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<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs" lang="de" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Raumgruppe – Wikipedia</title> <script>(function(){var className="client-js";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )dewikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( 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class="vector-body"> <div id="siteSub" class="noprint">aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie</div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="contentSub2"></div> <div id="jump-to-nav"></div> <a class="mw-jump-link" href="#mw-head">Zur Navigation springen</a> <a class="mw-jump-link" href="#searchInput">Zur Suche springen</a> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Mirror_plane_in_the_ice_structure.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/93/Mirror_plane_in_the_ice_structure.png/220px-Mirror_plane_in_the_ice_structure.png" decoding="async" width="220" height="225" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/93/Mirror_plane_in_the_ice_structure.png/330px-Mirror_plane_in_the_ice_structure.png 1.5x, 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Der Begriff „Gruppe“ stammt aus der <a href="/wiki/Gruppentheorie" title="Gruppentheorie">Gruppentheorie</a>. </p><p>Beispielsweise kann ein Bestandteil (etwa ein <a href="/wiki/Sulfat" class="mw-redirect" title="Sulfat">Sulfat</a>-Ion) der Struktur durch Spiegelung oder Drehung eines anderen Bestandteils (in diesem Falle eines anderen Sulfations) erhalten werden. Zur Beschreibung der kompletten Kristallstruktur ist dann nur die Beschreibung des ersten Ions notwendig, das zweite Ion wird durch die Symmetrieoperation der Spiegelung oder Drehung erhalten. Die Abbildung zeigt das am Beispiel der Kristallstruktur von Eis. Der rechte Sechsring ist das Spiegelbild des linken Sechsrings; die Raumgruppe gibt (neben anderen) diese Symmetrieeigenschaft wieder. Die Symbole, die dafür verwendet werden, sind detailliert unter <a href="/wiki/Hermann-Mauguin-Symbolik" title="Hermann-Mauguin-Symbolik">Hermann-Mauguin-Symbolik</a> beschrieben. </p><p>Die Raumgruppe ist eine <a href="/wiki/Diskrete_Untergruppe" title="Diskrete Untergruppe">diskrete Untergruppe</a> der <a href="/wiki/Bewegung_(Mathematik)#Bewegungen_in_der_euklidischen_Ebene" title="Bewegung (Mathematik)">euklidischen Bewegungsgruppe</a> eines <a href="/wiki/Euklidischer_Raum" title="Euklidischer Raum">euklidischen (affinen) Raums</a> mit <a href="/wiki/Beschr%C3%A4nkt" class="mw-redirect" title="Beschränkt">beschränktem</a> <a href="/wiki/Fundamentalbereich" title="Fundamentalbereich">Fundamentalbereich</a>. Die Raumgruppen gehören zu den <a href="/wiki/Symmetriegruppe" title="Symmetriegruppe">Symmetriegruppen</a> und werden üblicherweise mithilfe der <a href="/wiki/Hermann-Mauguin-Symbolik" title="Hermann-Mauguin-Symbolik">Hermann-Mauguin-Symbolik</a> oder manchmal auch in der <a href="/wiki/Schoenflies-Symbolik" title="Schoenflies-Symbolik">Schoenflies-Symbolik</a> beschrieben.<sup id="cite_ref-Kleber_1-0" class="reference"><a href="#cite_note-Kleber-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p><p>Während sich die kristallographischen <a href="/wiki/Punktgruppe" title="Punktgruppe">Punktgruppen</a> aus nicht-translativen Symmetrieoperationen (z. B. Rotationen oder Spiegelungen) zusammensetzen, wird bei der Bestimmung der unterschiedlichen Raumgruppen diese Forderung aufgeweicht zugunsten translativer Symmetrieoperationen (daraus ergeben sich z. B. <a href="/wiki/Gleitspiegelebene" class="mw-redirect" title="Gleitspiegelebene">Gleitspiegelebenen</a> und <a href="/wiki/Schraubenachse" class="mw-redirect" title="Schraubenachse">Schraubenachsen</a>) und den Gittertranslationen. Daraus ergibt sich eine Vielzahl neuer Symmetriegruppen, die Raumgruppen. </p> <div id="toc" class="toc" role="navigation" aria-labelledby="mw-toc-heading"><input type="checkbox" role="button" id="toctogglecheckbox" class="toctogglecheckbox" style="display:none" /><div class="toctitle" lang="de" dir="ltr"><h2 id="mw-toc-heading">Inhaltsverzeichnis</h2><span class="toctogglespan"><label class="toctogglelabel" for="toctogglecheckbox"></label></span></div> <ul> <li class="toclevel-1 tocsection-1"><a href="#Mathematische_Definition"><span class="tocnumber">1</span> <span class="toctext">Mathematische Definition</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-2"><a href="#Anzahl_der_möglichen_Raumgruppen"><span class="tocnumber">2</span> <span class="toctext">Anzahl der möglichen Raumgruppen</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-3"><a href="#Bezeichnung"><span class="tocnumber">3</span> <span class="toctext">Bezeichnung</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-4"><a href="#Siehe_auch"><span class="tocnumber">4</span> <span class="toctext">Siehe auch</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-5"><a href="#Literatur"><span class="tocnumber">5</span> <span class="toctext">Literatur</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-6"><a href="#Weblinks"><span class="tocnumber">6</span> <span class="toctext">Weblinks</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-7"><a href="#Einzelnachweise"><span class="tocnumber">7</span> <span class="toctext">Einzelnachweise</span></a></li> </ul> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Mathematische_Definition">Mathematische Definition</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Raumgruppe&veaction=edit&section=1" title="Abschnitt bearbeiten: Mathematische Definition" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Raumgruppe&action=edit&section=1" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Mathematische Definition"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Die Isometriegruppe <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {Isom} (\mathbb {R} ^{n})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Isom</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Isom} (\mathbb {R} ^{n})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9744647dc4e871365d8c5540a59f8b41cff6525f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.56ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Isom} (\mathbb {R} ^{n})}"></span> des <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span>-dimensionalen <a href="/wiki/Euklidischer_Raum" title="Euklidischer Raum">euklidischen Raumes</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}"></span> ist die <a href="/wiki/Gruppe_(Mathematik)" title="Gruppe (Mathematik)">Gruppe</a> </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {Isom} (\mathbb {R} ^{n})=O(n)\ltimes \mathbb {R} ^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Isom</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>O</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋉</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Isom} (\mathbb {R} ^{n})=O(n)\ltimes \mathbb {R} ^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99b6c45ccfdda53b34e8584134eada1e093bb987" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.373ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Isom} (\mathbb {R} ^{n})=O(n)\ltimes \mathbb {R} ^{n}}"></span>,</dd></dl> <p>wobei <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle O(n)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>O</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle O(n)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34109fe397fdcff370079185bfdb65826cb5565a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.977ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle O(n)}"></span> die <a href="/wiki/Orthogonale_Gruppe" title="Orthogonale Gruppe">orthogonale Gruppe</a>, bestehend aus Spiegelungen und Drehungen um den Nullpunkt ist und <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}"></span> als Gruppe der Verschiebungen des <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}"></span> aufgefasst wird. </p><p>Eine <i>kristallographische Gruppe vom Rang <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span></i> ist eine diskrete und kokompakte Untergruppe von <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {Isom} (\mathbb {R} ^{n})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Isom</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Isom} (\mathbb {R} ^{n})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9744647dc4e871365d8c5540a59f8b41cff6525f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.56ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Isom} (\mathbb {R} ^{n})}"></span>. (Eine Untergruppe <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma \subset \operatorname {Isom} (\mathbb {R} ^{n})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mo>⊂</mo> <mi>Isom</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma \subset \operatorname {Isom} (\mathbb {R} ^{n})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5ff0d059d803cd12ffd06e34ab0f6b41c6a25d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.111ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Gamma \subset \operatorname {Isom} (\mathbb {R} ^{n})}"></span> heißt diskret, wenn es zu keinem <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma \in \Gamma }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>γ</mi> <mo>∈</mo> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma \in \Gamma }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4dfac36fd2ffa28cf37de8b15068ce0079b4aca" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.556ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \gamma \in \Gamma }"></span> eine Folge <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\gamma _{n})_{n}\subset \Gamma }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>⊂</mo> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\gamma _{n})_{n}\subset \Gamma }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04fa79c725c7a5b592e279ed037a141c2b6c8a91" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.002ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\gamma _{n})_{n}\subset \Gamma }"></span> mit <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma _{n}\not =\gamma }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>≠</mo> <mi>γ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma _{n}\not =\gamma }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abc65609bf811c2d962ec08eddd0c7e281ea5941" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.784ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \gamma _{n}\not =\gamma }"></span> und <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\gamma _{n}=\gamma }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>γ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\gamma _{n}=\gamma }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a9f1ed3881ca7182a2a51deffa9a60e2c14b6a1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:11.443ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\gamma _{n}=\gamma }"></span> gibt. Sie heißt kokompakt, wenn der <a href="/wiki/Quotiententopologie" title="Quotiententopologie">Quotientenraum</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma \backslash \mathbb {R} ^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mi class="MJX-variant" mathvariant="normal">∖</mi> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma \backslash \mathbb {R} ^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e96bb28b9827b9c0dc0b4560f1091678d722439" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.512ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Gamma \backslash \mathbb {R} ^{n}}"></span> <a href="/wiki/Kompakter_Raum" title="Kompakter Raum">kompakt</a> ist.) </p><p>Eine <i>Bieberbach-Gruppe</i> ist eine torsionsfreie kristallographische Gruppe. (Eine Gruppe <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cfde86a3f7ec967af9955d0988592f0693d2b19" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.453ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Gamma }"></span> mit neutralem Element <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>e</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle e}"></span> heißt torsionsfrei, wenn aus <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma \not =e}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>γ</mi> <mo>≠</mo> <mi>e</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma \not =e}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e9f49e1d05ec4cfa4e815f1c2435270dd98eed5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.444ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \gamma \not =e}"></span> und <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\not =0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>≠</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\not =0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afdde389ee66114fcfe176fee34bf63e8966e931" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.656ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle n\not =0}"></span> stets <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma ^{n}\not =e}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>≠</mo> <mi>e</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma ^{n}\not =e}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1907352288cf95b84b5f5a4bce053453d66463e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.68ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \gamma ^{n}\not =e}"></span> folgt.) </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anzahl_der_möglichen_Raumgruppen"><span id="Anzahl_der_m.C3.B6glichen_Raumgruppen"></span>Anzahl der möglichen Raumgruppen</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Raumgruppe&veaction=edit&section=2" title="Abschnitt bearbeiten: Anzahl der möglichen Raumgruppen" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Raumgruppe&action=edit&section=2" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Anzahl der möglichen Raumgruppen"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <table class="wikitable float-right"> <caption>Anzahl der Raumgruppen (ohne Berücksichtigung der Raumorientierung) </caption> <tbody><tr> <th colspan="6">Dimension </th></tr> <tr> <th>1</th> <th>2</th> <th>3</th> <th>4</th> <th>5</th> <th>6 </th></tr> <tr> <td>2</td> <td>17</td> <td>219</td> <td>4.783</td> <td>222.018</td> <td>28.927.915 </td></tr></tbody></table> <p>Die Anzahl der möglichen Raumgruppen ist abhängig von der Dimension und der Orientierung des betrachteten Raums. Im <a href="/wiki/Dreidimensionaler_Raum" class="mw-redirect" title="Dreidimensionaler Raum">dreidimensionalen Raum</a> beschreiben kristallographische Raumgruppen die <a href="/wiki/Symmetrie_(Geometrie)" title="Symmetrie (Geometrie)">Symmetrien</a> eines unendlich ausgedehnten <a href="/wiki/Kristall" title="Kristall">Kristalls</a>. Symmetrieoperationen in einem Kristall sind (abgesehen von der Identitätsoperation, die jeden Punkt auf sich selbst abbildet) Punktspiegelung, Spiegelung an einer Ebene, Drehung um eine Achse, Verschiebung (die sogenannte <a href="/wiki/Parallelverschiebung" title="Parallelverschiebung">Translation</a>) sowie Kombinationen dieser Operationen. Wenn man das Hintereinanderausführen von Symmetrieoperationen als multiplikative Verknüpfung auffasst, erkennt man, dass eine Menge von Symmetrieoperationen eine (in der Regel nicht <a href="/wiki/Abelsche_Gruppe" title="Abelsche Gruppe">kommutative</a>) Gruppe ist. </p><p>Die Bestimmung der 230 möglichen Raumgruppen (bzw. Raumgruppen<i>typen</i>) in drei Dimensionen erfolgte 1891 unabhängig voneinander in mühsamer Sortierarbeit durch <a href="/wiki/Arthur_Schoenflies" title="Arthur Schoenflies">Arthur Schoenflies</a> und <a href="/wiki/Jewgraf_Stepanowitsch_Fjodorow" title="Jewgraf Stepanowitsch Fjodorow">Jewgraf Fjodorow</a>. Unabhängig gelang dies auch <a href="/wiki/William_Barlow_(Geologe)" title="William Barlow (Geologe)">William Barlow</a>, der allerdings erst 1894 veröffentlichte. Die 230 Raumgruppen (und die Kristalle, die die Symmetrieelemente einer dieser Raumgruppen aufweisen) können u. a. hinsichtlich der sieben <a href="/wiki/Kristallsystem" title="Kristallsystem">Kristallsysteme</a>, der 14 <a href="/wiki/Bravaisgitter" class="mw-redirect" title="Bravaisgitter">Bravaisgitter</a> und der 32 <a href="/wiki/Punktgruppe" title="Punktgruppe">Kristallklassen</a> eingeteilt werden.<sup id="cite_ref-Kleber_1-1" class="reference"><a href="#cite_note-Kleber-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p> <table class="wikitable"> <tbody><tr> <th> </th> <th>Bravaisgitter – Basisobjekte<br />mit sphärischer Symmetrie </th> <th>Kristallstruktur – Basisobjekte<br />mit beliebiger Symmetrie </th></tr> <tr> <td>Anzahl der Punktgruppen </td> <td>7 Kristallsysteme </td> <td>32 kristallographische Punktgruppen </td></tr> <tr> <td>Anzahl der Raumgruppen </td> <td>14 Bravaisgitter </td> <td>230 Raumgruppen </td></tr></tbody></table> <p>Berücksichtigt man die <a href="/wiki/Orientierung_(Mathematik)" title="Orientierung (Mathematik)">Orientierung</a> des Raums nicht, reduziert sich die Zahl auf 219 verschiedene Raumgruppen. Daraus ergibt sich die Existenz von elf Paaren <a href="/wiki/Chiralit%C3%A4t_(Chemie)" title="Chiralität (Chemie)">enantiomorpher</a> Raumgruppen. In diesen Paaren unterscheiden sich jeweils die Anordnungen der Symmetrieelemente wie Bild und Spiegelbild, die nicht durch Drehungen ineinander überführt werden können.<sup id="cite_ref-Kleber_1-2" class="reference"><a href="#cite_note-Kleber-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p><p>Ein algebraisches Verfahren zur Klassifikation der Raumgruppen (auch in höheren Dimensionen) stammt von <a href="/wiki/Johann_Jakob_Burckhardt_(Mathematiker)" title="Johann Jakob Burckhardt (Mathematiker)">Johann Jakob Burckhardt</a> in den 1930er-Jahren, der sich auch mit der Geschichte des Problems befasste. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Bezeichnung">Bezeichnung</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Raumgruppe&veaction=edit&section=3" title="Abschnitt bearbeiten: Bezeichnung" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Raumgruppe&action=edit&section=3" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Bezeichnung"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Die Bezeichnung der Raumgruppen geschieht üblicherweise in der <a href="/wiki/Hermann-Mauguin-Symbolik" title="Hermann-Mauguin-Symbolik">Hermann-Mauguin-Symbolik</a>, in manchen Fachbereichen wird auch heute noch die <a href="/wiki/Schoenflies-Symbolik" title="Schoenflies-Symbolik">Schoenflies-Symbolik</a> als Alternative genutzt. Das Raumgruppensymbol besteht bei der Hermann-Mauguin-Symbolik aus einem Großbuchstaben, der den <a href="/wiki/Bravaisgitter" class="mw-redirect" title="Bravaisgitter">Bravaistyp</a> angibt, sowie einer Folge von Symbolen (Zahlen und Kleinbuchstaben, die auf das Vorliegen weiterer Symmetrieelemente hinweisen), die sich eng an die Symbolik für <a href="/wiki/Punktgruppe" title="Punktgruppe">Punktgruppen</a> anlehnt, zusätzlich aber berücksichtigt, dass auch kombinierte Symmetrieoperationen aus Translation und Rotation bzw. Spiegelung vorliegen können.<sup id="cite_ref-Kleber_1-3" class="reference"><a href="#cite_note-Kleber-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p><p>Eine vollständige Liste der 230 dreidimensionalen Raumgruppen ist in der <a href="/wiki/Liste_der_Raumgruppen" title="Liste der Raumgruppen">Liste der Raumgruppen</a> zu finden. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Raumgruppe&veaction=edit&section=4" title="Abschnitt bearbeiten: Siehe auch" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Raumgruppe&action=edit&section=4" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Siehe auch"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Bieberbachgruppe" title="Bieberbachgruppe">Bieberbachgruppe</a></li> <li><a href="/wiki/Sohncke-Raumgruppe" title="Sohncke-Raumgruppe">Sohncke-Raumgruppe</a> (auch <i>chirale Raumgruppe</i> genannt)</li> <li><a href="/wiki/Ebene_kristallographische_Gruppe" title="Ebene kristallographische Gruppe">Ebene kristallographische Gruppe</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Raumgruppe&veaction=edit&section=5" title="Abschnitt bearbeiten: Literatur" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Raumgruppe&action=edit&section=5" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Literatur"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Johann_Jakob_Burckhardt_(Mathematiker)" title="Johann Jakob Burckhardt (Mathematiker)">Johann Jakob Burckhardt</a>: <i>Die Bewegungsgruppen der Kristallographie.</i> 2. Auflage, Springer, 1966, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/9783034869317" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-3-0348-6931-7</a>.</li> <li><a href="/wiki/John_Horton_Conway" title="John Horton Conway">John Horton Conway</a>, Olaf Delgado Friedrichs, Daniel Huson, <a href="/wiki/William_Thurston" title="William Thurston">William Thurston</a>: <i>On three dimensional space groups.</i> In: <i>Contributions to Algebra and Geometry.</i> 42, 2001, S. 475–507. (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.emis.de/journals/BAG/vol.42/no.2/17.html">Online</a>).</li> <li><a href="/wiki/Hans_Zassenhaus" class="mw-redirect" title="Hans Zassenhaus">Hans Zassenhaus</a>: <i>Über einen Algorithmus zur Bestimmung der Raumgruppen.</i> In: <i>Comm. Math. Helveticae.</i> 21, 1948, S. 117–141. (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=GDZPPN002054906">Online</a>).</li> <li>Harold Brown, J. Neubüser, <a href="/wiki/Hans_Wondratschek" title="Hans Wondratschek">Hans Wondratschek</a>, R. Bülow, <a href="/wiki/Hans_Zassenhaus" class="mw-redirect" title="Hans Zassenhaus">Hans Zassenhaus</a>: <i>Crystallographic groups of four-dimensional space.</i> Wiley 1978, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/9780471030959" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-0-471-03095-9</a>.</li> <li><a href="/wiki/Joachim_Neub%C3%BCser" title="Joachim Neubüser">Joachim Neubüser</a>, Hans Wondratschek, Rolf Bülow: <i>On crystallography in higher dimensions.</i> (Teil 1–3) In: <i><a href="/wiki/Acta_Crystallographica" title="Acta Crystallographica">Acta Crystallographica</a> A.</i> Band 27, 1971, S. 517–535 (speziell 4 Dimensionen). <ul><li>J. Neubüser, H. Wondratschek, R. Bülow: <cite style="font-style:italic">On crystallography in higher dimensions. I. General definitions</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Acta Crystallographica Section A</cite>. <span style="white-space:nowrap">Band<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>27</span>, <span style="white-space:nowrap">Nr.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>6</span>, 1. November 1971, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>517–520</span>, <a href="/wiki/Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<span class="uri-handle" style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1107/S0567739471001165">10.1107/S0567739471001165</a></span>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Raumgruppe&rft.atitle=On+crystallography+in+higher+dimensions.+I.+General+definitions&rft.au=J.+Neub%C3%BCser%2C+H.+Wondratschek%2C+R.+B%C3%BClow&rft.date=1971-11-01&rft.doi=10.1107%2FS0567739471001165&rft.genre=journal&rft.issue=6&rft.jtitle=Acta+Crystallographica+Section+A&rft.pages=517-520&rft.volume=27" style="display:none"> </span></li> <li>R. Bülow, J. Neubüser, H. Wondratschek: <cite style="font-style:italic">On crystallography in higher dimensions. II. Procedure of computation in R 4</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Acta Crystallographica Section A</cite>. <span style="white-space:nowrap">Band<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>27</span>, <span style="white-space:nowrap">Nr.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>6</span>, 1. November 1971, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>520–523</span>, <a href="/wiki/Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<span class="uri-handle" style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1107/S0567739471001177">10.1107/S0567739471001177</a></span>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Raumgruppe&rft.atitle=On+crystallography+in+higher+dimensions.+II.+Procedure+of+computation+in+R+4&rft.au=R.+B%C3%BClow%2C+J.+Neub%C3%BCser%2C+H.+Wondratschek&rft.date=1971-11-01&rft.doi=10.1107%2FS0567739471001177&rft.genre=journal&rft.issue=6&rft.jtitle=Acta+Crystallographica+Section+A&rft.pages=520-523&rft.volume=27" style="display:none"> </span></li> <li>H. Wondratschek, R. Bülow, J. Neubüser: <cite style="font-style:italic">On crystallography in higher dimensions. III. Results in R 4</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Acta Crystallographica Section A</cite>. <span style="white-space:nowrap">Band<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>27</span>, <span style="white-space:nowrap">Nr.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>6</span>, 1. November 1971, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>523–535</span>, <a href="/wiki/Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<span class="uri-handle" style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1107/S0567739471001189">10.1107/S0567739471001189</a></span>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Raumgruppe&rft.atitle=On+crystallography+in+higher+dimensions.+III.+Results+in+R+4&rft.au=H.+Wondratschek%2C+R.+B%C3%BClow%2C+J.+Neub%C3%BCser&rft.date=1971-11-01&rft.doi=10.1107%2FS0567739471001189&rft.genre=journal&rft.issue=6&rft.jtitle=Acta+Crystallographica+Section+A&rft.pages=523-535&rft.volume=27" style="display:none"> </span></li></ul></li> <li>Harold Brown: <i>An algorithm for the determination of space groups.</i> In: <i>Mathematics of Computation.</i> Band 23, 1969, S. 499–514. (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.ams.org/journals/mcom/1969-23-107/S0025-5718-1969-0246975-6/S0025-5718-1969-0246975-6.pdf">PDF; 1,25 MB</a>).</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Raumgruppe&veaction=edit&section=6" title="Abschnitt bearbeiten: Weblinks" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Raumgruppe&action=edit&section=6" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Weblinks"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>Interaktive Veranschaulichung der 17 Raumgruppen der Ebene: <ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://home.in.tum.de/~gagern/ornament/ornament.html">Ornamente zeichnen</a>, Java Applet und Application. Behält gezeichnete Linienzüge beim Wechsel der Gruppe bei.</li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://escher.epfl.ch/escher">Escher Web Sketch</a>, Java Applet. Erlaubt neben dem Freihandzeichnen auch die Benutzung einzelner anderer Objekte.</li></ul></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Raumgruppe&veaction=edit&section=7" title="Abschnitt bearbeiten: Einzelnachweise" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Raumgruppe&action=edit&section=7" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Einzelnachweise"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ol class="references"> <li id="cite_note-Kleber-1"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-Kleber_1-0">a</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-Kleber_1-1">b</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-Kleber_1-2">c</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-Kleber_1-3">d</a></sup></span> <span class="reference-text"><a href="/wiki/Will_Kleber" title="Will Kleber">Will Kleber</a>, <a href="/wiki/Hans-Joachim_Bautsch" title="Hans-Joachim Bautsch">Hans-Joachim Bautsch</a>, <a href="/wiki/Joachim_Bohm_(Kristallograph)" title="Joachim Bohm (Kristallograph)">Joachim Bohm</a>: <cite style="font-style:italic">Einführung in die Kristallographie</cite>. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 2010, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/9783486590753" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-3-486-59075-3</a>, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>101<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>ff</span>. (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=UvOw8tc8LJEC&pg=PA101#v=onepage">eingeschränkte Vorschau</a> in der Google-Buchsuche).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Raumgruppe&rft.au=Will+Kleber%2C+Hans-Joachim+Bautsch%2C+Joachim+Bohm&rft.btitle=Einf%C3%BChrung+in+die+Kristallographie&rft.date=2010&rft.genre=book&rft.isbn=9783486590753&rft.pages=101ff&rft.place=M%C3%BCnchen&rft.pub=Oldenbourg+Wissenschaftsverlag" style="display:none"> </span></span> </li> </ol> <div class="hintergrundfarbe1 rahmenfarbe1 navigation-not-searchable normdaten-typ-s" style="border-style: solid; border-width: 1px; clear: left; margin-bottom:1em; margin-top:1em; padding: 0.25em; overflow: hidden; word-break: break-word; word-wrap: break-word;" id="normdaten"> <div style="display: table-cell; vertical-align: middle; width: 100%;"> <div> Normdaten (Sachbegriff): <a href="/wiki/Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <span class="plainlinks-print"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4177070-5">4177070-5</a></span> <span class="noprint">(<a rel="nofollow" class="external text" href="https://lobid.org/gnd/4177070-5">lobid</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://swb.bsz-bw.de/DB=2.104/SET=1/TTL=1/CMD?retrace=0&trm_old=&ACT=SRCHA&IKT=2999&SRT=RLV&TRM=4177070-5">OGND</a><span class="metadata">, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://prometheus.lmu.de/gnd/4177070-5">AKS</a></span>)</span> | <a href="/wiki/Library_of_Congress_Control_Number" title="Library of Congress Control Number">LCCN</a>: <span class="plainlinks-print"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://lccn.loc.gov/sh85125936">sh85125936</a></span> | <a href="/wiki/Web_NDL_Authorities" title="Web NDL Authorities">NDL</a>: <span class="plainlinks-print"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.ndl.go.jp/auth/ndlsh/00565653">00565653</a></span> <span class="metadata"></span></div> </div></div></div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Abgerufen von „<a dir="ltr" href="https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Raumgruppe&oldid=243351508">https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Raumgruppe&oldid=243351508</a>“</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Wikipedia:Kategorien" title="Wikipedia:Kategorien">Kategorien</a>: <ul><li><a href="/wiki/Kategorie:Symmetriegruppe" title="Kategorie:Symmetriegruppe">Symmetriegruppe</a></li><li><a href="/wiki/Kategorie:Kristallographie" title="Kategorie:Kristallographie">Kristallographie</a></li></ul></div></div> </div> </div> <div id="mw-navigation"> <h2>Navigationsmenü</h2> <div id="mw-head"> <nav id="p-personal" class="mw-portlet mw-portlet-personal vector-user-menu-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-personal-label" > <h3 id="p-personal-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Meine Werkzeuge</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anonuserpage" class="mw-list-item"><span title="Benutzerseite der IP-Adresse, von der aus du Änderungen durchführst">Nicht angemeldet</span></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Spezial:Meine_Diskussionsseite" title="Diskussion über Änderungen von dieser IP-Adresse [n]" accesskey="n"><span>Diskussionsseite</span></a></li><li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Spezial:Meine_Beitr%C3%A4ge" title="Eine Liste der Bearbeitungen, die von dieser IP-Adresse gemacht wurden [y]" accesskey="y"><span>Beiträge</span></a></li><li id="pt-createaccount" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Spezial:Benutzerkonto_anlegen&returnto=Raumgruppe" title="Wir ermutigen dich dazu, ein Benutzerkonto zu erstellen und dich anzumelden. Es ist jedoch nicht zwingend erforderlich."><span>Benutzerkonto erstellen</span></a></li><li id="pt-login" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Spezial:Anmelden&returnto=Raumgruppe" title="Anmelden ist zwar keine Pflicht, wird aber gerne gesehen. [o]" accesskey="o"><span>Anmelden</span></a></li> </ul> </div> </nav> <div id="left-navigation"> <nav id="p-namespaces" class="mw-portlet mw-portlet-namespaces vector-menu-tabs vector-menu-tabs-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-namespaces-label" > <h3 id="p-namespaces-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Namensräume</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected mw-list-item"><a href="/wiki/Raumgruppe" title="Seiteninhalt anzeigen [c]" accesskey="c"><span>Artikel</span></a></li><li id="ca-talk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Diskussion:Raumgruppe" rel="discussion" title="Diskussion zum Seiteninhalt [t]" accesskey="t"><span>Diskussion</span></a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-variants" class="mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet vector-menu-dropdown vector-menu" aria-labelledby="p-variants-label" > <input type="checkbox" id="p-variants-checkbox" 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href="/w/index.php?title=Spezial:Zitierhilfe&page=Raumgruppe&id=243351508&wpFormIdentifier=titleform" title="Hinweise, wie diese Seite zitiert werden kann"><span>Artikel zitieren</span></a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Spezial:URL-K%C3%BCrzung&url=https%3A%2F%2Fde.wikipedia.org%2Fwiki%2FRaumgruppe"><span>Kurzlink</span></a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Spezial:QrCode&url=https%3A%2F%2Fde.wikipedia.org%2Fwiki%2FRaumgruppe"><span>QR-Code herunterladen</span></a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-coll-print_export" class="mw-portlet mw-portlet-coll-print_export vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-coll-print_export-label" > <h3 id="p-coll-print_export-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Drucken/exportieren</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-download-as-rl" 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wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q899033" title="Link zum verbundenen Objekt im Datenrepositorium [g]" accesskey="g"><span>Wikidata-Datenobjekt</span></a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-lang" class="mw-portlet mw-portlet-lang vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-lang-label" > <h3 id="p-lang-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">In anderen Sprachen</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-af mw-list-item"><a href="https://af.wikipedia.org/wiki/Ruimtegroep" title="Ruimtegroep – Afrikaans" lang="af" hreflang="af" data-title="Ruimtegroep" data-language-autonym="Afrikaans" data-language-local-name="Afrikaans" class="interlanguage-link-target"><span>Afrikaans</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a 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