Dualsystem – Wikipedia

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs" lang="de" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Dualsystem – Wikipedia</title> <script>(function(){var className="client-js";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )dewikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t.",".\t,"],"wgDigitTransformTable":["",""],"wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","Januar","Februar","März","April","Mai","Juni","Juli","August","September","Oktober","November","Dezember"],"wgRequestId":"fc416c3a-de20-4ea8-901e-08754af88d3b","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Dualsystem","wgTitle":"Dualsystem","wgCurRevisionId":246230048,"wgRevisionId":246230048,"wgArticleId":23407,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":[ "Zeichenkodierung","Zahlensystem","Binärcode"],"wgPageViewLanguage":"de","wgPageContentLanguage":"de","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Dualsystem","wgRelevantArticleId":23407,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgFlaggedRevsParams":{"tags":{"accuracy":{"levels":1}}},"wgStableRevisionId":246230048,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"de","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"de"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":40000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgCentralAuthMobileDomain":false,"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":true, "wgVector2022LanguageInHeader":false,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q3913","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={"ext.gadget.citeRef":"ready","ext.gadget.defaultPlainlinks":"ready","ext.gadget.dewikiCommonHide":"ready","ext.gadget.dewikiCommonLayout":"ready","ext.gadget.dewikiCommonStyle":"ready","ext.gadget.NavFrame":"ready","ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.cite.styles":"ready","ext.math.styles":"ready","skins.vector.styles.legacy":"ready","ext.flaggedRevs.basic":"ready","mediawiki.codex.messagebox.styles":"ready", "ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","codex-search-styles":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["ext.cite.ux-enhancements","mediawiki.page.media","site","mediawiki.page.ready","mediawiki.toc","skins.vector.legacy.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.flaggedRevs.advanced","ext.gadget.createNewSection","ext.gadget.WikiMiniAtlas","ext.gadget.OpenStreetMap","ext.gadget.CommonsDirekt","ext.gadget.donateLink","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.compactlinks","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","wikibase.sidebar.tracking"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); 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border-bottom-width: 1px; font-size:95%; margin-bottom:1em; padding: 0.25em; overflow: hidden; word-break: break-word; word-wrap: break-word;"><div class="noviewer noresize bksicon" style="display: table-cell; padding-bottom: 0.2em; padding-left: 0.25em; padding-right: 1em; padding-top: 0.2em; vertical-align: middle;" aria-hidden="true" role="presentation"><span typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ea/Disambig-dark.svg/25px-Disambig-dark.svg.png" decoding="async" width="25" height="19" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ea/Disambig-dark.svg/38px-Disambig-dark.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ea/Disambig-dark.svg/50px-Disambig-dark.svg.png 2x" data-file-width="444" data-file-height="340" /></span></span></div> <div style="display: table-cell; vertical-align: middle; width: 100%;"> <div role="navigation"> <i>Binärzahl</i> ist eine Weiterleitung auf diesen Artikel. Zu <i>binären Zahlen</i> als Erweiterung der reellen Zahlen siehe <a href="/wiki/Anormal-komplexe_Zahl" title="Anormal-komplexe Zahl">Anormal-komplexe Zahl</a>.</div> </div></div> <div style="float:right"> <table class="wikitable"> <tbody><tr> <td colspan="2" style="text-align:center"><a href="/wiki/Dezimalzahl" title="Dezimalzahl">Dezimalzahlen</a><br /> 0 bis 15<br /> im Dualsystem </td></tr> <tr> <td><b>Wertigkeit:</b></td> <td><div align="right"><b>8 4 2 1</b></div> </td></tr> <tr> <td>Null:</td> <td><div align="right">0 0 0 0</div> </td></tr> <tr> <td>Eins:</td> <td><div align="right">0 0 0 1</div> </td></tr> <tr> <td>Zwei:</td> <td><div align="right">0 0 1 0</div> </td></tr> <tr> <td>Drei:</td> <td><div align="right">0 0 1 1</div> </td></tr> <tr> <td>Vier:</td> <td><div align="right">0 1 0 0</div> </td></tr> <tr> <td>Fünf:</td> <td><div align="right">0 1 0 1</div> </td></tr> <tr> <td>Sechs:</td> <td><div align="right">0 1 1 0</div> </td></tr> <tr> <td>Sieben:</td> <td><div align="right">0 1 1 1</div> </td></tr> <tr> <td>Acht:</td> <td><div align="right">1 0 0 0</div> </td></tr> <tr> <td>Neun:</td> <td><div align="right">1 0 0 1</div> </td></tr> <tr> <td>Zehn:</td> <td><div align="right">1 0 1 0</div> </td></tr> <tr> <td>Elf:</td> <td><div align="right">1 0 1 1</div> </td></tr> <tr> <td>Zwölf:</td> <td><div align="right">1 1 0 0</div> </td></tr> <tr> <td>Dreizehn:</td> <td><div align="right">1 1 0 1</div> </td></tr> <tr> <td>Vierzehn:</td> <td><div align="right">1 1 1 0</div> </td></tr> <tr> <td>Fünfzehn:</td> <td><div align="right">1 1 1 1</div> </td></tr></tbody></table> </div> <p>Das <b>Dualsystem </b> (<a href="/wiki/Latein" title="Latein">lat.</a> <i>dualis</i> „zwei enthaltend“), auch <b>Zweiersystem</b> oder <b>Binärsystem</b> genannt, ist ein <a href="/wiki/Zahlensystem" title="Zahlensystem">Zahlensystem</a>, das zur Darstellung von <a href="/wiki/Zahl" title="Zahl">Zahlen</a> nur zwei verschiedene <a href="/wiki/Ziffer" class="mw-redirect" title="Ziffer">Ziffern</a> benutzt.<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p><p>Im üblichen <a href="/wiki/Dezimalsystem" title="Dezimalsystem">Dezimalsystem</a> werden die Ziffern 0 bis 9 verwendet. Im Dualsystem hingegen werden Zahlen nur mit den Ziffern des Wertes <a href="/wiki/Null" title="Null">null</a> und <a href="/wiki/Eins" title="Eins">eins</a> dargestellt. Oft werden für diese Ziffern die <a href="/wiki/Symbol" title="Symbol">Symbole</a> 0 und 1 verwendet. Die Zahlen null bis fünfzehn sind in der rechts stehenden Liste aufgeführt. </p><p>Das Dualsystem ist das <a href="/wiki/Stellenwertsystem" title="Stellenwertsystem">Stellenwertsystem</a> mit der Basis 2, liefert also die dyadische (2-adische) Darstellung von Zahlen (<b>Dyadik</b>) (<a href="/wiki/Griechische_Sprache" title="Griechische Sprache">gr.</a> <i>δύο = zwei</i>). </p><p>Aufgrund seiner Bedeutung in der <a href="/wiki/Digitaltechnik" title="Digitaltechnik">Digitaltechnik</a> ist es neben dem <a href="/wiki/Dezimalsystem" title="Dezimalsystem">Dezimalsystem</a> das wichtigste Zahlensystem. </p><p>Die <a href="/wiki/Zahldarstellung" title="Zahldarstellung">Zahldarstellungen</a> im Dualsystem werden auch <b>Dualzahlen</b> oder <b>Binärzahlen</b> genannt. Letztere ist die allgemeinere Bezeichnung, da diese auch verkürzt für <i><a href="/wiki/Bin%C3%A4rcode" title="Binärcode">binärcodierte</a> Zahlen</i> stehen kann. Der Begriff Binärzahl spezifiziert die Darstellungsweise einer Zahl also nicht näher, er sagt nur aus, dass zwei verschiedene Ziffern verwendet werden. </p> <div id="toc" class="toc" role="navigation" aria-labelledby="mw-toc-heading"><input type="checkbox" role="button" id="toctogglecheckbox" class="toctogglecheckbox" style="display:none" /><div class="toctitle" lang="de" dir="ltr"><h2 id="mw-toc-heading">Inhaltsverzeichnis</h2><span class="toctogglespan"><label class="toctogglelabel" for="toctogglecheckbox"></label></span></div> <ul> <li class="toclevel-1 tocsection-1"><a href="#Definition_und_Darstellung"><span class="tocnumber">1</span> <span class="toctext">Definition und Darstellung</span></a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-2"><a href="#Beispiele"><span class="tocnumber">1.1</span> <span class="toctext">Beispiele</span></a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-3"><a href="#Geschichte"><span class="tocnumber">2</span> <span class="toctext">Geschichte</span></a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-4"><a href="#Entwicklung_des_Dualsystems"><span class="tocnumber">2.1</span> <span class="toctext">Entwicklung des Dualsystems</span></a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-5"><a href="#Die_ersten_Realisierungen_in_der_Technik"><span class="tocnumber">2.2</span> <span class="toctext">Die ersten Realisierungen in der Technik</span></a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-6"><a href="#Anwendung_in_der_elektronischen_Datenverarbeitung"><span class="tocnumber">3</span> <span class="toctext">Anwendung in der elektronischen Datenverarbeitung</span></a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-7"><a href="#Berechnung_benötigter_Stellen"><span class="tocnumber">3.1</span> <span class="toctext">Berechnung benötigter Stellen</span></a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-8"><a href="#Anwendung_in_der_Unterhaltungsmathematik"><span class="tocnumber">4</span> <span class="toctext">Anwendung in der Unterhaltungsmathematik</span></a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-9"><a href="#Vorgehensweise"><span class="tocnumber">4.1</span> <span class="toctext">Vorgehensweise</span></a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-10"><a href="#Struktur_der_Karten"><span class="tocnumber">4.2</span> <span class="toctext">Struktur der Karten</span></a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-11"><a href="#Erläuterndes_Beispiel"><span class="tocnumber">4.3</span> <span class="toctext">Erläuterndes Beispiel</span></a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-12"><a href="#Grundrechenarten_im_Dualsystem"><span class="tocnumber">5</span> <span class="toctext">Grundrechenarten im Dualsystem</span></a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-13"><a href="#Schriftliche_Addition"><span class="tocnumber">5.1</span> <span class="toctext">Schriftliche Addition</span></a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-14"><a href="#Schriftliche_Subtraktion"><span class="tocnumber">5.2</span> <span class="toctext">Schriftliche Subtraktion</span></a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-15"><a href="#Schriftliche_Multiplikation"><span class="tocnumber">5.3</span> <span class="toctext">Schriftliche Multiplikation</span></a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-16"><a href="#Schriftliche_Division"><span class="tocnumber">5.4</span> <span class="toctext">Schriftliche Division</span></a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-17"><a href="#Umrechnen_von_Dualzahlen_in_andere_Stellenwertsysteme"><span class="tocnumber">6</span> <span class="toctext">Umrechnen von Dualzahlen in andere Stellenwertsysteme</span></a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-18"><a href="#Vom_Dualsystem_ins_Dezimalsystem"><span class="tocnumber">6.1</span> <span class="toctext">Vom Dualsystem ins Dezimalsystem</span></a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-19"><a href="#Vom_Dezimalsystem_ins_Dualsystem"><span class="tocnumber">6.2</span> <span class="toctext">Vom Dezimalsystem ins Dualsystem</span></a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-20"><a href="#Eigenschaften"><span class="tocnumber">7</span> <span class="toctext">Eigenschaften</span></a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-21"><a href="#Teilbarkeit_durch_eine_2er_Potenz"><span class="tocnumber">7.1</span> <span class="toctext">Teilbarkeit durch eine 2er Potenz</span></a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-22"><a href="#Teilbarkeit_durch_3"><span class="tocnumber">7.2</span> <span class="toctext">Teilbarkeit durch 3</span></a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-23"><a href="#Ähnliche_Zahlensysteme"><span class="tocnumber">8</span> <span class="toctext">Ähnliche Zahlensysteme</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-24"><a href="#Siehe_auch"><span class="tocnumber">9</span> <span class="toctext">Siehe auch</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-25"><a href="#Weblinks"><span class="tocnumber">10</span> <span class="toctext">Weblinks</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-26"><a href="#Einzelnachweise"><span class="tocnumber">11</span> <span class="toctext">Einzelnachweise</span></a></li> </ul> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition_und_Darstellung">Definition und Darstellung</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Dualsystem&veaction=edit&section=1" title="Abschnitt bearbeiten: Definition und Darstellung" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Dualsystem&action=edit&section=1" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Definition und Darstellung"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Bei der Zahldarstellung im Dualsystem werden die Ziffern <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c6e920bac39ad09fff4efef16254595091a1025" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.881ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle z_{i}}"></span> wie im gewöhnlich verwendeten Dezimalsystem ohne Trennzeichen hintereinander geschrieben, ihr Stellenwert entspricht allerdings der zur Stelle passenden <a href="/wiki/Potenz_(Mathematik)" title="Potenz (Mathematik)">Zweierpotenz</a> und nicht der Zehnerpotenz. </p><p>Die höchstwertige Stelle mit dem Wert <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z_{m}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z_{m}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3ae6acd3821b9cf0a19d4d9cc23f2d29e561c66" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.756ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle z_{m}}"></span> wird also ganz links und die niederwertigeren Stellen mit den Werten <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z_{m-1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z_{m-1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea967744c13ff93bdaffb5fb1c8aed492797a9da" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.857ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle z_{m-1}}"></span> bis <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z_{0}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e72d1d86e86355892b39b8eb32b964834e113bf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.135ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle z_{0}}"></span> werden in absteigender Reihenfolge rechts davon aufgeschrieben. Zur Darstellung von <a href="/wiki/Rationale_Zahl" title="Rationale Zahl">rationalen</a> oder <a href="/wiki/Reelle_Zahl" title="Reelle Zahl">reellen Zahlen</a> folgen dann nach einem trennenden Komma die Stellen <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z_{-1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z_{-1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43151a0c0dbceccba5425a11fd9e7c7b83cb9828" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.414ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle z_{-1}}"></span> bis <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z_{-n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z_{-n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b0a7f884d32770de248847dcfdafdcd84bbc286" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.578ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle z_{-n}}"></span>, die den gebrochenen Anteil der Zahl darstellen. Wenn diese Darstellung abbricht, dann sieht das so aus: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z_{m}z_{m-1}\ldots z_{0}\operatorname {,} z_{-1}z_{-2}\ldots z_{-n}\qquad \left(m,n\in \mathbb {N} ,\quad z_{i}\in \{0,1\}\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>…</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits"> <mo>,</mo> </mrow> <mo>⁡</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>…</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mspace width="2em" /> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>m</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z_{m}z_{m-1}\ldots z_{0}\operatorname {,} z_{-1}z_{-2}\ldots z_{-n}\qquad \left(m,n\in \mathbb {N} ,\quad z_{i}\in \{0,1\}\right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74e240979dd953e5b2c034db8e16e1da293f2f79" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:58.161ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle z_{m}z_{m-1}\ldots z_{0}\operatorname {,} z_{-1}z_{-2}\ldots z_{-n}\qquad \left(m,n\in \mathbb {N} ,\quad z_{i}\in \{0,1\}\right)}"></span></dd></dl> <p>Der Wert <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cc6b75e09a8aa3f04d8584b11db534f88fb56bd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.68ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Z}"></span> der Dualzahl ergibt sich durch Addition dieser Ziffern, welche vorher jeweils mit ihrem Stellenwert <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2^{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2^{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa70ee9ac3ded8d4793dea44c62d02e5b50012b4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.962ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 2^{i}}"></span> multipliziert werden: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z=\sum _{i=-n}^{m}z_{i}\cdot 2^{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Z</mi> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mi>n</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z=\sum _{i=-n}^{m}z_{i}\cdot 2^{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0168b1581a787951889e454c7ed60b8535492a4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:14.799ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle Z=\sum _{i=-n}^{m}z_{i}\cdot 2^{i}}"></span>.</dd></dl> <p>Gewöhnlich werden analog zu anderen Zahlensystemen die Symbole 0 und 1 zur Darstellung der beiden Ziffern verwendet. </p><p>In älterer Literatur mit Bezug zur <a href="/wiki/Elektronische_Datenverarbeitung" title="Elektronische Datenverarbeitung">elektronischen Datenverarbeitung</a> werden manchmal die Symbole Low (L) und High (H) anstelle von 0 und 1 verwendet. Low steht dann meist für den Wert null und High für den Wert eins. Diese Zuordnung nennt sich <i>positive Logik</i>, bei <i>negativer Logik</i> werden die Werte andersherum zugeordnet. In der Informatik werden für binär kodierte Werte auch die „Ziffern“ <i>wahr</i> (w) und <i>falsch</i> (f) bzw. die englischen Übersetzungen <i>true</i> (t) und <i>false</i> (f) verwendet, wobei meist falsch=0 und wahr=1 gesetzt wird. </p><p>Auch die Symbole L für den Wert eins und 0 für den Wert null finden (selten) Verwendung. </p><p>Negative Zahlen werden im Dualsystem wie im Dezimalsystem mit einem vorangestellten Minuszeichen (−) geschrieben. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Beispiele">Beispiele</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Dualsystem&veaction=edit&section=2" title="Abschnitt bearbeiten: Beispiele" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Dualsystem&action=edit&section=2" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Beispiele"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Die Ziffernfolge 1101 zum Beispiel stellt nicht (wie im Dezimalsystem) die Tausendeinhunderteins dar, sondern die Dreizehn, denn im Dualsystem berechnet sich der Wert durch </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [1101]_{2}=1\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{2}+0\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{0}=[13]_{10}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mn>1101</mn> <msub> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>0</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mn>13</mn> <msub> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>10</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [1101]_{2}=1\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{2}+0\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{0}=[13]_{10}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecff7fbaec1c67d3f38e1b0bdb9f3efdc3fddae8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:47.444ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle [1101]_{2}=1\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{2}+0\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{0}=[13]_{10}}"></span></dd></dl> <p>und nicht wie im Dezimalsystem durch </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1\cdot 10^{3}+1\cdot 10^{2}+0\cdot 10^{1}+1\cdot 10^{0}=[1101]_{10}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>0</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mn>1101</mn> <msub> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>10</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1\cdot 10^{3}+1\cdot 10^{2}+0\cdot 10^{1}+1\cdot 10^{0}=[1101]_{10}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56a3e1ceae027dceb375ca41f9117117e38200ad" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:44.322ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle 1\cdot 10^{3}+1\cdot 10^{2}+0\cdot 10^{1}+1\cdot 10^{0}=[1101]_{10}}"></span>.</dd></dl> <p>Für weitere Techniken und Beispiele zum Umrechnen von Dualzahlen in Dezimalzahlen und umgekehrt: siehe Abschnitt <a href="#Umrechnen_von_Dualzahlen_in_andere_Stellenwertsysteme">Umrechnen von Dualzahlen in andere Stellenwertsysteme</a>. </p><p>Die Klammerung der Resultate mit der tiefgestellten 2 beziehungsweise der 10 gibt die Basis des verwendeten <a href="/wiki/Stellenwertsystem" title="Stellenwertsystem">Stellenwertsystems</a> an. So kann leicht erkannt werden, ob die Zahl im Dual- oder im Dezimalsystem dargestellt ist. In der Literatur werden die eckigen Klammern oft weggelassen und die tiefergestellte Zahl dann manchmal in runde Klammern gesetzt. Ebenfalls möglich ist die Kennzeichnung durch den nachgestellten Großbuchstaben B (für <i>binary</i>, engl. für binär). </p><p>Verschiedene Schreibweisen der Zahl <a href="/wiki/Dreiundzwanzig" title="Dreiundzwanzig">dreiundzwanzig</a> im Dualsystem: </p> <ul><li>[10111]<sub>2</sub></li> <li>10111<sub>2</sub><sup id="cite_ref-:0_2-0" class="reference"><a href="#cite_note-:0-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup></li> <li>10111<sub>(2)</sub></li> <li>0b10111<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup></li> <li>%10111<sup id="cite_ref-:0_2-1" class="reference"><a href="#cite_note-:0-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> (sog. <a href="/wiki/Motorola" class="mw-redirect" title="Motorola">Motorola</a>-Konvention, aber z. B. auch bei <a href="/wiki/DR-DOS" title="DR-DOS">DR-DOS</a> <a href="/wiki/DEBUG" title="DEBUG">DEBUG</a>)</li> <li>HLHHH</li> <li>L0LLL</li></ul> <p>Die gelegentlich verwendete Schreibweise 10111b bzw. 10111B ist nicht empfehlenswert, da sie mit <a href="/wiki/Hexadezimalsystem" title="Hexadezimalsystem">Hexadezimalzahlen</a> verwechselt werden kann<sup id="cite_ref-:0_2-2" class="reference"><a href="#cite_note-:0-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Geschichte">Geschichte</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Dualsystem&veaction=edit&section=3" title="Abschnitt bearbeiten: Geschichte" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Dualsystem&action=edit&section=3" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Geschichte"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Entwicklung_des_Dualsystems">Entwicklung des Dualsystems</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Dualsystem&veaction=edit&section=4" title="Abschnitt bearbeiten: Entwicklung des Dualsystems" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Dualsystem&action=edit&section=4" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Entwicklung des Dualsystems"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Der <a href="/wiki/Indien" title="Indien">alt-indische</a> Mathematiker <a href="/wiki/Pingala_(Grammatiker)" title="Pingala (Grammatiker)">Pingala</a> stellte die erste bekannte Beschreibung eines Zahlensystems bestehend aus zwei Zeichen im 3. Jahrhundert v. Chr. vor. Dieses Zahlensystem kannte allerdings keine Null. </p><p>Eine Serie von <a href="/wiki/Acht_Trigramme" title="Acht Trigramme">acht Trigrammen</a> und <a href="/wiki/Vierundsechzig_Hexagramme" title="Vierundsechzig Hexagramme">64 Hexagrammen</a> sind aus dem alt-chinesischen und <a href="/wiki/Daoismus" title="Daoismus">daoistischen</a> Text <i><a href="/wiki/I_Ching" class="mw-redirect" title="I Ching">I Ching</a></i> bekannt. Der chinesische Gelehrte und Philosoph <a href="/wiki/Shao_Yong" title="Shao Yong">Shao Yong</a> entwickelte im 11. Jahrhundert daraus eine systematische Anordnung von Hexagrammen, die die Folge von 1 bis 64 darstellt, und eine Methode, um dieselbe zu erzeugen. Es gibt jedoch keine Hinweise, dass Shao es verstand, Berechnungen im Dualsystem vorzunehmen oder das Konzept des Stellenwertes erkannt hatte. </p> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Diagram_of_I_Ching_hexagrams_owned_by_Gottfried_Wilhelm_Leibniz,_1701.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f8/Diagram_of_I_Ching_hexagrams_owned_by_Gottfried_Wilhelm_Leibniz%2C_1701.jpg/220px-Diagram_of_I_Ching_hexagrams_owned_by_Gottfried_Wilhelm_Leibniz%2C_1701.jpg" decoding="async" width="220" height="211" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f8/Diagram_of_I_Ching_hexagrams_owned_by_Gottfried_Wilhelm_Leibniz%2C_1701.jpg/330px-Diagram_of_I_Ching_hexagrams_owned_by_Gottfried_Wilhelm_Leibniz%2C_1701.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f8/Diagram_of_I_Ching_hexagrams_owned_by_Gottfried_Wilhelm_Leibniz%2C_1701.jpg/440px-Diagram_of_I_Ching_hexagrams_owned_by_Gottfried_Wilhelm_Leibniz%2C_1701.jpg 2x" data-file-width="1313" data-file-height="1262" /></a><figcaption>Joachim Bouvet übermittelte die <a href="/wiki/Vierundsechzig_Hexagramme" title="Vierundsechzig Hexagramme">vierundsechzig Hexagramme</a> aus China an <a href="/wiki/Leibniz" class="mw-redirect" title="Leibniz">Leibniz</a>, 1701</figcaption></figure> <p>Schon Jahrhunderte bevor das Dualsystem in Europa entwickelt wurde, haben <a href="/wiki/Polynesien" title="Polynesien">Polynesier</a> binäre Zusammenfassungen von Zahlen zur Vereinfachung von Rechnungen benutzt.<sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p><p><a href="/wiki/Gottfried_Wilhelm_Leibniz" title="Gottfried Wilhelm Leibniz">Gottfried Wilhelm Leibniz</a> erfand schon Ende des 17. Jahrhunderts die Dyadik (dyo, griech. = Zwei), also die Darstellung von Zahlen im Dualsystem. Er sah darin ein so überzeugendes Sinnbild des <a href="/wiki/Christentum" title="Christentum">christlichen Glaubens</a>, dass er damit den <a href="/wiki/Kaiserreich_China" title="Kaiserreich China">chinesischen</a> Kaiser <a href="/wiki/Kangxi" title="Kangxi">Kangxi</a> überzeugen wollte. Dazu schrieb er an den französischen <a href="/wiki/Jesuiten" title="Jesuiten">Jesuitenpater</a> <a href="/w/index.php?title=Joachim_Bouvet&action=edit&redlink=1" class="new" title="Joachim Bouvet (Seite nicht vorhanden)">Joachim Bouvet</a> (1656–1730): </p> <dl><dd><dl><dd>„Zu Beginn des ersten Tages war die 1, das heißt Gott. Zu Beginn des zweiten Tages die 2, denn Himmel und Erde wurden während des ersten geschaffen. Schließlich zu Beginn des siebenten Tages war schon alles da; deshalb ist der letzte Tag der vollkommenste und der <a href="/wiki/Sabbat" class="mw-redirect" title="Sabbat">Sabbat</a>, denn an ihm ist alles geschaffen und erfüllt, und deshalb schreibt sich die 7 111, also ohne Null. Und nur wenn man die Zahlen bloß mit 0 und 1 schreibt, erkennt man die Vollkommenheit des siebenten Tages, der als heilig gilt, und von dem noch bemerkenswert ist, dass seine Charaktere einen Bezug zur <a href="/wiki/Dreifaltigkeit" class="mw-redirect" title="Dreifaltigkeit">Dreifaltigkeit</a> haben.“<sup id="cite_ref-5" class="reference"><a href="#cite_note-5"><span class="cite-bracket">[</span>5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup></dd></dl></dd></dl> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Leibniz_binary_system_1697_(cropped).jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f5/Leibniz_binary_system_1697_%28cropped%29.jpg/220px-Leibniz_binary_system_1697_%28cropped%29.jpg" decoding="async" width="220" height="192" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f5/Leibniz_binary_system_1697_%28cropped%29.jpg/330px-Leibniz_binary_system_1697_%28cropped%29.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f5/Leibniz_binary_system_1697_%28cropped%29.jpg/440px-Leibniz_binary_system_1697_%28cropped%29.jpg 2x" data-file-width="1561" data-file-height="1362" /></a><figcaption>Das binäre Zahlensystem in einem ersten Entwurf von Gottfried Wilhelm Leibniz, 1697</figcaption></figure> <p>Etwas weltlicher fiel hingegen seine Beschreibung in einem Brief an den Herzog Rudolf von Braunschweig-Wolfenbüttel vom 2. Januar 1697 aus: </p> <div class="Vorlage_Zitat" style="margin:1em 40px;"> <div style="margin:1em 0;"><blockquote style="margin:0;"> <p>„… Denn einer der Hauptpunkte des christlichen Glaubens … ist die Erschaffung aller Dinge aus dem Nichts durch die Allmacht Gottes. Nun kann man wohl sagen, daß nichts in der Welt dies besser vorstelle, ja, gleichsam demonstriere, als der Ursprung der Zahlen, wie er allhier vorgestellt ist, durch deren Ausdrückung nur und allein mit Eins und Null (oder Nichts) alle Zahlen entstehen. Es wird wohl schwerlich in der Natur und Philosophie ein besseres Vorbild dieses Geheimnisses zu finden sein… Das kommt hier um so mehr zupasse, weil die leere Tiefe und wüste Finsternis zu Null und Nichts, aber der Geist Gottes mit seinem Lichte zur allmächtigen Eins gehört. Wegen der Worte des Sinnbilds habe ich mich eine Zeitlang bedacht und endlich für gut befunden diesen Vers zu setzen: Alles aus dem Nichts zu entwickeln genügt Eins (Omnibus ex nihilo ducendis sufficit unum).“<sup id="cite_ref-6" class="reference"><a href="#cite_note-6"><span class="cite-bracket">[</span>6<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p> </blockquote> </div></div> <p>Wohl weil die feinmechanischen Fertigkeiten der damaligen Zeit nicht ausreichten, griff Leibniz beim Bau seiner <a href="/wiki/Rechenmaschine" title="Rechenmaschine">Rechenmaschinen</a> auf das Dezimalsystem zurück. </p> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Leibniz_binary_system_1703.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ac/Leibniz_binary_system_1703.png/220px-Leibniz_binary_system_1703.png" decoding="async" width="220" height="296" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ac/Leibniz_binary_system_1703.png/330px-Leibniz_binary_system_1703.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ac/Leibniz_binary_system_1703.png/440px-Leibniz_binary_system_1703.png 2x" data-file-width="727" data-file-height="979" /></a><figcaption>Seite aus <i>Explication de l’Arithmétique Binaire</i>, 1703</figcaption></figure> <p>Das Dualsystem wurde von Leibniz am Anfang des 18. Jahrhunderts in seinem Artikel <i>Explication de l’Arithmétique Binaire</i> (Histoire de l’Academie Royale des Sciences 1703, veröffentlicht in Paris 1705<sup id="cite_ref-7" class="reference"><a href="#cite_note-7"><span class="cite-bracket">[</span>7<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>) vollständig dokumentiert. Leibniz bestätigt darin außerdem die Ansicht <a href="/w/index.php?title=Joachim_Bouvet&action=edit&redlink=1" class="new" title="Joachim Bouvet (Seite nicht vorhanden)">Joachim Bouvets</a>, eines <a href="/wiki/Missionar" title="Missionar">Missionars</a> am <a href="/wiki/Kaiserreich_China" title="Kaiserreich China">chinesischen</a> Kaiserhof, der die Tri- und Hexagramme des <a href="/wiki/Fu_Xi" title="Fu Xi">Fu Hsi</a> (siehe <a href="/wiki/Datei:Leibniz_Fu_Hsi_1703.png" title="Datei:Leibniz Fu Hsi 1703.png">Abbildung</a>: „Zeichen des Fu Hsi“) bei bestimmter Leserichtung als Zahlzeichen interpretiert hat. Er sah darin ein archaisches Binärsystem, das in Vergessenheit geraten ist. Diese Deutung gilt inzwischen als sehr unwahrscheinlich. </p><p>Leibniz hatte aber auch in Europa Vorgänger.<sup id="cite_ref-8" class="reference"><a href="#cite_note-8"><span class="cite-bracket">[</span>8<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Eine frühere Behandlung des Dualsystems und anderer Stellensysteme von <a href="/wiki/Thomas_Harriot" title="Thomas Harriot">Thomas Harriot</a> wurde von diesem nicht veröffentlicht, sondern fand sich erst im Nachlass.<sup id="cite_ref-9" class="reference"><a href="#cite_note-9"><span class="cite-bracket">[</span>9<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Die erste Veröffentlichung des Dualsystems in Europa ist wahrscheinlich in <i>Mathesis Biceps vetus et nova</i> 1670 vom späteren spanischen Bischof <a href="/wiki/Juan_Caramuel_y_Lobkowitz" title="Juan Caramuel y Lobkowitz">Juan Caramuel y Lobkowitz</a> (1606–1682), der auch Zahlen zu anderen Basen behandelt. Auch <a href="/wiki/Blaise_Pascal" title="Blaise Pascal">Blaise Pascal</a> merkte schon in <i>De numeris multiplicibus</i> (1654, 1665) an, dass die Basis 10 keine Notwendigkeit ist. </p><p>1854 veröffentlichte der britische Mathematiker <a href="/wiki/George_Boole" title="George Boole">George Boole</a> eine richtungsweisende Arbeit, die detailliert ein logisches System beschreibt, das als <a href="/wiki/Boolesche_Algebra" title="Boolesche Algebra">Boolesche Algebra</a> bekannt wurde. Sein logisches System bereitete der Realisierung von elektronischen <a href="/wiki/Elektrische_Schaltung" title="Elektrische Schaltung">Schaltungen</a> den Weg, welche die Arithmetik im Dualsystem implementieren. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Die_ersten_Realisierungen_in_der_Technik">Die ersten Realisierungen in der Technik</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Dualsystem&veaction=edit&section=5" title="Abschnitt bearbeiten: Die ersten Realisierungen in der Technik" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Dualsystem&action=edit&section=5" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Die ersten Realisierungen in der Technik"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>Im November 1937 vollendete <a href="/wiki/George_Stibitz" title="George Stibitz">George Stibitz</a>, der später bei den <a href="/wiki/Bell_Laboratories" title="Bell Laboratories">Bell Labs</a> arbeitete, seinen Relais-gestützten Rechner „Modell K“ (nach „K“ für „Küche“, wo er ihn zusammengebaut hat), der die Addition im Dualsystem beherrschte.</li> <li>1937 baute <a href="/wiki/Konrad_Zuse" title="Konrad Zuse">Konrad Zuse</a> eine auf dem Dualsystem basierende <a href="/wiki/Rechenmaschine" title="Rechenmaschine">Rechenmaschine</a>, die mechanische <a href="/wiki/Zuse_Z1" class="mw-redirect" title="Zuse Z1">Zuse Z1</a>, welche aber aufgrund mechanischer Probleme unzuverlässig arbeitete.</li> <li>1937 fertigte <a href="/wiki/Claude_Shannon" title="Claude Shannon">Claude Shannon</a> seine Master-Abschlussarbeit am <a href="/wiki/Massachusetts_Institute_of_Technology" title="Massachusetts Institute of Technology">MIT</a> an, die erstmals die Boolesche Algebra und die Arithmetik im Dualsystem in elektrischen Relais und Schaltern realisierte. Unter dem Titel <i>A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits</i> hat Shannons Arbeit die Konstruktion Digitaler Schaltkreise begründet.</li> <li>1937 bis 1941 bauten <a href="/wiki/John_Atanasoff" title="John Atanasoff">John Atanasoff</a> und <a href="/wiki/Clifford_Berry" title="Clifford Berry">Clifford Berry</a> den ersten elektronischen <a href="/wiki/Digitalrechner" title="Digitalrechner">Digitalrechner</a>, den auf <a href="/wiki/Elektronenr%C3%B6hre" title="Elektronenröhre">Elektronenröhren</a> basierenden <a href="/wiki/Atanasoff-Berry-Computer" title="Atanasoff-Berry-Computer">Atanasoff-Berry-Computer</a>.</li> <li>Am 12. Mai 1941 führte <a href="/wiki/Konrad_Zuse" title="Konrad Zuse">Konrad Zuse</a> einem kleinen Kreis in Berlin den weltweit ersten <a href="/wiki/Turing-Vollst%C3%A4ndigkeit" title="Turing-Vollständigkeit">universell programmierbaren</a> binären <a href="/wiki/Digitalrechner" title="Digitalrechner">Digitalrechner</a>, die elektromechanische <a href="/wiki/Zuse_Z3" title="Zuse Z3">Zuse Z3</a> vor, welcher aber im Zweiten Weltkrieg komplett zerstört wurde.</li> <li>Am 19. März 1955 stellten die <a href="/wiki/Bell_Laboratories" title="Bell Laboratories">Bell-Forschungslaboratorien</a> den weltweit ersten ausschließlich mit <a href="/wiki/Halbleiter" title="Halbleiter">Halbleiter</a>-Elementen realisierten binären Digitalrechner, den <a href="/wiki/TRADIC" title="TRADIC"><i>TR</i>ansistorized <i>A</i>irborne <i>DI</i>gital <i>C</i>omputer</a>, vor.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anwendung_in_der_elektronischen_Datenverarbeitung">Anwendung in der elektronischen Datenverarbeitung</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Dualsystem&veaction=edit&section=6" title="Abschnitt bearbeiten: Anwendung in der elektronischen Datenverarbeitung" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Dualsystem&action=edit&section=6" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Anwendung in der elektronischen Datenverarbeitung"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Bei der Entwicklung von elektronischen Rechenmaschinen erlangte das Dualsystem große Bedeutung, denn in der Digitaltechnik werden Zahlen durch elektrische Zustände dargestellt. Bevorzugt werden zwei komplementäre Zustände wie <i><a href="/wiki/Elektrischer_Strom" title="Elektrischer Strom">Strom</a> an</i> / <i>Strom aus</i> oder <i><a href="/wiki/Elektrische_Spannung" title="Elektrische Spannung">Spannung</a></i> / <i><a href="/wiki/Masse_(Elektronik)" title="Masse (Elektronik)">Masse</a></i> verwendet, da auf diese Weise sehr fehlerresistente und einfache Schaltungen zu realisieren sind (siehe <a href="/wiki/Bin%C3%A4rcode" title="Binärcode">Binärcode</a>). Diese zwei Zustände lassen sich dann als Ziffern benutzen. Das Dualsystem ist die einfachste Methode, um mit Zahlen zu rechnen, die durch diese zwei Ziffern dargestellt werden. </p><p>Dualzahlen finden in der elektronischen Datenverarbeitung bei der Darstellung von <a href="/wiki/Festkommazahl" title="Festkommazahl">Festkommazahlen</a> oder <a href="/wiki/Ganze_Zahl" title="Ganze Zahl">ganzen Zahlen</a> Verwendung. Negative Zahlen werden vor allem als <a href="/wiki/Zweierkomplement" title="Zweierkomplement">Zweierkomplement</a> dargestellt, welches nur im positiven Bereich der Dualzahlendarstellung entspricht. Seltener wird dazu das <a href="/wiki/Einerkomplement" title="Einerkomplement">Einerkomplement</a> verwendet, welches der invertierten Darstellung von Dualzahlen mit vorangestellter Eins entspricht. Die Darstellung von negativen Zahlen im Einerkomplement hat den Nachteil, dass zwei Darstellungen für die Null existieren, einmal im Positiven und einmal im Negativen. Eine weitere Alternative bietet der auf einer Wertebereichsverschiebung basierende <a href="/wiki/Exzesscode" title="Exzesscode">Exzesscode</a>. </p><p>Um <a href="/wiki/Rationale_Zahl" title="Rationale Zahl">rationale</a> oder gar <a href="/wiki/Reelle_Zahl" title="Reelle Zahl">reelle Zahlen</a> mit nicht abbrechender Dualzahl-Darstellung näherungsweise in der elektronischen Datenverarbeitung darzustellen, werden vorzugsweise <a href="/wiki/Gleitkommazahl" title="Gleitkommazahl">Gleitkommadarstellungen</a> verwendet, bei der die Zahl normalisiert und in <a href="/wiki/Mantisse" title="Mantisse">Mantisse</a> und <a href="/wiki/Potenz_(Mathematik)" title="Potenz (Mathematik)">Exponent</a> aufgeteilt wird. Diese beiden Werte werden dann in Form von Dualzahlen gespeichert. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Berechnung_benötigter_Stellen"><span id="Berechnung_ben.C3.B6tigter_Stellen"></span>Berechnung benötigter Stellen</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Dualsystem&veaction=edit&section=7" title="Abschnitt bearbeiten: Berechnung benötigter Stellen" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Dualsystem&action=edit&section=7" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Berechnung benötigter Stellen"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Eine Dualzahl mit <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span> Stellen kann maximal den Wert <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2^{n}-1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2^{n}-1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e4bd4ef2f9549d026cbf643a91c0d12a8c6794" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.384ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 2^{n}-1}"></span> annehmen. Eine vierstellige Dualzahl kann also höchstens den Wert <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2^{4}-1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2^{4}-1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdc1d4e6fef26914ab08e1007b20632107ce993b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.22ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 2^{4}-1}"></span>, also   16 − 1 = 15   haben. </p><p>Konsequenterweise kann man im Dualsystem mit seinen 10 Fingern bis <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2^{10}-1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>10</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2^{10}-1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/467d09ce522d6e04413dc6f79f7952684c26bbab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.042ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 2^{10}-1}"></span>, also bis 1023 zählen. </p><p>In der Digitaltechnik gilt es zu beachten, dass häufig beim Speichern einer Dualzahl auch deren <a href="/wiki/Vorzeichen_(Zahl)" title="Vorzeichen (Zahl)">Vorzeichen</a> gespeichert werden muss. Dazu wird meistens das eigentlich höchstwertige Bit in dem für die Zahl reservierten Speicherbereich verwendet. Ist dieser Speicherbereich <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span> Bit groß, so beträgt (bei der Darstellung der negativen Zahlen im <a href="/wiki/Zweierkomplement" title="Zweierkomplement">Zweierkomplement</a>) der maximale Wert der positiven Zahlen <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2^{(n-1)}-1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2^{(n-1)}-1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df90172bd2df90246b79aa0fac20e601ceb043cc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:9.764ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle 2^{(n-1)}-1}"></span> und der minimale Wert der negativen Zahlen <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -(2^{(n-1)})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -(2^{(n-1)})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ea34ae57b5cc1f9b3e29910d3f11d0703c66e45" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.378ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle -(2^{(n-1)})}"></span>. Dabei zählt die <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}"></span> zu den positiven Zahlen und die <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/704fb0427140d054dd267925495e78164fee9aac" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:2.971ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle -1}"></span> ist die „erste negative Zahl“. Insgesamt bleibt damit die Anzahl der darstellbaren Zahlen gleich <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8226f30650ee4fe4e640c6d2798127e80e9c160d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.381ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 2^{n}}"></span>. </p><p>Die Anzahl benötigter Stellen im Dualsystem für eine gegebene Zahl <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span> im Dezimalsystem ist </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lfloor \operatorname {lb} n\rfloor +1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">⌊</mo> <mi>lb</mi> <mo>⁡</mo> <mi>n</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⌋</mo> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lfloor \operatorname {lb} n\rfloor +1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24826c64256565829d37d9e3072aa02746759b79" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.789ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \lfloor \operatorname {lb} n\rfloor +1}"></span>.</dd></dl> <p>Dabei bezeichnet <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">⌊</mo> <mo>⋅</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⌋</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddb5178c0fbe4ac275f1083ee8f1a6e0feb8f872" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.712ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor }"></span> die <a href="/wiki/Abrundungsfunktion" class="mw-redirect" title="Abrundungsfunktion">Abrundungsfunktion</a> und <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {lb} n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>lb</mi> <mo>⁡</mo> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {lb} n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60e3ae93bd047eaf1cbad256bcda6fa3a3080e72" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.721ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {lb} n}"></span> den <a href="/wiki/Logarithmus#Bezeichnungen" title="Logarithmus">Logarithmus zur Basis 2</a> der Zahl <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span>. Alternativ kann die Anzahl der Dezimalstellen mit 3,322 multipliziert werden (+Aufrunden), was eine Obergrenze ergibt, denn <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {lb} (10)\approx 3{,}322}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>lb</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>10</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≈</mo> <mn>3,322</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {lb} (10)\approx 3{,}322}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4499ddf439d5bfd1fd7a53550d654d3e2c4c71a6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.469ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {lb} (10)\approx 3{,}322}"></span> (eine Dezimalstelle, eigentlich also <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {lb} (9{,}{\bar {9}})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>lb</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>9</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>,</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>9</mn> <mo stretchy="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {lb} (9{,}{\bar {9}})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c209c15bdbc97b7486d5ba0e4ec940e06ac48bb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.72ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {lb} (9{,}{\bar {9}})}"></span> wird maximal zu <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \approx 3{,}322}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>≈</mo> <mn>3,322</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \approx 3{,}322}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b902af6a5b99f5e75a8a3ff0c1fab1b045279129" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.75ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \approx 3{,}322}"></span> Dualstellen). </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anwendung_in_der_Unterhaltungsmathematik">Anwendung in der Unterhaltungsmathematik</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Dualsystem&veaction=edit&section=8" title="Abschnitt bearbeiten: Anwendung in der Unterhaltungsmathematik" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Dualsystem&action=edit&section=8" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Anwendung in der Unterhaltungsmathematik"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div style="float:right;"><figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Zahlenraten_Dualsystem_2.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a6/Zahlenraten_Dualsystem_2.svg/250px-Zahlenraten_Dualsystem_2.svg.png" decoding="async" width="250" height="308" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a6/Zahlenraten_Dualsystem_2.svg/375px-Zahlenraten_Dualsystem_2.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a6/Zahlenraten_Dualsystem_2.svg/500px-Zahlenraten_Dualsystem_2.svg.png 2x" data-file-width="253" data-file-height="312" /></a><figcaption><i>Abb. 2</i>: Beispiel</figcaption></figure></div><div style="float:right;"><figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Zahlenraten_Dualsystem_1.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/35/Zahlenraten_Dualsystem_1.svg/248px-Zahlenraten_Dualsystem_1.svg.png" decoding="async" width="248" height="308" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/35/Zahlenraten_Dualsystem_1.svg/372px-Zahlenraten_Dualsystem_1.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/35/Zahlenraten_Dualsystem_1.svg/496px-Zahlenraten_Dualsystem_1.svg.png 2x" data-file-width="253" data-file-height="314" /></a><figcaption><i>Abb. 1</i>: Zahlenkarten</figcaption></figure></div> <p>Der folgende zur <a href="/wiki/Unterhaltungsmathematik" title="Unterhaltungsmathematik">Unterhaltungsmathematik</a> zählende Trick trägt zum Verständnis des Dualsystems bei und verblüfft insbesondere mathematisch weniger Geübte, indem er vermeintlich <a href="/wiki/Au%C3%9Fersinnliche_Wahrnehmung" title="Außersinnliche Wahrnehmung">Hellseherei</a> vortäuscht. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Vorgehensweise">Vorgehensweise</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Dualsystem&veaction=edit&section=9" title="Abschnitt bearbeiten: Vorgehensweise" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Dualsystem&action=edit&section=9" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Vorgehensweise"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Eine Person A übergibt die sechs Zahlenkarten (<i>Abbildung 1</i>) einer Person B mit der Aufforderung, sich eine Zahl zwischen <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1}"></span> und <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 63}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>63</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 63}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5e687091bb4983ba6ce8cdf908d778baeffbcba" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.325ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 63}"></span> zu merken, geheim zu halten und nur die Karten wieder zurückzugeben, auf denen die gemerkte Zahl vorkommt. Die Person A schaut sich die zurückgegebenen Karten an, addiert danach (möglichst schnell und unauffällig) deren Anfangszahlen und nennt der Person B die berechnete Summe, welche gleich der gedachten Zahl ist. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Struktur_der_Karten">Struktur der Karten</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Dualsystem&veaction=edit&section=10" title="Abschnitt bearbeiten: Struktur der Karten" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Dualsystem&action=edit&section=10" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Struktur der Karten"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Die Zahlenkarten sind folgendermaßen strukturiert: Ist <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span> eine der Zahlen <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1}"></span> bis <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 63}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>63</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 63}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5e687091bb4983ba6ce8cdf908d778baeffbcba" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.325ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 63}"></span>, so ist <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span> in genau denjenigen Kärtchen enthalten, deren Anfangszahlen die Summe <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span> haben. Genauer formuliert: Nach Zerlegung einer der <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 63}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>63</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 63}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5e687091bb4983ba6ce8cdf908d778baeffbcba" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.325ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 63}"></span> Zahlen in <a href="/wiki/Zweierpotenz" class="mw-redirect" title="Zweierpotenz">Zweierpotenz</a>-Summanden ist die betreffende Zahl in genau denjenigen Karten enthalten, deren Anfangszahlen diese Summanden sind. </p><p>Der Zahlentrick beruht darauf, dass sich jede <a href="/wiki/Nat%C3%BCrliche_Zahl" title="Natürliche Zahl">natürliche Zahl</a> eindeutig als Summe von Zweierpotenzen darstellen lässt. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Erläuterndes_Beispiel"><span id="Erl.C3.A4uterndes_Beispiel"></span>Erläuterndes Beispiel</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Dualsystem&veaction=edit&section=11" title="Abschnitt bearbeiten: Erläuterndes Beispiel" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Dualsystem&action=edit&section=11" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Erläuterndes Beispiel"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Die Zahl <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 23}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>23</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 23}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e140641068b3a0763290941fb20531be45227748" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.325ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 23}"></span> ist wegen <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 23=16+4+2+1=[10111]_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>23</mn> <mo>=</mo> <mn>16</mn> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mn>10111</mn> <msub> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 23=16+4+2+1=[10111]_{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aafd3478d9930c9c825972604b48c8d82beafcf9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:31.016ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 23=16+4+2+1=[10111]_{2}}"></span> in den Karten mit den Anfangszahlen <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 16}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>16</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 16}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/960615e346e1c003a911f45b1225113ea01b4ff7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.325ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 16}"></span>, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 4}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>4</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 4}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/295b4bf1de7cd3500e740e0f4f0635db22d87b42" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 4}"></span>, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/901fc910c19990d0dbaaefe4726ceb1a4e217a0f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2}"></span> und <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1}"></span> enthalten. (<i>Abbildung 2</i>).<sup id="cite_ref-10" class="reference"><a href="#cite_note-10"><span class="cite-bracket">[</span>10<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-11" class="reference"><a href="#cite_note-11"><span class="cite-bracket">[</span>11<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-12" class="reference"><a href="#cite_note-12"><span class="cite-bracket">[</span>12<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Grundrechenarten_im_Dualsystem">Grundrechenarten im Dualsystem</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Dualsystem&veaction=edit&section=12" title="Abschnitt bearbeiten: Grundrechenarten im Dualsystem" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Dualsystem&action=edit&section=12" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Grundrechenarten im Dualsystem"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Analog zu den Zahlen im <a href="/wiki/Dezimalsystem" title="Dezimalsystem">Dezimalsystem</a> lassen sich mit Dualzahlen die gängigen <a href="/wiki/Arithmetik" title="Arithmetik">arithmetischen</a> Grundoperationen <a href="/wiki/Addition" title="Addition">Addition</a>, <a href="/wiki/Subtraktion" title="Subtraktion">Subtraktion</a>, <a href="/wiki/Multiplikation" title="Multiplikation">Multiplikation</a> und <a href="/wiki/Division_(Mathematik)" title="Division (Mathematik)">Division</a> durchführen. Tatsächlich werden die benötigten <a href="/wiki/Algorithmus" title="Algorithmus">Algorithmen</a> sogar einfacher und lassen sich effizient mit logischen Schaltungen elektronisch realisieren. Die Einführung von Dualzahlen in der Rechentechnik brachte daher viele Vorteile. </p> <table cellspacing="10" cellpadding="0"> <tbody><tr> <td> <table class="wikitable"> <tbody><tr> <th style="background-color:#efefef;">Addition </th> <th style="background-color:#efefef;">Beispiel </th></tr> <tr> <td> <p>0 + 0 = 0<br /> 0 + 1 = 1<br /> 1 + 0 = 1<br /> 1 + 1 = 0, Übertrag (<i>carry</i>) 1 </p> </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {{\begin{matrix}&1011_{2}\\\operatorname {+} &\ \ \ 11_{2}\\\end{matrix}} \over {\begin{matrix}&\ \ 1110_{2}\\\end{matrix}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd /> <mtd> <msub> <mn>1011</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits"> <mo>+</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <msub> <mn>11</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd /> <mtd> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <msub> <mn>1110</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {{\begin{matrix}&1011_{2}\\\operatorname {+} &\ \ \ 11_{2}\\\end{matrix}} \over {\begin{matrix}&\ \ 1110_{2}\\\end{matrix}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8384fd7406d6f1c0cdb5b4d664efbcecfb0b7cfd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:11.422ex; height:9.676ex;" alt="{\displaystyle {{\begin{matrix}&1011_{2}\\\operatorname {+} &\ \ \ 11_{2}\\\end{matrix}} \over {\begin{matrix}&\ \ 1110_{2}\\\end{matrix}}}}"></span> </td></tr></tbody></table> </td> <td> <table class="wikitable"> <tbody><tr> <th style="background-color:#efefef;">Subtraktion </th> <th style="background-color:#efefef;">Beispiel </th></tr> <tr> <td> <p>0 − 0 = 0<br /> 0 − 1 = 1, Übertrag (<i>borrow</i>) 1<br /> 1 − 0 = 1<br /> 1 − 1 = 0 </p> </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{matrix}&1011_{2}\\{-\ }&\ \ 111_{2}\\\end{matrix}} \over {\begin{matrix}&\ \ \ \ \ 100_{2}\end{matrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd /> <mtd> <msub> <mn>1011</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mtext> </mtext> </mrow> </mtd> <mtd> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <msub> <mn>111</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd /> <mtd> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <msub> <mn>100</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mfrac> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{matrix}&1011_{2}\\{-\ }&\ \ 111_{2}\\\end{matrix}} \over {\begin{matrix}&\ \ \ \ \ 100_{2}\end{matrix}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5758fb6cf99c1efca11dacbaf0b2eb94dbedaa7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:12.003ex; height:9.676ex;" alt="{\displaystyle {\begin{matrix}&1011_{2}\\{-\ }&\ \ 111_{2}\\\end{matrix}} \over {\begin{matrix}&\ \ \ \ \ 100_{2}\end{matrix}}}"></span> </td></tr></tbody></table> </td></tr> <tr> <td style="vertical-align:top;"> <table class="wikitable"> <tbody><tr> <th style="background-color:#efefef;">Multiplikation </th> <th style="background-color:#efefef;">Beispiel </th></tr> <tr> <td> <p>0 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \cdot }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>⋅</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cdot }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba2c023bad1bd39ed49080f729cbf26bc448c9ba" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: 0.439ex; margin-bottom: -0.61ex; width:0.647ex; height:1.176ex;" alt="{\displaystyle \cdot }"></span> 0 = 0<br /> 0 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \cdot }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>⋅</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cdot }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba2c023bad1bd39ed49080f729cbf26bc448c9ba" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: 0.439ex; margin-bottom: -0.61ex; width:0.647ex; height:1.176ex;" alt="{\displaystyle \cdot }"></span> 1 = 0<br /> 1 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \cdot }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>⋅</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cdot }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba2c023bad1bd39ed49080f729cbf26bc448c9ba" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: 0.439ex; margin-bottom: -0.61ex; width:0.647ex; height:1.176ex;" alt="{\displaystyle \cdot }"></span> 0 = 0<br /> 1 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \cdot }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>⋅</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cdot }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba2c023bad1bd39ed49080f729cbf26bc448c9ba" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: 0.439ex; margin-bottom: -0.61ex; width:0.647ex; height:1.176ex;" alt="{\displaystyle \cdot }"></span> 1 = 1 </p> </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1010_{2}{\cdot }11_{2}=11110_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mn>1010</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>⋅</mo> </mrow> <msub> <mn>11</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mn>11110</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1010_{2}{\cdot }11_{2}=11110_{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79eed3b5d67de7c44158932e1a8405736e3a8f7b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:19.695ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 1010_{2}{\cdot }11_{2}=11110_{2}}"></span> </td></tr></tbody></table> </td> <td> <table class="wikitable"> <tbody><tr> <th style="background-color:#efefef;">Division </th> <th style="background-color:#efefef;">Beispiel </th></tr> <tr> <td> <p>0 / 0 = n.def.<br /> 0 / 1 = 0<br /> 1 / 0 = n.def.<br /> 1 / 1 = 1 </p> </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1010_{2}{/}10_{2}=101_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mn>1010</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> </mrow> <msub> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mn>101</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1010_{2}{/}10_{2}=101_{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ccee7210d9de7d6a1724c758eaaee7212870a43" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.886ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 1010_{2}{/}10_{2}=101_{2}}"></span> </td></tr></tbody></table> </td></tr></tbody></table> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Schriftliche_Addition">Schriftliche Addition</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Dualsystem&veaction=edit&section=13" title="Abschnitt bearbeiten: Schriftliche Addition" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Dualsystem&action=edit&section=13" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Schriftliche Addition"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <table class="wikitable float-right" style="text-align:center;"> <tbody><tr style="background:#e0e0e0"> <td style="min-width:18px;"><i>A</i> </td> <td style="min-width:18px;"><i>B</i> </td> <td style="min-width:18px; border-right:3px double darkgray;"><i>M<sub>1</sub></i> </td> <td style="min-width:18px;"><i>M<sub>2</sub></i> </td> <td style="min-width:18px;"><i>E</i> </td></tr> <tr> <td>0</td> <td>0 </td> <td style="border-right:3px double darkgray;">0 </td> <td>0</td> <td>0 </td></tr> <tr> <td>0</td> <td>0 </td> <td style="border-right:3px double darkgray;">1 </td> <td>0</td> <td>1 </td></tr> <tr> <td>0</td> <td>1 </td> <td style="border-right:3px double darkgray;">0 </td> <td>0</td> <td>1 </td></tr> <tr> <td>0</td> <td>1 </td> <td style="border-right:3px double darkgray;">1 </td> <td>1</td> <td>0 </td></tr> <tr> <td>1</td> <td>0 </td> <td style="border-right:3px double darkgray;">0 </td> <td>0</td> <td>1 </td></tr> <tr> <td>1</td> <td>0 </td> <td style="border-right:3px double darkgray;">1 </td> <td>1</td> <td>0 </td></tr> <tr> <td>1</td> <td>1 </td> <td style="border-right:3px double darkgray;">0 </td> <td>1</td> <td>0 </td></tr> <tr> <td>1</td> <td>1 </td> <td style="border-right:3px double darkgray;">1 </td> <td>1</td> <td>1 </td></tr></tbody></table> <p>Die binäre Addition ist eine grundlegende Basisoperation in der Computerwelt. Will man zwei nicht negative Binärzahlen <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"></span> und <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}"></span> addieren, kann man das wie im Dezimalsystem tun. Nur muss man beachten, dass beim Ergebnis an der jeweiligen Stelle keine „Zwei“ notiert wird, sondern eine Null und an die nächste Stelle ein Übertrag. Das geschieht analog zur Dezimaladdition, wenn sich bei der Addition einer Stelle eine Zehn ergibt: </p><p>Die Zahlen werden übereinander aufgeschrieben. Nun arbeitet man von rechts nach links alle Binärziffern (=Bits) von <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"></span> und <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}"></span> simultan ab und erzeugt in jedem Zwischenschritt ein Ergebnisbit sowie ein Merkerbit (auch <a href="/wiki/%C3%9Cbertrag" title="Übertrag">Übertrag</a> genannt). Dabei werden die Bits entsprechend der Tabelle rechts zusammengezählt. In den Spalten A und B sind die Bits der zu addierenden Zahlen zu finden. In der Spalte <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>M</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M_{1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/577d686fc81d1d1eb3ae54e78aeee8957baf6718" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.308ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle M_{1}}"></span> steht das Merkerbit des vorherigen Zwischenschrittes. Daraus ergeben sich (entsprechend dieser Tabelle, welche einem <a href="/wiki/Volladdierer" title="Volladdierer">Volladdierer</a> entspricht) ein Ergebnisbit (E) und ein neues Merkerbit (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>M</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M_{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d5d4dffae5ee0db4cc433e252ee9ed7530e5cf0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.308ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle M_{2}}"></span>). Alle Ergebnisbits, von rechts nach links aneinandergereiht, stellen das Resultat dar. Entsteht beim letzten Zwischenschritt ein Merkerbit, so bekommt das Resultat links eine zusätzliche 1. </p><p>Am besten sieht man das anhand eines Beispiels. Hier werden die Zahlen A und B zusammengezählt. In jedem Schritt wird ein anfallendes Merkerbit bei der nächsten Ziffer notiert. </p> <pre> A = 10011010 (154) B = 00110110 ( 54) Merker = 01111100 ———————— Ergebnis = 11010000 (208) ‗‗‗‗‗‗‗‗ </pre> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Schriftliche_Subtraktion">Schriftliche Subtraktion</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Dualsystem&veaction=edit&section=14" title="Abschnitt bearbeiten: Schriftliche Subtraktion" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Dualsystem&action=edit&section=14" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Schriftliche Subtraktion"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Die <a href="/wiki/Subtraktion" title="Subtraktion">Subtraktion</a> verhält sich analog zur Addition. </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0-0=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0</mn> <mo>−</mo> <mn>0</mn> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0-0=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/593c63c3e5fea38291771c2fb82c81f4f62a2e29" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:9.426ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 0-0=0}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0-1=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0</mn> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0-1=1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64d384085328ccf537d335f2c0b67669473316db" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:9.426ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 0-1=1}"></span>, Übertrag (<i>borrow</i>) 1</dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1-0=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mn>0</mn> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1-0=1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a18e966afc08a3e145e6a6814432a29a88bda88d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:9.426ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 1-0=1}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1-1=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1-1=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6e3a458263e924d197c37a58beae62ade425ddf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:9.426ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 1-1=0}"></span></dd></dl> <p>Zwei Zahlen im Dualsystem können voneinander wie im folgenden Beispiel dargestellt subtrahiert werden: </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{matrix}&1&1&0&1&1&1&0\\-&&&1&0&1&1&1\\&&{}_{1}&&{}_{1}&{}_{1}&{}_{1}&\end{matrix}} \over {\begin{matrix}=&1&0&1&0&1&1&1\end{matrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd /> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>−</mo> </mtd> <mtd /> <mtd /> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd /> <mtd> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd /> <mtd> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd /> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mo>=</mo> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mfrac> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{matrix}&1&1&0&1&1&1&0\\-&&&1&0&1&1&1\\&&{}_{1}&&{}_{1}&{}_{1}&{}_{1}&\end{matrix}} \over {\begin{matrix}=&1&0&1&0&1&1&1\end{matrix}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df2006605425fc16fe5ab9873839469311317437" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:27.791ex; height:13.009ex;" alt="{\displaystyle {\begin{matrix}&1&1&0&1&1&1&0\\-&&&1&0&1&1&1\\&&{}_{1}&&{}_{1}&{}_{1}&{}_{1}&\end{matrix}} \over {\begin{matrix}=&1&0&1&0&1&1&1\end{matrix}}}"></span> </p><p>Hier wird die Subtraktion   110−23 = 87   durchgeführt. Die kleinen Einsen in der dritten Reihe zeigen den Übertrag. Das Verfahren ist das Gleiche, wie es in der Schule für das Dezimalsystem unterrichtet wird. Etwas ungewohnt sieht der Fall 0−1 aus. Zur Verdeutlichung das Beispiel 2−9 im Dezimalsystem: Man denkt sich eine Zehnerstelle vor die Zwei, wodurch sich die Subtraktion 12−9 ergibt. Die gedachte Zehnerstelle wird dann als Übertrag an die nächste Stelle weitergereicht. Im Dualsystem geschieht das Gleiche: Aus 0−1 wird 10−1. Als Ergebnis kann also eine 1 hingeschrieben werden; die vor die 0 gedachte Eins muss dann als Übertrag an die nächste Stelle geschrieben und von dieser zusätzlich abgezogen werden. </p><p>Das Verfahren funktioniert (wie auch im Dezimalsystem) nicht, wenn der <a href="/wiki/Minuend" class="mw-redirect" title="Minuend">Minuend</a> (1. Zahl) kleiner ist als der <a href="/wiki/Subtrahend" class="mw-redirect" title="Subtrahend">Subtrahend</a> (2. Zahl). Sollte das der Fall sein, erfolgt die Subtraktion einer Zahl durch die Addition des <a href="/wiki/Zweierkomplement" title="Zweierkomplement">Zweierkomplementes</a> dieser Zahl. Die Subtraktion einer positiven Zahl ergibt nämlich das gleiche Ergebnis wie die <i>Addition</i> der entsprechenden <a href="/wiki/Negative_Zahl" class="mw-redirect" title="Negative Zahl"><i>negativen</i></a> Zahl mit dem gleichen Betrag: </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{array}{crcccccccc|l|cr}&&0&1&1&1&0&1&1&0&{\text{Minuend}}&&118_{10}\\-&&1&0&0&1&1&0&0&1&{\text{Subtrahend}}&-&153_{10}\\\hline &&0&1&1&1&0&1&1&0&{\text{Minuend}}&&118_{10}\\+&(-)&0&1&1&0&0&1&1&1&{\text{Subtrahend (Zweierkomplement)}}&+&(-)153_{10}\\&{\color {blue}{}_{0}}&{}_{1}&{}_{1}&&&{}_{1}&{}_{1}&&&\\\hline =&&1&1&0&1&1&1&0&1&{\text{Ergebnis (Zweierkomplement, negativ)}}&=&-35_{10}\\\hline \hline &&0&0&1&0&0&0&1&1&{\text{Betrag des Ergebnisses}}&&35_{10}\\\end{array}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="center right center center center center center center center center left center right" rowspacing="4pt" columnspacing="1em" rowlines="none solid none none solid solid" columnlines="none none none none none none none none none solid solid none"> <mtr> <mtd /> <mtd /> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>Minuend</mtext> </mrow> </mtd> <mtd /> <mtd> <msub> <mn>118</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>10</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>−</mo> </mtd> <mtd /> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>Subtrahend</mtext> </mrow> </mtd> <mtd> <mo>−</mo> </mtd> <mtd> <msub> <mn>153</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>10</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd /> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>Minuend</mtext> </mrow> </mtd> <mtd /> <mtd> <msub> <mn>118</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>10</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>+</mo> </mtd> <mtd> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>Subtrahend (Zweierkomplement)</mtext> </mrow> </mtd> <mtd> <mo>+</mo> </mtd> <mtd> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <msub> <mn>153</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>10</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle mathcolor="blue"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> </mtd> <mtd> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd /> <mtd /> <mtd> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd /> <mtd /> <mtd /> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>=</mo> </mtd> <mtd /> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>Ergebnis (Zweierkomplement, negativ)</mtext> </mrow> </mtd> <mtd> <mo>=</mo> </mtd> <mtd> <mo>−</mo> <msub> <mn>35</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>10</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd /> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>Betrag des Ergebnisses</mtext> </mrow> </mtd> <mtd /> <mtd> <msub> <mn>35</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>10</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{array}{crcccccccc|l|cr}&&0&1&1&1&0&1&1&0&{\text{Minuend}}&&118_{10}\\-&&1&0&0&1&1&0&0&1&{\text{Subtrahend}}&-&153_{10}\\\hline &&0&1&1&1&0&1&1&0&{\text{Minuend}}&&118_{10}\\+&(-)&0&1&1&0&0&1&1&1&{\text{Subtrahend (Zweierkomplement)}}&+&(-)153_{10}\\&{\color {blue}{}_{0}}&{}_{1}&{}_{1}&&&{}_{1}&{}_{1}&&&\\\hline =&&1&1&0&1&1&1&0&1&{\text{Ergebnis (Zweierkomplement, negativ)}}&=&-35_{10}\\\hline \hline &&0&0&1&0&0&0&1&1&{\text{Betrag des Ergebnisses}}&&35_{10}\\\end{array}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/609b798e7e9bec9271a24f660ae941305b701c63" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -11.171ex; width:95.063ex; height:23.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{array}{crcccccccc|l|cr}&&0&1&1&1&0&1&1&0&{\text{Minuend}}&&118_{10}\\-&&1&0&0&1&1&0&0&1&{\text{Subtrahend}}&-&153_{10}\\\hline &&0&1&1&1&0&1&1&0&{\text{Minuend}}&&118_{10}\\+&(-)&0&1&1&0&0&1&1&1&{\text{Subtrahend (Zweierkomplement)}}&+&(-)153_{10}\\&{\color {blue}{}_{0}}&{}_{1}&{}_{1}&&&{}_{1}&{}_{1}&&&\\\hline =&&1&1&0&1&1&1&0&1&{\text{Ergebnis (Zweierkomplement, negativ)}}&=&-35_{10}\\\hline \hline &&0&0&1&0&0&0&1&1&{\text{Betrag des Ergebnisses}}&&35_{10}\\\end{array}}}"></span> </p><p>Wäre der (blau markierte) Übertrag 1, müsste das Zweierkomplement des Ergebnisses nicht mehr gebildet werden, da die vorzeichenlose Darstellung der positiven Zahlen im Zweierkomplement gleich ist (siehe <a href="/wiki/Zweierkomplement#Motivation" title="Zweierkomplement">Tabelle dort</a>). Der Übertrag wird zu den (nicht dargestellten) führenden Einsen des Zweierkomplementes addiert, wodurch im Ergebnis nur führende Nullen entstehen. Als Beispiel dient die obige Rechnung 110−23 = 87  : </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{array}{crccccccc|l}&&1&1&0&1&1&1&0&{\text{Minuend}}\\+&(-)&1&1&0&1&0&0&1&{\text{Subtrahend (Zweierkomplement)}}\\&{\color {blue}{}_{1}}&{}_{1}&&{}_{1}&&&&&\\\hline =&&1&0&1&0&1&1&1&\end{array}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="center right center center center center center center center left" rowspacing="4pt" columnspacing="1em" rowlines="none none solid" columnlines="none none none none none none none none solid"> <mtr> <mtd /> <mtd /> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>Minuend</mtext> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>+</mo> </mtd> <mtd> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>Subtrahend (Zweierkomplement)</mtext> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle mathcolor="blue"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> </mtd> <mtd> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd /> <mtd> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd /> <mtd /> <mtd /> <mtd /> <mtd /> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>=</mo> </mtd> <mtd /> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd /> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{array}{crccccccc|l}&&1&1&0&1&1&1&0&{\text{Minuend}}\\+&(-)&1&1&0&1&0&0&1&{\text{Subtrahend (Zweierkomplement)}}\\&{\color {blue}{}_{1}}&{}_{1}&&{}_{1}&&&&&\\\hline =&&1&0&1&0&1&1&1&\end{array}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d398c5143201eb9f7346a351a867aea63e441b2e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.338ex; width:70.416ex; height:13.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{array}{crccccccc|l}&&1&1&0&1&1&1&0&{\text{Minuend}}\\+&(-)&1&1&0&1&0&0&1&{\text{Subtrahend (Zweierkomplement)}}\\&{\color {blue}{}_{1}}&{}_{1}&&{}_{1}&&&&&\\\hline =&&1&0&1&0&1&1&1&\end{array}}}"></span> </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Schriftliche_Multiplikation">Schriftliche Multiplikation</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Dualsystem&veaction=edit&section=15" title="Abschnitt bearbeiten: Schriftliche Multiplikation" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Dualsystem&action=edit&section=15" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Schriftliche Multiplikation"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Die Multiplikation wird im Dualsystem genauso durchgeführt wie im Dezimalsystem. Dadurch, dass nur 0 und 1 als Ziffern vorkommen, ist die schriftliche Multiplikation jedoch sogar einfacher. Das folgende Beispiel, in dem die Zahlen 1100 (12) und 1101 (13) multipliziert werden, zeigt die Vorgehensweise. </p><p>Zuerst schreibt man die Aufgabenstellung in eine Zeile und zieht zur Vereinfachung einen Strich darunter. </p> <pre>1100 · 1101 ——————————— </pre> <p>Die erste Ziffer des zweiten Faktors ist eine Eins und deshalb schreibt man den ersten Faktor rechtsbündig unter diese Eins. </p> <pre>1100 · 1101 ——————————— 1100 </pre> <p>Auch für alle weiteren Einsen des zweiten Faktors schreibt man den ersten Faktor rechtsbündig darunter. </p> <pre>1100 · 1101 ——————————— 1100 1100 0000 1100 </pre> <p>Die so gewonnenen Zahlen zählt man dann zum Ergebnis der Multiplikation zusammen. </p> <pre>1100 · 1101 ——————————— 1100 + 1100 + 0000 + 1100 ——————————— 10011100 (156) </pre> <p>Ein besonders einfacher Fall ist die Multiplikation einer positiven Dualzahl mit der Zahl 10 (2). In diesem Fall muss lediglich an die positive Dualzahl eine 0 angehängt werden: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1101\cdot 10=11010}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1101</mn> <mo>⋅</mo> <mn>10</mn> <mo>=</mo> <mn>11010</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1101\cdot 10=11010}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a92071dc0a5b9516df29355bc5723888d5726d42" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:17.565ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1101\cdot 10=11010}"></span></dd></dl> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 11010\cdot 10=110100}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>11010</mn> <mo>⋅</mo> <mn>10</mn> <mo>=</mo> <mn>110100</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 11010\cdot 10=110100}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c6bc3cc4f4d841cf2d6eca640cc7301c776e813" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:19.889ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 11010\cdot 10=110100}"></span></dd></dl> <p>usw. </p><p>Für diese Rechenoperation existieren einfache Befehle in der Digitaltechnik. </p><p>Bei der Multiplikation zweier <a href="/wiki/Zweierkomplement" title="Zweierkomplement">Zweierkomplement</a>-Dualzahlen wird der <a href="/wiki/Booth-Algorithmus" title="Booth-Algorithmus">Booth-Algorithmus</a> benutzt. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Schriftliche_Division">Schriftliche Division</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Dualsystem&veaction=edit&section=16" title="Abschnitt bearbeiten: Schriftliche Division" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Dualsystem&action=edit&section=16" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Schriftliche Division"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Bei der Division zweier Dualzahlen werden folgende Algorithmen verwendet. </p><p>Am Beispiel der Division von 1000010 / 11 (entspricht 66:3 im Dezimalsystem) </p> <pre> 1000010 ÷ 11 = 010110 Rest 0 (= 22 im Dezimalsystem) somit mod − 011 ————— 00100 − 011 ———— 0011 − 011 ————— 0 </pre> <p>Die Anwendung der <a href="/wiki/Modulo" class="mw-redirect" title="Modulo">Modulo</a>-Funktion mit dem Divisor 10 (2) auf positive Dualzahlen ergibt immer 1, wenn die letzte Ziffer des Dividenden 1 ist und 0, wenn die letzte Ziffer des Dividenden 0 ist: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1101\mod 10=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1101</mn> <mspace width="1em" /> <mi>mod</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <mn>10</mn> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1101\mod 10=1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05f8150089e7fc4d51a288abe96c68b9d3049495" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:19.497ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1101\mod 10=1}"></span></dd></dl> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1100\mod 10=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1100</mn> <mspace width="1em" /> <mi>mod</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <mn>10</mn> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1100\mod 10=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ef813265c14a6336978aa2ae580af1bc466ee32" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:19.497ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1100\mod 10=0}"></span></dd></dl> <p>Für diese Rechenoperation, die einer <a href="/wiki/Konjunktion_(Logik)" title="Konjunktion (Logik)">UND</a>-Verknüpfung mit 1 entspricht, existieren einfache Befehle in der Digitaltechnik. </p><p>Ein besonders einfacher Fall ist die <a href="/wiki/Division_mit_Rest" title="Division mit Rest">Division mit Rest</a> einer positiven Dualzahl durch die Zahl 10 (2). In diesem Fall muss lediglich die letzte Ziffer des Dividenden gestrichen werden. Ist die letzte Ziffer des Dividenden eine 1, so verschwindet dieser Rest. Entspricht bei diesem Verfahren die Anzahl der Divisionen durch 2 der Anzahl der Stellen des Dividenden, so ist das Endergebnis immer 0: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1101\div 10=110}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1101</mn> <mo>÷</mo> <mn>10</mn> <mo>=</mo> <mn>110</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1101\div 10=110}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2137c378870e2d495295e9d6e7266c8ddf4ac71" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:16.401ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1101\div 10=110}"></span></dd></dl> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 110\div 10=11}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>110</mn> <mo>÷</mo> <mn>10</mn> <mo>=</mo> <mn>11</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 110\div 10=11}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e544680135f6728d7c738089558be567511508a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:14.076ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 110\div 10=11}"></span></dd></dl> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 11\div 10=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>11</mn> <mo>÷</mo> <mn>10</mn> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 11\div 10=1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87316728dd634a9990a7c08fe5d29e44c1de9ff5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:11.751ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 11\div 10=1}"></span></dd></dl> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1\div 10=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> <mo>÷</mo> <mn>10</mn> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1\div 10=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d2a554a438cfafa81a9548b833a614b3cebb27a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.589ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1\div 10=0}"></span></dd></dl> <p>Für diese Rechenoperation existieren einfache Befehle in der Digitaltechnik. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Umrechnen_von_Dualzahlen_in_andere_Stellenwertsysteme"><span id="Umrechnung"></span>Umrechnen von Dualzahlen in andere Stellenwertsysteme</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Dualsystem&veaction=edit&section=17" title="Abschnitt bearbeiten: Umrechnen von Dualzahlen in andere Stellenwertsysteme" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Dualsystem&action=edit&section=17" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Umrechnen von Dualzahlen in andere Stellenwertsysteme"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Durch die kleine Basis ergibt sich der Nachteil, dass Zahlen im Verhältnis zu Dezimalzahlen relativ lang und schwer zu überschauen sind (siehe Tabelle unten). Das hat zur Verbreitung des <a href="/wiki/Hexadezimalsystem" title="Hexadezimalsystem">Hexadezimalsystems</a> geführt, welches die Basis 16 besitzt. Da 16 eine Potenz von 2 ist, ist es besonders einfach möglich, Dualzahlen in Hexadezimalzahlen umzurechnen. Dazu werden je vier Stellen der Dualzahl durch eine Hexadezimalstelle ersetzt, was auch die Länge der dargestellten Zahlen um den Faktor vier verringert. Die Hexadezimalziffern mit dem Wert 0–15 werden in der Regel durch die Ziffernsymbole 0–9 und die Großbuchstaben A–F (für die Werte 10–15) dargestellt. Dadurch sind sie verhältnismäßig gut lesbar, so lässt sich zum Beispiel leicht feststellen, dass EDA5<sub>(16)</sub> größer ist als ED7A<sub>(16)</sub>, wohingegen sich die entsprechenden Dualzahlen 1110110110100101<sub>(2)</sub> und 1110110101111010<sub>(2)</sub> nicht so schnell überblicken lassen. </p> <table class="wikitable"> <tbody><tr> <th>Dualsystem </th> <td>0</td> <td>1</td> <td>10</td> <td>11 </td> <td>100</td> <td>101</td> <td>110</td> <td>111 </td> <td>1000</td> <td>1001</td> <td>1010</td> <td>1011 </td> <td>1100</td> <td>1101</td> <td>1110</td> <td>1111 </td></tr> <tr> <th><a href="/wiki/Dezimalsystem" title="Dezimalsystem">Dezimalsystem</a> </th> <td>0</td> <td>1</td> <td>2</td> <td>3</td> <td>4</td> <td>5</td> <td>6</td> <td>7 </td> <td>8</td> <td>9</td> <td>10</td> <td>11</td> <td>12</td> <td>13</td> <td>14</td> <td>15 </td></tr> <tr> <th><a href="/wiki/Oktalsystem" title="Oktalsystem">Oktalsystem</a> </th> <td>0</td> <td>1</td> <td>2</td> <td>3</td> <td>4</td> <td>5</td> <td>6</td> <td>7 </td> <td>10</td> <td>11</td> <td>12</td> <td>13</td> <td>14</td> <td>15</td> <td>16</td> <td>17 </td></tr> <tr> <th><a href="/wiki/Hexadezimalsystem" title="Hexadezimalsystem">Hexadezimalsystem</a> </th> <td>0</td> <td>1</td> <td>2</td> <td>3</td> <td>4</td> <td>5</td> <td>6</td> <td>7 </td> <td>8</td> <td>9</td> <td>A</td> <td>B</td> <td>C</td> <td>D</td> <td>E</td> <td>F </td></tr></tbody></table> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Vom_Dualsystem_ins_Dezimalsystem">Vom Dualsystem ins Dezimalsystem</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Dualsystem&veaction=edit&section=18" title="Abschnitt bearbeiten: Vom Dualsystem ins Dezimalsystem" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Dualsystem&action=edit&section=18" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Vom Dualsystem ins Dezimalsystem"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Um eine Dualzahl in die entsprechende Dezimalzahl umzurechnen, werden alle Ziffern jeweils mit ihrem Stellenwert (entsprechende Zweierpotenz) multipliziert und dann addiert. </p><p>Beispiel: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1010_{(2)}=1\cdot 2^{3}+0\cdot 2^{2}+1\cdot 2^{1}+0\cdot 2^{0}=1\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{1}=8+2=10_{(10)}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mn>1010</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>0</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>0</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>8</mn> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mo>=</mo> <msub> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>10</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1010_{(2)}=1\cdot 2^{3}+0\cdot 2^{2}+1\cdot 2^{1}+0\cdot 2^{0}=1\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{1}=8+2=10_{(10)}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/655d87f90ee7f5903ef4964d1b07f9c262975980" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:71.734ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle 1010_{(2)}=1\cdot 2^{3}+0\cdot 2^{2}+1\cdot 2^{1}+0\cdot 2^{0}=1\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{1}=8+2=10_{(10)}}"></span></dd></dl> <p>Endet die Dualzahl mit einer 1, so ist die Dezimalzahl eine ungerade Zahl. Ist die letzte Ziffer der Dualzahl eine 0, so ist die Dezimalzahl gerade. </p><p>Beispiel: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 101001_{(2)}=1\cdot 2^{0}+0\cdot 2^{1}+0\cdot 2^{2}+1\cdot 2^{3}+0\cdot 2^{4}+1\cdot 2^{5}=1\cdot 2^{0}+1\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{5}=1+8+32=41_{(10)}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mn>101001</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>0</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>0</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>0</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>5</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>5</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mn>8</mn> <mo>+</mo> <mn>32</mn> <mo>=</mo> <msub> <mn>41</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>10</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 101001_{(2)}=1\cdot 2^{0}+0\cdot 2^{1}+0\cdot 2^{2}+1\cdot 2^{3}+0\cdot 2^{4}+1\cdot 2^{5}=1\cdot 2^{0}+1\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{5}=1+8+32=41_{(10)}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b26e93e4516f75b979b80087aa0042288366707c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:102.92ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle 101001_{(2)}=1\cdot 2^{0}+0\cdot 2^{1}+0\cdot 2^{2}+1\cdot 2^{3}+0\cdot 2^{4}+1\cdot 2^{5}=1\cdot 2^{0}+1\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{5}=1+8+32=41_{(10)}}"></span></dd></dl> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 101000_{(2)}=0\cdot 2^{0}+0\cdot 2^{1}+0\cdot 2^{2}+1\cdot 2^{3}+0\cdot 2^{4}+1\cdot 2^{5}=1\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{5}=8+32=40_{(10)}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mn>101000</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>0</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>0</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>0</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>5</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>5</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>8</mn> <mo>+</mo> <mn>32</mn> <mo>=</mo> <msub> <mn>40</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>10</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 101000_{(2)}=0\cdot 2^{0}+0\cdot 2^{1}+0\cdot 2^{2}+1\cdot 2^{3}+0\cdot 2^{4}+1\cdot 2^{5}=1\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{5}=8+32=40_{(10)}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/949728769e28ca13ef1c3f595467c2bf62dba50d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:91.019ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle 101000_{(2)}=0\cdot 2^{0}+0\cdot 2^{1}+0\cdot 2^{2}+1\cdot 2^{3}+0\cdot 2^{4}+1\cdot 2^{5}=1\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{5}=8+32=40_{(10)}}"></span></dd></dl> <p>Dieses Verfahren kann auch in Form einer Tabelle aufgeschrieben werden. Dazu notiert man die einzelnen Ziffern einer Dualzahl in Spalten, die mit dem jeweiligen Stellenwert der Ziffer überschrieben sind. In der folgenden Tabelle ist der Stellenwert orange hinterlegt. In jeder der drei Zeilen des weißen Teils steht eine Dualzahl: </p> <table class="wikitable"> <tbody><tr> <td rowspan="2"> </td> <td colspan="6" style="background:orange; text-align:center;">Stellenwert </td> <td rowspan="2" colspan="2"> </td></tr> <tr style="background:orange"> <td>32</td> <td>16</td> <td>8</td> <td>4</td> <td>2</td> <td>1 </td></tr> <tr> <td rowspan="3" style="text-align:center;">Dualzahl </td> <td>0</td> <td>0</td> <td>0</td> <td>1</td> <td>0</td> <td>1</td> <td style="background:lightgreen">5 </td> <td rowspan="3" style="background:lightgreen">Dezimalzahl </td></tr> <tr> <td>1</td> <td>0</td> <td>0</td> <td>0</td> <td>1</td> <td>1</td> <td style="background:lightgreen">35 </td></tr> <tr> <td>0</td> <td>0</td> <td>1</td> <td>0</td> <td>1</td> <td>0</td> <td style="background:lightgreen">10 </td></tr></tbody></table> <p>Man addiert nun alle Stellenwerte, die über den Einsen der Dualzahl stehen und erhält die entsprechende grün hinterlegte Dezimalzahl. Um zum Beispiel den Dezimalwert der dritten Dualzahl zu errechnen, werden die Stellenwerte 8 und 2 addiert. Das Ergebnis ist 10. </p><p>Diese Tabellenmethode ist auch für Stellenwertsysteme zu anderen Basen möglich; die Besonderheit im Dualsystem ist, dass der jeweilige Feldeintrag ('0' oder '1') nicht erst mit der Wertigkeit der Stelle multipliziert werden muss, sondern direkt als Auswahl-Flag ('nein' / 'ja') dieser Stellenwertigkeit zur Addition verwendet werden kann. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Vom_Dezimalsystem_ins_Dualsystem">Vom Dezimalsystem ins Dualsystem</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Dualsystem&veaction=edit&section=19" title="Abschnitt bearbeiten: Vom Dezimalsystem ins Dualsystem" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Dualsystem&action=edit&section=19" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Vom Dezimalsystem ins Dualsystem"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Es gibt mehrere Möglichkeiten der Umrechnung ins Dualsystem. Im Folgenden ist die Divisionsmethode (auch <a href="/wiki/Division_mit_Rest" title="Division mit Rest">Modulo</a>-Methode genannt) am Beispiel 41<sub>(10)</sub> beschrieben: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left.{\begin{matrix}41&:2&=&20&\mathrm {Rest} \ \ \mathbf {1} \\20&:2&=&10&\mathrm {Rest} \ \ \mathbf {0} \\10&:2&=&5&\mathrm {Rest} \ \ \mathbf {0} \\5&:2&=&2&\mathrm {Rest} \ \ \mathbf {1} \\2&:2&=&1&\mathrm {Rest} \ \ \mathbf {0} \\1&:2&=&0&\mathrm {Rest} \ \ \mathbf {1} \end{matrix}}\ \right\uparrow }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"></mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>41</mn> </mtd> <mtd> <mo>:</mo> <mn>2</mn> </mtd> <mtd> <mo>=</mo> </mtd> <mtd> <mn>20</mn> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">R</mi> <mi mathvariant="normal">e</mi> <mi mathvariant="normal">s</mi> <mi mathvariant="normal">t</mi> </mrow> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn mathvariant="bold">1</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>20</mn> </mtd> <mtd> <mo>:</mo> <mn>2</mn> </mtd> <mtd> <mo>=</mo> </mtd> <mtd> <mn>10</mn> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">R</mi> <mi mathvariant="normal">e</mi> <mi mathvariant="normal">s</mi> <mi mathvariant="normal">t</mi> </mrow> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn mathvariant="bold">0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>10</mn> </mtd> <mtd> <mo>:</mo> <mn>2</mn> </mtd> <mtd> <mo>=</mo> </mtd> <mtd> <mn>5</mn> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">R</mi> <mi mathvariant="normal">e</mi> <mi mathvariant="normal">s</mi> <mi mathvariant="normal">t</mi> </mrow> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn mathvariant="bold">0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>5</mn> </mtd> <mtd> <mo>:</mo> <mn>2</mn> </mtd> <mtd> <mo>=</mo> </mtd> <mtd> <mn>2</mn> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">R</mi> <mi mathvariant="normal">e</mi> <mi mathvariant="normal">s</mi> <mi mathvariant="normal">t</mi> </mrow> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn mathvariant="bold">1</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>2</mn> </mtd> <mtd> <mo>:</mo> <mn>2</mn> </mtd> <mtd> <mo>=</mo> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">R</mi> <mi mathvariant="normal">e</mi> <mi mathvariant="normal">s</mi> <mi mathvariant="normal">t</mi> </mrow> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn mathvariant="bold">0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mo>:</mo> <mn>2</mn> </mtd> <mtd> <mo>=</mo> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">R</mi> <mi mathvariant="normal">e</mi> <mi mathvariant="normal">s</mi> <mi mathvariant="normal">t</mi> </mrow> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn mathvariant="bold">1</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mtext> </mtext> </mrow> <mo fence="true" symmetric="true">↑</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left.{\begin{matrix}41&:2&=&20&\mathrm {Rest} \ \ \mathbf {1} \\20&:2&=&10&\mathrm {Rest} \ \ \mathbf {0} \\10&:2&=&5&\mathrm {Rest} \ \ \mathbf {0} \\5&:2&=&2&\mathrm {Rest} \ \ \mathbf {1} \\2&:2&=&1&\mathrm {Rest} \ \ \mathbf {0} \\1&:2&=&0&\mathrm {Rest} \ \ \mathbf {1} \end{matrix}}\ \right\uparrow }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b43c94ba23f228dee3b444c4e5571f69db0bcc94" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -9.005ex; width:28.147ex; height:19.176ex;" alt="{\displaystyle \left.{\begin{matrix}41&:2&=&20&\mathrm {Rest} \ \ \mathbf {1} \\20&:2&=&10&\mathrm {Rest} \ \ \mathbf {0} \\10&:2&=&5&\mathrm {Rest} \ \ \mathbf {0} \\5&:2&=&2&\mathrm {Rest} \ \ \mathbf {1} \\2&:2&=&1&\mathrm {Rest} \ \ \mathbf {0} \\1&:2&=&0&\mathrm {Rest} \ \ \mathbf {1} \end{matrix}}\ \right\uparrow }"></span></dd></dl> <p>Die entsprechende Dualzahl ergibt sich durch Notation der errechneten Reste von unten nach oben: 101001<sub>(2)</sub>. </p><p>Eine andere Methode ist die Subtraktionsmethode. Bei dieser subtrahiert man jeweils die größtmögliche Zweierpotenz von der umzurechnenden Dezimalzahl. Wenn die nächstgrößte Zweierpotenz größer als die Differenz der vorherigen Subtraktion ist, so ist die Wertigkeit der nächsten Binärstelle 0. Andernfalls ist die nächste Binärstelle 1, und die Zweierpotenz wird abgezogen. Um diese Methode zu verdeutlichen, bedienen wir uns weiter des Beispiels der Zahl 41: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left.{\begin{matrix}41&-2^{5}&=&9&\mathrm {Wertigkeit} \ \ \mathbf {1} \\9&-2^{4}&<&0&\mathrm {Wertigkeit} \ \ \mathbf {0} \\9&-2^{3}&=&1&\mathrm {Wertigkeit} \ \ \mathbf {1} \\1&-2^{2}&<&0&\mathrm {Wertigkeit} \ \ \mathbf {0} \\1&-2^{1}&<&0&\mathrm {Wertigkeit} \ \ \mathbf {0} \\1&-2^{0}&=&0&\mathrm {Wertigkeit} \ \ \mathbf {1} \end{matrix}}\ \right\downarrow }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"></mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>41</mn> </mtd> <mtd> <mo>−</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>5</mn> </mrow> </msup> </mtd> <mtd> <mo>=</mo> </mtd> <mtd> <mn>9</mn> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">W</mi> <mi mathvariant="normal">e</mi> <mi mathvariant="normal">r</mi> <mi mathvariant="normal">t</mi> <mi mathvariant="normal">i</mi> <mi mathvariant="normal">g</mi> <mi mathvariant="normal">k</mi> <mi mathvariant="normal">e</mi> <mi mathvariant="normal">i</mi> <mi mathvariant="normal">t</mi> </mrow> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn mathvariant="bold">1</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>9</mn> </mtd> <mtd> <mo>−</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> </mtd> <mtd> <mo><</mo> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">W</mi> <mi mathvariant="normal">e</mi> <mi mathvariant="normal">r</mi> <mi mathvariant="normal">t</mi> <mi mathvariant="normal">i</mi> <mi mathvariant="normal">g</mi> <mi mathvariant="normal">k</mi> <mi mathvariant="normal">e</mi> <mi mathvariant="normal">i</mi> <mi mathvariant="normal">t</mi> </mrow> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn mathvariant="bold">0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>9</mn> </mtd> <mtd> <mo>−</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mtd> <mtd> <mo>=</mo> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">W</mi> <mi mathvariant="normal">e</mi> <mi mathvariant="normal">r</mi> <mi mathvariant="normal">t</mi> <mi mathvariant="normal">i</mi> <mi mathvariant="normal">g</mi> <mi mathvariant="normal">k</mi> <mi mathvariant="normal">e</mi> <mi mathvariant="normal">i</mi> <mi mathvariant="normal">t</mi> </mrow> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn mathvariant="bold">1</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mo>−</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mtd> <mtd> <mo><</mo> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">W</mi> <mi mathvariant="normal">e</mi> <mi mathvariant="normal">r</mi> <mi mathvariant="normal">t</mi> <mi mathvariant="normal">i</mi> <mi mathvariant="normal">g</mi> <mi mathvariant="normal">k</mi> <mi mathvariant="normal">e</mi> <mi mathvariant="normal">i</mi> <mi mathvariant="normal">t</mi> </mrow> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn mathvariant="bold">0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mo>−</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mtd> <mtd> <mo><</mo> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">W</mi> <mi mathvariant="normal">e</mi> <mi mathvariant="normal">r</mi> <mi mathvariant="normal">t</mi> <mi mathvariant="normal">i</mi> <mi mathvariant="normal">g</mi> <mi mathvariant="normal">k</mi> <mi mathvariant="normal">e</mi> <mi mathvariant="normal">i</mi> <mi mathvariant="normal">t</mi> </mrow> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn mathvariant="bold">0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mo>−</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msup> </mtd> <mtd> <mo>=</mo> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">W</mi> <mi mathvariant="normal">e</mi> <mi mathvariant="normal">r</mi> <mi mathvariant="normal">t</mi> <mi mathvariant="normal">i</mi> <mi mathvariant="normal">g</mi> <mi mathvariant="normal">k</mi> <mi mathvariant="normal">e</mi> <mi mathvariant="normal">i</mi> <mi mathvariant="normal">t</mi> </mrow> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn mathvariant="bold">1</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mtext> </mtext> </mrow> <mo fence="true" symmetric="true">↓</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left.{\begin{matrix}41&-2^{5}&=&9&\mathrm {Wertigkeit} \ \ \mathbf {1} \\9&-2^{4}&<&0&\mathrm {Wertigkeit} \ \ \mathbf {0} \\9&-2^{3}&=&1&\mathrm {Wertigkeit} \ \ \mathbf {1} \\1&-2^{2}&<&0&\mathrm {Wertigkeit} \ \ \mathbf {0} \\1&-2^{1}&<&0&\mathrm {Wertigkeit} \ \ \mathbf {0} \\1&-2^{0}&=&0&\mathrm {Wertigkeit} \ \ \mathbf {1} \end{matrix}}\ \right\downarrow }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/233d5b45135bc5e2255432ceb491a8337feecc27" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -9.505ex; width:34.849ex; height:20.176ex;" alt="{\displaystyle \left.{\begin{matrix}41&-2^{5}&=&9&\mathrm {Wertigkeit} \ \ \mathbf {1} \\9&-2^{4}&<&0&\mathrm {Wertigkeit} \ \ \mathbf {0} \\9&-2^{3}&=&1&\mathrm {Wertigkeit} \ \ \mathbf {1} \\1&-2^{2}&<&0&\mathrm {Wertigkeit} \ \ \mathbf {0} \\1&-2^{1}&<&0&\mathrm {Wertigkeit} \ \ \mathbf {0} \\1&-2^{0}&=&0&\mathrm {Wertigkeit} \ \ \mathbf {1} \end{matrix}}\ \right\downarrow }"></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Eigenschaften">Eigenschaften</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Dualsystem&veaction=edit&section=20" title="Abschnitt bearbeiten: Eigenschaften" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Dualsystem&action=edit&section=20" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Eigenschaften"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Teilbarkeit_durch_eine_2er_Potenz">Teilbarkeit durch eine 2er Potenz</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Dualsystem&veaction=edit&section=21" title="Abschnitt bearbeiten: Teilbarkeit durch eine 2er Potenz" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Dualsystem&action=edit&section=21" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Teilbarkeit durch eine 2er Potenz"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Eine Zahl, dargestellt zur Basis <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span>, ist so oft durch die Basis <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span> ohne Rest teilbar (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>i</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}"></span>-fach, also durch <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n^{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n^{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4081dc7ac246657c6df822dc47d36513dc116072" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.194ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle n^{i}}"></span>), wie die Zahl Nullen am Ende hat (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>i</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}"></span> Stück). Eine Dualzahl <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 100101000_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mn>100101000</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 100101000_{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4807c545a5ad90150562baf8f3bc275461eff02" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.516ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 100101000_{2}}"></span> (im Dezimalsystem <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 296}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>296</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 296}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10e8f987187516bfe51b0b76aab888d0d28f60fa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.487ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 296}"></span>) ist also dreimal durch <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/901fc910c19990d0dbaaefe4726ceb1a4e217a0f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2}"></span> teilbar (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle =2^{3}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>=</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle =2^{3}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad6b41b30f5bc07cdb08e404c1e4920510544256" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.67ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle =2^{3}}"></span>), da sie auf drei Nullen endet und tatsächlich gilt <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 296=2^{3}\cdot 37}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>296</mn> <mo>=</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>⋅</mo> <mn>37</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 296=2^{3}\cdot 37}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc84b79d3c1813ce08c24378ac92be5a36d6b186" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:12.807ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 296=2^{3}\cdot 37}"></span> </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Teilbarkeit_durch_3">Teilbarkeit durch 3</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Dualsystem&veaction=edit&section=22" title="Abschnitt bearbeiten: Teilbarkeit durch 3" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Dualsystem&action=edit&section=22" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Teilbarkeit durch 3"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Sei <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=b_{k}\dots b_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>…</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=b_{k}\dots b_{0}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a8dca7b991341aa7c4a9a505c23a8e100af9bb2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.129ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle n=b_{k}\dots b_{0}}"></span> eine Binärzahl, wobei <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b_{i}\in \{0,1\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b_{i}\in \{0,1\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b03aaa625c58f54a7cad9f9471aa4523cbfdc4bb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.322ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle b_{i}\in \{0,1\}}"></span>. Weiter definieren wir die Menge der Einsen an geraden Stellen <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G_{1}(n)=\{i\mid \exists j.b_{2j}(n)=1\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>i</mi> <mo>∣</mo> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mi>j</mi> <mo>.</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G_{1}(n)=\{i\mid \exists j.b_{2j}(n)=1\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e87c918574b2dc926e6fe31a5a85491702168434" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:27.727ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle G_{1}(n)=\{i\mid \exists j.b_{2j}(n)=1\}}"></span> und die Menge der Einsen an ungeraden Stellen <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U_{1}(n)=\{i\mid \exists j.b_{2j+1}(n)=1\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>U</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>i</mi> <mo>∣</mo> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mi>j</mi> <mo>.</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mi>j</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U_{1}(n)=\{i\mid \exists j.b_{2j+1}(n)=1\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ec2ee244794df1fbe7d46101493764e0872d17b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:29.588ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle U_{1}(n)=\{i\mid \exists j.b_{2j+1}(n)=1\}}"></span>. Dann gilt für die Zahl <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span> bezüglich der Teilbarkeit durch <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 3}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>3</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/991e33c6e207b12546f15bdfee8b5726eafbbb2f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 3}"></span> (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \#}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">#</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \#}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f72e8254fd59fa4060c66c9310acbaf6df2ce894" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.936ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \#}"></span> steht für die Anzahl): </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\#G_{1}(n)-\#U_{1}(n)|\mod 3=0\implies n{\text{ ist teilbar durch }}3}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi mathvariant="normal">#</mi> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi mathvariant="normal">#</mi> <msub> <mi>U</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mspace width="1em" /> <mi>mod</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <mn>3</mn> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mspace width="thickmathspace" /> <mo stretchy="false">⟹</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext> ist teilbar durch </mtext> </mrow> <mn>3</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\#G_{1}(n)-\#U_{1}(n)|\mod 3=0\implies n{\text{ ist teilbar durch }}3}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05a32dec513ac344dc23a2204648ab881fd1cbb8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:59.774ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |\#G_{1}(n)-\#U_{1}(n)|\mod 3=0\implies n{\text{ ist teilbar durch }}3}"></span></dd></dl> <p>Mit Worten ausgedrückt, eine Binärzahl ist genau dann ohne Rest durch 3 teilbar, wenn die Betragsdifferenz der Anzahl der Einsen auf den geraden Positionen und der Anzahl der Einsen auf den ungeraden Positionen durch 3 teilbar ist. Man spricht hier auch von der <a href="/wiki/Quersumme#Alternierende_Quersumme" title="Quersumme">alternierenden Quersumme</a>, die durch 3 teilbar sein muss. </p><p>Beispiel an der Zahl <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=744628179621_{(10)}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <msub> <mn>744628179621</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>10</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=744628179621_{(10)}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95d71966e15deba549c621c7dedbb376e32bd302" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:21.598ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle n=744628179621_{(10)}}"></span>: </p> <dl><dd>Die Zahl hat folgende Binärdarstellung <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=1010110101011111010011000101001010100101_{(2)}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <msub> <mn>1010110101011111010011000101001010100101</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=1010110101011111010011000101001010100101_{(2)}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0da128be25eb4603d8b368a10090727d2956660d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:53.325ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle n=1010110101011111010011000101001010100101_{(2)}}"></span>. Es gilt <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\#G_{1}(n)-\#U_{1}(n)|=|9-12|=3}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi mathvariant="normal">#</mi> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi mathvariant="normal">#</mi> <msub> <mi>U</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mn>9</mn> <mo>−</mo> <mn>12</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>3</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\#G_{1}(n)-\#U_{1}(n)|=|9-12|=3}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ce2281f398e5f6662934880e4eb663fbd1bb4f7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:34.917ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |\#G_{1}(n)-\#U_{1}(n)|=|9-12|=3}"></span> und <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 3\mod 3=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>3</mn> <mspace width="1em" /> <mi>mod</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <mn>3</mn> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3\mod 3=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc1a9a82ce4fab683d701865cb411bd46ea1cb7f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:14.848ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 3\mod 3=0}"></span> und tatsächlich <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 744628179621:3=248209393207}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>744628179621</mn> <mo>:</mo> <mn>3</mn> <mo>=</mo> <mn>248209393207</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 744628179621:3=248209393207}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab28cdc48d015f8f1f42a51694fee49024e5e150" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:34.097ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 744628179621:3=248209393207}"></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Ähnliche_Zahlensysteme"><span id=".C3.84hnliche_Zahlensysteme"></span>Ähnliche Zahlensysteme</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Dualsystem&veaction=edit&section=23" title="Abschnitt bearbeiten: Ähnliche Zahlensysteme" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Dualsystem&action=edit&section=23" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Ähnliche Zahlensysteme"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>Das <a href="/wiki/Un%C3%A4rsystem" title="Unärsystem">Unärsystem</a>, 1er-System oder <a href="/wiki/Strichliste" title="Strichliste">Strichliste</a> ist das einfachste Zahlensystem.</li></ul> <p>Andere <a href="/wiki/Stellenwertsystem" title="Stellenwertsystem">Stellenwertsysteme</a> sind </p> <ul><li><a href="/wiki/Tern%C3%A4rsystem" title="Ternärsystem">Ternärsystem</a> (3er-System)</li> <li><a href="/wiki/Quatern%C3%A4r" title="Quaternär">Quaternär</a> (4er-System)</li> <li><a href="/wiki/Quin%C3%A4r" title="Quinär">Quinär</a> (5er-System)</li> <li><a href="/wiki/Sen%C3%A4r" title="Senär">Senär</a> (6er-System)</li> <li><a href="/wiki/Dezimalsystem" title="Dezimalsystem">Dezimalsystem</a> (10er-System)</li> <li><a href="/wiki/Duodezimalsystem" title="Duodezimalsystem">Duodezimalsystem</a> (12er-System)</li> <li><a href="/wiki/Hexadezimalsystem" title="Hexadezimalsystem">Hexadezimalsystem</a> (16er-System)</li> <li><a href="/wiki/Vigesimalsystem" title="Vigesimalsystem">Vigesimalsystem</a> (20er-System)</li> <li><a href="/wiki/Hexagesimalsystem" class="mw-redirect" title="Hexagesimalsystem">Hexagesimalsystem</a> (60er-System)</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Dualsystem&veaction=edit&section=24" title="Abschnitt bearbeiten: Siehe auch" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Dualsystem&action=edit&section=24" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Siehe auch"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Boolesche_Variable" class="mw-redirect" title="Boolesche Variable">Boolesche Variable</a></li> <li><a href="/wiki/Bacon-Chiffre" title="Bacon-Chiffre">Bacon-Chiffre</a></li> <li><a href="/wiki/Zweierkomplement" title="Zweierkomplement">Zweierkomplement</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Dualsystem&veaction=edit&section=25" title="Abschnitt bearbeiten: Weblinks" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Dualsystem&action=edit&section=25" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Weblinks"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noresize noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"><span class="mw-default-size" typeof="mw:File"><span title="Commons"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/12px-Commons-logo.svg.png" decoding="async" width="12" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/18px-Commons-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/24px-Commons-logo.svg.png 2x" data-file-width="1024" data-file-height="1376" /></span></span></div><b><span class="plainlinks"><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Binary_numeral_system?uselang=de"><span lang="en">Commons</span>: Binary numeral system</a></span></b> – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien</div> <div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><span class="noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"><span class="mw-default-size" typeof="mw:File"><span title="Wiktionary"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c3/Wiktfavicon_en.svg/16px-Wiktfavicon_en.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c3/Wiktfavicon_en.svg/24px-Wiktfavicon_en.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c3/Wiktfavicon_en.svg/32px-Wiktfavicon_en.svg.png 2x" data-file-width="16" data-file-height="16" /></span></span></span><b><a href="https://de.wiktionary.org/wiki/Dualsystem" class="extiw" title="wikt:Dualsystem">Wiktionary: Dualsystem</a></b> – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen</div> <ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.lehrer.uni-karlsruhe.de/~za146/barock/leibniz1.htm#Dyadik">Leibniz und die Dyadik</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/Zahlensysteme.htm">Umrechnung von Zahlensystemen</a> (u. a. dual↔dezimal)</li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.know-about.de/binaerzahlen.html">Dezimalzahlen in Binärzahlen umwandeln mit Nachkommastellen</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.ulthryvasse.de/index.html">ulthryvasse.de</a> – Einfache Erklärung zum Rechnen mit dualen Zahlen</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Dualsystem&veaction=edit&section=26" title="Abschnitt bearbeiten: Einzelnachweise" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Dualsystem&action=edit&section=26" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Einzelnachweise"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ol class="references"> <li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text">Nach DIN 44300, Teil 2, ist „binär“ nicht gleichbedeutend mit „dual“. „Dual“ bezieht sich auf die Darstellung von Zahlen.</span> </li> <li id="cite_note-:0-2"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-:0_2-0">a</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-:0_2-1">b</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-:0_2-2">c</a></sup></span> <span class="reference-text"><span class="cite"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.elektronik-kompendium.de/sites/dig/0208051.htm"><i>Duales Zahlensystem (Dualzahlen Binär Dualsystem Binärsystem).</i></a> In: <i>elektronik-kompendium.de.</i><span class="Abrufdatum"> Abgerufen am 28. November 2023</span>.</span><span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3ADualsystem&rft.title=Duales+Zahlensystem+%28Dualzahlen+Bin%C3%A4r+Dualsystem+Bin%C3%A4rsystem%29&rft.description=Duales+Zahlensystem+%28Dualzahlen+Bin%C3%A4r+Dualsystem+Bin%C3%A4rsystem%29&rft.identifier=https%3A%2F%2Fwww.elektronik-kompendium.de%2Fsites%2Fdig%2F0208051.htm"> </span></span> </li> <li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text"><span class="cite"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://living-sun.com/python/708160-binary-numbers-python-binary.html"><i>Binärzahlen? - Python, binär.</i></a> In: <i>living-sun.com.</i><span class="Abrufdatum"> Abgerufen am 20. Januar 2021</span>.</span><span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3ADualsystem&rft.title=Bin%C3%A4rzahlen%3F+-+Python%2C+bin%C3%A4r&rft.description=Bin%C3%A4rzahlen%3F+-+Python%2C+bin%C3%A4r&rft.identifier=https%3A%2F%2Fliving-sun.com%2Fpython%2F708160-binary-numbers-python-binary.html"> </span></span> </li> <li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-4">↑</a></span> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.nature.com/news/polynesian-people-used-binary-numbers-600-years-ago-1.14380"><i>Polynesian people used binary numbers 600 years ago</i></a> nature.com, abgerufen am 16.06.17</span> </li> <li id="cite_note-5"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-5">↑</a></span> <span class="reference-text">Hans J. Zacher: <cite style="font-style:italic">Die Hauptschriften zur Dyadik von G. W. Leibniz</cite>. Frankfurt a. M. 1973, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/9783465009986" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-3-465-00998-6</a>, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>285</span>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Dualsystem&rft.au=Hans+J.+Zacher&rft.btitle=Die+Hauptschriften+zur+Dyadik+von+G.+W.+Leibniz&rft.date=1973&rft.genre=book&rft.isbn=9783465009986&rft.pages=285&rft.place=Frankfurt+a.+M." style="display:none"> </span></span> </li> <li id="cite_note-6"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-6">↑</a></span> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.fh-augsburg.de/~harsch/germanica/Chronologie/17Jh/Leibniz/lei_bina.html">Bibliotheca Augustana</a></span> </li> <li id="cite_note-7"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-7">↑</a></span> <span class="reference-text">neu herausgegeben von H.Zacher: <i>Die Hauptschriften zur Dyadik von G.W. Leibniz</i>. Vittorio Klostermann, Frankfurt 1973</span> </li> <li id="cite_note-8"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-8">↑</a></span> <span class="reference-text">Robert Ineichen: <i>Leibniz, Caramuel, Harriot und das Dualsystem</i>. In: Mitteilungen DMV, 2008</span> </li> <li id="cite_note-9"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-9">↑</a></span> <span class="reference-text">Shirley: <i>Binary number systems before Leibniz</i>. In: <i>American Journal of Physics</i> Bd. 19, 1951, S. 452</span> </li> <li id="cite_note-10"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-10">↑</a></span> <span class="reference-text">Wolfgang Göbels: <i>Zahlenraten durch Kopfrechnen - ein amüsantes Rechentraining für die 5. Jahrgangsstufe</i> <a href="/wiki/Deutscher_Verein_zur_F%C3%B6rderung_des_mathematischen_und_naturwissenschaftlichen_Unterrichts" title="Deutscher Verein zur Förderung des mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterrichts">Deutscher Verein zur Förderung des mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterrichts</a> 49/4 (1.6.1996) S. 207, ISSN 0025-5866, © <a href="/wiki/Ferdinand_D%C3%BCmmler" title="Ferdinand Dümmler">Dümmler Verlag</a>, <a href="/wiki/Bonn" title="Bonn">Bonn</a></span> </li> <li id="cite_note-11"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-11">↑</a></span> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.kleineschule.com.de/Spiele/Magische-Zahlen-Karten-4.pdf">Magische Zahlen-Karten</a> aus <i>kleineschule.com.de</i>, abgerufen am 18. April 2023</span> </li> <li id="cite_note-12"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-12">↑</a></span> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.inf-schule.de/kids/datennetze/Binaerzahlen/schritt4">Magische Tafeln</a> aus <i>inf-schule.de</i>, abgerufen am 18. April 2023</span> </li> </ol> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r248673343">.mw-parser-output div.NavFrame{border-width:1px;border-style:solid;border-left-color:var(--dewiki-rahmenfarbe1);border-right-color:var(--dewiki-rahmenfarbe1);border-top-color:var(--dewiki-rahmenfarbe1);border-bottom-color:var(--dewiki-rahmenfarbe1);clear:both;font-size:95%;margin-top:1.5em;min-height:0;padding:2px;text-align:center}.mw-parser-output div.NavPic{float:left;padding:2px}.mw-parser-output div.NavHead{background-color:var(--dewiki-hintergrundfarbe5);font-weight:bold}.mw-parser-output div.NavFrame:after{clear:both;content:"";display:block}.mw-parser-output div.NavFrame+div.NavFrame,.mw-parser-output div.NavFrame+link+div.NavFrame,.mw-parser-output div.NavFrame+style+div.NavFrame{margin-top:-1px}.mw-parser-output .NavToggle{float:right;font-size:x-small}@media screen{html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .NavPic span[typeof="mw:File"] img{background-color:#c8ccd1}}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .NavPic span[typeof="mw:File"] img{background-color:#c8ccd1}}</style><div class="NavFrame navigation-not-searchable" role="navigation"> <div class="NavHead"><a href="/wiki/Stellenwertsystem" title="Stellenwertsystem">Stellenwertsysteme</a> (Basis/Grundzahl)</div> <div class="NavContent"> <p><a href="/wiki/Un%C3%A4rsystem" title="Unärsystem">Unärsystem</a> (1) • <a class="mw-selflink selflink">Dualsystem</a> (2) • <a href="/wiki/Tern%C3%A4rsystem" title="Ternärsystem">Ternärsystem</a> (3) • <a href="/wiki/Quatern%C3%A4r" title="Quaternär">Quaternärsystem</a> (4) • <a href="/wiki/Quin%C3%A4r" title="Quinär">Quinärsystem</a> (5) • <a href="/wiki/Sen%C3%A4r" title="Senär">Senärsystem</a> (6) • <a href="/wiki/Septen%C3%A4r" class="mw-redirect" title="Septenär">Septenärsystem</a> (7) • <a href="/wiki/Oktalsystem" title="Oktalsystem">Oktalsystem</a> (8) • <a href="/wiki/Dezimalsystem" title="Dezimalsystem">Dezimalsystem</a> (10) • <a href="/wiki/Duodezimalsystem" title="Duodezimalsystem">Duodezimalsystem</a> (12) • <a href="/wiki/Hexadezimalsystem" title="Hexadezimalsystem">Hexadezimalsystem</a> (16) • <a href="/wiki/Vigesimalsystem" title="Vigesimalsystem">Vigesimalsystem</a> (20) • <a href="/wiki/Base32" title="Base32">Base32</a> (32) • <a href="/wiki/Base58" title="Base58">Base58</a> (58) • <a href="/wiki/Sexagesimalsystem" title="Sexagesimalsystem">Sexagesimalsystem</a> (60) • <a href="/wiki/Base64" title="Base64">Base64</a> (64) </p> </div> </div> <div class="hintergrundfarbe1 rahmenfarbe1 navigation-not-searchable normdaten-typ-s" style="border-style: solid; border-width: 1px; clear: left; margin-bottom:1em; margin-top:1em; padding: 0.25em; overflow: hidden; word-break: break-word; word-wrap: break-word;" id="normdaten"> <div style="display: table-cell; vertical-align: middle; width: 100%;"> <div> Normdaten (Sachbegriff): <a href="/wiki/Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <span class="plainlinks-print"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4150805-1">4150805-1</a></span> <span class="noprint">(<a rel="nofollow" class="external text" href="https://lobid.org/gnd/4150805-1">lobid</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://swb.bsz-bw.de/DB=2.104/SET=1/TTL=1/CMD?retrace=0&trm_old=&ACT=SRCHA&IKT=2999&SRT=RLV&TRM=4150805-1">OGND</a><span class="metadata">, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://prometheus.lmu.de/gnd/4150805-1">AKS</a></span>)</span> <span class="metadata"></span></div> </div></div></div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Abgerufen von „<a dir="ltr" href="https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Dualsystem&oldid=246230048">https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Dualsystem&oldid=246230048</a>“</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Wikipedia:Kategorien" title="Wikipedia:Kategorien">Kategorien</a>: <ul><li><a href="/wiki/Kategorie:Zeichenkodierung" title="Kategorie:Zeichenkodierung">Zeichenkodierung</a></li><li><a href="/wiki/Kategorie:Zahlensystem" title="Kategorie:Zahlensystem">Zahlensystem</a></li><li><a href="/wiki/Kategorie:Bin%C3%A4rcode" title="Kategorie:Binärcode">Binärcode</a></li></ul></div></div> </div> </div> <div id="mw-navigation"> <h2>Navigationsmenü</h2> <div id="mw-head"> <nav id="p-personal" class="mw-portlet mw-portlet-personal vector-user-menu-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-personal-label" > <h3 id="p-personal-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Meine Werkzeuge</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anonuserpage" class="mw-list-item"><span title="Benutzerseite der IP-Adresse, von der aus du Änderungen durchführst">Nicht angemeldet</span></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Spezial:Meine_Diskussionsseite" title="Diskussion über Änderungen von dieser IP-Adresse [n]" accesskey="n"><span>Diskussionsseite</span></a></li><li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Spezial:Meine_Beitr%C3%A4ge" title="Eine Liste der Bearbeitungen, die von dieser IP-Adresse gemacht wurden [y]" accesskey="y"><span>Beiträge</span></a></li><li id="pt-createaccount" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Spezial:Benutzerkonto_anlegen&returnto=Dualsystem" title="Wir ermutigen dich dazu, ein Benutzerkonto zu erstellen und dich anzumelden. Es ist jedoch nicht zwingend erforderlich."><span>Benutzerkonto erstellen</span></a></li><li id="pt-login" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Spezial:Anmelden&returnto=Dualsystem" title="Anmelden ist zwar keine Pflicht, wird aber gerne gesehen. [o]" accesskey="o"><span>Anmelden</span></a></li> </ul> </div> </nav> <div id="left-navigation"> <nav id="p-namespaces" class="mw-portlet mw-portlet-namespaces vector-menu-tabs vector-menu-tabs-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-namespaces-label" > <h3 id="p-namespaces-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Namensräume</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected mw-list-item"><a href="/wiki/Dualsystem" title="Seiteninhalt anzeigen [c]" accesskey="c"><span>Artikel</span></a></li><li id="ca-talk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Diskussion:Dualsystem" rel="discussion" title="Diskussion zum Seiteninhalt [t]" accesskey="t"><span>Diskussion</span></a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-variants" class="mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet vector-menu-dropdown vector-menu" aria-labelledby="p-variants-label" > <input type="checkbox" id="p-variants-checkbox" 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href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Bin%C3%A4%C3%A4rij%C3%A4rjestelm%C3%A4" title="Binäärijärjestelmä – Finnisch" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Binäärijärjestelmä" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="Finnisch" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Syst%C3%A8me_binaire" title="Système binaire – Französisch" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Système binaire" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="Französisch" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fur mw-list-item"><a href="https://fur.wikipedia.org/wiki/Sisteme_binari" title="Sisteme binari – Friaulisch" lang="fur" hreflang="fur" data-title="Sisteme binari" data-language-autonym="Furlan" data-language-local-name="Friaulisch" class="interlanguage-link-target"><span>Furlan</span></a></li><li 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data-language-autonym="Ido" data-language-local-name="Ido" class="interlanguage-link-target"><span>Ido</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/Tv%C3%ADundakerfi" title="Tvíundakerfi – Isländisch" lang="is" hreflang="is" data-title="Tvíundakerfi" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="Isländisch" class="interlanguage-link-target"><span>Íslenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Sistema_numerico_binario" title="Sistema numerico binario – Italienisch" lang="it" hreflang="it" data-title="Sistema numerico binario" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="Italienisch" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%80%B2%E6%B3%95" title="二進法 – Japanisch" lang="ja" hreflang="ja" data-title="二進法" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="Japanisch" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-jv mw-list-item"><a href="https://jv.wikipedia.org/wiki/Sistem_wilangan_bin%C3%A8r" title="Sistem wilangan binèr – Javanisch" lang="jv" hreflang="jv" data-title="Sistem wilangan binèr" data-language-autonym="Jawa" data-language-local-name="Javanisch" class="interlanguage-link-target"><span>Jawa</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ka mw-list-item"><a href="https://ka.wikipedia.org/wiki/%E1%83%97%E1%83%95%E1%83%9A%E1%83%98%E1%83%A1_%E1%83%9D%E1%83%A0%E1%83%9D%E1%83%91%E1%83%98%E1%83%97%E1%83%98_%E1%83%A1%E1%83%98%E1%83%A1%E1%83%A2%E1%83%94%E1%83%9B%E1%83%90" title="თვლის ორობითი სისტემა – Georgisch" lang="ka" hreflang="ka" data-title="თვლის ორობითი სისტემა" data-language-autonym="ქართული" data-language-local-name="Georgisch" class="interlanguage-link-target"><span>ქართული</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%95%D0%BA%D1%96%D0%BB%D1%96%D0%BA_%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%83_%D0%B6%D2%AF%D0%B9%D0%B5%D1%81%D1%96" title="Екілік санау жүйесі – Kasachisch" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Екілік санау жүйесі" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="Kasachisch" class="interlanguage-link-target"><span>Қазақша</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kn mw-list-item"><a href="https://kn.wikipedia.org/wiki/%E0%B2%A6%E0%B3%8D%E0%B2%B5%E0%B2%BF%E0%B2%AE%E0%B2%BE%E0%B2%A8_%E0%B2%B8%E0%B2%82%E0%B2%96%E0%B3%8D%E0%B2%AF%E0%B2%BE_%E0%B2%AA%E0%B2%A6%E0%B3%8D%E0%B2%A7%E0%B2%A4%E0%B2%BF" title="ದ್ವಿಮಾನ ಸಂಖ್ಯಾ ಪದ್ಧತಿ – Kannada" lang="kn" hreflang="kn" data-title="ದ್ವಿಮಾನ ಸಂಖ್ಯಾ ಪದ್ಧತಿ" data-language-autonym="ಕನ್ನಡ" data-language-local-name="Kannada" class="interlanguage-link-target"><span>ಕನ್ನಡ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9D%B4%EC%A7%84%EB%B2%95" title="이진법 – Koreanisch" lang="ko" hreflang="ko" data-title="이진법" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="Koreanisch" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ky mw-list-item"><a href="https://ky.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BA_%D1%8D%D1%81%D0%B5%D0%BF%D1%82%D3%A9%D3%A9_%D1%82%D1%83%D1%82%D1%83%D0%BC%D1%83" title="Экилик эсептөө тутуму – Kirgisisch" lang="ky" hreflang="ky" data-title="Экилик эсептөө тутуму" data-language-autonym="Кыргызча" data-language-local-name="Kirgisisch" class="interlanguage-link-target"><span>Кыргызча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Systema_numericum_binarium" title="Systema numericum binarium – Latein" lang="la" hreflang="la" data-title="Systema numericum binarium" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="Latein" class="interlanguage-link-target"><span>Latina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lmo mw-list-item"><a href="https://lmo.wikipedia.org/wiki/Sistema_binari" title="Sistema binari – Lombardisch" lang="lmo" hreflang="lmo" data-title="Sistema binari" data-language-autonym="Lombard" data-language-local-name="Lombardisch" class="interlanguage-link-target"><span>Lombard</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Dvejetain%C4%97_skai%C4%8Diavimo_sistema" title="Dvejetainė skaičiavimo sistema – Litauisch" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Dvejetainė skaičiavimo sistema" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="Litauisch" class="interlanguage-link-target"><span>Lietuvių</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Bin%C4%81r%C4%81_skait%C4%AB%C5%A1anas_sist%C4%93ma" title="Binārā skaitīšanas sistēma – Lettisch" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Binārā skaitīšanas sistēma" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="Lettisch" class="interlanguage-link-target"><span>Latviešu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mhr mw-list-item"><a href="https://mhr.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BA%D1%8B%D1%82%D0%B0%D0%BD_%D1%87%D0%BE%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BC_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B5" title="Кокытан чотрадам системе – Ostmari" lang="mhr" hreflang="mhr" data-title="Кокытан чотрадам системе" data-language-autonym="Олык марий" data-language-local-name="Ostmari" class="interlanguage-link-target"><span>Олык марий</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk badge-Q17437796 badge-featuredarticle mw-list-item" title="exzellenter Artikel"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B2%D0%BE%D0%B8%D1%87%D0%B5%D0%BD_%D0%B1%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BD_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC" title="Двоичен броен систем – Mazedonisch" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Двоичен броен систем" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="Mazedonisch" class="interlanguage-link-target"><span>Македонски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%A6%E0%B5%8D%E0%B4%B5%E0%B4%AF%E0%B4%BE%E0%B4%99%E0%B5%8D%E0%B4%95%E0%B4%B8%E0%B4%82%E0%B4%96%E0%B5%8D%E0%B4%AF%E0%B4%BE%E0%B4%B5%E0%B5%8D%E0%B4%AF%E0%B4%B5%E0%B4%B8%E0%B5%8D%E0%B4%A5" title="ദ്വയാങ്കസംഖ്യാവ്യവസ്ഥ – Malayalam" lang="ml" hreflang="ml" data-title="ദ്വയാങ്കസംഖ്യാവ്യവസ്ഥ" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="Malayalam" class="interlanguage-link-target"><span>മലയാളം</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mn mw-list-item"><a href="https://mn.wikipedia.org/wiki/%D0%A5%D0%BE%D1%91%D1%80%D1%82%D1%8B%D0%BD_%D1%82%D0%BE%D0%BE%D0%BB%D0%BB%D1%8B%D0%BD_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC" title="Хоёртын тооллын систем – Mongolisch" lang="mn" hreflang="mn" data-title="Хоёртын тооллын систем" data-language-autonym="Монгол" data-language-local-name="Mongolisch" class="interlanguage-link-target"><span>Монгол</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mr mw-list-item"><a href="https://mr.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%A6%E0%A5%8D%E0%A4%B5%E0%A4%BF%E0%A4%AE%E0%A4%BE%E0%A4%A8_%E0%A4%AA%E0%A4%A6%E0%A5%8D%E0%A4%A7%E0%A4%A4" title="द्विमान पद्धत – Marathi" lang="mr" hreflang="mr" data-title="द्विमान पद्धत" data-language-autonym="मराठी" data-language-local-name="Marathi" class="interlanguage-link-target"><span>मराठी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Sistem_angka_perduaan" title="Sistem angka perduaan – Malaiisch" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Sistem angka perduaan" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="Malaiisch" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Melayu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mwl mw-list-item"><a href="https://mwl.wikipedia.org/wiki/Sistema_binairo_(matem%C3%A1tica)" title="Sistema binairo (matemática) – Mirandesisch" lang="mwl" hreflang="mwl" data-title="Sistema binairo (matemática)" data-language-autonym="Mirandés" data-language-local-name="Mirandesisch" class="interlanguage-link-target"><span>Mirandés</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ne mw-list-item"><a href="https://ne.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%A6%E0%A5%8D%E0%A4%B5%E0%A4%AF%E0%A4%A7%E0%A4%BE%E0%A4%B0%E0%A5%80_%E0%A4%B8%E0%A4%99%E0%A5%8D%E0%A4%96%E0%A5%8D%E0%A4%AF%E0%A4%BE" title="द्वयधारी सङ्ख्या – Nepalesisch" lang="ne" hreflang="ne" data-title="द्वयधारी सङ्ख्या" data-language-autonym="नेपाली" data-language-local-name="Nepalesisch" class="interlanguage-link-target"><span>नेपाली</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Binair_talstelsel" title="Binair talstelsel – Niederländisch" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Binair talstelsel" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="Niederländisch" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Totalssystemet" title="Totalssystemet – Norwegisch (Nynorsk)" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Totalssystemet" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="Norwegisch (Nynorsk)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Bin%C3%A6rt_tallsystem" title="Binært tallsystem – Norwegisch (Bokmål)" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Binært tallsystem" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="Norwegisch (Bokmål)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nso mw-list-item"><a href="https://nso.wikipedia.org/wiki/Binary" title="Binary – Nord-Sotho" lang="nso" hreflang="nso" data-title="Binary" data-language-autonym="Sesotho sa Leboa" data-language-local-name="Nord-Sotho" class="interlanguage-link-target"><span>Sesotho sa Leboa</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-om mw-list-item"><a href="https://om.wikipedia.org/wiki/Laklamee" title="Laklamee – Oromo" lang="om" hreflang="om" data-title="Laklamee" data-language-autonym="Oromoo" data-language-local-name="Oromo" class="interlanguage-link-target"><span>Oromoo</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pa mw-list-item"><a href="https://pa.wikipedia.org/wiki/%E0%A8%AC%E0%A8%BE%E0%A8%87%E0%A8%A8%E0%A8%B0%E0%A9%80_%E0%A8%B8%E0%A9%B0%E0%A8%96%E0%A8%BF%E0%A8%86_%E0%A8%AA%E0%A9%8D%E0%A8%B0%E0%A8%A3%E0%A8%BE%E0%A8%B2%E0%A9%80" title="ਬਾਇਨਰੀ ਸੰਖਿਆ ਪ੍ਰਣਾਲੀ – Punjabi" lang="pa" hreflang="pa" data-title="ਬਾਇਨਰੀ ਸੰਖਿਆ ਪ੍ਰਣਾਲੀ" data-language-autonym="ਪੰਜਾਬੀ" data-language-local-name="Punjabi" class="interlanguage-link-target"><span>ਪੰਜਾਬੀ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Dw%C3%B3jkowy_system_liczbowy" title="Dwójkowy system liczbowy – Polnisch" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Dwójkowy system liczbowy" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="Polnisch" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_numera%C3%A7%C3%A3o_bin%C3%A1rio" title="Sistema de numeração binário – Portugiesisch" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Sistema de numeração binário" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="Portugiesisch" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Sistem_binar" title="Sistem binar – Rumänisch" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Sistem binar" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="Rumänisch" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B2%D0%BE%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D1%81%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F" title="Двоичная система счисления – Russisch" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Двоичная система счисления" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="Russisch" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sd mw-list-item"><a href="https://sd.wikipedia.org/wiki/%D8%A7%D9%86%DA%AF%D9%86_%D8%AC%D9%88_%DA%8F%D9%88%D9%86%D8%A7%D8%A6%D9%8A_%D8%B3%D8%B1%D8%B4%D8%AA%D9%88" title="انگن جو ڏونائي سرشتو – Sindhi" lang="sd" hreflang="sd" data-title="انگن جو ڏونائي سرشتو" data-language-autonym="سنڌي" data-language-local-name="Sindhi" class="interlanguage-link-target"><span>سنڌي</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Binarni_sistem" title="Binarni sistem – Serbokroatisch" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Binarni sistem" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="Serbokroatisch" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-si mw-list-item"><a href="https://si.wikipedia.org/wiki/%E0%B6%AF%E0%B7%8A%E0%B7%80%E0%B7%92%E0%B6%B8%E0%B6%BA_%E0%B7%83%E0%B6%82%E0%B6%9B%E0%B7%8A%E2%80%8D%E0%B6%BA%E0%B7%8F_%E0%B6%B4%E0%B6%AF%E0%B7%8A%E0%B6%B0%E0%B6%AD%E0%B7%92%E0%B6%BA" title="ද්විමය සංඛ්‍යා පද්ධතිය – Singhalesisch" lang="si" hreflang="si" data-title="ද්විමය සංඛ්‍යා පද්ධතිය" data-language-autonym="සිංහල" data-language-local-name="Singhalesisch" class="interlanguage-link-target"><span>සිංහල</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Binary_number" title="Binary number – einfaches Englisch" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Binary number" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="einfaches Englisch" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Dvojkov%C3%A1_%C4%8D%C3%ADseln%C3%A1_s%C3%BAstava" title="Dvojková číselná sústava – Slowakisch" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Dvojková číselná sústava" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="Slowakisch" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-skr mw-list-item"><a href="https://skr.wikipedia.org/wiki/%D8%A8%D8%A7%D8%A6%D9%86%D8%B1%DB%8C_%D9%86%D9%85%D8%A8%D8%B1_%D8%B3%D8%B3%D9%B9%D9%85" title="بائنری نمبر سسٹم – Saraiki" lang="skr" hreflang="skr" data-title="بائنری نمبر سسٹم" data-language-autonym="سرائیکی" data-language-local-name="Saraiki" class="interlanguage-link-target"><span>سرائیکی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Dvoji%C5%A1ki_%C5%A1tevilski_sistem" title="Dvojiški številski sistem – Slowenisch" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Dvojiški številski sistem" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="Slowenisch" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sn mw-list-item"><a href="https://sn.wikipedia.org/wiki/Muravanembiri" title="Muravanembiri – Shona" lang="sn" hreflang="sn" data-title="Muravanembiri" data-language-autonym="ChiShona" data-language-local-name="Shona" 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