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class="cite-bracket">]</span></a></sup>）とは、<a href="/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%9A%84%E6%A7%8B%E9%80%A0" title="数学的構造">数学的構造</a>間の構造を保つような<a href="/wiki/%E5%8D%98%E5%B0%84" title="単射">単射</a>のことである。 </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="トポロジーと幾何学"><span id=".E3.83.88.E3.83.9D.E3.83.AD.E3.82.B8.E3.83.BC.E3.81.A8.E5.B9.BE.E4.BD.95.E5.AD.A6"></span>トポロジーと幾何学</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%9F%8B%E3%82%81%E8%BE%BC%E3%81%BF_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=1" title="節を編集: トポロジーと幾何学"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="位相空間論"><span id=".E4.BD.8D.E7.9B.B8.E7.A9.BA.E9.96.93.E8.AB.96"></span>位相空間論</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%9F%8B%E3%82%81%E8%BE%BC%E3%81%BF_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=2" title="節を編集: 位相空間論"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93%E8%AB%96" title="位相空間論">位相空間論</a>において、埋め込みとは、像の上への<a href="/wiki/%E5%90%8C%E7%9B%B8%E5%86%99%E5%83%8F" class="mw-redirect" title="同相写像">同相写像</a>のことである<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。つまり、<a href="/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93" title="位相空間">位相空間</a> <i>X</i> と <i>Y</i> の間の<a href="/wiki/%E5%8D%98%E5%B0%84" title="単射">単射</a><a href="/wiki/%E9%80%A3%E7%B6%9A%E5%86%99%E5%83%8F" title="連続写像">連続写像</a> <i>f</i>: <i>X</i> → <i>Y</i> であって、（<i>f</i>(<i>X</i>) には <i>Y</i> の<a href="/wiki/%E7%9B%B8%E5%AF%BE%E4%BD%8D%E7%9B%B8" title="相対位相">相対位相</a>を入れて）<i>f</i> が <i>X</i> と <i>f</i>(<i>X</i>) の間の同相写像であるようなもののことである。 </p><p>与えられた空間 <i>X</i> に対し、埋め込み <i>X</i> → <i>Y</i> の存在は <i>X</i> の<a href="/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%9A%84%E6%80%A7%E8%B3%AA" title="位相的性質">位相的性質</a>である。これによって2つの位相空間を、一方がある空間に埋め込めて他方はできないならば、区別することができる。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="微分トポロジー"><span id=".E5.BE.AE.E5.88.86.E3.83.88.E3.83.9D.E3.83.AD.E3.82.B8.E3.83.BC"></span>微分トポロジー</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%9F%8B%E3%82%81%E8%BE%BC%E3%81%BF_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=3" title="節を編集: 微分トポロジー"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E3%83%88%E3%83%9D%E3%83%AD%E3%82%B8%E3%83%BC" class="mw-redirect" title="微分トポロジー">微分トポロジー</a>において： <i>M</i> と <i>N</i> を滑らかな<a href="/wiki/%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93" title="多様体">多様体</a>とし、<i>f</i>: <i>M</i> → <i>N</i> を滑らかな写像とする。このとき <i>f</i> が<a href="/wiki/%E3%81%AF%E3%82%81%E8%BE%BC%E3%81%BF" title="はめ込み">はめ込み</a>とは、<a href="/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86_(%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93)" class="mw-redirect" title="微分 (多様体)">微分</a>がいたるところ単射であることをいう。<b>埋め込み</b> (embedding)、あるいは<b>滑らかな埋め込み</b> (smooth embedding) は、上に述べた位相的な意味で埋め込みであるような（すなわち像の上への<a href="/wiki/%E5%90%8C%E7%9B%B8%E5%86%99%E5%83%8F" class="mw-redirect" title="同相写像">同相写像</a>であるような）単射はめ込みと定義される<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p><p>言い換えると、埋め込みは像への<a href="/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E5%90%8C%E7%9B%B8" class="mw-redirect" title="微分同相">微分同相</a>であり、とくに埋め込みの像は<a href="/wiki/%E9%83%A8%E5%88%86%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93" title="部分多様体">部分多様体</a>でなければならない。はめ込みは局所的な埋め込みである（すなわち任意の点 <i>x</i> ∈ <i>M</i> に対し、近傍 <i>x</i> ∈ <i>U</i> ⊂ <i>M</i> が存在して、<i>f</i>: <i>U</i> → <i>N</i> は埋め込みである）。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="リーマン幾何学"><span id=".E3.83.AA.E3.83.BC.E3.83.9E.E3.83.B3.E5.B9.BE.E4.BD.95.E5.AD.A6"></span>リーマン幾何学</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%9F%8B%E3%82%81%E8%BE%BC%E3%81%BF_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=4" title="節を編集: リーマン幾何学"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6" title="リーマン幾何学">リーマン幾何学</a>において： (<i>M</i>, <i>g</i>) と (<i>N</i>, <i>h</i>) を<a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93" title="リーマン多様体">リーマン多様体</a>とする。<b>等長埋め込み</b> (isometric embedding) とは、滑らかな埋め込み <i>f</i>: <i>M</i> → <i>N</i> であって<a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E8%A8%88%E9%87%8F" class="mw-redirect" title="リーマン計量">計量</a>を保つもの、つまり <i>g</i> は <i>h</i> の <i>f</i> による<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%BC%95%E3%81%8D%E6%88%BB%E3%81%97_(%E5%BE%AE%E5%88%86%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6)&action=edit&redlink=1" class="new" title="「引き戻し (微分幾何学)」 (存在しないページ)">引き戻し</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/pullback_(differential_geometry)" class="extiw" title="en:pullback (differential geometry)">英語版</a>）</span></span>に等しい、すなわち <i>g</i> = <i>f</i>*<i>h</i> であるようなもののことである。明示的には、任意の2つの接ベクトル </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v,w\in T_{x}(M)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>v</mi> <mo>,</mo> <mi>w</mi> <mo>∈</mo> <msub> <mi>T</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>M</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v,w\in T_{x}(M)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8dfbcadf8a81dcf7c164a59d3b66d68fabdb2a8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.448ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle v,w\in T_{x}(M)}"></span></dd></dl> <p>に対し、 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g(v,w)=h(df(v),df(w))\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>v</mi> <mo>,</mo> <mi>w</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>d</mi> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>d</mi> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>w</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g(v,w)=h(df(v),df(w))\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc8242e91551641691a8f574e891de6b9712bd9c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.818ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle g(v,w)=h(df(v),df(w))\,}"></span></dd></dl> <p>が成り立つ。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="代数学"><span id=".E4.BB.A3.E6.95.B0.E5.AD.A6"></span>代数学</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%9F%8B%E3%82%81%E8%BE%BC%E3%81%BF_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=5" title="節を編集: 代数学"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>一般に、代数的圏 <i>C</i> に対して、2つの <i>C</i>-代数構造 <i>X</i> と <i>Y</i> の間の埋め込みとは、単射 <i>C</i>-射 <i>e</i>: <i>X</i> → <i>Y</i> である。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="体論"><span id=".E4.BD.93.E8.AB.96"></span>体論</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%9F%8B%E3%82%81%E8%BE%BC%E3%81%BF_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=6" title="節を編集: 体論"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>（可換）<a href="/wiki/%E4%BD%93%E8%AB%96" title="体論">体論</a>において、<a href="/wiki/%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E4%BD%93" title="可換体">体</a> <i>E</i> の体 <i>F</i> への<b>埋め込み</b> (embedding) とは、<a href="/wiki/%E7%92%B0%E6%BA%96%E5%90%8C%E5%9E%8B" title="環準同型">環準同型</a> σ: <i>E</i> → <i>F</i> のことである。 </p><p>σ の<a href="/wiki/%E6%A0%B8_(%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="核 (代数学)">核</a>は <i>E</i> の<a href="/wiki/%E3%82%A4%E3%83%87%E3%82%A2%E3%83%AB" class="mw-redirect mw-disambig" title="イデアル">イデアル</a>であり、これは条件 σ(1) = 1 により、体 <i>E</i> 全体ではありえない。さらに、体のイデアルは零イデアルと体自身全体しかないことはよく知られた体の性質である。したがって核は 0 であるから、体の任意の埋め込みは<a href="/wiki/%E5%8D%98%E5%B0%84" title="単射">単射</a>である。したがって、<i>E</i> は <i>F</i> の部分体 σ(<i>E</i>) に<a href="/wiki/%E5%90%8C%E5%9E%8B" class="mw-redirect" title="同型">同型</a>である。これによって体の任意の準同型に対して<i>埋め込み</i>という呼称が正当化される。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="普遍代数学とモデル理論"><span id=".E6.99.AE.E9.81.8D.E4.BB.A3.E6.95.B0.E5.AD.A6.E3.81.A8.E3.83.A2.E3.83.87.E3.83.AB.E7.90.86.E8.AB.96"></span>普遍代数学とモデル理論</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%9F%8B%E3%82%81%E8%BE%BC%E3%81%BF_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=7" title="節を編集: 普遍代数学とモデル理論"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→「<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E9%83%A8%E5%88%86%E6%A7%8B%E9%80%A0&action=edit&redlink=1" class="new" title="「部分構造」 (存在しないページ)">部分構造</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Substructure_(mathematics)" class="extiw" title="en:Substructure (mathematics)">英語版</a>）</span></span>および<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=Elementary_equivalence&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Elementary equivalence」 (存在しないページ)">Elementary equivalence</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Elementary_equivalence" class="extiw" title="en:Elementary equivalence">英語版</a>）</span></span>」も参照</div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="順序理論と領域理論"><span id=".E9.A0.86.E5.BA.8F.E7.90.86.E8.AB.96.E3.81.A8.E9.A0.98.E5.9F.9F.E7.90.86.E8.AB.96"></span>順序理論と領域理論</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%9F%8B%E3%82%81%E8%BE%BC%E3%81%BF_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=8" title="節を編集: 順序理論と領域理論"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E9%A0%86%E5%BA%8F%E7%90%86%E8%AB%96&action=edit&redlink=1" class="new" title="「順序理論」 (存在しないページ)">順序理論</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Order_theory" class="extiw" title="en:Order theory">英語版</a>）</span></span>において、<a href="/wiki/%E5%8D%8A%E9%A0%86%E5%BA%8F" class="mw-redirect" title="半順序">半順序</a>の埋め込みは <i>X</i> から <i>Y</i> への写像 <i>F</i> であって </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall x_{1},x_{2}\in X:x_{1}\leq x_{2}\Leftrightarrow F(x_{1})\leq F(x_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> <mo>:</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>≤</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">⇔</mo> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≤</mo> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall x_{1},x_{2}\in X:x_{1}\leq x_{2}\Leftrightarrow F(x_{1})\leq F(x_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af1ce3c2657acfee6ffec89e753c242d8af0c5a5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:40.299ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall x_{1},x_{2}\in X:x_{1}\leq x_{2}\Leftrightarrow F(x_{1})\leq F(x_{2})}"></span></dd></dl> <p>を満たすもののことである。 </p><p><a href="/wiki/%E9%A0%98%E5%9F%9F%E7%90%86%E8%AB%96" title="領域理論">領域理論</a>においては、さらに次のことが要求される： </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall y\in Y:\{x:F(x)\leq y\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>y</mi> <mo>∈</mo> <mi>Y</mi> <mo>:</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>x</mi> <mo>:</mo> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≤</mo> <mi>y</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall y\in Y:\{x:F(x)\leq y\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a08a7af37e0e2acb66febe2b8afb576cbb4faec" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.725ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall y\in Y:\{x:F(x)\leq y\}}"></span> は<a href="/wiki/%E6%9C%89%E5%90%91%E9%9B%86%E5%90%88" title="有向集合">有向</a>である。</dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="距離空間"><span id=".E8.B7.9D.E9.9B.A2.E7.A9.BA.E9.96.93"></span>距離空間</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%9F%8B%E3%82%81%E8%BE%BC%E3%81%BF_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=9" title="節を編集: 距離空間"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/%E8%B7%9D%E9%9B%A2%E7%A9%BA%E9%96%93" title="距離空間">距離空間</a>の間の写像 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi :X\to Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ϕ</mi> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi :X\to Y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b98600ef34bb9c70ab402e2f46de411a750ca3ab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.69ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi :X\to Y}"></span> が（distortion <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C>0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>C</mi> <mo>></mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C>0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c84d4126c6df243734f9355927c026df6b0d3859" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.027ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C>0}"></span> の）<i>埋め込み</i>とは、 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Ld_{X}(x,y)\leq d_{Y}(\phi (x),\phi (y))\leq CLd_{X}(x,y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>L</mi> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≤</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ϕ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>ϕ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≤</mo> <mi>C</mi> <mi>L</mi> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Ld_{X}(x,y)\leq d_{Y}(\phi (x),\phi (y))\leq CLd_{X}(x,y)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eae7e7d0455530cc0e2a05dcb81842d145ddc3aa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:41.881ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle Ld_{X}(x,y)\leq d_{Y}(\phi (x),\phi (y))\leq CLd_{X}(x,y)}"></span></dd></dl> <p>がある定数 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L>0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>L</mi> <mo>></mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L>0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78d06bfbe00ff463870f868c958b37cbe46ea3a0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.844ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L>0}"></span> に対して成り立つことをいう。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="ノルム空間"><span id=".E3.83.8E.E3.83.AB.E3.83.A0.E7.A9.BA.E9.96.93"></span>ノルム空間</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%9F%8B%E3%82%81%E8%BE%BC%E3%81%BF_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=10" title="節を編集: ノルム空間"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>重要な特別な場合は<a href="/wiki/%E3%83%8E%E3%83%AB%E3%83%A0%E7%A9%BA%E9%96%93" class="mw-redirect" title="ノルム空間">ノルム空間</a>の場合である。この場合線型埋め込みを考えるのが自然である。 </p><p>有限次元<a href="/wiki/%E3%83%8E%E3%83%AB%E3%83%A0%E7%A9%BA%E9%96%93" class="mw-redirect" title="ノルム空間">ノルム空間</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (X,\|\cdot \|)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mo>⋅</mo> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (X,\|\cdot \|)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/258512fa727a69eec5255c3049ca4f999abd74ab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.827ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (X,\|\cdot \|)}"></span> について問うことのできる基本的な問題の1つは、<i><a href="/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E7%A9%BA%E9%96%93" title="ヒルベルト空間">ヒルベルト空間</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ell _{2}^{k}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi>ℓ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ell _{2}^{k}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85d29620fc91374946bd0b2e171367e6cb6059b6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.058ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \ell _{2}^{k}}"></span> を定数 distortion で </i>X<i> に線型に埋め込めるような最大の次元 </i>k<i> は何か？</i>である。 </p><p>答えは<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%89%E3%83%B4%E3%82%A9%E3%83%AC%E3%83%84%E3%82%AD%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86&action=edit&redlink=1" class="new" title="「ドヴォレツキーの定理」 (存在しないページ)">ドヴォレツキーの定理</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Dvoretzky%27s_theorem" class="extiw" title="en:Dvoretzky's theorem">英語版</a>）</span></span>によって与えられる。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="圏論"><span id=".E5.9C.8F.E8.AB.96"></span>圏論</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%9F%8B%E3%82%81%E8%BE%BC%E3%81%BF_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=11" title="節を編集: 圏論"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/%E5%9C%8F%E8%AB%96" title="圏論">圏論</a>において、すべての圏において適用可能な埋め込みの満足のいきかつ一般的に受け入れられている定義は存在しない。すべての同型射と埋め込みのすべての合成は埋め込みであることと、すべての埋め込みはモノ射であることは期待されるだろう。他の典型的な要求は：任意の<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=Extremal_monomorphism&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Extremal monomorphism」 (存在しないページ)">extremal monomorphism</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/monomorphism#Related_concepts" class="extiw" title="en:monomorphism">英語版</a>）</span></span>は埋め込みであり、埋め込みは<a href="/wiki/%E5%BC%95%E3%81%8D%E6%88%BB%E3%81%97_(%E5%9C%8F%E8%AB%96)" title="引き戻し (圏論)">引き戻し</a>のもとで安定である。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="関連項目"><span id=".E9.96.A2.E9.80.A3.E9.A0.85.E7.9B.AE"></span>関連項目</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%9F%8B%E3%82%81%E8%BE%BC%E3%81%BF_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=12" title="節を編集: 関連項目"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E9%96%89%E6%B2%88%E3%82%81%E8%BE%BC%E3%81%BF&action=edit&redlink=1" class="new" title="「閉沈め込み」 (存在しないページ)">閉沈め込み</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Closed_immersion" class="extiw" title="en:Closed immersion">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E8%A2%AB%E8%A6%86_(%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&redlink=1" class="new" title="「被覆 (代数学)」 (存在しないページ)">被覆</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Cover_(algebra)" class="extiw" title="en:Cover (algebra)">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=Dimension_reduction&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Dimension reduction」 (存在しないページ)">Dimension reduction</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Dimension_reduction" class="extiw" title="en:Dimension reduction">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E6%B2%88%E3%82%81%E8%BE%BC%E3%81%BF" title="沈め込み">沈め込み</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%83%87%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%88%E3%83%A9%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%81%AE%E8%A3%9C%E9%A1%8C&action=edit&redlink=1" class="new" title="「ジョンソン・リンデンシュトラウスの補題」 (存在しないページ)">ジョンソン・リンデンシュトラウスの補題</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Johnson%E2%80%93Lindenstrauss_lemma" class="extiw" title="en:Johnson–Lindenstrauss lemma">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E9%83%A8%E5%88%86%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93" title="部分多様体">部分多様体</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%9B%B8%E5%AF%BE%E4%BD%8D%E7%9B%B8" title="相対位相">部分空間</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="脚注"><span id=".E8.84.9A.E6.B3.A8"></span>脚注</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%9F%8B%E3%82%81%E8%BE%BC%E3%81%BF_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=13" title="節を編集: 脚注"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="reflist" style="list-style-type: decimal;"> <ol class="references"> <li id="cite_note-1"><b><a href="#cite_ref-1">^</a></b> <span class="reference-text">It is suggested by <a href="#CITEREFSpivak1999">Spivak 1999</a>, p. 49, that the word "embedding" is used instead of "imbedding" by "the English", i.e. the British.</span> </li> <li id="cite_note-2"><b><a href="#cite_ref-2">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="#CITEREFHockingYoung1988">Hocking & Young 1988</a>, p. 73. <a href="#CITEREFSharpe1997">Sharpe 1997</a>, p. 16.</span> </li> <li id="cite_note-3"><b><a href="#cite_ref-3">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="#CITEREFBishopCrittenden1964">Bishop & Crittenden 1964</a>, p. 21. <a href="#CITEREFBishopGoldberg1968">Bishop & Goldberg 1968</a>, p. 40. <a href="#CITEREFCrampinPirani1994">Crampin & Pirani 1994</a>, p. 243. <a href="#CITEREFdo_Carmo1994">do Carmo 1994</a>, p. 11. <a href="#CITEREFFlanders1989">Flanders 1989</a>, p. 53. <a href="#CITEREFGallotHulinLafontaine2004">Gallot, Hulin & Lafontaine 2004</a>, p. 12. <a href="#CITEREFKobayashiNomizu1963">Kobayashi & Nomizu 1963</a>, p. 9. <a href="#CITEREFKosinski2007">Kosinski 2007</a>, p. 27. <a href="#CITEREFLang1999">Lang 1999</a>, p. 27. <a href="#CITEREFLee1997">Lee 1997</a>, p. 15. <a href="#CITEREFSpivak1999">Spivak 1999</a>, p. 49. <a href="#CITEREFWarner1983">Warner 1983</a>, p. 22.</span> </li> </ol></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="参考文献"><span id=".E5.8F.82.E8.80.83.E6.96.87.E7.8C.AE"></span>参考文献</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%9F%8B%E3%82%81%E8%BE%BC%E3%81%BF_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=14" title="節を編集: 参考文献"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREFBishopCrittenden1964"><a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%81%E3%83%A3%E3%83%BC%E3%83%89%E3%83%BB%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%83%93%E3%82%B7%E3%83%A7%E3%83%83%E3%83%97" title="リチャード・ローレンス・ビショップ">Bishop, Richard Lawrence</a>; Crittenden, Richard J. 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New York: Wiley-Interscience</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Foundations+of+Differential+Geometry%2C+Volume+1&rft.aulast=Kobayashi&rft.aufirst=Shoshichi&rft.au=Kobayashi%2C%26%2332%3BShoshichi&rft.au=Nomizu%2C%26%2332%3BKatsumi&rft.date=1963&rft.place=New+York&rft.pub=Wiley-Interscience&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E5%9F%8B%E3%82%81%E8%BE%BC%E3%81%BF_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREFLee1997">Lee, John (1997). <i>Riemannian manifolds</i>. Springer Verlag. <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-0-387-98322-6" title="特別:文献資料/978-0-387-98322-6">978-0-387-98322-6</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Riemannian+manifolds&rft.aulast=Lee&rft.aufirst=John&rft.au=Lee%2C%26%2332%3BJohn&rft.date=1997&rft.pub=Springer+Verlag&rft.isbn=978-0-387-98322-6&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E5%9F%8B%E3%82%81%E8%BE%BC%E3%81%BF_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREFSharpe1997">Sharpe, R.W. (1997). <i>Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program</i>. Springer-Verlag, New York. <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/0-387-94732-9" title="特別:文献資料/0-387-94732-9">0-387-94732-9</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Differential+Geometry%3A+Cartan%27s+Generalization+of+Klein%27s+Erlangen+Program&rft.aulast=Sharpe&rft.aufirst=R.W.&rft.au=Sharpe%2C%26%2332%3BR.W.&rft.date=1997&rft.pub=Springer-Verlag%2C+New+York&rft.isbn=0-387-94732-9&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E5%9F%8B%E3%82%81%E8%BE%BC%E3%81%BF_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)"><span style="display: none;"> </span></span>.</li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREFSpivak1999"><a href="/w/index.php?title=Michael_Spivak&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Michael Spivak」 (存在しないページ)">Spivak, Michael</a> (1999) [1970]. <i>A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume 1)</i>. 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Springer-Verlag, New York. <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/0-387-90894-3" title="特別:文献資料/0-387-90894-3">0-387-90894-3</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Foundations+of+Differentiable+Manifolds+and+Lie+Groups&rft.aulast=Warner&rft.aufirst=F.W.&rft.au=Warner%2C%26%2332%3BF.W.&rft.date=1983&rft.pub=Springer-Verlag%2C+New+York&rft.isbn=0-387-90894-3&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E5%9F%8B%E3%82%81%E8%BE%BC%E3%81%BF_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)"><span style="display: none;"> </span></span>.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="外部リンク"><span id=".E5.A4.96.E9.83.A8.E3.83.AA.E3.83.B3.E3.82.AF"></span>外部リンク</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%9F%8B%E3%82%81%E8%BE%BC%E3%81%BF_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=15" title="節を編集: 外部リンク"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><cite style="font-style:normal" class="citation book">Adámek, Jiří; Horst Herrlich; George Strecker (2006). <a rel="nofollow" class="external text" href="http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/"><i>Abstract and Concrete Categories (The Joy of Cats)</i></a><span style="display:none;">. <a rel="nofollow" class="external free" href="http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/">http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/</a></span></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Abstract+and+Concrete+Categories+%28The+Joy+of+Cats%29&rft.aulast=Ad%C3%A1mek&rft.aufirst=Ji%C5%99%C3%AD&rft.au=Ad%C3%A1mek%2C%26%2332%3BJi%C5%99%C3%AD&rft.au=Horst+Herrlich&rft.au=George+Strecker&rft.date=2006&rft_id=http%3A%2F%2Fkatmat.math.uni-bremen.de%2Facc%2F&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E5%9F%8B%E3%82%81%E8%BE%BC%E3%81%BF_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.map.mpim-bonn.mpg.de/Embedding">Embedding of manifolds</a> on the Manifold Atlas</li></ul> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r96783592">.mw-parser-output .asbox{position:relative;overflow:hidden}.mw-parser-output .asbox table{background:transparent}.mw-parser-output .asbox p{margin:0}.mw-parser-output .asbox p+p{margin-top:0.25em}.mw-parser-output .asbox{font-size:90%}.mw-parser-output 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title="Wikipedia:スタブ">書きかけの項目</a></b>です。<a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=%E5%9F%8B%E3%82%81%E8%BE%BC%E3%81%BF_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit">この項目を加筆・訂正</a>などしてくださる<a href="/wiki/Category:%E6%95%B0%E5%AD%A6%E9%96%A2%E9%80%A3%E3%81%AE%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%96%E9%A0%85%E7%9B%AE" title="Category:数学関連のスタブ項目">協力者を求めています</a>（<a href="/wiki/%E3%83%97%E3%83%AD%E3%82%B8%E3%82%A7%E3%82%AF%E3%83%88:%E6%95%B0%E5%AD%A6" title="プロジェクト:数学">プロジェクト:数学</a>／<a href="/wiki/Portal:%E6%95%B0%E5%AD%A6" title="Portal:数学">Portal:数学</a>）。</p></td></tr></tbody></table><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r99966302">.mw-parser-output .hlist ul,.mw-parser-output .hlist ol{padding-left:0}.mw-parser-output .hlist li,.mw-parser-output .hlist dd,.mw-parser-output .hlist dt{margin-right:0;display:inline-block;white-space:nowrap}.mw-parser-output .hlist dt:after,.mw-parser-output .hlist dd:after,.mw-parser-output .hlist li:after{white-space:normal}.mw-parser-output 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