">…</mi><mo id="S2.I1.i2.p1.2.m2.5.5.2.2.1.1.3" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.5.5.2.2.1.2.cmml">,</mo><msub id="S2.I1.i2.p1.2.m2.5.5.2.2.1.1.1" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.5.5.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.I1.i2.p1.2.m2.5.5.2.2.1.1.1.2" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.5.5.2.2.1.1.1.2.cmml">m</mi><mi id="S2.I1.i2.p1.2.m2.5.5.2.2.1.1.1.3" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.5.5.2.2.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I1.i2.p1.2.m2.5b"><apply id="S2.I1.i2.p1.2.m2.5.5.3.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.5.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i2.p1.2.m2.5.5.3a.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.5.5.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1"><eq id="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.2"></eq><apply id="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.1"><times id="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2"></times><ci id="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.1.3">ℙ</ci><apply id="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1"><eq id="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑠</ci><ci id="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1">𝑡</ci></apply><ci id="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.3.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.3.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.3.2.2">𝜋</ci><ci id="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.3.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.3.3.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.4.4.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S2.I1.i2.p1.2.m2.5.5.2.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.5.5.2.2"><eq id="S2.I1.i2.p1.2.m2.5.5.2.2.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.5.5.2.2.2"></eq><ci id="S2.I1.i2.p1.2.m2.5.5.2.2.3.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.5.5.2.2.3">𝑖</ci><list id="S2.I1.i2.p1.2.m2.5.5.2.2.1.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.5.5.2.2.1.1"><cn id="S2.I1.i2.p1.2.m2.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.2.2">1</cn><ci id="S2.I1.i2.p1.2.m2.3.3.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.3.3">…</ci><apply id="S2.I1.i2.p1.2.m2.5.5.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.5.5.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i2.p1.2.m2.5.5.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.5.5.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.I1.i2.p1.2.m2.5.5.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.5.5.2.2.1.1.1.2">𝑚</ci><ci id="S2.I1.i2.p1.2.m2.5.5.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.5.5.2.2.1.1.1.3">𝑐</ci></apply></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I1.i2.p1.2.m2.5c">\mathbb{P}[s_{c}(t)=i]=\pi^{c}_{i},\quad i=1,\ldots,m_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I1.i2.p1.2.m2.5d">blackboard_P [ italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) = italic_i ] = italic_π start_POSTSUPERSCRIPT italic_c end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT , italic_i = 1 , … , italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.I1.i2.p1.5.3">, </span><math alttext="\mathbb{P}[s_{a}(t)=i]=\pi^{a}_{i},\quad i=1,\ldots,m_{a}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I1.i2.p1.3.m3.5"><semantics id="S2.I1.i2.p1.3.m3.5a"><mrow id="S2.I1.i2.p1.3.m3.5.5.2" xref="S2.I1.i2.p1.3.m3.5.5.3.cmml"><mrow id="S2.I1.i2.p1.3.m3.4.4.1.1" xref="S2.I1.i2.p1.3.m3.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S2.I1.i2.p1.3.m3.4.4.1.1.1" xref="S2.I1.i2.p1.3.m3.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="S2.I1.i2.p1.3.m3.4.4.1.1.1.3" xref="S2.I1.i2.p1.3.m3.4.4.1.1.1.3.cmml">ℙ</mi><mo id="S2.I1.i2.p1.3.m3.4.4.1.1.1.2" xref="S2.I1.i2.p1.3.m3.4.4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.I1.i2.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1" xref="S2.I1.i2.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.I1.i2.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.I1.i2.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S2.I1.i2.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S2.I1.i2.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow 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id="S2.I1.i2.p1.3.m3.5.5.2.2.2" xref="S2.I1.i2.p1.3.m3.5.5.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.I1.i2.p1.3.m3.5.5.2.2.1.1" xref="S2.I1.i2.p1.3.m3.5.5.2.2.1.2.cmml"><mn id="S2.I1.i2.p1.3.m3.2.2" xref="S2.I1.i2.p1.3.m3.2.2.cmml">1</mn><mo id="S2.I1.i2.p1.3.m3.5.5.2.2.1.1.2" xref="S2.I1.i2.p1.3.m3.5.5.2.2.1.2.cmml">,</mo><mi id="S2.I1.i2.p1.3.m3.3.3" mathvariant="normal" xref="S2.I1.i2.p1.3.m3.3.3.cmml">…</mi><mo id="S2.I1.i2.p1.3.m3.5.5.2.2.1.1.3" xref="S2.I1.i2.p1.3.m3.5.5.2.2.1.2.cmml">,</mo><msub id="S2.I1.i2.p1.3.m3.5.5.2.2.1.1.1" xref="S2.I1.i2.p1.3.m3.5.5.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.I1.i2.p1.3.m3.5.5.2.2.1.1.1.2" xref="S2.I1.i2.p1.3.m3.5.5.2.2.1.1.1.2.cmml">m</mi><mi id="S2.I1.i2.p1.3.m3.5.5.2.2.1.1.1.3" xref="S2.I1.i2.p1.3.m3.5.5.2.2.1.1.1.3.cmml">a</mi></msub></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I1.i2.p1.3.m3.5b"><apply id="S2.I1.i2.p1.3.m3.5.5.3.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.3.m3.5.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i2.p1.3.m3.5.5.3a.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.3.m3.5.5.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.I1.i2.p1.3.m3.4.4.1.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.3.m3.4.4.1.1"><eq id="S2.I1.i2.p1.3.m3.4.4.1.1.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.3.m3.4.4.1.1.2"></eq><apply id="S2.I1.i2.p1.3.m3.4.4.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.3.m3.4.4.1.1.1"><times id="S2.I1.i2.p1.3.m3.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.3.m3.4.4.1.1.1.2"></times><ci id="S2.I1.i2.p1.3.m3.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.3.m3.4.4.1.1.1.3">ℙ</ci><apply id="S2.I1.i2.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.I1.i2.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S2.I1.i2.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1"><eq id="S2.I1.i2.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S2.I1.i2.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S2.I1.i2.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S2.I1.i2.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i2.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.I1.i2.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑠</ci><ci id="S2.I1.i2.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="S2.I1.i2.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.3.m3.1.1">𝑡</ci></apply><ci id="S2.I1.i2.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.I1.i2.p1.3.m3.4.4.1.1.3.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.3.m3.4.4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i2.p1.3.m3.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.3.m3.4.4.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S2.I1.i2.p1.3.m3.4.4.1.1.3.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.3.m3.4.4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i2.p1.3.m3.4.4.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.3.m3.4.4.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.I1.i2.p1.3.m3.4.4.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.3.m3.4.4.1.1.3.2.2">𝜋</ci><ci id="S2.I1.i2.p1.3.m3.4.4.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.3.m3.4.4.1.1.3.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="S2.I1.i2.p1.3.m3.4.4.1.1.3.3.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.3.m3.4.4.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S2.I1.i2.p1.3.m3.5.5.2.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.3.m3.5.5.2.2"><eq id="S2.I1.i2.p1.3.m3.5.5.2.2.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.3.m3.5.5.2.2.2"></eq><ci id="S2.I1.i2.p1.3.m3.5.5.2.2.3.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.3.m3.5.5.2.2.3">𝑖</ci><list id="S2.I1.i2.p1.3.m3.5.5.2.2.1.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.3.m3.5.5.2.2.1.1"><cn id="S2.I1.i2.p1.3.m3.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.I1.i2.p1.3.m3.2.2">1</cn><ci id="S2.I1.i2.p1.3.m3.3.3.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.3.m3.3.3">…</ci><apply id="S2.I1.i2.p1.3.m3.5.5.2.2.1.1.1.cmml" 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alttext="\sum_{i=1}^{m_{c}}\pi^{c}_{i}=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I1.i2.p1.4.m4.1"><semantics id="S2.I1.i2.p1.4.m4.1a"><mrow id="S2.I1.i2.p1.4.m4.1.1" xref="S2.I1.i2.p1.4.m4.1.1.cmml"><mrow id="S2.I1.i2.p1.4.m4.1.1.2" xref="S2.I1.i2.p1.4.m4.1.1.2.cmml"><msubsup id="S2.I1.i2.p1.4.m4.1.1.2.1" xref="S2.I1.i2.p1.4.m4.1.1.2.1.cmml"><mo id="S2.I1.i2.p1.4.m4.1.1.2.1.2.2" xref="S2.I1.i2.p1.4.m4.1.1.2.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.I1.i2.p1.4.m4.1.1.2.1.2.3" xref="S2.I1.i2.p1.4.m4.1.1.2.1.2.3.cmml"><mi id="S2.I1.i2.p1.4.m4.1.1.2.1.2.3.2" xref="S2.I1.i2.p1.4.m4.1.1.2.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.I1.i2.p1.4.m4.1.1.2.1.2.3.1" xref="S2.I1.i2.p1.4.m4.1.1.2.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.I1.i2.p1.4.m4.1.1.2.1.2.3.3" xref="S2.I1.i2.p1.4.m4.1.1.2.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msub id="S2.I1.i2.p1.4.m4.1.1.2.1.3" xref="S2.I1.i2.p1.4.m4.1.1.2.1.3.cmml"><mi id="S2.I1.i2.p1.4.m4.1.1.2.1.3.2" xref="S2.I1.i2.p1.4.m4.1.1.2.1.3.2.cmml">m</mi><mi id="S2.I1.i2.p1.4.m4.1.1.2.1.3.3" 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xref="S2.I1.i2.p1.4.m4.1.1.2.1">superscript</csymbol><apply id="S2.I1.i2.p1.4.m4.1.1.2.1.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.4.m4.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i2.p1.4.m4.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.4.m4.1.1.2.1">subscript</csymbol><sum id="S2.I1.i2.p1.4.m4.1.1.2.1.2.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.4.m4.1.1.2.1.2.2"></sum><apply id="S2.I1.i2.p1.4.m4.1.1.2.1.2.3.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.4.m4.1.1.2.1.2.3"><eq id="S2.I1.i2.p1.4.m4.1.1.2.1.2.3.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.4.m4.1.1.2.1.2.3.1"></eq><ci id="S2.I1.i2.p1.4.m4.1.1.2.1.2.3.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.4.m4.1.1.2.1.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S2.I1.i2.p1.4.m4.1.1.2.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.I1.i2.p1.4.m4.1.1.2.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S2.I1.i2.p1.4.m4.1.1.2.1.3.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.4.m4.1.1.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i2.p1.4.m4.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.4.m4.1.1.2.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.I1.i2.p1.4.m4.1.1.2.1.3.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.4.m4.1.1.2.1.3.2">𝑚</ci><ci id="S2.I1.i2.p1.4.m4.1.1.2.1.3.3.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.4.m4.1.1.2.1.3.3">𝑐</ci></apply></apply><apply id="S2.I1.i2.p1.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.4.m4.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i2.p1.4.m4.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.4.m4.1.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="S2.I1.i2.p1.4.m4.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.4.m4.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i2.p1.4.m4.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.4.m4.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.I1.i2.p1.4.m4.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.4.m4.1.1.2.2.2.2">𝜋</ci><ci id="S2.I1.i2.p1.4.m4.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.4.m4.1.1.2.2.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="S2.I1.i2.p1.4.m4.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.4.m4.1.1.2.2.3">𝑖</ci></apply></apply><cn id="S2.I1.i2.p1.4.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.I1.i2.p1.4.m4.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I1.i2.p1.4.m4.1c">\sum_{i=1}^{m_{c}}\pi^{c}_{i}=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I1.i2.p1.4.m4.1d">∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT italic_π start_POSTSUPERSCRIPT italic_c end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT = 1</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.I1.i2.p1.5.5">, </span><math alttext="\sum_{i=1}^{m_{a}}\pi^{a}_{i}=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I1.i2.p1.5.m5.1"><semantics id="S2.I1.i2.p1.5.m5.1a"><mrow id="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1" xref="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.cmml"><mrow id="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2" xref="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2.cmml"><msubsup id="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2.1" xref="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2.1.cmml"><mo id="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2.1.2.2" xref="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2.1.2.3" xref="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2.1.2.3.cmml"><mi id="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2.1.2.3.2" xref="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2.1.2.3.1" xref="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2.1.2.3.3" xref="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msub id="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2.1.3" xref="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2.1.3.cmml"><mi id="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2.1.3.2" xref="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2.1.3.2.cmml">m</mi><mi id="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2.1.3.3" xref="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2.1.3.3.cmml">a</mi></msub></msubsup><msubsup id="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2.2" xref="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2.2.2.2" xref="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2.2.2.2.cmml">π</mi><mi id="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2.2.3" xref="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2.2.3.cmml">i</mi><mi id="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2.2.2.3" xref="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2.2.2.3.cmml">a</mi></msubsup></mrow><mo id="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.1" xref="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.3" xref="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I1.i2.p1.5.m5.1b"><apply id="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1"><eq id="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.1"></eq><apply id="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2"><apply id="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2.1.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2.1">superscript</csymbol><apply id="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2.1.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2.1">subscript</csymbol><sum id="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2.1.2.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2.1.2.2"></sum><apply id="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2.1.2.3.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2.1.2.3"><eq id="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2.1.2.3.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2.1.2.3.1"></eq><ci id="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2.1.2.3.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2.1.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2.1.3.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2.1.3.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2.1.3.2">𝑚</ci><ci id="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2.1.3.3.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2.1.3.3">𝑎</ci></apply></apply><apply id="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2.2.2.2">𝜋</ci><ci id="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2.2.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.2.2.3">𝑖</ci></apply></apply><cn id="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.I1.i2.p1.5.m5.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I1.i2.p1.5.m5.1c">\sum_{i=1}^{m_{a}}\pi^{a}_{i}=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I1.i2.p1.5.m5.1d">∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT italic_π start_POSTSUPERSCRIPT italic_a end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT = 1</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.I1.i2.p1.5.6">.</span></p> </div> </li> </ol> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p5"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p5.1">The complete set of model parameters that comprehensively describe the NCS-RSM can be conveniently encapsulated into a parameter object <math alttext="\theta" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p5.1.m1.1"><semantics id="S2.SS1.p5.1.m1.1a"><mi id="S2.SS1.p5.1.m1.1.1" xref="S2.SS1.p5.1.m1.1.1.cmml">θ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p5.1.m1.1b"><ci id="S2.SS1.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.1.m1.1.1">𝜃</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p5.1.m1.1c">\theta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p5.1.m1.1d">italic_θ</annotation></semantics></math>, defined as follows:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex5"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_left"><math alttext="\theta\triangleq\left\{\{\theta^{c}_{i}\}_{i=1}^{m_{c}},\{\theta^{a}_{i}\}_{i=% 1}^{m_{a}},\{\pi^{c}_{i}\}_{i=1}^{m_{c}},\{\pi^{a}_{i}\}_{i=1}^{m_{a}},\Sigma_% {m}\right\}." class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex5.m1.1"><semantics id="S2.Ex5.m1.1a"><mrow id="S2.Ex5.m1.1.1.1" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.7" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.7.cmml">θ</mi><mo id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.6" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.6.cmml">≜</mo><mrow id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.5.5" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.5.6.cmml"><mo id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.5.5.6" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.5.6.cmml">{</mo><msubsup id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">{</mo><msubsup id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">θ</mi><mi id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi><mi id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">c</mi></msubsup><mo id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><mrow id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow><msub id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">m</mi><mi id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">c</mi></msub></msubsup><mo id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.5.5.7" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.5.6.cmml">,</mo><msubsup id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mrow id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml">{</mo><msubsup id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">θ</mi><mi id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">i</mi><mi id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">a</mi></msubsup><mo id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><mrow id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.2" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.1" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.3" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.3.cmml">1</mn></mrow><msub id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml">m</mi><mi id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml">a</mi></msub></msubsup><mo id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.5.5.8" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.5.6.cmml">,</mo><msubsup id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mrow id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.cmml">{</mo><msubsup id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">π</mi><mi id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.cmml">i</mi><mi id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml">c</mi></msubsup><mo id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><mrow id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.3" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.3.2" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.3.1" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.3.3" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.3.3.cmml">1</mn></mrow><msub id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.2" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml">m</mi><mi id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml">c</mi></msub></msubsup><mo id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.5.5.9" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.5.6.cmml">,</mo><msubsup id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4.cmml"><mrow id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.2.cmml">{</mo><msubsup id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.1" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml">π</mi><mi id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.1.3.cmml">i</mi><mi id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml">a</mi></msubsup><mo id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><mrow id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.3" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.3.2" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.3.1" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.3.3" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.3.3.cmml">1</mn></mrow><msub id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4.3" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4.3.cmml"><mi id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4.3.2" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4.3.2.cmml">m</mi><mi id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4.3.3" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4.3.3.cmml">a</mi></msub></msubsup><mo id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.5.5.10" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.5.6.cmml">,</mo><msub id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.5.5.5" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.5.5.5.cmml"><mi id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.5.5.5.2" mathvariant="normal" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.cmml">Σ</mi><mi id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.5.5.5.3" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.5.5.5.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.5.5.11" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.5.6.cmml">}</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex5.m1.1.1.1.2" lspace="0em" 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xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝜃</ci><ci id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></set><apply id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><eq id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></eq><ci id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑖</ci><cn id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><apply 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xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.2">𝜃</ci><ci id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></set><apply id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3"><eq id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.1"></eq><ci id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.2">𝑖</ci><cn id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2">𝑚</ci><ci id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3">𝑎</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.2.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><set id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1"><apply id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.2">𝜋</ci><ci id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></set><apply id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.3.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.3"><eq id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.3.1"></eq><ci id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.3.2">𝑖</ci><cn id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.2">𝑚</ci><ci id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3">𝑐</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.2.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4">subscript</csymbol><set id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1"><apply id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.1.2.2">𝜋</ci><ci id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.1.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></set><apply id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.3.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.3"><eq id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.3.1"></eq><ci id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.3.2">𝑖</ci><cn id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4.3.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4.3.1.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4.3.2.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4.3.2">𝑚</ci><ci id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4.3.3.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.4.4.4.3.3">𝑎</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.5.5.5.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.5.5.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.5.5.5.1.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.5.5.5">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.5.5.5.2">Σ</ci><ci id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.5.5.5.3.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.5.5.5.3">𝑚</ci></apply></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex5.m1.1c">\theta\triangleq\left\{\{\theta^{c}_{i}\}_{i=1}^{m_{c}},\{\theta^{a}_{i}\}_{i=% 1}^{m_{a}},\{\pi^{c}_{i}\}_{i=1}^{m_{c}},\{\pi^{a}_{i}\}_{i=1}^{m_{a}},\Sigma_% {m}\right\}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex5.m1.1d">italic_θ ≜ { { italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_c end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT } start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT , { italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_a end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT } start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT , { italic_π start_POSTSUPERSCRIPT italic_c end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT } start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT , { italic_π start_POSTSUPERSCRIPT italic_a end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT } start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT , roman_Σ start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT } .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S2.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">2.2 </span>Problem statement</h3> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p1.6">Our goal is hence to estimate the <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.SS2.p1.6.1">unknown</span> model parameters <math alttext="\theta" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.SS2.p1.1.m1.1a"><mi id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml">θ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.1.m1.1b"><ci id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1">𝜃</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.1.m1.1c">\theta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.1.m1.1d">italic_θ</annotation></semantics></math> characterizing the NCS-RSM (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S2.E1" title="In 2.1 System model description ‣ 2 Mathematical formulation ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>) with the known state dimension, the initial states <math alttext="x_{c}(0)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.2.m2.1"><semantics id="S2.SS2.p1.2.m2.1a"><mrow id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.cmml"><msub id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.2" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.2.2" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.2.2.cmml">x</mi><mi id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.2.3" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.1" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.3.2" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.cmml"><mo id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mn id="S2.SS2.p1.2.m2.1.1" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.cmml">0</mn><mo id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.2.m2.1b"><apply id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2"><times id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.1"></times><apply id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.2.2">𝑥</ci><ci id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.2.3">𝑐</ci></apply><cn id="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.1">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.2.m2.1c">x_{c}(0)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.2.m2.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( 0 )</annotation></semantics></math>, <math alttext="x_{a}(T+1)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.3.m3.1"><semantics id="S2.SS2.p1.3.m3.1a"><mrow id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.cmml"><msub id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.3" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.3.2" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.3.2.cmml">x</mi><mi id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.3.3" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.3.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.2" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.3.m3.1b"><apply id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1"><times id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.2"></times><apply id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.3.2">𝑥</ci><ci id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.3.3">𝑎</ci></apply><apply id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1"><plus id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2">𝑇</ci><cn id="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.3.m3.1c">x_{a}(T+1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.3.m3.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T + 1 )</annotation></semantics></math>, number of causal system modes <math alttext="m_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.4.m4.1"><semantics id="S2.SS2.p1.4.m4.1a"><msub id="S2.SS2.p1.4.m4.1.1" xref="S2.SS2.p1.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.4.m4.1.1.2" xref="S2.SS2.p1.4.m4.1.1.2.cmml">m</mi><mi id="S2.SS2.p1.4.m4.1.1.3" xref="S2.SS2.p1.4.m4.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.4.m4.1b"><apply id="S2.SS2.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.4.m4.1.1.2">𝑚</ci><ci id="S2.SS2.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.4.m4.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.4.m4.1c">m_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.4.m4.1d">italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and non-causal system modes <math alttext="m_{a}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.5.m5.1"><semantics id="S2.SS2.p1.5.m5.1a"><msub id="S2.SS2.p1.5.m5.1.1" xref="S2.SS2.p1.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.5.m5.1.1.2" xref="S2.SS2.p1.5.m5.1.1.2.cmml">m</mi><mi id="S2.SS2.p1.5.m5.1.1.3" xref="S2.SS2.p1.5.m5.1.1.3.cmml">a</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.5.m5.1b"><apply id="S2.SS2.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.5.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.5.m5.1.1.2">𝑚</ci><ci id="S2.SS2.p1.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.5.m5.1.1.3">𝑎</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.5.m5.1c">m_{a}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.5.m5.1d">italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, together with a collection of noisy output measurements <math alttext="\bm{y}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.6.m6.1"><semantics id="S2.SS2.p1.6.m6.1a"><mi id="S2.SS2.p1.6.m6.1.1" xref="S2.SS2.p1.6.m6.1.1.cmml">𝒚</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.6.m6.1b"><ci id="S2.SS2.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.6.m6.1.1">𝒚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.6.m6.1c">\bm{y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.6.m6.1d">bold_italic_y</annotation></semantics></math>:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex6"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_left"><math alttext="\bm{y}\triangleq\bm{y}_{1:T}=\{y(1),\ldots,y(T)\}." class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex6.m1.4"><semantics id="S2.Ex6.m1.4a"><mrow id="S2.Ex6.m1.4.4.1" xref="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex6.m1.4.4.1.1" xref="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.4" xref="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.4.cmml">𝒚</mi><mo id="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.5" xref="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.5.cmml">≜</mo><msub id="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.6" xref="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.6.cmml"><mi id="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.6.2" xref="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.6.2.cmml">𝒚</mi><mrow id="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.6.3" xref="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.6.3.cmml"><mn id="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.6.3.2" xref="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.6.3.2.cmml">1</mn><mo id="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.6.3.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.6.3.1.cmml">:</mo><mi id="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.6.3.3" xref="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.6.3.3.cmml">T</mi></mrow></msub><mo id="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.7" xref="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.7.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.2.3.cmml"><mo id="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.2.3.cmml">{</mo><mrow id="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">y</mi><mo id="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mn id="S2.Ex6.m1.1.1" xref="S2.Ex6.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.2.2.4" xref="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex6.m1.3.3" mathvariant="normal" xref="S2.Ex6.m1.3.3.cmml">…</mi><mo id="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.2.2.5" xref="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.2.2.2" xref="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.2.2.2.2" xref="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.cmml">y</mi><mo id="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.2.2.2.1" xref="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.2" xref="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex6.m1.2.2" xref="S2.Ex6.m1.2.2.cmml">T</mi><mo id="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.2.2.6" stretchy="false" xref="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.2.3.cmml">}</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex6.m1.4.4.1.2" lspace="0em" xref="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex6.m1.4b"><apply id="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S2.Ex6.m1.4.4.1"><and id="S2.Ex6.m1.4.4.1.1a.cmml" xref="S2.Ex6.m1.4.4.1"></and><apply id="S2.Ex6.m1.4.4.1.1b.cmml" xref="S2.Ex6.m1.4.4.1"><ci id="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.5.cmml" xref="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.5">≜</ci><ci id="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.4.cmml" xref="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.4">𝒚</ci><apply id="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.6.cmml" xref="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.6.1.cmml" xref="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.6">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.6.2.cmml" xref="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.6.2">𝒚</ci><apply id="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.6.3.cmml" xref="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.6.3"><ci id="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.6.3.1.cmml" xref="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.6.3.1">:</ci><cn id="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.6.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.6.3.2">1</cn><ci id="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.6.3.3.cmml" xref="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.6.3.3">𝑇</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex6.m1.4.4.1.1c.cmml" xref="S2.Ex6.m1.4.4.1"><eq id="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.7.cmml" xref="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.7"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S2.Ex6.m1.4.4.1.1.6.cmml" id="S2.Ex6.m1.4.4.1.1d.cmml" xref="S2.Ex6.m1.4.4.1"></share><set id="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.2.2"><apply id="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1"><times id="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.1.1.1.2">𝑦</ci><cn id="S2.Ex6.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.Ex6.m1.1.1">1</cn></apply><ci id="S2.Ex6.m1.3.3.cmml" xref="S2.Ex6.m1.3.3">…</ci><apply id="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.2.2.2"><times id="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.2.2.2.1"></times><ci id="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex6.m1.4.4.1.1.2.2.2.2">𝑦</ci><ci id="S2.Ex6.m1.2.2.cmml" xref="S2.Ex6.m1.2.2">𝑇</ci></apply></set></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex6.m1.4c">\bm{y}\triangleq\bm{y}_{1:T}=\{y(1),\ldots,y(T)\}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex6.m1.4d">bold_italic_y ≜ bold_italic_y start_POSTSUBSCRIPT 1 : italic_T end_POSTSUBSCRIPT = { italic_y ( 1 ) , … , italic_y ( italic_T ) } .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.p2"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p2.4">The NCS-RSM system contains both causal and non-causal components with distinct switching sequences. Addressing this problem faces two main challenges. First, the output depends on both causal and non-causal states, which are unmeasurable. Simultaneously identifying parameters for all subsystems is challenging due to their continuous switching patterns. Second, the system has two independent switching sequences. For example, at time <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.1.m1.1"><semantics id="S2.SS2.p2.1.m1.1a"><mi id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.1.m1.1b"><ci id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.1.m1.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.1.m1.1d">italic_t</annotation></semantics></math>, the causal component might activate subsystem <math alttext="i" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.2.m2.1"><semantics id="S2.SS2.p2.2.m2.1a"><mi id="S2.SS2.p2.2.m2.1.1" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.cmml">i</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.2.m2.1b"><ci id="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.1">𝑖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.2.m2.1c">i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.2.m2.1d">italic_i</annotation></semantics></math> while the non-causal component activates subsystem <math alttext="j" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.3.m3.1"><semantics id="S2.SS2.p2.3.m3.1a"><mi id="S2.SS2.p2.3.m3.1.1" xref="S2.SS2.p2.3.m3.1.1.cmml">j</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.3.m3.1b"><ci id="S2.SS2.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m3.1.1">𝑗</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.3.m3.1c">j</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.3.m3.1d">italic_j</annotation></semantics></math>, creating <math alttext="m_{a}\times m_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.4.m4.1"><semantics id="S2.SS2.p2.4.m4.1a"><mrow id="S2.SS2.p2.4.m4.1.1" xref="S2.SS2.p2.4.m4.1.1.cmml"><msub id="S2.SS2.p2.4.m4.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.4.m4.1.1.2.2" xref="S2.SS2.p2.4.m4.1.1.2.2.cmml">m</mi><mi id="S2.SS2.p2.4.m4.1.1.2.3" xref="S2.SS2.p2.4.m4.1.1.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S2.SS2.p2.4.m4.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.SS2.p2.4.m4.1.1.1.cmml">×</mo><msub id="S2.SS2.p2.4.m4.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.4.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.4.m4.1.1.3.2" xref="S2.SS2.p2.4.m4.1.1.3.2.cmml">m</mi><mi id="S2.SS2.p2.4.m4.1.1.3.3" xref="S2.SS2.p2.4.m4.1.1.3.3.cmml">c</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.4.m4.1b"><apply id="S2.SS2.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.4.m4.1.1"><times id="S2.SS2.p2.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.4.m4.1.1.1"></times><apply id="S2.SS2.p2.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.4.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.4.m4.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.4.m4.1.1.2.2">𝑚</ci><ci id="S2.SS2.p2.4.m4.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.4.m4.1.1.2.3">𝑎</ci></apply><apply id="S2.SS2.p2.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.4.m4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.4.m4.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.4.m4.1.1.3.2">𝑚</ci><ci id="S2.SS2.p2.4.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.4.m4.1.1.3.3">𝑐</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.4.m4.1c">m_{a}\times m_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.4.m4.1d">italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT × italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> possible combinations.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.p3"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p3.4">In addition, the switching behavior of the subsystems is random and independent across different time instants, i.e., <math alttext="\mathbb{P}[s_{c}(t)|s_{c}(t-1),\ldots,s_{c}(1)]=\mathbb{P}[s_{c}(t)]" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p3.1.m1.6"><semantics id="S2.SS2.p3.1.m1.6a"><mrow id="S2.SS2.p3.1.m1.6.6" xref="S2.SS2.p3.1.m1.6.6.cmml"><mrow id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.3" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.3.cmml">ℙ</mi><mo id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.2" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.4" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.4.cmml"><msub id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.4.2" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.4.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.4.2.2" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.4.2.2.cmml">s</mi><mi id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.4.2.3" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.4.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.4.1" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.4.3.2" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.4.cmml"><mo id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.4.cmml">(</mo><mi id="S2.SS2.p3.1.m1.1.1" xref="S2.SS2.p3.1.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo fence="false" id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml">|</mo><mrow id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.cmml"><mrow id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">s</mi><mi id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.SS2.p3.1.m1.3.3" mathvariant="normal" xref="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.cmml">…</mi><mo id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.4" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><msub id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">s</mi><mi id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.2" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.cmml">(</mo><mn id="S2.SS2.p3.1.m1.2.2" xref="S2.SS2.p3.1.m1.2.2.cmml">1</mn><mo id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS2.p3.1.m1.6.6.3" xref="S2.SS2.p3.1.m1.6.6.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS2.p3.1.m1.6.6.2" xref="S2.SS2.p3.1.m1.6.6.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p3.1.m1.6.6.2.3" xref="S2.SS2.p3.1.m1.6.6.2.3.cmml">ℙ</mi><mo id="S2.SS2.p3.1.m1.6.6.2.2" xref="S2.SS2.p3.1.m1.6.6.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p3.1.m1.6.6.2.1.1" xref="S2.SS2.p3.1.m1.6.6.2.1.2.cmml"><mo id="S2.SS2.p3.1.m1.6.6.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p3.1.m1.6.6.2.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S2.SS2.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1" xref="S2.SS2.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1.cmml"><msub id="S2.SS2.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1.2.2" xref="S2.SS2.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1.2.2.cmml">s</mi><mi id="S2.SS2.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1.2.3" xref="S2.SS2.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S2.SS2.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1.3.2" xref="S2.SS2.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.SS2.p3.1.m1.4.4" xref="S2.SS2.p3.1.m1.4.4.cmml">t</mi><mo id="S2.SS2.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p3.1.m1.6.6.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS2.p3.1.m1.6.6.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS2.p3.1.m1.6.6.2.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p3.1.m1.6b"><apply id="S2.SS2.p3.1.m1.6.6.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.6.6"><eq id="S2.SS2.p3.1.m1.6.6.3.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.6.6.3"></eq><apply id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1"><times id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.2"></times><ci id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.3">ℙ</ci><apply id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.3">conditional</csymbol><apply id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.4"><times id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.4.1"></times><apply id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.4.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.4.2.2">𝑠</ci><ci id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.4.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="S2.SS2.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.1.1">𝑡</ci></apply><list id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2"><apply id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑠</ci><ci id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑐</ci></apply><apply id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><cn id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.3.3">…</ci><apply id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2"><times id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.1"></times><apply id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝑠</ci><ci id="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.3">𝑐</ci></apply><cn id="S2.SS2.p3.1.m1.2.2.cmml" type="integer" 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id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.4.1" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mo id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.4.cmml">(</mo><mi id="S2.SS2.p3.2.m2.1.1" xref="S2.SS2.p3.2.m2.1.1.cmml">t</mi><mo id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo fence="false" id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.3.cmml">|</mo><mrow id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mrow id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" 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id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.SS2.p3.2.m2.3.3" mathvariant="normal" xref="S2.SS2.p3.2.m2.3.3.cmml">…</mi><mo id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.4" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><msub id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">s</mi><mi id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS2.p3.2.m2.2.2" xref="S2.SS2.p3.2.m2.2.2.cmml">T</mi><mo id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.3" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.2" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.2.3" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.2.3.cmml">ℙ</mi><mo id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.2.2" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.2.1.1" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.2.1.2.cmml"><mo id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.2.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.2.1.1.1" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.2.1.1.1.cmml"><msub id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.2.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.2.1.1.1.2.2" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml">s</mi><mi id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.2.1.1.1.2.3" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.2.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.2.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.SS2.p3.2.m2.4.4" xref="S2.SS2.p3.2.m2.4.4.cmml">t</mi><mo id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.2.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.2.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.SS2.p3.2.m2.9.9.2.3" rspace="1.167em" xref="S2.SS2.p3.2.m2.9.9.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.SS2.p3.2.m2.9.9.2.2" xref="S2.SS2.p3.2.m2.9.9.2.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p3.2.m2.9.9.2.2.2" xref="S2.SS2.p3.2.m2.9.9.2.2.2.cmml">t</mi><mo id="S2.SS2.p3.2.m2.9.9.2.2.1" xref="S2.SS2.p3.2.m2.9.9.2.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS2.p3.2.m2.9.9.2.2.3.2" xref="S2.SS2.p3.2.m2.9.9.2.2.3.1.cmml"><mn id="S2.SS2.p3.2.m2.5.5" xref="S2.SS2.p3.2.m2.5.5.cmml">1</mn><mo id="S2.SS2.p3.2.m2.9.9.2.2.3.2.1" xref="S2.SS2.p3.2.m2.9.9.2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.SS2.p3.2.m2.6.6" mathvariant="normal" xref="S2.SS2.p3.2.m2.6.6.cmml">…</mi><mo id="S2.SS2.p3.2.m2.9.9.2.2.3.2.2" xref="S2.SS2.p3.2.m2.9.9.2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.SS2.p3.2.m2.7.7" xref="S2.SS2.p3.2.m2.7.7.cmml">T</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p3.2.m2.9b"><apply id="S2.SS2.p3.2.m2.9.9.3.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.9.9.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p3.2.m2.9.9.3a.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.9.9.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1"><eq id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.3"></eq><apply id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1"><times id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.2"></times><ci id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.3">ℙ</ci><apply id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.3">conditional</csymbol><apply id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.4"><times id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.4.1"></times><apply id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.4.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.4.2.2">𝑠</ci><ci id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.4.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="S2.SS2.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.1.1">𝑡</ci></apply><list id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2"><apply id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑠</ci><ci id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑎</ci></apply><apply id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><cn id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.SS2.p3.2.m2.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.3.3">…</ci><apply id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><times id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1"></times><apply id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝑠</ci><ci id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="S2.SS2.p3.2.m2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.2.2">𝑇</ci></apply></list></apply></apply></apply><apply id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.2"><times id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.2.2"></times><ci id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.2.3">ℙ</ci><apply id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.2.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.2.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.2.1.1.1"><times id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.2.1.1.1.1"></times><apply id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.2.1.1.1.2.2">𝑠</ci><ci id="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.8.8.1.1.2.1.1.1.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="S2.SS2.p3.2.m2.4.4.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.4.4">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.SS2.p3.2.m2.9.9.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.9.9.2.2"><eq id="S2.SS2.p3.2.m2.9.9.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.9.9.2.2.1"></eq><ci id="S2.SS2.p3.2.m2.9.9.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.9.9.2.2.2">𝑡</ci><list id="S2.SS2.p3.2.m2.9.9.2.2.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.9.9.2.2.3.2"><cn id="S2.SS2.p3.2.m2.5.5.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p3.2.m2.5.5">1</cn><ci id="S2.SS2.p3.2.m2.6.6.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.6.6">…</ci><ci id="S2.SS2.p3.2.m2.7.7.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.7.7">𝑇</ci></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p3.2.m2.9c">\mathbb{P}[s_{a}(t)|s_{a}(t+1),\ldots,s_{a}(T)]=\mathbb{P}[s_{a}(t)],\quad t=1% ,\ldots,T</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p3.2.m2.9d">blackboard_P [ italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) | italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t + 1 ) , … , italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T ) ] = blackboard_P [ italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ] , italic_t = 1 , … , italic_T</annotation></semantics></math>. To deal with the identification problem of the NCS-RSM (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S2.E1" title="In 2.1 System model description ‣ 2 Mathematical formulation ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>), the EM framework is adopted, which is an iterative method that can yield an estimate of the parameters at each iteration <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#bib.bib26" title="">26</a>]</cite>. Let us denote the parameter estimate at the <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p3.3.m3.1"><semantics id="S2.SS2.p3.3.m3.1a"><mi id="S2.SS2.p3.3.m3.1.1" xref="S2.SS2.p3.3.m3.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p3.3.m3.1b"><ci id="S2.SS2.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.3.m3.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p3.3.m3.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p3.3.m3.1d">italic_k</annotation></semantics></math>-th iteration of the underlying algorithm as <math alttext="\theta^{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p3.4.m4.1"><semantics id="S2.SS2.p3.4.m4.1a"><msup id="S2.SS2.p3.4.m4.1.1" xref="S2.SS2.p3.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p3.4.m4.1.1.2" xref="S2.SS2.p3.4.m4.1.1.2.cmml">θ</mi><mi id="S2.SS2.p3.4.m4.1.1.3" xref="S2.SS2.p3.4.m4.1.1.3.cmml">k</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p3.4.m4.1b"><apply id="S2.SS2.p3.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p3.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.4.m4.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p3.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p3.4.m4.1.1.2">𝜃</ci><ci id="S2.SS2.p3.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p3.4.m4.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p3.4.m4.1c">\theta^{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p3.4.m4.1d">italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. Then, the proposed method can be (qualitatively, for the moment) described by means of the following two steps:</p> <ol class="ltx_enumerate" id="S2.I2"> <li class="ltx_item" id="S2.I2.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">1.</span> <div class="ltx_para" id="S2.I2.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.I2.i1.p1.1">In the E-step, we develop a modified KF to estimate the states of the causal and non-causal parts. Furthermore, the Bayesian rule is used to obtain a posterior estimate of the switching sequence. Subsequently, the full-data likelihood function <math alttext="Q(\theta,\theta^{k})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I2.i1.p1.1.m1.2"><semantics id="S2.I2.i1.p1.1.m1.2a"><mrow id="S2.I2.i1.p1.1.m1.2.2" xref="S2.I2.i1.p1.1.m1.2.2.cmml"><mi id="S2.I2.i1.p1.1.m1.2.2.3" xref="S2.I2.i1.p1.1.m1.2.2.3.cmml">Q</mi><mo id="S2.I2.i1.p1.1.m1.2.2.2" xref="S2.I2.i1.p1.1.m1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.I2.i1.p1.1.m1.2.2.1.1" xref="S2.I2.i1.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S2.I2.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.I2.i1.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.I2.i1.p1.1.m1.1.1" xref="S2.I2.i1.p1.1.m1.1.1.cmml">θ</mi><mo id="S2.I2.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.3" xref="S2.I2.i1.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml">,</mo><msup id="S2.I2.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S2.I2.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.I2.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S2.I2.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">θ</mi><mi id="S2.I2.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S2.I2.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">k</mi></msup><mo id="S2.I2.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S2.I2.i1.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I2.i1.p1.1.m1.2b"><apply id="S2.I2.i1.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.1.m1.2.2"><times id="S2.I2.i1.p1.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.1.m1.2.2.2"></times><ci id="S2.I2.i1.p1.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.1.m1.2.2.3">𝑄</ci><interval closure="open" id="S2.I2.i1.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.1.m1.2.2.1.1"><ci id="S2.I2.i1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.1.m1.1.1">𝜃</ci><apply id="S2.I2.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I2.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.I2.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2">𝜃</ci><ci id="S2.I2.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I2.i1.p1.1.m1.2c">Q(\theta,\theta^{k})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I2.i1.p1.1.m1.2d">italic_Q ( italic_θ , italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> can be calculated.</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S2.I2.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">2.</span> <div class="ltx_para" id="S2.I2.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.I2.i2.p1.3">In the M-step, the likelihood function <math alttext="Q(\theta,\theta^{k})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I2.i2.p1.1.m1.2"><semantics id="S2.I2.i2.p1.1.m1.2a"><mrow id="S2.I2.i2.p1.1.m1.2.2" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.2.2.cmml"><mi id="S2.I2.i2.p1.1.m1.2.2.3" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.2.2.3.cmml">Q</mi><mo id="S2.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.I2.i2.p1.1.m1.2.2.1.1" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S2.I2.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.cmml">θ</mi><mo id="S2.I2.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.3" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml">,</mo><msup id="S2.I2.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.I2.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">θ</mi><mi id="S2.I2.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">k</mi></msup><mo id="S2.I2.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I2.i2.p1.1.m1.2b"><apply id="S2.I2.i2.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.2.2"><times id="S2.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2"></times><ci id="S2.I2.i2.p1.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.2.2.3">𝑄</ci><interval closure="open" id="S2.I2.i2.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.2.2.1.1"><ci id="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1">𝜃</ci><apply id="S2.I2.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I2.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.I2.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2">𝜃</ci><ci id="S2.I2.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I2.i2.p1.1.m1.2c">Q(\theta,\theta^{k})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I2.i2.p1.1.m1.2d">italic_Q ( italic_θ , italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> is maximized with respect to the parameters <math alttext="\theta" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I2.i2.p1.2.m2.1"><semantics id="S2.I2.i2.p1.2.m2.1a"><mi id="S2.I2.i2.p1.2.m2.1.1" xref="S2.I2.i2.p1.2.m2.1.1.cmml">θ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I2.i2.p1.2.m2.1b"><ci id="S2.I2.i2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.I2.i2.p1.2.m2.1.1">𝜃</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I2.i2.p1.2.m2.1c">\theta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I2.i2.p1.2.m2.1d">italic_θ</annotation></semantics></math>. Then, the identification of the NCS-RSM is updated, yielding <math alttext="\theta^{k+1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I2.i2.p1.3.m3.1"><semantics id="S2.I2.i2.p1.3.m3.1a"><msup id="S2.I2.i2.p1.3.m3.1.1" xref="S2.I2.i2.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S2.I2.i2.p1.3.m3.1.1.2" xref="S2.I2.i2.p1.3.m3.1.1.2.cmml">θ</mi><mrow id="S2.I2.i2.p1.3.m3.1.1.3" xref="S2.I2.i2.p1.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S2.I2.i2.p1.3.m3.1.1.3.2" xref="S2.I2.i2.p1.3.m3.1.1.3.2.cmml">k</mi><mo id="S2.I2.i2.p1.3.m3.1.1.3.1" xref="S2.I2.i2.p1.3.m3.1.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="S2.I2.i2.p1.3.m3.1.1.3.3" xref="S2.I2.i2.p1.3.m3.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I2.i2.p1.3.m3.1b"><apply id="S2.I2.i2.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.I2.i2.p1.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.I2.i2.p1.3.m3.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.I2.i2.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.I2.i2.p1.3.m3.1.1.2">𝜃</ci><apply id="S2.I2.i2.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S2.I2.i2.p1.3.m3.1.1.3"><plus id="S2.I2.i2.p1.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S2.I2.i2.p1.3.m3.1.1.3.1"></plus><ci id="S2.I2.i2.p1.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S2.I2.i2.p1.3.m3.1.1.3.2">𝑘</ci><cn id="S2.I2.i2.p1.3.m3.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.I2.i2.p1.3.m3.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I2.i2.p1.3.m3.1c">\theta^{k+1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I2.i2.p1.3.m3.1d">italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> </li> </ol> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.p4"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p4.1">Next section will discuss in detail each step of the proposed technique for NCS-RSM identification.</p> </div> </section> </section> <section class="ltx_section" id="S3"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">3 </span>The EM method for identifying NCS-RSM</h2> <div class="ltx_para" id="S3.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.p1.4">By making use of the dataset <math alttext="\bm{y}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.p1.1.m1.1a"><mi id="S3.p1.1.m1.1.1" xref="S3.p1.1.m1.1.1.cmml">𝒚</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.1.m1.1b"><ci id="S3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.p1.1.m1.1.1">𝒚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.1.m1.1c">\bm{y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.1.m1.1d">bold_italic_y</annotation></semantics></math>, we aim at estimating the system parameters <math alttext="\theta" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.p1.2.m2.1a"><mi id="S3.p1.2.m2.1.1" xref="S3.p1.2.m2.1.1.cmml">θ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.2.m2.1b"><ci id="S3.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.p1.2.m2.1.1">𝜃</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.2.m2.1c">\theta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.2.m2.1d">italic_θ</annotation></semantics></math>. To this end, a standard approach is to let coincide <math alttext="\hat{\theta}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.3.m3.1"><semantics id="S3.p1.3.m3.1a"><mover accent="true" id="S3.p1.3.m3.1.1" xref="S3.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.p1.3.m3.1.1.2" xref="S3.p1.3.m3.1.1.2.cmml">θ</mi><mo id="S3.p1.3.m3.1.1.1" xref="S3.p1.3.m3.1.1.1.cmml">^</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.3.m3.1b"><apply id="S3.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.p1.3.m3.1.1"><ci id="S3.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.3.m3.1.1.1">^</ci><ci id="S3.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.3.m3.1.1.2">𝜃</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.3.m3.1c">\hat{\theta}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.3.m3.1d">over^ start_ARG italic_θ end_ARG</annotation></semantics></math>, i.e., our estimate of the true <math alttext="\theta" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.4.m4.1"><semantics id="S3.p1.4.m4.1a"><mi id="S3.p1.4.m4.1.1" xref="S3.p1.4.m4.1.1.cmml">θ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.4.m4.1b"><ci id="S3.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.p1.4.m4.1.1">𝜃</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.4.m4.1c">\theta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.4.m4.1d">italic_θ</annotation></semantics></math>, with a maximizer of the likelihood function, namely:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E2"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_left"><math alttext="\hat{\theta}\in\underset{\theta}{\arg\max}~{}~{}\ln\mathbb{P}_{\theta}(\bm{y})% ~{}\text{ s.t. }~{}\eqref{eq:1}," class="ltx_Math" display="block" id="S3.E2.m1.2"><semantics id="S3.E2.m1.2a"><mrow id="S3.E2.m1.2.2.1" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.E2.m1.2.2.1.1" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.E2.m1.2.2.1.1.2" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E2.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.2.2.cmml">θ</mi><mo id="S3.E2.m1.2.2.1.1.2.1" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.E2.m1.2.2.1.1.3" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.cmml"><munder accentunder="true" id="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.2" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.2.2" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.2.2.1" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.cmml">arg</mi><mo id="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.2.2a" lspace="0.167em" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.2.2.cmml">⁡</mo><mi id="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.2.2.2" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.cmml">max</mi></mrow><mo id="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.2.1" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.2.1.cmml">𝜃</mo></munder><mo id="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.1" lspace="0.167em" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.3" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.3.1" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.3.1.cmml">ln</mi><mo id="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.3a" lspace="0.167em" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.3.cmml">⁡</mo><msub id="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.3.2" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.3.2.2" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.cmml">ℙ</mi><mi id="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.3.2.3" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.3.2.3.cmml">θ</mi></msub></mrow><mo id="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.1a" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.4.2" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S3.E2.m1.1.1" xref="S3.E2.m1.1.1.cmml">𝒚</mi><mo id="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.4.2.2" stretchy="false" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.1b" lspace="0.330em" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mtext id="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.5" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.5a.cmml"> s.t. </mtext><mo id="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.1c" lspace="0.330em" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.6" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.6.cmml">(</mi><mo id="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.1d" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.7" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.7c.cmml"><a class="ltx_ref ltx_font_italic" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S2.E1" title="In 2.1 System model description ‣ 2 Mathematical formulation ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a></mtext><mo id="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.1e" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.8" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.8.cmml">)</mi></mrow></mrow><mo id="S3.E2.m1.2.2.1.2" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E2.m1.2b"><apply id="S3.E2.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1"><in id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1"></in><apply id="S3.E2.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.2"><ci id="S3.E2.m1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.2.1">^</ci><ci id="S3.E2.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.2.2">𝜃</ci></apply><apply id="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.3"><times id="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.1"></times><apply id="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.2"><ci id="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.2.1">𝜃</ci><apply id="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.2.2"><arg id="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.2.2.1"></arg><max id="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.2.2.2"></max></apply></apply><apply id="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.3"><ln id="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.3.1"></ln><apply id="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.3.2.2">ℙ</ci><ci id="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.3.2.3">𝜃</ci></apply></apply><ci id="S3.E2.m1.1.1.cmml" xref="S3.E2.m1.1.1">𝒚</ci><ci id="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.5a.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.5"><mtext id="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.5.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.5"> s.t. </mtext></ci><ci id="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.6.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.6">italic-(</ci><ci id="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.7c.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.7"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.7.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.7"><a class="ltx_ref ltx_font_italic" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S2.E1" title="In 2.1 System model description ‣ 2 Mathematical formulation ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a></mtext></ci><ci id="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.8.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.8">italic-)</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E2.m1.2c">\hat{\theta}\in\underset{\theta}{\arg\max}~{}~{}\ln\mathbb{P}_{\theta}(\bm{y})% ~{}\text{ s.t. }~{}\eqref{eq:1},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E2.m1.2d">over^ start_ARG italic_θ end_ARG ∈ underitalic_θ start_ARG roman_arg roman_max end_ARG roman_ln blackboard_P start_POSTSUBSCRIPT italic_θ end_POSTSUBSCRIPT ( bold_italic_y ) s.t. italic_( italic_) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(2)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p1.7">where we indicate with <math alttext="\mathbb{P}_{\theta}(\bm{y})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.5.m1.1"><semantics id="S3.p1.5.m1.1a"><mrow id="S3.p1.5.m1.1.2" xref="S3.p1.5.m1.1.2.cmml"><msub id="S3.p1.5.m1.1.2.2" xref="S3.p1.5.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.p1.5.m1.1.2.2.2" xref="S3.p1.5.m1.1.2.2.2.cmml">ℙ</mi><mi id="S3.p1.5.m1.1.2.2.3" xref="S3.p1.5.m1.1.2.2.3.cmml">θ</mi></msub><mo id="S3.p1.5.m1.1.2.1" xref="S3.p1.5.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p1.5.m1.1.2.3.2" xref="S3.p1.5.m1.1.2.cmml"><mo id="S3.p1.5.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.p1.5.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.p1.5.m1.1.1" xref="S3.p1.5.m1.1.1.cmml">𝒚</mi><mo id="S3.p1.5.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.p1.5.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.5.m1.1b"><apply id="S3.p1.5.m1.1.2.cmml" xref="S3.p1.5.m1.1.2"><times id="S3.p1.5.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.p1.5.m1.1.2.1"></times><apply id="S3.p1.5.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.p1.5.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.5.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.p1.5.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p1.5.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.p1.5.m1.1.2.2.2">ℙ</ci><ci id="S3.p1.5.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.p1.5.m1.1.2.2.3">𝜃</ci></apply><ci id="S3.p1.5.m1.1.1.cmml" xref="S3.p1.5.m1.1.1">𝒚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.5.m1.1c">\mathbb{P}_{\theta}(\bm{y})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.5.m1.1d">blackboard_P start_POSTSUBSCRIPT italic_θ end_POSTSUBSCRIPT ( bold_italic_y )</annotation></semantics></math> the probability density function of the output <math alttext="\bm{y}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.6.m2.1"><semantics id="S3.p1.6.m2.1a"><mi id="S3.p1.6.m2.1.1" xref="S3.p1.6.m2.1.1.cmml">𝒚</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.6.m2.1b"><ci id="S3.p1.6.m2.1.1.cmml" xref="S3.p1.6.m2.1.1">𝒚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.6.m2.1c">\bm{y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.6.m2.1d">bold_italic_y</annotation></semantics></math> given some sets of parameters <math alttext="\theta" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.7.m3.1"><semantics id="S3.p1.7.m3.1a"><mi id="S3.p1.7.m3.1.1" xref="S3.p1.7.m3.1.1.cmml">θ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.7.m3.1b"><ci id="S3.p1.7.m3.1.1.cmml" xref="S3.p1.7.m3.1.1">𝜃</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.7.m3.1c">\theta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.7.m3.1d">italic_θ</annotation></semantics></math>. Note that in switching systems, the likelihood function may exhibit multiple equivalent maxima due to the interchangeability of subsystem parameters (e.g., permuting subsystem labels can yield identical likelihood values). However, these equivalent solutions do not affect the system’s physical properties. During model validation, we only need to compare whether the subsystem dynamic responses remain consistent across different permutations.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.p2.6">Let us denote the collection of state variables over <math alttext="T" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.1.m1.1"><semantics id="S3.p2.1.m1.1a"><mi id="S3.p2.1.m1.1.1" xref="S3.p2.1.m1.1.1.cmml">T</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.1.m1.1b"><ci id="S3.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.p2.1.m1.1.1">𝑇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.1.m1.1c">T</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.1.m1.1d">italic_T</annotation></semantics></math> as <math alttext="\bm{x}_{c}\triangleq\{x_{c}(t)\}_{t=1}^{T}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.2.m2.2"><semantics id="S3.p2.2.m2.2a"><mrow id="S3.p2.2.m2.2.2" xref="S3.p2.2.m2.2.2.cmml"><msub id="S3.p2.2.m2.2.2.3" xref="S3.p2.2.m2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.p2.2.m2.2.2.3.2" xref="S3.p2.2.m2.2.2.3.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.p2.2.m2.2.2.3.3" xref="S3.p2.2.m2.2.2.3.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.p2.2.m2.2.2.2" xref="S3.p2.2.m2.2.2.2.cmml">≜</mo><msubsup id="S3.p2.2.m2.2.2.1" xref="S3.p2.2.m2.2.2.1.cmml"><mrow id="S3.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.p2.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.p2.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S3.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mi id="S3.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.p2.2.m2.1.1" xref="S3.p2.2.m2.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.p2.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><mrow id="S3.p2.2.m2.2.2.1.1.3" xref="S3.p2.2.m2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p2.2.m2.2.2.1.1.3.2" xref="S3.p2.2.m2.2.2.1.1.3.2.cmml">t</mi><mo id="S3.p2.2.m2.2.2.1.1.3.1" xref="S3.p2.2.m2.2.2.1.1.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.p2.2.m2.2.2.1.1.3.3" xref="S3.p2.2.m2.2.2.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.p2.2.m2.2.2.1.3" xref="S3.p2.2.m2.2.2.1.3.cmml">T</mi></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.2.m2.2b"><apply id="S3.p2.2.m2.2.2.cmml" xref="S3.p2.2.m2.2.2"><ci id="S3.p2.2.m2.2.2.2.cmml" xref="S3.p2.2.m2.2.2.2">≜</ci><apply id="S3.p2.2.m2.2.2.3.cmml" xref="S3.p2.2.m2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.2.m2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.p2.2.m2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.2.m2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.p2.2.m2.2.2.3.2">𝒙</ci><ci id="S3.p2.2.m2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.p2.2.m2.2.2.3.3">𝑐</ci></apply><apply id="S3.p2.2.m2.2.2.1.cmml" xref="S3.p2.2.m2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.2.m2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.p2.2.m2.2.2.1">superscript</csymbol><apply id="S3.p2.2.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.p2.2.m2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.2.m2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.2.m2.2.2.1">subscript</csymbol><set id="S3.p2.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1"><apply id="S3.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1"><times id="S3.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2">𝑥</ci><ci id="S3.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="S3.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.p2.2.m2.1.1">𝑡</ci></apply></set><apply id="S3.p2.2.m2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.p2.2.m2.2.2.1.1.3"><eq id="S3.p2.2.m2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p2.2.m2.2.2.1.1.3.1"></eq><ci id="S3.p2.2.m2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p2.2.m2.2.2.1.1.3.2">𝑡</ci><cn id="S3.p2.2.m2.2.2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.p2.2.m2.2.2.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.p2.2.m2.2.2.1.3.cmml" xref="S3.p2.2.m2.2.2.1.3">𝑇</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.2.m2.2c">\bm{x}_{c}\triangleq\{x_{c}(t)\}_{t=1}^{T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.2.m2.2d">bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ≜ { italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) } start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\bm{x}_{a}\triangleq\{x_{a}(t)\}_{t=1}^{T}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.3.m3.2"><semantics id="S3.p2.3.m3.2a"><mrow id="S3.p2.3.m3.2.2" xref="S3.p2.3.m3.2.2.cmml"><msub id="S3.p2.3.m3.2.2.3" xref="S3.p2.3.m3.2.2.3.cmml"><mi id="S3.p2.3.m3.2.2.3.2" xref="S3.p2.3.m3.2.2.3.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.p2.3.m3.2.2.3.3" xref="S3.p2.3.m3.2.2.3.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S3.p2.3.m3.2.2.2" xref="S3.p2.3.m3.2.2.2.cmml">≜</mo><msubsup id="S3.p2.3.m3.2.2.1" xref="S3.p2.3.m3.2.2.1.cmml"><mrow id="S3.p2.3.m3.2.2.1.1.1.1" xref="S3.p2.3.m3.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.p2.3.m3.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.p2.3.m3.2.2.1.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S3.p2.3.m3.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.p2.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.p2.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.p2.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.p2.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.p2.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mi id="S3.p2.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.p2.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S3.p2.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.p2.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p2.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.p2.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.p2.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.p2.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.p2.3.m3.1.1" xref="S3.p2.3.m3.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.p2.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.p2.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.p2.3.m3.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.p2.3.m3.2.2.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><mrow id="S3.p2.3.m3.2.2.1.1.3" xref="S3.p2.3.m3.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p2.3.m3.2.2.1.1.3.2" xref="S3.p2.3.m3.2.2.1.1.3.2.cmml">t</mi><mo id="S3.p2.3.m3.2.2.1.1.3.1" xref="S3.p2.3.m3.2.2.1.1.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.p2.3.m3.2.2.1.1.3.3" xref="S3.p2.3.m3.2.2.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.p2.3.m3.2.2.1.3" xref="S3.p2.3.m3.2.2.1.3.cmml">T</mi></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.3.m3.2b"><apply id="S3.p2.3.m3.2.2.cmml" xref="S3.p2.3.m3.2.2"><ci id="S3.p2.3.m3.2.2.2.cmml" xref="S3.p2.3.m3.2.2.2">≜</ci><apply id="S3.p2.3.m3.2.2.3.cmml" xref="S3.p2.3.m3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.3.m3.2.2.3.1.cmml" xref="S3.p2.3.m3.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.3.m3.2.2.3.2.cmml" xref="S3.p2.3.m3.2.2.3.2">𝒙</ci><ci id="S3.p2.3.m3.2.2.3.3.cmml" xref="S3.p2.3.m3.2.2.3.3">𝑎</ci></apply><apply id="S3.p2.3.m3.2.2.1.cmml" xref="S3.p2.3.m3.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.3.m3.2.2.1.2.cmml" xref="S3.p2.3.m3.2.2.1">superscript</csymbol><apply id="S3.p2.3.m3.2.2.1.1.cmml" xref="S3.p2.3.m3.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.3.m3.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.3.m3.2.2.1">subscript</csymbol><set id="S3.p2.3.m3.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.3.m3.2.2.1.1.1.1"><apply id="S3.p2.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.3.m3.2.2.1.1.1.1.1"><times id="S3.p2.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.p2.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p2.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.p2.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.2.2">𝑥</ci><ci id="S3.p2.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.p2.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="S3.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.p2.3.m3.1.1">𝑡</ci></apply></set><apply id="S3.p2.3.m3.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.p2.3.m3.2.2.1.1.3"><eq id="S3.p2.3.m3.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p2.3.m3.2.2.1.1.3.1"></eq><ci id="S3.p2.3.m3.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p2.3.m3.2.2.1.1.3.2">𝑡</ci><cn id="S3.p2.3.m3.2.2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.p2.3.m3.2.2.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.p2.3.m3.2.2.1.3.cmml" xref="S3.p2.3.m3.2.2.1.3">𝑇</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.3.m3.2c">\bm{x}_{a}\triangleq\{x_{a}(t)\}_{t=1}^{T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.3.m3.2d">bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ≜ { italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) } start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. Given any collection of data <math alttext="\bm{y}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.4.m4.1"><semantics id="S3.p2.4.m4.1a"><mi id="S3.p2.4.m4.1.1" xref="S3.p2.4.m4.1.1.cmml">𝒚</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.4.m4.1b"><ci id="S3.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.p2.4.m4.1.1">𝒚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.4.m4.1c">\bm{y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.4.m4.1d">bold_italic_y</annotation></semantics></math>, note that the likelihood function <math alttext="\ln\mathbb{P}_{\theta}(\bm{y})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.5.m5.1"><semantics id="S3.p2.5.m5.1a"><mrow id="S3.p2.5.m5.1.2" xref="S3.p2.5.m5.1.2.cmml"><mrow id="S3.p2.5.m5.1.2.2" xref="S3.p2.5.m5.1.2.2.cmml"><mi id="S3.p2.5.m5.1.2.2.1" xref="S3.p2.5.m5.1.2.2.1.cmml">ln</mi><mo id="S3.p2.5.m5.1.2.2a" lspace="0.167em" xref="S3.p2.5.m5.1.2.2.cmml">⁡</mo><msub id="S3.p2.5.m5.1.2.2.2" xref="S3.p2.5.m5.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.p2.5.m5.1.2.2.2.2" xref="S3.p2.5.m5.1.2.2.2.2.cmml">ℙ</mi><mi id="S3.p2.5.m5.1.2.2.2.3" xref="S3.p2.5.m5.1.2.2.2.3.cmml">θ</mi></msub></mrow><mo id="S3.p2.5.m5.1.2.1" xref="S3.p2.5.m5.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p2.5.m5.1.2.3.2" xref="S3.p2.5.m5.1.2.cmml"><mo id="S3.p2.5.m5.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.p2.5.m5.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.p2.5.m5.1.1" xref="S3.p2.5.m5.1.1.cmml">𝒚</mi><mo id="S3.p2.5.m5.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.p2.5.m5.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.5.m5.1b"><apply id="S3.p2.5.m5.1.2.cmml" xref="S3.p2.5.m5.1.2"><times id="S3.p2.5.m5.1.2.1.cmml" xref="S3.p2.5.m5.1.2.1"></times><apply id="S3.p2.5.m5.1.2.2.cmml" xref="S3.p2.5.m5.1.2.2"><ln id="S3.p2.5.m5.1.2.2.1.cmml" xref="S3.p2.5.m5.1.2.2.1"></ln><apply id="S3.p2.5.m5.1.2.2.2.cmml" xref="S3.p2.5.m5.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.5.m5.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.p2.5.m5.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.5.m5.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p2.5.m5.1.2.2.2.2">ℙ</ci><ci id="S3.p2.5.m5.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p2.5.m5.1.2.2.2.3">𝜃</ci></apply></apply><ci id="S3.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.p2.5.m5.1.1">𝒚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.5.m5.1c">\ln\mathbb{P}_{\theta}(\bm{y})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.5.m5.1d">roman_ln blackboard_P start_POSTSUBSCRIPT italic_θ end_POSTSUBSCRIPT ( bold_italic_y )</annotation></semantics></math>, also called marginal density function of <math alttext="\bm{y}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.6.m6.1"><semantics id="S3.p2.6.m6.1a"><mi id="S3.p2.6.m6.1.1" xref="S3.p2.6.m6.1.1.cmml">𝒚</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.6.m6.1b"><ci id="S3.p2.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.p2.6.m6.1.1">𝒚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.6.m6.1c">\bm{y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.6.m6.1d">bold_italic_y</annotation></semantics></math>, can be decomposed into the following form:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx4"> <tbody id="S3.Ex7"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\ln\mathbb{P}_{\theta}(\bm{y})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex7.m1.1"><semantics id="S3.Ex7.m1.1a"><mrow id="S3.Ex7.m1.1.2" xref="S3.Ex7.m1.1.2.cmml"><mrow id="S3.Ex7.m1.1.2.2" xref="S3.Ex7.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.1.2.2.1" xref="S3.Ex7.m1.1.2.2.1.cmml">ln</mi><mo id="S3.Ex7.m1.1.2.2a" lspace="0.167em" xref="S3.Ex7.m1.1.2.2.cmml">⁡</mo><msub id="S3.Ex7.m1.1.2.2.2" xref="S3.Ex7.m1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex7.m1.1.2.2.2.2.cmml">ℙ</mi><mi id="S3.Ex7.m1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex7.m1.1.2.2.2.3.cmml">θ</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex7.m1.1.2.1" xref="S3.Ex7.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.1.2.3.2" xref="S3.Ex7.m1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex7.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex7.m1.1.1" xref="S3.Ex7.m1.1.1.cmml">𝒚</mi><mo id="S3.Ex7.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex7.m1.1b"><apply id="S3.Ex7.m1.1.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.1.2"><times id="S3.Ex7.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.1.2.1"></times><apply id="S3.Ex7.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.1.2.2"><ln id="S3.Ex7.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.1.2.2.1"></ln><apply id="S3.Ex7.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex7.m1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.1.2.2.2.2">ℙ</ci><ci id="S3.Ex7.m1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.1.2.2.2.3">𝜃</ci></apply></apply><ci id="S3.Ex7.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.1.1">𝒚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex7.m1.1c">\displaystyle\ln\mathbb{P}_{\theta}(\bm{y})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex7.m1.1d">roman_ln blackboard_P start_POSTSUBSCRIPT italic_θ end_POSTSUBSCRIPT ( bold_italic_y )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\ln\sum_{\bm{s_{c}}}\sum_{\bm{s_{a}}}\int\int\mathbb{P}_{\theta}% [\bm{y}|\bm{x_{a},x_{c},s_{a},s_{c}}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex7.m2.1"><semantics id="S3.Ex7.m2.1a"><mrow id="S3.Ex7.m2.1.1" xref="S3.Ex7.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex7.m2.1.1.3" xref="S3.Ex7.m2.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S3.Ex7.m2.1.1.2" xref="S3.Ex7.m2.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex7.m2.1.1.1" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex7.m2.1.1.1.3" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.3.cmml">ln</mi><mo id="S3.Ex7.m2.1.1.1.2" lspace="0.167em" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.2.cmml"><munder id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.2a" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><msub id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.2.3.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.2.3.3.cmml">𝒄</mi></msub></munder></mstyle><mrow id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.2.cmml"><munder id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.2a" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><msub id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">𝒂</mi></msub></munder></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.2" rspace="0em" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">∫</mo><mrow id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">∫</mo><mrow id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">ℙ</mi><mi id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">θ</mi></msub><mo id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.cmml">𝒚</mi><mo fence="false" id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml">|</mo><mrow id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.5.cmml"><msub id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝒂</mi></msub><mo class="ltx_mathvariant_bold" id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.5" mathvariant="bold" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.5.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">𝒄</mi></msub><mo class="ltx_mathvariant_bold" id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.6" mathvariant="bold" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.5.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">𝒂</mi></msub><mo class="ltx_mathvariant_bold" id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.7" mathvariant="bold" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.5.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.cmml"><mi id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.3" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.3.cmml">𝒄</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mstyle></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex7.m2.1b"><apply id="S3.Ex7.m2.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1"><eq id="S3.Ex7.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex7.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S3.Ex7.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1"><times id="S3.Ex7.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.2"></times><ln id="S3.Ex7.m2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.3"></ln><apply id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1"><apply id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.2.2"></sum><apply id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.2.3.2">𝒔</ci><ci id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.2.3.3">𝒄</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1"><apply id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.2.2"></sum><apply id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.2.3.2">𝒔</ci><ci id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.2.3.3">𝒂</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1"><int id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.2"></int><apply id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1"><int id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.2"></int><apply id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">ℙ</ci><ci id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝜃</ci></apply><apply id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5">conditional</csymbol><ci id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6">𝒚</ci><list id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.5.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4"><apply id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝒙</ci><ci id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝒂</ci></apply><apply id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝒙</ci><ci id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3">𝒄</ci></apply><apply id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2">𝒔</ci><ci id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3">𝒂</ci></apply><apply id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.1.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2">𝒔</ci><ci id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.3.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.3">𝒄</ci></apply></list></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex7.m2.1c">\displaystyle=\ln\sum_{\bm{s_{c}}}\sum_{\bm{s_{a}}}\int\int\mathbb{P}_{\theta}% [\bm{y}|\bm{x_{a},x_{c},s_{a},s_{c}}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex7.m2.1d">= roman_ln ∑ start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_c end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_a end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ∫ ∫ blackboard_P start_POSTSUBSCRIPT italic_θ end_POSTSUBSCRIPT [ bold_italic_y | bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_a end_POSTSUBSCRIPT bold_, bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_c end_POSTSUBSCRIPT bold_, bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_a end_POSTSUBSCRIPT bold_, bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_c end_POSTSUBSCRIPT ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex8"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\hskip 85.35826pt\mathbb{P}_{\theta}[\bm{x_{a},x_{c},s_{a},s_{c}}% ]d\bm{x_{a}}d\bm{x_{c}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex8.m1.4"><semantics id="S3.Ex8.m1.4a"><mrow id="S3.Ex8.m1.4.4" xref="S3.Ex8.m1.4.4.cmml"><msub id="S3.Ex8.m1.4.4.6" xref="S3.Ex8.m1.4.4.6.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.4.4.6.2" xref="S3.Ex8.m1.4.4.6.2.cmml">ℙ</mi><mi id="S3.Ex8.m1.4.4.6.3" xref="S3.Ex8.m1.4.4.6.3.cmml">θ</mi></msub><mo id="S3.Ex8.m1.4.4.5" xref="S3.Ex8.m1.4.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.4.4.4.4" xref="S3.Ex8.m1.4.4.4.5.cmml"><mo id="S3.Ex8.m1.4.4.4.4.5" stretchy="false" xref="S3.Ex8.m1.4.4.4.5.cmml">[</mo><msub id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝒂</mi></msub><mo class="ltx_mathvariant_bold" id="S3.Ex8.m1.4.4.4.4.6" mathvariant="bold" xref="S3.Ex8.m1.4.4.4.5.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex8.m1.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex8.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex8.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.Ex8.m1.2.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex8.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">𝒄</mi></msub><mo class="ltx_mathvariant_bold" id="S3.Ex8.m1.4.4.4.4.7" mathvariant="bold" xref="S3.Ex8.m1.4.4.4.5.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex8.m1.3.3.3.3.3" xref="S3.Ex8.m1.3.3.3.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.3.3.3.3.3.2" xref="S3.Ex8.m1.3.3.3.3.3.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S3.Ex8.m1.3.3.3.3.3.3" xref="S3.Ex8.m1.3.3.3.3.3.3.cmml">𝒂</mi></msub><mo class="ltx_mathvariant_bold" id="S3.Ex8.m1.4.4.4.4.8" mathvariant="bold" xref="S3.Ex8.m1.4.4.4.5.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex8.m1.4.4.4.4.4" xref="S3.Ex8.m1.4.4.4.4.4.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.4.4.4.4.4.2" xref="S3.Ex8.m1.4.4.4.4.4.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S3.Ex8.m1.4.4.4.4.4.3" xref="S3.Ex8.m1.4.4.4.4.4.3.cmml">𝒄</mi></msub><mo id="S3.Ex8.m1.4.4.4.4.9" stretchy="false" xref="S3.Ex8.m1.4.4.4.5.cmml">]</mo></mrow><mo id="S3.Ex8.m1.4.4.5a" xref="S3.Ex8.m1.4.4.5.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex8.m1.4.4.7" xref="S3.Ex8.m1.4.4.7.cmml">d</mi><mo 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<tbody id="S3.Ex9"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\ln\sum_{\bm{s_{c}}}\sum_{\bm{s_{a}}}\int\int\mathbb{P}_{\theta}% [\bm{y}|\bm{x_{a},x_{c},s_{a},s_{c}}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex9.m1.1"><semantics id="S3.Ex9.m1.1a"><mrow id="S3.Ex9.m1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.1.1.3" xref="S3.Ex9.m1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S3.Ex9.m1.1.1.2" xref="S3.Ex9.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex9.m1.1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.1.1.1.3" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.3.cmml">ln</mi><mo id="S3.Ex9.m1.1.1.1.2" lspace="0.167em" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.2.cmml"><munder id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.2a" 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xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝒂</ci></apply><apply id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝒙</ci><ci id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3">𝒄</ci></apply><apply id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2">𝒔</ci><ci id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3">𝒂</ci></apply><apply id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2">𝒔</ci><ci id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.3">𝒄</ci></apply></list></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex9.m1.1c">\displaystyle=\ln\sum_{\bm{s_{c}}}\sum_{\bm{s_{a}}}\int\int\mathbb{P}_{\theta}% [\bm{y}|\bm{x_{a},x_{c},s_{a},s_{c}}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex9.m1.1d">= roman_ln ∑ start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_c end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_a end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ∫ ∫ blackboard_P start_POSTSUBSCRIPT italic_θ end_POSTSUBSCRIPT [ bold_italic_y | bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_a end_POSTSUBSCRIPT bold_, bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_c end_POSTSUBSCRIPT bold_, bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_a end_POSTSUBSCRIPT bold_, bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_c end_POSTSUBSCRIPT ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.E3"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\hskip 56.9055pt\mathbb{P}_{\theta}[\bm{x_{a},s_{a}}]\mathbb{P}_{% \theta}[\bm{x_{c},s_{c}}]d\bm{x_{a}}d\bm{x_{c}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E3.m1.4"><semantics id="S3.E3.m1.4a"><mrow id="S3.E3.m1.4.4" xref="S3.E3.m1.4.4.cmml"><msub id="S3.E3.m1.4.4.6" xref="S3.E3.m1.4.4.6.cmml"><mi id="S3.E3.m1.4.4.6.2" xref="S3.E3.m1.4.4.6.2.cmml">ℙ</mi><mi id="S3.E3.m1.4.4.6.3" xref="S3.E3.m1.4.4.6.3.cmml">θ</mi></msub><mo id="S3.E3.m1.4.4.5" xref="S3.E3.m1.4.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E3.m1.2.2.2.2" xref="S3.E3.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.E3.m1.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.E3.m1.2.2.2.3.cmml">[</mo><msub id="S3.E3.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E3.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E3.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E3.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.E3.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E3.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝒂</mi></msub><mo class="ltx_mathvariant_bold" id="S3.E3.m1.2.2.2.2.4" mathvariant="bold" xref="S3.E3.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.E3.m1.2.2.2.2.2" xref="S3.E3.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E3.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S3.E3.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S3.E3.m1.2.2.2.2.2.3" xref="S3.E3.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">𝒂</mi></msub><mo id="S3.E3.m1.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.E3.m1.2.2.2.3.cmml">]</mo></mrow><mo id="S3.E3.m1.4.4.5a" xref="S3.E3.m1.4.4.5.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E3.m1.4.4.7" xref="S3.E3.m1.4.4.7.cmml"><mi id="S3.E3.m1.4.4.7.2" xref="S3.E3.m1.4.4.7.2.cmml">ℙ</mi><mi id="S3.E3.m1.4.4.7.3" xref="S3.E3.m1.4.4.7.3.cmml">θ</mi></msub><mo id="S3.E3.m1.4.4.5b" xref="S3.E3.m1.4.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E3.m1.4.4.4.2" xref="S3.E3.m1.4.4.4.3.cmml"><mo id="S3.E3.m1.4.4.4.2.3" stretchy="false" xref="S3.E3.m1.4.4.4.3.cmml">[</mo><msub id="S3.E3.m1.3.3.3.1.1" xref="S3.E3.m1.3.3.3.1.1.cmml"><mi id="S3.E3.m1.3.3.3.1.1.2" xref="S3.E3.m1.3.3.3.1.1.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.E3.m1.3.3.3.1.1.3" xref="S3.E3.m1.3.3.3.1.1.3.cmml">𝒄</mi></msub><mo class="ltx_mathvariant_bold" id="S3.E3.m1.4.4.4.2.4" mathvariant="bold" xref="S3.E3.m1.4.4.4.3.cmml">,</mo><msub id="S3.E3.m1.4.4.4.2.2" xref="S3.E3.m1.4.4.4.2.2.cmml"><mi id="S3.E3.m1.4.4.4.2.2.2" xref="S3.E3.m1.4.4.4.2.2.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S3.E3.m1.4.4.4.2.2.3" xref="S3.E3.m1.4.4.4.2.2.3.cmml">𝒄</mi></msub><mo id="S3.E3.m1.4.4.4.2.5" stretchy="false" xref="S3.E3.m1.4.4.4.3.cmml">]</mo></mrow><mo id="S3.E3.m1.4.4.5c" xref="S3.E3.m1.4.4.5.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E3.m1.4.4.8" xref="S3.E3.m1.4.4.8.cmml">d</mi><mo id="S3.E3.m1.4.4.5d" xref="S3.E3.m1.4.4.5.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E3.m1.4.4.9" xref="S3.E3.m1.4.4.9.cmml"><mi id="S3.E3.m1.4.4.9.2" xref="S3.E3.m1.4.4.9.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.E3.m1.4.4.9.3" xref="S3.E3.m1.4.4.9.3.cmml">𝒂</mi></msub><mo id="S3.E3.m1.4.4.5e" xref="S3.E3.m1.4.4.5.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E3.m1.4.4.10" xref="S3.E3.m1.4.4.10.cmml">d</mi><mo id="S3.E3.m1.4.4.5f" xref="S3.E3.m1.4.4.5.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E3.m1.4.4.11" xref="S3.E3.m1.4.4.11.cmml"><mi id="S3.E3.m1.4.4.11.2" xref="S3.E3.m1.4.4.11.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.E3.m1.4.4.11.3" xref="S3.E3.m1.4.4.11.3.cmml">𝒄</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E3.m1.4b"><apply id="S3.E3.m1.4.4.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4"><times id="S3.E3.m1.4.4.5.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.5"></times><apply id="S3.E3.m1.4.4.6.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E3.m1.4.4.6.1.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.6">subscript</csymbol><ci id="S3.E3.m1.4.4.6.2.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.6.2">ℙ</ci><ci id="S3.E3.m1.4.4.6.3.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.6.3">𝜃</ci></apply><interval closure="closed" id="S3.E3.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E3.m1.2.2.2.2"><apply id="S3.E3.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E3.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E3.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E3.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E3.m1.1.1.1.1.1.2">𝒙</ci><ci id="S3.E3.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E3.m1.1.1.1.1.1.3">𝒂</ci></apply><apply id="S3.E3.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E3.m1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E3.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E3.m1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E3.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E3.m1.2.2.2.2.2.2">𝒔</ci><ci id="S3.E3.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E3.m1.2.2.2.2.2.3">𝒂</ci></apply></interval><apply id="S3.E3.m1.4.4.7.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E3.m1.4.4.7.1.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.7">subscript</csymbol><ci id="S3.E3.m1.4.4.7.2.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.7.2">ℙ</ci><ci id="S3.E3.m1.4.4.7.3.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.7.3">𝜃</ci></apply><interval closure="closed" id="S3.E3.m1.4.4.4.3.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.4.2"><apply id="S3.E3.m1.3.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E3.m1.3.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E3.m1.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.E3.m1.3.3.3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E3.m1.3.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.E3.m1.3.3.3.1.1.2">𝒙</ci><ci id="S3.E3.m1.3.3.3.1.1.3.cmml" xref="S3.E3.m1.3.3.3.1.1.3">𝒄</ci></apply><apply id="S3.E3.m1.4.4.4.2.2.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E3.m1.4.4.4.2.2.1.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.4.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E3.m1.4.4.4.2.2.2.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.4.2.2.2">𝒔</ci><ci id="S3.E3.m1.4.4.4.2.2.3.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.4.2.2.3">𝒄</ci></apply></interval><ci id="S3.E3.m1.4.4.8.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.8">𝑑</ci><apply id="S3.E3.m1.4.4.9.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.9"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E3.m1.4.4.9.1.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.9">subscript</csymbol><ci id="S3.E3.m1.4.4.9.2.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.9.2">𝒙</ci><ci id="S3.E3.m1.4.4.9.3.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.9.3">𝒂</ci></apply><ci id="S3.E3.m1.4.4.10.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.10">𝑑</ci><apply id="S3.E3.m1.4.4.11.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.11"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E3.m1.4.4.11.1.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.11">subscript</csymbol><ci id="S3.E3.m1.4.4.11.2.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.11.2">𝒙</ci><ci id="S3.E3.m1.4.4.11.3.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.11.3">𝒄</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E3.m1.4c">\displaystyle\hskip 56.9055pt\mathbb{P}_{\theta}[\bm{x_{a},s_{a}}]\mathbb{P}_{% \theta}[\bm{x_{c},s_{c}}]d\bm{x_{a}}d\bm{x_{c}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E3.m1.4d">blackboard_P start_POSTSUBSCRIPT italic_θ end_POSTSUBSCRIPT [ bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_a end_POSTSUBSCRIPT bold_, bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_a end_POSTSUBSCRIPT ] blackboard_P start_POSTSUBSCRIPT italic_θ end_POSTSUBSCRIPT [ bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_c end_POSTSUBSCRIPT bold_, bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_c end_POSTSUBSCRIPT ] italic_d bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_a end_POSTSUBSCRIPT italic_d bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(3)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p2.7">where the first equality follows from the law of total probability, which expands the marginal log-likelihood <math alttext="\ln\mathbb{P}_{\theta}[\bm{y}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.7.m1.1"><semantics id="S3.p2.7.m1.1a"><mrow id="S3.p2.7.m1.1.2" xref="S3.p2.7.m1.1.2.cmml"><mrow id="S3.p2.7.m1.1.2.2" xref="S3.p2.7.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.p2.7.m1.1.2.2.1" xref="S3.p2.7.m1.1.2.2.1.cmml">ln</mi><mo id="S3.p2.7.m1.1.2.2a" lspace="0.167em" xref="S3.p2.7.m1.1.2.2.cmml">⁡</mo><msub id="S3.p2.7.m1.1.2.2.2" xref="S3.p2.7.m1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.p2.7.m1.1.2.2.2.2" xref="S3.p2.7.m1.1.2.2.2.2.cmml">ℙ</mi><mi id="S3.p2.7.m1.1.2.2.2.3" xref="S3.p2.7.m1.1.2.2.2.3.cmml">θ</mi></msub></mrow><mo id="S3.p2.7.m1.1.2.1" xref="S3.p2.7.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p2.7.m1.1.2.3.2" xref="S3.p2.7.m1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S3.p2.7.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.p2.7.m1.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.p2.7.m1.1.1" xref="S3.p2.7.m1.1.1.cmml">𝒚</mi><mo id="S3.p2.7.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.p2.7.m1.1.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.7.m1.1b"><apply id="S3.p2.7.m1.1.2.cmml" xref="S3.p2.7.m1.1.2"><times id="S3.p2.7.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.p2.7.m1.1.2.1"></times><apply id="S3.p2.7.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.p2.7.m1.1.2.2"><ln id="S3.p2.7.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.p2.7.m1.1.2.2.1"></ln><apply id="S3.p2.7.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.p2.7.m1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.7.m1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.p2.7.m1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.7.m1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p2.7.m1.1.2.2.2.2">ℙ</ci><ci id="S3.p2.7.m1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p2.7.m1.1.2.2.2.3">𝜃</ci></apply></apply><apply id="S3.p2.7.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.p2.7.m1.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.p2.7.m1.1.2.3.1.1.cmml" xref="S3.p2.7.m1.1.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.p2.7.m1.1.1.cmml" xref="S3.p2.7.m1.1.1">𝒚</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.7.m1.1c">\ln\mathbb{P}_{\theta}[\bm{y}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.7.m1.1d">roman_ln blackboard_P start_POSTSUBSCRIPT italic_θ end_POSTSUBSCRIPT [ bold_italic_y ]</annotation></semantics></math> by marginalizing over all latent variables. The second equality stems from the mutual independence between the causal and non-causal subsystems. Since the states of both subsystems obey to Markovian dynamics and the outputs are conditionally independent given the switching mode, states and mode parameters, the posterior probability density function in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S3.Ex7" title="3 The EM method for identifying NCS-RSM ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>) can be decomposed into the following structured forms:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx5"> <tbody id="S3.Ex10"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathbb{P}_{\theta}[\bm{y}|\bm{x_{a},x_{c},s_{a},s_{c}}]=\prod_{t% =1}^{T}\mathbb{P}_{\theta}[y(t)|x_{c}(t),x_{a}(t),s_{c}(t),s_{a}(t)]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex10.m2.7"><semantics id="S3.Ex10.m2.7a"><mrow id="S3.Ex10.m2.7.7" xref="S3.Ex10.m2.7.7.cmml"><mrow id="S3.Ex10.m2.6.6.1" xref="S3.Ex10.m2.6.6.1.cmml"><msub id="S3.Ex10.m2.6.6.1.3" xref="S3.Ex10.m2.6.6.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex10.m2.6.6.1.3.2" xref="S3.Ex10.m2.6.6.1.3.2.cmml">ℙ</mi><mi id="S3.Ex10.m2.6.6.1.3.3" xref="S3.Ex10.m2.6.6.1.3.3.cmml">θ</mi></msub><mo id="S3.Ex10.m2.6.6.1.2" xref="S3.Ex10.m2.6.6.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex10.m2.6.6.1.1.1" xref="S3.Ex10.m2.6.6.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex10.m2.6.6.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex10.m2.6.6.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.Ex10.m2.6.6.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m2.6.6.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex10.m2.6.6.1.1.1.1.6" xref="S3.Ex10.m2.6.6.1.1.1.1.6.cmml">𝒚</mi><mo fence="false" id="S3.Ex10.m2.6.6.1.1.1.1.5" xref="S3.Ex10.m2.6.6.1.1.1.1.5.cmml">|</mo><mrow id="S3.Ex10.m2.6.6.1.1.1.1.4.4" xref="S3.Ex10.m2.6.6.1.1.1.1.4.5.cmml"><msub id="S3.Ex10.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex10.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex10.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.Ex10.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex10.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝒂</mi></msub><mo class="ltx_mathvariant_bold" id="S3.Ex10.m2.6.6.1.1.1.1.4.4.5" mathvariant="bold" xref="S3.Ex10.m2.6.6.1.1.1.1.4.5.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex10.m2.6.6.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex10.m2.6.6.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex10.m2.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex10.m2.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.Ex10.m2.6.6.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex10.m2.6.6.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">𝒄</mi></msub><mo class="ltx_mathvariant_bold" id="S3.Ex10.m2.6.6.1.1.1.1.4.4.6" mathvariant="bold" xref="S3.Ex10.m2.6.6.1.1.1.1.4.5.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex10.m2.6.6.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex10.m2.6.6.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex10.m2.6.6.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S3.Ex10.m2.6.6.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S3.Ex10.m2.6.6.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.Ex10.m2.6.6.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">𝒂</mi></msub><mo class="ltx_mathvariant_bold" id="S3.Ex10.m2.6.6.1.1.1.1.4.4.7" mathvariant="bold" xref="S3.Ex10.m2.6.6.1.1.1.1.4.5.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex10.m2.6.6.1.1.1.1.4.4.4" xref="S3.Ex10.m2.6.6.1.1.1.1.4.4.4.cmml"><mi id="S3.Ex10.m2.6.6.1.1.1.1.4.4.4.2" xref="S3.Ex10.m2.6.6.1.1.1.1.4.4.4.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S3.Ex10.m2.6.6.1.1.1.1.4.4.4.3" xref="S3.Ex10.m2.6.6.1.1.1.1.4.4.4.3.cmml">𝒄</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S3.Ex10.m2.6.6.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex10.m2.6.6.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex10.m2.7.7.3" xref="S3.Ex10.m2.7.7.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex10.m2.7.7.2" xref="S3.Ex10.m2.7.7.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex10.m2.7.7.2.2" xref="S3.Ex10.m2.7.7.2.2.cmml"><munderover id="S3.Ex10.m2.7.7.2.2a" xref="S3.Ex10.m2.7.7.2.2.cmml"><mo id="S3.Ex10.m2.7.7.2.2.2.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex10.m2.7.7.2.2.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S3.Ex10.m2.7.7.2.2.2.3" xref="S3.Ex10.m2.7.7.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex10.m2.7.7.2.2.2.3.2" xref="S3.Ex10.m2.7.7.2.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S3.Ex10.m2.7.7.2.2.2.3.1" xref="S3.Ex10.m2.7.7.2.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex10.m2.7.7.2.2.2.3.3" xref="S3.Ex10.m2.7.7.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.Ex10.m2.7.7.2.2.3" xref="S3.Ex10.m2.7.7.2.2.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><mrow id="S3.Ex10.m2.7.7.2.1" xref="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.cmml"><msub id="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.3" xref="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.3.2" xref="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.3.2.cmml">ℙ</mi><mi id="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.3.3" xref="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.3.3.cmml">θ</mi></msub><mo id="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.2" xref="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1" xref="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.6" xref="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.6.cmml"><mi id="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.6.2" xref="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.6.2.cmml">y</mi><mo id="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.6.1" xref="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.6.3.2" xref="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.6.cmml"><mo id="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.6.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.6.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex10.m2.1.1" xref="S3.Ex10.m2.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.6.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.6.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo fence="false" id="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.5" xref="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.5.cmml">|</mo><mrow id="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.4.4" xref="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.4.5.cmml"><mrow id="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mi id="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex10.m2.2.2" xref="S3.Ex10.m2.2.2.cmml">t</mi><mo id="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.4.4.5" xref="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.4.5.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><msub id="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">x</mi><mi id="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.2.2.2.3.2" xref="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex10.m2.3.3" xref="S3.Ex10.m2.3.3.cmml">t</mi><mo id="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.4.4.6" xref="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.4.5.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><msub id="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.3.3.3.2.2" xref="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.3.3.3.2.2.cmml">s</mi><mi id="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.3.3.3.2.3" xref="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.3.3.3.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.3.3.3.1" xref="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.3.3.3.3.2" xref="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mo id="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.3.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.3.3.3.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex10.m2.4.4" xref="S3.Ex10.m2.4.4.cmml">t</mi><mo id="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.3.3.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.3.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.4.4.7" xref="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.4.5.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.4.4.4" xref="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.4.4.4.cmml"><msub id="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.4.4.4.2" xref="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.4.4.4.2.cmml"><mi id="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.4.4.4.2.2" xref="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.4.4.4.2.2.cmml">s</mi><mi id="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.4.4.4.2.3" xref="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.4.4.4.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.4.4.4.1" xref="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.4.4.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.4.4.4.3.2" xref="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.4.4.4.cmml"><mo id="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.4.4.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.4.4.4.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex10.m2.5.5" xref="S3.Ex10.m2.5.5.cmml">t</mi><mo id="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.4.4.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.1.4.4.4.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex10.m2.7.7.2.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex10.m2.7b"><apply id="S3.Ex10.m2.7.7.cmml" xref="S3.Ex10.m2.7.7"><eq id="S3.Ex10.m2.7.7.3.cmml" xref="S3.Ex10.m2.7.7.3"></eq><apply id="S3.Ex10.m2.6.6.1.cmml" xref="S3.Ex10.m2.6.6.1"><times id="S3.Ex10.m2.6.6.1.2.cmml" xref="S3.Ex10.m2.6.6.1.2"></times><apply id="S3.Ex10.m2.6.6.1.3.cmml" xref="S3.Ex10.m2.6.6.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m2.6.6.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex10.m2.6.6.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m2.6.6.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex10.m2.6.6.1.3.2">ℙ</ci><ci id="S3.Ex10.m2.6.6.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex10.m2.6.6.1.3.3">𝜃</ci></apply><apply id="S3.Ex10.m2.6.6.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex10.m2.6.6.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex10.m2.6.6.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex10.m2.6.6.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.Ex10.m2.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m2.6.6.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex10.m2.6.6.1.1.1.1.5.cmml" xref="S3.Ex10.m2.6.6.1.1.1.1.5">conditional</csymbol><ci id="S3.Ex10.m2.6.6.1.1.1.1.6.cmml" xref="S3.Ex10.m2.6.6.1.1.1.1.6">𝒚</ci><list id="S3.Ex10.m2.6.6.1.1.1.1.4.5.cmml" xref="S3.Ex10.m2.6.6.1.1.1.1.4.4"><apply id="S3.Ex10.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" 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{c}(1),s_{c}(1)]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex11.m1.6"><semantics id="S3.Ex11.m1.6a"><mrow id="S3.Ex11.m1.6.6" xref="S3.Ex11.m1.6.6.cmml"><mrow id="S3.Ex11.m1.4.4.2" xref="S3.Ex11.m1.4.4.2.cmml"><msub id="S3.Ex11.m1.4.4.2.4" xref="S3.Ex11.m1.4.4.2.4.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.4.4.2.4.2" xref="S3.Ex11.m1.4.4.2.4.2.cmml">ℙ</mi><mi id="S3.Ex11.m1.4.4.2.4.3" xref="S3.Ex11.m1.4.4.2.4.3.cmml">θ</mi></msub><mo id="S3.Ex11.m1.4.4.2.3" xref="S3.Ex11.m1.4.4.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.4.4.2.2.2" xref="S3.Ex11.m1.4.4.2.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex11.m1.4.4.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex11.m1.4.4.2.2.3.cmml">[</mo><msub id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.Ex11.m1.4.4.2.2.2.4" xref="S3.Ex11.m1.4.4.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex11.m1.4.4.2.2.2.2" 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}(t-1),s_{c}(t)]\mathbb{P}_{\theta}[s_{c}(t)]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex12.m1.5d">∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT blackboard_P start_POSTSUBSCRIPT italic_θ end_POSTSUBSCRIPT [ italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) | italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t - 1 ) , italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ] blackboard_P start_POSTSUBSCRIPT italic_θ end_POSTSUBSCRIPT [ italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex13"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathbb{P}_{\theta}[\bm{x}_{a},\bm{s}_{a}]=\mathbb{P}_{\theta}[x_% {a}(T),s_{a}(T)]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex13.m1.6"><semantics id="S3.Ex13.m1.6a"><mrow id="S3.Ex13.m1.6.6" xref="S3.Ex13.m1.6.6.cmml"><mrow id="S3.Ex13.m1.4.4.2" xref="S3.Ex13.m1.4.4.2.cmml"><msub id="S3.Ex13.m1.4.4.2.4" xref="S3.Ex13.m1.4.4.2.4.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.4.4.2.4.2" xref="S3.Ex13.m1.4.4.2.4.2.cmml">ℙ</mi><mi id="S3.Ex13.m1.4.4.2.4.3" xref="S3.Ex13.m1.4.4.2.4.3.cmml">θ</mi></msub><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.2.3" xref="S3.Ex13.m1.4.4.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.4.4.2.2.2" xref="S3.Ex13.m1.4.4.2.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex13.m1.4.4.2.2.3.cmml">[</mo><msub id="S3.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S3.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.2.2.2.4" xref="S3.Ex13.m1.4.4.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex13.m1.4.4.2.2.2.2" xref="S3.Ex13.m1.4.4.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.4.4.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex13.m1.4.4.2.2.2.2.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S3.Ex13.m1.4.4.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex13.m1.4.4.2.2.2.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex13.m1.4.4.2.2.3.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex13.m1.6.6.5" xref="S3.Ex13.m1.6.6.5.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.6.6.4" xref="S3.Ex13.m1.6.6.4.cmml"><msub id="S3.Ex13.m1.6.6.4.4" xref="S3.Ex13.m1.6.6.4.4.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.6.6.4.4.2" xref="S3.Ex13.m1.6.6.4.4.2.cmml">ℙ</mi><mi id="S3.Ex13.m1.6.6.4.4.3" xref="S3.Ex13.m1.6.6.4.4.3.cmml">θ</mi></msub><mo id="S3.Ex13.m1.6.6.4.3" xref="S3.Ex13.m1.6.6.4.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.6.6.4.2.2" xref="S3.Ex13.m1.6.6.4.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex13.m1.6.6.4.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex13.m1.6.6.4.2.3.cmml">[</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.5.5.3.1.1.1" xref="S3.Ex13.m1.5.5.3.1.1.1.cmml"><msub 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italic_θ end_POSTSUBSCRIPT [ bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ] = blackboard_P start_POSTSUBSCRIPT italic_θ end_POSTSUBSCRIPT [ italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T ) , italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T ) ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.E4"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\hskip 48.36958pt\prod_{t=1}^{T-1}\mathbb{P}_{\theta}[x_{a}(t)|x_% {a}(t+1),s_{a}(t)]\mathbb{P}_{\theta}[s_{a}(t)]." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E4.m1.4"><semantics id="S3.E4.m1.4a"><mrow id="S3.E4.m1.4.4.1" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S3.E4.m1.4.4.1.1" 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id="S3.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S3.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S3.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S3.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><msub id="S3.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">s</mi><mi id="S3.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S3.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="S3.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.E4.m1.2.2" xref="S3.E4.m1.2.2.cmml">t</mi><mo id="S3.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S3.E4.m1.4.4.1.1.2.3a" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E4.m1.4.4.1.1.2.5" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.2.5.cmml"><mi id="S3.E4.m1.4.4.1.1.2.5.2" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.2.5.2.cmml">ℙ</mi><mi id="S3.E4.m1.4.4.1.1.2.5.3" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.2.5.3.cmml">θ</mi></msub><mo id="S3.E4.m1.4.4.1.1.2.3b" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E4.m1.4.4.1.1.2.2.1" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="S3.E4.m1.4.4.1.1.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.E4.m1.4.4.1.1.2.2.1.1" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.cmml"><msub id="S3.E4.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.2" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E4.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.2.2" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml">s</mi><mi id="S3.E4.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.2.3" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S3.E4.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E4.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.3.2" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.cmml"><mo id="S3.E4.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E4.m1.3.3" xref="S3.E4.m1.3.3.cmml">t</mi><mo id="S3.E4.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E4.m1.4.4.1.1.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E4.m1.4.4.1.2" lspace="0em" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E4.m1.4b"><apply id="S3.E4.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S3.E4.m1.4.4.1"><apply id="S3.E4.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E4.m1.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S3.E4.m1.4.4.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E4.m1.4.4.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.3">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S3.E4.m1.4.4.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.3.2.2">product</csymbol><apply id="S3.E4.m1.4.4.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.3.2.3"><eq id="S3.E4.m1.4.4.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.3.2.3.1"></eq><ci id="S3.E4.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.3.2.3.2">𝑡</ci><cn id="S3.E4.m1.4.4.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.E4.m1.4.4.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.3.3"><minus id="S3.E4.m1.4.4.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.3.3.1"></minus><ci id="S3.E4.m1.4.4.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.3.3.2">𝑇</ci><cn id="S3.E4.m1.4.4.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.E4.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.2"><times id="S3.E4.m1.4.4.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.2.3"></times><apply id="S3.E4.m1.4.4.1.1.2.4.cmml" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E4.m1.4.4.1.1.2.4.1.cmml" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.E4.m1.4.4.1.1.2.4.2.cmml" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.2.4.2">ℙ</ci><ci id="S3.E4.m1.4.4.1.1.2.4.3.cmml" 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xref="S3.E4.m1.1.1">𝑡</ci></apply><list id="S3.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2"><apply id="S3.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑥</ci><ci id="S3.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑎</ci></apply><apply id="S3.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S3.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S3.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><cn id="S3.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><times id="S3.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1"></times><apply id="S3.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝑠</ci><ci id="S3.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="S3.E4.m1.2.2.cmml" xref="S3.E4.m1.2.2">𝑡</ci></apply></list></apply></apply><apply id="S3.E4.m1.4.4.1.1.2.5.cmml" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E4.m1.4.4.1.1.2.5.1.cmml" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.2.5">subscript</csymbol><ci id="S3.E4.m1.4.4.1.1.2.5.2.cmml" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.2.5.2">ℙ</ci><ci id="S3.E4.m1.4.4.1.1.2.5.3.cmml" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.2.5.3">𝜃</ci></apply><apply id="S3.E4.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E4.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.2.2.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.E4.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.2.2.1.1"><times id="S3.E4.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1"></times><apply id="S3.E4.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E4.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E4.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.2.2">𝑠</ci><ci id="S3.E4.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E4.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="S3.E4.m1.3.3.cmml" xref="S3.E4.m1.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E4.m1.4c">\displaystyle\hskip 48.36958pt\prod_{t=1}^{T-1}\mathbb{P}_{\theta}[x_{a}(t)|x_% {a}(t+1),s_{a}(t)]\mathbb{P}_{\theta}[s_{a}(t)].</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E4.m1.4d">∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T - 1 end_POSTSUPERSCRIPT blackboard_P start_POSTSUBSCRIPT italic_θ end_POSTSUBSCRIPT [ italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) | italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t + 1 ) , italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ] blackboard_P start_POSTSUBSCRIPT italic_θ end_POSTSUBSCRIPT [ italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ] .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(4)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p2.12">In the NCS-RSM (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S2.E1" title="In 2.1 System model description ‣ 2 Mathematical formulation ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>), the state variables <math alttext="\bm{x}_{c},\bm{x}_{a}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.8.m1.2"><semantics id="S3.p2.8.m1.2a"><mrow id="S3.p2.8.m1.2.2.2" xref="S3.p2.8.m1.2.2.3.cmml"><msub id="S3.p2.8.m1.1.1.1.1" xref="S3.p2.8.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p2.8.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.p2.8.m1.1.1.1.1.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.p2.8.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.p2.8.m1.1.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.p2.8.m1.2.2.2.3" xref="S3.p2.8.m1.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.p2.8.m1.2.2.2.2" xref="S3.p2.8.m1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.p2.8.m1.2.2.2.2.2" xref="S3.p2.8.m1.2.2.2.2.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.p2.8.m1.2.2.2.2.3" xref="S3.p2.8.m1.2.2.2.2.3.cmml">a</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.8.m1.2b"><list id="S3.p2.8.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.p2.8.m1.2.2.2"><apply id="S3.p2.8.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.8.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.8.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.8.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.8.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.8.m1.1.1.1.1.2">𝒙</ci><ci id="S3.p2.8.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p2.8.m1.1.1.1.1.3">𝑐</ci></apply><apply id="S3.p2.8.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p2.8.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.8.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.p2.8.m1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.8.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p2.8.m1.2.2.2.2.2">𝒙</ci><ci id="S3.p2.8.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p2.8.m1.2.2.2.2.3">𝑎</ci></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.8.m1.2c">\bm{x}_{c},\bm{x}_{a}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.8.m1.2d">bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are governed by the switching sequences <math alttext="\bm{s}_{c},\bm{s}_{a}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.9.m2.2"><semantics id="S3.p2.9.m2.2a"><mrow id="S3.p2.9.m2.2.2.2" xref="S3.p2.9.m2.2.2.3.cmml"><msub id="S3.p2.9.m2.1.1.1.1" xref="S3.p2.9.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p2.9.m2.1.1.1.1.2" xref="S3.p2.9.m2.1.1.1.1.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S3.p2.9.m2.1.1.1.1.3" xref="S3.p2.9.m2.1.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.p2.9.m2.2.2.2.3" xref="S3.p2.9.m2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.p2.9.m2.2.2.2.2" xref="S3.p2.9.m2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.p2.9.m2.2.2.2.2.2" xref="S3.p2.9.m2.2.2.2.2.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S3.p2.9.m2.2.2.2.2.3" xref="S3.p2.9.m2.2.2.2.2.3.cmml">a</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.9.m2.2b"><list id="S3.p2.9.m2.2.2.3.cmml" xref="S3.p2.9.m2.2.2.2"><apply id="S3.p2.9.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.9.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.9.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.9.m2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.9.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.9.m2.1.1.1.1.2">𝒔</ci><ci id="S3.p2.9.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p2.9.m2.1.1.1.1.3">𝑐</ci></apply><apply id="S3.p2.9.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p2.9.m2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.9.m2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.p2.9.m2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.9.m2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p2.9.m2.2.2.2.2.2">𝒔</ci><ci id="S3.p2.9.m2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p2.9.m2.2.2.2.2.3">𝑎</ci></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.9.m2.2c">\bm{s}_{c},\bm{s}_{a}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.9.m2.2d">bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Direct maximization of the marginal log-likelihood <math alttext="\ln\mathbb{P}_{\theta}[\bm{y}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.10.m3.1"><semantics id="S3.p2.10.m3.1a"><mrow id="S3.p2.10.m3.1.2" xref="S3.p2.10.m3.1.2.cmml"><mrow id="S3.p2.10.m3.1.2.2" xref="S3.p2.10.m3.1.2.2.cmml"><mi id="S3.p2.10.m3.1.2.2.1" xref="S3.p2.10.m3.1.2.2.1.cmml">ln</mi><mo id="S3.p2.10.m3.1.2.2a" lspace="0.167em" xref="S3.p2.10.m3.1.2.2.cmml">⁡</mo><msub id="S3.p2.10.m3.1.2.2.2" xref="S3.p2.10.m3.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.p2.10.m3.1.2.2.2.2" xref="S3.p2.10.m3.1.2.2.2.2.cmml">ℙ</mi><mi id="S3.p2.10.m3.1.2.2.2.3" xref="S3.p2.10.m3.1.2.2.2.3.cmml">θ</mi></msub></mrow><mo id="S3.p2.10.m3.1.2.1" xref="S3.p2.10.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p2.10.m3.1.2.3.2" xref="S3.p2.10.m3.1.2.3.1.cmml"><mo id="S3.p2.10.m3.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.p2.10.m3.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.p2.10.m3.1.1" xref="S3.p2.10.m3.1.1.cmml">𝒚</mi><mo id="S3.p2.10.m3.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.p2.10.m3.1.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.10.m3.1b"><apply id="S3.p2.10.m3.1.2.cmml" xref="S3.p2.10.m3.1.2"><times id="S3.p2.10.m3.1.2.1.cmml" xref="S3.p2.10.m3.1.2.1"></times><apply id="S3.p2.10.m3.1.2.2.cmml" xref="S3.p2.10.m3.1.2.2"><ln id="S3.p2.10.m3.1.2.2.1.cmml" xref="S3.p2.10.m3.1.2.2.1"></ln><apply id="S3.p2.10.m3.1.2.2.2.cmml" xref="S3.p2.10.m3.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.10.m3.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.p2.10.m3.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.10.m3.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p2.10.m3.1.2.2.2.2">ℙ</ci><ci id="S3.p2.10.m3.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p2.10.m3.1.2.2.2.3">𝜃</ci></apply></apply><apply id="S3.p2.10.m3.1.2.3.1.cmml" xref="S3.p2.10.m3.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.p2.10.m3.1.2.3.1.1.cmml" xref="S3.p2.10.m3.1.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.p2.10.m3.1.1.cmml" xref="S3.p2.10.m3.1.1">𝒚</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.10.m3.1c">\ln\mathbb{P}_{\theta}[\bm{y}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.10.m3.1d">roman_ln blackboard_P start_POSTSUBSCRIPT italic_θ end_POSTSUBSCRIPT [ bold_italic_y ]</annotation></semantics></math> is inherently challenging due to its nonconvexity and high-dimensional nature. Furthermore, as shown in the decomposition (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S3.Ex7" title="3 The EM method for identifying NCS-RSM ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>), evaluating <math alttext="\mathbb{P}_{\theta}[\bm{y}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.11.m4.1"><semantics id="S3.p2.11.m4.1a"><mrow id="S3.p2.11.m4.1.2" xref="S3.p2.11.m4.1.2.cmml"><msub id="S3.p2.11.m4.1.2.2" xref="S3.p2.11.m4.1.2.2.cmml"><mi id="S3.p2.11.m4.1.2.2.2" xref="S3.p2.11.m4.1.2.2.2.cmml">ℙ</mi><mi id="S3.p2.11.m4.1.2.2.3" xref="S3.p2.11.m4.1.2.2.3.cmml">θ</mi></msub><mo id="S3.p2.11.m4.1.2.1" xref="S3.p2.11.m4.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p2.11.m4.1.2.3.2" xref="S3.p2.11.m4.1.2.3.1.cmml"><mo id="S3.p2.11.m4.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.p2.11.m4.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.p2.11.m4.1.1" xref="S3.p2.11.m4.1.1.cmml">𝒚</mi><mo id="S3.p2.11.m4.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.p2.11.m4.1.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.11.m4.1b"><apply id="S3.p2.11.m4.1.2.cmml" xref="S3.p2.11.m4.1.2"><times id="S3.p2.11.m4.1.2.1.cmml" xref="S3.p2.11.m4.1.2.1"></times><apply id="S3.p2.11.m4.1.2.2.cmml" xref="S3.p2.11.m4.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.11.m4.1.2.2.1.cmml" xref="S3.p2.11.m4.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.11.m4.1.2.2.2.cmml" xref="S3.p2.11.m4.1.2.2.2">ℙ</ci><ci id="S3.p2.11.m4.1.2.2.3.cmml" xref="S3.p2.11.m4.1.2.2.3">𝜃</ci></apply><apply id="S3.p2.11.m4.1.2.3.1.cmml" xref="S3.p2.11.m4.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.p2.11.m4.1.2.3.1.1.cmml" xref="S3.p2.11.m4.1.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.p2.11.m4.1.1.cmml" xref="S3.p2.11.m4.1.1">𝒚</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.11.m4.1c">\mathbb{P}_{\theta}[\bm{y}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.11.m4.1d">blackboard_P start_POSTSUBSCRIPT italic_θ end_POSTSUBSCRIPT [ bold_italic_y ]</annotation></semantics></math> requires summation over all possible realizations of <math alttext="\bm{s}_{c},\bm{s}_{a}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.12.m5.2"><semantics id="S3.p2.12.m5.2a"><mrow id="S3.p2.12.m5.2.2.2" xref="S3.p2.12.m5.2.2.3.cmml"><msub id="S3.p2.12.m5.1.1.1.1" xref="S3.p2.12.m5.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p2.12.m5.1.1.1.1.2" xref="S3.p2.12.m5.1.1.1.1.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S3.p2.12.m5.1.1.1.1.3" xref="S3.p2.12.m5.1.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.p2.12.m5.2.2.2.3" xref="S3.p2.12.m5.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.p2.12.m5.2.2.2.2" xref="S3.p2.12.m5.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.p2.12.m5.2.2.2.2.2" xref="S3.p2.12.m5.2.2.2.2.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S3.p2.12.m5.2.2.2.2.3" xref="S3.p2.12.m5.2.2.2.2.3.cmml">a</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.12.m5.2b"><list id="S3.p2.12.m5.2.2.3.cmml" xref="S3.p2.12.m5.2.2.2"><apply id="S3.p2.12.m5.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.12.m5.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.12.m5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.12.m5.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.12.m5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.12.m5.1.1.1.1.2">𝒔</ci><ci id="S3.p2.12.m5.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p2.12.m5.1.1.1.1.3">𝑐</ci></apply><apply id="S3.p2.12.m5.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p2.12.m5.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.12.m5.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.p2.12.m5.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.12.m5.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p2.12.m5.2.2.2.2.2">𝒔</ci><ci id="S3.p2.12.m5.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p2.12.m5.2.2.2.2.3">𝑎</ci></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.12.m5.2c">\bm{s}_{c},\bm{s}_{a}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.12.m5.2d">bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, which exponentially increases the computational complexity of solving (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S3.E2" title="In 3 The EM method for identifying NCS-RSM ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>).</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.p3"> <p class="ltx_p" id="S3.p3.5">Another way to marginalize the latent variables (such as <math alttext="\bm{x}_{c},\bm{x}_{a},\bm{s}_{c},\bm{s}_{a}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.1.m1.4"><semantics id="S3.p3.1.m1.4a"><mrow id="S3.p3.1.m1.4.4.4" xref="S3.p3.1.m1.4.4.5.cmml"><msub id="S3.p3.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.p3.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.p3.1.m1.1.1.1.1.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.p3.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.p3.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.p3.1.m1.4.4.4.5" xref="S3.p3.1.m1.4.4.5.cmml">,</mo><msub id="S3.p3.1.m1.2.2.2.2" xref="S3.p3.1.m1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.p3.1.m1.2.2.2.2.2" xref="S3.p3.1.m1.2.2.2.2.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.p3.1.m1.2.2.2.2.3" xref="S3.p3.1.m1.2.2.2.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S3.p3.1.m1.4.4.4.6" xref="S3.p3.1.m1.4.4.5.cmml">,</mo><msub id="S3.p3.1.m1.3.3.3.3" xref="S3.p3.1.m1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S3.p3.1.m1.3.3.3.3.2" xref="S3.p3.1.m1.3.3.3.3.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S3.p3.1.m1.3.3.3.3.3" xref="S3.p3.1.m1.3.3.3.3.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.p3.1.m1.4.4.4.7" xref="S3.p3.1.m1.4.4.5.cmml">,</mo><msub id="S3.p3.1.m1.4.4.4.4" xref="S3.p3.1.m1.4.4.4.4.cmml"><mi id="S3.p3.1.m1.4.4.4.4.2" xref="S3.p3.1.m1.4.4.4.4.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S3.p3.1.m1.4.4.4.4.3" xref="S3.p3.1.m1.4.4.4.4.3.cmml">a</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.1.m1.4b"><list id="S3.p3.1.m1.4.4.5.cmml" xref="S3.p3.1.m1.4.4.4"><apply id="S3.p3.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.1.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.1.m1.1.1.1.1.2">𝒙</ci><ci id="S3.p3.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.1.m1.1.1.1.1.3">𝑐</ci></apply><apply id="S3.p3.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.1.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.1.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.p3.1.m1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.1.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.1.m1.2.2.2.2.2">𝒙</ci><ci id="S3.p3.1.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p3.1.m1.2.2.2.2.3">𝑎</ci></apply><apply id="S3.p3.1.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.p3.1.m1.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.1.m1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S3.p3.1.m1.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.1.m1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S3.p3.1.m1.3.3.3.3.2">𝒔</ci><ci id="S3.p3.1.m1.3.3.3.3.3.cmml" xref="S3.p3.1.m1.3.3.3.3.3">𝑐</ci></apply><apply id="S3.p3.1.m1.4.4.4.4.cmml" xref="S3.p3.1.m1.4.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.1.m1.4.4.4.4.1.cmml" xref="S3.p3.1.m1.4.4.4.4">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.1.m1.4.4.4.4.2.cmml" xref="S3.p3.1.m1.4.4.4.4.2">𝒔</ci><ci id="S3.p3.1.m1.4.4.4.4.3.cmml" xref="S3.p3.1.m1.4.4.4.4.3">𝑎</ci></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.1.m1.4c">\bm{x}_{c},\bm{x}_{a},\bm{s}_{c},\bm{s}_{a}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.1.m1.4d">bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>) is by taking the expectation over these latter. Instead of maximizing the incomplete likelihood function <math alttext="\ln\mathbb{P}_{\theta}(\bm{y})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.2.m2.1"><semantics id="S3.p3.2.m2.1a"><mrow id="S3.p3.2.m2.1.2" xref="S3.p3.2.m2.1.2.cmml"><mrow id="S3.p3.2.m2.1.2.2" xref="S3.p3.2.m2.1.2.2.cmml"><mi id="S3.p3.2.m2.1.2.2.1" xref="S3.p3.2.m2.1.2.2.1.cmml">ln</mi><mo id="S3.p3.2.m2.1.2.2a" lspace="0.167em" xref="S3.p3.2.m2.1.2.2.cmml">⁡</mo><msub id="S3.p3.2.m2.1.2.2.2" xref="S3.p3.2.m2.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.p3.2.m2.1.2.2.2.2" xref="S3.p3.2.m2.1.2.2.2.2.cmml">ℙ</mi><mi id="S3.p3.2.m2.1.2.2.2.3" xref="S3.p3.2.m2.1.2.2.2.3.cmml">θ</mi></msub></mrow><mo id="S3.p3.2.m2.1.2.1" xref="S3.p3.2.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p3.2.m2.1.2.3.2" xref="S3.p3.2.m2.1.2.cmml"><mo id="S3.p3.2.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.p3.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.p3.2.m2.1.1" xref="S3.p3.2.m2.1.1.cmml">𝒚</mi><mo id="S3.p3.2.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.p3.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.2.m2.1b"><apply id="S3.p3.2.m2.1.2.cmml" xref="S3.p3.2.m2.1.2"><times id="S3.p3.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S3.p3.2.m2.1.2.1"></times><apply id="S3.p3.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S3.p3.2.m2.1.2.2"><ln id="S3.p3.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S3.p3.2.m2.1.2.2.1"></ln><apply id="S3.p3.2.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.2.m2.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.2.m2.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.p3.2.m2.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.2.m2.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.2.m2.1.2.2.2.2">ℙ</ci><ci id="S3.p3.2.m2.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p3.2.m2.1.2.2.2.3">𝜃</ci></apply></apply><ci id="S3.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.p3.2.m2.1.1">𝒚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.2.m2.1c">\ln\mathbb{P}_{\theta}(\bm{y})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.2.m2.1d">roman_ln blackboard_P start_POSTSUBSCRIPT italic_θ end_POSTSUBSCRIPT ( bold_italic_y )</annotation></semantics></math>, we can estimate the conditional density of the hidden variables given the observations <math alttext="\bm{y}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.3.m3.1"><semantics id="S3.p3.3.m3.1a"><mi id="S3.p3.3.m3.1.1" xref="S3.p3.3.m3.1.1.cmml">𝒚</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.3.m3.1b"><ci id="S3.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.p3.3.m3.1.1">𝒚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.3.m3.1c">\bm{y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.3.m3.1d">bold_italic_y</annotation></semantics></math> and an estimate of parameter <math alttext="\hat{\theta}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.4.m4.1"><semantics id="S3.p3.4.m4.1a"><mover accent="true" id="S3.p3.4.m4.1.1" xref="S3.p3.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.4.m4.1.1.2" xref="S3.p3.4.m4.1.1.2.cmml">θ</mi><mo id="S3.p3.4.m4.1.1.1" xref="S3.p3.4.m4.1.1.1.cmml">^</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.4.m4.1b"><apply id="S3.p3.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.p3.4.m4.1.1"><ci id="S3.p3.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.4.m4.1.1.1">^</ci><ci id="S3.p3.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.4.m4.1.1.2">𝜃</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.4.m4.1c">\hat{\theta}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.4.m4.1d">over^ start_ARG italic_θ end_ARG</annotation></semantics></math>. Then, parameter estimate <math alttext="\hat{\theta}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.5.m5.1"><semantics id="S3.p3.5.m5.1a"><mover accent="true" id="S3.p3.5.m5.1.1" xref="S3.p3.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.5.m5.1.1.2" xref="S3.p3.5.m5.1.1.2.cmml">θ</mi><mo id="S3.p3.5.m5.1.1.1" xref="S3.p3.5.m5.1.1.1.cmml">^</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.5.m5.1b"><apply id="S3.p3.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.p3.5.m5.1.1"><ci id="S3.p3.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.5.m5.1.1.1">^</ci><ci id="S3.p3.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.5.m5.1.1.2">𝜃</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.5.m5.1c">\hat{\theta}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.5.m5.1d">over^ start_ARG italic_θ end_ARG</annotation></semantics></math> can be obtained by maximizing the complete likelihood function. The full-data complete likelihood function can be expressed as follows:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx6"> <tbody id="S3.Ex14"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\ln\mathbb{P}_{\theta}[\bm{y},\bm{x}_{c},\bm{s}_{c},\bm{x}_{a},% \bm{s}_{a}]=" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex14.m1.5"><semantics id="S3.Ex14.m1.5a"><mrow id="S3.Ex14.m1.5.5" xref="S3.Ex14.m1.5.5.cmml"><mrow id="S3.Ex14.m1.5.5.4" xref="S3.Ex14.m1.5.5.4.cmml"><mrow id="S3.Ex14.m1.5.5.4.6" xref="S3.Ex14.m1.5.5.4.6.cmml"><mi id="S3.Ex14.m1.5.5.4.6.1" xref="S3.Ex14.m1.5.5.4.6.1.cmml">ln</mi><mo id="S3.Ex14.m1.5.5.4.6a" lspace="0.167em" xref="S3.Ex14.m1.5.5.4.6.cmml">⁡</mo><msub id="S3.Ex14.m1.5.5.4.6.2" xref="S3.Ex14.m1.5.5.4.6.2.cmml"><mi id="S3.Ex14.m1.5.5.4.6.2.2" xref="S3.Ex14.m1.5.5.4.6.2.2.cmml">ℙ</mi><mi id="S3.Ex14.m1.5.5.4.6.2.3" xref="S3.Ex14.m1.5.5.4.6.2.3.cmml">θ</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex14.m1.5.5.4.5" xref="S3.Ex14.m1.5.5.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex14.m1.5.5.4.4.4" xref="S3.Ex14.m1.5.5.4.4.5.cmml"><mo id="S3.Ex14.m1.5.5.4.4.4.5" stretchy="false" xref="S3.Ex14.m1.5.5.4.4.5.cmml">[</mo><mi id="S3.Ex14.m1.1.1" xref="S3.Ex14.m1.1.1.cmml">𝒚</mi><mo id="S3.Ex14.m1.5.5.4.4.4.6" xref="S3.Ex14.m1.5.5.4.4.5.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex14.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex14.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex14.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex14.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.Ex14.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex14.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.Ex14.m1.5.5.4.4.4.7" xref="S3.Ex14.m1.5.5.4.4.5.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex14.m1.3.3.2.2.2.2" xref="S3.Ex14.m1.3.3.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex14.m1.3.3.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex14.m1.3.3.2.2.2.2.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S3.Ex14.m1.3.3.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex14.m1.3.3.2.2.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.Ex14.m1.5.5.4.4.4.8" xref="S3.Ex14.m1.5.5.4.4.5.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex14.m1.4.4.3.3.3.3" xref="S3.Ex14.m1.4.4.3.3.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex14.m1.4.4.3.3.3.3.2" xref="S3.Ex14.m1.4.4.3.3.3.3.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.Ex14.m1.4.4.3.3.3.3.3" xref="S3.Ex14.m1.4.4.3.3.3.3.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S3.Ex14.m1.5.5.4.4.4.9" xref="S3.Ex14.m1.5.5.4.4.5.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex14.m1.5.5.4.4.4.4" xref="S3.Ex14.m1.5.5.4.4.4.4.cmml"><mi id="S3.Ex14.m1.5.5.4.4.4.4.2" xref="S3.Ex14.m1.5.5.4.4.4.4.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S3.Ex14.m1.5.5.4.4.4.4.3" xref="S3.Ex14.m1.5.5.4.4.4.4.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S3.Ex14.m1.5.5.4.4.4.10" stretchy="false" xref="S3.Ex14.m1.5.5.4.4.5.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex14.m1.5.5.5" xref="S3.Ex14.m1.5.5.5.cmml">=</mo><mi id="S3.Ex14.m1.5.5.6" xref="S3.Ex14.m1.5.5.6.cmml"></mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex14.m1.5b"><apply id="S3.Ex14.m1.5.5.cmml" xref="S3.Ex14.m1.5.5"><eq id="S3.Ex14.m1.5.5.5.cmml" xref="S3.Ex14.m1.5.5.5"></eq><apply id="S3.Ex14.m1.5.5.4.cmml" xref="S3.Ex14.m1.5.5.4"><times id="S3.Ex14.m1.5.5.4.5.cmml" xref="S3.Ex14.m1.5.5.4.5"></times><apply id="S3.Ex14.m1.5.5.4.6.cmml" xref="S3.Ex14.m1.5.5.4.6"><ln id="S3.Ex14.m1.5.5.4.6.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.5.5.4.6.1"></ln><apply id="S3.Ex14.m1.5.5.4.6.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.5.5.4.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex14.m1.5.5.4.6.2.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.5.5.4.6.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex14.m1.5.5.4.6.2.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.5.5.4.6.2.2">ℙ</ci><ci id="S3.Ex14.m1.5.5.4.6.2.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.5.5.4.6.2.3">𝜃</ci></apply></apply><list id="S3.Ex14.m1.5.5.4.4.5.cmml" xref="S3.Ex14.m1.5.5.4.4.4"><ci id="S3.Ex14.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1">𝒚</ci><apply id="S3.Ex14.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex14.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex14.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.2.2.1.1.1.1.2">𝒙</ci><ci id="S3.Ex14.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.2.2.1.1.1.1.3">𝑐</ci></apply><apply id="S3.Ex14.m1.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.3.3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex14.m1.3.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.3.3.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex14.m1.3.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.3.3.2.2.2.2.2">𝒔</ci><ci id="S3.Ex14.m1.3.3.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.3.3.2.2.2.2.3">𝑐</ci></apply><apply id="S3.Ex14.m1.4.4.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.4.4.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex14.m1.4.4.3.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.4.4.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex14.m1.4.4.3.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.4.4.3.3.3.3.2">𝒙</ci><ci id="S3.Ex14.m1.4.4.3.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.4.4.3.3.3.3.3">𝑎</ci></apply><apply id="S3.Ex14.m1.5.5.4.4.4.4.cmml" xref="S3.Ex14.m1.5.5.4.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex14.m1.5.5.4.4.4.4.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.5.5.4.4.4.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex14.m1.5.5.4.4.4.4.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.5.5.4.4.4.4.2">𝒔</ci><ci id="S3.Ex14.m1.5.5.4.4.4.4.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.5.5.4.4.4.4.3">𝑎</ci></apply></list></apply><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex14.m1.5.5.6.cmml" xref="S3.Ex14.m1.5.5.6">absent</csymbol></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex14.m1.5c">\displaystyle\ln\mathbb{P}_{\theta}[\bm{y},\bm{x}_{c},\bm{s}_{c},\bm{x}_{a},% \bm{s}_{a}]=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex14.m1.5d">roman_ln blackboard_P start_POSTSUBSCRIPT italic_θ end_POSTSUBSCRIPT [ bold_italic_y , bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ] =</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\ln\mathbb{P}_{\theta}[\bm{y}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex14.m2.1"><semantics id="S3.Ex14.m2.1a"><mrow id="S3.Ex14.m2.1.2" xref="S3.Ex14.m2.1.2.cmml"><mrow id="S3.Ex14.m2.1.2.2" xref="S3.Ex14.m2.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex14.m2.1.2.2.1" xref="S3.Ex14.m2.1.2.2.1.cmml">ln</mi><mo id="S3.Ex14.m2.1.2.2a" lspace="0.167em" xref="S3.Ex14.m2.1.2.2.cmml">⁡</mo><msub id="S3.Ex14.m2.1.2.2.2" xref="S3.Ex14.m2.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex14.m2.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex14.m2.1.2.2.2.2.cmml">ℙ</mi><mi id="S3.Ex14.m2.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex14.m2.1.2.2.2.3.cmml">θ</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex14.m2.1.2.1" xref="S3.Ex14.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex14.m2.1.2.3.2" xref="S3.Ex14.m2.1.2.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex14.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex14.m2.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.Ex14.m2.1.1" xref="S3.Ex14.m2.1.1.cmml">𝒚</mi><mo id="S3.Ex14.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex14.m2.1.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex14.m2.1b"><apply id="S3.Ex14.m2.1.2.cmml" xref="S3.Ex14.m2.1.2"><times id="S3.Ex14.m2.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex14.m2.1.2.1"></times><apply id="S3.Ex14.m2.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex14.m2.1.2.2"><ln id="S3.Ex14.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex14.m2.1.2.2.1"></ln><apply id="S3.Ex14.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex14.m2.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex14.m2.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex14.m2.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex14.m2.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex14.m2.1.2.2.2.2">ℙ</ci><ci id="S3.Ex14.m2.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex14.m2.1.2.2.2.3">𝜃</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex14.m2.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex14.m2.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex14.m2.1.2.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex14.m2.1.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.Ex14.m2.1.1.cmml" xref="S3.Ex14.m2.1.1">𝒚</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex14.m2.1c">\displaystyle\ln\mathbb{P}_{\theta}[\bm{y}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex14.m2.1d">roman_ln blackboard_P start_POSTSUBSCRIPT italic_θ end_POSTSUBSCRIPT [ bold_italic_y ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.E5"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle+\ln\mathbb{P}_{\theta}[\bm{x}_{c},\bm{s}_{c},\bm{x}_{a},\bm{s}_{% a}|\bm{y}]." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E5.m1.1"><semantics id="S3.E5.m1.1a"><mrow id="S3.E5.m1.1.1.1" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E5.m1.1.1.1.1" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E5.m1.1.1.1.1a" rspace="0.167em" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.E5.m1.1.1.1.1.4" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mrow id="S3.E5.m1.1.1.1.1.4.6" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.4.6.cmml"><mi id="S3.E5.m1.1.1.1.1.4.6.1" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.4.6.1.cmml">ln</mi><mo id="S3.E5.m1.1.1.1.1.4.6a" lspace="0.167em" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.4.6.cmml">⁡</mo><msub id="S3.E5.m1.1.1.1.1.4.6.2" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.4.6.2.cmml"><mi id="S3.E5.m1.1.1.1.1.4.6.2.2" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.4.6.2.2.cmml">ℙ</mi><mi id="S3.E5.m1.1.1.1.1.4.6.2.3" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.4.6.2.3.cmml">θ</mi></msub></mrow><mo id="S3.E5.m1.1.1.1.1.4.5" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E5.m1.1.1.1.1.4.4.4" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.4.4.5.cmml"><mo id="S3.E5.m1.1.1.1.1.4.4.4.5" stretchy="false" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.4.4.5.cmml">[</mo><msub id="S3.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.E5.m1.1.1.1.1.4.4.4.6" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.4.4.5.cmml">,</mo><msub id="S3.E5.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E5.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S3.E5.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.E5.m1.1.1.1.1.4.4.4.7" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.4.4.5.cmml">,</mo><msub id="S3.E5.m1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S3.E5.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.2" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.E5.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S3.E5.m1.1.1.1.1.4.4.4.8" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.4.4.5.cmml">,</mo><mrow id="S3.E5.m1.1.1.1.1.4.4.4.4" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.cmml"><msub id="S3.E5.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.2" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.2.cmml"><mi id="S3.E5.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.2.2" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.2.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S3.E5.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.2.3" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.2.3.cmml">a</mi></msub><mo fence="false" id="S3.E5.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.1" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E5.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.3" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.3.cmml">𝒚</mi></mrow><mo id="S3.E5.m1.1.1.1.1.4.4.4.9" 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xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.4.4.4"><apply id="S3.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝒙</ci><ci id="S3.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑐</ci></apply><apply id="S3.E5.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E5.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E5.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝒔</ci><ci id="S3.E5.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3">𝑐</ci></apply><apply id="S3.E5.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E5.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E5.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.2">𝒙</ci><ci id="S3.E5.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3">𝑎</ci></apply><apply id="S3.E5.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.cmml" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.4.4.4.4"><csymbol cd="latexml" id="S3.E5.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.1.cmml" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.1">conditional</csymbol><apply id="S3.E5.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.2.cmml" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E5.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.2.1.cmml" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E5.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.2.2.cmml" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.2.2">𝒔</ci><ci id="S3.E5.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.2.3.cmml" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="S3.E5.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.3.cmml" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.3">𝒚</ci></apply></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E5.m1.1c">\displaystyle+\ln\mathbb{P}_{\theta}[\bm{x}_{c},\bm{s}_{c},\bm{x}_{a},\bm{s}_{% a}|\bm{y}].</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E5.m1.1d">+ roman_ln blackboard_P start_POSTSUBSCRIPT italic_θ end_POSTSUBSCRIPT [ bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT | bold_italic_y ] .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(5)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p3.20">This relation directly links <math alttext="\mathbb{P}_{\theta}(\bm{y})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.6.m1.1"><semantics id="S3.p3.6.m1.1a"><mrow id="S3.p3.6.m1.1.2" xref="S3.p3.6.m1.1.2.cmml"><msub id="S3.p3.6.m1.1.2.2" xref="S3.p3.6.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.p3.6.m1.1.2.2.2" 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xref="S3.p3.7.m2.5.5.4.4.4.cmml"><mi id="S3.p3.7.m2.5.5.4.4.4.2" xref="S3.p3.7.m2.5.5.4.4.4.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S3.p3.7.m2.5.5.4.4.4.3" xref="S3.p3.7.m2.5.5.4.4.4.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S3.p3.7.m2.5.5.4.4.10" stretchy="false" xref="S3.p3.7.m2.5.5.4.5.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.7.m2.5b"><apply id="S3.p3.7.m2.5.5.cmml" xref="S3.p3.7.m2.5.5"><times id="S3.p3.7.m2.5.5.5.cmml" xref="S3.p3.7.m2.5.5.5"></times><apply id="S3.p3.7.m2.5.5.6.cmml" xref="S3.p3.7.m2.5.5.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.7.m2.5.5.6.1.cmml" xref="S3.p3.7.m2.5.5.6">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.7.m2.5.5.6.2.cmml" xref="S3.p3.7.m2.5.5.6.2">ℙ</ci><ci id="S3.p3.7.m2.5.5.6.3.cmml" xref="S3.p3.7.m2.5.5.6.3">𝜃</ci></apply><list id="S3.p3.7.m2.5.5.4.5.cmml" xref="S3.p3.7.m2.5.5.4.4"><ci id="S3.p3.7.m2.1.1.cmml" xref="S3.p3.7.m2.1.1">𝒚</ci><apply id="S3.p3.7.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.7.m2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.7.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.7.m2.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.7.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.7.m2.2.2.1.1.1.2">𝒙</ci><ci id="S3.p3.7.m2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.7.m2.2.2.1.1.1.3">𝑐</ci></apply><apply id="S3.p3.7.m2.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.7.m2.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.7.m2.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.p3.7.m2.3.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.7.m2.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.7.m2.3.3.2.2.2.2">𝒔</ci><ci id="S3.p3.7.m2.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p3.7.m2.3.3.2.2.2.3">𝑐</ci></apply><apply id="S3.p3.7.m2.4.4.3.3.3.cmml" xref="S3.p3.7.m2.4.4.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.7.m2.4.4.3.3.3.1.cmml" xref="S3.p3.7.m2.4.4.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.7.m2.4.4.3.3.3.2.cmml" xref="S3.p3.7.m2.4.4.3.3.3.2">𝒙</ci><ci id="S3.p3.7.m2.4.4.3.3.3.3.cmml" xref="S3.p3.7.m2.4.4.3.3.3.3">𝑎</ci></apply><apply id="S3.p3.7.m2.5.5.4.4.4.cmml" xref="S3.p3.7.m2.5.5.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.7.m2.5.5.4.4.4.1.cmml" xref="S3.p3.7.m2.5.5.4.4.4">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.7.m2.5.5.4.4.4.2.cmml" xref="S3.p3.7.m2.5.5.4.4.4.2">𝒔</ci><ci id="S3.p3.7.m2.5.5.4.4.4.3.cmml" xref="S3.p3.7.m2.5.5.4.4.4.3">𝑎</ci></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.7.m2.5c">\mathbb{P}_{\theta}[\bm{y},\bm{x}_{c},\bm{s}_{c},\bm{x}_{a},\bm{s}_{a}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.7.m2.5d">blackboard_P start_POSTSUBSCRIPT italic_θ end_POSTSUBSCRIPT [ bold_italic_y , bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ]</annotation></semantics></math>, with the latter depending on the unknown states <math alttext="\bm{x}_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.8.m3.1"><semantics id="S3.p3.8.m3.1a"><msub id="S3.p3.8.m3.1.1" xref="S3.p3.8.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.8.m3.1.1.2" xref="S3.p3.8.m3.1.1.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.p3.8.m3.1.1.3" xref="S3.p3.8.m3.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.8.m3.1b"><apply id="S3.p3.8.m3.1.1.cmml" xref="S3.p3.8.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.8.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.8.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.8.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.8.m3.1.1.2">𝒙</ci><ci id="S3.p3.8.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.8.m3.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.8.m3.1c">\bm{x}_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.8.m3.1d">bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="\bm{x}_{a}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.9.m4.1"><semantics id="S3.p3.9.m4.1a"><msub id="S3.p3.9.m4.1.1" xref="S3.p3.9.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.9.m4.1.1.2" xref="S3.p3.9.m4.1.1.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.p3.9.m4.1.1.3" xref="S3.p3.9.m4.1.1.3.cmml">a</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.9.m4.1b"><apply id="S3.p3.9.m4.1.1.cmml" xref="S3.p3.9.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.9.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.9.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.9.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.9.m4.1.1.2">𝒙</ci><ci id="S3.p3.9.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.9.m4.1.1.3">𝑎</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.9.m4.1c">\bm{x}_{a}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.9.m4.1d">bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and switching sequences <math alttext="\bm{s}_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.10.m5.1"><semantics id="S3.p3.10.m5.1a"><msub id="S3.p3.10.m5.1.1" xref="S3.p3.10.m5.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.10.m5.1.1.2" xref="S3.p3.10.m5.1.1.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S3.p3.10.m5.1.1.3" xref="S3.p3.10.m5.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.10.m5.1b"><apply id="S3.p3.10.m5.1.1.cmml" xref="S3.p3.10.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.10.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.10.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.10.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.10.m5.1.1.2">𝒔</ci><ci id="S3.p3.10.m5.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.10.m5.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.10.m5.1c">\bm{s}_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.10.m5.1d">bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="\bm{s}_{a}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.11.m6.1"><semantics id="S3.p3.11.m6.1a"><msub id="S3.p3.11.m6.1.1" xref="S3.p3.11.m6.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.11.m6.1.1.2" xref="S3.p3.11.m6.1.1.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S3.p3.11.m6.1.1.3" xref="S3.p3.11.m6.1.1.3.cmml">a</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.11.m6.1b"><apply id="S3.p3.11.m6.1.1.cmml" xref="S3.p3.11.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.11.m6.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.11.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.11.m6.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.11.m6.1.1.2">𝒔</ci><ci id="S3.p3.11.m6.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.11.m6.1.1.3">𝑎</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.11.m6.1c">\bm{s}_{a}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.11.m6.1d">bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. The key step is then to approximate <math alttext="\ln\mathbb{P}_{\theta}[\bm{y}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.12.m7.1"><semantics id="S3.p3.12.m7.1a"><mrow id="S3.p3.12.m7.1.2" xref="S3.p3.12.m7.1.2.cmml"><mrow id="S3.p3.12.m7.1.2.2" xref="S3.p3.12.m7.1.2.2.cmml"><mi id="S3.p3.12.m7.1.2.2.1" xref="S3.p3.12.m7.1.2.2.1.cmml">ln</mi><mo id="S3.p3.12.m7.1.2.2a" lspace="0.167em" xref="S3.p3.12.m7.1.2.2.cmml">⁡</mo><msub id="S3.p3.12.m7.1.2.2.2" xref="S3.p3.12.m7.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.p3.12.m7.1.2.2.2.2" xref="S3.p3.12.m7.1.2.2.2.2.cmml">ℙ</mi><mi id="S3.p3.12.m7.1.2.2.2.3" xref="S3.p3.12.m7.1.2.2.2.3.cmml">θ</mi></msub></mrow><mo id="S3.p3.12.m7.1.2.1" xref="S3.p3.12.m7.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p3.12.m7.1.2.3.2" xref="S3.p3.12.m7.1.2.3.1.cmml"><mo id="S3.p3.12.m7.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.p3.12.m7.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.p3.12.m7.1.1" xref="S3.p3.12.m7.1.1.cmml">𝒚</mi><mo id="S3.p3.12.m7.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.p3.12.m7.1.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.12.m7.1b"><apply id="S3.p3.12.m7.1.2.cmml" xref="S3.p3.12.m7.1.2"><times id="S3.p3.12.m7.1.2.1.cmml" xref="S3.p3.12.m7.1.2.1"></times><apply id="S3.p3.12.m7.1.2.2.cmml" xref="S3.p3.12.m7.1.2.2"><ln id="S3.p3.12.m7.1.2.2.1.cmml" xref="S3.p3.12.m7.1.2.2.1"></ln><apply id="S3.p3.12.m7.1.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.12.m7.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.12.m7.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.p3.12.m7.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.12.m7.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.12.m7.1.2.2.2.2">ℙ</ci><ci id="S3.p3.12.m7.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p3.12.m7.1.2.2.2.3">𝜃</ci></apply></apply><apply id="S3.p3.12.m7.1.2.3.1.cmml" xref="S3.p3.12.m7.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.p3.12.m7.1.2.3.1.1.cmml" xref="S3.p3.12.m7.1.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.p3.12.m7.1.1.cmml" xref="S3.p3.12.m7.1.1">𝒚</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.12.m7.1c">\ln\mathbb{P}_{\theta}[\bm{y}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.12.m7.1d">roman_ln blackboard_P start_POSTSUBSCRIPT italic_θ end_POSTSUBSCRIPT [ bold_italic_y ]</annotation></semantics></math> by the above relation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S3.Ex14" title="3 The EM method for identifying NCS-RSM ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>), where <math alttext="\bm{x}_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.13.m8.1"><semantics id="S3.p3.13.m8.1a"><msub id="S3.p3.13.m8.1.1" xref="S3.p3.13.m8.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.13.m8.1.1.2" xref="S3.p3.13.m8.1.1.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.p3.13.m8.1.1.3" xref="S3.p3.13.m8.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.13.m8.1b"><apply id="S3.p3.13.m8.1.1.cmml" xref="S3.p3.13.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.13.m8.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.13.m8.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.13.m8.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.13.m8.1.1.2">𝒙</ci><ci id="S3.p3.13.m8.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.13.m8.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.13.m8.1c">\bm{x}_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.13.m8.1d">bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="\bm{s}_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.14.m9.1"><semantics id="S3.p3.14.m9.1a"><msub id="S3.p3.14.m9.1.1" xref="S3.p3.14.m9.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.14.m9.1.1.2" xref="S3.p3.14.m9.1.1.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S3.p3.14.m9.1.1.3" xref="S3.p3.14.m9.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.14.m9.1b"><apply id="S3.p3.14.m9.1.1.cmml" xref="S3.p3.14.m9.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.14.m9.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.14.m9.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.14.m9.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.14.m9.1.1.2">𝒔</ci><ci id="S3.p3.14.m9.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.14.m9.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.14.m9.1c">\bm{s}_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.14.m9.1d">bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="\bm{x}_{a}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.15.m10.1"><semantics id="S3.p3.15.m10.1a"><msub id="S3.p3.15.m10.1.1" xref="S3.p3.15.m10.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.15.m10.1.1.2" xref="S3.p3.15.m10.1.1.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.p3.15.m10.1.1.3" xref="S3.p3.15.m10.1.1.3.cmml">a</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.15.m10.1b"><apply id="S3.p3.15.m10.1.1.cmml" xref="S3.p3.15.m10.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.15.m10.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.15.m10.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.15.m10.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.15.m10.1.1.2">𝒙</ci><ci id="S3.p3.15.m10.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.15.m10.1.1.3">𝑎</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.15.m10.1c">\bm{x}_{a}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.15.m10.1d">bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, and <math alttext="\bm{s}_{a}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.16.m11.1"><semantics id="S3.p3.16.m11.1a"><msub id="S3.p3.16.m11.1.1" xref="S3.p3.16.m11.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.16.m11.1.1.2" xref="S3.p3.16.m11.1.1.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S3.p3.16.m11.1.1.3" xref="S3.p3.16.m11.1.1.3.cmml">a</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.16.m11.1b"><apply id="S3.p3.16.m11.1.1.cmml" xref="S3.p3.16.m11.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.16.m11.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.16.m11.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.16.m11.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.16.m11.1.1.2">𝒔</ci><ci id="S3.p3.16.m11.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.16.m11.1.1.3">𝑎</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.16.m11.1c">\bm{s}_{a}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.16.m11.1d">bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> can be approximated by their conditional expectations based on the observed data <math alttext="\bm{y}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.17.m12.1"><semantics id="S3.p3.17.m12.1a"><mi id="S3.p3.17.m12.1.1" xref="S3.p3.17.m12.1.1.cmml">𝒚</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.17.m12.1b"><ci id="S3.p3.17.m12.1.1.cmml" xref="S3.p3.17.m12.1.1">𝒚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.17.m12.1c">\bm{y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.17.m12.1d">bold_italic_y</annotation></semantics></math>. Therefore, at each iteration <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.18.m13.1"><semantics id="S3.p3.18.m13.1a"><mi id="S3.p3.18.m13.1.1" xref="S3.p3.18.m13.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.18.m13.1b"><ci id="S3.p3.18.m13.1.1.cmml" xref="S3.p3.18.m13.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.18.m13.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.18.m13.1d">italic_k</annotation></semantics></math> of our EM-based algorithm, given the estimate <math alttext="\theta^{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.19.m14.1"><semantics id="S3.p3.19.m14.1a"><msup id="S3.p3.19.m14.1.1" xref="S3.p3.19.m14.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.19.m14.1.1.2" xref="S3.p3.19.m14.1.1.2.cmml">θ</mi><mi id="S3.p3.19.m14.1.1.3" xref="S3.p3.19.m14.1.1.3.cmml">k</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.19.m14.1b"><apply id="S3.p3.19.m14.1.1.cmml" xref="S3.p3.19.m14.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.19.m14.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.19.m14.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.p3.19.m14.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.19.m14.1.1.2">𝜃</ci><ci id="S3.p3.19.m14.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.19.m14.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.19.m14.1c">\theta^{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.19.m14.1d">italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, the conditional expectation of <math alttext="\ln\mathbb{P}_{\theta^{k}}[\bm{x}_{c},\bm{s}_{c},\bm{x}_{a},\bm{s}_{a}|\bm{y}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.20.m15.4"><semantics id="S3.p3.20.m15.4a"><mrow id="S3.p3.20.m15.4.4" xref="S3.p3.20.m15.4.4.cmml"><mrow id="S3.p3.20.m15.4.4.6" xref="S3.p3.20.m15.4.4.6.cmml"><mi id="S3.p3.20.m15.4.4.6.1" xref="S3.p3.20.m15.4.4.6.1.cmml">ln</mi><mo id="S3.p3.20.m15.4.4.6a" lspace="0.167em" xref="S3.p3.20.m15.4.4.6.cmml">⁡</mo><msub id="S3.p3.20.m15.4.4.6.2" xref="S3.p3.20.m15.4.4.6.2.cmml"><mi id="S3.p3.20.m15.4.4.6.2.2" xref="S3.p3.20.m15.4.4.6.2.2.cmml">ℙ</mi><msup id="S3.p3.20.m15.4.4.6.2.3" xref="S3.p3.20.m15.4.4.6.2.3.cmml"><mi id="S3.p3.20.m15.4.4.6.2.3.2" xref="S3.p3.20.m15.4.4.6.2.3.2.cmml">θ</mi><mi id="S3.p3.20.m15.4.4.6.2.3.3" xref="S3.p3.20.m15.4.4.6.2.3.3.cmml">k</mi></msup></msub></mrow><mo id="S3.p3.20.m15.4.4.5" xref="S3.p3.20.m15.4.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p3.20.m15.4.4.4.4" xref="S3.p3.20.m15.4.4.4.5.cmml"><mo id="S3.p3.20.m15.4.4.4.4.5" stretchy="false" xref="S3.p3.20.m15.4.4.4.5.cmml">[</mo><msub id="S3.p3.20.m15.1.1.1.1.1" xref="S3.p3.20.m15.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.20.m15.1.1.1.1.1.2" xref="S3.p3.20.m15.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.p3.20.m15.1.1.1.1.1.3" xref="S3.p3.20.m15.1.1.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.p3.20.m15.4.4.4.4.6" xref="S3.p3.20.m15.4.4.4.5.cmml">,</mo><msub id="S3.p3.20.m15.2.2.2.2.2" xref="S3.p3.20.m15.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.p3.20.m15.2.2.2.2.2.2" xref="S3.p3.20.m15.2.2.2.2.2.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S3.p3.20.m15.2.2.2.2.2.3" xref="S3.p3.20.m15.2.2.2.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.p3.20.m15.4.4.4.4.7" xref="S3.p3.20.m15.4.4.4.5.cmml">,</mo><msub id="S3.p3.20.m15.3.3.3.3.3" xref="S3.p3.20.m15.3.3.3.3.3.cmml"><mi id="S3.p3.20.m15.3.3.3.3.3.2" xref="S3.p3.20.m15.3.3.3.3.3.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.p3.20.m15.3.3.3.3.3.3" xref="S3.p3.20.m15.3.3.3.3.3.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S3.p3.20.m15.4.4.4.4.8" xref="S3.p3.20.m15.4.4.4.5.cmml">,</mo><mrow id="S3.p3.20.m15.4.4.4.4.4" xref="S3.p3.20.m15.4.4.4.4.4.cmml"><msub id="S3.p3.20.m15.4.4.4.4.4.2" xref="S3.p3.20.m15.4.4.4.4.4.2.cmml"><mi id="S3.p3.20.m15.4.4.4.4.4.2.2" xref="S3.p3.20.m15.4.4.4.4.4.2.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S3.p3.20.m15.4.4.4.4.4.2.3" xref="S3.p3.20.m15.4.4.4.4.4.2.3.cmml">a</mi></msub><mo fence="false" id="S3.p3.20.m15.4.4.4.4.4.1" xref="S3.p3.20.m15.4.4.4.4.4.1.cmml">|</mo><mi id="S3.p3.20.m15.4.4.4.4.4.3" xref="S3.p3.20.m15.4.4.4.4.4.3.cmml">𝒚</mi></mrow><mo id="S3.p3.20.m15.4.4.4.4.9" stretchy="false" xref="S3.p3.20.m15.4.4.4.5.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.20.m15.4b"><apply id="S3.p3.20.m15.4.4.cmml" xref="S3.p3.20.m15.4.4"><times id="S3.p3.20.m15.4.4.5.cmml" xref="S3.p3.20.m15.4.4.5"></times><apply id="S3.p3.20.m15.4.4.6.cmml" xref="S3.p3.20.m15.4.4.6"><ln id="S3.p3.20.m15.4.4.6.1.cmml" xref="S3.p3.20.m15.4.4.6.1"></ln><apply id="S3.p3.20.m15.4.4.6.2.cmml" xref="S3.p3.20.m15.4.4.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.20.m15.4.4.6.2.1.cmml" xref="S3.p3.20.m15.4.4.6.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.20.m15.4.4.6.2.2.cmml" xref="S3.p3.20.m15.4.4.6.2.2">ℙ</ci><apply id="S3.p3.20.m15.4.4.6.2.3.cmml" xref="S3.p3.20.m15.4.4.6.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.20.m15.4.4.6.2.3.1.cmml" xref="S3.p3.20.m15.4.4.6.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.p3.20.m15.4.4.6.2.3.2.cmml" xref="S3.p3.20.m15.4.4.6.2.3.2">𝜃</ci><ci id="S3.p3.20.m15.4.4.6.2.3.3.cmml" xref="S3.p3.20.m15.4.4.6.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply><list id="S3.p3.20.m15.4.4.4.5.cmml" xref="S3.p3.20.m15.4.4.4.4"><apply id="S3.p3.20.m15.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.20.m15.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.20.m15.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.20.m15.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.20.m15.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.20.m15.1.1.1.1.1.2">𝒙</ci><ci id="S3.p3.20.m15.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.20.m15.1.1.1.1.1.3">𝑐</ci></apply><apply id="S3.p3.20.m15.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.20.m15.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.20.m15.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.p3.20.m15.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.20.m15.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.20.m15.2.2.2.2.2.2">𝒔</ci><ci id="S3.p3.20.m15.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p3.20.m15.2.2.2.2.2.3">𝑐</ci></apply><apply id="S3.p3.20.m15.3.3.3.3.3.cmml" xref="S3.p3.20.m15.3.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.20.m15.3.3.3.3.3.1.cmml" xref="S3.p3.20.m15.3.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.20.m15.3.3.3.3.3.2.cmml" xref="S3.p3.20.m15.3.3.3.3.3.2">𝒙</ci><ci id="S3.p3.20.m15.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="S3.p3.20.m15.3.3.3.3.3.3">𝑎</ci></apply><apply id="S3.p3.20.m15.4.4.4.4.4.cmml" xref="S3.p3.20.m15.4.4.4.4.4"><csymbol cd="latexml" id="S3.p3.20.m15.4.4.4.4.4.1.cmml" xref="S3.p3.20.m15.4.4.4.4.4.1">conditional</csymbol><apply id="S3.p3.20.m15.4.4.4.4.4.2.cmml" xref="S3.p3.20.m15.4.4.4.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.20.m15.4.4.4.4.4.2.1.cmml" xref="S3.p3.20.m15.4.4.4.4.4.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.20.m15.4.4.4.4.4.2.2.cmml" xref="S3.p3.20.m15.4.4.4.4.4.2.2">𝒔</ci><ci id="S3.p3.20.m15.4.4.4.4.4.2.3.cmml" xref="S3.p3.20.m15.4.4.4.4.4.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="S3.p3.20.m15.4.4.4.4.4.3.cmml" xref="S3.p3.20.m15.4.4.4.4.4.3">𝒚</ci></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.20.m15.4c">\ln\mathbb{P}_{\theta^{k}}[\bm{x}_{c},\bm{s}_{c},\bm{x}_{a},\bm{s}_{a}|\bm{y}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.20.m15.4d">roman_ln blackboard_P start_POSTSUBSCRIPT italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT [ bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT | bold_italic_y ]</annotation></semantics></math> is abbreviated as:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx7"> <tbody id="S3.E6"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathbb{E}_{\theta_{k}}[\cdot]=\int\int\sum_{\bm{s_{c}}}\sum_{\bm% {s_{a}}}(\cdot)\mathbb{P}_{\theta^{k}}[\bm{x}_{c},\bm{s}_{c},\bm{x}_{a},\bm{s}% _{a}|\bm{y}]d(\bm{x}_{c})d(\bm{x}_{a})." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E6.m1.3"><semantics id="S3.E6.m1.3a"><mrow id="S3.E6.m1.3.3.1" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.E6.m1.3.3.1.1" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.E6.m1.3.3.1.1.8" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.8.cmml"><msub id="S3.E6.m1.3.3.1.1.8.2" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.8.2.cmml"><mi id="S3.E6.m1.3.3.1.1.8.2.2" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.8.2.2.cmml">𝔼</mi><msub id="S3.E6.m1.3.3.1.1.8.2.3" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.8.2.3.cmml"><mi id="S3.E6.m1.3.3.1.1.8.2.3.2" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.8.2.3.2.cmml">θ</mi><mi id="S3.E6.m1.3.3.1.1.8.2.3.3" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.8.2.3.3.cmml">k</mi></msub></msub><mo id="S3.E6.m1.3.3.1.1.8.1" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.8.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E6.m1.3.3.1.1.8.3.2" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.8.3.1.cmml"><mo id="S3.E6.m1.3.3.1.1.8.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.8.3.1.1.cmml">[</mo><mo id="S3.E6.m1.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.E6.m1.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S3.E6.m1.3.3.1.1.8.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.8.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E6.m1.3.3.1.1.7" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.7.cmml">=</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.E6.m1.3.3.1.1.6" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.cmml"><mrow id="S3.E6.m1.3.3.1.1.6a" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.cmml"><mo id="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.7" rspace="0em" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.7.cmml">∫</mo><mrow id="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.cmml"><mo id="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.7" rspace="0em" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.7.cmml">∫</mo><mrow id="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.cmml"><munder id="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.7" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.7.cmml"><mo id="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.7.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.7.2.cmml">∑</mo><msub id="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.7.3" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.7.3.cmml"><mi id="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.7.3.2" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.7.3.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.7.3.3" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.7.3.3.cmml">𝒄</mi></msub></munder><mrow id="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.cmml"><munder id="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.7" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.7.cmml"><mo id="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.7.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.7.2.cmml">∑</mo><msub id="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.7.3" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.7.3.cmml"><mi id="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.7.3.2" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.7.3.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.7.3.3" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.7.3.3.cmml">𝒂</mi></msub></munder><mrow id="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.cmml"><mrow id="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.8.2" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.cmml"><mo id="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.8.2.1" stretchy="false" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.cmml">(</mo><mo id="S3.E6.m1.2.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.E6.m1.2.2.cmml">⋅</mo><mo id="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.8.2.2" stretchy="false" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.7" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.7.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.9" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.9.cmml"><mi id="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.9.2" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.9.2.cmml">ℙ</mi><msup id="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.9.3" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.9.3.cmml"><mi id="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.9.3.2" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.9.3.2.cmml">θ</mi><mi id="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.9.3.3" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.9.3.3.cmml">k</mi></msup></msub><mo id="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.7a" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.7.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E6.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.4.4.4" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.4.4.5.cmml"><mo id="S3.E6.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.4.4.4.5" stretchy="false" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.4.4.5.cmml">[</mo><msub id="S3.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.E6.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.4.4.4.6" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.4.4.5.cmml">,</mo><msub id="S3.E6.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E6.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S3.E6.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.E6.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.4.4.4.7" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.4.4.5.cmml">,</mo><msub id="S3.E6.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.cmml"><mi id="S3.E6.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.2" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.E6.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.3" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S3.E6.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.4.4.4.8" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.4.4.5.cmml">,</mo><mrow id="S3.E6.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.4.4.4.4" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.4.4.4.4.cmml"><msub id="S3.E6.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.4.4.4.4.2" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.cmml"><mi id="S3.E6.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S3.E6.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.3" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.3.cmml">a</mi></msub><mo fence="false" id="S3.E6.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.4.4.4.4.1" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.4.4.4.4.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E6.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.4.4.4.4.3" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.4.4.4.4.3.cmml">𝒚</mi></mrow><mo id="S3.E6.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.4.4.4.9" stretchy="false" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.4.4.5.cmml">]</mo></mrow><mo id="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.7b" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.7.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.10" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.10.cmml">d</mi><mo id="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.7c" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.7.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E6.m1.3.3.1.1.5.5.5.5.5.5.1" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.5.5.5.5.5.5.1.1.cmml"><mo id="S3.E6.m1.3.3.1.1.5.5.5.5.5.5.1.2" stretchy="false" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.5.5.5.5.5.5.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.E6.m1.3.3.1.1.5.5.5.5.5.5.1.1" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.5.5.5.5.5.5.1.1.cmml"><mi id="S3.E6.m1.3.3.1.1.5.5.5.5.5.5.1.1.2" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.5.5.5.5.5.5.1.1.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.E6.m1.3.3.1.1.5.5.5.5.5.5.1.1.3" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.5.5.5.5.5.5.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.E6.m1.3.3.1.1.5.5.5.5.5.5.1.3" stretchy="false" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.5.5.5.5.5.5.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.7d" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.7.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.11" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.11.cmml">d</mi><mo id="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.7e" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.7.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.6.1" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.6.1.1.cmml"><mo id="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.6.1.2" stretchy="false" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.6.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.6.1.1" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.6.1.1.cmml"><mi id="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.6.1.1.2" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.6.1.1.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.6.1.1.3" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.6.1.1.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.6.1.3" stretchy="false" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.6.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mstyle></mrow><mo id="S3.E6.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E6.m1.3b"><apply id="S3.E6.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1"><eq id="S3.E6.m1.3.3.1.1.7.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.7"></eq><apply id="S3.E6.m1.3.3.1.1.8.cmml" 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xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6"><apply id="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.7.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.7.1.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.7">subscript</csymbol><sum id="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.7.2.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.7.2"></sum><apply id="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.7.3.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.7.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.7.3.1.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.7.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.7.3.2.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.7.3.2">𝒔</ci><ci id="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.7.3.3.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.7.3.3">𝒂</ci></apply></apply><apply id="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6"><times id="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.7.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.7"></times><ci id="S3.E6.m1.2.2.cmml" xref="S3.E6.m1.2.2">⋅</ci><apply id="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.9.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.9"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.9.1.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.9">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.9.2.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.9.2">ℙ</ci><apply id="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.9.3.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.9.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.9.3.1.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.9.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.9.3.2.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.9.3.2">𝜃</ci><ci id="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.9.3.3.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.9.3.3">𝑘</ci></apply></apply><list id="S3.E6.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.4.4.5.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.4.4.4"><apply id="S3.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝒙</ci><ci id="S3.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑐</ci></apply><apply id="S3.E6.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2">𝒔</ci><ci id="S3.E6.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.3">𝑐</ci></apply><apply id="S3.E6.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.1.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.2.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.2">𝒙</ci><ci id="S3.E6.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.3">𝑎</ci></apply><apply id="S3.E6.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.4.4.4.4.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.4.4.4.4"><csymbol cd="latexml" id="S3.E6.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.4.4.4.4.1.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.4.4.4.4.1">conditional</csymbol><apply id="S3.E6.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.4.4.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.1.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.4.4.4.4.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2">𝒔</ci><ci id="S3.E6.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.3.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="S3.E6.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.4.4.4.4.3.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.4.4.4.4.3">𝒚</ci></apply></list><ci id="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.10.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.10">𝑑</ci><apply id="S3.E6.m1.3.3.1.1.5.5.5.5.5.5.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.5.5.5.5.5.5.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.3.3.1.1.5.5.5.5.5.5.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.5.5.5.5.5.5.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.m1.3.3.1.1.5.5.5.5.5.5.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.5.5.5.5.5.5.1.1.2">𝒙</ci><ci id="S3.E6.m1.3.3.1.1.5.5.5.5.5.5.1.1.3.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.5.5.5.5.5.5.1.1.3">𝑐</ci></apply><ci id="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.11.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.11">𝑑</ci><apply id="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.6.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.6.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.6.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.6.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.6.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.6.1.1.2">𝒙</ci><ci id="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.6.1.1.3.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.6.6.1.1.3">𝑎</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E6.m1.3c">\displaystyle\mathbb{E}_{\theta_{k}}[\cdot]=\int\int\sum_{\bm{s_{c}}}\sum_{\bm% {s_{a}}}(\cdot)\mathbb{P}_{\theta^{k}}[\bm{x}_{c},\bm{s}_{c},\bm{x}_{a},\bm{s}% _{a}|\bm{y}]d(\bm{x}_{c})d(\bm{x}_{a}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E6.m1.3d">blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT [ ⋅ ] = ∫ ∫ ∑ start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_c end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_a end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( ⋅ ) blackboard_P start_POSTSUBSCRIPT italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT [ bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT | bold_italic_y ] italic_d ( bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ) italic_d ( bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(6)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p3.21">Then, by applying the expectation operator <math alttext="\mathbb{E}_{\theta_{k}}[\cdot]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.21.m1.1"><semantics id="S3.p3.21.m1.1a"><mrow id="S3.p3.21.m1.1.2" xref="S3.p3.21.m1.1.2.cmml"><msub id="S3.p3.21.m1.1.2.2" xref="S3.p3.21.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.p3.21.m1.1.2.2.2" xref="S3.p3.21.m1.1.2.2.2.cmml">𝔼</mi><msub id="S3.p3.21.m1.1.2.2.3" xref="S3.p3.21.m1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.p3.21.m1.1.2.2.3.2" xref="S3.p3.21.m1.1.2.2.3.2.cmml">θ</mi><mi id="S3.p3.21.m1.1.2.2.3.3" xref="S3.p3.21.m1.1.2.2.3.3.cmml">k</mi></msub></msub><mo id="S3.p3.21.m1.1.2.1" xref="S3.p3.21.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p3.21.m1.1.2.3.2" xref="S3.p3.21.m1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S3.p3.21.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.p3.21.m1.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mo id="S3.p3.21.m1.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.p3.21.m1.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S3.p3.21.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.p3.21.m1.1.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.21.m1.1b"><apply id="S3.p3.21.m1.1.2.cmml" xref="S3.p3.21.m1.1.2"><times id="S3.p3.21.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.p3.21.m1.1.2.1"></times><apply id="S3.p3.21.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.p3.21.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.21.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.p3.21.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.21.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.21.m1.1.2.2.2">𝔼</ci><apply id="S3.p3.21.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.p3.21.m1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.21.m1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.p3.21.m1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.21.m1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.p3.21.m1.1.2.2.3.2">𝜃</ci><ci id="S3.p3.21.m1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.p3.21.m1.1.2.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.p3.21.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.p3.21.m1.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.p3.21.m1.1.2.3.1.1.cmml" xref="S3.p3.21.m1.1.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.p3.21.m1.1.1.cmml" xref="S3.p3.21.m1.1.1">⋅</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.21.m1.1c">\mathbb{E}_{\theta_{k}}[\cdot]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.21.m1.1d">blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT [ ⋅ ]</annotation></semantics></math> to both sides of (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S3.Ex14" title="3 The EM method for identifying NCS-RSM ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>), one obtains:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx8"> <tbody id="S3.Ex15"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathbb{E}_{\theta^{k}}[\ln\mathbb{P}_{\theta}[\bm{y},\bm{x}_{c},% \bm{s}_{c},\bm{x}_{a},\bm{s}_{a}]]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex15.m1.2"><semantics id="S3.Ex15.m1.2a"><mrow id="S3.Ex15.m1.2.2" xref="S3.Ex15.m1.2.2.cmml"><msub id="S3.Ex15.m1.2.2.3" xref="S3.Ex15.m1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex15.m1.2.2.3.2" xref="S3.Ex15.m1.2.2.3.2.cmml">𝔼</mi><msup id="S3.Ex15.m1.2.2.3.3" xref="S3.Ex15.m1.2.2.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex15.m1.2.2.3.3.2" xref="S3.Ex15.m1.2.2.3.3.2.cmml">θ</mi><mi id="S3.Ex15.m1.2.2.3.3.3" xref="S3.Ex15.m1.2.2.3.3.3.cmml">k</mi></msup></msub><mo id="S3.Ex15.m1.2.2.2" xref="S3.Ex15.m1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex15.m1.2.2.1.1" xref="S3.Ex15.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex15.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex15.m1.2.2.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.Ex15.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex15.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex15.m1.2.2.1.1.1.6" xref="S3.Ex15.m1.2.2.1.1.1.6.cmml"><mi id="S3.Ex15.m1.2.2.1.1.1.6.1" xref="S3.Ex15.m1.2.2.1.1.1.6.1.cmml">ln</mi><mo id="S3.Ex15.m1.2.2.1.1.1.6a" lspace="0.167em" xref="S3.Ex15.m1.2.2.1.1.1.6.cmml">⁡</mo><msub id="S3.Ex15.m1.2.2.1.1.1.6.2" xref="S3.Ex15.m1.2.2.1.1.1.6.2.cmml"><mi id="S3.Ex15.m1.2.2.1.1.1.6.2.2" xref="S3.Ex15.m1.2.2.1.1.1.6.2.2.cmml">ℙ</mi><mi id="S3.Ex15.m1.2.2.1.1.1.6.2.3" xref="S3.Ex15.m1.2.2.1.1.1.6.2.3.cmml">θ</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex15.m1.2.2.1.1.1.5" xref="S3.Ex15.m1.2.2.1.1.1.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex15.m1.2.2.1.1.1.4.4" xref="S3.Ex15.m1.2.2.1.1.1.4.5.cmml"><mo id="S3.Ex15.m1.2.2.1.1.1.4.4.5" stretchy="false" xref="S3.Ex15.m1.2.2.1.1.1.4.5.cmml">[</mo><mi id="S3.Ex15.m1.1.1" xref="S3.Ex15.m1.1.1.cmml">𝒚</mi><mo id="S3.Ex15.m1.2.2.1.1.1.4.4.6" xref="S3.Ex15.m1.2.2.1.1.1.4.5.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.Ex15.m1.2.2.1.1.1.4.4.7" xref="S3.Ex15.m1.2.2.1.1.1.4.5.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex15.m1.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex15.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex15.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex15.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S3.Ex15.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex15.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.Ex15.m1.2.2.1.1.1.4.4.8" xref="S3.Ex15.m1.2.2.1.1.1.4.5.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex15.m1.2.2.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex15.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex15.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.2" xref="S3.Ex15.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.Ex15.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.Ex15.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S3.Ex15.m1.2.2.1.1.1.4.4.9" xref="S3.Ex15.m1.2.2.1.1.1.4.5.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex15.m1.2.2.1.1.1.4.4.4" xref="S3.Ex15.m1.2.2.1.1.1.4.4.4.cmml"><mi id="S3.Ex15.m1.2.2.1.1.1.4.4.4.2" xref="S3.Ex15.m1.2.2.1.1.1.4.4.4.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S3.Ex15.m1.2.2.1.1.1.4.4.4.3" xref="S3.Ex15.m1.2.2.1.1.1.4.4.4.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S3.Ex15.m1.2.2.1.1.1.4.4.10" stretchy="false" xref="S3.Ex15.m1.2.2.1.1.1.4.5.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex15.m1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex15.m1.2.2.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex15.m1.2b"><apply id="S3.Ex15.m1.2.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.2.2"><times id="S3.Ex15.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.2.2.2"></times><apply id="S3.Ex15.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex15.m1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex15.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex15.m1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.2.2.3.2">𝔼</ci><apply id="S3.Ex15.m1.2.2.3.3.cmml" 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id="S3.Ex16.m1.1.1" xref="S3.Ex16.m1.1.1.cmml">𝒚</mi><mo id="S3.Ex16.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex16.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex16.m1.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex16.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex16.m1.3.3.2.3" xref="S3.Ex16.m1.3.3.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex16.m1.3.3.2.2" xref="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.cmml"><msub id="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.3" xref="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.3.2" xref="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.3.2.cmml">𝔼</mi><msup id="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.3.3" xref="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.3.3.2" xref="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.3.3.2.cmml">θ</mi><mi id="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.3.3.3" xref="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.3.3.3.cmml">k</mi></msup></msub><mo id="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.2" xref="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1" xref="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.2" stretchy="false" 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xref="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.1.4.4.6" xref="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.1.4.5.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.2.2.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.1.4.4.7" xref="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.1.4.5.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.1.3.3.3.2" xref="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.1.3.3.3.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.1.3.3.3.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.1.4.4.8" xref="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.1.4.5.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.1.4.4.4" xref="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.1.4.4.4.cmml"><msub id="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.1.4.4.4.2" xref="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.1.4.4.4.2.cmml"><mi id="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.1.4.4.4.2.2" xref="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.1.4.4.4.2.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.1.4.4.4.2.3" xref="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.1.4.4.4.2.3.cmml">a</mi></msub><mo fence="false" id="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.1.4.4.4.1" xref="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.1.4.4.4.1.cmml">|</mo><mi id="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.1.4.4.4.3" xref="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.1.4.4.4.3.cmml">𝒚</mi></mrow><mo id="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.1.4.4.9" stretchy="false" xref="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.1.4.5.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex16.m1.3b"><apply id="S3.Ex16.m1.3.3.cmml" xref="S3.Ex16.m1.3.3"><eq id="S3.Ex16.m1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex16.m1.3.3.3"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex16.m1.3.3.4.cmml" xref="S3.Ex16.m1.3.3.4">absent</csymbol><apply id="S3.Ex16.m1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.3.3.2"><plus id="S3.Ex16.m1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex16.m1.3.3.2.3"></plus><apply id="S3.Ex16.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.2.2.1.1"><times id="S3.Ex16.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.2.2.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex16.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex16.m1.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex16.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.2.2.1.1.3.2">𝔼</ci><apply id="S3.Ex16.m1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex16.m1.2.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m1.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.2.2.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex16.m1.2.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.2.2.1.1.3.3.2">𝜃</ci><ci id="S3.Ex16.m1.2.2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex16.m1.2.2.1.1.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex16.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex16.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.2.2.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.Ex16.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.2.2.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex16.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.Ex16.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.2.2.1.1.1.1.1.2"><ln id="S3.Ex16.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1"></ln><apply id="S3.Ex16.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex16.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2">ℙ</ci><ci id="S3.Ex16.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex16.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.3">𝜃</ci></apply></apply><ci id="S3.Ex16.m1.1.1.cmml" 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id="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.1.3.3.3.3">𝑎</ci></apply><apply id="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.1.4.4.4.cmml" xref="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.1.4.4.4"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.1.4.4.4.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.1.4.4.4.1">conditional</csymbol><apply id="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.1.4.4.4.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.1.4.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.1.4.4.4.2.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.1.4.4.4.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.1.4.4.4.2.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.1.4.4.4.2.2">𝒔</ci><ci id="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.1.4.4.4.2.3.cmml" xref="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.1.4.4.4.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.1.4.4.4.3.cmml" xref="S3.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.1.4.4.4.3">𝒚</ci></apply></list></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex16.m1.3c">\displaystyle\qquad\qquad=\mathbb{E}_{\theta^{k}}[\ln\mathbb{P}_{\theta}(\bm{y% })]+\mathbb{E}_{\theta^{k}}[\ln\mathbb{P}_{\theta}[\bm{x}_{c},\bm{s}_{c},\bm{x% }_{a},\bm{s}_{a}|\bm{y}]]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex16.m1.3d">= blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT [ roman_ln blackboard_P start_POSTSUBSCRIPT italic_θ end_POSTSUBSCRIPT ( bold_italic_y ) ] + blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT [ roman_ln blackboard_P start_POSTSUBSCRIPT italic_θ end_POSTSUBSCRIPT [ bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT | bold_italic_y ] ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex17"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\qquad\qquad=\ln\mathbb{P}_{\theta}(\bm{y})+\mathbb{E}_{\theta^{k% }}[\ln\mathbb{P}_{\theta}[\bm{x}_{c},\bm{s}_{c},\bm{x}_{a},\bm{s}_{a}|\bm{y}]]." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex17.m1.2"><semantics id="S3.Ex17.m1.2a"><mrow id="S3.Ex17.m1.2.2.1" xref="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex17.m1.2.2.1.1" xref="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.2" lspace="4.278em" xref="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml"><mi 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id="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">𝔼</mi><msup id="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml">θ</mi><mi id="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.3.cmml">k</mi></msup></msub><mo id="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.6" xref="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.6.cmml"><mi id="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.6.1" xref="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.6.1.cmml">ln</mi><mo id="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.6a" lspace="0.167em" 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xref="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝒙</ci><ci id="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑐</ci></apply><apply id="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝒔</ci><ci id="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3">𝑐</ci></apply><apply id="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2">𝒙</ci><ci id="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3">𝑎</ci></apply><apply id="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.cmml" xref="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.1">conditional</csymbol><apply id="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2">𝒔</ci><ci id="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.3">𝒚</ci></apply></list></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex17.m1.2c">\displaystyle\qquad\qquad=\ln\mathbb{P}_{\theta}(\bm{y})+\mathbb{E}_{\theta^{k% }}[\ln\mathbb{P}_{\theta}[\bm{x}_{c},\bm{s}_{c},\bm{x}_{a},\bm{s}_{a}|\bm{y}]].</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex17.m1.2d">= roman_ln blackboard_P start_POSTSUBSCRIPT italic_θ end_POSTSUBSCRIPT ( bold_italic_y ) + blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT [ roman_ln blackboard_P start_POSTSUBSCRIPT italic_θ end_POSTSUBSCRIPT [ bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT | bold_italic_y ] ] .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p3.25">Define <math alttext="Q(\theta,\theta^{k})=\mathbb{E}_{\theta^{k}}[{\ln\mathbb{P}_{\theta}[\bm{y},% \bm{x}_{c},\bm{s}_{c},\bm{x}_{a},\bm{s}_{a}]}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.22.m1.4"><semantics id="S3.p3.22.m1.4a"><mrow id="S3.p3.22.m1.4.4" xref="S3.p3.22.m1.4.4.cmml"><mrow id="S3.p3.22.m1.3.3.1" xref="S3.p3.22.m1.3.3.1.cmml"><mi id="S3.p3.22.m1.3.3.1.3" xref="S3.p3.22.m1.3.3.1.3.cmml">Q</mi><mo id="S3.p3.22.m1.3.3.1.2" xref="S3.p3.22.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p3.22.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.p3.22.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S3.p3.22.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.p3.22.m1.3.3.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.p3.22.m1.1.1" xref="S3.p3.22.m1.1.1.cmml">θ</mi><mo id="S3.p3.22.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S3.p3.22.m1.3.3.1.1.2.cmml">,</mo><msup id="S3.p3.22.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S3.p3.22.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.22.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S3.p3.22.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">θ</mi><mi id="S3.p3.22.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S3.p3.22.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msup><mo id="S3.p3.22.m1.3.3.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.p3.22.m1.3.3.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.p3.22.m1.4.4.3" xref="S3.p3.22.m1.4.4.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.p3.22.m1.4.4.2" xref="S3.p3.22.m1.4.4.2.cmml"><msub id="S3.p3.22.m1.4.4.2.3" xref="S3.p3.22.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S3.p3.22.m1.4.4.2.3.2" xref="S3.p3.22.m1.4.4.2.3.2.cmml">𝔼</mi><msup id="S3.p3.22.m1.4.4.2.3.3" xref="S3.p3.22.m1.4.4.2.3.3.cmml"><mi id="S3.p3.22.m1.4.4.2.3.3.2" xref="S3.p3.22.m1.4.4.2.3.3.2.cmml">θ</mi><mi id="S3.p3.22.m1.4.4.2.3.3.3" xref="S3.p3.22.m1.4.4.2.3.3.3.cmml">k</mi></msup></msub><mo id="S3.p3.22.m1.4.4.2.2" xref="S3.p3.22.m1.4.4.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1" xref="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.2.cmml"><mo id="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.2" stretchy="false" 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xref="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.4.5.cmml">,</mo><msub id="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.4.4.7" xref="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.4.5.cmml">,</mo><msub id="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.2" xref="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.2.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.4.4.8" xref="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.4.5.cmml">,</mo><msub id="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.3.3.3" xref="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.3.3.3.2" xref="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.3.3.3.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.3.3.3.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.4.4.9" xref="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.4.5.cmml">,</mo><msub id="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.4.4.4" xref="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.4.4.4.cmml"><mi id="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.4.4.4.2" xref="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.4.4.4.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.4.4.4.3" xref="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.4.4.4.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.4.4.10" stretchy="false" xref="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.4.5.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.22.m1.4b"><apply id="S3.p3.22.m1.4.4.cmml" xref="S3.p3.22.m1.4.4"><eq id="S3.p3.22.m1.4.4.3.cmml" xref="S3.p3.22.m1.4.4.3"></eq><apply id="S3.p3.22.m1.3.3.1.cmml" xref="S3.p3.22.m1.3.3.1"><times id="S3.p3.22.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S3.p3.22.m1.3.3.1.2"></times><ci id="S3.p3.22.m1.3.3.1.3.cmml" xref="S3.p3.22.m1.3.3.1.3">𝑄</ci><interval closure="open" id="S3.p3.22.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.22.m1.3.3.1.1.1"><ci id="S3.p3.22.m1.1.1.cmml" xref="S3.p3.22.m1.1.1">𝜃</ci><apply id="S3.p3.22.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.22.m1.3.3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.22.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.22.m1.3.3.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.p3.22.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.22.m1.3.3.1.1.1.1.2">𝜃</ci><ci id="S3.p3.22.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.22.m1.3.3.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></interval></apply><apply id="S3.p3.22.m1.4.4.2.cmml" xref="S3.p3.22.m1.4.4.2"><times id="S3.p3.22.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S3.p3.22.m1.4.4.2.2"></times><apply id="S3.p3.22.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S3.p3.22.m1.4.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.22.m1.4.4.2.3.1.cmml" xref="S3.p3.22.m1.4.4.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.22.m1.4.4.2.3.2.cmml" xref="S3.p3.22.m1.4.4.2.3.2">𝔼</ci><apply id="S3.p3.22.m1.4.4.2.3.3.cmml" xref="S3.p3.22.m1.4.4.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.22.m1.4.4.2.3.3.1.cmml" xref="S3.p3.22.m1.4.4.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.p3.22.m1.4.4.2.3.3.2.cmml" xref="S3.p3.22.m1.4.4.2.3.3.2">𝜃</ci><ci id="S3.p3.22.m1.4.4.2.3.3.3.cmml" xref="S3.p3.22.m1.4.4.2.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.2.cmml" xref="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.2.1.cmml" xref="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1"><times id="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.5.cmml" xref="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.5"></times><apply id="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.6.cmml" xref="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.6"><ln id="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.6.1.cmml" xref="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.6.1"></ln><apply id="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.6.2.cmml" xref="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.6.2.1.cmml" xref="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.6.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.6.2.2.cmml" xref="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.6.2.2">ℙ</ci><ci id="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.6.2.3.cmml" xref="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.6.2.3">𝜃</ci></apply></apply><list id="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.4.5.cmml" xref="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.4.4"><ci id="S3.p3.22.m1.2.2.cmml" xref="S3.p3.22.m1.2.2">𝒚</ci><apply id="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.2">𝒙</ci><ci id="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.3">𝑐</ci></apply><apply id="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.2.2">𝒔</ci><ci id="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.2.3">𝑐</ci></apply><apply id="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.3.3.3.2">𝒙</ci><ci id="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.3.3.3.3">𝑎</ci></apply><apply id="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.4.4.4.cmml" xref="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.4.4.4.1.cmml" xref="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.4.4.4">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.4.4.4.2.cmml" xref="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.4.4.4.2">𝒔</ci><ci id="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.4.4.4.3.cmml" xref="S3.p3.22.m1.4.4.2.1.1.1.4.4.4.3">𝑎</ci></apply></list></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.22.m1.4c">Q(\theta,\theta^{k})=\mathbb{E}_{\theta^{k}}[{\ln\mathbb{P}_{\theta}[\bm{y},% \bm{x}_{c},\bm{s}_{c},\bm{x}_{a},\bm{s}_{a}]}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.22.m1.4d">italic_Q ( italic_θ , italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT ) = blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT [ roman_ln blackboard_P start_POSTSUBSCRIPT italic_θ end_POSTSUBSCRIPT [ bold_italic_y , bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ] ]</annotation></semantics></math>, <math alttext="V(\theta,\theta^{k})=\mathbb{E}_{\theta^{k}}[\ln\mathbb{P}_{\theta}[\bm{x}_{c}% ,\bm{s}_{c},\bm{x}_{a},\bm{s}_{a}|\bm{y}]]." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.23.m2.2"><semantics id="S3.p3.23.m2.2a"><mrow id="S3.p3.23.m2.2.2.1" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.1" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.1.3" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.1.3.cmml">V</mi><mo id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.1.2" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.p3.23.m2.1.1" xref="S3.p3.23.m2.1.1.cmml">θ</mi><mo id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><msup id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">θ</mi><mi id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msup><mo id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.3" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.cmml"><msub id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.3" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.3.2" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.3.2.cmml">𝔼</mi><msup id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.3.3" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.3.3.2" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.3.3.2.cmml">θ</mi><mi id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.3.3.3" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.3.3.3.cmml">k</mi></msup></msub><mo id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.2" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.2.cmml"><mo id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.6" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.6.cmml"><mi id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.6.1" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.6.1.cmml">ln</mi><mo id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.6a" lspace="0.167em" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.6.cmml">⁡</mo><msub id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.6.2" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.6.2.cmml"><mi id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.6.2.2" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.6.2.2.cmml">ℙ</mi><mi id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.6.2.3" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.6.2.3.cmml">θ</mi></msub></mrow><mo id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.5" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.4.4" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.4.5.cmml"><mo id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.4.4.5" stretchy="false" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.4.5.cmml">[</mo><msub id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.4.4.6" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.4.5.cmml">,</mo><msub id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.2.2" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.2.2.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.4.4.7" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.4.5.cmml">,</mo><msub id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.3.3" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.3.3.2" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.3.3.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.3.3.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.4.4.8" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.4.5.cmml">,</mo><mrow id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.4.4.4" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.4.4.4.cmml"><msub id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.4.4.4.2" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.4.4.4.2.cmml"><mi id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.4.4.4.2.2" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.4.4.4.2.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.4.4.4.2.3" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.4.4.4.2.3.cmml">a</mi></msub><mo fence="false" id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.4.4.4.1" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.4.4.4.1.cmml">|</mo><mi id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.4.4.4.3" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.4.4.4.3.cmml">𝒚</mi></mrow><mo id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.4.4.9" stretchy="false" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.4.5.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.p3.23.m2.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.23.m2.2b"><apply id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1"><eq id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.3"></eq><apply id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.1"><times id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.1.2"></times><ci id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.1.3">𝑉</ci><interval closure="open" id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.1.1.1"><ci id="S3.p3.23.m2.1.1.cmml" xref="S3.p3.23.m2.1.1">𝜃</ci><apply id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2">𝜃</ci><ci id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></interval></apply><apply id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2"><times id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.2"></times><apply id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.3.2">𝔼</ci><apply id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.3.3.2">𝜃</ci><ci id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.2.cmml" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1"><times id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.5.cmml" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.5"></times><apply id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.6.cmml" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.6"><ln id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.6.1.cmml" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.6.1"></ln><apply id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.6.2.cmml" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.6.2.1.cmml" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.6.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.6.2.2.cmml" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.6.2.2">ℙ</ci><ci id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.6.2.3.cmml" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.6.2.3">𝜃</ci></apply></apply><list id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.4.5.cmml" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.4.4"><apply id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2">𝒙</ci><ci id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3">𝑐</ci></apply><apply id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.2.2.2">𝒔</ci><ci id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.2.2.3">𝑐</ci></apply><apply id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.3.3.2">𝒙</ci><ci id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.3.3.3">𝑎</ci></apply><apply id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.4.4.4.cmml" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.4.4.4"><csymbol cd="latexml" id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.4.4.4.1.cmml" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.4.4.4.1">conditional</csymbol><apply id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.4.4.4.2.cmml" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.4.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.4.4.4.2.1.cmml" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.4.4.4.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.4.4.4.2.2.cmml" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.4.4.4.2.2">𝒔</ci><ci id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.4.4.4.2.3.cmml" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.4.4.4.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.4.4.4.3.cmml" xref="S3.p3.23.m2.2.2.1.1.2.1.1.1.4.4.4.3">𝒚</ci></apply></list></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.23.m2.2c">V(\theta,\theta^{k})=\mathbb{E}_{\theta^{k}}[\ln\mathbb{P}_{\theta}[\bm{x}_{c}% ,\bm{s}_{c},\bm{x}_{a},\bm{s}_{a}|\bm{y}]].</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.23.m2.2d">italic_V ( italic_θ , italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT ) = blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT [ roman_ln blackboard_P start_POSTSUBSCRIPT italic_θ end_POSTSUBSCRIPT [ bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT | bold_italic_y ] ] .</annotation></semantics></math> The EM approach iteratively estimates the parameters in the following two steps. First, we compute the expectation <math alttext="Q(\theta,\theta^{k})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.24.m3.2"><semantics id="S3.p3.24.m3.2a"><mrow id="S3.p3.24.m3.2.2" xref="S3.p3.24.m3.2.2.cmml"><mi id="S3.p3.24.m3.2.2.3" xref="S3.p3.24.m3.2.2.3.cmml">Q</mi><mo id="S3.p3.24.m3.2.2.2" xref="S3.p3.24.m3.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p3.24.m3.2.2.1.1" xref="S3.p3.24.m3.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.p3.24.m3.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.p3.24.m3.2.2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.p3.24.m3.1.1" xref="S3.p3.24.m3.1.1.cmml">θ</mi><mo id="S3.p3.24.m3.2.2.1.1.3" xref="S3.p3.24.m3.2.2.1.2.cmml">,</mo><msup id="S3.p3.24.m3.2.2.1.1.1" xref="S3.p3.24.m3.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.24.m3.2.2.1.1.1.2" xref="S3.p3.24.m3.2.2.1.1.1.2.cmml">θ</mi><mi id="S3.p3.24.m3.2.2.1.1.1.3" xref="S3.p3.24.m3.2.2.1.1.1.3.cmml">k</mi></msup><mo id="S3.p3.24.m3.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.p3.24.m3.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.24.m3.2b"><apply id="S3.p3.24.m3.2.2.cmml" xref="S3.p3.24.m3.2.2"><times id="S3.p3.24.m3.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.24.m3.2.2.2"></times><ci id="S3.p3.24.m3.2.2.3.cmml" xref="S3.p3.24.m3.2.2.3">𝑄</ci><interval closure="open" id="S3.p3.24.m3.2.2.1.2.cmml" xref="S3.p3.24.m3.2.2.1.1"><ci id="S3.p3.24.m3.1.1.cmml" xref="S3.p3.24.m3.1.1">𝜃</ci><apply id="S3.p3.24.m3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.24.m3.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.24.m3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.24.m3.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.p3.24.m3.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.24.m3.2.2.1.1.1.2">𝜃</ci><ci id="S3.p3.24.m3.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.24.m3.2.2.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.24.m3.2c">Q(\theta,\theta^{k})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.24.m3.2d">italic_Q ( italic_θ , italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> based on <math alttext="\theta^{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.25.m4.1"><semantics id="S3.p3.25.m4.1a"><msup id="S3.p3.25.m4.1.1" xref="S3.p3.25.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.25.m4.1.1.2" xref="S3.p3.25.m4.1.1.2.cmml">θ</mi><mi id="S3.p3.25.m4.1.1.3" xref="S3.p3.25.m4.1.1.3.cmml">k</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.25.m4.1b"><apply id="S3.p3.25.m4.1.1.cmml" xref="S3.p3.25.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.25.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.25.m4.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.p3.25.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.25.m4.1.1.2">𝜃</ci><ci id="S3.p3.25.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.25.m4.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.25.m4.1c">\theta^{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.25.m4.1d">italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> obtained from the previous iteration. Under Standing Assumption <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#Thmstanding3" title="Standing Assumption 3. ‣ 2.1 System model description ‣ 2 Mathematical formulation ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>, the full-data complete likelihood function can be decomposed by using the Bayesian rule, which is given as follows:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx9"> <tbody id="S3.Ex18"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\ln\mathbb{P}_{\theta}[\bm{y},\bm{x}_{c},\bm{s}_{c},\bm{x}_{a},% \bm{s}_{a}]=\ln\mathbb{P}_{\theta}[\bm{y}|\bm{x}_{c},\bm{s}_{c},\bm{x}_{a},\bm% {s}_{a}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex18.m2.6"><semantics id="S3.Ex18.m2.6a"><mrow id="S3.Ex18.m2.6.6" xref="S3.Ex18.m2.6.6.cmml"><mrow id="S3.Ex18.m2.5.5.4" xref="S3.Ex18.m2.5.5.4.cmml"><mrow id="S3.Ex18.m2.5.5.4.6" xref="S3.Ex18.m2.5.5.4.6.cmml"><mi id="S3.Ex18.m2.5.5.4.6.1" xref="S3.Ex18.m2.5.5.4.6.1.cmml">ln</mi><mo id="S3.Ex18.m2.5.5.4.6a" lspace="0.167em" xref="S3.Ex18.m2.5.5.4.6.cmml">⁡</mo><msub id="S3.Ex18.m2.5.5.4.6.2" xref="S3.Ex18.m2.5.5.4.6.2.cmml"><mi id="S3.Ex18.m2.5.5.4.6.2.2" xref="S3.Ex18.m2.5.5.4.6.2.2.cmml">ℙ</mi><mi id="S3.Ex18.m2.5.5.4.6.2.3" xref="S3.Ex18.m2.5.5.4.6.2.3.cmml">θ</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex18.m2.5.5.4.5" xref="S3.Ex18.m2.5.5.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex18.m2.5.5.4.4.4" xref="S3.Ex18.m2.5.5.4.4.5.cmml"><mo id="S3.Ex18.m2.5.5.4.4.4.5" stretchy="false" xref="S3.Ex18.m2.5.5.4.4.5.cmml">[</mo><mi id="S3.Ex18.m2.1.1" xref="S3.Ex18.m2.1.1.cmml">𝒚</mi><mo id="S3.Ex18.m2.5.5.4.4.4.6" xref="S3.Ex18.m2.5.5.4.4.5.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.Ex18.m2.5.5.4.4.4.7" xref="S3.Ex18.m2.5.5.4.4.5.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex18.m2.3.3.2.2.2.2" xref="S3.Ex18.m2.3.3.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex18.m2.3.3.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex18.m2.3.3.2.2.2.2.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S3.Ex18.m2.3.3.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex18.m2.3.3.2.2.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.Ex18.m2.5.5.4.4.4.8" xref="S3.Ex18.m2.5.5.4.4.5.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex18.m2.4.4.3.3.3.3" xref="S3.Ex18.m2.4.4.3.3.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex18.m2.4.4.3.3.3.3.2" xref="S3.Ex18.m2.4.4.3.3.3.3.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.Ex18.m2.4.4.3.3.3.3.3" xref="S3.Ex18.m2.4.4.3.3.3.3.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S3.Ex18.m2.5.5.4.4.4.9" xref="S3.Ex18.m2.5.5.4.4.5.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex18.m2.5.5.4.4.4.4" xref="S3.Ex18.m2.5.5.4.4.4.4.cmml"><mi id="S3.Ex18.m2.5.5.4.4.4.4.2" xref="S3.Ex18.m2.5.5.4.4.4.4.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S3.Ex18.m2.5.5.4.4.4.4.3" xref="S3.Ex18.m2.5.5.4.4.4.4.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S3.Ex18.m2.5.5.4.4.4.10" stretchy="false" xref="S3.Ex18.m2.5.5.4.4.5.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex18.m2.6.6.6" xref="S3.Ex18.m2.6.6.6.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex18.m2.6.6.5" xref="S3.Ex18.m2.6.6.5.cmml"><mrow id="S3.Ex18.m2.6.6.5.3" xref="S3.Ex18.m2.6.6.5.3.cmml"><mi id="S3.Ex18.m2.6.6.5.3.1" xref="S3.Ex18.m2.6.6.5.3.1.cmml">ln</mi><mo id="S3.Ex18.m2.6.6.5.3a" lspace="0.167em" xref="S3.Ex18.m2.6.6.5.3.cmml">⁡</mo><msub id="S3.Ex18.m2.6.6.5.3.2" xref="S3.Ex18.m2.6.6.5.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex18.m2.6.6.5.3.2.2" xref="S3.Ex18.m2.6.6.5.3.2.2.cmml">ℙ</mi><mi id="S3.Ex18.m2.6.6.5.3.2.3" xref="S3.Ex18.m2.6.6.5.3.2.3.cmml">θ</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex18.m2.6.6.5.2" xref="S3.Ex18.m2.6.6.5.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1" xref="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1" xref="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.6" xref="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.6.cmml">𝒚</mi><mo fence="false" id="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.5" xref="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.5.cmml">|</mo><mrow id="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.4.4" xref="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.4.5.cmml"><msub id="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.4.4.5" xref="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.4.5.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.2.2.2.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.2.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.4.4.6" xref="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.4.5.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.3.3.3.2" xref="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.3.3.3.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.3.3.3.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.4.4.7" xref="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.4.5.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.4.4.4" xref="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.4.4.4.cmml"><mi id="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.4.4.4.2" xref="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.4.4.4.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.4.4.4.3" xref="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.4.4.4.3.cmml">a</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex18.m2.6b"><apply id="S3.Ex18.m2.6.6.cmml" xref="S3.Ex18.m2.6.6"><eq id="S3.Ex18.m2.6.6.6.cmml" xref="S3.Ex18.m2.6.6.6"></eq><apply id="S3.Ex18.m2.5.5.4.cmml" xref="S3.Ex18.m2.5.5.4"><times id="S3.Ex18.m2.5.5.4.5.cmml" xref="S3.Ex18.m2.5.5.4.5"></times><apply id="S3.Ex18.m2.5.5.4.6.cmml" xref="S3.Ex18.m2.5.5.4.6"><ln id="S3.Ex18.m2.5.5.4.6.1.cmml" xref="S3.Ex18.m2.5.5.4.6.1"></ln><apply id="S3.Ex18.m2.5.5.4.6.2.cmml" xref="S3.Ex18.m2.5.5.4.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex18.m2.5.5.4.6.2.1.cmml" xref="S3.Ex18.m2.5.5.4.6.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex18.m2.5.5.4.6.2.2.cmml" xref="S3.Ex18.m2.5.5.4.6.2.2">ℙ</ci><ci id="S3.Ex18.m2.5.5.4.6.2.3.cmml" xref="S3.Ex18.m2.5.5.4.6.2.3">𝜃</ci></apply></apply><list id="S3.Ex18.m2.5.5.4.4.5.cmml" xref="S3.Ex18.m2.5.5.4.4.4"><ci id="S3.Ex18.m2.1.1.cmml" xref="S3.Ex18.m2.1.1">𝒚</ci><apply id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.2">𝒙</ci><ci id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.3">𝑐</ci></apply><apply id="S3.Ex18.m2.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex18.m2.3.3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex18.m2.3.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex18.m2.3.3.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex18.m2.3.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex18.m2.3.3.2.2.2.2.2">𝒔</ci><ci id="S3.Ex18.m2.3.3.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex18.m2.3.3.2.2.2.2.3">𝑐</ci></apply><apply id="S3.Ex18.m2.4.4.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex18.m2.4.4.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex18.m2.4.4.3.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex18.m2.4.4.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex18.m2.4.4.3.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex18.m2.4.4.3.3.3.3.2">𝒙</ci><ci id="S3.Ex18.m2.4.4.3.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex18.m2.4.4.3.3.3.3.3">𝑎</ci></apply><apply id="S3.Ex18.m2.5.5.4.4.4.4.cmml" xref="S3.Ex18.m2.5.5.4.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex18.m2.5.5.4.4.4.4.1.cmml" xref="S3.Ex18.m2.5.5.4.4.4.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex18.m2.5.5.4.4.4.4.2.cmml" xref="S3.Ex18.m2.5.5.4.4.4.4.2">𝒔</ci><ci id="S3.Ex18.m2.5.5.4.4.4.4.3.cmml" xref="S3.Ex18.m2.5.5.4.4.4.4.3">𝑎</ci></apply></list></apply><apply id="S3.Ex18.m2.6.6.5.cmml" xref="S3.Ex18.m2.6.6.5"><times id="S3.Ex18.m2.6.6.5.2.cmml" xref="S3.Ex18.m2.6.6.5.2"></times><apply id="S3.Ex18.m2.6.6.5.3.cmml" xref="S3.Ex18.m2.6.6.5.3"><ln id="S3.Ex18.m2.6.6.5.3.1.cmml" xref="S3.Ex18.m2.6.6.5.3.1"></ln><apply id="S3.Ex18.m2.6.6.5.3.2.cmml" xref="S3.Ex18.m2.6.6.5.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex18.m2.6.6.5.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex18.m2.6.6.5.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex18.m2.6.6.5.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex18.m2.6.6.5.3.2.2">ℙ</ci><ci id="S3.Ex18.m2.6.6.5.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex18.m2.6.6.5.3.2.3">𝜃</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.2.cmml" xref="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.5.cmml" xref="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.5">conditional</csymbol><ci id="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.6.cmml" xref="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.6">𝒚</ci><list id="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.4.5.cmml" xref="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.4.4"><apply id="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.1.1.1.2">𝒙</ci><ci id="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.1.1.1.3">𝑐</ci></apply><apply id="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.2.2.2.2">𝒔</ci><ci id="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.2.2.2.3">𝑐</ci></apply><apply id="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.3.3.3.2">𝒙</ci><ci id="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.3.3.3.3">𝑎</ci></apply><apply id="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.4.4.4.cmml" xref="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.4.4.4.1.cmml" xref="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.4.4.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.4.4.4.2.cmml" xref="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.4.4.4.2">𝒔</ci><ci id="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.4.4.4.3.cmml" xref="S3.Ex18.m2.6.6.5.1.1.1.4.4.4.3">𝑎</ci></apply></list></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex18.m2.6c">\displaystyle\ln\mathbb{P}_{\theta}[\bm{y},\bm{x}_{c},\bm{s}_{c},\bm{x}_{a},% \bm{s}_{a}]=\ln\mathbb{P}_{\theta}[\bm{y}|\bm{x}_{c},\bm{s}_{c},\bm{x}_{a},\bm% {s}_{a}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex18.m2.6d">roman_ln blackboard_P start_POSTSUBSCRIPT italic_θ end_POSTSUBSCRIPT [ bold_italic_y , bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ] = roman_ln blackboard_P start_POSTSUBSCRIPT italic_θ end_POSTSUBSCRIPT [ bold_italic_y | bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.E7"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\hskip 56.9055pt+\ln\mathbb{P}_{\theta}[\bm{x}_{c},\bm{s}_{c}]+% \ln\mathbb{P}_{\theta}[\bm{x}_{a},\bm{s}_{a}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E7.m1.4"><semantics id="S3.E7.m1.4a"><mrow id="S3.E7.m1.4.4" xref="S3.E7.m1.4.4.cmml"><mrow id="S3.E7.m1.2.2.2" xref="S3.E7.m1.2.2.2.cmml"><mo id="S3.E7.m1.2.2.2a" rspace="0.167em" xref="S3.E7.m1.2.2.2.cmml">+</mo><mrow id="S3.E7.m1.2.2.2.2" xref="S3.E7.m1.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.E7.m1.2.2.2.2.4" xref="S3.E7.m1.2.2.2.2.4.cmml"><mi id="S3.E7.m1.2.2.2.2.4.1" xref="S3.E7.m1.2.2.2.2.4.1.cmml">ln</mi><mo id="S3.E7.m1.2.2.2.2.4a" lspace="0.167em" xref="S3.E7.m1.2.2.2.2.4.cmml">⁡</mo><msub id="S3.E7.m1.2.2.2.2.4.2" xref="S3.E7.m1.2.2.2.2.4.2.cmml"><mi id="S3.E7.m1.2.2.2.2.4.2.2" xref="S3.E7.m1.2.2.2.2.4.2.2.cmml">ℙ</mi><mi id="S3.E7.m1.2.2.2.2.4.2.3" xref="S3.E7.m1.2.2.2.2.4.2.3.cmml">θ</mi></msub></mrow><mo id="S3.E7.m1.2.2.2.2.3" xref="S3.E7.m1.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E7.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S3.E7.m1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.E7.m1.2.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.E7.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">[</mo><msub id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.E7.m1.2.2.2.2.2.2.4" xref="S3.E7.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.E7.m1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.E7.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E7.m1.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.E7.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S3.E7.m1.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S3.E7.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.E7.m1.2.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.E7.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E7.m1.4.4.5" 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id="S3.E7.m1.4.4.4.2.2.2" xref="S3.E7.m1.4.4.4.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E7.m1.4.4.4.2.2.2.2" xref="S3.E7.m1.4.4.4.2.2.2.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S3.E7.m1.4.4.4.2.2.2.3" xref="S3.E7.m1.4.4.4.2.2.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S3.E7.m1.4.4.4.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.E7.m1.4.4.4.2.3.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E7.m1.4b"><apply id="S3.E7.m1.4.4.cmml" xref="S3.E7.m1.4.4"><plus id="S3.E7.m1.4.4.5.cmml" xref="S3.E7.m1.4.4.5"></plus><apply id="S3.E7.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.E7.m1.2.2.2"><plus id="S3.E7.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E7.m1.2.2.2"></plus><apply id="S3.E7.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E7.m1.2.2.2.2"><times id="S3.E7.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E7.m1.2.2.2.2.3"></times><apply id="S3.E7.m1.2.2.2.2.4.cmml" xref="S3.E7.m1.2.2.2.2.4"><ln id="S3.E7.m1.2.2.2.2.4.1.cmml" xref="S3.E7.m1.2.2.2.2.4.1"></ln><apply id="S3.E7.m1.2.2.2.2.4.2.cmml" xref="S3.E7.m1.2.2.2.2.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.m1.2.2.2.2.4.2.1.cmml" 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xref="S3.E7.m1.3.3.3.1.1.1.3">𝑎</ci></apply><apply id="S3.E7.m1.4.4.4.2.2.2.cmml" xref="S3.E7.m1.4.4.4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.m1.4.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E7.m1.4.4.4.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E7.m1.4.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E7.m1.4.4.4.2.2.2.2">𝒔</ci><ci id="S3.E7.m1.4.4.4.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E7.m1.4.4.4.2.2.2.3">𝑎</ci></apply></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E7.m1.4c">\displaystyle\hskip 56.9055pt+\ln\mathbb{P}_{\theta}[\bm{x}_{c},\bm{s}_{c}]+% \ln\mathbb{P}_{\theta}[\bm{x}_{a},\bm{s}_{a}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E7.m1.4d">+ roman_ln blackboard_P start_POSTSUBSCRIPT italic_θ end_POSTSUBSCRIPT [ bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ] + roman_ln blackboard_P start_POSTSUBSCRIPT italic_θ end_POSTSUBSCRIPT [ bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(7)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p3.27">where the posterior probabilities are shown in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S3.Ex10" title="3 The EM method for identifying NCS-RSM ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>). In view of the white noise assumption characterizing the disturbance affecting both state variables and measured output, note that the distribution of the these variables, given the subsystem modes <math alttext="s_{c}(t)=j" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.26.m1.1"><semantics id="S3.p3.26.m1.1a"><mrow id="S3.p3.26.m1.1.2" xref="S3.p3.26.m1.1.2.cmml"><mrow id="S3.p3.26.m1.1.2.2" xref="S3.p3.26.m1.1.2.2.cmml"><msub id="S3.p3.26.m1.1.2.2.2" xref="S3.p3.26.m1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.p3.26.m1.1.2.2.2.2" xref="S3.p3.26.m1.1.2.2.2.2.cmml">s</mi><mi id="S3.p3.26.m1.1.2.2.2.3" xref="S3.p3.26.m1.1.2.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.p3.26.m1.1.2.2.1" xref="S3.p3.26.m1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p3.26.m1.1.2.2.3.2" xref="S3.p3.26.m1.1.2.2.cmml"><mo id="S3.p3.26.m1.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.p3.26.m1.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.p3.26.m1.1.1" xref="S3.p3.26.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.p3.26.m1.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" 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encoding="application/x-tex" id="S3.p3.26.m1.1c">s_{c}(t)=j</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.26.m1.1d">italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) = italic_j</annotation></semantics></math>, <math alttext="s_{a}(t)=l" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.27.m2.1"><semantics id="S3.p3.27.m2.1a"><mrow id="S3.p3.27.m2.1.2" xref="S3.p3.27.m2.1.2.cmml"><mrow id="S3.p3.27.m2.1.2.2" xref="S3.p3.27.m2.1.2.2.cmml"><msub id="S3.p3.27.m2.1.2.2.2" xref="S3.p3.27.m2.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.p3.27.m2.1.2.2.2.2" xref="S3.p3.27.m2.1.2.2.2.2.cmml">s</mi><mi id="S3.p3.27.m2.1.2.2.2.3" xref="S3.p3.27.m2.1.2.2.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S3.p3.27.m2.1.2.2.1" xref="S3.p3.27.m2.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p3.27.m2.1.2.2.3.2" xref="S3.p3.27.m2.1.2.2.cmml"><mo id="S3.p3.27.m2.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.p3.27.m2.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.p3.27.m2.1.1" xref="S3.p3.27.m2.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.p3.27.m2.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.p3.27.m2.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.p3.27.m2.1.2.1" xref="S3.p3.27.m2.1.2.1.cmml">=</mo><mi id="S3.p3.27.m2.1.2.3" xref="S3.p3.27.m2.1.2.3.cmml">l</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.27.m2.1b"><apply id="S3.p3.27.m2.1.2.cmml" xref="S3.p3.27.m2.1.2"><eq id="S3.p3.27.m2.1.2.1.cmml" xref="S3.p3.27.m2.1.2.1"></eq><apply id="S3.p3.27.m2.1.2.2.cmml" xref="S3.p3.27.m2.1.2.2"><times id="S3.p3.27.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S3.p3.27.m2.1.2.2.1"></times><apply id="S3.p3.27.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.27.m2.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.27.m2.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.p3.27.m2.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.27.m2.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.27.m2.1.2.2.2.2">𝑠</ci><ci id="S3.p3.27.m2.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p3.27.m2.1.2.2.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="S3.p3.27.m2.1.1.cmml" xref="S3.p3.27.m2.1.1">𝑡</ci></apply><ci id="S3.p3.27.m2.1.2.3.cmml" xref="S3.p3.27.m2.1.2.3">𝑙</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.27.m2.1c">s_{a}(t)=l</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.27.m2.1d">italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) = italic_l</annotation></semantics></math>, is Gaussian too and given as follows:</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.p4"> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx10"> <tbody id="S3.Ex19"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathbb{P}_{\theta}[y(t)|" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S3.Ex19.m1.1"><semantics id="S3.Ex19.m1.1a"><mrow id="S3.Ex19.m1.1b"><msub id="S3.Ex19.m1.1.2"><mi id="S3.Ex19.m1.1.2.2">ℙ</mi><mi id="S3.Ex19.m1.1.2.3">θ</mi></msub><mrow id="S3.Ex19.m1.1.3"><mo id="S3.Ex19.m1.1.3.1" stretchy="false">[</mo><mi id="S3.Ex19.m1.1.3.2">y</mi><mrow id="S3.Ex19.m1.1.3.3"><mo id="S3.Ex19.m1.1.3.3.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S3.Ex19.m1.1.1">t</mi><mo id="S3.Ex19.m1.1.3.3.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo fence="false" id="S3.Ex19.m1.1.3.4" stretchy="false">|</mo></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex19.m1.1c">\displaystyle\mathbb{P}_{\theta}[y(t)|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex19.m1.1d">blackboard_P start_POSTSUBSCRIPT italic_θ end_POSTSUBSCRIPT [ italic_y ( italic_t ) |</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle x_{c}(t),x_{a}(t),s_{c}(t)=j,s_{a}(t)=l]=|2\pi\Sigma_{m}|^{-1/2}" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S3.Ex19.m2.4"><semantics id="S3.Ex19.m2.4a"><mrow id="S3.Ex19.m2.4b"><msub id="S3.Ex19.m2.4.5"><mi id="S3.Ex19.m2.4.5.2">x</mi><mi id="S3.Ex19.m2.4.5.3">c</mi></msub><mrow id="S3.Ex19.m2.4.6"><mo id="S3.Ex19.m2.4.6.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S3.Ex19.m2.1.1">t</mi><mo id="S3.Ex19.m2.4.6.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex19.m2.4.7">,</mo><msub id="S3.Ex19.m2.4.8"><mi id="S3.Ex19.m2.4.8.2">x</mi><mi id="S3.Ex19.m2.4.8.3">a</mi></msub><mrow id="S3.Ex19.m2.4.9"><mo id="S3.Ex19.m2.4.9.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S3.Ex19.m2.2.2">t</mi><mo id="S3.Ex19.m2.4.9.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex19.m2.4.10">,</mo><msub id="S3.Ex19.m2.4.11"><mi id="S3.Ex19.m2.4.11.2">s</mi><mi id="S3.Ex19.m2.4.11.3">c</mi></msub><mrow id="S3.Ex19.m2.4.12"><mo id="S3.Ex19.m2.4.12.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S3.Ex19.m2.3.3">t</mi><mo id="S3.Ex19.m2.4.12.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex19.m2.4.13">=</mo><mi id="S3.Ex19.m2.4.14">j</mi><mo id="S3.Ex19.m2.4.15">,</mo><msub id="S3.Ex19.m2.4.16"><mi id="S3.Ex19.m2.4.16.2">s</mi><mi id="S3.Ex19.m2.4.16.3">a</mi></msub><mrow id="S3.Ex19.m2.4.17"><mo id="S3.Ex19.m2.4.17.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S3.Ex19.m2.4.4">t</mi><mo id="S3.Ex19.m2.4.17.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex19.m2.4.18">=</mo><mi id="S3.Ex19.m2.4.19">l</mi><mo id="S3.Ex19.m2.4.20" stretchy="false">]</mo><mo id="S3.Ex19.m2.4.21" rspace="0em">=</mo><mo fence="false" id="S3.Ex19.m2.4.22" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><mn id="S3.Ex19.m2.4.23">2</mn><mi id="S3.Ex19.m2.4.24">π</mi><mi id="S3.Ex19.m2.4.25" mathvariant="normal">Σ</mi><msub id="S3.Ex19.m2.4.26"><mi id="S3.Ex19.m2.4.26a"></mi><mi id="S3.Ex19.m2.4.26.1">m</mi></msub><mo fence="false" id="S3.Ex19.m2.4.27" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><msup id="S3.Ex19.m2.4.28"><mi id="S3.Ex19.m2.4.28a"></mi><mrow id="S3.Ex19.m2.4.28.1"><mo id="S3.Ex19.m2.4.28.1a">−</mo><mrow id="S3.Ex19.m2.4.28.1.2"><mn id="S3.Ex19.m2.4.28.1.2.2">1</mn><mo id="S3.Ex19.m2.4.28.1.2.1">/</mo><mn id="S3.Ex19.m2.4.28.1.2.3">2</mn></mrow></mrow></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex19.m2.4c">\displaystyle x_{c}(t),x_{a}(t),s_{c}(t)=j,s_{a}(t)=l]=|2\pi\Sigma_{m}|^{-1/2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex19.m2.4d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) , italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) , italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) = italic_j , italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) = italic_l ] = | 2 italic_π roman_Σ start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT | start_POSTSUPERSCRIPT - 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex20"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\exp\{(y(t)-\mu_{1}(t,j,l))^{\top}\Sigma_{m}^{-1}(y(t)-\mu_{1}(t,% j,l))\}," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex20.m1.10"><semantics id="S3.Ex20.m1.10a"><mrow id="S3.Ex20.m1.10.10.1"><mrow id="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1" xref="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex20.m1.9.9" xref="S3.Ex20.m1.9.9.cmml">exp</mi><mo id="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1a" xref="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1" xref="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">y</mi><mo id="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex20.m1.1.1" xref="S3.Ex20.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">μ</mi><mn id="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex20.m1.2.2" xref="S3.Ex20.m1.2.2.cmml">t</mi><mo id="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex20.m1.3.3" xref="S3.Ex20.m1.3.3.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex20.m1.4.4" xref="S3.Ex20.m1.4.4.cmml">l</mi><mo id="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.4" stretchy="false" xref="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⊤</mo></msup><mo id="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.4.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">Σ</mi><mi id="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">m</mi><mrow id="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mo id="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.4.3a" xref="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.4.3.cmml">−</mo><mn id="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.3a" xref="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><mrow 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id="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml"><msub id="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2" xref="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.cmml">μ</mi><mn id="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.1.1.3.1" xref="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex20.m1.6.6" xref="S3.Ex20.m1.6.6.cmml">t</mi><mo id="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.2.2" xref="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi 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xref="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2">𝜇</ci><cn id="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.3">1</cn></apply><vector id="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.2"><ci id="S3.Ex20.m1.6.6.cmml" xref="S3.Ex20.m1.6.6">𝑡</ci><ci id="S3.Ex20.m1.7.7.cmml" xref="S3.Ex20.m1.7.7">𝑗</ci><ci id="S3.Ex20.m1.8.8.cmml" xref="S3.Ex20.m1.8.8">𝑙</ci></vector></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex20.m1.10c">\displaystyle\exp\{(y(t)-\mu_{1}(t,j,l))^{\top}\Sigma_{m}^{-1}(y(t)-\mu_{1}(t,% j,l))\},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex20.m1.10d">roman_exp { ( italic_y ( italic_t ) - italic_μ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t , italic_j , italic_l ) ) start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT roman_Σ start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_y ( italic_t ) - italic_μ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t , italic_j , italic_l ) ) } ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex21"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathbb{P}_{\theta}[x_{c}(t)|" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S3.Ex21.m1.1"><semantics id="S3.Ex21.m1.1a"><mrow id="S3.Ex21.m1.1b"><msub id="S3.Ex21.m1.1.2"><mi id="S3.Ex21.m1.1.2.2">ℙ</mi><mi id="S3.Ex21.m1.1.2.3">θ</mi></msub><mrow id="S3.Ex21.m1.1.3"><mo id="S3.Ex21.m1.1.3.1" stretchy="false">[</mo><msub id="S3.Ex21.m1.1.3.2"><mi id="S3.Ex21.m1.1.3.2.2">x</mi><mi id="S3.Ex21.m1.1.3.2.3">c</mi></msub><mrow id="S3.Ex21.m1.1.3.3"><mo id="S3.Ex21.m1.1.3.3.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S3.Ex21.m1.1.1">t</mi><mo id="S3.Ex21.m1.1.3.3.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo fence="false" id="S3.Ex21.m1.1.3.4" stretchy="false">|</mo></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex21.m1.1c">\displaystyle\mathbb{P}_{\theta}[x_{c}(t)|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex21.m1.1d">blackboard_P start_POSTSUBSCRIPT italic_θ end_POSTSUBSCRIPT [ italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) |</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle x_{c}(t-1),s_{c}(t)=j]=|2\pi\Sigma_{c}(t)|^{-1/2}" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S3.Ex21.m2.1"><semantics id="S3.Ex21.m2.1a"><mrow id="S3.Ex21.m2.1b"><msub id="S3.Ex21.m2.1.2"><mi id="S3.Ex21.m2.1.2.2">x</mi><mi id="S3.Ex21.m2.1.2.3">c</mi></msub><mrow id="S3.Ex21.m2.1.3"><mo id="S3.Ex21.m2.1.3.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S3.Ex21.m2.1.3.2">t</mi><mo id="S3.Ex21.m2.1.3.3">−</mo><mn id="S3.Ex21.m2.1.3.4">1</mn><mo id="S3.Ex21.m2.1.3.5" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex21.m2.1.4">,</mo><msub id="S3.Ex21.m2.1.5"><mi id="S3.Ex21.m2.1.5.2">s</mi><mi id="S3.Ex21.m2.1.5.3">c</mi></msub><mrow id="S3.Ex21.m2.1.6"><mo id="S3.Ex21.m2.1.6.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S3.Ex21.m2.1.1">t</mi><mo id="S3.Ex21.m2.1.6.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex21.m2.1.7">=</mo><mi id="S3.Ex21.m2.1.8">j</mi><mo id="S3.Ex21.m2.1.9" stretchy="false">]</mo><mo id="S3.Ex21.m2.1.10" rspace="0em">=</mo><mo fence="false" id="S3.Ex21.m2.1.11" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><mn id="S3.Ex21.m2.1.12">2</mn><mi id="S3.Ex21.m2.1.13">π</mi><mi id="S3.Ex21.m2.1.14" mathvariant="normal">Σ</mi><msub id="S3.Ex21.m2.1.15"><mi id="S3.Ex21.m2.1.15a"></mi><mi id="S3.Ex21.m2.1.15.1">c</mi></msub><mo id="S3.Ex21.m2.1.16" stretchy="false">(</mo><mi id="S3.Ex21.m2.1.17">t</mi><mo id="S3.Ex21.m2.1.18" stretchy="false">)</mo><mo fence="false" id="S3.Ex21.m2.1.19" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><msup id="S3.Ex21.m2.1.20"><mi id="S3.Ex21.m2.1.20a"></mi><mrow id="S3.Ex21.m2.1.20.1"><mo id="S3.Ex21.m2.1.20.1a">−</mo><mrow id="S3.Ex21.m2.1.20.1.2"><mn id="S3.Ex21.m2.1.20.1.2.2">1</mn><mo id="S3.Ex21.m2.1.20.1.2.1">/</mo><mn id="S3.Ex21.m2.1.20.1.2.3">2</mn></mrow></mrow></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex21.m2.1c">\displaystyle x_{c}(t-1),s_{c}(t)=j]=|2\pi\Sigma_{c}(t)|^{-1/2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex21.m2.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t - 1 ) , italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) = italic_j ] = | 2 italic_π roman_Σ start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) | start_POSTSUPERSCRIPT - 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex22"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\exp\{(x_{c}(t)-\mu_{2}(t,j))^{\top}\Sigma_{c}^{-1}(t)(x_{c}(t)-% \mu_{2}(t,j))\}," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex22.m1.9"><semantics id="S3.Ex22.m1.9a"><mrow id="S3.Ex22.m1.9.9.1"><mrow id="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1" xref="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex22.m1.8.8" xref="S3.Ex22.m1.8.8.cmml">exp</mi><mo id="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1a" xref="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1" xref="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">x</mi><mi id="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex22.m1.1.1" xref="S3.Ex22.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">μ</mi><mn id="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex22.m1.2.2" xref="S3.Ex22.m1.2.2.cmml">t</mi><mo id="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex22.m1.3.3" xref="S3.Ex22.m1.3.3.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⊤</mo></msup><mo id="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.4.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">Σ</mi><mi id="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">c</mi><mrow id="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mo id="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.4.3a" xref="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.4.3.cmml">−</mo><mn id="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.3a" xref="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.5.2" xref="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex22.m1.4.4" xref="S3.Ex22.m1.4.4.cmml">t</mi><mo id="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.3b" xref="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml"><msub id="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.2.2" xref="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.2.2.2.cmml">x</mi><mi id="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.2.1" xref="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex22.m1.5.5" xref="S3.Ex22.m1.5.5.cmml">t</mi><mo id="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml"><msub id="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2" xref="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.cmml">μ</mi><mn id="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.3.1" xref="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex22.m1.6.6" xref="S3.Ex22.m1.6.6.cmml">t</mi><mo id="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.2.2" xref="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex22.m1.7.7" xref="S3.Ex22.m1.7.7.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex22.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.2.3" stretchy="false" 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id="S3.Ex23.m2.1.2"><mi id="S3.Ex23.m2.1.2.2">x</mi><mi id="S3.Ex23.m2.1.2.3">a</mi></msub><mrow id="S3.Ex23.m2.1.3"><mo id="S3.Ex23.m2.1.3.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S3.Ex23.m2.1.3.2">t</mi><mo id="S3.Ex23.m2.1.3.3">+</mo><mn id="S3.Ex23.m2.1.3.4">1</mn><mo id="S3.Ex23.m2.1.3.5" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex23.m2.1.4">,</mo><msub id="S3.Ex23.m2.1.5"><mi id="S3.Ex23.m2.1.5.2">s</mi><mi id="S3.Ex23.m2.1.5.3">a</mi></msub><mrow id="S3.Ex23.m2.1.6"><mo id="S3.Ex23.m2.1.6.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S3.Ex23.m2.1.1">t</mi><mo id="S3.Ex23.m2.1.6.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex23.m2.1.7">=</mo><mi id="S3.Ex23.m2.1.8">l</mi><mo id="S3.Ex23.m2.1.9" stretchy="false">]</mo><mo id="S3.Ex23.m2.1.10" rspace="0em">=</mo><mo fence="false" id="S3.Ex23.m2.1.11" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><mn id="S3.Ex23.m2.1.12">2</mn><mi id="S3.Ex23.m2.1.13">π</mi><mi id="S3.Ex23.m2.1.14" mathvariant="normal">Σ</mi><msub id="S3.Ex23.m2.1.15"><mi id="S3.Ex23.m2.1.15a"></mi><mi id="S3.Ex23.m2.1.15.1">a</mi></msub><mo id="S3.Ex23.m2.1.16" stretchy="false">(</mo><mi id="S3.Ex23.m2.1.17">t</mi><mo id="S3.Ex23.m2.1.18" stretchy="false">)</mo><mo fence="false" id="S3.Ex23.m2.1.19" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><msup id="S3.Ex23.m2.1.20"><mi id="S3.Ex23.m2.1.20a"></mi><mrow id="S3.Ex23.m2.1.20.1"><mo id="S3.Ex23.m2.1.20.1a">−</mo><mrow id="S3.Ex23.m2.1.20.1.2"><mn id="S3.Ex23.m2.1.20.1.2.2">1</mn><mo id="S3.Ex23.m2.1.20.1.2.1">/</mo><mn id="S3.Ex23.m2.1.20.1.2.3">2</mn></mrow></mrow></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex23.m2.1c">\displaystyle x_{a}(t+1),s_{a}(t)=l]=|2\pi\Sigma_{a}(t)|^{-1/2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex23.m2.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t + 1 ) , italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) = italic_l ] = | 2 italic_π roman_Σ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) | start_POSTSUPERSCRIPT - 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.E8"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\exp\{(x_{a}(t)-\mu_{3}(t,l))^{\top}\Sigma_{a}^{-1}(t)(x_{a}(t)-% \mu_{3}(t,l))\}," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E8.m1.9"><semantics id="S3.E8.m1.9a"><mrow id="S3.E8.m1.9.9.1"><mrow id="S3.E8.m1.9.9.1.1.1" xref="S3.E8.m1.9.9.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E8.m1.8.8" xref="S3.E8.m1.8.8.cmml">exp</mi><mo id="S3.E8.m1.9.9.1.1.1a" xref="S3.E8.m1.9.9.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1" xref="S3.E8.m1.9.9.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E8.m1.9.9.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1" xref="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">x</mi><mi id="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" 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xref="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mo id="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.4.3a" xref="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.4.3.cmml">−</mo><mn id="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.3a" xref="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.5.2" xref="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E8.m1.4.4" xref="S3.E8.m1.4.4.cmml">t</mi><mo id="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.3b" xref="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mo id="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml"><msub id="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.2.2" xref="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.2.2.2" xref="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.2.2.2.cmml">x</mi><mi id="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.2.2.3" xref="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.2.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.2.1" xref="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.2.3.2" xref="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.E8.m1.5.5" xref="S3.E8.m1.5.5.cmml">t</mi><mo id="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml"><msub id="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2" xref="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2" xref="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.cmml">μ</mi><mn id="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.3" xref="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.3.cmml">3</mn></msub><mo id="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.3.1" xref="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.2" xref="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E8.m1.6.6" xref="S3.E8.m1.6.6.cmml">t</mi><mo id="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.2.2" xref="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E8.m1.7.7" xref="S3.E8.m1.7.7.cmml">l</mi><mo id="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.E8.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo 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xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.2.4.cmml"><mi id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.2.4.2" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.2.4.2.cmml">x</mi><mi id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.2.4.3" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.2.4.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.2.1b" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.2.5.2" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.2.cmml"><mo id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="S3.p4.1.m1.5.5" xref="S3.p4.1.m1.5.5.cmml">t</mi><mo id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.1" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.3" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.3.cmml"><msub id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">C</mi><mi id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.3.cmml">(</mo><mi id="S3.p4.1.m1.6.6" xref="S3.p4.1.m1.6.6.cmml">l</mi><mo id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.3.1a" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.3.4" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.3.4.cmml"><mi id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.3.4.2" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.3.4.2.cmml">x</mi><mi id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.3.4.3" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.3.4.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.3.1b" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.3.5.2" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.3.5.2.1" stretchy="false" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.3.cmml">(</mo><mi id="S3.p4.1.m1.7.7" xref="S3.p4.1.m1.7.7.cmml">t</mi><mo id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.3.5.2.2" stretchy="false" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.3" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.3.cmml"><mrow id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.3" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><msub id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.3.2" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.3.2.2" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.3.2.2.cmml">μ</mi><mn id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.3.2.3" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.3.1" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.3.3.2" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.p4.1.m1.8.8" xref="S3.p4.1.m1.8.8.cmml">t</mi><mo id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.3.3.2.2" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.p4.1.m1.9.9" xref="S3.p4.1.m1.9.9.cmml">j</mi><mo id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.2" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.3.2" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.3.2.cmml">A</mi><mi id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.3.3" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.3.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.4.2" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.p4.1.m1.10.10" xref="S3.p4.1.m1.10.10.cmml">j</mi><mo id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.2a" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.5" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.5.cmml"><mi id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.5.2" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.5.2.cmml">x</mi><mi id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.5.3" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.5.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.2b" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.3" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.3" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><msub id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.3.2.2" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.3.2.2.cmml">μ</mi><mn id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.3.2.3" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.3.2.3.cmml">3</mn></msub><mo id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.3.1" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.3.3.2" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.p4.1.m1.11.11" xref="S3.p4.1.m1.11.11.cmml">t</mi><mo id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.3.3.2.2" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.p4.1.m1.12.12" xref="S3.p4.1.m1.12.12.cmml">l</mi><mo id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.cmml"><msub id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.3" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.3.cmml"><mi id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.3.2" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.3.2.cmml">A</mi><mi id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.3.3" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.3.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.2" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.4.2" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.cmml"><mo id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.cmml">(</mo><mi id="S3.p4.1.m1.13.13" xref="S3.p4.1.m1.13.13.cmml">l</mi><mo id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.2a" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.5" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.5.cmml"><mi id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.5.2" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.5.2.cmml">x</mi><mi id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.5.3" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.5.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.2b" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.p4.1.m1.14.14.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.1.m1.14b"><apply id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.3.cmml" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.3a.cmml" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1"><eq id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.2"><times id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.2.2.2">𝜇</ci><cn id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.2.2.3">1</cn></apply><vector id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.2.3.2"><ci id="S3.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.p4.1.m1.1.1">𝑡</ci><ci id="S3.p4.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.p4.1.m1.2.2">𝑗</ci><ci id="S3.p4.1.m1.3.3.cmml" xref="S3.p4.1.m1.3.3">𝑙</ci></vector></apply><apply id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3"><plus id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.1.cmml" 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id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.2.4.3.cmml" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.2.4.3">𝑐</ci></apply><ci id="S3.p4.1.m1.5.5.cmml" xref="S3.p4.1.m1.5.5">𝑡</ci></apply><apply id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.3"><times id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.3.1"></times><apply id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.3.2.2">𝐶</ci><ci id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.3.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="S3.p4.1.m1.6.6.cmml" xref="S3.p4.1.m1.6.6">𝑙</ci><apply id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.3.4.cmml" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.3.4.1.cmml" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.3.4">subscript</csymbol><ci id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.3.4.2.cmml" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.3.4.2">𝑥</ci><ci id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.3.4.3.cmml" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.1.1.3.3.4.3">𝑎</ci></apply><ci id="S3.p4.1.m1.7.7.cmml" xref="S3.p4.1.m1.7.7">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.3a.cmml" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1"><eq id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.2"></eq><apply id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.3"><times id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.3.1"></times><apply id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.3.2.2">𝜇</ci><cn id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.3.2.3">2</cn></apply><interval closure="open" id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.3.3.2"><ci id="S3.p4.1.m1.8.8.cmml" xref="S3.p4.1.m1.8.8">𝑡</ci><ci id="S3.p4.1.m1.9.9.cmml" xref="S3.p4.1.m1.9.9">𝑗</ci></interval></apply><apply id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1"><times id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.2"></times><apply id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.3.2">𝐴</ci><ci id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.3.3">𝑐</ci></apply><ci id="S3.p4.1.m1.10.10.cmml" xref="S3.p4.1.m1.10.10">𝑗</ci><apply id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.5.cmml" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.5.1.cmml" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.5.2.cmml" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.5.2">𝑥</ci><ci id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.5.3.cmml" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.5.3">𝑐</ci></apply><apply id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.1.1"><minus id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><cn id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2"><eq id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.2"></eq><apply id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.3"><times id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.3.1"></times><apply id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.3.2.2">𝜇</ci><cn id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.3.2.3">3</cn></apply><interval closure="open" id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.3.3.2"><ci id="S3.p4.1.m1.11.11.cmml" xref="S3.p4.1.m1.11.11">𝑡</ci><ci id="S3.p4.1.m1.12.12.cmml" xref="S3.p4.1.m1.12.12">𝑙</ci></interval></apply><apply id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1"><times id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.2"></times><apply id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.3.1.cmml" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.3.2.cmml" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.3.2">𝐴</ci><ci id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.3.3.cmml" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.3.3">𝑎</ci></apply><ci id="S3.p4.1.m1.13.13.cmml" xref="S3.p4.1.m1.13.13">𝑙</ci><apply id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.5.cmml" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.5.1.cmml" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.5">subscript</csymbol><ci id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.5.2.cmml" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.5.2">𝑥</ci><ci id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.5.3.cmml" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.5.3">𝑎</ci></apply><apply id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.1.1"><plus id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2">𝑡</ci><cn id="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.p4.1.m1.14.14.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.1.m1.14c">\mu_{1}(t,j,l)=C_{c}(j)x_{c}(t)+C_{a}(l)x_{a}(t),\mu_{2}(t,j)=A_{c}(j)x_{c}(t-% 1),\mu_{3}(t,l)=A_{a}(l)x_{a}(t+1).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.1.m1.14d">italic_μ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t , italic_j , italic_l ) = italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_j ) italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) + italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_l ) italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) , italic_μ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t , italic_j ) = italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_j ) italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t - 1 ) , italic_μ start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t , italic_l ) = italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_l ) italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t + 1 ) .</annotation></semantics></math> Denote <math alttext="w_{tj}^{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.2.m2.1"><semantics id="S3.p4.2.m2.1a"><msubsup id="S3.p4.2.m2.1.1" xref="S3.p4.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.p4.2.m2.1.1.2.2" xref="S3.p4.2.m2.1.1.2.2.cmml">w</mi><mrow id="S3.p4.2.m2.1.1.2.3" xref="S3.p4.2.m2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.p4.2.m2.1.1.2.3.2" xref="S3.p4.2.m2.1.1.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S3.p4.2.m2.1.1.2.3.1" xref="S3.p4.2.m2.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p4.2.m2.1.1.2.3.3" xref="S3.p4.2.m2.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow><mi id="S3.p4.2.m2.1.1.3" xref="S3.p4.2.m2.1.1.3.cmml">c</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.2.m2.1b"><apply id="S3.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.p4.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.p4.2.m2.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.p4.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.p4.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p4.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p4.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.p4.2.m2.1.1.2.2">𝑤</ci><apply id="S3.p4.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.p4.2.m2.1.1.2.3"><times id="S3.p4.2.m2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.p4.2.m2.1.1.2.3.1"></times><ci id="S3.p4.2.m2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.p4.2.m2.1.1.2.3.2">𝑡</ci><ci id="S3.p4.2.m2.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.p4.2.m2.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="S3.p4.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.p4.2.m2.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.2.m2.1c">w_{tj}^{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.2.m2.1d">italic_w start_POSTSUBSCRIPT italic_t italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_c end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> as the posterior probability of the switching sequence given the <math alttext="\theta^{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.3.m3.1"><semantics id="S3.p4.3.m3.1a"><msup id="S3.p4.3.m3.1.1" xref="S3.p4.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.p4.3.m3.1.1.2" xref="S3.p4.3.m3.1.1.2.cmml">θ</mi><mi id="S3.p4.3.m3.1.1.3" xref="S3.p4.3.m3.1.1.3.cmml">k</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.3.m3.1b"><apply id="S3.p4.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.p4.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.p4.3.m3.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.p4.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.p4.3.m3.1.1.2">𝜃</ci><ci id="S3.p4.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.p4.3.m3.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.3.m3.1c">\theta^{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.3.m3.1d">italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, dataset <math alttext="\bm{y}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.4.m4.1"><semantics id="S3.p4.4.m4.1a"><mi id="S3.p4.4.m4.1.1" xref="S3.p4.4.m4.1.1.cmml">𝒚</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.4.m4.1b"><ci id="S3.p4.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.p4.4.m4.1.1">𝒚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.4.m4.1c">\bm{y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.4.m4.1d">bold_italic_y</annotation></semantics></math> and <math alttext="s_{c}(t)=j" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.5.m5.1"><semantics id="S3.p4.5.m5.1a"><mrow id="S3.p4.5.m5.1.2" xref="S3.p4.5.m5.1.2.cmml"><mrow id="S3.p4.5.m5.1.2.2" xref="S3.p4.5.m5.1.2.2.cmml"><msub id="S3.p4.5.m5.1.2.2.2" xref="S3.p4.5.m5.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.p4.5.m5.1.2.2.2.2" xref="S3.p4.5.m5.1.2.2.2.2.cmml">s</mi><mi id="S3.p4.5.m5.1.2.2.2.3" xref="S3.p4.5.m5.1.2.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.p4.5.m5.1.2.2.1" xref="S3.p4.5.m5.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p4.5.m5.1.2.2.3.2" xref="S3.p4.5.m5.1.2.2.cmml"><mo id="S3.p4.5.m5.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.p4.5.m5.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.p4.5.m5.1.1" xref="S3.p4.5.m5.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.p4.5.m5.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.p4.5.m5.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.p4.5.m5.1.2.1" xref="S3.p4.5.m5.1.2.1.cmml">=</mo><mi id="S3.p4.5.m5.1.2.3" xref="S3.p4.5.m5.1.2.3.cmml">j</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.5.m5.1b"><apply id="S3.p4.5.m5.1.2.cmml" xref="S3.p4.5.m5.1.2"><eq id="S3.p4.5.m5.1.2.1.cmml" xref="S3.p4.5.m5.1.2.1"></eq><apply id="S3.p4.5.m5.1.2.2.cmml" xref="S3.p4.5.m5.1.2.2"><times id="S3.p4.5.m5.1.2.2.1.cmml" xref="S3.p4.5.m5.1.2.2.1"></times><apply id="S3.p4.5.m5.1.2.2.2.cmml" xref="S3.p4.5.m5.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.5.m5.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.p4.5.m5.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p4.5.m5.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p4.5.m5.1.2.2.2.2">𝑠</ci><ci id="S3.p4.5.m5.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p4.5.m5.1.2.2.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="S3.p4.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.p4.5.m5.1.1">𝑡</ci></apply><ci id="S3.p4.5.m5.1.2.3.cmml" xref="S3.p4.5.m5.1.2.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.5.m5.1c">s_{c}(t)=j</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.5.m5.1d">italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) = italic_j</annotation></semantics></math> (<math alttext="w_{tl}^{a}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.6.m6.1"><semantics id="S3.p4.6.m6.1a"><msubsup id="S3.p4.6.m6.1.1" xref="S3.p4.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S3.p4.6.m6.1.1.2.2" xref="S3.p4.6.m6.1.1.2.2.cmml">w</mi><mrow id="S3.p4.6.m6.1.1.2.3" xref="S3.p4.6.m6.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.p4.6.m6.1.1.2.3.2" xref="S3.p4.6.m6.1.1.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S3.p4.6.m6.1.1.2.3.1" xref="S3.p4.6.m6.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p4.6.m6.1.1.2.3.3" xref="S3.p4.6.m6.1.1.2.3.3.cmml">l</mi></mrow><mi id="S3.p4.6.m6.1.1.3" xref="S3.p4.6.m6.1.1.3.cmml">a</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.6.m6.1b"><apply id="S3.p4.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.p4.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S3.p4.6.m6.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.p4.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S3.p4.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.6.m6.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p4.6.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p4.6.m6.1.1.2.2.cmml" xref="S3.p4.6.m6.1.1.2.2">𝑤</ci><apply id="S3.p4.6.m6.1.1.2.3.cmml" xref="S3.p4.6.m6.1.1.2.3"><times id="S3.p4.6.m6.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.p4.6.m6.1.1.2.3.1"></times><ci id="S3.p4.6.m6.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.p4.6.m6.1.1.2.3.2">𝑡</ci><ci id="S3.p4.6.m6.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.p4.6.m6.1.1.2.3.3">𝑙</ci></apply></apply><ci id="S3.p4.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S3.p4.6.m6.1.1.3">𝑎</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.6.m6.1c">w_{tl}^{a}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.6.m6.1d">italic_w start_POSTSUBSCRIPT italic_t italic_l end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_a end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is defined similarly)</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx11"> <tbody id="S3.Ex24"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle w^{c}_{tj}=\mathbb{P}_{\theta^{k}}[s_{c}(t)=j|\bm{y}]=\frac{% \mathbb{P}_{\theta^{k}}[\bm{y}|s_{c}(t)=j]\pi^{c}_{j}}{\sum_{t=1}^{T}\mathbb{P% }_{\theta^{k}}[\bm{y}|s_{c}(t)=j]\pi^{c}_{j}}," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex24.m1.6"><semantics id="S3.Ex24.m1.6a"><mrow id="S3.Ex24.m1.6.6.1" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.cmml"><msubsup id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.3" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.3.2.2.cmml">w</mi><mrow id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.3.3" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.3.3.2.cmml">t</mi><mo id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.3.3.1" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow><mi id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.3.2.3.cmml">c</mi></msubsup><mo id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.4" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.3" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.3.2.cmml">ℙ</mi><msup id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.3.3.2.cmml">θ</mi><mi id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.cmml">k</mi></msup></msub><mo id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.2" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">s</mi><mi id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex24.m1.5.5" xref="S3.Ex24.m1.5.5.cmml">t</mi><mo id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo fence="false" id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">|</mo><mi id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">𝒚</mi></mrow></mrow><mo id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.5" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.5.cmml">=</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex24.m1.4.4" xref="S3.Ex24.m1.4.4.cmml"><mfrac id="S3.Ex24.m1.4.4a" xref="S3.Ex24.m1.4.4.cmml"><mrow id="S3.Ex24.m1.2.2.2" xref="S3.Ex24.m1.2.2.2.cmml"><msub id="S3.Ex24.m1.2.2.2.4" xref="S3.Ex24.m1.2.2.2.4.cmml"><mi id="S3.Ex24.m1.2.2.2.4.2" xref="S3.Ex24.m1.2.2.2.4.2.cmml">ℙ</mi><msup id="S3.Ex24.m1.2.2.2.4.3" xref="S3.Ex24.m1.2.2.2.4.3.cmml"><mi id="S3.Ex24.m1.2.2.2.4.3.2" xref="S3.Ex24.m1.2.2.2.4.3.2.cmml">θ</mi><mi id="S3.Ex24.m1.2.2.2.4.3.3" xref="S3.Ex24.m1.2.2.2.4.3.3.cmml">k</mi></msup></msub><mo id="S3.Ex24.m1.2.2.2.3" xref="S3.Ex24.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex24.m1.2.2.2.2.1" xref="S3.Ex24.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S3.Ex24.m1.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex24.m1.2.2.2.2.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S3.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.2.2" xref="S3.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml">𝒚</mi><mo fence="false" id="S3.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.2.1" xref="S3.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.2.3" xref="S3.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml"><msub id="S3.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.2.2" xref="S3.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.2.2.cmml">s</mi><mi id="S3.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.2.3" xref="S3.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.1" xref="S3.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.3.2" xref="S3.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S3.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="S3.Ex24.m1.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex24.m1.2.2.2.2.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S3.Ex24.m1.2.2.2.3a" xref="S3.Ex24.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.Ex24.m1.2.2.2.5" xref="S3.Ex24.m1.2.2.2.5.cmml"><mi id="S3.Ex24.m1.2.2.2.5.2.2" xref="S3.Ex24.m1.2.2.2.5.2.2.cmml">π</mi><mi id="S3.Ex24.m1.2.2.2.5.3" xref="S3.Ex24.m1.2.2.2.5.3.cmml">j</mi><mi id="S3.Ex24.m1.2.2.2.5.2.3" xref="S3.Ex24.m1.2.2.2.5.2.3.cmml">c</mi></msubsup></mrow><mrow id="S3.Ex24.m1.4.4.4" xref="S3.Ex24.m1.4.4.4.cmml"><msubsup id="S3.Ex24.m1.4.4.4.3" xref="S3.Ex24.m1.4.4.4.3.cmml"><mo id="S3.Ex24.m1.4.4.4.3.2.2" xref="S3.Ex24.m1.4.4.4.3.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex24.m1.4.4.4.3.2.3" xref="S3.Ex24.m1.4.4.4.3.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex24.m1.4.4.4.3.2.3.2" xref="S3.Ex24.m1.4.4.4.3.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S3.Ex24.m1.4.4.4.3.2.3.1" xref="S3.Ex24.m1.4.4.4.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex24.m1.4.4.4.3.2.3.3" xref="S3.Ex24.m1.4.4.4.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.Ex24.m1.4.4.4.3.3" xref="S3.Ex24.m1.4.4.4.3.3.cmml">T</mi></msubsup><mrow id="S3.Ex24.m1.4.4.4.2" xref="S3.Ex24.m1.4.4.4.2.cmml"><msub id="S3.Ex24.m1.4.4.4.2.3" xref="S3.Ex24.m1.4.4.4.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex24.m1.4.4.4.2.3.2" xref="S3.Ex24.m1.4.4.4.2.3.2.cmml">ℙ</mi><msup id="S3.Ex24.m1.4.4.4.2.3.3" xref="S3.Ex24.m1.4.4.4.2.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex24.m1.4.4.4.2.3.3.2" xref="S3.Ex24.m1.4.4.4.2.3.3.2.cmml">θ</mi><mi id="S3.Ex24.m1.4.4.4.2.3.3.3" xref="S3.Ex24.m1.4.4.4.2.3.3.3.cmml">k</mi></msup></msub><mo id="S3.Ex24.m1.4.4.4.2.2" xref="S3.Ex24.m1.4.4.4.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex24.m1.4.4.4.2.1.1" xref="S3.Ex24.m1.4.4.4.2.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex24.m1.4.4.4.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex24.m1.4.4.4.2.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.Ex24.m1.4.4.4.2.1.1.1" xref="S3.Ex24.m1.4.4.4.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex24.m1.4.4.4.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex24.m1.4.4.4.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex24.m1.4.4.4.2.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex24.m1.4.4.4.2.1.1.1.2.2.cmml">𝒚</mi><mo fence="false" id="S3.Ex24.m1.4.4.4.2.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex24.m1.4.4.4.2.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.Ex24.m1.4.4.4.2.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex24.m1.4.4.4.2.1.1.1.2.3.cmml"><msub id="S3.Ex24.m1.4.4.4.2.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex24.m1.4.4.4.2.1.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex24.m1.4.4.4.2.1.1.1.2.3.2.2" xref="S3.Ex24.m1.4.4.4.2.1.1.1.2.3.2.2.cmml">s</mi><mi id="S3.Ex24.m1.4.4.4.2.1.1.1.2.3.2.3" xref="S3.Ex24.m1.4.4.4.2.1.1.1.2.3.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.Ex24.m1.4.4.4.2.1.1.1.2.3.1" xref="S3.Ex24.m1.4.4.4.2.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex24.m1.4.4.4.2.1.1.1.2.3.3.2" xref="S3.Ex24.m1.4.4.4.2.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex24.m1.4.4.4.2.1.1.1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex24.m1.4.4.4.2.1.1.1.2.3.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex24.m1.3.3.3.1" xref="S3.Ex24.m1.3.3.3.1.cmml">t</mi><mo id="S3.Ex24.m1.4.4.4.2.1.1.1.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex24.m1.4.4.4.2.1.1.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex24.m1.4.4.4.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex24.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S3.Ex24.m1.4.4.4.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex24.m1.4.4.4.2.1.1.1.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="S3.Ex24.m1.4.4.4.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex24.m1.4.4.4.2.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S3.Ex24.m1.4.4.4.2.2a" xref="S3.Ex24.m1.4.4.4.2.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.Ex24.m1.4.4.4.2.4" xref="S3.Ex24.m1.4.4.4.2.4.cmml"><mi id="S3.Ex24.m1.4.4.4.2.4.2.2" xref="S3.Ex24.m1.4.4.4.2.4.2.2.cmml">π</mi><mi id="S3.Ex24.m1.4.4.4.2.4.3" xref="S3.Ex24.m1.4.4.4.2.4.3.cmml">j</mi><mi id="S3.Ex24.m1.4.4.4.2.4.2.3" 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id="S3.Ex24.m1.4.4.4.2.4.2.2.cmml" xref="S3.Ex24.m1.4.4.4.2.4.2.2">𝜋</ci><ci id="S3.Ex24.m1.4.4.4.2.4.2.3.cmml" xref="S3.Ex24.m1.4.4.4.2.4.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="S3.Ex24.m1.4.4.4.2.4.3.cmml" xref="S3.Ex24.m1.4.4.4.2.4.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex24.m1.6c">\displaystyle w^{c}_{tj}=\mathbb{P}_{\theta^{k}}[s_{c}(t)=j|\bm{y}]=\frac{% \mathbb{P}_{\theta^{k}}[\bm{y}|s_{c}(t)=j]\pi^{c}_{j}}{\sum_{t=1}^{T}\mathbb{P% }_{\theta^{k}}[\bm{y}|s_{c}(t)=j]\pi^{c}_{j}},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex24.m1.6d">italic_w start_POSTSUPERSCRIPT italic_c end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_t italic_j end_POSTSUBSCRIPT = blackboard_P start_POSTSUBSCRIPT italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT [ italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) = italic_j | bold_italic_y ] = divide start_ARG blackboard_P start_POSTSUBSCRIPT italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT [ bold_italic_y | italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) = italic_j ] italic_π start_POSTSUPERSCRIPT italic_c end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT blackboard_P start_POSTSUBSCRIPT italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT [ bold_italic_y | italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) = italic_j ] italic_π start_POSTSUPERSCRIPT italic_c end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.E9"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle w^{a}_{tl}=\mathbb{P}_{\theta^{k}}[s_{a}(t)=l|\bm{y}]=\frac{% \mathbb{P}_{\theta^{k}}[\bm{y}|s_{a}(t)=l]\pi^{a}_{l}}{\sum_{t=1}^{T}\mathbb{P% }_{\theta^{k}}[\bm{y}|s_{a}(t)=l]\pi^{c}_{l}}." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E9.m1.6"><semantics id="S3.E9.m1.6a"><mrow id="S3.E9.m1.6.6.1" xref="S3.E9.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S3.E9.m1.6.6.1.1" xref="S3.E9.m1.6.6.1.1.cmml"><msubsup id="S3.E9.m1.6.6.1.1.3" xref="S3.E9.m1.6.6.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E9.m1.6.6.1.1.3.2.2" xref="S3.E9.m1.6.6.1.1.3.2.2.cmml">w</mi><mrow id="S3.E9.m1.6.6.1.1.3.3" xref="S3.E9.m1.6.6.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E9.m1.6.6.1.1.3.3.2" xref="S3.E9.m1.6.6.1.1.3.3.2.cmml">t</mi><mo id="S3.E9.m1.6.6.1.1.3.3.1" xref="S3.E9.m1.6.6.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E9.m1.6.6.1.1.3.3.3" xref="S3.E9.m1.6.6.1.1.3.3.3.cmml">l</mi></mrow><mi id="S3.E9.m1.6.6.1.1.3.2.3" xref="S3.E9.m1.6.6.1.1.3.2.3.cmml">a</mi></msubsup><mo id="S3.E9.m1.6.6.1.1.4" xref="S3.E9.m1.6.6.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S3.E9.m1.6.6.1.1.1" xref="S3.E9.m1.6.6.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E9.m1.6.6.1.1.1.3" xref="S3.E9.m1.6.6.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E9.m1.6.6.1.1.1.3.2" xref="S3.E9.m1.6.6.1.1.1.3.2.cmml">ℙ</mi><msup id="S3.E9.m1.6.6.1.1.1.3.3" xref="S3.E9.m1.6.6.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E9.m1.6.6.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E9.m1.6.6.1.1.1.3.3.2.cmml">θ</mi><mi id="S3.E9.m1.6.6.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E9.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.cmml">k</mi></msup></msub><mo id="S3.E9.m1.6.6.1.1.1.2" xref="S3.E9.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E9.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="S3.E9.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E9.m1.6.6.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E9.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.E9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S3.E9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">s</mi><mi id="S3.E9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S3.E9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.E9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.E9.m1.5.5" xref="S3.E9.m1.5.5.cmml">t</mi><mo id="S3.E9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.E9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo fence="false" id="S3.E9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E9.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">𝒚</mi></mrow></mrow><mo id="S3.E9.m1.6.6.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E9.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E9.m1.6.6.1.1.5" xref="S3.E9.m1.6.6.1.1.5.cmml">=</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.E9.m1.4.4" xref="S3.E9.m1.4.4.cmml"><mfrac id="S3.E9.m1.4.4a" xref="S3.E9.m1.4.4.cmml"><mrow id="S3.E9.m1.2.2.2" xref="S3.E9.m1.2.2.2.cmml"><msub id="S3.E9.m1.2.2.2.4" xref="S3.E9.m1.2.2.2.4.cmml"><mi id="S3.E9.m1.2.2.2.4.2" xref="S3.E9.m1.2.2.2.4.2.cmml">ℙ</mi><msup id="S3.E9.m1.2.2.2.4.3" xref="S3.E9.m1.2.2.2.4.3.cmml"><mi id="S3.E9.m1.2.2.2.4.3.2" xref="S3.E9.m1.2.2.2.4.3.2.cmml">θ</mi><mi id="S3.E9.m1.2.2.2.4.3.3" xref="S3.E9.m1.2.2.2.4.3.3.cmml">k</mi></msup></msub><mo id="S3.E9.m1.2.2.2.3" xref="S3.E9.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E9.m1.2.2.2.2.1" xref="S3.E9.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S3.E9.m1.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.E9.m1.2.2.2.2.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.E9.m1.2.2.2.2.1.1" 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xref="S3.E9.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E9.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S3.E9.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S3.E9.m1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S3.E9.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml">l</mi></mrow><mo id="S3.E9.m1.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S3.E9.m1.2.2.2.2.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S3.E9.m1.2.2.2.3a" xref="S3.E9.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.E9.m1.2.2.2.5" xref="S3.E9.m1.2.2.2.5.cmml"><mi id="S3.E9.m1.2.2.2.5.2.2" xref="S3.E9.m1.2.2.2.5.2.2.cmml">π</mi><mi id="S3.E9.m1.2.2.2.5.3" xref="S3.E9.m1.2.2.2.5.3.cmml">l</mi><mi id="S3.E9.m1.2.2.2.5.2.3" xref="S3.E9.m1.2.2.2.5.2.3.cmml">a</mi></msubsup></mrow><mrow id="S3.E9.m1.4.4.4" xref="S3.E9.m1.4.4.4.cmml"><msubsup id="S3.E9.m1.4.4.4.3" xref="S3.E9.m1.4.4.4.3.cmml"><mo id="S3.E9.m1.4.4.4.3.2.2" xref="S3.E9.m1.4.4.4.3.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.E9.m1.4.4.4.3.2.3" xref="S3.E9.m1.4.4.4.3.2.3.cmml"><mi id="S3.E9.m1.4.4.4.3.2.3.2" xref="S3.E9.m1.4.4.4.3.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S3.E9.m1.4.4.4.3.2.3.1" xref="S3.E9.m1.4.4.4.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.E9.m1.4.4.4.3.2.3.3" xref="S3.E9.m1.4.4.4.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.E9.m1.4.4.4.3.3" xref="S3.E9.m1.4.4.4.3.3.cmml">T</mi></msubsup><mrow id="S3.E9.m1.4.4.4.2" xref="S3.E9.m1.4.4.4.2.cmml"><msub id="S3.E9.m1.4.4.4.2.3" xref="S3.E9.m1.4.4.4.2.3.cmml"><mi id="S3.E9.m1.4.4.4.2.3.2" xref="S3.E9.m1.4.4.4.2.3.2.cmml">ℙ</mi><msup id="S3.E9.m1.4.4.4.2.3.3" xref="S3.E9.m1.4.4.4.2.3.3.cmml"><mi id="S3.E9.m1.4.4.4.2.3.3.2" xref="S3.E9.m1.4.4.4.2.3.3.2.cmml">θ</mi><mi id="S3.E9.m1.4.4.4.2.3.3.3" xref="S3.E9.m1.4.4.4.2.3.3.3.cmml">k</mi></msup></msub><mo id="S3.E9.m1.4.4.4.2.2" xref="S3.E9.m1.4.4.4.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E9.m1.4.4.4.2.1.1" xref="S3.E9.m1.4.4.4.2.1.2.cmml"><mo id="S3.E9.m1.4.4.4.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E9.m1.4.4.4.2.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.E9.m1.4.4.4.2.1.1.1" xref="S3.E9.m1.4.4.4.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E9.m1.4.4.4.2.1.1.1.2" 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id="S3.E9.m1.4.4.4.2.4.2.cmml" xref="S3.E9.m1.4.4.4.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E9.m1.4.4.4.2.4.2.1.cmml" xref="S3.E9.m1.4.4.4.2.4">superscript</csymbol><ci id="S3.E9.m1.4.4.4.2.4.2.2.cmml" xref="S3.E9.m1.4.4.4.2.4.2.2">𝜋</ci><ci id="S3.E9.m1.4.4.4.2.4.2.3.cmml" xref="S3.E9.m1.4.4.4.2.4.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="S3.E9.m1.4.4.4.2.4.3.cmml" xref="S3.E9.m1.4.4.4.2.4.3">𝑙</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E9.m1.6c">\displaystyle w^{a}_{tl}=\mathbb{P}_{\theta^{k}}[s_{a}(t)=l|\bm{y}]=\frac{% \mathbb{P}_{\theta^{k}}[\bm{y}|s_{a}(t)=l]\pi^{a}_{l}}{\sum_{t=1}^{T}\mathbb{P% }_{\theta^{k}}[\bm{y}|s_{a}(t)=l]\pi^{c}_{l}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E9.m1.6d">italic_w start_POSTSUPERSCRIPT italic_a end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_t italic_l end_POSTSUBSCRIPT = blackboard_P start_POSTSUBSCRIPT italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT [ italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) = italic_l | bold_italic_y ] = divide start_ARG blackboard_P start_POSTSUBSCRIPT italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT [ bold_italic_y | italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) = italic_l ] italic_π start_POSTSUPERSCRIPT italic_a end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT blackboard_P start_POSTSUBSCRIPT italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT [ bold_italic_y | italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) = italic_l ] italic_π start_POSTSUPERSCRIPT italic_c end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(9)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p4.7">Then, the objective function <math alttext="Q(\theta,\theta^{k})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.7.m1.2"><semantics id="S3.p4.7.m1.2a"><mrow id="S3.p4.7.m1.2.2" xref="S3.p4.7.m1.2.2.cmml"><mi id="S3.p4.7.m1.2.2.3" xref="S3.p4.7.m1.2.2.3.cmml">Q</mi><mo id="S3.p4.7.m1.2.2.2" xref="S3.p4.7.m1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p4.7.m1.2.2.1.1" xref="S3.p4.7.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.p4.7.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.p4.7.m1.2.2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.p4.7.m1.1.1" xref="S3.p4.7.m1.1.1.cmml">θ</mi><mo id="S3.p4.7.m1.2.2.1.1.3" xref="S3.p4.7.m1.2.2.1.2.cmml">,</mo><msup id="S3.p4.7.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.p4.7.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p4.7.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S3.p4.7.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">θ</mi><mi id="S3.p4.7.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.p4.7.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">k</mi></msup><mo id="S3.p4.7.m1.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.p4.7.m1.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.7.m1.2b"><apply id="S3.p4.7.m1.2.2.cmml" xref="S3.p4.7.m1.2.2"><times id="S3.p4.7.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.p4.7.m1.2.2.2"></times><ci id="S3.p4.7.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.p4.7.m1.2.2.3">𝑄</ci><interval closure="open" id="S3.p4.7.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S3.p4.7.m1.2.2.1.1"><ci id="S3.p4.7.m1.1.1.cmml" xref="S3.p4.7.m1.1.1">𝜃</ci><apply id="S3.p4.7.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.p4.7.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.7.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p4.7.m1.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.p4.7.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p4.7.m1.2.2.1.1.1.2">𝜃</ci><ci id="S3.p4.7.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p4.7.m1.2.2.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.7.m1.2c">Q(\theta,\theta^{k})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.7.m1.2d">italic_Q ( italic_θ , italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> can be computed by using together (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S3.Ex10" title="3 The EM method for identifying NCS-RSM ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>), (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S3.E6" title="In 3 The EM method for identifying NCS-RSM ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6</span></a>), (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S3.Ex18" title="3 The EM method for identifying NCS-RSM ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>), (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S3.Ex19" title="3 The EM method for identifying NCS-RSM ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>), and (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S3.E9" title="In 3 The EM method for identifying NCS-RSM ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">9</span></a>):</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx12"> <tbody id="S3.E10"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathbb{E}_{\theta^{k}}[{\ln\mathbb{P}_{\theta}[\bm{y},\bm{x}_{c}% ,\bm{s}_{c},\bm{x}_{a},\bm{s}_{a}]}]=\sum_{i=1}^{3}Q_{i}(\theta,\theta^{k})," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E10.m1.3"><semantics id="S3.E10.m1.3a"><mrow id="S3.E10.m1.3.3.1" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.E10.m1.3.3.1.1" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.3.2" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml">𝔼</mi><msup id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.3.3" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.cmml">θ</mi><mi id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.3.3.3.cmml">k</mi></msup></msub><mo id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.6" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.6.cmml"><mi id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.6.1" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.6.1.cmml">ln</mi><mo id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.6a" lspace="0.167em" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.6.cmml">⁡</mo><msub id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.6.2" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.6.2.cmml"><mi id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.6.2.2" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.6.2.2.cmml">ℙ</mi><mi id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.6.2.3" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.6.2.3.cmml">θ</mi></msub></mrow><mo id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.5" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.4" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.5.cmml"><mo id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.4.5" stretchy="false" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.5.cmml">[</mo><mi id="S3.E10.m1.1.1" xref="S3.E10.m1.1.1.cmml">𝒚</mi><mo id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.4.6" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.5.cmml">,</mo><msub id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.4.7" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.5.cmml">,</mo><msub id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.4.8" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.5.cmml">,</mo><msub id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.4.9" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.5.cmml">,</mo><msub id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.4.4" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.4.4.cmml"><mi id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.4.4.3" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.4.4.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.4.10" stretchy="false" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.5.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E10.m1.3.3.1.1.3" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.E10.m1.3.3.1.1.2" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.2.cmml"><munderover id="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.2a" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.2.cmml"><mo id="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2" movablelimits="false" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.2.2.3" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.2" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.1" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mn id="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.2.3" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml">3</mn></munderover></mstyle><mrow id="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.1" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.1.cmml"><msub id="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.1.3" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.1.3.cmml"><mi id="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.1.3.2" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.1.3.2.cmml">Q</mi><mi id="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.1.3.3" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.1.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.1.2" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.1.1.1" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.E10.m1.2.2" xref="S3.E10.m1.2.2.cmml">θ</mi><mo id="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.1.1.2.cmml">,</mo><msup id="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">θ</mi><mi id="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msup><mo id="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E10.m1.3.3.1.2" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E10.m1.3b"><apply id="S3.E10.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3.1"><eq id="S3.E10.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.3"></eq><apply id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1"><times id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.3.2">𝔼</ci><apply id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.3.3.2">𝜃</ci><ci id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.5"></times><apply id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.6"><ln id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.6.1.cmml" 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xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑐</ci></apply><apply id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝒔</ci><ci id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3">𝑐</ci></apply><apply id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2">𝒙</ci><ci id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3">𝑎</ci></apply><apply id="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.4.4.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" 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end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ] ] = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_θ , italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(10)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p4.8">where</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx13"> <tbody id="S3.Ex25"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle Q_{1}(\theta,\theta_{k})=\mathbb{E}_{\theta^{k}}[\ln\mathbb{P}_{% \theta}[\bm{y}|\bm{x}_{c},\bm{s}_{c},\bm{x}_{a},\bm{s}_{a}]]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex25.m2.3"><semantics id="S3.Ex25.m2.3a"><mrow id="S3.Ex25.m2.3.3" xref="S3.Ex25.m2.3.3.cmml"><mrow id="S3.Ex25.m2.2.2.1" xref="S3.Ex25.m2.2.2.1.cmml"><msub id="S3.Ex25.m2.2.2.1.3" xref="S3.Ex25.m2.2.2.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex25.m2.2.2.1.3.2" xref="S3.Ex25.m2.2.2.1.3.2.cmml">Q</mi><mn id="S3.Ex25.m2.2.2.1.3.3" xref="S3.Ex25.m2.2.2.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.Ex25.m2.2.2.1.2" xref="S3.Ex25.m2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex25.m2.1.1" xref="S3.Ex25.m2.1.1.cmml">θ</mi><mo id="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.2.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.1.1.2" 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id="S3.Ex25.m2.3.3.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex25.m2.3.3.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex25.m2.3.3.2.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex25.m2.3.3.2.1.1.1.3.1.cmml">ln</mi><mo id="S3.Ex25.m2.3.3.2.1.1.1.3a" lspace="0.167em" xref="S3.Ex25.m2.3.3.2.1.1.1.3.cmml">⁡</mo><msub id="S3.Ex25.m2.3.3.2.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex25.m2.3.3.2.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex25.m2.3.3.2.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex25.m2.3.3.2.1.1.1.3.2.2.cmml">ℙ</mi><mi id="S3.Ex25.m2.3.3.2.1.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex25.m2.3.3.2.1.1.1.3.2.3.cmml">θ</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex25.m2.3.3.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex25.m2.3.3.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex25.m2.3.3.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex25.m2.3.3.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex25.m2.3.3.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex25.m2.3.3.2.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.Ex25.m2.3.3.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex25.m2.3.3.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex25.m2.3.3.2.1.1.1.1.1.1.6" xref="S3.Ex25.m2.3.3.2.1.1.1.1.1.1.6.cmml">𝒚</mi><mo fence="false" id="S3.Ex25.m2.3.3.2.1.1.1.1.1.1.5" xref="S3.Ex25.m2.3.3.2.1.1.1.1.1.1.5.cmml">|</mo><mrow id="S3.Ex25.m2.3.3.2.1.1.1.1.1.1.4.4" xref="S3.Ex25.m2.3.3.2.1.1.1.1.1.1.4.5.cmml"><msub id="S3.Ex25.m2.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex25.m2.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex25.m2.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex25.m2.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.Ex25.m2.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex25.m2.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.Ex25.m2.3.3.2.1.1.1.1.1.1.4.4.5" xref="S3.Ex25.m2.3.3.2.1.1.1.1.1.1.4.5.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex25.m2.3.3.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex25.m2.3.3.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex25.m2.3.3.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex25.m2.3.3.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S3.Ex25.m2.3.3.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex25.m2.3.3.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.Ex25.m2.3.3.2.1.1.1.1.1.1.4.4.6" xref="S3.Ex25.m2.3.3.2.1.1.1.1.1.1.4.5.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex25.m2.3.3.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex25.m2.3.3.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex25.m2.3.3.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S3.Ex25.m2.3.3.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.Ex25.m2.3.3.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.Ex25.m2.3.3.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S3.Ex25.m2.3.3.2.1.1.1.1.1.1.4.4.7" xref="S3.Ex25.m2.3.3.2.1.1.1.1.1.1.4.5.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex25.m2.3.3.2.1.1.1.1.1.1.4.4.4" xref="S3.Ex25.m2.3.3.2.1.1.1.1.1.1.4.4.4.cmml"><mi id="S3.Ex25.m2.3.3.2.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2" xref="S3.Ex25.m2.3.3.2.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S3.Ex25.m2.3.3.2.1.1.1.1.1.1.4.4.4.3" xref="S3.Ex25.m2.3.3.2.1.1.1.1.1.1.4.4.4.3.cmml">a</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S3.Ex25.m2.3.3.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex25.m2.3.3.2.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex25.m2.3.3.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex25.m2.3.3.2.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex25.m2.3b"><apply id="S3.Ex25.m2.3.3.cmml" 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]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex26"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum_{t=1}^{T}\sum_{j=1}^{m_{c}}\sum_{l=1}^{m_{a}}w_{tj}^{c}w_{% tl}^{a}\mathbb{E}_{\theta^{k}}[\ln\mathcal{N}(\mu_{1}(t,j,l),\Sigma_{m})]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex26.m1.4"><semantics id="S3.Ex26.m1.4a"><mrow id="S3.Ex26.m1.4.4" xref="S3.Ex26.m1.4.4.cmml"><mi id="S3.Ex26.m1.4.4.3" xref="S3.Ex26.m1.4.4.3.cmml"></mi><mo id="S3.Ex26.m1.4.4.2" xref="S3.Ex26.m1.4.4.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex26.m1.4.4.1" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex26.m1.4.4.1.2" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1.2.cmml"><munderover id="S3.Ex26.m1.4.4.1.2a" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex26.m1.4.4.1.2.2.2" 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id="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.2.2.3.3" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msub id="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.2.3.2.cmml">m</mi><mi id="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.2.3.3.cmml">a</mi></msub></munderover></mstyle><mrow id="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.cmml">w</mi><mrow id="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">j</mi></mrow><mi id="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml">c</mi></msubsup><mo id="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.cmml">w</mi><mrow id="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.3" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.3.2" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.3.1" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.3.3" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml">l</mi></mrow><mi id="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.4.3" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.4.3.cmml">a</mi></msubsup><mo id="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.2a" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.5" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.5.2" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.5.2.cmml">𝔼</mi><msup id="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.5.3" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.5.3.cmml"><mi id="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.5.3.2" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.5.3.2.cmml">θ</mi><mi id="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.5.3.3" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.5.3.3.cmml">k</mi></msup></msub><mo id="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.2b" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.1" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml">ln</mi><mo id="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4a" lspace="0.167em" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">⁡</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2" 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id="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex26.m1.1.1" xref="S3.Ex26.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex26.m1.2.2" xref="S3.Ex26.m1.2.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex26.m1.3.3" xref="S3.Ex26.m1.3.3.cmml">l</mi><mo id="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.4" stretchy="false" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">Σ</mi><mi id="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex26.m1.4b"><apply id="S3.Ex26.m1.4.4.cmml" xref="S3.Ex26.m1.4.4"><eq id="S3.Ex26.m1.4.4.2.cmml" xref="S3.Ex26.m1.4.4.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex26.m1.4.4.3.cmml" xref="S3.Ex26.m1.4.4.3">absent</csymbol><apply id="S3.Ex26.m1.4.4.1.cmml" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1"><apply id="S3.Ex26.m1.4.4.1.2.cmml" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex26.m1.4.4.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex26.m1.4.4.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex26.m1.4.4.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1.2">subscript</csymbol><sum 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id="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><vector id="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="S3.Ex26.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex26.m1.1.1">𝑡</ci><ci id="S3.Ex26.m1.2.2.cmml" xref="S3.Ex26.m1.2.2">𝑗</ci><ci id="S3.Ex26.m1.3.3.cmml" xref="S3.Ex26.m1.3.3">𝑙</ci></vector></apply><apply id="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">Σ</ci><ci id="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3">𝑚</ci></apply></interval></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" 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xref="S3.Ex27.m1.3.3.2.1.1.1.4.2.3.cmml">θ</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex27.m1.3.3.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex27.m1.3.3.2.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex27.m1.3.3.2.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex27.m1.3.3.2.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex27.m1.3.3.2.1.1.1.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex27.m1.3.3.2.1.1.1.2.3.cmml">[</mo><msub id="S3.Ex27.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex27.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex27.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex27.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.Ex27.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex27.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.Ex27.m1.3.3.2.1.1.1.2.2.4" xref="S3.Ex27.m1.3.3.2.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex27.m1.3.3.2.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex27.m1.3.3.2.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex27.m1.3.3.2.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex27.m1.3.3.2.1.1.1.2.2.2.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S3.Ex27.m1.3.3.2.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex27.m1.3.3.2.1.1.1.2.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.Ex27.m1.3.3.2.1.1.1.2.2.5" stretchy="false" 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xref="S3.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1.2">𝜃</ci><ci id="S3.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></interval></apply><apply id="S3.Ex27.m1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.2"><times id="S3.Ex27.m1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.2.2"></times><apply id="S3.Ex27.m1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex27.m1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex27.m1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.2.3.2">𝔼</ci><apply id="S3.Ex27.m1.3.3.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex27.m1.3.3.2.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex27.m1.3.3.2.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.2.3.3.2">𝜃</ci><ci id="S3.Ex27.m1.3.3.2.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.2.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex27.m1.3.3.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex27.m1.3.3.2.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.2.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.Ex27.m1.3.3.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.2.1.1.1"><times id="S3.Ex27.m1.3.3.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.2.1.1.1.3"></times><apply id="S3.Ex27.m1.3.3.2.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.2.1.1.1.4"><ln id="S3.Ex27.m1.3.3.2.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.2.1.1.1.4.1"></ln><apply id="S3.Ex27.m1.3.3.2.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.2.1.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex27.m1.3.3.2.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.2.1.1.1.4.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex27.m1.3.3.2.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.2.1.1.1.4.2.2">ℙ</ci><ci id="S3.Ex27.m1.3.3.2.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.2.1.1.1.4.2.3">𝜃</ci></apply></apply><interval closure="closed" id="S3.Ex27.m1.3.3.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.2.1.1.1.2.2"><apply id="S3.Ex27.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex27.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex27.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.2">𝒙</ci><ci id="S3.Ex27.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.3">𝑐</ci></apply><apply id="S3.Ex27.m1.3.3.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.2.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex27.m1.3.3.2.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.2.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex27.m1.3.3.2.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.2.1.1.1.2.2.2.2">𝒔</ci><ci id="S3.Ex27.m1.3.3.2.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.2.1.1.1.2.2.2.3">𝑐</ci></apply></interval></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex27.m1.3c">\displaystyle Q_{2}(\theta,\theta^{k})=\mathbb{E}_{\theta^{k}}[\ln\mathbb{P}_{% \theta}[\bm{x}_{c},\bm{s}_{c}]]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex27.m1.3d">italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_θ , italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT ) = blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT [ roman_ln blackboard_P start_POSTSUBSCRIPT italic_θ end_POSTSUBSCRIPT [ bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ] ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex28"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum_{t=1}^{T}\sum_{j=1}^{m_{c}}w_{tj}^{c}\mathbb{E}_{\theta^{k}% }[\ln\mathcal{N}(\mu_{2}(t,j),\Sigma_{c}(j))+\sum_{j=1}^{m_{c}}\ln\pi_{j}^{c}% \sum_{t=1}^{T}w_{tj}^{c}" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S3.Ex28.m1.3"><semantics id="S3.Ex28.m1.3a"><mrow id="S3.Ex28.m1.3b"><mo id="S3.Ex28.m1.3.4">=</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex28.m1.3.5"><munderover id="S3.Ex28.m1.3.5a"><mo id="S3.Ex28.m1.3.5.2.2" movablelimits="false">∑</mo><mrow id="S3.Ex28.m1.3.5.2.3"><mi id="S3.Ex28.m1.3.5.2.3.2">t</mi><mo id="S3.Ex28.m1.3.5.2.3.1">=</mo><mn id="S3.Ex28.m1.3.5.2.3.3">1</mn></mrow><mi id="S3.Ex28.m1.3.5.3">T</mi></munderover></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex28.m1.3.6"><munderover id="S3.Ex28.m1.3.6a"><mo id="S3.Ex28.m1.3.6.2.2" movablelimits="false">∑</mo><mrow id="S3.Ex28.m1.3.6.2.3"><mi id="S3.Ex28.m1.3.6.2.3.2">j</mi><mo id="S3.Ex28.m1.3.6.2.3.1">=</mo><mn id="S3.Ex28.m1.3.6.2.3.3">1</mn></mrow><msub id="S3.Ex28.m1.3.6.3"><mi id="S3.Ex28.m1.3.6.3.2">m</mi><mi id="S3.Ex28.m1.3.6.3.3">c</mi></msub></munderover></mstyle><msubsup id="S3.Ex28.m1.3.7"><mi id="S3.Ex28.m1.3.7.2.2">w</mi><mrow id="S3.Ex28.m1.3.7.2.3"><mi id="S3.Ex28.m1.3.7.2.3.2">t</mi><mo id="S3.Ex28.m1.3.7.2.3.1">⁢</mo><mi id="S3.Ex28.m1.3.7.2.3.3">j</mi></mrow><mi id="S3.Ex28.m1.3.7.3">c</mi></msubsup><msub id="S3.Ex28.m1.3.8"><mi id="S3.Ex28.m1.3.8.2">𝔼</mi><msup id="S3.Ex28.m1.3.8.3"><mi id="S3.Ex28.m1.3.8.3.2">θ</mi><mi id="S3.Ex28.m1.3.8.3.3">k</mi></msup></msub><mrow id="S3.Ex28.m1.3.9"><mo id="S3.Ex28.m1.3.9.1" stretchy="false">[</mo><mi id="S3.Ex28.m1.3.9.2">ln</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex28.m1.3.9.3">𝒩</mi><mrow id="S3.Ex28.m1.3.9.4"><mo id="S3.Ex28.m1.3.9.4.1" stretchy="false">(</mo><msub id="S3.Ex28.m1.3.9.4.2"><mi id="S3.Ex28.m1.3.9.4.2.2">μ</mi><mn id="S3.Ex28.m1.3.9.4.2.3">2</mn></msub><mrow id="S3.Ex28.m1.3.9.4.3"><mo id="S3.Ex28.m1.3.9.4.3.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S3.Ex28.m1.1.1">t</mi><mo id="S3.Ex28.m1.3.9.4.3.2">,</mo><mi id="S3.Ex28.m1.2.2">j</mi><mo id="S3.Ex28.m1.3.9.4.3.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex28.m1.3.9.4.4">,</mo><msub id="S3.Ex28.m1.3.9.4.5"><mi id="S3.Ex28.m1.3.9.4.5.2" mathvariant="normal">Σ</mi><mi id="S3.Ex28.m1.3.9.4.5.3">c</mi></msub><mrow id="S3.Ex28.m1.3.9.4.6"><mo id="S3.Ex28.m1.3.9.4.6.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S3.Ex28.m1.3.3">j</mi><mo id="S3.Ex28.m1.3.9.4.6.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex28.m1.3.9.4.7" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex28.m1.3.9.5">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex28.m1.3.9.6"><munderover id="S3.Ex28.m1.3.9.6a"><mo id="S3.Ex28.m1.3.9.6.2.2" movablelimits="false">∑</mo><mrow id="S3.Ex28.m1.3.9.6.2.3"><mi id="S3.Ex28.m1.3.9.6.2.3.2">j</mi><mo id="S3.Ex28.m1.3.9.6.2.3.1">=</mo><mn id="S3.Ex28.m1.3.9.6.2.3.3">1</mn></mrow><msub id="S3.Ex28.m1.3.9.6.3"><mi id="S3.Ex28.m1.3.9.6.3.2">m</mi><mi id="S3.Ex28.m1.3.9.6.3.3">c</mi></msub></munderover></mstyle><mi id="S3.Ex28.m1.3.9.7">ln</mi><msubsup id="S3.Ex28.m1.3.9.8"><mi id="S3.Ex28.m1.3.9.8.2.2">π</mi><mi id="S3.Ex28.m1.3.9.8.2.3">j</mi><mi id="S3.Ex28.m1.3.9.8.3">c</mi></msubsup><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex28.m1.3.9.9"><munderover id="S3.Ex28.m1.3.9.9a"><mo id="S3.Ex28.m1.3.9.9.2.2" movablelimits="false">∑</mo><mrow id="S3.Ex28.m1.3.9.9.2.3"><mi id="S3.Ex28.m1.3.9.9.2.3.2">t</mi><mo id="S3.Ex28.m1.3.9.9.2.3.1">=</mo><mn id="S3.Ex28.m1.3.9.9.2.3.3">1</mn></mrow><mi id="S3.Ex28.m1.3.9.9.3">T</mi></munderover></mstyle><msubsup id="S3.Ex28.m1.3.9.10"><mi id="S3.Ex28.m1.3.9.10.2.2">w</mi><mrow id="S3.Ex28.m1.3.9.10.2.3"><mi id="S3.Ex28.m1.3.9.10.2.3.2">t</mi><mo id="S3.Ex28.m1.3.9.10.2.3.1">⁢</mo><mi id="S3.Ex28.m1.3.9.10.2.3.3">j</mi></mrow><mi id="S3.Ex28.m1.3.9.10.3">c</mi></msubsup></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex28.m1.3c">\displaystyle=\sum_{t=1}^{T}\sum_{j=1}^{m_{c}}w_{tj}^{c}\mathbb{E}_{\theta^{k}% }[\ln\mathcal{N}(\mu_{2}(t,j),\Sigma_{c}(j))+\sum_{j=1}^{m_{c}}\ln\pi_{j}^{c}% \sum_{t=1}^{T}w_{tj}^{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex28.m1.3d">= ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT italic_w start_POSTSUBSCRIPT italic_t italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_c end_POSTSUPERSCRIPT blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT [ roman_ln caligraphic_N ( italic_μ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t , italic_j ) , roman_Σ start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_j ) ) + ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT roman_ln italic_π start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_c end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT italic_w start_POSTSUBSCRIPT italic_t italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_c end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex29"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle Q_{3}(\theta,\theta^{k})=\mathbb{E}_{\theta^{k}}[\ln\mathbb{P}_{% \theta}[\bm{x}_{a},\bm{s}_{a}]]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex29.m1.3"><semantics id="S3.Ex29.m1.3a"><mrow id="S3.Ex29.m1.3.3" xref="S3.Ex29.m1.3.3.cmml"><mrow id="S3.Ex29.m1.2.2.1" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.cmml"><msub id="S3.Ex29.m1.2.2.1.3" 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Q_{3}(\theta,\theta^{k})=\mathbb{E}_{\theta^{k}}[\ln\mathbb{P}_{% \theta}[\bm{x}_{a},\bm{s}_{a}]]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex29.m1.3d">italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_θ , italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT ) = blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT [ roman_ln blackboard_P start_POSTSUBSCRIPT italic_θ end_POSTSUBSCRIPT [ bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ] ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.E11"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum_{t=1}^{T}\sum_{l=1}^{m_{a}}w_{tl}^{a}\mathbb{E}_{\theta^{k}% }[\ln\mathcal{N}(\mu_{3}(t,l),\Sigma_{a}(l))+\sum_{l=1}^{m_{a}}\ln\pi_{l}^{a}% \sum_{t=1}^{T}w_{tl}^{a}." class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S3.E11.m1.3"><semantics id="S3.E11.m1.3a"><mrow id="S3.E11.m1.3b"><mo id="S3.E11.m1.3.4">=</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.E11.m1.3.5"><munderover id="S3.E11.m1.3.5a"><mo id="S3.E11.m1.3.5.2.2" movablelimits="false">∑</mo><mrow id="S3.E11.m1.3.5.2.3"><mi id="S3.E11.m1.3.5.2.3.2">t</mi><mo id="S3.E11.m1.3.5.2.3.1">=</mo><mn id="S3.E11.m1.3.5.2.3.3">1</mn></mrow><mi id="S3.E11.m1.3.5.3">T</mi></munderover></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="S3.E11.m1.3.6"><munderover id="S3.E11.m1.3.6a"><mo id="S3.E11.m1.3.6.2.2" movablelimits="false">∑</mo><mrow id="S3.E11.m1.3.6.2.3"><mi id="S3.E11.m1.3.6.2.3.2">l</mi><mo id="S3.E11.m1.3.6.2.3.1">=</mo><mn id="S3.E11.m1.3.6.2.3.3">1</mn></mrow><msub id="S3.E11.m1.3.6.3"><mi id="S3.E11.m1.3.6.3.2">m</mi><mi id="S3.E11.m1.3.6.3.3">a</mi></msub></munderover></mstyle><msubsup id="S3.E11.m1.3.7"><mi id="S3.E11.m1.3.7.2.2">w</mi><mrow id="S3.E11.m1.3.7.2.3"><mi id="S3.E11.m1.3.7.2.3.2">t</mi><mo id="S3.E11.m1.3.7.2.3.1">⁢</mo><mi id="S3.E11.m1.3.7.2.3.3">l</mi></mrow><mi id="S3.E11.m1.3.7.3">a</mi></msubsup><msub id="S3.E11.m1.3.8"><mi id="S3.E11.m1.3.8.2">𝔼</mi><msup id="S3.E11.m1.3.8.3"><mi id="S3.E11.m1.3.8.3.2">θ</mi><mi id="S3.E11.m1.3.8.3.3">k</mi></msup></msub><mrow id="S3.E11.m1.3.9"><mo id="S3.E11.m1.3.9.1" stretchy="false">[</mo><mi id="S3.E11.m1.3.9.2">ln</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E11.m1.3.9.3">𝒩</mi><mrow id="S3.E11.m1.3.9.4"><mo id="S3.E11.m1.3.9.4.1" stretchy="false">(</mo><msub id="S3.E11.m1.3.9.4.2"><mi id="S3.E11.m1.3.9.4.2.2">μ</mi><mn id="S3.E11.m1.3.9.4.2.3">3</mn></msub><mrow id="S3.E11.m1.3.9.4.3"><mo id="S3.E11.m1.3.9.4.3.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S3.E11.m1.1.1">t</mi><mo id="S3.E11.m1.3.9.4.3.2">,</mo><mi id="S3.E11.m1.2.2">l</mi><mo id="S3.E11.m1.3.9.4.3.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S3.E11.m1.3.9.4.4">,</mo><msub id="S3.E11.m1.3.9.4.5"><mi id="S3.E11.m1.3.9.4.5.2" mathvariant="normal">Σ</mi><mi id="S3.E11.m1.3.9.4.5.3">a</mi></msub><mrow id="S3.E11.m1.3.9.4.6"><mo id="S3.E11.m1.3.9.4.6.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S3.E11.m1.3.3">l</mi><mo id="S3.E11.m1.3.9.4.6.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S3.E11.m1.3.9.4.7" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S3.E11.m1.3.9.5">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.E11.m1.3.9.6"><munderover id="S3.E11.m1.3.9.6a"><mo id="S3.E11.m1.3.9.6.2.2" movablelimits="false">∑</mo><mrow id="S3.E11.m1.3.9.6.2.3"><mi id="S3.E11.m1.3.9.6.2.3.2">l</mi><mo id="S3.E11.m1.3.9.6.2.3.1">=</mo><mn id="S3.E11.m1.3.9.6.2.3.3">1</mn></mrow><msub id="S3.E11.m1.3.9.6.3"><mi id="S3.E11.m1.3.9.6.3.2">m</mi><mi id="S3.E11.m1.3.9.6.3.3">a</mi></msub></munderover></mstyle><mi id="S3.E11.m1.3.9.7">ln</mi><msubsup id="S3.E11.m1.3.9.8"><mi id="S3.E11.m1.3.9.8.2.2">π</mi><mi id="S3.E11.m1.3.9.8.2.3">l</mi><mi id="S3.E11.m1.3.9.8.3">a</mi></msubsup><mstyle displaystyle="true" id="S3.E11.m1.3.9.9"><munderover id="S3.E11.m1.3.9.9a"><mo id="S3.E11.m1.3.9.9.2.2" movablelimits="false">∑</mo><mrow id="S3.E11.m1.3.9.9.2.3"><mi id="S3.E11.m1.3.9.9.2.3.2">t</mi><mo id="S3.E11.m1.3.9.9.2.3.1">=</mo><mn id="S3.E11.m1.3.9.9.2.3.3">1</mn></mrow><mi id="S3.E11.m1.3.9.9.3">T</mi></munderover></mstyle><msubsup id="S3.E11.m1.3.9.10"><mi id="S3.E11.m1.3.9.10.2.2">w</mi><mrow id="S3.E11.m1.3.9.10.2.3"><mi id="S3.E11.m1.3.9.10.2.3.2">t</mi><mo id="S3.E11.m1.3.9.10.2.3.1">⁢</mo><mi id="S3.E11.m1.3.9.10.2.3.3">l</mi></mrow><mi id="S3.E11.m1.3.9.10.3">a</mi></msubsup><mo id="S3.E11.m1.3.9.11" lspace="0em">.</mo></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E11.m1.3c">\displaystyle=\sum_{t=1}^{T}\sum_{l=1}^{m_{a}}w_{tl}^{a}\mathbb{E}_{\theta^{k}% }[\ln\mathcal{N}(\mu_{3}(t,l),\Sigma_{a}(l))+\sum_{l=1}^{m_{a}}\ln\pi_{l}^{a}% \sum_{t=1}^{T}w_{tl}^{a}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E11.m1.3d">= ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_l = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT italic_w start_POSTSUBSCRIPT italic_t italic_l end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_a end_POSTSUPERSCRIPT blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT [ roman_ln caligraphic_N ( italic_μ start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t , italic_l ) , roman_Σ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_l ) ) + ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_l = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT roman_ln italic_π start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_a end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT italic_w start_POSTSUBSCRIPT italic_t italic_l end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_a end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(11)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S3.p5"> <p class="ltx_p" id="S3.p5.3">Subsequently, the second step is to maximize the <math alttext="Q(\theta,\theta^{k})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p5.1.m1.2"><semantics id="S3.p5.1.m1.2a"><mrow id="S3.p5.1.m1.2.2" xref="S3.p5.1.m1.2.2.cmml"><mi id="S3.p5.1.m1.2.2.3" xref="S3.p5.1.m1.2.2.3.cmml">Q</mi><mo id="S3.p5.1.m1.2.2.2" xref="S3.p5.1.m1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p5.1.m1.2.2.1.1" xref="S3.p5.1.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.p5.1.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.p5.1.m1.2.2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.p5.1.m1.1.1" xref="S3.p5.1.m1.1.1.cmml">θ</mi><mo id="S3.p5.1.m1.2.2.1.1.3" xref="S3.p5.1.m1.2.2.1.2.cmml">,</mo><msup id="S3.p5.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">θ</mi><mi id="S3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">k</mi></msup><mo id="S3.p5.1.m1.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.p5.1.m1.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p5.1.m1.2b"><apply id="S3.p5.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.p5.1.m1.2.2"><times id="S3.p5.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.p5.1.m1.2.2.2"></times><ci id="S3.p5.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.p5.1.m1.2.2.3">𝑄</ci><interval closure="open" id="S3.p5.1.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S3.p5.1.m1.2.2.1.1"><ci id="S3.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.p5.1.m1.1.1">𝜃</ci><apply id="S3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.p5.1.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p5.1.m1.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.2">𝜃</ci><ci id="S3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p5.1.m1.2c">Q(\theta,\theta^{k})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p5.1.m1.2d">italic_Q ( italic_θ , italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> to obtain <math alttext="\theta^{k+1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p5.2.m2.1"><semantics id="S3.p5.2.m2.1a"><msup id="S3.p5.2.m2.1.1" xref="S3.p5.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.p5.2.m2.1.1.2" xref="S3.p5.2.m2.1.1.2.cmml">θ</mi><mrow id="S3.p5.2.m2.1.1.3" xref="S3.p5.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p5.2.m2.1.1.3.2" xref="S3.p5.2.m2.1.1.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.p5.2.m2.1.1.3.1" xref="S3.p5.2.m2.1.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.p5.2.m2.1.1.3.3" xref="S3.p5.2.m2.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p5.2.m2.1b"><apply id="S3.p5.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.p5.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p5.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.p5.2.m2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.p5.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.p5.2.m2.1.1.2">𝜃</ci><apply id="S3.p5.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.p5.2.m2.1.1.3"><plus id="S3.p5.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p5.2.m2.1.1.3.1"></plus><ci id="S3.p5.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p5.2.m2.1.1.3.2">𝑘</ci><cn id="S3.p5.2.m2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.p5.2.m2.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p5.2.m2.1c">\theta^{k+1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p5.2.m2.1d">italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, formally defined as <math alttext="\theta^{k+1}=\arg\max_{\theta}Q(\theta,\theta^{k})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p5.3.m3.2"><semantics id="S3.p5.3.m3.2a"><mrow id="S3.p5.3.m3.2.2" xref="S3.p5.3.m3.2.2.cmml"><msup id="S3.p5.3.m3.2.2.3" xref="S3.p5.3.m3.2.2.3.cmml"><mi id="S3.p5.3.m3.2.2.3.2" xref="S3.p5.3.m3.2.2.3.2.cmml">θ</mi><mrow id="S3.p5.3.m3.2.2.3.3" xref="S3.p5.3.m3.2.2.3.3.cmml"><mi id="S3.p5.3.m3.2.2.3.3.2" xref="S3.p5.3.m3.2.2.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.p5.3.m3.2.2.3.3.1" xref="S3.p5.3.m3.2.2.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.p5.3.m3.2.2.3.3.3" xref="S3.p5.3.m3.2.2.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S3.p5.3.m3.2.2.2" xref="S3.p5.3.m3.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.p5.3.m3.2.2.1" xref="S3.p5.3.m3.2.2.1.cmml"><mrow id="S3.p5.3.m3.2.2.1.3" xref="S3.p5.3.m3.2.2.1.3.cmml"><mi id="S3.p5.3.m3.2.2.1.3.1" xref="S3.p5.3.m3.2.2.1.3.1.cmml">arg</mi><mo id="S3.p5.3.m3.2.2.1.3a" lspace="0.167em" xref="S3.p5.3.m3.2.2.1.3.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.p5.3.m3.2.2.1.3.2" xref="S3.p5.3.m3.2.2.1.3.2.cmml"><msub id="S3.p5.3.m3.2.2.1.3.2.1" xref="S3.p5.3.m3.2.2.1.3.2.1.cmml"><mi id="S3.p5.3.m3.2.2.1.3.2.1.2" xref="S3.p5.3.m3.2.2.1.3.2.1.2.cmml">max</mi><mi id="S3.p5.3.m3.2.2.1.3.2.1.3" xref="S3.p5.3.m3.2.2.1.3.2.1.3.cmml">θ</mi></msub><mo id="S3.p5.3.m3.2.2.1.3.2a" lspace="0.167em" xref="S3.p5.3.m3.2.2.1.3.2.cmml">⁡</mo><mi id="S3.p5.3.m3.2.2.1.3.2.2" xref="S3.p5.3.m3.2.2.1.3.2.2.cmml">Q</mi></mrow></mrow><mo id="S3.p5.3.m3.2.2.1.2" xref="S3.p5.3.m3.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p5.3.m3.2.2.1.1.1" xref="S3.p5.3.m3.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S3.p5.3.m3.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.p5.3.m3.2.2.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.p5.3.m3.1.1" xref="S3.p5.3.m3.1.1.cmml">θ</mi><mo id="S3.p5.3.m3.2.2.1.1.1.3" xref="S3.p5.3.m3.2.2.1.1.2.cmml">,</mo><msup id="S3.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1" xref="S3.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1.2.cmml">θ</mi><mi id="S3.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msup><mo id="S3.p5.3.m3.2.2.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.p5.3.m3.2.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p5.3.m3.2b"><apply id="S3.p5.3.m3.2.2.cmml" xref="S3.p5.3.m3.2.2"><eq id="S3.p5.3.m3.2.2.2.cmml" xref="S3.p5.3.m3.2.2.2"></eq><apply id="S3.p5.3.m3.2.2.3.cmml" xref="S3.p5.3.m3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p5.3.m3.2.2.3.1.cmml" xref="S3.p5.3.m3.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.p5.3.m3.2.2.3.2.cmml" xref="S3.p5.3.m3.2.2.3.2">𝜃</ci><apply id="S3.p5.3.m3.2.2.3.3.cmml" xref="S3.p5.3.m3.2.2.3.3"><plus id="S3.p5.3.m3.2.2.3.3.1.cmml" xref="S3.p5.3.m3.2.2.3.3.1"></plus><ci id="S3.p5.3.m3.2.2.3.3.2.cmml" xref="S3.p5.3.m3.2.2.3.3.2">𝑘</ci><cn id="S3.p5.3.m3.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.p5.3.m3.2.2.3.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.p5.3.m3.2.2.1.cmml" xref="S3.p5.3.m3.2.2.1"><times id="S3.p5.3.m3.2.2.1.2.cmml" xref="S3.p5.3.m3.2.2.1.2"></times><apply id="S3.p5.3.m3.2.2.1.3.cmml" xref="S3.p5.3.m3.2.2.1.3"><arg id="S3.p5.3.m3.2.2.1.3.1.cmml" xref="S3.p5.3.m3.2.2.1.3.1"></arg><apply id="S3.p5.3.m3.2.2.1.3.2.cmml" xref="S3.p5.3.m3.2.2.1.3.2"><apply id="S3.p5.3.m3.2.2.1.3.2.1.cmml" xref="S3.p5.3.m3.2.2.1.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p5.3.m3.2.2.1.3.2.1.1.cmml" xref="S3.p5.3.m3.2.2.1.3.2.1">subscript</csymbol><max id="S3.p5.3.m3.2.2.1.3.2.1.2.cmml" xref="S3.p5.3.m3.2.2.1.3.2.1.2"></max><ci id="S3.p5.3.m3.2.2.1.3.2.1.3.cmml" xref="S3.p5.3.m3.2.2.1.3.2.1.3">𝜃</ci></apply><ci id="S3.p5.3.m3.2.2.1.3.2.2.cmml" xref="S3.p5.3.m3.2.2.1.3.2.2">𝑄</ci></apply></apply><interval closure="open" id="S3.p5.3.m3.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.p5.3.m3.2.2.1.1.1"><ci id="S3.p5.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.p5.3.m3.1.1">𝜃</ci><apply id="S3.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1.2">𝜃</ci><ci id="S3.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p5.3.m3.2c">\theta^{k+1}=\arg\max_{\theta}Q(\theta,\theta^{k})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p5.3.m3.2d">italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT = roman_arg roman_max start_POSTSUBSCRIPT italic_θ end_POSTSUBSCRIPT italic_Q ( italic_θ , italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.p6"> <p class="ltx_p" id="S3.p6.1">Algorithm <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#algorithm1" title="Algorithm 1 ‣ 3 The EM method for identifying NCS-RSM ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> summarizes the two main steps of the proposed identification methodology for NCS-RSM. We characterize next the monotonic properties of the likelihood function in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S3.E2" title="In 3 The EM method for identifying NCS-RSM ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>) when the EM algorithm is iteratively applied to estimate the system parameters <math alttext="\theta" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p6.1.m1.1"><semantics id="S3.p6.1.m1.1a"><mi id="S3.p6.1.m1.1.1" xref="S3.p6.1.m1.1.1.cmml">θ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p6.1.m1.1b"><ci id="S3.p6.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.p6.1.m1.1.1">𝜃</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p6.1.m1.1c">\theta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p6.1.m1.1d">italic_θ</annotation></semantics></math>:</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmlemma1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma1.1.1.1">Lemma 1</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma1.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmlemma1.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmlemma1.p1.5"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlemma1.p1.5.5">Given a dataset <math alttext="\bm{y}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.1a"><mi id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.1.1.cmml">𝐲</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.1b"><ci id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.1.1">𝐲</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.1c">\bm{y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.1d">bold_italic_y</annotation></semantics></math>, let <math alttext="\{\theta^{k}\}_{k\in\mathbb{Z}}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1a"><msub id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mrow id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.1.1" xref="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.1.2.cmml"><mo id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.1.2.cmml">{</mo><msup id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1" xref="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.2" xref="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">θ</mi><mi id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.3" xref="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msup><mo id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><mrow id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.3.2" xref="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.3.2.cmml">k</mi><mo id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.3.1" xref="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.3.1.cmml">∈</mo><mi id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.3.3" xref="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.3.3.cmml">ℤ</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1">subscript</csymbol><set id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.1.1"><apply id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.2">𝜃</ci><ci id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></set><apply id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.3"><in id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.3.1"></in><ci id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.3.2">𝑘</ci><ci id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.3.3">ℤ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1c">\{\theta^{k}\}_{k\in\mathbb{Z}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1d">{ italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT } start_POSTSUBSCRIPT italic_k ∈ blackboard_Z end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> be the sequence generated by Algorithm <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#algorithm1" title="Algorithm 1 ‣ 3 The EM method for identifying NCS-RSM ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>. Then, the likelihood function in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S3.E2" title="In 3 The EM method for identifying NCS-RSM ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>), evaluated along <math alttext="\{\theta^{k}\}_{k\in\mathbb{Z}}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1"><semantics id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1a"><msub id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.cmml"><mrow id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.1.1" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.1.2.cmml"><mo id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.1.2.cmml">{</mo><msup id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.2" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml">θ</mi><mi id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.3" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msup><mo id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><mrow id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.3" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.3.2" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.3.2.cmml">k</mi><mo id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.3.1" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.3.1.cmml">∈</mo><mi id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.3.3" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.3.3.cmml">ℤ</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1b"><apply id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1">subscript</csymbol><set id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.1.1"><apply id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.2">𝜃</ci><ci id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></set><apply id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.3"><in id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.3.1"></in><ci id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.3.2">𝑘</ci><ci id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.3.3">ℤ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1c">\{\theta^{k}\}_{k\in\mathbb{Z}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1d">{ italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT } start_POSTSUBSCRIPT italic_k ∈ blackboard_Z end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, is non-decreasing, thereby yielding <math alttext="\ln\mathbb{P}_{\theta^{k+1}}[\bm{y}]\geq\ln\mathbb{P}_{\theta^{k}}[\bm{y}]" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2"><semantics id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2a"><mrow id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3" xref="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.cmml"><mrow id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.2" xref="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.2.cmml"><mrow id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.2.2" xref="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.2.2.cmml"><mi id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.2.2.1" xref="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.2.2.1.cmml">ln</mi><mo id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.2.2a" lspace="0.167em" xref="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.2.2.cmml">⁡</mo><msub id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.2.2.2" xref="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.2.2.2.cmml"><mi id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.2.2.2.2" xref="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.2.2.2.2.cmml">ℙ</mi><msup id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.2.2.2.3" xref="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.2.2.2.3.cmml"><mi id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.2.2.2.3.2" xref="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.2.2.2.3.2.cmml">θ</mi><mrow id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.2.2.2.3.3" xref="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.2.2.2.3.3.2" xref="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.2.2.2.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.2.2.2.3.3.1" xref="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.2.2.2.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.2.2.2.3.3.3" xref="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.2.2.2.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup></msub></mrow><mo id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.2.1" xref="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.2.3.2" xref="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.2.3.1.cmml"><mo id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1" xref="Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.cmml">𝐲</mi><mo id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.1" xref="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.1.cmml">≥</mo><mrow id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.3" xref="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.3.cmml"><mrow id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.3.2" xref="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.3.2.cmml"><mi id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.3.2.1" xref="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.3.2.1.cmml">ln</mi><mo id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.3.2a" lspace="0.167em" xref="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.3.2.cmml">⁡</mo><msub id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.3.2.2" xref="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.3.2.2.cmml"><mi id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.3.2.2.2" xref="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.3.2.2.2.cmml">ℙ</mi><msup id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.3.2.2.3" xref="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.3.2.2.3.cmml"><mi id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.3.2.2.3.2" xref="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.3.2.2.3.2.cmml">θ</mi><mi id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.3.2.2.3.3" xref="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.3.2.2.3.3.cmml">k</mi></msup></msub></mrow><mo id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.3.1" xref="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.3.3.2" xref="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.3.3.1.cmml"><mo id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.3.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2" xref="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2.cmml">𝐲</mi><mo id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.3.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.3.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2b"><apply id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.cmml" xref="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3"><geq id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.1"></geq><apply id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.2"><times id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.2.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.2.1"></times><apply id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.2.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.2.2"><ln id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.2.2.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.2.2.1"></ln><apply id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.2.2.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.2.2.2.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.2.2.2.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.2.2.2.2">ℙ</ci><apply id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.2.2.2.3.cmml" xref="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.2.2.2.3.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.2.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.2.2.2.3.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.2.2.2.3.2">𝜃</ci><apply id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.2.2.2.3.3.cmml" xref="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.2.2.2.3.3"><plus id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.2.2.2.3.3.1"></plus><ci id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.2.2.2.3.3.2">𝑘</ci><cn id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.2.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.2.2.2.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.2.3.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.2.3.1.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1">𝐲</ci></apply></apply><apply id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.3.cmml" xref="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.3"><times id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.3.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.3.1"></times><apply id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.3.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.3.2"><ln id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.3.2.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.3.2.1"></ln><apply id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.3.2.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.3.2.2.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.3.2.2.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.3.2.2.2">ℙ</ci><apply id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.3.2.2.3.cmml" xref="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.3.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.3.2.2.3.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.3.2.2.3.2">𝜃</ci><ci id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.3.2.2.3.3.cmml" xref="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.3.2.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply><apply id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.3.3.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.3.3.2"><csymbol cd="latexml" id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.3.3.1.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.3.3.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2">𝐲</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2c">\ln\mathbb{P}_{\theta^{k+1}}[\bm{y}]\geq\ln\mathbb{P}_{\theta^{k}}[\bm{y}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma1.p1.4.4.m4.2d">roman_ln blackboard_P start_POSTSUBSCRIPT italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT [ bold_italic_y ] ≥ roman_ln blackboard_P start_POSTSUBSCRIPT italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT [ bold_italic_y ]</annotation></semantics></math> for all <math alttext="k\in\mathbb{Z}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma1.p1.5.5.m5.1"><semantics id="Thmlemma1.p1.5.5.m5.1a"><mrow id="Thmlemma1.p1.5.5.m5.1.1" xref="Thmlemma1.p1.5.5.m5.1.1.cmml"><mi id="Thmlemma1.p1.5.5.m5.1.1.2" xref="Thmlemma1.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="Thmlemma1.p1.5.5.m5.1.1.1" xref="Thmlemma1.p1.5.5.m5.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="Thmlemma1.p1.5.5.m5.1.1.3" xref="Thmlemma1.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml">ℤ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma1.p1.5.5.m5.1b"><apply id="Thmlemma1.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.5.5.m5.1.1"><in id="Thmlemma1.p1.5.5.m5.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.5.5.m5.1.1.1"></in><ci id="Thmlemma1.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.5.5.m5.1.1.2">𝑘</ci><ci id="Thmlemma1.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml" xref="Thmlemma1.p1.5.5.m5.1.1.3">ℤ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma1.p1.5.5.m5.1c">k\in\mathbb{Z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma1.p1.5.5.m5.1d">italic_k ∈ blackboard_Z</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S3.p7"> <p class="ltx_p" id="S3.p7.1">The proof of Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#Thmlemma1" title="Lemma 1. ‣ 3 The EM method for identifying NCS-RSM ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> is shown in <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#A1" title="Appendix A Technical proofs ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">A</span></a>.</p> </div> <figure class="ltx_float ltx_float_algorithm ltx_framed ltx_framed_top" id="algorithm1"> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_float"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="algorithm1.5.1.1">Algorithm 1</span> </span> EM-based identification of NCS-RSM</figcaption><div class="ltx_flex_figure"> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> <p class="ltx_p ltx_figure_panel" id="algorithm1.2"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="algorithm1.2.1">Initialization:</span> Collect data <math alttext="\bm{y}_{1:T}" class="ltx_Math" display="inline" id="algorithm1.1.m1.1"><semantics id="algorithm1.1.m1.1a"><msub id="algorithm1.1.m1.1.1" xref="algorithm1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="algorithm1.1.m1.1.1.2" xref="algorithm1.1.m1.1.1.2.cmml">𝒚</mi><mrow id="algorithm1.1.m1.1.1.3" xref="algorithm1.1.m1.1.1.3.cmml"><mn id="algorithm1.1.m1.1.1.3.2" xref="algorithm1.1.m1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="algorithm1.1.m1.1.1.3.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="algorithm1.1.m1.1.1.3.1.cmml">:</mo><mi id="algorithm1.1.m1.1.1.3.3" xref="algorithm1.1.m1.1.1.3.3.cmml">T</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="algorithm1.1.m1.1b"><apply id="algorithm1.1.m1.1.1.cmml" xref="algorithm1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="algorithm1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="algorithm1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="algorithm1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="algorithm1.1.m1.1.1.2">𝒚</ci><apply id="algorithm1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="algorithm1.1.m1.1.1.3"><ci id="algorithm1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="algorithm1.1.m1.1.1.3.1">:</ci><cn id="algorithm1.1.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="algorithm1.1.m1.1.1.3.2">1</cn><ci id="algorithm1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="algorithm1.1.m1.1.1.3.3">𝑇</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="algorithm1.1.m1.1c">\bm{y}_{1:T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="algorithm1.1.m1.1d">bold_italic_y start_POSTSUBSCRIPT 1 : italic_T end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, set <math alttext="\theta^{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="algorithm1.2.m2.1"><semantics id="algorithm1.2.m2.1a"><msup id="algorithm1.2.m2.1.1" xref="algorithm1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="algorithm1.2.m2.1.1.2" xref="algorithm1.2.m2.1.1.2.cmml">θ</mi><mn id="algorithm1.2.m2.1.1.3" xref="algorithm1.2.m2.1.1.3.cmml">0</mn></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="algorithm1.2.m2.1b"><apply id="algorithm1.2.m2.1.1.cmml" xref="algorithm1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="algorithm1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="algorithm1.2.m2.1.1">superscript</csymbol><ci id="algorithm1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="algorithm1.2.m2.1.1.2">𝜃</ci><cn id="algorithm1.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="algorithm1.2.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="algorithm1.2.m2.1c">\theta^{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="algorithm1.2.m2.1d">italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT 0 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></p> </div> <div class="ltx_flex_break"></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> <p class="ltx_p ltx_figure_panel" id="algorithm1.3"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="algorithm1.3.1">Iteration</span> <math alttext="k\in\mathbb{Z}" class="ltx_Math" display="inline" id="algorithm1.3.m1.1"><semantics id="algorithm1.3.m1.1a"><mrow id="algorithm1.3.m1.1.1" xref="algorithm1.3.m1.1.1.cmml"><mi id="algorithm1.3.m1.1.1.2" xref="algorithm1.3.m1.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="algorithm1.3.m1.1.1.1" xref="algorithm1.3.m1.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="algorithm1.3.m1.1.1.3" xref="algorithm1.3.m1.1.1.3.cmml">ℤ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="algorithm1.3.m1.1b"><apply id="algorithm1.3.m1.1.1.cmml" xref="algorithm1.3.m1.1.1"><in id="algorithm1.3.m1.1.1.1.cmml" xref="algorithm1.3.m1.1.1.1"></in><ci id="algorithm1.3.m1.1.1.2.cmml" xref="algorithm1.3.m1.1.1.2">𝑘</ci><ci id="algorithm1.3.m1.1.1.3.cmml" xref="algorithm1.3.m1.1.1.3">ℤ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="algorithm1.3.m1.1c">k\in\mathbb{Z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="algorithm1.3.m1.1d">italic_k ∈ blackboard_Z</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="algorithm1.3.2">:</span></p> </div> <div class="ltx_flex_break"></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> <ol class="ltx_enumerate ltx_figure_panel" id="S3.I1"> <li class="ltx_item" id="S3.I1.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">1.</span> <div class="ltx_para" id="S3.I1.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I1.i1.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.I1.i1.p1.1.1">E-step</span>: Compute <math alttext="Q(\theta,\theta^{k})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2"><semantics id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2a"><mrow id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2.3" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2.3.cmml">Q</mi><mo id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2.2" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.cmml">θ</mi><mo id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.3" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml">,</mo><msup id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">θ</mi><mi id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">k</mi></msup><mo id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2b"><apply id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2"><times id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2.2"></times><ci id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2.3">𝑄</ci><interval closure="open" id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1"><ci id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1">𝜃</ci><apply id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2">𝜃</ci><ci id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2c">Q(\theta,\theta^{k})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2d">italic_Q ( italic_θ , italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> using (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S3.E9" title="In 3 The EM method for identifying NCS-RSM ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">9</span></a>), (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S3.E10" title="In 3 The EM method for identifying NCS-RSM ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">10</span></a>), (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S3.Ex25" title="3 The EM method for identifying NCS-RSM ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>)</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S3.I1.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">2.</span> <div class="ltx_para" id="S3.I1.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I1.i2.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.I1.i2.p1.1.1">M-step</span>: Set <math alttext="\theta^{k+1}=\underset{\theta}{\arg\max}~{}Q(\theta,\theta^{k})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2"><semantics id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2a"><mrow id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.cmml"><msup id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.3" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.3.2" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.3.2.cmml">θ</mi><mrow id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.3.3" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.3.3.cmml"><mi id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.3.3.2" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.3.3.1" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.3.3.3" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.cmml"><munder accentunder="true" id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.3" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.3.cmml"><mrow id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.3.2" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.3.2.cmml"><mi id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.3.2.1" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.3.2.1.cmml">arg</mi><mo id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.3.2a" lspace="0.167em" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.3.2.cmml">⁡</mo><mi id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.3.2.2" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.3.2.2.cmml">max</mi></mrow><mo id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.3.1" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.3.1.cmml">𝜃</mo></munder><mo id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.2" lspace="0.167em" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.4" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.4.cmml">Q</mi><mo id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.2a" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.I1.i2.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.1.1.cmml">θ</mi><mo id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.2.cmml">,</mo><msup id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">θ</mi><mi id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msup><mo id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2b"><apply id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2"><eq id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2"></eq><apply id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.3.2">𝜃</ci><apply id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.3.3"><plus id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.3.3.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.3.3.1"></plus><ci id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.3.3.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.3.3.2">𝑘</ci><cn id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.3.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1"><times id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.2"></times><apply id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.3.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.3"><ci id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.3.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.3.1">𝜃</ci><apply id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.3.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.3.2"><arg id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.3.2.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.3.2.1"></arg><max id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.3.2.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.3.2.2"></max></apply></apply><ci id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.4.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.4">𝑄</ci><interval closure="open" id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1"><ci id="S3.I1.i2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.1.1">𝜃</ci><apply id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2">𝜃</ci><ci id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2c">\theta^{k+1}=\underset{\theta}{\arg\max}~{}Q(\theta,\theta^{k})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2d">italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT = underitalic_θ start_ARG roman_arg roman_max end_ARG italic_Q ( italic_θ , italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></p> </div> </li> </ol> </div> </div> </figure> </section> <section class="ltx_section" id="S4"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">4 </span>Implementation details of the EM algorithm</h2> <div class="ltx_para" id="S4.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.p1.1">We now delve into the details of the steps outlined in Algorithm <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#algorithm1" title="Algorithm 1 ‣ 3 The EM method for identifying NCS-RSM ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>, ultimately establishing our main technical result characterizing the sample complexity of the proposed identification technique for NCS-RSM.</p> </div> <section class="ltx_subsection" id="S4.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">4.1 </span>The E-step</h3> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p1.6">This step requires the calculation of the objective function <math alttext="Q(\theta,\theta^{k})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.1.m1.2"><semantics id="S4.SS1.p1.1.m1.2a"><mrow id="S4.SS1.p1.1.m1.2.2" xref="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.3" xref="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.3.cmml">Q</mi><mo id="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.2" xref="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.1.1" xref="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p1.1.m1.1.1" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml">θ</mi><mo id="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.1.1.3" xref="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml">,</mo><msup id="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">θ</mi><mi id="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">k</mi></msup><mo id="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.1.m1.2b"><apply id="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.1.m1.2.2"><times id="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.2"></times><ci id="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.3">𝑄</ci><interval closure="open" id="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.1.1"><ci id="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.1">𝜃</ci><apply id="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2">𝜃</ci><ci id="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.1.m1.2c">Q(\theta,\theta^{k})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.1.m1.2d">italic_Q ( italic_θ , italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>. Specifically, this shall be achieved on the basis of the parameter <math alttext="\theta^{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.2.m2.1"><semantics id="S4.SS1.p1.2.m2.1a"><msup id="S4.SS1.p1.2.m2.1.1" xref="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.2" xref="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.2.cmml">θ</mi><mi id="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.3" xref="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.3.cmml">k</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.2.m2.1b"><apply id="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.2">𝜃</ci><ci id="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.2.m2.1c">\theta^{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.2.m2.1d">italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> estimated in the previous iteration. Then, according to the expression of <math alttext="Q(\theta,\theta^{k})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.3.m3.2"><semantics id="S4.SS1.p1.3.m3.2a"><mrow id="S4.SS1.p1.3.m3.2.2" xref="S4.SS1.p1.3.m3.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.3.m3.2.2.3" xref="S4.SS1.p1.3.m3.2.2.3.cmml">Q</mi><mo id="S4.SS1.p1.3.m3.2.2.2" xref="S4.SS1.p1.3.m3.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p1.3.m3.2.2.1.1" xref="S4.SS1.p1.3.m3.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p1.3.m3.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p1.3.m3.2.2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p1.3.m3.1.1" xref="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.cmml">θ</mi><mo id="S4.SS1.p1.3.m3.2.2.1.1.3" xref="S4.SS1.p1.3.m3.2.2.1.2.cmml">,</mo><msup id="S4.SS1.p1.3.m3.2.2.1.1.1" xref="S4.SS1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.2.cmml">θ</mi><mi id="S4.SS1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.3.cmml">k</mi></msup><mo id="S4.SS1.p1.3.m3.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.SS1.p1.3.m3.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.3.m3.2b"><apply id="S4.SS1.p1.3.m3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.3.m3.2.2"><times id="S4.SS1.p1.3.m3.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.3.m3.2.2.2"></times><ci id="S4.SS1.p1.3.m3.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.3.m3.2.2.3">𝑄</ci><interval closure="open" id="S4.SS1.p1.3.m3.2.2.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.3.m3.2.2.1.1"><ci id="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.3.m3.1.1">𝜃</ci><apply id="S4.SS1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.3.m3.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.3.m3.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.2">𝜃</ci><ci id="S4.SS1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.3.m3.2c">Q(\theta,\theta^{k})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.3.m3.2d">italic_Q ( italic_θ , italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S3.E10" title="In 3 The EM method for identifying NCS-RSM ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">10</span></a>), the expectations of states <math alttext="\bm{x}_{c},\bm{x}_{a}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.4.m4.2"><semantics id="S4.SS1.p1.4.m4.2a"><mrow id="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2" xref="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.3.cmml"><msub id="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.3" xref="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.3" xref="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.3.cmml">a</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.4.m4.2b"><list id="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2"><apply id="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.2">𝒙</ci><ci id="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.3">𝑐</ci></apply><apply id="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2">𝒙</ci><ci id="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.3">𝑎</ci></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.4.m4.2c">\bm{x}_{c},\bm{x}_{a}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.4.m4.2d">bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and the switching sequences <math alttext="\bm{s}_{c},\bm{s}_{a}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.5.m5.2"><semantics id="S4.SS1.p1.5.m5.2a"><mrow id="S4.SS1.p1.5.m5.2.2.2" xref="S4.SS1.p1.5.m5.2.2.3.cmml"><msub id="S4.SS1.p1.5.m5.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p1.5.m5.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.5.m5.1.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p1.5.m5.1.1.1.1.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S4.SS1.p1.5.m5.1.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p1.5.m5.1.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S4.SS1.p1.5.m5.2.2.2.3" xref="S4.SS1.p1.5.m5.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S4.SS1.p1.5.m5.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p1.5.m5.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.5.m5.2.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p1.5.m5.2.2.2.2.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S4.SS1.p1.5.m5.2.2.2.2.3" xref="S4.SS1.p1.5.m5.2.2.2.2.3.cmml">a</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.5.m5.2b"><list id="S4.SS1.p1.5.m5.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.5.m5.2.2.2"><apply id="S4.SS1.p1.5.m5.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.5.m5.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.5.m5.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.5.m5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.5.m5.1.1.1.1.2">𝒔</ci><ci id="S4.SS1.p1.5.m5.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.5.m5.1.1.1.1.3">𝑐</ci></apply><apply id="S4.SS1.p1.5.m5.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.5.m5.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.5.m5.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.5.m5.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.5.m5.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.5.m5.2.2.2.2.2">𝒔</ci><ci id="S4.SS1.p1.5.m5.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.5.m5.2.2.2.2.3">𝑎</ci></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.5.m5.2c">\bm{s}_{c},\bm{s}_{a}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.5.m5.2d">bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> given the data <math alttext="\bm{y}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.6.m6.1"><semantics id="S4.SS1.p1.6.m6.1a"><mi id="S4.SS1.p1.6.m6.1.1" xref="S4.SS1.p1.6.m6.1.1.cmml">𝒚</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.6.m6.1b"><ci id="S4.SS1.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.6.m6.1.1">𝒚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.6.m6.1c">\bm{y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.6.m6.1d">bold_italic_y</annotation></semantics></math> are required.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p2.6">First, we calculate the posterior estimates of the switching sequences <math alttext="\bm{s}_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p2.1.m1.1"><semantics id="S4.SS1.p2.1.m1.1a"><msub id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.2" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p2.1.m1.1b"><apply id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.2">𝒔</ci><ci id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p2.1.m1.1c">\bm{s}_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p2.1.m1.1d">bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\bm{s}_{a}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p2.2.m2.1"><semantics id="S4.SS1.p2.2.m2.1a"><msub id="S4.SS1.p2.2.m2.1.1" xref="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.2" xref="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.3" xref="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.3.cmml">a</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p2.2.m2.1b"><apply id="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.2">𝒔</ci><ci id="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.3">𝑎</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p2.2.m2.1c">\bm{s}_{a}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p2.2.m2.1d">bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> by leveraging the Bayesian rule, namely <math alttext="\mathbb{P}_{\theta}[s_{c}(t)|y(t)]=\mathbb{P}_{\theta}[s_{c}(t),y(t)]/\mathbb{% P}_{\theta}[y(t)]" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p2.3.m3.9"><semantics id="S4.SS1.p2.3.m3.9a"><mrow id="S4.SS1.p2.3.m3.9.9" xref="S4.SS1.p2.3.m3.9.9.cmml"><mrow id="S4.SS1.p2.3.m3.6.6.1" xref="S4.SS1.p2.3.m3.6.6.1.cmml"><msub id="S4.SS1.p2.3.m3.6.6.1.3" xref="S4.SS1.p2.3.m3.6.6.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.3.m3.6.6.1.3.2" xref="S4.SS1.p2.3.m3.6.6.1.3.2.cmml">ℙ</mi><mi id="S4.SS1.p2.3.m3.6.6.1.3.3" xref="S4.SS1.p2.3.m3.6.6.1.3.3.cmml">θ</mi></msub><mo id="S4.SS1.p2.3.m3.6.6.1.2" xref="S4.SS1.p2.3.m3.6.6.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p2.3.m3.6.6.1.1.1" xref="S4.SS1.p2.3.m3.6.6.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p2.3.m3.6.6.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p2.3.m3.6.6.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.SS1.p2.3.m3.6.6.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p2.3.m3.6.6.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS1.p2.3.m3.6.6.1.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p2.3.m3.6.6.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S4.SS1.p2.3.m3.6.6.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS1.p2.3.m3.6.6.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.3.m3.6.6.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.SS1.p2.3.m3.6.6.1.1.1.1.2.2.2.cmml">s</mi><mi id="S4.SS1.p2.3.m3.6.6.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.SS1.p2.3.m3.6.6.1.1.1.1.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S4.SS1.p2.3.m3.6.6.1.1.1.1.2.1" xref="S4.SS1.p2.3.m3.6.6.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p2.3.m3.6.6.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.SS1.p2.3.m3.6.6.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p2.3.m3.6.6.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p2.3.m3.6.6.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p2.3.m3.1.1" xref="S4.SS1.p2.3.m3.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.SS1.p2.3.m3.6.6.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p2.3.m3.6.6.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo fence="false" id="S4.SS1.p2.3.m3.6.6.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p2.3.m3.6.6.1.1.1.1.1.cmml">|</mo><mrow id="S4.SS1.p2.3.m3.6.6.1.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p2.3.m3.6.6.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.3.m3.6.6.1.1.1.1.3.2" xref="S4.SS1.p2.3.m3.6.6.1.1.1.1.3.2.cmml">y</mi><mo id="S4.SS1.p2.3.m3.6.6.1.1.1.1.3.1" xref="S4.SS1.p2.3.m3.6.6.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p2.3.m3.6.6.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.SS1.p2.3.m3.6.6.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.SS1.p2.3.m3.6.6.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p2.3.m3.6.6.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p2.3.m3.2.2" xref="S4.SS1.p2.3.m3.2.2.cmml">t</mi><mo id="S4.SS1.p2.3.m3.6.6.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p2.3.m3.6.6.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.SS1.p2.3.m3.6.6.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p2.3.m3.6.6.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS1.p2.3.m3.9.9.5" xref="S4.SS1.p2.3.m3.9.9.5.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS1.p2.3.m3.9.9.4" xref="S4.SS1.p2.3.m3.9.9.4.cmml"><mrow id="S4.SS1.p2.3.m3.8.8.3.2" xref="S4.SS1.p2.3.m3.8.8.3.2.cmml"><mrow id="S4.SS1.p2.3.m3.8.8.3.2.2" xref="S4.SS1.p2.3.m3.8.8.3.2.2.cmml"><msub id="S4.SS1.p2.3.m3.8.8.3.2.2.4" xref="S4.SS1.p2.3.m3.8.8.3.2.2.4.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.3.m3.8.8.3.2.2.4.2" xref="S4.SS1.p2.3.m3.8.8.3.2.2.4.2.cmml">ℙ</mi><mi id="S4.SS1.p2.3.m3.8.8.3.2.2.4.3" xref="S4.SS1.p2.3.m3.8.8.3.2.2.4.3.cmml">θ</mi></msub><mo id="S4.SS1.p2.3.m3.8.8.3.2.2.3" xref="S4.SS1.p2.3.m3.8.8.3.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p2.3.m3.8.8.3.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p2.3.m3.8.8.3.2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.SS1.p2.3.m3.8.8.3.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p2.3.m3.8.8.3.2.2.2.3.cmml">[</mo><mrow id="S4.SS1.p2.3.m3.7.7.2.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p2.3.m3.7.7.2.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.SS1.p2.3.m3.7.7.2.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p2.3.m3.7.7.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.3.m3.7.7.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS1.p2.3.m3.7.7.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">s</mi><mi id="S4.SS1.p2.3.m3.7.7.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.SS1.p2.3.m3.7.7.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S4.SS1.p2.3.m3.7.7.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p2.3.m3.7.7.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow 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xref="S4.SS1.p2.3.m3.9.9.4.3.1.1.2.cmml">y</mi><mo id="S4.SS1.p2.3.m3.9.9.4.3.1.1.1" xref="S4.SS1.p2.3.m3.9.9.4.3.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p2.3.m3.9.9.4.3.1.1.3.2" xref="S4.SS1.p2.3.m3.9.9.4.3.1.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p2.3.m3.9.9.4.3.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p2.3.m3.9.9.4.3.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p2.3.m3.5.5" xref="S4.SS1.p2.3.m3.5.5.cmml">t</mi><mo id="S4.SS1.p2.3.m3.9.9.4.3.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p2.3.m3.9.9.4.3.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS1.p2.3.m3.9.9.4.3.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p2.3.m3.9.9.4.3.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p2.3.m3.9b"><apply id="S4.SS1.p2.3.m3.9.9.cmml" xref="S4.SS1.p2.3.m3.9.9"><eq id="S4.SS1.p2.3.m3.9.9.5.cmml" xref="S4.SS1.p2.3.m3.9.9.5"></eq><apply id="S4.SS1.p2.3.m3.6.6.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.3.m3.6.6.1"><times id="S4.SS1.p2.3.m3.6.6.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.3.m3.6.6.1.2"></times><apply id="S4.SS1.p2.3.m3.6.6.1.3.cmml" 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italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) | italic_y ( italic_t ) ] = blackboard_P start_POSTSUBSCRIPT italic_θ end_POSTSUBSCRIPT [ italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) , italic_y ( italic_t ) ] / blackboard_P start_POSTSUBSCRIPT italic_θ end_POSTSUBSCRIPT [ italic_y ( italic_t ) ]</annotation></semantics></math> and <math alttext="\mathbb{P}_{\theta}[s_{a}(t)|y(t)]=\mathbb{P}_{\theta}[s_{a}(t),y(t)]/\mathbb{% P}_{\theta}[y(t)]" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p2.4.m4.9"><semantics id="S4.SS1.p2.4.m4.9a"><mrow id="S4.SS1.p2.4.m4.9.9" xref="S4.SS1.p2.4.m4.9.9.cmml"><mrow id="S4.SS1.p2.4.m4.6.6.1" xref="S4.SS1.p2.4.m4.6.6.1.cmml"><msub id="S4.SS1.p2.4.m4.6.6.1.3" xref="S4.SS1.p2.4.m4.6.6.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.4.m4.6.6.1.3.2" xref="S4.SS1.p2.4.m4.6.6.1.3.2.cmml">ℙ</mi><mi id="S4.SS1.p2.4.m4.6.6.1.3.3" xref="S4.SS1.p2.4.m4.6.6.1.3.3.cmml">θ</mi></msub><mo id="S4.SS1.p2.4.m4.6.6.1.2" 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id="S4.SS1.p2.4.m4.9.9.5.cmml" xref="S4.SS1.p2.4.m4.9.9.5"></eq><apply id="S4.SS1.p2.4.m4.6.6.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.4.m4.6.6.1"><times id="S4.SS1.p2.4.m4.6.6.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.4.m4.6.6.1.2"></times><apply id="S4.SS1.p2.4.m4.6.6.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p2.4.m4.6.6.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p2.4.m4.6.6.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.4.m4.6.6.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p2.4.m4.6.6.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.4.m4.6.6.1.3.2">ℙ</ci><ci id="S4.SS1.p2.4.m4.6.6.1.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p2.4.m4.6.6.1.3.3">𝜃</ci></apply><apply id="S4.SS1.p2.4.m4.6.6.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.4.m4.6.6.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS1.p2.4.m4.6.6.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.4.m4.6.6.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.SS1.p2.4.m4.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.4.m4.6.6.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS1.p2.4.m4.6.6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.4.m4.6.6.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><apply id="S4.SS1.p2.4.m4.6.6.1.1.1.1.2.cmml" 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id="S4.SS1.p2.4.m4.9.9.4.cmml" xref="S4.SS1.p2.4.m4.9.9.4"><times id="S4.SS1.p2.4.m4.9.9.4.4.cmml" xref="S4.SS1.p2.4.m4.9.9.4.4"></times><apply id="S4.SS1.p2.4.m4.8.8.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.4.m4.8.8.3.2"><divide id="S4.SS1.p2.4.m4.8.8.3.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p2.4.m4.8.8.3.2.3"></divide><apply id="S4.SS1.p2.4.m4.8.8.3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.4.m4.8.8.3.2.2"><times id="S4.SS1.p2.4.m4.8.8.3.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p2.4.m4.8.8.3.2.2.3"></times><apply id="S4.SS1.p2.4.m4.8.8.3.2.2.4.cmml" xref="S4.SS1.p2.4.m4.8.8.3.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p2.4.m4.8.8.3.2.2.4.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.4.m4.8.8.3.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p2.4.m4.8.8.3.2.2.4.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.4.m4.8.8.3.2.2.4.2">ℙ</ci><ci id="S4.SS1.p2.4.m4.8.8.3.2.2.4.3.cmml" xref="S4.SS1.p2.4.m4.8.8.3.2.2.4.3">𝜃</ci></apply><interval closure="closed" id="S4.SS1.p2.4.m4.8.8.3.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p2.4.m4.8.8.3.2.2.2.2"><apply id="S4.SS1.p2.4.m4.7.7.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.4.m4.7.7.2.1.1.1.1.1"><times id="S4.SS1.p2.4.m4.7.7.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.4.m4.7.7.2.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S4.SS1.p2.4.m4.7.7.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.4.m4.7.7.2.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p2.4.m4.7.7.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.4.m4.7.7.2.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p2.4.m4.7.7.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.4.m4.7.7.2.1.1.1.1.1.2.2">𝑠</ci><ci id="S4.SS1.p2.4.m4.7.7.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p2.4.m4.7.7.2.1.1.1.1.1.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="S4.SS1.p2.4.m4.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p2.4.m4.3.3">𝑡</ci></apply><apply id="S4.SS1.p2.4.m4.8.8.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.4.m4.8.8.3.2.2.2.2.2"><times id="S4.SS1.p2.4.m4.8.8.3.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.4.m4.8.8.3.2.2.2.2.2.1"></times><ci id="S4.SS1.p2.4.m4.8.8.3.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.4.m4.8.8.3.2.2.2.2.2.2">𝑦</ci><ci id="S4.SS1.p2.4.m4.4.4.cmml" xref="S4.SS1.p2.4.m4.4.4">𝑡</ci></apply></interval></apply><apply id="S4.SS1.p2.4.m4.8.8.3.2.4.cmml" xref="S4.SS1.p2.4.m4.8.8.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p2.4.m4.8.8.3.2.4.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.4.m4.8.8.3.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p2.4.m4.8.8.3.2.4.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.4.m4.8.8.3.2.4.2">ℙ</ci><ci id="S4.SS1.p2.4.m4.8.8.3.2.4.3.cmml" xref="S4.SS1.p2.4.m4.8.8.3.2.4.3">𝜃</ci></apply></apply><apply id="S4.SS1.p2.4.m4.9.9.4.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.4.m4.9.9.4.3.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS1.p2.4.m4.9.9.4.3.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.4.m4.9.9.4.3.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.SS1.p2.4.m4.9.9.4.3.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.4.m4.9.9.4.3.1.1"><times id="S4.SS1.p2.4.m4.9.9.4.3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.4.m4.9.9.4.3.1.1.1"></times><ci id="S4.SS1.p2.4.m4.9.9.4.3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.4.m4.9.9.4.3.1.1.2">𝑦</ci><ci id="S4.SS1.p2.4.m4.5.5.cmml" xref="S4.SS1.p2.4.m4.5.5">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p2.4.m4.9c">\mathbb{P}_{\theta}[s_{a}(t)|y(t)]=\mathbb{P}_{\theta}[s_{a}(t),y(t)]/\mathbb{% P}_{\theta}[y(t)]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p2.4.m4.9d">blackboard_P start_POSTSUBSCRIPT italic_θ end_POSTSUBSCRIPT [ italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) | italic_y ( italic_t ) ] = blackboard_P start_POSTSUBSCRIPT italic_θ end_POSTSUBSCRIPT [ italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) , italic_y ( italic_t ) ] / blackboard_P start_POSTSUBSCRIPT italic_θ end_POSTSUBSCRIPT [ italic_y ( italic_t ) ]</annotation></semantics></math>. In addition, according to the formula of total probability one obtains <math alttext="\mathbb{P}_{\theta}[y(t)]=\sum_{j=1}^{m_{c}}\mathbb{P}_{\theta}[y(t)|s_{c}(t)=% j]\pi_{j}^{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p2.5.m5.5"><semantics id="S4.SS1.p2.5.m5.5a"><mrow id="S4.SS1.p2.5.m5.5.5" xref="S4.SS1.p2.5.m5.5.5.cmml"><mrow id="S4.SS1.p2.5.m5.4.4.1" xref="S4.SS1.p2.5.m5.4.4.1.cmml"><msub id="S4.SS1.p2.5.m5.4.4.1.3" xref="S4.SS1.p2.5.m5.4.4.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.5.m5.4.4.1.3.2" xref="S4.SS1.p2.5.m5.4.4.1.3.2.cmml">ℙ</mi><mi id="S4.SS1.p2.5.m5.4.4.1.3.3" xref="S4.SS1.p2.5.m5.4.4.1.3.3.cmml">θ</mi></msub><mo id="S4.SS1.p2.5.m5.4.4.1.2" xref="S4.SS1.p2.5.m5.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p2.5.m5.4.4.1.1.1" xref="S4.SS1.p2.5.m5.4.4.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p2.5.m5.4.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p2.5.m5.4.4.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.SS1.p2.5.m5.4.4.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p2.5.m5.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.5.m5.4.4.1.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p2.5.m5.4.4.1.1.1.1.2.cmml">y</mi><mo id="S4.SS1.p2.5.m5.4.4.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p2.5.m5.4.4.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p2.5.m5.4.4.1.1.1.1.3.2" xref="S4.SS1.p2.5.m5.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p2.5.m5.4.4.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p2.5.m5.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p2.5.m5.1.1" xref="S4.SS1.p2.5.m5.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.SS1.p2.5.m5.4.4.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p2.5.m5.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS1.p2.5.m5.4.4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p2.5.m5.4.4.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS1.p2.5.m5.5.5.3" rspace="0.111em" xref="S4.SS1.p2.5.m5.5.5.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS1.p2.5.m5.5.5.2" xref="S4.SS1.p2.5.m5.5.5.2.cmml"><msubsup id="S4.SS1.p2.5.m5.5.5.2.2" xref="S4.SS1.p2.5.m5.5.5.2.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p2.5.m5.5.5.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p2.5.m5.5.5.2.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.SS1.p2.5.m5.5.5.2.2.2.3" xref="S4.SS1.p2.5.m5.5.5.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.5.m5.5.5.2.2.2.3.2" xref="S4.SS1.p2.5.m5.5.5.2.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S4.SS1.p2.5.m5.5.5.2.2.2.3.1" xref="S4.SS1.p2.5.m5.5.5.2.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS1.p2.5.m5.5.5.2.2.2.3.3" xref="S4.SS1.p2.5.m5.5.5.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msub id="S4.SS1.p2.5.m5.5.5.2.2.3" xref="S4.SS1.p2.5.m5.5.5.2.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.5.m5.5.5.2.2.3.2" xref="S4.SS1.p2.5.m5.5.5.2.2.3.2.cmml">m</mi><mi id="S4.SS1.p2.5.m5.5.5.2.2.3.3" xref="S4.SS1.p2.5.m5.5.5.2.2.3.3.cmml">c</mi></msub></msubsup><mrow id="S4.SS1.p2.5.m5.5.5.2.1" xref="S4.SS1.p2.5.m5.5.5.2.1.cmml"><msub id="S4.SS1.p2.5.m5.5.5.2.1.3" xref="S4.SS1.p2.5.m5.5.5.2.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.5.m5.5.5.2.1.3.2" xref="S4.SS1.p2.5.m5.5.5.2.1.3.2.cmml">ℙ</mi><mi id="S4.SS1.p2.5.m5.5.5.2.1.3.3" xref="S4.SS1.p2.5.m5.5.5.2.1.3.3.cmml">θ</mi></msub><mo id="S4.SS1.p2.5.m5.5.5.2.1.2" xref="S4.SS1.p2.5.m5.5.5.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p2.5.m5.5.5.2.1.1.1" xref="S4.SS1.p2.5.m5.5.5.2.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p2.5.m5.5.5.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p2.5.m5.5.5.2.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.SS1.p2.5.m5.5.5.2.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p2.5.m5.5.5.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS1.p2.5.m5.5.5.2.1.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p2.5.m5.5.5.2.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.SS1.p2.5.m5.5.5.2.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS1.p2.5.m5.5.5.2.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.5.m5.5.5.2.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.SS1.p2.5.m5.5.5.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml">y</mi><mo id="S4.SS1.p2.5.m5.5.5.2.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.SS1.p2.5.m5.5.5.2.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p2.5.m5.5.5.2.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.SS1.p2.5.m5.5.5.2.1.1.1.1.2.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p2.5.m5.5.5.2.1.1.1.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p2.5.m5.5.5.2.1.1.1.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p2.5.m5.2.2" xref="S4.SS1.p2.5.m5.2.2.cmml">t</mi><mo id="S4.SS1.p2.5.m5.5.5.2.1.1.1.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p2.5.m5.5.5.2.1.1.1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo fence="false" 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id="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.2.2.3.2" xref="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.2.2.3.1" xref="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.2.2.3.3" xref="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msub id="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.2.3" xref="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.2.3.2" xref="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.2.3.2.cmml">m</mi><mi id="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.2.3.3" xref="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.2.3.3.cmml">a</mi></msub></msubsup><mrow id="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1" xref="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.cmml"><msub id="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.3" xref="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.3.2" xref="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.3.2.cmml">ℙ</mi><mi id="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.3.3" xref="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.3.3.cmml">θ</mi></msub><mo id="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.2" xref="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.1.1" xref="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml">y</mi><mo id="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.1.1.1.2.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.1.1.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.1.1.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p2.6.m6.2.2" xref="S4.SS1.p2.6.m6.2.2.cmml">t</mi><mo id="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.1.1.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.1.1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo fence="false" 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id="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.1.1.1.3.cmml">l</mi></mrow><mo id="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.2a" xref="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.4" xref="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.4.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.4.2.2" xref="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.4.2.2.cmml">π</mi><mi id="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.4.2.3" xref="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.4.2.3.cmml">l</mi><mi id="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.4.3" xref="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.4.3.cmml">a</mi></msubsup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p2.6.m6.5b"><apply id="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.cmml" xref="S4.SS1.p2.6.m6.5.5"><eq id="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.3.cmml" xref="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.3"></eq><apply id="S4.SS1.p2.6.m6.4.4.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.6.m6.4.4.1"><times 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xref="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.1.1.1"><eq id="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.1.1.1.2.1">conditional</csymbol><apply id="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.1.1.1.2.2"><times id="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.1.1.1.2.2.1"></times><ci id="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.1.1.1.2.2.2">𝑦</ci><ci id="S4.SS1.p2.6.m6.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.6.m6.2.2">𝑡</ci></apply><apply id="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.1.1.1.2.3"><times id="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.1.1.1.2.3.1"></times><apply id="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.1.1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.1.1.1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.1.1.1.2.3.2.2">𝑠</ci><ci id="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.1.1.1.2.3.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="S4.SS1.p2.6.m6.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p2.6.m6.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.1.1.1.3">𝑙</ci></apply></apply><apply id="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.4.cmml" xref="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.4.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.4">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.4.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.4.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.4">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.4.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.4.2.2">𝜋</ci><ci id="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.4.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.4.2.3">𝑙</ci></apply><ci id="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.4.3.cmml" xref="S4.SS1.p2.6.m6.5.5.2.1.4.3">𝑎</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p2.6.m6.5c">\mathbb{P}_{\theta}[y(t)]=\sum_{l=1}^{m_{a}}\mathbb{P}_{\theta}[y(t)|s_{a}(t)=% l]\pi_{l}^{a}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p2.6.m6.5d">blackboard_P start_POSTSUBSCRIPT italic_θ end_POSTSUBSCRIPT [ italic_y ( italic_t ) ] = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_l = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT blackboard_P start_POSTSUBSCRIPT italic_θ end_POSTSUBSCRIPT [ italic_y ( italic_t ) | italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) = italic_l ] italic_π start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_a end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p3"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p3.1">Then, the data point can be assigned to each subsystem at time <math alttext="i" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p3.1.m1.1"><semantics id="S4.SS1.p3.1.m1.1a"><mi id="S4.SS1.p3.1.m1.1.1" xref="S4.SS1.p3.1.m1.1.1.cmml">i</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p3.1.m1.1b"><ci id="S4.SS1.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.1.1">𝑖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p3.1.m1.1c">i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p3.1.m1.1d">italic_i</annotation></semantics></math> by solving the following optimization problem:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx14"> <tbody id="S4.Ex30"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\hat{s}_{c}(t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex30.m1.1"><semantics id="S4.Ex30.m1.1a"><mrow id="S4.Ex30.m1.1.2" xref="S4.Ex30.m1.1.2.cmml"><msub id="S4.Ex30.m1.1.2.2" xref="S4.Ex30.m1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex30.m1.1.2.2.2" xref="S4.Ex30.m1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex30.m1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex30.m1.1.2.2.2.2.cmml">s</mi><mo id="S4.Ex30.m1.1.2.2.2.1" xref="S4.Ex30.m1.1.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.Ex30.m1.1.2.2.3" xref="S4.Ex30.m1.1.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S4.Ex30.m1.1.2.1" xref="S4.Ex30.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex30.m1.1.2.3.2" xref="S4.Ex30.m1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex30.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex30.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex30.m1.1.1" xref="S4.Ex30.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex30.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex30.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex30.m1.1b"><apply id="S4.Ex30.m1.1.2.cmml" xref="S4.Ex30.m1.1.2"><times id="S4.Ex30.m1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex30.m1.1.2.1"></times><apply id="S4.Ex30.m1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex30.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex30.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex30.m1.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex30.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex30.m1.1.2.2.2"><ci id="S4.Ex30.m1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex30.m1.1.2.2.2.1">^</ci><ci id="S4.Ex30.m1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex30.m1.1.2.2.2.2">𝑠</ci></apply><ci id="S4.Ex30.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex30.m1.1.2.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="S4.Ex30.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex30.m1.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex30.m1.1c">\displaystyle\hat{s}_{c}(t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex30.m1.1d">over^ start_ARG italic_s end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\underset{j\in\{1,\ldots,m_{c}\}}{\arg\max}~{}\mathbb{P}_{\theta% }[y(t)|s_{c}(t)=j]\pi_{j}^{c}," class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex30.m2.6"><semantics id="S4.Ex30.m2.6a"><mrow id="S4.Ex30.m2.6.6.1" xref="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex30.m2.6.6.1.1" xref="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.3" xref="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.2" xref="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1" xref="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.cmml"><munder accentunder="true" id="S4.Ex30.m2.3.3" xref="S4.Ex30.m2.3.3.cmml"><mrow id="S4.Ex30.m2.3.3.4" xref="S4.Ex30.m2.3.3.4.cmml"><mi id="S4.Ex30.m2.3.3.4.1" xref="S4.Ex30.m2.3.3.4.1.cmml">arg</mi><mo id="S4.Ex30.m2.3.3.4a" lspace="0.167em" xref="S4.Ex30.m2.3.3.4.cmml">⁡</mo><mi id="S4.Ex30.m2.3.3.4.2" xref="S4.Ex30.m2.3.3.4.2.cmml">max</mi></mrow><mrow id="S4.Ex30.m2.3.3.3" xref="S4.Ex30.m2.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex30.m2.3.3.3.5" xref="S4.Ex30.m2.3.3.3.5.cmml">j</mi><mo id="S4.Ex30.m2.3.3.3.4" xref="S4.Ex30.m2.3.3.3.4.cmml">∈</mo><mrow id="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1" xref="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.2.cmml"><mo id="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.2.cmml">{</mo><mn id="S4.Ex30.m2.1.1.1.1" xref="S4.Ex30.m2.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.3" xref="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.2.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex30.m2.2.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex30.m2.2.2.2.2.cmml">…</mi><mo id="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.4" xref="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.2.cmml">,</mo><msub id="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.1" xref="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.1.2" xref="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.1.2.cmml">m</mi><mi id="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.1.3" xref="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.5" stretchy="false" xref="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.2.cmml">}</mo></mrow></mrow></munder><mo id="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.2" lspace="0.167em" xref="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.3" xref="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.3.2.cmml">ℙ</mi><mi id="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.3.3.cmml">θ</mi></msub><mo id="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.2a" xref="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">y</mi><mo id="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mo id="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex30.m2.4.4" xref="S4.Ex30.m2.4.4.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo fence="false" id="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><msub id="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">s</mi><mi id="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2" xref="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex30.m2.5.5" xref="S4.Ex30.m2.5.5.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.2b" xref="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.4" xref="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.4.2.2" xref="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.4.2.2.cmml">π</mi><mi id="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.4.2.3" xref="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.4.2.3.cmml">j</mi><mi id="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.4.3" xref="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.4.3.cmml">c</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.Ex30.m2.6.6.1.2" xref="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex30.m2.6b"><apply id="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.cmml" xref="S4.Ex30.m2.6.6.1"><eq id="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1"><times id="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Ex30.m2.3.3.cmml" xref="S4.Ex30.m2.3.3"><apply id="S4.Ex30.m2.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex30.m2.3.3.3"><in id="S4.Ex30.m2.3.3.3.4.cmml" xref="S4.Ex30.m2.3.3.3.4"></in><ci id="S4.Ex30.m2.3.3.3.5.cmml" xref="S4.Ex30.m2.3.3.3.5">𝑗</ci><set id="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1"><cn id="S4.Ex30.m2.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Ex30.m2.1.1.1.1">1</cn><ci id="S4.Ex30.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex30.m2.2.2.2.2">…</ci><apply id="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.1.2">𝑚</ci><ci id="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.1.3">𝑐</ci></apply></set></apply><apply id="S4.Ex30.m2.3.3.4.cmml" xref="S4.Ex30.m2.3.3.4"><arg id="S4.Ex30.m2.3.3.4.1.cmml" xref="S4.Ex30.m2.3.3.4.1"></arg><max id="S4.Ex30.m2.3.3.4.2.cmml" xref="S4.Ex30.m2.3.3.4.2"></max></apply></apply><apply id="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.3.2">ℙ</ci><ci id="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.3.3">𝜃</ci></apply><apply id="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.1.2.1.cmml" 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id="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.4.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.Ex30.m2.6.6.1.1.1.4.3">𝑐</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex30.m2.6c">\displaystyle=\underset{j\in\{1,\ldots,m_{c}\}}{\arg\max}~{}\mathbb{P}_{\theta% }[y(t)|s_{c}(t)=j]\pi_{j}^{c},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex30.m2.6d">= start_UNDERACCENT italic_j ∈ { 1 , … , italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT } end_UNDERACCENT start_ARG roman_arg roman_max end_ARG blackboard_P start_POSTSUBSCRIPT italic_θ end_POSTSUBSCRIPT [ italic_y ( italic_t ) | italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) = italic_j ] italic_π start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_c end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.Ex31"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\hat{s}_{a}(t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex31.m1.1"><semantics id="S4.Ex31.m1.1a"><mrow id="S4.Ex31.m1.1.2" xref="S4.Ex31.m1.1.2.cmml"><msub id="S4.Ex31.m1.1.2.2" xref="S4.Ex31.m1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex31.m1.1.2.2.2" xref="S4.Ex31.m1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex31.m1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex31.m1.1.2.2.2.2.cmml">s</mi><mo id="S4.Ex31.m1.1.2.2.2.1" xref="S4.Ex31.m1.1.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.Ex31.m1.1.2.2.3" xref="S4.Ex31.m1.1.2.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S4.Ex31.m1.1.2.1" xref="S4.Ex31.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex31.m1.1.2.3.2" xref="S4.Ex31.m1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex31.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex31.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex31.m1.1.1" xref="S4.Ex31.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex31.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex31.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex31.m1.1b"><apply id="S4.Ex31.m1.1.2.cmml" xref="S4.Ex31.m1.1.2"><times id="S4.Ex31.m1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex31.m1.1.2.1"></times><apply id="S4.Ex31.m1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex31.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex31.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex31.m1.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex31.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex31.m1.1.2.2.2"><ci id="S4.Ex31.m1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex31.m1.1.2.2.2.1">^</ci><ci id="S4.Ex31.m1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex31.m1.1.2.2.2.2">𝑠</ci></apply><ci id="S4.Ex31.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex31.m1.1.2.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="S4.Ex31.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex31.m1.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex31.m1.1c">\displaystyle\hat{s}_{a}(t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex31.m1.1d">over^ start_ARG italic_s end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\underset{l\in\{1,\ldots,m_{a}\}}{\arg\max}~{}\mathbb{P}_{\theta% }[y(t)|s_{a}(t)=l]\pi_{l}^{a}," class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex31.m2.6"><semantics id="S4.Ex31.m2.6a"><mrow id="S4.Ex31.m2.6.6.1" xref="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex31.m2.6.6.1.1" xref="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.3" xref="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.2" xref="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1" xref="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.cmml"><munder accentunder="true" id="S4.Ex31.m2.3.3" xref="S4.Ex31.m2.3.3.cmml"><mrow id="S4.Ex31.m2.3.3.4" xref="S4.Ex31.m2.3.3.4.cmml"><mi id="S4.Ex31.m2.3.3.4.1" xref="S4.Ex31.m2.3.3.4.1.cmml">arg</mi><mo id="S4.Ex31.m2.3.3.4a" lspace="0.167em" xref="S4.Ex31.m2.3.3.4.cmml">⁡</mo><mi id="S4.Ex31.m2.3.3.4.2" xref="S4.Ex31.m2.3.3.4.2.cmml">max</mi></mrow><mrow id="S4.Ex31.m2.3.3.3" xref="S4.Ex31.m2.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex31.m2.3.3.3.5" xref="S4.Ex31.m2.3.3.3.5.cmml">l</mi><mo id="S4.Ex31.m2.3.3.3.4" xref="S4.Ex31.m2.3.3.3.4.cmml">∈</mo><mrow id="S4.Ex31.m2.3.3.3.3.1" xref="S4.Ex31.m2.3.3.3.3.2.cmml"><mo id="S4.Ex31.m2.3.3.3.3.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex31.m2.3.3.3.3.2.cmml">{</mo><mn id="S4.Ex31.m2.1.1.1.1" xref="S4.Ex31.m2.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.Ex31.m2.3.3.3.3.1.3" xref="S4.Ex31.m2.3.3.3.3.2.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex31.m2.2.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex31.m2.2.2.2.2.cmml">…</mi><mo id="S4.Ex31.m2.3.3.3.3.1.4" xref="S4.Ex31.m2.3.3.3.3.2.cmml">,</mo><msub id="S4.Ex31.m2.3.3.3.3.1.1" xref="S4.Ex31.m2.3.3.3.3.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex31.m2.3.3.3.3.1.1.2" xref="S4.Ex31.m2.3.3.3.3.1.1.2.cmml">m</mi><mi id="S4.Ex31.m2.3.3.3.3.1.1.3" xref="S4.Ex31.m2.3.3.3.3.1.1.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S4.Ex31.m2.3.3.3.3.1.5" stretchy="false" xref="S4.Ex31.m2.3.3.3.3.2.cmml">}</mo></mrow></mrow></munder><mo id="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.2" lspace="0.167em" xref="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.3" xref="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.3.2.cmml">ℙ</mi><mi id="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.3.3.cmml">θ</mi></msub><mo id="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.2a" xref="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">y</mi><mo id="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mo id="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex31.m2.4.4" xref="S4.Ex31.m2.4.4.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo fence="false" id="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><msub id="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">s</mi><mi id="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2" xref="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex31.m2.5.5" xref="S4.Ex31.m2.5.5.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml">l</mi></mrow><mo id="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.2b" xref="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.4" xref="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.4.2.2" xref="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.4.2.2.cmml">π</mi><mi id="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.4.2.3" xref="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.4.2.3.cmml">l</mi><mi id="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.4.3" xref="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.4.3.cmml">a</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.Ex31.m2.6.6.1.2" xref="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex31.m2.6b"><apply id="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.cmml" xref="S4.Ex31.m2.6.6.1"><eq id="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1"><times id="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Ex31.m2.3.3.cmml" xref="S4.Ex31.m2.3.3"><apply id="S4.Ex31.m2.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex31.m2.3.3.3"><in id="S4.Ex31.m2.3.3.3.4.cmml" xref="S4.Ex31.m2.3.3.3.4"></in><ci id="S4.Ex31.m2.3.3.3.5.cmml" xref="S4.Ex31.m2.3.3.3.5">𝑙</ci><set id="S4.Ex31.m2.3.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex31.m2.3.3.3.3.1"><cn id="S4.Ex31.m2.1.1.1.1.cmml" type="integer" 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xref="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.3.3">𝜃</ci></apply><apply id="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.1"><eq id="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.1">conditional</csymbol><apply id="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2"><times id="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.1"></times><ci id="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑦</ci><ci id="S4.Ex31.m2.4.4.cmml" xref="S4.Ex31.m2.4.4">𝑡</ci></apply><apply id="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><apply id="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝑠</ci><ci id="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="S4.Ex31.m2.5.5.cmml" xref="S4.Ex31.m2.5.5">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.3">𝑙</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.4.2.2">𝜋</ci><ci id="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.4.2.3">𝑙</ci></apply><ci id="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.Ex31.m2.6.6.1.1.1.4.3">𝑎</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex31.m2.6c">\displaystyle=\underset{l\in\{1,\ldots,m_{a}\}}{\arg\max}~{}\mathbb{P}_{\theta% }[y(t)|s_{a}(t)=l]\pi_{l}^{a},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex31.m2.6d">= start_UNDERACCENT italic_l ∈ { 1 , … , italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT } end_UNDERACCENT start_ARG roman_arg roman_max end_ARG blackboard_P start_POSTSUBSCRIPT italic_θ end_POSTSUBSCRIPT [ italic_y ( italic_t ) | italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) = italic_l ] italic_π start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_a end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p3.8">where maximizing <math alttext="\mathbb{P}_{\theta}[y(t)|s_{c}(t)=j]\pi_{j}^{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p3.2.m1.3"><semantics id="S4.SS1.p3.2.m1.3a"><mrow id="S4.SS1.p3.2.m1.3.3" xref="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.cmml"><msub id="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.3" xref="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.3.2" xref="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.3.2.cmml">ℙ</mi><mi id="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.3.3" xref="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.3.3.cmml">θ</mi></msub><mo id="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.2" xref="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.1.1" xref="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.1.1.1" xref="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mrow 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id="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.1.1.1.2.3.2.2.cmml">s</mi><mi id="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.1.1.1.2.3.2.3" xref="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.1.1.1.2.3.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.1.1.1.2.3.1" xref="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.1.1.1.2.3.3.2" xref="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.1.1.1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.1.1.1.2.3.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p3.2.m1.2.2" xref="S4.SS1.p3.2.m1.2.2.cmml">t</mi><mo id="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.1.1.1.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.1.1.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.2a" xref="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.4" xref="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.4.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.4.2.2" xref="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.4.2.2.cmml">π</mi><mi id="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.4.2.3" xref="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.4.2.3.cmml">j</mi><mi id="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.4.3" xref="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.4.3.cmml">c</mi></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p3.2.m1.3b"><apply id="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m1.3.3"><times id="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.2"></times><apply id="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.3.2">ℙ</ci><ci id="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.3.3">𝜃</ci></apply><apply id="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.1.1.1"><eq id="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.1.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.1.1.1.2.1">conditional</csymbol><apply id="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.1.1.1.2.2"><times id="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.1.1.1.2.2.1"></times><ci id="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.1.1.1.2.2.2">𝑦</ci><ci id="S4.SS1.p3.2.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m1.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.1.1.1.2.3"><times id="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.1.1.1.2.3.1"></times><apply id="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.1.1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.1.1.1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.1.1.1.2.3.2.2">𝑠</ci><ci id="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.1.1.1.2.3.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="S4.SS1.p3.2.m1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m1.2.2">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.1.1.1.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.4.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.4.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.4">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.4.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.4.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.4">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.4.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.4.2.2">𝜋</ci><ci id="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.4.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.4.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.4.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m1.3.3.4.3">𝑐</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p3.2.m1.3c">\mathbb{P}_{\theta}[y(t)|s_{c}(t)=j]\pi_{j}^{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p3.2.m1.3d">blackboard_P start_POSTSUBSCRIPT italic_θ end_POSTSUBSCRIPT [ italic_y ( italic_t ) | italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) = italic_j ] italic_π start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_c end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is equivalent to maximizing the posterior probability of <math alttext="\mathbb{P}_{\theta}[s_{c}(t)=j|y(t)]" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p3.3.m2.3"><semantics id="S4.SS1.p3.3.m2.3a"><mrow id="S4.SS1.p3.3.m2.3.3" xref="S4.SS1.p3.3.m2.3.3.cmml"><msub id="S4.SS1.p3.3.m2.3.3.3" xref="S4.SS1.p3.3.m2.3.3.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.3.m2.3.3.3.2" xref="S4.SS1.p3.3.m2.3.3.3.2.cmml">ℙ</mi><mi id="S4.SS1.p3.3.m2.3.3.3.3" xref="S4.SS1.p3.3.m2.3.3.3.3.cmml">θ</mi></msub><mo id="S4.SS1.p3.3.m2.3.3.2" xref="S4.SS1.p3.3.m2.3.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p3.3.m2.3.3.1.1" xref="S4.SS1.p3.3.m2.3.3.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p3.3.m2.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.3.m2.3.3.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.SS1.p3.3.m2.3.3.1.1.1" xref="S4.SS1.p3.3.m2.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS1.p3.3.m2.3.3.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p3.3.m2.3.3.1.1.1.2.cmml"><msub id="S4.SS1.p3.3.m2.3.3.1.1.1.2.2" xref="S4.SS1.p3.3.m2.3.3.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.3.m2.3.3.1.1.1.2.2.2" xref="S4.SS1.p3.3.m2.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml">s</mi><mi id="S4.SS1.p3.3.m2.3.3.1.1.1.2.2.3" xref="S4.SS1.p3.3.m2.3.3.1.1.1.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S4.SS1.p3.3.m2.3.3.1.1.1.2.1" xref="S4.SS1.p3.3.m2.3.3.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p3.3.m2.3.3.1.1.1.2.3.2" xref="S4.SS1.p3.3.m2.3.3.1.1.1.2.cmml"><mo 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xref="S4.SS1.p3.3.m2.3.3.1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS1.p3.3.m2.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.3.m2.3.3.1.1.1.3.1">conditional</csymbol><ci id="S4.SS1.p3.3.m2.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.3.m2.3.3.1.1.1.3.2">𝑗</ci><apply id="S4.SS1.p3.3.m2.3.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.3.m2.3.3.1.1.1.3.3"><times id="S4.SS1.p3.3.m2.3.3.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.3.m2.3.3.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S4.SS1.p3.3.m2.3.3.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.3.m2.3.3.1.1.1.3.3.2">𝑦</ci><ci id="S4.SS1.p3.3.m2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.3.m2.2.2">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p3.3.m2.3c">\mathbb{P}_{\theta}[s_{c}(t)=j|y(t)]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p3.3.m2.3d">blackboard_P start_POSTSUBSCRIPT italic_θ end_POSTSUBSCRIPT [ italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) = italic_j | italic_y ( italic_t ) ]</annotation></semantics></math> which is commonly used for data classification. In this work, we make use of a hard assignment variant of the EM algorithm as in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#bib.bib27" title="">27</a>]</cite>. This approach approximates the posterior distribution of the switching sequence by its maximum a posteriori (MAP) estimate, effectively collapsing the posterior probability to a Dirac delta function. Such a simplification is justified under the assumption that the posterior distribution <math alttext="\mathbb{P}_{\theta}[s_{c}(t)=j|\bm{y}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p3.4.m3.2"><semantics id="S4.SS1.p3.4.m3.2a"><mrow id="S4.SS1.p3.4.m3.2.2" xref="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.cmml"><msub id="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.3" xref="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.3.2" xref="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.3.2.cmml">ℙ</mi><mi id="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.3.3" xref="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.3.3.cmml">θ</mi></msub><mo id="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.2" xref="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.1.1" xref="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.1.1.1" xref="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.1.1.1.2.cmml"><msub id="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.1.1.1.2.2" xref="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml">s</mi><mi id="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.1.1.1.2.2.3" xref="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.1.1.1.2.1" xref="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.1.1.1.2.3.2" xref="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p3.4.m3.1.1" xref="S4.SS1.p3.4.m3.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.1.1.1.3.2" xref="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.1.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo fence="false" id="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.1.1.1.3.1" xref="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.1.1.1.3.1.cmml">|</mo><mi id="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.1.1.1.3.3" xref="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.1.1.1.3.3.cmml">𝒚</mi></mrow></mrow><mo id="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p3.4.m3.2b"><apply id="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.4.m3.2.2"><times id="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.2"></times><apply id="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.3.2">ℙ</ci><ci id="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.3.3">𝜃</ci></apply><apply id="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.1.1.1"><eq id="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.1.1.1.2"><times id="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.1.1.1.2.1"></times><apply id="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.1.1.1.2.2.2">𝑠</ci><ci id="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.1.1.1.2.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="S4.SS1.p3.4.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.4.m3.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.1.1.1.3.1">conditional</csymbol><ci id="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.1.1.1.3.2">𝑗</ci><ci id="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.4.m3.2.2.1.1.1.3.3">𝒚</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p3.4.m3.2c">\mathbb{P}_{\theta}[s_{c}(t)=j|\bm{y}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p3.4.m3.2d">blackboard_P start_POSTSUBSCRIPT italic_θ end_POSTSUBSCRIPT [ italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) = italic_j | bold_italic_y ]</annotation></semantics></math> is sharply peaked around the MAP estimate <math alttext="\hat{s}_{c}(t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p3.5.m4.1"><semantics id="S4.SS1.p3.5.m4.1a"><mrow id="S4.SS1.p3.5.m4.1.2" xref="S4.SS1.p3.5.m4.1.2.cmml"><msub id="S4.SS1.p3.5.m4.1.2.2" xref="S4.SS1.p3.5.m4.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS1.p3.5.m4.1.2.2.2" xref="S4.SS1.p3.5.m4.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.5.m4.1.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p3.5.m4.1.2.2.2.2.cmml">s</mi><mo id="S4.SS1.p3.5.m4.1.2.2.2.1" xref="S4.SS1.p3.5.m4.1.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.SS1.p3.5.m4.1.2.2.3" xref="S4.SS1.p3.5.m4.1.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S4.SS1.p3.5.m4.1.2.1" xref="S4.SS1.p3.5.m4.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p3.5.m4.1.2.3.2" xref="S4.SS1.p3.5.m4.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p3.5.m4.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.5.m4.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p3.5.m4.1.1" xref="S4.SS1.p3.5.m4.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.SS1.p3.5.m4.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.5.m4.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p3.5.m4.1b"><apply id="S4.SS1.p3.5.m4.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.5.m4.1.2"><times id="S4.SS1.p3.5.m4.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.5.m4.1.2.1"></times><apply id="S4.SS1.p3.5.m4.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.5.m4.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.5.m4.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.5.m4.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p3.5.m4.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.5.m4.1.2.2.2"><ci id="S4.SS1.p3.5.m4.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.5.m4.1.2.2.2.1">^</ci><ci id="S4.SS1.p3.5.m4.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.5.m4.1.2.2.2.2">𝑠</ci></apply><ci id="S4.SS1.p3.5.m4.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.5.m4.1.2.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="S4.SS1.p3.5.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.5.m4.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p3.5.m4.1c">\hat{s}_{c}(t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p3.5.m4.1d">over^ start_ARG italic_s end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t )</annotation></semantics></math>, which often holds when switching probabilities are highly concentrated (the same holds for the non-causal part). Similar approaches have been adopted in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#bib.bib28" title="">28</a>]</cite> for switching systems, where hard assignments reduce computational complexity while preserving estimation accuracy. Following the hard EM framework, the posterior probabilities <math alttext="w_{ij}^{c},w_{il}^{a}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p3.6.m5.2"><semantics id="S4.SS1.p3.6.m5.2a"><mrow id="S4.SS1.p3.6.m5.2.2.2" xref="S4.SS1.p3.6.m5.2.2.3.cmml"><msubsup id="S4.SS1.p3.6.m5.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p3.6.m5.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.6.m5.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS1.p3.6.m5.1.1.1.1.2.2.cmml">w</mi><mrow id="S4.SS1.p3.6.m5.1.1.1.1.2.3" xref="S4.SS1.p3.6.m5.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.6.m5.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.SS1.p3.6.m5.1.1.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S4.SS1.p3.6.m5.1.1.1.1.2.3.1" xref="S4.SS1.p3.6.m5.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS1.p3.6.m5.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.SS1.p3.6.m5.1.1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow><mi id="S4.SS1.p3.6.m5.1.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p3.6.m5.1.1.1.1.3.cmml">c</mi></msubsup><mo id="S4.SS1.p3.6.m5.2.2.2.3" xref="S4.SS1.p3.6.m5.2.2.3.cmml">,</mo><msubsup id="S4.SS1.p3.6.m5.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p3.6.m5.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.6.m5.2.2.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p3.6.m5.2.2.2.2.2.2.cmml">w</mi><mrow id="S4.SS1.p3.6.m5.2.2.2.2.2.3" xref="S4.SS1.p3.6.m5.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.6.m5.2.2.2.2.2.3.2" xref="S4.SS1.p3.6.m5.2.2.2.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S4.SS1.p3.6.m5.2.2.2.2.2.3.1" xref="S4.SS1.p3.6.m5.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS1.p3.6.m5.2.2.2.2.2.3.3" xref="S4.SS1.p3.6.m5.2.2.2.2.2.3.3.cmml">l</mi></mrow><mi id="S4.SS1.p3.6.m5.2.2.2.2.3" xref="S4.SS1.p3.6.m5.2.2.2.2.3.cmml">a</mi></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p3.6.m5.2b"><list id="S4.SS1.p3.6.m5.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.6.m5.2.2.2"><apply id="S4.SS1.p3.6.m5.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.6.m5.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.6.m5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.6.m5.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p3.6.m5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.6.m5.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.6.m5.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.6.m5.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p3.6.m5.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.6.m5.1.1.1.1.2.2">𝑤</ci><apply id="S4.SS1.p3.6.m5.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.6.m5.1.1.1.1.2.3"><times id="S4.SS1.p3.6.m5.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.6.m5.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S4.SS1.p3.6.m5.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.6.m5.1.1.1.1.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S4.SS1.p3.6.m5.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.6.m5.1.1.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="S4.SS1.p3.6.m5.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.6.m5.1.1.1.1.3">𝑐</ci></apply><apply id="S4.SS1.p3.6.m5.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.6.m5.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.6.m5.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.6.m5.2.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p3.6.m5.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.6.m5.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.6.m5.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.6.m5.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p3.6.m5.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.6.m5.2.2.2.2.2.2">𝑤</ci><apply id="S4.SS1.p3.6.m5.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.6.m5.2.2.2.2.2.3"><times id="S4.SS1.p3.6.m5.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.6.m5.2.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="S4.SS1.p3.6.m5.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.6.m5.2.2.2.2.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S4.SS1.p3.6.m5.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.6.m5.2.2.2.2.2.3.3">𝑙</ci></apply></apply><ci id="S4.SS1.p3.6.m5.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.6.m5.2.2.2.2.3">𝑎</ci></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p3.6.m5.2c">w_{ij}^{c},w_{il}^{a}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p3.6.m5.2d">italic_w start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_c end_POSTSUPERSCRIPT , italic_w start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_l end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_a end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> are approximated by their MAP estimates, resulting in a binary assignment for any <math alttext="(t,j)\in\{1,\ldots,T\}\times\{1,\ldots,m_{c}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p3.7.m6.8"><semantics id="S4.SS1.p3.7.m6.8a"><mrow id="S4.SS1.p3.7.m6.8.8" xref="S4.SS1.p3.7.m6.8.8.cmml"><mrow id="S4.SS1.p3.7.m6.8.8.3.2" xref="S4.SS1.p3.7.m6.8.8.3.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p3.7.m6.8.8.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.7.m6.8.8.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p3.7.m6.1.1" xref="S4.SS1.p3.7.m6.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.SS1.p3.7.m6.8.8.3.2.2" xref="S4.SS1.p3.7.m6.8.8.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS1.p3.7.m6.2.2" xref="S4.SS1.p3.7.m6.2.2.cmml">j</mi><mo id="S4.SS1.p3.7.m6.8.8.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.7.m6.8.8.3.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.SS1.p3.7.m6.8.8.2" xref="S4.SS1.p3.7.m6.8.8.2.cmml">∈</mo><mrow id="S4.SS1.p3.7.m6.8.8.1" xref="S4.SS1.p3.7.m6.8.8.1.cmml"><mrow id="S4.SS1.p3.7.m6.8.8.1.3.2" xref="S4.SS1.p3.7.m6.8.8.1.3.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p3.7.m6.8.8.1.3.2.1" stretchy="false" 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id="S4.SS1.p3.7.m6.8.8.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.7.m6.8.8.1.2"></times><set id="S4.SS1.p3.7.m6.8.8.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.7.m6.8.8.1.3.2"><cn id="S4.SS1.p3.7.m6.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p3.7.m6.3.3">1</cn><ci id="S4.SS1.p3.7.m6.4.4.cmml" xref="S4.SS1.p3.7.m6.4.4">…</ci><ci id="S4.SS1.p3.7.m6.5.5.cmml" xref="S4.SS1.p3.7.m6.5.5">𝑇</ci></set><set id="S4.SS1.p3.7.m6.8.8.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.7.m6.8.8.1.1.1"><cn id="S4.SS1.p3.7.m6.6.6.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p3.7.m6.6.6">1</cn><ci id="S4.SS1.p3.7.m6.7.7.cmml" xref="S4.SS1.p3.7.m6.7.7">…</ci><apply id="S4.SS1.p3.7.m6.8.8.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.7.m6.8.8.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.7.m6.8.8.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.7.m6.8.8.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p3.7.m6.8.8.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.7.m6.8.8.1.1.1.1.2">𝑚</ci><ci id="S4.SS1.p3.7.m6.8.8.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.7.m6.8.8.1.1.1.1.3">𝑐</ci></apply></set></apply></apply></annotation-xml><annotation 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cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.8.m7.8.8.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.8.m7.8.8.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p3.8.m7.8.8.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.8.m7.8.8.1.1.1.1.2">𝑚</ci><ci id="S4.SS1.p3.8.m7.8.8.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.8.m7.8.8.1.1.1.1.3">𝑎</ci></apply></set></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p3.8.m7.8c">(t,l)\in\{1,\ldots,T\}\times\{1,\ldots,m_{a}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p3.8.m7.8d">( italic_t , italic_l ) ∈ { 1 , … , italic_T } × { 1 , … , italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT }</annotation></semantics></math>):</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex32"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_left"><math alttext="w_{tj}^{c}=\left\{\begin{array}[]{ll}1&\text{if $\hat{s}_{c}(t)=j$}\\ 0&\text{else}\end{array}\right.,\quad w_{tl}^{a}=\left\{\begin{array}[]{ll}1&% \text{if $\hat{s}_{a}(t)=l$}\\ 0&\text{else}\end{array}\right." class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex32.m1.4"><semantics id="S4.Ex32.m1.4a"><mrow id="S4.Ex32.m1.4.4.2" xref="S4.Ex32.m1.4.4.3.cmml"><mrow id="S4.Ex32.m1.3.3.1.1" xref="S4.Ex32.m1.3.3.1.1.cmml"><msubsup id="S4.Ex32.m1.3.3.1.1.2" xref="S4.Ex32.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex32.m1.3.3.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex32.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml">w</mi><mrow id="S4.Ex32.m1.3.3.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex32.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex32.m1.3.3.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex32.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex32.m1.3.3.1.1.2.2.3.1" xref="S4.Ex32.m1.3.3.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex32.m1.3.3.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex32.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow><mi id="S4.Ex32.m1.3.3.1.1.2.3" xref="S4.Ex32.m1.3.3.1.1.2.3.cmml">c</mi></msubsup><mo id="S4.Ex32.m1.3.3.1.1.1" xref="S4.Ex32.m1.3.3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex32.m1.3.3.1.1.3.2" 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id="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.1" xref="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.1.cmml">=</mo><mi id="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.3" xref="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.3.cmml">j</mi></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.Ex32.m1.1.1d" xref="S4.Ex32.m1.1.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.Ex32.m1.1.1e" xref="S4.Ex32.m1.1.1.cmml"><mn id="S4.Ex32.m1.1.1.2.1.1" xref="S4.Ex32.m1.1.1.2.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.Ex32.m1.1.1f" xref="S4.Ex32.m1.1.1.cmml"><mtext id="S4.Ex32.m1.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex32.m1.1.1.2.2.1a.cmml">else</mtext></mtd></mtr></mtable><mi id="S4.Ex32.m1.3.3.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex32.m1.3.3.1.1.3.1.1.cmml"></mi></mrow></mrow><mo id="S4.Ex32.m1.4.4.2.3" rspace="1.167em" xref="S4.Ex32.m1.4.4.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex32.m1.4.4.2.2" xref="S4.Ex32.m1.4.4.2.2.cmml"><msubsup id="S4.Ex32.m1.4.4.2.2.2" xref="S4.Ex32.m1.4.4.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex32.m1.4.4.2.2.2.2.2" 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id="S4.Ex32.m1.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex32.m1.2.2.2.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.Ex32.m1.2.2f" xref="S4.Ex32.m1.2.2.cmml"><mtext id="S4.Ex32.m1.2.2.2.2.1" xref="S4.Ex32.m1.2.2.2.2.1a.cmml">else</mtext></mtd></mtr></mtable><mi id="S4.Ex32.m1.4.4.2.2.3.2.2" xref="S4.Ex32.m1.4.4.2.2.3.1.1.cmml"></mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex32.m1.4b"><apply id="S4.Ex32.m1.4.4.3.cmml" xref="S4.Ex32.m1.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex32.m1.4.4.3a.cmml" xref="S4.Ex32.m1.4.4.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Ex32.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex32.m1.3.3.1.1"><eq id="S4.Ex32.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex32.m1.3.3.1.1.1"></eq><apply id="S4.Ex32.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex32.m1.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex32.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex32.m1.3.3.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex32.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex32.m1.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex32.m1.3.3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex32.m1.3.3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex32.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex32.m1.3.3.1.1.2.2.2">𝑤</ci><apply id="S4.Ex32.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex32.m1.3.3.1.1.2.2.3"><times id="S4.Ex32.m1.3.3.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex32.m1.3.3.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex32.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex32.m1.3.3.1.1.2.2.3.2">𝑡</ci><ci id="S4.Ex32.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex32.m1.3.3.1.1.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex32.m1.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex32.m1.3.3.1.1.2.3">𝑐</ci></apply><apply id="S4.Ex32.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex32.m1.3.3.1.1.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex32.m1.3.3.1.1.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex32.m1.3.3.1.1.3.2.1">cases</csymbol><matrix id="S4.Ex32.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex32.m1.1.1"><matrixrow id="S4.Ex32.m1.1.1a.cmml" xref="S4.Ex32.m1.1.1"><cn id="S4.Ex32.m1.1.1.1.2.1.cmml" type="integer" xref="S4.Ex32.m1.1.1.1.2.1">1</cn><ci id="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1b.cmml" xref="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1"><mrow id="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1"><mtext id="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1a.cmml" xref="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1">if </mtext><mrow id="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.cmml" xref="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2"><mrow id="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.2"><msub id="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.2"><mover accent="true" id="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.2.2"><mi id="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.2.2.2">s</mi><mo id="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.2.2.1">^</mo></mover><mi id="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.2.3">c</mi></msub><mo id="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.1">⁢</mo><mrow id="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.3.2"><mo id="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.3.2.1.cmml" stretchy="false" xref="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.3.2">(</mo><mi id="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">t</mi><mo id="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.3.2.2.cmml" stretchy="false" xref="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.3.2">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.1">=</mo><mi id="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.3">j</mi></mrow></mrow></ci></matrixrow><matrixrow id="S4.Ex32.m1.1.1b.cmml" xref="S4.Ex32.m1.1.1"><cn id="S4.Ex32.m1.1.1.2.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Ex32.m1.1.1.2.1.1">0</cn><ci id="S4.Ex32.m1.1.1.2.2.1a.cmml" xref="S4.Ex32.m1.1.1.2.2.1"><mtext id="S4.Ex32.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex32.m1.1.1.2.2.1">else</mtext></ci></matrixrow></matrix></apply></apply><apply id="S4.Ex32.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex32.m1.4.4.2.2"><eq id="S4.Ex32.m1.4.4.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex32.m1.4.4.2.2.1"></eq><apply id="S4.Ex32.m1.4.4.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex32.m1.4.4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex32.m1.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex32.m1.4.4.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex32.m1.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex32.m1.4.4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex32.m1.4.4.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex32.m1.4.4.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex32.m1.4.4.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex32.m1.4.4.2.2.2.2.2">𝑤</ci><apply id="S4.Ex32.m1.4.4.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex32.m1.4.4.2.2.2.2.3"><times id="S4.Ex32.m1.4.4.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex32.m1.4.4.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex32.m1.4.4.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex32.m1.4.4.2.2.2.2.3.2">𝑡</ci><ci id="S4.Ex32.m1.4.4.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex32.m1.4.4.2.2.2.2.3.3">𝑙</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex32.m1.4.4.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex32.m1.4.4.2.2.2.3">𝑎</ci></apply><apply id="S4.Ex32.m1.4.4.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex32.m1.4.4.2.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex32.m1.4.4.2.2.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex32.m1.4.4.2.2.3.2.1">cases</csymbol><matrix id="S4.Ex32.m1.2.2.cmml" xref="S4.Ex32.m1.2.2"><matrixrow id="S4.Ex32.m1.2.2a.cmml" xref="S4.Ex32.m1.2.2"><cn id="S4.Ex32.m1.2.2.1.2.1.cmml" type="integer" xref="S4.Ex32.m1.2.2.1.2.1">1</cn><ci id="S4.Ex32.m1.2.2.1.1.1b.cmml" xref="S4.Ex32.m1.2.2.1.1.1"><mrow id="S4.Ex32.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex32.m1.2.2.1.1.1"><mtext id="S4.Ex32.m1.2.2.1.1.1a.cmml" xref="S4.Ex32.m1.2.2.1.1.1">if </mtext><mrow id="S4.Ex32.m1.2.2.1.1.1.1.1.m1.1.2.cmml" xref="S4.Ex32.m1.2.2.1.1.1.1.1.m1.1.2"><mrow id="S4.Ex32.m1.2.2.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex32.m1.2.2.1.1.1.1.1.m1.1.2.2"><msub id="S4.Ex32.m1.2.2.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex32.m1.2.2.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.2"><mover accent="true" id="S4.Ex32.m1.2.2.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex32.m1.2.2.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.2.2"><mi id="S4.Ex32.m1.2.2.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex32.m1.2.2.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.2.2.2">s</mi><mo id="S4.Ex32.m1.2.2.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex32.m1.2.2.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.2.2.1">^</mo></mover><mi id="S4.Ex32.m1.2.2.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex32.m1.2.2.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.2.3">a</mi></msub><mo id="S4.Ex32.m1.2.2.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex32.m1.2.2.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.1">⁢</mo><mrow id="S4.Ex32.m1.2.2.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex32.m1.2.2.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.3.2"><mo id="S4.Ex32.m1.2.2.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.3.2.1.cmml" stretchy="false" xref="S4.Ex32.m1.2.2.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.3.2">(</mo><mi id="S4.Ex32.m1.2.2.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex32.m1.2.2.1.1.1.1.1.m1.1.1">t</mi><mo id="S4.Ex32.m1.2.2.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.3.2.2.cmml" stretchy="false" xref="S4.Ex32.m1.2.2.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.3.2">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex32.m1.2.2.1.1.1.1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex32.m1.2.2.1.1.1.1.1.m1.1.2.1">=</mo><mi id="S4.Ex32.m1.2.2.1.1.1.1.1.m1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex32.m1.2.2.1.1.1.1.1.m1.1.2.3">l</mi></mrow></mrow></ci></matrixrow><matrixrow id="S4.Ex32.m1.2.2b.cmml" xref="S4.Ex32.m1.2.2"><cn id="S4.Ex32.m1.2.2.2.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Ex32.m1.2.2.2.1.1">0</cn><ci id="S4.Ex32.m1.2.2.2.2.1a.cmml" xref="S4.Ex32.m1.2.2.2.2.1"><mtext id="S4.Ex32.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex32.m1.2.2.2.2.1">else</mtext></ci></matrixrow></matrix></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex32.m1.4c">w_{tj}^{c}=\left\{\begin{array}[]{ll}1&\text{if $\hat{s}_{c}(t)=j$}\\ 0&\text{else}\end{array}\right.,\quad w_{tl}^{a}=\left\{\begin{array}[]{ll}1&% \text{if $\hat{s}_{a}(t)=l$}\\ 0&\text{else}\end{array}\right.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex32.m1.4d">italic_w start_POSTSUBSCRIPT italic_t italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_c end_POSTSUPERSCRIPT = { start_ARRAY start_ROW start_CELL 1 end_CELL start_CELL if over^ start_ARG italic_s end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) = italic_j end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL else end_CELL end_ROW end_ARRAY , italic_w start_POSTSUBSCRIPT italic_t italic_l end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_a end_POSTSUPERSCRIPT = { start_ARRAY start_ROW start_CELL 1 end_CELL start_CELL if over^ start_ARG italic_s end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) = italic_l end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL else end_CELL end_ROW end_ARRAY</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p4"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p4.6">Successively, we focus on the reconstruction of the state variables <math alttext="\bm{x}_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p4.1.m1.1"><semantics id="S4.SS1.p4.1.m1.1a"><msub id="S4.SS1.p4.1.m1.1.1" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p4.1.m1.1.1.2" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.1.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S4.SS1.p4.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p4.1.m1.1b"><apply id="S4.SS1.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.1.2">𝒙</ci><ci id="S4.SS1.p4.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p4.1.m1.1c">\bm{x}_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p4.1.m1.1d">bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\bm{x}_{a}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p4.2.m2.1"><semantics id="S4.SS1.p4.2.m2.1a"><msub id="S4.SS1.p4.2.m2.1.1" xref="S4.SS1.p4.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p4.2.m2.1.1.2" xref="S4.SS1.p4.2.m2.1.1.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S4.SS1.p4.2.m2.1.1.3" xref="S4.SS1.p4.2.m2.1.1.3.cmml">a</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p4.2.m2.1b"><apply id="S4.SS1.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p4.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p4.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m2.1.1.2">𝒙</ci><ci id="S4.SS1.p4.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m2.1.1.3">𝑎</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p4.2.m2.1c">\bm{x}_{a}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p4.2.m2.1d">bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, a task that is traditionally accomplished by means of a Kalman filter. Adapting the KF to our problem, however, requires few key modifications due to the dynamics in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S2.E1" title="In 2.1 System model description ‣ 2 Mathematical formulation ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>). When correcting the prior prediction of the state variables <math alttext="\bm{x}_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p4.3.m3.1"><semantics id="S4.SS1.p4.3.m3.1a"><msub id="S4.SS1.p4.3.m3.1.1" xref="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.2" xref="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.3" xref="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p4.3.m3.1b"><apply id="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.2">𝒙</ci><ci id="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p4.3.m3.1c">\bm{x}_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p4.3.m3.1d">bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\bm{x}_{a}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p4.4.m4.1"><semantics id="S4.SS1.p4.4.m4.1a"><msub id="S4.SS1.p4.4.m4.1.1" xref="S4.SS1.p4.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p4.4.m4.1.1.2" xref="S4.SS1.p4.4.m4.1.1.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S4.SS1.p4.4.m4.1.1.3" xref="S4.SS1.p4.4.m4.1.1.3.cmml">a</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p4.4.m4.1b"><apply id="S4.SS1.p4.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.4.m4.1.1.2">𝒙</ci><ci id="S4.SS1.p4.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p4.4.m4.1.1.3">𝑎</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p4.4.m4.1c">\bm{x}_{a}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p4.4.m4.1d">bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> using the data <math alttext="\bm{y}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p4.5.m5.1"><semantics id="S4.SS1.p4.5.m5.1a"><mi id="S4.SS1.p4.5.m5.1.1" xref="S4.SS1.p4.5.m5.1.1.cmml">𝒚</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p4.5.m5.1b"><ci id="S4.SS1.p4.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.5.m5.1.1">𝒚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p4.5.m5.1c">\bm{y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p4.5.m5.1d">bold_italic_y</annotation></semantics></math>, special consideration must be given to their cross-correlation structure, necessitating a careful design of the KF as outlined below. To simplify notation, we omit the dependency on the switching sequence, e.g., <math alttext="A_{c}=A_{c}(\hat{s}_{c}(t))" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p4.6.m6.2"><semantics id="S4.SS1.p4.6.m6.2a"><mrow id="S4.SS1.p4.6.m6.2.2" xref="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.cmml"><msub id="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.3" xref="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.3.2" xref="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.3.2.cmml">A</mi><mi id="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.3.3" xref="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.3.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.2" xref="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1" xref="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1.cmml"><msub id="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1.3" xref="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1.3.2" xref="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1.3.2.cmml">A</mi><mi id="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1.3.3" xref="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1.3.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1.2" xref="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1.1.1" xref="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml">s</mi><mo id="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p4.6.m6.1.1" xref="S4.SS1.p4.6.m6.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p4.6.m6.2b"><apply id="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.6.m6.2.2"><eq id="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.2"></eq><apply id="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.3.2">𝐴</ci><ci id="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.3.3">𝑐</ci></apply><apply id="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1"><times id="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1.2"></times><apply id="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1.3.2">𝐴</ci><ci id="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1.3.3">𝑐</ci></apply><apply id="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1.1.1"><times id="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1.1.1.1.1"></times><apply id="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.2"><ci id="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.2">𝑠</ci></apply><ci id="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="S4.SS1.p4.6.m6.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.6.m6.1.1">𝑡</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p4.6.m6.2c">A_{c}=A_{c}(\hat{s}_{c}(t))</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p4.6.m6.2d">italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT = italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( over^ start_ARG italic_s end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) )</annotation></semantics></math>).</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p5"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p5.10">First, we need to compute the prior state estimates of <math alttext="\bm{x}_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p5.1.m1.1"><semantics id="S4.SS1.p5.1.m1.1a"><msub id="S4.SS1.p5.1.m1.1.1" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.2" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p5.1.m1.1b"><apply id="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.2">𝒙</ci><ci id="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p5.1.m1.1c">\bm{x}_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p5.1.m1.1d">bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\bm{x}_{a}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p5.2.m2.1"><semantics id="S4.SS1.p5.2.m2.1a"><msub id="S4.SS1.p5.2.m2.1.1" xref="S4.SS1.p5.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.2.m2.1.1.2" xref="S4.SS1.p5.2.m2.1.1.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S4.SS1.p5.2.m2.1.1.3" xref="S4.SS1.p5.2.m2.1.1.3.cmml">a</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p5.2.m2.1b"><apply id="S4.SS1.p5.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p5.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.2.m2.1.1.2">𝒙</ci><ci id="S4.SS1.p5.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.2.m2.1.1.3">𝑎</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p5.2.m2.1c">\bm{x}_{a}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p5.2.m2.1d">bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, denoted as <math alttext="\hat{\bm{x}}_{c}^{-}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p5.3.m3.1"><semantics id="S4.SS1.p5.3.m3.1a"><msubsup id="S4.SS1.p5.3.m3.1.1" xref="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.2.2" xref="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.2.2.2" xref="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.2.2.2.cmml">𝒙</mi><mo id="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.2.2.1" xref="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.2.3" xref="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.2.3.cmml">c</mi><mo id="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.3" xref="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.3.cmml">−</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p5.3.m3.1b"><apply id="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.3.m3.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.3.m3.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.2.2"><ci id="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.2.2.2">𝒙</ci></apply><ci id="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.2.3">𝑐</ci></apply><minus id="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.3"></minus></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p5.3.m3.1c">\hat{\bm{x}}_{c}^{-}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p5.3.m3.1d">over^ start_ARG bold_italic_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\hat{\bm{x}}_{a}^{-}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p5.4.m4.1"><semantics id="S4.SS1.p5.4.m4.1a"><msubsup id="S4.SS1.p5.4.m4.1.1" xref="S4.SS1.p5.4.m4.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS1.p5.4.m4.1.1.2.2" xref="S4.SS1.p5.4.m4.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.4.m4.1.1.2.2.2" xref="S4.SS1.p5.4.m4.1.1.2.2.2.cmml">𝒙</mi><mo id="S4.SS1.p5.4.m4.1.1.2.2.1" xref="S4.SS1.p5.4.m4.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.SS1.p5.4.m4.1.1.2.3" xref="S4.SS1.p5.4.m4.1.1.2.3.cmml">a</mi><mo id="S4.SS1.p5.4.m4.1.1.3" xref="S4.SS1.p5.4.m4.1.1.3.cmml">−</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p5.4.m4.1b"><apply id="S4.SS1.p5.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.4.m4.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p5.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.4.m4.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p5.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.4.m4.1.1.2.2"><ci id="S4.SS1.p5.4.m4.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.4.m4.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="S4.SS1.p5.4.m4.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.4.m4.1.1.2.2.2">𝒙</ci></apply><ci id="S4.SS1.p5.4.m4.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.4.m4.1.1.2.3">𝑎</ci></apply><minus id="S4.SS1.p5.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.4.m4.1.1.3"></minus></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p5.4.m4.1c">\hat{\bm{x}}_{a}^{-}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p5.4.m4.1d">over^ start_ARG bold_italic_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. The prior estimates are derived from the first two relations in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S2.E1" title="In 2.1 System model description ‣ 2 Mathematical formulation ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>) as <math alttext="\hat{x}^{-}_{c}(t)=A_{c}\hat{x}_{c}(t-1)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p5.5.m5.2"><semantics id="S4.SS1.p5.5.m5.2a"><mrow id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.cmml"><mrow id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.3" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.3.cmml"><msubsup id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.3.2" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.3.2.2.2" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.3.2.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.3.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.3.2.2.2.2.cmml">x</mi><mo id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.3.2.2.2.1" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.3.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.3.2.3" 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id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.4" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.4.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.4.2" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.4.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.4.2.2" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.4.2.2.cmml">x</mi><mo id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.4.2.1" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.4.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.4.3" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.4.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.2a" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.1" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p5.5.m5.2b"><apply id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2"><eq id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.2"></eq><apply id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.3"><times id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.3.1"></times><apply id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.3.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.3.2">subscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.3.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.3.2">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.3.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.3.2.2.2"><ci id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.3.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.3.2.2.2.1">^</ci><ci id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.3.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.3.2.2.2.2">𝑥</ci></apply><minus id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.3.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.3.2.2.3"></minus></apply><ci id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.3.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.3.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="S4.SS1.p5.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.5.m5.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1"><times id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.2"></times><apply id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.3.2">𝐴</ci><ci id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.3.3">𝑐</ci></apply><apply id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.4.cmml" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.4.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.4">subscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.4.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.4.2"><ci id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.4.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.4.2.1">^</ci><ci id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.4.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.4.2.2">𝑥</ci></apply><ci id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.4.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.4.3">𝑐</ci></apply><apply id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.1"><minus id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.1.1.2">𝑡</ci><cn id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p5.5.m5.2c">\hat{x}^{-}_{c}(t)=A_{c}\hat{x}_{c}(t-1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p5.5.m5.2d">over^ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) = italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t - 1 )</annotation></semantics></math> and <math alttext="\hat{x}^{-}_{a}(t)=A_{a}\hat{x}_{a}(t+1)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p5.6.m6.2"><semantics id="S4.SS1.p5.6.m6.2a"><mrow id="S4.SS1.p5.6.m6.2.2" xref="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.cmml"><mrow id="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.3" xref="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.3.cmml"><msubsup id="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.3.2" xref="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.3.2.2.2" xref="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.3.2.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.3.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.3.2.2.2.2.cmml">x</mi><mo id="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.3.2.2.2.1" xref="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.3.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.3.2.3" xref="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.3.2.3.cmml">a</mi><mo id="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.3.2.2.3" xref="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.3.2.2.3.cmml">−</mo></msubsup><mo id="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.3.1" xref="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.3.3.2" xref="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.3.cmml"><mo id="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p5.6.m6.1.1" xref="S4.SS1.p5.6.m6.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.2" xref="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.1" xref="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.1.cmml"><msub id="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.1.3" xref="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.1.3.2" xref="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.1.3.2.cmml">A</mi><mi id="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.1.3.3" xref="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.1.3.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.1.2" xref="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.1.4" xref="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.1.4.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.1.4.2" xref="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.1.4.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.1.4.2.2" xref="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.1.4.2.2.cmml">x</mi><mo id="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.1.4.2.1" xref="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.1.4.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.1.4.3" xref="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.1.4.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.1.2a" xref="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.1.1.1" xref="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.1.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.1.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p5.6.m6.2b"><apply id="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.6.m6.2.2"><eq id="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.2"></eq><apply id="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.3"><times id="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.3.1"></times><apply id="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.3.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.3.2">subscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.3.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.3.2">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.3.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.3.2.2.2"><ci id="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.3.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.3.2.2.2.1">^</ci><ci id="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.3.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.3.2.2.2.2">𝑥</ci></apply><minus id="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.3.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.3.2.2.3"></minus></apply><ci id="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.3.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.3.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="S4.SS1.p5.6.m6.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.6.m6.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.1"><times id="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.1.2"></times><apply id="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.1.3.2">𝐴</ci><ci id="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.1.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.1.3.3">𝑎</ci></apply><apply id="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.1.4.cmml" xref="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.1.4.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.1.4">subscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.1.4.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.1.4.2"><ci id="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.1.4.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.1.4.2.1">^</ci><ci id="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.1.4.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.1.4.2.2">𝑥</ci></apply><ci id="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.1.4.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.1.4.3">𝑎</ci></apply><apply id="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.1.1.1"><plus id="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.1.1.1.1.2">𝑡</ci><cn id="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p5.6.m6.2.2.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p5.6.m6.2c">\hat{x}^{-}_{a}(t)=A_{a}\hat{x}_{a}(t+1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p5.6.m6.2d">over^ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) = italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t + 1 )</annotation></semantics></math>. With this regard, note that the switching sequence for each step has already been calculated. Successively, the measurement equation in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S2.E1" title="In 2.1 System model description ‣ 2 Mathematical formulation ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>) allows us to perform posterior corrections <math alttext="\hat{\bm{x}}_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p5.7.m7.1"><semantics id="S4.SS1.p5.7.m7.1a"><msub id="S4.SS1.p5.7.m7.1.1" xref="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.2" xref="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.2.2" xref="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.2.2.cmml">𝒙</mi><mo id="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.2.1" xref="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.3" xref="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p5.7.m7.1b"><apply id="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.7.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.7.m7.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.2"><ci id="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.2.1">^</ci><ci id="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.2.2">𝒙</ci></apply><ci id="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p5.7.m7.1c">\hat{\bm{x}}_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p5.7.m7.1d">over^ start_ARG bold_italic_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\hat{\bm{x}}_{a}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p5.8.m8.1"><semantics id="S4.SS1.p5.8.m8.1a"><msub id="S4.SS1.p5.8.m8.1.1" xref="S4.SS1.p5.8.m8.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS1.p5.8.m8.1.1.2" xref="S4.SS1.p5.8.m8.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.8.m8.1.1.2.2" xref="S4.SS1.p5.8.m8.1.1.2.2.cmml">𝒙</mi><mo id="S4.SS1.p5.8.m8.1.1.2.1" xref="S4.SS1.p5.8.m8.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.SS1.p5.8.m8.1.1.3" xref="S4.SS1.p5.8.m8.1.1.3.cmml">a</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p5.8.m8.1b"><apply id="S4.SS1.p5.8.m8.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.8.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.8.m8.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p5.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.8.m8.1.1.2"><ci id="S4.SS1.p5.8.m8.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.8.m8.1.1.2.1">^</ci><ci id="S4.SS1.p5.8.m8.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.8.m8.1.1.2.2">𝒙</ci></apply><ci id="S4.SS1.p5.8.m8.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.8.m8.1.1.3">𝑎</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p5.8.m8.1c">\hat{\bm{x}}_{a}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p5.8.m8.1d">over^ start_ARG bold_italic_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> on the underlying prior estimates <math alttext="\hat{\bm{x}}_{c}^{-}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p5.9.m9.1"><semantics id="S4.SS1.p5.9.m9.1a"><msubsup id="S4.SS1.p5.9.m9.1.1" xref="S4.SS1.p5.9.m9.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS1.p5.9.m9.1.1.2.2" xref="S4.SS1.p5.9.m9.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.9.m9.1.1.2.2.2" xref="S4.SS1.p5.9.m9.1.1.2.2.2.cmml">𝒙</mi><mo id="S4.SS1.p5.9.m9.1.1.2.2.1" xref="S4.SS1.p5.9.m9.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.SS1.p5.9.m9.1.1.2.3" xref="S4.SS1.p5.9.m9.1.1.2.3.cmml">c</mi><mo id="S4.SS1.p5.9.m9.1.1.3" xref="S4.SS1.p5.9.m9.1.1.3.cmml">−</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p5.9.m9.1b"><apply id="S4.SS1.p5.9.m9.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.9.m9.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.9.m9.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.9.m9.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p5.9.m9.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.9.m9.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.9.m9.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.9.m9.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p5.9.m9.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.9.m9.1.1.2.2"><ci id="S4.SS1.p5.9.m9.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.9.m9.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="S4.SS1.p5.9.m9.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.9.m9.1.1.2.2.2">𝒙</ci></apply><ci id="S4.SS1.p5.9.m9.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.9.m9.1.1.2.3">𝑐</ci></apply><minus id="S4.SS1.p5.9.m9.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.9.m9.1.1.3"></minus></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p5.9.m9.1c">\hat{\bm{x}}_{c}^{-}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p5.9.m9.1d">over^ start_ARG bold_italic_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\hat{\bm{x}}_{a}^{-}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p5.10.m10.1"><semantics id="S4.SS1.p5.10.m10.1a"><msubsup id="S4.SS1.p5.10.m10.1.1" xref="S4.SS1.p5.10.m10.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS1.p5.10.m10.1.1.2.2" xref="S4.SS1.p5.10.m10.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.10.m10.1.1.2.2.2" xref="S4.SS1.p5.10.m10.1.1.2.2.2.cmml">𝒙</mi><mo id="S4.SS1.p5.10.m10.1.1.2.2.1" xref="S4.SS1.p5.10.m10.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.SS1.p5.10.m10.1.1.2.3" xref="S4.SS1.p5.10.m10.1.1.2.3.cmml">a</mi><mo id="S4.SS1.p5.10.m10.1.1.3" xref="S4.SS1.p5.10.m10.1.1.3.cmml">−</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p5.10.m10.1b"><apply id="S4.SS1.p5.10.m10.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.10.m10.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.10.m10.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.10.m10.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p5.10.m10.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.10.m10.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.10.m10.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.10.m10.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p5.10.m10.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.10.m10.1.1.2.2"><ci id="S4.SS1.p5.10.m10.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.10.m10.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="S4.SS1.p5.10.m10.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.10.m10.1.1.2.2.2">𝒙</ci></apply><ci id="S4.SS1.p5.10.m10.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.10.m10.1.1.2.3">𝑎</ci></apply><minus id="S4.SS1.p5.10.m10.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.10.m10.1.1.3"></minus></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p5.10.m10.1c">\hat{\bm{x}}_{a}^{-}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p5.10.m10.1d">over^ start_ARG bold_italic_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> as follows:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx15"> <tbody id="S4.Ex33"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\hat{x}_{c}(t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex33.m1.1"><semantics id="S4.Ex33.m1.1a"><mrow id="S4.Ex33.m1.1.2" xref="S4.Ex33.m1.1.2.cmml"><msub id="S4.Ex33.m1.1.2.2" xref="S4.Ex33.m1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex33.m1.1.2.2.2" xref="S4.Ex33.m1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex33.m1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex33.m1.1.2.2.2.2.cmml">x</mi><mo id="S4.Ex33.m1.1.2.2.2.1" xref="S4.Ex33.m1.1.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.Ex33.m1.1.2.2.3" xref="S4.Ex33.m1.1.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S4.Ex33.m1.1.2.1" xref="S4.Ex33.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex33.m1.1.2.3.2" xref="S4.Ex33.m1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex33.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex33.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex33.m1.1.1" xref="S4.Ex33.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex33.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex33.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex33.m1.1b"><apply id="S4.Ex33.m1.1.2.cmml" xref="S4.Ex33.m1.1.2"><times id="S4.Ex33.m1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex33.m1.1.2.1"></times><apply id="S4.Ex33.m1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex33.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex33.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex33.m1.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex33.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex33.m1.1.2.2.2"><ci id="S4.Ex33.m1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex33.m1.1.2.2.2.1">^</ci><ci id="S4.Ex33.m1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex33.m1.1.2.2.2.2">𝑥</ci></apply><ci id="S4.Ex33.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex33.m1.1.2.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="S4.Ex33.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex33.m1.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex33.m1.1c">\displaystyle\hat{x}_{c}(t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex33.m1.1d">over^ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\hat{x}_{c}^{-}(t)+K_{c}(y(t)-C_{a}\hat{x}_{a}^{-}(t)-C_{c}\hat{% x}_{c}^{-}(t))," class="ltx_Math" display="inline" 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id="S4.Ex33.m2.2.2.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2">𝑡</ci></apply><apply id="S4.Ex33.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex33.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.Ex33.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex33.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.Ex33.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex33.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex33.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex33.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex33.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex33.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝐶</ci><ci id="S4.Ex33.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex33.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑎</ci></apply><apply id="S4.Ex33.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex33.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex33.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex33.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex33.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex33.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex33.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex33.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex33.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex33.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2"><ci id="S4.Ex33.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex33.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.1">^</ci><ci id="S4.Ex33.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex33.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2">𝑥</ci></apply><ci id="S4.Ex33.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex33.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3">𝑎</ci></apply><minus id="S4.Ex33.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex33.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3"></minus></apply><ci id="S4.Ex33.m2.3.3.cmml" xref="S4.Ex33.m2.3.3">𝑡</ci></apply><apply id="S4.Ex33.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex33.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4"><times id="S4.Ex33.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.Ex33.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.1"></times><apply id="S4.Ex33.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.Ex33.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex33.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex33.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex33.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex33.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2">𝐶</ci><ci id="S4.Ex33.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex33.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3">𝑐</ci></apply><apply id="S4.Ex33.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.Ex33.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex33.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S4.Ex33.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex33.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S4.Ex33.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex33.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex33.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.3">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex33.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex33.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2"><ci id="S4.Ex33.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex33.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2.1">^</ci><ci id="S4.Ex33.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex33.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2.2">𝑥</ci></apply><ci id="S4.Ex33.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex33.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3">𝑐</ci></apply><minus id="S4.Ex33.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="S4.Ex33.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3"></minus></apply><ci id="S4.Ex33.m2.4.4.cmml" xref="S4.Ex33.m2.4.4">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex33.m2.5c">\displaystyle=\hat{x}_{c}^{-}(t)+K_{c}(y(t)-C_{a}\hat{x}_{a}^{-}(t)-C_{c}\hat{% x}_{c}^{-}(t)),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex33.m2.5d">= over^ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) + italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_y ( italic_t ) - italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) - italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.Ex34"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\hat{x}_{a}(t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex34.m1.1"><semantics id="S4.Ex34.m1.1a"><mrow id="S4.Ex34.m1.1.2" xref="S4.Ex34.m1.1.2.cmml"><msub id="S4.Ex34.m1.1.2.2" xref="S4.Ex34.m1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex34.m1.1.2.2.2" xref="S4.Ex34.m1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex34.m1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex34.m1.1.2.2.2.2.cmml">x</mi><mo id="S4.Ex34.m1.1.2.2.2.1" xref="S4.Ex34.m1.1.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.Ex34.m1.1.2.2.3" xref="S4.Ex34.m1.1.2.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S4.Ex34.m1.1.2.1" xref="S4.Ex34.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex34.m1.1.2.3.2" xref="S4.Ex34.m1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex34.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex34.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex34.m1.1.1" xref="S4.Ex34.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex34.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex34.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex34.m1.1b"><apply id="S4.Ex34.m1.1.2.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.2"><times id="S4.Ex34.m1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.2.1"></times><apply id="S4.Ex34.m1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex34.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex34.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.2.2.2"><ci id="S4.Ex34.m1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.2.2.2.1">^</ci><ci id="S4.Ex34.m1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.2.2.2.2">𝑥</ci></apply><ci id="S4.Ex34.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.2.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="S4.Ex34.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex34.m1.1c">\displaystyle\hat{x}_{a}(t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex34.m1.1d">over^ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\hat{x}_{a}^{-}(t)+K_{a}(y(t)-C_{a}\hat{x}_{a}^{-}(t)-C_{c}\hat{% x}_{c}^{-}(t))," class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex34.m2.5"><semantics id="S4.Ex34.m2.5a"><mrow id="S4.Ex34.m2.5.5.1" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.3" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.2" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.3" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.3.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.3.2.2.2.2" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml">x</mi><mo id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.3.2.2.2.1" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.3.2.2.3.cmml">a</mi><mo id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.3.2.3.cmml">−</mo></msubsup><mo id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex34.m2.1.1" xref="S4.Ex34.m2.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.2" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.3.2.cmml">K</mi><mi id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.3.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">y</mi><mo id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex34.m2.2.2" xref="S4.Ex34.m2.2.2.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">C</mi><mi id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml">x</mi><mo id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.1" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">a</mi><mo id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">−</mo></msubsup><mo id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex34.m2.3.3" xref="S4.Ex34.m2.3.3.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><msub id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mi id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">C</mi><mi id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.1" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2.2" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2.2.cmml">x</mi><mo id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2.1" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3.cmml">c</mi><mo id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">−</mo></msubsup><mo id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.1a" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.4.2" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mo id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex34.m2.4.4" xref="S4.Ex34.m2.4.4.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex34.m2.5.5.1.2" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex34.m2.5b"><apply id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.cmml" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1"><eq id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1"><plus id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.2"></plus><apply id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.3"><times id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.3.2.2.2"><ci id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.3.2.2.2.1">^</ci><ci id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.3.2.2.2.2">𝑥</ci></apply><ci id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.3.2.2.3">𝑎</ci></apply><minus id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.3.2.3"></minus></apply><ci id="S4.Ex34.m2.1.1.cmml" xref="S4.Ex34.m2.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1"><times id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.3.2">𝐾</ci><ci id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.3.3">𝑎</ci></apply><apply id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑦</ci><ci id="S4.Ex34.m2.2.2.cmml" xref="S4.Ex34.m2.2.2">𝑡</ci></apply><apply id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝐶</ci><ci id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑎</ci></apply><apply id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2"><ci id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.1">^</ci><ci id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2">𝑥</ci></apply><ci id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3">𝑎</ci></apply><minus id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3"></minus></apply><ci id="S4.Ex34.m2.3.3.cmml" xref="S4.Ex34.m2.3.3">𝑡</ci></apply><apply id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4"><times id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.1"></times><apply id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2">𝐶</ci><ci id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3">𝑐</ci></apply><apply id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.3">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2"><ci id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2.1">^</ci><ci id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2.2">𝑥</ci></apply><ci id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3">𝑐</ci></apply><minus id="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="S4.Ex34.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3"></minus></apply><ci id="S4.Ex34.m2.4.4.cmml" xref="S4.Ex34.m2.4.4">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex34.m2.5c">\displaystyle=\hat{x}_{a}^{-}(t)+K_{a}(y(t)-C_{a}\hat{x}_{a}^{-}(t)-C_{c}\hat{% x}_{c}^{-}(t)),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex34.m2.5d">= over^ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) + italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_y ( italic_t ) - italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) - italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p5.19">where <math alttext="K_{c}\in\mathbb{R}^{n_{x_{c}}\times n_{y}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p5.11.m1.1"><semantics id="S4.SS1.p5.11.m1.1a"><mrow id="S4.SS1.p5.11.m1.1.1" xref="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.cmml"><msub id="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.2" xref="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.2.2" xref="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.2.2.cmml">K</mi><mi id="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.2.3" xref="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.1" xref="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.3" xref="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.3.2" xref="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.3.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.3.3" xref="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.3.3.cmml"><msub id="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.3.3.2" xref="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.3.3.2.2.cmml">n</mi><msub id="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.3.3.2.3.2" xref="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.3.3.2.3.2.cmml">x</mi><mi id="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.3.3.2.3.3" xref="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.3.3.2.3.3.cmml">c</mi></msub></msub><mo id="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.3.3.1.cmml">×</mo><msub id="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.3.3.3" xref="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.3.3.3.2" xref="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.3.3.3.2.cmml">n</mi><mi id="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.3.3.3.3" xref="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.3.3.3.3.cmml">y</mi></msub></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p5.11.m1.1b"><apply id="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.11.m1.1.1"><in id="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.1"></in><apply id="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.2.2">𝐾</ci><ci id="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.2.3">𝑐</ci></apply><apply id="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.3.2">ℝ</ci><apply id="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.3.3"><times id="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.3.3.1"></times><apply id="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.3.3.2.2">𝑛</ci><apply id="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.3.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.3.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.3.3.2.3.2">𝑥</ci><ci id="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.3.3.2.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.3.3.2.3.3">𝑐</ci></apply></apply><apply id="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.3.3.3.2">𝑛</ci><ci id="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.11.m1.1.1.3.3.3.3">𝑦</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p5.11.m1.1c">K_{c}\in\mathbb{R}^{n_{x_{c}}\times n_{y}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p5.11.m1.1d">italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT × italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_y end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="K_{a}\in\mathbb{R}^{n_{x_{a}}\times n_{y}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p5.12.m2.1"><semantics id="S4.SS1.p5.12.m2.1a"><mrow id="S4.SS1.p5.12.m2.1.1" xref="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.cmml"><msub id="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.2" xref="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.2.2" xref="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.2.2.cmml">K</mi><mi id="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.2.3" xref="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.1" xref="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.3" xref="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.3.2" xref="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.3.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.3.3" xref="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.3.3.cmml"><msub id="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.3.3.2" xref="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.3.3.2.2" xref="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.3.3.2.2.cmml">n</mi><msub id="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.3.3.2.3" xref="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.3.3.2.3.2" xref="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.3.3.2.3.2.cmml">x</mi><mi id="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.3.3.2.3.3" xref="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.3.3.2.3.3.cmml">a</mi></msub></msub><mo id="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.3.3.1.cmml">×</mo><msub id="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.3.3.3" xref="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.3.3.3.2" xref="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.3.3.3.2.cmml">n</mi><mi id="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.3.3.3.3" xref="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.3.3.3.3.cmml">y</mi></msub></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p5.12.m2.1b"><apply id="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.12.m2.1.1"><in id="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.1"></in><apply id="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.2.2">𝐾</ci><ci id="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.2.3">𝑎</ci></apply><apply id="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.3.2">ℝ</ci><apply id="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.3.3"><times id="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.3.3.1"></times><apply id="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.3.3.2.2">𝑛</ci><apply id="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.3.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.3.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.3.3.2.3.2">𝑥</ci><ci id="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.3.3.2.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.3.3.2.3.3">𝑎</ci></apply></apply><apply id="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.3.3.3.2">𝑛</ci><ci id="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.12.m2.1.1.3.3.3.3">𝑦</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p5.12.m2.1c">K_{a}\in\mathbb{R}^{n_{x_{a}}\times n_{y}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p5.12.m2.1d">italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT × italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_y end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> are the Kalman gains for the causal and non-causal states, respectively, whose design is critical for the effectiveness of the KF. Before delving into the derivation of <math alttext="K_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p5.13.m3.1"><semantics id="S4.SS1.p5.13.m3.1a"><msub id="S4.SS1.p5.13.m3.1.1" xref="S4.SS1.p5.13.m3.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.13.m3.1.1.2" xref="S4.SS1.p5.13.m3.1.1.2.cmml">K</mi><mi id="S4.SS1.p5.13.m3.1.1.3" xref="S4.SS1.p5.13.m3.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p5.13.m3.1b"><apply id="S4.SS1.p5.13.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.13.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.13.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.13.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p5.13.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.13.m3.1.1.2">𝐾</ci><ci id="S4.SS1.p5.13.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.13.m3.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p5.13.m3.1c">K_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p5.13.m3.1d">italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="K_{a}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p5.14.m4.1"><semantics id="S4.SS1.p5.14.m4.1a"><msub id="S4.SS1.p5.14.m4.1.1" xref="S4.SS1.p5.14.m4.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.14.m4.1.1.2" xref="S4.SS1.p5.14.m4.1.1.2.cmml">K</mi><mi id="S4.SS1.p5.14.m4.1.1.3" xref="S4.SS1.p5.14.m4.1.1.3.cmml">a</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p5.14.m4.1b"><apply id="S4.SS1.p5.14.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.14.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.14.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.14.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p5.14.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.14.m4.1.1.2">𝐾</ci><ci id="S4.SS1.p5.14.m4.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.14.m4.1.1.3">𝑎</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p5.14.m4.1c">K_{a}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p5.14.m4.1d">italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, let us first calculate the error covariance matrix for the prior state estimates based on the prior estimation errors <math alttext="e_{c}^{-}(t)=x_{c}(t)-\hat{x}^{-}_{c}(t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p5.15.m5.3"><semantics id="S4.SS1.p5.15.m5.3a"><mrow id="S4.SS1.p5.15.m5.3.4" xref="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.cmml"><mrow id="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.2" xref="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.2.cmml"><msubsup id="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.2.2" xref="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.2.2.2.2.cmml">e</mi><mi id="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.2.2.2.3" xref="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.2.2.2.3.cmml">c</mi><mo id="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.2.2.3" xref="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.2.2.3.cmml">−</mo></msubsup><mo id="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.2.1" xref="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.2.3.2" xref="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p5.15.m5.1.1" xref="S4.SS1.p5.15.m5.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.1" xref="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3" xref="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.cmml"><mrow id="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.2" xref="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.2.cmml"><msub id="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.2.2" xref="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.2.2.2" xref="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.2.2.2.cmml">x</mi><mi id="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.2.2.3" xref="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.2.1" xref="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.2.3.2" xref="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p5.15.m5.2.2" xref="S4.SS1.p5.15.m5.2.2.cmml">t</mi><mo id="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.1" xref="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.3" xref="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.3.cmml"><msubsup id="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.3.2" xref="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.3.2.2.2" xref="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.3.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.3.2.2.2.2.cmml">x</mi><mo id="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.3.2.2.2.1" xref="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.3.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.3.2.3" xref="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.3.2.3.cmml">c</mi><mo id="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.3.2.2.3" xref="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.3.2.2.3.cmml">−</mo></msubsup><mo id="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.3.1" xref="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.3.3.2" xref="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.3.cmml"><mo id="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.3.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p5.15.m5.3.3" xref="S4.SS1.p5.15.m5.3.3.cmml">t</mi><mo id="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p5.15.m5.3b"><apply id="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.cmml" xref="S4.SS1.p5.15.m5.3.4"><eq id="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.1"></eq><apply id="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.2"><times id="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.2.1"></times><apply id="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.2.2.2.2">𝑒</ci><ci id="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.2.2.2.3">𝑐</ci></apply><minus id="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.2.2.3"></minus></apply><ci id="S4.SS1.p5.15.m5.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.15.m5.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3"><minus id="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.1"></minus><apply id="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.2"><times id="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.2.1"></times><apply id="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.2.2.2">𝑥</ci><ci id="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.2.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="S4.SS1.p5.15.m5.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.15.m5.2.2">𝑡</ci></apply><apply id="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.3"><times id="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.3.1"></times><apply id="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.3.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.3.2">subscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.3.2">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.3.2.2.2"><ci id="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.3.2.2.2.1">^</ci><ci id="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.3.2.2.2.2">𝑥</ci></apply><minus id="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.3.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.3.2.2.3"></minus></apply><ci id="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.3.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.15.m5.3.4.3.3.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="S4.SS1.p5.15.m5.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.15.m5.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p5.15.m5.3c">e_{c}^{-}(t)=x_{c}(t)-\hat{x}^{-}_{c}(t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p5.15.m5.3d">italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) = italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) - over^ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t )</annotation></semantics></math> and <math alttext="e_{a}^{-}(t)=x_{a}(t)-\hat{x}^{-}_{a}(t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p5.16.m6.3"><semantics id="S4.SS1.p5.16.m6.3a"><mrow id="S4.SS1.p5.16.m6.3.4" xref="S4.SS1.p5.16.m6.3.4.cmml"><mrow id="S4.SS1.p5.16.m6.3.4.2" xref="S4.SS1.p5.16.m6.3.4.2.cmml"><msubsup id="S4.SS1.p5.16.m6.3.4.2.2" xref="S4.SS1.p5.16.m6.3.4.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.16.m6.3.4.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p5.16.m6.3.4.2.2.2.2.cmml">e</mi><mi id="S4.SS1.p5.16.m6.3.4.2.2.2.3" xref="S4.SS1.p5.16.m6.3.4.2.2.2.3.cmml">a</mi><mo id="S4.SS1.p5.16.m6.3.4.2.2.3" xref="S4.SS1.p5.16.m6.3.4.2.2.3.cmml">−</mo></msubsup><mo id="S4.SS1.p5.16.m6.3.4.2.1" xref="S4.SS1.p5.16.m6.3.4.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p5.16.m6.3.4.2.3.2" xref="S4.SS1.p5.16.m6.3.4.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p5.16.m6.3.4.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p5.16.m6.3.4.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p5.16.m6.1.1" xref="S4.SS1.p5.16.m6.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.SS1.p5.16.m6.3.4.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p5.16.m6.3.4.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS1.p5.16.m6.3.4.1" xref="S4.SS1.p5.16.m6.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS1.p5.16.m6.3.4.3" xref="S4.SS1.p5.16.m6.3.4.3.cmml"><mrow 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Denote <math alttext="P_{c}^{-}\triangleq\mathbb{E}[e_{c}^{-}(t)e_{c}^{-}(t)^{\top}],P_{a}^{-}% \triangleq\mathbb{E}[e_{a}^{-}(t)e_{a}^{-}(t)^{\top}],P_{c}\triangleq\mathbb{E% }[e_{c}(t)e_{c}(t)^{\top}],P_{a}\triangleq\mathbb{E}[e_{a}(t)e_{a}(t)^{\top}]." class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p5.19.m9.9"><semantics id="S4.SS1.p5.19.m9.9a"><mrow id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1"><mrow id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.1.1.3.2.3.cmml">c</mi><mo id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.1.1.3.3" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.1.1.3.3.cmml">−</mo></msubsup><mo id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.1.1.2.cmml">≜</mo><mrow id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.1.1.1.3.cmml">𝔼</mi><mo id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">e</mi><mi id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">c</mi><mo id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" 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xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">c</mi><mo id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">−</mo></msubsup><mo id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1b" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.5" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mrow id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.2" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mo id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p5.19.m9.2.2" xref="S4.SS1.p5.19.m9.2.2.cmml">t</mi><mo id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml">⊤</mo></msup></mrow><mo id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.3" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.3.cmml"><mrow id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.cmml"><msubsup id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.3" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.3.2.2" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.3.2.3" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.3.2.3.cmml">a</mi><mo id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.3.3" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml">−</mo></msubsup><mo id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.2" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.2.cmml">≜</mo><mrow id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.1" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml">𝔼</mi><mo id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">e</mi><mi id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">a</mi><mo id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">−</mo></msubsup><mo id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p5.19.m9.3.3" xref="S4.SS1.p5.19.m9.3.3.cmml">t</mi><mo id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.4" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">e</mi><mi id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">a</mi><mo id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">−</mo></msubsup><mo id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1b" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.5" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mrow id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.5.2.2" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mo id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.5.2.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.5.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p5.19.m9.4.4" xref="S4.SS1.p5.19.m9.4.4.cmml">t</mi><mo id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.5.2.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.5.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.5.3" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml">⊤</mo></msup></mrow><mo id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.3" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mrow id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.cmml"><msub id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml">P</mi><mi id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.3" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.cmml">≜</mo><mrow id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">𝔼</mi><mo id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">e</mi><mi id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p5.19.m9.5.5" xref="S4.SS1.p5.19.m9.5.5.cmml">t</mi><mo id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">e</mi><mi id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1b" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.5" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mrow id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.5.2.2" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mo id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.5.2.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.5.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p5.19.m9.6.6" xref="S4.SS1.p5.19.m9.6.6.cmml">t</mi><mo id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.5.2.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.5.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.5.3" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml">⊤</mo></msup></mrow><mo id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml"><msub id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.3" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">P</mi><mi id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml">≜</mo><mrow id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.3" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.3.cmml">𝔼</mi><mo id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.2" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">e</mi><mi id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.3.2" 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xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.5" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.5.cmml"><mrow id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.5.2.2" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.5.cmml"><mo id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.5.2.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.5.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p5.19.m9.8.8" xref="S4.SS1.p5.19.m9.8.8.cmml">t</mi><mo id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.5.2.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.5.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.5.3" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.5.3.cmml">⊤</mo></msup></mrow><mo id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.2" 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xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.3.2.2">𝑃</ci><ci id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.3.2.3">𝑎</ci></apply><minus id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.3.3"></minus></apply><apply id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.1"><times id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.1.2"></times><ci id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.1.3">𝔼</ci><apply id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" 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xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2">≜</ci><apply id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2">𝑃</ci><ci id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.3">𝑐</ci></apply><apply id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1"><times id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2"></times><ci id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3">𝔼</ci><apply id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑒</ci><ci id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="S4.SS1.p5.19.m9.5.5.cmml" xref="S4.SS1.p5.19.m9.5.5">𝑡</ci><apply id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2">𝑒</ci><ci id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4.3">𝑐</ci></apply><apply id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.5">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p5.19.m9.6.6.cmml" xref="S4.SS1.p5.19.m9.6.6">𝑡</ci><csymbol cd="latexml" id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.5.3">top</csymbol></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2"><ci id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2">≜</ci><apply id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.3.2">𝑃</ci><ci id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.3.3">𝑎</ci></apply><apply id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1"><times id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.2"></times><ci id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.3">𝔼</ci><apply id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1"><times id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1"></times><apply id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2">𝑒</ci><ci id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="S4.SS1.p5.19.m9.7.7.cmml" xref="S4.SS1.p5.19.m9.7.7">𝑡</ci><apply id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.4.2">𝑒</ci><ci id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.4.3">𝑎</ci></apply><apply id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.5.cmml" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.5">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p5.19.m9.8.8.cmml" xref="S4.SS1.p5.19.m9.8.8">𝑡</ci><csymbol cd="latexml" id="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.19.m9.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.5.3">top</csymbol></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p5.19.m9.9c">P_{c}^{-}\triangleq\mathbb{E}[e_{c}^{-}(t)e_{c}^{-}(t)^{\top}],P_{a}^{-}% \triangleq\mathbb{E}[e_{a}^{-}(t)e_{a}^{-}(t)^{\top}],P_{c}\triangleq\mathbb{E% }[e_{c}(t)e_{c}(t)^{\top}],P_{a}\triangleq\mathbb{E}[e_{a}(t)e_{a}(t)^{\top}].</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p5.19.m9.9d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT ≜ blackboard_E [ italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT ] , italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT ≜ blackboard_E [ italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT ] , italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ≜ blackboard_E [ italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT ] , italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ≜ blackboard_E [ italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT ] .</annotation></semantics></math> The Kalman gains are calculated to minimize the error covariance matrices of the posterior state estimates. The posterior estimation error can be rewritten as:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx16"> <tbody id="S4.Ex35"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle e_{c}(t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex35.m1.1"><semantics id="S4.Ex35.m1.1a"><mrow id="S4.Ex35.m1.1.2" xref="S4.Ex35.m1.1.2.cmml"><msub id="S4.Ex35.m1.1.2.2" xref="S4.Ex35.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex35.m1.1.2.2.2" xref="S4.Ex35.m1.1.2.2.2.cmml">e</mi><mi id="S4.Ex35.m1.1.2.2.3" xref="S4.Ex35.m1.1.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S4.Ex35.m1.1.2.1" xref="S4.Ex35.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex35.m1.1.2.3.2" xref="S4.Ex35.m1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex35.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex35.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex35.m1.1.1" xref="S4.Ex35.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex35.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex35.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex35.m1.1b"><apply id="S4.Ex35.m1.1.2.cmml" xref="S4.Ex35.m1.1.2"><times id="S4.Ex35.m1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex35.m1.1.2.1"></times><apply id="S4.Ex35.m1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex35.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex35.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex35.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex35.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex35.m1.1.2.2.2">𝑒</ci><ci id="S4.Ex35.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex35.m1.1.2.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="S4.Ex35.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex35.m1.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex35.m1.1c">\displaystyle e_{c}(t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex35.m1.1d">italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=(I-K_{c}C_{c})e_{c}^{-}(t)-K_{c}C_{a}e_{a}^{-}(t)-K_{c}v_{m}(t)," class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex35.m2.4"><semantics id="S4.Ex35.m2.4a"><mrow id="S4.Ex35.m2.4.4.1" xref="S4.Ex35.m2.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex35.m2.4.4.1.1" xref="S4.Ex35.m2.4.4.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex35.m2.4.4.1.1.3" xref="S4.Ex35.m2.4.4.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S4.Ex35.m2.4.4.1.1.2" xref="S4.Ex35.m2.4.4.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex35.m2.4.4.1.1.1" xref="S4.Ex35.m2.4.4.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex35.m2.4.4.1.1.1.1" xref="S4.Ex35.m2.4.4.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex35.m2.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex35.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex35.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex35.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex35.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex35.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex35.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex35.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">I</mi><mo id="S4.Ex35.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" 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italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ) italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) - italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) - italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.Ex36"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle e_{a}(t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex36.m1.1"><semantics id="S4.Ex36.m1.1a"><mrow 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xref="S4.Ex36.m2.4.4.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex36.m2.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex36.m2.4.4.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex36.m2.4.4.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex36.m2.4.4.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex36.m2.4.4.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex36.m2.4.4.1.1.1.1.3.2.2">𝑒</ci><ci id="S4.Ex36.m2.4.4.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex36.m2.4.4.1.1.1.1.3.2.3">𝑎</ci></apply><minus id="S4.Ex36.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex36.m2.4.4.1.1.1.1.3.3"></minus></apply><ci id="S4.Ex36.m2.1.1.cmml" xref="S4.Ex36.m2.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="S4.Ex36.m2.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex36.m2.4.4.1.1.1.3"><times id="S4.Ex36.m2.4.4.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex36.m2.4.4.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.Ex36.m2.4.4.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex36.m2.4.4.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex36.m2.4.4.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex36.m2.4.4.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex36.m2.4.4.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex36.m2.4.4.1.1.1.3.2.2">𝐾</ci><ci id="S4.Ex36.m2.4.4.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex36.m2.4.4.1.1.1.3.2.3">𝑎</ci></apply><apply id="S4.Ex36.m2.4.4.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex36.m2.4.4.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex36.m2.4.4.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex36.m2.4.4.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex36.m2.4.4.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex36.m2.4.4.1.1.1.3.3.2">𝐶</ci><ci id="S4.Ex36.m2.4.4.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex36.m2.4.4.1.1.1.3.3.3">𝑐</ci></apply><apply id="S4.Ex36.m2.4.4.1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.Ex36.m2.4.4.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex36.m2.4.4.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S4.Ex36.m2.4.4.1.1.1.3.4">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex36.m2.4.4.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S4.Ex36.m2.4.4.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex36.m2.4.4.1.1.1.3.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex36.m2.4.4.1.1.1.3.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex36.m2.4.4.1.1.1.3.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex36.m2.4.4.1.1.1.3.4.2.2">𝑒</ci><ci id="S4.Ex36.m2.4.4.1.1.1.3.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex36.m2.4.4.1.1.1.3.4.2.3">𝑐</ci></apply><minus id="S4.Ex36.m2.4.4.1.1.1.3.4.3.cmml" xref="S4.Ex36.m2.4.4.1.1.1.3.4.3"></minus></apply><ci id="S4.Ex36.m2.2.2.cmml" xref="S4.Ex36.m2.2.2">𝑡</ci></apply><apply id="S4.Ex36.m2.4.4.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex36.m2.4.4.1.1.1.4"><times id="S4.Ex36.m2.4.4.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.Ex36.m2.4.4.1.1.1.4.1"></times><apply id="S4.Ex36.m2.4.4.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.Ex36.m2.4.4.1.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex36.m2.4.4.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex36.m2.4.4.1.1.1.4.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex36.m2.4.4.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex36.m2.4.4.1.1.1.4.2.2">𝐾</ci><ci id="S4.Ex36.m2.4.4.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex36.m2.4.4.1.1.1.4.2.3">𝑎</ci></apply><apply id="S4.Ex36.m2.4.4.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.Ex36.m2.4.4.1.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex36.m2.4.4.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S4.Ex36.m2.4.4.1.1.1.4.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex36.m2.4.4.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S4.Ex36.m2.4.4.1.1.1.4.3.2">𝑣</ci><ci id="S4.Ex36.m2.4.4.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="S4.Ex36.m2.4.4.1.1.1.4.3.3">𝑚</ci></apply><ci id="S4.Ex36.m2.3.3.cmml" xref="S4.Ex36.m2.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex36.m2.4c">\displaystyle=(I-K_{a}C_{a})e_{a}^{-}(t)-K_{a}C_{c}e_{c}^{-}(t)-K_{a}v_{m}(t),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex36.m2.4d">= ( italic_I - italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ) italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) - italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) - italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p5.27">while the error covariance matrices of the state estimates:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx17"> <tbody id="S4.Ex37"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle P_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex37.m1.1"><semantics id="S4.Ex37.m1.1a"><msub id="S4.Ex37.m1.1.1" xref="S4.Ex37.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex37.m1.1.1.2" xref="S4.Ex37.m1.1.1.2.cmml">P</mi><mi id="S4.Ex37.m1.1.1.3" xref="S4.Ex37.m1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex37.m1.1b"><apply id="S4.Ex37.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex37.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex37.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex37.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex37.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex37.m1.1.1.2">𝑃</ci><ci id="S4.Ex37.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex37.m1.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex37.m1.1c">\displaystyle P_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex37.m1.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=P_{c}^{-}-P_{c}^{-}C_{c}^{\top}K_{c}^{\top}-K_{c}C_{c}P_{c}^{-}+% K_{c}C_{c}P_{c}^{-}C_{c}^{\top}K_{c}^{\top}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex37.m2.1"><semantics id="S4.Ex37.m2.1a"><mrow id="S4.Ex37.m2.1.1" xref="S4.Ex37.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex37.m2.1.1.2" xref="S4.Ex37.m2.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S4.Ex37.m2.1.1.1" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex37.m2.1.1.3" xref="S4.Ex37.m2.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex37.m2.1.1.3.2" xref="S4.Ex37.m2.1.1.3.2.cmml"><msubsup id="S4.Ex37.m2.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex37.m2.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex37.m2.1.1.3.2.2.2.2" xref="S4.Ex37.m2.1.1.3.2.2.2.2.cmml">P</mi><mi id="S4.Ex37.m2.1.1.3.2.2.2.3" xref="S4.Ex37.m2.1.1.3.2.2.2.3.cmml">c</mi><mo id="S4.Ex37.m2.1.1.3.2.2.3" xref="S4.Ex37.m2.1.1.3.2.2.3.cmml">−</mo></msubsup><mo id="S4.Ex37.m2.1.1.3.2.1" xref="S4.Ex37.m2.1.1.3.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex37.m2.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex37.m2.1.1.3.2.3.cmml"><msubsup id="S4.Ex37.m2.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex37.m2.1.1.3.2.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex37.m2.1.1.3.2.3.2.2.2" xref="S4.Ex37.m2.1.1.3.2.3.2.2.2.cmml">P</mi><mi id="S4.Ex37.m2.1.1.3.2.3.2.2.3" xref="S4.Ex37.m2.1.1.3.2.3.2.2.3.cmml">c</mi><mo id="S4.Ex37.m2.1.1.3.2.3.2.3" xref="S4.Ex37.m2.1.1.3.2.3.2.3.cmml">−</mo></msubsup><mo id="S4.Ex37.m2.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex37.m2.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex37.m2.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex37.m2.1.1.3.2.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex37.m2.1.1.3.2.3.3.2.2" xref="S4.Ex37.m2.1.1.3.2.3.3.2.2.cmml">C</mi><mi id="S4.Ex37.m2.1.1.3.2.3.3.2.3" xref="S4.Ex37.m2.1.1.3.2.3.3.2.3.cmml">c</mi><mo id="S4.Ex37.m2.1.1.3.2.3.3.3" xref="S4.Ex37.m2.1.1.3.2.3.3.3.cmml">⊤</mo></msubsup><mo id="S4.Ex37.m2.1.1.3.2.3.1a" xref="S4.Ex37.m2.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex37.m2.1.1.3.2.3.4" xref="S4.Ex37.m2.1.1.3.2.3.4.cmml"><mi id="S4.Ex37.m2.1.1.3.2.3.4.2.2" xref="S4.Ex37.m2.1.1.3.2.3.4.2.2.cmml">K</mi><mi id="S4.Ex37.m2.1.1.3.2.3.4.2.3" xref="S4.Ex37.m2.1.1.3.2.3.4.2.3.cmml">c</mi><mo id="S4.Ex37.m2.1.1.3.2.3.4.3" xref="S4.Ex37.m2.1.1.3.2.3.4.3.cmml">⊤</mo></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex37.m2.1.1.3.2.1a" xref="S4.Ex37.m2.1.1.3.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex37.m2.1.1.3.2.4" xref="S4.Ex37.m2.1.1.3.2.4.cmml"><msub id="S4.Ex37.m2.1.1.3.2.4.2" xref="S4.Ex37.m2.1.1.3.2.4.2.cmml"><mi id="S4.Ex37.m2.1.1.3.2.4.2.2" xref="S4.Ex37.m2.1.1.3.2.4.2.2.cmml">K</mi><mi id="S4.Ex37.m2.1.1.3.2.4.2.3" xref="S4.Ex37.m2.1.1.3.2.4.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S4.Ex37.m2.1.1.3.2.4.1" xref="S4.Ex37.m2.1.1.3.2.4.1.cmml">⁢</mo><msub 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ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle P_{a}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex38.m1.1"><semantics id="S4.Ex38.m1.1a"><msub id="S4.Ex38.m1.1.1" xref="S4.Ex38.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex38.m1.1.1.2" xref="S4.Ex38.m1.1.1.2.cmml">P</mi><mi id="S4.Ex38.m1.1.1.3" xref="S4.Ex38.m1.1.1.3.cmml">a</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex38.m1.1b"><apply id="S4.Ex38.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex38.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex38.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.2">𝑃</ci><ci id="S4.Ex38.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.3">𝑎</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex38.m1.1c">\displaystyle P_{a}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex38.m1.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=P_{a}^{-}-P_{a}^{-}C_{a}^{\top}K_{a}^{\top}-K_{a}C_{a}P_{a}^{-}+% K_{a}C_{a}P_{a}^{-}C_{a}^{\top}K_{a}^{\top}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex38.m2.1"><semantics id="S4.Ex38.m2.1a"><mrow id="S4.Ex38.m2.1.1" xref="S4.Ex38.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex38.m2.1.1.2" xref="S4.Ex38.m2.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S4.Ex38.m2.1.1.1" xref="S4.Ex38.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex38.m2.1.1.3" xref="S4.Ex38.m2.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex38.m2.1.1.3.2" xref="S4.Ex38.m2.1.1.3.2.cmml"><msubsup id="S4.Ex38.m2.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex38.m2.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex38.m2.1.1.3.2.2.2.2" xref="S4.Ex38.m2.1.1.3.2.2.2.2.cmml">P</mi><mi id="S4.Ex38.m2.1.1.3.2.2.2.3" xref="S4.Ex38.m2.1.1.3.2.2.2.3.cmml">a</mi><mo id="S4.Ex38.m2.1.1.3.2.2.3" xref="S4.Ex38.m2.1.1.3.2.2.3.cmml">−</mo></msubsup><mo id="S4.Ex38.m2.1.1.3.2.1" xref="S4.Ex38.m2.1.1.3.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex38.m2.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex38.m2.1.1.3.2.3.cmml"><msubsup 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start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(13)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p5.26">where the second equality in each derivation is established based on the independence of <math alttext="e_{c}^{-}(t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p5.20.m1.1"><semantics id="S4.SS1.p5.20.m1.1a"><mrow id="S4.SS1.p5.20.m1.1.2" xref="S4.SS1.p5.20.m1.1.2.cmml"><msubsup id="S4.SS1.p5.20.m1.1.2.2" xref="S4.SS1.p5.20.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.20.m1.1.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p5.20.m1.1.2.2.2.2.cmml">e</mi><mi id="S4.SS1.p5.20.m1.1.2.2.2.3" xref="S4.SS1.p5.20.m1.1.2.2.2.3.cmml">c</mi><mo id="S4.SS1.p5.20.m1.1.2.2.3" 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xref="S4.SS1.p5.22.m3.1.2.cmml"><msub id="S4.SS1.p5.22.m3.1.2.2" xref="S4.SS1.p5.22.m3.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.22.m3.1.2.2.2" xref="S4.SS1.p5.22.m3.1.2.2.2.cmml">v</mi><mi id="S4.SS1.p5.22.m3.1.2.2.3" xref="S4.SS1.p5.22.m3.1.2.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S4.SS1.p5.22.m3.1.2.1" xref="S4.SS1.p5.22.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p5.22.m3.1.2.3.2" xref="S4.SS1.p5.22.m3.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p5.22.m3.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p5.22.m3.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p5.22.m3.1.1" xref="S4.SS1.p5.22.m3.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.SS1.p5.22.m3.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p5.22.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p5.22.m3.1b"><apply id="S4.SS1.p5.22.m3.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.22.m3.1.2"><times id="S4.SS1.p5.22.m3.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.22.m3.1.2.1"></times><apply id="S4.SS1.p5.22.m3.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.22.m3.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.22.m3.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.22.m3.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p5.22.m3.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.22.m3.1.2.2.2">𝑣</ci><ci id="S4.SS1.p5.22.m3.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.22.m3.1.2.2.3">𝑚</ci></apply><ci id="S4.SS1.p5.22.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.22.m3.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p5.22.m3.1c">v_{m}(t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p5.22.m3.1d">italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t )</annotation></semantics></math>. Note that minimizing the variances of <math alttext="P_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p5.23.m4.1"><semantics id="S4.SS1.p5.23.m4.1a"><msub id="S4.SS1.p5.23.m4.1.1" xref="S4.SS1.p5.23.m4.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.23.m4.1.1.2" xref="S4.SS1.p5.23.m4.1.1.2.cmml">P</mi><mi id="S4.SS1.p5.23.m4.1.1.3" xref="S4.SS1.p5.23.m4.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p5.23.m4.1b"><apply id="S4.SS1.p5.23.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.23.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.23.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.23.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p5.23.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.23.m4.1.1.2">𝑃</ci><ci id="S4.SS1.p5.23.m4.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.23.m4.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p5.23.m4.1c">P_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p5.23.m4.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="P_{a}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p5.24.m5.1"><semantics id="S4.SS1.p5.24.m5.1a"><msub id="S4.SS1.p5.24.m5.1.1" xref="S4.SS1.p5.24.m5.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.24.m5.1.1.2" xref="S4.SS1.p5.24.m5.1.1.2.cmml">P</mi><mi id="S4.SS1.p5.24.m5.1.1.3" xref="S4.SS1.p5.24.m5.1.1.3.cmml">a</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p5.24.m5.1b"><apply id="S4.SS1.p5.24.m5.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.24.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.24.m5.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.24.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p5.24.m5.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.24.m5.1.1.2">𝑃</ci><ci id="S4.SS1.p5.24.m5.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.24.m5.1.1.3">𝑎</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p5.24.m5.1c">P_{a}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p5.24.m5.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is equivalent to minimizing their traces. Therefore, given the unconstrained nature of such trace minimization, the optimal Kalman gains <math alttext="K_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p5.25.m6.1"><semantics id="S4.SS1.p5.25.m6.1a"><msub id="S4.SS1.p5.25.m6.1.1" xref="S4.SS1.p5.25.m6.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.25.m6.1.1.2" xref="S4.SS1.p5.25.m6.1.1.2.cmml">K</mi><mi id="S4.SS1.p5.25.m6.1.1.3" xref="S4.SS1.p5.25.m6.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p5.25.m6.1b"><apply id="S4.SS1.p5.25.m6.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.25.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.25.m6.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.25.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p5.25.m6.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.25.m6.1.1.2">𝐾</ci><ci id="S4.SS1.p5.25.m6.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.25.m6.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p5.25.m6.1c">K_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p5.25.m6.1d">italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="K_{a}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p5.26.m7.1"><semantics id="S4.SS1.p5.26.m7.1a"><msub id="S4.SS1.p5.26.m7.1.1" xref="S4.SS1.p5.26.m7.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.26.m7.1.1.2" xref="S4.SS1.p5.26.m7.1.1.2.cmml">K</mi><mi id="S4.SS1.p5.26.m7.1.1.3" xref="S4.SS1.p5.26.m7.1.1.3.cmml">a</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p5.26.m7.1b"><apply id="S4.SS1.p5.26.m7.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.26.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.26.m7.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.26.m7.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p5.26.m7.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.26.m7.1.1.2">𝐾</ci><ci id="S4.SS1.p5.26.m7.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.26.m7.1.1.3">𝑎</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p5.26.m7.1c">K_{a}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p5.26.m7.1d">italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> can be found as:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx18"> <tbody id="S4.Ex39"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle K_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex39.m1.1"><semantics id="S4.Ex39.m1.1a"><msub id="S4.Ex39.m1.1.1" xref="S4.Ex39.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex39.m1.1.1.2" xref="S4.Ex39.m1.1.1.2.cmml">K</mi><mi id="S4.Ex39.m1.1.1.3" xref="S4.Ex39.m1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex39.m1.1b"><apply id="S4.Ex39.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex39.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex39.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.2">𝐾</ci><ci id="S4.Ex39.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex39.m1.1c">\displaystyle K_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex39.m1.1d">italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=(C_{c}P_{c}^{-}C_{c}^{\top}+C_{a}P_{a}^{-}C_{a}^{\top}+\Sigma_{m% })^{-1}(P_{c}^{-}C_{c}^{\top})," class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex39.m2.1"><semantics id="S4.Ex39.m2.1a"><mrow id="S4.Ex39.m2.1.1.1" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex39.m2.1.1.1.1" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.4.cmml"></mi><mo id="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.2.cmml"><msup id="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">C</mi><mi id="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">c</mi><mo id="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">−</mo></msubsup><mo id="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1a" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.2" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.2.cmml">C</mi><mi id="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.3" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.3.cmml">c</mi><mo id="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml">⊤</mo></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">C</mi><mi id="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">a</mi><mo id="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">−</mo></msubsup><mo id="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.cmml">C</mi><mi id="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3.cmml">a</mi><mo id="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml">⊤</mo></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msub id="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">Σ</mi><mi id="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">m</mi></msub></mrow><mo id="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.3a" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><msubsup id="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.2" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.cmml">P</mi><mi id="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.cmml">c</mi><mo id="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml">−</mo></msubsup><mo id="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.2.cmml">C</mi><mi id="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3.cmml">c</mi><mo id="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml">⊤</mo></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex39.m2.1.1.1.2" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex39.m2.1b"><apply id="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1"><eq id="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.3"></eq><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.4">absent</csymbol><apply id="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.2"><times id="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.2.3"></times><apply id="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S4.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" 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})^{-1}(P_{c}^{-}C_{c}^{\top}),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex39.m2.1d">= ( italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT + italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT + roman_Σ start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.Ex40"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle K_{a}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex40.m1.1"><semantics id="S4.Ex40.m1.1a"><msub id="S4.Ex40.m1.1.1" xref="S4.Ex40.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex40.m1.1.1.2" xref="S4.Ex40.m1.1.1.2.cmml">K</mi><mi id="S4.Ex40.m1.1.1.3" xref="S4.Ex40.m1.1.1.3.cmml">a</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex40.m1.1b"><apply id="S4.Ex40.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex40.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex40.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex40.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex40.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex40.m1.1.1.2">𝐾</ci><ci id="S4.Ex40.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex40.m1.1.1.3">𝑎</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex40.m1.1c">\displaystyle K_{a}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex40.m1.1d">italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=(C_{a}P_{a}^{-}C_{a}^{\top}+C_{c}P_{c}^{-}C_{c}^{\top}+\Sigma_{m% })^{-1}(P_{a}^{-}C_{a}^{\top})." class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex40.m2.1"><semantics id="S4.Ex40.m2.1a"><mrow id="S4.Ex40.m2.1.1.1" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.4.cmml"></mi><mo id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.2.cmml"><msup id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">C</mi><mi id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">a</mi><mo id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">−</mo></msubsup><mo id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1a" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.2" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.2.cmml">C</mi><mi id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.3" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.3.cmml">a</mi><mo id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml">⊤</mo></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">C</mi><mi id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">c</mi><mo id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">−</mo></msubsup><mo id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.cmml">C</mi><mi id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3.cmml">c</mi><mo id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml">⊤</mo></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msub id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">Σ</mi><mi id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">m</mi></msub></mrow><mo id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3a" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.2.2.1.1" 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id="S4.Ex40.m2.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex40.m2.1b"><apply id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1"><eq id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.3"></eq><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.4">absent</csymbol><apply id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.2"><times id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.2.3"></times><apply id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" 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xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝑃</ci><ci id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3">𝑎</ci></apply><minus id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3"></minus></apply><apply id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.2">𝐶</ci><ci id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.3">𝑎</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3">top</csymbol></apply></apply><apply id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝐶</ci><ci id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑐</ci></apply><apply id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝑃</ci><ci id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3">𝑐</ci></apply><minus id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3"></minus></apply><apply id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2">𝐶</ci><ci id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3">𝑐</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3">top</csymbol></apply></apply><apply id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">Σ</ci><ci id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3">𝑚</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3"><minus id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3"></minus><cn id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.2.2.1"><times id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.1"></times><apply id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2">𝑃</ci><ci id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3">𝑎</ci></apply><minus id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3"></minus></apply><apply id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.2">𝐶</ci><ci id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3">𝑎</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3">top</csymbol></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex40.m2.1c">\displaystyle=(C_{a}P_{a}^{-}C_{a}^{\top}+C_{c}P_{c}^{-}C_{c}^{\top}+\Sigma_{m% })^{-1}(P_{a}^{-}C_{a}^{\top}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex40.m2.1d">= ( italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT + italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT + roman_Σ start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p6"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p6.3">By substituting the Kalman gains above into (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S4.E12" title="In 4.1 The E-step ‣ 4 Implementation details of the EM algorithm ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">12</span></a>)–(<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S4.E13" title="In 4.1 The E-step ‣ 4 Implementation details of the EM algorithm ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">13</span></a>), the updated error covariance matrices can be obtained as: <math alttext="P_{c}=(I-K_{c}C_{c})P_{c}^{-},P_{a}=(I-K_{a}C_{a})P_{a}^{-}." class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p6.1.m1.1"><semantics id="S4.SS1.p6.1.m1.1a"><mrow id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1"><mrow id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">P</mi><mi id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">I</mi><mo id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">K</mi><mi id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">C</mi><mi id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">c</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">c</mi><mo id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">−</mo></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><msub id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">P</mi><mi id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml"><mrow id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">I</mi><mo id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">K</mi><mi id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml">C</mi><mi id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.3.cmml">a</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.2" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.3" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.2.2" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.2.3" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.2.3.cmml">a</mi><mo id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.cmml">−</mo></msubsup></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p6.1.m1.1b"><apply id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1"><eq id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑃</ci><ci id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑐</ci></apply><apply id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝐼</ci><apply id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝐾</ci><ci id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑐</ci></apply><apply id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝐶</ci><ci id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑐</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑃</ci><ci id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑐</ci></apply><minus id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"></minus></apply></apply></apply><apply id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2"><eq id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.2"></eq><apply id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑃</ci><ci id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑎</ci></apply><apply id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1"><times id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.2"></times><apply id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1"><minus id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2">𝐼</ci><apply id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3"><times id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.2">𝐾</ci><ci id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.3">𝑎</ci></apply><apply id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.2">𝐶</ci><ci id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.3">𝑎</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.2.2">𝑃</ci><ci id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.2.3">𝑎</ci></apply><minus id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3"></minus></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p6.1.m1.1c">P_{c}=(I-K_{c}C_{c})P_{c}^{-},P_{a}=(I-K_{a}C_{a})P_{a}^{-}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p6.1.m1.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT = ( italic_I - italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ) italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT , italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT = ( italic_I - italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ) italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math> By completing the steps of the modified KF, including the prediction, measurement update, and error covariance matrix update <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#bib.bib16" title="">16</a>]</cite>, one can obtain all the posterior estimates of the state vectors <math alttext="\bm{x}_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p6.2.m2.1"><semantics id="S4.SS1.p6.2.m2.1a"><msub id="S4.SS1.p6.2.m2.1.1" xref="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.2" xref="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.3" xref="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p6.2.m2.1b"><apply id="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.2">𝒙</ci><ci id="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p6.2.m2.1c">\bm{x}_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p6.2.m2.1d">bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\bm{x}_{a}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p6.3.m3.1"><semantics id="S4.SS1.p6.3.m3.1a"><msub id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.2" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.3" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.3.cmml">a</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p6.3.m3.1b"><apply id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.2">𝒙</ci><ci id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.3">𝑎</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p6.3.m3.1c">\bm{x}_{a}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p6.3.m3.1d">bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, which are optimal state estimates based on the available measurements and prior knowledge. In addition, to ensure the convergence of the proposed state estimation method, we establish the following properties of the state estimates:</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmlemma2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma2.1.1.1">Lemma 2</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma2.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmlemma2.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmlemma2.p1.10"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlemma2.p1.10.10">Let <math alttext="\eta_{c}(t)=x_{c}(t)-A(\hat{s}_{c}(t))x_{c}(t-1)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.5"><semantics id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.5a"><mrow id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.5.5" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.5.5.cmml"><mrow id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.5.5.4" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.5.5.4.cmml"><msub id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.5.5.4.2" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.5.5.4.2.cmml"><mi id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.5.5.4.2.2" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.5.5.4.2.2.cmml">η</mi><mi id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.5.5.4.2.3" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.5.5.4.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.5.5.4.1" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.5.5.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.5.5.4.3.2" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.5.5.4.cmml"><mo id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.5.5.4.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.5.5.4.cmml">(</mo><mi id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.5.5.4.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.5.5.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.5.5.3" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.5.5.3.cmml">=</mo><mrow id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.5.5.2" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.5.5.2.cmml"><mrow id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.5.5.2.4" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.5.5.2.4.cmml"><msub id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.5.5.2.4.2" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.5.5.2.4.2.cmml"><mi id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.5.5.2.4.2.2" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.5.5.2.4.2.2.cmml">x</mi><mi id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.5.5.2.4.2.3" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.5.5.2.4.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.5.5.2.4.1" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.5.5.2.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.5.5.2.4.3.2" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.5.5.2.4.cmml"><mo id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.5.5.2.4.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.5.5.2.4.cmml">(</mo><mi id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.2.2" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.2.2.cmml">t</mi><mo id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.5.5.2.4.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.5.5.2.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.5.5.2.3" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.5.5.2.3.cmml">−</mo><mrow id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.5.5.2.2" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.5.5.2.2.cmml"><mi id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.5.5.2.2.4" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.5.5.2.2.4.cmml">A</mi><mo id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.5.5.2.2.3" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.5.5.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">s</mi><mo id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mo 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id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.8d">italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) = italic_y ( italic_t ) - italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( over^ start_ARG italic_s end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ) italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) - italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( over^ start_ARG italic_s end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ) italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t )</annotation></semantics></math>. There exist <math alttext="\alpha_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.1"><semantics id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.1a"><msub id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.1.1" xref="Thmlemma2.p1.4.4.m4.1.1.cmml"><mi id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.1.1.2" xref="Thmlemma2.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml">α</mi><mn id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.1.1.3" xref="Thmlemma2.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.1b"><apply id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.4.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.4.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.4.4.m4.1.1.2">𝛼</ci><cn id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmlemma2.p1.4.4.m4.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.1c">\alpha_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.1d">italic_α start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="\alpha_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma2.p1.5.5.m5.1"><semantics id="Thmlemma2.p1.5.5.m5.1a"><msub id="Thmlemma2.p1.5.5.m5.1.1" xref="Thmlemma2.p1.5.5.m5.1.1.cmml"><mi id="Thmlemma2.p1.5.5.m5.1.1.2" xref="Thmlemma2.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml">α</mi><mn id="Thmlemma2.p1.5.5.m5.1.1.3" xref="Thmlemma2.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma2.p1.5.5.m5.1b"><apply id="Thmlemma2.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.5.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma2.p1.5.5.m5.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.5.5.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma2.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.5.5.m5.1.1.2">𝛼</ci><cn id="Thmlemma2.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmlemma2.p1.5.5.m5.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma2.p1.5.5.m5.1c">\alpha_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma2.p1.5.5.m5.1d">italic_α start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="\alpha_{3}>0" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma2.p1.6.6.m6.1"><semantics id="Thmlemma2.p1.6.6.m6.1a"><mrow id="Thmlemma2.p1.6.6.m6.1.1" xref="Thmlemma2.p1.6.6.m6.1.1.cmml"><msub id="Thmlemma2.p1.6.6.m6.1.1.2" xref="Thmlemma2.p1.6.6.m6.1.1.2.cmml"><mi id="Thmlemma2.p1.6.6.m6.1.1.2.2" xref="Thmlemma2.p1.6.6.m6.1.1.2.2.cmml">α</mi><mn id="Thmlemma2.p1.6.6.m6.1.1.2.3" xref="Thmlemma2.p1.6.6.m6.1.1.2.3.cmml">3</mn></msub><mo id="Thmlemma2.p1.6.6.m6.1.1.1" xref="Thmlemma2.p1.6.6.m6.1.1.1.cmml">></mo><mn id="Thmlemma2.p1.6.6.m6.1.1.3" xref="Thmlemma2.p1.6.6.m6.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma2.p1.6.6.m6.1b"><apply id="Thmlemma2.p1.6.6.m6.1.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.6.6.m6.1.1"><gt id="Thmlemma2.p1.6.6.m6.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.6.6.m6.1.1.1"></gt><apply id="Thmlemma2.p1.6.6.m6.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.6.6.m6.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma2.p1.6.6.m6.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.6.6.m6.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma2.p1.6.6.m6.1.1.2.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.6.6.m6.1.1.2.2">𝛼</ci><cn id="Thmlemma2.p1.6.6.m6.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmlemma2.p1.6.6.m6.1.1.2.3">3</cn></apply><cn id="Thmlemma2.p1.6.6.m6.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmlemma2.p1.6.6.m6.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma2.p1.6.6.m6.1c">\alpha_{3}>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma2.p1.6.6.m6.1d">italic_α start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT > 0</annotation></semantics></math> so that <math alttext="\|\eta_{c}(t)\|^{2}\leq\alpha_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2"><semantics id="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2a"><mrow id="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2" xref="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2.cmml"><msup id="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2.1" xref="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2.1.cmml"><mrow id="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2.1.1.1" xref="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2.1.1.1.1" xref="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2.1.1.1.1.cmml"><msub id="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2.1.1.1.1.2" xref="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">η</mi><mi id="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2.1.1.1.1.1" xref="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="Thmlemma2.p1.7.7.m7.1.1" xref="Thmlemma2.p1.7.7.m7.1.1.cmml">t</mi><mo id="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2.1.3" xref="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2.2" xref="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2.2.cmml">≤</mo><msub id="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2.3" xref="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2.3.cmml"><mi id="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2.3.2" xref="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2.3.2.cmml">α</mi><mn id="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2.3.3" xref="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2b"><apply id="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2"><leq id="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2.2"></leq><apply id="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2.1.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2.1">superscript</csymbol><apply id="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2.1.1.1.1"><times id="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2.1.1.1.1.1"></times><apply id="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2.1.1.1.1.2.2">𝜂</ci><ci id="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2.1.1.1.1.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="Thmlemma2.p1.7.7.m7.1.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.7.7.m7.1.1">𝑡</ci></apply></apply><cn id="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2.1.3">2</cn></apply><apply id="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2.3.cmml" xref="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2.3.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2.3.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2.3.2">𝛼</ci><cn id="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2.2.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2c">\|\eta_{c}(t)\|^{2}\leq\alpha_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma2.p1.7.7.m7.2d">∥ italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ≤ italic_α start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="\|\eta_{a}(t)\|^{2}\leq\alpha_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2"><semantics id="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2a"><mrow id="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2" xref="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2.cmml"><msup id="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2.1" xref="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2.1.cmml"><mrow id="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1" xref="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1" xref="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.cmml"><msub id="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.2" xref="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">η</mi><mi id="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.1" xref="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="Thmlemma2.p1.8.8.m8.1.1" xref="Thmlemma2.p1.8.8.m8.1.1.cmml">t</mi><mo id="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2.1.3" xref="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2.2" xref="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2.2.cmml">≤</mo><msub id="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2.3" xref="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2.3.cmml"><mi id="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2.3.2" xref="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2.3.2.cmml">α</mi><mn id="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2.3.3" xref="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2b"><apply id="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2"><leq id="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2.2"></leq><apply id="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2.1.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2.1">superscript</csymbol><apply id="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1"><times id="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.1"></times><apply id="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.2.2">𝜂</ci><ci id="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="Thmlemma2.p1.8.8.m8.1.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.8.8.m8.1.1">𝑡</ci></apply></apply><cn id="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2.1.3">2</cn></apply><apply id="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2.3.cmml" xref="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2.3.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2.3.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2.3.2">𝛼</ci><cn id="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2.2.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2c">\|\eta_{a}(t)\|^{2}\leq\alpha_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma2.p1.8.8.m8.2d">∥ italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ≤ italic_α start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, and <math alttext="\|\eta_{m}(t)\|^{2}\leq\alpha_{3}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2"><semantics id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2a"><mrow id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.cmml"><msup id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.1" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.1.cmml"><mrow id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.1.1.1" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.1.1.1.1" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.1.1.1.1.cmml"><msub id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.1.1.1.1.2" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">η</mi><mi id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.1.1.1.1.1" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.1.1" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.1.1.cmml">t</mi><mo id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.1.3" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.2" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.2.cmml">≤</mo><msub id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.3" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.3.cmml"><mi id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.3.2" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.3.2.cmml">α</mi><mn id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.3.3" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.3.3.cmml">3</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2b"><apply id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2"><leq id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.2"></leq><apply id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.1.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.1">superscript</csymbol><apply id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.1.1.1.1"><times id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.1.1.1.1.1"></times><apply id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.1.1.1.1.2.2">𝜂</ci><ci id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.1.1.1.1.2.3">𝑚</ci></apply><ci id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.1.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.1.1">𝑡</ci></apply></apply><cn id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.1.3">2</cn></apply><apply id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.3.cmml" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.3.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.3.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.3.2">𝛼</ci><cn id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.3.3">3</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2c">\|\eta_{m}(t)\|^{2}\leq\alpha_{3}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2d">∥ italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ≤ italic_α start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, for all <math alttext="t\in\mathbb{Z}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma2.p1.10.10.m10.1"><semantics id="Thmlemma2.p1.10.10.m10.1a"><mrow id="Thmlemma2.p1.10.10.m10.1.1" xref="Thmlemma2.p1.10.10.m10.1.1.cmml"><mi id="Thmlemma2.p1.10.10.m10.1.1.2" xref="Thmlemma2.p1.10.10.m10.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="Thmlemma2.p1.10.10.m10.1.1.1" xref="Thmlemma2.p1.10.10.m10.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="Thmlemma2.p1.10.10.m10.1.1.3" xref="Thmlemma2.p1.10.10.m10.1.1.3.cmml">ℤ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma2.p1.10.10.m10.1b"><apply id="Thmlemma2.p1.10.10.m10.1.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.10.10.m10.1.1"><in id="Thmlemma2.p1.10.10.m10.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.10.10.m10.1.1.1"></in><ci id="Thmlemma2.p1.10.10.m10.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.10.10.m10.1.1.2">𝑡</ci><ci id="Thmlemma2.p1.10.10.m10.1.1.3.cmml" xref="Thmlemma2.p1.10.10.m10.1.1.3">ℤ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma2.p1.10.10.m10.1c">t\in\mathbb{Z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma2.p1.10.10.m10.1d">italic_t ∈ blackboard_Z</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p7"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p7.1">The proof of the Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#Thmlemma2" title="Lemma 2. ‣ 4.1 The E-step ‣ 4 Implementation details of the EM algorithm ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a> is shown in <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#A1" title="Appendix A Technical proofs ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">A</span></a>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p8"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p8.1">Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#Thmlemma2" title="Lemma 2. ‣ 4.1 The E-step ‣ 4 Implementation details of the EM algorithm ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a> states that the error of state estimation is bounded in the mean square sense, regardless of how the state trajectory evolves in time.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_remark" id="Thmremark3"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmremark3.1.1.1">Remark 3</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmremark3.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmremark3.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmremark3.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmremark3.p1.2.2">In the E-step, the modified Kalman filter provides posterior state estimates along with their error covariance matrices. Under the Gaussian noise assumptions, the posterior distributions of states given the observations <math alttext="\bm{y}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmremark3.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmremark3.p1.1.1.m1.1a"><mi id="Thmremark3.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmremark3.p1.1.1.m1.1.1.cmml">𝐲</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmremark3.p1.1.1.m1.1b"><ci id="Thmremark3.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmremark3.p1.1.1.m1.1.1">𝐲</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmremark3.p1.1.1.m1.1c">\bm{y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmremark3.p1.1.1.m1.1d">bold_italic_y</annotation></semantics></math> are also Gaussian. Substituting these closed-form expectations (states, error covariance matrices) into (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S3.Ex25" title="3 The EM method for identifying NCS-RSM ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>), the components in <math alttext="Q(\theta,\theta^{k})" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmremark3.p1.2.2.m2.2"><semantics id="Thmremark3.p1.2.2.m2.2a"><mrow id="Thmremark3.p1.2.2.m2.2.2" xref="Thmremark3.p1.2.2.m2.2.2.cmml"><mi id="Thmremark3.p1.2.2.m2.2.2.3" xref="Thmremark3.p1.2.2.m2.2.2.3.cmml">Q</mi><mo id="Thmremark3.p1.2.2.m2.2.2.2" xref="Thmremark3.p1.2.2.m2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmremark3.p1.2.2.m2.2.2.1.1" xref="Thmremark3.p1.2.2.m2.2.2.1.2.cmml"><mo id="Thmremark3.p1.2.2.m2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmremark3.p1.2.2.m2.2.2.1.2.cmml">(</mo><mi id="Thmremark3.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmremark3.p1.2.2.m2.1.1.cmml">θ</mi><mo id="Thmremark3.p1.2.2.m2.2.2.1.1.3" xref="Thmremark3.p1.2.2.m2.2.2.1.2.cmml">,</mo><msup id="Thmremark3.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1" xref="Thmremark3.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="Thmremark3.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2" xref="Thmremark3.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">θ</mi><mi id="Thmremark3.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3" xref="Thmremark3.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml">k</mi></msup><mo id="Thmremark3.p1.2.2.m2.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="Thmremark3.p1.2.2.m2.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmremark3.p1.2.2.m2.2b"><apply id="Thmremark3.p1.2.2.m2.2.2.cmml" xref="Thmremark3.p1.2.2.m2.2.2"><times id="Thmremark3.p1.2.2.m2.2.2.2.cmml" xref="Thmremark3.p1.2.2.m2.2.2.2"></times><ci id="Thmremark3.p1.2.2.m2.2.2.3.cmml" xref="Thmremark3.p1.2.2.m2.2.2.3">𝑄</ci><interval closure="open" id="Thmremark3.p1.2.2.m2.2.2.1.2.cmml" xref="Thmremark3.p1.2.2.m2.2.2.1.1"><ci id="Thmremark3.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmremark3.p1.2.2.m2.1.1">𝜃</ci><apply id="Thmremark3.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="Thmremark3.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmremark3.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="Thmremark3.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="Thmremark3.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="Thmremark3.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2">𝜃</ci><ci id="Thmremark3.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="Thmremark3.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmremark3.p1.2.2.m2.2c">Q(\theta,\theta^{k})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmremark3.p1.2.2.m2.2d">italic_Q ( italic_θ , italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> can be calculated.</span></p> </div> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S4.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">4.2 </span>The M-step</h3> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p1.2">The second step in Algorithm <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#algorithm1" title="Algorithm 1 ‣ 3 The EM method for identifying NCS-RSM ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> requires the maximization of <math alttext="Q(\theta,\theta^{k})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.1.m1.2"><semantics id="S4.SS2.p1.1.m1.2a"><mrow id="S4.SS2.p1.1.m1.2.2" xref="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.3" xref="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.3.cmml">Q</mi><mo id="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.2" xref="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1" xref="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS2.p1.1.m1.1.1" xref="S4.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml">θ</mi><mo id="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml">,</mo><msup id="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">θ</mi><mi id="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">k</mi></msup><mo id="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.1.m1.2b"><apply id="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.1.m1.2.2"><times id="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.2"></times><ci id="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.3">𝑄</ci><interval closure="open" id="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1"><ci id="S4.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.1.m1.1.1">𝜃</ci><apply id="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2">𝜃</ci><ci id="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.1.m1.2c">Q(\theta,\theta^{k})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.1.m1.2d">italic_Q ( italic_θ , italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> to update the parameters estimate <math alttext="\theta^{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.2.m2.1"><semantics id="S4.SS2.p1.2.m2.1a"><msup id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.2" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.2.cmml">θ</mi><mi id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.3.cmml">k</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.2.m2.1b"><apply id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.2">𝜃</ci><ci id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.2.m2.1c">\theta^{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.2.m2.1d">italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex41"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_left"><math alttext="\theta^{k+1}=\underset{\theta}{\arg\max}~{}Q(\theta,\theta^{k})." class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex41.m1.2"><semantics id="S4.Ex41.m1.2a"><mrow id="S4.Ex41.m1.2.2.1" xref="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex41.m1.2.2.1.1" xref="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.cmml"><msup id="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.3" xref="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.3.2" xref="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.3.2.cmml">θ</mi><mrow id="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.3.3" xref="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.3.3.1" xref="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.2" xref="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.1.cmml"><munder accentunder="true" id="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.1.3.2.1" xref="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml">arg</mi><mo id="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.1.3.2a" lspace="0.167em" xref="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml">⁡</mo><mi id="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">max</mi></mrow><mo id="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml">𝜃</mo></munder><mo id="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.1.2" lspace="0.167em" xref="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.1.4" xref="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.1.4.cmml">Q</mi><mo id="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.1.2a" xref="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex41.m1.1.1" xref="S4.Ex41.m1.1.1.cmml">θ</mi><mo id="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><msup id="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">θ</mi><mi id="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msup><mo id="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex41.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex41.m1.2b"><apply id="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex41.m1.2.2.1"><eq id="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.2"></eq><apply id="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.3.2">𝜃</ci><apply id="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.3.3"><plus id="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.3.3.1"></plus><ci id="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.3.3.2">𝑘</ci><cn id="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.1"><times id="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.1.3"><ci id="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.1.3.1">𝜃</ci><apply id="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.1.3.2"><arg id="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.1.3.2.1"></arg><max id="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.1.3.2.2"></max></apply></apply><ci id="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.1.4">𝑄</ci><interval closure="open" id="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.1.1.1"><ci id="S4.Ex41.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1">𝜃</ci><apply id="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2">𝜃</ci><ci id="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex41.m1.2c">\theta^{k+1}=\underset{\theta}{\arg\max}~{}Q(\theta,\theta^{k}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex41.m1.2d">italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT = underitalic_θ start_ARG roman_arg roman_max end_ARG italic_Q ( italic_θ , italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p1.5">Let us first focus on the elements <math alttext="\{\{\pi^{c}_{i}\}_{i=1}^{m_{c}},\{\pi^{a}_{i}\}_{i=1}^{m_{a}}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.3.m1.2"><semantics id="S4.SS2.p1.3.m1.2a"><mrow id="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2" xref="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.3.cmml"><mo id="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.3.cmml">{</mo><msubsup id="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1" xref="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">{</mo><msubsup id="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">π</mi><mi id="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi><mi id="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">c</mi></msubsup><mo id="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><mrow id="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow><msub id="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">m</mi><mi id="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">c</mi></msub></msubsup><mo id="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.4" xref="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.3.cmml">,</mo><msubsup id="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2" xref="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml">{</mo><msubsup id="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">π</mi><mi id="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">i</mi><mi id="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">a</mi></msubsup><mo id="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><mrow id="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2.1.3" xref="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2.1.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2.1.3.2" xref="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2.1.3.1" xref="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2.1.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2.1.3.3" xref="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2.1.3.3.cmml">1</mn></mrow><msub id="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2.3" xref="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2.3.2" xref="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2.3.2.cmml">m</mi><mi id="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2.3.3" xref="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2.3.3.cmml">a</mi></msub></msubsup><mo id="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.3.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.3.m1.2b"><set id="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2"><apply id="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><set id="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝜋</ci><ci id="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></set><apply id="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.3"><eq id="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.3.1"></eq><ci id="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝑖</ci><cn id="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1.3.2">𝑚</ci><ci id="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.1.1.3.3">𝑐</ci></apply></apply><apply id="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2">subscript</csymbol><set id="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2.1.1.1"><apply id="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2">𝜋</ci><ci id="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></set><apply id="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2.1.3"><eq id="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2.1.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2.1.3.1"></eq><ci id="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2.1.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2.1.3.2">𝑖</ci><cn id="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2.1.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2.3.2">𝑚</ci><ci id="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m1.2.2.2.2.3.3">𝑎</ci></apply></apply></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.3.m1.2c">\{\{\pi^{c}_{i}\}_{i=1}^{m_{c}},\{\pi^{a}_{i}\}_{i=1}^{m_{a}}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.3.m1.2d">{ { italic_π start_POSTSUPERSCRIPT italic_c end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT } start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT , { italic_π start_POSTSUPERSCRIPT italic_a end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT } start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT }</annotation></semantics></math>, and recall the objective function in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S3.E10" title="In 3 The EM method for identifying NCS-RSM ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">10</span></a>). The <math alttext="(k+1)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.4.m2.1"><semantics id="S4.SS2.p1.4.m2.1a"><mrow id="S4.SS2.p1.4.m2.1.1.1" xref="S4.SS2.p1.4.m2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS2.p1.4.m2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.4.m2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS2.p1.4.m2.1.1.1.1" xref="S4.SS2.p1.4.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.4.m2.1.1.1.1.2" xref="S4.SS2.p1.4.m2.1.1.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="S4.SS2.p1.4.m2.1.1.1.1.1" xref="S4.SS2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S4.SS2.p1.4.m2.1.1.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.4.m2.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.SS2.p1.4.m2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.4.m2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.4.m2.1b"><apply id="S4.SS2.p1.4.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.4.m2.1.1.1"><plus id="S4.SS2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.4.m2.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S4.SS2.p1.4.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.4.m2.1.1.1.1.2">𝑘</ci><cn id="S4.SS2.p1.4.m2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p1.4.m2.1.1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.4.m2.1c">(k+1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.4.m2.1d">( italic_k + 1 )</annotation></semantics></math>-th estimate of <math alttext="\{\{\pi^{c}_{i}\}_{i=1}^{m_{c}},\{\pi^{a}_{i}\}_{i=1}^{m_{a}}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.5.m3.2"><semantics id="S4.SS2.p1.5.m3.2a"><mrow id="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2" xref="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.3.cmml"><mo id="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.3.cmml">{</mo><msubsup id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">{</mo><msubsup id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">π</mi><mi id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi><mi id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">c</mi></msubsup><mo id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><mrow id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1.1.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow><msub id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1.3.2" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1.3.2.cmml">m</mi><mi id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1.3.3" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1.3.3.cmml">c</mi></msub></msubsup><mo id="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.4" xref="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.3.cmml">,</mo><msubsup id="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2" xref="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2.1.1.1" xref="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2.1.1.2.cmml">{</mo><msubsup id="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">π</mi><mi id="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">i</mi><mi id="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">a</mi></msubsup><mo id="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><mrow id="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2.1.3" xref="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2.1.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2.1.3.2" xref="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2.1.3.1" xref="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2.1.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2.1.3.3" xref="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2.1.3.3.cmml">1</mn></mrow><msub id="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2.3" xref="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2.3.2" xref="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2.3.2.cmml">m</mi><mi id="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2.3.3" xref="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2.3.3.cmml">a</mi></msub></msubsup><mo id="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.3.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.5.m3.2b"><set id="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2"><apply id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1">subscript</csymbol><set id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝜋</ci><ci id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></set><apply id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1.1.3"><eq id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1.1.3.1"></eq><ci id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1.1.3.2">𝑖</ci><cn id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1.3.2">𝑚</ci><ci id="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m3.1.1.1.1.3.3">𝑐</ci></apply></apply><apply id="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2">subscript</csymbol><set id="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2.1.1.1"><apply id="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2">𝜋</ci><ci id="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></set><apply id="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2.1.3"><eq id="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2.1.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2.1.3.1"></eq><ci id="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2.1.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2.1.3.2">𝑖</ci><cn id="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2.1.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2.3.2">𝑚</ci><ci id="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m3.2.2.2.2.3.3">𝑎</ci></apply></apply></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.5.m3.2c">\{\{\pi^{c}_{i}\}_{i=1}^{m_{c}},\{\pi^{a}_{i}\}_{i=1}^{m_{a}}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.5.m3.2d">{ { italic_π start_POSTSUPERSCRIPT italic_c end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT } start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT , { italic_π start_POSTSUPERSCRIPT italic_a end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT } start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT }</annotation></semantics></math> can hence be obtained in closed-form by applying the first-order optimality conditions as follows:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx19"> <tbody id="S4.Ex42"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\pi^{c}_{j}=\frac{\sum_{t=1}^{T}w^{c}_{tj}}{\sum_{t=1}^{T}\sum_{j% =1}^{m_{c}}w^{c}_{tj}},\quad\pi^{a}_{l}=\frac{\sum_{t=1}^{T}w^{a}_{tl}}{\sum_{% t=1}^{T}\sum_{l=1}^{m_{a}}w^{a}_{tl}}." class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex42.m1.1"><semantics id="S4.Ex42.m1.1a"><mrow id="S4.Ex42.m1.1.1.1"><mrow id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">π</mi><mi id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi><mi id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">c</mi></msubsup><mo id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><msubsup id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml"><mo id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.2.2" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.2.3" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.2.3.2" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.2.3.1" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.2.3.3" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.3" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.3.cmml">T</mi></msubsup><msubsup id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml">w</mi><mrow id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow><mi id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml">c</mi></msubsup></mrow><mrow id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><msubsup id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.2.2" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.2.3" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.2.3.2" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.2.3.1" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.2.3.3" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.3" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.3.cmml">T</mi></msubsup><mrow id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><msubsup id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml"><mo id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.2.2" lspace="0.167em" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.2.3" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.2.3.2" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.2.3.1" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.2.3.3" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msub id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.3" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.3.2" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.3.2.cmml">m</mi><mi id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.3.3" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.3.3.cmml">c</mi></msub></msubsup><msubsup id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.cmml">w</mi><mrow id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.3" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.2" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.1" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.3" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow><mi id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3.cmml">c</mi></msubsup></mrow></mrow></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.3" rspace="1.167em" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><msubsup id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">π</mi><mi id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">l</mi><mi id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">a</mi></msubsup><mo id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mfrac id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3a" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mrow id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml"><msubsup id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.1" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.1.cmml"><mo id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.1.2.2" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.1.2.3" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.1.2.3.2" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.1.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.1.2.3.1" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.1.2.3.3" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.1.3" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.1.3.cmml">T</mi></msubsup><msubsup id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.2.2" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.2.2.cmml">w</mi><mrow id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3.2" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3.1" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3.3" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3.3.cmml">l</mi></mrow><mi id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.2.3" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.2.3.cmml">a</mi></msubsup></mrow><mrow id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml"><msubsup id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.cmml"><mo id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.2.2" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.2.3" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.2.3.2" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.2.3.1" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.2.3.3" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.3" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.3.cmml">T</mi></msubsup><mrow id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml"><msubsup id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1.cmml"><mo id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1.2.2" lspace="0.167em" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1.2.3" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1.2.3.2" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1.2.3.1" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1.2.3.3" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msub id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1.3" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1.3.2" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1.3.2.cmml">m</mi><mi id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1.3.3" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1.3.3.cmml">a</mi></msub></msubsup><msubsup id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2.2.2" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2.2.2.cmml">w</mi><mrow id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2.3" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2.3.2" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2.3.1" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2.3.3" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2.3.3.cmml">l</mi></mrow><mi id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2.2.3" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2.2.3.cmml">a</mi></msubsup></mrow></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mrow><mo id="S4.Ex42.m1.1.1.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex42.m1.1b"><apply id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1"><eq id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" 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xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.3.2">𝑚</ci><ci id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.3.3">𝑐</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2">𝑤</ci><ci id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3">𝑐</ci></apply><apply id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.3"><times 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xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.2.3">𝑙</ci></apply><apply id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3"><divide id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3"></divide><apply id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.2"><apply id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.1">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.1">subscript</csymbol><sum id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.1.2.2"></sum><apply id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.1.2.3"><eq 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xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.2.3">𝑎</ci></apply><apply id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3"><times id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3.2">𝑡</ci><ci id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3.3">𝑙</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3"><apply id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1">subscript</csymbol><sum id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.2.2"></sum><apply id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.2.3"><eq id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.2.3.1"></eq><ci id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.2.3.2">𝑡</ci><cn id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.3.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.3">𝑇</ci></apply><apply id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2"><apply id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1">subscript</csymbol><sum id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1.2.2"></sum><apply id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1.2.3"><eq id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1.2.3.1"></eq><ci id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1.2.3.2">𝑙</ci><cn id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1.3.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1.3.2">𝑚</ci><ci id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1.3.3">𝑎</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2.2.2">𝑤</ci><ci id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2.2.3">𝑎</ci></apply><apply id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2.3"><times id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2.3.2">𝑡</ci><ci id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2.3.3">𝑙</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex42.m1.1c">\displaystyle\pi^{c}_{j}=\frac{\sum_{t=1}^{T}w^{c}_{tj}}{\sum_{t=1}^{T}\sum_{j% =1}^{m_{c}}w^{c}_{tj}},\quad\pi^{a}_{l}=\frac{\sum_{t=1}^{T}w^{a}_{tl}}{\sum_{% t=1}^{T}\sum_{l=1}^{m_{a}}w^{a}_{tl}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex42.m1.1d">italic_π start_POSTSUPERSCRIPT italic_c end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT italic_w start_POSTSUPERSCRIPT italic_c end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_t italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT italic_w start_POSTSUPERSCRIPT italic_c end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_t italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG , italic_π start_POSTSUPERSCRIPT italic_a end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT italic_w start_POSTSUPERSCRIPT italic_a end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_t italic_l end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_l = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT italic_w start_POSTSUPERSCRIPT italic_a end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_t italic_l end_POSTSUBSCRIPT end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p1.6">Furthermore, the expression for the parameters <math alttext="\{\{\theta^{c}_{i}\}_{i=1}^{m_{c}},\{\theta^{a}_{i}\}_{i=1}^{m_{a}},\Sigma_{m}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.6.m1.3"><semantics id="S4.SS2.p1.6.m1.3a"><mrow id="S4.SS2.p1.6.m1.3.3.3" xref="S4.SS2.p1.6.m1.3.3.4.cmml"><mo id="S4.SS2.p1.6.m1.3.3.3.4" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.6.m1.3.3.4.cmml">{</mo><msubsup id="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1" xref="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">{</mo><msubsup id="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">θ</mi><mi id="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi><mi id="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">c</mi></msubsup><mo id="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><mrow id="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow><msub id="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">m</mi><mi id="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">c</mi></msub></msubsup><mo id="S4.SS2.p1.6.m1.3.3.3.5" xref="S4.SS2.p1.6.m1.3.3.4.cmml">,</mo><msubsup id="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2" xref="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml">{</mo><msubsup id="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">θ</mi><mi id="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">i</mi><mi id="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">a</mi></msubsup><mo id="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><mrow id="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.3" xref="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.3.2" xref="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.3.1" xref="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.3.3" xref="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.3.3.cmml">1</mn></mrow><msub id="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.3" xref="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.3.2" xref="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.3.2.cmml">m</mi><mi id="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.3.3" xref="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.3.3.cmml">a</mi></msub></msubsup><mo id="S4.SS2.p1.6.m1.3.3.3.6" xref="S4.SS2.p1.6.m1.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="S4.SS2.p1.6.m1.3.3.3.3" xref="S4.SS2.p1.6.m1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.6.m1.3.3.3.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.SS2.p1.6.m1.3.3.3.3.2.cmml">Σ</mi><mi id="S4.SS2.p1.6.m1.3.3.3.3.3" xref="S4.SS2.p1.6.m1.3.3.3.3.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S4.SS2.p1.6.m1.3.3.3.7" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.6.m1.3.3.4.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.6.m1.3b"><set id="S4.SS2.p1.6.m1.3.3.4.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m1.3.3.3"><apply id="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><set id="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝜃</ci><ci id="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></set><apply id="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.3"><eq id="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.3.1"></eq><ci id="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝑖</ci><cn id="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.3.2">𝑚</ci><ci id="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m1.1.1.1.1.3.3">𝑐</ci></apply></apply><apply id="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2">subscript</csymbol><set id="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.1.1"><apply id="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2">𝜃</ci><ci id="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></set><apply id="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.3"><eq id="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.3.1"></eq><ci id="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.3.2">𝑖</ci><cn id="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.1.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.3.2">𝑚</ci><ci id="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m1.2.2.2.2.3.3">𝑎</ci></apply></apply><apply id="S4.SS2.p1.6.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m1.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.6.m1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m1.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.6.m1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m1.3.3.3.3.2">Σ</ci><ci id="S4.SS2.p1.6.m1.3.3.3.3.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m1.3.3.3.3.3">𝑚</ci></apply></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.6.m1.3c">\{\{\theta^{c}_{i}\}_{i=1}^{m_{c}},\{\theta^{a}_{i}\}_{i=1}^{m_{a}},\Sigma_{m}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.6.m1.3d">{ { italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_c end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT } start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT , { italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_a end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT } start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT , roman_Σ start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT }</annotation></semantics></math> can be computed in closed-form by using the switching least-squares approach as follows:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx20"> <tbody id="S4.Ex43"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle A_{c}(j)=\underset{A_{c}(j)}{\arg\min}~{}\sum_{t=1}^{T}w^{c}_{tj% }\|x_{c}(t)-\mu_{2}(t,j)\|^{2}," class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex43.m1.6"><semantics id="S4.Ex43.m1.6a"><mrow id="S4.Ex43.m1.6.6.1" xref="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex43.m1.6.6.1.1" xref="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.3" xref="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.3.cmml"><msub id="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.3.2" xref="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.3.2.2.cmml">A</mi><mi id="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.3.2.3" 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id="S4.Ex43.m1.1.1.1.3" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex43.m1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.3.2.cmml">A</mi><mi id="S4.Ex43.m1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.3.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S4.Ex43.m1.1.1.1.2" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex43.m1.1.1.1.4.2" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex43.m1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex43.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S4.Ex43.m1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></munder><mo id="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.2" lspace="0.167em" xref="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1" xref="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.2a" xref="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><mrow id="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">w</mi><mrow id="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow><mi id="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">c</mi></msubsup><mo id="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex43.m1.3.3" xref="S4.Ex43.m1.3.3.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">μ</mi><mn id="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex43.m1.4.4" xref="S4.Ex43.m1.4.4.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex43.m1.5.5" xref="S4.Ex43.m1.5.5.cmml">j</mi><mo id="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex43.m1.6.6.1.2" xref="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex43.m1.6b"><apply id="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S4.Ex43.m1.6.6.1"><eq id="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.2"></eq><apply id="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.3"><times id="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.3.1"></times><apply id="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.3.2.2">𝐴</ci><ci id="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.3.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="S4.Ex43.m1.2.2.cmml" xref="S4.Ex43.m1.2.2">𝑗</ci></apply><apply id="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex43.m1.6.6.1.1.1"><times 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start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT italic_w start_POSTSUPERSCRIPT italic_c end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_t italic_j end_POSTSUBSCRIPT ∥ italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) - italic_μ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t , italic_j ) ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.Ex44"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle A_{a}(l)=\underset{A_{a}(l)}{\arg\min}~{}\sum_{t=1}^{T}w^{a}_{tl% }\|x_{a}(t)-\mu_{3}(t,l)\|^{2}," class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex44.m1.6"><semantics id="S4.Ex44.m1.6a"><mrow id="S4.Ex44.m1.6.6.1" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow 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xref="S4.Ex44.m1.1.1.2.1.cmml">arg</mi><mo id="S4.Ex44.m1.1.1.2a" lspace="0.167em" xref="S4.Ex44.m1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mi id="S4.Ex44.m1.1.1.2.2" xref="S4.Ex44.m1.1.1.2.2.cmml">min</mi></mrow><mrow id="S4.Ex44.m1.1.1.1" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex44.m1.1.1.1.3" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex44.m1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.3.2.cmml">A</mi><mi id="S4.Ex44.m1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.3.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S4.Ex44.m1.1.1.1.2" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex44.m1.1.1.1.4.2" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex44.m1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.cmml">l</mi><mo id="S4.Ex44.m1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></munder><mo id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.2" lspace="0.167em" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.2a" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><mrow id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">w</mi><mrow id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">l</mi></mrow><mi id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">a</mi></msubsup><mo id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex44.m1.3.3" xref="S4.Ex44.m1.3.3.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">μ</mi><mn id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">3</mn></msub><mo id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex44.m1.4.4" xref="S4.Ex44.m1.4.4.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex44.m1.5.5" xref="S4.Ex44.m1.5.5.cmml">l</mi><mo id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex44.m1.6.6.1.2" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex44.m1.6b"><apply id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1"><eq id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.2"></eq><apply id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.3"><times id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.3.1"></times><apply id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.3.2.2">𝐴</ci><ci id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.3.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="S4.Ex44.m1.2.2.cmml" xref="S4.Ex44.m1.2.2">𝑙</ci></apply><apply id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1"><times id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Ex44.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex44.m1.1.1"><apply id="S4.Ex44.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1"><times id="S4.Ex44.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Ex44.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex44.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex44.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.3.2">𝐴</ci><ci id="S4.Ex44.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.3.3">𝑎</ci></apply><ci id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1">𝑙</ci></apply><apply id="S4.Ex44.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex44.m1.1.1.2"><arg id="S4.Ex44.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex44.m1.1.1.2.1"></arg><min id="S4.Ex44.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex44.m1.1.1.2.2"></min></apply></apply><apply id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1"><apply id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2"></sum><apply id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3"><eq id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑡</ci><cn id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑤</ci><ci id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑎</ci></apply><apply id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3"><times id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" 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xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜇</ci><cn id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">3</cn></apply><interval closure="open" id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2"><ci id="S4.Ex44.m1.4.4.cmml" xref="S4.Ex44.m1.4.4">𝑡</ci><ci id="S4.Ex44.m1.5.5.cmml" xref="S4.Ex44.m1.5.5">𝑙</ci></interval></apply></apply></apply><cn id="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex44.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex44.m1.6c">\displaystyle A_{a}(l)=\underset{A_{a}(l)}{\arg\min}~{}\sum_{t=1}^{T}w^{a}_{tl% }\|x_{a}(t)-\mu_{3}(t,l)\|^{2},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex44.m1.6d">italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_l ) = start_UNDERACCENT italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_l ) end_UNDERACCENT start_ARG roman_arg roman_min end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT italic_w start_POSTSUPERSCRIPT italic_a end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_t italic_l end_POSTSUBSCRIPT ∥ italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) - italic_μ start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t , italic_l ) ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.Ex45"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle(C_{c}(j),C_{a}(l))=\underset{(C_{c}(j),C_{a}(l))}{\arg\min}~{}% \sum_{t=1}^{T}w^{c}_{tj}w^{a}_{tl}\|y(t)-\mu_{1}(t,j,l)\|^{2}." class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex45.m1.11"><semantics id="S4.Ex45.m1.11a"><mrow id="S4.Ex45.m1.11.11.1" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.2.2" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.2.3.cmml"><mo id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.1.1.1.2.2.cmml">C</mi><mi id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.1.1.1.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.2.1" 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id="S4.Ex45.m1.3.3.3.3.1.2.2" xref="S4.Ex45.m1.3.3.3.3.1.2.2.cmml">C</mi><mi id="S4.Ex45.m1.3.3.3.3.1.2.3" xref="S4.Ex45.m1.3.3.3.3.1.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S4.Ex45.m1.3.3.3.3.1.1" xref="S4.Ex45.m1.3.3.3.3.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex45.m1.3.3.3.3.1.3.2" xref="S4.Ex45.m1.3.3.3.3.1.cmml"><mo id="S4.Ex45.m1.3.3.3.3.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex45.m1.3.3.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S4.Ex45.m1.3.3.3.3.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex45.m1.3.3.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex45.m1.4.4.4.4.4" xref="S4.Ex45.m1.4.4.4.5.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex45.m1.4.4.4.4.2" xref="S4.Ex45.m1.4.4.4.4.2.cmml"><msub id="S4.Ex45.m1.4.4.4.4.2.2" xref="S4.Ex45.m1.4.4.4.4.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex45.m1.4.4.4.4.2.2.2" xref="S4.Ex45.m1.4.4.4.4.2.2.2.cmml">C</mi><mi id="S4.Ex45.m1.4.4.4.4.2.2.3" xref="S4.Ex45.m1.4.4.4.4.2.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S4.Ex45.m1.4.4.4.4.2.1" xref="S4.Ex45.m1.4.4.4.4.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex45.m1.4.4.4.4.2.3.2" xref="S4.Ex45.m1.4.4.4.4.2.cmml"><mo id="S4.Ex45.m1.4.4.4.4.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex45.m1.4.4.4.4.2.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex45.m1.2.2.2.2" xref="S4.Ex45.m1.2.2.2.2.cmml">l</mi><mo id="S4.Ex45.m1.4.4.4.4.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex45.m1.4.4.4.4.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex45.m1.4.4.4.4.5" stretchy="false" xref="S4.Ex45.m1.4.4.4.5.cmml">)</mo></mrow></munder><mo id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.2" lspace="0.167em" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.2" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.2.cmml"><munderover id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.2a" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.2.2.3" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.2.2.3.1" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.2.3" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.2.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><mrow id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.cmml"><msubsup id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.3" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.3.2.2.cmml">w</mi><mrow id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.3.3" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.3.3.2.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.3.3.1" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow><mi id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.3.2.3.cmml">c</mi></msubsup><mo id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.2" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.4" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.4.cmml"><mi id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.4.2.2" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.4.2.2.cmml">w</mi><mrow id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.4.3" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.4.3.cmml"><mi id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.4.3.2" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.4.3.2.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.4.3.1" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.4.3.3" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.4.3.3.cmml">l</mi></mrow><mi id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.4.2.3" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.4.2.3.cmml">a</mi></msubsup><mo id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.2a" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">y</mi><mo id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex45.m1.7.7" xref="S4.Ex45.m1.7.7.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">μ</mi><mn id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex45.m1.8.8" xref="S4.Ex45.m1.8.8.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex45.m1.9.9" xref="S4.Ex45.m1.9.9.cmml">j</mi><mo id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex45.m1.10.10" xref="S4.Ex45.m1.10.10.cmml">l</mi><mo id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2.4" stretchy="false" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.3" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex45.m1.11.11.1.2" lspace="0em" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex45.m1.11b"><apply id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.cmml" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1"><eq id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.4"></eq><interval closure="open" id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.2.2"><apply id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.1.1.1.2.2">𝐶</ci><ci id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.1.1.1.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="S4.Ex45.m1.5.5.cmml" xref="S4.Ex45.m1.5.5">𝑗</ci></apply><apply id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.2.2.2"><times id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.cmml" 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xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.2.2.3.2">𝑡</ci><cn id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1"><times id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.2"></times><apply id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.3.2.2">𝑤</ci><ci id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.3.2.3">𝑐</ci></apply><apply id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.3.3"><times id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.3.3.1"></times><ci id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.3.3.2">𝑡</ci><ci id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.4.1.cmml" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.4">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.4.2.cmml" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.4.2.2">𝑤</ci><ci id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.4.2.3">𝑎</ci></apply><apply id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.4.3.cmml" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.4.3"><times id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.4.3.1.cmml" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.4.3.1"></times><ci id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.4.3.2.cmml" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.4.3.2">𝑡</ci><ci id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.4.3.3.cmml" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.4.3.3">𝑙</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑦</ci><ci id="S4.Ex45.m1.7.7.cmml" xref="S4.Ex45.m1.7.7">𝑡</ci></apply><apply id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜇</ci><cn id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3">1</cn></apply><vector id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2"><ci id="S4.Ex45.m1.8.8.cmml" xref="S4.Ex45.m1.8.8">𝑡</ci><ci id="S4.Ex45.m1.9.9.cmml" xref="S4.Ex45.m1.9.9">𝑗</ci><ci id="S4.Ex45.m1.10.10.cmml" xref="S4.Ex45.m1.10.10">𝑙</ci></vector></apply></apply></apply><cn id="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex45.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex45.m1.11c">\displaystyle(C_{c}(j),C_{a}(l))=\underset{(C_{c}(j),C_{a}(l))}{\arg\min}~{}% \sum_{t=1}^{T}w^{c}_{tj}w^{a}_{tl}\|y(t)-\mu_{1}(t,j,l)\|^{2}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex45.m1.11d">( italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_j ) , italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_l ) ) = start_UNDERACCENT ( italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_j ) , italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_l ) ) end_UNDERACCENT start_ARG roman_arg roman_min end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT italic_w start_POSTSUPERSCRIPT italic_c end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_t italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_w start_POSTSUPERSCRIPT italic_a end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_t italic_l end_POSTSUBSCRIPT ∥ italic_y ( italic_t ) - italic_μ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t , italic_j , italic_l ) ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p1.9">Then, the covariance matrices related to the disturbances <math alttext="v_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.7.m1.1"><semantics id="S4.SS2.p1.7.m1.1a"><msub id="S4.SS2.p1.7.m1.1.1" xref="S4.SS2.p1.7.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.7.m1.1.1.2" xref="S4.SS2.p1.7.m1.1.1.2.cmml">v</mi><mi id="S4.SS2.p1.7.m1.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.7.m1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.7.m1.1b"><apply id="S4.SS2.p1.7.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.7.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.7.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.7.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.7.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.7.m1.1.1.2">𝑣</ci><ci id="S4.SS2.p1.7.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.7.m1.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.7.m1.1c">v_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.7.m1.1d">italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="v_{a}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.8.m2.1"><semantics id="S4.SS2.p1.8.m2.1a"><msub id="S4.SS2.p1.8.m2.1.1" xref="S4.SS2.p1.8.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.8.m2.1.1.2" xref="S4.SS2.p1.8.m2.1.1.2.cmml">v</mi><mi id="S4.SS2.p1.8.m2.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.8.m2.1.1.3.cmml">a</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.8.m2.1b"><apply id="S4.SS2.p1.8.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.8.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.8.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.8.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.8.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.8.m2.1.1.2">𝑣</ci><ci id="S4.SS2.p1.8.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.8.m2.1.1.3">𝑎</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.8.m2.1c">v_{a}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.8.m2.1d">italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, and <math alttext="v_{m}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.9.m3.1"><semantics id="S4.SS2.p1.9.m3.1a"><msub id="S4.SS2.p1.9.m3.1.1" xref="S4.SS2.p1.9.m3.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.9.m3.1.1.2" xref="S4.SS2.p1.9.m3.1.1.2.cmml">v</mi><mi id="S4.SS2.p1.9.m3.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.9.m3.1.1.3.cmml">m</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.9.m3.1b"><apply id="S4.SS2.p1.9.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.9.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.9.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.9.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.9.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.9.m3.1.1.2">𝑣</ci><ci id="S4.SS2.p1.9.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.9.m3.1.1.3">𝑚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.9.m3.1c">v_{m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.9.m3.1d">italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> can also be estimated as:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx21"> <tbody id="S4.Ex46"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\Sigma_{c}(j)=\sum_{t=1}^{T}w^{c}_{tj}(x_{c}(t)-\mu_{2}(t,j))(x_{% c}(t)-\mu_{2}(t,j))^{\top}," class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex46.m1.8"><semantics id="S4.Ex46.m1.8a"><mrow id="S4.Ex46.m1.8.8.1" xref="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex46.m1.8.8.1.1" xref="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.4" xref="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.4.cmml"><msub id="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.4.2" xref="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.4.2.cmml"><mi id="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.4.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.4.2.2.cmml">Σ</mi><mi id="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.4.2.3" xref="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.4.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.4.1" xref="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.4.3.2" xref="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.4.cmml"><mo id="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.4.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex46.m1.1.1" xref="S4.Ex46.m1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.3" xref="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.2" xref="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.2.3" xref="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.2.3.cmml"><munderover id="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.2.3a" xref="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.2.3.cmml"><mo id="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.2.3.2.2" movablelimits="false" xref="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.2.3.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.2.3.2.3" xref="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.2.3.2.3.2" xref="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.2.3.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.2.3.2.3.1" xref="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.2.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.2.3.2.3.3" xref="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.2.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.2.3.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><mrow id="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.2.2" xref="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.2.2.cmml"><msubsup id="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.2.2.4" xref="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.2.2.4.cmml"><mi id="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.2.2.4.2.2" xref="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.2.2.4.2.2.cmml">w</mi><mrow id="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.2.2.4.3" xref="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.2.2.4.3.cmml"><mi id="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.2.2.4.3.2" xref="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.2.2.4.3.2.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.2.2.4.3.1" xref="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.2.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.2.2.4.3.3" xref="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.2.2.4.3.3.cmml">j</mi></mrow><mi id="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.2.2.4.2.3" xref="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.2.2.4.2.3.cmml">c</mi></msubsup><mo id="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex46.m1.2.2" xref="S4.Ex46.m1.2.2.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">μ</mi><mn id="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex46.m1.3.3" xref="S4.Ex46.m1.3.3.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex46.m1.4.4" xref="S4.Ex46.m1.4.4.cmml">j</mi><mo id="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" 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xref="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex46.m1.6.6" xref="S4.Ex46.m1.6.6.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex46.m1.7.7" xref="S4.Ex46.m1.7.7.cmml">j</mi><mo id="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.2.2.2.3" xref="S4.Ex46.m1.8.8.1.1.2.2.2.3.cmml">⊤</mo></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex46.m1.8.8.1.2" 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start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_j ) = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT italic_w start_POSTSUPERSCRIPT italic_c end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_t italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) - italic_μ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t , italic_j ) ) ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) - italic_μ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t , italic_j ) ) start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.Ex47"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\Sigma_{a}(l)=\sum_{t=1}^{T}w^{a}_{tl}(x_{a}(t)-\mu_{3}(t,l))(x_{% 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id="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex47.m1.2.2" xref="S4.Ex47.m1.2.2.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">μ</mi><mn id="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">3</mn></msub><mo id="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex47.m1.3.3" xref="S4.Ex47.m1.3.3.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex47.m1.4.4" xref="S4.Ex47.m1.4.4.cmml">l</mi><mo id="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.2.2.3a" xref="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><msub id="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex47.m1.5.5" xref="S4.Ex47.m1.5.5.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.1.1" xref="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">μ</mi><mn id="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml">3</mn></msub><mo id="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex47.m1.6.6" xref="S4.Ex47.m1.6.6.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex47.m1.7.7" xref="S4.Ex47.m1.7.7.cmml">l</mi><mo id="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.2.2.2.3" xref="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.2.2.2.3.cmml">⊤</mo></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex47.m1.8.8.1.2" xref="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex47.m1.8b"><apply id="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.cmml" xref="S4.Ex47.m1.8.8.1"><eq id="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.3"></eq><apply id="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.4.cmml" 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xref="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.3">3</cn></apply><interval closure="open" id="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.2"><ci id="S4.Ex47.m1.6.6.cmml" xref="S4.Ex47.m1.6.6">𝑡</ci><ci id="S4.Ex47.m1.7.7.cmml" xref="S4.Ex47.m1.7.7">𝑙</ci></interval></apply></apply><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex47.m1.8.8.1.1.2.2.2.3">top</csymbol></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex47.m1.8c">\displaystyle\Sigma_{a}(l)=\sum_{t=1}^{T}w^{a}_{tl}(x_{a}(t)-\mu_{3}(t,l))(x_{% a}(t)-\mu_{3}(t,l))^{\top},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex47.m1.8d">roman_Σ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_l ) = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT italic_w start_POSTSUPERSCRIPT italic_a end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_t italic_l end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) - italic_μ start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t , italic_l ) ) ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) - italic_μ start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t , italic_l ) ) start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.Ex48"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\Sigma_{m}=\sum_{t=1}^{T}w^{c}_{tj}w^{a}_{tl}(y(t)-\mu_{1}(t,j,l)% )(y(t)-\mu_{1}(t,j,l))^{\top}." class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex48.m1.9"><semantics id="S4.Ex48.m1.9a"><mrow id="S4.Ex48.m1.9.9.1" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.4" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.4.cmml"><mi id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.4.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.4.2.cmml">Σ</mi><mi id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.4.3" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.4.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.3" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.3" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.3.cmml"><munderover id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.3a" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.3.cmml"><mo id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.3.2.2" movablelimits="false" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.3.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.3.2.3" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.3.2.3.2" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.3.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.3.2.3.1" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.3.2.3.3" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.3.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><mrow id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.cmml"><msubsup id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.4" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.4.cmml"><mi id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.4.2.2" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.4.2.2.cmml">w</mi><mrow id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.4.3" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.4.3.cmml"><mi id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.4.3.2" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.4.3.2.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.4.3.1" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.4.3.3" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.4.3.3.cmml">j</mi></mrow><mi id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.4.2.3" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.4.2.3.cmml">c</mi></msubsup><mo id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.5" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.5.cmml"><mi id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.5.2.2" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.5.2.2.cmml">w</mi><mrow id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.5.3" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.5.3.cmml"><mi id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.5.3.2" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.5.3.2.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.5.3.1" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.5.3.3" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.5.3.3.cmml">l</mi></mrow><mi id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.5.2.3" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.5.2.3.cmml">a</mi></msubsup><mo id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.3a" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">y</mi><mo id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex48.m1.1.1" xref="S4.Ex48.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">μ</mi><mn id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex48.m1.2.2" xref="S4.Ex48.m1.2.2.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex48.m1.3.3" xref="S4.Ex48.m1.3.3.cmml">j</mi><mo id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex48.m1.4.4" xref="S4.Ex48.m1.4.4.cmml">l</mi><mo id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.4" stretchy="false" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.3b" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">y</mi><mo id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex48.m1.5.5" xref="S4.Ex48.m1.5.5.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.1" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">μ</mi><mn id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex48.m1.6.6" xref="S4.Ex48.m1.6.6.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex48.m1.7.7" xref="S4.Ex48.m1.7.7.cmml">j</mi><mo id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex48.m1.8.8" xref="S4.Ex48.m1.8.8.cmml">l</mi><mo id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.2.4" stretchy="false" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.3" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.3.cmml">⊤</mo></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex48.m1.9.9.1.2" lspace="0em" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex48.m1.9b"><apply id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.cmml" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1"><eq id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.3"></eq><apply id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.4.1.cmml" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.4.2.cmml" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.4.2">Σ</ci><ci id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.4.3.cmml" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.4.3">𝑚</ci></apply><apply id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2"><apply id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.3">subscript</csymbol><sum id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.3.2.2"></sum><apply id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.3.2.3"><eq id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.3.2.3.1"></eq><ci id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.3.2.3.2">𝑡</ci><cn id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.3.3">𝑇</ci></apply><apply id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2"><times id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.3"></times><apply id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.4.cmml" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.4">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.4">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.4.2.2">𝑤</ci><ci id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.4.2.3">𝑐</ci></apply><apply id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.4.3.cmml" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.4.3"><times id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.4.3.1.cmml" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.4.3.1"></times><ci id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.4.3.2.cmml" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.4.3.2">𝑡</ci><ci id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.4.3.3.cmml" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.4.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.5.cmml" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.5.1.cmml" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.5">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.5.2.cmml" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.5.2.1.cmml" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.5">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.5.2.2.cmml" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.5.2.2">𝑤</ci><ci id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.5.2.3.cmml" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.5.2.3">𝑎</ci></apply><apply id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.5.3.cmml" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.5.3"><times id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.5.3.1.cmml" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.5.3.1"></times><ci id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.5.3.2.cmml" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.5.3.2">𝑡</ci><ci id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.5.3.3.cmml" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.5.3.3">𝑙</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑦</ci><ci id="S4.Ex48.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex48.m1.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜇</ci><cn id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">1</cn></apply><vector id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2"><ci id="S4.Ex48.m1.2.2.cmml" xref="S4.Ex48.m1.2.2">𝑡</ci><ci id="S4.Ex48.m1.3.3.cmml" xref="S4.Ex48.m1.3.3">𝑗</ci><ci id="S4.Ex48.m1.4.4.cmml" xref="S4.Ex48.m1.4.4">𝑙</ci></vector></apply></apply><apply id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1"><minus id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.2"><times id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.2.1"></times><ci id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2">𝑦</ci><ci id="S4.Ex48.m1.5.5.cmml" xref="S4.Ex48.m1.5.5">𝑡</ci></apply><apply id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.3"><times id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.2">𝜇</ci><cn id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.3">1</cn></apply><vector id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.2"><ci id="S4.Ex48.m1.6.6.cmml" xref="S4.Ex48.m1.6.6">𝑡</ci><ci id="S4.Ex48.m1.7.7.cmml" xref="S4.Ex48.m1.7.7">𝑗</ci><ci id="S4.Ex48.m1.8.8.cmml" xref="S4.Ex48.m1.8.8">𝑙</ci></vector></apply></apply><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex48.m1.9.9.1.1.2.2.2.3">top</csymbol></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex48.m1.9c">\displaystyle\Sigma_{m}=\sum_{t=1}^{T}w^{c}_{tj}w^{a}_{tl}(y(t)-\mu_{1}(t,j,l)% )(y(t)-\mu_{1}(t,j,l))^{\top}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex48.m1.9d">roman_Σ start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT italic_w start_POSTSUPERSCRIPT italic_c end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_t italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_w start_POSTSUPERSCRIPT italic_a end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_t italic_l end_POSTSUBSCRIPT ( italic_y ( italic_t ) - italic_μ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t , italic_j , italic_l ) ) ( italic_y ( italic_t ) - italic_μ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t , italic_j , italic_l ) ) start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p1.12">To show the convergence rate of the system matrices, we need the following definition of strong consistency of the parameter estimates. Recall that <math alttext="\hat{\theta}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.10.m1.1"><semantics id="S4.SS2.p1.10.m1.1a"><mover accent="true" id="S4.SS2.p1.10.m1.1.1" xref="S4.SS2.p1.10.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.10.m1.1.1.2" xref="S4.SS2.p1.10.m1.1.1.2.cmml">θ</mi><mo id="S4.SS2.p1.10.m1.1.1.1" xref="S4.SS2.p1.10.m1.1.1.1.cmml">^</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.10.m1.1b"><apply id="S4.SS2.p1.10.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.10.m1.1.1"><ci id="S4.SS2.p1.10.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.10.m1.1.1.1">^</ci><ci id="S4.SS2.p1.10.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.10.m1.1.1.2">𝜃</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.10.m1.1c">\hat{\theta}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.10.m1.1d">over^ start_ARG italic_θ end_ARG</annotation></semantics></math> is the estimate of <math alttext="\theta" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.11.m2.1"><semantics id="S4.SS2.p1.11.m2.1a"><mi id="S4.SS2.p1.11.m2.1.1" xref="S4.SS2.p1.11.m2.1.1.cmml">θ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.11.m2.1b"><ci id="S4.SS2.p1.11.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.11.m2.1.1">𝜃</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.11.m2.1c">\theta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.11.m2.1d">italic_θ</annotation></semantics></math> made by exploiting <math alttext="T" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.12.m3.1"><semantics id="S4.SS2.p1.12.m3.1a"><mi id="S4.SS2.p1.12.m3.1.1" xref="S4.SS2.p1.12.m3.1.1.cmml">T</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.12.m3.1b"><ci id="S4.SS2.p1.12.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.12.m3.1.1">𝑇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.12.m3.1c">T</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.12.m3.1d">italic_T</annotation></semantics></math> samples.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_myDef" id="ThmmyDef1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="ThmmyDef1.1.1.1">Definition 1</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="ThmmyDef1.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="ThmmyDef1.p1"> <p class="ltx_p" id="ThmmyDef1.p1.2">(<cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#bib.bib29" title="">29</a>]</cite>)<span class="ltx_text ltx_font_italic" id="ThmmyDef1.p1.2.2"> The estimate <math alttext="\hat{\theta}" class="ltx_Math" display="inline" id="ThmmyDef1.p1.1.1.m1.1"><semantics id="ThmmyDef1.p1.1.1.m1.1a"><mover accent="true" id="ThmmyDef1.p1.1.1.m1.1.1" xref="ThmmyDef1.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="ThmmyDef1.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="ThmmyDef1.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">θ</mi><mo id="ThmmyDef1.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="ThmmyDef1.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">^</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="ThmmyDef1.p1.1.1.m1.1b"><apply id="ThmmyDef1.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="ThmmyDef1.p1.1.1.m1.1.1"><ci id="ThmmyDef1.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="ThmmyDef1.p1.1.1.m1.1.1.1">^</ci><ci id="ThmmyDef1.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="ThmmyDef1.p1.1.1.m1.1.1.2">𝜃</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="ThmmyDef1.p1.1.1.m1.1c">\hat{\theta}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="ThmmyDef1.p1.1.1.m1.1d">over^ start_ARG italic_θ end_ARG</annotation></semantics></math> is strongly consistent if <math alttext="\lim_{T\rightarrow\infty}\hat{\theta}=\theta." class="ltx_Math" display="inline" id="ThmmyDef1.p1.2.2.m2.1"><semantics id="ThmmyDef1.p1.2.2.m2.1a"><mrow id="ThmmyDef1.p1.2.2.m2.1.1.1" xref="ThmmyDef1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="ThmmyDef1.p1.2.2.m2.1.1.1.1" xref="ThmmyDef1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="ThmmyDef1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2" xref="ThmmyDef1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="ThmmyDef1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.1" xref="ThmmyDef1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.1.cmml"><mo id="ThmmyDef1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.1.2" xref="ThmmyDef1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.1.2.cmml">lim</mo><mrow id="ThmmyDef1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.1.3" xref="ThmmyDef1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.1.3.cmml"><mi id="ThmmyDef1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.1.3.2" xref="ThmmyDef1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.1.3.2.cmml">T</mi><mo id="ThmmyDef1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.1.3.1" stretchy="false" xref="ThmmyDef1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.1.3.1.cmml">→</mo><mi id="ThmmyDef1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.1.3.3" mathvariant="normal" xref="ThmmyDef1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.1.3.3.cmml">∞</mi></mrow></msub><mover accent="true" id="ThmmyDef1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.2" xref="ThmmyDef1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="ThmmyDef1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.2.2" xref="ThmmyDef1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.2.2.cmml">θ</mi><mo id="ThmmyDef1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.2.1" xref="ThmmyDef1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover></mrow><mo id="ThmmyDef1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1" xref="ThmmyDef1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="ThmmyDef1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.3" xref="ThmmyDef1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.3.cmml">θ</mi></mrow><mo id="ThmmyDef1.p1.2.2.m2.1.1.1.2" lspace="0em" xref="ThmmyDef1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="ThmmyDef1.p1.2.2.m2.1b"><apply id="ThmmyDef1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="ThmmyDef1.p1.2.2.m2.1.1.1"><eq id="ThmmyDef1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="ThmmyDef1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1"></eq><apply id="ThmmyDef1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="ThmmyDef1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2"><apply id="ThmmyDef1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="ThmmyDef1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="ThmmyDef1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="ThmmyDef1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.1">subscript</csymbol><limit id="ThmmyDef1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="ThmmyDef1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.1.2"></limit><apply id="ThmmyDef1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="ThmmyDef1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.1.3"><ci id="ThmmyDef1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="ThmmyDef1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.1.3.1">→</ci><ci id="ThmmyDef1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.1.3.2.cmml" xref="ThmmyDef1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.1.3.2">𝑇</ci><infinity id="ThmmyDef1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.1.3.3.cmml" xref="ThmmyDef1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.1.3.3"></infinity></apply></apply><apply id="ThmmyDef1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="ThmmyDef1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.2"><ci id="ThmmyDef1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="ThmmyDef1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="ThmmyDef1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="ThmmyDef1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.2.2">𝜃</ci></apply></apply><ci id="ThmmyDef1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="ThmmyDef1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.3">𝜃</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="ThmmyDef1.p1.2.2.m2.1c">\lim_{T\rightarrow\infty}\hat{\theta}=\theta.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="ThmmyDef1.p1.2.2.m2.1d">roman_lim start_POSTSUBSCRIPT italic_T → ∞ end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_θ end_ARG = italic_θ .</annotation></semantics></math></span></p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.p2"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p2.5">We are now ready to establish the convergence rate for <math alttext="\hat{\theta}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p2.1.m1.1"><semantics id="S4.SS2.p2.1.m1.1a"><mover accent="true" id="S4.SS2.p2.1.m1.1.1" xref="S4.SS2.p2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p2.1.m1.1.1.2" xref="S4.SS2.p2.1.m1.1.1.2.cmml">θ</mi><mo id="S4.SS2.p2.1.m1.1.1.1" xref="S4.SS2.p2.1.m1.1.1.1.cmml">^</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p2.1.m1.1b"><apply id="S4.SS2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.1.m1.1.1"><ci id="S4.SS2.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.1.m1.1.1.1">^</ci><ci id="S4.SS2.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p2.1.m1.1.1.2">𝜃</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p2.1.m1.1c">\hat{\theta}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p2.1.m1.1d">over^ start_ARG italic_θ end_ARG</annotation></semantics></math>. Due to the possible different active subsystems at time <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p2.2.m2.1"><semantics id="S4.SS2.p2.2.m2.1a"><mi id="S4.SS2.p2.2.m2.1.1" xref="S4.SS2.p2.2.m2.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p2.2.m2.1b"><ci id="S4.SS2.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.2.m2.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p2.2.m2.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p2.2.m2.1d">italic_t</annotation></semantics></math>, it is convenient to define the following partition of the considered time interval <math alttext="\{1,\ldots,T\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p2.3.m3.3"><semantics id="S4.SS2.p2.3.m3.3a"><mrow id="S4.SS2.p2.3.m3.3.4.2" xref="S4.SS2.p2.3.m3.3.4.1.cmml"><mo id="S4.SS2.p2.3.m3.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS2.p2.3.m3.3.4.1.cmml">{</mo><mn id="S4.SS2.p2.3.m3.1.1" xref="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.SS2.p2.3.m3.3.4.2.2" xref="S4.SS2.p2.3.m3.3.4.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS2.p2.3.m3.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.SS2.p2.3.m3.2.2.cmml">…</mi><mo id="S4.SS2.p2.3.m3.3.4.2.3" xref="S4.SS2.p2.3.m3.3.4.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS2.p2.3.m3.3.3" xref="S4.SS2.p2.3.m3.3.3.cmml">T</mi><mo id="S4.SS2.p2.3.m3.3.4.2.4" stretchy="false" xref="S4.SS2.p2.3.m3.3.4.1.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p2.3.m3.3b"><set id="S4.SS2.p2.3.m3.3.4.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.3.m3.3.4.2"><cn id="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p2.3.m3.1.1">1</cn><ci id="S4.SS2.p2.3.m3.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p2.3.m3.2.2">…</ci><ci id="S4.SS2.p2.3.m3.3.3.cmml" xref="S4.SS2.p2.3.m3.3.3">𝑇</ci></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p2.3.m3.3c">\{1,\ldots,T\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p2.3.m3.3d">{ 1 , … , italic_T }</annotation></semantics></math> as <math alttext="\mathbb{T}^{c}_{j,T}=\{t\leq T|s_{c}(t)=j\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p2.4.m4.5"><semantics id="S4.SS2.p2.4.m4.5a"><mrow id="S4.SS2.p2.4.m4.5.5" xref="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.cmml"><msubsup id="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.4" xref="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.4.cmml"><mi id="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.4.2.2" xref="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.4.2.2.cmml">𝕋</mi><mrow id="S4.SS2.p2.4.m4.2.2.2.4" xref="S4.SS2.p2.4.m4.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p2.4.m4.1.1.1.1" xref="S4.SS2.p2.4.m4.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S4.SS2.p2.4.m4.2.2.2.4.1" xref="S4.SS2.p2.4.m4.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.SS2.p2.4.m4.2.2.2.2" xref="S4.SS2.p2.4.m4.2.2.2.2.cmml">T</mi></mrow><mi id="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.4.2.3" xref="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.4.2.3.cmml">c</mi></msubsup><mo id="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.3" xref="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.2.2" xref="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.2.3.cmml"><mo id="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.2.3.1.cmml">{</mo><mrow id="S4.SS2.p2.4.m4.4.4.1.1.1" xref="S4.SS2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.2" xref="S4.SS2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S4.SS2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1" xref="S4.SS2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="S4.SS2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.3" xref="S4.SS2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.3.cmml">T</mi></mrow><mo id="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.2.2.4" lspace="0em" rspace="0em" xref="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.2.3.1.cmml">|</mo><mrow id="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.2.2.2" xref="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.2.2.2.2" xref="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.2.2.2.2.cmml"><msub id="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.2.2.2.2.2" xref="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.2.2.2.2.2.2" xref="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.2.2.2.2.2.2.cmml">s</mi><mi id="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.2.2.2.2.2.3" xref="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.2.2.2.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.2.2.2.2.1" xref="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.2.2.2.2.3.2" xref="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.2.2.2.2.cmml"><mo id="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.2.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.2.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS2.p2.4.m4.3.3" xref="S4.SS2.p2.4.m4.3.3.cmml">t</mi><mo id="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.2.2.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.2.2.2.1" xref="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.2.2.2.1.cmml">=</mo><mi id="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.2.2.2.3" xref="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.2.2.2.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.2.2.5" stretchy="false" xref="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.2.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p2.4.m4.5b"><apply id="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m4.5.5"><eq id="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.3.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.3"></eq><apply id="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.4.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.4.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.4">subscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.4.2.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.4.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.4">superscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.4.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.4.2.2">𝕋</ci><ci id="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.4.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.4.2.3">𝑐</ci></apply><list id="S4.SS2.p2.4.m4.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m4.2.2.2.4"><ci id="S4.SS2.p2.4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m4.1.1.1.1">𝑗</ci><ci id="S4.SS2.p2.4.m4.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m4.2.2.2.2">𝑇</ci></list></apply><apply id="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.2.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.2.2.3">conditional-set</csymbol><apply id="S4.SS2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m4.4.4.1.1.1"><leq id="S4.SS2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1"></leq><ci id="S4.SS2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S4.SS2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.3">𝑇</ci></apply><apply id="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.2.2.2"><eq id="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.2.2.2.1"></eq><apply id="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.2.2.2.2"><times id="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.2.2.2.2.1"></times><apply id="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.2.2.2.2.2.2">𝑠</ci><ci id="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.2.2.2.2.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="S4.SS2.p2.4.m4.3.3.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m4.3.3">𝑡</ci></apply><ci id="S4.SS2.p2.4.m4.5.5.2.2.2.3.cmml" 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xref="S4.SS2.p2.5.m5.1.1.1.1">𝑙</ci><ci id="S4.SS2.p2.5.m5.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p2.5.m5.2.2.2.2">𝑇</ci></list></apply><apply id="S4.SS2.p2.5.m5.5.5.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p2.5.m5.5.5.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS2.p2.5.m5.5.5.2.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.5.m5.5.5.2.2.3">conditional-set</csymbol><apply id="S4.SS2.p2.5.m5.4.4.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.5.m5.4.4.1.1.1"><leq id="S4.SS2.p2.5.m5.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.5.m5.4.4.1.1.1.1"></leq><ci id="S4.SS2.p2.5.m5.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p2.5.m5.4.4.1.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S4.SS2.p2.5.m5.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p2.5.m5.4.4.1.1.1.3">𝑇</ci></apply><apply id="S4.SS2.p2.5.m5.5.5.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p2.5.m5.5.5.2.2.2"><eq id="S4.SS2.p2.5.m5.5.5.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.5.m5.5.5.2.2.2.1"></eq><apply id="S4.SS2.p2.5.m5.5.5.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p2.5.m5.5.5.2.2.2.2"><times id="S4.SS2.p2.5.m5.5.5.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.5.m5.5.5.2.2.2.2.1"></times><apply 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}</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_theorem" id="Thmtheorem1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem1.1.1.1">Theorem 1</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem1.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem1.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem1.p1.8"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem1.p1.8.8">Under Standing Assumptions <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#Thmstanding1" title="Standing Assumption 1. ‣ 2.1 System model description ‣ 2 Mathematical formulation ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> and <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#Thmstanding2" title="Standing Assumption 2. ‣ 2.1 System model description ‣ 2 Mathematical formulation ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>. Let <math alttext="W^{c}_{j,T}=\sum_{t\in\mathbb{T}^{c}_{j,T}}x_{c}(t)x_{c}^{\top}(t)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6"><semantics id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6a"><mrow id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.cmml"><msubsup id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.2" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.2.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.2.2.2" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.2.2.2.cmml">W</mi><mrow id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.2.2.2.4" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.2.2.2.4.1" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.2.2.2.2" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.cmml">T</mi></mrow><mi id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.2.2.3" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.2.2.3.cmml">c</mi></msubsup><mo id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.1" rspace="0.111em" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.1.cmml">=</mo><mrow id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.cmml"><msub id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.1" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.1.cmml"><mo id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.1.2" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4.4.2" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4.4.2.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4.4.2.4" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4.4.2.4.cmml">t</mi><mo id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4.4.2.3" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4.4.2.3.cmml">∈</mo><msubsup id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4.4.2.5" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4.4.2.5.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4.4.2.5.2.2" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4.4.2.5.2.2.cmml">𝕋</mi><mrow id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.4" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.3.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.1" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.4.1" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.2" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.cmml">T</mi></mrow><mi id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4.4.2.5.2.3" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4.4.2.5.2.3.cmml">c</mi></msubsup></mrow></msub><mrow id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.2" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.2.cmml"><msub id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.2.2" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.2.2.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.2.2.2" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.2.2.2.cmml">x</mi><mi id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.2.2.3" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.2.1" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.2.3.2" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.2.cmml"><mo id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.2.cmml">(</mo><mi id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.5.5" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.5.5.cmml">t</mi><mo id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.2.1a" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.2.4" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.2.4.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.2.4.2.2" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.2.4.2.2.cmml">x</mi><mi id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.2.4.2.3" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.2.4.2.3.cmml">c</mi><mo id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.2.4.3" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.2.4.3.cmml">⊤</mo></msubsup><mo id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.2.1b" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.2.5.2" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.2.cmml"><mo id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.2.5.2.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.2.cmml">(</mo><mi id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.6" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.6.cmml">t</mi><mo id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.2.5.2.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6b"><apply id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7"><eq id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.1"></eq><apply id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.2.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.2">subscript</csymbol><apply id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.2.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.2">superscript</csymbol><ci id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.2.2.2">𝑊</ci><ci id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.2.2.3">𝑐</ci></apply><list id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.2.2.2.4"><ci id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.1.1">𝑗</ci><ci id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.2.2.2.2">𝑇</ci></list></apply><apply id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3"><apply id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.1">subscript</csymbol><sum id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.1.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.1.2"></sum><apply id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4.4.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4.4.2"><in id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4.4.2.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4.4.2.3"></in><ci id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4.4.2.4.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4.4.2.4">𝑡</ci><apply id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4.4.2.5.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4.4.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4.4.2.5.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4.4.2.5">subscript</csymbol><apply id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4.4.2.5.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4.4.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4.4.2.5.2.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4.4.2.5">superscript</csymbol><ci id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4.4.2.5.2.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4.4.2.5.2.2">𝕋</ci><ci id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4.4.2.5.2.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4.4.2.5.2.3">𝑐</ci></apply><list id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.4"><ci id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.1">𝑗</ci><ci id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.2">𝑇</ci></list></apply></apply></apply><apply id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.2"><times id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.2.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.2.1"></times><apply id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.2.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.2.2.2">𝑥</ci><ci id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.2.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.5.5.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.5.5">𝑡</ci><apply id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.2.4.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.2.4.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.2.4">superscript</csymbol><apply id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.2.4.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.2.4.2.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.2.4">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.2.4.2.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.2.4.2.2">𝑥</ci><ci id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.2.4.2.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.2.4.2.3">𝑐</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.2.4.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.7.3.2.4.3">top</csymbol></apply><ci id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.6.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6.6">𝑡</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6c">W^{c}_{j,T}=\sum_{t\in\mathbb{T}^{c}_{j,T}}x_{c}(t)x_{c}^{\top}(t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.6d">italic_W start_POSTSUPERSCRIPT italic_c end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_T end_POSTSUBSCRIPT = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t ∈ blackboard_T start_POSTSUPERSCRIPT italic_c end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_T end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t )</annotation></semantics></math> and <math alttext="W^{a}_{l,T}=\sum_{t\in\mathbb{T}^{a}_{l,T}}x_{a}(t)x_{a}^{\top}(t)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6"><semantics id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6a"><mrow id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.cmml"><msubsup id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.2" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.2.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.2.2.2" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.2.2.2.cmml">W</mi><mrow id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.2.2.2.4" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.2.2.2.3.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.1.1" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.cmml">l</mi><mo id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.2.2.2.4.1" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.2.2.2.2" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.2.2.2.2.cmml">T</mi></mrow><mi id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.2.2.3" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.2.2.3.cmml">a</mi></msubsup><mo id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.1" rspace="0.111em" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.1.cmml">=</mo><mrow id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.cmml"><msub id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.1" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.1.cmml"><mo id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.1.2" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.4" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.4.cmml">t</mi><mo id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.3" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.3.cmml">∈</mo><msubsup id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.5" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.5.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.5.2.2" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.5.2.2.cmml">𝕋</mi><mrow id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.4" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.3.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.1" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml">l</mi><mo id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.4.1" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.2" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.2.cmml">T</mi></mrow><mi id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.5.2.3" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.5.2.3.cmml">a</mi></msubsup></mrow></msub><mrow id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.2" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.2.cmml"><msub id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.2.2" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.2.2.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.2.2.2" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.2.2.2.cmml">x</mi><mi id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.2.2.3" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.2.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.2.1" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.2.3.2" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.2.cmml"><mo id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.2.cmml">(</mo><mi id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.cmml">t</mi><mo id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.2.1a" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.2.4" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.2.4.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.2.4.2.2" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.2.4.2.2.cmml">x</mi><mi id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.2.4.2.3" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.2.4.2.3.cmml">a</mi><mo id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.2.4.3" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.2.4.3.cmml">⊤</mo></msubsup><mo id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.2.1b" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.2.5.2" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.2.cmml"><mo id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.2.5.2.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.2.cmml">(</mo><mi id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.6" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.6.cmml">t</mi><mo id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.2.5.2.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6b"><apply id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7"><eq id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.1"></eq><apply id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.2.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.2">subscript</csymbol><apply id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.2.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.2">superscript</csymbol><ci id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.2.2.2">𝑊</ci><ci id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.2.2.3">𝑎</ci></apply><list id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.2.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.2.2.2.4"><ci id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.1.1">𝑙</ci><ci id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.2.2.2.2">𝑇</ci></list></apply><apply id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3"><apply id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.1">subscript</csymbol><sum id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.1.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.1.2"></sum><apply id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2"><in id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.3"></in><ci id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.4.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.4">𝑡</ci><apply id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.5.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.5.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.5">subscript</csymbol><apply id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.5.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.5.2.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.5">superscript</csymbol><ci id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.5.2.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.5.2.2">𝕋</ci><ci id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.5.2.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.5.2.3">𝑎</ci></apply><list id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.4"><ci id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.1">𝑙</ci><ci id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.2.2.2">𝑇</ci></list></apply></apply></apply><apply id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.2"><times id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.2.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.2.1"></times><apply id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.2.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.2.2.2">𝑥</ci><ci id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.2.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.5.5">𝑡</ci><apply id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.2.4.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.2.4.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.2.4">superscript</csymbol><apply id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.2.4.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.2.4.2.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.2.4">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.2.4.2.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.2.4.2.2">𝑥</ci><ci id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.2.4.2.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.2.4.2.3">𝑎</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.2.4.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.7.3.2.4.3">top</csymbol></apply><ci id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.6.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6.6">𝑡</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6c">W^{a}_{l,T}=\sum_{t\in\mathbb{T}^{a}_{l,T}}x_{a}(t)x_{a}^{\top}(t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.6d">italic_W start_POSTSUPERSCRIPT italic_a end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_l , italic_T end_POSTSUBSCRIPT = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t ∈ blackboard_T start_POSTSUPERSCRIPT italic_a end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_l , italic_T end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t )</annotation></semantics></math>. Denote <math alttext="\Delta^{c}_{j,T}=\mathcal{O}\left(\sqrt{\frac{\log(\lambda_{\textrm{max}}(W^{a% }_{l,T}))}{\lambda_{\textrm{min}}(W^{a}_{l,T})}}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9"><semantics id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9a"><mrow id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.10" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.10.cmml"><msubsup id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.10.2" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.10.2.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.10.2.2.2" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.10.2.2.2.cmml">Δ</mi><mrow id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.2.4" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.2.3.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1.1.1" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.2.4.1" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.2.2" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.2.2.cmml">T</mi></mrow><mi id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.10.2.2.3" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.10.2.2.3.cmml">c</mi></msubsup><mo id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.10.1" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.10.1.cmml">=</mo><mrow id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.10.3" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.10.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.10.3.2" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.10.3.2.cmml">𝒪</mi><mo id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.10.3.1" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.10.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.10.3.3.2" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.9.cmml"><mo id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.10.3.3.2.1" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.9.cmml">(</mo><msqrt id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.9" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.9.cmml"><mfrac id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.9.7" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.9.7.cmml"><mrow id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.6.6.4.4.4.4" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.6.6.4.4.4.5.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.3.3.3.3" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.5.5.3.3.3.3.cmml">log</mi><mo id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.6.6.4.4.4.4a" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.6.6.4.4.4.5.cmml">⁡</mo><mrow id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.6.6.4.4.4.4.1" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.6.6.4.4.4.5.cmml"><mo id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.6.6.4.4.4.4.1.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.6.6.4.4.4.5.cmml">(</mo><mrow id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.6.6.4.4.4.4.1.1" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.6.6.4.4.4.4.1.1.cmml"><msub id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.6.6.4.4.4.4.1.1.3" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.6.6.4.4.4.4.1.1.3.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.6.6.4.4.4.4.1.1.3.2" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.6.6.4.4.4.4.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.6.6.4.4.4.4.1.1.3.3" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.6.6.4.4.4.4.1.1.3.3a.cmml">max</mtext></msub><mo id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.6.6.4.4.4.4.1.1.2" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.6.6.4.4.4.4.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.6.6.4.4.4.4.1.1.1.1" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.6.6.4.4.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.6.6.4.4.4.4.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.6.6.4.4.4.4.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.6.6.4.4.4.4.1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.6.6.4.4.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.6.6.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2.2" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.6.6.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2.2.cmml">W</mi><mrow id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.2.2.2.4" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">l</mi><mo id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.2.2.2.4.1" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.2.2.2.2" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.2.2.2.2.2.cmml">T</mi></mrow><mi id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.6.6.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2.3" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.6.6.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2.3.cmml">a</mi></msubsup><mo id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.6.6.4.4.4.4.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.6.6.4.4.4.4.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.6.6.4.4.4.4.1.3" stretchy="false" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.6.6.4.4.4.5.cmml">)</mo></mrow></mrow><mrow id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.9.7.7.7" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.9.7.7.7.cmml"><msub id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.9.7.7.7.5" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.9.7.7.7.5.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.9.7.7.7.5.2" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.9.7.7.7.5.2.cmml">λ</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.9.7.7.7.5.3" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.9.7.7.7.5.3a.cmml">min</mtext></msub><mo id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.9.7.7.7.4" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.9.7.7.7.4.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.9.7.7.7.3.1" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.9.7.7.7.3.1.1.cmml"><mo id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.9.7.7.7.3.1.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.9.7.7.7.3.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.9.7.7.7.3.1.1" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.9.7.7.7.3.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.9.7.7.7.3.1.1.2.2" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.9.7.7.7.3.1.1.2.2.cmml">W</mi><mrow id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.8.8.6.6.6.2.2.4" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.8.8.6.6.6.2.2.3.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.7.7.5.5.5.1.1.1" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.7.7.5.5.5.1.1.1.cmml">l</mi><mo id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.8.8.6.6.6.2.2.4.1" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.8.8.6.6.6.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.8.8.6.6.6.2.2.2" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.8.8.6.6.6.2.2.2.cmml">T</mi></mrow><mi id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.9.7.7.7.3.1.1.2.3" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.9.7.7.7.3.1.1.2.3.cmml">a</mi></msubsup><mo id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.9.7.7.7.3.1.3" stretchy="false" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.9.7.7.7.3.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac></msqrt><mo id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.10.3.3.2.2" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.9.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9b"><apply id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.10.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.10"><eq id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.10.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.10.1"></eq><apply id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.10.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.10.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.10.2.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.10.2">subscript</csymbol><apply id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.10.2.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.10.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.10.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.10.2">superscript</csymbol><ci id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.10.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.10.2.2.2">Δ</ci><ci id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.10.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.10.2.2.3">𝑐</ci></apply><list id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.2.4"><ci id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1.1.1">𝑗</ci><ci id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.2.2.cmml" 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id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.9.7.7.7.3.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.9.7.7.7.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.9.7.7.7.3.1.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.9.7.7.7.3.1">superscript</csymbol><ci id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.9.7.7.7.3.1.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.9.7.7.7.3.1.1.2.2">𝑊</ci><ci id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.9.7.7.7.3.1.1.2.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9.9.7.7.7.3.1.1.2.3">𝑎</ci></apply><list id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.8.8.6.6.6.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.8.8.6.6.6.2.2.4"><ci id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.7.7.5.5.5.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.7.7.5.5.5.1.1.1">𝑙</ci><ci id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.8.8.6.6.6.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.8.8.6.6.6.2.2.2">𝑇</ci></list></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9c">\Delta^{c}_{j,T}=\mathcal{O}\left(\sqrt{\frac{\log(\lambda_{\textrm{max}}(W^{a% }_{l,T}))}{\lambda_{\textrm{min}}(W^{a}_{l,T})}}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.9d">roman_Δ start_POSTSUPERSCRIPT italic_c end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_T end_POSTSUBSCRIPT = caligraphic_O ( square-root start_ARG divide start_ARG roman_log ( italic_λ start_POSTSUBSCRIPT max end_POSTSUBSCRIPT ( italic_W start_POSTSUPERSCRIPT italic_a end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_l , italic_T end_POSTSUBSCRIPT ) ) end_ARG start_ARG italic_λ start_POSTSUBSCRIPT min end_POSTSUBSCRIPT ( italic_W start_POSTSUPERSCRIPT italic_a end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_l , italic_T end_POSTSUBSCRIPT ) end_ARG end_ARG )</annotation></semantics></math>, <math alttext="\Delta^{a}_{l,T}=\mathcal{O}\left(\sqrt{\frac{\log(\lambda_{\textrm{max}}(W^{a% }_{l,T}))}{\lambda_{\textrm{min}}(W^{a}_{l,T})}}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.9"><semantics id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.9a"><mrow id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.9.10" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.9.10.cmml"><msubsup id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.9.10.2" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.9.10.2.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.9.10.2.2.2" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.9.10.2.2.2.cmml">Δ</mi><mrow id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.2.4" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.2.3.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.1.1" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.cmml">l</mi><mo id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.2.4.1" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.2.2" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.2.2.cmml">T</mi></mrow><mi id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.9.10.2.2.3" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.9.10.2.2.3.cmml">a</mi></msubsup><mo id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.9.10.1" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.9.10.1.cmml">=</mo><mrow id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.9.10.3" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.9.10.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.9.10.3.2" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.9.10.3.2.cmml">𝒪</mi><mo id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.9.10.3.1" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.9.10.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.9.10.3.3.2" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.9.9.cmml"><mo id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.9.10.3.3.2.1" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.9.9.cmml">(</mo><msqrt id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.9.9" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.9.9.cmml"><mfrac id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.9.9.7" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.9.9.7.cmml"><mrow id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.6.6.4.4.4.4" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.6.6.4.4.4.5.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.5.5.3.3.3.3" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.5.5.3.3.3.3.cmml">log</mi><mo id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.6.6.4.4.4.4a" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.6.6.4.4.4.5.cmml">⁡</mo><mrow id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.6.6.4.4.4.4.1" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.6.6.4.4.4.5.cmml"><mo id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.6.6.4.4.4.4.1.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.6.6.4.4.4.5.cmml">(</mo><mrow id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.6.6.4.4.4.4.1.1" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.6.6.4.4.4.4.1.1.cmml"><msub id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.6.6.4.4.4.4.1.1.3" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.6.6.4.4.4.4.1.1.3.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.6.6.4.4.4.4.1.1.3.2" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.6.6.4.4.4.4.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.6.6.4.4.4.4.1.1.3.3" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.6.6.4.4.4.4.1.1.3.3a.cmml">max</mtext></msub><mo id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.6.6.4.4.4.4.1.1.2" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.6.6.4.4.4.4.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.6.6.4.4.4.4.1.1.1.1" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.6.6.4.4.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.6.6.4.4.4.4.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.6.6.4.4.4.4.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.6.6.4.4.4.4.1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.6.6.4.4.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.6.6.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2.2" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.6.6.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2.2.cmml">W</mi><mrow id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.4.4.2.2.2.2.2.4" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.4.4.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">l</mi><mo id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.4.4.2.2.2.2.2.4.1" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.4.4.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.4.4.2.2.2.2.2.2" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.4.4.2.2.2.2.2.2.cmml">T</mi></mrow><mi id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.6.6.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2.3" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.6.6.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2.3.cmml">a</mi></msubsup><mo id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.6.6.4.4.4.4.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.6.6.4.4.4.4.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.6.6.4.4.4.4.1.3" stretchy="false" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.6.6.4.4.4.5.cmml">)</mo></mrow></mrow><mrow id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.9.9.7.7.7" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.9.9.7.7.7.cmml"><msub id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.9.9.7.7.7.5" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.9.9.7.7.7.5.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.9.9.7.7.7.5.2" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.9.9.7.7.7.5.2.cmml">λ</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.9.9.7.7.7.5.3" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.9.9.7.7.7.5.3a.cmml">min</mtext></msub><mo id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.9.9.7.7.7.4" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.9.9.7.7.7.4.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.9.9.7.7.7.3.1" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.9.9.7.7.7.3.1.1.cmml"><mo id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.9.9.7.7.7.3.1.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.9.9.7.7.7.3.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.9.9.7.7.7.3.1.1" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.9.9.7.7.7.3.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.9.9.7.7.7.3.1.1.2.2" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.9.9.7.7.7.3.1.1.2.2.cmml">W</mi><mrow id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.8.8.6.6.6.2.2.4" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.8.8.6.6.6.2.2.3.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.7.7.5.5.5.1.1.1" 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id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.6.6.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.6.6.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2.2">𝑊</ci><ci id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.6.6.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.6.6.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2.3">𝑎</ci></apply><list id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.4.4.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.4.4.2.2.2.2.2.4"><ci id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.1">𝑙</ci><ci id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.4.4.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.4.4.2.2.2.2.2.2">𝑇</ci></list></apply></apply></apply><apply id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.9.9.7.7.7.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.9.9.7.7.7"><times id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.9.9.7.7.7.4.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.9.9.7.7.7.4"></times><apply id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.9.9.7.7.7.5.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.9.9.7.7.7.5"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.9.9.7.7.7.5.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.9.9.7.7.7.5">subscript</csymbol><ci 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xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.9.9.7.7.7.3.1.1.2.3">𝑎</ci></apply><list id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.8.8.6.6.6.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.8.8.6.6.6.2.2.4"><ci id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.7.7.5.5.5.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.7.7.5.5.5.1.1.1">𝑙</ci><ci id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.8.8.6.6.6.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.8.8.6.6.6.2.2.2">𝑇</ci></list></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.9c">\Delta^{a}_{l,T}=\mathcal{O}\left(\sqrt{\frac{\log(\lambda_{\textrm{max}}(W^{a% }_{l,T}))}{\lambda_{\textrm{min}}(W^{a}_{l,T})}}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem1.p1.4.4.m4.9d">roman_Δ start_POSTSUPERSCRIPT italic_a end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_l , italic_T end_POSTSUBSCRIPT = caligraphic_O ( square-root start_ARG divide start_ARG roman_log ( italic_λ start_POSTSUBSCRIPT max end_POSTSUBSCRIPT ( italic_W start_POSTSUPERSCRIPT italic_a end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_l , italic_T end_POSTSUBSCRIPT ) ) end_ARG start_ARG italic_λ start_POSTSUBSCRIPT min end_POSTSUBSCRIPT ( italic_W start_POSTSUPERSCRIPT italic_a end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_l , italic_T end_POSTSUBSCRIPT ) end_ARG end_ARG )</annotation></semantics></math>, and <math alttext="\Delta_{T}=\mathcal{O}\left(\frac{\log(T)}{T}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2"><semantics id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2a"><mrow id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.cmml"><msub id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.2" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.2.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.2.2" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.2.2.cmml">Δ</mi><mi id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.2.3" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.2.3.cmml">T</mi></msub><mo id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.1" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.3" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.3.2" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.3.2.cmml">𝒪</mi><mo id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.3.1" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.3.3.2" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.cmml"><mo id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.3.3.2.1" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.cmml">(</mo><mfrac id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.cmml"><mrow id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.2.4" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.2.3.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1.1.1" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.2.4a" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.2.3.cmml">⁡</mo><mrow id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.2.4.1" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.2.3.cmml"><mo id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.2.4.1.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.2.2" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.2.2.cmml">T</mi><mo id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.2.4.1.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mi id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.4" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.4.cmml">T</mi></mfrac><mo id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.3.3.2.2" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2b"><apply id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3"><eq id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.1"></eq><apply id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.2.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.2.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.2.2">Δ</ci><ci id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.2.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.3"><times id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.3.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.3.1"></times><ci id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.3.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.3.2">𝒪</ci><apply id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.3.3.2"><divide id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.3.3.3.2"></divide><apply id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.2.4"><log id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.1.1.1.1"></log><ci id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.2.2">𝑇</ci></apply><ci id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.4.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2.2.4">𝑇</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2c">\Delta_{T}=\mathcal{O}\left(\frac{\log(T)}{T}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem1.p1.5.5.m5.2d">roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_T end_POSTSUBSCRIPT = caligraphic_O ( divide start_ARG roman_log ( italic_T ) end_ARG start_ARG italic_T end_ARG )</annotation></semantics></math>. Then, the estimate <math alttext="\hat{\theta}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1"><semantics id="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1a"><mover accent="true" id="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1" xref="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.2" xref="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.2.cmml">θ</mi><mo id="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.1" xref="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.1.cmml">^</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1b"><apply id="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1"><ci id="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.1">^</ci><ci id="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1.1.2">𝜃</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1c">\hat{\theta}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem1.p1.6.6.m6.1d">over^ start_ARG italic_θ end_ARG</annotation></semantics></math> generated by Algorithm <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#algorithm1" title="Algorithm 1 ‣ 3 The EM method for identifying NCS-RSM ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> is strongly consistent for any <math alttext="\bm{s}_{c}\in\Lambda_{c}^{T}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1"><semantics id="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1a"><mrow id="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1" xref="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.cmml"><msub id="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.2" xref="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.2.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.2.2" xref="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.2.2.cmml">𝐬</mi><mi id="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.2.3" xref="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.1" xref="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.1.cmml">∈</mo><msubsup id="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.3" xref="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.3.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.3.2.2.cmml">Λ</mi><mi id="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.3.2.3" xref="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.3.2.3.cmml">c</mi><mi id="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.3.3" xref="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.3.3.cmml">T</mi></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1b"><apply id="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1"><in id="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.1"></in><apply id="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.2.2">𝐬</ci><ci id="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.2.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.2.3">𝑐</ci></apply><apply id="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.3.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.3.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.3.2.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.3.2.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.3.2.2">Λ</ci><ci id="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.3.2.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.3.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.3.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1.1.3.3">𝑇</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1c">\bm{s}_{c}\in\Lambda_{c}^{T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem1.p1.7.7.m7.1d">bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ∈ roman_Λ start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\bm{s}_{a}\in\Lambda_{a}^{T}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1"><semantics id="Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1a"><mrow id="Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1.1" xref="Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1.1.cmml"><msub id="Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1.1.2" xref="Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1.1.2.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1.1.2.2" xref="Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1.1.2.2.cmml">𝐬</mi><mi id="Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1.1.2.3" xref="Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1.1.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1.1.1" xref="Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1.1.1.cmml">∈</mo><msubsup id="Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1.1.3" xref="Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1.1.3.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1.1.3.2.2.cmml">Λ</mi><mi id="Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1.1.3.2.3" xref="Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1.1.3.2.3.cmml">a</mi><mi id="Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1.1.3.3" xref="Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1.1.3.3.cmml">T</mi></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1b"><apply id="Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1.1"><in id="Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1.1.1"></in><apply id="Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1.1.2.2">𝐬</ci><ci id="Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1.1.2.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1.1.2.3">𝑎</ci></apply><apply id="Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1.1.3.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1.1.3.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1.1.3.2.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1.1.3.2.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1.1.3.2.2">Λ</ci><ci id="Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1.1.3.2.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1.1.3.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1.1.3.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1.1.3.3">𝑇</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1c">\bm{s}_{a}\in\Lambda_{a}^{T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem1.p1.8.8.m8.1d">bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ∈ roman_Λ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, and the convergence rates are</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx22"> <tbody id="S4.Ex49"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\|\hat{A}_{c}(j)-A_{c}(j)\|_{\infty}\leq\Delta^{c}_{j,T}," class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex49.m1.5"><semantics id="S4.Ex49.m1.5a"><mrow id="S4.Ex49.m1.5.5.1" xref="S4.Ex49.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex49.m1.5.5.1.1" xref="S4.Ex49.m1.5.5.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex49.m1.5.5.1.1.1" xref="S4.Ex49.m1.5.5.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex49.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex49.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex49.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex49.m1.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S4.Ex49.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex49.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex49.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex49.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S4.Ex49.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex49.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex49.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex49.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex49.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex49.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">A</mi><mo id="S4.Ex49.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S4.Ex49.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.Ex49.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex49.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S4.Ex49.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex49.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex49.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex49.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex49.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex49.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex49.m1.3.3" xref="S4.Ex49.m1.3.3.cmml">j</mi><mo id="S4.Ex49.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex49.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex49.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex49.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex49.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex49.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.Ex49.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2" 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id="S4.Ex49.m2.5.5.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S4.Ex49.m2.5.5.1.1.1.3.cmml">∞</mi></msub><mo id="S4.Ex49.m2.5.5.1.1.2" xref="S4.Ex49.m2.5.5.1.1.2.cmml">≤</mo><msubsup id="S4.Ex49.m2.5.5.1.1.3" xref="S4.Ex49.m2.5.5.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex49.m2.5.5.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex49.m2.5.5.1.1.3.2.2.cmml">Δ</mi><mrow id="S4.Ex49.m2.2.2.2.4" xref="S4.Ex49.m2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex49.m2.1.1.1.1" xref="S4.Ex49.m2.1.1.1.1.cmml">l</mi><mo id="S4.Ex49.m2.2.2.2.4.1" xref="S4.Ex49.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex49.m2.2.2.2.2" xref="S4.Ex49.m2.2.2.2.2.cmml">T</mi></mrow><mi id="S4.Ex49.m2.5.5.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex49.m2.5.5.1.1.3.2.3.cmml">a</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex49.m2.5.5.1.2" xref="S4.Ex49.m2.5.5.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex49.m2.5b"><apply id="S4.Ex49.m2.5.5.1.1.cmml" xref="S4.Ex49.m2.5.5.1"><leq id="S4.Ex49.m2.5.5.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex49.m2.5.5.1.1.2"></leq><apply id="S4.Ex49.m2.5.5.1.1.1.cmml" 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id="S4.Ex49.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex49.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1">^</ci><ci id="S4.Ex49.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex49.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝐴</ci></apply><ci id="S4.Ex49.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex49.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="S4.Ex49.m2.3.3.cmml" xref="S4.Ex49.m2.3.3">𝑙</ci></apply><apply id="S4.Ex49.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex49.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.Ex49.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex49.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.Ex49.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex49.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex49.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex49.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex49.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex49.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝐴</ci><ci id="S4.Ex49.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex49.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="S4.Ex49.m2.4.4.cmml" xref="S4.Ex49.m2.4.4">𝑙</ci></apply></apply></apply><infinity id="S4.Ex49.m2.5.5.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex49.m2.5.5.1.1.1.3"></infinity></apply><apply id="S4.Ex49.m2.5.5.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex49.m2.5.5.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex49.m2.5.5.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex49.m2.5.5.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex49.m2.5.5.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex49.m2.5.5.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex49.m2.5.5.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex49.m2.5.5.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex49.m2.5.5.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex49.m2.5.5.1.1.3.2.2">Δ</ci><ci id="S4.Ex49.m2.5.5.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex49.m2.5.5.1.1.3.2.3">𝑎</ci></apply><list id="S4.Ex49.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex49.m2.2.2.2.4"><ci id="S4.Ex49.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex49.m2.1.1.1.1">𝑙</ci><ci id="S4.Ex49.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex49.m2.2.2.2.2">𝑇</ci></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex49.m2.5c">\displaystyle\|\hat{A}_{a}(l)-A_{a}(l)\|_{\infty}\leq\Delta^{a}_{l,T},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex49.m2.5d">∥ over^ start_ARG italic_A end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_l ) - italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_l ) ∥ start_POSTSUBSCRIPT ∞ end_POSTSUBSCRIPT ≤ roman_Δ start_POSTSUPERSCRIPT italic_a end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_l , italic_T end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.Ex50"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\|\hat{C}_{c}(j)-C_{c}(j)\|_{\infty}\leq\Delta^{c}_{j,T}," class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex50.m1.5"><semantics id="S4.Ex50.m1.5a"><mrow id="S4.Ex50.m1.5.5.1" xref="S4.Ex50.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex50.m1.5.5.1.1" xref="S4.Ex50.m1.5.5.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex50.m1.5.5.1.1.1" xref="S4.Ex50.m1.5.5.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex50.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex50.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex50.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex50.m1.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S4.Ex50.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex50.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex50.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex50.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S4.Ex50.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex50.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex50.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex50.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex50.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex50.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">C</mi><mo id="S4.Ex50.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S4.Ex50.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.Ex50.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex50.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S4.Ex50.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex50.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex50.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex50.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex50.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex50.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex50.m1.3.3" xref="S4.Ex50.m1.3.3.cmml">j</mi><mo id="S4.Ex50.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex50.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex50.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex50.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex50.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex50.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.Ex50.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex50.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex50.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex50.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">C</mi><mi id="S4.Ex50.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex50.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S4.Ex50.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex50.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex50.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex50.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.Ex50.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex50.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex50.m1.4.4" xref="S4.Ex50.m1.4.4.cmml">j</mi><mo id="S4.Ex50.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex50.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex50.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex50.m1.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi id="S4.Ex50.m1.5.5.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S4.Ex50.m1.5.5.1.1.1.3.cmml">∞</mi></msub><mo id="S4.Ex50.m1.5.5.1.1.2" xref="S4.Ex50.m1.5.5.1.1.2.cmml">≤</mo><msubsup id="S4.Ex50.m1.5.5.1.1.3" xref="S4.Ex50.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex50.m1.5.5.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex50.m1.5.5.1.1.3.2.2.cmml">Δ</mi><mrow id="S4.Ex50.m1.2.2.2.4" xref="S4.Ex50.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex50.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S4.Ex50.m1.2.2.2.4.1" 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ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\|\hat{C}_{a}(l)-C_{a}(l)\|_{\infty}\leq\Delta^{a}_{l,T}." class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex50.m2.5"><semantics id="S4.Ex50.m2.5a"><mrow id="S4.Ex50.m2.5.5.1" xref="S4.Ex50.m2.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex50.m2.5.5.1.1" xref="S4.Ex50.m2.5.5.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex50.m2.5.5.1.1.1" xref="S4.Ex50.m2.5.5.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex50.m2.5.5.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex50.m2.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex50.m2.5.5.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex50.m2.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S4.Ex50.m2.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex50.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex50.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex50.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S4.Ex50.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex50.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex50.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex50.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex50.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex50.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">C</mi><mo 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alttext="\displaystyle\|\hat{\Sigma}_{a}(l)-\Sigma_{a}(l)\|_{\infty}\leq\Delta_{T}," class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex51.m2.3"><semantics id="S4.Ex51.m2.3a"><mrow id="S4.Ex51.m2.3.3.1" xref="S4.Ex51.m2.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex51.m2.3.3.1.1" xref="S4.Ex51.m2.3.3.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex51.m2.3.3.1.1.1" xref="S4.Ex51.m2.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex51.m2.3.3.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex51.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex51.m2.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex51.m2.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S4.Ex51.m2.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex51.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex51.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex51.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S4.Ex51.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex51.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex51.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex51.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex51.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex51.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">Σ</mi><mo 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id="S4.Ex51.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex51.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex51.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex51.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex51.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex51.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2">Σ</ci><ci id="S4.Ex51.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex51.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="S4.Ex51.m2.2.2.cmml" xref="S4.Ex51.m2.2.2">𝑙</ci></apply></apply></apply><infinity id="S4.Ex51.m2.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex51.m2.3.3.1.1.1.3"></infinity></apply><apply id="S4.Ex51.m2.3.3.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex51.m2.3.3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex51.m2.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex51.m2.3.3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex51.m2.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex51.m2.3.3.1.1.3.2">Δ</ci><ci id="S4.Ex51.m2.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex51.m2.3.3.1.1.3.3">𝑇</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex51.m2.3c">\displaystyle\|\hat{\Sigma}_{a}(l)-\Sigma_{a}(l)\|_{\infty}\leq\Delta_{T},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex51.m2.3d">∥ over^ start_ARG roman_Σ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_l ) - roman_Σ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_l ) ∥ start_POSTSUBSCRIPT ∞ end_POSTSUBSCRIPT ≤ roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_T end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.Ex52"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\|\hat{\Sigma}_{m}-\Sigma_{m}\|_{\infty}\leq\Delta_{T}." class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex52.m1.1"><semantics id="S4.Ex52.m1.1a"><mrow id="S4.Ex52.m1.1.1.1" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">Σ</mi><mo id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Σ</mi><mi id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">m</mi></msub></mrow><mo id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">∞</mi></msub><mo id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.2.cmml">≤</mo><msub id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">Δ</mi><mi id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">T</mi></msub></mrow><mo id="S4.Ex52.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex52.m1.1b"><apply id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1"><leq id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.2"></leq><apply id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><ci id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">Σ</ci></apply><ci id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">Σ</ci><ci id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑚</ci></apply></apply></apply><infinity id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.3"></infinity></apply><apply id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.3.2">Δ</ci><ci id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.3.3">𝑇</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex52.m1.1c">\displaystyle\|\hat{\Sigma}_{m}-\Sigma_{m}\|_{\infty}\leq\Delta_{T}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex52.m1.1d">∥ over^ start_ARG roman_Σ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT - roman_Σ start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT ∞ end_POSTSUBSCRIPT ≤ roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_T end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright" colspan="2"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.p3"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p3.1">The proof of Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#Thmtheorem1" title="Theorem 1. ‣ 4.2 The M-step ‣ 4 Implementation details of the EM algorithm ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> is shown in <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#A1" title="Appendix A Technical proofs ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">A</span></a>.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_remark" id="Thmremark4"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmremark4.1.1.1">Remark 4</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmremark4.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmremark4.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmremark4.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmremark4.p1.2.2">Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#Thmtheorem1" title="Theorem 1. ‣ 4.2 The M-step ‣ 4 Implementation details of the EM algorithm ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> gives data-dependent upper bounds for the estimation errors of the parameter matrices. In order to have a data-independent characterization of the convergence rate for adaptive control or reinforcement learning purposes, in the proof of Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#Thmtheorem1" title="Theorem 1. ‣ 4.2 The M-step ‣ 4 Implementation details of the EM algorithm ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>, specifically equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#A1.Ex80" title="Appendix A Technical proofs ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">A</span></a>), we provide with the corresponding convergence rate of the parameter estimate <math alttext="\hat{\theta}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmremark4.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmremark4.p1.1.1.m1.1a"><mover accent="true" id="Thmremark4.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmremark4.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmremark4.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmremark4.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">θ</mi><mo id="Thmremark4.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="Thmremark4.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">^</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmremark4.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmremark4.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmremark4.p1.1.1.m1.1.1"><ci id="Thmremark4.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmremark4.p1.1.1.m1.1.1.1">^</ci><ci id="Thmremark4.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmremark4.p1.1.1.m1.1.1.2">𝜃</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmremark4.p1.1.1.m1.1c">\hat{\theta}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmremark4.p1.1.1.m1.1d">over^ start_ARG italic_θ end_ARG</annotation></semantics></math>, which is equal to <math alttext="\mathcal{O}(\sqrt{\log(T)/T})" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmremark4.p1.2.2.m2.2"><semantics id="Thmremark4.p1.2.2.m2.2a"><mrow id="Thmremark4.p1.2.2.m2.2.3" xref="Thmremark4.p1.2.2.m2.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmremark4.p1.2.2.m2.2.3.2" xref="Thmremark4.p1.2.2.m2.2.3.2.cmml">𝒪</mi><mo id="Thmremark4.p1.2.2.m2.2.3.1" xref="Thmremark4.p1.2.2.m2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmremark4.p1.2.2.m2.2.3.3.2" xref="Thmremark4.p1.2.2.m2.2.2.cmml"><mo id="Thmremark4.p1.2.2.m2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmremark4.p1.2.2.m2.2.2.cmml">(</mo><msqrt id="Thmremark4.p1.2.2.m2.2.2" xref="Thmremark4.p1.2.2.m2.2.2.cmml"><mrow id="Thmremark4.p1.2.2.m2.2.2.2" xref="Thmremark4.p1.2.2.m2.2.2.2.cmml"><mrow id="Thmremark4.p1.2.2.m2.2.2.2.4.2" xref="Thmremark4.p1.2.2.m2.2.2.2.4.1.cmml"><mi id="Thmremark4.p1.2.2.m2.1.1.1.1" xref="Thmremark4.p1.2.2.m2.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="Thmremark4.p1.2.2.m2.2.2.2.4.2a" xref="Thmremark4.p1.2.2.m2.2.2.2.4.1.cmml">⁡</mo><mrow id="Thmremark4.p1.2.2.m2.2.2.2.4.2.1" xref="Thmremark4.p1.2.2.m2.2.2.2.4.1.cmml"><mo id="Thmremark4.p1.2.2.m2.2.2.2.4.2.1.1" stretchy="false" xref="Thmremark4.p1.2.2.m2.2.2.2.4.1.cmml">(</mo><mi id="Thmremark4.p1.2.2.m2.2.2.2.2" xref="Thmremark4.p1.2.2.m2.2.2.2.2.cmml">T</mi><mo id="Thmremark4.p1.2.2.m2.2.2.2.4.2.1.2" stretchy="false" xref="Thmremark4.p1.2.2.m2.2.2.2.4.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmremark4.p1.2.2.m2.2.2.2.3" xref="Thmremark4.p1.2.2.m2.2.2.2.3.cmml">/</mo><mi id="Thmremark4.p1.2.2.m2.2.2.2.5" xref="Thmremark4.p1.2.2.m2.2.2.2.5.cmml">T</mi></mrow></msqrt><mo id="Thmremark4.p1.2.2.m2.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmremark4.p1.2.2.m2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmremark4.p1.2.2.m2.2b"><apply id="Thmremark4.p1.2.2.m2.2.3.cmml" xref="Thmremark4.p1.2.2.m2.2.3"><times id="Thmremark4.p1.2.2.m2.2.3.1.cmml" xref="Thmremark4.p1.2.2.m2.2.3.1"></times><ci id="Thmremark4.p1.2.2.m2.2.3.2.cmml" xref="Thmremark4.p1.2.2.m2.2.3.2">𝒪</ci><apply id="Thmremark4.p1.2.2.m2.2.2.cmml" xref="Thmremark4.p1.2.2.m2.2.3.3.2"><root id="Thmremark4.p1.2.2.m2.2.2a.cmml" xref="Thmremark4.p1.2.2.m2.2.3.3.2"></root><apply id="Thmremark4.p1.2.2.m2.2.2.2.cmml" xref="Thmremark4.p1.2.2.m2.2.2.2"><divide id="Thmremark4.p1.2.2.m2.2.2.2.3.cmml" xref="Thmremark4.p1.2.2.m2.2.2.2.3"></divide><apply id="Thmremark4.p1.2.2.m2.2.2.2.4.1.cmml" xref="Thmremark4.p1.2.2.m2.2.2.2.4.2"><log id="Thmremark4.p1.2.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="Thmremark4.p1.2.2.m2.1.1.1.1"></log><ci id="Thmremark4.p1.2.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmremark4.p1.2.2.m2.2.2.2.2">𝑇</ci></apply><ci id="Thmremark4.p1.2.2.m2.2.2.2.5.cmml" xref="Thmremark4.p1.2.2.m2.2.2.2.5">𝑇</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmremark4.p1.2.2.m2.2c">\mathcal{O}(\sqrt{\log(T)/T})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmremark4.p1.2.2.m2.2d">caligraphic_O ( square-root start_ARG roman_log ( italic_T ) / italic_T end_ARG )</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> </section> </section> <section class="ltx_section" id="S5"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">5 </span>Numerical examples</h2> <div class="ltx_para" id="S5.p1"> <p class="ltx_p" id="S5.p1.4">We now verify the effectiveness of the proposed methodology on two simulation examples. In both cases, we note that the true switching sequences <math alttext="\bm{s}_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p1.1.m1.1"><semantics id="S5.p1.1.m1.1a"><msub id="S5.p1.1.m1.1.1" xref="S5.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.p1.1.m1.1.1.2" xref="S5.p1.1.m1.1.1.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S5.p1.1.m1.1.1.3" xref="S5.p1.1.m1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p1.1.m1.1b"><apply id="S5.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.p1.1.m1.1.1.2">𝒔</ci><ci id="S5.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.p1.1.m1.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p1.1.m1.1c">\bm{s}_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p1.1.m1.1d">bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\bm{s}_{a}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p1.2.m2.1"><semantics id="S5.p1.2.m2.1a"><msub id="S5.p1.2.m2.1.1" xref="S5.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.p1.2.m2.1.1.2" xref="S5.p1.2.m2.1.1.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S5.p1.2.m2.1.1.3" xref="S5.p1.2.m2.1.1.3.cmml">a</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p1.2.m2.1b"><apply id="S5.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.p1.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.p1.2.m2.1.1.2">𝒔</ci><ci id="S5.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.p1.2.m2.1.1.3">𝑎</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p1.2.m2.1c">\bm{s}_{a}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p1.2.m2.1d">bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are only used to verify the accuracy of the estimated switching sequences, i.e., <math alttext="\hat{\bm{s}}_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p1.3.m3.1"><semantics id="S5.p1.3.m3.1a"><msub id="S5.p1.3.m3.1.1" xref="S5.p1.3.m3.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S5.p1.3.m3.1.1.2" xref="S5.p1.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S5.p1.3.m3.1.1.2.2" xref="S5.p1.3.m3.1.1.2.2.cmml">𝒔</mi><mo id="S5.p1.3.m3.1.1.2.1" xref="S5.p1.3.m3.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S5.p1.3.m3.1.1.3" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p1.3.m3.1b"><apply id="S5.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.p1.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.p1.3.m3.1.1">subscript</csymbol><apply id="S5.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.p1.3.m3.1.1.2"><ci id="S5.p1.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p1.3.m3.1.1.2.1">^</ci><ci id="S5.p1.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p1.3.m3.1.1.2.2">𝒔</ci></apply><ci id="S5.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p1.3.m3.1c">\hat{\bm{s}}_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p1.3.m3.1d">over^ start_ARG bold_italic_s end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\hat{\bm{s}}_{a}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p1.4.m4.1"><semantics id="S5.p1.4.m4.1a"><msub id="S5.p1.4.m4.1.1" xref="S5.p1.4.m4.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S5.p1.4.m4.1.1.2" xref="S5.p1.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S5.p1.4.m4.1.1.2.2" xref="S5.p1.4.m4.1.1.2.2.cmml">𝒔</mi><mo id="S5.p1.4.m4.1.1.2.1" xref="S5.p1.4.m4.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S5.p1.4.m4.1.1.3" xref="S5.p1.4.m4.1.1.3.cmml">a</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p1.4.m4.1b"><apply id="S5.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S5.p1.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S5.p1.4.m4.1.1">subscript</csymbol><apply id="S5.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S5.p1.4.m4.1.1.2"><ci id="S5.p1.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p1.4.m4.1.1.2.1">^</ci><ci id="S5.p1.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p1.4.m4.1.1.2.2">𝒔</ci></apply><ci id="S5.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S5.p1.4.m4.1.1.3">𝑎</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p1.4.m4.1c">\hat{\bm{s}}_{a}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p1.4.m4.1d">over^ start_ARG bold_italic_s end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. As performance index we make use of the mode match rate, defined as:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex53"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_left"><math alttext="L_{\text{mr}}=\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}\iota(s_{c}(t),\hat{s}_{c}(t))," class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex53.m1.3"><semantics id="S5.Ex53.m1.3a"><mrow id="S5.Ex53.m1.3.3.1" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.4" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.4.cmml"><mi id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.4.2" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.4.2.cmml">L</mi><mtext id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.4.3" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.4.3a.cmml">mr</mtext></msub><mo id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.3" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mfrac id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.4" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.4.cmml"><mn id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.4.2" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.4.2.cmml">1</mn><mi id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.4.3" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.4.3.cmml">T</mi></mfrac><mo id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.3" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.2.cmml"><munderover id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.2" movablelimits="false" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.3" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.3.2" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.3.1" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.3.3" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.2.3.3" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.cmml">T</mi></munderover><mrow id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.2.2.4" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.2.2.4.cmml">ι</mi><mo id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.2.2.3" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">s</mi><mi id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S5.Ex53.m1.1.1" xref="S5.Ex53.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.4" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml"><msub id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">s</mi><mo id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.1" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S5.Ex53.m1.2.2" xref="S5.Ex53.m1.2.2.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex53.m1.3.3.1.2" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex53.m1.3b"><apply id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1"><eq id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.3"></eq><apply id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.4.cmml" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.4.1.cmml" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.4.2.cmml" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.4.2">𝐿</ci><ci id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.4.3a.cmml" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.4.3"><mtext id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.4.3.cmml" mathsize="70%" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.4.3">mr</mtext></ci></apply><apply id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2"><times id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.3"></times><apply id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.4.cmml" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.4"><divide id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.4.1.cmml" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.4"></divide><cn id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.4.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.4.2">1</cn><ci id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.4.3.cmml" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.4.3">𝑇</ci></apply><apply id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.2"><apply id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex53.m1.3.3.1.1.2.2.3.1.cmml" 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end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_T end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT italic_ι ( italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) , over^ start_ARG italic_s end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.p1.8">where <math alttext="\iota(\cdot,\cdot)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p1.5.m1.2"><semantics id="S5.p1.5.m1.2a"><mrow id="S5.p1.5.m1.2.3" xref="S5.p1.5.m1.2.3.cmml"><mi id="S5.p1.5.m1.2.3.2" xref="S5.p1.5.m1.2.3.2.cmml">ι</mi><mo id="S5.p1.5.m1.2.3.1" xref="S5.p1.5.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.p1.5.m1.2.3.3.2" xref="S5.p1.5.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S5.p1.5.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.p1.5.m1.2.3.3.1.cmml">(</mo><mo id="S5.p1.5.m1.1.1" lspace="0em" rspace="0em" 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indicator function, i.e., <math alttext="\iota(s_{c}(t),\hat{s}_{c}(t))=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p1.6.m2.4"><semantics id="S5.p1.6.m2.4a"><mrow id="S5.p1.6.m2.4.4" xref="S5.p1.6.m2.4.4.cmml"><mrow id="S5.p1.6.m2.4.4.2" xref="S5.p1.6.m2.4.4.2.cmml"><mi id="S5.p1.6.m2.4.4.2.4" xref="S5.p1.6.m2.4.4.2.4.cmml">ι</mi><mo id="S5.p1.6.m2.4.4.2.3" xref="S5.p1.6.m2.4.4.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.p1.6.m2.4.4.2.2.2" xref="S5.p1.6.m2.4.4.2.2.3.cmml"><mo id="S5.p1.6.m2.4.4.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S5.p1.6.m2.4.4.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S5.p1.6.m2.3.3.1.1.1.1" xref="S5.p1.6.m2.3.3.1.1.1.1.cmml"><msub id="S5.p1.6.m2.3.3.1.1.1.1.2" xref="S5.p1.6.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.p1.6.m2.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S5.p1.6.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">s</mi><mi id="S5.p1.6.m2.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="S5.p1.6.m2.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S5.p1.6.m2.3.3.1.1.1.1.1" xref="S5.p1.6.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.p1.6.m2.3.3.1.1.1.1.3.2" 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id="S5.p1.6.m2.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p1.6.m2.3.3.1.1.1.1"><times id="S5.p1.6.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p1.6.m2.3.3.1.1.1.1.1"></times><apply id="S5.p1.6.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p1.6.m2.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.6.m2.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p1.6.m2.3.3.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p1.6.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p1.6.m2.3.3.1.1.1.1.2.2">𝑠</ci><ci id="S5.p1.6.m2.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.p1.6.m2.3.3.1.1.1.1.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="S5.p1.6.m2.1.1.cmml" xref="S5.p1.6.m2.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="S5.p1.6.m2.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S5.p1.6.m2.4.4.2.2.2.2"><times id="S5.p1.6.m2.4.4.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.p1.6.m2.4.4.2.2.2.2.1"></times><apply id="S5.p1.6.m2.4.4.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.p1.6.m2.4.4.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.6.m2.4.4.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.p1.6.m2.4.4.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S5.p1.6.m2.4.4.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.p1.6.m2.4.4.2.2.2.2.2.2"><ci id="S5.p1.6.m2.4.4.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.p1.6.m2.4.4.2.2.2.2.2.2.1">^</ci><ci id="S5.p1.6.m2.4.4.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.p1.6.m2.4.4.2.2.2.2.2.2.2">𝑠</ci></apply><ci id="S5.p1.6.m2.4.4.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.p1.6.m2.4.4.2.2.2.2.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="S5.p1.6.m2.2.2.cmml" xref="S5.p1.6.m2.2.2">𝑡</ci></apply></interval></apply><cn id="S5.p1.6.m2.4.4.4.cmml" type="integer" xref="S5.p1.6.m2.4.4.4">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p1.6.m2.4c">\iota(s_{c}(t),\hat{s}_{c}(t))=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p1.6.m2.4d">italic_ι ( italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) , over^ start_ARG italic_s end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ) = 1</annotation></semantics></math> if <math alttext="s_{c}(t)=\hat{s}_{c}(t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p1.7.m3.2"><semantics id="S5.p1.7.m3.2a"><mrow id="S5.p1.7.m3.2.3" xref="S5.p1.7.m3.2.3.cmml"><mrow id="S5.p1.7.m3.2.3.2" xref="S5.p1.7.m3.2.3.2.cmml"><msub id="S5.p1.7.m3.2.3.2.2" xref="S5.p1.7.m3.2.3.2.2.cmml"><mi id="S5.p1.7.m3.2.3.2.2.2" xref="S5.p1.7.m3.2.3.2.2.2.cmml">s</mi><mi id="S5.p1.7.m3.2.3.2.2.3" xref="S5.p1.7.m3.2.3.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S5.p1.7.m3.2.3.2.1" xref="S5.p1.7.m3.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.p1.7.m3.2.3.2.3.2" xref="S5.p1.7.m3.2.3.2.cmml"><mo id="S5.p1.7.m3.2.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.p1.7.m3.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="S5.p1.7.m3.1.1" xref="S5.p1.7.m3.1.1.cmml">t</mi><mo id="S5.p1.7.m3.2.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.p1.7.m3.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.p1.7.m3.2.3.1" xref="S5.p1.7.m3.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.p1.7.m3.2.3.3" xref="S5.p1.7.m3.2.3.3.cmml"><msub id="S5.p1.7.m3.2.3.3.2" xref="S5.p1.7.m3.2.3.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S5.p1.7.m3.2.3.3.2.2" xref="S5.p1.7.m3.2.3.3.2.2.cmml"><mi id="S5.p1.7.m3.2.3.3.2.2.2" xref="S5.p1.7.m3.2.3.3.2.2.2.cmml">s</mi><mo id="S5.p1.7.m3.2.3.3.2.2.1" xref="S5.p1.7.m3.2.3.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S5.p1.7.m3.2.3.3.2.3" xref="S5.p1.7.m3.2.3.3.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S5.p1.7.m3.2.3.3.1" xref="S5.p1.7.m3.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.p1.7.m3.2.3.3.3.2" xref="S5.p1.7.m3.2.3.3.cmml"><mo id="S5.p1.7.m3.2.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.p1.7.m3.2.3.3.cmml">(</mo><mi id="S5.p1.7.m3.2.2" xref="S5.p1.7.m3.2.2.cmml">t</mi><mo id="S5.p1.7.m3.2.3.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.p1.7.m3.2.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p1.7.m3.2b"><apply id="S5.p1.7.m3.2.3.cmml" xref="S5.p1.7.m3.2.3"><eq id="S5.p1.7.m3.2.3.1.cmml" xref="S5.p1.7.m3.2.3.1"></eq><apply id="S5.p1.7.m3.2.3.2.cmml" xref="S5.p1.7.m3.2.3.2"><times id="S5.p1.7.m3.2.3.2.1.cmml" xref="S5.p1.7.m3.2.3.2.1"></times><apply id="S5.p1.7.m3.2.3.2.2.cmml" xref="S5.p1.7.m3.2.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.7.m3.2.3.2.2.1.cmml" xref="S5.p1.7.m3.2.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p1.7.m3.2.3.2.2.2.cmml" xref="S5.p1.7.m3.2.3.2.2.2">𝑠</ci><ci id="S5.p1.7.m3.2.3.2.2.3.cmml" xref="S5.p1.7.m3.2.3.2.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="S5.p1.7.m3.1.1.cmml" xref="S5.p1.7.m3.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="S5.p1.7.m3.2.3.3.cmml" xref="S5.p1.7.m3.2.3.3"><times id="S5.p1.7.m3.2.3.3.1.cmml" xref="S5.p1.7.m3.2.3.3.1"></times><apply id="S5.p1.7.m3.2.3.3.2.cmml" xref="S5.p1.7.m3.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.7.m3.2.3.3.2.1.cmml" xref="S5.p1.7.m3.2.3.3.2">subscript</csymbol><apply id="S5.p1.7.m3.2.3.3.2.2.cmml" xref="S5.p1.7.m3.2.3.3.2.2"><ci id="S5.p1.7.m3.2.3.3.2.2.1.cmml" xref="S5.p1.7.m3.2.3.3.2.2.1">^</ci><ci id="S5.p1.7.m3.2.3.3.2.2.2.cmml" xref="S5.p1.7.m3.2.3.3.2.2.2">𝑠</ci></apply><ci id="S5.p1.7.m3.2.3.3.2.3.cmml" xref="S5.p1.7.m3.2.3.3.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="S5.p1.7.m3.2.2.cmml" xref="S5.p1.7.m3.2.2">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p1.7.m3.2c">s_{c}(t)=\hat{s}_{c}(t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p1.7.m3.2d">italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) = over^ start_ARG italic_s end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t )</annotation></semantics></math>, <math alttext="0" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p1.8.m4.1"><semantics id="S5.p1.8.m4.1a"><mn id="S5.p1.8.m4.1.1" xref="S5.p1.8.m4.1.1.cmml">0</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p1.8.m4.1b"><cn id="S5.p1.8.m4.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.p1.8.m4.1.1">0</cn></annotation-xml></semantics></math> otherwise.</p> </div> <section class="ltx_subsection" id="S5.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">5.1 </span>Example 1: Academic NCS-RSM</h3> <div class="ltx_para" id="S5.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S5.SS1.p1.4">For illustrative purposes, we start by considering a simple non-causal system described in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S2.E1" title="In 2.1 System model description ‣ 2 Mathematical formulation ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>) with <math alttext="m_{c}=m_{a}=2" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p1.1.m1.1"><semantics id="S5.SS1.p1.1.m1.1a"><mrow id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.2" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.2.2" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml">m</mi><mi id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.2.3" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.3" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.3.cmml">=</mo><msub id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.4" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.4.cmml"><mi id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.4.2" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.4.2.cmml">m</mi><mi id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.4.3" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.4.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.5" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.5.cmml">=</mo><mn id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.6" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.6.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p1.1.m1.1b"><apply id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1"><and id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1a.cmml" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1"></and><apply id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1b.cmml" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1"><eq id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.3"></eq><apply id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.2.2">𝑚</ci><ci id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.2.3">𝑐</ci></apply><apply id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.4.cmml" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.4.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.4.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.4.2">𝑚</ci><ci id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.4.3.cmml" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.4.3">𝑎</ci></apply></apply><apply id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1c.cmml" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1"><eq id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.5.cmml" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S5.SS1.p1.1.m1.1.1.4.cmml" id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1d.cmml" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1"></share><cn id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.6.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.6">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p1.1.m1.1c">m_{c}=m_{a}=2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p1.1.m1.1d">italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT = italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT = 2</annotation></semantics></math> modes and main parameters reported in Table <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S5.T1" title="Table 1 ‣ 5.1 Example 1: Academic NCS-RSM ‣ 5 Numerical examples ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> (refer to the “True” columns). The dimensions of the outputs, causal states, and non-causal states are <math alttext="n_{y}=1,n_{x_{c}}=n_{x_{a}}=2" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p1.2.m2.2"><semantics id="S5.SS1.p1.2.m2.2a"><mrow id="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2" xref="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.3.cmml"><mrow id="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1" xref="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml"><msub id="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.2" xref="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.2" xref="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.2.cmml">n</mi><mi id="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.3" xref="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.3.cmml">y</mi></msub><mo id="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.3" xref="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.3" xref="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2" xref="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.cmml"><msub id="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.2" xref="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.2" xref="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.2.cmml">n</mi><msub id="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3" xref="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3.2" xref="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">x</mi><mi id="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3.3" xref="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">c</mi></msub></msub><mo id="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.3" xref="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.3.cmml">=</mo><msub id="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.4" xref="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.4.cmml"><mi id="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.4.2" xref="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.4.2.cmml">n</mi><msub id="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.4.3" xref="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.4.3.cmml"><mi id="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.4.3.2" xref="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.4.3.2.cmml">x</mi><mi id="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.4.3.3" xref="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.4.3.3.cmml">a</mi></msub></msub><mo id="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.5" xref="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.5.cmml">=</mo><mn id="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.6" xref="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.6.cmml">2</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p1.2.m2.2b"><apply id="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.3.cmml" xref="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.3a.cmml" xref="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1"><eq id="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.2">𝑛</ci><ci id="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.3">𝑦</ci></apply><cn id="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2"><and id="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2a.cmml" xref="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2"></and><apply id="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2b.cmml" xref="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2"><eq id="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.3"></eq><apply id="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.2">𝑛</ci><apply id="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3.2">𝑥</ci><ci id="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3.3">𝑐</ci></apply></apply><apply id="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.4.cmml" xref="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.4.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.4.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.4.2">𝑛</ci><apply id="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.4.3.cmml" xref="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.4.3.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.4.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.4.3.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.4.3.2">𝑥</ci><ci id="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.4.3.3.cmml" xref="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.4.3.3">𝑎</ci></apply></apply></apply><apply id="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2c.cmml" xref="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2"><eq id="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.5.cmml" xref="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.4.cmml" id="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2d.cmml" xref="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2"></share><cn id="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.6.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.6">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p1.2.m2.2c">n_{y}=1,n_{x_{c}}=n_{x_{a}}=2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p1.2.m2.2d">italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_y end_POSTSUBSCRIPT = 1 , italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT = italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT = 2</annotation></semantics></math>. The probabilities of all modes are <math alttext="\pi^{c}_{1}=0.7,\pi^{c}_{2}=0.3,\pi^{a}_{1}=\pi^{a}_{2}=0.5" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p1.3.m3.2"><semantics id="S5.SS1.p1.3.m3.2a"><mrow id="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2" xref="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.3.cmml"><mrow id="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.1.1" xref="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.1.1.2" xref="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.1.1.2.2.2.cmml">π</mi><mn id="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.1.1.2.3" xref="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn><mi id="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.1.1.2.2.3.cmml">c</mi></msubsup><mo id="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.1.1.1" xref="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.1.1.3" xref="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.1.1.3.cmml">0.7</mn></mrow><mo id="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.3" xref="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2" xref="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.3.cmml"><mrow id="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.1" xref="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.1.cmml"><msubsup id="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.1.2" xref="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.1.2.2.2" xref="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.1.2.2.2.cmml">π</mi><mn id="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.1.2.3" xref="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml">2</mn><mi id="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.1.2.2.3" xref="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.1.2.2.3.cmml">c</mi></msubsup><mo id="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.1.1" xref="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.1.3" xref="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.1.3.cmml">0.3</mn></mrow><mo id="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.3" xref="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2" xref="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.cmml"><msubsup id="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.2" xref="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">π</mi><mn id="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">1</mn><mi id="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">a</mi></msubsup><mo id="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.3" xref="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.3.cmml">=</mo><msubsup id="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.4" xref="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.4.cmml"><mi id="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.4.2.2" xref="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.4.2.2.cmml">π</mi><mn id="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.4.3" xref="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.4.3.cmml">2</mn><mi id="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.4.2.3" xref="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.4.2.3.cmml">a</mi></msubsup><mo id="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.5" xref="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.5.cmml">=</mo><mn id="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.6" xref="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.6.cmml">0.5</mn></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p1.3.m3.2b"><apply id="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.3.cmml" xref="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.3a.cmml" xref="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.1.1"><eq id="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.1.1.2.2.2">𝜋</ci><ci id="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.1.1.2.2.3">𝑐</ci></apply><cn id="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><cn id="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.1.1.3.cmml" type="float" xref="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.1.1.3">0.7</cn></apply><apply id="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.3a.cmml" xref="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.1"><eq id="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.1.1"></eq><apply id="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.1.2.2.2">𝜋</ci><ci id="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.1.2.2.3">𝑐</ci></apply><cn id="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.1.2.3">2</cn></apply><cn id="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.1.3.cmml" type="float" xref="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.1.3">0.3</cn></apply><apply id="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2"><and id="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2a.cmml" xref="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2"></and><apply id="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2b.cmml" xref="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2"><eq id="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.3"></eq><apply id="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.2.2">𝜋</ci><ci id="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.2.3">𝑎</ci></apply><cn id="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.3">1</cn></apply><apply id="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.4.cmml" xref="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.4.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.4">subscript</csymbol><apply id="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.4.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.4.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.4">superscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.4.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.4.2.2">𝜋</ci><ci id="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.4.2.3.cmml" xref="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.4.2.3">𝑎</ci></apply><cn id="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.4.3">2</cn></apply></apply><apply id="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2c.cmml" xref="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2"><eq id="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.5.cmml" xref="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.4.cmml" id="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2d.cmml" xref="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2"></share><cn id="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.6.cmml" type="float" xref="S5.SS1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.6">0.5</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p1.3.m3.2c">\pi^{c}_{1}=0.7,\pi^{c}_{2}=0.3,\pi^{a}_{1}=\pi^{a}_{2}=0.5</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p1.3.m3.2d">italic_π start_POSTSUPERSCRIPT italic_c end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = 0.7 , italic_π start_POSTSUPERSCRIPT italic_c end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT = 0.3 , italic_π start_POSTSUPERSCRIPT italic_a end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = italic_π start_POSTSUPERSCRIPT italic_a end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT = 0.5</annotation></semantics></math>. The system is excited with white noise with zero mean and finite variance, and the data length is <math alttext="T=10^{4}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p1.4.m4.1"><semantics id="S5.SS1.p1.4.m4.1a"><mrow id="S5.SS1.p1.4.m4.1.1" xref="S5.SS1.p1.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S5.SS1.p1.4.m4.1.1.2" xref="S5.SS1.p1.4.m4.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S5.SS1.p1.4.m4.1.1.1" xref="S5.SS1.p1.4.m4.1.1.1.cmml">=</mo><msup id="S5.SS1.p1.4.m4.1.1.3" xref="S5.SS1.p1.4.m4.1.1.3.cmml"><mn id="S5.SS1.p1.4.m4.1.1.3.2" xref="S5.SS1.p1.4.m4.1.1.3.2.cmml">10</mn><mn id="S5.SS1.p1.4.m4.1.1.3.3" xref="S5.SS1.p1.4.m4.1.1.3.3.cmml">4</mn></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p1.4.m4.1b"><apply id="S5.SS1.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.4.m4.1.1"><eq id="S5.SS1.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.4.m4.1.1.1"></eq><ci id="S5.SS1.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.4.m4.1.1.2">𝑇</ci><apply id="S5.SS1.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.p1.4.m4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p1.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.4.m4.1.1.3">superscript</csymbol><cn id="S5.SS1.p1.4.m4.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p1.4.m4.1.1.3.2">10</cn><cn id="S5.SS1.p1.4.m4.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p1.4.m4.1.1.3.3">4</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p1.4.m4.1c">T=10^{4}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p1.4.m4.1d">italic_T = 10 start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.SS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S5.SS1.p2.8">The true and estimated parameters are reported in Table <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S5.T1" title="Table 1 ‣ 5.1 Example 1: Academic NCS-RSM ‣ 5 Numerical examples ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>, which clearly shows that the parameter estimates are very close to their true values. In Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S5.F1" title="Figure 1 ‣ 5.1 Example 1: Academic NCS-RSM ‣ 5 Numerical examples ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> we report the partial estimation of the switching sequences <math alttext="\bm{s}_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p2.1.m1.1"><semantics id="S5.SS1.p2.1.m1.1a"><msub id="S5.SS1.p2.1.m1.1.1" xref="S5.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS1.p2.1.m1.1.1.2" xref="S5.SS1.p2.1.m1.1.1.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S5.SS1.p2.1.m1.1.1.3" xref="S5.SS1.p2.1.m1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p2.1.m1.1b"><apply id="S5.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p2.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p2.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p2.1.m1.1.1.2">𝒔</ci><ci id="S5.SS1.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.p2.1.m1.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p2.1.m1.1c">\bm{s}_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p2.1.m1.1d">bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\bm{s}_{a}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p2.2.m2.1"><semantics id="S5.SS1.p2.2.m2.1a"><msub id="S5.SS1.p2.2.m2.1.1" xref="S5.SS1.p2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.SS1.p2.2.m2.1.1.2" xref="S5.SS1.p2.2.m2.1.1.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S5.SS1.p2.2.m2.1.1.3" xref="S5.SS1.p2.2.m2.1.1.3.cmml">a</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p2.2.m2.1b"><apply id="S5.SS1.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p2.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p2.2.m2.1.1.2">𝒔</ci><ci id="S5.SS1.p2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.p2.2.m2.1.1.3">𝑎</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p2.2.m2.1c">\bm{s}_{a}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p2.2.m2.1d">bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, where the mode match rates are <math alttext="97.4\%" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p2.3.m3.1"><semantics id="S5.SS1.p2.3.m3.1a"><mrow id="S5.SS1.p2.3.m3.1.1" xref="S5.SS1.p2.3.m3.1.1.cmml"><mn id="S5.SS1.p2.3.m3.1.1.2" xref="S5.SS1.p2.3.m3.1.1.2.cmml">97.4</mn><mo id="S5.SS1.p2.3.m3.1.1.1" xref="S5.SS1.p2.3.m3.1.1.1.cmml">%</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p2.3.m3.1b"><apply id="S5.SS1.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p2.3.m3.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.SS1.p2.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p2.3.m3.1.1.1">percent</csymbol><cn id="S5.SS1.p2.3.m3.1.1.2.cmml" type="float" xref="S5.SS1.p2.3.m3.1.1.2">97.4</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p2.3.m3.1c">97.4\%</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p2.3.m3.1d">97.4 %</annotation></semantics></math> and <math alttext="99.2\%" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p2.4.m4.1"><semantics id="S5.SS1.p2.4.m4.1a"><mrow id="S5.SS1.p2.4.m4.1.1" xref="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.cmml"><mn id="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.2" xref="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.2.cmml">99.2</mn><mo id="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.1" xref="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.1.cmml">%</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p2.4.m4.1b"><apply id="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p2.4.m4.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.1">percent</csymbol><cn id="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.2.cmml" type="float" xref="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.2">99.2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p2.4.m4.1c">99.2\%</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p2.4.m4.1d">99.2 %</annotation></semantics></math>, respectively. Note that our method achieves an accurate parameter estimate, since each data point can be accurately assigned to the corresponding mode. To better validate the accuracy of the proposed algorithm in parameter estimation, Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S5.F2" title="Figure 2 ‣ 5.1 Example 1: Academic NCS-RSM ‣ 5 Numerical examples ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a> illustrates the estimated states using the modified KF. The relative estimation errors, defined as <math alttext="\delta_{c}=\|x_{c}-\hat{x}_{c}\|^{2}/\|x_{c}\|^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p2.5.m5.2"><semantics id="S5.SS1.p2.5.m5.2a"><mrow id="S5.SS1.p2.5.m5.2.2" xref="S5.SS1.p2.5.m5.2.2.cmml"><msub id="S5.SS1.p2.5.m5.2.2.4" xref="S5.SS1.p2.5.m5.2.2.4.cmml"><mi id="S5.SS1.p2.5.m5.2.2.4.2" xref="S5.SS1.p2.5.m5.2.2.4.2.cmml">δ</mi><mi id="S5.SS1.p2.5.m5.2.2.4.3" xref="S5.SS1.p2.5.m5.2.2.4.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S5.SS1.p2.5.m5.2.2.3" xref="S5.SS1.p2.5.m5.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS1.p2.5.m5.2.2.2" xref="S5.SS1.p2.5.m5.2.2.2.cmml"><msup id="S5.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1" xref="S5.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1" xref="S5.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S5.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S5.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mi id="S5.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S5.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S5.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">x</mi><mo id="S5.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S5.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">c</mi></msub></mrow><mo id="S5.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="S5.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.3" xref="S5.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.SS1.p2.5.m5.2.2.2.3" xref="S5.SS1.p2.5.m5.2.2.2.3.cmml">/</mo><msup id="S5.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2" xref="S5.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S5.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.1.1" xref="S5.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S5.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S5.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.1.1.1" xref="S5.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S5.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="S5.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S5.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S5.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="S5.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.3" xref="S5.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p2.5.m5.2b"><apply id="S5.SS1.p2.5.m5.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p2.5.m5.2.2"><eq id="S5.SS1.p2.5.m5.2.2.3.cmml" xref="S5.SS1.p2.5.m5.2.2.3"></eq><apply id="S5.SS1.p2.5.m5.2.2.4.cmml" xref="S5.SS1.p2.5.m5.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p2.5.m5.2.2.4.1.cmml" xref="S5.SS1.p2.5.m5.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p2.5.m5.2.2.4.2.cmml" xref="S5.SS1.p2.5.m5.2.2.4.2">𝛿</ci><ci id="S5.SS1.p2.5.m5.2.2.4.3.cmml" xref="S5.SS1.p2.5.m5.2.2.4.3">𝑐</ci></apply><apply id="S5.SS1.p2.5.m5.2.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p2.5.m5.2.2.2"><divide id="S5.SS1.p2.5.m5.2.2.2.3.cmml" xref="S5.SS1.p2.5.m5.2.2.2.3"></divide><apply id="S5.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S5.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S5.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S5.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑥</ci><ci id="S5.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑐</ci></apply><apply id="S5.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S5.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="S5.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1">^</ci><ci id="S5.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑥</ci></apply><ci id="S5.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑐</ci></apply></apply></apply><cn id="S5.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="S5.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S5.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.1.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S5.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S5.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.1.1.1.3">𝑐</ci></apply></apply><cn id="S5.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p2.5.m5.2c">\delta_{c}=\|x_{c}-\hat{x}_{c}\|^{2}/\|x_{c}\|^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p2.5.m5.2d">italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT = ∥ italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT - over^ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT / ∥ italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> (<math alttext="\delta_{a}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p2.6.m6.1"><semantics id="S5.SS1.p2.6.m6.1a"><msub id="S5.SS1.p2.6.m6.1.1" xref="S5.SS1.p2.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S5.SS1.p2.6.m6.1.1.2" xref="S5.SS1.p2.6.m6.1.1.2.cmml">δ</mi><mi id="S5.SS1.p2.6.m6.1.1.3" xref="S5.SS1.p2.6.m6.1.1.3.cmml">a</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p2.6.m6.1b"><apply id="S5.SS1.p2.6.m6.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p2.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p2.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p2.6.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p2.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p2.6.m6.1.1.2">𝛿</ci><ci id="S5.SS1.p2.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.p2.6.m6.1.1.3">𝑎</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p2.6.m6.1c">\delta_{a}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p2.6.m6.1d">italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> has the same structure), are <math alttext="\delta_{c}=3.74\%" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p2.7.m7.1"><semantics id="S5.SS1.p2.7.m7.1a"><mrow id="S5.SS1.p2.7.m7.1.1" xref="S5.SS1.p2.7.m7.1.1.cmml"><msub id="S5.SS1.p2.7.m7.1.1.2" xref="S5.SS1.p2.7.m7.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS1.p2.7.m7.1.1.2.2" xref="S5.SS1.p2.7.m7.1.1.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S5.SS1.p2.7.m7.1.1.2.3" xref="S5.SS1.p2.7.m7.1.1.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S5.SS1.p2.7.m7.1.1.1" xref="S5.SS1.p2.7.m7.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS1.p2.7.m7.1.1.3" xref="S5.SS1.p2.7.m7.1.1.3.cmml"><mn id="S5.SS1.p2.7.m7.1.1.3.2" xref="S5.SS1.p2.7.m7.1.1.3.2.cmml">3.74</mn><mo id="S5.SS1.p2.7.m7.1.1.3.1" xref="S5.SS1.p2.7.m7.1.1.3.1.cmml">%</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p2.7.m7.1b"><apply id="S5.SS1.p2.7.m7.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p2.7.m7.1.1"><eq id="S5.SS1.p2.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p2.7.m7.1.1.1"></eq><apply id="S5.SS1.p2.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p2.7.m7.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p2.7.m7.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p2.7.m7.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p2.7.m7.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p2.7.m7.1.1.2.2">𝛿</ci><ci id="S5.SS1.p2.7.m7.1.1.2.3.cmml" xref="S5.SS1.p2.7.m7.1.1.2.3">𝑐</ci></apply><apply id="S5.SS1.p2.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.p2.7.m7.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S5.SS1.p2.7.m7.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS1.p2.7.m7.1.1.3.1">percent</csymbol><cn id="S5.SS1.p2.7.m7.1.1.3.2.cmml" type="float" xref="S5.SS1.p2.7.m7.1.1.3.2">3.74</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p2.7.m7.1c">\delta_{c}=3.74\%</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p2.7.m7.1d">italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT = 3.74 %</annotation></semantics></math> and <math alttext="\delta_{a}=3.14\%" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p2.8.m8.1"><semantics id="S5.SS1.p2.8.m8.1a"><mrow id="S5.SS1.p2.8.m8.1.1" xref="S5.SS1.p2.8.m8.1.1.cmml"><msub id="S5.SS1.p2.8.m8.1.1.2" xref="S5.SS1.p2.8.m8.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS1.p2.8.m8.1.1.2.2" xref="S5.SS1.p2.8.m8.1.1.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S5.SS1.p2.8.m8.1.1.2.3" xref="S5.SS1.p2.8.m8.1.1.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S5.SS1.p2.8.m8.1.1.1" xref="S5.SS1.p2.8.m8.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS1.p2.8.m8.1.1.3" xref="S5.SS1.p2.8.m8.1.1.3.cmml"><mn id="S5.SS1.p2.8.m8.1.1.3.2" xref="S5.SS1.p2.8.m8.1.1.3.2.cmml">3.14</mn><mo id="S5.SS1.p2.8.m8.1.1.3.1" xref="S5.SS1.p2.8.m8.1.1.3.1.cmml">%</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p2.8.m8.1b"><apply id="S5.SS1.p2.8.m8.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p2.8.m8.1.1"><eq id="S5.SS1.p2.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p2.8.m8.1.1.1"></eq><apply id="S5.SS1.p2.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p2.8.m8.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p2.8.m8.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p2.8.m8.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p2.8.m8.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p2.8.m8.1.1.2.2">𝛿</ci><ci id="S5.SS1.p2.8.m8.1.1.2.3.cmml" xref="S5.SS1.p2.8.m8.1.1.2.3">𝑎</ci></apply><apply id="S5.SS1.p2.8.m8.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.p2.8.m8.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S5.SS1.p2.8.m8.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS1.p2.8.m8.1.1.3.1">percent</csymbol><cn id="S5.SS1.p2.8.m8.1.1.3.2.cmml" type="float" xref="S5.SS1.p2.8.m8.1.1.3.2">3.14</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p2.8.m8.1c">\delta_{a}=3.14\%</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p2.8.m8.1d">italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT = 3.14 %</annotation></semantics></math>, respectively.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S5.F1"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="664" id="S5.F1.g1" src="x1.png" width="885"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F1.4.2.1" style="font-size:90%;">Figure 1</span>: </span><span class="ltx_text" id="S5.F1.2.1" style="font-size:90%;">The true (blue cross) and estimated (red circle) mode sequences over a certain time window of length <math alttext="100" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F1.2.1.m1.1"><semantics id="S5.F1.2.1.m1.1b"><mn id="S5.F1.2.1.m1.1.1" xref="S5.F1.2.1.m1.1.1.cmml">100</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F1.2.1.m1.1c"><cn id="S5.F1.2.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.F1.2.1.m1.1.1">100</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F1.2.1.m1.1d">100</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F1.2.1.m1.1e">100</annotation></semantics></math>.</span></figcaption> </figure> <figure class="ltx_figure" id="S5.F2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="664" id="S5.F2.g1" src="x2.png" width="885"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F2.10.5.1" style="font-size:90%;">Figure 2</span>: </span><span class="ltx_text" id="S5.F2.8.4" style="font-size:90%;">Dynamical evolution of the true state variables <math alttext="\bm{x}_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F2.5.1.m1.1"><semantics id="S5.F2.5.1.m1.1b"><msub id="S5.F2.5.1.m1.1.1" xref="S5.F2.5.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.F2.5.1.m1.1.1.2" xref="S5.F2.5.1.m1.1.1.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S5.F2.5.1.m1.1.1.3" xref="S5.F2.5.1.m1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F2.5.1.m1.1c"><apply id="S5.F2.5.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.F2.5.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.F2.5.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.F2.5.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.F2.5.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.F2.5.1.m1.1.1.2">𝒙</ci><ci id="S5.F2.5.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.F2.5.1.m1.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F2.5.1.m1.1d">\bm{x}_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F2.5.1.m1.1e">bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\bm{x}_{a}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F2.6.2.m2.1"><semantics id="S5.F2.6.2.m2.1b"><msub id="S5.F2.6.2.m2.1.1" xref="S5.F2.6.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.F2.6.2.m2.1.1.2" xref="S5.F2.6.2.m2.1.1.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S5.F2.6.2.m2.1.1.3" xref="S5.F2.6.2.m2.1.1.3.cmml">a</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F2.6.2.m2.1c"><apply id="S5.F2.6.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.F2.6.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.F2.6.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.F2.6.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.F2.6.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.F2.6.2.m2.1.1.2">𝒙</ci><ci id="S5.F2.6.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.F2.6.2.m2.1.1.3">𝑎</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F2.6.2.m2.1d">\bm{x}_{a}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F2.6.2.m2.1e">bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> (solid blue line), and of the estimated ones <math alttext="\hat{\bm{x}}_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F2.7.3.m3.1"><semantics id="S5.F2.7.3.m3.1b"><msub id="S5.F2.7.3.m3.1.1" xref="S5.F2.7.3.m3.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S5.F2.7.3.m3.1.1.2" xref="S5.F2.7.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S5.F2.7.3.m3.1.1.2.2" xref="S5.F2.7.3.m3.1.1.2.2.cmml">𝒙</mi><mo id="S5.F2.7.3.m3.1.1.2.1" xref="S5.F2.7.3.m3.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S5.F2.7.3.m3.1.1.3" xref="S5.F2.7.3.m3.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F2.7.3.m3.1c"><apply id="S5.F2.7.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.F2.7.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.F2.7.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.F2.7.3.m3.1.1">subscript</csymbol><apply id="S5.F2.7.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.F2.7.3.m3.1.1.2"><ci id="S5.F2.7.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S5.F2.7.3.m3.1.1.2.1">^</ci><ci id="S5.F2.7.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S5.F2.7.3.m3.1.1.2.2">𝒙</ci></apply><ci id="S5.F2.7.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S5.F2.7.3.m3.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F2.7.3.m3.1d">\hat{\bm{x}}_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F2.7.3.m3.1e">over^ start_ARG bold_italic_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, and <math alttext="\hat{\bm{x}}_{a}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F2.8.4.m4.1"><semantics id="S5.F2.8.4.m4.1b"><msub id="S5.F2.8.4.m4.1.1" xref="S5.F2.8.4.m4.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S5.F2.8.4.m4.1.1.2" xref="S5.F2.8.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S5.F2.8.4.m4.1.1.2.2" xref="S5.F2.8.4.m4.1.1.2.2.cmml">𝒙</mi><mo id="S5.F2.8.4.m4.1.1.2.1" xref="S5.F2.8.4.m4.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S5.F2.8.4.m4.1.1.3" xref="S5.F2.8.4.m4.1.1.3.cmml">a</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F2.8.4.m4.1c"><apply id="S5.F2.8.4.m4.1.1.cmml" xref="S5.F2.8.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.F2.8.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S5.F2.8.4.m4.1.1">subscript</csymbol><apply id="S5.F2.8.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S5.F2.8.4.m4.1.1.2"><ci id="S5.F2.8.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S5.F2.8.4.m4.1.1.2.1">^</ci><ci id="S5.F2.8.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S5.F2.8.4.m4.1.1.2.2">𝒙</ci></apply><ci id="S5.F2.8.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S5.F2.8.4.m4.1.1.3">𝑎</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F2.8.4.m4.1d">\hat{\bm{x}}_{a}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F2.8.4.m4.1e">over^ start_ARG bold_italic_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> (dashed red lines).</span></figcaption> </figure> <figure class="ltx_table" id="S5.T1"> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_table"><span class="ltx_text" id="S5.T1.43.1.1" style="font-size:90%;">Table 1</span>: </span><span class="ltx_text" id="S5.T1.44.2" style="font-size:90%;">The true and estimated system parameters</span></figcaption> <table class="ltx_tabular ltx_centering ltx_align_middle" id="S5.T1.41"> <tbody class="ltx_tbody"> <tr class="ltx_tr" id="S5.T1.41.42.1"> <td class="ltx_td ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S5.T1.41.42.1.1" style="padding-top:1pt;padding-bottom:1pt;"></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S5.T1.41.42.1.2" style="padding-top:1pt;padding-bottom:1pt;">True</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S5.T1.41.42.1.3" style="padding-top:1pt;padding-bottom:1pt;">Estimate</td> <td class="ltx_td ltx_border_r ltx_border_t" id="S5.T1.41.42.1.4" style="padding-top:1pt;padding-bottom:1pt;"></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S5.T1.41.42.1.5" style="padding-top:1pt;padding-bottom:1pt;">True</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S5.T1.41.42.1.6" style="padding-top:1pt;padding-bottom:1pt;">Estimate</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S5.T1.6.6"> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S5.T1.1.1.1" style="padding-top:1pt;padding-bottom:1pt;"><math alttext="A_{a}(1)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S5.T1.1.1.1.m1.1a"><mrow id="S5.T1.1.1.1.m1.1.2" xref="S5.T1.1.1.1.m1.1.2.cmml"><msub id="S5.T1.1.1.1.m1.1.2.2" xref="S5.T1.1.1.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.T1.1.1.1.m1.1.2.2.2" xref="S5.T1.1.1.1.m1.1.2.2.2.cmml">A</mi><mi id="S5.T1.1.1.1.m1.1.2.2.3" xref="S5.T1.1.1.1.m1.1.2.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S5.T1.1.1.1.m1.1.2.1" xref="S5.T1.1.1.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.T1.1.1.1.m1.1.2.3.2" xref="S5.T1.1.1.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S5.T1.1.1.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.T1.1.1.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mn id="S5.T1.1.1.1.m1.1.1" xref="S5.T1.1.1.1.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S5.T1.1.1.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.T1.1.1.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S5.T1.1.1.1.m1.1.2.cmml" xref="S5.T1.1.1.1.m1.1.2"><times id="S5.T1.1.1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S5.T1.1.1.1.m1.1.2.1"></times><apply id="S5.T1.1.1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S5.T1.1.1.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.T1.1.1.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.T1.1.1.1.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.T1.1.1.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.T1.1.1.1.m1.1.2.2.2">𝐴</ci><ci id="S5.T1.1.1.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.T1.1.1.1.m1.1.2.2.3">𝑎</ci></apply><cn id="S5.T1.1.1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.T1.1.1.1.m1.1.1">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T1.1.1.1.m1.1c">A_{a}(1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T1.1.1.1.m1.1d">italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( 1 )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S5.T1.2.2.2" style="padding-top:1pt;padding-bottom:1pt;"><math alttext="\begin{bmatrix}1&0\\ 0&1\end{bmatrix}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T1.2.2.2.m1.1"><semantics id="S5.T1.2.2.2.m1.1a"><mrow id="S5.T1.2.2.2.m1.1.1.3" xref="S5.T1.2.2.2.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.T1.2.2.2.m1.1.1.3.1" xref="S5.T1.2.2.2.m1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" id="S5.T1.2.2.2.m1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S5.T1.2.2.2.m1.1.1.1.1.cmml"><mtr id="S5.T1.2.2.2.m1.1.1.1.1a" xref="S5.T1.2.2.2.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="S5.T1.2.2.2.m1.1.1.1.1b" xref="S5.T1.2.2.2.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.T1.2.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.T1.2.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">1</mn></mtd><mtd id="S5.T1.2.2.2.m1.1.1.1.1c" xref="S5.T1.2.2.2.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.T1.2.2.2.m1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.T1.2.2.2.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">0</mn></mtd></mtr><mtr id="S5.T1.2.2.2.m1.1.1.1.1d" xref="S5.T1.2.2.2.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="S5.T1.2.2.2.m1.1.1.1.1e" xref="S5.T1.2.2.2.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.T1.2.2.2.m1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S5.T1.2.2.2.m1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="S5.T1.2.2.2.m1.1.1.1.1f" xref="S5.T1.2.2.2.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.T1.2.2.2.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S5.T1.2.2.2.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">1</mn></mtd></mtr></mtable><mo id="S5.T1.2.2.2.m1.1.1.3.2" xref="S5.T1.2.2.2.m1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T1.2.2.2.m1.1b"><apply id="S5.T1.2.2.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.T1.2.2.2.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S5.T1.2.2.2.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.T1.2.2.2.m1.1.1.3.1">matrix</csymbol><matrix id="S5.T1.2.2.2.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.T1.2.2.2.m1.1.1.1.1"><matrixrow id="S5.T1.2.2.2.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="S5.T1.2.2.2.m1.1.1.1.1"><cn id="S5.T1.2.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.T1.2.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1">1</cn><cn id="S5.T1.2.2.2.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" type="integer" xref="S5.T1.2.2.2.m1.1.1.1.1.1.2.1">0</cn></matrixrow><matrixrow id="S5.T1.2.2.2.m1.1.1.1.1b.cmml" xref="S5.T1.2.2.2.m1.1.1.1.1"><cn id="S5.T1.2.2.2.m1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.T1.2.2.2.m1.1.1.1.1.2.1.1">0</cn><cn id="S5.T1.2.2.2.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" type="integer" xref="S5.T1.2.2.2.m1.1.1.1.1.2.2.1">1</cn></matrixrow></matrix></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T1.2.2.2.m1.1c">\begin{bmatrix}1&0\\ 0&1\end{bmatrix}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T1.2.2.2.m1.1d">[ start_ARG start_ROW start_CELL 1 end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL 1 end_CELL end_ROW end_ARG ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S5.T1.3.3.3" style="padding-top:1pt;padding-bottom:1pt;"><math alttext="\begin{bmatrix}0.9681&0.0120\\ 0.0142&0.9868\end{bmatrix}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T1.3.3.3.m1.1"><semantics id="S5.T1.3.3.3.m1.1a"><mrow id="S5.T1.3.3.3.m1.1.1.3" xref="S5.T1.3.3.3.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.T1.3.3.3.m1.1.1.3.1" xref="S5.T1.3.3.3.m1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" id="S5.T1.3.3.3.m1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S5.T1.3.3.3.m1.1.1.1.1.cmml"><mtr id="S5.T1.3.3.3.m1.1.1.1.1a" xref="S5.T1.3.3.3.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="S5.T1.3.3.3.m1.1.1.1.1b" xref="S5.T1.3.3.3.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.T1.3.3.3.m1.1.1.1.1.1.1.1" 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alttext="\begin{bmatrix}0.6&0.2\\ 0.3&0.8\end{bmatrix}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T1.5.5.5.m1.1"><semantics id="S5.T1.5.5.5.m1.1a"><mrow id="S5.T1.5.5.5.m1.1.1.3" xref="S5.T1.5.5.5.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.T1.5.5.5.m1.1.1.3.1" xref="S5.T1.5.5.5.m1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" id="S5.T1.5.5.5.m1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S5.T1.5.5.5.m1.1.1.1.1.cmml"><mtr id="S5.T1.5.5.5.m1.1.1.1.1a" xref="S5.T1.5.5.5.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="S5.T1.5.5.5.m1.1.1.1.1b" xref="S5.T1.5.5.5.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.T1.5.5.5.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.T1.5.5.5.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">0.6</mn></mtd><mtd id="S5.T1.5.5.5.m1.1.1.1.1c" xref="S5.T1.5.5.5.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.T1.5.5.5.m1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.T1.5.5.5.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">0.2</mn></mtd></mtr><mtr id="S5.T1.5.5.5.m1.1.1.1.1d" xref="S5.T1.5.5.5.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="S5.T1.5.5.5.m1.1.1.1.1e" xref="S5.T1.5.5.5.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.T1.5.5.5.m1.1.1.1.1.2.1.1" 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id="S5.T1.7.7.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.T1.7.7.1.m1.1.1">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T1.7.7.1.m1.1c">A_{c}(1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T1.7.7.1.m1.1d">italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( 1 )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S5.T1.8.8.2" style="padding-top:1pt;padding-bottom:1pt;"><math alttext="\begin{bmatrix}1&0.2\\ 0.3&0.8\end{bmatrix}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T1.8.8.2.m1.1"><semantics id="S5.T1.8.8.2.m1.1a"><mrow id="S5.T1.8.8.2.m1.1.1.3" xref="S5.T1.8.8.2.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.T1.8.8.2.m1.1.1.3.1" xref="S5.T1.8.8.2.m1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" id="S5.T1.8.8.2.m1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S5.T1.8.8.2.m1.1.1.1.1.cmml"><mtr id="S5.T1.8.8.2.m1.1.1.1.1a" xref="S5.T1.8.8.2.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="S5.T1.8.8.2.m1.1.1.1.1b" 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style="padding-top:1pt;padding-bottom:1pt;"><math alttext="A_{c}(2)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T1.10.10.4.m1.1"><semantics id="S5.T1.10.10.4.m1.1a"><mrow id="S5.T1.10.10.4.m1.1.2" xref="S5.T1.10.10.4.m1.1.2.cmml"><msub id="S5.T1.10.10.4.m1.1.2.2" xref="S5.T1.10.10.4.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.T1.10.10.4.m1.1.2.2.2" xref="S5.T1.10.10.4.m1.1.2.2.2.cmml">A</mi><mi id="S5.T1.10.10.4.m1.1.2.2.3" xref="S5.T1.10.10.4.m1.1.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S5.T1.10.10.4.m1.1.2.1" xref="S5.T1.10.10.4.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.T1.10.10.4.m1.1.2.3.2" xref="S5.T1.10.10.4.m1.1.2.cmml"><mo id="S5.T1.10.10.4.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.T1.10.10.4.m1.1.2.cmml">(</mo><mn id="S5.T1.10.10.4.m1.1.1" xref="S5.T1.10.10.4.m1.1.1.cmml">2</mn><mo id="S5.T1.10.10.4.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.T1.10.10.4.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T1.10.10.4.m1.1b"><apply id="S5.T1.10.10.4.m1.1.2.cmml" 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class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T1.11.11.5.m1.1"><semantics id="S5.T1.11.11.5.m1.1a"><mrow id="S5.T1.11.11.5.m1.1.1.3" xref="S5.T1.11.11.5.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.T1.11.11.5.m1.1.1.3.1" xref="S5.T1.11.11.5.m1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" id="S5.T1.11.11.5.m1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S5.T1.11.11.5.m1.1.1.1.1.cmml"><mtr id="S5.T1.11.11.5.m1.1.1.1.1a" xref="S5.T1.11.11.5.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="S5.T1.11.11.5.m1.1.1.1.1b" xref="S5.T1.11.11.5.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.T1.11.11.5.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.T1.11.11.5.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">0.8</mn></mtd><mtd id="S5.T1.11.11.5.m1.1.1.1.1c" xref="S5.T1.11.11.5.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.T1.11.11.5.m1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.T1.11.11.5.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">0.2</mn></mtd></mtr><mtr id="S5.T1.11.11.5.m1.1.1.1.1d" xref="S5.T1.11.11.5.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="S5.T1.11.11.5.m1.1.1.1.1e" xref="S5.T1.11.11.5.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.T1.11.11.5.m1.1.1.1.1.2.1.1" 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id="S5.T1.19.19.1.m1.1.2" xref="S5.T1.19.19.1.m1.1.2.cmml"><msub id="S5.T1.19.19.1.m1.1.2.2" xref="S5.T1.19.19.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.T1.19.19.1.m1.1.2.2.2" xref="S5.T1.19.19.1.m1.1.2.2.2.cmml">C</mi><mi id="S5.T1.19.19.1.m1.1.2.2.3" xref="S5.T1.19.19.1.m1.1.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S5.T1.19.19.1.m1.1.2.1" xref="S5.T1.19.19.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.T1.19.19.1.m1.1.2.3.2" xref="S5.T1.19.19.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S5.T1.19.19.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.T1.19.19.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mn id="S5.T1.19.19.1.m1.1.1" xref="S5.T1.19.19.1.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S5.T1.19.19.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.T1.19.19.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T1.19.19.1.m1.1b"><apply id="S5.T1.19.19.1.m1.1.2.cmml" xref="S5.T1.19.19.1.m1.1.2"><times id="S5.T1.19.19.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S5.T1.19.19.1.m1.1.2.1"></times><apply id="S5.T1.19.19.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S5.T1.19.19.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.T1.19.19.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.T1.19.19.1.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.T1.19.19.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.T1.19.19.1.m1.1.2.2.2">𝐶</ci><ci id="S5.T1.19.19.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.T1.19.19.1.m1.1.2.2.3">𝑐</ci></apply><cn id="S5.T1.19.19.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.T1.19.19.1.m1.1.1">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T1.19.19.1.m1.1c">C_{c}(1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T1.19.19.1.m1.1d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( 1 )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S5.T1.20.20.2" style="padding-top:1pt;padding-bottom:1pt;"><math alttext="\begin{bmatrix}0.3&0.7\end{bmatrix}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T1.20.20.2.m1.1"><semantics id="S5.T1.20.20.2.m1.1a"><mrow id="S5.T1.20.20.2.m1.1.1.3" xref="S5.T1.20.20.2.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.T1.20.20.2.m1.1.1.3.1" 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encoding="application/x-llamapun" id="S5.T1.26.26.2.m1.1d">italic_π start_POSTSUPERSCRIPT italic_c end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S5.T1.26.26.5" style="padding-top:1pt;padding-bottom:1pt;">0.3</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S5.T1.26.26.6" style="padding-top:1pt;padding-bottom:1pt;">0.3037</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S5.T1.28.28"> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S5.T1.27.27.1" style="padding-top:1pt;padding-bottom:1pt;"><math alttext="\pi^{a}_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T1.27.27.1.m1.1"><semantics id="S5.T1.27.27.1.m1.1a"><msubsup id="S5.T1.27.27.1.m1.1.1" xref="S5.T1.27.27.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.T1.27.27.1.m1.1.1.2.2" xref="S5.T1.27.27.1.m1.1.1.2.2.cmml">π</mi><mn id="S5.T1.27.27.1.m1.1.1.3" xref="S5.T1.27.27.1.m1.1.1.3.cmml">1</mn><mi id="S5.T1.27.27.1.m1.1.1.2.3" xref="S5.T1.27.27.1.m1.1.1.2.3.cmml">a</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T1.27.27.1.m1.1b"><apply id="S5.T1.27.27.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.T1.27.27.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.T1.27.27.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.T1.27.27.1.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S5.T1.27.27.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.T1.27.27.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.T1.27.27.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.T1.27.27.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.T1.27.27.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.T1.27.27.1.m1.1.1.2.2">𝜋</ci><ci id="S5.T1.27.27.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.T1.27.27.1.m1.1.1.2.3">𝑎</ci></apply><cn id="S5.T1.27.27.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.T1.27.27.1.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T1.27.27.1.m1.1c">\pi^{a}_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T1.27.27.1.m1.1d">italic_π start_POSTSUPERSCRIPT italic_a end_POSTSUPERSCRIPT 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style="padding-top:1pt;padding-bottom:1pt;">0.5</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S5.T1.28.28.6" style="padding-top:1pt;padding-bottom:1pt;">0.507</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S5.T1.34.34"> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S5.T1.29.29.1" style="padding-top:1pt;padding-bottom:1pt;"><math alttext="\Sigma_{a}(1)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T1.29.29.1.m1.1"><semantics id="S5.T1.29.29.1.m1.1a"><mrow id="S5.T1.29.29.1.m1.1.2" xref="S5.T1.29.29.1.m1.1.2.cmml"><msub id="S5.T1.29.29.1.m1.1.2.2" xref="S5.T1.29.29.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.T1.29.29.1.m1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S5.T1.29.29.1.m1.1.2.2.2.cmml">Σ</mi><mi id="S5.T1.29.29.1.m1.1.2.2.3" xref="S5.T1.29.29.1.m1.1.2.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S5.T1.29.29.1.m1.1.2.1" xref="S5.T1.29.29.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.T1.29.29.1.m1.1.2.3.2" xref="S5.T1.29.29.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S5.T1.29.29.1.m1.1.2.3.2.1" 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encoding="application/x-llamapun" id="S5.T1.29.29.1.m1.1d">roman_Σ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( 1 )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S5.T1.30.30.2" style="padding-top:1pt;padding-bottom:1pt;"><math alttext="\begin{bmatrix}1&0\\ 0&1\end{bmatrix}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T1.30.30.2.m1.1"><semantics id="S5.T1.30.30.2.m1.1a"><mrow id="S5.T1.30.30.2.m1.1.1.3" xref="S5.T1.30.30.2.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.T1.30.30.2.m1.1.1.3.1" xref="S5.T1.30.30.2.m1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" id="S5.T1.30.30.2.m1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S5.T1.30.30.2.m1.1.1.1.1.cmml"><mtr id="S5.T1.30.30.2.m1.1.1.1.1a" xref="S5.T1.30.30.2.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="S5.T1.30.30.2.m1.1.1.1.1b" xref="S5.T1.30.30.2.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.T1.30.30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.T1.30.30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">1</mn></mtd><mtd id="S5.T1.30.30.2.m1.1.1.1.1c" 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class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S5.T1.31.31.3" style="padding-top:1pt;padding-bottom:1pt;"><math alttext="\begin{bmatrix}1.1111&-0.0711\\ -0.0711&0.9865\end{bmatrix}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T1.31.31.3.m1.1"><semantics id="S5.T1.31.31.3.m1.1a"><mrow id="S5.T1.31.31.3.m1.1.1.3" xref="S5.T1.31.31.3.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.T1.31.31.3.m1.1.1.3.1" xref="S5.T1.31.31.3.m1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" id="S5.T1.31.31.3.m1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S5.T1.31.31.3.m1.1.1.1.1.cmml"><mtr id="S5.T1.31.31.3.m1.1.1.1.1a" xref="S5.T1.31.31.3.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="S5.T1.31.31.3.m1.1.1.1.1b" xref="S5.T1.31.31.3.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.T1.31.31.3.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.T1.31.31.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">1.1111</mn></mtd><mtd id="S5.T1.31.31.3.m1.1.1.1.1c" xref="S5.T1.31.31.3.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.T1.31.31.3.m1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.T1.31.31.3.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"><mo id="S5.T1.31.31.3.m1.1.1.1.1.1.2.1a" 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display="inline" id="S5.T1.38.38.4.m1.1"><semantics id="S5.T1.38.38.4.m1.1a"><mrow id="S5.T1.38.38.4.m1.1.2" xref="S5.T1.38.38.4.m1.1.2.cmml"><msub id="S5.T1.38.38.4.m1.1.2.2" xref="S5.T1.38.38.4.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.T1.38.38.4.m1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S5.T1.38.38.4.m1.1.2.2.2.cmml">Σ</mi><mi id="S5.T1.38.38.4.m1.1.2.2.3" xref="S5.T1.38.38.4.m1.1.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S5.T1.38.38.4.m1.1.2.1" xref="S5.T1.38.38.4.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.T1.38.38.4.m1.1.2.3.2" xref="S5.T1.38.38.4.m1.1.2.cmml"><mo id="S5.T1.38.38.4.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.T1.38.38.4.m1.1.2.cmml">(</mo><mn id="S5.T1.38.38.4.m1.1.1" xref="S5.T1.38.38.4.m1.1.1.cmml">2</mn><mo id="S5.T1.38.38.4.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.T1.38.38.4.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T1.38.38.4.m1.1b"><apply id="S5.T1.38.38.4.m1.1.2.cmml" xref="S5.T1.38.38.4.m1.1.2"><times id="S5.T1.38.38.4.m1.1.2.1.cmml" xref="S5.T1.38.38.4.m1.1.2.1"></times><apply id="S5.T1.38.38.4.m1.1.2.2.cmml" xref="S5.T1.38.38.4.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.T1.38.38.4.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.T1.38.38.4.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.T1.38.38.4.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.T1.38.38.4.m1.1.2.2.2">Σ</ci><ci id="S5.T1.38.38.4.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.T1.38.38.4.m1.1.2.2.3">𝑐</ci></apply><cn id="S5.T1.38.38.4.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.T1.38.38.4.m1.1.1">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T1.38.38.4.m1.1c">\Sigma_{c}(2)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T1.38.38.4.m1.1d">roman_Σ start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( 2 )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S5.T1.39.39.5" style="padding-top:1pt;padding-bottom:1pt;"><math alttext="\begin{bmatrix}1&0\\ 0&1\end{bmatrix}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T1.39.39.5.m1.1"><semantics id="S5.T1.39.39.5.m1.1a"><mrow id="S5.T1.39.39.5.m1.1.1.3" xref="S5.T1.39.39.5.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.T1.39.39.5.m1.1.1.3.1" xref="S5.T1.39.39.5.m1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" id="S5.T1.39.39.5.m1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S5.T1.39.39.5.m1.1.1.1.1.cmml"><mtr id="S5.T1.39.39.5.m1.1.1.1.1a" xref="S5.T1.39.39.5.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="S5.T1.39.39.5.m1.1.1.1.1b" xref="S5.T1.39.39.5.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.T1.39.39.5.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.T1.39.39.5.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">1</mn></mtd><mtd id="S5.T1.39.39.5.m1.1.1.1.1c" xref="S5.T1.39.39.5.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.T1.39.39.5.m1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.T1.39.39.5.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">0</mn></mtd></mtr><mtr id="S5.T1.39.39.5.m1.1.1.1.1d" xref="S5.T1.39.39.5.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="S5.T1.39.39.5.m1.1.1.1.1e" xref="S5.T1.39.39.5.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.T1.39.39.5.m1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S5.T1.39.39.5.m1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="S5.T1.39.39.5.m1.1.1.1.1f" xref="S5.T1.39.39.5.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.T1.39.39.5.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S5.T1.39.39.5.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">1</mn></mtd></mtr></mtable><mo id="S5.T1.39.39.5.m1.1.1.3.2" xref="S5.T1.39.39.5.m1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T1.39.39.5.m1.1b"><apply id="S5.T1.39.39.5.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.T1.39.39.5.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S5.T1.39.39.5.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.T1.39.39.5.m1.1.1.3.1">matrix</csymbol><matrix id="S5.T1.39.39.5.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.T1.39.39.5.m1.1.1.1.1"><matrixrow id="S5.T1.39.39.5.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="S5.T1.39.39.5.m1.1.1.1.1"><cn id="S5.T1.39.39.5.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.T1.39.39.5.m1.1.1.1.1.1.1.1">1</cn><cn id="S5.T1.39.39.5.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" type="integer" xref="S5.T1.39.39.5.m1.1.1.1.1.1.2.1">0</cn></matrixrow><matrixrow id="S5.T1.39.39.5.m1.1.1.1.1b.cmml" xref="S5.T1.39.39.5.m1.1.1.1.1"><cn id="S5.T1.39.39.5.m1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.T1.39.39.5.m1.1.1.1.1.2.1.1">0</cn><cn id="S5.T1.39.39.5.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" type="integer" xref="S5.T1.39.39.5.m1.1.1.1.1.2.2.1">1</cn></matrixrow></matrix></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T1.39.39.5.m1.1c">\begin{bmatrix}1&0\\ 0&1\end{bmatrix}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T1.39.39.5.m1.1d">[ start_ARG start_ROW start_CELL 1 end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL 1 end_CELL end_ROW end_ARG ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S5.T1.40.40.6" style="padding-top:1pt;padding-bottom:1pt;"><math alttext="\begin{bmatrix}1.0134&-0.0001\\ -0.0001&0.9850\end{bmatrix}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T1.40.40.6.m1.1"><semantics id="S5.T1.40.40.6.m1.1a"><mrow id="S5.T1.40.40.6.m1.1.1.3" xref="S5.T1.40.40.6.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.T1.40.40.6.m1.1.1.3.1" 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id="S5.T1.40.40.6.m1.1.1.1.1.2.1.1a" xref="S5.T1.40.40.6.m1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">−</mo><mn id="S5.T1.40.40.6.m1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S5.T1.40.40.6.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">0.0001</mn></mrow></mtd><mtd id="S5.T1.40.40.6.m1.1.1.1.1f" xref="S5.T1.40.40.6.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.T1.40.40.6.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S5.T1.40.40.6.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">0.9850</mn></mtd></mtr></mtable><mo id="S5.T1.40.40.6.m1.1.1.3.2" xref="S5.T1.40.40.6.m1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T1.40.40.6.m1.1b"><apply id="S5.T1.40.40.6.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.T1.40.40.6.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S5.T1.40.40.6.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.T1.40.40.6.m1.1.1.3.1">matrix</csymbol><matrix id="S5.T1.40.40.6.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.T1.40.40.6.m1.1.1.1.1"><matrixrow id="S5.T1.40.40.6.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="S5.T1.40.40.6.m1.1.1.1.1"><cn id="S5.T1.40.40.6.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" type="float" xref="S5.T1.40.40.6.m1.1.1.1.1.1.1.1">1.0134</cn><apply id="S5.T1.40.40.6.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.T1.40.40.6.m1.1.1.1.1.1.2.1"><minus id="S5.T1.40.40.6.m1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S5.T1.40.40.6.m1.1.1.1.1.1.2.1"></minus><cn id="S5.T1.40.40.6.m1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml" type="float" xref="S5.T1.40.40.6.m1.1.1.1.1.1.2.1.2">0.0001</cn></apply></matrixrow><matrixrow id="S5.T1.40.40.6.m1.1.1.1.1b.cmml" xref="S5.T1.40.40.6.m1.1.1.1.1"><apply id="S5.T1.40.40.6.m1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S5.T1.40.40.6.m1.1.1.1.1.2.1.1"><minus id="S5.T1.40.40.6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S5.T1.40.40.6.m1.1.1.1.1.2.1.1"></minus><cn id="S5.T1.40.40.6.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" type="float" xref="S5.T1.40.40.6.m1.1.1.1.1.2.1.1.2">0.0001</cn></apply><cn id="S5.T1.40.40.6.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" type="float" xref="S5.T1.40.40.6.m1.1.1.1.1.2.2.1">0.9850</cn></matrixrow></matrix></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T1.40.40.6.m1.1c">\begin{bmatrix}1.0134&-0.0001\\ -0.0001&0.9850\end{bmatrix}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T1.40.40.6.m1.1d">[ start_ARG start_ROW start_CELL 1.0134 end_CELL start_CELL - 0.0001 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL - 0.0001 end_CELL start_CELL 0.9850 end_CELL end_ROW end_ARG ]</annotation></semantics></math></td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S5.T1.41.41"> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_b ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S5.T1.41.41.1" style="padding-top:1pt;padding-bottom:1pt;"><math alttext="\Sigma_{m}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T1.41.41.1.m1.1"><semantics id="S5.T1.41.41.1.m1.1a"><msub id="S5.T1.41.41.1.m1.1.1" xref="S5.T1.41.41.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.T1.41.41.1.m1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S5.T1.41.41.1.m1.1.1.2.cmml">Σ</mi><mi id="S5.T1.41.41.1.m1.1.1.3" xref="S5.T1.41.41.1.m1.1.1.3.cmml">m</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T1.41.41.1.m1.1b"><apply id="S5.T1.41.41.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.T1.41.41.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.T1.41.41.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.T1.41.41.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.T1.41.41.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.T1.41.41.1.m1.1.1.2">Σ</ci><ci id="S5.T1.41.41.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.T1.41.41.1.m1.1.1.3">𝑚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T1.41.41.1.m1.1c">\Sigma_{m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T1.41.41.1.m1.1d">roman_Σ start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_b ltx_border_r ltx_border_t" id="S5.T1.41.41.2" style="padding-top:1pt;padding-bottom:1pt;">1</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_b ltx_border_r ltx_border_t" id="S5.T1.41.41.3" style="padding-top:1pt;padding-bottom:1pt;">1.0049</td> <td class="ltx_td ltx_border_b ltx_border_r ltx_border_t" id="S5.T1.41.41.4" style="padding-top:1pt;padding-bottom:1pt;"></td> <td class="ltx_td ltx_border_b ltx_border_r ltx_border_t" id="S5.T1.41.41.5" style="padding-top:1pt;padding-bottom:1pt;"></td> <td class="ltx_td ltx_border_b ltx_border_r ltx_border_t" id="S5.T1.41.41.6" style="padding-top:1pt;padding-bottom:1pt;"></td> </tr> </tbody> </table> </figure> <div class="ltx_para" id="S5.SS1.p3"> <p class="ltx_p" id="S5.SS1.p3.4">To validate the effectiveness of the proposed method, we compare it with the EM-based identification framework for a JMLS in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#bib.bib11" title="">11</a>]</cite>, which was originally derived for causal switching systems. To accommodate the non-causal switching dynamics inherent in NCS-RSM, we extend the two-filter approach to a bidirectional filtering architecture consisting of a forward filter optimized for causal system components, and a backward filter specifically tailored for non-causal dynamics. The length of the data is set to <math alttext="T=10^{4}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p3.1.m1.1"><semantics id="S5.SS1.p3.1.m1.1a"><mrow id="S5.SS1.p3.1.m1.1.1" xref="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.2" xref="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.1" xref="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><msup id="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.3" xref="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.3.2" xref="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.3.2.cmml">10</mn><mn id="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.3.3" xref="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.3.3.cmml">4</mn></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p3.1.m1.1b"><apply id="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.1.m1.1.1"><eq id="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.2">𝑇</ci><apply id="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.3">superscript</csymbol><cn id="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.3.2">10</cn><cn id="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.3.3">4</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p3.1.m1.1c">T=10^{4}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p3.1.m1.1d">italic_T = 10 start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. The transition matrix in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#bib.bib11" title="">11</a>]</cite> is set to <math alttext="\mathcal{T}=\left[\begin{smallmatrix}0.5&0.5\\ 0.5&0.5\end{smallmatrix}\right]" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p3.2.m2.1"><semantics id="S5.SS1.p3.2.m2.1a"><mrow id="S5.SS1.p3.2.m2.1.2" xref="S5.SS1.p3.2.m2.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.SS1.p3.2.m2.1.2.2" xref="S5.SS1.p3.2.m2.1.2.2.cmml">𝒯</mi><mo id="S5.SS1.p3.2.m2.1.2.1" xref="S5.SS1.p3.2.m2.1.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS1.p3.2.m2.1.2.3.2" xref="S5.SS1.p3.2.m2.1.2.3.1.cmml"><mo id="S5.SS1.p3.2.m2.1.2.3.2.1" xref="S5.SS1.p3.2.m2.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" id="S5.SS1.p3.2.m2.1.1" rowspacing="0pt" xref="S5.SS1.p3.2.m2.1.1.cmml"><mtr id="S5.SS1.p3.2.m2.1.1a" xref="S5.SS1.p3.2.m2.1.1.cmml"><mtd id="S5.SS1.p3.2.m2.1.1b" xref="S5.SS1.p3.2.m2.1.1.cmml"><mn id="S5.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1.1" mathsize="70%" xref="S5.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">0.5</mn></mtd><mtd id="S5.SS1.p3.2.m2.1.1c" xref="S5.SS1.p3.2.m2.1.1.cmml"><mn id="S5.SS1.p3.2.m2.1.1.1.2.1" mathsize="70%" xref="S5.SS1.p3.2.m2.1.1.1.2.1.cmml">0.5</mn></mtd></mtr><mtr id="S5.SS1.p3.2.m2.1.1d" xref="S5.SS1.p3.2.m2.1.1.cmml"><mtd id="S5.SS1.p3.2.m2.1.1e" xref="S5.SS1.p3.2.m2.1.1.cmml"><mn id="S5.SS1.p3.2.m2.1.1.2.1.1" mathsize="70%" xref="S5.SS1.p3.2.m2.1.1.2.1.1.cmml">0.5</mn></mtd><mtd id="S5.SS1.p3.2.m2.1.1f" xref="S5.SS1.p3.2.m2.1.1.cmml"><mn id="S5.SS1.p3.2.m2.1.1.2.2.1" mathsize="70%" xref="S5.SS1.p3.2.m2.1.1.2.2.1.cmml">0.5</mn></mtd></mtr></mtable><mo id="S5.SS1.p3.2.m2.1.2.3.2.2" xref="S5.SS1.p3.2.m2.1.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p3.2.m2.1b"><apply id="S5.SS1.p3.2.m2.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p3.2.m2.1.2"><eq id="S5.SS1.p3.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.2.m2.1.2.1"></eq><ci id="S5.SS1.p3.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p3.2.m2.1.2.2">𝒯</ci><apply id="S5.SS1.p3.2.m2.1.2.3.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.2.m2.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.SS1.p3.2.m2.1.2.3.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.2.m2.1.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><matrix id="S5.SS1.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.2.m2.1.1"><matrixrow id="S5.SS1.p3.2.m2.1.1a.cmml" xref="S5.SS1.p3.2.m2.1.1"><cn id="S5.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" type="float" xref="S5.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1.1">0.5</cn><cn id="S5.SS1.p3.2.m2.1.1.1.2.1.cmml" type="float" xref="S5.SS1.p3.2.m2.1.1.1.2.1">0.5</cn></matrixrow><matrixrow id="S5.SS1.p3.2.m2.1.1b.cmml" xref="S5.SS1.p3.2.m2.1.1"><cn id="S5.SS1.p3.2.m2.1.1.2.1.1.cmml" type="float" xref="S5.SS1.p3.2.m2.1.1.2.1.1">0.5</cn><cn id="S5.SS1.p3.2.m2.1.1.2.2.1.cmml" type="float" xref="S5.SS1.p3.2.m2.1.1.2.2.1">0.5</cn></matrixrow></matrix></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p3.2.m2.1c">\mathcal{T}=\left[\begin{smallmatrix}0.5&0.5\\ 0.5&0.5\end{smallmatrix}\right]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p3.2.m2.1d">caligraphic_T = [ start_ROW start_CELL 0.5 end_CELL start_CELL 0.5 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0.5 end_CELL start_CELL 0.5 end_CELL end_ROW ]</annotation></semantics></math>, and the probability of the switching sequence in this paper is set to <math alttext="\pi^{c}_{1}=\pi^{c}_{2}=\pi^{a}_{1}=\pi^{a}_{2}=0.5" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p3.3.m3.1"><semantics id="S5.SS1.p3.3.m3.1a"><mrow id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.cmml"><msubsup id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.2" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.2.2.2" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.2.2.2.cmml">π</mi><mn id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.2.3" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.2.3.cmml">1</mn><mi id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.2.2.3" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.2.2.3.cmml">c</mi></msubsup><mo id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.3" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.3.cmml">=</mo><msubsup id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.4" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.4.cmml"><mi id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.4.2.2" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.4.2.2.cmml">π</mi><mn id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.4.3" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.4.3.cmml">2</mn><mi id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.4.2.3" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.4.2.3.cmml">c</mi></msubsup><mo id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.5" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.5.cmml">=</mo><msubsup id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.6" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.6.cmml"><mi id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.6.2.2" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.6.2.2.cmml">π</mi><mn id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.6.3" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.6.3.cmml">1</mn><mi id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.6.2.3" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.6.2.3.cmml">a</mi></msubsup><mo id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.7" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.7.cmml">=</mo><msubsup id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.8" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.8.cmml"><mi id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.8.2.2" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.8.2.2.cmml">π</mi><mn id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.8.3" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.8.3.cmml">2</mn><mi id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.8.2.3" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.8.2.3.cmml">a</mi></msubsup><mo id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.9" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.9.cmml">=</mo><mn id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.10" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.10.cmml">0.5</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p3.3.m3.1b"><apply id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1"><and id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1a.cmml" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1"></and><apply id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1b.cmml" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1"><eq id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.3"></eq><apply id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.2.2.2">𝜋</ci><ci id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.2.2.3">𝑐</ci></apply><cn id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.4.cmml" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.4.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.4">subscript</csymbol><apply id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.4.2.cmml" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.4.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.4.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.4.2.2">𝜋</ci><ci id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.4.2.3.cmml" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.4.2.3">𝑐</ci></apply><cn id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.4.3">2</cn></apply></apply><apply id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1c.cmml" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1"><eq id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.5.cmml" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S5.SS1.p3.3.m3.1.1.4.cmml" id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1d.cmml" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1"></share><apply id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.6.cmml" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.6.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.6">subscript</csymbol><apply id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.6.2.cmml" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.6.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.6">superscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.6.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.6.2.2">𝜋</ci><ci id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.6.2.3.cmml" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.6.2.3">𝑎</ci></apply><cn id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.6.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.6.3">1</cn></apply></apply><apply id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1e.cmml" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1"><eq id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.7.cmml" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.7"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S5.SS1.p3.3.m3.1.1.6.cmml" id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1f.cmml" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1"></share><apply id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.8.cmml" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.8.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.8">subscript</csymbol><apply id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.8.2.cmml" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.8.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.8">superscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.8.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.8.2.2">𝜋</ci><ci id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.8.2.3.cmml" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.8.2.3">𝑎</ci></apply><cn id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.8.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.8.3">2</cn></apply></apply><apply id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1g.cmml" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1"><eq id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.9.cmml" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.9"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S5.SS1.p3.3.m3.1.1.8.cmml" id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1h.cmml" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1"></share><cn id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.10.cmml" type="float" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.10">0.5</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p3.3.m3.1c">\pi^{c}_{1}=\pi^{c}_{2}=\pi^{a}_{1}=\pi^{a}_{2}=0.5</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p3.3.m3.1d">italic_π start_POSTSUPERSCRIPT italic_c end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = italic_π start_POSTSUPERSCRIPT italic_c end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT = italic_π start_POSTSUPERSCRIPT italic_a end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = italic_π start_POSTSUPERSCRIPT italic_a end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT = 0.5</annotation></semantics></math>. The subsystem match rates of the proposed method and <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#bib.bib11" title="">11</a>]</cite> are compared at different noise levels by assuming <math alttext="\Sigma=\Sigma_{c}=\Sigma_{a}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p3.4.m4.1"><semantics id="S5.SS1.p3.4.m4.1a"><mrow id="S5.SS1.p3.4.m4.1.1" xref="S5.SS1.p3.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S5.SS1.p3.4.m4.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S5.SS1.p3.4.m4.1.1.2.cmml">Σ</mi><mo id="S5.SS1.p3.4.m4.1.1.3" xref="S5.SS1.p3.4.m4.1.1.3.cmml">=</mo><msub id="S5.SS1.p3.4.m4.1.1.4" xref="S5.SS1.p3.4.m4.1.1.4.cmml"><mi id="S5.SS1.p3.4.m4.1.1.4.2" mathvariant="normal" xref="S5.SS1.p3.4.m4.1.1.4.2.cmml">Σ</mi><mi id="S5.SS1.p3.4.m4.1.1.4.3" xref="S5.SS1.p3.4.m4.1.1.4.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S5.SS1.p3.4.m4.1.1.5" xref="S5.SS1.p3.4.m4.1.1.5.cmml">=</mo><msub id="S5.SS1.p3.4.m4.1.1.6" xref="S5.SS1.p3.4.m4.1.1.6.cmml"><mi id="S5.SS1.p3.4.m4.1.1.6.2" mathvariant="normal" xref="S5.SS1.p3.4.m4.1.1.6.2.cmml">Σ</mi><mi id="S5.SS1.p3.4.m4.1.1.6.3" xref="S5.SS1.p3.4.m4.1.1.6.3.cmml">a</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p3.4.m4.1b"><apply id="S5.SS1.p3.4.m4.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.4.m4.1.1"><and id="S5.SS1.p3.4.m4.1.1a.cmml" xref="S5.SS1.p3.4.m4.1.1"></and><apply id="S5.SS1.p3.4.m4.1.1b.cmml" xref="S5.SS1.p3.4.m4.1.1"><eq id="S5.SS1.p3.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.p3.4.m4.1.1.3"></eq><ci id="S5.SS1.p3.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p3.4.m4.1.1.2">Σ</ci><apply id="S5.SS1.p3.4.m4.1.1.4.cmml" xref="S5.SS1.p3.4.m4.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p3.4.m4.1.1.4.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.4.m4.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p3.4.m4.1.1.4.2.cmml" xref="S5.SS1.p3.4.m4.1.1.4.2">Σ</ci><ci id="S5.SS1.p3.4.m4.1.1.4.3.cmml" xref="S5.SS1.p3.4.m4.1.1.4.3">𝑐</ci></apply></apply><apply id="S5.SS1.p3.4.m4.1.1c.cmml" xref="S5.SS1.p3.4.m4.1.1"><eq id="S5.SS1.p3.4.m4.1.1.5.cmml" xref="S5.SS1.p3.4.m4.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S5.SS1.p3.4.m4.1.1.4.cmml" id="S5.SS1.p3.4.m4.1.1d.cmml" xref="S5.SS1.p3.4.m4.1.1"></share><apply id="S5.SS1.p3.4.m4.1.1.6.cmml" xref="S5.SS1.p3.4.m4.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p3.4.m4.1.1.6.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.4.m4.1.1.6">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p3.4.m4.1.1.6.2.cmml" xref="S5.SS1.p3.4.m4.1.1.6.2">Σ</ci><ci id="S5.SS1.p3.4.m4.1.1.6.3.cmml" xref="S5.SS1.p3.4.m4.1.1.6.3">𝑎</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p3.4.m4.1c">\Sigma=\Sigma_{c}=\Sigma_{a}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p3.4.m4.1d">roman_Σ = roman_Σ start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT = roman_Σ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. The identification accuracy of the switching sequences are shown in Table <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S5.T2" title="Table 2 ‣ 5.1 Example 1: Academic NCS-RSM ‣ 5 Numerical examples ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>.</p> </div> <figure class="ltx_table" id="S5.T2"> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_table"><span class="ltx_text" id="S5.T2.21.1.1" style="font-size:90%;">Table 2</span>: </span><span class="ltx_text" id="S5.T2.22.2" style="font-size:90%;">The mode match rates achieved by the EM algorithm in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#bib.bib11" title="">11</a>]</cite> and by the proposed method.</span></figcaption> <table class="ltx_tabular ltx_centering ltx_guessed_headers ltx_align_middle" id="S5.T2.19"> <tbody class="ltx_tbody"> <tr class="ltx_tr" id="S5.T2.3.3"> <td class="ltx_td ltx_border_t" id="S5.T2.3.3.4"></td> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_column ltx_border_t" id="S5.T2.1.1.1"> <math alttext="L_{\text{mr}}(\bm{s})" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T2.1.1.1.m1.1"><semantics id="S5.T2.1.1.1.m1.1a"><mrow id="S5.T2.1.1.1.m1.1.2" xref="S5.T2.1.1.1.m1.1.2.cmml"><msub id="S5.T2.1.1.1.m1.1.2.2" xref="S5.T2.1.1.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.T2.1.1.1.m1.1.2.2.2" xref="S5.T2.1.1.1.m1.1.2.2.2.cmml">L</mi><mtext id="S5.T2.1.1.1.m1.1.2.2.3" xref="S5.T2.1.1.1.m1.1.2.2.3a.cmml">mr</mtext></msub><mo id="S5.T2.1.1.1.m1.1.2.1" xref="S5.T2.1.1.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.T2.1.1.1.m1.1.2.3.2" xref="S5.T2.1.1.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S5.T2.1.1.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.T2.1.1.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S5.T2.1.1.1.m1.1.1" xref="S5.T2.1.1.1.m1.1.1.cmml">𝒔</mi><mo id="S5.T2.1.1.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.T2.1.1.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T2.1.1.1.m1.1b"><apply id="S5.T2.1.1.1.m1.1.2.cmml" xref="S5.T2.1.1.1.m1.1.2"><times id="S5.T2.1.1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S5.T2.1.1.1.m1.1.2.1"></times><apply id="S5.T2.1.1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S5.T2.1.1.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.T2.1.1.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.T2.1.1.1.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.T2.1.1.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.T2.1.1.1.m1.1.2.2.2">𝐿</ci><ci id="S5.T2.1.1.1.m1.1.2.2.3a.cmml" xref="S5.T2.1.1.1.m1.1.2.2.3"><mtext id="S5.T2.1.1.1.m1.1.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S5.T2.1.1.1.m1.1.2.2.3">mr</mtext></ci></apply><ci id="S5.T2.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.T2.1.1.1.m1.1.1">𝒔</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T2.1.1.1.m1.1c">L_{\text{mr}}(\bm{s})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T2.1.1.1.m1.1d">italic_L start_POSTSUBSCRIPT mr end_POSTSUBSCRIPT ( bold_italic_s )</annotation></semantics></math> <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#bib.bib11" title="">11</a>]</cite> </th> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_column ltx_border_t" id="S5.T2.2.2.2"><math alttext="L_{\text{mr}}(\bm{s}_{c})" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T2.2.2.2.m1.1"><semantics id="S5.T2.2.2.2.m1.1a"><mrow id="S5.T2.2.2.2.m1.1.1" xref="S5.T2.2.2.2.m1.1.1.cmml"><msub id="S5.T2.2.2.2.m1.1.1.3" xref="S5.T2.2.2.2.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.T2.2.2.2.m1.1.1.3.2" xref="S5.T2.2.2.2.m1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mtext id="S5.T2.2.2.2.m1.1.1.3.3" xref="S5.T2.2.2.2.m1.1.1.3.3a.cmml">mr</mtext></msub><mo id="S5.T2.2.2.2.m1.1.1.2" xref="S5.T2.2.2.2.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.T2.2.2.2.m1.1.1.1.1" xref="S5.T2.2.2.2.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.T2.2.2.2.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.T2.2.2.2.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S5.T2.2.2.2.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.T2.2.2.2.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.T2.2.2.2.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.T2.2.2.2.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S5.T2.2.2.2.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.T2.2.2.2.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S5.T2.2.2.2.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.T2.2.2.2.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T2.2.2.2.m1.1b"><apply id="S5.T2.2.2.2.m1.1.1.cmml" xref="S5.T2.2.2.2.m1.1.1"><times id="S5.T2.2.2.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.T2.2.2.2.m1.1.1.2"></times><apply id="S5.T2.2.2.2.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.T2.2.2.2.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.T2.2.2.2.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.T2.2.2.2.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.T2.2.2.2.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.T2.2.2.2.m1.1.1.3.2">𝐿</ci><ci id="S5.T2.2.2.2.m1.1.1.3.3a.cmml" xref="S5.T2.2.2.2.m1.1.1.3.3"><mtext id="S5.T2.2.2.2.m1.1.1.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S5.T2.2.2.2.m1.1.1.3.3">mr</mtext></ci></apply><apply id="S5.T2.2.2.2.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.T2.2.2.2.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.T2.2.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.T2.2.2.2.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.T2.2.2.2.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.T2.2.2.2.m1.1.1.1.1.1.2">𝒔</ci><ci id="S5.T2.2.2.2.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.T2.2.2.2.m1.1.1.1.1.1.3">𝑐</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T2.2.2.2.m1.1c">L_{\text{mr}}(\bm{s}_{c})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T2.2.2.2.m1.1d">italic_L start_POSTSUBSCRIPT mr end_POSTSUBSCRIPT ( bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math></th> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_column ltx_border_t" id="S5.T2.3.3.3"><math alttext="L_{\text{mr}}(\bm{s}_{a})" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T2.3.3.3.m1.1"><semantics id="S5.T2.3.3.3.m1.1a"><mrow id="S5.T2.3.3.3.m1.1.1" xref="S5.T2.3.3.3.m1.1.1.cmml"><msub id="S5.T2.3.3.3.m1.1.1.3" xref="S5.T2.3.3.3.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.T2.3.3.3.m1.1.1.3.2" xref="S5.T2.3.3.3.m1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mtext id="S5.T2.3.3.3.m1.1.1.3.3" xref="S5.T2.3.3.3.m1.1.1.3.3a.cmml">mr</mtext></msub><mo id="S5.T2.3.3.3.m1.1.1.2" xref="S5.T2.3.3.3.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.T2.3.3.3.m1.1.1.1.1" xref="S5.T2.3.3.3.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.T2.3.3.3.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.T2.3.3.3.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S5.T2.3.3.3.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.T2.3.3.3.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.T2.3.3.3.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.T2.3.3.3.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S5.T2.3.3.3.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.T2.3.3.3.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S5.T2.3.3.3.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.T2.3.3.3.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T2.3.3.3.m1.1b"><apply id="S5.T2.3.3.3.m1.1.1.cmml" xref="S5.T2.3.3.3.m1.1.1"><times id="S5.T2.3.3.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.T2.3.3.3.m1.1.1.2"></times><apply id="S5.T2.3.3.3.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.T2.3.3.3.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.T2.3.3.3.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.T2.3.3.3.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.T2.3.3.3.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.T2.3.3.3.m1.1.1.3.2">𝐿</ci><ci id="S5.T2.3.3.3.m1.1.1.3.3a.cmml" xref="S5.T2.3.3.3.m1.1.1.3.3"><mtext id="S5.T2.3.3.3.m1.1.1.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S5.T2.3.3.3.m1.1.1.3.3">mr</mtext></ci></apply><apply id="S5.T2.3.3.3.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.T2.3.3.3.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.T2.3.3.3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.T2.3.3.3.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.T2.3.3.3.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.T2.3.3.3.m1.1.1.1.1.1.2">𝒔</ci><ci id="S5.T2.3.3.3.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.T2.3.3.3.m1.1.1.1.1.1.3">𝑎</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T2.3.3.3.m1.1c">L_{\text{mr}}(\bm{s}_{a})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T2.3.3.3.m1.1d">italic_L start_POSTSUBSCRIPT mr end_POSTSUBSCRIPT ( bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math></th> <td class="ltx_td ltx_border_t" id="S5.T2.3.3.5"></td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S5.T2.7.7"> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T2.4.4.1"><math alttext="\Sigma=0.00" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T2.4.4.1.m1.1"><semantics id="S5.T2.4.4.1.m1.1a"><mrow id="S5.T2.4.4.1.m1.1.1" xref="S5.T2.4.4.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.T2.4.4.1.m1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S5.T2.4.4.1.m1.1.1.2.cmml">Σ</mi><mo id="S5.T2.4.4.1.m1.1.1.1" xref="S5.T2.4.4.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.T2.4.4.1.m1.1.1.3" xref="S5.T2.4.4.1.m1.1.1.3.cmml">0.00</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T2.4.4.1.m1.1b"><apply id="S5.T2.4.4.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.T2.4.4.1.m1.1.1"><eq id="S5.T2.4.4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.T2.4.4.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S5.T2.4.4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.T2.4.4.1.m1.1.1.2">Σ</ci><cn id="S5.T2.4.4.1.m1.1.1.3.cmml" type="float" xref="S5.T2.4.4.1.m1.1.1.3">0.00</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T2.4.4.1.m1.1c">\Sigma=0.00</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T2.4.4.1.m1.1d">roman_Σ = 0.00</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T2.5.5.2"><math alttext="100\%" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T2.5.5.2.m1.1"><semantics id="S5.T2.5.5.2.m1.1a"><mrow id="S5.T2.5.5.2.m1.1.1" xref="S5.T2.5.5.2.m1.1.1.cmml"><mn id="S5.T2.5.5.2.m1.1.1.2" xref="S5.T2.5.5.2.m1.1.1.2.cmml">100</mn><mo id="S5.T2.5.5.2.m1.1.1.1" xref="S5.T2.5.5.2.m1.1.1.1.cmml">%</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T2.5.5.2.m1.1b"><apply id="S5.T2.5.5.2.m1.1.1.cmml" xref="S5.T2.5.5.2.m1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.T2.5.5.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.T2.5.5.2.m1.1.1.1">percent</csymbol><cn id="S5.T2.5.5.2.m1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S5.T2.5.5.2.m1.1.1.2">100</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T2.5.5.2.m1.1c">100\%</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T2.5.5.2.m1.1d">100 %</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T2.6.6.3"><math alttext="100\%" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T2.6.6.3.m1.1"><semantics id="S5.T2.6.6.3.m1.1a"><mrow id="S5.T2.6.6.3.m1.1.1" xref="S5.T2.6.6.3.m1.1.1.cmml"><mn id="S5.T2.6.6.3.m1.1.1.2" xref="S5.T2.6.6.3.m1.1.1.2.cmml">100</mn><mo id="S5.T2.6.6.3.m1.1.1.1" xref="S5.T2.6.6.3.m1.1.1.1.cmml">%</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T2.6.6.3.m1.1b"><apply id="S5.T2.6.6.3.m1.1.1.cmml" xref="S5.T2.6.6.3.m1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.T2.6.6.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.T2.6.6.3.m1.1.1.1">percent</csymbol><cn id="S5.T2.6.6.3.m1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S5.T2.6.6.3.m1.1.1.2">100</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T2.6.6.3.m1.1c">100\%</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T2.6.6.3.m1.1d">100 %</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T2.7.7.4"><math alttext="100\%" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T2.7.7.4.m1.1"><semantics id="S5.T2.7.7.4.m1.1a"><mrow id="S5.T2.7.7.4.m1.1.1" xref="S5.T2.7.7.4.m1.1.1.cmml"><mn id="S5.T2.7.7.4.m1.1.1.2" xref="S5.T2.7.7.4.m1.1.1.2.cmml">100</mn><mo id="S5.T2.7.7.4.m1.1.1.1" xref="S5.T2.7.7.4.m1.1.1.1.cmml">%</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T2.7.7.4.m1.1b"><apply id="S5.T2.7.7.4.m1.1.1.cmml" xref="S5.T2.7.7.4.m1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.T2.7.7.4.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.T2.7.7.4.m1.1.1.1">percent</csymbol><cn id="S5.T2.7.7.4.m1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S5.T2.7.7.4.m1.1.1.2">100</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T2.7.7.4.m1.1c">100\%</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T2.7.7.4.m1.1d">100 %</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_border_t" id="S5.T2.7.7.5"></td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S5.T2.11.11"> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T2.8.8.1"><math alttext="\Sigma=0.01" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T2.8.8.1.m1.1"><semantics id="S5.T2.8.8.1.m1.1a"><mrow id="S5.T2.8.8.1.m1.1.1" xref="S5.T2.8.8.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.T2.8.8.1.m1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S5.T2.8.8.1.m1.1.1.2.cmml">Σ</mi><mo id="S5.T2.8.8.1.m1.1.1.1" xref="S5.T2.8.8.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.T2.8.8.1.m1.1.1.3" xref="S5.T2.8.8.1.m1.1.1.3.cmml">0.01</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T2.8.8.1.m1.1b"><apply id="S5.T2.8.8.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.T2.8.8.1.m1.1.1"><eq id="S5.T2.8.8.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.T2.8.8.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S5.T2.8.8.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.T2.8.8.1.m1.1.1.2">Σ</ci><cn id="S5.T2.8.8.1.m1.1.1.3.cmml" type="float" xref="S5.T2.8.8.1.m1.1.1.3">0.01</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T2.8.8.1.m1.1c">\Sigma=0.01</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T2.8.8.1.m1.1d">roman_Σ = 0.01</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T2.9.9.2"><math alttext="99.5\%" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T2.9.9.2.m1.1"><semantics id="S5.T2.9.9.2.m1.1a"><mrow id="S5.T2.9.9.2.m1.1.1" xref="S5.T2.9.9.2.m1.1.1.cmml"><mn id="S5.T2.9.9.2.m1.1.1.2" xref="S5.T2.9.9.2.m1.1.1.2.cmml">99.5</mn><mo id="S5.T2.9.9.2.m1.1.1.1" xref="S5.T2.9.9.2.m1.1.1.1.cmml">%</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T2.9.9.2.m1.1b"><apply id="S5.T2.9.9.2.m1.1.1.cmml" xref="S5.T2.9.9.2.m1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.T2.9.9.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.T2.9.9.2.m1.1.1.1">percent</csymbol><cn id="S5.T2.9.9.2.m1.1.1.2.cmml" type="float" xref="S5.T2.9.9.2.m1.1.1.2">99.5</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T2.9.9.2.m1.1c">99.5\%</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T2.9.9.2.m1.1d">99.5 %</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T2.10.10.3"><math alttext="98.5\%" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T2.10.10.3.m1.1"><semantics id="S5.T2.10.10.3.m1.1a"><mrow id="S5.T2.10.10.3.m1.1.1" xref="S5.T2.10.10.3.m1.1.1.cmml"><mn id="S5.T2.10.10.3.m1.1.1.2" xref="S5.T2.10.10.3.m1.1.1.2.cmml">98.5</mn><mo id="S5.T2.10.10.3.m1.1.1.1" xref="S5.T2.10.10.3.m1.1.1.1.cmml">%</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T2.10.10.3.m1.1b"><apply id="S5.T2.10.10.3.m1.1.1.cmml" xref="S5.T2.10.10.3.m1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.T2.10.10.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.T2.10.10.3.m1.1.1.1">percent</csymbol><cn id="S5.T2.10.10.3.m1.1.1.2.cmml" type="float" xref="S5.T2.10.10.3.m1.1.1.2">98.5</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T2.10.10.3.m1.1c">98.5\%</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T2.10.10.3.m1.1d">98.5 %</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T2.11.11.4"><math alttext="99.3\%" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T2.11.11.4.m1.1"><semantics id="S5.T2.11.11.4.m1.1a"><mrow id="S5.T2.11.11.4.m1.1.1" xref="S5.T2.11.11.4.m1.1.1.cmml"><mn id="S5.T2.11.11.4.m1.1.1.2" xref="S5.T2.11.11.4.m1.1.1.2.cmml">99.3</mn><mo id="S5.T2.11.11.4.m1.1.1.1" xref="S5.T2.11.11.4.m1.1.1.1.cmml">%</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T2.11.11.4.m1.1b"><apply id="S5.T2.11.11.4.m1.1.1.cmml" xref="S5.T2.11.11.4.m1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.T2.11.11.4.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.T2.11.11.4.m1.1.1.1">percent</csymbol><cn id="S5.T2.11.11.4.m1.1.1.2.cmml" type="float" xref="S5.T2.11.11.4.m1.1.1.2">99.3</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T2.11.11.4.m1.1c">99.3\%</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T2.11.11.4.m1.1d">99.3 %</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_border_t" id="S5.T2.11.11.5"></td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S5.T2.15.15"> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T2.12.12.1"><math alttext="\Sigma=0.1" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T2.12.12.1.m1.1"><semantics id="S5.T2.12.12.1.m1.1a"><mrow id="S5.T2.12.12.1.m1.1.1" xref="S5.T2.12.12.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.T2.12.12.1.m1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S5.T2.12.12.1.m1.1.1.2.cmml">Σ</mi><mo id="S5.T2.12.12.1.m1.1.1.1" xref="S5.T2.12.12.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.T2.12.12.1.m1.1.1.3" xref="S5.T2.12.12.1.m1.1.1.3.cmml">0.1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T2.12.12.1.m1.1b"><apply id="S5.T2.12.12.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.T2.12.12.1.m1.1.1"><eq id="S5.T2.12.12.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.T2.12.12.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S5.T2.12.12.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.T2.12.12.1.m1.1.1.2">Σ</ci><cn id="S5.T2.12.12.1.m1.1.1.3.cmml" type="float" xref="S5.T2.12.12.1.m1.1.1.3">0.1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T2.12.12.1.m1.1c">\Sigma=0.1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T2.12.12.1.m1.1d">roman_Σ = 0.1</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T2.13.13.2"><math alttext="96.5\%" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T2.13.13.2.m1.1"><semantics id="S5.T2.13.13.2.m1.1a"><mrow id="S5.T2.13.13.2.m1.1.1" xref="S5.T2.13.13.2.m1.1.1.cmml"><mn id="S5.T2.13.13.2.m1.1.1.2" xref="S5.T2.13.13.2.m1.1.1.2.cmml">96.5</mn><mo id="S5.T2.13.13.2.m1.1.1.1" xref="S5.T2.13.13.2.m1.1.1.1.cmml">%</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T2.13.13.2.m1.1b"><apply id="S5.T2.13.13.2.m1.1.1.cmml" xref="S5.T2.13.13.2.m1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.T2.13.13.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.T2.13.13.2.m1.1.1.1">percent</csymbol><cn id="S5.T2.13.13.2.m1.1.1.2.cmml" type="float" xref="S5.T2.13.13.2.m1.1.1.2">96.5</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T2.13.13.2.m1.1c">96.5\%</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T2.13.13.2.m1.1d">96.5 %</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T2.14.14.3"><math alttext="97.6\%" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T2.14.14.3.m1.1"><semantics id="S5.T2.14.14.3.m1.1a"><mrow id="S5.T2.14.14.3.m1.1.1" xref="S5.T2.14.14.3.m1.1.1.cmml"><mn id="S5.T2.14.14.3.m1.1.1.2" xref="S5.T2.14.14.3.m1.1.1.2.cmml">97.6</mn><mo id="S5.T2.14.14.3.m1.1.1.1" xref="S5.T2.14.14.3.m1.1.1.1.cmml">%</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T2.14.14.3.m1.1b"><apply id="S5.T2.14.14.3.m1.1.1.cmml" xref="S5.T2.14.14.3.m1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.T2.14.14.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.T2.14.14.3.m1.1.1.1">percent</csymbol><cn id="S5.T2.14.14.3.m1.1.1.2.cmml" type="float" xref="S5.T2.14.14.3.m1.1.1.2">97.6</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T2.14.14.3.m1.1c">97.6\%</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T2.14.14.3.m1.1d">97.6 %</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T2.15.15.4"><math alttext="99.1\%" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T2.15.15.4.m1.1"><semantics id="S5.T2.15.15.4.m1.1a"><mrow id="S5.T2.15.15.4.m1.1.1" xref="S5.T2.15.15.4.m1.1.1.cmml"><mn id="S5.T2.15.15.4.m1.1.1.2" xref="S5.T2.15.15.4.m1.1.1.2.cmml">99.1</mn><mo id="S5.T2.15.15.4.m1.1.1.1" xref="S5.T2.15.15.4.m1.1.1.1.cmml">%</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T2.15.15.4.m1.1b"><apply id="S5.T2.15.15.4.m1.1.1.cmml" xref="S5.T2.15.15.4.m1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.T2.15.15.4.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.T2.15.15.4.m1.1.1.1">percent</csymbol><cn id="S5.T2.15.15.4.m1.1.1.2.cmml" type="float" xref="S5.T2.15.15.4.m1.1.1.2">99.1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T2.15.15.4.m1.1c">99.1\%</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T2.15.15.4.m1.1d">99.1 %</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_border_t" id="S5.T2.15.15.5"></td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S5.T2.19.19"> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_b ltx_border_t" id="S5.T2.16.16.1"><math alttext="\Sigma=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T2.16.16.1.m1.1"><semantics id="S5.T2.16.16.1.m1.1a"><mrow id="S5.T2.16.16.1.m1.1.1" xref="S5.T2.16.16.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.T2.16.16.1.m1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S5.T2.16.16.1.m1.1.1.2.cmml">Σ</mi><mo id="S5.T2.16.16.1.m1.1.1.1" xref="S5.T2.16.16.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.T2.16.16.1.m1.1.1.3" xref="S5.T2.16.16.1.m1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T2.16.16.1.m1.1b"><apply id="S5.T2.16.16.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.T2.16.16.1.m1.1.1"><eq id="S5.T2.16.16.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.T2.16.16.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S5.T2.16.16.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.T2.16.16.1.m1.1.1.2">Σ</ci><cn id="S5.T2.16.16.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.T2.16.16.1.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T2.16.16.1.m1.1c">\Sigma=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T2.16.16.1.m1.1d">roman_Σ = 1</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_b ltx_border_t" id="S5.T2.17.17.2"><math alttext="89.2\%" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T2.17.17.2.m1.1"><semantics id="S5.T2.17.17.2.m1.1a"><mrow id="S5.T2.17.17.2.m1.1.1" xref="S5.T2.17.17.2.m1.1.1.cmml"><mn id="S5.T2.17.17.2.m1.1.1.2" xref="S5.T2.17.17.2.m1.1.1.2.cmml">89.2</mn><mo id="S5.T2.17.17.2.m1.1.1.1" xref="S5.T2.17.17.2.m1.1.1.1.cmml">%</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T2.17.17.2.m1.1b"><apply id="S5.T2.17.17.2.m1.1.1.cmml" xref="S5.T2.17.17.2.m1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.T2.17.17.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.T2.17.17.2.m1.1.1.1">percent</csymbol><cn id="S5.T2.17.17.2.m1.1.1.2.cmml" type="float" xref="S5.T2.17.17.2.m1.1.1.2">89.2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T2.17.17.2.m1.1c">89.2\%</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T2.17.17.2.m1.1d">89.2 %</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_b ltx_border_t" id="S5.T2.18.18.3"><math alttext="97.4\%" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T2.18.18.3.m1.1"><semantics id="S5.T2.18.18.3.m1.1a"><mrow id="S5.T2.18.18.3.m1.1.1" xref="S5.T2.18.18.3.m1.1.1.cmml"><mn id="S5.T2.18.18.3.m1.1.1.2" xref="S5.T2.18.18.3.m1.1.1.2.cmml">97.4</mn><mo id="S5.T2.18.18.3.m1.1.1.1" xref="S5.T2.18.18.3.m1.1.1.1.cmml">%</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T2.18.18.3.m1.1b"><apply id="S5.T2.18.18.3.m1.1.1.cmml" xref="S5.T2.18.18.3.m1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.T2.18.18.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.T2.18.18.3.m1.1.1.1">percent</csymbol><cn id="S5.T2.18.18.3.m1.1.1.2.cmml" type="float" xref="S5.T2.18.18.3.m1.1.1.2">97.4</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T2.18.18.3.m1.1c">97.4\%</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T2.18.18.3.m1.1d">97.4 %</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_b ltx_border_t" id="S5.T2.19.19.4"><math alttext="99.2\%" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T2.19.19.4.m1.1"><semantics id="S5.T2.19.19.4.m1.1a"><mrow id="S5.T2.19.19.4.m1.1.1" xref="S5.T2.19.19.4.m1.1.1.cmml"><mn id="S5.T2.19.19.4.m1.1.1.2" xref="S5.T2.19.19.4.m1.1.1.2.cmml">99.2</mn><mo id="S5.T2.19.19.4.m1.1.1.1" xref="S5.T2.19.19.4.m1.1.1.1.cmml">%</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T2.19.19.4.m1.1b"><apply id="S5.T2.19.19.4.m1.1.1.cmml" xref="S5.T2.19.19.4.m1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.T2.19.19.4.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.T2.19.19.4.m1.1.1.1">percent</csymbol><cn id="S5.T2.19.19.4.m1.1.1.2.cmml" type="float" xref="S5.T2.19.19.4.m1.1.1.2">99.2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T2.19.19.4.m1.1c">99.2\%</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T2.19.19.4.m1.1d">99.2 %</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_border_b ltx_border_t" id="S5.T2.19.19.5"></td> </tr> </tbody> </table> </figure> <div class="ltx_para" id="S5.SS1.p4"> <p class="ltx_p" id="S5.SS1.p4.3">To verify the robust performance of the proposed method against several noise levels, we run <math alttext="100" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p4.1.m1.1"><semantics id="S5.SS1.p4.1.m1.1a"><mn id="S5.SS1.p4.1.m1.1.1" xref="S5.SS1.p4.1.m1.1.1.cmml">100</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p4.1.m1.1b"><cn id="S5.SS1.p4.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p4.1.m1.1.1">100</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p4.1.m1.1c">100</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p4.1.m1.1d">100</annotation></semantics></math> Monte Carlo experiments under four different noise conditions, i.e., <math alttext="\Sigma\in\{0.01I,0.1I,0.5I,I\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p4.2.m2.4"><semantics id="S5.SS1.p4.2.m2.4a"><mrow id="S5.SS1.p4.2.m2.4.4" xref="S5.SS1.p4.2.m2.4.4.cmml"><mi id="S5.SS1.p4.2.m2.4.4.5" mathvariant="normal" xref="S5.SS1.p4.2.m2.4.4.5.cmml">Σ</mi><mo id="S5.SS1.p4.2.m2.4.4.4" xref="S5.SS1.p4.2.m2.4.4.4.cmml">∈</mo><mrow id="S5.SS1.p4.2.m2.4.4.3.3" xref="S5.SS1.p4.2.m2.4.4.3.4.cmml"><mo id="S5.SS1.p4.2.m2.4.4.3.3.4" stretchy="false" xref="S5.SS1.p4.2.m2.4.4.3.4.cmml">{</mo><mrow id="S5.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1" xref="S5.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mn id="S5.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.2" xref="S5.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">0.01</mn><mo id="S5.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1" xref="S5.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3" xref="S5.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml">I</mi></mrow><mo id="S5.SS1.p4.2.m2.4.4.3.3.5" xref="S5.SS1.p4.2.m2.4.4.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S5.SS1.p4.2.m2.3.3.2.2.2" xref="S5.SS1.p4.2.m2.3.3.2.2.2.cmml"><mn id="S5.SS1.p4.2.m2.3.3.2.2.2.2" xref="S5.SS1.p4.2.m2.3.3.2.2.2.2.cmml">0.1</mn><mo id="S5.SS1.p4.2.m2.3.3.2.2.2.1" xref="S5.SS1.p4.2.m2.3.3.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS1.p4.2.m2.3.3.2.2.2.3" xref="S5.SS1.p4.2.m2.3.3.2.2.2.3.cmml">I</mi></mrow><mo id="S5.SS1.p4.2.m2.4.4.3.3.6" xref="S5.SS1.p4.2.m2.4.4.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S5.SS1.p4.2.m2.4.4.3.3.3" xref="S5.SS1.p4.2.m2.4.4.3.3.3.cmml"><mn id="S5.SS1.p4.2.m2.4.4.3.3.3.2" xref="S5.SS1.p4.2.m2.4.4.3.3.3.2.cmml">0.5</mn><mo id="S5.SS1.p4.2.m2.4.4.3.3.3.1" xref="S5.SS1.p4.2.m2.4.4.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS1.p4.2.m2.4.4.3.3.3.3" xref="S5.SS1.p4.2.m2.4.4.3.3.3.3.cmml">I</mi></mrow><mo id="S5.SS1.p4.2.m2.4.4.3.3.7" xref="S5.SS1.p4.2.m2.4.4.3.4.cmml">,</mo><mi id="S5.SS1.p4.2.m2.1.1" xref="S5.SS1.p4.2.m2.1.1.cmml">I</mi><mo id="S5.SS1.p4.2.m2.4.4.3.3.8" stretchy="false" xref="S5.SS1.p4.2.m2.4.4.3.4.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p4.2.m2.4b"><apply id="S5.SS1.p4.2.m2.4.4.cmml" xref="S5.SS1.p4.2.m2.4.4"><in id="S5.SS1.p4.2.m2.4.4.4.cmml" xref="S5.SS1.p4.2.m2.4.4.4"></in><ci id="S5.SS1.p4.2.m2.4.4.5.cmml" xref="S5.SS1.p4.2.m2.4.4.5">Σ</ci><set id="S5.SS1.p4.2.m2.4.4.3.4.cmml" xref="S5.SS1.p4.2.m2.4.4.3.3"><apply id="S5.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1"><times id="S5.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1"></times><cn id="S5.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" type="float" xref="S5.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.2">0.01</cn><ci id="S5.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3">𝐼</ci></apply><apply id="S5.SS1.p4.2.m2.3.3.2.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p4.2.m2.3.3.2.2.2"><times id="S5.SS1.p4.2.m2.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p4.2.m2.3.3.2.2.2.1"></times><cn id="S5.SS1.p4.2.m2.3.3.2.2.2.2.cmml" type="float" xref="S5.SS1.p4.2.m2.3.3.2.2.2.2">0.1</cn><ci id="S5.SS1.p4.2.m2.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S5.SS1.p4.2.m2.3.3.2.2.2.3">𝐼</ci></apply><apply id="S5.SS1.p4.2.m2.4.4.3.3.3.cmml" xref="S5.SS1.p4.2.m2.4.4.3.3.3"><times id="S5.SS1.p4.2.m2.4.4.3.3.3.1.cmml" xref="S5.SS1.p4.2.m2.4.4.3.3.3.1"></times><cn id="S5.SS1.p4.2.m2.4.4.3.3.3.2.cmml" type="float" xref="S5.SS1.p4.2.m2.4.4.3.3.3.2">0.5</cn><ci id="S5.SS1.p4.2.m2.4.4.3.3.3.3.cmml" xref="S5.SS1.p4.2.m2.4.4.3.3.3.3">𝐼</ci></apply><ci id="S5.SS1.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p4.2.m2.1.1">𝐼</ci></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p4.2.m2.4c">\Sigma\in\{0.01I,0.1I,0.5I,I\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p4.2.m2.4d">roman_Σ ∈ { 0.01 italic_I , 0.1 italic_I , 0.5 italic_I , italic_I }</annotation></semantics></math>. In Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S5.F3" title="Figure 3 ‣ 5.1 Example 1: Academic NCS-RSM ‣ 5 Numerical examples ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a> we report the mean and the variance of the match rates in all the considered cases. We observe that the estimation accuracy of the switching sequence is not significantly affected by the noise variance, since even for high noise levels the estimation accuracy can still reach <math alttext="98\%" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p4.3.m3.1"><semantics id="S5.SS1.p4.3.m3.1a"><mrow id="S5.SS1.p4.3.m3.1.1" xref="S5.SS1.p4.3.m3.1.1.cmml"><mn id="S5.SS1.p4.3.m3.1.1.2" xref="S5.SS1.p4.3.m3.1.1.2.cmml">98</mn><mo id="S5.SS1.p4.3.m3.1.1.1" xref="S5.SS1.p4.3.m3.1.1.1.cmml">%</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p4.3.m3.1b"><apply id="S5.SS1.p4.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p4.3.m3.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.SS1.p4.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p4.3.m3.1.1.1">percent</csymbol><cn id="S5.SS1.p4.3.m3.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p4.3.m3.1.1.2">98</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p4.3.m3.1c">98\%</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p4.3.m3.1d">98 %</annotation></semantics></math> due to the excellent performance of the modified KF.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S5.F3"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="664" id="S5.F3.g1" src="x3.png" width="885"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F3.2.1.1" style="font-size:90%;">Figure 3</span>: </span><span class="ltx_text" id="S5.F3.3.2" style="font-size:90%;">Match rates obtained by the proposed algorithm for different noise levels.</span></figcaption> </figure> </section> <section class="ltx_subsection" id="S5.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">5.2 </span>Example 2: The Department Store Inventory Price Index </h3> <div class="ltx_para" id="S5.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S5.SS2.p1.1">In this subsection we adopt “The Department Store Inventory Price Index”(DSIP) dataset from The Bureau of Labor Statistics (BLS). These data come from inventory weighted price indices of goods carried by department stores.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.SS2.p2"> <p class="ltx_p" id="S5.SS2.p2.1">The dynamics of the DSIP are shaped by the interplay of both causal and non-causal factors. Traditional causal models focus on predicting future prices using historical data (e.g., supply-demand fluctuations, production costs), while the core value of the proposed NCS-ASM lies in historical data smoothing and dynamic interpretation. For instance, future expectations (e.g., pre-holiday inventory adjustments) influence historical price smooothing estimates through non-causal subsystems, correcting fluctuations caused by short-term market noise or measurement errors. Additionally, price dynamics often exhibit bidirectional feedback (e.g., interactions between current inventory and future restocking plans) and mode switching (e.g., seasonal patterns). Therefore, a NCS-RSM model (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S2.E1" title="In 2.1 System model description ‣ 2 Mathematical formulation ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>) is suitable for describing the DSIP.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.SS2.p3"> <p class="ltx_p" id="S5.SS2.p3.1">In Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S5.F4" title="Figure 4 ‣ 5.2 Example 2: The Department Store Inventory Price Index ‣ 5 Numerical examples ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a> we show the true prices and the smoothing estimated prices with different number of subsystems. The smoothing estimation errors <math alttext="\delta=\|\bm{y}-\hat{\bm{y}}\|/\|\bm{y}\|" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.p3.1.m1.2"><semantics id="S5.SS2.p3.1.m1.2a"><mrow id="S5.SS2.p3.1.m1.2.2" xref="S5.SS2.p3.1.m1.2.2.cmml"><mi id="S5.SS2.p3.1.m1.2.2.3" xref="S5.SS2.p3.1.m1.2.2.3.cmml">δ</mi><mo id="S5.SS2.p3.1.m1.2.2.2" xref="S5.SS2.p3.1.m1.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS2.p3.1.m1.2.2.1" xref="S5.SS2.p3.1.m1.2.2.1.cmml"><mrow id="S5.SS2.p3.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S5.SS2.p3.1.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S5.SS2.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.SS2.p3.1.m1.2.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S5.SS2.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S5.SS2.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS2.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S5.SS2.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">𝒚</mi><mo id="S5.SS2.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S5.SS2.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mover accent="true" id="S5.SS2.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S5.SS2.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.SS2.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S5.SS2.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">𝒚</mi><mo id="S5.SS2.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.1" xref="S5.SS2.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml">^</mo></mover></mrow><mo id="S5.SS2.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.SS2.p3.1.m1.2.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mo id="S5.SS2.p3.1.m1.2.2.1.2" xref="S5.SS2.p3.1.m1.2.2.1.2.cmml">/</mo><mrow id="S5.SS2.p3.1.m1.2.2.1.3.2" xref="S5.SS2.p3.1.m1.2.2.1.3.1.cmml"><mo id="S5.SS2.p3.1.m1.2.2.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.SS2.p3.1.m1.2.2.1.3.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S5.SS2.p3.1.m1.1.1" xref="S5.SS2.p3.1.m1.1.1.cmml">𝒚</mi><mo id="S5.SS2.p3.1.m1.2.2.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.SS2.p3.1.m1.2.2.1.3.1.1.cmml">‖</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.p3.1.m1.2b"><apply id="S5.SS2.p3.1.m1.2.2.cmml" xref="S5.SS2.p3.1.m1.2.2"><eq id="S5.SS2.p3.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S5.SS2.p3.1.m1.2.2.2"></eq><ci id="S5.SS2.p3.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S5.SS2.p3.1.m1.2.2.3">𝛿</ci><apply id="S5.SS2.p3.1.m1.2.2.1.cmml" xref="S5.SS2.p3.1.m1.2.2.1"><divide id="S5.SS2.p3.1.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S5.SS2.p3.1.m1.2.2.1.2"></divide><apply id="S5.SS2.p3.1.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.SS2.p3.1.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.SS2.p3.1.m1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS2.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S5.SS2.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1"><minus id="S5.SS2.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S5.SS2.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS2.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.2">𝒚</ci><apply id="S5.SS2.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS2.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.3"><ci id="S5.SS2.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS2.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.1">^</ci><ci id="S5.SS2.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS2.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2">𝒚</ci></apply></apply></apply><apply id="S5.SS2.p3.1.m1.2.2.1.3.1.cmml" xref="S5.SS2.p3.1.m1.2.2.1.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.SS2.p3.1.m1.2.2.1.3.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p3.1.m1.2.2.1.3.2.1">norm</csymbol><ci id="S5.SS2.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p3.1.m1.1.1">𝒚</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.p3.1.m1.2c">\delta=\|\bm{y}-\hat{\bm{y}}\|/\|\bm{y}\|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.p3.1.m1.2d">italic_δ = ∥ bold_italic_y - over^ start_ARG bold_italic_y end_ARG ∥ / ∥ bold_italic_y ∥</annotation></semantics></math> with different number of subsystems are shown in Table <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S5.T3" title="Table 3 ‣ 5.2 Example 2: The Department Store Inventory Price Index ‣ 5 Numerical examples ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>. Specifically, we can infer that the larger the number of subsystems, the more accuracy the smoothing estimation becomes.</p> </div> <figure class="ltx_table" id="S5.T3"> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_table"><span class="ltx_text" id="S5.T3.16.1.1" style="font-size:90%;">Table 3</span>: </span><span class="ltx_text" id="S5.T3.17.2" style="font-size:90%;">The smoothing estimation errors against different number of subsystems.</span></figcaption> <table class="ltx_tabular ltx_centering ltx_guessed_headers ltx_align_middle" id="S5.T3.14"> <thead class="ltx_thead"> <tr class="ltx_tr" id="S5.T3.5.5"> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_column ltx_border_t" id="S5.T3.5.5.6">switching sequence</th> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_column ltx_border_t" id="S5.T3.2.2.2"> <math alttext="\#" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T3.1.1.1.m1.1"><semantics id="S5.T3.1.1.1.m1.1a"><mi id="S5.T3.1.1.1.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="S5.T3.1.1.1.m1.1.1.cmml">#</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T3.1.1.1.m1.1b"><ci id="S5.T3.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.T3.1.1.1.m1.1.1">#</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T3.1.1.1.m1.1c">\#</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T3.1.1.1.m1.1d">#</annotation></semantics></math> of <math alttext="\bm{s}_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T3.2.2.2.m2.1"><semantics id="S5.T3.2.2.2.m2.1a"><msub id="S5.T3.2.2.2.m2.1.1" xref="S5.T3.2.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.T3.2.2.2.m2.1.1.2" xref="S5.T3.2.2.2.m2.1.1.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S5.T3.2.2.2.m2.1.1.3" xref="S5.T3.2.2.2.m2.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T3.2.2.2.m2.1b"><apply id="S5.T3.2.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.T3.2.2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.T3.2.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.T3.2.2.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.T3.2.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.T3.2.2.2.m2.1.1.2">𝒔</ci><ci id="S5.T3.2.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.T3.2.2.2.m2.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T3.2.2.2.m2.1c">\bm{s}_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T3.2.2.2.m2.1d">bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> </th> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_column ltx_border_t" id="S5.T3.4.4.4"> <math alttext="\#" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T3.3.3.3.m1.1"><semantics id="S5.T3.3.3.3.m1.1a"><mi id="S5.T3.3.3.3.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="S5.T3.3.3.3.m1.1.1.cmml">#</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T3.3.3.3.m1.1b"><ci id="S5.T3.3.3.3.m1.1.1.cmml" xref="S5.T3.3.3.3.m1.1.1">#</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T3.3.3.3.m1.1c">\#</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T3.3.3.3.m1.1d">#</annotation></semantics></math> of <math alttext="\bm{s}_{a}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T3.4.4.4.m2.1"><semantics id="S5.T3.4.4.4.m2.1a"><msub id="S5.T3.4.4.4.m2.1.1" xref="S5.T3.4.4.4.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.T3.4.4.4.m2.1.1.2" xref="S5.T3.4.4.4.m2.1.1.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S5.T3.4.4.4.m2.1.1.3" xref="S5.T3.4.4.4.m2.1.1.3.cmml">a</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T3.4.4.4.m2.1b"><apply id="S5.T3.4.4.4.m2.1.1.cmml" xref="S5.T3.4.4.4.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.T3.4.4.4.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.T3.4.4.4.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.T3.4.4.4.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.T3.4.4.4.m2.1.1.2">𝒔</ci><ci id="S5.T3.4.4.4.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.T3.4.4.4.m2.1.1.3">𝑎</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T3.4.4.4.m2.1c">\bm{s}_{a}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T3.4.4.4.m2.1d">bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> </th> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_column ltx_border_t" id="S5.T3.5.5.5"><math alttext="\delta" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T3.5.5.5.m1.1"><semantics id="S5.T3.5.5.5.m1.1a"><mi id="S5.T3.5.5.5.m1.1.1" xref="S5.T3.5.5.5.m1.1.1.cmml">δ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T3.5.5.5.m1.1b"><ci id="S5.T3.5.5.5.m1.1.1.cmml" xref="S5.T3.5.5.5.m1.1.1">𝛿</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T3.5.5.5.m1.1c">\delta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T3.5.5.5.m1.1d">italic_δ</annotation></semantics></math></th> </tr> </thead> <tbody class="ltx_tbody"> <tr class="ltx_tr" id="S5.T3.8.8"> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T3.6.6.1"><math alttext="\bm{s}_{c}=\bm{s}_{a}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T3.6.6.1.m1.1"><semantics id="S5.T3.6.6.1.m1.1a"><mrow id="S5.T3.6.6.1.m1.1.1" xref="S5.T3.6.6.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S5.T3.6.6.1.m1.1.1.2" xref="S5.T3.6.6.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.T3.6.6.1.m1.1.1.2.2" xref="S5.T3.6.6.1.m1.1.1.2.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S5.T3.6.6.1.m1.1.1.2.3" xref="S5.T3.6.6.1.m1.1.1.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S5.T3.6.6.1.m1.1.1.1" xref="S5.T3.6.6.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><msub id="S5.T3.6.6.1.m1.1.1.3" xref="S5.T3.6.6.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.T3.6.6.1.m1.1.1.3.2" xref="S5.T3.6.6.1.m1.1.1.3.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S5.T3.6.6.1.m1.1.1.3.3" xref="S5.T3.6.6.1.m1.1.1.3.3.cmml">a</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T3.6.6.1.m1.1b"><apply id="S5.T3.6.6.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.T3.6.6.1.m1.1.1"><eq id="S5.T3.6.6.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.T3.6.6.1.m1.1.1.1"></eq><apply id="S5.T3.6.6.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.T3.6.6.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.T3.6.6.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.T3.6.6.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.T3.6.6.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.T3.6.6.1.m1.1.1.2.2">𝒔</ci><ci id="S5.T3.6.6.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.T3.6.6.1.m1.1.1.2.3">𝑐</ci></apply><apply id="S5.T3.6.6.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.T3.6.6.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.T3.6.6.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.T3.6.6.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.T3.6.6.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.T3.6.6.1.m1.1.1.3.2">𝒔</ci><ci id="S5.T3.6.6.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.T3.6.6.1.m1.1.1.3.3">𝑎</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T3.6.6.1.m1.1c">\bm{s}_{c}=\bm{s}_{a}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T3.6.6.1.m1.1d">bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT = bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T3.7.7.2"><math alttext="m_{c}=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T3.7.7.2.m1.1"><semantics id="S5.T3.7.7.2.m1.1a"><mrow id="S5.T3.7.7.2.m1.1.1" xref="S5.T3.7.7.2.m1.1.1.cmml"><msub id="S5.T3.7.7.2.m1.1.1.2" xref="S5.T3.7.7.2.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.T3.7.7.2.m1.1.1.2.2" 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id="S5.T3.14.14"> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_b ltx_border_t" id="S5.T3.12.12.1"><math alttext="\bm{s}_{c}\neq\bm{s}_{a}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T3.12.12.1.m1.1"><semantics id="S5.T3.12.12.1.m1.1a"><mrow id="S5.T3.12.12.1.m1.1.1" xref="S5.T3.12.12.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S5.T3.12.12.1.m1.1.1.2" xref="S5.T3.12.12.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.T3.12.12.1.m1.1.1.2.2" xref="S5.T3.12.12.1.m1.1.1.2.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S5.T3.12.12.1.m1.1.1.2.3" xref="S5.T3.12.12.1.m1.1.1.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S5.T3.12.12.1.m1.1.1.1" xref="S5.T3.12.12.1.m1.1.1.1.cmml">≠</mo><msub id="S5.T3.12.12.1.m1.1.1.3" xref="S5.T3.12.12.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.T3.12.12.1.m1.1.1.3.2" xref="S5.T3.12.12.1.m1.1.1.3.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S5.T3.12.12.1.m1.1.1.3.3" xref="S5.T3.12.12.1.m1.1.1.3.3.cmml">a</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T3.12.12.1.m1.1b"><apply id="S5.T3.12.12.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.T3.12.12.1.m1.1.1"><neq id="S5.T3.12.12.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.T3.12.12.1.m1.1.1.1"></neq><apply id="S5.T3.12.12.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.T3.12.12.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.T3.12.12.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.T3.12.12.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.T3.12.12.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.T3.12.12.1.m1.1.1.2.2">𝒔</ci><ci id="S5.T3.12.12.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.T3.12.12.1.m1.1.1.2.3">𝑐</ci></apply><apply id="S5.T3.12.12.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.T3.12.12.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.T3.12.12.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.T3.12.12.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.T3.12.12.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.T3.12.12.1.m1.1.1.3.2">𝒔</ci><ci id="S5.T3.12.12.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.T3.12.12.1.m1.1.1.3.3">𝑎</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T3.12.12.1.m1.1c">\bm{s}_{c}\neq\bm{s}_{a}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T3.12.12.1.m1.1d">bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ≠ bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_b ltx_border_t" id="S5.T3.13.13.2"><math alttext="m_{c}=2" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T3.13.13.2.m1.1"><semantics id="S5.T3.13.13.2.m1.1a"><mrow id="S5.T3.13.13.2.m1.1.1" xref="S5.T3.13.13.2.m1.1.1.cmml"><msub id="S5.T3.13.13.2.m1.1.1.2" xref="S5.T3.13.13.2.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.T3.13.13.2.m1.1.1.2.2" xref="S5.T3.13.13.2.m1.1.1.2.2.cmml">m</mi><mi id="S5.T3.13.13.2.m1.1.1.2.3" xref="S5.T3.13.13.2.m1.1.1.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S5.T3.13.13.2.m1.1.1.1" xref="S5.T3.13.13.2.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.T3.13.13.2.m1.1.1.3" xref="S5.T3.13.13.2.m1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T3.13.13.2.m1.1b"><apply id="S5.T3.13.13.2.m1.1.1.cmml" xref="S5.T3.13.13.2.m1.1.1"><eq id="S5.T3.13.13.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.T3.13.13.2.m1.1.1.1"></eq><apply id="S5.T3.13.13.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.T3.13.13.2.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.T3.13.13.2.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.T3.13.13.2.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.T3.13.13.2.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.T3.13.13.2.m1.1.1.2.2">𝑚</ci><ci id="S5.T3.13.13.2.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.T3.13.13.2.m1.1.1.2.3">𝑐</ci></apply><cn id="S5.T3.13.13.2.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.T3.13.13.2.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T3.13.13.2.m1.1c">m_{c}=2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T3.13.13.2.m1.1d">italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT = 2</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_b ltx_border_t" id="S5.T3.14.14.3"><math alttext="m_{a}=2" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T3.14.14.3.m1.1"><semantics id="S5.T3.14.14.3.m1.1a"><mrow id="S5.T3.14.14.3.m1.1.1" xref="S5.T3.14.14.3.m1.1.1.cmml"><msub id="S5.T3.14.14.3.m1.1.1.2" xref="S5.T3.14.14.3.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.T3.14.14.3.m1.1.1.2.2" xref="S5.T3.14.14.3.m1.1.1.2.2.cmml">m</mi><mi id="S5.T3.14.14.3.m1.1.1.2.3" xref="S5.T3.14.14.3.m1.1.1.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S5.T3.14.14.3.m1.1.1.1" xref="S5.T3.14.14.3.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.T3.14.14.3.m1.1.1.3" xref="S5.T3.14.14.3.m1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T3.14.14.3.m1.1b"><apply id="S5.T3.14.14.3.m1.1.1.cmml" xref="S5.T3.14.14.3.m1.1.1"><eq id="S5.T3.14.14.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.T3.14.14.3.m1.1.1.1"></eq><apply id="S5.T3.14.14.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.T3.14.14.3.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.T3.14.14.3.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.T3.14.14.3.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.T3.14.14.3.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.T3.14.14.3.m1.1.1.2.2">𝑚</ci><ci id="S5.T3.14.14.3.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.T3.14.14.3.m1.1.1.2.3">𝑎</ci></apply><cn id="S5.T3.14.14.3.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.T3.14.14.3.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T3.14.14.3.m1.1c">m_{a}=2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T3.14.14.3.m1.1d">italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT = 2</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_b ltx_border_t" id="S5.T3.14.14.4">0.0188</td> </tr> </tbody> </table> </figure> <figure class="ltx_figure" id="S5.F4"> <div class="ltx_flex_figure"> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_3"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel" id="S5.F4.sf1"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_landscape" height="498" id="S5.F4.sf1.g1" src="x4.png" width="933"/> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F4.sf1.2.1.1" style="font-size:90%;">(a)</span> </span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_3"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel" id="S5.F4.sf2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_landscape" height="498" id="S5.F4.sf2.g1" src="x5.png" width="933"/> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F4.sf2.2.1.1" style="font-size:90%;">(b)</span> </span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_3"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel" id="S5.F4.sf3"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_landscape" height="498" id="S5.F4.sf3.g1" src="x6.png" width="933"/> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F4.sf3.2.1.1" style="font-size:90%;">(c)</span> </span></figcaption> </figure> </div> </div> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F4.14.7.1" style="font-size:90%;">Figure 4</span>: </span><span class="ltx_text" id="S5.F4.12.6" style="font-size:90%;">The smoothing estimated prices and the true prices with different numbers of the subsystem. (a) <math alttext="\bm{s}_{c}=\bm{s}_{a}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F4.7.1.m1.1"><semantics id="S5.F4.7.1.m1.1b"><mrow id="S5.F4.7.1.m1.1.1" xref="S5.F4.7.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S5.F4.7.1.m1.1.1.2" xref="S5.F4.7.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.F4.7.1.m1.1.1.2.2" xref="S5.F4.7.1.m1.1.1.2.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S5.F4.7.1.m1.1.1.2.3" xref="S5.F4.7.1.m1.1.1.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S5.F4.7.1.m1.1.1.1" xref="S5.F4.7.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><msub id="S5.F4.7.1.m1.1.1.3" xref="S5.F4.7.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.F4.7.1.m1.1.1.3.2" xref="S5.F4.7.1.m1.1.1.3.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S5.F4.7.1.m1.1.1.3.3" xref="S5.F4.7.1.m1.1.1.3.3.cmml">a</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F4.7.1.m1.1c"><apply id="S5.F4.7.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.F4.7.1.m1.1.1"><eq id="S5.F4.7.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.F4.7.1.m1.1.1.1"></eq><apply id="S5.F4.7.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.F4.7.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.F4.7.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.F4.7.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.F4.7.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.F4.7.1.m1.1.1.2.2">𝒔</ci><ci id="S5.F4.7.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.F4.7.1.m1.1.1.2.3">𝑐</ci></apply><apply id="S5.F4.7.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.F4.7.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.F4.7.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.F4.7.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.F4.7.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.F4.7.1.m1.1.1.3.2">𝒔</ci><ci id="S5.F4.7.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.F4.7.1.m1.1.1.3.3">𝑎</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F4.7.1.m1.1d">\bm{s}_{c}=\bm{s}_{a}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F4.7.1.m1.1e">bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT = bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="m_{c}=m_{a}=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F4.8.2.m2.1"><semantics id="S5.F4.8.2.m2.1b"><mrow id="S5.F4.8.2.m2.1.1" xref="S5.F4.8.2.m2.1.1.cmml"><msub id="S5.F4.8.2.m2.1.1.2" xref="S5.F4.8.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S5.F4.8.2.m2.1.1.2.2" xref="S5.F4.8.2.m2.1.1.2.2.cmml">m</mi><mi id="S5.F4.8.2.m2.1.1.2.3" xref="S5.F4.8.2.m2.1.1.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S5.F4.8.2.m2.1.1.3" xref="S5.F4.8.2.m2.1.1.3.cmml">=</mo><msub id="S5.F4.8.2.m2.1.1.4" xref="S5.F4.8.2.m2.1.1.4.cmml"><mi id="S5.F4.8.2.m2.1.1.4.2" xref="S5.F4.8.2.m2.1.1.4.2.cmml">m</mi><mi id="S5.F4.8.2.m2.1.1.4.3" xref="S5.F4.8.2.m2.1.1.4.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S5.F4.8.2.m2.1.1.5" xref="S5.F4.8.2.m2.1.1.5.cmml">=</mo><mn id="S5.F4.8.2.m2.1.1.6" xref="S5.F4.8.2.m2.1.1.6.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F4.8.2.m2.1c"><apply id="S5.F4.8.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.F4.8.2.m2.1.1"><and id="S5.F4.8.2.m2.1.1a.cmml" xref="S5.F4.8.2.m2.1.1"></and><apply id="S5.F4.8.2.m2.1.1b.cmml" xref="S5.F4.8.2.m2.1.1"><eq id="S5.F4.8.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.F4.8.2.m2.1.1.3"></eq><apply id="S5.F4.8.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.F4.8.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.F4.8.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.F4.8.2.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.F4.8.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S5.F4.8.2.m2.1.1.2.2">𝑚</ci><ci id="S5.F4.8.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S5.F4.8.2.m2.1.1.2.3">𝑐</ci></apply><apply id="S5.F4.8.2.m2.1.1.4.cmml" xref="S5.F4.8.2.m2.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.F4.8.2.m2.1.1.4.1.cmml" xref="S5.F4.8.2.m2.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S5.F4.8.2.m2.1.1.4.2.cmml" xref="S5.F4.8.2.m2.1.1.4.2">𝑚</ci><ci id="S5.F4.8.2.m2.1.1.4.3.cmml" xref="S5.F4.8.2.m2.1.1.4.3">𝑎</ci></apply></apply><apply id="S5.F4.8.2.m2.1.1c.cmml" xref="S5.F4.8.2.m2.1.1"><eq id="S5.F4.8.2.m2.1.1.5.cmml" xref="S5.F4.8.2.m2.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S5.F4.8.2.m2.1.1.4.cmml" id="S5.F4.8.2.m2.1.1d.cmml" xref="S5.F4.8.2.m2.1.1"></share><cn id="S5.F4.8.2.m2.1.1.6.cmml" type="integer" xref="S5.F4.8.2.m2.1.1.6">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F4.8.2.m2.1d">m_{c}=m_{a}=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F4.8.2.m2.1e">italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT = italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT = 1</annotation></semantics></math>; (b) <math alttext="\bm{s}_{c}\neq\bm{s}_{a}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F4.9.3.m3.1"><semantics id="S5.F4.9.3.m3.1b"><mrow id="S5.F4.9.3.m3.1.1" xref="S5.F4.9.3.m3.1.1.cmml"><msub id="S5.F4.9.3.m3.1.1.2" xref="S5.F4.9.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S5.F4.9.3.m3.1.1.2.2" xref="S5.F4.9.3.m3.1.1.2.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S5.F4.9.3.m3.1.1.2.3" xref="S5.F4.9.3.m3.1.1.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S5.F4.9.3.m3.1.1.1" xref="S5.F4.9.3.m3.1.1.1.cmml">≠</mo><msub id="S5.F4.9.3.m3.1.1.3" xref="S5.F4.9.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S5.F4.9.3.m3.1.1.3.2" xref="S5.F4.9.3.m3.1.1.3.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S5.F4.9.3.m3.1.1.3.3" xref="S5.F4.9.3.m3.1.1.3.3.cmml">a</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F4.9.3.m3.1c"><apply id="S5.F4.9.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.F4.9.3.m3.1.1"><neq id="S5.F4.9.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.F4.9.3.m3.1.1.1"></neq><apply id="S5.F4.9.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.F4.9.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.F4.9.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S5.F4.9.3.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.F4.9.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S5.F4.9.3.m3.1.1.2.2">𝒔</ci><ci id="S5.F4.9.3.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S5.F4.9.3.m3.1.1.2.3">𝑐</ci></apply><apply id="S5.F4.9.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S5.F4.9.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.F4.9.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S5.F4.9.3.m3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.F4.9.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S5.F4.9.3.m3.1.1.3.2">𝒔</ci><ci id="S5.F4.9.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S5.F4.9.3.m3.1.1.3.3">𝑎</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F4.9.3.m3.1d">\bm{s}_{c}\neq\bm{s}_{a}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F4.9.3.m3.1e">bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ≠ bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="m_{c}=m_{a}=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F4.10.4.m4.1"><semantics id="S5.F4.10.4.m4.1b"><mrow id="S5.F4.10.4.m4.1.1" xref="S5.F4.10.4.m4.1.1.cmml"><msub id="S5.F4.10.4.m4.1.1.2" xref="S5.F4.10.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S5.F4.10.4.m4.1.1.2.2" xref="S5.F4.10.4.m4.1.1.2.2.cmml">m</mi><mi id="S5.F4.10.4.m4.1.1.2.3" xref="S5.F4.10.4.m4.1.1.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S5.F4.10.4.m4.1.1.3" xref="S5.F4.10.4.m4.1.1.3.cmml">=</mo><msub id="S5.F4.10.4.m4.1.1.4" xref="S5.F4.10.4.m4.1.1.4.cmml"><mi id="S5.F4.10.4.m4.1.1.4.2" xref="S5.F4.10.4.m4.1.1.4.2.cmml">m</mi><mi id="S5.F4.10.4.m4.1.1.4.3" xref="S5.F4.10.4.m4.1.1.4.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S5.F4.10.4.m4.1.1.5" xref="S5.F4.10.4.m4.1.1.5.cmml">=</mo><mn id="S5.F4.10.4.m4.1.1.6" xref="S5.F4.10.4.m4.1.1.6.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F4.10.4.m4.1c"><apply id="S5.F4.10.4.m4.1.1.cmml" xref="S5.F4.10.4.m4.1.1"><and id="S5.F4.10.4.m4.1.1a.cmml" xref="S5.F4.10.4.m4.1.1"></and><apply id="S5.F4.10.4.m4.1.1b.cmml" xref="S5.F4.10.4.m4.1.1"><eq id="S5.F4.10.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S5.F4.10.4.m4.1.1.3"></eq><apply id="S5.F4.10.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S5.F4.10.4.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.F4.10.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S5.F4.10.4.m4.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.F4.10.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S5.F4.10.4.m4.1.1.2.2">𝑚</ci><ci id="S5.F4.10.4.m4.1.1.2.3.cmml" xref="S5.F4.10.4.m4.1.1.2.3">𝑐</ci></apply><apply id="S5.F4.10.4.m4.1.1.4.cmml" xref="S5.F4.10.4.m4.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.F4.10.4.m4.1.1.4.1.cmml" xref="S5.F4.10.4.m4.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S5.F4.10.4.m4.1.1.4.2.cmml" xref="S5.F4.10.4.m4.1.1.4.2">𝑚</ci><ci id="S5.F4.10.4.m4.1.1.4.3.cmml" xref="S5.F4.10.4.m4.1.1.4.3">𝑎</ci></apply></apply><apply id="S5.F4.10.4.m4.1.1c.cmml" xref="S5.F4.10.4.m4.1.1"><eq id="S5.F4.10.4.m4.1.1.5.cmml" xref="S5.F4.10.4.m4.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S5.F4.10.4.m4.1.1.4.cmml" id="S5.F4.10.4.m4.1.1d.cmml" xref="S5.F4.10.4.m4.1.1"></share><cn id="S5.F4.10.4.m4.1.1.6.cmml" type="integer" xref="S5.F4.10.4.m4.1.1.6">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F4.10.4.m4.1d">m_{c}=m_{a}=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F4.10.4.m4.1e">italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT = italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT = 1</annotation></semantics></math>; (c) <math alttext="\bm{s}_{c}\neq\bm{s}_{a}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F4.11.5.m5.1"><semantics id="S5.F4.11.5.m5.1b"><mrow id="S5.F4.11.5.m5.1.1" xref="S5.F4.11.5.m5.1.1.cmml"><msub id="S5.F4.11.5.m5.1.1.2" xref="S5.F4.11.5.m5.1.1.2.cmml"><mi id="S5.F4.11.5.m5.1.1.2.2" xref="S5.F4.11.5.m5.1.1.2.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S5.F4.11.5.m5.1.1.2.3" xref="S5.F4.11.5.m5.1.1.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S5.F4.11.5.m5.1.1.1" xref="S5.F4.11.5.m5.1.1.1.cmml">≠</mo><msub id="S5.F4.11.5.m5.1.1.3" xref="S5.F4.11.5.m5.1.1.3.cmml"><mi id="S5.F4.11.5.m5.1.1.3.2" xref="S5.F4.11.5.m5.1.1.3.2.cmml">𝒔</mi><mi id="S5.F4.11.5.m5.1.1.3.3" xref="S5.F4.11.5.m5.1.1.3.3.cmml">a</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F4.11.5.m5.1c"><apply id="S5.F4.11.5.m5.1.1.cmml" xref="S5.F4.11.5.m5.1.1"><neq id="S5.F4.11.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S5.F4.11.5.m5.1.1.1"></neq><apply id="S5.F4.11.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S5.F4.11.5.m5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.F4.11.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S5.F4.11.5.m5.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.F4.11.5.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S5.F4.11.5.m5.1.1.2.2">𝒔</ci><ci id="S5.F4.11.5.m5.1.1.2.3.cmml" xref="S5.F4.11.5.m5.1.1.2.3">𝑐</ci></apply><apply id="S5.F4.11.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S5.F4.11.5.m5.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.F4.11.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S5.F4.11.5.m5.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.F4.11.5.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S5.F4.11.5.m5.1.1.3.2">𝒔</ci><ci id="S5.F4.11.5.m5.1.1.3.3.cmml" xref="S5.F4.11.5.m5.1.1.3.3">𝑎</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F4.11.5.m5.1d">\bm{s}_{c}\neq\bm{s}_{a}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F4.11.5.m5.1e">bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ≠ bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="m_{c}=m_{a}=2" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F4.12.6.m6.1"><semantics id="S5.F4.12.6.m6.1b"><mrow id="S5.F4.12.6.m6.1.1" xref="S5.F4.12.6.m6.1.1.cmml"><msub id="S5.F4.12.6.m6.1.1.2" xref="S5.F4.12.6.m6.1.1.2.cmml"><mi id="S5.F4.12.6.m6.1.1.2.2" xref="S5.F4.12.6.m6.1.1.2.2.cmml">m</mi><mi id="S5.F4.12.6.m6.1.1.2.3" xref="S5.F4.12.6.m6.1.1.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S5.F4.12.6.m6.1.1.3" xref="S5.F4.12.6.m6.1.1.3.cmml">=</mo><msub id="S5.F4.12.6.m6.1.1.4" xref="S5.F4.12.6.m6.1.1.4.cmml"><mi id="S5.F4.12.6.m6.1.1.4.2" xref="S5.F4.12.6.m6.1.1.4.2.cmml">m</mi><mi id="S5.F4.12.6.m6.1.1.4.3" xref="S5.F4.12.6.m6.1.1.4.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S5.F4.12.6.m6.1.1.5" xref="S5.F4.12.6.m6.1.1.5.cmml">=</mo><mn id="S5.F4.12.6.m6.1.1.6" xref="S5.F4.12.6.m6.1.1.6.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F4.12.6.m6.1c"><apply id="S5.F4.12.6.m6.1.1.cmml" xref="S5.F4.12.6.m6.1.1"><and id="S5.F4.12.6.m6.1.1a.cmml" xref="S5.F4.12.6.m6.1.1"></and><apply id="S5.F4.12.6.m6.1.1b.cmml" xref="S5.F4.12.6.m6.1.1"><eq id="S5.F4.12.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S5.F4.12.6.m6.1.1.3"></eq><apply id="S5.F4.12.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S5.F4.12.6.m6.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.F4.12.6.m6.1.1.2.1.cmml" xref="S5.F4.12.6.m6.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.F4.12.6.m6.1.1.2.2.cmml" xref="S5.F4.12.6.m6.1.1.2.2">𝑚</ci><ci id="S5.F4.12.6.m6.1.1.2.3.cmml" xref="S5.F4.12.6.m6.1.1.2.3">𝑐</ci></apply><apply id="S5.F4.12.6.m6.1.1.4.cmml" xref="S5.F4.12.6.m6.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.F4.12.6.m6.1.1.4.1.cmml" xref="S5.F4.12.6.m6.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S5.F4.12.6.m6.1.1.4.2.cmml" xref="S5.F4.12.6.m6.1.1.4.2">𝑚</ci><ci id="S5.F4.12.6.m6.1.1.4.3.cmml" xref="S5.F4.12.6.m6.1.1.4.3">𝑎</ci></apply></apply><apply id="S5.F4.12.6.m6.1.1c.cmml" xref="S5.F4.12.6.m6.1.1"><eq id="S5.F4.12.6.m6.1.1.5.cmml" xref="S5.F4.12.6.m6.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S5.F4.12.6.m6.1.1.4.cmml" id="S5.F4.12.6.m6.1.1d.cmml" xref="S5.F4.12.6.m6.1.1"></share><cn id="S5.F4.12.6.m6.1.1.6.cmml" type="integer" xref="S5.F4.12.6.m6.1.1.6">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F4.12.6.m6.1d">m_{c}=m_{a}=2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F4.12.6.m6.1e">italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT = italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT = 2</annotation></semantics></math></span></figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="S5.SS2.p4"> <p class="ltx_p" id="S5.SS2.p4.1">In conclusion, from Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S5.F4" title="Figure 4 ‣ 5.2 Example 2: The Department Store Inventory Price Index ‣ 5 Numerical examples ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a> and Table <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S5.T3" title="Table 3 ‣ 5.2 Example 2: The Department Store Inventory Price Index ‣ 5 Numerical examples ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a> we note that switching systems with a larger number of modes can obtain the more accurate smoothing estimate of inventory levels, which can offer a guide restocking decisions.</p> </div> </section> </section> <section class="ltx_section" id="S6"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">6 </span>Conclusion</h2> <div class="ltx_para" id="S6.p1"> <p class="ltx_p" id="S6.p1.1">We have proposed an expectation-maximization framework for identifying non-causal systems with random switching modes. In the E-step, we have embedded the reconstructed switching sequence into the modified Kalman filter so that the proposed algorithm can handle the joint state variable estimation for the causal and non-causal parts. Furthermore, in M-step we have developed a switching least-squares algorithm that can get the parameter estimates in closed-form. From a technical perspective, we have established the convergence of our identification methodology, also deriving an upper bound <math alttext="\mathcal{O}(\sqrt{\log(T)/T})" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p1.1.m1.2"><semantics id="S6.p1.1.m1.2a"><mrow id="S6.p1.1.m1.2.3" xref="S6.p1.1.m1.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S6.p1.1.m1.2.3.2" xref="S6.p1.1.m1.2.3.2.cmml">𝒪</mi><mo id="S6.p1.1.m1.2.3.1" xref="S6.p1.1.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.p1.1.m1.2.3.3.2" xref="S6.p1.1.m1.2.2.cmml"><mo id="S6.p1.1.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.p1.1.m1.2.2.cmml">(</mo><msqrt id="S6.p1.1.m1.2.2" xref="S6.p1.1.m1.2.2.cmml"><mrow id="S6.p1.1.m1.2.2.2" xref="S6.p1.1.m1.2.2.2.cmml"><mrow id="S6.p1.1.m1.2.2.2.4.2" xref="S6.p1.1.m1.2.2.2.4.1.cmml"><mi id="S6.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S6.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S6.p1.1.m1.2.2.2.4.2a" xref="S6.p1.1.m1.2.2.2.4.1.cmml">⁡</mo><mrow id="S6.p1.1.m1.2.2.2.4.2.1" xref="S6.p1.1.m1.2.2.2.4.1.cmml"><mo id="S6.p1.1.m1.2.2.2.4.2.1.1" stretchy="false" xref="S6.p1.1.m1.2.2.2.4.1.cmml">(</mo><mi id="S6.p1.1.m1.2.2.2.2" xref="S6.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml">T</mi><mo id="S6.p1.1.m1.2.2.2.4.2.1.2" stretchy="false" xref="S6.p1.1.m1.2.2.2.4.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.p1.1.m1.2.2.2.3" xref="S6.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml">/</mo><mi id="S6.p1.1.m1.2.2.2.5" xref="S6.p1.1.m1.2.2.2.5.cmml">T</mi></mrow></msqrt><mo id="S6.p1.1.m1.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.p1.1.m1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p1.1.m1.2b"><apply id="S6.p1.1.m1.2.3.cmml" xref="S6.p1.1.m1.2.3"><times id="S6.p1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S6.p1.1.m1.2.3.1"></times><ci id="S6.p1.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S6.p1.1.m1.2.3.2">𝒪</ci><apply id="S6.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S6.p1.1.m1.2.3.3.2"><root id="S6.p1.1.m1.2.2a.cmml" xref="S6.p1.1.m1.2.3.3.2"></root><apply id="S6.p1.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S6.p1.1.m1.2.2.2"><divide id="S6.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S6.p1.1.m1.2.2.2.3"></divide><apply id="S6.p1.1.m1.2.2.2.4.1.cmml" xref="S6.p1.1.m1.2.2.2.4.2"><log id="S6.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.p1.1.m1.1.1.1.1"></log><ci id="S6.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S6.p1.1.m1.2.2.2.2">𝑇</ci></apply><ci id="S6.p1.1.m1.2.2.2.5.cmml" xref="S6.p1.1.m1.2.2.2.5">𝑇</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p1.1.m1.2c">\mathcal{O}(\sqrt{\log(T)/T})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p1.1.m1.2d">caligraphic_O ( square-root start_ARG roman_log ( italic_T ) / italic_T end_ARG )</annotation></semantics></math> for the parameter errors.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S6.p2"> <p class="ltx_p" id="S6.p2.1">Note that the identification algorithm proposed in this paper can be adapted to the identification of switching linear descriptor systems with minor modifications, since a descriptor state-space model can be represented in the mixed causal and non-causal form. When the subsystems are nonlinear, however, the identification task becomes more challenging, thus posing greater difficulties. This aspect will be further investigated in our future work. In addition, addressing the joint identification of structured subsystems and piecewise constant switching sequences is an interesting future research direction.</p> </div> </section> <section class="ltx_bibliography" id="bib"> <h2 class="ltx_title ltx_title_bibliography">References</h2> <ul class="ltx_biblist"> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib1"> <span class="ltx_tag ltx_role_refnum ltx_tag_bibitem">[1]</span> <span class="ltx_bibblock"> K. Tan, W. J. Parquette, & M. Tao. (2023). A predictive algorithm for maximum power point tracking in solar photovoltaic systems through load management. Solar Energy, 265, 112127. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib2"> <span class="ltx_tag ltx_role_refnum ltx_tag_bibitem">[2]</span> <span class="ltx_bibblock"> S. Liao, Y. Wu, K. Ma, & Y. 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Statist. 37, 1946–1982. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib6"> <span class="ltx_tag ltx_role_refnum ltx_tag_bibitem">[6]</span> <span class="ltx_bibblock"> T. Schlegl, M. Buss, & G. Schmidt. (2003). A hybrid systems approach toward modeling and dynamical simulation of dextrous manipulation. IEEE/ASME Trans. on Mechatronics, 8(3), 352-361. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib7"> <span class="ltx_tag ltx_role_refnum ltx_tag_bibitem">[7]</span> <span class="ltx_bibblock"> Chan, A. B., & Vasconcelos, N. (2008). Modeling, clustering, and segmenting video with mixtures of dynamic textures. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 30(5), 909–926. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib8"> <span class="ltx_tag ltx_role_refnum ltx_tag_bibitem">[8]</span> <span class="ltx_bibblock"> Ferrari-Trecate, G., Muselli, M., Liberati, D., & Morari, M. (2003). A clustering technique for the identification of piecewise affine systems. 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encoding="application/x-tex" id="A1.p1.1.m1.1c">\theta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p1.1.m1.1d">italic_θ</annotation></semantics></math> and <math alttext="\theta^{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p1.2.m2.1"><semantics id="A1.p1.2.m2.1a"><msup id="A1.p1.2.m2.1.1" xref="A1.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="A1.p1.2.m2.1.1.2" xref="A1.p1.2.m2.1.1.2.cmml">θ</mi><mi id="A1.p1.2.m2.1.1.3" xref="A1.p1.2.m2.1.1.3.cmml">k</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p1.2.m2.1b"><apply id="A1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="A1.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="A1.p1.2.m2.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="A1.p1.2.m2.1.1.2">𝜃</ci><ci id="A1.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="A1.p1.2.m2.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p1.2.m2.1c">\theta^{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p1.2.m2.1d">italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> can be expressed as</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx23"> <tbody id="A1.Ex54"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\ln\mathbb{P}_{\theta}(\bm{y})-\ln\mathbb{P}_{\theta^{k}}[\bm{y}]% =Q(\theta,\theta^{k})-" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex54.m1.4"><semantics id="A1.Ex54.m1.4a"><mrow id="A1.Ex54.m1.4.4" xref="A1.Ex54.m1.4.4.cmml"><mrow id="A1.Ex54.m1.4.4.3" xref="A1.Ex54.m1.4.4.3.cmml"><mrow id="A1.Ex54.m1.4.4.3.2" xref="A1.Ex54.m1.4.4.3.2.cmml"><mrow id="A1.Ex54.m1.4.4.3.2.2" xref="A1.Ex54.m1.4.4.3.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex54.m1.4.4.3.2.2.1" xref="A1.Ex54.m1.4.4.3.2.2.1.cmml">ln</mi><mo id="A1.Ex54.m1.4.4.3.2.2a" lspace="0.167em" xref="A1.Ex54.m1.4.4.3.2.2.cmml">⁡</mo><msub id="A1.Ex54.m1.4.4.3.2.2.2" xref="A1.Ex54.m1.4.4.3.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex54.m1.4.4.3.2.2.2.2" xref="A1.Ex54.m1.4.4.3.2.2.2.2.cmml">ℙ</mi><mi id="A1.Ex54.m1.4.4.3.2.2.2.3" xref="A1.Ex54.m1.4.4.3.2.2.2.3.cmml">θ</mi></msub></mrow><mo id="A1.Ex54.m1.4.4.3.2.1" xref="A1.Ex54.m1.4.4.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex54.m1.4.4.3.2.3.2" xref="A1.Ex54.m1.4.4.3.2.cmml"><mo id="A1.Ex54.m1.4.4.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex54.m1.4.4.3.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex54.m1.1.1" xref="A1.Ex54.m1.1.1.cmml">𝒚</mi><mo id="A1.Ex54.m1.4.4.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex54.m1.4.4.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex54.m1.4.4.3.1" xref="A1.Ex54.m1.4.4.3.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex54.m1.4.4.3.3" xref="A1.Ex54.m1.4.4.3.3.cmml"><mrow id="A1.Ex54.m1.4.4.3.3.2" xref="A1.Ex54.m1.4.4.3.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex54.m1.4.4.3.3.2.1" xref="A1.Ex54.m1.4.4.3.3.2.1.cmml">ln</mi><mo id="A1.Ex54.m1.4.4.3.3.2a" lspace="0.167em" xref="A1.Ex54.m1.4.4.3.3.2.cmml">⁡</mo><msub id="A1.Ex54.m1.4.4.3.3.2.2" xref="A1.Ex54.m1.4.4.3.3.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex54.m1.4.4.3.3.2.2.2" xref="A1.Ex54.m1.4.4.3.3.2.2.2.cmml">ℙ</mi><msup id="A1.Ex54.m1.4.4.3.3.2.2.3" xref="A1.Ex54.m1.4.4.3.3.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex54.m1.4.4.3.3.2.2.3.2" xref="A1.Ex54.m1.4.4.3.3.2.2.3.2.cmml">θ</mi><mi id="A1.Ex54.m1.4.4.3.3.2.2.3.3" xref="A1.Ex54.m1.4.4.3.3.2.2.3.3.cmml">k</mi></msup></msub></mrow><mo id="A1.Ex54.m1.4.4.3.3.1" xref="A1.Ex54.m1.4.4.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex54.m1.4.4.3.3.3.2" xref="A1.Ex54.m1.4.4.3.3.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex54.m1.4.4.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex54.m1.4.4.3.3.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="A1.Ex54.m1.2.2" xref="A1.Ex54.m1.2.2.cmml">𝒚</mi><mo id="A1.Ex54.m1.4.4.3.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex54.m1.4.4.3.3.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex54.m1.4.4.2" xref="A1.Ex54.m1.4.4.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex54.m1.4.4.1" xref="A1.Ex54.m1.4.4.1.cmml"><mrow id="A1.Ex54.m1.4.4.1.1" xref="A1.Ex54.m1.4.4.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex54.m1.4.4.1.1.3" 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start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT , italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex55"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle+V(\theta,\theta^{k})-V(\theta^{k},\theta^{k})," class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex55.m1.2"><semantics id="A1.Ex55.m1.2a"><mrow id="A1.Ex55.m1.2.2.1" xref="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex55.m1.2.2.1.1" xref="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.1a" xref="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">V</mi><mo id="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex55.m1.1.1" xref="A1.Ex55.m1.1.1.cmml">θ</mi><mo id="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><msup id="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">θ</mi><mi id="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msup><mo id="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.4" xref="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.4.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.3" xref="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.3.4" xref="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.3.4.cmml">V</mi><mo id="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.3.3" xref="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.3.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.3.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.3.2.3.cmml">(</mo><msup id="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.2.1.1.1" xref="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.2.cmml">θ</mi><mi id="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.cmml">k</mi></msup><mo id="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.3.2.2.4" xref="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.3.2.3.cmml">,</mo><msup id="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.3.2.2.2" xref="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.2" xref="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.2.cmml">θ</mi><mi id="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.3" xref="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.3.cmml">k</mi></msup><mo id="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.3.2.2.5" stretchy="false" xref="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.3.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex55.m1.2.2.1.2" xref="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex55.m1.2b"><apply id="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A1.Ex55.m1.2.2.1"><minus id="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.4"></minus><apply id="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.1"><plus id="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.1"></plus><apply id="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.1.1"><times id="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.1.1.2"></times><ci id="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.1.1.3">𝑉</ci><interval closure="open" id="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"><ci id="A1.Ex55.m1.1.1.cmml" xref="A1.Ex55.m1.1.1">𝜃</ci><apply id="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜃</ci><ci id="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></interval></apply></apply><apply id="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.3"><times id="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.3.3"></times><ci id="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.3.4.cmml" xref="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.3.4">𝑉</ci><interval closure="open" id="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.3.2.2"><apply id="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.2.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.2">𝜃</ci><ci id="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.3.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.2">𝜃</ci><ci id="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex55.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.3">𝑘</ci></apply></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex55.m1.2c">\displaystyle+V(\theta,\theta^{k})-V(\theta^{k},\theta^{k}),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex55.m1.2d">+ italic_V ( italic_θ , italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT ) - italic_V ( italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT , italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.p1.5">where the difference <math alttext="V(\theta,\theta^{k})-V(\theta^{k},\theta^{k})" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p1.3.m1.4"><semantics id="A1.p1.3.m1.4a"><mrow id="A1.p1.3.m1.4.4" xref="A1.p1.3.m1.4.4.cmml"><mrow id="A1.p1.3.m1.2.2.1" xref="A1.p1.3.m1.2.2.1.cmml"><mi id="A1.p1.3.m1.2.2.1.3" xref="A1.p1.3.m1.2.2.1.3.cmml">V</mi><mo id="A1.p1.3.m1.2.2.1.2" xref="A1.p1.3.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.p1.3.m1.2.2.1.1.1" xref="A1.p1.3.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="A1.p1.3.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.p1.3.m1.2.2.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.p1.3.m1.1.1" xref="A1.p1.3.m1.1.1.cmml">θ</mi><mo id="A1.p1.3.m1.2.2.1.1.1.3" xref="A1.p1.3.m1.2.2.1.1.2.cmml">,</mo><msup id="A1.p1.3.m1.2.2.1.1.1.1" xref="A1.p1.3.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.p1.3.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="A1.p1.3.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">θ</mi><mi id="A1.p1.3.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="A1.p1.3.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msup><mo id="A1.p1.3.m1.2.2.1.1.1.4" stretchy="false" xref="A1.p1.3.m1.2.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.p1.3.m1.4.4.4" xref="A1.p1.3.m1.4.4.4.cmml">−</mo><mrow id="A1.p1.3.m1.4.4.3" xref="A1.p1.3.m1.4.4.3.cmml"><mi id="A1.p1.3.m1.4.4.3.4" xref="A1.p1.3.m1.4.4.3.4.cmml">V</mi><mo id="A1.p1.3.m1.4.4.3.3" xref="A1.p1.3.m1.4.4.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.p1.3.m1.4.4.3.2.2" xref="A1.p1.3.m1.4.4.3.2.3.cmml"><mo id="A1.p1.3.m1.4.4.3.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.p1.3.m1.4.4.3.2.3.cmml">(</mo><msup id="A1.p1.3.m1.3.3.2.1.1.1" xref="A1.p1.3.m1.3.3.2.1.1.1.cmml"><mi id="A1.p1.3.m1.3.3.2.1.1.1.2" xref="A1.p1.3.m1.3.3.2.1.1.1.2.cmml">θ</mi><mi id="A1.p1.3.m1.3.3.2.1.1.1.3" xref="A1.p1.3.m1.3.3.2.1.1.1.3.cmml">k</mi></msup><mo id="A1.p1.3.m1.4.4.3.2.2.4" xref="A1.p1.3.m1.4.4.3.2.3.cmml">,</mo><msup id="A1.p1.3.m1.4.4.3.2.2.2" xref="A1.p1.3.m1.4.4.3.2.2.2.cmml"><mi id="A1.p1.3.m1.4.4.3.2.2.2.2" xref="A1.p1.3.m1.4.4.3.2.2.2.2.cmml">θ</mi><mi id="A1.p1.3.m1.4.4.3.2.2.2.3" xref="A1.p1.3.m1.4.4.3.2.2.2.3.cmml">k</mi></msup><mo id="A1.p1.3.m1.4.4.3.2.2.5" stretchy="false" xref="A1.p1.3.m1.4.4.3.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p1.3.m1.4b"><apply id="A1.p1.3.m1.4.4.cmml" xref="A1.p1.3.m1.4.4"><minus id="A1.p1.3.m1.4.4.4.cmml" xref="A1.p1.3.m1.4.4.4"></minus><apply id="A1.p1.3.m1.2.2.1.cmml" xref="A1.p1.3.m1.2.2.1"><times id="A1.p1.3.m1.2.2.1.2.cmml" xref="A1.p1.3.m1.2.2.1.2"></times><ci id="A1.p1.3.m1.2.2.1.3.cmml" xref="A1.p1.3.m1.2.2.1.3">𝑉</ci><interval closure="open" id="A1.p1.3.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="A1.p1.3.m1.2.2.1.1.1"><ci id="A1.p1.3.m1.1.1.cmml" xref="A1.p1.3.m1.1.1">𝜃</ci><apply id="A1.p1.3.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.p1.3.m1.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p1.3.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.p1.3.m1.2.2.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.p1.3.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.p1.3.m1.2.2.1.1.1.1.2">𝜃</ci><ci id="A1.p1.3.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.p1.3.m1.2.2.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></interval></apply><apply id="A1.p1.3.m1.4.4.3.cmml" xref="A1.p1.3.m1.4.4.3"><times id="A1.p1.3.m1.4.4.3.3.cmml" xref="A1.p1.3.m1.4.4.3.3"></times><ci id="A1.p1.3.m1.4.4.3.4.cmml" xref="A1.p1.3.m1.4.4.3.4">𝑉</ci><interval closure="open" id="A1.p1.3.m1.4.4.3.2.3.cmml" xref="A1.p1.3.m1.4.4.3.2.2"><apply id="A1.p1.3.m1.3.3.2.1.1.1.cmml" xref="A1.p1.3.m1.3.3.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p1.3.m1.3.3.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.p1.3.m1.3.3.2.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.p1.3.m1.3.3.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.p1.3.m1.3.3.2.1.1.1.2">𝜃</ci><ci id="A1.p1.3.m1.3.3.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.p1.3.m1.3.3.2.1.1.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="A1.p1.3.m1.4.4.3.2.2.2.cmml" xref="A1.p1.3.m1.4.4.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p1.3.m1.4.4.3.2.2.2.1.cmml" xref="A1.p1.3.m1.4.4.3.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="A1.p1.3.m1.4.4.3.2.2.2.2.cmml" xref="A1.p1.3.m1.4.4.3.2.2.2.2">𝜃</ci><ci id="A1.p1.3.m1.4.4.3.2.2.2.3.cmml" xref="A1.p1.3.m1.4.4.3.2.2.2.3">𝑘</ci></apply></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p1.3.m1.4c">V(\theta,\theta^{k})-V(\theta^{k},\theta^{k})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p1.3.m1.4d">italic_V ( italic_θ , italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT ) - italic_V ( italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT , italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> coincides with the Kullback–Leibler distance that possess an important property, i.e., being non-negative. Therefore, the maximization of <math alttext="Q(\theta,\theta^{k})" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p1.4.m2.2"><semantics id="A1.p1.4.m2.2a"><mrow id="A1.p1.4.m2.2.2" xref="A1.p1.4.m2.2.2.cmml"><mi id="A1.p1.4.m2.2.2.3" xref="A1.p1.4.m2.2.2.3.cmml">Q</mi><mo id="A1.p1.4.m2.2.2.2" xref="A1.p1.4.m2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.p1.4.m2.2.2.1.1" xref="A1.p1.4.m2.2.2.1.2.cmml"><mo id="A1.p1.4.m2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.p1.4.m2.2.2.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.p1.4.m2.1.1" xref="A1.p1.4.m2.1.1.cmml">θ</mi><mo id="A1.p1.4.m2.2.2.1.1.3" xref="A1.p1.4.m2.2.2.1.2.cmml">,</mo><msup id="A1.p1.4.m2.2.2.1.1.1" xref="A1.p1.4.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="A1.p1.4.m2.2.2.1.1.1.2" xref="A1.p1.4.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">θ</mi><mi id="A1.p1.4.m2.2.2.1.1.1.3" xref="A1.p1.4.m2.2.2.1.1.1.3.cmml">k</mi></msup><mo id="A1.p1.4.m2.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="A1.p1.4.m2.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p1.4.m2.2b"><apply id="A1.p1.4.m2.2.2.cmml" xref="A1.p1.4.m2.2.2"><times id="A1.p1.4.m2.2.2.2.cmml" xref="A1.p1.4.m2.2.2.2"></times><ci id="A1.p1.4.m2.2.2.3.cmml" xref="A1.p1.4.m2.2.2.3">𝑄</ci><interval closure="open" id="A1.p1.4.m2.2.2.1.2.cmml" xref="A1.p1.4.m2.2.2.1.1"><ci id="A1.p1.4.m2.1.1.cmml" xref="A1.p1.4.m2.1.1">𝜃</ci><apply id="A1.p1.4.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.p1.4.m2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.p1.4.m2.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.p1.4.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.p1.4.m2.2.2.1.1.1.2">𝜃</ci><ci id="A1.p1.4.m2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.p1.4.m2.2.2.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p1.4.m2.2c">Q(\theta,\theta^{k})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p1.4.m2.2d">italic_Q ( italic_θ , italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> can yield an increase in the log-likelihood function <math alttext="\ln\mathbb{P}_{\theta}(\bm{y})" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p1.5.m3.1"><semantics id="A1.p1.5.m3.1a"><mrow id="A1.p1.5.m3.1.2" xref="A1.p1.5.m3.1.2.cmml"><mrow id="A1.p1.5.m3.1.2.2" xref="A1.p1.5.m3.1.2.2.cmml"><mi id="A1.p1.5.m3.1.2.2.1" xref="A1.p1.5.m3.1.2.2.1.cmml">ln</mi><mo id="A1.p1.5.m3.1.2.2a" lspace="0.167em" xref="A1.p1.5.m3.1.2.2.cmml">⁡</mo><msub id="A1.p1.5.m3.1.2.2.2" xref="A1.p1.5.m3.1.2.2.2.cmml"><mi id="A1.p1.5.m3.1.2.2.2.2" xref="A1.p1.5.m3.1.2.2.2.2.cmml">ℙ</mi><mi id="A1.p1.5.m3.1.2.2.2.3" xref="A1.p1.5.m3.1.2.2.2.3.cmml">θ</mi></msub></mrow><mo id="A1.p1.5.m3.1.2.1" xref="A1.p1.5.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.p1.5.m3.1.2.3.2" xref="A1.p1.5.m3.1.2.cmml"><mo id="A1.p1.5.m3.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.p1.5.m3.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.p1.5.m3.1.1" xref="A1.p1.5.m3.1.1.cmml">𝒚</mi><mo id="A1.p1.5.m3.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.p1.5.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p1.5.m3.1b"><apply id="A1.p1.5.m3.1.2.cmml" xref="A1.p1.5.m3.1.2"><times id="A1.p1.5.m3.1.2.1.cmml" xref="A1.p1.5.m3.1.2.1"></times><apply id="A1.p1.5.m3.1.2.2.cmml" xref="A1.p1.5.m3.1.2.2"><ln id="A1.p1.5.m3.1.2.2.1.cmml" xref="A1.p1.5.m3.1.2.2.1"></ln><apply id="A1.p1.5.m3.1.2.2.2.cmml" xref="A1.p1.5.m3.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p1.5.m3.1.2.2.2.1.cmml" xref="A1.p1.5.m3.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.p1.5.m3.1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.p1.5.m3.1.2.2.2.2">ℙ</ci><ci id="A1.p1.5.m3.1.2.2.2.3.cmml" xref="A1.p1.5.m3.1.2.2.2.3">𝜃</ci></apply></apply><ci id="A1.p1.5.m3.1.1.cmml" xref="A1.p1.5.m3.1.1">𝒚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p1.5.m3.1c">\ln\mathbb{P}_{\theta}(\bm{y})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p1.5.m3.1d">roman_ln blackboard_P start_POSTSUBSCRIPT italic_θ end_POSTSUBSCRIPT ( bold_italic_y )</annotation></semantics></math>, namely</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex56"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_left"><math alttext="Q(\theta,\theta^{k+1})\geq Q(\theta,\theta^{k})\Rightarrow\ln\mathbb{P}_{% \theta^{k+1}}[\bm{y}]\geq\ln\mathbb{P}_{\theta^{k}}[\bm{y}]," class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex56.m1.5"><semantics id="A1.Ex56.m1.5a"><mrow id="A1.Ex56.m1.5.5.1" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.3" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.3.cmml">Q</mi><mo id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.2" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex56.m1.1.1" xref="A1.Ex56.m1.1.1.cmml">θ</mi><mo id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><msup id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml">θ</mi><mrow id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mo id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.4" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.4.cmml">≥</mo><mrow id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.3" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.3.cmml">Q</mi><mo id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.1.1" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex56.m1.2.2" xref="A1.Ex56.m1.2.2.cmml">θ</mi><mo id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.1.1.3" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.1.2.cmml">,</mo><msup id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.1.1.1" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.2.cmml">θ</mi><mi id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3.cmml">k</mi></msup><mo id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.1.1.4" stretchy="false" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.5" stretchy="false" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.5.cmml">⇒</mo><mrow id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.6" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.6.cmml"><mrow id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.6.2" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.6.2.cmml"><mi id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.6.2.1" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.6.2.1.cmml">ln</mi><mo id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.6.2a" lspace="0.167em" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.6.2.cmml">⁡</mo><msub id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.6.2.2" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.6.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.6.2.2.2" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.6.2.2.2.cmml">ℙ</mi><msup id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.6.2.2.3" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.6.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.6.2.2.3.2" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.6.2.2.3.2.cmml">θ</mi><mrow id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.6.2.2.3.3" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.6.2.2.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.6.2.2.3.3.2" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.6.2.2.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.6.2.2.3.3.1" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.6.2.2.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.6.2.2.3.3.3" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.6.2.2.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup></msub></mrow><mo id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.6.1" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.6.3.2" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.6.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.6.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.6.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="A1.Ex56.m1.3.3" xref="A1.Ex56.m1.3.3.cmml">𝒚</mi><mo id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.6.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.6.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.7" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.7.cmml">≥</mo><mrow id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.8" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.8.cmml"><mrow id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.8.2" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.8.2.cmml"><mi id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.8.2.1" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.8.2.1.cmml">ln</mi><mo id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.8.2a" lspace="0.167em" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.8.2.cmml">⁡</mo><msub id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.8.2.2" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.8.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.8.2.2.2" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.8.2.2.2.cmml">ℙ</mi><msup id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.8.2.2.3" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.8.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.8.2.2.3.2" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.8.2.2.3.2.cmml">θ</mi><mi id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.8.2.2.3.3" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.8.2.2.3.3.cmml">k</mi></msup></msub></mrow><mo id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.8.1" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.8.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.8.3.2" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.8.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.8.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.8.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="A1.Ex56.m1.4.4" xref="A1.Ex56.m1.4.4.cmml">𝒚</mi><mo id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.8.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.8.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex56.m1.5.5.1.2" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex56.m1.5b"><apply id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1"><and id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1a.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1"></and><apply id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1b.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1"><geq id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.4"></geq><apply id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1"><times id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.2"></times><ci id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.3">𝑄</ci><interval closure="open" id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1"><ci id="A1.Ex56.m1.1.1.cmml" xref="A1.Ex56.m1.1.1">𝜃</ci><apply id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2">𝜃</ci><apply id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3"><plus id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1"></plus><ci id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑘</ci><cn id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></interval></apply><apply id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2"><times id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2"></times><ci id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.3">𝑄</ci><interval closure="open" id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.1.2.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.1.1"><ci id="A1.Ex56.m1.2.2.cmml" xref="A1.Ex56.m1.2.2">𝜃</ci><apply id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.2">𝜃</ci><ci id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></interval></apply></apply><apply id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1c.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1"><ci id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.5.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.5">⇒</ci><share href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.cmml" id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1d.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1"></share><apply id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.6.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.6"><times id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.6.1.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.6.1"></times><apply id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.6.2.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.6.2"><ln id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.6.2.1.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.6.2.1"></ln><apply id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.6.2.2.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.6.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.6.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.6.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.6.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.6.2.2.2">ℙ</ci><apply id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.6.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.6.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.6.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.6.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.6.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.6.2.2.3.2">𝜃</ci><apply id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.6.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.6.2.2.3.3"><plus id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.6.2.2.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.6.2.2.3.3.1"></plus><ci id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.6.2.2.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.6.2.2.3.3.2">𝑘</ci><cn id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.6.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.6.2.2.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.6.3.1.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.6.3.2"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.6.3.1.1.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.6.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="A1.Ex56.m1.3.3.cmml" xref="A1.Ex56.m1.3.3">𝒚</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1e.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1"><geq id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.7.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.7"></geq><share href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#A1.Ex56.m1.5.5.1.1.6.cmml" id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1f.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1"></share><apply id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.8.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.8"><times id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.8.1.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.8.1"></times><apply id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.8.2.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.8.2"><ln id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.8.2.1.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.8.2.1"></ln><apply id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.8.2.2.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.8.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.8.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.8.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.8.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.8.2.2.2">ℙ</ci><apply id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.8.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.8.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.8.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.8.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.8.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.8.2.2.3.2">𝜃</ci><ci id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.8.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.8.2.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.8.3.1.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.8.3.2"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.8.3.1.1.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.8.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="A1.Ex56.m1.4.4.cmml" xref="A1.Ex56.m1.4.4">𝒚</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex56.m1.5c">Q(\theta,\theta^{k+1})\geq Q(\theta,\theta^{k})\Rightarrow\ln\mathbb{P}_{% \theta^{k+1}}[\bm{y}]\geq\ln\mathbb{P}_{\theta^{k}}[\bm{y}],</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex56.m1.5d">italic_Q ( italic_θ , italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) ≥ italic_Q ( italic_θ , italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT ) ⇒ roman_ln blackboard_P start_POSTSUBSCRIPT italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT [ bold_italic_y ] ≥ roman_ln blackboard_P start_POSTSUBSCRIPT italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT [ bold_italic_y ] ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.p1.6">thus concluding the proof. <math alttext="\blacksquare" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p1.6.m1.1"><semantics id="A1.p1.6.m1.1a"><mi id="A1.p1.6.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="A1.p1.6.m1.1.1.cmml">■</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p1.6.m1.1b"><ci id="A1.p1.6.m1.1.1.cmml" xref="A1.p1.6.m1.1.1">■</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p1.6.m1.1c">\blacksquare</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p1.6.m1.1d">■</annotation></semantics></math></p> </div> <div class="ltx_para" id="A1.p2"> <p class="ltx_p" id="A1.p2.3"><em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="A1.p2.3.1">Proof of Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#Thmlemma2" title="Lemma 2. ‣ 4.1 The E-step ‣ 4 Implementation details of the EM algorithm ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>:</em> Only the boundedness of <math alttext="\eta_{c}(t)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p2.1.m1.1"><semantics id="A1.p2.1.m1.1a"><mrow id="A1.p2.1.m1.1.2" xref="A1.p2.1.m1.1.2.cmml"><msub id="A1.p2.1.m1.1.2.2" xref="A1.p2.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.p2.1.m1.1.2.2.2" xref="A1.p2.1.m1.1.2.2.2.cmml">η</mi><mi id="A1.p2.1.m1.1.2.2.3" xref="A1.p2.1.m1.1.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="A1.p2.1.m1.1.2.1" xref="A1.p2.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.p2.1.m1.1.2.3.2" xref="A1.p2.1.m1.1.2.cmml"><mo id="A1.p2.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.p2.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.p2.1.m1.1.1" xref="A1.p2.1.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="A1.p2.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.p2.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p2.1.m1.1b"><apply id="A1.p2.1.m1.1.2.cmml" xref="A1.p2.1.m1.1.2"><times id="A1.p2.1.m1.1.2.1.cmml" xref="A1.p2.1.m1.1.2.1"></times><apply id="A1.p2.1.m1.1.2.2.cmml" xref="A1.p2.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p2.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.p2.1.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.p2.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.p2.1.m1.1.2.2.2">𝜂</ci><ci id="A1.p2.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.p2.1.m1.1.2.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="A1.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.p2.1.m1.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p2.1.m1.1c">\eta_{c}(t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p2.1.m1.1d">italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t )</annotation></semantics></math> will be proven in detail, since that of <math alttext="\eta_{a}(t)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p2.2.m2.1"><semantics id="A1.p2.2.m2.1a"><mrow id="A1.p2.2.m2.1.2" xref="A1.p2.2.m2.1.2.cmml"><msub id="A1.p2.2.m2.1.2.2" xref="A1.p2.2.m2.1.2.2.cmml"><mi id="A1.p2.2.m2.1.2.2.2" xref="A1.p2.2.m2.1.2.2.2.cmml">η</mi><mi id="A1.p2.2.m2.1.2.2.3" xref="A1.p2.2.m2.1.2.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="A1.p2.2.m2.1.2.1" xref="A1.p2.2.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.p2.2.m2.1.2.3.2" xref="A1.p2.2.m2.1.2.cmml"><mo id="A1.p2.2.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.p2.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.p2.2.m2.1.1" xref="A1.p2.2.m2.1.1.cmml">t</mi><mo id="A1.p2.2.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.p2.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p2.2.m2.1b"><apply id="A1.p2.2.m2.1.2.cmml" xref="A1.p2.2.m2.1.2"><times id="A1.p2.2.m2.1.2.1.cmml" xref="A1.p2.2.m2.1.2.1"></times><apply id="A1.p2.2.m2.1.2.2.cmml" xref="A1.p2.2.m2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p2.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="A1.p2.2.m2.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.p2.2.m2.1.2.2.2.cmml" xref="A1.p2.2.m2.1.2.2.2">𝜂</ci><ci id="A1.p2.2.m2.1.2.2.3.cmml" xref="A1.p2.2.m2.1.2.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="A1.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="A1.p2.2.m2.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p2.2.m2.1c">\eta_{a}(t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p2.2.m2.1d">italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t )</annotation></semantics></math> and <math alttext="\eta_{m}(t)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p2.3.m3.1"><semantics id="A1.p2.3.m3.1a"><mrow id="A1.p2.3.m3.1.2" xref="A1.p2.3.m3.1.2.cmml"><msub id="A1.p2.3.m3.1.2.2" xref="A1.p2.3.m3.1.2.2.cmml"><mi id="A1.p2.3.m3.1.2.2.2" xref="A1.p2.3.m3.1.2.2.2.cmml">η</mi><mi id="A1.p2.3.m3.1.2.2.3" xref="A1.p2.3.m3.1.2.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="A1.p2.3.m3.1.2.1" xref="A1.p2.3.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.p2.3.m3.1.2.3.2" xref="A1.p2.3.m3.1.2.cmml"><mo id="A1.p2.3.m3.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.p2.3.m3.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.p2.3.m3.1.1" xref="A1.p2.3.m3.1.1.cmml">t</mi><mo id="A1.p2.3.m3.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.p2.3.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p2.3.m3.1b"><apply id="A1.p2.3.m3.1.2.cmml" xref="A1.p2.3.m3.1.2"><times id="A1.p2.3.m3.1.2.1.cmml" xref="A1.p2.3.m3.1.2.1"></times><apply id="A1.p2.3.m3.1.2.2.cmml" xref="A1.p2.3.m3.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p2.3.m3.1.2.2.1.cmml" xref="A1.p2.3.m3.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.p2.3.m3.1.2.2.2.cmml" xref="A1.p2.3.m3.1.2.2.2">𝜂</ci><ci id="A1.p2.3.m3.1.2.2.3.cmml" xref="A1.p2.3.m3.1.2.2.3">𝑚</ci></apply><ci id="A1.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="A1.p2.3.m3.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p2.3.m3.1c">\eta_{m}(t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p2.3.m3.1d">italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t )</annotation></semantics></math> can be derived in a similar way.</p> </div> <div class="ltx_para" id="A1.p3"> <p class="ltx_p" id="A1.p3.1">First, we note that <math alttext="x_{c}(t-1)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p3.1.m1.1"><semantics id="A1.p3.1.m1.1a"><mrow id="A1.p3.1.m1.1.1" xref="A1.p3.1.m1.1.1.cmml"><msub id="A1.p3.1.m1.1.1.3" xref="A1.p3.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.p3.1.m1.1.1.3.2" xref="A1.p3.1.m1.1.1.3.2.cmml">x</mi><mi id="A1.p3.1.m1.1.1.3.3" xref="A1.p3.1.m1.1.1.3.3.cmml">c</mi></msub><mo id="A1.p3.1.m1.1.1.2" xref="A1.p3.1.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.p3.1.m1.1.1.1.1" xref="A1.p3.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.p3.1.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.p3.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.p3.1.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.p3.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.p3.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.p3.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="A1.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="A1.p3.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.p3.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="A1.p3.1.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.p3.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p3.1.m1.1b"><apply id="A1.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.p3.1.m1.1.1"><times id="A1.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.p3.1.m1.1.1.2"></times><apply id="A1.p3.1.m1.1.1.3.cmml" xref="A1.p3.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p3.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.p3.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.p3.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.p3.1.m1.1.1.3.2">𝑥</ci><ci id="A1.p3.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.p3.1.m1.1.1.3.3">𝑐</ci></apply><apply id="A1.p3.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.p3.1.m1.1.1.1.1"><minus id="A1.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="A1.p3.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.p3.1.m1.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><cn id="A1.p3.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.p3.1.m1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p3.1.m1.1c">x_{c}(t-1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p3.1.m1.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t - 1 )</annotation></semantics></math> can be equivalently expressed as follows:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex57"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_left"><math alttext="x_{c}(t-1)=\varphi_{1}(\bm{s}_{c})x_{c}(1)+\varphi_{2}(\bm{s}_{c})\bm{v}_{c}(1% :t-1)," class="ltx_math_unparsed" display="block" id="A1.Ex57.m1.1"><semantics id="A1.Ex57.m1.1a"><mrow id="A1.Ex57.m1.1b"><msub id="A1.Ex57.m1.1.2"><mi id="A1.Ex57.m1.1.2.2">x</mi><mi id="A1.Ex57.m1.1.2.3">c</mi></msub><mrow id="A1.Ex57.m1.1.3"><mo id="A1.Ex57.m1.1.3.1" stretchy="false">(</mo><mi id="A1.Ex57.m1.1.3.2">t</mi><mo id="A1.Ex57.m1.1.3.3">−</mo><mn id="A1.Ex57.m1.1.3.4">1</mn><mo id="A1.Ex57.m1.1.3.5" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex57.m1.1.4">=</mo><msub id="A1.Ex57.m1.1.5"><mi id="A1.Ex57.m1.1.5.2">φ</mi><mn id="A1.Ex57.m1.1.5.3">1</mn></msub><mrow id="A1.Ex57.m1.1.6"><mo id="A1.Ex57.m1.1.6.1" stretchy="false">(</mo><msub id="A1.Ex57.m1.1.6.2"><mi id="A1.Ex57.m1.1.6.2.2">𝒔</mi><mi id="A1.Ex57.m1.1.6.2.3">c</mi></msub><mo id="A1.Ex57.m1.1.6.3" stretchy="false">)</mo></mrow><msub id="A1.Ex57.m1.1.7"><mi id="A1.Ex57.m1.1.7.2">x</mi><mi id="A1.Ex57.m1.1.7.3">c</mi></msub><mrow id="A1.Ex57.m1.1.8"><mo id="A1.Ex57.m1.1.8.1" stretchy="false">(</mo><mn id="A1.Ex57.m1.1.1">1</mn><mo id="A1.Ex57.m1.1.8.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex57.m1.1.9">+</mo><msub id="A1.Ex57.m1.1.10"><mi id="A1.Ex57.m1.1.10.2">φ</mi><mn id="A1.Ex57.m1.1.10.3">2</mn></msub><mrow id="A1.Ex57.m1.1.11"><mo id="A1.Ex57.m1.1.11.1" stretchy="false">(</mo><msub id="A1.Ex57.m1.1.11.2"><mi id="A1.Ex57.m1.1.11.2.2">𝒔</mi><mi id="A1.Ex57.m1.1.11.2.3">c</mi></msub><mo id="A1.Ex57.m1.1.11.3" stretchy="false">)</mo></mrow><msub id="A1.Ex57.m1.1.12"><mi id="A1.Ex57.m1.1.12.2">𝒗</mi><mi id="A1.Ex57.m1.1.12.3">c</mi></msub><mrow id="A1.Ex57.m1.1.13"><mo id="A1.Ex57.m1.1.13.1" stretchy="false">(</mo><mn id="A1.Ex57.m1.1.13.2">1</mn><mo id="A1.Ex57.m1.1.13.3" lspace="0.278em" rspace="0.278em">:</mo><mi id="A1.Ex57.m1.1.13.4">t</mi><mo id="A1.Ex57.m1.1.13.5">−</mo><mn id="A1.Ex57.m1.1.13.6">1</mn><mo id="A1.Ex57.m1.1.13.7" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex57.m1.1.14">,</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex57.m1.1c">x_{c}(t-1)=\varphi_{1}(\bm{s}_{c})x_{c}(1)+\varphi_{2}(\bm{s}_{c})\bm{v}_{c}(1% :t-1),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex57.m1.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t - 1 ) = italic_φ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ) italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( 1 ) + italic_φ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ) bold_italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( 1 : italic_t - 1 ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.p3.4">where <math alttext="\bm{v}_{c}(1:t-1)\triangleq[v_{c}(1),\cdots,v_{c}(t-1)]" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="A1.p3.2.m1.1"><semantics id="A1.p3.2.m1.1a"><mrow id="A1.p3.2.m1.1b"><msub id="A1.p3.2.m1.1.1"><mi id="A1.p3.2.m1.1.1.2">𝒗</mi><mi id="A1.p3.2.m1.1.1.3">c</mi></msub><mrow id="A1.p3.2.m1.1.2"><mo id="A1.p3.2.m1.1.2.1" stretchy="false">(</mo><mn id="A1.p3.2.m1.1.2.2">1</mn><mo id="A1.p3.2.m1.1.2.3" lspace="0.278em" rspace="0.278em">:</mo><mi id="A1.p3.2.m1.1.2.4">t</mi><mo id="A1.p3.2.m1.1.2.5">−</mo><mn id="A1.p3.2.m1.1.2.6">1</mn><mo id="A1.p3.2.m1.1.2.7" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="A1.p3.2.m1.1.3">≜</mo><mrow id="A1.p3.2.m1.1.4"><mo id="A1.p3.2.m1.1.4.1" stretchy="false">[</mo><msub id="A1.p3.2.m1.1.4.2"><mi id="A1.p3.2.m1.1.4.2.2">v</mi><mi id="A1.p3.2.m1.1.4.2.3">c</mi></msub><mrow id="A1.p3.2.m1.1.4.3"><mo id="A1.p3.2.m1.1.4.3.1" stretchy="false">(</mo><mn id="A1.p3.2.m1.1.4.3.2">1</mn><mo id="A1.p3.2.m1.1.4.3.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="A1.p3.2.m1.1.4.4">,</mo><mi id="A1.p3.2.m1.1.4.5" mathvariant="normal">⋯</mi><mo id="A1.p3.2.m1.1.4.6">,</mo><msub id="A1.p3.2.m1.1.4.7"><mi id="A1.p3.2.m1.1.4.7.2">v</mi><mi id="A1.p3.2.m1.1.4.7.3">c</mi></msub><mrow id="A1.p3.2.m1.1.4.8"><mo id="A1.p3.2.m1.1.4.8.1" stretchy="false">(</mo><mi id="A1.p3.2.m1.1.4.8.2">t</mi><mo id="A1.p3.2.m1.1.4.8.3">−</mo><mn id="A1.p3.2.m1.1.4.8.4">1</mn><mo id="A1.p3.2.m1.1.4.8.5" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="A1.p3.2.m1.1.4.9" stretchy="false">]</mo></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p3.2.m1.1c">\bm{v}_{c}(1:t-1)\triangleq[v_{c}(1),\cdots,v_{c}(t-1)]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p3.2.m1.1d">bold_italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( 1 : italic_t - 1 ) ≜ [ italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( 1 ) , ⋯ , italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t - 1 ) ]</annotation></semantics></math>, <math alttext="\varphi_{1}(\bm{s}_{c})" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p3.3.m2.1"><semantics id="A1.p3.3.m2.1a"><mrow id="A1.p3.3.m2.1.1" xref="A1.p3.3.m2.1.1.cmml"><msub id="A1.p3.3.m2.1.1.3" xref="A1.p3.3.m2.1.1.3.cmml"><mi id="A1.p3.3.m2.1.1.3.2" xref="A1.p3.3.m2.1.1.3.2.cmml">φ</mi><mn id="A1.p3.3.m2.1.1.3.3" xref="A1.p3.3.m2.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A1.p3.3.m2.1.1.2" xref="A1.p3.3.m2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.p3.3.m2.1.1.1.1" xref="A1.p3.3.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.p3.3.m2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.p3.3.m2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="A1.p3.3.m2.1.1.1.1.1" xref="A1.p3.3.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.p3.3.m2.1.1.1.1.1.2" xref="A1.p3.3.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒔</mi><mi id="A1.p3.3.m2.1.1.1.1.1.3" xref="A1.p3.3.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="A1.p3.3.m2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.p3.3.m2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p3.3.m2.1b"><apply id="A1.p3.3.m2.1.1.cmml" xref="A1.p3.3.m2.1.1"><times id="A1.p3.3.m2.1.1.2.cmml" xref="A1.p3.3.m2.1.1.2"></times><apply id="A1.p3.3.m2.1.1.3.cmml" xref="A1.p3.3.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p3.3.m2.1.1.3.1.cmml" xref="A1.p3.3.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.p3.3.m2.1.1.3.2.cmml" xref="A1.p3.3.m2.1.1.3.2">𝜑</ci><cn id="A1.p3.3.m2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.p3.3.m2.1.1.3.3">1</cn></apply><apply id="A1.p3.3.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.p3.3.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p3.3.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.p3.3.m2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.p3.3.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.p3.3.m2.1.1.1.1.1.2">𝒔</ci><ci id="A1.p3.3.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.p3.3.m2.1.1.1.1.1.3">𝑐</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p3.3.m2.1c">\varphi_{1}(\bm{s}_{c})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p3.3.m2.1d">italic_φ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> and <math alttext="\varphi_{2}(\bm{s}_{c})" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p3.4.m3.1"><semantics id="A1.p3.4.m3.1a"><mrow id="A1.p3.4.m3.1.1" xref="A1.p3.4.m3.1.1.cmml"><msub id="A1.p3.4.m3.1.1.3" xref="A1.p3.4.m3.1.1.3.cmml"><mi id="A1.p3.4.m3.1.1.3.2" xref="A1.p3.4.m3.1.1.3.2.cmml">φ</mi><mn id="A1.p3.4.m3.1.1.3.3" xref="A1.p3.4.m3.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub><mo id="A1.p3.4.m3.1.1.2" xref="A1.p3.4.m3.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.p3.4.m3.1.1.1.1" xref="A1.p3.4.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.p3.4.m3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.p3.4.m3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="A1.p3.4.m3.1.1.1.1.1" xref="A1.p3.4.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.p3.4.m3.1.1.1.1.1.2" xref="A1.p3.4.m3.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒔</mi><mi id="A1.p3.4.m3.1.1.1.1.1.3" xref="A1.p3.4.m3.1.1.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="A1.p3.4.m3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.p3.4.m3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p3.4.m3.1b"><apply id="A1.p3.4.m3.1.1.cmml" xref="A1.p3.4.m3.1.1"><times id="A1.p3.4.m3.1.1.2.cmml" xref="A1.p3.4.m3.1.1.2"></times><apply id="A1.p3.4.m3.1.1.3.cmml" xref="A1.p3.4.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p3.4.m3.1.1.3.1.cmml" xref="A1.p3.4.m3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.p3.4.m3.1.1.3.2.cmml" xref="A1.p3.4.m3.1.1.3.2">𝜑</ci><cn id="A1.p3.4.m3.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.p3.4.m3.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="A1.p3.4.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.p3.4.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p3.4.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.p3.4.m3.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.p3.4.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.p3.4.m3.1.1.1.1.1.2">𝒔</ci><ci id="A1.p3.4.m3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.p3.4.m3.1.1.1.1.1.3">𝑐</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p3.4.m3.1c">\varphi_{2}(\bm{s}_{c})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p3.4.m3.1d">italic_φ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> are shown as follows:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx24"> <tbody id="A1.E14"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\varphi_{1}(\bm{s}_{c})" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.E14.m1.1"><semantics id="A1.E14.m1.1a"><mrow id="A1.E14.m1.1.1" xref="A1.E14.m1.1.1.cmml"><msub id="A1.E14.m1.1.1.3" xref="A1.E14.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E14.m1.1.1.3.2" xref="A1.E14.m1.1.1.3.2.cmml">φ</mi><mn id="A1.E14.m1.1.1.3.3" xref="A1.E14.m1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A1.E14.m1.1.1.2" xref="A1.E14.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E14.m1.1.1.1.1" xref="A1.E14.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E14.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E14.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="A1.E14.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.E14.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.E14.m1.1.1.1.1.1.2" 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A_{c}(s_{c}(2))+A_{c}(s_{c}(3))A_{c}(s_{c}(2))+\cdots+A_{c}(s_{c% }(t-1))A_{c}(s_{t-2})\cdots A_{c}(s_{c}(2))" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.E14.m3.10"><semantics id="A1.E14.m3.10a"><mrow id="A1.E14.m3.10.10" xref="A1.E14.m3.10.10.cmml"><mrow id="A1.E14.m3.5.5.1" xref="A1.E14.m3.5.5.1.cmml"><msub id="A1.E14.m3.5.5.1.3" xref="A1.E14.m3.5.5.1.3.cmml"><mi id="A1.E14.m3.5.5.1.3.2" xref="A1.E14.m3.5.5.1.3.2.cmml">A</mi><mi id="A1.E14.m3.5.5.1.3.3" xref="A1.E14.m3.5.5.1.3.3.cmml">c</mi></msub><mo id="A1.E14.m3.5.5.1.2" xref="A1.E14.m3.5.5.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E14.m3.5.5.1.1.1" xref="A1.E14.m3.5.5.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E14.m3.5.5.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E14.m3.5.5.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E14.m3.5.5.1.1.1.1" xref="A1.E14.m3.5.5.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.E14.m3.5.5.1.1.1.1.2" xref="A1.E14.m3.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.E14.m3.5.5.1.1.1.1.2.2" xref="A1.E14.m3.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml">s</mi><mi id="A1.E14.m3.5.5.1.1.1.1.2.3" 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xref="A1.E14.m3.8.8.4.1.1.1.cmml"><msub id="A1.E14.m3.8.8.4.1.1.1.3" xref="A1.E14.m3.8.8.4.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E14.m3.8.8.4.1.1.1.3.2" xref="A1.E14.m3.8.8.4.1.1.1.3.2.cmml">s</mi><mi id="A1.E14.m3.8.8.4.1.1.1.3.3" xref="A1.E14.m3.8.8.4.1.1.1.3.3.cmml">c</mi></msub><mo id="A1.E14.m3.8.8.4.1.1.1.2" xref="A1.E14.m3.8.8.4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E14.m3.8.8.4.1.1.1.1.1" xref="A1.E14.m3.8.8.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E14.m3.8.8.4.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E14.m3.8.8.4.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E14.m3.8.8.4.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E14.m3.8.8.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.E14.m3.8.8.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E14.m3.8.8.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="A1.E14.m3.8.8.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E14.m3.8.8.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="A1.E14.m3.8.8.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E14.m3.8.8.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="A1.E14.m3.8.8.4.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E14.m3.8.8.4.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo 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xref="A1.E14.m3.10.10.6.3.1.1.2.2.cmml">s</mi><mi id="A1.E14.m3.10.10.6.3.1.1.2.3" xref="A1.E14.m3.10.10.6.3.1.1.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="A1.E14.m3.10.10.6.3.1.1.1" xref="A1.E14.m3.10.10.6.3.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E14.m3.10.10.6.3.1.1.3.2" xref="A1.E14.m3.10.10.6.3.1.1.cmml"><mo id="A1.E14.m3.10.10.6.3.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.E14.m3.10.10.6.3.1.1.cmml">(</mo><mn id="A1.E14.m3.4.4" xref="A1.E14.m3.4.4.cmml">2</mn><mo id="A1.E14.m3.10.10.6.3.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.E14.m3.10.10.6.3.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.E14.m3.10.10.6.3.1.3" stretchy="false" xref="A1.E14.m3.10.10.6.3.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E14.m3.10b"><apply id="A1.E14.m3.10.10.cmml" xref="A1.E14.m3.10.10"><plus id="A1.E14.m3.10.10.7.cmml" xref="A1.E14.m3.10.10.7"></plus><apply id="A1.E14.m3.5.5.1.cmml" xref="A1.E14.m3.5.5.1"><times id="A1.E14.m3.5.5.1.2.cmml" xref="A1.E14.m3.5.5.1.2"></times><apply 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start_POSTSUBSCRIPT italic_t - 2 end_POSTSUBSCRIPT ) ⋯ italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( 2 ) )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(14)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.E15"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\varphi_{2}(\bm{s}_{c})" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.E15.m1.1"><semantics id="A1.E15.m1.1a"><mrow id="A1.E15.m1.1.1" xref="A1.E15.m1.1.1.cmml"><msub id="A1.E15.m1.1.1.3" xref="A1.E15.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E15.m1.1.1.3.2" xref="A1.E15.m1.1.1.3.2.cmml">φ</mi><mn id="A1.E15.m1.1.1.3.3" xref="A1.E15.m1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub><mo id="A1.E15.m1.1.1.2" xref="A1.E15.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E15.m1.1.1.1.1" xref="A1.E15.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E15.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E15.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="A1.E15.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.E15.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.E15.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E15.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒔</mi><mi id="A1.E15.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E15.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="A1.E15.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E15.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E15.m1.1b"><apply id="A1.E15.m1.1.1.cmml" xref="A1.E15.m1.1.1"><times id="A1.E15.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.E15.m1.1.1.2"></times><apply id="A1.E15.m1.1.1.3.cmml" xref="A1.E15.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E15.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E15.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.E15.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E15.m1.1.1.3.2">𝜑</ci><cn id="A1.E15.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.E15.m1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="A1.E15.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E15.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E15.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E15.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.E15.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E15.m1.1.1.1.1.1.2">𝒔</ci><ci id="A1.E15.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E15.m1.1.1.1.1.1.3">𝑐</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E15.m1.1c">\displaystyle\varphi_{2}(\bm{s}_{c})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E15.m1.1d">italic_φ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.E15.m2.1"><semantics id="A1.E15.m2.1a"><mo id="A1.E15.m2.1.1" xref="A1.E15.m2.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E15.m2.1b"><eq id="A1.E15.m2.1.1.cmml" xref="A1.E15.m2.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E15.m2.1c">\displaystyle=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E15.m2.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\begin{bmatrix}1+A_{c}(s_{c}(2))+A_{c}(s_{c}(3))A_{c}(s_{c}(2))+% \cdots+A_{c}(s_{c}(t-1))\cdots A_{c}(s_{c}(2))\\ 1+A_{C}(s_{c}(3))+\cdots+A_{c}(s_{c}(t-1))\cdots A_{c}(s_{c}(3))\\ \vdots\\ 1+A_{c}(s_{c}(t-1))\\ 1\end{bmatrix}^{\top}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.E15.m3.1"><semantics id="A1.E15.m3.1a"><msup id="A1.E15.m3.1.2" xref="A1.E15.m3.1.2.cmml"><mrow id="A1.E15.m3.1.1a.3" xref="A1.E15.m3.1.1a.2.cmml"><mo id="A1.E15.m3.1.1a.3.1" xref="A1.E15.m3.1.1a.2.1.cmml">[</mo><mtable id="A1.E15.m3.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.cmml"><mtr id="A1.E15.m3.1.1.1.1a" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.cmml"><mtd id="A1.E15.m3.1.1.1.1b" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.cmml"><mn id="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.11" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.11.cmml">1</mn><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.10" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.10.cmml">+</mo><mrow id="A1.E15.m3.1.1.1.1.5.5.5.5.5" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.5.5.5.5.5.cmml"><msub id="A1.E15.m3.1.1.1.1.5.5.5.5.5.3" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.5.5.5.5.5.3.cmml"><mi id="A1.E15.m3.1.1.1.1.5.5.5.5.5.3.2" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.5.5.5.5.5.3.2.cmml">A</mi><mi id="A1.E15.m3.1.1.1.1.5.5.5.5.5.3.3" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.5.5.5.5.5.3.3.cmml">c</mi></msub><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.5.5.5.5.5.2" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.5.5.5.5.5.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E15.m3.1.1.1.1.5.5.5.5.5.1.1" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.5.5.5.5.5.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.5.5.5.5.5.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.5.5.5.5.5.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E15.m3.1.1.1.1.5.5.5.5.5.1.1.1" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.5.5.5.5.5.1.1.1.cmml"><msub id="A1.E15.m3.1.1.1.1.5.5.5.5.5.1.1.1.2" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.5.5.5.5.5.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.E15.m3.1.1.1.1.5.5.5.5.5.1.1.1.2.2" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.5.5.5.5.5.1.1.1.2.2.cmml">s</mi><mi id="A1.E15.m3.1.1.1.1.5.5.5.5.5.1.1.1.2.3" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.5.5.5.5.5.1.1.1.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.5.5.5.5.5.1.1.1.1" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.5.5.5.5.5.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E15.m3.1.1.1.1.5.5.5.5.5.1.1.1.3.2" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.5.5.5.5.5.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.5.5.5.5.5.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.5.5.5.5.5.1.1.1.cmml">(</mo><mn id="A1.E15.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">2</mn><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.5.5.5.5.5.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.5.5.5.5.5.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.5.5.5.5.5.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.5.5.5.5.5.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.10a" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.10.cmml">+</mo><mrow id="A1.E15.m3.1.1.1.1.7.7.7.7.7" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.7.7.7.7.7.cmml"><msub id="A1.E15.m3.1.1.1.1.7.7.7.7.7.4" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.7.7.7.7.7.4.cmml"><mi id="A1.E15.m3.1.1.1.1.7.7.7.7.7.4.2" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.7.7.7.7.7.4.2.cmml">A</mi><mi id="A1.E15.m3.1.1.1.1.7.7.7.7.7.4.3" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.7.7.7.7.7.4.3.cmml">c</mi></msub><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.7.7.7.7.7.3" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.7.7.7.7.7.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E15.m3.1.1.1.1.6.6.6.6.6.1.1" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.6.6.6.6.6.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.6.6.6.6.6.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.6.6.6.6.6.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E15.m3.1.1.1.1.6.6.6.6.6.1.1.1" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.6.6.6.6.6.1.1.1.cmml"><msub id="A1.E15.m3.1.1.1.1.6.6.6.6.6.1.1.1.2" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.6.6.6.6.6.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.E15.m3.1.1.1.1.6.6.6.6.6.1.1.1.2.2" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.6.6.6.6.6.1.1.1.2.2.cmml">s</mi><mi id="A1.E15.m3.1.1.1.1.6.6.6.6.6.1.1.1.2.3" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.6.6.6.6.6.1.1.1.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.6.6.6.6.6.1.1.1.1" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.6.6.6.6.6.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E15.m3.1.1.1.1.6.6.6.6.6.1.1.1.3.2" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.6.6.6.6.6.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.6.6.6.6.6.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.6.6.6.6.6.1.1.1.cmml">(</mo><mn id="A1.E15.m3.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">3</mn><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.6.6.6.6.6.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.6.6.6.6.6.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.6.6.6.6.6.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.6.6.6.6.6.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.7.7.7.7.7.3a" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.7.7.7.7.7.3.cmml">⁢</mo><msub id="A1.E15.m3.1.1.1.1.7.7.7.7.7.5" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.7.7.7.7.7.5.cmml"><mi id="A1.E15.m3.1.1.1.1.7.7.7.7.7.5.2" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.7.7.7.7.7.5.2.cmml">A</mi><mi id="A1.E15.m3.1.1.1.1.7.7.7.7.7.5.3" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.7.7.7.7.7.5.3.cmml">c</mi></msub><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.7.7.7.7.7.3b" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.7.7.7.7.7.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E15.m3.1.1.1.1.7.7.7.7.7.2.1" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.7.7.7.7.7.2.1.1.cmml"><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.7.7.7.7.7.2.1.2" stretchy="false" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.7.7.7.7.7.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E15.m3.1.1.1.1.7.7.7.7.7.2.1.1" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.7.7.7.7.7.2.1.1.cmml"><msub id="A1.E15.m3.1.1.1.1.7.7.7.7.7.2.1.1.2" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.7.7.7.7.7.2.1.1.2.cmml"><mi id="A1.E15.m3.1.1.1.1.7.7.7.7.7.2.1.1.2.2" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.7.7.7.7.7.2.1.1.2.2.cmml">s</mi><mi id="A1.E15.m3.1.1.1.1.7.7.7.7.7.2.1.1.2.3" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.7.7.7.7.7.2.1.1.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.7.7.7.7.7.2.1.1.1" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.7.7.7.7.7.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E15.m3.1.1.1.1.7.7.7.7.7.2.1.1.3.2" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.7.7.7.7.7.2.1.1.cmml"><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.7.7.7.7.7.2.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.7.7.7.7.7.2.1.1.cmml">(</mo><mn id="A1.E15.m3.1.1.1.1.3.3.3.3.3" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml">2</mn><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.7.7.7.7.7.2.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.7.7.7.7.7.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.7.7.7.7.7.2.1.3" stretchy="false" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.7.7.7.7.7.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.10b" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.10.cmml">+</mo><mi id="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.12" mathvariant="normal" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.12.cmml">⋯</mi><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.10c" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.10.cmml">+</mo><mrow id="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.cmml"><msub id="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.4" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.4.cmml"><mi id="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.4.2" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.4.2.cmml">A</mi><mi id="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.4.3" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.4.3.cmml">c</mi></msub><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.3" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E15.m3.1.1.1.1.8.8.8.8.8.1.1" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.8.8.8.8.8.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.8.8.8.8.8.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.8.8.8.8.8.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E15.m3.1.1.1.1.8.8.8.8.8.1.1.1" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.8.8.8.8.8.1.1.1.cmml"><msub id="A1.E15.m3.1.1.1.1.8.8.8.8.8.1.1.1.3" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.8.8.8.8.8.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E15.m3.1.1.1.1.8.8.8.8.8.1.1.1.3.2" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.8.8.8.8.8.1.1.1.3.2.cmml">s</mi><mi id="A1.E15.m3.1.1.1.1.8.8.8.8.8.1.1.1.3.3" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.8.8.8.8.8.1.1.1.3.3.cmml">c</mi></msub><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.8.8.8.8.8.1.1.1.2" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.8.8.8.8.8.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E15.m3.1.1.1.1.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E15.m3.1.1.1.1.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.E15.m3.1.1.1.1.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="A1.E15.m3.1.1.1.1.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.8.8.8.8.8.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.8.8.8.8.8.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.3a" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.3.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.5" mathvariant="normal" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.5.cmml">⋯</mi><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.3b" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.3.cmml">⁢</mo><msub id="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.6" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.6.cmml"><mi id="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.6.2" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.6.2.cmml">A</mi><mi id="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.6.3" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.6.3.cmml">c</mi></msub><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.3c" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.2.1" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.2.1.1.cmml"><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.2.1.2" stretchy="false" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.2.1.1" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.2.1.1.cmml"><msub id="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.2.1.1.2" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.2.1.1.2.cmml"><mi id="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.2.1.1.2.2" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.2.1.1.2.2.cmml">s</mi><mi id="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.2.1.1.2.3" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.2.1.1.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.2.1.1.1" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.2.1.1.3.2" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.2.1.1.cmml"><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.2.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.2.1.1.cmml">(</mo><mn id="A1.E15.m3.1.1.1.1.4.4.4.4.4" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.4.4.4.4.4.cmml">2</mn><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.2.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.2.1.3" stretchy="false" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="A1.E15.m3.1.1.1.1c" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.cmml"><mtd id="A1.E15.m3.1.1.1.1d" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.cmml"><mn id="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.7" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.7.cmml">1</mn><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.6" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.6.cmml">+</mo><mrow id="A1.E15.m3.1.1.1.1.12.12.3.3.3" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.12.12.3.3.3.cmml"><msub id="A1.E15.m3.1.1.1.1.12.12.3.3.3.3" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.12.12.3.3.3.3.cmml"><mi id="A1.E15.m3.1.1.1.1.12.12.3.3.3.3.2" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.12.12.3.3.3.3.2.cmml">A</mi><mi id="A1.E15.m3.1.1.1.1.12.12.3.3.3.3.3" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.12.12.3.3.3.3.3.cmml">C</mi></msub><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.12.12.3.3.3.2" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.12.12.3.3.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E15.m3.1.1.1.1.12.12.3.3.3.1.1" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.12.12.3.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.12.12.3.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.12.12.3.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E15.m3.1.1.1.1.12.12.3.3.3.1.1.1" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.12.12.3.3.3.1.1.1.cmml"><msub id="A1.E15.m3.1.1.1.1.12.12.3.3.3.1.1.1.2" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.12.12.3.3.3.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.E15.m3.1.1.1.1.12.12.3.3.3.1.1.1.2.2" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.12.12.3.3.3.1.1.1.2.2.cmml">s</mi><mi id="A1.E15.m3.1.1.1.1.12.12.3.3.3.1.1.1.2.3" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.12.12.3.3.3.1.1.1.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.12.12.3.3.3.1.1.1.1" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.12.12.3.3.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E15.m3.1.1.1.1.12.12.3.3.3.1.1.1.3.2" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.12.12.3.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.12.12.3.3.3.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.12.12.3.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mn id="A1.E15.m3.1.1.1.1.10.10.1.1.1" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.10.10.1.1.1.cmml">3</mn><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.12.12.3.3.3.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.12.12.3.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.12.12.3.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.12.12.3.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.6a" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.6.cmml">+</mo><mi id="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.8" mathvariant="normal" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.8.cmml">⋯</mi><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.6b" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.6.cmml">+</mo><mrow id="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.cmml"><msub id="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.4" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.4.cmml"><mi id="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.4.2" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.4.2.cmml">A</mi><mi id="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.4.3" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.4.3.cmml">c</mi></msub><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.3" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E15.m3.1.1.1.1.13.13.4.4.4.1.1" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.13.13.4.4.4.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.13.13.4.4.4.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.13.13.4.4.4.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E15.m3.1.1.1.1.13.13.4.4.4.1.1.1" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.13.13.4.4.4.1.1.1.cmml"><msub id="A1.E15.m3.1.1.1.1.13.13.4.4.4.1.1.1.3" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.13.13.4.4.4.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E15.m3.1.1.1.1.13.13.4.4.4.1.1.1.3.2" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.13.13.4.4.4.1.1.1.3.2.cmml">s</mi><mi id="A1.E15.m3.1.1.1.1.13.13.4.4.4.1.1.1.3.3" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.13.13.4.4.4.1.1.1.3.3.cmml">c</mi></msub><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.13.13.4.4.4.1.1.1.2" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.13.13.4.4.4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E15.m3.1.1.1.1.13.13.4.4.4.1.1.1.1.1" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.13.13.4.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.13.13.4.4.4.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.13.13.4.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E15.m3.1.1.1.1.13.13.4.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.13.13.4.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.E15.m3.1.1.1.1.13.13.4.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.13.13.4.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.13.13.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.13.13.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="A1.E15.m3.1.1.1.1.13.13.4.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.13.13.4.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.13.13.4.4.4.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.13.13.4.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.13.13.4.4.4.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.13.13.4.4.4.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.3a" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.3.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.5" mathvariant="normal" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.5.cmml">⋯</mi><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.3b" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.3.cmml">⁢</mo><msub id="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.6" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.6.cmml"><mi id="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.6.2" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.6.2.cmml">A</mi><mi id="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.6.3" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.6.3.cmml">c</mi></msub><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.3c" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.2.1" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.2.1.1.cmml"><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.2.1.2" stretchy="false" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.2.1.1" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.2.1.1.cmml"><msub id="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.2.1.1.2" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.2.1.1.2.cmml"><mi id="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.2.1.1.2.2" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.2.1.1.2.2.cmml">s</mi><mi id="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.2.1.1.2.3" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.2.1.1.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.2.1.1.1" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.2.1.1.3.2" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.2.1.1.cmml"><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.2.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.2.1.1.cmml">(</mo><mn id="A1.E15.m3.1.1.1.1.11.11.2.2.2" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.11.11.2.2.2.cmml">3</mn><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.2.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.2.1.3" stretchy="false" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="A1.E15.m3.1.1.1.1e" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.cmml"><mtd id="A1.E15.m3.1.1.1.1f" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.E15.m3.1.1.1.1.16.1.1" mathvariant="normal" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.16.1.1.cmml">⋮</mi></mtd></mtr><mtr id="A1.E15.m3.1.1.1.1g" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.cmml"><mtd id="A1.E15.m3.1.1.1.1h" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.cmml"><mn id="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.3" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.3.cmml">1</mn><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.2" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.cmml"><msub id="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.3" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.3.2" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.3.2.cmml">A</mi><mi id="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.3.3" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.3.3.cmml">c</mi></msub><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.2" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.1.1" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">s</mi><mi id="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">c</mi></msub><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="A1.E15.m3.1.1.1.1i" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.cmml"><mtd id="A1.E15.m3.1.1.1.1j" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.cmml"><mn id="A1.E15.m3.1.1.1.1.17.1.1" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.17.1.1.cmml">1</mn></mtd></mtr></mtable><mo id="A1.E15.m3.1.1a.3.2" xref="A1.E15.m3.1.1a.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="A1.E15.m3.1.2.2" xref="A1.E15.m3.1.2.2.cmml">⊤</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E15.m3.1b"><apply id="A1.E15.m3.1.2.cmml" xref="A1.E15.m3.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E15.m3.1.2.1.cmml" xref="A1.E15.m3.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.E15.m3.1.1a.2.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1a.3"><csymbol cd="latexml" 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xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.5.5.5.5.5.3.3">𝑐</ci></apply><apply id="A1.E15.m3.1.1.1.1.5.5.5.5.5.1.1.1.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.5.5.5.5.5.1.1"><times id="A1.E15.m3.1.1.1.1.5.5.5.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.5.5.5.5.5.1.1.1.1"></times><apply id="A1.E15.m3.1.1.1.1.5.5.5.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.5.5.5.5.5.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E15.m3.1.1.1.1.5.5.5.5.5.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.5.5.5.5.5.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E15.m3.1.1.1.1.5.5.5.5.5.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.5.5.5.5.5.1.1.1.2.2">𝑠</ci><ci id="A1.E15.m3.1.1.1.1.5.5.5.5.5.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.5.5.5.5.5.1.1.1.2.3">𝑐</ci></apply><cn id="A1.E15.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1">2</cn></apply></apply><apply id="A1.E15.m3.1.1.1.1.7.7.7.7.7.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.7.7.7.7.7"><times id="A1.E15.m3.1.1.1.1.7.7.7.7.7.3.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.7.7.7.7.7.3"></times><apply 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xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.6.6.6.6.6.1.1.1.2.3">𝑐</ci></apply><cn id="A1.E15.m3.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.2.2.2.2.2">3</cn></apply><apply id="A1.E15.m3.1.1.1.1.7.7.7.7.7.5.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.7.7.7.7.7.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E15.m3.1.1.1.1.7.7.7.7.7.5.1.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.7.7.7.7.7.5">subscript</csymbol><ci id="A1.E15.m3.1.1.1.1.7.7.7.7.7.5.2.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.7.7.7.7.7.5.2">𝐴</ci><ci id="A1.E15.m3.1.1.1.1.7.7.7.7.7.5.3.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.7.7.7.7.7.5.3">𝑐</ci></apply><apply id="A1.E15.m3.1.1.1.1.7.7.7.7.7.2.1.1.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.7.7.7.7.7.2.1"><times id="A1.E15.m3.1.1.1.1.7.7.7.7.7.2.1.1.1.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.7.7.7.7.7.2.1.1.1"></times><apply id="A1.E15.m3.1.1.1.1.7.7.7.7.7.2.1.1.2.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.7.7.7.7.7.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E15.m3.1.1.1.1.7.7.7.7.7.2.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.7.7.7.7.7.2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E15.m3.1.1.1.1.7.7.7.7.7.2.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.7.7.7.7.7.2.1.1.2.2">𝑠</ci><ci id="A1.E15.m3.1.1.1.1.7.7.7.7.7.2.1.1.2.3.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.7.7.7.7.7.2.1.1.2.3">𝑐</ci></apply><cn id="A1.E15.m3.1.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.3.3.3.3.3">2</cn></apply></apply><ci id="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.12.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.12">⋯</ci><apply id="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9"><times id="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.3.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.3"></times><apply id="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.4.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.4.1.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.4">subscript</csymbol><ci id="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.4.2.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.4.2">𝐴</ci><ci id="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.4.3.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.4.3">𝑐</ci></apply><apply id="A1.E15.m3.1.1.1.1.8.8.8.8.8.1.1.1.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.8.8.8.8.8.1.1"><times id="A1.E15.m3.1.1.1.1.8.8.8.8.8.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.8.8.8.8.8.1.1.1.2"></times><apply id="A1.E15.m3.1.1.1.1.8.8.8.8.8.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.8.8.8.8.8.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E15.m3.1.1.1.1.8.8.8.8.8.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.8.8.8.8.8.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.E15.m3.1.1.1.1.8.8.8.8.8.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.8.8.8.8.8.1.1.1.3.2">𝑠</ci><ci id="A1.E15.m3.1.1.1.1.8.8.8.8.8.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.8.8.8.8.8.1.1.1.3.3">𝑐</ci></apply><apply id="A1.E15.m3.1.1.1.1.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1"><minus id="A1.E15.m3.1.1.1.1.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="A1.E15.m3.1.1.1.1.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><cn id="A1.E15.m3.1.1.1.1.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.5.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.5">⋯</ci><apply id="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.6.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.6"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.6.1.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.6">subscript</csymbol><ci id="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.6.2.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.6.2">𝐴</ci><ci id="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.6.3.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.6.3">𝑐</ci></apply><apply id="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.2.1.1.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.2.1"><times id="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.2.1.1.1.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.2.1.1.1"></times><apply id="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.2.1.1.2.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.2.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.2.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.2.1.1.2.2">𝑠</ci><ci id="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.2.1.1.2.3.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.9.9.9.9.9.2.1.1.2.3">𝑐</ci></apply><cn id="A1.E15.m3.1.1.1.1.4.4.4.4.4.cmml" type="integer" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.4.4.4.4.4">2</cn></apply></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="A1.E15.m3.1.1.1.1b.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1"><apply id="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5"><plus id="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.6.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.6"></plus><cn id="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.7.cmml" type="integer" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.7">1</cn><apply id="A1.E15.m3.1.1.1.1.12.12.3.3.3.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.12.12.3.3.3"><times id="A1.E15.m3.1.1.1.1.12.12.3.3.3.2.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.12.12.3.3.3.2"></times><apply id="A1.E15.m3.1.1.1.1.12.12.3.3.3.3.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.12.12.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E15.m3.1.1.1.1.12.12.3.3.3.3.1.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.12.12.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.E15.m3.1.1.1.1.12.12.3.3.3.3.2.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.12.12.3.3.3.3.2">𝐴</ci><ci id="A1.E15.m3.1.1.1.1.12.12.3.3.3.3.3.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.12.12.3.3.3.3.3">𝐶</ci></apply><apply id="A1.E15.m3.1.1.1.1.12.12.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.12.12.3.3.3.1.1"><times id="A1.E15.m3.1.1.1.1.12.12.3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.12.12.3.3.3.1.1.1.1"></times><apply id="A1.E15.m3.1.1.1.1.12.12.3.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.12.12.3.3.3.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E15.m3.1.1.1.1.12.12.3.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.12.12.3.3.3.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E15.m3.1.1.1.1.12.12.3.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.12.12.3.3.3.1.1.1.2.2">𝑠</ci><ci id="A1.E15.m3.1.1.1.1.12.12.3.3.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.12.12.3.3.3.1.1.1.2.3">𝑐</ci></apply><cn id="A1.E15.m3.1.1.1.1.10.10.1.1.1.cmml" type="integer" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.10.10.1.1.1">3</cn></apply></apply><ci id="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.8.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.8">⋯</ci><apply id="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5"><times id="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.3.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.3"></times><apply id="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.4.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.4.1.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.4">subscript</csymbol><ci id="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.4.2.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.4.2">𝐴</ci><ci id="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.4.3.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.4.3">𝑐</ci></apply><apply id="A1.E15.m3.1.1.1.1.13.13.4.4.4.1.1.1.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.13.13.4.4.4.1.1"><times id="A1.E15.m3.1.1.1.1.13.13.4.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.13.13.4.4.4.1.1.1.2"></times><apply id="A1.E15.m3.1.1.1.1.13.13.4.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.13.13.4.4.4.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E15.m3.1.1.1.1.13.13.4.4.4.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.13.13.4.4.4.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.E15.m3.1.1.1.1.13.13.4.4.4.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.13.13.4.4.4.1.1.1.3.2">𝑠</ci><ci id="A1.E15.m3.1.1.1.1.13.13.4.4.4.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.13.13.4.4.4.1.1.1.3.3">𝑐</ci></apply><apply id="A1.E15.m3.1.1.1.1.13.13.4.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.13.13.4.4.4.1.1.1.1.1"><minus id="A1.E15.m3.1.1.1.1.13.13.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.13.13.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="A1.E15.m3.1.1.1.1.13.13.4.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.13.13.4.4.4.1.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><cn id="A1.E15.m3.1.1.1.1.13.13.4.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.13.13.4.4.4.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.5.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.5">⋯</ci><apply id="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.6.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.6"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.6.1.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.6">subscript</csymbol><ci id="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.6.2.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.6.2">𝐴</ci><ci id="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.6.3.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.6.3">𝑐</ci></apply><apply id="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.2.1.1.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.2.1"><times id="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.2.1.1.1.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.2.1.1.1"></times><apply id="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.2.1.1.2.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.2.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.2.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.2.1.1.2.2">𝑠</ci><ci id="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.2.1.1.2.3.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.14.14.5.5.5.2.1.1.2.3">𝑐</ci></apply><cn id="A1.E15.m3.1.1.1.1.11.11.2.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.11.11.2.2.2">3</cn></apply></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="A1.E15.m3.1.1.1.1c.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1"><ci id="A1.E15.m3.1.1.1.1.16.1.1.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.16.1.1">⋮</ci></matrixrow><matrixrow id="A1.E15.m3.1.1.1.1d.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1"><apply id="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1"><plus id="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.2.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.2"></plus><cn id="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.3">1</cn><apply id="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1"><times id="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.2"></times><apply id="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.3.2">𝐴</ci><ci id="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.3.3">𝑐</ci></apply><apply id="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.1.1"><times id="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑠</ci><ci id="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑐</ci></apply><apply id="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><cn id="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="A1.E15.m3.1.1.1.1e.cmml" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1"><cn id="A1.E15.m3.1.1.1.1.17.1.1.cmml" type="integer" xref="A1.E15.m3.1.1.1.1.17.1.1">1</cn></matrixrow></matrix></apply><csymbol cd="latexml" id="A1.E15.m3.1.2.2.cmml" xref="A1.E15.m3.1.2.2">top</csymbol></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E15.m3.1c">\displaystyle\begin{bmatrix}1+A_{c}(s_{c}(2))+A_{c}(s_{c}(3))A_{c}(s_{c}(2))+% \cdots+A_{c}(s_{c}(t-1))\cdots A_{c}(s_{c}(2))\\ 1+A_{C}(s_{c}(3))+\cdots+A_{c}(s_{c}(t-1))\cdots A_{c}(s_{c}(3))\\ \vdots\\ 1+A_{c}(s_{c}(t-1))\\ 1\end{bmatrix}^{\top}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E15.m3.1d">[ start_ARG start_ROW start_CELL 1 + italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( 2 ) ) + italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( 3 ) ) italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( 2 ) ) + ⋯ + italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t - 1 ) ) ⋯ italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( 2 ) ) end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 1 + italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_C end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( 3 ) ) + ⋯ + italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t - 1 ) ) ⋯ italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( 3 ) ) end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL ⋮ end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 1 + italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t - 1 ) ) end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 1 end_CELL end_ROW end_ARG ] start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(15)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.p3.6">Both matrices are uniquely determined by the switching sequence <math alttext="\bm{s}_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p3.5.m1.1"><semantics id="A1.p3.5.m1.1a"><msub id="A1.p3.5.m1.1.1" xref="A1.p3.5.m1.1.1.cmml"><mi id="A1.p3.5.m1.1.1.2" xref="A1.p3.5.m1.1.1.2.cmml">𝒔</mi><mi id="A1.p3.5.m1.1.1.3" xref="A1.p3.5.m1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p3.5.m1.1b"><apply id="A1.p3.5.m1.1.1.cmml" xref="A1.p3.5.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p3.5.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.p3.5.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.p3.5.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.p3.5.m1.1.1.2">𝒔</ci><ci id="A1.p3.5.m1.1.1.3.cmml" xref="A1.p3.5.m1.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p3.5.m1.1c">\bm{s}_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p3.5.m1.1d">bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and system matrices <math alttext="A_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p3.6.m2.1"><semantics id="A1.p3.6.m2.1a"><msub id="A1.p3.6.m2.1.1" xref="A1.p3.6.m2.1.1.cmml"><mi id="A1.p3.6.m2.1.1.2" xref="A1.p3.6.m2.1.1.2.cmml">A</mi><mi id="A1.p3.6.m2.1.1.3" xref="A1.p3.6.m2.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p3.6.m2.1b"><apply id="A1.p3.6.m2.1.1.cmml" xref="A1.p3.6.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p3.6.m2.1.1.1.cmml" xref="A1.p3.6.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.p3.6.m2.1.1.2.cmml" xref="A1.p3.6.m2.1.1.2">𝐴</ci><ci id="A1.p3.6.m2.1.1.3.cmml" xref="A1.p3.6.m2.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p3.6.m2.1c">A_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p3.6.m2.1d">italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Then, one obtains that:</p> </div> <div class="ltx_para" id="A1.p4"> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx25"> <tbody id="A1.Ex58"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\eta_{c}(t)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex58.m1.1"><semantics id="A1.Ex58.m1.1a"><mrow id="A1.Ex58.m1.1.2" xref="A1.Ex58.m1.1.2.cmml"><msub id="A1.Ex58.m1.1.2.2" xref="A1.Ex58.m1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex58.m1.1.2.2.2" xref="A1.Ex58.m1.1.2.2.2.cmml">η</mi><mi id="A1.Ex58.m1.1.2.2.3" xref="A1.Ex58.m1.1.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="A1.Ex58.m1.1.2.1" xref="A1.Ex58.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex58.m1.1.2.3.2" xref="A1.Ex58.m1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex58.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex58.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex58.m1.1.1" xref="A1.Ex58.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex58.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex58.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex58.m1.1b"><apply id="A1.Ex58.m1.1.2.cmml" xref="A1.Ex58.m1.1.2"><times id="A1.Ex58.m1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex58.m1.1.2.1"></times><apply id="A1.Ex58.m1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex58.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex58.m1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex58.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex58.m1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex58.m1.1.2.2.2">𝜂</ci><ci id="A1.Ex58.m1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex58.m1.1.2.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="A1.Ex58.m1.1.1.cmml" xref="A1.Ex58.m1.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex58.m1.1c">\displaystyle\eta_{c}(t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex58.m1.1d">italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=x_{c}(t)-A(\hat{s}_{c}(t))x_{c}(t-1)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex58.m2.4"><semantics id="A1.Ex58.m2.4a"><mrow id="A1.Ex58.m2.4.4" xref="A1.Ex58.m2.4.4.cmml"><mi id="A1.Ex58.m2.4.4.4" xref="A1.Ex58.m2.4.4.4.cmml"></mi><mo id="A1.Ex58.m2.4.4.3" xref="A1.Ex58.m2.4.4.3.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex58.m2.4.4.2" xref="A1.Ex58.m2.4.4.2.cmml"><mrow id="A1.Ex58.m2.4.4.2.4" xref="A1.Ex58.m2.4.4.2.4.cmml"><msub id="A1.Ex58.m2.4.4.2.4.2" xref="A1.Ex58.m2.4.4.2.4.2.cmml"><mi id="A1.Ex58.m2.4.4.2.4.2.2" xref="A1.Ex58.m2.4.4.2.4.2.2.cmml">x</mi><mi id="A1.Ex58.m2.4.4.2.4.2.3" xref="A1.Ex58.m2.4.4.2.4.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="A1.Ex58.m2.4.4.2.4.1" xref="A1.Ex58.m2.4.4.2.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex58.m2.4.4.2.4.3.2" xref="A1.Ex58.m2.4.4.2.4.cmml"><mo id="A1.Ex58.m2.4.4.2.4.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex58.m2.4.4.2.4.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex58.m2.1.1" xref="A1.Ex58.m2.1.1.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex58.m2.4.4.2.4.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex58.m2.4.4.2.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex58.m2.4.4.2.3" 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id="A1.Ex60.m1.5c">\displaystyle=(A_{c}(s_{c}(t))-A(\hat{s}_{c}(t)))\varphi_{1}(\bm{s}_{c})x_{c}(1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex60.m1.5d">= ( italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ) - italic_A ( over^ start_ARG italic_s end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ) ) italic_φ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ) italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( 1 )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex61"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\hskip 102.43008pt+\varphi_{3}(\bm{s}_{c})\bm{v}_{c}(1:t)," class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="A1.Ex61.m1.1"><semantics id="A1.Ex61.m1.1a"><mrow id="A1.Ex61.m1.1b"><mo id="A1.Ex61.m1.1.1">+</mo><msub id="A1.Ex61.m1.1.2"><mi id="A1.Ex61.m1.1.2.2">φ</mi><mn id="A1.Ex61.m1.1.2.3">3</mn></msub><mrow id="A1.Ex61.m1.1.3"><mo id="A1.Ex61.m1.1.3.1" stretchy="false">(</mo><msub id="A1.Ex61.m1.1.3.2"><mi id="A1.Ex61.m1.1.3.2.2">𝒔</mi><mi id="A1.Ex61.m1.1.3.2.3">c</mi></msub><mo id="A1.Ex61.m1.1.3.3" stretchy="false">)</mo></mrow><msub id="A1.Ex61.m1.1.4"><mi id="A1.Ex61.m1.1.4.2">𝒗</mi><mi id="A1.Ex61.m1.1.4.3">c</mi></msub><mrow id="A1.Ex61.m1.1.5"><mo id="A1.Ex61.m1.1.5.1" stretchy="false">(</mo><mn id="A1.Ex61.m1.1.5.2">1</mn><mo id="A1.Ex61.m1.1.5.3" lspace="0.278em" rspace="0.278em">:</mo><mi id="A1.Ex61.m1.1.5.4">t</mi><mo id="A1.Ex61.m1.1.5.5" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex61.m1.1.6">,</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex61.m1.1c">\displaystyle\hskip 102.43008pt+\varphi_{3}(\bm{s}_{c})\bm{v}_{c}(1:t),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex61.m1.1d">+ italic_φ start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT ( bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ) bold_italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( 1 : italic_t ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.p4.2">where <math alttext="\varphi_{3}(\bm{s}_{c})=[\varphi_{2}(\bm{s}_{c}),1]" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p4.1.m1.3"><semantics id="A1.p4.1.m1.3a"><mrow id="A1.p4.1.m1.3.3" xref="A1.p4.1.m1.3.3.cmml"><mrow id="A1.p4.1.m1.2.2.1" xref="A1.p4.1.m1.2.2.1.cmml"><msub id="A1.p4.1.m1.2.2.1.3" xref="A1.p4.1.m1.2.2.1.3.cmml"><mi id="A1.p4.1.m1.2.2.1.3.2" xref="A1.p4.1.m1.2.2.1.3.2.cmml">φ</mi><mn id="A1.p4.1.m1.2.2.1.3.3" xref="A1.p4.1.m1.2.2.1.3.3.cmml">3</mn></msub><mo id="A1.p4.1.m1.2.2.1.2" xref="A1.p4.1.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.p4.1.m1.2.2.1.1.1" xref="A1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="A1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1" xref="A1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="A1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">𝒔</mi><mi id="A1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="A1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="A1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.p4.1.m1.3.3.3" xref="A1.p4.1.m1.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="A1.p4.1.m1.3.3.2.1" xref="A1.p4.1.m1.3.3.2.2.cmml"><mo id="A1.p4.1.m1.3.3.2.1.2" stretchy="false" xref="A1.p4.1.m1.3.3.2.2.cmml">[</mo><mrow id="A1.p4.1.m1.3.3.2.1.1" xref="A1.p4.1.m1.3.3.2.1.1.cmml"><msub id="A1.p4.1.m1.3.3.2.1.1.3" xref="A1.p4.1.m1.3.3.2.1.1.3.cmml"><mi id="A1.p4.1.m1.3.3.2.1.1.3.2" xref="A1.p4.1.m1.3.3.2.1.1.3.2.cmml">φ</mi><mn id="A1.p4.1.m1.3.3.2.1.1.3.3" xref="A1.p4.1.m1.3.3.2.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub><mo id="A1.p4.1.m1.3.3.2.1.1.2" xref="A1.p4.1.m1.3.3.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.p4.1.m1.3.3.2.1.1.1.1" xref="A1.p4.1.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.p4.1.m1.3.3.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.p4.1.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="A1.p4.1.m1.3.3.2.1.1.1.1.1" xref="A1.p4.1.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.p4.1.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.2" xref="A1.p4.1.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒔</mi><mi id="A1.p4.1.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.3" xref="A1.p4.1.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="A1.p4.1.m1.3.3.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.p4.1.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.p4.1.m1.3.3.2.1.3" xref="A1.p4.1.m1.3.3.2.2.cmml">,</mo><mn id="A1.p4.1.m1.1.1" xref="A1.p4.1.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="A1.p4.1.m1.3.3.2.1.4" stretchy="false" xref="A1.p4.1.m1.3.3.2.2.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p4.1.m1.3b"><apply id="A1.p4.1.m1.3.3.cmml" xref="A1.p4.1.m1.3.3"><eq id="A1.p4.1.m1.3.3.3.cmml" xref="A1.p4.1.m1.3.3.3"></eq><apply id="A1.p4.1.m1.2.2.1.cmml" xref="A1.p4.1.m1.2.2.1"><times id="A1.p4.1.m1.2.2.1.2.cmml" xref="A1.p4.1.m1.2.2.1.2"></times><apply id="A1.p4.1.m1.2.2.1.3.cmml" xref="A1.p4.1.m1.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p4.1.m1.2.2.1.3.1.cmml" xref="A1.p4.1.m1.2.2.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.p4.1.m1.2.2.1.3.2.cmml" xref="A1.p4.1.m1.2.2.1.3.2">𝜑</ci><cn id="A1.p4.1.m1.2.2.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.p4.1.m1.2.2.1.3.3">3</cn></apply><apply id="A1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.p4.1.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.p4.1.m1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.2">𝒔</ci><ci id="A1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.3">𝑐</ci></apply></apply><interval closure="closed" id="A1.p4.1.m1.3.3.2.2.cmml" xref="A1.p4.1.m1.3.3.2.1"><apply id="A1.p4.1.m1.3.3.2.1.1.cmml" xref="A1.p4.1.m1.3.3.2.1.1"><times id="A1.p4.1.m1.3.3.2.1.1.2.cmml" xref="A1.p4.1.m1.3.3.2.1.1.2"></times><apply id="A1.p4.1.m1.3.3.2.1.1.3.cmml" xref="A1.p4.1.m1.3.3.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p4.1.m1.3.3.2.1.1.3.1.cmml" xref="A1.p4.1.m1.3.3.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.p4.1.m1.3.3.2.1.1.3.2.cmml" xref="A1.p4.1.m1.3.3.2.1.1.3.2">𝜑</ci><cn id="A1.p4.1.m1.3.3.2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.p4.1.m1.3.3.2.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="A1.p4.1.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.p4.1.m1.3.3.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p4.1.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.p4.1.m1.3.3.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.p4.1.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.p4.1.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.2">𝒔</ci><ci id="A1.p4.1.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.p4.1.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.3">𝑐</ci></apply></apply><cn id="A1.p4.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="A1.p4.1.m1.1.1">1</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p4.1.m1.3c">\varphi_{3}(\bm{s}_{c})=[\varphi_{2}(\bm{s}_{c}),1]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p4.1.m1.3d">italic_φ start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT ( bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ) = [ italic_φ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( bold_italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ) , 1 ]</annotation></semantics></math>. Passing to the (squared) norm in the expression above we note that, in view of the fact that the noise <math alttext="\bm{v}_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p4.2.m2.1"><semantics id="A1.p4.2.m2.1a"><msub id="A1.p4.2.m2.1.1" xref="A1.p4.2.m2.1.1.cmml"><mi id="A1.p4.2.m2.1.1.2" xref="A1.p4.2.m2.1.1.2.cmml">𝒗</mi><mi id="A1.p4.2.m2.1.1.3" xref="A1.p4.2.m2.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p4.2.m2.1b"><apply id="A1.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="A1.p4.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p4.2.m2.1.1.1.cmml" xref="A1.p4.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.p4.2.m2.1.1.2.cmml" xref="A1.p4.2.m2.1.1.2">𝒗</ci><ci id="A1.p4.2.m2.1.1.3.cmml" xref="A1.p4.2.m2.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p4.2.m2.1c">\bm{v}_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p4.2.m2.1d">bold_italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> has a bounded covariance, the last term is bounded too. For what concerns the first term, instead, we have:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex62"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_left"><math alttext="\|[A_{c}(s_{c}(t))-A(\hat{s}_{c}(t))]\varphi_{1}(\bm{s})x_{c}(1)\|^{2}\leq% \lambda_{1}\|x_{c}(1)\|^{2}," class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex62.m1.6"><semantics id="A1.Ex62.m1.6a"><mrow id="A1.Ex62.m1.6.6.1" xref="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex62.m1.6.6.1.1" xref="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.cmml"><msup id="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1" xref="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">A</mi><mi id="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">c</mi></msub><mo id="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">s</mi><mi id="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex62.m1.1.1" xref="A1.Ex62.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">A</mi><mo id="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.2.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.1" xref="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex62.m1.2.2" xref="A1.Ex62.m1.2.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" 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xref="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.3" xref="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.3" xref="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.3.cmml">≤</mo><mrow id="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.2" xref="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.2.cmml"><msub id="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.2.3" xref="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.2.3.2.cmml">λ</mi><mn id="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.2.2" xref="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><msup id="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.2.1" xref="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.2.1.cmml"><mrow id="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.2.1.1.1" xref="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.2.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mi id="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mn id="A1.Ex62.m1.5.5" xref="A1.Ex62.m1.5.5.cmml">1</mn><mo id="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.2.1.3" xref="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.2.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="A1.Ex62.m1.6.6.1.2" xref="A1.Ex62.m1.6.6.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex62.m1.6b"><apply 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italic_A ( over^ start_ARG italic_s end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ) ] italic_φ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( bold_italic_s ) italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( 1 ) ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ≤ italic_λ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ∥ italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( 1 ) ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.p4.4">where</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx26"> <tbody id="A1.Ex63"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\lambda_{1}\triangleq\lambda_{\textrm{max}}(\varphi^{\top}_{1}(% \bm{s})" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="A1.Ex63.m1.1"><semantics id="A1.Ex63.m1.1a"><mrow id="A1.Ex63.m1.1b"><msub id="A1.Ex63.m1.1.2"><mi id="A1.Ex63.m1.1.2.2">λ</mi><mn id="A1.Ex63.m1.1.2.3">1</mn></msub><mo id="A1.Ex63.m1.1.3">≜</mo><msub id="A1.Ex63.m1.1.4"><mi id="A1.Ex63.m1.1.4.2">λ</mi><mtext id="A1.Ex63.m1.1.4.3">max</mtext></msub><mrow id="A1.Ex63.m1.1.5"><mo id="A1.Ex63.m1.1.5.1" stretchy="false">(</mo><msubsup id="A1.Ex63.m1.1.5.2"><mi id="A1.Ex63.m1.1.5.2.2.2">φ</mi><mn id="A1.Ex63.m1.1.5.2.3">1</mn><mo id="A1.Ex63.m1.1.5.2.2.3">⊤</mo></msubsup><mrow id="A1.Ex63.m1.1.5.3"><mo id="A1.Ex63.m1.1.5.3.1" stretchy="false">(</mo><mi id="A1.Ex63.m1.1.1">𝒔</mi><mo id="A1.Ex63.m1.1.5.3.2" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex63.m1.1c">\displaystyle\lambda_{1}\triangleq\lambda_{\textrm{max}}(\varphi^{\top}_{1}(% \bm{s})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex63.m1.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ≜ italic_λ start_POSTSUBSCRIPT max end_POSTSUBSCRIPT ( italic_φ start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( bold_italic_s )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle(A_{c}(s_{c}(t))-A(\hat{s}_{c}(t)))^{\top}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex63.m2.3"><semantics id="A1.Ex63.m2.3a"><msup id="A1.Ex63.m2.3.3" xref="A1.Ex63.m2.3.3.cmml"><mrow id="A1.Ex63.m2.3.3.1.1" xref="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1" xref="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.1" xref="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">A</mi><mi id="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">c</mi></msub><mo id="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">s</mi><mi id="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex63.m2.1.1" xref="A1.Ex63.m2.1.1.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.3" xref="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2" xref="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.3.cmml">A</mi><mo id="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.1.1" xref="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.1.1.1" xref="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.1.1.1.2.2.2.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.1.1.1.2.2.1" xref="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex63.m2.2.2" xref="A1.Ex63.m2.2.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex63.m2.3.3.3" xref="A1.Ex63.m2.3.3.3.cmml">⊤</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex63.m2.3b"><apply id="A1.Ex63.m2.3.3.cmml" xref="A1.Ex63.m2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex63.m2.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex63.m2.3.3">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex63.m2.3.3.1.1"><minus id="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.3"></minus><apply id="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.1"><times id="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.1.2"></times><apply id="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.1.3.2">𝐴</ci><ci id="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.1.3.3">𝑐</ci></apply><apply id="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑠</ci><ci id="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="A1.Ex63.m2.1.1.cmml" xref="A1.Ex63.m2.1.1">𝑡</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2"><times id="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.2"></times><ci id="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.3">𝐴</ci><apply id="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.1.1"><times id="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.1.1.1.1"></times><apply id="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.1.1.1.2.2"><ci id="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.1.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.1.1.1.2.2.2">𝑠</ci></apply><ci id="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.1.1.1.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="A1.Ex63.m2.2.2.cmml" xref="A1.Ex63.m2.2.2">𝑡</ci></apply></apply></apply><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex63.m2.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex63.m2.3.3.3">top</csymbol></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex63.m2.3c">\displaystyle(A_{c}(s_{c}(t))-A(\hat{s}_{c}(t)))^{\top}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex63.m2.3d">( italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ) - italic_A ( over^ start_ARG italic_s end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ) ) start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex64"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\hskip 42.67912pt(A_{c}(s_{c}(t))-A(\hat{s}_{c}(t)))\varphi_{1}(% \bm{s}))," class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="A1.Ex64.m1.3"><semantics id="A1.Ex64.m1.3a"><mrow id="A1.Ex64.m1.3b"><mrow id="A1.Ex64.m1.3.4"><mo id="A1.Ex64.m1.3.4.1" stretchy="false">(</mo><msub id="A1.Ex64.m1.3.4.2"><mi id="A1.Ex64.m1.3.4.2.2">A</mi><mi id="A1.Ex64.m1.3.4.2.3">c</mi></msub><mrow id="A1.Ex64.m1.3.4.3"><mo id="A1.Ex64.m1.3.4.3.1" stretchy="false">(</mo><msub id="A1.Ex64.m1.3.4.3.2"><mi id="A1.Ex64.m1.3.4.3.2.2">s</mi><mi id="A1.Ex64.m1.3.4.3.2.3">c</mi></msub><mrow id="A1.Ex64.m1.3.4.3.3"><mo id="A1.Ex64.m1.3.4.3.3.1" stretchy="false">(</mo><mi id="A1.Ex64.m1.1.1">t</mi><mo id="A1.Ex64.m1.3.4.3.3.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex64.m1.3.4.3.4" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex64.m1.3.4.4">−</mo><mi id="A1.Ex64.m1.3.4.5">A</mi><mrow id="A1.Ex64.m1.3.4.6"><mo id="A1.Ex64.m1.3.4.6.1" stretchy="false">(</mo><msub id="A1.Ex64.m1.3.4.6.2"><mover accent="true" id="A1.Ex64.m1.3.4.6.2.2"><mi id="A1.Ex64.m1.3.4.6.2.2.2">s</mi><mo id="A1.Ex64.m1.3.4.6.2.2.1">^</mo></mover><mi id="A1.Ex64.m1.3.4.6.2.3">c</mi></msub><mrow id="A1.Ex64.m1.3.4.6.3"><mo id="A1.Ex64.m1.3.4.6.3.1" stretchy="false">(</mo><mi id="A1.Ex64.m1.2.2">t</mi><mo id="A1.Ex64.m1.3.4.6.3.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex64.m1.3.4.6.4" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex64.m1.3.4.7" stretchy="false">)</mo></mrow><msub id="A1.Ex64.m1.3.5"><mi id="A1.Ex64.m1.3.5.2">φ</mi><mn id="A1.Ex64.m1.3.5.3">1</mn></msub><mrow id="A1.Ex64.m1.3.6"><mo id="A1.Ex64.m1.3.6.1" stretchy="false">(</mo><mi id="A1.Ex64.m1.3.3">𝒔</mi><mo id="A1.Ex64.m1.3.6.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex64.m1.3.7" stretchy="false">)</mo><mo id="A1.Ex64.m1.3.8">,</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex64.m1.3c">\displaystyle\hskip 42.67912pt(A_{c}(s_{c}(t))-A(\hat{s}_{c}(t)))\varphi_{1}(% \bm{s})),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex64.m1.3d">( italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ) - italic_A ( over^ start_ARG italic_s end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ) ) italic_φ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( bold_italic_s ) ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.p4.3">which concludes the proof. <math alttext="\blacksquare" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p4.3.m1.1"><semantics id="A1.p4.3.m1.1a"><mi id="A1.p4.3.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="A1.p4.3.m1.1.1.cmml">■</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p4.3.m1.1b"><ci id="A1.p4.3.m1.1.1.cmml" xref="A1.p4.3.m1.1.1">■</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p4.3.m1.1c">\blacksquare</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p4.3.m1.1d">■</annotation></semantics></math></p> </div> <div class="ltx_para" id="A1.p5"> <p class="ltx_p" id="A1.p5.1"><em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="A1.p5.1.1">Proof of Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#Thmtheorem1" title="Theorem 1. ‣ 4.2 The M-step ‣ 4 Implementation details of the EM algorithm ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>:</em> In the interest of space, we establish the convergence rate for <math alttext="\hat{A}_{a}(l)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p5.1.m1.1"><semantics id="A1.p5.1.m1.1a"><mrow id="A1.p5.1.m1.1.2" xref="A1.p5.1.m1.1.2.cmml"><msub id="A1.p5.1.m1.1.2.2" xref="A1.p5.1.m1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.p5.1.m1.1.2.2.2" xref="A1.p5.1.m1.1.2.2.2.cmml"><mi id="A1.p5.1.m1.1.2.2.2.2" xref="A1.p5.1.m1.1.2.2.2.2.cmml">A</mi><mo id="A1.p5.1.m1.1.2.2.2.1" xref="A1.p5.1.m1.1.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.p5.1.m1.1.2.2.3" xref="A1.p5.1.m1.1.2.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="A1.p5.1.m1.1.2.1" xref="A1.p5.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.p5.1.m1.1.2.3.2" xref="A1.p5.1.m1.1.2.cmml"><mo id="A1.p5.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.p5.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.p5.1.m1.1.1" xref="A1.p5.1.m1.1.1.cmml">l</mi><mo id="A1.p5.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.p5.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p5.1.m1.1b"><apply id="A1.p5.1.m1.1.2.cmml" xref="A1.p5.1.m1.1.2"><times id="A1.p5.1.m1.1.2.1.cmml" xref="A1.p5.1.m1.1.2.1"></times><apply id="A1.p5.1.m1.1.2.2.cmml" xref="A1.p5.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p5.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.p5.1.m1.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="A1.p5.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.p5.1.m1.1.2.2.2"><ci id="A1.p5.1.m1.1.2.2.2.1.cmml" xref="A1.p5.1.m1.1.2.2.2.1">^</ci><ci id="A1.p5.1.m1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.p5.1.m1.1.2.2.2.2">𝐴</ci></apply><ci id="A1.p5.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.p5.1.m1.1.2.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="A1.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.p5.1.m1.1.1">𝑙</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p5.1.m1.1c">\hat{A}_{a}(l)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p5.1.m1.1d">over^ start_ARG italic_A end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_l )</annotation></semantics></math> only, since the other bounds on the system matrices can be derived similarly. We start by introducing two necessary lemmas. In particular, the following result holds true by virtue of Standing Assumptions <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#Thmstanding1" title="Standing Assumption 1. ‣ 2.1 System model description ‣ 2 Mathematical formulation ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> and <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#Thmstanding2" title="Standing Assumption 2. ‣ 2.1 System model description ‣ 2 Mathematical formulation ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>:</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmlemma3"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma3.1.1.1">Lemma 3</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma3.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmlemma3.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmlemma3.p1.1">(<cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#bib.bib14" title="">14</a>, Lemma 3]</cite>)<span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlemma3.p1.1.1"> The following asymptotic relations hold true almost surely (a.s.):</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx27"> <tbody id="A1.Ex65"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left\lVert\sum_{i=1}^{T}A(s_{c}(i))x_{c}(i)v_{c}^{\top}(i)+v_{c}% (i)x_{c}^{\top}(i)A(s_{c}(i))\right\rVert=o(T)," class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex65.m1.8"><semantics id="A1.Ex65.m1.8a"><mrow id="A1.Ex65.m1.8.8.1" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.2" rspace="0em" stretchy="true" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><mrow id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">A</mi><mo id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">s</mi><mi id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex65.m1.1.1" xref="A1.Ex65.m1.1.1.cmml">i</mi><mo id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">x</mi><mi id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">c</mi></msub><mo id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2b" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.5.2" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex65.m1.2.2" xref="A1.Ex65.m1.2.2.cmml">i</mi><mo id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2c" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.6" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.6.cmml"><mi id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.6.2.2" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.6.2.2.cmml">v</mi><mi id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.6.2.3" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.6.2.3.cmml">c</mi><mo id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.6.3" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.6.3.cmml">⊤</mo></msubsup><mo id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2d" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.7.2" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.7.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex65.m1.3.3" xref="A1.Ex65.m1.3.3.cmml">i</mi><mo id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.7.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">v</mi><mi id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">c</mi></msub><mo id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.4.2" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex65.m1.4.4" xref="A1.Ex65.m1.4.4.cmml">i</mi><mo id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.4.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.2a" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.5" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.5.cmml"><mi id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.5.2.2" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.5.2.2.cmml">x</mi><mi id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.5.2.3" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.5.2.3.cmml">c</mi><mo id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.5.3" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.5.3.cmml">⊤</mo></msubsup><mo id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.2b" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.6.2" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.6.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex65.m1.5.5" xref="A1.Ex65.m1.5.5.cmml">i</mi><mo id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.6.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.2c" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.7" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.7.cmml">A</mi><mo id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.2d" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml">s</mi><mi id="A1.Ex65.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3" 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id="A1.Ex65.m1.7.7.cmml" xref="A1.Ex65.m1.7.7">𝑇</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex65.m1.8c">\displaystyle\left\lVert\sum_{i=1}^{T}A(s_{c}(i))x_{c}(i)v_{c}^{\top}(i)+v_{c}% (i)x_{c}^{\top}(i)A(s_{c}(i))\right\rVert=o(T),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex65.m1.8d">∥ ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT italic_A ( italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_i ) ) italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_i ) italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i ) + italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_i ) italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i ) italic_A ( italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_i ) ) ∥ = italic_o ( italic_T ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex66"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left\lVert\sum_{i=1}^{T}A(s_{a}(i))x_{a}(i)v_{a}^{\top}(i)+v_{a}% (i)x_{a}^{\top}(i)A(s_{a}(i))\right\rVert=o(T)." class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex66.m1.8"><semantics id="A1.Ex66.m1.8a"><mrow id="A1.Ex66.m1.8.8.1" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.2" rspace="0em" stretchy="true" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><mrow id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">A</mi><mo id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">s</mi><mi id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex66.m1.1.1" xref="A1.Ex66.m1.1.1.cmml">i</mi><mo id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">x</mi><mi id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">a</mi></msub><mo id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2b" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.5.2" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" 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xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.7" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.7.cmml">A</mi><mo id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.2d" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml">s</mi><mi id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex66.m1.6.6" xref="A1.Ex66.m1.6.6.cmml">i</mi><mo id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo fence="true" id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.3" lspace="0em" rspace="0.1389em" stretchy="true" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mo id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.2" lspace="0.1389em" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.3" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.3.2" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.3.2.cmml">o</mi><mo id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.3.1" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex66.m1.7.7" xref="A1.Ex66.m1.7.7.cmml">T</mi><mo id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex66.m1.8.8.1.2" lspace="0em" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex66.m1.8b"><apply id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.cmml" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1"><eq id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.2"></eq><apply id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1"><plus id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.3"></plus><apply id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1"><apply id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.2"></sum><apply id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><eq id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑖</ci><cn id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3">𝐴</ci><apply id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑠</ci><ci id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="A1.Ex66.m1.1.1.cmml" xref="A1.Ex66.m1.1.1">𝑖</ci></apply><apply id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝑥</ci><ci id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.4.3">𝑎</ci></apply><ci id="A1.Ex66.m1.2.2.cmml" xref="A1.Ex66.m1.2.2">𝑖</ci><apply id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.6.cmml" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.6">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.6.2.cmml" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.6.2.1.cmml" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.6">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.6.2.2.cmml" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.6.2.2">𝑣</ci><ci id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.6.2.3.cmml" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.6.2.3">𝑎</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.6.3.cmml" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.6.3">top</csymbol></apply><ci id="A1.Ex66.m1.3.3.cmml" xref="A1.Ex66.m1.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.2"><times id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.2"></times><apply id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑣</ci><ci id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑎</ci></apply><ci id="A1.Ex66.m1.4.4.cmml" xref="A1.Ex66.m1.4.4">𝑖</ci><apply id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.5.cmml" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.5.1.cmml" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.5">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.5.2.cmml" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.5.2.1.cmml" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.5">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.5.2.2.cmml" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.5.2.2">𝑥</ci><ci id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.5.2.3.cmml" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.5.2.3">𝑎</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.5.3.cmml" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.5.3">top</csymbol></apply><ci id="A1.Ex66.m1.5.5.cmml" xref="A1.Ex66.m1.5.5">𝑖</ci><ci id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.7.cmml" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.7">𝐴</ci><apply id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1"><times id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1"></times><apply id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2">𝑠</ci><ci id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="A1.Ex66.m1.6.6.cmml" xref="A1.Ex66.m1.6.6">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.3"><times id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.3.1"></times><ci id="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex66.m1.8.8.1.1.3.2">𝑜</ci><ci id="A1.Ex66.m1.7.7.cmml" xref="A1.Ex66.m1.7.7">𝑇</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex66.m1.8c">\displaystyle\left\lVert\sum_{i=1}^{T}A(s_{a}(i))x_{a}(i)v_{a}^{\top}(i)+v_{a}% (i)x_{a}^{\top}(i)A(s_{a}(i))\right\rVert=o(T).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex66.m1.8d">∥ ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT italic_A ( italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_i ) ) italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_i ) italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i ) + italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_i ) italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i ) italic_A ( italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_i ) ) ∥ = italic_o ( italic_T ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_para" id="A1.p6"> <p class="ltx_p" id="A1.p6.1">The proof extends <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#bib.bib14" title="">14</a>, Lemma 3]</cite> by treating the non-causal dynamics (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S2.E1" title="In 2.1 System model description ‣ 2 Mathematical formulation ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>) as a time-reversed causal process. By Standing Assumption 1, the reversed process preserves stability in the average sense. The martingale property of <math alttext="v_{a}(t)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p6.1.m1.1"><semantics id="A1.p6.1.m1.1a"><mrow id="A1.p6.1.m1.1.2" xref="A1.p6.1.m1.1.2.cmml"><msub id="A1.p6.1.m1.1.2.2" xref="A1.p6.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.p6.1.m1.1.2.2.2" xref="A1.p6.1.m1.1.2.2.2.cmml">v</mi><mi id="A1.p6.1.m1.1.2.2.3" xref="A1.p6.1.m1.1.2.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="A1.p6.1.m1.1.2.1" xref="A1.p6.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.p6.1.m1.1.2.3.2" xref="A1.p6.1.m1.1.2.cmml"><mo id="A1.p6.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.p6.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.p6.1.m1.1.1" xref="A1.p6.1.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="A1.p6.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.p6.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p6.1.m1.1b"><apply id="A1.p6.1.m1.1.2.cmml" xref="A1.p6.1.m1.1.2"><times id="A1.p6.1.m1.1.2.1.cmml" xref="A1.p6.1.m1.1.2.1"></times><apply id="A1.p6.1.m1.1.2.2.cmml" xref="A1.p6.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p6.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.p6.1.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.p6.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.p6.1.m1.1.2.2.2">𝑣</ci><ci id="A1.p6.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.p6.1.m1.1.2.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="A1.p6.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.p6.1.m1.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p6.1.m1.1c">v_{a}(t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p6.1.m1.1d">italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t )</annotation></semantics></math> (Standing Assumption 2) ensures the applicability of the covariance analysis in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#bib.bib14" title="">14</a>]</cite>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="A1.p7"> <p class="ltx_p" id="A1.p7.1">Next, we report a lemma whose validity follows from Standing Assumption <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#Thmstanding2" title="Standing Assumption 2. ‣ 2.1 System model description ‣ 2 Mathematical formulation ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>:</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmlemma4"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma4.1.1.1">Lemma 4</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma4.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmlemma4.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmlemma4.p1.2">(<cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#bib.bib29" title="">29</a>]</cite>)<span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlemma4.p1.2.2"> The standard least-squares solution can be expressed as <math alttext="\hat{A}_{a}(l)=\arg\min_{A_{a}(l)}\|x_{a}(t)-A_{a}(l)x_{a}(t+1)\|^{2},\quad t% \in\mathbb{T}^{a}_{l,T}," class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7"><semantics id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7a"><mrow id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1"><mrow id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.2" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.3.cmml"><mrow id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.cmml"><mrow id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.3" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.3.2" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.2" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">A</mi><mo id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.3" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.3.1" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.4.4" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.4.4.cmml">l</mi><mo id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.2" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.2" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.cmml">arg</mi><mo id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml">⁡</mo><mrow id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">min</mi><mrow id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml"><msub id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.1.1.1.3" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2.cmml">A</mi><mi id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.1.1.1.3.3" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.1.1.1.3.3.cmml">a</mi></msub><mo id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.1.1.1.2" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.1.1.1.4.2" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.1.1.1.1" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.cmml">l</mi><mo id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub><mo id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1a" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml">⁡</mo><msup id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">x</mi><mi id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.5.5" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.5.5.cmml">t</mi><mo id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">A</mi><mi id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">a</mi></msub><mo id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.6.6" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.6.6.cmml">l</mi><mo id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml">x</mi><mi id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml">a</mi></msub><mo id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2b" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.7.7.1.1.2.3" rspace="1.167em" 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id="Thmlemma4.p1.2.2.m2.3a"><mrow id="Thmlemma4.p1.2.2.m2.3.3" xref="Thmlemma4.p1.2.2.m2.3.3.cmml"><mi id="Thmlemma4.p1.2.2.m2.3.3.3" xref="Thmlemma4.p1.2.2.m2.3.3.3.cmml">l</mi><mo id="Thmlemma4.p1.2.2.m2.3.3.2" xref="Thmlemma4.p1.2.2.m2.3.3.2.cmml">=</mo><mrow id="Thmlemma4.p1.2.2.m2.3.3.1.1" xref="Thmlemma4.p1.2.2.m2.3.3.1.2.cmml"><mn id="Thmlemma4.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmlemma4.p1.2.2.m2.1.1.cmml">1</mn><mo id="Thmlemma4.p1.2.2.m2.3.3.1.1.2" xref="Thmlemma4.p1.2.2.m2.3.3.1.2.cmml">,</mo><mi id="Thmlemma4.p1.2.2.m2.2.2" mathvariant="normal" xref="Thmlemma4.p1.2.2.m2.2.2.cmml">⋯</mi><mo id="Thmlemma4.p1.2.2.m2.3.3.1.1.3" xref="Thmlemma4.p1.2.2.m2.3.3.1.2.cmml">,</mo><msub id="Thmlemma4.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1" xref="Thmlemma4.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="Thmlemma4.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.2" xref="Thmlemma4.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.2.cmml">m</mi><mi id="Thmlemma4.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.3" xref="Thmlemma4.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.3.cmml">a</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml 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id="Thmlemma4.p1.2.2.m2.3c">l=1,\cdots,m_{a}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma4.p1.2.2.m2.3d">italic_l = 1 , ⋯ , italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. If</span></p> <ol class="ltx_enumerate" id="A1.I1"> <li class="ltx_item" id="A1.I1.ix1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">(C1)</span> <div class="ltx_para" id="A1.I1.ix1.p1"> <p class="ltx_p" id="A1.I1.ix1.p1.1"><math alttext="\lambda_{\textrm{min}}(W^{a}_{l,T})\rightarrow\infty" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.I1.ix1.p1.1.m1.3"><semantics id="A1.I1.ix1.p1.1.m1.3a"><mrow id="A1.I1.ix1.p1.1.m1.3.3" xref="A1.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.cmml"><mrow id="A1.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1" xref="A1.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.cmml"><msub id="A1.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.3" xref="A1.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.3.cmml"><mi id="A1.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.3.2" xref="A1.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.3.2.cmml">λ</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="A1.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.3.3" xref="A1.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.3.3a.cmml">min</mtext></msub><mo id="A1.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.2" xref="A1.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1" xref="A1.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="A1.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1" xref="A1.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="A1.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">W</mi><mrow id="A1.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.4" xref="A1.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.I1.ix1.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="A1.I1.ix1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">l</mi><mo id="A1.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.4.1" xref="A1.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="A1.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.2" xref="A1.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml">T</mi></mrow><mi id="A1.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="A1.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml">a</mi></msubsup><mo id="A1.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.2" stretchy="false" xref="A1.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.2.cmml">→</mo><mi id="A1.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.3" mathvariant="normal" 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xref="A1.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2">𝑊</ci><ci id="A1.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3">𝑎</ci></apply><list id="A1.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="A1.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.4"><ci id="A1.I1.ix1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.ix1.p1.1.m1.1.1.1.1">𝑙</ci><ci id="A1.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.2">𝑇</ci></list></apply></apply><infinity id="A1.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.3.cmml" xref="A1.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.3"></infinity></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.I1.ix1.p1.1.m1.3c">\lambda_{\textrm{min}}(W^{a}_{l,T})\rightarrow\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.I1.ix1.p1.1.m1.3d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT min end_POSTSUBSCRIPT ( italic_W start_POSTSUPERSCRIPT italic_a end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_l , italic_T end_POSTSUBSCRIPT ) → ∞</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="A1.I1.ix1.p1.1.1"> a.s., and</span></p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="A1.I1.ix2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">(C2)</span> <div class="ltx_para" id="A1.I1.ix2.p1"> <p class="ltx_p" id="A1.I1.ix2.p1.1"><math alttext="\log\lambda_{\textrm{max}}(W^{a}_{l,T})=o(\lambda_{\textrm{min}}(W^{a}_{l,T}))" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.I1.ix2.p1.1.m1.6"><semantics id="A1.I1.ix2.p1.1.m1.6a"><mrow id="A1.I1.ix2.p1.1.m1.6.6" xref="A1.I1.ix2.p1.1.m1.6.6.cmml"><mrow id="A1.I1.ix2.p1.1.m1.5.5.1" xref="A1.I1.ix2.p1.1.m1.5.5.1.cmml"><mrow id="A1.I1.ix2.p1.1.m1.5.5.1.3" xref="A1.I1.ix2.p1.1.m1.5.5.1.3.cmml"><mi id="A1.I1.ix2.p1.1.m1.5.5.1.3.1" xref="A1.I1.ix2.p1.1.m1.5.5.1.3.1.cmml">log</mi><mo id="A1.I1.ix2.p1.1.m1.5.5.1.3a" lspace="0.167em" xref="A1.I1.ix2.p1.1.m1.5.5.1.3.cmml">⁡</mo><msub id="A1.I1.ix2.p1.1.m1.5.5.1.3.2" xref="A1.I1.ix2.p1.1.m1.5.5.1.3.2.cmml"><mi id="A1.I1.ix2.p1.1.m1.5.5.1.3.2.2" xref="A1.I1.ix2.p1.1.m1.5.5.1.3.2.2.cmml">λ</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="A1.I1.ix2.p1.1.m1.5.5.1.3.2.3" xref="A1.I1.ix2.p1.1.m1.5.5.1.3.2.3a.cmml">max</mtext></msub></mrow><mo id="A1.I1.ix2.p1.1.m1.5.5.1.2" xref="A1.I1.ix2.p1.1.m1.5.5.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.I1.ix2.p1.1.m1.5.5.1.1.1" xref="A1.I1.ix2.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.I1.ix2.p1.1.m1.5.5.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.I1.ix2.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="A1.I1.ix2.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1" xref="A1.I1.ix2.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.I1.ix2.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2" xref="A1.I1.ix2.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml">W</mi><mrow id="A1.I1.ix2.p1.1.m1.2.2.2.4" xref="A1.I1.ix2.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="A1.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">l</mi><mo id="A1.I1.ix2.p1.1.m1.2.2.2.4.1" xref="A1.I1.ix2.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="A1.I1.ix2.p1.1.m1.2.2.2.2" xref="A1.I1.ix2.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml">T</mi></mrow><mi id="A1.I1.ix2.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.3" xref="A1.I1.ix2.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.cmml">a</mi></msubsup><mo id="A1.I1.ix2.p1.1.m1.5.5.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.I1.ix2.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.I1.ix2.p1.1.m1.6.6.3" xref="A1.I1.ix2.p1.1.m1.6.6.3.cmml">=</mo><mrow id="A1.I1.ix2.p1.1.m1.6.6.2" xref="A1.I1.ix2.p1.1.m1.6.6.2.cmml"><mi id="A1.I1.ix2.p1.1.m1.6.6.2.3" xref="A1.I1.ix2.p1.1.m1.6.6.2.3.cmml">o</mi><mo id="A1.I1.ix2.p1.1.m1.6.6.2.2" xref="A1.I1.ix2.p1.1.m1.6.6.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.I1.ix2.p1.1.m1.6.6.2.1.1" xref="A1.I1.ix2.p1.1.m1.6.6.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.I1.ix2.p1.1.m1.6.6.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.I1.ix2.p1.1.m1.6.6.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.I1.ix2.p1.1.m1.6.6.2.1.1.1" xref="A1.I1.ix2.p1.1.m1.6.6.2.1.1.1.cmml"><msub id="A1.I1.ix2.p1.1.m1.6.6.2.1.1.1.3" xref="A1.I1.ix2.p1.1.m1.6.6.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.I1.ix2.p1.1.m1.6.6.2.1.1.1.3.2" xref="A1.I1.ix2.p1.1.m1.6.6.2.1.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="A1.I1.ix2.p1.1.m1.6.6.2.1.1.1.3.3" xref="A1.I1.ix2.p1.1.m1.6.6.2.1.1.1.3.3a.cmml">min</mtext></msub><mo id="A1.I1.ix2.p1.1.m1.6.6.2.1.1.1.2" xref="A1.I1.ix2.p1.1.m1.6.6.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.I1.ix2.p1.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1" xref="A1.I1.ix2.p1.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.I1.ix2.p1.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.I1.ix2.p1.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="A1.I1.ix2.p1.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.I1.ix2.p1.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.I1.ix2.p1.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.I1.ix2.p1.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">W</mi><mrow id="A1.I1.ix2.p1.1.m1.4.4.2.4" xref="A1.I1.ix2.p1.1.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="A1.I1.ix2.p1.1.m1.3.3.1.1" xref="A1.I1.ix2.p1.1.m1.3.3.1.1.cmml">l</mi><mo id="A1.I1.ix2.p1.1.m1.4.4.2.4.1" xref="A1.I1.ix2.p1.1.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="A1.I1.ix2.p1.1.m1.4.4.2.2" xref="A1.I1.ix2.p1.1.m1.4.4.2.2.cmml">T</mi></mrow><mi id="A1.I1.ix2.p1.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.I1.ix2.p1.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">a</mi></msubsup><mo id="A1.I1.ix2.p1.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.I1.ix2.p1.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.I1.ix2.p1.1.m1.6.6.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.I1.ix2.p1.1.m1.6.6.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.I1.ix2.p1.1.m1.6b"><apply id="A1.I1.ix2.p1.1.m1.6.6.cmml" xref="A1.I1.ix2.p1.1.m1.6.6"><eq id="A1.I1.ix2.p1.1.m1.6.6.3.cmml" xref="A1.I1.ix2.p1.1.m1.6.6.3"></eq><apply 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xref="A1.I1.ix2.p1.1.m1.5.5.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.I1.ix2.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.I1.ix2.p1.1.m1.5.5.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.ix2.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.I1.ix2.p1.1.m1.5.5.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.I1.ix2.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.I1.ix2.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2">𝑊</ci><ci id="A1.I1.ix2.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.I1.ix2.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.3">𝑎</ci></apply><list id="A1.I1.ix2.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="A1.I1.ix2.p1.1.m1.2.2.2.4"><ci id="A1.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1">𝑙</ci><ci id="A1.I1.ix2.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.I1.ix2.p1.1.m1.2.2.2.2">𝑇</ci></list></apply></apply><apply id="A1.I1.ix2.p1.1.m1.6.6.2.cmml" xref="A1.I1.ix2.p1.1.m1.6.6.2"><times id="A1.I1.ix2.p1.1.m1.6.6.2.2.cmml" xref="A1.I1.ix2.p1.1.m1.6.6.2.2"></times><ci id="A1.I1.ix2.p1.1.m1.6.6.2.3.cmml" xref="A1.I1.ix2.p1.1.m1.6.6.2.3">𝑜</ci><apply id="A1.I1.ix2.p1.1.m1.6.6.2.1.1.1.cmml" 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start_POSTSUPERSCRIPT italic_a end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_l , italic_T end_POSTSUBSCRIPT ) = italic_o ( italic_λ start_POSTSUBSCRIPT min end_POSTSUBSCRIPT ( italic_W start_POSTSUPERSCRIPT italic_a end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_l , italic_T end_POSTSUBSCRIPT ) )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="A1.I1.ix2.p1.1.1"> a.s.,</span></p> </div> </li> </ol> <p class="ltx_p" id="Thmlemma4.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlemma4.p1.3.1">then the least-squares estimate <math alttext="\hat{A}_{a}(l)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma4.p1.3.1.m1.1"><semantics id="Thmlemma4.p1.3.1.m1.1a"><mrow id="Thmlemma4.p1.3.1.m1.1.2" xref="Thmlemma4.p1.3.1.m1.1.2.cmml"><msub id="Thmlemma4.p1.3.1.m1.1.2.2" xref="Thmlemma4.p1.3.1.m1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="Thmlemma4.p1.3.1.m1.1.2.2.2" xref="Thmlemma4.p1.3.1.m1.1.2.2.2.cmml"><mi id="Thmlemma4.p1.3.1.m1.1.2.2.2.2" xref="Thmlemma4.p1.3.1.m1.1.2.2.2.2.cmml">A</mi><mo id="Thmlemma4.p1.3.1.m1.1.2.2.2.1" xref="Thmlemma4.p1.3.1.m1.1.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="Thmlemma4.p1.3.1.m1.1.2.2.3" xref="Thmlemma4.p1.3.1.m1.1.2.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="Thmlemma4.p1.3.1.m1.1.2.1" xref="Thmlemma4.p1.3.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma4.p1.3.1.m1.1.2.3.2" xref="Thmlemma4.p1.3.1.m1.1.2.cmml"><mo id="Thmlemma4.p1.3.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmlemma4.p1.3.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="Thmlemma4.p1.3.1.m1.1.1" xref="Thmlemma4.p1.3.1.m1.1.1.cmml">l</mi><mo id="Thmlemma4.p1.3.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmlemma4.p1.3.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma4.p1.3.1.m1.1b"><apply id="Thmlemma4.p1.3.1.m1.1.2.cmml" xref="Thmlemma4.p1.3.1.m1.1.2"><times id="Thmlemma4.p1.3.1.m1.1.2.1.cmml" xref="Thmlemma4.p1.3.1.m1.1.2.1"></times><apply id="Thmlemma4.p1.3.1.m1.1.2.2.cmml" xref="Thmlemma4.p1.3.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma4.p1.3.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="Thmlemma4.p1.3.1.m1.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="Thmlemma4.p1.3.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="Thmlemma4.p1.3.1.m1.1.2.2.2"><ci id="Thmlemma4.p1.3.1.m1.1.2.2.2.1.cmml" xref="Thmlemma4.p1.3.1.m1.1.2.2.2.1">^</ci><ci id="Thmlemma4.p1.3.1.m1.1.2.2.2.2.cmml" xref="Thmlemma4.p1.3.1.m1.1.2.2.2.2">𝐴</ci></apply><ci id="Thmlemma4.p1.3.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="Thmlemma4.p1.3.1.m1.1.2.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="Thmlemma4.p1.3.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmlemma4.p1.3.1.m1.1.1">𝑙</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma4.p1.3.1.m1.1c">\hat{A}_{a}(l)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma4.p1.3.1.m1.1d">over^ start_ARG italic_A end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_l )</annotation></semantics></math> is strongly consistent with convergence rate</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex67"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_left"><math alttext="\|\hat{A}_{a}(l)-A_{a}(l)\|_{\infty}=\mathcal{O}\left(\sqrt{\frac{\log(\lambda% _{\textrm{max}}(W^{a}_{l,T}))}{\lambda_{\textrm{min}}(W^{a}_{l,T})}}\right)~{}% a.s." class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex67.m1.11"><semantics id="A1.Ex67.m1.11a"><mrow id="A1.Ex67.m1.11.11.1"><mrow id="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1" xref="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.2.cmml"><mrow id="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1" xref="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2" 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id="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">A</mi><mi id="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex67.m1.9.9" xref="A1.Ex67.m1.9.9.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi id="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.cmml">∞</mi></msub><mo id="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.3.2.cmml">𝒪</mi><mo id="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex67.m1.7.7.cmml"><mo id="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.3.3.2.1" xref="A1.Ex67.m1.7.7.cmml">(</mo><msqrt id="A1.Ex67.m1.7.7" xref="A1.Ex67.m1.7.7.cmml"><mfrac id="A1.Ex67.m1.7.7.7" xref="A1.Ex67.m1.7.7.7.cmml"><mrow id="A1.Ex67.m1.4.4.4.4.4.4" xref="A1.Ex67.m1.4.4.4.4.4.5.cmml"><mi id="A1.Ex67.m1.3.3.3.3.3.3" xref="A1.Ex67.m1.3.3.3.3.3.3.cmml">log</mi><mo id="A1.Ex67.m1.4.4.4.4.4.4a" xref="A1.Ex67.m1.4.4.4.4.4.5.cmml">⁡</mo><mrow id="A1.Ex67.m1.4.4.4.4.4.4.1" xref="A1.Ex67.m1.4.4.4.4.4.5.cmml"><mo id="A1.Ex67.m1.4.4.4.4.4.4.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex67.m1.4.4.4.4.4.5.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex67.m1.4.4.4.4.4.4.1.1" xref="A1.Ex67.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex67.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.3" xref="A1.Ex67.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex67.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.3.2" xref="A1.Ex67.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="A1.Ex67.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.3.3" xref="A1.Ex67.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.3.3a.cmml">max</mtext></msub><mo id="A1.Ex67.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.2" xref="A1.Ex67.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex67.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1" xref="A1.Ex67.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex67.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex67.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="A1.Ex67.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex67.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex67.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex67.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2.2.cmml">W</mi><mrow id="A1.Ex67.m1.2.2.2.2.2.2.2.4" xref="A1.Ex67.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex67.m1.2.2.2.2.2.2.2.4.1" xref="A1.Ex67.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex67.m1.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex67.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">T</mi></mrow><mi id="A1.Ex67.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex67.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2.3.cmml">a</mi></msubsup><mo id="A1.Ex67.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex67.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex67.m1.4.4.4.4.4.4.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex67.m1.4.4.4.4.4.5.cmml">)</mo></mrow></mrow><mrow id="A1.Ex67.m1.7.7.7.7.7" xref="A1.Ex67.m1.7.7.7.7.7.cmml"><msub id="A1.Ex67.m1.7.7.7.7.7.5" xref="A1.Ex67.m1.7.7.7.7.7.5.cmml"><mi id="A1.Ex67.m1.7.7.7.7.7.5.2" xref="A1.Ex67.m1.7.7.7.7.7.5.2.cmml">λ</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="A1.Ex67.m1.7.7.7.7.7.5.3" xref="A1.Ex67.m1.7.7.7.7.7.5.3a.cmml">min</mtext></msub><mo id="A1.Ex67.m1.7.7.7.7.7.4" xref="A1.Ex67.m1.7.7.7.7.7.4.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex67.m1.7.7.7.7.7.3.1" xref="A1.Ex67.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex67.m1.7.7.7.7.7.3.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex67.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="A1.Ex67.m1.7.7.7.7.7.3.1.1" xref="A1.Ex67.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex67.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.2" xref="A1.Ex67.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.2.cmml">W</mi><mrow id="A1.Ex67.m1.6.6.6.6.6.2.2.4" xref="A1.Ex67.m1.6.6.6.6.6.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex67.m1.5.5.5.5.5.1.1.1" xref="A1.Ex67.m1.5.5.5.5.5.1.1.1.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex67.m1.6.6.6.6.6.2.2.4.1" xref="A1.Ex67.m1.6.6.6.6.6.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex67.m1.6.6.6.6.6.2.2.2" xref="A1.Ex67.m1.6.6.6.6.6.2.2.2.cmml">T</mi></mrow><mi id="A1.Ex67.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.3" xref="A1.Ex67.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.3.cmml">a</mi></msubsup><mo id="A1.Ex67.m1.7.7.7.7.7.3.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex67.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac></msqrt><mo id="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="A1.Ex67.m1.7.7.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.3.1a" lspace="0.330em" xref="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.3.4" xref="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.3.4.cmml">a</mi></mrow></mrow><mo id="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.2" lspace="0em" rspace="0.167em" xref="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.2a.cmml">.</mo><mi id="A1.Ex67.m1.10.10" xref="A1.Ex67.m1.10.10.cmml">s</mi></mrow><mo id="A1.Ex67.m1.11.11.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex67.m1.11b"><apply id="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.2a.cmml" xref="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.2">formulae-sequence</csymbol><apply id="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1"><eq id="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.2"></eq><apply id="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" 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id="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝐴</ci><ci id="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="A1.Ex67.m1.9.9.cmml" xref="A1.Ex67.m1.9.9">𝑙</ci></apply></apply></apply><infinity id="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.1.3"></infinity></apply><apply id="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.3"><times id="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.3.2">𝒪</ci><apply id="A1.Ex67.m1.7.7.cmml" xref="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.3.3.2"><root id="A1.Ex67.m1.7.7a.cmml" 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xref="A1.Ex67.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.3.3">max</mtext></ci></apply><apply id="A1.Ex67.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex67.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex67.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex67.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex67.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex67.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex67.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex67.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex67.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex67.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2.2">𝑊</ci><ci id="A1.Ex67.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex67.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2.3">𝑎</ci></apply><list id="A1.Ex67.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex67.m1.2.2.2.2.2.2.2.4"><ci id="A1.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.1.1">𝑙</ci><ci id="A1.Ex67.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex67.m1.2.2.2.2.2.2.2.2">𝑇</ci></list></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex67.m1.7.7.7.7.7.cmml" xref="A1.Ex67.m1.7.7.7.7.7"><times id="A1.Ex67.m1.7.7.7.7.7.4.cmml" xref="A1.Ex67.m1.7.7.7.7.7.4"></times><apply id="A1.Ex67.m1.7.7.7.7.7.5.cmml" xref="A1.Ex67.m1.7.7.7.7.7.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex67.m1.7.7.7.7.7.5.1.cmml" xref="A1.Ex67.m1.7.7.7.7.7.5">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex67.m1.7.7.7.7.7.5.2.cmml" xref="A1.Ex67.m1.7.7.7.7.7.5.2">𝜆</ci><ci id="A1.Ex67.m1.7.7.7.7.7.5.3a.cmml" xref="A1.Ex67.m1.7.7.7.7.7.5.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="A1.Ex67.m1.7.7.7.7.7.5.3.cmml" mathsize="70%" xref="A1.Ex67.m1.7.7.7.7.7.5.3">min</mtext></ci></apply><apply id="A1.Ex67.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.cmml" xref="A1.Ex67.m1.7.7.7.7.7.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex67.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex67.m1.7.7.7.7.7.3.1">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex67.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex67.m1.7.7.7.7.7.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex67.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex67.m1.7.7.7.7.7.3.1">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex67.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex67.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.2">𝑊</ci><ci id="A1.Ex67.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex67.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.3">𝑎</ci></apply><list id="A1.Ex67.m1.6.6.6.6.6.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex67.m1.6.6.6.6.6.2.2.4"><ci id="A1.Ex67.m1.5.5.5.5.5.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex67.m1.5.5.5.5.5.1.1.1">𝑙</ci><ci id="A1.Ex67.m1.6.6.6.6.6.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex67.m1.6.6.6.6.6.2.2.2">𝑇</ci></list></apply></apply></apply></apply><ci id="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="A1.Ex67.m1.11.11.1.1.1.1.3.4">𝑎</ci></apply></apply><ci id="A1.Ex67.m1.10.10.cmml" xref="A1.Ex67.m1.10.10">𝑠</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex67.m1.11c">\|\hat{A}_{a}(l)-A_{a}(l)\|_{\infty}=\mathcal{O}\left(\sqrt{\frac{\log(\lambda% _{\textrm{max}}(W^{a}_{l,T}))}{\lambda_{\textrm{min}}(W^{a}_{l,T})}}\right)~{}% a.s.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex67.m1.11d">∥ over^ start_ARG italic_A end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_l ) - italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_l ) ∥ start_POSTSUBSCRIPT ∞ end_POSTSUBSCRIPT = caligraphic_O ( square-root start_ARG divide start_ARG roman_log ( italic_λ start_POSTSUBSCRIPT max end_POSTSUBSCRIPT ( italic_W start_POSTSUPERSCRIPT italic_a end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_l , italic_T end_POSTSUBSCRIPT ) ) end_ARG start_ARG italic_λ start_POSTSUBSCRIPT min end_POSTSUBSCRIPT ( italic_W start_POSTSUPERSCRIPT italic_a end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_l , italic_T end_POSTSUBSCRIPT ) end_ARG end_ARG ) italic_a . italic_s .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_para" id="A1.p8"> <p class="ltx_p" id="A1.p8.3">In view of Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#Thmlemma4" title="Lemma 4. ‣ Appendix A Technical proofs ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>, sufficient conditions for establishing the convergence rate of <math alttext="\hat{A}_{a}(l)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p8.1.m1.1"><semantics id="A1.p8.1.m1.1a"><mrow id="A1.p8.1.m1.1.2" xref="A1.p8.1.m1.1.2.cmml"><msub id="A1.p8.1.m1.1.2.2" xref="A1.p8.1.m1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.p8.1.m1.1.2.2.2" xref="A1.p8.1.m1.1.2.2.2.cmml"><mi id="A1.p8.1.m1.1.2.2.2.2" xref="A1.p8.1.m1.1.2.2.2.2.cmml">A</mi><mo id="A1.p8.1.m1.1.2.2.2.1" xref="A1.p8.1.m1.1.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.p8.1.m1.1.2.2.3" xref="A1.p8.1.m1.1.2.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="A1.p8.1.m1.1.2.1" xref="A1.p8.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.p8.1.m1.1.2.3.2" xref="A1.p8.1.m1.1.2.cmml"><mo id="A1.p8.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.p8.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.p8.1.m1.1.1" xref="A1.p8.1.m1.1.1.cmml">l</mi><mo id="A1.p8.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.p8.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p8.1.m1.1b"><apply id="A1.p8.1.m1.1.2.cmml" xref="A1.p8.1.m1.1.2"><times id="A1.p8.1.m1.1.2.1.cmml" xref="A1.p8.1.m1.1.2.1"></times><apply id="A1.p8.1.m1.1.2.2.cmml" xref="A1.p8.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p8.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.p8.1.m1.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="A1.p8.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.p8.1.m1.1.2.2.2"><ci id="A1.p8.1.m1.1.2.2.2.1.cmml" xref="A1.p8.1.m1.1.2.2.2.1">^</ci><ci id="A1.p8.1.m1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.p8.1.m1.1.2.2.2.2">𝐴</ci></apply><ci id="A1.p8.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.p8.1.m1.1.2.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="A1.p8.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.p8.1.m1.1.1">𝑙</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p8.1.m1.1c">\hat{A}_{a}(l)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p8.1.m1.1d">over^ start_ARG italic_A end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_l )</annotation></semantics></math> are (C1) <math alttext="\lambda_{\textrm{min}}(W^{a}_{l,T})\rightarrow\infty" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p8.2.m2.3"><semantics id="A1.p8.2.m2.3a"><mrow id="A1.p8.2.m2.3.3" xref="A1.p8.2.m2.3.3.cmml"><mrow id="A1.p8.2.m2.3.3.1" xref="A1.p8.2.m2.3.3.1.cmml"><msub id="A1.p8.2.m2.3.3.1.3" xref="A1.p8.2.m2.3.3.1.3.cmml"><mi id="A1.p8.2.m2.3.3.1.3.2" xref="A1.p8.2.m2.3.3.1.3.2.cmml">λ</mi><mtext id="A1.p8.2.m2.3.3.1.3.3" xref="A1.p8.2.m2.3.3.1.3.3a.cmml">min</mtext></msub><mo id="A1.p8.2.m2.3.3.1.2" xref="A1.p8.2.m2.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.p8.2.m2.3.3.1.1.1" xref="A1.p8.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.p8.2.m2.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.p8.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="A1.p8.2.m2.3.3.1.1.1.1" xref="A1.p8.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.p8.2.m2.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="A1.p8.2.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">W</mi><mrow id="A1.p8.2.m2.2.2.2.4" xref="A1.p8.2.m2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.p8.2.m2.1.1.1.1" xref="A1.p8.2.m2.1.1.1.1.cmml">l</mi><mo id="A1.p8.2.m2.2.2.2.4.1" xref="A1.p8.2.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="A1.p8.2.m2.2.2.2.2" xref="A1.p8.2.m2.2.2.2.2.cmml">T</mi></mrow><mi id="A1.p8.2.m2.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="A1.p8.2.m2.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml">a</mi></msubsup><mo id="A1.p8.2.m2.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.p8.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.p8.2.m2.3.3.2" stretchy="false" xref="A1.p8.2.m2.3.3.2.cmml">→</mo><mi id="A1.p8.2.m2.3.3.3" mathvariant="normal" xref="A1.p8.2.m2.3.3.3.cmml">∞</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p8.2.m2.3b"><apply id="A1.p8.2.m2.3.3.cmml" xref="A1.p8.2.m2.3.3"><ci id="A1.p8.2.m2.3.3.2.cmml" xref="A1.p8.2.m2.3.3.2">→</ci><apply id="A1.p8.2.m2.3.3.1.cmml" xref="A1.p8.2.m2.3.3.1"><times id="A1.p8.2.m2.3.3.1.2.cmml" xref="A1.p8.2.m2.3.3.1.2"></times><apply id="A1.p8.2.m2.3.3.1.3.cmml" xref="A1.p8.2.m2.3.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p8.2.m2.3.3.1.3.1.cmml" xref="A1.p8.2.m2.3.3.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.p8.2.m2.3.3.1.3.2.cmml" xref="A1.p8.2.m2.3.3.1.3.2">𝜆</ci><ci id="A1.p8.2.m2.3.3.1.3.3a.cmml" xref="A1.p8.2.m2.3.3.1.3.3"><mtext id="A1.p8.2.m2.3.3.1.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="A1.p8.2.m2.3.3.1.3.3">min</mtext></ci></apply><apply id="A1.p8.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A1.p8.2.m2.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p8.2.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.p8.2.m2.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.p8.2.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.p8.2.m2.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p8.2.m2.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.p8.2.m2.3.3.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.p8.2.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.p8.2.m2.3.3.1.1.1.1.2.2">𝑊</ci><ci id="A1.p8.2.m2.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.p8.2.m2.3.3.1.1.1.1.2.3">𝑎</ci></apply><list id="A1.p8.2.m2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.p8.2.m2.2.2.2.4"><ci id="A1.p8.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.p8.2.m2.1.1.1.1">𝑙</ci><ci id="A1.p8.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.p8.2.m2.2.2.2.2">𝑇</ci></list></apply></apply><infinity id="A1.p8.2.m2.3.3.3.cmml" xref="A1.p8.2.m2.3.3.3"></infinity></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p8.2.m2.3c">\lambda_{\textrm{min}}(W^{a}_{l,T})\rightarrow\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p8.2.m2.3d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT min end_POSTSUBSCRIPT ( italic_W start_POSTSUPERSCRIPT italic_a end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_l , italic_T end_POSTSUBSCRIPT ) → ∞</annotation></semantics></math>, a.s., and (C2) <math alttext="\log\lambda_{\textrm{max}}(W^{a}_{l,T})=o(\lambda_{\textrm{min}}(W^{a}_{l,N}))" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p8.3.m3.6"><semantics id="A1.p8.3.m3.6a"><mrow id="A1.p8.3.m3.6.6" xref="A1.p8.3.m3.6.6.cmml"><mrow id="A1.p8.3.m3.5.5.1" xref="A1.p8.3.m3.5.5.1.cmml"><mrow id="A1.p8.3.m3.5.5.1.3" xref="A1.p8.3.m3.5.5.1.3.cmml"><mi id="A1.p8.3.m3.5.5.1.3.1" xref="A1.p8.3.m3.5.5.1.3.1.cmml">log</mi><mo id="A1.p8.3.m3.5.5.1.3a" lspace="0.167em" xref="A1.p8.3.m3.5.5.1.3.cmml">⁡</mo><msub id="A1.p8.3.m3.5.5.1.3.2" xref="A1.p8.3.m3.5.5.1.3.2.cmml"><mi id="A1.p8.3.m3.5.5.1.3.2.2" xref="A1.p8.3.m3.5.5.1.3.2.2.cmml">λ</mi><mtext id="A1.p8.3.m3.5.5.1.3.2.3" xref="A1.p8.3.m3.5.5.1.3.2.3a.cmml">max</mtext></msub></mrow><mo id="A1.p8.3.m3.5.5.1.2" xref="A1.p8.3.m3.5.5.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.p8.3.m3.5.5.1.1.1" xref="A1.p8.3.m3.5.5.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.p8.3.m3.5.5.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.p8.3.m3.5.5.1.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="A1.p8.3.m3.5.5.1.1.1.1" xref="A1.p8.3.m3.5.5.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.p8.3.m3.5.5.1.1.1.1.2.2" xref="A1.p8.3.m3.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml">W</mi><mrow id="A1.p8.3.m3.2.2.2.4" xref="A1.p8.3.m3.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.p8.3.m3.1.1.1.1" xref="A1.p8.3.m3.1.1.1.1.cmml">l</mi><mo id="A1.p8.3.m3.2.2.2.4.1" xref="A1.p8.3.m3.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="A1.p8.3.m3.2.2.2.2" xref="A1.p8.3.m3.2.2.2.2.cmml">T</mi></mrow><mi id="A1.p8.3.m3.5.5.1.1.1.1.2.3" xref="A1.p8.3.m3.5.5.1.1.1.1.2.3.cmml">a</mi></msubsup><mo id="A1.p8.3.m3.5.5.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.p8.3.m3.5.5.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.p8.3.m3.6.6.3" xref="A1.p8.3.m3.6.6.3.cmml">=</mo><mrow id="A1.p8.3.m3.6.6.2" xref="A1.p8.3.m3.6.6.2.cmml"><mi id="A1.p8.3.m3.6.6.2.3" xref="A1.p8.3.m3.6.6.2.3.cmml">o</mi><mo id="A1.p8.3.m3.6.6.2.2" xref="A1.p8.3.m3.6.6.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.p8.3.m3.6.6.2.1.1" xref="A1.p8.3.m3.6.6.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.p8.3.m3.6.6.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.p8.3.m3.6.6.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.p8.3.m3.6.6.2.1.1.1" xref="A1.p8.3.m3.6.6.2.1.1.1.cmml"><msub id="A1.p8.3.m3.6.6.2.1.1.1.3" xref="A1.p8.3.m3.6.6.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.p8.3.m3.6.6.2.1.1.1.3.2" xref="A1.p8.3.m3.6.6.2.1.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mtext id="A1.p8.3.m3.6.6.2.1.1.1.3.3" xref="A1.p8.3.m3.6.6.2.1.1.1.3.3a.cmml">min</mtext></msub><mo id="A1.p8.3.m3.6.6.2.1.1.1.2" xref="A1.p8.3.m3.6.6.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.p8.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.1" xref="A1.p8.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.p8.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.p8.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="A1.p8.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.p8.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.p8.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.p8.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">W</mi><mrow id="A1.p8.3.m3.4.4.2.4" xref="A1.p8.3.m3.4.4.2.3.cmml"><mi id="A1.p8.3.m3.3.3.1.1" xref="A1.p8.3.m3.3.3.1.1.cmml">l</mi><mo id="A1.p8.3.m3.4.4.2.4.1" xref="A1.p8.3.m3.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="A1.p8.3.m3.4.4.2.2" xref="A1.p8.3.m3.4.4.2.2.cmml">N</mi></mrow><mi id="A1.p8.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.p8.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">a</mi></msubsup><mo id="A1.p8.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.p8.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.p8.3.m3.6.6.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.p8.3.m3.6.6.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p8.3.m3.6b"><apply id="A1.p8.3.m3.6.6.cmml" xref="A1.p8.3.m3.6.6"><eq id="A1.p8.3.m3.6.6.3.cmml" xref="A1.p8.3.m3.6.6.3"></eq><apply id="A1.p8.3.m3.5.5.1.cmml" xref="A1.p8.3.m3.5.5.1"><times id="A1.p8.3.m3.5.5.1.2.cmml" xref="A1.p8.3.m3.5.5.1.2"></times><apply id="A1.p8.3.m3.5.5.1.3.cmml" xref="A1.p8.3.m3.5.5.1.3"><log id="A1.p8.3.m3.5.5.1.3.1.cmml" xref="A1.p8.3.m3.5.5.1.3.1"></log><apply id="A1.p8.3.m3.5.5.1.3.2.cmml" xref="A1.p8.3.m3.5.5.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p8.3.m3.5.5.1.3.2.1.cmml" xref="A1.p8.3.m3.5.5.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.p8.3.m3.5.5.1.3.2.2.cmml" xref="A1.p8.3.m3.5.5.1.3.2.2">𝜆</ci><ci id="A1.p8.3.m3.5.5.1.3.2.3a.cmml" xref="A1.p8.3.m3.5.5.1.3.2.3"><mtext id="A1.p8.3.m3.5.5.1.3.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="A1.p8.3.m3.5.5.1.3.2.3">max</mtext></ci></apply></apply><apply id="A1.p8.3.m3.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="A1.p8.3.m3.5.5.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p8.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.p8.3.m3.5.5.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.p8.3.m3.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.p8.3.m3.5.5.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p8.3.m3.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.p8.3.m3.5.5.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.p8.3.m3.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.p8.3.m3.5.5.1.1.1.1.2.2">𝑊</ci><ci id="A1.p8.3.m3.5.5.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.p8.3.m3.5.5.1.1.1.1.2.3">𝑎</ci></apply><list id="A1.p8.3.m3.2.2.2.3.cmml" xref="A1.p8.3.m3.2.2.2.4"><ci id="A1.p8.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="A1.p8.3.m3.1.1.1.1">𝑙</ci><ci id="A1.p8.3.m3.2.2.2.2.cmml" xref="A1.p8.3.m3.2.2.2.2">𝑇</ci></list></apply></apply><apply id="A1.p8.3.m3.6.6.2.cmml" xref="A1.p8.3.m3.6.6.2"><times id="A1.p8.3.m3.6.6.2.2.cmml" xref="A1.p8.3.m3.6.6.2.2"></times><ci id="A1.p8.3.m3.6.6.2.3.cmml" xref="A1.p8.3.m3.6.6.2.3">𝑜</ci><apply id="A1.p8.3.m3.6.6.2.1.1.1.cmml" xref="A1.p8.3.m3.6.6.2.1.1"><times id="A1.p8.3.m3.6.6.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.p8.3.m3.6.6.2.1.1.1.2"></times><apply id="A1.p8.3.m3.6.6.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.p8.3.m3.6.6.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p8.3.m3.6.6.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.p8.3.m3.6.6.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.p8.3.m3.6.6.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.p8.3.m3.6.6.2.1.1.1.3.2">𝜆</ci><ci id="A1.p8.3.m3.6.6.2.1.1.1.3.3a.cmml" xref="A1.p8.3.m3.6.6.2.1.1.1.3.3"><mtext id="A1.p8.3.m3.6.6.2.1.1.1.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="A1.p8.3.m3.6.6.2.1.1.1.3.3">min</mtext></ci></apply><apply id="A1.p8.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.p8.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p8.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.p8.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.p8.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.p8.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p8.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.p8.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.p8.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.p8.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑊</ci><ci id="A1.p8.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.p8.3.m3.6.6.2.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑎</ci></apply><list id="A1.p8.3.m3.4.4.2.3.cmml" xref="A1.p8.3.m3.4.4.2.4"><ci id="A1.p8.3.m3.3.3.1.1.cmml" xref="A1.p8.3.m3.3.3.1.1">𝑙</ci><ci id="A1.p8.3.m3.4.4.2.2.cmml" xref="A1.p8.3.m3.4.4.2.2">𝑁</ci></list></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p8.3.m3.6c">\log\lambda_{\textrm{max}}(W^{a}_{l,T})=o(\lambda_{\textrm{min}}(W^{a}_{l,N}))</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p8.3.m3.6d">roman_log italic_λ start_POSTSUBSCRIPT max end_POSTSUBSCRIPT ( italic_W start_POSTSUPERSCRIPT italic_a end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_l , italic_T end_POSTSUBSCRIPT ) = italic_o ( italic_λ start_POSTSUBSCRIPT min end_POSTSUBSCRIPT ( italic_W start_POSTSUPERSCRIPT italic_a end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_l , italic_N end_POSTSUBSCRIPT ) )</annotation></semantics></math>, a.s.. We therefore have to show that these two conditions are verified in our case. Then, for what concerns (C1), one has:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx28"> <tbody id="A1.Ex68"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle x_{a}(t)x_{a}(t)^{\top}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex68.m1.2"><semantics id="A1.Ex68.m1.2a"><mrow id="A1.Ex68.m1.2.3" xref="A1.Ex68.m1.2.3.cmml"><msub id="A1.Ex68.m1.2.3.2" xref="A1.Ex68.m1.2.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex68.m1.2.3.2.2" xref="A1.Ex68.m1.2.3.2.2.cmml">x</mi><mi id="A1.Ex68.m1.2.3.2.3" xref="A1.Ex68.m1.2.3.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="A1.Ex68.m1.2.3.1" xref="A1.Ex68.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex68.m1.2.3.3.2" xref="A1.Ex68.m1.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex68.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex68.m1.2.3.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex68.m1.1.1" xref="A1.Ex68.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex68.m1.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex68.m1.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex68.m1.2.3.1a" xref="A1.Ex68.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex68.m1.2.3.4" xref="A1.Ex68.m1.2.3.4.cmml"><mi id="A1.Ex68.m1.2.3.4.2" xref="A1.Ex68.m1.2.3.4.2.cmml">x</mi><mi id="A1.Ex68.m1.2.3.4.3" xref="A1.Ex68.m1.2.3.4.3.cmml">a</mi></msub><mo id="A1.Ex68.m1.2.3.1b" xref="A1.Ex68.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="A1.Ex68.m1.2.3.5" xref="A1.Ex68.m1.2.3.5.cmml"><mrow id="A1.Ex68.m1.2.3.5.2.2" xref="A1.Ex68.m1.2.3.5.cmml"><mo id="A1.Ex68.m1.2.3.5.2.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex68.m1.2.3.5.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex68.m1.2.2" xref="A1.Ex68.m1.2.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex68.m1.2.3.5.2.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex68.m1.2.3.5.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex68.m1.2.3.5.3" xref="A1.Ex68.m1.2.3.5.3.cmml">⊤</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex68.m1.2b"><apply id="A1.Ex68.m1.2.3.cmml" xref="A1.Ex68.m1.2.3"><times id="A1.Ex68.m1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex68.m1.2.3.1"></times><apply id="A1.Ex68.m1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex68.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex68.m1.2.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex68.m1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex68.m1.2.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex68.m1.2.3.2.2">𝑥</ci><ci id="A1.Ex68.m1.2.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex68.m1.2.3.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="A1.Ex68.m1.1.1.cmml" xref="A1.Ex68.m1.1.1">𝑡</ci><apply id="A1.Ex68.m1.2.3.4.cmml" xref="A1.Ex68.m1.2.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex68.m1.2.3.4.1.cmml" xref="A1.Ex68.m1.2.3.4">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex68.m1.2.3.4.2.cmml" xref="A1.Ex68.m1.2.3.4.2">𝑥</ci><ci id="A1.Ex68.m1.2.3.4.3.cmml" xref="A1.Ex68.m1.2.3.4.3">𝑎</ci></apply><apply id="A1.Ex68.m1.2.3.5.cmml" xref="A1.Ex68.m1.2.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex68.m1.2.3.5.1.cmml" xref="A1.Ex68.m1.2.3.5">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex68.m1.2.2.cmml" xref="A1.Ex68.m1.2.2">𝑡</ci><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex68.m1.2.3.5.3.cmml" xref="A1.Ex68.m1.2.3.5.3">top</csymbol></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex68.m1.2c">\displaystyle x_{a}(t)x_{a}(t)^{\top}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex68.m1.2d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=(\hat{A}_{a}(l)x_{a}(t+1)+v_{a}(t))" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex68.m2.3"><semantics id="A1.Ex68.m2.3a"><mrow id="A1.Ex68.m2.3.3" xref="A1.Ex68.m2.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex68.m2.3.3.3" xref="A1.Ex68.m2.3.3.3.cmml"></mi><mo id="A1.Ex68.m2.3.3.2" xref="A1.Ex68.m2.3.3.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex68.m2.3.3.1.1" xref="A1.Ex68.m2.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex68.m2.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex68.m2.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex68.m2.3.3.1.1.1" xref="A1.Ex68.m2.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex68.m2.3.3.1.1.1.1" 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class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex71"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\hskip 28.45274pt+2v_{a}(t)x^{\top}_{a}(t+1)\hat{A}^{\top}_{a}(l)% +v_{a}(t)v_{a}^{\top}(t)." class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex71.m1.5"><semantics id="A1.Ex71.m1.5a"><mrow id="A1.Ex71.m1.5.5.1" xref="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex71.m1.5.5.1.1" xref="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.1" xref="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.1a" xref="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.1.1" xref="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mn id="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml">2</mn><mo id="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.1.1.4" 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id="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.3.1b" xref="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.3.5.2" xref="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.3.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex71.m1.4.4" xref="A1.Ex71.m1.4.4.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.3.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex71.m1.5.5.1.2" lspace="0em" xref="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex71.m1.5b"><apply id="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.cmml" xref="A1.Ex71.m1.5.5.1"><plus id="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.2"></plus><apply id="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.1"><plus id="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.1"></plus><apply id="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.1.1"><times id="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.1.1.2"></times><cn 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encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex71.m1.5d">+ 2 italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) italic_x start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t + 1 ) over^ start_ARG italic_A end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_l ) + italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.p8.4">Since <math alttext="\hat{A}_{a}(l)x_{a}(t+1)x_{a}^{\top}(t+1)\hat{A}^{\top}_{a}(l)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p8.4.m1.4"><semantics id="A1.p8.4.m1.4a"><mrow id="A1.p8.4.m1.4.4" xref="A1.p8.4.m1.4.4.cmml"><msub id="A1.p8.4.m1.4.4.4" xref="A1.p8.4.m1.4.4.4.cmml"><mover accent="true" id="A1.p8.4.m1.4.4.4.2" xref="A1.p8.4.m1.4.4.4.2.cmml"><mi id="A1.p8.4.m1.4.4.4.2.2" xref="A1.p8.4.m1.4.4.4.2.2.cmml">A</mi><mo id="A1.p8.4.m1.4.4.4.2.1" xref="A1.p8.4.m1.4.4.4.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.p8.4.m1.4.4.4.3" xref="A1.p8.4.m1.4.4.4.3.cmml">a</mi></msub><mo id="A1.p8.4.m1.4.4.3" xref="A1.p8.4.m1.4.4.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.p8.4.m1.4.4.5.2" xref="A1.p8.4.m1.4.4.cmml"><mo id="A1.p8.4.m1.4.4.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.p8.4.m1.4.4.cmml">(</mo><mi id="A1.p8.4.m1.1.1" xref="A1.p8.4.m1.1.1.cmml">l</mi><mo id="A1.p8.4.m1.4.4.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.p8.4.m1.4.4.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.p8.4.m1.4.4.3a" xref="A1.p8.4.m1.4.4.3.cmml">⁢</mo><msub id="A1.p8.4.m1.4.4.6" xref="A1.p8.4.m1.4.4.6.cmml"><mi id="A1.p8.4.m1.4.4.6.2" xref="A1.p8.4.m1.4.4.6.2.cmml">x</mi><mi id="A1.p8.4.m1.4.4.6.3" xref="A1.p8.4.m1.4.4.6.3.cmml">a</mi></msub><mo id="A1.p8.4.m1.4.4.3b" xref="A1.p8.4.m1.4.4.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.p8.4.m1.3.3.1.1" 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xref="A1.p8.4.m1.1.1">𝑙</ci><apply id="A1.p8.4.m1.4.4.6.cmml" xref="A1.p8.4.m1.4.4.6"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p8.4.m1.4.4.6.1.cmml" xref="A1.p8.4.m1.4.4.6">subscript</csymbol><ci id="A1.p8.4.m1.4.4.6.2.cmml" xref="A1.p8.4.m1.4.4.6.2">𝑥</ci><ci id="A1.p8.4.m1.4.4.6.3.cmml" xref="A1.p8.4.m1.4.4.6.3">𝑎</ci></apply><apply id="A1.p8.4.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="A1.p8.4.m1.3.3.1.1"><plus id="A1.p8.4.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A1.p8.4.m1.3.3.1.1.1.1"></plus><ci id="A1.p8.4.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="A1.p8.4.m1.3.3.1.1.1.2">𝑡</ci><cn id="A1.p8.4.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.p8.4.m1.3.3.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="A1.p8.4.m1.4.4.7.cmml" xref="A1.p8.4.m1.4.4.7"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p8.4.m1.4.4.7.1.cmml" xref="A1.p8.4.m1.4.4.7">superscript</csymbol><apply id="A1.p8.4.m1.4.4.7.2.cmml" xref="A1.p8.4.m1.4.4.7"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p8.4.m1.4.4.7.2.1.cmml" xref="A1.p8.4.m1.4.4.7">subscript</csymbol><ci id="A1.p8.4.m1.4.4.7.2.2.cmml" xref="A1.p8.4.m1.4.4.7.2.2">𝑥</ci><ci id="A1.p8.4.m1.4.4.7.2.3.cmml" xref="A1.p8.4.m1.4.4.7.2.3">𝑎</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="A1.p8.4.m1.4.4.7.3.cmml" xref="A1.p8.4.m1.4.4.7.3">top</csymbol></apply><apply id="A1.p8.4.m1.4.4.2.1.1.cmml" xref="A1.p8.4.m1.4.4.2.1"><plus id="A1.p8.4.m1.4.4.2.1.1.1.cmml" xref="A1.p8.4.m1.4.4.2.1.1.1"></plus><ci id="A1.p8.4.m1.4.4.2.1.1.2.cmml" xref="A1.p8.4.m1.4.4.2.1.1.2">𝑡</ci><cn id="A1.p8.4.m1.4.4.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.p8.4.m1.4.4.2.1.1.3">1</cn></apply><apply id="A1.p8.4.m1.4.4.8.cmml" xref="A1.p8.4.m1.4.4.8"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p8.4.m1.4.4.8.1.cmml" xref="A1.p8.4.m1.4.4.8">subscript</csymbol><apply id="A1.p8.4.m1.4.4.8.2.cmml" xref="A1.p8.4.m1.4.4.8"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p8.4.m1.4.4.8.2.1.cmml" xref="A1.p8.4.m1.4.4.8">superscript</csymbol><apply id="A1.p8.4.m1.4.4.8.2.2.cmml" xref="A1.p8.4.m1.4.4.8.2.2"><ci id="A1.p8.4.m1.4.4.8.2.2.1.cmml" xref="A1.p8.4.m1.4.4.8.2.2.1">^</ci><ci id="A1.p8.4.m1.4.4.8.2.2.2.cmml" xref="A1.p8.4.m1.4.4.8.2.2.2">𝐴</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="A1.p8.4.m1.4.4.8.2.3.cmml" xref="A1.p8.4.m1.4.4.8.2.3">top</csymbol></apply><ci id="A1.p8.4.m1.4.4.8.3.cmml" xref="A1.p8.4.m1.4.4.8.3">𝑎</ci></apply><ci id="A1.p8.4.m1.2.2.cmml" xref="A1.p8.4.m1.2.2">𝑙</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p8.4.m1.4c">\hat{A}_{a}(l)x_{a}(t+1)x_{a}^{\top}(t+1)\hat{A}^{\top}_{a}(l)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p8.4.m1.4d">over^ start_ARG italic_A end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_l ) italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t + 1 ) italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t + 1 ) over^ start_ARG italic_A end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_l )</annotation></semantics></math> is a positive semidefinite matrix, by relying on Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#Thmlemma3" title="Lemma 3. ‣ Appendix A Technical proofs ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a> we can infer that</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx29"> <tbody id="A1.Ex72"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle W^{a}_{l,T}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex72.m1.2"><semantics id="A1.Ex72.m1.2a"><msubsup id="A1.Ex72.m1.2.3" xref="A1.Ex72.m1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex72.m1.2.3.2.2" xref="A1.Ex72.m1.2.3.2.2.cmml">W</mi><mrow id="A1.Ex72.m1.2.2.2.4" xref="A1.Ex72.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex72.m1.1.1.1.1" xref="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex72.m1.2.2.2.4.1" xref="A1.Ex72.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex72.m1.2.2.2.2" xref="A1.Ex72.m1.2.2.2.2.cmml">T</mi></mrow><mi id="A1.Ex72.m1.2.3.2.3" xref="A1.Ex72.m1.2.3.2.3.cmml">a</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex72.m1.2b"><apply id="A1.Ex72.m1.2.3.cmml" xref="A1.Ex72.m1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex72.m1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex72.m1.2.3">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex72.m1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex72.m1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex72.m1.2.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex72.m1.2.3">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex72.m1.2.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex72.m1.2.3.2.2">𝑊</ci><ci id="A1.Ex72.m1.2.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex72.m1.2.3.2.3">𝑎</ci></apply><list id="A1.Ex72.m1.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex72.m1.2.2.2.4"><ci id="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex72.m1.1.1.1.1">𝑙</ci><ci id="A1.Ex72.m1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex72.m1.2.2.2.2">𝑇</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex72.m1.2c">\displaystyle W^{a}_{l,T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex72.m1.2d">italic_W start_POSTSUPERSCRIPT italic_a end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_l , italic_T end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum_{t\in\mathbb{T}^{a}_{l,T}}x_{a}(t)x^{\top}_{a}(t)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex72.m2.4"><semantics id="A1.Ex72.m2.4a"><mrow id="A1.Ex72.m2.4.5" xref="A1.Ex72.m2.4.5.cmml"><mi id="A1.Ex72.m2.4.5.2" xref="A1.Ex72.m2.4.5.2.cmml"></mi><mo id="A1.Ex72.m2.4.5.1" xref="A1.Ex72.m2.4.5.1.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex72.m2.4.5.3" xref="A1.Ex72.m2.4.5.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex72.m2.4.5.3.1" xref="A1.Ex72.m2.4.5.3.1.cmml"><munder id="A1.Ex72.m2.4.5.3.1a" xref="A1.Ex72.m2.4.5.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex72.m2.4.5.3.1.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex72.m2.4.5.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex72.m2.2.2.2" xref="A1.Ex72.m2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex72.m2.2.2.2.4" xref="A1.Ex72.m2.2.2.2.4.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex72.m2.2.2.2.3" xref="A1.Ex72.m2.2.2.2.3.cmml">∈</mo><msubsup id="A1.Ex72.m2.2.2.2.5" xref="A1.Ex72.m2.2.2.2.5.cmml"><mi id="A1.Ex72.m2.2.2.2.5.2.2" xref="A1.Ex72.m2.2.2.2.5.2.2.cmml">𝕋</mi><mrow id="A1.Ex72.m2.2.2.2.2.2.4" xref="A1.Ex72.m2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex72.m2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex72.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex72.m2.2.2.2.2.2.4.1" xref="A1.Ex72.m2.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex72.m2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex72.m2.2.2.2.2.2.2.cmml">T</mi></mrow><mi id="A1.Ex72.m2.2.2.2.5.2.3" xref="A1.Ex72.m2.2.2.2.5.2.3.cmml">a</mi></msubsup></mrow></munder></mstyle><mrow id="A1.Ex72.m2.4.5.3.2" xref="A1.Ex72.m2.4.5.3.2.cmml"><msub id="A1.Ex72.m2.4.5.3.2.2" xref="A1.Ex72.m2.4.5.3.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex72.m2.4.5.3.2.2.2" xref="A1.Ex72.m2.4.5.3.2.2.2.cmml">x</mi><mi id="A1.Ex72.m2.4.5.3.2.2.3" xref="A1.Ex72.m2.4.5.3.2.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="A1.Ex72.m2.4.5.3.2.1" xref="A1.Ex72.m2.4.5.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex72.m2.4.5.3.2.3.2" xref="A1.Ex72.m2.4.5.3.2.cmml"><mo id="A1.Ex72.m2.4.5.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex72.m2.4.5.3.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex72.m2.3.3" xref="A1.Ex72.m2.3.3.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex72.m2.4.5.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex72.m2.4.5.3.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex72.m2.4.5.3.2.1a" xref="A1.Ex72.m2.4.5.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex72.m2.4.5.3.2.4" xref="A1.Ex72.m2.4.5.3.2.4.cmml"><mi id="A1.Ex72.m2.4.5.3.2.4.2.2" xref="A1.Ex72.m2.4.5.3.2.4.2.2.cmml">x</mi><mi id="A1.Ex72.m2.4.5.3.2.4.3" xref="A1.Ex72.m2.4.5.3.2.4.3.cmml">a</mi><mo id="A1.Ex72.m2.4.5.3.2.4.2.3" xref="A1.Ex72.m2.4.5.3.2.4.2.3.cmml">⊤</mo></msubsup><mo id="A1.Ex72.m2.4.5.3.2.1b" xref="A1.Ex72.m2.4.5.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex72.m2.4.5.3.2.5.2" xref="A1.Ex72.m2.4.5.3.2.cmml"><mo id="A1.Ex72.m2.4.5.3.2.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex72.m2.4.5.3.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex72.m2.4.4" xref="A1.Ex72.m2.4.4.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex72.m2.4.5.3.2.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex72.m2.4.5.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex72.m2.4b"><apply id="A1.Ex72.m2.4.5.cmml" xref="A1.Ex72.m2.4.5"><eq id="A1.Ex72.m2.4.5.1.cmml" xref="A1.Ex72.m2.4.5.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex72.m2.4.5.2.cmml" xref="A1.Ex72.m2.4.5.2">absent</csymbol><apply id="A1.Ex72.m2.4.5.3.cmml" xref="A1.Ex72.m2.4.5.3"><apply id="A1.Ex72.m2.4.5.3.1.cmml" xref="A1.Ex72.m2.4.5.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex72.m2.4.5.3.1.1.cmml" xref="A1.Ex72.m2.4.5.3.1">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex72.m2.4.5.3.1.2.cmml" xref="A1.Ex72.m2.4.5.3.1.2"></sum><apply id="A1.Ex72.m2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex72.m2.2.2.2"><in id="A1.Ex72.m2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex72.m2.2.2.2.3"></in><ci id="A1.Ex72.m2.2.2.2.4.cmml" xref="A1.Ex72.m2.2.2.2.4">𝑡</ci><apply id="A1.Ex72.m2.2.2.2.5.cmml" xref="A1.Ex72.m2.2.2.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex72.m2.2.2.2.5.1.cmml" xref="A1.Ex72.m2.2.2.2.5">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex72.m2.2.2.2.5.2.cmml" xref="A1.Ex72.m2.2.2.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex72.m2.2.2.2.5.2.1.cmml" xref="A1.Ex72.m2.2.2.2.5">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex72.m2.2.2.2.5.2.2.cmml" xref="A1.Ex72.m2.2.2.2.5.2.2">𝕋</ci><ci id="A1.Ex72.m2.2.2.2.5.2.3.cmml" xref="A1.Ex72.m2.2.2.2.5.2.3">𝑎</ci></apply><list id="A1.Ex72.m2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex72.m2.2.2.2.2.2.4"><ci id="A1.Ex72.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex72.m2.1.1.1.1.1.1">𝑙</ci><ci id="A1.Ex72.m2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex72.m2.2.2.2.2.2.2">𝑇</ci></list></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex72.m2.4.5.3.2.cmml" xref="A1.Ex72.m2.4.5.3.2"><times id="A1.Ex72.m2.4.5.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex72.m2.4.5.3.2.1"></times><apply id="A1.Ex72.m2.4.5.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex72.m2.4.5.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex72.m2.4.5.3.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex72.m2.4.5.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex72.m2.4.5.3.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex72.m2.4.5.3.2.2.2">𝑥</ci><ci id="A1.Ex72.m2.4.5.3.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex72.m2.4.5.3.2.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="A1.Ex72.m2.3.3.cmml" xref="A1.Ex72.m2.3.3">𝑡</ci><apply id="A1.Ex72.m2.4.5.3.2.4.cmml" xref="A1.Ex72.m2.4.5.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex72.m2.4.5.3.2.4.1.cmml" xref="A1.Ex72.m2.4.5.3.2.4">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex72.m2.4.5.3.2.4.2.cmml" xref="A1.Ex72.m2.4.5.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex72.m2.4.5.3.2.4.2.1.cmml" xref="A1.Ex72.m2.4.5.3.2.4">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex72.m2.4.5.3.2.4.2.2.cmml" xref="A1.Ex72.m2.4.5.3.2.4.2.2">𝑥</ci><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex72.m2.4.5.3.2.4.2.3.cmml" xref="A1.Ex72.m2.4.5.3.2.4.2.3">top</csymbol></apply><ci id="A1.Ex72.m2.4.5.3.2.4.3.cmml" xref="A1.Ex72.m2.4.5.3.2.4.3">𝑎</ci></apply><ci id="A1.Ex72.m2.4.4.cmml" xref="A1.Ex72.m2.4.4">𝑡</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex72.m2.4c">\displaystyle=\sum_{t\in\mathbb{T}^{a}_{l,T}}x_{a}(t)x^{\top}_{a}(t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex72.m2.4d">= ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t ∈ blackboard_T start_POSTSUPERSCRIPT italic_a end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_l , italic_T end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) italic_x start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex73"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\succcurlyeq\sum_{t\in\mathbb{T}^{a}_{l,T}}v_{a}(t)v_{a}^{\top}(t% )+x_{a}(T)x^{\top}_{a}(T)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex73.m1.6"><semantics id="A1.Ex73.m1.6a"><mrow id="A1.Ex73.m1.6.7" xref="A1.Ex73.m1.6.7.cmml"><mi id="A1.Ex73.m1.6.7.2" xref="A1.Ex73.m1.6.7.2.cmml"></mi><mo id="A1.Ex73.m1.6.7.1" xref="A1.Ex73.m1.6.7.1.cmml">≽</mo><mrow id="A1.Ex73.m1.6.7.3" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.cmml"><mrow id="A1.Ex73.m1.6.7.3.2" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex73.m1.6.7.3.2.1" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.2.1.cmml"><munder id="A1.Ex73.m1.6.7.3.2.1a" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.2.1.cmml"><mo id="A1.Ex73.m1.6.7.3.2.1.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.2.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex73.m1.2.2.2" xref="A1.Ex73.m1.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex73.m1.2.2.2.4" xref="A1.Ex73.m1.2.2.2.4.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex73.m1.2.2.2.3" xref="A1.Ex73.m1.2.2.2.3.cmml">∈</mo><msubsup id="A1.Ex73.m1.2.2.2.5" xref="A1.Ex73.m1.2.2.2.5.cmml"><mi id="A1.Ex73.m1.2.2.2.5.2.2" xref="A1.Ex73.m1.2.2.2.5.2.2.cmml">𝕋</mi><mrow id="A1.Ex73.m1.2.2.2.2.2.4" xref="A1.Ex73.m1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex73.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex73.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex73.m1.2.2.2.2.2.4.1" xref="A1.Ex73.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex73.m1.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex73.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">T</mi></mrow><mi id="A1.Ex73.m1.2.2.2.5.2.3" xref="A1.Ex73.m1.2.2.2.5.2.3.cmml">a</mi></msubsup></mrow></munder></mstyle><mrow id="A1.Ex73.m1.6.7.3.2.2" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.2.2.cmml"><msub id="A1.Ex73.m1.6.7.3.2.2.2" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex73.m1.6.7.3.2.2.2.2" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.2.2.2.2.cmml">v</mi><mi id="A1.Ex73.m1.6.7.3.2.2.2.3" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.2.2.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="A1.Ex73.m1.6.7.3.2.2.1" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex73.m1.6.7.3.2.2.3.2" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.2.2.cmml"><mo id="A1.Ex73.m1.6.7.3.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.2.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex73.m1.3.3" xref="A1.Ex73.m1.3.3.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex73.m1.6.7.3.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex73.m1.6.7.3.2.2.1a" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex73.m1.6.7.3.2.2.4" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.2.2.4.cmml"><mi id="A1.Ex73.m1.6.7.3.2.2.4.2.2" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.2.2.4.2.2.cmml">v</mi><mi id="A1.Ex73.m1.6.7.3.2.2.4.2.3" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.2.2.4.2.3.cmml">a</mi><mo id="A1.Ex73.m1.6.7.3.2.2.4.3" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.2.2.4.3.cmml">⊤</mo></msubsup><mo id="A1.Ex73.m1.6.7.3.2.2.1b" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex73.m1.6.7.3.2.2.5.2" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.2.2.cmml"><mo id="A1.Ex73.m1.6.7.3.2.2.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.2.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex73.m1.4.4" xref="A1.Ex73.m1.4.4.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex73.m1.6.7.3.2.2.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex73.m1.6.7.3.1" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.1.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex73.m1.6.7.3.3" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.3.cmml"><msub id="A1.Ex73.m1.6.7.3.3.2" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex73.m1.6.7.3.3.2.2" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.3.2.2.cmml">x</mi><mi id="A1.Ex73.m1.6.7.3.3.2.3" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.3.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="A1.Ex73.m1.6.7.3.3.1" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex73.m1.6.7.3.3.3.2" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.3.cmml"><mo id="A1.Ex73.m1.6.7.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.3.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex73.m1.5.5" xref="A1.Ex73.m1.5.5.cmml">T</mi><mo id="A1.Ex73.m1.6.7.3.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex73.m1.6.7.3.3.1a" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex73.m1.6.7.3.3.4" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.3.4.cmml"><mi id="A1.Ex73.m1.6.7.3.3.4.2.2" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.3.4.2.2.cmml">x</mi><mi id="A1.Ex73.m1.6.7.3.3.4.3" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.3.4.3.cmml">a</mi><mo id="A1.Ex73.m1.6.7.3.3.4.2.3" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.3.4.2.3.cmml">⊤</mo></msubsup><mo id="A1.Ex73.m1.6.7.3.3.1b" 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xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.2.1">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex73.m1.6.7.3.2.1.2.cmml" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.2.1.2"></sum><apply id="A1.Ex73.m1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex73.m1.2.2.2"><in id="A1.Ex73.m1.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex73.m1.2.2.2.3"></in><ci id="A1.Ex73.m1.2.2.2.4.cmml" xref="A1.Ex73.m1.2.2.2.4">𝑡</ci><apply id="A1.Ex73.m1.2.2.2.5.cmml" xref="A1.Ex73.m1.2.2.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex73.m1.2.2.2.5.1.cmml" xref="A1.Ex73.m1.2.2.2.5">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex73.m1.2.2.2.5.2.cmml" xref="A1.Ex73.m1.2.2.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex73.m1.2.2.2.5.2.1.cmml" xref="A1.Ex73.m1.2.2.2.5">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex73.m1.2.2.2.5.2.2.cmml" xref="A1.Ex73.m1.2.2.2.5.2.2">𝕋</ci><ci id="A1.Ex73.m1.2.2.2.5.2.3.cmml" xref="A1.Ex73.m1.2.2.2.5.2.3">𝑎</ci></apply><list id="A1.Ex73.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex73.m1.2.2.2.2.2.4"><ci id="A1.Ex73.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex73.m1.1.1.1.1.1.1">𝑙</ci><ci id="A1.Ex73.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" 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id="A1.Ex73.m1.6.7.3.2.2.4.2.2.cmml" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.2.2.4.2.2">𝑣</ci><ci id="A1.Ex73.m1.6.7.3.2.2.4.2.3.cmml" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.2.2.4.2.3">𝑎</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex73.m1.6.7.3.2.2.4.3.cmml" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.2.2.4.3">top</csymbol></apply><ci id="A1.Ex73.m1.4.4.cmml" xref="A1.Ex73.m1.4.4">𝑡</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex73.m1.6.7.3.3.cmml" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.3"><times id="A1.Ex73.m1.6.7.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.3.1"></times><apply id="A1.Ex73.m1.6.7.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex73.m1.6.7.3.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex73.m1.6.7.3.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.3.2.2">𝑥</ci><ci id="A1.Ex73.m1.6.7.3.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.3.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="A1.Ex73.m1.5.5.cmml" xref="A1.Ex73.m1.5.5">𝑇</ci><apply id="A1.Ex73.m1.6.7.3.3.4.cmml" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex73.m1.6.7.3.3.4.1.cmml" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.3.4">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex73.m1.6.7.3.3.4.2.cmml" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex73.m1.6.7.3.3.4.2.1.cmml" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.3.4">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex73.m1.6.7.3.3.4.2.2.cmml" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.3.4.2.2">𝑥</ci><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex73.m1.6.7.3.3.4.2.3.cmml" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.3.4.2.3">top</csymbol></apply><ci id="A1.Ex73.m1.6.7.3.3.4.3.cmml" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.3.4.3">𝑎</ci></apply><ci id="A1.Ex73.m1.6.6.cmml" xref="A1.Ex73.m1.6.6">𝑇</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex73.m1.6c">\displaystyle\succcurlyeq\sum_{t\in\mathbb{T}^{a}_{l,T}}v_{a}(t)v_{a}^{\top}(t% )+x_{a}(T)x^{\top}_{a}(T)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex73.m1.6d">≽ ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t ∈ blackboard_T start_POSTSUPERSCRIPT italic_a end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_l , italic_T end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) + italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T ) italic_x start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex74"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle+\sum_{t\in\mathbb{T}^{a}_{l,T}}(\hat{A}_{a}(l)x_{a}(t\!+\!1)v^{% \top}_{a}(t)\!+\!v_{a}(t)x^{\top}_{a}(t\!+\!1)\hat{A}^{\top}_{a}(l))" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex74.m1.7"><semantics id="A1.Ex74.m1.7a"><mrow id="A1.Ex74.m1.7.7" xref="A1.Ex74.m1.7.7.cmml"><mo id="A1.Ex74.m1.7.7a" xref="A1.Ex74.m1.7.7.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex74.m1.7.7.1" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex74.m1.7.7.1.2" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.2.cmml"><munder id="A1.Ex74.m1.7.7.1.2a" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex74.m1.7.7.1.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex74.m1.2.2.2" xref="A1.Ex74.m1.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex74.m1.2.2.2.4" xref="A1.Ex74.m1.2.2.2.4.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex74.m1.2.2.2.3" xref="A1.Ex74.m1.2.2.2.3.cmml">∈</mo><msubsup id="A1.Ex74.m1.2.2.2.5" xref="A1.Ex74.m1.2.2.2.5.cmml"><mi id="A1.Ex74.m1.2.2.2.5.2.2" xref="A1.Ex74.m1.2.2.2.5.2.2.cmml">𝕋</mi><mrow id="A1.Ex74.m1.2.2.2.2.2.4" xref="A1.Ex74.m1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex74.m1.2.2.2.2.2.4.1" xref="A1.Ex74.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex74.m1.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex74.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">T</mi></mrow><mi id="A1.Ex74.m1.2.2.2.5.2.3" xref="A1.Ex74.m1.2.2.2.5.2.3.cmml">a</mi></msubsup></mrow></munder></mstyle><mrow id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">A</mi><mo id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.3.cmml">a</mi></msub><mo id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex74.m1.3.3" xref="A1.Ex74.m1.3.3.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.5" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.5.2" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.5.2.cmml">x</mi><mi id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.5.3" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.5.3.cmml">a</mi></msub><mo id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.2b" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1" lspace="0.052em" rspace="0.052em" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.2c" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.6" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.6.cmml"><mi id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.6.2.2" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.6.2.2.cmml">v</mi><mi id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.6.3" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.6.3.cmml">a</mi><mo id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.6.2.3" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.6.2.3.cmml">⊤</mo></msubsup><mo id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.2d" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.7.2" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.7.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex74.m1.4.4" xref="A1.Ex74.m1.4.4.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.7.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.3" lspace="0.052em" rspace="0.052em" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.3.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.3.2.cmml">v</mi><mi id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.3.3.cmml">a</mi></msub><mo id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.4.2" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.4.2.1" stretchy="false" 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xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.1.1.1" lspace="0.052em" rspace="0.052em" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.2c" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.6" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.6.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.6.2.2" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.6.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.6.2.2.2" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.6.2.2.2.cmml">A</mi><mo id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.6.2.2.1" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.6.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.6.3" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.6.3.cmml">a</mi><mo id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.6.2.3" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.6.2.3.cmml">⊤</mo></msubsup><mo id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.2d" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.7.2" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.7.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex74.m1.6.6" xref="A1.Ex74.m1.6.6.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.7.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex74.m1.7b"><apply id="A1.Ex74.m1.7.7.cmml" xref="A1.Ex74.m1.7.7"><plus id="A1.Ex74.m1.7.7.2.cmml" xref="A1.Ex74.m1.7.7"></plus><apply id="A1.Ex74.m1.7.7.1.cmml" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1"><apply id="A1.Ex74.m1.7.7.1.2.cmml" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex74.m1.7.7.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.2">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex74.m1.7.7.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.2.2"></sum><apply id="A1.Ex74.m1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex74.m1.2.2.2"><in id="A1.Ex74.m1.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex74.m1.2.2.2.3"></in><ci id="A1.Ex74.m1.2.2.2.4.cmml" xref="A1.Ex74.m1.2.2.2.4">𝑡</ci><apply id="A1.Ex74.m1.2.2.2.5.cmml" xref="A1.Ex74.m1.2.2.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex74.m1.2.2.2.5.1.cmml" xref="A1.Ex74.m1.2.2.2.5">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex74.m1.2.2.2.5.2.cmml" xref="A1.Ex74.m1.2.2.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex74.m1.2.2.2.5.2.1.cmml" xref="A1.Ex74.m1.2.2.2.5">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex74.m1.2.2.2.5.2.2.cmml" xref="A1.Ex74.m1.2.2.2.5.2.2">𝕋</ci><ci id="A1.Ex74.m1.2.2.2.5.2.3.cmml" xref="A1.Ex74.m1.2.2.2.5.2.3">𝑎</ci></apply><list id="A1.Ex74.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex74.m1.2.2.2.2.2.4"><ci id="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1">𝑙</ci><ci 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id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.6.2.cmml" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.6.2.1.cmml" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.6">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.6.2.2.cmml" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.6.2.2">𝑣</ci><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.6.2.3.cmml" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.6.2.3">top</csymbol></apply><ci id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.6.3.cmml" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.1.6.3">𝑎</ci></apply><ci id="A1.Ex74.m1.4.4.cmml" xref="A1.Ex74.m1.4.4">𝑡</ci></apply><apply id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2"><times id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.2"></times><apply id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.3.2">𝑣</ci><ci id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.3.3">𝑎</ci></apply><ci id="A1.Ex74.m1.5.5.cmml" xref="A1.Ex74.m1.5.5">𝑡</ci><apply id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.5.cmml" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.5.1.cmml" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.5">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.5.2.cmml" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.5.2.1.cmml" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.5">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.5.2.2.cmml" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.5.2.2">𝑥</ci><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.5.2.3.cmml" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.5.2.3">top</csymbol></apply><ci id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.5.3.cmml" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.5.3">𝑎</ci></apply><apply id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.1"><plus id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.1.1.1"></plus><ci id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.1.1.2">𝑡</ci><cn id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.6.cmml" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.6.1.cmml" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.6">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.6.2.cmml" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.6.2.1.cmml" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.6">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.6.2.2.cmml" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.6.2.2"><ci id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.6.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.6.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.6.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.6.2.2.2">𝐴</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.6.2.3.cmml" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.6.2.3">top</csymbol></apply><ci id="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.6.3.cmml" xref="A1.Ex74.m1.7.7.1.1.1.1.2.6.3">𝑎</ci></apply><ci id="A1.Ex74.m1.6.6.cmml" xref="A1.Ex74.m1.6.6">𝑙</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex74.m1.7c">\displaystyle+\sum_{t\in\mathbb{T}^{a}_{l,T}}(\hat{A}_{a}(l)x_{a}(t\!+\!1)v^{% \top}_{a}(t)\!+\!v_{a}(t)x^{\top}_{a}(t\!+\!1)\hat{A}^{\top}_{a}(l))</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex74.m1.7d">+ ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t ∈ blackboard_T start_POSTSUPERSCRIPT italic_a end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_l , italic_T end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( over^ start_ARG italic_A end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_l ) italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t + 1 ) italic_v start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) + italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) italic_x start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t + 1 ) over^ start_ARG italic_A end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_l ) )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex75"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\succcurlyeq\sum_{t\in\mathbb{T}^{a}_{l,T}}v_{a}(t)v_{a}^{\top}(t% )+o(T)." class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex75.m1.6"><semantics id="A1.Ex75.m1.6a"><mrow id="A1.Ex75.m1.6.6.1" xref="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex75.m1.6.6.1.1" xref="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.2" xref="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.2.cmml"></mi><mo id="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.1" xref="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.1.cmml">≽</mo><mrow id="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3" xref="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.cmml"><mrow id="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2" xref="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.1.cmml"><munder id="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.1a" xref="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.1.cmml"><mo id="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.1.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex75.m1.2.2.2" xref="A1.Ex75.m1.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex75.m1.2.2.2.4" xref="A1.Ex75.m1.2.2.2.4.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex75.m1.2.2.2.3" xref="A1.Ex75.m1.2.2.2.3.cmml">∈</mo><msubsup id="A1.Ex75.m1.2.2.2.5" xref="A1.Ex75.m1.2.2.2.5.cmml"><mi id="A1.Ex75.m1.2.2.2.5.2.2" xref="A1.Ex75.m1.2.2.2.5.2.2.cmml">𝕋</mi><mrow id="A1.Ex75.m1.2.2.2.2.2.4" xref="A1.Ex75.m1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex75.m1.2.2.2.2.2.4.1" xref="A1.Ex75.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex75.m1.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex75.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">T</mi></mrow><mi id="A1.Ex75.m1.2.2.2.5.2.3" xref="A1.Ex75.m1.2.2.2.5.2.3.cmml">a</mi></msubsup></mrow></munder></mstyle><mrow id="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.2.cmml"><msub id="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.2.2" xref="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.2" xref="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.2.cmml">v</mi><mi id="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.3" xref="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.2.1" xref="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.2.3.2" xref="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.2.cmml"><mo id="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex75.m1.3.3" xref="A1.Ex75.m1.3.3.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.2.1a" xref="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.2.4" xref="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.2.4.cmml"><mi id="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.2.4.2.2" xref="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.2.4.2.2.cmml">v</mi><mi id="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.2.4.2.3" xref="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.2.4.2.3.cmml">a</mi><mo id="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.2.4.3" xref="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.2.4.3.cmml">⊤</mo></msubsup><mo id="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.2.1b" xref="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.2.5.2" xref="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.2.cmml"><mo id="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.2.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex75.m1.4.4" xref="A1.Ex75.m1.4.4.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.2.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.1" xref="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.3" xref="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.3.2.cmml">o</mi><mo id="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.3.1" xref="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.3.3.2" xref="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.3.cmml"><mo id="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.3.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex75.m1.5.5" xref="A1.Ex75.m1.5.5.cmml">T</mi><mo id="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex75.m1.6.6.1.2" lspace="0em" xref="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex75.m1.6b"><apply id="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.cmml" xref="A1.Ex75.m1.6.6.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.1">succeeds-or-equals</csymbol><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.2">absent</csymbol><apply id="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3"><plus id="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.1"></plus><apply id="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2"><apply id="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.1">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.1.2.cmml" xref="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.1.2"></sum><apply id="A1.Ex75.m1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex75.m1.2.2.2"><in id="A1.Ex75.m1.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex75.m1.2.2.2.3"></in><ci id="A1.Ex75.m1.2.2.2.4.cmml" xref="A1.Ex75.m1.2.2.2.4">𝑡</ci><apply id="A1.Ex75.m1.2.2.2.5.cmml" xref="A1.Ex75.m1.2.2.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex75.m1.2.2.2.5.1.cmml" xref="A1.Ex75.m1.2.2.2.5">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex75.m1.2.2.2.5.2.cmml" xref="A1.Ex75.m1.2.2.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex75.m1.2.2.2.5.2.1.cmml" xref="A1.Ex75.m1.2.2.2.5">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex75.m1.2.2.2.5.2.2.cmml" xref="A1.Ex75.m1.2.2.2.5.2.2">𝕋</ci><ci id="A1.Ex75.m1.2.2.2.5.2.3.cmml" xref="A1.Ex75.m1.2.2.2.5.2.3">𝑎</ci></apply><list id="A1.Ex75.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex75.m1.2.2.2.2.2.4"><ci id="A1.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1">𝑙</ci><ci id="A1.Ex75.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex75.m1.2.2.2.2.2.2">𝑇</ci></list></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.2"><times id="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.2.1"></times><apply id="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.2">𝑣</ci><ci id="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="A1.Ex75.m1.3.3.cmml" xref="A1.Ex75.m1.3.3">𝑡</ci><apply id="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.2.4.cmml" xref="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.2.4.1.cmml" xref="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.2.4">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.2.4.2.cmml" xref="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.2.4.2.1.cmml" xref="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.2.4.2.2.cmml" xref="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.2.4.2.2">𝑣</ci><ci id="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.2.4.2.3.cmml" xref="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.2.4.2.3">𝑎</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.2.4.3.cmml" xref="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.2.2.4.3">top</csymbol></apply><ci id="A1.Ex75.m1.4.4.cmml" xref="A1.Ex75.m1.4.4">𝑡</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.3"><times id="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex75.m1.6.6.1.1.3.3.2">𝑜</ci><ci id="A1.Ex75.m1.5.5.cmml" xref="A1.Ex75.m1.5.5">𝑇</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex75.m1.6c">\displaystyle\succcurlyeq\sum_{t\in\mathbb{T}^{a}_{l,T}}v_{a}(t)v_{a}^{\top}(t% )+o(T).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex75.m1.6d">≽ ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t ∈ blackboard_T start_POSTSUPERSCRIPT italic_a end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_l , italic_T end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) + italic_o ( italic_T ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.p8.6">Then, we readily obtain:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx30"> <tbody id="A1.Ex76"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\lim_{|\mathbb{T}^{a}_{l,T}|\rightarrow\infty}\inf" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex76.m1.3"><semantics id="A1.Ex76.m1.3a"><mrow id="A1.Ex76.m1.3.4" xref="A1.Ex76.m1.3.4.cmml"><munder id="A1.Ex76.m1.3.4.1" xref="A1.Ex76.m1.3.4.1.cmml"><mo id="A1.Ex76.m1.3.4.1.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex76.m1.3.4.1.2.cmml">lim</mo><mrow id="A1.Ex76.m1.3.3.3" xref="A1.Ex76.m1.3.3.3.cmml"><mrow id="A1.Ex76.m1.3.3.3.3.1" xref="A1.Ex76.m1.3.3.3.3.2.cmml"><mo id="A1.Ex76.m1.3.3.3.3.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex76.m1.3.3.3.3.2.1.cmml">|</mo><msubsup id="A1.Ex76.m1.3.3.3.3.1.1" xref="A1.Ex76.m1.3.3.3.3.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex76.m1.3.3.3.3.1.1.2.2" xref="A1.Ex76.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.cmml">𝕋</mi><mrow id="A1.Ex76.m1.2.2.2.2.2.4" xref="A1.Ex76.m1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex76.m1.2.2.2.2.2.4.1" xref="A1.Ex76.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex76.m1.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex76.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">T</mi></mrow><mi id="A1.Ex76.m1.3.3.3.3.1.1.2.3" xref="A1.Ex76.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.cmml">a</mi></msubsup><mo id="A1.Ex76.m1.3.3.3.3.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex76.m1.3.3.3.3.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="A1.Ex76.m1.3.3.3.4" stretchy="false" xref="A1.Ex76.m1.3.3.3.4.cmml">→</mo><mi id="A1.Ex76.m1.3.3.3.5" mathvariant="normal" xref="A1.Ex76.m1.3.3.3.5.cmml">∞</mi></mrow></munder><mo id="A1.Ex76.m1.3.4.2" lspace="0.167em" movablelimits="false" xref="A1.Ex76.m1.3.4.2.cmml">inf</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex76.m1.3b"><apply id="A1.Ex76.m1.3.4.cmml" xref="A1.Ex76.m1.3.4"><apply id="A1.Ex76.m1.3.4.1.cmml" xref="A1.Ex76.m1.3.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex76.m1.3.4.1.1.cmml" xref="A1.Ex76.m1.3.4.1">subscript</csymbol><limit id="A1.Ex76.m1.3.4.1.2.cmml" xref="A1.Ex76.m1.3.4.1.2"></limit><apply id="A1.Ex76.m1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex76.m1.3.3.3"><ci id="A1.Ex76.m1.3.3.3.4.cmml" xref="A1.Ex76.m1.3.3.3.4">→</ci><apply id="A1.Ex76.m1.3.3.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex76.m1.3.3.3.3.1"><abs id="A1.Ex76.m1.3.3.3.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex76.m1.3.3.3.3.1.2"></abs><apply id="A1.Ex76.m1.3.3.3.3.1.1.cmml" xref="A1.Ex76.m1.3.3.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex76.m1.3.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex76.m1.3.3.3.3.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex76.m1.3.3.3.3.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex76.m1.3.3.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex76.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex76.m1.3.3.3.3.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex76.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex76.m1.3.3.3.3.1.1.2.2">𝕋</ci><ci id="A1.Ex76.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex76.m1.3.3.3.3.1.1.2.3">𝑎</ci></apply><list id="A1.Ex76.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex76.m1.2.2.2.2.2.4"><ci id="A1.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1">𝑙</ci><ci id="A1.Ex76.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex76.m1.2.2.2.2.2.2">𝑇</ci></list></apply></apply><infinity id="A1.Ex76.m1.3.3.3.5.cmml" xref="A1.Ex76.m1.3.3.3.5"></infinity></apply></apply><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex76.m1.3.4.2.cmml" xref="A1.Ex76.m1.3.4.2">infimum</csymbol></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex76.m1.3c">\displaystyle\lim_{|\mathbb{T}^{a}_{l,T}|\rightarrow\infty}\inf</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex76.m1.3d">roman_lim start_POSTSUBSCRIPT | blackboard_T start_POSTSUPERSCRIPT italic_a end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_l , italic_T end_POSTSUBSCRIPT | → ∞ end_POSTSUBSCRIPT roman_inf</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\frac{\sum_{t\in\mathbb{T}^{a}_{l,T}}x_{a}(t)x^{\top}_{a}(t)}{|% \mathbb{T}^{a}_{l,T}|}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex76.m2.7"><semantics id="A1.Ex76.m2.7a"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex76.m2.7.7" xref="A1.Ex76.m2.7.7.cmml"><mfrac id="A1.Ex76.m2.7.7a" xref="A1.Ex76.m2.7.7.cmml"><mrow id="A1.Ex76.m2.4.4.4" xref="A1.Ex76.m2.4.4.4.cmml"><msub id="A1.Ex76.m2.4.4.4.5" xref="A1.Ex76.m2.4.4.4.5.cmml"><mo id="A1.Ex76.m2.4.4.4.5.2" xref="A1.Ex76.m2.4.4.4.5.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex76.m2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex76.m2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex76.m2.2.2.2.2.2.4" xref="A1.Ex76.m2.2.2.2.2.2.4.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex76.m2.2.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex76.m2.2.2.2.2.2.3.cmml">∈</mo><msubsup id="A1.Ex76.m2.2.2.2.2.2.5" xref="A1.Ex76.m2.2.2.2.2.2.5.cmml"><mi id="A1.Ex76.m2.2.2.2.2.2.5.2.2" xref="A1.Ex76.m2.2.2.2.2.2.5.2.2.cmml">𝕋</mi><mrow id="A1.Ex76.m2.2.2.2.2.2.2.2.4" xref="A1.Ex76.m2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex76.m2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex76.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex76.m2.2.2.2.2.2.2.2.4.1" xref="A1.Ex76.m2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex76.m2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex76.m2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">T</mi></mrow><mi id="A1.Ex76.m2.2.2.2.2.2.5.2.3" xref="A1.Ex76.m2.2.2.2.2.2.5.2.3.cmml">a</mi></msubsup></mrow></msub><mrow id="A1.Ex76.m2.4.4.4.6" xref="A1.Ex76.m2.4.4.4.6.cmml"><msub id="A1.Ex76.m2.4.4.4.6.2" xref="A1.Ex76.m2.4.4.4.6.2.cmml"><mi id="A1.Ex76.m2.4.4.4.6.2.2" xref="A1.Ex76.m2.4.4.4.6.2.2.cmml">x</mi><mi id="A1.Ex76.m2.4.4.4.6.2.3" xref="A1.Ex76.m2.4.4.4.6.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="A1.Ex76.m2.4.4.4.6.1" xref="A1.Ex76.m2.4.4.4.6.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex76.m2.4.4.4.6.3.2" xref="A1.Ex76.m2.4.4.4.6.cmml"><mo id="A1.Ex76.m2.4.4.4.6.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex76.m2.4.4.4.6.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex76.m2.3.3.3.3" xref="A1.Ex76.m2.3.3.3.3.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex76.m2.4.4.4.6.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex76.m2.4.4.4.6.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex76.m2.4.4.4.6.1a" xref="A1.Ex76.m2.4.4.4.6.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex76.m2.4.4.4.6.4" xref="A1.Ex76.m2.4.4.4.6.4.cmml"><mi id="A1.Ex76.m2.4.4.4.6.4.2.2" xref="A1.Ex76.m2.4.4.4.6.4.2.2.cmml">x</mi><mi id="A1.Ex76.m2.4.4.4.6.4.3" xref="A1.Ex76.m2.4.4.4.6.4.3.cmml">a</mi><mo id="A1.Ex76.m2.4.4.4.6.4.2.3" xref="A1.Ex76.m2.4.4.4.6.4.2.3.cmml">⊤</mo></msubsup><mo id="A1.Ex76.m2.4.4.4.6.1b" xref="A1.Ex76.m2.4.4.4.6.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex76.m2.4.4.4.6.5.2" xref="A1.Ex76.m2.4.4.4.6.cmml"><mo id="A1.Ex76.m2.4.4.4.6.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex76.m2.4.4.4.6.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex76.m2.4.4.4.4" xref="A1.Ex76.m2.4.4.4.4.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex76.m2.4.4.4.6.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex76.m2.4.4.4.6.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mrow id="A1.Ex76.m2.7.7.7.3" xref="A1.Ex76.m2.7.7.7.4.cmml"><mo id="A1.Ex76.m2.7.7.7.3.2" stretchy="false" xref="A1.Ex76.m2.7.7.7.4.1.cmml">|</mo><msubsup id="A1.Ex76.m2.7.7.7.3.1" xref="A1.Ex76.m2.7.7.7.3.1.cmml"><mi id="A1.Ex76.m2.7.7.7.3.1.2.2" xref="A1.Ex76.m2.7.7.7.3.1.2.2.cmml">𝕋</mi><mrow id="A1.Ex76.m2.6.6.6.2.2.4" xref="A1.Ex76.m2.6.6.6.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex76.m2.5.5.5.1.1.1" xref="A1.Ex76.m2.5.5.5.1.1.1.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex76.m2.6.6.6.2.2.4.1" xref="A1.Ex76.m2.6.6.6.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex76.m2.6.6.6.2.2.2" xref="A1.Ex76.m2.6.6.6.2.2.2.cmml">T</mi></mrow><mi id="A1.Ex76.m2.7.7.7.3.1.2.3" xref="A1.Ex76.m2.7.7.7.3.1.2.3.cmml">a</mi></msubsup><mo id="A1.Ex76.m2.7.7.7.3.3" stretchy="false" xref="A1.Ex76.m2.7.7.7.4.1.cmml">|</mo></mrow></mfrac></mstyle><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex76.m2.7b"><apply id="A1.Ex76.m2.7.7.cmml" xref="A1.Ex76.m2.7.7"><divide id="A1.Ex76.m2.7.7.8.cmml" xref="A1.Ex76.m2.7.7"></divide><apply id="A1.Ex76.m2.4.4.4.cmml" xref="A1.Ex76.m2.4.4.4"><apply id="A1.Ex76.m2.4.4.4.5.cmml" xref="A1.Ex76.m2.4.4.4.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex76.m2.4.4.4.5.1.cmml" xref="A1.Ex76.m2.4.4.4.5">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex76.m2.4.4.4.5.2.cmml" xref="A1.Ex76.m2.4.4.4.5.2"></sum><apply id="A1.Ex76.m2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex76.m2.2.2.2.2.2"><in id="A1.Ex76.m2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex76.m2.2.2.2.2.2.3"></in><ci id="A1.Ex76.m2.2.2.2.2.2.4.cmml" xref="A1.Ex76.m2.2.2.2.2.2.4">𝑡</ci><apply id="A1.Ex76.m2.2.2.2.2.2.5.cmml" xref="A1.Ex76.m2.2.2.2.2.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex76.m2.2.2.2.2.2.5.1.cmml" xref="A1.Ex76.m2.2.2.2.2.2.5">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex76.m2.2.2.2.2.2.5.2.cmml" xref="A1.Ex76.m2.2.2.2.2.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex76.m2.2.2.2.2.2.5.2.1.cmml" xref="A1.Ex76.m2.2.2.2.2.2.5">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex76.m2.2.2.2.2.2.5.2.2.cmml" xref="A1.Ex76.m2.2.2.2.2.2.5.2.2">𝕋</ci><ci id="A1.Ex76.m2.2.2.2.2.2.5.2.3.cmml" xref="A1.Ex76.m2.2.2.2.2.2.5.2.3">𝑎</ci></apply><list id="A1.Ex76.m2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex76.m2.2.2.2.2.2.2.2.4"><ci id="A1.Ex76.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex76.m2.1.1.1.1.1.1.1.1">𝑙</ci><ci id="A1.Ex76.m2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex76.m2.2.2.2.2.2.2.2.2">𝑇</ci></list></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex76.m2.4.4.4.6.cmml" xref="A1.Ex76.m2.4.4.4.6"><times id="A1.Ex76.m2.4.4.4.6.1.cmml" xref="A1.Ex76.m2.4.4.4.6.1"></times><apply id="A1.Ex76.m2.4.4.4.6.2.cmml" xref="A1.Ex76.m2.4.4.4.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex76.m2.4.4.4.6.2.1.cmml" xref="A1.Ex76.m2.4.4.4.6.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex76.m2.4.4.4.6.2.2.cmml" xref="A1.Ex76.m2.4.4.4.6.2.2">𝑥</ci><ci id="A1.Ex76.m2.4.4.4.6.2.3.cmml" xref="A1.Ex76.m2.4.4.4.6.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="A1.Ex76.m2.3.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex76.m2.3.3.3.3">𝑡</ci><apply id="A1.Ex76.m2.4.4.4.6.4.cmml" xref="A1.Ex76.m2.4.4.4.6.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex76.m2.4.4.4.6.4.1.cmml" xref="A1.Ex76.m2.4.4.4.6.4">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex76.m2.4.4.4.6.4.2.cmml" xref="A1.Ex76.m2.4.4.4.6.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex76.m2.4.4.4.6.4.2.1.cmml" xref="A1.Ex76.m2.4.4.4.6.4">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex76.m2.4.4.4.6.4.2.2.cmml" xref="A1.Ex76.m2.4.4.4.6.4.2.2">𝑥</ci><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex76.m2.4.4.4.6.4.2.3.cmml" xref="A1.Ex76.m2.4.4.4.6.4.2.3">top</csymbol></apply><ci id="A1.Ex76.m2.4.4.4.6.4.3.cmml" xref="A1.Ex76.m2.4.4.4.6.4.3">𝑎</ci></apply><ci id="A1.Ex76.m2.4.4.4.4.cmml" xref="A1.Ex76.m2.4.4.4.4">𝑡</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex76.m2.7.7.7.4.cmml" xref="A1.Ex76.m2.7.7.7.3"><abs id="A1.Ex76.m2.7.7.7.4.1.cmml" xref="A1.Ex76.m2.7.7.7.3.2"></abs><apply id="A1.Ex76.m2.7.7.7.3.1.cmml" xref="A1.Ex76.m2.7.7.7.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex76.m2.7.7.7.3.1.1.cmml" xref="A1.Ex76.m2.7.7.7.3.1">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex76.m2.7.7.7.3.1.2.cmml" xref="A1.Ex76.m2.7.7.7.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex76.m2.7.7.7.3.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex76.m2.7.7.7.3.1">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex76.m2.7.7.7.3.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex76.m2.7.7.7.3.1.2.2">𝕋</ci><ci id="A1.Ex76.m2.7.7.7.3.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex76.m2.7.7.7.3.1.2.3">𝑎</ci></apply><list id="A1.Ex76.m2.6.6.6.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex76.m2.6.6.6.2.2.4"><ci id="A1.Ex76.m2.5.5.5.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex76.m2.5.5.5.1.1.1">𝑙</ci><ci id="A1.Ex76.m2.6.6.6.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex76.m2.6.6.6.2.2.2">𝑇</ci></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex76.m2.7c">\displaystyle\frac{\sum_{t\in\mathbb{T}^{a}_{l,T}}x_{a}(t)x^{\top}_{a}(t)}{|% \mathbb{T}^{a}_{l,T}|}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex76.m2.7d">divide start_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t ∈ blackboard_T start_POSTSUPERSCRIPT italic_a end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_l , italic_T end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) italic_x start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) end_ARG start_ARG | blackboard_T start_POSTSUPERSCRIPT italic_a end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_l , italic_T end_POSTSUBSCRIPT | end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex77"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\succcurlyeq\lim_{|\mathbb{T}^{a}_{l,T}|\rightarrow\infty}\inf% \frac{\sum_{t\in\mathbb{T}^{a}_{l,T}}v_{a}(t)v_{a}^{\top}(t)}{|\mathbb{T}^{a}_% {l,T}|}\succ 0." class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex77.m1.11"><semantics id="A1.Ex77.m1.11a"><mrow id="A1.Ex77.m1.11.11.1" xref="A1.Ex77.m1.11.11.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex77.m1.11.11.1.1" xref="A1.Ex77.m1.11.11.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex77.m1.11.11.1.1.2" xref="A1.Ex77.m1.11.11.1.1.2.cmml"></mi><mo id="A1.Ex77.m1.11.11.1.1.3" rspace="0.1389em" xref="A1.Ex77.m1.11.11.1.1.3.cmml">≽</mo><mrow id="A1.Ex77.m1.11.11.1.1.4" xref="A1.Ex77.m1.11.11.1.1.4.cmml"><munder id="A1.Ex77.m1.11.11.1.1.4.1" xref="A1.Ex77.m1.11.11.1.1.4.1.cmml"><mo id="A1.Ex77.m1.11.11.1.1.4.1.2" lspace="0.1389em" movablelimits="false" rspace="0.0835em" xref="A1.Ex77.m1.11.11.1.1.4.1.2.cmml">lim</mo><mrow id="A1.Ex77.m1.3.3.3" xref="A1.Ex77.m1.3.3.3.cmml"><mrow id="A1.Ex77.m1.3.3.3.3.1" xref="A1.Ex77.m1.3.3.3.3.2.cmml"><mo id="A1.Ex77.m1.3.3.3.3.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex77.m1.3.3.3.3.2.1.cmml">|</mo><msubsup id="A1.Ex77.m1.3.3.3.3.1.1" xref="A1.Ex77.m1.3.3.3.3.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex77.m1.3.3.3.3.1.1.2.2" xref="A1.Ex77.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.cmml">𝕋</mi><mrow id="A1.Ex77.m1.2.2.2.2.2.4" xref="A1.Ex77.m1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex77.m1.2.2.2.2.2.4.1" xref="A1.Ex77.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex77.m1.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex77.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">T</mi></mrow><mi id="A1.Ex77.m1.3.3.3.3.1.1.2.3" xref="A1.Ex77.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.cmml">a</mi></msubsup><mo id="A1.Ex77.m1.3.3.3.3.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex77.m1.3.3.3.3.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="A1.Ex77.m1.3.3.3.4" stretchy="false" xref="A1.Ex77.m1.3.3.3.4.cmml">→</mo><mi id="A1.Ex77.m1.3.3.3.5" mathvariant="normal" xref="A1.Ex77.m1.3.3.3.5.cmml">∞</mi></mrow></munder><mrow id="A1.Ex77.m1.11.11.1.1.4.2" xref="A1.Ex77.m1.11.11.1.1.4.2.cmml"><mo id="A1.Ex77.m1.11.11.1.1.4.2.1" lspace="0.0835em" movablelimits="false" rspace="0.167em" xref="A1.Ex77.m1.11.11.1.1.4.2.1.cmml">inf</mo><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex77.m1.10.10" xref="A1.Ex77.m1.10.10.cmml"><mfrac id="A1.Ex77.m1.10.10a" xref="A1.Ex77.m1.10.10.cmml"><mrow id="A1.Ex77.m1.7.7.4" xref="A1.Ex77.m1.7.7.4.cmml"><msub id="A1.Ex77.m1.7.7.4.5" xref="A1.Ex77.m1.7.7.4.5.cmml"><mo id="A1.Ex77.m1.7.7.4.5.2" xref="A1.Ex77.m1.7.7.4.5.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex77.m1.5.5.2.2.2" xref="A1.Ex77.m1.5.5.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex77.m1.5.5.2.2.2.4" xref="A1.Ex77.m1.5.5.2.2.2.4.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex77.m1.5.5.2.2.2.3" xref="A1.Ex77.m1.5.5.2.2.2.3.cmml">∈</mo><msubsup id="A1.Ex77.m1.5.5.2.2.2.5" xref="A1.Ex77.m1.5.5.2.2.2.5.cmml"><mi id="A1.Ex77.m1.5.5.2.2.2.5.2.2" xref="A1.Ex77.m1.5.5.2.2.2.5.2.2.cmml">𝕋</mi><mrow id="A1.Ex77.m1.5.5.2.2.2.2.2.4" xref="A1.Ex77.m1.5.5.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex77.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex77.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex77.m1.5.5.2.2.2.2.2.4.1" xref="A1.Ex77.m1.5.5.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex77.m1.5.5.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex77.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.cmml">T</mi></mrow><mi id="A1.Ex77.m1.5.5.2.2.2.5.2.3" xref="A1.Ex77.m1.5.5.2.2.2.5.2.3.cmml">a</mi></msubsup></mrow></msub><mrow id="A1.Ex77.m1.7.7.4.6" xref="A1.Ex77.m1.7.7.4.6.cmml"><msub id="A1.Ex77.m1.7.7.4.6.2" xref="A1.Ex77.m1.7.7.4.6.2.cmml"><mi id="A1.Ex77.m1.7.7.4.6.2.2" xref="A1.Ex77.m1.7.7.4.6.2.2.cmml">v</mi><mi id="A1.Ex77.m1.7.7.4.6.2.3" xref="A1.Ex77.m1.7.7.4.6.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="A1.Ex77.m1.7.7.4.6.1" xref="A1.Ex77.m1.7.7.4.6.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex77.m1.7.7.4.6.3.2" xref="A1.Ex77.m1.7.7.4.6.cmml"><mo id="A1.Ex77.m1.7.7.4.6.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex77.m1.7.7.4.6.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex77.m1.6.6.3.3" xref="A1.Ex77.m1.6.6.3.3.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex77.m1.7.7.4.6.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex77.m1.7.7.4.6.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex77.m1.7.7.4.6.1a" xref="A1.Ex77.m1.7.7.4.6.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex77.m1.7.7.4.6.4" xref="A1.Ex77.m1.7.7.4.6.4.cmml"><mi id="A1.Ex77.m1.7.7.4.6.4.2.2" xref="A1.Ex77.m1.7.7.4.6.4.2.2.cmml">v</mi><mi id="A1.Ex77.m1.7.7.4.6.4.2.3" xref="A1.Ex77.m1.7.7.4.6.4.2.3.cmml">a</mi><mo id="A1.Ex77.m1.7.7.4.6.4.3" xref="A1.Ex77.m1.7.7.4.6.4.3.cmml">⊤</mo></msubsup><mo id="A1.Ex77.m1.7.7.4.6.1b" xref="A1.Ex77.m1.7.7.4.6.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex77.m1.7.7.4.6.5.2" xref="A1.Ex77.m1.7.7.4.6.cmml"><mo id="A1.Ex77.m1.7.7.4.6.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex77.m1.7.7.4.6.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex77.m1.7.7.4.4" xref="A1.Ex77.m1.7.7.4.4.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex77.m1.7.7.4.6.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex77.m1.7.7.4.6.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mrow id="A1.Ex77.m1.10.10.7.3" xref="A1.Ex77.m1.10.10.7.4.cmml"><mo id="A1.Ex77.m1.10.10.7.3.2" stretchy="false" xref="A1.Ex77.m1.10.10.7.4.1.cmml">|</mo><msubsup id="A1.Ex77.m1.10.10.7.3.1" xref="A1.Ex77.m1.10.10.7.3.1.cmml"><mi id="A1.Ex77.m1.10.10.7.3.1.2.2" xref="A1.Ex77.m1.10.10.7.3.1.2.2.cmml">𝕋</mi><mrow id="A1.Ex77.m1.9.9.6.2.2.4" xref="A1.Ex77.m1.9.9.6.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex77.m1.8.8.5.1.1.1" xref="A1.Ex77.m1.8.8.5.1.1.1.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex77.m1.9.9.6.2.2.4.1" xref="A1.Ex77.m1.9.9.6.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex77.m1.9.9.6.2.2.2" xref="A1.Ex77.m1.9.9.6.2.2.2.cmml">T</mi></mrow><mi id="A1.Ex77.m1.10.10.7.3.1.2.3" xref="A1.Ex77.m1.10.10.7.3.1.2.3.cmml">a</mi></msubsup><mo id="A1.Ex77.m1.10.10.7.3.3" stretchy="false" xref="A1.Ex77.m1.10.10.7.4.1.cmml">|</mo></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mrow><mo id="A1.Ex77.m1.11.11.1.1.5" xref="A1.Ex77.m1.11.11.1.1.5.cmml">≻</mo><mn id="A1.Ex77.m1.11.11.1.1.6" xref="A1.Ex77.m1.11.11.1.1.6.cmml">0</mn></mrow><mo id="A1.Ex77.m1.11.11.1.2" lspace="0em" xref="A1.Ex77.m1.11.11.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex77.m1.11b"><apply id="A1.Ex77.m1.11.11.1.1.cmml" xref="A1.Ex77.m1.11.11.1"><and id="A1.Ex77.m1.11.11.1.1a.cmml" xref="A1.Ex77.m1.11.11.1"></and><apply id="A1.Ex77.m1.11.11.1.1b.cmml" xref="A1.Ex77.m1.11.11.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex77.m1.11.11.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex77.m1.11.11.1.1.3">succeeds-or-equals</csymbol><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex77.m1.11.11.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex77.m1.11.11.1.1.2">absent</csymbol><apply id="A1.Ex77.m1.11.11.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex77.m1.11.11.1.1.4"><apply id="A1.Ex77.m1.11.11.1.1.4.1.cmml" xref="A1.Ex77.m1.11.11.1.1.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex77.m1.11.11.1.1.4.1.1.cmml" xref="A1.Ex77.m1.11.11.1.1.4.1">subscript</csymbol><limit id="A1.Ex77.m1.11.11.1.1.4.1.2.cmml" xref="A1.Ex77.m1.11.11.1.1.4.1.2"></limit><apply id="A1.Ex77.m1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex77.m1.3.3.3"><ci id="A1.Ex77.m1.3.3.3.4.cmml" xref="A1.Ex77.m1.3.3.3.4">→</ci><apply id="A1.Ex77.m1.3.3.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex77.m1.3.3.3.3.1"><abs id="A1.Ex77.m1.3.3.3.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex77.m1.3.3.3.3.1.2"></abs><apply id="A1.Ex77.m1.3.3.3.3.1.1.cmml" xref="A1.Ex77.m1.3.3.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex77.m1.3.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex77.m1.3.3.3.3.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex77.m1.3.3.3.3.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex77.m1.3.3.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex77.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex77.m1.3.3.3.3.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex77.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex77.m1.3.3.3.3.1.1.2.2">𝕋</ci><ci id="A1.Ex77.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex77.m1.3.3.3.3.1.1.2.3">𝑎</ci></apply><list id="A1.Ex77.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex77.m1.2.2.2.2.2.4"><ci id="A1.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1">𝑙</ci><ci id="A1.Ex77.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex77.m1.2.2.2.2.2.2">𝑇</ci></list></apply></apply><infinity id="A1.Ex77.m1.3.3.3.5.cmml" xref="A1.Ex77.m1.3.3.3.5"></infinity></apply></apply><apply id="A1.Ex77.m1.11.11.1.1.4.2.cmml" xref="A1.Ex77.m1.11.11.1.1.4.2"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex77.m1.11.11.1.1.4.2.1.cmml" xref="A1.Ex77.m1.11.11.1.1.4.2.1">infimum</csymbol><apply id="A1.Ex77.m1.10.10.cmml" xref="A1.Ex77.m1.10.10"><divide id="A1.Ex77.m1.10.10.8.cmml" xref="A1.Ex77.m1.10.10"></divide><apply id="A1.Ex77.m1.7.7.4.cmml" xref="A1.Ex77.m1.7.7.4"><apply id="A1.Ex77.m1.7.7.4.5.cmml" xref="A1.Ex77.m1.7.7.4.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex77.m1.7.7.4.5.1.cmml" xref="A1.Ex77.m1.7.7.4.5">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex77.m1.7.7.4.5.2.cmml" xref="A1.Ex77.m1.7.7.4.5.2"></sum><apply id="A1.Ex77.m1.5.5.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex77.m1.5.5.2.2.2"><in id="A1.Ex77.m1.5.5.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex77.m1.5.5.2.2.2.3"></in><ci id="A1.Ex77.m1.5.5.2.2.2.4.cmml" xref="A1.Ex77.m1.5.5.2.2.2.4">𝑡</ci><apply id="A1.Ex77.m1.5.5.2.2.2.5.cmml" xref="A1.Ex77.m1.5.5.2.2.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex77.m1.5.5.2.2.2.5.1.cmml" xref="A1.Ex77.m1.5.5.2.2.2.5">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex77.m1.5.5.2.2.2.5.2.cmml" xref="A1.Ex77.m1.5.5.2.2.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex77.m1.5.5.2.2.2.5.2.1.cmml" xref="A1.Ex77.m1.5.5.2.2.2.5">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex77.m1.5.5.2.2.2.5.2.2.cmml" xref="A1.Ex77.m1.5.5.2.2.2.5.2.2">𝕋</ci><ci id="A1.Ex77.m1.5.5.2.2.2.5.2.3.cmml" xref="A1.Ex77.m1.5.5.2.2.2.5.2.3">𝑎</ci></apply><list id="A1.Ex77.m1.5.5.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex77.m1.5.5.2.2.2.2.2.4"><ci id="A1.Ex77.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex77.m1.4.4.1.1.1.1.1.1">𝑙</ci><ci id="A1.Ex77.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex77.m1.5.5.2.2.2.2.2.2">𝑇</ci></list></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex77.m1.7.7.4.6.cmml" xref="A1.Ex77.m1.7.7.4.6"><times id="A1.Ex77.m1.7.7.4.6.1.cmml" xref="A1.Ex77.m1.7.7.4.6.1"></times><apply id="A1.Ex77.m1.7.7.4.6.2.cmml" xref="A1.Ex77.m1.7.7.4.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex77.m1.7.7.4.6.2.1.cmml" xref="A1.Ex77.m1.7.7.4.6.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex77.m1.7.7.4.6.2.2.cmml" xref="A1.Ex77.m1.7.7.4.6.2.2">𝑣</ci><ci id="A1.Ex77.m1.7.7.4.6.2.3.cmml" xref="A1.Ex77.m1.7.7.4.6.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="A1.Ex77.m1.6.6.3.3.cmml" xref="A1.Ex77.m1.6.6.3.3">𝑡</ci><apply id="A1.Ex77.m1.7.7.4.6.4.cmml" xref="A1.Ex77.m1.7.7.4.6.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex77.m1.7.7.4.6.4.1.cmml" xref="A1.Ex77.m1.7.7.4.6.4">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex77.m1.7.7.4.6.4.2.cmml" xref="A1.Ex77.m1.7.7.4.6.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex77.m1.7.7.4.6.4.2.1.cmml" xref="A1.Ex77.m1.7.7.4.6.4">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex77.m1.7.7.4.6.4.2.2.cmml" xref="A1.Ex77.m1.7.7.4.6.4.2.2">𝑣</ci><ci id="A1.Ex77.m1.7.7.4.6.4.2.3.cmml" xref="A1.Ex77.m1.7.7.4.6.4.2.3">𝑎</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex77.m1.7.7.4.6.4.3.cmml" xref="A1.Ex77.m1.7.7.4.6.4.3">top</csymbol></apply><ci id="A1.Ex77.m1.7.7.4.4.cmml" xref="A1.Ex77.m1.7.7.4.4">𝑡</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex77.m1.10.10.7.4.cmml" xref="A1.Ex77.m1.10.10.7.3"><abs id="A1.Ex77.m1.10.10.7.4.1.cmml" xref="A1.Ex77.m1.10.10.7.3.2"></abs><apply id="A1.Ex77.m1.10.10.7.3.1.cmml" xref="A1.Ex77.m1.10.10.7.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex77.m1.10.10.7.3.1.1.cmml" xref="A1.Ex77.m1.10.10.7.3.1">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex77.m1.10.10.7.3.1.2.cmml" xref="A1.Ex77.m1.10.10.7.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex77.m1.10.10.7.3.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex77.m1.10.10.7.3.1">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex77.m1.10.10.7.3.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex77.m1.10.10.7.3.1.2.2">𝕋</ci><ci id="A1.Ex77.m1.10.10.7.3.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex77.m1.10.10.7.3.1.2.3">𝑎</ci></apply><list id="A1.Ex77.m1.9.9.6.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex77.m1.9.9.6.2.2.4"><ci id="A1.Ex77.m1.8.8.5.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex77.m1.8.8.5.1.1.1">𝑙</ci><ci id="A1.Ex77.m1.9.9.6.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex77.m1.9.9.6.2.2.2">𝑇</ci></list></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex77.m1.11.11.1.1c.cmml" xref="A1.Ex77.m1.11.11.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex77.m1.11.11.1.1.5.cmml" xref="A1.Ex77.m1.11.11.1.1.5">succeeds</csymbol><share href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#A1.Ex77.m1.11.11.1.1.4.cmml" id="A1.Ex77.m1.11.11.1.1d.cmml" xref="A1.Ex77.m1.11.11.1"></share><cn id="A1.Ex77.m1.11.11.1.1.6.cmml" type="integer" xref="A1.Ex77.m1.11.11.1.1.6">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex77.m1.11c">\displaystyle\succcurlyeq\lim_{|\mathbb{T}^{a}_{l,T}|\rightarrow\infty}\inf% \frac{\sum_{t\in\mathbb{T}^{a}_{l,T}}v_{a}(t)v_{a}^{\top}(t)}{|\mathbb{T}^{a}_% {l,T}|}\succ 0.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex77.m1.11d">≽ roman_lim start_POSTSUBSCRIPT | blackboard_T start_POSTSUPERSCRIPT italic_a end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_l , italic_T end_POSTSUBSCRIPT | → ∞ end_POSTSUBSCRIPT roman_inf divide start_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t ∈ blackboard_T start_POSTSUPERSCRIPT italic_a end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_l , italic_T end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_ARG start_ARG | blackboard_T start_POSTSUPERSCRIPT italic_a end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_l , italic_T end_POSTSUBSCRIPT | end_ARG ≻ 0 .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.p8.5">Therefore, we can conclude that <math alttext="\lambda_{\textrm{min}}(W^{a}_{l,T})\rightarrow\infty" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p8.5.m1.3"><semantics id="A1.p8.5.m1.3a"><mrow id="A1.p8.5.m1.3.3" xref="A1.p8.5.m1.3.3.cmml"><mrow id="A1.p8.5.m1.3.3.1" xref="A1.p8.5.m1.3.3.1.cmml"><msub id="A1.p8.5.m1.3.3.1.3" xref="A1.p8.5.m1.3.3.1.3.cmml"><mi id="A1.p8.5.m1.3.3.1.3.2" xref="A1.p8.5.m1.3.3.1.3.2.cmml">λ</mi><mtext id="A1.p8.5.m1.3.3.1.3.3" xref="A1.p8.5.m1.3.3.1.3.3a.cmml">min</mtext></msub><mo id="A1.p8.5.m1.3.3.1.2" xref="A1.p8.5.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.p8.5.m1.3.3.1.1.1" xref="A1.p8.5.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.p8.5.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.p8.5.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="A1.p8.5.m1.3.3.1.1.1.1" xref="A1.p8.5.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.p8.5.m1.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="A1.p8.5.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">W</mi><mrow id="A1.p8.5.m1.2.2.2.4" xref="A1.p8.5.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.p8.5.m1.1.1.1.1" xref="A1.p8.5.m1.1.1.1.1.cmml">l</mi><mo id="A1.p8.5.m1.2.2.2.4.1" xref="A1.p8.5.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="A1.p8.5.m1.2.2.2.2" xref="A1.p8.5.m1.2.2.2.2.cmml">T</mi></mrow><mi id="A1.p8.5.m1.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="A1.p8.5.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml">a</mi></msubsup><mo id="A1.p8.5.m1.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.p8.5.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.p8.5.m1.3.3.2" stretchy="false" xref="A1.p8.5.m1.3.3.2.cmml">→</mo><mi id="A1.p8.5.m1.3.3.3" mathvariant="normal" xref="A1.p8.5.m1.3.3.3.cmml">∞</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p8.5.m1.3b"><apply id="A1.p8.5.m1.3.3.cmml" xref="A1.p8.5.m1.3.3"><ci id="A1.p8.5.m1.3.3.2.cmml" xref="A1.p8.5.m1.3.3.2">→</ci><apply id="A1.p8.5.m1.3.3.1.cmml" xref="A1.p8.5.m1.3.3.1"><times id="A1.p8.5.m1.3.3.1.2.cmml" xref="A1.p8.5.m1.3.3.1.2"></times><apply id="A1.p8.5.m1.3.3.1.3.cmml" xref="A1.p8.5.m1.3.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p8.5.m1.3.3.1.3.1.cmml" xref="A1.p8.5.m1.3.3.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.p8.5.m1.3.3.1.3.2.cmml" xref="A1.p8.5.m1.3.3.1.3.2">𝜆</ci><ci id="A1.p8.5.m1.3.3.1.3.3a.cmml" xref="A1.p8.5.m1.3.3.1.3.3"><mtext id="A1.p8.5.m1.3.3.1.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="A1.p8.5.m1.3.3.1.3.3">min</mtext></ci></apply><apply id="A1.p8.5.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A1.p8.5.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p8.5.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.p8.5.m1.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.p8.5.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.p8.5.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p8.5.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.p8.5.m1.3.3.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.p8.5.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.p8.5.m1.3.3.1.1.1.1.2.2">𝑊</ci><ci id="A1.p8.5.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.p8.5.m1.3.3.1.1.1.1.2.3">𝑎</ci></apply><list id="A1.p8.5.m1.2.2.2.3.cmml" xref="A1.p8.5.m1.2.2.2.4"><ci id="A1.p8.5.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.p8.5.m1.1.1.1.1">𝑙</ci><ci id="A1.p8.5.m1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.p8.5.m1.2.2.2.2">𝑇</ci></list></apply></apply><infinity id="A1.p8.5.m1.3.3.3.cmml" xref="A1.p8.5.m1.3.3.3"></infinity></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p8.5.m1.3c">\lambda_{\textrm{min}}(W^{a}_{l,T})\rightarrow\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p8.5.m1.3d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT min end_POSTSUBSCRIPT ( italic_W start_POSTSUPERSCRIPT italic_a end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_l , italic_T end_POSTSUBSCRIPT ) → ∞</annotation></semantics></math> a.s..</p> </div> <div class="ltx_para" id="A1.p9"> <p class="ltx_p" id="A1.p9.1">To prove (C2) we note that:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx31"> <tbody id="A1.Ex78"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\lambda_{\textrm{max}}(\textstyle\sum_{t\in\mathbb{T}^{a}_{l,T}}x% _{a}(t)x^{\top}_{a}(t))" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex78.m1.5"><semantics id="A1.Ex78.m1.5a"><mrow id="A1.Ex78.m1.5.5" xref="A1.Ex78.m1.5.5.cmml"><msub id="A1.Ex78.m1.5.5.3" xref="A1.Ex78.m1.5.5.3.cmml"><mi id="A1.Ex78.m1.5.5.3.2" xref="A1.Ex78.m1.5.5.3.2.cmml">λ</mi><mtext id="A1.Ex78.m1.5.5.3.3" xref="A1.Ex78.m1.5.5.3.3a.cmml">max</mtext></msub><mo id="A1.Ex78.m1.5.5.2" xref="A1.Ex78.m1.5.5.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex78.m1.5.5.1.1" xref="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1" xref="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.1" xref="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex78.m1.2.2.2" xref="A1.Ex78.m1.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex78.m1.2.2.2.4" xref="A1.Ex78.m1.2.2.2.4.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex78.m1.2.2.2.3" xref="A1.Ex78.m1.2.2.2.3.cmml">∈</mo><msubsup id="A1.Ex78.m1.2.2.2.5" xref="A1.Ex78.m1.2.2.2.5.cmml"><mi id="A1.Ex78.m1.2.2.2.5.2.2" xref="A1.Ex78.m1.2.2.2.5.2.2.cmml">𝕋</mi><mrow id="A1.Ex78.m1.2.2.2.2.2.4" xref="A1.Ex78.m1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex78.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex78.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex78.m1.2.2.2.2.2.4.1" xref="A1.Ex78.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex78.m1.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex78.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">T</mi></mrow><mi id="A1.Ex78.m1.2.2.2.5.2.3" xref="A1.Ex78.m1.2.2.2.5.2.3.cmml">a</mi></msubsup></mrow></msub><mrow id="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.2" xref="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.2.cmml"><msub id="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.2.2.2.cmml">x</mi><mi id="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.2.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.2.1" xref="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex78.m1.3.3" xref="A1.Ex78.m1.3.3.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.2.1a" xref="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.2.4" xref="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.2.4.2.2" xref="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.2.4.2.2.cmml">x</mi><mi id="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.2.4.3" xref="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.2.4.3.cmml">a</mi><mo id="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.2.4.2.3" xref="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.2.4.2.3.cmml">⊤</mo></msubsup><mo id="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.2.1b" xref="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.2.5.2" xref="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.2.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex78.m1.4.4" xref="A1.Ex78.m1.4.4.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.2.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex78.m1.5b"><apply id="A1.Ex78.m1.5.5.cmml" xref="A1.Ex78.m1.5.5"><times id="A1.Ex78.m1.5.5.2.cmml" xref="A1.Ex78.m1.5.5.2"></times><apply id="A1.Ex78.m1.5.5.3.cmml" xref="A1.Ex78.m1.5.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex78.m1.5.5.3.1.cmml" xref="A1.Ex78.m1.5.5.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex78.m1.5.5.3.2.cmml" xref="A1.Ex78.m1.5.5.3.2">𝜆</ci><ci id="A1.Ex78.m1.5.5.3.3a.cmml" xref="A1.Ex78.m1.5.5.3.3"><mtext id="A1.Ex78.m1.5.5.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="A1.Ex78.m1.5.5.3.3">max</mtext></ci></apply><apply id="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex78.m1.5.5.1.1"><apply id="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.1">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.1.2"></sum><apply id="A1.Ex78.m1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex78.m1.2.2.2"><in id="A1.Ex78.m1.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex78.m1.2.2.2.3"></in><ci id="A1.Ex78.m1.2.2.2.4.cmml" xref="A1.Ex78.m1.2.2.2.4">𝑡</ci><apply id="A1.Ex78.m1.2.2.2.5.cmml" xref="A1.Ex78.m1.2.2.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex78.m1.2.2.2.5.1.cmml" xref="A1.Ex78.m1.2.2.2.5">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex78.m1.2.2.2.5.2.cmml" xref="A1.Ex78.m1.2.2.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex78.m1.2.2.2.5.2.1.cmml" xref="A1.Ex78.m1.2.2.2.5">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex78.m1.2.2.2.5.2.2.cmml" xref="A1.Ex78.m1.2.2.2.5.2.2">𝕋</ci><ci id="A1.Ex78.m1.2.2.2.5.2.3.cmml" xref="A1.Ex78.m1.2.2.2.5.2.3">𝑎</ci></apply><list id="A1.Ex78.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex78.m1.2.2.2.2.2.4"><ci id="A1.Ex78.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex78.m1.1.1.1.1.1.1">𝑙</ci><ci id="A1.Ex78.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex78.m1.2.2.2.2.2.2">𝑇</ci></list></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.2"><times id="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.2.1"></times><apply id="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.2.2.2">𝑥</ci><ci id="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.2.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="A1.Ex78.m1.3.3.cmml" xref="A1.Ex78.m1.3.3">𝑡</ci><apply id="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.2.4.cmml" xref="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.2.4">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.2.4.2.1.cmml" xref="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.2.4">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.2.4.2.2.cmml" xref="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.2.4.2.2">𝑥</ci><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.2.4.2.3.cmml" xref="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.2.4.2.3">top</csymbol></apply><ci id="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.2.4.3.cmml" xref="A1.Ex78.m1.5.5.1.1.1.2.4.3">𝑎</ci></apply><ci id="A1.Ex78.m1.4.4.cmml" xref="A1.Ex78.m1.4.4">𝑡</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex78.m1.5c">\displaystyle\lambda_{\textrm{max}}(\textstyle\sum_{t\in\mathbb{T}^{a}_{l,T}}x% _{a}(t)x^{\top}_{a}(t))</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex78.m1.5d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT max end_POSTSUBSCRIPT ( ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t ∈ blackboard_T start_POSTSUPERSCRIPT italic_a end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_l , italic_T end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) italic_x start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq\textrm{tr}(\textstyle\sum_{t\in\mathbb{T}^{a}_{l,T}}x_{a}(t)% x^{\top}_{a}(t))" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex78.m2.5"><semantics id="A1.Ex78.m2.5a"><mrow id="A1.Ex78.m2.5.5" xref="A1.Ex78.m2.5.5.cmml"><mi id="A1.Ex78.m2.5.5.3" xref="A1.Ex78.m2.5.5.3.cmml"></mi><mo id="A1.Ex78.m2.5.5.2" xref="A1.Ex78.m2.5.5.2.cmml">≤</mo><mrow id="A1.Ex78.m2.5.5.1" xref="A1.Ex78.m2.5.5.1.cmml"><mtext id="A1.Ex78.m2.5.5.1.3" xref="A1.Ex78.m2.5.5.1.3a.cmml">tr</mtext><mo id="A1.Ex78.m2.5.5.1.2" xref="A1.Ex78.m2.5.5.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1" xref="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1" xref="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex78.m2.2.2.2" xref="A1.Ex78.m2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex78.m2.2.2.2.4" xref="A1.Ex78.m2.2.2.2.4.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex78.m2.2.2.2.3" xref="A1.Ex78.m2.2.2.2.3.cmml">∈</mo><msubsup id="A1.Ex78.m2.2.2.2.5" xref="A1.Ex78.m2.2.2.2.5.cmml"><mi id="A1.Ex78.m2.2.2.2.5.2.2" xref="A1.Ex78.m2.2.2.2.5.2.2.cmml">𝕋</mi><mrow id="A1.Ex78.m2.2.2.2.2.2.4" xref="A1.Ex78.m2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex78.m2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex78.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex78.m2.2.2.2.2.2.4.1" xref="A1.Ex78.m2.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex78.m2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex78.m2.2.2.2.2.2.2.cmml">T</mi></mrow><mi id="A1.Ex78.m2.2.2.2.5.2.3" xref="A1.Ex78.m2.2.2.2.5.2.3.cmml">a</mi></msubsup></mrow></msub><mrow id="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.2.cmml">x</mi><mi id="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.2.1" xref="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex78.m2.3.3" xref="A1.Ex78.m2.3.3.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.2.1a" xref="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.2.4" xref="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.2.4.2.2" xref="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.2.4.2.2.cmml">x</mi><mi id="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.2.4.3" xref="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.2.4.3.cmml">a</mi><mo id="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.2.4.2.3" xref="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.2.4.2.3.cmml">⊤</mo></msubsup><mo id="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.2.1b" xref="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.2.5.2" xref="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.2.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex78.m2.4.4" xref="A1.Ex78.m2.4.4.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.2.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex78.m2.5b"><apply id="A1.Ex78.m2.5.5.cmml" xref="A1.Ex78.m2.5.5"><leq id="A1.Ex78.m2.5.5.2.cmml" xref="A1.Ex78.m2.5.5.2"></leq><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex78.m2.5.5.3.cmml" xref="A1.Ex78.m2.5.5.3">absent</csymbol><apply id="A1.Ex78.m2.5.5.1.cmml" xref="A1.Ex78.m2.5.5.1"><times id="A1.Ex78.m2.5.5.1.2.cmml" xref="A1.Ex78.m2.5.5.1.2"></times><ci id="A1.Ex78.m2.5.5.1.3a.cmml" xref="A1.Ex78.m2.5.5.1.3"><mtext id="A1.Ex78.m2.5.5.1.3.cmml" xref="A1.Ex78.m2.5.5.1.3">tr</mtext></ci><apply id="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1"><apply id="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.1.2"></sum><apply id="A1.Ex78.m2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex78.m2.2.2.2"><in id="A1.Ex78.m2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex78.m2.2.2.2.3"></in><ci id="A1.Ex78.m2.2.2.2.4.cmml" xref="A1.Ex78.m2.2.2.2.4">𝑡</ci><apply id="A1.Ex78.m2.2.2.2.5.cmml" xref="A1.Ex78.m2.2.2.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex78.m2.2.2.2.5.1.cmml" xref="A1.Ex78.m2.2.2.2.5">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex78.m2.2.2.2.5.2.cmml" xref="A1.Ex78.m2.2.2.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex78.m2.2.2.2.5.2.1.cmml" xref="A1.Ex78.m2.2.2.2.5">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex78.m2.2.2.2.5.2.2.cmml" xref="A1.Ex78.m2.2.2.2.5.2.2">𝕋</ci><ci id="A1.Ex78.m2.2.2.2.5.2.3.cmml" xref="A1.Ex78.m2.2.2.2.5.2.3">𝑎</ci></apply><list id="A1.Ex78.m2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex78.m2.2.2.2.2.2.4"><ci id="A1.Ex78.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex78.m2.1.1.1.1.1.1">𝑙</ci><ci id="A1.Ex78.m2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex78.m2.2.2.2.2.2.2">𝑇</ci></list></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.2"><times id="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.2">𝑥</ci><ci id="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="A1.Ex78.m2.3.3.cmml" xref="A1.Ex78.m2.3.3">𝑡</ci><apply id="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.2.4">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.2.4.2.1.cmml" xref="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.2.4">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.2.4.2.2.cmml" xref="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.2.4.2.2">𝑥</ci><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.2.4.2.3.cmml" xref="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.2.4.2.3">top</csymbol></apply><ci id="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.2.4.3.cmml" xref="A1.Ex78.m2.5.5.1.1.1.1.2.4.3">𝑎</ci></apply><ci id="A1.Ex78.m2.4.4.cmml" xref="A1.Ex78.m2.4.4">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex78.m2.5c">\displaystyle\leq\textrm{tr}(\textstyle\sum_{t\in\mathbb{T}^{a}_{l,T}}x_{a}(t)% x^{\top}_{a}(t))</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex78.m2.5d">≤ tr ( ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t ∈ blackboard_T start_POSTSUPERSCRIPT italic_a end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_l , italic_T end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) italic_x start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex79"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq\sum_{i=1}^{T}\|x_{a}(t)\|^{2}=\mathcal{O}(N)," class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex79.m1.3"><semantics id="A1.Ex79.m1.3a"><mrow id="A1.Ex79.m1.3.3.1" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.3" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.3.cmml"></mi><mo id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.4" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.4.cmml">≤</mo><mrow id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.2" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"><munderover id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.2a" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><msup id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.1" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mi id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex79.m1.1.1" xref="A1.Ex79.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.5" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.6" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.6.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.6.2" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.6.2.cmml">𝒪</mi><mo id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.6.1" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.6.3.2" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.6.cmml"><mo id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.6.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.6.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex79.m1.2.2" xref="A1.Ex79.m1.2.2.cmml">N</mi><mo id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.6.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.6.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex79.m1.3.3.1.2" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex79.m1.3b"><apply id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.cmml" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1"><and id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1a.cmml" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1"></and><apply id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1b.cmml" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1"><leq id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.4"></leq><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.3">absent</csymbol><apply id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1"><apply id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.2.2.2"></sum><apply id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.2.2.3"><eq id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.2">𝑖</ci><cn id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑥</ci><ci id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="A1.Ex79.m1.1.1.cmml" xref="A1.Ex79.m1.1.1">𝑡</ci></apply></apply><cn id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1c.cmml" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1"><eq id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.5.cmml" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.cmml" id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1d.cmml" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1"></share><apply id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.6.cmml" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.6"><times id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.6.1.cmml" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.6.1"></times><ci id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.6.2.cmml" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.6.2">𝒪</ci><ci id="A1.Ex79.m1.2.2.cmml" xref="A1.Ex79.m1.2.2">𝑁</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex79.m1.3c">\displaystyle\leq\sum_{i=1}^{T}\|x_{a}(t)\|^{2}=\mathcal{O}(N),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex79.m1.3d">≤ ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ∥ italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT = caligraphic_O ( italic_N ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.p9.2">where the last equality follows in view of the stability, in average sense, of the NCS-RSM in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S2.E1" title="In 2.1 System model description ‣ 2 Mathematical formulation ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>). Then, one can readily obtain that</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="A1.EGx32"> <tbody id="A1.Ex80"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\lim_{T\rightarrow\infty}\frac{\log(\lambda_{\textrm{max}}(W^{a}_% {l,T}))}{\lambda_{\textrm{min}}(W^{a}_{l,T})}\leq\lim_{T\rightarrow\infty}% \frac{\log(T)}{|\mathbb{T}_{i,T}|}=\frac{\log(T)}{\mathcal{O}(T)}=0." class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex80.m1.16"><semantics id="A1.Ex80.m1.16a"><mrow id="A1.Ex80.m1.16.16.1" xref="A1.Ex80.m1.16.16.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex80.m1.16.16.1.1" xref="A1.Ex80.m1.16.16.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex80.m1.16.16.1.1.2" xref="A1.Ex80.m1.16.16.1.1.2.cmml"><munder id="A1.Ex80.m1.16.16.1.1.2.1" xref="A1.Ex80.m1.16.16.1.1.2.1.cmml"><mo id="A1.Ex80.m1.16.16.1.1.2.1.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex80.m1.16.16.1.1.2.1.2.cmml">lim</mo><mrow id="A1.Ex80.m1.16.16.1.1.2.1.3" xref="A1.Ex80.m1.16.16.1.1.2.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex80.m1.16.16.1.1.2.1.3.2" xref="A1.Ex80.m1.16.16.1.1.2.1.3.2.cmml">T</mi><mo id="A1.Ex80.m1.16.16.1.1.2.1.3.1" stretchy="false" xref="A1.Ex80.m1.16.16.1.1.2.1.3.1.cmml">→</mo><mi id="A1.Ex80.m1.16.16.1.1.2.1.3.3" mathvariant="normal" xref="A1.Ex80.m1.16.16.1.1.2.1.3.3.cmml">∞</mi></mrow></munder><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex80.m1.7.7" xref="A1.Ex80.m1.7.7.cmml"><mfrac id="A1.Ex80.m1.7.7a" xref="A1.Ex80.m1.7.7.cmml"><mrow id="A1.Ex80.m1.4.4.4.4" xref="A1.Ex80.m1.4.4.4.5.cmml"><mi id="A1.Ex80.m1.3.3.3.3" xref="A1.Ex80.m1.3.3.3.3.cmml">log</mi><mo id="A1.Ex80.m1.4.4.4.4a" xref="A1.Ex80.m1.4.4.4.5.cmml">⁡</mo><mrow id="A1.Ex80.m1.4.4.4.4.1" xref="A1.Ex80.m1.4.4.4.5.cmml"><mo id="A1.Ex80.m1.4.4.4.4.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex80.m1.4.4.4.5.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex80.m1.4.4.4.4.1.1" xref="A1.Ex80.m1.4.4.4.4.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex80.m1.4.4.4.4.1.1.3" xref="A1.Ex80.m1.4.4.4.4.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex80.m1.4.4.4.4.1.1.3.2" xref="A1.Ex80.m1.4.4.4.4.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mtext id="A1.Ex80.m1.4.4.4.4.1.1.3.3" xref="A1.Ex80.m1.4.4.4.4.1.1.3.3a.cmml">max</mtext></msub><mo id="A1.Ex80.m1.4.4.4.4.1.1.2" xref="A1.Ex80.m1.4.4.4.4.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex80.m1.4.4.4.4.1.1.1.1" xref="A1.Ex80.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex80.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex80.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="A1.Ex80.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex80.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex80.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex80.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2.2.cmml">W</mi><mrow id="A1.Ex80.m1.2.2.2.2.2.4" xref="A1.Ex80.m1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex80.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex80.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex80.m1.2.2.2.2.2.4.1" xref="A1.Ex80.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex80.m1.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex80.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">T</mi></mrow><mi id="A1.Ex80.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex80.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2.3.cmml">a</mi></msubsup><mo id="A1.Ex80.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex80.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex80.m1.4.4.4.4.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex80.m1.4.4.4.5.cmml">)</mo></mrow></mrow><mrow id="A1.Ex80.m1.7.7.7" xref="A1.Ex80.m1.7.7.7.cmml"><msub id="A1.Ex80.m1.7.7.7.5" xref="A1.Ex80.m1.7.7.7.5.cmml"><mi id="A1.Ex80.m1.7.7.7.5.2" xref="A1.Ex80.m1.7.7.7.5.2.cmml">λ</mi><mtext id="A1.Ex80.m1.7.7.7.5.3" xref="A1.Ex80.m1.7.7.7.5.3a.cmml">min</mtext></msub><mo id="A1.Ex80.m1.7.7.7.4" xref="A1.Ex80.m1.7.7.7.4.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex80.m1.7.7.7.3.1" xref="A1.Ex80.m1.7.7.7.3.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex80.m1.7.7.7.3.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex80.m1.7.7.7.3.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="A1.Ex80.m1.7.7.7.3.1.1" xref="A1.Ex80.m1.7.7.7.3.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex80.m1.7.7.7.3.1.1.2.2" xref="A1.Ex80.m1.7.7.7.3.1.1.2.2.cmml">W</mi><mrow id="A1.Ex80.m1.6.6.6.2.2.4" xref="A1.Ex80.m1.6.6.6.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex80.m1.5.5.5.1.1.1" xref="A1.Ex80.m1.5.5.5.1.1.1.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex80.m1.6.6.6.2.2.4.1" xref="A1.Ex80.m1.6.6.6.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex80.m1.6.6.6.2.2.2" xref="A1.Ex80.m1.6.6.6.2.2.2.cmml">T</mi></mrow><mi id="A1.Ex80.m1.7.7.7.3.1.1.2.3" xref="A1.Ex80.m1.7.7.7.3.1.1.2.3.cmml">a</mi></msubsup><mo id="A1.Ex80.m1.7.7.7.3.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex80.m1.7.7.7.3.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac></mstyle></mrow><mo id="A1.Ex80.m1.16.16.1.1.3" rspace="0.1389em" xref="A1.Ex80.m1.16.16.1.1.3.cmml">≤</mo><mrow id="A1.Ex80.m1.16.16.1.1.4" xref="A1.Ex80.m1.16.16.1.1.4.cmml"><munder id="A1.Ex80.m1.16.16.1.1.4.1" xref="A1.Ex80.m1.16.16.1.1.4.1.cmml"><mo id="A1.Ex80.m1.16.16.1.1.4.1.2" lspace="0.1389em" movablelimits="false" rspace="0.167em" xref="A1.Ex80.m1.16.16.1.1.4.1.2.cmml">lim</mo><mrow id="A1.Ex80.m1.16.16.1.1.4.1.3" xref="A1.Ex80.m1.16.16.1.1.4.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex80.m1.16.16.1.1.4.1.3.2" xref="A1.Ex80.m1.16.16.1.1.4.1.3.2.cmml">T</mi><mo id="A1.Ex80.m1.16.16.1.1.4.1.3.1" stretchy="false" xref="A1.Ex80.m1.16.16.1.1.4.1.3.1.cmml">→</mo><mi id="A1.Ex80.m1.16.16.1.1.4.1.3.3" mathvariant="normal" xref="A1.Ex80.m1.16.16.1.1.4.1.3.3.cmml">∞</mi></mrow></munder><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex80.m1.12.12" xref="A1.Ex80.m1.12.12.cmml"><mfrac id="A1.Ex80.m1.12.12a" xref="A1.Ex80.m1.12.12.cmml"><mrow id="A1.Ex80.m1.9.9.2.4" xref="A1.Ex80.m1.9.9.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex80.m1.8.8.1.1" xref="A1.Ex80.m1.8.8.1.1.cmml">log</mi><mo id="A1.Ex80.m1.9.9.2.4a" xref="A1.Ex80.m1.9.9.2.3.cmml">⁡</mo><mrow id="A1.Ex80.m1.9.9.2.4.1" xref="A1.Ex80.m1.9.9.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex80.m1.9.9.2.4.1.1" stretchy="false" xref="A1.Ex80.m1.9.9.2.3.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex80.m1.9.9.2.2" xref="A1.Ex80.m1.9.9.2.2.cmml">T</mi><mo id="A1.Ex80.m1.9.9.2.4.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex80.m1.9.9.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mrow id="A1.Ex80.m1.12.12.5.3" xref="A1.Ex80.m1.12.12.5.4.cmml"><mo id="A1.Ex80.m1.12.12.5.3.2" stretchy="false" xref="A1.Ex80.m1.12.12.5.4.1.cmml">|</mo><msub id="A1.Ex80.m1.12.12.5.3.1" xref="A1.Ex80.m1.12.12.5.3.1.cmml"><mi id="A1.Ex80.m1.12.12.5.3.1.2" xref="A1.Ex80.m1.12.12.5.3.1.2.cmml">𝕋</mi><mrow id="A1.Ex80.m1.11.11.4.2.2.4" xref="A1.Ex80.m1.11.11.4.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex80.m1.10.10.3.1.1.1" xref="A1.Ex80.m1.10.10.3.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="A1.Ex80.m1.11.11.4.2.2.4.1" xref="A1.Ex80.m1.11.11.4.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex80.m1.11.11.4.2.2.2" xref="A1.Ex80.m1.11.11.4.2.2.2.cmml">T</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex80.m1.12.12.5.3.3" stretchy="false" xref="A1.Ex80.m1.12.12.5.4.1.cmml">|</mo></mrow></mfrac></mstyle></mrow><mo id="A1.Ex80.m1.16.16.1.1.5" xref="A1.Ex80.m1.16.16.1.1.5.cmml">=</mo><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex80.m1.15.15" xref="A1.Ex80.m1.15.15.cmml"><mfrac id="A1.Ex80.m1.15.15a" xref="A1.Ex80.m1.15.15.cmml"><mrow id="A1.Ex80.m1.14.14.2.4" xref="A1.Ex80.m1.14.14.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex80.m1.13.13.1.1" xref="A1.Ex80.m1.13.13.1.1.cmml">log</mi><mo id="A1.Ex80.m1.14.14.2.4a" xref="A1.Ex80.m1.14.14.2.3.cmml">⁡</mo><mrow id="A1.Ex80.m1.14.14.2.4.1" xref="A1.Ex80.m1.14.14.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex80.m1.14.14.2.4.1.1" stretchy="false" xref="A1.Ex80.m1.14.14.2.3.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex80.m1.14.14.2.2" xref="A1.Ex80.m1.14.14.2.2.cmml">T</mi><mo id="A1.Ex80.m1.14.14.2.4.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex80.m1.14.14.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mrow id="A1.Ex80.m1.15.15.3" xref="A1.Ex80.m1.15.15.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.Ex80.m1.15.15.3.3" xref="A1.Ex80.m1.15.15.3.3.cmml">𝒪</mi><mo id="A1.Ex80.m1.15.15.3.2" xref="A1.Ex80.m1.15.15.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex80.m1.15.15.3.4.2" xref="A1.Ex80.m1.15.15.3.cmml"><mo id="A1.Ex80.m1.15.15.3.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex80.m1.15.15.3.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex80.m1.15.15.3.1" xref="A1.Ex80.m1.15.15.3.1.cmml">T</mi><mo id="A1.Ex80.m1.15.15.3.4.2.2" stretchy="false" 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id="A1.Ex80.m1.16.16.1.1.2.1.3.cmml" xref="A1.Ex80.m1.16.16.1.1.2.1.3"><ci id="A1.Ex80.m1.16.16.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex80.m1.16.16.1.1.2.1.3.1">→</ci><ci id="A1.Ex80.m1.16.16.1.1.2.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex80.m1.16.16.1.1.2.1.3.2">𝑇</ci><infinity id="A1.Ex80.m1.16.16.1.1.2.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex80.m1.16.16.1.1.2.1.3.3"></infinity></apply></apply><apply id="A1.Ex80.m1.7.7.cmml" xref="A1.Ex80.m1.7.7"><divide id="A1.Ex80.m1.7.7.8.cmml" xref="A1.Ex80.m1.7.7"></divide><apply id="A1.Ex80.m1.4.4.4.5.cmml" xref="A1.Ex80.m1.4.4.4.4"><log id="A1.Ex80.m1.3.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex80.m1.3.3.3.3"></log><apply id="A1.Ex80.m1.4.4.4.4.1.1.cmml" xref="A1.Ex80.m1.4.4.4.4.1.1"><times id="A1.Ex80.m1.4.4.4.4.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex80.m1.4.4.4.4.1.1.2"></times><apply id="A1.Ex80.m1.4.4.4.4.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex80.m1.4.4.4.4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex80.m1.4.4.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex80.m1.4.4.4.4.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex80.m1.4.4.4.4.1.1.3.2.cmml" 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xref="A1.Ex80.m1.10.10.3.1.1.1">𝑖</ci><ci id="A1.Ex80.m1.11.11.4.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex80.m1.11.11.4.2.2.2">𝑇</ci></list></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex80.m1.16.16.1.1c.cmml" xref="A1.Ex80.m1.16.16.1"><eq id="A1.Ex80.m1.16.16.1.1.5.cmml" xref="A1.Ex80.m1.16.16.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#A1.Ex80.m1.16.16.1.1.4.cmml" id="A1.Ex80.m1.16.16.1.1d.cmml" xref="A1.Ex80.m1.16.16.1"></share><apply id="A1.Ex80.m1.15.15.cmml" xref="A1.Ex80.m1.15.15"><divide id="A1.Ex80.m1.15.15.4.cmml" xref="A1.Ex80.m1.15.15"></divide><apply id="A1.Ex80.m1.14.14.2.3.cmml" xref="A1.Ex80.m1.14.14.2.4"><log id="A1.Ex80.m1.13.13.1.1.cmml" xref="A1.Ex80.m1.13.13.1.1"></log><ci id="A1.Ex80.m1.14.14.2.2.cmml" xref="A1.Ex80.m1.14.14.2.2">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex80.m1.15.15.3.cmml" xref="A1.Ex80.m1.15.15.3"><times id="A1.Ex80.m1.15.15.3.2.cmml" xref="A1.Ex80.m1.15.15.3.2"></times><ci id="A1.Ex80.m1.15.15.3.3.cmml" xref="A1.Ex80.m1.15.15.3.3">𝒪</ci><ci id="A1.Ex80.m1.15.15.3.1.cmml" xref="A1.Ex80.m1.15.15.3.1">𝑇</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex80.m1.16.16.1.1e.cmml" xref="A1.Ex80.m1.16.16.1"><eq id="A1.Ex80.m1.16.16.1.1.6.cmml" xref="A1.Ex80.m1.16.16.1.1.6"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#A1.Ex80.m1.15.15.cmml" id="A1.Ex80.m1.16.16.1.1f.cmml" xref="A1.Ex80.m1.16.16.1"></share><cn id="A1.Ex80.m1.16.16.1.1.7.cmml" type="integer" xref="A1.Ex80.m1.16.16.1.1.7">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex80.m1.16c">\displaystyle\lim_{T\rightarrow\infty}\frac{\log(\lambda_{\textrm{max}}(W^{a}_% {l,T}))}{\lambda_{\textrm{min}}(W^{a}_{l,T})}\leq\lim_{T\rightarrow\infty}% \frac{\log(T)}{|\mathbb{T}_{i,T}|}=\frac{\log(T)}{\mathcal{O}(T)}=0.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex80.m1.16d">roman_lim start_POSTSUBSCRIPT italic_T → ∞ end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG roman_log ( italic_λ start_POSTSUBSCRIPT max end_POSTSUBSCRIPT ( italic_W start_POSTSUPERSCRIPT italic_a end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_l , italic_T end_POSTSUBSCRIPT ) ) end_ARG start_ARG italic_λ start_POSTSUBSCRIPT min end_POSTSUBSCRIPT ( italic_W start_POSTSUPERSCRIPT italic_a end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_l , italic_T end_POSTSUBSCRIPT ) end_ARG ≤ roman_lim start_POSTSUBSCRIPT italic_T → ∞ end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG roman_log ( italic_T ) end_ARG start_ARG | blackboard_T start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_T end_POSTSUBSCRIPT | end_ARG = divide start_ARG roman_log ( italic_T ) end_ARG start_ARG caligraphic_O ( italic_T ) end_ARG = 0 .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="A1.p10"> <p class="ltx_p" id="A1.p10.1">We are now able to establish the convergence rate for the covariance matrices. Specifically, we will give the detailed proof for <math alttext="\hat{\Sigma}_{c}(j)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p10.1.m1.1"><semantics id="A1.p10.1.m1.1a"><mrow id="A1.p10.1.m1.1.2" xref="A1.p10.1.m1.1.2.cmml"><msub id="A1.p10.1.m1.1.2.2" xref="A1.p10.1.m1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.p10.1.m1.1.2.2.2" xref="A1.p10.1.m1.1.2.2.2.cmml"><mi id="A1.p10.1.m1.1.2.2.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.p10.1.m1.1.2.2.2.2.cmml">Σ</mi><mo id="A1.p10.1.m1.1.2.2.2.1" xref="A1.p10.1.m1.1.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.p10.1.m1.1.2.2.3" xref="A1.p10.1.m1.1.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="A1.p10.1.m1.1.2.1" xref="A1.p10.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.p10.1.m1.1.2.3.2" xref="A1.p10.1.m1.1.2.cmml"><mo id="A1.p10.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.p10.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.p10.1.m1.1.1" xref="A1.p10.1.m1.1.1.cmml">j</mi><mo id="A1.p10.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.p10.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p10.1.m1.1b"><apply id="A1.p10.1.m1.1.2.cmml" xref="A1.p10.1.m1.1.2"><times id="A1.p10.1.m1.1.2.1.cmml" xref="A1.p10.1.m1.1.2.1"></times><apply id="A1.p10.1.m1.1.2.2.cmml" xref="A1.p10.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p10.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.p10.1.m1.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="A1.p10.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.p10.1.m1.1.2.2.2"><ci id="A1.p10.1.m1.1.2.2.2.1.cmml" xref="A1.p10.1.m1.1.2.2.2.1">^</ci><ci id="A1.p10.1.m1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.p10.1.m1.1.2.2.2.2">Σ</ci></apply><ci id="A1.p10.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.p10.1.m1.1.2.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="A1.p10.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.p10.1.m1.1.1">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p10.1.m1.1c">\hat{\Sigma}_{c}(j)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p10.1.m1.1d">over^ start_ARG roman_Σ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_j )</annotation></semantics></math> only, since the remaining ones follow similarly.</p> </div> <div class="ltx_para" id="A1.p11"> <p class="ltx_p" id="A1.p11.1">From the NCA-ASM in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13973v1#S2.E1" title="In 2.1 System model description ‣ 2 Mathematical formulation ‣ Identification of non-causal systems with random switching modes—EXTENDED VERSION"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>), the true covariance matrix for <math alttext="v_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p11.1.m1.1"><semantics id="A1.p11.1.m1.1a"><msub id="A1.p11.1.m1.1.1" xref="A1.p11.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A1.p11.1.m1.1.1.2" xref="A1.p11.1.m1.1.1.2.cmml">v</mi><mi id="A1.p11.1.m1.1.1.3" xref="A1.p11.1.m1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p11.1.m1.1b"><apply id="A1.p11.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.p11.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p11.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.p11.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.p11.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.p11.1.m1.1.1.2">𝑣</ci><ci id="A1.p11.1.m1.1.1.3.cmml" xref="A1.p11.1.m1.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p11.1.m1.1c">v_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p11.1.m1.1d">italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> can be expressed as:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx33"> <tbody id="A1.Ex81"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\Sigma_{c}(j)=\frac{1}{|\mathbb{T}^{c}_{j,T}|}\sum_{t\in\mathbb{T% }^{c}_{j,T}}(x_{c}(t)-" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="A1.Ex81.m1.7"><semantics id="A1.Ex81.m1.7a"><mrow id="A1.Ex81.m1.7b"><msub id="A1.Ex81.m1.7.8"><mi id="A1.Ex81.m1.7.8.2" mathvariant="normal">Σ</mi><mi id="A1.Ex81.m1.7.8.3">c</mi></msub><mrow id="A1.Ex81.m1.7.9"><mo id="A1.Ex81.m1.7.9.1" stretchy="false">(</mo><mi id="A1.Ex81.m1.6.6">j</mi><mo id="A1.Ex81.m1.7.9.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex81.m1.7.10">=</mo><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex81.m1.3.3"><mfrac id="A1.Ex81.m1.3.3a"><mn id="A1.Ex81.m1.3.3.5">1</mn><mrow id="A1.Ex81.m1.3.3.3.3"><mo id="A1.Ex81.m1.3.3.3.3.2" stretchy="false">|</mo><msubsup id="A1.Ex81.m1.3.3.3.3.1"><mi id="A1.Ex81.m1.3.3.3.3.1.2.2">𝕋</mi><mrow id="A1.Ex81.m1.2.2.2.2.2.4"><mi id="A1.Ex81.m1.1.1.1.1.1.1">j</mi><mo id="A1.Ex81.m1.2.2.2.2.2.4.1">,</mo><mi id="A1.Ex81.m1.2.2.2.2.2.2">T</mi></mrow><mi id="A1.Ex81.m1.3.3.3.3.1.2.3">c</mi></msubsup><mo id="A1.Ex81.m1.3.3.3.3.3" stretchy="false">|</mo></mrow></mfrac></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex81.m1.7.11"><munder id="A1.Ex81.m1.7.11a"><mo id="A1.Ex81.m1.7.11.2" movablelimits="false">∑</mo><mrow id="A1.Ex81.m1.5.5.2"><mi id="A1.Ex81.m1.5.5.2.4">t</mi><mo id="A1.Ex81.m1.5.5.2.3">∈</mo><msubsup id="A1.Ex81.m1.5.5.2.5"><mi id="A1.Ex81.m1.5.5.2.5.2.2">𝕋</mi><mrow id="A1.Ex81.m1.5.5.2.2.2.4"><mi id="A1.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1">j</mi><mo id="A1.Ex81.m1.5.5.2.2.2.4.1">,</mo><mi id="A1.Ex81.m1.5.5.2.2.2.2">T</mi></mrow><mi id="A1.Ex81.m1.5.5.2.5.2.3">c</mi></msubsup></mrow></munder></mstyle><mrow id="A1.Ex81.m1.7.12"><mo id="A1.Ex81.m1.7.12.1" stretchy="false">(</mo><msub id="A1.Ex81.m1.7.12.2"><mi id="A1.Ex81.m1.7.12.2.2">x</mi><mi id="A1.Ex81.m1.7.12.2.3">c</mi></msub><mrow id="A1.Ex81.m1.7.12.3"><mo id="A1.Ex81.m1.7.12.3.1" stretchy="false">(</mo><mi id="A1.Ex81.m1.7.7">t</mi><mo id="A1.Ex81.m1.7.12.3.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex81.m1.7.12.4">−</mo></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex81.m1.7c">\displaystyle\Sigma_{c}(j)=\frac{1}{|\mathbb{T}^{c}_{j,T}|}\sum_{t\in\mathbb{T% }^{c}_{j,T}}(x_{c}(t)-</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex81.m1.7d">roman_Σ start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_j ) = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG | blackboard_T start_POSTSUPERSCRIPT italic_c end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_T end_POSTSUBSCRIPT | end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t ∈ blackboard_T start_POSTSUPERSCRIPT italic_c end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_T end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) -</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle A_{c}(j)x_{c}(t-1))" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="A1.Ex81.m2.1"><semantics id="A1.Ex81.m2.1a"><mrow id="A1.Ex81.m2.1b"><msub id="A1.Ex81.m2.1.2"><mi id="A1.Ex81.m2.1.2.2">A</mi><mi id="A1.Ex81.m2.1.2.3">c</mi></msub><mrow id="A1.Ex81.m2.1.3"><mo id="A1.Ex81.m2.1.3.1" stretchy="false">(</mo><mi id="A1.Ex81.m2.1.1">j</mi><mo id="A1.Ex81.m2.1.3.2" stretchy="false">)</mo></mrow><msub id="A1.Ex81.m2.1.4"><mi id="A1.Ex81.m2.1.4.2">x</mi><mi id="A1.Ex81.m2.1.4.3">c</mi></msub><mrow id="A1.Ex81.m2.1.5"><mo id="A1.Ex81.m2.1.5.1" stretchy="false">(</mo><mi id="A1.Ex81.m2.1.5.2">t</mi><mo id="A1.Ex81.m2.1.5.3">−</mo><mn id="A1.Ex81.m2.1.5.4">1</mn><mo id="A1.Ex81.m2.1.5.5" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex81.m2.1.6" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex81.m2.1c">\displaystyle A_{c}(j)x_{c}(t-1))</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex81.m2.1d">italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_j ) italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t - 1 ) )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex82"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle(x_{c}(t)-A_{c}(j)x_{c}(t-1))^{\top}." class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex82.m1.3"><semantics id="A1.Ex82.m1.3a"><mrow id="A1.Ex82.m1.3.3.1" xref="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.cmml"><msup id="A1.Ex82.m1.3.3.1.1" xref="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1" xref="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">x</mi><mi id="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex82.m1.1.1" xref="A1.Ex82.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">A</mi><mi id="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">c</mi></msub><mo id="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex82.m1.2.2" xref="A1.Ex82.m1.2.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.5" xref="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.5.2" xref="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml">x</mi><mi id="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.5.3" xref="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml">c</mi></msub><mo id="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2b" xref="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.3" xref="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.3.cmml">⊤</mo></msup><mo id="A1.Ex82.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex82.m1.3b"><apply id="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.cmml" xref="A1.Ex82.m1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex82.m1.3.3.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1"><minus id="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.2"></minus><apply id="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.3"><times id="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑥</ci><ci id="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="A1.Ex82.m1.1.1.cmml" xref="A1.Ex82.m1.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐴</ci><ci id="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑐</ci></apply><ci id="A1.Ex82.m1.2.2.cmml" xref="A1.Ex82.m1.2.2">𝑗</ci><apply id="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.5.2">𝑥</ci><ci id="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.5.3">𝑐</ci></apply><apply id="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><cn id="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex82.m1.3.3.1.1.3">top</csymbol></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex82.m1.3c">\displaystyle(x_{c}(t)-A_{c}(j)x_{c}(t-1))^{\top}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex82.m1.3d">( italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) - italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_j ) italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t - 1 ) ) start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.p11.4">Then, the estimation error can take the following form:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx34"> <tbody id="A1.Ex83"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\hat{\Sigma}_{c}(j)-\Sigma_{c}(j)=" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex83.m1.2"><semantics id="A1.Ex83.m1.2a"><mrow id="A1.Ex83.m1.2.3" xref="A1.Ex83.m1.2.3.cmml"><mrow id="A1.Ex83.m1.2.3.2" xref="A1.Ex83.m1.2.3.2.cmml"><mrow id="A1.Ex83.m1.2.3.2.2" xref="A1.Ex83.m1.2.3.2.2.cmml"><msub id="A1.Ex83.m1.2.3.2.2.2" xref="A1.Ex83.m1.2.3.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex83.m1.2.3.2.2.2.2" xref="A1.Ex83.m1.2.3.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex83.m1.2.3.2.2.2.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.Ex83.m1.2.3.2.2.2.2.2.cmml">Σ</mi><mo id="A1.Ex83.m1.2.3.2.2.2.2.1" xref="A1.Ex83.m1.2.3.2.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex83.m1.2.3.2.2.2.3" xref="A1.Ex83.m1.2.3.2.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="A1.Ex83.m1.2.3.2.2.1" xref="A1.Ex83.m1.2.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex83.m1.2.3.2.2.3.2" xref="A1.Ex83.m1.2.3.2.2.cmml"><mo id="A1.Ex83.m1.2.3.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex83.m1.2.3.2.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex83.m1.1.1" xref="A1.Ex83.m1.1.1.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex83.m1.2.3.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex83.m1.2.3.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex83.m1.2.3.2.1" xref="A1.Ex83.m1.2.3.2.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex83.m1.2.3.2.3" xref="A1.Ex83.m1.2.3.2.3.cmml"><msub id="A1.Ex83.m1.2.3.2.3.2" xref="A1.Ex83.m1.2.3.2.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex83.m1.2.3.2.3.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.Ex83.m1.2.3.2.3.2.2.cmml">Σ</mi><mi id="A1.Ex83.m1.2.3.2.3.2.3" xref="A1.Ex83.m1.2.3.2.3.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="A1.Ex83.m1.2.3.2.3.1" xref="A1.Ex83.m1.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex83.m1.2.3.2.3.3.2" xref="A1.Ex83.m1.2.3.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex83.m1.2.3.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex83.m1.2.3.2.3.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex83.m1.2.2" xref="A1.Ex83.m1.2.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex83.m1.2.3.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex83.m1.2.3.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex83.m1.2.3.1" xref="A1.Ex83.m1.2.3.1.cmml">=</mo><mi id="A1.Ex83.m1.2.3.3" xref="A1.Ex83.m1.2.3.3.cmml"></mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex83.m1.2b"><apply id="A1.Ex83.m1.2.3.cmml" xref="A1.Ex83.m1.2.3"><eq id="A1.Ex83.m1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex83.m1.2.3.1"></eq><apply id="A1.Ex83.m1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex83.m1.2.3.2"><minus id="A1.Ex83.m1.2.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex83.m1.2.3.2.1"></minus><apply id="A1.Ex83.m1.2.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex83.m1.2.3.2.2"><times id="A1.Ex83.m1.2.3.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex83.m1.2.3.2.2.1"></times><apply id="A1.Ex83.m1.2.3.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex83.m1.2.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex83.m1.2.3.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex83.m1.2.3.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex83.m1.2.3.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex83.m1.2.3.2.2.2.2"><ci id="A1.Ex83.m1.2.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex83.m1.2.3.2.2.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex83.m1.2.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex83.m1.2.3.2.2.2.2.2">Σ</ci></apply><ci id="A1.Ex83.m1.2.3.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex83.m1.2.3.2.2.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="A1.Ex83.m1.1.1.cmml" xref="A1.Ex83.m1.1.1">𝑗</ci></apply><apply id="A1.Ex83.m1.2.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex83.m1.2.3.2.3"><times id="A1.Ex83.m1.2.3.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex83.m1.2.3.2.3.1"></times><apply id="A1.Ex83.m1.2.3.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex83.m1.2.3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex83.m1.2.3.2.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex83.m1.2.3.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex83.m1.2.3.2.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex83.m1.2.3.2.3.2.2">Σ</ci><ci id="A1.Ex83.m1.2.3.2.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex83.m1.2.3.2.3.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="A1.Ex83.m1.2.2.cmml" xref="A1.Ex83.m1.2.2">𝑗</ci></apply></apply><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex83.m1.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex83.m1.2.3.3">absent</csymbol></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex83.m1.2c">\displaystyle\hat{\Sigma}_{c}(j)-\Sigma_{c}(j)=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex83.m1.2d">over^ start_ARG roman_Σ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_j ) - roman_Σ start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_j ) =</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\frac{1}{|\mathbb{T}^{c}_{j,T}|}\sum_{t\in\mathbb{T}^{c}_{j,T}}((% A_{c}(j)-\hat{A}_{c}(j))x_{c}(t-1))" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex83.m2.8"><semantics id="A1.Ex83.m2.8a"><mrow id="A1.Ex83.m2.8.8" xref="A1.Ex83.m2.8.8.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex83.m2.3.3" xref="A1.Ex83.m2.3.3.cmml"><mfrac id="A1.Ex83.m2.3.3a" xref="A1.Ex83.m2.3.3.cmml"><mn id="A1.Ex83.m2.3.3.5" xref="A1.Ex83.m2.3.3.5.cmml">1</mn><mrow id="A1.Ex83.m2.3.3.3.3" xref="A1.Ex83.m2.3.3.3.4.cmml"><mo id="A1.Ex83.m2.3.3.3.3.2" stretchy="false" xref="A1.Ex83.m2.3.3.3.4.1.cmml">|</mo><msubsup id="A1.Ex83.m2.3.3.3.3.1" xref="A1.Ex83.m2.3.3.3.3.1.cmml"><mi id="A1.Ex83.m2.3.3.3.3.1.2.2" xref="A1.Ex83.m2.3.3.3.3.1.2.2.cmml">𝕋</mi><mrow id="A1.Ex83.m2.2.2.2.2.2.4" xref="A1.Ex83.m2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex83.m2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex83.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex83.m2.2.2.2.2.2.4.1" xref="A1.Ex83.m2.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex83.m2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex83.m2.2.2.2.2.2.2.cmml">T</mi></mrow><mi id="A1.Ex83.m2.3.3.3.3.1.2.3" xref="A1.Ex83.m2.3.3.3.3.1.2.3.cmml">c</mi></msubsup><mo id="A1.Ex83.m2.3.3.3.3.3" stretchy="false" xref="A1.Ex83.m2.3.3.3.4.1.cmml">|</mo></mrow></mfrac></mstyle><mo id="A1.Ex83.m2.8.8.2" xref="A1.Ex83.m2.8.8.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex83.m2.8.8.1" xref="A1.Ex83.m2.8.8.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex83.m2.8.8.1.2" xref="A1.Ex83.m2.8.8.1.2.cmml"><munder id="A1.Ex83.m2.8.8.1.2a" xref="A1.Ex83.m2.8.8.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex83.m2.8.8.1.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex83.m2.8.8.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex83.m2.5.5.2" xref="A1.Ex83.m2.5.5.2.cmml"><mi 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1 end_ARG start_ARG | blackboard_T start_POSTSUPERSCRIPT italic_c end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_T end_POSTSUBSCRIPT | end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t ∈ blackboard_T start_POSTSUPERSCRIPT italic_c end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_T end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( ( italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_j ) - over^ start_ARG italic_A end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_j ) ) italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t - 1 ) )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex84"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\hskip 56.9055pt((A_{c}(j)-\hat{A}_{c}(j))x_{c}(t-1))^{\top}." class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex84.m1.3"><semantics id="A1.Ex84.m1.3a"><mrow id="A1.Ex84.m1.3.3.1" xref="A1.Ex84.m1.3.3.1.1.cmml"><msup id="A1.Ex84.m1.3.3.1.1" xref="A1.Ex84.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1" xref="A1.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="A1.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">A</mi><mi 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xref="A1.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1"><minus id="A1.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1"></minus><ci id="A1.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1.1.2">𝑡</ci><cn id="A1.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex84.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3">1</cn></apply></apply><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex84.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex84.m1.3.3.1.1.3">top</csymbol></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex84.m1.3c">\displaystyle\hskip 56.9055pt((A_{c}(j)-\hat{A}_{c}(j))x_{c}(t-1))^{\top}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex84.m1.3d">( ( italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_j ) - over^ start_ARG italic_A end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_j ) ) italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t - 1 ) ) start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.p11.2">Therefore, the convergence rate for <math alttext="\hat{\Sigma}_{c}(j)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p11.2.m1.1"><semantics id="A1.p11.2.m1.1a"><mrow id="A1.p11.2.m1.1.2" xref="A1.p11.2.m1.1.2.cmml"><msub id="A1.p11.2.m1.1.2.2" xref="A1.p11.2.m1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.p11.2.m1.1.2.2.2" xref="A1.p11.2.m1.1.2.2.2.cmml"><mi id="A1.p11.2.m1.1.2.2.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.p11.2.m1.1.2.2.2.2.cmml">Σ</mi><mo id="A1.p11.2.m1.1.2.2.2.1" xref="A1.p11.2.m1.1.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.p11.2.m1.1.2.2.3" xref="A1.p11.2.m1.1.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="A1.p11.2.m1.1.2.1" xref="A1.p11.2.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.p11.2.m1.1.2.3.2" xref="A1.p11.2.m1.1.2.cmml"><mo id="A1.p11.2.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.p11.2.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.p11.2.m1.1.1" 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id="A1.p11.2.m1.1d">over^ start_ARG roman_Σ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_j )</annotation></semantics></math> reads as:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx35"> <tbody id="A1.Ex85"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\|\hat{\Sigma}_{c}(j)-\Sigma_{c}(j)\|_{\infty}\leq" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex85.m1.3"><semantics id="A1.Ex85.m1.3a"><mrow id="A1.Ex85.m1.3.3" xref="A1.Ex85.m1.3.3.cmml"><msub id="A1.Ex85.m1.3.3.1" xref="A1.Ex85.m1.3.3.1.cmml"><mrow id="A1.Ex85.m1.3.3.1.1.1" xref="A1.Ex85.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex85.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex85.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.Ex85.m1.3.3.1.1.1.1" xref="A1.Ex85.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex85.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex85.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><msub 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cd="ambiguous" id="A1.Ex85.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex85.m1.3.3.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex85.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex85.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2"><ci id="A1.Ex85.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex85.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex85.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex85.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.2">Σ</ci></apply><ci id="A1.Ex85.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex85.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="A1.Ex85.m1.1.1.cmml" xref="A1.Ex85.m1.1.1">𝑗</ci></apply><apply id="A1.Ex85.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex85.m1.3.3.1.1.1.1.3"><times id="A1.Ex85.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex85.m1.3.3.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="A1.Ex85.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex85.m1.3.3.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex85.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex85.m1.3.3.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex85.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex85.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2">Σ</ci><ci 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display="inline" id="A1.Ex85.m2.7"><semantics id="A1.Ex85.m2.7a"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex85.m2.7.7" xref="A1.Ex85.m2.7.7.cmml"><mfrac id="A1.Ex85.m2.7.7a" xref="A1.Ex85.m2.7.7.cmml"><mrow id="A1.Ex85.m2.4.4.4" xref="A1.Ex85.m2.4.4.4.cmml"><msub id="A1.Ex85.m2.4.4.4.5" xref="A1.Ex85.m2.4.4.4.5.cmml"><mo id="A1.Ex85.m2.4.4.4.5.2" xref="A1.Ex85.m2.4.4.4.5.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex85.m2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex85.m2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex85.m2.2.2.2.2.2.4" xref="A1.Ex85.m2.2.2.2.2.2.4.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex85.m2.2.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex85.m2.2.2.2.2.2.3.cmml">∈</mo><msubsup id="A1.Ex85.m2.2.2.2.2.2.5" xref="A1.Ex85.m2.2.2.2.2.2.5.cmml"><mi id="A1.Ex85.m2.2.2.2.2.2.5.2.2" xref="A1.Ex85.m2.2.2.2.2.2.5.2.2.cmml">𝕋</mi><mrow id="A1.Ex85.m2.2.2.2.2.2.2.2.4" xref="A1.Ex85.m2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex85.m2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex85.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex85.m2.2.2.2.2.2.2.2.4.1" xref="A1.Ex85.m2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex85.m2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex85.m2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">T</mi></mrow><mi id="A1.Ex85.m2.2.2.2.2.2.5.2.3" xref="A1.Ex85.m2.2.2.2.2.2.5.2.3.cmml">c</mi></msubsup></mrow></msub><mrow id="A1.Ex85.m2.4.4.4.4" xref="A1.Ex85.m2.4.4.4.4.cmml"><msub id="A1.Ex85.m2.4.4.4.4.4" xref="A1.Ex85.m2.4.4.4.4.4.cmml"><mi id="A1.Ex85.m2.4.4.4.4.4.2" xref="A1.Ex85.m2.4.4.4.4.4.2.cmml">x</mi><mi id="A1.Ex85.m2.4.4.4.4.4.3" xref="A1.Ex85.m2.4.4.4.4.4.3.cmml">c</mi></msub><mo id="A1.Ex85.m2.4.4.4.4.3" xref="A1.Ex85.m2.4.4.4.4.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex85.m2.3.3.3.3.1.1" xref="A1.Ex85.m2.3.3.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex85.m2.3.3.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex85.m2.3.3.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex85.m2.3.3.3.3.1.1.1" xref="A1.Ex85.m2.3.3.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex85.m2.3.3.3.3.1.1.1.2" xref="A1.Ex85.m2.3.3.3.3.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex85.m2.3.3.3.3.1.1.1.1" xref="A1.Ex85.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="A1.Ex85.m2.3.3.3.3.1.1.1.3" xref="A1.Ex85.m2.3.3.3.3.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="A1.Ex85.m2.3.3.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex85.m2.3.3.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex85.m2.4.4.4.4.3a" xref="A1.Ex85.m2.4.4.4.4.3.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex85.m2.4.4.4.4.5" xref="A1.Ex85.m2.4.4.4.4.5.cmml"><mi id="A1.Ex85.m2.4.4.4.4.5.2" xref="A1.Ex85.m2.4.4.4.4.5.2.cmml">x</mi><mi id="A1.Ex85.m2.4.4.4.4.5.3" xref="A1.Ex85.m2.4.4.4.4.5.3.cmml">c</mi></msub><mo id="A1.Ex85.m2.4.4.4.4.3b" xref="A1.Ex85.m2.4.4.4.4.3.cmml">⁢</mo><msup id="A1.Ex85.m2.4.4.4.4.2" xref="A1.Ex85.m2.4.4.4.4.2.cmml"><mrow id="A1.Ex85.m2.4.4.4.4.2.1.1" xref="A1.Ex85.m2.4.4.4.4.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex85.m2.4.4.4.4.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex85.m2.4.4.4.4.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex85.m2.4.4.4.4.2.1.1.1" xref="A1.Ex85.m2.4.4.4.4.2.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex85.m2.4.4.4.4.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex85.m2.4.4.4.4.2.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex85.m2.4.4.4.4.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex85.m2.4.4.4.4.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn 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end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_j ) ) start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT ∞ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex87"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq\mathcal{O}\left(\frac{\log(T)}{T}\right)," class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex87.m1.3"><semantics id="A1.Ex87.m1.3a"><mrow id="A1.Ex87.m1.3.3.1" xref="A1.Ex87.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex87.m1.3.3.1.1" xref="A1.Ex87.m1.3.3.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex87.m1.3.3.1.1.2" xref="A1.Ex87.m1.3.3.1.1.2.cmml"></mi><mo id="A1.Ex87.m1.3.3.1.1.1" xref="A1.Ex87.m1.3.3.1.1.1.cmml">≤</mo><mrow id="A1.Ex87.m1.3.3.1.1.3" xref="A1.Ex87.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.Ex87.m1.3.3.1.1.3.2" xref="A1.Ex87.m1.3.3.1.1.3.2.cmml">𝒪</mi><mo id="A1.Ex87.m1.3.3.1.1.3.1" xref="A1.Ex87.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex87.m1.3.3.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex87.m1.2.2.cmml"><mo id="A1.Ex87.m1.3.3.1.1.3.3.2.1" xref="A1.Ex87.m1.2.2.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex87.m1.2.2" xref="A1.Ex87.m1.2.2.cmml"><mfrac id="A1.Ex87.m1.2.2a" xref="A1.Ex87.m1.2.2.cmml"><mrow id="A1.Ex87.m1.2.2.2.4" xref="A1.Ex87.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex87.m1.1.1.1.1" xref="A1.Ex87.m1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="A1.Ex87.m1.2.2.2.4a" xref="A1.Ex87.m1.2.2.2.3.cmml">⁡</mo><mrow id="A1.Ex87.m1.2.2.2.4.1" xref="A1.Ex87.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex87.m1.2.2.2.4.1.1" stretchy="false" xref="A1.Ex87.m1.2.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex87.m1.2.2.2.2" xref="A1.Ex87.m1.2.2.2.2.cmml">T</mi><mo id="A1.Ex87.m1.2.2.2.4.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex87.m1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mi id="A1.Ex87.m1.2.2.4" xref="A1.Ex87.m1.2.2.4.cmml">T</mi></mfrac></mstyle><mo id="A1.Ex87.m1.3.3.1.1.3.3.2.2" xref="A1.Ex87.m1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex87.m1.3.3.1.2" xref="A1.Ex87.m1.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex87.m1.3b"><apply id="A1.Ex87.m1.3.3.1.1.cmml" xref="A1.Ex87.m1.3.3.1"><leq id="A1.Ex87.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex87.m1.3.3.1.1.1"></leq><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex87.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex87.m1.3.3.1.1.2">absent</csymbol><apply id="A1.Ex87.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex87.m1.3.3.1.1.3"><times id="A1.Ex87.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex87.m1.3.3.1.1.3.1"></times><ci id="A1.Ex87.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex87.m1.3.3.1.1.3.2">𝒪</ci><apply id="A1.Ex87.m1.2.2.cmml" xref="A1.Ex87.m1.3.3.1.1.3.3.2"><divide id="A1.Ex87.m1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex87.m1.3.3.1.1.3.3.2"></divide><apply id="A1.Ex87.m1.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex87.m1.2.2.2.4"><log id="A1.Ex87.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex87.m1.1.1.1.1"></log><ci id="A1.Ex87.m1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex87.m1.2.2.2.2">𝑇</ci></apply><ci id="A1.Ex87.m1.2.2.4.cmml" xref="A1.Ex87.m1.2.2.4">𝑇</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex87.m1.3c">\displaystyle\leq\mathcal{O}\left(\frac{\log(T)}{T}\right),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex87.m1.3d">≤ caligraphic_O ( divide start_ARG roman_log ( italic_T ) end_ARG start_ARG italic_T end_ARG ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_left_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.p11.3">which completes the proof. <math alttext="\blacksquare" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p11.3.m1.1"><semantics id="A1.p11.3.m1.1a"><mi id="A1.p11.3.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="A1.p11.3.m1.1.1.cmml">■</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p11.3.m1.1b"><ci id="A1.p11.3.m1.1.1.cmml" xref="A1.p11.3.m1.1.1">■</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" 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