Інтегрувальний множник

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs" lang="uk" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Інтегрувальний множник — Вікіпедія</title> <script>(function(){var className="client-js";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )ukwikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t."," \t,"],"wgDigitTransformTable":["",""],"wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","січень","лютий","березень","квітень","травень","червень","липень","серпень","вересень","жовтень","листопад","грудень"],"wgRequestId":"e2399a06-f6f7-4bd0-b6a6-6a62cc17e4d1","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Інтегрувальний_множник","wgTitle":"Інтегрувальний множник","wgCurRevisionId":42758813, "wgRevisionId":42758813,"wgArticleId":1644596,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":["Звичайні диференціальні рівняння"],"wgPageViewLanguage":"uk","wgPageContentLanguage":"uk","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Інтегрувальний_множник","wgRelevantArticleId":1644596,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgFlaggedRevsParams":{"tags":{"accuracy":{"levels":3}}},"wgStableRevisionId":42758813,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"uk","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"uk"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false, "wgWMEPageLength":5000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":true,"wgVector2022LanguageInHeader":false,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q2734005","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={"ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.math.styles":"ready","skins.vector.styles.legacy":"ready","ext.flaggedRevs.basic":"ready","mediawiki.codex.messagebox.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","codex-search-styles":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready", "wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["site","mediawiki.page.ready","skins.vector.legacy.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.flaggedRevs.advanced","ext.gadget.CurIDLink","ext.gadget.collapserefs","ext.gadget.showContributorContent","ext.gadget.switcher","ext.gadget.edittop","ext.gadget.new-section","ext.gadget.newTopicOnTop","ext.gadget.MonobookToolbarStandard","ext.gadget.ProtectionIndicator","ext.gadget.Statistics","ext.gadget.interwiki-langlist","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.compactlinks","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","wikibase.sidebar.tracking"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); }];});});</script> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=uk&modules=codex-search-styles%7Cext.flaggedRevs.basic%7Cext.math.styles%7Cext.uls.interlanguage%7Cext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript%7Cext.wikimediaBadges%7Cmediawiki.codex.messagebox.styles%7Cskins.vector.styles.legacy%7Cwikibase.client.init&only=styles&skin=vector"> <script async="" src="/w/load.php?lang=uk&modules=startup&only=scripts&raw=1&skin=vector"></script> <meta name="ResourceLoaderDynamicStyles" content=""> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=uk&modules=site.styles&only=styles&skin=vector"> <meta name="generator" content="MediaWiki 1.44.0-wmf.5"> <meta name="referrer" content="origin"> <meta name="referrer" content="origin-when-cross-origin"> <meta name="robots" content="max-image-preview:standard"> <meta name="format-detection" content="telephone=no"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/75/De_template.svg/1200px-De_template.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="1200"> <meta property="og:image:height" content="1241"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/75/De_template.svg/800px-De_template.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="800"> <meta property="og:image:height" content="827"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/75/De_template.svg/640px-De_template.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="640"> <meta property="og:image:height" content="662"> <meta name="viewport" content="width=1120"> <meta property="og:title" content="Інтегрувальний множник — Вікіпедія"> <meta property="og:type" content="website"> <link rel="preconnect" href="//upload.wikimedia.org"> <link rel="alternate" media="only screen and (max-width: 640px)" href="//uk.m.wikipedia.org/wiki/%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%B8%D0%BA"> <link rel="alternate" type="application/x-wiki" title="Редагувати" href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%B8%D0%BA&action=edit"> <link rel="apple-touch-icon" href="/static/apple-touch/wikipedia.png"> <link rel="icon" href="/static/favicon/wikipedia.ico"> <link rel="search" type="application/opensearchdescription+xml" href="/w/rest.php/v1/search" title="Вікіпедія (uk)"> <link rel="EditURI" type="application/rsd+xml" href="//uk.wikipedia.org/w/api.php?action=rsd"> <link rel="canonical" href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%B8%D0%BA"> <link rel="license" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.uk"> <link rel="alternate" type="application/atom+xml" title="Вікіпедія — Atom-стрічка" href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9D%D0%BE%D0%B2%D1%96_%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B0%D0%B3%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F&feed=atom"> <link rel="dns-prefetch" href="//meta.wikimedia.org" /> <link rel="dns-prefetch" href="//login.wikimedia.org"> </head> <body class="skin-vector-legacy mediawiki ltr sitedir-ltr mw-hide-empty-elt ns-0 ns-subject mw-editable page-Інтегрувальний_множник rootpage-Інтегрувальний_множник skin-vector action-view"><div id="mw-page-base" class="noprint"></div> <div id="mw-head-base" class="noprint"></div> <div id="content" class="mw-body" role="main"> <a id="top"></a> <div id="siteNotice"></div> <div class="mw-indicators"> </div> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Інтегрувальний множник</span></h1> <div id="bodyContent" class="vector-body"> <div id="siteSub" class="noprint">Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.</div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="contentSub2"></div> <div id="jump-to-nav"></div> <a class="mw-jump-link" href="#mw-head">Перейти до навігації</a> <a class="mw-jump-link" href="#searchInput">Перейти до пошуку</a> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="uk" dir="ltr"><table class="vertical-navbox nowraplinks hlist" style="float:right;clear:right;width:22.0em;margin:0 0 1.0em 1.0em;background:#f9f9f9;border:1px solid #aaa;padding:0.2em;border-spacing:0.4em 0;text-align:center;line-height:1.4em;font-size:88%;width:"><tbody><tr><th style="padding:0.2em 0.4em 0.2em;font-size:145%;line-height:1.2em;padding-bottom:0.6em;"><a href="/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Диференціальні рівняння">Диференціальні рівняння</a></th></tr><tr><td style="padding:0.2em 0 0.4em"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:De_template.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/75/De_template.svg/150px-De_template.svg.png" decoding="async" width="150" height="155" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/75/De_template.svg/225px-De_template.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/75/De_template.svg/300px-De_template.svg.png 2x" data-file-width="117" data-file-height="121" /></a></span></td></tr><tr><td style="padding:0 0.1em 0.4em"> <div class="NavFrame collapsed" style="border:none;padding:0"><div class="NavHead" style="font-size:105%;background:transparent;text-align:left">Види рівнянь</div><div class="NavContent" style="font-size:105%;padding:0.2em 0 0.4em;text-align:center"> <ul><li><a href="/wiki/%D0%97%D0%B2%D0%B8%D1%87%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D1%96_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Звичайні диференціальні рівняння">Звичайні</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B5_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%B7_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B8_%D0%BF%D0%BE%D1%85%D1%96%D0%B4%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B8" title="Диференціальне рівняння з частинними похідними">З частинними похідними</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9B%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%B5_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B5_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Лінійне диференціальне рівняння">Лінійні </a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%BB%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0" title="Нелінійна система">Нелінійні</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%90%D0%B2%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%BD%D0%B5_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B5_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Автономне диференціальне рівняння">Автономні</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0%D1%97%D1%87%D0%BD%D0%B5_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B5_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F&action=edit&redlink=1" class="new" title="Алгебраїчне диференціальне рівняння (ще не написана)">Алгебраїчні</a><sup class="noprint"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_differential_equation" class="extiw" title="en:Algebraic differential equation"><span title="Algebraic differential equation — версія статті «Алгебраїчне диференціальне рівняння» англійською мовою" style="font-style:normal;font-weight:normal;font-size:normal">[en]</span></a></sup></li> <li><a href="/w/index.php?title=%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0%D1%97%D1%87%D0%BD%D0%B5_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F&action=edit&redlink=1" class="new" title="Диференціально-алгебраїчне рівняння (ще не написана)">Диференціально-алгебраїчні</a><sup class="noprint"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Differential_algebraic_equation" class="extiw" title="en:Differential algebraic equation"><span title="Differential algebraic equation — версія статті «Диференціально-алгебраїчне рівняння» англійською мовою" style="font-style:normal;font-weight:normal;font-size:normal">[en]</span></a></sup></li> <li><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%BE-%D0%B4%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B5_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F&action=edit&redlink=1" class="new" title="Інтегро-диференціальне рівняння (ще не написана)">Інтегро-диференціальні</a><sup class="noprint"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Integro-differential_equation" class="extiw" title="en:Integro-differential equation"><span title="Integro-differential equation — версія статті «Інтегро-диференціальне рівняння» англійською мовою" style="font-style:normal;font-weight:normal;font-size:normal">[en]</span></a></sup></li> <li><a href="/wiki/%D0%9E%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B4%D0%BD%D0%B5_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B5_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F" class="mw-redirect" title="Однорідне диференціальне рівняння">Однорідні</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A0%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%B2_%D0%BF%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%B8%D1%85_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D0%B0%D1%85" title="Рівняння в повних диференціалах">Рівняння в повних диференціалах</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A1%D1%82%D0%BE%D1%85%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B5_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B5_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Стохастичне диференціальне рівняння">Стохастичні</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B5_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%B7_%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D1%96%D0%B7%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F%D0%BC&action=edit&redlink=1" class="new" title="Диференціальне рівняння з запізненням (ще не написана)">З запізненням</a><sup class="noprint"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Delay_differential_equation" class="extiw" title="en:Delay differential equation"><span title="Delay differential equation — версія статті «Диференціальне рівняння з запізненням» англійською мовою" style="font-style:normal;font-weight:normal;font-size:normal">[en]</span></a></sup></li></ul></div></div></td> </tr><tr><td style="padding:0 0.1em 0.4em"> <div class="NavFrame collapsed" style="border:none;padding:0"><div class="NavHead" style="font-size:105%;background:transparent;text-align:left">Загальні теми</div><div class="NavContent" style="font-size:105%;padding:0.2em 0 0.4em;text-align:center"> <ul><li><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80" title="Фазовий простір">Фазовий простір</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0_%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%B2%D0%B0" title="Інтегральна крива">Інтегральна крива</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%9F%D1%96%D0%BA%D0%B0%D1%80%D0%B0_%E2%80%94_%D0%9B%D1%96%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D1%84%D0%B0" title="Теорема Пікара — Лінделефа">Теорема Пікара — Лінделефа</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%82%D1%80%D0%B5%D1%82" title="Фазовий портрет">Фазовий портрет</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80" title="Диференціальний оператор">Диференціальний оператор</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%92%D0%B8%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%BA_%D0%92%D1%80%D0%BE%D0%BD%D1%81%D1%8C%D0%BA%D0%BE%D0%B3%D0%BE" title="Визначник Вронського">Визначник Вронського</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A1%D1%82%D1%96%D0%B9%D0%BA%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C_(%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D1%96%D1%87%D0%BD%D1%96_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B8)" title="Стійкість (динамічні системи)">Стійкість</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B5_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Чисельне інтегрування">Чисельне інтегрування</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8F_(%D0%BB%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D1%96_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F)" title="Фундаментальна матриця (лінійні диференціальні рівняння)">Фундаментальна матриця</a></li></ul></div></div></td> </tr><tr><td style="padding:0 0.1em 0.4em"> <div class="NavFrame" style="border:none;padding:0"><div class="NavHead" style="font-size:105%;background:transparent;text-align:left">Методи розв'язання</div><div class="NavContent" style="font-size:105%;padding:0.2em 0 0.4em;text-align:center"> <ul><li><a href="/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D1%85%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BA" title="Метод характеристик">Метод характеристик</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A0%D0%BE%D0%B7%D0%B4%D1%96%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%B7%D0%BC%D1%96%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D1%85" title="Розділення змінних">Розділення змінних</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%97%D0%BD%D0%B8%D0%B6%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BA%D1%83" title="Знижування порядку">Знижування порядку</a></li> <li><a class="mw-selflink selflink">Інтегрувальний множник</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%BD%D0%B5%D0%B2%D0%B8%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%85_%D0%BA%D0%BE%D0%B5%D1%84%D1%96%D1%86%D1%96%D1%94%D0%BD%D1%82%D1%96%D0%B2" title="Метод невизначених коефіцієнтів">Метод невизначених коефіцієнтів</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%B2%D0%B0%D1%80%D1%96%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%97_%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D0%B2" title="Метод варіації параметрів">Метод варіації параметрів</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%95%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0" title="Метод Ейлера">Метод Ейлера</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%A0%D1%83%D0%BD%D0%B3%D0%B5_%E2%80%94_%D0%9A%D1%83%D1%82%D1%82%D0%B8" title="Метод Рунге — Кутти">Метод Рунге — Кутти</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%90%D0%B4%D0%B0%D0%BC%D1%81%D0%B0" title="Метод Адамса">Метод Адамса</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D1%81%D0%BA%D1%96%D0%BD%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D1%85_%D1%80%D1%96%D0%B7%D0%BD%D0%B8%D1%86%D1%8C" title="Метод скінченних різниць">Метод скінченних різниць</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%9A%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%BA%D0%B0-%D0%9D%D1%96%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D1%81%D0%BE%D0%BD" class="mw-redirect" title="Метод Кранка-Ніколсон">Метод Кранка-Ніколсон</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D1%81%D0%BA%D1%96%D0%BD%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D1%85_%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%96%D0%B2" title="Метод скінченних елементів">Метод скінченних елементів</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%93%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BE%D1%80%D0%BA%D1%96%D0%BD%D0%B0" title="Метод Гальоркіна">Метод Гальоркіна</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B5_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%B2%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Інтегральне перетворення">Інтегральне перетворення</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F_%D0%B7%D0%B1%D1%83%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%8C" title="Теорія збурень">Теорія збурень</a></li></ul></div></div></td> </tr><tr><td style="padding:0 0.1em 0.4em"> <div class="NavFrame collapsed" style="border:none;padding:0"><div class="NavHead" style="font-size:105%;background:transparent;text-align:left">Відомі рівняння</div><div class="NavContent" style="font-size:105%;padding:0.2em 0 0.4em;text-align:center"> <ul><li><a href="/wiki/%D0%A0%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%9B%D0%BE%D1%82%D0%BA%D0%B8_%E2%80%94_%D0%92%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%B5%D1%80%D1%80%D0%B8" title="Рівняння Лотки — Вольтерри">Рівняння Лотки-Вольтерри</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%94%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80_%D0%9B%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B0" title="Дивний атрактор Лоренца">Дивний атрактор Лоренца</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A0%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%94%D1%83%D1%84%D1%84%D1%96%D0%BD%D0%B3%D0%B0" title="Рівняння Дуффінга">Рівняння Дуффінга</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9E%D1%81%D1%86%D0%B8%D0%BB%D1%8F%D1%82%D0%BE%D1%80_%D0%92%D0%B0%D0%BD_%D0%B4%D0%B5%D1%80_%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D1%8F" title="Осцилятор Ван дер Поля">Осцилятор Ван дер Поля</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%A5%D0%B5%D0%BD%D0%BE%D0%BD%D0%B0-%D0%93%D0%B5%D0%B9%D0%BB%D1%81%D0%B0" class="mw-redirect" title="Система Хенона-Гейлса">Система Хенона-Гейлса</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A0%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%A0%D1%96%D0%BA%D0%BA%D0%B0%D1%82%D1%96" title="Рівняння Ріккаті">Рівняння Ріккаті</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A5%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BE%D0%B2%D0%B5_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Хвильове рівняння">Хвильове рівняння</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A0%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%9B%D0%B0%D0%BF%D0%BB%D0%B0%D1%81%D0%B0" title="Рівняння Лапласа">Рівняння Лапласа</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A0%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%83%D0%B7%D1%96%D1%97" title="Рівняння дифузії">Рівняння дифузії</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A0%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%91%D1%8E%D1%80%D0%B3%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%B0" title="Рівняння Бюргерса">Рівняння Бюргерса</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A0%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%9D%D0%B0%D0%B2%27%D1%94_%E2%80%94_%D0%A1%D1%82%D0%BE%D0%BA%D1%81%D0%B0" title="Рівняння Нав'є — Стокса">Рівняння Нав'є — Стокса</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A0%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%93%D0%B0%D0%BC%D1%96%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%B0_%E2%80%94_%D0%AF%D0%BA%D0%BE%D0%B1%D1%96" title="Рівняння Гамільтона — Якобі">Рівняння Гамільтона — Якобі</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A0%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%9A%D0%BE%D1%88%D1%96_%E2%80%94_%D0%95%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0" title="Рівняння Коші — Ейлера">Рівняння Коші-Ейлера</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B5_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%91%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%83%D0%BB%D0%BB%D1%96" title="Диференціальне рівняння Бернуллі">Рівняння Бернуллі</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9C%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%8C_%D0%A5%D0%BE%D0%B4%D0%B6%D0%BA%D1%96%D0%BD%D0%B0_%E2%80%94_%D0%A5%D0%B0%D0%BA%D1%81%D0%BB%D1%96" title="Модель Ходжкіна — Хакслі">Модель Годжкіна — Гакслі</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A1%D1%85%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%A7%D1%83%D0%B0" title="Схема Чуа">Схема Чуа</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%D0%90%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80_%D0%A0%D1%8C%D0%BE%D1%81%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="Атрактор Рьослера (ще не написана)">Атрактор Рьослера</a><sup class="noprint"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/R%C3%B6ssler_attractor" class="extiw" title="en:Rössler attractor"><span title="Rössler attractor — версія статті «Атрактор Рьослера» англійською мовою" style="font-style:normal;font-weight:normal;font-size:normal">[en]</span></a></sup></li> <li><a href="/w/index.php?title=%D0%9C%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%8C_%D0%9A%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BE%D1%82%D0%BE&action=edit&redlink=1" class="new" title="Модель Курамото (ще не написана)">Модель Курамото</a><sup class="noprint"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Kuramoto_model" class="extiw" title="en:Kuramoto model"><span title="Kuramoto model — версія статті «Модель Курамото» англійською мовою" style="font-style:normal;font-weight:normal;font-size:normal">[en]</span></a></sup></li></ul></div></div></td> </tr><tr><td style="padding:0 0.1em 0.4em"> <div class="NavFrame collapsed" style="border:none;padding:0"><div class="NavHead" style="font-size:105%;background:transparent;text-align:left">Математики</div><div class="NavContent" style="font-size:105%;padding:0.2em 0 0.4em;text-align:center"> <ul><li><a href="/wiki/%D0%86%D1%81%D0%B0%D0%B0%D0%BA_%D0%9D%D1%8C%D1%8E%D1%82%D0%BE%D0%BD" title="Ісаак Ньютон">Ісаак Ньютон</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%93%D0%BE%D1%82%D1%84%D1%80%D1%96%D0%B4_%D0%92%D1%96%D0%BB%D1%8C%D0%B3%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BC_%D0%9B%D1%8F%D0%B9%D0%B1%D0%BD%D1%96%D1%86" class="mw-redirect" title="Готфрід Вільгельм Ляйбніц">Ґотфрід Лейбніц</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9B%D0%B5%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D1%80%D0%B4_%D0%95%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80" title="Леонард Ейлер">Леонард Ейлер</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9F%27%D1%94%D1%80-%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D0%BD_%D0%9B%D0%B0%D0%BF%D0%BB%D0%B0%D1%81" class="mw-redirect" title="П'єр-Симон Лаплас">П'єр-Симон Лаплас</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%96%D0%BE%D0%B7%D0%B5%D1%84_%D0%9B%D1%96%D1%83%D0%B2%D1%96%D0%BB%D0%BB%D1%8C" title="Жозеф Ліувілль">Жозеф Ліувілль</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%96%D0%BE%D0%B7%D0%B5%D1%84-%D0%9B%D1%83%D1%97_%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6" title="Жозеф-Луї Лагранж">Жозеф-Луї Лагранж</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%90%D0%BD%D1%80%D1%96_%D0%9F%D1%83%D0%B0%D0%BD%D0%BA%D0%B0%D1%80%D0%B5" title="Анрі Пуанкаре">Анрі Пуанкаре</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A0%D1%83%D0%B4%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%84_%D0%9B%D1%96%D0%BF%D1%88%D0%B8%D1%86" title="Рудольф Ліпшиц">Рудольф Ліпшиц</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9B%D1%8F%D0%BF%D1%83%D0%BD%D0%BE%D0%B2_%D0%9E%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D1%80_%D0%9C%D0%B8%D1%85%D0%B0%D0%B9%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87" title="Ляпунов Олександр Михайлович">Олександр Ляпунов</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%95%D0%BC%D1%96%D0%BB%D1%8C_%D0%9F%D1%96%D0%BA%D0%B0%D1%80" title="Еміль Пікар">Еміль Пікар</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%BB_%D0%A0%D1%83%D0%BD%D0%B3%D0%B5" title="Карл Рунге">Карл Рунге</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%94%D0%B6%D0%BE%D0%BD_%D0%9A%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%BA" title="Джон Кранк">Джон Кранк</a></li></ul></div></div></td> </tr><tr><td style="text-align:right;font-size:115%;padding-top: 0.6em;"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r43815798">.mw-parser-output .hlist dl,.mw-parser-output .hlist ol,.mw-parser-output .hlist ul{margin:0;padding:0}.mw-parser-output .hlist dd,.mw-parser-output .hlist dt,.mw-parser-output .hlist li{margin:0;display:inline}.mw-parser-output .hlist.inline,.mw-parser-output .hlist.inline dl,.mw-parser-output .hlist.inline ol,.mw-parser-output .hlist.inline ul,.mw-parser-output .hlist dl dl,.mw-parser-output .hlist dl ol,.mw-parser-output .hlist dl ul,.mw-parser-output .hlist ol dl,.mw-parser-output .hlist ol ol,.mw-parser-output .hlist ol ul,.mw-parser-output .hlist ul dl,.mw-parser-output .hlist ul ol,.mw-parser-output .hlist ul ul{display:inline}.mw-parser-output .hlist .mw-empty-li{display:none}.mw-parser-output .hlist dt::after{content:": "}.mw-parser-output .hlist dd::after,.mw-parser-output .hlist li::after{content:" · ";font-weight:bold}.mw-parser-output .hlist dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li:last-child::after{content:none}.mw-parser-output .hlist dd dd:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dd dt:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dd li:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dt dd:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dt dt:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dt li:first-child::before,.mw-parser-output .hlist li dd:first-child::before,.mw-parser-output .hlist li dt:first-child::before,.mw-parser-output .hlist li li:first-child::before{content:" (";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist dd dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dd dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dd li:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt li:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li li:last-child::after{content:")";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist ol{counter-reset:listitem}.mw-parser-output .hlist ol>li{counter-increment:listitem}.mw-parser-output .hlist ol>li::before{content:" "counter(listitem)"\a0 "}.mw-parser-output .hlist dd ol>li:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dt ol>li:first-child::before,.mw-parser-output .hlist li ol>li:first-child::before{content:" ("counter(listitem)"\a0 "}</style><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r43094501">.mw-parser-output .navbar{display:inline;font-size:88%;font-weight:normal}.mw-parser-output .navbar-collapse{float:left;text-align:left}.mw-parser-output .navbar-boxtext{word-spacing:0}.mw-parser-output .navbar ul{display:inline-block;white-space:nowrap;line-height:inherit}.mw-parser-output .navbar-brackets::before{margin-right:-0.125em;content:"[ "}.mw-parser-output .navbar-brackets::after{margin-left:-0.125em;content:" ]"}.mw-parser-output .navbar li{word-spacing:-0.125em}.mw-parser-output .navbar a>span,.mw-parser-output .navbar a>abbr{text-decoration:inherit}.mw-parser-output .navbar-mini abbr{font-variant:small-caps;border-bottom:none;text-decoration:none;cursor:inherit}.mw-parser-output .navbar-ct-full{font-size:114%;margin:0 7em}.mw-parser-output .navbar-ct-mini{font-size:114%;margin:0 4em}@media screen{html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbar li a abbr{color:var(--color-base)!important}}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbar li a abbr{color:var(--color-base)!important}}</style><div class="navbar plainlinks hlist navbar-mini"><ul><li class="nv-переглянути"><a href="/wiki/%D0%A8%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%BE%D0%BD:%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Шаблон:Диференціальні рівняння"><abbr title="Переглянути цей шаблон">п</abbr></a></li><li class="nv-обговорити"><a href="/wiki/%D0%9E%D0%B1%D0%B3%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%88%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%BE%D0%BD%D1%83:%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Обговорення шаблону:Диференціальні рівняння"><abbr title="Обговорити цей шаблон">о</abbr></a></li><li class="nv-редагувати"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:EditPage/%D0%A8%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%BE%D0%BD:%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Спеціальна:EditPage/Шаблон:Диференціальні рівняння"><abbr title="Редагувати цей шаблон">р</abbr></a></li></ul></div></td></tr></tbody></table> <p><b>Інтегрувальний множник</b> (<a href="/wiki/%D0%90%D0%BD%D0%B3%D0%BB%D1%96%D0%B9%D1%81%D1%8C%D0%BA%D0%B0_%D0%BC%D0%BE%D0%B2%D0%B0" title="Англійська мова">англ.</a> <i lang="en">integrating factor</i>) — <a href="/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Функція (математика)">функція</a>, за допомогою якої спрощують розв'язування певного рівняння із <a href="/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Диференціал (математика)">диференціалами</a>. Інтегрувальний множник часто використовують для розв'язання <a href="/wiki/%D0%97%D0%B2%D0%B8%D1%87%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D1%96_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Звичайні диференціальні рівняння">звичайних диференціальних рівнянь</a>, але також використовується в аналізі функцій багатьох змінних, де множення на такий множник дозволяє неточний диференціал перевести в <a href="/w/index.php?title=%D0%A2%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB&action=edit&redlink=1" class="new" title="Точний диференціал (ще не написана)">точний</a> (який вже можна інтегрувати для отримання <a href="/wiki/%D0%A1%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D0%B5_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%B5" title="Скалярне поле">скалярного поля</a>). Це особливо корисно в <a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D1%80%D0%BC%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D1%96%D0%BA%D0%B0" title="Термодинаміка">термодинаміці</a>, де температура стає інтегрувальним множником, який робить <a href="/wiki/%D0%95%D0%BD%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%BF%D1%96%D1%8F" title="Ентропія">ентропію</a> точним диференціалом. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Використання_для_розв'язання_звичайних_диференціальних_рівнянь"><span id=".D0.92.D0.B8.D0.BA.D0.BE.D1.80.D0.B8.D1.81.D1.82.D0.B0.D0.BD.D0.BD.D1.8F_.D0.B4.D0.BB.D1.8F_.D1.80.D0.BE.D0.B7.D0.B2.27.D1.8F.D0.B7.D0.B0.D0.BD.D0.BD.D1.8F_.D0.B7.D0.B2.D0.B8.D1.87.D0.B0.D0.B9.D0.BD.D0.B8.D1.85_.D0.B4.D0.B8.D1.84.D0.B5.D1.80.D0.B5.D0.BD.D1.86.D1.96.D0.B0.D0.BB.D1.8C.D0.BD.D0.B8.D1.85_.D1.80.D1.96.D0.B2.D0.BD.D1.8F.D0.BD.D1.8C"></span>Використання для розв'язання звичайних диференціальних рівнянь</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%B8%D0%BA&veaction=edit&section=1" title="Редагувати розділ: Використання для розв'язання звичайних диференціальних рівнянь" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%B8%D0%BA&action=edit&section=1" title="Редагувати вихідний код розділу: Використання для розв'язання звичайних диференціальних рівнянь"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Інтегрувальні множники стають у пригоді під час ров'язання звичайних диференціальних рівнянь, які можна записати в формі </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>y</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>+</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f547fb4f66c5d0ac5204869367a4854edb16251" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.801ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)}"></span></dd></dl> <p>Ідея полягає у віднайдені деякої функції <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d2fab18f2df9b523ef8b7b63a291317294fc708" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.581ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle M(x)}"></span>, яка зветься "інтегрувальний множник," на яку ми можемо помножити наше <a href="/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Диференціальні рівняння">диференціальне рівняння</a> з тим, щоб отримати ліворуч похідну. Для лінійного диференціального рівняння в канонічній формі як наведено вище, інтегрувальний множник буде </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M(x)=e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msubsup> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>s</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>d</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M(x)=e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/696eb952cbc141509a4a54113aa175fd57a6b5ad" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.665ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle M(x)=e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}}"></span></dd></dl> <p>І множення на <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d2fab18f2df9b523ef8b7b63a291317294fc708" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.581ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle M(x)}"></span> дає </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y'e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}+P(x)ye^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}=Q(x)e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>y</mi> <mo>′</mo> </msup> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msubsup> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>s</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>d</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>y</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msubsup> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>s</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>d</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msubsup> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>s</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>d</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y'e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}+P(x)ye^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}=Q(x)e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80450b2e9875648e8a309278e54baa907772f57a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:45.757ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle y'e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}+P(x)ye^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}=Q(x)e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}}"></span></dd></dl> <p>Використовуючи <a href="/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D0%BE_%D0%B4%D0%BE%D0%B1%D1%83%D1%82%D0%BA%D1%83" title="Правило добутку">правило добутку</a> в зворотньому напрямку, ми бачимо, що лівий бік рівняння можна виразити як одну похідну по <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"></span> </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y'e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}+P(x)ye^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}={\frac {d}{dx}}(ye^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>y</mi> <mo>′</mo> </msup> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msubsup> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>s</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>d</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>y</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msubsup> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>s</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>d</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>d</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msubsup> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>s</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>d</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y'e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}+P(x)ye^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}={\frac {d}{dx}}(ye^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aa1286e92fa0dc68040f9fe54737b101275fa53" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:47.126ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle y'e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}+P(x)ye^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}={\frac {d}{dx}}(ye^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds})}"></span></dd></dl> <p>Ми використовуємо цей факт, щоб спростити вираз до </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(ye^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds})=Q(x)e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>d</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msubsup> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>s</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>d</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msubsup> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>s</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>d</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(ye^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds})=Q(x)e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da507da45d7fea23033229661a2fd588dda101f2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:32.393ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(ye^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds})=Q(x)e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}}"></span></dd></dl> <p>Тоді ми інтегруємо обидва боки по <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"></span>, спочатку через перейменування <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"></span> у <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}"></span>, отримуємо </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ye^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}=\int _{t_{0}}^{x}Q(t)e^{\int _{s_{0}}^{t}P(s)ds}dt+C}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msubsup> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>s</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>d</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msubsup> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msubsup> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>s</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>d</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msup> <mi>d</mi> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ye^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}=\int _{t_{0}}^{x}Q(t)e^{\int _{s_{0}}^{t}P(s)ds}dt+C}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f6858598d8ca8adb36a518ab4372620ce3b2bfb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:37.398ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle ye^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}=\int _{t_{0}}^{x}Q(t)e^{\int _{s_{0}}^{t}P(s)ds}dt+C}"></span></dd></dl> <p>Насамкінець, ми можемо перенести показникову функцію праворуч для отримання загального розв'язку: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=e^{-\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}\int _{t_{0}}^{x}Q(t)e^{\int _{s_{0}}^{t}P(s)ds}dt+Ce^{-\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msubsup> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>s</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>d</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msup> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msubsup> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msubsup> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>s</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>d</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msup> <mi>d</mi> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>C</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msubsup> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>s</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>d</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=e^{-\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}\int _{t_{0}}^{x}Q(t)e^{\int _{s_{0}}^{t}P(s)ds}dt+Ce^{-\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81c424439dec8b0b393d7b6f1b458f0a6d6a7df9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:50.101ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle y=e^{-\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}\int _{t_{0}}^{x}Q(t)e^{\int _{s_{0}}^{t}P(s)ds}dt+Ce^{-\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}}"></span></dd></dl> <p>У випадку <a href="/wiki/%D0%9E%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B4%D0%BD%D0%B5_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B5_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F" class="mw-redirect" title="Однорідне диференціальне рівняння">однорідного диференціального рівняння</a>, коли <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q(x)=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q(x)=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/691acb6154b0b716ac8c916b1a57d34490538bba" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.238ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle Q(x)=0}"></span>, ми отримуємо </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y={\frac {C}{e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>C</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msubsup> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>s</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>d</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y={\frac {C}{e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44832a03408ad0169dd279178878331edced8378" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:14.075ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle y={\frac {C}{e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}}}}"></span></dd></dl> <p>де <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}"></span> є сталою. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Приклад"><span id=".D0.9F.D1.80.D0.B8.D0.BA.D0.BB.D0.B0.D0.B4"></span>Приклад</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%B8%D0%BA&veaction=edit&section=2" title="Редагувати розділ: Приклад" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%B8%D0%BA&action=edit&section=2" title="Редагувати вихідний код розділу: Приклад"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Розв'яжемо диференціальне рівняння </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y'-{\frac {2y}{x}}=0.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>y</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>y</mi> </mrow> <mi>x</mi> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y'-{\frac {2y}{x}}=0.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2519160bb1d703086ff92b5e917deb44c4d13681" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:12.747ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle y'-{\frac {2y}{x}}=0.}"></span></dd></dl> <p>Можна побачити, що в цьому випадку <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(x)={\frac {-2}{x}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo>−</mo> <mn>2</mn> </mrow> <mi>x</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(x)={\frac {-2}{x}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65e490844d5c14c5aa013fc512aa6132cb8057d2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:11.79ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle P(x)={\frac {-2}{x}}}"></span> </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M(x)=e^{\int P(x)\,dx}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∫</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M(x)=e^{\int P(x)\,dx}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cab6dc1583cd1ec4a2efe7ec9696e36a0f581d3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.026ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle M(x)=e^{\int P(x)\,dx}}"></span></dd></dl> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M(x)=e^{\int {\frac {-2}{x}}\,dx}=e^{-2\ln x}={(e^{\ln x})}^{-2}=x^{-2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo>−</mo> <mn>2</mn> </mrow> <mi>x</mi> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M(x)=e^{\int {\frac {-2}{x}}\,dx}=e^{-2\ln x}={(e^{\ln x})}^{-2}=x^{-2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdea260c96e3cee3b9b71878a7e383c80402d4a3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:43.73ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle M(x)=e^{\int {\frac {-2}{x}}\,dx}=e^{-2\ln x}={(e^{\ln x})}^{-2}=x^{-2}}"></span> (Зауважте, що ми не мусимо включати сталу інтегрування - нам потрібен лише розв'язок, а не загальний розв'язок)</dd></dl> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M(x)={\frac {1}{x^{2}}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M(x)={\frac {1}{x^{2}}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10f241a0a2a0468d8442b40f28d40101a926bc64" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:12.547ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle M(x)={\frac {1}{x^{2}}}.}"></span></dd></dl> <p>Множимо на <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d2fab18f2df9b523ef8b7b63a291317294fc708" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.581ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle M(x)}"></span> і отримуємо </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {y'}{x^{2}}}-{\frac {2y}{x^{3}}}=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>y</mi> <mo>′</mo> </msup> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>y</mi> </mrow> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {y'}{x^{2}}}-{\frac {2y}{x^{3}}}=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e60982aace0946ad082e34f6c570908d6ec43222" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:13.541ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {y'}{x^{2}}}-{\frac {2y}{x^{3}}}=0}"></span></dd></dl> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {y'x^{3}-2x^{2}y}{x^{5}}}=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>y</mi> <mo>′</mo> </msup> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>y</mi> </mrow> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>5</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {y'x^{3}-2x^{2}y}{x^{5}}}=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a7a67d6c2b5967f353f3b63d4733add62063972" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:16.868ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {y'x^{3}-2x^{2}y}{x^{5}}}=0}"></span></dd></dl> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {x(y'x^{2}-2xy)}{x^{5}}}=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>y</mi> <mo>′</mo> </msup> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi>x</mi> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>5</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {x(y'x^{2}-2xy)}{x^{5}}}=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f44a7c2e0dd856780ae9474801b318072fd7bdf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:18.953ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {x(y'x^{2}-2xy)}{x^{5}}}=0}"></span></dd></dl> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {y'x^{2}-2xy}{x^{4}}}=0.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>y</mi> <mo>′</mo> </msup> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi>x</mi> <mi>y</mi> </mrow> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {y'x^{2}-2xy}{x^{4}}}=0.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69f3a31e4ebf57eecb7330af28f33ce0ddb1855e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:16.461ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {y'x^{2}-2xy}{x^{4}}}=0.}"></span></dd></dl> <p>Згадуємо як брати похідну від дробу і робимо це у зворотньому напрямку </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left({\frac {y}{x^{2}}}\right)'=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>y</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>′</mo> </msup> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left({\frac {y}{x^{2}}}\right)'=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47a0708192c9cd96d3489626cbc64252c3483316" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:11.587ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \left({\frac {y}{x^{2}}}\right)'=0}"></span></dd></dl> <p>або </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {y}{x^{2}}}=C\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>y</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mi>C</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {y}{x^{2}}}=C\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e1478080566ed706f9fa0100b7eba498a9412d9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:8.472ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {y}{x^{2}}}=C\,}"></span></dd></dl> <p>що нам дає </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y\left(x\right)=Cx^{2}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>C</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y\left(x\right)=Cx^{2}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e593b84a6dc4b51244e02cdbcc3ac7b97903f571" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.577ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle y\left(x\right)=Cx^{2}.}"></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Посилання"><span id=".D0.9F.D0.BE.D1.81.D0.B8.D0.BB.D0.B0.D0.BD.D0.BD.D1.8F"></span>Посилання</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%B8%D0%BA&veaction=edit&section=3" title="Редагувати розділ: Посилання" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%B8%D0%BA&action=edit&section=3" title="Редагувати вихідний код розділу: Посилання"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><i>Weisstein, Eric W.</i> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://mathworld.wolfram.com/IntegratingFactor.html">Інтегрувальний множник</a><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r43693355">.mw-parser-output .ref-info{font-size:85%;cursor:help;margin-left:0.2em;color:var(--color-subtle,#54595d)}</style><span title="англійською мовою" class="ref-info">(англ.)</span> на сайті Wolfram <a href="/wiki/MathWorld" title="MathWorld">MathWorld</a>. </p></div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1&useformat=desktop" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Отримано з <a dir="ltr" href="https://uk.wikipedia.org/w/index.php?title=Інтегрувальний_множник&oldid=42758813">https://uk.wikipedia.org/w/index.php?title=Інтегрувальний_множник&oldid=42758813</a></div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%97" title="Спеціальна:Категорії">Категорія</a>: <ul><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F:%D0%97%D0%B2%D0%B8%D1%87%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D1%96_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Категорія:Звичайні диференціальні рівняння">Звичайні диференціальні рівняння</a></li></ul></div></div> </div> </div> <div id="mw-navigation"> <h2>Навігаційне меню</h2> <div id="mw-head"> <nav id="p-personal" class="mw-portlet mw-portlet-personal vector-user-menu-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-personal-label" > <h3 id="p-personal-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Особисті інструменти</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anonuserpage" class="mw-list-item"><span title="Сторінка користувача для вашої IP-адреси">Ви не увійшли до системи</span></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9C%D0%BE%D1%94_%D0%BE%D0%B1%D0%B3%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Обговорення редагувань з цієї IP-адреси [n]" accesskey="n"><span>Обговорення</span></a></li><li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9C%D1%96%D0%B9_%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D1%81%D0%BE%D0%BA" title="Список редагувань, зроблених з цієї IP-адреси [y]" accesskey="y"><span>Внесок</span></a></li><li id="pt-createaccount" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%A1%D1%82%D0%B2%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B8_%D0%BE%D0%B1%D0%BB%D1%96%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D0%B9_%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D0%B8%D1%81&returnto=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%B9+%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%B8%D0%BA" title="Пропонуємо створити обліковий запис і увійти в систему; однак, це не обов'язково"><span>Створити обліковий запис</span></a></li><li id="pt-login" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%92%D1%85%D1%96%D0%B4&returnto=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%B9+%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%B8%D0%BA" title="Заохочуємо Вас увійти в систему, але це необов'язково. [o]" accesskey="o"><span>Увійти</span></a></li> </ul> </div> </nav> <div id="left-navigation"> <nav id="p-namespaces" class="mw-portlet mw-portlet-namespaces vector-menu-tabs vector-menu-tabs-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-namespaces-label" > <h3 id="p-namespaces-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Простори назв</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%B8%D0%BA" title="Вміст статті [c]" accesskey="c"><span>Стаття</span></a></li><li id="ca-talk" class="new mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%9E%D0%B1%D0%B3%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F:%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%B8%D0%BA&action=edit&redlink=1" rel="discussion" class="new" title="Обговорення сторінки (ще не написана) [t]" accesskey="t"><span>Обговорення</span></a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-variants" class="mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet vector-menu-dropdown vector-menu" aria-labelledby="p-variants-label" > <input type="checkbox" id="p-variants-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-variants" class="vector-menu-checkbox" aria-labelledby="p-variants-label" > <label id="p-variants-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">українська</span> </label> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation"> <nav id="p-views" class="mw-portlet mw-portlet-views vector-menu-tabs vector-menu-tabs-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-views-label" > <h3 id="p-views-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Перегляди</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="selected mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%B8%D0%BA"><span>Читати</span></a></li><li id="ca-ve-edit" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%B8%D0%BA&veaction=edit" title="Редагувати цю сторінку [v]" accesskey="v"><span>Редагувати</span></a></li><li id="ca-edit" class="collapsible mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%B8%D0%BA&action=edit" title="Редагувати вихідний код сторінки [e]" accesskey="e"><span>Редагувати код</span></a></li><li id="ca-history" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%B8%D0%BA&action=history" title="Журнал змін сторінки [h]" accesskey="h"><span>Переглянути історію</span></a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-cactions" class="mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-menu-dropdown vector-menu" aria-labelledby="p-cactions-label" title="Більше опцій" > <input type="checkbox" id="p-cactions-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-cactions" class="vector-menu-checkbox" aria-labelledby="p-cactions-label" > <label id="p-cactions-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Більше</span> </label> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </nav> <div id="p-search" role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box-auto-expand-width vector-search-box"> <h3 >Пошук</h3> <form action="/w/index.php" id="searchform" class="vector-search-box-form"> <div id="simpleSearch" class="vector-search-box-inner" data-search-loc="header-navigation"> <input class="vector-search-box-input" type="search" name="search" placeholder="Пошук у Вікіпедії" aria-label="Пошук у Вікіпедії" autocapitalize="sentences" title="Шукати у Вікіпедії [f]" accesskey="f" id="searchInput" > <input type="hidden" name="title" value="Спеціальна:Пошук"> <input id="mw-searchButton" class="searchButton mw-fallbackSearchButton" type="submit" name="fulltext" title="Знайти сторінки, що містять зазначений текст" value="Знайти"> <input id="searchButton" class="searchButton" type="submit" name="go" title="Перейти до сторінки, що має точно таку назву (якщо вона існує)" value="Перейти"> </div> </form> </div> </div> </div> <div id="mw-panel" class="vector-legacy-sidebar"> <div id="p-logo" role="banner"> <a class="mw-wiki-logo" href="/wiki/%D0%93%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B0" title="Перейти на головну сторінку"></a> </div> <nav id="p-navigation" class="mw-portlet mw-portlet-navigation vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-navigation-label" > <h3 id="p-navigation-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Навігація</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-mainpage-description" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%93%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B0" title="Перейти на головну сторінку [z]" accesskey="z"><span>Головна сторінка</span></a></li><li id="n-currentevents" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%B0%D0%BB:%D0%9F%D0%BE%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D1%96_%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D1%96%D1%97" title="Список поточних подій"><span>Поточні події</span></a></li><li id="n-recentchanges" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9D%D0%BE%D0%B2%D1%96_%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B0%D0%B3%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Список останніх змін у цій вікі [r]" accesskey="r"><span>Нові редагування</span></a></li><li id="n-newpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9D%D0%BE%D0%B2%D1%96_%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B8"><span>Нові сторінки</span></a></li><li id="n-randompage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%92%D0%B8%D0%BF%D0%B0%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B0" title="Переглянути випадкову сторінку [x]" accesskey="x"><span>Випадкова стаття</span></a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-Участь" class="mw-portlet mw-portlet-Участь vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-Участь-label" > <h3 id="p-Участь-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Участь</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-portal" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%9F%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%B0%D0%BB_%D1%81%D0%BF%D1%96%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%82%D0%B8" title="Про проєкт, про те, що Ви можете зробити, і що де шукати"><span>Портал спільноти</span></a></li><li id="n-tavern" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%9A%D0%BD%D0%B0%D0%B9%D0%BF%D0%B0" title="Місце для обговорення більшості питань"><span>Кнайпа</span></a></li><li id="n-help" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%94%D0%BE%D0%B2%D1%96%D0%B4%D0%BA%D0%B0" title="Довідка з проєкту"><span>Довідка</span></a></li><li id="n-sitesupport" class="mw-list-item"><a href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_uk.wikipedia.org&uselang=uk" title="Підтримайте проєкт"><span>Пожертвувати</span></a></li><li id="n-Сторінка-для-медіа" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%A1%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B0_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D0%BC%D0%B5%D0%B4%D1%96%D0%B0"><span>Сторінка для медіа</span></a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-tb" class="mw-portlet mw-portlet-tb vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-tb-label" > <h3 id="p-tb-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Інструменти</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9F%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%81%D1%8E%D0%B4%D0%B8/%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%B8%D0%BA" title="Перелік усіх сторінок, які посилаються на цю сторінку [j]" accesskey="j"><span>Посилання сюди</span></a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9F%D0%BE%D0%B2%27%D1%8F%D0%B7%D0%B0%D0%BD%D1%96_%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B0%D0%B3%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F/%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%B8%D0%BA" rel="nofollow" title="Останні зміни на сторінках, на які посилається ця сторінка [k]" accesskey="k"><span>Пов'язані редагування</span></a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B8" title="Перелік спеціальних сторінок [q]" accesskey="q"><span>Спеціальні сторінки</span></a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%B8%D0%BA&oldid=42758813" title="Постійне посилання на цю версію цієї сторінки"><span>Постійне посилання</span></a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%B8%D0%BA&action=info" title="Додаткові відомості про цю сторінку"><span>Інформація про сторінку</span></a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%A6%D0%B8%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B0&page=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%B8%D0%BA&id=42758813&wpFormIdentifier=titleform" title="Інформація про те, як цитувати цю сторінку"><span>Цитувати сторінку</span></a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:UrlShortener&url=https%3A%2F%2Fuk.wikipedia.org%2Fwiki%2F%25D0%2586%25D0%25BD%25D1%2582%25D0%25B5%25D0%25B3%25D1%2580%25D1%2583%25D0%25B2%25D0%25B0%25D0%25BB%25D1%258C%25D0%25BD%25D0%25B8%25D0%25B9_%25D0%25BC%25D0%25BD%25D0%25BE%25D0%25B6%25D0%25BD%25D0%25B8%25D0%25BA"><span>Отримати вкорочену URL-адресу</span></a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:QrCode&url=https%3A%2F%2Fuk.wikipedia.org%2Fwiki%2F%25D0%2586%25D0%25BD%25D1%2582%25D0%25B5%25D0%25B3%25D1%2580%25D1%2583%25D0%25B2%25D0%25B0%25D0%25BB%25D1%258C%25D0%25BD%25D0%25B8%25D0%25B9_%25D0%25BC%25D0%25BD%25D0%25BE%25D0%25B6%25D0%25BD%25D0%25B8%25D0%25BA"><span>Завантажити QR-код</span></a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-coll-print_export" class="mw-portlet mw-portlet-coll-print_export vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-coll-print_export-label" > <h3 id="p-coll-print_export-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Друк/експорт</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0&bookcmd=book_creator&referer=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%B9+%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%B8%D0%BA"><span>Створити книгу</span></a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:DownloadAsPdf&page=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%B8%D0%BA&action=show-download-screen"><span>Завантажити як PDF</span></a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%B8%D0%BA&printable=yes" title="Версія цієї сторінки для друку [p]" accesskey="p"><span>Версія до друку</span></a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-wikibase-otherprojects" class="mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-wikibase-otherprojects-label" > <h3 id="p-wikibase-otherprojects-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">В інших проєктах</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q2734005" title="Посилання на пов’язаний елемент сховища даних [g]" accesskey="g"><span>Елемент Вікіданих</span></a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-lang" class="mw-portlet mw-portlet-lang vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-lang-label" > <h3 id="p-lang-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Іншими мовами</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%B9%D8%A7%D9%85%D9%84_%D8%AA%D9%83%D8%A7%D9%85%D9%84%D9%8A" title="عامل تكاملي — арабська" lang="ar" hreflang="ar" data-title="عامل تكاملي" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="арабська" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Factor_d%27integraci%C3%B3" title="Factor d'integració — каталонська" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Factor d'integració" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="каталонська" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Integra%C4%8Dn%C3%AD_faktor" title="Integrační faktor — чеська" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Integrační faktor" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="чеська" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Integrating_factor" title="Integrating factor — англійська" lang="en" hreflang="en" data-title="Integrating factor" data-language-autonym="English" data-language-local-name="англійська" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Integralanta_faktoro" title="Integralanta faktoro — есперанто" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Integralanta faktoro" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="есперанто" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Factor_integrador" title="Factor integrador — іспанська" lang="es" hreflang="es" data-title="Factor integrador" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="іспанська" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Facteur_int%C3%A9grant" title="Facteur intégrant — французька" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Facteur intégrant" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="французька" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Fattore_di_integrazione" title="Fattore di integrazione — італійська" lang="it" hreflang="it" data-title="Fattore di integrazione" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="італійська" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A9%8D%E5%88%86%E5%9B%A0%E5%AD%90" title="積分因子 — японська" lang="ja" hreflang="ja" data-title="積分因子" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="японська" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-km mw-list-item"><a href="https://km.wikipedia.org/wiki/%E1%9E%80%E1%9E%8F%E1%9F%92%E1%9E%8F%E1%9E%B6%E1%9E%A2%E1%9E%B6%E1%9F%86%E1%9E%84%E1%9E%8F%E1%9F%81%E1%9E%80%E1%9F%92%E1%9E%9A%E1%9E%B6%E1%9E%9B" title="កត្តាអាំងតេក្រាល — кхмерська" lang="km" hreflang="km" data-title="កត្តាអាំងតេក្រាល" data-language-autonym="ភាសាខ្មែរ" data-language-local-name="кхмерська" class="interlanguage-link-target"><span>ភាសាខ្មែរ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%A0%81%EB%B6%84%EC%9D%B8%EC%9E%90" title="적분인자 — корейська" lang="ko" hreflang="ko" data-title="적분인자" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="корейська" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Integruojantis_daugiklis" title="Integruojantis daugiklis — литовська" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Integruojantis daugiklis" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="литовська" class="interlanguage-link-target"><span>Lietuvių</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Integrerende_factor" title="Integrerende factor — нідерландська" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Integrerende factor" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="нідерландська" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Czynnik_ca%C5%82kuj%C4%85cy" title="Czynnik całkujący — польська" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Czynnik całkujący" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="польська" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Fator_integrante" title="Fator integrante — португальська" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Fator integrante" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="португальська" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Factor_integrant" title="Factor integrant — румунська" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Factor integrant" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="румунська" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Faktori_integrues" title="Faktori integrues — албанська" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Faktori integrues" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="албанська" class="interlanguage-link-target"><span>Shqip</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%A7%AF%E5%88%86%E5%9B%A0%E5%AD%90" title="积分因子 — китайська" lang="zh" hreflang="zh" data-title="积分因子" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="китайська" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q2734005#sitelinks-wikipedia" title="Редагувати міжмовні посилання" class="wbc-editpage">Редагувати посилання</a></span></div> </div> </nav> </div> </div> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> Цю сторінку востаннє відредаговано о 14:56, 10 червня 2024.</li> <li id="footer-info-copyright">Текст доступний на умовах ліцензії <a rel="nofollow" class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.uk">Creative Commons Attribution-ShareAlike</a>; також можуть діяти додаткові умови. Детальніше див. <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Policy:Terms_of_Use/uk">Умови використання</a>.</li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy">Політика конфіденційності</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%9F%D1%80%D0%BE">Про Вікіпедію</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%92%D1%96%D0%B4%D0%BC%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D0%B2%D1%96%D0%B4_%D0%B2%D1%96%D0%B4%D0%BF%D0%BE%D0%B2%D1%96%D0%B4%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96">Відмова від відповідальності</a></li> <li id="footer-places-contact"><a href="//uk.wikipedia.org/wiki/Вікіпедія:Зворотний_зв%27язок">Зворотний зв'язок</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">Кодекс поведінки</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Розробники</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/uk.wikipedia.org">Статистика</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">Куки</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//uk.m.wikipedia.org/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%B8%D0%BA&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Мобільний вигляд</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.log.warn("This page is using the deprecated ResourceLoader module \"codex-search-styles\".\n[1.43] Use a CodexModule with codexComponents to set your specific components used: https://www.mediawiki.org/wiki/Codex#Using_a_limited_subset_of_components");mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-7fc47fc68d-j6nkj","wgBackendResponseTime":174,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.242","walltime":"0.410","ppvisitednodes":{"value":352,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":31366,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":94,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":6,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":6,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":0,"limit":20},"unstrip-size":{"value":4873,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":0,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 240.223 1 -total"," 52.51% 126.142 1 Шаблон:Lang-en"," 40.36% 96.962 1 Шаблон:Диференціальні_рівняння"," 38.51% 92.508 1 Шаблон:Sidebar_with_collapsible_lists"," 6.69% 16.078 1 Шаблон:MathWorld"," 6.62% 15.907 6 Шаблон:Нп"," 5.66% 13.604 1 Шаблон:Ref-en"," 4.83% 11.609 1 Шаблон:Ref-lang"]},"scribunto":{"limitreport-timeusage":{"value":"0.155","limit":"10.000"},"limitreport-memusage":{"value":12653337,"limit":52428800}},"cachereport":{"origin":"mw-web.eqiad.main-6f4956b788-2nqlz","timestamp":"20241128153227","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"\u0406\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0443\u0432\u0430\u043b\u044c\u043d\u0438\u0439 \u043c\u043d\u043e\u0436\u043d\u0438\u043a","url":"https:\/\/uk.wikipedia.org\/wiki\/%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%B8%D0%BA","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q2734005","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q2734005","author":{"@type":"Organization","name":"\u0423\u0447\u0430\u0441\u043d\u0438\u043a\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0442\u0456\u0432 \u0412\u0456\u043a\u0456\u043c\u0435\u0434\u0456\u0430"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"\u0424\u043e\u043d\u0434 \u0412\u0456\u043a\u0456\u043c\u0435\u0434\u0456\u0430","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2014-01-15T16:06:14Z","image":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/7\/75\/De_template.svg"}</script> </body> </html>

CINXE.COM

Інтегрувальний множник — Вікіпедія