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href="https://en.wikipedia.org/wiki/Connected_sum" title="Connected sum – anglais" lang="en" hreflang="en" data-title="Connected sum" data-language-autonym="English" data-language-local-name="anglais" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Koneksa_sumo" title="Koneksa sumo – espéranto" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Koneksa sumo" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="espéranto" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Suma_conexa" title="Suma conexa – espagnol" lang="es" hreflang="es" data-title="Suma conexa" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="espagnol" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Somma_connessa" title="Somma connessa – italien" lang="it" hreflang="it" data-title="Somma connessa" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="italien" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E7%B5%90%E5%92%8C" title="連結和 – japonais" lang="ja" hreflang="ja" data-title="連結和" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japonais" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%97%B0%EA%B2%B0%ED%95%A9" title="연결합 – coréen" lang="ko" hreflang="ko" data-title="연결합" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="coréen" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Verbonden_som" title="Verbonden som – néerlandais" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Verbonden som" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="néerlandais" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Soma_conectada" title="Soma conectada – portugais" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Soma conectada" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portugais" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B2%D1%8F%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D1%83%D0%BC%D0%BC%D0%B0" title="Связная сумма – russe" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Связная сумма" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="russe" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B2%27%D1%8F%D0%B7%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D1%83%D0%BC%D0%B0" title="Зв'язна сума – ukrainien" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Зв'язна сума" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ukrainien" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E9%80%9A%E5%92%8C" title="連通和 – chinois" lang="zh" hreflang="zh" data-title="連通和" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="chinois" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q1890389#sitelinks-wikipedia" title="Modifier les liens interlangues" class="wbc-editpage">Modifier les liens</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> 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class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">masquer</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="fr" dir="ltr"><div class="bandeau-container metadata bandeau-article bandeau-niveau-ebauche"><div class="bandeau-cell bandeau-icone" style="display:table-cell;padding-right:0.5em"><span class="noviewer" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Fichier:Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg" class="mw-file-description"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg/35px-Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg.png" decoding="async" width="35" height="35" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg/53px-Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg/70px-Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg.png 2x" data-file-width="128" data-file-height="128" /></a></span></div><div class="bandeau-cell" style="display:table-cell;padding-right:0.5em"> <p><strong class="bandeau-titre">Cet article est une <a href="/wiki/Aide:%C3%89bauche" title="Aide:Ébauche">ébauche</a> concernant les <a href="/wiki/Math%C3%A9matiques" title="Mathématiques">mathématiques</a>.</strong> </p><p>Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (<b><a href="/wiki/Aide:Comment_modifier_une_page" title="Aide:Comment modifier une page">comment ?</a></b>) selon les recommandations des <a href="/wiki/Projet:Accueil" title="Projet:Accueil">projets correspondants</a>. </p> </div></div> <div class="bandeau-container metadata homonymie hatnote"><div class="bandeau-cell bandeau-icone" style="display:table-cell;padding-right:0.5em"><span class="noviewer" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Aide:Homonymie" title="Aide:Homonymie"><img alt="Page d’aide sur l’homonymie" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a9/Logo_disambig.svg/20px-Logo_disambig.svg.png" decoding="async" width="20" height="15" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a9/Logo_disambig.svg/30px-Logo_disambig.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a9/Logo_disambig.svg/40px-Logo_disambig.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="375" /></a></span></div><div class="bandeau-cell" style="display:table-cell;padding-right:0.5em"> <p>Pour les articles homonymes, voir <a href="/wiki/Somme" class="mw-disambig" title="Somme">Somme</a>. </p> </div></div> <p>En <a href="/wiki/Math%C3%A9matiques" title="Mathématiques">mathématiques</a>, et plus précisément en <a href="/wiki/Topologie" title="Topologie">topologie</a>, la <b>somme connexe</b> est une <a href="/wiki/Op%C3%A9ration_(math%C3%A9matiques)" title="Opération (mathématiques)">opération</a> qui s'effectue sur des <a href="/wiki/Vari%C3%A9t%C3%A9_(g%C3%A9om%C3%A9trie)" title="Variété (géométrie)">variétés</a> <a href="/wiki/Connexit%C3%A9_(math%C3%A9matiques)" title="Connexité (mathématiques)">connexes</a> de même <a href="/wiki/Vari%C3%A9t%C3%A9_(g%C3%A9om%C3%A9trie)#La_dimension_et_la_topologie" title="Variété (géométrie)">dimension</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Définition"><span id="D.C3.A9finition"></span>Définition</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Somme_connexe&veaction=edit&section=1" title="Modifier la section : Définition" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Somme_connexe&action=edit&section=1" title="Modifier le code source de la section : Définition"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Connected_sum.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/52/Connected_sum.svg/220px-Connected_sum.svg.png" decoding="async" width="220" height="133" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/52/Connected_sum.svg/330px-Connected_sum.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/52/Connected_sum.svg/440px-Connected_sum.svg.png 2x" data-file-width="324" data-file-height="196" /></a><figcaption>Illustration de la somme connexe.</figcaption></figure> <p>La <b>somme connexe</b> de deux variétés connexes de même dimension <i>n</i> est obtenue en retirant à chacune un petit voisinage d'un point formé d'une boule ouverte, et en recollant les deux variétés ainsi obtenues (techniquement : en prenant l'espace <a href="/wiki/Topologie_quotient" title="Topologie quotient">quotient</a> de leur <a href="/wiki/Union_disjointe" class="mw-redirect" title="Union disjointe">union disjointe</a>) le long des deux <a href="/wiki/Sph%C3%A8re" title="Sphère">sphères</a> S<sup><i>n</i>–1</sup> apparues. Le résultat est une variété de dimension <i>n</i>, bien définie à <a href="/wiki/Hom%C3%A9omorphisme" title="Homéomorphisme">homéomorphisme</a> près, et connexe (sauf dans le cas où les deux variétés initiales sont homéomorphes à des droites réelles). </p><p>En dimension 2 par exemple, la somme connexe de deux <a href="/wiki/Surface_(g%C3%A9om%C3%A9trie)" class="mw-redirect" title="Surface (géométrie)">surfaces</a> abstraites est obtenue par découpage d'un <a href="/wiki/Disque_(g%C3%A9om%C3%A9trie)" title="Disque (géométrie)">disque</a> sur chacune et recollement le long des deux bords circulaires obtenus. </p><p>L'opération de somme connexe est notée # : <i>A</i>#<i>B</i> désigne la somme connexe de <i>A</i> et <i>B</i>. </p><p>La <a href="/wiki/Classification_des_surfaces" title="Classification des surfaces">classification des surfaces</a> « fermées » (c'est-à-dire <a href="/wiki/Espace_compact" class="mw-redirect" title="Espace compact">compactes</a> et <a href="/wiki/Vari%C3%A9t%C3%A9_(g%C3%A9om%C3%A9trie)#Variété_à_bord" title="Variété (géométrie)">sans bord</a>), un résultat fondamental et historiquement marquant en topologie, indique que toute surface connexe fermée est soit la sphère, soit une somme connexe de <i>g</i> <a href="/wiki/Tore" title="Tore">tores</a> <b>T</b> (si elle est orientable et de genre <i>g</i> > 0), soit une somme connexe de <i>k</i> <a href="/wiki/Plan_projectif_r%C3%A9el" title="Plan projectif réel">plans projectifs réels</a> <b>P</b>, <i>k</i> > 0 (si elle est non orientable). </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Exemples">Exemples</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Somme_connexe&veaction=edit&section=2" title="Modifier la section : Exemples" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Somme_connexe&action=edit&section=2" title="Modifier le code source de la section : Exemples"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>La somme connexe <b>T</b> # <b>T</b> de deux tores est un tore à deux <a href="/wiki/Anse_(math%C3%A9matiques)" title="Anse (mathématiques)">anses</a>.</li> <li>La somme connexe <b>P</b> # <b>P</b> de deux plans projectifs réels est la <a href="/wiki/Bouteille_de_Klein" title="Bouteille de Klein">bouteille de Klein</a> <b>K</b>.</li> <li>La <a href="/wiki/Surface_de_Dyck" class="mw-redirect" title="Surface de Dyck">surface de Dyck</a> est <b>P</b> # <b>K</b> = <b>P</b> # <b>P</b> # <b>P</b> = <b>P</b> # <b>T</b>.</li> <li>La somme connexe de deux cercles étant un cercle, cette notion n'est pas adaptée à l'étude des <a href="/wiki/N%C5%93ud_(math%C3%A9matiques)" title="Nœud (mathématiques)">nœuds</a>. Mais, en <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_des_n%C5%93uds" title="Théorie des nœuds">théorie des nœuds</a>, il existe une somme analogue, la <a href="/w/index.php?title=Composition_de_n%C5%93uds&action=edit&redlink=1" class="new" title="Composition de nœuds (page inexistante)">composition de nœuds</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Connected_sum#Connected_sum_of_knots" class="extiw" title="en:Connected sum"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « Connected_sum#Connected_sum_of_knots »">(en)</span></a>, qui définit une structure de <a href="/wiki/Mono%C3%AFde" title="Monoïde">monoïde</a> commutatif sur l'ensemble des nœuds.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Propriétés"><span id="Propri.C3.A9t.C3.A9s"></span>Propriétés</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Somme_connexe&veaction=edit&section=3" title="Modifier la section : Propriétés" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Somme_connexe&action=edit&section=3" title="Modifier le code source de la section : Propriétés"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Hormis dans le cas où les deux variétés initiales sont homéomorphes à des droites réelles, la somme connexe de deux variétés est toujours connexe. </p><p>La somme connexe des variétés abstraites de dimension <i>m</i> est une opération <a href="/wiki/Associativit%C3%A9" title="Associativité">associative</a> et <a href="/wiki/Commutativit%C3%A9" class="mw-redirect" title="Commutativité">commutative</a>, donnant à l'ensemble de ces variétés une structure de monoïde commutatif, d'<a href="/wiki/%C3%89l%C3%A9ment_neutre" title="Élément neutre">élément neutre</a> la sphère <i>S<sup>m</sup></i>. </p><p>La somme connexe de deux variétés est <a href="/wiki/Orientation_(math%C3%A9matiques)#Orientabilité_et_orientation_pour_une_variété" title="Orientation (mathématiques)">orientable</a> si et seulement si les deux variétés de départ sont orientables. </p> <ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail"><li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><span class="noviewer skin-invert-image" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Portail:Math%C3%A9matiques" title="Portail des mathématiques"><img alt="icône décorative" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg/24px-Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg.png" decoding="async" width="24" height="24" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg/36px-Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg/48px-Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg.png 2x" data-file-width="128" data-file-height="128" /></a></span></span> <span class="bandeau-portail-texte"><a href="/wiki/Portail:Math%C3%A9matiques" title="Portail:Mathématiques">Portail des mathématiques</a></span> </span></li> </ul>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Ce document provient de « <a dir="ltr" href="https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Somme_connexe&oldid=209229243">https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Somme_connexe&oldid=209229243</a> ».</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Accueil" title="Catégorie:Accueil">Catégories</a> : <ul><li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Topologie_diff%C3%A9rentielle" title="Catégorie:Topologie différentielle">Topologie différentielle</a></li><li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Th%C3%A9orie_des_n%C5%93uds" title="Catégorie:Théorie des nœuds">Théorie des nœuds</a></li><li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Construction_topologique" title="Catégorie:Construction topologique">Construction topologique</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Catégories cachées : <ul><li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Wikip%C3%A9dia:%C3%A9bauche_math%C3%A9matiques" title="Catégorie:Wikipédia:ébauche mathématiques">Wikipédia:ébauche mathématiques</a></li><li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Article_contenant_un_appel_%C3%A0_traduction_en_anglais" title="Catégorie:Article contenant un appel à traduction en anglais">Article contenant un appel à traduction en anglais</a></li><li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Portail:Math%C3%A9matiques/Articles_li%C3%A9s" title="Catégorie:Portail:Mathématiques/Articles liés">Portail:Mathématiques/Articles liés</a></li><li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Portail:Sciences/Articles_li%C3%A9s" title="Catégorie:Portail:Sciences/Articles liés">Portail:Sciences/Articles liés</a></li><li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Projet:Math%C3%A9matiques/Articles" title="Catégorie:Projet:Mathématiques/Articles">Projet:Mathématiques/Articles</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> La dernière modification de cette page a été faite le 1 novembre 2023 à 10:48.</li> <li id="footer-info-copyright"><span style="white-space: normal"><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Citation_et_r%C3%A9utilisation_du_contenu_de_Wikip%C3%A9dia" title="Wikipédia:Citation et réutilisation du contenu de Wikipédia">Droit d'auteur</a> : les textes sont disponibles sous <a rel="nofollow" class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.fr">licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes conditions</a> ; 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