חזקה (מתמטיקה) – ויקיפדיה

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-disabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available" lang="he" dir="rtl"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>חזקה (מתמטיקה) – ויקיפדיה</title> <script>(function(){var className="client-js vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-disabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )hewikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":["",""],"wgDigitTransformTable":["",""],"wgDefaultDateFormat":"dmy" ,"wgMonthNames":["","ינואר","פברואר","מרץ","אפריל","מאי","יוני","יולי","אוגוסט","ספטמבר","אוקטובר","נובמבר","דצמבר"],"wgRequestId":"728acde3-dc1e-48ba-bc72-8a876db4a050","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"חזקה_(מתמטיקה)","wgTitle":"חזקה (מתמטיקה)","wgCurRevisionId":39563772,"wgRevisionId":39563772,"wgArticleId":57773,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":["דפים שמשתמשים בהרחבה JsonConfig","ויקיפדיה: ערכים עם מזהה J9U","ויקיפדיה: ערכים עם מזהה LCCN","ערכים מומלצים","פעולות בינאריות","אלגברה בסיסית","אריתמטיקה"],"wgPageViewLanguage":"he","wgPageContentLanguage":"he","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"חזקה_(מתמטיקה)","wgRelevantArticleId":57773 ,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"he","pageLanguageDir":"rtl","pageVariantFallbacks":"he"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":60000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgCentralAuthMobileDomain":false,"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":false,"wgVector2022LanguageInHeader":true,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q33456","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true, "wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false,"wgSiteNoticeId":"2.254"};RLSTATE={"ext.gadget.ExternalLinkIcon":"ready","ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.math.styles":"ready","ext.cite.styles":"ready","skins.vector.search.codex.styles":"ready","skins.vector.styles":"ready","skins.vector.icons":"ready","ext.wikimediamessages.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","ext.relatedArticles.styles":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready","ext.dismissableSiteNotice.styles":"ready"};RLPAGEMODULES=["ext.cite.ux-enhancements","mediawiki.page.media","site","mediawiki.page.ready","mediawiki.toc","skins.vector.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.gadget.EditToolbar", "ext.gadget.TemplateParamWizard","ext.gadget.Summarieslist","ext.gadget.refsToLeft","ext.gadget.Wdsearch","ext.gadget.catSexSelector","ext.gadget.feedback","ext.gadget.wikibugs","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.relatedArticles.readMore.bootstrap","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.cx.uls.quick.actions","wikibase.client.vector-2022","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","wikibase.sidebar.tracking","ext.dismissableSiteNotice"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); }];});});</script> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=he&modules=ext.cite.styles%7Cext.dismissableSiteNotice.styles%7Cext.math.styles%7Cext.relatedArticles.styles%7Cext.uls.interlanguage%7Cext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript%7Cext.wikimediaBadges%7Cext.wikimediamessages.styles%7Cskins.vector.icons%2Cstyles%7Cskins.vector.search.codex.styles%7Cwikibase.client.init&only=styles&skin=vector-2022"> <script async="" src="/w/load.php?lang=he&modules=startup&only=scripts&raw=1&skin=vector-2022"></script> <meta name="ResourceLoaderDynamicStyles" content=""> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=he&modules=ext.gadget.ExternalLinkIcon&only=styles&skin=vector-2022"> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=he&modules=site.styles&only=styles&skin=vector-2022"> <meta name="generator" content="MediaWiki 1.44.0-wmf.4"> <meta name="referrer" content="origin"> <meta name="referrer" content="origin-when-cross-origin"> <meta name="robots" content="max-image-preview:standard"> <meta name="format-detection" content="telephone=no"> <meta name="viewport" content="width=1120"> <meta property="og:title" content="חזקה (מתמטיקה) – ויקיפדיה"> <meta property="og:type" content="website"> <link rel="preconnect" href="//upload.wikimedia.org"> <link rel="alternate" media="only screen and (max-width: 640px)" href="//he.m.wikipedia.org/wiki/%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)"> <link rel="alternate" type="application/x-wiki" title="עריכה" href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&action=edit"> <link rel="apple-touch-icon" href="/static/apple-touch/wikipedia.png"> <link rel="icon" href="/static/favicon/wikipedia.ico"> <link rel="search" type="application/opensearchdescription+xml" href="/w/rest.php/v1/search" title="ויקיפדיה"> <link rel="EditURI" type="application/rsd+xml" href="//he.wikipedia.org/w/api.php?action=rsd"> <link rel="canonical" href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)"> <link rel="license" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.he"> <link rel="alternate" type="application/atom+xml" title="הזנת Atom של ויקיפדיה" href="/w/index.php?title=%D7%9E%D7%99%D7%95%D7%97%D7%93:%D7%A9%D7%99%D7%A0%D7%95%D7%99%D7%99%D7%9D_%D7%90%D7%97%D7%A8%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%9D&feed=atom"> <link rel="dns-prefetch" href="//meta.wikimedia.org" /> <link rel="dns-prefetch" href="//login.wikimedia.org"> </head> <body class="skin--responsive skin-vector skin-vector-search-vue mediawiki rtl sitedir-rtl mw-hide-empty-elt ns-0 ns-subject mw-editable page-חזקה_מתמטיקה rootpage-חזקה_מתמטיקה skin-vector-2022 action-view"><a class="mw-jump-link" href="#bodyContent">לדלג לתוכן</a> <div class="vector-header-container"> <header class="vector-header mw-header"> <div class="vector-header-start"> <nav class="vector-main-menu-landmark" aria-label="אתר"> <div id="vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown vector-main-menu-dropdown vector-button-flush-left vector-button-flush-right" > <input type="checkbox" id="vector-main-menu-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="תפריט ראשי" > <label id="vector-main-menu-dropdown-label" for="vector-main-menu-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-menu mw-ui-icon-wikimedia-menu"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">תפריט ראשי</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-main-menu-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-main-menu" class="vector-main-menu vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-main-menu-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="main-menu-pinned" data-pinnable-element-id="vector-main-menu" data-pinned-container-id="vector-main-menu-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-main-menu-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">תפריט ראשי</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.pin">העברה לסרגל הצד</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.unpin">הסתרה</button> </div> <div id="p-navigation" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-navigation" > <div class="vector-menu-heading"> ניווט </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-mainpage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%A2%D7%9E%D7%95%D7%93_%D7%A8%D7%90%D7%A9%D7%99" title="ביקור בעמוד הראשי [z]" accesskey="z"><span>עמוד ראשי</span></a></li><li id="n-welcomepage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94:%D7%91%D7%A8%D7%95%D7%9B%D7%99%D7%9D_%D7%94%D7%91%D7%90%D7%99%D7%9D"><span>ברוכים הבאים</span></a></li><li id="n-recentchanges" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%9E%D7%99%D7%95%D7%97%D7%93:%D7%A9%D7%99%D7%A0%D7%95%D7%99%D7%99%D7%9D_%D7%90%D7%97%D7%A8%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%9D" title="רשימת השינויים האחרונים באתר [r]" accesskey="r"><span>שינויים אחרונים</span></a></li><li id="n-featured-articles" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%A8%D7%98%D7%9C:%D7%A2%D7%A8%D7%9B%D7%99%D7%9D_%D7%9E%D7%95%D7%9E%D7%9C%D7%A6%D7%99%D7%9D"><span>ערכים מומלצים</span></a></li><li id="n-portals" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%A8%D7%98%D7%9C:%D7%A4%D7%95%D7%A8%D7%98%D7%9C%D7%99%D7%9D"><span>פורטלים</span></a></li><li id="n-randompage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%9E%D7%99%D7%95%D7%97%D7%93:%D7%90%D7%A7%D7%A8%D7%90%D7%99" title="טעינת דף אקראי [x]" accesskey="x"><span>ערך אקראי</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-community" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-community" > <div class="vector-menu-heading"> קהילה </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-portal" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94:%D7%A9%D7%A2%D7%A8_%D7%94%D7%A7%D7%94%D7%99%D7%9C%D7%94" title="אודות המיזם, איך אפשר לעזור, איפה למצוא דברים"><span>שער הקהילה</span></a></li><li id="n-help" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%A2%D7%96%D7%A8%D7%94:%D7%AA%D7%A4%D7%A8%D7%99%D7%98_%D7%A8%D7%90%D7%A9%D7%99" title="המקום למצוא מידע"><span>עזרה</span></a></li><li id="n-Ask-q" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94:%D7%99%D7%99%D7%A2%D7%95%D7%A5" title="דפים להתייעצות טכנית, לשונית וכו'"><span>ייעוץ</span></a></li><li id="n-village-pump" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94:%D7%9E%D7%96%D7%A0%D7%95%D7%9F" title="דיוני מדיניות ודיונים כלליים על ויקיפדיה"><span>מזנון</span></a></li><li id="n-Town-square" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94:%D7%9B%D7%99%D7%9B%D7%A8_%D7%94%D7%A2%D7%99%D7%A8" title="המקום בוויקיפדיה לשתף את הקהילה בדעותיכם בנושאים שאינם קשורים ישירות לוויקיפדיה"><span>כיכר העיר</span></a></li><li id="n-news" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94:%D7%97%D7%93%D7%A9%D7%95%D7%AA" title="חדשות בנושאי ויקיפדיה שונים"><span>חדשות</span></a></li><li id="n-notice-board" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94:%D7%9C%D7%95%D7%97_%D7%9E%D7%95%D7%93%D7%A2%D7%95%D7%AA" title="לוח מודעות להפניית הוויקיפדים לדיונים בדפי שיחה שלא זכו לתשומת לב מספקת"><span>לוח מודעות</span></a></li><li id="n-contactUs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94:%D7%99%D7%A6%D7%99%D7%A8%D7%AA_%D7%A7%D7%A9%D7%A8" title="איך ליצור קשר עם ויקיפדיה לצורך תיקונים, בירורים או שאלות אחרות"><span>יצירת קשר</span></a></li><li id="n-guestbook" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94:%D7%A1%D7%A4%D7%A8_%D7%90%D7%95%D7%A8%D7%97%D7%99%D7%9D" title="שתפו אותנו במשוב כללי על התרשמותכם מוויקיפדיה ומידת שביעות רצונכם ממנה"><span>ספר אורחים</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> <a href="/wiki/%D7%A2%D7%9E%D7%95%D7%93_%D7%A8%D7%90%D7%A9%D7%99" class="mw-logo"> <img class="mw-logo-icon" src="/static/images/icons/wikipedia.png" alt="" aria-hidden="true" height="50" width="50"> <span class="mw-logo-container skin-invert"> <img class="mw-logo-wordmark" alt="ויקיפדיה" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-wordmark-he.svg" style="width: 7.5em; height: 1.75em;"> <img class="mw-logo-tagline" alt="האנציקלופדיה החופשית" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-tagline-he.svg" width="120" height="12" style="width: 7.5em; height: 0.75em;"> </span> </a> </div> <div class="vector-header-end"> <div id="p-search" role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-collapses vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box-auto-expand-width vector-search-box"> <a href="/wiki/%D7%9E%D7%99%D7%95%D7%97%D7%93:%D7%97%D7%99%D7%A4%D7%95%D7%A9" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only search-toggle" title="‏חיפוש בוויקיפדיה‏ [f]" accesskey="f"><span class="vector-icon mw-ui-icon-search mw-ui-icon-wikimedia-search"></span> <span>חיפוש</span> </a> <div class="vector-typeahead-search-container"> <div class="cdx-typeahead-search cdx-typeahead-search--show-thumbnail cdx-typeahead-search--auto-expand-width"> <form action="/w/index.php" id="searchform" class="cdx-search-input cdx-search-input--has-end-button"> <div id="simpleSearch" class="cdx-search-input__input-wrapper" data-search-loc="header-moved"> <div class="cdx-text-input cdx-text-input--has-start-icon"> <input class="cdx-text-input__input" type="search" name="search" placeholder="חיפוש בוויקיפדיה" aria-label="חיפוש בוויקיפדיה" autocapitalize="sentences" title="‏חיפוש בוויקיפדיה‏ [f]" accesskey="f" id="searchInput" > <span class="cdx-text-input__icon cdx-text-input__start-icon"></span> </div> <input type="hidden" name="title" value="מיוחד:חיפוש"> </div> <button class="cdx-button cdx-search-input__end-button">חיפוש</button> </form> </div> </div> </div> <nav class="vector-user-links vector-user-links-wide" aria-label="כלים אישיים"> <div class="vector-user-links-main"> <div id="p-vector-user-menu-preferences" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-userpage" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="מראה"> <div id="vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown " title="שינוי המראה של גודל הגופן, הרוחב והצבע של הדף" > <input type="checkbox" id="vector-appearance-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="מראה" > <label id="vector-appearance-dropdown-label" for="vector-appearance-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-appearance mw-ui-icon-wikimedia-appearance"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">מראה</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-appearance-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <div id="p-vector-user-menu-notifications" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-overflow" class="vector-menu mw-portlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_he.wikipedia.org&uselang=he" class=""><span>תרומה לוויקיפדיה</span></a> </li> <li id="pt-createaccount-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=%D7%9E%D7%99%D7%95%D7%97%D7%93:%D7%94%D7%A8%D7%A9%D7%9E%D7%94_%D7%9C%D7%97%D7%A9%D7%91%D7%95%D7%9F&returnto=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94+%28%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94%29" title="מומלץ ליצור חשבון ולהיכנס אליו, אך אין חובה לעשות זאת" class=""><span>יצירת חשבון</span></a> </li> <li id="pt-login-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=%D7%9E%D7%99%D7%95%D7%97%D7%93:%D7%9B%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%94_%D7%9C%D7%97%D7%A9%D7%91%D7%95%D7%9F&returnto=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94+%28%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94%29" title="מומלץ להיכנס לחשבון, אך אין חובה לעשות זאת [o]" accesskey="o" class=""><span>כניסה לחשבון</span></a> </li> </ul> </div> </div> </div> <div id="vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown vector-user-menu vector-button-flush-right vector-user-menu-logged-out" title="אפשרויות נוספות" > <input type="checkbox" id="vector-user-links-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="כלים אישיים" > <label id="vector-user-links-dropdown-label" for="vector-user-links-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-ellipsis mw-ui-icon-wikimedia-ellipsis"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">כלים אישיים</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-personal" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-personal user-links-collapsible-item" title="תפריט משתמש" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_he.wikipedia.org&uselang=he"><span>תרומה לוויקיפדיה</span></a></li><li id="pt-createaccount" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D7%9E%D7%99%D7%95%D7%97%D7%93:%D7%94%D7%A8%D7%A9%D7%9E%D7%94_%D7%9C%D7%97%D7%A9%D7%91%D7%95%D7%9F&returnto=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94+%28%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94%29" title="מומלץ ליצור חשבון ולהיכנס אליו, אך אין חובה לעשות זאת"><span class="vector-icon mw-ui-icon-userAdd mw-ui-icon-wikimedia-userAdd"></span> <span>יצירת חשבון</span></a></li><li id="pt-login" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D7%9E%D7%99%D7%95%D7%97%D7%93:%D7%9B%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%94_%D7%9C%D7%97%D7%A9%D7%91%D7%95%D7%9F&returnto=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94+%28%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94%29" title="מומלץ להיכנס לחשבון, אך אין חובה לעשות זאת [o]" accesskey="o"><span class="vector-icon mw-ui-icon-logIn mw-ui-icon-wikimedia-logIn"></span> <span>כניסה לחשבון</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-user-menu-anon-editor" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-user-menu-anon-editor" > <div class="vector-menu-heading"> דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון <a href="/wiki/%D7%A2%D7%96%D7%A8%D7%94:%D7%91%D7%A8%D7%95%D7%9B%D7%99%D7%9D_%D7%94%D7%91%D7%90%D7%99%D7%9D" aria-label="מידע נוסף על עריכה"><span>מידע נוסף</span></a> </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%9E%D7%99%D7%95%D7%97%D7%93:%D7%94%D7%AA%D7%A8%D7%95%D7%9E%D7%95%D7%AA_%D7%A9%D7%9C%D7%99" title="רשימת העריכות שנעשו מכתובת IP זו [y]" accesskey="y"><span>תרומות</span></a></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%9E%D7%99%D7%95%D7%97%D7%93:%D7%94%D7%A9%D7%99%D7%97%D7%94_%D7%A9%D7%9C%D7%99" title="דיון על העריכות שנעשו מכתובת IP זו [n]" accesskey="n"><span>שיחה</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </header> </div> <div class="mw-page-container"> <div class="mw-page-container-inner"> <div class="vector-sitenotice-container"> <div id="siteNotice"><div id="mw-dismissablenotice-anonplace"></div><script>(function(){var node=document.getElementById("mw-dismissablenotice-anonplace");if(node){node.outerHTML="\u003Cdiv class=\"mw-dismissable-notice\"\u003E\u003Cdiv class=\"mw-dismissable-notice-close\"\u003E[\u003Ca tabindex=\"0\" role=\"button\"\u003Eהסתרה\u003C/a\u003E]\u003C/div\u003E\u003Cdiv class=\"mw-dismissable-notice-body\"\u003E\u003C!-- CentralNotice --\u003E\u003Cdiv id=\"localNotice\" data-nosnippet=\"\"\u003E\u003Cdiv class=\"anonnotice\" lang=\"he\" dir=\"rtl\"\u003E\u003Cp\u003E\u003Cb\u003Eתמיד רציתם לכתוב בוויקיפדיה אבל לא ידעתם איך? אתם מוזמנים לסדנת עריכה בוויקיפדיה. הסדנה תתקיים בספרייה הלאומית (בבניינה החדש) בירושלים ביום שישי, 06.12.24, בשעה 09:00. להרשמה לחצו \u003Ca href=\"/wiki/%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94:%D7%9E%D7%99%D7%96%D7%9E%D7%99_%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94/%D7%92%D7%9C%D7%90%D7%9D/%D7%94%D7%A1%D7%A4%D7%A8%D7%99%D7%99%D7%94_%D7%94%D7%9C%D7%90%D7%95%D7%9E%D7%99%D7%AA/%D7%90%D7%99%D7%A8%D7%95%D7%A2%D7%99%D7%9D/%D7%A1%D7%93%D7%A0%D7%AA_%D7%A2%D7%A8%D7%99%D7%9B%D7%94_%D7%93%D7%A6%D7%9E%D7%91%D7%A8_2024\" title=\"ויקיפדיה:מיזמי ויקיפדיה/גלאם/הספרייה הלאומית/אירועים/סדנת עריכה דצמבר 2024\"\u003Eכאן\u003C/a\u003E.\u003C/b\u003E\n\u003C/p\u003E\u003C/div\u003E\u003C/div\u003E\u003C/div\u003E\u003C/div\u003E";}}());</script></div> </div> <div class="vector-column-start"> <div class="vector-main-menu-container"> <div id="mw-navigation"> <nav id="mw-panel" class="vector-main-menu-landmark" aria-label="אתר"> <div id="vector-main-menu-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> </div> </div> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav id="mw-panel-toc" aria-label="תוכן עניינים" data-event-name="ui.sidebar-toc" class="mw-table-of-contents-container vector-toc-landmark"> <div id="vector-toc-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-toc" class="vector-toc vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-toc-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="toc-pinned" data-pinnable-element-id="vector-toc" > <h2 class="vector-pinnable-header-label">תוכן עניינים</h2> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.pin">העברה לסרגל הצד</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.unpin">הסתרה</button> </div> <ul class="vector-toc-contents" id="mw-panel-toc-list"> <li id="toc-mw-content-text" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a href="#" class="vector-toc-link"> <div class="vector-toc-text">התחלה</div> </a> </li> <li id="toc-טרמינולוגיה_וסימון" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#טרמינולוגיה_וסימון"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1</span> <span>טרמינולוגיה וסימון</span> </div> </a> <ul id="toc-טרמינולוגיה_וסימון-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-חזקה_טבעית" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#חזקה_טבעית"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>חזקה טבעית</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-חזקה_טבעית-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>שינוי מצב התת־פרק חזקה טבעית</span> </button> <ul id="toc-חזקה_טבעית-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-דוגמאות" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#דוגמאות"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.1</span> <span>דוגמאות</span> </div> </a> <ul id="toc-דוגמאות-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-חוקי_החזקות" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#חוקי_החזקות"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.2</span> <span>חוקי החזקות</span> </div> </a> <ul id="toc-חוקי_החזקות-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-דוגמאות_לשימוש" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#דוגמאות_לשימוש"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.2.1</span> <span>דוגמאות לשימוש</span> </div> </a> <ul id="toc-דוגמאות_לשימוש-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-חזקה_שלמה" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#חזקה_שלמה"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>חזקה שלמה</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-חזקה_שלמה-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>שינוי מצב התת־פרק חזקה שלמה</span> </button> <ul id="toc-חזקה_שלמה-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-דוגמאות_2" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#דוגמאות_2"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.1</span> <span>דוגמאות</span> </div> </a> <ul id="toc-דוגמאות_2-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-חזקה_רציונלית" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#חזקה_רציונלית"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>חזקה רציונלית</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-חזקה_רציונלית-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>שינוי מצב התת־פרק חזקה רציונלית</span> </button> <ul id="toc-חזקה_רציונלית-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-דוגמאות_3" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#דוגמאות_3"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.1</span> <span>דוגמאות</span> </div> </a> <ul id="toc-דוגמאות_3-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-חזקה_ממשית" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#חזקה_ממשית"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>חזקה ממשית</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-חזקה_ממשית-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>שינוי מצב התת־פרק חזקה ממשית</span> </button> <ul id="toc-חזקה_ממשית-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-דוגמאות_4" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#דוגמאות_4"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.1</span> <span>דוגמאות</span> </div> </a> <ul id="toc-דוגמאות_4-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-חזקה_מרוכבת" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#חזקה_מרוכבת"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>חזקה מרוכבת</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-חזקה_מרוכבת-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>שינוי מצב התת־פרק חזקה מרוכבת</span> </button> <ul id="toc-חזקה_מרוכבת-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-בסיס_מרוכב_ומעריך_שלם" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#בסיס_מרוכב_ומעריך_שלם"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6.1</span> <span>בסיס מרוכב ומעריך שלם</span> </div> </a> <ul id="toc-בסיס_מרוכב_ומעריך_שלם-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-דוגמאות_5" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#דוגמאות_5"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6.1.1</span> <span>דוגמאות</span> </div> </a> <ul id="toc-דוגמאות_5-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-בסיס_חיובי_ומעריך_מרוכב" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#בסיס_חיובי_ומעריך_מרוכב"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6.2</span> <span>בסיס חיובי ומעריך מרוכב</span> </div> </a> <ul id="toc-בסיס_חיובי_ומעריך_מרוכב-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-דוגמאות_6" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#דוגמאות_6"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6.2.1</span> <span>דוגמאות</span> </div> </a> <ul id="toc-דוגמאות_6-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-בסיס_מרוכב_ומעריך_מרוכב" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#בסיס_מרוכב_ומעריך_מרוכב"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6.3</span> <span>בסיס מרוכב ומעריך מרוכב</span> </div> </a> <ul id="toc-בסיס_מרוכב_ומעריך_מרוכב-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-דוגמאות_7" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#דוגמאות_7"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6.3.1</span> <span>דוגמאות</span> </div> </a> <ul id="toc-דוגמאות_7-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-מגדל_חזקות" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#מגדל_חזקות"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>מגדל חזקות</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-מגדל_חזקות-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>שינוי מצב התת־פרק מגדל חזקות</span> </button> <ul id="toc-מגדל_חזקות-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-דוגמאות_8" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#דוגמאות_8"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7.1</span> <span>דוגמאות</span> </div> </a> <ul id="toc-דוגמאות_8-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-תכונות_אלגבריות" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#תכונות_אלגבריות"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8</span> <span>תכונות אלגבריות</span> </div> </a> <ul id="toc-תכונות_אלגבריות-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-הכללות" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#הכללות"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9</span> <span>הכללות</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-הכללות-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>שינוי מצב התת־פרק הכללות</span> </button> <ul id="toc-הכללות-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-חשבון_אינפיניטסימלי" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#חשבון_אינפיניטסימלי"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9.1</span> <span>חשבון אינפיניטסימלי</span> </div> </a> <ul id="toc-חשבון_אינפיניטסימלי-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-תורת_הקבוצות" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#תורת_הקבוצות"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9.2</span> <span>תורת הקבוצות</span> </div> </a> <ul id="toc-תורת_הקבוצות-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-קבוצות_ועוצמות" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#קבוצות_ועוצמות"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9.2.1</span> <span>קבוצות ועוצמות</span> </div> </a> <ul id="toc-קבוצות_ועוצמות-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-סודרים" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#סודרים"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9.2.2</span> <span>סודרים</span> </div> </a> <ul id="toc-סודרים-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-אלגברה_מופשטת" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#אלגברה_מופשטת"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9.3</span> <span>אלגברה מופשטת</span> </div> </a> <ul id="toc-אלגברה_מופשטת-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-חישוב_חזקות" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#חישוב_חזקות"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">10</span> <span>חישוב חזקות</span> </div> </a> <ul id="toc-חישוב_חזקות-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-פעולות_הפוכות" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#פעולות_הפוכות"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">11</span> <span>פעולות הפוכות</span> </div> </a> <ul id="toc-פעולות_הפוכות-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-פונקציות_מבוססות_חזקה" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#פונקציות_מבוססות_חזקה"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">12</span> <span>פונקציות מבוססות חזקה</span> </div> </a> <ul id="toc-פונקציות_מבוססות_חזקה-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-משפטים_ובעיות_קשורות" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#משפטים_ובעיות_קשורות"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">13</span> <span>משפטים ובעיות קשורות</span> </div> </a> <ul id="toc-משפטים_ובעיות_קשורות-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-ראו_גם" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#ראו_גם"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">14</span> <span>ראו גם</span> </div> </a> <ul id="toc-ראו_גם-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-קישורים_חיצוניים" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#קישורים_חיצוניים"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">15</span> <span>קישורים חיצוניים</span> </div> </a> <ul id="toc-קישורים_חיצוניים-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-הערות_שוליים" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#הערות_שוליים"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">16</span> <span>הערות שוליים</span> </div> </a> <ul id="toc-הערות_שוליים-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="תוכן עניינים" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="מצב תוכן העניינים" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">מצב תוכן העניינים</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">חזקה (מתמטיקה)</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="מעבר לערך בשפה אחרת. זמין ב־89 שפות" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-89" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">89 שפות</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation" title="Exponentiation – אנגלית" lang="en" hreflang="en" data-title="Exponentiation" data-language-autonym="English" data-language-local-name="אנגלית" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-af mw-list-item"><a href="https://af.wikipedia.org/wiki/Magsverheffing" title="Magsverheffing – אפריקאנס" lang="af" hreflang="af" data-title="Magsverheffing" data-language-autonym="Afrikaans" data-language-local-name="אפריקאנס" class="interlanguage-link-target"><span>Afrikaans</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-als mw-list-item"><a href="https://als.wikipedia.org/wiki/Potenz_(Mathematik)" title="Potenz (Mathematik) – גרמנית שווייצרית" lang="gsw" hreflang="gsw" data-title="Potenz (Mathematik)" data-language-autonym="Alemannisch" data-language-local-name="גרמנית שווייצרית" class="interlanguage-link-target"><span>Alemannisch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-am mw-list-item"><a href="https://am.wikipedia.org/wiki/%E1%8A%95%E1%88%B4%E1%89%B5" title="ንሴት – אמהרית" lang="am" hreflang="am" data-title="ንሴት" data-language-autonym="አማርኛ" data-language-local-name="אמהרית" class="interlanguage-link-target"><span>አማርኛ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%B1%D9%81%D8%B9_%D8%A3%D8%B3%D9%8A" title="رفع أسي – ערבית" lang="ar" hreflang="ar" data-title="رفع أسي" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="ערבית" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/Potenciaci%C3%B3n" title="Potenciación – אסטורית" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Potenciación" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="אסטורית" class="interlanguage-link-target"><span>Asturianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/Q%C3%BCvv%C9%99t%C9%99_y%C3%BCks%C9%99ltm%C9%99" title="Qüvvətə yüksəltmə – אזרית" lang="az" hreflang="az" data-title="Qüvvətə yüksəltmə" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="אזרית" class="interlanguage-link-target"><span>Azərbaycanca</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ba mw-list-item"><a href="https://ba.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D3%99%D1%80%D3%99%D0%B6%D3%99%D0%B3%D3%99_%D0%BA%D2%AF%D1%82%D3%99%D1%80%D0%B5%D2%AF" title="Дәрәжәгә күтәреү – בשקירית" lang="ba" hreflang="ba" data-title="Дәрәжәгә күтәреү" data-language-autonym="Башҡортса" data-language-local-name="בשקירית" class="interlanguage-link-target"><span>Башҡортса</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bcl mw-list-item"><a href="https://bcl.wikipedia.org/wiki/Eksponentasyon" title="Eksponentasyon – ביקולית מרכזית" lang="bcl" hreflang="bcl" data-title="Eksponentasyon" data-language-autonym="Bikol Central" data-language-local-name="ביקולית מרכזית" class="interlanguage-link-target"><span>Bikol Central</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1%82%D1%83%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D1%8F%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%B5" title="Ступеняванне – בלארוסית" lang="be" hreflang="be" data-title="Ступеняванне" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="בלארוסית" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B5_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Степенуване (математика) – בולגרית" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Степенуване (математика)" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="בולגרית" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%B8%E0%A7%82%E0%A6%9A%E0%A6%95%E0%A7%80%E0%A6%95%E0%A6%B0%E0%A6%A3" title="সূচকীকরণ – בנגלית" lang="bn" hreflang="bn" data-title="সূচকীকরণ" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="בנגלית" class="interlanguage-link-target"><span>বাংলা</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Eksponent" title="Eksponent – בוסנית" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Eksponent" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="בוסנית" class="interlanguage-link-target"><span>Bosanski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bxr mw-list-item"><a href="https://bxr.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D1%8D%D1%80%D0%B3%D1%8D%D0%B4%D1%8D_%D0%B4%D1%8D%D0%B1%D0%B6%D2%AF%D2%AF%D0%BB%D1%85%D1%8D" title="Зэргэдэ дэбжүүлхэ – בוריאטית" lang="bxr" hreflang="bxr" data-title="Зэргэдэ дэбжүүлхэ" data-language-autonym="Буряад" data-language-local-name="בוריאטית" class="interlanguage-link-target"><span>Буряад</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Potenciaci%C3%B3" title="Potenciació – קטלאנית" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Potenciació" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="קטלאנית" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%D9%88%D8%A7%D9%86_(%D9%85%D8%A7%D8%AA%D9%85%D8%A7%D8%AA%DB%8C%DA%A9)" title="توان (ماتماتیک) – כורדית סוראנית" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="توان (ماتماتیک)" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="כורדית סוראנית" class="interlanguage-link-target"><span>کوردی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Umoc%C5%88ov%C3%A1n%C3%AD" title="Umocňování – צ׳כית" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Umocňování" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="צ׳כית" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B0%D0%BF%D0%B0%D1%88%D1%82%D0%B0%D1%80%D1%83" title="Капаштару – צ׳ובשית" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Капаштару" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="צ׳ובשית" class="interlanguage-link-target"><span>Чӑвашла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cy mw-list-item"><a href="https://cy.wikipedia.org/wiki/Esbonydd" title="Esbonydd – ולשית" lang="cy" hreflang="cy" data-title="Esbonydd" data-language-autonym="Cymraeg" data-language-local-name="ולשית" class="interlanguage-link-target"><span>Cymraeg</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Potens_(matematik)" title="Potens (matematik) – דנית" lang="da" hreflang="da" data-title="Potens (matematik)" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="דנית" class="interlanguage-link-target"><span>Dansk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Potenz_(Mathematik)" title="Potenz (Mathematik) – גרמנית" lang="de" hreflang="de" data-title="Potenz (Mathematik)" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="גרמנית" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%94%CF%8D%CE%BD%CE%B1%CE%BC%CE%B7_(%CE%BC%CE%B1%CE%B8%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AC)" title="Δύναμη (μαθηματικά) – יוונית" lang="el" hreflang="el" data-title="Δύναμη (μαθηματικά)" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="יוונית" class="interlanguage-link-target"><span>Ελληνικά</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Potenco_(matematiko)" title="Potenco (matematiko) – אספרנטו" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Potenco (matematiko)" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="אספרנטו" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Potenciaci%C3%B3n" title="Potenciación – ספרדית" lang="es" hreflang="es" data-title="Potenciación" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="ספרדית" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Astendamine" title="Astendamine – אסטונית" lang="et" hreflang="et" data-title="Astendamine" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="אסטונית" class="interlanguage-link-target"><span>Eesti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Berreketa" title="Berreketa – בסקית" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Berreketa" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="בסקית" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%D9%88%D8%A7%D9%86_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C)" title="توان (ریاضی) – פרסית" lang="fa" hreflang="fa" data-title="توان (ریاضی)" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="פרסית" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Potenssi" title="Potenssi – פינית" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Potenssi" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="פינית" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fo mw-list-item"><a href="https://fo.wikipedia.org/wiki/Potensur" title="Potensur – פארואזית" lang="fo" hreflang="fo" data-title="Potensur" data-language-autonym="Føroyskt" data-language-local-name="פארואזית" class="interlanguage-link-target"><span>Føroyskt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Exponentiation" title="Exponentiation – צרפתית" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Exponentiation" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="צרפתית" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-frr mw-list-item"><a href="https://frr.wikipedia.org/wiki/Potens" title="Potens – פריזית צפונית" lang="frr" hreflang="frr" data-title="Potens" data-language-autonym="Nordfriisk" data-language-local-name="פריזית צפונית" class="interlanguage-link-target"><span>Nordfriisk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ga mw-list-item"><a href="https://ga.wikipedia.org/wiki/Easp%C3%B3nant" title="Easpónant – אירית" lang="ga" hreflang="ga" data-title="Easpónant" data-language-autonym="Gaeilge" data-language-local-name="אירית" class="interlanguage-link-target"><span>Gaeilge</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gan mw-list-item"><a href="https://gan.wikipedia.org/wiki/%E5%86%AA" title="冪 – סינית גאן" lang="gan" hreflang="gan" data-title="冪" data-language-autonym="贛語" data-language-local-name="סינית גאן" class="interlanguage-link-target"><span>贛語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gcr mw-list-item"><a href="https://gcr.wikipedia.org/wiki/Eksponansyasyon" title="Eksponansyasyon – קראולית גוויאנית" lang="gcr" hreflang="gcr" data-title="Eksponansyasyon" data-language-autonym="Kriyòl gwiyannen" data-language-local-name="קראולית גוויאנית" class="interlanguage-link-target"><span>Kriyòl gwiyannen</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Potenciaci%C3%B3n" title="Potenciación – גליסית" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Potenciación" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="גליסית" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%98%E0%A4%BE%E0%A4%A4%E0%A4%BE%E0%A4%82%E0%A4%95" title="घातांक – הינדי" lang="hi" hreflang="hi" data-title="घातांक" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="הינדי" class="interlanguage-link-target"><span>हिन्दी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Potenciranje" title="Potenciranje – קרואטית" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Potenciranje" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="קרואטית" class="interlanguage-link-target"><span>Hrvatski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Hatv%C3%A1ny" title="Hatvány – הונגרית" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Hatvány" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="הונגרית" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D4%B1%D5%BD%D5%BF%D5%AB%D5%B3%D5%A1%D5%B6_(%D5%B0%D5%A1%D5%B6%D6%80%D5%A1%D5%B0%D5%A1%D5%B7%D5%AB%D5%BE)" title="Աստիճան (հանրահաշիվ) – ארמנית" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Աստիճան (հանրահաշիվ)" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="ארמנית" class="interlanguage-link-target"><span>Հայերեն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ia mw-list-item"><a href="https://ia.wikipedia.org/wiki/Potentiation" title="Potentiation – ‏אינטרלינגואה" lang="ia" hreflang="ia" data-title="Potentiation" data-language-autonym="Interlingua" data-language-local-name="‏אינטרלינגואה" class="interlanguage-link-target"><span>Interlingua</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Eksponensiasi" title="Eksponensiasi – אינדונזית" lang="id" hreflang="id" data-title="Eksponensiasi" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="אינדונזית" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-io mw-list-item"><a href="https://io.wikipedia.org/wiki/Potenco" title="Potenco – אידו" lang="io" hreflang="io" data-title="Potenco" data-language-autonym="Ido" data-language-local-name="אידו" class="interlanguage-link-target"><span>Ido</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/Veldi_(st%C3%A6r%C3%B0fr%C3%A6%C3%B0i)" title="Veldi (stærðfræði) – איסלנדית" lang="is" hreflang="is" data-title="Veldi (stærðfræði)" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="איסלנדית" class="interlanguage-link-target"><span>Íslenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Potenza_(matematica)" title="Potenza (matematica) – איטלקית" lang="it" hreflang="it" data-title="Potenza (matematica)" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="איטלקית" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%AA%E4%B9%97" title="冪乗 – יפנית" lang="ja" hreflang="ja" data-title="冪乗" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="יפנית" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-jam mw-list-item"><a href="https://jam.wikipedia.org/wiki/Exponenshieshan" title="Exponenshieshan – ג׳מייקנית" lang="jam" hreflang="jam" data-title="Exponenshieshan" data-language-autonym="Patois" data-language-local-name="ג׳מייקנית" class="interlanguage-link-target"><span>Patois</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D3%99%D1%80%D0%B5%D0%B6%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D1%83" title="Дәрежелеу – קזחית" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Дәрежелеу" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="קזחית" class="interlanguage-link-target"><span>Қазақша</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B1%B0%EB%93%AD%EC%A0%9C%EA%B3%B1" title="거듭제곱 – קוריאנית" lang="ko" hreflang="ko" data-title="거듭제곱" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="קוריאנית" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Potentia_(mathematica)" title="Potentia (mathematica) – לטינית" lang="la" hreflang="la" data-title="Potentia (mathematica)" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="לטינית" class="interlanguage-link-target"><span>Latina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lfn mw-list-item"><a href="https://lfn.wikipedia.org/wiki/Esponenti" title="Esponenti – לינגווה פראנקה נובה" lang="lfn" hreflang="lfn" data-title="Esponenti" data-language-autonym="Lingua Franca Nova" data-language-local-name="לינגווה פראנקה נובה" class="interlanguage-link-target"><span>Lingua Franca Nova</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-li mw-list-item"><a href="https://li.wikipedia.org/wiki/Machsverh%C3%B6ffing" title="Machsverhöffing – לימבורגית" lang="li" hreflang="li" data-title="Machsverhöffing" data-language-autonym="Limburgs" data-language-local-name="לימבורגית" class="interlanguage-link-target"><span>Limburgs</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/K%C4%97limas_laipsniu" title="Kėlimas laipsniu – ליטאית" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Kėlimas laipsniu" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="ליטאית" class="interlanguage-link-target"><span>Lietuvių</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/K%C4%81pin%C4%81%C5%A1ana" title="Kāpināšana – לטבית" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Kāpināšana" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="לטבית" class="interlanguage-link-target"><span>Latviešu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mg mw-list-item"><a href="https://mg.wikipedia.org/wiki/Toraka_(matematika)" title="Toraka (matematika) – מלגשית" lang="mg" hreflang="mg" data-title="Toraka (matematika)" data-language-autonym="Malagasy" data-language-local-name="מלגשית" class="interlanguage-link-target"><span>Malagasy</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D1%83%D0%B2%D0%B0%D1%9A%D0%B5" title="Степенување – מקדונית" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Степенување" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="מקדונית" class="interlanguage-link-target"><span>Македонски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Pengeksponenan" title="Pengeksponenan – מלאית" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Pengeksponenan" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="מלאית" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Melayu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ne mw-list-item"><a href="https://ne.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%98%E0%A4%BE%E0%A4%A4%E0%A4%BE%E0%A4%99%E0%A5%8D%E0%A4%95" title="घाताङ्क – נפאלית" lang="ne" hreflang="ne" data-title="घाताङ्क" data-language-autonym="नेपाली" data-language-local-name="נפאלית" class="interlanguage-link-target"><span>नेपाली</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Machtsverheffen" title="Machtsverheffen – הולנדית" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Machtsverheffen" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="הולנדית" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Potens_i_matematikk" title="Potens i matematikk – נורווגית חדשה" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Potens i matematikk" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="נורווגית חדשה" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Potens_(matematikk)" title="Potens (matematikk) – נורווגית ספרותית" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Potens (matematikk)" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="נורווגית ספרותית" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-om mw-list-item"><a href="https://om.wikipedia.org/wiki/Aangessoo(ekispoonentii)" title="Aangessoo(ekispoonentii) – אורומו" lang="om" hreflang="om" data-title="Aangessoo(ekispoonentii)" data-language-autonym="Oromoo" data-language-local-name="אורומו" class="interlanguage-link-target"><span>Oromoo</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pa mw-list-item"><a href="https://pa.wikipedia.org/wiki/%E0%A8%98%E0%A8%BE%E0%A8%A4_%E0%A8%85%E0%A9%B0%E0%A8%95" title="ਘਾਤ ਅੰਕ – פנג׳אבי" lang="pa" hreflang="pa" data-title="ਘਾਤ ਅੰਕ" data-language-autonym="ਪੰਜਾਬੀ" data-language-local-name="פנג׳אבי" class="interlanguage-link-target"><span>ਪੰਜਾਬੀ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Pot%C4%99gowanie" title="Potęgowanie – פולנית" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Potęgowanie" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="פולנית" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Exponencia%C3%A7%C3%A3o" title="Exponenciação – פורטוגזית" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Exponenciação" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="פורטוגזית" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-qu mw-list-item"><a href="https://qu.wikipedia.org/wiki/Yupa_huqariy" title="Yupa huqariy – קצ׳ואה" lang="qu" hreflang="qu" data-title="Yupa huqariy" data-language-autonym="Runa Simi" data-language-local-name="קצ׳ואה" class="interlanguage-link-target"><span>Runa Simi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Putere_(matematic%C4%83)" title="Putere (matematică) – רומנית" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Putere (matematică)" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="רומנית" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%BE%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B2_%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D1%8C" title="Возведение в степень – רוסית" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Возведение в степень" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="רוסית" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sah mw-list-item"><a href="https://sah.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D2%AF%D1%82%D2%AF%D0%BD_%D0%BA%D3%A9%D1%80%D0%B4%D3%A9%D1%80%D3%A9%D3%A9%D1%87%D1%87%D2%AF%D0%BB%D1%8D%D1%8D%D1%85_%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D1%8C" title="Бүтүн көрдөрөөччүлээх степень – סאחה" lang="sah" hreflang="sah" data-title="Бүтүн көрдөрөөччүлээх степень" data-language-autonym="Саха тыла" data-language-local-name="סאחה" class="interlanguage-link-target"><span>Саха тыла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-scn mw-list-item"><a href="https://scn.wikipedia.org/wiki/Putenza_(matim%C3%A0tica)" title="Putenza (matimàtica) – סיציליאנית" lang="scn" hreflang="scn" data-title="Putenza (matimàtica)" data-language-autonym="Sicilianu" data-language-local-name="סיציליאנית" class="interlanguage-link-target"><span>Sicilianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Stepenovanje" title="Stepenovanje – סרבו-קרואטית" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Stepenovanje" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="סרבו-קרואטית" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Exponentiation" title="Exponentiation – אנגלית פשוטה" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Exponentiation" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="אנגלית פשוטה" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Umoc%C5%88ovanie" title="Umocňovanie – סלובקית" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Umocňovanie" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="סלובקית" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Potenciranje" title="Potenciranje – סלובנית" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Potenciranje" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="סלובנית" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sn mw-list-item"><a href="https://sn.wikipedia.org/wiki/Kutambanura_(nhamba)" title="Kutambanura (nhamba) – שונה" lang="sn" hreflang="sn" data-title="Kutambanura (nhamba)" data-language-autonym="ChiShona" data-language-local-name="שונה" class="interlanguage-link-target"><span>ChiShona</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%9A%D0%B5" title="Степеновање – סרבית" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Степеновање" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="סרבית" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Potens" title="Potens – שוודית" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Potens" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="שוודית" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%85%E0%AE%9F%E0%AF%81%E0%AE%95%E0%AF%8D%E0%AE%95%E0%AF%87%E0%AE%B1%E0%AF%8D%E0%AE%B1%E0%AE%AE%E0%AF%8D" title="அடுக்கேற்றம் – טמילית" lang="ta" hreflang="ta" data-title="அடுக்கேற்றம்" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="טמילית" class="interlanguage-link-target"><span>தமிழ்</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th badge-Q17437798 badge-goodarticle mw-list-item" title="ערך טוב"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87" title="การยกกำลัง – תאית" lang="th" hreflang="th" data-title="การยกกำลัง" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="תאית" class="interlanguage-link-target"><span>ไทย</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tl mw-list-item"><a href="https://tl.wikipedia.org/wiki/Pagpapalakas_(matematika)" title="Pagpapalakas (matematika) – טאגאלוג" lang="tl" hreflang="tl" data-title="Pagpapalakas (matematika)" data-language-autonym="Tagalog" data-language-local-name="טאגאלוג" class="interlanguage-link-target"><span>Tagalog</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/%C3%9Cs" title="Üs – טורקית" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Üs" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="טורקית" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ug mw-list-item"><a href="https://ug.wikipedia.org/wiki/%D8%AF%DB%95%D8%B1%D9%89%D8%AC%DB%95_(%D9%85%D8%A7%D8%AA%DB%90%D9%85%D8%A7%D8%AA%D9%89%D9%83%D8%A7)" title="دەرىجە (ماتېماتىكا) – אויגורית" lang="ug" hreflang="ug" data-title="دەرىجە (ماتېماتىكا)" data-language-autonym="ئۇيغۇرچە / Uyghurche" data-language-local-name="אויגורית" class="interlanguage-link-target"><span>ئۇيغۇرچە / Uyghurche</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%96%D0%B4%D0%BD%D0%B5%D1%81%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%B4%D0%BE_%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D1%8F" title="Піднесення до степеня – אוקראינית" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Піднесення до степеня" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="אוקראינית" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/L%C5%A9y_th%E1%BB%ABa" title="Lũy thừa – וייטנאמית" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Lũy thừa" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="וייטנאמית" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-war mw-list-item"><a href="https://war.wikipedia.org/wiki/Eksponentasyon" title="Eksponentasyon – וראית" lang="war" hreflang="war" data-title="Eksponentasyon" data-language-autonym="Winaray" data-language-local-name="וראית" class="interlanguage-link-target"><span>Winaray</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%82" title="幂 – סינית וו" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="幂" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="סינית וו" class="interlanguage-link-target"><span>吴语</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-xal mw-list-item"><a href="https://xal.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%B4%D1%80%D0%B8%D0%BB%D2%BB%D0%B0%D0%BD" title="Идрилһан – קלמיקית" lang="xal" hreflang="xal" data-title="Идрилһан" data-language-autonym="Хальмг" data-language-local-name="קלמיקית" class="interlanguage-link-target"><span>Хальмг</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-yi mw-list-item"><a href="https://yi.wikipedia.org/wiki/%D7%A4%D7%90%D7%98%D7%A2%D7%A0%D7%A5" title="פאטענץ – יידיש" lang="yi" hreflang="yi" data-title="פאטענץ" data-language-autonym="ייִדיש" data-language-local-name="יידיש" class="interlanguage-link-target"><span>ייִדיש</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%86%AA" title="冪 – סינית" lang="zh" hreflang="zh" data-title="冪" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="סינית" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E6%AC%A1%E6%96%B9" title="次方 – קנטונזית" lang="yue" hreflang="yue" data-title="次方" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="קנטונזית" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q33456#sitelinks-wikipedia" title="עריכת קישורים בין־לשוניים" class="wbc-editpage">עריכת הקישורים</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="מרחבי שם"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)" title="צפייה בדף התוכן [c]" accesskey="c"><span>ערך</span></a></li><li id="ca-talk" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%A9%D7%99%D7%97%D7%94:%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)" rel="discussion" title="שיחה על דף התוכן [t]" accesskey="t"><span>שיחה</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input type="checkbox" id="vector-variants-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="שינוי הגוון השפה" > <label id="vector-variants-dropdown-label" for="vector-variants-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">עברית</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-variants" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation" class="vector-collapsible"> <nav aria-label="צפיות"> <div id="p-views" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-views" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)"><span>קריאה</span></a></li><li id="ca-edit" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&action=edit" title="עריכת קוד המקור של הדף הזה [e]" accesskey="e"><span>עריכת קוד מקור</span></a></li><li id="ca-ve-edit" class="collapsible vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&veaction=edit" title="עריכת הדף הזה [v]" accesskey="v"><span>עריכה</span></a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&action=history" title="גרסאות קודמות של דף זה [h]" accesskey="h"><span>גרסאות קודמות</span></a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="כלי דף"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="כלים" > <label id="vector-page-tools-dropdown-label" for="vector-page-tools-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">כלים</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-tools-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-page-tools" class="vector-page-tools vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-page-tools-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="page-tools-pinned" data-pinnable-element-id="vector-page-tools" data-pinned-container-id="vector-page-tools-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-page-tools-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">כלים</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.pin">העברה לסרגל הצד</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.unpin">הסתרה</button> </div> <div id="p-cactions" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-has-collapsible-items" title="אפשרויות נוספות" > <div class="vector-menu-heading"> פעולות </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-more-view" class="selected vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)"><span>קריאה</span></a></li><li id="ca-more-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&action=edit" title="עריכת קוד המקור של הדף הזה [e]" accesskey="e"><span>עריכת קוד מקור</span></a></li><li id="ca-more-ve-edit" class="collapsible vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&veaction=edit" title="עריכת הדף הזה [v]" accesskey="v"><span>עריכה</span></a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&action=history"><span>גרסאות קודמות</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> כללי </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%9E%D7%99%D7%95%D7%97%D7%93:%D7%93%D7%A4%D7%99%D7%9D_%D7%94%D7%9E%D7%A7%D7%95%D7%A9%D7%A8%D7%99%D7%9D_%D7%9C%D7%9B%D7%90%D7%9F/%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)" title="רשימה של כל דפי הוויקי שמקשרים לדף הזה [j]" accesskey="j"><span>דפים המקושרים לכאן</span></a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%9E%D7%99%D7%95%D7%97%D7%93:%D7%A9%D7%99%D7%A0%D7%95%D7%99%D7%99%D7%9D_%D7%91%D7%93%D7%A4%D7%99%D7%9D_%D7%94%D7%9E%D7%A7%D7%95%D7%A9%D7%A8%D7%99%D7%9D/%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)" rel="nofollow" title="השינויים האחרונים בדפים המקושרים מהדף הזה [k]" accesskey="k"><span>שינויים בדפים המקושרים</span></a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D7%9E%D7%99%D7%95%D7%97%D7%93:%D7%93%D7%A4%D7%99%D7%9D_%D7%9E%D7%99%D7%95%D7%97%D7%93%D7%99%D7%9D" title="רשימה של כל הדפים המיוחדים [q]" accesskey="q"><span>דפים מיוחדים</span></a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&oldid=39563772" title="קישור קבוע לגרסה הזאת של הדף הזה"><span>קישור קבוע</span></a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&action=info" title="מידע נוסף על הדף הזה"><span>מידע על הדף</span></a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D7%9E%D7%99%D7%95%D7%97%D7%93:%D7%A6%D7%99%D7%98%D7%95%D7%98_%D7%93%D7%A3_%D7%96%D7%94&page=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_%28%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94%29&id=39563772&wpFormIdentifier=titleform" title="מידע איך לצטט את הדף הזה"><span>ציטוט הדף הזה</span></a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D7%9E%D7%99%D7%95%D7%97%D7%93:%D7%9E%D7%A7%D7%A6%D7%A8_%D7%9B%D7%AA%D7%95%D7%91%D7%95%D7%AA&url=https%3A%2F%2Fhe.wikipedia.org%2Fwiki%2F%25D7%2597%25D7%2596%25D7%25A7%25D7%2594_%28%25D7%259E%25D7%25AA%25D7%259E%25D7%2598%25D7%2599%25D7%25A7%25D7%2594%29"><span>קבלת כתובת מקוצרת</span></a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D7%9E%D7%99%D7%95%D7%97%D7%93:QrCode&url=https%3A%2F%2Fhe.wikipedia.org%2Fwiki%2F%25D7%2597%25D7%2596%25D7%25A7%25D7%2594_%28%25D7%259E%25D7%25AA%25D7%259E%25D7%2598%25D7%2599%25D7%25A7%25D7%2594%29"><span>הורדת קוד QR</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-coll-print_export" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-coll-print_export" > <div class="vector-menu-heading"> הדפסה/יצוא </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D7%9E%D7%99%D7%95%D7%97%D7%93:%D7%A1%D7%A4%D7%A8&bookcmd=book_creator&referer=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94+%28%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94%29"><span>יצירת ספר</span></a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D7%9E%D7%99%D7%95%D7%97%D7%93:DownloadAsPdf&page=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_%28%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94%29&action=show-download-screen"><span>הורדה כ־PDF</span></a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&printable=yes" title="גרסה להדפסה של הדף הזה [p]" accesskey="p"><span>גרסה להדפסה</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-wikibase-otherprojects" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects" > <div class="vector-menu-heading"> במיזמים אחרים </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-commons mw-list-item"><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Exponentiation" hreflang="en"><span>ויקישיתוף</span></a></li><li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikifunctions mw-list-item"><a href="https://www.wikifunctions.org/wiki/Z12665" hreflang="en"><span>ויקיפונקציות</span></a></li><li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q33456" title="קישור לפריט המשויך במאגר הנתונים [g]" accesskey="g"><span>פריט ויקינתונים</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="כלי דף"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="מראה"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">מראה</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">העברה לסרגל הצד</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">הסתרה</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> <div id="mw-indicator-featured-article" class="mw-indicator"><div class="mw-parser-output"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%A8%D7%98%D7%9C:%D7%A2%D7%A8%D7%9B%D7%99%D7%9D_%D7%9E%D7%95%D7%9E%D7%9C%D7%A6%D7%99%D7%9D" title="ערך מומלץ"><img alt="ערך מומלץ" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/65/Article_MediumPurple.svg/18px-Article_MediumPurple.svg.png" decoding="async" width="18" height="24" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/65/Article_MediumPurple.svg/27px-Article_MediumPurple.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/65/Article_MediumPurple.svg/36px-Article_MediumPurple.svg.png 2x" data-file-width="245" data-file-height="320" /></a></span></div></div> </div> <div id="siteSub" class="noprint">מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-rtl mw-parser-output" lang="he" dir="rtl"><table cellpadding="1" style="float: left; clear:both; border: 1px solid #8888aa; background: #f7f8ff; padding: 5px; font-size: 95%; margin: 0.5em 1em 0.5em 0.5em;"> <tbody><tr> <td style="text-align: center;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/%D7%A1%D7%99%D7%9E%D7%95%D7%9F_%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99" title="סימון מתמטי"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3e/Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg/60px-Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg.png" decoding="async" width="60" height="60" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3e/Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg/90px-Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3e/Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg/120px-Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg.png 2x" data-file-width="128" data-file-height="128" /></a></span> <p>בערך זה<br />נעשה שימוש<br />בסימנים מוסכמים<br />מתחום המתמטיקה.<br />להבהרת הסימנים<br />ראו <a href="/wiki/%D7%A1%D7%99%D7%9E%D7%95%D7%9F_%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99" title="סימון מתמטי">סימון מתמטי</a>. </p> </td></tr></tbody></table> <p>ב<a href="/wiki/%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94" title="מתמטיקה">מתמטיקה</a>, <b>חֶזְקָה</b> (או העלאה בחזקה) היא <a href="/wiki/%D7%A4%D7%A2%D7%95%D7%9C%D7%94_%D7%91%D7%99%D7%A0%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%AA" title="פעולה בינארית">פעולה</a>, המתבצעת בין שני <a href="/wiki/%D7%9E%D7%A1%D7%A4%D7%A8" title="מספר">מספרים</a>: ה"<b>בסיס</b>" וה"<b>מעריך</b>". חזקה מסמנים בסימון <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ a^{b}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ a^{b}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45fa739cb376f529bd08f367bfd70aeb7c50991c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.748ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \ a^{b}}"></span> כאשר a הוא הבסיס ו-b המעריך. בצורתה הבסיסית ביותר, שבה הבסיס הוא <a href="/wiki/%D7%9E%D7%A1%D7%A4%D7%A8_%D7%9E%D7%9E%D7%A9%D7%99" title="מספר ממשי">מספר ממשי</a> והמעריך הוא <a href="/wiki/%D7%9E%D7%A1%D7%A4%D7%A8_%D7%98%D7%91%D7%A2%D7%99" title="מספר טבעי">מספר טבעי</a>, חזקה מהווה קיצור של פעולת ה<a href="/wiki/%D7%9B%D7%A4%D7%9C" title="כפל">כפל</a>; כלומר – a בחזקת b היא המכפלה של b גורמים השווים כולם לבסיס: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{b}=\underbrace {a\times \cdots \times a} _{b}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits"> <munder> <mrow> <mi>a</mi> <mo>×</mo> <mo>⋯</mo> <mo>×</mo> <mi>a</mi> </mrow> <mo>⏟</mo> </munder> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </munder> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{b}=\underbrace {a\times \cdots \times a} _{b}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d44d62a256d546290b18d69c7ee2ccb796a3abd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.671ex; margin-right: -0.028ex; width:16.157ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle a^{b}=\underbrace {a\times \cdots \times a} _{b}}"></span>. </p><p>את הצורה הבסיסית הזו של חזקה ניתן להכליל ל<a href="/wiki/%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%9B%D7%95%D7%AA_%D7%9E%D7%A1%D7%A4%D7%A8%D7%99%D7%9D" title="מערכות מספרים">מערכות מספרים</a> רחבות יותר, ואף ל<a href="/wiki/%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)" title="מבנה (מתמטיקה)">מבנים מתמטיים</a> שבהם האיברים כלל אינם מספרים. על בסיס פעולת החזקה מגדירים <a href="/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%94" title="פונקציה">פונקציות מתמטיות</a> שמשמשות תדיר את כל תחומי ה<a href="/wiki/%D7%9E%D7%93%D7%A2" title="מדע">מדעים</a>. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="טרמינולוגיה_וסימון"><span id=".D7.98.D7.A8.D7.9E.D7.99.D7.A0.D7.95.D7.9C.D7.95.D7.92.D7.99.D7.94_.D7.95.D7.A1.D7.99.D7.9E.D7.95.D7.9F"></span>טרמינולוגיה וסימון</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&action=edit&section=1" title="עריכת קוד המקור של הפרק: טרמינולוגיה וסימון"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&veaction=edit&section=1" title="עריכת פסקה: "טרמינולוגיה וסימון"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-halign-left" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:Page9-Descartes_La_G%C3%A9om%C3%A9trie.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6d/Page9-Descartes_La_G%C3%A9om%C3%A9trie.jpg/180px-Page9-Descartes_La_G%C3%A9om%C3%A9trie.jpg" decoding="async" width="180" height="250" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6d/Page9-Descartes_La_G%C3%A9om%C3%A9trie.jpg/270px-Page9-Descartes_La_G%C3%A9om%C3%A9trie.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6d/Page9-Descartes_La_G%C3%A9om%C3%A9trie.jpg/360px-Page9-Descartes_La_G%C3%A9om%C3%A9trie.jpg 2x" data-file-width="432" data-file-height="599" /></a><figcaption>השימוש המתועד הראשון של סימן החזקה המודרני, בספרו של <a href="/wiki/%D7%A8%D7%A0%D7%94_%D7%93%D7%A7%D7%90%D7%A8%D7%98" title="רנה דקארט">רנה דקארט</a>, <b><a href="/wiki/%D7%94%D7%92%D7%90%D7%95%D7%9E%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%94_(%D7%A1%D7%A4%D7%A8)" title="הגאומטריה (ספר)">La Géométrie</a></b>, ‏1637, עמוד 299.</figcaption></figure> <p>כאמור, את פעולת החזקה כאשר a הבסיס ו-b המעריך מסמנים ב-<span style="white-space: nowrap;"><code dir="ltr" style="display:inline-block;">a<sup>b</sup></code></span>. סימון זה הוכנס לשימוש על ידי <a href="/wiki/%D7%A8%D7%A0%D7%94_%D7%93%D7%A7%D7%90%D7%A8%D7%98" title="רנה דקארט">רנה דקארט</a> ב-<a href="/wiki/1637" title="1637">1637</a>.<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> קדמו לו דרכים אחרות לרישום חזקה, החל מ<a href="/wiki/%D7%90%D7%95%D7%A7%D7%9C%D7%99%D7%93%D7%A1" title="אוקלידס">אוקלידס</a>.<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> כאשר לא ניתן להשתמש בסימון המקובל, למשל ב<a href="/wiki/%D7%9E%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%AA_%D7%9B%D7%AA%D7%99%D7%91%D7%94" title="מכונת כתיבה">מכונת כתיבה</a> או ב<a href="/wiki/%D7%A9%D7%A4%D7%AA_%D7%AA%D7%9B%D7%A0%D7%95%D7%AA" title="שפת תכנות">שפות תכנות</a> מסוימות, נהוג הסימון <span style="white-space: nowrap;"><code dir="ltr" style="display:inline-block;">a^b</code></span>.<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> בשפות תכנות אחרות משמש הסימון <span style="white-space: nowrap;"><code dir="ltr" style="display:inline-block;">a**b</code></span>.<sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p><p>הפעולה נקראת <b>העלאה בחזקה</b> (כגון "a בחזקת b" או "a מועלה בחזקת b"). כאשר המעריך הוא מספר טבעי בין 3 ל-10 (כולל) נהוג לקצר ולקרוא "a ב-n-ית", כאשר n הוא <a href="/wiki/%D7%A9%D7%9D_%D7%94%D7%9E%D7%A1%D7%A4%D7%A8" class="mw-redirect" title="שם המספר">שם המספר הסודר</a>. למשל "8 בשלישית", "2 ברביעית" ו-"4 בעשירית" משמעם 8<sup>3</sup>, 2<sup>4</sup> ו-4<sup>10</sup>, בהתאמה. מקרה מיוחד הוא כאשר המעריך הוא 2, אז נהוג לקרוא לחזקה <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ a^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ a^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01c45a33713eea2224767dee0f9bf63d9c2bb2aa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.865ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \ a^{2}}"></span> "a בריבוע", משום ש<a href="/wiki/%D7%A9%D7%98%D7%97" title="שטח">שטח</a> <a href="/wiki/%D7%A8%D7%99%D7%91%D7%95%D7%A2" title="ריבוע">ריבוע</a> שווה לאורך <a href="/wiki/%D7%A6%D7%9C%D7%A2_(%D7%92%D7%90%D7%95%D7%9E%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%94)" title="צלע (גאומטריה)">צלעו</a> בחזקת 2. למשל "5 בריבוע" משמעו 5<sup>2</sup>. התוצאה של העלאת מספר שלם בחזקה שנייה נקראת <a href="/wiki/%D7%9E%D7%A1%D7%A4%D7%A8_%D7%A8%D7%99%D7%91%D7%95%D7%A2%D7%99" title="מספר ריבועי">מספר ריבועי</a>, או פשוט "ריבוע". תוצאת העלאת מספר שלם בחזקה שלישית נקראת לפעמים מספר מעוקב. המילה "חזקה" משמשת גם לציון תוצאת הפעולה. </p><p>מבחינת <a href="/wiki/%D7%A1%D7%93%D7%A8_%D7%A4%D7%A2%D7%95%D7%9C%D7%95%D7%AA_%D7%97%D7%A9%D7%91%D7%95%D7%9F" class="mw-redirect" title="סדר פעולות חשבון">סדר פעולות חשבון</a>, נהוג כי החזקה קודמת ל<a href="/wiki/%D7%90%D7%A8%D7%91%D7%A2_%D7%A4%D7%A2%D7%95%D7%9C%D7%95%D7%AA_%D7%94%D7%97%D7%A9%D7%91%D7%95%D7%9F" title="ארבע פעולות החשבון">ארבע פעולות החשבון</a>, וכי יש לחשב את המעריך לפני ביצוע פעולת החזקה: </p> <ul><li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ a\cdot b^{c}=a\cdot (b^{c})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>c</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>c</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ a\cdot b^{c}=a\cdot (b^{c})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c0f236943ead28fe9a679db30533f514633da1f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.19ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ a\cdot b^{c}=a\cdot (b^{c})}"></span>,</li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ a^{b^{c}}=a^{(b^{c})}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>c</mi> </mrow> </msup> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>c</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ a^{b^{c}}=a^{(b^{c})}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c06ecceda35335cc7cddbb20148c7b3c4f3334ed" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.778ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ a^{b^{c}}=a^{(b^{c})}}"></span>,</li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ -a^{b}=-(a^{b})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mo>−</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ -a^{b}=-(a^{b})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50fdbf759841037f1c3c129ee174f76d67ec5ddd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.472ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \ -a^{b}=-(a^{b})}"></span>, וכדומה.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="חזקה_טבעית"><span id=".D7.97.D7.96.D7.A7.D7.94_.D7.98.D7.91.D7.A2.D7.99.D7.AA"></span>חזקה טבעית</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&action=edit&section=2" title="עריכת קוד המקור של הפרק: חזקה טבעית"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&veaction=edit&section=2" title="עריכת פסקה: "חזקה טבעית"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>המופע הפשוט ביותר של חזקה הוא חזקה בעלת מעריך טבעי, כגון <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{7}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>7</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{7}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/576da9c03f37ada9c8ea32bd5b3b6f1a99cb3665" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.384ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle x^{7}}"></span>, כאשר המעריך מציין כמה פעמים יש לכפול את מספר הבסיס בעצמו. חזקה כזו אפשר להגדיר באמצעות <a href="/wiki/%D7%A0%D7%95%D7%A1%D7%97%D7%AA_%D7%A0%D7%A1%D7%99%D7%92%D7%94" title="נוסחת נסיגה">נוסחת נסיגה</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ a^{1}=a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ a^{1}=a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7723e6e78319d6e96e9b4ce3bd1b013fc8fbddfd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.193ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \ a^{1}=a}"></span>, ולכל <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ n>1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>n</mi> <mo>></mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ n>1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2b5b9b1a7d5d90a254fc84b283091e8a2f162fe" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.236ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ n>1}"></span> מגדירים <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ a^{n}=a\cdot a^{n-1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ a^{n}=a\cdot a^{n-1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d90a1c907c6b5ca8fe6abd21f4174e0100c4e3ef" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:13.585ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \ a^{n}=a\cdot a^{n-1}}"></span>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="דוגמאות"><span id=".D7.93.D7.95.D7.92.D7.9E.D7.90.D7.95.D7.AA"></span>דוגמאות</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&action=edit&section=3" title="עריכת קוד המקור של הפרק: דוגמאות"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&veaction=edit&section=3" title="עריכת פסקה: "דוגמאות"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ 4^{3}=4\cdot 4^{2}=4\cdot (4\cdot 4)=64}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mn>4</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>4</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>4</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>4</mn> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>4</mn> <mo>⋅</mo> <mn>4</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>64</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ 4^{3}=4\cdot 4^{2}=4\cdot (4\cdot 4)=64}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86dd3df598b7936c11b8b5a6d9d0977ddaba9017" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:28.131ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \ 4^{3}=4\cdot 4^{2}=4\cdot (4\cdot 4)=64}"></span></li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ (-1)^{2}=(-1)\cdot (-1)=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ (-1)^{2}=(-1)\cdot (-1)=1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3082178739432db56aaaa6bd5b3ee38f372c3cf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.013ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \ (-1)^{2}=(-1)\cdot (-1)=1}"></span></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="חוקי_החזקות"><span id=".D7.97.D7.95.D7.A7.D7.99_.D7.94.D7.97.D7.96.D7.A7.D7.95.D7.AA"></span>חוקי החזקות</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&action=edit&section=4" title="עריכת קוד המקור של הפרק: חוקי החזקות"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&veaction=edit&section=4" title="עריכת פסקה: "חוקי החזקות"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>מהגדרה זו ניתן להסיק מספר מאפיינים בסיסיים של חזקות, הנקראים חוקי חזקות:<sup id="cite_ref-5" class="reference"><a href="#cite_note-5"><span class="cite-bracket">[</span>5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p> <table class="wikitable" align="center"> <tbody><tr> <th>החוק</th> <th>דוגמה </th></tr> <tr> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> <mo>⋅</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11119684e2d8f8d3fc8e7c21a825d5cd48e18c59" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:15.3ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}}"></span></td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 10^{3}\cdot 10^{4}=10^{3+4}=10^{7}=10,000,000}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> <mo>+</mo> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>7</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>10</mn> <mo>,</mo> <mn>000</mn> <mo>,</mo> <mn>000</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 10^{3}\cdot 10^{4}=10^{3+4}=10^{7}=10,000,000}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/406670b452b657ed7fa2fc6a47e14bdcee674df9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:37.959ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle 10^{3}\cdot 10^{4}=10^{3+4}=10^{7}=10,000,000}"></span> </td></tr> <tr> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a\neq 0)\quad {\frac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m-n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>≠</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="1em" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mo>−</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a\neq 0)\quad {\frac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m-n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c8b18df8c9d7f4d17cb63f57721187a92827965" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:21.632ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle (a\neq 0)\quad {\frac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m-n}}"></span></td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \quad {\frac {10^{5}}{10^{3}}}=10^{5-3}=10^{2}=100}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mspace width="1em" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>5</mn> </mrow> </msup> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>5</mn> <mo>−</mo> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>100</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \quad {\frac {10^{5}}{10^{3}}}=10^{5-3}=10^{2}=100}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94d4c94d52879d4d98c196765a0d9c94625ae935" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:28.179ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \quad {\frac {10^{5}}{10^{3}}}=10^{5-3}=10^{2}=100}"></span> </td></tr> <tr> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {(a^{m})}^{n}=a^{mn}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {(a^{m})}^{n}=a^{mn}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96981d210d933d49c1d70286918cbae9b3eb73e2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.922ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {(a^{m})}^{n}=a^{mn}}"></span></td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {(10^{2})}^{3}=10^{2\cdot 3}=10^{6}=1,000,000}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mo>⋅</mo> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>6</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>000</mn> <mo>,</mo> <mn>000</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {(10^{2})}^{3}=10^{2\cdot 3}=10^{6}=1,000,000}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc4632d478069fe34234594c7d0966ca3b7d988f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:33.781ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {(10^{2})}^{3}=10^{2\cdot 3}=10^{6}=1,000,000}"></span> </td></tr> <tr> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {(a\cdot b)}^{n}=a^{n}\cdot b^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>⋅</mo> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {(a\cdot b)}^{n}=a^{n}\cdot b^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ccd538e8e4470ad578cabc166e7e9c045c84930" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.376ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {(a\cdot b)}^{n}=a^{n}\cdot b^{n}}"></span></td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {(2\cdot 5)}^{3}=2^{3}\cdot 5^{3}=8\cdot 125=1,000}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mo>⋅</mo> <mn>5</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>5</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>8</mn> <mo>⋅</mo> <mn>125</mn> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>000</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {(2\cdot 5)}^{3}=2^{3}\cdot 5^{3}=8\cdot 125=1,000}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36a564e1ae7fbeaeab837f560a5f3435fc8bb06e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:34.288ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {(2\cdot 5)}^{3}=2^{3}\cdot 5^{3}=8\cdot 125=1,000}"></span> </td></tr> <tr> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (b\neq 0)\quad {\left({\frac {a}{b}}\right)}^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo>≠</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="1em" /> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>a</mi> <mi>b</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (b\neq 0)\quad {\left({\frac {a}{b}}\right)}^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc3c41bd57759b00fff8ac5e7659a8bb7baee888" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:21.833ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle (b\neq 0)\quad {\left({\frac {a}{b}}\right)}^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}}"></span></td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \quad {\left({\frac {6}{3}}\right)}^{2}={\frac {6^{2}}{3^{2}}}={\frac {36}{9}}=4}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mspace width="1em" /> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>6</mn> <mn>3</mn> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mn>6</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mn>3</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>36</mn> <mn>9</mn> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>4</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \quad {\left({\frac {6}{3}}\right)}^{2}={\frac {6^{2}}{3^{2}}}={\frac {36}{9}}=4}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0ba1a430d1fc05e54c46e2b785668aba1c4eb83" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:25.468ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \quad {\left({\frac {6}{3}}\right)}^{2}={\frac {6^{2}}{3^{2}}}={\frac {36}{9}}=4}"></span> </td></tr></tbody></table> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="דוגמאות_לשימוש"><span id=".D7.93.D7.95.D7.92.D7.9E.D7.90.D7.95.D7.AA_.D7.9C.D7.A9.D7.99.D7.9E.D7.95.D7.A9"></span>דוגמאות לשימוש</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&action=edit&section=5" title="עריכת קוד המקור של הפרק: דוגמאות לשימוש"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&veaction=edit&section=5" title="עריכת פסקה: "דוגמאות לשימוש"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>האגדה מספרת שכאשר המלך הציע לממציא ה<a href="/wiki/%D7%A9%D7%97%D7%9E%D7%98" title="שחמט">שחמט</a> לקבוע את הגמול שיינתן לו תמורת המצאתו, אמר הממציא: "אדוני המלך, יינתן לי גרגר חיטה אחד במשבצת הראשונה של <a href="/wiki/%D7%9C%D7%95%D7%97_%D7%A9%D7%97%D7%9E%D7%98" title="לוח שחמט">לוח השחמט</a>, שני גרגרים במשבצת השנייה, ארבעה גרגרים במשבצת השלישית, וכך הלאה – בכל משבצת יינתן לי מספר גרגרים כפול מאשר בקודמתה". ציווה המלך על עבדיו לקיים את הבקשה, אך מהר מאוד גילה שבכל אסמי הממלכה אין מספיק חיטה. כמה גרגרים נדרש המלך לשים במשבצת האחרונה, היא המשבצת ה-64?<br /> תשובה: ניתן לראות מתיאור משאלתו של הממציא, שבמשבצת ה-<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaf8b0f621a23f81aa20d63b5cd59d3dcad83ccb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.975ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \ n}"></span> יש להניח <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ 2^{(n-1)}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ 2^{(n-1)}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cfb5a4a5782dfbcf205fd7c9527f9ff5e66af87" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.341ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ 2^{(n-1)}}"></span> גרגרים,<sup id="cite_ref-6" class="reference"><a href="#cite_note-6"><span class="cite-bracket">[</span>6<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> ולכן במשבצת ה-<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ 64}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mn>64</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ 64}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4ecb6aa5d1524e4c8d3980b8f5d251df55eb0df" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.906ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ 64}"></span> יש להניח <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ 2^{63}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>63</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ 2^{63}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f38f5bc78c73b2b1c4cb0fdcd8e29e023fefaab2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.619ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \ 2^{63}}"></span> גרגרים. במקום להשתמש ב<a href="/wiki/%D7%9E%D7%97%D7%A9%D7%91%D7%95%D7%9F" title="מחשבון">מחשבון</a> כדי לחשב מספר זה, ניתן להעריך את <a href="/wiki/%D7%A1%D7%93%D7%A8_%D7%92%D7%95%D7%93%D7%9C" title="סדר גודל">סדר הגודל</a> של המספר אם נזכור כי <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ 2^{10}=1,024}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>10</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>024</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ 2^{10}=1,024}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8e5230434cf360a652157b42a4d7e78adf1f9ee" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.402ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \ 2^{10}=1,024}"></span>, ניעזר בקירוב למספר זה: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ 1,000=10^{3}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>000</mn> <mo>=</mo> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ 1,000=10^{3}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e67586d21f94c4b6e1657adfc1933c0bc5eb52e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.742ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \ 1,000=10^{3}}"></span>, שעמו קל יותר לחשב ידנית, ונשער את גודלו של המספר באמצעות <a href="/wiki/%D7%97%D7%99%D7%A9%D7%95%D7%91_%D7%A2%D7%9C_%D7%92%D7%91_%D7%9E%D7%A2%D7%98%D7%A4%D7%94" title="חישוב על גב מעטפה">חישוב על גב מעטפה</a>.<br /> בהתאם לחוקי החזקות, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ 2^{63}=2^{(10\cdot 6+3)}=(2^{10})^{6}\cdot 2^{3}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>63</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>10</mn> <mo>⋅</mo> <mn>6</mn> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>10</mn> </mrow> </msup> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>6</mn> </mrow> </msup> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ 2^{63}=2^{(10\cdot 6+3)}=(2^{10})^{6}\cdot 2^{3}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/035890edbbcdc6b708137f6e1a5d30167fc8621b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.312ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \ 2^{63}=2^{(10\cdot 6+3)}=(2^{10})^{6}\cdot 2^{3}}"></span> שהם יותר מאשר <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ 8}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mn>8</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ 8}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42288cd7a0dd6b976513c7c6a2520d301cfa213c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ 8}"></span> כפול <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ 10^{18}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>18</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ 10^{18}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b132401a6f8f8a97dac4f78c8ed844e6c25287ab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.782ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \ 10^{18}}"></span>, כלומר מספר בן 19 ספרות. התוצאה המדויקת היא 9,223,372,036,854,775,808.</li> <li><a href="/wiki/%D7%90%D7%9C%D7%99%D7%A1_%D7%95%D7%91%D7%95%D7%91" title="אליס ובוב">אליס ובוב</a> רוצים ליצור ביניהם ערוץ מאובטח להעברת מידע, כך שאיש מלבדם לא יוכל לקלוט את המידע העובר בו. לשם כך עליהם להחליט על <a href="/wiki/%D7%9E%D7%A4%D7%AA%D7%97_(%D7%A7%D7%A8%D7%99%D7%A4%D7%98%D7%95%D7%92%D7%A8%D7%A4%D7%99%D7%94)" title="מפתח (קריפטוגרפיה)">מפתח סודי</a> משותף שבעזרתו יוכלו <a href="/wiki/%D7%94%D7%A6%D7%A4%D7%A0%D7%94" title="הצפנה">להצפין</a> ולקרוא את המידע שהם משתפים. אם אליס ובוב לא יכולים להיפגש, ההחלטה על המפתח הסודי חייבת להתקבל בערוץ קשר פומבי החשוף לכל. כדי להתגבר על בעיה זו פותח <a href="/wiki/%D7%A4%D7%A8%D7%95%D7%98%D7%95%D7%A7%D7%95%D7%9C_%D7%93%D7%99%D7%A4%D7%99-%D7%94%D7%9C%D7%9E%D7%9F" title="פרוטוקול דיפי-הלמן">פרוטוקול דיפי-הלמן</a><sup id="cite_ref-7" class="reference"><a href="#cite_note-7"><span class="cite-bracket">[</span>7<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> שעושה שימוש בחוקי חזקות כדי לקבוע מפתח משותף סודי על גבי ערוץ פומבי. נוהל הפרוטוקול עובד כך:<br /> אליס בוחרת מספר <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9923068b5684340554217dfc8b2b968523527d9a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.91ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \ x}"></span> ובוב בוחר מספר <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e64598c4f945fe21fbf547a5d349969c7e6d852d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.736ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \ y}"></span>. הם מחליטים יחדיו באופן פומבי וחשוף לכולם על קבועים <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ p}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ p}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f385a789c147f05d215d99fecd7ff19e8fd40b05" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.75ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \ p}"></span> ו-<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \alpha }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>α</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \alpha }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b77db5eb1bf111b3bcebb22665ec3fe385c9ea3c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.068ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \ \alpha }"></span> (שצריכים לעמוד בכמה דרישות טכניות). אליס מפרסמת את <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ A=\alpha ^{x}{\pmod {p}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>mod</mi> <mspace width="0.333em" /> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ A=\alpha ^{x}{\pmod {p}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f4deaee2e9748585859e765cec6e6c0e5db9322" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.936ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ A=\alpha ^{x}{\pmod {p}}}"></span>, שהוא ה<a href="/wiki/%D7%A9%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%AA_(%D7%97%D7%99%D7%9C%D7%95%D7%A7)" class="mw-redirect" title="שארית (חילוק)">שארית</a> המתקבלת מחלוקת <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \alpha ^{x}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \alpha ^{x}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bee12adc873312b7921c2f35fbbcef2041e21dcd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.241ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \ \alpha ^{x}}"></span> ב-<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ p}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ p}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f385a789c147f05d215d99fecd7ff19e8fd40b05" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.75ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \ p}"></span> (ראו <a href="/wiki/%D7%97%D7%A9%D7%91%D7%95%D7%9F_%D7%9E%D7%95%D7%93%D7%95%D7%9C%D7%A8%D7%99" title="חשבון מודולרי">חשבון מודולרי</a>), ובוב מפרסם את <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ B=\alpha ^{y}{\pmod {p}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>B</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>mod</mi> <mspace width="0.333em" /> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ B=\alpha ^{y}{\pmod {p}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f23fe88aad8a8a63b2821b59f85bcd7f03d4dc9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.834ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ B=\alpha ^{y}{\pmod {p}}}"></span>. כעת אליס ובוב מנצלים חוק חזקה כדי להסכים על מפתח משותף. המפתח יהיה <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ K=\alpha ^{xy}{\pmod {p}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>K</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>mod</mi> <mspace width="0.333em" /> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ K=\alpha ^{xy}{\pmod {p}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81f9a13a6e9a439a13ac0347cd4c23a3f4c24f3a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.076ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ K=\alpha ^{xy}{\pmod {p}}}"></span>. בוב מסוגל לחשב את <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ K}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>K</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ K}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/183b560070c7edf40847c6cd47918dc20eddd334" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.647ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ K}"></span> כי הוא יודע את <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ A}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a29b7d7604962065930f413ee72574d1f7a6e81" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.324ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ A}"></span> ואת <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e64598c4f945fe21fbf547a5d349969c7e6d852d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.736ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \ y}"></span> ולכן <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ A^{y}=(\alpha ^{x})^{y}=\alpha ^{xy}=K{\pmod {p}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>K</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>mod</mi> <mspace width="0.333em" /> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ A^{y}=(\alpha ^{x})^{y}=\alpha ^{xy}=K{\pmod {p}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8fccecff682d4803f06acbc0ff265fcb614f84d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:34.584ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ A^{y}=(\alpha ^{x})^{y}=\alpha ^{xy}=K{\pmod {p}}}"></span>, ובאופן דומה אליס מסוגלת לחשב אותו כי <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ B^{x}=(\alpha ^{y})^{x}=\alpha ^{xy}=K{\pmod {p}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>B</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msup> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>K</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>mod</mi> <mspace width="0.333em" /> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ B^{x}=(\alpha ^{y})^{x}=\alpha ^{xy}=K{\pmod {p}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22851990f431b4f0d72ca324585e80414bdd1c64" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:34.728ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ B^{x}=(\alpha ^{y})^{x}=\alpha ^{xy}=K{\pmod {p}}}"></span>. אף אחד אחר אינו מסוגל לגלות את <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ K}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>K</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ K}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/183b560070c7edf40847c6cd47918dc20eddd334" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.647ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ K}"></span>, כי באופן פומבי פורסמו רק <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \alpha ,p,A,B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>α</mi> <mo>,</mo> <mi>p</mi> <mo>,</mo> <mi>A</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \alpha ,p,A,B}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/430c03c6f4d0ec38f655a3f8be75bd03adc58e6a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.847ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \ \alpha ,p,A,B}"></span>, וכאשר <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ p}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ p}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f385a789c147f05d215d99fecd7ff19e8fd40b05" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.75ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \ p}"></span> מספר גדול מאוד, קשה להסיק מתוכם את <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ K}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>K</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ K}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/183b560070c7edf40847c6cd47918dc20eddd334" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.647ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ K}"></span> בלי לדעת את <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9923068b5684340554217dfc8b2b968523527d9a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.91ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \ x}"></span> או את <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e64598c4f945fe21fbf547a5d349969c7e6d852d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.736ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \ y}"></span> (ראו <a href="/wiki/%D7%91%D7%A2%D7%99%D7%99%D7%AA_%D7%94%D7%9C%D7%95%D7%92%D7%A8%D7%99%D7%AA%D7%9D_%D7%94%D7%93%D7%99%D7%A1%D7%A7%D7%A8%D7%98%D7%99" class="mw-redirect" title="בעיית הלוגריתם הדיסקרטי">בעיית הלוגריתם הדיסקרטי</a>).</li></ul> <figure class="mw-halign-center" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:Diffie-hellman.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/63/Diffie-hellman.jpg/500px-Diffie-hellman.jpg" decoding="async" width="500" height="153" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/63/Diffie-hellman.jpg/750px-Diffie-hellman.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/63/Diffie-hellman.jpg/1000px-Diffie-hellman.jpg 2x" data-file-width="1772" data-file-height="542" /></a><figcaption>שלבי פרוטוקול דיפי-הלמן</figcaption></figure> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="חזקה_שלמה"><span id=".D7.97.D7.96.D7.A7.D7.94_.D7.A9.D7.9C.D7.9E.D7.94"></span>חזקה שלמה</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&action=edit&section=6" title="עריכת קוד המקור של הפרק: חזקה שלמה"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&veaction=edit&section=6" title="עריכת פסקה: "חזקה שלמה"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>הצעד הראשון בהכללת החזקה לקבוצה רחבה יותר של מספרים היא הרחבתה למעריכים <a href="/wiki/%D7%9E%D7%A1%D7%A4%D7%A8_%D7%A9%D7%9C%D7%9D" title="מספר שלם">שלמים</a> (שאינם בהכרח חיוביים). הרחבה מוצלחת של החזקה צריכה להמשיך ולעמוד בחוקי החזקות התקפים לטבעיים. בפרט: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ a^{0}=a^{n-n}={\frac {a^{n}}{a^{n}}}=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ a^{0}=a^{n-n}={\frac {a^{n}}{a^{n}}}=1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d085c7e9f80b6b2e960fc50232d7c6c54890d5e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:21.32ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \ a^{0}=a^{n-n}={\frac {a^{n}}{a^{n}}}=1}"></span> ובתנאי ש-<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\neq 0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>≠</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\neq 0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f455a7f96d74aa94573d8e32da3b240ab0aa294f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.491ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a\neq 0}"></span>.</dd></dl> <p>וכן: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ a^{-n}=a^{0-n}={\frac {a^{0}}{a^{n}}}={\frac {1}{a^{n}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> <mo>−</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ a^{-n}=a^{0-n}={\frac {a^{0}}{a^{n}}}={\frac {1}{a^{n}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0aef252a6d69659a76924e9be9c0707e5024e7f7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:24.72ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \ a^{-n}=a^{0-n}={\frac {a^{0}}{a^{n}}}={\frac {1}{a^{n}}}}"></span></dd></dl> <p>לכן נוח להגדיר חזקת אפס כשווה ל-1 (ראו <a href="/wiki/%D7%9E%D7%9B%D7%A4%D7%9C%D7%94_%D7%A8%D7%99%D7%A7%D7%94" title="מכפלה ריקה">מכפלה ריקה</a>) וחזקה שלילית בתור ה<a href="/wiki/%D7%9E%D7%A1%D7%A4%D7%A8_%D7%94%D7%95%D7%A4%D7%9B%D7%99" title="מספר הופכי">הופכי</a> לחזקה החיובית ה<a href="/wiki/%D7%9E%D7%A1%D7%A4%D7%A8_%D7%A0%D7%92%D7%93%D7%99" title="מספר נגדי">נגדית</a>. יוצא מן הכלל הוא הביטוי <a href="/wiki/%D7%90%D7%A4%D7%A1_%D7%91%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%AA_%D7%90%D7%A4%D7%A1" class="mw-redirect" title="אפס בחזקת אפס">אפס בחזקת אפס</a> שלרוב <a href="/wiki/%D7%9C%D7%90_%D7%9E%D7%95%D7%92%D7%93%D7%A8" title="לא מוגדר">אינו מוגדר</a>, או מוגדר כשווה ל-1.<sup id="cite_ref-8" class="reference"><a href="#cite_note-8"><span class="cite-bracket">[</span>8<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> בנוסף, חזקות שליליות של 0 אינן מוגדרות, כי לא ניתן <a href="/wiki/%D7%97%D7%9C%D7%95%D7%A7%D7%94_%D7%91%D7%90%D7%A4%D7%A1" class="mw-redirect" title="חלוקה באפס">לחלק באפס</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="דוגמאות_2"><span id=".D7.93.D7.95.D7.92.D7.9E.D7.90.D7.95.D7.AA_2"></span>דוגמאות</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&action=edit&section=7" title="עריכת קוד המקור של הפרק: דוגמאות"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&veaction=edit&section=7" title="עריכת פסקה: "דוגמאות"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ 5^{-1}={\frac {1}{5^{1}}}={\frac {1}{5}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mn>5</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mn>5</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>5</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ 5^{-1}={\frac {1}{5^{1}}}={\frac {1}{5}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9cbcf91d8d2e05d0c8d6318c7293ca9f386ee57" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:15.324ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \ 5^{-1}={\frac {1}{5^{1}}}={\frac {1}{5}}}"></span></li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ {\left({\frac {2}{3}}\right)}^{-2}={\frac {2^{-2}}{3^{-2}}}={\frac {3^{2}}{2^{2}}}={\frac {9}{4}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>2</mn> <mn>3</mn> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mn>3</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mn>3</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>9</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ {\left({\frac {2}{3}}\right)}^{-2}={\frac {2^{-2}}{3^{-2}}}={\frac {3^{2}}{2^{2}}}={\frac {9}{4}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f0fc3b0b83cf50afbbf03c8ea76ccbcf0c6d5a0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:27.011ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \ {\left({\frac {2}{3}}\right)}^{-2}={\frac {2^{-2}}{3^{-2}}}={\frac {3^{2}}{2^{2}}}={\frac {9}{4}}}"></span></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="חזקה_רציונלית"><span id=".D7.97.D7.96.D7.A7.D7.94_.D7.A8.D7.A6.D7.99.D7.95.D7.A0.D7.9C.D7.99.D7.AA"></span>חזקה רציונלית</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&action=edit&section=8" title="עריכת קוד המקור של הפרק: חזקה רציונלית"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&veaction=edit&section=8" title="עריכת פסקה: "חזקה רציונלית"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-halign-left" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:Root_graphs.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4d/Root_graphs.svg/300px-Root_graphs.svg.png" decoding="async" width="300" height="225" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4d/Root_graphs.svg/450px-Root_graphs.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4d/Root_graphs.svg/600px-Root_graphs.svg.png 2x" data-file-width="800" data-file-height="600" /></a><figcaption>מלמטה למעלה: <i>x</i><sup>1/8</sup>, <i>x</i><sup>1/4</sup>, <i>x</i><sup>1/2</sup>, <i>x</i><sup>1</sup>, <i>x</i><sup>2</sup>, <i>x</i><sup>4</sup>, <i>x</i><sup>8</sup>.</figcaption></figure> <p>לכל n שלם (שונה מאפס), ולכל <a href="/wiki/%D7%9E%D7%A1%D7%A4%D7%A8_%D7%9E%D7%9E%D7%A9%D7%99" title="מספר ממשי">מספר ממשי</a> חיובי a, קיים פתרון חיובי יחיד למשוואה <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ x^{n}=a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ x^{n}=a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/285c529456676662b13133f28becb5b4c075fb28" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.457ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \ x^{n}=a}"></span>. פתרון זה נקרא ה<a href="/wiki/%D7%A9%D7%95%D7%A8%D7%A9_%D7%A9%D7%9C_%D7%9E%D7%A1%D7%A4%D7%A8" title="שורש של מספר">שורש ה-n-י</a> של a, וסימונו <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ {\sqrt[{n}]{a}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mroot> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </mroot> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ {\sqrt[{n}]{a}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46683380a0177fb9a3f0e7e807ebb8a6a7b41c80" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.746ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \ {\sqrt[{n}]{a}}}"></span>. </p><p>בעזרת מושג השורש ניתן להרחיב את הגדרת החזקה גם למעריכים <a href="/wiki/%D7%9E%D7%A1%D7%A4%D7%A8_%D7%A8%D7%A6%D7%99%D7%95%D7%A0%D7%9C%D7%99" title="מספר רציונלי">רציונליים</a> כלשהם (ובסיס חיובי). תחילה מגדירים הרחבה למעריכים שהם <a href="/wiki/%D7%A9%D7%91%D7%A8_%D7%99%D7%A1%D7%95%D7%93%D7%99" title="שבר יסודי">שבר יסודי</a>: יהי n מספר שלם ו-a <a href="/wiki/%D7%9E%D7%A1%D7%A4%D7%A8%D7%99%D7%9D_%D7%97%D7%99%D7%95%D7%91%D7%99%D7%99%D7%9D_%D7%95%D7%A9%D7%9C%D7%99%D7%9C%D7%99%D7%99%D7%9D" title="מספרים חיוביים ושליליים">מספר חיובי</a>. נצפה כי <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ a^{\frac {1}{n}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>n</mi> </mfrac> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ a^{\frac {1}{n}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27b0448428d2ede26b67af7b07502758e115b957" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.68ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \ a^{\frac {1}{n}}}"></span> יהיה מספר חיובי. כמו כן לפי חוקי חזקות מתקיים: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ {\left(a^{\frac {1}{n}}\right)}^{n}=a^{\frac {n}{n}}=a^{1}=a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>n</mi> </mfrac> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>n</mi> <mi>n</mi> </mfrac> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ {\left(a^{\frac {1}{n}}\right)}^{n}=a^{\frac {n}{n}}=a^{1}=a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/710336b3bf899c1a69ee9716ae46f14dc79a67f3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:23.582ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \ {\left(a^{\frac {1}{n}}\right)}^{n}=a^{\frac {n}{n}}=a^{1}=a}"></span></dd></dl> <p>כלומר <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ a^{\frac {1}{n}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>n</mi> </mfrac> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ a^{\frac {1}{n}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27b0448428d2ede26b67af7b07502758e115b957" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.68ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \ a^{\frac {1}{n}}}"></span> הוא ה<a href="/wiki/%D7%A9%D7%95%D7%A8%D7%A9_%D7%A9%D7%9C_%D7%9E%D7%A1%D7%A4%D7%A8" title="שורש של מספר">שורש</a> ה-n-י, ולכן: </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>n</mi> </mfrac> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mroot> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </mroot> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d581d865bb13c16803b77067d45e970564622b4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:9.944ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle \ a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}}"></span>. </p><p>בהתבסס על תוצאה זו ובעזרת חוקי חזקות נוכל להרחיב את ההגדרה לכל מעריך <a href="/wiki/%D7%9E%D7%A1%D7%A4%D7%A8_%D7%A8%D7%A6%D7%99%D7%95%D7%A0%D7%9C%D7%99" title="מספר רציונלי">רציונלי</a> (n שונה מאפס): </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ a^{\frac {m}{n}}={\left(a^{\frac {1}{n}}\right)}^{m}={\sqrt[{n}]{a}}^{m}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>m</mi> <mi>n</mi> </mfrac> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>n</mi> </mfrac> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mroot> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </mroot> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mroot> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </mroot> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ a^{\frac {m}{n}}={\left(a^{\frac {1}{n}}\right)}^{m}={\sqrt[{n}]{a}}^{m}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7facd8c87147e2d66bf3abceb3d9a1e4f6039183" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:30.576ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \ a^{\frac {m}{n}}={\left(a^{\frac {1}{n}}\right)}^{m}={\sqrt[{n}]{a}}^{m}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}}"></span></dd></dl> <p>התוצאה אינה תלויה בבחירת ההצגה של השבר, משום ש-<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ {\sqrt[{km}]{a^{kn}}}={\sqrt[{m}]{a^{n}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mroot> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mi>m</mi> </mrow> </mroot> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mroot> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </mroot> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ {\sqrt[{km}]{a^{kn}}}={\sqrt[{m}]{a^{n}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a8c96983d926ac59d1b24b54c0a8590017b04d1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.02ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \ {\sqrt[{km}]{a^{kn}}}={\sqrt[{m}]{a^{n}}}}"></span>, ולכן הפעולה <a href="/wiki/%D7%9E%D7%95%D7%92%D7%93%D7%A8_%D7%94%D7%99%D7%98%D7%91" title="מוגדר היטב">מוגדרת היטב</a>. כל חוקי החזקות בשלמים נשמרים גם עבור מעריכים רציונליים. </p><p>במסגרת המספרים הממשיים, <a href="/wiki/%D7%A9%D7%95%D7%A8%D7%A9_%D7%A9%D7%9C_%D7%9E%D7%A1%D7%A4%D7%A8" title="שורש של מספר">הוצאת שורש</a> אינה מוגדרת היטב למספרים שליליים, ולכן גם חזקה רציונלית אינה מוגדרת לבסיס שלילי. אם הבסיס הוא 0, החזקה מוגדרת רק כשהמעריך חיובי, וערכה 0. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="דוגמאות_3"><span id=".D7.93.D7.95.D7.92.D7.9E.D7.90.D7.95.D7.AA_3"></span>דוגמאות</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&action=edit&section=9" title="עריכת קוד המקור של הפרק: דוגמאות"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&veaction=edit&section=9" title="עריכת פסקה: "דוגמאות"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ 4^{\frac {1}{2}}={\sqrt[{2}]{4}}=2}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mn>4</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mroot> <mn>4</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </mroot> </mrow> <mo>=</mo> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ 4^{\frac {1}{2}}={\sqrt[{2}]{4}}=2}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3eb9b01bed266831cbb7fdeeef54d3501feed0cc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.937ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle \ 4^{\frac {1}{2}}={\sqrt[{2}]{4}}=2}"></span></li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ 8^{\frac {2}{3}}={\sqrt[{3}]{8}}^{2}=2^{2}=4}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mn>8</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>2</mn> <mn>3</mn> </mfrac> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mroot> <mn>8</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </mroot> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>4</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ 8^{\frac {2}{3}}={\sqrt[{3}]{8}}^{2}=2^{2}=4}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/711647f65cac840759b45cc4cbe4e735bbd13765" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:20.306ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle \ 8^{\frac {2}{3}}={\sqrt[{3}]{8}}^{2}=2^{2}=4}"></span></li> <li>אדם מפקיד בבנק 10 שקלים ב<a href="/wiki/%D7%A8%D7%99%D7%91%D7%99%D7%AA" title="ריבית">ריבית</a> של 6% לשנה. כעבור שנה יהיו בחשבונו <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ 10\cdot (1+{\frac {6}{100}})=10.60}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mn>10</mn> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>6</mn> <mn>100</mn> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>10.60</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ 10\cdot (1+{\frac {6}{100}})=10.60}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0986ae887efa49e4ea811fc2836cf75dbd1a2661" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:23.115ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \ 10\cdot (1+{\frac {6}{100}})=10.60}"></span> שקלים.<br />אם ישאיר סכום זה בחשבונו שנה נוספת, יצטבר בחשבון בסוף השנה השנייה סכום של <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 10\cdot (1+{\frac {6}{100}})^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>10</mn> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>6</mn> <mn>100</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 10\cdot (1+{\frac {6}{100}})^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bc81ab35ab09111579a9a452ba11fd46dce9a2b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:15.194ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle 10\cdot (1+{\frac {6}{100}})^{2}}"></span> שקלים.<br /> בסוף השנה ה-<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaf8b0f621a23f81aa20d63b5cd59d3dcad83ccb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.975ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \ n}"></span> יהיו בחשבונו <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 10\cdot (1+{\frac {6}{100}})^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>10</mn> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>6</mn> <mn>100</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 10\cdot (1+{\frac {6}{100}})^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66cd28daedd82ec661063131916abc43af640d44" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:15.358ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle 10\cdot (1+{\frac {6}{100}})^{n}}"></span> שקלים.<br /> עד כה המעריך היה שלם, אבל <a href="/wiki/%D7%A4%D7%99%D7%A7%D7%93%D7%95%D7%9F_(%D7%91%D7%A0%D7%A7%D7%90%D7%95%D7%AA)" title="פיקדון (בנקאות)">פיקדון</a> בבנק ניתן למשוך במהלך השנה. מה יהיה הסכום שיצטבר לאחר שלוש שנים ושלושה חודשים (3.25 שנים)? הנוסחה הבסיסית לחישוב הריבית תקפה גם למעריך שאינו שלם, שהוא מספר רציונלי – בחשבון יצטבר סכום של <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 10\cdot (1+{\frac {6}{100}})^{3.25}=12.0849\ldots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>10</mn> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>6</mn> <mn>100</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3.25</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>12.0849</mn> <mo>…</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 10\cdot (1+{\frac {6}{100}})^{3.25}=12.0849\ldots }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f993db93abf2290dc697e87070823e12c9e0538" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:31.126ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle 10\cdot (1+{\frac {6}{100}})^{3.25}=12.0849\ldots }"></span> שקלים.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="חזקה_ממשית"><span id=".D7.97.D7.96.D7.A7.D7.94_.D7.9E.D7.9E.D7.A9.D7.99.D7.AA"></span>חזקה ממשית</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&action=edit&section=10" title="עריכת קוד המקור של הפרק: חזקה ממשית"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&veaction=edit&section=10" title="עריכת פסקה: "חזקה ממשית"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>ישנן שתי דרכים מקובלות ושקולות להגדרת חזקה עם מעריך <a href="/wiki/%D7%9E%D7%A1%D7%A4%D7%A8_%D7%9E%D7%9E%D7%A9%D7%99" title="מספר ממשי">ממשי</a>. </p><p>דרך אחת היא להסתמך על החזקות הרציונליות שכבר הוגדרו. תכונה רצויה של פעולת החזקה היא שמירה על <a href="/wiki/%D7%A8%D7%A6%D7%99%D7%A4%D7%95%D7%AA" class="mw-redirect" title="רציפות">רציפות</a>. מצופה שאם לכל חזקה <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ a^{r}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ a^{r}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41938c12ec80386d746331cbabc2ac894cf84f78" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.784ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \ a^{r}}"></span> נערוך סדרת חישובים מהצורה <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ a^{x}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ a^{x}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f89ec5bfb055f231a55161e75570d242ae7d6c28" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.983ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \ a^{x}}"></span> כש-x הולך ומתקרב ל-r, התוצאות שנקבל ילכו ויתקרבו לערך של <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ a^{r}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ a^{r}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41938c12ec80386d746331cbabc2ac894cf84f78" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.784ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \ a^{r}}"></span>. מסתבר כי דרישה זו מספיקה כדי להגדיר חזקה עם מעריך ממשי. מהבנייה של <a href="/wiki/%D7%A9%D7%93%D7%94_%D7%94%D7%9E%D7%A1%D7%A4%D7%A8%D7%99%D7%9D_%D7%94%D7%9E%D7%9E%D7%A9%D7%99%D7%99%D7%9D" title="שדה המספרים הממשיים">שדה המספרים הממשיים</a> ידוע כי לכל מספר ממשי r קיימת <a href="/wiki/%D7%A1%D7%93%D7%A8%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)" title="סדרה (מתמטיקה)">סדרה</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \left\{r_{n}\right\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mrow> <mo>{</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>}</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \left\{r_{n}\right\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1902383753d4d25f915f7644a26031fa823c40d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.56ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ \left\{r_{n}\right\}}"></span> של מספרים רציונליים המתכנסת ל-r. לכן לכל a אי-שלילי החזקה נתונה על ידי <a href="/wiki/%D7%92%D7%91%D7%95%D7%9C_%D7%A9%D7%9C_%D7%A1%D7%93%D7%A8%D7%94" title="גבול של סדרה">גבול הסדרה</a>: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ a^{r}=\lim _{n\to \infty }a^{r_{n}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munder> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ a^{r}=\lim _{n\to \infty }a^{r_{n}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/541cb8d594ddd53edf407f13837376a1ae399a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:13.711ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle \ a^{r}=\lim _{n\to \infty }a^{r_{n}}}"></span></dd></dl> <p>או באופן שקול כ<a href="/wiki/%D7%92%D7%91%D7%95%D7%9C_%D7%A9%D7%9C_%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%94" title="גבול של פונקציה">גבול של פונקציה</a>:<sup id="cite_ref-Denlingertitle_9-0" class="reference"><a href="#cite_note-Denlingertitle-9"><span class="cite-bracket">[</span>9<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ (x\in \mathbb {Q} )\quad a^{r}=\lim _{x\to r}a^{x}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Q</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="1em" /> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>r</mi> </mrow> </munder> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ (x\in \mathbb {Q} )\quad a^{r}=\lim _{x\to r}a^{x}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31f7df989d67c2e5895e3ab4f66d6c5d114e2575" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:22.107ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle \ (x\in \mathbb {Q} )\quad a^{r}=\lim _{x\to r}a^{x}}"></span></dd></dl> <p>המעריכים בשני הגבולות רציונליים ולכן החזקה בהם מוגדרת היטב. גם הגדרה זו אינה תלויה בנציגים והתוצאה זהה לכל סדרה המכנסת ל-r. הגדרה זו גם מספקת דרך נומרית לחישוב <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ a^{r}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ a^{r}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41938c12ec80386d746331cbabc2ac894cf84f78" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.784ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \ a^{r}}"></span> על ידי קירובים הולכים ומשתפרים. לדוגמה ניתן לחשב את <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ 2^{\pi }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>π</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ 2^{\pi }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d2f65cbd217917d876377396152f085043571c0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.917ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \ 2^{\pi }}"></span> בכל רמת דיוק רצויה בזכות סדרת הקירובים:<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ 2^{3},2^{3.1},2^{3.14},2^{3.141},\ldots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3.1</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3.14</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3.141</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mo>…</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ 2^{3},2^{3.1},2^{3.14},2^{3.141},\ldots }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ef0dfd95e3fc239a3d99a7d1b3c07c1d40405f0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:22.61ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \ 2^{3},2^{3.1},2^{3.14},2^{3.141},\ldots }"></span>. </p><p>דרך שנייה היא בעזרת <a href="/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%94_%D7%9E%D7%9E%D7%A9%D7%99%D7%AA" title="פונקציה ממשית">פונקציית</a> ה<a href="/wiki/%D7%90%D7%A7%D7%A1%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A0%D7%98" title="אקספוננט">אקספוננט</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \exp(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>exp</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \exp(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62ffac3ae524dd90fbcde2b3dabf90354772adda" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.659ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ \exp(x)}"></span>. זוהי פונקציה בסיסית ביותר שניתן להגדירה בדרכים רבות ומגוונות, ללא הגדרה קודמת של חזקה ממשית. לדוגמה, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \exp(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>exp</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mrow> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \exp(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf788c25a6a37c58720313248eac5822bfb189a3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:17.884ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \ \exp(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}"></span> (<a href="/wiki/%D7%98%D7%95%D7%A8_%D7%98%D7%99%D7%99%D7%9C%D7%95%D7%A8" title="טור טיילור">טור טיילור</a>). מגדירים את ה<a href="/wiki/%D7%A7%D7%91%D7%95%D7%A2_%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99" title="קבוע מתמטי">קבוע</a> <a href="/wiki/E_(%D7%A7%D7%91%D7%95%D7%A2_%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99)" title="E (קבוע מתמטי)">e</a> בתור הערך <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ e=\exp(1)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>e</mi> <mo>=</mo> <mi>exp</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ e=\exp(1)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/763e8c285e39ce17c5e1b061c7069fbcd4a6c558" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.287ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ e=\exp(1)}"></span> (יש עוד דרכים רבות להגדיר את e). פונקציית האקספוננט מקיימת את הזהות: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \exp(x+y)=\exp(x)\cdot \exp(y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>exp</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>exp</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mi>exp</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \exp(x+y)=\exp(x)\cdot \exp(y)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b66fc18d682de7f54ad9869e85dd38000639e72" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.641ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ \exp(x+y)=\exp(x)\cdot \exp(y)}"></span></dd></dl> <p>בזכות זהות זו, שלמעשה היא צורת כתיב שונה של אחד מחוקי החזקות המוכרים, קל להוכיח כי פונקציית האקספוננט מתלכדת עם החזקות הרציונליות של e (למשל <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \exp(2)=\exp(1+1)=\exp(1)\cdot \exp(1)=e^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>exp</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>exp</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>exp</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mi>exp</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \exp(2)=\exp(1+1)=\exp(1)\cdot \exp(1)=e^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1fabb73bf8bda4a7eb00301e193d5fecdb61114" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:44.179ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \ \exp(2)=\exp(1+1)=\exp(1)\cdot \exp(1)=e^{2}}"></span>). לכן ניתן להכליל את החזקות של e לכל מעריך ממשי על ידי ההגדרה: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ e^{r}=\exp(r)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>exp</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ e^{r}=\exp(r)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13dbf4f5ac8bb8651e7604b5fcd6c846a12998c4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.147ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ e^{r}=\exp(r)}"></span></dd></dl> <p>פונקציית האקספוננט היא פונקציה רציפה ולכן הגדרה זו שקולה להגדרה הראשונה באמצעות גבול של סדרת חזקות רציונליות. כדי להרחיב את ההגדרה של חזקות של e להגדרה המתאימה לכל בסיס חיובי יש להגדיר את פונקציית <a href="/wiki/%D7%94%D7%9C%D7%95%D7%92%D7%A8%D7%99%D7%AA%D7%9D_%D7%94%D7%98%D7%91%D7%A2%D7%99" class="mw-redirect" title="הלוגריתם הטבעי">הלוגריתם הטבעי</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \ln(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \ln(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa126412c15954abf512eedfc471ab48cdefb92b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.046ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ \ln(x)}"></span>. גם זו פונקציה בסיסית, שניתן להגדירה כ<a href="/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%94_%D7%94%D7%95%D7%A4%D7%9B%D7%99%D7%AA" class="mw-redirect" title="פונקציה הופכית">פונקציה ההפוכה</a> לאקספוננט (או בדרכים רבות נוספות, ואף לנקוט בגישה הפוכה: להגדיר קודם את הלוגריתם הטבעי ולאחריו את האקספוננט כפונקציה ההפוכה לו). כלומר אם <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \exp(x)=y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>exp</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \exp(x)=y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e6fadacf080546bce28f968642302963aca690f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.913ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ \exp(x)=y}"></span>, אז <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \ln(y)=x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \ln(y)=x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a587a8ffdb83b964a544b7e4bb52d28beb65261f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.3ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ \ln(y)=x}"></span> (הלוגריתם הטבעי מוגדר למספרים חיוביים בלבד). לפי הגדרה זו הלוגריתם הטבעי מקיים את הזהות <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ e^{\ln(a)}=\exp(\ln(a))=a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>exp</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ e^{\ln(a)}=\exp(\ln(a))=a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35f643db1083e0776f8fca6c48938139abd7b09f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.184ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \ e^{\ln(a)}=\exp(\ln(a))=a}"></span>. באמצעות זהות זאת וחוקי חזקות ניתן להגדיר לכל a חיובי חזקה ממשית: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ a^{r}={\left(e^{\ln(a)}\right)}^{r}=e^{r\ln(a)}=\exp(r\ln(a))}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>exp</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ a^{r}={\left(e^{\ln(a)}\right)}^{r}=e^{r\ln(a)}=\exp(r\ln(a))}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/326cb79daeb549e081c728a00b5fca7d7c88bc0c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:38.406ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \ a^{r}={\left(e^{\ln(a)}\right)}^{r}=e^{r\ln(a)}=\exp(r\ln(a))}"></span></dd></dl> <p>ונותר רק המקרה בו הבסיס הוא 0 (ש<a href="/wiki/%D7%9C%D7%90_%D7%9E%D7%95%D7%92%D7%93%D7%A8" title="לא מוגדר">לא מוגדר</a> לו לוגריתם טבעי). במקרה זה כל החזקות החיוביות שוות לאפס (והמקרה האי-חיובי אינו מוגדר). </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="דוגמאות_4"><span id=".D7.93.D7.95.D7.92.D7.9E.D7.90.D7.95.D7.AA_4"></span>דוגמאות</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&action=edit&section=11" title="עריכת קוד המקור של הפרק: דוגמאות"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&veaction=edit&section=11" title="עריכת פסקה: "דוגמאות"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ 2^{\pi }=8.8249778\ldots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>π</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>8.8249778</mn> <mo>…</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ 2^{\pi }=8.8249778\ldots }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d8757b893b689a6d9658c448a8be9f9370a2021" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:19.073ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \ 2^{\pi }=8.8249778\ldots }"></span></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="חזקה_מרוכבת"><span id=".D7.97.D7.96.D7.A7.D7.94_.D7.9E.D7.A8.D7.95.D7.9B.D7.91.D7.AA"></span>חזקה מרוכבת</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&action=edit&section=12" title="עריכת קוד המקור של הפרק: חזקה מרוכבת"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&veaction=edit&section=12" title="עריכת פסקה: "חזקה מרוכבת"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <dl><dd><b>הערה:</b> להבנת פרק זה דרושה היכרות עם <a href="/wiki/%D7%9E%D7%A1%D7%A4%D7%A8_%D7%9E%D7%A8%D7%95%D7%9B%D7%91" title="מספר מרוכב">מספרים מרוכבים</a>.</dd></dl> <p><a href="/wiki/%D7%A9%D7%93%D7%94_%D7%94%D7%9E%D7%A1%D7%A4%D7%A8%D7%99%D7%9D_%D7%94%D7%9E%D7%A8%D7%95%D7%9B%D7%91%D7%99%D7%9D" title="שדה המספרים המרוכבים">שדה המספרים המרוכבים</a>, שנבנה מתוך <a href="/wiki/%D7%A9%D7%93%D7%94_%D7%94%D7%9E%D7%A1%D7%A4%D7%A8%D7%99%D7%9D_%D7%94%D7%9E%D7%9E%D7%A9%D7%99%D7%99%D7%9D" title="שדה המספרים הממשיים">שדה המספרים הממשיים</a>, יורש ממנו רבות מתכונותיו המועילות (כמו עצם היותו <a href="/wiki/%D7%A9%D7%93%D7%94_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)" title="שדה (מבנה אלגברי)">שדה</a>) ומוסיף עליהן תכונות מועילות נוספות (כגון היותו <a href="/wiki/%D7%A9%D7%93%D7%94_%D7%A1%D7%92%D7%95%D7%A8_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99%D7%AA" title="שדה סגור אלגברית">סגור אלגברית</a>). טבעי לנסות להכליל את ההגדרה המוצלחת של החזקה הממשית גם לחזקה מרוכבת. <a href="/wiki/%D7%94%D7%9B%D7%9C%D7%9C%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)" title="הכללה (מתמטיקה)">הכללה</a> שכזאת ניתן לעשות בכמה כיוונים. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="בסיס_מרוכב_ומעריך_שלם"><span id=".D7.91.D7.A1.D7.99.D7.A1_.D7.9E.D7.A8.D7.95.D7.9B.D7.91_.D7.95.D7.9E.D7.A2.D7.A8.D7.99.D7.9A_.D7.A9.D7.9C.D7.9D"></span>בסיס מרוכב ומעריך שלם</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&action=edit&section=13" title="עריכת קוד המקור של הפרק: בסיס מרוכב ומעריך שלם"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&veaction=edit&section=13" title="עריכת פסקה: "בסיס מרוכב ומעריך שלם"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>כפל וחילוק מוגדרים היטב בין <a href="/wiki/%D7%9E%D7%A1%D7%A4%D7%A8_%D7%9E%D7%A8%D7%95%D7%9B%D7%91" title="מספר מרוכב">מספרים מרוכבים</a> ולכן הכללת חזקה שלמה למספרים מרוכבים נעשית ללא קושי וללא שינוי בהגדרות. </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="דוגמאות_5"><span id=".D7.93.D7.95.D7.92.D7.9E.D7.90.D7.95.D7.AA_5"></span>דוגמאות</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&action=edit&section=14" title="עריכת קוד המקור של הפרק: דוגמאות"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&veaction=edit&section=14" title="עריכת פסקה: "דוגמאות"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ i^{101}=i^{4\cdot 25+1}=1^{25}\cdot i=i}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>i</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>101</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>i</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> <mo>⋅</mo> <mn>25</mn> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>25</mn> </mrow> </msup> <mo>⋅</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mi>i</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ i^{101}=i^{4\cdot 25+1}=1^{25}\cdot i=i}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18717421c5646f160b92aa482562844130700937" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:25.758ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \ i^{101}=i^{4\cdot 25+1}=1^{25}\cdot i=i}"></span></li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ {\left({\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}\right)}^{3}=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>3</mn> </msqrt> </mrow> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ {\left({\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}\right)}^{3}=1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/147200b8d115fd9490b4dc21a2c65bd665e0aa58" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:19.865ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \ {\left({\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}\right)}^{3}=1}"></span> (<a href="/wiki/%D7%A9%D7%95%D7%A8%D7%A9_%D7%99%D7%97%D7%99%D7%93%D7%94" title="שורש יחידה">שורש יחידה</a> מסדר 3)</li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ (1+i)^{-1}={\frac {1}{1+i}}={\frac {1-i}{(1+i)(1-i)}}={\frac {1-i}{2}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>i</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>i</mi> </mrow> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>i</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>i</mi> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ (1+i)^{-1}={\frac {1}{1+i}}={\frac {1-i}{(1+i)(1-i)}}={\frac {1-i}{2}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd203cb47ff9c9a0e72f967045398d3c32c79b17" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:44.172ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle \ (1+i)^{-1}={\frac {1}{1+i}}={\frac {1-i}{(1+i)(1-i)}}={\frac {1-i}{2}}}"></span></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="בסיס_חיובי_ומעריך_מרוכב"><span id=".D7.91.D7.A1.D7.99.D7.A1_.D7.97.D7.99.D7.95.D7.91.D7.99_.D7.95.D7.9E.D7.A2.D7.A8.D7.99.D7.9A_.D7.9E.D7.A8.D7.95.D7.9B.D7.91"></span>בסיס חיובי ומעריך מרוכב</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&action=edit&section=15" title="עריכת קוד המקור של הפרק: בסיס חיובי ומעריך מרוכב"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&veaction=edit&section=15" title="עריכת פסקה: "בסיס חיובי ומעריך מרוכב"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-halign-left" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:Polar_to_cartesian.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/78/Polar_to_cartesian.svg/250px-Polar_to_cartesian.svg.png" decoding="async" width="250" height="248" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/78/Polar_to_cartesian.svg/375px-Polar_to_cartesian.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/78/Polar_to_cartesian.svg/500px-Polar_to_cartesian.svg.png 2x" data-file-width="429" data-file-height="425" /></a><figcaption>הצגה קוטבית של מספר מרוכב ב<a href="/wiki/%D7%94%D7%9E%D7%99%D7%A9%D7%95%D7%A8_%D7%94%D7%9E%D7%A8%D7%95%D7%9B%D7%91" title="המישור המרוכב">מישור המרוכב</a>. הנקודה השחורה (בסוף הקטע הכחול) הוא המספר המרוכב z. אורך הקטע הכחול r הוא ערכו המוחלט של z. הזווית θ היא הזווית בין הציר X לקטע הכחול.</figcaption></figure> <p>הגדרת העלאת מספר ממשי חיובי בחזקה ממשית התאפשרה לנו בזכות פונקציית האקספוננט. לפונקציית האקספוננט הכללה טבעית לכל מספר מרוכב. כיוון שזיהינו את האקספוננט הממשי עם הפונקציה <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ e^{x}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ e^{x}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92048c7dcca1097527e9189031b4cc9402115043" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.837ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \ e^{x}}"></span>, טבעי להמשיך במדיניות זו ולהגדיר חזקה מרוכבת של e בעזרת האקספוננט המרוכב. בצורה זו מתקבלת <a href="/wiki/%D7%A0%D7%95%D7%A1%D7%97%D7%AA_%D7%90%D7%95%D7%99%D7%9C%D7%A8_(%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%9E%D7%A8%D7%95%D7%9B%D7%91%D7%AA)" title="נוסחת אוילר (אנליזה מרוכבת)">נוסחת אוילר</a>: לכל x ממשי מתקיים, </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ e^{ix}=\cos x+i\sin x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ e^{ix}=\cos x+i\sin x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4580b5668247b5b1a5dcecdaef36b9cff1050ca" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:19.933ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ e^{ix}=\cos x+i\sin x}"></span></dd></dl> <p>כאשר <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \cos }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>cos</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \cos }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4103b6ce55bd046b069f855f1b59b0ee8ea78cd0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.079ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \ \cos }"></span> מציין <a href="/wiki/%D7%A7%D7%95%D7%A1%D7%99%D7%A0%D7%95%D7%A1" title="קוסינוס">קוסינוס</a>, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \sin }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>sin</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \sin }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/432346d9d62592195c8acac83480e6830ed1a7b9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.823ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ \sin }"></span> מציין <a href="/wiki/%D7%A1%D7%99%D7%A0%D7%95%D7%A1_(%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%92%D7%95%D7%A0%D7%95%D7%9E%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%94)" title="סינוס (טריגונומטריה)">סינוס</a>, ו-<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ i}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>i</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ i}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc8d2dfe9ddfc5489e5ce676d223cc41a9489763" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.383ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ i}"></span> מציין את <a href="/wiki/%D7%94%D7%99%D7%97%D7%99%D7%93%D7%94_%D7%94%D7%9E%D7%93%D7%95%D7%9E%D7%94" class="mw-redirect" title="היחידה המדומה">היחידה המדומה</a>. </p><p>למען הנוחות נהוג גם להשתמש בקיצור <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \operatorname {cis} \,x=\cos x+i\sin x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>cis</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \operatorname {cis} \,x=\cos x+i\sin x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a3568074d9f436df06210a402a375167d0cce9c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:22.196ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \ \operatorname {cis} \,x=\cos x+i\sin x}"></span>. נוסחת אוילר עם הקיצור היא: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ e^{ix}=\operatorname {cis} \,x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>cis</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ e^{ix}=\operatorname {cis} \,x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25c723a6e2595f54404fc10bea1712a39b80f779" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:11.202ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \ e^{ix}=\operatorname {cis} \,x}"></span></dd></dl> <p>נוסחה זו מגדירה חזקה של e ב<a href="/wiki/%D7%9E%D7%A1%D7%A4%D7%A8_%D7%9E%D7%93%D7%95%D7%9E%D7%94" title="מספר מדומה">מספר מדומה</a>. בעזרת חוקי החזקות ניתן להרחיב את ההגדרה לכל חזקה מרוכבת של e: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ e^{x+iy}=e^{x}e^{iy}=e^{x}(\cos y+i\sin y)=e^{x}\operatorname {cis} \,y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>y</mi> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mi>cis</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ e^{x+iy}=e^{x}e^{iy}=e^{x}(\cos y+i\sin y)=e^{x}\operatorname {cis} \,y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f9f037dbb01c1b8f572b62c82dc70bf9430daed" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:44.067ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \ e^{x+iy}=e^{x}e^{iy}=e^{x}(\cos y+i\sin y)=e^{x}\operatorname {cis} \,y}"></span></dd></dl> <p>מנוסחה זו נובעת ה<a href="/wiki/%D7%A7%D7%95%D7%90%D7%95%D7%A8%D7%93%D7%99%D7%A0%D7%98%D7%95%D7%AA_%D7%A7%D7%95%D7%98%D7%91%D7%99%D7%95%D7%AA" title="קואורדינטות קוטביות">הצגה הקוטבית</a> של מספרים מרוכבים: אם z הוא מספר מרוכב שב<a href="/wiki/%D7%94%D7%9E%D7%99%D7%A9%D7%95%D7%A8_%D7%94%D7%9E%D7%A8%D7%95%D7%9B%D7%91" title="המישור המרוכב">מישור המרוכב</a> <a href="/wiki/%D7%A2%D7%A8%D7%9A_%D7%9E%D7%95%D7%97%D7%9C%D7%98" title="ערך מוחלט">מרחקו מאפס</a> הוא r והזווית ב<a href="/wiki/%D7%A8%D7%93%D7%99%D7%90%D7%9F" title="רדיאן">רדיאנים</a> בין <a href="/wiki/%D7%94%D7%99%D7%A9%D7%A8_%D7%94%D7%9E%D7%9E%D7%A9%D7%99" title="הישר הממשי">הישר הממשי</a> (ציר ה-x) לישר המחבר בין המספר לאפס היא θ (<a href="/wiki/%D7%AA%D7%98%D7%90" title="תטא">תטא</a>), אז: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ z=re^{i\theta }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mi>r</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>θ</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ z=re^{i\theta }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e70faad036d8c814c0ee930975cf3593afc4a389" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.47ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \ z=re^{i\theta }}"></span>. הצגה נוחה זו מאפשרת חישוב מכפלות וחזקות שלמות של מספרים מרוכבים (למשל באמצעות <a href="/wiki/%D7%9E%D7%A9%D7%A4%D7%98_%D7%93%D7%94-%D7%9E%D7%95%D7%90%D7%91%D7%A8" class="mw-redirect" title="משפט דה-מואבר">משפט דה-מואבר</a>) ללא שימוש ב<a href="/wiki/%D7%94%D7%91%D7%99%D7%A0%D7%95%D7%9D_%D7%A9%D7%9C_%D7%A0%D7%99%D7%95%D7%98%D7%95%D7%9F" title="הבינום של ניוטון">בינום של ניוטון</a>. </p><p>מכאן הדרך להגדרת חזקה מרוכבת של מספר ממשי חיובי a פשוטה, ונעשית בצורה דומה להגדרת החזקה הממשית: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ a^{x+iy}=a^{x}a^{iy}=a^{x}{\left(e^{\ln(a)}\right)}^{iy}=a^{x}e^{iy\ln(a)}=a^{x}\operatorname {cis} \,(y\ln(a))}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>y</mi> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mi>cis</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ a^{x+iy}=a^{x}a^{iy}=a^{x}{\left(e^{\ln(a)}\right)}^{iy}=a^{x}e^{iy\ln(a)}=a^{x}\operatorname {cis} \,(y\ln(a))}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a80e60dd65ac3703685092a4d21898b470509f96" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:58.032ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \ a^{x+iy}=a^{x}a^{iy}=a^{x}{\left(e^{\ln(a)}\right)}^{iy}=a^{x}e^{iy\ln(a)}=a^{x}\operatorname {cis} \,(y\ln(a))}"></span></dd></dl> <p>כרצוי, הצבת חזקה ממשית בנוסחה (y=0) תתן את התוצאה הצפויה לחזקה ממשית. </p><p>באופן אנלוגי ניתן להגדיר חזקה של מספר ממשי כאשר המעריך הוא <a href="/wiki/%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%AA_%D7%94%D7%A7%D7%95%D7%95%D7%98%D7%A8%D7%A0%D7%99%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%9D_%D7%A9%D7%9C_%D7%94%D7%9E%D7%99%D7%9C%D7%98%D7%95%D7%9F" title="אלגברת הקווטרניונים של המילטון">קווטרניון</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="דוגמאות_6"><span id=".D7.93.D7.95.D7.92.D7.9E.D7.90.D7.95.D7.AA_6"></span>דוגמאות</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&action=edit&section=16" title="עריכת קוד המקור של הפרק: דוגמאות"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&veaction=edit&section=16" title="עריכת פסקה: "דוגמאות"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ e^{i\pi }={\text{cis }}\pi =-1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>π</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>cis </mtext> </mrow> <mi>π</mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ e^{i\pi }={\text{cis }}\pi =-1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b705e1db8e9225fb8acac4e1c66b69acc7f313dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:17.081ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ e^{i\pi }={\text{cis }}\pi =-1}"></span> (<a href="/wiki/%D7%96%D7%94%D7%95%D7%AA_%D7%90%D7%95%D7%99%D7%9C%D7%A8" title="זהות אוילר">זהות אוילר</a>)</li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ 2^{1+i}=2\operatorname {cis} \,(\ln(2))=1.538\ldots +i\cdot 1.277\ldots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>i</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>cis</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>1.538</mn> <mo>…</mo> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mo>⋅</mo> <mn>1.277</mn> <mo>…</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ 2^{1+i}=2\operatorname {cis} \,(\ln(2))=1.538\ldots +i\cdot 1.277\ldots }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f237bb810b5452b822de2eb4282bcdebeafeda38" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:44.229ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \ 2^{1+i}=2\operatorname {cis} \,(\ln(2))=1.538\ldots +i\cdot 1.277\ldots }"></span></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="בסיס_מרוכב_ומעריך_מרוכב"><span id=".D7.91.D7.A1.D7.99.D7.A1_.D7.9E.D7.A8.D7.95.D7.9B.D7.91_.D7.95.D7.9E.D7.A2.D7.A8.D7.99.D7.9A_.D7.9E.D7.A8.D7.95.D7.9B.D7.91"></span>בסיס מרוכב ומעריך מרוכב</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&action=edit&section=17" title="עריכת קוד המקור של הפרק: בסיס מרוכב ומעריך מרוכב"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&veaction=edit&section=17" title="עריכת פסקה: "בסיס מרוכב ומעריך מרוכב"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>מנקודת מבט שטחית נראה כי הנוסחה המגדירה חזקת מספר חיובי במספר מרוכב יאה לכל מקרה של מספר מרוכב בחזקת מספר מרוכב. אולם גישה זו נתקלת בבעיה מהותית. ההגדרה מסתמכת על קיומה של פונקציית הלוגריתם הטבעי ln גם במקרה המרוכב (שבמקרה המרוכב מסומנת log). אולם הגדרה אחידה ומוסכמת לפונקציה זו אינה קיימת. במקרה הממשי חיובי הפונקציה מוגדרת בקלות, כי לכל מספר חיובי y קיים x אחד ויחיד המקיים <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \exp(x)=e^{x}=y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>exp</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \exp(x)=e^{x}=y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ff6234428ce1d8c94d907a018463b802542ebe6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.268ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ \exp(x)=e^{x}=y}"></span>, ולכן ניתן להגדיר <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \log(y)=x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \log(y)=x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/769c085c76ebd5f9d1019d9cb4c6fc8fb6c049a4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.332ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ \log(y)=x}"></span>. כלומר הפונקציה <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ e^{x}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ e^{x}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92048c7dcca1097527e9189031b4cc9402115043" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.837ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \ e^{x}}"></span> היא <a href="/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%94_%D7%97%D7%93-%D7%97%D7%93-%D7%A2%D7%A8%D7%9B%D7%99%D7%AA_%D7%95%D7%A2%D7%9C" title="פונקציה חד-חד-ערכית ועל">חד-חד-ערכית ועל</a> הממשיים החיוביים ולכן גם <a href="/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%94_%D7%94%D7%A4%D7%99%D7%9B%D7%94" title="פונקציה הפיכה">הפיכה</a>. אך תכונה זו אינה נשמרת במספרים המרוכבים, וזאת משום ה<a href="/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%94_%D7%9E%D7%97%D7%96%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA" title="פונקציה מחזורית">מחזוריות</a> של הפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות (להן יש מחזור של <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ 2\pi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mn>2</mn> <mi>π</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ 2\pi }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/685e78ce3c69cf9cc2e1330f60f80e5beb6029c4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.075ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ 2\pi }"></span>). כתוצאה מכך האקספוננט המרוכב מחזורי בעצמו, עם מחזור של <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ 2i\pi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mn>2</mn> <mi>i</mi> <mi>π</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ 2i\pi }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f106a14453a540e3941de9a9bdf52ddfc4f4bdfd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.878ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ 2i\pi }"></span>: לכל k שלם, </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ e^{x+i2\pi k}=e^{x}\operatorname {cis} \,(2\pi k)=e^{x}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mi>cis</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ e^{x+i2\pi k}=e^{x}\operatorname {cis} \,(2\pi k)=e^{x}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5892b335e7185cf46b52009940f45742f08605e9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.896ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \ e^{x+i2\pi k}=e^{x}\operatorname {cis} \,(2\pi k)=e^{x}}"></span></dd></dl> <p>משמעות הדבר היא שלכל z מרוכב קיימים <a href="/wiki/%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A1%D7%95%D7%A3" title="אינסוף">אינסוף</a> מספרים מרוכבים x כך שמתקיים <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ e^{x}=z}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ e^{x}=z}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03ada4080f2412dba0d4cf34df90d68601e172ec" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.023ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \ e^{x}=z}"></span> (למעט המקרה z=0, אז לא קיים אפילו x יחיד המקיים זאת); ההפרש בין כל שני ערכים כאלה הוא כפולה שלמה של <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ 2\pi i}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mi>i</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ 2\pi i}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26725059b385523747df2a29a3d02ab4e3075b0f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.878ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ 2\pi i}"></span>. משום כך ניתן להגדיר את <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \log(z)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \log(z)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39d08fd2360d561061274d0e844c57a4a5bdca38" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.837ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ \log(z)}"></span> באינסוף דרכים שונות, כשלאף אחת מהן אין עדיפות. המסקנה היא שהלוגריתם הטבעי המרוכב הוא <a href="/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%94_%D7%A8%D7%91-%D7%A2%D7%A8%D7%9B%D7%99%D7%AA" title="פונקציה רב-ערכית">פונקציה רב-ערכית</a> ושבכל הגדרה חד-ערכית של הלוגריתם הטבעי המרוכב יש ממד שרירותי שישפיע על תוצאותיה של החזקה המרוכבת. גרוע מזה, אם משנים בהדרגה את הערך של z לאורך <a href="/wiki/%D7%9E%D7%A1%D7%99%D7%9C%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)" title="מסילה (מתמטיקה)">מסילה</a> המקיפה את הראשית במישור המרוכב כך שהשינוי ב-x רציף, אין חוזרים לאותו ערך. יש שתי גישות להתמודד עם קושי זה. </p><p>גישה אחת היא להתייחס לחזקה כפעולה שתוצאתה היא קבוצה של ערכים במקום ערך בודד. במקרה כזה התוצאה היא קבוצת כל הערכים שמתקבלים כתוצאת החזקה לכל בחירה אפשרית להגדרת הלוגריתם הטבעי המרוכב של המעריך. במקרה שהמעריך שלם, לכל אינסוף הערכים השונים של הלוגריתם של z כל תוצאות החזקה יתלכדו והתוצאה תהיה יחידה ושווה לערך המצופה מחזקה שלמה של מספר מרוכב. כאשר המעריך הוא מספר רציונלי <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ {\tfrac {n}{m}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mi>n</mi> <mi>m</mi> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ {\tfrac {n}{m}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ecd410b1b622d747d3451c52ac93679f13715e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.86ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \ {\tfrac {n}{m}}}"></span> (שבר מצומצם) אינסוף תוצאות יתלכדו ותתקבל <a href="/wiki/%D7%A7%D7%91%D7%95%D7%A6%D7%94_%D7%A1%D7%95%D7%A4%D7%99%D7%AA" title="קבוצה סופית">קבוצה סופית</a> של m ערכים, שהם הפתרונות ל<a href="/wiki/%D7%9E%D7%A9%D7%95%D7%95%D7%90%D7%94_%D7%A4%D7%95%D7%9C%D7%99%D7%A0%D7%95%D7%9E%D7%99%D7%AA" class="mw-redirect" title="משוואה פולינומית">משוואה הפולינומית</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ x^{m}=z^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ x^{m}=z^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e1d68949f9acd23714af462f1a7cdd881f6a3f3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.993ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \ x^{m}=z^{n}}"></span> (z הבסיס, x הנעלם). כאשר המעריך <a href="/wiki/%D7%9E%D7%A1%D7%A4%D7%A8_%D7%90%D7%99-%D7%A8%D7%A6%D7%99%D7%95%D7%A0%D7%9C%D7%99" title="מספר אי-רציונלי">אי-רציונלי</a> הקבוצה תמנה אינסוף ערכים. החסרון הוא שבגישה זו תוצאת החזקה אינה מספר, אלא קבוצה (לעיתים אינסופית) של מספרים. </p><p>גישה שנייה היא לבחור "<a href="/w/index.php?title=%D7%A2%D7%A0%D7%A3_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&action=edit&redlink=1" class="new" title="ענף (מתמטיקה) (הדף אינו קיים)">ענף</a>", קטע בו הלוגריתם הטבעי המרוכב יהיה חד-ערכי. הענף הסטנדרטי הוא המגבלה <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ {\mbox{Im}}\log(z)\in [0,2\pi )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext>Im</mtext> </mstyle> </mrow> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∈</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ {\mbox{Im}}\log(z)\in [0,2\pi )}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/148fc374ce9d9ece454f2f1df410792f9131ac0b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.695ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ {\mbox{Im}}\log(z)\in [0,2\pi )}"></span> (החלק ה<a href="/wiki/%D7%9E%D7%A1%D7%A4%D7%A8_%D7%9E%D7%93%D7%95%D7%9E%D7%94" title="מספר מדומה">מדומה</a> של הלוגריתם מוגבל לתחום המצוין). במקרה הזה מתקבל למשל כי <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ (-1)^{i}=e^{i\log(-1)}=e^{i\cdot i\pi }=e^{-\pi }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>⋅</mo> <mi>i</mi> <mi>π</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>π</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ (-1)^{i}=e^{i\log(-1)}=e^{i\cdot i\pi }=e^{-\pi }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b82df64c3b93f3177563efe9dba99ee327265bbe" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:30.593ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \ (-1)^{i}=e^{i\log(-1)}=e^{i\cdot i\pi }=e^{-\pi }}"></span>. לעומת זאת אם נבחר את הענף <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ {\mbox{Im}}\log(z)\in [-\pi ,\pi )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext>Im</mtext> </mstyle> </mrow> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∈</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mo>−</mo> <mi>π</mi> <mo>,</mo> <mi>π</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ {\mbox{Im}}\log(z)\in [-\pi ,\pi )}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d7f398594701c27722005be66a6c91afb4da19b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.511ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ {\mbox{Im}}\log(z)\in [-\pi ,\pi )}"></span> נקבל <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \log(-1)=-i\pi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mi>i</mi> <mi>π</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \log(-1)=-i\pi }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1f0c457ced9230bf4a03db51cdc5f157d37d0fe" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.76ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ \log(-1)=-i\pi }"></span> ולכן <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ (-1)^{i}=e^{\pi }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>π</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ (-1)^{i}=e^{\pi }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b82cff66cb5af618158d2fc0b6583a95f2ac588" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.516ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \ (-1)^{i}=e^{\pi }}"></span>. החסרון בגישה הוא שבחירת הענף שרירותית והחזקה מפסיקה להיות רציפה (בקצות הענף). </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="דוגמאות_7"><span id=".D7.93.D7.95.D7.92.D7.9E.D7.90.D7.95.D7.AA_7"></span>דוגמאות</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&action=edit&section=18" title="עריכת קוד המקור של הפרק: דוגמאות"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&veaction=edit&section=18" title="עריכת פסקה: "דוגמאות"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>נחשב את <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ (-1)^{\frac {1}{2}}={\sqrt {-1}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ (-1)^{\frac {1}{2}}={\sqrt {-1}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acc53ba170a298218b9a86ed12886c4b98fa4f15" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.101ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle \ (-1)^{\frac {1}{2}}={\sqrt {-1}}}"></span>: <ul><li>בגישת קבוצת הערכים: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ {\tfrac {1}{2}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ {\tfrac {1}{2}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a52162208160cfd23502bb618fc7ddb41b8d7dd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:2.239ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \ {\tfrac {1}{2}}}"></span> רציונלי ולכן קבוצת הערכים היא קבוצת פתרונות המשוואה <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ x^{2}=-1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ x^{2}=-1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f389d0857f0f017a1806fc4239191fc5f8d74e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:9.034ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ x^{2}=-1}"></span>, <a href="/wiki/%D7%9E%D7%A9%D7%95%D7%95%D7%90%D7%94_%D7%A8%D7%99%D7%91%D7%95%D7%A2%D7%99%D7%AA" class="mw-redirect" title="משוואה ריבועית">משוואה ריבועית</a> שפתרונותיה הם <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ i}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>i</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ i}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc8d2dfe9ddfc5489e5ce676d223cc41a9489763" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.383ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ i}"></span> ו-<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ -i}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mo>−</mo> <mi>i</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ -i}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2306aa0fe319f50c7221fd432c69cf11f8447149" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:4.223ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \ -i}"></span>.</li> <li>בגישת הענף: נבחר את הענף הסטנדרטי. במקרה הזה <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \log(-1)=i\pi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>i</mi> <mi>π</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \log(-1)=i\pi }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21dc490a14ca32de45e85aa0480235228ebb812d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.952ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ \log(-1)=i\pi }"></span> ונקבל: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ (-1)^{\frac {1}{2}}=e^{{\frac {1}{2}}\log(-1)}=e^{{\frac {\pi }{2}}i}=i}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>π</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>i</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ (-1)^{\frac {1}{2}}=e^{{\frac {1}{2}}\log(-1)}=e^{{\frac {\pi }{2}}i}=i}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79c3ef8498ffa3d2bbc6367e0329afe8526bfe16" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.366ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle \ (-1)^{\frac {1}{2}}=e^{{\frac {1}{2}}\log(-1)}=e^{{\frac {\pi }{2}}i}=i}"></span>.</li></ul></li> <li>נחשב את <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ i^{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>i</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ i^{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5de7814d311b0cacd02c1a5b670dcbf98e602df7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.183ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \ i^{i}}"></span>:<sup id="cite_ref-10" class="reference"><a href="#cite_note-10"><span class="cite-bracket">[</span>10<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> <ul><li>בגישת קבוצת הערכים: לכל k שלם, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ e^{{\frac {\pi }{2}}i-2i\pi k}=i}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>π</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>i</mi> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi>i</mi> <mi>π</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>i</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ e^{{\frac {\pi }{2}}i-2i\pi k}=i}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f90fbfc391481f2af794b17534a2448920e2f8a9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:12.432ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \ e^{{\frac {\pi }{2}}i-2i\pi k}=i}"></span> (המקדם השלילי של k נועד לשם הנוחות, כיוון ש-k פרמטר שלם התוצאה לא תושפע). לכן ערכי הלוגריתם של i הם מהצורה: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \log(i)={\frac {\pi }{2}}i-2i\pi k}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>i</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>π</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>i</mi> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi>i</mi> <mi>π</mi> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \log(i)={\frac {\pi }{2}}i-2i\pi k}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7180be1062bbb43d9498160860b83c72f57c52a0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:19.969ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle \ \log(i)={\frac {\pi }{2}}i-2i\pi k}"></span>. לכן: <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ i^{i}=e^{i\log(i)}=e^{-{\frac {\pi }{2}}+2\pi k}={\frac {e^{2\pi k}}{\sqrt {e^{\pi }}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>i</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>i</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>π</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <msqrt> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>π</mi> </mrow> </msup> </msqrt> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ i^{i}=e^{i\log(i)}=e^{-{\frac {\pi }{2}}+2\pi k}={\frac {e^{2\pi k}}{\sqrt {e^{\pi }}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5a57add93801273eb09530ca6ebbf2741bd39bc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:30.82ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle \ i^{i}=e^{i\log(i)}=e^{-{\frac {\pi }{2}}+2\pi k}={\frac {e^{2\pi k}}{\sqrt {e^{\pi }}}}}"></span>, לכל k שלם.</dd></dl></li> <li>בגישת הענף: נבחר את הענף הסטנדרטי. במקרה הזה <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \log(i)={\frac {\pi }{2}}i}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>i</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>π</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>i</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \log(i)={\frac {\pi }{2}}i}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce8832bd398280f660aadcc9548de8093840d8ba" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:12.62ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle \ \log(i)={\frac {\pi }{2}}i}"></span>. כלומר k=0, ונקבל: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ i^{i}={\frac {1}{\sqrt {e^{\pi }}}}=0.2078795\ldots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>i</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msqrt> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>π</mi> </mrow> </msup> </msqrt> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0.2078795</mn> <mo>…</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ i^{i}={\frac {1}{\sqrt {e^{\pi }}}}=0.2078795\ldots }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f51ba867eee758447ba9ba22eb3e6e969b468b22" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:26.466ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \ i^{i}={\frac {1}{\sqrt {e^{\pi }}}}=0.2078795\ldots }"></span>.</li></ul></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="מגדל_חזקות"><span id=".D7.9E.D7.92.D7.93.D7.9C_.D7.97.D7.96.D7.A7.D7.95.D7.AA"></span>מגדל חזקות</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&action=edit&section=19" title="עריכת קוד המקור של הפרק: מגדל חזקות"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&veaction=edit&section=19" title="עריכת פסקה: "מגדל חזקות"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>ביטוי מהצורה <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{1}^{{a_{2}}^{.^{.^{.{^{a_{n}}}}}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mo>.</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mo>.</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>.</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> </msup> </mrow> </msup> </mrow> </msup> </mrow> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{1}^{{a_{2}}^{.^{.^{.{^{a_{n}}}}}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1910f1434bbde4e65d2092eb95adbbb7cee14d5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:6.481ex; height:5.009ex;" alt="{\displaystyle a_{1}^{{a_{2}}^{.^{.^{.{^{a_{n}}}}}}}}"></span> (מעלים n מספרים אחד בחזקת השני) נקרא "מגדל חזקות"<sup id="cite_ref-11" class="reference"><a href="#cite_note-11"><span class="cite-bracket">[</span>11<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> (סדר החישוב הוא מהחזקה העליונה לתחתונה. כלומר, תחילה מחשבים את הביטוי <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {a_{n-1}}^{a_{n}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {a_{n-1}}^{a_{n}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05eec8cd122bf4684f019f4a9c27129cfb8d12aa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.616ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {a_{n-1}}^{a_{n}}}"></span>, לאחר מכן, מחשבים את הביטוי <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {a_{n-2}}^{({a_{n-1}}^{a_{n}})}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {a_{n-2}}^{({a_{n-1}}^{a_{n}})}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58316c25442cc510bcf48306ed57f665a7b89b81" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.405ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {a_{n-2}}^{({a_{n-1}}^{a_{n}})}}"></span>, וכן הלאה). כאשר איברי מגדל חזקות זהים כולם, כלומר מספר a מועלה בחזקת עצמו n פעמים (מספר טבעי) קוראים לפעולה <a href="/wiki/%D7%98%D7%98%D7%A8%D7%A6%D7%99%D7%94" title="טטרציה">טטרציה</a> (Tetration) ומסמנים אותה <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ ^{n}a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ ^{n}a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1444b49f240f3904afc478a071d3244fb7d1903a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.029ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \ ^{n}a}"></span>, או בסימון <a href="/wiki/%D7%94%D7%97%D7%A5_%D7%A9%D7%9C_%D7%A7%D7%A0%D7%95%D7%AA%27" class="mw-redirect" title="החץ של קנות'">החץ של קנות'</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ a\uparrow \uparrow n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">↑↑</mo> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ a\uparrow \uparrow n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b2a4de95b3b3ae19ee2f667ebd58b979e4c6790" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.82ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \ a\uparrow \uparrow n}"></span>.<sup id="cite_ref-12" class="reference"><a href="#cite_note-12"><span class="cite-bracket">[</span>12<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> טטרציה היא חזקה מקוצרת כפי שחזקה היא כפל מקוצר. לדוגמה: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ {^{4}2}=2^{2^{2^{2}}}=65,536}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </msup> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>65</mn> <mo>,</mo> <mn>536</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ {^{4}2}=2^{2^{2^{2}}}=65,536}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f0a329b2f91b1e89b24dce18cc8c9bad4914ad6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:19.689ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle \ {^{4}2}=2^{2^{2^{2}}}=65,536}"></span>. </p><p>כשם שניתן להגדיר <a href="/wiki/%D7%98%D7%95%D7%A8_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A1%D7%95%D7%A4%D7%99" class="mw-redirect" title="טור אינסופי">סכום אינסופי</a> ו<a href="/w/index.php?title=%D7%9E%D7%9B%D7%A4%D7%9C%D7%94_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A1%D7%95%D7%A4%D7%99%D7%AA&action=edit&redlink=1" class="new" title="מכפלה אינסופית (הדף אינו קיים)">מכפלה אינסופית</a>, ניתן להגדיר גם מגדל חזקות אינסופי. טטרציה אינסופית מוגדרת כ<a href="/wiki/%D7%92%D7%91%D7%95%D7%9C_%D7%A9%D7%9C_%D7%A1%D7%93%D7%A8%D7%94" title="גבול של סדרה">גבול</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ ^{\infty }a=\lim _{n\to \infty }{^{n}a}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </msup> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mi>a</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ ^{\infty }a=\lim _{n\to \infty }{^{n}a}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fae6a8c689696360ff2c68a820d8380a4667b17a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:13.892ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle \ ^{\infty }a=\lim _{n\to \infty }{^{n}a}}"></span>, כאשר הגבול קיים. נסמן את הגבול ב-x. מתקיים: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ x=a^{a^{a^{.^{.^{.}}}}}=a^{x}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mo>.</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mo>.</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>.</mo> </mrow> </msup> </mrow> </msup> </mrow> </msup> </mrow> </msup> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ x=a^{a^{a^{.^{.^{.}}}}}=a^{x}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fa3a73409fa3aca79e8019af4c91cd333f91320" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:15.225ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle \ x=a^{a^{a^{.^{.^{.}}}}}=a^{x}}"></span>. כלומר הגבול (אם הוא קיים) הוא פתרון של המשוואה <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ {\sqrt[{x}]{x}}=a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mroot> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </mroot> </mrow> <mo>=</mo> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ {\sqrt[{x}]{x}}=a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de1ef68bebb399ff0862c111a4ebfa14c0de00a9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:8.174ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \ {\sqrt[{x}]{x}}=a}"></span>. <a href="/wiki/%D7%90%D7%95%D7%99%D7%9C%D7%A8" class="mw-redirect" title="אוילר">אוילר</a> הוכיח כי הגבול מתכנס בתחום <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ {\frac {1}{e^{e}}}\leq a\leq {\sqrt[{e}]{e}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>e</mi> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>≤</mo> <mi>a</mi> <mo>≤</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mroot> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>e</mi> </mrow> </mroot> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ {\frac {1}{e^{e}}}\leq a\leq {\sqrt[{e}]{e}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/197466e74e4df3644ea72452722031bcdee28138" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:13.945ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \ {\frac {1}{e^{e}}}\leq a\leq {\sqrt[{e}]{e}}}"></span> (החסם העליון נובע מהשוויון <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \max[{\sqrt[{x}]{x}}]={\sqrt[{e}]{e}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mo movablelimits="true" form="prefix">max</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mroot> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </mroot> </mrow> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mroot> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>e</mi> </mrow> </mroot> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \max[{\sqrt[{x}]{x}}]={\sqrt[{e}]{e}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d79e48fad570b67bd1148de85316e5056986e719" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:15.971ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \ \max[{\sqrt[{x}]{x}}]={\sqrt[{e}]{e}}}"></span> ש<a href="#משפטים_ובעיות_קשורות">יצוין בהמשך</a>). </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="דוגמאות_8"><span id=".D7.93.D7.95.D7.92.D7.9E.D7.90.D7.95.D7.AA_8"></span>דוגמאות</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&action=edit&section=20" title="עריכת קוד המקור של הפרק: דוגמאות"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&veaction=edit&section=20" title="עריכת פסקה: "דוגמאות"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ ^{3}3=3^{3^{3}}=3^{27}=7,625,597,484,987}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mn>3</mn> <mo>=</mo> <msup> <mn>3</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mn>3</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mn>3</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>27</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>7</mn> <mo>,</mo> <mn>625</mn> <mo>,</mo> <mn>597</mn> <mo>,</mo> <mn>484</mn> <mo>,</mo> <mn>987</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ ^{3}3=3^{3^{3}}=3^{27}=7,625,597,484,987}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09943bd959b8b23459b4bdd0a6a0184c6a5cde93" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:37.427ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \ ^{3}3=3^{3^{3}}=3^{27}=7,625,597,484,987}"></span></li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ ^{\infty }{\sqrt {2}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ ^{\infty }{\sqrt {2}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c0268e32f173194830abb1677213ed7b219f4c2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.554ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \ ^{\infty }{\sqrt {2}}}"></span> הוא פתרון של המשוואה <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ {\sqrt[{x}]{x}}={\sqrt {2}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mroot> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </mroot> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ {\sqrt[{x}]{x}}={\sqrt {2}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e505bce756b9cd9185309218b95ea03b013e5b1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:10.043ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \ {\sqrt[{x}]{x}}={\sqrt {2}}}"></span>, כלומר 2 או 4. במקרה הזה: <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ ^{\infty }{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{^{{\sqrt {2}}^{.^{.^{.}}}}}}=2}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mo>.</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mo>.</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>.</mo> </mrow> </msup> </mrow> </msup> </mrow> </msup> </mrow> </msup> </mrow> </msup> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ ^{\infty }{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{^{{\sqrt {2}}^{.^{.^{.}}}}}}=2}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dec9c0b9efdf47610d12f0ae16c2a5d4fdc97127" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:22.025ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle \ ^{\infty }{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{^{{\sqrt {2}}^{.^{.^{.}}}}}}=2}"></span></dd></dl></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="תכונות_אלגבריות"><span id=".D7.AA.D7.9B.D7.95.D7.A0.D7.95.D7.AA_.D7.90.D7.9C.D7.92.D7.91.D7.A8.D7.99.D7.95.D7.AA"></span>תכונות אלגבריות</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&action=edit&section=21" title="עריכת קוד המקור של הפרק: תכונות אלגבריות"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&veaction=edit&section=21" title="עריכת פסקה: "תכונות אלגבריות"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>בניגוד ל<a href="/wiki/%D7%97%D7%99%D7%91%D7%95%D7%A8" title="חיבור">חיבור</a> ו<a href="/wiki/%D7%9B%D7%A4%D7%9C" title="כפל">כפל</a>, המוגדרים לכל זוג ערכים, החזקה אינה מוגדרת אפילו בין כל שני מספרים ממשיים. מלבד זאת, לחזקה אין את רוב התכונות הבסיסיות השימושיות האופייניות ל<a href="/wiki/%D7%A4%D7%A2%D7%95%D7%9C%D7%94_%D7%91%D7%99%D7%A0%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%AA" title="פעולה בינארית">פעולות בינאריות</a> מוכרות. לכן חזקה אינה הבסיס לאף <a href="/wiki/%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99" title="מבנה אלגברי">מבנה אלגברי</a> טיפוסי. </p> <ul><li>חזקה אינה <a href="/wiki/%D7%A4%D7%A2%D7%95%D7%9C%D7%94_%D7%90%D7%A1%D7%95%D7%A6%D7%99%D7%90%D7%98%D7%99%D7%91%D7%99%D7%AA" title="פעולה אסוציאטיבית">קיבוצית</a>: לא תמיד <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ a^{(b^{c})}={(a^{b})}^{c}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>c</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>c</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ a^{(b^{c})}={(a^{b})}^{c}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fabf4e7bbe21fbfcbc254f64a4ecfc898b0d7ffd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.789ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \ a^{(b^{c})}={(a^{b})}^{c}}"></span>. אפילו הדרישה החלשה יותר <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ a^{(a^{a})}={(a^{a})}^{a}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ a^{(a^{a})}={(a^{a})}^{a}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1dd228e45ba0b1291d3c7c8a849a69f19157c2c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.403ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \ a^{(a^{a})}={(a^{a})}^{a}}"></span> אינה מתקיימת (למשל <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ 3^{(3^{3})}=3^{27}\neq 27^{3}={(3^{3})}^{3}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mn>3</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mn>3</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mn>3</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>27</mn> </mrow> </msup> <mo>≠</mo> <msup> <mn>27</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mn>3</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ 3^{(3^{3})}=3^{27}\neq 27^{3}={(3^{3})}^{3}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c817676013b29909ddf4bd140a9713d1245b9e87" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.702ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle \ 3^{(3^{3})}=3^{27}\neq 27^{3}={(3^{3})}^{3}}"></span>). מקובל כי כאשר לא מוסיפים <a href="/wiki/%D7%A1%D7%95%D7%92%D7%A8%D7%99%D7%99%D7%9D" title="סוגריים">סוגריים</a> מבצעים קודם את החזקה העליונה: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ a^{b^{c}}=a^{(b^{c})}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>c</mi> </mrow> </msup> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>c</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ a^{b^{c}}=a^{(b^{c})}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c06ecceda35335cc7cddbb20148c7b3c4f3334ed" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.778ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ a^{b^{c}}=a^{(b^{c})}}"></span>.</li> <li>חזקה אינה <a href="/wiki/%D7%97%D7%99%D7%9C%D7%95%D7%A4%D7%99%D7%95%D7%AA" class="mw-redirect" title="חילופיות">חילופית</a>: בדרך כלל <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ a^{b}\neq b^{a}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msup> <mo>≠</mo> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ a^{b}\neq b^{a}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb88f4df2ce8bc7b46fb3987a5dec094fc24bfb4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.946ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \ a^{b}\neq b^{a}}"></span> (למשל <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ 1^{2}=1\neq 2=2^{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>≠</mo> <mn>2</mn> <mo>=</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ 1^{2}=1\neq 2=2^{1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f41b4e0b4a7023dee722249114d2667cd724e87" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.634ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \ 1^{2}=1\neq 2=2^{1}}"></span>).</li> <li>לחזקה אין <a href="/wiki/%D7%90%D7%99%D7%91%D7%A8_%D7%99%D7%97%D7%99%D7%93%D7%94" title="איבר יחידה">איבר יחידה</a>, אולם 1 הוא איבר יחידה ימני (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ x^{1}=x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ x^{1}=x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2944d68ba199cb479b876b59c1b80c3b45e45efa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.393ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \ x^{1}=x}"></span>) ואין איבר יחידה שמאלי.</li> <li>כלל הצמצום הימני מתקיים לבסיסים אי-שליליים: אם a,b אי-שליליים, c שונה מ-0 ומתקיים <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ a^{c}=b^{c}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>c</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>c</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ a^{c}=b^{c}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec69659cb9b890668b94f269c0cd141398e871b4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.795ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \ a^{c}=b^{c}}"></span> אז <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ a=b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ a=b}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67995b326fdcb95a0728e408b5efc4689a74eaf2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.906ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ a=b}"></span> (מעלים את שני האגפים בחזקת ההופכי של c). הכלל אינו מתקיים כשאין הגבלת <a href="/wiki/%D7%A1%D7%99%D7%9E%D7%9F_(%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)" class="mw-redirect" title="סימן (אריתמטיקה)">סימן</a> על הבסיס: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ (-1)^{2}=1^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ (-1)^{2}=1^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c84caba71c1b77874e45ddab8c7a4d475036ada" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.73ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \ (-1)^{2}=1^{2}}"></span>.</li> <li>כלל הצמצום השמאלי מתקיים (במספרים ממשיים, כאשר החזקה מוגדרת) לכל בסיס שונה מ-<span dir="ltr">-1,0,1</span>: אם <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ c^{a}=c^{b}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ c^{a}=c^{b}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/612bf48f64912d8ac723620ba6178a09cdc351e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.732ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \ c^{a}=c^{b}}"></span> אז <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ a=b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ a=b}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67995b326fdcb95a0728e408b5efc4689a74eaf2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.906ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ a=b}"></span>.</li> <li>חזקה <a href="/wiki/%D7%97%D7%95%D7%A7_%D7%94%D7%A4%D7%99%D7%9C%D7%95%D7%92" title="חוק הפילוג">דיסטריבוטיבית</a> משמאל מעל כפל לפי חוקי חזקות. היא אינה דיסטריבוטיבית מימין מעל כפל.</li> <li>תכונת הספיגה: 0 ו-1 סופגים ערכים משמאל: תמיד מתקיים <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ 1^{a}=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ 1^{a}=1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cdf53e83aad4500af8014b6c889452df77a2c85" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.106ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \ 1^{a}=1}"></span> ותמיד מתקיים <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ 0^{a}=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mn>0</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ 0^{a}=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e43dff003e113fb61bebfc05b6b699a38167f3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.106ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \ 0^{a}=0}"></span> (כאשר הביטוי מוגדר, ולמעט אפס בחזקת אפס).</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="הכללות"><span id=".D7.94.D7.9B.D7.9C.D7.9C.D7.95.D7.AA"></span>הכללות</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&action=edit&section=22" title="עריכת קוד המקור של הפרק: הכללות"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&veaction=edit&section=22" title="עריכת פסקה: "הכללות"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="חשבון_אינפיניטסימלי"><span id=".D7.97.D7.A9.D7.91.D7.95.D7.9F_.D7.90.D7.99.D7.A0.D7.A4.D7.99.D7.A0.D7.99.D7.98.D7.A1.D7.99.D7.9E.D7.9C.D7.99"></span>חשבון אינפיניטסימלי</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&action=edit&section=23" title="עריכת קוד המקור של הפרק: חשבון אינפיניטסימלי"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&veaction=edit&section=23" title="עריכת פסקה: "חשבון אינפיניטסימלי"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>חזקה בין סדרות וחזקה בין פונקציות ממשיות מוגדרת בקלות בעזרת החזקה בין מספרים ממשיים. לכל סדרה אי שלילית <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>{</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>}</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e50a27cb43c2353d0e818fe0854a765cbcc9d6cc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.773ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}"></span> וסדרה <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left\{b_{n}\right\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>{</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>}</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left\{b_{n}\right\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a78a3ad197c1189080697c45589df8a04980396f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.541ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \left\{b_{n}\right\}}"></span> (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ b_{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ b_{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab1d45c3b3e5421b161665bb8d8d5841ef310981" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.797ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \ b_{n}}"></span> חיובי כאשר <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ a_{n}=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ a_{n}=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0648647aad2599f5fef584f2da52b60d2c604d10" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.29ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \ a_{n}=0}"></span>) קיימת סדרה <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{a_{n}^{b_{n}}\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <msubsup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msubsup> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{a_{n}^{b_{n}}\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5bbd95f2aa6c9c65d1de7355e9ddf7e3480e2a6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.457ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \{a_{n}^{b_{n}}\}}"></span>. חזקה שומרת על התכנסות: אם <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ a_{n}\to a,b_{n}\to b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ a_{n}\to a,b_{n}\to b}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e508142e8de42b4eb65aa8fee65443b738fefb6a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.734ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \ a_{n}\to a,b_{n}\to b}"></span> אז מתקיים <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ a_{n}^{b_{n}}\to a^{b}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msubsup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msubsup> <mo stretchy="false">→</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ a_{n}^{b_{n}}\to a^{b}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7aa929ea435e3dfbcd7edfd1860961c3209d365" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.495ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \ a_{n}^{b_{n}}\to a^{b}}"></span>. </p><p>חזקה בין פונקציות ממשיות מוגדרת <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ f^{g}(x)=f(x)^{g(x)}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>g</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ f^{g}(x)=f(x)^{g(x)}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b5e40f526eb415949fd7f5c87ee4980a6dfea5b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.819ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \ f^{g}(x)=f(x)^{g(x)}}"></span> לכל x בו שתי הפונקציות מוגדרות והבסיס אי-שלילי (במקרה והבסיס הוא אפס, על המעריך להיות חיובי). חזקה בין פונקציות שומרת על רציפות של f ו-g בנקודה, אבל לא בהכרח שומרת על <a href="/wiki/%D7%A8%D7%A6%D7%99%D7%A4%D7%95%D7%AA_%D7%91%D7%9E%D7%99%D7%93%D7%94_%D7%A9%D7%95%D7%95%D7%94" class="mw-redirect" title="רציפות במידה שווה">רציפות במידה שווה</a> ב<a href="/wiki/%D7%A7%D7%98%D7%A2" class="mw-redirect" title="קטע">קטע</a>. לדוגמה <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ f(x)=x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ f(x)=x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6f9e4d06e0aafb65717fd152275f797af02aad1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.426ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ f(x)=x}"></span> ו-<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ g(x)=2}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ g(x)=2}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e33043e8f649a759b63e72cc591861efe633262c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.097ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ g(x)=2}"></span> הן רציפות במידה שווה בכל הישר ואילו <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ f^{g}(x)=x^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>g</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ f^{g}(x)=x^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d18832c1a1b9dd6ad0b55178f749c0f82fc2da6f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.544ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \ f^{g}(x)=x^{2}}"></span> אינה כזו. אם פונקציית הבסיס ופונקציית המעריך <a href="/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%94_%D7%92%D7%96%D7%99%D7%A8%D7%94" title="פונקציה גזירה">גזירות</a>, אז גם תוצאת החזקה גזירה ומתקיים (לפי <a href="/wiki/%D7%9B%D7%9C%D7%9C_%D7%94%D7%A9%D7%A8%D7%A9%D7%A8%D7%AA" title="כלל השרשרת">כלל השרשרת</a> ו<a href="/wiki/%D7%9B%D7%9C%D7%9C_%D7%9C%D7%99%D7%99%D7%91%D7%A0%D7%99%D7%A5" class="mw-redirect" title="כלל לייבניץ">כלל לייבניץ</a>): </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (f^{g})'=\left(e^{g\ln f}\right)'=f^{g}\left({f'g \over f}+g'\ln f\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>g</mi> </mrow> </msup> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>′</mo> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>g</mi> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mi>f</mi> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>′</mo> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>g</mi> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>f</mi> <mo>′</mo> </msup> <mi>g</mi> </mrow> <mi>f</mi> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <msup> <mi>g</mi> <mo>′</mo> </msup> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mi>f</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (f^{g})'=\left(e^{g\ln f}\right)'=f^{g}\left({f'g \over f}+g'\ln f\right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56562640919954f9104fdb12e40310f59d70c8fb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:37.745ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle (f^{g})'=\left(e^{g\ln f}\right)'=f^{g}\left({f'g \over f}+g'\ln f\right)}"></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="תורת_הקבוצות"><span id=".D7.AA.D7.95.D7.A8.D7.AA_.D7.94.D7.A7.D7.91.D7.95.D7.A6.D7.95.D7.AA"></span>תורת הקבוצות</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&action=edit&section=24" title="עריכת קוד המקור של הפרק: תורת הקבוצות"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&veaction=edit&section=24" title="עריכת פסקה: "תורת הקבוצות"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="קבוצות_ועוצמות"><span id=".D7.A7.D7.91.D7.95.D7.A6.D7.95.D7.AA_.D7.95.D7.A2.D7.95.D7.A6.D7.9E.D7.95.D7.AA"></span>קבוצות ועוצמות</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&action=edit&section=25" title="עריכת קוד המקור של הפרק: קבוצות ועוצמות"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&veaction=edit&section=25" title="עריכת פסקה: "קבוצות ועוצמות"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>ב<a href="/wiki/%D7%AA%D7%95%D7%A8%D7%AA_%D7%94%D7%A7%D7%91%D7%95%D7%A6%D7%95%D7%AA" title="תורת הקבוצות">תורת הקבוצות</a> ה<a href="/wiki/%D7%A7%D7%91%D7%95%D7%A6%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)" title="קבוצה (מתמטיקה)">קבוצה</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ A^{B}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>B</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ A^{B}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/847e0daf305b15ea469659a512a7ece49797b365" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.803ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \ A^{B}}"></span> מוגדרת כקבוצת כל ה<a href="/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%94" title="פונקציה">פונקציות</a> מהקבוצה B אל הקבוצה A. בהתאם, אם <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ |A|}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ |A|}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4d622738e06e1e11cc712631e70385e6ee1e007" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.617ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ |A|}"></span> ו-<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ |B|}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>B</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ |B|}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4c9b23b31ae807afc2ba23725cec30e533c8da9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.638ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ |B|}"></span> הן <a href="/wiki/%D7%A2%D7%95%D7%A6%D7%9E%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)" title="עוצמה (מתמטיקה)">עוצמות</a>, אז מגדירים: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ |A|^{|B|}=\left|A^{B}\right|}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>A</mi> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>B</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow> <mo>|</mo> <msup> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>B</mi> </mrow> </msup> <mo>|</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ |A|^{|B|}=\left|A^{B}\right|}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd375f0b2760d0cbe2e66f4cc60c4af01811c2b1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:13.627ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle \ |A|^{|B|}=\left|A^{B}\right|}"></span>. תוצאת פעולת החזקה בין שתי עוצמות אינה תלויה בקבוצות הנציגות A ו-B שנבחרו לשם הצגת העוצמה. אם נבחן את הפעולה ביחס לעוצמות סופיות נקבל כי חזקה בין עוצמות מתלכדת עם חזקה בין מספרים טבעיים (כולל אפס). התלכדות זו מבטאת תוצאה <a href="/wiki/%D7%A7%D7%95%D7%9E%D7%91%D7%99%D7%A0%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%A7%D7%94" title="קומבינטוריקה">קומבינטורית</a> חשובה: לכל שני מספרים טבעיים n, m מספר הסדרות עם n איברים המורכבות ממספרים בין 1 ל-m (כולל הקצוות וחזרות מותרות) הוא <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ m^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ m^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/114499cb322b4f16dea984aaa931fe26e8f7d6ee" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.84ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \ m^{n}}"></span> (ובשפת הקבוצות: מספר הפונקציות מקבוצה מעוצמה n לקבוצה מעוצמה m הוא m<sup>n</sup>). למשל מספר הקודים בני שלוש ספרות המורכבים מהספרות 1–5 הוא <span dir="ltr">5<sup>3</sup>=125</span>. הגדרה זו מכסה גם את המקרה <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ 0^{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mn>0</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ 0^{0}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/754129fa5317c0a7c7a03d8a0a951efacf49814f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.797ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \ 0^{0}}"></span>. לפיה תוצאת הפעולה שווה למספר הפונקציות מ<a href="/wiki/%D7%94%D7%A7%D7%91%D7%95%D7%A6%D7%94_%D7%94%D7%A8%D7%99%D7%A7%D7%94" title="הקבוצה הריקה">הקבוצה הריקה</a> לעצמה. יש בדיוק פונקציה אחת כזאת (<a href="/wiki/%D7%94%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%94_%D7%94%D7%A8%D7%99%D7%A7%D7%94" title="הפונקציה הריקה">הפונקציה הריקה</a>), ולכן התוצאה היא 1. </p><p>הגדרת החזקה בין עוצמות מאפשרת להתייחס גם לחזקות בין גדלים <a href="/wiki/%D7%A7%D7%91%D7%95%D7%A6%D7%94_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A1%D7%95%D7%A4%D7%99%D7%AA" title="קבוצה אינסופית">אינסופיים</a>. לפי <a href="/wiki/%D7%9E%D7%A9%D7%A4%D7%98_%D7%A7%D7%A0%D7%98%D7%95%D7%A8_(%D7%AA%D7%95%D7%A8%D7%AA_%D7%94%D7%A7%D7%91%D7%95%D7%A6%D7%95%D7%AA)" class="mw-redirect" title="משפט קנטור (תורת הקבוצות)">משפט קנטור</a> לכל עוצמה <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ |A|}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ |A|}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4d622738e06e1e11cc712631e70385e6ee1e007" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.617ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ |A|}"></span> מתקיים <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ |A|<2^{|A|}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo><</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ |A|<2^{|A|}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bef01345afb84d3a64383083eb0670cce165a007" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.258ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \ |A|<2^{|A|}}"></span> (הקבוצה <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ {\{0,1\}}^{A}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ {\{0,1\}}^{A}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dcd62718f4251855a893d693d598b18b9e68b26" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.729ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \ {\{0,1\}}^{A}}"></span>, שהיא קבוצת כל ה<a href="/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%94_%D7%9E%D7%A6%D7%99%D7%99%D7%A0%D7%AA" title="פונקציה מציינת">פונקציות המציינות</a> של A, שקולה ל<a href="/wiki/%D7%A7%D7%91%D7%95%D7%A6%D7%AA_%D7%94%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94" title="קבוצת החזקה">קבוצת החזקה</a> של A). זוהי תוצאה <a href="/wiki/%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%95%D7%95%D7%99%D7%90%D7%9C%D7%99_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)" title="טריוויאלי (מתמטיקה)">טריוויאלית</a> לחזקות סופיות, אולם היא מבחינת חידוש מהפכני לחזקות אינסופיות, ומשמעותה שלכל עוצמה אינסופית יש עוצמה אינסופית גדולה ממנה. בפרט, ניתן להראות כי <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ 2^{\aleph _{0}}=\aleph }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi mathvariant="normal">ℵ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">ℵ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ 2^{\aleph _{0}}=\aleph }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c884e96ddec339232523fcc4f2d9be7cfb285f6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.33ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \ 2^{\aleph _{0}}=\aleph }"></span> (2 בחזקת <a href="/wiki/%D7%90%D7%9C%D7%A3_%D7%90%D7%A4%D7%A1" title="אלף אפס">אָלֶף אֶפֶס</a> שווה ל<a href="/wiki/%D7%A2%D7%95%D7%A6%D7%9E%D7%AA_%D7%94%D7%A8%D7%A6%D7%A3" title="עוצמת הרצף">עוצמת הרצף</a>). </p><p>חוקי חזקות תקפים גם לחזקות של עוצמות, זאת מלבד החוקים המערבים חילוק, כיוון שפעולה זו אינה מוגדרת לעוצמות. כפל עוצמות מוגדר <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ |A|\cdot |B|=|A\times B|}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>B</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>A</mi> <mo>×</mo> <mi>B</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ |A|\cdot |B|=|A\times B|}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/042011436fc1b400e5a9f45aec065751092291a5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.094ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ |A|\cdot |B|=|A\times B|}"></span> (הכפל באגף הימני הוא <a href="/wiki/%D7%9E%D7%9B%D7%A4%D7%9C%D7%94_%D7%A7%D7%A8%D7%98%D7%96%D7%99%D7%AA" title="מכפלה קרטזית">מכפלה קרטזית</a>). כיוון שהקבוצה <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ A^{\{1,2,\ldots ,n\}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mi>n</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ A^{\{1,2,\ldots ,n\}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f1a36d7b5f1d17bf1f43929f6cc50996089994f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.128ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ A^{\{1,2,\ldots ,n\}}}"></span> (הפונקציות מקבוצת המספרים מ-1 ל-n ל-A) שקולה לקבוצה <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \prod _{k=1}^{n}A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <munderover> <mo>∏</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \prod _{k=1}^{n}A}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/105cdbee5d388dc7709213315129013a688c1ba1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:6.067ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \ \prod _{k=1}^{n}A}"></span> (המכפלה הקרטזית של A עם עצמה n פעמים), מתקיים כי חזקת עוצמות היא כפל עוצמות מקוצר, בהתאם לתכונה המוכרת של חזקה. לכן מקובל הסימון <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ A^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ A^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3af524ac05e4eb940648f23b8f4936e05c241cd0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.542ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \ A^{n}}"></span> לסימון המכפלה הקרטזית של A בעצמה n פעמים – היא קבוצת ה-<a href="/wiki/N-%D7%99%D7%94_%D7%A1%D7%93%D7%95%D7%A8%D7%94" title="N-יה סדורה">n-יות הסדורות</a> של איברי A (לדוגמה <a href="/wiki/%D7%9E%D7%A8%D7%97%D7%91_%D7%90%D7%95%D7%A7%D7%9C%D7%99%D7%93%D7%99" title="מרחב אוקלידי">המרחב האוקלידי</a> ה-n <a href="/wiki/%D7%9E%D7%9E%D7%93_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)" title="ממד (מתמטיקה)">ממדי</a> שמסומן <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}"></span> מורכב ממכפלה של n עותקים של <a href="/wiki/%D7%94%D7%99%D7%A9%D7%A8_%D7%94%D7%9E%D7%9E%D7%A9%D7%99" title="הישר הממשי">הישר הממשי</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }"></span>). </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="סודרים"><span id=".D7.A1.D7.95.D7.93.D7.A8.D7.99.D7.9D"></span>סודרים</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&action=edit&section=26" title="עריכת קוד המקור של הפרק: סודרים"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&veaction=edit&section=26" title="עריכת פסקה: "סודרים"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>ניסיון להגדיר חזקה בין <a href="/wiki/%D7%9E%D7%A1%D7%A4%D7%A8_%D7%A1%D7%95%D7%93%D7%A8" title="מספר סודר">מספרים סודרים</a> באופן אנלוגי לחזקה בין עוצמות נכשל בשל קיומם של סודרים רבים מאותה עוצמה. עם זאת, ניתן להגדיר חזקה בין סודרים על ידי הכללת החזקה בין מספרים טבעיים. ראשית מגדירים חיבור וכפל סודרים בדומה להגדרתם ב<a href="/wiki/%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%9B%D7%AA_%D7%A4%D7%90%D7%A0%D7%95" title="מערכת פאנו">מערכת פאנו</a> ובהתבסס על ה<a href="/wiki/%D7%A1%D7%93%D7%A8_%D7%98%D7%95%D7%91" title="סדר טוב">סדר הטוב</a> המוגדר בין הסודרים על ידי <a href="/wiki/%D7%AA%D7%AA-%D7%A7%D7%91%D7%95%D7%A6%D7%94" title="תת-קבוצה">הכלה</a>. חיבור בסודר עוקב מוגדר בדיוק כמו במספרים טבעיים ובנוסף מגדירים <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \alpha +\beta =\sup\{\alpha +\gamma |\gamma <\beta \}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>α</mi> <mo>+</mo> <mi>β</mi> <mo>=</mo> <mo movablelimits="true" form="prefix">sup</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>α</mi> <mo>+</mo> <mi>γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>γ</mi> <mo><</mo> <mi>β</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \alpha +\beta =\sup\{\alpha +\gamma |\gamma <\beta \}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/195eb3de9c720430a3825eb8bd17ccae9d9825cb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.095ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ \alpha +\beta =\sup\{\alpha +\gamma |\gamma <\beta \}}"></span> המטפל בסודר גבולי (<a href="/wiki/%D7%A1%D7%95%D7%A4%D7%A8%D7%9E%D7%95%D7%9D" class="mw-redirect" title="סופרמום">סופרמום</a> של קבוצת סודרים <a href="/wiki/%D7%A7%D7%91%D7%95%D7%A6%D7%94_%D7%97%D7%A1%D7%95%D7%9E%D7%94" title="קבוצה חסומה">חסומה</a> תמיד קיים כי בשל הסדר הטוב תמיד ישנו סודר מינימלי מבין כל ה<a href="/wiki/%D7%97%D7%A1%D7%9D_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)" title="חסם (מתמטיקה)">חסמים</a>). כפל מוגדר כשם שהוא מוגדר בטבעיים בתוספת <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \alpha \cdot \beta =\sup\{\alpha \cdot \gamma |\gamma <\beta \}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>α</mi> <mo>⋅</mo> <mi>β</mi> <mo>=</mo> <mo movablelimits="true" form="prefix">sup</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>α</mi> <mo>⋅</mo> <mi>γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>γ</mi> <mo><</mo> <mi>β</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \alpha \cdot \beta =\sup\{\alpha \cdot \gamma |\gamma <\beta \}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/beea156d8e024ad7817df0d95d6f67b7f858de46" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.773ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ \alpha \cdot \beta =\sup\{\alpha \cdot \gamma |\gamma <\beta \}}"></span> (בניגוד לאינטואציה, חיבור וכפל סודרים אינם חילופיים). באופן דומה, חזקה בין סודרים מוגדרת באופן <a href="/wiki/%D7%94%D7%92%D7%93%D7%A8%D7%94_%D7%A8%D7%A7%D7%95%D7%A8%D7%A1%D7%99%D7%91%D7%99%D7%AA" title="הגדרה רקורסיבית">רקורסיבי</a> על פי שלוש <a href="/wiki/%D7%90%D7%A7%D7%A1%D7%99%D7%95%D7%9E%D7%94" title="אקסיומה">אקסיומות</a>: </p> <ul><li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \alpha ^{0}=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \alpha ^{0}=1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19c36e89663a9f654804a62a464e52ff4c18327d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.383ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \ \alpha ^{0}=1}"></span></li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \alpha ^{\beta +1}=\alpha ^{\beta }\cdot \alpha }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>β</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>β</mi> </mrow> </msup> <mo>⋅</mo> <mi>α</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \alpha ^{\beta +1}=\alpha ^{\beta }\cdot \alpha }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/592489e69447469f54f32a12d71d1e241598881f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:14.27ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \ \alpha ^{\beta +1}=\alpha ^{\beta }\cdot \alpha }"></span></li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \alpha ^{\beta }=\sup\{\alpha ^{\gamma }|\gamma <\beta \}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>β</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo movablelimits="true" form="prefix">sup</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <msup> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>γ</mi> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>γ</mi> <mo><</mo> <mi>β</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \alpha ^{\beta }=\sup\{\alpha ^{\gamma }|\gamma <\beta \}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44e84569b85383115625c9d0b07460824bcc884a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.119ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \ \alpha ^{\beta }=\sup\{\alpha ^{\gamma }|\gamma <\beta \}}"></span></li></ul> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \alpha ^{\beta }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>β</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \alpha ^{\beta }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d39a00c002c03049fd48ca3e0bf388cc033a9b1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.242ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \ \alpha ^{\beta }}"></span> <a href="/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%94_%D7%A9%D7%95%D7%9E%D7%A8%D7%AA_%D7%A1%D7%93%D7%A8" title="פונקציה שומרת סדר">איזומורפי</a> לקבוצת הפונקציות <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \beta \to \alpha }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>β</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>α</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \beta \to \alpha }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66967f30fddc91dc0cbafabf025af796ca23c41f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.014ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \ \beta \to \alpha }"></span> שיש להן <a href="/wiki/%D7%AA%D7%95%D7%9E%D7%9A_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)" title="תומך (מתמטיקה)">תומך</a> סופי, אשר מוגדר עליהן ה<a href="/wiki/%D7%A1%D7%93%D7%A8_%D7%9C%D7%A7%D7%A1%D7%99%D7%A7%D7%95%D7%92%D7%A8%D7%A4%D7%99" class="mw-redirect" title="סדר לקסיקוגרפי">סדר הלקסיקוגרפי</a> כסדר טוב. </p><p>הכלל <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \alpha ^{\beta }\cdot \alpha ^{\gamma }=\alpha ^{\beta +\gamma }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>β</mi> </mrow> </msup> <mo>⋅</mo> <msup> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>γ</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>β</mi> <mo>+</mo> <mi>γ</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \alpha ^{\beta }\cdot \alpha ^{\gamma }=\alpha ^{\beta +\gamma }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f449c2ad572eb7018f3c15a8aa42518ecee6eace" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:15.465ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \ \alpha ^{\beta }\cdot \alpha ^{\gamma }=\alpha ^{\beta +\gamma }}"></span> והכלל <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ (\alpha ^{\beta })^{\gamma }=\alpha ^{\beta \cdot \gamma }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>β</mi> </mrow> </msup> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>γ</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>β</mi> <mo>⋅</mo> <mi>γ</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ (\alpha ^{\beta })^{\gamma }=\alpha ^{\beta \cdot \gamma }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed8ce6f5c822264cbae4950b71f14c6bf9518f08" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.287ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \ (\alpha ^{\beta })^{\gamma }=\alpha ^{\beta \cdot \gamma }}"></span> תקפים גם לחזקת סודרים, אך הכלל <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ (\alpha \cdot \beta )^{\gamma }=\alpha ^{\gamma }\cdot \beta ^{\gamma }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>α</mi> <mo>⋅</mo> <mi>β</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>γ</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>γ</mi> </mrow> </msup> <mo>⋅</mo> <msup> <mi>β</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>γ</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ (\alpha \cdot \beta )^{\gamma }=\alpha ^{\gamma }\cdot \beta ^{\gamma }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aade9f418f85060409af8a10a4b839a771cfdb05" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.865ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ (\alpha \cdot \beta )^{\gamma }=\alpha ^{\gamma }\cdot \beta ^{\gamma }}"></span> לא תמיד מתקיים. </p><p>אף על פי שחזקת עוצמות וחזקת סודרים מהווים שניהם הכללה לחזקת טבעיים (שניהם מתנהגים ככפל מקוצר כאשר המעריך טבעי), יש ביניהם שוני מהותי. למשל אף על פי שהסודר <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \omega }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>ω</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \omega }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abf2c1eb8ec34fbb75667b7bf5345c987c05ea33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.026ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \ \omega }"></span> שווה לעוצמה <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \aleph _{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msub> <mi mathvariant="normal">ℵ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \aleph _{0}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e462daca9033c2952f4ef0178bb1239153b0b41" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.055ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \ \aleph _{0}}"></span>, חזקת סודרים מקיימת <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ 2^{\omega }=\sup\{2^{n}|n\in \mathbb {N} \}=\omega }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ω</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo movablelimits="true" form="prefix">sup</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>n</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo>=</mo> <mi>ω</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ 2^{\omega }=\sup\{2^{n}|n\in \mathbb {N} \}=\omega }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa37a806090f7dae4467805e82d96e35aed6eced" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.408ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ 2^{\omega }=\sup\{2^{n}|n\in \mathbb {N} \}=\omega }"></span> בעוד שחזקת עוצמות מקיימת <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ 2^{\aleph _{0}}>\aleph _{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi mathvariant="normal">ℵ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msup> <mo>></mo> <msub> <mi mathvariant="normal">ℵ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ 2^{\aleph _{0}}>\aleph _{0}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf456266ec17f6fd058f83d020e763532c02ee17" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.384ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \ 2^{\aleph _{0}}>\aleph _{0}}"></span> </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="אלגברה_מופשטת"><span id=".D7.90.D7.9C.D7.92.D7.91.D7.A8.D7.94_.D7.9E.D7.95.D7.A4.D7.A9.D7.98.D7.AA"></span>אלגברה מופשטת</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&action=edit&section=27" title="עריכת קוד המקור של הפרק: אלגברה מופשטת"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&veaction=edit&section=27" title="עריכת פסקה: "אלגברה מופשטת"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%94_%D7%9E%D7%95%D7%A4%D7%A9%D7%98%D7%AA" title="אלגברה מופשטת">אלגברה מופשטת</a> עוסקת ב<a href="/wiki/%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99" title="מבנה אלגברי">מבנים אלגבריים</a>, שרובם מהווים הכללה או הפשטה של המספרים המוכרים עם פעולת הכפל. חזקה במעריך טבעי היא כתיב מקוצר לכפל, ולכן ניתן להגדירה גם בקבוצות אחרות בהן יש פעולה הדומה לכפל. לכל קבוצה עם פעולה בינארית מגדירים חזקה טבעית בדיוק כשם שהיא מוגדרת לכפל: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ x^{n}=xx^{n-1},\quad x^{1}=x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ x^{n}=xx^{n-1},\quad x^{1}=x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f192e43db4a1a5384cefb33bf0be2f3d363d8c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:22.374ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \ x^{n}=xx^{n-1},\quad x^{1}=x}"></span></dd></dl> <p>יש עניין בחזקה טבעית בעיקר כשהחזקות קיבוציות, כלומר, כל הדרכים להכפיל איבר x בעצמו n פעמים נותנות אותה תוצאה. תכונה זו מובטחת בכל <a href="/wiki/%D7%97%D7%91%D7%95%D7%A8%D7%94_%D7%9C%D7%9E%D7%97%D7%A6%D7%94" title="חבורה למחצה">חבורה למחצה</a>, משום שהכפל <a href="/wiki/%D7%90%D7%A1%D7%95%D7%A6%D7%99%D7%90%D7%98%D7%99%D7%91%D7%99%D7%95%D7%AA" class="mw-redirect" title="אסוציאטיביות">קיבוצי</a>, אבל היא אפשרית גם במקרים אחרים (ראו <a href="/wiki/%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%94_%D7%A2%D7%9D_%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_%D7%90%D7%A1%D7%95%D7%A6%D7%99%D7%90%D7%98%D7%99%D7%91%D7%99%D7%AA" title="אלגברה עם חזקה אסוציאטיבית">אלגברה עם חזקה אסוציאטיבית</a>). במקרים כאלה מתקיימים מספר חוקי חזקות מוכרים: </p> <ul><li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ (x^{i}x^{j})x^{k}=x^{i}(x^{j}x^{k})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ (x^{i}x^{j})x^{k}=x^{i}(x^{j}x^{k})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/010fa97ce7602301dc3f853d19e0461009e6d5e7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.872ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \ (x^{i}x^{j})x^{k}=x^{i}(x^{j}x^{k})}"></span></li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ x^{m+n}=x^{m}x^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ x^{m+n}=x^{m}x^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56a062ee7c9c4423bef61407392409bf5b4ad3ff" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:14.501ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \ x^{m+n}=x^{m}x^{n}}"></span></li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ (x^{m})^{n}=x^{mn}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ (x^{m})^{n}=x^{mn}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f46df32c92f91980aa536e8677a3c17afb5bce8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.703ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ (x^{m})^{n}=x^{mn}}"></span></li></ul> <p>כאשר לחבורה למחצה יש גם <a href="/wiki/%D7%90%D7%99%D7%91%D7%A8_%D7%99%D7%97%D7%99%D7%93%D7%94" title="איבר יחידה">איבר יחידה</a> (שנסמן ב-e) היא נקראת <a href="/wiki/%D7%9E%D7%95%D7%A0%D7%95%D7%90%D7%99%D7%93" class="mw-redirect" title="מונואיד">מונואיד</a> וניתן להגדיר חזקת אפס בדומה להגדרה של 1 (איבר היחידה הכפלי) כתוצאה של חזקת אפס: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ x^{0}=e}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>e</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ x^{0}=e}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8ab473d1c83f269526b02c06d9e9780ca97818b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.147ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \ x^{0}=e}"></span></dd></dl> <p>אם גם לכל איבר יש <a href="/wiki/%D7%90%D7%99%D7%91%D7%A8_%D7%94%D7%95%D7%A4%D7%9B%D7%99" title="איבר הופכי">איבר הופכי</a> (המסומן <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ x^{-1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ x^{-1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/438ef617c591dd0a3157f0f987cdc90a0dae4232" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.243ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \ x^{-1}}"></span>) המבנה נקרא <a href="/wiki/%D7%97%D7%91%D7%95%D7%A8%D7%94_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)" title="חבורה (מבנה אלגברי)">חבורה</a> ואז ניתן להכליל גם לחזקות שלמות. כפי שבמספרים חזקה שלילית הוגדרה כהופכי של חזקה חיובית, כך נעשה בחבורה: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ x^{-n}=(x^{-1})^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ x^{-n}=(x^{-1})^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d1e506b4e7d79bbc269d76ebb7eb171713ba93c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.196ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \ x^{-n}=(x^{-1})^{n}}"></span></dd></dl> <p>בפרט, הגדרה זו מצדיקה את הסימון <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ x^{-1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ x^{-1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/438ef617c591dd0a3157f0f987cdc90a0dae4232" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.243ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \ x^{-1}}"></span> לאיבר הופכי. </p><p>כאשר בנוסף לכל הפעולה של החבורה גם <a href="/wiki/%D7%97%D7%99%D7%9C%D7%95%D7%A4%D7%99%D7%95%D7%AA" class="mw-redirect" title="חילופיות">חילופית</a>, החבורה נקראת <a href="/wiki/%D7%97%D7%91%D7%95%D7%A8%D7%94_%D7%90%D7%91%D7%9C%D7%99%D7%AA" title="חבורה אבלית">חבורה אבלית</a> ומתקיים הכלל המוכר: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ {(xy)}^{n}=x^{n}y^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ {(xy)}^{n}=x^{n}y^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/028ca30a1ec0f8b72031771cb8a2abb2c1021f14" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.119ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \ {(xy)}^{n}=x^{n}y^{n}}"></span></dd></dl> <p>בכל חבורה של מספרים עם כפל רגיל החזקה במובן המופשט שלה היא החזקה השלמה המוכרת. אולם החזקה המופשטת יכולה ללבוש צורות רבות נוספות. למשל בחבורה <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ (\mathbb {Z} ,+)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ (\mathbb {Z} ,+)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33aefbd13ae3b2b692c6278814e5903901eb6eb1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.782ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ (\mathbb {Z} ,+)}"></span>, שהיא <a href="/wiki/%D7%97%D7%95%D7%92_%D7%94%D7%9E%D7%A1%D7%A4%D7%A8%D7%99%D7%9D_%D7%94%D7%A9%D7%9C%D7%9E%D7%99%D7%9D" title="חוג המספרים השלמים">קבוצת המספרים השלמים</a> עם פעולת החיבור הרגילה ביניהם, החזקה המופשטת של החבורה היא פעולת הכפל המוכרת בין מספרים שלמים. זאת משום שכפל הוא חיבור מקוצר כשם שחזקה היא כפל מקוצר. </p><p>ב<a href="/wiki/%D7%AA%D7%95%D7%A8%D7%AA_%D7%94%D7%97%D7%91%D7%95%D7%A8%D7%95%D7%AA" title="תורת החבורות">תורת החבורות</a> משמש לעיתים הסימון <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ g^{h}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>h</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ g^{h}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3387ae3829a6c33e25f3f0d4b4717aef999f553d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.878ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \ g^{h}}"></span> כאשר g ו-h איברים בחבורה כסימון לפעולת ה<a href="/wiki/%D7%94%D7%A6%D7%9E%D7%93%D7%94_(%D7%AA%D7%95%D7%A8%D7%AA_%D7%94%D7%97%D7%91%D7%95%D7%A8%D7%95%D7%AA)" title="הצמדה (תורת החבורות)">הצמדה</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ g^{h}=h^{-1}gh}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>h</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>g</mi> <mi>h</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ g^{h}=h^{-1}gh}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20d1e03d2eb3dc36c2db158aebe730406d60c67e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.103ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \ g^{h}=h^{-1}gh}"></span>. יש דמיון מסוים בין הצמדה לבין חזקה, למשל מתקיימים הכללים: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ (g^{h})^{k}=k^{-1}(h^{-1}gh)k=(hk)^{-1}g(hk)=g^{hk}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>h</mi> </mrow> </msup> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>k</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>g</mi> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>h</mi> <mi>k</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>h</mi> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>h</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ (g^{h})^{k}=k^{-1}(h^{-1}gh)k=(hk)^{-1}g(hk)=g^{hk}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dcb8854531eeeb0a04798877fd609e4cf6ec9cb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:43.084ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \ (g^{h})^{k}=k^{-1}(h^{-1}gh)k=(hk)^{-1}g(hk)=g^{hk}}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ (gh)^{k}=k^{-1}(gh)k=(k^{-1}gk)(k^{-1}hk)=g^{k}h^{k}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>g</mi> <mi>h</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>k</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>g</mi> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>k</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>g</mi> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>k</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>h</mi> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ (gh)^{k}=k^{-1}(gh)k=(k^{-1}gk)(k^{-1}hk)=g^{k}h^{k}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abd71ffe48ab5d52f4f627aa193e53fd2066b5bf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:44.467ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \ (gh)^{k}=k^{-1}(gh)k=(k^{-1}gk)(k^{-1}hk)=g^{k}h^{k}}"></span></dd></dl> <p>אולם מעבר לכך אין לפעולות הרבה במשותף. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="חישוב_חזקות"><span id=".D7.97.D7.99.D7.A9.D7.95.D7.91_.D7.97.D7.96.D7.A7.D7.95.D7.AA"></span>חישוב חזקות</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&action=edit&section=28" title="עריכת קוד המקור של הפרק: חישוב חזקות"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&veaction=edit&section=28" title="עריכת פסקה: "חישוב חזקות"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>במקרים מסוימים יש צורך בחישוב חזקות עם מעריך טבעי גדול. דרך נאיבית לעשות זאת היא להכפיל בבסיס שוב ושוב. כלומר, אם המעריך הוא n, אז מבצעים n-1 פעולות כפל, ב<a href="/wiki/%D7%A1%D7%99%D7%91%D7%95%D7%9B%D7%99%D7%95%D7%AA_%D7%96%D7%9E%D7%9F" title="סיבוכיות זמן">זמן ריצה</a> שהוא <a href="/wiki/%D7%96%D7%9E%D7%9F_%D7%A8%D7%99%D7%A6%D7%94_%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%99%D7%9B%D7%99" class="mw-redirect" title="זמן ריצה מעריכי">מעריכי</a> ביחס לאורך המעריך (מספר ה<a href="/wiki/%D7%A1%D7%A4%D7%A8%D7%94" title="ספרה">ספרות</a> של n). שיטה זו אינה <a href="/wiki/%D7%99%D7%A2%D7%99%D7%9C%D7%95%D7%AA_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA%D7%9E%D7%99%D7%AA" title="יעילות אלגוריתמית">יעילה</a> מספיק כאשר החישוב כולל מעריך בן עשרות או מאות ספרות, כפי שנדרש לעיתים ב<a href="/wiki/%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA%D7%9D" title="אלגוריתם">אלגוריתמים</a> <a href="/wiki/%D7%A7%D7%A8%D7%99%D7%A4%D7%98%D7%95%D7%92%D7%A8%D7%A4%D7%99%D7%94" title="קריפטוגרפיה">קריפטוגרפיים</a>. </p><p>באמצעות אלגוריתם פשוט ניתן לקצר את זמן החישוב משמעותית. כדי לחשב את <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ a^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ a^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29f8528060ed30aa990d203484faf66764f7befd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.029ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \ a^{n}}"></span> נחשב את סדרת הערכים: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ a,a^{2},a^{4},a^{8},\ldots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>8</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mo>…</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ a,a^{2},a^{4},a^{8},\ldots }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1562e6ef575dfeed5b1e40aa901ac3e3a0fdcc96" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.522ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \ a,a^{2},a^{4},a^{8},\ldots }"></span> (כל איבר הוא הריבוע של קודמו). נעצור כאשר נקבל את הערך הגדול ביותר בסדרה שאינו גדול מ-<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ a^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ a^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29f8528060ed30aa990d203484faf66764f7befd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.029ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \ a^{n}}"></span> (כלומר האיבר האחרון הוא <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ a^{2^{\lfloor \log _{2}n\rfloor }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo fence="false" stretchy="false">⌊</mo> <msub> <mi>log</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mi>n</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⌋</mo> </mrow> </msup> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ a^{2^{\lfloor \log _{2}n\rfloor }}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0803e81a0749ae01ab3bcbc26f89e95dd053dabc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.909ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \ a^{2^{\lfloor \log _{2}n\rfloor }}}"></span>). כל איבר התקבל מהאיבר הקודם בסדרה כפול עצמו, ולכן ביצענו <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \lfloor \log _{2}n\rfloor }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mo fence="false" stretchy="false">⌊</mo> <msub> <mi>log</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mi>n</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⌋</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \lfloor \log _{2}n\rfloor }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a2500a06a1d76939e147f8622569882be9f83f6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.453ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ \lfloor \log _{2}n\rfloor }"></span> (כאשר<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">⌊</mo> <mo>⋅</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⌋</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddb5178c0fbe4ac275f1083ee8f1a6e0feb8f872" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.712ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor }"></span> מסמן את <a href="/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%99%D7%AA_%D7%94%D7%A8%D7%A6%D7%A4%D7%94" class="mw-redirect" title="פונקציית הרצפה">פונקציית הרצפה</a>) פעולות כפל בלבד כדי לחשב את הערכים בסדרה. לפי ההצגה של n ב<a href="/wiki/%D7%91%D7%A1%D7%99%D7%A1_%D7%91%D7%99%D7%A0%D7%90%D7%A8%D7%99" title="בסיס בינארי">בסיס בינארי</a> נכתוב את n כסכום של חזקות שונות של 2. כעת, לפי חוקי חזקות נוכל לחשב את <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ a^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ a^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29f8528060ed30aa990d203484faf66764f7befd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.029ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \ a^{n}}"></span> כמכפלה של ערכים שונים בסדרה שבנינו. כיוון שבסדרה יש לכל היותר <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \log _{2}n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msub> <mi>log</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \log _{2}n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/317b9d2ec243cd657f284483041f942b37c2dbbd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.776ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \ \log _{2}n}"></span> איברים, החישוב ידרוש פחות מ-<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \log _{2}n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msub> <mi>log</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \log _{2}n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/317b9d2ec243cd657f284483041f942b37c2dbbd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.776ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \ \log _{2}n}"></span> פעולות כפל נוספות. בסך הכול, התהליך מתבצע בזמן ריצה <a href="/wiki/%D7%96%D7%9E%D7%9F_%D7%A8%D7%99%D7%A6%D7%94_%D7%A4%D7%95%D7%9C%D7%99%D7%A0%D7%95%D7%9E%D7%99" class="mw-redirect" title="זמן ריצה פולינומי">פולינומי</a> ביחס לאורך המעריך (כתלות בפעולת הכפל, שמתבצעת לכל היותר בזמן ריצה ריבועי). זהו קיצוץ משמעותי בזמן החישוב. כך למשל, אם n הוא מספר בן מאה ספרות עשרוניות, יידרשו כמה מאות פעולות כפל בלבד (במקום כ<a href="/wiki/%D7%92%D7%95%D7%92%D7%95%D7%9C" title="גוגול">גוגול</a> פעולות בהכפלה חוזרת של הבסיס) לשם החישוב. </p><p>בתור דוגמה נחשב את <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ 3^{37}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mn>3</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>37</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ 3^{37}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5c092938c38d782996b8405ffef2a0a558c398b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.619ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \ 3^{37}}"></span>. ראשית נחשב את איברי הסדרה: </p> <table class="wikitable"> <tbody><tr> <th>מספר המכפלות שחושבו</th> <th>האיבר בסדרה </th></tr> <tr> <td>0</td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ 3}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mn>3</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ 3}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdc19b59fb3810ab59030af9ff4316930bf2cdab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ 3}"></span> </td></tr> <tr> <td>1</td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ 3^{2}=9}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mn>3</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>9</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ 3^{2}=9}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66b1c41c50bf4d710130f58b53eeaec749f9cfd7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.058ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \ 3^{2}=9}"></span> </td></tr> <tr> <td>2</td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ 3^{4}=9^{2}=81}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mn>3</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mn>9</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>81</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ 3^{4}=9^{2}=81}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/368b3ae8f43f68c24783c300be5cbc74791dd5e9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:13.536ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \ 3^{4}=9^{2}=81}"></span> </td></tr> <tr> <td>3</td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ 3^{8}=81^{2}=6,561}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mn>3</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>8</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mn>81</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>6</mn> <mo>,</mo> <mn>561</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ 3^{8}=81^{2}=6,561}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eab7cbd382a8339dffc5b8629aa0ab56f3129e78" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:18.057ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \ 3^{8}=81^{2}=6,561}"></span> </td></tr> <tr> <td>4</td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ 3^{16}=6,561^{2}=43,046,721}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mn>3</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>16</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>6</mn> <mo>,</mo> <msup> <mn>561</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>43</mn> <mo>,</mo> <mn>046</mn> <mo>,</mo> <mn>721</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ 3^{16}=6,561^{2}=43,046,721}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e85d33e6d423cac7cfc2529cb20cd4840b0e04d1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:27.922ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \ 3^{16}=6,561^{2}=43,046,721}"></span> </td></tr> <tr> <td>5</td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ 3^{32}=43,046,721^{2}=1,853,020,188,851,841}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mn>3</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>32</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>43</mn> <mo>,</mo> <mn>046</mn> <mo>,</mo> <msup> <mn>721</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>853</mn> <mo>,</mo> <mn>020</mn> <mo>,</mo> <mn>188</mn> <mo>,</mo> <mn>851</mn> <mo>,</mo> <mn>841</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ 3^{32}=43,046,721^{2}=1,853,020,188,851,841}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98430c00c4c230b8c00d5ccdec21f3d4b3a038ef" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:46.007ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \ 3^{32}=43,046,721^{2}=1,853,020,188,851,841}"></span> </td></tr></tbody></table> <p>כעת נבחין כי <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ 37=32+4+1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mn>37</mn> <mo>=</mo> <mn>32</mn> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ 37=32+4+1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07100946e2e3ac9036cdd4939a0944fbbd368823" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:16.335ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \ 37=32+4+1}"></span> ולכן: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ 3^{37}=3^{32+4+1}=3^{32}\times 3^{4}\times 3^{1}=1,853,020,188,851,841\times 81\times 3=450,283,905,890,997,363}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mn>3</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>37</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mn>3</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>32</mn> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mn>3</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>32</mn> </mrow> </msup> <mo>×</mo> <msup> <mn>3</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo>×</mo> <msup> <mn>3</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>853</mn> <mo>,</mo> <mn>020</mn> <mo>,</mo> <mn>188</mn> <mo>,</mo> <mn>851</mn> <mo>,</mo> <mn>841</mn> <mo>×</mo> <mn>81</mn> <mo>×</mo> <mn>3</mn> <mo>=</mo> <mn>450</mn> <mo>,</mo> <mn>283</mn> <mo>,</mo> <mn>905</mn> <mo>,</mo> <mn>890</mn> <mo>,</mo> <mn>997</mn> <mo>,</mo> <mn>363</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ 3^{37}=3^{32+4+1}=3^{32}\times 3^{4}\times 3^{1}=1,853,020,188,851,841\times 81\times 3=450,283,905,890,997,363}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a2655c1538531bf65d732d246f4df3013d3f289" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:95.437ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \ 3^{37}=3^{32+4+1}=3^{32}\times 3^{4}\times 3^{1}=1,853,020,188,851,841\times 81\times 3=450,283,905,890,997,363}"></span>.</dd></dl> <p>באופן זה חישבנו את <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ 3^{37}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mn>3</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>37</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ 3^{37}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5c092938c38d782996b8405ffef2a0a558c398b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.619ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \ 3^{37}}"></span> בעזרת שבע פעולות כפל בלבד. חמש פעולות כדי לחשב את איברי הסדרה ושתי מכפלות נוספות כדי להגיע לתוצאה הסופית. על אף שמדובר במעריך קטן למדי, זה עדיין משמעותית פחות מ-36 פעולות כפל להן נדרשים בחישוב ישיר. אלגוריתמים סבוכים יותר מסוגלים לחשב אף במספר קטן יותר של פעולות, אך לא במידה משמעותית. </p><p>המהירות של שיטה זו תלויה במספר האחדות בייצוג הבינארי של המעריך. לכן כאשר בוחרים את המעריך ורוצים שהחזקה תהיה מהירה, בוחרים מספר עם מעט אחדות ביצוג הבינארי. למשל, באלגוריתם <a href="/wiki/RSA" title="RSA">RSA</a> נהוג לבחור e=65537 (שזה 10000000000000001 ביצוג בינארי) </p><p>שיטה זו פועלת לא רק למספרים, אלא לכל מקרה של <a href="#אלגברה_מופשטת">חזקה מופשטת</a> (עם חזקות קיבוציות). שימוש מעניין באלגוריתם הוא לחישוב <a href="/wiki/%D7%A1%D7%93%D7%A8%D7%AA_%D7%A4%D7%99%D7%91%D7%95%D7%A0%D7%90%D7%A6%27%D7%99" title="סדרת פיבונאצ'י">מספרי פיבונאצ'י</a> גדולים באמצעות חישוב חזקה של <a href="/wiki/%D7%9E%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%A6%D7%94" title="מטריצה">מטריצה</a> (כקיצור של <a href="/wiki/%D7%9B%D7%A4%D7%9C_%D7%9E%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%A6%D7%95%D7%AA" title="כפל מטריצות">כפל מטריצות</a>). <a href="/wiki/%D7%A1%D7%93%D7%A8%D7%AA_%D7%A4%D7%99%D7%91%D7%95%D7%A0%D7%90%D7%A6%27%D7%99#נוסחה_ישירה_לאברי_הסדרה" title="סדרת פיבונאצ'י">הנוסחה הישירה לאיברי הסדרה</a> מספקת את הזהות: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}F_{n+1}&F_{n}\\F_{n}&F_{n-1}\end{pmatrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}F_{n+1}&F_{n}\\F_{n}&F_{n-1}\end{pmatrix}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5fcc0633b5e0fd1a230e2b02568310085be2489" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.227ex; margin-bottom: -0.278ex; width:29.259ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}F_{n+1}&F_{n}\\F_{n}&F_{n-1}\end{pmatrix}}}"></span></dd></dl> <p>הפעלת האלגוריתם על המטריצה הפשוטה <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ a={\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ a={\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e44d918ced520aa2dec06c1b32bc107e7ccdcf48" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:13.729ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \ a={\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}}"></span> כבסיס, תחשב ביעילות כל שלשה של מספרי פיבונאצ'י סמוכים, גם כאשר האינדקס שלהם גדול מאוד. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="פעולות_הפוכות"><span id=".D7.A4.D7.A2.D7.95.D7.9C.D7.95.D7.AA_.D7.94.D7.A4.D7.95.D7.9B.D7.95.D7.AA"></span>פעולות הפוכות</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&action=edit&section=29" title="עריכת קוד המקור של הפרק: פעולות הפוכות"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&veaction=edit&section=29" title="עריכת פסקה: "פעולות הפוכות"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>לא בכל הישר הממשי מתקיימים כללי הצמצום לגבי חזקה, ולכן אין לחזקה <a href="/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%94_%D7%94%D7%A4%D7%99%D7%9B%D7%94" title="פונקציה הפיכה">פעולה הפוכה</a> מוגדרת היטב. בכל זאת, שימושי להגדיר לחזקה שתי פעולות שהפוכות לה תחת מגבלות מסוימות. </p> <ul><li><a href="/wiki/%D7%A9%D7%95%D7%A8%D7%A9_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)" class="mw-redirect" title="שורש (מתמטיקה)">שורש</a>: שורש מסומן <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ {\sqrt[{b}]{a}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mroot> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </mroot> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ {\sqrt[{b}]{a}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/955156ec98708049b1f6b1c9fa6b769a42adbe01" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.746ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \ {\sqrt[{b}]{a}}}"></span> כאשר a אי-שלילי ו-b שונה מאפס, ותוצאת הפעולה היא המספר האי-שלילי היחיד x המקיים <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ x^{b}=a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ x^{b}=a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f1a295f3b064d6fd681c19a28217380277bd710" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.176ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \ x^{b}=a}"></span>. מהגדרת החזקה הרציונלית נובע כי <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ {\sqrt[{b}]{a}}=a^{\frac {1}{b}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mroot> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </mroot> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>b</mi> </mfrac> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ {\sqrt[{b}]{a}}=a^{\frac {1}{b}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbdb637c19b9c3a57572d04892ae0f46346709e0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:9.81ex; height:4.176ex;" alt="{\displaystyle \ {\sqrt[{b}]{a}}=a^{\frac {1}{b}}}"></span>. פעולה זו מתאימה לתוצאת חזקה ומעריך כלשהו בסיס תואם (תחת תנאים המבטיחים כי קיים יחיד כזה).</li> <li><a href="/wiki/%D7%9C%D7%95%D7%92%D7%A8%D7%99%D7%AA%D7%9D" title="לוגריתם">לוגריתם</a>: לוגריתם מסומן <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \log _{b}a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msub> <mi>log</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \log _{b}a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c2a7b8ae08eb24b0bdc7269935e1dd6cc5f10d6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.494ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \ \log _{b}a}"></span> כאשר b חיובי שונה מ-1 ו-a חיובי, ותוצאת הפעולה היא המספר הממשי היחיד x המקיים <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ b^{x}=a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ b^{x}=a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85aad40f54d6eb5f58a0cb28c4cc97b2de563891" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.079ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \ b^{x}=a}"></span>. פעולה זו מתאימה לתוצאת חזקה ובסיס כלשהו מעריך תואם (תחת תנאים המבטיחים כי קיים יחיד כזה).</li></ul> <p>הסיבה לכך שיש שתי פעולות הפוכות ולא אחת כמו בחיבור (<a href="/wiki/%D7%97%D7%99%D7%A1%D7%95%D7%A8" title="חיסור">חיסור</a>) וכפל (<a href="/wiki/%D7%97%D7%99%D7%9C%D7%95%D7%A7" title="חילוק">חילוק</a>) היא שחזקה אינה חילופית ואין סימטריה בין המעריך לבסיס (ככלל, לא ניתן להחליף ביניהם בלי לשנות את התוצאה). לכן נדרשות שתי פעולות נפרדות למציאת כל אחד. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="פונקציות_מבוססות_חזקה"><span id=".D7.A4.D7.95.D7.A0.D7.A7.D7.A6.D7.99.D7.95.D7.AA_.D7.9E.D7.91.D7.95.D7.A1.D7.A1.D7.95.D7.AA_.D7.97.D7.96.D7.A7.D7.94"></span>פונקציות מבוססות חזקה</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&action=edit&section=30" title="עריכת קוד המקור של הפרק: פונקציות מבוססות חזקה"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&veaction=edit&section=30" title="עריכת פסקה: "פונקציות מבוססות חזקה"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-halign-left" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:Expo02.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e5/Expo02.svg/250px-Expo02.svg.png" decoding="async" width="250" height="250" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e5/Expo02.svg/375px-Expo02.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e5/Expo02.svg/500px-Expo02.svg.png 2x" data-file-width="500" data-file-height="500" /></a><figcaption>גרפים של פונקציות מעריכיות שונות (המספר לצד כל גרף הוא הבסיס של הפונקציה)</figcaption></figure> <p>פונקציות מבוססות חזקה הן <a href="/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%9E%D7%A0%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%AA" title="פונקציה אלמנטרית">פונקציות אלמנטריות</a> בעלות מקום מרכזי ב<a href="/wiki/%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%94_%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%AA" title="אנליזה מתמטית">אנליזה מתמטית</a>. </p> <ul><li>הפונקציה <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ x^{\alpha }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ x^{\alpha }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cce840f6d0e94ee8569e1d436213cf100264c1bb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.194ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \ x^{\alpha }}"></span> כאשר <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \alpha }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>α</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \alpha }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b77db5eb1bf111b3bcebb22665ec3fe385c9ea3c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.068ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \ \alpha }"></span> קבוע (ממשי או מרוכב). לפונקציה זו שני מקרים פרטיים חשובים: <ul><li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \alpha =n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>α</mi> <mo>=</mo> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \alpha =n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2e494558de0dd1869cdee239d5a0bbd6a70abe9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.561ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \ \alpha =n}"></span> טבעי. אז הפונקציה <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ x^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ x^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bb3b491eacfd005acb21ddfa427809eba4631be" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.129ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \ x^{n}}"></span> נקראת <a href="/wiki/%D7%9E%D7%95%D7%A0%D7%95%D7%9D" title="מונום">מונום</a> (חד-איבר). מ<a href="/wiki/%D7%A6%D7%99%D7%A8%D7%95%D7%A3_%D7%9C%D7%99%D7%A0%D7%99%D7%90%D7%A8%D7%99" title="צירוף ליניארי">צירופים ליניאריים</a> של מונומים מתקבלים כל ה<a href="/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%9C%D7%99%D7%A0%D7%95%D7%9D" title="פולינום">פולינומים</a>.</li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \alpha =1/n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>α</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \alpha =1/n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c0c084174a97ace6f7989b7243057486d95cd53" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.886ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ \alpha =1/n}"></span> כאשר n טבעי. אז הפונקציה <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ x^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{x}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>n</mi> </mfrac> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mroot> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </mroot> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ x^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{x}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43b4e7fe42477a8eb595cef7cec32003e31439d1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:10.143ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle \ x^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{x}}}"></span> נקראת השורש ה-n-י והיא מחזירה את השורש ה-n של x. הפונקציה מוגדרת למספרים אי-שליליים בלבד.</li></ul></li> <li>הפונקציה <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \alpha ^{x}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \alpha ^{x}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bee12adc873312b7921c2f35fbbcef2041e21dcd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.241ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \ \alpha ^{x}}"></span> כאשר <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \alpha }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>α</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \alpha }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b77db5eb1bf111b3bcebb22665ec3fe385c9ea3c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.068ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \ \alpha }"></span> קבוע אי-שלילי. פונקציה כזו נקראת <a href="/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%94_%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%99%D7%9B%D7%99%D7%AA" title="פונקציה מעריכית">פונקציה מעריכית</a>.</li></ul> <p>מצירופים <a href="/wiki/%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94" title="אריתמטיקה">אריתמטיים</a> ו<a href="/wiki/%D7%94%D7%A8%D7%9B%D7%91%D7%AA_%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%95%D7%AA" title="הרכבת פונקציות">הרכבת פונקציות</a> ניתן לקבל מפונקציות אלו ואחרות עוד פונקציות רבות מבוססות חזקה. למשל <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ x^{x}=e^{x\ln(x)}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ x^{x}=e^{x\ln(x)}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14755bd71848d3e76f7e0ed5dffeb531cc6321a5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:12.415ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ x^{x}=e^{x\ln(x)}}"></span>. </p><p><a href="/wiki/%D7%A2%D7%A6%D7%A8%D7%AA_%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%99%D7%9B%D7%99%D7%AA" title="עצרת מעריכית">עצרת מעריכית</a> היא פעולה מבוססת חזקה שדומה ל<a href="/wiki/%D7%A2%D7%A6%D7%A8%D7%AA_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)" title="עצרת (מתמטיקה)">עצרת</a> (המבוססת על כפל). שתי הפונקציות מוגדרות ב<a href="/wiki/%D7%A8%D7%A7%D7%95%D7%A8%D7%A1%D7%99%D7%94" title="רקורסיה">רקורסיה</a> זהה, רק שבמקרה של עצרת מעריכית חזקה מחליפה את הכפל. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="משפטים_ובעיות_קשורות"><span id=".D7.9E.D7.A9.D7.A4.D7.98.D7.99.D7.9D_.D7.95.D7.91.D7.A2.D7.99.D7.95.D7.AA_.D7.A7.D7.A9.D7.95.D7.A8.D7.95.D7.AA"></span>משפטים ובעיות קשורות</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&action=edit&section=31" title="עריכת קוד המקור של הפרק: משפטים ובעיות קשורות"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&veaction=edit&section=31" title="עריכת פסקה: "משפטים ובעיות קשורות"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>חוקי חזקות נותנים מענה פשוט לחישוב החזקה של מכפלה: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ (ab)^{n}=a^{n}b^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ (ab)^{n}=a^{n}b^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9175618e8e0392a5603b50a3b9e909f183d18700" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.599ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ (ab)^{n}=a^{n}b^{n}}"></span>. נשאלת השאלה האם יש דרך אנלוגית לחישוב החזקה של סכום: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ (a+b)^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ (a+b)^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b185e6aa8bd08068d81416635948c8ac09c8aff6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.676ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ (a+b)^{n}}"></span>. מענה לשאלה ניתן על ידי <a href="/wiki/%D7%94%D7%91%D7%99%D7%A0%D7%95%D7%9D_%D7%A9%D7%9C_%D7%A0%D7%99%D7%95%D7%98%D7%95%D7%9F" title="הבינום של ניוטון">הבינום של ניוטון</a>. אם a, b מספרים ממשיים ו-n מספר טבעי מתקיים:</li></ul> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{k}b^{n-k}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">(</mo> </mrow> <mfrac linethickness="0"> <mi>n</mi> <mi>k</mi> </mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">)</mo> </mrow> </mrow> </mrow> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{k}b^{n-k}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c43162cf17041c4afcb4c975f6f0e1911d4dbe7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:26.422ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{k}b^{n-k}}"></span></dd> <dd>(<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \Sigma }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi mathvariant="normal">Σ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \Sigma }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4178b57a136fb73410257c8b91b62a993bfe2767" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.259ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ \Sigma }"></span> מסמן <a href="/wiki/%D7%A1%D7%9B%D7%95%D7%9D" title="סכום">סכום</a> ו-<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ {\tbinom {n}{k}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">(</mo> </mrow> <mfrac linethickness="0"> <mi>n</mi> <mi>k</mi> </mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">)</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ {\tbinom {n}{k}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0c25e11357a4a22a6984746393b40a84ce22b12" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.697ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \ {\tbinom {n}{k}}}"></span> הוא <a href="/wiki/%D7%9E%D7%A7%D7%93%D7%9D_%D7%91%D7%99%D7%A0%D7%95%D7%9E%D7%99" title="מקדם בינומי">מקדם בינומי</a>)</dd></dl></dd></dl> <dl><dd>ניתן (באמצעות <a href="/wiki/%D7%98%D7%95%D7%A8_%D7%98%D7%99%D7%99%D7%9C%D7%95%D7%A8" title="טור טיילור">פיתוח טיילור</a>) להכליל את נוסחת הבינום לכל r מרוכב: <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ (a+b)^{r}=\sum _{k=0}^{\infty }{r \choose k}a^{k}b^{r-k}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">(</mo> </mrow> <mfrac linethickness="0"> <mi>r</mi> <mi>k</mi> </mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">)</mo> </mrow> </mrow> </mrow> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> <mo>−</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ (a+b)^{r}=\sum _{k=0}^{\infty }{r \choose k}a^{k}b^{r-k}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee1b93cb6dbeb322267fdab58c908207be9ea200" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:26.329ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle \ (a+b)^{r}=\sum _{k=0}^{\infty }{r \choose k}a^{k}b^{r-k}}"></span>, כאשר <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ {r \choose k}={\frac {r(r-1)\cdots (r-k+1)}{k!}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">(</mo> </mrow> <mfrac linethickness="0"> <mi>r</mi> <mi>k</mi> </mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">)</mo> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋯</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo>−</mo> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi>k</mi> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ {r \choose k}={\frac {r(r-1)\cdots (r-k+1)}{k!}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f22c8a6b714d8fda8ec0189ccd71b76210e15c89" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:31.467ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \ {r \choose k}={\frac {r(r-1)\cdots (r-k+1)}{k!}}}"></span></dd></dl></dd></dl> <dl><dd>לכל r לא טבעי זהו <a href="/wiki/%D7%98%D7%95%D7%A8_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A1%D7%95%D7%A4%D7%99" class="mw-redirect" title="טור אינסופי">סכום אינסופי</a> מתכנס. כאשר r טבעי, החל מהמקום ה-r+1 כל המקדמים מתאפסים ומתקבל הסכום הסופי המוכר.</dd></dl> <ul><li><a href="/wiki/%D7%94%D7%A9%D7%A2%D7%A8%D7%AA_%D7%A7%D7%98%D7%9C%D7%9F" title="השערת קטלן">השערת קטלן</a>, עוסקת בקיומם של מספרם עוקבים שהם חזקות.</li> <li>וריאציה של <a href="/wiki/%D7%91%D7%A2%D7%99%D7%99%D7%AA_%D7%A9%D7%98%D7%99%D7%99%D7%A0%D7%A8" title="בעיית שטיינר">בעיית שטיינר</a> שואלת מתי מתקיים השוויון <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ a^{b}=b^{a}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ a^{b}=b^{a}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7581e0f91c46af9446896ee64782959120e12a7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.946ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \ a^{b}=b^{a}}"></span> (a ו-b חיוביים) מלבד המקרה הטריוויאלי בו a=b. אם נקח את השורש ה-ab של שני האגפים נקבל את השוויון השקול <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ {\sqrt[{a}]{a}}={\sqrt[{b}]{b}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mroot> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> </mroot> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mroot> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </mroot> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ {\sqrt[{a}]{a}}={\sqrt[{b}]{b}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fefd0b3a63cb5e3e3adf6f2f8655d37ba890bf4f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:9.778ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \ {\sqrt[{a}]{a}}={\sqrt[{b}]{b}}}"></span>. מחקירת הפונקציה <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ {\sqrt[{x}]{x}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mroot> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </mroot> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ {\sqrt[{x}]{x}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/773323ddc639733ec52dbce86617221212d6422a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.846ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \ {\sqrt[{x}]{x}}}"></span> עולה כי הפונקציה מקבלת את הערך 1 בנקודה x=1, היא <a href="/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%94_%D7%9E%D7%95%D7%A0%D7%95%D7%98%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%AA" title="פונקציה מונוטונית">עולה</a> לכל x קטן מ-e, כאשר x=e היא מקבלת מקסימום, היא יורדת לכל x גדול מ-e ושואפת ל-1 באינסוף. לכן לפי <a href="/wiki/%D7%9E%D7%A9%D7%A4%D7%98_%D7%A2%D7%A8%D7%9A_%D7%94%D7%91%D7%99%D7%A0%D7%99%D7%99%D7%9D" title="משפט ערך הביניים">משפט ערך הביניים</a> לכל a חיובי גדול מ-1 וקטן מ-e קיים בן זוג b גדול מ-e (ולהפך) כך ש-<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ a^{b}=b^{a}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ a^{b}=b^{a}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7581e0f91c46af9446896ee64782959120e12a7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.946ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \ a^{b}=b^{a}}"></span>. לקבוע e עצמו אין בן זוג. המקרה היחיד בו בני הזוג שלמים הוא המקרה <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ 2^{4}=16=4^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>16</mn> <mo>=</mo> <msup> <mn>4</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ 2^{4}=16=4^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ee6e0f9f405f5b482875f52c51422414e19653b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:13.536ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \ 2^{4}=16=4^{2}}"></span>.</li> <li><a href="/wiki/%D7%94%D7%91%D7%A2%D7%99%D7%94_%D7%94%D7%A9%D7%91%D7%99%D7%A2%D7%99%D7%AA_%D7%A9%D7%9C_%D7%94%D7%99%D7%9C%D7%91%D7%A8%D7%98" title="הבעיה השביעית של הילברט">הבעיה השביעית</a> מתוך <a href="/wiki/23_%D7%94%D7%91%D7%A2%D7%99%D7%95%D7%AA_%D7%A9%D7%9C_%D7%94%D7%99%D7%9C%D7%91%D7%A8%D7%98" title="23 הבעיות של הילברט">23 הבעיות של הילברט</a> שואלת האם לכל a <a href="/wiki/%D7%9E%D7%A1%D7%A4%D7%A8_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99" title="מספר אלגברי">אלגברי</a> (ששונה מ-0 ו-1) ולכל b אלגברי <a href="/wiki/%D7%9E%D7%A1%D7%A4%D7%A8_%D7%90%D7%99-%D7%A8%D7%A6%D7%99%D7%95%D7%A0%D7%9C%D7%99" title="מספר אי-רציונלי">אי-רציונלי</a> מתקיים שהמספר <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ a^{b}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ a^{b}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45fa739cb376f529bd08f367bfd70aeb7c50991c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.748ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \ a^{b}}"></span> <a href="/wiki/%D7%9E%D7%A1%D7%A4%D7%A8_%D7%98%D7%A8%D7%A0%D7%A1%D7%A6%D7%A0%D7%93%D7%A0%D7%98%D7%99" title="מספר טרנסצנדנטי">טרנסצנדנטי</a>. ב-<a href="/wiki/1934" title="1934">1934</a> נתנה תשובה חיובית הנקראת <a href="/wiki/%D7%9E%D7%A9%D7%A4%D7%98_%D7%92%D7%9C%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%93-%D7%A9%D7%A0%D7%99%D7%99%D7%93%D7%A8" title="משפט גלפונד-שניידר">משפט גלפונד-שניידר</a>.</li> <li><a href="/wiki/%D7%91%D7%A2%D7%99%D7%99%D7%AA_%D7%95%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%A0%D7%92" title="בעיית וארינג">בעיית וארינג</a> שואלת האם לכל מספר טבעי k קיים מספר טבעי n כך שכל מספר טבעי ניתן להציג כסכום של לכל היותר n מספרים בחזקת k. <a href="/wiki/%D7%94%D7%99%D7%9C%D7%91%D7%A8%D7%98" class="mw-redirect" title="הילברט">הילברט</a> הוכיח בשנת <a href="/wiki/1909" title="1909">1909</a> כי התשובה חיובית ובכך גרם להתפתחות מחקר ענף סביב מציאת n כתלות ב-k ופתרון שאלות נוספות בעלות אופי דומה. <a href="/wiki/%D7%9E%D7%A7%D7%A8%D7%94_%D7%A4%D7%A8%D7%98%D7%99" title="מקרה פרטי">מקרה פרטי</a> הוא <a href="/wiki/%D7%9E%D7%A9%D7%A4%D7%98_%D7%90%D7%A8%D7%91%D7%A2%D7%AA_%D7%94%D7%A8%D7%99%D7%91%D7%95%D7%A2%D7%99%D7%9D_%D7%A9%D7%9C_%D7%9C%D7%92%D7%A8%D7%90%D7%A0%D7%96%27" title="משפט ארבעת הריבועים של לגראנז'">משפט ארבעת הריבועים של לגראנז'</a> הקובע כי כל מספר טבעי ניתן להציג כסכום של לכל היותר ארבעה ריבועים. התשובה לשאלה אילו מספרים ניתן להציג כ<a href="/wiki/%D7%A1%D7%9B%D7%95%D7%9D_%D7%A9%D7%9C_%D7%A9%D7%A0%D7%99_%D7%A8%D7%99%D7%91%D7%95%D7%A2%D7%99%D7%9D" title="סכום של שני ריבועים">סכום של שני ריבועים</a> ידועה גם היא במדויק.</li> <li>קיימים אינסוף מספרים טבעיים a, b ו-c כך שמתקיים <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ a^{2}+b^{2}=c^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ a^{2}+b^{2}=c^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04933db3b7745597784a23fdc09237b828101653" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:12.916ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ a^{2}+b^{2}=c^{2}}"></span>, אלו נקראים <a href="/wiki/%D7%A9%D7%9C%D7%A9%D7%94_%D7%A4%D7%99%D7%AA%D7%92%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA" title="שלשה פיתגורית">שלשות פיתגוריות</a>. <a href="/wiki/%D7%94%D7%9E%D7%A9%D7%A4%D7%98_%D7%94%D7%90%D7%97%D7%A8%D7%95%D7%9F_%D7%A9%D7%9C_%D7%A4%D7%A8%D7%9E%D7%94" title="המשפט האחרון של פרמה">המשפט האחרון של פרמה</a> קובע כי תופעה זו ייחודית, וכי לכל <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ n>2}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>n</mi> <mo>></mo> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ n>2}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cb8f0ef69e3a3f3e0cdc2a3f462d94edf276658" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.236ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ n>2}"></span> לא קיימת שלשה של מספרים טבעיים a, b ו-c כך שמתקיים <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ a^{n}+b^{n}=c^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ a^{n}+b^{n}=c^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba251cc66c1e69b6cc4ce9a1ac6c1a258ab3c25b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:13.409ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \ a^{n}+b^{n}=c^{n}}"></span>. את המשפט הוכיח <a href="/wiki/%D7%90%D7%A0%D7%93%D7%A8%D7%95_%D7%95%D7%99%D7%99%D7%9C%D7%A1" title="אנדרו ויילס">אנדרו ויילס</a> בשנת <a href="/wiki/1995" title="1995">1995</a>, למעלה מ-350 שנה לאחר ש<a href="/wiki/%D7%A4%D7%99%D7%99%D7%A8_%D7%93%D7%94_%D7%A4%D7%A8%D7%9E%D7%94" title="פייר דה פרמה">פרמה</a> טען לנכונות המשפט ללא הוכחה. <a href="/wiki/%D7%90%D7%95%D7%99%D7%9C%D7%A8" class="mw-redirect" title="אוילר">אוילר</a> שיער <a href="/wiki/%D7%94%D7%A9%D7%A2%D7%A8%D7%AA_%D7%90%D7%95%D7%99%D7%9C%D7%A8" title="השערת אוילר">השערה בעלת אופי דומה</a>: לכל <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ n>2}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>n</mi> <mo>></mo> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ n>2}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cb8f0ef69e3a3f3e0cdc2a3f462d94edf276658" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.236ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ n>2}"></span> לא קיימת קבוצה של n מספרים כך שסכום החזקות ה-n-יות של כל המספרים מלבד האחרון שבהם, שווה לחזקה ה-n-ית של האחרון. ההשערה התבררה כשגויה כפי שניתן לראות מה<a href="/wiki/%D7%93%D7%95%D7%92%D7%9E%D7%94_%D7%A0%D7%92%D7%93%D7%99%D7%AA" title="דוגמה נגדית">דוגמה הנגדית</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ 27^{5}+84^{5}+110^{5}+133^{5}=144^{5}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mn>27</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>5</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mn>84</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>5</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mn>110</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>5</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mn>133</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>5</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mn>144</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>5</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ 27^{5}+84^{5}+110^{5}+133^{5}=144^{5}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b75aec7d54ecf94d0c16422927d5e58fbcbd3b94" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:32.583ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ 27^{5}+84^{5}+110^{5}+133^{5}=144^{5}}"></span>.</li> <li><a href="/wiki/%D7%A9%D7%95%D7%A8%D7%A9_%D7%99%D7%97%D7%99%D7%93%D7%94" title="שורש יחידה">שורש יחידה</a> מסדר n (מספר טבעי) הוא מספר מרוכב z (או באופן כללי יותר, איבר <a href="/wiki/%D7%A9%D7%93%D7%94_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)" title="שדה (מבנה אלגברי)">שדה</a>) כך שמתקיים <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ z^{n}=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ z^{n}=1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cd9361959afc6ca9d77960c5c5c44c23c51a759" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.15ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \ z^{n}=1}"></span>. מבין המספרים הממשיים 1 ו-<span dir="ltr">-1</span> הם שורשי היחידה היחידים. אולם מבין המספרים המרוכבים ישנם n שורשי יחידה מסדר n. לשורשי היחידה תכונה מיוחדת שהחזקות השלמות שלהם מחזוריות באורך n. כלומר לכל k שלם <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ z^{k}=z^{n+k}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ z^{k}=z^{n+k}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f07ac42de0cb57aca48ed55c7298d2fef14f24ab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.302ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \ z^{k}=z^{n+k}}"></span> (נובע מחוקי חזקות). למשל ל-<span dir="ltr">-1</span> מחזור באורך 2 (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ (-1)^{k}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ (-1)^{k}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17166f84da3f97e76c7db61efbb3c0c296b591f1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.449ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \ (-1)^{k}}"></span> שווה 1 כאשר k זוגי ו-<span dir="ltr">-1</span> כאשר k אי זוגי) המנוצל רבות להצגת <a href="/wiki/%D7%A1%D7%99%D7%9E%D7%9F_(%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)" class="mw-redirect" title="סימן (אריתמטיקה)">סימנים</a> מתחלפים (כמו ב<a href="/wiki/%D7%9E%D7%91%D7%97%D7%A0%D7%99_%D7%94%D7%AA%D7%9B%D7%A0%D7%A1%D7%95%D7%AA_%D7%9C%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%9D#מבחן_לייבניץ" title="מבחני התכנסות לטורים">טורי לייבניץ</a>). דוגמה אחרת היא שורש היחידה <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ i}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>i</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ i}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc8d2dfe9ddfc5489e5ce676d223cc41a9489763" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.383ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ i}"></span> שלו מחזור באורך 4:</li></ul> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \ldots i^{-1}=-i,\quad i^{0}=1,\quad i^{1}=i,\quad i^{2}=-1,\quad i^{3}=-i,\quad i^{4}=1,\quad i^{5}=i\ldots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mo>…</mo> <msup> <mi>i</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <msup> <mi>i</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <msup> <mi>i</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <msup> <mi>i</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <msup> <mi>i</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <msup> <mi>i</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <msup> <mi>i</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>5</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>i</mi> <mo>…</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \ldots i^{-1}=-i,\quad i^{0}=1,\quad i^{1}=i,\quad i^{2}=-1,\quad i^{3}=-i,\quad i^{4}=1,\quad i^{5}=i\ldots }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8321ee37ae5b809fdd4c71b520f2d9171efd46bc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:75.414ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \ \ldots i^{-1}=-i,\quad i^{0}=1,\quad i^{1}=i,\quad i^{2}=-1,\quad i^{3}=-i,\quad i^{4}=1,\quad i^{5}=i\ldots }"></span></dd></dl></dd> <dd>על בסיס עובדה זו (ופיתוח <a href="/wiki/%D7%98%D7%95%D7%A8_%D7%9E%D7%A7%D7%9C%D7%95%D7%A8%D7%9F" class="mw-redirect" title="טור מקלורן">טור מקלורן</a> של האקספוננט והפונקציות הטריגונומטריות) מוכיחים את נוסחת אוילר שבעזרתה מגדירים חזקה מרוכבת.</dd></dl> <ul><li>אחת הבעיות העתיקות במתמטיקה היא מציאת <a href="/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%94" title="פונקציה">פונקציות</a> פשוטות המחזירות אך ורק <a href="/wiki/%D7%9E%D7%A1%D7%A4%D7%A8_%D7%A8%D7%90%D7%A9%D7%95%D7%A0%D7%99" title="מספר ראשוני">מספרים ראשוניים</a>. ב-<a href="/wiki/1947" title="1947">1947</a> הוכיח <a href="/w/index.php?title=%D7%95%D7%99%D7%9C%D7%99%D7%90%D7%9D_%D7%9E%D7%99%D7%9C%D7%A1&action=edit&redlink=1" class="new" title="ויליאם מילס (הדף אינו קיים)">ויליאם מילס</a> כי קיים <a href="/wiki/%D7%A7%D7%91%D7%95%D7%A2_%D7%9E%D7%99%D7%9C%D7%A1" title="קבוע מילס">קבוע A</a> כך שלכל n <a href="/wiki/%D7%9E%D7%A1%D7%A4%D7%A8_%D7%98%D7%91%D7%A2%D7%99" title="מספר טבעי">טבעי</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \lfloor A^{3^{n}}\rfloor }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mo fence="false" stretchy="false">⌊</mo> <msup> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mn>3</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mrow> </msup> <mo fence="false" stretchy="false">⌋</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \lfloor A^{3^{n}}\rfloor }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4f07132c521fa2b1edf64f0f9d1c8144b33ab53" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.408ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \ \lfloor A^{3^{n}}\rfloor }"></span> הוא ראשוני (כאשר <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \lfloor x\rfloor }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mo fence="false" stretchy="false">⌊</mo> <mi>x</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⌋</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \lfloor x\rfloor }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/816a5a4666b00cf8a8059fe337fbbb3b9400de42" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.975ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ \lfloor x\rfloor }"></span> היא <a href="/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%99%D7%AA_%D7%94%D7%A2%D7%A8%D7%9A_%D7%94%D7%A9%D7%9C%D7%9D" title="פונקציית הערך השלם">פונקציית הערך השלם</a>).</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="ראו_גם"><span id=".D7.A8.D7.90.D7.95_.D7.92.D7.9D"></span>ראו גם</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&action=edit&section=32" title="עריכת קוד המקור של הפרק: ראו גם"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&veaction=edit&section=32" title="עריכת פסקה: "ראו גם"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/%D7%90%D7%A7%D7%A1%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A0%D7%98" title="אקספוננט">אקספוננט</a></li> <li><a href="/wiki/%D7%93%D7%A2%D7%99%D7%9B%D7%94_%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%99%D7%9B%D7%99%D7%AA" title="דעיכה מעריכית">דעיכה מעריכית</a></li> <li><a href="/wiki/%D7%92%D7%93%D7%99%D7%9C%D7%94_%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%99%D7%9B%D7%99%D7%AA" title="גדילה מעריכית">גדילה מעריכית</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="קישורים_חיצוניים"><span id=".D7.A7.D7.99.D7.A9.D7.95.D7.A8.D7.99.D7.9D_.D7.97.D7.99.D7.A6.D7.95.D7.A0.D7.99.D7.99.D7.9D"></span>קישורים חיצוניים</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&action=edit&section=33" title="עריכת קוד המקור של הפרק: קישורים חיצוניים"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&veaction=edit&section=33" title="עריכת פסקה: "קישורים חיצוניים"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <table class="sistersitebox plainlinks noprint" style="margin: 0 1em 0.5em 0;float: left;"><tbody><tr><th style="text-align:center">מיזמי <a href="/wiki/%D7%A7%D7%A8%D7%9F_%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%9E%D7%93%D7%99%D7%94" title="קרן ויקימדיה">קרן ויקימדיה</a></th></tr><tr><td><div class="sisterwikilinkT"><span typeof="mw:File"><span title="ויקיספר"><img alt="ויקיספר" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikibooks-logo.svg/20px-Wikibooks-logo.svg.png" decoding="async" width="20" height="20" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikibooks-logo.svg/30px-Wikibooks-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikibooks-logo.svg/40px-Wikibooks-logo.svg.png 2x" data-file-width="300" data-file-height="300" /></span></span> ספר לימוד בוויקיספר: <b><a href="https://he.wikibooks.org/wiki/%D7%97%D7%A9%D7%91%D7%95%D7%9F/%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94" class="extiw" title="b:חשבון/חזקה">חזקה</a></b></div></td></tr><tr><td><div class="sisterwikilinkT"><span typeof="mw:File"><span title="ויקישיתוף"><img alt="ויקישיתוף" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/20px-Commons-logo.svg.png" decoding="async" width="20" height="27" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/30px-Commons-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/40px-Commons-logo.svg.png 2x" data-file-width="1024" data-file-height="1376" /></span></span> תמונות ומדיה בוויקישיתוף: <b><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Exponentiation" class="extiw" title="commons:Category:Exponentiation">חזקה (מתמטיקה)</a></b></div></td></tr></tbody></table><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r36773993">.mw-parser-output .sistersitebox{margin:4px 0;box-sizing:border-box;border:1px solid #aaa;font-size:88%;line-height:1.25em;background-color:#f9f9f9}</style> <ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.mathsisfun.com/algebra/exponent-laws.html">Laws of Exponents</a> חוקי חזקה עם דוגמאות <span dir="rtl" class="languageicon">(באנגלית)</span><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r36549940">.mw-parser-output .languageicon{font-size:0.95em;font-weight:bold;color:#555}</style></li> <li><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:National_Library_IL_logo.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/df/National_Library_IL_logo.svg/20px-National_Library_IL_logo.svg.png" decoding="async" width="20" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/df/National_Library_IL_logo.svg/30px-National_Library_IL_logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/df/National_Library_IL_logo.svg/40px-National_Library_IL_logo.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="397" /></a></span> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.nli.org.il/he/a-topic/987007562810505171">חזקות (אלגברה)</a>, דף שער ב<a href="/wiki/%D7%94%D7%A1%D7%A4%D7%A8%D7%99%D7%99%D7%94_%D7%94%D7%9C%D7%90%D7%95%D7%9E%D7%99%D7%AA" title="הספרייה הלאומית">ספרייה הלאומית</a></li></ul> <div style="clear: both;"></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="הערות_שוליים"><span id=".D7.94.D7.A2.D7.A8.D7.95.D7.AA_.D7.A9.D7.95.D7.9C.D7.99.D7.99.D7.9D"></span>הערות שוליים</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&action=edit&section=34" title="עריכת קוד המקור של הפרק: הערות שוליים"><span>עריכת קוד מקור</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&veaction=edit&section=34" title="עריכת פסקה: "הערות שוליים"" class="mw-editsection-visualeditor"><span>עריכה</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="reflist references-small"> <div class="mw-references-wrap mw-references-columns"><ol class="references"> <li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">^</a></span> <span class="reference-text">בספרו <b>La Géométrie</b>, ‏Leyde, 1637,‏ <a href="https://he.wikisource.org/wiki/fr:Page:Descartes_La_G%C3%A9om%C3%A9trie.djvu/9" class="extiw" title="s:fr:Page:Descartes La Géométrie.djvu/9">עמוד 299</a>: <span class="hebrewQuotation">”et <i>aa</i> ou <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f564e5dc0b6e68af32ca8614e972f5b36e944a24" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.284ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a^{2}}"></span> pour multiplier <i>a</i> par soi-même; et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{3}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{3}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abd83c98f7301a720f69dd6d4043461e4cc83daa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.284ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a^{3}}"></span> pour le multiplier encore une fois par <i>a</i>, et ainsi à l’infini”</span>. להרחבה ראו "<a rel="nofollow" class="external text" href="http://jeff560.tripod.com/operation.html">Earliest Uses of Symbols of Operation</a>" <span dir="rtl" class="languageicon">(באנגלית)</span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r36549940"></span> </li> <li id="cite_note-2" class="mw-cite-dir-ltr"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">^</a></span> <span class="reference-text">John J. O'Connor and Edmund F. Robertson, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Miscellaneous/Mathematical_notation.html">Etymology of some common mathematical terms</a>, MacTutor History of Mathematics archive</span> </li> <li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">^</a></span> <span class="reference-text">בשפת <a href="/wiki/Visual_Basic" class="mw-redirect" title="Visual Basic">Visual Basic</a>, למשל: <span dir="ltr"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://msdn.microsoft.com/en-us/library/zh100ckf.aspx">^ Operator</a></span></span> </li> <li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-4">^</a></span> <span class="reference-text">בשפת <a href="/wiki/PL/I" title="PL/I">PL/I</a>, למשל: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.ibm.com/support/knowledgecenter/SSQ2R2_8.5.1/com.ibm.ent.pl1.zos.doc/topics/lrm.pdf#page=34">PL/I Language Reference</a>, עמ' 34</span> </li> <li id="cite_note-5"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-5">^</a></span> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathworld.wolfram.com/ExponentLaws.html">Exponent Laws</a>, באתר <a href="/wiki/MathWorld" title="MathWorld">MathWorld</a> <span dir="rtl" class="languageicon">(באנגלית)</span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r36549940"></span> </li> <li id="cite_note-6"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-6">^</a></span> <span class="reference-text">לו היו מונחים במשבצת הראשונה 2 גרגירים, היינו צריכים במשבצת ה-<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaf8b0f621a23f81aa20d63b5cd59d3dcad83ccb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.975ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \ n}"></span> להניח <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ 2^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ 2^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea9823ef7d0d32b8ded615fdf7bb4b270af7386e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.962ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \ 2^{n}}"></span> גרגירים, אך כיוון שמונח בה גרגיר אחד, ביצוע פעולת החזקה מתחיל מהמשבצת השנייה, ועל כן יש להניח <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ 2^{(n-1)}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ 2^{(n-1)}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cfb5a4a5782dfbcf205fd7c9527f9ff5e66af87" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.341ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ 2^{(n-1)}}"></span> גרגרים במשבצת ה-<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaf8b0f621a23f81aa20d63b5cd59d3dcad83ccb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.975ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \ n}"></span>.</span> </li> <li id="cite_note-7" class="mw-cite-dir-ltr"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-7">^</a></span> <span class="reference-text">Whitfield Diffie and Martin E. Hellman, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://groups.csail.mit.edu/cis/crypto/classes/6.857/papers/diffie-hellman.pdf">New Directions in Cryptography</a>, <b> IEEE transactions on Information Theory</b> 22(6), 1976, pp. 644–654</span> </li> <li id="cite_note-8"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-8">^</a></span> <span class="reference-text"><span dir="ltr"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.faqs.org/faqs/sci-math-faq/specialnumbers/0to0/">sci.math FAQ: What is 0^0?</a></span><br /><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r36773988">.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:linear-gradient(transparent,transparent),url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:linear-gradient(transparent,transparent),url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:linear-gradient(transparent,transparent),url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:linear-gradient(transparent,transparent),url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg")right 0.1em center/12px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:none;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;color:#d33}.mw-parser-output .cs1-visible-error{color:#d33}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:#3a3;margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}.mw-parser-output .citation .reference-accessdate,.mw-parser-output .citation .reference-archive{unicode-bidi:isolate;direction:rtl}.mw-parser-output .citation .external{unicode-bidi:isolate}.mw-parser-output .reference-accessdate,.mw-parser-output .reference-archive-date{display:none}</style><cite class="citation web cs1"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.wolframalpha.com/input/?i=0^0">"Wolfram Alpha calculates 0^0"</a>. Wolfram Alpha LLC.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=unknown&rft.btitle=Wolfram+Alpha+calculates+0%5E0&rft.pub=Wolfram+Alpha+LLC&rft_id=http%3A%2F%2Fwww.wolframalpha.com%2Finput%2F%3Fi%3D0%5E0&rfr_id=info%3Asid%2Fhe.wikipedia.org%3A%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94+%28%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94%29" class="Z3988"></span></span> </li> <li id="cite_note-Denlingertitle-9"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-Denlingertitle_9-0">^</a></span> <span class="reference-text">Denlinger, Charles G., <b>Elements of Real Analysis</b>, Jones and Bartlett, 2011, pp. 278–283</span> </li> <li id="cite_note-10"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-10">^</a></span> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/complex.shtml">דוגמה לחישוב</a> באתר Cut The Knot <span dir="rtl" class="languageicon">(באנגלית)</span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r36549940"></span> </li> <li id="cite_note-11"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-11">^</a></span> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathworld.wolfram.com/PowerTower.html">Power Tower</a>, באתר <a href="/wiki/MathWorld" title="MathWorld">MathWorld</a> <span dir="rtl" class="languageicon">(באנגלית)</span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r36549940"></span> </li> <li id="cite_note-12"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-12">^</a></span> <span class="reference-text"><a href="/wiki/%D7%93%D7%95%D7%A0%D7%9C%D7%93_%D7%A7%D7%A0%D7%95%D7%AA%27" title="דונלד קנות'">Donald E. Knuth</a>, "<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.sciacchitano.it/Spazio/Coping%20with%20Finiteness.pdf">Coping With Finiteness</a>", <b><a href="/wiki/Science" title="Science">Science</a></b> 194(4271), December 1976, pp. 1235–1242.</span> </li> </ol></div></div> <p><br /> </p> <div style="clear:left;"> <table align="left"> <tbody><tr> <td><small><a href="/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%A8%D7%98%D7%9C:%D7%A2%D7%A8%D7%9B%D7%99%D7%9D_%D7%9E%D7%95%D7%9E%D7%9C%D7%A6%D7%99%D7%9D" title="פורטל:ערכים מומלצים">ערך מומלץ</a></small> </td> <td><figure class="noresize" typeof="mw:File"><a href="/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%A8%D7%98%D7%9C:%D7%A2%D7%A8%D7%9B%D7%99%D7%9D_%D7%9E%D7%95%D7%9E%D7%9C%D7%A6%D7%99%D7%9D" title="ערך מומלץ"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/65/Article_MediumPurple.svg/24px-Article_MediumPurple.svg.png" decoding="async" width="24" height="31" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/65/Article_MediumPurple.svg/36px-Article_MediumPurple.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/65/Article_MediumPurple.svg/48px-Article_MediumPurple.svg.png 2x" data-file-width="245" data-file-height="320" /></a><figcaption></figcaption></figure> </td></tr></tbody></table></div> <div role="navigation" class="navbox authority-control" aria-labelledby="בקרת_זהויות_15px&#124;link=https&#58;//www.wikidata.org/wiki/Q33456?uselang=he&#124;עריכת_הנתון_בוויקינתונים" style="padding:3px"><table class="nowraplinks hlist navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th id="בקרת_זהויות_15px&#124;link=https&#58;//www.wikidata.org/wiki/Q33456?uselang=he&#124;עריכת_הנתון_בוויקינתונים" scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%D7%A2%D7%96%D7%A8%D7%94:%D7%91%D7%A7%D7%A8%D7%AA_%D7%96%D7%94%D7%95%D7%99%D7%95%D7%AA" title="עזרה:בקרת זהויות">בקרת זהויות</a> <span typeof="mw:File"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q33456?uselang=he" title="עריכת הנתון בוויקינתונים"><img alt="עריכת הנתון בוויקינתונים" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5e/Blue_pencil_RTL.svg/15px-Blue_pencil_RTL.svg.png" decoding="async" width="15" height="15" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5e/Blue_pencil_RTL.svg/23px-Blue_pencil_RTL.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5e/Blue_pencil_RTL.svg/30px-Blue_pencil_RTL.svg.png 2x" data-file-width="600" data-file-height="600" /></a></span></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-right-width:2px;border-right-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"><div dir="ltr"> <ul><li><span class="nowrap"><a href="/wiki/%D7%94%D7%A1%D7%A4%D7%A8%D7%99%D7%99%D7%94_%D7%94%D7%9C%D7%90%D7%95%D7%9E%D7%99%D7%AA" title="הספרייה הלאומית">NLI</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://olduli.nli.org.il/F/?func=find-b&local_base=NLX10&find_code=UID&request=987007562810505171">987007562810505171</a></span></span></li> <li><span class="nowrap"><a href="/wiki/%D7%A9%D7%99%D7%98%D7%AA_%D7%A1%D7%A4%D7%A8%D7%99%D7%99%D7%AA_%D7%94%D7%A7%D7%95%D7%A0%D7%92%D7%A8%D7%A1" title="שיטת ספריית הקונגרס">LCCN</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.loc.gov/authorities/subjects/sh85046490">sh85046490</a></span></span></li></ul> </div></div></td></tr></tbody></table></div>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">אוחזר מתוך "<a dir="ltr" href="https://he.wikipedia.org/w/index.php?title=חזקה_(מתמטיקה)&oldid=39563772">https://he.wikipedia.org/w/index.php?title=חזקה_(מתמטיקה)&oldid=39563772</a>"</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94:%D7%A7%D7%98%D7%92%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%94" title="ויקיפדיה:קטגוריה">קטגוריות</a>: <ul><li><a href="/wiki/%D7%A7%D7%98%D7%92%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%94:%D7%A2%D7%A8%D7%9B%D7%99%D7%9D_%D7%9E%D7%95%D7%9E%D7%9C%D7%A6%D7%99%D7%9D" title="קטגוריה:ערכים מומלצים">ערכים מומלצים</a></li><li><a href="/wiki/%D7%A7%D7%98%D7%92%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%94:%D7%A4%D7%A2%D7%95%D7%9C%D7%95%D7%AA_%D7%91%D7%99%D7%A0%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%95%D7%AA" title="קטגוריה:פעולות בינאריות">פעולות בינאריות</a></li><li><a href="/wiki/%D7%A7%D7%98%D7%92%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%94:%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%94_%D7%91%D7%A1%D7%99%D7%A1%D7%99%D7%AA" title="קטגוריה:אלגברה בסיסית">אלגברה בסיסית</a></li><li><a href="/wiki/%D7%A7%D7%98%D7%92%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%94:%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94" title="קטגוריה:אריתמטיקה">אריתמטיקה</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">קטגוריות מוסתרות: <ul><li><a href="/wiki/%D7%A7%D7%98%D7%92%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%94:%D7%93%D7%A4%D7%99%D7%9D_%D7%A9%D7%9E%D7%A9%D7%AA%D7%9E%D7%A9%D7%99%D7%9D_%D7%91%D7%94%D7%A8%D7%97%D7%91%D7%94_JsonConfig" title="קטגוריה:דפים שמשתמשים בהרחבה JsonConfig">דפים שמשתמשים בהרחבה JsonConfig</a></li><li><a href="/wiki/%D7%A7%D7%98%D7%92%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%94:%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94:_%D7%A2%D7%A8%D7%9B%D7%99%D7%9D_%D7%A2%D7%9D_%D7%9E%D7%96%D7%94%D7%94_J9U" title="קטגוריה:ויקיפדיה: ערכים עם מזהה J9U">ויקיפדיה: ערכים עם מזהה J9U</a></li><li><a href="/wiki/%D7%A7%D7%98%D7%92%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%94:%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94:_%D7%A2%D7%A8%D7%9B%D7%99%D7%9D_%D7%A2%D7%9D_%D7%9E%D7%96%D7%94%D7%94_LCCN" title="קטגוריה:ויקיפדיה: ערכים עם מזהה LCCN">ויקיפדיה: ערכים עם מזהה LCCN</a></li></ul></div></div> </div> </main> <div id='mw-data-after-content'> <div class="read-more-container"></div> </div> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> דף זה נערך לאחרונה ב־6 בספטמבר 2024, בשעה 19:04.</li> <li id="footer-info-copyright">הטקסט מוגש בכפוף לרישיון <a rel="nofollow" class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.he">Creative Commons ייחוס-שיתוף זהה 4.0</a>; ייתכן שישנם תנאים נוספים. ר׳ את <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Terms_of_Use">תנאי השימוש</a> לפרטים.</li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy">מדיניות פרטיות</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94:%D7%90%D7%95%D7%93%D7%95%D7%AA">אודות ויקיפדיה</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94:%D7%94%D7%91%D7%94%D7%A8%D7%95%D7%AA_%D7%9E%D7%A9%D7%A4%D7%98%D7%99%D7%95%D7%AA">הבהרות משפטיות</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">קוד התנהגות</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">מפתחים</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/he.wikipedia.org">סטטיסטיקות</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">הצהרה על עוגיות</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//he.m.wikipedia.org/w/index.php?title=%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">תצוגת מכשירים ניידים</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> </div> </div> </div> <div class="vector-settings" id="p-dock-bottom"> <ul></ul> </div><script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-6b7f745dd4-m2jlh","wgBackendResponseTime":168,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.500","walltime":"0.761","ppvisitednodes":{"value":2542,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":10608,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":894,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":10,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":9,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":1,"limit":20},"unstrip-size":{"value":21678,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":1,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 297.022 1 -total"," 57.96% 172.163 12 תבנית:הערה"," 30.03% 89.206 1 תבנית:Cite_web"," 12.30% 36.530 1 תבנית:מיזמים"," 8.71% 25.882 2 תבנית:MathWorld"," 8.13% 24.143 3 תבנית:קוד"," 5.90% 17.515 5 תבנית:אנגלית"," 5.80% 17.239 1 תבנית:בקרת_זהויות"," 5.02% 14.921 1 תבנית:ערך_מומלץ"," 5.01% 14.880 3 תבנית:שפת_קישור"]},"scribunto":{"limitreport-timeusage":{"value":"0.139","limit":"10.000"},"limitreport-memusage":{"value":3985809,"limit":52428800}},"cachereport":{"origin":"mw-web.eqiad.main-7f58d5dcf5-mjdv8","timestamp":"20241109043403","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"\u05d7\u05d6\u05e7\u05d4 (\u05de\u05ea\u05de\u05d8\u05d9\u05e7\u05d4)","url":"https:\/\/he.wikipedia.org\/wiki\/%D7%97%D7%96%D7%A7%D7%94_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q33456","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q33456","author":{"@type":"Organization","name":"\u05ea\u05d5\u05e8\u05de\u05d9\u05dd \u05dc\u05de\u05d9\u05d6\u05de\u05d9 \u05d5\u05d9\u05e7\u05d9\u05de\u05d3\u05d9\u05d4"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Wikimedia Foundation, Inc.","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2005-03-22T15:04:13Z","dateModified":"2024-09-06T17:04:30Z","headline":"\u05e4\u05e2\u05d5\u05dc\u05d4 \u05de\u05ea\u05de\u05d8\u05d9\u05ea"}</script> </body> </html>

CINXE.COM

חזקה (מתמטיקה) – ויקיפדיה