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id="toc-Voci_correlate-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Altri_progetti" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Altri_progetti"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8</span> <span>Altri progetti</span> </div> </a> <ul id="toc-Altri_progetti-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Collegamenti_esterni" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Collegamenti_esterni"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9</span> <span>Collegamenti esterni</span> </div> </a> <ul id="toc-Collegamenti_esterni-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Indice" class="vector-toc-landmark"> <div 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title="Дахин нормчилол - mongolo" lang="mn" hreflang="mn" data-title="Дахин нормчилол" data-language-autonym="Монгол" data-language-local-name="mongolo" class="interlanguage-link-target"><span>Монгол</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Renormalisatie" title="Renormalisatie - olandese" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Renormalisatie" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="olandese" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pa mw-list-item"><a href="https://pa.wikipedia.org/wiki/%E0%A8%AA%E0%A9%81%E0%A8%A8%E0%A8%B0-%E0%A8%AE%E0%A8%BE%E0%A8%A8%E0%A8%95%E0%A9%80%E0%A8%95%E0%A8%B0%E0%A8%A8" title="ਪੁਨਰ-ਮਾਨਕੀਕਰਨ - punjabi" lang="pa" hreflang="pa" data-title="ਪੁਨਰ-ਮਾਨਕੀਕਰਨ" data-language-autonym="ਪੰਜਾਬੀ" data-language-local-name="punjabi" class="interlanguage-link-target"><span>ਪੰਜਾਬੀ</span></a></li><li class="interlanguage-link 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<div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Strumenti pagine"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Aspetto"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Aspetto</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">sposta nella barra laterale</button> <button 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campi">teoria quantistica dei campi</a>, nella <a href="/wiki/Meccanica_statistica" title="Meccanica statistica">meccanica statistica</a> e nella <a href="/wiki/Frattale" title="Frattale">teoria delle strutture geometriche auto-similari</a>. </p><p>Quando si descrivono lo <a href="/wiki/Spazio_(fisica)" title="Spazio (fisica)">spazio</a> e il <a href="/wiki/Tempo" title="Tempo">tempo</a> come entità <a href="/wiki/Continuo" title="Continuo">continue</a>, la costruzione di certe teorie <a href="/wiki/Meccanica_quantistica" title="Meccanica quantistica">quantistiche</a> e <a href="/wiki/Statistica" title="Statistica">statistiche</a> risulta mal definita. Per trattarle correttamente è necessario definire con attenzione un opportuno limite continuo. In questo limite esistono delle relazioni non banali fra i parametri che descrivono la teoria a grandi scale e distanze rispetto a quelli che descrivono l'andamento della stessa teoria a piccole distanze. </p><p>La rinormalizzazione fu sviluppata per la prima volta per rimuovere gli infiniti che emergono negli <a href="/wiki/Integrale" title="Integrale">integrali</a> dello sviluppo <a href="/wiki/Teoria_perturbativa" class="mw-redirect" title="Teoria perturbativa">perturbativo</a> nell'<a href="/wiki/Elettrodinamica_quantistica" title="Elettrodinamica quantistica">elettrodinamica quantistica</a>. Inizialmente vista come una procedura sospetta perfino da alcuni dei suoi ideatori, oggi è considerata uno strumento autonomo e coerente in molti ambiti della <a href="/wiki/Fisica" title="Fisica">fisica</a> e della <a href="/wiki/Matematica" title="Matematica">matematica</a>. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Rinormalizzazione_nelle_teorie_di_campo_quantistiche">Rinormalizzazione nelle teorie di campo quantistiche</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Rinormalizzazione&veaction=edit&section=1" title="Modifica la sezione Rinormalizzazione nelle teorie di campo quantistiche" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Rinormalizzazione&action=edit&section=1" title="Edit section's source code: Rinormalizzazione nelle teorie di campo quantistiche"><span>modifica wikitesto</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Nelle teorie di campo quantistiche la rinormalizzazione permette di stabilire le relazioni che vi sono fra i risultati delle misure effettuate a differenti scale di lunghezze o equivalentemente di energie. </p><p>Nella <a href="/wiki/Teoria_perturbativa" class="mw-redirect" title="Teoria perturbativa">teoria delle perturbazioni</a> delle teorie di campo quantistiche, la rinormalizzazione si basa sulla ridefinizione delle <a href="/wiki/Costanti_di_accoppiamento" title="Costanti di accoppiamento">costanti di accoppiamento</a> e eventualmente anche dei <a href="/wiki/Campo_(matematica)" title="Campo (matematica)">campi</a> in modo da rimuovere le divergenze almeno in una determinata scala di energia considerata. </p><p>Le divergenze da eliminare sono contenute negli integrali associati ai <a href="/wiki/Diagramma_di_Feynman" title="Diagramma di Feynman">diagrammi di Feynman</a>. Questi sono spesso divergenti nel limite ultravioletto, nel limite cioè in cui si includono gli impulsi integrati che tendono a infinito. Le divergenze vengono prima classificate ed eliminate "brutalmente" mediante una esplicita procedura di <a href="/wiki/Regolarizzazione_(fisica)" title="Regolarizzazione (fisica)">regolarizzazione</a>: si procede cioè a una riformulazione matematica, spesso non fisica, della teoria in modo da rendere gli integrali, e quindi le quantità fisiche osservabili, non divergenti. La rinormalizzazione, quindi, consiste nel <i>preciso</i> modo di rimuovere la regolarizzazione introdotta e tornare alla teoria originaria (<i>limite al continuo</i>) avendo cura di mantenere finiti i valori delle quantità fisiche osservabili. </p><p>Una procedura comune di regolarizzazione è quella dell'introduzione di un valore di taglio, o "<a href="/wiki/Cutoff_(fisica)" title="Cutoff (fisica)">cutoff</a>", nei momenti integrati. Si tratta di escludere gli impulsi elevati dagli integrali mediante un estremo di integrazione superiore (il cutoff, appunto) introdotto artificialmente e arbitrariamente. Le divergenze dell'integrale appaiono quindi come potenze o logaritmi del cutoff e possono essere rimosse ridefinendo ("rinormalizzando") i campi e le costanti d'accoppiamento in maniera che dipendano dal valore del cutoff <i>precisamente</i>, in modo da mantenere finiti i valori delle quantità fisiche osservabili. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="L'origine_di_quantità_infinite"><span id="L.27origine_di_quantit.C3.A0_infinite"></span>L'origine di quantità infinite</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Rinormalizzazione&veaction=edit&section=2" title="Modifica la sezione L'origine di quantità infinite" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Rinormalizzazione&action=edit&section=2" title="Edit section's source code: L'origine di quantità infinite"><span>modifica wikitesto</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>La presenza di infiniti nei calcoli delle quantità nelle teorie quantistiche è legata strettamente alle caratteristiche delle mutue interazioni fra le particelle e i campi. Ad esempio, anche in meccanica classica, la massa totale <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m_{t}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{t}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15cd7daffb06c3fa7898e10fe16953895cb3a369" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.866ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle m_{t}}"></span> di una particella, carica, di raggio <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{e}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>e</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{e}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c652979f43cb2855b9a028560d7e228aa2f9bb1d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.047ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle r_{e}}"></span> e di massa a riposo <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{0}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a6ff51ee949104fe6fae553cfbdfba29d5fac1e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.095ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle m_{0}}"></span> dovrebbe includere anche l'energia del campo elettrostatico da essa stessa generato: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m_{t}=m_{0}+\int {1 \over 2}E^{2}\,dV=m_{0}+\int _{r_{e}}^{\infty }{\frac {1}{2}}\left({q \over 4\pi r^{2}}\right)^{2}4\pi r^{2}\,dr=m_{0}+{q^{2} \over 8\pi r_{e}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>E</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>e</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>q</mi> <mrow> <mn>4</mn> <mi>π</mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>4</mn> <mi>π</mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>r</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mn>8</mn> <mi>π</mi> <msub> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>e</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{t}=m_{0}+\int {1 \over 2}E^{2}\,dV=m_{0}+\int _{r_{e}}^{\infty }{\frac {1}{2}}\left({q \over 4\pi r^{2}}\right)^{2}4\pi r^{2}\,dr=m_{0}+{q^{2} \over 8\pi r_{e}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d758d423f6b409812cc246572afd5be73798bfa5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:70.045ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle m_{t}=m_{0}+\int {1 \over 2}E^{2}\,dV=m_{0}+\int _{r_{e}}^{\infty }{\frac {1}{2}}\left({q \over 4\pi r^{2}}\right)^{2}4\pi r^{2}\,dr=m_{0}+{q^{2} \over 8\pi r_{e}}}"></span></dd></dl> <p>Se si considera tuttavia una particella puntiforme, come ad esempio un elettrone, allora <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{e}\rightarrow 0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">→</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{e}\rightarrow 0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e26936e038efd5340d73732e5364be00b6ea4f4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.824ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle r_{e}\rightarrow 0}"></span> e la massa totale <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m_{t}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{t}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15cd7daffb06c3fa7898e10fe16953895cb3a369" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.866ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle m_{t}}"></span> risulta irrimediabilmente infinita. Questo risultato paradossale può essere interpretato come il problema della definizione dell'interazione fra il campo elettromagnetico e l'elettrone, quest'ultimo essendo carico genera un campo elettrico ma allo stesso tempo risulta a sua volta influenzato da questo. Tuttavia è possibile considerare che soltanto la massa totale <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m_{t}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{t}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15cd7daffb06c3fa7898e10fe16953895cb3a369" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.866ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle m_{t}}"></span> è accessibile agli esperimenti e chiaramente finita, mentre nulla fissa il valore della massa <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{0}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a6ff51ee949104fe6fae553cfbdfba29d5fac1e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.095ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle m_{0}}"></span> dell'elettrone preso singolarmente senza il suo campo. In altri termini, è impossibile sperimentalmente e fisicamente separare un elettrone e isolarlo dal campo elettromagnetico che esso stesso genera. Il valore di <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{0}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a6ff51ee949104fe6fae553cfbdfba29d5fac1e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.095ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle m_{0}}"></span> risulta quindi libero da ogni vincolo e per risolvere il paradosso si potrebbe fissarlo a un valore infinitamente negativo tale da bilanciare l'infinita energia positiva del campo elettrostatico. La formalizzazione completa di questa procedura guidò la nascita della rinormalizzazione. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Regolarizzazione">Regolarizzazione</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Rinormalizzazione&veaction=edit&section=3" title="Modifica la sezione Regolarizzazione" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Rinormalizzazione&action=edit&section=3" title="Edit section's source code: Regolarizzazione"><span>modifica wikitesto</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r130657691">body:not(.skin-minerva) .mw-parser-output .vedi-anche{font-size:95%}</style><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r139142988">.mw-parser-output .hatnote-content{align-items:center;display:flex}.mw-parser-output .hatnote-icon{flex-shrink:0}.mw-parser-output .hatnote-icon img{display:flex}.mw-parser-output .hatnote-text{font-style:italic}body:not(.skin-minerva) .mw-parser-output .hatnote{border:1px solid #CCC;display:flex;margin:.5em 0;padding:.2em .5em}body:not(.skin-minerva) .mw-parser-output .hatnote-text{padding-left:.5em}body.skin-minerva .mw-parser-output .hatnote-icon{padding-right:8px}body.skin-minerva .mw-parser-output .hatnote-icon img{height:auto;width:16px}body.skin--responsive .mw-parser-output .hatnote a.new{color:#d73333}body.skin--responsive .mw-parser-output .hatnote a.new:visited{color:#a55858}</style> <div class="hatnote noprint vedi-anche"> <div class="hatnote-content"><span class="noviewer hatnote-icon" typeof="mw:File"><span><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/Magnifying_glass_icon_mgx2.svg/18px-Magnifying_glass_icon_mgx2.svg.png" decoding="async" width="18" height="18" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/Magnifying_glass_icon_mgx2.svg/27px-Magnifying_glass_icon_mgx2.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/Magnifying_glass_icon_mgx2.svg/36px-Magnifying_glass_icon_mgx2.svg.png 2x" data-file-width="286" data-file-height="280" /></span></span> <span class="hatnote-text">Lo stesso argomento in dettaglio: <b><a href="/wiki/Regolarizzazione_(fisica)" title="Regolarizzazione (fisica)">Regolarizzazione (fisica)</a></b>.</span></div> </div> <p>Il primo passo per affrontare gli integrali divergenti e i relativi infiniti che sorgono nel calcolo delle sezioni d'urto e di altre quantità fisiche consiste nella procedura di regolarizzazione. Con questa procedura si introducono artificialmente nuovi parametri nella teoria, i regolarizzatori, che hanno l'effetto di rendere finiti gli integrali della teoria. Alla fine della procedura di rinormalizzazione questi parametri non fisici devono essere rimossi opportunamente. Per esempio, l'integrale: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int _{0}^{a}{\frac {1}{z}}dz-\int _{0}^{b}{\frac {1}{z}}dz=\ln a-\ln b+\ln 0-\ln 0=\ln a-\ln b+\infty -\infty }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>z</mi> </mfrac> </mrow> <mi>d</mi> <mi>z</mi> <mo>−</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>z</mi> </mfrac> </mrow> <mi>d</mi> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mi>a</mi> <mo>−</mo> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mi>b</mi> <mo>+</mo> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mn>0</mn> <mo>−</mo> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mn>0</mn> <mo>=</mo> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mi>a</mi> <mo>−</mo> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mi>b</mi> <mo>+</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> <mo>−</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{0}^{a}{\frac {1}{z}}dz-\int _{0}^{b}{\frac {1}{z}}dz=\ln a-\ln b+\ln 0-\ln 0=\ln a-\ln b+\infty -\infty }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fa78b45fa82121883593b58506ad22cf55d3f6c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:67.813ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \int _{0}^{a}{\frac {1}{z}}dz-\int _{0}^{b}{\frac {1}{z}}dz=\ln a-\ln b+\ln 0-\ln 0=\ln a-\ln b+\infty -\infty }"></span></dd></dl> <p>risulta non definito a causa della sottrazione di quantità infinite. Tuttavia introducendo due parametri <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon _{a}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon _{a}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60e2d80edf8ec96c2b4f5bc1b139731ac8d0cb8b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.185ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon _{a}}"></span> e <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon _{b}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon _{b}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3ca2fd2d0bb4f2b1b5772c86cd01ed203c97bc8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.021ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon _{b}}"></span> nei limiti degli integrali: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int _{\varepsilon _{a}}^{a}{\frac {1}{z}}dz-\int _{\varepsilon _{b}}^{b}{\frac {1}{z}}dz=\ln a-\ln b+\ln {(\varepsilon _{b})}-\ln {(\varepsilon _{a})}=\ln {\left({\frac {a}{b}}\right)}-\ln {\left({\frac {\varepsilon _{a}}{\varepsilon _{b}}}\right)}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>z</mi> </mfrac> </mrow> <mi>d</mi> <mi>z</mi> <mo>−</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>z</mi> </mfrac> </mrow> <mi>d</mi> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mi>a</mi> <mo>−</mo> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mi>b</mi> <mo>+</mo> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>−</mo> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>a</mi> <mi>b</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>−</mo> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{\varepsilon _{a}}^{a}{\frac {1}{z}}dz-\int _{\varepsilon _{b}}^{b}{\frac {1}{z}}dz=\ln a-\ln b+\ln {(\varepsilon _{b})}-\ln {(\varepsilon _{a})}=\ln {\left({\frac {a}{b}}\right)}-\ln {\left({\frac {\varepsilon _{a}}{\varepsilon _{b}}}\right)}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6419cd31e422504a7351d3ba18fb5cf1b0b7021" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:72.041ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle \int _{\varepsilon _{a}}^{a}{\frac {1}{z}}dz-\int _{\varepsilon _{b}}^{b}{\frac {1}{z}}dz=\ln a-\ln b+\ln {(\varepsilon _{b})}-\ln {(\varepsilon _{a})}=\ln {\left({\frac {a}{b}}\right)}-\ln {\left({\frac {\varepsilon _{a}}{\varepsilon _{b}}}\right)}}"></span></dd></dl> <p>il risultato è ben definito. A questo punto i due parametri <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon _{a}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon _{a}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60e2d80edf8ec96c2b4f5bc1b139731ac8d0cb8b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.185ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon _{a}}"></span> e <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon _{b}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon _{b}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3ca2fd2d0bb4f2b1b5772c86cd01ed203c97bc8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.021ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon _{b}}"></span>, arbitrariamente introdotti, possono essere rimossi, facendo tendere il loro valore a zero, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon _{a}\rightarrow 0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">→</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon _{a}\rightarrow 0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98df28d01308d9c150c5682f8e50ad34718bfc3c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.962ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon _{a}\rightarrow 0}"></span> e <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon _{b}\rightarrow 0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">→</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon _{b}\rightarrow 0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1608118758b87a8b7af8c7abf0f9976cfd31cc9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.798ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon _{b}\rightarrow 0}"></span>, ma imponendo che allo stesso tempo: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\varepsilon _{a}}{\varepsilon _{b}}}\rightarrow 1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\varepsilon _{a}}{\varepsilon _{b}}}\rightarrow 1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20ec1407c194e71cb07b2d1be5d8c8cf71958d33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:7.798ex; height:5.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\varepsilon _{a}}{\varepsilon _{b}}}\rightarrow 1}"></span></dd></dl> <p>ottenendo come risultato finale: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int _{0}^{a}{\frac {1}{z}}dz-\int _{0}^{b}{\frac {1}{z}}dz=\ln \left({\frac {a}{b}}\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>z</mi> </mfrac> </mrow> <mi>d</mi> <mi>z</mi> <mo>−</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>z</mi> </mfrac> </mrow> <mi>d</mi> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>a</mi> <mi>b</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{0}^{a}{\frac {1}{z}}dz-\int _{0}^{b}{\frac {1}{z}}dz=\ln \left({\frac {a}{b}}\right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e35ddb71ed3a1b9adff20b61f4738fd4fc76a55f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:29.067ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \int _{0}^{a}{\frac {1}{z}}dz-\int _{0}^{b}{\frac {1}{z}}dz=\ln \left({\frac {a}{b}}\right)}"></span></dd></dl> <p>Le possibilità per fissare i parametri di regolarizzazione sono numerose, tuttavia in presenza di una procedura coerente non cambiano le previsioni finali che forniscono in relazione ai processi fisici. Le principali tecniche di regolarizzazione sono: </p> <ul><li>Regolarizzazione a "cut-off": solamente i <a href="/wiki/Quantit%C3%A0_di_moto" title="Quantità di moto">momenti</a> delle particelle minore di <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Lambda }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Λ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Lambda }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ac0a4a98a414e3480335f9ba652d12571ec6733" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.613ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Lambda }"></span> vengono considerati negli integrali, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Lambda }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Λ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Lambda }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ac0a4a98a414e3480335f9ba652d12571ec6733" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.613ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Lambda }"></span> è il parametro di regolarizzazione chiamato "cut-off". Infatti numerose divergenze nelle teorie di campo sorgono quando si considerano particelle con momenti elevati. Ad esempio, l'integrale divergente:</li></ul> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int {\frac {1}{q^{4}+c}}d^{4}q\propto \int _{}^{\infty }{\frac {1}{q}}dq=\infty }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <msup> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>c</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mi>q</mi> <mo>∝</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>q</mi> </mfrac> </mrow> <mi>d</mi> <mi>q</mi> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int {\frac {1}{q^{4}+c}}d^{4}q\propto \int _{}^{\infty }{\frac {1}{q}}dq=\infty }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cafd12cf51d7d6734073e08ef89d5f0f9515105" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:30.271ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle \int {\frac {1}{q^{4}+c}}d^{4}q\propto \int _{}^{\infty }{\frac {1}{q}}dq=\infty }"></span></dd></dl></dd> <dd>viene regolarizzato in: <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int {\frac {1}{q^{4}+c}}d^{4}q\rightarrow \int _{}^{\Lambda }{\frac {1}{q}}dq=\ln {(\Lambda )}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <msup> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>c</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">Λ</mi> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>q</mi> </mfrac> </mrow> <mi>d</mi> <mi>q</mi> <mo>=</mo> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">Λ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int {\frac {1}{q^{4}+c}}d^{4}q\rightarrow \int _{}^{\Lambda }{\frac {1}{q}}dq=\ln {(\Lambda )}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/379ec20b820a1e0b70d4821ca6f8b60e0f292641" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:33.709ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \int {\frac {1}{q^{4}+c}}d^{4}q\rightarrow \int _{}^{\Lambda }{\frac {1}{q}}dq=\ln {(\Lambda )}}"></span></dd></dl></dd></dl> <ul><li>Regolarizzazione su reticolo: lo spazio quadrimensionale continuo viene discretizzato introducendo un passo reticolare <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"></span>. I campi sono definiti solo su punti discreti. In questo modo gli integrali divergenti risultano regolarizzati come:</li></ul> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int {\frac {1}{q^{4}+c}}d^{4}q\rightarrow \int _{}^{\frac {\pi }{a}}{\frac {1}{q}}dq=\ln {\left({\frac {\pi }{a}}\right)}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <msup> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>c</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>π</mi> <mi>a</mi> </mfrac> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>q</mi> </mfrac> </mrow> <mi>d</mi> <mi>q</mi> <mo>=</mo> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>π</mi> <mi>a</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int {\frac {1}{q^{4}+c}}d^{4}q\rightarrow \int _{}^{\frac {\pi }{a}}{\frac {1}{q}}dq=\ln {\left({\frac {\pi }{a}}\right)}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b9619e58e4604ccc7d5378d5346d808ae1d4c5e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:35.691ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle \int {\frac {1}{q^{4}+c}}d^{4}q\rightarrow \int _{}^{\frac {\pi }{a}}{\frac {1}{q}}dq=\ln {\left({\frac {\pi }{a}}\right)}}"></span></dd></dl></dd></dl> <ul><li>Regolarizzazione dimensionale: in questo caso gli integrali sullo spazio quadrimensionale, vengono estesi a un numero arbitrario reale di dimensioni.</li></ul> <p>Una volta rese finite le quantità fisiche, il passo successivo consiste nel ridefinire le costanti di accoppiamento in modo tale da rimuovere i parametri di regolarizzazione non fisici artificialmente introdotti. Non sempre questo passaggio risulta possibile in modo coerente, in questo caso la teoria viene detta non rinormalizzabile e può essere considerata solo come una approssimazione a basse energie di una teoria più fondamentale rinormalizzabile. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Divergenze_in_elettrodinamica_quantistica">Divergenze in elettrodinamica quantistica</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Rinormalizzazione&veaction=edit&section=4" title="Modifica la sezione Divergenze in elettrodinamica quantistica" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Rinormalizzazione&action=edit&section=4" title="Edit section's source code: Divergenze in elettrodinamica quantistica"><span>modifica wikitesto</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/File:Vacuum_polarization.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/99/Vacuum_polarization.svg/220px-Vacuum_polarization.svg.png" decoding="async" width="220" height="115" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/99/Vacuum_polarization.svg/330px-Vacuum_polarization.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/99/Vacuum_polarization.svg/440px-Vacuum_polarization.svg.png 2x" data-file-width="144" data-file-height="75" /></a><figcaption>(a) Polarizzazione del vuoto. Questo loop ha una divergenza ultravioletta logaritmica.</figcaption></figure> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/File:SelfE.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/33/SelfE.svg/220px-SelfE.svg.png" decoding="async" width="220" height="220" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/33/SelfE.svg/330px-SelfE.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/33/SelfE.svg/440px-SelfE.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="512" /></a><figcaption>(b) Diagramma di auto-energia in QED</figcaption></figure> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/File:Penguin_diagram.JPG" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c5/Penguin_diagram.JPG/220px-Penguin_diagram.JPG" decoding="async" width="220" height="301" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c5/Penguin_diagram.JPG/330px-Penguin_diagram.JPG 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c5/Penguin_diagram.JPG 2x" data-file-width="399" data-file-height="546" /></a><figcaption>(c) Esempio di un diagramma a “pinguino"</figcaption></figure> <p>Durante lo sviluppo dell'elettrodinamica quantistica negli anni '30, <a href="/wiki/Max_Born" title="Max Born">Max Born</a>, <a href="/wiki/Werner_Heisenberg" class="mw-redirect" title="Werner Heisenberg">Werner Heisenberg</a>, <a href="/wiki/Pascual_Jordan" title="Pascual Jordan">Pascual Jordan</a> e <a href="/wiki/Paul_Dirac" title="Paul Dirac">Paul Dirac</a> scoprirono che nelle correzioni perturbative molti integrali sono divergenti. </p><p>Un modo di descrivere le divergenze dovute alle correzioni della <a href="/wiki/Teoria_perturbativa_(meccanica_quantistica)" title="Teoria perturbativa (meccanica quantistica)">teoria perturbativa</a> fu scoperto nel biennio 1947–1949, indipendentemente e in ordine cronologico, da <a href="/w/index.php?title=Hans_Kramers&action=edit&redlink=1" class="new" title="Hans Kramers (la pagina non esiste)">Hans Kramers</a>,<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> <a href="/wiki/Hans_Bethe" title="Hans Bethe">Hans Bethe</a>,<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> <a href="/wiki/Julian_Schwinger" title="Julian Schwinger">Julian Schwinger</a>,<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-5" class="reference"><a href="#cite_note-5"><span class="cite-bracket">[</span>5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-6" class="reference"><a href="#cite_note-6"><span class="cite-bracket">[</span>6<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> <a href="/wiki/Richard_Feynman" title="Richard Feynman">Richard Feynman</a>,<sup id="cite_ref-7" class="reference"><a href="#cite_note-7"><span class="cite-bracket">[</span>7<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-8" class="reference"><a href="#cite_note-8"><span class="cite-bracket">[</span>8<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-9" class="reference"><a href="#cite_note-9"><span class="cite-bracket">[</span>9<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> e <a href="/wiki/Shin%27ichir%C5%8D_Tomonaga" title="Shin'ichirō Tomonaga">Shin'ichirō Tomonaga</a>,<sup id="cite_ref-10" class="reference"><a href="#cite_note-10"><span class="cite-bracket">[</span>10<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-11" class="reference"><a href="#cite_note-11"><span class="cite-bracket">[</span>11<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-12" class="reference"><a href="#cite_note-12"><span class="cite-bracket">[</span>12<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-13" class="reference"><a href="#cite_note-13"><span class="cite-bracket">[</span>13<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-14" class="reference"><a href="#cite_note-14"><span class="cite-bracket">[</span>14<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-15" class="reference"><a href="#cite_note-15"><span class="cite-bracket">[</span>15<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-16" class="reference"><a href="#cite_note-16"><span class="cite-bracket">[</span>16<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> e sistematizzato da <a href="/wiki/Freeman_Dyson" title="Freeman Dyson">Freeman Dyson</a> nel 1949.<sup id="cite_ref-17" class="reference"><a href="#cite_note-17"><span class="cite-bracket">[</span>17<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Le divergenze appaiono nelle correzioni radiative, che coinvolgono <a href="/wiki/Diagramma_di_Feynman" title="Diagramma di Feynman">diagrammi di Feynman</a> con anelli chiusi (loop) di <a href="/wiki/Particella_virtuale" title="Particella virtuale">particelle virtuali</a>. </p><p>Nonostante le particelle virtuali soddisfino la conservazione di energia e quantità di moto, possono avere qualsiasi valore di energia e quantità di moto, anche uno che non è permesso dalla relazione relativistica <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E^{2}=(pc)^{2}+(m_{0}c^{2})^{2}\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>E</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>p</mi> <mi>c</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E^{2}=(pc)^{2}+(m_{0}c^{2})^{2}\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b811a9df82b8323a6c62e47010f535eec07bb7aa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.233ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle E^{2}=(pc)^{2}+(m_{0}c^{2})^{2}\,}"></span> per la massa osservata della particella (cioè, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E^{2}-p^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>E</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E^{2}-p^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81818e8f16c2aea700f6337f65073b54d8943101" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.912ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle E^{2}-p^{2}}"></span> non è necessariamente la massa al quadrato della particella in quel processo, ad esempio per un fotone potrebbe essere non nulla). Una tale particella è detta <a href="/wiki/Soluzione_on_shell_e_off_shell" title="Soluzione on shell e off shell">off-shell</a>. Quando si ha un loop, la quantità di moto delle particelle coinvolte nel loop non è univocamente determinata dalle energie e quantità di moto delle particelle entranti e uscenti. Una variazione dell'energia di una particella nel loop può essere bilanciata da una variazione uguale e opposta dell'energia di un'altra particella nel loop, senza che queste variazioni influenzino le particelle entranti e uscenti. Pertanto molte variazioni sono possibili, quindi, per trovare l'ampiezza per il processo a loop, bisogna <a href="/wiki/Integrale" title="Integrale">integrare</a> su tutte le possibili combinazioni di energia e quantità di moto che possono viaggiare nel loop. </p><p>Questi integrali sono spesso divergenti, ovvero, danno un risultato infinito. Le divergenze che sono significative sono quelle "ultraviolette" (UV). Una <a href="/wiki/Divergenza_ultravioletta" class="mw-redirect" title="Divergenza ultravioletta">divergenza ultravioletta</a> può essere descritta come derivante da: </p> <ul><li>la regione nell'integrale dove tutte le particelle nel loop hanno energia e quantità di moto grandi,</li> <li>nell'<a href="/wiki/Integrale_sui_cammini" title="Integrale sui cammini">integrale sui cammini</a> del campo, fluttuazioni a lunghezza d'onda molto bassa o frequenza molto alta,</li> <li>tempo proprio molto piccolo tra emissione e assorbimento di particelle, se si pensa al loop come una somma sui percorsi delle particelle.</li></ul> <p>Allora queste divergenze sono fenomeni a breve distanza e di breve durata. </p><p>Le tre figure mostrano tre diagrammi a un loop divergenti dell'elettrodinamica quantistica:<sup id="cite_ref-18" class="reference"><a href="#cite_note-18"><span class="cite-bracket">[</span>18<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p> <dl><dd>(a) Un fotone crea una coppia virtuale elettrone-positrone che successivamente si annichila. Questo è un diagramma della <a href="/wiki/Polarizzazione_del_vuoto" title="Polarizzazione del vuoto">polarizzazione del vuoto</a>.</dd> <dd>(b) Un elettrone emette e riassorbe rapidamente un fotone virtuale. Questo è un diagramma dell'<a href="/wiki/Self-energia" title="Self-energia">auto-energia</a>.</dd> <dd>(c) Un elettrone emette un fotone, ne emette un secondo e riassorbe il primo. Questo processo è mostrato in figura 2 ed è chiamato rinormalizzazione del vertice. Il diagramma di Feynman per questo è anche detto "diagramma a pinguino" perché la sua forma ricorda alla lontana un pinguino.</dd></dl> <p>Queste tre divergenze corrispondono ai tre parametri presenti nella teoria in questione: </p> <ol><li>La normalizzazione del campo, Z.</li> <li>La massa dell'elettrone.</li> <li>La carica dell'elettrone.</li></ol> <p>Una seconda classe di divergenze, chiamate divergenze infrarosse, è dovuta alle particelle prive di massa, come il fotone. Ogni processo che coinvolge particelle cariche emette un infinito numero di fotoni coerenti di lunghezza d'onda infinita, e l'ampiezza per emettere un qualsiasi numero finito di fotoni è zero. Per i fotoni, queste divergenze sono ben comprese. Per esempio, all'ordine di un loop, la <a href="/wiki/Funzione_vertice" title="Funzione vertice">funzione vertice</a> ha divergenze sia ultraviolette sia infrarosse. In contrasto con le divergenze ultraviolette, le divergenze infrarosse non necessitano la rinormalizzazione di una parametro della teoria. Nel diagramma del vertice, la divergenza infrarossa viene rimossa includendo un diagramma simile al diagramma del vertice, ma con un'importante differenza: il fotone che connette le due linee dell'elettrone è tagliato e sostituito da due fotoni on-shell (reali) di lunghezza d'onda tendente a infinito; questo diagramma è equivalente al processo di <a href="/wiki/Bremsstrahlung" title="Bremsstrahlung">bremsstrahlung</a>. Questo diagramma aggiuntivo deve essere incluso perché non c'è modo fisico di distinguere un fotone di energia nulla che scorre su un loop, come nel vertice, da fotoni di energia nulla emessi tramite bremsstrahlung. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Esempio_di_divergenza_a_un_loop">Esempio di divergenza a un loop</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Rinormalizzazione&veaction=edit&section=5" title="Modifica la sezione Esempio di divergenza a un loop" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Rinormalizzazione&action=edit&section=5" title="Edit section's source code: Esempio di divergenza a un loop"><span>modifica wikitesto</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/File:Loop-diagram.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fc/Loop-diagram.png/240px-Loop-diagram.png" decoding="async" width="240" height="233" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fc/Loop-diagram.png/360px-Loop-diagram.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fc/Loop-diagram.png/480px-Loop-diagram.png 2x" data-file-width="958" data-file-height="929" /></a><figcaption>Figura 2. Un diagramma che contribuisce lo scattering elettrone-elettrone in QED. Il loop ha una divergenza ultravioletta.</figcaption></figure> <p>Il diagramma in figura 2 mostra uno dei molti contributi a un loop allo scattering elettrone-elettrone in QED. L'elettrone sul lato sinistro del diagramma, rappresentato da una linea continua, comincia con quadrimpulso <i>p</i> e finisce con quadrimpulso <i>r</i>. Emette un fotone virtuale per trasferire energia e impulso all'altro elettrone. Tuttavia, in questo diagramma, prima che questo succeda, l'elettrone di sinistra emette un altro fotone virtuale con quadrimpulso <i>q</i> (in arancione nella figura), e lo riassorbe dopo aver emesso l'altro fotone virtuale. La conservazione dell'energia e della quantità di moto non fissano il quadrimpulso del fotone arancione, quindi ogni possibilità è valida e bisogna integrare. </p><p>L'ampiezza relativa a questo diagramma, tra gli altri termini, contiene questo fattore, dovuto al loop: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -ie^{3}\int {\frac {d^{4}q}{(2\pi )^{4}}}\gamma ^{\mu }{\frac {i(\gamma ^{\alpha }(r-q)_{\alpha }+m)}{(r-q)^{2}-m^{2}+i\epsilon }}\gamma ^{\rho }{\frac {i(\gamma ^{\beta }(p-q)_{\beta }+m)}{(p-q)^{2}-m^{2}+i\epsilon }}\gamma ^{\nu }{\frac {-ig_{\mu \nu }}{q^{2}+i\epsilon }}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> <mi>i</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mi>q</mi> </mrow> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>i</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo>−</mo> <mi>q</mi> <msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>m</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo>−</mo> <mi>q</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mi>ϵ</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ρ</mi> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>i</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>β</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>p</mi> <mo>−</mo> <mi>q</mi> <msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>β</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>m</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>p</mi> <mo>−</mo> <mi>q</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mi>ϵ</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ν</mi> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo>−</mo> <mi>i</mi> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> <mi>ν</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mi>ϵ</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -ie^{3}\int {\frac {d^{4}q}{(2\pi )^{4}}}\gamma ^{\mu }{\frac {i(\gamma ^{\alpha }(r-q)_{\alpha }+m)}{(r-q)^{2}-m^{2}+i\epsilon }}\gamma ^{\rho }{\frac {i(\gamma ^{\beta }(p-q)_{\beta }+m)}{(p-q)^{2}-m^{2}+i\epsilon }}\gamma ^{\nu }{\frac {-ig_{\mu \nu }}{q^{2}+i\epsilon }}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8de9803118b841d542e3be2e01625062c8ede0f7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:67.844ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle -ie^{3}\int {\frac {d^{4}q}{(2\pi )^{4}}}\gamma ^{\mu }{\frac {i(\gamma ^{\alpha }(r-q)_{\alpha }+m)}{(r-q)^{2}-m^{2}+i\epsilon }}\gamma ^{\rho }{\frac {i(\gamma ^{\beta }(p-q)_{\beta }+m)}{(p-q)^{2}-m^{2}+i\epsilon }}\gamma ^{\nu }{\frac {-ig_{\mu \nu }}{q^{2}+i\epsilon }}.}"></span></dd></dl> <p>I vari fattori <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma ^{\mu }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma ^{\mu }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb9ad28fd0224d333e10919fe473cf40e52ac6c9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.503ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \gamma ^{\mu }}"></span> in questa espressione sono <a href="/wiki/Gamma_di_Dirac" title="Gamma di Dirac">matrici gamma</a> come nella formulazione covariante dell'<a href="/wiki/Equazione_di_Dirac" title="Equazione di Dirac">equazione di Dirac</a>; hanno a che fare con lo spin dell'elettrone. i fattori <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>e</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle e}"></span> sono la costante di accoppiamento, mentre <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i\epsilon }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>i</mi> <mi>ϵ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i\epsilon }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/700944f4a384008138377299d4cdcacae39a6404" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.747ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i\epsilon }"></span> fornisce una definizione euristica del <a href="/wiki/Integrazione_di_contorno" title="Integrazione di contorno">contorno di integrazione</a> intorno ai poli dello spazio degli impulsi. La parte importante è la dipendenza da <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q^{\mu }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q^{\mu }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb169fde926dbfc7360506cd8817b491158f0c7d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.303ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle q^{\mu }}"></span> dei tre fattori, che vengono dai <a href="/wiki/Propagatore" title="Propagatore">propagatori</a> delle due linee elettroniche e la linea fotonica presenti nel loop (le tre linee arancioni nella figura). </p><p>Un termine di questo integrale ha due potenze di <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q^{\mu }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q^{\mu }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb169fde926dbfc7360506cd8817b491158f0c7d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.303ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle q^{\mu }}"></span> al numeratore che domina a grandi valori di <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q^{\mu }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q^{\mu }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb169fde926dbfc7360506cd8817b491158f0c7d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.303ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle q^{\mu }}"></span> (Pokorski 1987, p. 122): </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e^{3}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\alpha }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\beta }\gamma _{\mu }\int {\frac {d^{4}q}{(2\pi )^{4}}}{\frac {q_{\alpha }q_{\beta }}{(r-q)^{2}(p-q)^{2}q^{2}}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ρ</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>β</mi> </mrow> </msup> <msub> <mi>γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> </mrow> </msub> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mi>q</mi> </mrow> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>β</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo>−</mo> <mi>q</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>p</mi> <mo>−</mo> <mi>q</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e^{3}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\alpha }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\beta }\gamma _{\mu }\int {\frac {d^{4}q}{(2\pi )^{4}}}{\frac {q_{\alpha }q_{\beta }}{(r-q)^{2}(p-q)^{2}q^{2}}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4361b4cbc35f5c8241105a7c2dc4aff0de3ac4ad" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:42.992ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle e^{3}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\alpha }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\beta }\gamma _{\mu }\int {\frac {d^{4}q}{(2\pi )^{4}}}{\frac {q_{\alpha }q_{\beta }}{(r-q)^{2}(p-q)^{2}q^{2}}}.}"></span></dd></dl> <p>Questo integrale è divergente, a meno che non venga tagliato a un certo valore finito di energia e impulso. Analoghe divergenze accadono in altre teorie di campo quantistiche. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Meccanica_statistica">Meccanica statistica</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Rinormalizzazione&veaction=edit&section=6" title="Modifica la sezione Meccanica statistica" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Rinormalizzazione&action=edit&section=6" title="Edit section's source code: Meccanica statistica"><span>modifica wikitesto</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>La procedura di rinormalizzazione è un utile strumento per cercare di studiare il comportamento dei sistemi critici, cioè il comportamento nell'intorno delle transizioni di fase di liquidi, gas, reticoli di spin magnetici, ecc. In questo caso si è interessati a determinare le relazioni che sussistono quando si osservano i sistemi a scale di grandezze differenti. Più in particolare, si utilizza il formalismo del <a href="/wiki/Gruppo_di_rinormalizzazione" title="Gruppo di rinormalizzazione">gruppo di rinormalizzazione</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Interpretazione">Interpretazione</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Rinormalizzazione&veaction=edit&section=7" title="Modifica la sezione Interpretazione" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Rinormalizzazione&action=edit&section=7" title="Edit section's source code: Interpretazione"><span>modifica wikitesto</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>I primi costruttori della <a href="/wiki/Elettrodinamica_quantistica" title="Elettrodinamica quantistica">QED</a> e delle altre teorie di campo erano, solitamente, insoddisfatti della struttura e della formulazione della rinormalizzazione. Sembrava illegittimo sottrarre infiniti dagli infiniti in modo apparentemente arbitrario per ottenere un risultato complessivo finito. </p><p>Le critiche di <a href="/wiki/Paul_Dirac" title="Paul Dirac">Paul Dirac</a> furono le più accanite:<sup id="cite_ref-19" class="reference"><a href="#cite_note-19"><span class="cite-bracket">[</span>19<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> nel 1975, disse: </p> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r139517313">.mw-parser-output .itwiki-template-citazione{margin-bottom:.5em;font-size:95%;padding-left:2.4em;padding-right:1.2em}.mw-parser-output .itwiki-template-citazione-doppia{display:flex;gap:1.2em}.mw-parser-output .itwiki-template-citazione-doppia>div{width:0;flex:1 1 0}.mw-parser-output .itwiki-template-citazione-footer{padding:0 1.2em 0 0;margin:0}</style><div class="itwiki-template-citazione"> <div class="itwiki-template-citazione-doppia"> <div>(<span style="font-weight:bolder; font-size:80%"><abbr title="inglese">EN</abbr></span>) <p>«Most physicists are very satisfied with the situation. They say: 'Quantum electrodynamics is a good theory and we do not have to worry about it any more.' I must say that I am very dissatisfied with the situation, because this so-called 'good theory' does involve neglecting infinities which appear in its equations, neglecting them in an arbitrary way. This is just not sensible mathematics. Sensible mathematics involves neglecting a quantity when it is small - not neglecting it just because it is infinitely great and you do not want it!» </p> </div> <div>(<span style="font-weight:bolder; font-size:80%"><abbr title="italiano">IT</abbr></span>) <p>«Molti fisici sono molto soddisfatti dello stato di cose. Dicono: 'L'elettrodinamica quantistica è una buona teoria e non c'è bisogno di preoccuparcene ancora.' Io devo dire che ne sono molto insoddisfatto, perché questa cosiddetta 'buona teoria' prevede di ignorare degli infiniti che appaiono nelle sue equazioni, e di ignorarli in un modo arbitrario. Questa non è più matematica rigorosa. La matematica sensata prevede di ignorare una quantità quando questa è piccola, non di ignorarla perché è infinitamente grande e non la vuoi!» </p> </div></div><p class="itwiki-template-citazione-footer">(<small><a href="/wiki/Paul_Dirac" title="Paul Dirac">Paul Dirac</a><sup id="cite_ref-20" class="reference"><a href="#cite_note-20"><span class="cite-bracket">[</span>20<span class="cite-bracket">]</span></a></sup></small>)</p></div> <p>Un'altra importante critica fu mossa da <a href="/wiki/Richard_Feynman" title="Richard Feynman">Richard Feynman</a>. Nonostante il suo ruolo cruciale nello sviluppo dell'<a href="/wiki/Elettrodinamica_quantistica" title="Elettrodinamica quantistica">elettrodinamica quantistica</a>, nel 1985 scrisse: </p> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r139517313"><div class="itwiki-template-citazione"> <div class="itwiki-template-citazione-doppia"> <div>(<span style="font-weight:bolder; font-size:80%"><abbr title="inglese">EN</abbr></span>) <p>«The shell game that we play ... is technically called 'renormalization'. But no matter how clever the word, it is still what I would call a dippy process! Having to resort to such hocus-pocus has prevented us from proving that the theory of quantum electrodynamics is mathematically self-consistent. It's surprising that the theory still hasn't been proved self-consistent one way or the other by now; I suspect that renormalization is not mathematically legitimate.» </p> </div> <div>(<span style="font-weight:bolder; font-size:80%"><abbr title="italiano">IT</abbr></span>) <p>«Il cuore del gioco a cui noi giochiamo ... è tecnicamente chiamato 'rinormalizzazione'. Ma non importa quanto sia intelligente la parola, è ancora quello che chiamerei una procedura pazza! Dover ricorrere a tale gioco di prestigio ci ha impedito di provare se la teoria dell'elettrodinamica quantistica sia matematicamente auto-coerente. È sorprendente che la teoria non sia ancora stata dimostrata auto-coerente in un modo o nell'altro; sospetto che la rinormalizzazione non sia matematicamente legittima.» </p> </div></div><p class="itwiki-template-citazione-footer">(<small><a href="/wiki/Richard_Feynman" title="Richard Feynman">Richard Feynman</a><sup id="cite_ref-21" class="reference"><a href="#cite_note-21"><span class="cite-bracket">[</span>21<span class="cite-bracket">]</span></a></sup></small>)</p></div> <p>Mentre la critica di Dirac è basata sulla procedura di rinormalizzazione stessa, la critica di Feynman era molto diversa. Feynman era preoccupato del fatto che tutte le teorie di campo conosciute negli anni '60 avevano la proprietà che le interazioni diventano infinitamente forti a scale di distanza sufficiente piccole. Questa proprietà, chiamata <a href="/wiki/Polo_di_Landau" title="Polo di Landau">polo di Landau</a>, aveva reso plausibile la possibilità che le teorie quantistiche di campo fossero tutte incoerenti. Nel 1974, <a href="/wiki/David_Gross" title="David Gross">Gross</a>, <a href="/wiki/David_Politzer" title="David Politzer">Politzer</a> e <a href="/wiki/Frank_Wilczek" title="Frank Wilczek">Wilczek</a> hanno dimostrato che un'altra teoria quantistica di campo, la <a href="/wiki/Cromodinamica_quantistica" title="Cromodinamica quantistica">cromodinamica quantistica</a>, non ha un polo di Landau. In questo modo la teoria diventa perfettamente coerente a tutte le scale. </p><p>Il disagio generale era quasi universale nei testi fino al 1970 e 1980. A partire dagli anni 1970, tuttavia, l'atteggiamento cominciò a cambiare, soprattutto tra i giovani teorici, a causa dei lavori sul <a href="/wiki/Gruppo_di_rinormalizzazione" title="Gruppo di rinormalizzazione">gruppo di rinormalizzazione</a> e sulle <a href="/wiki/Teoria_di_campo_efficace" title="Teoria di campo efficace">teorie di campo efficaci</a>, nonostante il fatto che Dirac e vari altri, appartenenti alla vecchia generazione, non avevano mai ritirato le loro critiche. <a href="/wiki/Kenneth_G._Wilson" class="mw-redirect" title="Kenneth G. Wilson">Kenneth G. Wilson</a> e altri hanno dimostrato che il gruppo di rinormalizzazione è utile nella <a href="/wiki/Teoria_statistica_dei_campi" title="Teoria statistica dei campi">teoria statistica dei campi</a> applicata alla fisica della <a href="/wiki/Materia_condensata" class="mw-redirect" title="Materia condensata">materia condensata</a>, dove fornisce importanti informazioni sul comportamento del sistema nell'intorno delle <a href="/wiki/Transizione_di_fase" title="Transizione di fase">transizioni di fase</a>. Nella fisica della materia condensata, esiste un vero e proprio regolatore <i>a piccole scale</i> (chiamato anche "cut-off"): la <a href="/wiki/Materia_(fisica)" title="Materia (fisica)">materia</a> cessa di essere un continuo sulla scala degli <a href="/wiki/Atomo" title="Atomo">atomi</a>. A corte distanze le divergenze dei campi che descrivono la materia condensata non rappresentano un problema filosofico, dal momento che la teoria dei campi è solo una descrizione efficace continua della materia intrinsecamente discreta, una rappresentazione <i>liscia</i> anche delle strutture irregolari e discontinue che emergono a piccole scale. In questo modo non esistono infiniti fisici in quanto il "cut off" è in realtà sempre finito, come la scala tipica in cui la descrizione fornita dalla teoria diventa incoerente, ed è perfettamente sensato considerare quantità "nude" dipendenti dal cutoff. </p><p>Se la <a href="/wiki/Teoria_quantistica_dei_campi" title="Teoria quantistica dei campi">teoria quantistica dei campi</a> è sensata anche oltre la <a href="/wiki/Lunghezza_di_Planck" title="Lunghezza di Planck">lunghezza di Planck</a> (dove potrebbe valere, piuttosto, la <a href="/wiki/Teoria_delle_stringhe" title="Teoria delle stringhe">teoria delle stringhe</a> o qualcosa di diverso), allora o non ci sono problemi reali nelle divergenze a breve distanza nella <a href="/wiki/Fisica_delle_particelle" title="Fisica delle particelle">fisica delle particelle</a>, oppure <i>tutte le teorie di campo</i> sono semplicemente delle teorie efficaci, utili a descrivere la fisica dei fenomeni solo ad alcune scale di energia e non a tutte. In un certo senso, questo approccio è simile all'atteggiamento degli scienziati più anziani, secondo cui le divergenze in QFT descrivono l'ignoranza umana sul funzionamento della natura, ma riconosce anche che questa ignoranza può essere quantificata e che quindi le risultanti teorie efficaci restano utili. </p><p>Nelle teorie di campo quantistiche, il valore di una costante fisica, in generale, dipende dalla scala che si sceglie come punto per la rinormalizzazione e diventa molto interessante esaminare come variano le costanti fisiche in conseguenza dei cambiamenti nella scala delle energie. Le costanti di accoppiamento nel <a href="/wiki/Modello_standard" title="Modello standard">modello standard</a> della fisica delle particelle variano in modo diverso con il crescere della scala delle energie: l'accoppiamento della <a href="/wiki/Cromodinamica_quantistica" title="Cromodinamica quantistica">forza nucleare forte</a> e l'accoppiamento di <a href="/wiki/Isospin" title="Isospin">isospin</a> debole della <a href="/wiki/Forza_elettrodebole" class="mw-redirect" title="Forza elettrodebole">forza elettrodebole</a> tendono a diminuire, mentre l'accoppiamento dell'<a href="/wiki/Ipercarica" title="Ipercarica">ipercarica</a> debole della forza elettrodebole tende ad aumentare. Alla scala di energia molto grande di 10 <sup> 15 </sup> <a href="/wiki/GeV" class="mw-redirect" title="GeV">GeV</a> (ben oltre la portata degli attuali <a href="/wiki/Acceleratore_di_particelle" title="Acceleratore di particelle">acceleratori di particelle</a>), questi accoppiamenti diventano tutti circa della stessa intensità (Grotz e Klapdor 1990, p. 254), una motivazione importante per le speculazioni circa l'esistenza di una <a href="/wiki/Teoria_della_grande_unificazione" title="Teoria della grande unificazione">grande teoria unificata</a>. Invece di essere solo un problema preoccupante, la rinormalizzazione è diventata un importante strumento teorico per studiare il comportamento delle teorie di campo in diversi regimi. </p><p>Se una teoria rinormalizzabile (come ad esempio l'<a href="/wiki/Elettrodinamica_quantistica" title="Elettrodinamica quantistica">elettrodinamica quantistica</a>) può essere solo ragionevolmente interpretata come una teoria di campo efficace, cioè come approssimazione che riflette l'ignoranza umana sul funzionamento della natura, resta allora il problema di scoprire una teoria più accurata che non soffre di questi problemi della rinormalizzazione. Come ha detto Lewis Ryder, "nella teoria quantistica, queste [classiche] divergenze non scompaiono, anzi sembrano peggiorare. E nonostante il successo della teoria della rinormalizzazione, rimane la sensazione che ci dovrebbe essere un modo più soddisfacente di fare le cose"<sup id="cite_ref-22" class="reference"><a href="#cite_note-22"><span class="cite-bracket">[</span>22<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Note">Note</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Rinormalizzazione&veaction=edit&section=8" title="Modifica la sezione Note" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Rinormalizzazione&action=edit&section=8" title="Edit section's source code: Note"><span>modifica wikitesto</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-references-wrap mw-references-columns"><ol class="references"> <li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1"><b>^</b></a> <span class="reference-text">Kramers presentò il suo lavoro alla <a href="/w/index.php?title=Shelter_Island_Conference&action=edit&redlink=1" class="new" title="Shelter Island Conference (la pagina non esiste)">Shelter Island Conference</a> del 1947, la ripeté nel 1948 alla <a href="/w/index.php?title=Solvay_Conference&action=edit&redlink=1" class="new" title="Solvay Conference (la pagina non esiste)">Solvay Conference</a>. Quest'ultima non apparve in stampa fino ai <i>Proceedings of the Solvay Conference</i>, pubblicati nel 1950 (<cite class="citation libro" style="font-style:normal"> Laurie M. Brown (a cura di), <span style="font-style:italic;">Renormalization: From Lorentz to Landau (and Beyond)</span>, Springer, 2012, p. 53.</cite>).</span> </li> <li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2"><b>^</b></a> <span class="reference-text"><cite class="citation pubblicazione" style="font-style:normal"> <a href="/wiki/Hans_Bethe" title="Hans Bethe">H. Bethe</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://oadoi.org/10.1103/PhysRev.72.339"><span style="font-style:italic;">The Electromagnetic Shift of Energy Levels</span></a>, in <span style="font-style:italic;"><a href="/wiki/Physical_Review" title="Physical Review">Physical Review</a></span>, vol. 72, n. 4, 1947, pp. 339–341, <a href="/wiki/Bibcode" title="Bibcode">Bibcode</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="http://adsabs.harvard.edu/abs/1947PhRv...72..339B">1947PhRv...72..339B</a>, <a href="/wiki/Digital_object_identifier" title="Digital object identifier">DOI</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://dx.doi.org/10.1103%2FPhysRev.72.339">10.1103/PhysRev.72.339</a>.</cite></span> </li> <li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3"><b>^</b></a> <span class="reference-text"><cite class="citation pubblicazione" style="font-style:normal"> Schwinger, J., <a rel="nofollow" class="external text" href="https://oadoi.org/10.1103/PhysRev.73.416"><span style="font-style:italic;">On quantum-electrodynamics and the magnetic moment of the electron</span></a>, in <span style="font-style:italic;"><a href="/wiki/Physical_Review" title="Physical Review">Physical Review</a></span>, vol. 73, n. 4, 1948, pp. 416–417, <a href="/wiki/Bibcode" title="Bibcode">Bibcode</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="http://adsabs.harvard.edu/abs/1948PhRv...73..416S">1948PhRv...73..416S</a>, <a href="/wiki/Digital_object_identifier" title="Digital object identifier">DOI</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://dx.doi.org/10.1103%2FPhysRev.73.416">10.1103/PhysRev.73.416</a>.</cite></span> </li> <li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4"><b>^</b></a> <span class="reference-text"><cite class="citation pubblicazione" style="font-style:normal"> Schwinger, J., <a rel="nofollow" class="external text" href="https://oadoi.org/10.1103/PhysRev.74.1439"><span style="font-style:italic;">I. 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Feynman, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://authors.library.caltech.edu/3517/1/FEYpr48b.pdf"><span style="font-style:italic;">A relativistic cut-off for quantum electrodynamics</span></a> (<span style="font-weight: bolder; font-size:80%"><abbr title="documento in formato PDF">PDF</abbr></span>), in <span style="font-style:italic;"><a href="/wiki/Physical_Review" title="Physical Review">Physical Review</a></span>, vol. 74, n. 10, 1948, pp. 1430–1438, <a href="/wiki/Bibcode" title="Bibcode">Bibcode</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="http://adsabs.harvard.edu/abs/1948PhRv...74.1430F">1948PhRv...74.1430F</a>, <a href="/wiki/Digital_object_identifier" title="Digital object identifier">DOI</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://dx.doi.org/10.1103%2FPhysRev.74.1430">10.1103/PhysRev.74.1430</a>.</cite></span> </li> <li id="cite_note-10"><a href="#cite_ref-10"><b>^</b></a> <span class="reference-text"><cite class="citation pubblicazione" style="font-style:normal"> S. Tomonaga, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://oadoi.org/10.1143/ptp.1.27"><span style="font-style:italic;">On a Relativistically Invariant Formulation of the Quantum Theory of Wave Fields</span></a>, in <span style="font-style:italic;">Progress of Theoretical Physics</span>, vol. 1, n. 2, Oxford University Press (OUP), 1º agosto 1946, pp. 27–42, <a href="/wiki/Bibcode" title="Bibcode">Bibcode</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="http://adsabs.harvard.edu/abs/1946PThPh...1...27T">1946PThPh...1...27T</a>, <a href="/wiki/Digital_object_identifier" title="Digital object identifier">DOI</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://dx.doi.org/10.1143%2Fptp.1.27">10.1143/ptp.1.27</a>, <a href="/wiki/ISSN" title="ISSN">ISSN</a> 1347-4081<span class="noprint plainlinks"> (<span title="Ricerca su WorldCat"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://worldcat.org/issn/1347-4081&lang=it">WC</a></span> · <span title="Ricerca sul Catalogo Italiano dei Periodici"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://acnpsearch.unibo.it/search?issn=1347-4081">ACNP</a></span>)</span>.</cite></span> </li> <li id="cite_note-11"><a href="#cite_ref-11"><b>^</b></a> <span class="reference-text"><cite class="citation pubblicazione" style="font-style:normal"> Z. Koba, T. Tati e S.-i. Tomonaga, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://oadoi.org/10.1143/ptp/2.3.101"><span style="font-style:italic;">On a Relativistically Invariant Formulation of the Quantum Theory of Wave Fields. 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Koba, T. Tati e S.-i. Tomonaga, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://oadoi.org/10.1143/ptp/2.4.198"><span style="font-style:italic;">On a Relativistically Invariant Formulation of the Quantum Theory of Wave Fields. 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Kanesawa e S.-i. Tomonaga, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://oadoi.org/10.1143/ptp/3.1.1"><span style="font-style:italic;">On a Relativistically Invariant Formulation of the Quantum Theory of Wave Fields. 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Kanesawa e S.-i. Tomonaga, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://oadoi.org/10.1143/ptp/3.2.101"><span style="font-style:italic;">On a Relativistically Invariant Formulation of the Quantum Theory of Wave Fields V: Case of Interacting Electromagnetic and Meson Fields</span></a>, in <span style="font-style:italic;">Progress of Theoretical Physics</span>, vol. 3, n. 2, Oxford University Press (OUP), 1º giugno 1948, pp. 101–113, <a href="/wiki/Bibcode" title="Bibcode">Bibcode</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="http://adsabs.harvard.edu/abs/1948PThPh...3..101K">1948PThPh...3..101K</a>, <a href="/wiki/Digital_object_identifier" title="Digital object identifier">DOI</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://dx.doi.org/10.1143%2Fptp%2F3.2.101">10.1143/ptp/3.2.101</a>, <a href="/wiki/ISSN" title="ISSN">ISSN</a> 0033-068X<span class="noprint plainlinks"> (<span title="Ricerca su WorldCat"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://worldcat.org/issn/0033-068X&lang=it">WC</a></span> · <span title="Ricerca sul Catalogo Italiano dei Periodici"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://acnpsearch.unibo.it/search?issn=0033-068X">ACNP</a></span>)</span>.</cite></span> </li> <li id="cite_note-15"><a href="#cite_ref-15"><b>^</b></a> <span class="reference-text"><cite class="citation pubblicazione" style="font-style:normal"> Z. Koba e S.-i. Tomonaga, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://oadoi.org/10.1143/ptp/3.3.290"><span style="font-style:italic;">On Radiation Reactions in Collision Processes. 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Schroeder, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/introductiontoqu0000pesk"><span style="font-style:italic;">An Introduction to Quantum Field Theory</span></a>, Reading, Addison-Wesley, 1995.</cite></span> </li> <li id="cite_note-19"><a href="#cite_ref-19"><b>^</b></a> <span class="reference-text">P.A.M. 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Collins, "Renormalization", Cambridge University Press, Cambridge, 1984.</li> <li><cite class="citation web" style="font-style:normal"> G. 't Hooft e M.Veltman, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://cds.cern.ch/record/186259/files/CERN-73-09.pdf?version=1"><span style="font-style:italic;">"Diagrammar", CERN Report 73-9, 1973.</span></a>, su <span style="font-style:italic;">cds.cern.ch</span>.</cite></li> <li>M.J. Veltman, "Diagrammatica", The path to Feynman diagrams, Cambridge University Press, Cambridge, 1995.</li> <li>L.S. Brown, "Quantum field theory", Cambridge University Press, Cambridge, 1992.</li> <li>M.E. Peskin, D.V. Schroeder, "An introduction to quantum field theory", Westview Press, 1995.</li> <li>C. Itzykson and J.B. Zuber, "Quantum field theory", Mcgraw-hill, New York, 1980.</li> <li>S. Weinberg, "The quantum theory of fields", Cambridge University Press, Cambridge, 2000.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Voci_correlate">Voci correlate</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Rinormalizzazione&veaction=edit&section=10" title="Modifica la sezione Voci correlate" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Rinormalizzazione&action=edit&section=10" title="Edit section's source code: Voci correlate"><span>modifica wikitesto</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Cutoff_(fisica)" title="Cutoff (fisica)">Cutoff</a></li> <li><a href="/wiki/Elettrodinamica_quantistica" title="Elettrodinamica quantistica">Elettrodinamica quantistica</a></li> <li><a href="/wiki/Cromodinamica_quantistica" title="Cromodinamica quantistica">Cromodinamica quantistica</a></li> <li><a href="/wiki/Modello_standard" title="Modello standard">Modello standard</a></li> <li><a href="/wiki/Interazione_debole" title="Interazione debole">Interazione debole</a></li> <li><a href="/wiki/Interazione_forte" title="Interazione forte">Interazione forte</a></li> <li><a href="/wiki/Gravit%C3%A0_quantistica" title="Gravità quantistica">Gravità quantistica</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Altri_progetti">Altri progetti</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Rinormalizzazione&veaction=edit&section=11" title="Modifica la sezione Altri progetti" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Rinormalizzazione&action=edit&section=11" title="Edit section's source code: Altri progetti"><span>modifica wikitesto</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div id="interProject" class="toccolours" style="display: none; clear: both; margin-top: 2em"><p id="sisterProjects" style="background-color: #efefef; color: black; font-weight: bold; margin: 0"><span>Altri progetti</span></p><ul title="Collegamenti verso gli altri progetti Wikimedia"> <li class="" title=""><span class="plainlinks" title="commons:Category:Renormalization"><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Renormalization?uselang=it">Wikimedia Commons</a></span></li></ul></div> <ul><li><span typeof="mw:File"><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/?uselang=it" title="Collabora a Wikimedia Commons"><img alt="Collabora a Wikimedia Commons" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/18px-Commons-logo.svg.png" decoding="async" width="18" height="24" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/27px-Commons-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/36px-Commons-logo.svg.png 2x" data-file-width="1024" data-file-height="1376" /></a></span> <span class="plainlinks"><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/?uselang=it">Wikimedia Commons</a></span> contiene immagini o altri file su <b><span class="plainlinks"><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Renormalization?uselang=it">rinormalizzazione</a></span></b></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Collegamenti_esterni">Collegamenti esterni</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Rinormalizzazione&veaction=edit&section=12" title="Modifica la sezione Collegamenti esterni" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Rinormalizzazione&action=edit&section=12" title="Edit section's source code: Collegamenti esterni"><span>modifica wikitesto</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li class="mw-empty-elt"></li> <li><cite id="CITEREFBritannica.com" class="citation web" style="font-style:normal">(<span style="font-weight:bolder; font-size:80%"><abbr title="inglese">EN</abbr></span>) Christine Sutton, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.britannica.com/science/renormalization"><span style="font-style:italic;">renormalization</span></a>, su <span style="font-style:italic;"><a href="/wiki/Enciclopedia_Britannica" title="Enciclopedia Britannica">Enciclopedia Britannica</a></span>, Encyclopædia Britannica, Inc.</cite> <span class="mw-valign-text-top noprint" typeof="mw:File/Frameless"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q1047702#P1417" title="Modifica su Wikidata"><img alt="Modifica su Wikidata" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Blue_pencil.svg/10px-Blue_pencil.svg.png" decoding="async" width="10" height="10" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Blue_pencil.svg/15px-Blue_pencil.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Blue_pencil.svg/20px-Blue_pencil.svg.png 2x" data-file-width="600" data-file-height="600" /></a></span></li></ul> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r141815314">.mw-parser-output .navbox{border:1px solid #aaa;clear:both;margin:auto;padding:2px;width:100%}.mw-parser-output .navbox th{padding-left:1em;padding-right:1em;text-align:center}.mw-parser-output .navbox>tbody>tr:first-child>th{background:#ccf;font-size:90%;width:100%;color:var(--color-base,black)}.mw-parser-output .navbox_navbar{float:left;margin:0;padding:0 10px 0 0;text-align:left;width:6em}.mw-parser-output .navbox_title{font-size:110%}.mw-parser-output .navbox_abovebelow{background:#ddf;font-size:90%;font-weight:normal}.mw-parser-output .navbox_group{background:#ddf;font-size:90%;padding:0 10px;white-space:nowrap}.mw-parser-output .navbox_list{font-size:90%;width:100%}.mw-parser-output .navbox_list a{white-space:nowrap}html:not(.vector-feature-night-mode-enabled) .mw-parser-output .navbox_odd{background:#fdfdfd;color:var(--color-base,black)}html:not(.vector-feature-night-mode-enabled) .mw-parser-output .navbox_even{background:#f7f7f7;color:var(--color-base,black)}.mw-parser-output .navbox a.mw-selflink{color:var(--color-base,black)}.mw-parser-output .navbox_center{text-align:center}.mw-parser-output .navbox .navbox_image{padding-left:7px;vertical-align:middle;width:0}.mw-parser-output .navbox+.navbox{margin-top:-1px}.mw-parser-output .navbox .mw-collapsible-toggle{font-weight:normal;text-align:right;width:7em}body.skin--responsive .mw-parser-output .navbox_image img{max-width:none!important}.mw-parser-output .subnavbox{margin:-3px;width:100%}.mw-parser-output .subnavbox_group{background:#e6e6ff;padding:0 10px}@media screen{html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox>tbody>tr:first-child>th{background:var(--background-color-interactive)!important}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox th{color:var(--color-base)!important}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox_abovebelow,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox_group{background:var(--background-color-interactive-subtle)!important}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .subnavbox_group{background:var(--background-color-neutral-subtle)!important}}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox>tbody>tr:first-child>th{background:var(--background-color-interactive)!important}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox th{color:var(--color-base)!important}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox_abovebelow,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox_group{background:var(--background-color-interactive-subtle)!important}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .subnavbox_group{background:var(--background-color-neutral-subtle)!important}}</style><table class="navbox mw-collapsible autocollapse noprint metadata" id="navbox-Teoria_quantistica_dei_campi"><tbody><tr><th colspan="3"><div class="navbox_navbar"><div class="noprint plainlinks" style="background-color:transparent; padding:0; font-size:xx-small; color:var(--color-base, #000000); white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Template:Teoria_quantistica_dei_campi" title="Template:Teoria quantistica dei campi"><span title="Vai alla pagina del template">V</span></a> · <a href="/wiki/Discussioni_template:Teoria_quantistica_dei_campi" title="Discussioni template:Teoria quantistica dei campi"><span title="Discuti del template">D</span></a> · <a class="external text" href="https://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Template:Teoria_quantistica_dei_campi&action=edit"><span title="Modifica il template. Usa l'anteprima prima di salvare">M</span></a></div></div><span class="navbox_title"><a href="/wiki/Teoria_quantistica_dei_campi" title="Teoria quantistica dei campi">Teoria quantistica dei campi</a></span></th></tr><tr><th colspan="3" class="navbox_abovebelow"><a href="/wiki/Diagramma_di_Feynman" title="Diagramma di Feynman">Diagramma di Feynman</a><b> ·</b> <a href="/wiki/Teoria_quantistica_dei_campi#Storia" title="Teoria quantistica dei campi">Storia della teoria quantistica dei campi</a></th></tr><tr><th colspan="1" class="navbox_group">Premesse</th><td colspan="1" class="navbox_list navbox_odd"><a href="/wiki/Campo_(fisica)" title="Campo (fisica)">Campo</a><b> ·</b> <a href="/wiki/Teoria_classica_dei_campi" title="Teoria classica dei campi">Teoria classica dei campi</a><b> ·</b> <a href="/wiki/Teoria_di_gauge" title="Teoria di gauge">Teoria di gauge</a><b> ·</b> <a href="/wiki/Simmetria_di_Poincar%C3%A9" title="Simmetria di Poincaré">Simmetria di Poincaré</a><b> ·</b> <a href="/wiki/Meccanica_quantistica" title="Meccanica quantistica">Meccanica quantistica</a><b> ·</b> <a href="/wiki/Rottura_spontanea_di_simmetria" title="Rottura spontanea di simmetria">Rottura spontanea di simmetria</a></td><td rowspan="7" class="navbox_image"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/File:Feynmann_Diagram_Gluon_Radiation.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Feynmann_Diagram_Gluon_Radiation.svg/150px-Feynmann_Diagram_Gluon_Radiation.svg.png" decoding="async" width="150" height="94" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Feynmann_Diagram_Gluon_Radiation.svg/225px-Feynmann_Diagram_Gluon_Radiation.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Feynmann_Diagram_Gluon_Radiation.svg/300px-Feynmann_Diagram_Gluon_Radiation.svg.png 2x" data-file-width="400" data-file-height="250" /></a></span></td></tr><tr><th colspan="1" class="navbox_group"><a href="/wiki/Simmetria_(fisica)" title="Simmetria (fisica)">Simmetria in fisica</a></th><td colspan="1" class="navbox_list navbox_even"><a href="/wiki/Crossing_(fisica)" title="Crossing (fisica)">Crossing</a><b> ·</b> <a href="/wiki/Coniugazione_di_carica" class="mw-redirect" title="Coniugazione di carica">Coniugazione di carica</a><b> ·</b> <a href="/wiki/Parit%C3%A0_(fisica)" title="Parità (fisica)">Parità</a><b> ·</b> <a href="/wiki/Simmetria_temporale" title="Simmetria temporale">Simmetria temporale</a></td></tr><tr><th colspan="1" class="navbox_group">Strumenti</th><td colspan="1" class="navbox_list navbox_odd"><a href="/wiki/Anomalia_(fisica)" title="Anomalia (fisica)">Anomalia</a><b> ·</b> <a href="/wiki/Teoria_di_campo_efficace" title="Teoria di campo efficace">Teoria di campo efficace</a><b> ·</b> <a href="/wiki/Valore_di_aspettazione_del_vuoto" title="Valore di aspettazione del vuoto">Valore di aspettazione del vuoto</a><b> ·</b> <a href="/wiki/Ghost_di_Faddeev-Popov" title="Ghost di Faddeev-Popov">Ghost di Faddeev-Popov</a><b> ·</b> <a href="/wiki/Diagramma_di_Feynman" title="Diagramma di Feynman">Diagramma di Feynman</a><b> ·</b> <a href="/wiki/Formule_di_riduzione_LSZ" title="Formule di riduzione LSZ">Formule di riduzione LSZ</a><b> ·</b> <a href="/wiki/Funzione_di_partizione_(meccanica_statistica)" title="Funzione di partizione (meccanica statistica)">Funzione di partizione</a><b> ·</b> <a href="/wiki/Propagatore" title="Propagatore">Propagatore</a><b> ·</b> <a href="/wiki/Quantizzazione_(fisica)" title="Quantizzazione (fisica)">Quantizzazione</a><b> ·</b> <a class="mw-selflink selflink">Rinormalizzazione</a><b> ·</b> <a href="/wiki/Regolarizzazione_(fisica)" title="Regolarizzazione (fisica)">Regolarizzazione</a><b> ·</b> <a href="/wiki/Vuoto_(fisica)#Il_vuoto_quantistico" title="Vuoto (fisica)">Vuoto quantistico</a><b> ·</b> <a href="/wiki/Teorema_di_Wick" title="Teorema di Wick">Teorema di Wick</a><b> ·</b> <a href="/wiki/Assiomi_di_Wightman" title="Assiomi di Wightman">Assiomi di Wightman</a></td></tr><tr><th colspan="1" class="navbox_group">Equazioni</th><td colspan="1" class="navbox_list navbox_even"><a href="/wiki/Equazione_di_Dirac" title="Equazione di Dirac">Equazione di Dirac</a><b> ·</b> <a href="/wiki/Equazione_di_Klein-Gordon" title="Equazione di Klein-Gordon">Equazione di Klein-Gordon</a><b> ·</b> <a href="/wiki/Lagrangiana_di_Proca" title="Lagrangiana di Proca">Equazione di Proca</a><b> ·</b> <a href="/wiki/Equazione_di_Wheeler-DeWitt" title="Equazione di Wheeler-DeWitt">Equazione di Wheeler-DeWitt</a></td></tr><tr><th colspan="1" class="navbox_group"><a href="/wiki/Modello_standard" title="Modello standard">Modello standard</a></th><td colspan="1" class="navbox_list navbox_odd"><a href="/wiki/Interazione_elettrodebole" title="Interazione elettrodebole">Interazione elettrodebole</a><b> ·</b> <a href="/wiki/Meccanismo_di_Higgs" class="mw-redirect" title="Meccanismo di Higgs">Meccanismo di Higgs</a><b> ·</b> <a href="/wiki/Cromodinamica_quantistica" title="Cromodinamica quantistica">Cromodinamica quantistica</a><b> ·</b> <a href="/wiki/Elettrodinamica_quantistica" title="Elettrodinamica quantistica">Elettrodinamica quantistica</a><b> ·</b> <a href="/wiki/Teoria_di_Yang-Mills" title="Teoria di Yang-Mills">Teoria di Yang-Mills</a></td></tr><tr><th colspan="1" class="navbox_group">Teorie incomplete</th><td colspan="1" class="navbox_list navbox_even"><a href="/wiki/Gravit%C3%A0_quantistica" title="Gravità quantistica">Gravità quantistica</a><b> ·</b> <a href="/wiki/Teoria_delle_stringhe" title="Teoria delle stringhe">Teoria delle stringhe</a><b> ·</b> <a href="/wiki/Supersimmetria" title="Supersimmetria">Supersimmetria</a><b> ·</b> <a href="/wiki/Technicolor_(fisica)" title="Technicolor (fisica)">Technicolor</a><b> ·</b> <a href="/wiki/Teoria_del_tutto" title="Teoria del tutto">Teoria del tutto</a></td></tr><tr><th colspan="1" class="navbox_group">Scienziati</th><td colspan="1" class="navbox_list navbox_odd"><a href="/wiki/Hans_Bethe" title="Hans Bethe">Bethe</a><b> ·</b> <a href="/wiki/Nikolaj_Nikolaevi%C4%8D_Bogoljubov" title="Nikolaj Nikolaevič Bogoljubov">Bogoljubov</a><b> ·</b> <a href="/wiki/Curtis_Callan" title="Curtis Callan">Callan</a><b> ·</b> <a href="/wiki/Sidney_Coleman" title="Sidney Coleman">Coleman</a><b> ·</b> <a href="/wiki/Bryce_DeWitt" title="Bryce DeWitt">DeWitt</a><b> ·</b> <a href="/wiki/Paul_Dirac" title="Paul Dirac">Dirac</a><b> ·</b> <a href="/wiki/Freeman_Dyson" title="Freeman Dyson">Dyson</a><b> ·</b> <a href="/wiki/Enrico_Fermi" title="Enrico Fermi">Fermi</a><b> ·</b> <a href="/wiki/Richard_Feynman" title="Richard Feynman">Feynman</a><b> ·</b> <a href="/wiki/Markus_Fierz" title="Markus Fierz">Fierz</a><b> ·</b> <a href="/wiki/J%C3%BCrg_Fr%C3%B6hlich" title="Jürg Fröhlich">Fröhlich</a><b> ·</b> <a href="/wiki/Murray_Gell-Mann" title="Murray Gell-Mann">Gell-Mann</a><b> ·</b> <a href="/wiki/Jeffrey_Goldstone" title="Jeffrey Goldstone">Goldstone</a><b> ·</b> <a href="/wiki/David_Gross" title="David Gross">Gross</a><b> ·</b> <a href="/wiki/Rudolf_Haag" title="Rudolf Haag">Haag</a><b> ·</b> <a href="/wiki/Gerardus_%27t_Hooft" title="Gerardus 't Hooft">'t Hooft</a><b> ·</b> <a href="/wiki/Roman_Jackiw" title="Roman Jackiw">Jackiw</a><b> ·</b> <a href="/wiki/Oskar_Klein" title="Oskar Klein">Klein</a><b> ·</b> <a href="/wiki/Lev_Landau" class="mw-redirect" title="Lev Landau">Landau</a><b> ·</b> <a href="/wiki/Tsung-Dao_Lee" title="Tsung-Dao Lee">Lee</a><b> ·</b> <a href="/wiki/Harry_Lehmann" title="Harry Lehmann">Lehmann</a><b> ·</b> <a href="/wiki/Ettore_Majorana" title="Ettore Majorana">Majorana</a><b> ·</b> <a href="/wiki/Y%C5%8Dichir%C5%8D_Nambu" title="Yōichirō Nambu">Nambu</a><b> ·</b> <a href="/wiki/Giorgio_Parisi" title="Giorgio Parisi">Parisi</a><b> ·</b> <a href="/wiki/Aleksandr_Markovi%C4%8D_Poljakov" title="Aleksandr Markovič Poljakov">Poljakov</a><b> ·</b> <a href="/wiki/Abdus_Salam" title="Abdus 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Vedi le <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Terms_of_Use/it">condizioni d'uso</a> per i dettagli.</li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy/it">Informativa sulla privacy</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/Wikipedia:Sala_stampa/Wikipedia">Informazioni su Wikipedia</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/Wikipedia:Avvertenze_generali">Avvertenze</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">Codice di condotta</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Sviluppatori</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/it.wikipedia.org">Statistiche</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">Dichiarazione sui cookie</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//it.m.wikipedia.org/w/index.php?title=Rinormalizzazione&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Versione mobile</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> </div> </div> </div> <div class="vector-settings" id="p-dock-bottom"> <ul></ul> </div><script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-6b7f745dd4-k78cw","wgBackendResponseTime":174,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.435","walltime":"0.705","ppvisitednodes":{"value":2435,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":60701,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":3737,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":9,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":2,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":0,"limit":20},"unstrip-size":{"value":29142,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":1,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 443.607 1 -total"," 32.46% 144.004 1 Template:Collegamenti_esterni"," 11.85% 52.571 1 Template:Teoria_quantistica_dei_campi"," 10.90% 48.365 1 Template:Navbox"," 10.12% 44.872 16 Template:Cita_pubblicazione"," 8.97% 39.780 1 Template:Vedi_anche"," 7.23% 32.055 1 Template:Interprogetto"," 6.74% 29.889 1 Template:Portale"," 5.55% 24.615 2 Template:Citazione"," 5.39% 23.892 2 Template:Cita_libro"]},"scribunto":{"limitreport-timeusage":{"value":"0.250","limit":"10.000"},"limitreport-memusage":{"value":5327762,"limit":52428800}},"cachereport":{"origin":"mw-web.codfw.main-5fb746f978-nwrft","timestamp":"20241119114511","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"Rinormalizzazione","url":"https:\/\/it.wikipedia.org\/wiki\/Rinormalizzazione","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q1047702","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q1047702","author":{"@type":"Organization","name":"Contributori ai progetti Wikimedia"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Wikimedia Foundation, Inc.","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2005-09-19T12:10:31Z","dateModified":"2024-08-08T08:43:24Z","headline":"insieme di tecniche"}</script> </body> </html>