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Papyrus Rhind – Wikipedia
<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs" lang="de" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Papyrus Rhind – Wikipedia</title> <script>(function(){var className="client-js";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )dewikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t.",".\t,"],"wgDigitTransformTable":["",""],"wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","Januar","Februar","März","April","Mai","Juni","Juli","August","September","Oktober","November","Dezember"],"wgRequestId":"3edb7d94-679e-4ec9-8f4a-ee3675737c4a","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Papyrus_Rhind","wgTitle":"Papyrus 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Rhind</span></h1> <div id="bodyContent" class="vector-body"> <div id="siteSub" class="noprint">aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie</div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="contentSub2"></div> <div id="jump-to-nav"></div> <a class="mw-jump-link" href="#mw-head">Zur Navigation springen</a> <a class="mw-jump-link" href="#searchInput">Zur Suche springen</a> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Rhind_Mathematical_Papyrus.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d9/Rhind_Mathematical_Papyrus.jpg/220px-Rhind_Mathematical_Papyrus.jpg" decoding="async" width="220" height="132" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d9/Rhind_Mathematical_Papyrus.jpg/330px-Rhind_Mathematical_Papyrus.jpg 1.5x, 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href="/wiki/Hieratische_Schrift#Mittelhieratisch_(2100–1550_v._Chr.)" title="Hieratische Schrift">hieratischer</a> Schrift verfassten Manuskript – hier beim 41. Problem (Vergrößerung der Abbildung per Klick)</figcaption></figure> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Probl%C3%A8me-R48-Papyrus-Rhind-texte.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e6/Probl%C3%A8me-R48-Papyrus-Rhind-texte.jpg/220px-Probl%C3%A8me-R48-Papyrus-Rhind-texte.jpg" decoding="async" width="220" height="183" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e6/Probl%C3%A8me-R48-Papyrus-Rhind-texte.jpg/330px-Probl%C3%A8me-R48-Papyrus-Rhind-texte.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e6/Probl%C3%A8me-R48-Papyrus-Rhind-texte.jpg/440px-Probl%C3%A8me-R48-Papyrus-Rhind-texte.jpg 2x" data-file-width="1292" data-file-height="1072" /></a><figcaption>Einige Zeilen unter einer Skizze</figcaption></figure> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:R48-transcription.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f0/R48-transcription.jpg/220px-R48-transcription.jpg" decoding="async" width="220" height="106" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f0/R48-transcription.jpg/330px-R48-transcription.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f0/R48-transcription.jpg/440px-R48-transcription.jpg 2x" data-file-width="1436" data-file-height="695" /></a><figcaption>Transkription dieser Zeilen unter der Skizze zum 48. Problem</figcaption></figure> <p>Der <b>Papyrus Rhind</b> ist eine <a href="/wiki/Altes_%C3%84gypten" title="Altes Ägypten">altägyptische</a>, auf <a href="/wiki/Papyrus" title="Papyrus">Papyrus</a> verfasste Abhandlung zu verschiedenen mathematischen Themen, die wir heute als <a href="/wiki/Arithmetik" title="Arithmetik">Arithmetik</a>, <a href="/wiki/Algebra" title="Algebra">Algebra</a>, <a href="/wiki/Geometrie" title="Geometrie">Geometrie</a>, <a href="/wiki/Trigonometrie" title="Trigonometrie">Trigonometrie</a> und <a href="/wiki/Bruchrechnung" title="Bruchrechnung">Bruchrechnung</a> bezeichnen. Er gilt neben dem etwas älteren, aber weniger umfangreichen <a href="/wiki/Papyrus_Moskau_4676" title="Papyrus Moskau 4676">Papyrus Moskau 4676</a> als eine der wichtigsten Quellen für das heutige Wissen über die <a href="/wiki/Mathematik_im_Alten_%C3%84gypten" title="Mathematik im Alten Ägypten">Mathematik im Alten Ägypten</a> und wird auf etwa 1550 v. Chr.<sup id="cite_ref-british_1-0" class="reference"><a href="#cite_note-british-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-imhausen_2-0" class="reference"><a href="#cite_note-imhausen-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> datiert. </p> <div id="toc" class="toc" role="navigation" aria-labelledby="mw-toc-heading"><input type="checkbox" role="button" id="toctogglecheckbox" class="toctogglecheckbox" style="display:none" /><div class="toctitle" lang="de" dir="ltr"><h2 id="mw-toc-heading">Inhaltsverzeichnis</h2><span class="toctogglespan"><label class="toctogglelabel" for="toctogglecheckbox"></label></span></div> <ul> <li class="toclevel-1 tocsection-1"><a href="#Entdeckung"><span class="tocnumber">1</span> <span class="toctext">Entdeckung</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-2"><a href="#Details"><span class="tocnumber">2</span> <span class="toctext">Details</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-3"><a href="#Näherungswert_für_den_Flächeninhalt_eines_Kreises"><span class="tocnumber">3</span> <span class="toctext">Näherungswert für den Flächeninhalt eines Kreises</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-4"><a href="#Aufbewahrungsort"><span class="tocnumber">4</span> <span class="toctext">Aufbewahrungsort</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-5"><a href="#Siehe_auch"><span class="tocnumber">5</span> <span class="toctext">Siehe auch</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-6"><a href="#Ausgaben"><span class="tocnumber">6</span> <span class="toctext">Ausgaben</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-7"><a href="#Literatur"><span class="tocnumber">7</span> <span class="toctext">Literatur</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-8"><a href="#Weblinks"><span class="tocnumber">8</span> <span class="toctext">Weblinks</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-9"><a href="#Einzelnachweise"><span class="tocnumber">9</span> <span class="toctext">Einzelnachweise</span></a></li> </ul> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Entdeckung">Entdeckung</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Papyrus_Rhind&veaction=edit&section=1" title="Abschnitt bearbeiten: Entdeckung" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Papyrus_Rhind&action=edit&section=1" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Entdeckung"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Der Papyrus Rhind ist benannt nach dem schottischen Anwalt und Antiquar <a href="/wiki/Alexander_Henry_Rhind" title="Alexander Henry Rhind">Alexander Henry Rhind</a>, der ihn 1858 in <a href="/wiki/Luxor" title="Luxor">Luxor</a>, <a href="/wiki/Ober%C3%A4gypten" title="Oberägypten">Oberägypten</a> erwarb. Die Schriftstücke wurden wohl wenig zuvor bei illegalen Grabungen auf dem gegenüber von Luxor westlich des Nils liegenden Gebiet <a href="/wiki/Theben_(%C3%84gypten)" title="Theben (Ägypten)">Thebens</a> in oder nahe dem <a href="/wiki/Ramesseum" title="Ramesseum">Ramesseum</a> gefunden, genauere Umstände sind nicht bekannt.<sup id="cite_ref-british_1-1" class="reference"><a href="#cite_note-british-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Details">Details</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Papyrus_Rhind&veaction=edit&section=2" title="Abschnitt bearbeiten: Details" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Papyrus_Rhind&action=edit&section=2" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Details"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Der Papyrus wurde vermutlich im 16. Jahrhundert v. Chr. noch während der <a href="/wiki/Zweite_Zwischenzeit" title="Zweite Zwischenzeit">Zweiten Zwischenzeit</a> angefertigt – einleitend wird das 33. Regierungsjahr des <a href="/wiki/Apopi_I." title="Apopi I.">Apopi</a>, eines Königs der 15. Dynastie der <a href="/wiki/Hyksos" title="Hyksos">Hyksos</a>, als Datum angegeben<sup id="cite_ref-british_1-2" class="reference"><a href="#cite_note-british-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> – und wird in wesentlichen Teilen als die Kopie eines über zwei Jahrhunderte älteren Papyrus angesehen, welcher wahrscheinlich aus der Regierungszeit des <a href="/wiki/Amenemhet_III." title="Amenemhet III.">Amenemhet III.</a> der 12. Dynastie im <a href="/wiki/Mittleres_Reich" title="Mittleres Reich">Mittleren Reich</a> stammte. Der Kopist – ein Schreiber namens <i>Ahmose</i>, nach einer früheren Transkription auch <i>Ahmes</i> – gebrauchte die <a href="/wiki/Hieratische_Schrift" title="Hieratische Schrift">hieratische Schrift</a> und hob einige Werte und aufgeführte Verfahren mit roter anstelle von schwarzer Tinte hervor, so beispielsweise Sätze von Teilern. </p><p>Heute liegt der Papyrus nurmehr in Form von Fragmenten einer über 5 Meter langen und etwa 32 cm breiten Schriftrolle vor, die beidseitig beschrieben ist. Im <a href="/wiki/British_Museum" title="British Museum">British Museum</a> werden zwei Stücke von 295,5 cm und 199,5 cm Länge verwahrt (1865 inventarisiert mit Nr. 10057 bzw. 10058); die Lücke zwischen beiden wird auf annähernd 18 cm geschätzt. Der Papyrus gibt neben einigen Tabellen eine Reihe verschiedener mathematischer Probleme mit beispielhaften Lösungen wieder; insgesamt sind es je nach Zählweise 84, 87 oder 91 Aufgaben. Der Text konnte erst am Ende des 19. Jahrhunderts n. Chr. entziffert und übersetzt werden, seine mathematischen Aussagen werden seit Anfang des 20. Jahrhunderts entschlüsselt und erschlossen.<sup id="cite_ref-imhausen_2-1" class="reference"><a href="#cite_note-imhausen-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p><p>Inhaltlich lässt sich das Manuskript in drei Abteilungen gliedern. Nach dem Titel findet sich im ersten Teil zu Beginn eine längere Tabelle, die für alle ungeraden Zahlen <i>n</i> von 3 bis 101 den Bruch <sup>2</sup>/<sub><i>n</i></sub> als eine Summe von <a href="/wiki/Stammbruch" title="Stammbruch">Stammbrüchen</a> darstellt, gefolgt von einer kurzen Tabelle für <i>n</i> von 2 bis 9 des Bruchs <sup><i>n</i></sup>/<sub>10</sub>. Anschließend werden 40 arithmetische und algebraische Probleme behandelt. Der zweite Teil stellt 20 geometrische Probleme vor und behandelt Rauminhalte und Flächeninhalte unterschiedlicher Figuren sowie das Verhältnis von Höhe zu Seite des Körpers einer <a href="/wiki/Pyramide_(Geometrie)" title="Pyramide (Geometrie)">Pyramide</a> als deren Neigung. Zwei Dutzend weitere Probleme bilden den dritten Teil, neben Berechnungen bezogen auf die Herstellung von Brot und Bier wie auch auf die Fütterung von Geflügel und Rindern wird hier unter anderem eine <a href="/wiki/R%C3%A4tsel#Geschichte" title="Rätsel">Rätselaufgabe</a> zu Katzen und Mäusen wiedergegeben. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Näherungswert_für_den_Flächeninhalt_eines_Kreises"><span id="N.C3.A4herungswert_f.C3.BCr_den_Fl.C3.A4cheninhalt_eines_Kreises"></span>Näherungswert für den Flächeninhalt eines Kreises</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Papyrus_Rhind&veaction=edit&section=3" title="Abschnitt bearbeiten: Näherungswert für den Flächeninhalt eines Kreises" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Papyrus_Rhind&action=edit&section=3" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Näherungswert für den Flächeninhalt eines Kreises"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:01_Ann%C3%A4herung_an_Kreisfl%C3%A4che-4.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/df/01_Ann%C3%A4herung_an_Kreisfl%C3%A4che-4.svg/230px-01_Ann%C3%A4herung_an_Kreisfl%C3%A4che-4.svg.png" decoding="async" width="230" height="230" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/df/01_Ann%C3%A4herung_an_Kreisfl%C3%A4che-4.svg/345px-01_Ann%C3%A4herung_an_Kreisfl%C3%A4che-4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/df/01_Ann%C3%A4herung_an_Kreisfl%C3%A4che-4.svg/460px-01_Ann%C3%A4herung_an_Kreisfl%C3%A4che-4.svg.png 2x" data-file-width="380" data-file-height="380" /></a><figcaption>Näherungsverfahren des Ahmes im Papyrus Rhind:<br />Ein Kreis in einem Quadrat, das durch ein Gitter zerlegt wird. Der Kreisdurchmesser ist so lang wie eine Seite des umfassenden Quadrates – beträgt er 9, hat ein kleines Quadrat die Seitenlänge 3.</figcaption></figure> <p>Flächenberechnungen eines Kreises finden sich im zweiten Teil des Papyrus Rhind. In der 48. Aufgabenstellung beschreibt Ahmes, wie er die Fläche eines Kreises berechnet, der einem Quadrat <a href="/wiki/Inkreis" title="Inkreis">eingeschrieben</a> ist. Aus heutiger Sicht lässt sich dies als Angabe einer Näherung der <a href="/wiki/Kreiszahl" title="Kreiszahl">Kreiszahl</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>π<!-- π --></mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.332ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \pi }"></span> auffassen. Auf Grundlage der im Papyrus neben einer Skizze angegebenen Rechenvorschrift (siehe vierte und fünfte Abbildung von oben)<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> rekonstruierte <a href="/wiki/Kurt_Vogel_(Mathematikhistoriker)" title="Kurt Vogel (Mathematikhistoriker)">Kurt Vogel</a> 1928 die dahinterstehenden Überlegungen.<sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p><p>Ahmes drittelt zunächst die Seiten des Quadrats und gewinnt damit neun gleiche kleinere Quadrate mit der Seitenlänge von drei Einheiten. Dann schneidet er von den vier Eckzellen jeweils die Hälfte weg und kommt darüber zu der Figur eines unregelmäßigen Achtecks. Dieses Achteck setzt sich aus fünf vollen und vier halben zu der Gesamtfläche von sieben der kleinen Quadrate mit je <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 3^{2}=9}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mn>3</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>9</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3^{2}=9}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ce3bb0717e9aa3fd7c54d6676a7a7fe15e78e66" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.478ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 3^{2}=9}"></span> Flächeneinheiten zusammen und besitzt so den Flächeninhalt von <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 7\cdot 9=63}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>7</mn> <mo>⋅<!-- ⋅ --></mo> <mn>9</mn> <mo>=</mo> <mn>63</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 7\cdot 9=63}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f386f0371f3c104a559566cf5e2f03e113d2a8d6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.427ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 7\cdot 9=63}"></span> Quadrateinheiten. Es ist offensichtlich nur etwas kleiner als der Kreis – für dessen Fläche nimmt Ahmes daher den Inhalt von <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 64=8\cdot 8}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>64</mn> <mo>=</mo> <mn>8</mn> <mo>⋅<!-- ⋅ --></mo> <mn>8</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 64=8\cdot 8}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b08dc1dd2256d4c9417f367e42c249cdc229584" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.427ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 64=8\cdot 8}"></span> Quadrateinheiten an, also etwas größer. </p><p>Somit wird die Fläche eines Kreises mit dem Durchmesser <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 9}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>9</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 9}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32d3d1e1f9dfe0254c628379e69a69711fe4eabd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 9}"></span> gleich der Fläche eines Quadrates (im Bild rot) mit der Seitenlänge <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 8}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>8</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 8}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aaa997e6ad67716cfaa9a02c4df860bf60a95b5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 8}"></span> gesetzt. Daraus ergibt sich näherungsweise für den Inhalt <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{\mathrm {K} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">K</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{\mathrm {K} }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/435ddb9b34af1edcea1c49915b7e5a13e3b53a9d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.254ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{\mathrm {K} }}"></span> der <a href="/wiki/Kreis_(Geometrie)#Kreisberechnung" class="mw-redirect" title="Kreis (Geometrie)">Kreisfläche</a> mit dem Halbmesser <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}"></span> von <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {9}{2}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>9</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {9}{2}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c623b6e1a1aca49031ca0acb139ba02a03efb8a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:1.658ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {9}{2}}}"></span> </p> <dl><dd>über <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{\mathrm {K} }=r^{2}\cdot \pi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">K</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⋅<!-- ⋅ --></mo> <mi>π<!-- π --></mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{\mathrm {K} }=r^{2}\cdot \pi }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af08ef171e5f1648c94bdc1cda5a63af8ff37f00" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.466ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle A_{\mathrm {K} }=r^{2}\cdot \pi }"></span></dd> <dd>also <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left({\frac {9}{2}}\right)^{2}\cdot \pi \approx 8^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>9</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⋅<!-- ⋅ --></mo> <mi>π<!-- π --></mi> <mo>≈<!-- ≈ --></mo> <msup> <mn>8</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left({\frac {9}{2}}\right)^{2}\cdot \pi \approx 8^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8f6780716ebe1058da5102b0fec1ff3d43a6484" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:14.8ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \left({\frac {9}{2}}\right)^{2}\cdot \pi \approx 8^{2}}"></span> und damit annähernd <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi \approx {\frac {8^{2}}{\left({\frac {9}{2}}\right)^{2}}}=\left({\frac {16}{9}}\right)^{2}\approx 3{,}16049}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>π<!-- π --></mi> <mo>≈<!-- ≈ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mn>8</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>9</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>16</mn> <mn>9</mn> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>≈<!-- ≈ --></mo> <mn>3,160</mn> <mn>49</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi \approx {\frac {8^{2}}{\left({\frac {9}{2}}\right)^{2}}}=\left({\frac {16}{9}}\right)^{2}\approx 3{,}16049}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c756b6db2bbbe33dc0563e8186bf94662dfe3aac" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.005ex; width:32.209ex; height:9.009ex;" alt="{\displaystyle \pi \approx {\frac {8^{2}}{\left({\frac {9}{2}}\right)^{2}}}=\left({\frac {16}{9}}\right)^{2}\approx 3{,}16049}"></span>.</dd></dl> <p>Der so ermittelte Wert verfehlt die Zahl <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>π<!-- π --></mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.332ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \pi }"></span> (<a href="/wiki/Kreiszahl" title="Kreiszahl">pi</a>) absolut um etwa 0,01890 und relativ um weniger als ein Prozent (0,602 %). Im altägyptischen Zahlensystem wird dieser Wert nicht dezimal dargestellt, sondern als eine Summe von Stammbrüchen: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left({\frac {16}{9}}\right)^{2}={\frac {256}{81}}=3+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{27}}+{\frac {1}{81}}\approx \pi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>16</mn> <mn>9</mn> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>256</mn> <mn>81</mn> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>3</mn> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>9</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>27</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>81</mn> </mfrac> </mrow> <mo>≈<!-- ≈ --></mo> <mi>π<!-- π --></mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left({\frac {16}{9}}\right)^{2}={\frac {256}{81}}=3+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{27}}+{\frac {1}{81}}\approx \pi }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59507c45a03c30dd9ec9652f6aa364c30d7b0685" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:40.592ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \left({\frac {16}{9}}\right)^{2}={\frac {256}{81}}=3+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{27}}+{\frac {1}{81}}\approx \pi }"></span></dd></dl> <p>Für das im Papyrus Rhind wiedergegebene Verfahren kann die Annäherung an die Kreiszahl <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>π<!-- π --></mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.332ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \pi }"></span> also aus dem Verhältnis der Flächeninhalte eines eingeschriebenen Kreises und seines umschreibenden Quadrates errechnet werden, </p> <dl><dd>da <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{\mathrm {Q} }=r^{2}\cdot 4}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">Q</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⋅<!-- ⋅ --></mo> <mn>4</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{\mathrm {Q} }=r^{2}\cdot 4}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1a58fe1ff7f686e6a0d2c30877f52bd737c2b49" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:11.297ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle A_{\mathrm {Q} }=r^{2}\cdot 4}"></span>, so denn <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {A_{\mathrm {K} }}{A_{\mathrm {Q} }}}={\frac {\pi r^{2}}{(2r)^{2}}}={\frac {\pi }{4}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">K</mi> </mrow> </mrow> </msub> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">Q</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>π<!-- π --></mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mi>r</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>π<!-- π --></mi> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {A_{\mathrm {K} }}{A_{\mathrm {Q} }}}={\frac {\pi r^{2}}{(2r)^{2}}}={\frac {\pi }{4}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/372b8e5326a9bd7e1abe57f07e5405eef7588afb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:18.366ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {A_{\mathrm {K} }}{A_{\mathrm {Q} }}}={\frac {\pi r^{2}}{(2r)^{2}}}={\frac {\pi }{4}}}"></span> und somit <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi =4\cdot {\frac {A_{\mathrm {K} }}{A_{\mathrm {Q} }}}\approx 4\cdot {\frac {64}{81}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>π<!-- π --></mi> <mo>=</mo> <mn>4</mn> <mo>⋅<!-- ⋅ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">K</mi> </mrow> </mrow> </msub> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">Q</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mo>≈<!-- ≈ --></mo> <mn>4</mn> <mo>⋅<!-- ⋅ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>64</mn> <mn>81</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi =4\cdot {\frac {A_{\mathrm {K} }}{A_{\mathrm {Q} }}}\approx 4\cdot {\frac {64}{81}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/023be699afea170d40cecd57ada83af71eb19636" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:20.463ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \pi =4\cdot {\frac {A_{\mathrm {K} }}{A_{\mathrm {Q} }}}\approx 4\cdot {\frac {64}{81}}}"></span></dd></dl> <p>Der einem Quadrat mit 81 Flächeneinheiten eingeschriebene Kreis umfängt tatsächlich etwa 63,617 Flächeneinheiten. In <a href="/wiki/Approximation" title="Approximation">Approximation</a> wird hier durch die von Ahmes aufgeschriebene Methode ein Kreis auf ein Quadrat von <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 9\cdot 9}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>9</mn> <mo>⋅<!-- ⋅ --></mo> <mn>9</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 9\cdot 9}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f24ffb61b332e487a5aa0411f8aaa45d0c475c68" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.004ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 9\cdot 9}"></span> bezogen, über eine achteckige Figur vermittelt und seine Fläche einem Quadrat von <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 8\cdot 8}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>8</mn> <mo>⋅<!-- ⋅ --></mo> <mn>8</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 8\cdot 8}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5715a53c6994514f89ae6fd9e897c698ca7c88c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.004ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 8\cdot 8}"></span> gleichgesetzt – was wohl als früher Versuch einer <a href="/wiki/Quadratur_des_Kreises" title="Quadratur des Kreises">Quadratur des Kreises</a> angesehen werden kann. Die Flächengleichheit eines Quadrats mit einer Kreisfläche wurde demnach angenommen, wenn dessen Seitenlänge <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {8}{9}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>8</mn> <mn>9</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {8}{9}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/138c9173bf601ee0746f7c88a4c35c4c69ae012b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:1.658ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {8}{9}}}"></span> ihres Durchmessers beträgt, also um ein Neuntel geringer ist. </p> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Circle_in_grid_with_square.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/80/Circle_in_grid_with_square.svg/220px-Circle_in_grid_with_square.svg.png" decoding="async" width="220" height="220" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/80/Circle_in_grid_with_square.svg/330px-Circle_in_grid_with_square.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/80/Circle_in_grid_with_square.svg/440px-Circle_in_grid_with_square.svg.png 2x" data-file-width="425" data-file-height="425" /></a><figcaption>Ein Kreis kann in ein orthogonales Gitter so eingezeichnet werden, dass die umfangende Kreislinie acht Gitterpunkte schneidet, die Viertelungspunkte der Seiten eines Quadrats sind, das der Kreisfläche nahezu flächengleich scheint. <br />Im Falle eines 8×8-Quadrats, mit 64 Flächeneinheiten, misst der Kreisdurchmesser ungefähr 9 Längeneinheiten.</figcaption></figure> <p>Doch der Bezug von Konturen einer Figur in einem orthogonalen <a href="/wiki/Gitternetz" title="Gitternetz">Netz</a> von Linien war schon den altägyptischen Steinmetzen geläufig, um einen Entwurf anhand der Verhältnisse von Schnittpunkten auf die zu bearbeitende Steinfläche proportioniert zu übertragen. Vor diesem Hintergrund stellte <a href="/w/index.php?title=Hermann_Engels_(Mathematiker)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Hermann Engels (Mathematiker) (Seite nicht vorhanden)">Hermann Engels</a> 1977 eine andere Vermutung vor, mit der das hier angegebene näherungsweise Verhältnis aufgrund des <a href="/wiki/Planquadrat" class="mw-redirect" title="Planquadrat">Planquadratnetzes</a> zu erklären wäre.<sup id="cite_ref-engels_5-0" class="reference"><a href="#cite_note-engels-5"><span class="cite-bracket">[</span>5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Danach würde man intuitiv einen Kreis C (mit Durchmesser <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e85ff03cbe0c7341af6b982e47e9f90d235c66ab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.216ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle d}"></span>) so einzeichnen, dass sein Mittelpunkt der eines etwa flächengleichen Quadrats F (mit Seitenlänge <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"></span>) aus 4 mal 4 Teilquadraten ist, das in den Viertelungspunkten seiner Seiten von diesem Kreis achtmal geschnitten wird. Bei Übergang zu einer noch feineren Unterteilung von F (in 8 mal 8 einheitliche Teilquadrate) erhält man für den Inhalt des Quadrats F also 64 solcher Flächeneinheiten, während der Kreisinhalt tatsächlich etwa 62,8 Flächeneinheiten beträgt – und einem Quadrat U mit 80 Flächeneinheiten exakt einzuschreiben ist –, denn </p> <dl><dd>das Dreieck Mittelpunkt-Halbierungspunkt-Viertelungspunkt setzt Kreisradius und Quadratseite in die Beziehung <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r^{2}=\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {a}{4}}\right)^{2}=5\,\left({\frac {a}{4}}\right)^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>a</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>a</mi> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>5</mn> <mspace width="thinmathspace" /> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>a</mi> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r^{2}=\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {a}{4}}\right)^{2}=5\,\left({\frac {a}{4}}\right)^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/412285339e079f33b8d31f73e57d849094553028" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:30.377ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle r^{2}=\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {a}{4}}\right)^{2}=5\,\left({\frac {a}{4}}\right)^{2}}"></span> und</dd> <dd>mit <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d=2r=2\left({\sqrt {5}}\cdot {\frac {a}{4}}\right)\approx 1{,}118\;a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>r</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>5</mn> </msqrt> </mrow> <mo>⋅<!-- ⋅ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>a</mi> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>≈<!-- ≈ --></mo> <mn>1,118</mn> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d=2r=2\left({\sqrt {5}}\cdot {\frac {a}{4}}\right)\approx 1{,}118\;a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f63a59c7f51f08dbb4b988eccb9131d2c2e5e673" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:31.062ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle d=2r=2\left({\sqrt {5}}\cdot {\frac {a}{4}}\right)\approx 1{,}118\;a}"></span> für den Durchmesser ergibt sich</dd> <dd>aus <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{\mathrm {C} }=\pi r^{2}=\pi ({\sqrt {5}}\cdot {\frac {a}{4}})^{2}=\pi \cdot {\frac {5\,a^{2}}{16}}\approx 0{,}982\;a^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">C</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>π<!-- π --></mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>π<!-- π --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>5</mn> </msqrt> </mrow> <mo>⋅<!-- ⋅ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>a</mi> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>π<!-- π --></mi> <mo>⋅<!-- ⋅ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>5</mn> <mspace width="thinmathspace" /> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mn>16</mn> </mfrac> </mrow> <mo>≈<!-- ≈ --></mo> <mn>0,982</mn> <mspace width="thickmathspace" /> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{\mathrm {C} }=\pi r^{2}=\pi ({\sqrt {5}}\cdot {\frac {a}{4}})^{2}=\pi \cdot {\frac {5\,a^{2}}{16}}\approx 0{,}982\;a^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4eac29d46144ee67920288ef60985c43a5095d9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:45.936ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle A_{\mathrm {C} }=\pi r^{2}=\pi ({\sqrt {5}}\cdot {\frac {a}{4}})^{2}=\pi \cdot {\frac {5\,a^{2}}{16}}\approx 0{,}982\;a^{2}}"></span> dann</dd> <dd>bei <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a=8}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mn>8</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a=8}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5a321f62f2ac9eb1d4aa2105aa24337d686185" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.491ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a=8}"></span> Längeneinheiten somit für <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{\mathrm {C} }=20\,\pi \approx 62{,}832}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">C</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>20</mn> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>π<!-- π --></mi> <mo>≈<!-- ≈ --></mo> <mn>62,832</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{\mathrm {C} }=20\,\pi \approx 62{,}832}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6502b00bdfe90dfef2c2bd0f23a9edf51371b5e2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:19.862ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{\mathrm {C} }=20\,\pi \approx 62{,}832}"></span> Flächeneinheiten,</dd> <dd>sowie für <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d^{2}=4r^{2}=4\cdot 5\,\left({\frac {8}{4}}\right)^{2}=80}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>4</mn> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>4</mn> <mo>⋅<!-- ⋅ --></mo> <mn>5</mn> <mspace width="thinmathspace" /> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>8</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>80</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d^{2}=4r^{2}=4\cdot 5\,\left({\frac {8}{4}}\right)^{2}=80}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2c154894379072dc88c87b1ababced1f34c6674" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:28.023ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle d^{2}=4r^{2}=4\cdot 5\,\left({\frac {8}{4}}\right)^{2}=80}"></span>, also <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {A_{\mathrm {C} }}{A_{\mathrm {U} }}}={\frac {20\,\pi }{80}}={\frac {\pi }{4}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">C</mi> </mrow> </mrow> </msub> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">U</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>20</mn> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>π<!-- π --></mi> </mrow> <mn>80</mn> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>π<!-- π --></mi> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {A_{\mathrm {C} }}{A_{\mathrm {U} }}}={\frac {20\,\pi }{80}}={\frac {\pi }{4}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df018d686240dad234b22b08255f92d739688b69" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:17.289ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {A_{\mathrm {C} }}{A_{\mathrm {U} }}}={\frac {20\,\pi }{80}}={\frac {\pi }{4}}}"></span> beziehungsweise <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {A_{\mathrm {C} }}{r^{2}}}={\frac {20\,\pi }{20}}=\pi .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">C</mi> </mrow> </mrow> </msub> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>20</mn> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>π<!-- π --></mi> </mrow> <mn>20</mn> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mi>π<!-- π --></mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {A_{\mathrm {C} }}{r^{2}}}={\frac {20\,\pi }{20}}=\pi .}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b0c466dd8a6839094999cb598675968c71f1a1d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:17.054ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {A_{\mathrm {C} }}{r^{2}}}={\frac {20\,\pi }{20}}=\pi .}"></span></dd></dl> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Circle_in_grid_and_in_square.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3f/Circle_in_grid_and_in_square.svg/220px-Circle_in_grid_and_in_square.svg.png" decoding="async" width="220" height="220" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3f/Circle_in_grid_and_in_square.svg/330px-Circle_in_grid_and_in_square.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3f/Circle_in_grid_and_in_square.svg/440px-Circle_in_grid_and_in_square.svg.png 2x" data-file-width="425" data-file-height="425" /></a><figcaption>Doch beträgt der Durchmesser weniger als 9 bei einem Kreis C, der in ein Quadrat U von 80 Flächeneinheiten (hellgelb) einzuschreiben ist.<br />Dass dieses Quadrat flächengleich ist der Summe aus Quadrat F (64) plus einem 4×4-Quadrat (16), mag ein Vergleich der (grauen bzw. gelben) Teilflächen nahelegen – <a href="/wiki/Satz_des_Pythagoras" title="Satz des Pythagoras">Pythagoras</a> war dieser Zusammenhang bekannt.</figcaption></figure> <p>Bei einer irrtümlichen Annahme, dass der Kreis C flächengleich mit dem Quadrat F wäre, beträgt der Fehler für die Angabe der Kreisfläche („64 Einheiten“) knapp zwei Prozent (1,825 %). Betrachtet man dagegen den tatsächlichen Inhalt der konstruierten Kreisfläche und nimmt dann hinsichtlich der Beziehung von Seitenlänge zu Durchmesser, </p> <dl><dd>bei <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a=8}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mn>8</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a=8}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5a321f62f2ac9eb1d4aa2105aa24337d686185" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.491ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a=8}"></span> ergibt sich <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d=4\cdot {\sqrt {5}}\approx 8{,}944}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> <mo>=</mo> <mn>4</mn> <mo>⋅<!-- ⋅ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>5</mn> </msqrt> </mrow> <mo>≈<!-- ≈ --></mo> <mn>8,944</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d=4\cdot {\sqrt {5}}\approx 8{,}944}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aac9a3d04c0734a1fdb5ad0731b378c2f233b2b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:18.649ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle d=4\cdot {\sqrt {5}}\approx 8{,}944}"></span>, also <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d\approx 9}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> <mo>≈<!-- ≈ --></mo> <mn>9</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d\approx 9}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/875462a5d9a54df1a85d3a3eb71883e9111677c0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.477ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle d\approx 9}"></span>, näherungsweise mit der Schätzung <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\approx {\tfrac {8}{9}}d}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>≈<!-- ≈ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>8</mn> <mn>9</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mi>d</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\approx {\tfrac {8}{9}}d}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dbfe9c36ac7b351ef073c7bfa3c8edf30b85763" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:7.202ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle a\approx {\tfrac {8}{9}}d}"></span> vorlieb, so verfehlt man damit <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a363a15442d031416d1eb62254a9c726e3f6c66c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.103ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle r^{2}}"></span> um ungefähr 1,234 Prozent – genau um <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {1}{81}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>81</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {1}{81}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e63d018db55867d360ae8abb072dc93f68bbd9ea" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:2.48ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {1}{81}}}"></span> – denn <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left({\tfrac {9}{2}}\right)^{2}=20{,}25}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>9</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>20</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>,</mo> </mrow> <mn>25</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left({\tfrac {9}{2}}\right)^{2}=20{,}25}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf2cb6433cfaf28d143d6fda51e644aeb3b96284" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:13.883ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \left({\tfrac {9}{2}}\right)^{2}=20{,}25}"></span> statt <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 20}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>20</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 20}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a54c80a7183ec4efa84bba969ef7894f5d78e70c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.325ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 20}"></span> Flächeneinheiten.</dd></dl> <p>Wendet man alsdann für <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>π<!-- π --></mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.332ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \pi }"></span> den oben beschriebenen Näherungswert von <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left({\tfrac {16}{9}}\right)^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>16</mn> <mn>9</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left({\tfrac {16}{9}}\right)^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23df80e9315338900bba415870e8adbfd2e5e206" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:6.31ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \left({\tfrac {16}{9}}\right)^{2}}"></span> an, wird der tatsächliche Flächeninhalt von <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{\mathrm {C} }=r^{2}\cdot \pi =20\,\pi \approx 62{,}832}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">C</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⋅<!-- ⋅ --></mo> <mi>π<!-- π --></mi> <mo>=</mo> <mn>20</mn> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>π<!-- π --></mi> <mo>≈<!-- ≈ --></mo> <mn>62,832</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{\mathrm {C} }=r^{2}\cdot \pi =20\,\pi \approx 62{,}832}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e9a1a06d88aee9f1056bb83122bf198738c33f1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:28.074ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle A_{\mathrm {C} }=r^{2}\cdot \pi =20\,\pi \approx 62{,}832}"></span> mit der Annäherung <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\approx \left({\tfrac {9}{2}}\right)^{2}\cdot \left({\tfrac {16}{9}}\right)^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>≈<!-- ≈ --></mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>9</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⋅<!-- ⋅ --></mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>16</mn> <mn>9</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\approx \left({\tfrac {9}{2}}\right)^{2}\cdot \left({\tfrac {16}{9}}\right)^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30894acaa1142e908274cf24a902156aee508746" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:18.318ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle A\approx \left({\tfrac {9}{2}}\right)^{2}\cdot \left({\tfrac {16}{9}}\right)^{2}}"></span> etwas zu hoch veranschlagt – doch das Ergebnis entspricht nun der falschen Annahme: „64 Einheiten“. </p><p>Auf die Weise erhielte man aus der Anschauung eines Kreises in einem Quadratnetz, wie es für eine Übertragung von Entwürfen auf zu bearbeitende Flächen üblich war, in recht einfacher Art – bei irriger Annahme und grobem Maß – eine schlichte Rechenregel für die Kreisfläche: „Vermindere den Kreisdurchmesser um ein Neuntel, so bekommst du die Seite des Quadrats.“<sup id="cite_ref-engels_5-1" class="reference"><a href="#cite_note-engels-5"><span class="cite-bracket">[</span>5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> – das, wie oben dargestellt, nur um 0,6 Prozent zu groß ist. </p><p>Das abschätzend angesetzte Verhältnis von <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {8}{9}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>8</mn> <mn>9</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {8}{9}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/138c9173bf601ee0746f7c88a4c35c4c69ae012b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:1.658ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {8}{9}}}"></span> wird auch im Problem 41 (siehe dritte Abbildung von oben, vergrößert) des Papyrus Rhind angewandt, wo es um die Berechnung des Volumens eines <a href="/wiki/Zylinder_(Geometrie)" title="Zylinder (Geometrie)">zylindrischen</a> Kornspeichers geht. Ebenfalls wird es in der Berechnungsvorschrift für den Flächeninhalt einer gekrümmten Oberfläche angenommen, die im <a href="/wiki/Papyrus_Moskau_4676#Aufgabe_10" title="Papyrus Moskau 4676">Problem 10</a> des älteren <i>Papyrus Moskau 4676</i> wiedergegeben ist; hier gehen allerdings die Interpretationen schon darüber auseinander, welche Fläche genau gemeint ist.<sup id="cite_ref-6" class="reference"><a href="#cite_note-6"><span class="cite-bracket">[</span>6<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Aufbewahrungsort">Aufbewahrungsort</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Papyrus_Rhind&veaction=edit&section=4" title="Abschnitt bearbeiten: Aufbewahrungsort" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Papyrus_Rhind&action=edit&section=4" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Aufbewahrungsort"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Die beiden Hauptstücke des Papyrus Rhind <i>(Rhind Mathematical Papyrus</i> (RMP)), ein knapp 3 m und ein knapp 2 m langes Fragment, befinden sich seit 1865 im Besitz des <a href="/wiki/Britisches_Museum" class="mw-redirect" title="Britisches Museum">Britischen Museums</a> in <a href="/wiki/London" title="London">London</a>, verzeichnet unter den Inventarnummern pBM 10057 bzw. pBM 10058.<sup id="cite_ref-british_1-3" class="reference"><a href="#cite_note-british-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Von dem fehlenden Zwischenstück (knapp 0,2 m) sind einige kleinere Fragmente erhalten, die damals nicht von Rhind erworben wurden und heute im <a href="/wiki/Brooklyn_Museum" title="Brooklyn Museum">Brooklyn Museum</a> in <a href="/wiki/New_York_City" title="New York City">New York</a> aufbewahrt werden.<sup id="cite_ref-brooklyn_7-0" class="reference"><a href="#cite_note-brooklyn-7"><span class="cite-bracket">[</span>7<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Papyrus_Rhind&veaction=edit&section=5" title="Abschnitt bearbeiten: Siehe auch" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Papyrus_Rhind&action=edit&section=5" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Siehe auch"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Lahunpapyri" title="Lahunpapyri">Papyri Lahun / Kahun</a></li> <li><a href="/wiki/Geschichte_der_Mathematik#Mathematik_der_alten_Ägypter_und_Babylonier" title="Geschichte der Mathematik">Geschichte der Mathematik</a></li> <li><a href="/wiki/Mathematik_im_Alten_%C3%84gypten" title="Mathematik im Alten Ägypten">Mathematik im Alten Ägypten</a></li> <li><a href="/wiki/Liste_der_Papyri_des_Alten_%C3%84gypten" title="Liste der Papyri des Alten Ägypten">Liste der Papyri des Alten Ägypten</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Ausgaben">Ausgaben</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Papyrus_Rhind&veaction=edit&section=6" title="Abschnitt bearbeiten: Ausgaben" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Papyrus_Rhind&action=edit&section=6" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Ausgaben"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/August_Eisenlohr_(%C3%84gyptologe)" title="August Eisenlohr (Ägyptologe)">August Eisenlohr</a>: <i>Ein mathematisches Handbuch der alten Aegypter (Papyrus Rhind des British Museum).</i> 2 Bände, Hinrichs, Leipzig 1877 (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.archive.org/stream/einmathematische00eise#page/n7/mode/2up">online</a>).</li> <li>Thomas Eric Peet: <i>The Rhind Mathematical Papyrus, British Museum 10057 and 10058.</i> Hodder & Stoughton für The University Press of Liverpool, London 1923.</li> <li>Arnold Buffum Chace, Henry Parker Manning, Raymond C. Chace, Ludlow Bull: <i>The Rhind Mathematical Papyrus: British Museum 10057 and 10058.</i> 2 Bände, Mathematical Association of America, Oberlin (OH) 1927/ 1929. (Verkürzte Neuauflage: National Council of Teachers of Mathematics, Reston (OH) 1979, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/0873531337" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 0-87353-133-7</a>).</li> <li>Gay Robins, Charles Shute: <i>The Rhind Mathematical Papyrus. An Ancient Egyptian Text</i>. British Museum, London 1987, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/0714109444" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 0-7141-0944-4</a> (mit Fotos des Papyrus).</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Papyrus_Rhind&veaction=edit&section=7" title="Abschnitt bearbeiten: Literatur" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Papyrus_Rhind&action=edit&section=7" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Literatur"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Marshall_Clagett" title="Marshall Clagett">Marshall Clagett</a>: <i>Ancient Egyptian Science. A Source Book.</i> Band 3: <i>Ancient Egyptian Mathematics</i> (= <i>Memoirs of the American Philosophical Society.</i> Band 232). American Philosophical Society, Philadelphia (PA) 1999, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/0871692325" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 0-87169-232-5</a>.</li> <li>Milo Gardner: <i>An Ancient Egyptian Problem and its Innovative Arithmetic Solution.</i> In: <i>Gaṇita-Bhāratī. Bulletin of the Indian Society for the History of Mathematics.</i> Band 28, 2006, <span class="plainlinks-print"><a href="/wiki/Internationale_Standardnummer_f%C3%BCr_fortlaufende_Sammelwerke" title="Internationale Standardnummer für fortlaufende Sammelwerke">ISSN</a> <span style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://zdb-katalog.de/list.xhtml?t=iss%3D%220970-0307%22&key=cql">0970-0307</a></span></span>, S. 157–173.</li> <li>Richard J. Gillings: <i>Mathematics in the time of the pharaohs.</i> Unabridged, slightly corrected republication. Dover Publications, New York (NY) 1982, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/048624315X" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 0-486-24315-X</a>.</li> <li><a href="/wiki/Annette_Imhausen" class="mw-redirect" title="Annette Imhausen">Annette Imhausen</a>: <i>Ägyptische Algorithmen. Eine Untersuchung zu den mittelägyptischen mathematischen Aufgabentexten</i> (= <i>Ägyptologische Abhandlungen.</i> Band 65). Harrassowitz, Wiesbaden 2003, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/3447046449" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 3-447-04644-9</a>.</li> <li><a href="/wiki/Franz_von_Krbek" title="Franz von Krbek">Franz von Krbek</a>: <i>Eingefangenes Unendlich. Bekenntnis zur Geschichte der Mathematik.</i> 2. Auflage. Geest & Portig, Leipzig 1954, S. 79 ff.</li> <li><a href="/wiki/Neil_MacGregor" title="Neil MacGregor">Neil MacGregor</a>: <i><a href="/wiki/A_History_of_the_World_in_100_Objects" title="A History of the World in 100 Objects">Eine Geschichte der Welt in 100 Objekten</a>.</i> (Aus dem Englischen von Waltraut Götting, Andreas Wirthensohn, Annabell Zettel). Beck u. a., München 2011, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/9783406621475" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-3-406-62147-5</a>, S. 141–149.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Papyrus_Rhind&veaction=edit&section=8" title="Abschnitt bearbeiten: Weblinks" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Papyrus_Rhind&action=edit&section=8" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Weblinks"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noresize noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"><span class="mw-default-size" typeof="mw:File"><span title="Commons"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/12px-Commons-logo.svg.png" decoding="async" width="12" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/18px-Commons-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/24px-Commons-logo.svg.png 2x" data-file-width="1024" data-file-height="1376" /></span></span></div><b><span class="plainlinks"><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Rhind_Mathematical_Papyrus?uselang=de"><span lang="en">Commons</span>: Rhind Mathematical Papyrus</a></span></b> – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien</div> <ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.britishmuseum.org/collection/object/Y_EA10057"><i>Rhind Mathematical Papyrus</i></a> – Artikel mit Abbildungen der Papyrus-Fragmente auf Site des British Museum.</li> <li><span class="cite"><a href="/wiki/Eric_Weisstein" title="Eric Weisstein">Eric W. Weisstein</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://mathworld.wolfram.com/RhindPapyrus.html"><i>Rhind Papyrus.</i></a> MathWorld–A Wolfram Web Resource,<span class="Abrufdatum"> abgerufen am 29. Januar 2011</span>.</span><span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3APapyrus+Rhind&rft.title=Rhind+Papyrus&rft.description=Rhind+Papyrus&rft.identifier=&rft.creator=%5B%5BEric+Weisstein%7CEric+W.+Weisstein%5D%5D&rft.publisher=MathWorld%E2%80%93A+Wolfram+Web+Resource&rft.date="> </span></li> <li>O’Connor and Robertson: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Egyptian_papyri.html"><i>Mathematics in Egyptian Papyri</i></a>.</li> <li>Scott W. Williams: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.math.buffalo.edu/mad/Ancient-Africa/mad_ancient_egyptpapyrus.html"><i>Egyptian Mathematics Papyri</i></a>.</li> <li><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/RMP_2/n_table" class="extiw" title="en:RMP 2/n table">RMP 2/n Table</a> der englischen Wikipedia</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Papyrus_Rhind&veaction=edit&section=9" title="Abschnitt bearbeiten: Einzelnachweise" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Papyrus_Rhind&action=edit&section=9" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Einzelnachweise"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ol class="references"> <li id="cite_note-british-1"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-british_1-0">a</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-british_1-1">b</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-british_1-2">c</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-british_1-3">d</a></sup></span> <span class="reference-text"><span class="cite"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.britishmuseum.org/collection/object/Y_EA10057"><i><i>The Rhind Papyrus</i>.</i></a> in der <i>Collection</i> des <a href="/wiki/British_Museum" title="British Museum">British Museum</a>.<span class="Abrufdatum"> Abgerufen am 6. Juli 2021</span>.</span><span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3APapyrus+Rhind&rft.title=%27%27The+Rhind+Papyrus%27%27&rft.description=%27%27The+Rhind+Papyrus%27%27&rft.identifier=https%3A%2F%2Fwww.britishmuseum.org%2Fcollection%2Fobject%2FY_EA10057"> </span></span> </li> <li id="cite_note-imhausen-2"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-imhausen_2-0">a</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-imhausen_2-1">b</a></sup></span> <span class="reference-text">Annette Imhausen: <i>Mathematics in Ancient Egypt. A Contextual History.</i> Princeton University Press, Princeton (NJ) u. a. 2020, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/9780691209074" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-0-691-20907-4</a>, S. 65 f. (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=xkjWDwAAQBAJ&printsec=frontcover&hl=de#v=onepage&q&f=false">google books</a>).</span> </li> <li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text">vergleiche die fotografische <a rel="nofollow" class="external text" href="https://media.britishmuseum.org/media/Repository/Documents/2014_10/12_21/1ac6b8b7_abf6_42f0_b8b2_a3c201651407/mid_00766114_001.jpg">Wiedergabe</a> dieser Stelle des <i>Rhind mathematical papyrus</i> im Internetauftritt des British Museum.</span> </li> <li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-4">↑</a></span> <span class="reference-text">siehe dazu <a href="/wiki/Kurt_Vogel_(Mathematikhistoriker)" title="Kurt Vogel (Mathematikhistoriker)">Kurt Vogel</a>: <i>Vorgriechische Mathematik.</i> Teil 1: <i>Vorgeschichte und Ägypten</i> (= <i>Mathematische Studienhefte für den mathematischen Unterricht an höheren Schulen.</i> Band 1, <span class="plainlinks-print"><a href="/wiki/Zeitschriftendatenbank" title="Zeitschriftendatenbank">ZDB</a>-ID <a rel="nofollow" class="external text" href="https://zdb-katalog.de/list.xhtml?t=255205-X&key=zdb">255205-X</a></span>). Schroedel u. a., Hannover 1958, S. 66.</span> </li> <li id="cite_note-engels-5"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-engels_5-0">a</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-engels_5-1">b</a></sup></span> <span class="reference-text">Hermann Engels: <i>Quadrature of the circle in ancient Egypt.</i> In: <i><a href="/wiki/Historia_Mathematica" title="Historia Mathematica">Historia Mathematica</a>.</i> Band 4, Nr. 2, 1977, S. 137–140, <a href="/wiki/Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<span class="uri-handle" style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1016/0315-0860%2877%2990104-5">10.1016/0315-0860(77)90104-5</a></span>.</span> </li> <li id="cite_note-6"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-6">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="/wiki/Hans_Wu%C3%9Fing" title="Hans Wußing">Hans Wußing</a>: <i>6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise.</i> Band 1: <i>Von den Anfängen bis Leibniz und Newton.</i> Springer, Berlin u. a. 2008, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/9783540771890" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-3-540-77189-0</a>, S. 120 f. (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://books.google.de/books?id=lDZFEYTehKkC">eingeschränkte Online-Version (Google Books)</a>).</span> </li> <li id="cite_note-brooklyn-7"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-brooklyn_7-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><span class="cite"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.brooklynmuseum.org/opencollection/objects/118304"><i><i>Fragments of Rhind Mathematical Papyrus</i>.</i></a> online in der <i>Collection</i> des <a href="/wiki/Brooklyn_Museum" title="Brooklyn Museum">Brooklyn Museum</a>.<span class="Abrufdatum"> Abgerufen am 29. August 2016</span>.</span><span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3APapyrus+Rhind&rft.title=%27%27Fragments+of+Rhind+Mathematical+Papyrus%27%27&rft.description=%27%27Fragments+of+Rhind+Mathematical+Papyrus%27%27&rft.identifier=https%3A%2F%2Fwww.brooklynmuseum.org%2Fopencollection%2Fobjects%2F118304"> </span></span> </li> </ol> <div class="hintergrundfarbe1 rahmenfarbe1 navigation-not-searchable normdaten-typ-w" style="border-style: solid; border-width: 1px; clear: left; margin-bottom:1em; margin-top:1em; padding: 0.25em; overflow: hidden; word-break: break-word; word-wrap: break-word;" id="normdaten"> <div style="display: table-cell; vertical-align: middle; width: 100%;"> <div> Normdaten (Werk): <a href="/wiki/Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <span class="plainlinks-print"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4735890-7">4735890-7</a></span> <span class="noprint">(<a rel="nofollow" class="external text" href="https://lobid.org/gnd/4735890-7">lobid</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://swb.bsz-bw.de/DB=2.104/SET=1/TTL=1/CMD?retrace=0&trm_old=&ACT=SRCHA&IKT=2999&SRT=RLV&TRM=4735890-7">OGND</a><span class="metadata">, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://prometheus.lmu.de/gnd/4735890-7">AKS</a></span>)</span> <span class="metadata"></span></div> </div></div></div><!--esi <esi:include src="/esitest-fa8a495983347898/content" /> --><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Abgerufen von „<a dir="ltr" href="https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Papyrus_Rhind&oldid=243032308">https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Papyrus_Rhind&oldid=243032308</a>“</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Wikipedia:Kategorien" title="Wikipedia:Kategorien">Kategorien</a>: <ul><li><a href="/wiki/Kategorie:Mathematik_im_Alten_%C3%84gypten" title="Kategorie:Mathematik im Alten Ägypten">Mathematik im Alten Ägypten</a></li><li><a href="/wiki/Kategorie:%C3%84gyptischer_Papyrus" title="Kategorie:Ägyptischer Papyrus">Ägyptischer Papyrus</a></li><li><a href="/wiki/Kategorie:Handschrift_der_British_Library_(London)" title="Kategorie:Handschrift der British Library (London)">Handschrift der British Library (London)</a></li><li><a href="/wiki/Kategorie:Handschrift_des_Brooklyn_Museum_(New_York)" title="Kategorie:Handschrift des Brooklyn Museum (New York)">Handschrift des Brooklyn Museum (New York)</a></li><li><a href="/wiki/Kategorie:Arch%C3%A4ologischer_Fund_(Theben)" title="Kategorie:Archäologischer Fund (Theben)">Archäologischer Fund (Theben)</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Versteckte Kategorie: <ul><li><a href="/wiki/Kategorie:Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Cite_web/tempor%C3%A4r" title="Kategorie:Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Cite web/temporär">Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Cite web/temporär</a></li></ul></div></div> </div> </div> <div id="mw-navigation"> <h2>Navigationsmenü</h2> <div id="mw-head"> <nav id="p-personal" class="mw-portlet mw-portlet-personal vector-user-menu-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-personal-label" > <h3 id="p-personal-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Meine Werkzeuge</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anonuserpage" class="mw-list-item"><span title="Benutzerseite der IP-Adresse, von der aus du Änderungen durchführst">Nicht angemeldet</span></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Spezial:Meine_Diskussionsseite" title="Diskussion über Änderungen von dieser IP-Adresse [n]" accesskey="n"><span>Diskussionsseite</span></a></li><li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Spezial:Meine_Beitr%C3%A4ge" title="Eine Liste der Bearbeitungen, die von dieser IP-Adresse gemacht wurden [y]" accesskey="y"><span>Beiträge</span></a></li><li id="pt-createaccount" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Spezial:Benutzerkonto_anlegen&returnto=Papyrus+Rhind" title="Wir ermutigen dich dazu, ein Benutzerkonto zu erstellen und dich anzumelden. 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