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<!DOCTYPE html> <html lang="en"> <head> <meta content="text/html; charset=utf-8" http-equiv="content-type"/> <title>H-AddiVortes: Heteroscedastic (Bayesian) Additive Voronoi Tessellations</title>   <meta content="width=device-width, initial-scale=1, shrink-to-fit=no" name="viewport"/> <link href="https://cdn.jsdelivr.net/npm/bootstrap@5.3.0/dist/css/bootstrap.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/ar5iv.0.7.9.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/ar5iv-fonts.0.7.9.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/latexml_styles.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/bootstrap@5.3.0/dist/js/bootstrap.bundle.min.js"></script> <script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/html2canvas/1.3.3/html2canvas.min.js"></script> <script src="/static/browse/0.3.4/js/addons_new.js"></script> <script 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Tessellations"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3 </span>Heteroscedastic AddiVortes</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13037v1#S3.SS1" title="In 3 Heteroscedastic AddiVortes ‣ H-AddiVortes: Heteroscedastic (Bayesian) Additive Voronoi Tessellations"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3.1 </span>Mean Model</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13037v1#S3.SS2" title="In 3 Heteroscedastic AddiVortes ‣ H-AddiVortes: Heteroscedastic (Bayesian) Additive Voronoi Tessellations"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3.2 </span>Variance Model</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13037v1#S3.SS3" title="In 3 Heteroscedastic AddiVortes ‣ H-AddiVortes: Heteroscedastic (Bayesian) Additive Voronoi Tessellations"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3.3 </span>Calibrating the Variance Prior</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13037v1#S3.SS4" title="In 3 Heteroscedastic AddiVortes ‣ H-AddiVortes: Heteroscedastic (Bayesian) Additive Voronoi Tessellations"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3.4 </span>Model Evaluation Metrics</span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13037v1#S4" title="In H-AddiVortes: Heteroscedastic (Bayesian) Additive Voronoi Tessellations"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">4 </span>Illustrating Heteroscedastic AddiVortes on simulated data</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13037v1#S5" title="In H-AddiVortes: Heteroscedastic (Bayesian) Additive Voronoi Tessellations"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">5 </span>Cars Dataset</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13037v1#S6" title="In H-AddiVortes: Heteroscedastic (Bayesian) Additive Voronoi Tessellations"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">6 </span>Million Songs Dataset</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13037v1#S7" title="In H-AddiVortes: Heteroscedastic (Bayesian) Additive Voronoi Tessellations"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">7 </span>Conclusion</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13037v1#S8" title="In H-AddiVortes: Heteroscedastic (Bayesian) Additive Voronoi Tessellations"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">8 </span>Conflict of Interest statement</span></a></li> </ol></nav> </nav> <div class="ltx_page_main"> <div class="ltx_page_content"> <article class="ltx_document ltx_authors_1line"> <h1 class="ltx_title ltx_title_document">H-AddiVortes: Heteroscedastic (Bayesian) Additive Voronoi Tessellations</h1> <div class="ltx_authors"> <span class="ltx_creator ltx_role_author"> <span class="ltx_personname">Adam J. Stone and John Paul Gosling <br class="ltx_break"/><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="id1.1.id1">Department of Mathematical Sciences, Durham University, UK</span> </span></span> </div> <div class="ltx_dates">(March 14, 2025)</div> <div class="ltx_abstract"> <h6 class="ltx_title ltx_title_abstract">Abstract</h6> <p class="ltx_p" id="id2.id1">This paper introduces the Heteroscedastic AddiVortes model, a Bayesian non-parametric regression framework that simultaneously models the conditional mean and variance of a response variable using adaptive Voronoi tessellations. By employing a sum-of-tessellations approach for the mean and a product-of-tessellations approach for the variance, the model provides a flexible and interpretable means to capture complex, predictor-dependent relationships and heteroscedastic patterns in data. This dual-layer representation enables precise inference, even in high-dimensional settings, while maintaining computational feasibility through efficient Markov Chain Monte Carlo (MCMC) sampling and conjugate prior structures. We illustrate the model’s capability through both simulated and real-world datasets, demonstrating its ability to capture nuanced variance structures, provide reliable predictive uncertainty quantification, and highlight key predictors influencing both the mean response and its variability. Empirical results show that the Heteroscedastic AddiVortes model offers a substantial improvement in capturing distributional properties compared to both homoscedastic and heteroscedastic alternatives, making it a robust tool for complex regression problems in various applied settings. <br class="ltx_break"/><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="id2.id1.1">Keywords:</span> AddiVortes Model, Black Box Algorithm, Heteroscedasticity, Nonparametric Regression, Voronoi Tessellations. <br class="ltx_break"/><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="id2.id1.2">Total Words:</span> 4037</p> </div> <section class="ltx_section" id="S1"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">1 </span>Introduction</h2> <div class="ltx_para" id="S1.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.p1.5">The challenge of developing advanced regression techniques to capture the relationships between high-dimensional predictors <math alttext="\bm{x}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.1.m1.1"><semantics id="S1.p1.1.m1.1a"><mi id="S1.p1.1.m1.1.1" xref="S1.p1.1.m1.1.1.cmml">𝒙</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.1.m1.1b"><ci id="S1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p1.1.m1.1.1">𝒙</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.1.m1.1c">\bm{x}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.1.m1.1d">bold_italic_x</annotation></semantics></math> and a continuous response <math alttext="Y" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.2.m2.1"><semantics id="S1.p1.2.m2.1a"><mi id="S1.p1.2.m2.1.1" xref="S1.p1.2.m2.1.1.cmml">Y</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.2.m2.1b"><ci id="S1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.p1.2.m2.1.1">𝑌</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.2.m2.1c">Y</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.2.m2.1d">italic_Y</annotation></semantics></math> remains complex. Although notable approaches, including Gaussian process regression <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_citep">(<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13037v1#bib.bib12" title="">Schulz et al., 2018a, </a>)</cite>, random forests <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_citep">(Breiman,, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13037v1#bib.bib2" title="">2001</a>)</cite>, gradient-boosting machines <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_citep">(Friedman,, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13037v1#bib.bib5" title="">2001</a>)</cite>, and deep neural networks for regression (DNNR) <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_citep">(<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13037v1#bib.bib13" title="">Schulz et al., 2018b, </a>)</cite>, have been developed, many are limited to modeling only the conditional mean <math alttext="\mathds{E}[Y|\bm{x}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.3.m3.1"><semantics id="S1.p1.3.m3.1a"><mrow id="S1.p1.3.m3.1.1" xref="S1.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S1.p1.3.m3.1.1.3" xref="S1.p1.3.m3.1.1.3.cmml">𝔼</mi><mo id="S1.p1.3.m3.1.1.2" xref="S1.p1.3.m3.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p1.3.m3.1.1.1.1" xref="S1.p1.3.m3.1.1.1.2.cmml"><mo id="S1.p1.3.m3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.p1.3.m3.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S1.p1.3.m3.1.1.1.1.1" xref="S1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2" xref="S1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml">Y</mi><mo fence="false" id="S1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1" xref="S1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">|</mo><mi id="S1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3" xref="S1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml">𝒙</mi></mrow><mo id="S1.p1.3.m3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.p1.3.m3.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.3.m3.1b"><apply id="S1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S1.p1.3.m3.1.1"><times id="S1.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.3.m3.1.1.2"></times><ci id="S1.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S1.p1.3.m3.1.1.3">𝔼</ci><apply id="S1.p1.3.m3.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.3.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S1.p1.3.m3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.p1.3.m3.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.3.m3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2">𝑌</ci><ci id="S1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3">𝒙</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.3.m3.1c">\mathds{E}[Y|\bm{x}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.3.m3.1d">blackboard_E [ italic_Y | bold_italic_x ]</annotation></semantics></math> with a constant error variance assumption. Bayesian methods such as Bayesian Additive Regression Trees (BART) <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_citep">(Chipman et al.,, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13037v1#bib.bib3" title="">2010</a>)</cite> offer robust tools for posterior inference and uncertainty quantification but often assume homoscedasticity, where the variance of <math alttext="Y" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.4.m4.1"><semantics id="S1.p1.4.m4.1a"><mi id="S1.p1.4.m4.1.1" xref="S1.p1.4.m4.1.1.cmml">Y</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.4.m4.1b"><ci id="S1.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S1.p1.4.m4.1.1">𝑌</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.4.m4.1c">Y</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.4.m4.1d">italic_Y</annotation></semantics></math> given <math alttext="\bm{x}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.5.m5.1"><semantics id="S1.p1.5.m5.1a"><mi id="S1.p1.5.m5.1.1" xref="S1.p1.5.m5.1.1.cmml">𝒙</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.5.m5.1b"><ci id="S1.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S1.p1.5.m5.1.1">𝒙</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.5.m5.1c">\bm{x}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.5.m5.1d">bold_italic_x</annotation></semantics></math> is independent of the predictors.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p2"> <p class="ltx_p" id="S1.p2.1">However, this assumption is unrealistic in many practical scenarios. Real-world data from many different industries such as medical data <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_citep">(Zhang et al.,, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13037v1#bib.bib16" title="">2024</a>)</cite>, financial data <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_citep">(Nguyen et al.,, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13037v1#bib.bib11" title="">2021</a>)</cite> and climate data <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_citep">(Lee and Liu,, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13037v1#bib.bib9" title="">2023</a>)</cite>, often exhibit heteroscedasticity, significantly influencing predictive performance and inferential accuracy. Approaches that address this complexity, such as heteroscedastic regression models, enable capturing relationships between predictors and the variability of the response.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p3"> <p class="ltx_p" id="S1.p3.1">Techniques for addressing heteroscedastic data include using weighted regression <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_citep">(Jung and Kim,, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13037v1#bib.bib7" title="">2022</a>)</cite>, which assigns different weights to data points based on the variance of their residuals. This helps to give less weight to observations with higher variance, leading to more efficient and unbiased estimates. However, determining the correct weights can be complex and may require prior knowledge about the nature of heteroscedasticity, and this method can be computationally intensive for large datasets. Transforming the dependent variable, such as taking the logarithm, can stabilize variance but complicate the interpretation of model coefficients. Using robust standard errors adjusts the standard errors of the regression coefficients to account for heteroscedasticity, providing more reliable statistical inferences, although it does not address the heteroscedasticity itself, which can still affect model performance.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p4"> <p class="ltx_p" id="S1.p4.1">In addition to these techniques, Gaussian Process (GP) regression variants provide sophisticated methods for handling heteroscedastic data. Warping <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_citep">(Snelson et al.,, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13037v1#bib.bib14" title="">2003</a>)</cite> involves applying nonlinear transformations to input data to better capture the underlying structure and heteroscedasticity. Heteroscedastic GP regression <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_citep">(Kristian et al.,, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13037v1#bib.bib8" title="">2007</a>)</cite> incorporates an input-dependent noise model that adapts the variance of the predictions based on the input space, making it particularly useful for datasets with varying noise levels. These GP variants offer flexible and powerful approaches to model complex, heteroscedastic relationships in data, but they also come with higher computational costs and require more expertise to implement effectively.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p5"> <p class="ltx_p" id="S1.p5.1">Recently, in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">M. T. Pratola and McCulloch, (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13037v1#bib.bib10" title="">2020</a>)</cite>, a nonparametric heteroscedastic elaboration of BART called HBART was proposed. In addition to the mean function being modeled with a sum of trees, each of which determines an additive contribution to the mean, the variance function is further modeled with a product of trees, each of which determines a multiplicative contribution to the variance.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p6"> <p class="ltx_p" id="S1.p6.2">The present paper introduces the heteroscedastic AddiVortes model, a novel extension of Bayesian Additive Voronoi Tessellations (AddiVortes). The proposed methodology models both <math alttext="\mathds{E}[Y|\bm{x}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p6.1.m1.1"><semantics id="S1.p6.1.m1.1a"><mrow id="S1.p6.1.m1.1.1" xref="S1.p6.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S1.p6.1.m1.1.1.3" xref="S1.p6.1.m1.1.1.3.cmml">𝔼</mi><mo id="S1.p6.1.m1.1.1.2" xref="S1.p6.1.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p6.1.m1.1.1.1.1" xref="S1.p6.1.m1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S1.p6.1.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.p6.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S1.p6.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">Y</mi><mo fence="false" id="S1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">|</mo><mi id="S1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝒙</mi></mrow><mo id="S1.p6.1.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.p6.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p6.1.m1.1b"><apply id="S1.p6.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p6.1.m1.1.1"><times id="S1.p6.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S1.p6.1.m1.1.1.2"></times><ci id="S1.p6.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S1.p6.1.m1.1.1.3">𝔼</ci><apply id="S1.p6.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p6.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S1.p6.1.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.p6.1.m1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p6.1.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.2">𝑌</ci><ci id="S1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.p6.1.m1.1.1.1.1.1.3">𝒙</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p6.1.m1.1c">\mathds{E}[Y|\bm{x}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p6.1.m1.1d">blackboard_E [ italic_Y | bold_italic_x ]</annotation></semantics></math> and <math alttext="\mathds{V}ar[Y|\bm{x}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p6.2.m2.1"><semantics id="S1.p6.2.m2.1a"><mrow id="S1.p6.2.m2.1.1" xref="S1.p6.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S1.p6.2.m2.1.1.3" xref="S1.p6.2.m2.1.1.3.cmml">𝕍</mi><mo id="S1.p6.2.m2.1.1.2" xref="S1.p6.2.m2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S1.p6.2.m2.1.1.4" xref="S1.p6.2.m2.1.1.4.cmml">a</mi><mo id="S1.p6.2.m2.1.1.2a" xref="S1.p6.2.m2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S1.p6.2.m2.1.1.5" xref="S1.p6.2.m2.1.1.5.cmml">r</mi><mo id="S1.p6.2.m2.1.1.2b" xref="S1.p6.2.m2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p6.2.m2.1.1.1.1" xref="S1.p6.2.m2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S1.p6.2.m2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.p6.2.m2.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S1.p6.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S1.p6.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.p6.2.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S1.p6.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">Y</mi><mo fence="false" id="S1.p6.2.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S1.p6.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">|</mo><mi id="S1.p6.2.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S1.p6.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">𝒙</mi></mrow><mo id="S1.p6.2.m2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.p6.2.m2.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p6.2.m2.1b"><apply id="S1.p6.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.p6.2.m2.1.1"><times id="S1.p6.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S1.p6.2.m2.1.1.2"></times><ci id="S1.p6.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S1.p6.2.m2.1.1.3">𝕍</ci><ci id="S1.p6.2.m2.1.1.4.cmml" xref="S1.p6.2.m2.1.1.4">𝑎</ci><ci id="S1.p6.2.m2.1.1.5.cmml" xref="S1.p6.2.m2.1.1.5">𝑟</ci><apply id="S1.p6.2.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p6.2.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S1.p6.2.m2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.p6.2.m2.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S1.p6.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p6.2.m2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S1.p6.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p6.2.m2.1.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S1.p6.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p6.2.m2.1.1.1.1.1.2">𝑌</ci><ci id="S1.p6.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.p6.2.m2.1.1.1.1.1.3">𝒙</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p6.2.m2.1c">\mathds{V}ar[Y|\bm{x}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p6.2.m2.1d">blackboard_V italic_a italic_r [ italic_Y | bold_italic_x ]</annotation></semantics></math> through distinct multidimensional tessellations. The conditional mean is represented via a “sum-of-tessellations” ensemble that captures additive effects, while the conditional variance is modeled through a “product-of-tessellations” ensemble that multiplicatively defines the variance response surface. This dual ensemble approach ensures flexible, efficient modeling, benefiting from conditional conjugacy for computation and facilitating prior specification.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p7"> <p class="ltx_p" id="S1.p7.1">In high-dimensional contexts, this enhanced AddiVortes framework allows for the simultaneous inference of mean and variance structures, offering insights beyond conventional homoscedastic models. The flexibility of the model to capture complex interactions and heteroscedastic patterns makes it a valuable tool in diverse data analysis settings.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p8"> <p class="ltx_p" id="S1.p8.1">The remainder of the paper is organized as follows. In Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13037v1#S2" title="2 The homoscedastic AddiVortes model ‣ H-AddiVortes: Heteroscedastic (Bayesian) Additive Voronoi Tessellations"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>, the homoscedastic AddiVortes model is described where the variance of the noise is assumed to be constant. Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13037v1#S3" title="3 Heteroscedastic AddiVortes ‣ H-AddiVortes: Heteroscedastic (Bayesian) Additive Voronoi Tessellations"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a> builds upon the homoscedastic and explains the heteroscedastic AddiVortes model where the variance of the noise is dependent on the covariates. In Sections <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13037v1#S4" title="4 Illustrating Heteroscedastic AddiVortes on simulated data ‣ H-AddiVortes: Heteroscedastic (Bayesian) Additive Voronoi Tessellations"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>, we illustrate the potential of heteroscedastic AddiVortes through simulated scenarios. In Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13037v1#S5" title="5 Cars Dataset ‣ H-AddiVortes: Heteroscedastic (Bayesian) Additive Voronoi Tessellations"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a> and Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13037v1#S6" title="6 Million Songs Dataset ‣ H-AddiVortes: Heteroscedastic (Bayesian) Additive Voronoi Tessellations"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6</span></a>, we compare the performance of heteroscedastic AddiVortes to heteroscedastic BART and the homoscedastic AddiVortes on real-world data using a range of metrics. Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13037v1#S7" title="7 Conclusion ‣ H-AddiVortes: Heteroscedastic (Bayesian) Additive Voronoi Tessellations"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7</span></a> concludes the paper with a discussion.</p> </div> </section> <section class="ltx_section" id="S2"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">2 </span>The homoscedastic AddiVortes model</h2> <div class="ltx_para" id="S2.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.p1.4">Many methods aim to model a conditional expectation function <math alttext="f" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.p1.1.m1.1a"><mi id="S2.p1.1.m1.1.1" xref="S2.p1.1.m1.1.1.cmml">f</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.1.m1.1b"><ci id="S2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.p1.1.m1.1.1">𝑓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.1.m1.1c">f</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.1.m1.1d">italic_f</annotation></semantics></math> that relates the continuous variable <math alttext="Y" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.2.m2.1"><semantics id="S2.p1.2.m2.1a"><mi id="S2.p1.2.m2.1.1" xref="S2.p1.2.m2.1.1.cmml">Y</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.2.m2.1b"><ci id="S2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.p1.2.m2.1.1">𝑌</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.2.m2.1c">Y</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.2.m2.1d">italic_Y</annotation></semantics></math> to some or all of <math alttext="p" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.3.m3.1"><semantics id="S2.p1.3.m3.1a"><mi id="S2.p1.3.m3.1.1" xref="S2.p1.3.m3.1.1.cmml">p</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.3.m3.1b"><ci id="S2.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.p1.3.m3.1.1">𝑝</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.3.m3.1c">p</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.3.m3.1d">italic_p</annotation></semantics></math> (potential) covariates <math alttext="\bm{x}=(x_{1},\ldots,x_{p})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.4.m4.3"><semantics id="S2.p1.4.m4.3a"><mrow id="S2.p1.4.m4.3.3" xref="S2.p1.4.m4.3.3.cmml"><mi id="S2.p1.4.m4.3.3.4" xref="S2.p1.4.m4.3.3.4.cmml">𝒙</mi><mo id="S2.p1.4.m4.3.3.3" xref="S2.p1.4.m4.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.p1.4.m4.3.3.2.2" xref="S2.p1.4.m4.3.3.2.3.cmml"><mo id="S2.p1.4.m4.3.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.p1.4.m4.3.3.2.3.cmml">(</mo><msub id="S2.p1.4.m4.2.2.1.1.1" xref="S2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2" xref="S2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3" xref="S2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.p1.4.m4.3.3.2.2.4" xref="S2.p1.4.m4.3.3.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.p1.4.m4.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.p1.4.m4.1.1.cmml">…</mi><mo id="S2.p1.4.m4.3.3.2.2.5" xref="S2.p1.4.m4.3.3.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.p1.4.m4.3.3.2.2.2" xref="S2.p1.4.m4.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S2.p1.4.m4.3.3.2.2.2.2" xref="S2.p1.4.m4.3.3.2.2.2.2.cmml">x</mi><mi id="S2.p1.4.m4.3.3.2.2.2.3" xref="S2.p1.4.m4.3.3.2.2.2.3.cmml">p</mi></msub><mo id="S2.p1.4.m4.3.3.2.2.6" stretchy="false" xref="S2.p1.4.m4.3.3.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.4.m4.3b"><apply id="S2.p1.4.m4.3.3.cmml" xref="S2.p1.4.m4.3.3"><eq id="S2.p1.4.m4.3.3.3.cmml" xref="S2.p1.4.m4.3.3.3"></eq><ci id="S2.p1.4.m4.3.3.4.cmml" xref="S2.p1.4.m4.3.3.4">𝒙</ci><vector id="S2.p1.4.m4.3.3.2.3.cmml" xref="S2.p1.4.m4.3.3.2.2"><apply id="S2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.p1.4.m4.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p1.4.m4.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S2.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.p1.4.m4.1.1">…</ci><apply id="S2.p1.4.m4.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.p1.4.m4.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p1.4.m4.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S2.p1.4.m4.3.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p1.4.m4.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p1.4.m4.3.3.2.2.2.2">𝑥</ci><ci id="S2.p1.4.m4.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S2.p1.4.m4.3.3.2.2.2.3">𝑝</ci></apply></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.4.m4.3c">\bm{x}=(x_{1},\ldots,x_{p})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.4.m4.3d">bold_italic_x = ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>, such that</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex1"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="Y=f(\bm{x})+\varepsilon,~{}~{}~{}~{}~{}\varepsilon\sim\mathcal{N}(0,\sigma^{2})," class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex1.m1.3"><semantics id="S2.Ex1.m1.3a"><mrow id="S2.Ex1.m1.3.3.1"><mrow id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">Y</mi><mo id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.cmml">f</mi><mo id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.1" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml"><mo id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex1.m1.1.1" xref="S2.Ex1.m1.1.1.cmml">𝒙</mi><mo id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.3.1" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mi id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">ε</mi></mrow></mrow><mo id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.3" rspace="1.817em" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.2.3" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml">ε</mi><mo id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.2.2" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml">∼</mo><mrow id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.2.1" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.2.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.2.1.3" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.2.1.3.cmml">𝒩</mi><mo id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.2.1.2" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2.cmml">(</mo><mn id="S2.Ex1.m1.2.2" xref="S2.Ex1.m1.2.2.cmml">0</mn><mo id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2.cmml">,</mo><msup id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">σ</mi><mn id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Ex1.m1.3.3.1.2">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex1.m1.3b"><apply id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.3a.cmml" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1"><eq id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1"></eq><ci id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.2">𝑌</ci><apply id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.3"><plus id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.3.1"></plus><apply id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.3.2"><times id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.1"></times><ci id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2">𝑓</ci><ci id="S2.Ex1.m1.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.1.1">𝒙</ci></apply><ci id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.3.3">𝜀</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.2.2">similar-to</csymbol><ci id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.2.3">𝜀</ci><apply id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.2.1"><times id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.2.1.2"></times><ci id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.2.1.3">𝒩</ci><interval closure="open" id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1"><cn id="S2.Ex1.m1.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex1.m1.2.2">0</cn><apply id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.2">𝜎</ci><cn id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.3">2</cn></apply></interval></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex1.m1.3c">Y=f(\bm{x})+\varepsilon,~{}~{}~{}~{}~{}\varepsilon\sim\mathcal{N}(0,\sigma^{2}),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex1.m1.3d">italic_Y = italic_f ( bold_italic_x ) + italic_ε , italic_ε ∼ caligraphic_N ( 0 , italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.p1.5">under the assumption that the noise has zero mean and is homoscedastic.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.p2"> <p class="ltx_p" id="S2.p2.3">In <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Stone and Gosling, (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13037v1#bib.bib15" title="">2024</a>)</cite>, the AddiVortes model was introduced, which models the systematic part of this relationship using a sum of step-wise functions built upon Voronoi tessellations. More specifically, they approximated <math alttext="f(\bm{x})=\mathds{E}(Y|\bm{x})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p2.1.m1.2"><semantics id="S2.p2.1.m1.2a"><mrow id="S2.p2.1.m1.2.2" xref="S2.p2.1.m1.2.2.cmml"><mrow id="S2.p2.1.m1.2.2.3" xref="S2.p2.1.m1.2.2.3.cmml"><mi id="S2.p2.1.m1.2.2.3.2" xref="S2.p2.1.m1.2.2.3.2.cmml">f</mi><mo id="S2.p2.1.m1.2.2.3.1" xref="S2.p2.1.m1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p2.1.m1.2.2.3.3.2" xref="S2.p2.1.m1.2.2.3.cmml"><mo id="S2.p2.1.m1.2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.p2.1.m1.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S2.p2.1.m1.1.1" xref="S2.p2.1.m1.1.1.cmml">𝒙</mi><mo id="S2.p2.1.m1.2.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.p2.1.m1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.p2.1.m1.2.2.2" xref="S2.p2.1.m1.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.p2.1.m1.2.2.1" xref="S2.p2.1.m1.2.2.1.cmml"><mi id="S2.p2.1.m1.2.2.1.3" xref="S2.p2.1.m1.2.2.1.3.cmml">𝔼</mi><mo id="S2.p2.1.m1.2.2.1.2" xref="S2.p2.1.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">Y</mi><mo fence="false" id="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">|</mo><mi id="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">𝒙</mi></mrow><mo id="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p2.1.m1.2b"><apply id="S2.p2.1.m1.2.2.cmml" xref="S2.p2.1.m1.2.2"><eq id="S2.p2.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S2.p2.1.m1.2.2.2"></eq><apply id="S2.p2.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S2.p2.1.m1.2.2.3"><times id="S2.p2.1.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S2.p2.1.m1.2.2.3.1"></times><ci id="S2.p2.1.m1.2.2.3.2.cmml" xref="S2.p2.1.m1.2.2.3.2">𝑓</ci><ci id="S2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1">𝒙</ci></apply><apply id="S2.p2.1.m1.2.2.1.cmml" xref="S2.p2.1.m1.2.2.1"><times id="S2.p2.1.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S2.p2.1.m1.2.2.1.2"></times><ci id="S2.p2.1.m1.2.2.1.3.cmml" xref="S2.p2.1.m1.2.2.1.3">𝔼</ci><apply id="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.2">𝑌</ci><ci id="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.3">𝒙</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p2.1.m1.2c">f(\bm{x})=\mathds{E}(Y|\bm{x})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p2.1.m1.2d">italic_f ( bold_italic_x ) = blackboard_E ( italic_Y | bold_italic_x )</annotation></semantics></math>, the mean of <math alttext="Y" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p2.2.m2.1"><semantics id="S2.p2.2.m2.1a"><mi id="S2.p2.2.m2.1.1" xref="S2.p2.2.m2.1.1.cmml">Y</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p2.2.m2.1b"><ci id="S2.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.p2.2.m2.1.1">𝑌</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p2.2.m2.1c">Y</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p2.2.m2.1d">italic_Y</annotation></semantics></math> given <math alttext="\bm{x}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p2.3.m3.1"><semantics id="S2.p2.3.m3.1a"><mi id="S2.p2.3.m3.1.1" xref="S2.p2.3.m3.1.1.cmml">𝒙</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p2.3.m3.1b"><ci id="S2.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.p2.3.m3.1.1">𝒙</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p2.3.m3.1c">\bm{x}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p2.3.m3.1d">bold_italic_x</annotation></semantics></math>, by the sum of many piecewise constant functions with boundaries defined by Voronoi tessellations.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.p3"> <p class="ltx_p" id="S2.p3.12">The AddiVortes model consists of a predetermined fixed number, <math alttext="m" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.1.m1.1"><semantics id="S2.p3.1.m1.1a"><mi id="S2.p3.1.m1.1.1" xref="S2.p3.1.m1.1.1.cmml">m</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.1.m1.1b"><ci id="S2.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.p3.1.m1.1.1">𝑚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.1.m1.1c">m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.1.m1.1d">italic_m</annotation></semantics></math>, of tessellations, where <math alttext="m" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.2.m2.1"><semantics id="S2.p3.2.m2.1a"><mi id="S2.p3.2.m2.1.1" xref="S2.p3.2.m2.1.1.cmml">m</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.2.m2.1b"><ci id="S2.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.p3.2.m2.1.1">𝑚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.2.m2.1c">m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.2.m2.1d">italic_m</annotation></semantics></math> takes the default value of 200 (a reasonable choice in most cases) or cross validation is applied. The <math alttext="j^{\mathrm{th}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.3.m3.1"><semantics id="S2.p3.3.m3.1a"><msup id="S2.p3.3.m3.1.1" xref="S2.p3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S2.p3.3.m3.1.1.2" xref="S2.p3.3.m3.1.1.2.cmml">j</mi><mi id="S2.p3.3.m3.1.1.3" xref="S2.p3.3.m3.1.1.3.cmml">th</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.3.m3.1b"><apply id="S2.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.p3.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.p3.3.m3.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.p3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.p3.3.m3.1.1.2">𝑗</ci><ci id="S2.p3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S2.p3.3.m3.1.1.3">th</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.3.m3.1c">j^{\mathrm{th}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.3.m3.1d">italic_j start_POSTSUPERSCRIPT roman_th end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> tessellation structure is denoted by <math alttext="T_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.4.m4.1"><semantics id="S2.p3.4.m4.1a"><msub id="S2.p3.4.m4.1.1" xref="S2.p3.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S2.p3.4.m4.1.1.2" xref="S2.p3.4.m4.1.1.2.cmml">T</mi><mi id="S2.p3.4.m4.1.1.3" xref="S2.p3.4.m4.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.4.m4.1b"><apply id="S2.p3.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.p3.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p3.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.p3.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p3.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.p3.4.m4.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S2.p3.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S2.p3.4.m4.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.4.m4.1c">T_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.4.m4.1d">italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, that is, which covariates are dimensions in the tessellation and the coordinates of the centers of the cells. The corresponding output values for each cell are given by <math alttext="\bm{M}_{j}=\{\mu_{1j},\ldots,\mu_{b_{j}j}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.5.m5.3"><semantics id="S2.p3.5.m5.3a"><mrow id="S2.p3.5.m5.3.3" xref="S2.p3.5.m5.3.3.cmml"><msub id="S2.p3.5.m5.3.3.4" xref="S2.p3.5.m5.3.3.4.cmml"><mi id="S2.p3.5.m5.3.3.4.2" xref="S2.p3.5.m5.3.3.4.2.cmml">𝑴</mi><mi id="S2.p3.5.m5.3.3.4.3" xref="S2.p3.5.m5.3.3.4.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S2.p3.5.m5.3.3.3" xref="S2.p3.5.m5.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.p3.5.m5.3.3.2.2" xref="S2.p3.5.m5.3.3.2.3.cmml"><mo id="S2.p3.5.m5.3.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.p3.5.m5.3.3.2.3.cmml">{</mo><msub id="S2.p3.5.m5.2.2.1.1.1" xref="S2.p3.5.m5.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p3.5.m5.2.2.1.1.1.2" xref="S2.p3.5.m5.2.2.1.1.1.2.cmml">μ</mi><mrow id="S2.p3.5.m5.2.2.1.1.1.3" xref="S2.p3.5.m5.2.2.1.1.1.3.cmml"><mn id="S2.p3.5.m5.2.2.1.1.1.3.2" xref="S2.p3.5.m5.2.2.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S2.p3.5.m5.2.2.1.1.1.3.1" xref="S2.p3.5.m5.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.p3.5.m5.2.2.1.1.1.3.3" xref="S2.p3.5.m5.2.2.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S2.p3.5.m5.3.3.2.2.4" xref="S2.p3.5.m5.3.3.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.p3.5.m5.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.p3.5.m5.1.1.cmml">…</mi><mo id="S2.p3.5.m5.3.3.2.2.5" xref="S2.p3.5.m5.3.3.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.p3.5.m5.3.3.2.2.2" xref="S2.p3.5.m5.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S2.p3.5.m5.3.3.2.2.2.2" xref="S2.p3.5.m5.3.3.2.2.2.2.cmml">μ</mi><mrow id="S2.p3.5.m5.3.3.2.2.2.3" xref="S2.p3.5.m5.3.3.2.2.2.3.cmml"><msub id="S2.p3.5.m5.3.3.2.2.2.3.2" xref="S2.p3.5.m5.3.3.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="S2.p3.5.m5.3.3.2.2.2.3.2.2" xref="S2.p3.5.m5.3.3.2.2.2.3.2.2.cmml">b</mi><mi id="S2.p3.5.m5.3.3.2.2.2.3.2.3" xref="S2.p3.5.m5.3.3.2.2.2.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S2.p3.5.m5.3.3.2.2.2.3.1" xref="S2.p3.5.m5.3.3.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.p3.5.m5.3.3.2.2.2.3.3" xref="S2.p3.5.m5.3.3.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S2.p3.5.m5.3.3.2.2.6" stretchy="false" xref="S2.p3.5.m5.3.3.2.3.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.5.m5.3b"><apply id="S2.p3.5.m5.3.3.cmml" xref="S2.p3.5.m5.3.3"><eq id="S2.p3.5.m5.3.3.3.cmml" xref="S2.p3.5.m5.3.3.3"></eq><apply id="S2.p3.5.m5.3.3.4.cmml" xref="S2.p3.5.m5.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p3.5.m5.3.3.4.1.cmml" xref="S2.p3.5.m5.3.3.4">subscript</csymbol><ci id="S2.p3.5.m5.3.3.4.2.cmml" xref="S2.p3.5.m5.3.3.4.2">𝑴</ci><ci id="S2.p3.5.m5.3.3.4.3.cmml" xref="S2.p3.5.m5.3.3.4.3">𝑗</ci></apply><set id="S2.p3.5.m5.3.3.2.3.cmml" xref="S2.p3.5.m5.3.3.2.2"><apply id="S2.p3.5.m5.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.p3.5.m5.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p3.5.m5.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p3.5.m5.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p3.5.m5.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p3.5.m5.2.2.1.1.1.2">𝜇</ci><apply id="S2.p3.5.m5.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p3.5.m5.2.2.1.1.1.3"><times id="S2.p3.5.m5.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.p3.5.m5.2.2.1.1.1.3.1"></times><cn id="S2.p3.5.m5.2.2.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.p3.5.m5.2.2.1.1.1.3.2">1</cn><ci id="S2.p3.5.m5.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.p3.5.m5.2.2.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="S2.p3.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.p3.5.m5.1.1">…</ci><apply id="S2.p3.5.m5.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.p3.5.m5.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p3.5.m5.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S2.p3.5.m5.3.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p3.5.m5.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p3.5.m5.3.3.2.2.2.2">𝜇</ci><apply id="S2.p3.5.m5.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S2.p3.5.m5.3.3.2.2.2.3"><times id="S2.p3.5.m5.3.3.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.p3.5.m5.3.3.2.2.2.3.1"></times><apply id="S2.p3.5.m5.3.3.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.p3.5.m5.3.3.2.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p3.5.m5.3.3.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S2.p3.5.m5.3.3.2.2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p3.5.m5.3.3.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="S2.p3.5.m5.3.3.2.2.2.3.2.2">𝑏</ci><ci id="S2.p3.5.m5.3.3.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="S2.p3.5.m5.3.3.2.2.2.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S2.p3.5.m5.3.3.2.2.2.3.3.cmml" xref="S2.p3.5.m5.3.3.2.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.5.m5.3c">\bm{M}_{j}=\{\mu_{1j},\ldots,\mu_{b_{j}j}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.5.m5.3d">bold_italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT = { italic_μ start_POSTSUBSCRIPT 1 italic_j end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT }</annotation></semantics></math>, where <math alttext="b_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.6.m6.1"><semantics id="S2.p3.6.m6.1a"><msub id="S2.p3.6.m6.1.1" xref="S2.p3.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S2.p3.6.m6.1.1.2" xref="S2.p3.6.m6.1.1.2.cmml">b</mi><mi id="S2.p3.6.m6.1.1.3" xref="S2.p3.6.m6.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.6.m6.1b"><apply id="S2.p3.6.m6.1.1.cmml" xref="S2.p3.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p3.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S2.p3.6.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p3.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S2.p3.6.m6.1.1.2">𝑏</ci><ci id="S2.p3.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S2.p3.6.m6.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.6.m6.1c">b_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.6.m6.1d">italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the number of cells in tessellation <math alttext="T_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.7.m7.1"><semantics id="S2.p3.7.m7.1a"><msub id="S2.p3.7.m7.1.1" xref="S2.p3.7.m7.1.1.cmml"><mi id="S2.p3.7.m7.1.1.2" xref="S2.p3.7.m7.1.1.2.cmml">T</mi><mi id="S2.p3.7.m7.1.1.3" xref="S2.p3.7.m7.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.7.m7.1b"><apply id="S2.p3.7.m7.1.1.cmml" xref="S2.p3.7.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p3.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S2.p3.7.m7.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p3.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S2.p3.7.m7.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S2.p3.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S2.p3.7.m7.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.7.m7.1c">T_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.7.m7.1d">italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. The output value for a sample <math alttext="\bm{x}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.8.m8.1"><semantics id="S2.p3.8.m8.1a"><mi id="S2.p3.8.m8.1.1" xref="S2.p3.8.m8.1.1.cmml">𝒙</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.8.m8.1b"><ci id="S2.p3.8.m8.1.1.cmml" xref="S2.p3.8.m8.1.1">𝒙</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.8.m8.1c">\bm{x}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.8.m8.1d">bold_italic_x</annotation></semantics></math> of tessellation <math alttext="T_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.9.m9.1"><semantics id="S2.p3.9.m9.1a"><msub id="S2.p3.9.m9.1.1" xref="S2.p3.9.m9.1.1.cmml"><mi id="S2.p3.9.m9.1.1.2" xref="S2.p3.9.m9.1.1.2.cmml">T</mi><mi id="S2.p3.9.m9.1.1.3" xref="S2.p3.9.m9.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.9.m9.1b"><apply id="S2.p3.9.m9.1.1.cmml" xref="S2.p3.9.m9.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p3.9.m9.1.1.1.cmml" xref="S2.p3.9.m9.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p3.9.m9.1.1.2.cmml" xref="S2.p3.9.m9.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S2.p3.9.m9.1.1.3.cmml" xref="S2.p3.9.m9.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.9.m9.1c">T_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.9.m9.1d">italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, is given by the function <math alttext="g(\bm{x}|T_{j},\bm{M}_{j})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.10.m10.1"><semantics id="S2.p3.10.m10.1a"><mrow id="S2.p3.10.m10.1.1" xref="S2.p3.10.m10.1.1.cmml"><mi id="S2.p3.10.m10.1.1.3" xref="S2.p3.10.m10.1.1.3.cmml">g</mi><mo id="S2.p3.10.m10.1.1.2" xref="S2.p3.10.m10.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p3.10.m10.1.1.1.1" xref="S2.p3.10.m10.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.p3.10.m10.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.p3.10.m10.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.p3.10.m10.1.1.1.1.1" xref="S2.p3.10.m10.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p3.10.m10.1.1.1.1.1.4" xref="S2.p3.10.m10.1.1.1.1.1.4.cmml">𝒙</mi><mo fence="false" id="S2.p3.10.m10.1.1.1.1.1.3" xref="S2.p3.10.m10.1.1.1.1.1.3.cmml">|</mo><mrow id="S2.p3.10.m10.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.p3.10.m10.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><msub id="S2.p3.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.p3.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p3.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.p3.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">T</mi><mi id="S2.p3.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.p3.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S2.p3.10.m10.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.p3.10.m10.1.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.p3.10.m10.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.p3.10.m10.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.p3.10.m10.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S2.p3.10.m10.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">𝑴</mi><mi id="S2.p3.10.m10.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S2.p3.10.m10.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">j</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S2.p3.10.m10.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.p3.10.m10.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.10.m10.1b"><apply id="S2.p3.10.m10.1.1.cmml" xref="S2.p3.10.m10.1.1"><times id="S2.p3.10.m10.1.1.2.cmml" xref="S2.p3.10.m10.1.1.2"></times><ci id="S2.p3.10.m10.1.1.3.cmml" xref="S2.p3.10.m10.1.1.3">𝑔</ci><apply id="S2.p3.10.m10.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p3.10.m10.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.p3.10.m10.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p3.10.m10.1.1.1.1.1.3">conditional</csymbol><ci id="S2.p3.10.m10.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.p3.10.m10.1.1.1.1.1.4">𝒙</ci><list id="S2.p3.10.m10.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.p3.10.m10.1.1.1.1.1.2.2"><apply id="S2.p3.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p3.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p3.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p3.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p3.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p3.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S2.p3.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p3.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S2.p3.10.m10.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.p3.10.m10.1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p3.10.m10.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.p3.10.m10.1.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p3.10.m10.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p3.10.m10.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝑴</ci><ci id="S2.p3.10.m10.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.p3.10.m10.1.1.1.1.1.2.2.2.3">𝑗</ci></apply></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.10.m10.1c">g(\bm{x}|T_{j},\bm{M}_{j})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.10.m10.1d">italic_g ( bold_italic_x | italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>. An estimation of <math alttext="\mathds{E}(Y|\bm{x})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.11.m11.1"><semantics id="S2.p3.11.m11.1a"><mrow id="S2.p3.11.m11.1.1" xref="S2.p3.11.m11.1.1.cmml"><mi id="S2.p3.11.m11.1.1.3" xref="S2.p3.11.m11.1.1.3.cmml">𝔼</mi><mo id="S2.p3.11.m11.1.1.2" xref="S2.p3.11.m11.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p3.11.m11.1.1.1.1" xref="S2.p3.11.m11.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.p3.11.m11.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.p3.11.m11.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.p3.11.m11.1.1.1.1.1" xref="S2.p3.11.m11.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p3.11.m11.1.1.1.1.1.2" xref="S2.p3.11.m11.1.1.1.1.1.2.cmml">Y</mi><mo fence="false" id="S2.p3.11.m11.1.1.1.1.1.1" xref="S2.p3.11.m11.1.1.1.1.1.1.cmml">|</mo><mi id="S2.p3.11.m11.1.1.1.1.1.3" xref="S2.p3.11.m11.1.1.1.1.1.3.cmml">𝒙</mi></mrow><mo id="S2.p3.11.m11.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.p3.11.m11.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.11.m11.1b"><apply id="S2.p3.11.m11.1.1.cmml" xref="S2.p3.11.m11.1.1"><times id="S2.p3.11.m11.1.1.2.cmml" xref="S2.p3.11.m11.1.1.2"></times><ci id="S2.p3.11.m11.1.1.3.cmml" xref="S2.p3.11.m11.1.1.3">𝔼</ci><apply id="S2.p3.11.m11.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p3.11.m11.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.p3.11.m11.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p3.11.m11.1.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S2.p3.11.m11.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p3.11.m11.1.1.1.1.1.2">𝑌</ci><ci id="S2.p3.11.m11.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p3.11.m11.1.1.1.1.1.3">𝒙</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.11.m11.1c">\mathds{E}(Y|\bm{x})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.11.m11.1d">blackboard_E ( italic_Y | bold_italic_x )</annotation></semantics></math> is given by the sum of all the outputs of the tessellations that <math alttext="\bm{x}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.12.m12.1"><semantics id="S2.p3.12.m12.1a"><mi id="S2.p3.12.m12.1.1" xref="S2.p3.12.m12.1.1.cmml">𝒙</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.12.m12.1b"><ci id="S2.p3.12.m12.1.1.cmml" xref="S2.p3.12.m12.1.1">𝒙</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.12.m12.1c">\bm{x}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.12.m12.1d">bold_italic_x</annotation></semantics></math> corresponds to, that is</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.p4"> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex2"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="Y=\sum\limits_{j=1}^{m}g(\bm{x}|T_{j},\bm{M}_{j})+\varepsilon,~{}~{}~{}~{}~{}~% {}\varepsilon\sim\mathcal{N}(0,\sigma^{2})." class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex2.m1.2"><semantics id="S2.Ex2.m1.2a"><mrow id="S2.Ex2.m1.2.2.1"><mrow id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.2" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">Y</mi><mo id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.2" rspace="0.111em" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><munderover id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">m</mi></munderover><mrow id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">g</mi><mo id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">𝒙</mi><mo fence="false" id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">|</mo><mrow id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><msub id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">T</mi><mi id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">𝑴</mi><mi id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">j</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mi id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">ε</mi></mrow></mrow><mo id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.2.3" rspace="2.147em" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.2.2.3" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml">ε</mi><mo id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.2.2.2" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml">∼</mo><mrow id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.2.2.1" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.2.2.1.3" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.2.2.1.3.cmml">𝒩</mi><mo id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.2.2.1.2" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.cmml">(</mo><mn id="S2.Ex2.m1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.cmml">,</mo><msup id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">σ</mi><mn id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Ex2.m1.2.2.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex2.m1.2b"><apply id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.3a.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1"><eq id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.2"></eq><ci id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.3">𝑌</ci><apply id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1"><plus id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.2"></plus><apply id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"><apply id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2"></sum><apply id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><eq id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑔</ci><apply id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">conditional</csymbol><ci id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4">𝒙</ci><list id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><apply id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝑴</ci><ci id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3">𝑗</ci></apply></list></apply></apply></apply><ci id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.3">𝜀</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.2.2.2">similar-to</csymbol><ci id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.2.2.3">𝜀</ci><apply id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.2.2.1"><times id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.2.2.1.2"></times><ci id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.2.2.1.3">𝒩</ci><interval closure="open" id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1"><cn id="S2.Ex2.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.Ex2.m1.1.1">0</cn><apply id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.2">𝜎</ci><cn id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.3">2</cn></apply></interval></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex2.m1.2c">Y=\sum\limits_{j=1}^{m}g(\bm{x}|T_{j},\bm{M}_{j})+\varepsilon,~{}~{}~{}~{}~{}~% {}\varepsilon\sim\mathcal{N}(0,\sigma^{2}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex2.m1.2d">italic_Y = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT italic_g ( bold_italic_x | italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) + italic_ε , italic_ε ∼ caligraphic_N ( 0 , italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S2.p5"> <p class="ltx_p" id="S2.p5.2">In single-dimension tessellations, the <math alttext="\mu_{ij}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p5.1.m1.1"><semantics id="S2.p5.1.m1.1a"><msub id="S2.p5.1.m1.1.1" xref="S2.p5.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.p5.1.m1.1.1.2" xref="S2.p5.1.m1.1.1.2.cmml">μ</mi><mrow id="S2.p5.1.m1.1.1.3" xref="S2.p5.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.p5.1.m1.1.1.3.2" xref="S2.p5.1.m1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.p5.1.m1.1.1.3.1" xref="S2.p5.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.p5.1.m1.1.1.3.3" xref="S2.p5.1.m1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p5.1.m1.1b"><apply id="S2.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.p5.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p5.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.p5.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p5.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.p5.1.m1.1.1.2">𝜇</ci><apply id="S2.p5.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.p5.1.m1.1.1.3"><times id="S2.p5.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.p5.1.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S2.p5.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.p5.1.m1.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="S2.p5.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.p5.1.m1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p5.1.m1.1c">\mu_{ij}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p5.1.m1.1d">italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> represent main effects since <math alttext="g(\bm{x}|T_{j},\bm{M}_{j})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p5.2.m2.1"><semantics id="S2.p5.2.m2.1a"><mrow id="S2.p5.2.m2.1.1" xref="S2.p5.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.p5.2.m2.1.1.3" xref="S2.p5.2.m2.1.1.3.cmml">g</mi><mo id="S2.p5.2.m2.1.1.2" xref="S2.p5.2.m2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p5.2.m2.1.1.1.1" xref="S2.p5.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.p5.2.m2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.p5.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.p5.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S2.p5.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p5.2.m2.1.1.1.1.1.4" xref="S2.p5.2.m2.1.1.1.1.1.4.cmml">𝒙</mi><mo fence="false" id="S2.p5.2.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S2.p5.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">|</mo><mrow id="S2.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><msub id="S2.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">T</mi><mi id="S2.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S2.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S2.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">𝑴</mi><mi id="S2.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S2.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">j</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S2.p5.2.m2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.p5.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p5.2.m2.1b"><apply id="S2.p5.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.p5.2.m2.1.1"><times id="S2.p5.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.p5.2.m2.1.1.2"></times><ci id="S2.p5.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.p5.2.m2.1.1.3">𝑔</ci><apply id="S2.p5.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p5.2.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.p5.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p5.2.m2.1.1.1.1.1.3">conditional</csymbol><ci id="S2.p5.2.m2.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.p5.2.m2.1.1.1.1.1.4">𝒙</ci><list id="S2.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.2"><apply id="S2.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S2.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S2.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝑴</ci><ci id="S2.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.2.3">𝑗</ci></apply></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p5.2.m2.1c">g(\bm{x}|T_{j},\bm{M}_{j})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p5.2.m2.1d">italic_g ( bold_italic_x | italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> only depends on a single covariate but will represent interaction effects when the tessellations are multi-dimensional. Thus, AddiVortes can capture both the main effects and interaction effects in the model.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.p6"> <p class="ltx_p" id="S2.p6.1">The aim of AddiVortes is to extract the posterior distribution of all unknown parameters in the sum-of-tessellations model,</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.p7"> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E1"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\pi((T_{1},\bm{M}_{1}),\ldots,(T_{m},\bm{M}_{m}),\sigma|\bm{y}_{\text{train}},% \bm{x}_{\text{train}})." class="ltx_Math" display="block" id="S2.E1.m1.2"><semantics id="S2.E1.m1.2a"><mrow id="S2.E1.m1.2.2.1" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.2.2.1.1" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S2.E1.m1.2.2.1.1.5" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.5.cmml">π</mi><mo id="S2.E1.m1.2.2.1.1.4" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.4.cmml"><mo id="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.4" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.4.cmml">(</mo><mrow id="S2.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S2.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><msub id="S2.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">T</mi><mn id="S2.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.4" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">,</mo><msub id="S2.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">𝑴</mi><mn id="S2.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.5" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.5" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.4.cmml">,</mo><mi id="S2.E1.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.E1.m1.1.1.cmml">…</mi><mo id="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.6" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S2.E1.m1.2.2.1.1.2.2.2.2" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S2.E1.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S2.E1.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S2.E1.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml">T</mi><mi id="S2.E1.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S2.E1.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.4" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.E1.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E1.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">𝑴</mi><mi id="S2.E1.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S2.E1.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.7" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.3" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.3.4" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.3.4.cmml">σ</mi><mo fence="false" id="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.3.3" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.3.3.cmml">|</mo><mrow id="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.2" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.3.cmml"><msub id="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.3.1.1.1" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.3.1.1.1.2" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.3.1.1.1.2.cmml">𝒚</mi><mtext id="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.3.1.1.1.3" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.3.1.1.1.3a.cmml">train</mtext></msub><mo id="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.2.3" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.2.2" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.2.2.2" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.2.2.2.cmml">𝒙</mi><mtext id="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.2.2.3" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.2.2.3a.cmml">train</mtext></msub></mrow></mrow><mo id="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.8" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E1.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E1.m1.2b"><apply id="S2.E1.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.2.2.1"><times id="S2.E1.m1.2.2.1.1.4.cmml" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.4"></times><ci id="S2.E1.m1.2.2.1.1.5.cmml" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.5">𝜋</ci><vector id="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.4.cmml" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3"><interval closure="open" id="S2.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2"><apply id="S2.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑇</ci><cn id="S2.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S2.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑴</ci><cn id="S2.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.3">1</cn></apply></interval><ci id="S2.E1.m1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1">…</ci><interval closure="open" id="S2.E1.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.2.2.2.2"><apply id="S2.E1.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.E1.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S2.E1.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3">𝑚</ci></apply><apply id="S2.E1.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E1.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2">𝑴</ci><ci id="S2.E1.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3">𝑚</ci></apply></interval><apply id="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.3.3">conditional</csymbol><ci id="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.3.4.cmml" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.3.4">𝜎</ci><list id="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.3.cmml" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.2"><apply id="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.3.1.1.1.2">𝒚</ci><ci id="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.3.1.1.1.3a.cmml" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.3.1.1.1.3"><mtext id="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.3.1.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.3.1.1.1.3">train</mtext></ci></apply><apply id="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.2.2.2">𝒙</ci><ci id="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.2.2.3a.cmml" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.2.2.3"><mtext id="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.2.2.3">train</mtext></ci></apply></list></apply></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E1.m1.2c">\pi((T_{1},\bm{M}_{1}),\ldots,(T_{m},\bm{M}_{m}),\sigma|\bm{y}_{\text{train}},% \bm{x}_{\text{train}}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E1.m1.2d">italic_π ( ( italic_T start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_M start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) , … , ( italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT ) , italic_σ | bold_italic_y start_POSTSUBSCRIPT train end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT train end_POSTSUBSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(1)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S2.p8"> <p class="ltx_p" id="S2.p8.2">Thus, priors are specified for the parameters of the sum-of-tessellations model, specifically for <math alttext="(T_{1},\bm{M}_{1}),\ldots,(T_{m},\bm{M}_{m})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p8.1.m1.3"><semantics id="S2.p8.1.m1.3a"><mrow id="S2.p8.1.m1.3.3.2" xref="S2.p8.1.m1.3.3.3.cmml"><mrow id="S2.p8.1.m1.2.2.1.1.2" xref="S2.p8.1.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="S2.p8.1.m1.2.2.1.1.2.3" stretchy="false" xref="S2.p8.1.m1.2.2.1.1.3.cmml">(</mo><msub id="S2.p8.1.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S2.p8.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p8.1.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S2.p8.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">T</mi><mn id="S2.p8.1.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S2.p8.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.p8.1.m1.2.2.1.1.2.4" xref="S2.p8.1.m1.2.2.1.1.3.cmml">,</mo><msub id="S2.p8.1.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S2.p8.1.m1.2.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.p8.1.m1.2.2.1.1.2.2.2" xref="S2.p8.1.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml">𝑴</mi><mn id="S2.p8.1.m1.2.2.1.1.2.2.3" xref="S2.p8.1.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.p8.1.m1.2.2.1.1.2.5" stretchy="false" xref="S2.p8.1.m1.2.2.1.1.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.p8.1.m1.3.3.2.3" xref="S2.p8.1.m1.3.3.3.cmml">,</mo><mi id="S2.p8.1.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.p8.1.m1.1.1.cmml">…</mi><mo id="S2.p8.1.m1.3.3.2.4" xref="S2.p8.1.m1.3.3.3.cmml">,</mo><mrow id="S2.p8.1.m1.3.3.2.2.2" xref="S2.p8.1.m1.3.3.2.2.3.cmml"><mo id="S2.p8.1.m1.3.3.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.p8.1.m1.3.3.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S2.p8.1.m1.3.3.2.2.1.1" xref="S2.p8.1.m1.3.3.2.2.1.1.cmml"><mi id="S2.p8.1.m1.3.3.2.2.1.1.2" xref="S2.p8.1.m1.3.3.2.2.1.1.2.cmml">T</mi><mi id="S2.p8.1.m1.3.3.2.2.1.1.3" xref="S2.p8.1.m1.3.3.2.2.1.1.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S2.p8.1.m1.3.3.2.2.2.4" xref="S2.p8.1.m1.3.3.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.p8.1.m1.3.3.2.2.2.2" xref="S2.p8.1.m1.3.3.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.p8.1.m1.3.3.2.2.2.2.2" xref="S2.p8.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.cmml">𝑴</mi><mi id="S2.p8.1.m1.3.3.2.2.2.2.3" xref="S2.p8.1.m1.3.3.2.2.2.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S2.p8.1.m1.3.3.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.p8.1.m1.3.3.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p8.1.m1.3b"><list id="S2.p8.1.m1.3.3.3.cmml" xref="S2.p8.1.m1.3.3.2"><interval closure="open" id="S2.p8.1.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.p8.1.m1.2.2.1.1.2"><apply id="S2.p8.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p8.1.m1.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p8.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p8.1.m1.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p8.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p8.1.m1.2.2.1.1.1.1.2">𝑇</ci><cn id="S2.p8.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.p8.1.m1.2.2.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S2.p8.1.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.p8.1.m1.2.2.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p8.1.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.p8.1.m1.2.2.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p8.1.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.p8.1.m1.2.2.1.1.2.2.2">𝑴</ci><cn id="S2.p8.1.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.p8.1.m1.2.2.1.1.2.2.3">1</cn></apply></interval><ci id="S2.p8.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.p8.1.m1.1.1">…</ci><interval closure="open" id="S2.p8.1.m1.3.3.2.2.3.cmml" xref="S2.p8.1.m1.3.3.2.2.2"><apply id="S2.p8.1.m1.3.3.2.2.1.1.cmml" xref="S2.p8.1.m1.3.3.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p8.1.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.p8.1.m1.3.3.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p8.1.m1.3.3.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.p8.1.m1.3.3.2.2.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S2.p8.1.m1.3.3.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.p8.1.m1.3.3.2.2.1.1.3">𝑚</ci></apply><apply id="S2.p8.1.m1.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p8.1.m1.3.3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p8.1.m1.3.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.p8.1.m1.3.3.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p8.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p8.1.m1.3.3.2.2.2.2.2">𝑴</ci><ci id="S2.p8.1.m1.3.3.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.p8.1.m1.3.3.2.2.2.2.3">𝑚</ci></apply></interval></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p8.1.m1.3c">(T_{1},\bm{M}_{1}),\ldots,(T_{m},\bm{M}_{m})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p8.1.m1.3d">( italic_T start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_M start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) , … , ( italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>, and <math alttext="\sigma" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p8.2.m2.1"><semantics id="S2.p8.2.m2.1a"><mi id="S2.p8.2.m2.1.1" xref="S2.p8.2.m2.1.1.cmml">σ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p8.2.m2.1b"><ci id="S2.p8.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.p8.2.m2.1.1">𝜎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p8.2.m2.1c">\sigma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p8.2.m2.1d">italic_σ</annotation></semantics></math>. These priors are strategically chosen to favor less complex configurations with fewer dimensions and cells. This regularization controls the influence of individual tessellation effects, preventing any one of them from becoming dominant. Without these regularization priors, complex tessellations with a large number of dimensions and centers would cause over-fitting and limit the advantages of the additive model in both approximation and computation.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.p9"> <p class="ltx_p" id="S2.p9.2">The specification of the regularization priors is simplified when independence restrictions are applied, such that,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_table" id="S2.E2"> <tbody> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S2.E2X"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\pi\left(\left(T_{1},\bm{M}_{1}\right),\ldots,\left(T_{m},\bm{M}_% {m}\right),\sigma\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E2X.2.1.1.m1.4"><semantics id="S2.E2X.2.1.1.m1.4a"><mrow id="S2.E2X.2.1.1.m1.4.4" xref="S2.E2X.2.1.1.m1.4.4.cmml"><mi id="S2.E2X.2.1.1.m1.4.4.4" xref="S2.E2X.2.1.1.m1.4.4.4.cmml">π</mi><mo id="S2.E2X.2.1.1.m1.4.4.3" xref="S2.E2X.2.1.1.m1.4.4.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E2X.2.1.1.m1.4.4.2.2" xref="S2.E2X.2.1.1.m1.4.4.2.3.cmml"><mo id="S2.E2X.2.1.1.m1.4.4.2.2.3" xref="S2.E2X.2.1.1.m1.4.4.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S2.E2X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S2.E2X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mo id="S2.E2X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.3" xref="S2.E2X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">(</mo><msub id="S2.E2X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S2.E2X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E2X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E2X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">T</mi><mn id="S2.E2X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E2X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.E2X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.4" xref="S2.E2X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">,</mo><msub id="S2.E2X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2" xref="S2.E2X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.E2X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.2" xref="S2.E2X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml">𝑴</mi><mn id="S2.E2X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.3" xref="S2.E2X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.E2X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.5" xref="S2.E2X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E2X.2.1.1.m1.4.4.2.2.4" xref="S2.E2X.2.1.1.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E2X.2.1.1.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.E2X.2.1.1.m1.1.1.cmml">…</mi><mo id="S2.E2X.2.1.1.m1.4.4.2.2.5" xref="S2.E2X.2.1.1.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S2.E2X.2.1.1.m1.4.4.2.2.2.2" xref="S2.E2X.2.1.1.m1.4.4.2.2.2.3.cmml"><mo id="S2.E2X.2.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.3" xref="S2.E2X.2.1.1.m1.4.4.2.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S2.E2X.2.1.1.m1.4.4.2.2.2.1.1" xref="S2.E2X.2.1.1.m1.4.4.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S2.E2X.2.1.1.m1.4.4.2.2.2.1.1.2" xref="S2.E2X.2.1.1.m1.4.4.2.2.2.1.1.2.cmml">T</mi><mi id="S2.E2X.2.1.1.m1.4.4.2.2.2.1.1.3" xref="S2.E2X.2.1.1.m1.4.4.2.2.2.1.1.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S2.E2X.2.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.4" xref="S2.E2X.2.1.1.m1.4.4.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.E2X.2.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2" xref="S2.E2X.2.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E2X.2.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.2" xref="S2.E2X.2.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.2.cmml">𝑴</mi><mi id="S2.E2X.2.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.3" xref="S2.E2X.2.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S2.E2X.2.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.5" xref="S2.E2X.2.1.1.m1.4.4.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E2X.2.1.1.m1.4.4.2.2.6" xref="S2.E2X.2.1.1.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E2X.2.1.1.m1.2.2" xref="S2.E2X.2.1.1.m1.2.2.cmml">σ</mi><mo id="S2.E2X.2.1.1.m1.4.4.2.2.7" xref="S2.E2X.2.1.1.m1.4.4.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E2X.2.1.1.m1.4b"><apply id="S2.E2X.2.1.1.m1.4.4.cmml" xref="S2.E2X.2.1.1.m1.4.4"><times id="S2.E2X.2.1.1.m1.4.4.3.cmml" xref="S2.E2X.2.1.1.m1.4.4.3"></times><ci id="S2.E2X.2.1.1.m1.4.4.4.cmml" xref="S2.E2X.2.1.1.m1.4.4.4">𝜋</ci><vector id="S2.E2X.2.1.1.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S2.E2X.2.1.1.m1.4.4.2.2"><interval closure="open" id="S2.E2X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E2X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.2"><apply 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ltx_align_right">(2)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S2.E2Xa"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\prod\limits_{j=1}^{m}\left[\pi\left(\bm{M}_{j}|T_{j}\right)\pi(% T_{j})\right]\pi(\sigma)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E2Xa.2.1.1.m1.2"><semantics id="S2.E2Xa.2.1.1.m1.2a"><mrow id="S2.E2Xa.2.1.1.m1.2.2" xref="S2.E2Xa.2.1.1.m1.2.2.cmml"><mi id="S2.E2Xa.2.1.1.m1.2.2.3" xref="S2.E2Xa.2.1.1.m1.2.2.3.cmml"></mi><mo id="S2.E2Xa.2.1.1.m1.2.2.2" xref="S2.E2Xa.2.1.1.m1.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.E2Xa.2.1.1.m1.2.2.1" xref="S2.E2Xa.2.1.1.m1.2.2.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E2Xa.2.1.1.m1.2.2.1.2" xref="S2.E2Xa.2.1.1.m1.2.2.1.2.cmml"><munderover id="S2.E2Xa.2.1.1.m1.2.2.1.2a" xref="S2.E2Xa.2.1.1.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S2.E2Xa.2.1.1.m1.2.2.1.2.2.2" movablelimits="false" 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xref="S2.E2Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E2Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E2Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E2Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E2Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E2Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E2Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.E2Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E2Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E2Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E2Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝑴</mi><mi id="S2.E2Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E2Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo fence="false" id="S2.E2Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E2Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">|</mo><msub id="S2.E2Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E2Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E2Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" 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id="S2.E2Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S2.E2Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S2.E2Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.3" stretchy="false" xref="S2.E2Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E2Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S2.E2Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S2.E2Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2" xref="S2.E2Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E2Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.3" xref="S2.E2Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.3.cmml">π</mi><mo id="S2.E2Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2a" xref="S2.E2Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E2Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.2" xref="S2.E2Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.cmml"><mo id="S2.E2Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.E2Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.E2Xa.2.1.1.m1.1.1" xref="S2.E2Xa.2.1.1.m1.1.1.cmml">σ</mi><mo id="S2.E2Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.E2Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" 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xref="S2.E2Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑇</ci><ci id="S2.E2Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E2Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="S2.E2Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S2.E2Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.5">𝜋</ci><apply id="S2.E2Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S2.E2Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S2.E2Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1">subscript</csymbol><ci id="S2.E2Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S2.E2Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S2.E2Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S2.E2Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><ci id="S2.E2Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.E2Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.3">𝜋</ci><ci id="S2.E2Xa.2.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.E2Xa.2.1.1.m1.1.1">𝜎</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" 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alttext="\pi(\bm{M}_{j}|T_{j})=\prod\limits_{i=1}^{b_{j}}\pi\left(\mu_{ij}|T_{j}\right)," class="ltx_Math" display="block" id="S2.E3.m1.1"><semantics id="S2.E3.m1.1a"><mrow id="S2.E3.m1.1.1.1" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E3.m1.1.1.1.1" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">π</mi><mo id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝑴</mi><mi id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo fence="false" id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">|</mo><msub id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">T</mi><mi id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E3.m1.1.1.1.1.3" rspace="0.111em" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.E3.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mo id="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" movablelimits="false" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.1" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn 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xref="S2.E3.m1.1.1.1"><eq id="S2.E3.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.3"></eq><apply id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1"><times id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.3">𝜋</ci><apply id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><apply id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑴</ci><ci id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑇</ci><ci id="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.2"><apply id="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.2.2.2">product</csymbol><apply id="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.2.2.3"><eq id="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.1"></eq><ci id="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑏</ci><ci id="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.1"><times id="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.1.2"></times><ci id="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.1.3">𝜋</ci><apply id="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><apply id="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2">𝜇</ci><apply id="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3"><times id="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2">𝑇</ci><ci id="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E3.m1.1c">\pi(\bm{M}_{j}|T_{j})=\prod\limits_{i=1}^{b_{j}}\pi\left(\mu_{ij}|T_{j}\right),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E3.m1.1d">italic_π ( bold_italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT | italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) = ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT italic_π ( italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT | italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(3)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.p9.1">where <math alttext="\mu_{ij}\in\bm{M}_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p9.1.m1.1"><semantics id="S2.p9.1.m1.1a"><mrow id="S2.p9.1.m1.1.1" xref="S2.p9.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S2.p9.1.m1.1.1.2" xref="S2.p9.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.p9.1.m1.1.1.2.2" xref="S2.p9.1.m1.1.1.2.2.cmml">μ</mi><mrow id="S2.p9.1.m1.1.1.2.3" xref="S2.p9.1.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.p9.1.m1.1.1.2.3.2" xref="S2.p9.1.m1.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.p9.1.m1.1.1.2.3.1" xref="S2.p9.1.m1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.p9.1.m1.1.1.2.3.3" xref="S2.p9.1.m1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S2.p9.1.m1.1.1.1" xref="S2.p9.1.m1.1.1.1.cmml">∈</mo><msub id="S2.p9.1.m1.1.1.3" xref="S2.p9.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.p9.1.m1.1.1.3.2" xref="S2.p9.1.m1.1.1.3.2.cmml">𝑴</mi><mi id="S2.p9.1.m1.1.1.3.3" xref="S2.p9.1.m1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p9.1.m1.1b"><apply id="S2.p9.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.p9.1.m1.1.1"><in id="S2.p9.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.p9.1.m1.1.1.1"></in><apply id="S2.p9.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.p9.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p9.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.p9.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p9.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.p9.1.m1.1.1.2.2">𝜇</ci><apply id="S2.p9.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.p9.1.m1.1.1.2.3"><times id="S2.p9.1.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.p9.1.m1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S2.p9.1.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.p9.1.m1.1.1.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S2.p9.1.m1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.p9.1.m1.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S2.p9.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.p9.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p9.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.p9.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.p9.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.p9.1.m1.1.1.3.2">𝑴</ci><ci id="S2.p9.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.p9.1.m1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p9.1.m1.1c">\mu_{ij}\in\bm{M}_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p9.1.m1.1d">italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT ∈ bold_italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.p10"> <p class="ltx_p" id="S2.p10.7">For <math alttext="\sigma" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p10.1.m1.1"><semantics id="S2.p10.1.m1.1a"><mi id="S2.p10.1.m1.1.1" xref="S2.p10.1.m1.1.1.cmml">σ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p10.1.m1.1b"><ci id="S2.p10.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.p10.1.m1.1.1">𝜎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p10.1.m1.1c">\sigma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p10.1.m1.1d">italic_σ</annotation></semantics></math>, a conjugate prior is employed: a natural choice for this prior is the inverse chi-square distribution <math alttext="\sigma^{2}\propto{\nu\lambda}/{\chi^{2}_{\nu}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p10.2.m2.1"><semantics id="S2.p10.2.m2.1a"><mrow id="S2.p10.2.m2.1.1" xref="S2.p10.2.m2.1.1.cmml"><msup id="S2.p10.2.m2.1.1.2" xref="S2.p10.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S2.p10.2.m2.1.1.2.2" xref="S2.p10.2.m2.1.1.2.2.cmml">σ</mi><mn id="S2.p10.2.m2.1.1.2.3" xref="S2.p10.2.m2.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.p10.2.m2.1.1.1" xref="S2.p10.2.m2.1.1.1.cmml">∝</mo><mrow id="S2.p10.2.m2.1.1.3" xref="S2.p10.2.m2.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.p10.2.m2.1.1.3.2" xref="S2.p10.2.m2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.p10.2.m2.1.1.3.2.2" xref="S2.p10.2.m2.1.1.3.2.2.cmml">ν</mi><mo id="S2.p10.2.m2.1.1.3.2.1" xref="S2.p10.2.m2.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.p10.2.m2.1.1.3.2.3" xref="S2.p10.2.m2.1.1.3.2.3.cmml">λ</mi></mrow><mo id="S2.p10.2.m2.1.1.3.1" xref="S2.p10.2.m2.1.1.3.1.cmml">/</mo><msubsup id="S2.p10.2.m2.1.1.3.3" xref="S2.p10.2.m2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.p10.2.m2.1.1.3.3.2.2" xref="S2.p10.2.m2.1.1.3.3.2.2.cmml">χ</mi><mi id="S2.p10.2.m2.1.1.3.3.3" xref="S2.p10.2.m2.1.1.3.3.3.cmml">ν</mi><mn id="S2.p10.2.m2.1.1.3.3.2.3" xref="S2.p10.2.m2.1.1.3.3.2.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p10.2.m2.1b"><apply id="S2.p10.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.p10.2.m2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.p10.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.p10.2.m2.1.1.1">proportional-to</csymbol><apply id="S2.p10.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.p10.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p10.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.p10.2.m2.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.p10.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.p10.2.m2.1.1.2.2">𝜎</ci><cn id="S2.p10.2.m2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.p10.2.m2.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S2.p10.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.p10.2.m2.1.1.3"><divide id="S2.p10.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.p10.2.m2.1.1.3.1"></divide><apply id="S2.p10.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.p10.2.m2.1.1.3.2"><times id="S2.p10.2.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.p10.2.m2.1.1.3.2.1"></times><ci id="S2.p10.2.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.p10.2.m2.1.1.3.2.2">𝜈</ci><ci id="S2.p10.2.m2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.p10.2.m2.1.1.3.2.3">𝜆</ci></apply><apply id="S2.p10.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S2.p10.2.m2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p10.2.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.p10.2.m2.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S2.p10.2.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.p10.2.m2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p10.2.m2.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S2.p10.2.m2.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.p10.2.m2.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S2.p10.2.m2.1.1.3.3.2.2">𝜒</ci><cn id="S2.p10.2.m2.1.1.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.p10.2.m2.1.1.3.3.2.3">2</cn></apply><ci id="S2.p10.2.m2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.p10.2.m2.1.1.3.3.3">𝜈</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p10.2.m2.1c">\sigma^{2}\propto{\nu\lambda}/{\chi^{2}_{\nu}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p10.2.m2.1d">italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∝ italic_ν italic_λ / italic_χ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, where <math alttext="\nu" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p10.3.m3.1"><semantics id="S2.p10.3.m3.1a"><mi id="S2.p10.3.m3.1.1" xref="S2.p10.3.m3.1.1.cmml">ν</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p10.3.m3.1b"><ci id="S2.p10.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.p10.3.m3.1.1">𝜈</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p10.3.m3.1c">\nu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p10.3.m3.1d">italic_ν</annotation></semantics></math> and <math alttext="\lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p10.4.m4.1"><semantics id="S2.p10.4.m4.1a"><mi id="S2.p10.4.m4.1.1" xref="S2.p10.4.m4.1.1.cmml">λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p10.4.m4.1b"><ci id="S2.p10.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.p10.4.m4.1.1">𝜆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p10.4.m4.1c">\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p10.4.m4.1d">italic_λ</annotation></semantics></math> are hyperparameters. We handle the parameters <math alttext="\mu_{ij}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p10.5.m5.1"><semantics id="S2.p10.5.m5.1a"><msub id="S2.p10.5.m5.1.1" xref="S2.p10.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S2.p10.5.m5.1.1.2" xref="S2.p10.5.m5.1.1.2.cmml">μ</mi><mrow id="S2.p10.5.m5.1.1.3" xref="S2.p10.5.m5.1.1.3.cmml"><mi id="S2.p10.5.m5.1.1.3.2" xref="S2.p10.5.m5.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.p10.5.m5.1.1.3.1" xref="S2.p10.5.m5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.p10.5.m5.1.1.3.3" xref="S2.p10.5.m5.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p10.5.m5.1b"><apply id="S2.p10.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.p10.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p10.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.p10.5.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p10.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.p10.5.m5.1.1.2">𝜇</ci><apply id="S2.p10.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S2.p10.5.m5.1.1.3"><times id="S2.p10.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S2.p10.5.m5.1.1.3.1"></times><ci id="S2.p10.5.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S2.p10.5.m5.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="S2.p10.5.m5.1.1.3.3.cmml" xref="S2.p10.5.m5.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p10.5.m5.1c">\mu_{ij}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p10.5.m5.1d">italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> using a conjugate normal distribution <math alttext="N(\mu_{\mu},\sigma^{2}_{\mu})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p10.6.m6.2"><semantics id="S2.p10.6.m6.2a"><mrow id="S2.p10.6.m6.2.2" xref="S2.p10.6.m6.2.2.cmml"><mi id="S2.p10.6.m6.2.2.4" xref="S2.p10.6.m6.2.2.4.cmml">N</mi><mo id="S2.p10.6.m6.2.2.3" xref="S2.p10.6.m6.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p10.6.m6.2.2.2.2" xref="S2.p10.6.m6.2.2.2.3.cmml"><mo id="S2.p10.6.m6.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.p10.6.m6.2.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S2.p10.6.m6.1.1.1.1.1" xref="S2.p10.6.m6.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p10.6.m6.1.1.1.1.1.2" xref="S2.p10.6.m6.1.1.1.1.1.2.cmml">μ</mi><mi id="S2.p10.6.m6.1.1.1.1.1.3" xref="S2.p10.6.m6.1.1.1.1.1.3.cmml">μ</mi></msub><mo id="S2.p10.6.m6.2.2.2.2.4" xref="S2.p10.6.m6.2.2.2.3.cmml">,</mo><msubsup id="S2.p10.6.m6.2.2.2.2.2" xref="S2.p10.6.m6.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.p10.6.m6.2.2.2.2.2.2.2" xref="S2.p10.6.m6.2.2.2.2.2.2.2.cmml">σ</mi><mi id="S2.p10.6.m6.2.2.2.2.2.3" xref="S2.p10.6.m6.2.2.2.2.2.3.cmml">μ</mi><mn id="S2.p10.6.m6.2.2.2.2.2.2.3" xref="S2.p10.6.m6.2.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S2.p10.6.m6.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.p10.6.m6.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p10.6.m6.2b"><apply id="S2.p10.6.m6.2.2.cmml" xref="S2.p10.6.m6.2.2"><times id="S2.p10.6.m6.2.2.3.cmml" xref="S2.p10.6.m6.2.2.3"></times><ci id="S2.p10.6.m6.2.2.4.cmml" xref="S2.p10.6.m6.2.2.4">𝑁</ci><interval closure="open" id="S2.p10.6.m6.2.2.2.3.cmml" xref="S2.p10.6.m6.2.2.2.2"><apply id="S2.p10.6.m6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p10.6.m6.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p10.6.m6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p10.6.m6.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p10.6.m6.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p10.6.m6.1.1.1.1.1.2">𝜇</ci><ci id="S2.p10.6.m6.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p10.6.m6.1.1.1.1.1.3">𝜇</ci></apply><apply id="S2.p10.6.m6.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p10.6.m6.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p10.6.m6.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.p10.6.m6.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S2.p10.6.m6.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p10.6.m6.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p10.6.m6.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.p10.6.m6.2.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.p10.6.m6.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p10.6.m6.2.2.2.2.2.2.2">𝜎</ci><cn id="S2.p10.6.m6.2.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.p10.6.m6.2.2.2.2.2.2.3">2</cn></apply><ci id="S2.p10.6.m6.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.p10.6.m6.2.2.2.2.2.3">𝜇</ci></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p10.6.m6.2c">N(\mu_{\mu},\sigma^{2}_{\mu})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p10.6.m6.2d">italic_N ( italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_μ end_POSTSUBSCRIPT , italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_μ end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> similar to one used in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Chipman et al., (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13037v1#bib.bib3" title="">2010</a>)</cite>, which confers significant computational advantages as we can easily marginalize <math alttext="\mu_{ij}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p10.7.m7.1"><semantics id="S2.p10.7.m7.1a"><msub id="S2.p10.7.m7.1.1" xref="S2.p10.7.m7.1.1.cmml"><mi id="S2.p10.7.m7.1.1.2" xref="S2.p10.7.m7.1.1.2.cmml">μ</mi><mrow id="S2.p10.7.m7.1.1.3" xref="S2.p10.7.m7.1.1.3.cmml"><mi id="S2.p10.7.m7.1.1.3.2" xref="S2.p10.7.m7.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.p10.7.m7.1.1.3.1" xref="S2.p10.7.m7.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.p10.7.m7.1.1.3.3" xref="S2.p10.7.m7.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p10.7.m7.1b"><apply id="S2.p10.7.m7.1.1.cmml" xref="S2.p10.7.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p10.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S2.p10.7.m7.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p10.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S2.p10.7.m7.1.1.2">𝜇</ci><apply id="S2.p10.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S2.p10.7.m7.1.1.3"><times id="S2.p10.7.m7.1.1.3.1.cmml" xref="S2.p10.7.m7.1.1.3.1"></times><ci id="S2.p10.7.m7.1.1.3.2.cmml" xref="S2.p10.7.m7.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="S2.p10.7.m7.1.1.3.3.cmml" xref="S2.p10.7.m7.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p10.7.m7.1c">\mu_{ij}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p10.7.m7.1d">italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.p11"> <p class="ltx_p" id="S2.p11.1">The prior for the tessellation structure <math alttext="T_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p11.1.m1.1"><semantics id="S2.p11.1.m1.1a"><msub id="S2.p11.1.m1.1.1" xref="S2.p11.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.p11.1.m1.1.1.2" xref="S2.p11.1.m1.1.1.2.cmml">T</mi><mi id="S2.p11.1.m1.1.1.3" xref="S2.p11.1.m1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p11.1.m1.1b"><apply id="S2.p11.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.p11.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p11.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.p11.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p11.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.p11.1.m1.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S2.p11.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.p11.1.m1.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p11.1.m1.1c">T_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p11.1.m1.1d">italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is specified by multiple factors:</p> <ol class="ltx_enumerate" id="S2.I1"> <li class="ltx_item" id="S2.I1.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">1.</span> <div class="ltx_para" id="S2.I1.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.I1.i1.p1.1">the number of covariates considered in <math alttext="T_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1a"><msub id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.cmml">T</mi><mi id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1b"><apply id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1c">T_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1d">italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>,</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S2.I1.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">2.</span> <div class="ltx_para" id="S2.I1.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.I1.i2.p1.1">the number of centers in <math alttext="T_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1a"><msub id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2.cmml">T</mi><mi id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1b"><apply id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1c">T_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1d">italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>,</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S2.I1.i3" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">3.</span> <div class="ltx_para" id="S2.I1.i3.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.I1.i3.p1.1">the covariates that are included in <math alttext="T_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I1.i3.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.I1.i3.p1.1.m1.1a"><msub id="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.1" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.1.2" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.1.2.cmml">T</mi><mi id="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.1.3" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I1.i3.p1.1.m1.1b"><apply id="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I1.i3.p1.1.m1.1c">T_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I1.i3.p1.1.m1.1d">italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S2.I1.i4" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">4.</span> <div class="ltx_para" id="S2.I1.i4.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.I1.i4.p1.1">the coordinates of the centers.</p> </div> </li> </ol> <p class="ltx_p" id="S2.p11.2">In this paper, we apply the same prior distributions for these variables as the ones considered in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Stone and Gosling, (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13037v1#bib.bib15" title="">2024</a>)</cite>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.p12"> <p class="ltx_p" id="S2.p12.6">A Gibbs sampler is used that involves <math alttext="m" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p12.1.m1.1"><semantics id="S2.p12.1.m1.1a"><mi id="S2.p12.1.m1.1.1" xref="S2.p12.1.m1.1.1.cmml">m</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p12.1.m1.1b"><ci id="S2.p12.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.p12.1.m1.1.1">𝑚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p12.1.m1.1c">m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p12.1.m1.1d">italic_m</annotation></semantics></math> successive draws of <math alttext="(T_{j},\bm{M}_{j})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p12.2.m2.2"><semantics id="S2.p12.2.m2.2a"><mrow id="S2.p12.2.m2.2.2.2" xref="S2.p12.2.m2.2.2.3.cmml"><mo id="S2.p12.2.m2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.p12.2.m2.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S2.p12.2.m2.1.1.1.1" xref="S2.p12.2.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p12.2.m2.1.1.1.1.2" xref="S2.p12.2.m2.1.1.1.1.2.cmml">T</mi><mi id="S2.p12.2.m2.1.1.1.1.3" xref="S2.p12.2.m2.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S2.p12.2.m2.2.2.2.4" xref="S2.p12.2.m2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.p12.2.m2.2.2.2.2" xref="S2.p12.2.m2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.p12.2.m2.2.2.2.2.2" xref="S2.p12.2.m2.2.2.2.2.2.cmml">𝑴</mi><mi id="S2.p12.2.m2.2.2.2.2.3" xref="S2.p12.2.m2.2.2.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S2.p12.2.m2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.p12.2.m2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p12.2.m2.2b"><interval closure="open" id="S2.p12.2.m2.2.2.3.cmml" xref="S2.p12.2.m2.2.2.2"><apply id="S2.p12.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p12.2.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p12.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p12.2.m2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p12.2.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p12.2.m2.1.1.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S2.p12.2.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p12.2.m2.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S2.p12.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p12.2.m2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p12.2.m2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.p12.2.m2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p12.2.m2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p12.2.m2.2.2.2.2.2">𝑴</ci><ci id="S2.p12.2.m2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.p12.2.m2.2.2.2.2.3">𝑗</ci></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p12.2.m2.2c">(T_{j},\bm{M}_{j})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p12.2.m2.2d">( italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> conditionally on <math alttext="(\{T_{j^{\prime}},\bm{M}_{j^{\prime}}\}_{j\neq j^{\prime}},\sigma,y)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p12.3.m3.3"><semantics id="S2.p12.3.m3.3a"><mrow id="S2.p12.3.m3.3.3.1" xref="S2.p12.3.m3.3.3.2.cmml"><mo id="S2.p12.3.m3.3.3.1.2" stretchy="false" xref="S2.p12.3.m3.3.3.2.cmml">(</mo><msub id="S2.p12.3.m3.3.3.1.1" xref="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.2.2" xref="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.2.3.cmml"><mo id="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.2.3.cmml">{</mo><msub id="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.1.1.1" xref="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">T</mi><msup id="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml">′</mo></msup></msub><mo id="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.2.2.4" xref="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.2.2.2" xref="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.2.2.2.2" xref="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml">𝑴</mi><msup id="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.2.2.2.3" xref="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.2.2.2.3.2" xref="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.2.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.2.2.2.3.3" xref="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.2.2.2.3.3.cmml">′</mo></msup></msub><mo id="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.2.3.cmml">}</mo></mrow><mrow id="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.4" xref="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.4.cmml"><mi id="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.4.2" xref="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.4.2.cmml">j</mi><mo id="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.4.1" xref="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.4.1.cmml">≠</mo><msup id="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.4.3" xref="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.4.3.cmml"><mi id="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.4.3.2" xref="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.4.3.2.cmml">j</mi><mo id="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.4.3.3" xref="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.4.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow></msub><mo id="S2.p12.3.m3.3.3.1.3" xref="S2.p12.3.m3.3.3.2.cmml">,</mo><mi id="S2.p12.3.m3.1.1" xref="S2.p12.3.m3.1.1.cmml">σ</mi><mo id="S2.p12.3.m3.3.3.1.4" xref="S2.p12.3.m3.3.3.2.cmml">,</mo><mi id="S2.p12.3.m3.2.2" xref="S2.p12.3.m3.2.2.cmml">y</mi><mo id="S2.p12.3.m3.3.3.1.5" stretchy="false" xref="S2.p12.3.m3.3.3.2.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p12.3.m3.3b"><vector id="S2.p12.3.m3.3.3.2.cmml" xref="S2.p12.3.m3.3.3.1"><apply id="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.cmml" xref="S2.p12.3.m3.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.3.cmml" xref="S2.p12.3.m3.3.3.1.1">subscript</csymbol><set id="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.2.2"><apply id="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.1.1.1.2">𝑇</ci><apply id="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.1.1.1.3.2">𝑗</ci><ci id="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.1.1.1.3.3">′</ci></apply></apply><apply id="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.2.2.2.2">𝑴</ci><apply id="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.2.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.2.2.2.3.2">𝑗</ci><ci id="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.2.2.2.3.3">′</ci></apply></apply></set><apply id="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.4.cmml" xref="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.4"><neq id="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.4.1.cmml" xref="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.4.1"></neq><ci id="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.4.2.cmml" xref="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.4.2">𝑗</ci><apply id="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.4.3.cmml" xref="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.4.3.1.cmml" xref="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.4.3">superscript</csymbol><ci id="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.4.3.2.cmml" xref="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.4.3.2">𝑗</ci><ci id="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.4.3.3.cmml" xref="S2.p12.3.m3.3.3.1.1.4.3.3">′</ci></apply></apply></apply><ci id="S2.p12.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.p12.3.m3.1.1">𝜎</ci><ci id="S2.p12.3.m3.2.2.cmml" xref="S2.p12.3.m3.2.2">𝑦</ci></vector></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p12.3.m3.3c">(\{T_{j^{\prime}},\bm{M}_{j^{\prime}}\}_{j\neq j^{\prime}},\sigma,y)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p12.3.m3.3d">( { italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT } start_POSTSUBSCRIPT italic_j ≠ italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , italic_σ , italic_y )</annotation></semantics></math> for <math alttext="j=1,\ldots,m" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p12.4.m4.3"><semantics id="S2.p12.4.m4.3a"><mrow id="S2.p12.4.m4.3.4" xref="S2.p12.4.m4.3.4.cmml"><mi id="S2.p12.4.m4.3.4.2" xref="S2.p12.4.m4.3.4.2.cmml">j</mi><mo id="S2.p12.4.m4.3.4.1" xref="S2.p12.4.m4.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.p12.4.m4.3.4.3.2" xref="S2.p12.4.m4.3.4.3.1.cmml"><mn id="S2.p12.4.m4.1.1" xref="S2.p12.4.m4.1.1.cmml">1</mn><mo id="S2.p12.4.m4.3.4.3.2.1" xref="S2.p12.4.m4.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.p12.4.m4.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.p12.4.m4.2.2.cmml">…</mi><mo id="S2.p12.4.m4.3.4.3.2.2" xref="S2.p12.4.m4.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.p12.4.m4.3.3" xref="S2.p12.4.m4.3.3.cmml">m</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p12.4.m4.3b"><apply id="S2.p12.4.m4.3.4.cmml" xref="S2.p12.4.m4.3.4"><eq id="S2.p12.4.m4.3.4.1.cmml" xref="S2.p12.4.m4.3.4.1"></eq><ci id="S2.p12.4.m4.3.4.2.cmml" xref="S2.p12.4.m4.3.4.2">𝑗</ci><list id="S2.p12.4.m4.3.4.3.1.cmml" xref="S2.p12.4.m4.3.4.3.2"><cn id="S2.p12.4.m4.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.p12.4.m4.1.1">1</cn><ci id="S2.p12.4.m4.2.2.cmml" xref="S2.p12.4.m4.2.2">…</ci><ci id="S2.p12.4.m4.3.3.cmml" xref="S2.p12.4.m4.3.3">𝑚</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p12.4.m4.3c">j=1,\ldots,m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p12.4.m4.3d">italic_j = 1 , … , italic_m</annotation></semantics></math>, followed by a draw of <math alttext="\sigma" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p12.5.m5.1"><semantics id="S2.p12.5.m5.1a"><mi id="S2.p12.5.m5.1.1" xref="S2.p12.5.m5.1.1.cmml">σ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p12.5.m5.1b"><ci id="S2.p12.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.p12.5.m5.1.1">𝜎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p12.5.m5.1c">\sigma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p12.5.m5.1d">italic_σ</annotation></semantics></math> from its full conditional distribution. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Hastie and Tibshirani, (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13037v1#bib.bib6" title="">2000</a>)</cite> previously explored a similar application of the Gibbs sampler for posterior sampling in additive and generalized additive models, with <math alttext="\sigma" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p12.6.m6.1"><semantics id="S2.p12.6.m6.1a"><mi id="S2.p12.6.m6.1.1" xref="S2.p12.6.m6.1.1.cmml">σ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p12.6.m6.1b"><ci id="S2.p12.6.m6.1.1.cmml" xref="S2.p12.6.m6.1.1">𝜎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p12.6.m6.1c">\sigma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p12.6.m6.1d">italic_σ</annotation></semantics></math> held fixed.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.p13"> <p class="ltx_p" id="S2.p13.4">The draw of <math alttext="\sigma" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p13.1.m1.1"><semantics id="S2.p13.1.m1.1a"><mi id="S2.p13.1.m1.1.1" xref="S2.p13.1.m1.1.1.cmml">σ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p13.1.m1.1b"><ci id="S2.p13.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.p13.1.m1.1.1">𝜎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p13.1.m1.1c">\sigma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p13.1.m1.1d">italic_σ</annotation></semantics></math> from the full conditional can simply be achieved by sampling from an inverse gamma distribution. However, to sample from <math alttext="(T_{j},\bm{M}_{j})|(\{T_{j^{\prime}},\bm{M}_{j^{\prime}}\}_{j\neq j^{\prime}},% \sigma,y)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p13.2.m2.5"><semantics id="S2.p13.2.m2.5a"><mrow id="S2.p13.2.m2.5.5" xref="S2.p13.2.m2.5.5.cmml"><mrow id="S2.p13.2.m2.4.4.2.2" xref="S2.p13.2.m2.4.4.2.3.cmml"><mo id="S2.p13.2.m2.4.4.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.p13.2.m2.4.4.2.3.cmml">(</mo><msub id="S2.p13.2.m2.3.3.1.1.1" xref="S2.p13.2.m2.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p13.2.m2.3.3.1.1.1.2" xref="S2.p13.2.m2.3.3.1.1.1.2.cmml">T</mi><mi id="S2.p13.2.m2.3.3.1.1.1.3" xref="S2.p13.2.m2.3.3.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S2.p13.2.m2.4.4.2.2.4" xref="S2.p13.2.m2.4.4.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.p13.2.m2.4.4.2.2.2" xref="S2.p13.2.m2.4.4.2.2.2.cmml"><mi id="S2.p13.2.m2.4.4.2.2.2.2" xref="S2.p13.2.m2.4.4.2.2.2.2.cmml">𝑴</mi><mi id="S2.p13.2.m2.4.4.2.2.2.3" xref="S2.p13.2.m2.4.4.2.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S2.p13.2.m2.4.4.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.p13.2.m2.4.4.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo fence="false" id="S2.p13.2.m2.5.5.4" xref="S2.p13.2.m2.5.5.4.cmml">|</mo><mrow id="S2.p13.2.m2.5.5.3.1" xref="S2.p13.2.m2.5.5.3.2.cmml"><mo id="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.2" stretchy="false" xref="S2.p13.2.m2.5.5.3.2.cmml">(</mo><msub id="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1" xref="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.2.2" xref="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.2.3.cmml"><mo id="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.2.3.cmml">{</mo><msub id="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.1.1.1" xref="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.1.1.1.2" xref="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.1.1.1.2.cmml">T</mi><msup id="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.1.1.1.3" xref="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml">′</mo></msup></msub><mo id="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.2.2.4" xref="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.2.2.2" xref="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.2.2.2.2" xref="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.2.2.2.2.cmml">𝑴</mi><msup id="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.2.2.2.3" xref="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.2.2.2.3.2" xref="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.2.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.2.2.2.3.3" xref="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.2.2.2.3.3.cmml">′</mo></msup></msub><mo id="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.2.3.cmml">}</mo></mrow><mrow id="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.4" xref="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.4.cmml"><mi id="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.4.2" xref="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.4.2.cmml">j</mi><mo id="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.4.1" xref="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.4.1.cmml">≠</mo><msup id="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.4.3" xref="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.4.3.cmml"><mi id="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.4.3.2" xref="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.4.3.2.cmml">j</mi><mo id="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.4.3.3" xref="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.4.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow></msub><mo id="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.3" xref="S2.p13.2.m2.5.5.3.2.cmml">,</mo><mi id="S2.p13.2.m2.1.1" xref="S2.p13.2.m2.1.1.cmml">σ</mi><mo id="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.4" xref="S2.p13.2.m2.5.5.3.2.cmml">,</mo><mi id="S2.p13.2.m2.2.2" xref="S2.p13.2.m2.2.2.cmml">y</mi><mo id="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.5" stretchy="false" xref="S2.p13.2.m2.5.5.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p13.2.m2.5b"><apply id="S2.p13.2.m2.5.5.cmml" xref="S2.p13.2.m2.5.5"><csymbol cd="latexml" id="S2.p13.2.m2.5.5.4.cmml" xref="S2.p13.2.m2.5.5.4">conditional</csymbol><interval closure="open" id="S2.p13.2.m2.4.4.2.3.cmml" xref="S2.p13.2.m2.4.4.2.2"><apply id="S2.p13.2.m2.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.p13.2.m2.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p13.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p13.2.m2.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p13.2.m2.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p13.2.m2.3.3.1.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S2.p13.2.m2.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p13.2.m2.3.3.1.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S2.p13.2.m2.4.4.2.2.2.cmml" xref="S2.p13.2.m2.4.4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p13.2.m2.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S2.p13.2.m2.4.4.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p13.2.m2.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p13.2.m2.4.4.2.2.2.2">𝑴</ci><ci id="S2.p13.2.m2.4.4.2.2.2.3.cmml" xref="S2.p13.2.m2.4.4.2.2.2.3">𝑗</ci></apply></interval><vector id="S2.p13.2.m2.5.5.3.2.cmml" xref="S2.p13.2.m2.5.5.3.1"><apply id="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.cmml" xref="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.3.cmml" xref="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1">subscript</csymbol><set id="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.2.3.cmml" xref="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.2.2"><apply id="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.1.1.1.2">𝑇</ci><apply id="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.1.1.1.3.2">𝑗</ci><ci id="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.1.1.1.3.3">′</ci></apply></apply><apply id="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.2.2.2.2">𝑴</ci><apply id="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.2.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.2.2.2.3.2">𝑗</ci><ci id="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.2.2.2.3.3">′</ci></apply></apply></set><apply id="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.4.cmml" xref="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.4"><neq id="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.4.1.cmml" xref="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.4.1"></neq><ci id="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.4.2.cmml" xref="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.4.2">𝑗</ci><apply id="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.4.3.cmml" xref="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.4.3.1.cmml" xref="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.4.3">superscript</csymbol><ci id="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.4.3.2.cmml" xref="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.4.3.2">𝑗</ci><ci id="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.4.3.3.cmml" xref="S2.p13.2.m2.5.5.3.1.1.4.3.3">′</ci></apply></apply></apply><ci id="S2.p13.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.p13.2.m2.1.1">𝜎</ci><ci id="S2.p13.2.m2.2.2.cmml" xref="S2.p13.2.m2.2.2">𝑦</ci></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p13.2.m2.5c">(T_{j},\bm{M}_{j})|(\{T_{j^{\prime}},\bm{M}_{j^{\prime}}\}_{j\neq j^{\prime}},% \sigma,y)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p13.2.m2.5d">( italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) | ( { italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT } start_POSTSUBSCRIPT italic_j ≠ italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , italic_σ , italic_y )</annotation></semantics></math>, it is important to note that the conditional probability <math alttext="\pi(T_{j},\bm{M}_{j}|\{T_{j^{\prime}},\bm{M}_{j^{\prime}}\}_{j\neq j^{\prime}}% ,\sigma,\bm{y})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p13.3.m3.4"><semantics id="S2.p13.3.m3.4a"><mrow id="S2.p13.3.m3.4.4" xref="S2.p13.3.m3.4.4.cmml"><mi id="S2.p13.3.m3.4.4.4" xref="S2.p13.3.m3.4.4.4.cmml">π</mi><mo id="S2.p13.3.m3.4.4.3" xref="S2.p13.3.m3.4.4.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p13.3.m3.4.4.2.2" xref="S2.p13.3.m3.4.4.2.3.cmml"><mo id="S2.p13.3.m3.4.4.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.p13.3.m3.4.4.2.3.cmml">(</mo><msub id="S2.p13.3.m3.3.3.1.1.1" xref="S2.p13.3.m3.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p13.3.m3.3.3.1.1.1.2" xref="S2.p13.3.m3.3.3.1.1.1.2.cmml">T</mi><mi id="S2.p13.3.m3.3.3.1.1.1.3" xref="S2.p13.3.m3.3.3.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S2.p13.3.m3.4.4.2.2.4" xref="S2.p13.3.m3.4.4.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S2.p13.3.m3.4.4.2.2.2" xref="S2.p13.3.m3.4.4.2.2.2.cmml"><msub id="S2.p13.3.m3.4.4.2.2.2.3" xref="S2.p13.3.m3.4.4.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.p13.3.m3.4.4.2.2.2.3.2" xref="S2.p13.3.m3.4.4.2.2.2.3.2.cmml">𝑴</mi><mi id="S2.p13.3.m3.4.4.2.2.2.3.3" xref="S2.p13.3.m3.4.4.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></msub><mo fence="false" id="S2.p13.3.m3.4.4.2.2.2.2" xref="S2.p13.3.m3.4.4.2.2.2.2.cmml">|</mo><mrow id="S2.p13.3.m3.4.4.2.2.2.1.1" xref="S2.p13.3.m3.4.4.2.2.2.1.2.cmml"><msub id="S2.p13.3.m3.4.4.2.2.2.1.1.1" xref="S2.p13.3.m3.4.4.2.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.p13.3.m3.4.4.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S2.p13.3.m3.4.4.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S2.p13.3.m3.4.4.2.2.2.1.1.1.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.p13.3.m3.4.4.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">{</mo><msub id="S2.p13.3.m3.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.p13.3.m3.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p13.3.m3.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.p13.3.m3.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">T</mi><msup id="S2.p13.3.m3.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.p13.3.m3.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.p13.3.m3.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.p13.3.m3.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="S2.p13.3.m3.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.p13.3.m3.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">′</mo></msup></msub><mo id="S2.p13.3.m3.4.4.2.2.2.1.1.1.2.2.4" xref="S2.p13.3.m3.4.4.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.p13.3.m3.4.4.2.2.2.1.1.1.2.2.2" 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xref="S2.p13.3.m3.4.4.2.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><set id="S2.p13.3.m3.4.4.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.p13.3.m3.4.4.2.2.2.1.1.1.2.2"><apply id="S2.p13.3.m3.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p13.3.m3.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p13.3.m3.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p13.3.m3.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p13.3.m3.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p13.3.m3.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2">𝑇</ci><apply id="S2.p13.3.m3.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p13.3.m3.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p13.3.m3.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.p13.3.m3.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.p13.3.m3.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.p13.3.m3.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑗</ci><ci id="S2.p13.3.m3.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.p13.3.m3.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3">′</ci></apply></apply><apply id="S2.p13.3.m3.4.4.2.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" 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id="S2.p13.4.m4.3.3.1.1.4" xref="S2.p13.4.m4.3.3.1.1.4.cmml"><mi id="S2.p13.4.m4.3.3.1.1.4.2" xref="S2.p13.4.m4.3.3.1.1.4.2.cmml">j</mi><mo id="S2.p13.4.m4.3.3.1.1.4.1" xref="S2.p13.4.m4.3.3.1.1.4.1.cmml">≠</mo><msup id="S2.p13.4.m4.3.3.1.1.4.3" xref="S2.p13.4.m4.3.3.1.1.4.3.cmml"><mi id="S2.p13.4.m4.3.3.1.1.4.3.2" xref="S2.p13.4.m4.3.3.1.1.4.3.2.cmml">j</mi><mo id="S2.p13.4.m4.3.3.1.1.4.3.3" xref="S2.p13.4.m4.3.3.1.1.4.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow></msub><mo id="S2.p13.4.m4.3.3.1.3" xref="S2.p13.4.m4.3.3.2.cmml">,</mo><mi id="S2.p13.4.m4.1.1" xref="S2.p13.4.m4.1.1.cmml">𝒚</mi><mo id="S2.p13.4.m4.3.3.1.4" xref="S2.p13.4.m4.3.3.2.cmml">,</mo><mi id="S2.p13.4.m4.2.2" xref="S2.p13.4.m4.2.2.cmml">𝑿</mi><mo id="S2.p13.4.m4.3.3.1.5" stretchy="false" xref="S2.p13.4.m4.3.3.2.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p13.4.m4.3b"><vector id="S2.p13.4.m4.3.3.2.cmml" xref="S2.p13.4.m4.3.3.1"><apply id="S2.p13.4.m4.3.3.1.1.cmml" xref="S2.p13.4.m4.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p13.4.m4.3.3.1.1.3.cmml" xref="S2.p13.4.m4.3.3.1.1">subscript</csymbol><set id="S2.p13.4.m4.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="S2.p13.4.m4.3.3.1.1.2.2"><apply id="S2.p13.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p13.4.m4.3.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p13.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p13.4.m4.3.3.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p13.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p13.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.2">𝑇</ci><apply id="S2.p13.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p13.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p13.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.p13.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.p13.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.p13.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.3.2">𝑗</ci><ci id="S2.p13.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.p13.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.3.3">′</ci></apply></apply><apply id="S2.p13.4.m4.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.p13.4.m4.3.3.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p13.4.m4.3.3.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.p13.4.m4.3.3.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p13.4.m4.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p13.4.m4.3.3.1.1.2.2.2.2">𝑴</ci><apply id="S2.p13.4.m4.3.3.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.p13.4.m4.3.3.1.1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p13.4.m4.3.3.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.p13.4.m4.3.3.1.1.2.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.p13.4.m4.3.3.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.p13.4.m4.3.3.1.1.2.2.2.3.2">𝑗</ci><ci id="S2.p13.4.m4.3.3.1.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S2.p13.4.m4.3.3.1.1.2.2.2.3.3">′</ci></apply></apply></set><apply id="S2.p13.4.m4.3.3.1.1.4.cmml" xref="S2.p13.4.m4.3.3.1.1.4"><neq id="S2.p13.4.m4.3.3.1.1.4.1.cmml" xref="S2.p13.4.m4.3.3.1.1.4.1"></neq><ci id="S2.p13.4.m4.3.3.1.1.4.2.cmml" xref="S2.p13.4.m4.3.3.1.1.4.2">𝑗</ci><apply id="S2.p13.4.m4.3.3.1.1.4.3.cmml" xref="S2.p13.4.m4.3.3.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p13.4.m4.3.3.1.1.4.3.1.cmml" xref="S2.p13.4.m4.3.3.1.1.4.3">superscript</csymbol><ci id="S2.p13.4.m4.3.3.1.1.4.3.2.cmml" xref="S2.p13.4.m4.3.3.1.1.4.3.2">𝑗</ci><ci id="S2.p13.4.m4.3.3.1.1.4.3.3.cmml" xref="S2.p13.4.m4.3.3.1.1.4.3.3">′</ci></apply></apply></apply><ci id="S2.p13.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.p13.4.m4.1.1">𝒚</ci><ci id="S2.p13.4.m4.2.2.cmml" xref="S2.p13.4.m4.2.2">𝑿</ci></vector></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p13.4.m4.3c">(\{T_{j^{\prime}},\bm{M}_{j^{\prime}}\}_{j\neq j^{\prime}},\bm{y},\bm{X})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p13.4.m4.3d">( { italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT } start_POSTSUBSCRIPT italic_j ≠ italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_y , bold_italic_X )</annotation></semantics></math> through the expression</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex3"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\bm{R}_{j}=\bm{y}-\sum\limits_{k\neq j}g(\bm{x}|T_{k},\bm{M}_{k})," class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex3.m1.1"><semantics id="S2.Ex3.m1.1a"><mrow id="S2.Ex3.m1.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">𝑹</mi><mi id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝒚</mi><mo id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.2" rspace="0.055em" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><munder id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">≠</mo><mi id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></munder><mrow id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">g</mi><mo id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">𝒙</mi><mo fence="false" id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">|</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><msub id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">T</mi><mi id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">𝑴</mi><mi id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">k</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Ex3.m1.1.1.1.2" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex3.m1.1b"><apply id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1"><eq id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.3.2">𝑹</ci><ci id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply><apply id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1"><minus id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.2"></minus><ci id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.3">𝒚</ci><apply id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.2"></sum><apply id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.3"><neq id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></neq><ci id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑔</ci><apply id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">conditional</csymbol><ci id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4">𝒙</ci><list id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><apply id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝑴</ci><ci id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3">𝑘</ci></apply></list></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex3.m1.1c">\bm{R}_{j}=\bm{y}-\sum\limits_{k\neq j}g(\bm{x}|T_{k},\bm{M}_{k}),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex3.m1.1d">bold_italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT = bold_italic_y - ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_k ≠ italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_g ( bold_italic_x | italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.p13.11">where <math alttext="\bm{R}_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p13.5.m1.1"><semantics id="S2.p13.5.m1.1a"><msub id="S2.p13.5.m1.1.1" xref="S2.p13.5.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.p13.5.m1.1.1.2" xref="S2.p13.5.m1.1.1.2.cmml">𝑹</mi><mi id="S2.p13.5.m1.1.1.3" xref="S2.p13.5.m1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p13.5.m1.1b"><apply id="S2.p13.5.m1.1.1.cmml" xref="S2.p13.5.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p13.5.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.p13.5.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p13.5.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.p13.5.m1.1.1.2">𝑹</ci><ci id="S2.p13.5.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.p13.5.m1.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p13.5.m1.1c">\bm{R}_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p13.5.m1.1d">bold_italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> represents the <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p13.6.m2.1"><semantics id="S2.p13.6.m2.1a"><mi id="S2.p13.6.m2.1.1" xref="S2.p13.6.m2.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p13.6.m2.1b"><ci id="S2.p13.6.m2.1.1.cmml" xref="S2.p13.6.m2.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p13.6.m2.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p13.6.m2.1d">italic_n</annotation></semantics></math>-vector of partial residuals derived from a fitting process that excludes the <math alttext="j^{\mathrm{th}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p13.7.m3.1"><semantics id="S2.p13.7.m3.1a"><msup id="S2.p13.7.m3.1.1" xref="S2.p13.7.m3.1.1.cmml"><mi id="S2.p13.7.m3.1.1.2" xref="S2.p13.7.m3.1.1.2.cmml">j</mi><mi id="S2.p13.7.m3.1.1.3" xref="S2.p13.7.m3.1.1.3.cmml">th</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p13.7.m3.1b"><apply id="S2.p13.7.m3.1.1.cmml" xref="S2.p13.7.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p13.7.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.p13.7.m3.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.p13.7.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.p13.7.m3.1.1.2">𝑗</ci><ci id="S2.p13.7.m3.1.1.3.cmml" xref="S2.p13.7.m3.1.1.3">th</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p13.7.m3.1c">j^{\mathrm{th}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p13.7.m3.1d">italic_j start_POSTSUPERSCRIPT roman_th end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> tessellation. Now, <math alttext="(T_{j},\bm{M}_{j})~{}|~{}\bm{R}_{j},\sigma" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p13.8.m4.4"><semantics id="S2.p13.8.m4.4a"><mrow id="S2.p13.8.m4.4.4" xref="S2.p13.8.m4.4.4.cmml"><mrow id="S2.p13.8.m4.3.3.2.2" xref="S2.p13.8.m4.3.3.2.3.cmml"><mo id="S2.p13.8.m4.3.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.p13.8.m4.3.3.2.3.cmml">(</mo><msub id="S2.p13.8.m4.2.2.1.1.1" xref="S2.p13.8.m4.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p13.8.m4.2.2.1.1.1.2" xref="S2.p13.8.m4.2.2.1.1.1.2.cmml">T</mi><mi id="S2.p13.8.m4.2.2.1.1.1.3" xref="S2.p13.8.m4.2.2.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S2.p13.8.m4.3.3.2.2.4" xref="S2.p13.8.m4.3.3.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.p13.8.m4.3.3.2.2.2" xref="S2.p13.8.m4.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S2.p13.8.m4.3.3.2.2.2.2" xref="S2.p13.8.m4.3.3.2.2.2.2.cmml">𝑴</mi><mi id="S2.p13.8.m4.3.3.2.2.2.3" xref="S2.p13.8.m4.3.3.2.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S2.p13.8.m4.3.3.2.2.5" rspace="0.330em" stretchy="false" xref="S2.p13.8.m4.3.3.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo fence="false" id="S2.p13.8.m4.4.4.4" rspace="0.608em" xref="S2.p13.8.m4.4.4.4.cmml">|</mo><mrow id="S2.p13.8.m4.4.4.3.1" xref="S2.p13.8.m4.4.4.3.2.cmml"><msub id="S2.p13.8.m4.4.4.3.1.1" xref="S2.p13.8.m4.4.4.3.1.1.cmml"><mi id="S2.p13.8.m4.4.4.3.1.1.2" xref="S2.p13.8.m4.4.4.3.1.1.2.cmml">𝑹</mi><mi id="S2.p13.8.m4.4.4.3.1.1.3" xref="S2.p13.8.m4.4.4.3.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S2.p13.8.m4.4.4.3.1.2" xref="S2.p13.8.m4.4.4.3.2.cmml">,</mo><mi id="S2.p13.8.m4.1.1" xref="S2.p13.8.m4.1.1.cmml">σ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p13.8.m4.4b"><apply id="S2.p13.8.m4.4.4.cmml" xref="S2.p13.8.m4.4.4"><csymbol cd="latexml" id="S2.p13.8.m4.4.4.4.cmml" xref="S2.p13.8.m4.4.4.4">conditional</csymbol><interval closure="open" id="S2.p13.8.m4.3.3.2.3.cmml" xref="S2.p13.8.m4.3.3.2.2"><apply id="S2.p13.8.m4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.p13.8.m4.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p13.8.m4.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p13.8.m4.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p13.8.m4.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p13.8.m4.2.2.1.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S2.p13.8.m4.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p13.8.m4.2.2.1.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S2.p13.8.m4.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.p13.8.m4.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p13.8.m4.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S2.p13.8.m4.3.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p13.8.m4.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p13.8.m4.3.3.2.2.2.2">𝑴</ci><ci id="S2.p13.8.m4.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S2.p13.8.m4.3.3.2.2.2.3">𝑗</ci></apply></interval><list id="S2.p13.8.m4.4.4.3.2.cmml" xref="S2.p13.8.m4.4.4.3.1"><apply id="S2.p13.8.m4.4.4.3.1.1.cmml" xref="S2.p13.8.m4.4.4.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p13.8.m4.4.4.3.1.1.1.cmml" xref="S2.p13.8.m4.4.4.3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p13.8.m4.4.4.3.1.1.2.cmml" xref="S2.p13.8.m4.4.4.3.1.1.2">𝑹</ci><ci id="S2.p13.8.m4.4.4.3.1.1.3.cmml" xref="S2.p13.8.m4.4.4.3.1.1.3">𝑗</ci></apply><ci id="S2.p13.8.m4.1.1.cmml" xref="S2.p13.8.m4.1.1">𝜎</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p13.8.m4.4c">(T_{j},\bm{M}_{j})~{}|~{}\bm{R}_{j},\sigma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p13.8.m4.4d">( italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) | bold_italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , italic_σ</annotation></semantics></math>, is formally equivalent to the posterior of the single tessellation model <math alttext="\bm{R}_{j}=g(x;T_{j},\bm{M}_{j})+\epsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p13.9.m5.3"><semantics id="S2.p13.9.m5.3a"><mrow id="S2.p13.9.m5.3.3" xref="S2.p13.9.m5.3.3.cmml"><msub id="S2.p13.9.m5.3.3.4" xref="S2.p13.9.m5.3.3.4.cmml"><mi id="S2.p13.9.m5.3.3.4.2" xref="S2.p13.9.m5.3.3.4.2.cmml">𝑹</mi><mi id="S2.p13.9.m5.3.3.4.3" xref="S2.p13.9.m5.3.3.4.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S2.p13.9.m5.3.3.3" xref="S2.p13.9.m5.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.p13.9.m5.3.3.2" xref="S2.p13.9.m5.3.3.2.cmml"><mrow id="S2.p13.9.m5.3.3.2.2" xref="S2.p13.9.m5.3.3.2.2.cmml"><mi id="S2.p13.9.m5.3.3.2.2.4" xref="S2.p13.9.m5.3.3.2.2.4.cmml">g</mi><mo id="S2.p13.9.m5.3.3.2.2.3" xref="S2.p13.9.m5.3.3.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p13.9.m5.3.3.2.2.2.2" xref="S2.p13.9.m5.3.3.2.2.2.3.cmml"><mo id="S2.p13.9.m5.3.3.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.p13.9.m5.3.3.2.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S2.p13.9.m5.1.1" xref="S2.p13.9.m5.1.1.cmml">x</mi><mo id="S2.p13.9.m5.3.3.2.2.2.2.4" xref="S2.p13.9.m5.3.3.2.2.2.3.cmml">;</mo><msub id="S2.p13.9.m5.2.2.1.1.1.1.1" xref="S2.p13.9.m5.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p13.9.m5.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S2.p13.9.m5.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">T</mi><mi id="S2.p13.9.m5.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S2.p13.9.m5.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S2.p13.9.m5.3.3.2.2.2.2.5" xref="S2.p13.9.m5.3.3.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.p13.9.m5.3.3.2.2.2.2.2" xref="S2.p13.9.m5.3.3.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.p13.9.m5.3.3.2.2.2.2.2.2" xref="S2.p13.9.m5.3.3.2.2.2.2.2.2.cmml">𝑴</mi><mi id="S2.p13.9.m5.3.3.2.2.2.2.2.3" xref="S2.p13.9.m5.3.3.2.2.2.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S2.p13.9.m5.3.3.2.2.2.2.6" stretchy="false" xref="S2.p13.9.m5.3.3.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.p13.9.m5.3.3.2.3" xref="S2.p13.9.m5.3.3.2.3.cmml">+</mo><mi id="S2.p13.9.m5.3.3.2.4" xref="S2.p13.9.m5.3.3.2.4.cmml">ϵ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p13.9.m5.3b"><apply id="S2.p13.9.m5.3.3.cmml" xref="S2.p13.9.m5.3.3"><eq id="S2.p13.9.m5.3.3.3.cmml" xref="S2.p13.9.m5.3.3.3"></eq><apply id="S2.p13.9.m5.3.3.4.cmml" xref="S2.p13.9.m5.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p13.9.m5.3.3.4.1.cmml" xref="S2.p13.9.m5.3.3.4">subscript</csymbol><ci id="S2.p13.9.m5.3.3.4.2.cmml" xref="S2.p13.9.m5.3.3.4.2">𝑹</ci><ci id="S2.p13.9.m5.3.3.4.3.cmml" xref="S2.p13.9.m5.3.3.4.3">𝑗</ci></apply><apply id="S2.p13.9.m5.3.3.2.cmml" xref="S2.p13.9.m5.3.3.2"><plus id="S2.p13.9.m5.3.3.2.3.cmml" xref="S2.p13.9.m5.3.3.2.3"></plus><apply id="S2.p13.9.m5.3.3.2.2.cmml" xref="S2.p13.9.m5.3.3.2.2"><times id="S2.p13.9.m5.3.3.2.2.3.cmml" xref="S2.p13.9.m5.3.3.2.2.3"></times><ci id="S2.p13.9.m5.3.3.2.2.4.cmml" xref="S2.p13.9.m5.3.3.2.2.4">𝑔</ci><list id="S2.p13.9.m5.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S2.p13.9.m5.3.3.2.2.2.2"><ci id="S2.p13.9.m5.1.1.cmml" xref="S2.p13.9.m5.1.1">𝑥</ci><apply id="S2.p13.9.m5.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p13.9.m5.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p13.9.m5.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p13.9.m5.2.2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p13.9.m5.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p13.9.m5.2.2.1.1.1.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S2.p13.9.m5.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p13.9.m5.2.2.1.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S2.p13.9.m5.3.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p13.9.m5.3.3.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p13.9.m5.3.3.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.p13.9.m5.3.3.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p13.9.m5.3.3.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p13.9.m5.3.3.2.2.2.2.2.2">𝑴</ci><ci id="S2.p13.9.m5.3.3.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.p13.9.m5.3.3.2.2.2.2.2.3">𝑗</ci></apply></list></apply><ci id="S2.p13.9.m5.3.3.2.4.cmml" xref="S2.p13.9.m5.3.3.2.4">italic-ϵ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p13.9.m5.3c">\bm{R}_{j}=g(x;T_{j},\bm{M}_{j})+\epsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p13.9.m5.3d">bold_italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT = italic_g ( italic_x ; italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) + italic_ϵ</annotation></semantics></math> where <math alttext="\bm{R}_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p13.10.m6.1"><semantics id="S2.p13.10.m6.1a"><msub id="S2.p13.10.m6.1.1" xref="S2.p13.10.m6.1.1.cmml"><mi id="S2.p13.10.m6.1.1.2" xref="S2.p13.10.m6.1.1.2.cmml">𝑹</mi><mi id="S2.p13.10.m6.1.1.3" xref="S2.p13.10.m6.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p13.10.m6.1b"><apply id="S2.p13.10.m6.1.1.cmml" xref="S2.p13.10.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p13.10.m6.1.1.1.cmml" xref="S2.p13.10.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p13.10.m6.1.1.2.cmml" xref="S2.p13.10.m6.1.1.2">𝑹</ci><ci id="S2.p13.10.m6.1.1.3.cmml" xref="S2.p13.10.m6.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p13.10.m6.1c">\bm{R}_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p13.10.m6.1d">bold_italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> plays the role of the data <math alttext="\bm{y}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p13.11.m7.1"><semantics id="S2.p13.11.m7.1a"><mi id="S2.p13.11.m7.1.1" xref="S2.p13.11.m7.1.1.cmml">𝒚</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p13.11.m7.1b"><ci id="S2.p13.11.m7.1.1.cmml" xref="S2.p13.11.m7.1.1">𝒚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p13.11.m7.1c">\bm{y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p13.11.m7.1d">bold_italic_y</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.p14"> <p class="ltx_p" id="S2.p14.1">We are able to carry out each draw in two successive steps as</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_table" id="S2.E4"> <tbody> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S2.E4X"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle T_{j}|\bm{R}_{j},\sigma," class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E4X.2.1.1.m1.2"><semantics id="S2.E4X.2.1.1.m1.2a"><mrow id="S2.E4X.2.1.1.m1.2.2.1" xref="S2.E4X.2.1.1.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.E4X.2.1.1.m1.2.2.1.1" xref="S2.E4X.2.1.1.m1.2.2.1.1.cmml"><msub id="S2.E4X.2.1.1.m1.2.2.1.1.3" xref="S2.E4X.2.1.1.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E4X.2.1.1.m1.2.2.1.1.3.2" xref="S2.E4X.2.1.1.m1.2.2.1.1.3.2.cmml">T</mi><mi id="S2.E4X.2.1.1.m1.2.2.1.1.3.3" xref="S2.E4X.2.1.1.m1.2.2.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub><mo fence="false" id="S2.E4X.2.1.1.m1.2.2.1.1.2" xref="S2.E4X.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.cmml">|</mo><mrow id="S2.E4X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S2.E4X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"><msub id="S2.E4X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S2.E4X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E4X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E4X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">𝑹</mi><mi id="S2.E4X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E4X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S2.E4X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S2.E4X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S2.E4X.2.1.1.m1.1.1" xref="S2.E4X.2.1.1.m1.1.1.cmml">σ</mi></mrow></mrow><mo id="S2.E4X.2.1.1.m1.2.2.1.2" xref="S2.E4X.2.1.1.m1.2.2.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E4X.2.1.1.m1.2b"><apply id="S2.E4X.2.1.1.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E4X.2.1.1.m1.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.E4X.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.E4X.2.1.1.m1.2.2.1.1.2">conditional</csymbol><apply id="S2.E4X.2.1.1.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.E4X.2.1.1.m1.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E4X.2.1.1.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E4X.2.1.1.m1.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E4X.2.1.1.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E4X.2.1.1.m1.2.2.1.1.3.2">𝑇</ci><ci id="S2.E4X.2.1.1.m1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E4X.2.1.1.m1.2.2.1.1.3.3">𝑗</ci></apply><list id="S2.E4X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E4X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1"><apply id="S2.E4X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E4X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E4X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E4X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.E4X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E4X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2">𝑹</ci><ci id="S2.E4X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E4X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply><ci id="S2.E4X.2.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.E4X.2.1.1.m1.1.1">𝜎</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E4X.2.1.1.m1.2c">\displaystyle T_{j}|\bm{R}_{j},\sigma,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E4X.2.1.1.m1.2d">italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT | bold_italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , italic_σ ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="2"><span class="ltx_tag ltx_tag_equationgroup ltx_align_right">(4)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S2.E4Xa"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\bm{M}_{j}|T_{j},\bm{R}_{j},\sigma." class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E4Xa.2.1.1.m1.2"><semantics id="S2.E4Xa.2.1.1.m1.2a"><mrow id="S2.E4Xa.2.1.1.m1.2.2.1" xref="S2.E4Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.E4Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1" xref="S2.E4Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.cmml"><msub id="S2.E4Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.4" xref="S2.E4Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.cmml"><mi id="S2.E4Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.2" xref="S2.E4Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.2.cmml">𝑴</mi><mi id="S2.E4Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.3" xref="S2.E4Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.3.cmml">j</mi></msub><mo fence="false" id="S2.E4Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.3" xref="S2.E4Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.3.cmml">|</mo><mrow id="S2.E4Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S2.E4Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.3.cmml"><msub id="S2.E4Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S2.E4Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E4Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E4Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">T</mi><mi id="S2.E4Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E4Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S2.E4Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.3" xref="S2.E4Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.E4Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.2" xref="S2.E4Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E4Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.2.2" xref="S2.E4Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml">𝑹</mi><mi id="S2.E4Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.2.3" xref="S2.E4Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S2.E4Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.4" xref="S2.E4Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E4Xa.2.1.1.m1.1.1" xref="S2.E4Xa.2.1.1.m1.1.1.cmml">σ</mi></mrow></mrow><mo id="S2.E4Xa.2.1.1.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S2.E4Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E4Xa.2.1.1.m1.2b"><apply id="S2.E4Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E4Xa.2.1.1.m1.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.E4Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.E4Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.3">conditional</csymbol><apply id="S2.E4Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.cmml" xref="S2.E4Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E4Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.1.cmml" xref="S2.E4Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S2.E4Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.2.cmml" xref="S2.E4Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.2">𝑴</ci><ci id="S2.E4Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.3.cmml" xref="S2.E4Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.3">𝑗</ci></apply><list id="S2.E4Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E4Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2"><apply id="S2.E4Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E4Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E4Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E4Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.E4Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E4Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S2.E4Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E4Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S2.E4Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E4Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E4Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E4Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E4Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E4Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.2.2">𝑹</ci><ci id="S2.E4Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E4Xa.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S2.E4Xa.2.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.E4Xa.2.1.1.m1.1.1">𝜎</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E4Xa.2.1.1.m1.2c">\displaystyle\bm{M}_{j}|T_{j},\bm{R}_{j},\sigma.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E4Xa.2.1.1.m1.2d">bold_italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT | italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , italic_σ .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> </tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S2.p15"> <p class="ltx_p" id="S2.p15.1">The draw of <math alttext="T_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p15.1.m1.1"><semantics id="S2.p15.1.m1.1a"><msub id="S2.p15.1.m1.1.1" xref="S2.p15.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.p15.1.m1.1.1.2" xref="S2.p15.1.m1.1.1.2.cmml">T</mi><mi id="S2.p15.1.m1.1.1.3" xref="S2.p15.1.m1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p15.1.m1.1b"><apply id="S2.p15.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.p15.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p15.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.p15.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p15.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.p15.1.m1.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S2.p15.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.p15.1.m1.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p15.1.m1.1c">T_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p15.1.m1.1d">italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13037v1#S2.E4" title="In 2 The homoscedastic AddiVortes model ‣ H-AddiVortes: Heteroscedastic (Bayesian) Additive Voronoi Tessellations"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>) can be obtained using a Metropolis–Hastings (MH) algorithm. Six moves are suggested to propose a new tessellation based on the current tessellation, each with its associated proposal probability:</p> <ul class="ltx_itemize" id="S2.I2"> <li class="ltx_item" id="S2.I2.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para" id="S2.I2.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.I2.i1.p1.1">adding/removing a center (0.2 each),</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S2.I2.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para" id="S2.I2.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.I2.i2.p1.1">adding/removing a covariate (0.2 each),</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S2.I2.i3" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para" id="S2.I2.i3.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.I2.i3.p1.1">swapping a covariate (0.1) or</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S2.I2.i4" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para" id="S2.I2.i4.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.I2.i4.p1.1">changing the position of a center (0.1).</p> </div> </li> </ul> </div> <div class="ltx_para" id="S2.p16"> <p class="ltx_p" id="S2.p16.2">Subsequently, the draw of <math alttext="\bm{M}_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p16.1.m1.1"><semantics id="S2.p16.1.m1.1a"><msub id="S2.p16.1.m1.1.1" xref="S2.p16.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.p16.1.m1.1.1.2" xref="S2.p16.1.m1.1.1.2.cmml">𝑴</mi><mi id="S2.p16.1.m1.1.1.3" xref="S2.p16.1.m1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p16.1.m1.1b"><apply id="S2.p16.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.p16.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p16.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.p16.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p16.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.p16.1.m1.1.1.2">𝑴</ci><ci id="S2.p16.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.p16.1.m1.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p16.1.m1.1c">\bm{M}_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p16.1.m1.1d">bold_italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> in Equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13037v1#S2.E4" title="In 2 The homoscedastic AddiVortes model ‣ H-AddiVortes: Heteroscedastic (Bayesian) Additive Voronoi Tessellations"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>) involves independent draws of <math alttext="\mu_{ij}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p16.2.m2.1"><semantics id="S2.p16.2.m2.1a"><msub id="S2.p16.2.m2.1.1" xref="S2.p16.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.p16.2.m2.1.1.2" xref="S2.p16.2.m2.1.1.2.cmml">μ</mi><mrow id="S2.p16.2.m2.1.1.3" xref="S2.p16.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S2.p16.2.m2.1.1.3.2" xref="S2.p16.2.m2.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.p16.2.m2.1.1.3.1" xref="S2.p16.2.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.p16.2.m2.1.1.3.3" xref="S2.p16.2.m2.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p16.2.m2.1b"><apply id="S2.p16.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.p16.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p16.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.p16.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p16.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.p16.2.m2.1.1.2">𝜇</ci><apply id="S2.p16.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.p16.2.m2.1.1.3"><times id="S2.p16.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.p16.2.m2.1.1.3.1"></times><ci id="S2.p16.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.p16.2.m2.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="S2.p16.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S2.p16.2.m2.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p16.2.m2.1c">\mu_{ij}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p16.2.m2.1d">italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> from a normal distribution since we use a conjugate normal distribution.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.p17"> <p class="ltx_p" id="S2.p17.6">By running the algorithm for a sufficient number of iterations after a suitable burn-in period, each iteration can be treated as an approximate, dependent sample from <math alttext="\pi(f|y)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p17.1.m1.1"><semantics id="S2.p17.1.m1.1a"><mrow id="S2.p17.1.m1.1.1" xref="S2.p17.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.p17.1.m1.1.1.3" xref="S2.p17.1.m1.1.1.3.cmml">π</mi><mo id="S2.p17.1.m1.1.1.2" xref="S2.p17.1.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p17.1.m1.1.1.1.1" xref="S2.p17.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.p17.1.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.p17.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.p17.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.p17.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p17.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.p17.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">f</mi><mo fence="false" id="S2.p17.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.p17.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">|</mo><mi id="S2.p17.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.p17.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">y</mi></mrow><mo id="S2.p17.1.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.p17.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p17.1.m1.1b"><apply id="S2.p17.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.p17.1.m1.1.1"><times id="S2.p17.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.p17.1.m1.1.1.2"></times><ci id="S2.p17.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.p17.1.m1.1.1.3">𝜋</ci><apply id="S2.p17.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p17.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.p17.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p17.1.m1.1.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S2.p17.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p17.1.m1.1.1.1.1.1.2">𝑓</ci><ci id="S2.p17.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p17.1.m1.1.1.1.1.1.3">𝑦</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p17.1.m1.1c">\pi(f|y)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p17.1.m1.1d">italic_π ( italic_f | italic_y )</annotation></semantics></math>. To estimate <math alttext="f(x)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p17.2.m2.1"><semantics id="S2.p17.2.m2.1a"><mrow id="S2.p17.2.m2.1.2" xref="S2.p17.2.m2.1.2.cmml"><mi id="S2.p17.2.m2.1.2.2" xref="S2.p17.2.m2.1.2.2.cmml">f</mi><mo id="S2.p17.2.m2.1.2.1" xref="S2.p17.2.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p17.2.m2.1.2.3.2" xref="S2.p17.2.m2.1.2.cmml"><mo id="S2.p17.2.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.p17.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.p17.2.m2.1.1" xref="S2.p17.2.m2.1.1.cmml">x</mi><mo id="S2.p17.2.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.p17.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p17.2.m2.1b"><apply id="S2.p17.2.m2.1.2.cmml" xref="S2.p17.2.m2.1.2"><times id="S2.p17.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S2.p17.2.m2.1.2.1"></times><ci id="S2.p17.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S2.p17.2.m2.1.2.2">𝑓</ci><ci id="S2.p17.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.p17.2.m2.1.1">𝑥</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p17.2.m2.1c">f(x)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p17.2.m2.1d">italic_f ( italic_x )</annotation></semantics></math>, we can take the average or median of the posterior samples. A reasonable <math alttext="(1-\alpha)\%" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p17.3.m3.1"><semantics id="S2.p17.3.m3.1a"><mrow id="S2.p17.3.m3.1.1" xref="S2.p17.3.m3.1.1.cmml"><mrow id="S2.p17.3.m3.1.1.1.1" xref="S2.p17.3.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.p17.3.m3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.p17.3.m3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.p17.3.m3.1.1.1.1.1" xref="S2.p17.3.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S2.p17.3.m3.1.1.1.1.1.2" xref="S2.p17.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S2.p17.3.m3.1.1.1.1.1.1" xref="S2.p17.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S2.p17.3.m3.1.1.1.1.1.3" xref="S2.p17.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml">α</mi></mrow><mo id="S2.p17.3.m3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.p17.3.m3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.p17.3.m3.1.1.2" xref="S2.p17.3.m3.1.1.2.cmml">%</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p17.3.m3.1b"><apply id="S2.p17.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.p17.3.m3.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.p17.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.p17.3.m3.1.1.2">percent</csymbol><apply id="S2.p17.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p17.3.m3.1.1.1.1"><minus id="S2.p17.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p17.3.m3.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S2.p17.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.p17.3.m3.1.1.1.1.1.2">1</cn><ci id="S2.p17.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p17.3.m3.1.1.1.1.1.3">𝛼</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p17.3.m3.1c">(1-\alpha)\%</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p17.3.m3.1d">( 1 - italic_α ) %</annotation></semantics></math> posterior interval for <math alttext="f(x)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p17.4.m4.1"><semantics id="S2.p17.4.m4.1a"><mrow id="S2.p17.4.m4.1.2" xref="S2.p17.4.m4.1.2.cmml"><mi id="S2.p17.4.m4.1.2.2" xref="S2.p17.4.m4.1.2.2.cmml">f</mi><mo id="S2.p17.4.m4.1.2.1" xref="S2.p17.4.m4.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p17.4.m4.1.2.3.2" xref="S2.p17.4.m4.1.2.cmml"><mo id="S2.p17.4.m4.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.p17.4.m4.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.p17.4.m4.1.1" xref="S2.p17.4.m4.1.1.cmml">x</mi><mo id="S2.p17.4.m4.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.p17.4.m4.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p17.4.m4.1b"><apply id="S2.p17.4.m4.1.2.cmml" xref="S2.p17.4.m4.1.2"><times id="S2.p17.4.m4.1.2.1.cmml" xref="S2.p17.4.m4.1.2.1"></times><ci id="S2.p17.4.m4.1.2.2.cmml" xref="S2.p17.4.m4.1.2.2">𝑓</ci><ci id="S2.p17.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.p17.4.m4.1.1">𝑥</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p17.4.m4.1c">f(x)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p17.4.m4.1d">italic_f ( italic_x )</annotation></semantics></math> is the interval between the upper and lower <math alttext="\alpha/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p17.5.m5.1"><semantics id="S2.p17.5.m5.1a"><mrow id="S2.p17.5.m5.1.1" xref="S2.p17.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S2.p17.5.m5.1.1.2" xref="S2.p17.5.m5.1.1.2.cmml">α</mi><mo id="S2.p17.5.m5.1.1.1" xref="S2.p17.5.m5.1.1.1.cmml">/</mo><mn id="S2.p17.5.m5.1.1.3" xref="S2.p17.5.m5.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p17.5.m5.1b"><apply id="S2.p17.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.p17.5.m5.1.1"><divide id="S2.p17.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.p17.5.m5.1.1.1"></divide><ci id="S2.p17.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.p17.5.m5.1.1.2">𝛼</ci><cn id="S2.p17.5.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.p17.5.m5.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p17.5.m5.1c">\alpha/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p17.5.m5.1d">italic_α / 2</annotation></semantics></math> quantiles and these uncertainty intervals behave sensibly, widening at <math alttext="x" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p17.6.m6.1"><semantics id="S2.p17.6.m6.1a"><mi id="S2.p17.6.m6.1.1" xref="S2.p17.6.m6.1.1.cmml">x</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p17.6.m6.1b"><ci id="S2.p17.6.m6.1.1.cmml" xref="S2.p17.6.m6.1.1">𝑥</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p17.6.m6.1c">x</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p17.6.m6.1d">italic_x</annotation></semantics></math> values far from the data.</p> </div> </section> <section class="ltx_section" id="S3"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">3 </span>Heteroscedastic AddiVortes</h2> <div class="ltx_para" id="S3.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.p1.3">In this section, we extend the AddiVortes model to accommodate data with non-constant variance. In many real-world situations, data do not adhere to the simple constant-variance assumption. The original AddiVortes model assumes a homoscedastic error structure, where the variance of the response <math alttext="Y" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.p1.1.m1.1a"><mi id="S3.p1.1.m1.1.1" xref="S3.p1.1.m1.1.1.cmml">Y</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.1.m1.1b"><ci id="S3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.p1.1.m1.1.1">𝑌</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.1.m1.1c">Y</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.1.m1.1d">italic_Y</annotation></semantics></math> remains constant regardless of predictor values. However, practical data frequently exhibit a covariate-dependent variance function. Our heteroscedastic AddiVortes approach jointly models the conditional mean function <math alttext="\mathds{E}[Y|\bm{x}]=f(\bm{x})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.2.m2.2"><semantics id="S3.p1.2.m2.2a"><mrow id="S3.p1.2.m2.2.2" xref="S3.p1.2.m2.2.2.cmml"><mrow id="S3.p1.2.m2.2.2.1" xref="S3.p1.2.m2.2.2.1.cmml"><mi id="S3.p1.2.m2.2.2.1.3" xref="S3.p1.2.m2.2.2.1.3.cmml">𝔼</mi><mo id="S3.p1.2.m2.2.2.1.2" xref="S3.p1.2.m2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.1" xref="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">Y</mi><mo fence="false" id="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">𝒙</mi></mrow><mo id="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.p1.2.m2.2.2.2" xref="S3.p1.2.m2.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.p1.2.m2.2.2.3" xref="S3.p1.2.m2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.p1.2.m2.2.2.3.2" xref="S3.p1.2.m2.2.2.3.2.cmml">f</mi><mo id="S3.p1.2.m2.2.2.3.1" xref="S3.p1.2.m2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p1.2.m2.2.2.3.3.2" xref="S3.p1.2.m2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.p1.2.m2.2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.p1.2.m2.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S3.p1.2.m2.1.1" xref="S3.p1.2.m2.1.1.cmml">𝒙</mi><mo id="S3.p1.2.m2.2.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.p1.2.m2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.2.m2.2b"><apply id="S3.p1.2.m2.2.2.cmml" xref="S3.p1.2.m2.2.2"><eq id="S3.p1.2.m2.2.2.2.cmml" xref="S3.p1.2.m2.2.2.2"></eq><apply id="S3.p1.2.m2.2.2.1.cmml" xref="S3.p1.2.m2.2.2.1"><times id="S3.p1.2.m2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.p1.2.m2.2.2.1.2"></times><ci id="S3.p1.2.m2.2.2.1.3.cmml" xref="S3.p1.2.m2.2.2.1.3">𝔼</ci><apply id="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2">𝑌</ci><ci id="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3">𝒙</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.p1.2.m2.2.2.3.cmml" xref="S3.p1.2.m2.2.2.3"><times id="S3.p1.2.m2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.p1.2.m2.2.2.3.1"></times><ci id="S3.p1.2.m2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.p1.2.m2.2.2.3.2">𝑓</ci><ci id="S3.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.p1.2.m2.1.1">𝒙</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.2.m2.2c">\mathds{E}[Y|\bm{x}]=f(\bm{x})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.2.m2.2d">blackboard_E [ italic_Y | bold_italic_x ] = italic_f ( bold_italic_x )</annotation></semantics></math> and the conditional variance function <math alttext="\mathds{V}ar[Y|\bm{x}]=s^{2}(\bm{x})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.3.m3.2"><semantics id="S3.p1.3.m3.2a"><mrow id="S3.p1.3.m3.2.2" xref="S3.p1.3.m3.2.2.cmml"><mrow id="S3.p1.3.m3.2.2.1" xref="S3.p1.3.m3.2.2.1.cmml"><mi id="S3.p1.3.m3.2.2.1.3" xref="S3.p1.3.m3.2.2.1.3.cmml">𝕍</mi><mo id="S3.p1.3.m3.2.2.1.2" xref="S3.p1.3.m3.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p1.3.m3.2.2.1.4" xref="S3.p1.3.m3.2.2.1.4.cmml">a</mi><mo id="S3.p1.3.m3.2.2.1.2a" xref="S3.p1.3.m3.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p1.3.m3.2.2.1.5" xref="S3.p1.3.m3.2.2.1.5.cmml">r</mi><mo id="S3.p1.3.m3.2.2.1.2b" xref="S3.p1.3.m3.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p1.3.m3.2.2.1.1.1" xref="S3.p1.3.m3.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S3.p1.3.m3.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.p1.3.m3.2.2.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1" xref="S3.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.2.cmml">Y</mi><mo fence="false" id="S3.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.3.cmml">𝒙</mi></mrow><mo id="S3.p1.3.m3.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.p1.3.m3.2.2.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.p1.3.m3.2.2.2" xref="S3.p1.3.m3.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.p1.3.m3.2.2.3" xref="S3.p1.3.m3.2.2.3.cmml"><msup id="S3.p1.3.m3.2.2.3.2" xref="S3.p1.3.m3.2.2.3.2.cmml"><mi id="S3.p1.3.m3.2.2.3.2.2" xref="S3.p1.3.m3.2.2.3.2.2.cmml">s</mi><mn id="S3.p1.3.m3.2.2.3.2.3" xref="S3.p1.3.m3.2.2.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.p1.3.m3.2.2.3.1" xref="S3.p1.3.m3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p1.3.m3.2.2.3.3.2" xref="S3.p1.3.m3.2.2.3.cmml"><mo id="S3.p1.3.m3.2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.p1.3.m3.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S3.p1.3.m3.1.1" xref="S3.p1.3.m3.1.1.cmml">𝒙</mi><mo id="S3.p1.3.m3.2.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.p1.3.m3.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.3.m3.2b"><apply id="S3.p1.3.m3.2.2.cmml" xref="S3.p1.3.m3.2.2"><eq id="S3.p1.3.m3.2.2.2.cmml" xref="S3.p1.3.m3.2.2.2"></eq><apply id="S3.p1.3.m3.2.2.1.cmml" xref="S3.p1.3.m3.2.2.1"><times id="S3.p1.3.m3.2.2.1.2.cmml" xref="S3.p1.3.m3.2.2.1.2"></times><ci id="S3.p1.3.m3.2.2.1.3.cmml" xref="S3.p1.3.m3.2.2.1.3">𝕍</ci><ci id="S3.p1.3.m3.2.2.1.4.cmml" xref="S3.p1.3.m3.2.2.1.4">𝑎</ci><ci id="S3.p1.3.m3.2.2.1.5.cmml" xref="S3.p1.3.m3.2.2.1.5">𝑟</ci><apply id="S3.p1.3.m3.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.3.m3.2.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.p1.3.m3.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p1.3.m3.2.2.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S3.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.2">𝑌</ci><ci id="S3.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.3">𝒙</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.p1.3.m3.2.2.3.cmml" xref="S3.p1.3.m3.2.2.3"><times id="S3.p1.3.m3.2.2.3.1.cmml" xref="S3.p1.3.m3.2.2.3.1"></times><apply id="S3.p1.3.m3.2.2.3.2.cmml" xref="S3.p1.3.m3.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.3.m3.2.2.3.2.1.cmml" xref="S3.p1.3.m3.2.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.p1.3.m3.2.2.3.2.2.cmml" xref="S3.p1.3.m3.2.2.3.2.2">𝑠</ci><cn id="S3.p1.3.m3.2.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.p1.3.m3.2.2.3.2.3">2</cn></apply><ci id="S3.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.p1.3.m3.1.1">𝒙</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.3.m3.2c">\mathds{V}ar[Y|\bm{x}]=s^{2}(\bm{x})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.3.m3.2d">blackboard_V italic_a italic_r [ italic_Y | bold_italic_x ] = italic_s start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( bold_italic_x )</annotation></semantics></math>, leading to a more realistic and flexible modeling framework. Specifically, we express:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex4"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="Y=f(\bm{x})+\epsilon,\quad\epsilon\sim N(0,s^{2}(\bm{x}))," class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex4.m1.4"><semantics id="S3.Ex4.m1.4a"><mrow id="S3.Ex4.m1.4.4.1"><mrow id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">Y</mi><mo id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.cmml">f</mi><mo id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.1" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml"><mo id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex4.m1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.1.1.cmml">𝒙</mi><mo id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mi id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml">ϵ</mi></mrow></mrow><mo id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.3" rspace="1.167em" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml">ϵ</mi><mo id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml">∼</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.1" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.1.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.1.3" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.1.3.cmml">N</mi><mo id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.1.2" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.2.cmml">(</mo><mn id="S3.Ex4.m1.3.3" xref="S3.Ex4.m1.3.3.cmml">0</mn><mo id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">s</mi><mn id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex4.m1.2.2" xref="S3.Ex4.m1.2.2.cmml">𝒙</mi><mo id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex4.m1.4.4.1.2">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex4.m1.4b"><apply id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.3a.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1"><eq id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1"></eq><ci id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.2">𝑌</ci><apply id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3"><plus id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.1"></plus><apply id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.2"><times id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.1"></times><ci id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2">𝑓</ci><ci id="S3.Ex4.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1">𝒙</ci></apply><ci id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.3.3">italic-ϵ</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.2">similar-to</csymbol><ci id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.3">italic-ϵ</ci><apply id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.1"><times id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.1.2"></times><ci id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.1.3">𝑁</ci><interval closure="open" id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1"><cn id="S3.Ex4.m1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex4.m1.3.3">0</cn><apply id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1"><times id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2">𝑠</ci><cn id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3">2</cn></apply><ci id="S3.Ex4.m1.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2">𝒙</ci></apply></interval></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex4.m1.4c">Y=f(\bm{x})+\epsilon,\quad\epsilon\sim N(0,s^{2}(\bm{x})),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex4.m1.4d">italic_Y = italic_f ( bold_italic_x ) + italic_ϵ , italic_ϵ ∼ italic_N ( 0 , italic_s start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( bold_italic_x ) ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p1.7">where <math alttext="\bm{x}=(x_{1},x_{2},\ldots,x_{d})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.4.m1.4"><semantics id="S3.p1.4.m1.4a"><mrow id="S3.p1.4.m1.4.4" xref="S3.p1.4.m1.4.4.cmml"><mi id="S3.p1.4.m1.4.4.5" xref="S3.p1.4.m1.4.4.5.cmml">𝒙</mi><mo id="S3.p1.4.m1.4.4.4" xref="S3.p1.4.m1.4.4.4.cmml">=</mo><mrow id="S3.p1.4.m1.4.4.3.3" xref="S3.p1.4.m1.4.4.3.4.cmml"><mo id="S3.p1.4.m1.4.4.3.3.4" stretchy="false" xref="S3.p1.4.m1.4.4.3.4.cmml">(</mo><msub id="S3.p1.4.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.p1.4.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p1.4.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S3.p1.4.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S3.p1.4.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.p1.4.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.p1.4.m1.4.4.3.3.5" xref="S3.p1.4.m1.4.4.3.4.cmml">,</mo><msub id="S3.p1.4.m1.3.3.2.2.2" xref="S3.p1.4.m1.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S3.p1.4.m1.3.3.2.2.2.2" xref="S3.p1.4.m1.3.3.2.2.2.2.cmml">x</mi><mn id="S3.p1.4.m1.3.3.2.2.2.3" xref="S3.p1.4.m1.3.3.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S3.p1.4.m1.4.4.3.3.6" xref="S3.p1.4.m1.4.4.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.p1.4.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.p1.4.m1.1.1.cmml">…</mi><mo id="S3.p1.4.m1.4.4.3.3.7" xref="S3.p1.4.m1.4.4.3.4.cmml">,</mo><msub id="S3.p1.4.m1.4.4.3.3.3" xref="S3.p1.4.m1.4.4.3.3.3.cmml"><mi id="S3.p1.4.m1.4.4.3.3.3.2" xref="S3.p1.4.m1.4.4.3.3.3.2.cmml">x</mi><mi id="S3.p1.4.m1.4.4.3.3.3.3" xref="S3.p1.4.m1.4.4.3.3.3.3.cmml">d</mi></msub><mo id="S3.p1.4.m1.4.4.3.3.8" stretchy="false" xref="S3.p1.4.m1.4.4.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.4.m1.4b"><apply id="S3.p1.4.m1.4.4.cmml" xref="S3.p1.4.m1.4.4"><eq id="S3.p1.4.m1.4.4.4.cmml" xref="S3.p1.4.m1.4.4.4"></eq><ci id="S3.p1.4.m1.4.4.5.cmml" xref="S3.p1.4.m1.4.4.5">𝒙</ci><vector id="S3.p1.4.m1.4.4.3.4.cmml" xref="S3.p1.4.m1.4.4.3.3"><apply id="S3.p1.4.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.4.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.4.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.4.m1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p1.4.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.4.m1.2.2.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S3.p1.4.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.p1.4.m1.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S3.p1.4.m1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.p1.4.m1.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.4.m1.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.p1.4.m1.3.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p1.4.m1.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p1.4.m1.3.3.2.2.2.2">𝑥</ci><cn id="S3.p1.4.m1.3.3.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.p1.4.m1.3.3.2.2.2.3">2</cn></apply><ci id="S3.p1.4.m1.1.1.cmml" xref="S3.p1.4.m1.1.1">…</ci><apply id="S3.p1.4.m1.4.4.3.3.3.cmml" xref="S3.p1.4.m1.4.4.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.4.m1.4.4.3.3.3.1.cmml" xref="S3.p1.4.m1.4.4.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.p1.4.m1.4.4.3.3.3.2.cmml" xref="S3.p1.4.m1.4.4.3.3.3.2">𝑥</ci><ci id="S3.p1.4.m1.4.4.3.3.3.3.cmml" xref="S3.p1.4.m1.4.4.3.3.3.3">𝑑</ci></apply></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.4.m1.4c">\bm{x}=(x_{1},x_{2},\ldots,x_{d})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.4.m1.4d">bold_italic_x = ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_d end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> is a <math alttext="d" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.5.m2.1"><semantics id="S3.p1.5.m2.1a"><mi id="S3.p1.5.m2.1.1" xref="S3.p1.5.m2.1.1.cmml">d</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.5.m2.1b"><ci id="S3.p1.5.m2.1.1.cmml" xref="S3.p1.5.m2.1.1">𝑑</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.5.m2.1c">d</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.5.m2.1d">italic_d</annotation></semantics></math>-dimensional vector of predictors. While we assume for simplicity that the same predictors influence both <math alttext="f(\bm{x})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.6.m3.1"><semantics id="S3.p1.6.m3.1a"><mrow id="S3.p1.6.m3.1.2" xref="S3.p1.6.m3.1.2.cmml"><mi id="S3.p1.6.m3.1.2.2" xref="S3.p1.6.m3.1.2.2.cmml">f</mi><mo id="S3.p1.6.m3.1.2.1" xref="S3.p1.6.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p1.6.m3.1.2.3.2" xref="S3.p1.6.m3.1.2.cmml"><mo id="S3.p1.6.m3.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.p1.6.m3.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.p1.6.m3.1.1" xref="S3.p1.6.m3.1.1.cmml">𝒙</mi><mo id="S3.p1.6.m3.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.p1.6.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.6.m3.1b"><apply id="S3.p1.6.m3.1.2.cmml" xref="S3.p1.6.m3.1.2"><times id="S3.p1.6.m3.1.2.1.cmml" xref="S3.p1.6.m3.1.2.1"></times><ci id="S3.p1.6.m3.1.2.2.cmml" xref="S3.p1.6.m3.1.2.2">𝑓</ci><ci id="S3.p1.6.m3.1.1.cmml" xref="S3.p1.6.m3.1.1">𝒙</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.6.m3.1c">f(\bm{x})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.6.m3.1d">italic_f ( bold_italic_x )</annotation></semantics></math> and <math alttext="s^{2}(\bm{x})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.7.m4.1"><semantics id="S3.p1.7.m4.1a"><mrow id="S3.p1.7.m4.1.2" xref="S3.p1.7.m4.1.2.cmml"><msup id="S3.p1.7.m4.1.2.2" xref="S3.p1.7.m4.1.2.2.cmml"><mi id="S3.p1.7.m4.1.2.2.2" xref="S3.p1.7.m4.1.2.2.2.cmml">s</mi><mn id="S3.p1.7.m4.1.2.2.3" xref="S3.p1.7.m4.1.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.p1.7.m4.1.2.1" xref="S3.p1.7.m4.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p1.7.m4.1.2.3.2" xref="S3.p1.7.m4.1.2.cmml"><mo id="S3.p1.7.m4.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.p1.7.m4.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.p1.7.m4.1.1" xref="S3.p1.7.m4.1.1.cmml">𝒙</mi><mo id="S3.p1.7.m4.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.p1.7.m4.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.7.m4.1b"><apply id="S3.p1.7.m4.1.2.cmml" xref="S3.p1.7.m4.1.2"><times id="S3.p1.7.m4.1.2.1.cmml" xref="S3.p1.7.m4.1.2.1"></times><apply id="S3.p1.7.m4.1.2.2.cmml" xref="S3.p1.7.m4.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.7.m4.1.2.2.1.cmml" xref="S3.p1.7.m4.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.p1.7.m4.1.2.2.2.cmml" xref="S3.p1.7.m4.1.2.2.2">𝑠</ci><cn id="S3.p1.7.m4.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.p1.7.m4.1.2.2.3">2</cn></apply><ci id="S3.p1.7.m4.1.1.cmml" xref="S3.p1.7.m4.1.1">𝒙</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.7.m4.1c">s^{2}(\bm{x})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.7.m4.1d">italic_s start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( bold_italic_x )</annotation></semantics></math>, this assumption is not strictly necessary.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.p2.1">Our methodology uses two distinct ensembles of Voronoi tessellations: an additive tessellation model for the mean function, denoted by <math alttext="f(\bm{x})=\sum_{j=1}^{m}g(\bm{x};T_{j},M_{j})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.1.m1.4"><semantics id="S3.p2.1.m1.4a"><mrow id="S3.p2.1.m1.4.4" xref="S3.p2.1.m1.4.4.cmml"><mrow id="S3.p2.1.m1.4.4.4" xref="S3.p2.1.m1.4.4.4.cmml"><mi id="S3.p2.1.m1.4.4.4.2" xref="S3.p2.1.m1.4.4.4.2.cmml">f</mi><mo id="S3.p2.1.m1.4.4.4.1" xref="S3.p2.1.m1.4.4.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p2.1.m1.4.4.4.3.2" xref="S3.p2.1.m1.4.4.4.cmml"><mo id="S3.p2.1.m1.4.4.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.p2.1.m1.4.4.4.cmml">(</mo><mi id="S3.p2.1.m1.1.1" xref="S3.p2.1.m1.1.1.cmml">𝒙</mi><mo id="S3.p2.1.m1.4.4.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.p2.1.m1.4.4.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.p2.1.m1.4.4.3" rspace="0.111em" xref="S3.p2.1.m1.4.4.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.p2.1.m1.4.4.2" xref="S3.p2.1.m1.4.4.2.cmml"><msubsup id="S3.p2.1.m1.4.4.2.3" xref="S3.p2.1.m1.4.4.2.3.cmml"><mo id="S3.p2.1.m1.4.4.2.3.2.2" xref="S3.p2.1.m1.4.4.2.3.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.p2.1.m1.4.4.2.3.2.3" xref="S3.p2.1.m1.4.4.2.3.2.3.cmml"><mi id="S3.p2.1.m1.4.4.2.3.2.3.2" xref="S3.p2.1.m1.4.4.2.3.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.p2.1.m1.4.4.2.3.2.3.1" xref="S3.p2.1.m1.4.4.2.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.p2.1.m1.4.4.2.3.2.3.3" xref="S3.p2.1.m1.4.4.2.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.p2.1.m1.4.4.2.3.3" xref="S3.p2.1.m1.4.4.2.3.3.cmml">m</mi></msubsup><mrow id="S3.p2.1.m1.4.4.2.2" xref="S3.p2.1.m1.4.4.2.2.cmml"><mi id="S3.p2.1.m1.4.4.2.2.4" xref="S3.p2.1.m1.4.4.2.2.4.cmml">g</mi><mo id="S3.p2.1.m1.4.4.2.2.3" xref="S3.p2.1.m1.4.4.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p2.1.m1.4.4.2.2.2.2" xref="S3.p2.1.m1.4.4.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.p2.1.m1.4.4.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.p2.1.m1.4.4.2.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S3.p2.1.m1.2.2" xref="S3.p2.1.m1.2.2.cmml">𝒙</mi><mo id="S3.p2.1.m1.4.4.2.2.2.2.4" xref="S3.p2.1.m1.4.4.2.2.2.3.cmml">;</mo><msub id="S3.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S3.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">T</mi><mi id="S3.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S3.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.p2.1.m1.4.4.2.2.2.2.5" xref="S3.p2.1.m1.4.4.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.p2.1.m1.4.4.2.2.2.2.2" xref="S3.p2.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.p2.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.2" xref="S3.p2.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.2.cmml">M</mi><mi id="S3.p2.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.3" xref="S3.p2.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.p2.1.m1.4.4.2.2.2.2.6" stretchy="false" xref="S3.p2.1.m1.4.4.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.1.m1.4b"><apply id="S3.p2.1.m1.4.4.cmml" xref="S3.p2.1.m1.4.4"><eq id="S3.p2.1.m1.4.4.3.cmml" xref="S3.p2.1.m1.4.4.3"></eq><apply id="S3.p2.1.m1.4.4.4.cmml" xref="S3.p2.1.m1.4.4.4"><times id="S3.p2.1.m1.4.4.4.1.cmml" xref="S3.p2.1.m1.4.4.4.1"></times><ci id="S3.p2.1.m1.4.4.4.2.cmml" xref="S3.p2.1.m1.4.4.4.2">𝑓</ci><ci id="S3.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.p2.1.m1.1.1">𝒙</ci></apply><apply id="S3.p2.1.m1.4.4.2.cmml" xref="S3.p2.1.m1.4.4.2"><apply id="S3.p2.1.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S3.p2.1.m1.4.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.1.m1.4.4.2.3.1.cmml" xref="S3.p2.1.m1.4.4.2.3">superscript</csymbol><apply id="S3.p2.1.m1.4.4.2.3.2.cmml" xref="S3.p2.1.m1.4.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.1.m1.4.4.2.3.2.1.cmml" xref="S3.p2.1.m1.4.4.2.3">subscript</csymbol><sum id="S3.p2.1.m1.4.4.2.3.2.2.cmml" xref="S3.p2.1.m1.4.4.2.3.2.2"></sum><apply id="S3.p2.1.m1.4.4.2.3.2.3.cmml" xref="S3.p2.1.m1.4.4.2.3.2.3"><eq id="S3.p2.1.m1.4.4.2.3.2.3.1.cmml" xref="S3.p2.1.m1.4.4.2.3.2.3.1"></eq><ci id="S3.p2.1.m1.4.4.2.3.2.3.2.cmml" xref="S3.p2.1.m1.4.4.2.3.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.p2.1.m1.4.4.2.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.p2.1.m1.4.4.2.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.p2.1.m1.4.4.2.3.3.cmml" xref="S3.p2.1.m1.4.4.2.3.3">𝑚</ci></apply><apply id="S3.p2.1.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S3.p2.1.m1.4.4.2.2"><times id="S3.p2.1.m1.4.4.2.2.3.cmml" xref="S3.p2.1.m1.4.4.2.2.3"></times><ci id="S3.p2.1.m1.4.4.2.2.4.cmml" xref="S3.p2.1.m1.4.4.2.2.4">𝑔</ci><list id="S3.p2.1.m1.4.4.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p2.1.m1.4.4.2.2.2.2"><ci id="S3.p2.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.p2.1.m1.2.2">𝒙</ci><apply id="S3.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S3.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.p2.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p2.1.m1.4.4.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.p2.1.m1.4.4.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p2.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.2">𝑀</ci><ci id="S3.p2.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p2.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.3">𝑗</ci></apply></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.1.m1.4c">f(\bm{x})=\sum_{j=1}^{m}g(\bm{x};T_{j},M_{j})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.1.m1.4d">italic_f ( bold_italic_x ) = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT italic_g ( bold_italic_x ; italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>, and a multiplicative regression tessellation model for the variance component:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex5"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="s^{2}(\bm{x})=\prod_{l=1}^{m^{\prime}}h(\bm{x};T^{\prime}_{l},M^{\prime}_{l})." class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex5.m1.3"><semantics id="S3.Ex5.m1.3a"><mrow id="S3.Ex5.m1.3.3.1" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.4" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.4.cmml"><msup id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.4.2" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.4.2.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.4.2.2" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.4.2.2.cmml">s</mi><mn id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.4.2.3" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.4.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.4.1" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.2" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.4.cmml"><mo id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.4.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex5.m1.1.1" xref="S3.Ex5.m1.1.1.cmml">𝒙</mi><mo id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.3" rspace="0.111em" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.cmml"><munderover id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.3" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.3.2.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.3.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.3.2.3" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.3.2.3.2" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.3.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.3.2.3.1" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.3.2.3.3" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msup id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.3.3.2" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.3.3.3" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.3.3.3.cmml">′</mo></msup></munderover><mrow id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.2.4" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.2.4.cmml">h</mi><mo id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex5.m1.2.2" xref="S3.Ex5.m1.2.2.cmml">𝒙</mi><mo id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.4" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.cmml">;</mo><msubsup id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">T</mi><mi id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">l</mi><mo id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.5" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.cmml">,</mo><msubsup id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml">M</mi><mi id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">l</mi><mo id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.6" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex5.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex5.m1.3b"><apply id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1"><eq id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.3"></eq><apply id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.4"><times id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.4.1"></times><apply id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.4.2.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.4.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.4.2.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.4.2.2">𝑠</ci><cn id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.4.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.4.2.3">2</cn></apply><ci id="S3.Ex5.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1">𝒙</ci></apply><apply id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2"><apply id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.3">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.3.2.2">product</csymbol><apply id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.3.2.3"><eq id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.3.2.3.1"></eq><ci id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.3.2.3.2">𝑙</ci><cn id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.3.3.2">𝑚</ci><ci id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.3.3.3">′</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.2"><times id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.2.3"></times><ci id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.2.4.cmml" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.2.4">ℎ</ci><list id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.2.2.2"><ci id="S3.Ex5.m1.2.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.2.2">𝒙</ci><apply id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑇</ci><ci id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3">′</ci></apply><ci id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑙</ci></apply><apply id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2">𝑀</ci><ci id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.3">′</ci></apply><ci id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.3">𝑙</ci></apply></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex5.m1.3c">s^{2}(\bm{x})=\prod_{l=1}^{m^{\prime}}h(\bm{x};T^{\prime}_{l},M^{\prime}_{l}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex5.m1.3d">italic_s start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( bold_italic_x ) = ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_l = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_m start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT italic_h ( bold_italic_x ; italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT , italic_M start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p2.5">Here, <math alttext="g(\bm{x};T_{j},M_{j})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.2.m1.3"><semantics id="S3.p2.2.m1.3a"><mrow id="S3.p2.2.m1.3.3" xref="S3.p2.2.m1.3.3.cmml"><mi id="S3.p2.2.m1.3.3.4" xref="S3.p2.2.m1.3.3.4.cmml">g</mi><mo id="S3.p2.2.m1.3.3.3" xref="S3.p2.2.m1.3.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p2.2.m1.3.3.2.2" xref="S3.p2.2.m1.3.3.2.3.cmml"><mo id="S3.p2.2.m1.3.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.p2.2.m1.3.3.2.3.cmml">(</mo><mi id="S3.p2.2.m1.1.1" xref="S3.p2.2.m1.1.1.cmml">𝒙</mi><mo id="S3.p2.2.m1.3.3.2.2.4" xref="S3.p2.2.m1.3.3.2.3.cmml">;</mo><msub id="S3.p2.2.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.p2.2.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p2.2.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S3.p2.2.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">T</mi><mi id="S3.p2.2.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.p2.2.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.p2.2.m1.3.3.2.2.5" xref="S3.p2.2.m1.3.3.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.p2.2.m1.3.3.2.2.2" xref="S3.p2.2.m1.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S3.p2.2.m1.3.3.2.2.2.2" xref="S3.p2.2.m1.3.3.2.2.2.2.cmml">M</mi><mi id="S3.p2.2.m1.3.3.2.2.2.3" xref="S3.p2.2.m1.3.3.2.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.p2.2.m1.3.3.2.2.6" stretchy="false" xref="S3.p2.2.m1.3.3.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.2.m1.3b"><apply id="S3.p2.2.m1.3.3.cmml" xref="S3.p2.2.m1.3.3"><times id="S3.p2.2.m1.3.3.3.cmml" xref="S3.p2.2.m1.3.3.3"></times><ci id="S3.p2.2.m1.3.3.4.cmml" xref="S3.p2.2.m1.3.3.4">𝑔</ci><list id="S3.p2.2.m1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.p2.2.m1.3.3.2.2"><ci id="S3.p2.2.m1.1.1.cmml" xref="S3.p2.2.m1.1.1">𝒙</ci><apply id="S3.p2.2.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.2.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.2.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.2.m1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.2.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.2.m1.2.2.1.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S3.p2.2.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p2.2.m1.2.2.1.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.p2.2.m1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.p2.2.m1.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.2.m1.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.p2.2.m1.3.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.2.m1.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p2.2.m1.3.3.2.2.2.2">𝑀</ci><ci id="S3.p2.2.m1.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p2.2.m1.3.3.2.2.2.3">𝑗</ci></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.2.m1.3c">g(\bm{x};T_{j},M_{j})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.2.m1.3d">italic_g ( bold_italic_x ; italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> represents the output value of the <math alttext="j^{\text{th}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.3.m2.1"><semantics id="S3.p2.3.m2.1a"><msup id="S3.p2.3.m2.1.1" xref="S3.p2.3.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.p2.3.m2.1.1.2" xref="S3.p2.3.m2.1.1.2.cmml">j</mi><mtext id="S3.p2.3.m2.1.1.3" xref="S3.p2.3.m2.1.1.3a.cmml">th</mtext></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.3.m2.1b"><apply id="S3.p2.3.m2.1.1.cmml" xref="S3.p2.3.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.3.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.3.m2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.p2.3.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.3.m2.1.1.2">𝑗</ci><ci id="S3.p2.3.m2.1.1.3a.cmml" xref="S3.p2.3.m2.1.1.3"><mtext id="S3.p2.3.m2.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.p2.3.m2.1.1.3">th</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.3.m2.1c">j^{\text{th}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.3.m2.1d">italic_j start_POSTSUPERSCRIPT th end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> tessellation for the mean, while <math alttext="h(\bm{x};T^{\prime}_{l},M^{\prime}_{l})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.4.m3.3"><semantics id="S3.p2.4.m3.3a"><mrow id="S3.p2.4.m3.3.3" xref="S3.p2.4.m3.3.3.cmml"><mi id="S3.p2.4.m3.3.3.4" xref="S3.p2.4.m3.3.3.4.cmml">h</mi><mo id="S3.p2.4.m3.3.3.3" xref="S3.p2.4.m3.3.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p2.4.m3.3.3.2.2" xref="S3.p2.4.m3.3.3.2.3.cmml"><mo id="S3.p2.4.m3.3.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.p2.4.m3.3.3.2.3.cmml">(</mo><mi id="S3.p2.4.m3.1.1" xref="S3.p2.4.m3.1.1.cmml">𝒙</mi><mo id="S3.p2.4.m3.3.3.2.2.4" xref="S3.p2.4.m3.3.3.2.3.cmml">;</mo><msubsup id="S3.p2.4.m3.2.2.1.1.1" xref="S3.p2.4.m3.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p2.4.m3.2.2.1.1.1.2.2" xref="S3.p2.4.m3.2.2.1.1.1.2.2.cmml">T</mi><mi id="S3.p2.4.m3.2.2.1.1.1.3" xref="S3.p2.4.m3.2.2.1.1.1.3.cmml">l</mi><mo id="S3.p2.4.m3.2.2.1.1.1.2.3" xref="S3.p2.4.m3.2.2.1.1.1.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S3.p2.4.m3.3.3.2.2.5" xref="S3.p2.4.m3.3.3.2.3.cmml">,</mo><msubsup id="S3.p2.4.m3.3.3.2.2.2" xref="S3.p2.4.m3.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S3.p2.4.m3.3.3.2.2.2.2.2" xref="S3.p2.4.m3.3.3.2.2.2.2.2.cmml">M</mi><mi id="S3.p2.4.m3.3.3.2.2.2.3" xref="S3.p2.4.m3.3.3.2.2.2.3.cmml">l</mi><mo id="S3.p2.4.m3.3.3.2.2.2.2.3" xref="S3.p2.4.m3.3.3.2.2.2.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S3.p2.4.m3.3.3.2.2.6" stretchy="false" xref="S3.p2.4.m3.3.3.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.4.m3.3b"><apply id="S3.p2.4.m3.3.3.cmml" xref="S3.p2.4.m3.3.3"><times id="S3.p2.4.m3.3.3.3.cmml" xref="S3.p2.4.m3.3.3.3"></times><ci id="S3.p2.4.m3.3.3.4.cmml" xref="S3.p2.4.m3.3.3.4">ℎ</ci><list id="S3.p2.4.m3.3.3.2.3.cmml" xref="S3.p2.4.m3.3.3.2.2"><ci id="S3.p2.4.m3.1.1.cmml" xref="S3.p2.4.m3.1.1">𝒙</ci><apply id="S3.p2.4.m3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.4.m3.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.4.m3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.4.m3.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.p2.4.m3.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.4.m3.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.4.m3.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p2.4.m3.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.p2.4.m3.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.p2.4.m3.2.2.1.1.1.2.2">𝑇</ci><ci id="S3.p2.4.m3.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.p2.4.m3.2.2.1.1.1.2.3">′</ci></apply><ci id="S3.p2.4.m3.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p2.4.m3.2.2.1.1.1.3">𝑙</ci></apply><apply id="S3.p2.4.m3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.p2.4.m3.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.4.m3.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.p2.4.m3.3.3.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.p2.4.m3.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p2.4.m3.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.4.m3.3.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.p2.4.m3.3.3.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.p2.4.m3.3.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p2.4.m3.3.3.2.2.2.2.2">𝑀</ci><ci id="S3.p2.4.m3.3.3.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p2.4.m3.3.3.2.2.2.2.3">′</ci></apply><ci id="S3.p2.4.m3.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p2.4.m3.3.3.2.2.2.3">𝑙</ci></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.4.m3.3c">h(\bm{x};T^{\prime}_{l},M^{\prime}_{l})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.4.m3.3d">italic_h ( bold_italic_x ; italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT , italic_M start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> represents the output value of the <math alttext="l^{\text{th}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.5.m4.1"><semantics id="S3.p2.5.m4.1a"><msup id="S3.p2.5.m4.1.1" xref="S3.p2.5.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.p2.5.m4.1.1.2" xref="S3.p2.5.m4.1.1.2.cmml">l</mi><mtext id="S3.p2.5.m4.1.1.3" xref="S3.p2.5.m4.1.1.3a.cmml">th</mtext></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.5.m4.1b"><apply id="S3.p2.5.m4.1.1.cmml" xref="S3.p2.5.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.5.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.5.m4.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.p2.5.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.5.m4.1.1.2">𝑙</ci><ci id="S3.p2.5.m4.1.1.3a.cmml" xref="S3.p2.5.m4.1.1.3"><mtext id="S3.p2.5.m4.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.p2.5.m4.1.1.3">th</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.5.m4.1c">l^{\text{th}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.5.m4.1d">italic_l start_POSTSUPERSCRIPT th end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> tessellation for the variance.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.p3"> <p class="ltx_p" id="S3.p3.10">In this formulation, <math alttext="T_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.1.m1.1"><semantics id="S3.p3.1.m1.1a"><msub id="S3.p3.1.m1.1.1" xref="S3.p3.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.1.m1.1.1.2" xref="S3.p3.1.m1.1.1.2.cmml">T</mi><mi id="S3.p3.1.m1.1.1.3" xref="S3.p3.1.m1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.1.m1.1b"><apply id="S3.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.p3.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.1.m1.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S3.p3.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.1.m1.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.1.m1.1c">T_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.1.m1.1d">italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> denotes the structure of the <math alttext="j^{\text{th}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.2.m2.1"><semantics id="S3.p3.2.m2.1a"><msup id="S3.p3.2.m2.1.1" xref="S3.p3.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.2.m2.1.1.2" xref="S3.p3.2.m2.1.1.2.cmml">j</mi><mtext id="S3.p3.2.m2.1.1.3" xref="S3.p3.2.m2.1.1.3a.cmml">th</mtext></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.2.m2.1b"><apply id="S3.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.p3.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.2.m2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.p3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.2.m2.1.1.2">𝑗</ci><ci id="S3.p3.2.m2.1.1.3a.cmml" xref="S3.p3.2.m2.1.1.3"><mtext id="S3.p3.2.m2.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.p3.2.m2.1.1.3">th</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.2.m2.1c">j^{\text{th}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.2.m2.1d">italic_j start_POSTSUPERSCRIPT th end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> tessellation for the mean, with <math alttext="M_{j}=\{\mu_{1j},\ldots,\mu_{b_{j},j}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.3.m3.5"><semantics id="S3.p3.3.m3.5a"><mrow id="S3.p3.3.m3.5.5" xref="S3.p3.3.m3.5.5.cmml"><msub id="S3.p3.3.m3.5.5.4" xref="S3.p3.3.m3.5.5.4.cmml"><mi id="S3.p3.3.m3.5.5.4.2" xref="S3.p3.3.m3.5.5.4.2.cmml">M</mi><mi id="S3.p3.3.m3.5.5.4.3" xref="S3.p3.3.m3.5.5.4.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.p3.3.m3.5.5.3" xref="S3.p3.3.m3.5.5.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.p3.3.m3.5.5.2.2" xref="S3.p3.3.m3.5.5.2.3.cmml"><mo id="S3.p3.3.m3.5.5.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.p3.3.m3.5.5.2.3.cmml">{</mo><msub id="S3.p3.3.m3.4.4.1.1.1" xref="S3.p3.3.m3.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.3.m3.4.4.1.1.1.2" xref="S3.p3.3.m3.4.4.1.1.1.2.cmml">μ</mi><mrow id="S3.p3.3.m3.4.4.1.1.1.3" xref="S3.p3.3.m3.4.4.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.p3.3.m3.4.4.1.1.1.3.2" xref="S3.p3.3.m3.4.4.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S3.p3.3.m3.4.4.1.1.1.3.1" xref="S3.p3.3.m3.4.4.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p3.3.m3.4.4.1.1.1.3.3" xref="S3.p3.3.m3.4.4.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S3.p3.3.m3.5.5.2.2.4" xref="S3.p3.3.m3.5.5.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.p3.3.m3.3.3" mathvariant="normal" xref="S3.p3.3.m3.3.3.cmml">…</mi><mo id="S3.p3.3.m3.5.5.2.2.5" xref="S3.p3.3.m3.5.5.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.p3.3.m3.5.5.2.2.2" xref="S3.p3.3.m3.5.5.2.2.2.cmml"><mi id="S3.p3.3.m3.5.5.2.2.2.2" xref="S3.p3.3.m3.5.5.2.2.2.2.cmml">μ</mi><mrow id="S3.p3.3.m3.2.2.2.2" xref="S3.p3.3.m3.2.2.2.3.cmml"><msub id="S3.p3.3.m3.2.2.2.2.1" xref="S3.p3.3.m3.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S3.p3.3.m3.2.2.2.2.1.2" xref="S3.p3.3.m3.2.2.2.2.1.2.cmml">b</mi><mi id="S3.p3.3.m3.2.2.2.2.1.3" xref="S3.p3.3.m3.2.2.2.2.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.p3.3.m3.2.2.2.2.2" xref="S3.p3.3.m3.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.p3.3.m3.1.1.1.1" xref="S3.p3.3.m3.1.1.1.1.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S3.p3.3.m3.5.5.2.2.6" stretchy="false" xref="S3.p3.3.m3.5.5.2.3.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.3.m3.5b"><apply id="S3.p3.3.m3.5.5.cmml" xref="S3.p3.3.m3.5.5"><eq id="S3.p3.3.m3.5.5.3.cmml" xref="S3.p3.3.m3.5.5.3"></eq><apply id="S3.p3.3.m3.5.5.4.cmml" xref="S3.p3.3.m3.5.5.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.3.m3.5.5.4.1.cmml" xref="S3.p3.3.m3.5.5.4">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.3.m3.5.5.4.2.cmml" xref="S3.p3.3.m3.5.5.4.2">𝑀</ci><ci id="S3.p3.3.m3.5.5.4.3.cmml" xref="S3.p3.3.m3.5.5.4.3">𝑗</ci></apply><set id="S3.p3.3.m3.5.5.2.3.cmml" xref="S3.p3.3.m3.5.5.2.2"><apply id="S3.p3.3.m3.4.4.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.3.m3.4.4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.3.m3.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.3.m3.4.4.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.3.m3.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.3.m3.4.4.1.1.1.2">𝜇</ci><apply id="S3.p3.3.m3.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.3.m3.4.4.1.1.1.3"><times id="S3.p3.3.m3.4.4.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p3.3.m3.4.4.1.1.1.3.1"></times><cn id="S3.p3.3.m3.4.4.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.p3.3.m3.4.4.1.1.1.3.2">1</cn><ci id="S3.p3.3.m3.4.4.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.p3.3.m3.4.4.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="S3.p3.3.m3.3.3.cmml" xref="S3.p3.3.m3.3.3">…</ci><apply id="S3.p3.3.m3.5.5.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.3.m3.5.5.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.3.m3.5.5.2.2.2.1.cmml" xref="S3.p3.3.m3.5.5.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.3.m3.5.5.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.3.m3.5.5.2.2.2.2">𝜇</ci><list id="S3.p3.3.m3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p3.3.m3.2.2.2.2"><apply id="S3.p3.3.m3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.p3.3.m3.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.3.m3.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.p3.3.m3.2.2.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.3.m3.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.p3.3.m3.2.2.2.2.1.2">𝑏</ci><ci id="S3.p3.3.m3.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S3.p3.3.m3.2.2.2.2.1.3">𝑗</ci></apply><ci id="S3.p3.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.3.m3.1.1.1.1">𝑗</ci></list></apply></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.3.m3.5c">M_{j}=\{\mu_{1j},\ldots,\mu_{b_{j},j}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.3.m3.5d">italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT = { italic_μ start_POSTSUBSCRIPT 1 italic_j end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , italic_j end_POSTSUBSCRIPT }</annotation></semantics></math> representing the <math alttext="b_{j}=|M_{j}|" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.4.m4.1"><semantics id="S3.p3.4.m4.1a"><mrow id="S3.p3.4.m4.1.1" xref="S3.p3.4.m4.1.1.cmml"><msub id="S3.p3.4.m4.1.1.3" xref="S3.p3.4.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p3.4.m4.1.1.3.2" xref="S3.p3.4.m4.1.1.3.2.cmml">b</mi><mi id="S3.p3.4.m4.1.1.3.3" xref="S3.p3.4.m4.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.p3.4.m4.1.1.2" xref="S3.p3.4.m4.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.p3.4.m4.1.1.1.1" xref="S3.p3.4.m4.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.p3.4.m4.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.p3.4.m4.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.p3.4.m4.1.1.1.1.1" xref="S3.p3.4.m4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.4.m4.1.1.1.1.1.2" xref="S3.p3.4.m4.1.1.1.1.1.2.cmml">M</mi><mi id="S3.p3.4.m4.1.1.1.1.1.3" xref="S3.p3.4.m4.1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.p3.4.m4.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.p3.4.m4.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.4.m4.1b"><apply id="S3.p3.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.p3.4.m4.1.1"><eq id="S3.p3.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.4.m4.1.1.2"></eq><apply id="S3.p3.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.4.m4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p3.4.m4.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p3.4.m4.1.1.3.2">𝑏</ci><ci id="S3.p3.4.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S3.p3.4.m4.1.1.3.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.p3.4.m4.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.4.m4.1.1.1.1"><abs id="S3.p3.4.m4.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p3.4.m4.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.p3.4.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.4.m4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.4.m4.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.4.m4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.4.m4.1.1.1.1.1.2">𝑀</ci><ci id="S3.p3.4.m4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.4.m4.1.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.4.m4.1c">b_{j}=|M_{j}|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.4.m4.1d">italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT = | italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT |</annotation></semantics></math> scalar cell output values. Similarly, <math alttext="T^{\prime}_{l}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.5.m5.1"><semantics id="S3.p3.5.m5.1a"><msubsup id="S3.p3.5.m5.1.1" xref="S3.p3.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.5.m5.1.1.2.2" xref="S3.p3.5.m5.1.1.2.2.cmml">T</mi><mi id="S3.p3.5.m5.1.1.3" xref="S3.p3.5.m5.1.1.3.cmml">l</mi><mo id="S3.p3.5.m5.1.1.2.3" xref="S3.p3.5.m5.1.1.2.3.cmml">′</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.5.m5.1b"><apply id="S3.p3.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.p3.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.5.m5.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.p3.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p3.5.m5.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.p3.5.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S3.p3.5.m5.1.1.2.2">𝑇</ci><ci id="S3.p3.5.m5.1.1.2.3.cmml" xref="S3.p3.5.m5.1.1.2.3">′</ci></apply><ci id="S3.p3.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.5.m5.1.1.3">𝑙</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.5.m5.1c">T^{\prime}_{l}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.5.m5.1d">italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> denotes the structure of the <math alttext="l^{\text{th}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.6.m6.1"><semantics id="S3.p3.6.m6.1a"><msup id="S3.p3.6.m6.1.1" xref="S3.p3.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.6.m6.1.1.2" xref="S3.p3.6.m6.1.1.2.cmml">l</mi><mtext id="S3.p3.6.m6.1.1.3" xref="S3.p3.6.m6.1.1.3a.cmml">th</mtext></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.6.m6.1b"><apply id="S3.p3.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.p3.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.6.m6.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.p3.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.6.m6.1.1.2">𝑙</ci><ci id="S3.p3.6.m6.1.1.3a.cmml" xref="S3.p3.6.m6.1.1.3"><mtext id="S3.p3.6.m6.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.p3.6.m6.1.1.3">th</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.6.m6.1c">l^{\text{th}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.6.m6.1d">italic_l start_POSTSUPERSCRIPT th end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> tessellation for the variance, and <math alttext="M^{\prime}_{l}=\{s^{2}_{1l},\ldots,s^{2}_{b^{\prime}_{l}l}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.7.m7.3"><semantics id="S3.p3.7.m7.3a"><mrow id="S3.p3.7.m7.3.3" xref="S3.p3.7.m7.3.3.cmml"><msubsup id="S3.p3.7.m7.3.3.4" xref="S3.p3.7.m7.3.3.4.cmml"><mi id="S3.p3.7.m7.3.3.4.2.2" xref="S3.p3.7.m7.3.3.4.2.2.cmml">M</mi><mi id="S3.p3.7.m7.3.3.4.3" xref="S3.p3.7.m7.3.3.4.3.cmml">l</mi><mo id="S3.p3.7.m7.3.3.4.2.3" xref="S3.p3.7.m7.3.3.4.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S3.p3.7.m7.3.3.3" xref="S3.p3.7.m7.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.p3.7.m7.3.3.2.2" xref="S3.p3.7.m7.3.3.2.3.cmml"><mo id="S3.p3.7.m7.3.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.p3.7.m7.3.3.2.3.cmml">{</mo><msubsup id="S3.p3.7.m7.2.2.1.1.1" xref="S3.p3.7.m7.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.7.m7.2.2.1.1.1.2.2" xref="S3.p3.7.m7.2.2.1.1.1.2.2.cmml">s</mi><mrow id="S3.p3.7.m7.2.2.1.1.1.3" xref="S3.p3.7.m7.2.2.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.p3.7.m7.2.2.1.1.1.3.2" xref="S3.p3.7.m7.2.2.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S3.p3.7.m7.2.2.1.1.1.3.1" xref="S3.p3.7.m7.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p3.7.m7.2.2.1.1.1.3.3" xref="S3.p3.7.m7.2.2.1.1.1.3.3.cmml">l</mi></mrow><mn id="S3.p3.7.m7.2.2.1.1.1.2.3" xref="S3.p3.7.m7.2.2.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S3.p3.7.m7.3.3.2.2.4" xref="S3.p3.7.m7.3.3.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.p3.7.m7.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.p3.7.m7.1.1.cmml">…</mi><mo id="S3.p3.7.m7.3.3.2.2.5" xref="S3.p3.7.m7.3.3.2.3.cmml">,</mo><msubsup id="S3.p3.7.m7.3.3.2.2.2" xref="S3.p3.7.m7.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S3.p3.7.m7.3.3.2.2.2.2.2" xref="S3.p3.7.m7.3.3.2.2.2.2.2.cmml">s</mi><mrow id="S3.p3.7.m7.3.3.2.2.2.3" xref="S3.p3.7.m7.3.3.2.2.2.3.cmml"><msubsup id="S3.p3.7.m7.3.3.2.2.2.3.2" xref="S3.p3.7.m7.3.3.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="S3.p3.7.m7.3.3.2.2.2.3.2.2.2" xref="S3.p3.7.m7.3.3.2.2.2.3.2.2.2.cmml">b</mi><mi id="S3.p3.7.m7.3.3.2.2.2.3.2.3" xref="S3.p3.7.m7.3.3.2.2.2.3.2.3.cmml">l</mi><mo id="S3.p3.7.m7.3.3.2.2.2.3.2.2.3" xref="S3.p3.7.m7.3.3.2.2.2.3.2.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S3.p3.7.m7.3.3.2.2.2.3.1" xref="S3.p3.7.m7.3.3.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p3.7.m7.3.3.2.2.2.3.3" xref="S3.p3.7.m7.3.3.2.2.2.3.3.cmml">l</mi></mrow><mn id="S3.p3.7.m7.3.3.2.2.2.2.3" xref="S3.p3.7.m7.3.3.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S3.p3.7.m7.3.3.2.2.6" stretchy="false" xref="S3.p3.7.m7.3.3.2.3.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.7.m7.3b"><apply id="S3.p3.7.m7.3.3.cmml" xref="S3.p3.7.m7.3.3"><eq id="S3.p3.7.m7.3.3.3.cmml" xref="S3.p3.7.m7.3.3.3"></eq><apply id="S3.p3.7.m7.3.3.4.cmml" xref="S3.p3.7.m7.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.7.m7.3.3.4.1.cmml" xref="S3.p3.7.m7.3.3.4">subscript</csymbol><apply id="S3.p3.7.m7.3.3.4.2.cmml" xref="S3.p3.7.m7.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.7.m7.3.3.4.2.1.cmml" xref="S3.p3.7.m7.3.3.4">superscript</csymbol><ci id="S3.p3.7.m7.3.3.4.2.2.cmml" xref="S3.p3.7.m7.3.3.4.2.2">𝑀</ci><ci id="S3.p3.7.m7.3.3.4.2.3.cmml" xref="S3.p3.7.m7.3.3.4.2.3">′</ci></apply><ci id="S3.p3.7.m7.3.3.4.3.cmml" xref="S3.p3.7.m7.3.3.4.3">𝑙</ci></apply><set id="S3.p3.7.m7.3.3.2.3.cmml" xref="S3.p3.7.m7.3.3.2.2"><apply id="S3.p3.7.m7.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.7.m7.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.7.m7.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.7.m7.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.p3.7.m7.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.7.m7.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.7.m7.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p3.7.m7.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.p3.7.m7.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.p3.7.m7.2.2.1.1.1.2.2">𝑠</ci><cn id="S3.p3.7.m7.2.2.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.p3.7.m7.2.2.1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S3.p3.7.m7.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.7.m7.2.2.1.1.1.3"><times id="S3.p3.7.m7.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p3.7.m7.2.2.1.1.1.3.1"></times><cn id="S3.p3.7.m7.2.2.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.p3.7.m7.2.2.1.1.1.3.2">1</cn><ci id="S3.p3.7.m7.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.p3.7.m7.2.2.1.1.1.3.3">𝑙</ci></apply></apply><ci id="S3.p3.7.m7.1.1.cmml" xref="S3.p3.7.m7.1.1">…</ci><apply id="S3.p3.7.m7.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.7.m7.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.7.m7.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.p3.7.m7.3.3.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.p3.7.m7.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.7.m7.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.7.m7.3.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.p3.7.m7.3.3.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.p3.7.m7.3.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.7.m7.3.3.2.2.2.2.2">𝑠</ci><cn id="S3.p3.7.m7.3.3.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.p3.7.m7.3.3.2.2.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S3.p3.7.m7.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p3.7.m7.3.3.2.2.2.3"><times id="S3.p3.7.m7.3.3.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.p3.7.m7.3.3.2.2.2.3.1"></times><apply id="S3.p3.7.m7.3.3.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.p3.7.m7.3.3.2.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.7.m7.3.3.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S3.p3.7.m7.3.3.2.2.2.3.2">subscript</csymbol><apply id="S3.p3.7.m7.3.3.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="S3.p3.7.m7.3.3.2.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.7.m7.3.3.2.2.2.3.2.2.1.cmml" xref="S3.p3.7.m7.3.3.2.2.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.p3.7.m7.3.3.2.2.2.3.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.7.m7.3.3.2.2.2.3.2.2.2">𝑏</ci><ci id="S3.p3.7.m7.3.3.2.2.2.3.2.2.3.cmml" xref="S3.p3.7.m7.3.3.2.2.2.3.2.2.3">′</ci></apply><ci id="S3.p3.7.m7.3.3.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="S3.p3.7.m7.3.3.2.2.2.3.2.3">𝑙</ci></apply><ci id="S3.p3.7.m7.3.3.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.p3.7.m7.3.3.2.2.2.3.3">𝑙</ci></apply></apply></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.7.m7.3c">M^{\prime}_{l}=\{s^{2}_{1l},\ldots,s^{2}_{b^{\prime}_{l}l}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.7.m7.3d">italic_M start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT = { italic_s start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 italic_l end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_s start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_b start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT }</annotation></semantics></math> represents the <math alttext="b^{\prime}_{l}=|M^{\prime}_{l}|" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.8.m8.1"><semantics id="S3.p3.8.m8.1a"><mrow id="S3.p3.8.m8.1.1" xref="S3.p3.8.m8.1.1.cmml"><msubsup id="S3.p3.8.m8.1.1.3" xref="S3.p3.8.m8.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p3.8.m8.1.1.3.2.2" xref="S3.p3.8.m8.1.1.3.2.2.cmml">b</mi><mi id="S3.p3.8.m8.1.1.3.3" xref="S3.p3.8.m8.1.1.3.3.cmml">l</mi><mo id="S3.p3.8.m8.1.1.3.2.3" xref="S3.p3.8.m8.1.1.3.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S3.p3.8.m8.1.1.2" xref="S3.p3.8.m8.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.p3.8.m8.1.1.1.1" xref="S3.p3.8.m8.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.p3.8.m8.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.p3.8.m8.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msubsup id="S3.p3.8.m8.1.1.1.1.1" xref="S3.p3.8.m8.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.8.m8.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.p3.8.m8.1.1.1.1.1.2.2.cmml">M</mi><mi id="S3.p3.8.m8.1.1.1.1.1.3" xref="S3.p3.8.m8.1.1.1.1.1.3.cmml">l</mi><mo id="S3.p3.8.m8.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.p3.8.m8.1.1.1.1.1.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S3.p3.8.m8.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.p3.8.m8.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.8.m8.1b"><apply id="S3.p3.8.m8.1.1.cmml" xref="S3.p3.8.m8.1.1"><eq id="S3.p3.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.8.m8.1.1.2"></eq><apply id="S3.p3.8.m8.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.8.m8.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.8.m8.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p3.8.m8.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S3.p3.8.m8.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p3.8.m8.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.8.m8.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.p3.8.m8.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.p3.8.m8.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.p3.8.m8.1.1.3.2.2">𝑏</ci><ci id="S3.p3.8.m8.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.p3.8.m8.1.1.3.2.3">′</ci></apply><ci id="S3.p3.8.m8.1.1.3.3.cmml" xref="S3.p3.8.m8.1.1.3.3">𝑙</ci></apply><apply id="S3.p3.8.m8.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.8.m8.1.1.1.1"><abs id="S3.p3.8.m8.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p3.8.m8.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.p3.8.m8.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.8.m8.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.8.m8.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.8.m8.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.p3.8.m8.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.8.m8.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.8.m8.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p3.8.m8.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.p3.8.m8.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.p3.8.m8.1.1.1.1.1.2.2">𝑀</ci><ci id="S3.p3.8.m8.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.p3.8.m8.1.1.1.1.1.2.3">′</ci></apply><ci id="S3.p3.8.m8.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.8.m8.1.1.1.1.1.3">𝑙</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.8.m8.1c">b^{\prime}_{l}=|M^{\prime}_{l}|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.8.m8.1d">italic_b start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT = | italic_M start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT |</annotation></semantics></math> scalar cell output values. This approach allows <math alttext="f(\bm{x})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.9.m9.1"><semantics id="S3.p3.9.m9.1a"><mrow id="S3.p3.9.m9.1.2" xref="S3.p3.9.m9.1.2.cmml"><mi id="S3.p3.9.m9.1.2.2" xref="S3.p3.9.m9.1.2.2.cmml">f</mi><mo id="S3.p3.9.m9.1.2.1" xref="S3.p3.9.m9.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p3.9.m9.1.2.3.2" xref="S3.p3.9.m9.1.2.cmml"><mo id="S3.p3.9.m9.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.p3.9.m9.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.p3.9.m9.1.1" xref="S3.p3.9.m9.1.1.cmml">𝒙</mi><mo id="S3.p3.9.m9.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.p3.9.m9.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.9.m9.1b"><apply id="S3.p3.9.m9.1.2.cmml" xref="S3.p3.9.m9.1.2"><times id="S3.p3.9.m9.1.2.1.cmml" xref="S3.p3.9.m9.1.2.1"></times><ci id="S3.p3.9.m9.1.2.2.cmml" xref="S3.p3.9.m9.1.2.2">𝑓</ci><ci id="S3.p3.9.m9.1.1.cmml" xref="S3.p3.9.m9.1.1">𝒙</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.9.m9.1c">f(\bm{x})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.9.m9.1d">italic_f ( bold_italic_x )</annotation></semantics></math> to be modeled additively, capturing the effects through a sum of tessellations, while <math alttext="s^{2}(\bm{x})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.10.m10.1"><semantics id="S3.p3.10.m10.1a"><mrow id="S3.p3.10.m10.1.2" xref="S3.p3.10.m10.1.2.cmml"><msup id="S3.p3.10.m10.1.2.2" xref="S3.p3.10.m10.1.2.2.cmml"><mi id="S3.p3.10.m10.1.2.2.2" xref="S3.p3.10.m10.1.2.2.2.cmml">s</mi><mn id="S3.p3.10.m10.1.2.2.3" xref="S3.p3.10.m10.1.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.p3.10.m10.1.2.1" xref="S3.p3.10.m10.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p3.10.m10.1.2.3.2" xref="S3.p3.10.m10.1.2.cmml"><mo id="S3.p3.10.m10.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.p3.10.m10.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.p3.10.m10.1.1" xref="S3.p3.10.m10.1.1.cmml">𝒙</mi><mo id="S3.p3.10.m10.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.p3.10.m10.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.10.m10.1b"><apply id="S3.p3.10.m10.1.2.cmml" xref="S3.p3.10.m10.1.2"><times id="S3.p3.10.m10.1.2.1.cmml" xref="S3.p3.10.m10.1.2.1"></times><apply id="S3.p3.10.m10.1.2.2.cmml" xref="S3.p3.10.m10.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.10.m10.1.2.2.1.cmml" xref="S3.p3.10.m10.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.p3.10.m10.1.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.10.m10.1.2.2.2">𝑠</ci><cn id="S3.p3.10.m10.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.p3.10.m10.1.2.2.3">2</cn></apply><ci id="S3.p3.10.m10.1.1.cmml" xref="S3.p3.10.m10.1.1">𝒙</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.10.m10.1c">s^{2}(\bm{x})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.10.m10.1d">italic_s start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( bold_italic_x )</annotation></semantics></math> is modeled multiplicatively, capturing the scale through a product of tessellations.</p> </div> <section class="ltx_subsection" id="S3.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">3.1 </span>Mean Model</h3> <div class="ltx_para" id="S3.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p1.1">The mean is modeled in a manner nearly identical to the original AddiVortes, except that the variance of the error term is no longer assumed constant. Similar to the homoscedastic setting, we sample from <math alttext="(T_{j},\bm{M}_{j})\mid\bm{R}_{j},\sigma" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.1.m1.4"><semantics id="S3.SS1.p1.1.m1.4a"><mrow id="S3.SS1.p1.1.m1.4.4" xref="S3.SS1.p1.1.m1.4.4.cmml"><mrow id="S3.SS1.p1.1.m1.3.3.2.2" xref="S3.SS1.p1.1.m1.3.3.2.3.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.1.m1.3.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.1.m1.3.3.2.3.cmml">(</mo><msub id="S3.SS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">T</mi><mi id="S3.SS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.SS1.p1.1.m1.3.3.2.2.4" xref="S3.SS1.p1.1.m1.3.3.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.SS1.p1.1.m1.3.3.2.2.2" xref="S3.SS1.p1.1.m1.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2" xref="S3.SS1.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.cmml">𝑴</mi><mi id="S3.SS1.p1.1.m1.3.3.2.2.2.3" xref="S3.SS1.p1.1.m1.3.3.2.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.SS1.p1.1.m1.3.3.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.1.m1.3.3.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.SS1.p1.1.m1.4.4.4" xref="S3.SS1.p1.1.m1.4.4.4.cmml">∣</mo><mrow id="S3.SS1.p1.1.m1.4.4.3.1" xref="S3.SS1.p1.1.m1.4.4.3.2.cmml"><msub id="S3.SS1.p1.1.m1.4.4.3.1.1" xref="S3.SS1.p1.1.m1.4.4.3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.1.m1.4.4.3.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.1.m1.4.4.3.1.1.2.cmml">𝑹</mi><mi id="S3.SS1.p1.1.m1.4.4.3.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.1.m1.4.4.3.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.SS1.p1.1.m1.4.4.3.1.2" xref="S3.SS1.p1.1.m1.4.4.3.2.cmml">,</mo><mi id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml">σ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.1.m1.4b"><apply id="S3.SS1.p1.1.m1.4.4.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.4.4"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS1.p1.1.m1.4.4.4.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.4.4.4">conditional</csymbol><interval closure="open" id="S3.SS1.p1.1.m1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.3.3.2.2"><apply id="S3.SS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S3.SS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.SS1.p1.1.m1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.1.m1.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.3.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2">𝑴</ci><ci id="S3.SS1.p1.1.m1.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.3.3.2.2.2.3">𝑗</ci></apply></interval><list id="S3.SS1.p1.1.m1.4.4.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.4.4.3.1"><apply id="S3.SS1.p1.1.m1.4.4.3.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.4.4.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.4.4.3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.1.m1.4.4.3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.4.4.3.1.1.2">𝑹</ci><ci id="S3.SS1.p1.1.m1.4.4.3.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.4.4.3.1.1.3">𝑗</ci></apply><ci id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1">𝜎</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.1.m1.4c">(T_{j},\bm{M}_{j})\mid\bm{R}_{j},\sigma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.1.m1.4d">( italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) ∣ bold_italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , italic_σ</annotation></semantics></math>, where</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex6"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="R_{ij}=y_{i}-\sum_{q\neq j}g(\bm{x}_{i};T_{q},\bm{M}_{q})." class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex6.m1.1"><semantics id="S3.Ex6.m1.1a"><mrow id="S3.Ex6.m1.1.1.1" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.5" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.5.2" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.5.2.cmml">R</mi><mrow id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.5.3" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.5.3.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.5.3.2" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.5.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.5.3.1" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.5.3.3" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.5.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.5" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.5.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.5.2" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.5.2.cmml">y</mi><mi id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.5.3" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.5.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.4" rspace="0.055em" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.4.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><munder id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.4" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.4.cmml"><mo id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.4.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.4.3" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.2" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.2.cmml">q</mi><mo id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.1" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.1.cmml">≠</mo><mi id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.3" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.3.cmml">j</mi></mrow></munder><mrow id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.3.5" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.3.5.cmml">g</mi><mo id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.3.4" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.4.cmml"><mo id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.4" stretchy="false" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.4.cmml">(</mo><msub id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.5" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.4.cmml">;</mo><msub id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml">T</mi><mi id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.cmml">q</mi></msub><mo id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.6" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.3" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.3.2" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.3.2.cmml">𝑴</mi><mi id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.3.3" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.3.3.cmml">q</mi></msub><mo id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.7" stretchy="false" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex6.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex6.m1.1b"><apply id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1"><eq id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.4"></eq><apply id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.5.2">𝑅</ci><apply id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.5.3"><times id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.5.3.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.5.3.1"></times><ci id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.5.3.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.5.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.5.3.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.5.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3"><minus id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.4"></minus><apply id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.5.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.5.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.5">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.5.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.5.2">𝑦</ci><ci id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.5.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.5.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3"><apply id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.4.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.4.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.4">subscript</csymbol><sum id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.4.2"></sum><apply id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.4.3"><neq id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.1"></neq><ci id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.2">𝑞</ci><ci id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.3"><times id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.3.4.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.3.4"></times><ci id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.3.5.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.3.5">𝑔</ci><list id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.4.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3"><apply id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝒙</ci><ci id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2">𝑇</ci><ci id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3">𝑞</ci></apply><apply id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.3.2">𝑴</ci><ci id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.3.3">𝑞</ci></apply></list></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex6.m1.1c">R_{ij}=y_{i}-\sum_{q\neq j}g(\bm{x}_{i};T_{q},\bm{M}_{q}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex6.m1.1d">italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT = italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT - ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_q ≠ italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_g ( bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ; italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_q end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_q end_POSTSUBSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p1.7">Recall that this is formally equivalent to the posterior of the single tessellation model <math alttext="\bm{R}_{j}=g(\bm{x};T_{j},\bm{M}_{j})+\epsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.2.m1.3"><semantics id="S3.SS1.p1.2.m1.3a"><mrow id="S3.SS1.p1.2.m1.3.3" xref="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.cmml"><msub id="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.4" xref="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.4.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.4.2" xref="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.4.2.cmml">𝑹</mi><mi id="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.4.3" xref="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.4.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.3" xref="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.2" xref="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.2.cmml"><mrow id="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.2.2" xref="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.2.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.2.2.4" xref="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.2.2.4.cmml">g</mi><mo id="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.2.2.3" xref="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.2.2.2.2" xref="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.2.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S3.SS1.p1.2.m1.1.1" xref="S3.SS1.p1.2.m1.1.1.cmml">𝒙</mi><mo id="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.2.2.2.2.4" xref="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.2.2.2.3.cmml">;</mo><msub id="S3.SS1.p1.2.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">T</mi><mi id="S3.SS1.p1.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.2.2.2.2.5" xref="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.2.2.2.2.2" xref="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.2.2.2.2.2.2" xref="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.cmml">𝑴</mi><mi id="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.2.2.2.2.2.3" xref="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.2.2.2.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.2.2.2.2.6" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.2.3" xref="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.2.3.cmml">+</mo><mi id="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.2.4" xref="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.2.4.cmml">ϵ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.2.m1.3b"><apply id="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m1.3.3"><eq id="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.3"></eq><apply id="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.4.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.4.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.4">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.4.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.4.2">𝑹</ci><ci id="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.4.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.4.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.2"><plus id="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.2.3"></plus><apply id="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.2.2"><times id="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.2.2.3"></times><ci id="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.2.2.4.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.2.2.4">𝑔</ci><list id="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.2.2.2.2"><ci id="S3.SS1.p1.2.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m1.1.1">𝒙</ci><apply id="S3.SS1.p1.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m1.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m1.2.2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S3.SS1.p1.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.2.2.2.2.2.2">𝑴</ci><ci id="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.2.2.2.2.2.3">𝑗</ci></apply></list></apply><ci id="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.2.4.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m1.3.3.2.4">italic-ϵ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.2.m1.3c">\bm{R}_{j}=g(\bm{x};T_{j},\bm{M}_{j})+\epsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.2.m1.3d">bold_italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT = italic_g ( bold_italic_x ; italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) + italic_ϵ</annotation></semantics></math>, where <math alttext="\bm{R}_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.3.m2.1"><semantics id="S3.SS1.p1.3.m2.1a"><msub id="S3.SS1.p1.3.m2.1.1" xref="S3.SS1.p1.3.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.3.m2.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.3.m2.1.1.2.cmml">𝑹</mi><mi id="S3.SS1.p1.3.m2.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.3.m2.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.3.m2.1b"><apply id="S3.SS1.p1.3.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.3.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.3.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.3.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.3.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.3.m2.1.1.2">𝑹</ci><ci id="S3.SS1.p1.3.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.3.m2.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.3.m2.1c">\bm{R}_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.3.m2.1d">bold_italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> plays the role of the data <math alttext="\bm{y}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.4.m3.1"><semantics id="S3.SS1.p1.4.m3.1a"><mi id="S3.SS1.p1.4.m3.1.1" xref="S3.SS1.p1.4.m3.1.1.cmml">𝒚</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.4.m3.1b"><ci id="S3.SS1.p1.4.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m3.1.1">𝒚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.4.m3.1c">\bm{y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.4.m3.1d">bold_italic_y</annotation></semantics></math>. Thus, when viewed as a function of <math alttext="\mu_{kj}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.5.m4.1"><semantics id="S3.SS1.p1.5.m4.1a"><msub id="S3.SS1.p1.5.m4.1.1" xref="S3.SS1.p1.5.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.5.m4.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.5.m4.1.1.2.cmml">μ</mi><mrow id="S3.SS1.p1.5.m4.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.5.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.5.m4.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p1.5.m4.1.1.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.SS1.p1.5.m4.1.1.3.1" xref="S3.SS1.p1.5.m4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p1.5.m4.1.1.3.3" xref="S3.SS1.p1.5.m4.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.5.m4.1b"><apply id="S3.SS1.p1.5.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.5.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.5.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m4.1.1.2">𝜇</ci><apply id="S3.SS1.p1.5.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m4.1.1.3"><times id="S3.SS1.p1.5.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m4.1.1.3.1"></times><ci id="S3.SS1.p1.5.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m4.1.1.3.2">𝑘</ci><ci id="S3.SS1.p1.5.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m4.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.5.m4.1c">\mu_{kj}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.5.m4.1d">italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, the heteroscedastic AddiVortes likelihood in the <math alttext="k^{\text{th}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.6.m5.1"><semantics id="S3.SS1.p1.6.m5.1a"><msup id="S3.SS1.p1.6.m5.1.1" xref="S3.SS1.p1.6.m5.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.6.m5.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.6.m5.1.1.2.cmml">k</mi><mtext id="S3.SS1.p1.6.m5.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.6.m5.1.1.3a.cmml">th</mtext></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.6.m5.1b"><apply id="S3.SS1.p1.6.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.6.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.6.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.6.m5.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.6.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.6.m5.1.1.2">𝑘</ci><ci id="S3.SS1.p1.6.m5.1.1.3a.cmml" xref="S3.SS1.p1.6.m5.1.1.3"><mtext id="S3.SS1.p1.6.m5.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS1.p1.6.m5.1.1.3">th</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.6.m5.1c">k^{\text{th}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.6.m5.1d">italic_k start_POSTSUPERSCRIPT th end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> cell of the <math alttext="j^{\text{th}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.7.m6.1"><semantics id="S3.SS1.p1.7.m6.1a"><msup id="S3.SS1.p1.7.m6.1.1" xref="S3.SS1.p1.7.m6.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.7.m6.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.7.m6.1.1.2.cmml">j</mi><mtext id="S3.SS1.p1.7.m6.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.7.m6.1.1.3a.cmml">th</mtext></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.7.m6.1b"><apply id="S3.SS1.p1.7.m6.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.7.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.7.m6.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.7.m6.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.7.m6.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.7.m6.1.1.2">𝑗</ci><ci id="S3.SS1.p1.7.m6.1.1.3a.cmml" xref="S3.SS1.p1.7.m6.1.1.3"><mtext id="S3.SS1.p1.7.m6.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS1.p1.7.m6.1.1.3">th</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.7.m6.1c">j^{\text{th}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.7.m6.1d">italic_j start_POSTSUPERSCRIPT th end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> mean tessellation is given by</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E5"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="L(\mu_{kj}\mid\cdot)=\prod_{i=1}^{n_{kj}}\frac{1}{\sqrt{2\pi s(\bm{x}_{i})}}% \exp\left(-\frac{(R_{ij}-\mu_{kj})^{2}}{2s^{2}(\bm{x}_{i})}\right)," class="ltx_Math" display="block" id="S3.E5.m1.5"><semantics id="S3.E5.m1.5a"><mrow id="S3.E5.m1.5.5.1" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S3.E5.m1.5.5.1.1" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S3.E5.m1.5.5.1.1.1" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.3" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.3.cmml">L</mi><mo id="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.2" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">μ</mi><mrow id="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1" rspace="0em" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∣</mo><mo id="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⋅</mo></mrow><mo id="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E5.m1.5.5.1.1.3" rspace="0.111em" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.cmml"><munderover id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.2" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.2.cmml"><mo id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2" movablelimits="false" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.2.2.3" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.2" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.1" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.3" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msub id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.2.3" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.2.3.2" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.cmml">n</mi><mrow id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.2.3.3" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.cmml"><mi id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.2" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.1" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.3" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></munderover><mrow id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.cmml"><mfrac id="S3.E5.m1.1.1" xref="S3.E5.m1.1.1.cmml"><mn id="S3.E5.m1.1.1.3" xref="S3.E5.m1.1.1.3.cmml">1</mn><msqrt id="S3.E5.m1.1.1.1" xref="S3.E5.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E5.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.E5.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn><mo id="S3.E5.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E5.m1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.1.4.cmml">π</mi><mo id="S3.E5.m1.1.1.1.1.1.2a" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E5.m1.1.1.1.1.1.5" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.1.5.cmml">s</mi><mo id="S3.E5.m1.1.1.1.1.1.2b" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msqrt></mfrac><mo id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.2" lspace="0.167em" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E5.m1.4.4" xref="S3.E5.m1.4.4.cmml">exp</mi><mo id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1a" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1a" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mfrac id="S3.E5.m1.3.3" xref="S3.E5.m1.3.3.cmml"><msup id="S3.E5.m1.2.2.1" xref="S3.E5.m1.2.2.1.cmml"><mrow id="S3.E5.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.E5.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E5.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E5.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E5.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E5.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E5.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.E5.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E5.m1.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E5.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">R</mi><mrow id="S3.E5.m1.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E5.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E5.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.E5.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.E5.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.1" xref="S3.E5.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E5.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.E5.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S3.E5.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E5.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.E5.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.E5.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E5.m1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E5.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">μ</mi><mrow id="S3.E5.m1.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E5.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E5.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E5.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.E5.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.E5.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E5.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E5.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S3.E5.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E5.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S3.E5.m1.2.2.1.3" xref="S3.E5.m1.2.2.1.3.cmml">2</mn></msup><mrow id="S3.E5.m1.3.3.2" xref="S3.E5.m1.3.3.2.cmml"><mn id="S3.E5.m1.3.3.2.3" xref="S3.E5.m1.3.3.2.3.cmml">2</mn><mo id="S3.E5.m1.3.3.2.2" xref="S3.E5.m1.3.3.2.2.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E5.m1.3.3.2.4" xref="S3.E5.m1.3.3.2.4.cmml"><mi id="S3.E5.m1.3.3.2.4.2" xref="S3.E5.m1.3.3.2.4.2.cmml">s</mi><mn id="S3.E5.m1.3.3.2.4.3" xref="S3.E5.m1.3.3.2.4.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.E5.m1.3.3.2.2a" xref="S3.E5.m1.3.3.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E5.m1.3.3.2.1.1" xref="S3.E5.m1.3.3.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E5.m1.3.3.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E5.m1.3.3.2.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.E5.m1.3.3.2.1.1.1" xref="S3.E5.m1.3.3.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E5.m1.3.3.2.1.1.1.2" xref="S3.E5.m1.3.3.2.1.1.1.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.E5.m1.3.3.2.1.1.1.3" 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cd="ambiguous" id="S3.E5.m1.3.3.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E5.m1.3.3.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.2.1.1.1.2">𝒙</ci><ci id="S3.E5.m1.3.3.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.2.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E5.m1.5c">L(\mu_{kj}\mid\cdot)=\prod_{i=1}^{n_{kj}}\frac{1}{\sqrt{2\pi s(\bm{x}_{i})}}% \exp\left(-\frac{(R_{ij}-\mu_{kj})^{2}}{2s^{2}(\bm{x}_{i})}\right),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E5.m1.5d">italic_L ( italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_j end_POSTSUBSCRIPT ∣ ⋅ ) = ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG square-root start_ARG 2 italic_π italic_s ( bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) end_ARG end_ARG roman_exp ( - divide start_ARG ( italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 italic_s start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) end_ARG ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(5)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p1.11">where <math alttext="n_{kj}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.8.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p1.8.m1.1a"><msub id="S3.SS1.p1.8.m1.1.1" xref="S3.SS1.p1.8.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.8.m1.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.8.m1.1.1.2.cmml">n</mi><mrow id="S3.SS1.p1.8.m1.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.8.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.8.m1.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p1.8.m1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.SS1.p1.8.m1.1.1.3.1" xref="S3.SS1.p1.8.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p1.8.m1.1.1.3.3" xref="S3.SS1.p1.8.m1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.8.m1.1b"><apply id="S3.SS1.p1.8.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.8.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.8.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.8.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.8.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.8.m1.1.1.2">𝑛</ci><apply id="S3.SS1.p1.8.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.8.m1.1.1.3"><times id="S3.SS1.p1.8.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.8.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.SS1.p1.8.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.8.m1.1.1.3.2">𝑘</ci><ci id="S3.SS1.p1.8.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.8.m1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.8.m1.1c">n_{kj}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.8.m1.1d">italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> denotes the number of observations that map to the particular cell. As in the original AddiVortes model, we assume a conjugate prior distribution for the mean component, where <math alttext="\pi(\mu_{kj})\sim N(0,\sigma_{\mu}^{2})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.9.m2.3"><semantics id="S3.SS1.p1.9.m2.3a"><mrow id="S3.SS1.p1.9.m2.3.3" xref="S3.SS1.p1.9.m2.3.3.cmml"><mrow id="S3.SS1.p1.9.m2.2.2.1" xref="S3.SS1.p1.9.m2.2.2.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.9.m2.2.2.1.3" xref="S3.SS1.p1.9.m2.2.2.1.3.cmml">π</mi><mo id="S3.SS1.p1.9.m2.2.2.1.2" xref="S3.SS1.p1.9.m2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p1.9.m2.2.2.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.9.m2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.9.m2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.9.m2.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.SS1.p1.9.m2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.9.m2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.9.m2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.9.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">μ</mi><mrow id="S3.SS1.p1.9.m2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.9.m2.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.9.m2.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p1.9.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.SS1.p1.9.m2.2.2.1.1.1.1.3.1" xref="S3.SS1.p1.9.m2.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p1.9.m2.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S3.SS1.p1.9.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S3.SS1.p1.9.m2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.9.m2.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS1.p1.9.m2.3.3.3" xref="S3.SS1.p1.9.m2.3.3.3.cmml">∼</mo><mrow id="S3.SS1.p1.9.m2.3.3.2" xref="S3.SS1.p1.9.m2.3.3.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.9.m2.3.3.2.3" xref="S3.SS1.p1.9.m2.3.3.2.3.cmml">N</mi><mo id="S3.SS1.p1.9.m2.3.3.2.2" xref="S3.SS1.p1.9.m2.3.3.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p1.9.m2.3.3.2.1.1" xref="S3.SS1.p1.9.m2.3.3.2.1.2.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.9.m2.3.3.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.9.m2.3.3.2.1.2.cmml">(</mo><mn id="S3.SS1.p1.9.m2.1.1" xref="S3.SS1.p1.9.m2.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.SS1.p1.9.m2.3.3.2.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.9.m2.3.3.2.1.2.cmml">,</mo><msubsup id="S3.SS1.p1.9.m2.3.3.2.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.9.m2.3.3.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.9.m2.3.3.2.1.1.1.2.2" xref="S3.SS1.p1.9.m2.3.3.2.1.1.1.2.2.cmml">σ</mi><mi id="S3.SS1.p1.9.m2.3.3.2.1.1.1.2.3" xref="S3.SS1.p1.9.m2.3.3.2.1.1.1.2.3.cmml">μ</mi><mn id="S3.SS1.p1.9.m2.3.3.2.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.9.m2.3.3.2.1.1.1.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S3.SS1.p1.9.m2.3.3.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.9.m2.3.3.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.9.m2.3b"><apply id="S3.SS1.p1.9.m2.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.9.m2.3.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS1.p1.9.m2.3.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.9.m2.3.3.3">similar-to</csymbol><apply id="S3.SS1.p1.9.m2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.9.m2.2.2.1"><times id="S3.SS1.p1.9.m2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.9.m2.2.2.1.2"></times><ci id="S3.SS1.p1.9.m2.2.2.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.9.m2.2.2.1.3">𝜋</ci><apply id="S3.SS1.p1.9.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.9.m2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.9.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.9.m2.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.9.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.9.m2.2.2.1.1.1.1.2">𝜇</ci><apply id="S3.SS1.p1.9.m2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.9.m2.2.2.1.1.1.1.3"><times id="S3.SS1.p1.9.m2.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.9.m2.2.2.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.SS1.p1.9.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.9.m2.2.2.1.1.1.1.3.2">𝑘</ci><ci id="S3.SS1.p1.9.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.9.m2.2.2.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.SS1.p1.9.m2.3.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.9.m2.3.3.2"><times id="S3.SS1.p1.9.m2.3.3.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.9.m2.3.3.2.2"></times><ci id="S3.SS1.p1.9.m2.3.3.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.9.m2.3.3.2.3">𝑁</ci><interval closure="open" id="S3.SS1.p1.9.m2.3.3.2.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.9.m2.3.3.2.1.1"><cn id="S3.SS1.p1.9.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p1.9.m2.1.1">0</cn><apply id="S3.SS1.p1.9.m2.3.3.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.9.m2.3.3.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.9.m2.3.3.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.9.m2.3.3.2.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.SS1.p1.9.m2.3.3.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.9.m2.3.3.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.9.m2.3.3.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.9.m2.3.3.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.9.m2.3.3.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.9.m2.3.3.2.1.1.1.2.2">𝜎</ci><ci id="S3.SS1.p1.9.m2.3.3.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.9.m2.3.3.2.1.1.1.2.3">𝜇</ci></apply><cn id="S3.SS1.p1.9.m2.3.3.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p1.9.m2.3.3.2.1.1.1.3">2</cn></apply></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.9.m2.3c">\pi(\mu_{kj})\sim N(0,\sigma_{\mu}^{2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.9.m2.3d">italic_π ( italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) ∼ italic_N ( 0 , italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_μ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> for all <math alttext="k,j" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.10.m3.2"><semantics id="S3.SS1.p1.10.m3.2a"><mrow id="S3.SS1.p1.10.m3.2.3.2" xref="S3.SS1.p1.10.m3.2.3.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.10.m3.1.1" xref="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.cmml">k</mi><mo id="S3.SS1.p1.10.m3.2.3.2.1" xref="S3.SS1.p1.10.m3.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS1.p1.10.m3.2.2" xref="S3.SS1.p1.10.m3.2.2.cmml">j</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.10.m3.2b"><list id="S3.SS1.p1.10.m3.2.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.10.m3.2.3.2"><ci id="S3.SS1.p1.10.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.10.m3.1.1">𝑘</ci><ci id="S3.SS1.p1.10.m3.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.10.m3.2.2">𝑗</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.10.m3.2c">k,j</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.10.m3.2d">italic_k , italic_j</annotation></semantics></math>. The full conditional distribution for <math alttext="\mu_{kj}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.11.m4.1"><semantics id="S3.SS1.p1.11.m4.1a"><msub id="S3.SS1.p1.11.m4.1.1" xref="S3.SS1.p1.11.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.11.m4.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.11.m4.1.1.2.cmml">μ</mi><mrow id="S3.SS1.p1.11.m4.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.11.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.11.m4.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p1.11.m4.1.1.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.SS1.p1.11.m4.1.1.3.1" xref="S3.SS1.p1.11.m4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p1.11.m4.1.1.3.3" xref="S3.SS1.p1.11.m4.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.11.m4.1b"><apply id="S3.SS1.p1.11.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.11.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.11.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.11.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.11.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.11.m4.1.1.2">𝜇</ci><apply id="S3.SS1.p1.11.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.11.m4.1.1.3"><times id="S3.SS1.p1.11.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.11.m4.1.1.3.1"></times><ci id="S3.SS1.p1.11.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.11.m4.1.1.3.2">𝑘</ci><ci id="S3.SS1.p1.11.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.11.m4.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.11.m4.1c">\mu_{kj}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.11.m4.1d">italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is given by</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E6"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\pi(\mu_{kj}\mid\cdot)\sim N\left(\frac{\sum_{i=1}^{n}\frac{R_{ij}}{s^{2}(\bm{% x}_{i})}}{\frac{1}{\sigma_{\mu}^{2}}+\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{s^{2}(\bm{x}_{i})}% },\frac{1}{\frac{1}{\sigma_{\mu}^{2}}+\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{s^{2}(\bm{x}_{i})% }}\right)." class="ltx_Math" display="block" id="S3.E6.m1.4"><semantics id="S3.E6.m1.4a"><mrow id="S3.E6.m1.4.4.1" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S3.E6.m1.4.4.1.1" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S3.E6.m1.4.4.1.1.1" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E6.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.1.3.cmml">π</mi><mo id="S3.E6.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">μ</mi><mrow id="S3.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S3.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" rspace="0em" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∣</mo><mo id="S3.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⋅</mo></mrow><mo id="S3.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E6.m1.4.4.1.1.2" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.2.cmml">∼</mo><mrow id="S3.E6.m1.4.4.1.1.3" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.2" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.2.cmml">N</mi><mo id="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.1" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.3.2" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.3.2.1" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.3.1.cmml">(</mo><mfrac id="S3.E6.m1.2.2" xref="S3.E6.m1.2.2.cmml"><mrow id="S3.E6.m1.1.1.1" 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xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mrow id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">s</mi><mn id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac></mrow><mrow id="S3.E6.m1.2.2.2" xref="S3.E6.m1.2.2.2.cmml"><mfrac id="S3.E6.m1.2.2.2.3" xref="S3.E6.m1.2.2.2.3.cmml"><mn id="S3.E6.m1.2.2.2.3.2" xref="S3.E6.m1.2.2.2.3.2.cmml">1</mn><msubsup id="S3.E6.m1.2.2.2.3.3" xref="S3.E6.m1.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="S3.E6.m1.2.2.2.3.3.2.2" xref="S3.E6.m1.2.2.2.3.3.2.2.cmml">σ</mi><mi id="S3.E6.m1.2.2.2.3.3.2.3" xref="S3.E6.m1.2.2.2.3.3.2.3.cmml">μ</mi><mn id="S3.E6.m1.2.2.2.3.3.3" xref="S3.E6.m1.2.2.2.3.3.3.cmml">2</mn></msubsup></mfrac><mo id="S3.E6.m1.2.2.2.2" rspace="0.055em" xref="S3.E6.m1.2.2.2.2.cmml">+</mo><mrow id="S3.E6.m1.2.2.2.4" xref="S3.E6.m1.2.2.2.4.cmml"><msubsup id="S3.E6.m1.2.2.2.4.1" xref="S3.E6.m1.2.2.2.4.1.cmml"><mo id="S3.E6.m1.2.2.2.4.1.2.2" xref="S3.E6.m1.2.2.2.4.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.E6.m1.2.2.2.4.1.2.3" xref="S3.E6.m1.2.2.2.4.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E6.m1.2.2.2.4.1.2.3.2" xref="S3.E6.m1.2.2.2.4.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.E6.m1.2.2.2.4.1.2.3.1" xref="S3.E6.m1.2.2.2.4.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.E6.m1.2.2.2.4.1.2.3.3" xref="S3.E6.m1.2.2.2.4.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.E6.m1.2.2.2.4.1.3" xref="S3.E6.m1.2.2.2.4.1.3.cmml">n</mi></msubsup><mfrac id="S3.E6.m1.2.2.2.1" xref="S3.E6.m1.2.2.2.1.cmml"><mn id="S3.E6.m1.2.2.2.1.3" xref="S3.E6.m1.2.2.2.1.3.cmml">1</mn><mrow id="S3.E6.m1.2.2.2.1.1" xref="S3.E6.m1.2.2.2.1.1.cmml"><msup id="S3.E6.m1.2.2.2.1.1.3" xref="S3.E6.m1.2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E6.m1.2.2.2.1.1.3.2" xref="S3.E6.m1.2.2.2.1.1.3.2.cmml">s</mi><mn id="S3.E6.m1.2.2.2.1.1.3.3" xref="S3.E6.m1.2.2.2.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.E6.m1.2.2.2.1.1.2" xref="S3.E6.m1.2.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E6.m1.2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E6.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E6.m1.2.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E6.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.E6.m1.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E6.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E6.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.E6.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E6.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.E6.m1.2.2.2.1.1.1.1.3" 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xref="S3.E6.m1.3.3.1.4.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.E6.m1.3.3.1.4.1.2.3" xref="S3.E6.m1.3.3.1.4.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E6.m1.3.3.1.4.1.2.3.2" xref="S3.E6.m1.3.3.1.4.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.E6.m1.3.3.1.4.1.2.3.1" xref="S3.E6.m1.3.3.1.4.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.E6.m1.3.3.1.4.1.2.3.3" xref="S3.E6.m1.3.3.1.4.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.E6.m1.3.3.1.4.1.3" xref="S3.E6.m1.3.3.1.4.1.3.cmml">n</mi></msubsup><mfrac id="S3.E6.m1.3.3.1.1" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.cmml"><mn id="S3.E6.m1.3.3.1.1.3" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.3.cmml">1</mn><mrow id="S3.E6.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.1.cmml"><msup id="S3.E6.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E6.m1.3.3.1.1.1.3.2" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml">s</mi><mn id="S3.E6.m1.3.3.1.1.1.3.3" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.E6.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac></mrow></mrow></mfrac><mo id="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.3.2.3" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E6.m1.4.4.1.2" lspace="0em" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E6.m1.4b"><apply id="S3.E6.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.4.4.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E6.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.2">similar-to</csymbol><apply id="S3.E6.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.1"><times id="S3.E6.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E6.m1.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.1.3">𝜋</ci><apply id="S3.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><apply id="S3.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2">𝜇</ci><apply id="S3.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="S3.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S3.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S3.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="S3.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3">⋅</ci></apply></apply><apply id="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.3"><times id="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.1"></times><ci id="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.2">𝑁</ci><interval closure="open" id="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.3.2"><apply id="S3.E6.m1.2.2.cmml" xref="S3.E6.m1.2.2"><divide id="S3.E6.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.E6.m1.2.2"></divide><apply id="S3.E6.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1"><apply id="S3.E6.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E6.m1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S3.E6.m1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1.2.2.2"></sum><apply id="S3.E6.m1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1.2.2.3"><eq id="S3.E6.m1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="S3.E6.m1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1.2.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.E6.m1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E6.m1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.E6.m1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1.2.3">𝑛</ci></apply><apply id="S3.E6.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1"><divide id="S3.E6.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1"></divide><apply id="S3.E6.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.3.2">𝑅</ci><apply id="S3.E6.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.3.3"><times id="S3.E6.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S3.E6.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.E6.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝑠</ci><cn id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝒙</ci><ci id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E6.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.E6.m1.2.2.2"><plus id="S3.E6.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E6.m1.2.2.2.2"></plus><apply id="S3.E6.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E6.m1.2.2.2.3"><divide id="S3.E6.m1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E6.m1.2.2.2.3"></divide><cn id="S3.E6.m1.2.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.E6.m1.2.2.2.3.2">1</cn><apply id="S3.E6.m1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.E6.m1.2.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="S3.E6.m1.2.2.2.3.3">superscript</csymbol><apply id="S3.E6.m1.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="S3.E6.m1.2.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.2.2.2.3.3.2.1.cmml" xref="S3.E6.m1.2.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.m1.2.2.2.3.3.2.2.cmml" xref="S3.E6.m1.2.2.2.3.3.2.2">𝜎</ci><ci id="S3.E6.m1.2.2.2.3.3.2.3.cmml" xref="S3.E6.m1.2.2.2.3.3.2.3">𝜇</ci></apply><cn id="S3.E6.m1.2.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E6.m1.2.2.2.3.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.E6.m1.2.2.2.4.cmml" xref="S3.E6.m1.2.2.2.4"><apply id="S3.E6.m1.2.2.2.4.1.cmml" xref="S3.E6.m1.2.2.2.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.2.2.2.4.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.2.2.2.4.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E6.m1.2.2.2.4.1.2.cmml" xref="S3.E6.m1.2.2.2.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.2.2.2.4.1.2.1.cmml" xref="S3.E6.m1.2.2.2.4.1">subscript</csymbol><sum id="S3.E6.m1.2.2.2.4.1.2.2.cmml" xref="S3.E6.m1.2.2.2.4.1.2.2"></sum><apply id="S3.E6.m1.2.2.2.4.1.2.3.cmml" xref="S3.E6.m1.2.2.2.4.1.2.3"><eq id="S3.E6.m1.2.2.2.4.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E6.m1.2.2.2.4.1.2.3.1"></eq><ci id="S3.E6.m1.2.2.2.4.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E6.m1.2.2.2.4.1.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.E6.m1.2.2.2.4.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E6.m1.2.2.2.4.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.E6.m1.2.2.2.4.1.3.cmml" xref="S3.E6.m1.2.2.2.4.1.3">𝑛</ci></apply><apply id="S3.E6.m1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E6.m1.2.2.2.1"><divide id="S3.E6.m1.2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.E6.m1.2.2.2.1"></divide><cn id="S3.E6.m1.2.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E6.m1.2.2.2.1.3">1</cn><apply id="S3.E6.m1.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.2.2.2.1.1"><times id="S3.E6.m1.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.m1.2.2.2.1.1.2"></times><apply id="S3.E6.m1.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.E6.m1.2.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E6.m1.2.2.2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E6.m1.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E6.m1.2.2.2.1.1.3.2">𝑠</ci><cn id="S3.E6.m1.2.2.2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E6.m1.2.2.2.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.E6.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.2.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.2.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2">𝒙</ci><ci id="S3.E6.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E6.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E6.m1.3.3.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3"><divide id="S3.E6.m1.3.3.2.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3"></divide><cn id="S3.E6.m1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E6.m1.3.3.3">1</cn><apply id="S3.E6.m1.3.3.1.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1"><plus id="S3.E6.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.2"></plus><apply id="S3.E6.m1.3.3.1.3.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.3"><divide id="S3.E6.m1.3.3.1.3.1.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.3"></divide><cn id="S3.E6.m1.3.3.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.E6.m1.3.3.1.3.2">1</cn><apply id="S3.E6.m1.3.3.1.3.3.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.3.3.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S3.E6.m1.3.3.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.3.3.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.m1.3.3.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.3.3.2.2">𝜎</ci><ci id="S3.E6.m1.3.3.1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.3.3.2.3">𝜇</ci></apply><cn id="S3.E6.m1.3.3.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E6.m1.3.3.1.3.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.E6.m1.3.3.1.4.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.4"><apply id="S3.E6.m1.3.3.1.4.1.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.3.3.1.4.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.4.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E6.m1.3.3.1.4.1.2.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.3.3.1.4.1.2.1.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.4.1">subscript</csymbol><sum id="S3.E6.m1.3.3.1.4.1.2.2.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.4.1.2.2"></sum><apply id="S3.E6.m1.3.3.1.4.1.2.3.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.4.1.2.3"><eq id="S3.E6.m1.3.3.1.4.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.4.1.2.3.1"></eq><ci id="S3.E6.m1.3.3.1.4.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.4.1.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.E6.m1.3.3.1.4.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E6.m1.3.3.1.4.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.E6.m1.3.3.1.4.1.3.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.4.1.3">𝑛</ci></apply><apply id="S3.E6.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1"><divide id="S3.E6.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1"></divide><cn id="S3.E6.m1.3.3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.3">1</cn><apply id="S3.E6.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.1"><times id="S3.E6.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E6.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E6.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.1.3.2">𝑠</ci><cn id="S3.E6.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2">𝒙</ci><ci id="S3.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E6.m1.4c">\pi(\mu_{kj}\mid\cdot)\sim N\left(\frac{\sum_{i=1}^{n}\frac{R_{ij}}{s^{2}(\bm{% x}_{i})}}{\frac{1}{\sigma_{\mu}^{2}}+\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{s^{2}(\bm{x}_{i})}% },\frac{1}{\frac{1}{\sigma_{\mu}^{2}}+\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{s^{2}(\bm{x}_{i})% }}\right).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E6.m1.4d">italic_π ( italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_j end_POSTSUBSCRIPT ∣ ⋅ ) ∼ italic_N ( divide start_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_s start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) end_ARG end_ARG start_ARG divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_μ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG + ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_s start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) end_ARG end_ARG , divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_μ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG + ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_s start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) end_ARG end_ARG ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(6)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p2.1">The integrated likelihood, ignoring terms that cancel in the acceptance probability, is given by:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E7"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\int L(\mu_{kj}\mid\cdot)\pi(\mu_{kj})\,d\mu_{kj}\propto\left(\sigma_{\mu}^{2}% \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{s^{2}(\bm{x}_{i})}+1\right)^{-1/2}\exp\left(-\frac{% \sigma_{\mu}^{2}\left(\sum_{i=1}^{n}\frac{R_{ij}}{s^{2}(\bm{x}_{i})}\right)^{2% }}{2\left(\sigma_{\mu}^{2}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{s^{2}(\bm{x}_{i})}+1\right)}% \right)." class="ltx_Math" display="block" id="S3.E7.m1.7"><semantics id="S3.E7.m1.7a"><mrow id="S3.E7.m1.7.7.1" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S3.E7.m1.7.7.1.1" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S3.E7.m1.7.7.1.1.2" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.3" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.3.cmml">∫</mo><mrow id="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.4" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.4.cmml">L</mi><mo id="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.3" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E7.m1.7.7.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E7.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E7.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E7.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E7.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">μ</mi><mrow id="S3.E7.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E7.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.E7.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E7.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S3.E7.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1" rspace="0em" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∣</mo><mo id="S3.E7.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⋅</mo></mrow><mo id="S3.E7.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.3a" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.5" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.5.cmml">π</mi><mo id="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.3b" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.2.1" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.2" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml">μ</mi><mrow id="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.3" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.3.2" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.3.1" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.3.3" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.3c" lspace="0.170em" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.6" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.6.cmml"><mo id="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.6.1" rspace="0em" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.6.1.cmml">𝑑</mo><msub id="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.6.2" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.6.2.cmml"><mi id="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.6.2.2" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.6.2.2.cmml">μ</mi><mrow id="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.6.2.3" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.6.2.3.cmml"><mi id="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.6.2.3.2" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.6.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.6.2.3.1" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.6.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.6.2.3.3" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.6.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E7.m1.7.7.1.1.5" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.5.cmml">∝</mo><mrow id="S3.E7.m1.7.7.1.1.4" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.4.cmml"><msup id="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.cmml"><mrow id="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.2" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.cmml"><msubsup id="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">σ</mi><mi id="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">μ</mi><mn id="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.3.cmml"><munderover id="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.3.1" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.3.1.2.3" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.3.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.3.1.2.3.2" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.3.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.3.1.2.3.1" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.3.1.2.3.3" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.3.1.3" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.3.1.3.cmml">n</mi></munderover><mfrac id="S3.E7.m1.1.1" xref="S3.E7.m1.1.1.cmml"><mn id="S3.E7.m1.1.1.3" xref="S3.E7.m1.1.1.3.cmml">1</mn><mrow id="S3.E7.m1.1.1.1" xref="S3.E7.m1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.E7.m1.1.1.1.3" xref="S3.E7.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E7.m1.1.1.1.3.2" xref="S3.E7.m1.1.1.1.3.2.cmml">s</mi><mn id="S3.E7.m1.1.1.1.3.3" xref="S3.E7.m1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.E7.m1.1.1.1.2" xref="S3.E7.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac></mrow></mrow><mo id="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.1" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.3" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.3" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.3" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.3.cmml"><mo id="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.3a" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.3.cmml">−</mo><mrow id="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.3.2" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.3.2.cmml"><mn id="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.3.2.2" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.3.2.1" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.3.2.1.cmml">/</mo><mn id="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.3.2.3" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.3.2.3.cmml">2</mn></mrow></mrow></msup><mo id="S3.E7.m1.7.7.1.1.4.3" lspace="0.167em" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.4.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E7.m1.7.7.1.1.4.2.1" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.4.2.2.cmml"><mi id="S3.E7.m1.6.6" xref="S3.E7.m1.6.6.cmml">exp</mi><mo id="S3.E7.m1.7.7.1.1.4.2.1a" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.4.2.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.E7.m1.7.7.1.1.4.2.1.1" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.4.2.2.cmml"><mo id="S3.E7.m1.7.7.1.1.4.2.1.1.2" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.4.2.2.cmml">(</mo><mrow id="S3.E7.m1.7.7.1.1.4.2.1.1.1" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.4.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E7.m1.7.7.1.1.4.2.1.1.1a" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.4.2.1.1.1.cmml">−</mo><mfrac id="S3.E7.m1.5.5" xref="S3.E7.m1.5.5.cmml"><mrow id="S3.E7.m1.3.3.2" xref="S3.E7.m1.3.3.2.cmml"><msubsup id="S3.E7.m1.3.3.2.4" xref="S3.E7.m1.3.3.2.4.cmml"><mi id="S3.E7.m1.3.3.2.4.2.2" xref="S3.E7.m1.3.3.2.4.2.2.cmml">σ</mi><mi id="S3.E7.m1.3.3.2.4.2.3" xref="S3.E7.m1.3.3.2.4.2.3.cmml">μ</mi><mn id="S3.E7.m1.3.3.2.4.3" xref="S3.E7.m1.3.3.2.4.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S3.E7.m1.3.3.2.3" xref="S3.E7.m1.3.3.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E7.m1.3.3.2.2" xref="S3.E7.m1.3.3.2.2.cmml"><mrow id="S3.E7.m1.3.3.2.2.1.1" xref="S3.E7.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E7.m1.3.3.2.2.1.1.2" xref="S3.E7.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E7.m1.3.3.2.2.1.1.1" xref="S3.E7.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.E7.m1.3.3.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E7.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E7.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.2.2" lspace="0em" xref="S3.E7.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.E7.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E7.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E7.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.E7.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.E7.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.2.3.1" xref="S3.E7.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.E7.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.E7.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.E7.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.E7.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msubsup><mfrac id="S3.E7.m1.2.2.1.1" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.cmml"><msub id="S3.E7.m1.2.2.1.1.3" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E7.m1.2.2.1.1.3.2" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.3.2.cmml">R</mi><mrow id="S3.E7.m1.2.2.1.1.3.3" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E7.m1.2.2.1.1.3.3.2" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.E7.m1.2.2.1.1.3.3.1" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E7.m1.2.2.1.1.3.3.3" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mrow id="S3.E7.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.cmml"><msup id="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.3.2" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml">s</mi><mn id="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.3.3" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac></mrow><mo id="S3.E7.m1.3.3.2.2.1.1.3" xref="S3.E7.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S3.E7.m1.3.3.2.2.3" xref="S3.E7.m1.3.3.2.2.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mrow id="S3.E7.m1.5.5.4" xref="S3.E7.m1.5.5.4.cmml"><mn id="S3.E7.m1.5.5.4.4" xref="S3.E7.m1.5.5.4.4.cmml">2</mn><mo id="S3.E7.m1.5.5.4.3" xref="S3.E7.m1.5.5.4.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E7.m1.5.5.4.2.1" xref="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.cmml"><mo id="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.2" xref="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1" xref="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.2" xref="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.2.cmml"><msubsup id="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.2.2" xref="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.2.2.2.2" xref="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.2.2.2.2.cmml">σ</mi><mi id="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.2.2.2.3" xref="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.2.2.2.3.cmml">μ</mi><mn id="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.2.2.3" xref="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.2.1" xref="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.2.3" xref="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.2.3.cmml"><msubsup id="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.2.3.1" xref="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.2.3.1.2.2" xref="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.2.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.2.3.1.2.3" xref="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.2.3.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.2.3.1.2.3.2" xref="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.2.3.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.2.3.1.2.3.1" xref="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.2.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.2.3.1.2.3.3" xref="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.2.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.2.3.1.3" xref="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.2.3.1.3.cmml">n</mi></msubsup><mfrac id="S3.E7.m1.4.4.3.1" xref="S3.E7.m1.4.4.3.1.cmml"><mn id="S3.E7.m1.4.4.3.1.3" xref="S3.E7.m1.4.4.3.1.3.cmml">1</mn><mrow id="S3.E7.m1.4.4.3.1.1" xref="S3.E7.m1.4.4.3.1.1.cmml"><msup id="S3.E7.m1.4.4.3.1.1.3" xref="S3.E7.m1.4.4.3.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E7.m1.4.4.3.1.1.3.2" xref="S3.E7.m1.4.4.3.1.1.3.2.cmml">s</mi><mn id="S3.E7.m1.4.4.3.1.1.3.3" xref="S3.E7.m1.4.4.3.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.E7.m1.4.4.3.1.1.2" xref="S3.E7.m1.4.4.3.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E7.m1.4.4.3.1.1.1.1" xref="S3.E7.m1.4.4.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E7.m1.4.4.3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E7.m1.4.4.3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.E7.m1.4.4.3.1.1.1.1.1" xref="S3.E7.m1.4.4.3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E7.m1.4.4.3.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E7.m1.4.4.3.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.E7.m1.4.4.3.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E7.m1.4.4.3.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.E7.m1.4.4.3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E7.m1.4.4.3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac></mrow></mrow><mo id="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.1" xref="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.3" xref="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.3" xref="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac></mrow><mo id="S3.E7.m1.7.7.1.1.4.2.1.1.3" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.4.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E7.m1.7.7.1.2" lspace="0em" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E7.m1.7b"><apply id="S3.E7.m1.7.7.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.7.7.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E7.m1.7.7.1.1.5.cmml" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.5">proportional-to</csymbol><apply id="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.cmml" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.2"><int id="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.3"></int><apply id="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2"><times id="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.3"></times><ci id="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.4.cmml" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.4">𝐿</ci><apply id="S3.E7.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E7.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><apply id="S3.E7.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" 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id="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.2">𝜇</ci><apply id="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.3"><times id="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.3.1"></times><ci id="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.3.2">𝑘</ci><ci id="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.6.cmml" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.6"><csymbol cd="latexml" id="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.6.1.cmml" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.6.1">differential-d</csymbol><apply id="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.6.2.cmml" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.6.2.1.cmml" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.6.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.6.2.2.cmml" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.6.2.2">𝜇</ci><apply id="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.6.2.3.cmml" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.6.2.3"><times id="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.6.2.3.1.cmml" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.6.2.3.1"></times><ci id="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.6.2.3.2.cmml" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.6.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.6.2.3.3.cmml" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.2.2.6.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E7.m1.7.7.1.1.4.cmml" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.4"><times id="S3.E7.m1.7.7.1.1.4.3.cmml" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.4.3"></times><apply id="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.2.cmml" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1"><plus id="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2"><times id="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2.2">𝜎</ci><ci id="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2.3">𝜇</ci></apply><cn id="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.3"><apply id="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.3.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.3.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.3.1.2.cmml" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.3.1.2.1.cmml" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.3.1">subscript</csymbol><sum id="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.3.1.2.2.cmml" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.3.1.2.2"></sum><apply id="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.3.1.2.3.cmml" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.3.1.2.3"><eq id="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.3.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.3.1.2.3.1"></eq><ci id="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.3.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.3.1.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.3.1.3.cmml" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.3.1.3">𝑛</ci></apply><apply id="S3.E7.m1.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1"><divide id="S3.E7.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1"></divide><cn id="S3.E7.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E7.m1.1.1.3">1</cn><apply id="S3.E7.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.1"><times id="S3.E7.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E7.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E7.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.1.3.2">𝑠</ci><cn id="S3.E7.m1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E7.m1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝒙</ci><ci id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></apply><cn id="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.3.cmml" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.3"><minus id="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.3.1.cmml" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.3"></minus><apply id="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.3.2.cmml" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.3.2"><divide id="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.3.2.1"></divide><cn id="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.3.2.2">1</cn><cn id="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.3.1.3.2.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.E7.m1.7.7.1.1.4.2.2.cmml" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.4.2.1"><exp id="S3.E7.m1.6.6.cmml" xref="S3.E7.m1.6.6"></exp><apply id="S3.E7.m1.7.7.1.1.4.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.4.2.1.1.1"><minus id="S3.E7.m1.7.7.1.1.4.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.7.7.1.1.4.2.1.1.1"></minus><apply id="S3.E7.m1.5.5.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5"><divide id="S3.E7.m1.5.5.5.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5"></divide><apply id="S3.E7.m1.3.3.2.cmml" xref="S3.E7.m1.3.3.2"><times id="S3.E7.m1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.E7.m1.3.3.2.3"></times><apply id="S3.E7.m1.3.3.2.4.cmml" xref="S3.E7.m1.3.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.m1.3.3.2.4.1.cmml" xref="S3.E7.m1.3.3.2.4">superscript</csymbol><apply id="S3.E7.m1.3.3.2.4.2.cmml" xref="S3.E7.m1.3.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.m1.3.3.2.4.2.1.cmml" xref="S3.E7.m1.3.3.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.E7.m1.3.3.2.4.2.2.cmml" xref="S3.E7.m1.3.3.2.4.2.2">𝜎</ci><ci id="S3.E7.m1.3.3.2.4.2.3.cmml" xref="S3.E7.m1.3.3.2.4.2.3">𝜇</ci></apply><cn id="S3.E7.m1.3.3.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.E7.m1.3.3.2.4.3">2</cn></apply><apply id="S3.E7.m1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.E7.m1.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.m1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E7.m1.3.3.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E7.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.3.3.2.2.1.1"><apply id="S3.E7.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.3.3.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.3.3.2.2.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E7.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E7.m1.3.3.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E7.m1.3.3.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><sum id="S3.E7.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E7.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.2.2"></sum><apply id="S3.E7.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E7.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.2.3"><eq id="S3.E7.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E7.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.2.3.1"></eq><ci id="S3.E7.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E7.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.E7.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E7.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.E7.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E7.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply><apply id="S3.E7.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1"><divide id="S3.E7.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1"></divide><apply id="S3.E7.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E7.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.3.2">𝑅</ci><apply id="S3.E7.m1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.3.3"><times id="S3.E7.m1.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.3.3.1"></times><ci id="S3.E7.m1.2.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.E7.m1.2.2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.1"><times id="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.3.2">𝑠</ci><cn id="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2">𝒙</ci><ci id="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply><cn id="S3.E7.m1.3.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E7.m1.3.3.2.2.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.E7.m1.5.5.4.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.4"><times id="S3.E7.m1.5.5.4.3.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.4.3"></times><cn id="S3.E7.m1.5.5.4.4.cmml" type="integer" xref="S3.E7.m1.5.5.4.4">2</cn><apply id="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.4.2.1"><plus id="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.1"></plus><apply id="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.2"><times id="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.2.1"></times><apply id="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.2.2.2.2">𝜎</ci><ci id="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.2.2.2.3">𝜇</ci></apply><cn id="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.2.3"><apply id="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.2.3.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.2.3.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.2.3.1.2.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.2.3.1.2.1.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.2.3.1">subscript</csymbol><sum id="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.2.3.1.2.2.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.2.3.1.2.2"></sum><apply id="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.2.3.1.2.3.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.2.3.1.2.3"><eq id="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.2.3.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.2.3.1.2.3.1"></eq><ci id="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.2.3.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.2.3.1.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.2.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.2.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.2.3.1.3.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.2.3.1.3">𝑛</ci></apply><apply id="S3.E7.m1.4.4.3.1.cmml" xref="S3.E7.m1.4.4.3.1"><divide id="S3.E7.m1.4.4.3.1.2.cmml" xref="S3.E7.m1.4.4.3.1"></divide><cn id="S3.E7.m1.4.4.3.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E7.m1.4.4.3.1.3">1</cn><apply id="S3.E7.m1.4.4.3.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.4.4.3.1.1"><times id="S3.E7.m1.4.4.3.1.1.2.cmml" xref="S3.E7.m1.4.4.3.1.1.2"></times><apply id="S3.E7.m1.4.4.3.1.1.3.cmml" xref="S3.E7.m1.4.4.3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.m1.4.4.3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E7.m1.4.4.3.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E7.m1.4.4.3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E7.m1.4.4.3.1.1.3.2">𝑠</ci><cn id="S3.E7.m1.4.4.3.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E7.m1.4.4.3.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.E7.m1.4.4.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.4.4.3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.m1.4.4.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.4.4.3.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E7.m1.4.4.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E7.m1.4.4.3.1.1.1.1.1.2">𝒙</ci><ci id="S3.E7.m1.4.4.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E7.m1.4.4.3.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></apply><cn id="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E7.m1.5.5.4.2.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E7.m1.7c">\int L(\mu_{kj}\mid\cdot)\pi(\mu_{kj})\,d\mu_{kj}\propto\left(\sigma_{\mu}^{2}% \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{s^{2}(\bm{x}_{i})}+1\right)^{-1/2}\exp\left(-\frac{% \sigma_{\mu}^{2}\left(\sum_{i=1}^{n}\frac{R_{ij}}{s^{2}(\bm{x}_{i})}\right)^{2% }}{2\left(\sigma_{\mu}^{2}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{s^{2}(\bm{x}_{i})}+1\right)}% \right).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E7.m1.7d">∫ italic_L ( italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_j end_POSTSUBSCRIPT ∣ ⋅ ) italic_π ( italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) italic_d italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_j end_POSTSUBSCRIPT ∝ ( italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_μ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_s start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) end_ARG + 1 ) start_POSTSUPERSCRIPT - 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT roman_exp ( - divide start_ARG italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_μ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_s start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 ( italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_μ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_s start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) end_ARG + 1 ) end_ARG ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(7)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS1.p3"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p3.3">These forms are nearly identical to those in the original AddiVortes model, with the main difference being the replacement of the scalar variance <math alttext="\sigma^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p3.1.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p3.1.m1.1a"><msup id="S3.SS1.p3.1.m1.1.1" xref="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.2.cmml">σ</mi><mn id="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p3.1.m1.1b"><apply id="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.2">𝜎</ci><cn id="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p3.1.m1.1c">\sigma^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p3.1.m1.1d">italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> with the vector variance <math alttext="s^{2}(\bm{x}_{i})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p3.2.m2.1"><semantics id="S3.SS1.p3.2.m2.1a"><mrow id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.cmml"><msup id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.3.2.cmml">s</mi><mn id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.3.3" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p3.2.m2.1b"><apply id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1"><times id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.2"></times><apply id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.3.2">𝑠</ci><cn id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1.1.2">𝒙</ci><ci id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p3.2.m2.1c">s^{2}(\bm{x}_{i})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p3.2.m2.1d">italic_s start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> for <math alttext="i=1,\ldots,n" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p3.3.m3.3"><semantics id="S3.SS1.p3.3.m3.3a"><mrow id="S3.SS1.p3.3.m3.3.4" xref="S3.SS1.p3.3.m3.3.4.cmml"><mi id="S3.SS1.p3.3.m3.3.4.2" xref="S3.SS1.p3.3.m3.3.4.2.cmml">i</mi><mo id="S3.SS1.p3.3.m3.3.4.1" xref="S3.SS1.p3.3.m3.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS1.p3.3.m3.3.4.3.2" xref="S3.SS1.p3.3.m3.3.4.3.1.cmml"><mn id="S3.SS1.p3.3.m3.1.1" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.SS1.p3.3.m3.3.4.3.2.1" xref="S3.SS1.p3.3.m3.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS1.p3.3.m3.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS1.p3.3.m3.2.2.cmml">…</mi><mo id="S3.SS1.p3.3.m3.3.4.3.2.2" xref="S3.SS1.p3.3.m3.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS1.p3.3.m3.3.3" xref="S3.SS1.p3.3.m3.3.3.cmml">n</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p3.3.m3.3b"><apply id="S3.SS1.p3.3.m3.3.4.cmml" xref="S3.SS1.p3.3.m3.3.4"><eq id="S3.SS1.p3.3.m3.3.4.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.3.m3.3.4.1"></eq><ci id="S3.SS1.p3.3.m3.3.4.2.cmml" xref="S3.SS1.p3.3.m3.3.4.2">𝑖</ci><list id="S3.SS1.p3.3.m3.3.4.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.3.m3.3.4.3.2"><cn id="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.1">1</cn><ci id="S3.SS1.p3.3.m3.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p3.3.m3.2.2">…</ci><ci id="S3.SS1.p3.3.m3.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p3.3.m3.3.3">𝑛</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p3.3.m3.3c">i=1,\ldots,n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p3.3.m3.3d">italic_i = 1 , … , italic_n</annotation></semantics></math>.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S3.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">3.2 </span>Variance Model</h3> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p1.6">We assume that</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex7"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\bm{Y}\sim\mathcal{N}(f(\bm{x}),s^{2}(\bm{x}))" class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex7.m1.4"><semantics id="S3.Ex7.m1.4a"><mrow id="S3.Ex7.m1.4.4" xref="S3.Ex7.m1.4.4.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.4.4.4" xref="S3.Ex7.m1.4.4.4.cmml">𝒀</mi><mo id="S3.Ex7.m1.4.4.3" xref="S3.Ex7.m1.4.4.3.cmml">∼</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.4.4.2" xref="S3.Ex7.m1.4.4.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex7.m1.4.4.2.4" xref="S3.Ex7.m1.4.4.2.4.cmml">𝒩</mi><mo id="S3.Ex7.m1.4.4.2.3" xref="S3.Ex7.m1.4.4.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.4.4.2.2.2" xref="S3.Ex7.m1.4.4.2.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex7.m1.4.4.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.4.4.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S3.Ex7.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex7.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">f</mi><mo id="S3.Ex7.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex7.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex7.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex7.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex7.m1.1.1" xref="S3.Ex7.m1.1.1.cmml">𝒙</mi><mo id="S3.Ex7.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex7.m1.4.4.2.2.2.4" xref="S3.Ex7.m1.4.4.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.4.4.2.2.2.2" xref="S3.Ex7.m1.4.4.2.2.2.2.cmml"><msup id="S3.Ex7.m1.4.4.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex7.m1.4.4.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.4.4.2.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex7.m1.4.4.2.2.2.2.2.2.cmml">s</mi><mn id="S3.Ex7.m1.4.4.2.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex7.m1.4.4.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.Ex7.m1.4.4.2.2.2.2.1" xref="S3.Ex7.m1.4.4.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.4.4.2.2.2.2.3.2" xref="S3.Ex7.m1.4.4.2.2.2.2.cmml"><mo id="S3.Ex7.m1.4.4.2.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.4.4.2.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex7.m1.2.2" xref="S3.Ex7.m1.2.2.cmml">𝒙</mi><mo id="S3.Ex7.m1.4.4.2.2.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.4.4.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex7.m1.4.4.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.4.4.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex7.m1.4b"><apply id="S3.Ex7.m1.4.4.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex7.m1.4.4.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4.3">similar-to</csymbol><ci id="S3.Ex7.m1.4.4.4.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4.4">𝒀</ci><apply id="S3.Ex7.m1.4.4.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4.2"><times id="S3.Ex7.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4.2.3"></times><ci id="S3.Ex7.m1.4.4.2.4.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4.2.4">𝒩</ci><interval closure="open" id="S3.Ex7.m1.4.4.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4.2.2.2"><apply id="S3.Ex7.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.3.3.1.1.1.1"><times id="S3.Ex7.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.3.3.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.Ex7.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.3.3.1.1.1.1.2">𝑓</ci><ci id="S3.Ex7.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.1.1">𝒙</ci></apply><apply id="S3.Ex7.m1.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4.2.2.2.2"><times id="S3.Ex7.m1.4.4.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4.2.2.2.2.1"></times><apply id="S3.Ex7.m1.4.4.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m1.4.4.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4.2.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex7.m1.4.4.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4.2.2.2.2.2.2">𝑠</ci><cn id="S3.Ex7.m1.4.4.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex7.m1.4.4.2.2.2.2.2.3">2</cn></apply><ci id="S3.Ex7.m1.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.2.2">𝒙</ci></apply></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex7.m1.4c">\bm{Y}\sim\mathcal{N}(f(\bm{x}),s^{2}(\bm{x}))</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex7.m1.4d">bold_italic_Y ∼ caligraphic_N ( italic_f ( bold_italic_x ) , italic_s start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( bold_italic_x ) )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p1.2">where <math alttext="s^{2}(\bm{x})=\prod_{l=1}^{m^{\prime}}h(\bm{x};T^{\prime}_{l},M^{\prime}_{l})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p1.1.m1.4"><semantics id="S3.SS2.p1.1.m1.4a"><mrow id="S3.SS2.p1.1.m1.4.4" xref="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.cmml"><mrow id="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.4" xref="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.4.cmml"><msup id="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.4.2" xref="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.4.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.4.2.2" xref="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.4.2.2.cmml">s</mi><mn id="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.4.2.3" xref="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.4.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.4.1" xref="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.4.3.2" xref="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.4.cmml"><mo id="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.4.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml">𝒙</mi><mo id="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.3" rspace="0.111em" xref="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2" xref="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.cmml"><msubsup id="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.3" xref="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.3.cmml"><mo id="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.3.2.2" xref="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.3.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.3.2.3" xref="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.3.2.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.3.2.3.2" xref="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.3.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.3.2.3.1" xref="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.3.2.3.3" xref="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msup id="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.3.3" xref="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.3.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.3.3.2" xref="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.3.3.3" xref="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.3.3.3.cmml">′</mo></msup></msubsup><mrow id="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.2" xref="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.2.4" xref="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.2.4.cmml">h</mi><mo id="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.2.3" xref="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.2.2.2" xref="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.p1.1.m1.2.2" xref="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.cmml">𝒙</mi><mo id="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.2.2.2.4" xref="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.2.2.3.cmml">;</mo><msubsup id="S3.SS2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml">T</mi><mi id="S3.SS2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml">l</mi><mo id="S3.SS2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.SS2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.2.2.2.5" xref="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.2.2.3.cmml">,</mo><msubsup id="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2" xref="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.2.2.cmml">M</mi><mi id="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.3" xref="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.3.cmml">l</mi><mo id="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.2.3" xref="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.2.2.2.6" stretchy="false" xref="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p1.1.m1.4b"><apply id="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.4.4"><eq id="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.3"></eq><apply id="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.4.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.4"><times id="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.4.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.4.1"></times><apply id="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.4.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.4.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.4.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.4.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.4.2.2">𝑠</ci><cn id="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.4.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.4.2.3">2</cn></apply><ci id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1">𝒙</ci></apply><apply id="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2"><apply id="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.3">superscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.3.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.3">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.3.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.3.2.2">product</csymbol><apply id="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.3.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.3.2.3"><eq id="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.3.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.3.2.3.1"></eq><ci id="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.3.2.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.3.2.3.2">𝑙</ci><cn id="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.3.3.2">𝑚</ci><ci id="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.3.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.3.3.3">′</ci></apply></apply><apply id="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.2"><times id="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.2.3"></times><ci id="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.2.4.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.2.4">ℎ</ci><list id="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.2.2.2"><ci id="S3.SS2.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.2.2">𝒙</ci><apply id="S3.SS2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2">𝑇</ci><ci id="S3.SS2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3">′</ci></apply><ci id="S3.SS2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3">𝑙</ci></apply><apply id="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.2.2">𝑀</ci><ci id="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.2.3">′</ci></apply><ci id="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.3">𝑙</ci></apply></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p1.1.m1.4c">s^{2}(\bm{x})=\prod_{l=1}^{m^{\prime}}h(\bm{x};T^{\prime}_{l},M^{\prime}_{l})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p1.1.m1.4d">italic_s start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( bold_italic_x ) = ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_l = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_m start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT italic_h ( bold_italic_x ; italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT , italic_M start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>. Therefore, for any <math alttext="i=1,\ldots,n" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p1.2.m2.3"><semantics id="S3.SS2.p1.2.m2.3a"><mrow id="S3.SS2.p1.2.m2.3.4" xref="S3.SS2.p1.2.m2.3.4.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.2.m2.3.4.2" xref="S3.SS2.p1.2.m2.3.4.2.cmml">i</mi><mo id="S3.SS2.p1.2.m2.3.4.1" xref="S3.SS2.p1.2.m2.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS2.p1.2.m2.3.4.3.2" xref="S3.SS2.p1.2.m2.3.4.3.1.cmml"><mn id="S3.SS2.p1.2.m2.1.1" xref="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.SS2.p1.2.m2.3.4.3.2.1" xref="S3.SS2.p1.2.m2.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.p1.2.m2.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p1.2.m2.2.2.cmml">…</mi><mo id="S3.SS2.p1.2.m2.3.4.3.2.2" xref="S3.SS2.p1.2.m2.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.p1.2.m2.3.3" xref="S3.SS2.p1.2.m2.3.3.cmml">n</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p1.2.m2.3b"><apply id="S3.SS2.p1.2.m2.3.4.cmml" xref="S3.SS2.p1.2.m2.3.4"><eq id="S3.SS2.p1.2.m2.3.4.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.2.m2.3.4.1"></eq><ci id="S3.SS2.p1.2.m2.3.4.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.2.m2.3.4.2">𝑖</ci><list id="S3.SS2.p1.2.m2.3.4.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.2.m2.3.4.3.2"><cn id="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p1.2.m2.1.1">1</cn><ci id="S3.SS2.p1.2.m2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.2.m2.2.2">…</ci><ci id="S3.SS2.p1.2.m2.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.2.m2.3.3">𝑛</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p1.2.m2.3c">i=1,\ldots,n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p1.2.m2.3d">italic_i = 1 , … , italic_n</annotation></semantics></math> we have</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex8"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathds{P}(\bm{Y}|f(\bm{x}),s(\bm{x}_{i}))\sim\frac{1}{\sqrt{2\pi s(\bm{x}_{i}% )}}\exp\left(-\left(\frac{y_{i}-f(\bm{x}_{i}))^{2}}{2s^{2}(\bm{x}_{i})}\right)% \right)\sim\frac{1}{\sqrt{2\pi s_{kl}}}\exp\left(-\frac{(\frac{y_{i}-f(\bm{x}_% {i})}{s^{2}_{-l}(\bm{x}_{i})})^{2}}{2s_{kl}}\right)" class="ltx_math_unparsed" display="block" id="S3.Ex8.m1.10"><semantics id="S3.Ex8.m1.10a"><mrow id="S3.Ex8.m1.10.10"><mrow id="S3.Ex8.m1.8.8.1"><mi id="S3.Ex8.m1.8.8.1.3">ℙ</mi><mo id="S3.Ex8.m1.8.8.1.2">⁢</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.8.8.1.1.1"><mo id="S3.Ex8.m1.8.8.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.8.8.1.1.1.1"><mi id="S3.Ex8.m1.8.8.1.1.1.1.4">𝒀</mi><mo fence="false" id="S3.Ex8.m1.8.8.1.1.1.1.3">|</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.8.8.1.1.1.1.2.2"><mrow id="S3.Ex8.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S3.Ex8.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2">f</mi><mo id="S3.Ex8.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1">⁢</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><mo id="S3.Ex8.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S3.Ex8.m1.5.5">𝒙</mi><mo id="S3.Ex8.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex8.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.3">,</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.2"><mi id="S3.Ex8.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.2.3">s</mi><mo id="S3.Ex8.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.2.2">⁢</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.2.1.1"><mo id="S3.Ex8.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2" stretchy="false">(</mo><msub id="S3.Ex8.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1"><mi id="S3.Ex8.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2">𝒙</mi><mi id="S3.Ex8.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3">i</mi></msub><mo id="S3.Ex8.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex8.m1.8.8.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex8.m1.10.10.5">∼</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.9.9.2"><mfrac id="S3.Ex8.m1.1.1"><mn id="S3.Ex8.m1.1.1.3">1</mn><msqrt id="S3.Ex8.m1.1.1.1"><mrow id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1"><mn id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.3">2</mn><mo id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.2">⁢</mo><mi id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.4">π</mi><mo id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.2a">⁢</mo><mi id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.5">s</mi><mo id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.2b">⁢</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1"><mo id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><msub id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝒙</mi><mi id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">i</mi></msub><mo id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></msqrt></mfrac><mo id="S3.Ex8.m1.9.9.2.2" lspace="0.167em">⁢</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.9.9.2.1.1"><mi id="S3.Ex8.m1.6.6">exp</mi><mo id="S3.Ex8.m1.9.9.2.1.1a">⁡</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.9.9.2.1.1.1"><mo id="S3.Ex8.m1.9.9.2.1.1.1.2">(</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.9.9.2.1.1.1.1"><mo id="S3.Ex8.m1.9.9.2.1.1.1.1a">−</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.9.9.2.1.1.1.1.2.2"><mo id="S3.Ex8.m1.9.9.2.1.1.1.1.2.2.1">(</mo><mfrac id="S3.Ex8.m1.2.2"><mrow id="S3.Ex8.m1.2.2.3"><msub id="S3.Ex8.m1.2.2.3.1"><mi id="S3.Ex8.m1.2.2.3.1.2">y</mi><mi id="S3.Ex8.m1.2.2.3.1.3">i</mi></msub><mo id="S3.Ex8.m1.2.2.3.2">−</mo><mi id="S3.Ex8.m1.2.2.3.3">f</mi><mrow id="S3.Ex8.m1.2.2.3.4"><mo id="S3.Ex8.m1.2.2.3.4.1" stretchy="false">(</mo><msub id="S3.Ex8.m1.2.2.3.4.2"><mi id="S3.Ex8.m1.2.2.3.4.2.2">𝒙</mi><mi id="S3.Ex8.m1.2.2.3.4.2.3">i</mi></msub><mo id="S3.Ex8.m1.2.2.3.4.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex8.m1.2.2.3.5" stretchy="false">)</mo><msup id="S3.Ex8.m1.2.2.3.6"><mi id="S3.Ex8.m1.2.2.3.6a"></mi><mn id="S3.Ex8.m1.2.2.3.6.1">2</mn></msup></mrow><mrow id="S3.Ex8.m1.2.2.1"><mn id="S3.Ex8.m1.2.2.1.3">2</mn><mo id="S3.Ex8.m1.2.2.1.2">⁢</mo><msup id="S3.Ex8.m1.2.2.1.4"><mi id="S3.Ex8.m1.2.2.1.4.2">s</mi><mn id="S3.Ex8.m1.2.2.1.4.3">2</mn></msup><mo id="S3.Ex8.m1.2.2.1.2a">⁢</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1"><mo id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><msub id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1"><mi id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.2">𝒙</mi><mi id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.3">i</mi></msub><mo id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></mfrac><mo id="S3.Ex8.m1.9.9.2.1.1.1.1.2.2.2">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex8.m1.9.9.2.1.1.1.3">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex8.m1.10.10.6">∼</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.10.10.3"><mfrac id="S3.Ex8.m1.10.10.3.3"><mn id="S3.Ex8.m1.10.10.3.3.2">1</mn><msqrt id="S3.Ex8.m1.10.10.3.3.3"><mrow id="S3.Ex8.m1.10.10.3.3.3.2"><mn id="S3.Ex8.m1.10.10.3.3.3.2.2">2</mn><mo id="S3.Ex8.m1.10.10.3.3.3.2.1">⁢</mo><mi id="S3.Ex8.m1.10.10.3.3.3.2.3">π</mi><mo id="S3.Ex8.m1.10.10.3.3.3.2.1a">⁢</mo><msub id="S3.Ex8.m1.10.10.3.3.3.2.4"><mi id="S3.Ex8.m1.10.10.3.3.3.2.4.2">s</mi><mrow id="S3.Ex8.m1.10.10.3.3.3.2.4.3"><mi id="S3.Ex8.m1.10.10.3.3.3.2.4.3.2">k</mi><mo id="S3.Ex8.m1.10.10.3.3.3.2.4.3.1">⁢</mo><mi id="S3.Ex8.m1.10.10.3.3.3.2.4.3.3">l</mi></mrow></msub></mrow></msqrt></mfrac><mo id="S3.Ex8.m1.10.10.3.2" lspace="0.167em">⁢</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.10.10.3.1.1"><mi id="S3.Ex8.m1.7.7">exp</mi><mo id="S3.Ex8.m1.10.10.3.1.1a">⁡</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.10.10.3.1.1.1"><mo id="S3.Ex8.m1.10.10.3.1.1.1.2">(</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.10.10.3.1.1.1.1"><mo id="S3.Ex8.m1.10.10.3.1.1.1.1a">−</mo><mfrac id="S3.Ex8.m1.4.4"><msup id="S3.Ex8.m1.4.4.2"><mrow id="S3.Ex8.m1.4.4.2.4.2"><mo id="S3.Ex8.m1.4.4.2.4.2.1" stretchy="false">(</mo><mfrac id="S3.Ex8.m1.4.4.2.2"><mrow id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1"><msub id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.3"><mi id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.3.2">y</mi><mi id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.3.3">i</mi></msub><mo id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.2">−</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1"><mi id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.3">f</mi><mo id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.2">⁢</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"><mo id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><msub id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2">𝒙</mi><mi id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3">i</mi></msub><mo id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></mrow><mrow id="S3.Ex8.m1.4.4.2.2.2"><msubsup id="S3.Ex8.m1.4.4.2.2.2.3"><mi id="S3.Ex8.m1.4.4.2.2.2.3.2.2">s</mi><mrow id="S3.Ex8.m1.4.4.2.2.2.3.3"><mo id="S3.Ex8.m1.4.4.2.2.2.3.3a">−</mo><mi id="S3.Ex8.m1.4.4.2.2.2.3.3.2">l</mi></mrow><mn id="S3.Ex8.m1.4.4.2.2.2.3.2.3">2</mn></msubsup><mo id="S3.Ex8.m1.4.4.2.2.2.2">⁢</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.4.4.2.2.2.1.1"><mo id="S3.Ex8.m1.4.4.2.2.2.1.1.2" stretchy="false">(</mo><msub id="S3.Ex8.m1.4.4.2.2.2.1.1.1"><mi id="S3.Ex8.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.2">𝒙</mi><mi id="S3.Ex8.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.3">i</mi></msub><mo id="S3.Ex8.m1.4.4.2.2.2.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></mfrac><mo id="S3.Ex8.m1.4.4.2.4.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mn id="S3.Ex8.m1.4.4.2.5">2</mn></msup><mrow id="S3.Ex8.m1.4.4.4"><mn id="S3.Ex8.m1.4.4.4.2">2</mn><mo id="S3.Ex8.m1.4.4.4.1">⁢</mo><msub id="S3.Ex8.m1.4.4.4.3"><mi id="S3.Ex8.m1.4.4.4.3.2">s</mi><mrow id="S3.Ex8.m1.4.4.4.3.3"><mi id="S3.Ex8.m1.4.4.4.3.3.2">k</mi><mo id="S3.Ex8.m1.4.4.4.3.3.1">⁢</mo><mi id="S3.Ex8.m1.4.4.4.3.3.3">l</mi></mrow></msub></mrow></mfrac></mrow><mo id="S3.Ex8.m1.10.10.3.1.1.1.3">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex8.m1.10b">\mathds{P}(\bm{Y}|f(\bm{x}),s(\bm{x}_{i}))\sim\frac{1}{\sqrt{2\pi s(\bm{x}_{i}% )}}\exp\left(-\left(\frac{y_{i}-f(\bm{x}_{i}))^{2}}{2s^{2}(\bm{x}_{i})}\right)% \right)\sim\frac{1}{\sqrt{2\pi s_{kl}}}\exp\left(-\frac{(\frac{y_{i}-f(\bm{x}_% {i})}{s^{2}_{-l}(\bm{x}_{i})})^{2}}{2s_{kl}}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex8.m1.10c">blackboard_P ( bold_italic_Y | italic_f ( bold_italic_x ) , italic_s ( bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) ) ∼ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG square-root start_ARG 2 italic_π italic_s ( bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) end_ARG end_ARG roman_exp ( - ( divide start_ARG italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT - italic_f ( bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 italic_s start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) end_ARG ) ) ∼ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG square-root start_ARG 2 italic_π italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_l end_POSTSUBSCRIPT end_ARG end_ARG roman_exp ( - divide start_ARG ( divide start_ARG italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT - italic_f ( bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) end_ARG start_ARG italic_s start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT - italic_l end_POSTSUBSCRIPT ( bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_l end_POSTSUBSCRIPT end_ARG )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p1.5">where <math alttext="s_{kl}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p1.3.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p1.3.m1.1a"><msub id="S3.SS2.p1.3.m1.1.1" xref="S3.SS2.p1.3.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.3.m1.1.1.2" xref="S3.SS2.p1.3.m1.1.1.2.cmml">s</mi><mrow id="S3.SS2.p1.3.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.p1.3.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.3.m1.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p1.3.m1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.SS2.p1.3.m1.1.1.3.1" xref="S3.SS2.p1.3.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p1.3.m1.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p1.3.m1.1.1.3.3.cmml">l</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p1.3.m1.1b"><apply id="S3.SS2.p1.3.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.3.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.3.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p1.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.3.m1.1.1.2">𝑠</ci><apply id="S3.SS2.p1.3.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.3.m1.1.1.3"><times id="S3.SS2.p1.3.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.3.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.SS2.p1.3.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.3.m1.1.1.3.2">𝑘</ci><ci id="S3.SS2.p1.3.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.3.m1.1.1.3.3">𝑙</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p1.3.m1.1c">s_{kl}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p1.3.m1.1d">italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_l end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the output value of tessellation <math alttext="l" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p1.4.m2.1"><semantics id="S3.SS2.p1.4.m2.1a"><mi id="S3.SS2.p1.4.m2.1.1" xref="S3.SS2.p1.4.m2.1.1.cmml">l</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p1.4.m2.1b"><ci id="S3.SS2.p1.4.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.4.m2.1.1">𝑙</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p1.4.m2.1c">l</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p1.4.m2.1d">italic_l</annotation></semantics></math> for <math alttext="\bm{x}_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p1.5.m3.1"><semantics id="S3.SS2.p1.5.m3.1a"><msub id="S3.SS2.p1.5.m3.1.1" xref="S3.SS2.p1.5.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.5.m3.1.1.2" xref="S3.SS2.p1.5.m3.1.1.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.SS2.p1.5.m3.1.1.3" xref="S3.SS2.p1.5.m3.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p1.5.m3.1b"><apply id="S3.SS2.p1.5.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.5.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.5.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.5.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p1.5.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.5.m3.1.1.2">𝒙</ci><ci id="S3.SS2.p1.5.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.5.m3.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p1.5.m3.1c">\bm{x}_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p1.5.m3.1d">bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> for the variance model.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p2.2">The Heteroscedastic AddiVortes likelihood function for the variance component in the <math alttext="k^{\text{th}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p2.1.m1.1a"><msup id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.2.cmml">k</mi><mtext id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.3a.cmml">th</mtext></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.1.m1.1b"><apply id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.2">𝑘</ci><ci id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.3a.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.3"><mtext id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.3">th</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.1.m1.1c">k^{\text{th}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.1.m1.1d">italic_k start_POSTSUPERSCRIPT th end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> cell of the <math alttext="l^{\text{th}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.2.m2.1"><semantics id="S3.SS2.p2.2.m2.1a"><msup id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.2.cmml">l</mi><mtext id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.3a.cmml">th</mtext></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.2.m2.1b"><apply id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.2">𝑙</ci><ci id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.3a.cmml" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.3"><mtext id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.3">th</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.2.m2.1c">l^{\text{th}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.2.m2.1d">italic_l start_POSTSUPERSCRIPT th end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> variance tessellation is given by:</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p3"> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E8"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="L(s^{2}_{lk}|\cdot)=\prod\limits_{i=1}^{n_{kl}}\frac{1}{\sqrt{2\pi s_{lk}}}% \exp\left(-\frac{e_{i}^{2}}{2s^{2}_{lk}}\right)," class="ltx_Math" display="block" id="S3.E8.m1.2"><semantics id="S3.E8.m1.2a"><mrow id="S3.E8.m1.2.2.1" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.E8.m1.2.2.1.1" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">L</mi><mo id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">s</mi><mrow id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">k</mi></mrow><mn id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo fence="false" id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" rspace="0em" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">|</mo><mo id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⋅</mo></mrow><mo id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E8.m1.2.2.1.1.3" rspace="0.111em" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.cmml"><munderover id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.2.cmml"><mo id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.2.2.2" movablelimits="false" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.2.2.3" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.2" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.1" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msub id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.2.3" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.2.3.2" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.cmml">n</mi><mrow id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.2.3.3" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.cmml"><mi id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.2" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.1" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.3" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.3.cmml">l</mi></mrow></msub></munderover><mrow id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.cmml"><mfrac id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.3" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.3.cmml"><mn id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.3.2" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.3.2.cmml">1</mn><msqrt id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.3.3" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.cmml"><mrow id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.cmml"><mn id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.2" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.2.cmml">2</mn><mo id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.1" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.3" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.3.cmml">π</mi><mo id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.1a" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.4" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.4.cmml"><mi id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.4.2" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.4.2.cmml">s</mi><mrow id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.4.3" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.4.3.cmml"><mi id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.4.3.2" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.4.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.4.3.1" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.4.3.3" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.4.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub></mrow></msqrt></mfrac><mo id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.2" lspace="0.167em" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E8.m1.1.1" xref="S3.E8.m1.1.1.cmml">exp</mi><mo id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1a" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1a" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mfrac id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><msubsup id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">e</mi><mi id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">i</mi><mn id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mrow id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mn id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.1" 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xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.2">2</cn><ci id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.3">𝜋</ci><apply id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.4.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.4.1.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.4.2.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.4.2">𝑠</ci><apply id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.4.3.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.4.3"><times id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.4.3.1.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.4.3.1"></times><ci id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.4.3.2.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.4.3.2">𝑙</ci><ci id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.4.3.3.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.4.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1"><exp id="S3.E8.m1.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.1.1"></exp><apply id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1"><minus id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2"><divide id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2"></divide><apply id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝑒</ci><ci id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.2.3">𝑖</ci></apply><cn id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3"><times id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><cn id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.2">2</cn><apply id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.3">subscript</csymbol><apply id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.3.2.1.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2">𝑠</ci><cn id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.3.3"><times id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.3.3.1.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.3.3.1"></times><ci id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.3.3.2.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.3.3.2">𝑙</ci><ci id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.3.3.3.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E8.m1.2c">L(s^{2}_{lk}|\cdot)=\prod\limits_{i=1}^{n_{kl}}\frac{1}{\sqrt{2\pi s_{lk}}}% \exp\left(-\frac{e_{i}^{2}}{2s^{2}_{lk}}\right),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E8.m1.2d">italic_L ( italic_s start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_k end_POSTSUBSCRIPT | ⋅ ) = ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_l end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG square-root start_ARG 2 italic_π italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_ARG end_ARG roman_exp ( - divide start_ARG italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 italic_s start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(8)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p4"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p4.7">where <math alttext="n_{kl}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p4.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p4.1.m1.1a"><msub id="S3.SS2.p4.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.p4.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p4.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS2.p4.1.m1.1.1.2.cmml">n</mi><mrow id="S3.SS2.p4.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.p4.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p4.1.m1.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p4.1.m1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.SS2.p4.1.m1.1.1.3.1" xref="S3.SS2.p4.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p4.1.m1.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p4.1.m1.1.1.3.3.cmml">l</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p4.1.m1.1b"><apply id="S3.SS2.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.1.m1.1.1.2">𝑛</ci><apply id="S3.SS2.p4.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p4.1.m1.1.1.3"><times id="S3.SS2.p4.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.1.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.SS2.p4.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.1.m1.1.1.3.2">𝑘</ci><ci id="S3.SS2.p4.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p4.1.m1.1.1.3.3">𝑙</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p4.1.m1.1c">n_{kl}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p4.1.m1.1d">italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_l end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> represents the number of observations in the cell, and <math alttext="e_{i}^{2}=\frac{\left(y_{i}-\sum_{j=1}^{m}g(\bm{x}_{i};T_{j},\bm{M}_{j})\right% )^{2}}{s_{-l}^{2}(\bm{x}_{i})}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p4.2.m2.2"><semantics id="S3.SS2.p4.2.m2.2a"><mrow id="S3.SS2.p4.2.m2.2.3" xref="S3.SS2.p4.2.m2.2.3.cmml"><msubsup id="S3.SS2.p4.2.m2.2.3.2" xref="S3.SS2.p4.2.m2.2.3.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p4.2.m2.2.3.2.2.2" xref="S3.SS2.p4.2.m2.2.3.2.2.2.cmml">e</mi><mi id="S3.SS2.p4.2.m2.2.3.2.2.3" xref="S3.SS2.p4.2.m2.2.3.2.2.3.cmml">i</mi><mn id="S3.SS2.p4.2.m2.2.3.2.3" xref="S3.SS2.p4.2.m2.2.3.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S3.SS2.p4.2.m2.2.3.1" xref="S3.SS2.p4.2.m2.2.3.1.cmml">=</mo><mfrac id="S3.SS2.p4.2.m2.2.2" xref="S3.SS2.p4.2.m2.2.2.cmml"><msup id="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.5" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.5.2" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml">y</mi><mi id="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.5.3" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.4.cmml">−</mo><mrow id="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.4" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml"><msubsup id="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.4a" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mo id="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3.2" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3.1" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3.3" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.4.3" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml">m</mi></msubsup></mstyle><mrow id="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.5" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.5.cmml">g</mi><mo id="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.4" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.4.cmml"><mo id="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.4" stretchy="false" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.4.cmml">(</mo><msub id="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.5" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.4.cmml">;</mo><msub id="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">T</mi><mi id="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.6" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.cmml">𝑴</mi><mi id="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.3" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.7" stretchy="false" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mrow id="S3.SS2.p4.2.m2.2.2.2" xref="S3.SS2.p4.2.m2.2.2.2.cmml"><msubsup id="S3.SS2.p4.2.m2.2.2.2.3" xref="S3.SS2.p4.2.m2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p4.2.m2.2.2.2.3.2.2" xref="S3.SS2.p4.2.m2.2.2.2.3.2.2.cmml">s</mi><mrow id="S3.SS2.p4.2.m2.2.2.2.3.2.3" xref="S3.SS2.p4.2.m2.2.2.2.3.2.3.cmml"><mo id="S3.SS2.p4.2.m2.2.2.2.3.2.3a" xref="S3.SS2.p4.2.m2.2.2.2.3.2.3.cmml">−</mo><mi id="S3.SS2.p4.2.m2.2.2.2.3.2.3.2" xref="S3.SS2.p4.2.m2.2.2.2.3.2.3.2.cmml">l</mi></mrow><mn id="S3.SS2.p4.2.m2.2.2.2.3.3" xref="S3.SS2.p4.2.m2.2.2.2.3.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S3.SS2.p4.2.m2.2.2.2.2" xref="S3.SS2.p4.2.m2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.p4.2.m2.2.2.2.1.1" xref="S3.SS2.p4.2.m2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p4.2.m2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p4.2.m2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.SS2.p4.2.m2.2.2.2.1.1.1" xref="S3.SS2.p4.2.m2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p4.2.m2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p4.2.m2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.SS2.p4.2.m2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p4.2.m2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.SS2.p4.2.m2.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" 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id="S3.SS2.p4.2.m2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.2.m2.2.2.2.1.1.1.2">𝒙</ci><ci id="S3.SS2.p4.2.m2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p4.2.m2.2.2.2.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p4.2.m2.2c">e_{i}^{2}=\frac{\left(y_{i}-\sum_{j=1}^{m}g(\bm{x}_{i};T_{j},\bm{M}_{j})\right% )^{2}}{s_{-l}^{2}(\bm{x}_{i})}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p4.2.m2.2d">italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT = divide start_ARG ( italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT - ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT italic_g ( bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ; italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_s start_POSTSUBSCRIPT - italic_l end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) end_ARG</annotation></semantics></math>, where, <math alttext="s_{-l}^{2}(\bm{x}_{i})=\prod\limits_{q\neq l}h(\bm{x}_{i};T^{\prime}_{q},M^{% \prime}_{q})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p4.3.m3.4"><semantics id="S3.SS2.p4.3.m3.4a"><mrow id="S3.SS2.p4.3.m3.4.4" xref="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.cmml"><mrow id="S3.SS2.p4.3.m3.1.1.1" xref="S3.SS2.p4.3.m3.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.SS2.p4.3.m3.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p4.3.m3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p4.3.m3.1.1.1.3.2.2" xref="S3.SS2.p4.3.m3.1.1.1.3.2.2.cmml">s</mi><mrow id="S3.SS2.p4.3.m3.1.1.1.3.2.3" xref="S3.SS2.p4.3.m3.1.1.1.3.2.3.cmml"><mo id="S3.SS2.p4.3.m3.1.1.1.3.2.3a" xref="S3.SS2.p4.3.m3.1.1.1.3.2.3.cmml">−</mo><mi id="S3.SS2.p4.3.m3.1.1.1.3.2.3.2" xref="S3.SS2.p4.3.m3.1.1.1.3.2.3.2.cmml">l</mi></mrow><mn id="S3.SS2.p4.3.m3.1.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p4.3.m3.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S3.SS2.p4.3.m3.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p4.3.m3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.p4.3.m3.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p4.3.m3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.SS2.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.SS2.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.SS2.p4.3.m3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.5" rspace="0.111em" xref="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.5.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4" xref="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.cmml"><munder id="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.4" xref="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.4.cmml"><mo id="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.4.2" movablelimits="false" xref="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.4.2.cmml">∏</mo><mrow id="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.4.3" xref="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.4.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.4.3.2" xref="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.4.3.2.cmml">q</mi><mo id="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.4.3.1" xref="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.4.3.1.cmml">≠</mo><mi id="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.4.3.3" xref="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.4.3.3.cmml">l</mi></mrow></munder><mrow id="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.3" xref="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.3.5" xref="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.3.5.cmml">h</mi><mo id="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.3.4" xref="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.3.3.3" xref="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.3.3.4.cmml"><mo id="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.3.3.3.4" stretchy="false" xref="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.3.3.4.cmml">(</mo><msub id="S3.SS2.p4.3.m3.2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p4.3.m3.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p4.3.m3.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p4.3.m3.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.SS2.p4.3.m3.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p4.3.m3.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.3.3.3.5" xref="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.3.3.4.cmml">;</mo><msubsup id="S3.SS2.p4.3.m3.3.3.3.2.2.2.2" xref="S3.SS2.p4.3.m3.3.3.3.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p4.3.m3.3.3.3.2.2.2.2.2.2" xref="S3.SS2.p4.3.m3.3.3.3.2.2.2.2.2.2.cmml">T</mi><mi id="S3.SS2.p4.3.m3.3.3.3.2.2.2.2.3" xref="S3.SS2.p4.3.m3.3.3.3.2.2.2.2.3.cmml">q</mi><mo id="S3.SS2.p4.3.m3.3.3.3.2.2.2.2.2.3" xref="S3.SS2.p4.3.m3.3.3.3.2.2.2.2.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.3.3.3.6" xref="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.3.3.4.cmml">,</mo><msubsup id="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.3.3.3.3" xref="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.3.3.3.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.3.3.3.3.2.2" xref="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.3.3.3.3.2.2.cmml">M</mi><mi id="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.3.3.3.3.3" xref="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.3.3.3.3.3.cmml">q</mi><mo id="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.3.3.3.3.2.3" xref="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.3.3.3.3.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.3.3.3.7" stretchy="false" 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xref="S3.SS2.p4.3.m3.1.1.1.3.2.3"></minus><ci id="S3.SS2.p4.3.m3.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.3.m3.1.1.1.3.2.3.2">𝑙</ci></apply></apply><cn id="S3.SS2.p4.3.m3.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p4.3.m3.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.SS2.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.3.m3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.3.m3.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1.2">𝒙</ci><ci id="S3.SS2.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.cmml" xref="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4"><apply id="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.4.cmml" xref="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.4.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.4">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.4.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.4.2">product</csymbol><apply id="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.4.3.cmml" xref="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.4.3"><neq id="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.4.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.4.3.1"></neq><ci id="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.4.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.4.3.2">𝑞</ci><ci id="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.4.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.4.3.3">𝑙</ci></apply></apply><apply id="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.3.cmml" xref="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.3"><times id="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.3.4.cmml" xref="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.3.4"></times><ci id="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.3.5.cmml" xref="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.3.5">ℎ</ci><list id="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.3.3.4.cmml" xref="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.3.3.3"><apply id="S3.SS2.p4.3.m3.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.3.m3.2.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p4.3.m3.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.3.m3.2.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p4.3.m3.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.3.m3.2.2.2.1.1.1.1.2">𝒙</ci><ci id="S3.SS2.p4.3.m3.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p4.3.m3.2.2.2.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.SS2.p4.3.m3.3.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.3.m3.3.3.3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p4.3.m3.3.3.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.3.m3.3.3.3.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p4.3.m3.3.3.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.3.m3.3.3.3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p4.3.m3.3.3.3.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.3.m3.3.3.3.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p4.3.m3.3.3.3.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.3.m3.3.3.3.2.2.2.2.2.2">𝑇</ci><ci id="S3.SS2.p4.3.m3.3.3.3.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p4.3.m3.3.3.3.2.2.2.2.2.3">′</ci></apply><ci id="S3.SS2.p4.3.m3.3.3.3.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p4.3.m3.3.3.3.2.2.2.2.3">𝑞</ci></apply><apply id="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.3.3.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.3.3.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.3.3.3.3">subscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.3.3.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.3.3.3.3.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.3.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.3.3.3.3.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.3.3.3.3.2.2">𝑀</ci><ci id="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.3.3.3.3.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.3.3.3.3.2.3">′</ci></apply><ci id="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.3.3.3.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p4.3.m3.4.4.4.3.3.3.3.3">𝑞</ci></apply></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p4.3.m3.4c">s_{-l}^{2}(\bm{x}_{i})=\prod\limits_{q\neq l}h(\bm{x}_{i};T^{\prime}_{q},M^{% \prime}_{q})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p4.3.m3.4d">italic_s start_POSTSUBSCRIPT - italic_l end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) = ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_q ≠ italic_l end_POSTSUBSCRIPT italic_h ( bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ; italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_q end_POSTSUBSCRIPT , italic_M start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_q end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>. A conjugate prior distribution is specified for the variance component, <math alttext="s^{2}_{lk}\sim\chi^{-2}(\nu^{\prime},\lambda^{\prime})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p4.4.m4.2"><semantics id="S3.SS2.p4.4.m4.2a"><mrow id="S3.SS2.p4.4.m4.2.2" xref="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.cmml"><msubsup id="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.4" xref="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.4.cmml"><mi id="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.4.2.2" xref="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.4.2.2.cmml">s</mi><mrow id="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.4.3" xref="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.4.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.4.3.2" xref="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.4.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.4.3.1" xref="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.4.3.3" xref="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.4.3.3.cmml">k</mi></mrow><mn id="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.4.2.3" xref="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.4.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.3" xref="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.3.cmml">∼</mo><mrow id="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.2" xref="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.2.cmml"><msup id="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.2.4" xref="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.2.4.cmml"><mi id="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.2.4.2" xref="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.2.4.2.cmml">χ</mi><mrow id="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.2.4.3" xref="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.2.4.3.cmml"><mo id="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.2.4.3a" xref="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.2.4.3.cmml">−</mo><mn id="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.2.4.3.2" xref="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.2.4.3.2.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.2.3" xref="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.2.2.2" xref="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><msup id="S3.SS2.p4.4.m4.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p4.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p4.4.m4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p4.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ν</mi><mo id="S3.SS2.p4.4.m4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p4.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.2.2.2.4" xref="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msup id="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.2.2.2.2" xref="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.2.2.2.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.2.2.2.2.3" xref="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.2.2.2.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p4.4.m4.2b"><apply id="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.4.m4.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.3">similar-to</csymbol><apply id="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.4.cmml" xref="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.4.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.4">subscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.4.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.4.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.4">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.4.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.4.2.2">𝑠</ci><cn id="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.4.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.4.2.3">2</cn></apply><apply id="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.4.3.cmml" xref="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.4.3"><times id="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.4.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.4.3.1"></times><ci id="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.4.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.4.3.2">𝑙</ci><ci id="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.4.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.4.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.2"><times id="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.2.3"></times><apply id="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.2.4.cmml" xref="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.2.4.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.2.4">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.2.4.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.2.4.2">𝜒</ci><apply id="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.2.4.3.cmml" xref="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.2.4.3"><minus id="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.2.4.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.2.4.3"></minus><cn id="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.2.4.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.2.4.3.2">2</cn></apply></apply><interval closure="open" id="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.2.2.2"><apply id="S3.SS2.p4.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.4.m4.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.4.m4.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p4.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.4.m4.1.1.1.1.1.1.2">𝜈</ci><ci id="S3.SS2.p4.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p4.4.m4.1.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.2.2.2.2.2">𝜆</ci><ci id="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p4.4.m4.2.2.2.2.2.2.3">′</ci></apply></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p4.4.m4.2c">s^{2}_{lk}\sim\chi^{-2}(\nu^{\prime},\lambda^{\prime})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p4.4.m4.2d">italic_s start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∼ italic_χ start_POSTSUPERSCRIPT - 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_ν start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>, for all <math alttext="l" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p4.5.m5.1"><semantics id="S3.SS2.p4.5.m5.1a"><mi id="S3.SS2.p4.5.m5.1.1" xref="S3.SS2.p4.5.m5.1.1.cmml">l</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p4.5.m5.1b"><ci id="S3.SS2.p4.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.5.m5.1.1">𝑙</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p4.5.m5.1c">l</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p4.5.m5.1d">italic_l</annotation></semantics></math> and <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p4.6.m6.1"><semantics id="S3.SS2.p4.6.m6.1a"><mi id="S3.SS2.p4.6.m6.1.1" xref="S3.SS2.p4.6.m6.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p4.6.m6.1b"><ci id="S3.SS2.p4.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.6.m6.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p4.6.m6.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p4.6.m6.1d">italic_k</annotation></semantics></math>. The full conditional distribution for <math alttext="s^{2}_{lk}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p4.7.m7.1"><semantics id="S3.SS2.p4.7.m7.1a"><msubsup id="S3.SS2.p4.7.m7.1.1" xref="S3.SS2.p4.7.m7.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p4.7.m7.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p4.7.m7.1.1.2.2.cmml">s</mi><mrow id="S3.SS2.p4.7.m7.1.1.3" xref="S3.SS2.p4.7.m7.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p4.7.m7.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p4.7.m7.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.SS2.p4.7.m7.1.1.3.1" xref="S3.SS2.p4.7.m7.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p4.7.m7.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p4.7.m7.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow><mn id="S3.SS2.p4.7.m7.1.1.2.3" xref="S3.SS2.p4.7.m7.1.1.2.3.cmml">2</mn></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p4.7.m7.1b"><apply id="S3.SS2.p4.7.m7.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.7.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p4.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.7.m7.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p4.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.7.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p4.7.m7.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.7.m7.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p4.7.m7.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.7.m7.1.1.2.2">𝑠</ci><cn id="S3.SS2.p4.7.m7.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p4.7.m7.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S3.SS2.p4.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p4.7.m7.1.1.3"><times id="S3.SS2.p4.7.m7.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.7.m7.1.1.3.1"></times><ci id="S3.SS2.p4.7.m7.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.7.m7.1.1.3.2">𝑙</ci><ci id="S3.SS2.p4.7.m7.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p4.7.m7.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p4.7.m7.1c">s^{2}_{lk}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p4.7.m7.1d">italic_s start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> then becomes:</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p5"> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E9"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="s^{2}_{lk}|\cdot\sim\chi^{-2}\left(\nu^{\prime}+n,\frac{\nu^{\prime}\lambda^{% \prime}+\sum_{i=1}^{n}e_{i}^{2}}{\nu^{\prime}+n}\right)." class="ltx_math_unparsed" display="block" id="S3.E9.m1.1"><semantics id="S3.E9.m1.1a"><mrow id="S3.E9.m1.1b"><msubsup id="S3.E9.m1.1.1"><mi id="S3.E9.m1.1.1.2.2">s</mi><mrow id="S3.E9.m1.1.1.3"><mi id="S3.E9.m1.1.1.3.2">l</mi><mo id="S3.E9.m1.1.1.3.1">⁢</mo><mi id="S3.E9.m1.1.1.3.3">k</mi></mrow><mn id="S3.E9.m1.1.1.2.3">2</mn></msubsup><mo fence="false" id="S3.E9.m1.1.2" stretchy="false">|</mo><mo id="S3.E9.m1.1.3" lspace="0em" rspace="0em">⋅</mo><mo id="S3.E9.m1.1.4" lspace="0em">∼</mo><msup id="S3.E9.m1.1.5"><mi id="S3.E9.m1.1.5.2">χ</mi><mrow id="S3.E9.m1.1.5.3"><mo id="S3.E9.m1.1.5.3a">−</mo><mn id="S3.E9.m1.1.5.3.2">2</mn></mrow></msup><mrow id="S3.E9.m1.1.6"><mo id="S3.E9.m1.1.6.1">(</mo><msup id="S3.E9.m1.1.6.2"><mi id="S3.E9.m1.1.6.2.2">ν</mi><mo id="S3.E9.m1.1.6.2.3">′</mo></msup><mo id="S3.E9.m1.1.6.3">+</mo><mi id="S3.E9.m1.1.6.4">n</mi><mo id="S3.E9.m1.1.6.5">,</mo><mfrac id="S3.E9.m1.1.6.6"><mrow id="S3.E9.m1.1.6.6.2"><mrow id="S3.E9.m1.1.6.6.2.2"><msup id="S3.E9.m1.1.6.6.2.2.2"><mi id="S3.E9.m1.1.6.6.2.2.2.2">ν</mi><mo id="S3.E9.m1.1.6.6.2.2.2.3">′</mo></msup><mo id="S3.E9.m1.1.6.6.2.2.1">⁢</mo><msup id="S3.E9.m1.1.6.6.2.2.3"><mi id="S3.E9.m1.1.6.6.2.2.3.2">λ</mi><mo id="S3.E9.m1.1.6.6.2.2.3.3">′</mo></msup></mrow><mo id="S3.E9.m1.1.6.6.2.1" rspace="0.055em">+</mo><mrow id="S3.E9.m1.1.6.6.2.3"><msubsup id="S3.E9.m1.1.6.6.2.3.1"><mo id="S3.E9.m1.1.6.6.2.3.1.2.2">∑</mo><mrow id="S3.E9.m1.1.6.6.2.3.1.2.3"><mi id="S3.E9.m1.1.6.6.2.3.1.2.3.2">i</mi><mo id="S3.E9.m1.1.6.6.2.3.1.2.3.1">=</mo><mn id="S3.E9.m1.1.6.6.2.3.1.2.3.3">1</mn></mrow><mi id="S3.E9.m1.1.6.6.2.3.1.3">n</mi></msubsup><msubsup id="S3.E9.m1.1.6.6.2.3.2"><mi id="S3.E9.m1.1.6.6.2.3.2.2.2">e</mi><mi id="S3.E9.m1.1.6.6.2.3.2.2.3">i</mi><mn id="S3.E9.m1.1.6.6.2.3.2.3">2</mn></msubsup></mrow></mrow><mrow id="S3.E9.m1.1.6.6.3"><msup id="S3.E9.m1.1.6.6.3.2"><mi id="S3.E9.m1.1.6.6.3.2.2">ν</mi><mo id="S3.E9.m1.1.6.6.3.2.3">′</mo></msup><mo id="S3.E9.m1.1.6.6.3.1">+</mo><mi id="S3.E9.m1.1.6.6.3.3">n</mi></mrow></mfrac><mo id="S3.E9.m1.1.6.7">)</mo></mrow><mo id="S3.E9.m1.1.7" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E9.m1.1c">s^{2}_{lk}|\cdot\sim\chi^{-2}\left(\nu^{\prime}+n,\frac{\nu^{\prime}\lambda^{% \prime}+\sum_{i=1}^{n}e_{i}^{2}}{\nu^{\prime}+n}\right).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E9.m1.1d">italic_s start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_k end_POSTSUBSCRIPT | ⋅ ∼ italic_χ start_POSTSUPERSCRIPT - 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_ν start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT + italic_n , divide start_ARG italic_ν start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT + ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_ν start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT + italic_n end_ARG ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(9)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p6"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p6.1">This allows for efficient updates of the cells in the <math alttext="m^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p6.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p6.1.m1.1a"><msup id="S3.SS2.p6.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.2.cmml">m</mi><mo id="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p6.1.m1.1b"><apply id="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p6.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p6.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.2">𝑚</ci><ci id="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.3">′</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p6.1.m1.1c">m^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p6.1.m1.1d">italic_m start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> variance component tessellations within the product decomposition using Gibbs sampling.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p7"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p7.1">The integrated likelihood for <math alttext="s^{2}_{lk}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p7.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p7.1.m1.1a"><msubsup id="S3.SS2.p7.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.2.2.cmml">s</mi><mrow id="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.3.1" xref="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow><mn id="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.2.3" xref="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p7.1.m1.1b"><apply id="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.1.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.2.2">𝑠</ci><cn id="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.3"><times id="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.3.2">𝑙</ci><ci id="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p7.1.m1.1c">s^{2}_{lk}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p7.1.m1.1d">italic_s start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is also available in closed form as:</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p8"> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E10"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\int L(s^{2}_{lk}|\cdot)\pi(s^{2}_{lk})ds^{2}_{lk}=\frac{\Gamma\left(\frac{\nu% ^{\prime}+n}{2}\right)\left(\frac{\nu^{\prime}\lambda^{\prime 2}}{2}\right)^{% \nu^{\prime}/2}}{(2\pi)^{n/2}\left(\nu^{\prime}\lambda^{\prime}+\sum_{i=1}^{n}% e_{i}^{2}\right)^{\frac{\nu^{\prime}+n}{2}}}." class="ltx_Math" display="block" id="S3.E10.m1.6"><semantics id="S3.E10.m1.6a"><mrow id="S3.E10.m1.6.6.1" xref="S3.E10.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S3.E10.m1.6.6.1.1" xref="S3.E10.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S3.E10.m1.6.6.1.1.2" xref="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.3" xref="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.3.cmml">∫</mo><mrow id="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2" xref="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.4" xref="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.4.cmml">L</mi><mo id="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.3" xref="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">s</mi><mrow id="S3.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S3.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">k</mi></mrow><mn id="S3.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo fence="false" id="S3.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1" rspace="0em" xref="S3.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">|</mo><mo id="S3.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⋅</mo></mrow><mo id="S3.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.3a" xref="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.5" xref="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.5.cmml">π</mi><mo id="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.3b" xref="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.2.1" xref="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.1" xref="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.1.2.2" xref="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.1.2.2.cmml">s</mi><mrow id="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.1.3" xref="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.1.3.2" xref="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.1.3.1" xref="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.1.3.3" xref="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow><mn id="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.1.2.3" xref="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.1.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.3c" lspace="0em" xref="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.6" xref="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.6.cmml"><mo id="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.6.1" rspace="0em" xref="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.6.1.cmml">𝑑</mo><msubsup id="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.6.2" xref="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.6.2.cmml"><mi id="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.6.2.2.2" xref="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.6.2.2.2.cmml">s</mi><mrow id="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.6.2.3" xref="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.6.2.3.cmml"><mi id="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.6.2.3.2" xref="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.6.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.6.2.3.1" xref="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.6.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.6.2.3.3" xref="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.6.2.3.3.cmml">k</mi></mrow><mn id="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.6.2.2.3" xref="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.6.2.2.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E10.m1.6.6.1.1.3" xref="S3.E10.m1.6.6.1.1.3.cmml">=</mo><mfrac id="S3.E10.m1.5.5" xref="S3.E10.m1.5.5.cmml"><mrow id="S3.E10.m1.3.3.3" xref="S3.E10.m1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.E10.m1.3.3.3.5" mathvariant="normal" xref="S3.E10.m1.3.3.3.5.cmml">Γ</mi><mo id="S3.E10.m1.3.3.3.4" xref="S3.E10.m1.3.3.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E10.m1.3.3.3.6.2" xref="S3.E10.m1.3.3.3.3.cmml"><mo id="S3.E10.m1.3.3.3.6.2.1" xref="S3.E10.m1.3.3.3.3.cmml">(</mo><mfrac id="S3.E10.m1.3.3.3.3" xref="S3.E10.m1.3.3.3.3.cmml"><mrow id="S3.E10.m1.3.3.3.3.2" xref="S3.E10.m1.3.3.3.3.2.cmml"><msup id="S3.E10.m1.3.3.3.3.2.2" xref="S3.E10.m1.3.3.3.3.2.2.cmml"><mi id="S3.E10.m1.3.3.3.3.2.2.2" xref="S3.E10.m1.3.3.3.3.2.2.2.cmml">ν</mi><mo id="S3.E10.m1.3.3.3.3.2.2.3" xref="S3.E10.m1.3.3.3.3.2.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.E10.m1.3.3.3.3.2.1" xref="S3.E10.m1.3.3.3.3.2.1.cmml">+</mo><mi id="S3.E10.m1.3.3.3.3.2.3" xref="S3.E10.m1.3.3.3.3.2.3.cmml">n</mi></mrow><mn id="S3.E10.m1.3.3.3.3.3" xref="S3.E10.m1.3.3.3.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S3.E10.m1.3.3.3.6.2.2" xref="S3.E10.m1.3.3.3.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E10.m1.3.3.3.4a" xref="S3.E10.m1.3.3.3.4.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E10.m1.3.3.3.7" xref="S3.E10.m1.3.3.3.7.cmml"><mrow id="S3.E10.m1.3.3.3.7.2.2" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.cmml"><mo id="S3.E10.m1.3.3.3.7.2.2.1" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.cmml">(</mo><mfrac id="S3.E10.m1.2.2.2.2" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.E10.m1.2.2.2.2.2" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.cmml"><msup id="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.4" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.4.cmml"><mi id="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.4.2" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.4.2.cmml">ν</mi><mo id="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.4.3" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.4.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.3" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.5" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.5.cmml"><mi id="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.5.2" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.5.2.cmml">λ</mi><mrow id="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1" mathsize="200%" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml">′</mo><mo id="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2" lspace="0em" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">⁣</mo><mn id="S3.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">2</mn></mrow></msup></mrow><mn id="S3.E10.m1.2.2.2.2.4" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.4.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S3.E10.m1.3.3.3.7.2.2.2" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.E10.m1.3.3.3.7.3" xref="S3.E10.m1.3.3.3.7.3.cmml"><msup id="S3.E10.m1.3.3.3.7.3.2" xref="S3.E10.m1.3.3.3.7.3.2.cmml"><mi id="S3.E10.m1.3.3.3.7.3.2.2" xref="S3.E10.m1.3.3.3.7.3.2.2.cmml">ν</mi><mo id="S3.E10.m1.3.3.3.7.3.2.3" xref="S3.E10.m1.3.3.3.7.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.E10.m1.3.3.3.7.3.1" xref="S3.E10.m1.3.3.3.7.3.1.cmml">/</mo><mn id="S3.E10.m1.3.3.3.7.3.3" xref="S3.E10.m1.3.3.3.7.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup></mrow><mrow id="S3.E10.m1.5.5.5" xref="S3.E10.m1.5.5.5.cmml"><msup id="S3.E10.m1.4.4.4.1" xref="S3.E10.m1.4.4.4.1.cmml"><mrow id="S3.E10.m1.4.4.4.1.1.1" xref="S3.E10.m1.4.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E10.m1.4.4.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E10.m1.4.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E10.m1.4.4.4.1.1.1.1" xref="S3.E10.m1.4.4.4.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.E10.m1.4.4.4.1.1.1.1.2" xref="S3.E10.m1.4.4.4.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S3.E10.m1.4.4.4.1.1.1.1.1" xref="S3.E10.m1.4.4.4.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E10.m1.4.4.4.1.1.1.1.3" xref="S3.E10.m1.4.4.4.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S3.E10.m1.4.4.4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E10.m1.4.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.E10.m1.4.4.4.1.3" xref="S3.E10.m1.4.4.4.1.3.cmml"><mi id="S3.E10.m1.4.4.4.1.3.2" xref="S3.E10.m1.4.4.4.1.3.2.cmml">n</mi><mo id="S3.E10.m1.4.4.4.1.3.1" xref="S3.E10.m1.4.4.4.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S3.E10.m1.4.4.4.1.3.3" xref="S3.E10.m1.4.4.4.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="S3.E10.m1.5.5.5.3" xref="S3.E10.m1.5.5.5.3.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E10.m1.5.5.5.2" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.cmml"><mrow id="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.2" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.2" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.2.cmml"><msup id="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.2.2" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.2.2.2.cmml">ν</mi><mo id="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.2.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.2.1" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.2.3" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.2.3.2" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.2.3.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.2.3.3" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.2.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow><mo id="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.1" rspace="0.055em" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.3" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.3.1" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.3.1.2.2" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.3.1.2.3" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.3.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.3.1.2.3.2" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.3.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.3.1.2.3.1" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.3.1.2.3.3" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.3.1.3" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.3.1.3.cmml">n</mi></msubsup><msubsup id="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.3.2" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.3.2.2.2" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.3.2.2.2.cmml">e</mi><mi id="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.3.2.2.3" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.3.2.2.3.cmml">i</mi><mn id="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.3.2.3" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mrow><mo id="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.3" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mfrac id="S3.E10.m1.5.5.5.2.3" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.3.cmml"><mrow id="S3.E10.m1.5.5.5.2.3.2" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.3.2.cmml"><msup id="S3.E10.m1.5.5.5.2.3.2.2" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.3.2.2.cmml"><mi id="S3.E10.m1.5.5.5.2.3.2.2.2" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.3.2.2.2.cmml">ν</mi><mo id="S3.E10.m1.5.5.5.2.3.2.2.3" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.3.2.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.E10.m1.5.5.5.2.3.2.1" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.3.2.1.cmml">+</mo><mi id="S3.E10.m1.5.5.5.2.3.2.3" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.3.2.3.cmml">n</mi></mrow><mn id="S3.E10.m1.5.5.5.2.3.3" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.3.3.cmml">2</mn></mfrac></msup></mrow></mfrac></mrow><mo id="S3.E10.m1.6.6.1.2" lspace="0em" xref="S3.E10.m1.6.6.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E10.m1.6b"><apply id="S3.E10.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S3.E10.m1.6.6.1"><eq id="S3.E10.m1.6.6.1.1.3.cmml" xref="S3.E10.m1.6.6.1.1.3"></eq><apply id="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.cmml" xref="S3.E10.m1.6.6.1.1.2"><int id="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.3"></int><apply id="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2"><times id="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.3"></times><ci id="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.4.cmml" xref="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.4">𝐿</ci><apply id="S3.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" 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xref="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.1.3"><times id="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.1.3.1"></times><ci id="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.1.3.2">𝑙</ci><ci id="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.6.cmml" xref="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.6"><csymbol cd="latexml" id="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.6.1.cmml" xref="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.6.1">differential-d</csymbol><apply id="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.6.2.cmml" xref="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.6.2.1.cmml" xref="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.6.2">subscript</csymbol><apply id="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.6.2.2.cmml" xref="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.6.2.2.1.cmml" xref="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.6.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.6.2.2.2.cmml" xref="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.6.2.2.2">𝑠</ci><cn id="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.6.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.6.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.6.2.3.cmml" xref="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.6.2.3"><times id="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.6.2.3.1.cmml" xref="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.6.2.3.1"></times><ci id="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.6.2.3.2.cmml" xref="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.6.2.3.2">𝑙</ci><ci id="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.6.2.3.3.cmml" xref="S3.E10.m1.6.6.1.1.2.2.6.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E10.m1.5.5.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5"><divide id="S3.E10.m1.5.5.6.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5"></divide><apply id="S3.E10.m1.3.3.3.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3.3"><times id="S3.E10.m1.3.3.3.4.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3.3.4"></times><ci id="S3.E10.m1.3.3.3.5.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3.3.5">Γ</ci><apply id="S3.E10.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3.3.6.2"><divide id="S3.E10.m1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3.3.6.2"></divide><apply id="S3.E10.m1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3.3.3.2"><plus id="S3.E10.m1.3.3.3.3.2.1.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3.3.3.2.1"></plus><apply id="S3.E10.m1.3.3.3.3.2.2.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E10.m1.3.3.3.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3.3.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E10.m1.3.3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3.3.3.2.2.2">𝜈</ci><ci id="S3.E10.m1.3.3.3.3.2.2.3.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3.3.3.2.2.3">′</ci></apply><ci id="S3.E10.m1.3.3.3.3.2.3.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3.3.3.2.3">𝑛</ci></apply><cn id="S3.E10.m1.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E10.m1.3.3.3.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.E10.m1.3.3.3.7.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3.3.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E10.m1.3.3.3.7.1.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3.3.7">superscript</csymbol><apply id="S3.E10.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3.3.7.2.2"><divide id="S3.E10.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3.3.7.2.2"></divide><apply id="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.2"><times id="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.3"></times><apply id="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.4.cmml" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.4.1.cmml" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.4">superscript</csymbol><ci id="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.4.2.cmml" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.4.2">𝜈</ci><ci id="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.4.3.cmml" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.4.3">′</ci></apply><apply id="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.5.cmml" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.5.1.cmml" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.5">superscript</csymbol><ci id="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.5.2.cmml" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.5.2">𝜆</ci><list id="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.2.2.2"><ci id="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1">′</ci><cn id="S3.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1">2</cn></list></apply></apply><cn id="S3.E10.m1.2.2.2.2.4.cmml" type="integer" xref="S3.E10.m1.2.2.2.2.4">2</cn></apply><apply id="S3.E10.m1.3.3.3.7.3.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3.3.7.3"><divide id="S3.E10.m1.3.3.3.7.3.1.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3.3.7.3.1"></divide><apply id="S3.E10.m1.3.3.3.7.3.2.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3.3.7.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E10.m1.3.3.3.7.3.2.1.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3.3.7.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E10.m1.3.3.3.7.3.2.2.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3.3.7.3.2.2">𝜈</ci><ci id="S3.E10.m1.3.3.3.7.3.2.3.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3.3.7.3.2.3">′</ci></apply><cn id="S3.E10.m1.3.3.3.7.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E10.m1.3.3.3.7.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.E10.m1.5.5.5.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.5"><times id="S3.E10.m1.5.5.5.3.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.5.3"></times><apply id="S3.E10.m1.4.4.4.1.cmml" xref="S3.E10.m1.4.4.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E10.m1.4.4.4.1.2.cmml" xref="S3.E10.m1.4.4.4.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E10.m1.4.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E10.m1.4.4.4.1.1.1"><times id="S3.E10.m1.4.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E10.m1.4.4.4.1.1.1.1.1"></times><cn id="S3.E10.m1.4.4.4.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.E10.m1.4.4.4.1.1.1.1.2">2</cn><ci id="S3.E10.m1.4.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E10.m1.4.4.4.1.1.1.1.3">𝜋</ci></apply><apply id="S3.E10.m1.4.4.4.1.3.cmml" xref="S3.E10.m1.4.4.4.1.3"><divide id="S3.E10.m1.4.4.4.1.3.1.cmml" xref="S3.E10.m1.4.4.4.1.3.1"></divide><ci id="S3.E10.m1.4.4.4.1.3.2.cmml" xref="S3.E10.m1.4.4.4.1.3.2">𝑛</ci><cn id="S3.E10.m1.4.4.4.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E10.m1.4.4.4.1.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.E10.m1.5.5.5.2.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E10.m1.5.5.5.2.2.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1"><plus id="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.1"></plus><apply id="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.2"><times id="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.2.1"></times><apply id="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.2.2.2">𝜈</ci><ci id="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.2.2.3">′</ci></apply><apply id="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.2.3.2">𝜆</ci><ci id="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.2.3.3">′</ci></apply></apply><apply id="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.3"><apply id="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.3.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.3.1.2.1.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.3.1.2.2.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.3.1.2.2"></sum><apply id="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.3.1.2.3.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.3.1.2.3"><eq id="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.3.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.3.1.2.3.1"></eq><ci id="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.3.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.3.1.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.3.1.3.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.3.1.3">𝑛</ci></apply><apply id="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.3.2.2.2">𝑒</ci><ci id="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.3.2.2.3">𝑖</ci></apply><cn id="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.E10.m1.5.5.5.2.3.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.3"><divide id="S3.E10.m1.5.5.5.2.3.1.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.3"></divide><apply id="S3.E10.m1.5.5.5.2.3.2.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.3.2"><plus id="S3.E10.m1.5.5.5.2.3.2.1.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.3.2.1"></plus><apply id="S3.E10.m1.5.5.5.2.3.2.2.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E10.m1.5.5.5.2.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E10.m1.5.5.5.2.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.3.2.2.2">𝜈</ci><ci id="S3.E10.m1.5.5.5.2.3.2.2.3.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.3.2.2.3">′</ci></apply><ci id="S3.E10.m1.5.5.5.2.3.2.3.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.3.2.3">𝑛</ci></apply><cn id="S3.E10.m1.5.5.5.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E10.m1.5.5.5.2.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E10.m1.6c">\int L(s^{2}_{lk}|\cdot)\pi(s^{2}_{lk})ds^{2}_{lk}=\frac{\Gamma\left(\frac{\nu% ^{\prime}+n}{2}\right)\left(\frac{\nu^{\prime}\lambda^{\prime 2}}{2}\right)^{% \nu^{\prime}/2}}{(2\pi)^{n/2}\left(\nu^{\prime}\lambda^{\prime}+\sum_{i=1}^{n}% e_{i}^{2}\right)^{\frac{\nu^{\prime}+n}{2}}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E10.m1.6d">∫ italic_L ( italic_s start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_k end_POSTSUBSCRIPT | ⋅ ) italic_π ( italic_s start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) italic_d italic_s start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_k end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG roman_Γ ( divide start_ARG italic_ν start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT + italic_n end_ARG start_ARG 2 end_ARG ) ( divide start_ARG italic_ν start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT ′ 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_ν start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT / 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG ( 2 italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_n / 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_ν start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT + ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG italic_ν start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT + italic_n end_ARG start_ARG 2 end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(10)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p9"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p9.4">This form depends on the data through the sufficient statistic <math alttext="\sum_{i=1}^{n}e_{i}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p9.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p9.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS2.p9.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.p9.1.m1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.SS2.p9.1.m1.1.1.1" xref="S3.SS2.p9.1.m1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p9.1.m1.1.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p9.1.m1.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.SS2.p9.1.m1.1.1.1.2.3" xref="S3.SS2.p9.1.m1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p9.1.m1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.SS2.p9.1.m1.1.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.SS2.p9.1.m1.1.1.1.2.3.1" xref="S3.SS2.p9.1.m1.1.1.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.SS2.p9.1.m1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.SS2.p9.1.m1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.SS2.p9.1.m1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p9.1.m1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msubsup><msubsup id="S3.SS2.p9.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS2.p9.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p9.1.m1.1.1.2.2.2" xref="S3.SS2.p9.1.m1.1.1.2.2.2.cmml">e</mi><mi id="S3.SS2.p9.1.m1.1.1.2.2.3" xref="S3.SS2.p9.1.m1.1.1.2.2.3.cmml">i</mi><mn id="S3.SS2.p9.1.m1.1.1.2.3" xref="S3.SS2.p9.1.m1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p9.1.m1.1b"><apply id="S3.SS2.p9.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p9.1.m1.1.1"><apply id="S3.SS2.p9.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p9.1.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p9.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p9.1.m1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p9.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p9.1.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p9.1.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p9.1.m1.1.1.1">subscript</csymbol><sum id="S3.SS2.p9.1.m1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p9.1.m1.1.1.1.2.2"></sum><apply id="S3.SS2.p9.1.m1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p9.1.m1.1.1.1.2.3"><eq id="S3.SS2.p9.1.m1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p9.1.m1.1.1.1.2.3.1"></eq><ci id="S3.SS2.p9.1.m1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p9.1.m1.1.1.1.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.SS2.p9.1.m1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p9.1.m1.1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.SS2.p9.1.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p9.1.m1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply><apply id="S3.SS2.p9.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p9.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p9.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p9.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p9.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p9.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p9.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p9.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p9.1.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p9.1.m1.1.1.2.2.2">𝑒</ci><ci id="S3.SS2.p9.1.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p9.1.m1.1.1.2.2.3">𝑖</ci></apply><cn id="S3.SS2.p9.1.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p9.1.m1.1.1.2.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p9.1.m1.1c">\sum_{i=1}^{n}e_{i}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p9.1.m1.1d">∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, enabling the use of Metropolis–Hastings steps to explore the structure of the variance tessellations <math alttext="T^{\prime}_{1},\dots,T^{\prime}_{m^{\prime}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p9.2.m2.3"><semantics id="S3.SS2.p9.2.m2.3a"><mrow id="S3.SS2.p9.2.m2.3.3.2" xref="S3.SS2.p9.2.m2.3.3.3.cmml"><msubsup id="S3.SS2.p9.2.m2.2.2.1.1" xref="S3.SS2.p9.2.m2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p9.2.m2.2.2.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p9.2.m2.2.2.1.1.2.2.cmml">T</mi><mn id="S3.SS2.p9.2.m2.2.2.1.1.3" xref="S3.SS2.p9.2.m2.2.2.1.1.3.cmml">1</mn><mo id="S3.SS2.p9.2.m2.2.2.1.1.2.3" xref="S3.SS2.p9.2.m2.2.2.1.1.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S3.SS2.p9.2.m2.3.3.2.3" xref="S3.SS2.p9.2.m2.3.3.3.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.p9.2.m2.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p9.2.m2.1.1.cmml">…</mi><mo id="S3.SS2.p9.2.m2.3.3.2.4" xref="S3.SS2.p9.2.m2.3.3.3.cmml">,</mo><msubsup id="S3.SS2.p9.2.m2.3.3.2.2" xref="S3.SS2.p9.2.m2.3.3.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p9.2.m2.3.3.2.2.2.2" xref="S3.SS2.p9.2.m2.3.3.2.2.2.2.cmml">T</mi><msup id="S3.SS2.p9.2.m2.3.3.2.2.3" xref="S3.SS2.p9.2.m2.3.3.2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p9.2.m2.3.3.2.2.3.2" xref="S3.SS2.p9.2.m2.3.3.2.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="S3.SS2.p9.2.m2.3.3.2.2.3.3" xref="S3.SS2.p9.2.m2.3.3.2.2.3.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.SS2.p9.2.m2.3.3.2.2.2.3" xref="S3.SS2.p9.2.m2.3.3.2.2.2.3.cmml">′</mo></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p9.2.m2.3b"><list id="S3.SS2.p9.2.m2.3.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p9.2.m2.3.3.2"><apply id="S3.SS2.p9.2.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p9.2.m2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p9.2.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p9.2.m2.2.2.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p9.2.m2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p9.2.m2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p9.2.m2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p9.2.m2.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p9.2.m2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p9.2.m2.2.2.1.1.2.2">𝑇</ci><ci id="S3.SS2.p9.2.m2.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p9.2.m2.2.2.1.1.2.3">′</ci></apply><cn id="S3.SS2.p9.2.m2.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p9.2.m2.2.2.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S3.SS2.p9.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p9.2.m2.1.1">…</ci><apply id="S3.SS2.p9.2.m2.3.3.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p9.2.m2.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p9.2.m2.3.3.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p9.2.m2.3.3.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p9.2.m2.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p9.2.m2.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p9.2.m2.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p9.2.m2.3.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p9.2.m2.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p9.2.m2.3.3.2.2.2.2">𝑇</ci><ci id="S3.SS2.p9.2.m2.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p9.2.m2.3.3.2.2.2.3">′</ci></apply><apply id="S3.SS2.p9.2.m2.3.3.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p9.2.m2.3.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p9.2.m2.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p9.2.m2.3.3.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p9.2.m2.3.3.2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p9.2.m2.3.3.2.2.3.2">𝑚</ci><ci id="S3.SS2.p9.2.m2.3.3.2.2.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p9.2.m2.3.3.2.2.3.3">′</ci></apply></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p9.2.m2.3c">T^{\prime}_{1},\dots,T^{\prime}_{m^{\prime}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p9.2.m2.3d">italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_m start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> in a manner analogous to the mean model tessellations. That is, the conjugate inverse chi-squared prior leads to a Gibbs step drawing from an inverse chi-squared full conditional when updating the components of <math alttext="M^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p9.3.m3.1"><semantics id="S3.SS2.p9.3.m3.1a"><msup id="S3.SS2.p9.3.m3.1.1" xref="S3.SS2.p9.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p9.3.m3.1.1.2" xref="S3.SS2.p9.3.m3.1.1.2.cmml">M</mi><mo id="S3.SS2.p9.3.m3.1.1.3" xref="S3.SS2.p9.3.m3.1.1.3.cmml">′</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p9.3.m3.1b"><apply id="S3.SS2.p9.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p9.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p9.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p9.3.m3.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p9.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p9.3.m3.1.1.2">𝑀</ci><ci id="S3.SS2.p9.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p9.3.m3.1.1.3">′</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p9.3.m3.1c">M^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p9.3.m3.1d">italic_M start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> using (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13037v1#S3.E9" title="In 3.2 Variance Model ‣ 3 Heteroscedastic AddiVortes ‣ H-AddiVortes: Heteroscedastic (Bayesian) Additive Voronoi Tessellations"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">9</span></a>). Sampling the tessellation structure <math alttext="T^{\prime}_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p9.4.m4.1"><semantics id="S3.SS2.p9.4.m4.1a"><msubsup id="S3.SS2.p9.4.m4.1.1" xref="S3.SS2.p9.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p9.4.m4.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p9.4.m4.1.1.2.2.cmml">T</mi><mi id="S3.SS2.p9.4.m4.1.1.3" xref="S3.SS2.p9.4.m4.1.1.3.cmml">j</mi><mo id="S3.SS2.p9.4.m4.1.1.2.3" xref="S3.SS2.p9.4.m4.1.1.2.3.cmml">′</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p9.4.m4.1b"><apply id="S3.SS2.p9.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p9.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p9.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p9.4.m4.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p9.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p9.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p9.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p9.4.m4.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p9.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p9.4.m4.1.1.2.2">𝑇</ci><ci id="S3.SS2.p9.4.m4.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p9.4.m4.1.1.2.3">′</ci></apply><ci id="S3.SS2.p9.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p9.4.m4.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p9.4.m4.1c">T^{\prime}_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p9.4.m4.1d">italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is performed via Metropolis–Hastings steps using the marginal likelihood given in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13037v1#S3.E10" title="In 3.2 Variance Model ‣ 3 Heteroscedastic AddiVortes ‣ H-AddiVortes: Heteroscedastic (Bayesian) Additive Voronoi Tessellations"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">10</span></a>). This is made possible as the integrated likelihood is analytically tractable with the specified heteroscedastic model.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p10"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p10.1">The interpretation of this model follows from the mean being factored into a sum of weakly informative components (as usual in AddiVortes), while the variance is factored into the product of weakly informative components.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p11"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p11.5">Note that the number of variance component tessellations, <math alttext="m^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p11.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p11.1.m1.1a"><msup id="S3.SS2.p11.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.p11.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p11.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS2.p11.1.m1.1.1.2.cmml">m</mi><mo id="S3.SS2.p11.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.p11.1.m1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p11.1.m1.1b"><apply id="S3.SS2.p11.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p11.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p11.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p11.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p11.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p11.1.m1.1.1.2">𝑚</ci><ci id="S3.SS2.p11.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p11.1.m1.1.1.3">′</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p11.1.m1.1c">m^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p11.1.m1.1d">italic_m start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, need not equal the number of mean component tessellations, <math alttext="m" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p11.2.m2.1"><semantics id="S3.SS2.p11.2.m2.1a"><mi id="S3.SS2.p11.2.m2.1.1" xref="S3.SS2.p11.2.m2.1.1.cmml">m</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p11.2.m2.1b"><ci id="S3.SS2.p11.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p11.2.m2.1.1">𝑚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p11.2.m2.1c">m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p11.2.m2.1d">italic_m</annotation></semantics></math>. A default value that has worked well in the examples explored is <math alttext="m^{\prime}=40" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p11.3.m3.1"><semantics id="S3.SS2.p11.3.m3.1a"><mrow id="S3.SS2.p11.3.m3.1.1" xref="S3.SS2.p11.3.m3.1.1.cmml"><msup id="S3.SS2.p11.3.m3.1.1.2" xref="S3.SS2.p11.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p11.3.m3.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p11.3.m3.1.1.2.2.cmml">m</mi><mo id="S3.SS2.p11.3.m3.1.1.2.3" xref="S3.SS2.p11.3.m3.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.SS2.p11.3.m3.1.1.1" xref="S3.SS2.p11.3.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.SS2.p11.3.m3.1.1.3" xref="S3.SS2.p11.3.m3.1.1.3.cmml">40</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p11.3.m3.1b"><apply id="S3.SS2.p11.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p11.3.m3.1.1"><eq id="S3.SS2.p11.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p11.3.m3.1.1.1"></eq><apply id="S3.SS2.p11.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p11.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p11.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p11.3.m3.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p11.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p11.3.m3.1.1.2.2">𝑚</ci><ci id="S3.SS2.p11.3.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p11.3.m3.1.1.2.3">′</ci></apply><cn id="S3.SS2.p11.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p11.3.m3.1.1.3">40</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p11.3.m3.1c">m^{\prime}=40</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p11.3.m3.1d">italic_m start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT = 40</annotation></semantics></math>. Since the tessellations making up the mean model are different from those making up the variance model, the number of cells in the <math alttext="l^{\text{th}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p11.4.m4.1"><semantics id="S3.SS2.p11.4.m4.1a"><msup id="S3.SS2.p11.4.m4.1.1" xref="S3.SS2.p11.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p11.4.m4.1.1.2" xref="S3.SS2.p11.4.m4.1.1.2.cmml">l</mi><mtext id="S3.SS2.p11.4.m4.1.1.3" xref="S3.SS2.p11.4.m4.1.1.3a.cmml">th</mtext></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p11.4.m4.1b"><apply id="S3.SS2.p11.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p11.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p11.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p11.4.m4.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p11.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p11.4.m4.1.1.2">𝑙</ci><ci id="S3.SS2.p11.4.m4.1.1.3a.cmml" xref="S3.SS2.p11.4.m4.1.1.3"><mtext id="S3.SS2.p11.4.m4.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS2.p11.4.m4.1.1.3">th</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p11.4.m4.1c">l^{\text{th}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p11.4.m4.1d">italic_l start_POSTSUPERSCRIPT th end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> variance component tessellation is unrelated to the number of cells in the <math alttext="j^{\text{th}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p11.5.m5.1"><semantics id="S3.SS2.p11.5.m5.1a"><msup id="S3.SS2.p11.5.m5.1.1" xref="S3.SS2.p11.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p11.5.m5.1.1.2" xref="S3.SS2.p11.5.m5.1.1.2.cmml">j</mi><mtext id="S3.SS2.p11.5.m5.1.1.3" xref="S3.SS2.p11.5.m5.1.1.3a.cmml">th</mtext></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p11.5.m5.1b"><apply id="S3.SS2.p11.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p11.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p11.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p11.5.m5.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p11.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p11.5.m5.1.1.2">𝑗</ci><ci id="S3.SS2.p11.5.m5.1.1.3a.cmml" xref="S3.SS2.p11.5.m5.1.1.3"><mtext id="S3.SS2.p11.5.m5.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS2.p11.5.m5.1.1.3">th</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p11.5.m5.1c">j^{\text{th}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p11.5.m5.1d">italic_j start_POSTSUPERSCRIPT th end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> mean component tessellation. This means, for instance, that the complexity of the variance function may differ from that of the mean function, and the predictors that are important for the variance function may also differ from those that are important for the mean.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S3.SS3"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">3.3 </span>Calibrating the Variance Prior</h3> <div class="ltx_para" id="S3.SS3.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p1.1">This section demonstrates a straightforward strategy for selecting the prior parameters that yield reasonable and practical results.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS3.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p2.7">As outlined in Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13037v1#S3.SS2" title="3.2 Variance Model ‣ 3 Heteroscedastic AddiVortes ‣ H-AddiVortes: Heteroscedastic (Bayesian) Additive Voronoi Tessellations"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3.2</span></a>, the prior for the variance is given by <math alttext="s(\bm{x})^{2}\sim\prod_{l=1}^{m^{\prime}}s_{l}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p2.1.m1.1"><semantics id="S3.SS3.p2.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS3.p2.1.m1.1.2" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.cmml"><mrow id="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.2" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.2.2" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.2.2.cmml">s</mi><mo id="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.2.1" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.2.3" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.2.3.cmml"><mrow id="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.2.3.2.2" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.2.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S3.SS3.p2.1.m1.1.1" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.1.cmml">𝒙</mi><mo id="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.2.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mn id="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.2.3.3" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.1" rspace="0.111em" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.1.cmml">∼</mo><mrow id="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3.cmml"><msubsup id="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3.1" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3.1.2.2" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3.1.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3.1.2.3" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3.1.2.3.cmml"><mi id="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3.1.2.3.2" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3.1.2.3.1" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3.1.2.3.3" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msup id="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3.1.3" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3.1.3.cmml"><mi id="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3.1.3.2" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3.1.3.2.cmml">m</mi><mo id="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3.1.3.3" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3.1.3.3.cmml">′</mo></msup></msubsup><msubsup id="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3.2" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3.2.2.2" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3.2.2.2.cmml">s</mi><mi id="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3.2.2.3" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3.2.2.3.cmml">l</mi><mn id="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3.2.3" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3.2.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p2.1.m1.1b"><apply id="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.1">similar-to</csymbol><apply id="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.2"><times id="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.2.1"></times><ci id="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.2.2">𝑠</ci><apply id="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.1">𝒙</ci><cn id="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3"><apply id="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3.1">superscript</csymbol><apply id="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3.1.2.2">product</csymbol><apply id="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3.1.2.3.cmml" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3.1.2.3"><eq id="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3.1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3.1.2.3.1"></eq><ci id="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3.1.2.3.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3.1.2.3.2">𝑙</ci><cn id="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3.1.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3.1.3.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3.1.3.2">𝑚</ci><ci id="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3.1.3.3.cmml" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3.1.3.3">′</ci></apply></apply><apply id="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3.2">superscript</csymbol><apply id="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3.2.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3.2.2.2">𝑠</ci><ci id="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3.2.2.3.cmml" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3.2.2.3">𝑙</ci></apply><cn id="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.2.3.2.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p2.1.m1.1c">s(\bm{x})^{2}\sim\prod_{l=1}^{m^{\prime}}s_{l}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p2.1.m1.1d">italic_s ( bold_italic_x ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∼ ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_l = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_m start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, with <math alttext="s_{l}^{2}\sim\chi^{-2}(\nu^{\prime},\lambda^{\prime})," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p2.2.m2.1"><semantics id="S3.SS3.p2.2.m2.1a"><mrow id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.4" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.4.2.2" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.4.2.2.cmml">s</mi><mi id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.4.2.3" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.4.2.3.cmml">l</mi><mn id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.4.3" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.4.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.3" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.3.cmml">∼</mo><mrow id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.2" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.2.cmml"><msup id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.2.4" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.2.4.2" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.2.4.2.cmml">χ</mi><mrow id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.2.4.3" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.2.4.3.cmml"><mo id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.2.4.3a" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.2.4.3.cmml">−</mo><mn id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.2.4.3.2" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.2.4.3.2.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.2.3" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.2.2.3.cmml">(</mo><msup id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ν</mi><mo id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.2.2.2.4" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><msup id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.2" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p2.2.m2.1b"><apply id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.3">similar-to</csymbol><apply id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.4.2.2">𝑠</ci><ci id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.4.2.3">𝑙</ci></apply><cn id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.4.3">2</cn></apply><apply id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.2"><times id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.2.3"></times><apply id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.2.4">superscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.2.4.2">𝜒</ci><apply id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.2.4.3.cmml" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.2.4.3"><minus id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.2.4.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.2.4.3"></minus><cn id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.2.4.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.2.4.3.2">2</cn></apply></apply><interval closure="open" id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.2.2.2"><apply id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜈</ci><ci id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝜆</ci><ci id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.3">′</ci></apply></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p2.2.m2.1c">s_{l}^{2}\sim\chi^{-2}(\nu^{\prime},\lambda^{\prime}),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p2.2.m2.1d">italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∼ italic_χ start_POSTSUPERSCRIPT - 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_ν start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math> where the <math alttext="s_{l}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p2.3.m3.1"><semantics id="S3.SS3.p2.3.m3.1a"><msubsup id="S3.SS3.p2.3.m3.1.1" xref="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.2.2" xref="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.2.2.cmml">s</mi><mi id="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.2.3" xref="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.2.3.cmml">l</mi><mn id="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.3" xref="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.3.cmml">2</mn></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p2.3.m3.1b"><apply id="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.3.m3.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.2.2">𝑠</ci><ci id="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.2.3">𝑙</ci></apply><cn id="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p2.3.m3.1c">s_{l}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p2.3.m3.1d">italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> are independent and identically distributed. To determine the prior parameters <math alttext="(\nu^{\prime},\lambda^{\prime})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p2.4.m4.2"><semantics id="S3.SS3.p2.4.m4.2a"><mrow id="S3.SS3.p2.4.m4.2.2.2" xref="S3.SS3.p2.4.m4.2.2.3.cmml"><mo id="S3.SS3.p2.4.m4.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS3.p2.4.m4.2.2.3.cmml">(</mo><msup id="S3.SS3.p2.4.m4.1.1.1.1" xref="S3.SS3.p2.4.m4.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p2.4.m4.1.1.1.1.2" xref="S3.SS3.p2.4.m4.1.1.1.1.2.cmml">ν</mi><mo id="S3.SS3.p2.4.m4.1.1.1.1.3" xref="S3.SS3.p2.4.m4.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.SS3.p2.4.m4.2.2.2.4" xref="S3.SS3.p2.4.m4.2.2.3.cmml">,</mo><msup id="S3.SS3.p2.4.m4.2.2.2.2" xref="S3.SS3.p2.4.m4.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS3.p2.4.m4.2.2.2.2.2" xref="S3.SS3.p2.4.m4.2.2.2.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.SS3.p2.4.m4.2.2.2.2.3" xref="S3.SS3.p2.4.m4.2.2.2.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.SS3.p2.4.m4.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.SS3.p2.4.m4.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p2.4.m4.2b"><interval closure="open" id="S3.SS3.p2.4.m4.2.2.3.cmml" xref="S3.SS3.p2.4.m4.2.2.2"><apply id="S3.SS3.p2.4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.4.m4.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p2.4.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.4.m4.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p2.4.m4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.4.m4.1.1.1.1.2">𝜈</ci><ci id="S3.SS3.p2.4.m4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p2.4.m4.1.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S3.SS3.p2.4.m4.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.4.m4.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p2.4.m4.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.4.m4.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p2.4.m4.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.4.m4.2.2.2.2.2">𝜆</ci><ci id="S3.SS3.p2.4.m4.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS3.p2.4.m4.2.2.2.2.3">′</ci></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p2.4.m4.2c">(\nu^{\prime},\lambda^{\prime})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p2.4.m4.2d">( italic_ν start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> for the variance components, we begin by considering the prior for constant variance in the context of the homoscedastic AddiVortes model <math alttext="Y=f(x)+\varepsilon,\quad\varepsilon\sim N(0,\sigma^{2})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p2.5.m5.4"><semantics id="S3.SS3.p2.5.m5.4a"><mrow id="S3.SS3.p2.5.m5.4.4.2" xref="S3.SS3.p2.5.m5.4.4.3.cmml"><mrow id="S3.SS3.p2.5.m5.3.3.1.1" xref="S3.SS3.p2.5.m5.3.3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p2.5.m5.3.3.1.1.2" xref="S3.SS3.p2.5.m5.3.3.1.1.2.cmml">Y</mi><mo id="S3.SS3.p2.5.m5.3.3.1.1.1" xref="S3.SS3.p2.5.m5.3.3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS3.p2.5.m5.3.3.1.1.3" xref="S3.SS3.p2.5.m5.3.3.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.SS3.p2.5.m5.3.3.1.1.3.2" xref="S3.SS3.p2.5.m5.3.3.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.SS3.p2.5.m5.3.3.1.1.3.2.2" xref="S3.SS3.p2.5.m5.3.3.1.1.3.2.2.cmml">f</mi><mo id="S3.SS3.p2.5.m5.3.3.1.1.3.2.1" xref="S3.SS3.p2.5.m5.3.3.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS3.p2.5.m5.3.3.1.1.3.2.3.2" xref="S3.SS3.p2.5.m5.3.3.1.1.3.2.cmml"><mo id="S3.SS3.p2.5.m5.3.3.1.1.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS3.p2.5.m5.3.3.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS3.p2.5.m5.1.1" xref="S3.SS3.p2.5.m5.1.1.cmml">x</mi><mo id="S3.SS3.p2.5.m5.3.3.1.1.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.p2.5.m5.3.3.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS3.p2.5.m5.3.3.1.1.3.1" xref="S3.SS3.p2.5.m5.3.3.1.1.3.1.cmml">+</mo><mi id="S3.SS3.p2.5.m5.3.3.1.1.3.3" xref="S3.SS3.p2.5.m5.3.3.1.1.3.3.cmml">ε</mi></mrow></mrow><mo id="S3.SS3.p2.5.m5.4.4.2.3" rspace="1.167em" xref="S3.SS3.p2.5.m5.4.4.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.SS3.p2.5.m5.4.4.2.2" xref="S3.SS3.p2.5.m5.4.4.2.2.cmml"><mi id="S3.SS3.p2.5.m5.4.4.2.2.3" xref="S3.SS3.p2.5.m5.4.4.2.2.3.cmml">ε</mi><mo id="S3.SS3.p2.5.m5.4.4.2.2.2" xref="S3.SS3.p2.5.m5.4.4.2.2.2.cmml">∼</mo><mrow id="S3.SS3.p2.5.m5.4.4.2.2.1" xref="S3.SS3.p2.5.m5.4.4.2.2.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p2.5.m5.4.4.2.2.1.3" xref="S3.SS3.p2.5.m5.4.4.2.2.1.3.cmml">N</mi><mo id="S3.SS3.p2.5.m5.4.4.2.2.1.2" xref="S3.SS3.p2.5.m5.4.4.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS3.p2.5.m5.4.4.2.2.1.1.1" xref="S3.SS3.p2.5.m5.4.4.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS3.p2.5.m5.4.4.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.p2.5.m5.4.4.2.2.1.1.2.cmml">(</mo><mn id="S3.SS3.p2.5.m5.2.2" xref="S3.SS3.p2.5.m5.2.2.cmml">0</mn><mo id="S3.SS3.p2.5.m5.4.4.2.2.1.1.1.3" xref="S3.SS3.p2.5.m5.4.4.2.2.1.1.2.cmml">,</mo><msup id="S3.SS3.p2.5.m5.4.4.2.2.1.1.1.1" xref="S3.SS3.p2.5.m5.4.4.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p2.5.m5.4.4.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.SS3.p2.5.m5.4.4.2.2.1.1.1.1.2.cmml">σ</mi><mn id="S3.SS3.p2.5.m5.4.4.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.SS3.p2.5.m5.4.4.2.2.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.SS3.p2.5.m5.4.4.2.2.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.SS3.p2.5.m5.4.4.2.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p2.5.m5.4b"><apply id="S3.SS3.p2.5.m5.4.4.3.cmml" xref="S3.SS3.p2.5.m5.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p2.5.m5.4.4.3a.cmml" xref="S3.SS3.p2.5.m5.4.4.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.SS3.p2.5.m5.3.3.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.5.m5.3.3.1.1"><eq id="S3.SS3.p2.5.m5.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.5.m5.3.3.1.1.1"></eq><ci id="S3.SS3.p2.5.m5.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.5.m5.3.3.1.1.2">𝑌</ci><apply id="S3.SS3.p2.5.m5.3.3.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p2.5.m5.3.3.1.1.3"><plus id="S3.SS3.p2.5.m5.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.5.m5.3.3.1.1.3.1"></plus><apply id="S3.SS3.p2.5.m5.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.5.m5.3.3.1.1.3.2"><times id="S3.SS3.p2.5.m5.3.3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.5.m5.3.3.1.1.3.2.1"></times><ci id="S3.SS3.p2.5.m5.3.3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.5.m5.3.3.1.1.3.2.2">𝑓</ci><ci id="S3.SS3.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.5.m5.1.1">𝑥</ci></apply><ci id="S3.SS3.p2.5.m5.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS3.p2.5.m5.3.3.1.1.3.3">𝜀</ci></apply></apply><apply id="S3.SS3.p2.5.m5.4.4.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.5.m5.4.4.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS3.p2.5.m5.4.4.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.5.m5.4.4.2.2.2">similar-to</csymbol><ci id="S3.SS3.p2.5.m5.4.4.2.2.3.cmml" xref="S3.SS3.p2.5.m5.4.4.2.2.3">𝜀</ci><apply id="S3.SS3.p2.5.m5.4.4.2.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.5.m5.4.4.2.2.1"><times id="S3.SS3.p2.5.m5.4.4.2.2.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.5.m5.4.4.2.2.1.2"></times><ci id="S3.SS3.p2.5.m5.4.4.2.2.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p2.5.m5.4.4.2.2.1.3">𝑁</ci><interval closure="open" id="S3.SS3.p2.5.m5.4.4.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.5.m5.4.4.2.2.1.1.1"><cn id="S3.SS3.p2.5.m5.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.p2.5.m5.2.2">0</cn><apply id="S3.SS3.p2.5.m5.4.4.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.5.m5.4.4.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p2.5.m5.4.4.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.5.m5.4.4.2.2.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p2.5.m5.4.4.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.5.m5.4.4.2.2.1.1.1.1.2">𝜎</ci><cn id="S3.SS3.p2.5.m5.4.4.2.2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.p2.5.m5.4.4.2.2.1.1.1.1.3">2</cn></apply></interval></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p2.5.m5.4c">Y=f(x)+\varepsilon,\quad\varepsilon\sim N(0,\sigma^{2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p2.5.m5.4d">italic_Y = italic_f ( italic_x ) + italic_ε , italic_ε ∼ italic_N ( 0 , italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>, where <math alttext="\sigma^{2}\sim\chi^{-2}(\nu,\lambda)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p2.6.m6.2"><semantics id="S3.SS3.p2.6.m6.2a"><mrow id="S3.SS3.p2.6.m6.2.3" xref="S3.SS3.p2.6.m6.2.3.cmml"><msup id="S3.SS3.p2.6.m6.2.3.2" xref="S3.SS3.p2.6.m6.2.3.2.cmml"><mi id="S3.SS3.p2.6.m6.2.3.2.2" xref="S3.SS3.p2.6.m6.2.3.2.2.cmml">σ</mi><mn id="S3.SS3.p2.6.m6.2.3.2.3" xref="S3.SS3.p2.6.m6.2.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.SS3.p2.6.m6.2.3.1" xref="S3.SS3.p2.6.m6.2.3.1.cmml">∼</mo><mrow id="S3.SS3.p2.6.m6.2.3.3" xref="S3.SS3.p2.6.m6.2.3.3.cmml"><msup id="S3.SS3.p2.6.m6.2.3.3.2" xref="S3.SS3.p2.6.m6.2.3.3.2.cmml"><mi id="S3.SS3.p2.6.m6.2.3.3.2.2" xref="S3.SS3.p2.6.m6.2.3.3.2.2.cmml">χ</mi><mrow id="S3.SS3.p2.6.m6.2.3.3.2.3" xref="S3.SS3.p2.6.m6.2.3.3.2.3.cmml"><mo id="S3.SS3.p2.6.m6.2.3.3.2.3a" xref="S3.SS3.p2.6.m6.2.3.3.2.3.cmml">−</mo><mn id="S3.SS3.p2.6.m6.2.3.3.2.3.2" xref="S3.SS3.p2.6.m6.2.3.3.2.3.2.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="S3.SS3.p2.6.m6.2.3.3.1" xref="S3.SS3.p2.6.m6.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS3.p2.6.m6.2.3.3.3.2" xref="S3.SS3.p2.6.m6.2.3.3.3.1.cmml"><mo id="S3.SS3.p2.6.m6.2.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS3.p2.6.m6.2.3.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS3.p2.6.m6.1.1" xref="S3.SS3.p2.6.m6.1.1.cmml">ν</mi><mo id="S3.SS3.p2.6.m6.2.3.3.3.2.2" xref="S3.SS3.p2.6.m6.2.3.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS3.p2.6.m6.2.2" xref="S3.SS3.p2.6.m6.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.SS3.p2.6.m6.2.3.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS3.p2.6.m6.2.3.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p2.6.m6.2b"><apply id="S3.SS3.p2.6.m6.2.3.cmml" xref="S3.SS3.p2.6.m6.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS3.p2.6.m6.2.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.6.m6.2.3.1">similar-to</csymbol><apply id="S3.SS3.p2.6.m6.2.3.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.6.m6.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p2.6.m6.2.3.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.6.m6.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p2.6.m6.2.3.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.6.m6.2.3.2.2">𝜎</ci><cn id="S3.SS3.p2.6.m6.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.p2.6.m6.2.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S3.SS3.p2.6.m6.2.3.3.cmml" xref="S3.SS3.p2.6.m6.2.3.3"><times id="S3.SS3.p2.6.m6.2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.6.m6.2.3.3.1"></times><apply id="S3.SS3.p2.6.m6.2.3.3.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.6.m6.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p2.6.m6.2.3.3.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.6.m6.2.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p2.6.m6.2.3.3.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.6.m6.2.3.3.2.2">𝜒</ci><apply id="S3.SS3.p2.6.m6.2.3.3.2.3.cmml" xref="S3.SS3.p2.6.m6.2.3.3.2.3"><minus id="S3.SS3.p2.6.m6.2.3.3.2.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.6.m6.2.3.3.2.3"></minus><cn id="S3.SS3.p2.6.m6.2.3.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.p2.6.m6.2.3.3.2.3.2">2</cn></apply></apply><interval closure="open" id="S3.SS3.p2.6.m6.2.3.3.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.6.m6.2.3.3.3.2"><ci id="S3.SS3.p2.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.6.m6.1.1">𝜈</ci><ci id="S3.SS3.p2.6.m6.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.6.m6.2.2">𝜆</ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p2.6.m6.2c">\sigma^{2}\sim\chi^{-2}(\nu,\lambda)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p2.6.m6.2d">italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∼ italic_χ start_POSTSUPERSCRIPT - 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_ν , italic_λ )</annotation></semantics></math>. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Stone and Gosling, (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13037v1#bib.bib15" title="">2024</a>)</cite> proposed strategies for selecting <math alttext="(\nu,\lambda)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p2.7.m7.2"><semantics id="S3.SS3.p2.7.m7.2a"><mrow id="S3.SS3.p2.7.m7.2.3.2" xref="S3.SS3.p2.7.m7.2.3.1.cmml"><mo id="S3.SS3.p2.7.m7.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS3.p2.7.m7.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS3.p2.7.m7.1.1" xref="S3.SS3.p2.7.m7.1.1.cmml">ν</mi><mo id="S3.SS3.p2.7.m7.2.3.2.2" xref="S3.SS3.p2.7.m7.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS3.p2.7.m7.2.2" xref="S3.SS3.p2.7.m7.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.SS3.p2.7.m7.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS3.p2.7.m7.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p2.7.m7.2b"><interval closure="open" id="S3.SS3.p2.7.m7.2.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.7.m7.2.3.2"><ci id="S3.SS3.p2.7.m7.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.7.m7.1.1">𝜈</ci><ci id="S3.SS3.p2.7.m7.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.7.m7.2.2">𝜆</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p2.7.m7.2c">(\nu,\lambda)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p2.7.m7.2d">( italic_ν , italic_λ )</annotation></semantics></math> in this scenario. To ensure consistency between the priors in the heteroscedastic and homoscedastic models, we match the prior means of the variance components. We have:</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS3.p3"> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex9"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathds{E}[\sigma^{2}]=\frac{\nu\lambda}{\nu-2},\quad\text{and}\quad E\left[s(% x)^{2}\right]=\prod\limits_{l=1}^{m^{\prime}}E\left[s_{l}^{2}\right]=\lambda^{% m^{\prime}}\left(\frac{\nu^{\prime}}{\nu^{\prime}-2}\right)^{m^{\prime}}." class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex9.m1.5"><semantics id="S3.Ex9.m1.5a"><mrow id="S3.Ex9.m1.5.5.1"><mrow id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml">𝔼</mi><mo id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><msup id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">σ</mi><mn id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.cmml"><mfrac id="S3.Ex9.m1.3.3" xref="S3.Ex9.m1.3.3.cmml"><mrow id="S3.Ex9.m1.3.3.2" xref="S3.Ex9.m1.3.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.3.3.2.2" xref="S3.Ex9.m1.3.3.2.2.cmml">ν</mi><mo id="S3.Ex9.m1.3.3.2.1" xref="S3.Ex9.m1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex9.m1.3.3.2.3" xref="S3.Ex9.m1.3.3.2.3.cmml">λ</mi></mrow><mrow id="S3.Ex9.m1.3.3.3" xref="S3.Ex9.m1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.3.3.3.2" xref="S3.Ex9.m1.3.3.3.2.cmml">ν</mi><mo id="S3.Ex9.m1.3.3.3.1" xref="S3.Ex9.m1.3.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.Ex9.m1.3.3.3.3" xref="S3.Ex9.m1.3.3.3.3.cmml">2</mn></mrow></mfrac><mo id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.1" rspace="1.167em" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mtext id="S3.Ex9.m1.4.4" xref="S3.Ex9.m1.4.4a.cmml">and</mtext></mrow></mrow><mspace id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.3" width="1em" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.3a.cmml"></mspace><mrow id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.1" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.1.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.1.3" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.1.3.cmml">E</mi><mo id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.1.2" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">s</mi><mo id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex9.m1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow><mn id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.4" rspace="0.111em" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.4.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.cmml"><munderover id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.cmml"><mo id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3.2" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3.1" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3.3" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msup id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.3" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml">′</mo></msup></munderover><mrow id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.1" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.1.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.1.3" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.1.3.cmml">E</mi><mo id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.1.2" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.1.1.2.1.cmml">[</mo><msubsup id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">s</mi><mi id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">l</mi><mn id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.5" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.5.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.6" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.6.cmml"><msup id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.6.2" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.6.2.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.6.2.2" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.6.2.2.cmml">λ</mi><msup id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.6.2.3" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.6.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.6.2.3.2" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.6.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.6.2.3.3" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.6.2.3.3.cmml">′</mo></msup></msup><mo id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.6.1" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.6.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.6.3" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.6.3.cmml"><mrow id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.6.3.2.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.cmml"><mo id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.6.3.2.2.1" xref="S3.Ex9.m1.2.2.cmml">(</mo><mfrac id="S3.Ex9.m1.2.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.cmml"><msup id="S3.Ex9.m1.2.2.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.2.2.2.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.2.2.cmml">ν</mi><mo id="S3.Ex9.m1.2.2.2.3" xref="S3.Ex9.m1.2.2.2.3.cmml">′</mo></msup><mrow id="S3.Ex9.m1.2.2.3" xref="S3.Ex9.m1.2.2.3.cmml"><msup id="S3.Ex9.m1.2.2.3.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.2.2.3.2.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.3.2.2.cmml">ν</mi><mo id="S3.Ex9.m1.2.2.3.2.3" xref="S3.Ex9.m1.2.2.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex9.m1.2.2.3.1" xref="S3.Ex9.m1.2.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.Ex9.m1.2.2.3.3" xref="S3.Ex9.m1.2.2.3.3.cmml">2</mn></mrow></mfrac><mo id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.6.3.2.2.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.cmml">)</mo></mrow><msup id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.6.3.3" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.6.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.6.3.3.2" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.6.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.6.3.3.3" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.6.3.3.3.cmml">′</mo></msup></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex9.m1.5.5.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex9.m1.5b"><apply id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.3a.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.1.1"><eq id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.1.1.1.3">𝔼</ci><apply id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜎</ci><cn id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply><list id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.1.1.3.2"><apply id="S3.Ex9.m1.3.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.3.3"><divide id="S3.Ex9.m1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.3.3"></divide><apply id="S3.Ex9.m1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.3.3.2"><times id="S3.Ex9.m1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.3.3.2.1"></times><ci id="S3.Ex9.m1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.3.3.2.2">𝜈</ci><ci id="S3.Ex9.m1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.3.3.2.3">𝜆</ci></apply><apply id="S3.Ex9.m1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.3.3.3"><minus id="S3.Ex9.m1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.3.3.3.1"></minus><ci id="S3.Ex9.m1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.3.3.3.2">𝜈</ci><cn id="S3.Ex9.m1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex9.m1.3.3.3.3">2</cn></apply></apply><ci id="S3.Ex9.m1.4.4a.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4"><mtext id="S3.Ex9.m1.4.4.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4">and</mtext></ci></list></apply><apply id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2"><and id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2a.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2"></and><apply id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2b.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2"><eq id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.4.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.4"></eq><apply id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.1"><times id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.1.2"></times><ci id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.1.3">𝐸</ci><apply id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1"><times id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.2">𝑠</ci><apply id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex9.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1">𝑥</ci><cn id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2"><apply id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2">product</csymbol><apply id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3"><eq id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3.1"></eq><ci id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3.2">𝑙</ci><cn id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.2">𝑚</ci><ci id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.3">′</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.1"><times id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.1.2"></times><ci id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.1.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.1.3">𝐸</ci><apply id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.2">𝑠</ci><ci id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.3">𝑙</ci></apply><cn id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2c.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2"><eq id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.5.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.13037v1#S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.2.cmml" id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2d.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2"></share><apply id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.6.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.6"><times id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.6.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.6.1"></times><apply id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.6.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.6.2.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.6.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.6.2.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.6.2.2">𝜆</ci><apply id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.6.2.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.6.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.6.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.6.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.6.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.6.2.3.2">𝑚</ci><ci id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.6.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.6.2.3.3">′</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.6.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.6.3.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.6.3">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex9.m1.2.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.6.3.2.2"><divide id="S3.Ex9.m1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.6.3.2.2"></divide><apply id="S3.Ex9.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex9.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.2.2">𝜈</ci><ci id="S3.Ex9.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.2.3">′</ci></apply><apply id="S3.Ex9.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.3"><minus id="S3.Ex9.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.3.1"></minus><apply id="S3.Ex9.m1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex9.m1.2.2.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.3.2.2">𝜈</ci><ci id="S3.Ex9.m1.2.2.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.3.2.3">′</ci></apply><cn id="S3.Ex9.m1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex9.m1.2.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.6.3.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.6.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.6.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.6.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.6.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.6.3.3.2">𝑚</ci><ci id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.6.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.6.3.3.3">′</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex9.m1.5c">\mathds{E}[\sigma^{2}]=\frac{\nu\lambda}{\nu-2},\quad\text{and}\quad E\left[s(% x)^{2}\right]=\prod\limits_{l=1}^{m^{\prime}}E\left[s_{l}^{2}\right]=\lambda^{% m^{\prime}}\left(\frac{\nu^{\prime}}{\nu^{\prime}-2}\right)^{m^{\prime}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex9.m1.5d">blackboard_E [ italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ] = divide start_ARG italic_ν italic_λ end_ARG start_ARG italic_ν - 2 end_ARG , and italic_E [ italic_s ( italic_x ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ] = ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_l = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_m start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT italic_E [ italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ] = italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT italic_m start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ( divide start_ARG italic_ν start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_ν start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT - 2 end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_m start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS3.p4"> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p4.2">By equating these means, we ensure compatibility between the heteroscedastic and homoscedastic priors. To achieve this, we separately match the “<math alttext="\lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p4.1.m1.1"><semantics id="S3.SS3.p4.1.m1.1a"><mi id="S3.SS3.p4.1.m1.1.1" xref="S3.SS3.p4.1.m1.1.1.cmml">λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p4.1.m1.1b"><ci id="S3.SS3.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p4.1.m1.1.1">𝜆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p4.1.m1.1c">\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p4.1.m1.1d">italic_λ</annotation></semantics></math> component” and the “<math alttext="\nu" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p4.2.m2.1"><semantics id="S3.SS3.p4.2.m2.1a"><mi id="S3.SS3.p4.2.m2.1.1" xref="S3.SS3.p4.2.m2.1.1.cmml">ν</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p4.2.m2.1b"><ci id="S3.SS3.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p4.2.m2.1.1">𝜈</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p4.2.m2.1c">\nu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p4.2.m2.1d">italic_ν</annotation></semantics></math> component”, leading to the following expressions for the parameters of the heteroscedastic prior,</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS3.p5"> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex10"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\lambda^{\prime}=\lambda^{\frac{1}{m^{\prime}}},\quad\nu^{\prime}=\frac{2}{1-% \left(1-\frac{2}{\nu}\right)^{\frac{1}{m^{\prime}}}}." class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex10.m1.2"><semantics id="S3.Ex10.m1.2a"><mrow id="S3.Ex10.m1.2.2.1"><mrow id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><msup id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mfrac id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml"><mn id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml">1</mn><msup id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">′</mo></msup></mfrac></msup></mrow><mo id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.3" rspace="1.167em" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.2.cmml"><msup id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml">ν</mi><mo id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.2.1" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><mfrac id="S3.Ex10.m1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.1.1.cmml"><mn id="S3.Ex10.m1.1.1.3" xref="S3.Ex10.m1.1.1.3.cmml">2</mn><mrow id="S3.Ex10.m1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.Ex10.m1.1.1.1.3" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.3.cmml">1</mn><mo id="S3.Ex10.m1.1.1.1.2" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.2.cmml">−</mo><msup id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mfrac id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mi id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">ν</mi></mfrac></mrow><mo id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mfrac id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><msup id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">′</mo></msup></mfrac></msup></mrow></mfrac></mrow></mrow><mo id="S3.Ex10.m1.2.2.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex10.m1.2b"><apply id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3a.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1"><eq id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.2.2">𝜆</ci><ci id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.2.3">′</ci></apply><apply id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.3.2">𝜆</ci><apply id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.3.3"><divide id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.3.3"></divide><cn id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.2">1</cn><apply id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.3.2">𝑚</ci><ci id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.3.3">′</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.2"><eq id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.2.1"></eq><apply id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.2.2.2">𝜈</ci><ci id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.2.2.3">′</ci></apply><apply id="S3.Ex10.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1"><divide id="S3.Ex10.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1"></divide><cn id="S3.Ex10.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex10.m1.1.1.3">2</cn><apply id="S3.Ex10.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1"><minus id="S3.Ex10.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.2"></minus><cn id="S3.Ex10.m1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.3">1</cn><apply id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"></divide><cn id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">2</cn><ci id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝜈</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.3"><divide id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.3"></divide><cn id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.3.2">1</cn><apply id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.3.3.2">𝑚</ci><ci id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.3.3.3">′</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex10.m1.2c">\lambda^{\prime}=\lambda^{\frac{1}{m^{\prime}}},\quad\nu^{\prime}=\frac{2}{1-% \left(1-\frac{2}{\nu}\right)^{\frac{1}{m^{\prime}}}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex10.m1.2d">italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT = italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT , italic_ν start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT = divide start_ARG 2 end_ARG start_ARG 1 - ( 1 - divide start_ARG 2 end_ARG start_ARG italic_ν end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_m start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S3.SS4"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">3.4 </span>Model Evaluation Metrics</h3> <div class="ltx_para" id="S3.SS4.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS4.p1.1">Assessing model performance requires more than evaluating predictive accuracy alone, particularly when modeling both the mean and variance of the response. Traditional metrics such as the Root Mean Squared Error (RMSE) offer a straightforward measure of prediction error but may overlook crucial aspects of distributional fit. For models that aim to capture the full predictive distribution, it is equally important to evaluate properties such as interval coverage and the precision of uncertainty estimates.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS4.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.SS4.p2.4">To address these considerations, we introduce graphical diagnostics and distributional metrics. The <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.SS4.p2.4.1">H-evidence plot</span> is a graph of <math alttext="\hat{s}(\bm{x}_{i})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p2.1.m1.1"><semantics id="S3.SS4.p2.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.3.2" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.3.2.cmml">s</mi><mo id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.3.1" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.3.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p2.1.m1.1b"><apply id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1"><times id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.2"></times><apply id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.3"><ci id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.3.1">^</ci><ci id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.3.2">𝑠</ci></apply><apply id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2">𝒙</ci><ci id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p2.1.m1.1c">\hat{s}(\bm{x}_{i})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p2.1.m1.1d">over^ start_ARG italic_s end_ARG ( bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> verses the estimated posterior intervals of <math alttext="\hat{s}(\bm{x}_{i})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p2.2.m2.1"><semantics id="S3.SS4.p2.2.m2.1a"><mrow id="S3.SS4.p2.2.m2.1.1" xref="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.3.2" xref="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.3.2.cmml">s</mi><mo id="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.3.1" xref="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.3.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.1.1" xref="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p2.2.m2.1b"><apply id="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.2.m2.1.1"><times id="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.2"></times><apply id="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.3"><ci id="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.3.1">^</ci><ci id="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.3.2">𝑠</ci></apply><apply id="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2">𝒙</ci><ci id="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p2.2.m2.1c">\hat{s}(\bm{x}_{i})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p2.2.m2.1d">over^ start_ARG italic_s end_ARG ( bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> for <math alttext="i\in\{1,\ldots,n\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p2.3.m3.3"><semantics id="S3.SS4.p2.3.m3.3a"><mrow id="S3.SS4.p2.3.m3.3.4" xref="S3.SS4.p2.3.m3.3.4.cmml"><mi id="S3.SS4.p2.3.m3.3.4.2" xref="S3.SS4.p2.3.m3.3.4.2.cmml">i</mi><mo id="S3.SS4.p2.3.m3.3.4.1" xref="S3.SS4.p2.3.m3.3.4.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.SS4.p2.3.m3.3.4.3.2" xref="S3.SS4.p2.3.m3.3.4.3.1.cmml"><mo id="S3.SS4.p2.3.m3.3.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS4.p2.3.m3.3.4.3.1.cmml">{</mo><mn id="S3.SS4.p2.3.m3.1.1" xref="S3.SS4.p2.3.m3.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.SS4.p2.3.m3.3.4.3.2.2" xref="S3.SS4.p2.3.m3.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS4.p2.3.m3.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS4.p2.3.m3.2.2.cmml">…</mi><mo id="S3.SS4.p2.3.m3.3.4.3.2.3" xref="S3.SS4.p2.3.m3.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS4.p2.3.m3.3.3" xref="S3.SS4.p2.3.m3.3.3.cmml">n</mi><mo id="S3.SS4.p2.3.m3.3.4.3.2.4" stretchy="false" xref="S3.SS4.p2.3.m3.3.4.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p2.3.m3.3b"><apply id="S3.SS4.p2.3.m3.3.4.cmml" xref="S3.SS4.p2.3.m3.3.4"><in id="S3.SS4.p2.3.m3.3.4.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.3.m3.3.4.1"></in><ci id="S3.SS4.p2.3.m3.3.4.2.cmml" xref="S3.SS4.p2.3.m3.3.4.2">𝑖</ci><set id="S3.SS4.p2.3.m3.3.4.3.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.3.m3.3.4.3.2"><cn id="S3.SS4.p2.3.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.SS4.p2.3.m3.1.1">1</cn><ci id="S3.SS4.p2.3.m3.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p2.3.m3.2.2">…</ci><ci id="S3.SS4.p2.3.m3.3.3.cmml" xref="S3.SS4.p2.3.m3.3.3">𝑛</ci></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p2.3.m3.3c">i\in\{1,\ldots,n\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p2.3.m3.3d">italic_i ∈ { 1 , … , italic_n }</annotation></semantics></math>, where <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p2.4.m4.1"><semantics id="S3.SS4.p2.4.m4.1a"><mi id="S3.SS4.p2.4.m4.1.1" xref="S3.SS4.p2.4.m4.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p2.4.m4.1b"><ci id="S3.SS4.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.4.m4.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p2.4.m4.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p2.4.m4.1d">italic_n</annotation></semantics></math> is the number of observations. This plot offers an intuitive way to detect patterns in variance that depend on the predictors.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS4.p3"> <p class="ltx_p" id="S3.SS4.p3.1">highlighting areas where heteroscedasticity is evident.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS4.p4"> <p class="ltx_p" id="S3.SS4.p4.1">Another key diagnostic is the <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.SS4.p4.1.1">predictive quantile-quantile (QQ) plot</span>, which extends classical QQ plots to compare the empirical quantiles of observed data against those predicted by the model’s full predictive distribution <math alttext="Y\mid\bm{x}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p4.1.m1.1"><semantics id="S3.SS4.p4.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS4.p4.1.m1.1.1" xref="S3.SS4.p4.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p4.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS4.p4.1.m1.1.1.2.cmml">Y</mi><mo id="S3.SS4.p4.1.m1.1.1.1" xref="S3.SS4.p4.1.m1.1.1.1.cmml">∣</mo><mi id="S3.SS4.p4.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS4.p4.1.m1.1.1.3.cmml">𝒙</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p4.1.m1.1b"><apply id="S3.SS4.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p4.1.m1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS4.p4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p4.1.m1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S3.SS4.p4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p4.1.m1.1.1.2">𝑌</ci><ci id="S3.SS4.p4.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS4.p4.1.m1.1.1.3">𝒙</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p4.1.m1.1c">Y\mid\bm{x}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p4.1.m1.1d">italic_Y ∣ bold_italic_x</annotation></semantics></math>. If the model captures the data distribution well, the plotted points should approximate a straight line. Deviations from linearity indicate potential misfits, such as underestimating or overestimating variability.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS4.p5"> <p class="ltx_p" id="S3.SS4.p5.4">In addition to graphical tools, we employ the <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.SS4.p5.4.1">e-statistic</span>, which is a measure designed to quantify the similarity between two distributions <math alttext="F_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p5.1.m1.1"><semantics id="S3.SS4.p5.1.m1.1a"><msub id="S3.SS4.p5.1.m1.1.1" xref="S3.SS4.p5.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p5.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS4.p5.1.m1.1.1.2.cmml">F</mi><mn id="S3.SS4.p5.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS4.p5.1.m1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p5.1.m1.1b"><apply id="S3.SS4.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p5.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p5.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p5.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p5.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p5.1.m1.1.1.2">𝐹</ci><cn id="S3.SS4.p5.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS4.p5.1.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p5.1.m1.1c">F_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p5.1.m1.1d">italic_F start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="F_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p5.2.m2.1"><semantics id="S3.SS4.p5.2.m2.1a"><msub id="S3.SS4.p5.2.m2.1.1" xref="S3.SS4.p5.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p5.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS4.p5.2.m2.1.1.2.cmml">F</mi><mn id="S3.SS4.p5.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS4.p5.2.m2.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p5.2.m2.1b"><apply id="S3.SS4.p5.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p5.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p5.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p5.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p5.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p5.2.m2.1.1.2">𝐹</ci><cn id="S3.SS4.p5.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS4.p5.2.m2.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p5.2.m2.1c">F_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p5.2.m2.1d">italic_F start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, represented by their respective random samples <math alttext="\{U_{i}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p5.3.m3.1"><semantics id="S3.SS4.p5.3.m3.1a"><mrow id="S3.SS4.p5.3.m3.1.1.1" xref="S3.SS4.p5.3.m3.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS4.p5.3.m3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS4.p5.3.m3.1.1.2.cmml">{</mo><msub id="S3.SS4.p5.3.m3.1.1.1.1" xref="S3.SS4.p5.3.m3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p5.3.m3.1.1.1.1.2" xref="S3.SS4.p5.3.m3.1.1.1.1.2.cmml">U</mi><mi id="S3.SS4.p5.3.m3.1.1.1.1.3" xref="S3.SS4.p5.3.m3.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.SS4.p5.3.m3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS4.p5.3.m3.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p5.3.m3.1b"><set id="S3.SS4.p5.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p5.3.m3.1.1.1"><apply id="S3.SS4.p5.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p5.3.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p5.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p5.3.m3.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p5.3.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p5.3.m3.1.1.1.1.2">𝑈</ci><ci id="S3.SS4.p5.3.m3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS4.p5.3.m3.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p5.3.m3.1c">\{U_{i}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p5.3.m3.1d">{ italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT }</annotation></semantics></math> and <math alttext="\{V_{j}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p5.4.m4.1"><semantics id="S3.SS4.p5.4.m4.1a"><mrow id="S3.SS4.p5.4.m4.1.1.1" xref="S3.SS4.p5.4.m4.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS4.p5.4.m4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS4.p5.4.m4.1.1.2.cmml">{</mo><msub id="S3.SS4.p5.4.m4.1.1.1.1" xref="S3.SS4.p5.4.m4.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p5.4.m4.1.1.1.1.2" xref="S3.SS4.p5.4.m4.1.1.1.1.2.cmml">V</mi><mi id="S3.SS4.p5.4.m4.1.1.1.1.3" xref="S3.SS4.p5.4.m4.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.SS4.p5.4.m4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS4.p5.4.m4.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p5.4.m4.1b"><set id="S3.SS4.p5.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p5.4.m4.1.1.1"><apply id="S3.SS4.p5.4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p5.4.m4.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p5.4.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p5.4.m4.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p5.4.m4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p5.4.m4.1.1.1.1.2">𝑉</ci><ci id="S3.SS4.p5.4.m4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS4.p5.4.m4.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p5.4.m4.1c">\{V_{j}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p5.4.m4.1d">{ italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT }</annotation></semantics></math>. This statistic provides a single scalar summary that captures both location and scale discrepancies. It is defined as:</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS4.p6"> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E11"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="e=\frac{2}{n_{1}n_{2}}\sum_{i=1}^{n_{1}}\sum_{j=1}^{n_{2}}\|U_{i}-V_{j}\|-% \frac{1}{n_{1}^{2}}\sum_{i=1}^{n_{1}}\sum_{j=1}^{n_{1}}\|U_{i}-U_{j}\|-\frac{1% }{n_{2}^{2}}\sum_{i=1}^{n_{2}}\sum_{j=1}^{n_{2}}\|V_{i}-V_{j}\|," class="ltx_Math" display="block" id="S3.E11.m1.1"><semantics id="S3.E11.m1.1a"><mrow id="S3.E11.m1.1.1.1" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E11.m1.1.1.1.1" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E11.m1.1.1.1.1.5" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.5.cmml">e</mi><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.1.4" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mrow id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><msub id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">n</mi><mn id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">n</mi><mn id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mfrac><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><munderover id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msub id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">n</mi><mn id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></msub></munderover><mrow id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><munderover id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msub id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">n</mi><mn id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">2</mn></msub></munderover><mrow id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">U</mi><mi id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">V</mi><mi id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.4" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.4.cmml">−</mo><mrow id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mfrac id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mn id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">1</mn><msubsup id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml"><mi id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2.cmml">n</mi><mn id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.3.cmml">1</mn><mn id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3.cmml">2</mn></msubsup></mfrac><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml"><munderover id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.2.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.2.3.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.2.3.1" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.2.3.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msub id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.3.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.3.2.cmml">n</mi><mn id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.3.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.3.3.cmml">1</mn></msub></munderover><mrow id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><munderover id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.1" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msub id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.2.cmml">n</mi><mn id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></msub></munderover><mrow id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">U</mi><mi id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">U</mi><mi id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.4a" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.4.cmml">−</mo><mrow id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mfrac id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mn id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">1</mn><msubsup id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.2.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.2.2.cmml">n</mi><mn id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.2.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.2.3.cmml">2</mn><mn id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml">2</mn></msubsup></mfrac><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml"><munderover id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.2.cmml"><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.2.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.2.2.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.2.2.3.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.2.2.3.1" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.2.2.3.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msub id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.2.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.2.3.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.2.3.2.cmml">n</mi><mn id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.2.3.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.2.3.3.cmml">2</mn></msub></munderover><mrow id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.cmml"><munderover id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.2.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.2.3.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.2.3.1" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.2.3.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msub id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.3.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.3.2.cmml">n</mi><mn id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.3.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.3.3.cmml">2</mn></msub></munderover><mrow id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml">V</mi><mi id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml">V</mi><mi id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.2" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E11.m1.1b"><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1"><eq id="S3.E11.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.4"></eq><ci id="S3.E11.m1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.5">𝑒</ci><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3"><minus id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.4"></minus><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" 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id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"></sum><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><eq id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑛</ci><cn id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑈</ci><ci id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑉</ci><ci id="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2"><times id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2"></times><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.3"><divide id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.3"></divide><cn id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.3.2">1</cn><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.3.3">superscript</csymbol><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2">𝑛</ci><cn id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.3">1</cn></apply><cn id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1"><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.2">subscript</csymbol><sum id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.2.2"></sum><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.2.3"><eq id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.2.3.1"></eq><ci id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.3.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.3.2">𝑛</ci><cn id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1"><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2"></sum><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3"><eq id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.2">𝑛</ci><cn id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1"><minus id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.2">𝑈</ci><ci id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2">𝑈</ci><ci id="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3"><times id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.2"></times><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.3"><divide id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.3"></divide><cn id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.3.2">1</cn><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.3.3">superscript</csymbol><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.2.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.2.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.2.2">𝑛</ci><cn id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.2.3">2</cn></apply><cn id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1"><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.2.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.2.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.2">subscript</csymbol><sum id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.2.2.2"></sum><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.2.2.3"><eq id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.2.2.3.1"></eq><ci id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.2.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.2.3.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.2.3.2">𝑛</ci><cn id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1"><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.2.2"></sum><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.2.3"><eq id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.3.2">𝑛</ci><cn id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1"><minus id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.2.2">𝑉</ci><ci id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.3.2">𝑉</ci><ci id="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E11.m1.1c">e=\frac{2}{n_{1}n_{2}}\sum_{i=1}^{n_{1}}\sum_{j=1}^{n_{2}}\|U_{i}-V_{j}\|-% \frac{1}{n_{1}^{2}}\sum_{i=1}^{n_{1}}\sum_{j=1}^{n_{1}}\|U_{i}-U_{j}\|-\frac{1% }{n_{2}^{2}}\sum_{i=1}^{n_{2}}\sum_{j=1}^{n_{2}}\|V_{i}-V_{j}\|,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E11.m1.1d">italic_e = divide start_ARG 2 end_ARG start_ARG italic_n start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_n start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_n start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_n start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ∥ italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT - italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ∥ - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_n start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_n start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_n start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ∥ italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT - italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ∥ - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_n start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_n start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_n start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ∥ italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT - italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ∥ ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(11)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS4.p7"> <p class="ltx_p" id="S3.SS4.p7.5">where <math alttext="\|\cdot\|" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S3.SS4.p7.1.m1.1"><semantics id="S3.SS4.p7.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS4.p7.1.m1.1b"><mo id="S3.SS4.p7.1.m1.1.1" rspace="0em">∥</mo><mo id="S3.SS4.p7.1.m1.1.2" lspace="0em" rspace="0em">⋅</mo><mo id="S3.SS4.p7.1.m1.1.3" lspace="0em">∥</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p7.1.m1.1c">\|\cdot\|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p7.1.m1.1d">∥ ⋅ ∥</annotation></semantics></math> denotes the Euclidean norm, and <math alttext="n_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p7.2.m2.1"><semantics id="S3.SS4.p7.2.m2.1a"><msub id="S3.SS4.p7.2.m2.1.1" xref="S3.SS4.p7.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p7.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS4.p7.2.m2.1.1.2.cmml">n</mi><mn id="S3.SS4.p7.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS4.p7.2.m2.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p7.2.m2.1b"><apply id="S3.SS4.p7.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p7.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p7.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p7.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p7.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p7.2.m2.1.1.2">𝑛</ci><cn id="S3.SS4.p7.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS4.p7.2.m2.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p7.2.m2.1c">n_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p7.2.m2.1d">italic_n start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="n_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p7.3.m3.1"><semantics id="S3.SS4.p7.3.m3.1a"><msub id="S3.SS4.p7.3.m3.1.1" xref="S3.SS4.p7.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p7.3.m3.1.1.2" xref="S3.SS4.p7.3.m3.1.1.2.cmml">n</mi><mn id="S3.SS4.p7.3.m3.1.1.3" xref="S3.SS4.p7.3.m3.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p7.3.m3.1b"><apply id="S3.SS4.p7.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p7.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p7.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p7.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p7.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p7.3.m3.1.1.2">𝑛</ci><cn id="S3.SS4.p7.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS4.p7.3.m3.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p7.3.m3.1c">n_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p7.3.m3.1d">italic_n start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are the sample sizes of <math alttext="\{U_{i}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p7.4.m4.1"><semantics id="S3.SS4.p7.4.m4.1a"><mrow id="S3.SS4.p7.4.m4.1.1.1" xref="S3.SS4.p7.4.m4.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS4.p7.4.m4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS4.p7.4.m4.1.1.2.cmml">{</mo><msub id="S3.SS4.p7.4.m4.1.1.1.1" xref="S3.SS4.p7.4.m4.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p7.4.m4.1.1.1.1.2" xref="S3.SS4.p7.4.m4.1.1.1.1.2.cmml">U</mi><mi id="S3.SS4.p7.4.m4.1.1.1.1.3" xref="S3.SS4.p7.4.m4.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.SS4.p7.4.m4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS4.p7.4.m4.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p7.4.m4.1b"><set id="S3.SS4.p7.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p7.4.m4.1.1.1"><apply id="S3.SS4.p7.4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p7.4.m4.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p7.4.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p7.4.m4.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p7.4.m4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p7.4.m4.1.1.1.1.2">𝑈</ci><ci id="S3.SS4.p7.4.m4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS4.p7.4.m4.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p7.4.m4.1c">\{U_{i}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p7.4.m4.1d">{ italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT }</annotation></semantics></math> and <math alttext="\{V_{j}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p7.5.m5.1"><semantics id="S3.SS4.p7.5.m5.1a"><mrow id="S3.SS4.p7.5.m5.1.1.1" xref="S3.SS4.p7.5.m5.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS4.p7.5.m5.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS4.p7.5.m5.1.1.2.cmml">{</mo><msub id="S3.SS4.p7.5.m5.1.1.1.1" xref="S3.SS4.p7.5.m5.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p7.5.m5.1.1.1.1.2" xref="S3.SS4.p7.5.m5.1.1.1.1.2.cmml">V</mi><mi id="S3.SS4.p7.5.m5.1.1.1.1.3" xref="S3.SS4.p7.5.m5.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.SS4.p7.5.m5.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS4.p7.5.m5.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p7.5.m5.1b"><set id="S3.SS4.p7.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p7.5.m5.1.1.1"><apply id="S3.SS4.p7.5.m5.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p7.5.m5.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p7.5.m5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p7.5.m5.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p7.5.m5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p7.5.m5.1.1.1.1.2">𝑉</ci><ci id="S3.SS4.p7.5.m5.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS4.p7.5.m5.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p7.5.m5.1c">\{V_{j}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p7.5.m5.1d">{ italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT }</annotation></semantics></math>, respectively.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS4.p8"> <p class="ltx_p" id="S3.SS4.p8.2">The <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.SS4.p8.2.1">e-statistic</span> works by comparing the pairwise distances among points in the two sample sets. The first term in the equation calculates the average pairwise distance between samples in <math alttext="F_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p8.1.m1.1"><semantics id="S3.SS4.p8.1.m1.1a"><msub id="S3.SS4.p8.1.m1.1.1" xref="S3.SS4.p8.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p8.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS4.p8.1.m1.1.1.2.cmml">F</mi><mn id="S3.SS4.p8.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS4.p8.1.m1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p8.1.m1.1b"><apply id="S3.SS4.p8.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p8.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p8.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p8.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p8.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p8.1.m1.1.1.2">𝐹</ci><cn id="S3.SS4.p8.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS4.p8.1.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p8.1.m1.1c">F_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p8.1.m1.1d">italic_F start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="F_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p8.2.m2.1"><semantics id="S3.SS4.p8.2.m2.1a"><msub id="S3.SS4.p8.2.m2.1.1" xref="S3.SS4.p8.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p8.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS4.p8.2.m2.1.1.2.cmml">F</mi><mn id="S3.SS4.p8.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS4.p8.2.m2.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p8.2.m2.1b"><apply id="S3.SS4.p8.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p8.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p8.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p8.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p8.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p8.2.m2.1.1.2">𝐹</ci><cn id="S3.SS4.p8.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS4.p8.2.m2.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p8.2.m2.1c">F_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p8.2.m2.1d">italic_F start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>:</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS4.p9"> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex11"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\frac{2}{n_{1}n_{2}}\sum_{i=1}^{n_{1}}\sum_{j=1}^{n_{2}}\|U_{i}-V_{j}\|." class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex11.m1.1"><semantics id="S3.Ex11.m1.1a"><mrow id="S3.Ex11.m1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mrow id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><msub id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">n</mi><mn id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">n</mi><mn id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mfrac><mo id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.cmml"><munderover id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msub id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">n</mi><mn id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></msub></munderover><mrow id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><munderover id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msub id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">n</mi><mn id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">2</mn></msub></munderover><mrow id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">U</mi><mi id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">V</mi><mi id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex11.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex11.m1.1b"><apply id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1"><times id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.3"><divide id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.3"></divide><cn id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.3.2">2</cn><apply id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3"><times id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.1"></times><apply id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝑛</ci><cn id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.2.3">1</cn></apply><apply id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.3.2">𝑛</ci><cn id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1"><apply id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.2.2.2"></sum><apply id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.2.2.3"><eq id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑛</ci><cn id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"></sum><apply id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><eq id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑛</ci><cn id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑈</ci><ci id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑉</ci><ci id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex11.m1.1c">\frac{2}{n_{1}n_{2}}\sum_{i=1}^{n_{1}}\sum_{j=1}^{n_{2}}\|U_{i}-V_{j}\|.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex11.m1.1d">divide start_ARG 2 end_ARG start_ARG italic_n start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_n start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_n start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_n start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ∥ italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT - italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ∥ .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS4.p9.2">This term quantifies how far apart the two sets of samples are in Euclidean space. If the two distributions are similar, the distances between samples from <math alttext="F_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p9.1.m1.1"><semantics id="S3.SS4.p9.1.m1.1a"><msub id="S3.SS4.p9.1.m1.1.1" xref="S3.SS4.p9.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p9.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS4.p9.1.m1.1.1.2.cmml">F</mi><mn id="S3.SS4.p9.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS4.p9.1.m1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p9.1.m1.1b"><apply id="S3.SS4.p9.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p9.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p9.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p9.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p9.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p9.1.m1.1.1.2">𝐹</ci><cn id="S3.SS4.p9.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS4.p9.1.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p9.1.m1.1c">F_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p9.1.m1.1d">italic_F start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="F_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p9.2.m2.1"><semantics id="S3.SS4.p9.2.m2.1a"><msub id="S3.SS4.p9.2.m2.1.1" xref="S3.SS4.p9.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p9.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS4.p9.2.m2.1.1.2.cmml">F</mi><mn id="S3.SS4.p9.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS4.p9.2.m2.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p9.2.m2.1b"><apply id="S3.SS4.p9.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p9.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p9.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p9.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p9.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p9.2.m2.1.1.2">𝐹</ci><cn id="S3.SS4.p9.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS4.p9.2.m2.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p9.2.m2.1c">F_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p9.2.m2.1d">italic_F start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> will tend to be small.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS4.p10"> <p class="ltx_p" id="S3.SS4.p10.1">The second and third terms measure the pairwise distances within each sample set. Specifically,</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS4.p11"> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex12"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\frac{1}{n_{1}^{2}}\sum_{i=1}^{n_{1}}\sum_{j=1}^{n_{1}}\|U_{i}-U_{j}\|\quad% \text{and}\quad\frac{1}{n_{2}^{2}}\sum_{i=1}^{n_{2}}\sum_{j=1}^{n_{2}}\|V_{i}-% V_{j}\|." class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex12.m1.2"><semantics id="S3.Ex12.m1.2a"><mrow id="S3.Ex12.m1.2.2.1"><mrow id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><msubsup id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">n</mi><mn id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">1</mn><mn id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msubsup></mfrac><mo id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><munderover id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msub id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">n</mi><mn id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></msub></munderover><mrow id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><munderover id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msub id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">n</mi><mn id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></msub></munderover><mrow id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">U</mi><mi id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">U</mi><mi id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mspace id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.3" width="1em" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.3.cmml"></mspace><mtext id="S3.Ex12.m1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.1.1a.cmml">and</mtext><mspace id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.4" width="1em" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.3.cmml"></mspace><mrow id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.cmml"><mfrac id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml"><mn id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.3.2" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.cmml">1</mn><msubsup id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.3.3" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.2.2" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.2.2.cmml">n</mi><mn id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.2.3" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.2.3.cmml">2</mn><mn id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.3" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.3.cmml">2</mn></msubsup></mfrac><mo id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml"><munderover id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.2" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.2.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.2.2.3" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.2.2.3.2" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.2.2.3.1" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.2.2.3.3" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msub id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.2.3" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.2.3.2" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.2.3.2.cmml">n</mi><mn id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.2.3.3" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.2.3.3.cmml">2</mn></msub></munderover><mrow id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.cmml"><munderover id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.2.3.1" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.2.3.3" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msub id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.3" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.3.2.cmml">n</mi><mn id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.3.3.cmml">2</mn></msub></munderover><mrow id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">V</mi><mi id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">V</mi><mi id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex12.m1.2.2.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex12.m1.2b"><list id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2"><apply id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1"><times id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.3"><divide id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.3"></divide><cn id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" 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xref="S3.Ex12.m1.1.1"><mtext id="S3.Ex12.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.1.1">and</mtext></ci><apply id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2"><times id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.2"></times><apply id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.3"><divide id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.3"></divide><cn id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.3.2">1</cn><apply id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.3.3">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.2.2">𝑛</ci><cn id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.2.3">2</cn></apply><cn id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1"><apply id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.2">subscript</csymbol><sum id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.2.2.2"></sum><apply id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.2.2.3"><eq id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.2.2.3.1"></eq><ci id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.2.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.2.3.2">𝑛</ci><cn id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1"><apply id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.2.2"></sum><apply id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.2.3"><eq id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.3.2">𝑛</ci><cn id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1"><minus id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.2">𝑉</ci><ci id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2">𝑉</ci><ci id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex12.m1.2c">\frac{1}{n_{1}^{2}}\sum_{i=1}^{n_{1}}\sum_{j=1}^{n_{1}}\|U_{i}-U_{j}\|\quad% \text{and}\quad\frac{1}{n_{2}^{2}}\sum_{i=1}^{n_{2}}\sum_{j=1}^{n_{2}}\|V_{i}-% V_{j}\|.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex12.m1.2d">divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_n start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_n start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_n start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ∥ italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT - italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ∥ and divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_n start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_n start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_n start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ∥ italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT - italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ∥ .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS4.p11.3">These terms reflect the spread or dispersion within the two distributions. By subtracting the internal distances from the between-sample distances, the e-statistic provides a measure of the dissimilarity between <math alttext="F_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p11.1.m1.1"><semantics id="S3.SS4.p11.1.m1.1a"><msub id="S3.SS4.p11.1.m1.1.1" xref="S3.SS4.p11.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p11.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS4.p11.1.m1.1.1.2.cmml">F</mi><mn id="S3.SS4.p11.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS4.p11.1.m1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p11.1.m1.1b"><apply id="S3.SS4.p11.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p11.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p11.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p11.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p11.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p11.1.m1.1.1.2">𝐹</ci><cn id="S3.SS4.p11.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS4.p11.1.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p11.1.m1.1c">F_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p11.1.m1.1d">italic_F start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="F_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p11.2.m2.1"><semantics id="S3.SS4.p11.2.m2.1a"><msub id="S3.SS4.p11.2.m2.1.1" xref="S3.SS4.p11.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p11.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS4.p11.2.m2.1.1.2.cmml">F</mi><mn id="S3.SS4.p11.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS4.p11.2.m2.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p11.2.m2.1b"><apply id="S3.SS4.p11.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p11.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p11.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p11.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p11.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p11.2.m2.1.1.2">𝐹</ci><cn id="S3.SS4.p11.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS4.p11.2.m2.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p11.2.m2.1c">F_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p11.2.m2.1d">italic_F start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. A smaller value of <math alttext="e" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p11.3.m3.1"><semantics id="S3.SS4.p11.3.m3.1a"><mi id="S3.SS4.p11.3.m3.1.1" xref="S3.SS4.p11.3.m3.1.1.cmml">e</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p11.3.m3.1b"><ci id="S3.SS4.p11.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p11.3.m3.1.1">𝑒</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p11.3.m3.1c">e</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p11.3.m3.1d">italic_e</annotation></semantics></math> indicates closer agreement between the two distributions, while a larger value reflects greater discrepancy.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS4.p12"> <p class="ltx_p" id="S3.SS4.p12.1">When comparing the <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.SS4.p12.1.1">uniform distribution</span> to the <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.SS4.p12.1.2">quantiles</span> of the sampled posterior distributions, the e-statistic can evaluate how closely the quantiles align with the uniform distribution. In this case, the uniform distribution on <math alttext="[0,1]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p12.1.m1.2"><semantics id="S3.SS4.p12.1.m1.2a"><mrow id="S3.SS4.p12.1.m1.2.3.2" xref="S3.SS4.p12.1.m1.2.3.1.cmml"><mo id="S3.SS4.p12.1.m1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS4.p12.1.m1.2.3.1.cmml">[</mo><mn id="S3.SS4.p12.1.m1.1.1" xref="S3.SS4.p12.1.m1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.SS4.p12.1.m1.2.3.2.2" xref="S3.SS4.p12.1.m1.2.3.1.cmml">,</mo><mn id="S3.SS4.p12.1.m1.2.2" xref="S3.SS4.p12.1.m1.2.2.cmml">1</mn><mo id="S3.SS4.p12.1.m1.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS4.p12.1.m1.2.3.1.cmml">]</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p12.1.m1.2b"><interval closure="closed" id="S3.SS4.p12.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS4.p12.1.m1.2.3.2"><cn id="S3.SS4.p12.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.SS4.p12.1.m1.1.1">0</cn><cn id="S3.SS4.p12.1.m1.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS4.p12.1.m1.2.2">1</cn></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p12.1.m1.2c">[0,1]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p12.1.m1.2d">[ 0 , 1 ]</annotation></semantics></math> serves as the reference, representing the ideal case where data points are evenly spread across the interval. The quantiles, derived from the empirical distribution of the observed data, form the second set of samples.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS4.p13"> <p class="ltx_p" id="S3.SS4.p13.1">The e-statistic serves as a rigorous measure for comparing two distributions. When applied to uniform distributions and empirical quantiles, it provides a clear assessment of how evenly the quantiles are spread, making it particularly useful for evaluating model calibration and fit.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS4.p14"> <p class="ltx_p" id="S3.SS4.p14.1">For hyperparameter tuning, such as selecting the smoothing parameter <math alttext="\kappa" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p14.1.m1.1"><semantics id="S3.SS4.p14.1.m1.1a"><mi id="S3.SS4.p14.1.m1.1.1" xref="S3.SS4.p14.1.m1.1.1.cmml">κ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p14.1.m1.1b"><ci id="S3.SS4.p14.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p14.1.m1.1.1">𝜅</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p14.1.m1.1c">\kappa</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p14.1.m1.1d">italic_κ</annotation></semantics></math> in the prior mean model, cross-validation using the e-statistic ensures that both first- and second-moment properties are matched. This approach avoids relying solely on RMSE, which can be insufficient when modeling heteroscedasticity.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS4.p15"> <p class="ltx_p" id="S3.SS4.p15.1">Overall, this combination of graphical diagnostics and quantitative metrics provides a comprehensive framework for evaluating and comparing the performance of the heteroscedastic AddiVortes model, ensuring that both predictive accuracy and uncertainty estimation are thoroughly assessed.</p> </div> </section> </section> <section class="ltx_section" id="S4"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">4 </span>Illustrating Heteroscedastic AddiVortes on simulated data</h2> <div class="ltx_para" id="S4.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.p1.3">We use simulated data to evaluate the performance of AddiVortes against known values and consider a similar set-up to the one originally explored in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Friedman, (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13037v1#bib.bib4" title="">1991</a>)</cite>. We generate data by simulating the values of <math alttext="\bm{x}=(x_{1},x_{2},\ldots,x_{d})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p1.1.m1.4"><semantics id="S4.p1.1.m1.4a"><mrow id="S4.p1.1.m1.4.4" xref="S4.p1.1.m1.4.4.cmml"><mi id="S4.p1.1.m1.4.4.5" xref="S4.p1.1.m1.4.4.5.cmml">𝒙</mi><mo id="S4.p1.1.m1.4.4.4" xref="S4.p1.1.m1.4.4.4.cmml">=</mo><mrow id="S4.p1.1.m1.4.4.3.3" xref="S4.p1.1.m1.4.4.3.4.cmml"><mo id="S4.p1.1.m1.4.4.3.3.4" stretchy="false" xref="S4.p1.1.m1.4.4.3.4.cmml">(</mo><msub id="S4.p1.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S4.p1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S4.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S4.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S4.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.p1.1.m1.4.4.3.3.5" xref="S4.p1.1.m1.4.4.3.4.cmml">,</mo><msub id="S4.p1.1.m1.3.3.2.2.2" xref="S4.p1.1.m1.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S4.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2" xref="S4.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.p1.1.m1.3.3.2.2.2.3" xref="S4.p1.1.m1.3.3.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.p1.1.m1.4.4.3.3.6" xref="S4.p1.1.m1.4.4.3.4.cmml">,</mo><mi id="S4.p1.1.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="S4.p1.1.m1.1.1.cmml">…</mi><mo id="S4.p1.1.m1.4.4.3.3.7" xref="S4.p1.1.m1.4.4.3.4.cmml">,</mo><msub id="S4.p1.1.m1.4.4.3.3.3" xref="S4.p1.1.m1.4.4.3.3.3.cmml"><mi id="S4.p1.1.m1.4.4.3.3.3.2" xref="S4.p1.1.m1.4.4.3.3.3.2.cmml">x</mi><mi id="S4.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3" xref="S4.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.cmml">d</mi></msub><mo id="S4.p1.1.m1.4.4.3.3.8" stretchy="false" xref="S4.p1.1.m1.4.4.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p1.1.m1.4b"><apply id="S4.p1.1.m1.4.4.cmml" xref="S4.p1.1.m1.4.4"><eq id="S4.p1.1.m1.4.4.4.cmml" xref="S4.p1.1.m1.4.4.4"></eq><ci id="S4.p1.1.m1.4.4.5.cmml" xref="S4.p1.1.m1.4.4.5">𝒙</ci><vector id="S4.p1.1.m1.4.4.3.4.cmml" xref="S4.p1.1.m1.4.4.3.3"><apply id="S4.p1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.p1.1.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p1.1.m1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S4.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S4.p1.1.m1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.p1.1.m1.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p1.1.m1.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S4.p1.1.m1.3.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S4.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.p1.1.m1.3.3.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.p1.1.m1.3.3.2.2.2.3">2</cn></apply><ci id="S4.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p1.1.m1.1.1">…</ci><apply id="S4.p1.1.m1.4.4.3.3.3.cmml" xref="S4.p1.1.m1.4.4.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p1.1.m1.4.4.3.3.3.1.cmml" xref="S4.p1.1.m1.4.4.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p1.1.m1.4.4.3.3.3.2.cmml" xref="S4.p1.1.m1.4.4.3.3.3.2">𝑥</ci><ci id="S4.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.cmml" xref="S4.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3">𝑑</ci></apply></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p1.1.m1.4c">\bm{x}=(x_{1},x_{2},\ldots,x_{d})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p1.1.m1.4d">bold_italic_x = ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_d end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>, with <math alttext="x_{1},x_{2},\ldots,x_{d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p1.2.m2.4"><semantics id="S4.p1.2.m2.4a"><mrow id="S4.p1.2.m2.4.4.3" xref="S4.p1.2.m2.4.4.4.cmml"><msub id="S4.p1.2.m2.2.2.1.1" xref="S4.p1.2.m2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S4.p1.2.m2.2.2.1.1.2" xref="S4.p1.2.m2.2.2.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S4.p1.2.m2.2.2.1.1.3" xref="S4.p1.2.m2.2.2.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.p1.2.m2.4.4.3.4" xref="S4.p1.2.m2.4.4.4.cmml">,</mo><msub id="S4.p1.2.m2.3.3.2.2" xref="S4.p1.2.m2.3.3.2.2.cmml"><mi id="S4.p1.2.m2.3.3.2.2.2" xref="S4.p1.2.m2.3.3.2.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.p1.2.m2.3.3.2.2.3" xref="S4.p1.2.m2.3.3.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.p1.2.m2.4.4.3.5" xref="S4.p1.2.m2.4.4.4.cmml">,</mo><mi id="S4.p1.2.m2.1.1" mathvariant="normal" xref="S4.p1.2.m2.1.1.cmml">…</mi><mo id="S4.p1.2.m2.4.4.3.6" xref="S4.p1.2.m2.4.4.4.cmml">,</mo><msub id="S4.p1.2.m2.4.4.3.3" xref="S4.p1.2.m2.4.4.3.3.cmml"><mi id="S4.p1.2.m2.4.4.3.3.2" xref="S4.p1.2.m2.4.4.3.3.2.cmml">x</mi><mi id="S4.p1.2.m2.4.4.3.3.3" xref="S4.p1.2.m2.4.4.3.3.3.cmml">d</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p1.2.m2.4b"><list id="S4.p1.2.m2.4.4.4.cmml" xref="S4.p1.2.m2.4.4.3"><apply id="S4.p1.2.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.p1.2.m2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p1.2.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.p1.2.m2.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p1.2.m2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.p1.2.m2.2.2.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S4.p1.2.m2.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p1.2.m2.2.2.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S4.p1.2.m2.3.3.2.2.cmml" xref="S4.p1.2.m2.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p1.2.m2.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.p1.2.m2.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p1.2.m2.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.p1.2.m2.3.3.2.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.p1.2.m2.3.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.p1.2.m2.3.3.2.2.3">2</cn></apply><ci id="S4.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.p1.2.m2.1.1">…</ci><apply id="S4.p1.2.m2.4.4.3.3.cmml" xref="S4.p1.2.m2.4.4.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p1.2.m2.4.4.3.3.1.cmml" xref="S4.p1.2.m2.4.4.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p1.2.m2.4.4.3.3.2.cmml" xref="S4.p1.2.m2.4.4.3.3.2">𝑥</ci><ci id="S4.p1.2.m2.4.4.3.3.3.cmml" xref="S4.p1.2.m2.4.4.3.3.3">𝑑</ci></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p1.2.m2.4c">x_{1},x_{2},\ldots,x_{d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p1.2.m2.4d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_d end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> being independently drawn from the standard uniform distribution and the response variable <math alttext="Y" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p1.3.m3.1"><semantics id="S4.p1.3.m3.1a"><mi id="S4.p1.3.m3.1.1" xref="S4.p1.3.m3.1.1.cmml">Y</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p1.3.m3.1b"><ci id="S4.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.p1.3.m3.1.1">𝑌</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p1.3.m3.1c">Y</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p1.3.m3.1d">italic_Y</annotation></semantics></math> given by</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E12"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="Y=f(\bm{x})+\epsilon=10\sin(\pi x_{1}x_{2})+20(x_{3}-0.5)^{2}+10x_{4}+5x_{5}+\epsilon," class="ltx_Math" display="block" id="S4.E12.m1.3"><semantics id="S4.E12.m1.3a"><mrow id="S4.E12.m1.3.3.1" xref="S4.E12.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S4.E12.m1.3.3.1.1" xref="S4.E12.m1.3.3.1.1.cmml"><mi id="S4.E12.m1.3.3.1.1.4" xref="S4.E12.m1.3.3.1.1.4.cmml">Y</mi><mo id="S4.E12.m1.3.3.1.1.5" xref="S4.E12.m1.3.3.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S4.E12.m1.3.3.1.1.6" xref="S4.E12.m1.3.3.1.1.6.cmml"><mrow id="S4.E12.m1.3.3.1.1.6.2" xref="S4.E12.m1.3.3.1.1.6.2.cmml"><mi id="S4.E12.m1.3.3.1.1.6.2.2" xref="S4.E12.m1.3.3.1.1.6.2.2.cmml">f</mi><mo id="S4.E12.m1.3.3.1.1.6.2.1" xref="S4.E12.m1.3.3.1.1.6.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E12.m1.3.3.1.1.6.2.3.2" xref="S4.E12.m1.3.3.1.1.6.2.cmml"><mo id="S4.E12.m1.3.3.1.1.6.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E12.m1.3.3.1.1.6.2.cmml">(</mo><mi id="S4.E12.m1.1.1" xref="S4.E12.m1.1.1.cmml">𝒙</mi><mo id="S4.E12.m1.3.3.1.1.6.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.E12.m1.3.3.1.1.6.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E12.m1.3.3.1.1.6.1" xref="S4.E12.m1.3.3.1.1.6.1.cmml">+</mo><mi id="S4.E12.m1.3.3.1.1.6.3" xref="S4.E12.m1.3.3.1.1.6.3.cmml">ϵ</mi></mrow><mo id="S4.E12.m1.3.3.1.1.7" xref="S4.E12.m1.3.3.1.1.7.cmml">=</mo><mrow id="S4.E12.m1.3.3.1.1.2" xref="S4.E12.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.E12.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S4.E12.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.E12.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S4.E12.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">10</mn><mo id="S4.E12.m1.3.3.1.1.1.1.2" lspace="0.167em" xref="S4.E12.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E12.m1.2.2" xref="S4.E12.m1.2.2.cmml">sin</mi><mo id="S4.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S4.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S4.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">π</mi><mo id="S4.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">x</mi><mn id="S4.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S4.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S4.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">x</mi><mn id="S4.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S4.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S4.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E12.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E12.m1.3.3.1.1.2.3" xref="S4.E12.m1.3.3.1.1.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S4.E12.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S4.E12.m1.3.3.1.1.2.2.cmml"><mn id="S4.E12.m1.3.3.1.1.2.2.3" xref="S4.E12.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml">20</mn><mo id="S4.E12.m1.3.3.1.1.2.2.2" xref="S4.E12.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E12.m1.3.3.1.1.2.2.1" xref="S4.E12.m1.3.3.1.1.2.2.1.cmml"><mrow id="S4.E12.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1" xref="S4.E12.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E12.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E12.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E12.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S4.E12.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.E12.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S4.E12.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E12.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E12.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.E12.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E12.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">3</mn></msub><mo id="S4.E12.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.E12.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S4.E12.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S4.E12.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">0.5</mn></mrow><mo id="S4.E12.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3" 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id="S4.E12.m1.3.3.1.1.2.5.3" xref="S4.E12.m1.3.3.1.1.2.5.3.cmml"><mi id="S4.E12.m1.3.3.1.1.2.5.3.2" xref="S4.E12.m1.3.3.1.1.2.5.3.2.cmml">x</mi><mn id="S4.E12.m1.3.3.1.1.2.5.3.3" xref="S4.E12.m1.3.3.1.1.2.5.3.3.cmml">5</mn></msub></mrow><mo id="S4.E12.m1.3.3.1.1.2.3c" xref="S4.E12.m1.3.3.1.1.2.3.cmml">+</mo><mi id="S4.E12.m1.3.3.1.1.2.6" xref="S4.E12.m1.3.3.1.1.2.6.cmml">ϵ</mi></mrow></mrow><mo id="S4.E12.m1.3.3.1.2" xref="S4.E12.m1.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E12.m1.3b"><apply id="S4.E12.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.E12.m1.3.3.1"><and id="S4.E12.m1.3.3.1.1a.cmml" xref="S4.E12.m1.3.3.1"></and><apply id="S4.E12.m1.3.3.1.1b.cmml" xref="S4.E12.m1.3.3.1"><eq id="S4.E12.m1.3.3.1.1.5.cmml" xref="S4.E12.m1.3.3.1.1.5"></eq><ci id="S4.E12.m1.3.3.1.1.4.cmml" xref="S4.E12.m1.3.3.1.1.4">𝑌</ci><apply id="S4.E12.m1.3.3.1.1.6.cmml" xref="S4.E12.m1.3.3.1.1.6"><plus id="S4.E12.m1.3.3.1.1.6.1.cmml" xref="S4.E12.m1.3.3.1.1.6.1"></plus><apply 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encoding="application/x-tex" id="S4.E12.m1.3c">Y=f(\bm{x})+\epsilon=10\sin(\pi x_{1}x_{2})+20(x_{3}-0.5)^{2}+10x_{4}+5x_{5}+\epsilon,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E12.m1.3d">italic_Y = italic_f ( bold_italic_x ) + italic_ϵ = 10 roman_sin ( italic_π italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) + 20 ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT - 0.5 ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 10 italic_x start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT + 5 italic_x start_POSTSUBSCRIPT 5 end_POSTSUBSCRIPT + italic_ϵ ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(12)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.p1.8">where <math alttext="\epsilon\sim\mathcal{N}(0,s^{2}(\bm{x}))" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p1.4.m1.3"><semantics id="S4.p1.4.m1.3a"><mrow id="S4.p1.4.m1.3.3" xref="S4.p1.4.m1.3.3.cmml"><mi id="S4.p1.4.m1.3.3.3" xref="S4.p1.4.m1.3.3.3.cmml">ϵ</mi><mo id="S4.p1.4.m1.3.3.2" xref="S4.p1.4.m1.3.3.2.cmml">∼</mo><mrow id="S4.p1.4.m1.3.3.1" xref="S4.p1.4.m1.3.3.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.p1.4.m1.3.3.1.3" xref="S4.p1.4.m1.3.3.1.3.cmml">𝒩</mi><mo id="S4.p1.4.m1.3.3.1.2" xref="S4.p1.4.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p1.4.m1.3.3.1.1.1" xref="S4.p1.4.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S4.p1.4.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.p1.4.m1.3.3.1.1.2.cmml">(</mo><mn id="S4.p1.4.m1.2.2" xref="S4.p1.4.m1.2.2.cmml">0</mn><mo id="S4.p1.4.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S4.p1.4.m1.3.3.1.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S4.p1.4.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S4.p1.4.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.p1.4.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S4.p1.4.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.p1.4.m1.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S4.p1.4.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">s</mi><mn id="S4.p1.4.m1.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="S4.p1.4.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.p1.4.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S4.p1.4.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p1.4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S4.p1.4.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.p1.4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.p1.4.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.p1.4.m1.1.1" xref="S4.p1.4.m1.1.1.cmml">𝒙</mi><mo id="S4.p1.4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.p1.4.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.p1.4.m1.3.3.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.p1.4.m1.3.3.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p1.4.m1.3b"><apply id="S4.p1.4.m1.3.3.cmml" xref="S4.p1.4.m1.3.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.p1.4.m1.3.3.2.cmml" xref="S4.p1.4.m1.3.3.2">similar-to</csymbol><ci id="S4.p1.4.m1.3.3.3.cmml" xref="S4.p1.4.m1.3.3.3">italic-ϵ</ci><apply id="S4.p1.4.m1.3.3.1.cmml" xref="S4.p1.4.m1.3.3.1"><times id="S4.p1.4.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S4.p1.4.m1.3.3.1.2"></times><ci id="S4.p1.4.m1.3.3.1.3.cmml" xref="S4.p1.4.m1.3.3.1.3">𝒩</ci><interval closure="open" id="S4.p1.4.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S4.p1.4.m1.3.3.1.1.1"><cn id="S4.p1.4.m1.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.p1.4.m1.2.2">0</cn><apply id="S4.p1.4.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p1.4.m1.3.3.1.1.1.1"><times id="S4.p1.4.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p1.4.m1.3.3.1.1.1.1.1"></times><apply id="S4.p1.4.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p1.4.m1.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p1.4.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.p1.4.m1.3.3.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.p1.4.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.p1.4.m1.3.3.1.1.1.1.2.2">𝑠</ci><cn id="S4.p1.4.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.p1.4.m1.3.3.1.1.1.1.2.3">2</cn></apply><ci id="S4.p1.4.m1.1.1.cmml" xref="S4.p1.4.m1.1.1">𝒙</ci></apply></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p1.4.m1.3c">\epsilon\sim\mathcal{N}(0,s^{2}(\bm{x}))</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p1.4.m1.3d">italic_ϵ ∼ caligraphic_N ( 0 , italic_s start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( bold_italic_x ) )</annotation></semantics></math>. Notably, <math alttext="Y" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p1.5.m2.1"><semantics id="S4.p1.5.m2.1a"><mi id="S4.p1.5.m2.1.1" xref="S4.p1.5.m2.1.1.cmml">Y</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p1.5.m2.1b"><ci id="S4.p1.5.m2.1.1.cmml" xref="S4.p1.5.m2.1.1">𝑌</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p1.5.m2.1c">Y</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p1.5.m2.1d">italic_Y</annotation></semantics></math> is solely dependent on <math alttext="x_{1},\ldots,x_{5}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p1.6.m3.3"><semantics id="S4.p1.6.m3.3a"><mrow id="S4.p1.6.m3.3.3.2" xref="S4.p1.6.m3.3.3.3.cmml"><msub id="S4.p1.6.m3.2.2.1.1" xref="S4.p1.6.m3.2.2.1.1.cmml"><mi id="S4.p1.6.m3.2.2.1.1.2" xref="S4.p1.6.m3.2.2.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S4.p1.6.m3.2.2.1.1.3" xref="S4.p1.6.m3.2.2.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.p1.6.m3.3.3.2.3" xref="S4.p1.6.m3.3.3.3.cmml">,</mo><mi id="S4.p1.6.m3.1.1" mathvariant="normal" xref="S4.p1.6.m3.1.1.cmml">…</mi><mo id="S4.p1.6.m3.3.3.2.4" xref="S4.p1.6.m3.3.3.3.cmml">,</mo><msub id="S4.p1.6.m3.3.3.2.2" xref="S4.p1.6.m3.3.3.2.2.cmml"><mi id="S4.p1.6.m3.3.3.2.2.2" xref="S4.p1.6.m3.3.3.2.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.p1.6.m3.3.3.2.2.3" xref="S4.p1.6.m3.3.3.2.2.3.cmml">5</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p1.6.m3.3b"><list id="S4.p1.6.m3.3.3.3.cmml" xref="S4.p1.6.m3.3.3.2"><apply id="S4.p1.6.m3.2.2.1.1.cmml" xref="S4.p1.6.m3.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p1.6.m3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.p1.6.m3.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p1.6.m3.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.p1.6.m3.2.2.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S4.p1.6.m3.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p1.6.m3.2.2.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S4.p1.6.m3.1.1.cmml" xref="S4.p1.6.m3.1.1">…</ci><apply id="S4.p1.6.m3.3.3.2.2.cmml" xref="S4.p1.6.m3.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p1.6.m3.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.p1.6.m3.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p1.6.m3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.p1.6.m3.3.3.2.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.p1.6.m3.3.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.p1.6.m3.3.3.2.2.3">5</cn></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p1.6.m3.3c">x_{1},\ldots,x_{5}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p1.6.m3.3d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_x start_POSTSUBSCRIPT 5 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, so the predictors <math alttext="x_{6},\ldots,x_{d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p1.7.m4.3"><semantics id="S4.p1.7.m4.3a"><mrow id="S4.p1.7.m4.3.3.2" xref="S4.p1.7.m4.3.3.3.cmml"><msub id="S4.p1.7.m4.2.2.1.1" xref="S4.p1.7.m4.2.2.1.1.cmml"><mi id="S4.p1.7.m4.2.2.1.1.2" xref="S4.p1.7.m4.2.2.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S4.p1.7.m4.2.2.1.1.3" xref="S4.p1.7.m4.2.2.1.1.3.cmml">6</mn></msub><mo id="S4.p1.7.m4.3.3.2.3" xref="S4.p1.7.m4.3.3.3.cmml">,</mo><mi id="S4.p1.7.m4.1.1" mathvariant="normal" xref="S4.p1.7.m4.1.1.cmml">…</mi><mo id="S4.p1.7.m4.3.3.2.4" xref="S4.p1.7.m4.3.3.3.cmml">,</mo><msub id="S4.p1.7.m4.3.3.2.2" xref="S4.p1.7.m4.3.3.2.2.cmml"><mi id="S4.p1.7.m4.3.3.2.2.2" xref="S4.p1.7.m4.3.3.2.2.2.cmml">x</mi><mi id="S4.p1.7.m4.3.3.2.2.3" xref="S4.p1.7.m4.3.3.2.2.3.cmml">d</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p1.7.m4.3b"><list id="S4.p1.7.m4.3.3.3.cmml" xref="S4.p1.7.m4.3.3.2"><apply id="S4.p1.7.m4.2.2.1.1.cmml" xref="S4.p1.7.m4.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p1.7.m4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.p1.7.m4.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p1.7.m4.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.p1.7.m4.2.2.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S4.p1.7.m4.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p1.7.m4.2.2.1.1.3">6</cn></apply><ci id="S4.p1.7.m4.1.1.cmml" xref="S4.p1.7.m4.1.1">…</ci><apply id="S4.p1.7.m4.3.3.2.2.cmml" xref="S4.p1.7.m4.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p1.7.m4.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.p1.7.m4.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p1.7.m4.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.p1.7.m4.3.3.2.2.2">𝑥</ci><ci id="S4.p1.7.m4.3.3.2.2.3.cmml" xref="S4.p1.7.m4.3.3.2.2.3">𝑑</ci></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p1.7.m4.3c">x_{6},\ldots,x_{d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p1.7.m4.3d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT 6 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_d end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are inactive variables. The introduction of these extraneous variables injects a layer of complexity. In our simulated experiments, we let <math alttext="d=10" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p1.8.m5.1"><semantics id="S4.p1.8.m5.1a"><mrow id="S4.p1.8.m5.1.1" xref="S4.p1.8.m5.1.1.cmml"><mi id="S4.p1.8.m5.1.1.2" xref="S4.p1.8.m5.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="S4.p1.8.m5.1.1.1" xref="S4.p1.8.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.p1.8.m5.1.1.3" xref="S4.p1.8.m5.1.1.3.cmml">10</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p1.8.m5.1b"><apply id="S4.p1.8.m5.1.1.cmml" xref="S4.p1.8.m5.1.1"><eq id="S4.p1.8.m5.1.1.1.cmml" xref="S4.p1.8.m5.1.1.1"></eq><ci id="S4.p1.8.m5.1.1.2.cmml" xref="S4.p1.8.m5.1.1.2">𝑑</ci><cn id="S4.p1.8.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p1.8.m5.1.1.3">10</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p1.8.m5.1c">d=10</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p1.8.m5.1d">italic_d = 10</annotation></semantics></math>, that is there are 10 covariates with only 5 active covariates.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p2"> <p class="ltx_p" id="S4.p2.1">To evaluate the predictive ability of the heteroscedastic AddiVortes model of the variance component <math alttext="s^{2}(\bm{x})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p2.1.m1.1"><semantics id="S4.p2.1.m1.1a"><mrow id="S4.p2.1.m1.1.2" xref="S4.p2.1.m1.1.2.cmml"><msup id="S4.p2.1.m1.1.2.2" xref="S4.p2.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.p2.1.m1.1.2.2.2" xref="S4.p2.1.m1.1.2.2.2.cmml">s</mi><mn id="S4.p2.1.m1.1.2.2.3" xref="S4.p2.1.m1.1.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.p2.1.m1.1.2.1" xref="S4.p2.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p2.1.m1.1.2.3.2" xref="S4.p2.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S4.p2.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.p2.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.p2.1.m1.1.1" xref="S4.p2.1.m1.1.1.cmml">𝒙</mi><mo id="S4.p2.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.p2.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p2.1.m1.1b"><apply id="S4.p2.1.m1.1.2.cmml" xref="S4.p2.1.m1.1.2"><times id="S4.p2.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S4.p2.1.m1.1.2.1"></times><apply id="S4.p2.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S4.p2.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p2.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.p2.1.m1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.p2.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.p2.1.m1.1.2.2.2">𝑠</ci><cn id="S4.p2.1.m1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.p2.1.m1.1.2.2.3">2</cn></apply><ci id="S4.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p2.1.m1.1.1">𝒙</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p2.1.m1.1c">s^{2}(\bm{x})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p2.1.m1.1d">italic_s start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( bold_italic_x )</annotation></semantics></math>, we consider three cases,</p> <ol class="ltx_enumerate" id="S4.I1"> <li class="ltx_item" id="S4.I1.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">1.</span> <div class="ltx_para" id="S4.I1.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.I1.i1.p1.1"><math alttext="s(\bm{x})=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.I1.i1.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.I1.i1.p1.1.m1.1a"><mrow id="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.2" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.2.cmml"><mrow id="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.2.2" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.2.2.2" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.2.2.2.cmml">s</mi><mo id="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.2.2.1" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.2.2.3.2" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.2.2.cmml"><mo id="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.1" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.cmml">𝒙</mi><mo id="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.2.1" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.2.1.cmml">=</mo><mn id="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.2.3" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.2.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.I1.i1.p1.1.m1.1b"><apply id="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.2.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.2"><eq id="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.2.1"></eq><apply id="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.2.2"><times id="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.2.2.1"></times><ci id="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.2.2.2">𝑠</ci><ci id="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.1">𝒙</ci></apply><cn id="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.2.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.I1.i1.p1.1.m1.1c">s(\bm{x})=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.I1.i1.p1.1.m1.1d">italic_s ( bold_italic_x ) = 1</annotation></semantics></math>,</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S4.I1.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">2.</span> <div class="ltx_para" id="S4.I1.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.I1.i2.p1.1"><math alttext="s(\bm{x})=5x_{1}+2x_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1a"><mrow id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.cmml"><mrow id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.2" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.2.2" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.2.2.cmml">s</mi><mo id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.2.1" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.2.3.2" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.2.cmml"><mo id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.1" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.1.cmml">𝒙</mi><mo id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.1" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.3" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.3.cmml"><mrow id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.3.2" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.3.2.cmml"><mn id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.3.2.2" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.3.2.2.cmml">5</mn><mo id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.3.2.1" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.3.2.3" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.3.2.3.2" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.3.2.3.2.cmml">x</mi><mn id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.3.2.3.3" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.3.2.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.3.1" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.3.3" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.3.3.cmml"><mn id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.3.3.2" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.3.3.2.cmml">2</mn><mo id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.3.3.1" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.3.3.3" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.3.3.3.cmml"><mi id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.3.3.3.2" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.3.3.3.2.cmml">x</mi><mn id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.3.3.3.3" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.3.3.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1b"><apply id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2"><eq id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.1"></eq><apply id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.2"><times id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.2.1"></times><ci id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.2.2">𝑠</ci><ci id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.1">𝒙</ci></apply><apply id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.3.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.3"><plus id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.3.1"></plus><apply id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.3.2"><times id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.3.2.1"></times><cn id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.3.2.2">5</cn><apply id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.3.2.3.2">𝑥</ci><cn id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.3.3"><times id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.3.3.1"></times><cn id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.3.3.2">2</cn><apply id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.3.3.3.1.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.3.3.3.2.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.3.3.3.2">𝑥</ci><cn id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.2.3.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1c">s(\bm{x})=5x_{1}+2x_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1d">italic_s ( bold_italic_x ) = 5 italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + 2 italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>,</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S4.I1.i3" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">3.</span> <div class="ltx_para" id="S4.I1.i3.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.I1.i3.p1.1"><math alttext="s(\bm{x})=\frac{1}{2}(10\sin(\pi x_{1}x_{2})+20(x_{3}-0.5)^{2}+20x_{4}+5x_{5})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3"><semantics id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3a"><mrow id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.cmml"><mrow id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.3" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.3.cmml"><mi id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.3.2" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.3.2.cmml">s</mi><mo id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.3.1" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.3.3.2" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.3.cmml"><mo id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.3.cmml">(</mo><mi id="S4.I1.i3.p1.1.m1.1.1" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.1.1.cmml">𝒙</mi><mo id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.2" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.cmml"><mfrac id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.3" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.3.cmml"><mn id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.3.2" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.3.3" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.2" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml">10</mn><mo id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" lspace="0.167em" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.I1.i3.p1.1.m1.2.2" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.2.2.cmml">sin</mi><mo id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">π</mi><mo id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">x</mi><mn id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">x</mi><mn id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">+</mo><mrow id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml">20</mn><mo id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><msup id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml"><mrow id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.cmml">3</mn></msub><mo id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml">0.5</mn></mrow><mo id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.3" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3a" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">+</mo><mrow id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.4" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.4.cmml"><mn id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.4.2" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.4.2.cmml">20</mn><mo id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.4.1" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.4.3" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.4.3.2" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.4.3.2.cmml">x</mi><mn id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.4.3.3" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.4.3.3.cmml">4</mn></msub></mrow><mo id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3b" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">+</mo><mrow id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.5" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.5.cmml"><mn id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.5.2" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.5.2.cmml">5</mn><mo id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.5.1" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.5.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.5.3" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.5.3.cmml"><mi id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.5.3.2" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.5.3.2.cmml">x</mi><mn id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.5.3.3" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.5.3.3.cmml">5</mn></msub></mrow></mrow><mo id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3b"><apply id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.cmml" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3"><eq id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.2.cmml" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.2"></eq><apply id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.3.cmml" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.3"><times id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.3.1"></times><ci id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.3.2.cmml" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.3.2">𝑠</ci><ci id="S4.I1.i3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.1.1">𝒙</ci></apply><apply id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.cmml" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1"><times id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.2"></times><apply id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.3.cmml" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.3"><divide id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.3.1.cmml" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.3"></divide><cn id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.3.2">1</cn><cn id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1"><plus id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3"></plus><apply id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1"><times id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2"></times><cn id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3">10</cn><apply id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"><sin id="S4.I1.i3.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.2.2"></sin><apply id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜋</ci><apply id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑥</ci><cn id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply><apply id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝑥</ci><cn id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2"><times id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2"></times><cn id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3">20</cn><apply id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1">superscript</csymbol><apply id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.1.1"><minus id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3">3</cn></apply><cn id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml" type="float" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3">0.5</cn></apply><cn id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.3">2</cn></apply></apply><apply id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.4"><times id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.4.1"></times><cn id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.4.2.cmml" type="integer" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.4.2">20</cn><apply id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.4.3">subscript</csymbol><ci id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.4.3.2">𝑥</ci><cn id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.4.3.3">4</cn></apply></apply><apply id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.5.cmml" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.5"><times id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.5.1"></times><cn id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.5.2.cmml" type="integer" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.5.2">5</cn><apply id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.5.3.1.cmml" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.5.3">subscript</csymbol><ci id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.5.3.2.cmml" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.5.3.2">𝑥</ci><cn id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.5.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.I1.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.5.3.3">5</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3c">s(\bm{x})=\frac{1}{2}(10\sin(\pi x_{1}x_{2})+20(x_{3}-0.5)^{2}+20x_{4}+5x_{5})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.I1.i3.p1.1.m1.3d">italic_s ( bold_italic_x ) = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( 10 roman_sin ( italic_π italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) + 20 ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT - 0.5 ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 20 italic_x start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT + 5 italic_x start_POSTSUBSCRIPT 5 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>.</p> </div> </li> </ol> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p3"> <p class="ltx_p" id="S4.p3.1">The first case corresponds to the homoscedastic scenario, where the noise variance remains constant across the data. In contrast, the second and third cases involve heteroscedasticity, with non-constant noise variance. In the second case, the variance follows a simple linear relationship, while in the third case, it is determined by a more complex functional form.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p4"> <p class="ltx_p" id="S4.p4.4">Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13037v1#S4.F1" title="Figure 1 ‣ 4 Illustrating Heteroscedastic AddiVortes on simulated data ‣ H-AddiVortes: Heteroscedastic (Bayesian) Additive Voronoi Tessellations"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> displays the H-evidence plot for each of the cases. Observations are sorted based on the values of <math alttext="\hat{s}(\bm{x})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p4.1.m1.1"><semantics id="S4.p4.1.m1.1a"><mrow id="S4.p4.1.m1.1.2" xref="S4.p4.1.m1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.p4.1.m1.1.2.2" xref="S4.p4.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.p4.1.m1.1.2.2.2" xref="S4.p4.1.m1.1.2.2.2.cmml">s</mi><mo id="S4.p4.1.m1.1.2.2.1" xref="S4.p4.1.m1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S4.p4.1.m1.1.2.1" xref="S4.p4.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p4.1.m1.1.2.3.2" xref="S4.p4.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S4.p4.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.p4.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.p4.1.m1.1.1" xref="S4.p4.1.m1.1.1.cmml">𝒙</mi><mo id="S4.p4.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.p4.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p4.1.m1.1b"><apply id="S4.p4.1.m1.1.2.cmml" xref="S4.p4.1.m1.1.2"><times id="S4.p4.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S4.p4.1.m1.1.2.1"></times><apply id="S4.p4.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S4.p4.1.m1.1.2.2"><ci id="S4.p4.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.p4.1.m1.1.2.2.1">^</ci><ci id="S4.p4.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.p4.1.m1.1.2.2.2">𝑠</ci></apply><ci id="S4.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p4.1.m1.1.1">𝒙</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p4.1.m1.1c">\hat{s}(\bm{x})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p4.1.m1.1d">over^ start_ARG italic_s end_ARG ( bold_italic_x )</annotation></semantics></math>, with <math alttext="\hat{s}(\bm{x})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p4.2.m2.1"><semantics id="S4.p4.2.m2.1a"><mrow id="S4.p4.2.m2.1.2" xref="S4.p4.2.m2.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.p4.2.m2.1.2.2" xref="S4.p4.2.m2.1.2.2.cmml"><mi id="S4.p4.2.m2.1.2.2.2" xref="S4.p4.2.m2.1.2.2.2.cmml">s</mi><mo id="S4.p4.2.m2.1.2.2.1" xref="S4.p4.2.m2.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S4.p4.2.m2.1.2.1" xref="S4.p4.2.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p4.2.m2.1.2.3.2" xref="S4.p4.2.m2.1.2.cmml"><mo id="S4.p4.2.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.p4.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.p4.2.m2.1.1" xref="S4.p4.2.m2.1.1.cmml">𝒙</mi><mo id="S4.p4.2.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.p4.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p4.2.m2.1b"><apply id="S4.p4.2.m2.1.2.cmml" xref="S4.p4.2.m2.1.2"><times id="S4.p4.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S4.p4.2.m2.1.2.1"></times><apply id="S4.p4.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S4.p4.2.m2.1.2.2"><ci id="S4.p4.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S4.p4.2.m2.1.2.2.1">^</ci><ci id="S4.p4.2.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S4.p4.2.m2.1.2.2.2">𝑠</ci></apply><ci id="S4.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.p4.2.m2.1.1">𝒙</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p4.2.m2.1c">\hat{s}(\bm{x})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p4.2.m2.1d">over^ start_ARG italic_s end_ARG ( bold_italic_x )</annotation></semantics></math> plotted along the horizontal axis and the posterior intervals for <math alttext="s(\bm{x})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p4.3.m3.1"><semantics id="S4.p4.3.m3.1a"><mrow id="S4.p4.3.m3.1.2" xref="S4.p4.3.m3.1.2.cmml"><mi id="S4.p4.3.m3.1.2.2" xref="S4.p4.3.m3.1.2.2.cmml">s</mi><mo id="S4.p4.3.m3.1.2.1" xref="S4.p4.3.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p4.3.m3.1.2.3.2" xref="S4.p4.3.m3.1.2.cmml"><mo id="S4.p4.3.m3.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.p4.3.m3.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.p4.3.m3.1.1" xref="S4.p4.3.m3.1.1.cmml">𝒙</mi><mo id="S4.p4.3.m3.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.p4.3.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p4.3.m3.1b"><apply id="S4.p4.3.m3.1.2.cmml" xref="S4.p4.3.m3.1.2"><times id="S4.p4.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S4.p4.3.m3.1.2.1"></times><ci id="S4.p4.3.m3.1.2.2.cmml" xref="S4.p4.3.m3.1.2.2">𝑠</ci><ci id="S4.p4.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.p4.3.m3.1.1">𝒙</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p4.3.m3.1c">s(\bm{x})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p4.3.m3.1d">italic_s ( bold_italic_x )</annotation></semantics></math> shown on the vertical axis. A solid horizontal line is drawn at the estimate of <math alttext="\sigma" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p4.4.m4.1"><semantics id="S4.p4.4.m4.1a"><mi id="S4.p4.4.m4.1.1" xref="S4.p4.4.m4.1.1.cmml">σ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p4.4.m4.1b"><ci id="S4.p4.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.p4.4.m4.1.1">𝜎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p4.4.m4.1c">\sigma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p4.4.m4.1d">italic_σ</annotation></semantics></math> obtained from the homoscedastic version of AddiVortes. In the homoscedastic case, all the intervals overlap suggesting that the data is indeed not heteroscedastic. However, for the other cases, the separation of the posterior intervals from the horizontal line clearly indicates that the detection of heteroscedasticity is “significant”. This plot allows us to assess the practical significance of deviations from constant variance and has proven useful across a range of applications.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S4.F1"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="478" id="S4.F1.g1" src="x1.png" width="704"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure 1: </span>H-evidence plot for Heteroscedastic AddiVortes for case 1 (left), case 2 (middle) and case 3 (right). The solid horizontal line represents the estimate of <math alttext="\sigma" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.2.m1.1"><semantics id="S4.F1.2.m1.1b"><mi id="S4.F1.2.m1.1.1" xref="S4.F1.2.m1.1.1.cmml">σ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.2.m1.1c"><ci id="S4.F1.2.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.2.m1.1.1">𝜎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.2.m1.1d">\sigma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.2.m1.1e">italic_σ</annotation></semantics></math> obtained from the homoscedastic AddiVortes fit, with the posterior 90% interval depicted as dashed lines.</figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="S4.p5"> <p class="ltx_p" id="S4.p5.4">Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13037v1#S4.F2" title="Figure 2 ‣ 4 Illustrating Heteroscedastic AddiVortes on simulated data ‣ H-AddiVortes: Heteroscedastic (Bayesian) Additive Voronoi Tessellations"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a> assesses the model fit using qq-plots derived from the predictive distribution generated by our model. For each <math alttext="i" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p5.1.m1.1"><semantics id="S4.p5.1.m1.1a"><mi id="S4.p5.1.m1.1.1" xref="S4.p5.1.m1.1.1.cmml">i</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p5.1.m1.1b"><ci id="S4.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p5.1.m1.1.1">𝑖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p5.1.m1.1c">i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p5.1.m1.1d">italic_i</annotation></semantics></math>, we obtain samples from <math alttext="p(y\mid\bm{x}_{i})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p5.2.m2.1"><semantics id="S4.p5.2.m2.1a"><mrow id="S4.p5.2.m2.1.1" xref="S4.p5.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.p5.2.m2.1.1.3" xref="S4.p5.2.m2.1.1.3.cmml">p</mi><mo id="S4.p5.2.m2.1.1.2" xref="S4.p5.2.m2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p5.2.m2.1.1.1.1" xref="S4.p5.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.p5.2.m2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.p5.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.p5.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S4.p5.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S4.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">y</mi><mo id="S4.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">∣</mo><msub id="S4.p5.2.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.p5.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.p5.2.m2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.p5.2.m2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S4.p5.2.m2.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.p5.2.m2.1.1.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S4.p5.2.m2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.p5.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p5.2.m2.1b"><apply id="S4.p5.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.p5.2.m2.1.1"><times id="S4.p5.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.p5.2.m2.1.1.2"></times><ci id="S4.p5.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.p5.2.m2.1.1.3">𝑝</ci><apply id="S4.p5.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p5.2.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S4.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2">𝑦</ci><apply id="S4.p5.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.p5.2.m2.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p5.2.m2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.p5.2.m2.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p5.2.m2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.p5.2.m2.1.1.1.1.1.3.2">𝒙</ci><ci id="S4.p5.2.m2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.p5.2.m2.1.1.1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p5.2.m2.1c">p(y\mid\bm{x}_{i})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p5.2.m2.1d">italic_p ( italic_y ∣ bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> and compute the percentile of the observed <math alttext="y_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p5.3.m3.1"><semantics id="S4.p5.3.m3.1a"><msub id="S4.p5.3.m3.1.1" xref="S4.p5.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S4.p5.3.m3.1.1.2" xref="S4.p5.3.m3.1.1.2.cmml">y</mi><mi id="S4.p5.3.m3.1.1.3" xref="S4.p5.3.m3.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p5.3.m3.1b"><apply id="S4.p5.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.p5.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p5.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.p5.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p5.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.p5.3.m3.1.1.2">𝑦</ci><ci id="S4.p5.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.p5.3.m3.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p5.3.m3.1c">y_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p5.3.m3.1d">italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> within these samples. If the model accurately captures the data-generating process, these percentiles should resemble draws from a uniform distribution over <math alttext="(0,1)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p5.4.m4.2"><semantics id="S4.p5.4.m4.2a"><mrow id="S4.p5.4.m4.2.3.2" xref="S4.p5.4.m4.2.3.1.cmml"><mo id="S4.p5.4.m4.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.p5.4.m4.2.3.1.cmml">(</mo><mn id="S4.p5.4.m4.1.1" xref="S4.p5.4.m4.1.1.cmml">0</mn><mo id="S4.p5.4.m4.2.3.2.2" xref="S4.p5.4.m4.2.3.1.cmml">,</mo><mn id="S4.p5.4.m4.2.2" xref="S4.p5.4.m4.2.2.cmml">1</mn><mo id="S4.p5.4.m4.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.p5.4.m4.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p5.4.m4.2b"><interval closure="open" id="S4.p5.4.m4.2.3.1.cmml" xref="S4.p5.4.m4.2.3.2"><cn id="S4.p5.4.m4.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.p5.4.m4.1.1">0</cn><cn id="S4.p5.4.m4.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.p5.4.m4.2.2">1</cn></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p5.4.m4.2c">(0,1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p5.4.m4.2d">( 0 , 1 )</annotation></semantics></math>. The qq-plot is used to compare these percentiles against uniform draws. The black lines represent the qq-plots for the heteroscedastic AddiVortes whereas the gray lines represent the homoscedastic AddiVortes model.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p6"> <p class="ltx_p" id="S4.p6.1">In the first case, the lines are very similar since the homoscedastic model is able to capture the variance in the noise. However, in the other cases, the Heteroscedastic AddiVortes has a close alignment of the predictive percentiles with the uniform distribution suggesting an excellent model fit. The homoscedastic model’s shortcomings are evident, despite both models exhibiting similar RMSE values (0.77 for the heteroscedastic AddiVortes and 0.76 for the AddiVortes model). In these models, the heteroscedastic AddiVortes model achieves an e-statistic score of 0.54, while the AddiVortes model scores 3.50. Although the RMSE values suggest that both models have comparably good mean prediction performance, the e-statistic and graphical diagnostics clearly demonstrate that the heteroscedastic AddiVortes model provides a substantially better overall fit.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S4.F2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_square" height="518" id="S4.F2.g1" src="x2.png" width="628"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure 2: </span>Predictive qq-plot for Heteroscedastic AddiVortes for case 1 (left), case 2 (middle) and case 3 (right). The solid horizontal line represents the estimate of <math alttext="\sigma" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F2.2.m1.1"><semantics id="S4.F2.2.m1.1b"><mi id="S4.F2.2.m1.1.1" xref="S4.F2.2.m1.1.1.cmml">σ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F2.2.m1.1c"><ci id="S4.F2.2.m1.1.1.cmml" xref="S4.F2.2.m1.1.1">𝜎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F2.2.m1.1d">\sigma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F2.2.m1.1e">italic_σ</annotation></semantics></math> obtained from the homoscedastic AddiVortes fit, with the posterior 90% interval depicted as dashed lines.</figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="S4.p7"> <p class="ltx_p" id="S4.p7.3">Since the data in this study is simulated, the true variance function <math alttext="s(\bm{x})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p7.1.m1.1"><semantics id="S4.p7.1.m1.1a"><mrow id="S4.p7.1.m1.1.2" xref="S4.p7.1.m1.1.2.cmml"><mi id="S4.p7.1.m1.1.2.2" xref="S4.p7.1.m1.1.2.2.cmml">s</mi><mo id="S4.p7.1.m1.1.2.1" xref="S4.p7.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p7.1.m1.1.2.3.2" xref="S4.p7.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S4.p7.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.p7.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.p7.1.m1.1.1" xref="S4.p7.1.m1.1.1.cmml">𝒙</mi><mo id="S4.p7.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.p7.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p7.1.m1.1b"><apply id="S4.p7.1.m1.1.2.cmml" xref="S4.p7.1.m1.1.2"><times id="S4.p7.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S4.p7.1.m1.1.2.1"></times><ci id="S4.p7.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S4.p7.1.m1.1.2.2">𝑠</ci><ci id="S4.p7.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p7.1.m1.1.1">𝒙</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p7.1.m1.1c">s(\bm{x})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p7.1.m1.1d">italic_s ( bold_italic_x )</annotation></semantics></math> is known for the testing data. Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13037v1#S4.F3" title="Figure 3 ‣ 4 Illustrating Heteroscedastic AddiVortes on simulated data ‣ H-AddiVortes: Heteroscedastic (Bayesian) Additive Voronoi Tessellations"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a> compares the actual variance <math alttext="s(\bm{x})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p7.2.m2.1"><semantics id="S4.p7.2.m2.1a"><mrow id="S4.p7.2.m2.1.2" xref="S4.p7.2.m2.1.2.cmml"><mi id="S4.p7.2.m2.1.2.2" xref="S4.p7.2.m2.1.2.2.cmml">s</mi><mo id="S4.p7.2.m2.1.2.1" xref="S4.p7.2.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p7.2.m2.1.2.3.2" xref="S4.p7.2.m2.1.2.cmml"><mo id="S4.p7.2.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.p7.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.p7.2.m2.1.1" xref="S4.p7.2.m2.1.1.cmml">𝒙</mi><mo id="S4.p7.2.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.p7.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p7.2.m2.1b"><apply id="S4.p7.2.m2.1.2.cmml" xref="S4.p7.2.m2.1.2"><times id="S4.p7.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S4.p7.2.m2.1.2.1"></times><ci id="S4.p7.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S4.p7.2.m2.1.2.2">𝑠</ci><ci id="S4.p7.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.p7.2.m2.1.1">𝒙</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p7.2.m2.1c">s(\bm{x})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p7.2.m2.1d">italic_s ( bold_italic_x )</annotation></semantics></math> to the predicted variance <math alttext="\hat{s}(\bm{x})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p7.3.m3.1"><semantics id="S4.p7.3.m3.1a"><mrow id="S4.p7.3.m3.1.2" xref="S4.p7.3.m3.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.p7.3.m3.1.2.2" xref="S4.p7.3.m3.1.2.2.cmml"><mi id="S4.p7.3.m3.1.2.2.2" xref="S4.p7.3.m3.1.2.2.2.cmml">s</mi><mo id="S4.p7.3.m3.1.2.2.1" xref="S4.p7.3.m3.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S4.p7.3.m3.1.2.1" xref="S4.p7.3.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p7.3.m3.1.2.3.2" xref="S4.p7.3.m3.1.2.cmml"><mo id="S4.p7.3.m3.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.p7.3.m3.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.p7.3.m3.1.1" xref="S4.p7.3.m3.1.1.cmml">𝒙</mi><mo id="S4.p7.3.m3.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.p7.3.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p7.3.m3.1b"><apply id="S4.p7.3.m3.1.2.cmml" xref="S4.p7.3.m3.1.2"><times id="S4.p7.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S4.p7.3.m3.1.2.1"></times><apply id="S4.p7.3.m3.1.2.2.cmml" xref="S4.p7.3.m3.1.2.2"><ci id="S4.p7.3.m3.1.2.2.1.cmml" xref="S4.p7.3.m3.1.2.2.1">^</ci><ci id="S4.p7.3.m3.1.2.2.2.cmml" xref="S4.p7.3.m3.1.2.2.2">𝑠</ci></apply><ci id="S4.p7.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.p7.3.m3.1.1">𝒙</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p7.3.m3.1c">\hat{s}(\bm{x})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p7.3.m3.1d">over^ start_ARG italic_s end_ARG ( bold_italic_x )</annotation></semantics></math>. The Heteroscedastic AddiVortes model demonstrates excellent predictive accuracy for the variance in both cases, despite being trained on a limited number of observations. Notably, the second case exhibits larger confidence intervals, reflecting increased uncertainty in the predictions, while in the first case, as the variance decreases, the model shows a slight tendency to overestimate the variance. This behavior underscores the model’s flexibility and its ability to capture nuanced variance structures effectively.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S4.F3"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_square" height="603" id="S4.F3.g1" src="x3.png" width="672"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure 3: </span>Comparison of true variance <math alttext="s(x)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F3.3.m1.1"><semantics id="S4.F3.3.m1.1b"><mrow id="S4.F3.3.m1.1.2" xref="S4.F3.3.m1.1.2.cmml"><mi id="S4.F3.3.m1.1.2.2" xref="S4.F3.3.m1.1.2.2.cmml">s</mi><mo id="S4.F3.3.m1.1.2.1" xref="S4.F3.3.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.F3.3.m1.1.2.3.2" xref="S4.F3.3.m1.1.2.cmml"><mo id="S4.F3.3.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.F3.3.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.F3.3.m1.1.1" xref="S4.F3.3.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S4.F3.3.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.F3.3.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F3.3.m1.1c"><apply id="S4.F3.3.m1.1.2.cmml" xref="S4.F3.3.m1.1.2"><times id="S4.F3.3.m1.1.2.1.cmml" xref="S4.F3.3.m1.1.2.1"></times><ci id="S4.F3.3.m1.1.2.2.cmml" xref="S4.F3.3.m1.1.2.2">𝑠</ci><ci id="S4.F3.3.m1.1.1.cmml" xref="S4.F3.3.m1.1.1">𝑥</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F3.3.m1.1d">s(x)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F3.3.m1.1e">italic_s ( italic_x )</annotation></semantics></math> and predicted variance <math alttext="\hat{s}(x)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F3.4.m2.1"><semantics id="S4.F3.4.m2.1b"><mrow id="S4.F3.4.m2.1.2" xref="S4.F3.4.m2.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.F3.4.m2.1.2.2" xref="S4.F3.4.m2.1.2.2.cmml"><mi id="S4.F3.4.m2.1.2.2.2" xref="S4.F3.4.m2.1.2.2.2.cmml">s</mi><mo id="S4.F3.4.m2.1.2.2.1" xref="S4.F3.4.m2.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S4.F3.4.m2.1.2.1" xref="S4.F3.4.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.F3.4.m2.1.2.3.2" xref="S4.F3.4.m2.1.2.cmml"><mo id="S4.F3.4.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.F3.4.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.F3.4.m2.1.1" xref="S4.F3.4.m2.1.1.cmml">x</mi><mo id="S4.F3.4.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.F3.4.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F3.4.m2.1c"><apply id="S4.F3.4.m2.1.2.cmml" xref="S4.F3.4.m2.1.2"><times id="S4.F3.4.m2.1.2.1.cmml" xref="S4.F3.4.m2.1.2.1"></times><apply id="S4.F3.4.m2.1.2.2.cmml" xref="S4.F3.4.m2.1.2.2"><ci id="S4.F3.4.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S4.F3.4.m2.1.2.2.1">^</ci><ci id="S4.F3.4.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S4.F3.4.m2.1.2.2.2">𝑠</ci></apply><ci id="S4.F3.4.m2.1.1.cmml" xref="S4.F3.4.m2.1.1">𝑥</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F3.4.m2.1d">\hat{s}(x)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F3.4.m2.1e">over^ start_ARG italic_s end_ARG ( italic_x )</annotation></semantics></math> when using the heteroscedastic AddiVortes model for case 2 (left) and case 3 (right).</figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="S4.p8"> <p class="ltx_p" id="S4.p8.2">Furthermore, figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13037v1#S4.F4" title="Figure 4 ‣ 4 Illustrating Heteroscedastic AddiVortes on simulated data ‣ H-AddiVortes: Heteroscedastic (Bayesian) Additive Voronoi Tessellations"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a> shows the relationship between the true mean function <math alttext="f(\bm{x})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p8.1.m1.1"><semantics id="S4.p8.1.m1.1a"><mrow id="S4.p8.1.m1.1.2" xref="S4.p8.1.m1.1.2.cmml"><mi id="S4.p8.1.m1.1.2.2" xref="S4.p8.1.m1.1.2.2.cmml">f</mi><mo id="S4.p8.1.m1.1.2.1" xref="S4.p8.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p8.1.m1.1.2.3.2" xref="S4.p8.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S4.p8.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.p8.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.p8.1.m1.1.1" xref="S4.p8.1.m1.1.1.cmml">𝒙</mi><mo id="S4.p8.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.p8.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p8.1.m1.1b"><apply id="S4.p8.1.m1.1.2.cmml" xref="S4.p8.1.m1.1.2"><times id="S4.p8.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S4.p8.1.m1.1.2.1"></times><ci id="S4.p8.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S4.p8.1.m1.1.2.2">𝑓</ci><ci id="S4.p8.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p8.1.m1.1.1">𝒙</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p8.1.m1.1c">f(\bm{x})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p8.1.m1.1d">italic_f ( bold_italic_x )</annotation></semantics></math> and the predicted mean function <math alttext="\hat{f}(\bm{x})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p8.2.m2.1"><semantics id="S4.p8.2.m2.1a"><mrow id="S4.p8.2.m2.1.2" xref="S4.p8.2.m2.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.p8.2.m2.1.2.2" xref="S4.p8.2.m2.1.2.2.cmml"><mi id="S4.p8.2.m2.1.2.2.2" xref="S4.p8.2.m2.1.2.2.2.cmml">f</mi><mo id="S4.p8.2.m2.1.2.2.1" xref="S4.p8.2.m2.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S4.p8.2.m2.1.2.1" xref="S4.p8.2.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p8.2.m2.1.2.3.2" xref="S4.p8.2.m2.1.2.cmml"><mo id="S4.p8.2.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.p8.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.p8.2.m2.1.1" xref="S4.p8.2.m2.1.1.cmml">𝒙</mi><mo id="S4.p8.2.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.p8.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p8.2.m2.1b"><apply id="S4.p8.2.m2.1.2.cmml" xref="S4.p8.2.m2.1.2"><times id="S4.p8.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S4.p8.2.m2.1.2.1"></times><apply id="S4.p8.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S4.p8.2.m2.1.2.2"><ci id="S4.p8.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S4.p8.2.m2.1.2.2.1">^</ci><ci id="S4.p8.2.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S4.p8.2.m2.1.2.2.2">𝑓</ci></apply><ci id="S4.p8.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.p8.2.m2.1.1">𝒙</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p8.2.m2.1c">\hat{f}(\bm{x})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p8.2.m2.1d">over^ start_ARG italic_f end_ARG ( bold_italic_x )</annotation></semantics></math>. The close alignment of the predicted values to the actual values indicates that the Heteroscedastic AddiVortes model effectively captures the mean response as well, demonstrating strong predictive capabilities for both the mean and variance components of the data.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S4.F4"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_square" height="600" id="S4.F4.g1" src="x4.png" width="650"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure 4: </span>Comparison of the true mean function <math alttext="f(x)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F4.3.m1.1"><semantics id="S4.F4.3.m1.1b"><mrow id="S4.F4.3.m1.1.2" xref="S4.F4.3.m1.1.2.cmml"><mi id="S4.F4.3.m1.1.2.2" xref="S4.F4.3.m1.1.2.2.cmml">f</mi><mo id="S4.F4.3.m1.1.2.1" xref="S4.F4.3.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.F4.3.m1.1.2.3.2" xref="S4.F4.3.m1.1.2.cmml"><mo id="S4.F4.3.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.F4.3.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.F4.3.m1.1.1" xref="S4.F4.3.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S4.F4.3.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.F4.3.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F4.3.m1.1c"><apply id="S4.F4.3.m1.1.2.cmml" xref="S4.F4.3.m1.1.2"><times id="S4.F4.3.m1.1.2.1.cmml" xref="S4.F4.3.m1.1.2.1"></times><ci id="S4.F4.3.m1.1.2.2.cmml" xref="S4.F4.3.m1.1.2.2">𝑓</ci><ci id="S4.F4.3.m1.1.1.cmml" xref="S4.F4.3.m1.1.1">𝑥</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F4.3.m1.1d">f(x)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F4.3.m1.1e">italic_f ( italic_x )</annotation></semantics></math> and predicted mean function <math alttext="\hat{f}(x)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F4.4.m2.1"><semantics id="S4.F4.4.m2.1b"><mrow id="S4.F4.4.m2.1.2" xref="S4.F4.4.m2.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.F4.4.m2.1.2.2" xref="S4.F4.4.m2.1.2.2.cmml"><mi id="S4.F4.4.m2.1.2.2.2" xref="S4.F4.4.m2.1.2.2.2.cmml">f</mi><mo id="S4.F4.4.m2.1.2.2.1" xref="S4.F4.4.m2.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S4.F4.4.m2.1.2.1" xref="S4.F4.4.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.F4.4.m2.1.2.3.2" xref="S4.F4.4.m2.1.2.cmml"><mo id="S4.F4.4.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.F4.4.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.F4.4.m2.1.1" xref="S4.F4.4.m2.1.1.cmml">x</mi><mo id="S4.F4.4.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.F4.4.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F4.4.m2.1c"><apply id="S4.F4.4.m2.1.2.cmml" xref="S4.F4.4.m2.1.2"><times id="S4.F4.4.m2.1.2.1.cmml" xref="S4.F4.4.m2.1.2.1"></times><apply id="S4.F4.4.m2.1.2.2.cmml" xref="S4.F4.4.m2.1.2.2"><ci id="S4.F4.4.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S4.F4.4.m2.1.2.2.1">^</ci><ci id="S4.F4.4.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S4.F4.4.m2.1.2.2.2">𝑓</ci></apply><ci id="S4.F4.4.m2.1.1.cmml" xref="S4.F4.4.m2.1.1">𝑥</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F4.4.m2.1d">\hat{f}(x)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F4.4.m2.1e">over^ start_ARG italic_f end_ARG ( italic_x )</annotation></semantics></math> when using the heteroscedastic AddiVortes model for case 2 (left) and case 3 (right).</figcaption> </figure> </section> <section class="ltx_section" id="S5"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">5 </span>Cars Dataset</h2> <div class="ltx_para" id="S5.p1"> <p class="ltx_p" id="S5.p1.1">The heteroscedastic AddiVortes model was applied to a dataset of used car sales, featuring 1,000 observations collected from 1994 to 2013. This dataset, which spans the 2007–2008 financial crisis and subsequent recovery, includes both continuous predictors—mileage (in miles) and year of manufacture—and four categorical predictors: trim, color, displacement, and ownership status. After encoding the categorical variables into binary dummies, the dataset contained 14 predictors.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.p2"> <p class="ltx_p" id="S5.p2.1">The goal was to explore the relationship between car prices and the predictors, particularly focusing on potential heteroscedasticity in price variability. The heteroscedastic AddiVortes model captured changes in variance that could not be explained by mean trends alone. For example, while higher mileage predictably led to lower prices, the variance of prices also showed complex dependence on mileage and year. Moreover, trim level, displacement, and ownership status emerged as key factors influencing the mean and the spread of car prices.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.p3"> <p class="ltx_p" id="S5.p3.1">To tune the heteroscedastic AddiVortes model, cross-validation was performed using the e-statistic, ensuring that both mean and variance structures were accurately captured. This approach revealed that optimal settings for the hyperparameter <math alttext="\kappa" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p3.1.m1.1"><semantics id="S5.p3.1.m1.1a"><mi id="S5.p3.1.m1.1.1" xref="S5.p3.1.m1.1.1.cmml">κ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p3.1.m1.1b"><ci id="S5.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.p3.1.m1.1.1">𝜅</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p3.1.m1.1c">\kappa</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p3.1.m1.1d">italic_κ</annotation></semantics></math> differ for the heteroscedastic model compared to the standard AddiVortes model, with the former favoring more smoothing to account for variance heterogeneity. The resulting analysis provided a nuanced understanding of the predictors driving both the expected value and the variability of car prices, highlighting heteroscedastic AddiVortes’ ability to uncover meaningful, data-driven insights in complex regression problems.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.p4"> <p class="ltx_p" id="S5.p4.3">The corresponding predictive out-of-sample qq-plots for the homoscedastic model trained on 80% of the full dataset with <math alttext="\kappa=0.75" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p4.1.m1.1"><semantics id="S5.p4.1.m1.1a"><mrow id="S5.p4.1.m1.1.1" xref="S5.p4.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.p4.1.m1.1.1.2" xref="S5.p4.1.m1.1.1.2.cmml">κ</mi><mo id="S5.p4.1.m1.1.1.1" xref="S5.p4.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.p4.1.m1.1.1.3" xref="S5.p4.1.m1.1.1.3.cmml">0.75</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p4.1.m1.1b"><apply id="S5.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.p4.1.m1.1.1"><eq id="S5.p4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.p4.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S5.p4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.p4.1.m1.1.1.2">𝜅</ci><cn id="S5.p4.1.m1.1.1.3.cmml" type="float" xref="S5.p4.1.m1.1.1.3">0.75</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p4.1.m1.1c">\kappa=0.75</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p4.1.m1.1d">italic_κ = 0.75</annotation></semantics></math> and the heteroscedastic model with <math alttext="\kappa=1.5" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p4.2.m2.1"><semantics id="S5.p4.2.m2.1a"><mrow id="S5.p4.2.m2.1.1" xref="S5.p4.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.p4.2.m2.1.1.2" xref="S5.p4.2.m2.1.1.2.cmml">κ</mi><mo id="S5.p4.2.m2.1.1.1" xref="S5.p4.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.p4.2.m2.1.1.3" xref="S5.p4.2.m2.1.1.3.cmml">1.5</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p4.2.m2.1b"><apply id="S5.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.p4.2.m2.1.1"><eq id="S5.p4.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.p4.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="S5.p4.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.p4.2.m2.1.1.2">𝜅</ci><cn id="S5.p4.2.m2.1.1.3.cmml" type="float" xref="S5.p4.2.m2.1.1.3">1.5</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p4.2.m2.1c">\kappa=1.5</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p4.2.m2.1d">italic_κ = 1.5</annotation></semantics></math> are shown in Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13037v1#S5.F5" title="Figure 5 ‣ 5 Cars Dataset ‣ H-AddiVortes: Heteroscedastic (Bayesian) Additive Voronoi Tessellations"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a>. This serves as an empirical graphical validation for the higher level of prior smoothing suggested by the cross-validated tuning of <math alttext="\kappa" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p4.3.m3.1"><semantics id="S5.p4.3.m3.1a"><mi id="S5.p4.3.m3.1.1" xref="S5.p4.3.m3.1.1.cmml">κ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p4.3.m3.1b"><ci id="S5.p4.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.p4.3.m3.1.1">𝜅</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p4.3.m3.1c">\kappa</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p4.3.m3.1d">italic_κ</annotation></semantics></math>. The qq-plot for the heteroscedastic model is much closer to a straight line and dramatically better than the qq-plot for the homoscedastic version.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.p5"> <p class="ltx_p" id="S5.p5.3">The H-evidence plot in Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13037v1#S5.F5" title="Figure 5 ‣ 5 Cars Dataset ‣ H-AddiVortes: Heteroscedastic (Bayesian) Additive Voronoi Tessellations"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a> serves as an additional check for evidence of heteroscedasticity: clearly, the posterior 90% credible intervals do not cover the estimate of standard deviation from the homoscedastic model for a majority of the data. Even though there is considerable uncertainty about <math alttext="s(x)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p5.1.m1.1"><semantics id="S5.p5.1.m1.1a"><mrow id="S5.p5.1.m1.1.2" xref="S5.p5.1.m1.1.2.cmml"><mi id="S5.p5.1.m1.1.2.2" xref="S5.p5.1.m1.1.2.2.cmml">s</mi><mo id="S5.p5.1.m1.1.2.1" xref="S5.p5.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.p5.1.m1.1.2.3.2" xref="S5.p5.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S5.p5.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.p5.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S5.p5.1.m1.1.1" xref="S5.p5.1.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S5.p5.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.p5.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p5.1.m1.1b"><apply id="S5.p5.1.m1.1.2.cmml" xref="S5.p5.1.m1.1.2"><times id="S5.p5.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S5.p5.1.m1.1.2.1"></times><ci id="S5.p5.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S5.p5.1.m1.1.2.2">𝑠</ci><ci id="S5.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.p5.1.m1.1.1">𝑥</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p5.1.m1.1c">s(x)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p5.1.m1.1d">italic_s ( italic_x )</annotation></semantics></math> at the higher levels, we have strong evidence that <math alttext="s(\bm{x})>7000" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p5.2.m2.1"><semantics id="S5.p5.2.m2.1a"><mrow id="S5.p5.2.m2.1.2" xref="S5.p5.2.m2.1.2.cmml"><mrow id="S5.p5.2.m2.1.2.2" xref="S5.p5.2.m2.1.2.2.cmml"><mi id="S5.p5.2.m2.1.2.2.2" xref="S5.p5.2.m2.1.2.2.2.cmml">s</mi><mo id="S5.p5.2.m2.1.2.2.1" xref="S5.p5.2.m2.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.p5.2.m2.1.2.2.3.2" xref="S5.p5.2.m2.1.2.2.cmml"><mo id="S5.p5.2.m2.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.p5.2.m2.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S5.p5.2.m2.1.1" xref="S5.p5.2.m2.1.1.cmml">𝒙</mi><mo id="S5.p5.2.m2.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.p5.2.m2.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.p5.2.m2.1.2.1" xref="S5.p5.2.m2.1.2.1.cmml">></mo><mn id="S5.p5.2.m2.1.2.3" xref="S5.p5.2.m2.1.2.3.cmml">7000</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p5.2.m2.1b"><apply id="S5.p5.2.m2.1.2.cmml" xref="S5.p5.2.m2.1.2"><gt id="S5.p5.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S5.p5.2.m2.1.2.1"></gt><apply id="S5.p5.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S5.p5.2.m2.1.2.2"><times id="S5.p5.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S5.p5.2.m2.1.2.2.1"></times><ci id="S5.p5.2.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S5.p5.2.m2.1.2.2.2">𝑠</ci><ci id="S5.p5.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.p5.2.m2.1.1">𝒙</ci></apply><cn id="S5.p5.2.m2.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.p5.2.m2.1.2.3">7000</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p5.2.m2.1c">s(\bm{x})>7000</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p5.2.m2.1d">italic_s ( bold_italic_x ) > 7000</annotation></semantics></math> at the higher levels and <math alttext="s(\bm{x})<2500" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p5.3.m3.1"><semantics id="S5.p5.3.m3.1a"><mrow id="S5.p5.3.m3.1.2" xref="S5.p5.3.m3.1.2.cmml"><mrow id="S5.p5.3.m3.1.2.2" xref="S5.p5.3.m3.1.2.2.cmml"><mi id="S5.p5.3.m3.1.2.2.2" xref="S5.p5.3.m3.1.2.2.2.cmml">s</mi><mo id="S5.p5.3.m3.1.2.2.1" xref="S5.p5.3.m3.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.p5.3.m3.1.2.2.3.2" xref="S5.p5.3.m3.1.2.2.cmml"><mo id="S5.p5.3.m3.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.p5.3.m3.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S5.p5.3.m3.1.1" xref="S5.p5.3.m3.1.1.cmml">𝒙</mi><mo id="S5.p5.3.m3.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.p5.3.m3.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.p5.3.m3.1.2.1" xref="S5.p5.3.m3.1.2.1.cmml"><</mo><mn id="S5.p5.3.m3.1.2.3" xref="S5.p5.3.m3.1.2.3.cmml">2500</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p5.3.m3.1b"><apply id="S5.p5.3.m3.1.2.cmml" xref="S5.p5.3.m3.1.2"><lt id="S5.p5.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S5.p5.3.m3.1.2.1"></lt><apply id="S5.p5.3.m3.1.2.2.cmml" xref="S5.p5.3.m3.1.2.2"><times id="S5.p5.3.m3.1.2.2.1.cmml" xref="S5.p5.3.m3.1.2.2.1"></times><ci id="S5.p5.3.m3.1.2.2.2.cmml" xref="S5.p5.3.m3.1.2.2.2">𝑠</ci><ci id="S5.p5.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.p5.3.m3.1.1">𝒙</ci></apply><cn id="S5.p5.3.m3.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.p5.3.m3.1.2.3">2500</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p5.3.m3.1c">s(\bm{x})<2500</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p5.3.m3.1d">italic_s ( bold_italic_x ) < 2500</annotation></semantics></math> at the lower levels. These differences are practically significant.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S5.F5"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_square" height="550" id="S5.F5.g1" src="x5.png" width="650"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure 5: </span>H-evidence plot (left) for Predictive qq-plot (right) for Heteroscedastic AddiVortes.</figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="S5.p6"> <p class="ltx_p" id="S5.p6.1">Now we compare the performance of heteroscedastic AddiVortes to HBART (<cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">M. T. Pratola and McCulloch, (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13037v1#bib.bib10" title="">2020</a>)</cite>, implement using <span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="S5.p6.1.1">hbart</span> package), BART (<cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Chipman et al., (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13037v1#bib.bib3" title="">2010</a>)</cite>, implement using BayesTree package) and the homoscedastic AddiVortes model. To compare the performance of heteroscedastic AddiVortes to homoscedastic AddiVortes and the equivalent BART models we used cross-validation on the e-statistic using values in Table <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13037v1#S5.T1" title="Table 1 ‣ 5 Cars Dataset ‣ H-AddiVortes: Heteroscedastic (Bayesian) Additive Voronoi Tessellations"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>, with all other hyperparameters taking their default value. We then took 20 random train/test samples, 80%/20% split, box plots of the RMSE values for each method across test/train splits are depicted in Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13037v1#S5.F6" title="Figure 6 ‣ 5 Cars Dataset ‣ H-AddiVortes: Heteroscedastic (Bayesian) Additive Voronoi Tessellations"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6</span></a> and the (50%, 75%) RRMSE quantiles are provided in Table <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13037v1#S5.T2" title="Table 2 ‣ 5 Cars Dataset ‣ H-AddiVortes: Heteroscedastic (Bayesian) Additive Voronoi Tessellations"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>.</p> </div> <figure class="ltx_table" id="S5.T1"> <table class="ltx_tabular ltx_centering ltx_guessed_headers ltx_align_middle" id="S5.T1.18"> <thead class="ltx_thead"> <tr class="ltx_tr" id="S5.T1.18.19.1"> <th class="ltx_td ltx_align_left ltx_th ltx_th_column ltx_border_t" id="S5.T1.18.19.1.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.T1.18.19.1.1.1">Method</span></th> <th class="ltx_td ltx_align_left ltx_th ltx_th_column ltx_border_t" id="S5.T1.18.19.1.2"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.T1.18.19.1.2.1">Parameters</span></th> <th class="ltx_td ltx_align_left ltx_th ltx_th_column ltx_border_t" id="S5.T1.18.19.1.3"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.T1.18.19.1.3.1">Values considered</span></th> </tr> </thead> <tbody class="ltx_tbody"> <tr class="ltx_tr" id="S5.T1.1.1"> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_t" id="S5.T1.1.1.2">Homos-AddiVortes</td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_t" id="S5.T1.1.1.1">Sigma prior: <math alttext="(\nu,q)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T1.1.1.1.m1.2"><semantics id="S5.T1.1.1.1.m1.2a"><mrow id="S5.T1.1.1.1.m1.2.3.2" xref="S5.T1.1.1.1.m1.2.3.1.cmml"><mo id="S5.T1.1.1.1.m1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.T1.1.1.1.m1.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S5.T1.1.1.1.m1.1.1" xref="S5.T1.1.1.1.m1.1.1.cmml">ν</mi><mo id="S5.T1.1.1.1.m1.2.3.2.2" xref="S5.T1.1.1.1.m1.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S5.T1.1.1.1.m1.2.2" xref="S5.T1.1.1.1.m1.2.2.cmml">q</mi><mo id="S5.T1.1.1.1.m1.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S5.T1.1.1.1.m1.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T1.1.1.1.m1.2b"><interval closure="open" id="S5.T1.1.1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S5.T1.1.1.1.m1.2.3.2"><ci id="S5.T1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.T1.1.1.1.m1.1.1">𝜈</ci><ci id="S5.T1.1.1.1.m1.2.2.cmml" xref="S5.T1.1.1.1.m1.2.2">𝑞</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T1.1.1.1.m1.2c">(\nu,q)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T1.1.1.1.m1.2d">( italic_ν , italic_q )</annotation></semantics></math> </td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_t" id="S5.T1.1.1.3">(3, 0.90), (3, 0.99), (10, 0.75)</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S5.T1.4.4"> <td class="ltx_td" id="S5.T1.4.4.4"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left" id="S5.T1.4.4.3"> <math alttext="\mu" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T1.2.2.1.m1.1"><semantics id="S5.T1.2.2.1.m1.1a"><mi id="S5.T1.2.2.1.m1.1.1" xref="S5.T1.2.2.1.m1.1.1.cmml">μ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T1.2.2.1.m1.1b"><ci id="S5.T1.2.2.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.T1.2.2.1.m1.1.1">𝜇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T1.2.2.1.m1.1c">\mu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T1.2.2.1.m1.1d">italic_μ</annotation></semantics></math> prior: <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T1.3.3.2.m2.1"><semantics id="S5.T1.3.3.2.m2.1a"><mi id="S5.T1.3.3.2.m2.1.1" xref="S5.T1.3.3.2.m2.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T1.3.3.2.m2.1b"><ci id="S5.T1.3.3.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.T1.3.3.2.m2.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T1.3.3.2.m2.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T1.3.3.2.m2.1d">italic_k</annotation></semantics></math> value for <math alttext="\sigma_{\mu}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T1.4.4.3.m3.1"><semantics id="S5.T1.4.4.3.m3.1a"><msub id="S5.T1.4.4.3.m3.1.1" xref="S5.T1.4.4.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S5.T1.4.4.3.m3.1.1.2" xref="S5.T1.4.4.3.m3.1.1.2.cmml">σ</mi><mi id="S5.T1.4.4.3.m3.1.1.3" xref="S5.T1.4.4.3.m3.1.1.3.cmml">μ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T1.4.4.3.m3.1b"><apply id="S5.T1.4.4.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.T1.4.4.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.T1.4.4.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.T1.4.4.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.T1.4.4.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.T1.4.4.3.m3.1.1.2">𝜎</ci><ci id="S5.T1.4.4.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S5.T1.4.4.3.m3.1.1.3">𝜇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T1.4.4.3.m3.1c">\sigma_{\mu}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T1.4.4.3.m3.1d">italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_μ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> </td> <td class="ltx_td ltx_align_left" id="S5.T1.4.4.5">0.5, 1, 5</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S5.T1.5.5"> <td class="ltx_td" id="S5.T1.5.5.2"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left" id="S5.T1.5.5.1">Poisson rate for # centers: <math alttext="\lambda_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T1.5.5.1.m1.1"><semantics id="S5.T1.5.5.1.m1.1a"><msub id="S5.T1.5.5.1.m1.1.1" xref="S5.T1.5.5.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.T1.5.5.1.m1.1.1.2" xref="S5.T1.5.5.1.m1.1.1.2.cmml">λ</mi><mi id="S5.T1.5.5.1.m1.1.1.3" xref="S5.T1.5.5.1.m1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T1.5.5.1.m1.1b"><apply id="S5.T1.5.5.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.T1.5.5.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.T1.5.5.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.T1.5.5.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.T1.5.5.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.T1.5.5.1.m1.1.1.2">𝜆</ci><ci id="S5.T1.5.5.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.T1.5.5.1.m1.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T1.5.5.1.m1.1c">\lambda_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T1.5.5.1.m1.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> </td> <td class="ltx_td ltx_align_left" id="S5.T1.5.5.3">5, 25</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S5.T1.6.6"> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_t" id="S5.T1.6.6.2">Hetero-AddiVortes</td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_t" id="S5.T1.6.6.1">Sigma prior: <math alttext="(\nu,q)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T1.6.6.1.m1.2"><semantics id="S5.T1.6.6.1.m1.2a"><mrow id="S5.T1.6.6.1.m1.2.3.2" xref="S5.T1.6.6.1.m1.2.3.1.cmml"><mo id="S5.T1.6.6.1.m1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.T1.6.6.1.m1.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S5.T1.6.6.1.m1.1.1" xref="S5.T1.6.6.1.m1.1.1.cmml">ν</mi><mo id="S5.T1.6.6.1.m1.2.3.2.2" xref="S5.T1.6.6.1.m1.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S5.T1.6.6.1.m1.2.2" xref="S5.T1.6.6.1.m1.2.2.cmml">q</mi><mo id="S5.T1.6.6.1.m1.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S5.T1.6.6.1.m1.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T1.6.6.1.m1.2b"><interval closure="open" id="S5.T1.6.6.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S5.T1.6.6.1.m1.2.3.2"><ci id="S5.T1.6.6.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.T1.6.6.1.m1.1.1">𝜈</ci><ci id="S5.T1.6.6.1.m1.2.2.cmml" xref="S5.T1.6.6.1.m1.2.2">𝑞</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T1.6.6.1.m1.2c">(\nu,q)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T1.6.6.1.m1.2d">( italic_ν , italic_q )</annotation></semantics></math> </td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_t" id="S5.T1.6.6.3">(3, 0.90), (3, 0.99), (10, 0.75)</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S5.T1.9.9"> <td class="ltx_td" id="S5.T1.9.9.4"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left" id="S5.T1.9.9.3"> <math alttext="\mu" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T1.7.7.1.m1.1"><semantics id="S5.T1.7.7.1.m1.1a"><mi id="S5.T1.7.7.1.m1.1.1" xref="S5.T1.7.7.1.m1.1.1.cmml">μ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T1.7.7.1.m1.1b"><ci id="S5.T1.7.7.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.T1.7.7.1.m1.1.1">𝜇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T1.7.7.1.m1.1c">\mu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T1.7.7.1.m1.1d">italic_μ</annotation></semantics></math> prior: <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T1.8.8.2.m2.1"><semantics id="S5.T1.8.8.2.m2.1a"><mi id="S5.T1.8.8.2.m2.1.1" xref="S5.T1.8.8.2.m2.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T1.8.8.2.m2.1b"><ci id="S5.T1.8.8.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.T1.8.8.2.m2.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T1.8.8.2.m2.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T1.8.8.2.m2.1d">italic_k</annotation></semantics></math> value for <math alttext="\sigma_{\mu}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T1.9.9.3.m3.1"><semantics id="S5.T1.9.9.3.m3.1a"><msub id="S5.T1.9.9.3.m3.1.1" xref="S5.T1.9.9.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S5.T1.9.9.3.m3.1.1.2" xref="S5.T1.9.9.3.m3.1.1.2.cmml">σ</mi><mi id="S5.T1.9.9.3.m3.1.1.3" xref="S5.T1.9.9.3.m3.1.1.3.cmml">μ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T1.9.9.3.m3.1b"><apply id="S5.T1.9.9.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.T1.9.9.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.T1.9.9.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.T1.9.9.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.T1.9.9.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.T1.9.9.3.m3.1.1.2">𝜎</ci><ci id="S5.T1.9.9.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S5.T1.9.9.3.m3.1.1.3">𝜇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T1.9.9.3.m3.1c">\sigma_{\mu}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T1.9.9.3.m3.1d">italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_μ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> </td> <td class="ltx_td ltx_align_left" id="S5.T1.9.9.5">0.5, 1, 5</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S5.T1.10.10"> <td class="ltx_td" id="S5.T1.10.10.2"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left" id="S5.T1.10.10.1">Poisson rate for # centers: <math alttext="\lambda_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T1.10.10.1.m1.1"><semantics id="S5.T1.10.10.1.m1.1a"><msub id="S5.T1.10.10.1.m1.1.1" xref="S5.T1.10.10.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.T1.10.10.1.m1.1.1.2" xref="S5.T1.10.10.1.m1.1.1.2.cmml">λ</mi><mi id="S5.T1.10.10.1.m1.1.1.3" xref="S5.T1.10.10.1.m1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T1.10.10.1.m1.1b"><apply id="S5.T1.10.10.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.T1.10.10.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.T1.10.10.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.T1.10.10.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.T1.10.10.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.T1.10.10.1.m1.1.1.2">𝜆</ci><ci id="S5.T1.10.10.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.T1.10.10.1.m1.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T1.10.10.1.m1.1c">\lambda_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T1.10.10.1.m1.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> </td> <td class="ltx_td ltx_align_left" id="S5.T1.10.10.3">5, 25</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S5.T1.11.11"> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_t" id="S5.T1.11.11.2">BART</td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_t" id="S5.T1.11.11.1">Sigma prior: <math alttext="(\nu,q)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T1.11.11.1.m1.2"><semantics id="S5.T1.11.11.1.m1.2a"><mrow id="S5.T1.11.11.1.m1.2.3.2" xref="S5.T1.11.11.1.m1.2.3.1.cmml"><mo id="S5.T1.11.11.1.m1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.T1.11.11.1.m1.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S5.T1.11.11.1.m1.1.1" xref="S5.T1.11.11.1.m1.1.1.cmml">ν</mi><mo id="S5.T1.11.11.1.m1.2.3.2.2" xref="S5.T1.11.11.1.m1.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S5.T1.11.11.1.m1.2.2" xref="S5.T1.11.11.1.m1.2.2.cmml">q</mi><mo id="S5.T1.11.11.1.m1.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S5.T1.11.11.1.m1.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T1.11.11.1.m1.2b"><interval closure="open" id="S5.T1.11.11.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S5.T1.11.11.1.m1.2.3.2"><ci id="S5.T1.11.11.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.T1.11.11.1.m1.1.1">𝜈</ci><ci id="S5.T1.11.11.1.m1.2.2.cmml" xref="S5.T1.11.11.1.m1.2.2">𝑞</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T1.11.11.1.m1.2c">(\nu,q)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T1.11.11.1.m1.2d">( italic_ν , italic_q )</annotation></semantics></math> combinations</td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_t" id="S5.T1.11.11.3">(3, 0.90), (3, 0.99), (10, 0.75)</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S5.T1.14.14"> <td class="ltx_td" id="S5.T1.14.14.4"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left" id="S5.T1.14.14.3"> <math alttext="\mu" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T1.12.12.1.m1.1"><semantics id="S5.T1.12.12.1.m1.1a"><mi id="S5.T1.12.12.1.m1.1.1" xref="S5.T1.12.12.1.m1.1.1.cmml">μ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T1.12.12.1.m1.1b"><ci id="S5.T1.12.12.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.T1.12.12.1.m1.1.1">𝜇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T1.12.12.1.m1.1c">\mu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T1.12.12.1.m1.1d">italic_μ</annotation></semantics></math> prior: <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T1.13.13.2.m2.1"><semantics id="S5.T1.13.13.2.m2.1a"><mi id="S5.T1.13.13.2.m2.1.1" xref="S5.T1.13.13.2.m2.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T1.13.13.2.m2.1b"><ci id="S5.T1.13.13.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.T1.13.13.2.m2.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T1.13.13.2.m2.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T1.13.13.2.m2.1d">italic_k</annotation></semantics></math> value for <math alttext="\sigma_{\mu}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T1.14.14.3.m3.1"><semantics id="S5.T1.14.14.3.m3.1a"><msub id="S5.T1.14.14.3.m3.1.1" xref="S5.T1.14.14.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S5.T1.14.14.3.m3.1.1.2" xref="S5.T1.14.14.3.m3.1.1.2.cmml">σ</mi><mi id="S5.T1.14.14.3.m3.1.1.3" xref="S5.T1.14.14.3.m3.1.1.3.cmml">μ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T1.14.14.3.m3.1b"><apply id="S5.T1.14.14.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.T1.14.14.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.T1.14.14.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.T1.14.14.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.T1.14.14.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.T1.14.14.3.m3.1.1.2">𝜎</ci><ci id="S5.T1.14.14.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S5.T1.14.14.3.m3.1.1.3">𝜇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T1.14.14.3.m3.1c">\sigma_{\mu}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T1.14.14.3.m3.1d">italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_μ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> </td> <td class="ltx_td ltx_align_left" id="S5.T1.14.14.5">0.25, 0.5, 1, 2, 5, 10</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S5.T1.15.15"> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_t" id="S5.T1.15.15.2">HBART</td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_t" id="S5.T1.15.15.1">Sigma prior: <math alttext="(\nu,q)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T1.15.15.1.m1.2"><semantics id="S5.T1.15.15.1.m1.2a"><mrow id="S5.T1.15.15.1.m1.2.3.2" xref="S5.T1.15.15.1.m1.2.3.1.cmml"><mo id="S5.T1.15.15.1.m1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.T1.15.15.1.m1.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S5.T1.15.15.1.m1.1.1" xref="S5.T1.15.15.1.m1.1.1.cmml">ν</mi><mo id="S5.T1.15.15.1.m1.2.3.2.2" xref="S5.T1.15.15.1.m1.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S5.T1.15.15.1.m1.2.2" xref="S5.T1.15.15.1.m1.2.2.cmml">q</mi><mo id="S5.T1.15.15.1.m1.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S5.T1.15.15.1.m1.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T1.15.15.1.m1.2b"><interval closure="open" id="S5.T1.15.15.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S5.T1.15.15.1.m1.2.3.2"><ci id="S5.T1.15.15.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.T1.15.15.1.m1.1.1">𝜈</ci><ci id="S5.T1.15.15.1.m1.2.2.cmml" xref="S5.T1.15.15.1.m1.2.2">𝑞</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T1.15.15.1.m1.2c">(\nu,q)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T1.15.15.1.m1.2d">( italic_ν , italic_q )</annotation></semantics></math> combinations</td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_t" id="S5.T1.15.15.3">(3, 0.90), (3, 0.99), (10, 0.75)</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S5.T1.18.18"> <td class="ltx_td ltx_border_b" id="S5.T1.18.18.4"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_b" id="S5.T1.18.18.3"> <math alttext="\mu" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T1.16.16.1.m1.1"><semantics id="S5.T1.16.16.1.m1.1a"><mi id="S5.T1.16.16.1.m1.1.1" xref="S5.T1.16.16.1.m1.1.1.cmml">μ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T1.16.16.1.m1.1b"><ci id="S5.T1.16.16.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.T1.16.16.1.m1.1.1">𝜇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T1.16.16.1.m1.1c">\mu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T1.16.16.1.m1.1d">italic_μ</annotation></semantics></math> prior: <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T1.17.17.2.m2.1"><semantics id="S5.T1.17.17.2.m2.1a"><mi id="S5.T1.17.17.2.m2.1.1" xref="S5.T1.17.17.2.m2.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T1.17.17.2.m2.1b"><ci id="S5.T1.17.17.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.T1.17.17.2.m2.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T1.17.17.2.m2.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T1.17.17.2.m2.1d">italic_k</annotation></semantics></math> value for <math alttext="\sigma_{\mu}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T1.18.18.3.m3.1"><semantics id="S5.T1.18.18.3.m3.1a"><msub id="S5.T1.18.18.3.m3.1.1" xref="S5.T1.18.18.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S5.T1.18.18.3.m3.1.1.2" xref="S5.T1.18.18.3.m3.1.1.2.cmml">σ</mi><mi id="S5.T1.18.18.3.m3.1.1.3" xref="S5.T1.18.18.3.m3.1.1.3.cmml">μ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T1.18.18.3.m3.1b"><apply id="S5.T1.18.18.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.T1.18.18.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.T1.18.18.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.T1.18.18.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.T1.18.18.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.T1.18.18.3.m3.1.1.2">𝜎</ci><ci id="S5.T1.18.18.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S5.T1.18.18.3.m3.1.1.3">𝜇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T1.18.18.3.m3.1c">\sigma_{\mu}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T1.18.18.3.m3.1d">italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_μ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> </td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_b" id="S5.T1.18.18.5">0.25, 0.5, 1, 2, 5, 10</td> </tr> </tbody> </table> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_table">Table 1: </span>A table showing the cross-validation values for competing methods.</figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="S5.p7"> <p class="ltx_p" id="S5.p7.1">The box plots reveal that the RMSE values for all methods are comparable, indicating similar levels of accuracy in point predictions. However, heteroscedastic AddiVortes outperforms the competitors in terms of the e-statistic, which measures the similarity between predicted and true distributions. This substantial improvement in the e-statistic suggests that AddiVortes is not only capturing the central tendency of the data but also providing a better overall representation of the predictive distribution, particularly in scenarios with non-constant variance. This demonstrates its ability to model uncertainty and variability more effectively, offering a significant advantage in applications where understanding the full distribution is critical.</p> </div> <figure class="ltx_table" id="S5.T2"> <table class="ltx_tabular ltx_centering ltx_guessed_headers ltx_align_middle" id="S5.T2.2"> <thead class="ltx_thead"> <tr class="ltx_tr" id="S5.T2.2.3.1"> <th class="ltx_td ltx_align_left ltx_th ltx_th_column ltx_border_t" id="S5.T2.2.3.1.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.T2.2.3.1.1.1">Method</span></th> <th class="ltx_td ltx_align_left ltx_th ltx_th_column ltx_border_t" id="S5.T2.2.3.1.2">e-statistic</th> <th class="ltx_td ltx_align_left ltx_th ltx_th_column ltx_border_t" id="S5.T2.2.3.1.3">RMSE</th> </tr> </thead> <tbody class="ltx_tbody"> <tr class="ltx_tr" id="S5.T2.2.2"> <td class="ltx_td" id="S5.T2.2.2.3"></td> <th class="ltx_td ltx_align_left ltx_th ltx_th_column" id="S5.T2.1.1.1"><math alttext="\bm{(50\%,75\%)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T2.1.1.1.m1.2"><semantics id="S5.T2.1.1.1.m1.2a"><mrow id="S5.T2.1.1.1.m1.2.2.2" xref="S5.T2.1.1.1.m1.2.2.3.cmml"><mo class="ltx_mathvariant_bold" id="S5.T2.1.1.1.m1.2.2.2.3" mathvariant="bold" stretchy="false" xref="S5.T2.1.1.1.m1.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S5.T2.1.1.1.m1.1.1.1.1" xref="S5.T2.1.1.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.T2.1.1.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.T2.1.1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml">𝟓𝟎</mn><mo class="ltx_mathvariant_bold" id="S5.T2.1.1.1.m1.1.1.1.1.1" mathvariant="bold" xref="S5.T2.1.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">%</mo></mrow><mo class="ltx_mathvariant_bold" id="S5.T2.1.1.1.m1.2.2.2.4" mathvariant="bold" xref="S5.T2.1.1.1.m1.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S5.T2.1.1.1.m1.2.2.2.2" xref="S5.T2.1.1.1.m1.2.2.2.2.cmml"><mn id="S5.T2.1.1.1.m1.2.2.2.2.2" xref="S5.T2.1.1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml">𝟕𝟓</mn><mo class="ltx_mathvariant_bold" id="S5.T2.1.1.1.m1.2.2.2.2.1" mathvariant="bold" xref="S5.T2.1.1.1.m1.2.2.2.2.1.cmml">%</mo></mrow><mo class="ltx_mathvariant_bold" id="S5.T2.1.1.1.m1.2.2.2.5" mathvariant="bold" stretchy="false" xref="S5.T2.1.1.1.m1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T2.1.1.1.m1.2b"><interval closure="open" id="S5.T2.1.1.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S5.T2.1.1.1.m1.2.2.2"><apply id="S5.T2.1.1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.T2.1.1.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.T2.1.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.T2.1.1.1.m1.1.1.1.1.1">percent</csymbol><cn id="S5.T2.1.1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S5.T2.1.1.1.m1.1.1.1.1.2">50</cn></apply><apply id="S5.T2.1.1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.T2.1.1.1.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.T2.1.1.1.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.T2.1.1.1.m1.2.2.2.2.1">percent</csymbol><cn id="S5.T2.1.1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.T2.1.1.1.m1.2.2.2.2.2">75</cn></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T2.1.1.1.m1.2c">\bm{(50\%,75\%)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T2.1.1.1.m1.2d">bold_( bold_50 bold_% bold_, bold_75 bold_% bold_)</annotation></semantics></math></th> <th class="ltx_td ltx_align_left ltx_th ltx_th_column" id="S5.T2.2.2.2"><math alttext="\bm{(50\%,75\%)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T2.2.2.2.m1.2"><semantics id="S5.T2.2.2.2.m1.2a"><mrow id="S5.T2.2.2.2.m1.2.2.2" xref="S5.T2.2.2.2.m1.2.2.3.cmml"><mo class="ltx_mathvariant_bold" id="S5.T2.2.2.2.m1.2.2.2.3" mathvariant="bold" stretchy="false" xref="S5.T2.2.2.2.m1.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S5.T2.2.2.2.m1.1.1.1.1" xref="S5.T2.2.2.2.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.T2.2.2.2.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.T2.2.2.2.m1.1.1.1.1.2.cmml">𝟓𝟎</mn><mo class="ltx_mathvariant_bold" id="S5.T2.2.2.2.m1.1.1.1.1.1" mathvariant="bold" xref="S5.T2.2.2.2.m1.1.1.1.1.1.cmml">%</mo></mrow><mo class="ltx_mathvariant_bold" id="S5.T2.2.2.2.m1.2.2.2.4" mathvariant="bold" xref="S5.T2.2.2.2.m1.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S5.T2.2.2.2.m1.2.2.2.2" xref="S5.T2.2.2.2.m1.2.2.2.2.cmml"><mn id="S5.T2.2.2.2.m1.2.2.2.2.2" xref="S5.T2.2.2.2.m1.2.2.2.2.2.cmml">𝟕𝟓</mn><mo class="ltx_mathvariant_bold" id="S5.T2.2.2.2.m1.2.2.2.2.1" mathvariant="bold" xref="S5.T2.2.2.2.m1.2.2.2.2.1.cmml">%</mo></mrow><mo class="ltx_mathvariant_bold" id="S5.T2.2.2.2.m1.2.2.2.5" mathvariant="bold" stretchy="false" xref="S5.T2.2.2.2.m1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T2.2.2.2.m1.2b"><interval closure="open" id="S5.T2.2.2.2.m1.2.2.3.cmml" xref="S5.T2.2.2.2.m1.2.2.2"><apply id="S5.T2.2.2.2.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.T2.2.2.2.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.T2.2.2.2.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.T2.2.2.2.m1.1.1.1.1.1">percent</csymbol><cn id="S5.T2.2.2.2.m1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S5.T2.2.2.2.m1.1.1.1.1.2">50</cn></apply><apply id="S5.T2.2.2.2.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.T2.2.2.2.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.T2.2.2.2.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.T2.2.2.2.m1.2.2.2.2.1">percent</csymbol><cn id="S5.T2.2.2.2.m1.2.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.T2.2.2.2.m1.2.2.2.2.2">75</cn></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T2.2.2.2.m1.2c">\bm{(50\%,75\%)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T2.2.2.2.m1.2d">bold_( bold_50 bold_% bold_, bold_75 bold_% bold_)</annotation></semantics></math></th> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S5.T2.2.4.1"> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_t" id="S5.T2.2.4.1.1">Heteroscedastic AddiVortes</td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_t" id="S5.T2.2.4.1.2">(0.3223, 0.4095)</td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_t" id="S5.T2.2.4.1.3">(4644.7, 4926.2)</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S5.T2.2.5.2"> <td class="ltx_td ltx_align_left" id="S5.T2.2.5.2.1">Homoscedastic AddiVortes</td> <td class="ltx_td ltx_align_left" id="S5.T2.2.5.2.2">(0.8492, 1.2699)</td> <td class="ltx_td ltx_align_left" id="S5.T2.2.5.2.3">(4704.7, 5006.8)</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S5.T2.2.6.3"> <td class="ltx_td ltx_align_left" id="S5.T2.2.6.3.1">HBART</td> <td class="ltx_td ltx_align_left" id="S5.T2.2.6.3.2">(0.3670, 0.8278)</td> <td class="ltx_td ltx_align_left" id="S5.T2.2.6.3.3">(5140.7, 5390.0)</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S5.T2.2.7.4"> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_b" id="S5.T2.2.7.4.1">BART</td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_b" id="S5.T2.2.7.4.2">(0.8493, 1.2699)</td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_b" id="S5.T2.2.7.4.3">(4693.7, 4842.8)</td> </tr> </tbody> </table> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_table">Table 2: </span>(50%, 75%) quantiles of e-statistics and RMSE values for each method.</figcaption> </figure> <figure class="ltx_figure" id="S5.F6"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_square" height="600" id="S5.F6.g1" src="x6.png" width="665"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure 6: </span>Box plot of e-statistic (left) and RMSE values (left) for all competing methods of the 20 train/test splits of the car dataset.</figcaption> </figure> </section> <section class="ltx_section" id="S6"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">6 </span>Million Songs Dataset</h2> <div class="ltx_para" id="S6.p1"> <p class="ltx_p" id="S6.p1.1">To evaluate the heteroscedastic AddiVortes model in a more complex setting, we applied it to the year prediction task from the Million Songs Dataset (MSD). This dataset comprises 515,345 observations spanning 28,223 artists from 1922 to 2011, each with 90 predictor variables that encode audio features such as timbre averages (12 predictors) and timbre covariances (78 predictors). Predicting a song’s release year from its audio features poses a challenging regression problem in a large <math alttext="n,p" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p1.1.m1.2"><semantics id="S6.p1.1.m1.2a"><mrow id="S6.p1.1.m1.2.3.2" xref="S6.p1.1.m1.2.3.1.cmml"><mi id="S6.p1.1.m1.1.1" xref="S6.p1.1.m1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S6.p1.1.m1.2.3.2.1" xref="S6.p1.1.m1.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S6.p1.1.m1.2.2" xref="S6.p1.1.m1.2.2.cmml">p</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p1.1.m1.2b"><list id="S6.p1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S6.p1.1.m1.2.3.2"><ci id="S6.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.p1.1.m1.1.1">𝑛</ci><ci id="S6.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S6.p1.1.m1.2.2">𝑝</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p1.1.m1.2c">n,p</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p1.1.m1.2d">italic_n , italic_p</annotation></semantics></math> setting, making it an excellent test case for our model.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S6.p2"> <p class="ltx_p" id="S6.p2.2">Previous studies, including those by <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Bertin-Mahieux et al., (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13037v1#bib.bib1" title="">2011</a>)</cite>, explored prediction models for this dataset, such as <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p2.1.m1.1"><semantics id="S6.p2.1.m1.1a"><mi id="S6.p2.1.m1.1.1" xref="S6.p2.1.m1.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p2.1.m1.1b"><ci id="S6.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.p2.1.m1.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p2.1.m1.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p2.1.m1.1d">italic_k</annotation></semantics></math>-nearest neighbors and the Vowpal Wabbit algorithm. We compared standard main-effects linear regression, AddiVortes, and heteroscedastic AddiVortes models, using default priors for the Bayesian approaches. Table <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.13037v1#S6.T3" title="Table 3 ‣ 6 Million Songs Dataset ‣ H-AddiVortes: Heteroscedastic (Bayesian) Additive Voronoi Tessellations"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a> summarizes the Root Mean Squared Error (RMSE) for year prediction on the test set, showing that the linear and <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p2.2.m2.1"><semantics id="S6.p2.2.m2.1a"><mi id="S6.p2.2.m2.1.1" xref="S6.p2.2.m2.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p2.2.m2.1b"><ci id="S6.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S6.p2.2.m2.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p2.2.m2.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p2.2.m2.1d">italic_k</annotation></semantics></math>-NN models performed worse than the AddiVortes and heteroscedastic AddiVortes models. Notably, both AddiVortes and heteroscedastic AddiVortes demonstrated competitive predictive accuracy, with the latter excelling due to its ability to model heteroscedasticity.</p> </div> <figure class="ltx_table" id="S6.T3"> <table class="ltx_tabular ltx_centering ltx_align_middle" id="S6.T3.1"> <tbody class="ltx_tbody"> <tr class="ltx_tr" id="S6.T3.1.1.1"> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_t" id="S6.T3.1.1.1.1">Model</td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_t" id="S6.T3.1.1.1.2">H-AV</td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_t" id="S6.T3.1.1.1.3">AV</td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_t" id="S6.T3.1.1.1.4">HBART</td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_t" id="S6.T3.1.1.1.5">Linear</td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_t" id="S6.T3.1.1.1.6">1-NN</td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_t" id="S6.T3.1.1.1.7">50-NN</td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_t" id="S6.T3.1.1.1.8">Vowpal</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S6.T3.1.2.2"> <td class="ltx_td" id="S6.T3.1.2.2.1"></td> <td class="ltx_td" id="S6.T3.1.2.2.2"></td> <td class="ltx_td" id="S6.T3.1.2.2.3"></td> <td class="ltx_td" id="S6.T3.1.2.2.4"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left" id="S6.T3.1.2.2.5">Regression</td> <td class="ltx_td" id="S6.T3.1.2.2.6"></td> <td class="ltx_td" id="S6.T3.1.2.2.7"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left" id="S6.T3.1.2.2.8">Wabbit</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S6.T3.1.3.3"> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_b ltx_border_t" id="S6.T3.1.3.3.1">RMSE</td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_b ltx_border_t" id="S6.T3.1.3.3.2">8.97</td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_b ltx_border_t" id="S6.T3.1.3.3.3">9.10</td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_b ltx_border_t" id="S6.T3.1.3.3.4">9.08</td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_b ltx_border_t" id="S6.T3.1.3.3.5">9.51</td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_b ltx_border_t" id="S6.T3.1.3.3.6">13.99</td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_b ltx_border_t" id="S6.T3.1.3.3.7">10.20</td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_b ltx_border_t" id="S6.T3.1.3.3.8">8.76</td> </tr> </tbody> </table> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_table">Table 3: </span>The RMSE values of all the competing methods for the test set of the million songs dataset.</figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="S6.p3"> <p class="ltx_p" id="S6.p3.4">Convergence diagnostics, including trace plots of the variance <math alttext="s^{2}(\bm{x})" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p3.1.m1.1"><semantics id="S6.p3.1.m1.1a"><mrow id="S6.p3.1.m1.1.2" xref="S6.p3.1.m1.1.2.cmml"><msup id="S6.p3.1.m1.1.2.2" xref="S6.p3.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S6.p3.1.m1.1.2.2.2" xref="S6.p3.1.m1.1.2.2.2.cmml">s</mi><mn id="S6.p3.1.m1.1.2.2.3" xref="S6.p3.1.m1.1.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S6.p3.1.m1.1.2.1" xref="S6.p3.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.p3.1.m1.1.2.3.2" xref="S6.p3.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S6.p3.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.p3.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S6.p3.1.m1.1.1" xref="S6.p3.1.m1.1.1.cmml">𝒙</mi><mo id="S6.p3.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.p3.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p3.1.m1.1b"><apply id="S6.p3.1.m1.1.2.cmml" xref="S6.p3.1.m1.1.2"><times id="S6.p3.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S6.p3.1.m1.1.2.1"></times><apply id="S6.p3.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S6.p3.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p3.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S6.p3.1.m1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S6.p3.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S6.p3.1.m1.1.2.2.2">𝑠</ci><cn id="S6.p3.1.m1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.p3.1.m1.1.2.2.3">2</cn></apply><ci id="S6.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.p3.1.m1.1.1">𝒙</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p3.1.m1.1c">s^{2}(\bm{x})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p3.1.m1.1d">italic_s start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( bold_italic_x )</annotation></semantics></math> and posterior samples of <math alttext="\sigma" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p3.2.m2.1"><semantics id="S6.p3.2.m2.1a"><mi id="S6.p3.2.m2.1.1" xref="S6.p3.2.m2.1.1.cmml">σ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p3.2.m2.1b"><ci id="S6.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S6.p3.2.m2.1.1">𝜎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p3.2.m2.1c">\sigma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p3.2.m2.1d">italic_σ</annotation></semantics></math>, confirmed reasonable convergence for both models. The heteroscedastic AddiVortes model revealed substantial heteroscedasticity within the dataset, as evidenced by the posterior distribution of <math alttext="s^{2}(\bm{x})" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p3.3.m3.1"><semantics id="S6.p3.3.m3.1a"><mrow id="S6.p3.3.m3.1.2" xref="S6.p3.3.m3.1.2.cmml"><msup id="S6.p3.3.m3.1.2.2" xref="S6.p3.3.m3.1.2.2.cmml"><mi id="S6.p3.3.m3.1.2.2.2" xref="S6.p3.3.m3.1.2.2.2.cmml">s</mi><mn id="S6.p3.3.m3.1.2.2.3" xref="S6.p3.3.m3.1.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S6.p3.3.m3.1.2.1" xref="S6.p3.3.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.p3.3.m3.1.2.3.2" xref="S6.p3.3.m3.1.2.cmml"><mo id="S6.p3.3.m3.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.p3.3.m3.1.2.cmml">(</mo><mi id="S6.p3.3.m3.1.1" xref="S6.p3.3.m3.1.1.cmml">𝒙</mi><mo id="S6.p3.3.m3.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.p3.3.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p3.3.m3.1b"><apply id="S6.p3.3.m3.1.2.cmml" xref="S6.p3.3.m3.1.2"><times id="S6.p3.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S6.p3.3.m3.1.2.1"></times><apply id="S6.p3.3.m3.1.2.2.cmml" xref="S6.p3.3.m3.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p3.3.m3.1.2.2.1.cmml" xref="S6.p3.3.m3.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S6.p3.3.m3.1.2.2.2.cmml" xref="S6.p3.3.m3.1.2.2.2">𝑠</ci><cn id="S6.p3.3.m3.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.p3.3.m3.1.2.2.3">2</cn></apply><ci id="S6.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S6.p3.3.m3.1.1">𝒙</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p3.3.m3.1c">s^{2}(\bm{x})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p3.3.m3.1d">italic_s start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( bold_italic_x )</annotation></semantics></math>, which ranged from 1.04 to 51.9, compared to a constant posterior mean of 8.8 for <math alttext="\sigma" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p3.4.m4.1"><semantics id="S6.p3.4.m4.1a"><mi id="S6.p3.4.m4.1.1" xref="S6.p3.4.m4.1.1.cmml">σ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p3.4.m4.1b"><ci id="S6.p3.4.m4.1.1.cmml" xref="S6.p3.4.m4.1.1">𝜎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p3.4.m4.1c">\sigma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p3.4.m4.1d">italic_σ</annotation></semantics></math> in the AddiVortes model. The dataset’s inherent imbalance, with most songs released post-1980 and relatively few observations from the early decades, does not lead to a different variance process, but the sparsity leads to more uncertainty.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S6.F7"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="518" id="S6.F7.g1" src="x7.png" width="644"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure 7: </span>Plot of <math alttext="\hat{s}(x)" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.F7.2.m1.1"><semantics id="S6.F7.2.m1.1b"><mrow id="S6.F7.2.m1.1.2" xref="S6.F7.2.m1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S6.F7.2.m1.1.2.2" xref="S6.F7.2.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S6.F7.2.m1.1.2.2.2" xref="S6.F7.2.m1.1.2.2.2.cmml">s</mi><mo id="S6.F7.2.m1.1.2.2.1" xref="S6.F7.2.m1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S6.F7.2.m1.1.2.1" xref="S6.F7.2.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.F7.2.m1.1.2.3.2" xref="S6.F7.2.m1.1.2.cmml"><mo id="S6.F7.2.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.F7.2.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S6.F7.2.m1.1.1" xref="S6.F7.2.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S6.F7.2.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.F7.2.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.F7.2.m1.1c"><apply id="S6.F7.2.m1.1.2.cmml" xref="S6.F7.2.m1.1.2"><times id="S6.F7.2.m1.1.2.1.cmml" xref="S6.F7.2.m1.1.2.1"></times><apply id="S6.F7.2.m1.1.2.2.cmml" xref="S6.F7.2.m1.1.2.2"><ci id="S6.F7.2.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S6.F7.2.m1.1.2.2.1">^</ci><ci id="S6.F7.2.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S6.F7.2.m1.1.2.2.2">𝑠</ci></apply><ci id="S6.F7.2.m1.1.1.cmml" xref="S6.F7.2.m1.1.1">𝑥</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.F7.2.m1.1d">\hat{s}(x)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.F7.2.m1.1e">over^ start_ARG italic_s end_ARG ( italic_x )</annotation></semantics></math> versus year for the million songs test set. Note the values of year have been perturbed to more clearly convey how sample size varies with year</figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="S6.p4"> <p class="ltx_p" id="S6.p4.1">An analysis of the posterior average standard deviation <math alttext="\hat{s}(\bm{x})" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p4.1.m1.1"><semantics id="S6.p4.1.m1.1a"><mrow id="S6.p4.1.m1.1.2" xref="S6.p4.1.m1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S6.p4.1.m1.1.2.2" xref="S6.p4.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S6.p4.1.m1.1.2.2.2" xref="S6.p4.1.m1.1.2.2.2.cmml">s</mi><mo id="S6.p4.1.m1.1.2.2.1" xref="S6.p4.1.m1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S6.p4.1.m1.1.2.1" xref="S6.p4.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.p4.1.m1.1.2.3.2" xref="S6.p4.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S6.p4.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.p4.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S6.p4.1.m1.1.1" xref="S6.p4.1.m1.1.1.cmml">𝒙</mi><mo id="S6.p4.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.p4.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p4.1.m1.1b"><apply id="S6.p4.1.m1.1.2.cmml" xref="S6.p4.1.m1.1.2"><times id="S6.p4.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S6.p4.1.m1.1.2.1"></times><apply id="S6.p4.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S6.p4.1.m1.1.2.2"><ci id="S6.p4.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S6.p4.1.m1.1.2.2.1">^</ci><ci id="S6.p4.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S6.p4.1.m1.1.2.2.2">𝑠</ci></apply><ci id="S6.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.p4.1.m1.1.1">𝒙</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p4.1.m1.1c">\hat{s}(\bm{x})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p4.1.m1.1d">over^ start_ARG italic_s end_ARG ( bold_italic_x )</annotation></semantics></math> indexed by year showed that high predictive uncertainty is not solely due to sparse data in early years; heteroscedastic AddiVortes identified regions of high uncertainty even in recent years with abundant data. This highlights the model’s ability to differentiate between uncertainty driven by data sparsity and intrinsic complexity in the predictor-response relationship. Thus, heteroscedastic AddiVortes serves as a valuable tool for exploring complex data patterns, pinpointing areas where predictive uncertainty is inherent and guiding further model refinement.</p> </div> </section> <section class="ltx_section" id="S7"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">7 </span>Conclusion</h2> <div class="ltx_para" id="S7.p1"> <p class="ltx_p" id="S7.p1.1">This paper introduced the heteroscedastic AddiVortes model, an extension of the Bayesian additive Voronoi tessellations framework, designed to simultaneously model both the conditional mean and variance of a response variable. By employing a sum-of-tessellations approach for the mean and a product-of-tessellations approach for the variance, the model offers a flexible, nonparametric way to capture complex relationships and heteroscedastic patterns in data.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S7.p2"> <p class="ltx_p" id="S7.p2.1">The heteroscedastic AddiVortes model’s key innovation lies in its ability to account for predictor-dependent variability, providing richer inferences than traditional homoscedastic models. The additive representation of the mean function enables intuitive modeling of main effects and interactions, while the multiplicative variance structure allows for precise, localized adjustments to the dispersion, reflecting changes in scale driven by specific predictors. This dual-layer approach ensures that both central tendency and variability are accurately modeled, offering a comprehensive view of the predictive distribution.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S7.p3"> <p class="ltx_p" id="S7.p3.1">Empirical results demonstrate the model’s effectiveness in capturing complex data patterns across diverse applications, ranging from simulated examples to real-world datasets. The ability to adaptively identify regions of heteroscedasticity and to provide interpretable insights into the sources of variation makes the heteroscedastic AddiVortes model a powerful tool for data exploration and prediction. Moreover, the use of conjugate priors and efficient MCMC sampling facilitates practical implementation, even in high-dimensional settings.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S7.p4"> <p class="ltx_p" id="S7.p4.1">The heteroscedastic AddiVortes model represents a significant step toward flexible, interpretable Bayesian regression, empowering practitioners to make more informed and accurate inferences about their data.</p> </div> </section> <section class="ltx_section" id="S8"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">8 </span>Conflict of Interest statement</h2> <div class="ltx_para" id="S8.p1"> <p class="ltx_p" id="S8.p1.1">The authors report there are no competing interests to declare.</p> </div> <div class="ltx_pagination ltx_role_newpage"></div> <div class="ltx_para" id="S8.p2"> <br class="ltx_break"/> <p class="ltx_p ltx_align_center" id="S8.p2.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S8.p2.1.1" style="font-size:120%;">SUPPLEMENTARY MATERIAL</span></p> </div> <div class="ltx_para" id="S8.p3"> <dl class="ltx_description" id="S8.I1"> <dt class="ltx_item" id="S8.I1.ix1"><span class="ltx_tag ltx_tag_item"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S8.I1.ix1.1.1.1">Online Appendices:</span></span></dt> <dd class="ltx_item"> <div class="ltx_para" id="S8.I1.ix1.p1"> <p class="ltx_p" id="S8.I1.ix1.p1.1">provides additional details of the default hyperparameter selection; cross-validation ranges used in our analysis and adjustments to the algorithm. (Online Appendices.pdf, pdf file)</p> </div> </dd> <dt class="ltx_item" id="S8.I1.ix2"><span class="ltx_tag ltx_tag_item"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S8.I1.ix2.1.1.1">GitHub Respiratory:</span></span></dt> <dd class="ltx_item"> <div class="ltx_para" id="S8.I1.ix2.p1"> <p class="ltx_p" id="S8.I1.ix2.p1.1">a repository on GitHub with all the code and data sets to run the algorithm and produce all the figures in this paper.<span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S8.I1.ix2.p1.1.1"> <a class="ltx_ref ltx_href" href="https://github.com/Adam-Stone2/AddiVortes" title="">AddiVortes R code and data sets</a>.</span></p> </div> </dd> </dl> </div> </section> <section class="ltx_bibliography" id="bib"> <h2 class="ltx_title ltx_title_bibliography">References</h2> <ul class="ltx_biblist"> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib1"> <span class="ltx_tag ltx_role_refnum ltx_tag_bibitem">Bertin-Mahieux et al., (2011)</span> <span class="ltx_bibblock"> Bertin-Mahieux, T., Ellis, D., Whitman, B., and Lamere, P. 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