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vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Formulação_matemática"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>Formulação matemática</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Formulação_matemática-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Alternar a subsecção Formulação matemática</span> </button> <ul id="toc-Formulação_matemática-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-O_operador_de_Fock" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#O_operador_de_Fock"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.1</span> <span>O operador de Fock</span> </div> </a> <ul id="toc-O_operador_de_Fock-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Combinação_linear_dos_orbitais_atômicos" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Combinação_linear_dos_orbitais_atômicos"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.2</span> <span>Combinação linear dos orbitais atômicos</span> </div> </a> <ul id="toc-Combinação_linear_dos_orbitais_atômicos-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Estabilidade_numérica" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Estabilidade_numérica"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>Estabilidade numérica</span> </div> </a> <ul id="toc-Estabilidade_numérica-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Fraquezas,_extensões_e_alternativas" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Fraquezas,_extensões_e_alternativas"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>Fraquezas, extensões e alternativas</span> </div> </a> <ul id="toc-Fraquezas,_extensões_e_alternativas-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Referências" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Referências"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>Referências</span> </div> </a> <ul id="toc-Referências-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Bibliografia" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Bibliografia"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8</span> <span>Bibliografia</span> </div> </a> <ul id="toc-Bibliografia-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Ligações_externas" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Ligações_externas"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9</span> <span>Ligações externas</span> </div> </a> <ul id="toc-Ligações_externas-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Conteúdo" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Alternar o índice" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Alternar o índice</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Método de Hartree-Fock</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Ir para um artigo noutra língua. Disponível em 22 línguas" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-22" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">22 línguas</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/M%C3%A8tode_de_Hartree-Fok" title="Mètode de Hartree-Fok — catalão" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Mètode de Hartree-Fok" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="catalão" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Hartreeho%E2%80%93Fockova_metoda" title="Hartreeho–Fockova metoda — checo" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Hartreeho–Fockova metoda" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="checo" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Hartree-Fock-approksimationen" title="Hartree-Fock-approksimationen — dinamarquês" lang="da" hreflang="da" data-title="Hartree-Fock-approksimationen" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="dinamarquês" class="interlanguage-link-target"><span>Dansk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Hartree-Fock-Methode" title="Hartree-Fock-Methode — alemão" lang="de" hreflang="de" data-title="Hartree-Fock-Methode" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="alemão" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Hartree%E2%80%93Fock_method" title="Hartree–Fock method — inglês" lang="en" hreflang="en" data-title="Hartree–Fock method" data-language-autonym="English" data-language-local-name="inglês" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Hartree-Fock" title="Método de Hartree-Fock — espanhol" lang="es" hreflang="es" data-title="Método de Hartree-Fock" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="espanhol" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%B1%D9%88%D8%B4_%D9%87%D8%A7%D8%B1%D8%AA%D8%B1%DB%8C%E2%80%93%D9%81%D8%A7%DA%A9" title="روش هارتری–فاک — persa" lang="fa" 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href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A9%D7%99%D7%98%D7%AA_%D7%94%D7%A8%D7%98%D7%A8%D7%99-%D7%A4%D7%95%D7%A7" title="שיטת הרטרי-פוק — hebraico" lang="he" hreflang="he" data-title="שיטת הרטרי-פוק" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="hebraico" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Metode_Hartree%E2%80%93Fock" title="Metode Hartree–Fock — indonésio" lang="id" hreflang="id" data-title="Metode Hartree–Fock" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="indonésio" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Metodo_di_Hartree-Fock" title="Metodo di Hartree-Fock — italiano" lang="it" hreflang="it" data-title="Metodo di Hartree-Fock" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="italiano" 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vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Aspeto</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">mover para a barra lateral</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">ocultar</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="pt" dir="ltr"><p>Em <a href="/wiki/F%C3%ADsica_computacional" title="Física computacional">física computacional</a> e <a href="/wiki/Qu%C3%ADmica_computacional" title="Química computacional">química computacional</a>, o método de <b>Hartree–Fock</b> (<b>HF</b>) é um método aproximativo para determinar a <a href="/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_de_onda" title="Função de onda">função de onda</a> e a <a href="/wiki/Energia" title="Energia">energia</a> de um <a href="/wiki/Problema_de_muitos_corpos" title="Problema de muitos corpos">problema de muitos corpos</a> de um <a href="/wiki/Estado_estacion%C3%A1rio" title="Estado estacionário">estado estacionário</a>. </p><p>O método de Hartree-Fock frequentemente considera que a função de onda de <i>N</i> corpos de um sistema pode ser aproximada por um único <a href="/wiki/Determinante_de_Slater" title="Determinante de Slater">determinante de Slater</a> (no caso de muitas partículas serem <a href="/wiki/F%C3%A9rmion" title="Férmion">férmions</a>) ou um <a href="/w/index.php?title=Permanent&action=edit&redlink=1" class="new" title="Permanent (página não existe)">permanent</a> (no caso dos <a href="/wiki/B%C3%B3son" title="Bóson">bósons</a>) para <i>N</i> orbitais de <a href="/wiki/Spin" title="Spin">spins</a>. Utilizando o <a href="/wiki/M%C3%A9todo_variacional" title="Método variacional">método variacional</a>, pode-se derivar um conjunto de "N" equações acopladas para "N" orbitais de spins. Uma solução destas equações produz a função de onda de Hartree-Fock e dá a energia do sistema. </p><p>Na literatura o método de Hartree-Fock é chamado de <i>método de campo autoconsistente</i>. Ao deduzir o que hoje é chamada de equação de Hartree, como uma solução aproximada da <a href="/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_de_Schr%C3%B6dinger" title="Equação de Schrödinger">equação de Schrödinger</a>, Douglas Hartree exigiu que o campo final calculado a partir da distribuição de carga fosse autoconsistente com o campo considerado inicialmente. Assim, sua autoconsistência é uma exigência da solução. As soluções para as <a href="/wiki/Matem%C3%A1tica_n%C3%A3o-linear" title="Matemática não-linear">equações não lineares</a> de Hartree-Fock também se comportam como se cada partícula fosse submetida ao campo médio criado por todas as outras partículas (operador de Hartree-Fock). As equações são universalmente resolvidas por meio de um <a href="/wiki/M%C3%A9todo_iterativo" title="Método iterativo">método iterativo</a>, embora o algoritmo de ponto fixo nem sempre <a href="/wiki/Converg%C3%AAncia_pontual" title="Convergência pontual">convirja</a>.<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span>[</span>1<span>]</span></a></sup> Este tipo de solução não é a única possível e também não é uma característica essencial do método Hartree-Fock. </p><p>O método de Hartree-Fock encontra suas aplicações nas soluções da equação de Schrödinger para <a href="/wiki/%C3%81tomo" title="Átomo">átomos</a>, <a href="/wiki/Mol%C3%A9cula" title="Molécula">moléculas</a>, <a href="/wiki/Nanotecnologia" title="Nanotecnologia">nanoestruturas</a><sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span>[</span>2<span>]</span></a></sup> e em <a href="/wiki/S%C3%B3lido" title="Sólido">sólidos</a>, mas também é usado em <a href="/wiki/F%C3%ADsica_nuclear" title="Física nuclear">física nuclear</a>. (Ver <a href="/w/index.php?title=Bogoliubov_transformation&action=edit&redlink=1" class="new" title="Bogoliubov transformation (página não existe)">Hartree–Fock–Bogoliubov method</a> para uma discussão da aplicação em física nuclear). Na teoria de <a href="/wiki/Estrutura_at%C3%B4mica" class="mw-redirect" title="Estrutura atômica">estrutura atômica</a> os cálculos devem ser feitos para um espectro de energia com muitos estados excitados. Desse modo o método de Hartree-Fock para átomos considera que a função de onda é uma única função de estado para a configuração atômica, com <a href="/wiki/N%C3%BAmero_qu%C3%A2ntico" title="Número quântico">números quânticos</a> bem definidos e que o <a href="/wiki/N%C3%ADvel_de_energia" title="Nível de energia">nível de energia</a> não é necessariamente o <a href="/wiki/Estado_fundamental" title="Estado fundamental">estado fundamental</a>. </p><p>Para ambos átomos e moléculas, o método de Hartree-Fock é o ponto de partida para vários métodos de solução que descrevem precisamente o problema de muitos corpos. </p><p>O restante deste artigo se concentrará em aplicações da teoria da estrutura eletrônica adequada para moléculas, com o átomo como um caso especial. As discussões aqui são somente restritas ao método de Hartree-Fock, onde o átomo ou a molécula está em uma casca fechada com todos os orbitais (atômicos e molecular) duplamente ocupados. Os sistemas tipo casca aberta, onde alguns dos <a href="/wiki/El%C3%A9tron" title="Elétron">elétrons</a> não estão emparelhados, podem ser tratados por um dos dois métodos de Hartree-Fock: </p> <ul><li>Hartree-Fock de concha aberta restrita <small><i>Restricted open-shell Hartree–Fock</i></small> (ROHF)</li> <li>Hartree-Fock irrestrito <small><i>Unrestricted Hartree–Fock</i></small> (UHF)</li></ul> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Uma_breve_história"><span id="Uma_breve_hist.C3.B3ria"></span>Uma breve história</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9todo_de_Hartree-Fock&veaction=edit&section=1" title="Editar secção: Uma breve história" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9todo_de_Hartree-Fock&action=edit&section=1" title="Editar código-fonte da secção: Uma breve história"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>A origem do método de Hartree-Fock data do começo de 1920, logo após a descoberta da <a href="/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_de_Schr%C3%B6dinger" title="Equação de Schrödinger">Equação de Schrödinger</a> em 1926. Em 1927 Douglas Hartree introduziu o procedimento, que foi chamado de método do campo autoconsistente, para calcular aproximações para função de onda e energia para átomos e íons. Hartree foi guiado por alguns métodos anteriores, semi-empíricos, do início da década de 1920 (por E. Fues, <a href="/w/index.php?title=Robert_Bruce_Lindsay&action=edit&redlink=1" class="new" title="Robert Bruce Lindsay (página não existe)">R. B. Lindsay</a>, e ele mesmo) de acordo com a <a href="/wiki/Antiga_teoria_qu%C3%A2ntica" title="Antiga teoria quântica">Antiga teoria quântica</a> de <a href="/wiki/Niels_Bohr" title="Niels Bohr">Niels Bohr</a>. </p><p>No <a href="/wiki/Modelo_de_Bohr" class="mw-redirect" title="Modelo de Bohr">Modelo de Bohr</a> do átomo, a energia do estado com <a href="/wiki/N%C3%BAmero_qu%C3%A2ntico" title="Número quântico">número quântico</a> <i>n</i> é dada em unidades atômicas <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E=-1/n^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <msup> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E=-1/n^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71538c8b5aa1decc955f359babc9dac11da0cf5c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.456ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle E=-1/n^{2}}"></span>. Observou-se então, a partir dos espectros atômicos, que os níveis de energia de átomos com muitos elétrons são bem descritos, aplicando uma versão modificada da fórmula de Bohr. Introduzindo o <a href="/w/index.php?title=Quantum_defect&action=edit&redlink=1" class="new" title="Quantum defect (página não existe)">quantum defect</a> <i>d</i> como parâmetro empírico, os níveis de energia de um átomo genérico são dados aproximadamente pela fórmula <a href="/w/index.php?title=Quantum_defect&action=edit&redlink=1" class="new" title="Quantum defect (página não existe)">quantum defect</a>, no sentido de que se pode reproduzir razoavelmente os níveis observados nas regiões de transição <a href="/wiki/Raios_X" title="Raios X">Raios X</a> (veja a discussão empírica em <a href="/wiki/Lei_de_Moseley" title="Lei de Moseley">Lei de Moseley</a>). A existência de um <a href="/w/index.php?title=Quantum_defect&action=edit&redlink=1" class="new" title="Quantum defect (página não existe)">quantum defect</a> não zero foi atribuído à repulsão elétron elétron, que claramante não existe em um átomo de hidrogênio isolado. Essa repulsão é resultado <a href="/w/index.php?title=Screening_effect&action=edit&redlink=1" class="new" title="Screening effect (página não existe)">screening effect</a> da carga nuclear nua. Os primeiros pesquisadores mais tarde introduziram outros potenciais que continham parâmetros empíricos adicionais, com a esperança de reproduzir os dados experimentais. </p><p>Hartree procurou acabar com parâmetros empíricos e resolver a equação de Schrödinger independente do tempo de muitos-corpos a partir de princípios físicos fundamentais. Seu primeiro método de solução proposto ficou conhecido como <b>Método de Hartree</b>. Entretanto, muitos dos contemporâneos de Hartree não entenderam o raciocínio físico por trás do Método de Hartree. Para muitos sua conexão com a solução da equação de Schrödinger de muitos-corpos não estava clara. No entanto, em 1928 John C. Slater e J. A. Gaunt mostraram, independentemente, que o método de Hartree poderia ser formulado numa base teórica mais precisa, aplicando o <a href="/wiki/Princ%C3%ADpio_variacional" title="Princípio variacional">princípio variacional</a> a uma <a href="/wiki/Ansatz" title="Ansatz">ansatz</a> (função de onda de ensaio) como um produto de funções de partícula única. </p><p>Em 1930 Slater e <a href="/wiki/Vladimir_Fock" title="Vladimir Fock">Vladimir Fock</a>, independentemente, apontaram que o método de Hartree não respeitava o princípio de função de onda para <a href="/wiki/Part%C3%ADculas_id%C3%AAnticas" title="Partículas idênticas">partículas idênticas</a>. O método de Hartree usava o <a href="/wiki/Princ%C3%ADpio_de_exclus%C3%A3o_de_Pauli" title="Princípio de exclusão de Pauli">princípio de exclusão de Pauli</a> em sua formulação mais velha, proibindo a presença de dois elétrons no mesmo <a href="/wiki/Estado_qu%C3%A2ntico" title="Estado quântico">estado quântico</a>. No entanto, este método foi mostrado fundamentalmente incompleto, pois negligenciava a estatística quântica. </p><p>Foi então mostrado que um <a href="/wiki/Determinante_de_Slater" title="Determinante de Slater">Determinante de Slater</a>, um <a href="/wiki/Determinante" title="Determinante">Determinante</a> de orbitais de partícula única usados pela primeira vez por Heisenberg e Dirac em 1926, satisfez trivialmente as propriedades de <a href="/wiki/Part%C3%ADculas_id%C3%AAnticas" title="Partículas idênticas">Partículas idênticas</a> da solução exata. E Portanto, era adequado usar um <a href="/wiki/Ansatz" title="Ansatz">ansatz</a> para aplicar o <a href="/wiki/Princ%C3%ADpio_variacional" title="Princípio variacional">princípio variacional</a>. O método de Hartree original pode então ser visto como uma aproximação ao método de Hartree-Fock negligenciando <a href="/wiki/Part%C3%ADculas_id%C3%AAnticas" title="Partículas idênticas">partículas idênticas</a>. O método original de Fock se baseava fortemente na <a href="/wiki/Teoria_dos_grupos" title="Teoria dos grupos">Teoria dos grupos</a>, e era muito abstrato para os físicos contemporâneos entenderem e implementarem. Em 1935 Hartree reformulou o método para facilitar os cálculos. </p><p>O método de Hartree-Fock, apesar de fisicamente mais preciso, foi pouco usado até o advento dos computadores eletrônicos na década de 1950. Isso se deveu às demandas computacionais muito grandes do método Hartree e seus modelos empíricos. Inicialmente, tanto o método Hartree como o método Hartree-Fock foram aplicados exclusivamente a átomos, onde a simetria esférica do sistema permitiu simplificar bastante o problema. Esses métodos aproximados foram (e são) freqüentemente usados em conjunto com a aproximação de campo central, para que os elétrons na mesma casca tenham a mesma parte radial, e para restringir a solução variacional para serem autofunções do spin. Mesmo assim as soluções à mão para as equações de Hartree-Fock de um átomo de tamanho médio eram muito difíceis. E para pequenas moléculas elas requeriam recursos computacionais muito além do que estava disponível antes de 1950. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="O_algoritimo_de_Hartree-Fock">O algoritimo de Hartree-Fock</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9todo_de_Hartree-Fock&veaction=edit&section=2" title="Editar secção: O algoritimo de Hartree-Fock" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9todo_de_Hartree-Fock&action=edit&section=2" title="Editar código-fonte da secção: O algoritimo de Hartree-Fock"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>O método de Hartree-Fock é tipicamente usado para resolver a equação de Schrödinger independente do tempo para um átomo ou molécula de múltiplos elétrons como descrito na aproximação de Born-Oppenheimer. Como não há soluções conhecidas para sistemas de muitos elétrons (existem soluções para sistemas de um elétron como o átomo de hidrogênio), o problema é resolvido numericamente. Devido a não linearidade introduzida pela aproximação de Hartree-Fock, as equações são resolvidas usando um método não-linear como o de <a href="/wiki/Itera%C3%A7%C3%A3o" title="Iteração">Iteração</a>, que dá origem ao nome <b>método do campo autoconsistente</b> <sup id="cite_ref-:0_3-0" class="reference"><a href="#cite_note-:0-3"><span>[</span>3<span>]</span></a></sup>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Aproximações"><span id="Aproxima.C3.A7.C3.B5es"></span>Aproximações</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9todo_de_Hartree-Fock&veaction=edit&section=3" title="Editar secção: Aproximações" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9todo_de_Hartree-Fock&action=edit&section=3" title="Editar código-fonte da secção: Aproximações"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>O método de Hartree-Fock faz cinco simplificações principais, são elas: </p> <ul><li>A <a href="/wiki/Aproxima%C3%A7%C3%A3o_de_Born-Oppenheimer" title="Aproximação de Born-Oppenheimer">Aproximação de Born-Oppenheimer</a> é utilizada. A função total da molécula é na verdade uma função das coordenadas de cada um dos núcleos, além da coordenada dos elétrons <sup id="cite_ref-:0_3-1" class="reference"><a href="#cite_note-:0-3"><span>[</span>3<span>]</span></a></sup>.</li> <li>Tipicamente os efeitos da <a href="/wiki/Relatividade_especial" class="mw-redirect" title="Relatividade especial">relatividade especial</a> são completamente negligenciados. O operador <a href="/wiki/Momento" class="mw-disambig" title="Momento">Momento</a> é tido como não relativístico.</li> <li>A solução variacional é uma combinação linear de um número finito de funções de base, que normalmente são (mas nem sempre) escolhidas para serem ortogonais. O conjunto de base finita é assumido como sendo aproximadamente completo.</li> <li>Considera-se que cada auto-função da energia é descrita por um único determinante de Slater, um produto antisimétrico da funções de onda do elétron.</li> <li>A teoria do campo médio ou aproximação de campo médio, está implícita. Os efeitos decorrentes desses desvios, pressupõe que as correlações dos elétrons são completamente negligenciadas para os elétrons com spins opostos, mas são levados em conta para elétrons com spins paralelos. <sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span>[</span>4<span>]</span></a></sup><sup id="cite_ref-Szabo_5-0" class="reference"><a href="#cite_note-Szabo-5"><span>[</span>5<span>]</span></a></sup> (Electron correlation should not be confused with electron exchange, which is fully accounted for in the Hartree–Fock method.) <sup id="cite_ref-:0_3-2" class="reference"><a href="#cite_note-:0-3"><span>[</span>3<span>]</span></a></sup><sup id="cite_ref-Szabo_5-1" class="reference"><a href="#cite_note-Szabo-5"><span>[</span>5<span>]</span></a></sup></li></ul> <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Ficheiro:Hartree-Fock.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6d/Hartree-Fock.png/325px-Hartree-Fock.png" decoding="async" width="325" height="244" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6d/Hartree-Fock.png/488px-Hartree-Fock.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6d/Hartree-Fock.png/650px-Hartree-Fock.png 2x" data-file-width="720" data-file-height="540" /></a><figcaption>Greatly simplified algorithmic flowchart illustrating the Hartree–Fock method</figcaption></figure> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Otimização_variacional_dos_orbitais"><span id="Otimiza.C3.A7.C3.A3o_variacional_dos_orbitais"></span>Otimização variacional dos orbitais</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9todo_de_Hartree-Fock&veaction=edit&section=4" title="Editar secção: Otimização variacional dos orbitais" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9todo_de_Hartree-Fock&action=edit&section=4" title="Editar código-fonte da secção: Otimização variacional dos orbitais"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>O método variacional mostra que para um operador Hamiltoniano independente do tempo, qualquer função de onda irá ter o valor esperado da energia, maior ou igual a energia do verdadeiro <a href="/wiki/Estado_fundamental" title="Estado fundamental">estado fundamental</a>, dada pela função de onda do Hamiltonia fornecido. Devido a isso, a energia de Hartree-Fock é superior à verdadeira energia de estado fundamental de uma determinada molécula. No contexto do método de Hartree-Fock, a melhor possibilidade de solução é o <i>Limite de Hartree-Fock</i>, que é o limite em que a energia de Hartree-Fock se aproxima de uma base ortonormal (A outra é a configuração de iteração, onde as duas últimas aproximações do método de Hartree-Fock como descritas acima são desfeitas. Somente quando ambos os limites são alcançados que a solução exata, até a aproximação de Born-Oppenheimer, é obtida.). A energia de Hartree-Fock é a energia mínima de um único determinante de Slater. </p><p>O ponto de partida para o método de Hartree-Fock é um conjunto aproximado de funções de onda de um elétron conhecidas como spin-orbital. Para um cálculo <a href="/wiki/Orbital_at%C3%B4mico" title="Orbital atômico">orbital atômico</a>, estes são tipicamente os orbitais de um átomo hidrogênio (um átomo com apenas um elétron, mas a carga nuclear apropriada). Para o cálculo do <a href="/wiki/Orbital_molecular" title="Orbital molecular">orbital molecular</a> ou cristalino, as funções de onda de um elétron são tipicamente uma combinação linear de orbitais atômicos. </p><p>Os orbitais descritos acima apenas representam de maneira mediana a presença dos elétrons. No método de Hartree-Fock, o efeito dos muitos elétrons é contabilizado através da teoria de campo médio. Os orbitais são otimizados, exigindo que eles minimizem a energia do determinante de Slater. As condições variacionais resultantes nos orbitais levam a um novo operador de um elétron, chamado o operador Fock. Os orbitais ocupados são autosoluções do operador Fock, através de transformações unitárias entre si. O operador Fock é um eficiente operador Hamiltoniano de um elétron, sendo a soma de dois termos. O primeiro é uma soma de operadores da energia cinética para cada elétron, energia de repulsão internuclear, e da soma dos termos de atração eletrônica-nuclear <a href="/wiki/Lei_de_Coulomb" title="Lei de Coulomb">Lei de Coulomb</a>. O segundo são os termos Coulombianos de repulsão entre elétrons, descritos através da teoria de campo médio. É então calculada uma energia de repulsão líquida para cada elétron do sistema, tratando todos os elétrons dentro da molécula como uma distribuição suave de carga negativa. Essa é uma simplificação inerente ao método Hartree-Fock, e é equivalente à quinta simplificação da lista acima. </p><p>Desde que o operador Fock dependa dos orbitais usados para construir a matriz de Fock, as autofunções do operador Fock são, por sua vez, novos orbitais que podem ser usados para construir um novo operador Fock. Desta forma, os orbitais de Hartree-Fock são otimizados iterativamente até que a mudança na energia eletrônica total caia abaixo de um limiar predefinido. Dessa forma, um conjunto de orbitais autoconsistentes de um elétron são calculados. A função de onda eletrônica de Hartree-Fock é então dada pelo determinante de Slater construído fora destes orbitals. Seguindo os postulados da mecânica quântica, a função de onda de Hartree-Fock pode então ser usada para calcular qualquer propriedade química ou física desejada, dentro da estrutura do método de Hartree-Fock. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Formulação_matemática"><span id="Formula.C3.A7.C3.A3o_matem.C3.A1tica"></span>Formulação matemática</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9todo_de_Hartree-Fock&veaction=edit&section=5" title="Editar secção: Formulação matemática" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9todo_de_Hartree-Fock&action=edit&section=5" title="Editar código-fonte da secção: Formulação matemática"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="O_operador_de_Fock">O operador de Fock</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9todo_de_Hartree-Fock&veaction=edit&section=6" title="Editar secção: O operador de Fock" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9todo_de_Hartree-Fock&action=edit&section=6" title="Editar código-fonte da secção: O operador de Fock"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Como o termo de repulsão elétron elétron do Hamiltoniano molecular envolve as coordenadas de dois elétrons diferentes, é necessário reformulá-lo de forma aproximada. Para esta aproximação, todos os termos do Hamiltoniano exato, exceto o termo de repulsão nuclear, são reescritos como a soma dos operadores de um elétron para átomos ou moléculas em uma casca fechada (com dois elétrons em cada orbital).<sup id="cite_ref-Levine403_6-0" class="reference"><a href="#cite_note-Levine403-6"><span>[</span>6<span>]</span></a></sup> O "(1)" de cada símbolo de operador, indica que o operador é de um único elétron na natureza. </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {F}}[\{\phi _{j}\}](1)={\hat {H}}^{\text{core}}(1)+\sum _{j=1}^{N/2}[2{\hat {J}}_{j}(1)-{\hat {K}}_{j}(1)]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">[</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>H</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>core</mtext> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>N</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mrow> </munderover> <mo stretchy="false">[</mo> <mn>2</mn> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>J</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>K</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {F}}[\{\phi _{j}\}](1)={\hat {H}}^{\text{core}}(1)+\sum _{j=1}^{N/2}[2{\hat {J}}_{j}(1)-{\hat {K}}_{j}(1)]}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d3e0a1ce3b1b528f799d01f7eda355f71f12e5c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:45.127ex; height:8.009ex;" alt="{\displaystyle {\hat {F}}[\{\phi _{j}\}](1)={\hat {H}}^{\text{core}}(1)+\sum _{j=1}^{N/2}[2{\hat {J}}_{j}(1)-{\hat {K}}_{j}(1)]}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>onde </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {F}}[\{\phi _{j}\}](1)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">[</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {F}}[\{\phi _{j}\}](1)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32f43980de090a8055a1bd5b601945b2316d583f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:10.691ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\hat {F}}[\{\phi _{j}\}](1)}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>É o operador de Fock para um elétron gerado pelos orbitais <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi _{j}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi _{j}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4cbf9f77e99bf49bdc5b3afa8b6b77d15b9be6b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.295ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \phi _{j}}"></span>, </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {H}}^{\text{core}}(1)=-{\frac {1}{2}}\nabla _{1}^{2}-\sum _{\alpha }{\frac {Z_{\alpha }}{r_{1\alpha }}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>H</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>core</mtext> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msubsup> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>Z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mi>α</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {H}}^{\text{core}}(1)=-{\frac {1}{2}}\nabla _{1}^{2}-\sum _{\alpha }{\frac {Z_{\alpha }}{r_{1\alpha }}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52970d64d262a5c3069d55370fe56fd4ef8f1087" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:28.663ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {H}}^{\text{core}}(1)=-{\frac {1}{2}}\nabla _{1}^{2}-\sum _{\alpha }{\frac {Z_{\alpha }}{r_{1\alpha }}}}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>É o núcleo do <a href="/wiki/Hamiltoniano" class="mw-redirect" title="Hamiltoniano">Hamiltoniano</a> de um elétron, </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {J}}_{j}(1)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>J</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {J}}_{j}(1)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d362d254e38d2a6b9029c8d66e7d1cf5f617ce8e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:5.704ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\hat {J}}_{j}(1)}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>Onde o operador de Coulomb define a energia de repulsão elétron elétron devido a cada um dos dois elétrons <b>j</b> no enésimo orbital.<sup id="cite_ref-Levine403_6-1" class="reference"><a href="#cite_note-Levine403-6"><span>[</span>6<span>]</span></a></sup> </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {K}}_{j}(1)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>K</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {K}}_{j}(1)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46b2326b3ac05fb2d9fad483ff41416b634dcf7f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:5.947ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\hat {K}}_{j}(1)}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>É o operador de troca, que define a energia de troca dos elétrons devido a antisimetrização da função de onda de todos os <i>n</i> elétrons.<sup id="cite_ref-Levine403_6-2" class="reference"><a href="#cite_note-Levine403-6"><span>[</span>6<span>]</span></a></sup> Onde o perador "Troca de energia", <b>K</b>, é obtido através do determinante de Slater. Então para encontrar as funções de onda de um elétron pelo método de Hartree-Fock, é equivalente a resolver as equações das autofunções: </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {F}}(1)\phi _{i}(1)=\epsilon _{i}\phi _{i}(1)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>ϵ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {F}}(1)\phi _{i}(1)=\epsilon _{i}\phi _{i}(1)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cac086ed23bffb46e2f961a2ea937ec6b83737c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.933ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {F}}(1)\phi _{i}(1)=\epsilon _{i}\phi _{i}(1)}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>Onde <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi _{i}\;(1)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mspace width="thickmathspace" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi _{i}\;(1)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfd5cada6adf6e81716eaac7e5c305dbbd77f3c4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.802ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \phi _{i}\;(1)}"></span> são um conjunto de funções de onda um elétron, chamadas de orbitais moleculares de Hartree-Fock. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Combinação_linear_dos_orbitais_atômicos"><span id="Combina.C3.A7.C3.A3o_linear_dos_orbitais_at.C3.B4micos"></span>Combinação linear dos orbitais atômicos</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9todo_de_Hartree-Fock&veaction=edit&section=7" title="Editar secção: Combinação linear dos orbitais atômicos" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9todo_de_Hartree-Fock&action=edit&section=7" title="Editar código-fonte da secção: Combinação linear dos orbitais atômicos"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Tipicamente nos cálculos mais modernos do método de Hartree-Fock, as funções de onda para um elétron são uma combinação linear dos orbitais atômicos. Esses orbitais atômicos são chamados <i>orbitais do tipo Slater</i>. Além disso, é muito comum que os "orbitais atômicos" em uso sejam realmente compostos de uma combinação linear de um ou mais orbitais gaussianos, em vez de orbitais do tipo Slater, no interesse de economizar grandes quantidades de tempo de computação. </p><p>Diversos conjuntos de bases (química) são usados na prática, a maioria são compostas de funções Gaussianas. Em algumas aplicações, métodos de ortogonalização como o de Gram-Schmidt são usados para produzir um conjunto de bases ortogonais. Isso pode, em princípio, economizar tempo computacional quando o computador está resolvendo as equações de Roothaan <a href="/wiki/Equa%C3%A7%C3%B5es_de_Roothaan-Hall" class="mw-redirect" title="Equações de Roothaan-Hall">Equações de Roothaan-Hall</a> convertendo a matriz de superposição para uma matriz de identidade. No entanto, na maioria dos programas modernos para cálculos Hartree-Fock, este procedimento não é seguido devido ao alto custo numérico da ortogonalização. O advento de algorítmos mais eficientes, muitas vezes escassos, para resolver o problema do autovalor generalizado, como as equações Roothaan-Hall são um exemplo. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Estabilidade_numérica"><span id="Estabilidade_num.C3.A9rica"></span>Estabilidade numérica</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9todo_de_Hartree-Fock&veaction=edit&section=8" title="Editar secção: Estabilidade numérica" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9todo_de_Hartree-Fock&action=edit&section=8" title="Editar código-fonte da secção: Estabilidade numérica"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>A instabilidade numérica pode ser um problema, e existem algumas maneiras de combater essa instabilidade. Um dos métodos mais simples chama-se <a href="/w/index.php?title=F-mixing&action=edit&redlink=1" class="new" title="F-mixing (página não existe)">F-mixing</a> ou amortecimento. Através do <i>F-mixing</i>, uma vez que uma função de onda de um elétron é calculada, ela não é usada. Em vez disso, é usada uma combinação da função de onda calculada anteriormente para um elétron. Um modo inteligente, usado por Hartrree, para cálculos atômicos era aumentar a carga nuclear unindo então todos os elétrons. E então com o sistema estabilizado, diminúi-se gradualmente a carga do sistema até a carga correta. Para cálculos moleculares, uma abordagem semelhante as vezes é usada primeiro, calcula-se a função de onda para um íon positivo e depois usando esses orbitais como ponto de partida para a molécula neutra. Os programas modernos para o cálculo do método de Hartree-Fock molecular usam uma variedade de métodos para assegurar a convergência das equações de Roothaan-Hall. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Fraquezas,_extensões_e_alternativas"><span id="Fraquezas.2C_extens.C3.B5es_e_alternativas"></span>Fraquezas, extensões e alternativas</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9todo_de_Hartree-Fock&veaction=edit&section=9" title="Editar secção: Fraquezas, extensões e alternativas" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9todo_de_Hartree-Fock&action=edit&section=9" title="Editar código-fonte da secção: Fraquezas, extensões e alternativas"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Das cinco simplificações descritas na seção "O algoritmo de Hartree-Fock", a quinta sessão é a mais importante. Uma série de abordagens, coletivamente denominadas métodos <i>pós-Hartree-Fock</i>, foram criadas para incluir a correlação de elétrons com a função de onda de múltiplos elétrons. Uma dessas abordagens, a teoria de perturbação de Moller-Presset, trata a correção como uma perturbação do operador de Fock. Outros autores expandem a função de onda para múltiplos elétrons em termos de uma combinação linear de determinantes de Slater, tais como campo configurável, configuração de iteração, interação quadrática. Ainda outros (<a href="/wiki/M%C3%A9todo_de_Monte_Carlo" title="Método de Monte Carlo">Método de Monte Carlo</a>) variam a função de onda de Hartree-Fock multiplicando-a por uma função de correlação (fator de Jastrow), um termo que é explicitamente uma função de múltiplos elétrons que não podem ser decompostas em funções independentes de partícula única. </p> <h2 id="Referências" style="cursor: help;" title="Esta seção foi configurada para não ser editável diretamente. Edite a página toda ou a seção anterior em vez disso."><span id="Refer.C3.AAncias"></span>Referências</h2> <div class="reflist" style="list-style-type: decimal;"><div class="mw-references-wrap"><ol class="references"> <li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite class="citation journal">Froese Fischer, Charlotte (1987). «General Hartree-Fock program». <i>Computer Physics Communication</i>. <b>43</b> (3): 355–365. <a href="/wiki/Bibcode" title="Bibcode">Bibcode</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="http://ui.adsabs.harvard.edu/abs/1987CoPhC..43..355F">1987CoPhC..43..355F</a>. <a href="/wiki/Digital_object_identifier" title="Digital object identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://dx.doi.org/10.1016%2F0010-4655%2887%2990053-1">10.1016/0010-4655(87)90053-1</a></cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fpt.wikipedia.org%3AM%C3%A9todo+de+Hartree-Fock&rft.atitle=General+Hartree-Fock+program&rft.aufirst=Charlotte&rft.aulast=Froese++Fischer&rft.date=1987&rft.genre=article&rft.issue=3&rft.jtitle=Computer+Physics+Communication&rft.pages=355-365&rft.volume=43&rft_id=info%3Abibcode%2F1987CoPhC..43..355F&rft_id=info%3Adoi%2F10.1016%2F0010-4655%2887%2990053-1&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite class="citation journal">Abdulsattar, Mudar A. (2012). «SiGe superlattice nanocrystal infrared and Raman spectra: A density functional theory study». <i><a href="/w/index.php?title=Journal_of_Applied_Physics&action=edit&redlink=1" class="new" title="Journal of Applied Physics (página não existe)">J. Appl. Phys.</a></i> <b>111</b> (4). 044306 páginas. <a href="/wiki/Bibcode" title="Bibcode">Bibcode</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="http://ui.adsabs.harvard.edu/abs/2012JAP...111d4306A">2012JAP...111d4306A</a>. <a href="/wiki/Digital_object_identifier" title="Digital object identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://dx.doi.org/10.1063%2F1.3686610">10.1063/1.3686610</a></cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fpt.wikipedia.org%3AM%C3%A9todo+de+Hartree-Fock&rft.atitle=SiGe+superlattice+nanocrystal+infrared+and+Raman+spectra%3A+A+density+functional+theory+study&rft.aufirst=Mudar+A.&rft.aulast=Abdulsattar&rft.date=2012&rft.genre=article&rft.issue=4&rft.jtitle=J.+Appl.+Phys.&rft.volume=111&rft_id=info%3Abibcode%2F2012JAP...111d4306A&rft_id=info%3Adoi%2F10.1063%2F1.3686610&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-:0-3"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><i><b><a href="#cite_ref-:0_3-0">a</a></b></i></sup> <sup><i><b><a href="#cite_ref-:0_3-1">b</a></b></i></sup> <sup><i><b><a href="#cite_ref-:0_3-2">c</a></b></i></sup></span> <span class="reference-text"><cite class="citation web">Félix, I. M. (2013). <a rel="nofollow" class="external text" href="http://dspace.sti.ufcg.edu.br:8080/jspui/handle/riufcg/12784">«Estudo da estrutura eletrônica do grafeno e grafeno hidratado»</a>. UFCG</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fpt.wikipedia.org%3AM%C3%A9todo+de+Hartree-Fock&rft.aufirst=I.+M.&rft.aulast=F%C3%A9lix&rft.btitle=Estudo+da+estrutura+eletr%C3%B4nica+do+grafeno+e+grafeno+hidratado&rft.date=2013&rft.genre=unknown&rft.pub=UFCG&rft_id=http%3A%2F%2Fdspace.sti.ufcg.edu.br%3A8080%2Fjspui%2Fhandle%2Friufcg%2F12784&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-4">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite class="citation book">Hinchliffe, Alan (2000). <i>Modelling Molecular Structures</i> 2nd ed. Baffins Lane, Chichester, West Sussex PO19 1UD, England: John Wiley & Sons Ltd. p. 186. <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:Fontes_de_livros/0-471-48993-X" title="Especial:Fontes de livros/0-471-48993-X">0-471-48993-X</a></cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fpt.wikipedia.org%3AM%C3%A9todo+de+Hartree-Fock&rft.aufirst=Alan&rft.aulast=Hinchliffe&rft.btitle=Modelling+Molecular+Structures&rft.date=2000&rft.edition=2nd&rft.genre=book&rft.isbn=0-471-48993-X&rft.pages=186&rft.place=Baffins+Lane%2C+Chichester%2C+West+Sussex+PO19+1UD%2C+England&rft.pub=John+Wiley+%26+Sons+Ltd&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-Szabo-5"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><i><b><a href="#cite_ref-Szabo_5-0">a</a></b></i></sup> <sup><i><b><a href="#cite_ref-Szabo_5-1">b</a></b></i></sup></span> <span class="reference-text"><cite class="citation book">Szabo, A.; Ostlund, N. S. (1996). <i>Modern Quantum Chemistry</i>. Mineola, New York: Dover Publishing. <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:Fontes_de_livros/0-486-69186-1" title="Especial:Fontes de livros/0-486-69186-1">0-486-69186-1</a></cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fpt.wikipedia.org%3AM%C3%A9todo+de+Hartree-Fock&rft.au=Ostlund%2C+N.+S.&rft.aufirst=A.&rft.aulast=Szabo&rft.btitle=Modern+Quantum+Chemistry&rft.date=1996&rft.genre=book&rft.isbn=0-486-69186-1&rft.place=Mineola%2C+New+York&rft.pub=Dover+Publishing&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-Levine403-6"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><i><b><a href="#cite_ref-Levine403_6-0">a</a></b></i></sup> <sup><i><b><a href="#cite_ref-Levine403_6-1">b</a></b></i></sup> <sup><i><b><a href="#cite_ref-Levine403_6-2">c</a></b></i></sup></span> <span class="reference-text">Levine, Ira N. (1991). Quantum Chemistry (4th ed.). Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice Hall. p. 403. <a href="/wiki/Especial:Fontes_de_livros/0205127703" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 0-205-12770-3</a>.</span> </li> </ol></div></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Bibliografia">Bibliografia</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9todo_de_Hartree-Fock&veaction=edit&section=10" title="Editar secção: Bibliografia" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9todo_de_Hartree-Fock&action=edit&section=10" title="Editar código-fonte da secção: Bibliografia"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><cite class="citation book">Levine, Ira N. (1991). <i>Quantum Chemistry</i> 4th ed. Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice Hall. pp. 455–544. <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:Fontes_de_livros/0-205-12770-3" title="Especial:Fontes de livros/0-205-12770-3">0-205-12770-3</a></cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fpt.wikipedia.org%3AM%C3%A9todo+de+Hartree-Fock&rft.aufirst=Ira+N.&rft.aulast=Levine&rft.btitle=Quantum+Chemistry&rft.date=1991&rft.edition=4th&rft.genre=book&rft.isbn=0-205-12770-3&rft.pages=455-544&rft.place=Englewood+Cliffs%2C+New+Jersey&rft.pub=Prentice+Hall&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></li> <li><cite class="citation book">Cramer, Christopher J. (2002). <i>Essentials of Computational Chemistry</i>. Chichester: John Wiley & Sons, Ltd. pp. 153–189. <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:Fontes_de_livros/0-471-48552-7" title="Especial:Fontes de livros/0-471-48552-7">0-471-48552-7</a></cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fpt.wikipedia.org%3AM%C3%A9todo+de+Hartree-Fock&rft.aufirst=Christopher+J.&rft.aulast=Cramer&rft.btitle=Essentials+of+Computational+Chemistry&rft.date=2002&rft.genre=book&rft.isbn=0-471-48552-7&rft.pages=153-189&rft.place=Chichester&rft.pub=John+Wiley+%26+Sons%2C+Ltd.&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></li> <li><cite class="citation book">Szabo, A.; Ostlund, N. S. (1996). <i>Modern Quantum Chemistry</i>. Mineola, New York: Dover Publishing. <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:Fontes_de_livros/0-486-69186-1" title="Especial:Fontes de livros/0-486-69186-1">0-486-69186-1</a></cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fpt.wikipedia.org%3AM%C3%A9todo+de+Hartree-Fock&rft.au=Ostlund%2C+N.+S.&rft.aufirst=A.&rft.aulast=Szabo&rft.btitle=Modern+Quantum+Chemistry&rft.date=1996&rft.genre=book&rft.isbn=0-486-69186-1&rft.place=Mineola%2C+New+York&rft.pub=Dover+Publishing&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Ligações_externas"><span id="Liga.C3.A7.C3.B5es_externas"></span>Ligações externas</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9todo_de_Hartree-Fock&veaction=edit&section=11" title="Editar secção: Ligações externas" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9todo_de_Hartree-Fock&action=edit&section=11" title="Editar código-fonte da secção: Ligações externas"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://vergil.chemistry.gatech.edu/notes/hf-intro/hf-intro.html">Introduction by C. David Sherrill</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.cond-mat.de/events/correl16/manuscripts/koch.pdf">Mean-Field Theory: Hartree-Fock and BCS</a> in E. Pavarini, E. Koch, J. van den Brink, and G. Sawatzky: Quantum materials: Experiments and Theory, Jülich 2016, <a href="/wiki/Especial:Fontes_de_livros/9783958061590" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-3-95806-159-0</a></li></ul>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?useformat=desktop&type=1x1&usesul3=0" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Obtida de "<a dir="ltr" href="https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Método_de_Hartree-Fock&oldid=65729183">https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Método_de_Hartree-Fock&oldid=65729183</a>"</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Especial:Categorias" title="Especial:Categorias">Categorias</a>: <ul><li><a href="/wiki/Categoria:F%C3%ADsico-qu%C3%ADmica" title="Categoria:Físico-química">Físico-química</a></li><li><a href="/wiki/Categoria:Mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica" title="Categoria:Mecânica quântica">Mecânica quântica</a></li><li><a href="/wiki/Categoria:F%C3%ADsica_computacional" title="Categoria:Física computacional">Física computacional</a></li><li><a href="/wiki/Categoria:Qu%C3%ADmica_computacional" title="Categoria:Química computacional">Química computacional</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Categoria oculta: <ul><li><a href="/wiki/Categoria:!P%C3%A1ginas_que_usam_hiperliga%C3%A7%C3%B5es_m%C3%A1gicas_ISBN" title="Categoria:!Páginas que usam hiperligações mágicas ISBN">!Páginas que usam hiperligações mágicas ISBN</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> Esta página foi editada pela última vez às 12h18min de 21 de abril de 2023.</li> <li id="footer-info-copyright">Este texto é disponibilizado nos termos da licença <a rel="nofollow" class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.pt">Atribuição-CompartilhaIgual 4.0 Internacional (CC BY-SA 4.0) da Creative Commons</a>; pode estar sujeito a condições adicionais. Para mais detalhes, consulte as <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Terms_of_Use">condições de utilização</a>.</li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy/pt-br">Política de privacidade</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Sobre">Sobre a Wikipédia</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Aviso_geral">Avisos gerais</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">Código de conduta</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Programadores</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/pt.wikipedia.org">Estatísticas</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">Declaração sobre ''cookies''</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//pt.m.wikipedia.org/w/index.php?title=M%C3%A9todo_de_Hartree-Fock&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Versão móvel</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> </div> </div> </div> <div class="vector-settings" id="p-dock-bottom"> <ul></ul> </div><script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-7bbfc6c4f5-kn4j7","wgBackendResponseTime":155,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.125","walltime":"0.206","ppvisitednodes":{"value":551,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":12580,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":14,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":7,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":0,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":0,"limit":20},"unstrip-size":{"value":8262,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":0,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 96.612 1 -total"," 89.98% 86.929 1 Predefinição:Referências"," 55.00% 53.132 2 Predefinição:Citar_periódico"," 18.77% 18.130 5 Predefinição:Citar_livro"," 7.57% 7.317 1 Predefinição:Citar_web"," 1.73% 1.676 1 Predefinição:Esconder_link_para_editar_seção"]},"scribunto":{"limitreport-timeusage":{"value":"0.043","limit":"10.000"},"limitreport-memusage":{"value":2273919,"limit":52428800}},"cachereport":{"origin":"mw-api-int.codfw.main-6fdd9f9b88-rtfrh","timestamp":"20241201190808","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"M\u00e9todo de Hartree-Fock","url":"https:\/\/pt.wikipedia.org\/wiki\/M%C3%A9todo_de_Hartree-Fock","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q7879841","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q7879841","author":{"@type":"Organization","name":"Contribuidores dos projetos da Wikimedia"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Funda\u00e7\u00e3o Wikimedia, Inc.","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2008-07-17T13:05:42Z","dateModified":"2023-04-21T12:18:32Z"}</script> </body> </html>