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<!DOCTYPE html> <html dir="ltr" lang="es-ES" prefix="og: https://ogp.me/ns#"> <head> <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8" /> <meta name='viewport' content='width=device-width, initial-scale=1, maximum-scale=5' /> <title>Significado de números reales «Definición, clasificación, y propiedades»</title> <link rel="stylesheet" href="https://significado.com/wp-content/themes/sign24/style-principal-19042024.css" type='text/css' media='all' /> <link rel="preload" href="https://significado.com/wp-content/themes/sign24/fonts/mulish-v11-latin-ext_latin-regular.woff2" as="font" type="font/woff2" crossorigin="anonymous"> <style>@font-face {font-family: 'Mulish';font-style: normal;font-weight: 400;font-display: swap;src: local('Mulish'),url('https://significado.com/wp-content/themes/sign24/fonts/mulish-v11-latin-ext_latin-regular.woff2') format('woff2'),url('https://significado.com/wp-content/themes/sign24/fonts/mulish-v11-latin-ext_latin-regular.woff') format('woff'),url('https://significado.com/wp-content/themes/sign24/fonts/mulish-v11-latin-ext_latin-regular.ttf') format('truetype'),url('https://significado.com/wp-content/themes/sign24/fonts/mulish-v11-latin-ext_latin-regular.svg') format('svg');}</style> <link rel="shortcut icon" href="https://significado.com/wp-content/themes/sign24/images/sig-favicon.ico" /> <link rel="preconnect" href="https://adservice.google.com/"> <link rel="preconnect" href="https://googleads.g.doubleclick.net/"> <link rel="preconnect" href="https://www.googletagservices.com/"> <link rel="preconnect" href="https://tpc.googlesyndication.com/"> <meta name="robots" content="all | index | follow" /> <link rel="canonical" href="https://significado.com/numeros-reales-2/" /> <meta name="description" content='Relaciones entre conjuntos numéricos. Subconjuntos de Reales Básicamente, dado un punto en la recta real, no nos podemos mover mediante ninguna...' /> <meta property="og:description" content='Relaciones entre conjuntos numéricos. Subconjuntos de Reales Básicamente, dado un punto en la recta real, no nos podemos mover mediante ninguna...' /> <meta property="og:title" content="Definición de Números Reales" /> <meta property="og:type" content="article" /> <meta property="og:url" content="https://significado.com/numeros-reales-2/" /> <meta property="og:image" content="https://significado.com/img/cien/numeros-reales-clasificacion.jpg" /> <meta property="og:site_name" content="Significado.com"/> <style>img:is([sizes="auto" i], [sizes^="auto," i]) { contain-intrinsic-size: 3000px 1500px }</style> <script async src="https://www.googletagmanager.com/gtag/js?id=G-Y06MF97MWF"></script> <script> window.dataLayer = window.dataLayer || []; function gtag(){dataLayer.push(arguments);} gtag('js', new Date()); gtag('config', 'G-Y06MF97MWF'); </script> <script id="MathJax-script" async src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/mathjax@3/es5/tex-mml-chtml.js"></script> </head> <body> <div id="pagina"> <div class="contenedor caja"> <header id="cabecera"> <div class="logoabc"><h2 class="izquierda-logo"><a href="https://significado.com/">Significado.com</a></h2></div> <div class="cabecera-buscador"><form action="https://significado.com/" method="get" class="der-buscador"><div class="der-buscador-ingresar"><div class="der-buscador-ingresar2"><label><input type="text" class="der-buscador-campo-prin" name="s" placeholder="Buscar" value="" /></label><input type="submit" class="der-buscador-boton-consultar" value="IR" /></div></div></form></div> <div class="clear"> </div> </header> <nav class="iniciomenu"> <div class="dabc-demenunav"> <ul class="dabc-menunav"> <li><a href="https://significado.com/indiceglobal/" class="active">Índice A/Z</a></li> <li><a href="https://significado.com/inicio/filosofia/">Filosofía</a></li> <li><a href="https://significado.com/inicio/psicologia/">Psicología</a></li> <li><a href="https://significado.com/inicio/historia/">Historia</a></li> <li><a href="https://significado.com/inicio/cultura/">Cultura</a></li> <li><a href="https://significado.com/inicio/sociedad/">Sociedad</a></li> <li><a href="https://significado.com/inicio/geografia/">Geografía</a></li> <li><a href="https://significado.com/inicio/biologia/">Biología</a></li> <li><a href="https://significado.com/inicio/quimica/">Química</a></li> <li><a href="https://significado.com/inicio/fisica/">Física</a></li> <li><a href="https://significado.com/inicio/matematicas/">Matemáticas</a></li> <li><a href="https://significado.com/inicio/tecnologia/">Tecnología</a></li> <li><a href="https://significado.com/inicio/importancia/">De Importancia</a></li> <li><a href="https://significado.com/conozcanos/">Conózcanos</a></li> </ul> </div> </nav> <div class="clear"> </div> <div class="caja caja-620 caja-margen-derecho"> <div class="breadcrumb"> <a href="https://significado.com/">Inicio</a> » </div> <article class="definicion"> <h1 class="definicion-titulo"><strong>Significado de números reales</strong> <em>Definición, clasificación, y propiedades</em></h1> <div class="analisis"> <div class="intro-autoria"><div class="intro-autoria-texto"><div class="intro-autoria-foto"><img src="https://significado.com/img/perfil/a20477-2.jpg" width="55" height="55" /></div><strong>Francisco J. Ibarrola</strong><br />Doctor en Ingeniería</div></div> <script type='text/javascript'> function go_here(navigation_list) { var new_ContentPagesURL = navigation_list.options[navigation_list.selectedIndex].value; if (new_ContentPagesURL != "") { self.location = new_ContentPagesURL; } } </script> <div class="menu3indice-celular-escritorio"> <select name="menu3-indice-salto" onchange="go_here(this)"> <option value="" selected="selected" disabled="disabled">Índice del artículo ↕</option> <option value="#definicion-formal">Definición formal</option> <option value="#clasificacion-naturales">Clasificación: Naturales</option> <option value="#clasificacion-enteros">Clasificación: Enteros</option> <option value="#clasificacion-racionales">Clasificación: Racionales</option> <option value="#propiedades-numeros-reales">Propiedades de los Números Reales</option> <option value="#numeros-complejos">Números complejos</option></select> </div> <h3><span id="definicion-formal">Definición formal</span></h3> <p>Un número real es un valor que puede cuantificar cualquier distancia entre dos puntos reconocidos sobre una recta.</p> <figure id="attachment_3783" class="maxima"><a href="https://significado.com/img/cien/numeros-reales-clasificacion.jpg"><img fetchpriority="high" decoding="async" src="https://significado.com/img/cien/numeros-reales-clasificacion.jpg" alt="" width="832" height="491" class="maxima size-full wp-image-3783" /></a><figcaption>Relaciones entre conjuntos numéricos. Subconjuntos de Reales</figcaption></figure> <p>Básicamente, dado un punto en la recta real, no nos podemos mover mediante ninguna operación numérica a otro punto de la recta que no sea, específicamente, un número real.</p> <div class="pag042024-sign-sup"> <script async src="https://pagead2.googlesyndication.com/pagead/js/adsbygoogle.js?client=ca-pub-5928357609385979" crossorigin="anonymous"></script> <ins class="adsbygoogle" style="display:block; text-align:center;" data-ad-layout="in-article" data-ad-format="fluid" data-ad-client="ca-pub-5928357609385979" data-ad-slot="3160111261"></ins> <script> (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); </script> </div> <p>El término «reales» tiene el propósito original de distinguir a estos números de las raíces «imaginarias» de un polinomio. De este modo, los números comprendidos en \(\mathbb{R}\) agrupa el espectro de los racionales, del cual se desprenden los naturales y enteros, y por el otro lado, se identifican los irracionales, tal como lo ilustra la figura principal de la nota y como lo explicamos en las próximas líneas.</p> <h3><span id="clasificacion-naturales">Clasificación: Naturales</span></h3> <p>El primer conjunto de números que aprendemos de pequeños, es el conjunto de los números naturales, <em>1, 2, 3, 4, …</em> . Suponiendo que conocemos de antemano el concepto de suma (lo que es hacer un poco de trampa) este conjunto puede definirse como \(\mathbb{N} \doteq \{1\}\cup\{n+1,\; \forall n\in \mathbb{N}\}\). Esto quiere decir que \(\mathbb{N}\) es el conjunto que contiene al 1, y a todo elemento que se pueda obtener sumando 1 a otro elemento del conjunto. </p> <div class="pag-sign-medio"> <script async src="https://pagead2.googlesyndication.com/pagead/js/adsbygoogle.js?client=ca-pub-5928357609385979" crossorigin="anonymous"></script> <ins class="adsbygoogle" style="display:block; text-align:center;" data-ad-layout="in-article" data-ad-format="fluid" data-ad-client="ca-pub-5928357609385979" data-ad-slot="6309072681" data-full-width-responsive="true"></ins> <script> (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); </script> </div> <p>Sobre el conjunto de los números naturales está definida entonces la suma, y puede demostrarse por inducción que si sumamos dos números naturales, obtenemos otro número natural. Pero ¿qué pasa si queremos resolver la siguiente ecuación?</p> <p><em>x + 2 = 1</em></p> <h3><span id="clasificacion-enteros">Clasificación: Enteros</span></h3> <p>La ecuación anterior no tiene solución en los números naturales, y es por eso que agregamos los números negativos y el cero para formar los números enteros \(\mathbb{Z} \doteq \mathbb{N}\cup\{0\}\cup\{-n,\; \forall n\in\mathbb{N}\} = \{\ldots -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}\). Ahora podemos restar tranquilos, que siempre nos vamos a mantener dentro de \(\mathbb{Z}\).</p> <p>Pero nos gustaría definir también el producto. Y si bien es cierto que el producto de dos números enteros da como resultado un número entero, nos encontramos con que la ecuación </p> <p><em>2x = 3</em></p> <p>no tiene solución en \(\mathbb{Z}\).</p> <h3><span id="clasificacion-racionales">Clasificación: Racionales</span></h3> <p>Entonces, es hora de volver a ampliar nuestro conjunto, y definir los números racionales \(\mathbb{Q} \doteq \{\frac{p}{q}, \,\forall p, q\in\mathbb{Z}, q\neq 0\}\). Es decir, todos los números que pueden escribirse como cociente de dos números enteros.</p> <p>Pero todavía falta la potenciación. Y cuando nos damos cuenta de que la ecuación</p> <p><em>x<sup>2</sup> = 2</em></p> <p>no tiene solución en \(\mathbb{Q}\), es que nos damos cuenta de que tiene que haber algo más: los números irracionales \(\mathbb{I}\), que junto a \(\mathbb{Q}\) conforman los números reales.</p> <h3><span id="propiedades-numeros-reales">Propiedades de los Números Reales</span></h3> <p>Las propiedades básicas de los números reales son las siguientes:</p> <p>1. \(\mathbb{R}\) es un conjunto ordenado, por lo que dados \(x, y, z \in \mathbb{R}\) cualesquiera, se cumplen:</p> <p>A) Reflexividad: \(x\leq x\) .</p> <p>B) Transitividad: Si \(x\leq y\) y \(y\leq z\), entonces \(x\leq z\) .</p> <p>C) Antisimetría: Si \(x\leq y\) y \(y\leq x\) entonces <em>x=y</em> .</p> <p>D) Completitud: \(x\leq y\) o \(y\leq x\) .</p> <p>2. La suma y el producto son cerrados. Es decir, siempre \(x+y\in\mathbb{R}\) , \(xy\in\mathbb{R}\) .</p> <p>3. Potencia del Continuo: No se puede establecer una biyección entre los números reales y los naturales. En otras palabras, no se puede hacer una lista infinita con todos los números reales: son «más infinitos» que los naturales.</p> <p>4. \(\mathbb{R}\) es completo como espacio métrico: Es decir que toda sucesión de Cauchy (sucesión cuyos elementos están cada vez más cerca) converge a un límite.<br /> \end{enumerate}</p> <h3><span id="numeros-complejos">Números complejos</span></h3> <p>Así como vimos que la imposibilidad de resolver <em>2x = 3</em> en \(\mathbb{Z}\) justifica la creación de \(\mathbb{Q}\), existe otro conjunto de números más grande, que contiene a \(\mathbb{R}\) y permite resolver</p> <p><em>x<sup>2</sup> = -2</em></p> <p>Se llaman números complejos, \(\mathbb{C}\), e incorporan la unidad imaginaria <em>i</em>, que cumple <em>i<sup>2</sup> = -1</em>. Estos números tienen la forma \(x+iy\), \(x, y \in\mathbb{R}\), y ya no se ubican en la recta, sino en el plano, donde la primera coordenada representa la componente real <em>x</em>, y la segunda coordenada la componente imaginaria <em>y</em>.</p> <div class="clear"> </div> <footer class="definicion-pie"> <a href="https://significado.com/numeros-reales/"> Siguiente </a> </footer> <div class="clear"> </div> <div id="marco-relacionado" class="marco-relacionado"><ul> <li><a href="https://significado.com/numeros-reales/">Números Reales</a></li><li><a href="https://significado.com/conjunto/">Conjunto, en Matemáticas</a></li><li><a href="https://significado.com/numero-decimal/">Número Decimal</a></li><li><a href="https://significado.com/numeros-decimales/">Números Decimales</a></li><li><a href="https://significado.com/numeros-racionales/">Números Racionales</a></li><li><a href="https://significado.com/numeros-naturales/">Números Naturales</a></li><li><a href="https://significado.com/numeros-enteros/">Números Enteros</a></li></ul></div><div class="clear"> </div> <div class="indica-autor"> <div class="indica-autor-foto"><img src="https://significado.com/img/perfil/a20477-2.jpg" width="75" height="75" /></div>Por: <strong>Francisco J. Ibarrola</strong>. Matemático doctorado en Ingeniería, en Inteligencia Computacional, Señales y Sistemas. Especialista en procesamiento de señales e imágenes, teoría de regularización, modelos Bayesianos, Machine Learning e Inteligencia Artificial. Fanático del Utilitarianismo y Racionalidad Bayesiana. <br /><br />Trabajo publicado en: Feb., 2021.<br /> <div class="citar-abc-nav1"><strong>Datos para citar en modelo APA</strong>: Ibarrola, Francisco J. (febrero, 2021). <em>Significado de Números Reales</em>. Significado.com. Desde https://significado.com/numeros-reales-2/</div> </div> <div class="clear"> </div> <div class="clear"> </div> </div> </article> </div> </div> <div class="indice-diccionario"> <div class="in-dic-css"> <strong>Índice</strong> <li><a href="https://significado.com/a/">A</a></li> <li><a href="https://significado.com/b/">B</a></li> <li><a href="https://significado.com/c/">C</a></li> <li><a href="https://significado.com/d/">D</a></li> <li><a href="https://significado.com/e/">E</a></li> <li><a href="https://significado.com/f/">F</a></li> <li><a href="https://significado.com/g/">G</a></li> <li><a href="https://significado.com/h/">H</a></li> <li><a href="https://significado.com/i/">I</a></li> <li><a href="https://significado.com/j/">J</a></li> <li><a href="https://significado.com/k/">K</a></li> <li><a href="https://significado.com/l/">L</a></li> <li><a href="https://significado.com/m/">M</a></li> <li><a href="https://significado.com/n/">N</a></li> <li><a href="https://significado.com/o/">O</a></li> <li><a href="https://significado.com/p/">P</a></li> <li><a href="https://significado.com/q/">Q</a></li> <li><a href="https://significado.com/r/">R</a></li> <li><a href="https://significado.com/s/">S</a></li> <li><a href="https://significado.com/t/">T</a></li> <li><a href="https://significado.com/u/">U</a></li> <li><a href="https://significado.com/v/">V</a></li> <li><a href="https://significado.com/w/">W</a></li> <li><a href="https://significado.com/x/">X</a></li> <li><a href="https://significado.com/y/">Y</a></li> <li><a href="https://significado.com/z/">Z</a></li> </div> </div> <footer id="pie"> <div class="contenedor"> <div class="izquierda-pie"> <p class="izquierda-pie"> © 2007-2025 Significado.com. Reúne profesionales de grado universitario de habla hispana. Editado desde San Pablo, Brasil. Por ONMIDIA LTDA, registrado sobre la persona jurídica (CNPJ) 22.919.457.0001-37.<br /> <a href="https://significado.com/sobre-privacidad/">Respeto a su privacidad</a> - <a href="https://significado.com/conozcanos/">Conózcanos</a> </p> <div class="clear"> </div> </div> <a href="https://significado.com/" id="logo-pie" class="derecha">Significado.com</a> <div class="clear"> </div> </div> </footer> </div> </body> </html>